深圳一模数学12题怎么做

同学们在我们之前的视频里专门讲过特殊立体几何的解析思路与技巧，而这一次的深圳异模数学试卷里，刚好就直接用到了这套方法，可以说是学以直用，立刻就能提分的典型题型。 下面我们就完整分析这张试卷，看看每一道题究竟在考什么，难度如何，对我们有什么要求。 一、单选择题一、考察的是统计里面最基础的平均值计算，属于送分题，所有同学都必须稳稳拿分。二、考察负数的基本概念与魔长计算， 只要基础概念清楚就能快速做对。三、考察抛物线的基本性质，侧重定义理解，属于圆锥曲线里的基础题型。 四、考察三角函数的周期与对称，中心重点在性质识别，不需要复杂计算。五、考察函数的既有性与周期性，综合运用，需要对函数性质有清晰理解。 六、考察三角函数的公式变换与运用，强调公式熟练，步骤规范。七、考察平面向量的投影概念，侧重理解几何意义，属于中档基础题。 八、考察不同函数之间的大小比较，需要结合图像与性质判断，是选择题里的区分题。二、多线题九、考察正三棱台的陷面关系，包括平行与垂直判断， 非常考验空间想象能力，也是我们之前讲过的特殊立体几何结构直接能用的地方。十、考察 双曲线的性质，以及直线与双曲线的位置关系，综合性较强，容易因为概念不牢丢分。十一、考察概率与期望的理解型题目 需要先读懂题目定义再进行分析，对临场理解能力要求高。三、填空题十二、考察解三角形的基本方法，属于常规必拿分题。 十三、考察等差数列的通向与前 n 项和性质，测重公式灵活运用。十四、考察及核心定义问题重点在逻辑推理与分类思考，是整张卷里很有亮点的创新题。 四、解答题十五、数列综合题，第一问接触，第二问测重求和方法，步骤清晰就能拿分。十六、概率统计大题， 考察概率模型构建与计算能力，提前常规思路固定。十七、立体几何大题，第一问证明平行，第二问计算角度与体积，刚好能用到我们前面讲过的特殊立体几何解析。逻辑。 十八、函数与导数压轴题第一问基础，后面两问主谱提高难度，用来区分高分学生。 十九、解析几何压轴题第一问相对基础，后面问题综合性强，运算量大，是顶尖学生拉开差距的关键。整卷总结，这张深圳一模试卷梯度非常清晰， 前面基础题保证大部分同学能拿到稳定分数。中等题侧重知识综合与严谨性，拉开中等生与普通生的差距。压轴题侧重思维深度与计算能力，用来选拔高分段学生。

两分钟给你讲懂在今天下午刚刚考完的深圳一模的填空压轴题，首先呢来看到他给了八个正整数，然后呢说 s 是 等于这其中的七个数字相加，这个里面 s 他 给了七个数字，从八十二到八十九。 我们来讲一下，如果说是八个正整数，我们任取七个相加，即使他是有顺序的，那么这个时候理论上讲是不是应该有八个结果， 但是最后却产出了七个数，那么也就说明这七个数相加之后产生的八个结果，应该有一个和其中的另外一个是一样的，是不是说明在这八个元素当中，有一个元素要和另外一个元素是相等的，对不对？ 那既然呢，这八个元素他们是有大小顺序的，我们就不妨假设这个里面 他的顺序是从 a 一 到 a 二到 a 三，一直这样去递增排列的。然后呢把这个 a 八单拎出来， 我们假设这 a 八是重复的那一个啊，这个地方是我们不妨去设的，那么为什么可以这样不妨去设呢？因为你最后一定会产生一个大小排列，这个大小排列是什么样子的无所谓，反正这八个数字现在在我来看他们的地位是等价的，所以说我可以采取这样不妨设的一个思路。 那么紧接着我们再去想一想，现在对于其中的七个求和能够得到这些结果， 你想这些结果是不是就相当于我把这八个数字相加减掉其中的一个？正南则反的一个思想，我加上七个是不是等于全部求和，再减掉其中的一个？ 那如果说你能够想到这一层的话，接下来这道题目基本上就解决了。我们可以假设这个里面 a 一 一直加到 a 八， 它的求和等于一个 n， 所以 这个里面我们就会发现呢，你这个八十二到八十九都可以用 n 和这个 a 叉叉来表示了， 什么意思呢？你想啊，这个里面 a 一 是不是最小的？那么求和减掉一个最小的就应该等于八十九，求和减掉一个第二小的就应该等于八十七，依次类推，那么这个求和再减掉一个 a 七， 他应该就等于八十二。所以这个时候啊，你来看，如果说我将这两个式子啊，相邻的两个式子去做一个叉， 是不是能得到 a 二，减掉 a 一， 它应该等于二啊，是吧？然后呢，如果说再拿这个 a 二这个式子和我们这个 a 三的式子，你想 n 减 a 三，它应该等于八十六， 我拿这两个式子再做一个叉，能得到一个 a 三，减掉一个 a 二等于一。那么接下来你看发现没有，八六、八五、八四、八三 这些都是相差为一的，所以接下来的话，他们这些都是作差等于一，那是不是就产生了他们这些 a 一 到 a 八之间的一个地推关系？所以现在我就不妨假设这个 a 一， 它就是一个 a， 接下来我把 a 一 到 a 七全部都用这个 a 和常数来表示。所以啊，我们这个时候就发现， a 二其实就等于 a 加二， a 三等于 a 加三，依次类推 a 七就应该等于 a 加七。那么有了这些之后，你说我们这个大 n 啊，就是这个求和，能不能表示？应该可以吧？我们这个 n 它就应该写成七个 a， 然后加长数，从二加三一直加 加到七，再加上一个 a 八，哎，这个就是我们的 n， 所以 这个时候我发现了 a 八可以表示了，等于 n 减掉一个七， a 再减掉多少啊？那么这个地方首项加尾项乘上一个项数除以二，应该等于二十七， a 八有了好， a 八有了之后，我们想求的是不是这八个正整数当中的最大数和最小数之和？那就说我们要尽量的把这 a 一 到 a 七给它算出来，是不是？那 a 一 到 a 七怎么算呢？我们就要把这个已知的式子 啊，已知的式子往我们的目标变量上去转移。那我们想一想啊，你这个 a 八他的范围是什么？他是不是一定在 a 一 到 a 七这个范围之内啊？也就是说我们这个 a 八，他应该是要大于等于 a 一 小于等于 a 七的。 那你想一想，我们现在能不能把这个 a 八它的这个表达式带入到这个式子当中啊？我觉得应该是可以的。你想啊，如果说我们带入之后，那现在这边是 a， 然后呢？ n 减掉一个七， a 减二十七，右侧是个 a 七， a 七是什么呀？它就是一个 a 加七。 现在问题来了，我要想求 a 的 话，我是不得想办法把这个 n 处理掉， n 怎么处理来，你看这儿 n 减去 a， 它是一个长处吧， n 减去 a 应该等于八十九，所以说这个位置 他就应该是一个八十九，再减掉一个六， a 再减掉二十七，大于等于 a 小 于等于 a 加七。来我们处理一下。那么这个左侧能解出来是什么呀？应该是叫七 a 要小于等于六十二，那么这个右侧是什么呀？ 应该是我们的七 a 要大于等于五十五，那这样子算完的话， 我们会发现这个 a 应该是要小于等于七分之六十二，大于等于七分之五十五的，那么这个东西应该是七点几，这个东西呢？应该是八点几，那你说这 h 几？ a 可是一个正整数啊，所以 a 显然应该是等于八的， 对吧？那如果说现在 a 等于八的话，这个题是不是结束了？那我们的最小值就应该是八，最大值就应该是八，加上一个七等于十五，所以说最大数和最小数的和就应该是一个二十三。那么这道深圳移模的填空压轴题我们就讲到这里。

