南昌一模立体几何压轴题

今年的江西南昌一模的数学试卷，整体难度像往年有下降，刚质量却一点没降低。今年的这份卷子，压轴题都出的很棒，很用心。单选第八题，只要对三次函数对称中心熟悉的同学做起来就简单。第十一题出的非常灵巧， 看上去不友好，但联想到圆心，实际上是三角形 p a、 b 的 那些圆圆心以后就豁然开朗，原来 p 点的轨迹是双曲线的。又之其中低选项是非常好的多思少算的例子。 第十四题看起来像马尔科夫列问题，但并非如此，需要好好审题，关键是分析 p 三和 p 四就能找到规律。解答题中第十八题是导数的常规压轴题。中档题难度最有亮点的是第十九题是一道非常有价值的立体几何创新压轴题，计算量不大，思维量大。

六百六十六，江西老表这一招太狠了，楚宝完全没想到花无谢还能卡在立即集合里面，真的唱出新高度，心疼江西烤箱一秒钟。

注意，看这道南昌统考压轴题，你同桌一定不会只用一招带你解决立体几何降维打击！大家看黑板题目说圆锥的轴结面大 p 大 a 大 b 是 边长为四的等边三角形 大 c 是 o、 b 的 中点，并且底面上有一个点大 d， 使得夹角 d、 o、 c 等于三分之二。排。第一问，求 d、 c 的 长度，第二问求 e 面直线 p a 与 d、 c 所成的角 三二一好，时间到，碰到立体几何怎么做？我反复强调过无数遍了，求长度！咱们要先找平面题目，让你求底面线段 d、 c 的 长度，那你的眼睛就得长在底面上。 等边三角形 p a、 b 边长是四，也就是说底面圆的直径是四，所以半径自然就是二点。 c 是 o、 b 的 中点，那 o、 c 直接等于一。再看条件，加角 d、 o、 c 等于三分之二牌同学们看到这儿还不激动吗？ o、 d 是 半径等于二， o、 c 等于一。加角也给了，这叫什么？这就叫天赐的鱼弦定律模型 来，咱们干脆把底面三角形 o、 c、 d 拿出来单独分析，已知两边和它们的夹角，果断砸于弦定里。 d、 c 的 平方等于 o、 d 的 平方，加上 o、 c 的 平方，减去二倍的 o、 d 乘 o c， 再乘以夹角三分之二派的余弦。敲黑板，三分之二派的余弦是多少？ 负二分之一，所以后面变成了负负的正代入进去四加一减去二乘，二乘一乘负二分之一等于四加一加二等于七。直接开根号 d、 c 等于根号七。第一问，分分秒秒拿下！ 重点来了！第二问，求一面直线 pa 和 d、 c 所成角，底面是个完整的圆，并且 po 是 天然垂直于底面的高，这种老天爷喂饭吃的高，这种老天爷喂饭吃的降维打击！ 咱们以圆点 o 为坐标系中心，让 o、 b 躺平变成 y 轴，让 p、 o 竖起来变成 z 轴，最后垂直做 x 轴，三为直角。坐标系就这么完美地建好了。 系建好了，接下来就是体力活，把关键坐标全给我抠出来！ p 在 z 轴上，坐标零零二倍，根号三， a 和 b 都在外轴上， a 是 零负二零， c 是 零一零 d 点稍微绕一点，夹角是三分之二派肯定在第二项线嘛。算出来是根号三，负一零好，写出向量 p， a 坐标零负二负二倍，根号三，写出向量 d， c 坐标负，根号三二零。 最后一步，点击上场，点击算出来是负四，而向量 p， a 模长是四向量 d， c 模长是根号七。余弦值等于负四的绝对值，除以四乘根号七的积一，约分七分之根号七。这题很难吗？全体讲解完毕， 学会降维打击，立题几何再也不丢分！立刻点赞收藏，你的考场上绝对用得着下课！

江西的老表们，这次南昌一模数学卷做完，是不是感觉天都黑了？网上都说这是劝退卷，但我看完只想说，这哪里是模考，简直是高考压力测试！尤其是第十八题的导数放缩 和第十九题的立体几何动点，套路深到让人怀疑人生。别划走，今天带你拆解这套硬核试卷开讲！第一点， 选填题反套路，计算量暗藏杀机。别看前面选择题似乎平平无奇。第五题，分段函数解不等式，稍微不注意定义域就掉坑。第八题，三次函数构造。偶函数 考的是对称中心平移思维转弯要快，最狠的是多选。第十一题，动圆切线结合斜率范围， 还要算点到直线距离，这哪里是考知识，分明是考你的心态和草稿纸够不够用。第二点，统计大题接地气，但陷阱在细节。第十六题，直接拿手机使用与近视开刀。数据看着简单，卡方 计算量却不少。很多同学习惯套公式，结果精确度没保住，或者关联性，判断理由写不到点子上。记住，新高考统计题不仅要算对，更要逻辑链条闭环。第三点，压轴双雄倒数与几何的巅峰对决，重头戏来了！第十八题，倒数 不再是常规的求导讨论，直接上零点切线加不等式横成立。第二问，证明 f x 小 于等于 k x 加 m， 其实是考兔性定义。第三问，那个 x 二 x 一 的放缩，如果不构造函数 g x 等于 f x 加 a x， 根本寸步难行。这道题是在告诉你们，死记硬背，解析模板已经失效了，必须懂本质。第十九题，例题几何 正方题里藏抛物线动点批满足距离关系，直接定义出抛物线轨迹。第二问还要算空间夹角定直间隙容易，算错难。这种解析几何化的立体几何 绝对是江西高考的新风向，不懂圆锥曲线定义的根本做不出来。总结一下，南昌这套卷子重创新强，综合拼运算，他不考偏题怪题，但把基础知识点揉碎了，变形了考。你 想要南昌一膜全卷解析电子版评论区扣南昌！或者点个关注私信我，南昌立马发给你！

教你一招让立体几何压轴题直接将被打击！这道题百分之九十的人第一眼直接头皮发麻。这道题确确实实不好想，但只要你掌握等体积换顶点这个核心，操作三十秒，就能把乱麻一样的图 变成清晰可解的诡计问题。今天显哥用这一招，带你暴力拆解武汉二调中最难的十四题！第十四题，他说四棱锥当中， a、 b 等于 a， d 等于根十， c、 b 等于五，然后 c、 d 呢，也是五。那这就说明这是一个正形喽， 它是完全对称的一个图形，这没问题吧？然后呢， b、 a、 d 是 九十度，这个角是九十度，那么 p、 b 大家可以看 p、 b 等于四，然后 p、 c 的 话等于三。现在呢，他说在三角形 p、 b、 c 内找一点 q， 使得这个锥的体积相等。 一开始我也没想到很很好的方法，这道题啊，就说白了，这个 q 在 这，就在这个三角形的体积相等。 我觉得这道题做这道题的关键是什么呢？那你想一想，这个锥的体积好，表示 q、 a、 b、 c、 d， 因为 a、 b、 c、 d 这个底面积是非常好求的。然后呢，关键是 q， p、 a、 d 你 觉得好求吗？这道题很难，因为 p、 a、 d 这个三角形都不知道这些长度， 所以我先给你连一连，你觉得是以谁为底面比较好？你看 q， 假设在这，然后呢，这是这么一个面， 听懂吗？是 q、 p、 a、 d， 你 先思考一下。所以这道题我觉得 q、 p、 a、 d 是 非常关键的。那你想一想，我们应该是以谁为底面比较好呢？ q、 p、 a、 d 这个三角形面你肯定没法求，因为我不知道 p、 a 是 几， p d 是 几？ 是因为底面的数据我都知道，是不是我应该是以 q、 a、 d 为为号，也就是说这个锥的体积。这个题太难了，因为等体积法你转化不太好，想 q p、 a、 d， 它就应该等于一个什么呢？ p、 a、 d， q 啊，就是换个顶点呗，它肯定是同一个锥，这个是没问题的。那现在呢？他说这个体积它等于等于什么呢？等于 q、 a、 b、 c、 d， 那 q、 a、 b、 c、 d 的 话，我又怎么转换呢？我也想成以 ad q 为底面，那如果以 ad q 为底面的话，是不是相当于我得转化成什么呢？ q、 a、 b、 d， 所以这道题难点就在这一开始，我也没想到，确实挺难想的啊，听明白了，因为这个地方我想转化成以 a、 d、 q 为底面，所以到这一步的时候，我也想把它转化成以 q 为顶点，以 abd 为底面，那所以它就应该等于几倍的呢？来，我们就需要算出这个数据来， 我们连接一下这个长度，我们再连接一下它，因为它是个正方形，所以我们看一看整个的，先算一下 abd 的 面积， a、 b、 d 的 面积显然是二分之一十，那就是五，这是 a、 b、 d 的 面积是五。然后呢，我们再算一下 b、 c、 d 的 面积，这个长度是二十，根号一下，二十是二根五，那所以这个长度是根五，这个长度是根五，这个长度呢？还是根五？ 所以这个长度的话，那根五的话就是二十五减五，二根五，那二根五的话，那他俩的面积就应该是一比二的关系，所以这个三角形面积就应该等于十，这个面积是一比二的关系，那这个面积就应该占整个面积的三分之一， 所以这个体积就按那个三倍的为 q， a、 b、 d。 一定要思考为什么转换成 q， a、 b、 d， 那 我转换成 q， a、 b、 d 的 话，我就可以换个顶点，我们以 a、 d、 q 为底面， a、 d、 q 的 话就 b， a、 d、 q， 所以 这道题很难啊，不太好想以 a、 d、 q， 为什么呢？为底面，那所以它俩的体积是相等的，因为它说体积相等嘛，那也就是说为 p， a、 d、 q， 那就应该等个 v 三倍的，然后 b， a、 d， q， 所以 你看压入题很难，除了压入题，确实其他的都很简单啊。那这时候呢，都是以 a、 d、 q 为底，那大家思考一下这句话是什么意思呢？是不是 p 到这个 a、 d、 q 的 距离， 他就应该等于个 b 到 ad q 的 距离的三倍？又因为我们可以有相似，那是不是说明这个长度？假设我们做一个结面，是不是说明这个长度比上这个长度，他就应该等于个一比三的关系？ 谁是三 q p 到这个距离，是啊，长一点的，所以这个地方就应该有一个什么呢？我们假设做一个 m， 他 这呢就应该有个三比一的关系，这个 m 呢，显然和 ad q 是 同一个面， 知道为什么了吧？再说一遍，是因为底面积是相同的，都是 a、 d、 q， 他 们的体积是三倍关系，所以热量是三比一的关系。又因为整个长度是四，所以呢，他一定要一个三，一个一定要一，那这时候还没完，还需要再转化。为什么呢？因为我们不确定 q 的 轨迹是什么，因为人家让求 p q 的 长度，你得求出 q 的 轨迹来， 所以这道题同理来一遍，也就说 q， a、 b， c、 d， 我 们还可以转换成谁呢？我们还可以转换成以 a、 c、 d 为底面。为什么转换成 a、 c、 d 呢？大家可以看它就应该等于两倍的 q， a、 c、 d， 然后呢，它就应该等于两倍的。换个顶点还是以 d， q， c， a， d， q 为底面，这是在同一个面上啊。 a、 d、 q 和 m 在 同一个面上，由于它们的体积是二倍关系，所以它们到 a、 d、 q 这个面距离是二比一，到这个面距离是二比一的话，那又因为这辆是三，所以这个地方长度就应该是二比一的地方，我不知道你能理解不？我们假设这个点是 n， 实际上他们是共面的啊，这是一个相当于一个结面吧，这就是 ad q 的 那么一个面，那这就说明 q 的 他就应该是在这么一个线上运动，这辆是二比一的地方。明白了，在这么一条线上运动的话，他们的体积正好是 满足啊，他们的体积相等。那么又因为人家让你求 p q 长度最小值，这辆是直角三角形，因为有个三是五嘛， 这个角是直角，因为这辆是四，这辆是三，这辆是五，所以 q 的 轨迹是它，这辆是一，这辆是一，这辆是三比一，这辆是二比一。你能听懂不？就是等体积法不太好想，所以人家要求 p、 q 的 最小值，那就是等面积法呗。啊， p、 q 就 应该等于个多少呢？ 这量是三，这量是二，根号下九加四，根号下十三，然后呢，这个量是三乘以二， 所以答案是十三分之六倍的根号下十三。所以这道题是极难的啊，一开始我还没想到，确确实实不太好，想听懂了吗？就是等体积法换顶点，换成以谁为顶点。一开始我觉得这一步很关键， q 在 这个 p b c 面内，所以呢，我们得转换成以 ad q 为底面， 以 p 点为顶点，然后这个地方换个顶点就可以了。听懂了，那为什么他在这么一条直线上呢？就是因为这个地方是三比一的地方，因为距离嘛，这辆是三比一， 然后这辆是二比一，当 q 在 这条线上的时候，他正好同时满足三比一和二比一嘛，对不对？你再体会一下。这道题是极难的。

