初二下册英才教程

啊，今天我们来分享一个关于二次根式的一道填空题啊，说已知 y 等于这么多，当 x 分 别取一、二、三一直到二零二三时，所对应 y 的 值总和是多少？ 那我们看二指根式具有非负性，也就是我们这一个整体，它是要大于等于零啊，那里边的平方，也就是 x 减四的平方，它一定大于等于零。 那我如果我们去掉平方，也就是 x 减四， x 减四呢？啊，如果这就分两种情况，如果 x 大 于等于四，那我们直接就可以去掉原式 啊，原四也就也就变成了什么 x 减四减 x 加五啊， x 减 x 没了，它就是剩一， 这就是 x。 第一种情况，那第二种情况，也就是当 x 小 于啊，小于四 小于四，我们的原四，原四等于什么啊？去掉这个平方，因为里面是一个负数，所以我们就应该是四减 x 啊，减 x 加五啊，这个就等于 九减二 x， 那 么有了这两种情况啊，一个是一个是一， 那当 x 分 别取一、二、三一直到二零二三时，我们求所有的和，所有的这个 y 的 和啊， 大于等于四，大于等于四，我们就是从啊五六啊，有四五六七，一直到二零二三， 一直到二零二三大于等于四的几。这个 y 呢，对应的是一，也就是等于四，是一五也是一，一一直到二零二三，对应的都是一，有多少个一呢？ 是不是二零二三前面减去一个三减三乘一，有这么多个一 好，那小于小于四的情况下，第二种情况，小于四的情况下，是等于九减二， x 小 于四，也就是有 啊，小于四也就是一二三，就这三个数等于一等于一，也就是九减二 等于二，它是等于七呀。等于二的时候，九减四等于五等于三， 九减六等于三。哎，所以我们所有的数和哎应该是，我看啊，这是十五，哎，十五也就十五，加上 这么多个一二零二零，最后结果应该是二零三五，二零三五就是这个题的答案。好，希望这个题对你有帮助。

昨天给各位家长已经把七下学习的重难点已经说完了，所以今天分享一下八下八年级下册最近学习的重点问题，以西安高新这边为主。最近咱们八下核心的知识点就是旋转问题， 而旋转里面肺麻点又是对于大多数的学生来说较为困难的，所以今天就对肺麻点再次进行讲解一下。 我是在西安高新分享数学知识点的张老师，每天三分钟数学更轻松，让我们来一起看一下八下的重点内容。费马点指在一个三角形中有一个点屁，这个点屁到三个顶点的距离 pa 加 pb 加 pc 有 最小值，那么这个点屁就叫做费马点啊，是数学家费马提出来的问题。 所以说像这道题，在三角形 a、 b、 c 中有一个角 a、 c、 b 等于三十度，然后 bc 等于六， ac 等于五。在三角形内部有一点 p， 连接 p a、 p b、 p c 后求 p a 加 p b 加 pc 的 最小值，那么这个点 p 其实就叫做费马点。 而此类问题我们肯定要用到什么？就是旋转一定要会旋转，我们看到这里有一个角是三十度，三十度的一个角，那么我们要联想到三十度 和六十度就能合起来，变成一个九十度的角。所以其实在费马点里面，我们通常会把一些角度变为特殊的角。比如说在这道题里面，我们会把三角形 a、 p、 c 进行旋转，使三角形 a、 p、 c 旋转六十度，得到三角形 a 撇 p 撇 c， 然后再连接 pp 撇，这时因为我们旋转了六十度，所以我们可以得到角 b、 c、 a 撇就为九十度 啊，为什么要有一个九十度呢？是因为我们在八年级下册之前，我们更多的算边的长度，要用到的就是 勾股定律，所以看到旋转的模型一定要往这方面去想，我们要求的是这三边的最小值，可以看到 p a 现在就等于 p 片 a 片，而 p b 就 还是 p b， 而 pc 现在就是咱们的 cp 片， 其实因为我旋转的角度为六十度，所以这样的角也是六十度，所以最终三角形 p p 撇 c 其实是一个等边三角形，所以 pc 是 等于 p p c 也等于 pp 撇的， 所以我们要求的 pa 加 p b 再加 p c 的 最小值，其实就等于 p b 加 pp 撇， 再加 a 撇 p 撇的最小值，那么这三个边合起来的最小值其实就是 a 撇 b， 所以 最终我们只需要去求 a 撇 b 这条线段即可。 那么 a 撇 b 等于什么呢？我们就知道了，这里有一个九十度，所以它等于根号下 a 撇 c 的 平方加 bc 的 平方再开方， 所以要用到勾股定律。当然 a 片 c 就 等于 a c， 所以 是等于五的，而 b c 题中已经说了是等于六， 所以再加六的方就算出来就等于根号线六十一。好，这个就是咱们费马点最基础的问题，当然还有像加权费马点是要给一些边长有系数的问题， 后面咱们有时间了再进行分享。好，今天对于八项咱们的重难点废码点问题的分享就结束了，希望各位继续的去多多点赞，能够多多支持一下，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。