第三点，这道题怎么弄好？画图 a b 出来了，这个，这个，其实这道题你不画图也可以。为什么呢？我直接先求角 c， 角 c 是 派，减四分之派，再减十二分之五派。哎，我们发现呢， 来十二分之四，四分之三，十二分之九，十二分之九减它，我们发现就是三分之一块，然后再利用什么东西。你看， a 比上三 a 等于 c 比上三 a， 你 看这个 c 不 就出来了吗？ a 乘以三， a 比上三 a， a 是 二上一， c 呢是二分之根号三，上 a 呢是二分之根号二，看到没？好，这一页就是根号六了，你们自己去算。所以这题相对来说是基础题，比较容易啊。 好，第十三题，这个呢，他说等差速列的前根项和为 s n s 五 s 三 s 四，既然是等差速列怎么办呢？我们有一个等差中项，对吧？来，这个 就是说，当你想不到什么其他的最老实的办法呢，就用最基本的公式。 有些人说，这太俗气了吧，什么熟不俗气，咱们一切回归到基础，能把题做成就行。来， s 五是变成五倍的 a， 加上二分之一是三 倍的 a， 一 加三 d 来。 s 四 是四倍的 a， 一 加六 d 来，我们看这个三倍的它，那就是三倍的括号，五倍的 a， 一 加十 d 等于八括号，三倍的 a， 一 加三 十 d， 二十 a， 一 加二十 d， 这个挪过来，那就是六 d 那 个挪过去，那就是九倍的一啊，也就是说都除三二 d 等于三倍的 a， 这第一个是指啊， 下面这个呢？ s 四等于二十六，那就四倍的 a， 一 加上六 d 等于二十六。好，接下来怎么换？我就把这个二 d 一 带到二里面去，我把它都乘以三， 你说四倍的 a 一 加上九倍的 a 一 就等于二十六， a 一 是不是等于二？ a 等于二，那么 d 呢？就等于三，在这个背景之下，你说 a 五还不出来吗？ a 一 加四 d， 你 看一切回归基础。哎，这样的题你做不出来吗？肯定做的出来，是不是事实啊？ 所以说啊，我们学数学的时候不要忽略基础，基础概念，这也非常重要啊，你们看，一气呵成。

大家好，我是国强高中数学组戴老师，接下来我们一起分享一下二零二六年刚考完的深一模的第十题。 好，首先大家看一下题目给了双曲线的方程， x 方减 y 方等于一，由双曲线的方程，首先我们可以得到焦点的坐标 f 一 负高二勾零， 以及我们的渐近线方程，一条 y 等于 x， 还有一条是 y 等于负 x， 好， 接下来大家看一下现在过 f 一 的这个直线 l。 首先大家看一下我们 f 一 点的坐标是负根号二六零， 接下来过 f 一 的直线，因为 f 一 是在 x 轴上，所以我们就可以设 l 这条直线方程为我们的内点形式，也就意味着是我们的 x 减去负根号二，那就等于七倍的 y 减零。好， l 射出来了以后，因为我们的 f 过 f 一 的直线 l 与渐近线的交点对不对？所以我们要与我们的渐近线连立，一个是 y 等于负 x， 好， 这两个连立出来，得到我们 a 点的坐标，大家可以看一下是多少啊，可以算一下啊，得出来呢是负根号二，对不对？再除以。 大家看一下我们的 t 加一，这是 a 点的横坐标，纵坐标 y 等于负 x， 也就意味着等于根号二除以 t 加一，对不对 啊？同理，大家看也可以得到我们 b 点的坐标 x 加根号二等于奇倍的 y， y 等于 x 解出来得到 b 点的坐标，大家看一下这个可以得到，它是根号二除以一 除以我们的 t 再减一。好， b 点是在 y 等于 x 上面，也就是在这条间距线上面，所以我们的纵坐标也是高二除以 t 减一对不对？好， a 点的坐标， b 点的坐标出来了，接下来大家看一下 a 为 f 一 b 的 中点，对不对？那就接下来我们通过 a 为 f 一， f 一 是负根号二负零和谁的中点呢？和我们的 b 根号二除以 t 减一，根号二除以 t 加 t 减一，好，为它的终点，那由终点坐标我们可以得到相加除以二对不对？也就意味着我们的负根号二再加上根号二除以 t 减一，就等于两倍的是不是？ a 点坐标也就意味着负根号二除以 t 加一， 好，由此我们就可以把 t 是 不是解出来了，对不对？好，这个 t 解出来了以后，也就意味着我们 a 点的坐标， b 点的坐标是不是全部都出来了？那接下来我们的 a boy， a boy 以及 c dog 是 不是全部都出来了，对不对？好，接 下来大家看一下这种方法是不是比较麻烦，有没有更简单的方法？我们接下来来看一下，这个是我们的常规方法。法一， 接下来大家看一下有没有更简单的方法。我们来看，首先大家看这条间距线是 y 等于 x， 也就意味着 k 等于一，且斜角是不是四十五度，对不对？好，那这一条是 y 等于负 x， 也就意味着 k 等于负一，且斜角又等于一百，是不是三十五度，对不对？好，接下来由这两个一个且斜角是四十五度，一个且斜角是一百三十五度，那么大家看是不是就可以得到 我们的这两条间距线的夹角，也就是我们的 a o b 这个地方是不是九十度，对不对？所以我们的 a 选项就可以出来。好，接下来大家看一下我们的 b 选项，三角形 b o f 二是等腰直角三角形。 好，大家看一下，现在我们的 a 点是 f e b 的 中点 o 点好，把这个另外一个焦点 f 二连接起来，那你会发现 o 点也是中点，中点，我们是不是就可以得到了 o a 是 这个三角形的，是不是中位线，对不对？好，那么我们把这个 b f 二这个连接起来， 所以得到了 b f 二是 o， a 的 是不是两倍，对不对？好，那由这个 o f 大家看一下，等于根号二，我们可以得到 b 点的 b 点的坐标，大家看一下这个是不是四十五度，对不对？所以我们 b 点的坐标是不是就等于了二分之二到二分之，是不是二，对不对？好，那由此大家看一下可以得到我们的 boy 选项，对不对？大家看一下我们的第二种方法。好，二， 首先我们直接设 b 点的坐标，我不设这条直线了。好，首先我就可以设 b 点的坐标是 m， 对 不对？好，接下来由我们的 a 为 f 一 b 的 中点 好，则我们就可以把 a 点的坐标是不是写出来，对不对？好， a 点的坐标那就等于了 m 加上负根号二，再除以二，以及我们的总坐标是 m 加零 除以二，这是不是 a 点的坐标，对不对？好，接下来我们的 a， 它是在 y 等于负 x 上，对不对？所以那就可以得到我们的二分之 m， 就 等于负的二分之 m 减去根二，大家看由这个是不是也可以得到 m 的 值， 对不对？好，这个 m 的 值大家可以看一下，那就等于了这个二分之二。好，只要 m 解出来了，那么 a 点的坐标， b 点的坐标是不是全部都出来了，对不对？好， 下来大家看一下这种方法是不是还是需要把这个坐标算出来，再来看这个选项是不是？好，那同学们想一下有没有更简单的方法？好， 接下来我们就来看一下第三种方法，大家看一下我们用蓝色的笔写好方法三，方法三，我就不减 a 点的坐标， b 点的坐标，我们直接根据几何法来做。