浙江专升本2025真题卷立体几何

这是浙江省 g 二十家名校联盟二零二五学年第二学期创新班联考高二数学试卷选择题一到八题一、三角恒等变换夯实基础公式。二、向量投影与加角强化几何直观。三、充分必要条件生化逻辑推 理。四、圆上点到直线距离考察几何分析。五、等比数列求和夯实数列核心。六、双曲线距离范围提升解析几何。 七、正投影面积考验空间想象。八、术语式大小比较考察函数性质。多选择题九到十一题九、统计数字特征检验数据分析。十、抛物线交半径与几何性质生化解析几何。十一、莫比乌斯函数考察述论创新思维。填空题十二到十四题 十二、分段函数嵌套基础一目。十三、数列求和与三角综合模块。十四、多元代数式求值考察转化与划规解答题十五到十九题十五、独立性检验与分布列考察统计思维。十六、解三角形与最值强化三角。 十七、立体几何。二、面角与线面角考验空间想象。十八、函数极值横乘以不等式证明升化导数应用。十九、椭圆周长与面积最值压轴解析几何。

嗨，朋友们，我们一起来看一下二零二五年新高考一卷的第十七题啊，那么这道题的话，整体上第一小问是送分的啊，那么第二小问是比较新啊，并不是比较难啊，所以我们来一起看一下这道题到底怎么回事。那么第一小问的话很简单，让你去证明面面垂直，那我们想要证明面面垂直，那咱是不是要证明线面垂直？ 来看一下题目中给你的条件，他说 p a 垂直于底面，那 p a 垂直于底面，那 p a 垂直于底面里边所有的线，那意味着 p a 和 a、 b 是 不是垂直的？那 p a 和 a、 d 是 不是也垂直的？ 好，我们先把这条线放这，接下来我们看第二个条件，它又告诉你 a、 b 垂直于 a d， ok， 这不就够了吗？那此时你会发现 a、 b 垂直于 a d， a b 垂直于 p， 那 意味着 a、 b 又垂直于面 a、 p d 啊，这个条件没写全啊。好，那 a、 b 垂直这个面，那 a、 b 是 不是又在面 p a、 b 里面啊？所以就会有面面垂直啊？第一小问咱就不写了，主要我们来看一下第二小问， 那么这第二小问， pa 等于 ab 等于根二，然后 a d 等于根三加一啊， bc 等于二，那给了这么多长度，而且我们前面有垂直，那这种题的话，就是最无脑的办法就是解析 x、 y、 z 啊。好，问题，他说 pa、 b、 c、 d 在 同一球面上 设该球面的球心为 o。 好， 那么这种外接球的问题，我们在哪见的比较多呢？是不小题里面见的多，他出到大题里面确实让人啊，这个脑子比较疼，那么他要确定球心，我们在小题里面去确定球心怎么去确定呢？是不是找两个面的外接球的外接圆的圆心做垂线， 但是你会发现他给的这个面啊， p b， c 啊， p c， d 这种面，你会发现这个球心的位圆形的位置没法确定，那焦点更无法确定啊，所以这个题啊，就让很多同学比较头疼，因为我们一直是按小题的思路去做，但是如果我们把戏建到这，那咱能不能换一个思维， 我们把 o 点给它射出来，那我们把 o 点射出来之后，我们利用 o 点到 p 点距离， o 点到 b 点距离， o 点到 d 点距离，距离是不是相等，全部都是半径，我们利用这样的关系把这个 o 点坐标能不能截出来 好，理论上是 ok 的 啊，所以我们接下来要干的事情， c 已经建好了，这个点我们标一标啊，首先设 o 点为 x， y， z， 第二个是吧，所以 p 点坐标就是零，零点 好， b 点坐标，因为 ab， 它是不是等于这样啊，所以 b 点坐标就是根二数零零好，也简单。接下来看 c 点坐标， 那么 c 点它在这 bc 的 长度等于二，哎，所以我们 c 点坐标应该是根二二零好， c 点我们也搞定了，接下来就是 b 点，那么 d 点的话，你会发现它告诉你 ab 的 长度是根三加一啊，所以 d 点坐标就是零，根三加一 零好，现在我们把所有的点给它搞出来了，接下来我们要用这个关系啊，那 o p 的 平方好，我们写上 o p 的 平方，也就是 x 方加上 y 方加上 z 减根二的平方好，接着写啊， o b 的 平方，它等于 x 减根二的平方加上 y 方加 z 方 好，继续，那 o c 的 平方就等于 x 减根二的平方加上 y 减二的平方加 z 方，然后 o d 的 平方 就等于 x 方加上 y 减根三减一的平方加上 z 方来分列标上一二三四，好，接下来我们观察一下这个式子啊 处理先连立哪两个式子啊？能算出来其中一个结果呢？你会发现二号和三号，这坨和这坨相同，这坨和这坨相同。那么半径啊，这不用说了，所以我们连立二号和三号，我们来看一下第一个连立二三 二三好，那么连立二三之后我们就会得到这个 y 方等于 y 减二的平方好。那么正常开方之后是不是出现绝对值？ 那他俩你说相等有没有可能哦？不可能呀，因为他俩相等的话，我们就得到 y 等于 y 减二，这不就完蛋了啊，所以他俩肯定是啥是相反的，所以我们就会有 y 等于负 y 加二，那 y 是 不是等于几是一好， y 等于一了，那后面就好解决了。接下来我们搞一下啊，我们可以搞一下这个 一号和四号啊，因为一号和四号这个 y 值咱是知道的啊，所以我们搞一下一号和四号啊，连立 一号和四号，那么连立一号和四号之后我们就会得到。哎，这个你看 x 方 x 方啊，这没了吗？对吧？ y 我 们把值给它扔进去啊， y 的 值扔进去 就会得到一加上 z 减根二的平方啊，等于好，下面负根三的平方加 z 方 好，稍微整理一下，就是一加 z 方减二倍的根二， z 加二等于三加上 z 方 好，所以我们给他一划减，发现 z 刚好等于零，那写到 z 等于零，我们其实这个第二问的第一小问，那 o 点肯定是在平面 a b c d 上啊，所以这个已经证明完了啊，但是我们要做第三小问的话，那咱是不是还得要再算一下啊，因为还差一个值嘛？ 好，接下来我们继续啊。呃，这个数其实随便了啊，你联系谁都可以了，比如说我们连立一二啊。 好，我们连立一二，那么连立一二，我们现在知道这个 x 方加上 y 方加上 z 减根二的平方啊，就等于 x 减根二的平方加上 y 方加上 z 方， 然后我们把知道的值啊给它扔进去，比如说 z 啊，它不是等于零吗？对吧？好，然后这个 y 是 不是等于一，这 y 方其实都已经化了啊， z 等于零啊，那我们解出来这个 x。 好， 这个算，你自己算出来啊， x 也等于零，那么 x 等于零，那我意味着 o 点的坐标是不是有了，就是零一零？ ok， 那 写到这最后一小问，不就是手拿把枪的事情了吗？啊， 来，我们把它放到一边啊。好，最后小问他让你去求直线 a c 和 p o 所成夹角的一圈值啊，那么 a 点坐标零零零零零，那么 a c 向量 so easy 是 吧？ 啊，就是根二二零，然后让你去求 p o 向量啊， p o 向量更简单了啊， o 点已经出来了， p o 向量就是零一负根， 所以求它假角一全值。 cos c 塔啊，就直接写了，是不是 ac 向量乘以 po 向量除以 ac 向量的模，乘以 po 向量的模加角值啊？所以下面二加四，六跟六啊，再乘以 po 啊，就是 二加一啊，三跟三好，上面它俩一乘啊，就等于二，对吧？所以我们整理一下，就等于 三倍的根二分之二啊，约下就是三分之根二完了啊，所以这个题啊，也不算难啊，可能大家在理解的时候有点小问题，那几何法我们今天就暂时先给大家不讲了， ok。

接下来我们来讲解文量对外密押卷。第二，我们先来看第一题，函数 h x 等于 log 十减 x 减去 log 十加 x， 它是什么函数？ 那么我们不妨先来判定它的一个基友性，由于这个函数并非一个简单的函数，那么我们判定它的基友性就会利用定来判定。 给它加上负 x， 那 么 h 负 x 就 等于 log 十减负 x， 也就是十加 x 减去 log 十加负 x， 也就是 log 十减 x。 显然它与 h x 之间关系就是多了一个符号， 它等于负的 h x， 那 么根据我们旧性定义，很明显它是一个奇函数。答案，选择 a 选项， 这是我们的第一题。再看我们的第二题，求这个极限， 求极限先定型，将无穷带入三的无穷次无穷啊，这个 n 无穷是特指正无穷，三的正无穷为正无穷，四的正无穷无穷。同理，分母也是正无穷无穷比无穷形有抓大头啊，抓大放小，保留大的，舍去小的， 那么分子的老大很明显就是四等次，就把这个三等次舍去。同理，分五的老大就指的是这个四的 n 加二次啊，我们就把这个三的 n 加三次舍去。我们需要注意啊，这里加三次依然不影响四的 n 加二次去无穷数大于它，即使这里是加十加一百加一千也是没有用的，加有限次都是不会影响 他去无穷速度啊，都不会是使他去无穷速度大于这个四的 n 加二次，那么我们抓大放小极限 m 线就等于 十六分之一了，大家选择我们的 b 选项。当然我这道题我们可以正常的一个计算，就是不用这个抓大头，那正常计算怎么计算呢啊？就同除整个式的 最大的那个式子嘛。那么我们同除四的 n 加二次，或者同除分子分母同除四的 n 次都可以啊。在这里呢，我们就不妨分子分母同除四的 n 次， 那么它就等于四分之三的 n 次加一，然后这里的三的 n 加三次呢？我们提取一个三的三次，然后三的 n 次除以四的 n 次，就是四分之三的 n 次。好，这里我们除以四的 n 次就等于四的平方了。 那么这是四分三，是小一小一的无穷次为零啊，这是零，同理，这也是零极限，是不是很明显就等于十六分之一了。这是我们的第二题。 再来看我们的第三题，告诉我们 f 撇括塞方的表达式求 f x 表达式 由 f 撇括塞方求 f x， 显然是无法直接求的，我们正常思路应该是 根据 f 撇扩散方去求 f 一 撇 x， 再对 f 撇 x 积分求 f x。 我 们要先求 f x， 怎么求呢？就是根据我们复合函数的还原。 复合函数还原常规思路是还原法，但是它的表达式是关于三角函数的。这种情况下，我们通常用整体代换，把后面凑成前面的函数。 要凑成 cos 方的函数，那么后面是 cos 二 x， 那 么我们就会想到二倍的公式， cos 二 x 等于 cos 方减三方， 而这里的塞方呢，又可以根据变形，就是我们的塞方与扩散方的关系式嘛，它们相加等于一塞方，可以写成一减扩散方，所以它就等于二倍的扩散方减一，再减一就减二了。 然后我们进一个这样整体代换啊，因为此时我们已经把后面凑成前面的函数了吗？就直接整体代换。另一扩展方等于 t， 这样 f 撇 t 等于二， t 减二， f 撇 x 也就等于二 x 减二了，那么 f x 就 等于对二 x 减二的一个积分，就等于 x 方减二， x 加 c。 答案，选择我们的 b 选项 来看我们的第四题。下列极数发散的是我们来看 a 选项， a 选项，呃， loine 一 加 n 分 之二这个级数的联想性判定。呃，有一点难度，它需要用到我们的比较乘以法，正常的判定是不可以的，需要注意。呃，你是不能说它等价乘 n 分 之，这是不对的，只有 loine 一 加 n 分 之等价乘 n 分 之二， 这个是与 n 分 之是不等价的。那么如果判定它的联想性呢？需要用到我们的比较乘以法。我们有一个基本不等式， x 大 于零， x 是 大于零加 x 的， 那么 n 显然就大于零加 n 了。因为 n 是 从一开始的嘛。大一的，那么 n 大 于零加 n， 那 么 n 分 d 就 小于零。一加 n 分 之一， 小的发散，大的不就发散吗？小发大发嘛，所以它是发散的。答案就是选择我们的 a 选项。 好，同理，我们再来判定 b、 c、 d 为什么是收敛的 b 选项啊？这种 n 的 多向式，这种形式，那就一定是抓到头了，找它与它同零散的计数。这里我们写下小发大发。 b 选项就抓大头，找到与它同列减数。就是分子最高次就一次，分母最高次就是它俩产生的嘛。 n 的 三次，那化紧之后就是 n 方分 d， 就 说明它与 n 方分 d 同列散。 n 方分 d 是 p 级数， p 等于二，是收敛的，所以它也收敛。 再看 c c 啊，整体的 n 次这种形式，那就一定是用根之神验法给它开 n 次方根， 这个 n 就 与这个 n 消掉了那二 n 加一分之 n 的 极限，抓大头为二分之一小一收敛。 同理，我们再来看 d 选项， n 分 之根号 n 加一减根号 n。 当我们在判定极弱性时，两个根号相减的形式就一定是要由理化的，由理化的，如果是相加啊这种，如果是相加的话，这个就直接抓大头。但是相减就需要由理化，这是套固定套路啊。 好，我们先进一个油理化分子分母，同时它们两个相加啊，分母就是 n 乘以根号 n 加一加杠， n 分 子就等于前面平方减，后面平方就等于一了。好，然后它呢，就可以抓大头了。 嗯，分母最高次是 n 的 二分之三次嘛，就是 n 乘以后面的最高次是二二分之一次，所以相乘是 n 的 二分之三次。当然，呃，这里的系数，分母的系数二，你加不加都可以啊，因为系数不会影响任意的一个量性嘛，对不对？ 那你加上也可以的啊。总之，它们俩是同列三的，那它是 p 级数， p 点二分之三是大，易是收敛的，所以大家就是选择 a 选项。这是我们的第四题。 icon 的 第五题告诉我们， o a 向量一二一， o b 向量二一三， 然后 m 向量 m n 向量与 o a 垂直， o b 垂直，求 m n 反向的单位向量，那么求它的反向的单位向量。我们首先就是把 m n 求出来，再进行一个单列化， 因为 m n 它与 o a， o b 都垂直，就等于 o a、 o b 两个向量的一个差乘， 那么就是一个差乘的计算了。计算 i 的 时候，就把第一列划去交叉性能相减六，减一就等于五。计算 g 的 时候，第二列划去交叉性能相减三减二就是一，但是要加符号 负一，那计算 k 的 时候，第三列画去交叉向上减一减四，负三好，然后计算出 m、 n 的 模，然后再给它进一个单元化。 m， n 的 模就等于根号五的平方加 负一的平方加负三的平方，也就是根号三十五了，所以与 m 反向相等啊。因为这道题特指的反向相等，所以就是 e、 a、 b 加上一个符号就等于负的根号三十五分之五。负一负三也就等于根号三十五分之 五一三啊。然后这个题是个错题啊，他没有正确选项，没有正确选项啊，等一下啊，根号三十五分之负一三，正确答案是这个，这是我们的第五题。 再看我们的第六题，求这个极限，求极限，先进行将零带入，零加零比上零加一啊，就等于零了，是一个数，所以我们就直接带入。 再来看我们的第七题，求这个极限，这是一个 n 向相加的一个极限，负累极限。那肯定就是要么用我们的定积分定，要么就是夹逼定，我们来判定一下，什么时候用夹逼定，什么时候用定积分定呢？就看分子分母是否分别，其次 其次的话，定积分定不？其次甲必定，我们来判定一下。然后他只有 n 和 i 是 计算次数的， i 指的是一二一到 n 那 种式，好，分子一二三一直到 n， 他 指的就是 i， 都是依次其次 再看分母三方，三方三方算次数，二次啊，注意这个三不算次数， 用 n 和 i 算，它是二次，然后这一二三遇到 n， 它是 i 算次数一次，显然分母不齐，次一个二次，一个一次，所以就用夹逼定好，那么夹逼定我们就要放松啊。好，中间的式子我就不抄了，中间式就指的是它，那放松怎么放松呢？ 