初二的学生们该如何去准备这个英才计划呢？马老师从初试和复试两个方面啊，给大家介绍一下。首先呢，初试呢啊，分为两个方面，其中之一呢，就是这个小兰书 啊，大家把这个一到四册的小蓝书啊，一定要去学，因为他是这个二中周末培训他们就讲这个，这个无论对大家的这个思维开阔，还是对大家建一些这个新题型，都是有好处的啊，锻炼这个数学思维。另一方面就是课内的， 课内的老师又把它叫做初中综合啊，关于初中综合呢，建议大家去看方程和函数之间的关系的综合题 啊，数形结合思想对吧啊，不等式与函数之间的关系，以及函数与几何之间的综合啊。最后呢，就是单拎出来哎，几何之间，比如说三角形和四边形的这种综合的题啊。 然后这是初式，复式呢，复式的话就是准备高中知识， 高中知识呢，其实高中我们的必修四本书需要必三本书，其实都是需要大家去最好的去都充分的去准备一下，因为你也不确定他考哪一部分， 比如说啊，函数部分啊，那函数的话，那首先函数的性质，函数单调性，周期性，极偶性对吧，这都是跟初中不同的，但是又在初中基础上去延伸的，肯定是大家重点去看的，那具体的函数的类型， 那肯定就是啊，三角函数哎，指对数函数啊，这些需要大家啊重点去学习的，那包括集合对吧啊，集合是函数基础嘛， 然后第二大块方程不等式，那肯定就是重点，均值不等式解决最值问题，对吧？还有绝对值不等式的计算啊。然后第三块，概率，概率小学初中都学，那肯定也是个重点，对吧？什么二项分布，什么独立事件， 哎，怎么概率，怎么算分布呢？还是分类呢？对吧？大家啊，这方面也得准备。其次还有就是我们去年考的导数，对吧？那就是 比较难的知识了啊，那导数啊，极限也需要大家去啊牢记。还有就是数列，对吧？哈，老是觉得数列这个 还是需要大家重点看的，因为数列无论是小学，初中、高中，大家都学，只不过上了高中才系统性的总结，常见的等差数列啊，等比数列啊，这个大家一定是要去准备的 啊。所以想准备，同学把这个出式和复式都要好好准备，不要出式完了才准备复式，那这样的话肯定是来不及的，因为出式完很快就复式，所以大家要在这学期内既把出式也把复式都要准备好。

开学给到初二下册学生三个建议，保你在初二下的学习过程当中能够平稳度过。 第一，开学第一周，很多同学会觉得英语学起来很难，其实不只是学生学起来很难，老师教起来也很难，因为这个学期本身就很短，每个单元的内容又多又难，老师的教学压力也是很大的。 新教材的语言特别灵活，知识点和单词量的要求大幅提升，甚至会出现高中的内容。整本书的单元从十个单元变成了八个单元，看着是少了，但是每个单元的难度都增大，段文字特别的多，几乎没有简单句， 呃，全部都是常难复杂句，知识点也特别的广，所以初二下的学习过程会非常的痛苦，但一定要坚持下来，初二下能扛下去，初三的学习一定会豁然开朗。 第二点，听说板块千万不能忽略，每个单元的课文一定要多听，听完还要跟读， 而且要边听边读，不管是大课文还是小课文，每篇都不能少于三遍，只有在听的过程当中跟上音频的语速，习惯外国人的发音，你在听说考试的时候才能游刃有余。 三点，初二下册的学习难度不是平稳提升的，想让学习成绩有明显的进步，需要积累，时间会比较长， 没有任何的捷径。一定要做好每个单元的学习，吃透基础点和拓展点。新学单元的同时还要回顾牵扯到旧的知识点， 因为初二下的考试题不只是考本科单元，初一的一整年，初二上册的所有知识点，只要涉及到他，都默认你都应该掌握。所以别想着低付出高回报， 踏踏实实做好量的积累，量到了自然就会迎来质变了，点关注不迷路。

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今天我们来分享一个一次函数动点最值的一道题，我们来读一下题，如图，直线啊，给了我们解析式，与 x y 轴分别交于 a 点和 b 点啊，这两个交点，这个直线 c 点 d 啊，点 c 点 d 分 别为线段啊，中点，中 点，点 p 是 o a 上一动点，也就是 p 是 动点啊， p 在 这个 o a 上是运动的， 那么当 p c 加 p d 的 最小值时啊， p p c 加 p d， 也就这条线段和这条线段 最小值时，让我们求出这个点 p 的 坐标，那首先我们就要找到这两个线段加起最小值是一种什么情况啊？在这个图像当中，一个定点，一个定点，是不是 和我们的将军印码是一样的，对吧？啊？将军在这到河再到营地 这个点选一个点，那这样我们直接把点 d 做关于这条和 x 轴的对称点啊， d 撇 d 撇点，那什么时候最短呢？对吧？一定 是啊， c d 撇点连线，那这一点，这就是我们要找的这个点啊， 知道了这个我们能找到了最小值，下一步就是我们去找这一点， 那通过我们这条直线啊，这两个焦点给了，给了我们这个焦点，我们先把这两个焦点拿到，也就是当 x 等于零， x 等于零， b 是 等于零到四， 是吧。我们解析式，当 x 等于零， y 等于四，所以点 b 的 坐标拿到，当 y 等于零， x 应该是负八啊，负八都零好，点 a 的 坐标拿到，有了 a b， 那 就相当于我们知道了这一段， 这一段，这段是四啊， o a 这一段，这是八 啊，那有了啊，点 d 是 中点，那么 o d 呢？ o d 就是 二 啊。关于 x 轴的对称点，点 d 撇这一段，它不也是二吗？所以我们点 d 撇的坐标也能拿到啊，也就是零负二。 那有了，你看 a 点的坐标啊， a 点的坐标， b 点的坐标，我们也能拿到点 c 的 坐标， 点 c 的 坐标，这里需要我们用一个钟点坐标公式啊，也就是啊，横坐标 x b 啊，减去 呃这个 x， a 加上 x b 除以二，重坐标 y， a 加上 y， b 除以二，这个就是我们点 c 的 坐标，点 c 的 坐标，也就是横坐标应该是负四重坐标应该就是二啊，所以点 c 的 坐标负四。 go 二好，有了我们这个 点 c 的 坐标，有了我们点 d 的 坐标，我们是不是可以求出啊？ c d 所在直线的解析式，我们可以设 c d 所在直线解析式， y 等于 k， x 加 b， 将点 c 点 b 带进来，带到解析式里，也就是 r 等于负 四， k 加 b， 负二等于负二，等于 b 能解除，我们的 b 是 等于负二， b 是 等于负二， k 应该是等于 呃，负一啊，负一，所以我们 c d 所在直线， y 等于 呃，负 x 减二，这就是 cd 所在直线，那 cd 所在直线与 x 轴这一个交点，不就是我们点 p 的 坐标 是吧？也就是当我们的当 y 等于零时，我们的 x 啊， y 等于零， x 应该是等于一个负方，所以点 p 的 坐标， 这应该是负二等于零，所以答案负二等于零啊，这是一次函数与将军印满模型结合的啊，综合综合题，希望对你有帮助。