首先大家看一下，由这个题得到 a 一 是 f 一 b 的 中点， 同理，我们的这个 o 点是不是就是 f 一 以及另外一个焦点 f 二的是不是中点，对不对？好，那大家看 o 是 终点， a 是 终点，那么 o a 是 不是就是这个三角形的一个？是不是中微线，对不对？好，那就意味着我们的 o a 是 平行，于是不是变分了？ 好，接下来大家看，首先由我们的间距线 y 等于 x 可以 得到 k 等于一，且斜角是四十五度，另外一条间距线 y 等于负 x， 且斜角得到一百三十五度啊，由这两条间距线我们可以得到我们的角 a o b 是不是九十度，对不对？所以我们的 a 选项呐， a 选项三角形， aob 是 直角三角形，是不是对的，对不对？ 好，接下来大家看一下，现在我们的 oa 是 平行于 bf 二的，也就意味着这个角是不是也是九十度，对不对？所以大家看一下，我们的这个角是四十五度，这个角是九十度，那么我们的 boy 选项看一下， bof 二是等腰直角，三角形是不是也是对的，对不对？好， 接下来我们来看一下更简单的第三种方法，不用算 a 点 b 点的一个坐标。好吧？好，首先大家看一下，由我们的千斤线 y 等于 x， 可以 得到 k 等于一，这个起斜角是四十五度，也就意味着我们的角 b o f 二，这个是四十五度。 好，然后由我们的另外一条千斤线 y 等于负 x， 得到了 k 等于一，我们的起斜角就是一百三十五度。 ok， 也就意味着我们的 a o f 二是 一百三十五度，所以就得到了我们的角 a o b 是 不是就等于了，是不是九十度，对不对？所以我们的 a 选项，那这个三角形 a、 o b 是 直角三角形，是不是对的？好，接下来再看一下，我们的 o 是 终点， a 也是终点， o 是 谁？ o 是 我们的 f 一 f 二的终点，我们的 a 点为 f 一 b 的 终点，所以得到了我们的这个 o a 就是 三角形， 这个 f 一 b f 二的一个中位线。中位线，那就意味着我们的 o a 是 平行于 b f 二的，对不对？既然平行，所以我们的内错角，那我们的角 a、 o b 是 不是就等于我们的角 o b、 f 二等于 九十度了，对不对？好，又，因为我们的角 b、 o、 f 二等于四十五度，是不是？好，所以，那就我们的三角形 o b、 f 二是不是就是为等腰直角三角形啊？这是我们的过与选项，那也是对的，对不对？好， 接下来再看一下我们的 c 选项， c 选项要求 ab 的 长度。好，首先大家看一下，我们知道谁知道 o f 二，它的长度等于是不是杠二啊，对不对？好，由，这个 o b、 f 二是一个等腰直角三角形， 所以可以得到我们的 o b 是 等于 b f 二，是不是一，对不对？好，接下来那我们知道的 b f 二，所以我们的 o a 是 不是就等于二分之一的 b f 二，也就是 o a 是 等于，是不是二分之一的，对不对？好，这几个算出来了以后，接下来要求 a b 的 长度，所以在我们的三角形 a o b 中， 是不是就可以得到 a b 的 长度，那就等于了根号下对不对？ o a 方，那就是四分之一，再加上 o b 方一，是不是就等于了二分之根号五，对不对？ 好，二分之二，所以我们的 c 选项是不是就是错的啊？接下来看一下我们的这个选项要求斜率，大家看一下，由这个长度关系，我们是可以得到 b 点的，是不是？坐标对不对？ 好， ob 的 长度是一，所以我们可以得到 b 点的横坐标是二分之二，这种坐标也是，是不是二分之二，对不对？好，那现在要求这一条 直线的斜率，我们的 k b f 二是不是就可以求出来对不对？ k b f 二，那就等于二分之根号二，再除以这个二分之三倍的根号二， 所以得到我们的斜率是三分之一。好，同理，由于这个对垂体这边是不是也有一样与它一样的，是不是一条，对不对？所以可以得到我们的另外一个斜率 k， 还有一条是等于负的，是不是三分之一。 接下来这三种方法，大家可以自己看一下，你觉得哪种方法比较简单，你自己可以选择一个合适的方法来解答这个题目。

函数其实可以画图看这道题，根号 x， 那 显然是过这一点，根号 x 是 这样子的喽，二的入位显然是从这走 过，这，这是二的负位，然后呢，负绕二，这，那显然是过这一点这么个东西。 所以这是表示 x 的 值， y 的 值， z 的 值，三个的相等数就三个的相等。比如说在这儿说三个相等，那写来 y 大 于 z 大 于 s， way 大 于 z 大 于 x， 这怎么就有了？那如果在这儿呢？这儿写的是 z 大 于 y 大 于 x， z 大 于 y， 这个也有了。如果在这儿呢， 显然还是 z 最大， z 大 于 h 大 于 y， 这个也有了。所以不可能的就是剩下这一个了，就是很难，都是抽象推理计算， 但是大家如果用数学结合数学，会变容易很多。我来教大家一些更切劲的东西，就是完全用图解加上一些小算术，就能把数学高考难题给搞出来，来见识一下。

新鲜出炉的广东一模保姆级讲解来了，我将携手思源学长一起共同创作。 hello， 大家好，我是思源学长。由于时间过长，我们分两期发布，先点赞后关注，掌握知识，快人一步。 好，我们首先来过一下前几道送分题，首先我们来看一下第一道啊，他说已知集合 a 里面有两个元素，二和 a， b 集合呢， 有负二和 b 两个元素，然后他说 a 集合， b 集合是相等的，那它俩相等的话，说明它俩所含的元素是相等的，那么 a 就 等于负二， b 呢就等于二， 所以 a 加 b 就 等于零，这道题就选择二 b 选项。好，我们来看到第二题，那第二题的话，他是让我们求什么呢？求的是 x 的 平方的一个系数， x 平方向的一个系数。好，这很明显就是我们之前讲过的什么二项式定律。 那么二项式定里它含有 x 的 平方向，因为这里是加嘛，所以前一项和第二项，我们只要分别求出它的一个二项和后面这一项的二项就可以了，把它们再加起来就行。好，那有二项式定的那个公式，我们 打开式给它写一下，就是它含有二项的就是 c 四二的一的二次再乘以一个 x 负的平方项。好，它呢，算出来的话，前面的系数就是四乘以三除以二等于六。那么我们同样的，在 第二项里面，它的一个平方向的二次项系数是多少呢？就是 c 五二乘以一的平方乘以一个负 x 的 平方向。好，那我们就知道 c 五二的话就等于一个十，所以含 x 平方向的系数就是十，加上六等于十六，我们这个题呢，就选 好，接着我们来看一下第三题啊，第三题呢，他是考的负数，他说 z 等于这一大串，然后让我们求 z 的 膜，那么首先肯定是要把 z 它给化简出来的，对吧？那我们看啊， z 的 话，它等于什么呢？我们就每一项相乘就可以了哈。第一个是 cosine 七十五度乘 cosine 十五度加 i 乘 散七十五，扣散十五度，再加上 i 乘散十五度，扣散七十五度，再加上 i 方乘散七十五度散十五度，对吧？这是它的展开式，那么首先看谁和谁相关呢？