单招数学2026第二题是什么

今天我们来看一下二六年安徽单招的数学题吧，因为现在还没有公布完呢，所以我先收集了几题来看一下啊。第一题，并级，并级就是所有的元素加起来二三四，呃，这里是三，刚刚有了就不用了，所以五六二三四，五六选 d。 上三题已知阿尔法是第二象限啊，画一个图啊，之前经常用的就是全 stc， 这个图全 stc， 他 说阿尔法是第二象限，那么我们来看图啊，第二象限只有三眼是正的，其他都是负的，我们来看一下，那就选 a， 那 就 a 是 对的，三眼是正的，选 a。 三十五题上的一百二十度除以口上的六十度， side 的 一百二十度，它是等于 side 的 六十度 等于二分之根号三口。 side 六十度等于二分之一，那么这里呢，就是用二分之根号三 除以二分之一，对吧，我们写成横式，那就是二分之根号三除以二分之一，那么除以一个数等于乘它的倒数吧，所以就是乘以二了，这里约了等于根号三，所以这题呢，就是根号三了。 三十六题， x 大 于零至 x 等于二零二六的什么条件，我们来看呢，这个大于零，画一个竖轴吧，零在这里，二零二六在这里，它大于零呢，是往右走的，那二零二六呢？只有一点，所以呢，很明显呢，前面是大范围，后面是小范围，前大后小，必要不充分。选 b。 三十七题，八的三分之一次啊，等于这样子啊，有两个方法，我讲其中一个吧，那这个八呢，可以变成二的三次方，二的三次方在三分之一， 那这里就是次数，在次数就是乘方变成了三乘以三分之一，这里约为一吗？二的一次还是得二吗？那 log 三三等于一，那这里就二减一等于一，答案为一。 三八题，解绝对值的不等式，我们用一分为二的方法，第一条是指照抄，第二条是指二 x 减一，改变两个东西， 符号改变这两个符号啊，大于等于变，小于等于五，变成它相反数负五。好，我们先解前面的这个二 x， 先解第一条啊，二 x 大 于等于六 x 大 于等于三。 ok， 再解后面的这条，二 x 小 于等于负，四 x 小 于等于负二，那所以它很明显呢，就是负无穷斗负二，对吧？这里是中括号 b 三，中括号三，斗正无穷。那答案就这个了。三十九题， a 四 a 七 a 一， 我们把它列呃，写出来吧。 a 一 a 四 a 七，我们观察一下它的角标啊，你看，一四七一和四相差了三，四和七也是相差了三，很明显了， a 四为 a 一 和 a 七的等差中项，那么等差中项就是中间的两倍，等于头尾相加。 a 四为十一，那就是二乘以十一二十二， a 一 是我们要求的， a 七为五，那么很明显啦，所以 a 一 等于十七啦，答案为十七。 四十题，抛硬币的题目，抛三枚硬币全是正面朝上的概率啊。我们用速算图的方法，第一啊，第一枚，第二枚，第三枚。硬币有正反两面。 好，第一枚抛了第二枚，在正的情况下又有正反，在反的情况下又有正反。好了，这个不断的把分支列下来，正反 正反，这里也是正反，也是正反。数一下，一个列完了，我现在已经列完了，我数一下有多少种情况， 一二三四五六七八，所以一共是有八种情况，他说全部是正面，我们看正正正，哎，这个符合，其他的都不符合了。正正反，有个反的就不行，有反的就不行，那只有一种情况是符合八分之一。 四十一题，考了一个 sin 的 和角公式，它的和角公式为， sin a cosine b 加 cosine b， 等于 三眼的 a 加 b， 这个是上的和角公式啊，你看啊，这个就是 a 了，这个就是 b 了。所以呢，那这题呢，就是变成了他就直接等于三眼的 a 加 b 嘛。那就等于二十七度加十八度，等于三点四十五度 等于二分之根号二，那这题答案就是二分之根号二。好了，四十三题，两直线的交点在第几项线这里我们只需要连立方程组就行了。来吧， x 减四 y， 我 把这里的这个加三移到右边了，就变成了减三，然后四 x 减 y， 等于我把这里的减三移到右面，就变成了正三，就变成了三了嘛。好了，那么我们再把第一条四指，这个是一，是，这个是二，是把第一条四指进行变形呢，因为我们要把这个 系数变成相同的，我们就把 x 的 系数变成四，就是将第一条四指同时乘以四，那就变成四， x 减十六， y 等于负十二，然后第二条不用变了，我们照抄一下。 好，那这个是第二条，这个变了之后就变成了第三条，现在我们用第三条减去第二条，那这里我们打数来看呢，四 x 减四， x 就 减没了，好，到 y， 那 这里就是减负十六 y 减负 y。 注意了，这里我们要把前面的这个符号带上， 等于负十二减三，这里就是负十六 y 加 y 喽，那就是负十五 y 直接写负十五， y 等于负十五，对吧？ y 等于一，我们再把 y 等于一带入第一条，那就变成带入第一条，就变成了 x 减四等于负三， x 等于负三加四， x 等于一了，所以它的焦点呢，就是一对一，一对一在第几项线呢？那不就是在第一项线呢？ ok 啊，四十五题用斜修法来做吧， t 准，它是等于三眼， r 除以口上 r， 对 吧？对二，那这个二呢，我们可以看成一分之二，一分之二，那这里呢，我们来看呢，我们现在就可以把三眼看成 是这个二，我们打横来对应着看，把三眼看成二，把口，三眼看成一， 对吧？那这里呢？这条四指呢，它就变成了三，二看成二啊。二加一，分母为二乘二减一等于二加一是三，四减一也是等于三等于一，所以四十五题答案为一。好了，那么今天我们就先到这里了，各位再见。

二零二六单招押题马上开始来考点坤和第一个 a 与 b 的 交集是什么？他俩交在一起就与他俩的一样的部分。好，一样的部分，那你 b 是 大于零，小于等于二的，你也选大于零，小于等于二的来，那一可以，二也可以。 ok， 选择 c， 第二个并级就是肩并肩的意思，把他俩并在一起来，然后这个第二题说他俩的并级是什么？并级就是并在一起，那好，那负二一三，负二一三，然后再跟他并在一起，他还有一个二， 然后还有一个负一，把这几个数全并在一起，那不就二 b 吗？ ok， 取它俩的并集还是肩并肩来，负二也要，负一也要，零也要，还要取一个二，把它俩合并在一起，那就选择什么呢？选择 a 没问题， 当你看到第四题这种类型的时候，看清楚 a 是 一个范围， b 也是一个范围，当你不清楚这个范围怎么去弄的时候，来给小陈老师一起画个小图，一起去看一看他到底是什么来。 a 是 从一到三来， 左 b 右 b， b 是 二到五，二在这个位置，五在这个位置，来，把他俩两个范围啪并起来。好，也就是从一到五，从一到五呢，就选择 a 了。 来，这个教给大家一个小套路，当你去算这个补集的时候，我教大家一种方法叫一脚踢，我之前其实也说过，我从 u 中把 a 踢走，来， 把一提走，把二提走，剩谁我写谁，剩个三和四，选择二波选项来。最后一个题， c u a c u a， 把一三五提走，把一提走，把三提走，把五提走，剩谁就写谁，剩个二四六，来，直接选 a， 你 学会了吗？

晚安，玛卡巴卡来今天给大家总结了这个负数的十种题型啊，我们一起来看一下。首先你知道啥叫负数，长成这样的 a 加 b i 这种样的叫负数，那其中前头这个 a 叫实部，然后 i 前头这个 b 叫虚部啊，你注意虚部是 b， 它不是 b。 i 来看这道题，负数一减二， i 的 虚部论的虚部就是 i， 前面这个东西就是负二嘛，所以选 a 来第二个题型。关于爱的运算，我们来看，注意，你爱方等于负一，这个东西你记住就完了。爱方等于负一。来，我们来看一看。爱的一次方，他不就是爱吗？然后爱的平方是负一的。咱们刚说了，爱的三次方，他不就是爱方乘以爱吗？爱方他是一个负一，那他不就等于负爱吗？ 然后爱的四次方，他就是爱方的平方，也就是负一的平方，他就是一。然后你会发现这个爱的一次方，二次方，也就是负一的平方，他四个就一轮了啊，四次一轮。 你再看一个爱的五次方，爱的五次方不就是爱的四次方乘以爱吗？爱的四次方是一啊，他不就等于爱了吗？他就顺回到这个爱的一次方了，所以他是四个一轮。那今年是二零二六年了，所以可能考到的爱的二零二六次，我们来看一下 来， i 的 二零二六次方，它二零二六去除以四四五、二十二，这没有二十六、四六二十四，余二，它余出来二了，也就是 i 的 一次， i 的 二次， i 的 三次， i 的 四次，这样轮，它余二不就是这个吗？它不等于负一吗？那你再看，还能怎么算啊？ i 的 二零二六次方，它其实就是 i 的 平方，整体的一零一三次方，对吧？那 i 方整体是负一，也就是它等于负一的一零一三次方，这不是个基数吗？负一的基数它还等于负一，这两个结果算出来，最后是一样的，都是负一，没问题的。来往后看 第三种题型叫共讷负数来看共讷负数啊，他长啥样了？就是原来是 z， z 上面加了个横杠，这就叫共讷负数，然后他原来是 a 加 b， i 变成了 a 减 b i， 他 实部这个地方不变，然后虚部这个地方整体加变减减变加。那么来看看， z 等于二减三 i， 他的共讷负数，求共讷负数就是二不变，然后减三 i 就 变成加三 i， 这就是他的共讷负数啊。然后第四种题型，关于负数的模，我们来看一样写的都是让你算模的，这个模就是 a 方加 b 方开根号， a 方加 b 方开根号，就是十部的平方加虚部的平方开根号来看这道题， z 是 一加 i， 现在求它的模，十部是一，虚部是 一，对吧？那它开根号，它就等于根号二选二 b 来。第五种题型叫负数相等，那负数相等，我们就让十部对应十部相等，虚部对应虚部相等，那你看这个，这个 a 加 b i， 它就等于一加二 i 一 加二 i， 那就让这个 a 等于一， b 等于二就完了。现在问你 a 乘 b， 一 乘二等于二， ok 吧？然后第六种第六种叫负数的加减乘除给大家看一下。先看加法， 加法也是你用十部去加十部，用虚部去加虚部来看 z 给了。嗯，现在问的是 z 加上它的公函数数，这个 z 不 就是一加二 i 吗？然后这个公函数数我刚说了就是一减二 i， 是 不是加变减就完了？现在它俩相加就是二虚部加虚部加 i 跟减二就没了嘛，所以它就等于二选四 d 来再看一道减法的，现在说 z 一 减 z 二，那 z 一 就是三加二 i， 然后 z 二看它反过来写了，它不就是负二 加 i 吗？对吧？如果我们把这个十字写前面的话，就负二加 i 吗？现在问 z 一 减 z 二十步，我们就光看十步就行了， z 一 的十步是三， z 二的十步是负二，三减负二就是三加二等于五选 c， 这是负数的加减法。来，我们再来看负数乘法， 乘法啊，你就是像这个多项式一样去乘就行了，就把它乘开就行了。然后看这个求 z 一 乘 z 二 z 一 是一加二 i， z 二是二加三 i， 现在 它俩相乘，那就是一乘二就是二，然后一乘三 i 就是 三 i， 二 i 乘二就是四 i， 然后二 i 乘三 i 就是 六 i 方，对吧？