巴蜀一模解析几何三角代换

梯形边上有移动点， p 旋转九十度得到 p q 连接，求运动过程中黄色线段 d q 的 最小值。暂停思考 线段旋转九十度必得等腰直角三角形辅助线思路，构建手拉手等量代换绿色三角形，绕 a 点运动， p 看作左手， q 为右手，需要构建一个新的等腰值， d 为右手， 且 a d 与 a q 为对应边儿，做出辅助线，连接两三角形的左手端手拉手必有相似。观察蓝色、黄色两三角形亦得角一角二相等 对应边。 ap 比上 a q 等于二分之根号， af 比上 ad 也为二分之根号对应边乘比例，且夹角相等正，得黄色、蓝色两三角形相似。由相似比得到黄色线段是蓝色线段的根号二倍， 其比例横乘力转化为求 p f 的 最小值点到直线垂线段最短，此时蓝色线段垂直，底边儿 延长， p f 亦得 pm 长度为六， m f 等于 m d 长度为四，则蓝色线段长度为二。黄色 d q 最小值二倍，根号二下课。

刚刚拿到巴蜀中学这次高三一模的作文题。巴蜀中学向来是以出题灵活、思维前瞻著称的，这次的一模题出的非常有意思，好多同学看到人工智能这几个字，脑子里会立马蹦出来双刃剑这个词。不过不好意思，人工智能在这个材料里其实只是个大背景而已。 这道题表面是在聊人工智能，实际上是在聊咱们人的主动和理性。咱们先来看看材料是怎么说的，有问就提，有问必提，这叫勇于提问，哪些该问，哪些可以不问，问题的角度、广度、深度、难度、应该如何设计等等。有了这些思考后再问，这叫善于提问。 不少同学看完估计会想，这不简单吗？既要敢问，又要会问，两头一凑一结合，这事不就结了吗？这是那种典型的齐强或稀泥的写法，照这么写，你分数顶天了，也就是个二类上。好， 接下来我就带着大家把材料里的关键词给拆解一下，一起来看看这个材料它到底在说什么，我们又应该怎么去写它。首先，咱们得弄明白到底什么叫勇于提问。材料里讲的很直接，就是有问就提，有问必提。 但在我看来，这不仅仅是个动作，它背后其实是一种态度，是一种勇气，更是一种能够突破心理障碍的主动。咱们的文化太讲究面子了，总是在教育我们，沉默是金，是一种美德。 这种观念往往会让我们在遇到不懂的问题的时候瞻前顾后，欲言又止，让我们习惯于在权威面前保持沉默，生怕一开口就显得自己无知。而勇于提问，他破除的正是面子心理、 害怕权威、懒惰思维以及怕漏怯的心理障碍。所以，勇于提问的第一层意义就是敢于发出自己的声音，是在向世界宣告我在思考，从而确立我的存在。世界原本是沉寂的，是你的一声发问，像一道光一样照亮了它。另外，在文学里，这种勇于有时候会带有一种气吞山河的气魄。大家都学过沁园春长沙 里面的那句问苍茫大地，谁主沉浮，其实就是最高级别的勇于提问。这个提问是在向历史、向时代发问，他体现的是那种舍我其谁的霸气。当然，文学里的勇于也不总是剑拔弩张的，他有时候也可以是一种温暖的邀约。白居易有首诗是这样写的，绿蚁新醅酒，红泥小火炉。 晚来天欲雪，能饮一杯无。这里的晚来天欲雪，能饮一杯无。本质上是一种对生活的提问，一种打破人与人隔阂、建立连接的邀约。所以，勇于提问是对抗沉默、对抗怯懦、对抗面子心理的第一步。但是，如果只停留在勇这个层面，是会出问题的。 这就引出了我们的第二个关键词，善于提问。材料里特意提到，我们要去思考哪些该问，哪些不该问，问题的角度、广度、深度、难度应该如何设计。 请注意，这里所强调的不仅仅是某种技巧，它更是一种思维方式，是一种对自己理性的审视。然后咱们想想看，为什么材料要特意强调善于这两个字？因为在现在这个人工智能的时代，如果不加节制的有问必提，那我们很可能会掉进一个巨大的陷阱里。 咱们人类天生就是喜欢偷懒，喜欢走捷径的，如果不经过大脑思考，遇到一点问题马上就扔给 ai。 这表面上看好像挺勤奋、挺爱学习的，但实际上， 你这是把思考这项最核心的工作给外包出去了。长此以往，你的大脑会变懒，你的认知能力是会退化的。 更可怕的是，什么是信息减法和回声式效应。你想想，如果你不经过深思熟虑就张嘴发问，那你问出来的问题大概率是浅的。咱们知道， ai 的 算法是非常聪明的，它往往会顺着你的思路，给你一个你最想听、最符合你现有认知的答案。 于是，所谓的提问就变成了一种自恋的循环，你并没有通过提问打破认知的边界，反而是在不断加固它。你永远得不到真正的成长，只能听到自己声音的回声。所以，什么才是真正的善于提问？真正的善于提问，是能剥离事物的表象，直击本质，问出那个第一性原理。 想要做到这一点，其实是需要我们在提问之前，先建立起一套属于自己的知识储备和逻辑框架的。这就要求你必须先尝试自己去消化信息，去推导逻辑，直到撞上了思维的南墙，那一刻产生的困惑和问题才是最有价值的。 所以听起来可能有点反直觉。善于提问的核心，其实包含了一个至关重要的动作，那就是不问。什么叫不问？就是忍受孤独，独自思考。宋代黄庭坚有一句非常有名的诗，桃李春风一杯酒，江户夜雨十年灯。 那些有问必提，遇到问题不过脑子就甩给 ai 的 人，享受的就是桃李春风当下的那份轻松和快意。把问题抛出去多爽啊，秒回答案多有成就感。但是真正的学问，真正的善于提问，属于那些愿意忍受江湖夜雨，独自守着十年灯进行苦思冥想的人。 只有经过了这段沉默的、孤独的酝酿，你提出的问题才是有质量的，才是直击灵魂的。狄更斯在双城记里写过，这是最好的时代，这是最坏的时代，这是智慧的年代，这是愚蠢的年代。在当下这个人工智能的时代，区分好与坏，界定愚蠢与智慧的标准，其实就藏在你提问的质量里。 ok， 这就是对材料里关键词的分析。接下来，咱们从矛盾二分的角度来看一下这个材料，它矛盾的双方到底是什么？ 矛盾的双方很清楚，就是勇于提问和善于提问。那我们应该怎么去站队？刚刚说了，想拿高分的话，你不能既要又要，必须要在二者之间做一个权衡。 在人工智能的时代，答案已经泛滥成灾了，所以我们应该站哪边，其实是很清楚的。很明显，我们要站在善于提问这一边，因为善于提问是矛盾的主要方面，它决定了我们是成为 ai 的 主人，还是成为他的奴隶。接下来是中心论点，请大家记住这个公式， 中心论点等于站队加方法论加目的。基于这个公式，我们的中心论点可以这样写，我们应是善于提问为破开迷雾的利刃。这是站队以独立思考基建认知的厚度， 于深思熟虑后发出直击本质的叩问，这是方法论，从而在答案唾手可得的 ai 时代，继续拓展人类认知的边界，这是目的好中心论点有了。下面我们用辩论式，也就是正反合的结构，来看一下这篇文章的分论点应该怎么展开。首先是分论点一，我们先来承认勇于提问的理性。 勇于提问是认知的破冰之举，是开启探索大门的钥匙。他要求我们克服畏惧权威、害怕漏怯的面子心理，让思维从封闭走向开放。如果连开口的勇气都没有，知识的流动便会止步于沉默，任何深度的思考都将失去输入的源头。然后分论点二， 我们要开始转折，指出勇于的弊端，然后引出善于的必要性。然而，只讲勇而不讲善，极易滑向思维懒惰的深渊，陷入无效勤奋。凡事有问必提，往往意味着放弃了自我咀嚼的过程，将大脑译化为单纯的信息接收器。 特别是在 ai 时代，答案易得。若提问没有深度，我们得到的只是海量的碎片信息，而非智慧，最终将被困在由机器的回答知就的浅层世界里。最后分论点三，指出本质，给出高维解法。 善于提问，并非是对勇于提问的否定，而是对他的升华。真正的善问，其实是不问的智慧，即对精油独立思考可以解决的问题，实行暂且不问的策略。唯有思维卡在瓶颈之时才寻求外力。只有经过深思熟虑，在思维的迷宫中反复推敲，穷尽了个人认知的边界后而不得不发出的那一问，才 是连接人类智慧与人工智能的桥梁，才是创新的真正起点。最后答案只是风中逆风而上的音。 不必事事接问，亦不必急于喧哗，请给思维一段留白的时光，独自修剪枝蔓，静默积蓄力量。最终，你的问题将激起万壑松涛般的回想。愿屏幕前的你，既是敢于划破夜空的追光者，更是那个在黑暗中独自长跑的守夜人。愿你的笔下有千军万马，也有敬业繁星。

一个视频给大家深度分析二六年深一膜物理，一定要点赞收藏这个视频包括主体点评，试卷分析，还有复习建议。首先呢，说结论，今年的深一膜整体难度是与去年持平的，但是我个人做起来感觉比去年简单那么一点， 情境题呢，会更复杂，但是计算量相对较小。然后我们来看看整套试卷。首先是单选。第一道题，原子物理纯读图题，考察半衰期的知识点，必拿分。 第二道题，天体运动基础的万有引力定律的应用，也是必拿分。第三道题，静力学， 虽然穿了古文的马甲，但本质呢，就是受力分析，找准几何关系也是必拿的分。第四道题，考察机械波啊，这是一道啊。第四道题，考察机械波的图像。这里有一个易错的坑点，题目给的是置点的动能和时间图像， 很多学生呢，会惯性以为拨鼓到拨风就是一个周期，但是动能变化的周期他是震动周期的一半，能够看破这个陷阱啊，就已经达到了特控线以上的水平。第五道题，是动力学能量图像的综合，我认为这是全卷最难的一道，单选 他放到第五题的位置，本身就是一次压力测试。如果我们遇到这道题不会，我们就下一道，不要去练战。 这道题，物块拉着弹簧在斜面上下滑啊，学生极想当然，这题呢，是对物理函数表达功底的极致考验。第六题，几何光学啊，红蓝光的折视力对比，全反射临界角的公式应用，属于历年常考的送分题，也是必拿。 第七道题，考察变压器与远距离输电啊，本质上是一道交流电对应的题目啊，经典的动态电路分析，一根线断了导致传输电阻变大，牵一发而动全身，分析电压和功率的变化，逻辑链条要严密，但是呢，它作为单选压轴似乎不太够格。 我们再来看一看多选。第八题啊，离子导入电场啊，电路与静电场的基础啊，正电赫顺着电场线从高电势向低电势移动，基础概念清晰就不会错。 第八题也是必拿的分。第九道题，板块模型给了我们一个 v t 图像，让我们去分析木块和小车对应的相对运动，计算量是不小的， 需要同学们熟练的运用图像的面积求板长，运用牛顿第二定律算摩擦力以及热量等于摩擦力乘以相对为一算热量，非常的综合，是拉开中档分数的关键题。第十题， 航母的电磁阻拦啊，这是一道真正的高手题，他也配得上。最后的多选压轴，也是全卷最难的一道选择题，他要求学生理解复杂的提议，在脑海中把立体卷扬筒和辐射状磁场压扁，看透 ab 边和 cd 边切割磁杆线的本质。 而且呢，要注意收放速度， v 和线圈切割速度的轮轴的半径转动比，如果我们没有三维空间想象能力，对于电子感应的知识点不熟悉，这道题必死。当然呢，这里还有一个有趣的细节， 二零二五年的第十题，考察的是电动汽车轮毂电机的再生制动，里面明确构建了方向交替的等宽幅向磁场模型。而今年的多选压轴考察的啊，同样是在辐射状磁场中切割磁杆线， 连续两年在多选题的压轴位置用同一个冷门且极具空间想象力要求的磁场模型，这是偶然吗？ 说明深圳的命题组非常看重学生对非匀强非标准场分布的处理能力。 然后是实验题，第十一题是一道动量实验啊，气垫导轨加光电门验证动量守恒，这是课本最常规的最核心的实验题啊，计算动量和误差的公式都是写在脸上的，所以这道题必拿分，你最多扣个一到两分。 第二道是电学实验，考察的是多用电表的欧姆条零级读数啊，这都是基础。但是难点在于第二问啊，问的关于福安特性曲线，找我们的具体的一个关键点，需要在这个图上画一条关于闭合电路欧姆定律的一条直线，两点的交线，求出真正的工作电流。 而这一点呢，非常考察同学们对于非限性原件的理解，还有你的作图函数能力。大题的第一题啊，通过热血喷泉背景考察热力学方程。第一问，只要能够写出来理想气体等容变化的方程，就能够拿到基础分。 第二问，水槽页面下降涉及到气体的等压冷却吸水的过程分析啊，找到准出没状态的体积关系和压线关系还是需要一些细心的。但是呢，对于大多数同学来说，这道题应该是要拿满分的。 第十四题，通过离子注入科学背景考察带电粒子在电场和磁场中的基础计算啊，动能定律写对即可拿分啊。第一问，必拿。 第二问呢，粒子注入边界的极值啊，带电粒子在圆环磁场中的偏转不仅要算半径啊，还要用几何知识判断轨迹能否擦过边缘 啊，有一定的计算量。最后一道第十五题，通过旋转拖把这一生活背景考察平抛运动、圆周运动功能关系，是一道名副其实的力学压轴。 第一问呢，最大的难点其实是未难情绪，我们不要被旋转拖把吓到。第一个问，仅仅是一道最基础的平抛运动涿粗速度， 但是呢，要注意水平位移，不是简单的大半径减小半径，我们要用到勾股定律。第二问，第三问是全卷的压轴之魂。第二问呢，需要把齿轮转动臂转化为脱水篮的角，速度 看起来很复杂，其实就一个公式， v 等于欧米伽乘以。第三问是能量守恒的极致，运用重力势能的减少量转化为拖把的频动动能，转动动能还要加上克服阻力做的功。但是呢，整套题模型新颖到让普通学生连列方程都不敢列。 我们现在再整体的看一下这套试卷，整套试卷最大的难点在于什么呢？在于将物理模型深度隐藏在生活和前沿科技的情景中，而且对于物理阅读理解和三维空间想象的门槛非常高， 最典型的代表就是第十题和第十五题啊，考生必须在脑海中完成实物啊，三维结构平面几何物理模型的这种降维的翻译。 比如说旋转拖把的那道题，如果脑子里没有齿轮转动和轴感下降，转化为旋转的立体画面，这道题连第一步都迈不出去，直接得零分。这种万事开头难的设定对于缺乏生活观察的考生是致命的打击。 还有思维反套路的难度啊！试卷非常善于在看似常规的题目中挖坑，专门针对考生的思维定式进行非常精准的打底。 典型的代表就是第四题那道波的动能图像，还有第五题弹簧与斜面。绝大多数学生做惯了未移时间图像，看到第四题这种动能时间图像，很容易凭借直觉选错周期。这种题目他不需要繁杂的推导，但一不留神就会掉进陷阱， 它属于伤害不大，但是侮辱性极强的十分点。这套试卷呢，还有时间和心理压迫上的难度。因为试卷的文字阅读量很大，从第一道的靶向治疗，第三道的天空开雾，以及第八道的离子注入疗法，到后面大量的实验和压轴题，满屏的文字信息。 大家想一想，在七十五分钟的考场高压下，要求考生具备极强的信息降噪能力，我们要快速的剔除无效的修饰语，抓取核心的物理条件。 阅读速度慢，容易心浮气躁的学生会在这套试卷上吃大亏。但是呢，这套试卷上在数学计算上还是手下留情了，这也是他区别于某些变态压轴卷的最大的特征。 哎，只要我们能够把方程列出来解，过程几乎是一马平川。没有复杂的三角函数化简，也没有恶心的二次函数求积值，更没有繁琐的竖列的极限求和。 比如说压轴题的第十五题，核心的公式仅仅是 v， 等于我们一个乘以 r 啊基础的平抛公式，还有简单的能量守恒定律，对理解的要求远远大于对计算的要求，所以这套试卷呢，对于不同类型考生的杀伤力是不一样的。 对于死刷题型的考生，痛感非常强烈。平时靠背诵二级结论和死记硬背板块模型的学生，遇到这套试卷会极度的不适，因为他找不到合适的套路，分数呢，可能会遭遇滑铁卢。 对于灵活悟性的考生可能是如鱼得水，他平时喜欢琢磨一些物理途径，生活常识丰富啊，数学计算不算特别拔尖，但是思维活跃的学生在这套试卷上很容易拿高分， 所以整体来看，这是一套区分度极佳，导向非常正确的高考模拟卷，他明确告诉了所有人，未来的物理考试，得途径者得天下。 最后呢，也给不同分数段的学生啊，参考一下未来可以的复习计划。如果说你想要冲击特困县，你的第一、第二，第三，第四、第六、第八这八道选择，以及第十三十四的 第一问，还有第十五题的第一问都要写对，实验题要拿一半分，这就是你接下来的冲刺的目标。 对于冲刺八十分的同学来说，第五题，第七题，第九题，第十题啊，还有我们的第十三十四你都要拿满分，实验题呢，至少要拿三分之二以上的分啊，只有做到这些，你才有可能考到八十分以上。 对于想要冲刺九十分的同学来说呢，我们的关键在于十五题最后的两问，以及前面的一些细节，还有我们整体的做题速度。一模已经结束， 家长和同学们接下来更多的要关注自己的排名和自己的目标还差多少，并且呢，要根据一模考试反映出来的自己的知识漏洞，及时的调整复习的方向和方法，要做最后的冲刺。

