张宇基础30讲可以两个号用吗

听课这个事，我不认为这个课要全听，除非你时间很充分。课这个东西是这样，就我先看书是吧？如果书我这一部分看的非常的顺畅，我完全看的懂，那我就没有必要去听这个课。然后呢我书看着看着发现这一部分呢，就是理解上有些困难。那我打开视频， 因为三十讲他是每一个这个节上都有一个二维码，他不是说就是打开课你不知道他在哪，因为这个书上每一块每一节都有二维码，那你说哪一节不懂就听哪一节，你这样的话你也就轻松一些。然后等你第二遍回来看的时候呢，你可能觉得哪一部分你要觉得没听过，你点开他再听一听， 因为三十讲是传统意义上的，就是整个全年的所有的数学复习完了，按道理说三十讲复习完可以上考场了，所以你这个基础 阶段就是所谓你把这个三十讲做完，不要这么大负担。我跟你说的这个意思就是说你三十讲看完了，就相当于你的基础跟强化，所谓的强化阶段内容就已经全部完成了，所以呢，大家还是要这个认真的做这个三十讲。

书一考了一百四十三，但说实话，三十讲这本书我前后翻了不下三遍才真正用明白。很多二期考研的同学拿到三十讲之后，第一反应是，这么厚怎么学？从哪开始？还有人在网上看到各种评价说二五版好，二七版删了东西，纠结版本，纠结到忘了开始学。 其实三十讲本身是一本非常好的书，但怎么用比用哪个版本重要一百倍。从二五开始，基础三十讲把以前的强化内容提前放在了基础班里，所以很多同学拿到手会觉得内容多，有点散。这不是书的问题，是因为它本身已经不是传统意义上的纯基础教材了。二六到二七，三十讲变薄了，有些超纲知识点去掉了，有些变成选学， 整体上更精炼，但核心的东西一点没少。章鱼老师自己也说过，高数部分比较厚，因为我把所有的笔记都写在上面了。我也曾很怕考研数学，所以很理解大家的感觉。今天这篇文章，我就把自己从零开始用三十讲，最后数以一百四十三的完整经验分享出来，不敢说是最优解，但至少是跑通了的。 基础打的有多牢固，决定我们往上盖楼的高度 and 稳定程度。这句话我是到后期才真正体会到的。如果你现在还在纠结三十讲怎么学，希望能给你一些参考。在啃下这本厚厚的三十讲的过程中，我发现很难看清自己的真实掌握程度。后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的，它精准定位了我的伯乐像。 拿到三十讲，别急着从第一页往后啃，也别直接开视频，从头听。章鱼老师说的学习方法是三步走，听起来老生常谈，但每一步都有讲究。先说预习，刚开始有些同学基础忘得比较多，预习的效果就不大，我当时也是这种情况。 如果你连基本概念都记不清，建议先从零基础通关讲义入手。这是我们在大学数学里需要用到的中学数学知识，花两三天过一遍，绝对值得， 别觉得丢人，那本小册子里讲的解析式、方程不等式，后面高数很多地方都要用到，花两三天过一遍，绝对值得。等入门之后，从第四讲开始，我建议大家最好能够预习一下。做预习就是我不听课，自己先看一遍，把不会的地方做一遍，把里面的概念和公式扫一眼，不懂的地方画个问号， 这样听课的时候就有了靶子，知道重点在哪再说听课。坦白说，一百四十小时，第一章极限直接讲了十五个小时， 时间确实长。很多同学喜欢一遍过我会的内容，听一遍就搞懂了，觉得就没必要反复去听，但一做题或者换个角度问，又没搞懂，这就是很多同学问听完课为什么不会做题的根源所在。这一点我深有体会。第一遍听完，感觉自己全懂了，结果题目换个问法就懵。一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会。 重复听不是机械的从头再来，而是针对标记过的地方，重点听，已经懂得，可以背诵过。最后是做题这一步，最关键也是最多人偷懒的地方。听完课，大家紧跟着要去做课后习题，基础三十讲的每一讲后面都有习题，习题可以很好的来巩固和加强我们对于所学知识的掌握。但说实话，仅靠课后那几道题是不够的， 靠几道课后习题完全不足以消化。我当时每学完一讲，除了做课后习题，还会额外找题来强化。后来用智能型一测，才发现，很多我以为掌握了的知识点其实根本没吃透。比如极限里的等价无穷小替换，听课的时候觉得每一步都跟得上，一上手做变形题就频繁踩坑，那种以为自己会了，其实没会的感觉挺打击人的，但早发现总比上考场才发现好得多。 如果你也有听课都懂做题不会的困惑，可以试试这个方法。这是传送门，快去测一下吧。从那以后我就养成了习惯，学一张刷一张，及时巩固基础， 检验学习效果，不要等全学完了再回头补，那时候前面的早忘了。我跟好几个一起备考的同学聊过，大家都有类似的经历，上课听老师讲，觉得每一步都跟得上，笔记记的整整齐齐，下课一和书好像啥也不会了。长时间听课其实是违背人类认知规律的，你可能前十分钟听的很认真，但后面注意力就开始分散了， 而且人的工作记忆只有二十分钟，听课时感觉懂了，第二天就忘的差不多了。这不是你笨，所有人都这样，关键是怎么应对。我的方法是把遗忘纳入计划，而不是被动等它发生再补。 具体来说，学完一个知识点之后，我不会等到一周后再复习，而是隔两三天就做几道相关的题来检测一下。后来我发现智能型也是这个逻辑，做对的题过几天会突然再出现，刚好卡在快忘的另极点上。一开始还觉得烦，心想这题不是做过吗，怎么又来了。后来发现那次重做的正确率明显更高，说明记忆确实在被巩固。 这笔我自己今每天该复习什么，省事太多是太多。另一个坑是高估自己的真实水平。每个人的消化能力不同，老师尽管很想，也不能做到让所有人都吃透。这不是老师能力的局限，而是视频这一形式本身的局限。章鱼老师的课讲的很好，但再好的课也只是输入端，你学到多少，取决于你主动练了多少，主动思变了多少。 所以我的建议是，不要急着赶进度。接触阶段的核心任务就是把数学基础打牢，不追求速度，只看重质量。真正做到吃透知识点， 你可能觉得别人都已经学到第十讲了，你还在第五讲，但只要你每一讲都是真的学透了的，后面速度会越来越快。二六考研的学姐学姐很多都是在这里吃了亏。前期基础不牢固，后期刷题突破举步维艰。我身边有个同学就是这样，前期赶进度，暑假强化的时候发现知识点串不起来，又回头补基础，白白浪费了两个月。其实考研数学没有那么难， 它主要是量大，知识点多，但题型相对高考来说比较固定，关键在于拆分的够细。如果你对知识点题型有一个很细致的划分，能够把每一个知识点、每一个基本题型的标准解法都掌握了，把它从各个角度切片，那么拿到一个新题，就能看到它的一个变化点，然后用标准的对应方法就能解题。 假如我告诉你这样的一个事实，考研数学所有的东西，他一共就六百个考点，虽然听起来很多，但是假如他就六百个，弄懂了，就没有新的了，你还会畏惧考研数学吗？这个思路彻底改变了我的复习心态。以前总觉得数学无边无际学不完，但如果把它拆成有限的考点，每天攻克几个，其实完全可以规划。 智能型就是这么做的，一个考点一个考点去突破，从等级一刷到等级三，越往上题目越少，但越精，能清楚感觉到自己在进步，不会陷入每天都在学但不知道学到哪了的茫然。 三、被忽视的大杀器，计算能力，说一个很多人不愿意面对，但必须正视的现实。考研数学的计算量非常大，光有思路远远不够。很多同学以为数学只要靠思路，我只要想明白就行了，其实并不是这样， 我们大部分的数学题是要通过一定的计算才得出正确答案，之后才能得到全部的分数的。二六考研就是一个典型的例子，很多同学思路是有的，你让你算完它，算到最后，这个结果很多同学你是算不出来的。章鱼老师在八套卷第一套就特别强调了，题目没有什么思路上的难度，但是让你算完它，算到最后，这个结果，很多同学你是算不出来的。我自己也在计算上栽过， 有段时间思路题做的挺顺的，但一碰到需要大量计算的题，就频繁出错。后来智能型集中给我安排了一批纯计算的专项训练，不考思路，就是让我从头算到尾，什么复杂积分、行列式，展开矩阵运算，连着做了好几天，过程很痛苦，但练完之后再碰到复杂积分，就明显稳了很多。 计算能力如果不强，平时不自己好好的去计算，遇到计算题就交给答案，让答案帮你去做。这个过程你练不出自己的计算能力。这个在考试的时候要出大问题的。 这一点我特别想跟大家强调，做题的时候一定要自己算到底，不要算两步就翻答案，看后面的步骤，重点突出数一、数二、数三，重点内容重点考，这个是绝不回避的，同时又兼顾全面一些。边角知识还是要重视，比如数二考的引力问题，连续考了两年，就是要求学生真正掌握如何去进行微元法，用微元法去计算，然后写定积分出来。 还有一个值得注意的现象，控题数学一、数学二、数学三，互相借鉴，互相用对方的考题。比如数二的题目，这几年总是往数学一大纲边缘接近知识点，去年涉及到的欧拉方程，今年涉及到的伯努利方程，这本身都是数一的内容。 张宇老师课上提到过，书二同学偶尔可以看看书一的某些知识点，不用深学，就把它当做一个题型去做就可以了，有个印象，万一考到就从容多了。还有就是命题新颖，加大了用新定义结合老知识解决问题的考察。比如二六考研出现了置换矩阵，这个概念以往是没有出现过的，就是我给你增加一个定义，然后现场问你这是什么， 其实把概念读明白之后，用的还是老知识，它就是在考纲合理范围内，所以基础一定要扎实，新定义来了也不怕。最后说说复盘，很多人觉得复盘就是重新看一遍笔记，其实远不止于此。 章鱼老师有一个方法，我觉得特别实用，每一讲学完之后，你是不是能够回到最开始的基础知识结构上来，他写的基础知识结构一页纸两面，把一整讲的核心浓缩在上面。学完之后你回过头来看这本书，无论多厚，最终就是几张纸，你就能把整个学过的东西，无论是基本概念、地理公式结论、典型例题和你自己的薄弱环节，是不是都能够总结在这两张纸上 总结复盘的时候一定要有针对性，要针对自己不会的地方和做错的地方，不会的地方把它弄懂了，做错的地方把它修改好。到了后期选习题测的时候也不用太纠结。六六零、八八零一千，各有各的用处，六六零的一些概念题不错，八八零对于主流知识点的综合是可以的，一千综合性不错， 我的经验是前期先把基础打扎实，等水平上来了，八八零一千都能刷的很快。做八八零的时候，有些题不确定要不要做，我就测了一下哪些已经掌握了，掌握的直接跳过，大概省了三分之一的时间， 省下来的时间去攻克真正的薄弱环节，效率高的多。说回三十讲本身二六的学姐，学姐说，其实我们很多的考点基本上在基础三十讲上就能够解决了， 希望二期的考生能够扎扎实实的开始从基础复习，一定要好好的去看基础三十讲。考研这条路确实辛苦，但只要方法对了，每天都在进步，结果不会差。二期考研加油，期待你们有个好的结果。

有区分度的题目恰恰不在计算上。其实你们都会算命题，老师想好了，算是给你分的，想想让你把你分给扣掉的，恰恰是那个你没有注意的性质问题。我提几个你想想看啊，我们定积分的性质有什么？ 有积分的可拆性，我有 a 到 b， f， x， d， x 是 不可以拆成等于 a 到 c， f x， d， x， 再加上 c 到 b， f， x， d， x， 相当于说我本来是一个 a 到 b 的 总的面积，然后我可以拆成两个面积的和，那它实际上还是总面积，比如说这有什么用啊？我告诉你今年的考研题，这门题就用到这个了，你如果不把它来拆开，这个题你没法做。很多同学拜下山来，就是因为这个定积分的定义，它的这基本性质它都没想到。 所以我在强调的内容是，你基础内容精讲，学完之后你要回过头来，在基础知识结构里面盖上这个内容，你只留下基础知识结构， 就那个框架图，你看看你是不是自己脑子里能够把这些东西都描述出来，是不都记在脑子里了？