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我们今天来讲二次根式，我们先来看一下二次根式有二次根式的概念性质，以及二次根式的乘除以及二次根式的加减。我们先来说二次根式的概念与性质。首先是平方根的性质，正数有两个平方根，而且互为相反数， 零的平方根是零，负数没有平方根。非负数 a 的 平方根表示为正负根号 a 算数平方根的性质，正数只有一个，算数平方根，零的算数平方根是零，负数没有算数平方根。 非负数 a 的 算数平方根表示为根号 a。 好， 我们来看到这道题，我们来探讨知识点。一、二次根式的概念及有意义的条件。 我们来思考用代根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点。第一题如图一，这个海报为正方形，如果正方形的面积是三平方米，那么它的边长是什么呢？ 如果它的面积是 x 平方米，它的边长又为什么呢？我们来看正方形的面积是边长乘边长，而且这个边长是要大于零的， x 的 平方等于三，我们求出来这个 x 等于根号三，所以它的边长填根号三米。 同理，正方形的面积为 x， 边长为根号 x。 第二小题如图二，这个海报是长方形，如果长是宽的两倍，面积为一百三十平方米，那么它的宽为多少米呢？长方形的面积 一百三十等于长乘宽，现在这个宽为 x 的 话，长是它的两倍长，就是二 x， 而且这个 x 都要大于零，所以我们可以列式为二， x 的 平方等于一百三十，我们解方程解得 x 平方等于六十五， x 等于根号六十五， 所以它的宽填根号六十五米。第三小题，一个物体从高处自由落下，从这自由落下到这落到地面所用的时间是 t， 单位是 s。 从开始落下的高度 h 满足的关系是 h 等于五， t 的 平方。如果用含有 h 的 四指来表示 t， 这个 t 为什么呢？开始下落的高度 h 等于五， t 的 平方 t 是 大于零的， h 就 等于五， t 平方， 七平方就等于 h 除以五，这个 h 除以五必须是大于零的，因为时间不可能是负数，得出来 t 等于根号下五分之 h。 那 么我们来看这些四子有什么共同特征呢？都是含有根号的， 这个根旁边没有写任何数字的话，默认就是二，这个根号里面的这个倍开方数都是大于零的。第二个问题是，是否存在根号负五呢？ 为什么呢？不存在的，因为在实数范围内，负数是没有算数平方根的。对于形容根号 a 的 式子，我们怎么样去定义它呢？二次根式的定义，一般的我们形容根号 a a 大 于等于零的这种式子叫做二次根式，这个根号叫做二次根号。 a 可以 是数，也可以是四。两个必备条件，第一个就是外在特征必须带有这个根号，第二个内在特征就是被开方数，或者这个被开方式 a 必须大于等于零。好，我们看到例 一，下列各式中哪些是二次根式，哪些不是呢？首先我们分析是否含有二次根式，如果是的话，再看看被开方数是不是非负数， 如果他没有二次根号的话，那他就不是二次根。四，如果他的被开方数是负数的话，那他就不是二次根四。如果含有二次根号，而且他的被开方数是非负数，那么他就是个二次根四。 所以第一个它含有二次根号，而且被开方数是大于零的，所以是二次根四。第二个虽然带有二次根号，但是它被开方数是个负数，所以不是。第三个带有根号，而且它的被开方数负 m 是 大于等于零的，所以它是。第四个 是因为它带有二次根号，而且 a 方肯定是个正数，然后再加一，它不可能是个负数了，所以它是二次根四。第五个不是二次根四， 他的根号旁边这个指数是三次，所以他不是二次根式。例二，当 x 是 怎样的实数时，根号 x 减二在实数范围内有意义呢？我们要让这个根号 a 有 意义的话，我这个被开方数 a 必须大于等于零， 那就是当我 x 减二，这个整体为 a， 他 是大于等于零的时候有意义。那得出来， x 必须要大于等于二， 这个根号 x 减二，在实数范围内才有意义。我们看下面这道题，当 x 是 怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义呢？第一小题，五减 x 要大于等于零的话，我这个 x 要小于等于五。 第二个第一小题，单个二次根式，如根号 a， 有 意义的条件就是被开方数 a 是 大于等于零的。 第二小题，他的答案是 x 大 于等于二，小于等于三。多个二次根式， 如根号 a 加根号 b 加根号 n。 有 意义的条件就是我每一个根号里面的被开方数都要符合条件才可以，所以我第一个这一个要大于等于零，这一个被开方数也要大于等于零。 我这里第一个和第二个被开方数都要大于等于零，这里要大于等于零的话，我这个 x 必须是大于等于二，我这个 x 必须是小于等于三，所以组合成 x 大 于等于二，小于等于三。第三小题分式的要求是我这个分母不能等于零。 二、四根式的要求是我这个被开方数 x 减一是要大于等于零，得出来我这个 x 减一要大于零。 所以答案是 x 大 于一、二次根式作为分式的分母，比如说根号 a 分 之 b， 有 意义的条件是 a 要大于零。 第四小题，我们要看他的分式要求是分母不能等于零，所以 x 减一不能等于零。再根据他的二次根式要求 x 加三要大于等于零， 得出来 x 大 于等于负三，而且 x 不 等于一、二次根式与分式的和，如根号 a 加 b 分 之一，有意义的条件是 a 大 于等于零，且 b 不 等于零。第二个知识点，二次根式的双重非复性，我们根号 a 有 意义的话，就可以推出我这个 a 大 于等于零。 那么当 a 大 于等于零的时候，根号 a 的 大小又是怎么样的呢？我们回顾之前的，我们回顾之前思考的过程， 根号 a， 根号 s， 根号六十五，根号五分之 h， 根号零，分别表示为三 s 六十五五分之。根号 a 零的算数平方根。我们来看这个根号 a a 大 于零，然后这个是根号 a a 等于零，上面这个表示 a 的 算数平方根， 下面这个表示零的算数平方根。根号 a 是 大于零的，根号 a 是 小于零的。得出结论，当 a 大 于等于零的时候，根号 a 大 于等于零。二、四根四的实质是表示一个非负数或者四的算数平方根。对于任意一个二、四根四根号 a、 二、四根、四 根号 a 的 双重非负性被开方数或被开方式非负数，它是大于等于零的二次根式的值。非负数根号 a， 这个整体大于等于零。好，我们看到这道问题，当 x 是 怎样的实数时，根号 x 的 平方在实数范围内有意义呢？根号 x 的 立方呢？ 前者 x 为全体实数，后者 x 要大于等于零。第三个例子， 这个绝对值加上这个平方根，再加上这个平方等于零，求 a 减 b 加 c 的 值。首先我们看到绝对值是大于等于零的， 然后这个开根号是大于等于零的，这个平方 c 减四也是大于等于零的。那我就可以得出来，我 a 减二会等于零， b 减三等于零， c 减四也会等于零，求出 abc 的 值。这里面 a 是 等于二的， b 是 等于三， c 是 等于四。把它带进 a 减 b 加 c 里面，得出来等于三。 多个非负式的和为零，则可以得到每个非负式均为零。初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶 次幺、二次根式及二次根式。二次根式的定义我们形容把根号 a a 大 于等于零的式子叫做二次根式，存在有意义的条件下，求字母的取值范围，抓住被开放处，必须为非负数，从而建立不等式，求出它的解集。 二次根式的双重非负性二次根号 a 中被开方数或者被开方数 a 是 大于等于零的根号， a 这个整体是大于等于零的。 好，我们看一下这道例子，先暂停视频，自己尝试做一下。好，现在我们来核对答案。下列式子中不属于二次根式的是哪一个呢？这一道题，我们选择 c 选项，虽然他有二次根号，但是他的被开方数是个负数，所以选 c。 第二题，要使这个式子有意义的条件是什么呢？这里我们选择 a 选项，这里面他的被开方数必须要大于零。这里面因为是分母，是不能等于零的，所以我三 x 减六，要大于零的话，我这个 x 就 要大于二才可以。 第三题， x 等于什么的时候，二次根是根号， x 加一取最小值，它的最小值为多少？我这个最小值，这个整体只能等于零，如果它等于零的话，我这个 x 就 会等于负一，所以 x 等于负一的时候，最小值为零。 第四题，当 a 是 怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义呢？第一小题，因为 a 减一大于等于零， 所以 a 是 大于等于一的。第二小题，二， a 加三大于等于零，所以 a 是 大于等于负二分之三的。第三小题，负 a 大 于等于零，所以 a 小 于等于零。第四题，五减 a， 这个作为分母，它必须要大于零， 所以得出来我这个 a 要小于五。第五题，已知 ab 为等腰三角形的两条边长，而且 ab 满足 b 等于根号，三减 a 加上根号二， a 减六，加上四，求这个三角形的周长。 首先，因为我这个三减 a 是 在根号里面的被开方数，因为三减 a 是 根号里面的被开方式，所以它要大于等于零。我这个二 a 减六也是被开方式，它也要大于等于零，从而求出来 a 是 等于三， b 是 等于四。 当 a 为腰长的时候，三加三加四，因为它是个等腰。三角形嘛，两条腰会相等，所以有两个三。 当 b 为腰长的时候，所以它的周长为四加四加三，一个等于十，一个等于十一，所以三角形的周长是十或者十一。好了，我们今天的练习就到这里。