c 二零的一模卷是必做的，但他难度怎么样？哪地方是重难点？那么整张卷子呢？我也是全部通做了一遍，我喜欢把整张卷子给拆分，把精华部分从主一张卷子和选什么做。那么具体来看， 那么首先整张卷子难度是比中考大的，而且是比中考灵活的。那么具体来看题目，你想你的七八九十这四道题出来就很棒，也很难，像第七题，第八题考的就很灵活，那么第七题考的是 k 的 几和 e e， 那么第八题呢？考了四四边形的灵活应用，这两个知识点都是中考必考点。然后第九题考的是二次函数的数形结合题目，这个题目就上难度了，很多同学做不掉， 但是这个题目又非常重要，因为很多二次函数的压轴题都会有这里面的知识点，所以第九题我是强烈推荐大家一定要学会。然后第十题考的是我们的相似三角形，也是很有难度的，然后十十一、十二、十三， 这三道题都是一个正常难度。然后十四题他是完全套着二五年的中考题型出的，那么我觉得今年不会再出这种题型了，因为你翻看一下子最近几年的这中考卷子，第十四题这个题目，他没有哪一年是连续两年出一样的题型的，也就说他每年的题型都在变化。 然后再往下看看第十八题，十八题是一个三角函数题目，也是一个必考题，这个题目的难度和中考难度是一样的，那我推荐大家做好那十九题是一个数据处理题，也是与中考难度相平的。 然后第二十题，二十题这个圆是比中考难度大的。圆这个题目我们正常中考是考一个大题，一个小题，一般是十五分左右，是一个重点知识点。那么二十题这个圆，特别是第二问，他比中考难度大，然后百分之八十到九十的同学应该都做不出来第二问。 然后二十一题，二十一题这个题目，呃，大家好好做一做。二十一题这个题目，它也是完全套着去年的那个中考试卷出的一样的题型，大家好好做一做，难度也差不多的。然后二十二题这个几何压轴题是与中考难度相持平的。然后二十三题，这个函数压轴题 啊，他是没有中考难度大的啊，比较简单。然后中考的二十三题，这个，呃，函数幺题，难度是很大的。然后整张卷子呢？我是建议大家把我刚才讲的题目去通做一遍，对你帮助很大。

高考冲刺阶段，阿布老师整理出最优质的套卷，让大家用最短的时间练到最好的题，了解高考命题风格和难度。今天讲的是南通一模，这里不恐怖的是阿布。大家好，我是阿布，今天来二零二七南通一模。 嘟嘟嘟，嗯 嗯， n， n 是 多少？哎呀，算一下，四十八，三十二，八十啊这是他没说多少。四十二，三十八， ok， 看看，方的是八十乘上这个二幺六啊， 减去六百的平方除以四十八乘三十二乘上三十八乘上四十。什么玩意？这是 肯定有吧。我觉得你，你这直拍用无缝球概率这么高。横拍才啊，这肯定有啊，这量级差太多了，大于四对吧。 算了， 你这是三百八十四的平方是吧？八十乘三八四乘三八四，我的天呐，救命家人们谁懂？ 嗯，十二九十六， 嗯，那也没差那么多是吧， 我还以为差那么多。没差那么多，那确实，你是两个三位数和三个两位数哦。嗯， 你检查一下约分啊， 十二四九十六除以六。对对对，好，嗯， 哒哒哒哒。横拍选八人，五个三个，按照各自喜爱的球形先从八人中选三人 都有人被选中的概率啊。嗯，五个 a 种，三个 b 种，从八个里面选三个。嗯， 就这个呗，你别动，别，别偏，别太偏啊，八七六除以六， 嗯， 一加是十一四十五对 a， d 垂直于 b， c 垂直于 c， d， b c c d 二正方体呗，说半天， 这是个正方体啊， p 是 a， d 中点 m 是 b， p 中点 n 在 线段 a c 上啊，行 abc， acd 啊。面面锤，你这面面锤咋回事啊？你这题怎么跟这个一样啊， 你不就这个图吗？是不是一样啊？这图啥意思？这出题人就喜欢这个图，是吧， 好吧。嗯啊，这个 bc 垂直于 cd， 然后因为啊，这么一个个写啊，我完整写一下过程。 因为 a、 d 垂直于平面 b， c， d， 所以 bc 垂直于 cd， a， d 交 c， d 于 d， 所以 bc 垂直于平面 a， c， d。 因为 bc 属于平面 a， b， c， 所以 平面 a， b， c 垂直的大小写了 m， n 平行于 b， c， d 啊。 m， n 平行底面，嗯，求 m 长 m， n 平行底面。你这个是二，这是二，这是一，高是一。 m 到底面的距离是，哎，二分之一啊，所以 n 是 这个四等分点是吧？嗨， 哦， m 在 底面是在这是吧？ m 在 底面投影， n 在 底面投影是这个， 所以是 d， c， b， n 是 在， n 是 这个四等分点投影。 n 撇儿， m 撇儿啊，好神奇啊。四十五度 二分之三，根号二，那你算这个是吧？做垂线一，一二分之一。这个， 嗯， 写一下坐标吧。 n 点坐标， 嗯，一零二分之一， n 点坐标 是零四分之三的零二分之三，二分之一。对 啊，出，出问题了，咋回事 哦， b， d 是 二啊， b， d 是 二啊。哎呀，幸亏我这么算了一下，天呐，家人们谁懂。 嗯，我这么算出来是四分之五是吧。哎呀，我这检查真是功不可没， 是这样是吧？ b， d 是 c， 哎，等会，哦， c 键错了， 等会， b， c， c， d 是 哦， c 键错。嗨，我说我习惯了，那没错，哪边错？哪个错了？ c 键错了是吧？嗯， ok， 对，你是这样的啊，那你就这样吧，这么减， n 是， 呃，二分之一，零，好， m 点是 p 点是二，零一， b 点是零二零， m 点是一，一二分之一， 嗯，哎，对了对了，对吧？嗯，行，踏实了，我们应该是一。 哎，这不是我给高一做的题吗。嗯，三 f 零等于一。 f 零等于一是啥意思啊？两倍的 sine 等于一， ok？ 所以 sine 是 六分之 pi 啊。我们一个是一的话， f x 等于两倍的 sine x 加六分之 pi， 然后呢？两倍的，嗯， sine x 零加上六分之 pi 是 多少？ 五分之三，求 f x f 二 x 零加上三分之二。我的天呐，两倍的三二 x 零 六分之五派，对吧。那现在就是已知塞阿尔法等五分之三求两倍的塞阿尔法加上二分之派。哈哈。 那就是两倍的 cosine 对 吧。圆公式对，等于两倍的一减去两倍的散方 r 法。 这个这真的是这真的是我给高一做题啊，这几乎一压。 嗯， 有一个存在并求取值范围。 零到派上只有最大没有最小。 它这个只有最大。是谁的最大呀？我想想啊，就是在这个区间上有最大没有最小。哦这个吧。哦，选两个最一致啊。我天 欠有四个零点选两个作为一只 选两个。嗯。 一三吗？一是要求啥啊，就都算着就行。对，一是 omega pad， 嗯， omega pad 加上六分之 pad 大于二分之派。嗯，没有最小值。没有最小值。 没有最小值。你都是开的那你都是开的，你就得这样，之前就都行，对吧。你这样也没有这样。没有没有没有没有。 嗯，这意思是吧。 只有最大值，没有最小值。 对， 嗯，六分之九 三十。嗯， 就这个呗。 只有最大。嗯， 那我再想。嗯对 嗯，一个大于零。 嗯嗯的叉是二啊， 斜率叉是二负一负一负一 叉十二。 ok 啊，这么神奇， f x 方 真是。嗯， 这谁发现好神奇。 嗯，扣俩点来直线。 哎，这是有一年的高考题吧。我怎么觉得，哎，又是等边三角形啊。行，我之前直播还带着练过。二分之一 x 加 m， 嗯， 这还得扣俩点是吧，讨厌呢。 啊，不用扣，哎，不用扣。 嗯嗯，对，你反 p q 是 这样的， 嗯，然后 啊， p q 中点 二分之一 x 加 m， 嗯，然后还要扣几个点，嗯， x 等于一的话， b 等于一， ok， 没事， x 等于负一的话， b 等于负一， 那负三， 嗯，负三，那就是 m 等于 二。这个 啊，行，听你的，等边三角形，哎，哦， 等边三角形像这个， ok？ 嗯嗯 嗯， 这个是啥？嗯， 都还俩姐的这么搞笑。 哦， 这是 x 三，嗯， r m 的 平方， 嗯， 那有道理，这个斜率是二分之零啊， p q 方，嗯， p q 方是斜率是 四减四 b 是 吧？ 嗯， 哪，算错了， 嗯，这个是对， 对的一比， p q 方，对， 嗯 嗯， 这是对的， 这是对的。 对， 对 啊，对对对对，这算错的。那就清楚了， x 三， x 三减一，乘上十一 x 三，我的天，救命啊，家人们 负十一分之十九啊，就一个减啊，还一个减，折了啊。对， r m 的 平方是 这个甜， 是要求这个吧？啊，求 b q 啊， 十一分之十倍根号数 哦。 啊，等会分解错了啊，没分错。嗯， 行，就它了。同学们，今天的课就到这了，赶紧趁热打铁把这消化吸收，下节课我可是给大家准备了超刺激超有趣的内容，大家可千万不要错过，咱们下节课不见。

已知圆 c 是 x 减四的平方加上 y 减三的平方等于一，然后呢？与 a 点负 m 零， b 点 m 零，然后呢？若圆 c 上存在一个点 p， 使得这个 a p b 等于九十度，则求这个 m 值是多少？ 哎，使得 a p b 是 等于九十度，说明这个 p 点是在哪？ 嗯，看到九十度的立马要想到，啊，这个 p 点在哪儿？嗯， p 点在圆上。在什么圆上？嗯， p 点在，是以以钩子。 p 点是在以 a、 b 为直径的直径的圆上嘛，是不是？嗯，嗯，好。然后这个圆 c 呢？这个圆 c 是 多少？嗯， 这个圆 c 的 四到三，四到三是吧？一二三三四到三是吧？在这儿，是吧？半径呢？ 半径是一，是不是？嗯，对。然后呢？它说在以 a、 b 为直径的圆上吗？那以 a、 b 为直径的圆圆心坐标是什么？嗯， 以 a、 b 为之间的圆心坐标是多少？是不是？就是，是。就这个 o 点嘛，是不是？嗯，嗯，然后他现在说 p 点是从 c 上嘛，那说明这两个圆要怎么样？ 这个圆，两个圆要，要得，有，怎么样？嗯，这个两个圆得有，有交点嘛，是不是？嗯，理解。不是吧？嗯，这个两个圆要有交点，两个圆什么时候有交点？ 相切，说明这两个圆心的距离怎么样？要， 呃，小于或者等于两个半径相加要小于等于两个半径相加。大于等于两个半径怎么样？相减是不是？是吧？嗯嗯，所以，嗯。然后这个 o c 的 距离是多少？嗯， 嗯，嗯，是啊。嗯， 呃。一加 m， 嗯嗯， o c 的 距离 o c， 嗯，你一加 m， 你 是两个半径嘛？ o c c 点坐标不是多少啊？ c 点坐标不是四三吗？ o c 的 长度是多少？嗯 嗯，五，对，是五，是不是？然后呢？那你现在有那个 o c 距离怎么样？还得要 小于两个半径之合，是不是？嗯，两个半径之合是多少？是一加 m 是 不是？嗯，大于呢？两个半径之差 大于等于多少？二，等于 m 减一吧，是不是？嗯，嗯，能理解不？嗯，可以，因为你不能他，他可能把它包含在里面去了，理解不？嗯，好。那啊，那这样的话就得到多少 m 要怎么样？ 大于等于四，但是呢， m 要小于等于六，是不是？嗯，所以 m 要在四到六之间。所以是哪个？ 所以这就是最大的就是 c， 能理解不？嗯，可以。嗯，这是两个圆的，两个圆的关系啊，好，把这个整理一下啊。

我们再看一下第二位，求证角 d， h b d d， h b 这个角是九十度啊！根据第一位，我们已经知道这个角是四十五度，那我们现在只要求证这个角是四十五度就行了， 那它要求它是四十五度。那么在这个三角形，在三角形 a、 b、 h 中，想求它是四十五度，不好求，没头绪。但是四十五度一般是不是出现在等腰直角三角形里面？ 它没有怎么办？没有，我们就构造，哪怕把它放在等腰直角三角形里面，那就过点 b 做 b， a， b， k 垂直于 a， g， 这是 k， 那 做完以后我们会发现， a、 b 是 等于 a d 角 b， a、 k 加上角 k， a、 b 等于九十度。角 d， a， i 加上角 k， a、 b 也是九十度，所以角 d a、 r 是 等于角 a、 b、 k 所以 三角形 a、 b、 k 是 全等于三角形 d， a i 的， 那么这两扇形全等，我们就可以得出 a， k 是 等于 d i， 它是不是等于 h i 啊？这是第一问可以得出来的，它等于 h i 啊。三角形 a， d， g 是 等腰三角形 d， i 是 垂直 a g， 所以 i 是 a g 中点， 那它是中点，所以是不是 a， i 是 等于 g i 那 已经是 a， k 是 等于 i h， 那 i k 是 不是等于 h g i k 是 等于 h g 那 所以 kh 是 不等于 k i 加上 i h， 那 它是不是就等于了 a i 呀？那它也就等于了 b k 所以 三角形 bkh 是 等腰直角三角形，所以角 a、 h、 b 是 等于四十五度，所以角 d、 h、 b 等于九十度啊！我们可以转化一下。

