安徽合肥三模数学立体几何题2026

一起来看看刚考完的合肥高三三模数学试卷，这几天有好几个联考，所以并不是所有学校都参加试卷整体难度不大，很适合现在查缺补漏，看看哪个地方还有不足的孩子去做。要的找我。

今天张老师来教你怎么用必要性探路来秒杀中考几何压轴题。这道题选的是 c 二零三模型的压轴，难度非常大。题目给了一个关键条件，叫做 a b 等于 b d 加 a g。 同学们需要对这个条件进行翻译，不能够仅仅看到一个合适的等号啊。这个合适的等式我们来怎么翻译呢？你看啊，来， a b 在 这，它是等边三角形的一条边，它是可以任意转的。 b d 和 a g 分 别在这个地方和这个地方，你会发现 a g 刚好会在等边三角形的边上， 所以我们完全可以把 a b 转成 a c， 整个等式变成 a c 减去 a g， 也就等于 b d。 a c 减 a g 是 什么？ a c 减 a g 恰好是 c g 线段，所以这个等式条件给的实际上是 c g 等于 b d。 ok， 我 们把这些全擦掉， 我们要转换啊！这个条件的意思就是 c g 等于 b d。 好， 那接下来怎么考虑呢？同学们，题目前面这个条件呢？重点是这三个角都为六十度。好，我跟大家说，辅助线应该怎么做？过 g 点做 b e 平行线。 好，同学们，你们可以自己想想看啊！过 g 点做 b 平行线，为什么要这么做？这就是必要性探路的核心，同学们要听好张老师的思路啊！必要性探路听起来很高级，但实际上讲白了就是反推法。 题目的目的是为了让我们证明 b h 等于 g h， 我 们换一换啊。如果 b h 等于 g h， 这代表 h 点其实是终点。所以说，如果要证明 b h 等于 g h， 如果它成立， 只需要推出 h 点为中点就够了，你们认可吗？那推出 h 点是中点，我们虽然不知道它是不是，但题目让我们这么正，就代表它一定是吧？它既然一定是中点，我们就可以去想到中点需要去做的辅助线，那就得到了去做平行线。 所以为什么要做平行？我们的核心是为了利用 h 点为中点这个引含的目的好，所以我们过 g 做 b 平行线是 gp 啊， gp 平行于 b e， ok， 那 么我们现在已经做了平行线了，想要证明 h 点是中点吗？只需要再说明 gp 平行等于 b e 就 够了。所以我们的下一个目标是要说明 gp 等于 b e。 这一组下面怎么怎么证呢？题目其实给了一个等量关系，同学们，他给的等量关系是什么？是 c g 等于 b d， 我 们画一画来， c g 在 这儿，这一条是 c g b d 呢？在这个地方，题目给了这两条边相等，我们的目的又是为了证明一条边相等，他们之间有没有可能有全等的关系呢？你并且还发现 p g 刚好能够和 c g 在 同一个三角形里面，所以我们继续反推，我们猜测能不能把 b e 挪到和 b d 在 同一个全等三角形当中呢？ 第二条辅助线呼之欲出，该怎么做？再结合死角为一百二十度，死角为六十度，我们会发现第二条辅助线应该是过 b 点做， b q 等于 b e。 换句话来说，我们以 b e 为边啊，做了一个等边三角形，大家看一看啊，大家看一看，那我们的思路就很清晰了，我们想要证明这个 g p 等于 b e， 只需要再证明 g p 等于 b q 就 够了。那这组边相等很显然 就是要通过全等来证明，也就是我们要证明三角形 d、 q、 b 全等于三角形 c、 p、 g。 只要这组全等证出来，一切问题迎刃而解。我们看看这组全等有哪些条件呢？ 来，首先，一百二十度，一百二十度这一组条件已经有了。其次， b、 d 这条边等于 c、 g 这条边我们也已经有了。我们现在还缺的是什么？现在还缺的应该是一个角或者是一个边， 该怎么找呢？同学们，我们最后应该选择找角，因为题目给的角的条件，这两个角平分我们并没有，并没有用到，所以我们应该要去找角，我们可以把可以设 c 塔，通过设 c 塔，我们把角 e、 c、 d 设成 c 角，那此时 这个角多少度呢？它其实是六十度减 c， 它我们只需要再说明角 d 也是六十度减 c， 它不就够了吗？那角 d 到底是不是六十度减 c？ 