第一个是不是扣乘扣和散乘散它们是相关的， 因为我们知道 a 方它是等于负一的，所以说呢，我们的式子数就变成扣扣减散散了，那扣扣减散散的话，我们就可以给它化简成扣散七十五度加十五度的一个形式，对不对？那后面我们看啊， 后面的话，这一串是不是 i 乘上这些散扣加扣散，所以说呢，是 i 乘上散七十五度 加十五度，那我们来化解一下，第一个它是等于 cos 九十度， cos 九十度呢是一个零，那后面的 cos 九十度呢？是不是一个一，所以说呢，就相当于它是等于 a 的， 那么 z 的 模就是选择 a 选项。 好，我们看到第四题，那正三角形的顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，那么这个抛物线呢，是 y 的 平方，等于根号三 x。 好， 我们就可以大致的把这个图像画一下，这个就是那个抛物线，然后正三角形的话大概就转个这样，那么因为我们知道它是正三角形， 所以我们应该是可以去简单的几何分析一下，我们就可以知道呢？我假设我设这个长度是 x， 那 这里的话应该就是根号三 x， 所以我们就可以知道，又因为这个点啊，它是在这个那个抛物线上嘛，所以我们就可以知道了。当我把根号三 x 带到这个 x 中去，或者说我们把这里设成 a， 如果不太好看的话，那么这里就是根号三 a， 或说我把这个根号三 a 等于 x 代到 y 的 平方，等于根号三 x 的 图像上去，我们就会得到一个关于 a 的 方程，最后代入的话，我们求得 a 就 等于三，所以最后这个 a 啊，它就是边长的一半，所以我们的边长呢，最后就选择 d 就是 六。 接着我们看一下第五题哈，他说第一句，已知数据 s 一 s 二的平均数为一，那平均数为一的话，我们能列出来什么式子呢？是不是 x 一 加 s， 二加 s 三 除以三等于一，所以它们相加就是等于三的。然后第二句，方差为二，方差为二的话，又能列出来什么数据呢？是不是 x 一 减去平均数，减去一的平方 啊？后面也是一样的，所有的数字减去平均数的平方，我们加在一起除以三是等于二的， 所以说他们相加就是等于二三得六的，这是前两个信息，我们得到的两个方程。然后我们看他问的是什么，问的是这一串数据的方差，这一串数据的方差的话，我们怎么列呢？ 我们看啊，我们要求这组数据的方差，那我们首先要求这组数据的平均数对不对？那他平均数怎么求呢？是不是把所有的数加在一起，我们把所有的数加在一起之后，除以六就是他的平 均数了，因为有六个数嘛，然后我们看我们是不是有三个 x 一， 三个 s 二和三个 s 三相加，并且减了一个三，是分子嘛？除以六的话， 我们看 s 一 加 s， 二加 s 三不是等于三吗？这是我们第一个方程，我们把三带进去，然后再减三除以六，九减三等于六，六除以六是不还是一，所以说这六个数的平均数就是一，然后我们再求方差， 方差的话呢，我们列这个式子啊， s 一 减一的平方，前面三个都是不变的，对不对？前面三个列完之后，我们看后面的是不是也是二四一减一，它减去平均数的平方数，就像二 s 一 减二的平方，对吧？ 好，我们把分子求出来了之后，除以六是不就是方差了？那我们看啊，前三个 我们是不是给了信息，前三个平方相加是不是等于六啊？那后三个平方相加等于什么呢？他的话是不是就相当于乘四倍了？就是四倍的左边这一条，他是可以化简的，对不对？ 所以说呢，就相当于是四乘六除以六，那最后就是等于五的，所以这道题呢，选择的是 b 选项。 好，我们现在来看到第六题呢，这个题其实还是比较有意思的，因为我们先看一下题目吧，右图边长 为三的九宫格，实际上到这呢，其实我们就可以啊，用一个什么像那个坐标的思路吗？但是这里会有个问题，就是十六个节点最后要求的是 a b 乘 a c， 我 们并不知道 a b 的 一个长度，也不知道它那个点在哪里，只知道它们是不 同的点，所以这个东西呢，它如果说我们按照求法的话，我们就会知道它实际上是 a b 的 模长向量的向量积， a b 的 模长乘以 a c 的 模长，再乘以它们的夹角，可算 c 塔好，它要求最大。在这里的话，实际上是会有三个变量，因为 因为我们并不知道每一项的具体的是多少，所以这就是这个题目有意思的点，你不能够去想三个变量怎么去统一，这个时候呢，因为它限制的只限制在一个一个的格点上，所以这里的话，你要不就是直接看出来，要不就是穷举一下， 但是呢，这里也非常容易找得到，就是我们要逆 a b 啊， a c 和 c theta， cosine theta 的 话是 c theta 角度越小， cosine theta 越大嘛，在这个图里面，所以我们就是刚好找到的是一个这样的项链和这个项链，这两个项链呢，它们的长度在 这个图里面是最长的，假设这里就是 a， 这里是 b， 这里是 c， 在 这个状态下， a b 和 a c 的 周长是最长，然后夹角 c theta 最小， cosine theta 呢就最大。这个时候呢，我们就可以去代入一个坐标，然后用坐标预算的话，可能就会快，因为如果你还要去想它那个 cosine theta 什么的话，可 就比较慢。如果说我们以 a 为坐标原点的话，我们就知道 ab 向量的坐标， a 是 坐标原点， ab 向量的坐标就等于一个什么呢？三二 a c 向量的坐标是多少呢？三三，他们俩的最大值就是三乘三加二乘三就是九加六选我们的 c 十五，所以这个题的答案就是 c。 那我们来看一下第七题，第七题他的考点就是立体几何的一个结面问题，我们看如图，这个正方体的棱长为四，并且 p 是 正方形的一个中心点， p 在 这里点 q 呢，是滴滴撇的一个中点，然后我们看过点 a、 p、 q 这三个点的一个中点，然后呢左边这个 一点，我们的洁面是什么样的呢？我们首先看我把 b、 b 撇平均分了一个四等分点，我把 c、 c 撇呢，也是这样分的哈，然后它的洁面就什么样的，我连接一下 这个粉色的面，就是它的洁面。然后我们看它是把正方体分成上下两个部分，并且它要求的是较小的那一部分的体积。那我们看这个不规则的 立体图形，我们如何求它体积呢？肯定是要转化成我们会求的这些立体几何嘛，对吧？那我们看一下怎么转化，我首先设这个点为 m， 这个点为 n， 然后我连接一下 m n， 那 我们看啊，我用绿色笔画出两个 平面，我们看这两个平面和这三条高所形成的图形是一个什么图形呢？是 是一个三棱柱啊，我们看因为下面这个部分肯定是较小的那一部分嘛。然后我把这个较小的部分呢给分成了一个三棱柱，绿色的两个面，就是它的上底面和下底面。那我们继续，我们看下面这一部分也是一个什么呢？ 也是一个三棱柱，这个蓝色的面和后面这个蓝色的面，就是这个三棱柱的上底面和下底面，所以我们把这道题就转化成为两个三棱柱体积 之合，那我们首先求第一个绿色底面的三棱柱的体积，这个绿色底面三棱柱的体积，我们首先求底面积，这个大家应该没什么问题吧？ 二分之一底乘高，然后我们再乘三棱柱的高就可以了。