就像正常像多项式一样去乘就行了。 然后我们再来看看这个三 i 加四 i 是 不是就是七 i， 然后这个注意这里 i 方等于负一，你需要把它算出来，这个玩意是负一，那加六乘以负一，这整体不就是负六吗？这里有个二，这里有个负六，它就是负四，所以它作出来是负四加七 i， 现在问你虚不虚不不就是加七吗？选二 b， 好 吧。 然后来看看负数的除法啊，负数的除法这一块啊，需要你来看一下，负数的除法叫啥？叫分母实数化，也就是分子分母同时要乘以这个公和负数，你看这个是六加七 i， 下头是一加二 i， 那 底下也有负数了，所以叫分子分母。同时乘以负数，那 这个分母的共有负数是一加二一，一减二 i， 一 加二的共有负数，就是一减二 i 嘛，所以给上面也乘以一减二 i， 叫分子分母同乘以分母的共有负数，那我们来看看上面就是六，对吧？然后再用那个乘法去乘六减十二 i， 对 吧？然后这里是加七 i， 然后减十四 i 方，下边变成了一的平方，减去四 i 方， 然后你看上面这个地方是负五 i， 然后这里是加十四，加六就是二十减五 i， 底下这不是负负一吗？然后这就是一加四，就是五，上面就是二十减五 i， 是 不是能同时约个五？这里约完剩四，这里约完剩一，就是四减 i。 选 a ok 吧？这个 负数的除法这一块需要你去算一算，它运算量比较大，但是还是比较好算，比较好记的就是同时乘以分母的公和负数， 同时乘以这个分母的公和负数，他是一加二 i， 那 就给他乘一减二 i， 给他乘，也得给他乘，给他同时这样去乘，然后算两个乘法，算两个乘法，算出来一匀分就好了，好吧。然后来第九题第九个类型了，叫负数，为实数或者纯虚数的条件， 这其实很好理解，因为咱们正常的这个 a 加 b i， 它不就是负数吗？然后这里不叫实数吗？这里不叫虚数吗？如果现在我要让你求这个，它是一个实数的话，让你，那你就让这个虚数没了，让它虚数等于零，如果它是个纯虚数的话，你就让这个实数等于零，然后虚数不等于零，就是这个玩意。来，我们看看啊。 来看第三节，当 a 取和值时，负数这个东西，事实数，首先它叫事实数，事实数就是前面这个要，后面这个不要，所以 a 加一就让它等于零，就不要这个了，那 a 不 就是负一吗？对吧？选 a， 然后再往后看 来，现在说了这个负数是纯虚数了，它叫虚数了，那就这个玩意我要这个东西，我让它等于零，这个我不要了。那你来看， a 方减 a 减二，让它等于零的话， a 算出来是不是一个是二？ 哎呀，别闪了，一个是负一，对吧？那 a 如果等于二，带到这里面就是三， i 成立， a 如果等于负一，带到这里面就实部跟虚部都没了，他就啥也没啥了，所以这个负一给他舍了，就剩下一个二选二， b 来最后一种。第十种题型啊，叫负数在负平面内的坐标，那你记住这个 a 加 b i， 它对应的点就是 ab， 就是 x 对 应这个实部，然后 y 对 应这个虚部。咱们来看这道题，首先他给了你一堆堆，对吧？我们先把它算出来，那来算一算，这不就负数乘法吗？ i 乘以一就是 i， i 乘以 i 就是 i 方负二乘以一就是减二，负二乘以 i 就是 减二， i 来这里的减二， i 和这个加 i， 它就等于减 i 嘛。然后这个 i 方是负一，对吧？负一负二不就负三嘛，所以它出来应该是负三减 i， 那 对应的点 a 是 负三， b 负 i， 这个 b 不 就是负一嘛。这个点在几项线就三项线嘛，对吧？都是负的 x 负的 y 负的，对应的就三项线嘛，学会了吗？

单招考试的同学注意了，单招考试必考的二禁止，十禁止转换！很多同学到现在还很疑惑，考试拿不到分，今天两道题教会你看完不丢分！第一题， 十禁止六转二禁止是多少？选哪个呢？解题方法是，除二取余倒着读。六除以二等于三于零， 三除一，二等于一于一。一除一，二等于零于一。余数从下往上读就是一百一十。所以实进至六等于二进至幺幺零，那就是 a 选项。第二题，二进至幺零幺转实进至是多少？ 解题方法是，按位乘二的次方再相加，从右往左，一乘二的平方加零，乘二的一次方加一乘二的零次方等于四加零加一，结果是五， 所以二进至幺零幺等于十进至五。最后记住两句口诀，十进至转二进至除二取余倒着读，二进至转十进至乘二相加。每天一道单招必考题，关注我，不迷路！

哈喽，大家好，我是汉晨单招张老师，今天我们来讲一套二六年的单招数学加题试卷啊，那这套试卷的话满分是一百五十分啊，考试时长是六十分钟的时长啊，大家在做的时候要看一下时间， 那接下来说的话，他一共两个题型，一个是选择，一个是判断，那选择的话是三十道题，判断的话是十道题啊，那首先我们来先来看一下选择题第一题， 第一题考的是我们的一个集合的问题，集合的交集啊，在这个里面的话，交集啊，这个符号是交集的意思，就是找相同的部分 啊，那相同的部分的话，那我们需要先求出来这个前面 a 级和方程的解，对不对啊？那我们给它写出来， x 平方减去四， x 加上三小于等于零，那它的解集的话，应该是啊，把这个三拆开就是一三得三，对不对？这是减四，所以是减一，减三代表是减四， 所以那它的结果应该是 x 减一乘以 x 减三，括号小于等于零，所以那它的结果的话，应该就是括号为零之后，它的结果就是一和三啊，所以它的结果就是一逗号三啊，因为带等号，所以是包含的括号， 那和谁相交呢？和 b 二逗号四相交。那我给他画出来啊，这个是二和四的一个图像啊，给他画出来，那一在这边，三在这边啊，那这个是一和三啊，一和三是实心的，因为是带等号的， 那他们交集就是在二到三之间，对不对？二到三之间的话，有 a 和有 c， 大家一定要小心。那我来看 二，他带等号吗？二是不是不带等号呀？是空心的，是不包括二的，所以我们这道题选的是 a 选项二到三之间，三是带等号的啊。那好，那接下来看第二题。 第二题的话是充分必要条件的问题，他让我们找的是 p 是 q 的 必要条件。必要条件就是后能推前啊，必要条件指的是后能推前或者是大推小，我们都叫做必要条件。好，先看 a 选项， a 选项 x 大 于三和 x 大 于二，那大小指的是取数范围。那我们来看，大于三的数多还是大于二的数多呀？啊？大于三的数在这边， 二的数在这边，是不是大于二的数多呀？对不对？所以呢，在这个里面的话是小，这个是大小堆大，所以它是我们的充分不必要条件啊。所以 a 是 不对的， 那号 b x 是 偶数， x 是 四的倍数，是偶数，一定是四的倍数吗？不一定吧，比如说二是偶数，它不是四的倍数，对不对？然后那后往前来推，那是四的倍数，是不是一定是偶数呀？ 对的啊，所以是后能推出来前。所以这道题我们选择的是二号 b 选项啊，二号 b 选项是正确的， 我们选的是二号 b。 好， 我们来看下第三题。第三题是一个定义域的问题，在这个里面考察的是两个定义域，一个是根号，一个是对数， 那根号下的定域也就是根号下面整体的 x 要大于等于零，对不对？那对数的话是 l、 o、 g 啊，以 a 为底的 x 也就是这个位置啊，整体的位置要 x 要大于零啊，这是它的定域啊，这是它的定域，那两个定域我们要取它的交集。那我现在先来求解，上一个定 六减二， x 大 于等于零二， x 要小于等于三，这是我们第一个解， x 要小于等于三， 那来看第二个，第二个的话是 x 加一要大于零，所以是 x 应该大于负一，对不对？ x 大 于负一，一个是 x 大 于负一，一个是 x 小 于等于三，所以它们的解集的最终结果，我们选的是 a 选项，大于负一，小于等于三，所以我们选的是 a。 好， 我们接着来看一下第四题。第四题的话，让我们是一个函数问题，让我们找下列既是奇函数，又是在零到重无穷上为单调递增的。 那我首先先来找奇函数，那奇函数的话，首先 x 头上的次方要为奇数，对不对？那 a 一定不对了，那 x 平方，那它是我们的偶函数 s 三次方是奇函数，那这个的话是 x 的 一次方，它也是奇函数啊。 那看四号 d 是 三的 x 次方，它是我们的指数函数，它是我们的飞机飞哦，所以它不是啊，它是飞机飞哦。 在这里面的 b 和 c 里面，选一个在零到重从单调递增的趋势，单调递增就是 x 越大，它的结果越大。那我可以验证一和二对不对？ 当 x 等于一的时候， x 三次方也等于一，当 x 等于二的时候，二的三次方等于八，对不对？所以单调递增，所以选的是二号 b 选项，那 c 的 话是单调递减啊，当 x 等于一的时候，它是一，当 x 等于二的时候，它是二分之一，是单调递减的趋势啊，所以 c 不 对。 好，那我们来接下来看下第五题。第五题的话是函数 f， x 等于 ax 啊，若 f 二等于九，问我 f 负一等于几， 那负一的话，就是 x 是 不是？那就是 a 的 负一次方等于几，那我是要求出来 a 对 不对？那我通过这步来求代入啊，当 x 等于二的时候，结果等于九，那我们代入一下，那就是 a 的 二次方等于九， a 的 二次方等于九，那显然 a 是 等于三的，因为他说了 a 要大于零，所以 a 只能取正数， a 等于三，那现在的式子变成 f x 等于三的 x 了，对不对？ a 等于三，让我们求 f 负一，也就是三的负一次方， 三的负一次方，一个数的负次方等于它的倒数，所以应该等于三分之一，所以这道题我们选的是 a 选项啊，负次方是倒数的意思。 好，那接下来我们来看下第六题。第六题的话是一个对数的基本运算，那首先来看 log 二八，也就是二的几次方等于八，是不是二的三次方等于八呀，所以它的结果等于三。好，然后加上 log 五的二十五分之一，那五的几次方等于二十五分之一。那首先大家知很多这种题的时候有点分不清，那我们要知道五的几次方等于二十五， 是不是五的二次方，五的二次方等于二十五啊，对不对啊？那负次方就是倒数，那五的负二次方就是二十五分之一，大家要记住啊，所以呢，结果应该等于我们的负二， 那接下来看减去 log 三一，那我们对数必过的是一逗号零，对不对？当 log 也为底的一，结果为零，所以呢，就是减去零，那就是三减二，减零，所以等于一，所以我们选是 a 选项。 好，那接下来看一下第七题，也是一个对数的运算，在这里面他让我们求是 log 以 a 为底的六啊，用 m 和 n 的 形式来表示，在这个里面的话，那我们来看怎么着能变成六，是不是二乘三就变成六了？那在对数运算里面，我们应该是同底相加，整数相乘，就是 log 以 a 为底的二， 加上 log 以 a 为底的三，它应该等于 log 以 a 为底的六，同底相加，真数相乘啊，是这个关系，所以是它加它等于 log 也为底六，那它加它 log 以二，以 a 为底，二等于 m， 也就是 m 加上 n， 对 不对？所以这道题我们选的是 a 选项。 