好，我们再来看一下第三位，如图二，延长 d h 交 c、 f 以点 g 求证点 h 是 d g 的 终点，求证终点，也就是让你去求 d h 是 等于 h g， 一 般求线段相等，我们肯定是转全等。 那么来看一下这个图 h 在 这，现在让你这这两个边相等，这两边相等，它是在一个直角三角形里面抱正，那因为 h 界不在直角三角形里面去，所以我们就需要去 构造，把它放到一个直角三角形的。怎么去构造？连接 b、 d 连接 b、 d。 以后 我们去证三角形 d、 b、 h 全等于三角形， 借 b、 h 就 可以了。那这个证证明就比较好证了 啊。用 b、 d 是 正方形 a、 b、 c、 d 的 对角线， 所以角 d、 b 借是等于四十五度。 我们从第一问就可以得出来，因为角 c、 d、 j 是 等于二十二点五度， 角 c、 d、 j 加上角 d、 j、 c 是 等于九十度。角 h b、 j 加上角 d、 j、 c 也是九十度，所以角 h、 b、 g 是 等于角 c、 d、 g 等于二十二点五度， 那所以角 d、 b、 h 也是等于二十二点五度啊，所以 这个边是公共边，这两个都是九十度。 三角形 b、 d、 h 全等于三角形，借 d b、 h 啊，所以 d h 等于 g h， 所以 d a、 h 为 d g 的 中点。

欢迎同学们来到这节课，今天我们介绍二零二六异模解析几何的综合空间内容。这节课主要围绕抛物线与椭圆两大核心展开，题目均来自异模真题。 本次的考点和方式非常明确，重点集中在三个方面，一是向量垂直的证明，二是定点存在性的探索。三是三角形及四边形面积的最大值与最小值求解， 这是解析几何大题的经典攻坚方向，适合一轮复习后期的综合训练咱们直接开始，我们先看第五题，这是典型的抛物线压轴题。 第一问是基础核心考察的是向量垂直的分析。题目给出过点 p， 做直线与抛物线交于 ab 两点，要证明 o a 与 ob 垂直。 这里的关键思路是设直线连力，利用维大定律算出坐标关系，再通过向量数量积为零来证明垂直。同时，第二问的核心突破口 在于角平分线定律的运用，题目给的线段比例条件等价于 t， p 是 角 a t b 的 角平分线， 这是快速锁定定点位置的关键一步。我们要解决面积最小值的问题，这一步的核心点在于必须先把 t 点求出来，只有通过几何性质转化确定了定点 t 的 坐标，我们才能后续带入面积公式。接下来用斜长公式求 a、 b， 再求点 t 到直线的距离，最后代入面积公式。通过分析这个关于斜率的函数，我们发现当直线斜率为零时，面积取到最小值八。 这部预算量较大，大家暂停视频，自己再核度一遍。接下来看第六题，这是椭圆综合题。第一问求轨迹方程， 这一问属于难题类型。核心解法是利用椭圆的几何法，题目背景是动圆与定圆内切同时过对称点，我们需要把这些几何的内切和过点条件转化为距离关系， 会发现圆心 p 的 轨迹满足椭圆的定义，所以直接利用椭圆参数就能写出它的轨迹方程。这种几何法的思路是解决轨迹问题的核心引导方向。 现在看第六题第二问的第一小问。求定点这一面我们主要通过韦达定律来处理。介绍非对称根的解法，设直线方程连力椭圆，利用韦达定律处理出坐标关系，核心是把斜率倍数的条件转化为代数等式。 这里要特别注意，这种题目运算量非常大，是这类题目的典型特征，同学们在答题时要细心注意运算的每一个步骤。我们继续看定点问题的优化解法这一面介绍的是其次化的方式，这是求定点模型的一个高效技巧， 用其次化的方法去处理，能有效降低相应的运算量，大幅减少计算错误和时间。通过其次化转化，我们能更简洁的求出直线所过的定点，这是解析几何大题中 能大幅提升解析效率的核心技巧。最后，求面积最大值，这一步主要利用维他定律去分析面积的变化过程。这里有个关键问题要注意， 如果在第二题第一小问已经用过其次话，那么我们在处理面积时，还需要再用一次维达定律来生成新的坐标关系。把四边形拆成两个三角形， 利用维达定律结果把面积表达式转化为单变量函数，再通过换元转化为二次函数。求最值，最终求得面积的最大值是三分之八。从几何图形到函数最值，这就是解析几何面积问题的完整闭环。

下面这道题是合肥一等考的几何压轴题，它将在三角形 a， b， c 中加 a， c， b 等于九十度啊！这里 a， c 等于 b， c， d， e 等于 d， b， b， c 和 e， g 都垂直于 a， d。 第一个要求证的是 e， g， e。 对 已知的也成这样变，那我们可以看出来，这两三角形可能是全等边，因为这两个角是相等。那么在三角形 d， c， b， d， c， d 和三角形呢？这个 e， g， d。 角 e， g， d。 角， 那么这里也有两个直角啊，角 d， c， d， c， b 啊 d， c， b。 等于角 e 及 d， e。 那 么这个角能不能等于这个角呢？我们看角 c， b， d， c， b， d， c， d。 它是等于 一百八十度。减角 a。 减四十五度，再减角 a， b， d。 角 a， b， d。 再看这个角 g， e， d， g， e， d。 它是等于一百八十度，这个角也是四十五度啊，因为这两条线平行的，要减四十度，它减的是这个角，减去角，角一一 平 d， e， d， e。 等于 d， b。 所以 d， e， d 啊，是等于角 e， b， d 啊，所以角积一 d， e， d， 它是得一到二十度，减四十五，减角 也是 a， b， d 的 a， b， d。 这两个角是相等，所以角 c， b， d， c， d， d。 它是等于角 g， e， d 的 g， e， d， c， d， d。 等于角 g， e， d。 这里就找到啊，两种角相等，那么右呢？ 这个三角形的斜边 b， b， b。 等于这个三角形斜边 b， b。 所以 三角式 b， c， b 啊 b， c， d。 它是全等于三角式 e， g， d 的 e， g， d， e， g， d。 所以 c， d。 它就等于 g， e， c， c， d 啊，等于 g 啊，就得到证明。第二， 如图啊，它加 c， f 等于 f， b 等于二十。求 b， d 的 场，那我们知道 c、 d 的 场是知道的，那我们能不能求出 c、 d 的 场呢？我们设 c， d 啊，等于 x 啊， c， d 等于 x， 那 我们看这两三个圆心，因为这两条线平行的啊，这三个圆心呢，就等于 x 啊，那我们看这两三个弦是平行的啊。 那么这个地方的 x， 根据刚才的任意选等，则记 b 记忆，记忆也得也得根据条件，已知条件 d， g， 它是等于 bc 的， bc 等于四四， 因为 d、 c 平行于记 e 啊，记 e， 所以 三角形 d， c， f， d， c、 f 它是相似的三角形 d， g， e 的 d， g， e， 那我们所以这里 c、 f 的 长 c， f 是 等于二 c， f 比上 g， e 等于 d， c 比上呢？ d， g， d， g， 这里 c、 f 等于 d， c 的 也是等于 d， c 的 也是点 x， d， c 的 长 d， c 的 长是不是 x， d， c 的 长，这里 d， g， d， g 是 等于 d， c 等于四，所以 x 的 平方是等于八八。那么 那么在这个实验当中，所以 d、 d 的 平方是等于 d、 c 的 平方， d， c 的 平方就是八，加上 d、 c 的 平方， d、 c 的 平方就是一次性二个四，二个四，所以 d、 d 就是 点 d 格号二十四，也就是二，点，格号内就是 b、 e 的 长度。第三步，就将 d、 c 比上 c， a 等于 b， e 比上 e， a 对 k 要求这个 k 值，那我们联结一下 c， e 看，我们联结一下 c， e， 那 我们看到 c， e 啊， c， e 啊， 这 c 一， 它是平行于第一的，嗯，现在这个角加一下角平行，平行，相切平行，所以我们得到，所以得到角 a， c， e 啊 a， c， d， 它是等于角 a， d， b， a， d， b 那 么 a， d、 b 这个角是等这样的啊，是因为是全，刚刚证明是全等关系，等于角呢？ g， e， d， g， e， d， 那么等于，因为是平行，因为这两个线平行，所以它就等于角，一样的，一样的， 所以我们知道这个角跟这个角是相等的，这个角跟这个角是相等，那我们在这个三角形中，在三角形这个 a， c， d， a， c， d 和三角形 b， e， f， d， e， f， d， 因为这个角的是角 c， a， e 呀，角 c， a， e， c， a， e， 它等于角 f， e， f， e。 找到前面的条件，角 a， c， a， c， e， 它是等于角 e、 m、 d 的， 所以这两个三角形呢，是相似的，所以三角形 a， c， d， a， c， d。 它是相似于三角形 b， e， r， b， e， r 这两个也相似，所以这里 b， e， r， b， e， b。 一 比三呢 a， a， 它就等于这个 b， f 比上 a， c 的 b， f 比上 b， c。 这里 b 一 比 a 一 b 一 比 a。 又你看这个 b 一 比 a 呀 b 一 比上 a 一， 它是等于呢？ b， c， b， c 比上 c， a 的 c， a。 所以 b， f 比上 a， c， 它就等于呢 d， c， d， c 比上 a， c， a， c 啊，所以我们得到 b， f， 它是等于 d， c 的， 这里 b， f。 就 等于 d， c。 然后呢，再进一步看，在三角形这个三角形，在这个三角形当中，这里有一个公共角啊，这一个，因为这个角呢，这个角它是等于啊，这个角对角在三角形 dcf， dcf 和三角形 dcf， 那 么就是 dc 啊， 就是 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中 b， c， d 中，那么这里有个公共角啊，角呢？ c， d， d， c， d， d， c， d， d。 刚刚已经证了是等于 e， f， d 的 e， f， d， e， f， d， 那 么也就等于角 c， f， d， c， f， d。 这个角跟这个角相等，这里有个公共角，所以这两个角也是相似，所以三角形 d， c、 f 相似于三角形 b， c， b， d， c， d， 这是子母相似。子母相似，有一个公共边，这里有一个公共角，这里写成子母相似，所以得到 d， c 的 平方 d， c 平方，它是等于呢？ c， f， c， r 乘以 b、 c 的， 那么这个 c， f 啊，这个 c， f， 它是等于 dc 减去 b， f 的， 所以 dc 的 平方，它就是等于 c， f， c， f 是 等于 dc 减去 b、 f 的， 也就是等于 a、 c 减去呢？ d， c， d， c， d， c 是 等于 a、 c 方，等两边同时除以 a、 c 的 平方，同时除以 a、 c 的 平方，那么就得到 d， c 除以 a， c 的 括号平方。括号平方等于， 这里是 a， c， a， c， 这里是 a， c 减去 d， c， 也就说等于啊 e 减 d， c 除以 a， c， 那 我们得到这样的公式，那么 d， c 除以 a， c， d， c 除以 a， c 就是 k， 就是 k， 所以 k 平方等于一减 k， 那 我们讲的 k 啊，是等于二分子幺五减 e， 幺五减 e。 这个是做这题很多的相似，关键在你老讲啊，这里有一个字母相似啊，这是大家第一，这题也有点难。

安师联盟的选择题的第十题，好，你对吧？点赞，来我讲题啊，给张老师点点赞，点点关注。那今天呢，给大家分享一下安师联盟异模的选择题的第十题。那这个题主要是考察的是瓜豆原理， 对吧？瓜豆原理，很多同学看到瓜豆原理啊，因为课本上没有，但是呢，综合考 这个刮豆原理呢，他就是仿着二零二五年的选择题的第十题啊，也是考察的是刮豆原理，他的主要的核心，你要找出他的什么轨迹，对吧？动点的轨迹出来就没有问题了。来我们看一下这个题啊，这个题 他说在矩形 a， b， c， d， 这个矩形对不对？ ab 是 等于几？ ab 是 等于二， bc 是 等于四啊，然后呢， p 的 点 p 是 在从 bc 的 射线上进行，什么是个动点对不对？进行来回什么运运动， 然后连接什么 a p， 然后，然后呢？再连接什么？ p q， 对 吧？他说将什么将 p q 旋转，将 a p 对 不对？旋转九十度，顺时针旋转九十度，也就是 p 点和，也就是 a 点 和 a 撇点，对不对？这个什么？这条旋转九十度到这里，也就是说 a p 是 等于什么？ a p， p 的 没问题吧？旋转九十度 都没了，对不对？还有一个什么 q 点是他的什么是，是 a 撇到 a 的 什么中点，对吧？没了，让你求 a， b， c， d 可求，很好求，只要你能把什么轨迹找出来啊，再写一遍轨迹找出来，就能赢了 i g 了。谁的轨迹呢？动点 也就是这个是什么？主动，对吧？主动他往这边跑，那两个动点，这是动的，这是动的，对吧？他两个的轨迹是如何来变化的呢？对吧？ ok， 那 张老师的思想就是，什么叫做极限 啊？极限法，极限法就是你取一个最边口的来确定他们的轨迹，那轨迹如何来确定呢？我们这叫两点，对吧？两点干嘛呢？能够确定什么？ 确定一条什么直线，对不对？两点确定一条直线，比如说这一点，这一点一连是不是两点确定一条直线？所以说 p 点他运动的是什么？是直线，那 q 点呢？也运动的轨迹也一定是什么直线，对不对？也一定直线，那 a 点， a 片点运动的轨迹也一定是什么？也一定是直线，对吧？这基本的逻辑，底层逻辑啊。好，来看一下， 你要把 q 点的轨迹把它画出来，我们这取一个临界点，即值，那 a p， 对 吧？当 p 点来到了 b 点的时候，那是不是这样子的，对不对？因为这两个边干嘛呢？是相等 a p， 对吧？就等于什么？这个假如说来到这里行不行？而且是 ab， 是 四，那呢？这个呢？是不是也是不是二？是二，对吧？那我就连接它到这了， ok， 取它的中点吧，对不对？所以因为这个边和这个边相等，当 p 点来到 b 点的时候，所以 ap， 对 吧？就等于什么？ 因为这九十度吗？对吧？他们家角不变，所以说 a 点呢，就跑到这来了，能听懂吗？能不能好 a， a 点的轨迹就能画出来了，两点确定一条直线，对不对？好， a 点的轨迹一画，哎，正好什么 到 d 了？那老师，为什么他俩连接正好是到 d 呢？我们知道这是九十度，对吧？这是九十度 啊，你看这多少？这是四十五度，对不对？是不是？ ok 啊？然后呢？这是九十度，那这个呢？这是四十五度啊，这个呢？也是四十五度啊，为什么啊？老师，为什么这个是九十度？因为这是什么？这是爱，这是爱，这是爱，说明这是多少度？这是四十五度，这是四十五度，听懂了吗？ 能不能？所以呢？这是四十五度，这是四十五度，对不对？我们这是九十度，所以说呢，他轨迹一定什么和 d 啊？又是，这就是什么？ a 撇的什么轨迹在这场运动，能听懂了吗？ ok， 好， 来接 q 点的轨迹来，怎么找呢？我们这还是什么？两点确定一条直线，对不对？两点确定，对吧？一条一条 对吧？直线对不对？ ok， 啊，那刚刚说了，他跑到这，他跑到这，对不对？那 q 点呢？ q 点一定是什么？ a 到 a 撇的中点，那现在呢？ a 撇跑到这了，这个是动，这个是定的，对不对？这个是动的，那终点是不是在这，对不对？终点是在这这个位置，你取， 取的话什么？两点确定一条直线，你画是不是？ ok， 两点确定一条直线，你画 a， 他 终点吗？ ok， 好， 对吧？那这句话他正好什么中点和 b 什么连接上了，为什么呢？因为我们知道这个是什么？等腰直角三角形，那他的中线一定是什么？等于 前面一半，对不对？所以呢，这个反向延长一定是过什么？ b 点，没问题吧？ ok， 好， 来，这条线就是什么？就是 q 点的什么轨迹，对不对？来，你看，当你到这，当你 p 点到 b 点时候，轨迹是到这，对不对？当你在，当你在这个时候的时候，对吧？ ok， ok， 是 不是，对吧？你 q 点是在这来，再往这边走，再往这边走，对不对？有可能是在这，对不对？是不是？所以说 q 点呢，它的坐标应该什么？向这边跑，能听懂吗？这就是 q 点的坐标啊， q 点轨迹啊， q 点的轨迹啊，划一下 q 点的轨迹没问题吧？啊？ q 点呢，他就会什么向这边走，你往 p 点往这边走， a 点呢，就会往这边走， q 点呢，就会什么往这边走，这就是什么 q 点的蓝色轨迹，这就是 a 点的 a， p 点的轨迹。轨迹一划出来了，就迎刃而解了。 a 选项对吧？ d q， 你 d d q 啊，吧？ q 是 在这里，你点地点 d 到直线的距离是什么？是最小对不对？所以说什么？你连接它， ok？ 垂直距离是吗？是最小的，所以说什么？这个是什么形？明显的什么？矩形对不对？垂直对吧？垂直明显是矩形，那这等于什么？最短距离就等于它，对不对？对吧？那这个是不是它的什么 a 撇？ a 的 中点啊？这是几？这是二，这是二，这多少？ 这是多少？二倍根号几？二倍根号二对不对？然后一半是多少？就等于根号二，所以说这个长度就等于几根号二，最小值就等于几根号二，对吧？比较简单，所以第一小问呢是错的，第二小问的话， c q 对 吧？ c q 到加什么？加 d q， 我 们知道两定一动叫什么，叫将军，对吧？然后呢？引马对不对？将军引马做对称吗？来了来做这个什么对称过来，对不对？ ok 啊，将军引马做对称， ok， 好， 对吧？连接什么？再连接它， ok， 这是什么？ d 撇对不对？要想求出，对吧？假如说这 q 点跑到了 q 点跑到了这里，对不对？ ok， q 点跑到了这里，对不对？所以呢，就等于它加上它的最小值就等于什么？因为这两个边干嘛呢？是相等的啊，我画一下啊，画一下， ok 啊，这个边和是对称的，对不对？相等的，所以说什么 q d 加上 q c 就 等于什么 d 撇 q 加上什么 q c， 所以 这个 d 撇 c 吃的怎么最小值？这怎么求呢？怎么求？ ok 啊，我们在什么勾股定律里面求 啊？嗯，画一下，延长过来，延长过来， ok， 对 吧？那我们知道，嗯，这是平行的，平行的，因为这个角是多少？四十五度，对不对？然后老老师，为什么是四十五度？因为这什么？原来是等腰直角三角形中点吗？对不对？中点啊，这是什么？转，等于一半啊， 对吧？这是四十五度，这也是四十五度。那这是四十五度的话，这是多少？这是四十五度，这是多少？这是四十五度，对不对？那这都是四十五度，那这个边和这边是什么？是相等，对不对？那这是四，那这是几？这是四，这是爱，说明这也是爱，对不对？ ok， 那这个边又和这个边相等，你说这是几？这也是 i， 对 不对？ ok， 要想求出什么，它的最小值是这块用勾股定律计算多少 i 的 平方加上多少四的平方开根号就等于多少，就等于四加十六等于多少根号二十等于几？等于二倍根号五，对不对？对的吧？ ok， b 选项是对的，没问题， b 选项是对的，这样答案选 b。 那 有的同学讲第三题怎么做？太简单， a c， 你 a 点是在这上轨迹跑的，我们这点到直线的距离是什么？垂直距离是最短对不对？是不是可简单，这姐，这一半是 i 对 吧？所以说这多少根号 i？ 根号 i 对 不对？最短距离是多少？就是根号 i 太简单了，对吧？太简单了啊。 然后呢？紧接着这个对吧？你 p q 对 吧？ d q 对 不对？这是一个动的，这是一个动的，这一个定的，那没办法来确定啊。那我们就要进行什么转化，对不对？转化 如何来转化呢？现在不是，这是动的，这是定的吗？对不对？叫两动一定给它转化成什么叫两 定一动来解题就比较简单。那我们知道这是一个什么重点？动点定点，对不对？转化一下， 我们知道这条边和这条边干嘛呢？是相等对不对？所以说我他两个相加就转成什么，他两个边相加，所以说这是一个定的，这是一个定的，这是一个动，对不对？就转成什么？两定一动。 那这两个边相加的最短值是不是？ q 点是在这移动的？移动的话，如果三点共线的话，是不是干嘛 是最短啊？多少？当 q 跑到这个点的时候，就什么 a q 加什么 d q， 它的最小值是几？是四对不对？因为是什么矩形吗？对不对？是四，所以说答案是四对不对？错了，简单吧， 再复盘呀。这个题主要是找出 q 点和 a 点的什么的轨迹啊，主要是找出他们的什么轨迹，其实就是什么瓜豆原理啊。瓜豆原理寒假班的时候我已经跟我的学生全部都讲过了啊， 大家再建议做一下啊。安师联盟的 b 卷，这是 a 卷啊，这是 a 卷，大家再做 b 卷，或者是做一下二零二五年的啊，二零二五年的再做一下啊。记得给张老师点点赞，拜拜。