乘个四，然后再加上蓝色底面的这个三棱柱的体积，二分之一 底乘高，依旧乘一个高四，然后我们化解一下，十六加八就等于二十四了，所以说第七题他选择的是四 d 选项。 好，我们来看到第八题这个题呢，其实说难吧，其实也不难，就是他给的这个式子啊，给的这个曲线方程啊，可能大家一看到了就觉得非常的困难，但实际上我们稍微去拆解一下还是比较简单的。然后整张试卷我感觉单选做下来的话，包括到压轴啊，这张试卷单选的一个难度还是比较低的， 可能后面的一些大体难度会高一点。好，那我们来看到第八题吧，所以这个第八题他说曲线 c 为一个这样的曲线方程，那么在 c 上 离圆点最近的点的距离就是距离的最小值为多少。那么这个题啊重点就在怎么去处理这个曲线方程，如果你这么去看的话，实际上是很难看出来这个曲线长什么样的，但是这里会有个问题，就是我们三的指数次 和三前面的这个乘的系数，它都是一个东西，这个时候我们会想到怎么办呢？就是 t 画完圆之后，换成 t 的 话，就是 t 乘以一个三 t 啊，等于八十一， 哎，那这个是个什么东西啊？这个东西啊，就是一个关于 t 的 方程嘛，就从关于 x、 y 的 方程转化成了一个关于 t 的 方程，那么这个 t 实际上这个方程有几个解呢？或者说我们用图像去思考的话，它是只有一个解的，我们可以把它看成是一个三的 t 次 等于一个八十一除以 t 嘛，当然这个 t 过不过零点就再说了，如果你去理解成这样的话，它就是我们理解的两 函数的一个焦点，解就变成两个焦点了，一个是三的 t 次和一个八十一除以 t 嘛，他只会有一个焦点在这边，这边呢是没有焦点的，所以整个方程呢，是只有一个解的，那这个解怎么去解呢？这就是这个题比较难的一个地方了，就是你需要去把这个解猜出来，但是如果 感觉上来说数感比较好的话，你就可以知道它就是一个整数解，并且 t 是 等于三的三，乘以一个三的三次方，那就是三的四次方嘛，就是八十一。我们得到 t 等于三之后呢， 这个曲线方程就被我们化简了，它就化简成了一个什么 x 的 平方减 y 等于一个三，也就是我们的 y 等于一个 x 平方减三。 好，到后面这个曲线方程呢，就是我们的一个抛物线，那么我们去找这个抛物线上的到原点的一个距离呢，就非常好找了，你只需要去设这个点曲线上的点为 a， a 的 平方减三，然后我们去套那个点到点 距离公式就可以了。我们点到点的距离公式，他是到原点吗？那么就会是我就写到下面来了啊，就是 a 的 减去一个零的平方，加上到原点的距离的平方吗？最后那个根号我就不开了，就先算平方，最后再开个根号就行了。 a 减零的平方，加上一个 a 的 平 方，减三，再减去一个零的平方吧。好，就等于 a 的 平方加上一个 a 的 四次方，加上一个九，减去一个六倍 a 的 平方。这样的话，其实我们可以把 a 平方看成是一个 t 啊，或者其他什么的，实际上还是一个二次函数的一个求最值问题最后我们求出来它的最小值，这个函数的最小值的话就是四分之十一，最后开个根号根号了之后就变成了一个二分之根号十一。 所以这个题的答案我们就选 a。 由于后面时间有限，关注我，我们下期继续。

这一模数学已经考完了，曾老师第一时间就把这份题做了一遍。这套卷子啊，真的给我感觉是不偏不怪，没有创新题，也没有模块融合，大体大脑，高分 也不容易，部分题目计算量很大。他既延续了新高考全国卷的风格，又有自己的特色，对基础概念的要求很扎实，同时在 e r 这题上，又很考验学生的迁移能力、综合能力，对数学思维要求也比较高。像选择和填空题的前半部分， 他考的是基础知识点，可以说用送分题来形容，但第八题直接是模仿二五年的高考题，用特制法和数学结合，很容易来处理。像第十一题啊，是常规的概率题，拿分比较容易，特别是 a 跟 b 两个选项，多个选项呢，可用群主法， c 选项得计算。然后呢，填空题啊，他比较中规中矩，唯一有看点就是第十五题， 它相对比较新颖，比去年的十四题要难度大一些。它考察是学生对数据的一个敏感度和估算能力，简单的区分度很大，梯度分明。第十八题第十九题对代数和几何变形要求比较高，对学生的运算能力和心理素质 几大考验，并且体现出重思维轻套路的特点。第十八题其次，看似复杂，实则考察引流流销三，思路清晰，即可快速求解。第十九题回避了常规的连理方程子算的套路，但是利用第三第一层斜率入手，可以快速证明低温调温。同时呢，增加了 初中几何关系在高中几何中的应用。整体来说，这套试卷质量非常高，梯度分明，区分度很高，但要提醒大家一定要提升自己的作题熟练度。这次的一模试卷出现了计算力很大的情况， 很多孩子在平常做题的速度下根本做不完，平时要多加练习。有需要曾老师手写答案或者有题目有疑问的都可以打在评论区，我们数学组来给大家解答。

高考数学要想考高分，单选正确率一定要达到百分百，那怎么提高正确率呢？无他为首，鼠耳最后九十多天主包来带你刷题！刚刚结束的深圳一模就是一套非常值得刷的好试卷，每一道题题都是来源于教材。今天主包现场做题， 带大家速通一下仙剑异魔的单选第一题。哎呀，这个题第一题是模仿的哪一个呢？模仿的二零二五年的新高考二卷的第一题啊，求个平均值对吧？二零二五年新高考一卷是不是就这么个题目？四六十十六四个数的平均值，你是认真的吗？四加六是十，十加是二十 三十六，三十六除以四就等于九选 d 搞定结束啊，收一得快速过好吧，好，我们来下一个题啊！ 负数的魔就等于根号下 a 方加 b 方，也就是散一的平方加上扩散一的平方啊，散平方加平方等于一吗？ ok， 所以 答案选什么呢？选 a 结束。 好，感谢各位点点关注啊！每天一套试卷的选填好不好？每天的试卷选填 ok， 跟大家一直讲下去啊，我们看能不能坚持下来啊！ 已知抛物线 y 的 平方等于四， x 上面以点 m 的 横坐标为一点 m 到交点的距离， 到交点的距离就是到准线的距离，知不知道这个准线是不是 x 等于负一，那么 m 点的横坐标等于一，那么它的距离是不是就是横过一的点 x 等于负一距离 d 是 不是就等于二？ 送分题选 b， 你 要搞清楚负数的模等于什么东西啊？直播间朋友们帮忙点点赞，点点关注啊点点转发 z 等于 a 加 b i z 的 模 基础要懂， a 方加 b 方跟这个 i 可没有关系哦，这就是我们的规则。它的模点是么？更换下实部的平方加虚部的平方。我们继续 第四题，它的最小值就为 pi， 头像的对称中心可以是多少？它的最小正周期为 pi， 所以 我们一个 就等于什么？那我们就等于二派除以周期 t， 那 不就等于二吗？因为我们有大龄吗？对不对？所以呢，我们 f x 前面的啊， 你们可能又说，老师，这个试卷是不是太简单了？各位有哪一个试卷在前六道题设置难度了？ 即使即使是难度超高的二零二二年的新高考一卷，他也是在第七题开始设置难度。前六题基本上都出问题， 但是如果你前六个就错任何一个东西，我觉得就基础不扎实了啊。它的对称中心就令二 x 减去四分之派，等于三等对称 k 派，于是呢，就是二 x 等于四分之派加上 k 派。那么呢， x 就 等于 八分之派加上二分之 k 派。好了，八分之派加上二分之 k 派。