安徽单招2026数学求三角形题咋写

今天我们来看一下二六年安徽单招的数学题吧，因为现在还没有公布完呢，所以我先收集了几题来看一下啊。第一题，并级，并级就是所有的元素加起来二三四，呃，这里是三，刚刚有了就不用了，所以五六二三四，五六选 d。 上三题已知阿尔法是第二象限啊，画一个图啊，之前经常用的就是全 stc， 这个图全 stc， 他 说阿尔法是第二象限，那么我们来看图啊，第二象限只有三眼是正的，其他都是负的，我们来看一下，那就选 a， 那 就 a 是 对的，三眼是正的，选 a。 三十五题上的一百二十度除以口上的六十度， side 的 一百二十度，它是等于 side 的 六十度 等于二分之根号三口。 side 六十度等于二分之一，那么这里呢，就是用二分之根号三 除以二分之一，对吧，我们写成横式，那就是二分之根号三除以二分之一，那么除以一个数等于乘它的倒数吧，所以就是乘以二了，这里约了等于根号三，所以这题呢，就是根号三了。 三十六题， x 大 于零至 x 等于二零二六的什么条件，我们来看呢，这个大于零，画一个竖轴吧，零在这里，二零二六在这里，它大于零呢，是往右走的，那二零二六呢？只有一点，所以呢，很明显呢，前面是大范围，后面是小范围，前大后小，必要不充分。选 b。 三十七题，八的三分之一次啊，等于这样子啊，有两个方法，我讲其中一个吧，那这个八呢，可以变成二的三次方，二的三次方在三分之一， 那这里就是次数，在次数就是乘方变成了三乘以三分之一，这里约为一吗？二的一次还是得二吗？那 log 三三等于一，那这里就二减一等于一，答案为一。 三八题，解绝对值的不等式，我们用一分为二的方法，第一条是指照抄，第二条是指二 x 减一，改变两个东西， 符号改变这两个符号啊，大于等于变，小于等于五，变成它相反数负五。好，我们先解前面的这个二 x， 先解第一条啊，二 x 大 于等于六 x 大 于等于三。 ok， 再解后面的这条，二 x 小 于等于负，四 x 小 于等于负二，那所以它很明显呢，就是负无穷斗负二，对吧？这里是中括号 b 三，中括号三，斗正无穷。那答案就这个了。三十九题， a 四 a 七 a 一， 我们把它列呃，写出来吧。 a 一 a 四 a 七，我们观察一下它的角标啊，你看，一四七一和四相差了三，四和七也是相差了三，很明显了， a 四为 a 一 和 a 七的等差中项，那么等差中项就是中间的两倍，等于头尾相加。 a 四为十一，那就是二乘以十一二十二， a 一 是我们要求的， a 七为五，那么很明显啦，所以 a 一 等于十七啦，答案为十七。 四十题，抛硬币的题目，抛三枚硬币全是正面朝上的概率啊。我们用速算图的方法，第一啊，第一枚，第二枚，第三枚。硬币有正反两面。 好，第一枚抛了第二枚，在正的情况下又有正反，在反的情况下又有正反。好了，这个不断的把分支列下来，正反 正反，这里也是正反，也是正反。数一下，一个列完了，我现在已经列完了，我数一下有多少种情况， 一二三四五六七八，所以一共是有八种情况，他说全部是正面，我们看正正正，哎，这个符合，其他的都不符合了。正正反，有个反的就不行，有反的就不行，那只有一种情况是符合八分之一。 四十一题，考了一个 sin 的 和角公式，它的和角公式为， sin a cosine b 加 cosine b， 等于 三眼的 a 加 b， 这个是上的和角公式啊，你看啊，这个就是 a 了，这个就是 b 了。所以呢，那这题呢，就是变成了他就直接等于三眼的 a 加 b 嘛。那就等于二十七度加十八度，等于三点四十五度 等于二分之根号二，那这题答案就是二分之根号二。好了，四十三题，两直线的交点在第几项线这里我们只需要连立方程组就行了。来吧， x 减四 y， 我 把这里的这个加三移到右边了，就变成了减三，然后四 x 减 y， 等于我把这里的减三移到右面，就变成了正三，就变成了三了嘛。好了，那么我们再把第一条四指，这个是一，是，这个是二，是把第一条四指进行变形呢，因为我们要把这个 系数变成相同的，我们就把 x 的 系数变成四，就是将第一条四指同时乘以四，那就变成四， x 减十六， y 等于负十二，然后第二条不用变了，我们照抄一下。 好，那这个是第二条，这个变了之后就变成了第三条，现在我们用第三条减去第二条，那这里我们打数来看呢，四 x 减四， x 就 减没了，好，到 y， 那 这里就是减负十六 y 减负 y。 注意了，这里我们要把前面的这个符号带上， 等于负十二减三，这里就是负十六 y 加 y 喽，那就是负十五 y 直接写负十五， y 等于负十五，对吧？ y 等于一，我们再把 y 等于一带入第一条，那就变成带入第一条，就变成了 x 减四等于负三， x 等于负三加四， x 等于一了，所以它的焦点呢，就是一对一，一对一在第几项线呢？那不就是在第一项线呢？ ok 啊，四十五题用斜修法来做吧， t 准，它是等于三眼， r 除以口上 r， 对 吧？对二，那这个二呢，我们可以看成一分之二，一分之二，那这里呢，我们来看呢，我们现在就可以把三眼看成 是这个二，我们打横来对应着看，把三眼看成二，把口，三眼看成一， 对吧？那这里呢？这条四指呢，它就变成了三，二看成二啊。二加一，分母为二乘二减一等于二加一是三，四减一也是等于三等于一，所以四十五题答案为一。好了，那么今天我们就先到这里了，各位再见。