哈喽，各位同学好啊，各位家长好啊，我是数学马老师啊。嗯，今天咱们接着上段视频说啊，今天分析一下中考的第十七题，他会怎么来考啊，中考的第十七题啊，是几何综合啊，结合了初一初二知识啊，全党呀也结合了，有可能会考 啊，这个初三的相思和缘结合一块都是有可能的啊。咱们先说一下中考一模吧，啊，一模大概率啊，会延续上一届二五年的天津中考的第十七题的思路啊，必考什么呀，终点的四个用法 对吧，这个时候用笔和本就得记上了啊，有九十度有终点考什么呀？斜边中线，斜边一半对吧？哎，第二个用法呢啊，如果看见了多个终点的中卫线 对吧，有等腰三角形呢，三线合一对吧，如果出现了上下平行夹中点呢？这不就构造八字全等这个终点的四个用法，每年一模还有中考题出现概率是最大。但是二零二五年的中考一模六个区里有三个区都会结合手拉手模型来考，那么今年 也要沿用啊，咱们去年的重点四个用法，结合咱们过往的一模的，向着球最直的挂到演员，刚才马老说的全党的模型，什么绊脚啊，手拉手三垂直都是有可能的，还有相似啊，所以这就是咱们总结的十七题的解析思路和模型啊。所以各位同学，各位家长 只要点击马老师的头像，点击关注啊，马老师把第二轮总复习阶段的第十七题汇总的啊，难点模型以及解析思路分享给各位同学。

哈喽，大家好啊，那么今天咱们深圳高三的这个深一模的数学试卷啊，就已经出来了啊，那么这套试卷呢，为什么选择在现在来给大家录这个视频呢？也是因为这个试卷我刚刚把它做完啊。坦率来讲，这次的这个试卷呢，我们用八个字来概括，那就属于情理之中，预料之外 啊，那么情侣中的原因是什么呢？就是情侣中，就是咱们深圳一模的这个考题啊，继续与咱们高考不符啊，这已经不是第一年第二年这个样子了，那么情侣之中的话呢啊，也能遇见到是吧？深一模，深二模向来的风格就是高估高考 啊，可以这么说，这套深一模和咱们二十四年二五年高考的风格啊，起码和咱们新高考数学一卷的这个风格 啊，是完完全全不一样的，最初最突出的这个特点，那就是他的计算量会比高考的计算量要大，非常非常非常的多啊。那如果我们分开来看啊，因为这道试卷我也是刚刚做完，是吧？那你会发现前面的八个选择啊，八个选择可以说四个字，一马平川。那么第八道题的话，只要你用带特殊值的方式， 从二零二五年全国一卷的这个情况来讲的话，那你就会发现啊，几乎就是完全一样啊，这个高考风格还是很强的，那么到咱们的这个多选题，到咱们这个填空题的前两道都是如此，那么今年申一模的这个风格是很大程度借鉴了二零二五年高考风格的哪一点呢？ 是把新定义的问题既给它去掉又不去掉，这话怎么讲？第十四题，大家可以把它理解为一个新定义的问题啊，那么题，这个解答题，第十五题，可以说啊，非常的这个普通啊，竖列的求和的这个列向求和的问题，那么到咱们第十六题呢？哎，这个其实是我们寒假重点来给大家讲过的，咱们这个概率统计当中的 函数问题，只不过是我们分的三类函数中最简单的一类函数啊，所以忘了第十六题，这也可以说啊，非常非常的这个，呃，普通了啊。那么到底十七题这个立体几何里，相信出乎很多同学的意外，他不是普通的间隙，他不是普通的线面角和二面角的这种考法，他把它考成了一个什么呢？ 球的内接八边啊，内接的这个，呃，咱们这个八面体的这个情况，哎，就是我们可以看到啊，如图所示，是吧？哎，内接八面体的这个情况，那么这道题的难点在哪呢？这道题难点呀，在于设备质量和计算 啊，在设备上和计算，而且不再是一个常规的间隙就能搞定的问题。那么啊，那我相信这个是咱们深圳教科院啊，对咱们整个高考出题的这么一个啊，这么一个这么一个理解的一个方式吧啊，但是呢，在我看来，这个点是不符合咱们新高考的这个风格啊。然后那么第八题啊，属于我们寒假重点讲过的类型，就是我们的极简教材 啊，是我们当中讲的其中的一类。那么最后一题，圆柱曲线啊，属于非常规的问题，但是他的第一问 一共三问吗？第一问和第二问都比较简单，那么到第三问的时候实话实说，这就算你做的有些瑕疵，大家大差不差啊。但是这二五年的高考加今年的这个深一模，大家都笃定了一个方向，第十九题不再是咱们哎，二十四年出现的这个 新定义的这种问题了啊，新情景的这种问题，那我觉得这个是今年大家出题的一个主要一个风格的变化吧。好吧，那么，呃，可以这么说，这里边的核心的内容当中啊，都有重点的这个讲解啊。所以 如果大家接下来，哎，想对咱们这个身衣膜，对自己现在的这个程度啊，如果想有一个把脉和诊断的话，大家可以后台滴滴我。