我们的口诀就是动分母不动分子找首项尾项，就是我们对分母做改变，分子不做改变，然后我们大的这个式子啊，找的是手呃，手项，因为手项的分母啊，它是最小的，我们将每一项的分母都改为手项的分母， 分子不做改变。同理，我们再来找比它小的这个 竖列啊，就是要对它进行一个缩小。怎么缩小呢？就找尾项，因为尾项的分母啊，它是最大的，我们将每项的分母都改为尾项的分母， 分子不做改变好，然后分母相同，就可以分子进行一个累加了，一加二，一直加到 n， 显然是一个等差竖列，首项加尾项乘以项数除以二。 前面同理，分母相同，分子相加一加二，一直加到 n， 等差数列，首项加尾项乘以项数除以二。好， 然后求这个极限定型。无穷比无穷，无穷比无穷，抓到头分子的最高次数啊。这个 化简不就是二分之 n 方加二分之 n 吗？对不对？分子的最高处是二次，分子的最高处是二次，所以极限就是系数之比二分之一比三，六分之一，后面同理也是六分之一，所以根据我们的加 b， 这个极限就等于六分之一。 再来看我们的第八题， f x 是 可导函数，三 x 去三时， f x 减 f 三比上 x 加三除以三， x 减三等于负一求三，它在三处的导数，那这个很明显是抽屉函数两个 f 相减的形式，那就一定是利用导出定义求极限了。 那么这个其实它已经是一个标准导出了，只需我们对我们的分母进行个等价即可。 再 x 去三，再 x 减三， x 减三，再去零嘛，大家可以等一下。而这个部分呢，它这个标啊，它是一个非零子。三加三等于六嘛，可以直接代入啊，这个可以等，加成 x 减三就可以发现，等加之后这个部分不就是标准的两点式导引吗？ 它就等于三处的导数，所以六分之 f 撇三等于负一，这样就能算出 f 撇三就等于负六了。这是我们的第八题。 第九题。嗯，火箭发射 t 秒后高度的单位 h t 等于十四分之三 t， 方问，第十秒，呃，火箭的一个瞬速度啊， 这个，这其实就是导数的一个物理应用啊，就是路程求导就是速度，就是速度，速度求导就是加速度， 所以这很明显就是求导了。而且我们当时也讲过，呃，关于导数积分的物理应用，要么求导，要么积分嘛。嗯，然后说过方法的，就是如果给你一个， 给你一个指，那就是求导，因为求导就是某点导数嘛，积分的话，要给你两个啊，给你上限，所以两个指，这种方式是可以判定的。那他只给了一个，所以肯定就求导了啊。对，他求导，他导数等于七分之三 t， 那么它的十处的导数，导数就等于七分之三十了，所以它在十秒的瞬速，瞬时速度就等于七分之三十千米每秒。这是我们的第九题。 再来看我们的第十题，告诉我们，函数 f u 可导 y 点 x 在 等于负一处的增量，再加 x 等于负零点一时， 相对应的函数的增量递减， y 的 信信主布为零点一。那什么是信信主布呢？啊？就是指的是 dy 啊，就指的是 dy， 就 说明在 x 等于负一，在 x 等于负零点一时， dy 等于零点一。求 i 撇一，你就求导呗。等式，两边同时求导， 左边求到外撇，右边求到行的外层的 f 求到 f 撇 x 平方再乘以内三数导数二 x。 好， 那么 d y 它是等于外撇乘 d x 的， 那 d x 等于 d x， 所以 外撇乘以 d x。 现在告诉我们 外撇是，呃呃，这个限域主不是零点一，也就是 d y 等于零点一， 然后我们再把这个 x 等于负一迭代，负迭代。嗯，迭代 x 等于负零点一代入。 因为另外等于外撇乘迭代 x 嘛。外撇又等于它，所以就等于 f 平方乘以二， x 乘以迭代 x。 好， 把 x 等于负一代入，它就等于 a 撇一乘以二 x 二负一，再乘以迭代 x 负的零点一。 好，那这个负负底角这个零点一等式也被消掉了。那 i 撇一，不不就很明很明显是二分之一吗？ 好，这是我们的第十题 i com 的 第十一题。函数 f x 的 一个原数为零 x， 则 e x f e x 的 不定积分。 这个主要就是考察一个元数的一个性质。题目若告诉我们 a 是 b 的 元数， 那么我们就能得到两个信息，第一个 a 求导等于 b， 第二个 b 加 b， 积分等于 a 加任意常数 c。 那么题目告诉我们 f x 的 原数是零 x， 我 们就可以得知 f x 就 等于零 x， 求导就等于 x 分 之一，或者 f x 的 积分就等于零 x 加 c。 那 么这道题呢，其实最难的词吧，就可以利用直接利用下面这个性质， 直接利用下面这个性质，当然你就是根据啊这句话得知 f x 表达是等于 x 分 之一， 代入也是可以打，但是相对麻烦些，最减速就直接利用它。怎么利用它呢？因为这个积分显然它是呈现两函数相乘求导的关系，对不对？那我们就搓一分吧， 将 e x 后移错位分，凑出 e x， 那 将 e x 当整体小 f 积分大 f， 呃，小 f 积分 long 对 不对？所以它积分就是 long， e x 再加 c long， e x 不 就是 x 吗？再加 c。 好， 这是我们的第十一题， at com 的 第十二题，计算 cosine 二 x 绝对值在零到四分之三派上的一个定积分啊，这个也就是分代数求定积分，因为绝对值来说，实际上就是分代数，我们需要考虑二 x cosine 二 x 在 零到四分之派上的一个正负啊，然后对它进行一个积分圈拆分嘛。 嗯，这个题啊，其实最难的思路还是就优先考虑进一个换元，把二 x 换成 x， 把 cos 二 x 啊。因为 cos 二 x 大家对它的那个正负性的判断不太熟悉，我们就可以通过换元把它换成 t 啊，换成我们熟悉的 cos x 的 图像，这样就很容易判断出它在这个区间上的一个正负啊。所以我们会考虑进一个换元， 令二 x 等于 t 令积分化一半线，上线带入求边上的上限，二分之三派，下线带入求边上的下减零 啊，被减数变成了 cosine t d 反减 x 等于 cosine t， 二分之一是系数提出来，哎，这样我们就将被减数画成了我们所熟悉的 cosine 图像。 cosine 图像它在零到二分之派是正的， 然后是正的，所以去绝对是可以直接去，然后再 二分之派打派，它是负的，那么负的啊，等一下，是二分之派打二分之三派是负的，因为 cosine 图像是这样子的嘛， 这是二分之派，这是二分之三派，它在二分之派，当二分之三派是负的， 那么在这个区间去绝对值要加方，所以就减去二分之一。 cos 和 t 在 二分之派，当二分之三派上的一个积分，然后我们就可以积分了。 cos 和 t 积分， cos 等于当二分之派 科三第七分三 t 二分之派二分之三派，然后上下线代入， 上线代入啊，它就是一了，下线代入是零，所以就前面就二分之一。好，后面上线代入三，二分之三派三，二分之三派是负一减三，二分之派减一， 所以就是二分之一加一就等于二分之三了。好，这是我们的第十二题， atum 的 第十三题，求这个极限，求极限，先定型，将极限条件零带入零到零上积分零是一等零，次一二 k 零零比零，零比零零零洛比达，洛比达之前呢，化点到先化减， 通过刚才的定型可以发现，它是一个分拎子，可以直接代入，一就没有了。然后这个可以可以等价，等价乘 x 方 好，然后落笔大，因为现在已经不能化解了，直接落分母求到二， x， 分 子求到变性积分求到上限，求到是一乘以上限代入，下限是常数，求到就没有了， 然后这个极限显然就零了。分子加乘 x 方嘛，消掉 x 之后，直接代入等于零。好，这是我们的第十三题， 大家看我们的第十四题告诉我们，密级数 y n， x 加二的 n 次在 x 等于负数，收敛在零处发散。问，级数 y n 二， x 加一的 n 次，它的一个收敛域， 这种就是抽象密集数求任意区间，任意半径任意域的题型。那这种题型啊，呃，我们主要是两种方法，一种是画竖轴，另一种是。另一种呢，就是换圆。 这种题的话，就第十四题的话，他肯定就一定要换圆了，为什么呢？他涉及到了伸缩变换啊，伸缩变换，如果是平移变换，我们就换圆，那这个是伸缩变换，我们就换圆。我们 先对前面的进一个还原，令 x 加二等于 t， 然后题目告诉我们，它的 x 等于负次数是收敛的，我们通过令 x 加二等于 t， 这个奇数就变成了余温 t， 然后 x 等于负次时，我们的 t， 它就等于负次，代入就等于负二，然后 x 等于零时， 把零代入，它也等于二了。好，那它告诉我们，它在 x 等于负四处收敛， 那 x 等于负四时， t 等于负二，所以曰 n。 这个计算在 t 等于 负二处是收敛，然后 x 等于零处发散， x 等于零时， t 等于二，所以它在 t 等于二处是发散的。 然后我们就可以利用我们的阿贝尔定律，因为这个基数啊， 它的收敛点是零，然后它现在在负二处收敛，二处发散。首先负二处收敛，根据我们的阿贝尔定，那它的另一个， 呃，它收敛点是零，负二处收敛，那这个距离是二，那另一个端点就是二嘛，那么收敛之内必收敛，它在负二到二点都一定是收敛的。 然后他在 t 点二处发散， t 点二处发散，那么二到顺中点零，距离二另一端点就是 f， 那 么 根据我们的阿贝尔定律，发散中 b 发散，就可以得知，二到正无穷，负无穷到 f 都是发散的。那显然这个区间不就是我们的顺区间吗？并且端点零点二的零点我们是已知的，所以它的顺率就是 x 大 于等于 far 小 于二，这就是我们的乘以。好，那么现在不就是把这个圆 t n 这极数的 t 换成了二 x 加一吗？所以 二 x 加一整体的一个范围不就在负二到二之间吗？左 b 右开，然后把 x 范围求出来，就是后面这个极数一个连线啊，那就二 x 加一大于等于二小于二。好，两边先同减一，得到 x 大 于等于负，三小于等小于一， 然后两边同圈儿截得 x 大 于等于负的二分之三小于二分之一，所以我们的收敛域就是负的二分之三到二分之一。左闭右开。好，这是我们的第十四题。 i come 的 第十五题告诉我们， y 一 等于 x， y 等于 x 加 e， r x， y 等于 x 乘以 x 乘一加 e 的 x 是 二结长期处非奇次性方程的一个特点，求该问成的一个通解。 问方程通解，也就是二结非奇的一个通解，它的解的结构是由奇次的通解与非奇的特点相加构成的， 我们就呃，不妨先求其中解。怎么求呢？一、题目告诉我们三个非奇的特解，而两个非奇的特解相减是其次的解。所以不妨拿我们的 y 三减我们的外移啊，就等于 呃，我们的 y 三减，我们的 y e 就 等于 x e 的 二 x， 这就是我们其次的一个解。同理，不妨再拿 y 二减，我们的 y e 就 等于 e 的 二 x， 这也是一个奇次解啊。当然，我们拿我们的 y 三减 y 二也可以啊，总之就是你三个 任意两个相减，选择其中两个就可以了。然后我们可以发现， x 一 到 x 除以一到 x 等于 x 是 不等于任意常数 c 的 两个啊，因为它们的相处不等于任意常数 c， 就 它们现行无关，两个现行无关的。其次的减乘上 c 一 c 二相加，就能作为我们其次的通解， 所以其通解 y 八就等于 c x 一 到 x 加 c 二一到 x 好， 然后其通解有了。那飞机的侧解 y 一 y 二 y 三任一个都是啊，因为它们都是我们飞机的解，不含 c 啊，所以它们三个任一个都能作为我们 飞行测解 y 型，那 y 型不妨就取这个 x 就 好了。所以这个微方程，它的一个非奇的一个通解 y 就 等于 c， 我 们把这个整合一下，它就是 c 加 c 二 啊， c x 加 c 二一到 x 加 x 就是 我们二阶非奇的一个通解，这就是我们的第数体。 我们再看我们的第十六题，求这个极限，求极限定型，将负无穷带入啊，三倍的负无穷无穷， i can 无穷是发分之差，加分之差是零零乘无无穷形，我们就下放下放求到简单的函数，那显然 呃，下放 x 会更简单，我们会选择下放 x， 此时再定型，零比零，零比零就可以落笔到分子分母分别求到，因为它不能化解，所以直接求到。分子求到 e 加 x 方分之一，分母求到负的 x 方分之一。好，我们化解一下， 就等于一加 x 方分之。负 x 方啊，负三倍的 x 方求这个极限定形无穷比，无穷抓大头，分子分母最高次数相同，极限就系数之比，负三比一就是负三了。 好，这是我们的第十六题。 再来看我们的第十七题，给了一个分段函数求它导数，就是考察分段函数求导，分段函数求导，我们的方法呢，就是分段区间接求导，分段点用我们的导定， 那么分段区间就是 x 大 于 f， 一 且 x 不 等。零求导就等于对它直接求导，就是一个除法求导 分母的平方分之上岛，上岛就是对它求岛，前岛为一乘，后不岛减，加上前不岛乘后岛。 好，这是上档乘下档，减去上部档乘下档，下档就是零。一加 x 求档，一加 x 乘以一，然后化简，因为分式当中不能保留分式，必须把这个分式给消掉。分子分母同乘一加 x， 这就是分段点导数，分段数，分段点导数要用我们的导数定义计算， 那么虽然零是这个分段，这个分段点，但是分段点左两侧表示是相同的，都是它，所以并不需要区分。左极限 好计算。这个极限很明显啊，这个可以等价乘 x， 这个也可以等价乘 x， 我 们化解一下，它就等于 x 乘以 x， 分 子也是 x 乘以 x， 因为这个等价乘 x 嘛。 x 除 x 就是 分母，就是 x 方了嘛。那分子等价乘 x， 分 子也是 x 方，极限很明显等于一了， 所以零处打数就等于零，然后最后不要忘记汇总，那么 f p， x 就 等于。我们等一下，整理一下 f p x， 它的表达式在 x 大 于负一且 x 不 等零时，表达式为，一加 x ln 一 加 x 的 平方 分之一， x 减一加 x 乘以一加 x 龙一加 x 减去 x， e， x 减一，再 x 等于零式导数等于一。好，这是我们的第十七题。 再来看我们的第十八题。求这个曲线在 c 塔等六分之派时，对应 处，对应点处的切线在外轴上的截距啊，就是求纵截距。那么求纵截距首先就需要求出欠方程，我们就先求欠方成就求导嘛，就是参数方程求导 d y 比 d x 等于 d y 比 dt， 除以 d x 比 dt， 就是 y 对 地球了，就是它对地球了啊。否提出来 cos theta 的 三次求道，现在外层的幺二求道， b 次乘以次数减 e， 再乘以它的导数负的三 c， theta 除以 d x， b， d t 就是 x 对 齐求导法提出来 sin 以极大的三字选择外层的面积，求导密次乘以次数减一，再乘以内三处导数。 cosine 大 好，然后化解。呃，负负抵消三抵消。呃， cosine 消掉一个， cosine 消掉一个，那不就等于负的 cot 除以三嘛，叫负的 coty theta 好， 然后把六分之 pi 代入， 把 theta 等于六分之 pi 代入。 coty 是 tangent， 倒数就考虑 tangent 六分。六分之 pi 等于多少 tangent 六分之 pi 等于三分之杠三，呃，它的倒数就等于 根号三了，等于根号三了，所以就等于负的根号三。那么 c 大 等于六分之派出的导数算出来了，也就切记斜率算出来了，那么就手切点啊，切点也是未知的。手切点有 c 大 等于六分之派时，把我们的 x 的 值， y 的 值记在内下， x 就 等于 呃在六分之派等于二分之一。二分之一的三次八分之一，负八分之一。往 y 的 值计算一下， cosine， 六分之 pi 等于二分之杠三，啊，它的三次等于三倍杠三除以八，有负八分之三倍的杠三。