德阳二诊数学立体几何

我们来看一道刚考完的德阳二中单选鸭子第八题，这是一道导数与基本不等式，跨章节中，本题目还是有一定的计算难度。好，我们来看一下啊。 过 p 点做两条切线，切点是 m n， 若两条切线的斜率之积为一，叫我们求这样一个区域范围。好，我们先对曲线啊求个导。那么 y 漂就等于 x 加一分之一， 那么 k 一 就等于 x 一 加一分之一， k 二就等于 x 二加一分之一。又因为 两条切线经过 p 点，那么 y 零减 y 零减 y 一 除以 x 零减 x 一， 就等于斜率 x 一 加一分之一。同理， y 零减 y 二除以 x 零减 x 二，就等于斜率 x 二加一分之一。 所以我们可以得出，那么这里的话， y 零减 y 一， 这个 y 一 的话，就应该是等于零 x 一 加一再除以 x 零减 x 一 等于 x 一 加一分之一吧。 好，然后下面是 y 零减 y 二，就是 one x 二加一除以 x 零减 x 二等于 x 二加一分之一。然后我们就来找上下上下两个等式， x 一 和 x 二它们两者之间的关系，又因为 他们的斜率之积为一， k 一 乘 k 二就等于一除以 x 一 加一乘一除以 x 二加一等于一。所以这里可以推出 x 二加一就等于 x 一 加一再分之一。所以我们代入下面啊，就应该是得到 y 零加零， x 一 加一除以 x 零减 x 二，那么 x 二 就应该是等于 x 一 加一分之负 x 一， 所以是加 x 一 除以 x 一 加一等于 x 二加一分之一，就等于 x 一 加一。那么一四和二四，咱们进行一个连列， 对吧？连立消元，咱们可以算出 x 零加一，就应该是等于二倍， x 一 加一乘平方， x 一 加一，除以 x 一 的平方加二 x 一。 然后 y 零加一就应该是等于 x 一 的平方加二倍， x 一 分之， x 一 方加二， x 一 加二乘以零， x 一 加一。 好，所以我们要求 y 零加一除以 x 零加一。两式一相处，那么就应该是 x 一 的平方加二， x 一 加二除以二倍括号， x 一 加一，那么就等于 二倍。 x 一 加一分之， x 一 加一，括号的平方再加一个一，那么就等于二分之一倍， x 一 加一再加 x 一 加一分之一。因此我们想到了记的不等式，大约等于二分之一乘以二倍，根号下一就等于一。当前仅当 x 一 加一等于 x 一 加一分之一，记 x 一 要等于零， 那把 x 一 等于零带入这样一个 x 二的式子里面，那么就得出 x 二也要等于零。取等号。 又因为题目上说了 x 一 不等于 x 二，所以 y 零加一除以 x 零加一，就应该大于一啊取不到的号，所以这个题答案应该是选 d。

试卷分享高三全科二诊四川省德阳市高中二零二三级第二次诊断考试德阳二诊试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

我们来看一下这道二六届最新的四川绵阳高三二诊的解答压轴十九啊，这道题呢，考察了一个立体几何跟外接球跟解析几何结合的一个立体几何综合问题啊。首先呢，我先说啊，对于想研究压轴十八，压轴十九成最难级别的题，特别是压轴十九，千万不要看别人的， 你看标准答案，只能学到某种方法，但方法一定不是你的，一定不成体系。所以这道题呢，我根本就没看答案解析，我只是最后用我的方法做完之后，对了一下，最终答案是对的，就 ok 了。那我们来看看这道题怎么能把它这个顺理成章的想出来，是怎么思考的。 那这题呢，给的是一锥体 p c 垂直底面这一垂直，然后呢， e 为这个终点给了注意看 e f 垂直 pb 这一垂直， 然后呢，给了这个 e 之一垂直 p d， 这是一锥垂直啊，两个垂直，然后现在又说了什么呢？说垂足啊，然后给了 pc 得二，那现在我们其实知道啊， pc 这段是二， 然后 pa 是 二倍根号，你又有一个线面垂直的底些 ac 肯定是二，这一等于二，直角三角形 a p c， 然后 ef 等于 e 得一，那这时候就要看了， ef 是 一，然后 e 是 终点，说明这段根号二， 你这有一垂直，那么这个三角形 p e f， 它一定是一个等腰直角三角形啊，它一定是 p e， 然后那你的 p e f， 它一定是个等腰直角三角形，没有例外， 同理，你的这个 p e g 也一定是个等腰直角三角形，因为你这根号二，这是一，呃，这还垂直，然后你还给了这个，这个 e g 是 一啊，提成给了，所以它一定是两个等腰直角三角形。那在这种情况下，我们要证明什么呢？ 我们要证明的是这个提成给了是 f g 垂直 pa， 那那就来呗，等腰直角三角上过高线，那你做这个终点，这终点我叫做 m， 那 f m 跟 g m 这俩肯定是垂直的 啊，那于是你就出现了 pa 跟这个阴影面垂直，这题又正出来了，所以第一问呢，就是你关注这个小局部的边长，找到直角。那第一问来说一下。第一问的证明就是，首先呢， pe 等于二， 然后，而且 e f 等于一。且什么呢？且角 e f p 为九十度，因为垂直，这是提成给的，所以三角形 e f p 为等腰直角三角形， 那这个三角形，这个 e g p 同理， 那这时候呢，做 p e 终点 m 连 f m g m， 那 则你 f m g m 都是 m， 是 p g 终点，那你 f m g m 就是 等腰直角三角形的中线，也是高线，也是垂线啊。所以必有什么呢？必有 f m 垂直 p e 且 g m 垂直 p e。 那现在就可以写了，因为 f m 垂直 p e g m 垂直 p e， 那 f m g m 又相交 啊，交于 m， 再加上这个 f m g m 是 那两面的，对吧？然后 f m 包含于什么？ g m 包含于什么啊？都包含于这个 m f g 嘛？ 于是推出来 p e 是 垂直于面 m f g 的 啊，然后后边略了啊，这这种简单题咱就不用写详细过程，这略了，那所以 p e 就 垂直 f g， 那 你 p e 垂直 f g 不 就是 p 什么来着啊？ pa 垂直 f g 吗？第一问就正完了啊，所以第一问其实还是能拿下来的啊。那来看第二问， 那第二问我们想做出来这块难度提升就很大了。第二问说的是 pc 平行于 ebd， 哎， pc 平行于 ebd， 我 们一眼就能看出来。你这俩想平行 pc 是 一个数值的，那你 ebd 肯定也得数值，当然这个得正啊，其实好正啊，咱们一会再说。怎么正？那现在呢？这个要垂直，我们现在要研究二面角。哪个二面角？看 b 杠 ap 杠 d 来 b 杠 ap 杠 d。 你 这道题要想直接这么做会很麻烦，但你能不能想到 b 杠 ap 杠 d 其实就是 f， 那 黄笔画就是 f 杠 pe 杠 g 呢？它就是 f 杠 pe 杠上 g。 你 要先想明白，这俩角是一样的，这俩是同一个角，因为都是 pefab 这个面跟 p e gda 这个面的夹角都是以 p e a 为棱，然后 p g d 啊，这个这个这个面跟 p f b 这个面形成夹角，所以这俩角是一个角。那我为什么想研究 f 杠 pe 杠 g 呢？因为第一问，你的所有条件 f g e 这些条件都在这上，所以你研究这个小局部，是你第一问研究透的 啊。这个是这道题一个非常有意思，在例题、几何常规题里比较少见的一种思想。所以这道题的第二问，我们就研究 e 杠 p e 啊，不好意思， f 杠 p e 杠 g 这二面角，也就是 f p e 刚才这个等腰直角三角形跟 f p g 这俩等腰直角三角形的加角， 我们就研究它即可啊，那研究它现在这个加角 c 的是钝角，求这个 cosine c 的 最大值，也就是 cosine c 的 最大还是个钝角。那就求这个角什么时候最小呗，对吧？那这怎么办呢？ 这二面角怎么表示呢？我们先来看啊，那这时候我们先得研究，先得证明 pc 平行，这个条件怎么说明 ebd 是 垂直的，那很简单啊，根据这个线面平行的性质，对吧？那第二问，你看我连 bd 跟 ac 的 交点，我记为 hbd， 交 ac 等于 h， 那 么连 eh， 因为什么呀？因为你三角形或者叫平面， e b、 d 是 平行于 pc 的， 对吧？哎，平行于 pc， 然后呢？你这个呃，面 pc 又包含于面 pc， 一 h 就是 pc a， 那 所以你又有面 pc a 胶面 e b d 就 等于 e h， 那 这些条件就能推出来，你的 e h 是 要平行于 pc 的， 用的是线面平行的性质。线面平行性质说就是一个面上面有条平行的线，那过这条线做任何一个面，跟这条面的胶线跟原来这线都相互平行。哎，所以其实你是过 pc 做的一个面，叫 p a c 跟 e b d， 这个胶线是 e h， 那你交线 e h 就 跟 p c 平行。哎，所以，那你就推出来你的 e h， 所以 e h 也要垂直于底面 a b c d 啊， e h 垂直底面，那这个事就说清楚了，所以你这个面，你的 e b、 d 也是垂直底面的啊，你的 e h 就是 垂直的，这叫好说了。哎，那既然 e h 跟底面垂直，所以就意味着什么呢？ 意味着你既然 e h 跟地面垂直， pc 也垂直，那你 e 是 终点， h 也是终点，所以就意味着此时 h 为 ac 中点啊， h 是 ac 中点，现在我连 p h， 那 你发现如果你连 p h 的 话，你跟 f g 肯定是有个交点的， 对吧？因为你 p f g 跟 p b d 是 同一个面，你 p b 里边有 f， p d 里有 g， 所以 p f b d， g 跟 h 是 一个面里的，那你连 p h 一定会跟 f g 交一个点，这个点我叫 n， 我把图画一下，画哪个图呢？咱们就画 p b d 这个面，那 p b d 这面长这样，它可能不一定是正的，可能是歪的，无妨，这是 p， 这是 b， 这是 d， 然后怎么样呢？然后这个 p f 跟 p g， 这是 p f， 这是 p g， 因为我们知道这个，呃， p g 跟 p f 因为是等腰直角三角形的边，所以长度都是一，这是一，这是一，那你 p g 可能是 y 的， 没问题。 然后你 b d 的 终点是谁呢啊？ b d 不是 终点啊，就是你这个 b d 也可能是 y 着的，然后底下这有个 h 啊，因为你 p h 跟这个底边啊，当然它不一定是垂直的，反而就是大概是这个样子啊，这样一个关系，所以这是肯定交的一个点叫 n 点 啊，交的一个点 n 点，那现在交于这个 n 点有什么用呢？