几何快带竖纹新定义，还能提智商？ hello， 大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二五二中初三一模的几何压轴题，那这道几何压轴题呢，我们主要是用两种方法来讲一下。第二问， 在讲的过程中呢，主要给同学们来推荐条件，提供工具，结论引导方向。这两句话主要呢帮同学们来解决一个困境，就是我们猜出来答案了，但是不知道怎么正，该怎么办？ 来，我们做任何一道几何题啊，都是用这两句话，条件提供工具，结论引导方向。 条件呢，第一个条件是等腰值，只要看到等腰值，那我们就是标哎，边相等，角相等，对吧？同时想到这里面呢，是这个结构共端等长，他应该是提醒我们，哎，旋转全等的， 然后那面条师紧跟着就给了一个 a、 d 垂直 bc， 那 在等腰三角形里，你做一个垂直，那我们就知道这是三线合一， 哎，那这就有垂直，那这个角呢，就被平分成两个四十五度哦，在等腰直里边的三线合一，他就构造了一个，哎，构造另外这两个也是小等腰值。 而且呢，那你等腰直的三线合一和斜边中线它是一回事，是不是啊？我们可以很明显的可以得到 a、 d， 它接着就是斜边 b、 c 的 中点，哎，中点，中点，背后四个工具再挖出来， 哎，咱们这里呢，就是人家明显给的终点，你要去关注，人家隐藏着给你的终点你也要关注，只要看到终点，别管怎么给的。我必须想到终点背后四个工具，八中斜三八字全等，中位线、斜边中线，三线合一，先摆在这一会呢，可结合结论看看要用哪 一个好。接着呢，继续读，看看还给我们提供什么工具了啊？点 m， n， 分 别是 a， b 和 a c 上的动，点 啊， m 在 这个 ab 上动， n 在 ac 上动，然后满足 am 等于 an， 哎，给边等，那我们知道给边等，就提醒全等，哎，那这里面没有三角形，那我们呢？哎，就可能会在第二位啊，最后一位用到，所以要关注它， 同时要学会等量代换啊。本来是 ab 等于 ac， 现在人家告诉我这俩黄的相等，所以我们得到什么呀？ 哎，我们得到 b m 等于 c n， 哎，又一个边等，是不是？ ok， 接着呢，下一个，他说过点 m 做一个 m f 垂直 b n， m f 垂直 b n， 哎，垂足是 h， 那 有垂直，只要看到垂直，我们就标点叉，哎，勾股倒边，那在这里我们可以标，这个是点，那这个角就是叉， 那在直角三角形 b a n 中，这是点，这是直角，这个呢，我也可以标个叉哎，点加叉九十度。 好，那现在我们发现，哎，谁和谁相等还挺清楚的，是不是接着来围绕结论啊，我们的结论是啥呢？他说让我们用等式来表示线段 d e 和 b f 的 数量关系，来给他找到 d e 和 b f， 而且是用等式表示并证明，所以我们先表示出来，给一分嘛来，那怎么弄呢？求两边的数量关系，我们就先猜后正，哎，非常好猜，因为常考的就四种相等，二倍，根二倍和根三倍。那我们呢，通过测量或者观察，很容易发现这几倍啊， 哎，二倍对不对？就二倍的 d e 等于 b f。 好， 那猜出来了，然后赶紧证明。证明，怎么证呢？那你得先把要求的表示出来呀。现在这个题目中有 b f， 有 d e， 哎，那二倍的 d e 有 没有啊？ 哎，没有，所以我们的思路，那就得先把二倍的 d 给它表示出来，哎，正好 d 这个地方是终点。那同学们想想，当一个当有终点的时候，你怎么表示二倍的 e d 啊？ 哎，有同学想到了，是吧？中位线可以表示啊，八字圈等倍长也可以啊，是吧？哎，所以我们可以先优先用这两个呀。 好，那假如说我们用中位线的方法，对吧？哎，中位线的话呢，可以出二倍的 e d， 那 我们，哎，看看怎么做哈。首先， d 是 终点，我们要做二倍的 e d， 我 就需要让 e 也是个终点，从而才能用中位线，那怎么能让 e 是 个终点呢？ 哎，对啊，就倍长 b a b e， 对 不对？倍长 b e 到 q， 哎，使我们的 e q 等于 b e， 那 e 就是 b q 的 终点。好，此时我们连接谁就可以出中微线了。 哎，连接 c q 就 可以知道 c q 和 d e 它们俩就是平行的，而且呢， d e 是 等于 c q 的 一半，这个就是二倍的 d e， 对 不对？ 好，那我们来，别，别着急啊，先把这个造的工具传染了啊，你造了平行，赶紧要倒角，这个垂直，那这个呢？也是垂直，那这个角，哎，是四十五度，那这个也是四十五度。 好，然后呢，这边这个对，顶角这个叉也赶紧过来，对吧？好，接着围绕目的，我们的目的是要证明二 d e 等于 b f， 现在呢，二倍的 d e 就是 c q， 所以 我们就证 c q 和 b f 相等， 哎，要证 c q 等于 b f， 同学们要证边等，首选全等 b f 所在三角形和 c q 所在三角形，看看能不能全等呀。哎，我们发现这道题有点简单了，是吧，这已经现成的三角形已经来了，而且全等的条件够不够啊？ 哎，做完了，够了，是不是？你有四十五，你也有四十五，你有叉角，你也有叉角，这边中间加个 c n， 这个中间加个 b m， 而且 b m 和 c n 还相等。 哎，所以我们很容易可以得到这个三角形啊，它是和这个三角形是全等的， 那全等式工具，工具立马就导交到边，我们就可以得到 b f 就 等于 c q， c q 就是 二倍的 e d 就 完了，对不对 啊？所以呢，如果在考场上我们看到二倍的谁是谁，那我先把二倍的谁表示出来，对吧？表示出来之后，我们呢再去正边等，正边等呢，就首选全等，当你一开始读题的时候，就读一句，标一句，那么全等条件你会发现的非常快， 所以同学们做几何压轴题啊，一定要先按照最正确的姿势，就是读一句，标一句，读一句，挖一句，然后呢，再从结论引导方向，这样的话呢，你就能快速搞定了。 好，那我们呢，再给大家示范一个方法啊，就是八字全等加找猫画猫的，因为呢，我们已经猜出来了，是二倍的 d e 等于 b f， 那 么我们就知道，要么把二倍的 d e 表示出来， 要么呢，我给它变成 d e 等于二分之一 b f， 把 b f 的 一半给它表示出来。哎，你就看哪一个好表示，因为我们这个题目中是 d 这边有个终点，那显然被长它最简单，是不是啊？被长它简单，或者做它中位线简单，所以我们就用这个角度 啊，那 b f 的 话呢？他在这，哎，我们做一个他的一半的话，现在不知道用啥工具，是吧？所以呢，我就不选择做 b f 的 一半这个方法了啊，他有个中点，我就先选择倍长这个方法，或者是做中微线这个方法啊，一定要用上这个中点。 好，那我们，哎，基于这个中点，我想到我只要倍长 e d， 哎，就不仅可以出二倍的 e d， 而且可以出个八全等，所以呢，我们就来做一做， 来倍长 e d 到 h， 使 d h 等于 e d， 然后我们连接一个 c h， 那 么这个时候我们就可以直接用边角边得到这个三角形和这个三角形八字全等，是不是？ 好，那八字全等呢，就可以倒角倒边，哎，我们来盖进去倒一倒啊，比如说这个角它就嘚儿一下，就等于这个， 哎，内错角相等，两直线平行，哎，八字全等除平行倒角必用平行线啊，赶紧来倒一倒。因为平行线，所以我们这个叉脚，哎嘚，这个叉脚，对吧？哎，这还变成大叉了呢。好，然后呢，我们看看还有没有别的呢？ 哎，目前来看，这个角呢，我们平行线，哎，一直的角是倒，明白了。好， 接下来呢，我们再基于目的，我们的目的呢，是要证明二倍的 d e， 也就是 e h 和 b f 相等，要正边等，它离这么大老远，那肯定是得上全等啊，你上不着等腰是吧？你得上全等， 那上全等的话呢，我们现在发现这个边他不在一个三角形里边，是不是？但这个边呢，在一个三角形里边啊，所以呢，我们就可以很知道，很容易清楚的可以知道，我把这个三角形当成主角三角形，哎，在这块构造一个和他全等三角形就行了， 对不对啊？当然，有同学可能会说，老师，我为什么不做他的全等呢？哎，因为他的条件少啊， 哎，上题干给我们的提醒是 b m 等于 c n， 你 看，但是这个三角形啥信息都没有，是吧，所以我们选择 b f 所在三角形，选择条件多的啊，选择这个 好，那接下来我们就要模仿着他去造全等，那这个方法就叫照猫画猫，照猫画猫的方法就是一一找猫，先找主角三角形就是他主角三角形就是含结论边的和工具边的三角形啊，工具边就是相等的边，哎，结论边就是要要求的边， 你看这四十五度，这是叉。这个主角三角形的条件也不少，好选择他之后呢，接着看他长啥样，有一个绿的，有个四十五度，有个叉， 哎，自己长这样，是吧？那长看研究出来之后呢，我们呀，就重点看，哎，我在哪画他的全等， 因为我要正的是这个黄边，等于这个黄边，所以呢，哎，我知道，我要在这一块造一个他的全等，怎么造呢？哎，缺啥画啥， 你看这边呢，哎，有一个什么，有一个四十五度，我这边没四十五度，这边有个叉角，我这边也没叉角，所以我最好呢是要画一个四十五度，画个叉角，并且画个绿边。那同学们，你看我在这怎么画个绿边呀， 对吧，我在这怎么画个绿边呢？哎，对，当你卡了之后啊，你马上去看，哎，你还有啥条件，啥工具没用上呀， 对吧？只要卡了，你就这么干啊？尤其是先看你自己造的，你自己造了个八全，等八全等出平行，哎，平行可以用啊，对吧？我们可以用来干嘛呢？我们可以用它来造一个平行四边形，我们过点 e 做一个 e q 平行 n c， 因为他俩已经平行了，所以我们又做一个平行的话呢，那 e q c n 就是 一个平行四边形，那只要有平行四边形，我们就可以知道。哎，那 eq 和 n c 他 俩就相等了，哎，他就等于 b m 了， 好一个边等了，同时因为是平行，可以倒角，那这个叉就嘚一下就过来了，哎，然后这个四十五度嘟，哎也过来了， 所以我们很容易可以发现。哎，三角形 n e q， 它现在呢？哎，这个 h e q， 哈，三角形 h e q， 这个三角形 h e q 和我们的这个三角形 f b m f b m， 它们俩就是全等的，是不是啊？因为都有四十五度，都有差角，并且中间加了个，哎， eq 和 b m 相等。 好，那他们全等了，那我们就可以得到。哎，咱们的 b f 等于 e h e h 呢？就是二倍的 e d 就 结束了。 好，那复盘一下啊，我们怎么着能快速做出来几何压轴啊？就一开始一定要读一句，标一句，把信息一目了然。标图上啊，你看，当我们标图上之后呢，我们就很容易找到。哎，找到主页三行之后，我们很容易找到谁和谁相等， 他就算不相等，我们也很容易看到。我要想在这做四十五度做个叉，那四十五度和叉都在这，你看你就得上平行嘛，对吧？只有上平行才能把四十五度叉都往这边怼吧，哎，这样的话呢，我们的工具就比较容易了。 好，那咱们呢照猫画猫这个方法啊，他呢是信号比较粗，比较粗矿的，就只要是有边等和角等的信号，你都可以照猫画猫。所以呢，在考试的过程中，哎，如果我们看到很明显的终点呀，共端等长呀，我们就可以上旋转， 但是如果说你看其他的工具都不好用，你就可以用这个啊，因为这里一个它的信号就是给边等，给角等就可以用，它是比较它的应用场景是比较广泛的，大家只要是找到主键差行，不知道怎么做全等都可以用，这个方法就是纯粹是模仿着这个主键差行去造全等就行了。 好，那同学们呢，如果说现在看到几何压轴啊，做着做着呢容易卡，或者呢不知道该怎么着去造全等， 或者不知道该怎么去找主页上行等等的，哎，都可以跟彩虹老师来继续学习，彩虹老师呢也是给大家开了几何专题课，我们如果有想学习的话，可以联系我们的老师进行报名。

