泗洪二模几何题解析

各位同学大家好，我是朱强，宿迁市三县两区的九年级同学，正在迎接他们的中考第二次模拟考试，我们来看四红线的二模填空压轴题应该怎么解决。先看第十七题， 看到这样的图形，我送大家四个字叫残图补全，什么意思呢？我将这样的一个半圆补充成一个整圆， 我将这个半圆呢也画成一个整圆，画成整圆以后啊，我就可以看清楚整个图形的圆貌，并且呢给我们提供一些新的视角和思路。那么在这两个相交的圆中啊，有两条公共的弦，我把这两条公共弦呢 标上颜色，两条公共的弦所形成的夹角，也就是他们公共的圆周角，在同圆或等圆中就有等角对等弦，所以我把 c、 d 和 c、 a 连接起来，应该是知道 c、 d 是 等 与 c a 的， 并且 a、 d 等于四，我向底边做垂直，将 a、 d 这段线段长度啊分成两部分，并且每段都是二，因为 a、 b 是 直径啊，总长度为十，那半径呢，做一个标记，半径的长度就应该是为五，所以呢， d、 o 这一小块长度啊，应该是等于。 那么根据勾股定律啊，我可以求出 c、 h 的 长度是等于五方减三方，那就应该是等于四，所以在这里等于四。 b、 c 的 长度啊，可以表示为四方加上八方，再开 根号就可以了，答案应该是等于四倍根号五，就是在这个三角形中使用勾股定律就 可以了。第十八题怎么做呢？可以这样说啊，在二零一九年宿迁市中考填空压轴题，考了刮豆原理以后啊，从此刮豆原理横空出世，并且成为了一种新的题型，毫不夸张的说，宿迁市就是刮豆原理，或者叫主从联动的发源地。我们来读题 说这个三角形中， a、 b 的 长度是等于六角， c 呢是等于四十五度点， d 呢是在 a、 c 上，并且呢， c、 d 的 长度是等于两倍的 a、 d， 那 我可以这样想啊，如果 a、 d 为一份，那么 a、 c 的 长度就是三份。好，读完这个题呢，我可以这样说，我很快就能够画出 c 点的轨迹，因为是定角定弦必有辅助圆。我们已经知道啊， c 点呢，是在这个圆周上运动，那么 d 点应该在哪里运动呢？画出它的圆心，连接 a、 o 和 b o， 圆周角的度数啊，等于它所对 圆心角度数的一半，所以角 a、 o、 b 的 长度呢，等于九十度。我连接 c o， 并且呢，在 a、 o 上找到它的三分之一处的点，然后连接假如说这个点叫 e 点，这样的话，我就构成了三角形 a、 d， e 是 相似于三角形 a、 c、 o， 并且它们的相似比呢， 就是 a、 d 比 a、 c 就是 一比三，就很快得出。 d， e 呢，就应该等于三分之一的 co， 也就是三分之一的半径，这个半径等于多少呢？只需要拿六除以根号二就可以了，等于三倍根号二，所以呢， d、 e 的 长度就等于 根号二，这样的话，我就得到了一个叫一中同长，一中就代表一点是中心，同长呢，就是 d 点到一点的长度始终相等。 d 点的轨迹是一 以 e 为圆心，半径为二的圆上运动。那么 a、 b、 d 什么时候角度最大呢？那肯定是做相切的时候，相切的时候我们再来做一个垂直，我们把这个图呢给它再放大一下，让大家能够看得清楚，这就是我们真正要做的地点，这个时候 角 a、 d、 b 是 最大的，那这个时候怎么求出 b、 d 的 长度？我可以过一点向下做垂直，因为半径是等于根号二， 所以 e、 h 的 长度和 a、 h 的 长度都是等于 e， 那 么 ab 总共长度是六， b、 h 就 等于五，我可以连接 b、 e， 求出来这边的应该是根号二十六，然后这边的半径是 等于根号二，所以 b、 d 的 长度就应该是等于根号下根号二十六的平方，再减去根号二的平方，那就等于根号下二十六。减二等于根号二十四，那就等于二倍根号六。所以这样的问题你在考场上做对了吗？

各位同学大家好，我是朱强。今天上午呢，宿迁市泗阳县的中考第二次模拟考试已经考完了，考完就有同学给我发私信说，老师，这道题答案到底等于几？那里面没有几个做出来，我们来看看这样的问题怎么做？他说 a、 b 长度呢，是等于二， a、 c， b 是 等于九十度。在射线 a、 c 上找一个点 d， 使得 a、 d 等于 两倍的 bc， 这是这道题仅有的数量关系，人类没有联想世界将会怎样？我们看看这样的一个等量关系，你想到了什么？第一个我想到了相似比， 第二个我想到了中位线，因为这个二啊，就是含着中位线，所以呢，我采用第二个方法来解决。怎么办呢？我只需要把 a、 b 延长，使得 b、 e 的 长度等于二，然后再把 a、 d 也延长，然后过 e 点 向对边做垂直。这样的话，我就得到 e、 f 是 等于两个 b、 c 的， 因为这个 b、 c 啊，就是这个三角形 a、 e、 f 的 中位线的。而题目又说了， a、 d 是 等于两倍的 b、 c 的， 所以 e、 f 就 等于 a、 d。 对 于相等的线段长度呢， 我给他描上红色，是不是？当我一旦把这两条线段描红以后，你应该想到三个字叫逆等线。逆等线就是要造全等，这是解决问题的想法，你有什么想法，你才有什么样的思路。怎么造全等呢？利用等线段做全等， 我说这角是 alpha， 这角是 beta， alpha 加 beta 等于九十度，所以我在这里只要做一个垂直，就能够搞出一个 beta 角，然后呢，中间的线段长度相等了，所以我过 d 点再做一个垂直，这样的话，我很快得出三角形 p， a、 d 是 一个直角，三角形全等于三角形 a、 e、 f 采用的方法呢是角边角。我们再来看一下，就是 beta 对 beta， a d 对 ef， 直角对这个直角，那全等了以后， a p 的 长度啊，就应该是等于四，并且这个 a、 d， p 啊是直角。所以呢，我们可以利用辅助圆说明啊，点 d 是 在以 a p 为直径的圆周上来运动，那什么时候 b p 是 最短的？这就是我们常见的一箭穿心，找到 a p 的 中点就为圆心。我连接 b o， 那 b u 的 长度就应该是等于二倍根号二，而圆的半径呢，是始终都为二的吧。所以当点 d 使到这个位置的时候，那 b d 是 最短了，就等于二倍根号二减二。这里我再说明一下， 如果你采用的是相似比的方法得到的呢？跟这个差不多，只是得到了 a、 d、 c 这个三角形和 a、 d、 p 这三角形是相似的，都可以解决。