好，那接下来看一下第八题，是三角函数的一个问题。好，那接下来看一下第八题，是三引负三十度， 三引负三十度在我们的第四象限，第四象限三值一定为负值，对不对？那我们直接知道负值以后，就看三引三十度等于多少。 三引三十度等于二分之一，因为它在第四象限为负，所以等于负的二分之一。好，加上扣三引六十度，扣三引六十度等于正的二分之一，所以它们相加为零，所以选的是二号 b 选项。 好，我们来看一下第九题，第九题的话，他说已知 f 是 锐角，三以 f 等于二分之二三，然后让我们求碳的派减 f， 那 碳的派减 f， 在 这个里面的话，派减 f 是 属于第二象限，对不对？第二象限的结果一定为负数啊，一定为负数，那结果一定为负的碳以 f， 那接下来看的话，三引啊 f 等于二分根，号三，在这里面应该我们能背出来它的度数啊，三引六十度等于二分根号三，对不对？那说明 f 可能是六十度，那三引六十度的话，那碳啊，那碳六十度，它应该等于我们的根号三啊，因为第二项为负，所以应该等于负的 根号三，所以我们来看一下选项，所以这道题我们选择的是二号 b 选项负的根号三。 好，我们来看下第十题。第十题的话是一个三角函数问题，让我们求最小正周期和最大值的问题，在这里面有两公式啊，那最小正周期的公式是二派比上我们的 omega， 那 omega 指的是我们 x 前面的数，那 x 前面的数是二，其他数都不用看啊， x m 的 数二，所以它最小正周期就是二派比上二等于 pi 等于 pi， 所以 我们选项在 a 和 c 进行选项， a 和 c 的 周期是 pi， 对 不对？那接下来求最大值，那最大值和最小值的问题啊，它的公式是 y 等于 a 的 绝对值，然后加上我们 b 和负 a 的 绝对值，然后加上我们的 b， 是这样的公式。那首先我们来看一下，那 a 就是 我们等号后面数字，那 b 就是 括号外面的这个数字啊。那 a 的 话，当 a 是 正数的话，是它最大值，也就是二式的最小值。负二式它的最小值 啊，那这个位置数是不变的啊，那它是负一，那就是加负一，也就是减一就可以了，所以让我们求最大值，最大值应该就等于二减一，对不对？最大值，所以二减一等于一，所以这道题我们选的是 c， 那 如果让我们求最小值的话，那应该等于负二减一等于负三，是它的最小值， 这大家需要注意，就是等号后面这个位置变正负，这个位置不变，直接抄下来就可以了啊。好，接下来看第十一题。 第十一题的话是三角函数里面的二倍角的公式啊，三以 f 乘以扣三 f 等于多少？那这个一看就是我们三以二 f 的 公式，对不对？三以二 f 等于二倍的啊，三以 f 乘以扣三 f， 对 不对啊？二倍三 f 乘以扣三 f， 那 你说老师呢？这个里面还有二，那我没有二呢，对不对？你没有二，你最终是不是乘以二分之一就行了？就是二分之一三， 二 f 是 不是等于三引 f 乘以扣三引 f 来，对不对？两边同乘二分之一，这个二就没了啊，所以那我求这个就可以了啊，等于三引二 f f 等于十五度，那三引二 f 就是 等于三引三十度， 三以三十度肯定等于我们的二分之一，对不对？那我们要求是二分之一的三以二 f， 所以 就是二分之一，再乘一个二分之一，所以最终结果等于四分之一，所以我们选的是 a 选项，最终结果等于四分之一啊。 好，那接着再来看一下我们的第十二题，那第十二题的话是一个竖列的问题啊，已知啊，竖列啊，前项和，在这里面我们要注意，已知是等差竖列啊，这个少两个字。 已知等差竖列 a n 的 前 n 相和啊，是 s n， a 三等于七， s 四等于二十，让我们求 a 十，那如果我要想求 a 十的话啊，他有了 a 三，那我是不是要知道 d 就 行了？那 a 三和 a 十之间差是七个 d， 我 知道 d 就 可以了啊， 那我怎么来得到 d 呢？啊？那我通过 s n 的 公式， s n 是 求和的意思， s 四就是前四相和， 那 sn 的 公式应该是首项加末项， a 一 加 a 四，首项加末项乘以项数，一共是四项除以二等于二十，那这是它的公式。 在这里面我们要有一个知识点，什么 a 一 加 a 四啊？ a 一 加 a 四，它是等于我们要用到的 a 三，它是等于我们的 a 三加上 a 二的 啊，就是一加四，三加二都等于五，所以它的结果是相等的，我们用这样的关系求出来 a 二，然后让它求出来 d 啊，好，那接下来我们来套用，那我们求出 a 一 加 a 四的结果， a 一 加 a 四， 他肯定是等于我们的十，对不对？所以那 a 三加 a 二也等于我们的十，那 a 三告诉我是七，所以 a 二肯定是等于三了，对不对啊？三加七等于十，所以 a 二是三， a 二是三呢？ a 三等于七，那 a 二和 a 三之间是不是差一个 d 啊？是不是 a 二加一个 d 等于 a 三，所以 d 是 等于我们的 四？好，那我求出来 d 了，那求出来 d 以后，那我们来看， a 三和 a 十之间，三和十差的是七个数，所以是 a 三加七， d 等于 a 十，大家给他记住就行了，差几个数就差几个 d， 那 所以就是七加呃，七 d d 的 话，一个 d 是 四四七二十八， 所以它的结果最终结果等于三十五，所以我们选的是 c 选项。好，那接下来看一下第十三题， 第十三题的话是我们的等比竖列，他让我们求前五项和，那这道题的话，大家不用公式也能算出来，就比较简单，他说 a 一 等于二， q 等于二，那我以此类推就可以了。当 a 一 等于二的时候， q 等于二，那 a 二是不是等于四 啊？那 a 三再乘二是不是等于八？ a 四再乘二是十六，再乘二是三十二，这是不是就五项了？前五项和，那就是 a 一 加到 a 五，对不对？那我们给他加一下啊，那四加十六等于二十，他加他等于十，这就是三十加三十二等于六十二，所以我们选的是 c 选项啊，就是能简单不用公式的，那我们就可以直接硬推不用公式了啊。好，那接下来看一下第十四题。 第十四，十四题是一个二次函数的问题，在这个二次函数里面啊，他让我们求的是最小值，那最小值，我们知道二次函数对称轴对应的值最小啊，开口朝上， a s 平方， a 为正， s 平方前边为正啊，所以是 对称轴对应的值是最小，那我要判断这个对称轴在没在这个范围内啊，所以大家不要上来就把这个零带进去，就是最小值啊，这样的话是错误的啊。 那它的对准轴二次函数对准轴 x， 它应该等于负的二， a 分 之 b 啊，那它是 a， 它是 b， 它是 c 啊，所以等于负的 二乘一分之 b， b 是 我们的负四，所以结果最终结果等于二。好，那二是不是正好在零到四之间呀？好，那在这个范围，所以当 x 等于二的时候，当 x 等于二的时候，对应的 y 值是最小的啊，所以当 x 等于二，把二带进去， 又是二的平方减去啊，二乘四，减去八，然后再加上五，那就是负四加五，那它等于我们的一，所以我们选的是 a 选项啊。 好，那接下来我们来看一下第十五题。第十五题是一个三角形，让我们求它的一个面积， 在这个里面它有夹角，所以它要用到我们那个呃，三角函数里面的一个三角形面积公式啊，就是二分之一 a， b 三以 c， 二分之一，然后 bc 三以 a， 二分之一 a c 三以 b， 要用到这个公式就是有边和夹角的公式。那我先从已知题目里面提取出来一些信息，在这个里面的话，它告诉我是 bc， bc 代表是 a 边， a 边等于根号三十七 啊，然后 a c 代表是 b 边， b 边等于五，那 q 三 a 啊， q 三 a 就是 a 角，对不对？ q 三 a 等于五分之二，在这个里面的话，我怎么来求啊？它给的是 q 三 a， q 三 a 的 话，我可以得出来 三隐，因为它都是三隐，三隐，三隐的角度对不对？所以那我可以得出来三隐 a， 那 三隐 a 怎么求？也就是说我们的呃三隐方 f 加上 q 三隐方 f 等于一的公式，大家应该都知道，对不对？ 所以就是那 sine 方 f 应该等于一，减去二十五分之四，所以等于二十五分之二十一，对不对？所以那 sine f 应该等于五分之根号二十一，好，那它等于五分之。 根号二十一，好。那做到这一步的时候好像还是没有答案，你说老师我做到这了，那我可以套用公式了吗？啊？用散引 a， 散引 a 的 公式，二分之一 b， c 散引 a。 那 我现在是不是要求出来有 a 边 b 边没有 c 边呀？那我要求出来 c 边，在这里面我们应该怎么求 c 边啊？在这个时候我们可以用余弦定里把 c 边求出来， 比如说余弦定零里面有一个 a 方的公式， a 方等于什么？等于我们的 b 方加 c 方减去二 b， c 口算以 a。 哎，在这个里面的话，是不是只有一个 c 位值数啊？啊？所以呢，我们可以通过这样的公式，然后把我们的 c 给它求出来。 所以 a 方是三十七，然后等于啊， b 方二十五，加上 c 方减去二乘我们的 b， 二乘五乘以 c， 然后再乘以我们的 cosine， 二分之一乘以五分之二 啊，让我们进行整理，那就是三十七等于二十五，加上 c 方，减去啊，减去谁？减去我们的五和五进行约分了，也就是减去我们的四 c。 好， 那再进行整理的话，那就是 c 方 啊，然后减去四 c 加上二十五，减去三十七等于零，所以是 c 方减去四 c， 然后减去我们的十二等于零。那在这里面解方程就可以求出来 c， 那 十二啊，我们可以用二六十二啊，这是减四，所以是二减六，等于我们的负四， 所以最终答案应该是 x 加二乘一个 x 减六，应该是等于零，所以 x 等于六，这个 x 等于二等于负二是不可取的啊，不能取，所以我们 x 等于六可取，所以 c 等于六啊， c 等于六。 好，那我接着去套用公式就行了。那我套用谁套用这个公式？二分之一 b c 三 a 就是 二分之一乘以 b 五乘以 c 六，然后再乘以我们的三 a， 也就是五分之根号二十一， 对不对？然后再进行一个化简啊，五六三十啊，三十乘以二分之一就是十，五十五乘以五分之根号二十一，所以选的是四号 d 选项。 好，那接下来看一下第十六题，在第十六题里面啊，他让我们求的是呃切线方程，大家看到这个问题切线方程的时候，其实就是让我们求导啊，大家记住，就是求导的意思， 在这里面我们先把这个曲线进行求导啊，就是 y 等于什么啊？在这里面 x 的 n 次方，它是等于 n 倍的， x 的 n 减一， 大家这个公式要知道，所以就是二啊，次方掉到前面啊，然后次方的原先的次方，然后减一就行了，所以应该 y 等于二， x 的 一次方就二， x 减去多少，这个是 x 的 一次方，对不对？所以一乘二就是减去二，然后 x， 这变成零次方了，就没有了，所以就变成二 x 减二，这是它的导数， 导完以后啊，就没了吗？