今天我们来分享一个一次函数与几何面积的一道例题。我们先来读一下题，如图，把二 t 三角形 abc 放在平面直角坐标 c 当中，点 b 的 坐标一斗一，点 c 的 坐标五斗一角 abc 等于九十度， ac 等于四倍，根号二， 将三角形 a、 b、 c 沿 y 轴向下平移啊，当点 a 落在直线， y 等于七分之四， x 减二上时，线段 a、 c 少过的面积是多少？ 那我们整个三角形依据提议要向下平移，使我们的点 a 落到啊这个直线上，那所有的三角形啊，是不是应该这样？哎， 平移，也就是这是 a 撇， b 撇， c 撇，那么 a、 c 扫过的面积 a 到了，这 c 到了，这，它扫过的面积就应该是这一部分 啊，这一部分啊，这一部分，我们看它平移，这应该是一个平行四边形， 在条件当中给我们的点 b 的 坐标一到一，点 c 的 坐标五到一重坐标相等，说明我们的这个 b， c 是 平行 x 轴，那么角 b 这这个角又是一个九十度，说明 ab 又是平行于 y 轴。哇，给了我们 a， c 是 四倍根号二， 我们 bc 的 边可以求出来横坐标啊，五减一，它是式，根据勾股定律，我们可以求出 ab， ab 的 长应该也是式， ab 是 式， 它又是啊，一到一，也就是 b， b 到点一的距离就是一，所以点 a 的 坐标我们也能拿到，点 a 的 坐标就是一到四加一五 啊，有了点 a 的 这个坐标好，我们可以 a 撇， a 撇， a 撇的横坐标应该也是一，因为它是 向下平移，所以我们直接把一带入，带入这个直线，得到了 y 等于七分之四减二啊，也就等于 七分之负的，负的七分之十，负的七分之十，所以 a 点 a 撇的坐标，我们应该是一到负的七分之十。 有了这个坐标，有了点 a 的 坐标，我们的 a a 撇是不是就等于五？减去五，减去负的七分之十， 等于应该是七分之三十五，七分之四十五 啊，也就是说这个长度我们拿到了这个少过的面积，不就是可以啊？以 a a 撇为底，那这个平行四边形的高呢？是不是就是 b c， b c 是 四啊，所以少过的面积把它 啊乘以四，得到了我们七分之呃，一百八十，这个七分之一百八十， 这就是我们的答案。好，希望这个题对你有帮助。