话不多说，直接开整，我不允许，谁还不会求三角函数的最小正周期。对于 f x 等于 a 倍，三 x 幺幺幺 x 加倍，或者可三幺幺幺幺加倍，它们两个的最小正周期周期用 t 表示啊，都是二排除以幺幺的绝对值。幺幺幺是什么东西啊？幺幺就是 x 的 系数，比如说这个题就是二。 好，我们看第一题，第一题最小正则奇，就等于二拍除以系数二的绝对值，答案是不就等于拍选择 c。 第二题最小正则奇，就等于二拍，一来除以我那个，我那个是三，所以答案选择 b。 第三题最小正则奇，就等于二拍，一来除以我那个是 x 系数负二的绝对值，答案是不是也选择 b？ 但是要注意加了一个整体的绝对值。我这视频最主要想讲的就是第二个，如果加了一个整体的绝对值，加了一个整体的绝对值，那么最小正周期就缩短为一半，就应该是拍来除以我们的绝对值。但是要注意，贪心的，他的最小周期加不加绝对值，都是拍来除以我们的绝对值， 这个加的值还是拍来除以我们的绝对值。三赢或三减半啊。好，那我们看第四题，加了一个整体的绝对值，所以周期就应该等于拍来除以我们的是一 注意一的绝对值，答案选择 b。 第五题没有加一个整体绝对值，所以周期就应该等于二拍来除以。我们的是三分之一，所以答案应该等于六拍。第六题没有加一个整体绝对值，所以周期应该等于二拍来除以。我们的是 x 的 系数，是不是应该是二拍， 所以约掉等于一。好，但是你看第七题最小这个七他有一个整体的绝对值，所以就应该是拍来除以我们的绝对值就应该等于二分之八。好吧？下课。

好，今天我们来看三角函数的同角运算。好，我们看第一条，已知三 a c t 加口三 a c t 等于十三分之七 c t 呢，是第一第二项线的角，让我们求三 a c t 乘以口三 a c t。 好， 今后我们在做题的过程中遇到，哎，前面是同角的两个三角函数，用加法或者减法连的时候啊，相连的时候再让我们去求哎同角的什么两个三角函数的乘积，那我们只需要把前面这个式子给它怎么样？平方一下就可以了。好，我们平方一下可以得到 sin 平方 c， 它加上两倍的 sin c， 它 cos sin c， 它再加上 cos sin 平方 c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。啊，后面这个值平方，不要忘了啊， 平方出来之后呢？哎，我们可以得到这个，这个是什么呀？是不是同角的三角函数？平方和角呀，那我们知道它等于几？等于一，那一加上两倍的 sin c， 它 靠三 in c， 它等于多少？一百六十九分之四十九。好，我们把这个移移过来，就可以得到两倍的三 in c， 它靠三 in c， 它等于负的一百六十九分之一百二十。好，我们要求的这个乘积是不是出现在这里？量，好，我们在指数除以二就可以得到答案了，所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之 六十，对不对啊？所以答案呢，就是多少负的一百六十九分之六十，对不对啊？所以记住，看到这个乘以二， 那我们知道 tangent 的 二法是等于什么，是不是三引二法比上我们的什么？靠三引二法对不对？好，那我们看这个式子啊， 我们把它看成一个数，那这个式子可以写是什么？一分之三引二法，靠三引二等于二。为什么要写这个一啊？因为一等于什么呀？哎，一它就等于我们三引平方二法加上靠三引平方二分之。什么？三引二法， h 三一二法。哎，这样一改，知不知道接下来干嘛？哎，分子分同时除以 cosine 平方二法。好，同时除以之后呢，上面呢就变成了 tangent 的 二法，下面变成了什么？ tangent 的 二法？ tangent 的 平方二法再加一等于多少？ 二分之一？哎，我们叫求的这个式子啊，应该通分影响。是不是变成了贪婪的平方阿尔法加一，再比上贪婪的阿尔法，哎，是不是就是我这里怎么倒数呀？那答案也很明显，就等于几，是不是等于二？哎。

好，今天我们来看同角的三角函数的基本关系啊，我们看第一节，若 alpha 为第二象限角，且 alpha 等于三分之一，让我们求 tan 的 alpha。 好， 因为 alpha 第二象限角啊，我们考 tan 的 alpha， 它一定是个负的，对不对？所以 tan 的 alpha 呢，它一定是从 b 和 d 里面去选。 好，我们可以用同角的平方和等于一啊，也就是三引二八的平方加上口三引二八的平方等于一，所以我们口三引二八的平方就等于多少呀，哎，九分之八，那我们开根号可以得到口三二八，它是等于什么呀？哎，正负三分之二倍，根号二，那很明显我口三二八怎么样？ 哎，是一个负的三分之二，所以可以得到口三二八，就等于负的三分之二二。好，我们又知道贪心的二八等于什么呀？ 是不是等于三一二法比上什么扣三一二法好，把值带进去。所以我们的 tangent 的 二法呢，就等于三分之一，比上负的三分之二倍根号二。答案是不是就等于负的二倍根号二分之一，答案呢？就选我们的四 d 啊，就可以了。 我们看下一题，就是二法是 d 相减，第二相减，减的二法等于负二法，我们用 tan 二法，知道 tan 二法就等于什么负二倍的扣三一二， 对不对？好，由这个关系式再又加上我们什么，哎，三一二八的平方加上口三二八的平方等于一，我们就可以求出来对应的值了。好，我们带进去可以得到 四倍口三一二八平方，加上口三一二八的平方等于一，所以五倍口三一二八的平方等于一，所以口三一二八 平方等于五分之一，对不对？好，我们开个根号考三幺二八，应该等于正负五分之根号，因为 alpha 第二项线，所以我考三幺二八，他一定是个负的，对不对？所以答案选我们的 a， 负的五分之根号就可以了。 好，最后一题啊，他说，若，哎，这个分式等于二分之一，让我们求弹性的二，那你看这个分式啊，分子分母都有三根，口三根啊，我们有个方法，就是分子分母同时除以口三根，哎，我们就可以把弹性求出来了。来看一下，分子分母同时除以口三根二八呢？那这里是不是变成了弹性的二八 减二，对不对？比上三倍的弹性的二八加一等于二分之一。好，我们交叉相乘，再相等，就可以。等于三倍的弹性的二八 加一等于两倍的 tan angle， 再减四，然后移过来。 tan angle 呢？这个再移过去啊，是不是等于负五呀？所以答案呢，就选我们的 a。