它我们可以用子母相似三角形来看一看啊，你会发现这个角是一百二十度， 角 d、 e、 c 等于角 d、 b、 a 等于一百二十度。所以这里其实藏了一个子母相似三角形的就是三角形 a、 d、 b 相似于三角形 c、 e、 d。 好， 大家把这组字母相对看一看，通过这组字母相似，就能够轻易地看出角 d、 c、 e 等于角 b、 a、 d。 大家看看啊，我们就成功地说明了，此角同样为 c t， 此角加二为 c t， 那 么 角 d 等于六十点， c 塔倒角，角就出来了。整个问题迎刃而解，大家听明白张老师的思路了吗？张老师为什么认为自己的思路比答案好？因为张老师的思路都是有理可据，有理可循的。为什么第一步要做 gp 平行？因为我们预测 h 点是终点，通过必要性探路才这样做。 为什么我们要过以 b e 为边做等边三角形呢？因为我们发现我们的目的核心目的是为了证明 gp 等于 e b， 但是呢，又有了题目条件所给的边相等，所以想到了去构造全等。怎么去构造呢？通过一百二十度和六十度去选择构造一个互补的这种全等， 那么也就最后的核心目的就变成了证明一组全等。最后的这组全等怎么去说明呢？那就是通过导角，我们通过把这个角设成 c， 它通过说明这个角的 c 得到子母相似，再通过子母相似的导角，最后得出 d 角是六十度减 c。 整个题目的这个 结论啊，严丝合缝，全部证明完毕，我们就成功的把这道题解决了。那么必要性探路可以说是我们中考答题过程当中的一个非常重要的方法，它的核心 我们如果用一句话概括，就是从结果去反推，那么这种思路张老师也会在自己的课堂上向自己的学生反复说明。如果在课后有向张老师学习的需求，可以向张老师私信，有任何问题也欢迎打在评论区，谢谢各位家长！

伽林三模的第十八题，考场上做真的太难了！如果我们间 c 的 话， p 点的坐标怎么设是一个大问题，直接设字母，或者说通过夹角去设它，最终都会有很大的计算量。今天我想用几何法来讲一下这道题，做起来又快又简单。 先来看条件，在平行四边形 a b c d 当中呢？ a c 是 e， b， c 也是 e， a c 垂直于 b c。 将三角形 a c， d 沿着 a c 翻折点 d 翻折到了 p 点的位置，形成了三人追 p 杠 a b c 现在 pp 上有两个点， m 点 n 点满足啊，这两个面面垂直非常关键。 第一问，我们就不看了，来看第二问，在翻折过程当中，当点 n 是 线段 p b 上靠近点 b 的 三等分点，求点到平面 a c p 的 距离。这道题用几何法做，关键就是画出二面角的平面角。 比如说 p a、 c 与 a c b 所成的二面角的平面角，我们该怎么画呢？可以过 a 点做 a q 平行且等于 bc 啊，也就相当于这里形成了一个矩形 a c b q， 那 也就得到了 a c 垂直于 ap， a c 垂直于 a q 角 p a q 就是 p a c 这个面和 a c b 这个面所形成的二面角的平面角。再连接 p q。 怎么画 p a c 与平面 a c n 所形成的二面角的平面角呢？我们可以把面 a c n 延展一下，过 n 点呢？做 n h 平行于 a c 连接 a h。 根据刚刚我们已经推得 ac 垂直 ap， ac 垂直 a q， ac 自然会垂直于平面 p a q， 所以 ac 垂直于 a h， 所以 角 p a h 就是 平面 p a c 与平面 a c n 所成二面角的平面角。 根据题干说的平面 a c p 和平面 a c n 是 垂直的，所以角 p a h 就是 九十度 n 点是 p b 上的三等分点，那根据 h n 和 b q 是 平行的， h 点就是 p q 上靠近点 q 的 三等分点。 再来看看我们要求的点， n 到平面 acp 的 距离。由于 n h 平行于平面 acp， 所以 说 n 点到 acp 的 距离就相当于 h 点到面 acp 的 距离， 而 h a 垂直于 a c h， a 垂直于 ap， 所以 h a 垂直于平面 p a c h a 就是 我们要求的距离。 接下来就很简单了，我们把线段长度标一下， bc 是 一，那 a q 也是一， ad 是 一， ap 也是一。