好，同学们，好，呃，今天呢，我们主要讲解的是二零二六年的高三一模考试中的呃，填空题和解答题，那么填空题和解答题它的核心考点主要包含了函数、概率统计、排列组合、数列 例例、几何、导数与解析几何。那今天呢，我们就详细的来给大家讲解。那首先呢，我们来看一下这个啊，这是我们今天所要讲的题目啊，从以下六个试题啊，给大家讲解。 好，首先我们看从第十二题开始啊，第十二题呢，它其实考察的，我们先看考察的知识点啊，就是第一个，它给到我们这样的一个函数，那它实际上是一个指数型的函数， 横过定点 a， 然后呢，他又呃知道函数 f x 在 s 等于处的切线啊，又考察了函数的切线啊，所以第一个是对数型函数的一个定点问题啊，第二个是切线问题啊，那我们一， 我们逐个去突破啊。首先哦，我们来思考一下，就是对于这个对数型函数呀，他过的定点，我们是怎么去找定点呢？比如说我们是对数函数啊，对数函数移位 d x， 那 他过定点的时候，我们是让真数为一啊，函数值为零， 所以呢，对于本啊，本题中的一个对数型函数，我们就让它的真数为啊一啊，所以 x 此时就是二，那对应的外值呢，就是负二 啊，所以我们的 a 点啊，找出来就是一个二和负二。好，这是第一个啊，题干信息的一个筛选啊，也是非常基础的。第二个啊，函数 这个在 s 等于一处的切线。好，那这里面呢，我们的核心考点就是切切点切线问题是吧，我们说函数 f x 啊，在某点处的切线，在 x 等于 x 零处的切线方程啊，应该是怎么来求， 应该怎么求？那么我们这样来处理我们这个这个点呢，它就是切点，所以 x 零和这个 f x 零是吧？ 好，这是切点，那么切点处的啊，这个导函数值呢，就是切线的斜率，那么最后的切线方程我们写成什么形式呢？我们就是外减去 f x 零哈，然后等于 f 片 x 零 乘以 x 减 x 零，哎，这是切线方程啊，那么这个切线方程我们写完以后呢啊，我们再去解决本本期，那他说这个函数啊，第二问，第二步骤啊，他说这个函数 f x 啊，等于啊，令 x 减去 ax， 我 们想要求它的导数啊，想要求它切线方程，我们必然要第一步先求导啊，先求导，求导是不能错的，对不对？好， 然后呢，我们是切点呢，是 s 等于一处的切线啊，所以一就是它的切点，那么我们切点呢，是一，它的函数值啊，它的函数值 f 一 呢啊，是一个负 a， 所以 我们的切点是负 a， 那 么切点处的导函数值等于切线的斜率啊，所以这个时候呢，我的 f 偏一就等于一减 a， 因此呢啊，这个切线方程啊，切线方程我就可以啊，顺利的写出来，就是 y 加上 a， 然后等于多少呢？一减 a 乘以 x 减一 好，同时呢，他又说经过点 a， 也就是我们刚才第一啊段分段的时候，我们获得的信息，也就说这个二和啊，负二呢，他在这个切线上我们分别代入啊，那就是负二加 a， 然后等于一减 a 乘以 二减一是一，那因此我们看 a 就 等于多少了， a 就 等于这个二， a 就 等于三啊，所以 a 就 等于二分之三。好，那这个是第十二题的一个啊，答案。 好，那我们再来看一下啊。第十二题，首先呢，它考察的核心考点啊，就是我们看到一个题，我们知道它的考点，如果我们做错了，我们也是能够有 方向的去复习，比如说切线，切线方程啊啊，在某点处和过某点的方程，还有就是这个 啊，这个是对数型函数它的定点问题啊，我们都是一些很细致啊，很细节的一些啊，零碎的一个知识点啊，我们都要掌握个滚瓜烂熟，那这样的话，我们做题的时候才这个熟练度才有啊，这是第十二题考察的主要是切线问题。 好，接下来我们看第三题，那么第三题呢，它实际上是一个全概率，又结合了一个排列组合啊，我们首先来分析一下题啊，分析题是非常重要的，那么这个题呢，有同学他算不对的原因啊，当然这个排列组合的数是比较大的啊，可能导致有些同学他没有算对 啊，分析题也是非常重要的，就是我们首先来看他想要买啊，买一包是吧，买这个电子，这个电气原件， 那么他是，呃从一包中呢，要先抽查啊，抽查四个，如果这四个原件就是好的啊，其实也是跟这个买彩票一样，是不是看这个运气好坏了，他刚好抽到的四个是好的，那他才决定买下这一包， 那么我们看一下就是假定啊，假定，你看这里面有含有六个次品的包数，占的是百分之二十，那其实就是我们这个分类了，对不对？有百分之二十呀？啊？有百分之二十的这个产品呢？它是啊，十二个， 每包啊，你看啊，每包是十二个，对不对？是十二个，然后它含有六个次品， 那含有六个次品，那就意味着是六个正品。好，那么还有百分之八十啊，其余的包数啊，它含有两个次品，那么含有两个次品，那这个时候每包还是十二个？它每一包中啊，它含有两个次品 啊，两个次品，还有就是那就是十个正品。好，我们再去抽，那么他采购员随机的挑一包，拒绝购买，他为什么会拒绝？拒绝购买了？那说明啊，他买的这四个， 这个他抽查的这四个里面应该是至少有一个次品 啊，在抽查的时候至少有一个次品，那么至少有一个次品，其实他情况是比较多，那你可能是一个，也可能是两个啊，还可能三个、四个，所以这个运算的话，他就比较麻烦 啊，比较麻烦，那么至少有一个次品。我记为事件 b 的 话啊，那我能不能求事件 b 的 对立 事件啊？他对立事件就是都，为什么呢啊？都为正品， 都为正品。哎，这个就好办了，你四个都是正品，我就好抽了，是不是？所以我们在算啊，在算这个 p、 b、 e 的 时候啊， 这实际上就是都是正品的时候，实际上是一个全概率，那么在这个全概率中呢，又含了一个什么呢？超级核分布啊，这个考点还有一个是这个概率统计中的超级核分布啊，那大家 首先呢，对超级和分布啊，他的公式啊，了解不了解是不是？好，那接下来呢，我们看一下 啊，如果你不了解的话，你要复习相应的章节，复习相应的章节，那么首先呢，我们看啊，它是一个全概率，为什么全概率？就是如果我抽到这百分之二十的我，我拿着每一包啊，我去抽 啊，他是不一样的，所以呢，我们在算啊，抽到的四个都是都是啊，正品的时候我们含含啊，就是含有六个次品的包数，或者是两个次品的包数，所以分了两部分啊，这是第一部分，然后这是第二部分啊，所以我们在算的时候要啊算乘以百分之二十， 然后我们再看，就是在进来，你这百分之二十是六个次品啊，所以你在抽的时候是按超几何分布的，超几何分布，那么超几何分布它 x 服从超几何分布的话，它是十二个产品，里面有六个产次品，然后你抽四个产品 啊，问你次品的个数，那这里面我是抽，我是有六个正品，那我的六个正品是不是都来源于正品中的六个？我从正品中去抽四个，那我抽到的就全部是什么呢？就全部是啊正品了， 然后再加上这个通道啊，这个第二部分就是百分之八十啊，因为他这个含的次品个数少，那我就乘以零点八，我去乘啊，这个也是服从超级核分布的，那么他的啊，这个，呃，总的产品个数是十二个，他含的次品是啊，两个，然后他抽四个 啊，那接下来呢，我们看，那就是拿零点八，那你抽的四个正品呢，他是从正品中来的啊，所以这里面是 c 十四，然后去除以 c 十二四 啊，那么接下来呢，我们就是一个排列组合的一个预算啊，这里面其实预算量还是比较大的啊，就在考场上啊，这个作为这个第二个填空题 啊，这个预算量是是比较大的啊。好，那接下来就是我是是讲了一下思路，那我们具体呢啊，是需要啊，自己来去预算的啊。那么这个题呢，实际上我觉得他考察的 层面呢，也是比较多的啊，考察层面比较多的，第一呢，他考察了这个全概率啊，你要知道他是一个全概率的一个公式 啊。第二个就是啊，你要是会抄几何分布啊，会抄几何分布的这个模型啊，比如说它是抄几何分布，我给它帮助大家去复习一下啊， 大 n 是 总的产品个数，然后 m 是 次品个数，然后小 n 是 抽象个数。那这里面我们需要掌握的有以下几个方面啊，就是比如说我产品 n 小 n 个产品中含有 k 次品的概率， 那 k 的 次品它来源于次品啊，那剩的大 n 减大 m 啊，是 一个正品，那就是 n 减 k， 然后去除以啊， c 大 n 小 n 就 行了。那么这里面还有两个重要的公式，就是啊，在超级和分布中啊，它的期望和方差 啊，我们也要记住，借此机会啊，去复习，那么就等于 n 去乘以次品于啊， 然后接下来呢， d x 的 公式啊， d x 的 公式它是怎么？它是 n 啊，去乘以次频率，再去乘以正频率啊，然后再去乘以大 n 减啊大 m， 然后除以大 n 减一啊，这个地方应该是大 n 减小 n 吧。 好，大家看一下啊，你看我，我在，我在记这个这个公式的时候，实际上也是很容易就错，所以我们还是应该及时的去，去翻下笔记啊，翻下笔记这个超级和分布它的这个 方差呢，如果你用到了啊，你在做题时，做题的时候它就很快就出来了，但是呢，如果你要是没有记住，那做题的时候实际上是非常艰难的啊，非常艰难的， 这个地方要注意啊。啊，我刚才写的是没有错，我又翻了一下书本啊，他这个地方确实是啊，大 n 减去小 n 啊，这个别，别记错了，多记几次啊，这个是 n 啊，小 n， 抽象个数乘以次频率，正频率啊，和这个调和的这个数 啊，这个数记清楚，那么整个 d x 啊，它的方差就记住了啊，所以我们其实要以点代面的去复习啊，以点代面的去复习 啊，你，你不会一个题，那你相应的知识点呢？你一定要去啊，捡起来啊，这个题的话，他最后的答案是啊，五十五分之三十六，好，这是这个，呃，第十三题啊，第十三题，好，接下来我们再来看 下一个数列，嗯，那么这个数列公式中呢，其实，呃，我我在自己在做的时候呀，也是呃存在算错了好几次啊， 所以说大家在考场上他其实也是很容易出错。第一个，我认为呢，咱们的审题能力啊，审题能力是非常重要的，就是你要看清楚题啊，题干信息中每一个条件指的是什么。好，我们先来分析， a n 呢，它是一个等差啊，它没有说等差数列，对吧，它只是说它的前项和是 s n， 然后呢，它又告诉大家啊，又告诉大家这个 n， a n 和 s n 呢，它是依次成啊，等差数列，好，我们就先从这一段啊，先从这句话中去提炼信息 啊，它是成等差数列，那我们就有一个等差中项了，对吧？啊，能够得到这样的一个啊，式子好， 那么同时树立 b n 呢，它满足这样的一个关系，那其实它这个是一个递进的关系，就是你前面 a n 呢，必须去解决，然后你解决完以后，咱们才能去求 b n 啊，所以说这个地方呢，我的切入口就在于这个式子， 那从这个式子中啊，我看到这个式子，我就立马反应出来啊，它就是，嗯，咱们数列中计算中啊， usn 求 a n 的 一个啊，经典的一个模型哈。 usn 求 a n， 好， 那这里面呢， usn 求 a n， 我 先给大家梳理步骤，第一个必须先算 a 一 啊，等于多少？ 第二个呢，我们 s n 减去 s n， 求 a n 的 时候，是不是 s n 减去 s n 减一等于 a n， 那 么这里面强调 n 大 于等于二， 好注意啊，这个这个式子呢，有的时候正着用，有的时候是反着用的，然后第三个呢，就是我们最后还要检验啊，还要检验啊，也是有分的，大概是一分，如果你不检验啊，那那么这个分就不走分， 那所以说呢，我们按照刚才就是由 sn 求 a n 的 这个长通信通法啊，常规的一个 啊思路啊，我们去做题，那么第一步呢啊，我就先求 n 等于一的时候， a 一 是多少是吧？好，我二倍的 a 一， 然后等于一加上 s 一， 那就是 a 一， 对不对？ 所以说这个地方 a 一 就是一个递推关系 啊，我二 a n 啊，等于 n 加上 s n， 是 吧？然后我递推关系的话，我就二倍的 n 减一，等于 n 减一，加上 s n 减一。哎，那这里 这个地方呢，是不是 n 大 于等于二？好，两式作差，两式作差。那么左边呢，我们写成是啊，左边我们写成是二 a n 啊，减去 a 的 n 减一 啊，右边呢是一个一加上，哎，这里面啊，就用到了我刚才给大家补充的这个细节部分哈，就是 s n 减 s n 减一啊，就是这左边是二， a n 减去一个 a 的 n 减一 啊，右边呢是一加上，哎，这个地方就是啊， s n 减去 s n 减一，就是一个 a n， 好， 进而得到一个。关系，就是啊， 这个地方我少写了一个二，是吧？啊，这个也少写 a n 呢，就等于啊，二倍的 a 的 n 减一，再加 e a， 那 这个地方呢，我们啊，第一个考点呢，是由 s n 求 a n， 第二个是啊，用构造法 啊，用构造法去求 a n 同项啊，构造法去求 a n 同项。所以说实际上题目的综合式综合性特别强啊，就是你一个点不会，那你 这个题可能就会有出现很大的问题哈，那么这个是第二层面啊，我如何用构造法来求 a n 呢？我们看到，如果我盖住这部分不说，我们看 a n 是 二倍的 a n 减一，那它是不是一个等比数里， 但是他多了一个 a 一， 所以我要去配啊，我要去配，那我怎么配呢？我们这里面啊，我先假设啊，加了一个数啊，加了一个数，他再构成一个什么数列，等比数列， 然后呢，我再，我再给他还回来，是吧？你看啊，我再啊，还回来的时候就换成是，这是二 a 减 a 就是 a， 所以 我知道我设的这个 a 其实就是一啊，我满足啊，我原来呢，不是一个等比数列， 但是我加了一个一以后，它就成为了等比数列啊，所以这里面呢，我们可以说啊，我们可以说 a n 啊，加一，它就是一个等比数列， 那么它的首项呢？是 a 一 加一，我们刚才已经算过啊，这里面是一啊，它就是二，所以呢，就是也，谁呀也啊？首项 啊，以二为首项，对不对啊？然后公比 q 呢，为二的等比数列，所以我们就得到了 a n 加一啊，它就是二的 n 次方，是吧？ 那因此我们能够顺利的算出来 a n 的 通项是二的 n 减一次方啊，其实是分了两个层面啊，两个层面啊，这是应该是第三啊，第三个过程， 第三个过程，然后 a n 求出来以后啊，第四步啊，第四步，我们再去求 b n 呢，那就很好求了，是吧？好， b n 呢，我们就代入这个对数运算的公式里面，那么 a 二 n a n 等于二的 n 次方减一，那么 a 二 n 减一呢，它就是多少二的 二 n 啊，减一，然后再减一，对不对？所以带到进去就是二的二 n 减一，减一啊，再加一 啊，他就换成了是以二为底，二的二 n 减一，那么按照对数的运算啊，运算法则，那就是一个二 n 减一，好，所以实际上呢，你看第一问的分呀，他也不是很好拿，是不是 啊？他也不是很好拿，那么这里面呢，我没有检验啊，我没有检验，是因为你看我这个地方实际上就是一个地推关系，从第二项起，每一项与前一项的比值是一个定值，那就是一个什么呢？等比数列 啊，当然了，你要想检验也行，那你 n 等于一的时候，我检验 a 一 呢，刚好是一，是符合题意的，是吧？ 好，所以第一问呢，我们其实考察了应该是有两个层面啊，两个层面，第一个呢，是由 s n 去求 a n 啊，用地推关系，那么遵循三步啊，遵循三步啊，哪三步呢啊？第一步啊，先求 a e。 第二步啊， s n 和 s n 减一与 a n 的 关系啊。第三步要检验。 那么还有一个层面，就是你用了 s n 求 a n， 还有一个就是用构造法来求啊，构造法，这都是竖列求通向的常用方法，也就说是通信通法啊，通信啊，通信通法。 好，大家注意一下啊，就是根基不牢，地动山摇，所以我们的这个基本方法，基本技能都要非常熟练啊，那在考场上才能够啊，应对这些万变的题啊。这是第一问啊，第一问， a n 和 b n 啊， 那接下来呢，我把 a n 的 公式啊， a n 求出来，是二的 n 次方减一 啊，边呢？是啊，二 n 减一啊。然后现在我们看第二问，就是第二问，其实也是很容易出错，我自己在算的时候可能就是有两个层面的出错。这个题呢，我其实自己算的时候算了两遍啊。啊， 第一个我们来看一下，就是他考察的是等比等差数列的性质啊，等差数列的性质， 什么样的性质呢？比如说啊，我们隔相同单位啊，隔相同的间距，我们抽取的数依旧成等差数列。你比如说原来一三啊，五七啊九，然后你隔几个数，隔两个数啊，隔两个，这个隔一个数啊， 抽出来以后，那他三五七，然后十一，他依次也成等差数列。所以首先我们看一下，就是左边呢，他是一个等差数列啊，他是一个新数列 啊，新数列等差数列。那么在这个地方呢，他很容易就看错。比如说我今天呢，在做的过程中，我就看成是啊， b m， 然后加上 b m 加一，然后一直加到二 k 啊，这个地方我就出错了，就是我把它看成是一个连续的啊，下标序列号是连续的，实际上它是不连续的 啊。第二个层面，我看错的，就是 s 四啊，我们成天说 s 前一项和前一项和，我就给它算成这个了，那实际上也是不对的啊，这个注意。 那么另外呢，这个 a n 其实它也不是一个等比数列，是不是我们在算 s 四的时候还是要谨慎，所以两个易错点，第一个就是它的下标啊，它的下标是隔两个单位的， 同时呢，我们看一下，还得注意左边，那你挑隔相同的间距，然后抽取出来的数，依次乘等差数列， 那同时我还得啊确定清楚啊， b 从 b m， b m 加一啊，到 b m 加四，一直到 b m 加二 k， 它究竟有几项？这是很关键的。那你比如说啊，你是 b m 对 不对？然后 b m 加二， 然后 b m 加四，那你这个是二乘一，二乘二，然后是 m 加啊，加这个减加个二四，应该加六，是二乘三，对不对？一直乘到 m 加上二 k， 实际上是二乘 k， 那 么这里面呢，就这一边呢，它实际上是 k 加一项啊，所以这个地方呢，弄清楚是 k 加一项。 好，那么接下来呢，我们分清楚了这个项数以后呀，我再去求和，因为呢，本身啊，这个竖列它是一个等差数，等差数列，所以我们再算啊，等差数列，天啊，前一项和的时候，我们有二分之项数啊，乘以啊，首项加上末项，对不对？ 所以我们试着左边呢，我们就是一个啊，就是一个二分之项数项数，我们刚才已经帮助大家分析了，是 k 加一，然后就是首项，就是 b m 项，然后加上 b m 加二 k 项啊，首项和末项， 然后左边我们来看一下，左边的话就是 s 四，那你这个地方呢，其实可以用公式，嗯，不过它比较简单，你就可以去一个一个算算也没有关系的啊，那么 a 二呢？就是啊四减一，对不对？ 然后 a 三呢，就是啊，八减一，一直到 a 四呢，就是十六减一，所以啊，他的 s 四呢，我们加起来是二十六，二十六啊，那么所以等式的右边呢是三十六， 好，那么接下来呢，因为我们的 b n 呢，它是一个啊等差竖列，所以我们要将相应的式子给它带进去，那么左边呢，它就是一个 k， k 加一啊，乘以 b m， 那 就是二 m， 然后减一，然后 b m 加二 k 呢就是，嗯，二倍的 m 加二 k， 是 不是？然后再减一啊，再减一啊，出来是这样的一个式子啊，我们先化简一下，那所以就是一个 k 加一啊，乘以里面，你看这个地方是一个啊，四 m 加四 k 啊，然后再减二的一个过程，然后再除以二啊，再除以二，那它就等于什么呢？它就等于 k 加一，然后乘以二 m 加二 k， 然后减一。好，所以呢，我们看一下，就是我想要存在啊，我想要存在 k 和 m， 那 么我必须要满足这样的一个式子啊，其实这部分呢，又是一个基本量的一个运算，就是等差数列前项和的一个求法，还有就是这种啊，这种， 这种，这个求和就是分足球和啊，分足球和，当然少的话，你就没举哈，没举，那么我们看 mk 呢，它是一个正整数哈，那接下来什么样的数，他俩相乘是三十六呢啊，是三十六，那其实我们离结果呀，离真相已经不远了。 首先呢，我们思考这样的数，那究竟什么样的数才能满足呢？对不对？ 我们观察，我们观察，其实这里面也是有技巧的，比如说，哎，这个数啊，二 m 加二 k， 它首先是一个偶数，对不对？偶数减一就是一个基数，所以我们在想什么样的基数跟另外一个数相乘是三十六，那四九三十六，那这边是九， 然后这边是四，对不对？是三十六啊？或者是什么呢？或者是三和十二，也是一个三十六，好，所以我们其实已经快见到啊曙光了，那就是啊，二 m 加二 k 啊，减一，它等于九的时候，此时我要求 k 加一等于四啊，或者是什么呢？