四横错三的家长哈！我们来聊聊本次按摩的数学试卷，整体难度中等，偏易比中考简单，题型常规无偏题，怪题，完全贴合本地备考节奏，考点覆盖全面，选择填空主打基础计算，几何图形源于函数基础， 基础解答题都是送分题型，中档题出题套路固定，亚洲依然是二彩树、正方形、经典模型全是中考高频内容。这次考试十分号大多是计算粗心，答题步骤不规范，公式运用不到位，导致 考完及时，找准不弱点，针对性查漏补缺，备考效率翻倍。我这边已经整理好中考数学高频考点加易错年清单，还有实用中考提分学习技巧，免费分享给大家，想要的朋友可以多多关注，徐老师跟着梳理重点，稳住分数，冲刺中考！

好，我们来看下这道题啊，这道题是我们昨天刚刚考过的二模里面的，是吧？二十七题的二次函数的一个应用问题，是吧？这道题，哎，前面两个问可能还好一点，第三个问卡脸了是吧？好，马老师今天把这道题啊，我们具体的来给他详细解答解答一下啊。 这个来，首先给你个抛物线经过 a、 b， c， 已知 b 点和 c 点，让我们求解析式，第一个问是基本上相当于送分给我们的是不是？所以我们不将 b 点和 c 点代入解析式不就 ok 了吗？如果说你这个要错的话，那我就无语了，是不是？哎，我们带进去以后，它会形成一个多少呢？那你看是不是九加上一个三， b 加 c 是 等于什么 零的，然后前面呢，就是 c 是 等于负三的，你说 c 等于负三，那这里 b 是 多少？我们往里代去呢？是不是？ b 是 等于负二呀？所以这个解析式是多少是不是？ y 是 等于什么？哎， y 啊， 嗯， c， y 是 等于 x 方，对不对呀？然后减去一个 x 加几啊，然后加 c 是 负三，是不是所以减三的？所以解析式第一个是不是就搞定了？这是第一个问，非常比较简单。好，我们再来看一下第二个问，它是一个什么情况？ 好，我们来看下第二个梦。哎，这个地点啊，是抛物线对称轴上的一个动点，动点，对吧？对称轴题目里面是出来了，所以你看你读第一句话的时候，是不是你把对称轴搞定呀？那对称等于什么呀？哎，对称轴公是 x 等于负的 r， a 分 之 b， 然后将这个值往里一带，它就定多少是等于一好，对称轴有了，那说明地点的坐标我们是已经知道一个点了，对吧？它的横坐标是一呀？ 好，他说当 a、 d 减去 c、 d 最大值的时候，你，你想看线段形成差的问题的话，那是不是你在共线的时候呀？那你想看 d 点是对称轴上动点，那是不是动在什么下面？和 a、 c、 d， 哎，它们三点共线的时候，那此时 a、 d 减去这个 c、 d 的 话，是不是等于 ac 是 不是最大值啊？对吧？哎，那你想看，你想搞定 d 点， d 点横坐标是已经有了纵坐标，不知道，那你有没有发现在这条线上面它是不是 ac 减去式呀？ 也就是我们把 a、 c 解析式搞出来不就行了吗？因为 a 点 c 点我们肯定是知道的，对不对？ a 点我们可以通过一元二次，通过这个二次函数的解析式，哎，建立一个等式，对吧？那此时这里的 a 点坐标我们算出来的是负一负零的啊，所以这个就是比较非常简单。 那你想看 a 点坐标有了， a 点是负一斗零，然后 c 点呢？是一个零斗负三，然后带到这个 ac 的 解析式里面， ac 解析式就是 y 等于 k， x 加 b 里面我们形成一个什么方程组，是不是？那我们看带一下啊， 就是这里就是负， k 加 b 是 等于零的，然后这边呢， b 是 等于负三的，所以我们解完之后， x 这个 y 它是等于多少呢？是负三 x 加几啊？减三的啊，所以这个解析式就搞定了，那你想看解析式搞定了，那 d 点是不是就在这个解析式上面啊？ 对吧？那横坐标是有了，那将一带入这个解析式不就 ok 了吗？带入解析式 y 等于多少啊？是不等于负六啊？那 d 点是不就搞定了？那 d 点的坐标是多少？是不是一逗负六啊？解决好，接下来看第三个问 好。第三个问是最经典的啊，也是很多同学卡点地方好，他说第二。什么叫什么呢？抛物线平移，注意啊，平移过后，那肯定会得到一个新的抛物线，是吧？新的解析式 与其顶点 e 碍于圆 o 重合，什么意思啊？其实就是这个点是 e， 然后和这个 o 点是重合了。 其实你看你读到这句话的时候，平移到圆点的时候，那你说这个抛物线的解释是不是变成了这个 x 方啊？圆点的一般形式啊，解释的一般形式啊，对吧？ 来，直线 y 等于 k， x 加一与抛物线相交于 p 扣，哎，两点是吧？那这条直线代表什么呀？是不是代表 y 等于 k x 加一的这条线呀？ 对不对？好，过点 p， 注意啦，过点 p 来做 x 轴平行，哎，交抛物线与耳点与这个点，是不是它说当 k 发生变化的时候来说明直线 q 耳的过顶点的 啊？过一个定点，让我们求定点的坐标，来我们深刻的去理解这句话的意思。那你说在二次函数里面有定点的存在，什么意思呢？很多孩子是不理解的，其实说白了，他就是来求耳点的一个具体坐标的， 为什么呢？因为定点在二次函数里面就是不管它字母的参数它怎么变，那你就说它的图像永远都是经过一个什么固定点的那个吗？它的图像永远都是经过一个固定点的， 所以 x y 的 这个数字啊，它是不变的，对吧？它不会受题目里面的，比方说我们在解析式的时候不会受一些 k 啊， m 啊，哎，这些字母去影响， 所以你只需要把这个式子干嘛按照这个什么参数去整理，哎，你让这个韩餐的整体为零， 去消掉他的一个什么变量啊即可，所以就可以求出他的坐标点。好，那接下来你看我们的步骤是如何进行演变的？刚才我上面的几句话是非常的核心，你用心的去听，去品。 好，我们到这以后啊，你会发现，我们是不是要先把要把这个 p 啊， q 都给它表示出来，对吧？哎，表示出来以后呢？因为为什么它说明直线 q 啊，经过了定点，那肯定和它这个 q r 的 解析式也有一定的关系，所以我们也要把用未知数把它表示出来，是不是？那我们看一下 p 和 q， 你 首先有没有发现它是一次函数与抛物线有个交点，那有交点的话我们要干嘛？是不是要连立一个方程？那也就说这里的 x 方是不是等于 k， x 加一对吧，连立方程以后就是 x 方减去 k， x 减一， 对吧，等于零的。