交 f g 与 n。 现在我们要想明白这题的背景啊，这道题我们现在要研究二面角这个 n 点，我们需要知道它的位置在哪。 首先我们要先研究这个图形的形状，你注意，你要想明白这个局部的图形是什么样子，我来给各位打个比方，它是一个以 pe 为棱 来看着教育，不好意思，以 pe 为棱，然后两个等腰直角三角形，像翅膀翅膀一样可以旋转的这样一个图形，能明白什么叫翅膀一样吗？你就这么想，这是一个鸟， 就是 p e， 这是鸟身子，然后两边有两个等腰直角三角形，是这个鸟的翅膀，也就是 p e f 和 p e g， 然后这俩翅膀可以扑腾啊，那其实就像这样啊，当然这俩翅膀也不一定角度一样啊，有点这种感觉啊，当然它应该是个正法， 有时候这是个正方形吧。啊，这是一个正方形啊，这是正方形，那对角线是 p e， 哎，对角线是 p e， 这就是对角线 p e， 然后你这两面，你看啊，这两面你就对角线 p e 给它折好了吗？哎，你看这个棱就是 p e， 然后你这个顶点，你翻开的这个顶点就是 f， 这个顶点就是 g， 然后这个呢是可以怎么样的呢？哎，它是可以扑通， 哎，就是他可以这样，你看这个就是二面角吗？他可以，他可以这样，哎，大小大小甚至都可以弯上去，然后他还可以怎么办呢？还可以一边大，一边偏点，一边这样点啊，总之是这样一个以中间为棱的这样一个两只角三角形在这开合一个二面角， 然后但这里边唯一的要求就是什么呢？唯一的要求就是他得过这个 n 点，为什么？首先在这里，如果你转你，首先你做了这个 fm， 第一问，做了 fm 都是二分之根号二， 对吧？然后你这也是二分之根号二，所以由第一问，其实你能推出来第一问中的 m 啊，因为第一问中，由第一问可知， 你的 m e 等于 mp， 等于 m f 等于 mg， 都是二分之根号二。所以就意味着这是一个以 p e 为圆心的圆， 以 p e 为直径的圆，你的这个 g h 永远在这个不是圆，是球在这个球上， 所以 g h 在 这个，你看这条棱是直径，你这俩翅膀扑腾的时候，是不是永远在这个球上？而且你的 g h 由于根你 直径是垂直，而且垂到球心 m 上，所以你的 g f h 一定在它这个大圆，就这个横切面这个圆上运动， 它一定在这个圆上运动，这是你 f g 一定在这个过球心 m 的 圆上运动。 哎，这你就明白这题的背景，这题背景其实是 f p e 为直径，做了一个球，球的半径二分之根号二，做了这样一球，然后引发 f g 在 球面上运动，再连这个线引发点的变化，所以它其实是高等数学里的一个球到一个平面的射影几何， 以 p 为顶点，然后像一个球面的上边那个段大圆，那个红色大圆，然后做摄影几何射到地面上，然后研究这样一个问题， 这是它的背景啊，让他们继续往下来，那你现在呢？所以呢？这个啊， p e 啊，不是， p e 叫做 f g 在 以 m 为圆心， p e 为直径的圆上， 而且在这个，呃，球上啊，球上 啊，直径的球上，然后这个时候呢， p g 的 轨径，且 f g 在 过 m， 且垂直于 直径 p 的 大圆圆 m 的 圆周上啊，就这红色一圈上面有它。那现在问题是 n 在 哪？首先你知道这个 p a c 是 一个纵抛面啊，所以 n 点一定是在这条直径上的 过 m 点的这条直线上，因为你 n 点对称啊，它肯定在这啊，所以咱们就说什么呢？咱们就说这个大圆与 p a c 交于这个点，别的都用来设个什么点呢？叫 s t 点吧， 这是你的直径啊，所以这时候呢，你发现 n 点在这，那么来算数吧。那在 p a c 中，在三角形 p a c 中来画圆图，那 p a c 是 什么呀？ p a c 是 一个等腰直角三角形， 来看一下， p a c 是 这样一个等腰直角三角形，在这个等腰三角直角三角形里，这是 p a c， 这是垂直，然后这有个中点，这是 e， 然后你这做了个什么呢？做了个结面圆， 这这不就把那球切出来一个圆吗？然后中心是 m， 那 这时候过 m， 它这不还有条垂直的线吗？就是那个那个那个结的那 s t 啊，就你这样纵抛这个面，咱们做正视图，现在你截出来 s t 是 在这上，这条蓝线就是它，对吧？那其实你这个点就是 s 点，这个点就是 t 点， 它正好这么交的，因为你这四十五度，这图正好齐了，四十五度，四十五度，然后这这这正好是这样一个，这形成的，就是一正方形，正好这么放着啊，然后现在我要什么？现在我要底面不是 a c 中点是 h 吗？对吧？刚才说的 a c 终点是 h 啊，我要那个 n 点，于是你连的是 p h 跟 st 交的这个点，是不就是刚才说那 n 点，就是这就是那 n 点了， 对吧？这个 n 点是不会动的，你看这个图，这个 n 点动的，它不是这个球不动，然后直径不动，这个俩翅膀在球上转吗？ 哎，所以实际上呢，就是 f g 动， b d 动，剩下这些他都不动，那这些都不都不动。但这里有个要求， 就是什么？就是你 b d 要过 h， 因为 b d 交那个 h 必须得满足这个 e h 垂直底面，这样才能出平行，这是不能动的。题目上要求那 h 必须在这，那你 n 就 必须在这。所以这题你的 f b 就是 横过 n 点的一个圆，我们再重新画这个圆， 我再画这个红色的圆啊，就画这个。从 fpa 视角看红色的圆，这个圆，你的中心是 m， 中心是 m， 然后你这条线，这是那 s t 那 个直径，然后你的 n 点不是在这吗？那 g t 唯一的要求就是你的 这个啊，叫做 f g 得过 n 点，然后现在你的二面角就是 f m g 算这个角什么时候最小？那这题其实就是一个什么，你这样转过来，它就是一个直线和圆，最简单的过圆那一点的最长最短弦。问题看懂背景吗？ 有意思吧，它就一个球作为结面，然后最长最短弦，然后从 p 点咔作为生成几何这样一个事。那来算数吧。那在这里就好算了，我要算，要算，算什么呢？要算这个角，这个角我记为 c 啊。这步骤其实咱就不书写了，书写步骤很简单，比如做什么 s t 是 垂直于 p e 的 直径，然后呢？做结面 p a c， 如图，然后呢，由于你 h 点固定，所以连 p h 交于 n 嘛。这个，那我现在要求 n 点设这角为 c 来算数吧。 那现在我知道这段是一，因为你 h 是 终点，这段是二，所以 tanthan 这个叫做 five， tanthan 的 five 等于二分之一，那你 tanthan 的 seat 就 等于 tanthan 的 四十五度减 five， 于是用叉点公式应该等于一减 tanthan 的 five， 一 加 tanthan 的 five。 叉点公式嘛，所以 tanthan 的 five 是 二分之三，所以算出来三分之一，于是 tanthan seat 等于三分之一， 然后你的 pm 是 你球那个小球的半径二分之根号二啊。所以，那于是你就得到什么呢？所以得到 m n 就 该等于什么？ m n 就 等于 啊，探针 c 的 三分之一，那就该等于六分之根号。于是回到这个原理，你看，在这个球心 m 之中，你 m n 这段长 是固定的，所以由最长最短线。现在我们又知道什么？又因为你的 f m 垂直于 p e g m 垂直 p e， 所以 你都垂直于胶线啊。然后你的面 f 这个 p e 胶面 g p e 就 等于 p e 是 你的交线，所以角 f m g 即为二面角 c t 啊。不好意思， c t 用过了， 即为二面角 c t。 就 题目所求的二面角，这个 f 杠 p e g， 也就是 b 杠 a p 杠 d f 杠 p e 杠 g 啊，也就是所求的这个二面角，它也就是 set 啊。当然，这我就不能设 set， 咱这设个 alpha 吧，咱别设 set 了， set 题上有了，这是 alpha， 为了字母，防止字母重复，这贪婪的 alpha 等于它 啊。所以呢，此时呢，显然由最长最短，显然是什么呢？哎，当这个作为压轴十九题，你都出 n 点固定，然后且什么呢？且 m n。 你 已经算出来了， m n 等于六分之根号二是定的。那现在问你 f g 横过 n 什么时候角这个最小，所以在 圆 m 中，所以在圆 m 中，显然当你的 m n， 也就是你的 s t 这个直径 m n 垂直于你 f g 时， 角 f m g 等于 c t 最什么呀？最小四十 cosine c t 最大吧，那只是算一下就行了。那这个时候你把这图画准，咱画红四。如果你垂直， 那 f 在 这， g 在 这，这段是你的 m n 啊，这段是你的 m n， 然后你知道你的半径是二分之根号二， 然后这块是六分之根号二，这个角其实就是阿尔法 tan 的 三分之一，因为正好你的阿尔法都是叫做 m n 为直角边和半径为直角边。那回到这个图里啊，回到这个图里，因为你是求回到这红色图里，也满足它 啊，也满足，所以这阿尔法的三分之一，所以你算出来，这应该是这条边就是六分之二，一比三比二倍根号，这应该是三分之二啊，你就能算出 f n 是 三分之二，是它的二倍根号二倍，对吧？哎，所以呢，这条边也是于是于先定里。 所以余弦定律啊， cosine theta 就 等于 m f 方加上 m g 方，减去 f g 方除以二倍的 f m m g 算一下， f m 呢，是二分之根号，二分之根号的平方 加二分之根号的平方减对边这边三分之二，它就是三分之四减三分之四的平方 除以二倍的乘积，二分之根号二，二分之根号二，底下是一，不管了，那上边应该是一，减去九分之十六，最后等于负的九分之七，所以余弦最小值负的九分之七啊。这道题算数是次要的。这道题我这么给你讲，你是不是就看懂背景了？ 第二答案我扫了一眼，好像是拿间隙，拿空间向量做的空间向量没有给你讲清楚几和背景。这道题几和背景再说一遍，是在 p e 以 p e 为直径做了个球， 然后由于你 pe 轻点四十五度，其实这个球你的 pe 正好斜四十五度的直径。然后呢，你在 pe 这个球里， pe 为直径做了两个球内接的等腰直角三角形，于是你的顶点 f g 就 会在球面上在这个大圆，就你把 pe 这个球当成地球仪， 然后呢，你的这个，呃， p 和 e 是 南北极啊， p 和 e 是 南北极，那这时候由于你 f g 跟 p e 形成等腰直角相交，你的 f g 就 在赤道上转圈。