距离高考还有两个多月，如果说选择题的立体几何想不丢分，这个视频必须要看完，我们来看这个高三的模考题啊。桌面上以下四种几何体，然后的话点 p 是 表面上任何一点任意的转动，几何体均与桌面接触，那么这个时候的话，它的点 p 到桌面距离的 最大，那么它的几何体是谁？我们来看这四个图形啊，第一个的话棱长为一的正方形，那么棱长为一的正方形，我在这里边要取一个最长的线段，相当于谁？ 相当于是他的体对角线，这是一根号二，所以在这里边体对角线取的是根号三。那么讲到这的话，给大家稍微拓展一点，正方体里边有三种球， 第一种叫内部切个球，第一种的话叫内部切个球，第二种叫外接球，第三种的话还有叫棱切球啊，这是选项 a。 来，接下来我们来看选项 b， 选项 b 说表面积，表面积， 球的表面积对的是四拍 r 方，所以在这里边相当于谁？相当于告诉你这个球半径，那我们说球面上的任何的点到桌面的距离相当于谁？相当于是球直径啊，它是球直径四拍 r 方球出来 r 是 一，然后的话它取的是二， 然后第三个轴结面，轴结面为正方形的圆柱，轴结面为正方形，那么说明这一部分他是个什么正方形？边长为一，所以在这里边要拉一个最长的线段，相当于什么？ 哎，相当于是一比一，比根号二，这个是根号二，目前来说它最大，因为它取的是二啊。然后第四 d 选项，体积为二分之派，且轴结面是直角三角形的圆锥，体积为二分之派，那我们说圆锥的体积对的是谁？ 三分之一的 s， h， 那 么在这里边 s 取的谁？底面的面积？底面对的是 pi， r 的 方乘上这里边的 h， 那 么这个长度是 h， 在 这里边的话体积为二分之 pi。 好， 然后呢？轴结面是什么？是直角三角形，轴结面是直角三角形，那说明它是谁？ 一比一比根号二，所以的话三，三分之一倍的 pi r 方乘上一个 h 对 应的是谁？ 二分之八，那么这样的话，我们可以求出来他的二，那么在这个圆锥里边最长的我们可以考虑谁？我可以考虑这个母线，我还可以考虑考虑谁，我也考虑体面的周长， 所以在这里边把这个圆锥给他倒过来，底面周长就是他的最大距离。这是四个题啊，所以在圆锥在这个立体几何高考卷里边的选择题，选择题的话从哪下手？一定从图形去下手，这个题绝大多数同学错，很容易选这个 b 选项， 四 d 选项。在大家的潜意识里边，这个锥指的是正的锥也可以倒呀，是吧？容器横放斜放，体积不变。好，这是这道题，我们就讲解到这里。