二期考研章宇数学基础三人讲使用指南啊，那么今天这个视频呢，主要是去给我们二期考研同学去讲一下关于章宇老师的基础三人讲的一个使用。然后接下来呢，我也会从多个角度多个维度去分析这套书的一个优势。 首先啊，就是不得不去说一下我们去选择章宇老师的一个原因。呃，其实当时在我考研的时候，其实我也有过，就是在蓝开和红开的一个之间的一个纠结， 但其实让我当时决定蓝开的一方面是我觉得基础三人奖他是一本呃愿意去画很大篇幅去对每一个特别细致的考点进行展开的一本书， 不论说是大家的基础如何，呃，这种详细的展开呢，如果说是对高峰型选手，那可能能够帮助大家去更好的拔尖，如果是可能对于大家平时一些基础相对薄的同学，他其实也能非常好的照顾到大家的一些痛点， 可以说是非常的全面。那么另一方面呢，我觉得就是张宇老师的一个讲题风格，那么张宇老师本人的讲课风格呢，也是非常分寸，但他有不失一定的严谨性啊。与此同时呢，我觉得张宇老师是一个能给到我情绪价值的一个老师 啊。所以综合以上两点，我觉得大家在基础阶段去选择张宇老师的基础三人讲去作为我们的开端，绝对是一个非常正确的决定 啊。其次呢，就是我想去详细的聊一聊关于基础三人讲的一个使用。首先就是我认为基础三人讲可能是大家考研数学以来最重要的一本书， 也正是因为如此，所以我觉得大家对于这套书的一个要求绝对不是说简单的去过一遍，这里呢，我非常推荐大家去详细的过两遍去学透这本书。 第一遍时候大家主要是跟着章鱼老师的课程去学懂学会，然后在这个过程中去详细的做每一个在呃基础三人讲上出现的一个例题，还有课后题。 那么第二遍就是大家需要独立自主去完成三人讲的一个过程，在这个过程中呢，你就需要去独立的去完成课本上的每一道例题，这一遍呢，你不仅完成了例题，而且完成了一个真正的输入，在这个复习的过程中呢，你会发现你的效果会更好。 然后的话，大家再配套上章鱼老师的一个一千题，你去复习一张，然后再去相应的做一张对应的题集。那么等到大家基础阶段结束了以后，如果大家完成了以上我说的一些步骤的话，你会发现你的基础可以说是相当的扎实。 呃，与此同时呢，今年的基础三十讲还更新了一本就是核心计算通关讲义，这里也是非常完整的去归纳了所有的一个积分的计算类型，也是可能考虑到大家就是一个平时关于积分学习的一种不弱性，所以这本书也是非常好的去解决这样一个痛点。 呃，大家在学到积分阶段的时候，再配套着这个通关讲义的练习，我觉得大家的积分能力就应该能得到一个很好的提升。 那么最后呢，我觉得基础三人奖是一套非常值得大家去仔细研究的一套书，最近呢，我们的云图图书淘宝旗舰店也是在年货节上有一个满二百减四十五的一个活动， 同时呢，我们的基础三人奖也有一个专属的活动，也是说大家在云图图书的淘宝旗舰店去给我们淘宝客服去发送张宇基础三人奖，他会给大家去返一个二十元的券， 总体来说也是非常的实惠。同时呢，我们一月份马上就要出我们的章鱼一千题，然后一千题呢，我就非常推荐大家去跟进着我们的技术三人讲去综合完成， 大家也可以在接下来的时间去留意一下啊。最后呢，在新的一年呢，我希望我们二期考研的同学能有一个非常顺利的开端。那么以上就是本期视频的全部内容，大家再见。

如果你已经确定高速基础跟章鱼现在开始一点也不稳，而且目标直接给我定在一百一以上。前中期的超详细攻略咱们可以看一下。首先是上， 如果你的一千 a 正确率在百分之七十左右或以上，我建议你加刷一本六六零。高速基础学完之后直接复盘讲义，并把错题复盘完之后直接开现代，现代基础学完，紧接着开现代强化。 那么咱们学现代的时候分为两条线，第一条线是高数复习线，高数复习线就是二刷三十奖并完成六六零的剩余部分，完成六六零之后再去刷一千币，一千币刷不动直接做八八零。然后是现代学习线，现代学习线这条可以参考我的视频现代满分攻略。 现代学完之后仍然是复盘讲义加复盘做题之后开高数强化，高数强化直接看专题课加讲义，完成八八零以及一千题的剩余部分。 如果讲一看完了，但是题目没有完成，那么咱们接着学。如果是数二的话，你就把八八零或者一千题剩余部分完成之后开真题，开模拟卷就行。数一数三，那就是在概率论学习的时候，复盘高数现代错题，并完成八八零和一千题的剩余部分。 概率论可以直接跟分号，那么这个时间参考你可以看一下。如果你是这条路线，建议你的目标直接给我定在一百三， 然后是这一千 a 的 知识点，在百分之五十到百分之七十中间，我建议你只刷一本习册集一千 a， 然后付款完奖一和错题直接开现代，现代基础学完紧接着开现代强化 也是分为两条线，第一条线高数复习线二刷三十奖加六六零，六六零刷完了之后可以买本八八零刷，然后现在学习跟刚才一样，现在学完了，咱们直接开高数强化，高数强化上一千币跟章鱼， 然后同时二刷你的现代错题和一千题的现代部分，这一部分完成之后，如果是数二的话，也是一样的，把八八零和一千题的剩余部分完成，如果是数一数三，那就是学概率的时候复盘高数现代错题加完成八八零或一千题的剩余部分， 那么这个时间参考在下面，如果你是这条路线，你的目标也给我定到一百三，最后就是稍微差一点的情况，目标就定在一百一以上， 这一千 a 的 正确率低于百分之五十。我这里给你提供了三个策略，策略 a 是 换一本习题册，如基础七百题，如果你想在基础阶段刷完一千题的话，那就是基础阶段先刷七百题，完成七百题之后再刷一千 a， 但是因为刷习题册变多了，所以基础阶段耗时较长，但没关系， 你按照这一条路线走的话呢？一千 a 正确率不错，那么直接开现代和中计划一样，目标直接改成一百三，那正确率不行的话，就直接跟吴老强化，后续学习以坐透八八零为第一目标。 策略 b 的 话就是换老师，可以试试武忠祥老师或者中央新老师。那么策略 c 就是 保持现状，基础学完之后直接强化跟武忠祥，后续学习以坐透八八零为第一目标。 那么下的这种情况，我后续会单独出一个视频，详细的说明一下具体怎么规划。那么本期视频就到这里，下一期视频咱们讲一下红开怎么去规划。

考研数学想要拿高分，还得跟着章鱼老师！二级版考研数学基础三十讲已经现货了，每本书都是含有章鱼老师亲自录制的视频课程，不懂的地方直接扫描书本上方二维码，就可以快速获取视频课程高数分册一共十八讲， 近代和甘宁乐分别六讲，下单就赠送两本十五讲义书本内容全新升级，每个章节都分为基础知识结构、基础内容精讲和章节后的习题经验，带你一步一步熟悉题型，由浅入深掌握答题技巧。

我现在是二期考研，零基础学到那个第五讲，现在感觉需要第五讲那个函数那里比较困难一点，就是想问有什么解决方法吗？函数吧，对，就是那个，就第四讲的最后一部分，就是那个高级那个函数那一部分，你说的是高阶导数吧？ 对对对，就是那那一块，就是就算量感觉还是有点大的，然后再加上公式的话，感觉还是有点不好的。去判判别，就是如果说他不局限于给出的东西，就是我们需要去 转换的话，就很难去想到这一点，我来回答一下这位同学的问题。这位同学提到的是高阶导数，高阶导数的问题是考研的一个重点，但是呢，今天是复习规划课， 我不展开讲，我对你的问题呢，做一个针对性的回答吧。高阶导数它主要的考法呢是如下几种，第一个是已知常见函数，高阶导数它是有计算公式的，比如说 long x， long x 的 高阶导数它是有计算公式的，这些公式是要求大家背下来的。 我经常说啊，烤前记一记，喝前摇一摇，不需要，你现在就备注。那这些公式呢，当你用的到的时候呢，你要把它拿过来去这个使用。这第一个考法就是常见的函数，像 sin cosine， lawin， lawin， 有 时候 lawin 一 加 x 也可能考得到。 第二个考法呢，就是它的展开，你可能说对它的展开这块呢，要有一个清晰的认识，就它的展开式呢，它是展开式的，通向是 n 的 阶乘分之 f n 结导数 x 零，再乘上 x 减 x 零的 n 次方。那么这里面就看你展开点是谁了。你要求 f n 结导数零， 那么我这个 x 零就取的是零，然后呢，你要算就是 n 的 阶乘分之 f n 阶导数零，那就等于展开式 x n 次方前面的系数。这个我在课上讲了，这三步取嘛，第一步，你把函数展开，就是根据前面讲的一致公式，根据它的展开式，第二个呢，写通式。第三，根据展开式的唯一性， 做相同的这个 x 的 n 次密前面的系数的令其相等，然后通过方程把它解出来，这是第二种，其实主要考的就是这两个。第三个，那就涉及到如果出现了 一个函数，它没有已知展开式，是吧？怎么办呢？我们一般先对它求一阶导，求完一阶导之后，如果它能凑成 u 成 v 的 形式，那么我们一般就可以用什么莱姆尼兹高阶求导公式，就是 u 成 v 的 n 阶导数的问题。那么同样呢，就把 u 成 v 的 n 阶导数的也复习到了， 这是第三个考法。如果说还有第四个，那么就涉及到极偶函数的高阶导数，那当然这个它有的就会很快，比如说极函数求偶数，解导数还是极函数，那么极函数在原点处只要有定义，那么这一点的函数值一定是零， 所以这个有时候很快速的一些解法，所以总结起来一般就是这样，四到五种题型。我既然这样能给大家说出来，那么我希望你呢，也能这样说出来。你一旦把这个事情呢条分缕析，你要能把它分清楚，主干支干各个角度的命题， 我相信你拿到题目之后呢，像这种常规性问题一定是能做出来的。

非常得不偿失的非常低效率的办法，你翅膀还没长硬呢，你飞不起来！那么基础习题精讲和一千题的 a 主题，我认为这个东西叫非独立做题，这两个东西依然可以当做例题来看。 你不一定非得说独立做题，那么你可以在答案的提示下也可以抄答案。各位啊，你在这个六月底之前没有必要独立做题。对于大部分同学来说，独立做题其实是一个非常得不偿失的，非常低效率的办法。这个办法并不好，因为违反客观规律。 对于绝大部分考研数学学习的同学来讲，刚开始起步就非常困难，你知识还没学完，还没学懂，还没学透，还没记得住。你学完基础内容精讲，你是很难自己独立做一千题的 a 主题的， 我告诉你，为什么你还没有学怎么解析，你不知道它这个包装是怎么包装的，你看到的答案往往一眼就能看出来，可是你看到题目是不会做的， 就是他这个翻译的方式，他包装题目的方式你还没有学透，这个时候强行要求自己做题的正确率很高，这实际上是一个不科学的。我用一个最通俗的语言来表达，就这么一句话，你翅膀还没长硬呢， 你飞不起来。你这个时候这个四个内容全都是在哺育你的数学知识，数学水平，这个时候没有必要独立做题。

听懂绝对不是完成基础阶段三十讲的标准，而是你记住我们说的东西。同时在我不讲的情况下，你是不是把例题还会做，这个才是过关？那化成自己的知识有两个要做的事情，第一，三十讲这本书里面的概念、定律、公式、重要结论和例题， 你要能够把它怎么样记在心中。第二，例题呢？我不要求你背，你拿到题目之后，应该能够很快速的把这个题目的思路和答案写出来，这个叫过关，大部分同学都是一听，哎呀，差不多懂了，我知道是怎么回事，早就快看完了。这个不行的啊， 看完不等于你会啊，这两回事啊。数学一定要记啊，一样是需要记忆的啊，绝对不能仅仅是一个听懂，这个标准太低了。

大家能预习是最好的，但我打个括号，打括号的意思是说这个不强求，不是说一定要预习，尤其是呢，就是刚开始有些同学啊，就是这个基础可能忘的比较多了，你让他预习呢，可能刚开始他基本上都看不明白， 习的效果呢，可能就不大了。我们这样的话，你就可以刚开始的零基础啊，或者说这个第一讲，第二讲，第三讲，你可以不预习，但是我建议啊，当你学进入了门之后啊，有了一定的数学学习的这个感觉之后啊，我建议大家还是要把这个预习呢，还是要做一做，就是我不听课，我自己先看一遍，把我会的地方就不做标记，不会的地方做一下标记，其实这个工作是十分有意思有意义的。 然后你再去听课的时候，针对性是非常强，这个对大家听课是很有好处的。