那到这儿以后呢，我们要形成一个什么形式呢？因为 p q 的 话，它的坐标是不知道呀，对吧？这里我们还用到一个伟大定律，一个代数式，我们要把它表示出来，那这里的 x 一 加上 x 二就等于多少，是不是等于 k 啊， 对吧？它俩相乘的话，是不是等于负一呀？所以到这儿的话，我们会用到这个解析式里面去的。好，那此时的话，我们要先去，是吧设这个 p 点坐标， p 点坐标你不知道呀，对吧？那我们设什么 x 一 嘛？ y 一 对吧？那 q 点坐标呢？哎， x 二就是 y 二，是不是？好，那我们这个， 因为这个直线 q 二是不是在一条直线上面，我们还要去设它解析式，哎，设这个 q 二的解析式，为什么呢？ y 等于 ax 加 n 的， 哎，我们去随便去设一下，是吧？那你既然又设解一式了，那你是不是把这两个坐标点表示出来，对吧？那这两个坐标点的话，我们它在抛物线上面，那你说 q 点的坐标是什么呀？ 是不是 x 方，然后重坐标是多少？是不是 y 二的平方呀？对不对呀？啊？这个 q 要注意二， 这是二，所以这个字母不能标出哈。那么 p 这个 r 点呢？来， r 点和 p 点是什么关系？它俩是不对称关系， 那对称关系的话，它是 x 方，那这边就是负 x 一， 对吧？负 x 一 不是次方啊，负 x 一， 那重坐标是什么？重坐标就是什么？就是 x 的 二，是吧？那就是 x 这个一的二次方平方，对吧？是这样的一个形式啊，这里表示错了啊，这里应该也是一个 x 二的啊，这是 x 二的平方啊。所以，然后此时呢，我们把将 q 点和 r 点干嘛？是不是要带入这个解析式里面去啊？ 就带入这个解析式里面去，对吧？好，那我们带入这个解析式里面去的时候，一定要注意啊，来看好了啊，这里面就是形成一个 x 二的平方，就等于什么呢？来 a x 什么二次方加上个 n， 对 吧？那这边呢？这边就是 x 什么一的一个平方，它又等于什么？是不对负的？注意啊，负的 a， x 什么一次方，然后加上 n 来这两个式子干嘛？进行相减？我们相减完以后，是不是得到一个什么 x 二的平方？减去 x 一 的平方， 这里相减就会得到一个什么？是不是 a 背的什么 x 二，加上一个什么 x 一？ 那这里有个形形是平方差形式，我们继续给它什么变形 好，我们这变形的时候，是不是形成一个这样的 x 二加 x 一， 哎，然后乘以到这啊？划个界限， x 二减去一个 x 一， 然后这边呢？就是背成 a 二，然后这样子一个形式， 然后两边同时消掉了 a， 所以 这里的 a 是 不是就等于 x 二减去 x 一， 对吧？那你看到这儿的时候，我们是不是把 a 再表示出来？那 a 怎么表示呢？是不是将把 a 带入到哪里面去？是不是带到这里面去？ 是吧？你带到这里面去的话，那 n 就 等于什么呀？直接带入就 ok 了，是吧？就 x 二的平方，注意啊，这边是减去一个什么呢？来 x 二，减去一个 x 一， 对吧？括号，然后乘以一个 x 二，最终式子整理完以后是 x 一， x 二等于什么负一？好，那负一以后，那这个解析式就出来了。好，解析式上上面，那它 y 是 不是就等于 x 一 减去 x 二，减去一个 x 一， 然后 乘以一个 x， 然后减去一个什么一，对吧？那你想看它要想成为定值，那它前面的这个系数等于几啊？是不是为零啊？ 对吧？它为零的时候，那你说 x 的 自变量就是不为零了，对吧？固定值，那自变量为零的时候，那 y 等于多少？是不是等于负一啊？对吧？那 x 等于零的时候， y 又等于负一， 所以这个 q 和 r 这条直线必然要经过什么，是不是零都什么负一啊？那这题是不是就解出来了？来 get 马老师。

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

我跟你们说啊，快到中考了，我发现同学们都容易手抖，不光同学们容易手抖， 就是抖的人可多了。你就像有的有的，我在看这个题目，我就说有的人的那个解题过程真的是无力吐槽，真的无力吐槽。你说这个角是阿尔法，这个角是背扯，求这两个角的和，那你就把它搬到一起好了。怎么办啊？这个搬法不是很简单吗？ 直接这个地方做一个三角形，把它倒下来，两个三角形一样大的，你设它为一， 这个地方就是一，这个地方就是根号三，这个地方就是直角二，二除根号三，对不对？两除根号三。这个答案就选 b， 就 这么简单，毋庸置疑，不要走弯路啊。好了，今天就到这里了，给大哥点点关注， thank you。

同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。

泗洪的家长，这份由南通牵头，苏北七市联考的二模数学卷，是目前最贴近高考的权威整顿卷，与高考成绩相关系数达零点八三，难度系数呢，中等偏上， 完全贴合江苏新高考三加一加二命题逻辑。核心特点是基础稳、综合强、创新多、精准对应二轮复习后学生的知识漏洞与能力短板，是家长判断孩子高考真实水平的核心。参考 基础题占比百分之四十。选择题一到六题，填空题十三到十四题的前半部分，解答题十五到十六题的第一问， 考点覆盖集合复数、向量、三角函数、基础运算、计算量小、思路清晰，是中等生保分核心，也是同学们拉开与基础薄落生差距的关键正点。 中档题呢，占比百分之四十。选择题七到八题多，选择题九到十一题，填空题十四题的后半部分。解答题的十六到十七题， 侧重数形结合逻辑推理，比如第七题圆的最值，第十一题分段函数综合，是区分普通生和优等生的核心区间，也是技巧题分的重点突破区。 难题呢，占比百分之二十多。选择题的十二题，解答题的十八题，椭 圆柱加上立体几何，加上解析几何，预算量大，思维呢，跨度大。 第十八题将空间几何与圆锥曲线融合，是典型高考压轴题。仅顶尖的学生呢，能完全拿分。普通生的话呢，可以聚焦第一问，抢分 新高考情境化陷阱。第六题结合生产工序。第十八题以椭圆柱为背景，不再考死记硬背的公式，而是考察同学们知识的迁移能力。同学们普遍存在懂公式、不会用的问题， 综合预算能力要求高。多选择题，第十题、抛物线综合填空题的第十四题，双曲线离心率，涉及多知识点交叉，很多同学因计算失误丢分，而非不会做 创新型突破难。第十一题的分段函数性质，第十八题的跨模块综合，打破传统题型的套路。同学呢，平时刷题未覆盖此类考法，临场容易慌神。 提分的策略啊，给到大家第一个呢，就是先保基础，再冲中档，优先让孩子湿透按摩基础题， 一到十六题，确保基础分不丢，这是本科线的核心保障，针对性补短板。若孩子在分段函数解析几何模块失分，重点呢？训练数形结合的技巧。若计算事物多，每天练十道规范计算题， 关注压轴题的第一问，第十八题、第十九题的压轴题，让孩子呢，抢第一问分数，这是拉开与普通学生差距的关键，无需追求全对。 如果你家孩子也考了这套二模卷，不知道怎么分析错题，找不到提升的方向，评论区扣二模分析，我把完整全科提分规划发给你，帮孩子精准避坑，高效提分。