这道题就是一个 f g 在 赤道上转圈的问题。那第二问给的条件是要求你 p 就是你，你 p f 穿到地面上是 b， p g 穿到地面上是 d， 要求你 b d 必须过 a c 的 终点 h， 这是用题目条件这个平行固定的必须过终点 h， 那 就意味着你的 这个 p h 必须要穿过 f g 里边一个点 n， 那 n 就是 一个固定点。现在就在赤道面上有一个固固定的点 n， 你 的 f g 连线必须过 n。 现在问你 f g 跟 m 形成的这个圆心角什么时候最小 啊？什么对，什么是最小？这不就一个最长最短线问题啊，就划回到之前和圆了。这题第二问是这么出的，你看你要这样，其实它没有什么思维量，几何思维量比较大，但你想明白了就简单，对吧？那现在咱们来看最后一问啊，地不够了，我们单起一页，最后一问，最后一问换了一个条件 啊。这道题要我说他出的还不错，但唯一不好的地方是第二问第三问没有联动性啊。高考讲究探讨性啊，就这道题当然想在第二问基础上研究第三问，太难了啊。所以其实这你看第二问、第三问的条件是不相互冲突的，意味就是你不会做第二问，也能做第三， 对吧？第三问的条件不一样了，第三问是 b d 跟 f g 平行了，没有要求你的这个点，要是终点没这个要求了，所以第二问跟第三问不是一个顺畅关系啊。但是第二问的思想你用好了，第三能用，就是你挖到了 p g 这个圆，这个球， 以及你 f g 是 在这个球上的赤道面上这个点，还是 m 图谱上是在这个球的赤道面上形成的 f g 这个思想肯定是有用的，在这赤道面上形成的 f g。 然后现在来看啊，这题第三个要求是 b d 平行 f g， b d 怎么能平行 f g 啊？你 f g 在 赤面赤道面上动啊，那你 b d 是 在底面的，如果你的 f g 平行于 b d， 说明 f g 就 平行于底面， 对吧？那 f g 平行于底面，那你 f g 就 得是一般高的。再说一遍， f g 平行于 b d， 第三问，那应该推出，显然那 f g 就 得平行于底面， 底面就是 abcd 这样一个事啊。那既然你 fg 平行底面了，那这时候又因为你 fg 跟底面平行啊，哎，所以什么呢？且什么呀？ 且，因为你 fg 第一问正过 fg 是 垂直于 pe 的， 是不是你推出来 bd 就 得垂直于 pa 啊？就是 pa 就是 pa 嘛，你 fg 垂直 pa 了， 所以你 b d 肯定垂直于 pa， 也就是 b d 在 底面上，它应该是跟 pa 垂直的，对吧？那又因为三垂线，所以呢，咱应该也能推出来，所以你的 b d 也就得垂直 a c 啊，这个跳了个步，用了 a 三垂线啊，或者省了一个 p a c 跟底面的这个，这个跟 b d 的 线面垂啊。你要是 都不能通过这个条件推出 p b d 垂直 a、 c 这个是直角，那你就别做这题最后一万了，对吧？啊？所以这道题的第三个限制是 b、 d 在 底面跟 a、 c 垂直移动，是这样平行着，永远跟 a、 c 垂直的平行移动啊，在这个前提下，然后说什么呢？现在说的这几个点叫 p 点、 a 点、 b 点，四点肯定在一个球上，四点共求，现在说的是给定这个球的半径，我记为大 r， 如果大 r 定了，说 p、 b、 c 的 体积有三个可能值，那么的 v、 p、 杠 b、 c、 d， 它就等于三分之一三角形 b、 d、 c 乘以 pc， 也就等于三分之二倍的三角形。这个 b、 d、 c， 那你这个体积有三个可能值，就是底面面积有三个可能值。底面面积是什么？因为你这是垂直，所以底面面积就是三分之二，底面面积是二分之一，这个点不是 h 吗？二分之一 b、 d 乘以 c， h 也就等于三分之一 b、 d 乘以 c、 h， 所以 其实意味着就是你这个底面的面积都有三个不同值，也就是你 b、 d 跟 c、 h 的 乘积有三个不同值，有三个不同值。 现在求球的半径范围，那这是咋回事呢？那咱们就想想吧。首先这个球要满足什么特性 啊？这个球要满足什么特性？这个球是要过 b 点、 d 点的，那现在你要找 b、 d 的 位置，那第一你 b、 d 得满足， 还忘了还记得 b、 d 吧？哎，这道题背景是 b 点是 p、 f 穿出的 b， 你 千万别想着说我先有 p、 b 再连锤，是不是的？这道题说是反着说，其实是你先有上面那个球，然后 f、 g 点在赤道边上动，然后连 p f 穿成 b， 连 p g 穿成 d， 它是这样一个生成几何。然后呢？ 那就意味着你的由于你的 f g 是 这样一个圆， f、 g 是 在这样一圆上运动的。那我就问一个屁点连圆上的两个点形成的是什么呀？是不是形成的是个圆锥啊？兄弟们， 是不是形成的是这样一个圆锥啊？这一圆，这一圆环，就那个红色的圆 m 的 圆环上面一点，咔咔看，一根圆环一连，这不形成圆锥吗？一个顶点连一个圆，形成圆锥，对吧？那圆锥延长底面，这个平面一切结，结出来的是不是圆锥曲线？ 斜截圆锥得圆锥曲线。所以这道题为什么跟截一几何有关系？是这么截出圆锥曲线，你的 b、 d 是 这个截面圆锥曲线上的一个圆锥向的两个点。那你看这题的关系啊，因为你 p 点，这是四十五度，所以你的 p 到上顶点， 这点不是那 s， 这点不是那 t 吗？你 t 点到 s 是 水平的， t 点到 t， t 正好在 t 是 在 pc 上的数值的，所以这是一个顶角九十度的圆锥，而且数值水平，所以你平面去截，你截完之后，它是平行母线的。截出来曲线是什么？截出来曲线是个抛物线，知道吧？ 你这样放在一圆锥平行母线去截，截的是一个抛物线，所以我们先搞出 b、 d 这个抛物线来， b、 d 是 在这条抛物线的，于是在底面上看呢，以底面以 c 为圆点， c、 a 为 x 轴，这得会朝左间隙， c、 a 为 x 轴， 然后这个垂直一下啊，就平行 b、 d 为外轴，建立平面直角坐标系 啊，叫做什么呢？叫做 c， a 为 x 轴，然后平行 b、 d 为 y 轴间隙，那间隙划出来，这个间隙划出来应该是这个样子， c 是 圆点，这是 c， 然后你这你知道是个抛物线，这抛物线呢，就是 b、 d 就 在这上，而且这 b、 d 得跟底下这垂直 啊，这个点，可能这就是个。哎，这就是那个 b、 d。 大 概先画一下，比如这是 a 吧， c a， 然后这段距离是二啊， a 点的坐标就是二零了，在底面坐标系上， c 点是圆点，对吧？那这时候你的 b、 d 是 垂直的啊， b、 d 是 垂直的， b、 d 就 在这上，那现在我得算这个抛物线的方程，是吧？那我不想在空间里算，那我在地面算，就找一个特殊情况啊。显然呢，那这时候你发现以 p 为顶点 啊，过圆 m 的 圆锥 形成圆锥，这个圆锥是 pa 嘛？圆锥是 pa 形成圆锥 pa， 然后呢， f、 g 在 你的圆锥侧面上，所以你的 p b、 d 在 圆锥面上 啊，又因为 b、 d 在 底面，所以呢，圆锥与底面交线过程不重要，这题重要思维，圆锥交底面为抛物线， 现在求这个抛物线方程，那找一特殊情况，咱找什么呀？哎，还是啊，我们核心研究这个，求理， p e 是 直径，你的 p e， f 跟 p e， g 不是 这个翅膀吗？我现在让翅膀水平一百八十度， 所以当什么呢？当你的 f g 啊，也就是这个 f、 g 肯定跟 b、 d 垂直，跟 a、 c 也垂直，对吧？当你 f、 g 正好过 m 的 时候， f g 过 m 时，那这时候你发现这个面，咱们做结面， p b、 d， 那 此时这个面就应该经过谁呢？我画在这，这面就是个直角三角形， 这是那 a， 这是那 e， 为什么？因为你这一直说这是垂直嘛，这个点 f， 这个点 g， 你 都是要垂直的，这是等腰直角上两个，然后你这如果你的 f g 又过 m 了，那你这个就形成一个面在一个面上了，这图就长这样，此时呢 b 和 d 就在这个位置，这就是 b， 这就是 d， 所以 这时候你看这是等腰直角三角形，然后这段是二倍根号二，那你这就是二倍根号二，这也是二倍根号，所以此时 a、 h 重合 h 这一交点，对吧？那此时 b a 啊，就等于二倍根号，等于 d， a， 此时那 b 点的坐标横坐标就是二，因为你 a 点坐标二零高度，二倍根号，就这个时候经过这个点，这是二倍根号， 二二倍根号了，那所以抛物线方程就是外方等于四 x， 把这个带住，以圆点为顶点的抛物线，外方等于二 p x， 二二倍根号在里边带进去，外方等于四 x， 所以 这是抛物线，于是求出这个抛物线方程。 那现在你看看什么样的情况下，这东西一个球固定的球定了，咱们回到这，这东西要有三个不同值， 也就这三个这个三角的面积能有三个不同值，那你想想这个球是什么球？是 p a、 b、 d 的 外接球，那外边 p 定了，那这外接球他的体积，他出来之后，你应该怎么办？他跟底面是不会结出一小圆来， 对吧？那同样一个体积结出一小圆，那就意味着你 b、 d 应该有不同的位置都能做出这个圆，所以咱们就求什么？求的它的这个外接球，对吧？那就是你看到啊，我连你 p、 a、 d 是 不是底面会形成一个小圆一，就做它的外接圆 啊？我们要求现在干嘛呢？现在最后一步求 p a、 b、 d 的 外接球，那你是不是要先做这样一个外接圆 b、 a、 d 的 外接圆 啊？首先呢，这个做 b、 a、 d 的 外接圆，那做 b、 a、 d 的 外接圆之后，现在既然说满足题的应该有三个，那就说明你这个圆做出来，或者叫做这个球，那叫做。我们就设 p a、 b、 d 外接球 为求 o， 那 么求 o 与底面 抛物线与底面相交，肯定是一个圆，与底面交于圆圆，我们即为 o 一， 对吧？那你这个三角形 a、 b、 d 显然是内接于圆 o 一 的， 所以圆 o 一 交抛物线 就应该等于 b、 d， 你 的这个圆 o 一 跟炮线的交点就是 b、 d。 现在这道题说，因为你这样的 c、 b、 d 有 三个，那你这个这个求 o 一 跟炮线应该可以交出三个 b、 d 来， 对吧？那怎么能交出三个 b、 d 来？你想这个球是你的圆 o 一 是必过 a 点的，而且还上下对称，所以你的圆要么就是往右划，你看啊，过 a 一 点的圆就是这个样子，你要不然往右划，你要不然往右划，对吧？