看这个题目，这是一个余弦定律的公式，为什么边角不对应用于弦给的是角 c， 所以 用 c 平方等于 a 方加 b 方减去二倍的 ab 乘以口算 c 来直接代入哈。十九等于九加上 b 不知道？减去二乘三 乘 b， 再乘以二分之一化解一下。 b 平方减去的是三 b， 对 吧？减去十等于零。四个字代入验证，把三代入三平方，减三乘三，减十不等于零。咔，错了，三不对。 把四代入四平方，减三乘四，咔，怎么样？也错了， c 代入五平方，减三乘五，再减十，它等于零。正确选 c， 结束搞定。

当数学三角函数，其次是听我的，秒了，看第一个题，记住一句话，摊着的等于几，见到塞印就写几，所有的 cos 变为一就行了。那它现在二减一是一，二加一的是三，一分之三也就是三了。看第二个题，咱们知道摊着的 r 反呢，它是等于 x 分 之 y 的， 那它现在就是什么二啊？负二分之一，那它现在贪着呢，等于负二分之一。记住，贪着呢，等于几里面的塞也全部变成几，所有的 cos 变为一就行了。负二分之一加一呢，就是二分之一，负二分之一减一呢，那就变成负的二分之三了。 那同理，除以一个数，就相当于是乘乘以它倒数了，负三。看下边进阶题，你说老师如果加平方了呢？同理了，它按着等于几就把三 a 变成几二，三 a 的 平方，那不就是二的平方？减去三乘一， 贪婪的等于几，见到塞也就变成几就行了。减去九乘一，二的平方是四二，四得八，减三就是五了， 二得四四十六，十六减九就是七七分之五。看第二个题，咱们知道塞引方加上口顺方，它是 等于一的，所以说我现在给它除以一个一，除一个一呢？这个一我是不是可以写成三？一方加上 cos 方好了，摊着呢等于几二，那见到三直接变成二，二的平方，加上二乘一，除以 二的平方加上一个一，二得四，加一是五，二得四，加二是六，所以说它就变成了五分之六。学会了吗宝贝？

ok， 我 们今天看一道题，是解三角形，解三角形的一道题，我们正常做法还是上去，首先画图， 不管有没有用，首先把图画出来， abc 标表达， a 等于三， 呃， b 等于二角， c 等于六十度，对吧？图画完，然后他告诉了我，让我求 c 边上的高， c 边上的高，是不是这这条线高 h， 对 吧？呃，这个意思是不是我们这个三角形面积里面我们能想到高吗？所以说我们这道题它考了一个方法，叫等面积法。等面积，等面积 法，它的意思是说我们这个三角形的面积是不是可以写成二分之一？ c 乘以 h， 这是不是我们这个三角形的面积？ s a， b， c 的 面积是不是等于二分之一的？ ab 三 c a b 三 e c， 对 吧？二分之一 a b 三 e c， 我 们是直接能算出来的，等于二分之一的 a 是 三乘以 b， 二乘以三 e c 三以六十度，二分之根号三， 所以说这样算出来就是二和二约了，二和二约了，也就是说最终你是等于二分之三倍。根号三， 这个是二分之三比根号三，这样的话我们是不是把面求出来？面求出来的话，我们紧接着我们还要去考虑 c c 这个东西， c 这个东西它是不是考了一步叫余弦定律？ c 方等于 a 方加 b 方减二， ab 靠三以 c， 二， ab 靠三以 c， 所以 说 a 方是 九加 b 方四减去二乘以二乘以三乘以 cos 二 c 二分之一，这个东西 cos 二 c 二分之一，对吧？然后就是九加四，然后这里等于二，九加四减六， 九加四减六，然后它就等于负二七，我们知道 c 就 等于 根号七。 ok， 我 们知道 c 等于根号七了，那我们正常就是等面积法，然后是不是二分之一乘以 根号七，根号七，写到上面乘以 h 等于二分之三倍根号三，也就是根号七。 h 等于三分三倍根号三。 那我 h 是 不是相当于七分根号七分之三倍根号三，也就是等于七分之三倍根号二十一， ok， 这就是我们标准的一道等面积法的求法。

晚安玛卡巴卡。那今天给大家讲一下这个正弦定律跟余弦定律啊，很多同学不清楚什么时候用正弦，什么时候用余弦，我们来看一下。在这之前，首先你需要把这个正弦定律跟余弦定律这个公式去给它背会，然后看啊，三角形 a、 b、 c 中 这个 a 对 的，这个边叫小 a， b 对 的边叫小 b， c 对 的边叫小 c， 大 a、 大 b、 大 c 和小 a、 小 b、 小 c。 然后这个二 r 是 什么东西？二 r 就是 它有一个外接圆，外接圆半径，这个时候如果题中给了你啊圆，或者给了你半径，你会用到这个，然后其他的时候是不用的啊，加时候用不到的。然后已知两边一角或已知两角一边的时候用正弦来，什么意思啊？看， 我现在就是拿这个这个来看啊，你看现在这里是不是用四个位置数？是不？小 a、 小 b、 散 a 和散 b 是 四个位置数，一共四个位置数。那只要你其中知道了三个的话，最后那一个是不就可以求出来了？也就是说，我知道了小 a， 知道了小 b， 我 知道了大 a， 那 我散 b 是 不就能求出来了？这叫已知两个边一个角， 或者是或者是如果我知道了大 a、 大 b， 知道这两个角了，我任意知道一个小边，我最后那个边是不能求出来，这叫已知两角一边。