把平面图画出来 如图所示啊！我们就可以设 h q 是 x， p h 是 二 x。 把角屁呢，分别放在三角形 p a h 和三角形 p a q 当中呢？利用角屁的余弦值得到等量关系 口算，以 p 等于一比上二 x 也等于一加三 x 的 平方减一比上二乘一乘三 x。 这个方程解一解，很快得出， x 等于三分之根号三， 所以 p q 呢，整个就是根号三啊。所以角 p 就是 三十度， a h 的 长度就是 三分之根号三。再来看第三问，在翻折过程当中呢，是否存在向量 m n 等于四分之一向量 p p 若存在，求出 a c p 与平面 abc 所成角的余弦值， 那也就是求角 p a q 的 余弦值呗。这里我们可以仿照 n a g 的 做法扩展平面 a c m 做 m g 平行于 a c 连接 a g。 那 么平面 abc 与平面 a c m 所成角呢，就是角 g a q， 因为 a c 垂直于 g， a， a c 垂直于 a q。 再根据题干说的面 a b c 垂直于面 a c m， 所以 角 ga q 就是 九十度条件中的向量 m n 等于四分之一向量 p b 也可以同步转换成向量 g h 等于四分之一倍的向量 p q。 我 们也画出平面图形来分析一下，如图有 h， a q 是 直角，角 p a g 是 直角。再设 h， g 是 y， p q 的 长度就是四 y， 可以通过正三角形 p a g 和三角形 q h 全等得到 a h 等于 a g 啊，同理， p h 也等于 g q， 所以 p h 的 长度呢，就是二分之三 y g q 也是二分之三 y。 如果能把 y 求出来，角 p a q 的 余弦值就可以求出来了。做 af 垂直于 h g， 根据 a h 等于 ag， 得出 h f 等于 f， g 等于二分之一外， 再得出 p f 等于二外。那 af 呢，就是根号下一减二外的平方四外方 a g 呢，就等于根号下 p g 方减 pa 方， p g 是 二分之五 y， 也就是四分之二十五 y 方减一 af 有 了 a， g 有 了 f， g 有 了各五。定义一下，就可以把 y 求出来。 计算得出 y 等于五分之根号五，所以 p q 就 等于五分之四，根号五 口算一角 p a q 呢？用余弦定理直接求出来。最后答案就是负五分之三。几何法做这道题是不是超级简单， 再总结一下，关键哦，就是把 b c 平移至 a q， 把所有平面的二面角全部转移至平面 p a q 当中。如果这个视频对你有帮助的话，记得点赞、收藏加关注哦！

今天继续分享小题大招里面第九个啊，这种立体几何的证明的。这种小题咱讲一个定律，遇强则强啊，很简单，然后咱们知道立体几何的证明定律一共有六条，根据线和面的关系，是不是分别分为线线平行、线面平行、面面平行， 然后还有线线垂直，线面垂直和面面垂直，对吧？一共是这六种，这六种里面有三种比试比较强的定律，如果是平行的话，你看我用红的写，线线平行，面面平行， 还有线面垂直，这三个是比较强的定律。用红色的来写啊，然后另外三个是比较弱的定律啊，用 这个这个蓝色的来写，线面平行，线线垂直，然后和面面垂直是比较弱的定律啊，你记住这个原则，这三个打叉是比较弱的定律。然后咱们的口诀就是 题目上这个遇强则强，如果一个强加一个弱的话啊，他可能是弱， 就是一个强加一个强，他肯定还是强，不可能等于弱。然后如果前面是两个弱，弱的加个弱的，然后啥也不等，就是不等于号啊，就是右边这个红色部分，然后咱们来两个题来看一下啊，先把它区分开，然后一个二二年奖券，一个二四年天津卷啊，然后看一下 奖券的这个 a 选项，他说你看属于属于在里面，不管啊， m 平行 n 是 不是得到一个强的 啊？现在这里面这一个是强的，然后最后结果他是弱的，所以强得的弱不行，强加强只能得到强啊。然后第二个就是这包含包含不看啊，然后这个地方是一个弱的，然后得到一个弱的，弱的啥也得不到啊。所以不管第三个是一个弱的，然后得到一个强的肯定就更不行了。 这这哪线面平行，这不是弱的吗？然后得到的是个强的，不可能啊。然后最后一个一个强，一个强，一个强，遇强则强，没有任何问题。所以应该选四 d 啊，这是第一个。 