各位四五初三的家长，今天我们来聊聊按摩的物理卷好！本次物理按摩试卷高度调和所限，中考的题型难以分不合理，精准检测孩子真实的应试水平，是中考前期参考价值最高的实战演练。试卷的整体看况，我们来看一下试卷的题型分值、考点占比 对标，中考基础题型占比最大，重量题型拉开分数差距，少量难题区分学习层次。试卷无偏题、怪题，侧重考察知识点灵活的运用，结合生活实际作答以及规范的答题书写习惯。 学生主要的丢分痛点，第一个，基础概念掌握不牢固，易混淆知识点，分辨不清基础，填空选择题容易无故丢分。第二点，实验题作答不够完整，答题思路欠缺严谨性，语言表达 到不了考试的标准。第三点，立学压降伏力、电学动态电路两大核心重点点，综合解体能力有待加强。 第四点，做题粗心大意，审题不够细致，计算题步骤简略，但为使用错误造成失分。第五点，相比于模号学科的知识融合，题型有所增多，孩子学习上的薄弱问题充分显现。 最后冲刺的提分重点给大家罗列了。第一点，彻透课本核心公式与定义，扎实注牢基础，稳稳拿下基础分整。第二点，主攻中考高频必考实验题型，熟悉标准答题方式，减少不必要的失分。第三点，这种功课历时 电学两大重难点，梳理总结实用解析思路。第四点，日常练习规范答题格式，合理把控做题节奏，养成现实答题的好习惯。 第五点，优先复版整理过过往的错题，精准补齐知识短板，远比盲目说题提分效率更高。按摩梳理出学习漏洞，正是中考冲刺提分的黄金时机。 及时补习知识短板，助力孩子中考物理平稳发挥，考取理想的成绩。专注本地初三备考指导，初三物理考前高频考点以及全套易错知识点都已整理妥当，有备考需求的家长可以多多参考学习。

好，现在还有多少孩子拿到这十七题没思路的，不会画辅助线的？那今天老师就通过一道例题，和平二模的一个十七题， 给大家讲明白，十七题它涉及到哪些考点，以及我们该从哪几个方面去思考它的辅助线怎么做好。现在我们来读一下这个题干部分，如图，在正方形 a， b， c， d 中， a， b， c， d 啊， ab 等于三。好，我们先把现在把条件标上去， ab 等于三，就是说这个大正方形，它边长是三啊，其外部有一个正方形 d， e， f， g， 外边有个小正方形 d， e， f， g 对 角线 g， e 的 延长线经过点 c。 好， g， e 的 延长线正好过这个正大正方形的顶点 c 啊， e， f 等于根号二，小正方形的边长告诉我们是根号二，求对角线 g， e 的 长，这个非常简单呀， g， e 的 长直接勾股吗？ e， e 根号二，对吧？所以 g， e 的 长就是二， 第一问没问题，第二问连接 b， e。 那 对于我们中考的话，第一问也是一个送分儿的，这个题啊，一分儿白拿。好，现在来看一下。第二问连接 b， e， 点 m 是 b， e 的 终点， a 出现了终点。拿根儿粉笔啊， 好， m 是 b， e 的 终点。好， m 在 这儿，它是这一段 b， e 的 终点，说明 b m 就 等于 e m 呗。然后点 n 是 ab 的 终点。好，又出现一个中点，点 a 这一段等于这一段，这一段等于这一段。好， 让我们去求线段 m n 的 长。哎，你看这个题是不是出现了终点？出现终点，老师之前讲过，就是第，首先要想到什么，第一个当然要想到中位线， 然后第二个就是这个等腰三角形三线合一， 这个就是像我们那个南卡尔摩那个题就用到了第二个啊，第三个，这个，呃，斜边直角三角形，斜边上的中线是斜边的一半斜 边中线，然后第四个去用这个倍长中线，构造全等三角形， 这个用的比较少啊，用的最多的就是中位线，还有这个第二点，等腰三角形三角合一，当然最最多的还是第一个中位线，那看这里边出现两个终点，那我们首先要想到的就是中位线，我们这个题 老师是怎么去呃推的呢？我们要这样想啊，你看要从这个呃条件出发，去 一步步去倒推，推出来 m n 的 长，那怎么去倒推呢？我们来思考一下啊，告诉我们这个 m 和 n 分 别是中点了，那我们就想到中位线了呀，是不是？那中位线怎么去做呢？直接去连 a e， 肯定是要在三角形里面，是不是连接 a e 以后，我们发现 m n， 它不就是这个三角形 b e a 的 中位线吗？那说明 m n 是 不是就等于二分之一的 e a？ 那现在问题是不是就转化成了，如果说我们知道了 e a 的 长度，那 m n 是 不自然而然就知道了它的一半嘛？ a e。 来，你来看一下这个题里边出现了两个正方形啊，那正方形，两个正方形，它是非常特殊的，就可以去怎么样看到，看到什么 有两个三角形是全等的 e g、 d， 它就等于 e d， 是 不是这条边等于这条边？然后我们再来看这个 c d 是 不是等于 a d 呀？ c d 等于 a d， 而且这个什么这里是不是这两个角是相等的，你看九十度加它，九十度加它，把这两个角相等的，那我们可以得到哪两个三角形全等呢？是不是就能得到这个三角形和这个三角形是全等的？ 边角边，那全等以后，因为刚才我们说了，我们要求 a、 e 的 长， a， e 的 长它不好求呀，所以说我们通过题里边这个给出的这个啊，两个正方形，我们可以把它转化， 通过运用全等，哪两个全等？ g， d， c 和这个 e， d， a 三角形，三角形 g， d， c 和三角形 e， d， a 全等， 那全等以后，我们发现这个 a、 e 的 长是不是就转化成了这个 c、 g 的 长了？