高考立体几何证明，难倒很多人？今天教你垂直证明，怎么用反推法让证明变简单。这节课我们将来学习空间几何中的垂直的证明的一个问题。然后垂直问题分三种，第一个就是线线垂直， 第二个就是线面垂直，第三个就是面面垂直。首先线和线垂直就很简单，对吧？就是证明，怎么证明呢？就可以用这个勾定里 是不是可以证明？你看如果他符合勾股定律，是不是这里就会有个垂直，对吧？这个就简单的，然后我们还有正余弦定律，就是通过算出边上也能算出来他是一个直角。然后重要的就是什么呢？就是我们这里面会有一个 菱形啊，菱形除了对角线会垂直以外，他还有个什么性质呢？很多出题的只要看到菱形和六十度角， 好吧，所以他会和六十度角去结合，有个隐藏的垂直就在哪里呢？如果这个角是六十度，我把一个顶点和这个中点连接起来，这个角会垂直，为什么呢？你看我把它连接起来，看上面这个三角形啊，是不是三边就会相等了，就相当于是， 对吧？所以这个是很多东西都忽略的一个问题。然后其他的，而且那个什么梯形里面也有那个对角线垂直的情况，那个就完全可以用那个国物理等等等等都能算出来的啊。好吧， 所以线线垂直是我去证明后面两个的基础，我只有线线垂直了才能证明线面垂直。那么怎么去证明线和面垂直的呢？就是要证明我一个面里面有两条线，看到没？分别和它垂直，那么下面这个面， 对吧？就是这样子的，所以我才会有这条线啊，这条红颜色，红颜色的线 和下面这个面垂直，这个就线面垂直。那么面面垂直是什么呢？面面垂直就是两个面垂直， 对吧？那两个面垂直我们怎么去判断的呢？就是说我这里面有这个面，里面有一根线垂直于下面那个面啊，好吧，就是垂直这个阿法， 那么你看我就可以说，如果啊，这个贝塔是过这个 l 的， 那这个贝塔就会垂直 r， 对 吧？所以它的本质是不是还是线面垂直，对不对？所以， 嗯，你要说它有平行兰吗？它没有，只是这里面会有一个方法，我们等一下后面会讲的叫反推法，因为很多人看不出来它是垂直的，对吧？然后这个面面垂直里面有个很重要的性质啊， 就什么呢？就是如果就用这个图来说啊，这个文字你们自己去看，就是如果我两个面是垂直了，然后这个 l 它垂直于这个交线，这个是交线啊， 好吧，那这个 l 就 会垂直于 r， 这个我们在平行里面也也经常用到，只要你看到面垂直于面，那这个定你是一定一定不要忘记的， 好吧？然后刚刚说了三个垂直，其实不管题目是让你证的线线垂直还是线面垂直还是面面垂直，它的本质都是要你去证明线面垂直，我才有线线垂直， 好吧？然后，嗯，面面垂直的，一样的，是线面垂直才有面面垂直吗？对吧？然后很多同学就说，为什么不是线线垂直去推出来线面垂直呢？ 但是你在大题里面，你，你随便去看，只要问的是线线垂直的，它里面一定是先正线和面垂直之后才去证明线和我的一个线去垂直的，很绕的，这个等下我们讲题你就知道了啊，好吧， 那我们就看一下，先从简单的开始，然后你看这个就线面垂直嘛，对吧？嗯，刚说的线面垂直就要找线和两条相交的线啊，相交的线， 嗯，然后他说在这个三棱柱中， a、 b 是 垂直于侧面 b， b， e， c， e， c 的， ok， 就 相当于这个这条线啊，垂直于左边那个面的，然后 ab 等于 bc 等于一， ok， 这是一，然后 bb 等于二 就等于二，然后 bcce 等于三分之派， ok， 这个角就是六十度。然后呢，我们证明的就是 c 以 b 垂直于这个底面， 那他一定要找 c， e， b 垂直于两条相交的线，对吧？ 这个简单，这个一眼都看出来。因为我题目里面看 ab 是 垂直于面 b， b， e， c， e， c 的， 所以 ab 是 不是垂直于这个面里面的任何一条直线，刚好里面有谁有 c、 e、 b， 对不对？所以第一条我们就有了，这是第一条，这是第一。第一条垂直， 那是不是再找另外一条垂直就可以了？我们那怎么去找呢？嗯，这里我们没有别的的条件了，因为它里全是 ab， abc， 你 自己看一下啊，我 ab 已经组合了，要不就 abc， 要不就 ac 嘛， 对吧？ ok， 我 们先从 bc 入手，这是很多东西看不到的时候啊，你们就这样自己去量的组合，看能不能证明，然后刚好他给了你边给了你角， 对吧？所以就相当于这里是一，这里是二，这个是六十度。我们要把这个 c 一 b 先算一下，看他有没有可能能算出来，因为 c c 一 他也是二嘛，测能会相等吗？ 对吧？所以刚好你这里啊，很多同学说有个六十度，有个一有个二，那我这里就直接垂直了。你考试的时候你要怎么写呢？你要说口算，以六十度是不等于 b c 的 平方，加上 c c e 的 平方，减掉一个 b， c e 的 平方，去除一个二，乘以 b c 乘一个 c c e， 你 要这么去写，然后我算出来 b c、 e 等于根号三啊，这一步很重要啊，很多东西都直接去写的，所以要用余弦定律去写，所以才有了勾股定律，你写了之后才有了勾股定律。 好吧，所以这里有勾股定律，你们就自己去算，我就不去写了啊。所以你看第二个垂直不就有了， 对吧？所以就是 bc 一 就会垂直于 bc 嘛。好吧，过程，这个总结的过程你们自己去写，这里就就很简单。但是重点是什么呢？重点就是这里，这个是第二条垂直了吧，第二条 垂直于两条相交直线，你看，我就说又因为 bc 交 a b， 对 吧？等于 b 点这个东西就代表我这两条线是相交的，就是我后面的它和后面的 a b， 对 吧？因为都是 c e b 嘛，垂直于两条相交的直线啊，所以 我才有了什么呢？然后还没有，且 bc 和 ab 都是属于面 abc 的， 对吧？所以 c e b 就 垂直于面 abc。 看到没？关键一点就在哪里，这在这一步，很多东西你要是不写的话啊，可能在高考中他会是又做成一个扣分点的啊，好吧，所以这个就线面垂直， 对吧？他，他比那个，呃，我们的平行要简单很多，因为他的平行都很固定。 好吧，那我们看一下这个第二题啊，他说，嗯， p a d 垂直于这个 a、 b， c d 就是 左边这个面垂直于底面，然后 p a 等于 pd 等于二， ok， 然后四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为二的菱形， ok， 看到没？菱形出来了， ok， 六十度出来了， ok， 他 肯定有隐藏条件的，不然他不可能这么给你，对吧？ ok， 这也是二，这也是二，这也是二，这也是二。然后 e 是 a d 的 中点， ok， 然后让我们证明的是， b e， b e 在 哪里？ b e 在 这里。 垂直于什么？ p a d， ok， 首先你看到这个东西面面垂直，然后看到这个有个等腰，等腰说明什么？等腰是不是说明 p e 啊？ p e 啊？ pe， 它是垂直于 a d 的， 所以你以后你们看到等腰等边，对吧？有中点，那它不就会垂直吗？然后这个东西刚刚说了，两个面垂直一定会有一个什么性质呢？就是如果 等一下我画个图给你们，就如果有两个面是垂直的啊，哎呀，这笔等一下啊， 算了，就用这个吧，两个面垂直的，对吧？然后他说也没了，但是我们这个结论可以用，就是 p e 是 垂直于 ad 的， ad 刚好是两个面的什么线？ ad 交线嘛，对吧？所以 p e 现在就是垂直于两个面的交线，所以我能得到一个什么线，一个什么结论，是不是 p e 垂直于面这个底面， 对吧？这个就是我们刚刚垂直里面讲的一个两个面垂直的一个很重要的一个性质啊，所以这一步啊，大家是一定不能忘记的，所以你看，我就根据条件我就能推出来 p e 现在在垂直于谁？ 垂直于，垂直于我们底面里面的这根线， b e 嘛，就是我们题目里面有的，所以第一条垂直，这个就是第一条 不就出来了？那么第二条在哪里呢？我说了，你看菱形六十度，会联想到一个什么点，我把它单拎出来， 你看不出来？有一个方法，就是你把我这个底面或者你要的面这样把它单拎出来，字母坐标，终点坐标，对吧？坐标之后，然后 b e 一 连我说了， 呃，他说谁啊？ d a b ok， 这个角等于六十度，所以这不就垂直了吗？ 对吧？你怎么说呢？你就说我连接这个，因为它是菱形，所以 a d 等于 ab， a d 等于 ab 之后有一个角是六十度的，等腰三角形，是等边三角形，所以就等边了，等边了，所以 b e 不 就垂直于 ad 了吗？所以我这个条件就能得到的就是 b e 垂直于 a d 啊，好吧，所以一一个个条件去分析，很多同学看到这个，你看不出来，对吧？但是我说了，题目给你的条件他肯定有特征，面面平行，想到什么？想到这个， 对吧？然后这个等腰或者等边，就想到中线垂直，菱形有六十度，就就就一样的想到这个模型，怎么可能做不出来呢， 对不对？所以啊，你看我现在这里相当于谁垂直于 b 了，就是 a d 垂直于 b 了，这个不就是第二条， 对吧？然后就说明他们两个相交就是 p e 交 a d， 你 自己看一下，看图嘛，这两个相交是不是交于点 e， 不 就证明了两条相交的直线分别和我这条直线去垂直了，所以我不就证明了 b、 e 垂直于 p a、 d 了吗？ 对不对？所以啊，这个就是教你们怎么去用这个题目给你的特征，因为很多高考题他考的很难，等一下我们后面会会讲一道浙江卷的高考题，那一年难倒了很多那个第一位，好吧？ ok， 然后我们来看一下面面垂直啊。呃，面面垂直，其实我说了面面垂直，它还是线垂直于面，对吧？因为我只要证明了线垂直于一个面之后， 那么我过这个线的一个平面看到没，它也就垂直于这个面了啊。 我们看下题，他说四棱锥 a、 b、 c、 d 是 一个边长为二的菱形， ok， 看到没？二就是菱形和六十度啊，所以这个条件我下意识的我就要知道它一定会有个垂直的， 对吧？嗯，然后 e 是 c、 d 的 中点，然后 pa 垂直于底面 ab， 让我们证明 p b， e 垂直于 pa， b， e 在 哪里？ p b 在 这里，对吧？然后 p a、 b 在 那里，前面这个面， ok， 看着就不垂直，对吧？但是图是会欺骗我们的，因为我们会有一个斜二侧画法吗？四十五度的角，我们就要在斜二侧里面画成一百三十五或者四十五吗？对不对？所以我们怎么去做呢？ 你一定要记住啊，证明面和面垂直，刚刚说了要找到线和面垂直，那就要在这里面，或者在这里面去找一根线和另外一个面去垂直就可以了。那怎么找？我们就要根据图像来了， 那么从谁入手，我们现在看不出来，对吧？你不可能一个个去试，题目会给你提示，一定要记住，题目一定会给你提示的啊。好吧，那这里的提示在哪里呢？就是这个，你看我把底面给展开了， 就这样子的点标下 a， b， c、 d， 然后连接的是谁啊？连接是 b、 e 这样子的，然后有个六十度在哪里？ b c、 d 这个角六十度，我刚刚说了，这个角一定是个直角，因为一样的变变成了个等边三角形嘛，所以这个条件它就能推出来谁呢？嗯？ be 它是垂直于 c d 的， 图是看不出来的啊。 好吧，但是我可以根据这个条件去找模型，对吧？ ok， 那 这里的提示不就出来了吗？他不就让你找 b e 吗？所以我是不是就把这个题目我就转换成了找 b e 垂直于面 p a b 了吗？ 对吧？那怎么就证明呢？你看 c d 又平行于谁？ c d 是 不是又平行 ab 的？ 是不是这里就相当于是 b e 垂直于 ab？ 看没第一条有了吧，这个就是第一条， 对吧？那么我们只用找第二条呗。第二条还有一个条件没用啊，看到没？ pa 垂直于面 a， b， c、 d 这个条件我就能推出来 p a 不 就垂直于 a b， c、 d 里面任何一条线刚好 b e 在 a b， c、 d 里面，看到没？ b e， 对吧？所以你看 b、 e 垂直于两条相交的嘛， a b 交 b a a p a 啊，等于 a 点，对吧？所以我是不是就说 b e 就 会垂直于面 p a b， 然后就说又因为，呃，这个 b e 是 属于面 p b e 的， 所以面 p b e 不 就垂直于面 p a b， 对 吧？重点啊，重点就是相交啊，因为垂直里面的第一个扣分，扣分点一定是这个，你写没写这个相交的啊？然后其他的反正我就就用文字给你们说的，我这里就不去写了啊。 好，反正还是那句话，你写的越详细越好，然后要点是必不可少的啊， 相信你们只要能听得懂，相信你们自己去写，一定不会扣分，好吧， 然后再来看一道，比如说这这道这是四轮锥，然后 ab 是 平行于 cd 的， 然后 ab 等于一， cd 等于三， ap 等于二，然后 dp dp 等于二，被勾上三，然后 p a， d 是 六十度， 六十度，对吧？然后 a， b 是 垂直于这个 p a， d 这个底面的，然后 m 在 p c 上面动，然后它又 证明的是 p a b， p a b 垂直于 p c， d。 把这两个面标一下啊，就是 p a， b， 然后就 p c， d， 我 给这两这两个面干脆他们都没有交线了，对吧？所以又更难一点了，对吧？那么这里我还是从 嗯条件去入手，因为我要找到是线垂直于面， ok， 我 现在我不不知道到底是找的 p b 还是 ab 还是还是那个呃， p a 去垂直于后面这个面，还是后面的线垂直于前面的面，对吧？所以先从条件入手， 或者你们有经验之后一眼都能看得出来啊。嗯，看出来之后，应该像我这里看图就是 pa 要垂直于呃， 这个面 p c， d， 对 吧？但是很多人可能有的题看不出来怎么办呢？就根据条件去入手。怎么去看啊？这里有一个六十度，就 p a， d， 然后 a p 等于二，然后 p d 等于二倍杠三，所以这里 先用口塞六十度呗，它是不是等于二分之一，那它是不是就会等于 a d 的 平方加上 pa 的 平方，减掉 pa 的 平方，去除于二，乘以 ad 乘以 pa， 对 吧？然后把数字一代 a d 是 几啊？没有 x 方把它数给 x， pa 呢？ pa 是 四 二的平方，四吗？然后 p d 呢？就是一十二， ok？ 去除以一个二，乘以 a， d， 不知道 x 去，再去乘以一个 p， a 就是 二，下面就是四 x 吗？就是 x 方加四减一十二， 所以四 x， 对 吧？你不能说有个一比二三，那我另外一边有个六六十度，我直接说它是个直角，你要像这么去算啊， 所以就四 x 就 会等于二 x 方，然后后面是减几啊，减去一十六吧，就交叉相乘之后，对吧？所以就是 x 方减去二， x 加上减啊，减， 减去八吧，等于零。你看 x x， 然后就是一个是负四，一个是二，对吧？所以 x 等于四或者负二嘛？所以 x 等于四啊，看到没？所以你要去证明出来， 对吧？所以你要证明出来它那个 a d， 所以 说就说 a d 算出来等于四嘛？等于四刚好就是 有个垂直出来了，就是二的平方加上二倍根号三的平方，会等于四的平方嘛？所以就能推出来 ap 是 垂直于 pd 的， 各位，所以你这样也能知道，我应该是找的 ap 垂直于后面这个面， ok， 那 第一条，这个就是第一条 已经有了，那第二条在哪里呢？第二条我们还有个东西没用，看到没？然后又因为 a b 是 垂直于面 p a d 的， 所以就说， 哦，对，还有一个等一下，然后且 a b 是 平行于 c d 的， 是不是就相当于 c d 嘛？这里就相当于是，对吧？ 所以你看就 c d 垂直于面 p a d 嘛，然后就所以 c d 就 垂直于这个里面的任何一条线， 对吧？ ok， 那 这线里面刚好有 ap， 看到没，所以第二条看到没 ap， 所以 这个就是第二条。 所以你看，不就 c、 d 和 p d 交于点 d 吗？然后又因为 p d 交 c、 d 等于 d， 然后它们两个都属于这个面 p c、 d 的， 所以 p a 不 就垂直于面 p c、 d 吗？然后又因为 pa 是 属于这个面 p a、 b 的， 所以面 p a、 b 不 就垂直于面 p c、 d 了吗？ 对吧？所以我说说了面面垂直，你还是要去证明线面垂直，只是这里又稍微难一点，你要找到这根线，那怎么去找？找题目的提示， 你只用翻译出来一个题目的条件啊，翻译出来一个垂直，那我这这根线不就找到了吗？对吧？ 然后这个看一下啊，下一题就是他说四边形 abcd 为正方形， ok， 正方形先标一下，然后 b、 e 是 平行于 df 的， 就这两根线平行， 然后 ab 等于 b， e 等于 d， f 等于它，那我就先把它啊，比如说我把它设成根号二，那么前面的这三个东西都会等于一嘛， 对吧？所以， ok， 标一下 ec 就是 根号二，然后 ab 是 一， b， e 是 一，这个也是一，然后 d、 f 也是一， ok， 他 说了 ab 是 平，垂直于 bce 的， ok， 然后我们证明的是平面 a、 e、 c， ok， 先标一下 a， e， c 在 哪里， a， c 是 中间这个， 然后 b、 d， f， e 呢？ b d， f， ok， 是 这个， 对吧？ ok， 还是一样啊，我这个条件我还是要转换成线垂直于面，那么找哪一根线呢？题目看上去啊，是 a、 c 垂直于后面这个面，对吧？我，我有可能这个里面是找的 a、 c， 因为看图 对不对？ ok， 然后我们就从题目入手， ok， 这个正方形，这个条件它有什么用呢？正方形不就是对角线垂直吗？所以就是 a c 垂直于 b d， ok， 你 看，这不是有了天然的第一条吗？ 对吧？然后再去找一条就可以了。然后我们这个边还没用到边，起码这里会有个垂直，因为是相当于是一比一比根号二吗？ 对吧？ ok， 先写着 b 垂直于 bc， 对 不对？ ok， 这还有个条件，就是 ab 垂直于 bc， 那 么这个条件一定能得到 ab 垂直于里面的任何一条线嘛，对吧？那是谁呢？你看，这里有个 bc 嘛，那就找 bc 呗， 对吧？那为什么不找 b e 呢？等一下你，你也可以把，你们就也可以想一下，为什么不去找 b e， 因为如果我找了 b e， 你 看啊，就相当于 b e 又垂直于 bc， 又垂直 ab， 是 不是就相当于 b e 要垂直于 abc 啊？ 嗯，这么看呢，好像有用，对吧？所以你看它是不是就相当于我这里，其实你自己要在脑袋里面去想一遍， 那么我先把 b 啊，因为刚刚想了一下，好像有点用，对吧？所以你看， b 垂直于 bc， b 垂直于 ab， 那 么 b 就 会垂直于这两条线构成的面，就是 abc， 对吧？那 b e 垂直于 abc 的 是不是就相当于 b e 不 就垂直于 a c 了？哦，刚好看到没？刚好有了 第二条，所以你看，嗯，是不是 a c， 这有个 a c， 这有个 a c， 是 不是垂直于 b d 和 b e 形成的？然后就 b d 加上 b 等于 b 吧，对吧？然后就又说，他们两个都是属于这个平面 b d、 f、 e 的， 所以我就能得到 a c 不 就垂直面 b d f e 了吗？所以，又，因为，嗯， a c 又是属于 a e c 的， 对吧？ 所以就是 a e c 这个面垂直于 b d f e 这个面了， 对吧？所以，嗯，条件就是一个个去试的啊。好吧，因为高考提的那个图虽然很标准，但是你还是看不出来到底谁和谁是垂直的。 ok， 这个面面垂直还不难，难的是线线垂直啊。 接着就是线线垂直。我刚刚说了，其实线线垂直它还是要你先证明线面垂直，线和面垂直之后我们才有线线垂直啊。这个，嗯，有点绕。先看题， 他说 e、 b 是 垂直于底面这个 a b c d 的， 然后 a、 d 等于 c， d 等于二倍杠三， ok， 二倍杠三，二倍杠三，然后 ab 等于 ac 等于二 表一下，然后 abc 是 一百二十度，然后 g h 分 别是中点，然后 m 是 b 上面的动点，他说让我们求证 g h 永远垂直于 dm， g h 垂直于 dm， ok， 那 我为什么说这个东西要转化到线垂直于面呢？因为线线垂直。 呃，才有了线面垂直吗？但是那个线线垂直是他们在同一个平面，这个就相当于是意面了啊，就所有的意面直线垂直，其实都要转换为线垂直面，那什么意思呢？那这里其实就相当于我 g h 就 要垂直于一个面，然后这个面里面要含有 dm， 我 们一眼都能看出来，应该就是找的就是这个面吧，就是我现在标蓝颜色的这个面吧， 对吧？所以我就这里应该是垂直于面 dbm， 因为它垂直于 dbm 之后我才有 g h 垂直于 dm， 对吧？所以这个是我们能看出来的啊。等一下还有看不出来的，那能看出来就这里就很好证，因为就相当于我如果连接了 b d 之后，就连接 b d 之后，那我是不是就会两边的这个三角形，是不是就会全等呢？就相当于是，对吧？那全等是不是就肯定会有那个能证明出来 g h 这 g h 是 垂直于 b d 的， 对吧？就用全等去正就可以了啊，好吧， 有可能不会这样，你看就是，你看就这两个角它会相等吗？然后 g d 又会等于 d h 吗？然后他们又有他公共边吗？看到没？就两个三角全等，你们就这么去写就可以了。就是比如说，就说三角形嗯， g d 夹的这个点啊，这里有个点，好吧，这里有个点，设成 p， 好 吧。呃，就是 gdp 是 全等于三角形 hdp 的， 你们就这么写，然后才推出来的这个啊，那么就相当于它是个等腰三角形，那么对吧？ ok， 那 第一个垂直 我们有了，对吧？这是第一个，那还要找个谁啊？还有个条件没用吧？就是这里 e b e b 不 就是 mb 吗？所以就相当于 mb， 他 是垂直于面 a、 b c、 d 的， 所以我就能推出来 mb 是 不是垂直于 a b c、 d 里面任何一条线呢？ 里面刚好有 g h， 看到没？所以这个就第二条 g h 又垂直于 b d， g h 又垂直 m b， 所以 就有了 g h 垂直于面 d b m， ok， 所以 g h 垂直里面任何一条线，但是你写的时候就说 就这么写，反正前面的我都教你们怎么写，然后后面的啊，就说又因为嗯 dm 是 属于这个面的，对吧？ 这个要写清楚，所以嗯， g h 就 垂直于 dm， 看到没？所以这个就是我刚刚讲的所有的垂直其实都是线面垂直在哪里？在这里就是要你去找的这个线去垂直于这个面， 他不管是面面垂直啊，面面垂直就是一样的把它转换成线垂直面嘛，然后线线垂直，他也是线垂直面， 对吧？ ok， 然后再看一道啊，这个折叠的啊，折叠的有一点点难度， 他说 ab 等于五， ac 等于七，然后 d 为 ac 上的点，然后 b、 d 等于 c， d 等于四， ok， 所以 这是三，所以三四五刚好这里有个直角， 然后就是以，就是沿着 b、 d 这样折起来嘛，然后得到图案这种，然后 m 点是 b、 c 的 中点， 然后 am 又垂直于 b、 c， ok， 那 这两个东西是不是就是相当于，呃，就是等腰三角形呢？对吧？所以就是 ac 就 会等于 ab， 对 吧？所以你看到这这种很明显的模型问题，你就先把这个结论先写出来，就用铅笔在试卷上面先写出来， 那它的正面就是 ab 垂直于 c、 d， 那 么同理，我这里要找到的是线垂直于面，那线线垂直其实是垂直里面最难的，因为我到底是前面的这个线垂直于后面的一个面，还是后面的线垂直于前面的一个面呢？我都不知道， 对吧？所以还是要根据题目给的提示去做吗？嗯，刚刚我们得到那个 a、 c 等于 ab， ab 是 五，所以 a、 c 它也是。我们先把这里的边修都标一下，然后这是四， a、 d 就是 三，然后 c、 d 就是 四，看到没里边一标就能看出来三是五吗？就是就看这个三角形啊， 对吧？就是 a、 c、 d 这个三角形是不是就是一个勾股定律了？所以这个条件我又能推出来一个什么呢？就是 c、 d 是 垂直于 a、 d 的， 对吧？ ok， 所以 提示不就出来了，是不是？这里我其实就是要转化的 c d 垂直于一个面， 对吧？那么 cd 现在垂直于 ad 了，然后这里我就可以反推了，那 cd 又垂直 ab， 那 是不是就垂直面 abd 了？看到没找面，我就这么去找，所以反推去找面 是很好找的，所以一定要学会反推，懂了吧？就是根据，因为我们能够根据题目算出来的，一般情况下只有一根，对吧？那么我们再结合我们题目要证明的东西再去证明吗？等一下我们要讲的那个浙江卷的题，他更加啊，就要运用运用的这个反推啊， 那么这里我就证明呗，对吧？反正 c d 垂直于 a d 这个东西我们刚刚证明了，那是不是？呃，除了 a、 d 以外，现在题目是让你 a， 让你证明 ab 嘛？所以我是不是只剩下了 b、 d 了？所以我现在还要证明 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 对吧？就相当于我要你证明这个角是一个直角，然后这个角有没有了，有吗？你看我，我把这个三角形沿着它折起来的时候，这个是不是天然形成的， 对吧？所以两个垂直我们就都出来了，所以根据这两个垂直，我就能证明 c、 d 是 垂直于面 abd 的， 所以我才会有 c d 垂直于垂直于那个 ab 啊， 对吧？这道题很简单，好吧，然后我们再讲一段那个， 嗯，这张卷这题啊，这题也是当年很难的，对吧？但是你按照老师的这个反推啊，反推法很简单， 我们看一下题啊，他说四能追，然后底面是个平行四面形，不是这一题啊，应该这一题啊，一九年的这一题啊。 好吧，反正这题你不用反转音，基本上啊，可能很难看出来，除非你对空间想象很好啊。然后他说你这三楞柱，然后 a a e， 然后 c e c 是 垂直于地面 abc 的， 然后 这个角 abc 是 九十度，然后 a a 等于 这个东西，我把它设个值，好吧？比如说设个设个设个二，好吧，这个就是二，然后 a e c， 这也是二能等于 a c， ok， 然后他说，嗯， ef 分 别是中点，然后要我们证明的是 ef 垂直于 bc， 是 哪两条线呢？是这一条线， 然后 bc 是 这条线，对吧？这条线一样的，是意面嘛，所以我还是要先找到这线垂直面，但这里我们怎么去找啊？因为这个图真的， 嗯，很抽象，可以说是，对吧，所以你看我怎么去反推啊？反正我就先把条件去搞清，搞清楚，首先有个等边三角形，然后 e 又是终点，所以一定会有什么， 这个 a e 是 垂直于 a c 的， 对吧？就根据这个条件，然后根据终点能推出来它，那推出来它之后， 嗯，好像没用，你看这是 a c， 这是 a e， 这是 e f 测 bc， 对 吧？没一没一条边可以用的， ok， 那 么我们从谁去入手呢？还有一个条件，九十度，那这个九十度是不是就相当于是 bc 垂直于 ab， ok， 你 看现在不就有了？然后题目这里有个 bc 垂直于 e f， 看到没？我就先把这个题目的条件拿来，这是要证明的嘛，我就拿来，我就去反推，到底是要我证明的是哪一条线垂直于哪一条面，对不对？ ok， 然后乍眼看去啊， a b e、 f 好 像都没有交点，但是我们会有一个平行的性质吗？就什么呢？ a b 和谁是平行的？ a e b e 看到没有？所以 bc 垂直于 a e b e。 现在 a e b e 和 e f 是 不是就会有一个交点呢？就是 f 看到没，所以它这个面积是隐藏的很深，它没有画出来， 所以应该是我这个红颜色的面，所以 b c 就 垂垂这个红颜色的面了吧，就是 a e b e， 懂不？所以你看这个题目，其实你如果不会这个反对，你要看半天的， 对吧？ ok， 所以 我现在只用去证明他不就可以了，对吧？那题目这个条件是不能用的， 对不对？但是 bc 垂直于 ab 这个条件我们可以用，所以这是第一条，因为我就可以把它说成 bc 垂直于 ab， 因为这两 ab 和它是平行的，所以这个条件是我们可以用的，那么还差一条，对吧？ 抬出一条在哪里呢？在这里嘛，看到没？面和面垂直。说了，面和面垂直有一个很重要的特征，刚好看到没？它垂直交线，两个面的交线在哪里呢？是不就是 a c， 对吧？这条线就是他们的交线，所以我这里又会多出来一个结论，就是什么 a e 要垂直于底面嘛？ a b c， 所以 它又垂直于底面之后，所以 a e 它不就垂直于谁啊？ b c， 对 吧？所以这个就是第二个，这是第一个，所以两条线看到没？所以第一条线刚刚证明了，就是 b c 垂直于 a e b e， 然后第二条线就是 b c 垂直于 a e e， 对 吧？然后这两条线 a e b e 和 a e e 是 不是都是属于哪一个面面？ a e b e e， 所以 我是不是就得到了 b c 垂直于这个面？ 所以我是不是就能知道 bc 是 垂直这个面里面的任何一条线吧？所以不就垂直 e f， 对 吧？所以这个就是反推法啊，好吧，当然了，如果你第一眼能知道我面面垂直，先推出来它，再再推出来它，再推出来它，一样的也能知道 bc 应该是垂直这个面的啊。 好吧，所以反正两个方向都是去反推，好吧，所以这个就是，嗯，线线垂直。线线垂直是高考题里面就我觉得啊，是属于那种让你证明平行和垂直里面最难的题型了， 好吧，因为线线平行，垂直里面它既有那个，呃，证明线面垂直，对吧？主要是这个线和面就我们很难去找，就这一步啊， 很难去找，所以我们才会用反推法，就是把题目的条件当做已知条件，然后去带入到我们能算出来的条件里面去，然后他才会有线和面垂直，对吧？因为我不知道到底是选 e f 还是选 bc 去垂垂面啊。 好吧，反正原理就是就是这个原理，但是根据他题目的不一样啊，反正第一步 根据题目的提示去啊，一定不要看图。嗯，如果你空间感很强，那你看图就没有， 呃，错误了。但是如果你空间感不是很强，你去看图，对吧？可能会让你白算很多啊。那为什么不把题目条件一个个去翻译呢？对应的模型面面垂直，就去找交线，看有没有垂直的，对吧？然后菱形中点有六十度的话，它也是垂直吗？ 然后等腰、等边它也是垂直嘛？然后要不就是给了你边，给了你一个角，你用口上引去算嘛， 对吧？所以每一每一个条件都是对应一个模型，就就是相当于是，所以你先把这个模型的结论先一定要熟练。好吧？反正我们也讲了这么多嘛，特别是这道高考题，对吧？ ok。