然后第二个啊，二四年天津卷的，一个一个一个看啊。第一个线和面平行，然后我查一下这个表，是弱线和线平行，我一查是强弱强强不对啊。 然后第二个线和面垂直是强，线和线垂直弱。哎，强弱得到强不对，强弱只能得到弱，或者是。嗯，什么都没有啊，因为这个地方咱写的是约等于的符号啊，约等于。然后第三个线和面平行是弱， 线和面垂直是强弱强弱。哎，有可能啊，这个存疑啊，有可能对，也有可能不对。然后 d 选项 强和 m 垂直于阿法。线和面垂直是强啊，线和面垂直是强，然后得到一个弱肯定不对，所以选 c 啊，就做完了。你可以自己再找几道这个题试一下啊。

小题大招第九招，立体几何，遇强则强。这种立体几何证明选择题不要一上来影响空间图。先把六类平行垂直关系分成强弱选项，会自己露线。强的有三个，线线平行，面面平行，线面垂直。 弱的也有三个，线面平行，线线垂直，面面垂直。口诀就一句，遇强则强，弱关系想推出强结论，优先打叉，先把这张强弱表力住。金色是强，蓝色是弱。强关系能锁方向或者锁法向，所以信息量更硬。弱关系只给局部限制，不能随便升为推出强结论， 所以筛选时指看三件事，条件强弱，结论强弱还有有没有缺关键线。强加弱往往只能得到弱两个弱，更别急地推出强两个强如果指向同一个对象，结论通常还不落在强关系上。第一题 m 是 两条直线，阿尔法贝塔是两个平面。 a 选项 m 在 阿尔法内， n 在 贝塔内， m 平行。 a 能不能推出阿尔法平行？贝塔这里只知道一条线平行，锁不住整个平面，所以 a 打叉。 b 选项 m 内莱尔法内， m 在 贝塔内， m 平行，贝塔想推出阿尔法平行，贝塔线面平行本身示弱关系，直接推出面，面平行太猛，所以 b 打叉。 c 选项 m 平行，阿尔法应在阿尔法内。想推出 m 平行，应应 一个平面里有无数方向， n 不 一定刚好选择 m 的 方向，所以 c 打叉。 d、 d 选项明，垂直阿尔法也垂直，阿尔法是同垂直一个平面，同垂直一个平面的两个直线一定平行，所以 d 对 一体。答案选 d。 d， m 为两条直线，阿尔法是一个平面。 a 选项 m 平行，阿尔法 m 垂直，想推出 n 垂直阿尔法，若加若推出线面垂直，这条结论不稳，所 a 打叉 b 选项 m 垂直阿尔法， m 又垂直阴影，想推出阿尔法。一条线垂直 m 不 代表它也垂直整个平面， 所以 b 打叉 c 选项为 m 平行阿尔法令垂直阿尔法问，嗯，能不能推出 m 垂直音 n 垂直一个平面就垂直着平面内所有方向，而 m 平行阿尔法说明 m 的 方向能搬进阿尔法内，所以 m 垂直 a c 对 d 选项明垂直阿尔法令垂直阿尔法，却说明垂直的音同垂直一个平面应该平行，不是垂直，所以 d 打叉。 第二题答案选 c。 这类题不要死画图，先给每个关系贴强弱标签，再看结论有没有从弱跳到强，或者强，强却落到弱。 最后只补一句空间理由就能把选项秒掉。那么讲到这里，很多家长和同学都在问我为什么连续四年压中考真题，其中更是二五年新二卷考前几天的题，原押题压中原锥曲线三角形面积，一道大题十几分， 考前六月四号的作品，这都是翻我作品可以看到的，还预测新一卷压轴单选 b 选项，并且在最后阶段还给大家准备了二百个高中数学斜修题分技巧，想要领取后台发送年级加学科即可。

各位高中家长注意了，孩子数学成绩上不去，我建了数学典型例题打卡群，每天发一道高频必考易错题加变形题，带孩子免费打卡练习题配详细解析思路，避坑要点， 不用家长费心辅导进群，还直接送年级易错题汇总。今天徐老师就用这道例题几何的四棱锥题，帮你彻底告别死记硬背 高中立体几何压轴题，孩子一看就懵，掌握这套方法，考场直接秒解！先看第一问，线面平行的几何证明很多孩子只会硬套中位线，却根本不知道为什么要构造辅助线，一换题型就卡壳。 我在课上会带着孩子从线面平行的判定定里底层逻辑讲透。核心思路是取中点构造平行四边形，线线平行，推线面平行。 第一步，看到中点加平行等长线段，优先取 p a 中点 n 连接 b n m n。 第二步，证明 m n 与 b c 平行且相等，得到四边形 b c， m n 是 平行四边形，推出 c m p a。 