气垫有了，斜率有了，所以切方程就能表示出来了。 y 减去呃负的八分之三被杠三，有 y 加上八分之三被杠三等于负的杠三，乘以 x 减去八分之一，就 x 加八分之一。 然后我们整理一下，也就是 y 等于负的根号三 x， 然后 减八分之三倍杠三，减八分之杠三，也就是减去八分之四倍的杠三，也是减去二分之杠三。 好，然后他计算我们这个切线在外轴上的截距，就是令 x 等于，那显然 y 就 等于负的二分之杠三，所以他在外轴上的纵截距就等于负的二分之杠三。这是我们的第十八题， 我们再来看我们的第一个旧题，函数 y 点 y x， 呃，函数由 y 点 y x 确定，那就给了一个以函数求它在零处的导数。以函数求导，我们的方法呢？第一步，对整个方阵求导，呃，它求导新的外层，以一为一的指数求导不变， 再乘以内乘，除倒数外求倒外一撇乘后部倒，加上前部倒是后倒后乘 x 加上 long x 外求倒，现在外乘的 long 一 求倒，内乘分之一，再乘以内乘，除倒数外求倒是一， x 倒是一，外求倒是外一撇 啊。常数加的就等于零了。好，然后以函数求某点导数。我们思路呢，就喜欢导这一带值，那带值的话，这里的式子还含有 y， 说明还需要计算出 y 的 值， x 等零是计算 y 的 值啊，把 y 的 值带入原式计算， 那么把零带入，它就等于一的零四十一，那这个是零， y 一 加零， y 要等于二，零， y 就 等于一，那 y 就 等于 e 了，然后把 x 等零， y 等 e 带入得 好，那这个就显示零了，这是 e 的 零，次是 e， 然后这是 e， e cosine 就是 e， 有 e 加上 e 分 之一，加外撇等于，那外撇 显然就等于负一方减一了，所以外撇零就等于负一方减一。这是我们的第十九题 at com 的 第二题，计算这个定积分。这个定积分啊，我们可以发现它的积分区间是对称的，我们就可以考虑就性利用后边进行化简。其次，这个被减函数是一个最值函数，最值函数实际上就是一个分段函数， 它是 max， 表示的意思是，嗯，这里二和 x 方谁最大，它的表达式就为谁，因为它的积分却递增啊。所以，首先我们可以考虑利用旧性偶倍镜来化解。 呃，然后，实际上这个 max 二 x 方，它是一个，它是一个 最。呃，它是一个偶函数，它是一个偶函数，它图像大概什么样呢？呃，我们可以把二 x 方的图像画出来，这是二的图像， x 方图像是什么样？是这样子， 它们焦点在哪呢啊？焦点在负根二与根二。好，从这个图像中可以发现，在负根二到根二当中，二是大的，所以就说明在负根二到根二。呃，我们的 max max 二 x 方，它的图像就是这个二了。好，我们不妨把这个图案再复制一下。好，我们就可以画出了。画出这个 max 二 x 方的一个图像，它在负二的二，图像是它，然后在 负根二，由负穷到负根二，根二到重穷 x 方的，那么它图像就是 x 方。好，然后把其他的擦掉， 这就是 max 二 x 方的一个图像。是不是显示关于一个 y 轴对称呢？它显示一个偶函数啊，那么 前面是非奇数，因为这是奇，这是偶相加非奇数，但是我们拆分拆乘三 x 与 max 加上 max， 那 它是奇，它首 奇乘偶是奇函数吗？就偶倍奇零就没有了呀。这前面这个三 x 啊，是可以直接舍去的，然后我们直接翻倍，因为它是偶函数，所以二倍的零到二 max 二到 x 方。好， 然后，嗯，刚才我们已经分析了这个，它是一个分段数， 在零到高二的时候是二档，所以我们要进行一个积分圈拆分啊。分段数求定一分就要积分圈拆分嘛，在分段点拆分，它在零到根二上是二档嘛，所以就零到二，零到根二，二积分，加上根号二到二 x 方积分， 二积分，常数积分等于常数乘以上极限下限 x 方积分三分之三次， 然后上下限代入，呃，上限代入是八，下限代入是二倍杠二， 二倍杠二减去三分之二倍杠二，就等于三分之四倍杠二加上三分之八。好，这是我们的第二十题。 icon 的 第二十一题，求这个不定积分嗯，这个不定积分。它是一个， 它是一个假。呃，它是一个真分式啊。嗯，分母最高次数相乘是三次嘛？分子最高是二次，然后假分式。然后分母显然是可因分解的，它已经分解好了嘛。那么我们的思路就是因式分解与列项。那么根据我们的列项原则， 三， x 方加 x 加一，除以 x 减一， x 方加二， x 加二，它就可以列成 x 减一分之 a， 加上 x 方加二， x 加二分之 b， x 加 c。 啊，这个列项原则我们在旧课有介绍过，就是为什么这里分子设成 a 一 常数，这里设成一次量式呢？就我们列项原则就是分子设的时候要比分母低一次， 因为它是分母，是一次量式，那么它分子就常数零次量式，这是二次量式，那我就设成一次量式。好， 接下来我们就计算这个 a、 b、 c。 嗯，最基本的思路就是代入去数法啊，给他们通分通分成。呃，分母相同和它分母相同，然后另两边分子相等，能把 a、 b、 c 算出来，这是一个思路。还有一个思路就是用柳数法啊，用柳数法，比如我们计算这里的 a， 计算 a 的 时候，就把等式左边它对应的分母啊舍去删掉，然后令它的分母为零，带入剩余的式子，那就是 x 等一带入剩余的式子也是三加一加一，比上一加二加二，就等于五分之五，就等于一了。 但是需要注意，等式右边它是无法用留数法的。那怎么计算呢？我们会去赋值。怎么赋值呢？比如我们令 x 等零带入 好，另等零代入它，这就是一了啊，这个是负一，这是二，所以就是 f 零， 然后等于这个就是 a 啊。 a 我 们计算出来是一了，一除以负一就负一，加上 c 除以二， 那把它移过去，就二分之一等于二分之 c， 那 c 显然就等于一了，那 b 怎么计算呢？我们会另一个简单的指，比如令 x 等于一代入， 一代入的话，这里就是三加一，加一就是五啊。可以发现，我们是无法令 x 等于一代入，呃，令 x 等于一代入，它是不是就是呃分母为零了，所以没法取，那怎么办呢？我们不妨就取二或者负一嘛。 我们不妨令 x 等于负一代入， 那就是三减一，加一就是三，然后这是负二，这是一减二加二，那就一，这就是负的二分之三 等于，这就是负的二分之 a， 就 负的二分之一 加上，这是一减二，加二就一分子，是一分母哦，分母是一分子，是 b， x 就是 负 b 加 c 就 一减 b， 好，然后把这个移过来，它就是负一了，对不对？负一等负一等于一减 b， 那 b 是 不是显然就等于二了啊？这样就很快就能把 a、 b、 c、 c 算出来了啊。或者大家通分也可以啊，但是通分肯定相对麻烦一点， 那么我们就可以得知，它逆向后就等于 x 减一分之，加上 x 方加二， x 加二分之 二， x 加一。那么前面想错，一分就等于 lone， 绝对是 x 减一嘛 啊，就是再另错个减一，那积分就是 lone， 绝对是 x 减一，那后面积分怎么积分呢？它属于真分式啊，分母次数大于分子嘛，但是分母是无法因式分解的， 那分母无法因分解，看分子是否有 x， 它有，那有 x 怎么办呢？我们就需要凑分母导数。分母导数，我们对它求到就二 x 加二，那我就得写个二 x 加二出来，再减个一，与原式相等好，然后怎么做呢？我们就得拆开拆分，求积分， 就从这里拆分，拆分之后就等于二 x 加二，除以 x 方加二， x 加二， 减去 x 方加二， x 加积分。好，前面积分就可以凑为分了。因为我们刚才刻意去凑分母导数嘛，所以分子是分母导数，它就具有导关系啊，所以就凑为分， 后移为积分，它积分就等于二 x 加二，那么再凑个二， x 方加二 x， 我 们再凑个加二， 然后后面它就属于真分式，分母不可因分解。分子五 x， 分 子五 x， 我 们就配方， 配方怎么配呢？只要 x 平方，前面系数是一，它就可以配成 x 加 a 的 平方 a 怎么计算？一次项系数除以二，所以它就可以配成 x 加一的平方，再配常数项，再加个一， 然后它就可以直接积分了。前面积分将 x 方加二， x 加二，当整体它积分就是零， x 方加二， x 加二，这个绝对值可以去掉，因为它一定大，零的减去后面这个积分就套公式了，对应的是一加 x 方分之一的公式 就等于 x， 它只是把你的 x 改成了 x 加 e， 所以 我们在这里错了一个， x 加 e， 将 x 加 e， 当整体它积分就是 x 加 x 加 e， 再加 c， 这就是我们的第二十一题。 我们再来看我们的第二十二题，告诉我们 f x 等于二， pi 减 t 分 之三， t 在 零到 x 上的变上线积分，求 f x 在 零到二分之 pi 上的积分啊，这个积分啊，就是， 呃，前面这个 f x 的 积分你是积不出来的，然后你 f x 积不出来，你 f x， f s 表示就得不到， f x 表示不得，得不到，你这个积分就肯定是求出来了。所以这个题啊，常规速度是肯定不行的。那怎么做呢啊？它需要进行一个分布积分啊，分布积分， 然后我们就直接分布，就等于它们两个相乘， 减去它们两个互换位置， 然后上下限代入，上限代入就是二派，然后 f x f x 二派 f x 不 就是它吗？就把这个上限改成二派 减去。好，这里 d 后面不是单独 x 叫前移，前移为求导，就等于 f f p x， f p x 就 对它求导，就上限求导，乘以上限代入 就是三 x 除以二派减 x， 下限是常数，求到就没有了。好，然后积分表达与字母没有关系，这里可以直接改成改成 x， 然后就可以发现这两个积分上下线是相同的，就可以将倍减函数进一个相加，减就等于 二派，然后你可以发现它被加数这个部分是不是相同的，相同的。然后就是这两个相减嘛，二派减 x 乘以 sine 除以二派减 x， 而这二派减 x 就 消掉了，就变成了 sine 在 二派上零到二派上的一个周期吗？ sine， cosine 在 一个周期上积分是零啊。 啊，就可以根据我们几个亿嘛，因之上下两块面积相等，大小相等，但是定期分几个亿分正负啊，上面是正的，下面是负的，相加就是零啊。好，这就是我们的第二十二题。

同学们大家好，今天我们来看到高考全国二卷的第十七题，这是一道例题几何的题目。如图，在四边形 abc 大 中，其中 ab 是 平行于 c 大 的大， ab 是 等于九十度的 f 为 c 大 的中点，那么大 f 呢，就是等于 c f 的 点 e 在 ab 上， e、 f 呢，平行于 a 大。 由这些平行关系呢，我们就可以得到，凹处的这些角都为直角， ab 呢，是等于三倍的 a 大 的， c 大 呢，又等于二倍的 a 大。 这里呢，给出了边长之间的关系，但是这道题没有给出长度，所以在这里呢，不妨设 a 大 的长度为一， 因为 c 大 等于二倍的 a 大， f 又为中点，那么大 f 的 长度也为一， c、 f 的 长度呢，也为一。有图我们可以看出，四边形 a、 e、 f 大 为一个矩形，所以 a、 e 的 长度呢，也为一。又因为 ab 呢，是等于三倍的 a 大 的 b， e 的 长度就为二。 将四边形 e、 f 大 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f 大 一撇 a 一 撇，使得面 e、 f、 c、 b 所形成的二面角为六十度。 四边形 a 一 撇大一撇 f e 是 一个矩形，这里的二面角六十度就是我们的角 b e a 一 撇，这个角度为六十度。第一问，让我们证明 a 一 撇 b 是 平行于平面 c 大 一撇 f 的。 要证明线面平行呢，我们有两种思路，一种呢，是去证明线线平行，然后另外一根直线属于平面 c 大 一撇 f。 还有一种方法呢，是去找一个面面平行，其中有一个面是 a 一 撇 b， 要所在的面。在这里呢，我们发现我们很难在我们的平面 c 大 一撇 f 这个平面内找到一条直线平行于 a 一 撇 b， 所以 我们可以换一个思路，我们去证明面面平行。 我们来看 a 一 撇 b、 e 这个面是否平行于 c、 f 大 一撇这个面，如果这两个面平行的话， a 一 撇 b 呢？又是前面这个面内的一条直线，我们就可以得到线面平行了。把刚刚设 a 大 的长度为一四边形， a 大 f、 e 为正方形的过程，我们把它写下来之后，我们可以得到 a、 e 是 平行于大 f 的， 那么折叠之后就可以得到 a 一 撇 e 是 平行于大一撇 f 的。 这里我们想证明面面平行。要证面面平行，就是要在一个面内找两条相交的直线，这两条直线都平行于另一个平面，这里我们由 a 一 撇 e 已经可以证得它平行于背后这个平面了。 因为大一撇 f 属于后面的这个平面， a 一 撇 e 不 属于后面的这个平面，所以我们就可以证得 a 一 撇 e 是 平行于背后这个平面的。那么要证明这两个平面平行，我们只需要在前面这个 a 一 撇 e、 b 类这个面内，再找一条直线平行于后面这个面。显然 b、 e 是 平行于背后的这个平面，证得了 b， e 也平行于背后这个平面， a、 e 也平行背后这个平面之 后，我们只需要说明这两条直线都属于前面的这个平面， a、 e 也平行背后这个平面之后，我们只需要说明这两条直线都属于前面的这个平面， a、 e 也平行背后这个平面之后，我们只需要说明这两条直线都属于前面的面面平行了。 证得面面平行之后呢？又因为 a 一 撇 b 是 平面 a 一 撇 e b 类的一条直线，所以我们就证得了 a 一 撇 b 呢，它是平行于我们的平面 c 搭一撇 f 的。