然后它让我们求切线方程，切线方程我们首先要求出来它的 k， 那接着把点带进去就是 k 了啊，所以接着那 y 撇应该是接着等于啊，把二带进去，二得四，减二等于二，所以 y 撇等于二，也就是它的 k 等于二，那下面 k 等于二的时候， y 等于 k， s 加 b， k s 加 b， 所以 k 等于二的有 a 和 b 两个选项， a 和 b 我 们选择哪个？那接着再来看 a 和 b 选哪个？ 看我们的点过是二三点，把二三点分别带入 a 和 b， 满足条件的就是正确的。所以把点二和三带入 a 选项的时候，二二得四，减一正好等于三，所以我们答案就选是 a 选项啊，这是我们的切线方程。好，那接下来来看一下第十七题。 十七题的话，三个函数里面三扣扣三是三个公式，对不对？三个扣三，符号不变，加就是加，所以就是三引十四加上十六，所以是三引三，十度等于二分之一，直接选二号 b 就 行了。 好，接下来看十八题，是一个向量的问题，让我们求 a 乘 b， 那 a 乘 b 就是 x 乘以 x 加上 y 乘 y， 就是 三乘一加上四乘，我们的负二，所以是三加负八，所以应该等于负五，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看十九题。不等式组，不等式组，我要注意的是上下两个求解完，最终取它的交集。 先来看上式三， x 的 角值小于等于六，那 x 是 有两个结果，一正一负，是不是？所以是 x 等于二， x 等于负二都满足，小于取中间，所以上面的解是负二到二之间的。 那接下来看三减 x 大 于等于零，所以是 x 肯定是小于等于三。好，那它之间的一个交集啊，负二到二之间 啊，然后 x 小 于等于三在这个位置，所以它们的交集应该就是负二到二，所以我们选的是 c 选项。 好，那接下来看一下第二十题。二十题也是向量，向量的话，先让我们算二 a 减 b， 然后外表的绝对值是它的膜的意思，让我们再求它的膜，那我先一步步来算二 a， 二 a 的 话，它就等于我们的二逗号四，那二 a 减 b 啊， b 是 二和三，二 a 减 b 应该就等于我们的零逗号一了，对不对？零逗号一，那零逗二一的最终的值是多少？那模模，那它就等于根号下 x 方加我们的外方，所以是根号下零的平方，加上一的平方等于一，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看二十三题。二十三题的话是一个复数的问题，让我们求它的虚部是多少啊？那我就把这个整个这个括号给它拆开就可以了啊。在这里面拆开的话，就是前乘前，前乘后，对不对？后乘前，后乘后的意思啊，这就是三乘一， 然后减去三 i， 然后再加上二 i， 然后再减去二 i 方，然后进行整理就行了， 那就是三减去 i， 然后再减去二 i 方 i 方，它是等于负一，大家要知道 那负一乘以负二肯定变成正二了，是不是？所以变成加二了，所以它最终就变成五减 i 变成五减 i 了，那虚不带 i 的是虚部，那虚部肯定是负 i 就是 负一， i 的 意思就是负一，所以我们选的是二号 b 选项。 好，接下来看一下第二十二题。二十二题的话，让我们找这个直线方程，在这里面他告诉我倾斜角是一百三十五度， x 轴截取为三倾斜角找直线的话，我要找 k 啊，就是 k 等于多少？ 那清洁角是一百三十五度，那它的 k 等于碳尔夫啊，碳一百三十五度，也就是碳四十五度的值，对不对啊？等于我们的负一，碳一百三十五度的值等于我们的负一啊，所以我们要找 k 等于负一的， 然后 x 路截距为三， x 路截距就是另外等于零。好，那我们来带着这个问题啊，我们来看下面的一个选项， 那接下来看一下 abcd 这个选项我们要找谁呀？ k 等于负一的，然后 x 轴的截距啊， x 轴的截距是等于三的啊， 所以来看 k 等于负一，那我们怎么来看下面的 k 是 不是负一呢？啊？那直线的 k 等于负的 b 分 之 a 啊，负的 b 分 之 a 来看 a 选项，负的 abc， 负的 b 是 负的，一分之一 等于负一呀。好，那说明 a 和 b 啊，它们 x 加 y 是 一样的，所以 a 和 b 的 k 是 负一， c 和 d 不 考虑了，然后接着在里面 x 等于三， x 轴的截距等于三， x 轴截距等于三，说明是 y 等于零啊， y 等于零， x 为三，那我们来看一下选哪个？ y 等于零， y 等于零， x 等于三，所以选是二号 b 吧。三减三等于零，是不是这个是负，三加三等于零，所以最终结果选是二号 b 选项啊。 好，接下来看二十三题。二十三题让我们找平行的直线，那这个直线是 y 等于 k， x 加 b， 下面也是 y 等于 k， x 加 b， 形式对不对？当平行的时候， k 等于 k， k 和 k 相等，所以是二和二是相等的，所以我们答案只能是在 a 和 b 进行选择， 那 a 和 b 进行选择，那谁是呢啊？ no， 他 说什么过二逗号一，把二号，逗号一带入，选项成立是正确的，所以把二逗号一带到这个位置，二二得四，四减三等于一，所以我们选的是 a 选项。那二号 b 的 话是什么？你看二 s 加三，二三是不是一模一样？那他们应该叫做重合啊，叫做重合。 好，接下来看二十四题。二十四题关于椭圆的问题，他问我下列关于椭圆 c 说法正确的是哪个啊？那好，来看 a 选项， a 选项告诉我的焦距是二倍的根号，我们焦距指的是二 c， 在这里面 c 怎么求？应该是 a 方减 b 方等于 c 方啊。椭圆谁大谁是 a 方，所以四是 a 方。 x 下面没有数，说明是一，一是 b 方，所以是四减一等于三，所以 c 应该等于根号三，二， c 应该等于二倍的根号三，所以 a 是 错的啊。二号 b， 焦点在 s 轴上，错啊。怎么看？焦点在什么轴上？看 a 方头上， a 方头上， a 方谁大谁是 a 方， a 方头上是 y， 说明焦点是在 y 轴上啊。 然后看 c， c 的 话是离心率等于二分之一，离心率等于 c 比 a， c 是 根号三， a 是 二， a 方是四， a 是 二，所以离心率也不对，所以我们只能选四号 d 长轴长指的是二 a， a 方是四，所以 a 等于二， a 等于四，所以我们选四号 d 选项。 好，接下来看一下二十五题。已知直线和圆是相切的，让我们求 r， 当直线和圆是相切的时候，说明圆心点到直线距离等于半径 r， 也就是 d 等于 r。 好， 那在这个里面让我们求 r， 其实就是让我们求 d 等于多少，对不对啊？那 d 就是 点到直线的距离，就是圆心点，圆心点就是我们的。当括号为零，是圆心点是一逗号零， 那 d 等于根号下，是不是 a 方加 b 方分之啊？ ax 加 b， y 加 c 的 绝对值啊，所以代入那它就是 abc， 大家记住啊，所以就是根号下一的平方加上一的平方，分之啊。然后 x 加 y 减二， x 加 y 减二的绝对值，所以直接代入就是根号二分之 x， y， x 是 一， y 是 零，那就是一加零减二的绝对值， 所以应该等于根号二分之一，根号二分之一，分母不能为根号，所以是同乘。根号二，所以是二分之。我们的根号二，二分之，根号二，所以这道题我们选的是 a 选项， d 等于二分之，根号二，那 r 也等于二分之二啊。 好，我们来看一下二十六题。二十六题让我们求圆锥的体积，在做体积的题的时候，大家要注意，你看你求是圆锥还是什么什么柱啊，所有的锥体，不管是圆锥还是什么锥，只要是锥体，那他要等于三分之一。 s， h， s 是 底面积， h 是 高。好，那我先画一下这个圆锥，这个圆锥告诉我它的底面的直径啊，底面的半径是等于三的，母线是侧棱，侧棱是等于五的。 好，那它的底面积，底面积是一个圆，那圆的面积是 pi r 方，所以等于九， pi 对 不对？那高是多少呢？那高的话，它有母线，那我需要做垂线， 对不对？做垂线，也就是说这是一个直角三角形。勾股定律，五的平方减去三的平方就等于高， 五的平方减去三的平方，它应该等于四的平方，对不对啊？所以它的高等于四，那就是三分之一啊，乘以九派，然后再乘以我们的四啊，所以最终结果应该等于三派，乘以四等于十二派，所以我们选的是二号 b 选项。 好，那接下来看一下二十七题概率的问题。在这个里面，他让我们求的是啊，一个骰子啊，有两个骰子质地均匀，然后抛出点数为九的概率， 那我骰子一共是有六个面，六个数字，对不对啊？抛两次啊，同时抛两个，那就是六乘六的关系啊，同时完成的事情，共同完成的事情，需要乘法六乘六。 那接着再来说啊，点数和为九为九的话，大家想应该是三加六为九，对不对？还有个四加五 为九，是不是？然后那第一个骰子是三，第二个骰子是六，第二个骰子是三，对不对？第一个骰子是五，第二骰子是四，也有可能这种可能，所以是一共是四个可能性，所以三十六分之四，所以等于九分之一，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看一下我们的二十八题。二十八题是二项式的问题，它让我们求的是展开式当中的第三项啊。那第三项呢？它有一个公式啊，就是我们的 t r 加一等于 c n r， a 的 n 减 r 和 b 的 r 四方，这是它的公式。那第三项就是我们的 t 三啊， t 三的话，所以 r 等于二啊， t 三， r 加一嘛，所以二加一， 所以它等于 c 四二，然后 x 的 四减二和负 x 分 之二，括号的二次方啊，所以等于 c 四二乘以 x 的 二次方，然后负 x 平方，嗯，分之二的平方，那它就等于 x 平方分之四，对不对？然后进行整理， 在这里面我们需要把它进行拆开整理啊，就是 x 平方分之四，其实它应该是谁乘的？是四乘 x 平方分之一得到的，对不对？那接着再来看 x 平方分之一，是不是就是 x 的 负二次方呀？一个数负次方等于它的倒数，就是它的分数，对不对？所以是 x 的 负二次方。 那整理完就是 c 四二乘以 x 的 二次方，乘以我们的四乘以 x 的 负二次方， x 二次方乘以 x 负二次方就没了，是 x 零次方。那 c 四二乘以四， c 四二就是四乘三，比上二乘一， 所以等于三，四乘二除以二等于六，六乘四等于二十四，所以最终结果等于二十四，显然是 c 选项啊，这是我们第二十八题，重点的话是这个公式，大家可以记住。 好，那接下来看二十九题。二十九题的话，让我们让我们求实线和面之间的关系。都说 l m 是 线， f 是 面，我们来看 a 选项， 当 l 垂直于 m 的 时候啊， l 垂直于 m， 那 m 属于 f， 那 l 就 垂直于 f 面吗？啊，在这里面，线 垂面。我们有一个前提条件，当线垂面的话，必须是线垂面内两条相交线，此时才能证明线和面是垂直的啊。