第三步，根据线面平行判定定理，证明 c m 平面 p a b 这种题我会出三种不同变形题，让孩子吃透构造逻辑，而不是只会被取终点的结论。再看第二问一间隙法求面面角， 这是很多孩子的丢分重灾区，要么间隙出错，要么求法向量算错，最后算错加角。 我会教孩子用间隙求法向量、向量、夹角公式、三角横等变换的通用解法，把复杂的立体几何问题拆解成基础计算题。核心思路是建立坐标系，写出点坐标求平面法，向量计算夹角于弦，求正弦值。 第一步，利用 p a 底面 a、 b、 a、 d 的 天然垂直关系，以 a 为圆点建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标。第二步，分别求出平面 p、 a、 b 和平面 p、 c、 d 的 法向量。 第三步，用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值。这就是我们课上的题型通用解法，孩子学一道会一类，再遇到类似题直接秒杀。 再看第二问。二，参数化加点面距公式的存在性问题，很多孩子不知道怎么设点，怎么列方程，完全无从下手。 我会教孩子用参数化设点求平面法向量面距公式列方程判断解的有效性的通用解法，把动点问题转化为解方程问题。 核心思路是参数化点 q 的 坐标，求平面 p a、 q 的 法向量，带入点面距公式列方程求解并判断参数范围。第一步，设用 lambda 表示出点 q 的 坐标。第二步，求出平面 p a、 q 的 法向量。 第三步，代入点 d 到平面的距离公式列方程求解 lambda， 并判断解是否在零小于等于 lambda 小 于等于一的范围内。这种题我会出多种辨识，让孩子吃透参数化的思想，再也不怕动点存在性问题。 为什么我的学生做这类题不丢分？因为我不搞盲目刷题。我们的课上这类立体几何压轴题会同步配套预习笔记，提前梳理线面平行间隙法点面距的模型原理。 课上精讲拆解构造辅助线求法向量的易错点和通用步骤。课后变形题巩固方法，避免换个立体图形就不会错题。复盘，把这类题整理进专属错题本，下次遇到直接描解 这道题的完整解法和配套变形题，我整理成了资料，私信回复，立体几何免费领！关注徐老师每晚直播讲题，带你系统提升数理能力！记得预约我的直播哦！

今天张老师来教你怎么用必要性探路来秒杀中考几何压轴题。这道题选的是 c 二零三模型的压轴难度非常大，但是你会发现，只要掌握了张老师所说的必要性探路，解决他轻而易举，方法比答案更加简洁有力。我们一块来看一看。题目给了一个等边三角形， d 是 延长线上的一点， 我们又连接 a、 d， 并且保证角 a、 e、 b 是 一百二十度，再连接 ec， 且 ec 平分，角 e、 b。 也就是说题目给了这三个角全部都是六十度。 好！第一问告诉我们 a、 e 的 长度是一，又告诉我们角 d 是 四十五度，让我们去判断角 a、 c、 e 的 度数。那么这道题老师不多说什么，你自己倒角就会发现角 a、 c、 e 同样是四十五度， 那么敏瑞同学一眼就能发现同一个三角形有六十度，有四十五度。我们最直接做法是干什么呢？就是做垂线，通过两个角度去构造两个特殊三角形。如果过 a 点做 e、 c， 垂线为 a、 p， 那 么因为 a、 e 是 一嘛， e、 p 的 长度就是二分之一， a、 p 就是 二分之根号三。 又因为 a、 p、 c 是 一个等腰直角三角形，轻易的就可以看出 b、 c 的 长度等于 a、 c 的 长度，也就是二分之根号六。好，第一问我们过比较简单，张老师的这个必要性探路呢？重点是解决。第二问，这个方法比答案要高明一些，所以大家要好好听。

试卷分享，高三三模合肥三模合肥是二零二五到二零二六学年高三第三次教学质量检测试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要完整试卷及答案的，可以微长来取，整理不易。