也就是说什么呢？你最终能把它凑成一个整体，你就能用，对吧？我只要能凑凑，凑成一个整体就能用了。咱们看到题啊，来立一 看，那这里边说了，给了小 a 了，给了小 b 了，给了大 b 了，求大 a 是 不？小 a 小 b 大 a 大 b， 是 不是凑成一套了？凑成一套，用正弦定理来， a 比上三 a 等于 b 比上三 b， 那 我们就代入就行了。小 a 是 二三 a a 不知道对吧？写下， 等于小 b 是 一比上三 b， 三十度是二分之一，那这里十四一乘三 a 就 直接等于一九十度。 ok 了，来，再来看一种，来看这道题。来， 小 a 小 b 大 a 大 b。 哦，小，小 b 大 a 大 b， 是 不是又凑成一套了？来，继续啊。嗯，小 a 比上散 a 散四十五度是二分之根号二，等于小 b 根号三。比上散 b 十字，再乘根号二倍的根号二倍的散 b 就 等于二分之根号二，乘以根号三， 这根号二是不是就能约了？所以算 b 算出来是二分之根号三，这里需要注意一下。算出来这个以后，它是不可能是六十度，也可能是一百二十度，这里有两个指，有两个指，这里需要大家注意一下啊，这是正弦定律。来，咱们再往后看 来看看题型。二，小 a 小 b 大 a 大 b 是 不配套了，配套用正弦来， a 比上三 a 三 a 三六分之 pi 是 二分之一， 等于小 b， 不知道要求的比上散 b。 哎，你说这个散 b， 我 不知道呀，它不两个未知数了吗？你注意看，这里给了一个 cosine b， 求散 b 是 不是要同角的三角函数？同角三角函数，那咋求散 b 方加 cosine b 方等于一呗。那散 b 方就应该等于一，减去 cosine b 方 就是九分之四，所以这个散 b 开个根号是不等于三分之二了啊？这里是三分之二， 那我们十字继续交交叉，一乘二分之一倍的 b 就 等于三分之二乘以三就是二，那么 b 不 就是四吗？选 c 啊，只要是你能凑成一套的，你就直接能用正弦就出来就行了。来第三种题型， 第三种题型叫题中出现了小一小 b 的 这个比例关系，或者是出现了这个散 a 散 b 散 c 的 这个比例关系。出现这个的话，直接我们换算去代就行了。你看啊， 你看这个，哎，你看这个，他横着比是不是也行？这个小 a 比小 b 比小 c， 横着比是不是等于三 a 比三 b 比三 c， 所以 这种题出来的话，你直接去代入就行了。小 a 小 b 小 c 是 四三五，那我就三 a 比三 b 比三 c 也是四三五，那让这个三 a 就 等于四，让这个三 b 就 等于三，让三 c 就 等于五，他就等于二乘以四减三除以五，对吧？这八减三五，最后等于一直接代入就行了， 直接换算代入就行了。来，我们再看一道题，看他给了一个比例关系，对吧？那我直接化成小一小 b， 那 就是小 b 加上小 c， 对 吧？散 b 就 小 b， 散 c 就 小 c 吗？他等于散 a 就 小 a 吗？就二倍的小 a。 现在又说这个三角形周长是三，也就是 a 加 b 加 c， 他 一共是三， 你看这个 b 加 c， 这 b 加 c 能带进去吗？也就是三。哎呀，这屏幕咋咋的了，也就是三， a 就是 三，那 a 不 就是一吗？ a 是 一选 a， 好 吧。哎呀， 来，我们再来看看这个余弦啊，余弦定律，那啥时候用余弦？余弦就是已知三边就是我如果其中给了你小 a、 小 b 小 c 了，这不都给了吗？直接就能求出来。这个你就用余弦，或者是给了两个边一个角，求第三遍。比如说给了这个角了，对吧？给了任意的两条边了， a， c 给了，那不就剩这个一个位置数了吗？ 这种情况下就用余弦，它能配套出正弦，就用正弦。看题啊。来 来，第一种比较简单，直接套公式，小 a 给了，小 b 给了，小 c 给了，求角 b， 那 直接余弦定里套公式 cosine b 是 a 方加 c 方减 b 方除以二， a， c 往进带， a 是 一，加上 c 方， c 是 二倍根号， c 方不就八吗？ b 是 根号五， b 方就是五，底下是二一 二倍根号二，对吧？上面出来四，下边出来四倍根号二，所以约完根号分之一，二分之根号二。那啥时候这个 cosine 等于二分之根号二嘞？就四十五度嘛。 再往后啊，做一个这个两边一角。求第三边的还是小 a， 小 b， 小 c， cosine a， 对 吧？只用于弦吧。那 cosine a 就 应该是 b 方加上 c 方减 a 方除以二 b， c 是 吧？它等于多少？它等于四分之一，就是解方程呗。说白了，四减十六是负十二， c 方减十二除以四， c 等于四分之一，四约一下子，那 c 方减十二就等于 c 呗。 得到一个关于 c 的 二次方程， c 方减 c 减十二等于零，一个三，一个四， 那 c 就 等于负三或四， c 不 可能是负的呀，所以 c 等于四呗，对吧。这种题就直接套公式解方程就好了，比较简单啊。然后我们来再看一种题型来 第六种题型啊，说这个题给了一个 a、 b， c 的 一个关系啊，就是长成这样的，你一看，这不就余弦定理那个样吗，对吧？那这种题肯定用余弦定理啊，他问的是 c， 那 咱们就求 cosine c cosine c 正常来写的话，应该是 a 方加 b 方减 c 方除以二 ab， 对 吧？来看， 那这个 a 方加 b 方，我是不是能替一下子？ a 方加 b 方，是不是就应该等于 c 方减 ab 啊？