张宇，三十讲用二七版，二六版还是二五版？每次推新书，全网都会炒作版本焦虑，大家担心的是选错了版本，会不会漏了重要知识点？别担心，三十讲的核心知识点，三个版本都覆盖了 二七版，主要删除了二六版的一些不必要的拓展内容和太难的例题，精简程度介于二六版和二五版之间， 所以很多二六的同学大力推荐二五版。但是你真正该担心的根本不是书，而是这件事， 听完课题能作对吗？后台问题一张云老师说一千题对百分之四十很正常，但抖音 up 说一千题一刷不到百分之五十正确率，赶快换老师听谁的？ 换老师再听一遍课是考研路上最奢侈的弯路，你浪费的不是钱，是命一样的时间。问题的根源根本不是老师，而是你以为懂了，但一测全是漏洞。用智能型 ai 教练一测就知道，你所谓学完的一章， 里面可能爬满了你没察觉的薄弱点。所以，当一千题正确率不足百分之四十，真正该做的不是怀疑选择，而是启动精准打击。在智能型锁定薄弱专题大约十二小时，专项突破到等级二，你再回去做题，正确率会直接飙升到百分之八十到百分之九十。你不是不行， 你只是需要先把漏洞补上，再去证明你行。 ai 时代，学习方式该升级了，动画、视频、树形结合，一看就懂。今天咱们来学习泰勒展开，你看这个指数函数 e 的 x 次方 deepsea 随时答疑。智能型 ai 教练定制训练，专门针对你的薄弱环节， 这样一刷一千题就能达到百分之八十到百分之九十正确率。可能章鱼等那些明示说的知识点吃透，应该是像智能型那样真正的练题，然后对知识点不断的总结理解过后的那种吃透。 对，这就是吃透。智能型天天做综测，只要一个考点你不能平推，他就一直给你出。用智能型之后，确实自己做题比之前总结知识点，联想知识点要快很多。下面我们来看看怎么用好 ai 工具，有哪些实用的 deep seek 提示词。 一、先结合智能型的知识点，看三分钟的动画视频，用 deep seek 提示词搞懂基本概念，需要的话再听三式讲。 点开智能型右上角全程计划，每个部分都列好了重要知识点，点击查看参考资料。现在多了一个跳转 b 站视频，这是一位热心学姐为智能型每个专题开头的知识点专门做的动画视频， 质量非常高。例如今天来给大家介绍极限的严格定义，咱们先从一个老朋友可以试试这个提示词。还有这个提示词也很实用， deepseek 的 回答会很清楚，按知识点列表一个个问，一个个打勾，搞明白为止。这阶段的目标是理解每个知识点的含义， 后面系统会训练你运用，做题时加深理解。记住智能型的函数极限框架很有用，刷题时多看，先定类型，再选方法，就能求所有极限。 学一张刷一张，及时巩固，保证不忘才能有复利效应。别人在遗忘的时候，你在收获复利之能行，会找出你最基础的薄弱点，避免自以为会了的错觉，尽早打好基础，每天优先做综测，这样就不会遗忘。到六月，复利效应会让基础扎实的同学拉开差距。 等级二的综测最多最密，因为初学要快速巩固，等级三以上会慢慢减少，细水长流才能记得久。这样就能避免二六届同学的问题。因为基础不牢，强化阶段知识点连不起来，提高有限。到暑假才发现前面时间都浪费了。在 ai 高速发展的今天， 用好工具能让学习效率提升很多。 deep seek 加智能型，不止帮你理解知识点，还能确保真正掌握。考研路上，与其被动听课，不如主动用这些工具，让学习更高效。

千万不可以这样，今天晚上三个小时，一个小时看英语，一个小时看数学，一个小时看专业课，你这样不要复习，那这个就叫什么复习？你这样平均用力一门学科进状态一个小时，刚进状态换学科了，英语学了一个小时，刚有点语感，哎，你换数学了？数学没看一个小时呢，刚有点做题的感觉。你换专业课了，你始终游离在这个最佳状态之外， 这样的频繁更换学科的初期是极其主观和不科学的。我不建议大家这样办，要做数学来个通宵，你问男生打游戏是不是一打通宵，他状态来了，那从晚上连饭都不吃的外卖炒饭放边上可以搁一夜着呢，不吃的昏天黑地，一直打到底。你这个状态拿过来学数学就对了，女生上网看，买衣服化妆品， 刷刷一刷就能刷几个小时，什么都忘记了，就这状态懂不懂？不能定时间啊？一个小时铃声一响，换学科不可以，同样，你要学英语，我也建议你讲，连着干， 不要停，攻克一个南极啊，要集中时间全力彻底干倒他。不能蜻蜓点水啊，碰一下跑了，碰一下跑了，你永远干不倒这个问题的。

那这个你得知道啥意思吧？哎， max 最大的嘛，也一根绝对值 x c 最大，你就讨论它们两个。呃， c 最大呗，先把这一块我们令成一个 f x 呀，是吧？ 你令这个 f x 等于它的一个贝级函数，是这个东西。 好，你去求一下嘛，一跟绝对值的一个大小，那绝对值 x 等于一的话，那 x 去取得有负一和一，所以这两个点就把区间分成几部分，对吧？好， x 小 于负一的时候，那 x 小 于负一，这个是大的呀，大的取它，取它的话绝对值打开负 x。 好， 我们这个区间讨论完了，这个区间，这个区间是不是那么大于等于负一小于等于一，你这个这个等号放哪都可以啊。 你在这个区间，你在这个区间的话，你绝对值，你是 x， 是 没有一大的，那你结果就是一。好， x 大 于一的时候，那么它大，它大的话 x 是 大于零的，所以去掉绝对值是它。 ok， 那 我们就把背极函数搞明白了。 好，那这类的不定积分这一块啊，我们是出现分段的啊，这种背及函数的话一定要注意啊。他考察的，我考察我们的是统一常数的一个问题，我们要把常数给统一下来， 我们先不统一，先看一下什么情况啊？先不统一的话，我们对他要进行积分吗？是不是 好对它进行积分，这个能看出来，负的 x 平方除以个二。好，那你得加一个常数 c 一， 这个 x 加上 c 二，这个积分是没有什么难度啊，重要的是考我们统一常数，你现在的话，你看你写完以后 三个常数，是不是你三个常数不行啊，你得统一常数，统一常数，我们这个时候用的是什么知识点呢？那你看啊， f x 是 不是连续的呀？这两个点是连续的，整个它在负无穷到正无穷都是连续的， 那你要知道 f x 在 负无穷到正无穷上，哎，是连续的， 那你对它进行这个积分，那我们另这个就是它等于大 f 积分的结果，是它吗？它也得连续啊，这大家都知道吧？ 是不是？哎，它它求导，就是这边求完导，不就是 f x 吗？也就是大 f x 是 可导的呢，可导的，那肯定也是连续的啊，大家这些定律得记住啊， 那你连续的话，我们这两个，这两个点是不是得连续啊？你这两个点得连续，你连续的话， 好，我们这样写呗。连续的话，你就可以把这个 c 一 啊跟 c 三啊，我们去就用连续的一个定义啊，去看一下它们之间的关系啊， c 一 c 二 c 三的关系。好，我们再负一这个点和一这个点，看一下 负一这个点的话，左边的一个极限连续的话，左右极限相等，跟这一点的值相等，是不是？左边极限，那就是负二分之一加上 c 一， 他得等于右边的一个极限， 右边在这呢，那就是负一加上一个 c 二。好，再看这个点，他的一个右极限二分之一加上一个 c 三。 好，他这个左极限在这，那就是一加上一个 c 二，是不是？哎，这样的话，我们可以得到 c 一、 c 二 c 三他们的一个关系了啊，现在统一常数很好统一的呀，你这个解一下， c 二是可以解出来二分之一加上一个 c 一， 这个解出来是 c 三，可以等于二分之一加上 c 二，那就二分之一加上 c 二是他。 哎，你可以得出来，一加上 c 一， 你这就是统一了。你这已经统一了，是不是能看出来？不，我们直接就令 c 一 等于 c， 只是一个代表而已，你非要写 c 一 也可以，那这样的话，你看我们这个积分的一个结果就可以写出来了呀。 负的它加上 c 一， 你写 c 啊？可以啊， c 看着好看一点。好，那这一部分就是 x 加上 c 二， c 二呢？就是二分之一加上 c 一。 我们都用 c 来表示了啊，现在就是已经统一常数了，就用一个 c 写在这里就行了。 好，那最后一个就是它加上 c 三， c 三是一，加上 c 一， c 一 就是 c， 没问题吧？我们把这些啊统一常数用的是连续这个知识点啊，大 f x 是 连续的呀。 好，这块不定积分的话，要出的话，这块其实也没啥难度，你知道就行了，是不是？你知道的话不会，你是不会做错的。好，那这个题目就讲到这里了。