或者是啊，二 m 加二 k 啊，减一它等于三的时候，我要求 k 加一等于十二，好，那么这里面呢，我们分别算出来， k 是 三，然后这个是 m 是 二，哎，这个就刚好都是整数，而且满足提议，那就存在对不对存在性问题的一个探索。 那么这组的话，它 k 呢啊，它 k 是 个十一十一啊，但是 m 是 一个负负值啊，所以这个就不符合其啊，我们就给它设掉。那因此呢，我们再去作答的话，就是存在啊，存在 mk 这个正整数式的，任量式的成立。 那这个题实际上你再去啊，就是我们考完试以后再去复盘这个题的时候，实际上他考察的是啊，很基础的，很基础的，但是呢，我们在考场上发挥的又不是很好，那就是很多基础的问题，很多简单问题啊，堆在一起他就难了 啊，其实任何复杂的问题都是简单问题的一个堆砌，大家想想对不对？ 然后我们把每一个单元，每一个小的细节啊，我们给他拆分开来看啊，我都是我们啊，已知的熟知的模型啊，这就要求了啊，如何来提升啊？我们同学们的 这个综合啊，解析能力，那就是你的这个基础啊，基础知识，基本题型掌握扎实，那以不变应所有的万变。好，这是十六题。 好，接下来我们看一下这个十七题啊，十七题的话，它是一个历期几何问题啊，历期几何问题，那这个历期几何问题呢？实际上啊，我我 啊，我们之前也是在讲课的时候也是会给大家讲啊，就是我先抛开这个题不说呀，我给大家补充一个东西啊，就是正三棱锥啊，正三棱锥要区分一下，跟正四面体，它是不一样的啊，它是不一样的，比如说我们画一个正三棱锥， 我们先把这个这个层，这个层面上的东西弄清楚，正三棱锥他有一个非常重要的性质，就是他的对棱啊，是互相垂直的 啊，这个这句话是作作为啊，本题的解析的核心，如果你知道这个知识点，那么你解决这个问题他就很容易了。 如果你不知道这个知识点，你在考场上去往这方面想，他就很难想了。好，我们来给大家推一推，为什么正三棱锥啊，他的对棱啊，结论是只有正三棱锥啊，他的对棱 啊，是互相垂直的 好。什么是对棱呢？好，就是比如说这个 pc 和 ab， 它就是相对的，那就叫我们就称之为对棱啊，称之为对棱 好。那么为什么呢？我们看，我们思考这样的问题啊，为什么对棱会是互相垂直的？不单单是 pc 和 ab 垂直， bc 和 pa 也是垂直的， pb 和 ac 也是垂直的好，为什么我们知道正三棱锥啊，它的侧棱相等，它的底面是正多边形啊，不能是正多边形，必须是正三角形。那我们想一下，就是，你既然是一个正 啊，侧棱都相等，是不是我在三角形 p b 中啊，我是不是一个等腰三角形？根据三线合一，我取了是 ab 的 中点，那我一定有 ab 垂直于 pm， 那 么同样的道理，在三角形 abc 中，我是不是也一定有 ab 垂直于 mc？ 好，我们来看一下啊， pm 呢，又交 m c 与 m 点，那因此我就能得到 a b， 它是垂直于 p c 的 好，在这个知识点啊，理论支撑下，我再去解决本问题， 那他就迎刃而解了。我们来看一下，他底面呢，是一个啊，正三角形，对吧？然后 p b。 看清楚啊，他给我了，是 p b 啊，跟谁垂直？跟 a c 垂直。 哎，那其实就是我们补充的啊，这个，这个论题的一个什么呢？一个反向的，是不是？ 然后 p 和 p b 都是二倍根号二，然后 e f 又是终点。第一步，我求证 p a 和 bc 垂直 啊，求证的是 p a 和 bc 垂直，那这个地方呢？我该如何来解决问题呢？好，我们先这样来做，我先取 a c 的 终点啊，我把它连接起来。 好，我们思考一个问题，那么反向证明又该如何证呢？啊？第一，我取的是啊 a c 的 终点，我取的是 a c 的 终点， 然后我们思考这样的问题，我知道 a c 肯定是跟 b m 是 垂直的。题干信息中又说 a c 呢和 p b 也是垂直的 啊，也是垂直的，那么 p b 呢？跟啊 b m， 它相交于 b 点，因此我能够得到 a c 是 垂直于平面， 平面 p pbm 的， 那我能不能得到啊？ p c 啊？能不能得到 ac， 它是垂直于，它是垂直于 pm 的。 好，我们看这个垂直用的特别好，我们知道在初中学的等腰三角形，三线合一， a c 和 pm 垂直，那么 m 又为 a c 的 中点， 是不是三线合一的逆应用啊？三线合一，那么我们就能得到什么呢？ pa 跟 pc 是 相等关系， 也是二倍根号二，那么到这里面，我们其实就得到了三棱锥啊，本题中的三棱锥 p abc r p a b c， 它实际上是一个什么样的三棱锥呢啊？ p a b c， 它是一个正三棱锥 啊，这个信息呢，是非常关键的，如果你知道它是个正三棱锥，对于后面我们做第二问也是非常有帮助的啊， 那么同学们，我们现在知道它是一个正三楞锥了，对不对？那我们该如何证明啊？目标中的 p 和 b c 垂直呢？其实这里面就易如反掌，就是我刚才给大家中的这个过程， 我们同样去取 n 点，是吧？我连结啊，连结 a n 和 p n， 是 不是？ 既然都是正三楞锥，那我的 p n 一定跟 b c 垂直啊，我的 a n 呢，也一定跟 b c 垂直，那么 p n 交 a n 于 n 点啊，与 n 点，所以我得到了啊，我得到了 b c 呢，它垂直于平面啊， 啊，垂直于平面， p a n， 那 么进而我得到了 p c 垂直于平面内的线是 p a。 好，那么这里面呢？其实我认为这个思路，当然那个答案上也有很多种方法，比如说他用项链啊等等啊，嗯，其实我觉得啊，就是我们在考场上，其实这个项链当然也能想到啊，就是你间系比较方便的话，那你第一问就开始用项链的方法， 那实际上就是如果我们知道这个知识点啊，有这个知识储备啊，有这个知识储备的话，我们再去啊，条件反射的去啊，看清楚出题人的意图，看清楚题目背后的一些东西，我们做起来就非常方便了。 好，这是这个问题啊，这是这个问题。好，这个立体几何，实际上第一问在考场上，应该是啊，就是如果你啊，就是 啊，对这个正三棱锥的一些相关特性了解的比较多的话，那你这个问题其实处理起来是相对容易的。好，接下来我们看第二问。第二问呢，我给大家提供了两种思路啊，其实正三棱锥是一个很有用的啊，这个，这个， 嗯，这个，这个知识点啊，就是如果你知道正三棱锥啊，他是一个正三棱锥，侧棱都相等，那你不管是间隙也好，用定也好，这个第二问都是能够去解决解决的啊，能够很好解决。 好，接下来我们看一下这个第二问，那么第二问呢，我们想要求这个啊，面面所成角的正弦值。哎，这里面其实也是有一些细节点需要大家注意的，比如说他求的是面面加角的正弦值， 那我们求出来面的啊，两个法向量啊，夹角一般都是余弦值，我们还要进行一个切换啊，所以这个细节点要注意好。那第一种方法呢，我给大家提供的就是一个间隙的方法啊，通行通法，那么间隙的话，隙在哪里间 啊？在哪里剪？好，那么我们在第一问中啊，获得了一个很关键的信息点，就是什么呢？就是啊， p b p a b c， 它是一个什么？三，它是一个什么样的楞锥呢？它是一个啊，正三楞锥，所以我们过屁呢做啊， pu 垂直于底面， 我们知道正三楞椎这个过屁座底面的垂线，它其实落在了应该是外心上，对不对啊？当然正三角形它三心合一嘛，那既是外心又是内心，对不对？ 然后我们间隙的话，那这里面其实啊有多种建法啊，并不一定说非非得是这种，我是这样想的，就是我能不能建到这个点上啊？那我 b m 就是 s 轴啊，然后我做一个 a c 的 一个平行线啊， 我就跟这个 ab 垂直了，这是两两互相垂直啊，我给它弄成做成，是啊， y 轴是吧？ 那么现在的话，我就需要一些相关量的运算啊，相关量的运算，比如说对于三角形来说，你要搞清楚啊，这个三角形，我们把 abc 呢给它给它拎出来啊，去处理 好，那么它的边长是二，它的边长是二，那我这个地方呢？ m 啊，甚至说 o 点，我要弄清楚，我的 bm 就是 正三角形的高啊，它的高呢，就等于二分之根号三 a 啊，所以就是多少是根号三，那我的 b o 呢，实际上是占高的三分之二，因为我的外心啊，将它分成二比一的关系，对不对？ 好，三分之二 h， 所以 就是三分之啊，三分之二倍根号三，那么我的 o m 啊，它是占的是三分之一 h 高，所以就是三分之根号三。 哎，我把正三角形的相关量分析清楚以后啊，我再来去给它对照到点的坐标啊，因为它边长是啊二，所以这边是一一，那么我们刚才已经预算过了，这个 b o 呢，是三分之二倍根号三， 那么 o m 是 三分之根号三，那么我们再去进行一个量的运算啊，这里面我们需要用到 p 点的坐标啊，所以我在 r t 三角形哈， r t 三角形这个 p o b 中，当然间隙的话，我们要啊，我们要去描述这个地方，它是有两分的啊，它间隙是有两分的 啊，然后接下来呢，我们勾固定里呢，我的 p o 算出来啊，它应该是根号下 啊，这个 p b 方，对不对？然后减去一个 o b 方啊，那它就等于什么呢？就等于是啊八减去，刚才这个 o b 在 这里面是不是就是三分之四 啊？所以我们看这个是三八二十四啊，三分之二十，那所以 p u 这个关键信息算出来是多少呢？是啊，三分之二倍根号啊，十五啊， 那因此我们做完这些量以后呢，我们现在啊，还需要就是这个面 a、 e、 f， 我 们要算 a， e、 f， 实际上还要算啊， p、 b、 c， 我 们就在这上面先标注一下，可能会更好啊，它的横坐标呢？我们看 a 点的横坐标呀，它就是一个 三分之根号三，纵坐标是负一零啊，然后 c 点的坐标啊， c 点的坐标就是你这个坐标呢，是非常关键的啊，非常关键是不允许出错的， 然后 b 点的坐标呢，也算出来，是啊，他这个是负三分之二，被根号三，然后零零。我们每次做题的时候，做题做完以后呀，一定要先检验一下你的坐标是否写的啊，正确呃，在 坐标找准确的情况下，再去算法向量，否则后面的话它就一步错，步步错啊。我们再算 e 啊，这个是终点坐标，公式是 p 和 b 的 终点，那就是负三分之根号三， 然后啊，是零，是吧，然后是三分之根号十五啊，然后我们再算 f 点， f 点呢，对应的是 p 和 c 啊，那它就是一个啊，六分之根号三， 然后二分之一，然后是三分之根号十五啊，终点坐标公式啊，相加除以二。那接下来呢，我们就算平面啊，就算平面， a， e， f 的 法向量 啊， a， e， f 的 法向量呢，我们设成是 n， 然后这里面是 x， y 和 z， 我们求的时候啊，求的时候啊，怎么简单怎么来啊，这个反向，其实我今天也是求了好几遍啊，确实在算的过程中呢，会出现各种各样的错误，那主要是减的坐标要找准确啊。我们先来看一下 a e 啊， a e 的 话，就是拿 e 点的坐标 减去 a 点坐标，所以它这个地方是负的三分之二倍，根号三，然后纵坐标差呢是 一，然后这个是三分之根号十五，然后 e f 啊，我们算 e f 实际上是比较好算的，那这个地方呢，它减去它的话，应该是 二分之根号三，二分之一零。好，那这里面其实啊，熟练的同学呢，他就直接算，如果不熟练的话呢，我们去借鉴一下这个方法，就是求法向量的方法，那我知道啊， n 这个向量，它与 a e 向量的数量级呢啊，等于零，然后法向量呢，与 e f 的 啊，数量级也等于零，所以我们就得到两个式子啊， d， 然后接下来再用负值的方法啊，负值的方法去运算就可以了， 加上三分之根号十五 z 啊，等于零，然后这个地方呢是二分之根号三 x 加上二分之一 y 等于零，那么这里面呢，我想负的是 x 等于一啊，在这里面去负值，我的 y 值呢就算出来，是啊，负的根号三啊，我再带入一式啊，我去 x， y 带进去以后，我的算出来的 z 呢，就是一个 啊，根号五，因此我的法向量是一负根号三和根号五。哎，这个地方是三分 啊，这个地方是三分。我看到你的，如果你最后结果错，然后这个法向量算对的话，我是给有给分给到你的，所以我们每一步骤都要啊去展现出来。那最后我们再算的时候啊，我们我们知道平面 abc 的 法向量 n 二法向量，它直接就是零零一了，对不对 啊？这个就不用再算了，所以我们先算 cos 两个法向量的余弦值啊，啊，这里面余弦值算出来应该是一个啊，三分之根号五，那对应的啊，对应的 这个法向量的加角的，就是啊，面面加角，是吧，所以啊，所以 n 一 和 n 二 啊，他等于什么呢？他就等于啊，三分之二啊，所以我们的答案正弦值呢？啊，这个法向量加角的正弦值跟谁呀？跟面面加角正弦值是相等的，所以最后答案要要答哦，要作答。 好，这是这个题啊，就是整个来说，实际上预算量的话，就是主要是正三楞锥的一个理解啊，理解，然后就是间隙啊，就是间隙啊，怎么方便怎么来，但是你要找准啊，这些 b o 啊， o m 的 这个值。 好，这是通过间隙的方法，我讲的这个呢，是通过间隙的方法来解决问题啊。好，那接下来呢，我们来思考一个问题，就是我不间隙，应该如何来求面面所成角的正弦值。 那么这里面呢，其实也是蕴涵了一些东西的，比如说，嗯，两个平面， 我们这里面用到了一个东西，知识点就是啊，线面平行的性质 啊，相面平行形，这个其实也很久没有用到了，如果线和面平行的话，过该直线的任意一个平面与已知平面相交 线和交线平行。好，那么这里面呢，其实我们是很容易去获得啊，很容易去获得。 bc 呢，它是平行于平面，这个地方，我就不再去给大家详细去证明，我只是说一下思路，好，我们 bc 呢，是平行于啊，平面 a e、 f 的 是不是 b c 是 平行于平面 a e、 f， 所以 我们过啊， a c b c 的 这个平面与已知平面啊，与已知的平面，它是不是有一个交线， 则线与交线是平行的，也就是说其实 b c 呢，跟交线 l， 这个是 l 平行哈，还跟谁平行啊？还跟 ef 平行。 好，这个平行呢？有什么作用呢？我们来看，我们来分析二面角，我这是用定义法， 用定义法去求二面角啊，那我是不得做二面角，那么怎么样做呢？对于两个半平面而言，我怎么去做？我从啊，这个公共棱是吧？我引啊，棱的一个垂线 啊，这个角就是二面角，所以呢，这个棱，我现在两个半平面啊， a e f， a e f 啊，和 b c a b c 的 两个半平面的交线啊，我是找到了， 那么我现在在两个半平面中分别做棱的垂线，那实际上我连几啊？我取 b c 的 中点和 a 这个 e f 的 中点 啊，这个，这个线画细一点，要不然，要不然一会这个区分不了哈，区分不了，就是哪个线呢？就是这个线啊，这个线 好，那么这个角就是二面角的平面角。为什么啊？为什么？为什么你就是二面角的平面角呢？我们知道，你看在三角形啊， 咱们来分析分析，为什么在三角形 a， e、 f 中啊？你看这个 a n 是 三线合一中的三线，对不对？中点是不是高？三线合一是不是垂直于 e f， 那 所以 a n 它垂直不垂直于 l 公共棱呢？ 同样的道理，在三角形 abc 中啊，它这个 a g 啊，它是垂直于 bc 的， 那所以 a g 也垂直于 l。 我 们看，通过二面角的定义，从公共棱上的一点引两个，在两个半平面中引棱，引棱的垂线，那么角 n a g， 它就是二面角的平面角 啊，就可以表示二面角的平面角，也就是二面角的大小，对不对？好，那么，哎，这个做二面角，首先你得找出来，另外呢，你这是做出来的，对不对？好，第二呢，你还得求出来啊，如何来求？ 那么这里面呢，实际上我给它转化到三角函数中的截直角三角形，我们把 b、 a， g 啊，给它摘出来，行不行？你看，我把这个三角形给它摘出来。 好，你看，这是 p 啊，这是 p， 这是 a， 然后这是 g， 那 么 n 呢？我们思考一下，就是 e f 的 中域线，那么 n 也必然是 e f 的 中点啊，所以我这个地方实际上是一个中点。 好，同学们，我们看，我们所要求的不就是这个角吗？对不对？那这里面呢，啊， p， 我 们是多少？是二倍根号二 a g 呢？我们刚才算出来，这是二，这是高嘛？正三角形的高是根号三， 对不对？好，然后这个 p g 当然也是需要算出来的，是不是 p g， 我 们该怎么算呢？ p g 呢？我们把它放到哪里去算？放到啊，你把该摘出来，你就给它摘出来，是不是啊？ p b， c 里面算 p b 呢？是二倍根号二 啊， p c 也是二倍根号二，底边长呢？是啊，十二，所以这个高啊，其实就是这个是 p g， 那么 p g 呢？它用勾股定律算，就是啊，根号七。哎，我们又摘出来一个很重要的信息啊，就是 p g， 根号七，那么 n 是 终点，所以上面和下面都是根号七。 好，我们同学们想一下，就是这个地方呢，如果你把它转化以后，那么后续所用到的知识呢？就是解直角三角形啊。 好，我们知道，以前高考的时候啊，这个解答题，要么出竖列，要么出直角三角形，如果直角三角形出了，那竖列就不再出了，如果 啊，竖列出了，解直角三角形就不再出了，那但是本题中呢，其实在解直角三角形的应用中，他隐藏在了立体几何中，实际上这也是一个必然趋势，因为所有的立体几何问题，实践最后呢，他都转化成什么呢？平面几何的问题了， 平面几何问题啊，那么接下来呢，我给大家来分享啊，就我如何来求这个角，我想要求这个角的余弦值，我必然还得求出 a n 的 长度，是不是 a n 在 这里面实际上是作为中线来 出现的，我们知道 a n 是 中线，那我就用中线理论啊，向量 a n 等于二分之一的啊， ap 向量加上 a g 向量对不对？然后平方，那就是 四 a n 方啊，啊，等于 a p 方，这个地方，如果说你啊，呃，就是解这样三角形应用的比较多的话啊，它中性理论啊，是非常好用的，这是二 a p 啊，乘以 a 几。 那大家再思考一个问题，就是中信呢，它通常跟余弦定律相结合，你比如说这里面 p g 方啊， p g 方，它又等于什么呢？它又等于 a p 方，对不对？ 是不是？然后加上 a g 方对不对？然后呢，这个相当于是余弦定律了，是不是减去二倍的 a p 啊啊，乘以 a g， 再乘以这个加角的域弦值，就是口塞啊，这个地方没没地方写哈，就是啊，或者说我把这个角乘以大角吧，就是口塞贝塔啊，我实际上是乘以口塞贝塔的，对不对 啊？这个地方还有一个口塞以贝塔。那么大家思考这样的问题啊，就是实际上这两个值啊， ap 乘 a g 的 向量数量积跟这个实际上是怎么样是相等的关系，所以我们这个式子和这个式子它可以连连立在一起，也就说是四倍的 a n 啊，魔方对不对？ a n 魔方加上 p g 方， p g 方刚才已经说过是七，等于这两个数的二倍，这两个数呢，又都非常清楚， ap 呢是二倍，根号二就是八，然后 ag 呢，是根号三就是 三 a， 所以 我们其实 a n 就 非常清楚明了的去求出来了啊，这个 a n 呢，我们算出来是一个二分之根号十五， 那既然 a n 是 二分之根号十五啊，那我再算口算 r 法就也是非常清楚的，就用余弦定律啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？然后减去二倍的 a n 的 模哈，乘以 a g 的 模， 然后再啊，这个地方我好像是写错了啊，写错了余弦值啊，那这个地方呢，我们直接去求口算尔法的时候啊，求口算尔法的时候，直接就是啊， a n 方，然后加上 a g 方，对不对？ 然后减去 n g 方，然后除以二倍的 a n， 然后去乘以 a g， 这个算出来其实也是一样的啊，哎，这个方法它就比较巧妙，但是，呃，需要同学们的综合实力是非常强的啊。第一个就是你要会做出二面角，对吧？ 做完以后你还得去求，那我刚才说了一句话，就是任何的啊，立体几何问题，实际上就是啊，平面几何问题，那么在平面几何问题中又遇到了解直角三角形， 哎，实际上你单摘的去看，每个知识点都比较简单，但是你合在一起他就比较难了 啊，这是我们应该注意的。所以说综合是呢，总要求大家综合能力是非常强的啊。那我们刚才讲了一个是间隙，一个是几何法啊，希望同学们呢 啊，看完我们的视频以后呢，能够啊，能够更加的清晰啊，更加清晰，然后再动手去做一做。我觉得啊，光听听也不行，你得落到实处，你得去演算一下啊，看自己能不能啊，这个能不能做出来，这是更重要的一步啊。