如果说我们把 c、 g 的 长求出来了以后，那 a， g， a、 e 的 长也就知道了，关键是看 c， g 的 长怎么去求呢？看一下题里边还有没有条件我们能用了， 没有了是不是？那这个时候我们就要想到啊，去构造辅助线了，因为我们知道是不是知道这个小正方形的长，也知道这个大小正方形的长，也知道这个大正方形的长要求 c， g， 怎么去求呢？正方形它是很特殊的呀，是不是我们想要求 c， g 的 长，你看肯定是要放到这个呃， 直角三角形里去看，为什么呢？因为只有直角三角形，我们才又能用勾股定力或者是边角关系 sine cosine 去求解它的长度对不对？它显然没在一个直角三角形里，那该怎么办呢？去构造直角三角形呀，过点地 做 c g 的 垂线垂直。好，那垂直以后，我们看是不是出现这个时候出现直角三角形了？出现直角三角形以后，这个正方形它是很特殊的呀，它的对角线是不是垂直平分的？那我们是不是可以知道这一段的长度？这块我给它标个字母吧。假设这个 垂足就是 m， 那 g m 的 长是不是就是一呀？因为它这个地方边长是根号二嘛？一，一，根号二，对不对？那我们再把 c m 的 长求出来以，是不是就把这个 c g 的 长知道了？ c m 长等于什么呢？你看 c、 d 的 长，我们是不是就这个大正方形的这个边长，它就是三，然后这个地方 dm 也是一。那显然 c m 的 长就是用勾股定律嘛。在三角形 c， m、 d， 在 这个三角形里用勾股定律，那它的长就是 c d 方减 m， d 方，再开根号九减一是八嘛？那这个 c， m 的 长就等于根号八，不就二倍根号二嘛。然后这个 c m 的 长是一 啊，不是 g m 啊，刚刚是 g m， 这个 g m 的 长是一。所以说 c g 的 长是不是就求出来了？ c g 的 长它就是二倍，根号二加一。那我们看 c g 的 长求出来了以后，刚才我们是不是构造了一个全等三角形，这个 e、 d， a 和三角形 g， d， c 全等吗？全等以后，这个段长是不就等于 a e 了？ a e 就 什么 a e， 它不就也是二倍根号二加一吗？ 好， a e。 知道了，刚刚我们说这个 m， n 不是 中位线吗？三角形 e b a 的 那中位线它不就是 a e 的 一半吗？那这个的长度不就是根号二加二分之一吗？那你看这个题是不是要从这个结论出发？我们要求的是 m n 的 长度好，因为有终点， 有终点，我们想到中位线，中位线 a e， 知道 a e， a e 不好求，那怎么办？通过题里边这个正方形，它很特殊呀，我们就 就比较容易看到啊。你大家看一下，比较容易想到全等三角形，就是出现了你这个线一连这两个三角形是不是很明显？能，大概，你看它是不是像全等，那就去正呗，正全等去边这个角 边角边，全等，全等以后，把这一段的长度转化成这一段的长度，那我们发现 c g 啊，它又又不好求，那怎么办呢？那不就是一步步地 逼着我们去做这个辅助线去嘛。你看，没办法，我只能是过点地做一下这个，呃，垂线， 然后垂足是 m， 这样不就出来直角三角形了吗？出现，出现直角三角形里边。之前我说过，出现直角三角形我们才好求长度。怎么去求？一个是勾股定律，一个是特殊角度，三十度、六十度、四十五度啊，去用 sine cosine 去求角度，就是这两个方法。所以说你看， 不是说这个辅助线随便去乱做的，我们从结论出发，一步步去得到我们想要的，这个自然就能想到了，对吧？ 那这个是和平，和平二模，这个题不难啊。呃，比难开的那个要简单很多，所以我说我觉得像它更贴近于我们中考的这个难度，而且它是 考考察的这个中点中外中卫线和我们中考也是相契合的。

大家好啊，那今天看一下二六年朝阳二模的椭圆压轴的题目啊。这里面首先是求椭圆的方程，给的两个条件，一个是长轴与短轴长之和为六，就是二， a 加二， b 等于六，然后 a 加 b 等于三。 另外一个是焦距等于二倍，根号三就相当于是 c 等于根号三。我们用一下 a 方减 b 方等于 c 方，嗯，把 b 用 a 来表示一下把，就可以把 a 求下，等于二等于一。 最后求出来这个椭圆的方程是 x 方，除以四加上 y 的 平方等于一。 接着来看它的第二位，设 o 为圆点，点 a x 一 y 和点 b x 二 y 分 别为这个椭圆第一象限和第二象限内的点。而且 a 点的横坐标是 b 点纵坐标的二倍。 当点 m 满足向量 o m 等于二分之一， o a 加上二分之根号三的 o b 的 时候， 正一下点 m 在 椭圆 e 上面，这个 a 点和 b 点的坐标我们都是清楚的，这个 o m， o a 和 o b 就 相当于其实就是 m 点 a 点和 b 点的坐标，也就是 m 点，可以用 x 一 x 二和 y 一 y 给它表示出来。 那我们先写一下 m 的 坐标，那很容易可以写出来， m 的 坐标就是这个条件，其实指的就是 m 是 二分之 x 二分之一倍的 x 加上二分之根号三倍的 x 二。 呃，然后纵坐标是二分之一 y 一 加上二分之根号三倍的 y 二。那么这道题有一个特点，就是他没有直线方程了，我们也不需要去设直线，然后用伟大定律呃，要正一下这个点在椭圆上，其实就我们把这两个横纵坐标平方加起来，呃， 椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方等于一，那我们也可以用这个 x 方除以四加上 y 方，看看是它是不是等于一，或者去证一下， x 方加四， y 方等于四，这样就没有这个分母。 那剩下问题是，它一共有 x 一、 x 二和 y 一 y 二四个字母，但实际上呢，因为 ab 都是在椭圆上的，所以这个 y 一 可以用 x 一 表示， y 二也可以用 x 二来表示，然后它给了这个 a 和 b 的 相线，那么就省掉了一个分类讨论的一个情况。 那么又有另外一个条件，就是 x 一 等于二， y 二。这样呢，我们实际上最后应该是可以把它转化成只有两个字母的一个式子。 转化成只有一个字母呢？