同学们好，我是数学胡老师，今天我们一起来看一下力敌几何十年高考真题。首先我们来看一下二零二五年全国二卷的高考真题， 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 四边形 a、 b、 c， d， a、 b 平行 c、 d 角 d， a、 b 等于九十度 点 f 点 f 是 c， d 中点，则我们的 f、 d 会等于 c， f 点 e。 在 a、 b 上 e， f 平行 a， d， e， f 平行 a， d， a、 d 等于三倍的 a， b 等于三倍的 a， d， a、 b 等于三倍的 a， b 是 等于三倍的 a 的 c 的 等于两倍的 a 的。 将四边形 e、 f 的 a 沿 e、 f 呢 折叠，指四边形 e、 f， d 撇 a 撇， 使得面 e、 f 得撇 a 撇与面 e、 f、 c、 b 这个面的二面角二面角是六十度 一问，证明 a 撇 b 撇 a 撇 b， a 撇 b 平行平面 c 的 撇 f。 第二问是求面 b、 c、 d 撇啊，这个面和面 e、 f、 d 撇 a 撇所成的二面角的对称值。 那这里的话主要是考察啊，证明线面平行，线面平行，那求二面角还有呢？面面角的一个向下求法。好，首先我们来看一下啊，第一问， 要针线面平行的话，线面平行 a 撇 b 平行平面 c、 d 撇 f。 那先应用线面平行判定，定量得出 a 撇 e， a 撇 e， 这个 a 撇 e 平行平面 要针线面平行，可以先转到面面平行啊，这个面平面 a 撇 e、 b 跟平面 c、 d 撇 f 啊，面面平行呢？ a 撇 b 呢？在平面 a 撇 e、 b 内，由面面平行的转到线面平行上来， 所以呢，先用线面平行判定呢，得出啊，我们的 a 撇 e 啊， a 撇 e 呢？平行平面得撇 f、 c， 那我就只要得到 a 撇 e 跟我们的得撇 f 是 平行的，那 a 撇 e 呢？在平面外 d， f， d 撇 f 呢？在平面内，那就我们的 a 撇 e 呢？会平行平面 c， d 撇 f， 还有呢， a， b 平行 c、 d， 那 么的 b， e 呢？会平行 c， f， 那 么的 b， e 在 平面外， c， f 在 平面内，所以呢， b、 e 会平行平面 c， d 撇 f， 那 a 撇 e 和 b， e 呢？相交于点 e， c， f， d 撇 f 呢？啊，相交于点 f， 那 就面面平行，面平行， 因为呢， a 撇 b 啊，在平面 a 撇 e， b 内啊，那就是 a 撇 b 呢？平行平面 c， d 撇 f 好， 这是第一问的思路。好，我们一起来写一下 第一问，证明 这个 a、 b 等于三倍的 a， d， c， d 等于两倍的 a， d 啊，那不妨设呢， a， d 等于 e 啊，设 a， d 等于 e， 则 a、 b 等于三倍的 a， d 等于呢，就等于二，等于二， 因为 f 为 c、 d 的 中点， c 的 中点，所以啊， d、 f 会等于 这个 d， f 和 c、 f 呢，都会等于 c、 d 的 一半等于一，这是一，那我们的 a、 e 呢？ a、 d 是 一， d， f 是 一， c， d 是 二，那这个的话是一啊，那 ab 是 等于三的 ef 平行 a 的 ef 平行 a 的， 那 ab 平行 c、 d， 那 么的，因为 e 是 在 ab 上的，那么的 a、 e 跟 d、 f 就 会平行，那两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 平行线，那 d， f 呢？和 a、 d 都等于一啊，所以它是一个菱形，菱形，那角 d， a、 f 呢？又是九十度，所以它就是一个有角是直角的菱形，是正方形，正方形。 那么折叠起来之后呢？折叠翻折之后啊，那么的位置关系是不变的，那 a 撇 e 呢？和得配 f 呢？也是保持平行的啊， 那么就可以得到我们的 a、 e 平行 d 撇 f， a 撇 e 在 平面外 d 撇 f 呢，所以呢，就是 a 撇 e 会平行平面 c， d 撇 f 啊，那 g 的 ab 平行 cd 及 b e 平行 c f 平面内啊，平面外，这是平面内的，所以呢，也是平行的啊，所以这两个相交，两个相交啊，所以这面平行，那你就可以得到了啊。 因为 f 是 c， d 中点，所以的 f 是 等于 c， f 等一的。 因为 e f 平行 ab 平行 cd， 所以 四边形 a， e， f， d 是 平行四边形，平行 四边形， 这个 ab 平行 cd 啊，及 a， e 是 平行 d、 f 的， 对吧？啊，这呢，可以写转个 g 啊，好，咱不影响。 所以 既然是平行四边形， 所以 a、 e 平行 d， f 其实 a、 e 平行 d， f 啊，其实有我们的 ab 平行 d 啊， cd 的 话，其实可以得到的啊。 嗯，所以我们翻折之后的我们的 a 撇 e 平行 d 撇 f， d， f 因为 a 撇 e 不 在平面 c， d 撇 f 内 d 撇 f 是 在平面 c， d 撇 f 内的，所以 a e 啊， a 撇 e 啊，会平行平面 c， d 撇 f 好，知道 a 撇一平行 c， d 撇 f 了啊， 因为 a， a、 b 平行 c， d 啊，我们重新写一下啊， a、 b 平行 c， d， a， b 平行 c， d， 所以 我们的 b， e 会平行 c， f， b e 平行 c， f 因为 b 是 不在平面 c， d 撇 f 内的 c、 f 在 平面 c， d 撇 f 内，所以 b e 平行平面 c， d 撇 f 因为 a 撇 e 交 b， e 一 点 e， a 撇 e， b， e 都在平面 a 撇 b 以内啊，所以啊，所以平面 a 撇 b， e 平行平面 c， d 撇 f 好， 因为 a 撇 b 啊，是在平面 a 撇 b 以内的，所以 a 撇 b 啊，会平行平面 c， d 撇 f 好，这是第一问，正出面面平行啊，正出面面平行，然后呢？再正线面平行。好，我们看一下第二问， 第二位是要求平面 b、 c、 d 撇与面 c、 f、 d 撇 a 撇啊，组成的二面角的正弦值，那肯定要求这两个平面的 法向量啊，法向量，那平面以平面二面角啊，那它的余弦值呢？会等于啊？两法向夹角余弦值的绝对值，那正弦值呢？会等于根号下 e 减它余弦值的平方啊，好，那么来间隙啊，间隙， 那近期的话，我们要找两两垂直啊，要找两两垂直建立空间，直角坐标线，那一直调节啊，那么要把我们的 b 点 c 点得撇， 还有呢，平面啊， e、 f、 d 撇 a 撇能找到两两相交的，然后是求出反向量来就可以了啊， 利用法向量的算术公式呢，将两平面的夹角余弦值来表出来啊，然后再根据我们根号下 e 减余弦值的平方啊，来求出来啊。 那么要怎么求我们的坐标呢？那首先间隙，那间隙的话，我们看一下缺什么， 那题目当中给了我们的平面 e、 f、 d 撇 a 撇 跟平面 e、 f、 c、 b 啊，它的二面角，那二面角的话，我们要找到它的交线，交线是 e、 f， 这条好，两平面内呢，找到与交线垂直的，那两垂线之间的夹角，就我们的二面角啊， 那平面 e、 f、 c、 b 当中，因为这个角，你看，因为 d、 a、 b 啊，角 d， a、 b 是 直角，直角，那这 e、 f 跟 a、 d 是 平行的，那我们的 e、 f 呢？会垂直 b 啊，那 b， e 跟 e、 f 是 垂直的， 那前面呢？我们也讲了，我们的四边形 a， e、 f、 d 呢，是一个正方形啊，那翻折之后呢？翻折之后，我们的 a 撇 e 啊，是垂直 e、 f 的， 所以呢， a 撇 e 和 b e 的 夹角呢，其实就是我们的这两个平面的二面角，所以这个角 a 撇 e、 b 啊，这个角是六十度的， 那 a 撇 e 呢？跟 d 撇 f 是 平行的，平行 c， f 跟 b e 也是平行的，其呢，这个角其实也就是我们的角 d 撇 f、 c， 这个角会是六十度六十度。 那 d 撇 f 是 等 d f 的， 那 d f 呢？也等于一，那 d f 呢？也等于一，那 c、 f 是 一，那这里的三角形 d 撇 f、 c 是 等幺三形， 等有一个角是六十度，等幺三形呢，是一个等边三角形，等边三角形， 那既然是等边三角形的话，就有三线合一啊，就是三线合一， 那么 我们找两两垂直 e、 f 和 f、 c 等于，这是正方形嘛。那 e、 f、 c 啊，角 e、 f、 c 这角是直角，这角是直角， 所以呢，我们可以啊，以 f 为坐标原点啊，那 f、 e、 f、 e、 f、 e 所在直线呢？为 x 轴啊，那 f、 c、 f、 c 所在直线呢？为 y 轴。过点 f 呢？做 f、 c 的 垂线啊，垂向上写 好，这是 z 轴啊， 那进完气之后呢，我们把点坐标找出来就可以了啊。好，我们来写下点位。好，因为 因为角 d、 a、 b 等于九十度，所以 角 d、 a、 b 等于九十度的话，所以我们的角 d、 a、 b 等于九十度，所以 a、 d 会垂直 ab 的。 你们的 ab 啊， ab 平行 f c， e f 平行 a d， 所以 e、 f 是 垂直 f c 的 e、 f 垂直 f c 啊，所以啊，我们以 f 为坐标原点， 以 f 为坐标原点 f、 e、 f、 c。 还有呢，就是垂直 垂直平面 b、 f、 c 垂直 平面 e、 e、 f、 c 所在直线分别为 s 轴、 y 轴、 g 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 因为我们把这个二面角的六十度表示出来啊，因为 d、 p、 f 是垂直 e、 f 的， 其实刚才我们这里的角 a 撇 e、 b 跟我们的角 d 撇 f、 c 啊，这是六十度啊，咱们写一下啊，为什么是这个二面角啊？ d 撇 f 垂直 e、 f， 因为这 d、 f 和 a 撇 e 是 平行的，所以用的是正方形嘛，都是垂直 e、 f 的。 c、 f 垂直 e、 f b e 垂直 e、 f 啊，那因为 b、 e 跟 c、 f 是 平行的，所以 c、 f 也是平行 b 的 平面 e、 f、 d 撇 a 撇与撇面 e、 f、 c、 b 所乘的二面角为六十度，所以啊，角 d 撇 f、 c 会等于六十度啊，它的角是六十度啊，你角六十度的话，我们求一些坐标才好求啊，则 我们要求的啊，我们的坐标啊，那我们的 b 点坐标啊，因为 a、 b 是 三，这段是一啊，这段是二， 那我们的在 y 轴上的投影啊，这段长度是二，在 s 轴的 e、 f 这段是一啊，所以 b 点坐标是一二零啊。其实反向最关键的话，是我们的点坐标要求出来啊， c 点坐标， c 点坐标， c 点坐标的话，是在 y 轴上， c 轴长度是一啊，所以是零一零 得撇坐标啊，我们平面是 b、 c、 d 撇啊，所以我们求出我们的 b、 c、 d 撇坐标来。 d 撇坐标的话，我们就要根据我们的六十度来求啊，六十度， 好，那这里呢？做垂直， 因为是边长为一的等边三角形，那 g 的 话是 g 是 一啊，那 g 的 加这个点是 m 点， 那么的等腰三角形，等边三角形，三线合一，这是二分之一，所以这呢是二分之一，正好三，所以呢， b 撇坐标就出来了。 d 撇坐标是零斗，那么的在 y 上头沿长度是二分之一，就是零斗二分之一，那它竖坐标是二分之，正好三。 那平面 e f d 撇 a 撇啊， 我们就找 e f 和 d p f 吧。 e 点坐标， e 点坐标啊， e 点是在 x 轴上， y 上都是一，所以呢， e 点坐标是一逗零逗零，那 f 是 作被圆点，这是零逗零逗零。 好，那我们接下来求我们的发向量设平面 b c b 撇 的 发量。发向量为 n 一 向量等于 x 一 y 一 c， 则 分一。这个方向量啊， 以 b、 c 向量的算积呢，为零 点坐标出来，我们先求下我们的向量坐标啊，则 b、 c 坐标是用 c 的 坐标减 b 的 坐标 负一到负一到零。 b d 撇逗表用 d 撇减 b 点就是零减一 负一，二分之一减二，负二分之三，二分之三减零啊。 f 一 f 一 向量用一点减 f 点一到零到零， f 得一撇啊， f 得一撇，是得撇减 f 点零到二分之一到二分之根号三 n 一 向量与 b、 c 向量的收敛机啊，那就是一乘 x 一 x 一 加上两倍的 y 一 啊，加上零乘以 x 一 加二， y 等于零。 n 一 向量与 b d 撇的方向量是负 x 一 减二分之三的 y 二 解加二分之根号三的 c 二等于零，那么得到 x 一 等于负二的 y 一。 我这里是负一负一零啊，应该是，那这写错了啊。 啊，这个信息点等于负 x 一 减 y 一 等于零， 我是不是看成 b 点去了啊。所以呢，这要对号入座啊。 x 一 等于负 y 一 负 x 一 负 x 一 是等于 y 一 的啊， y 一， 哎，这是 y 一 啊， y 一 的和 z 一 啊。 负 x 一 是等于 y 一 的 y 一 减掉二分之三， y 一 是负二分之 y 一 啊，移过来那二分之高三之一等于二分之 y 一 啊，那乘以二， 那 y 一 是等于根号三的 z 一 的， 那么令 z 一 令 z 一 等于一的话，则 y 一 会等于根号三 x 一 等于负根号三。所以 n 一 向量坐标是负根号三到根号三到一。 设平面 e f e 撇 a 撇的一个法向量 为 n 二向量，这个是 x 二 y 二 g 二，则 n 二向量与 f e 向量的收敛机啊。等于零， 那 f e 上是一比零，那就是 x 二等于零， n 二向量与 f d 一 撇的收敛机为零，那就是二分之一的 y 二加二分之根号三的 c 二等于零。 所以 s 二是等于零的，那 y 二，那 y 二是等于负根号三的 z 二， 那么令 z 一 等于一的话，则 y 二会等于负根号三。 所以呢，我们的 n 二向量作表是零，负根号三的一。 然后呢，我们设我们要求的啊，这两个平面的二面角呢？ v c t 这平面 b c 的 撇与撇面 e f 的 撇 a 撇 所乘角的凹面角所乘的 二边角。对 c 啊，则 cosine c 会等于两个反向量 夹角的一弦值的绝对值啊，那等于 n 一 与 n 二向量的数差记啊，除以 n 一 向量的模，除以 n 二向量的模，然后等于 n 一下面是负根号三，根号三一啊， n 二下面是负根号三一，那它们的收敛机横乘横加纵乘纵啊啊，这是零负根号三， 根号三乘负根号三是负三，负三加一，负二负二的绝对值是二的啊，这是 零减三加一这个值，那这的话是负根号三平方加根号三，平方加一啊，那就是三加三加一啊，就是根号七， 那这是零方加负根号三方啊，加一，三加一四四开出来等于二就等于二除以二倍，根号七等于七分之根号七啊， 因为它取的是正弦值，所以呢， sine theta 会等于一减 cosine theta 的 平方啊，那 omega 的 话是零到 pi 的， 零到 pi， 那 么正弦值是正的，所以刚好加一减 cosine theta 平方，那一减七分之七分之一是七分之一，就等于七分之六开根号就等于 根号七分之根号六啊，分子中填的杠七，所以七分之根号四上。好，最后呢，下结论，一定要注意下结论啊，结论是占一分的，所以平面 b、 c 的 撇与平面 e、 f、 d 撇 a 撇 所乘的二面角啊，正弦指 为七分之根号四上，那这地方我们就算做完了啊。 好，最后我们再复盘一下。好，第一问是要证我们的 a、 b， a 撇 b， a 撇 b 啊，平行平面 c， d 撇 f， 我 们是先证了平面 a 撇 e、 b 啊，这个平面和平面 c、 d 撇 f 呢，这两个平面平行啊，由线线平行证面面平行啊， 因为 ef 是 平行 a、 d 的， ef 平行 a， d， a、 b 平行 c、 d 啊，那么的 a、 e 和 d、 f 是 平行的，那两组对边分别平行四边形是平行四边形， 加上这个角是直角，那这长度啊，那长度的话都是 f 是 c， d 中点，这是 e 啊，那这是 e， 所以呢，菱边相等的平行对称是菱形啊，加角是直角，所以是正方形，那么的沿 ef 那 个翻折起来啊，那位置关系是不变的，位置关系是不变的， 所以呢， a 撇 e 会平行 d 撇 f a 撇 e 呢？不在平面 c， d 撇 f 内啊， d 撇 f 是 在平面 c， d 撇 f 内的，所以呢， a 撇 e 是 平行平面 c， d 撇 f 的。 因为 ab 平行 c d， 那 e 是 在 ab 上的， f 在 c d 上的啊，所以呢， b e 会平行 c f 啊 b e 不 在平面 c d p f 内 c f 呢？在平面 c p d p f 内啊，所以呢， b e 平行平面 c d p f 又因为呢， a e a 撇 e 和 b 是 相交于点 e 啊， a 撇 e 和 b 呢，都在平面 a 撇 e， b 上，所以呢，这两个平面会互相平行。 又因为呢， a 撇是 b 是 在平面 a 撇 e， b 上的啊，所以呢，就得到我们的气面平行啊，那第二问， 第二问就要求面面面面所成的二面角的正弦值啊，那要求反向量，反向量，那叫间隙，间隙啊， 叫 d a b 式直角 ef 平行 a 的 啊，所以呢， ef 呢，是垂直 b 的 a， b 呢？跟 c、 d 是 平行的，那 e， f 呢？ e， f 是 会垂直我们的 f c 的， 所以呢，我们过点 f 啊，过点 f， 做我们的 垂直我们的 c d， 那 我们的这句话就垂直地面啊，就是地面 a 撇一， a 撇 e 是 垂直 e f 的 b， e 垂直 e f， 所以呢，两垂线间的夹角是我们的面面角 d 撇 f 和 f c 的 夹角呢？就是六十度啊，这是一，这是一啊，那这样的话，我们就是一个等边三角形，等边三角形的话，它的高是能算出来的。那接完系之后呢？我们的 b 点 c 点 d 撇，还有我们的 f 啊，还有我们的 d 撇，还有 e 呢？坐标都出来了，求法向量，那命运角所乘角的余弦值呢？会等于法向量加角余弦值绝对值，那求的正弦值，所以等于根号下 e 减 cosine 四下平方啊， 那么正弦值是正的，所以呢？取算数平方根好。以上就是二五年全空二卷的立体几何。这道刚好正题你会了没有？