在这里面的话，他只说了是 l 垂直一个 m， 是 吧？那这个没有相交线，只是垂直了一个 m， 但是不能证明这根线就垂直于这个面 r， 所以 它是错的啊，必须垂直于面内两条相交线。那接下来看号 b r b 也是让我们求的。是啊， m 垂直于，呃， f 啊，这是 f 啊，那接下来看他给的什么条件。他说 l 垂直于 f， l， 这是 l 垂直 f， 那 l 和 m 是 平行的啊，那平行的话肯定长这个样子啊，就是两根线啊，同垂面，两根线平行啊，这个是对的，所以我们选的是 r b 选项啊，两根线平行，同垂直于 a 面，那 m 也垂直 a 面，所以这道题我们选的是 r b 选项。 好，那我们接着来看一下三十题啊，统计的问题在三十题里面啊，他给我们一个图，一个饼形的一个图，他告诉我们是，呃，在调查样本数据中，然后青年教师有三十人， 则这个样本中啊，老年教师啊，有多少人啊？在这个里面，青年教师占百分之五十，也就是零点五啊，是不是最终等于我们的六十，也就是 总数一共六十，也就是说我们整个啊，所有数相加，抽取的是六十人一个总数。他说老年人占多少数，就是总数乘以它的比例就行了，比例是百分之二十，就是零点二，所以他占的是十二个人，所以我们选的是 二号 b 选项。好，这是我们三道的一个选择题，那接下来看一下我们的判断题，判断题有十道，每道题是三分。好，首先来看第一题， 第一题的话说是等差数列，等差数列， a 三加 a 五等于四十， a 八加 a 九加 a 十等于七十，问我们对不对？在这个里面啊，我们需要思考一下，那他的话 a a 五加 a 十三啊，那他是不是就是 a 八 加 a 十，是不是等于十八呀？是不是十八，对不对？所以那 a 八加 a 十也等于四十。那我是不是要知道 a 九，那 a 九是不是 a 五和 a 十三的中项呀？你来看，他跟他之间是差四，他跟他之间也差四，所以 a 五是他们中项， 那 a 九中项的话，就是怎么等差数的？中项就是前加后除以二，所以是 a 九应该等于我们的二十，所以四十加二十应该等于六十，所以这道题是错的啊。 接下来看一下第三十二题。三十二题 f x 等于二 x 加上二的负 x 方，它是偶函数，在这里面我要想判断它是不是偶函数，其实可以用一个代入法代入正负一，结果相同，相同就是我们的偶函数啊。那我们来看一下，那 带入正一的时候，就二的一次方，然后加上二的负一次方，这是 f 一， 那如果是 f 负一的话，那带入就是二的负一次方，加上二的负的负一次方，就二的一次方，对不对？你看二的一，二的一，二的负，一二的负一，它的结果肯定是相同的，所以它是偶函数，所以是正确的。 好，我们来看一下三十三底三角有了，然后 c 角也有，让我们求 c 边是不是根号二。 在这里面我们来看已知条件里面只要是有一对出现，我们就用什么定律，正弦定律对不对？正弦定律，也就是 a 比上我们的三引 a， 等于 c 比上我们的三引 c， 用它又可以了。 好，那我们来验证一下， a 是 根号三比上三引 a， 也就是三引六十度等于二分之根号三，对不对？然后等于我们的 c， c 是 我们的。不知道，我求一下 c 比上我们的三引 c， 三引 c， 四十五度是二分之根号二。 好，那十字相乘就是相等，所以是二分之根号二乘以根号三等于二分之根号三乘以多少啊？那他是，他是我们的。呃，二分之根号六，那他也要是二分之根号的，就二分之二，三乘以谁等于二分之根号六，谁等于乘以根号二，对不对？所以 c 等于根号二，所以它是正确的啊。 好了，看三十四题，三十四，一个基础运算，三分之一的负三次方，负次方是倒数的意思啊，所以那就是三分之一乘以三分之一乘以三分之一，最终的结果再倒过来，所以等于二十七。分之一的倒数是二十七， 所以他的结果等于二十七，然后再减去二二十七的。呃，三分之一四方就是开三次，意思就二十七开三次，开三次肯定等于三呀。三乘三乘三等于二十七，对不对？所以减去三，所以最终结果等于二十四，所以他是错的。 好，三十五题是一个等比数列， a 二等于负四， a 五等于二分之一，让我们求 q， 在 这个里面， a 二和 a 五之间，他们差的是三个数字，所以差是三个 q， 所以 是 a 二乘以 q 的 三次方应该等于 a 五， 那 a 二是负，四为负，这个 a 五是二分之一为正，是不是 q 三次方要为负才行呀？是不是 q 三次方要为负呀？负负才能得正，对不对？ q 三次方为负， q 也是为负，他说是正负，所以显然是错的，就不用再计算数字了啊。 好，三十六题。三十六题，他说他们之间是垂直的关系，那是不是垂直？那垂直的关系是 x 乘 x 二加上 y 乘 y 等于零，那显然是错的，对不对？一乘二加上二乘四不等于零，所以他是错的啊。好，我们来看三十七题。 三十七题是一个双曲线的问题，他让我们求这个间隙线是不是 y 的 正负二分之三 x， 那 在求间隙线之前，我们先把这双曲线变成一个正常的形式， 面积的话，必须让它等号后面等于一才行，所以让它同时除以三十六就是四。 s 平方除以三十六减去九，外方除以三十六等于一，所以进行化简的时候，变成我们九分之 x 方，然后减去四分之外方等于一，是不是？然后接着来求渐近线，渐近线方程是 y 等于正负 a 分 之 b x 啊，或者是 y 等于正负 b 分 之 a x 啊，是这样的形式，那是谁取决于焦点是在 x 还是在外。那我们来看一下焦点在 x 在 y 还是看 a。 a 方头上 a 方，谁是 a 方，谁在前，谁是正数，谁是 a 方，也就是九头上九是 a 方， a 方头上是 x， 所以 焦点是在 x 楼上，所以我们要用这个公式， y 等于正负 a 分 之 b， 所以 等于正负 a 方是九，所以是 a 是 三，然后 b 是 二，正负三分之二 x， 它是正负二分之三，所以是错误的。 好，我们来看下第三十八题。三十八题让我们说的是圆和圆的位置关系，那圆和圆的位置关系，它让我们判断是不是相邻。那我们要知道在什么情况下圆和圆的位置关系是相邻啊？ 在这个里面我们要给他画一个图啊，圆和圆当他是相邻的话，说明是两圆心之间的距离大于两半径之合啊。在这里呢，我们就求两圆心之间距离和两半径之合就可以了。 两圆心之间的距离就是零逗号零和三逗号三之间的距离，对不对啊？那两点间的距离公式就是根号下 x 二减 s， 一 的平方就是三的平方加上三的平方，因为都是零零，对不对？所以就等于根号三的平方是九，九加九等于十八，根号十八，根号十八是 呃二九十八三倍的根号二，这是两圆心之间的距离，那两半径之间距离，半径都是一和一，两半径相加是二，显然是两圆心之间距离大于是不是大于两半径之间的距离的，所以相离是正确的，所以是对的啊。 好，那接下来看一下三十九题。三十九题让我们求的是啊，他说两球的体积之比是八比二十七，它的表面之比是二比三，对不对？体积是三分之四 pi r 三次方和三分之四 pi r 啊，用个大写 r 三次方进行比较，对不对？那 他们两个之间比较的话，是三分之四派不比的，三分之四派不就比的是 r 三次方和 r 三次方， r 三次方比上 r 三次方啊，它是等于八比二十七的，所以 r 比上 r， 它应该是等于二比三吧， 对不对？那表面积是四派 r 方和四派 r 方，所以是 r 方和 r 方比，应该是变成我们的四比九，对不对？它是说二比三，肯定是错的啊。好，来看四十题。 四十题的话，他说 ab 互为互斥事件在这里面是 pa 等于零点三， pa 等于零点四， pa 并上 pb 应该是相加的关系，应该是零点七，所以这道题是错的。好，那这套试卷我们就讲到这里啊，大家有什么疑问可以在评论区留言，然后也可以私信。

第二题小于了啊，小于取中间还是就是二？ x 加一里面是什么？绝对这里面是什么，不要动能懂了吧？是什么就是什么，抄下来，然后 大于小于，哎，大于谁啊？这个三的负相反数负三这边还是三，本身就这么简单，能理能理解不？然后解出 x， 那 老师这咋解？哎，先都减去个一，先把它变成二 x 能懂吧？先减去个一，这边减一变成负四了， 这边减一，它减一。二 x 加一减一是不是变成二 x 了？三再减一变成二了，然后再都除以二，除以二以后它变成负二了，它变成一了啊。所以负二到一 understand 选 c 秒了啊。

单招押题之竖列选择题马上开始，来第一个，一个，两个，三个，所以一共是三个三倍的中间线。三倍的 a 二直接等于十八来三几一，十八来，来，三六一，十八来 a 二等于六选二 b， ok， 来第二个，乘等差数的中间向二倍来二倍的 x 等于前后两项加起来，加起来来，三加七等于十二， x 等于十 x。 答，等于五等于五，所以选二 b 来下一个 跟我一起查，一个两个三四五个五倍的中间。 a 三等于十五来五几，十五来五三一十五。所以 a 三等于一个三选二 b 三个二 b 了，最后一个还会是二 b 吗？ 来最后一个，一个两个三个三倍的中间， a 四等于十二。答，三几一，十二。答，三四一十二， a 四等于四来又十二倍，轻松搞定。

二是相关问题中的求各项系数之和问题啊。方法我们可以选巧代一法，就是让所有的变量 x， y 都变成一， 然后最后的得数就是什么各项系数之和了。然后第一题二， x 减 y， 也就是把 x， y 都变成一，也就是二减一，二减一是一，一的奇值方，那还是一啊，一的任何次面还是一，哎，秒了。 看第二题，反反问，各项系数之和是八十一了，那各项系数之和咋来的？也就是让这里的 x 等于一。来了，二乘一还是二，一加二，三，也就是三的 n 次方等于八十一，那你说 n 等于几啊？ n 是 不是等于四啊？因为三十四之方等于八十一。二 b。 秒了。 好。三题二，样式系数 x 分 之一减二， x， 它的展开系数中各项系数之和还是让它等于一，让它等于，哎，这个时候是一分之一还是一？一减二是负一负一的三次方还是负一？哎， a 秒了。然后呢？来第四题，已知 x 加 x 的 a 次幂 二， x 减 x 平方的六次幂的展开系数之和为四，则小 a 等于几？还是让所有的变量都变成一啊一，一， 也就是一加 a 乘以个二减一是一，一的六次方还是一，一加 a 等于四啊，一加 a 等于四，那 a 就 等于三喽，哎，秒。