你要不然就往左划， 对吧？如果你往左画，圆小，他跟炮线交不上的，那你往左画，如果画得相切，你是不是能交出一组 b、 d 来？但你看怎么出三组，你看右边有一个，这是不是有一个 b、 d 了？ 你一个圆跟炮线的相交的情况最多有几个尖呢？最多有四个尖，如果你左边这个圆画的大一点，左边这个圆过 a 点，这个外接圆啊，你看你这圆，如果画的大一点， 再打，再打好，打到这么大，你看一下它跟这个抛物线的交点，不就可以交出这是一组 b d， 这再交出一组 b d， 那 你看符合 t， 我 都是你看这由于是同一个外接圆，外头那 p 点固定，那你这个 圆 o 一 跟屁点形成是不同一个球，那球的半径就是给定的 r， 但是这个球可以有两组 b d 满足题，那这样的话 c b d 是 不是就有两个结，那那个体积有两个结了，那这时候这个球如果翻到这边来啊，这边再交一个大圆出来， 然后这再交一个出来，是不是就三解？所以要求你有三解的意思就是当然你最多有没有可能出四解呢？就如果你这能画圆，这再出两个 b d， 理论上有可能四解，但不可能是因为其实这你还能看出来， a 点太近了，你过 a 点做圆，没交点没交点，没交点没交。你看如果你做这小的没交点，那右边没有 b d， 你 不可能三解， 对吧？那如果你再大一点，其实这个因为正好你的 a c 是 二，也就是二 p， 所以 这时候你切的话，直接切到 c 这，然后你再大一点就交过去了，所以右边最多一组 b d， 左边两组 b d 即可。所以你的临界情况是什么？临界情况是你要画这样一个圆 o 一， 让这个 o 一 怎么样呢？让这个 o 一 过 a 点之后，正好跟抛物线内切，就是你的临界， 对吧？如果你这个圆再大一点，看懂了吗？你这个圆正好是你这个摄摄影出来，一个圆正好跟抛物线 跟这个抛物线，这是切的，你这也是切的，就是临界，如果比这个半径再大，那就会交出两组 b d 左边右边一组， b d 就 三组，所以这个意思就是什么呢？所以其实那我们就设这个圆的半径，设圆 o 一 o 一 的坐标为 x 零，逗号，零，因为你知道你的 o 一 一定是在 x 轴上，那我们现在要让它切，所以圆 o 一 的方程 就是什么呀？ x 减 x 零的平方加外方，这是这个圆应该等于半径，半径什么 o 一 到 a 点，因为这个圆一定过 a 点， o 一 到 a 点，那就是 x 零减二的平方，这是你圆的方程，连立抛物线 外方等于四 x， 你 要交出，你要出三个解，那你就是左边这个连利出来得有两组。哎，所以呢，我们连利带进去，于是把这个带入展开，就是 x 方减去二 x 零， x 加 x 零方加四 x 零，等于右边 x 零方减四， x 零加四 移过来， x 方加上什么呀？ a 零方消了，加上四减二 x 零 x， 然后再加上四倍的 x 零减一，这是你连累的结果。我要想出这样两组， b d 在 左边，那你的嘚它是不是得大于零， 对吧？于是圆锥曲线跟凹线跟圆点力的嘚儿它大于零呀，那嘚儿等于 b 方，那 b 方呢？就是咱写下直接平方了十六减去呃，十六倍的 x 零，再加上四 x 零方， b 方减 c a c， 那 就是减去 这是十六倍的 x 零，加上三十二倍的 x 零，加上三十二嘚儿它要大于零，对吧？ 那嘚儿它要大于零啊，那咱解一下吧，所以求公式，把四约掉， x 零方减八， x 零加八要大于零，所以解出来之后，于是得到 s 零，要不然怎么样啊？要不然小于 啊，得满足，小于，这应该是四减去二倍根号，或者 x 零大于四加上二倍根号，这解出来的结果。那咱们回来看 a 零如果小于四减二倍根号，说明圆心得在这边，圆心在这边，你这个圆的半径，那此时这个的要求 是容易满足的。因为你这时候你的 r 就 r 一， 就底面那 r 一 就要大于 s 零减二的绝对值，也就等于啊，二倍根号减二。然后那你这个要求呢？就是你的 r 一 得大于 s 零减二的绝对值，也就等于二加上二倍根号，那你 你，你 r 要小，你要，你要这边，这边多大多小无所谓，对吧？那你左边得满足吧，左边明显左边这圆大，那你左边要满足，肯定取这个上面这个舍，不用管取这个。所以你的 r 一 要大于二加上二倍根号二，所以你相切的时候，这个底面的 r 小 r 啊，或者你就看这小 r 等于二倍根号二加 r， 然后现在我算这时候的球的半径就行啊，那你这小 r 半径大于它，那你回来看这个几何体底面，这是有一个 y 结圆的。 回来我拿什么笔画呀？咱换个绿笔吧，底面是你刚才画出来这底面的 y 结圆，对吧？当然这 y 结圆理论来讲应该画成一椭形，这是 y 结圆，那这个点是 o 一， 那你的 o 一定在它的正上方， 然后这时候这是你的 o， 这是你的 p， 这个是大 r， 这是大 r， 你 列方上即可。外界求问题，就可以求出大 r 了。你大 r 得比这大，因为你底下这个圆比那个大，你大 r 就 得比这个大，就满足题了。做完了，那现在这题解的时候还有 好的做法，咱们这时候还是做 pac， 这个面上，咱们做一下这个图， pac 直角三角形， 然后这延长底面是那个球，对吧？然后那你底面的球心 o 一 在这，这是 a， 然后那当然这个三角形应该小一点啊， 你的比例关系得画好，这是 p 点，这是 c 点，这垂直，这是二，这是二倍根号加二，然后现在你知道这段的高度也是，那其实你这么一想，这有一个圆，你这个球，它肯定是这样一个很大的球，所以你的球心在大概这个位置， 球心 o， 于是你这个高度呢？你一连这段， 因为 a 是 你底面圆上一个点，这是 o， 所以 这段是个大 r， 那 你这段也是个大 r， 那 正常向你列方程算就行了。但这题啊，除了列方程算，我们写一下方程，比如你设这为 h， 那 设这为 h， 那 你应该有大 r 方， 应该等于底下小 r 一 的平方加 h 方，也就是等于二倍根号加二的平方， 或者你这角 r 零就是你的邻界嘛。加 h 方，那它应该也等于什么？也等于你这个 p o 方， o p 方，对吧？但也等于 o p 方，那 o p 方应该等于横坐标这块是四加二倍根号平方再加高呢？就是 h 减二， 应该是四倍啊，四加上二倍根号的平方，再加 h 减二，你用这两个式子可以把 h 解出来，那解出 h 再带回去，是把 r 方就解出来， r 就 解出来了，这可以，但这个数你要关注一下， 你有没有发现，其实二倍根号加二和四倍根号加二，其实是一个根号，二倍乘以根号二就是它，对吧？那你回来看这个三角形，来关注这两个三角形， 这两个三角形斜边都是 r 的 直角三角形和这个黄色的三角形，红的跟黄的一到这，你感觉这俩要全等就好了。 长短，哎，那真的哎，正好你这个红边是四，加上二倍根号，这俩正好差根号二倍，那如果反过来，你这个高也是四加二倍根号二， 那你正好你看四加二倍根号跟二倍根号加二，对吧？然后你这个红的高正好是二倍根号加二，你的高度正好差二，这不刚刚好合适， 你就不用算了。再说一遍，这三，这这你看，所以有综合的这种几何处理能力，真能简化不少。这三条再说一遍，想到了一比根号，那如果这三角形是一比根号二的直角三角形 底面，这是一份，这是它的根号二倍，那这块就四加二倍根号，那他如果占根号分，这个高正好二加二倍根号二加二倍根号跟四加二倍根号正好差一个二，就是你 p g 的 高啊， pc 的 高，这是 c， pc 的 高乘号二，所以这题正合适，于是你就知道大，你就这算出来 h， 当然你的解也是解出来 h 也应该等于四加二倍根号二，于是你的大耳在这三角形里就知道了，是一比根号三比二，所以它是二倍根号二加二的根号三倍，所以你大耳或叫大耳零， 应该等于二倍根号二加二乘以根号三，也就是二倍根号三 加二倍根号六，所以最终答案，于是你 r 就 得属于二倍根号三加二倍根号六到正无穷。因为什么呢？因为你的小 r 一 是要大于这个二加上二倍根号二的，所以你的 r 也得比这个大，于是答案就是它。这听完事了， 几何做法基本没有用什么代数式，但这道题其实各位就看出来，你就明白它的背景是什么了。为什么说这道题呢？你会做是次要的，如果你只是做一什么空间间歇做，没有看到它的背景思想，这道题等于白做了。就给各位分享这道题最后的背景思想是什么。 第一问好说，但通过第一问的研究，你必须看出来，它是一个以 p e 为直径，然后 p f e 跟 p g 是 两个等腰直角三角形，然后呢，以 p g 为直径，绕一圈形成了一个赤道，所以 p e f g 形成了一个球，这个球就是这道题的核心，它永远是固定的。在这球里，你的 f g 在 赤道面上运动，然后连 p f 跟底面穿出了一个 b 点， 连 p g 跟底面垂直于 d 点，那在你的 f g 在 赤道面上运动的时候，你 b d 就 会在底面运动，形成了一个什么呢？形成了一个 p， 跟这个赤道面形成了一个斜放的圆锥，那你 b d 在 底面运动，会形成一个抛物线， 那这道题就是这样一个适应几何，叫做 f g 在 求胜小球胜小球赤道上运动， b d 与之相对应的在抛物线上运动，然后去研究这个关系。 那第二问就是，在这个运动过程里，我满足你的 b d 得过 a c 的 终点， 那 b d 得过 a c 的 终点，那反过来就牵制了 f g 必须过那个赤道面上一个定点，那于是在赤道面这个圆上 f g 过一个定点， 然后求这道题内二面角正好是 f g 跟 m 的 加角，那就是在赤道面上一个圆的问题。有一个定点弦过定点，求这个弦跟圆心角形成的弦跟圆心形成圆心角的最小值就是第二位的背景，最长最短弦。第三位的背景呢？就是你 f g 在 赤道面运动满足 f g 始终是 平移平行移动，那你 b、 d 始终在底面平行移动，然后 a、 b、 d、 p 形成的外接球为一个固定值的时候，那你这个外接球在过 pa 的 情况下，跟底面会交成一个小圆， a、 b、 d 的 外接小圆是圆 o、 e， 这个圆 o、 e 啊，就要有三种形态 啊，或者叫做圆 o、 e 上的 abd 要三种形态，那 a 是 定的，那 b、 d 就 得有三个位置，所以你圆 o、 e 要么可以往左划，就这个球，你看这球很大 啊，这个球很大，大到什么程度呢？这球大到一个是在左上画的时候，这样一个球，那跟底面交这个圆，那这个圆跟抛物线的交线就是 b、 d 啊。那 这个球如果画在右边，往右下画跟底面交这个圆，跟抛物线交的也是 b、 d， 那 你这个球往左上画交出底面这个外接圆跟往下画交出外接。这两个圆跟你的抛物线要有三组平行交线， 那你右边这个一定有一组平行交线，那你就要求左边这个圆得跟抛物线有两组平行交线，于是变成了一个抛物线跟一个过顶点 a 的 圆。你这样放大放大，要求能交出四个点，于是四个点就是两组平行交线的问题， 于是到最后就找到这个圆连立这个圆的抛物线嘚它答案零，出现四组解，然后得到了你底下小圆的范围，得到底下小圆的范围，再用外接球的知识，小圆的范围在这。于是呢，你再研究一下 a， 这小圆固定的情况下，你跟屁形成这个圆心半径是多少？那你的球绝对比这个半径大。这道题就这样一次强。好吧，哎，所以各位看看啊，这个应该跟标准答案的思路完全不同，但是你应该能感觉出来，这道题再说一遍，你能想明白它是怎么样 以 p e， f， g 为初始动点，然后演设出来，摄影出这个底面 a， b， c， d 的， 你把这个想明白最重要好吧，所以这道题就给各位讲到这，你肯定没听懂啊，不用问你听没听懂，你肯定没听懂，我来再听一遍吧。好吧，的，那这道题就讲到这后边，见，开头见，拜拜！ 这就是来自我们青岩同学投稿的妙题第六十七期全部内容，掌握认知本源数学如此简单，你想要源哥做什么题或者点评什么题，赶紧来评论区投稿吧！