同学们大家好，今天我们来看到高考全国二卷的第十七题的第二小问，求面和面所形成的二面角的正弦值。在进入这道题之前呢，我们先来回顾一下我们学习的线线夹角，线面夹角以及面面夹角。 首先线线夹角，线和线呢，我们看到直线，要想到它的方向向量，两条直线就有两个方向向量，线，线的夹角呢，是余弦值， cosine theta 等于分母是它们的模长，分子是它们的数量积的绝对值。 线面夹角呢，一个是线，一个是平面，看到直线想方向向量，看到平面想反向量线面夹角。注意我们求的是正弦的值，这里区别于我们的线线夹角和面面夹角。然后它的值同样也是分子为数量积的绝对值，分母为两个向量的模长面面夹角呢，看到平面想法向量，两个平面就是两个法向量。 面面夹角的余弦值， cosine theta 等于一样的分子，是数量积的绝对值，分母是两个向量的模长。下面我们来看到这道题目， 由第一问我们已经知道这些角度呢，都为九十度，所以它翻折起来也为九十度，且 e、 f 大 一撇这个平面和平面 e、 b、 c、 f 这两个面所形成的二面角就是我们的 a 一 撇 e、 b 和大一撇 f、 c 这两个角度呢，都为六十度，所以我们以 f 为圆点， f、 e、 f、 c 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，垂直于底面的直线为 z 轴。建立我们的空间直角坐标系。 建完系之后，要求面和面所形成的二面角，我们需要求出这两个平面的法向量，所以我们先来写出各个点的坐标， b 的 坐标很好写，就是一逗二逗零， c 的 坐标也很好写，零逗一逗零大一撇的坐标其实是在我们的 y、 o、 z 这个平面内，所以 它只是向前倾斜了一个六十度，所以大一撇的坐标我们可以这里做一条辅助线，进而就求出了大一撇的坐标呢，也是同理的坐标为零逗二分之一逗二分之根号三。 把我们需要的这些点的坐标都写完了之后，我们就来想我们如何去求这个平面的法向量。首先面 bc 大 一撇 bc 大 一撇这个平面的法向量我们要怎么求呢？我们需要找出这个平面内的两条相交的直线，这里呢，我们可以选择 bc 向量和 c 大 一撇向量，所以 bc 向量的坐标就为 c 的 坐标，去减 b 的 坐标，即负一到负一到零， 同理可以求得 c 大 一撇向量的坐标为零到负二分之一到二分之根号三。我们还需要求面一 f 大 一撇 a 一 撇这个平面它的一个反向量，所以也需要找出两个相交的向量，尽量我们选择 f 一 向量和 f 大 一撇向量，因为 f 呢为坐标圆点，写向量写起来会比较简单一点。 写出了向量的坐标之后呢，下一步我们就可以设平面的法向量了。这里我们先求平面 bc 大 一撇的一个法向量为 a 一 向量等于 x 一 到外一到内一， bc 向量和法向量应该垂直，所以他们的数量积等于零。 c 大 一撇向量和法向量的数量积呢，也应该等于零。画简就可以得到这个式子，这里我们令 y 等于根号三，就可以得到他的法向量的坐标就为 负的根号三负，根号三负一。同样的，我们设平面一 f 大 一撇 a 一 撇的法向量为 n 二向量，则 f 一 向量和 f 大 一撇向量都应该和 n 二向量垂直，即数量积等于零。进一步得到这个式子， 我们令 y 二是等于根号三的，就求得了他的一个法向量为零。逗，根号三逗负一。有了这两个平面的法向量之后呢，我们的面面夹角，我们的公式里面是求的它的余弦值，所以下一步我们就可以求得这两个平面的一个余弦值。 代入求解算出来呢，就可以得到这是等于根号七分之一及七分之根号七的。但是这道题目里面呢，他问的不是余弦值，他问的是正弦值。所以我们进一步还要用三一方加括号等于一，求出他的正弦值，算出来等于七分之根号下四十二。

这个视频呢，送给咱们高三的两个准备单招春招的这个同学，然后希望你们能够调整好状态，积极的备考，祝你们在这个春招里面考出理想的成绩。我们看这道题，在直三棱柱，大家一定记着第一个知识点，直三棱柱 和正三棱柱，那就一定是会推出来一个侧棱 一定垂直于底庙的，这个一定垂直这底庙的这个条件，那你想 这个是直三棱柱或者正三棱柱，那 a a e b b e c c e 一定垂直于 a e b e c e 还有 abc 是 吧？一定垂直上下两个这个庙，那它就垂直于这庙里的所有的线，对吧？这个一定是咱们高考里面考的热点， 并且呢，可以说你这个直三楞柱和正三楞柱可以考，考的概率是百分之百，所以接近百分之百，一定要注意哦，那这个条件一定要牢记在心里， 然后接下来呢给我们说， abc 等于九十度，对吧？ abc 等于九十度，那告诉我， a a 等于 ab， 这等于刚好三，这等于刚好三， bc 又等于一，那这个不就等于二吗？因为勾股定律 abc 等于九十度，对吧？然后接下来呢，让我们证第一个问呢，让我们证 ab， 一， 这个 a b e a b e 垂直于 a b e 垂直于，呃， a e c， 对 吧？ a e c。 那 大家一在想我们这个垂直的话呢，在 高中里面一定会考的是线面垂直，绝对不可能直接让你用勾股定律正一个正一个线垂直，那这样的话呢，那不就相当于初中的勾股定律吗？勾股定律是初中的绝对不会拿在高中来考，对吧？ 那所以呢，那我们就在想，要么就正 a b 一 垂直于 a c 所在的面，要不就 a c 垂直于 a b 一 所在的面，这个题里面一定会有个非常明显的暗示，大家到底你能找到跟哪个线现在是有一个垂直的，会非常简单，这样的话，你就按照这个这个出题人， 把出题人的这个出题的套路给他破解了，你按照这个去呃猜测，他让你正的，你一下就能出来，那我们看啊，很明显，你看你不已经画出来 ab 和这个 ab 和这个 a a 一， 是吧？他俩是相等的，那这个不就是一个， 这不就是一个正方形吗？那所以呢，我们把这个呃对角线一连，大家有没有发现 ab 一 一定垂直于 a 一 b， 对 吧？那所以你就在想，已经有 a b 一， 已经有一个跟它垂直的了，是吧？我再找一个跟它垂直的就行，因为垂直两个相交直线就能垂直另一个面了吗？是吧？那所以这道题就非常简单了，那你 a b 一， 那已经出了一个 a e b， 对 吧？ 让你正的又是正 a e c， 那 所以一定想去正 a b e 垂直于 a e b c 这个面，对吧？那你想提理由让你正 a， 让你垂直于 a e c， 那 所以你反推，那一定下一步要正出来 a b e 垂直于 bc 这个线了，对吧？ 那 a b e 垂直于 bc 这条线呢？也很简单，大家有没有发现这个 bc 是 不是垂直于 ab 的， 然后这个 b c 呢？是不是又垂直于 b b e 啊？对吧？那大家就能发现找到，那所以 b c 就 垂直于 a b b e 这个面，对吧？ a b b e 这个面，那不就是咱所说的侧面的这个，也就是说 a b b e a e 这个面，对吧？那 b、 c 要垂直于这个面的话呢？那 b、 c 不 就垂直于这个侧面，侧面这个庙里的侧面，这个庙里所有的线吗？对吧？那你有没有发现这个 b、 c 就 一定垂直于 a、 b 一， 对吧？ bc 一定就垂直于 ab 一， 对吧？那你看 bc 又垂直于 ab 一， 然后这个 ab 一 呢？ ab 一 又垂直 ab， 是 吧？那所以这个 bc 呢？呃， ab 一 啊， ab 一， 那所以这个 ab 一 呢，就一定会垂直于谁啊？ ab 一 呢，就一定会垂直于 a 一 bc 这个面，对吧？ 那垂直于 a、 e、 b、 c 这个面呢？那它就一定会垂直于谁啊？那就一定能推出来它垂直面的所有线，那就 a、 b、 e 就 垂直于 a、 c 了，那第一个问 a、 c 就 结束了，对吧？这第一个问就已经结束了。大家一定要记着，我们高考题的话呢，第二个问的话呢， 一定跟第一个问会有联系，就没有平白无故的第一个问，第二个问的话，一定和第一个问会有很大的联系，一定会用到第一个问的结论，那所以我们开始看这道题，呃，我因为我有点乱了，我给查一下啊。 然后上一个问呢，我们不已经能够推推出来这个 a、 b、 e 垂直于咱所说的这个 a、 e、 b c a e b c 这个面吗？对吧？然后下一个问呢？让我们证明 a e、 c a、 e、 c 和侧边这个面的所成的角，对吧？所成角的正弦值，那大家有没有发现？ 那你想这个 b、 c 你 刚刚上一问不已经证出来它垂直于侧面这个面吗？对吧？那 a、 e、 c 在 这个侧面这个面的投影，那就是 a b， 对 吧？投影 投过来这个影子就是这个，那你想他说这个 a、 e、 c 和底下这个妙所成的正弦值，那不就是这个角吗？如果你想画出来，那是不是就是，就是 c， 就是 b， 就是 a e， 那 a e c 和 a e c， 那 不就这个角吗？ a e c， a， e c 和 a e b 数成的角，对吧？ b c 已经告诉我了呢，是等于一， b c 等于一，然后 a e、 c 呢？ a e c， 大家通过这个根号三，根号三能求出来，它是根号六，是吧？ 哎，不对， a c 不是 a a e c， a e c， 是 这个，是啊？不，这个是根号， 这是根号三，然后这个是根号三，那根号三一，这是二，是吧？二的话呢？那这个位置三加四，那 a， e、 c 是 根号七，对吧？然后 a e b 呢？ 呃，其实，呃， a e b a e b 的 话其实用不大到，但是我们也求一下，它应该是根号六，是吧？ 那他让你求这个角的正弦值，那不就是 bc 除以 a e c 吗？对吧？那就应该是一，除以根号七，等于七分之根号七。就这道题的答案，我过程没有写，但是这个思路是这样的，你们可以写一下这个过程。

今天来看二零二五年的改错，然后他这一年的改错相相较于二零二四是比较简单的，所以二零二六怎么样我们现在还不知道，然后我们就先看一下考点吧，然后不要熬夜，然后 don't stay up。 是 熬夜的意思哦， 不要熬夜，然后你将会很累。下一天再在明天， 你将会很累。明天就是不要熬夜，我们在正常人的语序中都是，否则你将会很累啊，你不要熬夜，然后你将会很累吗？按的是表示一个顺畅的关系，而否则就是表示一个结果，所以我们这里直接就改奥就行。这一个是什么？这一个是撞从。 我们看第二题， it is one of the。 少数的国家，这有一些少数的国家，怎么样的呢？我们先判断从句，看到一个，看到这个先行词和关系词的话，我们就先找从句啊主，然后 driver， 它是一个驾驶开车 它，它是一个不及物动词哦，驾驶它是一个不及物动词，所以后面不需要加宾语，所以它从句是一个完整。 on the left 的是一个状，是一个状语， 地点状语在这个左边，在左边行车，就是很少受国家在左靠左行驶，所以这个从句是非常完整的。然后我们就看到什么呢？看到这个 countries， countries 是 什么意思？是一个地点国家，所以我们要用什么？我们要把 c 改为 where， where 或者什么？介词加官代，介词加官代用什么？ in which。 因为 drive in， drive in， 所以这一题有两个改法好，然后我们看六十三题，六十三题， whatever 开头我们可以想到什么状语从句 或者主语从句，它这里面都有啊。然后如果 whatever 的 话，我们就倾向于主从，然后我们看 whatever 加的是什么？加名词加主加谓，对吧？ whatever 加名加主加位，所以这一题已经不对了，因为 difficult 是 形容词，那什么修饰形容词，什么加形容词呢？ however 加形容词加主加位，这是什么意思呢？无论是，无论多么，无论这个困难多，无论这个困，无论这个任务多么的困难。所以这里直接就改为 however 就 行啊。 这个也是一个重从句吧。然后我们将会 devote oneself to doing something。 这是一个句子，致力于做某事儿志，致力于 devote 是 奉献的意思啊。 devote oneself 或者 one's life to doing something。 所以 b c， d 没有问题。 ok， 我 们看六十四题，我们看这 by the end of next year。 我 们就能想到它的知识点是什么？知识点？时态的知识点 时态。 by the end of 加一般将来时的时态。这是什么？将来完成时，那如果加过去的话，就是过去完成时，所以这将来完成时它的主动是什么？ will will have done？ 那 被动是什么？ will have been done？ ok， 我 们知道他知识点以后，我们就判断我们看他的时态用的对不对啊？还有他的主被动用的对不对？然后我们看到他将 这已经不对了，然后我们就他将在这个职业里面是超过十年的，截止到明年，他将在这个职业里面摸爬滚打了十年了，所以是他和这个职业，就是他在这职业里面，所以是一个主动关系， 就是他，呃，上班啊，或者干嘛是他主动的啊，所以这一题就直接改为主动的。什么主动的 be 改为 will have 什么 be 变成 be will have be ok。 我 们看六十五题，这个新的毒药啊，新的药品， drug 可以 是毒药，也可以是药品的意思啊。然后这个新的药品 is one one of is of 加 great。 后面是什么形容词？修饰什么？修饰名词，这里是什么形容词，我们就直接 把它改为名词就行。然后这里还有一个固定的句， be of 加形容词， be of 加名词， beef 加名词等于 be 加形容词。所以如果把这两个去掉之后，那这里就可以 significant， 所以 这一题就直接 significance 就 行。然后应加动词的 i n g help 没有问题，然后 help to do something help somebody to do something 没有问题。所以我们六十五题就考的是一个形容词的考点，然后我们看 形容词或者名词辨析考点啊，然后我们看六十六题，六十一六题，我们看到这个安装 of 设备的安装哦 equipments， 我 们直接秒选什么 equipment？ 