我们来看一下 k 取零的时候有没有八分派，没有 k 取一的时候，八分之派加上八分之四八分之五派。 k 取二的时候，那更加就是派加八分之派了，更加没有答案。选 a 送分题 好了， f 定在 r 的 奇函数这么个式子，负一九 f 负 x 等于 f， 二加上 x 代表什么意思？这句话到底是算周期还是对称轴还是对称中心呢？ 你我来跟你们说一下啊，你们记住勇哥之前总结过一个口诀啊，括号里面 和定对啊，定周，括号里面和为定值代表对称性差，为定值代表周期性。那么你看下这个题， 负 x 二加 x， 它们的和为定值啊，所以呢，周期它的就代表对称轴，就是两个相加，再除以二就等于几呢？就等于一， 这个呢，就告诉了我们对称轴，然后前面又告诉我们对称中心。对称中心是什么呢？零零啊，一个顿轴，一个顿中心，我们周期就咱们距离的几倍， 这以往都是一些考压轴题才考的，现在已经下放到第五题了啊，周期就是他们距离的四倍，如果告诉两个顿轴周期，他们距离两倍，两个顿轴周期上面距离两倍，一个顿轴，一个顿轴，周期上面距离的四倍。能不能听懂？所以这个地方周期是四。 好吧，感谢给我点赞啊。周期为四， f 负一，告诉你 f 九是不是就等于九？减去两个四，减去两个，周期 减两个周期，没毛病吧，就点 f 一， f 一 又用是奇函数，是不是负的？ f 负一，那么就等于负一选什么？选 a， 送分题，下个题 扩散 c 到五分之四 c， 塔呢？是零到二分之派，散 c 到减四分之派的，这是不是也是送分题？这个 直接我们把它用散析塔乘以扩散四分之派，减去扩散析塔，再乘以散析四分之派， 对吧？好了，于是呢，我们就可以得到，散析塔是零到分派，一定是正的呀。是，扩散是五分之四，它就是五分之三，五分之三乘以二分之二， 减去五分之四乘以二分之根二，所以呢，就是负的十分之根，号二。哎，也是顺分题。选 b， 我 们继续啊。第七题， a 等于二，逗号四， a 乘以 b 等于十， b 在 a 上的投影向量。呦，这个考的还有点意思哎，我们看一下啊， b 在 a 上投影向量，有一个公式， b 在 a 上投影向量。我来跟大家分享一下啊， 现场做一下这道试卷啊， 这个就是我们的 b 向量，这个就是我们的 a 向量，然后呢， b 在 a 的 投影向量就是 过这个桌上垂线，然后呢，这个向量就是我们的投影向量，懂吗？于是呢，我们有一个公式可以得到这个东西啊，它算就是 b 的 模乘以扩散 theta 这个角度， theta 这个就代表这个向量的长度。那么方向啊，方向怎么回事呢？方向就是 a 除以 a 的 模好，所以呢， b 的 模型扩展是要怎么去求呢？我们现在是不是已经知道了 a 点乘 b 等于十的，那么呢， a 点乘 b 等于十的，那么就可以得到 a 的 模乘以 b 的 模乘以扩散， c 塔等于十，我们是不是可以把这个 啊， a 的 魔等于根号下二的平方加上。我觉得今天怎么回事， 你看今天直播间为什么这么多喷子啊，我就觉得不不理解啊，咋回事，我也不是很火呀。这个好了， a 的 魔知道以后呢，带到这里面去啊，带到这里面去啊，我们就得到什么东西呢？ 带到这个里面是不是二倍的根号五，乘以 b 的 模乘以扩散 c 塔就等于十，所以呢，我们就可以得到 b 的 模乘以扩散 c 塔等于根号五， 有没有问题？根号五啊，所以前面就是根号五，在这个地方就是 a 向量除以 a 的 模就是二倍的根号五，于是呢，我们该约掉的约掉就等于二分之 a 向量，于是呢，就等于一逗号二。 我们继续看一下第八题。看第八题啊，第八题难度稍微大一丢丢， ok， 若实数 x、 y、 z 满足这个，这三个的大小关系是怎么样的？这个怎么样做呢？实际上，这个题倒不是太难， 只需要把图像画出来就可以了，你们会不会画根号 x 的 图像？会不会画二的负外四方图像？会不会画负的 log 二这个图像？好，我来看一下啊，根号 x 的 图像 大致是这个样子，经过一定经过哪个点呢？一一这个点啊，它是个密函数啊，也就 x 的 二分之四方经过一一这个点， 一一这个点，二的负 x 方，二的负 x 方二的负 x 方是个什么函数？是一个 指数函数，二的负 x 方还有一个 log 二 z log 二 z。 好了，我们来继续看一下 log 二 z 呢，就是经过一零这个点，而且本来以二为底是这样子的，再加个符号翻折一下。所以呢，我再换一个颜色啊，我来看一下啊，换实线 到底是这个样子呢？还是这个样子？这个题目还是要思考一下啊，还是要思考，但是我大致的判断出来啊。 大致的判断出来，应该不至于说是这个样子的啊，应该不至于这个样子， ok， 所以呢，我觉得应该是南线要经过零一哦，南线要经过零一，往上再来一点点啊。 sorry， 南线经过零一 画的精准点啊。我一个问题啊，大家可以思考一下，就这个黑色的线，那肯定要经过一零这个点，那是有没有可能是这个样子，还是必须是这个样子？ 这个怎么判断呢？我觉得还是一个问题啊，我来想一想，我来想想啊， 好，我们不妨找个中间点，找个中间点看一下，哎，找个二分之一啊，找个中间点， ok， 你 比如说这个 这个地方，看能不能把它根号 x 与这个二的负外次方，二的负外次方，它大致是比二分之一大，还是比二分之一小？然后呢，我们再看一下这个的焦点，别分大，别分小，我们判断一下啊， 根号 x， 如果说 x 取二分之一的话，根号下二分之一就等于二分之根号二，然后呢二的负 y， 我 如果呢，这个呢， y 取二分之一就是二的负，二分之一就是根号二分之一，也就是二分之根号。哟， 各位，所以呢，这个题这个地方，我们是可以把它判断出来，它们的交点 焦点就是二分之一，就是二分之一，对吧？所以呢，我们现在呢，就这个黑色的线呢，我来看一下黑色线跟这个红色线的，或者说跟这个蓝色线的到底是二分之一，左边还是右边，有没有可能是这个样子呢？各位，有没有可能这个样子， 我们直接判断以负的这个 z 啊？我们把它呢取一个 二分之一，看它在什么地方不就可以了吗？这是负的负一，也就等于正一。哦，取二分之一 等于正一。好了，这下就没有问题了，那么我们现在去判断一下 x y z 的 大小， x 就是 红线， y 就是 蓝色线的横坐标， z 就是 黑色线。我这题出来可以，其实 一三一四。首先我们判断呢，我们就找中间下面零和一，这样中点有点像那个什么二分法一样的，我就找了二分之一，结果发现这两个刚好相等哦，他们的横着边就是二分之一，然后我把二分之一带到这里面去，发现它等于一哦，那一就应该在这个地方，所以黑色线必须是这个样子的。好， 我们来看一下啊。接着呢，他说，嗯，换一个颜色吧。好吧，接着他说他们大小可能是怎么样的，是不是有可能这样一条线，这样的线能看清楚吧？这个时候红色的是 x， x 大 于黑色的是 z， z 大于 y， 焦点的横坐标嘛，对吧？焦点横坐标啊，一直关着，别放出去。那必须的，也有可能继续往下，往下往下，然后往下到这个地方，大家看一下啊，我换一个线， 这个地方，我看能不能画一条这个更加直一点的线。这个题出的还可以 这样子，黑色的呢，就是我们的 log 的 这个 z 是 最大的啊， z 是 最大的， 大于红色的是 x， 再大于蓝色的是 y。 好， 再往下，再往下啊，有可能 很细节啊，这样子。黑色的依旧在前面， z 大 于蓝色的是第二个。大于 y 大 于 x。 共有多少种情况，我们全部把它列出来啊。好了，一直还有最后种情况。 再往下，再往下。蓝色的最大了啊，蓝色的是这个， y 大 于黑色的是 z， 最小的是 x。 哇，这个题可以啊，这题可以，那么我们来看一下啊， x 大 于 z 大 于 y， 选项里面没有。然后 z 大 于 x 大 于 y， z 大 于 x 大 于 y， 哦，这个是有的啊，因为我是现场去做这个题目啊。然后第三个 z 大 于 y 的 x， 哦，也是有的，也是有的。然后呢？ y 大 于 z 的 x 也是有的。哇，这个做个单选的不错啊。单选的不错。