南昌一模数学到底难不难？袁老师今天花一点时间给大家拆解一下试卷呢，整体呈现了一个路口宽出口窄的特色，前百分之八十的分数，只要基础扎实，你就能拿的到，但最后的百分之二十 想拿高分有点困难啊，需要极强的逻辑推理和运算求解能力，旨在选拔顶尖人才。那么第二个板块，咱们南昌阴谋的数学知点的分布图啊，大家可以看一下。 函数与导数、例题几何这两个板块占据了半壁江山，那么这是高分的关键，还包括像概率统计、数列三角、函数解析几何这样的题型。相对来讲啊，我们的基础题还是比较多的。那我们作为高三家长，那么该怎么做？ 倒计时的八十天，给大家一点小小的备考建议。首先第一点，回归课本，重构网络呢，他不是只刷题，要像上面一样把支点串成网，比如说看到导数，立刻联想到切线单调性及值零点不等式，证明 这一整套的逻辑链。第二步，规范步骤，颗粒归仓啊。阅卷是按步骤给分的，步骤缺失是隐形失分的最大原因。第三步，强化运算。一次做对 新高考的计算量不容小觑的平时练习呢，禁止使用计算器，对于复杂的根式分数运算，要强迫自己算到底，培养一次正确的肌肉记忆。第四，关注新情景。对于第四、四题，像这样的概率推进一十九题的动 台轨迹，不要怕，静下心来读题，把文字语言翻译成数学符号方程不等式函数，题目就解开了一半。这张试卷呢，是一块四斤时，假如你能在一百二十分钟内拿下一百三十五分， 那么 ok， 说明你的孩子已经具备了冲击顶尖九八五高校的实力。接下来的日子，请死磕！计算准确率，深挖思维断点，保持手感，高考必胜！