好，下面我们看第二个问题，就是解析式啊。呃，解析式是什么啊？这很多同学这个概念上不清楚的， 我们接下来整个考研数学里面啊，我们讲，不管是微积分啊，高等数学，还是新型代数，还是概率论与数的统计里面到处都是解析式， 是吧？啊，因为我们现在学的这个经典数学啊，他是以具体的这个解析式作为我们的研究对象的啊，他并不是像现代数学这个抽象的研究对象。 嗯，所以解析式啊，这个必须要从根子上要把它好好的做扎实啊，做扎实。好，我们先来看一个这个结构啊，概念的结构图。 我们说解析式呢，它实际上是包括两种，一个是大家最常用的叫做代数式， 还一种呢是超越式，这个待会我们详细来说啊，那么代数式里主要是包括这有理式和无理式，有理式里呢是整式和分式， 而整式里面呢是单项式和多项式。那么这样一个基本概念图，大家一定要清清楚楚。好吧，我们现在就开始讲啊，当然从那开始讲。各位，那当然从这个最 这个指标题啊，最下一节指标题让我回讲。好，我们先来看。呃，单项式和多项式， 大家看屏幕也行啊，看书也行。首先什么叫做单项式？单项式是指数跟字母的乘积所组成的代数式，那当单项式也是解析式， 能听懂意思吧。啊，那我现在就说，如果这个代数是什么呢？是数跟字母的这个乘积组成的啊，我们叫称之为叫做单项式，那么这个里面这个数呢，我们把它叫做系数 啊，那么字母呢，我们是这样来理解的啊，字母呢，往往他是变量啊，啊，这个所谓的变量，我们一般是这样来考虑的，那就是说把字母的指数的和把它叫做这个单项式的次数 啊，举个例子啊，比如说我写一个这个 ab 方啊，二倍的 ab 方， 那大家知道这个就是什么数？是二是吧？然后呢跟字母这字母呢，就是 ab 方，看到没有，那么我现在知道这个二是什么呢？这就组成了一个单项式，那么单项式的系数就是二， 听懂意思没有？而下面这个 ab 方呢，那么这叫字母了，那么这个单项式的次数是多少呢？那么就看他的指数的和看到没有，所有字母的指数的和我们叫次数，所以这个是一个什么？这是一个三次的单项式， 懂了没有啊？只有三次单项式，那么这里都是这个意思啊，我就不再重复了啊，你比如说负 a b， 那 这叫什么？这是一个二次单项式，系数是负，一 听到没有啊，就这样零嘛，零当然也是个单项式啊，我们就称其为他的系数为零就行了啊，因为零乘任何量都是零啊，你把它叫做单项式就可以了啊，然后这样我们这规定的就是零呢，实际上叫做零次单项式啊，这是一个规定。好吧，这个你知道就行啊，其他这个很好理解了， 好，第二个就是到了这个多项式了，这个单项式呢，我就说一下啊，那么多项式，但是我们整个这个啊，接下来研究当中啊，是非常重要的一个研究对象了。什么叫多项式呢？就是单项式的核叫做多项式 啊，你这个就很清楚了，是吧？然后所有单项式中最高的那个次数，就把它叫做多项式的这个次数 啊。比如说刚才我们讲到那个写一个吧，比如说二 ab 方啊，比如说我再写一个减去三 a 加上五倍的 b 方， 是吧？那到了这个是一个三次单项式，这个是一个一次单项式，这个是个二次单项式，是吧？大家，那么单项式的核叫做多项式啊，所以这就是个多项式。 那么是几次的呢？我们看哪一个单项式里次数最高，那当然这个三次的，所以这叫一个三次多项式。 哎，所以大家这个基础，我的意思就是你拿的一个表达式，这个就就就就是个表达式，你不知道他叫什么啊？行，我就这，这是解析式了，是吧？这是一个代数式，他是什么呢？他是一个三项的，就是次数为三的多项式， 这个大家一定要会说的，是吧？要，要明白啊，要明白。比如说我再写一个 x 一 乘上 x 二，是吧？再减去 x 一 方，是吧？加上 x 二的平方，加上四倍的 x 二 x 三。 哎，我问大家这什么哦？首先大家知道字母啊，不一定只用 abc 啊，是吧？ x 一 x 二，这个也是字母，能听懂意思吧？然后它的系数是不是前面有一负一一四？ 那大家回答我，这是什么？是不二次？这是二次单形式。这个是什么？这也是个二次单形式。这是什么二次单形式。这是个什么二次单形式，所以这个是什么？哎，对了，这叫二次多项式。 而且当我们发现如果一个多项式连每一项他的次数都一样的时候，我们称其为叫做其次，这个也很好理解的，是吧？啊，所以这个呢，就称之为二次其次多项式， 对吧？这个就是我们在新型代数最后要讲的，你看一把拉到最后了啊，就是数学二的，但数一数三，我们后面还概率统计，那数学二的统计，你学完概率学完新型代数就就没有了， 那么这个就是大家在新型代数，就是我们数二最后要学的，就这个东西，叫做二次奇次多项式，他就是我们讲后面讲的是二次型 啊，二次型就是这个，二次、七次都是这些概念，一定要清楚啊，一定要清楚，这个名字都说不清楚，那这个没办法去做相对应的这个处理， 是吧？好，这个呢，我们就先把这个说清楚了啊，这解释完，你看单项式懂了啊，多项式懂了，实际上大家知道他单项式跟多项式合起来，这个就叫整式啊，所以你把这个呢，也可以叫做一个整式， 那么接下来呢，我们就把这个这个目标啊，这个概念再往上一层推了啊，上一级走了，我们就要谈到整式和分式的问题了。好，我们继续来看， 刚才说了啊，整式是什么呢？就单向式跟多项式，那么统称为整式 啊，这个概念就有了，那么并列等式的一个概念叫做分式啊，那么分式是什么意思呢？是这样，假如说让大家对整式已经懂了啊，假如说我是 a 是 一个整式，那么 b 也是一个整式 啊，而且 b 中有字母，那要求 b 中有字母，也就是说他这个次数啊，至少得是一次的， 是吧？啊？因为什么？如果说你 b 里面没有字母啊，他是一个零次的这个单项式，那实际上相当于是是变成 a 的 系数了，是吧？他就不是分式了， 所以 b 中呢，有分母，这样的话，我们称 a 比 b， 那 么叫做分式啊，这就叫分式啊，那么这个就很很多例子了，我不写了，你看一个就行了啊。你比如说二 x 方加一啊，比上三 x 三次方加四 x 减五 啊，那么显然在分母上是有字母的，是吧？他不是零次的。呃，多项式，然后上面呢，就是无所谓了，你上面是一都可以， 大家注意啊， a 没有要求啊， a 没有要求，那么这样的话，我这个就是一个分式啊，这个也是分式。这个分式，那当你讨论分式的定义的时候呢，就是唯一的要求，那当然就是要保证表达式里面所有的这个项是有定义的，是吧？那么要同时要求分母是不能得零的，对吧？ 好，如果 a 的 次数小于 b 的 分数，是不能得零的，对吧？好，如果 a 的 分数为真分数 啊，反过来说，如果 a 的 次数大于 b 的 次数，那么我们就把它叫做假分数啊。你比如说上面次数低，底下次数高，上面次数低，底下次数高，这就真分数，那么如果上面次数高，底下次数低，那我们这个叫做假分数。 这个呢，就是整式和分式。那大家实际上看得出来整式是由什么构成的啊？大家都好，整式是由单向或者多项式构成的，那本质上来说，是不是由单向式构成的， 是吧？大家，哎，听懂没有啊？本质是，但是因为单项式组成了多项式，是吧？然后单项式和多项式统称为整式啊，好，分式是怎么来的？很好，两个整式的比，当然要求分母必须是一次级以上的 整式是吧？所以你这个分式啊，那表达式里他这个基本的元素啊，就是说你基本的研究对象实际上还是单项式是吧？能听懂意思吗？那就分子上有一堆单项式，分母上有一堆单项式，那么他就叫做分式 是吧？而整式和分式我们合称叫做有理式啊，这就叫有理式。所以你想啊，我们到了后面去讲四大基本积分方法里面有一个叫做有理函数的积分， 实际上对于那就是有理式是吧？那么对于有理式，他的表达式当中的每一个基本因素是什么呢？是单向式，那么所以你对于他们的记分方法就和其他类型的背接函数的记分方法是不一样的， 所以你就是一个萝卜一个坑，你一定要辨别清楚这些表达式分别它的组成是什么 啊？这个在以往呢，这个就是这个考研数学复习当中呢，很多同学是把这些都忽略掉了，以至于后来越来越困难啊，你看到一个多项式啊，或者看到一个分式啊，或者看到就所谓的有理式，他这个对这个概念本身他就不是很亲切的， 那搞不清楚，那这样就有些题目呢，就做起来就困难。好，有了这个呢，我们就把这个有理式啊，就给大家说清楚了。好，我们继续啊， 有了整式和分式啊，我们就把整式和分式呢，统称为叫做有理式啊，所以大家现在对于有理式呢，那么就有一个清晰的一个概念了，是吧？ 那就是我们的单项式可以组成多项式啊，那么多项式和单项式统称叫整式，然后呢，你给我一个分子分母是吧？只要分母上它是带着字母的，也就说它的次数至少是一次的，那么这个时候呢，我们就说这有一个分式 啊，那么这些呢，就叫有理式。好，那么接下来就是无理式了，所谓无理式是含有字母的根式运算的 代数式，那么马上就说到代数式了啊，代数式里就包括有理式和无理式，所以呢，含有字母的根式运算的，我们称之为叫做无理式啊，比如说 x 开根号啊，大家注意啊，这个二开根号，这个没有关系的二开根号呢，它是实数啊，实数呢，就相当于是系数，它并不是无理式。 我们讲的无理式是指什么？哎，是指这个字母含有这个 对字母开根号啊，还有根式，那你比如说就是根号二， x， 这个就是无理式，但是根号二，如果乘上 x 一 次方，这个他就不是无理式，这个是有理式，这个是什么？各位，很好，这是个单项式啊，也就是说他是一个数啊，乘上一个字母，这是单项式， 根号二是无理数，这个没有关系，这个不也不是问题，但是大家知道无理数他也是实数，是吧？所以呢，就是这个数乘字母，这个不是无理式啊，这个是无理式，这个不是无理式。好了， 那么这样的话呢，我们综合起来就可以说代数式的概念就出来了，什么叫代数式呢？大家看好了啊，所谓代数式，就是刚才讲的有理式跟无理式，那么统称起来叫做代数式 啊，那么也我们就可以总结一句话了啊，就是所谓的代数式，它是指有数和字母做有限次的 式子运算，加减乘除以及开方、乘方等，这些就是代数运算了啊，所得到的式子，我们称其为代数式，这就是我们这个关于代数式的基本概念 啊。代数式呢，是我们今后要研究的一个非常大的一个这个类别的这个研究对象啊，所以这里面呢，它的组成啊，它的式子的表达式的特点，大家要搞清楚， 这是代数式，好，代数式，那么作为解析式来讲，还有不是代数式的解析式，就是所谓的超越式，我们看一下超越式， 什么叫超越式呢？那么这里面啊，他主要是这样的一个，呃，这个明确的一个规定了，就是含有字母的 指数是五里数的指数运算啊，并不是说是指数运算啊，是这样一种特殊的指数运算。什么呢？就是说，比如说我给你个字母 a， 是 吧？ 你如果写 a 的 二次方，大家知道这个是指数运算，对吧？啊？ a 的 二次方对吧？啊？就是指数运算，但是呢，如果这个指数是无理数，比如说是根号二， 哎，我们成这样的指数你算，那么他实际上是超越式，哎，这个就不是有理式了啊，那大家显然知道 a 方，这个是有理式，是吧？那么 a 的 根号是方，那么这个就是无，这个叫超越式了啊，他就超越式了。哎， 这是我们说的这种啊，这个指数为无理数的指数运算，还有对数运算， 还有三角运算和反三角运算，那么这些式子就是字母含在这些个运算里头，含在什么呢？带着这个就是指数，是五里式的啊，五里数的啊，那么这个指数运算还有呢，就是 字母里啊，就对数运算里的含着字母，三角函数，三角表达式，三角运算的里头含有字母，那么这样的解析式 啊，我们把它叫做超越运算，那么当然因为这里都是用初等函数了，所以我们也称之为叫做初等超越运算啊， 那这书上写了啊，这是时候有的啊，超出等的超运算啊，那么以区分呢？我们刚才讲的这些加减乘除开方乘方这些个代数运算，这些是初等代数运算 啊，你比方说，我们说一下吧，比如讲这个 a 方加上 b 方，对吧？那你如果说我现在取的是什么？取一个 roi 啊，你这样一看，这个是什么，这个叫超越式啊，大家注意啊，这个就是超越式，因为你是含着字母的对数与差， 明白吗？哎，这个呢，叫做超越预算，出等超预算，哎，你再比如说像阿克坦尼特是吧？ a 加 b， 哎，这个是超越预算，这是超越式哎，以及刚才讲的 a 的 这个开二次方根啊，是吧？哎，这些，这个叫超越式啊， 好了，我们把代数式跟超越式啊，把它统称为解析式啊，到这呢，我想这个基本概念呢，我们才把它就是说清楚了啊，那么同学们对于这些基本问题呢，我们今后啊，你既然是要好好的把这个数学基础打扎实了 啊，那么我们就必须啊，要能够认认真真的把每一个研究对象啊，你先搞清楚他叫什么名字，他的特点是什么？这个你必须要知道 啊，你这样的话，你会发现啊，你越往后学你会越清晰啊，否则的话啊，越往后学你可能就越模糊。 好，这是我们介绍的这个基本概念，下面我们来说这里面的这个预算。呃，讲预算之前呢，我们再回过头来再看一下这个概念的结构吧。啊，我们现在再给他捋一遍啊，大家现在看这个应该很清楚了，是吧？ 就是单项式，多项式，呃，合起来叫整式啊，整式和分式合起来叫有理式， 有理式和无理式合起来叫代数式，代数式跟超越式合起来叫什么？叫解析式啊？这就是我们整个的一个概念的一个结构啊。好，下面呢我们来进行相应的这个运算。二、我们先看有理式的 运式啊，那么我们先看呢，整式的运算。 第一，加减法啊，这个没什么困难的，是吧？就是如果给了一个整式啊，又给了另外一个整式，这两个整式做加减，那实际上就是说同类项的系数啊，相加减就可以了啊，这个很简单啊，我们看个例子 啊，这个直接说就行了啊。那么假设我的 f x 离题八啊，等于三 x 三次方加五 x 减一， g x 是 三，加上五 x 方减三次方，那么 f x 减 g x 这个等于多少？ 大家注意啊，其实他的要求很简单，一个先找同类项系数，对吧？然后做加减啊，就可以了。所以呢，我们说 f x 减， 那我这个 f x 减去 g x 时间就等于什么呢？他就说你就是整体按降次排列啊，呃，排列或者是按生密排列也可以的，都可以，是吧？ 那么如果按降密的话呢，要降次排列的话，这是三次方，这是三次方，是吧？那你把它放前面来，所以就三减几啊？呃，三减去负一是吧？三减去负一呢，就是三加一 x 的 三次方，对吧？然后呢二次方，大家注意啊，这个没有二次方，没有二次方就补零了，就是加上零倍的 x 方， 那么零倍的 x 方减去五倍的 x 方，相当于加上什么零减五 x 方，对吧？然后呢，这是五 x 啊，这边没有 x， 所以 是补零零 x， 所以 是加上什么，那就是五减零 x， 对吧？然后剩下长数项，这个呢是负一减去三，所以加上呢负一减去三，所以这样写呢，我们的整理写就得到的是四倍的 x 的 三次方，这边就是减去五倍的 x 的 平方，那么这个加上呢五 x， 然后减去四， 对吧？这样的话就得到了我们这个结果了，当然这个加减法呢，本来他确实就是很简单的事情，是吧？好，这是我们说的这个，下面呢，我们来看乘法， 乘法呢，相对来说这个运算呢，可能就复杂一些了，但是呢，我们有，呃，这个明确的啊，这个方法， 这个方法，我们把整式相乘啊，我们可以用这个叫做系数的数式计算法 啊，什么叫系数的数式计算法？呃，我讲一下啊，一种情况啊，如果 ab 是 整式，并且均只含同一个字母 啊，那么在这种情况下呢，我们就把 ab 的 这两个整式， 一般这都是给的是多项式啊，那他肯定是给的是多项式，是吧？哎，那么按照这个字母的次数 啊，按照字母的次数呢？降次排列啊，一般我们是按降次排列啊，缺项补零， 你比如说我三次方开始的，是吧？三次方，二次方，一次方，零次方，是吧？但是呢，你如果缺了个二次方，那么大家记住，这要补一个零系数，是吧？叫零倍的 x 方啊，是这个意思啊，然后呢第二个 b， 他 也是按照降次的啊，降密排列，然后写成两行，那么象数多的写的第一行 好了，那么大家说，老师说这个像素一样的，像素一样的，就随便了，哈哈，对吧？好了，那么比如说 f x， g x 给你了啊，他俩让你缠起来 啊，缠起来吗？那就是说你按照中学的办法，你就直接两个两个括号，然后成成开，把它整个成开， 可以的啊，但是呢，我们是有规矩的啊，就是基本运神的方法，用上呢，一定是快速准确的，那就这样来了，看好了啊，四三 应该是二一零吧，是吧，所以他的系数是二负三，这个是缺项补零，因为你没有平方啊，所以平方减去系数零，是吧？然后是二，然后是负一，这是常数项， 那么介次呢，他是二次方，大家注意啊，那么你现在这个项数呢，是比他要少的啊，他打头的呢，是二次方，那你这个二次方就要降密排列，降密排列之后呢，这个系数写的负五，然后呢一次方写负四啊，然后呢长竖向写的三，在这， 这就是我们写好了，写好之后啊，然后我们来进行第二步啊，叫做数式相乘，数式相乘呢，就是说你用啊，我用红笔画一下了啊，你用每第二行的每一个系数 啊，每个系数你就拿，比如说拿个负五，是吧？每个系数，然后乘以第一行的每一个系数 啊，然后你得到了相应的乘积结果啊，对应写在下面，你比如说负五乘以二是负十，然后负五乘以负三是十五，负五乘以二是负十，负五乘以负一是五， 看懂了吧？然后这个乘法用第二个字母，第二个字母的话呢，也乘上面的系数，然后按照他的位置 排列下去，那就是说负四乘以二是负八啊，那么负四乘以负三是十二，然后负四乘以零是零，负四乘以二负八，负四乘负一等于四， 看到没有啊？从这个位置好，这个也乘完了，下面三如法炮制啊，用三乘上这五个系数，那么得到五个数，从这个位置开始往后写， 是吧？好了，大家把它写完之后啊，实际上你这个到第三步呢，其实就是说把他们呃，竖向相加就行了 啊，你刚才我们得到的第一行的成绩的结果在这呢，是吧？第二行的第二个元素，这个第二个元素的成绩的结果在这 啊，然后第三个元素乘积的结果在这，是吧？然后呢我们就直接竖着加起了啊，竖着加的话呢，就是这个，当然这边没有了，就是零零了，这样加起来是负十，这个加起来是七，这个加起来是十八， 这个加起来是负十九，是吧？这个加起来负三，这个加起来十啊，这个加起来是负三。那么这样的话呢，我们看的很清楚，我们的次数呢，大家自然知道，刚才呃，这个 f 的 最高次数是四，那么你这个 g 的 最高次数是二，所以显然它的最高次数是六，是吧？ 你看一下你就知道，呃，这刚好呢，得到的是七项，为什么大家知道六次方，那么如果带着常数项，这就是从六次到零次，是刚好是七项 是吧，所以这个数字刚好是七个啊，所以对应的写就行了。就负十倍的 x 六次方，看到没有，加上七倍的五次方，加上十八倍的四次方，减去十倍的平方，加上十倍的 x 减去三， 那么这样呢，这个乘法就做完了啊。呃，是这样来说呢，大家如果啊，就是直接把他俩拿到一起去乘没，没有说不可以，但是大家会发现啊，这个在合并起来特别容易出错 啊，所以呢，呃，这个因为很多同学在计算的过程当中呢，经常算错啊，为什么算错呢？他说，老师我是这个粗心算错的。 有的时候，呃，我们数学是有是有基本方法的，就是为了防止因为像素太多啊，成开之后还要合并啊，乱七八糟的，所以呢，我们建立了一套方法，那么大家最好呢，用这套方法去做，可能就会呃快很多了 啊。你比方说啊，有人说有，有同学说，老师，那考试不可能出这样的题吧，我们先不说出不出这种题啊，哎，我们先看看啊，继续往下看，你往后看呢，你会发现，就大家平时啊，就是经常见到的那些整式的相乘， 因为整式相乘的话，你得到结果，结果呢，往回走就是因式分解了是吧？那我分解的时候你会发现，其实我们的数式计算法就是系数的，数式计算法还是很有用的啊，很有用的。好，我们来看第二种情况， 呃，是 ab 是 整式，且均只含两个相同字母 啊，这里面是，刚才是就是比如说一项只只有只有 x 的 啊，另外一项只有 x， 现在呢，就是两项都有什么 x， y 了，是吧？哎，那么我们还这样， 这个怎么办呢？一般这样来处理了，就是因为 a 当中啊，你是含有两个字母的，我们就按一个字母降次，另一个字母升次给他排列。听好了啊，一个字母降密排，另外一个字母对应的升密排 缺项不灵，然后呢？同理， b 如法炮制，然后呢，缺项不灵，写成两行，像素多的写第一行， 然后其他的方法呢？就跟刚才讲的 a 那 种情形是一样的。我先举个例子啊，比如说啊，我们先讲讲这个 ab 怎么个排法啊？你比如说你看这个啊， f a b， 大家看到这个，你告诉我这是几次的啊？我们看的很清楚，这个是三次多项式，是吧？三次多项式，听得懂啊啊，因为单项式里每这四个单项式，每个单项式字母的次数和都是三， 所以呢，他实际上就是个三次多项式，也是三次什么其次式是吧？嗯，其次。 那么这个时候呢，我们就看到说按某一个字母，比如说按 a， 按 a 这样次排，那大家就注意了，他是这样的啊， a 的 三次方是不， b 的 零次方。 哎，你这个可以不写，但你心里要有数啊，这个是 b 零次方啊，那么这是二倍的，是吧？然后接下来你注意。哎，很好，那就是 a 的 平方，因为三次方降一次二次方，是吧？然后呢，正好这个 b 的 一次方，看到没有，对吧？啊？然后接下来一下呢，这个就是加上一个负三倍的了 啊，然后接下来一项呢，是 a 的 一次方， b 的 二次方是不是加成一倍的？那最后一个呢？是 a 的 零次方， b 的 三次方再加上一个一倍 的，是吧？这样的话呢，你看是不是按照这个 a 啊，降次看到没有？降密排列，三次三二一零啊，这个 b 呢，相应的是按照生密排列的，就是零一二三 啊，这个就我们后面就常用了，是吧？啊，大家知道我们常用的一些，呃，整式乘积啊，都像是乘积啊，或者反过来就是因子分解，这个在考研就不要说光考研了啊，就整个的数学计算当中就经常用到的 啊，经常用的好，这是我们说的这个啊，那么呃，接下来我们来看啊，我们来看这个写法了， 比如说啊，这个 f a b 有 了啊，这个，这个写完了，对吧？哎，那么 g a b， 它就是 a 方， b 减 ab 方，这个不用我啰嗦了啊，就是 a 的 二次方， b 的 一次方，那么减去呢，就是 a 的 一次方， b 的 二次方，那它的也是 a 是 升密， b 是 降密， 是吧？好，那么像素多的写在前头就是二负三，一一第一行啊，然后这个是一负一了，一负一写第二行，那么怎么成呢？刚才我说过了啊，就用这个数一去乘上二负三一一，是吧，对应往下写，就是二负三一， 是吧？大家，然后用这个负一去乘二负三一一，那么得到是负二三负一负一。好，然后写完之后呢，这个数式加计算，数式相加，那么就是这是二，这是负五，这是四，这是零，这是负一， 得了吧。好，那么大家现在想想看啊，我们的这个次数啊，本来是三次啊，那你前起来肯定是几次啊？六次， 对吧？