立体几何动点轨迹总踩坑，别盲目刷题，三大出题逻辑加六类核心题型，带你稳稳拿分！哈喽，各位小伙伴大家好，今天我们来去讲解立体几何的一个动点问题，那这个问题它主要是在我们的小题的压轴，经常会考察它的考察方向，一般是有三种考向， 第一种就是动点，是在一个平行性质上的一条线上运动轨迹，让你求他的一些轨迹的长度了，还有形状了等等。第二种他就可能会保持某一种垂直性，让你求这个轨迹的长度或者形状。 第三个就是他可能是哎到某一个点的距离啊，等距或者是角度相等，让你求这个轨迹的长度和它的形状。那我们接下来通过三道题目，分别给大家去把这种题目讲清楚，讲明白。 好，接下来看一下这个第一道题啊。第一道题我们找的是一道已知平行，让我们反求一下我们的长度跟最值的这种考法。我们先看一下题干，题干中给的条件是 e f 是 中点，分别是 b c 和 c c， e 的 中点 p 点是这个 b e， c e c b 中的一个动点， 然后它题中告诉了一个 a e p 是 平行于我们的 a f， 则然后让求的是 a， e， p 的 长度的取值范围也是它最值。那我们应该怎样算这道题呢？突破点就在我们刚才画这个条件中， 这条线是给了 a p 平行于我们的平面， a e、 f， 那 这是一个线面平行，而这条线是个动线，那我们是不是现在应该是把它常规操作，把它放入一个平面内，把这条动直线放入个平面内，证明这个平面跟我们的这个 a f 平行去了，我不妨就把这个 a p 啊，我们假设把它放到一个平面 alpha 内，我们等会只要找到 alpha 就 行了，我们把它放入到平面 alpha 内，如果能挣出来平面 alpha 跟我们的 a f 平行，那我们的 p 点时间就在 alpha 内动呢，是不是？好，那我们先来看一下，把那个 p 点的把那个 r 反面找到，然后呢 p 点既在 r 反内，也在我们的右侧面内，是不是相当于是我们的 r 反跟我们的这个 b c e c b 的 一个交线，就是我们的那个 p 点的轨迹，是吧？所以我们限阶段最核心的是不是应该先找 r 反平面，那就是过我们的 a 点要做出跟我们的 a、 e、 f 平行的一个平面，那我先找平行线了，对吧？是不是应该 a e 应该很好找？那我是不是应该在这个 b e c e 的 终点处，我找一个 h， 是 不把这个 a h 一 连 a h 一 连 a h 是 不是肯定跟 a a e 平行吗？是不是？然后这是找了一条线，是不是还得要勾到一个平面吗？再找一个点，是不是可以找这个 f 平行的？那我们是不是在这 f 是 分别是中点的话，那我在这再找一个我们的 b b 的 终点，是不是一连我们就把它标成一个 q 点， 是不是相当于我们的？最后把我的 a e h a q 一 连，是不是我们的 a e q h 就 属跟我们的平面 a e f 平行的？因为我们就找了两组这边平行嘛，那这两个平面肯定平行了，这两个平面平行了以后，大家想想，这个 a e h r a h q 不 就是我们要的那个，对吧？ alpha 面吗？对吧？ a e h q 就是 我们要的那个 alpha， 是 吧？那这个平面儿 跟我们它现在 p 点肯定要在这个平面内，对吧？在这个 a e h 平面内才能保证跟底面那个平平平行，对吧？是不是它其中还要告诉你， p 点还要在这个平面内，那相当于是它既在我们的 a e h q 的 平面内，也要在我们的 b e c e c b 中，那是不是相当他们的交线就是 p 点的轨迹， 所以就是我们的 h p 了，是不是 p 点的轨迹最终就确定出来？ h q h q 是 吧？ h q 就是 我们的这个有限线段 h q， 那 大家想想， 我们的这个 h q 就是 我们的 p 点的轨迹嘛，对吧？那我现在要求的是 a e p 的 长度范围是不是？那算算最大跟最小嘛？ 这是一个等腰三角形吧？ a 一 h q 是 个等腰三角形，因为这个啊，棱是二的话，这是二至一，对吧？所以这 a h 是 根五，这也是根五，是不是相当于我们这段长度是根二，那请问他的最近的距离是吧？他最近距离是不是应该是刚好在中垂线处 再做个垂直嘛？是吧？现在在这个点处就是它最短的，怎样算呢？根五减去二分之根二的平方，是吧？