因为这是一个不可数名词，不能加 s 啊， 所以这一题就直接出答案， equipment 就 行。然后 so money， so money 修饰可数名词 expert 专家 that 的 一个从句，我们可以成功做到 that， 我 们可以成功做到专家，然后没有问题啊。然后我们看六十七题， change the situation 改变这个情形，然后我们发现它是 谓语动词，放在开头用动词原形它已经就不对了啊，因为除非起始句，其他它就不能用动词原形。然后它 has been working to build a standard art。 它致力于去建造一个标准化的工业， 工业工厂吧，致力于建立一个标准化的，然后所以有这一，这有一个谓语动词，这有一个谓语动词，所以我们要把 a 变成非谓语动词。非谓语动词，我们需要变什么呢？有逗号无连词，这是非谓语作状语。 那它和改变它为了改变这个情形吧，是吧？如果你们看到 change， 它为了改变这个情形吧，是吧？如果你们看到 change， 所以 这一题就 to change， 为了改变这个情形。然后我们看六十八题，他坚持去开始这个，呃，这个，这我们先不认识，不认识的话我们可以放一边，然后我们就往后看， 他坚持 insist on doing something。 所以 a b 是 没有问题的。 c 我 们现在不确定，但是我们大概率判断它是因为没有问题，因为它只是一个名词。然后这个政策重六语。然后 if， 我 们看到 or not， 我 们看到 or not。 无脑选什么？ weather， 为什么选择 weather？ 因为 weather or not if 不 可以与 or not 连用啊。所以我为什么说二零二五年简单，因为他考的都是那种题眼。然后我们看六十九题，这一题也属于一个名词性从句， 然后我们看六十九题， had better， had better， 加什么？加度，所以没有问题啊。动词原形，这个是没有问题的。然后我们看到 proposal， 看到 proposal 我 们想什么？虚拟，虚拟，因为 propose 建议一坚持，二建一四，一坚持，二命令，四建一六要求。所以它们的动词原形是用什么绣的？度绣的，可以省略或者被动式绣的 be， 但 那我们就判断它主被动关系啊。这个，这个水坝建议什么？建议？这个水坝将在两个月内被建造，它是被动对吧？是被动，因为水坝和建造水坝不可能主动建造，它是一个物，所以我们直接选 be built beed。 那 这里还有一个考点是什么？它容易把这个 that 给你改为 which， 然后把你让你变， 然后我们看到 proposal 直接改载它就行。然后但是这个考点是呃 show 的 动词哈，谓语动词，所以我们就不用纠结这里了，让我们看七十题。七十题， three years。 我 们看到 three years 需要有一个很强的一个敏感力，就是什么？ 这是什么？度量衡原则， 度量横原则。如果有度量横原则的话，我们谓语动词要用什么？用单数，时间、金钱时经距，常 用的是什么？重用的全部都是 is 啊，单数。所以这一题就直接改 is 啊。以上就是二零二五年的这几道题啊，它相对来说是很简单很简单的。然后我们就 呃就再巩固巩固一下支点就行了哈。然后我们下期见，拜拜。

接下来我们来讲解文量对外密押卷卷一，我们先来看第一题， 给了一个函数 f x， 问 x 等于一是它的什么间断点或者连续点？那我们就求一处的极限值以及一处的函数值比较即可。我们可以发现把一代入 它的分母为零，所以很明显不是连续点了，那我们就来判断它是哪粒尖端点，求一处的极限即可。 求极限定型，将一代入一减一，零一减三加二零零比零。呃，这个洛比达一日分解都可以啊，计算量都不大，我们不妨就洛比达分子求到二 x， 分 母求到二 x 减三， 此时将一代入它就是二，比上一减三等于负二了，是一个数， 所以就直接代入，也等于负二。那么求指出的极限呢？我们并没有区分左极限，所以它既包含了左极限，也包含了右极限，左极限都存在，且相等等于负二，所以 a 等一是我们的 d 类，可去减减点。答案，选择 a 选项 welcome 的 第二题，若 f e x 等于 x 加 e 的 二 x 求 f p x， 那 么这一题型啊，呃，我们有两种方法。第一种方法呢，就是我们要求 f p x， 就 需要知道 f x 表达式，那么我们就会通过复合函数还原， 将 f e x， 然后求出我们的，就通过这个 f e x 求出我们的 f x， 然后再对它求打，求出 f p f e p x 或者怎么办呢？我们直接对它进行求打，求出 f p e x 的 一个表达式，然后再通过复函数的还原求出 f p x 都是可以的。那这里呢，不妨就先还原，再求打。 那还原的话，就是用换言法令 e x 等于 t 反解得到 x 等于 loin t， 再把 x 的 x 的 loin t 代入，就得到 f t 等于 loin t。 加好。这个大家可以这样思考， e 的 r x 是 不是 e x 的 平方啊？那 e x 等于 t， 所以 它就等于 t 方了。 那么 f x 就 等于 log x 加 x 方，然后求导 右边，求导 log x， 求导 x 分 之一 x 方，求导二 x。 答案，选，显然选择我们的 a 选项，这是我们的第二题。 再看我们的第三题，给了这样的一个极限等于三，问 b 的 值，这就是极限存在，求三数。 那么对于这个极限，我们不妨定一个形，将无穷带入，显示一个无穷比无穷形，无穷比无穷形，我们就抓大头。 我们可以发现，分子的最高次数是二，分母的最高次数是一。如果分母最高次数二次前面系数不为零的话， 很明显这个极限将会是无穷。而这个极限它告诉我们等于三，所以这个 a 一定等于，就是这个 x 方一定不能存在，存在，它极限就不可能是三了，所以 a 等于， 那 a 等零，这个就没有了。然后这个极限等于三，这个极限不就是无穷比无穷抓大头，分子、分母最高次数都是一吗？ 那么极限就细如只笔呀，那不就二 b 比上二吗？要等于三，那显然 b 就 等于三了。答案，选择选择我们的 d 选项。 再来看我们的第四题，下面极数收敛的是 a 选项，这个极数显然是发散的，因为 n 去无穷时，它的通向是等于一的。极限等于一的 n 整数方根，还有 a 整数方根。在 n 去无穷时，极限都是一，那么它不等零，不满足极数上的一个必要条件，所以发散。再看 b 选项。同理它也是 n 去无穷时，通项并不趋零， 通向极限是等于一的，不满足急速缩减的必要条件，所以把散排除。再来看 c， c 很 明显会考虑等价啊，就是当我们遇到呃，那种散零， 什么 lone 一 加零，单调的零，很明显是我们等价的公式，那种形式就考虑等价。 那么在 n 无穷的时候，散 n 方分之一不就等价乘 n 方分之一吗？它们两个是同连散的，而 n 方分之一是一个 p 级数， p 点二大， e 是 收敛的，所以 c 是 收敛的， d 显是发散的。 p 级数嘛， p 等一发散啊， p 等一的时候又乘调和极数。好，这是我们的第四题， at com 的 第五题，求这个二阶。其次为安全满足外零等一，外撇零等一的一个特解啊，那么求它特解，首先要求出它的通解，然后再把处条件代入。求特解，那么就先求通解， 他通结是根据特人根来设的，先写出对应的特人方程，外两撇对应的是 r， 方外撇对应的是 r， 外对应的是一。好得到这样的特人方程。很明显，这是一个完全平方差 公式，那就等于 r 减二的平方了。然后就可以求出他有两个相同的根， r 一 等于 r 等于二，那么他有两个相同的式根， 我们就会设它的通解，它通解 y 就 等于 c 加 c 二 x e 二 x 好， 然后再将处条件带入，求它特解啊。先将 y 零等一带入， 就可以得到一等于 c 一 好，然后再将 y 撇零等于代入。就需要求导了，它导数等于 c 二一的二 x 加二， c 加二， c 二 x e 的 二 x 好， 然后将 y 撇零，等一代入得到一等于 c， 二加二 c， 而 c 是 等于一的， 那二乘以就是二了。一等于 c， 二加二，那 c 二很明显等于负一， 所以它的特点就是 y 等于一减 x， e 的 r x。 答案显然是我们的 a 选项。好，这是我们的第五题。 来看我们的第六题。求这个极限，求极限定型，将零代入零加零，比上一减一，零比零，零比零，洛比达，洛比达之前呢，化解到先化减，很明显我们的分母是可以化减的，它可以等价乘 x， 然后这个极限你就可以按照我们之前所提到过的，就是无穷小比，无穷小就抓小的嘛，这大呃这个高次的就给舍去了。然后极限很明显就等于二，或者就是你消掉一个 x， 也能得出极限等于二的，这是我们的第六题。 再看我们的第七题，给了 f x 的 表达式，然后求这个极限。两个 f 相减的类型，很明显就是利用 导引求极限了，那么我们不妨就对它进行一个配凑，凑一个导引，就对分母进行一个应用分解嘛，它可以拆成 x 减一， x 加一， 而 f x 减 f， 一 比上 x 减一，不就是标准导数吗？然后这个东西又是一个非零子，它等于二嘛，可以直接代入，所以就等于二分之 f 撇一，所以这个极限就等于二分之一撇一，我们就把这个 f 撇一算出来啊，对它求导，它导数等于二， e 加 x， 那么二分之 f 撇 e， 也就是二倍的 e 的 二次，也就等于一方。好，这是我们的第七题。再看我们的第八题， 求这个曲线在零零处的切方程啊，这个很明显是一个引函数，也就是考察引函数求导 用切方程需要切点和切斜率，切斜率不就是导数的几个亿吗？就求零数导数，也就是引函数求导，求某点导数。我们的方法呢？第一步，对整个方程求导 x 方，求导 r x， 从后部导加上前部导成后导 二。是记住提出来外求到外撇，再求到扩散，然后引函数求某点导数。第一步，对整个方程求完导之后，直接带点，直接带点，这是最简单的思路， 那么零零就是一，所以外撇零很明显就等于负的二分之一了， 然后切方程就能表示出来了， y 减零等于负的二分之一 x 减零，所以 y 就 等于负的二分之一 x。 好，我们再来看第九题，设 y 等于 second 三倍的 x 方减二，求 d y， 也就是求微分。微分等于求导乘 d x， 我 们就先求导 它求导，先对 y 层的 second 求导，就等于 second 乘 tangent， 再乘以第三处导数三 x 方减二，求导六 x， 那 么微分就等于求导乘 d x， 也就是六 x， second 三 x 方减二， ten 的 三 x 方减二，然后乘以 d x。 好， 这是我们的第九题。再看我们的第十题， 求函数 y 在 b 先负一到一上的最大值啊。我们最值的来源有两处区间的端点和极值点，那么我们的思路就是求区间端点和极值点的函数值比较大小，那谁最大就是最大值，谁最小就最小值。我们先求导，把导数等于三 x 方减六 x， 因人分解，根据公式，三 x， 那 么就等于 x 减二了，那么令我们的一到等零 也在注点，一个是零，一个是二，但是二呢？我们不考虑，为什么呢？因为他只让我们去求负一到一上的最值，最大值二不在这个圈内啊，所以求出来也没有任何用。然后我们就计算这三个点的值即可， y 负一啊，负一代入就是负一减三减一等于负五， y 零就等于负一， y 一 就等于一减三减一等于负三。那么很明显，我们的最大值就是负一了吗？ 这是我们的第十题，大家看我们的第十一题，求这个定积分，这定积分积分圈是对称的，我们就考可以考虑就近利用偶倍镜的化减，这奇函数就是零了，而这是一个偶函数，所以二倍二倍的零到一根号一减 x 方 好。然后这个类型啊，他有两种思路。第一种思路呢，我们会考虑他是一个呃含平方的根式，我们会考虑三个单换，但这样的思路就会相对比较慢。另一个思路就是利用定积分的一个几何 e， 他 实际上是一个 圆啊，具体来说是半圆，因为它本来是外点根号一减 x 方嘛，两并平方，得到 x 方加外方等一，这是一个圆心在零零，半径为一的圆，但为什么说它是上半圆呢？因为本来 y 是 这样的形式，是大零的， 然后现在让我们计算它在零到一上定积分，不就是这块面积吗？有四分之一元，有四分之一 pi， r 的 平方 r 就是 一嘛，一方，所以就等于二分之 pi 了。好，这是我们的第十一题。 再来看我们的第十二题，设 f x 的 一个元素为 cos， 求 x f x 方减一的一个不定积分啊。这个题，嗯，就是主要是考察一个性质，就是元数的性质。题目如告诉我们 a 是 b 的 圆函数， 那么我们得到两个信息， a 求导等于 b， 第二个 b 积分等于 a 加令常数 c。 那 么提前告诉我们， f x 的 原数是扩散与扩散式， f x 的 原数我们就可以得到。扩散 求导等于 f x， 所以 f x 就 等于 s 了。好，除此之外，还能得到啊，就是我们 f x 积分就等于 cos x 加 c。 那 么这道题呢，就有两个思路，因为我们现在已经得出 f x 表达式是 sine 嘛，那么 f x 方减一就是 sine， x 方减一对不对，那就能求这个积分了。除此之外呢，还有一个思路，就可以直接错为分， 就根据这个得到的性质，直接错为分。因为观察被减函数，它不就呈现两个相乘，就有导数关系吗？ 那么我们就会考虑，错为分，将 x 后移，错为分，因为 x 与 x 方就有导数关系，后移为积分，再积分二分之一， x 方二分之一是系数，提出来， 然后将 x 方减一，当整体小 f 积分，那小 f 积分不就是扩散吗？那积分就二分之一扩散， x 方减一，再加 c。 好， 这是我们的第十二题。 再看我们的第十三题，告诉我们， f x 等于 x 扩散梯方在零到 x 方的零到 x 方上的一个变，让积分求它的导数，也就是变现积分求导， 变性积分求导。有这样的一个知识点，就是变函数，有 x 能提出就提出，不能提出要换元，那么它显然是可以提出的，我们就先提出， 然后再求导，它就是乘法求导了，前导为一乘后导加上前导，乘后导，后导就是变性积分，求导上限求导二 x 乘以上线带入化简一下， 这就是我们的第十三题。 再看我们的第十四题，求这个不定积分啊。这个不定积分是关于指数类型的不定积分，那它的分母有指数这种类型 的不定积分，它的几题套路呢？就是你得想办法在分子凑出相对应的一个指数，然后以凑为分，那么在分子凑相对应的指数就有，呃，很多种方法，加减乘除嘛。 这道题它就有三种方法，嗯，你在分子分母同同时加个 e 的 负 x， 减 e 的 负 x， 或者分子分母同乘，嗯， e x 或者同乘 e 的 负 x 都是可以的。那么这道题其实最简单的速度就是分子分母同乘 e x 了。最简单的， 它就等于 e x 除以 e x 加一，然后将分子 e x 后，以除以分 后移为积分，它积分就为 e x， 那 再凑个加一，将 e x 加一，当整体它积分就 loin e x 加一，再加 c 了啊，这是最快的一个思路。其次就是加个 e 的 负 x， 减了 e 的 负 x， 哎，也是可以的。 好，这就是我们的第十四题。 再看我们的第十五题，求这个反常积分， 那么这是一个无穷积分。反常积分，无穷积分和正常积分没什么区别啊。首先就长余数嘛，观察被减数，可以发现它是含平方的根式，所以我们会考虑进行一个三角代换。 