那把这个 a 方加 b 方， t 乘 c 方减 ab， 就是 c 方减 ab 减 c 方，这 c 方就没了，就是负 ab， 下边是二 ab， ab 又约了，所以它等于负的二分之一。 cosine 啥时候能等于负二分之一啊？ cosine 等于二分之一，不就六十度嘛，那负二分之一不就一百二嘛？选二 b 来，咱们继续啊。 然后还有一种题型是判断三角形的面积的，那这种判断三角形的面积就是你去算这个最大的角或者是最大的边，它的余弦值算完以后跟零去比大小，如果小于零，就说明在二象限是个钝角，如果等于零就直角，如果是大于零就锐角，它最大的角都是锐角，它肯定还是锐角， 对不对？来，咱们搞一下这道题。现在我要求这个三角形形状，那你看这个 ab 就是 小 c 就是 五， 这 bc 就是 小 a， 是 六，这个 ac 就是 小， b 就是 八，对吧？那现在我要找最大的角或最大的边，那不就是 b 吗？所以我就算 cosine b， cosine b 是 a 方加 c 方，六的平方加五的平方减八的平方除以二乘五乘六二 ab 二 ac， 对 吧？来算一算 老晃六六三十六五五二十五八八六十四，对吧？下边先不管，你先看上边，上边出来是六十四减六十四，它等于零了。分母不用算了啊，直接因为分母 b 是 正的，所以你只算分子就行了，它等于零了，那么它就是一个直角三角形。 好，最后啊，我们搞两道综合题，来玩一下。综合题啊，综合题来看，看到这一堆堆，是不是想到鱼弦定里了？肯定用鱼弦，这个柿子不就长得那个鱼弦样吗？来，那我们看他这 b 方 c 方，他俩一起的，那就找这个落单的，那 a 肯定是算 a 靠近 a， 它等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 你 看现在 b 方加 c 方， b 方加 c 方给了它等于这个，那把这个就换一下，对吧？就是 a 方加根号三 b， c 减一方，那 a 方是不是减没了，就剩下根号三 b， c 了，下面是不是就二 b c b c 一 约剩了一个二分之根号三 来，现在 cosine a 算出来了，你看三角形外接圆的面积，我说了，它只要不提到圆就不用 r， 它提到了肯定要用外接圆的面积，是不是应该是 pi r 方呀？圆的面积 pi r 方是十六 pi， 那 这个半径是不是算出来是四了？好了，半径算出来了，跟半径有关系的公式是啥？公式是不是正弦定律啊？正弦定律。哎呦， 正弦定律，你看现在我要求的是小 a， 我 知道了 a 角还有 r， 那 这个东西是不就是 a 比上三 a 等于二 r 是， 咱们提到了这个，这个半径你就得用呗，对吧？那它不可能无缘无故给你。那现在问题来了，我 cosine a 算出来是二分之二三，是不还得算 cosine a 二分之二三， a 就 二分之一吗？所以 a 就 除以二分之一等于二， r， r 是 多少？ r 四，所以这里就是八， a 就 等于二分之一乘以八等于四选 c， 这是比较综合的题目啊，来最后一道， 来，再来最后一道综合题来看一下啊。现在又给了，先看小 a 小 b 大 a 哦，大 b a a b b 这种是不能凑成一个正弦定理了。好了，我们来 a 比上三 a， 三 a 不知道，那 cosine a 知道，三 a 也好求，对吧？那三 a 的 平方就应该是一减去 cosine a 的 平方呗，也就是一减去九分之一等于九分之八，那三 a 不 就是三分之二倍根号二吗？所以三 a 出来了， a 比散 a 等于 b 比上散 b， 散 b 是 未知那个未知数，求这个呗。然后十字乘一下乘出来，这里是四倍根号二等于四倍根号三倍的散 b， 那 散 b 把这四约一下，就是根号三分之根号二， 对吧？散 b 是 根号三分之根号二。那么我们来看，哎，我今天这个电脑总闪散 b 是 根号三分之根号二啊，记住， 散 b 算出来是根号三分之根号二。现在我要求的是 cosine 二 b， 这是一个二倍角公式，涉及到二倍角公式，一共有三个，对吧？ cosine 方减 cosine 方二， cosine 减一，一减二散方。我现在知道了散 b， 那 我用哪个比较好？是不是直接用一减去二倍的散 b 方？是不用这个公式会比较快一些， 这不就 cosine 二 b 吗？就等于一减去二乘以散 b 是 根号三分之根号二，那散 b 方就是三分之二呗，对吧？ 一减三分之四，负的三分之一选此 b， ok， 学会了吗？中心思想啊。再给大家说一下，你怎么去找正弦，怎么去找余弦？什么时候用正弦，什么时候用余弦？ 他其实说白了就是在我这一个框框里，我如果都能对住，比如说 a、 a、 b、 b 我 都对住了，或者是在这一个框框里 b、 b、 c、 c 都对住了，那你就用正弦，如果没对住，比如说给了你个 b， 给了你个 c， 给了你个角 a， 像这种的，它 a、 b、 c 都有了，它不是 a、 b、 b、 b、 b、 c、 c 的， 它是 a、 b、 c 都有的。这种情况就用余弦，好吧？学会了吗？