初一初二请注意，今天教你从命题视角拆解分式方程，带你有效避坑。我们来看这一个解方程，这个分母比较复杂，所以刚开始的话，你绝对不能直接去通分，我们可以先把分母呢，英式分解， x 方加 x 减二，我们可以用十字相乘法， x 方可以写成 x 乘以 x， 那 么方二呢？ 因为中间是 x， 系数是正，那么在这块我们可以写成是二和负一嘛，这样交叉相乘再相加，结果刚好是 x， 所以 第一个分母呢，就是 x 加上二，乘上一个 x 减去一，那么上面分子还是一。那么第二项的分母呢？ x 方写成 x 乘以 x， 后面十呢？ 因为中间是七， x， 我 们就写成二和五，这样交叉相乘再相加，第二个分母可以写成这个样子，应该是 x 加上二乘一个 x 加上五，那么上面分子就是一，这个结果应该是二。到这步之后，有人可能发现了。朱老师，你看啊，前面是 x 加二，乘以 x 减一，那么后面是 x 加二，乘以 x 加上五， 所以它的公分母应该是 x 加二，乘以 x 减一，再乘以 x 加五。我直接去分母不就行了吗？有一个缺陷，你后面这个分母的话，给它再乘以二，你可以发现它出现了一个三次方。我们可以再想一个比较快的方法， x 加二 和这个 x 减一呢，它差的是三，包括后面 x 加二和 x 加五，它差的也是三。我给你举个例子啊，假设 x 减三，前面就可以写成是 二乘上五分之一，那么后面可以写成是五乘上八分之一。这个式子出现之后，我们可以采取分数列项法， 你比如说二乘五分之一，我们可以写成是二分之一，减去五分之一，这个结果是十分之三。原式结果是十分之一嘛， 它再乘上一个三分之一不就可以了吗？五乘八分之一呢？我们先把它写成叉的形式，就是五分之一减去八分之一，这个结果呢，应该是四十分之三，再给它除以三，就是乘上一个三分之一，这样的话也会回去。它就是列项法， 在这块的话，先把它做叉嘛，先提三分之一，做完叉之后，应该是 x 减去一分之一，然后减去一个 x， 加上二分之一， 那么后面也是一样的，它也会提出一个三分之一。那我们就两项统一提出去，应该是加上是不是 x 加二分之一，再减去一个 x 加五分之一呢？这个结果它就等于二了， 这一项和这一项他们俩刚好抵消掉了。把三分之一的话除过去，那么左边剩下的应该是 x 减去一分之一，再减去一个 x， 加上五分之一，那么右边的话就等于个六了。我们来算一下，先去分公分母，应该是 x 减一，乘上 x 加五，左边它就变成了 x 加上五， 是不是减去一个 x 减去一啊？右边的话呢，这个结果应该是六乘上一个 x 减一，再乘上一个 x 加上五，左边的话五减负一， 刚好是六，六和六可以约掉。这样我们可以发现啊，这时候 x 减去一，乘上 x 加上五，这个结果他就得一了。这里是加五， x 减去 x， 应该是加上四， x 再减去五，再减一个一，结果应该是减六，这个等于零。那我们来解一下，用公式法，那么解出来 x 应该多少呢？二分之 负 b 应该是负四，加减根号下 b 方减 c c， b 方应该是十六，那么 c c 呢？应该是负的二十四，所以结果应该是根号四十吧，应该是二根号十。最后我们拆开写啊，这个 x 一 应该是根号十，减去个二，那么 x 二呢？它就等于个负的 根号十，再减去个二，到这里完了没有？其实没有完啊，因为它是一个分式方程，你还要把两个 x 往回带， 要看一下这个分母到底是为零还是不为零。我们说这两个分母你往回带一下的话，它都是不为零的，我们说 x 两个值，它都是圆方程的根。 所以最后你要补一句话，叫做经检验，那应该是负二，是不是加减根号十呀？为圆方程的根好检验，千万不能少。这道题目你学会了吗？赶紧找题练起来，数学有问题就找龙主任。