六次。那么六次的话呢，我们会发现呢，他的 a 的 这个最高次数是三次，他的这个 a 的 最高次数呢？是两次，所以显然他是 a 的 五次方乘上 b 的 一次方，对， 因为你一共有次，所以这个系数就出来了。二，后面一定是五， a 的 五次方， b 的 一次方，然后接下来呢，这个负五，那么显然就是 a 的 四次方， b 的 二次方， 对吧？然后呢这个四，那就是 a 的 三次方， b 的 三次方，看到没有啊？然后大家注意看这个啊，这个是零，什么叫零啊？哎？是你数式相加得到的啊，但是大家注意这一条，虽然我们缺项补零的意思，其实也就是这个，你这个多项式里头，其实他看是不是没有这一项， 就是没有什么呢？就是 a 的 平方， b 的 四次方这一项，对吧？啊？就是你填出来这个是没有这一项的啊，所以就缺项补零，就这意思，当然你写结果不用写了，但是你要是拿它去跟别人成的时候，听懂意思吧，那这个你要就要写进去了，零要写在这， 对不对？然后呢，这个是负一，然后 a 的 一次方， b 的 五次方，懂了吧？就是五看 a r a 的 次数，五四三二一，是吧？这项没有前面不零啊，就这意思，那么就是比如说这个题，假如这个题的话呢，我这块没有 ab 方，只要没有这个就要写个零， 对吧？所以你的系数就变成什么二负三零一，懂吗？然后呢再对应着乘，这底下的这个是这个什么一负一，然后呢这样的话再去乘， 懂了吧？啊？你要这样乘的话，你也就很简单，二负三零一，用一乘上这四个数，对吧？然后负一乘上这四个数，那么你知道什么？这个负二三零，是吧？这个负一， 然后呢你再把它加起来，你看这是二，这是负五，这是三啊，那么这个是一，这是负一，大家看这个时候呢，是你得到的这个二负五，三一负一，你会发现什么呢？我们这里头 本来呢，你是这个，呃，这个叫做，呃缺了一个项，对吧？但是呢，你只有算出来这个字不缺项了，看见没有？他没有缺项了， 你写出来就会是什么，他就会是二倍的，那还是这样啊，因为最高次数呢，是这个还是三次方的，那边这个还是 a 的 平方的，所以是五次方 b， 对 吧？然后第二项呢，是减去五倍的 a 的 四次方， b 的 平方加上三倍的 a 的 三次方， b 的 三次方，再加上 a 的 什么？很好，二次方 b 的 四次方，再减去 a 的 一次方， b 的 五次方。 哎，那么这一项呢？他，你看你这个不缺项的时候成，他可能缺了这一项，是吧？但是你缺项的成，你看这一项反而没缺啊，这个阶段结果里反而没缺 啊，这个呢就是我们通过运算啊，可以把它得出来的啊，这个相应的结果，下面我们来举个例子啊，大家看啊，就把这个方法掌握住了啊，我们看看我们实际的效果出来了，你比如说立体九 分析，呃，如果说这个多项式乘上这个多项式等于多少啊？大家知道啊，像这样的表达式呢，我们在在实际上这个大家中学数学里就遇到过很多了，对吧？那么道理是这样，你就拿这个五项乘它， 再减去这五项乘它，是吧？然后把它们十项合起来，去合并同类项，那么这个方法呢？可能会稍微慢一些，有有可能会出错，是吧？你看不清楚，有可能出错，那么你用我们的数式计算法啊，细数的数式计算法，这个就很快了 啊，那你看啊，四次方，我说了啊， a 叫密， b 生密，是吧？所以就是一一，那么一一一， 对吧？然后我这个这个底下是 a 的 一次方， b 的 零次方减去 a 的 零次方， b 的 一次方。啊，那这个也是降密排列的，是一负一，就是 a 降密， b 生密，是吧？ 那么你这样一乘的话呢，就发现就很简单了，就是一一一一，是吧？然后呢，这个负一往上乘的话，是负一负一负一负一负一，对吧？这个是一加，大家看啊，这一加你就发现就是一零零零零负一， 你看有了吧？第一项的这个系数是一，那么它是谁呢？很好， a 的 五次方， 对吧？你这是四次方，这是一次方， a 的 最高是五次方， a 的 五次方， b 的 零次方，系数是一，接下来都没有了，直到最后一个是什么？横好是 b 的 五次方，就是 b 的 五次方前面负一， 是吧？大家你想啊，这不是 a 的 五次方， a 的 四次方、三次方、二次方，一次方， a 的 零次方， a 的 零次方乘 b 的 五次方，你看这个结果就没有了， 所以叫 a 的 五次方减去 b 的 五次方。所以你这种验算起来啊，他就很快，你看这个数式计算法，就很快就能把这个把它验算出来了，是吧？啊？所以这个方法呢，大家学一学。那来趁热打铁我们看一下。看这个书上这个 一体一练啊，你比如说像这样的，以后你就不会这样乘吧，就是说这三项乘它，再加上这三项乘它六项再去和，这很简单，是吧？呃，姐，我直接说了啊，这个就很简单的事情呢，直接说了，那就是说一二一是吧？ 你一定要小心啊，这个别有缺项啊，缺项要补零的啊。这个没有缺项是吧？这是一一对吧？然后乘， 这不有了吗？这是一二一，这是一二一，所以这个合起来呢，就是一三三一，所以你这个答案就很好写了，你照着抄就行了。这个是 a 的 什么？最高的三次方，说 a 的 三次方加上三倍的 a 方， b 加上三倍的 ab 方，再加上 b 的 三次方，对吧？这很快就写出来了。哎，你定个系数，你就可以把这个写的很轻松啊，就把它写出来了。好，再来一个第二个， 大家这个就很简单了，是吧？我这改成个负二是吧？这个改个减号没什么难度是吧？没什么难度，一负二一是吧？然后是一负一 成，那就是一负二一，对吧？然后这个负一往上就是负一二负一，这样的话呢，一加 那就是一负三，三负一，这答案就不可能写错的，是吧？所以你第一项是 a 的 三次方了， a 的 三次方减去三倍的 a 方， b 加上三倍的 ab 方减去 b 的 三次方， 就是这些正正负负的。你是不可能写错的了啊，因为这种数式运算法是可以确保答案的正确性的，是吧？ 好，再来一个第三个。嗯，这这这么简单啊，一负一一一一，对吧？你这样的话就是一负一，一负一一 加起来，那么这样的话就是一零零一，大家虽然看的很清楚这是什么，刚好是 a 的 三次方，是不是 a 的 三次方减去 b 的 三次方吧，一头一尾吗？哦，加上 b 的 三次方，这是加号吗？ 对吧？你看这有个正一，到时你显然就知道这个是加号啊，你不会出现错误。那大家知道我们这样数式的 计算法，就是系数的数字计算法，我们如果掌握熟练的话呢，你像从这往这走，你也应该很熟悉了，是吧？你不会出错的，你比如说 a 三十万加 b 三十万，你去做因式分解，你忘记了，你反正 a 加 b 是 对的，你忘记了这个到底是正的还是负的，这不就很简单吗？口算就能算出来啊，是吧？ 能听懂意思吧？那你想为什么口算能算出来？你如果这个是加号，那这里没有负的，那没有负的话呢？那就意味着这个都是一了，那不就是一二二一了吗？那他这里只有两项，你这是四项啊，那肯定错了，所以这个是负号。 就是有时候就检验吗？我说零基础，其实大家这样是有时候是学一些个什么，哎，有的时候是学一些最基本的一些计算方法，它里面当然也有些思考和技巧了，对吧？第四，一个 一一一啊，然后是一负一乘，那就是一一一啊，然后乘负一负一负一，那么这个算下来是一零零负一，所以大家看这个多少是 a 的 三次方减去 b 的 三次方。 同学们知道啊，我这样在讲这个的时候呢，已实际上已经是在给大家进行这个一些重要公式的推导和记忆了 啊，我们不仅要从左到右会啊，从右到左要会啊，你要像这样的柿子啊，像这个三啊四啊，像这种柿子在考试里面经常出现的，是吧？经常出现的， 你不要不要管他是高考啊，还是研究生考试啊，等等，他这个最基本的运算啊，这个是跑不了的啊，所以这个要做扎实 好，下面看 c 啊，就 d 其他情形了啊，刚才 a 这种情形是什么？各位，而且一个字母的对吧？啊？两边都一个同一个字母，然后 b 这种情况最多，是吧？就是两边呢，就是 a 和 b 两个多项式里面都有两个字母 啊，这我们遇到最多的情况还有一种呢，就是其他情形，你比如说，呃，这个 a 呢，是关于 x 的 多项式啊，那那个 b 呢，是关于 y 的 多项式。 哎，那这样的其实没什么问题，但是呢，你就不能纯粹的只用系数了啊，所以这个呢，我们就得按照数式乘法来计算，就是不叫系数。呃，数式计算法了啊，这个就叫数式乘法， 因为前面那种啊，因为他对应字母相同的话呢，我们只算系数就行，是吧？大家叫做系数数式计算法 啊，就是这个意思，那么你键的字母键不一样了，那么这个你不能只看系数，对吧？这个你还是要看这个具体表达式的，所以我们只叫数式乘法计算啊，叫数式计算法吧。啊，那怎么做呢？还是这样， 你这个字母呢叫密排是吧？这个字母叫密排啊，然后呢？排好之后呢，你这个还乘的方法还是一样的，是吧？那你只不过这一项要带着啊，这是 y 方，这是一倍的嘛，所以系数是二负三一，这个没问题，二负三一 看到没有？然后呢，你要注意算就行了，这 x 三乘 y 平方写在这 x 方， y 方写在这 x y 方写在这， 对吧？然后同理，这个负 y 呢，就是负一乘上二，就是负二三负一，是吧，然后对应的你就把它乘上去就行啊，那就是说这个 y 乘它呢，就是三次方乘 y， 再乘它平方乘 y， 再乘它 x 乘 y， 懂了吧？啊？这个系数就摆这了， 然后最后一个二啊，长相往上乘，就得到这个，然后怎么样？哎，竖式把它加起来， 这不就清楚了吗？对吧？那么这个数加起来的话呢，那你就发现了，因为我这个呢，实际上来说是一个这个，这个台板是不合适的啊，因为我这个需要什么呢？就是你往下加，懂意思吧？往下加的话，你对应写是最好的 啊，这个你最好还是对应写啊，我给大家写一下，这个最好还是对应写，就是你这样往下加的话呢，那你得到的是二 x 三次方 y 平方， 是吧？然后对用这个讲能看到意思吧，但是你要注意啊，这个只能说明什么，只能说明这两项呢，他的次数都是四次，看到没有，但是这里面出现的是二二和三一， 理解是吧？啊？二二和三一，那么你写的这一项呢，你就可以把它写成负三 x 方 y 方减去二 x 三次方 y， 大家注意，这就是我们讲的，他不能做系数直接加减，为什么？因为他这个项不同， 明白事了吧，它相并不一样啊，哎，并不一样。然后再把怎么样这三项看没看一下？因为这个都是三次方的， 看到了吗？我就不抄了啊。就这个东西啊，再加上一块，这个是三次方的，然后呢再把这个加起来，这个呢是二次方的，对吧？然后最后这一个呢是一次方的，加上二 x 啊，这个呢是这样的一个办法。呃，这里头呢就是说，呃，我们写了一二三四五六七八九，那么就一二三四五六七八九没有合并，为什么没有合并？因为他没法合并，哈哈，是吧？没法合并啊，就写到这了。 呃，这种柿子就很少见的啊，就是我们这种情况，当然我跟大家说一下，有同学问过，哎，那主要的情况还是前面那两种是吧？这个用起来会比较方便一些啊。所以这个关于这个 整式运算啊，我想大家应该这个练一练就会非常好了，是吧？下面我们说一下这个分式运算啊。分式运算呢，其实就是说两个整式的比对吧， 如果 a b 整式，我们称 a 比成 b 就是 有理式。当然我再说一遍有理式，你这个 b 呢，那不能只是个常数， 是吧？那这两句话吧，一个 b 不 能是零是吧？你不能取零，这肯定的分母不能是零。第二个呢就是 b 不 能是一个长数，因为你是长数的话，相当于是在 a 边前面乘上一个什么，呃，乘上一个非零实数了，一个非零实数乘上去，他不是分式啊，他还是个整式， 是吧？所以呢这个 b 呢，当然要求他是一个呃，这个非常数的，那就说他至少字母得有一次，对吧？这样的分式好了，那么如果出现 a 比 b 啊，作为这个分式啊，和这个我们叫做有理式了，对吧？那么有理式一般是怎么办呢？我们一般是要把它进行化简的，是吧？因为作为考试来讲的话呢，我们要有一个化简有理分式的一个过程 啊。这个呢，大家在哪会遇到呢？我们到了后面啊，但现在大家刚开始学，可能有同学没学过，或者忘记了，我们后面一元积分法里面啊，四大基本积分法，那么第四个 就是有理函数的积分啊，这个有理函数就是指我们这里的有理式啊，就是这个有理分式啊，所以这块内容实际上十分重要啊，十分重要，那么还有在哪里用的到呢？还有就比如说以后大家求这个，这个就做因式分解吧 啊，求这个方程的根啊，有时候老师这个考研有求方的根吗？到处都是啊。同学们，比如说到了新型代数里面，我们要讲求特增值，特增值就是一个 n 次一元的 n 次方程， 是吧？那么经常考的是三次方程，那么三次方，你这个做这个因子分解，实际上就是做乘法 啊，就是用这个给你的表达是你要除以什么，除以他的一个音式，然后呢，你会把它得到相应的音式分解， 那就有些东西是看不出来的，那我们实际上是要做这个，呃，化简啊，或者说就是化简有理式吧，或者说是做除法，是吧？所以我们用的呢，就是大家的中学阶段人应该学过的啊，就是多项式的长除法。 好，我们下面来看一下啊。呃，一就是我们先将被除式跟除式啊，分别在实数域上啊，做因式分解 就是这个，当然有一条就是如果能够做因式分解，那你比如说我有 a 方减 b 方，那么显然我知道他是等于 a 加 b 乘 a 减 b 的，是吧？说这种因式分解，我觉得大家没什么问题啊，是吧？你比如说我有 a 的 三次方减去 ab 方， a 的 三次方减去 ab 方，我可以把 a 提出来，提出来也是因式分解，它是个因式，对吧？我就写成了 a 乘上 a 方减 b， 对吧？所以这个是如果可以的话，也还得有一句话，就是如果你看的出来的话，是吧？啊，我们就把这个先做一步化简了啊，那么这种话呢，是在做长处法之前的化简， 那么这样把这个公音式把它消掉，你带着公音式在里面做这个多项式的长处法呢？这个显然就这个方法就不太好了啊，就给自己找麻烦， 然后把公音式的因素剔除掉之后，是吧？然后我们这个时候呢，用多项式长除法，具体的我们来通过一个例子来看啊， a t 十啊，大家看一下，这个呢，也是我们后面啊可能会经常遇到的这种情况了， 是那么的不等于零，也不等于一，那么这个当然这个表达意思是分母不得零嘛，是吧？ 则这个有理式是吧？这显然大家看是两个整式做除法 比，然后这个这个是个有理式，那肯定可以化解的，是吧？那化解的话呢？姐，我们的第一步先干一个活吧，就是说上下都可以做一个因子分解，为什么？因为上下都有 number 可以 提出来，是吧？ 那么的三四方减三，那么的方减去六个，那么的加上八啊，底下呢，就是那么的那么的减一， 对吧？好，那你这个那么的又不等零，我就把它约掉了，这消去共音式听懂了吗？然后呢？这是我们的第一步啊，就是它的这个本质的意思就是消去共音式 啊，以使得我们接下来的多项式的这个长除法，呃，是这个不会产生一些没必要的麻烦，对吧？啊， 好，第二步呢，我们来做这个工作了。被除式，那我们先就变成这个了啊， number 三次方减去三， number 的 方减去六， number 的 加上八啊，被谁除呢？被 number 的 减一 来除他，对吧？这样你就写出来就行了啊。当然我这里还是那句话啊，啊，多项是长除法，其实跟这个前面讲的这个乘法前面讲的整式的乘法是吧？哎， 是类似的，就是你这个缺项要补零的啊，那这里没有缺项，三二一零，听到没有那么的零次方了。 假如说这题没有这一项，那么你这一项一定要加一个零零倍的，那么的懂吗？这一项不能直接写减八啊，加八，那否则你就错了啊，说这个位置没有这一项就要补零啊，这个补位也别忘了啊。 好，接下来很简单了，你看。呃，我们现在就说那么的减一是吧？那我现在说这里商几， 我先把 number 三次方给他干掉是吧？因为你做除法来讲你是知道的，我要求这个量乘上这个量，实际上是要跟他怎么样把它这会一剪把它剪掉的，是吧？所以你这里面写谁呢？大家显然知道这里应该写的是 number 的 平方，是吧？ 为什么呢？再说一遍啊，这个 number 的 方乘上这个 number 的 刚好，这是不就这 number 的 三次方， 因为大家知道啊，做多样式的长除法呢，待会就是一条横线画下来，上面减下面，是吧？啊？然后接下来的余是这个得是零 啊，你这个目标就出来了，是吧？好，当这是那么的方的时候呢，那么就是那么的方乘上那么的减一，得到的是那么的三次方，减去什么？各位，那么的平方， 对吧？好，好，那么这样的话呢，写，写这个商那么的方，然后呢沉起来就写到这，然后往下一减，大家会发现他减他是零，哎，我目标就是把它消掉，是吧？然后呢负三减负一，就是这样的负三加一了，那就是负二那么的方， 看到没有？好了，那么实际上来讲呢，接下来就是说他是负二那么的方，然后呢减去六个，那么的加上八，对吧？好，继续来写，那么这个位置就相乘呢？很好，我们要求的是说这个位置的这个象 啊和它成，是不是把这个负二那么的方消掉，对吧？所以显然我们这里应该写什么？应该写的是负二那么的， 对吧？好，那么负二 number 往这一乘就是负二 number 方，你就盯着它就行，后面你不要管，是吧？要削掉它的话呢，那就是用负二 number 上在这，然后这样的话呢，就是负二 number 乘 number 减一，得到的是负二 number 方，这只几啊加上二 number 很好，然后 往下一减，那么这个当然就零了，负六减二是负八那么的加上八，看懂了吧？那么现在问大家这写几了，很好，你要乘上那么的把这个负八那么的给它约掉，实际上就是它乘以它等于负八，那么的，是吧？所以这个位置呢？就写一个负八就行了，是吧？写个负八， 好，那么这样的话，这个位置就是负八，那么的，那么当然他还要乘到这个减一的，是不是加上八，大家看，这样一减是不刚好等于零了 啊？所以呢，这个刚好就是说把它做了因式分解了啊，也就是说我现在呢得，得到什么呢？ 我就可以得到了这个，因为这个余数是零了，是吧？啊？有的书也把它叫代余除法，代余除法，你现在这刚好是零，说明什么？说明我这个 number 三次方减去三倍的 number 方减去六倍的 number 加上八， 他刚好就等于 number 减一乘上谁乘上 number 的 方减二， number 减去八， 对吧？所以呢，你这个如果大家用什么，如果你想到了我们前面讲的这个整式的乘法，那么大家看这个过程是不是就整式乘法的一个逆上了， 是不是啊？就是这个意思啊，那我写一下，你不信看啊，你比如说你要往这算，那不就是说这个是把多的写上一项，是吧？叫做一负二零，是吧？ 这个就是一负一喽啊，那你要乘，你看啊，这是一负二零啊，这个完就乘这个，哦，一负二负八了，还负二零，还负八呢 啊，然后这个这是一负二负八，然后这个负一乘上去，是吧？这个负一二八，是吧？大家，你这样一加，你看刚好是什么？一负三负六八， 是吧？所以这个成呢，我们会了，接着除也会了，对吧？哎，这个你要学会它，好吧，所以这样呢，就填的是 number 方减去二， number 减去八，对吧？填这个就行了。 好，这个呢，就是我们说的这个多项式的啊，常除法， 下面呢，简单说一个助啊，简单说一个助，对于这个有理。分式啊， 我们有可能啊，这个 f 跟 g 啊，他还有共音式啊，比如刚才那个这个题呢，我有共音是那么的，是吧？有共音是那么的，他可能还有共音式，这个我们想有个概念呢，我这简单给大家提一句啊，这个以后你可能还用得着，是吧？ 我说一声，你听听看就行啊。现在咱不用深究，就是说在 f、 g 这两个整式啊，或者说这两个多项式，它的所有工艺式中次数最高的音式，我们把它称之为叫做 f 跟 g 的 呢，叫做最大工音式。 你比如说啊，我给了一个例子，你比如说 x 三次方乘上 x 平方减一，二， x 方乘上 x 加一，是吧？那么它的公音是有哪些呢？也就说它 f 比上记之后，它呢？呃，这个音式分解出来之后，有哪些音式是一样的，是吧？大家 你看，首先这个 x 肯定是它的音式，因为都可以提个 x 方出来， 是吧？还有 x 加一也是它的音式，因为这个 x 方减一可以分解出 x 加一，在这个 x 加一，它也是它的音式，对吧？所以我们看到这个，这个，这个都是音式。那么大家告诉我 f 跟 g， 它的最 大共音式是什么？很好说了啊，次数，多项式的次数看什么？各位，很好，是看字母的啊，指数和， 是吧？所以你看指数，这不是二次吗？对吧？然后这个就是 x 加一的一次，所以是不是三次了，是吧？所以这样的话呢，我们得的是 x 方乘上 x 加一，这个就是它的最大公因子 啊，一般来说呢，我们把手相系数为一的最大公因子啊，呃，就是这个写成这个样子的， 这个 f x 逗号 g x 给括号啊，我再说一遍啊，就这个概念呢？嗯，这个这个对于以后要深入学习的这个考生，我觉得概念你先知道啊，比如说你要看书， 看一些有这个扩展性的内容的书，你说什么叫最大公事你不知道啊？呃，这个我就提一下啊，这个就 大家知道就行啊，对大部分同学来讲呢，你知道有这么个概念就可以了啊。当然我这里最重要的是要说下面这句话的啊，下面这句话我觉得大家是应该知道的，就是如果 f x g x 等于一，这个对于所有同学我就提个这个要求了啊，这什么意思啊？ 哎，我刚才定义了这个 f 逗号 g 加一括号，在我们现在这样一个这个意义下，我叫他是这两个多项式的最大公因式啊。如果这两个多项式的最大公因式是一，大家想想看， 那就意味着什么？意味着实际上是他们是什么？他们除了一之外是没有共音式的，对吧？就是除了零次方啊，因为大家知道这个一的概念啊，一在承上这个多项式还是那个多项式本身 是吧？这个呢，实际上在呃代数结构里面呢，实际上这个一呢，他是一个幺圆啊，这幺就是大家那个 这动动腰啊，那个腰就是一有的时候把它叫到腰圆这样，这当然涉及到代数结构了啊，就是这个一本身他是这样，是呃，呈上多项式之后是不起作用的 啊。所以 f 跟 g 如果最大最大公音式是一，意味着其实他俩实际上是没有公共的音式的，除了一是吧？大家，那大家想跟跟中学里面哪个概念就 这个类似了？很好，就是两个数啊，他没有公共的因子，是吧？那么这个时候就除了一，没有公公因子的话，那公共的因子，那我们称这两个数是什么？是互质的啊？也叫互素 的是吧？大家啊，就是给我们这里称的这两个多项式呢，叫互质的，这都可以啊，互素的可以， 比方说 x 方 x 加一，那显然 x 方这个单项式跟 x 加一这个单项式，这两个式子除了一之外没有其他公共的 呃音式了，所以它的最大公音式是一，这两个式子呢，叫做互数的多项式，也叫互质啊，互质跟互质是一样的啊。好，这样的话呢，我想这个关于有理式的运算呢，我们就给他说到这里了啊。