来看啊，奇偶函数咋讲？如果整个函数是奇函数，哎， 一定要记住 f， 零等什么？等零，哎，所以你把零往里带啊，把零往里带就 ok 了。哎，也就是 a 减二的零四米，二的零四米，是不是一啊？哎，分之一，它是等零的， 快吧。二的零之名，任何数零之名是不是一啊？一加一二二分之一，对不对？ a 减二分之一等等零，那 a 等于几啊？那不就二分之一吗？这不结束了吗？数第七题，函数 f x 等于在什么？什么奇函数？当 x 在 富无穷到零的时候，人家有表达是问你 f 二等于啥？ 这个时候注意啊，千万不敢直接把二直接往里带，哎，因为二不在这个负无穷到零上，这是小于零的时候才能才有的表达式，二是大于零的，大于零没有表达式。林老师，那咋办？那咋办？ 不能带啊。刚说完不能带啊，那咋办？哎，这就用到奇函数的性质了。 f， 你 看啊，奇函数 f 二，它等于负的 f 二， 哎，你咱们都知道 f 负 x 等于负的 f x， 对 不对？哎，你把它换换位置，把它 移过来这边啊，它移过来这边也相当于 f x 就 等于负的 f 负 x， 哎，你看奇函数就是内外都加符号啊，内外都有符号又才能等于原函数，偶函数是 f x 就， 哎，等于负 x， 哎，你看它俩区别，看到没， 看到没啊，就多外围多了个符号，看到没？偶函数的符号直接可以去掉奇函数符号，哎，你内外都得负， 懂了吧？啊，所以 f 二等于 f 负的 f 负二，所以这个负二带负无穷到零，哎，负二在这个范围内，所以负二是可以直接带的，所以我们真正要带的是负二啊。但是记住前面还有个大符号了啊。所以前面这个大符号不要丢，然后你要不会的话弄个中括号括一下知道吧？啊？然后往里带二倍的负二的立方 加负二的平方，能懂了吧？哎，中大符号不要丢啊。那二乘一个负二的立方是负八，对不对？哎，立方嘛，符号不丢，但平方符号就丢了啊，负二的平方是四了，能懂了吧？啊， 然后就有底了，这个会算了吧。二八十六对吧？负十六负十六加四，这是小括号里面的是多少？哎，负十二负十二，前面整体还有个符号，所以就正十二结束啊，谢谢。

大家好，这里是四川单招罗老师，今天呢罗老师也给大家带来了什么公式的讲解，也带来咱们的整体讲解。所以说同学们如果说咱们想在单招这个考试中来获取非常高的分数，那么对于数学这门科目，第一个就什么是公式，第二个什么要知道什么公式怎么会用，所以说 接下来咱们同学们跟着罗老师来要把公式也要复习一遍，还有什么知道如何去用。好，我们看一下，今天给我们讲解的是我们函数的基本性质， 那么函数基本性质在我们单招里面呢，有两个必考的知识点，一个就是单调性啊，知道这个函数，增函数减函数，还有个什么就奇偶性好，我们知道单调性呢？求解有两个方式，要么？第一个非常简单，是什么？是求导， 这比较啊，大部分如果说看不懂这个函数，就直接求导。第二个如果说你明白这个函数，比如说那我们知道非常简单的 y 等于 x 是 吧？这个函数指什么？是这样画的，如果说咱们知道一个函数的图像，那么咱们也可以用什么 平时我们的积累啊，也就说这两种方式啊，第一个就是说我们的基本函数性质，第二个就是我们的平时的什么非常好用的求导。好，这我们单调性 好，再看我们什么奇偶性，我们知道奇偶性对于什么奇函数是这个公式，把偶函数是这个公式，但说明一定要知道奇函数一定是什么。关于原点对称，也就说 f 零等于零，一定要记住这个知识点。好，那利用这两个性来看下我们的整体模拟题，好，看下这题，他说下列函数中既是什么 偶函数，就在什么零到正无穷是单调递增的啊。单招里面特别喜欢出这种题，在我们选择题里面，比如说既考察我们是肌肉函数，又考察我们什么单调性。好，我们看一说，我们先看一下什么先看单调性， 如果先看单调性，我们知道 y 等于 x， 它是这样画的对不对？那么它肯定是一直增的，所以说它是增函数。好，再看什么 y 等于这个 x 的 绝对值，同学们，看到绝对值，咱们不要害怕，它说了什么是在 x 到正无穷上，那么它在正无穷上是不是这个单，这个绝对可以去掉，是不是也变成 y 的 x 加 e 是 不是也是增的？ 好，这也是增函数？好，看下 c 选项， c 选项是一个什么是开口向下的，什么是开口向下？在 f 等零的时候是不是杠上一， 所以说在零到正无穷，它是什么？是单调递减的，那么这是减函数。好，这是什么？这是我们的 y 等于 x 分 之一，那么这个函数比较特殊，它的同样是这样画的，在零到正无穷是这样画，在负无穷到零啊，是这样画，所以说它在我们零到正无穷是减函数。 所以说这题让我们求什么？让我们求单调递增，所以说 c、 d 直接什么排除掉？好，我们再看一下 a、 b a、 b 呢？我们知道偶函数 f 负 x 等于什么 f x， 那 我们直接是不是可以代入一个？代入一个的话，比如说带 f 一， 我们知道带 f 负一的话，那么 f 负一 a 的 话，是不是刚好还等于负一？所以说它应该什么是奇函数？所以说 a 应该是错误的，因为我们知道 f x b 等于 f x， 而 b 为什么等于它带来绝对值和这里什么选 b 选项，所以如果说咱们要熟悉的话，其实啊并来说是一个非常啊清晰的什么偶函数。好，那今天视频就到这里了，拜拜。

当数学直线必考的三种题型，先看第一个，三点公线，那他现在告诉你两两个点让你求斜率呢，那斜率 k 就 等于 y 二减 y 一 除以 x， 二减 x 一， 那他现在 y 二减 y 一 吗？三减二是不是一啊？ x 二减 x 一， 二减一是不是也是一？它就等于一，所以说 ab 的 斜率呢，就是选四 d 了。看第二个题，三点共线呢？三个点在同一条直线上，证明它们的斜率是相等的。它现在求 m 的 值，那我先把 ac 的 斜率给它求出来， 对吧？那它现在 y 二减 y 一 是不是还是五啊？那等于二，那 ac 的 斜率肯定等于 ab 的 斜率了。那我现在求 ab 的 斜率吗？ 那他现在就是 m， y 二减 y 一， m 减二，除以二减零还是二，那他现在要等于几？要等于二，因为他们的斜率本身就是相同的嘛。那这个 m 等于几啊？是不是要等于六选二 b 啊？ 看下边平行的过点与直线平行。记住一句话，狗头不动拿下来变的只有后边这个常数，那他现在还是六 x 减五 y， 我假设后边这个常数呢，是 c， 我 怎么样把这个 c 求出来？我现在只有把这个点一一带进来就行了。那它现在就是六减五，加 c 等于零， c 是 不是就等于负一啊？那它现在就是六 x 减五， y 减一等于零，选四 d， 看第二个还是同理。平行的狗头不动拿下来还是等于二 x 加 y 加 c 等于零，我现在只需要把这个 c 求出来就行了，把它带入进来， 那负一乘以二呢？就变成负二了，把三带到 y 里面就变成三了，那这个 c 是 不是也是等于负一啊？那他的方程是不是就是二 x 加 y， 因为这是负一，所以说是减一等于零选二 b。 你 说老师垂直呢？记住垂直就是系数互换加编号。什么意思呢？就是 x 跟 y 前面系数互换，然后你给他们认一个符号编号就行了，认一个系数编号就行了，你看他现在给他拿，拿到前面变成正五都可以 加上六 y， 对 吧？ x 跟 y 前面系住呼唤了，记着随便哪个数变号就行，然后加 c 等于零，现在把一带进来变成了五加六，加 c 等于零， c 就 变成了负十一，对吧？所以说这个题他就选 a 了，学会了吗宝贝？

好，同学们，我们接着来学习二零二六单招数学模拟考试题。首先我们来看第一题啊，集合 a 是 这个，集合 b 是 这个，让我们求 a 并 b 的 元素有多少，那我们就是先求出 a 并 b 都有谁来不就行了吗？并 b 并，我们就是取所有啊，负一， 然后呢？二，然后三，然后四，然后六，这就全包括了，所以数几个，一二三四五，对吧，所以是五个选二 b 来，我们来看这个对称轴的直线方程，其实就让我们求这个一元二次函数的什么对称轴， 对称轴 x 公式啊，讲过真的不下一百遍了，快。负二 a 分 之 b， 但是不知道哪个是 a， 哪个是 b， 哎呀，这个同学们再讲最后一遍啊，标准是说 y 等于 a 倍的 x 的 平方加上 b 倍的 x 加上 c， 这是它的标准式把，这个你必须得记住， 这个时候我们不就知道了吗？等于负二 a， 我 们来看标准是 x 平方前面这个数是 a， 那 我们就找 x 平方前面，这不是二吗？数是二 分之 b 是 x 前面的数，那 x 前面我们来看是多少啊？负一，对吧，所以就负一，那等于下边是二，二得四，负四分之一，负负一约不是四分之一吗？所以就是 x 等于四分之一，所以选择二 b 来。第三题，过平面外的一点， 做与平面平行的平面可以做几个呀？肯定是一个呗，对吧？ 选择四 d 啊，这只能是一个啊。然后这种啊，我们来看斜立 k， 那 标准式是等于什么？外倍的 k 倍的 x 加 b， 这标准式 y 等于 k 倍的 x 加 b， 我 们给它换成这种 x 前面的数就是 k， 那 现在是在这，我们就把 y 等于，对吧？把三 x 移到这边来，不就变成了负三 x 加一了吗？所以 k 不 就是多少啊负三，所以选择 b 来。第五题，底面半径为三，高为二的圆锥的什么？以及，那我们知道啊，圆锥的体积 v， 它的公式是三分之一 pi 二方 h， 所以 就等于什么？三分之一 pi 乘以谁啊？二半径吗？三的平方再乘二，所以等于六 pi 啊，平方厘米，所以选择 买噶，哎哎哎，不是平方厘米啊，体积啊，立方立方，所以选二 b 啊，选二 b 来。第六题， 同底的相减等于上面在干什么？消除呗。也是 log 以三为底，七分之六十三，它就等于 log 以三为底，几啊九，对吧？ log 以三为底，九可以写成三的平方， 然后我们把这个二提到前边来，它就等于二倍的 log 以三为底三，然后这是一一乘二得二，所以选二 b 啊。有同学们，这个是怎么来的？这儿变这儿，那我们 看啊，同学们，有的同学说 log 以三为底，九就不会算了，就不会算后边了。那是因为你不知道有一个公式，有一公式叫 log 以 a 为底， a 的 b 次方，它可以写成什么？必备的 log 以 a 为底 a， 但是你不知道这个公式。如果你知道这个公式了之后，那我们知道 log 以三为底，三的九次方，这个九可以写成三的平方，它不就变成这个了吗？变成这个之后，我们是不是可以把二放到前边的？那有的同学还不知道， 那为什么二倍的 log 以三为底三，最后它等于二呢？是因为什么 log 下边的这个数跟上面数相同的时候，它就直接变成了几了一了啊，是这样的啊，来第七题， 对于反比例函数， y 等于 x 分 之四，下列说法错误的是。那首先，反比例函数对吧？反比例函数，它在每个象限内外干什么？看 x 大 于零时外随 x 的 增大而增大。反比例函数，同学们，它应该是什么？当 x 大于零的时候， y 随 x 增大而干什么而减小啊？应该是而减小的。同学们啊，所以选择 a 来第八题，它这个好说吧，根号下边 x 平方减 x 要大于等于零，但是它又在分母的 位置，所以它只能干什么？同学们，只能是大于零呗。我们是不能提出一个 x 来， x 乘以 x 减一大于零，然后我们出来 x 等于零，或者 x 等于一大于零干什么？取两边呗， 答案能去两边是不是？选择四 d 来第九题，与它直线干什么？相垂直的相垂直。