2026安徽第一卷一模几何压轴解析

来讲这个几何压轴的最后一问，考的是相当经典啊，一定要听。 最后一问，考的是什么呢？ a 相似于 b 相似于 c 的 绝佳考法，带你去感受一下。 首先题目说这个边比这个边等于，这个边比这个边等于 k， 也就是他比他等于他比他等于 k， 他 想在跟你表达什么？ 想跟你表达分线段成比例。所以连接 c e 会得到平行 a 字，没问题吧？我们连接 c e， 也就是说把这个条件就转化成了，现在我已经知道这是平行的，这是个平行 a 字，这条件并不是结果，能理解，不就是说我们要通过这个条件继续往下推，能推出什么呢？ 首先这些角你得知道这是不是角一，如果这是角一的话，这垂直是不是这垂直？这是等下直角，所以这是角二。角二，那么这个角会是几？ 不知道是不是。那么这个角呢？跟这个角是不是相等的？因为是等于二，这是等于二，所以这个角跟这个角是相等的。这个角利用外角是角一加角二，那么这个角是不是也就是角一加角二？你现在已经有角二了，所以剩下那个人就是角一， 没有问题。同理，由于是平行，我把这个角就就就角三，那这大角也是角三，那这个角由于是平行，所以它是不是也角三？ 那么至此就把各个角给它导出来了。导角用的是外角转化、怠速转角这些方法。 好，那么这个条件是不是在说平行 a 字，所以它考的是这么多字母？呃，相似啊。关于平行 a 字，我可以得到 c d 比上 a c， 就 这个人可以得到，等到 b e 等于 a e， 那么还可以得到什么呢？我们利用这个平行的条件，我可以发现这个三角形是不是跟这个三角形相似，一左一右，你可以说它是对称相似，也是 ok 的， 无所谓。 利用对称相似，我就发现问题了， c d 比 a c 吧，和 b e 比 a e， b e 比上 a e， 不 就等于这个边比这个边没问题，所以就等于 b f 比上 a c， 然后我发现这个分母都是 a c， 所以 通过题干的平行得出来的第一个重要结论就是， c d 等于 b f， c d 等于 b f， 至此，题目就其实已经做出来了。 为什么呢？因为这地方还有一个字母想设，我现在得到边相等了吧，边都不知道，所以要设了。我是不是可以把 c d 设为 t， 那 么 b f 是 不是也就是 t bc 这个总槽不知道。我设为一，那么 c f 是 不是就是一减 t？ 而在这样一个三角形中，是不是有个子母相似，公共角尖角相等，所以字母相似，立即退，退出。嗯，你可以写字母啊，立即退出。 t 方应该等于一，减去 t 乘以一， 也就得出了 t 方加 t 减一等于零，所以 t 等于二分之根号减一。结束。 就你要冷静的分析，你要清楚哪个是题目给你的条件，哪个是你自己推出来的条件，你要通过题目给你的条件去推，推理出重要的条件，其实就这一步，关键 ok。 然后大家还说到那个什么圆，对吧？嗯，那个圆呢？最好不要用答案的方法，不要用答案的方法，哪有那么多辅子线， 你再复杂的题也就一条辅子线，还是那句话，辅子线最多就一条，不要给我扯那么多。 ok， 下个视频再讲。

安师联盟的选择题的第十题，好，你对吧？点赞，来我讲题啊，给张老师点点赞，点点关注。那今天呢，给大家分享一下安师联盟异模的选择题的第十题。那这个题主要是考察的是瓜豆原理， 对吧？瓜豆原理，很多同学看到瓜豆原理啊，因为课本上没有，但是呢，综合考 这个刮豆原理呢，他就是仿着二零二五年的选择题的第十题啊，也是考察的是刮豆原理，他的主要的核心，你要找出他的什么轨迹，对吧？动点的轨迹出来就没有问题了。来我们看一下这个题啊，这个题 他说在矩形 a， b， c， d， 这个矩形对不对？ ab 是 等于几？ ab 是 等于二， bc 是 等于四啊，然后呢， p 的 点 p 是 在从 bc 的 射线上进行，什么是个动点对不对？进行来回什么运运动， 然后连接什么 a p， 然后，然后呢？再连接什么？ p q， 对 吧？他说将什么将 p q 旋转，将 a p 对 不对？旋转九十度，顺时针旋转九十度，也就是 p 点和，也就是 a 点 和 a 撇点，对不对？这个什么？这条旋转九十度到这里，也就是说 a p 是 等于什么？ a p， p 的 没问题吧？旋转九十度 都没了，对不对？还有一个什么 q 点是他的什么是，是 a 撇到 a 的 什么中点，对吧？没了，让你求 a， b， c， d 可求，很好求，只要你能把什么轨迹找出来啊，再写一遍轨迹找出来，就能赢了 i g 了。谁的轨迹呢？动点 也就是这个是什么？主动，对吧？主动他往这边跑，那两个动点，这是动的，这是动的，对吧？他两个的轨迹是如何来变化的呢？对吧？ ok， 那 张老师的思想就是，什么叫做极限 啊？极限法，极限法就是你取一个最边口的来确定他们的轨迹，那轨迹如何来确定呢？我们这叫两点，对吧？两点干嘛呢？能够确定什么？ 确定一条什么直线，对不对？两点确定一条直线，比如说这一点，这一点一连是不是两点确定一条直线？所以说 p 点他运动的是什么？是直线，那 q 点呢？也运动的轨迹也一定是什么直线，对不对？也一定直线，那 a 点， a 片点运动的轨迹也一定是什么？也一定是直线，对吧？这基本的逻辑，底层逻辑啊。好，来看一下， 你要把 q 点的轨迹把它画出来，我们这取一个临界点，即值，那 a p， 对 吧？当 p 点来到了 b 点的时候，那是不是这样子的，对不对？因为这两个边干嘛呢？是相等 a p， 对吧？就等于什么？这个假如说来到这里行不行？而且是 ab， 是 四，那呢？这个呢？是不是也是不是二？是二，对吧？那我就连接它到这了， ok， 取它的中点吧，对不对？所以因为这个边和这个边相等，当 p 点来到 b 点的时候，所以 ap， 对 吧？就等于什么？ 因为这九十度吗？对吧？他们家角不变，所以说 a 点呢，就跑到这来了，能听懂吗？能不能好 a， a 点的轨迹就能画出来了，两点确定一条直线，对不对？好， a 点的轨迹一画，哎，正好什么 到 d 了？那老师，为什么他俩连接正好是到 d 呢？我们知道这是九十度，对吧？这是九十度 啊，你看这多少？这是四十五度，对不对？是不是？ ok 啊？然后呢？这是九十度，那这个呢？这是四十五度啊，这个呢？也是四十五度啊，为什么啊？老师，为什么这个是九十度？因为这是什么？这是爱，这是爱，这是爱，说明这是多少度？这是四十五度，这是四十五度，听懂了吗？ 能不能？所以呢？这是四十五度，这是四十五度，对不对？我们这是九十度，所以说呢，他轨迹一定什么和 d 啊？又是，这就是什么？ a 撇的什么轨迹在这场运动，能听懂了吗？ ok， 好， 来接 q 点的轨迹来，怎么找呢？我们这还是什么？两点确定一条直线，对不对？两点确定，对吧？一条一条 对吧？直线对不对？ ok， 啊，那刚刚说了，他跑到这，他跑到这，对不对？那 q 点呢？ q 点一定是什么？ a 到 a 撇的中点，那现在呢？ a 撇跑到这了，这个是动，这个是定的，对不对？这个是动的，那终点是不是在这，对不对？终点是在这这个位置，你取， 取的话什么？两点确定一条直线，你画是不是？ ok， 两点确定一条直线，你画 a， 他 终点吗？ ok， 好， 对吧？那这句话他正好什么中点和 b 什么连接上了，为什么呢？因为我们知道这个是什么？等腰直角三角形，那他的中线一定是什么？等于 前面一半，对不对？所以呢，这个反向延长一定是过什么？ b 点，没问题吧？ ok， 好， 来，这条线就是什么？就是 q 点的什么轨迹，对不对？来，你看，当你到这，当你 p 点到 b 点时候，轨迹是到这，对不对？当你在，当你在这个时候的时候，对吧？ ok， ok， 是 不是，对吧？你 q 点是在这来，再往这边走，再往这边走，对不对？有可能是在这，对不对？是不是？所以说 q 点呢，它的坐标应该什么？向这边跑，能听懂吗？这就是 q 点的坐标啊， q 点轨迹啊， q 点的轨迹啊，划一下 q 点的轨迹没问题吧？啊？ q 点呢，他就会什么向这边走，你往 p 点往这边走， a 点呢，就会往这边走， q 点呢，就会什么往这边走，这就是什么 q 点的蓝色轨迹，这就是 a 点的 a， p 点的轨迹。轨迹一划出来了，就迎刃而解了。 a 选项对吧？ d q， 你 d d q 啊，吧？ q 是 在这里，你点地点 d 到直线的距离是什么？是最小对不对？所以说什么？你连接它， ok？ 垂直距离是吗？是最小的，所以说什么？这个是什么形？明显的什么？矩形对不对？