hello， 各位同学，大家好，我是语文李老师，今天呢，想给同学们讲一道初二下册关于根式的除法中的一道中等题来看。这道题说，若 m 乘以 n 大 于零， m 加 n 小 于零，则根号下 m， n 除以根号下 m 分 至 n 等于几？那有四个选项。 当我们拿到这道题的时候呢，我们先来分析一下，对吧？这道题都在考什么？通过让我们求的这个结果，很明显，他在考分式，根式的除法，对吧？哎，我们知道根式的除法， 它其实和整式的除法，对吧？哎，是一样的，也就是说，我们首先从这个球的去切入，对吧？它就等于什么呢？它就等于根号下 m， n 除以什么呀？ m 分 之 n， 对 吧？哎，也就等于根号下 m， n 乘以 n 分 之 m， 所以 答案就等于什么呢？对吧？ n 和 n 消掉，也就是根号下 m 方。 这道题走到这的时候，对吧？好多人就可以直接写了，对不对？哎，跟上 m 方，那就等于什么呀？就等于 m， 哎，答案选 a， 对 不对呢？哎，其实这里面就有一个很有意思的现象了，对吧？哎，如果这么简单的话，那么他前面还给你两个条件有什么用呢？ 对吧？那么反过来讲，既然前面还给你两个条件有什么用呢？对吧？那么反过来讲，百分之百选谁？各位，百分之百选第二个，为啥呀？ 因为如果说不用前面这个条件，答案选 a， 有 了前面的条件，那肯定是选 b， 对 不对？各位，哎，所以我们就先写到这，对吧，蒙个 b 看对不对？接下来我们来看，对吧？哎，看什么呢？看前面这两个条件，对吧？他能得出什么结论？首先第一个 m n 大 于零，他是不是就说明 m 和 n 怎么样叫同号 哎？相乘大于零，说明 m 和 n 要么都是正，要么都是负，没错吧？各位，哎， ok。 第二个， m 加小于零，那就说明 m 和 n 正的还是负的呀？ m 和 n 干嘛呀？哎，同负对吧？哎，结合着上面这个，那么也就是说 m 是 负的， n 也是负的，对吧？哎，那么问题又来了，那你说 m 和 n 都是负的，那么根号下 m 方它的结果，因为我们知道根式的结果百分之百是一个什么数啊？是一个大于等于零的数，对吧？哎，所以说它的结果对吧？哎，因为我们知道 m 和 n 大 于零，所以 m 又不得零，所以它的结果是什么呀？就是 负 m， 然后结果果然就是我们选的什么呀而比。各位同学，这道题你听懂了没有？

今天我们来分享一次函数的一个实际问题啊，某快递公司，每天上午九点到十点为集中揽件和派件时段， 假仓库用来揽收快件，以仓库用来派发快件。该时段内，假以两仓库的快件数量 y 与时间 x 之间的函数图像如图所示。那么两仓库快递件数相同时，此时此刻时间是多少？也就是啊，当相同件数相同，也就是在这个交点的时候 啊，在 y 轴的交点，这个这就是件数相同，那在这一点的时候，我们的时间是多少？也就让我们求 x 啊，这样我们去表达 两条直线的这个解析式，连立解析式就可以求出焦点坐标，也就拿到我们的时间啊，我们可以设啊，假 y 假等于 k， x 加 b 啊，当然 x 呢是应该是有个范围， x 大 于等于零，小于等于六十，这样 假，我们有两点，一个是啊，零到四十，一个是零到四十，另一点是啊，六十到四百，六十到四百， 两点坐标带入我们的解析式，我们就可以拿到这个啊，假的直线的解析式，我们带入一下啊， 啊，这样我们能解出 b 是 等于四十 k 啊， k 是 四十是六啊，所以我们得到了 y 角等于六， x 加四十， 好，这样我们就拿到了这个假的减一次。那同样的办法，我们呢，可以拿到乙，也就是 y， 乙 y 等于 k， x 加 b， 同样的一样的啊， x 要等于六十大的零。好，乙也有两点，一个是零豆，零豆二四零，另一个是六十度零， 代入到几至？我们来算一下， k 等于负四啊，也就是我们的 b 等于二四零， k 等于负四啊，这样我们拿到了这个乙的 y 等于负四 x 加二四零。好，有了甲，乙 有了假一两个解析式，我们就能够连立，也就是六 x 加四十等于负四 x 加二四零 啊，移过来十 x 等于两百， x 等于二十 啊，所以得到了我们这一点的横坐标就是二十。那我们的时间呢？从九点到十点，也就是这是九点，这就是九点二十。答案选 b。 好， 希望这个题对你有帮助。