立体几何考鸭轴题你见过吗？绵阳二诊，出题人直接放飞自我了，十九题直接出了一道立体几何，还和抛物线结合在一起，史无前例。不过这几年高考十九题倒还没出现过立体几何，三角、数列、圆锥、倒数都出现过，这会不会是高考前的一次预演呢？ 这道题还是非常有必要讲一下，主播不想讲，就让 miss 替主播讲一下，就十九题，非常耗时间哦。 pc 垂直于 a、 b、 c、 d， 那 么它就是一个高 e 为 pa 的 中点，这里有个垂直，它说的是 f， e， f 垂直于 pb， eg 垂直于 pd， 这是 f 点，这是 g 点。然后 pc 等于二， p a 等于两倍根号二，那这里是根号二，这里是根号二， e， f 等于一， g 等于一。有一个问题哈，你看啊，你注意看，这个角是直角啊，然后这个边又是一，这个边又是根号五，它是不是引引告诉我们一种解三角形里面的几何关系，那这个角必然是四十五度，对吧？ 好，你看啊， cosine 角，或者说散引，对不对？ 你看一下嘛，它所对的边，你就说在三角形 i p 这个题目，刚读到这我就想到了有这么一个东西，我们就先写啊， p f 中 上一角，嗯，一 p f 是 不是等于一， f 比上 p e 等于一，比根号二等于二分之根号二，是吧？因为你这个地方是直角嘛。好， 因为你这个地方是直角，这是根号二，这是一，所以它的 side 是 等于二分之根二，所以角 e、 p、 f 等于四分之派。同理，角 e、 p、 g 也是等于四分之二，对吧？因为他的对边是一啊，斜边是根号二，对边是一，斜边是根号二，这个又是直角，对吧？对，边一斜边，根号二，所以他这个也是四十五度， 所以这个 b 点和 d 点，嗯， p b 和 p d。 假如说 pa 的 位置是固定的， pa 是 一个斜着的，是固定的，嗯，这是 pa， 这个白色的笔是 pa， 然后 p b、 p d 与这个 pa 所成的角都是四十五度，说明它是一个圆锥面，明白吗？ 它成的角是四十五度，是固定的，那么它就是个圆锥面，就你给它转一圈，就这样转一圈，它是一个圆锥面，那么也就是说，嗯，你看啊， p a 是 固定在这的，这是草稿啊， p a 是 固定在这的， p b、 p d 跟它的夹角是四十五度，嗯，它是这样一个圆锥面，对吧？那圆锥面被底面所截， b， 底面 abcd 所截啊，底面是不是有个 abcd？ 这样啊，这底面所截得到了轨迹啊， 可能是抛物线，对不对？圆锥面，我们是不是在什么时候刚讲过？嗯，是在南通一模的第五题。我还有印象啊，南通一模的第五题是讲的是圆柱啊，圆柱被平面所截，得到一个椭圆，还记得吧， 当时是讲的圆柱被一个平面所截，得到一个椭圆，现在就是一个圆锥啊，圆锥被一个平面所截，哎，得到的可能是双曲线或者抛物线，对不对？ 好，所以说我们就知道了大概的 b 点和 d 点轨迹就应该是圆锥曲线。也就是说这个立体几何的题目，他是把立体几何和圆锥曲线和减三角形都融合在一起了， 哪来的减三角形呢？就是你要通过这个是斜边，根号二对边为一，这个角又是直角，可以用上引，对吧？用上引得到四十五度，这个四十五度他都不直接给你，他是隐藏在里面的， 他是通过一根号二九十度隐藏在里面给你的。你是不是要稍微用一点减三角形的知识？要是你看到这个条件很麻布的话，你是想不到这是四十五度的，如果你想不到这是四十五度，那你第一问都有问题，也就这个十七分的题目，第一问都有问题了。 就是你必须得想到减三角形，哎，这是四十五度，后面才有可能有希望，是吧？然后 b 点 g 点，然后就是一个圆锥面，因为这个夹角是四十五度，他这样转转转转，明白吗？ 他是围着这个斜面这样转一圈。是一个圆锥啊，圆锥被一个面所截得到了一个轨迹，差不多也就是个抛物线嘛，所以 b 点和 d 点可能就是在一个抛物线上。就大概这个题目算是读懂了，读懂了再开始做啊。题目没读懂，做的就很负很费劲的哈。 好，接下来它说什么了呢？说让你证明 pa 和 f g 是 呃，垂直的。那很明显，我这里 pa 和 f g 是 一个异面直线，它们都没有挨到边，那我怎么证明它垂直呢？是不是我要故意的去挨上啊？ 是吧？你现在一点点线索都没有，它们两个对吧？ pa 和 e f 又不垂直，因为 e f 和 p b 垂直，它就不会和 pa 垂直，所以你这里一条垂线都没有，所以我要自己人为的去制造，明白吗？ 你的 pa 和它不垂直啊。因为这边是垂直，这里肯定是锐角，所以我一个垂直都没有，我要自己找垂直。怎么找呢？ 我就自己做，我做一个线给它垂直，然后我们把这个点设为 h 点， 然后在这一年，对不对啊？三角形 p e f 和 p e g 都是一个呃，直角变为一，斜变为根号二的等腰直角三角形，它们两个是全等的，由全等可知，这个是 h 点，是 p e f 的 那个垂足，也是 p e g 的 垂足，对吧？ 嗯，三角形 p e f 全等于。你看，又来平面结合的知识了， p e f 全等于三角形 p e g 对 吧？ p e f 和 p e g 垂直。 p e f 和 p e g 垂直。然后我们做 f h 垂直于 p e 于 h， f h 垂直于 p e 于 h， 那 么由全等值 全等就是完全一比一对照的，是吧？所以 g h 是 不是也垂直于 p e， 对 吧？ f h 垂直于 p e， 那 么 g h 也垂直于 b e， 那 么 p e 是 不是就垂直于？嗯，它又垂直于 h f 又垂直于 h g， 它就垂直于 h f g， 对 吧？ 就是 p a 呀，这个斜着的，这个能支棱起来的，这个能，他是跟这个和这个有点像。山，山的那个山的那个脊梁，山脊梁，对吧？垂直于这个，又垂直于这个，是吧？所以呢，他就垂直于这个平面，他垂直于这个平面，是不是就垂直于 f 机了？第一问 好，放在这吧，可以看第二个了，好不容易把四分拿到了啊，就是这个四十五度，不好想吧，然后想不到这个题，第一问都有问题。 好，现在想到了，我们看第二问。第二问是说 p c 和 b e 呃， e b d 是 平行关系， p c 和 e b d 是 平行关系。首先你这个 p c 是 一个垂直于底面的一条线，说明啊，这个 e b d 也应该是垂直于这个底面的，嗯，是吧？ 线面，我们有个结论嘛，线面平行，过该线的平面与该平面的交线肯定与该线平行。 那么也就是说 p c、 a 这个平面与 p 与 b、 e、 d 这个平面产生的交线交线是不是就这条线一定会平行于 p c？ 就 这个意思。那我们把它连一下啊，就是这个线一定要与 p c 是 平行的，理由就是线面平行 过该线的平面啊，就是过 p c 的 平面 p a、 c 与该平面 b、 e、 d 的 交线啊，这个点记为啊，我找我看一下，我找个字母吧，记为 o 点吧， 这个什么点都可以，好不好？然后就是他们两个要平行， ok， 然后因为一点又是个中点，那么这个线和它要平行，那这个点是不是应该是，呃，也是中点，是吧？ 好，那我看一下写在哪？写在这吧，他又，他求的是呃。 b p a d b p a d 就是 b p a b p a 是 前面这个面啊， p a、 d 是 后面这个面，是这样一个面，对吧？你前面有一个面，后面还有个面，对吧？就这样子啊，你们应该看不清楚，摄像头不是很清楚，就是两个平面。 嗯，的，夹角。好，我们开始建个系吧， x 轴， y 轴， z 轴。话不多说，先建个系。好吧， 然后你看啊，我就要给你们写前面的过程。因为 p c 啊，平行于 e b d， p c 是 在 p a c 中， p a c 交 e b d 于，嗯， e o 则由平行的性质啊，是把 e o 平行于 p c， 这是平行的性质，对不对？ 线面平行的一个性质。嗯，你可以把字写完整一点，或者不写都可以。呃，然后又因为一为中点，对吧？所以，哦，有相似可知，平行就相似，所以 o 也为 a， c 中点， o 为 a， c 中点，所以 b， d 是 过啊，我们见好细啊，见 c 杠 x， y， z 啊，这句话你都要说完整一点，我都是简写的啊，你就说以 c a 为 x 轴，垂直于 c a 的 这个 c 什么为 y 轴，然后 c p 为 z 轴，见空间直角坐标线啊，过 o 点，嗯，这个 o 点应该是 他给了长度的吧，我记得是二，那就是一，一逗零，逗零，是不是？好啊，注意一下，这个角也是四十五度啊，因为它是等腰直角三角形， p， e， f 是 等腰直角三角形， p e， g 也是等腰直角三角形， p a， c 也是等腰直角三角形。 b， d 要过这个一逗零，逗零。嗯， 我们不妨把那个 p b 的 直线给它设出来，然后由 p b 和 p a 的 所生成角四十五度，得到那个 a、 b 点和 d 点轨迹， 得到 b、 d 的 轨迹之后，再由这个轨迹过，就是 b、 d 这两个点过一到零到零啊，去求出它们的那个坐标要满足的方程是不是？