同学们，我们来看啊，与直线它相垂直的直线方程。 首先， x 加五等于零，它是一条什么直线？我们可以画一个这个竖轴啊，这是 x 轴，这是 y 轴。那我们去找几个点，比如 x 等于零的时候， x 等于零， y 等于几啊？五，好在这个点对吧？那 x 等于一呢？ x 等于一的时候，这是一， y 等于几啊？ y 等于六，对吧？这是五。然后这对应的是六等于二的时候呢，是七，所以这条直线是这样的啊， x 加五是一条这样的直线， 对吧？是这样的一条直线，然后他说了与他干什么？相垂直，对吧？跟他相垂直，那我们就来看哪一个跟他相垂直啊？同学们， 比如说 a， x 减三等于零，那 x 我 们就让 x 等于零的时候， x 等于零， y 等于几啊？ y 等于负三负三啊，在这 y 等于一呢，他是负二 负二，那它其实找两个点，我们就能确定一条直线，它是这样的，对吧？其实你就是每一个都需要带一下就 ok 了啊，同学们每个都去带一下就 ok 了。 第九题啊，答案应该是选择 c 啊， c 来。第十题，等比竖列 a n 张，知道 a 二，知道 a 五，求什么？求 a 一。 那等比竖列，我们知道 a 五，它是等于 a 二乘以 q 的 三次方， 对吧？然后我们能求出来 q 等于几啊？二，然后我们知道 a 一， 不是让我们求 a 一， 但我们知道 q， 知道 a 二，什么能求啊？ a， a 一 等于什么？等于 a 二，除以 q 呗，它就等于一，所以选择 a 来。十一题。 首先我们来看啊，函数，它是一个什么函数啊？因为它下边大于零，小于它是减函数，对吧？那减函数在 b 区间一到二上边的最小值， 一到二上边的最小值，就把二等 x 带进去就行了。减函数越大反而越小嘛，直接带二就行了啊，带二的话，答案是 b 四分之一。 来十三题，求我什么？ a c a c a c 怎么求啊？就是让他俩相加呗，对吧？相加也就是一减二，负二加三，这不就求出来了吗？答案选择 a， 同学们学会了吗？

好，今天来讲一下上午刚刚结束的一套试卷，好吧，我们看第五十六题，函数 y 等于 sin 的 这个东西， omega x 加 f， 这个在一个周期内，图像是，这个对不对？好，一个是在负十二分之派，一个在十二分之五派，大家从最高点 去看，最高点 x 是 不是等于负十二分之派？到相邻点什么？ x 等于六分之派，对不对？ x 等于六分之派，它的水平距离是多少？它的水平距离多少？是四分之 t 一个？好， 那么你看那四分之 t 个就等于六分之派，去减掉负十二分之派，对不对？好，这样是不是等于四分之派？那它周期 t 等于多少？周期 t 的 话是不是等于派？好，这样的话，我们再来求这个欧米伽，欧米伽怎么求？我们来求欧米伽，那这样 t 是 等于欧米伽分之 二派的，对吧？欧米伽大于零，那就是说这个欧米伽是等于七分之二派，就等于二派，除以派等于二，好，这样的话，是不是 c 和 d 是 不是就给他排除掉了，对吧？ c， d 给他排除掉了，那我们看往下看，好吧，然后我们 free， 这题我们求 free， 好 吧，那最高点是不是在负十二负十二分之派一之间，对不对？好，带入这个原式，原式在哪？是不是 y 等于 sine 的 带入 y 等于 sine 的 二， x 加这个 f， 好 吧，那就是说 sine 的 二乘上一个负，二乘上一个负的十二分之 pi 加这个 pi 等于一，好，给它化简化解，上面能得到 sine 的 六负六分之 pi 加 pi 就 等于一，那这样我们根据这个正弦函数的这个性质，是不是负六分之 pi 加 pi 等于二分之 pi 加二分之 二 k， 派对不对？好， k 属于这个 z， 对 吧？好，这个 f 的 话解出来是等于多少？是不就是三分之二派加二分二 k 派对不对？结合这个 f 大 于派的取 k 等于零，那么也就得到这个 f 等于多少？ 是不是就等于三分之二派？那这条是不是选 b？ 五十六题选 b， 好， 选吧？好，我们再来看第五十七题，对吧？正方体中点 e、 f 分 别在点上，且 a， e 等于 c， e、 f， 那 是不是这个线对不对？我们画直线，好吧，就这个线，它是要等于这个线的，好吧，我们把它画出来，那是等于三分之一的 aed 的， 那 aed 在 哪？我们来画 aed， aed 一 在这等于三分之一的，这个对不对？好，这个线呢？是不是有了？ 好吧，放这里，好，他说意面。 ef 与 cd 所成的角的正切值，那怎么算？ ef 在 哪？ ef 是 不是这个对不对？ ef 与哪个与 cd， cd 的 呢？ cd 是 不是在这，对吧？ cd 是 不是在这？好，那我们看，那这个我们怎么去给它转换掉？那这个 cd 是 跟这个 ab 是 平行的，对不对？好，我们移到这， 他去求他们俩所乘的角正截值，那 e， e 搁哪呢？ e 是 不是搁这个三等分点，这里对不对？好，这是占一份，这里占多少份？这是不是占 两份？三等分点这里，好，那我们再来一个直线过来，是不是？可不可以？那这个地方是不是跟这个地方是也相等的？这两个是不是相等的？是不是也三等分点？好，那这样我们来看，那这，这是不是构造一个什么？这是不是能够到一个什么？一个三角形的一个面，所以说他 ef 这条线是不是跟这个 c d 平移之后的这条线，对不对？因为它跟它是平行的，所成的角是不是这个角所成？角，是不是？我们来换个颜色比，是不是就是这个角？是不是角 fe， 好， 这里我们取个点 g 吧，好吧， g 是 不是这个角？它的正切值不就 ten 呢？等于 对边去比零边，不就是等于 f g 去比什么 e g， 那 好，这也是三等分点，这也三等分点，这不是三分之一吗？对不对？好，它是不是也是等于 e 中间对边对边这个 e g 就是 这个 f g 这个点 f， 这里看就是 f g 比 e g f g 是 不是能求出来是三分之一的 a d 撇 a d 撇，好，我们来设这个 边长为二吧，好吧，我们来设边长，这边长为二，好不好？是这个线，我们把留着留在这是 这个角，求这个角，这记，好，我们来设这个边长为二，二，这个二二对不对？对，二，好，那这个对角线 a d a d 撇 a d 一， 是不是能求出来？是根号下二的平方加二的平方 二到四四，根号八，对吧？就等于二倍根号二，好， a d 点的二倍根号二，那这个 f g 是 三分之一的 f g 是 等于三分之一的 a d 一， 是不是等于三分之一？乘以二倍根号二，是不是等于三分之二倍根号二，对不对？好， 那这样的话还没有完，这上面的话是三分之二倍根号二，那 e g 怎么去求？ e g 怎么去求？ e g 怎么去求， 对不对？ e g 的 话是不是就等于这个 a b？ 那 a b 等于多少？ a b 是 等于二，好，那不就是三分之二倍，根号二就乘上一个二分之一吗？那二二一约是等于多少？是不是等于三分之根号二？选 b d。 五十八题，若圆锥、圆柱的底面半径都是 r 高是 h， 则它们的侧面积相等，则 r 分 之 h 是 等于多少，对不对？好，那圆锥圆锥来算一下这个圆锥 它的母线长是多少？母线 l 是 等于根号下 r 方加 h 方，那它的测面积 s 圆锥圆锥测好吧，是不就等于 pi l 在 根号下 r 方加 h 方，对不对？好，那这样二 pi r h 是 等于派 r， 根号下 r 方加 h 好， 两边去同时出一个派 r 对 不对？好？是不是就得到了二 h 是 等于根号下 r 方加 h 好。 解方程，我们来解这个方程，这样就得到四 h 同时乘以平方就不等于 r 方加 h 方，那这样一转换一下 r 方去除以 h 方就不对。 记转换一下是 h 方，去除上一个 r 方就等于三分之一。因为 h 平方平方大于零， r 也大于零，所以说 h 除以 r 开开下来根号是不是就是三分之根号三， 对不对？好，三分之根号三，这题选 b 好。 我们来看第五十九题，在平面直角坐标系，这个中双曲线左右焦点分别是 f 一、 f 二，图中画好了 右指向出来点 p， 使角 p f 一 f 二是三十度好，也有了好线段。 p f 一 的垂直平分线，这个是关键。 p f 一 的垂直平分线经过圆点 o， 那 也就是说经过圆点 o， 也就是说 o p 它是等于 o f 一， 这是这一题的关键。这一个是一 从一通过一能推出来 o p 是 等于 o f 一 的，等于 c 好， 又因为这个 o 是 f 一 f 二的中点， f f 二终点，所以说 o p 这个是等于二分之一的 f 一 f 二，因此，对吧？因此这个三角形 p f 一 f 二是什么？直角三角形啊？ t 三角形好，那就是说角 f 一 p f 二是等于九十度的好，那么我们已知什么？已经知道角 p f 一 f 二是等于三十度的，那在三角形 这个 p f 一 f 二中，那这个 p f 二是不是 p f 二，是不是等于 f 一 f 二乘上一个 sine 的 三十度，就是等于二 c 去乘上一个二分之一，是不是等于 c 好？ 那个 p f 一 是不是就等于 f 一 f 二乘上一个扩散引的三十度就等于二 c 乘上一个二分之，根号三，就等于根号三 c 好。 我们根据双曲线定义，那不就是 p f 一 去减 p f 二是不是等于二 a， 那 代入是不是根号三 c， 对 吧？去减 c 是等于二 a， 那 c 提出来是不是根号三减一再等于二 a， 那 离心率 e 的 话是不是等于 a 分 之 c 是 不是等于二？除上一个根号三减一，等于二分？母幺力化一下，根号三， 根号三加一，对吧？下面根号三减一，根号三加一，这样的话是不是等于根号三加一？那这句话是不是选 a 好， 我们再来看这个压轴题，因为对数函数，这个对数函数是单调，这个里面对数函数是多少？ 他这个他对数函数单调递增的，所以说 a 的 话是大于一的，知道吧？因为他题目中给了是单调递增，所以说 a 的 话是大于一好。对数函数过点二零对二零，这个点好，图像看出来的好吧，那代入题目的什么？ log 以 ab 的 二加 b 是 不是等于零？退出来二加 b 等于一，再往后推这个 b 的 话，是不是等于负一？ 好，那我们分析这一次函数 y 等于 a， x 加 b， 已经知道什么，已知这个 a 是 大于一的， b 是 等于负一的，所以说这个一次函数，它的公式就是 y 等于 a， x 减一。好，斜率 a 大 于一，是不是值 他的直线上升的对不对？好，呈直线上升的？好，那每个图像都是直线上升的，没什么问题，是呈直线上升趋势，上升趋势。好，那我们再来看。 好吧，那截距 b 等于负一，那直线与 y 轴对吧？交于什么？交于 o 负一，这个点对不对？好，那当这个 y 等于零的时候， a x 减一是不是等于零？