垂直对吧？垂直明显是矩形，那这等于什么？最短距离就等于它，对不对？对吧？那这个是不是它的什么 a 撇？ a 的 中点啊？这是几？这是二，这是二，这多少？ 这是多少？二倍根号几？二倍根号二对不对？然后一半是多少？就等于根号二，所以说这个长度就等于几根号二，最小值就等于几根号二，对吧？比较简单，所以第一小问呢是错的，第二小问的话， c q 对 吧？ c q 到加什么？加 d q， 我 们知道两定一动叫什么，叫将军，对吧？然后呢？引马对不对？将军引马做对称吗？来了来做这个什么对称过来，对不对？ ok 啊，将军引马做对称， ok， 好， 对吧？连接什么？再连接它， ok， 这是什么？ d 撇对不对？要想求出，对吧？假如说这 q 点跑到了 q 点跑到了这里，对不对？ ok， q 点跑到了这里，对不对？所以呢，就等于它加上它的最小值就等于什么？因为这两个边干嘛呢？是相等的啊，我画一下啊，画一下， ok 啊，这个边和是对称的，对不对？相等的，所以说什么 q d 加上 q c 就 等于什么 d 撇 q 加上什么 q c， 所以 这个 d 撇 c 吃的怎么最小值？这怎么求呢？怎么求？ ok 啊，我们在什么勾股定律里面求 啊？嗯，画一下，延长过来，延长过来， ok， 对 吧？那我们知道，嗯，这是平行的，平行的，因为这个角是多少？四十五度，对不对？然后老老师，为什么是四十五度？因为这什么？原来是等腰直角三角形中点吗？对不对？中点啊，这是什么？转，等于一半啊， 对吧？这是四十五度，这也是四十五度。那这是四十五度的话，这是多少？这是四十五度，这是多少？这是四十五度，对不对？那这都是四十五度，那这个边和这边是什么？是相等，对不对？那这是四，那这是几？这是四，这是爱，说明这也是爱，对不对？ ok， 那这个边又和这个边相等，你说这是几？这也是 i， 对 不对？ ok， 要想求出什么，它的最小值是这块用勾股定律计算多少 i 的 平方加上多少四的平方开根号就等于多少，就等于四加十六等于多少根号二十等于几？等于二倍根号五，对不对？对的吧？ ok， b 选项是对的，没问题， b 选项是对的，这样答案选 b。 那 有的同学讲第三题怎么做？太简单， a c， 你 a 点是在这上轨迹跑的，我们这点到直线的距离是什么？垂直距离是最短对不对？是不是可简单，这姐，这一半是 i 对 吧？所以说这多少根号 i？ 根号 i 对 不对？最短距离是多少？就是根号 i 太简单了，对吧？太简单了啊。 然后呢？紧接着这个对吧？你 p q 对 吧？ d q 对 不对？这是一个动的，这是一个动的，这一个定的，那没办法来确定啊。那我们就要进行什么转化，对不对？转化 如何来转化呢？现在不是，这是动的，这是定的吗？对不对？叫两动一定给它转化成什么叫两 定一动来解题就比较简单。那我们知道这是一个什么重点？动点定点，对不对？转化一下， 我们知道这条边和这条边干嘛呢？是相等对不对？所以说我他两个相加就转成什么，他两个边相加，所以说这是一个定的，这是一个定的，这是一个动，对不对？就转成什么？两定一动。 那这两个边相加的最短值是不是？ q 点是在这移动的？移动的话，如果三点共线的话，是不是干嘛 是最短啊？多少？当 q 跑到这个点的时候，就什么 a q 加什么 d q， 它的最小值是几？是四对不对？因为是什么矩形吗？对不对？是四，所以说答案是四对不对？错了，简单吧， 再复盘呀。这个题主要是找出 q 点和 a 点的什么的轨迹啊，主要是找出他们的什么轨迹，其实就是什么瓜豆原理啊。瓜豆原理寒假班的时候我已经跟我的学生全部都讲过了啊， 大家再建议做一下啊。安师联盟的 b 卷，这是 a 卷啊，这是 a 卷，大家再做 b 卷，或者是做一下二零二五年的啊，二零二五年的再做一下啊。记得给张老师点点赞，拜拜。

我们来看一下这道题对于中考生来说是一道必须要掌握的中档题，尤其是对于中等生啊， 你自己先做一下，看有没有思路。边长为四的一个正方形， a， b， c， d， m 为 a， d 的 中点， e 为 a， b 上的一个动点，连接 em 做 em 的 垂线， 交 bc 的 延长线于 g， 然后延长 em， 交 cd 的 延长线于 f。 求证。 mg 等于二倍的 m e 好， 首先它是一个大环境，是正方形，所以四条边都相等，每一个角都是九十度。这题无关对角线，所以你要掌握到边之间的关系和角之间的关系是不是？ 然后 m 是 终点有什么用？终点你看这里延长上去的，这里有个对顶角，终点，这里相等 对不对？这里九十度，这里也是延长过去的，所以就会有 a， e 和 d、 f 相等，原因是它们是全等的对不对？然后 这里是垂直的，有什么用啊？本来是中点，刚才得到了一个全等，所以这里和这里相等。 m 点是 e f 的， 中点又垂直，所以这条线是 e、 f 的 垂直平分线， 对不对？垂直平分线到这个线段两个端点的距离相等，所以这里和这里也是相等的。再一个，这里垂直，这里也是垂直的。 什么模型在这条线上已经出现了两个垂直，一线三垂直，不是全等就是相似，对不对？所以说你如果在这里过这个点做一个垂直，是不是一线三垂直？那么这个三角形会和这个三角形就是怎么样相似的，看到没有？ 而 m 点是中点，那么相似，比一比二，这里刚好让你正的是 mg 等于两倍的 m e 相似，比一比二 做完了，这就是平时对于图形的一个总结所带来的一个奥秘，我们在中档题上赢得时间，在难题上赢得分数，才能把你托举到重点高中上去，知道吧？好的，过点记做 a m 的 垂线交 a m 于 h， 由于角一加角二是等于九十度，角二加角三， 这个角九十度，所以角一等于角三，这里垂直，这里垂直，所以这两个三角形是相似的。三角形 a e m 相似于三角形， a 点对的是 h 点， e 点对的是 m 点，所以是 h m g 漂亮，那么相似。比 a m 比上 h g 就 等于 e m e m 比上 mg， 是不是由于 h g， 你 看等于 ab 的， 这里还又正一下啊，又正一下，你看这里垂直，这里垂直，是不是这里垂直，所以它是一个矩形，所以它等于它。是不是 啊？把这里改成 ab 或者是 ad， 由于 m 点是它的中点，所以等于一比二，看到没有，这不写了啊，所以 mg 等于两倍的 me， 你 说简单，哎，确实你就简单，你说难，但是你平时不总结是吧？对于图形的常考的一些图形是吧？一些模型不总结的话， 在考场上那种氛围下，其实还是很难把它做出来的。第二问，当三角形 b e g 全等于三角形 c g f c g f 啊？ c g f， 求这个角的正切值，哪个角？ b g e c g e 这个角，也就是说求 b e 比上 b g， 又是一个比例， b e 比 b g， 这里是告诉你边长的，所以你可以试着去求它，把它求出来。把它求出来，是不是因为它告诉你的具体的长度啊， 可能不是相之间的转化了，这是我们要得到的一个信息。好，你看一下。我不妨设这里是 x， 由于它全等 和这个全等，那么 b、 e 边对应的是 c g 边，所以这里也是 x x， 这里是四点 x， 你 看这个 m 点是中点，就用多了，你看它是不是等于它的， 是不是它等于它也是四点 x， 再由于这条边 c f 这条边和这个 b、 g 这条边是对应边，全等的对应边是不是？你看 b g 等于 c f， b g 的 组成是等于四加 x， 四加 x， 看到没有？然后这个 c、 f 的 组成是四加四减 x， 四加四减 x， 它们俩整个是相等的，那么说明这一块和这一块是什么呀？相等的 x 等于四减 x， x 等于二十分的自然。做完了， x 等于二， 飞机是等于二的，这里是二，所以它比它就是二。比上四加二等于一比三，十分的自然。 当然我们通过第二问也可以做，是不是？你看，当你设设这里为 x 的 时候，这里就是四减 x， 由于这里告诉你是不是一比二的关系，我们刚才求相似的时候，那么他比他是不是也是一比二，对不对？所以 m h 就是 他的两倍，他是他是他的两倍，那么他就是他的两倍，所以等于八减二 x， 这里是八减二 x， 由于这里是二的吧，是吧？ m d 是 二的，所以这里就是六减六减二 x， 也就 d h 等于六减二 x， 这里八减二， x 减去，这里的二啊，就是它，它减去二就是它，然后它又等于什么？等于 x 等于它等于 x， 对 吧？ 整个是矩形嘛，是吧？做第二问的时候，我们做完了，所以它就等于 x， 三 x 等于六， x 等于二，是不是啊？ 这题再次告诉我们，在考场上这些一题多问的综合题，一定要注意一问、二问、三问之间的联系，当你没有思路的时候，做到后面你又看一下 前两问干了些什么好，这个视频就讲到这里， bye bye， 牛逼牛逼。