是这样吧， 开始写了啊，那我们设 b 点是 x， b 逗， y b 逗零，因为它是在那个底面上啊，所以呢， p b 等于， 嗯，因为它这个，它 p 点只有一个纵坐标，竖坐标是二，那减完之后是这样子，对吧？然后 p a 是 x 方向走了两个吧， y 方向零个吧， z 方向是负二吧。我我我对照一下，二零负二对 cosine p a， p b 这两个的夹角，是不是把它们相乘二， x， b 再加四，对吧？根号下 x， b 的 平方加 y， b 的 平方再加负二的平方是四，再乘以根号下二的平方加二的平方等于二分之二， 因为 p、 b 和 pa 的 夹角是四十五度，四十五度扩散也就是二分之二啊，对吧？带进去就一坨。好，这个东西可以化简出来，化简出来是 y、 b 的 平方等于四 x b。 同理， 因为 p、 d 和 pa 也是四十五度，所以说 y、 d 的 平方是等于四倍的 x、 d， 所以 就用它们所乘的夹角为四倍的 x、 d， 所以 就用它们所乘的夹角四十五度的一个圆锥面，对吧。 啊，因为 p、 b 无论是 b 还是 d 都在这个圆锥面上，然后呢，它们又被底面 a、 b、 c、 d 所截，所以的轨迹的话就是一个椭圆，对不对？轨迹是一个椭圆啊。不不，口误口误，是个抛物线啊， 圆锥啊，被截截得的结果是一个，嗯，圆锥啊，就比如说我给你把它摆正，这是个圆锥，对吧？ 他围绕这个中间的这个旋轴，中间的这个高旋转夹角是四十五度，对吧？四十五度旋转之后，他被一个平面所截啊，截到的一个轨迹就是一个抛物线，对吧？是不就是你知识就联系起来了？ 圆锥曲线，圆锥曲线，圆锥曲线本来就是圆锥，被平面所截得到的曲线就叫圆锥曲线。嗯，你这样截啊， 你，你这样结是个椭圆，看到没有？这样结是个椭圆，然后这样结是一个双曲线啊，上面不是还有一个，还有一半吗？对吧？这样结，哎，是一个像个漏斗一样是个双曲线，然后这样结的话就是个抛物线啊，好， 这是圆锥被平面所截啊，然后我就知道，嗯嗯，这个 b 点和 d 点所在的平方等于四 x 上，是吧？ y 的 平方等于四 x， 是 不是一条抛物线？噔，接着我要干什么来着？我知道 b、 d 的 轨迹之后，嗯，它设 p b 杠 a p 杠 d 的 夹角为西塔，求扩散以西塔的最大值， 我们是不是可以看一下啊？呃，我们刚刚说了 b 点和 d 点是要过那个一斗零斗零的，是不是过一斗零斗零？ 那也就是说过一到零到零有个直线与这个抛物线所相交，得到了 b 点和 d 点的坐标，是不是可以这样理解？然后，嗯，我们我看一下，我是要去求 a、 p、 b 的 法向量和 a、 p、 d 的 法向量。好，好，我们把那个 b 点坐标。其实这里有很多个写法啊， 我想想用哪个写法比较合适？你们想用哪个写法是把 b、 d 的 这个直线写出来就是过一斗零斗零啊。我们可以用 y 等于 k 倍的括号，一斗零斗零，然后与这个抛线连立，得到 b 点和 d 点坐标， 然后再带到里面求法向量。好，那我设这个为 x 等于 m 方， 那 y 的 话就是二 m， 对 吧？四 m 方，四 m 方在开方吗？那低点的话，呃，因为这边的 y 是 正数，那边的 y 是 负数，那就是 n 方啊。四 n 方再开方是二 n， 二 n 的 话应该是负二 n 吧，或是你直接写二 n 也可以。那注意一下 n 是 负数是吧？ 我说了，这个地方你可以不这样写啊，你不这样写，你就是 b、 d 这个直线过这个一斗零斗零。嗯，有点像圆锥曲线了，就是把这个直线射出来，与抛物线连立，得到一个微达定律，得到一个关于 x 的 一元二次方程。得到微达定律，就知道两根之合，两根之积，再带到这个里面，求那个呃法向量，再求二二面角 啊，或者像我这样写也可以。二 m 斗零， n 的 平方斗二， n 斗零啊，这个 n 应该是小于零的。 嗯，因为他们过哦，一 b d 过一斗零斗零，所以那是不是就是那个 b d 过一斗零斗零，就这两个点？那我们就表示斜率吧，就是 m 的 平方， 嗯，减一除以二， m 是 不是等于 n 的 平方减一除以二 n 呐，是不得到这个东西，就是我们用 b 点的坐标减去 o 点的坐标和 d 点的坐标减去 o 的 坐标，应该是成比例的，对吧？三点共线啊，那 o d 对 吧的坐标和 o 就是 o。 嗯，怎么说呢， o b 可以 写成拿码的背的 o d 嘛， 就是能贡献贡献，就是能这样去表示，能这样去表示，就是要乘比例，对吧？ o b 的 话就是 m 方减一二， m 减零， o d 的 话就是 n 方减一二， n 减零，然后这个零尾巴上的零就不管了，然后乘比例乘比例，就是 x 比 x 等于 y 比 y， 没问题吧？ 我这里稍微跳了一点点，我就跳了一点点啊，我就是用这个东西写的，然后这个式子展开之后，可以得到 m 乘以 n 是 等于负一的。就它中间很多东西都约掉了啊，你自己去弄嘛， m 被约掉了，就你自己试一下， m n， m 减 m 分 之一等于 n 减一，它可以得到 m 乘以 n 等于负一。你可以化简一下啊，就放在这了，然后我们来写 abp 的 法向量 a b 向量 a 我 看看啊， a p 向量刚写过没有？没有是吧。哦，好嘞，那写上去啊。 嗯，因为嗯， p a 向量是等于那个二到零到负二。哦，我记得我是写过，是吧？有点印象，是不是在这写了的？ 写的就写。呃，再写一遍也可以，不写也可以。 p a b a b 向量是等于。呃，那个它是 m 方逗二 m， 是 吧？那是 m 方减二 逗二 m 逗零。看一下， m 方逗二 m 对， 设 p a b 法向量， 呃， m 一 向量等于 x y z， 对 吧？ x 一 y 一 都 z 一， 呃，令 x 一 等于一，则 z 一 等于一，这样的话它是含有分母的啊，对吧？你再跟这个相乘的话，它就会有一个分母，是那个 m 方减二除以二 m， 所以 为了不让不让它等于二 m， 所以 为了不让它等于二 m 啊， 啊，则 z 等于也等于二 m， 然后 y 应该是等于。这好，这里也是我我我也跳了，你慢慢写吧。你就这样写嘛。你就写啊，二 x 一 减二 z 一 等于零， 然后 m 方减二乘以 x 一 加二 m 乘以 y 等于零，是吧？我们令 x 等于二 m z 也应该等于二 m 四 m 减四 m 等于零，那么这个有个二 m， 这边乘以二 m， 这边就应该乘以二减 m 方，对吧？ 这样的话我就没有分母了，是吧？好， m 一 啊，是吧？嗯，是等于二 m 都二减 m 方都二 m， 同理。 呃， p a d 对 吧？他们只需要把 b 换成 d 就 行了，也就是把 m 换成 n 的 法向量， 是吧？把所有的 b， 呃，把所有的 b 换成 d， 也就是把的 m 二，这个就写 m 二，是不是应该等于二 n 逗二减 n 方逗二 n， 这我只需要换一下字母，所以这个地方同理。可得还是蛮爽的啊。把所有的 m 换成 n 就 行了啊。然后 cosine m 一 逗 m 二等于，嗯，把它们相乘， 把这个乘起来。呃， cosine 表示出来之后啊，有就是一大坨，呵呵。 哎，等于四 m n， 加上二减 m 方，乘以二减 n 方，再加四 m n， 然后这个的话，它的根号有个特点啊。嗯，我在这里写一下啊，根号 m 一， 哦，不对， 嗯，就是 m 一 的模长嘛。它的模长我在这里写一下。等会直接带啊，它是等于四 m 方加上啊，二减 m 的 平方，括号的平方，再加上四 m 方， 它等于什么呢？你看啊，嗯，这个是要减去四 m 方，然后又要加上八 m 方啊，本来是要中这个中间项，是要减去四倍的 m 方，现在又加了八 m 方，哎，所以合在一起是不是加四 m 方？既然是加四 m 方的话，那么就是 是吧，是不是就是改成那个加号就行了？所以这个地方是加号啊，是二加 m 方括号的平方，所以它出来应该是二加 m 方，它这个就是把完全平方公式的减号变加号了。本来是减四 m 方， 加了八就变成加四 m 方，加四 m 方，把减号变加号就行了，然后开出来，所以这个分母应该是二加 m 方，乘以同理可得二加 n 方。哎，就这个魔长啊，我稍微走走了个捷径，就没有完全平方公式，就是刚好把减号变加号就行了。 然后这个地方的话呢，是一大坨是吧？一大坨，嗯，是等于三加二倍的 m 方加 n 方，除以五加二倍的 m 方加 n 方。 嗯，这个地方你可以在另 m 方加 n 方等于 t 也可以，或者是怎怎么样都行。好，那个你可以把这个给它分离一下啊，我看一下，还有个符号，嗯， 这里有个负号啊，等于啊，就把这个分子上的 m 方加 n 方给它分解出去，等于负一，再加上二除以五，加上 m 方加 n 方括号的两倍， 那么这个，呃， m 方加 n 方大于等于两倍的 m n 的 绝对值前面是不是已经得到了？ 嗯，你看得到了，他们是等于负一的，是吧？就因为他过一到零，所以得到这个 m n 等于负一。嗯，那这个的定值就是一嘛， 大于等于二，他分母越大，他就越小，是吧？小于等于负一，加上那个二，二得四加五等于九，等于负九分之七，是吧？把二带进去，二得四，四加五，四加五等于九，九分之二，那就负九分之七搞定了啊。 当前仅当嗯， m 等于一， n 等于负一十取等，对吧？就是负九分之七，它小于等于负九分之七，那负九分之七是它的最大值啊。 好，这第二问第三问了啊，答案写在这。第三问是指啊，只有十几分钟了，我看一下啊。 嗯，是指一个外接圆。又来了，就刚第二问是把立体几何和圆锥曲线中的圆锥面被平面所截得到了抛物线相结合，也有立体几何求二面角的知识，还有基本不等式求锥直的知识，还有三点共线 哎，求坐标满足的方程的知识。你看，三点共线用了吧，圆锥面被用了吧，抛物线用了吧。呃，二面角用了吧，他什么都用了啊。然后第三位又来了个外接球。 我们现在知道 b 和 b 点和 d 点啊，他说的是什么呢？他说 b d 平行于 f g， 也就是说我们刚第一问得到的是 pa 和 f g 是 垂直关系，现在是 pa 和 b d 是 垂直关系，对吧？好，还是要用这个图？ 嗯，就在这边在下面写。好吧，要用这个图的啊，你看啊， 这一问可以叉掉了吧。那么首先 pa 和 b d 是 垂直的，这是由平行的传递性，对吧？因为 f g 和 b d 平行，所以 pa 平行于垂直于 f g， 就 垂直于 b d。 