好，我们再来看一下第三位，如图二，延长 d h 交 c、 f 以点 g 求证点 h 是 d g 的 终点，求证终点，也就是让你去求 d h 是 等于 h g， 一 般求线段相等，我们肯定是转全等。 那么来看一下这个图 h 在 这，现在让你这这两个边相等，这两边相等，它是在一个直角三角形里面抱正，那因为 h 界不在直角三角形里面去，所以我们就需要去 构造，把它放到一个直角三角形的。怎么去构造？连接 b、 d 连接 b、 d。 以后 我们去证三角形 d、 b、 h 全等于三角形， 借 b、 h 就 可以了。那这个证证明就比较好证了 啊。用 b、 d 是 正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线， 所以角 d、 b 借是等于四十五度。 我们从第一问就可以得出来，因为角 c、 d、 j 是 等于二十二点五度， 角 c、 d、 j 加上角 d、 j、 c 是 等于九十度。角 h b、 j 加上角 d、 j、 c 也是九十度，所以角 h、 b、 g 是 等于角 c、 d、 g 等于二十二点五度， 那所以角 d、 b、 h 也是等于二十二点五度啊，所以 这个边是公共边，这两个都是九十度。 三角形 b、 d、 h 全等于三角形，借 d b、 h 啊，所以 d h 等于 g h， 所以 d a、 h 为 d g 的 中点。