比如说所有的字母都可以用 y 二来表示啊，因为 x 二可以用 y 二表示，然后 x 一 可以用 y 二表示，那么 y 一 呢？可以用 x 一 表示。那比如说，我们最后可以转化成比如说都用 y 二来表示的一个式子，然后去把这个 y 二的这个式子进行一下化解。 接着呢，因为它是在椭圆的上面，所以我们可以把我们可以列出的所有等式都列一下，看一下怎么进行消圆，然后得到我们最后的一个式子。 那么条件分别是 a 在 椭圆上， b 在 椭圆上，还有 x 一 等于二， y 二，我们把它进行一下简单的呃 b 之后，会发现它会得到一个式子，是四万二的平方加四万一的平方等于四， 那么这个式子，呃，很显然它算是比较整洁的，因为这个能够说明 x 一 x 二，呃，还有 y 一 y 二，它们如果组成一个坐标的话，都在一个圆上面， 然后我们也可以把 x 一 的平方加 x 二的平方当成一个字母，就比如说我们最后能凑出一个 x 一 的平方加 x 二的平方，那我们就可以不用把它都强行换成某一个字母了。 那接着我们就需要去算一下 m 这个式子，看看这个 m 这个式子怎么能进行化简。比如说变成 y 一 的平方加 y 二的平方，或者是 x 一 的平方加 x 二的平方，如果不能呢，我们就需要再进行一下，比如说用 x 一 再表示 x 二之类的， 那么 m 这个式子里面有 x 一 x 二也有 y 一 y 二啊，那我们最好还是要给他进行一下处理。比如说如果我们想要凑的话呢，可能会比较想要凑 y 一 的平方加 y 二的平方，因为如果 x 一 的平方和 x 二的平方，感觉上应该会有比较多的一个分数， 我们需要替换的就是 x 一 和 x 二，只保留 y 一 和 y 二，看能不能凑一个 y 一 的平方加 y 二的平方。那么这里面呢，我们就需要去看一下 这个是二分之一倍的 x 一 加二分之根号三倍的 x 二。然后我们在这里面， 比如说我们这个把 x 一 替换成 y 二，或者是把这个四 y 二的平方，或者把四 y 二的平方替换成 x 一 的平方之后，会发现一个比较巧一点的事，这个四 y 一 的平方，它应该等于 y 二的平方， 那么也就是说 y 一 和 y 二也是可以互相表示出来的，我们就不需要再转一手了。那我们就接着就用这个把 x 一 换成二百二，然后 y 一 应该是要换成负二倍的 x 二， 那进一步化简之后呢？呃，我们可以用 x 一 的平方加四外一的平方等于四和 x 二的平方，加 x 一 的平方等于四，可以得到这个 x 二的平方，它应该等于四外一的平方。 然后因为 x 二是小于零的， y 一 是大于零的， b 在 二项线， a 在 一项线，所以我们最后可以把 x 二换成负的二外一。 这样呢，我们就也没有分类讨论的一个情况了，因为我们正常互换应该是带根号的，那么这个 m 我 们最后就可以把它换成只有 y 二和 y 一 的。那接着我们就需要把这个 m 这个点带到椭圆的方程里面，看看能不能正好凑出 y 一 的平方加 y 二的平方。 如果可以的，我们 y 一 和 y 二就可以不用互换了，那接着我们代入一下，求出最后结果就可以。 那么把这个 x 二和 x 一 都替换完之后，然后再代入这个四分之 x 方加 y 方，会发现最后化简完的式子正好就是 y 一 的平方加 y 二的平方，那这样我们就可以直接证明这个 m 就 在椭圆 e 上。

hello， 同学们，大家好，我是老黄，跟着老黄走高考幺四九。呃，接着呢，我们上一次的那个二模卷的讲解呢，我们继续来把这一次四二模的十一题来讲一讲吧。 呃，老黄在这里呢，把这道题叫做一道有思想的解析题啊，这个题呢，确确实实我觉得是出的非常的好的一个问题啊。呃，这个题里面考了很多的知识点， 其实呢，这样的一道题出现在我们的考题中呢，会给我们一个启发。就我们前面一再强调，像我们的那个向量，还有解三角形里面的一些常用的结论，都会在我们后面的解析几何里面体现出来的， 所以这些点来讲的话，不是不考一考你就要着啊，考了你就要慌。所以同学们来讲的话，一定要把各种各样的这个平面解析里面的定律定律要很熟悉啊，我们这里再还是来梳理一下啊， 包括我们的项链里面的鸡爪定理，熟悉吧。第二的一个，包括我们的这一个燕尾定理，熟悉吗？同志们？ 第三的一个正弦不说了，第四的一个包括我们的中线长定理， 这些名字后面我都省了两个字啊，叫定理啊，他们是第五的一个，包括我们的这一个章角定理， 第六的一个斯普顿定理， 第七的一个斯特瓦尔图定理， 呃，第八的一个，嗯，我们看看，包括这一些定律，还有的话，也就是我们经常会考的像角平分线的性质定， 也就是分对边的比例跟邻边的比值的关系 等等啊，当然你说一些什么其他的什么西姆松定律啊，包括一些其他的高阶的什么九点元呐等等这一些呢，其实在我们这个高考里面呢，倒是遇的没那么多啊。 呃，当然还有一个跟中高考结合的，你说像 polly 老师定律，塞瓦定律等等这一些啊， 梅斯定律，呃，塞瓦定律 等等这一些呢，都还是在我们的这个高考题里边呢，解析几何里边出现的很多的啊，所以同学们要去理一下啊。呃，我希望呢，同学们学习的过程中呢，不要一直在奔跑， 然后呢，一直跑着跑着呢，然后结果你又发现你的眼镜又掉了，一会跑着跑着呢，兜里的手机又掉了，然后呢，甚至有的同学呢，跑着跑着可能把衣服都脱掉了， 就是不要边跑，什么东西都搞丢完了，一定要边跑边去拾起来你的一些东西啊。呃，你不是一直在奔跑，不是一味在奔跑的，要学会把你身边的东西捡起来。 我希望同学们呢就是要把有些东西在你每个章节学完以后仔细的梳理一遍，看看有没有忘掉这些知识时不时的呢给自己列一个大纲，时不时的呢给自己列一个清单来梳理一下。 好的，我们来看到我说的这一道有思想的解析结构到底如何有思想呢？是不是一个叛逆少年，还是一个听话懂事的乖宝宝啊，我们来看一看啊。 呃，说这个曲线呢，留一个半圆，注意是左半圆跟一个半椭圆，注意是右半椭圆啊，你在分析的时候要边碎碎念啊，自己要学会读题的时候要碎碎念一下啊。 若这个直线呢是一条横线，跟这个掏交于了两个点， a 在 b 的 左侧， c 呢是一斗零，都是负一斗零。好，我们读到这里呢，当然我就给他画个图来看一看啊， 它需要我们的是左半圆跟右椭圆呢，它的那个 a 应该等于根号二， 它的 b 应该等于一，它的 c 也等于四。