然后 pc 是 不是也垂直于 bd， 因为 pc 是 高，所以 bd 它又垂直于 pa 又垂直于 pc， 它是不是就垂直于 pac 这个平面啊？ bd， 首先它是垂直于 pac 这个平面的，那我们是不是可以把它的坐标，它的横坐标就应该是 x， 应该是相同的，中坐标应该是会相反数的，是吧？ 第三问了，如果有些人啊，对记十九题的第三问要求没那么高，你们可以先行退下，如果说还是有点追求的，就有很大追求的，你们可以听听我讲完啊。首先， b d 是 在外的平方，等于四 x 上好， b d 平行于 f g， 是 吧？ b d 平行于 f g， 那 么，呃， pa 是 不是就是垂直于 f g 由一只， 那么 pa 是 不是就垂直于 b d？ 且 pc 它是高嘛？它也垂直于 b d， 因为 pc 这个高，垂直于任意一条直线，那么 b d 是 不是垂直于 p a、 c， 它同时垂直于这个和这个，嗯，所以 b d 垂直于 p a、 c， 它就会垂直于 ac， 对 吧？这里就是直角 设 b 点坐标是 t， 横坐标为 t， 中坐标的话，因为是 y 的 平方，等于四 x， 那 是不是等于根号啊？等于两倍的根号 t 啊？ 嗯，我看看。嗯，对。 然后 b d 又和 x 轴垂直，那 d 点坐标是不是就跟它对称？负两倍的根号 t 都零，对吧？ b d 都知道了，然后我们求的是 p a、 d 的 那个 y 接球， 嗯，至少 a、 b、 d 是 个等腰三角形嘛。那么所以由对称形可知那个球心 s， 我 们把这个球心记为 s， a、 b、 d 的 外接圆 不是球心，是圆心。我要口误，外接圆。圆心 s 应该是在 x 轴上 设 s 的 坐标为，嗯， x 零动零动零，然后用 s a 等于 s b， 对 不对？或说平方，对吧？我这个点是那个 abd 的 一个外外接圆在这。嗯，你看啊，这是一个外接圆， 这是个圆啊，画的有点像椭圆，擦掉大概就这样一个圆，是吧。嗯，那么它的圆心肯定是在 x 轴上 哦，因为啊，这个三角形是关于这个 x 轴对称的嘛。 a、 b、 d 这个三角形关于 x 轴对称，所以圆心一定在 x 轴上。我们设为 x 零逗零，然后我们是不是可以把 x 零表示出来， 那就是说，呃， x 零减去二是吧？的平方加上零，加上零等于 s b， s、 b 的 话就是，嗯， x 零减去 t 的 平方加上两倍根号 t 括号的平方，是吧，我看一下好不好？我检查一下， x 零减二，对对对，减 t 方这样高。对对对，好得到。 x 零是关于 t 的 一个式子， t 方加四， t 减四，除以二乘以 t 减二。我们需要当 r 一定时，对吧？它的 v 有 三种可能值，看一下， 待待会再去翻译他吧。我们先把那个 r 搞出来， r 搞出来，你看一下啊，在这个题目中，我们还需要过这个 s 点做一个垂线，然后垂线上有一个，那个位置就是那个球心的位置。这个球心我们可以把它记做 一个字母吧，我看一下它接的是什么字母。交于 t 点，你看啊，我们过这个 s 点做一个高啊，垂直于底面，那么在这个高上肯定有一点就是我的球心啊，球心 好，这个图已经很花了，我擦掉一些东西，天呐，我刚才不小心我被挤下线了，我写了那么多，不会不见了吧，这里没有了。好，是这样的啊，嗯，就是我们说了，这个 b、 d 是 在这样一个抛物线上，哎呦， b d 是 在这样一个抛物线上啊，然后 x y 轴，这轴 x y z。 刚才我们已经得到了，在这个点处有个 s， 然后我们过 s 点做了一个高，对不对？那么这个高上的某个位置就是那个外接球的球心的位置啊， 哎呀，这个直线太弯了，就是在这，嗯，这个位置啊，我们就把它写成 t 点好，为什么在这呢？你看啊， 嗯， e c 是 不是 p a 的 垂直平分线呢？这是九十度吧， 这是中点吧，是吧？呃，因为它这是两倍根号二，这是二，这是二，嗯，这是第三问啊，就接着我们刚才说的写啊，这个 s 点坐标是 x 零，动零，动零，然后用 s a 等于 s b 啊，也可以写平方相等，是吧？ s 为三角形， a b、 d 的 外心积为 s， 然后 s 的 横坐标是写成关于 t 的 一坨啊， t 的 平方加四， t 减四，嗯，两倍的 t 减二，然后接着要干啥来着？就是因为 三角形 p a、 c 为等腰直角三角形，对不对？等腰直角三角形，所以三线合一，对吧？它应该是垂直于 p a 的， 对吧？垂直于 p a， 嗯， e c 为 p a 的 垂直平分线。 垂直平分线对吧？我们做 s， 我们做那个 s t 垂直于那个底面，嗯， a b c d， 你 会交交 e c 于 t， 则因为它是在垂直平分线上，那么 t a 肯定等于 t p， 对 吧？然后这个垂直平，呃，就是这个呃外心的高，上面的点肯定也等于 t b 等于 tc， 也就是 t 为外心，对吧？ 好，说一下， s 是 这个平面三角形 a b d 的 外心，然后你又过这个 s 做了一个高，是垂直于这个底面的，然后这个高和 ac 又交于点 t 了，好， t ac 又是个垂直平分线，所以说呀， t a 呀， 对吧？垂直平分线上点到两边的距离相等嘛，所以 t a 肯定等于 tp， 对 不对？ t a 等于 tp 等于 t b 等于 tc， 那 么 t 点是不是就是外接球的球心 啊？所以 t 就是 球心，那么 r 的 话，嗯， r 的 话是不是就等于什么呢？ a s 的 平方加 a， t 的 平方， 呃， a s 的 平方加 t s 平方，这，这个就是你的半径 r 呢？是不是？然后这里是垂直的，好，那我们往上 你看一下 t 点坐标， t 点坐标，因为它横坐标就是 x 零，然后 y 就是 零，然后这个是四十五度的，等于二角三角形，所以它的 z 也是 x 零，对吧？它的横坐标是 x 零， y 是 零， x z， 它是 x 零动零动 x 零， r 的 平方，是不是？是吧，那就是 x 零减二的平方， 加上啊， x 零的平方，所以它可以用含有 x 的 式子来表示， 嗯，等于两倍 x 零的平方，减去四倍的 x 零，再加四，也就是说 r x 零，嗯，还有就是 x 零又可以写成 t， 是 一个这样的叠代的关系，对不对？然后它说的是 r 一定， 嗯，他说他有体积有三个值。首先我们看一下这个体积是什么，嗯， p 杠 bcd 是 不是等于三分之一乘以 s 杠 bcd 乘以这个高，高就是二吧， 所以你只需要这个面积一定。那这个面积等于什么呢？啊？我们写一下啊，等于三分之二乘以二分之一， bcd 的 面积是不是等于，呃， 三分之二乘以二分之一乘以 b d， b d 的 长度刚设为呃 b 点坐标是不是设？为什么？梯度根两倍刚好梯度零， d 点是梯度负，两倍刚好梯度零，所以它就等于 b， d 为底， b d 为底就是二梯为底。高的话就应该是呃万。 呃，想想，等一下，这个是两倍的根号 t 啊，这个是两倍根号 t， 这个是 t， 所以 它应该是四倍的根号 t 再乘以 t， 是 吧？你的体积， 嗯，四倍的根号 t 再乘以 t， 嗯，就这样，这样等于三分之四 t 根号 t， 它是不是单调递增的，所以 v 它三三个， 三个可能值，对吧？ v 有 三个值，则 t 有 三个字，对吧？因为 v 就是 t 的 一个单调函数， v 及其 v 就是 t， t 就是 那个 b 点的那个很坐标的 t 的 一个单调函数，所以 v 有 三个字，就代表 t 有 三个字， 就是 r 一定的时候 t 有 三减，是不是这个意思？ r 一定的时候 t 有 三个减，就这个意思啊。好，所以这个题目就写到这就已经差不多了啊。然后剩下来就是，嗯，那个复合函数的根的个数问题。 r 是 可以用 x 来表示的， x 又可以用 t 来表示啊，就当 r 一定的时候，嗯， x 零可能有几个根啊，几个根带回去，然后 t 有 几个根合在一起，要有三个根就可以了，好，懂了吗？ 首先，嗯，我们再整理一下啊，就是 x 零啊，等于 t 的 这个式子呢，太长了啊，我们就令 t 减二等于 v 啊，他就会，呃，换算啊，就是这个分母太长了，搞不下来。就是把分母换成一个字母，你们知道吧，听过吧，就是在求分式形函数的值域或者范围的时候，一般就把这个分母换成一个字母 v， 然后这个 x 零，我们快一点。好吧，二分之 v， 我， 我自己写的时候我写了很长啊，但是为了速度，我们也得快一点了。嗯， t 是 大于零的啊，所以它的这个是往左边的嘛，横左边大于零， v 是 大于负二的好， x 零是不是就有范围？ 呃，然后 r 的 平方 r 在 哪？这在这， r 的 平方是不是等于两倍的 x 零，那就是二分之 v 加 v 分 之四加四，括号的平方再减去 四倍的二分之 v 加上四，除以 v 加四，然后再加四，对吧？就把 x 零换成与 v 有 关的这个式子，再整理一下之后，它是等于，嗯，二分之一乘以 v 方加六十四啊，我这里跳了啊， 加上六乘以 v 加上八除以 v 加二十四啊，加二十八啊。 然后这里看到这个，这个又不爽了，再把它换一遍啊，宁 w 等于 v 加这个东西，对吧？ 就是 v 加 v 分 之八，再换成 w， 那 么这个式子就可以换成一个 w 有 关的一个式子是二分之一 w 方加， 呃，六 w 加二十好像是。好好，我们再结合。 v 大 于负二啊，可以推出沃米伽的。呃，这个 w 的 范围啊，也可以叫沃米伽吧，推出沃米伽的范围，再推出二的范围啊， 好 t， 我 是不是换成了 v， v 又换成了沃米伽哈，就是中间有点乱啊，就字母有点多。 好总结，就是一个 r 要对应三个 t 就 行了，是吧？然后我们俩的范围，呃，因为，呃，我们把这个画出来，这是一个对勾函数吧，给它画出来是这样子的一个对勾函数，然后这是负的两倍根号二，这是正的。哎呦， 这负两倍根号二，正的两倍根号二，然后我们因为 v 是 大于负二的。歪了啊，稍微有点歪， 你看一下啊， v 应该是在这 v 啊，这是 v， 横坐标是 v 中坐标是涡敏感，或者说 w 都可以 好，好了，因为，呃，因为 v 大 于负二，所以涡敏感呢？就这里是负二，那是不是负无穷到这个值？这个值我算出来是等于。