大家好，这里是四川单招，罗老师今天给我们带的是三角函数里面的一些相关运用，同学们一定要掌握啊，里面的相关公式和一些相关性质啊，都是我们单招里面经常考的好，我们看这题，他说已知 cosine c 加二分之 pi 等于什么十三分之五， controller 在 什么？负二十八到二分之八，我们知道利用诱导公式，我们是不是可以先把它变形，也就是说第一步啊，也就说考到我们第一个知识点，什么是诱导公式？我们知道诱导公式叫什么，既变偶不变负二元线，我们看一下 cosine 什么 c 加什么二分之半。 好，我们知道二分之半是什么？是前面是奇数，对吧？奇数的话二分之一，那我们就什么奇变偶变，那是要变化，那么就 sin sin， 那 么 sin 要不要带什么？带符号，我们知道 c 特是假设，把它看成什么是锐角，锐角的话，我们知道锐角加二倍是不是第二象限，那么第二象限呢？我们知道 cosine 什么是复制，所以说这要干什么，要带个符号， 也就说原来它变成这个刚好等于什么？十三分之五，也就说 sin theta 是 不等于什么负的十三分之五。好，它给了我们范围 theta 是 吧？是负二分半到二分半，我们知道 theta 在 什么零到二分之半是大于零的， 在负二分半到零上是小于零的，所以说我们的范围是不是可以进一步的缩小就变成什么？ theta 是 不是进一步的缩小，通过这个正负值属于什么？嗯， 好，老师再写一下 c 点是不是属于什么？负二十分半到零。好，我们接着往下看题啊，所以说第一步诱导公式，同学们一定要会掌握啊，这是我们单招里面一定是必考的。好，看一下这个，他说贪恋 c， 让我们求什么？贪恋 c 减九分之派的值。 好，同学们看到这个九派一定不要害怕，我们知道，在我们正弦与弦，包括我们的弹力里面啊，有一个什么，就是 c 点， c 点和 c 点，它们的周期是二派， 而我们的贪定 c， 它的周期什么是 t 等于 pi， 那 对了，我们说有什么用？他们知道，如果说我们的周期是什么，那么贪定 c 加 k， pi 这个 k， 不 管是正值还是负值，它永远等于贪定 c， 是 不是？所以说我们是不是可以进一步的化解，也就说我们今天用到第二个什么性质就是什么，就是周期性 啊，他们一定要知道周期性好，那么贪定什么 c 减什么？贪定 c 好， 我们知道， 但是我们刚刚前面只求过了什么 tan sin， 那 么 tan sin 怎么求？他们一定要记住第三个叫什么？叫我们三角函数的什么几何意义，也就说 我们的 sin， 如果说这边是什么？是三，这边五，我们通过勾股定律，这个边是不是十二五，十二三，刚好是一组数据。好，那我们知道我们的正弦是什么，是 这个对边比斜边，那我们的弹力是不是就五比十二？所以说我们的弹力 c 点等于什么？十二分之五，但同学们一定要看一下什么我们的正负值，刚刚我们说了我们的 c 点属于什么？负二十倍到 二十倍，是不是这样画的，也就说在负二十倍到二零，它什么是小 a 零？所以说它应该带什么？带符号小 a 零，所以这个题应该求什么？应该什么是 a？ 选项 好，所以这个题他用到的东西比较多，我再给大家再重新说一遍。第一个约到公式吧，即变偶不变符号，看选项。第二个周期 利用周期用吧，可以化简。第三个，什么是我们的这个什么弹力的一些相关性的，比如说他的这个几何意义，还有什么他的正负值，朋友们一定要掌握好。那今天视频就到这里了，拜拜。

单招数学秒了秒了秒了！今天乐老师来带大家看一下二零二五年安徽单招数学真题， 记得点赞收藏！下面直接看题已知集合 a 等于三六九， b 是 一三则 a 交 b。 这里面要知道上并下交，也就是开口向下就是求交集，交集就是求相同元素，很明显这里面相同元素只有一个三，所以答案 选 b。 第二题，函数 y 等于根号 x 分 之一的定音域，定音域就是要让这个函数有意义，那这里面是考虑两个方面，第一个是根号 x 不 等于零，第二个是 x 大 于等于零，所以这一题是 x 大 于零。答案，选 c。 第三题， n 三分之一加 n 三等于。其实这一题只考一个公式， n a 加 n， b 等于 n a b， 也就是这一题，诺以三分之一乘以三等于诺以一，那这一题是等于多少等于零的，因为任何数的零次方等于一，所以说这题答案选 b。 第四题， 不等式 x 平方减五， x 小 于零，也就是 x 减五小于零，小于零是介于大根跟小根之间，所以 x 大 于零小于五。答案，选 c。 第五题，下面哪个函数是偶函数？偶函数的定义是 f 负 x 等于 f x。 我 们这题直接把负 x 带到 abc 里面去算一下就行了。第一节， f 负 x 是 不等于 f x 的， 所以说答案 a 是 排除， b 也是排除。答案 c， f 负 x 是 等于 f x 的， 因为负的 x 平方等于 x 平方，所以答案这题就选 c。 简单简单简单！关注乐老师带你了解最真实的安徽单招圣学规划！

哈喽，体育单的同学们大家好，不管数学基础有多差，一条视频教你最简单的解题技巧，体育单的考试即将来临，需要题分的也可以找我。好，我们看下面两道题目，他说竖列前 n 向 sn 等于这个篮球 a 三的值。嘿，同学们发现他只告诉你 sn 的 通项公式，没告诉你 an 的 通项公式，对不对？那这题怎么做呢？好，我们的秒杀技巧，他来了， 你就直接把它这个三带进去。 s 三等于多少？三三得九，三七二十一，九加二十一等于三十嘛，对不对？然后你再带它前一项是不是 s 二是不是三的前一项是二吧，二二得四 二七十四等于多少？数等于十八，你再用三十去减去十八等于多少？十二，所以这题选 d 好， 下一题一样的七直接带进去。所以 s 七等于几啊？ 七七四十九，四十九乘以三三九二十七，三四十二，一百四十七，再加上几啊 加七吧，所以等于一百五十四。好，前一项是不是 s 六？ s 六等于几啊？三十六乘以三等于三六十八，三三得九幺零八，所以是一百零八。 加上六，所以等于一百一十四。好，用一百五十四去减一百一十四，所以答案得做，是不是选四十选 c。 同学们，听懂了没有？想提分的也可以找我上课哦！