八下平行四边形，这个章节太重要了，因为光这一个章节，他就有二十三个几何的模型，而且从平行四边形、菱形、矩形、正方形往下数，他的性质判定加一起来有二十多条。所以很多孩子经常在大题当中迷糊，不知道该怎么应用， 他还在考题当中出一些综合大题，你看像这道题，他就与我们上一学期全等节课在一起出截长补短的应用。所以啊，一定要对几何的网状结构， 每一个知识点都非常清晰，把几何模型串起来才行。那有关于全等和四边形，这里的模型和必考的易错题，老师都给大家做了一个系统的总结。 这个假期啊，大家就可以带着孩子提前打印出来，熟悉一下题型，也把我们上一学期有关于三角形、全等三角形这里的重点模型做一个复习，非常重要。 下面咱们就来一起看一看这道题啊。这道题说四边形是正方形， m 是 b， c 上的一点， e 是 这个边上的中点，这两段相等，中点画大圆点。 接下来说 a、 e 平分角， dm， 这是角平分线。看到角平分线，咱们立马想到角平分线的四大名辅，也是我们上一学期的知识。遇到角平分线怎么做辅助线呀？ 有一锤做双锤对不对？所以我上来我就知道辅助线怎么做，这都是思路，看没看见，所以我在这里再做一个垂直，哎，假设在这一点点 f 的 位置上，那这个时候这里就形成了一对三角形，他俩啥关系？ 一个角对应相等一条边是公共边，而且在这里还有一个角对应相等都是九十度，所以你会发现，我们由 a a s 就 可以判定三角形 a f e 全等于三角形 a d e， 对 不对？那三角形全等有了，我们一定可以推对应边相等，也就是在这里 fe 是 等于 d e 的， 这两条边是对应相等的，发现了吗？而对应题目当中，这又是中点，我们本来这个 c e 又等于 d e， 所以 我们等量代换一下，是不是就有 f e， 它其实就等于 c e 呀，对不对？这是我们根据全等得出来的条件。那接下来咱们继续往看，往下看，想要证明 a m 等于 a d 加 m c， 我 们发现啊，在这个图里，这个 a m 由哪两段组成？是不是由 af 再加上 fm 组成， 对不对？而它让我们去证明的是什么？等于 a d 加 mc， 而 af 它其实已经等于 a d 了，所以我只需要证明 a d 加 f m 等于 a m 就 行了， 而 a d 加 f m， 这是 a d 加 mc， 所以 核心我要证明 f m 等于 mc 是 不是就 ok 了？ 那整怎么证明这两小段它是相等的呢？那我们连接 e m， 我 们会发现这里形成两个直角三角形，发现了吗？哎，这两个直角三角形共用一条直啊，斜边，那直角边又对应相等，所以这两个三角形什么关系？ 全等啊，所以我有 r t 三角形 e m f 全等于 r t 三角形 e m c。 判定定律就是 h l 两个三角形全等，必然有对边相等啊，对不对？所以有 m f 就 等于 m c 了， m f 等于 m c 正出来了，所以我们就可以推 a m， 它就等于 a f 再加 fm， a f 和 a d 是 相等的， f m 呢？是和 m c 相等的，这不就正出来了吗？所以你看整个这道题，它其实很综合， 截长补短考到了，角平分线的四大名府也考到了。它是两种思路来去进行证明的，所以要求你对上一册知识非常熟练。那第一个问最难的咱解决了，第二个问大家自己算一算吧，求 a m 的 长度。把答案敲在下面。

八年级下册重点内容，这本书主要有三章内容，有三章涉及到一个计算，三章主要涉及到一个集合计算，咱们不管任何时候咱们都不能有出错，所以这三章的计算主要是第一章主要是不等式与不等式组，第二个就是因子分解好下来就是一个分式与分式方程， 这三张来说每一张都比较非常重要。分式与分式方程，经常咱们在中考的应用题里面会涉及到一个分式方程，而因式分解咱们在中考里面肯定有一个计算式，因式分解不等式组或者不等式，咱们在中考也有个应用题或者是方程里面应用题的第二位， 以及计算一个不等式组。所以说在咱们这三张纯纯粹设计的一个计算，一定要去注意这三张你说难度大吗？他不大，他和咱们前面的计算都差不多，但是对于这三张要求来说，咱们不能 出错，任何时候都不能去出错，这就要求咱们计算必须过关，咱们现在刚好是一个初二，咱们一定要对自己狠一点，计算一定要过关，不要说是等到，哎呀， 我初三了，计算还不过关，你等到中三，计算不过关，咱们就是考上高中，咱们等干嘛算的？如果遇到计算的题，咱们还是一无是处， 到处都是出错的。这是有经常好多家长说，哎呀，我家孩子就是因为计算不过关，如果除除了计算，我家孩子肯定都可以，所以说咱们现在对孩子的要求，计算一定要过关。 下来三张就是一个，主要是涉及到一个证明，第一张就是三角形，三角形这里面主要涉及到一些什么等腰三角形的一些性质，什么角分线，垂直平分线以及 直角三角形，是三十度所对应的直角边和斜边之间的关系了，这里面，并且咱们以前来证明三角形有几种方法，有四种方法，而这里面又引入一种证明三角形的全等的方法，是 h l， 知道吧？ h l。 这里面你要记住个问题，咱们 不用去管纠结，那么就是太难的题，太复杂的集合，咱们就是最基本的，把角分线我搞明白，把垂直平分线我搞明白，把直角三角形， 嗯，三十度所定的直角边和斜边的关系搞明白就行了。不要去给我记那么多结论，好多人干嘛喜欢记结论， 说实话，你们记结论你们觉得有用吗？我觉得一点用都没有，咱们要学会去稍微稍微去推，不要去记那么结论。我见着角分线，特别是角分线这一节 啊，角分线，这个角和那个角有什么关系？如果是内角角分线，外角角分线，什么什么什么，这个角加这个角多少度，这个角加多少，记住，不用去记，这么记， 咱们家孩子大部分孩子都是普通孩子，记了他也下次做题的时候他还是用不出来，你要让他去推，会推，推出来能推出来咱们干嘛呢？咱们的孩子下次考试肯定会能做出来，如果咱们只是单独的去记，那我你说吧，咱们下次肯定还是一个错的。 再来就是一个图形的平移和旋转，旋转这里面一般来说就那几种模型，也不用去选那么多模型，手拉手呀，什么这种模型啊，八字模型啊，什么整个不用去 弄那么多，咱们就知道旋转是什么意思。一般来说旋转肯定是出全等呗，旋转一般来说都是构造全等，三角形了解一下就行了，然后嘛，自己去分析分析就行了。 最后一张就是平行四边形，平行四边形是为九上解决，怎么咱们学的是特殊的平行四边形，菱形啊，矩形啊，正方形来解决问题。平行四边形咱们要知道，第一个平，证明平行四边有四，有几种方法。第二个，平行四边形有什么性质，咱们把这些搞明白 就行了，知道吧，搞明白就行了。以及平行四边形的引入一个什么中位线，中位线有什么关系？是不是两个中点？中位线是平行于底边，切于底边等于底边的二分之一。咱们把这些东西搞定了之后， 那咱们是不是这本书就学的比较简单了？所以说咱们学的时候干嘛呢？特别是学完了之后，咱 一定要去总结，善于总结，或者是合住书之后把书一合。哎，咱们坐那去想一想，我这一张学了啥，你可不敢干嘛说，哎，我学完了之后两眼一抹黑，我啥也不知道。那我告诉你，那咱们可以学和没学是 差不了多少，咱们过一段时间又忘了一忘，咱们这就和没学一样。所以说咱们要注意，咱们不管你们初一或者是初二上学期学的如何，但是咱们一定要记住，咱们初中数学不难， 就把课本上的题和咱们学校发的那本另一次的题认认真真去写，认认真真去写，记住一个一个挨着写，课本上，特别是课本和课课后的习题和例题挨着一个一个去写，你放一万个心， 咱们好每一次的期末考试或者是月考里面好多题都是咱们课后的习题和例题。所以说你要记住咱们的题不难，不用去练太难的，也不用去记那么多二级结论，真的，你肯定只要你能把那些题都能搞明白，我告诉你，你的成绩肯定不会差。