我看看啊， 啊，负二带进去是负六，好像负六，然后这个值带进去是等于四倍的根号二， 这中坐标啊，所以它是不是等于负无穷到负六都可以取到，然后再并上， 嗯，并上那个四倍的根号二到正无穷，对吧？ 那因为我敏感大于负二，那就这一段可以有，这一段也可以有，对不对？那就是从负无穷一直涨涨涨到那个，嗯，负无穷涨涨涨到负六是可以的，然后四倍杠二涨到正无穷是可以的。 ok， 好， 嗯，这是我敏感的范围，然后带到这里面去，这是个二次函数啊，我们继续画图， 这个二次函数是关于沃米伽的一个二次函数，是一个抛物线，它是这样长的，嗯，哎， 它的对称轴是等于负二， a 分 之 b 等于负六，嗯，这是沃米伽，这是那个 r， 对 吧？二分之沃米伽的平方加六，沃米伽加二十，这是它这个抛物线的图像，嗯， 那么它可以取得的值是负。 omega 可以 取得的值是负五重到负六，再并上四倍的根号二到正五重，这是四倍的根号二。好，负六的时候带进去是等于二，就这个值， 就是我们要把这个端点值都给它算一下嘛？这个值带进去是等于，嗯， 等于二，然后这里四倍的根号二，四倍的根号二。带进去也有一个值是等于三十六加二十四倍根号二， 嗯， 三十六加二十四倍根号二。好的，好，这里你想想是不是也可以延伸过来，对吧？ 好，现在可可可以开始做了啊，因为我密感的范围是要这一段，是吧？这一段小于负六的这一段和大于四倍根号二的这一段是这两段。好，好，我们现在开始由 r 的 范围倒推 t 的 范围。呃，倒推 t 的 取值。 第一种情况，嗯，首先，嗯，由我密感的范围可以推出 r 放的范围应该是从二， 它是不是从二取到无穷都可以，对吧？从二到正无穷。好，第一种情况， r， 嗯的平方属于二到这二的平方。啊，第一种情况， r 的 平方属于二到那个， 嗯，三十六加二十四倍的根号二。好，这什么意思呢？就是当 r 在 这的时候，在这一段 看到没，我蓝色笔拼命划的这一段，就从这个，呃，抛物线的对称轴，抛物线对称轴到上面这个临界值到这一段的时候，那我米杆只有一个解，对吧？我米杆只有一解， 且这个解它是小于它，这个解出来应该是小于负六的，对吧？那么小于负六，我米杆在这，它小于负六，那么对应 v 是 不是只有一解？那么 v 只有一减，对吧？ v 只有一减的话，带进去 t 是 不是就只有一减？ t 一 减，因为 v 是 等于 t 减二，所以手这个手只有一个减，不行。第二种情况，当 r 的 平方等于三十六加二十四倍根号二的时候，当它就等于这个值的时候， 啊，那我们俩是不是有两解？我们俩一是等于四倍杠二，我们俩二啊，是一个小于负六的数，对吧？反正它就是一个小于负六的数，你看啊， 怎么意思呢？当它等于这个值的时候，我们俩是不是可以等于这个？还可以等于这个，然后再带回到这里去，我们俩就是我们俩在这个下面这个图中是横坐标啊，注意一下横中坐标，因为它是复合函数根的问题，你要把两个图组合在一起看， 我们打一等于四倍根号二，四倍根号二的时候，对应的 v 只有一个值，看到没有，因为它这个时候是端点值，它只有一个 v 对 应一个 v， 小 于负六的时候对应一个 v， 所以 对应 v 一 v 二两个减，对吧？ 啊？小于负四倍根号二是不是对应 v 啊？其实我还我不仅可以知道它对应一个 v， 我 还可以知道具体的值。哦， 我就知道这个 v 就是 两倍根二，对吧？就两倍根二， v 二的话，这个 v 二是肯定是一个负二到零的一个数，对吧？ v 二，嗯， v 二是，其实它是属于负二到零，我没有解出来，但我知道它是两两解， v 有 两解，因为 v 是 等于 t 减二吗？所以 t 他 们是一比一的关系， v 有 几个解， t 就 有几个解，好吧， v 有 几个， t 就 有几个 t 这个时候是两解啊，是不是要舍掉 啊？一节两节都要小掉。第三种情况， r 的 平方大于三十六加二十四倍根号二，这个时候，嗯，这个时候怎么样呢？你看啊， 我用紫色的笔吧，在这的时候， r 的 平方大于这个值，哎，是不是有，我们改，这是我们改一吧，这是我们改二吧，是吧？所以我们改这个时候是不是有两个根， 是吧？嗯，当它大于这个值的时候，左边右边都有完，其中文本改一， 是啊，大于四倍的根号二对应 v 一 和 v 二，对吧？文本改二是小于负六，对应一个 v 三，所以 t 有 三解 好就可以了啊。你看啊，它大于四倍根号二，那 r 在 这，这是 r 方，那这个对应下来的这个我们俩是不是比四倍根号二要大？比四倍的根号要大，是不是在这里， 大于四倍根号二是不是对应 v 一 v 二两个根呢？对吧？大于四倍根号二对应 v v 二两个根吗？然后这边还有一个小于负六的减吗？小于负六还有一个减，是不是 v 三 小于负六的时候有一个根，大于四倍根号二的时候，两个根合在一起是三个根啊？ v 有 三个根， t 就 有三个根，所以呢？ t 有 三解啊，所以说这就是 r r 的 群范围， r 方是这样子，然后解出 r， 然后就给它开方嘛，开方之后是两倍根号六加两倍根号三 啊。这个题目有有有有，有一种哗众取宠的感觉啊，就是他在立体几何里面居然蕴涵了这么多知识啊。嗯，首先是减三角形，一定要观察出这个是四十五度，要不然我感觉第一位都为难了。这个假角是四十五度，就是个圆锥面，圆锥面与底面的结面就是一个抛物线。 黄色的线是抛物线啊，就是 b、 d 的 轨迹是个抛物线。嗯，在还有第一位还要做自己做两个垂线，他没有明解明显的垂线，你要还要用三角形全等就很啰嗦啊。这个题真的是这个，表面上是十七分，但是我觉得他隐含的知识点起码有个三十分吧， 对吧？性价比嘛，它应该对得上三十分这个分数了。嗯，你单独出一个圆锥曲线，你用这个题目出个圆锥曲线，再出个立体几何，是吧？还还可以出个函数锥值，你都可以出三个题目了。这个题 立体几何就是要做自己做垂线，要发现它是四十五度。呃，然后二面角为钝角，求扩散的最大值。嗯， 你要把 b 点 d 点坐标设出来，求法向量，然后再求。但是这个法向量这里唯一一个省省工夫的地方就是你可以用同理可得，因为 b 点和 d 点是完全就是地位等价，你 b 点设为 m， d 点就是 n， 它们地位完全等价，就同理可得，可以得到 p、 a、 d 的 法向量，然后求扩散引法向量夹角， 然后再用基本不等式求出这值。第三，问的话就是一个 r 要对应三个，呃，三个 t， r 的 话，我们怎么找呢？先找 a、 b、 d 的 外接，圆的外心，再过这个外心做一条高。嗯，与 e、 c 的 交点就是你的 t 啊， 这样还可以稍微简化一下计算量，就是找你的球心稍微简化一点，因为 e c 是 垂直平分线， e c 是 垂直平分线， e c 上的任意一点到 p 点和 a 点距离相等，那交点交在 e c 上的那个交点 t 就是 外接球的球心， 找到球心之后， r 的 平方就可以用 s， 嗯 s t 的 平方加 s a 的 平方来表示。 r 表示出来之后， r 是 与 x 零有关的哈， x 零又与 t 有 关。 x 零为什么会与 t 有 关呢？因为 s 到 a 的 距离和 s 到 b 的 距离要相等，所以 x 零就是这个外星 s 的 横坐标和 t 有 关，而外接球的半径 r 也与 x 零有关，就是它中间会传传一下啊， 就是嗯， r， r 一定可以推出。嗯， x 零可能有一一一个解或者两个解，对吧？呃，两个解，然后对应 t 要有三个解，因为它中间会有一个什么抛物线呢，还有一个对勾函数啊什么的，然后就有一个根对应两个根的情况，然后合在一起有三个根， 其中 x 零在换成 t 的 时候特别恶心，然后我就借助了两个桥梁，一个是 v， 一个是维密感，换了两次才换到最后的结果啊。然后这个题就算你知道怎么做，但算出来也很花时间，什么根号什么的一堆。好，可以下课了。嗯，拜拜。

我们来看刚考完的德阳二字单选第七题，这是一道构造函数比大小的题目。 首先我们把等号两边左右的形式要构造成一样的，那么左边是那个二 a 减 a 加 a 方，那么右边哈 这个那个二 b 加这个一，那么加到一起的话，就是那个二为底二 b 的 对数，那么这个减 b， 我 们给他写成减二 b， 再加四 b 方就是二 b 的 平方，那么原式就比我们新构造的这样一个式子 就要大。为什么呢？因为我们就原来是减 b， 我 们这里是减二 b， 相当于是多减了一个 b， 所以 原式要大于我们新构造的这样一个式子。好，所以左边 那个二 a 减 a 加 a 方就应该大于它。那么左右的形式一样，我们就构造函数的 f x 等于 log 二 x 减 x 加 x 的 平方，那么求导单调性就等于 x 乘零二分之一减一加二 x， 因为乘积为定值，所以我们使用基本不等式，大于等于二倍，根号下相乘就是 零，因此 f x 在 零到这五种单增，又因为 f a 大 于 f 二 b， 所以 a 大 于二 b， 因此 a 选项正确啊， b 错误， 那么作为单选择题，咱们可以直接选上答案选 a。 好， 那么这个 cd 啊，我们可以额外来讨论一下为什么 cd 是 错误的。方法很简单，我们让这个 b 取一个 e 啊，感兴趣的同学 可以下来自己算一下啊。 b 取个一，那么 a 取 a 取 b 加一就是二的时候，你就可以排出这个 d 选 项。如果 b 取二分之一，那 b 加一就是二分之三，我们 a 取二分之三，可以排出 c 选项，那么感兴趣的同学啊，下来自己再算一算啊。

与绵阳一整类似，绵阳二整依旧是新两卷地区模拟卷的天花板。本次更创新立体几何难题压轴，而且是真的立体几何五星难题，只是这道题交卷前十五分钟才通知进行勘误定正，所以这次考试想上一百三十实属不易。填空难度不大。包括第八题在内都是基础题， 多选的第十题和第十一题都出得很漂亮，最后一个选项都有难度，其中第十题 d 可转化为两个函数焦点问题处理，第十一题 d 选项涉及三角换元。第十四题不难，但要善于运用空间向量解决问题。 解答题最后两道压轴题难度较大，第十八题有点反常规，第三问使用中点弦比第二问简单，第二问是仿设变换背景题，直取连力计算可能要算得哭。第十九题估计是本届例题几何压轴题天花板，难度和新意均非常足，计算量要上天了。

前几天考完的绵阳高三二卷 a 卷立体几何创新题，压轴难度大，计算量大，应该是今年新两卷考的最难的立体几何题，难道这是今年高考新两卷的风向标？看看后两问的详细解析，你还有其他解法吗？