好，第一种类型，第一种，第一题和第二题它是一类的，就是 f x 等于个常数了，你看五是不是一个正常的数啊？是个定值啊， pi 是 不是一个正常的常数，哎，就是正常的数值，这个时候 你后面他不管是啥，哪怕写个 x 平方减一万的，哎，他哪怕带个一堆妖魔鬼怪，不管是啥，还，还等五，嘿嘿。哎，长数他不会变，能懂了吧？哎，他还等五啊，所以选 a 就 行了， 哎，一样的，他里面哪哪么，你 n 怎么样了？哎，他不管里面带多难看啊，还等，还等派啊，还等派，有选 r b， 懂了吗？第一种简单，这是第一种类型啊。 ok， 这个听懂了吧？观众们 听懂了，第二种类型啊，第二种类型就是三四题是第二种类型，你看每一种类型老师都会给你列几道题了啊。第二种类型就是正常的，就我们可以叫正常型啊，就这，左边小括号就一个 x， 右边小括号就一个数，哎，一对一 对应的，能懂了吧？一对一对应的，这个时候那就是啥就是啥，直接带就行了，能懂了吧？把负二直接往往里面一带就行了啊，负二的平方那四嘛，对吧？四再加一，哎，最后五嘛，对不对？选 c 能懂了吧？哎， 零零直接往里带吗？啊，就是零零，哎，一减零，一加零还都是一吗？对不对啊？一分之一还是一，选 a 结束了，这是正常型，能不能理解？哎，这是三四是正常型，这个听懂了吧？这是三四是正常啊，五六就不正常了，哎，五六不正常了， 不是一一对应了，哎，这里是三，这里是 x 加一，他不是 x 了，这个时候咋办啊？记住，不正常的，他的方法就是小括号这边是三角，等于小括号，假如这边是个方框，你就永远记住啊，小括号里面的东西永远等于小括号里面东西，哎，三角等方框就行了，然后 把 x 解出来，哎，把这里的 x 解出来，因为这表达式里的 x 是 他，这，这是，他俩，是一个东西，能懂吗？他俩是一个东西啊，所以就这么简单啊，你就让 x 加一，等于这里的 c， 三啊，然后解的 x 等于几啊？等于二，所以你真正要带的是这个， 能懂了吗？把二往里带啊，二二得四，四加三，七选 a 解秒 understand。 哎，函数求值是咱们单招对口啊，高考必考的一道题啊，所以我们 一定要学会它啊，一定要学会它！好，来，第六题来认真听了来看，哎，小括号等小括号让三 x 减一，等于三分之一， 解出 x 来看，咋解？三？ x 等于把一移过来，这边是不是三分之一加一了，对不对？移过来，这边是不是加一？一是谁啊？一是三分之三，哎，也就是等于三分之四了，能懂了吧？所以 x 等于几？把三来除过来，除以三，除以三，乘以三分之一，就像九分之四了，能懂吧？所以我们要真正要带的是谁啊？九分之四啊， 把九分之四往这一一带啊，也就二乘一个，九分之四加九分之一，九分之九分之四乘二是九分之八，九分之八加九分之一，哎，这不是九分之九吗？九分之九，那不就是一吗？哎，所以选 c 非常棒，能懂了吗？

大家好，今天我们来看题单招数学二零二五年真题填空题的第三道题解析。几何好说， f 是 抛物线的交点，所以我们点 f 标就是一零。 第二个 p 和 q 是 直线二， x 减三， y 加四等于零与 c 的 两个交点。那么我们设 p 的 坐标是 x 一 y 二，好。第三个让我们去求 p， f 乘以 q f， p f 向量就等于 f 的 坐标减去 p 的 坐标， p f 向量就是一减 x 一 负 y 一 p q f 的 向量就是 f 坐标减去 q 坐标就是一减 x 二负 y 二好。 向量乘法， p f 一 乘以 q， f 就 等于一减 x， 一 乘以一减 x， 二，再加上 y 一 乘 y， 二， 再加上 x 一 乘 x 二，再加上 y 一 乘 y 二。好。准备工作做好之后，我们开始连立， 将抛物线方程和我们的直线方程连立起来。 好，我们由直线方程可以知道， x 是 等于三， y 减四除以二的 好，带入到我们的抛物线方程里面去，就是 y 方等于二分之三， y 减四乘以四好，就等于二倍的三 y 减四。 ok， 整合一下，我们就可以得到关于 y 的 一元二次方程式。下一步进行伟大定律， y 一 加 y 等于负， a 分 之 b 六， y 乘 y 等于 a 分 之 c 八，好。我们来看 x 一 加一减 x 一 加 x， 二加上 x 一 乘 x， 二加上 y 一 乘 y 二。 我们把含有 x 的 项全都变成含有 y 的 项。首先是 x 一 加 x 二，好，它就可以写成二分之三。 y 一 减四加上二分之三，外二减四就是二分之三倍的外一加外二减八啊，就是二分之三倍的外一加外二减四，就等于 二分之三乘以六减四等于九减四等于五好。 x 一 乘 x 二，就等于四分之外一的平方乘以四分之外二的平方，就是十六分之外一乘外二的 平方好，就是十六分之六十四就等于四好。所以我们的 p f 乘以 q f， 就 等于一减五 加四加八好就等于十三减五等于八好。这道题结束。