那推出来 x 是 不是等于 a 分 之一？ 好，因为 a 是 大于一的，所以说零小于 a 分 之一小于一，对吧？好，那么来看，直线与 x 轴 交于是不是 a 分 之一？零是不是在零到一之间，对不对？它是在零到一之间的，好吧，好，那我们来对比一下选项选项 c， 它直线是过什么？过零负一这个点的对不对？好，那与 x 轴交于 零，在交于零到一之间的对不对？它与 x 轴与 x 轴，它是交于零到一这个区间内的。好，那也就是说它斜率为正啊，是不是且大于一？那 c 没毛病。好吧，选 c 的 话都是对的？好，我们看 d 选项， d 选项截距是在 零一，对不对？好，不符合 b 等于负一，知道吧？所以说 d 就 错了。好，那第六题选 c， 有 没有同学们是对的？ 好，我们再看这个十一题，十一题，这一题我教给大家是两角和差公式，那我们把圆公式还是写在大家，写在边上。 sine 的 阿尔法加这个贝塔是等于 sine 的 阿尔法， cosine 的 贝塔加 cosine 的 阿尔法， cosine 的 贝塔，那这一题里面阿尔法是不是等于二十七？那这个贝塔是不是等于十八？好，那这样 sine 的 二十七， cosine 的 十八 加 cosine 的 二十七， cosine 的 十八是不是等于 cosine 的 二十七度加十八度是不是等于 cosine 的 四十五度？是不是等于二分之根号二，对不对？好，这题的话是不是二分之根号二？ 好，我们再看这个第十二题，计算将一枚硬币连续泡三次，三次全部正面朝上的概率，那不就是 他有二分之一的概率吗？二分之一，这是一次二分之一，再一次，是不是二分之一，再一次再二分之一，是不是等于八分之一？概率不就八分之一吗？对不对？好，好，我们看第十三题，十三题，这个 tan 的是这个对不对？好，有这个，那我们同时去什么？ 去除以一个扩散引的对不对？好，同时除以扩散引的是不是等于二？ tanne 的 阿尔法加 一，然后这下面的话就是二， tan 的 阿尔法减一，是不是这样的？好，那这样就等于多少？ 二乘以二加一，二乘以二减一，是不是就等于多少？下面的话就是三，上面是五，三分之五，好吧，好，这样的一个题目，第这一题 a b 满足 a b 两个夹角去求 a 减 b， 那 a 减 b， 我 们同时先给他平方，再开根号行不行？ a 减 b 等于这个根号下 a 去减 b 方，好吧？好，是等于根号下 a 方加 b 方减二， a b， 好， 已经知道了。这个这个和这个好，我们往里面带不就完事了吗？那 a b a b 是 不是等于 a 向量的模和 b 向量的模再乘以一个 cosine 的 c 的 是不是等于一乘以二乘以 cosine 的 三分之二派 是不是等于负一？好，负一对不对？好，负一带进这个里面对不对？好，再带进这个式子，就是根号下一的平方去加上二的平方减一，对不对？好，这是一，一减一，没有了，那不二吗？根号二，开出来一 a b 这句话是不是就是二乘以这个负一对二乘以这个负一，对不对？ 好，二乘以负一等于什么？负二，对吧？好吧，负二，然后呢？一的平方加二的平方再去减这个负二，是不是减这个负二，那不就加二，是不是根号下一加四加二是不是等于根号七？那这题是不是根号七？好， 你做对了吗？好，我们看一下下面这一题，在三角形这个里面分别 abc 的 比对吧。真题，你时间真题做的有意义吗？肯定考到了吧？时间真题有这种题对吧？好，我们来看 a， 他 们三个 编的内角和三角形，内角和不是派吗？好，那 a 等于多少？十二分之三派 等于四派，他整整个占十二分之三吗？好， b 是 不是等于十二分之四派等于三分之派？ c 是 不是等于十二分之五派？对，好，那用这个比边比 a， a， 我 们知道 a， 散以 a 等于 b， 散以 b， 对 不对？好， a， 我 们知道，散以 a 也知道，散以 b 也知道，我们是不是就是因为 a 是 等于根号七，对吧？好， 三， a 等于三赢的多少？四分之派是不是等于二分之根号二，那三赢 b 呢？ 三赢 b 的 话是不是等于三赢的？三分之派是等于二分之根号三，那这样的话 b 是 不是就能求出来？ b 的 话就等于 a， 三赢 b 除以三赢 a， 这样就等于根号七，乘上一个二分之 根号三，二分之根号二加上是不是等于根号二十一？去除上一个根号二是不是等于二分之根号四十二，那这条是不是二分之根号四十二？好，然后我们来看这个充分必要条件这一题，因为什么 x 方 x 大 于等于零和 x 方，我跟大家讲了，是不是？昨天晚上是不是给大家讲过 x， 你 是不是相当于也就是压道题了？ 好， x 方是不是真题里面就是真题？往年真题是非常有必要去做的，你们考完是不是发现时间真题还是比较有意义的去做的，他就是围绕真题来的对不对？好，这个他是个大范围， x 可以 说是等于正负 x 的， 对不对？好，所以说他是个大范围，这是小范围，所以说 小能推出大对不对？大推不出小。好，那这样是不是充分不必要条件？好，然后我们再看第二题，第二个，我们先把这个第三个简单的题写完，好吧，咱们再把 抛物线问题我们再放最后去讲，好吧，先把这个集合并 b 对 不对？昨天晚上是不是带大家复习到并 b？ a 中有的加 b 中有的，不就是二三四五六选 d， 这题没毛病。好，然后我们看 第二个，已知抛物线外方等于八 x， 那 这个的话是多少？是不是就是外方，它原式等于二 p x 是 不是？好，那这样的话，它的焦点，这个 f 焦点是不是等于二分之 他二分之二屁，二屁是等于八的，那屁呢？是等于四的，焦点是二分之屁零的，那焦点的话是不是就等于这个二零？好，那准确方程，准确方程 x 是 不是等于负二分之屁也等于负二分之四就等于负二？好，我们设 这个点屁，点屁他是 x 零 y 零，那我们就这也是加班记对不对？昨天晚教大家记得加班记是不是也要必考的一个点？ x 零加二等于十五，那 x 零解出来是等于多少？ x 零解出来是不是等于十三，对不对？ x 零解出来是等于十三，那 x 五就出来了吗？等于十三。好吧， 这是我能拿到了的一些题目，大家可以看一看。对，一对，如果大家这些题目做对，那说明你听少帅的直播是没有什么问题的。我，那我这三个月的辛苦的直播都是有效果的。好吧，祝大家高分上岸，好吧。

好，同学们，我们接着来学习二零二六单招数学模拟考试题，同学们距离考试越来越近了，加油！来！第一题，已知集合 a 等于这个，集合 b 等于这个，让我们求 a 并 b， a 并 b， 其实就所有的呗，选 b 的 哪个最多，对吧？然后第二题啊，我们来看啊， a 方 大 a 不是 a 方了， a 乘以 c 方大于 b 乘以 c 方，那说明什么？ c 方是要大于零的一个数，对吧？那 c 方大于零肯定我们能推出来，那 a 大 于 b， 但是 前面能推出后边来，对吧？如果后边推前边说 a 大 于 b， 那 如果说 c 呢？等于零，那是不是 a c 方就等于啊 bc 方了，所以说是充分，不必要啊。来第三题，让我们来看括号里边的 f 一， 那 f 一 是不是大于零？那我们就先在下面一的平方减五是不是负四， 然后让我们再求 f 负四， f 负四小于零不是下边吗？负的四分之一啊，负的四分之一，所以选 c， 然后下边 定义域根号下边要大于等于零，但是他又在分母的位置，所以他只能干什么？大于零，所以 x 就 大于一，大于一不就是一到正无穷吗？所以选二 b， 然后第五节又是判断既有性的，那我们说过啊，同学们，我们就令谁啊？ x 等于一和 x 等于负一看 y 的 值叫什么？同偶异接代， 那我们比如说把 x 等于一带进去啊， x 等于一， y 等于几啊？三 x 等于负一呢？负一负二加一，是不是 y 等于负一啊？ 所以他们两个没有任何的关系。三和负一是不是没有任何关系？所以是什么？飞机飞偶啊，飞机飞偶的，那有的同学说这俩这不是 e 吗？ e 指的是什么？同学们，指的是你，比如上边是三，下边是负三，这才叫 e 号， e 指的同指的是同号， e 指的是 e 号啊， 明白了吗？如果数字他两个数字，结果啊都不是同一个数的话，那直接就是飞机飞哦。啊，来第六题我们来看啊，这个函数的单调递增是哪到哪？那我们来看啊， 首先我们知道 a， 他的 a 是 不是大于零，所以开口是不是向上，开口向上也是对称轴往后边呗， 对吧？对称轴往后边，那我们求对称轴， x 不是 等于负二 a 分 之 b 吗？他代数负二， a 是 一，就乘以一分之，没有 b 没有就是零呗。所以对称轴是 x 等于零呗， 对吧？所以他的递增期间其实是这个对称轴这个分界线，这啊，这是零，也就是零到正无穷，零到正无穷是增，那我们来看哪个是零到正无穷啊？是不是 b 零到二是不是也属于零到正无穷啊？所以选二 b 啊。来第七题 我们来看啊， a 他 等于这个， b 等于这个，则 a 与 b 之间的关系是什么？那我们来看啊，首先 b 啊 b， 它它是什么？它是一个二次函数，然后 a 呢？它还没有成开，对吧？那我们其实我们看它之间的关系，我们用谁啊？我们用 b 减去 a， 它要等于什么？二倍的 x 平方减去二， x 加一，然后再减去什么？ x 减一，扩写的平方，对吧？然后我们去给他把这一堆化简成开化简就行了啊。最后化简完了之后是 x 平方大于等于零，那 b 减 a， b 减 a， 最后的结果是大于等于零，那所以说谁大呀？ b 是 不是要比 a 大 呀，而且还有等于零的情况，所以呢， b 就 要大于等于 a 啊，也就是 a 小 于等于 b， 所以 选四 d 啊，四 d。 那 我们来看这个题，那负二的任何数的零次方是不是都是一 啊？二十七的三分之一是多少啊？三，给他缩小三三三次方啊，缩小三次方，那一减三不就是负二吗？所以选二 b 啊。来第九题解这个不等式组，那我们来先解上面这个，那三 x 就 大于等于负三， x 就 小于等于啊， x 就 小于等于多少啊？不是小于除以三， x 大 于等于负一对吧？ x 大 于等于负一，那下边这个呢？ x 小 于五对吧？解集就是负一到五呗， 这边是小括号，这边是这个括号，那中间整数是啥？负一零一二三四一二三四五六六个呗，所以选 c。 来第十题，负数 负数啊，我们来看啊，一减 i 除以一加 i， 然后他再加上什么三 i， 那 我们可以给他干什么？ 平方呗，一减去 i 括起来的平方，然后下面呢，一加 i 乘以一减 i。 碰到这种题，我们就用这个去做啊，最后画点是二分之二 i， 一曰是不是就是负 i， 然后负 i 再加上后边这个三 i 不 就等于二 i 吗？ 然后因为什么这个值它就等于二，让我们看这个整数呢吗？直接就选二 b， 看到负数了，同学们，我们就给他干什么？乘这个啊，乘这个就行了啊，好了，同学们学会了吗？