刚考完的二零二六届深圳异模数学试卷是一份有新意但难度可控的好卷子，延续去年的风格，每一道命题都有教材和真题源头，同时在解析中标注了课标要求。无论难度如何，这种形式的模拟卷都称得上是标杆级别的。这 也是在引导大家，高考数学复习要以课标为纲，回归教材和历年真题。小题中有难度的题目依旧几种，在各个压轴题第八题难度中档，塑形结合即可。 第十一题，离散型事件分布列问题中档难度。但很多同学统计概率的复习是一点都不到家，所以遇到概率题就头大。 第十四题读懂题目就不难，没有什么计算量，全是思维量，且答题第十七题要重视，也在一次说明，今年的高考中，非压轴位置的例题、几何题也有可能有难度或新颖。 最后的两道压轴大题都是有创新的好题，但难度可控，对尖子生区分度可能没有近年真题压轴题那么大，但考察的问题都十分核心，解析中所给思路十分值得积累。试卷的官方解析对命题进行了详细的说明，对于大家复习备考有非常好的引导作用。

同学们好，欢迎来到今天的数学题解析，我们来深度拆解这道深圳异模的立体几何题，看看不同解法背后的运算逻辑和效率差异。 一、第一问，线面平行的证明这道题的第一问，当球心 o 在 平面 abcd 上时， 要证明 p、 a 平行于平面 q、 b、 c。 核心思路，因为 o 在 平面 a、 b、 c、 d 上，且 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以 o 就是 正方形的中心。又因为 p、 a、 b、 c、 d 和 q a、 b、 c、 d 都是正四楞锥，所以 p、 o、 q 三点共线 且垂直于平面 a、 b、 c、 d。 我 们可以用向量法快速证明，建立坐标系后发现向量 p、 a 和向量 q、 c 是 平行的，而 q、 c 在 平面 q、 b、 c 内， pa 不 在，因此 pa 平行于平面 q、 b、 c 也可以用几何法证明，因为 p、 q 垂直平面 a、 b、 c、 d， 且 o， a 等于 o， c 等于 o， q 等于 o， p 都等于一，所以四边形 a、 q、 c， p 是 正方形，从而 a、 p 平行于 q、 c， 进而证明线面平行。这一问的解法非常清晰，是立体几何中证明平行的经典套路。二、第二问，求八面体体积本质是分析底面参数的过程。 第二问的目标是求八面体的体积，而八面体的体积等与上下两个正四棱锥体积之合。 因此整个解题过程的本质就是通过二面角的条件反推出底面正方形 a、 b、 c、 d 的 关键参数，再结合球的半径约束，最终完成计算。我们来看看几种不同的解法尝试。一、法相量法运算复杂的弯路 思路，通过尽力空间直角坐标系求出平面 p、 a、 b 和平面 q、 a、 b 的 法向量，再利用向量加角公式计算二面角问题。这种方法需要解一个复杂的方程，走来求法向量，然后代入加角公式，计算量非常大， 而且容易在代数运算中出错。正如图中批注所说，用法向量不是适当的办法。 二、定义法改进思路，但仍有瓶颈思路放弃法向量，转而利用二面角的定义去 a b 的 中点 h 连接 p h q h。 因为 p a b 和 q a b 都是等腰三角形，所以 p h 垂直 a b q h 垂直 ab 角 p h q 就是 二面角 p a b q 的 平面角问题。虽然思路更直接，但在设置变量时将 o q 设为二减 b， 导致后续的代数运算依然繁琐，运算还是有点烦。 三、优化变量设置，显著降低运算量。改进，将 o p q 的 长度重新设为一加 b， 利用球的半径为一的条件， 将核心关系转化为底面参数相关的平方和等于一，大大简化了后续的方程效果。虽然计算过程依然需要解二次方程，但相比前两种方法，预算量和出错概率都明显降低。 四、纯几何法巧妙，但门槛高，思路完全脱离坐标系，利用几何关系和三角恒等变换，通过设 o n 等于 x， 将二面角拆分为两个角之合，再用正切和角公式建立方程特点。这种方法非常巧妙，计算过程也相对简洁，但对几何洞察力和三角变化能力要求很高，属于高手解法。 三、解法总结与建议这道题的第二问，解法的演进过程其实就是一个不断优化思路，降低运算复杂度的过程。法向量法思路直接，但运算量大，容易出错， 不推荐作为首选。定义法优化变量是最稳妥的选择，既保证了思路的清晰性，又通过合理的变量设置控制了运算量。纯几何效率最高，但对能力要求也最高， 适合基础扎实的同学尝试。在考试中，我们应该优先选择定义法优化变量，它在思路清晰和运算简变之间找到了最佳平衡点。

我萨贝尼用两种方法解二零二六届广东一模的压轴填空题。方法一，我直接设切线凹方程，连力凹于椭圆方程，根据相切得到判别式等于零， 进门得到仪式 f 一 h 一 垂直凹，由此写出 f 一 h 一 方程，并求出 f 一 h 一 与凹焦点 a 七坐标同理，求出 a 叉坐标。翻译 o h 一 垂直 o h 二可以求出 m 的 平方， 带入这一式可继续求出 k 的 平方。接下来求出底和高，进而求出面积。方法二，需要用到一个结论，椭圆焦点在椭圆切线处的射影横在以椭圆长轴为直径的圆上， 由此很容易得到 o h 等于 o h 二等于二，进而推出面积为二。可以看出，就本题来看，直接使用二级结论确实更为简易，但不使用二级结论同样也能解决此题。