二零二六中考压轴金奖，这是我们第五十九题啊，这个题呢，是我们 c 二零一模的第二十二题几何题的一个压轴。这个的第三问啊，考察的特别的好啊。第一问啊，应该说相对来讲，这是我们讲的一个简单的一个几何的一个观察就可以了。 第二问的话，是有了一个转化啊。第三问的话，这寻求是不太容易找到的。我们来看这个问题，如图一所示，在这个三角形当中呢，然后呢，请问这是 a c 呢？等于 b c 对 吧？ a c 等于 b c， 说明什么？这是九度等于幺直角三角形对吧？ 点定的是不是延长相等于点轻的 d e 呢？等于 d b， 所以 这个三角形当中出现什么？出现个等腰啊，等腰正的也是什么？也是等腰，对吧？好，然后的话，这里会有什么呢？这个是等腰了，等腰直角，等腰 r t 啊，就是常见的元素综合在一起的，这就普通的嘛，普通的等腰 啊，等腰三角形，我们想到什么？想到这个边相等，对吧？边相等，角相等对吧？还有呢，看我们讲的这个三线合一啊，可能会出现的这样的一些，嗯， 结论啊，过减 e 呢，做了一级垂直，它这呢有九度垂直，这垂直的话说明什么？说明这个也是个等腰直角三角垂直完过后，所以三角形，什么三角形？ ge 呢？也是什么？也是一个等腰直角三角，等腰 r t 三角形，对吧？也就是说你可以迅速的，迅速的啊，顺手给他编上去。这多少度呢？四十五度。 这多少度呢？四十五度对吧？这多少度呢？四十五度对吧？好，这我们想的这些四十五度是有的啊。第一个求证什么？求证 g e 等于什么？ g e 等于 c d。 呃，几何问题的第一问题啊，很多情况之下都用的都是什么，都是全等的证明的挺好啊，他不会以第一问就是复杂的相似或者用语言来证明啊，几乎是不可能的啊。第一问要么就是角度的转化的等角度等边，要么就是线段的转化，对吧？通过全等的关系， cd 在 哪里？ cd 在 这里对吧？ cd 在 这，然后呢？记忆的记忆的记忆在这里，对吧？所谓的三角形你可以给它定位一下，所以记忆的话和我们和 cd 那相等记忆在哪里呢？记忆是一个在三角形中三角形记忆 d 当中，对吧？ c d 呢？应该是什么？是 c d 么？ c d b 当中三角形 c d b 中，对吧？所以说这个三角形和这个三角形啊，如果说全等就结束了， 条件够不够？它有什么条件？对于它来说我们有九个度，对吧？九个度有的对于它来说也有什么？也有九个度，对吧？九个度有的 一个呢是 e g d 啊，一个呢是 d c b 再看边边的话，它有什么？有这个 d e， 对 吧？这呢有什么？有 d b 怎么样啊？相等吧啊？相等吧。 d 等于 d b 题目 k。 所以 说想要，呃，全等的话啊，那么还缺少缺少另外一个条件。找什么？找边上角角呢？找角度比较方便。为什么 给的什么等下角角呢？刚才还没用呢，对吧？所以说找角度的话，我假如说标个这个标什么？标角 e 可以吧？这个呢？比较角二啊，这个比较角三，那么这里关系的话就很明显的关系。什么关系呢？角二等于什么？角二应该等于什么呢？角二加上四十五度啊，也就角 d、 b 一 对吧，等于什么？等于角三没问题吧， 角三又等于什么呢？就角二加四十五度，角三作为一个外角的出现，等于角一，加什么？加四十五度，对不对？所以角一等于角二，所以呢？这里还有什么？这里有个角。什么？角 一对吧？角一啊，角一啊，这里有个什么？有个角二对吧？角二，所以角一还等于角二。那么这里的话完全可以吗？全等了，角角边对吧？两个角 还有个边，所有字母全等啊，全等的依据的话，刚才说了，角角边对吧？ a a s 就要变圈，等的话所有人得到什么的记忆等，等于 cd 啊。第一步，给他定位，定位他所处的三角形在哪里。第二步，找条件。找条件。找什么？有什么条件？有他，有他，有他，有他，缺什么条件？我们可以分析一下啊，我们看 缺什么？缺角度，找角度啊，这题的话，找边也明显的没有角度好找，因为他有什么？有这样的一个等腰三角形的角度在这里面啊，注意观察就可以了。这么简单，题一问啊，第二个问题的话，叫我们干嘛呢？叫我们给了一个长度再等于几啊？等于二，找 b、 d 的 长度， 这个呢？等于几啊？这个给了等于二。 c f 等于二， f b 呢？ f b 也等于二，那找什么？找 b、 d 的 长度？ b、 d 呢？在这里 求线段的长度，我们讲过这直角，所以说找线段长啊，线段长，我们有什么样的个途径呢？通过什么？勾股一定要在 r t 三线当中，对吧？ 这样呢？通过什么？通过这个比值，比例啊？比例，比值。这通过什么呢？通过相似或者什么相似或者三角 啊，或者三角都可以得到，对吧？这三角形的长短我们可以等什么？等极法啊？等面积，等极啊，常见的这样的几种，找线段长，那这里明显的什么？直角三角形有了什么？有了什么？有 c b 有 了什么？呃，有，想求 d b， 对 吧？那我找什么？找 cd 就 可以了， 找 cd 就 可以了，对吧？ cd 等于什么？你要观察，因为第一问当中正出来了啊，没有无缘无故的，第一问如果有什么，这题出的不够好啊，所以第一问你要看这里有什么关系？ 刚刚的全等，对吧？是角一等于角二，我们讲了这里是角二，对吧？角是相等的，然后的话，这个 cd 等于什么？ cd 等于什么？等于记忆的，对吧？好，接下来给了什么？给了这两个都等于二，干嘛的？ 等于二，那我们知道 g c f 等于二，对吧？那 c b 等于 c， b 应该等于四，对吧？所以对于第二问来说会得到什么关系呢？第二问来说，给了我们给了 c f 等于什么？等于 b， f 等于二， 所以得到什么？得到这个 c， b 等于 c， b 等于四。 c b 等于四，也就是什么 c b 等于四。就刚刚全等的啊，全等的还是存在的，所以说得到了，得到这个 d c 应该等价等于 c b 应该等价等于四吧。 好，你找到这样的关系啊，好，还是圈等？圈等的话，我们知道这两个什么相等啊。如果说你没有明显的明确的这样的一个思路，我就从第一问入手，第一问的圈等你始终有，你好好把握好这个圈等， 对吧？给了什么？二？二，这等于四，这等于二，对吧？所以想找什么？想找 c、 d 的 场，那就简单了， c、 d 场在这里，对吧？ g、 e 呢？和 c、 d 相对，是不是？这能等于几？等于二，所以呢，就 d， c、 d、 g 那 些等于四，对吧？所以说在哪？在这个三角形和这个三角形当中，对吧？会出现什么情况呢？ 你射了，射这个三角形，射这个。呃， c、 d 点什么？等于 g， e 点角等于 x， 完全可以的啊，就这个东西为 x， 这个东西为 x 啊，条件非常的密集，在哪里？你看好一个是什么？一个是 d， g 等于四，这等于 x， 所以 很密集吧，这样的条件。第二个条件呢？这点解？这等于二，对吧？这等于 x， 对 不对？我们紧紧地抓住角度，都是角一，那么就可以用什么呢？用探听角一 等于什么？等于 x， 四比几啊？比上 dc 等于几啊？比上四，比 d 七啊，对吧？比 d 七， a 等于什么？在这个 dc、 f 当中等于什么？ c f 比什么？ c， f 比 cd 比 x， 所以呢， x 方等于几啊？等于八， x 呢？ x 等于二倍根化， x 等于二倍根化，那么就出来了。所以 b、 d 呢？等于什么？ b、 d 等根号下这个 d， c 方，再加上这个 c， b 方二倍根号平方，加的平方嘛，就等于二倍根号六，所以呢，等到二倍根号六啊，这样的结果。所以看好第一问题，为第二问题创造了条件。如果第二问题没有想法，紧紧地看第一问， 抓紧了。一等于二，一等于二，等于四，这等于四，这等于四啊。对啊，这个有相等的，刚刚说了相等，想找他，我标的 x， 这有 x， 所以 四和 x 的 关系啊，四和 x 的 关系，那么在这个三角形当中，这是二，对吧？二比 x 对 不对？这样的关系要理清楚啊。这我们讲的第二问啊。好，第三问，第三问的话，我们看你们所给的条件有什么？我们如何去分析寻找这里面的关联？ 好，给的什么呢？给的是 d c 比什么？ d c 比什么？比上 c， a 等于什么？等于 b e 比什么？比上 e a 等于几呢？等于 k 啊，等于 k。 好， 对于他来说，你要找到 d c 在 哪里？ d c 呢？是哪一个？ d c 是 这一段，可以给他标一标。 d c 比什么？比上 c a， 对 吧？等于什么？等于 b e 比什么？比上 a e， 所以 这减形的是什么？减形的，我们讲的平行线分形的乘比例吧，所以说看到这个比值等于开相等的比值，所以我们可以连接哪个？连接 c e， 这个呢？应该是非常的什么直接的想法？连接 c e， 对吧？演完过后呢，我就可以立马得到什么？得到这个平行的关系， c 呢？怎么样？平行什么？平行于 d b 啊？这是非常直接的想法啊，因为它两个比值相等，再看它这个比值是什么？比值是 k 啊，就是 b e 比上 a e， 对 吧？比值等于 k， 求的就是这个比值，那么比值作为比值的出现，对吧？出现，那么我刚刚讲了，作为比值的出现，对吧？出现，那么我得到了吗？得到这样的平行的关系， 再一个，你 b e 和 a e， dc 和 ac， 那 么 b e 在 哪里呢？看看对吧？ a e 在 哪里？看看既然是比值，可能是什么呢？可能是分线段成这样的比值，也可能什么可能是相似比，所以我们比例的出现有什么样的想法？来，我们把本这些东西看清楚， 比例出现了，可能是平行线，分线段成比例啊，分线段成比例，就说我一个线段被分开了，成比例，对吧？得来的，对吧？还有可能呢，是我们讲的什么黄金分割比，对不对？黄金比对吧，还有可能是什么呢？还有可能就是我们讲的相思比， 相似比，对吧，还有可能呢，就是我们的三角函数带来的比式定角角度啊，三角函数，你是什么意思啊？你 b 一 比上 c 比上这个 a 一， 我可能是点一，是分点造成的这样的一个线段的比，我也可能是什么？可能是我对应起来的什么三角形 所形成的什么？先拿 b， 你 都要考虑到这样的问题， b 在 哪里？在这里， a 呢？ a 在 这里，那 b 所在的三角形是哪个呢？我们可以进一步的听闻一下。 b 在 哪个三角形当中呢啊？嗯，这个 a 在 哪个三角形当中呢？ a 在 这里，对吧？我还连接了个 c 这里呢，还有出现了个 ac， 所以说条件出现的比较多的线段啊。 a 一 对吧？ a c 这种连接起来，所以这个三角形呢，大概你有被我们研究和考察考虑到，对吧？也就说三角形，什么三角形什么呢？ a 可能会想到什么三角形，什么？这个 a c e， 对 吧？那么 b e 在 这里， b e 怎么办？ b e 的 话，如果作为边的笔直，你已经成为了它的一条边，你要成为哪个三角形的一条边，你可以考察一下是哪个三角形的， 应该是 b、 e、 f 啊，三角形 b、 e、 f， 他 们两个能不能产生这样的相似比？我们来观察这里是什么？这里角四十五度， 对吧？这里角四十五度，对吧？好，那么再看他们两个能相似吗？如果相似的话，就产生比值了，对吧？我们一步步看，这四十五度至四十五度有一组角，那么再看平行线是有的， 说明这个角度等于什么？等于角 d、 b、 e 没问题，对吧？角 c、 e、 a 等于什么？等于角 d、 b、 e 没问题。好了，这两个什么是平行线？那么这里又是什么？ 等幺三角形的角度吧。所以的话，这里会存在什么这样的个角度角吗？ c、 e、 a 等于什么？等于角 d、 b、 e 也等于什么？等于角这个 d、 e、 b， 所以 说这个角度啊，可以等于什么？等于这个角度 是相似吗？相似了吧。所以三角形什么这个 a 啊， e、 c 啊，对应起来啊，像三角形什么 b， 什么 e、 f， 对 不对？变成这样的一个结果啊，也就是说他给的是这样的，你要把条件比较集中的这样的线段放三角形当中去研究，要么在边上是这样的，什么 笔直，要么三角形当中是什么那个情况，那如果说是这样的情况的话，会出现什么情况呢？出现了什么？出现了这样的一个关系啊？什么关系？ b 一 比上 a 一， 我们得到什么东西了？此时这个 b 一 比 a 一 啊，啊， b 一 啊，我写一下啊， b、 e、 e 比上 a、 e， 那 等于什么？等于什么呢？应该等于这个 b、 f 必然吗？ b、 f 必然吗？比上 a、 c， 为什么用它？因为这里也出现了嘛， a c 对 吧？ b e b a e 再让这出现了这样的比值，对不对？我要找它们的这样的什么？ b 是， 那我转化成什么？转化成这样的一个 b f 比上 a， c a 就 等于什么？那就等于 dc 比什么？比上 a c c a， 对 吧？所以得到什么？ b、 f 应该等于什么？ b f 应该等于 dc 得到这样的关系啊， b 又在哪？在这？ dc 呢？ dc 在 这， 对吧？好，接下来进一步去思考，思考什么找开的值，开的值就有。 dc 比什么？比上 ac， 对 吧？好， dc 比上 ac 应该等于什么？ dc 比上 ac 啊，应该等于什么呢？应该等于 dc 比上比上 cb， 对 吧？那才这样的一个三角形，咱们去研究 dc， cb 这样的三角形， 对不对？那么在这个三角形当中去研究的话，我们有什么有什么关系呢？角一等于角二，我们有吧，所以说 dc 比上 cb， 其实也就是什么？也就是角二的什么？角二的正切，对吧？这个的话，我们可以得到什么东西呢？ dc 比上这个 cb 也就等于什么？它点角二， 对吧？角二，它点角二也就等于什么？等于它点角一，是不是角度的转化？它点角一应该等于什么？等于 cf 比什么？ c d， 对 不对？好了，下面你发现一个问题，什么问题啊？ d c 比 c b 等于 c f 比 c d， 说明呢？我可以得到什么关系呢？得到 c、 d 的 平方等于什么？ c d 的 平方等于什么？等于 c b 乘什么？ c b 乘以 c f 吧， 对不对？等于 c b 乘以 c f， c b 在 哪里？ c b 在 这， c f c f 在 这，好进一步的给它拉伸转化。那是什么？变成什么情况了？ c d 平方，对吧？等于什么？等于 c f 乘 c b， c d 又是什么？ c d 等于什么？等于 b f。 刚才说了，找到了，对吧？所以得到什么？得到 b f 平方等于什么？等于 c f 乘什么？乘以 c b， 这是典型的吗？ 黄金比值吧。黄金比对啊，那么就是说 a b， 对 啊，这是 c， 对 吧？那么得到什么？得到 a c 方等于什么？等于 c b 乘什么？乘以 a b 最短乘最长等于中间长度的什么平方，它是比例中项，所以这样的话，得到什么情况了？得到这样的一个比值，也就是 b f 比什么，比上这个 c b 就 等于多少。二，就是 c d 比什么？变成 c b 吧，点多少呢？ 也就等于什么等于最后的结果，就等于 c d 比什么？比上这个。呃， cb， 对 吧？也就等于什么？等于我们最后的结果啊， dc 比什么？ dc 比它啊，对吧？也等于 dc 比什么？ bca， 对 吧？也就等于什么等于 k 啊，一些的东西全部串在一起了， 所以 k 能得到呢？二分之根号五减一啊，注意啊，二分之根号五减一。还有个要注意的，在我们比值当中，如果出现了一个平方等于两个的乘积，你大胆的去想，可能是黄金分割啊，黄金分割， 因为这满足于我们比例的这样的限制啊，黄金分割啊，就是这里面的平方这两个乘积，这个的由来可能是我们的什么相似得来的，有可能就是我们得到什么黄金分割，黄金分割比得来的啊，你要注意啊，所以比例的出现啊，你看是不是分线段，证明你是线段上的， 这什么是线段上的，对吧？注意，黄金笔的话也是线段上的，对不对？这个呢，相似笔的话是什么？是三角形中的，对吧？这呢，什么是三角形中的啊？三角函数呢？也是三角形中的，所以比例的由来怎么来的？要看清楚啊。 所以呢，呃，抓住题目当中所有的呃条件啊，去理清楚，分析清楚，找到相关联的信息，这是我们几何的一个根本啊。答案不重要，重要的话如何去思考，去分析。所以这题呢，是很重要的一个。什么？嗯，题目啊，也是很好的一个题目啊，就那么多。