那么对于根号 x 方减一，我们会令 x 等于 sine 值， 然后定积分换一个。要换线，上线带入球标的上上线带入球标的上限，嗯， second t 等于扩散嘛，它其实就是扩散 t 等于 x 分 t 上线带入球标的上限就是扩散 t 要等零嘛，无穷分之一是零嘛？那扩散 在二分之一也等于一扩散零等于， 然后被加数，就变成了 second t 的 三次根号 second t 方减一 d second t， 然后化简 second t 方减一 ten t。 啊，开括号 ten t， 将 d 后面 second t 前移，前移未求到它求到就 second t ten t 好， 然后化解，就变成了 second t 方分之一， second t 等于扩散 t 分 之一，那 second t 方分之一不就等于扩散 t 方了吗？ 而这个积分，它最快的思路就是点火公式了啊。其次就是它的如果它这里没有上压线这个不定积分的套路，它就是 g 叉 o 降，我们都总结过，但是由于它现在有 这样的一个上下限，零到二分之派，这样一个上下限，可利用我们的点五公式，就等于二分之一，乘以二分之派，就等于四分之派了。好，这是我们的第十五题。然后再来看我们的第十六题，求这个极限，求极限， 先定型，将极限条件零代入零乘以一减一零，根号一减零减一 零，零比零，零比零洛比达，洛比达之前能化解到消化点，那么分母和平行是可以等价的，它等价乘负负的二分之一，改克四次， 然后分子这类指数。呃，这里的极限啊，我们前面有提到过，它就是两个指数相减的类型，它的解析套路呢，就是我们通常会提取后面的指数， 也就提取 e x， 它等 e 上 x 减 x 减 e， 为什么这样做呢？提取之后呢，它通常是一个分离子，这个部分可以等价，所以它还进一步化解 分子分母，同时消掉一个 x， 然后这个除以负二分之一，就乘以负二嘛。然后这是分离子 e 代入啊，这个部分呢，等价，等价乘上 x 减 x， m 就是 x 三次。好，然后这个极限，呃，如果呃被了三 x 减 x 的 等价公式，其实就可以直接得到答案了。三 x 减 x 不 就等加成负的六分之一 x 三次吗？ 那么极限就等于三分之一了。好，这是我们的第十六题。 十七题已知两曲线 y 点 f x 与 y 这个积分，它在零零处的切线相同，求此切线方程，并求这个极限， 那么求切方程就需要知道切线斜率，所以我们需要计算切线率。一切零一有了嘛，那么就求导嘛，导数的角一就切线率，那么我们就通过对它求导，求出它的零数导数，也就是它的切线斜率，那它俩切线相同，也就是它的切线率嘛， 这就是求导，它求导就等于变线积分，求导上限，求导一加 x 方分之以上限代入， 然后我们再把零代入，就等于就等于一了啊，就等于一了。 那么它在零处的线斜率是一，所以它在零处的线斜率是一嘛，所以 f 撇零也就等于一了，那么切方程不就能求出来了吗？所以切方程为 y 减零等于一乘以 x 减零，所以就是 y 等于 x 啊，这就是我们的线方程。然后再让我们去求这个极限，求这个极限就需要 定型嘛，这是无穷乘以 f 零， f 零就等于零，因为他俩在零零处切线相同，他也过零点了，所以他的 f 零也是零啊， 然后它就是零乘无穷型，零乘无穷型就是下放嘛，那求就是下放，求幺简单的函数嘛，那肯定就是下放下放这个 n 了嘛。 然后这很明显就是，呃，去凑导数，定了，就是这种抽象函数 f 的 极限就一定是凑导数。你可以在这里直接写个解， f 零，因为 f 零等于零啊，然后凑导数的话，这里就除个二，再乘个二嘛，它就已经是一个标准导数，定了，它就等于二倍的 f 撇零， 然后 f 撇零等于一，所以它就等于二了。这是我们的第十七题。 sum 的 第十八题。设 f x 等 x 方一到二 x， 求它在二处的三阶导，那么我们就求三阶导，再把二代入嘛。那么这个求导就是你可以采取就是慢慢求三次导，又或者可以采取就是套乘法求导公式嘛。 那么在这里呢，我们不妨就套乘法求导公式了， u 乘以 v 的 n 阶导就等于 sigma， 可以 从一到可以从零到 n c n k u 的 k 接到， v 的 n 减 k 接到，就这个公式嘛。那么我们套用这个公式， f x 的 三阶导就等于 sigma， 可以 从零到三 c 三 k， 然后是 f x 方的 k 解导，然后是 e 二 x 的 三减 k 解导嘛，然后把它展开来写 k 等于零的时候，就是 c 三零 x 方不求到 e 的 二 x 的 三阶导，加上 c 三一 x 方求一次导， e 的 二 x 的 二阶导，加上 c 三二 x 方求两次导， e 的 二 x 求三，呃，求一次导， 然后后面就其实就没有了。接下来就是 c 三三 x 方求三次导嘛。那密函数密函数求导数大于密斯值为零，所以它就没有了。 好，然后化解代入 c 三零等于 x 方，然后 e 的 二三结导就是二的三次， e 的 二 x， c 三一三 x 方，求到二 x， 然后 e 的 二 x 的 二结导就是二的二次， e 的 二 x， c 三二 三 x 方，求两次到就是二了，就二的阶梯级，也就二，一的二 x 求一次到就是二倍的一到二 x。 好， 然后我们不妨化简一下，就是八 x 方一二 x 加 二十四， x 一 到二 x 加十二，一到 x， 那 么再把二代入它在二处的三阶导，就等于 八乘四就三十二啊，因为它们都有公因子， e 的 二 x 嘛，提取一下，三十二加 四，十八加十二， e 的 四次，那么这个也就等于五十六，十九十二就等于九十二 e 的 四次。好，这是我们的第十八题 来看我们的第十九题，求这个不定积分啊，这个不定积分 被减。函数是一个单独的对数函数，就会考虑分布积分啊。那么这个题有两种思路，第一种思路，直接分布积分。第二种思路呢，对它进行一个化简啊，化简成 x 减一， x 减二，然后拆成两个， 然后再进行一个分布，积分都是可以的，都是可以的。那么在这里呢，我们不妨就采取第二种思路，第二种思路会相对简单一点，相对简单一点， 然后根据我们对数计算，它就等于零， x 减一， 加上 line， x 减二，然后进行分布。那么这个分布我们其实在前面就已经总结过对应的一个技巧，你可以去凑它分母的一个导数啊，再给你凑一个 x 减一与 x 减二，然后 分布就等于 x 减一， loon x 减一，减去它的换位置， x 减一， dloon x 减一，加上 x 减二， loon x 减二，减去 x 减二， dloon x 减二。好， 那么这两个你将 d 后面的前引，就会发现，它的导数啊，都是背一函数的，倒数都变成一了。一积分不就是 x 吗？对，减 x 减 x 不 就是减二 x 吗？ 再加 c， 这就是我们的第十九题。 i f x 是 这样的一个分段函数， 求 f x 加一，在负二到一上的一个定积分啊，这就是分段式求定积分。但是我们可以发现被减函数是 f x 加一，它表达式是未知的，因为它给的是 f x。 这种题两种思路。第一种思路呢，是通过 f x f x 求 f x 加一的表达式再积分，但这个方法比较慢，我们通常呢会换元采取这种思路。 那么令 x 加一等于 t 定期分还原焊线上线代入球标的上线，下线代入球变焊后的下线 被加时候变成了 f t d t 减一，这个减一可以舍去好，然后这个 f t 不 就是 f x 吗？只不过把字母换成了 t 而已。 然后我们就可以直接积分了。这个分段函数求定积分，我们就需要分割区间，分别求定积分。从哪处分割呢？就从分段点零处进行分割，所以分割成负一到零 与零到二。我们为什么要分割区间分别求定积分呢？因为不同的积分区间，它的被加数表达是不同的。在负一到零的时候， t 是 小零的 f t 的 表达式就是 t e 的 二 t。 而在零到二的时候， t 是 大零的表达式，就是根号 t 方加四分之一。好， 然后前面这个积分背景函数呈现，两函数相乘，不具有打关系，就会考虑分布积分，分布积分就要选择一个函数，后放优先，后放口诀三指密反对指数函数优先于它后放那一的二 t 积分后移，是积分过程吗？一的二 t 积分就等于二分之一的二 t， 二分之一是系数提出来，而后面呢，可以直接积分了。公式是这样的， 根号 a 方加 x 方分之一积分等于 loane， 绝对值 x 加根号 a 方加 x 方就是公式。那么它问这个公式，它积分就是 loane， 这个绝对是可以去打，但这个圈是大零的 x 加上根号啊，这里是 t 吗？这应该是 t 啊，零 t 加上根号四加 t 方零。答案前面分布它们两个相乘， 减去它们两个互换位置，后面上下键代入，上限代入就是二加根号八了，有二加二倍，根号二减，下限代入就是等于二了， 上限代入是零，然后减下限代入，然后下限代入。还有个负一 e 的 far， far 对 不对？所以就是二分之一 e 的 far， 这里一的二 t 积分二分之一的二 t， 所以 就减四分之一的二 t。 然后这里是不是可以化解 lone a 减 lone b 等于 lone a 除 b 就 等于 lone。 一 加根号二了， 好，然后这里上下限代入，上限代入就是一下限代入，就是 e 的 f 字。 我们化解一下，二分之一的负二减，就是加加四分之一的负二，就四分之三一的负二减四分之一加零，一加二， 好，这是我们的第二十题。 来看我们的第二十一题。 嗯，求过这个点并与两个直线都垂直的直线方程。直线方程是有一个定点加方向向量，过程定点已有了，所以就是求方向向量。方向向量怎么求呢？根据他们的位置关系来求。 他告诉我们，所求直线与两个直线都垂直，两个直线，这是两个直线，他们是垂直的，这直线的方向呢？ 那么他们的方向显然是垂直的，所以我们所求直线的方向与两个已知直线的方向都垂直，就可以通过他们差乘来计算吗？但是需要注意的是，直线 l 一 的方向向量， 它直线 l 一 啊，它是由两个平面相交组成的，所以它的方向是要单独计算的。 不妨记， l 一 的两平面的发向量 n 一 等于二负四一， l 二的发向量为 n 二等于一三零，那么 然后，呃， l 的 方向 s 二即为四负一二，那么 s 一 的方向量就等于 n 一， 差乘 n 二， 然后就是差乘的计算了。计算 i 的 时候，第一道化去交叉三十三减负三。 计算 j 的 时候，第二道化去交叉三十三减呃，负一，但是要计算 j 的 时候要加负号，所以就一了。计算 k 的 时候，第三道化去交叉三十三减六加四十。好， 那么因为我们所求极限的方向向量 s 垂直于 s 一， s 垂直于 s 二，所以 s 就 等于 s 一， 差乘 s 二， 然后就是差乘的一个计算，计算二的时候低掉下去，交叉相不相减，就是二加十十二。 计算 j 的 时候，第二列滑去交叉相乘相减，呃，就是负六减四十，负四十六，然后计算 j 的 时候加负号，所以四十六。计算 k 的 时候，第三列滑去交叉相乘，相减三减四，负一， 好，那方向相等有了，点有了，所以直线 方程为， x 减负一九加一，比上十二，等于 y 减负四九，外加四比上四六，等于 z 减三，比上负一，好，这是我们的第二十一题， atum 的 第二十二题，将 f x 等零六减 x 减 x 方展开成 x 减一的密级数， 然后求它受理，就考察密卷展开。我们主要就是套公式，这是对数函数形式，你就要考虑套对数函数的公式，我们对数函数，它的真数通常是一个一次方式啊，这里是一个二次方式。我们常规思路呢，就是考虑因子分解与列项啊。因子分解，然后根据对数计算进行拆分。 分式是因子分解列项啊，这个不是分式，不是列项啊，就是就是，先因子分解再拆分嘛。 它一日分解的话，呃，可以分解成二减 x 乘以三加 x， 然后根据对数下 lone a 乘 b， 等于 lone a 加 lone b， 所以 它就可以拆成 lone 二减 x 加上 lone 三加 x。 而题目让我们是展开成 x 减一的密级数啊。这种情况下，通常我们就是啊，不管怎么样，三加一，先写个 x 减一，然后先凑 x 项或 x 前面系数是负一，在前面写个符号，再凑长数项啊，凑个加一即可。 后面也是同理，先写个 x 减一，然后先凑 x 项， x 前面系数是一，所以就是加号再凑长数项，那就得凑四了。 然后就套公式啊，它就等于 sigma n 从一到无穷，负一的 n 减一次，负 x 减一的 n 次，也就是负一的 n 次， x 减一的 n 次除以 n， 而后面还不能套公式，那么公式中常数是不可变的，这里的常数得是一，所以得先变形，它提取个四，那就逻以四倍的一加四分之 x 减一， 然后根据对数运算啊，前面化解负一的 n 减一次，乘以负一的 n 减一次吗？二、 n 减一是基数，负一的基数词就负一，那就负的，然后是 x 减一的 n 次除根。 后面根据对数运算， loan a 乘 b 的 loan a 加 loan b 就 等于 loan 四，加上 loan 一 加四分之 x 减一，然后就可以套公式了。 c 个码 n 从一到无穷。负一的 n 减一次， x 减一的 n 次除以四的 n 次，再除圆。好，然后能合并，要合并，我们合并一下， 它们有公因子 x 减一的 n 次替换之后就等于。呃，四的 n 次乘以 n 分 之一的啊。还有公因子 n 分 之一 域之后就是四的 n 次分之负一的 n 次， n 减一次，减去一，然后加 long 一 次， 然后最后不要忘记去求我们的收敛域。收敛域怎么求呢？就看我们在哪一步套公式。一个是在这里套的，呃，它本来是 x 大 于负一小等一，那现在就是负的 x 减一大于负一小等一。第二个是在这里套公式的，把 x 改成四分之 x 减一，有四分之 x 减一大于负一小等一，然后最后取交集。 呃，这个不等式，先同乘符号得到 x 减一大于等于负一小于一，然后同加一得到 x 大 于等于零小于二。 下面不等式，先同乘四解得 x 减一大于负，四小于等于四，再同加一，解得 x 大 于负，三小于等于五，那么它们的交集显然是 零到二了。左闭右开。好，这是我们的第二十二题。我们再来看我们的第二十三题，求这个曲线的单位区间及值和进行线啊。我们就 先求定域嘛，求单项，单项式先求定，显然是 x 不 等于二分之一。第二步，求导，求导的时候，三式系数提出来，不管他，然后就除法求导分母的平方分之上导乘下导减去，上导 乘下倒下倒就是二，然后化解一下，就等于二 x 的 平方减二 x 显然有公因子， t 一下就是二 x 乘以 x 减一，这里其实就六 x 好。 然后就可以用我们的川根引线法，川根引线法，这个六是六是很正的，不考虑啊。 然后除法是等价，以乘法穿的时候就等价对 x 减一 x 以及二 x 减一平方进行穿。但是这个不用写出来，以及穿根的过程都是不用写出来的，大家需要注意， 我们先标出它所有根分别有零二分之一，然后 x 平面系数都正的，所以就右上穿， 然后记差不差。一所对应时是一次积次穿根，二分之一所对应时是偶次不穿，然后零所对应时是一次积次穿根。 好，那显然在 x 小 于零， x 大 一，我们的一级导是小零的， x 大 零小于二分之一， x 大 于二分之一小一一级导。是啊， 在 x 小 零， x 大 一，一到是大零的， x 在 零的二分之一，二分之一到一是一到是小零的，所以单增区间为 富无穷到零，一到正无穷， 分减区间为零到二分之一，二分之一到一。