所以呢，此时你会发现，这个椭圆的焦点就应该在我们刚才画的完整的圆的那个 x 的 焦点处啊。所以此时的话，我们大致的可以画出它的图，应该是这个样子， 感觉有点像个，大家在菜市场有没有去买那个流心菜啊？流心菜有点像，对吧？看倒过来的一个牛的心的形状，但有点像不倒翁。 好，现在我们来画一条横线，它要跟我们的曲线交于 a b 两个点，而你至于是交在一二象限还是三四象限，这个不好讲，对吧？它没说，或者你甚至交在了这个 x 轴上也都行的啊。 他并没有说啊，没说在哪个相对的上下的位置，只说了 ab 的 相对位置。 c 呢，他说叫一斗零，那一斗零我分析出来，其实就是我们椭圆的焦点多点，负一斗零当然就应该是圆根 x 的 负半轴的焦点， 则下列的哪些是正确的 a 选项？我们来看，他说 bc 加这里的 b 的是个定值，当然椭圆上的点应该是到交点的和距离之和为定值，对吧？那此时你加一加的话， 刚好这里的 c 的 就是焦点了。呃，应该等于二倍的 a， 那 a 等于根号二，所以当然 a 是 没有任何问题的，非常的简单。几何性质啊。 b 的 一个 a c 加 a 的 最大值为三倍根号二。最开始呢，其实我看到这个问题，我想尝试一下，看看能不能用什么将军印码，或者说能不能用这一个 参数换元的方式倒拍，都不是那么好解决啊。呃，将军印码的话呢，此时你的两定点确实有两定点啊， c 点和多点。 呃，然后你现在要去看 a c 加 a 多，那此时你发现你要把 c 点关于那个镜面，或者说把多点关于那个镜面去对称一下，是不太好搞定的。所以此时的话，我们 好像用这个将军印码是不太好整的。那于是我去带了一下，把 a 用参数换元，三角换元带进去呢，我发现两个两个根号好搞定。 所以呢，你尝试了各种各样的方法以后如果不能搞定，你不妨想想这个问题呢，有没有一些有关的重要的几何的性质和定律啊？此时你会发现呢， 三角 a、 c 的 三个点构成一个三角形的，这个三角形的 c 的是定点， a 是 动点。在我们两定一动的问题里面呢，在我们向量的极化函数里面考的尤为的多，当然这里呢，就考了向量极化函数里面的其中一个， 就是我们的中线场定义，所以我们把这里的 a 得和 a c， 我 们给它连一下， 你就发现这个三角形呢，有个奇妙之处，它的中线 a o 就是 圆的半径，所以此时呢，根据我们的中线长定律，我可以去得到 a c 和 a d 呢，有一个等量的关系， 也就是二倍的 a c 方加二倍的 a d 方，应该要等于二倍 a o 扩起来的平方，再加 c d 的 平方。很多同学呢，老是记不住这一个中线长定点， 因为前面有些系数二之类的很容易给它搞混掉，那我告诉你，我怎么把它记住的， 其实呢，我一般我就不记什么中线长定律，我只记一个东西，叫平行四边形的恒等式， 也就是任何一个平行四边形，两对角线的平方和等于四条边的平方和。 ok， 中线，那就倍长中线去得到一个角平分线，那你发现 c 的 也是角平分线，所以倍长二倍 a o 的 平方再加 c 的 平方，这就对角线的平方 a 的 和 a c 呢？角邻边，那邻边有它的对边， 每条边是不是都有他的对边？所以这这个左边为什么是二倍的左边叫四条边的平方和。 ok， 那 根据这个事实呢，大家发现呢，这里可以得到一个重要的结论喽， 所以说二倍的 a c 方加 a d 方就等于二倍的 a o 方，二倍的 a o 呢，等于这是个单位圆啊，等于四，再加 c 的 平方也是四，所以等于八，于是我们得到 a c 方加 a d 方，永远都等于四， 有了这这样一个重要的性质呢，那我们接着来看你现在要求 a c 的 这个最大值，所以其实你发现根据我们的一次，呃，根据二次的等式要求一次，那其实就是在我们的不等式的 基本不等式链条里面叫条和小于等于几和再小于等于 算数，再小于等于平方平均数。结果你观察一下，是不是应该就是用的算数和平方平均数的关系啊？那所以说我们就可以得到这里的 二分之 a c 加 a d 应该小于等于二分之 a c 方加 a d 方开根号，当然这个右边呢，应该就等于四除以二，所以就等于根号二， 所以我们会发现这里的 a c 加 a d 是 小于等于二倍根号二的。什么时候取等号呢？当前仅当 a c 等于 a d， a c 能不能等于 a d 当然可以，对吧？应该有两个不同的点，让它去等上下顶点是不是都行啊？ 所以那你的三倍根号二无稽之谈，对吧？擦掉 c 的 一个，他说存在 t 让平行四边形 a 波 c 都是个平，是一个平行四边形。 首先呢，我们可以发现这个 a 波呢，它是一条横线， c 的 呢，也是一条横线，所以的话， 我们这里的 a 波 c 的 一一直是平行的，你要成为平行四边形的话，那就应该使得我们这里的 a 波跟 c 的 还要相等。 那在我们的这个动态的移动过程中呢，你稍微的分析一下，略微出手一下，你发现这个 ab 的 范围太简单了，对吧？ 最大那铁定是在 x 轴上，所以最大应该等于根号二加一，最小应该等于零，这个中间是不是连续变化的呀？所以这个中间的长度都有可能取到，那问你能不能等于二，当然取到一个合适的位置就等于二了， 而且应该是有上下各有一个等于二的位置，对吧？所以那我们这里呢，确确实实是可以等的， c 很 容易判断，多的一个呢。好，很多同学就开始 emo 了啊。说着了， 有很多人选到 c 跑了，我们来看看，它告诉我们说这里的问，你这个图形的面积的最大是不是等于四倍的根号二，问的是 a、 b， c 这个三角形的面积呢？你要想它的各种的面积公式，对吧？三角形有哪些面积公式啊？我们捋个遍啊？海龙公式， 也就是二分之，呃，没有二分之，也就是根号下 p 乘以 p 减 a 乘以 p 减 b 乘以 p 减 c。 第二的一个内切圆的等面积法等于 p 乘以 r， 第三的一个，那就常见的二分之一底层高。 第四的一个，二分之 a b， 正弦定律乘以三 e c。 好， 第五的一个，那我是不是可以把这里的 a b 用正弦定律带进去啊？ a 的 话 等于二， r 乘以三 e d 等于二， r 乘以三 e a， 三 e b， 三 e c 的 乘积也就可以了。 