二零二六年安徽中考压轴题，如果是这一题，估计百分之九十的考生都得哭着走出考场。如果你不会分离系数法，那么这种多次多参数的代数推理题，你几乎不可能做出来。这道题是我们合肥名校压轴题训练营的第六十六题，他的第三问 考到了一种题型，叫做二次函数的横乘力问题。这种题型它的底层是考察大家代数推理的能力， 难度是比较大的。但这种题型呢，是安徽中考的热门题型。安徽中考过去的两年都在考这种代数推理的压轴的题型，这道题我们用分离系数法可以快速的确定解析思路。你只要记住我接下来讲的三个步骤，就能够掌握这样一种压轴题的解析的方法。 第一步，我们要区分变量和定量分离系数法，你分离的是谁的系数？注意，我们分离的是那个变量的系数。因为对于这种压轴的题型，它往往是有很多的参数，那么有的参数它是在变化的， 而有的参数呢，它其实是不变的。你像这道题，它有 m， 还有 t 二，还有 t 一， 还有 n， 还有 abc， 其实你要区分哪些参数其实是在变化的，哪些参数其实是不变的？好，这是第一步，一定要区分变量和定量。 第二步就是当我们确定了变量之后，我们把这个变量的系数给它分离出来，并且合并，类似于我们学过的合并同类项。第三步，如果是横成立问题的话，我们一般是令这个变量前面的系数为零。 接下来我们看第三问的具体的解决的过程。先读一下题目，他说抛物线上的一点 p m n。 好， 假设这是 p 点 m n， 横坐标是 m， 中坐标是 n， 那 么由于我们知道抛物线的解析式是 y 等于负 x 方加二 x， 所以 n 就 等于负 m 方加二 m， 所以 p 点坐标呢？我们就可以这样射出来， 由 p 点往这条直线， y 等于四分之五做垂线，垂足为大 m， 那 么大 m 的 坐标我们也可以射出来，那就是小 m。 逗号四分之五。 好，接下来他说是否存在一点 n 一 t 二这个 n 点呢？只能在这个对称轴上，你看他的横坐标是一，使 pm 等于 pm 横乘以，那么 pm 等于 pm 横乘以，这其实是一个什么？是一个方程。 pm 和 pm， 我 们都可以用两点之间的距离公式把它表示出来。为了这次方便，我们用 pm 的 平方和 pm 的 平方，这是 pm 的 平方，令他俩相等，我们能得出这样一个式子。 当然，这里是有一点计算量的，我们把 m 的 四次方和 m 的 四次方约掉， m 的 三次方和 m 的 三次方约掉。这个式子还剩下什么？是不是 m 的 二次 项， m 的 一次项、 t 二的二次项以及 t 的 一次项？好，这道题它的核心的环节就是对这个式子进行整理。接下来这个式子该怎么处理？就是我刚刚讲的三个步骤。 第一个，你要区分变量和定量，因为屁点是可以在整个二次函数上运动的，所以这个 m 是 一个变量。另外，根据题目中的问法，他说若存在，请求出 t 二的值，也就是说 t 二其实是一个具体的值。那么这样我们就将 m 和 t 二做了一个区分， t 二是一个固定的一个参数，而 m 呢，是一个变量，那么我们就把 m 这个变量的系数提取出来，然后进行合并好合并完之后， m 的 二次项，它前面的系数是二， t 二减二分之三， m 的 一次项，它前面的系数是三减四。 t 二，这里是常数项。 pm 等于 pm 横成立，那就是这个式子它是横成立的。由于 m 是 在变化的，要让这个式子横成立，也即是这三项的和。不管 m 取什么值，它都为零，那么我们就让这三项全部为零， 也即是二。 t 二减一点五等于零，三减四， t 二等于零，最后这一项也要为零， t 方减十六分之九等于零。 这三个方程要同时成立。我们来解一下第一个式子，我们解完之后发现 t 二是等于四分之三的。第二个式子 t 二也是等于四分之三。 所以我们得出一个结论，当 t 二等于四分之三十， pm 很 等于 p n。

有同学和家长问，老师能不能给四二零的异模数学第二十题讲解一下啊，那我让我的同班同学给你点赞啊，点赞我说，行啊，可以啊。好，今天张老师呢，给大家分享一下四二零异模的数学第二十题啊。 第一题和第二小问来，首先看一下，他说，对吧，三角形是这个圆的内接三角形，对吧？圆对不对？内接三角形。 然后 ab 是 圆的直径， ab 是 圆的直径，直径锁定的圆周角为多少度？为九十度，所以说 a、 c、 b 这个角就等于九十度， ok， 好， 再来， ab 是 等于十， ab 是 等于十，所以说 a u 等于几？ a u 等于六，对不对？ ob 也等于几？ ob 也等于六， ok， d 是 在圆上，没问题连接。然后 d、 m 对 吧？ b m 是 b， m 垂直于 ac， 所以 这个角多少度是九十度，对吧？九十度。然后 a、 m 呢，是垂直于什么？ c、 d 对 不对？这是垂直， ok， 好， 垂直。第一小问，求三角形 abc 与 d， a、 b、 c 和什么和 d、 b、 m 这两三个相似相不相似？非常明显的相似啊。首先我们这要想证明两个三角形相似有哪几种调，有哪几种方式？第一个，两个角对不对？两个角相等 或者是什么？两边成比例且夹角相等对不对？两边成比例对吧？还有夹角相等， 第三个，三边成比例对不对？三条边对应成比例啊， 对吧？ ok， 那 往往的话，我经常会用什么两个角，只要证明两个三角形对不对，里面有两个角相等，就能证明这两个三角形干嘛呢？ 相似？好，我们找一下。首先已知条件直径所定的圆周角为九十度，一个满足了。然后呢， b、 m 垂直于 c、 d 这个角为九十度，满足了，有两，有一个角相等了，还有呢， 我们圆，每一次做圆，大家一定要想到什么呢？叫做董弧或者是同弧，对不对？对吧？所对应的什么？所对应的圆周角干嘛 圆周角啊，圆周角一定干嘛相等，对不对？你看一下 b、 c 对 不对？对应的圆周角是什么？ c， d， e， 还对应的什么 c a、 b， 所以 这两个角都对应的是什么？ bc 的 弧， 所以这两个角干嘛呢？圆周角是相等的，所以呢？ a， 所以 说什么 c， a， b 和什么 c， d， b 相等，所以一个角相等，两个角相等，所以呢，就能证明了。第一小问相等了呀， ok， 是 两 a 是 什么？是两个角相等，没问题吧？ ok， 第一小问已经解决了啊。再看第二小问， 他说对吧， b m 是 等于几？ b m 等于八啊。四、 a i n 等于几？等于八， a i n 就 等于多少，就等于二。好标下 mb 就 等于八，对不对？ a i n 是 等于二。让你求什么？ 求的是 c d， 我 们这要想求出这个边长的话，通常我说跟我的学生说要圆，会结合什么 r t 三角形来使用， 求的是什么？根据什么？勾股定律对不对？勾股定律经常会使用来求什么边长，对吧？那 bc 是 不是在阿力赛星里面？他不是不是，怎么办呢？我们要构造，对吧？然后呢，我经常会想到连接什么 co， 对 吧？做垂线， ok 啊，然后呢，再什么连接 o d， 这样一做的话，不就出现什么叫垂径定律对不对？这一定是什么垂直的，对吧？ 那这个角是垂直的话，来，我要垂匀定律的话，肯定是什么？这个是等于这个一半，对不对？所以说我只要，比如说这是 f 吧？ ok 啊，我只要求出什么？求出 c f， 对 吧？距离就行了。 c f 的 长度求出来过后乘以 i 不 就等于什么 c d 的 长度了吗？这是他的解析的思想思路，对不对？这就勾到一个什么平行四边形，首先我们知道半径是等于六的话，那 co 是 等于几，也是等于六，对不对？ co 也是等于六，要想求出 ok， c o 也等于，要想求出 c f， 我 只要求出什么 o f 长度， o f 怎么来求呢？对吧？这个接下来呢，我们就要用到什么这个条件，我们看一下，这个是垂直的，这个是垂直的，对不对？说明这个 a i 硬和 b m 一定是什么？一定是 存在什么平行，对不对？因为这是垂直，这是垂直吗？内测点相当两直线存在平行，大家一看 有平行线，要么是什么形？八字形，要么是什么 a 字形，对不对？因为你八字形了，平行平行，对吧？这两个三角形相似，对不对？那这个呢？平行线平行线，说明这两个三角形干嘛？相似对不对？ 那说明这个说明和这三角形干嘛呢？相似只有八，只有几只有二，对吧？ ok， 那 这个地方也是也是垂直的，对吧？说明什么？这个三角形也是什么形？八字形， ok 啊，首先你要知道，考察相似三角形，一定要知道它是什么 什么形，什么模型，对吧？ ok， 那 给他八的话我们要用到，给他二的话也要用到。首先我要证明什么？这两个三角形相似，明显的是相似，所以说三角形对吧？呃， a i 硬 这个点是什么呢？ a b c d e 吧，好吧，这个点是 e， 好 吧， ok， 嗯，说 e 啊， e， 对 吧？相似于三角形是吧？相似 e m b 对 不对？ ok， 就是 什么？就是 a a i m 比上 m， 哎，不下了， m b， 对 吧，就等于多少呢？就等于，我得设 设这个 v x， 这个呢，就多少，这是半径，这是六减 x， 对 不对？ ok 啊，说这是 v x， 这是六减 x， 对 吧？