几何快待熟稳，新定义还能提智商？大家好，我是老谢，这道题还是非常经典的一道新定义，他里边的一些元素大概率今年北京中考会考，你可以好好把这道题研究研究， 这个新定义还是挺好的。各位，然后呢，你要没做过的话，你先做一下，做完以后再听老谢讲。首先呢，这道题是一个有关图形变换，就是做旋转变换类的。然后呢，因为它是一个点绕着另外一个点旋转了九十度， 他会得到一个，一般情况会得到一个斜二八极的直角，所以这道题有可能会用到一千三垂直。另外呢，这种题很有可能会用到个体到整体，说白了就是瓜豆模型。另外呢，这种变换呢，他具备可逆性，然后他过去好研究，他过去，他过来好研究就研究他过来 就是旋转啊，平移啊，对称啊，这都都具备可逆性。另外呢，这道题呢，特别会用到减软式子筋，因为这道题的缺二就开始有一定难度了。另外呢，这道题因为出现了终点，各位同学一定要注意，在任何情况下看到终点，各位同学一定要讲到八中斜三，其实老谢讲高中的立体几何，也会经常讲到八中斜三， ok， 这个定义呢，看上去还是有点乱的，是吧？其实面对很乱的新定义，你只要举一个例子就行了。咱们就拿圈一举个例子来理解定义，点 a 的 坐标是这个，点 c 的 坐标是这个，点 b 的 坐标是这个。然后呢，根据 a、 c、 b 的 顺序，你会发现， a 就 相当于 p， c 呢就相当于这里边的 m， q 呢，就相当于这里边的 b， 所以 咱们如果觉得这个定义读的时候感觉到很乱，你其实就拿着 b 大 问的圈一，然后来理解它点 p， 就是 点 a， 绕着点 m， 就 绕着点 c 逆时针旋转九十度，得到这个，比如得到一个 a 撇， 然后呢，点 n 为线段， m q m q 呢？在这里面第二个点，第三个点就是 bc， 它的终点你会发现就是一对号一，因为这个是一个斜二八极的直角，所以呢，咱们可以构造一个一线三垂直的全等，快速找到 a 撇的坐标，你能意识到这个三角形和这个三角形全等的， 所以这个长度是二，所以这个长度一。然后呢， n 的 坐标是一对号一 p 撇 n， 也就是 a 撇 n， 它的长度一对号一到二对号一，它的距离为一，所以第一文就做完了。第一文做完以后呢，我们也大概了解这咋回事了，比如这个定义 其实就是把一个点绕着另外一个点转一下，转九十度，并且人家规定了是逆时针，规定的很清楚，如果没规定逆时针，顺逆时针，你都得考虑。然后呢，并且找到另外一个的中点， 看上去呢，好像有点乱，但是呢，你只要按照老蝎子剪软十字捏，再加上八中斜三，其实第二问呢，说难也难，说简单也简单，这个第二问呢，出的非常好。然后呢，我给大家讲两种方法，一种是几何的方法，因为这道题呢， c 动起来了，所以这里边 c 也在动， a 撇也在动， n 也在动，特别乱，不好研究。我这少写了个点 c 点 n， 点 a 撇都在动。 首先我告诉大家，先利用老谢的 n 一 万大法，随便在一个地方画一个点 c 旋转了九十度以后得到 a 撇，咱们随便画一下，现在这个点 c 不 一定是零二了，我是随便画了一个， ok。 这种情况下，各位，我们会发现，你要想研究 a 撇 n 的 最小值， 你要想研究 a 撇 n 的 最小值，因为 n 也在动， a 撇也在动，所以这线段的长度，这个线段是一个双动态，两个端点都在动，说实话，这么研究的真的很不好研究。老谢讲高中数学有一个叫三大思想，四大意识， 就是高中学数学学、物理、化学学霸必备的一个思维，理科思维其中一个就叫等价变范。咱们就像这种图，咱们想求 n a 撇的取值范围，你有没有发现，如果我们利用因为 n 是 终点，看到终点就要想到八中斜三，其中就是中 a 线，你有没有意识到，如果我们背长 c a 撇到 a 一 对连一下 b， a 一， 有没有发现？咱们可以把，也就是说 n a 撇，我们可以等价变换为二分之一 a e、 b， 各位能理解不？咱们想求 n a 撇的最小值，咱们可以先求来 a、 e、 b 的 最小值，然后除以二。这就是利用我高中数学三大思想，四大意识的第四意识，也是老谢最喜欢的，因为等价变换能把难题变成简单题。 你有没有发现，如果你研究 na 撇， n 也在动， a 撇也在动，但如果你要研究 a 一 b， 你 会发现 b 是 固定的，只研究 a 一。 一个 a 一 是通过一个点 a 绕着点 c 逆时针旋转六十度，并且距离放大二倍得到的，那所有的 a 一， 说白了就是整个蓝圆，因为我给你们写一下啊，也就是说一个 a 一， 一个 a 一 是由 一个 a 绕着点 c 逆时针旋转九十度放大二倍得到的，那么我们就看一看，那么所有 a 一， 也就是整个 a 一 的轨迹就是蓝色的圆 绕着绕着点 c， 那 么逆时针旋转九十度，放大根号倍得到。而蓝圆它有圆心和半径决定。各位，这其实就是咱们初中学的位置，我希望你们明白，咱们想把整个蓝圆绕着点 c 逆时针旋转九十度，放大二倍，其实就是把圆心绕着 这个点 c 逆时针旋转九十度，放大二倍得到 o 撇，各位体会体会。也就是说旋转以后的这个蓝圆，它的圆心就是点 o， 绕着点 c， 逆时针旋转九十度，放大二倍，大家看一看， 这个半径原来是二，咱们看看这个圆它是变大了多少，因为这个圆是旋转九十度以后，还放大了二倍，那么半径也放大二倍，所以大家看一看这个长度，如果是一，你会发现这个长度就是二，这个长度 我们看一看就是根号五，是吧？它的圆的半径它是原来的多少倍？因为一个点 a 绕着点 c， 它是旋转了二倍，所以大家看一看，这种情况下，我们这个圆它的大小它也是放大了两倍， 当然你确认是放大两倍还是放大根号五倍，我们会发现，因为整个下来都是放大两倍，所以亲爱的同学们，那么他就放大了半径就变成四了，各位各位，你们搜到那么这种情况下，这就是 a 一 的轨迹，我不知道大家能不能理解这个蓝圆的半径就是四，各位，这个绿圆就是 a 一 的这样一个 轨迹，那么其实这时候就变成了一个经典的双截棍模型。你会发现，当 a 一 在这时候，他的 o 的 距离就是最小的， 绿圆的半径是四，四减去这个根号五，四减根号五，你会发现就是 a、 e、 o 的 最小值。同理，你会发现，当 a、 e 在 这的时候，你会发现四加根号五，就是这个半径是四，加上这个根号五就是它的最大值， 当然它还得除以二。大家还记得，因为研究的是 a 撇 n 的 距离，现在求的是 a、 e、 o 它的二倍的距离，所以它的取值范围 d 括号 a、 c、 o 小于等于二分之四加根号五。这个时候有人说，老师点 c 还得动呢，你可以动一动点 c， 你 会发现你在动点 c 的 时候，点 c 不 管在任何位置， a、 e、 o 的 这个取值范围是不受影响，因为你会发现到最后你会发现点 c 原来是个假动点，其实点 c 不 管在哪个位置，它都不影响 a、 e、 o 的 这样一个取值范围。所以这道题就做完了。这道题还是非常经典的一道新定义，它里边的一些元素大概率今年北京中考突破函数综合突破填空压轴， 可以来双题找老谢。如果你想在高中学特别厉害的高中学霸的理科的思维，高中这个暑假我教你自学以及高中理科的思维，我经常讲的以动治静，加个体到整体，咱们看一看你可以怎么看待这个 a 一 产生的过程。各位，你有没有发现你可以把 a 一 看成什么？虽然一开始题目说的是 c， 但是 c 本身就在动，所以它不是个软柿子，因为我们喜欢研究静态的更好研究，所以是软柿子。所以你可以把 a 一 看成 a， a 点绕着 c 点逆时针旋转九十度，并且放大根号二，放大两倍，你可以把 a 一 看成这个，其实你还可以换一个视角，换一个视角是什么呢？你可以把 a 一 看成点 c， 绕着点 a， 顺时针旋转一个 r 法，其实这个 r 法的角度大小是定值，它的单调 r 法等于二，这个 r 法呢，它是一个固定的角，大小固定， 它就它的正切就是它的对边。 c， a 一 除以 c， a 等于二，所以就说我们可以把一个 a 一 可以是看成一个点 c， a 一 除以 c， a 等于二，所以就说我们可以把一个 a 一 可以看成一个点 a 一 可以放大根号五倍。 因为你会发现本来这个长度，如果是小 m， 你 会发现这个长度是二倍的 m a， a， e 的 长度就根号五 m， 所以 我们可以把一个 a e 看成一个点 c， 绕着点 a 顺时针旋转 alpha， alpha 的 大小在这摆着，并且放大根号五倍，那这样所有的 a， e 就是 有，所有的点 c 就是 外轴，因为点 c 是 外轴上的点，所以我们接下来把外轴 绕着点 a， 顺时针旋转 alpha， 然后并且放大根号五倍。有人说，老师这咋画？老师再教你一个决定性思维，你能意识到外轴绕着一个点 a 转，转完以后放大根号五倍，你告诉我转完以后仍然是不是一条直线，所以而一条直线有两个点决定，所以咱们只需要找两个特殊点，第一个你比如说就像咱们第一问一样，点 c， 在 这的时候 你会发现绕着它转就九十度，再倍长，你会发现你可以算的出来，这个时候 a 一 的这个点正好是四的位置。你也可以按刚才 t 的 意思 就是说 a 绕着点 c 逆时针转九十度， a a 撇 a 撇，再放大 c， a 撇再背长到 a 一， 你会发现找到了两个点的 a 一， 这个 a 一 的轨迹就找到了，比如说这条绿线就是 a 一 的轨迹。 而到这同学们就会恍然大悟了，那你告诉我 b a 一 什么情况最短？是不是点到直线之间垂线段最短，所以你会发现 a 一 在这的时候， b a 一 是不是就最小？我们不难发现，这个时候就用到看看。根据老谢讲，圆轴和的点差九度，这是点，这是叉，这是点。各位，我们不难发现，这个点所对的边是斜边的 五分之根号五倍，这个斜边呢，这时候正好是二，所以二乘以五分之根号五，也就是五分之二倍的根号五，就是 b a 一 的长，就是这个最小的时候，也就是 a e b 的 最小值，它再除以二，你会发现 n a 撇的最小值就是五分之根号五。 ok， 这个方法各位理解了吗？说实话，这个第二个不算简单，用到了等价变换 中点系列背后的中微线这个工具进行转化。另外，咱们没有按命题老师给我们的说法，我们要按照一个新的说法，我们本来是绕着点 c 转，但是在第二根的时候，点 c 是 动点了，我们就可以把它看成绕着点 a 转，再加上个体到整体，也就是刮度模型的这样一个思维就会得到 a e 的 一个轨迹。这道题还挺有意思的吧。 这道题之所以哎相对简单的能做出来，是用到了老谢高中三大思想，四大意识的第四意识，等价变换，把一个双动态变换成单动态，用的工具就是重点系列的中微线。好，这是第一个方法，第二个方法更是高中常用的方法，就是解析法。老谢给大家说一点，在高中 几乎所有的数学题都是代数题，虽然高中有个东西叫立体几何，但是也可以通过间隙去做。还有一个叫解析几何，解析几何的意思就是用解析法，说白了就是代数法来研究几何题。你要想在高中学好数学，你一定要成为一个代数高手，因为某种程度上，所有的高中数学题都是代数题，你可以这么理解，有几何也把它转换成代数了。 这道题老谢在这就不给大家讲详细过程了，我跟你们说一个什么意思，你就可以设点 c 的 坐标是零多少 t， 你 通过一线三垂直，你会发现 a 撇的这个坐标，因为这个长度是一，这个是 t， 所以 a 撇的横坐标是 t， 它的纵坐标是 t 减一。 根据钟点公式， b 的 坐标是二逗号零点 n， 他的坐标应该是一逗号二分之 t。 各位，你知道两点之间距离公式吗？也就是说 n a 撇他的距离等于根号 t 减一的平方，就这个红坐标减去这个红坐标的平方，加上这个纵坐标减去这个纵坐标的平方就是 t 减一，再减二分之 t 括号的平方求他的最小值，你只需要用二次函数求最小值就行了。这是第二个方法解析法，你待会可以算一算，或者暂停算一算，你看答案是不是五分之根号五。 ok， 我 们接下来重点要讲最后一问，大家看，果然是老谢说的北京新地百分之百考多动派。大家看这道题点 a， 因为它告诉你 o a 等于二，那么显然点 a 就是 这样一个蓝圆，蓝圆的半径是二，它上面一个动点，点 c 也是一个动点，因为它只是说它到 o 的 距离是一在红圆上， 这样的话，包括那个点 n 也在动。所以这道题标准的就是一个多动态，一定要注意，北京市新津 e 中考新津 e 百分之百考多动态。而你只要学会我的分拆复杂情况，就分拆里边的分部。分拆第一步称之为叫 any one 大 法。啥意思？就是先随便 any one， 任意在红圆上找一个点 c， 任意在蓝圆上找个点 a， 然后根据定义把 a 撇画出来，把点 n 画出来，这就是一个 a 内弯打法。我告诉你，如果真的学会了 a 内弯打法，你门你就不怕多动态了。来，听，我给你用我的分拆 a 内弯打法给大家讲一讲。首先我们先把它随便定住，以后根据定义，点 a 绕着点 c 逆时针旋转到九十度， o c 的 中点是 n， 这个点是 n。 咱们受上一问的启发， a 撇是个双动态，不好研究，咱们还是倍长 c， a 撇连一下 o a 一， 咱们要求 a 撇 n 的 取值范围，是不是求 a e o 的 取值范围，然后除以二啊？所以这道题又是跟上一问一样，我们把双动态点 n 也在动，点 a 撇也在动，转化成单动态 o a e， 我 们只需要研究 a e 的 轨迹。其实再用一遍这种个题到整体 a e 咋来的？ a e 是 一个点 a， 绕着点 c 逆时针旋转九十度，并且距离放大二倍，大家看了吗？本来 a 到它的距离变成原来的二倍了，所以一个点 a。