当然还有一个呢，知道三个坐标等于行列是二分之一，一 x 一 y 一 x 二 y 二 x 三 y 三。那我们捋一下常见的面积公式呢？有这么几个哟， 第一个，第二个，第三个，第四个，第五个，第六个啊，所以把这些公式呢，要记熟了，你在平时用的时候才好用。那于是你来看看我们这个面积的话，你发现 好像很多的都不太好用，因为这些线段全都是动的，角也在动的，那实际回归到我们最本源的二分之一底层高，是不是反而可能有点希望啊？因为这个地方，你发现这个三角形的高，它其实就 是 c 点到这条线的距离，而这里的底边就是 ab， 但是你在表示的时候呢，也可以说那直接来用这个线段长度，那你不需要遇到跟 a 选项 呃，遇到跟 b 选项一样的困惑了吗？双根号加起来压根不太好搞，对吧？那在我们的这个解析几何里面呢，在探讨一些 边或者说是一些长度的时候呢，其实还有一招或者在数量积项链里边呢，还有一招就是我们的参数，所以这个题呢，我觉得考的还比较好的啊，多选项会把大家容易遗忘的参数方式给大家拿出来了， 此时我们来看看，比如说我来假设这里的 a 点就是一个单位元里面的点吧， cosine sine， sine sine， 呃，而这里的波点呢，你注意它两个的高是一样的，纵坐标一样，那波点你要带到这个椭圆里面来，是不是 x 应该变成了根号二倍啊，当它有个负号，所以应该是负的根号二倍的扩散引塞塔。 好的，那这样我们先完成了点的一个假设，此时呢，我们再来看它的面积，那面积 s 三角形 a 波 c 是 不就等于二分之一？底底 的话，你要注意哦，要用 b 来减 a， 那 所以此时的 theta 我 们应该按照我们这个图形的点来取的话，这个 theta 我 们应该取的是钝角的 好，那所以说它应该是等于二分之，这个底边是负的根号二，再减一倍的负三 e c 塔，好，然后再乘以高高的话很简单，三 e c 塔， 当然别忘了给它加个绝对值就可以了。 呃，所以此时的话，那我们这里的这一个 面积的话，也就是二分之根号二，再加一，再用一下二倍角公式，二分之 三以二 c 塔，问你这个三角形的面积，当然是不是当你这一步取一的时候，面积最大四分之根号二加一，现在我们就要探讨一下它能否取得到，对吧？它取一的时候，这个二倍的 c 塔呢，取的就一百三十五度， 当然一百三十五度肯定取得到，对吧，因为你的角刚好就是取到这里的，呃，二象限的角形线就可以了，所以多选项，我们看算完的东西一定要检验一下 pos 区的号，包括波选项，这里也是啊， 所以那此时多选项没有一点问题啊， a c 都搞定啊。 好的，那么在圆锥曲线里面呢，我们这里再给大家补充一点点小的结论啊，大家来看一看啊。这里呢，想问大家一个东西，这个 x 平方加 y 平方 减去 x， y 等于一，它为什么是一个椭圆的方程呢？我们在课上给大家讲过，大家还有印象吗？ 屏幕前的你们思考一下啊，有没有什么思路？到这里大家暂停一下，你先想一想。对于这个问题来讲呢，首先我不知道它是个什么曲线，但是呢，我可以先研究一下这一个曲线的对称性，你去把 x y 换，相当于互换成 y 逗 x， 再互换一下，再加个符号负外负 x， 结果你发现方程是不依然成立啊，而我们 x， y 和 y 都 x 呢，应该是关于一三的角平分线对称的， 而 x y 都负外负， x 呢，是关于二四的角平分对称的，所以呢，此时你发现这个曲线呢，虽然我不知道什么曲线，但是它肯定是关于四十五度和一百三十五度，那两条线是成为轴对称图形的。 那所以现在呢，我们原有的那些椭圆也好，双曲线也好，它是一个标准的，它是以 x y 来对称的，所以我现在给它转回来一下，看看它到底是个什么曲线是不也就可以了。 对于我们的相关点法呢，我们是设未知待以之，那我来假设 赚后的点为，但为了更加方便呢？这个问题里面，我们可以用一下极坐标来表示，我假设赚后的点为， r 乘以 pi 三 e c t， 然后 r 乘以三 e c t， 那 赚钱的点呢？ 是不就应该假设为我现在给它呃顺时我看要从它转过去，那就要逆时针的转 四十五度。所以此时我的呃转前的点呢，相当于就在我们转后点，因为你转前的点注意是左边的，不是那个转前啊，对不对？ 转到钱眼里去了。转旋转之前是这个图形，旋转之后是新的要求的，所以你把它 从旋转以后的再转回这里，它的对称轴四十五度，所以是要逆时针转四十五度啊。转之前应该是 r 乘以 cos 加四十五度，逗号， r 三引 c 塔加四十五度。 好的，现在我们把这个点，这就是 x 和 y 带入到这个方程里面去就可以了。 所以我们就可以得到，当它的横坐标加纵坐标的平方的话，就应该是等于 r 的 平方，再减去 r 的 平方乘以一个 sin theta 加四十五度， 再乘以扩散引 theta 加四十五度就等于一。好的，我们把这个数字化解一下， r 方减去 r 方乘以一个 二分之三引二 theta 加九十度等于一。诱导一下 r 平方减 r 的 平方乘以二分之扩散引的二 theta 等于几？ 所以现在呢，我们要得到的是去得到 r 乘 pi 作为 x 的 横坐标， r 乘 pi 作为新的重坐标。要去探知的是这两个整体的关系。所以呢，此时你这里有个二倍角的话，扩散二次量是不是很显然的给它打开一下呀？ 那也就是 r 平方减去 r 平方乘以一个二分之二倍的平方，再减一，应该等于一。 所以说此时我们可以得到它应该是二分之三 r 的 平方乘以。呃，再减去 r 乘以 cosine theta 的 平方等于一。当此时呢，你就发现这个东西是不全用，其坐标可以换回去了，这个 r 方也就换成 x 方加 y 方咯，勾不定零嘛，对吧？ 所以二分之三倍的 x 方加 y 方再减去这一坨，也就变成了 x 方，就等于一。所以说可以得到 x 平方加三倍的外方就等于二，所以说二分之 x 方再加二分之三，外方就等于一。 所以旋转以后呢，你就得到了它应该是一个椭圆的方程。好的，同学们，你们学会了吗？ 呃，有啥问题呢？及时的跟老黄沟通交流吧。我们希望朋友们呢能够在最后的阶段一起去全力的充实。我是老黄，跟着老黄走，高考幺四九，我们一起加油吧！