各位学生别走开，后面有试卷分析，这是一份深圳高三一模的数学卷子，在三月四号那天刚考完。这本卷子出的还是不错的，它的整体难度还可以，但是它的一个区分度是特别明显，也就是说基础生，中档生，还有优生，它们的一个分数差距还是比较大的。 一起来简单来剖析一下这次的一个卷子，首先呢，它前七题呢，还是出的比较基础一点，送分了。然后这里的多选择题，第九题和第十题还是相对来说比较常规， 包括这个十二题和十三题填空题，他考察的一个内容还是相对基础一些。这个解答题部分呢，十五十六题也是中规中矩，没有太大难度。而这里的十七题还有十八、十九这三个解答题。呃，他的第一问呢，还是分数还是比较好拿的，但是他第二问开始呢，都是比较不好拿。而我刚刚说他区分度比较明显的是在哪里呢？就刚刚我没说的题喽， 比如说第八题，第十一题，第十四题，这十四题我真的是要吐槽一下我本人，我自己在做这份卷子的时候，第十四题我连题目都没看懂，何况学生呢？我足足看了五分钟，我不不太能理解他在讲什么，无从下手，根本就无从下手， 考啥呢？又感觉考语文，考阅读理解，但是他的文字很短，我，我没办法理解啊，如果有看得懂题目的，麻烦教教我，我真的不太懂。然后这个十七题的第二问呢，我相信应该有绝大部分的学生是没办法做出来的。然后包括这个十七题的第二问呢，我相信应该有绝对曲线， 先说圆的曲线吧，圆的曲线的解答题，它的预算量是非常大的，我本人在两个小时内没有完全做完，想象一下那个预算量真的是很大， 做到我后面都放弃了。然后十八题呢，还是出的不错的，很考计算能力，也很考这个变形，还有观察的一个能力。我建议广州的学生可以做做这个十七 一题和十八题。而我刚刚说的这个区分度呢，是在哪里呢？是在第八题、第十四题，第十一题，还有十七、十八、十九的第二问。我算了一下这里的分数，大概加起来是五十分，那也就是说深圳的考生，如果你可以考到一百分，那你很强了，如果你能考到这个一百一以上，那你特别牛了。

啊，讲一下我是怎么秒杀这个声音模第十四题的。哈，这个题呢，其实他说这个就是八个整数，里面七个相加是这些数，而这些数乘一个什么呢？它最显著的就是公差是一嘛。所以我们可以换一个视角，就是我们可以认为这里的 a、 e 一 直加到什么，一直加到 a 八， 他们其实是总和为 s 的， 以这个 s 减去其中的一个数呢，就构成一个等差。呃，公差为一的等差数列。 这个事情呢，就是说明这八个数本身就是乘一个公差为一等差数列。比如说像一、二、三、四、 五、六、七、八这些数，他们加在一起总和是三十六，你三十六再减去这里面的每一个数，就可以构成一个公差，从唯一从三十六减一是三十五，三十六减八是二十六，从二十六到三十五的一个等差数列。 但是这个数，这个数列呢？二十八十二到八十九又不完全是一个公差为一的整数，它有个消失的。呃，八十八嘛，那我们先来看一下啊，待会再考虑这问题，先看一下这个。呃，他们如果是要加在一起的话，首项应该是谁才能够创出来八十二到八十九 啊？我们就可以设首项为 n 嘛，那这个位数是多少呢？啊？就是有八项，对吧？有八项，所以 其实按照这个等差数列这个求和公式啊，那这个时候，呃，项数是八，乘上这个首项加上末项，这末项是谁？ n 加 n， n 加七嘛？ n 加七是末项除以二，它这里应该会约等于多少？我们可以约算一下，它这里应该是会约等于 啊，九十几，是不是这样？各位，对啊，九十几啊，因为我们说最后这个九十几减去一个个位数几，才能得到八十几吗？这约等于九十几，我们就可以估算，这个时候提个二出来，这个二 n 加七，这提个二就 n 加上三点五，它约等于谁呢 啊？它就是要约等于是十一左右，所以其实这个 n 就是 约等于多少， 就是八吧。所以我们可以出现首先是八，那就把这个列出来，八九十、十一、十二、十三、十四十五。但是这样说，我说我们这里有个消失的八十八嘛， 那八十八呢？按理来讲应该是这对数里面第二大数，所以就是把这些数加在一起，减去这里第二小的数是谁啊？是九，对吧？才能创造出来这个八十八，那已经没有他了，说明这个怎么样？说明这个时候九要去掉啊，去掉这个九， 那要把它给换成谁呢？换成另外一个数，那我们可以看一下，如果说你是正常这些数加在一起是多少？这些数正常加在一起，按照这个公式应该是九十二，对吧？九十二 减去里面，这里面最小的数是八，他其实算出来是一个八十四，这个数他显然并不是八十九，说明这个时候我们把九去掉之后，换成的是谁呢？换成是应该是一个比九要大五的数 啊，因为八十四差八十九就差五吗？我们这最大数是八十九，而不是八十四，所以就是九加五是多少？是十四，所以这个题就做出来，也就是我们这一组真正这个数是谁，就是没有九，就是八，跳过十、十一、十二、十三，然后两个十四 啊，十五，所以这重复出现数是谁呢？因为这有两个十四吗？所以他可以选两次重复出现数，就是八加十加十一加十二加十三加十四加十五，也就是这里的八十三，他重复出现两次。对，最小的数是八，最大数是十五，答案就是什么？就二十三。

同学们好，今天我们来拆解广州二零二六届高三一模数学的核心题目，从填空题到数列立体几何，帮你抓住考点，理清思路，高效提分。 一、填空题部分基础与技巧并重，这部分包含三道填空题，覆盖椭圆离心率、函数对称性与单调性、 三角形面积分割最值三个核心考点，整体难度中等，是必须拿下的得分点。一、椭圆离心率问题第十二题这道题给出椭圆标准方程， 已知离心率求参数 m。 解题关键是先判断椭圆的焦点位置，再利用离心率公式建立方程求解。 这里要注意椭圆中 a 平方大于 b 平方的基本性质，避免混淆长半周和短半周。二、函数对称性与单调性第十三题， 题目以 f x 加一为基函数为切入点，先推导出 f x 关于点一零，中心对称，再写出 x 大 于一时的函数表达式，最后通过导数分析单调性 求出参数 a 的 取值范围。这道题重点考察了函数平移对顺性和倒数应用的综合能力。三、三角形面积分割最值第十四题这是一道经典的最值问题， 在直角三角形中，用线段第一 e 将面积平分，求第一的最短长度。我们需要分三种位置情况讨论，利用面积公式和基本不等式或余弦定例分别计算第一的最小值， 最后比较得出结果。二、竖列解答题第十五题等比竖列构造与求和。这道竖列题分为两小问，是高考的常规考法，技巧性很强。一、证明等比竖列题目给出地推关系， 我们使用待定系数法将原式变形构造出一个新的等比竖列一除，以 a、 n 减。一、 通过证明后项与前项的比值为常数，完成等比竖列的证明，这是处理线性递推的核心方法。二、求前 n 相和并且不等式。先由第一问的结论求出竖列 e、 a、 n 的 通项， 再将 e、 a、 n 加 n 拆分为等比竖列和等差竖列两部分，分别求和得到 s、 n 的 表达式。 最后通过代入验证破解不等式，找到满足 sn 小 于一百二十的最大 n 值。这里要注意竖列求和的分组方法和不等式的验证技巧。三、立体几何解答题 第十六题，空间垂直与面面角这道例题几何题考察了线线垂直，证明和面面角计算是高考的重点和难点。一、证明 ab 与 c、 e 我 们采用几何法，通过取 ab 终点 f 构造中位线 e、 f 和等边三角形 a、 b、 c 的 高 c、 f， 利用线面垂直的判定定律，先证明 a、 b 垂直于平面 c、 e、 f， 从而得到 a、 b 与 c e， 这体现了线线垂直、线面垂直、线线垂直的经典证明逻辑。二、求平面 p a、 b 与平面 p、 c、 d 的 夹角于弦值这一问，采用空间向量法，首先根据点到平面的距离公式求出高 pa 的 长度， 然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量。最后利用向量加角公式计算出两个平面加角的余弦值。向量法是解决空间角度和距离问题的通用工具。结尾引导，今天的讲解就到这里， 这些题目都是一模的典型代表，大家可以暂停视频，自己动手算一遍，再对照解法看看哪里需要改进，有任何问题欢迎在评论区留言。