数学基础到底怎么选书？别再无效囤书了。今天给大家把基础阶段的用书整理一下，解决选择困难。先说说高数，基础弱或者零基础的可以优先选择五中祥老师的高等数学基础篇，讲的细致扎实，完全贴合基础阶段的节奏。如果本身是具有一定基础的，想拓展思维， 可以选择章鱼老师的章鱼考研数学三十讲高等数学分册，集体先刷基础七百题，把计算和基础题型练扎实，再去考虑六六零的高数部分。 现在这块要重点说一下基础，一般的同学不建议直接跟李永乐老师的基础课程，他的课其实稍微偏进阶一些，我们可以留到强化的时候听。这里我更推荐的是御老的御老现行代数辅导讲义， 体系清晰，讲解细致，对新手友好。我们可以先去网上找一下试听课程和呃电子版讲义，可以提前感受一下，减少试错成本。然后习题的话就直接做基础，基本题和六六零的现在部分就够了。概率的话，李梁老师的辅导讲义很细致，很基础， 好老师的注重拔高一些，其实选哪个都行，跟着老师的节奏走就好。最后再提醒一下，选书别盲目，先试听老师课程，多刷刷反馈再决定哦！

零基础篇的内容是高度浓缩的啊，关于多项式的问题，他的知识点是海量的啊，我不可能在一个短短的几十页里头不到五十页吧，在这么一个窄的篇幅里面介绍所有的关于多项式的计算方法等， 所以同学们有个标准啊，这个标准呢，我想在这里说一下，你就只要记住我在三十讲里面的零基础篇我举的例子，那么在考试当中他能考的也就是我们的例子的这种方法，他不会再出现其他的类型的问题 啊，我再说一遍啊，就是你，你即使讲的零基础篇啊，你，你写了这么多知识点，那么如果知识点之外我还有没有变化呢？这个知识点能变化吗？ 啊，我，我就告诉你，你不要深究，我们已经把考试大纲里头需要大家做的和在历年考试当中引起同学们解析的出现的困难的这些点，已经给大家做了这样一个规划，所以他就不会再出意外，因为零基础篇是新加的，新加的东西以往都没有，就是从第一讲开始的，而新加的内容呢，也往往就是历届的同学问的问题。