今天我们来分享一个一次函数与几何图形的一个例题，如图，一次函数 y 等于负四分之三， x 加三的图像分别与 x、 y 轴交于 ab 两点， 以线段 ab 啊，在 ab 为边，你说这条边， 在第一项线内做一个等腰直角三角形， a、 b c 也就这个啊，它是一个等腰直角，那么角 b 也就是这个角，是一个直角， 让我们求点 c 的 坐标，在这里啊，我们以前学过啊，这是一个等腰直角，在这里我们可以直接套用一个模型，也就是一线三垂直的模型 啊。假设我们做一条垂线，过点心做 x 轴的一条垂线，这个时候我们看这就是一个一线三垂直的模型，那么告诉我们， ab 是 x 轴 y 轴的一个交点， 那我们可以把焦点坐标求出来，当 x 等于零啊， y 是 等于三的，也就是 b 点的坐标零到三，当 y 等于零， x 等于四的， a 点的坐标啊，就是四到零， 哎，这样我们就得到了 b， o b 是 三， o a 呢，就是四， 我们去做一线三垂直，这个角一加上，角二是九十度，那么角一加角三也是九十度，所以角二等于角三啊，有边有边有角，那么同样的 角二加角四是等于九十度，角一等于角四，所以这两个三角形呢，全等，全等，全等以后，我们 a e 应该等于 o， b 是 三啊，这个 c 就等于 o a， 这是四，这是三，这是四，那么我们这一段 o e 就是 七啊， o e 是 七，这是四，所以我们点 c 的 坐标啊，七斗四 啊，这是利用了我们这个一次函数，结合了我们一线三等角，一线三垂直的一个几何模型， 得到了点 c 的 坐标啊， c 都是啊。希望这个例题对你有帮助。

同学们好，我们继续来看一下刷题，来看刷基础来写单词。 lucy had a sore throat and kept 什么样？ all night。 他 说他喉咙疼，并且那 keep 它过去式叫 kept。 kept 怎么样？ all night 整个晚上都怎么样？ so her mother was worried about her。 那 这儿 根据这个意思啊，也就是他感冒生病了，对不对？ had a sore throat 那 嗓子不舒服，他一直整个晚上都在怎么样？他妈妈很担心。所以你想想这样的症状，他的嗓子疼，然后晚上整晚都在，很明显， 比如说相对应的症状，咳嗽， cough。 但是我们知道 keep doing， 比如一直怎怎么样，一直怎么样，所以这儿 all night 整晚都是不停地咳嗽，所以这儿会想到用 cough 这个动词的 do you 的 形式。那怎么变？先把 cough 写出来， 加一个 i n g 就 可以了。 coughing kept， coughing all night， most of us use natural。 什么？ for cooking at home？ 我 们中大多数都使用什么？在家里来做饭，很显然用天然气，所以指 natural 什么呀？明显要选名词。 natural gas， the child feels cold and his face looks red。 这个孩子啊，他感觉很冷，他的脸看起来很红，这个症状就是发热，发烧。 i'm afraid he's got a。 那 这儿就是一个这样的症状，叫 a fever， 对 不对？ 所以根据他的症状来判断是发烧 fever。

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