同学们好，欢迎来到今天的立体几何课堂。今天咱们用纯几何法把二零二三年全国乙卷这道压轴题讲透。这道题考了线面平行、面面垂直和二面角是高考里的高频难点。 首先看题目里最关键的条件， b、 f 垂直于 a o。 这是整道题的第一个难点。我们先在底面三角形里分析， 已知 a、 b 垂直于 b， c o 是 b c 的 中点。通过计算可以得出 f 点其实是 a、 c 的 中点。这个结论是后面所有证明的基础，一定要先把 f 点位置定下来，后面就顺了。 第一问，证明 ef 平行于平面 a d o， e 是 a p 的 中点， f 是 a c 的 中点，所以 ef 和 pc 是 平行的。同时， d 是 b p 的 中点， o 是 bc 的 中点，所以 d o 也和 pc 平行。这样一来， ef 就 和 d o 平行了， d o 在 平面 a d o 里面， e、 f 不 在这个平面里，直接满足线面平行的条件，第一问就正完了。接下来是面面垂直，核心思路是先找线面垂直， 只要一个平面里有一条直线垂直于另一个平面，那两个平面就互相垂直。我们先算一下边长，会发现 a o 和 d o 是 垂直的。有第一问，知道 e f 和 d o 平行，所以 a o 也垂直于 e f。 题目里又说 b f 垂直于 a o， e f 和 b f 交于 f 点，所以 a o 就 垂直于平面 b e f 了， a o 又在平面 a d o 里面， 所以平面 a、 d o 和平面 b、 f 互相垂直。第二问搞定。这是最关键的疑问。我们用几何法来找二面角的平面角。 先设 a o 和 b f 交于 h 点， a d 和 b e 交于 g 点，连接 g h， 通过中点的比例关系能得出 g h 和 d o 平行，而 d o 垂直于 a o， 所以 g h 也垂直于 a o。 又因为 b f 垂直于 a o， 所以 角 j h f 就是 我们要找的二面角的平面角， 再通过解三角形计算，这个角的正弦值就是二分之根号。二。第三问就解决了，咱们来复盘一下。这道题一共用到了六个核心知识点。 一、三角形中位线定力，用来找平行线。二、线面平行的判定定力。三、勾股定力。逆定力用来证明垂直。四线面垂直的判定定力。五、面面垂直的判定定力。六、二面角平面角的定义与解三角形 全程不用键做标系春几何法更简洁，计算量也更小，把这些基础知识点串起来，就能轻松拿下压轴题。大家可以在评论区留言说说你平时做例题几何更喜欢用几何法还是间隙法？我们下期再见！

下面这道题是合肥一等考的几何压轴题，它将在三角形 a， b， c 中加 a， c， b 等于九十度啊！这里 a， c 等于 b， c， d， e 等于 d， b， b， c 和 e， g 都垂直于 a， d。 第一个要求证的是 e， g， e。 对 已知的也成这样变，那我们可以看出来，这两三角形可能是全等边，因为这两个角是相等。那么在三角形 d， c， b， d， c， d 和三角形呢？这个 e， g， d。 角 e， g， d。 角， 那么这里也有两个直角啊，角 d， c， d， c， b 啊 d， c， b。 等于角 e 及 d， e。 那 么这个角能不能等于这个角呢？我们看角 c， b， d， c， b， d， c， d。 它是等于 一百八十度。减角 a。 减四十五度，再减角 a， b， d。 角 a， b， d。 再看这个角 g， e， d， g， e， d。 它是等于一百八十度，这个角也是四十五度啊，因为这两条线平行的，要减四十度，它减的是这个角，减去角，角一一 平 d， e， d， e。 等于 d， b。 所以 d， e， d 啊，是等于角 e， b， d 啊，所以角积一 d， e， d， 它是得一到二十度，减四十五，减角 也是 a， b， d 的 a， b， d。 这两个角是相等，所以角 c， b， d， c， d， d。 它是等于角 g， e， d 的 g， e， d， c， d， d。 等于角 g， e， d。 这里就找到啊，两种角相等，那么右呢？ 这个三角形的斜边 b， b， b。 等于这个三角形斜边 b， b。 所以 三角式 b， c， b 啊 b， c， d。 它是全等于三角式 e， g， d 的 e， g， d， e， g， d。 所以 c， d。 它就等于 g， e， c， c， d 啊，等于 g 啊，就得到证明。第二， 如图啊，它加 c， f 等于 f， b 等于二十。求 b， d 的 场，那我们知道 c、 d 的 场是知道的，那我们能不能求出 c、 d 的 场呢？我们设 c， d 啊，等于 x 啊， c， d 等于 x， 那 我们看这两三个圆心，因为这两条线平行的啊，这三个圆心呢，就等于 x 啊，那我们看这两三个弦是平行的啊。 那么这个地方的 x， 根据刚才的任意选等，则记 b 记忆，记忆也得也得根据条件，已知条件 d， g， 它是等于 bc 的， bc 等于四四， 因为 d、 c 平行于记 e 啊，记 e， 所以 三角形 d， c， f， d， c、 f 它是相似的三角形 d， g， e 的 d， g， e， 那我们所以这里 c、 f 的 长 c， f 是 等于二 c， f 比上 g， e 等于 d， c 比上呢？ d， g， d， g， 这里 c、 f 等于 d， c 的 也是等于 d， c 的 也是点 x， d， c 的 长 d， c 的 长是不是 x， d， c 的 长，这里 d， g， d， g 是 等于 d， c 等于四，所以 x 的 平方是等于八八。那么 那么在这个实验当中，所以 d、 d 的 平方是等于 d、 c 的 平方， d， c 的 平方就是八，加上 d、 c 的 平方， d、 c 的 平方就是一次性二个四，二个四，所以 d、 d 就是 点 d 格号二十四，也就是二，点，格号内就是 b、 e 的 长度。第三步，就将 d、 c 比上 c， a 等于 b， e 比上 e， a 对 k 要求这个 k 值，那我们联结一下 c， e 看，我们联结一下 c， e， 那 我们看到 c， e 啊， c， e 啊， 这 c 一， 它是平行于第一的，嗯，现在这个角加一下角平行，平行，相切平行，所以我们得到，所以得到角 a， c， e 啊 a， c， d， 它是等于角 a， d， b， a， d， b 那 么 a， d、 b 这个角是等这样的啊，是因为是全，刚刚证明是全等关系，等于角呢？ g， e， d， g， e， d， 那么等于，因为是平行，因为这两个线平行，所以它就等于角，一样的，一样的， 所以我们知道这个角跟这个角是相等的，这个角跟这个角是相等，那我们在这个三角形中，在三角形这个 a， c， d， a， c， d 和三角形 b， e， f， d， e， f， d， 因为这个角的是角 c， a， e 呀，角 c， a， e， c， a， e， 它等于角 f， e， f， e。 找到前面的条件，角 a， c， a， c， e， 它是等于角 e、 m、 d 的， 所以这两个三角形呢，是相似的，所以三角形 a， c， d， a， c， d。 它是相似于三角形 b， e， r， b， e， r 这两个也相似，所以这里 b， e， r， b， e， b。 一 比三呢 a， a， 它就等于这个 b， f 比上 a， c 的 b， f 比上 b， c。 这里 b 一 比 a 一 b 一 比 a。 又你看这个 b 一 比 a 呀 b 一 比上 a 一， 它是等于呢？ b， c， b， c 比上 c， a 的 c， a。 所以 b， f 比上 a， c， 它就等于呢 d， c， d， c 比上 a， c， a， c 啊，所以我们得到 b， f， 它是等于 d， c 的， 这里 b， f。 就 等于 d， c。 然后呢，再进一步看，在三角形这个三角形，在这个三角形当中，这里有一个公共角啊，这一个，因为这个角呢，这个角它是等于啊，这个角对角在三角形 dcf， dcf 和三角形 dcf， 那 么就是 dc 啊， 就是 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中，那么这里有个公共角啊，角呢？ c， d， d， c， d， d， c， d， d。 刚刚已经证了是等于 e， f， d 的 e， f， d， e， f， d， 那 么也就等于角 c， f， d， c， f， d。 这个角跟这个角相等，这里有个公共角，所以这两个角也是相似，所以三角形 d， c、 f 相似于三角形 b， c， b， d， c， d， 这是子母相似。子母相似，有一个公共边，这里有一个公共角，这里写成子母相似，所以得到 d， c 的 平方 d， c 平方，它是等于呢？ c， f， c， r 乘以 b、 c 的， 那么这个 c， f 啊，这个 c， f， 它是等于 dc 减去 b， f 的， 所以 dc 的 平方，它就是等于 c， f， c， f 是 等于 dc 减去 b、 f 的， 也就是等于 a、 c 减去呢？ d， c， d， c， d， c 是 等于 a、 c 方，等两边同时除以 a、 c 的 平方，同时除以 a、 c 的 平方，那么就得到 d， c 除以 a， c 的 括号平方。括号平方等于， 这里是 a， c， a， c， 这里是 a， c 减去 d， c， 也就说等于啊 e 减 d， c 除以 a， c， 那 我们得到这样的公式，那么 d， c 除以 a， c， d， c 除以 a， c 就是 k， 就是 k， 所以 k 平方等于一减 k， 那 我们讲的 k 啊，是等于二分子幺五减 e， 幺五减 e。 这个是做这题很多的相似，关键在你老讲啊，这里有一个字母相似啊，这是大家第一，这题也有点难。