基础三章讲，为什么我特别强调它在整个考研数学复习当中的地位和重要性？就是因为其实基础三章它就是传统意义上的基础和强化复习的全部内容。虽然带着基础两个字，并不代表它只是打基础这么一件事情，它就是传统的意义上的全程复习的教材，它是覆盖整个考研数学大纲的全部知识的。 考人数学里最简单的题，你可以在基础三十讲中找到中等难度题，可以找到真正的难题，在基础三十讲当中也能找到。复习完基础三十讲其实就可以上考场，但是为什么不能上考场呢？因为我们在解题上面还没有足够的经验，所以我们需要强化三十六讲呢， 去把解题上面的给大家再去做这个总结。

先看一下啊，这个形式我们能够想到什么方法？哎，你把这个给他放到分子部分，是不是可以往后面凑凑这个微分呀？是不是？或者呢，我们直接令他等于个 t 换个圆也可以？好，我们去写一下啊，先凑微分再换圆， 那你凑微分的话，我们先给他改写成 这个样子， e 的 负 x 次方，是吧？你这个，哎，去凑一下呀，好，那就写成 arg tangent e 的 x 次方 d e 的 负 x 次方。那你前面要补个符号呀，好，分不齐分负的 e 的 负 x 次方 arg tangent， 它好，因为是减，然后前面还有个减号，所以是加了， 然后他，然后对他进行求导，他求导的话，先是对外层求一下， 然后内层再求一下，是不是？好，他求一下的话还是 e x 嘛，整理一下啊，第一部分你就抄，抄的时候啊，认真一点。 好，第二部分，那这个的话跟这个就变成一了，那么还剩下的这一块是 一加上 e 的 二 x 四方分之一 d x， 哎，我们这一块的话啊，是还是可以进行往后面凑为分，那你凑为分的话，你上面是不是要出现一个东西跟它凑啊， 那么你就分子分母。我们这里啊是有两个方法的，如果这块等于 i 一 的话，我们讲讲一下啊，这个等于 i 一 的话， 好，那这个 i 一。 首先第一种方法，我们分子分母同时乘一个它，那你看这个地方变成它，这个变成一了呀， 好，这是不是他跟他可以去凑一下呀？好，一的负二 x 方加一分之他，我们就凑成一的负二 x 方加上一啊。 好，你这个求导你去验证一下啊，别凑错了，这样的话使他你再多一个求导嘛，多一个负二，所以前面要乘一个负二分之一，这才对，是不是？ 好，你这样的话，这个结果就是负二分之一倍的 low in 啊，这是一个整体吗？好， low in， 这一对 e 减去 e 的 负二 x 次方，是不是那 a e 就 求出来了，那我们整个的 a e 就 求出来了呀？好，那你这个话就写成，哎，前面再写一遍啊， ctrl 键的 e 的 x 方加上这个 i 一， 那 i 一 就是减去了 lo in 的 这一块儿，哎，这是加号，加号 是吧，那么我们还可以怎么样呢？再看一下啊，我们这个 i 一 还可以这样呀， 那我们这个想去凑微分，主要是，那么我们上面还是一个一，那我们加上一个它，再减去一个它，哎，你这个时候不就出现它了，可以去凑一下微分吗？好，一加上一的二 x 方， 把它看成一个整体。哎，你可以拆成两部分，第一部分是一个它，第二部分 e 的 二 x 除以 e 加上 e 的 二个次方，哎，你这个可以给它凑过来 e 的 二个次方，那你会多一个二，你前面补一个二分之一， 这不就可以了，那这样的话是 x 减去二分之一倍的，这给它加一啊， 然后 low in 的 它，嗯，这也没问题是不是？好，那这个的话大家也可以写一下啊，或者这个结果是写成前面是不变的。好，这个 i e 呢，我们给它写成它 不定积分啊，结果不一样是没问题的，你可以去验证一下嘛， c 为任意常数啊，大家可以写下来。好，第二个方法，我们直接去换元啊， e x 方，我直接等，等于 t。 好， 那你 x len t d x t 分 之一 d t 好， 这个 i 就 可以写成 arg tangent 的 t 除以 t d x， 那 就是它 t 分 之一 d t 是 不是我们整理一下啊？ 嗯，整理一下的话，你这个是 t 的 一个平方分之一，哎，我们这个可以跟后面错为分啊，是不是负的 这些基础的一个凑余分，得知道啊底的 t 分 之一对不对？你这个求导的话，会有一个负号存在啊。好，那就是分布积分了，负的 t 分 之一 ark 弹减的 t， 好， 因为是减，减去前面还有一个减，所以是加上，嗯， t 分 之 加上这个，是吧？加上它，然后对它进行求导， t 分 之一，然后对它进行求导，是一加上 t 的 平方分之一。 接下来啊，接下来的话，我们也是有多种方法的。首先我们先看啊，第一个方法， 那你这里出现一加 t 的 平方，我这里给他写成 t 的 平方，没问题吧？那我这上面乘一个 t， 那 这样的话，哎，是不是可以去凑一下微分啊？哎，这些做题的一些方法，大家平时积累一下，第一部分 给他抄下来，第二部分我们去凑微分嘛，好，凑一下。嗯，这就是加上二分之一倍的， 嗯， t 的， 因为我们写成这个形式跟它相乘的话，就可以写成相减的呀。哎，这个目的很明显啊，然后 e 加上 t 的 平方，然后这个地方就是 d t 的 平方了啊，这个跟这个凑完之后，然后我们又把它们两个拆开，是不是 好课下啊，就是学一学这些方法，那你这样的话就很明显啊，结果就能算出来了啊， 是不是没什么难度了啊，你加上这个二分之一倍的，后面的话，第一部分，那就是 lo in t 的 平方绝对值，那你平方绝对值可以直接打开啊，然后再减去 lo in 一 加上 t 的 平方，是不是你这都是啊，这，这个我们本身要加个绝对值的，那是大于零的，不用加绝对值了啊。好， 那么后面我们在这里起个括号，再去加一个 c， 来检查一下是不是没什么问题。这一块呢，你可以再去化简一下。哎，可以啊，可贪婪的提 好，加上二分之一倍的 low in， 上面是 t 的 平方，下面是一加 t 的 平方，加个 c， 好， 你是可以这样处理，我们还可以这样处理，就是这个地方啊，我们说的是这个地方。 好，这一块我们再写一下，它是 t 分 之一，然后一加上 t 的 平方，分之一，对它进行积分。我们知道有理函数啊，你这是可以拆成两部分，你看不出来，有的题可以看出来，有题看不出来的话，我们就这样啊，你看底下是一次的和二次的， 那你就是 t 分 之这个 a， 对 不对？加上一加上 t 的 平方，好，你这是二次的，所以上面就是 b t， 你 这个得会啊，好，我们去通分一下啊， 就是 t 一 加 t 的 平方，你待定系数对不对？好像就是 a 加上 a， t 的 平方加上，好，那就是 b t 的 平方，那你看看这个 a 的 话， 你猜这上面就是一个一吗？所以 a 是 等于一的，那你 a 加上 b 括号 t 的 平方，也就是一加上 b 这个分子部分啊，看分子部分，分子部分，一个是 a， 直接看出来一了，那后面是 a 加 b 块二 t 的 平方，也就是一加 b 块二 t 的 平方。 那么我们这个时候啊，你这个 b 就 只能是等于负一啊，因为我们分子只有一个一，所以这一块必须得是整个是零吗？ b 是 等于负一的，那我们就拆拆，拆出来了呀，是不是？ t 分 t 分 之一，是不是？然后负一 b 是 负一了，随时减去一个 t 除以一加 t 的 平方，你这也得会拆啊，这些手法。好，那我们就可以写成 t 分 之一 d t 减去，然后 t 除以一加 t 的 平方，那下面大家都会了，是不是？ 嗯，这个是 lo 一 t。 好， 你那个 t 跟 d t 去凑一下呗，减去一个二分之一倍的 lo 一 t 的 平方，下一没问题吧？好，也就是我们用蓝色的部分又写了一遍这一块啊，这是第二个方法，是不是都可以啊？这些方法大家都会的。 嗯，那我们就不再写一遍了啊，那第二个方法的话，就是他加上这一堆，再加上一个 c 就 可以了。好，这个题目啊。嗯，多种方法处理的手段都要掌握一下。那这个题目就讲到这里了。