今天呢，继续给大家分享我们安徽儋州十年真题的一个讲解，那距离三月八号考试呢，越来越近了，同学们呢，在复习准备的时候一定要注意哈，还是以真题为主， ok， 今天呢，我们来看一下这个叫做函数图像的问题啊，第一个呢是二五年考试的一个真题， 那这个题目呢，稍微有点难，那么是倒数第二题，倒数第二题的位置啊，告诉你，这个是二次函数，它的图像可能的式。 那么这时候呢，我们需要分类讨论啊，根据指数函数的范围有两个对不对？一个是 a 大 于一的时候，指数函数它是单调递增的 对吧？那 a 大 于零小于一的时候呢，指数函数它是单调递减的啊，根据这个来进行分类讨论，来判断二次函数的图像可能是哪一个，或者说对不对就可以了。那我们先看第一个叫做 a 大 于一的时候，单调递增， 那 a 大 于一的时候，单调递增来 c 和 d， 它是怎么样单调递增的？是不是道理呀？那单调递增， ok， 那 单调递增 a 大 于一的时候，它的图像是什么样子的呢？哎，我们先找到什么对称轴啊，二次函数最重要的限制就是对称轴顶点增减性对不对？ 比如说等于负的二分之 b， 直接代入等于负 a， 那 a 大 于一负 a 怎么样？它是小于负一的啊，小于负一在这个左侧是不是？那后面是不是二呀？加二 加的是一个什么值，加的是一个二，那这个应该在一的上面，所以 d 不 对，那这个 c 呢？哎，好像可能是，来，我们再看我们的顶点坐标最值，把最值给怎么样给写出来？是不是把负 a 代入啊？最值 最值啊，用 y 表示哈，我们这里用的是最小值，对不对？代入负 a 代入，那就是 a 平方减去二 a 的 平方再加上二，它等于的是二，减去的是 a 平方， 那二减去 a 平方可不可能大于零呢？因为 a 大 于一啊， a 是 大于一的一个数字，那比如说一点一，一点二，一点三， 那二减去它的平方是不是可能是存在大于零的呀？当然存在，是不是？所以这道题呢，就选择的是 c 选项即可。那根据我们这样的分析，就能够直接得 出答案是哪一个了哈。根据函数图像来，我们再看二四的那道题目，那告诉你底数，你看是增函数，对不对？那就意味着底数怎么样？大于一嘛，所以二 a 减一大于一，那二 这个 a a 就 大于一，那 a 大 于一对于他来说是不是单调递增的呀？他是一个增函数，减的错了，减的错了，对不对？ 那这个好像应该是一，不是负一哈，那么后面真数部分真数 x 加一的范围需要大于零， x 大 于负一，选择的是 a 选项即可。 来二三年这个题目啊，告诉你通是 a， 那 么他两个呢？当 a 大 于一的时候，都是增函数， 当 a 大 于零小于一的时候呢，也都是减函数，所以他们要么是同增，要么是同减，对不对？ ok， 那 再根据这个性质，什么意思啊？同号为正，一号为负，两数相乘，同号为正，一号为负， 那这个呢？哎，两个都是减，哎，可能是，是不是道理呀？那看二分之一的时候是不是异号，同号为正，异号为负，哎，这两个数怎么样？都是正数大于零，不对啊，那这个 b 一 正一负错了， d 一 正一负错了， 再看 c， 哎，都是增的，是不是一正一负二分之一，二分之一啊，对不对？所以选择的是 c 选项即可。来二二年这道真题也很简单哈，一次函数的图像告诉你，这个，那这是二，那就是 b 等于二， 是不是对数一定是个增函数？哈，对数函数一定是个增函数，那对数是减的全错啊，这个是减，这个是减，错了，两个减都是错了，是不是道理？ ok， 来，我们再看一下我们的指数函数，什么函数呢？来，这个斜率怎么样？斜率啊，贪听的这个斜率，他的 k 的 值是不是应该等于什么呀？应该等于这个二，比上一个一点几，是不是一点几？他怎么样？大于几大于一 是不是道理？那就 a 大 于一的情况下，那对应的指数函数是不是也是一个增函数呀？两个都是增的，选择的是 c 选项即可。来 二一年这个真题，是不是前面有出现过零点五单调递减，这个呢？ x 加一大于零， x 大 于负，一 减的大于负，一，选择的是 a 选项啊。来一九年这个题目，根据图像来判断 对数是个什么函数，单调递减，所以 a 呀，就大于零小于一了。那前面的一减 a 怎么样？一减去 a 就 大于零了，大于零， c 不 对， d 不 对。那再看这个 b 是不是？它是不是把原来的图像怎么样？是向下移的呀？向下移这个 b 就 怎么样， b 就 小于零，小于零，向下移是负的，选择的是 a 选项即可。 来一八年的题目啊，一个是 a， 一个是 a 分 之一，说明他们的增减性啊，是相反的，一定不能过原点，过原点是错的好， b 直接就排除掉了，对不对呀？当 a 大 于一的时候， a 大 于一的时候，是不是？那这个对于指数函数而言，就怎么样就 怎么样，它是一个减的，那对对数函数呢？它就是一个增的，一个减，一个增，两个都是增的，肯定不对，两个都是减的，也不对，必须是一增一减才对。选择的是 c 选项，来一七年又是二次函数图像，跟 这个指数型函数图像的一个关系，对不对呀？那开口向上说明， a 减一大于零， a 是 大于一的， a 大 于一，指数函数单调递增，减的全错，减的全错，是不是？再看这个 b 啊？后面加的是 b， 对 不对？跟对称轴， 对称轴是 x 等于负的。二， a 分 之 b， 它等于负的， a 减一分之 b 怎么样？它是小于 零的一个数字是不是？那这个 a 减一大于零，前面是负号哈，那 b 也需要怎么样？ b 也需要的是大于零， b 是 大于零，是不是往上移啊？选择的是 a 选项即可。 来一六年这个整体对数函数和依次函数的图像，那我们看图，这是依次，这是正比的函数。哎，正比的函数，这是负，这个呢是增，这个呢是增，是不是？这是增？还有这个，还有，还有这个点吗？没有，因为它是过圆心， 所以这个错了，对不对啊？那我们看看，大于零的时候，也就 a 减一大于零， a 大 于一的时候，是不是？ a 大 于一，它怎么样？它是单调递增的，有没有 a 错了？ c 有 a 选 c 结束搞定就可以了。 那同学 b 怎么样呢？那 b 是 怎么样？小与零。那 a 小 于一，前面大于零小于一是不是它怎么样？对数函数是单调递减的啊，应该是减的才对， 所以 b 也错了，对不对？ ok， 那 以上就是关于我们函数图像的内容，本质就是根据函数的增减性来进行判断。增减性很简单，要按大于一的时候等它去增大，以零小于一等它去减就可以。这样说，你明。