各位，你们做过这道题了吗？各位，这道题完全读懂他怎么个切割的点 a， 到现在为止还不太读懂他怎么切割的点 b。 对， 首先大家告诉我，因为老谢给你们讲题，一切为了你们的高考最终的成绩负责，所以老谢关于这道题，首先给你们的第一个建议，猜是什么？对， 正因为选择压轴有可能会考让你陷入泥潭的题， 所以强烈建议选择压轴在第一轮压根别砍。虽然确实有些选择压轴挺简单的，提前做了心里边踏实， 但是你想过没有，后边还有几道大题，这道题跟你说，即使胜也是惨胜，什么叫惨胜？要么当然还有可能惨败，要么做了半天发现没答案。各位，你能告诉我这道题， 那就是败了。你能意识到这道题做了半天，发现四个选项跟你想的不一样，你告诉你得有多崩溃吗？对，要么做完以后脑子已经累了，这才做了第十题， 后边还有一百一十分的题，你做完第十题，你脑子要累了。有的时候你累了，你并没有那么明显的感觉到累，但是只要身体实际上累了，脑子实际上累了，你的出错率就会提高。因为有些题其实你会做，但是你知道不够自信，是不是就有可能出错。各位， 所以老谢关于这道题的第一个建议就是，千万别管第十题简单还是难，一眼都别看，因为看一眼可能就拔不出来了。因为你做后边的题的时候，你满脑子里边想的是前面那道题，耽误太长时间，快不得快，结果后边的题一快一堆。 这是第二个建议。各位，这道题说实话确实需要一定的空间想象力，我跟你们讲了一个空间想象力有点弱，也能做出来的一种方法，但是这个方法确实需要超强的逻辑， 我先给你们做一个铺垫，各位，你们能理解，两刀必然出一条线，三刀出一个点，各位能理解吗？就是三个面，三刀下去就会一个点，两刀会出一条线，对，找点连线，旁边写下几句话，各位，超强逻辑。 第一个坚信，这种体非球类的空间体都是有点决定的，咱们只需要最终找出来这个多面体剩几个点就行。前几步应该比较简单，最后一步可能需要一点点空间想象力，这个空间想象力就是说 三刀下去就会有一个点，两刀下去必然有一条线，各位请看好原始状态。 b 一 所在的多面体就是这个正方体。第一刀 a、 c 面切下去，大家会发现是不是只剩下 a 一、 c、 a、 b、 c 和 b 一 这六个点了，这点好理解吗？ 咱们就死盯着这个点，因为刚才老谢跟你们说了，体如果太复杂，就拆成面，面复杂拆成线，线最终可以拆成点，两个端点可以决定一条线，三个点可以决定一个三角形，四个点可以决定一个三棱锥。所以各位，首先咱们一步一步来， 这个平面下去，一刀下去是不是这个多面体现在有六个点？好，再来一刀，这刀下去哪个点没了？你们看看减少的点是什么？是不是这个点没了？各位，点 a 是 不是就没了？有没有增加新的点？你们看看有没有增加新的点，看一看。好，最后一刀， 他下去，你看看哪个点没了？各位，这刀下去很容易发现是不是点 c 没了，但是我们显然知道不可能是一个点 c 没了，但是我们显然知道不可能是一个点 c 没了，但是我们先看看有没有哪个点增加了， 有没有哪个点增加了？体心增加了，这个说实话有的人不一定好想到。各位，其实我看下边有没有一个那什么的，其实应该是这种角度，说实话都不太好看这个角度， ok， 咱们看一看，肯定是要连 ac， 你 是先连 ac 一 和 ac 是 吧？你会发现，其实我给你们画一个吧。各位， 刚才呢？我们现在还剩这个点，这个点，这个点，这个点，这个点，这五个点，这五个点呢？我把它调个个， 我把它调个个，就是说我先画一个下边一个底部的正方形，然后呢上边有一个这个。各位，我把它画成这个， 这是 b 一， 这是 c， 这是 c 一， 这是 b， 这是 a 一。 各位请看，咱们两刀下去，其实切成这样一个四棱锥了，大家看了吗？两刀下去切成这个四棱锥了，然后第三刀切什么呢？第三刀是沿着 b、 c 一 这个条线切一个和底面垂直的面， 大看就是和这个 b、 c 面垂直，所以垂直他就往正上走，这就是我说的 三刀下去就会有一个点出来了，这就是我说的，如果是你觉得一个题太复杂，你可以把它画成让自己满意的，让自己舒服的一个点。大家看这个第三刀是蓝色的刀， 你们能理解，蓝色的刀是过 b、 c 一 垂直于这个面的刀，也就是过 b、 c 一 垂直于底面的刀，它是这个蓝色，是立着往上走的。 各位，你知道增加了这个点吗？各位，而这个点你能看得出来它就是 a、 e、 c 的 中点吗？所以这道题大看就做完了，也就是最后剩的是，对，最后剩的是这些，这个其实特别好看，因为这个这个这个三角形， 这个三角形，这个三角形全等的，另外这个三角形三个全等的，你只需要求出来两个再乘以三就行。来，各位， 这就是说我面对一个很恶心的一道例题，几何题我就关注点，最后我发现就剩下这个点，这个点，这个点，这个点，你看对应的就是这个点点， b 有， b 一 有， a 一 有， c 一 有， 然后这个 c 都没了，最后对不对？然后呢？最后就多了一个点，五个点，三三组成一个三角形，三三组成一个三角形， 因为他这个是整个正方体的中心，所以他到所有顶点的距离都是相等的，所以这个等于这个等于这个都等于体对角线的一半，所以你会发现包括这个这个、这个这三个又都是面对角线，对不对？这个这个这个就是三个轮， 所以这里边一共是六个三角形，其中有三个是互相有两组，都是全等的。来，各位，这个方法大家完全听懂，点 a， 大概听懂点 b 还是有点蒙的，点 c， 就 这道题就是我讲例题几何的，把我的哲学用到极致了，就最后就观察点，各位，就是观察点，然后最后呢？我画这个图，我是把原来这些都摘出来，换了一个视角，这么看就比放的这个 这个正方题里边好看多了，对不对？各位， ok， 这道题呢，说实话，在高考考场上做不出来是很正常的。然后呢，但是你听了我讲了以后就是疯狂的编制的，就是拆，就是拆。好了，各位，我们简单一块总结一下下半节课的收获吧。先从这道题到这收获到这总结，好来，各位，我们看一看， 也就是说这道题我们就是把体到面到线到点猜透。另外呢，这道题我没有完全用空间感去感知，对不对？ 我是加上一些逻辑，就我就知道，反正是我就看那几个点，虽然一个点一个点的看我能看清楚，但是我还是感知不了整个这个空间几何题长什么样，对不对？哥们， 我仍然不清楚长什么样，所以呢，也就是说，我就是一个点一个点的找我看，增加了几个点，减少了几个点，最后这个增加的这个点对我来讲有点难，有点难的时候我就是怎么方便怎么来。

哈喽，同学们好，今天是三月十七日，离我们对口升学考试的时间越来越近了，我们数学科目将在二零二六年三月二十二日上午九点到十一点半进行考试。从近两年对口升学数学考试的历底几个部分来看，二零二六年这个知识点预测呢还会继续考， 下面呢，我们来看一下二零二六年对口升学数学是题中的例例，几何将怎么去考，我们直接呢哪一道题呢？给大家预测一下。好，我们来看一下二十三题。这道题呢，背景是空间四边形，空间四边形也叫空间四面体，也是我们平常所说的三楞锥， a、 b、 c、 c、 d， a、 d 这四个边相等，他们的终点呢，分别是 e、 f、 g、 h， 来证明这样的一个四边形是矩形。那么首先想到矩形的判定 判定，我们可以证明这个句型呢，首先是平行四边形，根据判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，或者说证明它的对角线相等的平行四边形是矩形。或者说呢，你证明这 三个角都是直角，这样的四边形呢是矩形。那根据这道题我们来看一下，由于这个中点有中点有三角形呢是矩形。那根据这道题我们来看一下 e、 f 平行且等于二分之一的 a， c， 同理 h， g 也是平行且等于二分之一 c， 也就说我们很容易证明 e、 f 平行且等于 h、 g。 然后这样的话呢，平行四边形就正到了，然后我们再找一个角是直角就可以了， 比方说我们要找这个 e、 f、 g 这个角，想证这个角是直角，那么想证这个角是直角的时候，我们可以通过什么来证？我们可以通过这个 b、 d 这条线来垂直于 a m， c 这一个面，就是通过线面垂直来证明 b、 d 垂直于 a c， 那 么 b d 垂直 a c， 也就是说呃 f g 就 垂直于 a c， 而 a c 与 ef 相等，也就证明了 ef 与 f g 垂直，这个直角就正出来了。好，下面呢，我们将这个步骤呢给整理一下证明。首先把这个辅助线给写上，取 b， d 中点 b， d， 终点为 m， 然后连接 a， m， c， m。 好， 下面，因为 e、 f， g， a 器 哎，分别为 a， a， b， b， c， c d d a 的 终点， 所以 ef 平行切等于二分之一的 a c。 同理， h g 平行切等于二分之一的 a、 c， 所以 ef 平行切等于 h g。 所以 四边形 e f， g， h 为平行四边形。好，这个我们相当于完成了一部分了，证明它平行四边形下面正垂直，因为 ab 题上说 ab 等于 ad， 而这个 m 为为 b d 中点， 那所以三角形 a， b、 d 就 为等腰三角形，也就说我们可以用到 am， 它就是垂直于 b d。 同理，我们在这个三角形 b、 c、 d 中能得到 cm， 也垂直于 b d， 同理，得 c m 也垂直于 b d， 这样的话，这个 b、 d 就 垂直于 a m， 又垂直于 c m， 而 a m 和 c m 相交于 m， 所以 说它就垂直于这个面了。 哎，所以 b、 d 就 垂直于面 a， m， c 那 么这样的话呢，它就 b、 d 就 垂直于这个面上的所有的线，那它就垂直于 a、 c 了，就垂直于 a、 c。 由于 e f 平行于 a、 c， 所以 这个 b、 d 啊，就垂直于 e f， 然后又因为 b、 d， 哎，平行于 f g 啊，也是中位线嘛。那所以说我们就正出来， e f 与 f g 垂直，也就是说这个角 e、 f g 为直角， 为直角，那么我们就正到了这个四边形， e f、 g、 h 为矩形， 就正出来了。好，我们重新分析一下这道题，他大致上来说呢，分成了两部分，哎，第一部分就是正什么呢？正平四边形。 哎，第一段就像我们写作文一样，第一段正平四边形，然后第二段呢，我们的目的呢，就是正垂直，也就是说正直角， 正直角。然后第一段呢，详细利用呢，就是中微线三角的中微线平行且等于，嗯，就是平行，且等于第三边的一半。 那么第二个呢，我们主要利用的什么字点呢？正到了一个线面垂直的判定定律，一个线要想与一个面垂直，那么只需要这个线呢，垂直于这个面里呢，相交直线就一对相交直线 就 ok 了。然后呢，就是通过这个线面垂直得到这个，这个线与这个面里的所有的直线都垂直，然后又用到了 一条直线垂直于平行线中的，只要平行于一对平行线中的一条，那么他必与另一条呃，也垂直。就是一条线与平行线的平行线中的一条垂直，那么他必与另一条呃，也是垂直的。记得点赞关注哦！