这个又出现这个根号了，我们在九点五说了啊，在根号上可以想到换元呀。好，那么我们首先想到就是换元法，那你求一下呗，两个方法啊，给大家讲一下。好，法，一 进换元，根号下 x 比上 n 加 x， 我 们只是令根号下这一块换成一个 t 啊，好，那你解出来 x 是 a 倍的，嗯， t 平方除以一减 t 的 平方，在解的时候认真一点啊。好，嗯，那么我们就先写到这，那么 a 就是 这个 t 的 一个结果，我们用 a 来表示啊。 好，那就是啊，克 c n 的 t， d x 不 用这里不用再去 d x， d 等于多少 d t 了啊，我们想用的是分布积分呀，是不是你这 d x 你 算一堆，你看多复杂，你直接就是啊，这个 d x 就是 这个 x， 就 我们写的这一堆， 我们直接用分布积分啊，没有必要再去给它算出来啊。好，分布积分 a t 的 平方，一减 t 的 平方， r c n t 减去好它， 然后底，它就是底 u， 就 相当于对它求导，一减去 t 的 平方，开方分之一。哎，这一块没有问题啊，检查一下。好，那接下来， 嗯，我们再抄写一下啊，这个是 a t 的 平方，前面这种就是抄抄，认真一点。 好，那后面这一块我们看一下啊，嗯，这个是一个 a， 我 们可以提到这里。好，那你上面的话 还是直接写先写下来，你下面是可以整理到一起的一减 t 的 平方，这块可以整理到一起吧，这不是二分之三次方吗？ d t 是 不是我们把这一块这一块啊，另成一个 a 一， 我们去求一下 a 一 啊。 嗯，这个 a 也不包含了吧啊， a 先不包含，就仅仅是这一块是一个 a 一 的话，好，我们看一下， a 一 是等于是等于谁，那等于谁？你观察一下呀，哎，你这个是出现一减 t 的 平方了，我们想到三元啊，三角换元是不是？ 我们这里给大家说一下啊， a 一 是它，你这里只能想到三角换元了呀，我们令这个， 这个 t 是 不是？哎，就等于 c 个 u？ 好， 因为这个题里面有 x 了，有 t 了，你就拎个 u 呗， d t 就 cosu d u 好， 那你这个 a， 你 看啊，这个 a 一 啊，就是 t 的 平方，那就是 c u 平方，除以一减 t 的 平方， cosu 的 平方，然后三次方再开放，那就是 cosu 的 三次方， 然后底提，底提就是 cosine u d u 是 不是？我们去化简一下啊？ cosine u 跟下面消掉一个，那就指这里面就变成弹性 u 的 平方了。 d u。 好， 那你弹性 u 的 平方你改写呗。这我们做过，在一线题里面做过多次了，要知道它们之间那个关系啊。 好，那这就不就是 tangent 的 u 减去一个 u 加上 c 不 就可以了？好，你把 u 再代代成，这个 u 等于谁啊？我们看啊， u 在 这呢。嗯， t 等于 c u， u 等于 ark c n t 啊，是不是 ark c n t？ 好， 那还有 tangent u 呢，你这一块就得画一个三角形啊，用勾股定力给它，给它算出来 u 这个如果是一个 u 的 话， c e u 是 等于 t， c e u 呢，是对边比斜边，那这就是 t 比一，这不是 c e u 是 t 了吗？那你这个不就是以减去 t 的 平方开方了吗？那你弹性 u 不 就是出来对边比上邻边 是不是？那你这一块也可以写了啊， t 除以根号下一减 t 的 平方，减去 u u 就是 r c， n t 加上 c， 你 a e 求出来了，那你把这一块啊整理到一起就可以了啊。好，我们写一下原式， 就等于给它抄一下。先 a t 的 平方除以 e 减 t 的 平方啊， cosine t 减去 a 倍的，我们写的这一块 a 一， 是不是， 那就是减去 a t 除以根号下 e 减 t 的 平方，再减去啊，我们是减去这一块，那这里就是一个加上加上 a 倍的 r， c， n t， 是 不是我们拆成两部分了啊，再能这个再能看出来啊，加上 a c。 好， 我们这个时候把 t 给换一下 a t 的 一个平方。嗯，这里我们看一下啊， a t 的 平方除以一减 t 的 平方，那你这个不就是 x 吗？这看出来吧，这就是 x， 然后乘以 r， c， n t 这个 t 的 话改写一下啊，就是根号下 x 比上 a 加 x 减去 a t， 嗯，这个我们看啊，这块的话 x， 你 除一个 a 的 话，是不是等于 t 的 平方除以一减 t 的 平方呀，是不是？好，你看一下这个地方啊， t 除以根号下一减七的平方，不就是这一块开方那个结果吗？所以我们开方一下，这边是开方，这个也开方一下。 哎，你开方这都是取正的呀，是不是？你看这都正的啊，带根号，所以这个就是 t 除以啊， 一减去 t 的 平方，开方。好，那这个就可以写成它了呀，你这个红色这一部分不就可以写成减去 a 倍的乘以根号下 x， b a 吗？不就是它吗？看出来了不 好，你 a 乘进去啊，你 a 乘进去就相当于乘一个 a 的 平方了，那 a 的 平方跟这个 a 消掉，那就是根号下 ax， 好， 是不是？这就是根号下 ax 没有问题吧？再加上一个 a 乘以 r c n t， a 乘以 r c， n t， 好， 你再加个 c， 这块又可以合并，你看这是 r c n t， 这是 r c n t， 所以 这个 a 跟 x 是 可以合并的，我们去合并一下， 这里就写成 x 加上一个 a， 那 你这一块就不用要了啊，加上整体加上一个 c， 好，是不是？哎，这个得能看出来啊，好，那这，这个是第一个方法， 那你看这个计算量还不小呢，哎，我们还有啊第二个方法，第二个方法计算量不小啊，计算量是不大啊，这个计算量稍微大。第二种方法呢？计算量不是那么大，但是有同学啊，对于这个反三角函数这一块， 总是啊，它弄错，那么我们再说一下，直接令这一这一块 arc sin 这一块直接是一个 t， 而不是根号下等于 t， 它等于 t 的 话，你要等一个，你得给我看出来它是什么啊。好，我们再说一下这个映涉关系函数的映映涉关系，这是 sin sin 的 一个 啊，我们的一个映射关系式。好，那么我们这是 arc sin 映射映射，我们这个题呢，我们这里就可以给它看成一个 y， 因为我们 arc sin 就是 sin 的 一个反三角函数，也就它的反函数， 那我们的输入的一个，输入的这个是不是就是一个啊音变量呀？输出的是一个啊字变量是不是？好，你输出的是一个题，你输进去的啊，就是理解成一个，呃，音变量呀，我们都知道啊，它跟 这个映涉关系啊，这个映涉关系的话，他输进去和输入的输入和输出刚好是相反呀。 他输进去啊，这个自变量出来的是一个 y 啊，就是自变量。我们一般是 x 嘛，输出的是一个 y， 然后 x 呢？他输进去的是他的一个音变量，是不是也就是 y， 然后输出的呢？是，哎，这个自变量了，是对于他来说的一个自变量，就是自变量和音变量 交换一下吗？我们这样看图是不容易错的啊。好，你这关系看出来了不？我们输入的是不是他，对于这个应设关系的话，然后输出的是不是 t 啊？哎，输出的是 t 啊，那你这样的话你看，那么 我们输入一个 t， 进到这个 c 应设关系里面，输出的不就是他吗？所以你要能看出来是 c 应 t 是 等于这一块的啊，这个 y 了，根号下 x 比上 a 加上 x， 就是 这一步，有很多同学他就是不清晰。以后啊，就是你把这个应设关系给我，每次做这种题你就给他写出来，你这不会错的啊，不会错的，应设关系搞清楚。 好，那你就可以解出来 x 呀。哎，你都是平方一下是吧？等号左右两侧平方一下 x， x 可以 解出来，是它， 你解出来之后你又发现这又是一个 cosine t 的 平方，那就可以给它写成 a 倍的 tangent 的 平方呀，是不是你只要这一步写对了啊，后面计算量是比第一个方法好一点的啊，少一点计算量的好，那你就是一个 t dx， 嗯， d x 的 话，我们就直接，哎，你这个 x 不 出来了吗？你看是他，你直接就是 d x， 把 x 就 写到这啊，给他写成 a 倍的贪心题的平方，没有必要再给他算出来他抵多少 t 啊。我们想用的是分布积分啊。 好，那分布积分的话就是 t， 然后 a， 然后摊进的 t 的 平方，两个 t 啊，挨着呢，好减去分布积分啊。 a 摊进的 t 的 平方 d u 那 就是底这个 t 了呀，是不是？这没有问题吧。 然后前面再抄一下，后面我们仍然是，哎，给它改写一下 second t 的 平方减。一看到它就得给我想到这个关系式啊，哎，再想不到你不行，不能想不到，必须想到。好， 你再抄一遍 a t， 贪婪的 t 的 平方减去，这就是 a 倍的贪婪的 t 加上一个 a t 是 不是加上 c。 好， 那你这个时候跟上面一样了，我们把这一块给它换回来嘛。 t 就是 这个 a 乘一个 t t 就是 ark 它 好， tangent t 的 平方，那你去看一下啊， sin t 在 这呢，那么 tangent 的 一个 t 从这里算还不太好算，从这里看， tangent 的 t 更好，更好。看出来，那你 tangent 的 t 不 就是 x 比个 a 开个方吗？哎，你这个更快一点。好，那你 tangent t 的 平方，那就是 x 比上一个 a 啊，是吧？ 好，你这个 a 跟这个 a 不是 消掉了，你只有一个 x 的。 我们写到这里。好，你这个后面一个 a t 啊，啊，你这个 a t 的 话，不就相当于又是一个 a 乘以 x 这一堆吗？那你这个 a 跟这个 x 又可以合的并到一起，就是 a 加 x。 好，那你就只剩这一块了啊，减去一个 a 乘以 tan 的 t， a 乘以 tan 的 t， 你 这个 a 进去就是 a 的 平方，哎，合并一下啊，乘进去啊，就是根号下 a x 好 加上一个 c 是 不是好？都可以啊？嗯，只是说第二个方法的话，大家要知道这个这个，你不会写这个了。那你就别用这个方法了，是不是 你写错还不如不写呢啊，我们还是用这个方法，虽然计算量大大一点，但是你不不容易，你，你这个 是能够做出来的啊，不要写错啊。这个映涉关系啊，大家一定要要要清楚啊。 sin 和 arc， sin 它是输进、输入和输出啊，字变量和音变量。是啊，颠倒颠倒过来的啊。好，这个题目就讲到这里了。