所以说，嗯， o e 是 x 啊，嗯， 一笔，嗯，一笔一笔，一笔一笔。好，好，就是 a， 就 什么？就是这个边比上什么这条边对不对？是不是？ ok， 就是 a e 比上 b e 对 不对？ ok， 就 等于 b e 往里面带，就等于减，哎，比上八就等于，对吧？六减去 x 比上多少？比上，嗯，六加 x 对 不对？ ok， 嗯，这等于几十二。交叉，交叉相乘啊，交叉相乘就等于勾十二加 x 就 等于几，就等于六八四十八减去多少？八 x 移过来，十 x 等于几。这边是三十六， x 等于几？等于三点六， x 等于三点六的话，说明这是三点六，那这个多少？ 那六对吧？那 a e 就 拿六减去多少？三点六等于几？等于二点四，对不对？所以说这个是二点四。 ok 啊，那 a e 求出来了，那这这两个三你干嘛也相似对不对？也？相似的话直接 对不对？ ok 啊，所以说什么 i 比上，嗯，我就这两个三角形是相似的啊，相似的，我要求出这个 o f 就 行了，如何来求呢？好，再来， i 比上 o f 就 等于 嗯，六减去 x 比上多少？比上，对，这是已经知道了啊。嗯，比上是 a e a 是 几？是二点四，对不对？二点四比上个，嗯，嗯， 所以 o f 缩出来等于几？就等于勾，嗯，三， 对吧？ ok 啊， o f 等于三， o f 等于三的话，这是等于三，对不对？ o f 等于三。所以说什么用勾股定力对不对？这个是六，这个是三，能不能把什么 c f 求出来，对不对？ c f 能，能求出来吧？就等于。所以 c f 用勾勾勾定理吧。在 r t 三角形对不对？ c f o 中，对吧？是不是？所以 c f 的 平方就等于几？ c o 的 平方减去多少 o f 的 平方，对吧？是不是？然后就等于几？ c f 的 平方就等于 c o 是 多少？三十六，减去 o f 是 三的平方对不对？就等于几？ c f 的 平方就等于几？就等于一个九九的话， 二十七对不对？所以 cf 就 等于几？就等于三倍杠三，对吧？是不是？那 cf 等于三倍杠三，那 cd 呢？就等于几 对吧？所以说 cd 就 等于二倍的什么 cf 对 吧？就等于几？就等于多少？二乘以三倍根号三等于多少？等于六倍杠三吧，对不对？所以呢， cd 就 能求出来了，等于多少就等于六倍杠三比较简单吧。对，连续使用两个三角形相似就能求出来了啊，这是第一种方法 啊。第一场再来复盘一下，就是证明什么？这个三角形对不对？八字形对吧？这个三角形和这个三角形干嘛呢？相似求出什么？求出 a e 和 和 e o， 对 不对？再令什么？这两个三角形相似就能求出什么 o f， 求出 o f 过后呢？再令这个什么阿力三角形使用勾股定律啊。 co 的 平方对吧？减去什么 o f 的 平方就等于什么 c f 的 平方，对不对？ c f 求出来了，那 c d 不 就能求出来了吗？ ok 啊，好，这是第一第二小问的第一种解法，来，请你进来看第二种解法啊，第二种解法的话相对来说还是比较快的啊，来看一下， 那我把它擦了啊，我把它擦了来看一下。那第二种方法还是用同样的思想啊，那我们知道这个是什么？直径对不对？是不是锁定圆周角？那我延延长它过，然后再什么延长它。 ok 啊，各位同学，就是这个角为多少度？是直，是直径，是直角对不对？这个呢是直角对吧？ ok， 好 呢，我还是同样的啊，来构造什么？这个阿迪三角形， ok 啊，做好垂线对不对？ ok 啊，垂，垂直过来，然后这个 f 对 不对？同样的啊，那你这个是什么？ 九十度，九十度对不对？然后直径锁定圆周角为多少度？九十度对不对？三个角都为直角的话，你说这个为什么为矩形？矩形的话你这 a m 是 等于几？等于二，你这个呢也是等于二，你这个呢也是等于二，对不对？是不是？ ok， 然后呢你这个是多少？是八，对吧？ ok， 是 八，那这个总长度为多少？ 就是十对不对？因为这个是垂直的对吧？这个呢也是垂直的，说明这两条平行，而且 o 呢是 ab 的 什么中点，所以说这条线就是什么？就是这个三角形的，这个三角形的 这条边和这条边干嘛是一半？这二加八等于几？等于十，十的话，那这边就等于几？一半是五对不对？ 那五减去二等于几？等于三，对吧？这条边就能求出来直接等于三，然后这半径是六对不对？拿六的平方减去三的平方开根号就就等于几？就等于多少？就等于 三倍杠三，然后乘以什么？乘以二就等于几？六倍杠三，对吧？这是什么解析的思想？六倍杠三。好，今天呢就分享到这，大家记得给张老师点点赞，点点关注，需要讲什么题可以私信张老师，加油！拜拜。

这是二零二六年滁州市实验中学中考数学的一模试卷，也是今天刚刚考完的，这套试卷整体难度与往年中考试卷相当。 我们详细来看一下这套试卷的题目啊。首先呢，这套题目的选择题相对来说都比较简单，没有像往年中考试卷那样，第九题或者第十题有一个压轴题比较难。这套试卷的选择题都比较简单， 填空题、第十一题，十二题，常规简单题，没什么好说的。 第十四题的第一小问也比较简单。至于第二小问呢，这题比较难，上来就给我们上强度啊，应该也是整张试卷最难的一道题目了。首先呢，是他的辅助线比较难想，而且计算量比较大， 所以这题的性价比极低，如果不是想考满分的话，建议直接放弃啊。第十五、十六十七题啊，常规送分题，这没有什么好说的。第十八题属于中等难度偏下一点。 第十九题，第一小问比较简单。第二小问属于中等难度偏上的，主要考察学生在图形证明题中的这个逻辑思维能力，尤其是相似三角形的应用，所以这题属于中等难度偏上。 第二十题，常规算分题没什么好说的。第二十一题呢，他相对来说更考察技巧一些啊。 第一小问比较简单。第二小问，如果你在平时做圆的题目的时候呢，能够想到如何去做辅助线，那么这个题目就比较简单。但是如果你想不到做辅助线，那么这个题目就比较难了。 第二十二题的第一小问和第二小问都比较简单，这没有什么好说的。第三小问呢，属于中等难度偏上一点，中等生呢，可以花一点时间去做一下，这个还是有一些性价比的， 我们着重来讲一下第二十三题。第二十三题呢，他与常规的压轴题不太一样，他考察的时候啊，思维比较跳跃。 第一小问是常规的简单题，是相等关系。按道理来说，或者是按照平时我们惯性思维来说，第二小问应该也是相等，也是相等的关系，但是这一题并不相等， 如果你陷入到惯性思维当中，先认定他是相等关系，再去求证的话，那这题就陷入到死胡同了。 然后第三小问呢，他又相等了，他不仅相等了，他还要利用到第一小问的结论。 所以呢，我说这题目考察的他比较怪，思维比较跳跃，还有一个比较怪的点是什么呢？第三小问是让你直接写出答案，直接写出 b d 的 长。 这个题目本身 b d 的 长，他就有两种情况，就要分类讨论，然后再让你写出，直接写出答案，那么你就没有办法得到过程分，如果你答案写对了，那你就对了，你答案写错了，那整个 这个题目四分就没有了。所以呢，这个题目呢，第三小问性价比也比较低。 那么我们再来回顾看一下整套试卷啊，我说这考试卷难度与往年的 中考难度啊相当，也就是说你想考一百四十分呢，还是比较难的，但是你如果想考一百二十分的话，那还是完全可以的。

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

天长初三的同学，这张江淮名卷心一卷一真的非常值得你去写一下。我整理写下来，发现这张卷子的难度整体和中考其实相差不大，不管是题型的分布，还是他出题的思路，都是按照中考的逻辑来的，也就是平常考试里我们最常见的一些题型。 那对比 c 二零联考和安徽第一卷，没有那么多的创新题、偏题和怪题，他难度呢？更加平和，他非常适合兴趣让你用来练手，他上手快，做着又顺，你能很清晰的找到自己知识上的漏洞和薄弱环节。 那需要定制版的发送，九年级，那想要文章技术快速定位短板同学，这张卷子真的非常值得你去认真刷一遍，那大家刷完之后一定要去认真复盘，只有把每一道题真正的搞懂，在自己独立的写出来，你才是真正的掌握了，那这个时候你数学成绩才会稳固提升，那这也是你阶段一定要去做的一件事情。