需要注意，二分之一并不在定域内，你要是写成零到一，那你就错了啊，必须得拆分，如果二分之一在定域内，你写成零到一是没问题的。 好，然后求极值。从这个竖轴我们穿个的，穿个引法穿的这个图像也能看出零显示我们的极大值点嘛。那就是先正后负嘛，也就先增后减是极大值， 极大值就是 f 零， f 零代入就等于零了，然后极小值显示 f 一 一代入就等于三了，就等于三了。我们二分之一虽然是不可导点，但是它的左两侧那个凹凸性呃，单调性并没有发生改变啊，而且即使改变了，它也无法作为我们的 作为我们的那个机制啊，因为它无钉啊，无钉。好，然后最后我们来求这个进一线，求进一线，先求垂直，就找它无定点，就二分之一嘛， 将二分之一代入，就零分之一，个数为无穷，所以 x 等于二分之一为我们的垂直。进一线。 好，然后再求水平，就求 x 去无穷时的极限，这个极限明显是无穷比无穷抓大头分子最高次数，二次分子最高次数，一次极限为无穷，那极限为无穷，不是一个数，所以无水平极限求斜径线， 最后再求我们的斜径线，求斜径线，先求斜率 k， 拿 f x 除以 x， 求极限，也就是化解一下，也就是三 x 除以 r x 减一了 啊，就消掉一个 x 嘛。好，然后这个极限抓大头分子分母最高次数都一次极限就系数之比二分之三，再求截去 b， 拿 f x 减 k x 求极限，就减二分之三 x， 好， 然后求极限定型。很明显是无穷比无穷啊。前面是无穷嘛，后面也是无穷无穷减无穷，分式通分，根式有理化，这它就是通分了。 前面分子分母同乘二，有六 x 方，后面分子分母同乘二， x 减一， 化解一下就是三 x 比上四 x 四，四 x 减二，那再定型无穷比无穷分子分母最高次数相同都是一，所以今天就稀有之比就四分之三了。所以 y 等于 x 加 b 有 二分之三， x 加四分之三为我们的斜径线。好，这是我们的第二十三题。 再看我们的第二十四题， 告诉我们 f x 是 一个可导函数，满足这样的一个式子，求 f x 表达式啊，这题型就是我们变形积分与微方程的一种综合题啊，就是它给了我们 f x 表达式，只不过含变形积分，那还求 f x， 这种题就是这种类型题。那么 我们的思路是什么呢？就是需要求导，一直把变形积分消除为止，你就会得到一个微方程，求这个方程的解，就是 f x 啊， 啊，就求导。那么求导的话，因为这里涉及变形积分求导，我们可以发现变形积分里面并没有含 x 啊，所以可以直接求导。如果有 x 能提出要提出，不能提出要换元，那么他没有，所以可以直接求导， 左边求导 f p x， 右边求导 e x， 加上他求导变现积分，求导上限，求导是一乘以，上限是常数，就没有了啊，他求导乘法求导前导为一乘，后不导 再减去，因为前面有减号，所以减去前部倒乘后倒变现积分求到上限求到是一，所以上行代入下限是常数，就没有了。化简之后就得到 f p x 等于 e x， 减去 f x 在 零到 x 上的变上积分， 那么此时还有变性积分，就说明你还得求导，左边求导 f 两撇，右边求导 e x 减 f x。 好， 此时没有变性积分了，就不用再求导了，你就得到了一个平方乘，这很明显是一个二阶非奇次项乘，它的解的结构是由奇同解与非奇特解构成的， 与非极特解构成的，那么我们就要先求其通解，先写出对应的特函数 y 两撇啊，这个 f 两撇就相当于 y 两撇嘛。对应的是 r 方，这个 f x 相当于 y， 对 应的是 e， 这叫 r 方加一等零解得它的特根是正负二， 那么它的奇松解啊。外八，我们就设成 c 呃， c cos x 加 c 二 x。 好， 然后再设非特减，那么它等式边是不含。三，假设类型就是 numta， numta 是 等于一，指的是指数部分 x 们对应系数嘛，一嘛，它前任不为我们的特任根， 那么我们在设非奇特解外心的时候，就不用乘上 x， 然后指出照抄，指出前面的多项式是一，我们就设成常数，一般是形式 a， 然后代入得。 这个代入就比较简单了，因为它求多少次，它还是 a 嘛，所以就 a e x 加 a e x 等 e x， 那 a 显然等于二分之一了， 所以外心就等于二分之一 e x， 那 么它的通解就等于其通解 c 一 cos x 加 c 二 cos x 加非特点加二分之一 e x。 但是我们需要注意，算到这并没有结束，我们还需要把 c 一 c 二算出来。怎么算出来呢？就找出条件啊，它是隐含处条件的，因为含两个 c， 就 需要找到两个处条件。怎么找呢？就带点。带哪个点呢？带是积分上下线相同的点，所以会带零。 呃，一个是 f 零等于一好，另一个就在一导数上，在这，呃，在这带入把零还是带零，那就使上下线相同嘛。得到 f 撇零等于一啊。带入得 把这个 c 一 c 二解出来，零一代入，就得到一等于 c 一 加二分之一，这样解得 c 等于二分之一好，然后求导，再把 a 撇零一代入，它导数等于 c 负的 c 乘 x 加 c 二， cos x 加二分之一 x 一 等于把零一代入嘛。一等于 c 二加二分之一，那 c 二也等于二分之 一。 cos x 加二分之一， x 加二分之 e x。 好， 这是我们的第二十四题。 二十五题，在曲线 y 点 x 方 x 大 零上求一点，使得曲线在该点处的切线与曲线 g x 轴围成的面积为十二分之一，那么求面积体积。第一步，画图，那些画图 y 点 x 方抛物线开口向上，然后这里强可以强调了， x 大 零，实际上左半边是没有的，然后在这上面找一点，然后该点切线 x 轴以及这个曲线围成的面积为十二分之一，也就是这个面积为十二分之一，那么我们要求这个面积肯定要把切线方程给求出来，那这切线方程具体是未知的嘛？那么我们就要设，不妨设切点 就为 x 零 x 零方，它导数就是二 x， 所以 七点的斜率就是二 x 零，所以我们的切方程 就为 y 减 x 零的平方等于二 x 零乘以 x 减 x 零，那么 y 就 等于二 x 零 x 减 x 零的平方 好，然后我们去求这个面积的话，他其实，呃，有很多种方法，其实最简单方法就是我们求这块面积，就拿这个取边 三角形面积，减这个直角三角形面积啊，这是最简单一个思路。那么我们要计算这个直角三角形面积，就需要知道它的底和高啊，高，很明显，因为这个点是 x 零 x 零方嘛，所以它高就是 x 的 平方，那求它的底，就需要把这个长度算出来，就需要计算这个切的一个横截距啊，横截距就有这个长度嘛，我们另外等于，那么解得 x， 它就等于 二分之 x 零了啊，所以这个是二分之 x 零，而这个总的长度不是 x 零吗？所以它的底就是二分之 x 零， 那么它的面积 s 也就是零到 x 零上 x 方的一个定积分，这个积出来的是这个面积。好，然后减这个直角三角形面积，减去二分之 x 零，底乘以高 x 零方，再乘以二分之一，就这个直角三角形的面积就等于十二分之一， 那前面积分不就是三分之三次方，然后面就是四分之 x 的 三次方，等于十二分之一。那上下线代入不就是三分之 x 的 三次方吗？减四分之一 x 的 三次方就是十二分之一， x 的 三次方，它要等于十二分之一， 很明显 x 型就等于一了。那这道题是让我们求什么？求这个点，求这个切点，所以切点就为一一，这就是我们的第二十五题。 再来看我们的第二十六题，设 f x 在 b 间连续开间内，而且导数 f a 和 b 等零， f c 大 零，证明在 a 到 b 内正好存在的 uh epsilon， 使得 f 两撇 epsilon 小 零，而这是一个导数的不等式证明。然后 首先这种不等式证明，它考虑，那个单证型证明就显然不可能了，这个没法用单证型来证明啊。然后这个题很明显会考虑用什么呢？用拉格？为什么呢？什么时候会考虑用拉格就出现了 f b 点， f a 会考虑，其次就是给了三个点， f a b， f c 三个点会考虑，那 t 二不刚好给了三个点吗？所以我们会考虑用拉格，然后两两之间使用一些拉格。先说明条件， f x 在 b 先上连续 开圈内二阶可导好，所以由拉格朗日中定的啊，写一下吧， 存在 cos 一 属于 a 到 c， cos 二属于 c 到 b 啊。就是我们在 a 到 c、 c 到 b 上分别用一次拉格， 那么 f c 减 f， a 比上 c 减 a 就 等于 f c 减 f c 比上 b 减 c 等于 f c 可 c 二 f c 是 大零的， f a 等于零的，那么分子是大零，分母 c 是 大 a 的， c 也大零，所以 f c 可 c 是 大零的。 然后 f b 是 等零的，零减去 f c 大 零数是小零的，负的分母 b a b c 大 零正的，所以 a p x c 二它是小于零的。 那么我们要证明 f 两比一平方小零，那么我们得到了两个关于 g 的 值，两一 g 的 之间的值是不是也能再一次使用那个 a 撇 cos 二减， a 撇 cos 除以 cos 二减 cos 就 等于 f 两撇 epsilon， epsilon 大于 cos 小 于 cos 二用。因为我们是这样子的，这是 a， 这是 c， 这是 b。 我 们在 a 到 c 呢找了一个 cos c 到 b 呢，找了一个 cos 二， 然后 f x 二，它是不是小零的？ f x 一 是大零的，那么小零减大零的是负的分母 cos 二减 cos 一 是大零的，正的，那么 f 两撇一撇呢？不就小零吗？这样我们就正出来了，这就是我们的第二十六题。

哈喽，朋友们，今天我们一起来讲一下二零二五年新高考二卷的第十六题。好，那么这道题也是一个非常经典的解析几何的大题。好，那我们来一起来看一下这道题具体应该怎么操作。首先我们来看第一小问，他说一个椭圆 a 大 于 b， 那 意味着焦点在 x 处上，离心率等于二分之二，那么给我们离心率，我们要想到 e 等于 a 分 之 c 等于根号下 一减 a 方分是 b 方。好，那么继续看条线，他要告诉你长周长，那么长周长是啥呢？是不是二一，那么二一等于四，那意味着 a 就 等于二，所以 c 我 们就知道了，那是不是等于根二， c 等于根二，那么 b 方我们就知道了它是不是等于 四减二就是二。好，那么我们的椭圆的方程。第一小问非常的简单啊，直接给他写答案，也就是四分之 x 方加上二分之 y 方等于一。好。那么第一小问啊，我们干掉之后，我们接下来看一下第二小问，那么第二小问他说 过点零分。好的，像我们这样的一个图啊，他说直线 l 交 c 与 ab 两点。好，我们先思考一下这个直线 l 它有几条呢？那是不是最少两条，因为它是个对称的，我们现在画的是不是右侧？好，那么我们把 a 点设成 s 二 y 二， b 点设成 x 一 y， 然后 o 点为交角圆点，三角形 o， a， b 的 面积等于这样求 ab 的 长度，很多同学一看到弦长，给它当成一个量，然后用 o 点到直线的距离， 哎，设一个位置往里面带，其实你会发现，如果这样带的话，你的计算量还是比较大的，咱很多同学就算不出来，那么接下来邵哥，哎，给大家一个新的方法，就是切割的方式，我们把这个三角形 oab 的 面积，咱能不能给它写成三角形 o p b 减去三角形 o p a， 可以 吧？好，因为我们会发现 o p 的 长度是不是固定的，所以你这个时候你会发现它的面积刚好就等于二分之一乘以负二的角值，也就是二。 好，然后我们用 x 一 减 x 二的绝对值。好，那这样写的话，好处是啥呢？就是我们接下来的计算啊，就会非常的方便。那么在这一块还有一个小小的结论啊， 就是我们知道把一条直线与曲线连累了之后，一定会得到一个一二方程，我们记为 a x 平方加 b， x 加 c 等于零。好，那么 x 一 减 x 二的绝对值，它又等于啥呢？ 他是不是可以写成根号下 x 一 加 x 二的平方，减去四倍的 x 一 乘 x 二。好，那么接下来我们继续给它操作一下，那 x 一 加 x 二 是轮负的， a 分 之 b， 它的平方就是 a 方分之 b 方，减去四倍的 x 一 乘 x 二， x 一 乘 x 二，我用伟大定律它是不是 a 分 之 c， 所以 就是减去 a 分 之四 c， 好， 下面给它稍微整理一下， 就写成 a 方分之 b 方减四 a c。 哎， b 方减四 a c， 不 就是嘚他吗？所以我们上面就写成根号下嘚他，下面就是 a 的 绝对值。好，那么这样这个式子的话，就会让我们这个题更加的简单啊，那么正常的操作就是我们给他连立啊，那么直线方程我们就写成 y 等于 k， x 减二， 好，直线方程，那么曲线的话，我们稍微给他改一下，连立的时候把分式改成 x 方加上二， y 方减四等于零。好，带进去 我们就会得到 x 方加上二倍的括号， k 方， x 方减四， k x 加四，减四等于零。好，整理一下，我们先把平方向放在一块， 也就是二 k 方加一倍的 x 方，然后减八 k， x 加八，减四就加四等于零。好，现在我们要用的啥呢？是不是根号下的和 a 的 值？因为我们知道它面积不是给你了吗？不是根二吗？所以我们先搞一个的它， 那第二它等于 b 方减 c， c 啊，也就是六十四 k 方减去 c， c， 也就是十六倍的括号，二 k 方加一，好，整理一下，就等于三十二 k 方 减十六，好，我们让得它大于零，那得它大于零，意味着这个 k 它就是大于二分之二， k 小 于负的二分之二。好，无所谓，我们先扔着啊，来继续。那么我们刚才说了，它是不是等于根号加得它除以 a 的 角值， 那这个 a 是 多少呢？ a 是 不是二 k 方加一，所以我们给它稍微整理一下，也就是二 k 方加一分之根号下都是它三十六十六。我们提一个四啊，就是四倍的根号下 二 k 方减一，好，让它等于多少呢？是不是让它等于根二先给它挪过去啊？也就是四倍的根号下 二 k 方减一，就等于根二倍的括号，二 k 方加一。好，那么计算的时候，因为这里面有个 k 方啊，我们可以把 k 方给它换一下，因为两边接下来要平方啊，所以我们给它写成十六倍的 二 k 方，我们把 k 方给换成 t， 为了方便令 k 方等于 t。 好， 所以我们就会有二 t 减一等于二倍的括号， 它一平方啊，那就变成四 t 方加四 t 加一，好，整理一下。好，二给它约一下，这是不是等于八了？所以我们这边给它整一下啊，它就变成四 t 方， 然后四 t 减十六 t 就是 减十二 t， 然后一减负八就加去， 好，等于零，所以你会得到，哎，这个 t 减三的二 t 减三的平方，是不是刚好等于零？所以 t 就 等于啥？是不是二分之三，那么 t 等于二分之三，那 k 方 等于二分之三， k 方等于二分之三， k 就 等于正负二分之六。好，那意味着我们的现在的 k 是 不是解决了？那么 k 解决了之后，我们很多同学说，老师，你 k 解决出来之后，你这个弦长怎么弄啊？好，那么 k 只要解决出来，这个弦长其实也非常简单， 因为我们要的 ab 的 弦长公式，它是不等于根号下一加 k 方， x 一 减 x 二的绝对值。好，因为后面那坨咱已经算过了嘛，它是不是就是 x 一 减 x 二的绝对值呢？所以咱算的时候啊，那就非常的方便了，就等于根号下 一加 k 方二分之三乘以根号下二，所以扔进去了之后，它就变成根号下五了，我们这道题啊，也就解决了，记得点赞关注哦！