我们再看一下第二位，求证角 d， h b d d， h b 这个角是九十度啊！根据第一位，我们已经知道这个角是四十五度，那我们现在只要求证这个角是四十五度就行了， 那它要求它是四十五度。那么在这个三角形，在三角形 a、 b、 h 中，想求它是四十五度，不好求，没头绪。但是四十五度一般是不是出现在等腰直角三角形里面？ 它没有怎么办？没有，我们就构造，哪怕把它放在等腰直角三角形里面，那就过点 b 做 b， a， b， k 垂直于 a， g， 这是 k， 那 做完以后我们会发现， a、 b 是 等于 a d 角 b， a、 k 加上角 k， a、 b 等于九十度。角 d， a， i 加上角 k， a、 b 也是九十度，所以角 d a、 r 是 等于角 a、 b、 k 所以 三角形 a、 b、 k 是 全等于三角形 d， a i 的， 那么这两扇形全等，我们就可以得出 a， k 是 等于 d i， 它是不是等于 h i 啊？这是第一问可以得出来的，它等于 h i 啊。三角形 a， d， g 是 等腰三角形 d， i 是 垂直 a g， 所以 i 是 a g 中点， 那它是中点，所以是不是 a， i 是 等于 g i 那 已经是 a， k 是 等于 i h， 那 i k 是 不是等于 h g i k 是 等于 h g 那 所以 kh 是 不等于 k i 加上 i h， 那 它是不是就等于了 a i 呀？那它也就等于了 b k 所以 三角形 bkh 是 等腰直角三角形，所以角 a、 h、 b 是 等于四十五度，所以角 d、 h、 b 等于九十度啊！我们可以转化一下。

高中数学最难的立体几何解答题全部练完，逆袭班级前三！立体几何解答十五种题型归类大权提醒一，四边形法正线面平行提醒二，中位宪法正线面平行 题型三，做平行平面法正线面平行题型四线面探索型完整版分享！

在正方体中， e 在 a、 b 一 上， f 在 b d 上，且 b e 等于 b f， 也就是这个 e 和 f 在 这个两个面的对角线上， 然后呢， b、 e 是 等于 b、 f 的 这两个小段相等。现在通过观察图形，我们发现 e、 f 和现有的棱和线都不是平行的，所以我们需要过这两个点做出来平行线，过 e 点做 e， g 平行于 ab， 过 f 点做 e h 平行于 c、 d， 也就是平行于 ab。 我 们现在在连接 g、 h， 这样的话，我们目前通过做完这个平行线，已经得到了 g、 e 是 平行于 f、 h 的， 我们现在只需要再证明它相等，这样的话，我们这个第一问的这个线面平行也就正出来了，现在我们看他们怎么相等。还有一个已知条件，就是这个 b、 e、 e 是 等于 b、 f 的， 我们看在整个 a、 e、 b、 e、 b 这个侧面上这个三角形 a、 b、 e b 里， g e 比上 a、 b， 它应该是等于 b， e 比上 a b e。 在这个下面的这个底面的这个三角形 b、 c、 d 中， b f 比上 b、 d， 它应该等于的是 f h 比上 c、 d。 我 们现在在已知条件中已经知道了 be 是 等于 b、 f 的， 而 a 一 而 a、 b 一 和 b、 d 作为正方体的侧面对角线，它们两个也是相等的，所以通过这个 a、 b 和 c、 d 也是相等的，所以通过这两个条件，我们再加上刚才说的这几个等等相等条件啊，这样的话我们就能得到 g、 e 是 平行于 f、 h， 我 们就能得到 g、 e、 f、 h 这个四边形为平行四边形，这样的话我们就能得到 e、 f 平行于 g、 h， 进而退出我们要的结论， e f 平行于平面 b b e c e c。 好 了，第一问就这样搞定了，然后我们再看第二问。第二问是比较少见的把立体几何和函数来做了一个结合，我们重新来一个图。第二问， 如果正方体的棱长边长为，正方体的边长为根号二，这应该说是冷场啊。设 b f 为 x， 我 们继续把刚才的图给它补出来， b f 为 x， 也就是这个底下，然后 e f 为 y， 这样的话，让你求 y 和 x 之间的关系，也就是求这个函数式。我们现在就是需要把 x 和 y 建立一个等式。我们通过第一问，我们已经知道了 g x g h 是 等于 ef 的， 那么也就是说现在要让你来表达 ef 和 bf 之间的关系，那么现在就能转化成 b f 和 g s 之间的关系，而边长是根号二，我们现在是知道的。那现在我们只需要把 在这个三角形里，把这一段和这一段用 x 来表示出来就可以了。那么这一段因为这个夹角 ab 一 b， 它是等于四十五度的，所以我们这个地方是 x， 这样的话，我们 b e g， 它就等于的是假角四十五度，那就是二分之根号二 x， 同理这个 b h b h 也是等于二分之根号二 x 的。 这样的话，在这个三角形 g b h 中， g h 它就应该是等于根号下 b g 的 平方加上 b h 的 平方。而 b g 呢， 它是等于 b b 一， 也就是根号二。减去上面这个 b e h 二分之根号二 x 加上 b h 的 平方，等于二分之根号二 x 的 平方。这个整理完之后，应该是根号下 x 的 平方，减二， x 加二，再进一步整理是根号下 x 减一的平方加一，这就等于 y 了，因为既然是他就是等于 e f。 好， 第二问就这样搞定了，但是这个里面不要有一个遗漏，既然是函数，一定要有定义域，我们知道这个 f 点是在 b d 上 一个动点，那么它的取值范围就应该是 b d 的 整个最大值是 b d， 然后最小值应该是大于零，所以根据这个根号二，我们知道 b d 是 等于二的，那所以 x 的 取值范围应该是 x 大 于零，小于二，这样的话第二位就搞定了。我们再看第三问， 当 ef 最短时，那也就是当 y 取最小值的时候，我们根据函数看一下什么时候它取最小值，就是当 x 等于一， 也就是它这个就是最小值了。求 ef 和 ab 一 所乘角的大小， ef 和 ab 一 就是这条边和它是。我们继续把刚才的这个画出来， 现在我们看一下，当它取最短的时候，那 x 等于一， x 等于，也就是 b e 等于一， b f 等于，而我们知道 b d 和 ab 一 都是等于二的， ab 一 等于， b d 是 等于二的，因为边长是根号二嘛。 这个时候我们现在确定了 f f 点和 e 点分别是在这个 b d 的 中点上。 呃，这里面要提醒一下同学们，不要拿到夹角就立马去去做间隙啊，因为有的时候是通过单纯的立体几何也可以解决夹角的问题。我们现在看他，既然已经是终点了，我们重新画一下这个 e f， e f 换个颜色， e f 应该就是在这里了。中点， 那么现在要你求的是 e f， 那 么 h 点也是在中点上， g 点也应该是在中点上。 现在让你求的是和 a、 b、 e 的 夹角，那么现在因为这个，我们通过上面呢，已经证明了 e、 f 这是 f 点， e、 f 是 平行于 e， f， 平行于 g h， 我 们再把 b、 e、 c 连起来， 这样的话它也平行于 b、 e、 c。 现在整个 e、 f 和 a、 b 的 夹角就转化成了 b、 e、 c 与 a、 b、 e 的 夹角，我们发现这就是正方体的两个对角线，我们再把底下的这个对角线连起来，也就把 a、 c 连起来， 也就上面的这个夹角，它的这个夹角的大小和转化成了 b、 c、 e 与 a、 b、 e 的 夹角。这样的话，我们就接下来就看这个 b、 e、 c 与 a、 b、 e 的 夹角，我们把 a、 c 连起来了。三角形 a、 b、 e、 c 为一个等边三角形，为什么呢？因为 a、 b、 e 是 等于 a、 c 也等于 b、 e、 c 的， 分别是这个正方体三个侧面，三个侧面的这个对角线，于是这个三角形 a、 b、 c 就是 等边三角形，于是 b、 e、 c 与 a、 b、 e 的 夹角 为六十度，所以 e、 f 与 a、 b、 e 的 夹角 为六十度。当然了，很多同学可以用间隙的方式再把它做出来，当然了，这个无论是间隙还是通过纯立体几何，大家都可以来尝试一下。好了，今天的这道题就这样，同学们拜拜。

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

大家好，今天我们来看一个关于几何的题目。他说如图所示，将长为十三厘米，宽为九厘米的长方形硬纸板的四角去掉 边长为两厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方形容器。这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为三厘米的正方形呢？首先这里有个知识点，就是长方形的面积公式， 长方形的体积等于长乘宽乘高。 然后呢，他现在要我们求这个容器的面积，他说将一个十三厘米，宽为九厘米的硬纸板四角去掉为两厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器。首先呢，我们先看它的长是多少，它们的长就这一块，我们现在知道 整个长方形的长是十三，只需要减掉这两边就可以了。由于这是个正方形，所以这是二，这也是二，也就用十三减去二乘二等于十三减去二乘二，也用十三减去四等于九厘米。 然后咱们再来看宽，宽是这一段，这一段整个的是九，也是减去这两个二，也就是九减去二乘二，九减去四等于五厘米。然后再来看高， 高是这一段，也就直接是二，知道了，高是二就乘一下，九乘五乘二，五九四十五，四十五乘二等于九十立方厘米。 这是第一个小问。然后他让我们如果四角去掉边长为三厘米的正方形呢？那我们只需要把里边的二换成三就行了。第一个十三减去二乘三等于十三减去六，也就等于七厘米， 九减去二乘三等于三厘米。然后呢高就是三乘一，下七乘三乘三，三七二十一，二十一乘三等于六十三立方厘米， 所以这个容器的体积是九十立方厘米，如果四角去掉边长为三厘米的正方形是六十三立方厘米，你听懂了吗？