各位同学大家好，如何把四二零异模的啊压轴题，关于几何题给他做对呢？好，你要达到张老师这种高度来看待这些问题的话，就觉得什么相对来说还是比较简单的， ok 啊，那首先大家都知道几何是考察是相似三角形，你要知道相三有哪些模型，我们最常见最考的什么是 a 字形， 或者是什么反 s 型，对吧？而且最最最最常见的话就是什么叫子母型。子母型他有个特点叫做什么呢？比如说随便画一个什么有一个共角，有一个什么共边，对吧？比如适应定力，他也是属于什么子母型的一类， 对吧？比如说这是垂直的，对不对？这是垂直，那他有什么公共角？还有一个共边也要这个三角形，对吧？和这个三角形干嘛呢？相似 对吧？是不是你要知道这些小小的模型，你吃透的话，这就什么迎刃而解了啊？好，给大家分享一下第十题和二十二题压轴题啊，来，大家一起来看一下。好吧， 那他说阿力三角形 abc 对 不对？ abc， 这是阿力三角形，说明这个角为多少度？九十度，对吧？ ok 啊，这个角为九十度，然后呢， 嗯， b， a， c 是 九十度，没问题，这个是直径，我们要看到直径所定的圆周角一定是多少度，一定是九十度，对吧？标一下， 然后呢， o a 是 几？ o a 是 等于几，对吧？这是半径吗？对不对？这是半径，这是一，这是一，这也是一，对吧？这都是半径啊， o a， o b， o d， 对 吧？ 然后呢， o e 是 几？ a， e 是 几？是三，对不对？这是三， ok 啊，我们把所有的结论来写，这是垂直的，这是一，这是三构定理，所以说这是几，这是根号几？ 三的平方加上一就等于几，就等于根号十吧。所以说什么？所以说 o e o 啊， e o 就 等于几，就等于根号十，那这个是 o， e 是 一的话，那 e d 是 多少？ e d 就 等于根号十，干嘛减一？ ok 啊，这些结论， 那首先他说让你证明什么角 b 角 b 等于什么？ c a d， 这太简单了呀，跟我学的，大家都知道要进行什么，要进行倒角，倒角最常用的方法，看到九十度，用什么 x 加 y 等于多少？等于九十度来进行倒，这是我姐姐的思想， 对吧？我设什么？我设这什么？这是 x， 对 吧？这个呢？这是 y， x 加 y 等于多少度？等于九十度，那这也是九十度，那这个是 y 的 话呢？说明这多少？这又是 x， 那 这是 x， 这是 x， 所以 这两个角可相等，就相等了呀。进行倒角啊。设这个角为 y， a， 这个角为 x， 对 不对？ x 加 y 等于多少度？等于九十度，对吧？ x 加 y 等于九十度，那在这个三角形里面呢？这个是九十度，这个是 y， 对 不对？那这个呢？是多少？ x， 对 不对？对吧？所以说这个角也是 x， 那 这个角角 b 也是 x 角，什么 cad 也是 x， 所以 这两个角第一题很简单，特别简单，轻轻松松，对吧？利用什么 x 加 y 等于多少？等于九十度来进行什么 倒脚， ok 啊，倒脚轻轻松松上大学， ok， 来继续走。选的 b、 b 选项的话，明显是错的，很多同学由于直觉说啊，老师 c 感觉，感觉什么是 a e 的 终点，感觉 ac 就 等于什么 c e， 但是你要列出来呀，对不对？你不能凭感觉呀。好，那必想如何来证明呢？大家看，你看到这个三角形和这个三角形，什么形？有一个什么公共角？有一个什么公共边？共角，共边是什么形？什么形？子母形，对吧？子母形，来我们这， 嗯，给大家稍微举个例子啊。 ok 啊，好，子母型，其实射影定律也是子母型，对吧？我这是垂直的，对不对？这个呢，也是垂直，对吧？那这个是不是公共角， 对吧？在这个三角形中和这个三角形是什么公共角？还有一个什么公共边，对不对？那我们知道这个是什么？ a 对 不对？这个是 b， 这个呢？这个是 c？ ok 啊，如果这样写吧，这样写吧，这是 a b， 对 吧？ c d， 那 ab 的 平方一定等于多少呢？ ab 的 平方一定等于和 b 有 关啊。 b、 d 和什么？和 bc 对 不对？就等于什么 b、 d 乘以什么 bc， 这叫摄影定律，对吧？这叫公共部分啊，公共部分等于什么？他们只写相乘，所以这是一个结论啊，对不对？那你知道这个结论是什么？有一个共接啊，一个什么共边， 所以说共边是什么？是 e、 d 的 平方就等于什么？和 e 有 关的是什么？ ec 和什么？和 e a 对 不对？等于什么？等于 ec 乘以什么？ e a 对 不对？ e d 是 多少？等于根号十减去一的平方。 ec 是 我们要求的 e， a 是 几？是等于三，对吧？ ok， e a 是 等于三， 那仅减不小于等于多少？等于十，减去多少？二倍根号十加一就等于几，就等于一，就等于几，就等于三。然后这等于十一减去多少？二倍根号十，这除以几，除以三就等于几？ e c， 你 e、 c 等于多少？三分之 十一减去多少二倍根号十。如果说你这一个什么 e 是 他们的终点，说明你这应该是多少二分之三是他一半，但是你是多少三分之 十减去二倍根号十了，是不是他的终点了？明显的不是，对吧？是不是因为你这个不是多少二分之三呀？如果你是二分之三了，才是他的什么终点，对不对？明显错误，对吧？ ok 啊，好，继续分析。好， 来看，选择 c、 c 选项的话，对不对呢？应该是对的啊，来看一下，他说 a、 d 比上什么 b， d， 还有呢？还有 e、 d 比什么？比上 a、 e 这明显的。 如果说这两个存在比，是明显存在什么这两个三角形或这两个三角形相似，可相似明显不相似，为什么？因为这是垂直的，这里面三角形有没有垂直？没有垂直，要进行什么？要进行？ a 与 b 什么相似？那 b 与 c 呢？相似，所以 a 与 c 呢？ 啊？ a 与 c 呢？就相似，要连续证明什么？两个三角形干嘛相似？要连续证明什么？两个三角形？ 那我们知道刚刚已经求出来，对吧？这个三角形和这个三角形相似，相似的话，说明对不对？说明你看 e、 d 比上 a， e、 e、 d 这个三角形的什么？斜边和这个三角形的斜边，是不是 a、 e 对 不对？所以啊，在什么 r t 啊？不是 r、 t 三角形在三角形是吗？是 e、 c、 d 正相似于三角形。嗯， a， d， a， d， e 正，对不对？两个三角相似，然后 e、 d， 对 吧？比上什么？比上 a、 e 就 等于 e、 d 比上 a、 e， 就 等于说这个三角形的最小边比上什么？这个三角形的什么 大？三角形的最小边 a、 d 对 不对？就等于什么 c、 d 比什么？ a、 d 对 不对？ ok 啊，各位同学，再看下一个，那如果说作为这个，这个是作为一个桥梁的话，对吧？ 那这个三角形和这个三角形一定什么也是什么相似的，什么形？明显的什么子母形，对不对？是不是？ ok 啊？或者说因为这是直角，这也是直角，你可以用什么？ 你可以相等的角，就用弹琴，对不对？你 ab 比上什么？你这个弹琴 x， 对 吧？你弹琴 x 的 话，就等于 a、 d 比上什么？比上 b、 d， 对 不对？你这也是什么 x 弹琴也等于什么，也等于什么，也等于 c、 d 比上什么？比上 ad， 对 吧？你可以连续使用弹琴，也可以啊，另外一种方法。那我不用弹琴，我又用什么？两个三角形相似的话，哪两个三角形相似呢？就是三角形。 嗯， a、 d、 c 相似于三角形，对吧？ a、 a、 d、 b 对 吧？这两个三角形相似，对吧？这两个三角形相似，这两个三角形相似的话，你找对应比啊。那他比上他就等于什么？就等于他比上他，对不对？所以啊， c、 d cd 比上什么 ad 就 等于 ad 比上什么？比上 bd， ok？ 好， 各位同学看一下，那这一个有一个桥梁了，对不对？这两个是什么？是相等？有一个公共部分，所以这两个看什么呢？相等吧，对不对？所以 ed 比上什么 ae 就 等于什么呢？ 就等于 a、 d 比上什么？ b、 d 看符不符合 c 选项，对吧？ a、 d 比上 b、 d 是 这个对不对？然后 d、 e 比上 a、 e 是 它的，对不对？明显的对啊，就是连续证明什么它与 b 相等，那 b 与 b 与什么 c 相似啊，相似啊，相似，所以中间有一个公部分相当于什么桥梁，对不对？桥梁？然后呢？ a 与 c 就 出来了啊，你要站在一定高度来思考这个问题的话，就特别特别简单，对吧？那 d 选项的话更简单，特别简单啊， d 选项，因为角 b 之前跟我上过的，大家都知道啊，我说相等的角，他们的仨也对不对？ x， 对吧？然后 cos x， 贪停 x， 只要角相等，那他们的余弦正，正弦和正切都相等，那这个是角 b 是 x， 对 不对？那这个也是 x， 所以， 那这个呢？贪停是不是你要请角 b 的 贪停是不是？他比他对不对？ 是不是你这个 x 是 不是一样的呀？所以说 cd 比上什么 ad 对 不对？ cd 比上 ad 就 等于什么？就等于 ed 比上什么？比上什么 a、 e 能听懂吗？能不能再来啊？ a， 你 这个贪听啊，来，继续啊，贪听角 b 就 等于什么？就等于 a、 d 比上什么 b， d 对 不对？对吧？ a、 d 比上什么 a、 d 对 不对？就等于什么 c、 d 比上什么 a、 d 对 不对？又以为 c、 d 比上 a、 d 就 等于什么 d， e 比上什么 a e 对 不对？就等于，对吧？ e、 d 比上什么 a e 对 不对？ ok， 就 等于 e、 d 是 多少？是等于 根号十什么减一变减变三，慢，慢慢走，满足吧，轻轻松松跌下来， ok 啊，连续使用啊，相等的角，他们定的与弦指是相等的啊啊，正切指是相等的， ok， 来，今天看第七题。好，第七题，二十二题，二十 二题的话也比较简单，轻轻松松， ok 啊，来，快速讲一下思想啊，他说等幺三等幺等幺等幺等幺， 对吧？你要知道看到两个等腰在一起组合考察几何的话，答，一定要什么存在，什么三线合一啊，对不对？对吧？三个。呃，什么？两个边相等啊？两个角啊，对不对？ ok， 那 这垂直的话，那这垂直的话，嗯，第一，和他这个是等腰啊，看到没？这两个边是相等，这是多少？ 垂直，说明这个多少度？四十五度，对不对？这个呢？是四十五度，对不对？ ok， 因为这个，那么 d e 和这两个相同，说明这两个角相等，那这两个角相等的话，我说什么？这是 x， 可以 吗？这个大角也是 x， 对 不对？ ok， 那 这个角加上这个角是等于多少？是等于 x， 那这四十五加上这个角也等于 x， 所以 这个角和这角呢？是相等，对不对？所以说这是什么 y， 这是什么 y， 对 吧？你看四十五加 y 等于 x， 那 这个呢？四十五加 y 也等于 x， 所以 说这个是 y， 这也是 y， 能听懂吗？ ok 啊，大概的结论就在这啊。好，来，继续走。 e g 垂直于 a c 啊， e g 垂直于 a c， 说明这个角有多少度也是垂直的，对不对？垂直的对吧？说明这个角是多少？也是四十五度， ok， 所以 这个边和这个边干嘛相等？第一小问，让你证明什么？让你证明的是， 嗯， e g 和这个什么相等，那证明这两个边相等的话，我首先证明什么？这两个三角形干嘛？全等不就行了吗？来，满不满足啊？ 满足到这个角为九十度，这个角为九十度，对不对？是不是？九十度的话，然后这个是边定的，是这个边对不对？那这个边的话是定的这个三角形对不对？因为这是什么？等腰，对吧？所以说两个边相等， 那有一个腰，有，有一个角，有个角了，有个边，有个边了，还有什么？这个角是多少度挖一下，这个角，多少度挖一下，对吧？所以说什么角角边，这个呢？是什么角？ 角边对不对？所以说就满足了呀，所以说这个三角形和这三行吗？就全懂了，全懂了就什么用的，什么角角边，就证明全懂三角形。嗯， d、 g、 e， 对 吧？全等于三角形。嗯， d、 c、 b 全等过后是 a、 a， s 啊，所以说对应边相等，所以 e、 g、 e 就 等于几，就等于 c、 d， ok， 比较简单，第一小问呢，就能求出来了啊？ ok， 轻轻松松。然后第二小问的话，你求什么？ d、 b， d、 b 的 话， 我们知道这是九十度对不对？嗯， c、 f 是 i， b， f 是 i， 对 不对？我们知道这是 i， 这是 i 的 话，我们这个是九十度。我想的是用勾定理的话，就能求出来什么 b、 d 对 不对？是不是 b、 d， 那 知道了 c、 b 的 话，只要能求出什么 a、 d 不 就行了吗？ 大家同，大家能同意吗？同不同意对吧？明显的这是什么形？说，这是什么形？子母形对不对？为什么有一个公共角都是九十度？还有一个什么公共边，叫什么？叫子母形对不对？大家一定要知道啊，子母形有一个什么公共 贡边对不对？还有一个什么叫贡边啊？叫贡边，什么贡角就什么子母形。那子母形的话，大家都知道这个 c、 d 的 平方一定等于什么，等于它对不对？所以说什么？所以 c、 d 的 平方一定等于什么？ c、 f 乘以什么？乘以 c、 b 对 不对？所以 c、 d 不 就能求出来了吗？等于多少？ i 乘以几？ i 乘以四，所以 c、 d 就 等于几，等于 i 被杠上 i 对 不对？ c、 d 等于 i 分 之杠 i 了。那勾股定律的话能不能求出来？那所以说在什么？ 在 r、 t 三角形哪里面？在 r t 三角形对吧？ d c、 b 中对不对？所以 c、 d 的 平方加上什么？加上 c、 b 的 平方就等于什么 d、 b 的 平方，对不对？ 是不是？ ok？ c 的 平方等于多少？二倍根号二的平方加上 c、 b 的 平方等于几？等于四的平方就等于什么 b、 d 的 平方，所以 b、 d 不 就能求出来等于多少？这边是八，八加八加八加十六 等于二十四对不对？对，根号二十四等于几？等于二倍根号六，对吧？所以底下答案就等于几？ b、 d 就 等于几？二倍根号六，轻轻松松 对吧？ ok， 艾比根号六。哎，鼻子不下啊，艾比根号六， ok 啊，轻轻松松就能求出来了啊，再复盘一下啊，再复盘一下，就是证明这两个三角形干嘛呢？全等对吧？全等？全等后。 不是啊，这，这第一小问，第二小问的话就是我们这两个三角形干嘛？相似对不对？相似的话共角共边，用子母形。把什么 c、 d 求出来了？ c、 b 知道了， c、 d 求出来了，那勾股定律就能把什么 b、 d 求出来了啊，轻轻松松就能求出来啊， ok， 第三章文的话，很多同学不会第三章文也比较简单啊。来，根据什么？就这个这个备用图啊，来，嗯，他说我设啊。 c、 d 比上 c、 a 就 等于几，就等于看比一对吧。那 c、 a 就 等于几，就等于几，行不行？好吧，来，继续走。嗯， c a 等于几？ c d 等于几，就等于 k， 对 吧？我们这有 d 小 问的话，你这个等于 k， 这个呢，也等于几，也等于 k， 对 吧？刚刚说了，这个是垂直，这是四十五，四十五说明这个边也就多少，也是等于 k， 对 不对？ ok， 所以呢？这个呢？这个垂直的说明这多少？勾股定律， a 等于几，等于根号 i k， 对 不对？勾股定律啊，就等于根号 i k， 对 吧？ ok， 好， a c 的 a a a a 对吧？ ac 啊，等于几等于一，那 c d 呢？也等于几，也等于一，对不对？ ok 啊， c d 也是等于一，那这是一，这是一，说明这是几？ ab 等于几，等于根号 i， 对 不对？ ab 等于根号 i 的 话，所以说 ab 的 平方减去 ae 等于几，就等于。所以说这个 b e e b 就 等于根号 i 减去根号 i k， 对 不对？ ok， 好， 大家看一下。这个是垂直的，这个是垂直的，说明什么？ 那这个斯坦宁和这三个你干嘛相似对不对？相似通过呢？ a 字型对不对？也能把什么？也能把这个 e b 求出来， e b 求出来， e b 求出来，太简单了。还有这不就来了吗？对不对？那 e b 比上什么 e a 就 等于几，就等于 k？ ok， 我 把一笔已经表示出来了，就等于几，就等于看啊，根号 i 减去根号 i， k 比上多少？比上一等于几，等于根号 i k 就 等于几，就等于 k， 你 减这个方程不就行了吗？对不对？那根号 i 跟 i 约掉就等于多少？就等于一减去。 嗯，看这边的根号二约掉。看乘过来等于几？看乘过来就等于看的平方，所以看的平方，对吧？加上看减一等于几？等于零，对吧？这是解的是什么？解的是一元二次 方程啊，所以看啊，拿上来啊，看就等于看，就等于 a 分 之负， b 加减，根号下带他，对不对？所以往里面带就等于几， 就等于二分之，对吧？负一对吧，加上多少跟二加二等于几？加上根号五，对不对？还问你是多少？ k 一 k 二就等于多少，那负一减去多少根号五比上什么？因为这是一定是负的，负的一定舍去，为什么？因为现在不可能为负的，对吧？是不是？其实是就是吗？这 k 不 就出来了吗？对不对？就等于几？二分之根五减一，这个就是什么叫做黄 金，对吧？黄金啊，叫分割比，对不对？黄金比对吧，二分之什么？根五减一。 ok， 好， 今天呢就给大家分享一下这两题啊，就是什么？一个是用的什么字母型，常用的还有什么 a 字型啊，答案呢？还有摄影，摄影定律，你站在一定的高度呢，也在思考这个问题的话，还是比较简单的啊，记得给张老师点点赞，点点关注，带着大家正式中考。