二分之根二的平方，然后再根五的平方减去二分之根二的平方，然后再开根号，就是我们的这个最小的，最小的距离就等于 根五的平方五减去二分之二分之根二的平方，再开根号，这个我们算出来是我们的这个二分之三倍根二 好，这是它最小的，最大的，最大的肯定就是我们的 a、 e、 h 跟 a、 q 都是它最大值，好就是它最大值，最大值一算去了就根五，所以最终答案就是我们的二，分之三倍根二到我们的根五，大家选择 b 选项 好了，这道题目其实大家要注意啊，就是我们要求的是动点，是在我们的动点，要跟我们的一条一个定点组成一条线，跟我们的动，跟我的平面平行的话，那我是不是要把这个动点所在的那个平面平行嘛？然后你把这个平面画出来， 然后就相当于是我们把动点的这个轨迹就能确定好了，这就借助了，虽然他给的是平行吧，对吧？所以我们通过线面平行啊，动线跟我们定面平行的话，我们构造一个面面平行，从而把轨迹也就是把这个动点的轨迹就确定好了。 好，接下来我们来选一道这个多选择题啊，这道题主要考频，三个字都考到了，垂直平行加角的问法都考到，同时他会问你轨迹的长度，对直问题，长度问题都可能会问到。 而以多选择题形式出现啊，这种这种题目的话，其实在我们近年高考题还有模拟题中，他经常会出现在多选择题的最后一道，所以大家对这块还是要去熟悉一下。我们来先看一下历十三这道题目， 也就我们的第二题。先来看 p 点，是在我们的棱长为这个二的一个正方体上面，它是个动点啊，它表面上是个动点，然后 f 点是我们的 a 一 b 一 的中点， a b 的 中点啊，这个我们可能只有 d 选项用到了 f 的， 所以我们前面几个选项都不着急用 f 啊。先来看一下 a 选项， 它给你是 p 点，是在我们的满足 a p a p 直线跟我们的 b、 e、 c 啊， b e、 c 垂直，现在是不是告诉了已知垂直了，是有垂直关系，让你反算一下 p 点的轨迹。大家来想想，我们要证明的是， a p、 a p 是 不是一个动直线， 要跟我们的某一个定直线相当于一个这个定直线啊，是要跟这个动线垂直的，那应该怎么做？其实跟刚才平行是一样的，那我就把这条动线放入一个面内就可以了， 只要我们这条 b、 c 跟我们的这个面垂直，那其实你的屁不管咋动都可以的。那大家想想，我们现在是不是要构造一个啊，过我们的 a 点，因为它是 ap 吗？过 a 点，并且跟我们的 b、 c 垂直的一个平面。 那这个题首先我们来先找线啊，因为我们是不是要找两条相交线就可以了？那第一个我们是不是能很快找到我们的 a b 是 吧？ a b 直线是不是它是一个侧棱，这个棱是跟我们的侧面垂直的吗？这是没问题的，是不是接下来我们又找到一个 b、 e、 c 啊？ b c、 e， 是 不是这两条线就能确定一个平面了？它确定平面就是我们的 d、 e、 c、 e， 还有我们的 ab， 就 这样的蓝色平面，大家想想， 这个蓝色平面是不是跟我们，我们的 b、 e、 c 是 不是就跟我们的 d、 c、 e、 b、 a 这个平面全部垂直的？所以只要你的 p 点， 说白了你只要在这个蓝色平面内，它都是跟我们的 b、 e、 c 垂直的，因为 b、 e、 c 跟这个平面垂直，但是这个题它要求的是在表面上面，对吧？那是不是原来是我们这个 a、 e， a， b， c， e， d， d， e 这个平面要跟我们这个正方体的交线，就是我们 p 点的轨迹，是吧？就能满足它跟 b、 e、 c 垂直的，那它就是在这个 边长嘛，就它周长，这个 a、 b、 c， d， e 的 这个，这个就应该是个矩形，这个矩形的周长就是我们的要求的轨迹的长度了。那大家很快算一算，这个 a 选项它条件都已知的啊，那是不是我们的 a 选项通过我们的计算这段长度，这个长度是二嘛？是吧？这段 b、 c 就是 二倍根二， b， c， e 啊，二倍根二，这是二，那就是我们的四倍根二加上四，所以我们的 a 是 错了，它少写了一部分。好 a 错了， 他可能在找的时候就光找到了这个 b、 c 跟这个 a、 d、 e 了，忘了这两条 a、 b 跟 d， c， 这是垂线，不要忘掉啊。好 p 点只要在这条线这个规律上都可以了。加上到我们的 b、 b 选项，他告诉我们，他问的是我们这个对折问题啊，是面积对折问题，他现在问的就是题对折问题，他说的 a 一 a 啊， a 点 a 点到我们的 a， p 杠 b， d， 对 吧？ a， p 杠 b， 那 这个题我们把它是不是可以换成 p 杠 a， b， e， d， e 是 不是相当于是我们要求的是 p 点到这个平面的？这个平面现在是 a、 b， e， d， e 是 不是定好的？我们是不是只要保证它的那个高是最大的？选 p 点到这个面的距离高最大选了。其实这个题很快就知道它是这个我们的题对角线啊， a、 e、 c 啊， 是跟我们的这个平面是垂直的，这是没啥问题的，因为这个是通过我们的三垂线吗？它跟 a、 c、 a、 c、 c 是 垂直的，所以那个 高的最最远点就是在 c 点了，就像你的 p 点刚好是跟我们的这个 c 点重合的时候，就是没问题的，是吧？它的体积就是最大的， 那现在我们就主要去求一下这个 p 点到这个距离，或者把这个体积算出来去了，本来要求的体积最大吗？就 p 点到这个这样构成的这个三棱锥就是它体积最大的。那我们现在能不能把这个 p 杠 p 杠 a、 b、 e、 d 一 这个体积算出来，那它这个体积咋算啊？你是可以把这个连出来啊，把这个体积连出来， 其实你连完就会发现啊，这样的一个 p 杠，就像你把正方体把这个 p 杠 b 一、 d 一， 还有我们的 a 这样的三棱锥挖掉以后，把这样三棱锥挖掉以后，其实这边它剩的就是你把这个红色的这样的三棱锥挖掉， 他刚好是把这个正方体的四个角角砍掉了，四个角砍掉四个角相当砍掉了四个。我们的这个正三这个三棱锥也就跟 a 杠 b 一 d 一 a 一 这样的个三棱锥大小一样的，一样的这个三棱锥刚好是砍掉四个，所以我们只需要这这个时候他的体积是只需要用我们的大的这个三棱锥的体积，正方形体积是二的三次方嘛，用我们大的正方的啊，正方的体积 减去四个，像 a 杠 b 一 d 一 a 一 这样的一个三棱锥，那像四乘以它的三棱锥是三分之一底面积，这个底面积就是二，是二，对吧？底面积二乘以高高是不是也是二， 是吧？是，现在是几个呢？是四个，对吧？这刚好是底面积乘以高，相当于二分之一乘二，对不对？这三分之一乘以二，二是底面积，因为二分之一乘以二，再乘以二，对吧？相对是二，这是底面积，然后这是它的高，也是个二，所以它整理化简完以后，这是一个八嘛？ 这是一个三分之一的吧，是吧？相当于我们这是一个三分之一，相当于是我们的八减三分之一。最后答案应该是我们的三分之啊，相当于四乘以，我们的刚好是四乘以我们的这个， 呃，这个角角相当于是我们的三分之一乘以二分之一，这相当于是三分之四，三分之八。 sorry， 这是个三分之八， 好，现在是我们的二十三次方，减去这个四倍的三分之一乘二分之一，再乘二分之一，现在最后答案是四，这是八。减去我们的三分之十六， 然后三分之二十四减去三分之十六，最后答案应该是我们的三分之八，好吧，所以我们的 b 选项也错了，对吧？当然这个是个多选择题啊，你 ab 选项出来以后，当然我们在应试过程中啊，大家就直接选 c、 d 了， 直接选 cd 啊，没啥可说的， ab 选项我们已经全部排除掉了，是不是 cd 肯定对了，因为多选题嘛，我们这个，这也是我们的多选题这个计谋，但是我们现在是在学习这个知识啊，我们肯定要把 cd 选项给它讲一讲了， c 选项非常有意思， c 选项来看一下， c 选项刚好是给了一个夹角，是吧？相当于是给我们的 ap 跟我们的 ab， p 点是在我们的这个面上运动，它跟 ab 的 一个夹角永远是一个四十五度的时候，夹角横定啊，那我们要求的是 p 的 轨迹是派加四倍的根二， 他要求的是 p 的 轨迹。那我们先来看一下，我们要找那些线跟我们的这个夹角刚好是四十五度的时候，刚好四十五度的时候，大家可以看一下，那你想想 这个，呃， a b a b 直线跟我们的 a b 一， a b 一 对吧？ a b 一 这条直线，它们的夹角是不是肯定是四十五度吗？所以 p 点只要在 a b 一 上摁没问题的，肯定也是保证四十五度的。但是光这一个吗？是不是有对称性来说的话，它的这个下面这个 a c 是不是跟我 a a c， a c 是 不是也是跟我们 a b 加角是四十五度？所以其实这个 p 点现在已经满足它在 a b 一 还有这个 a c 上动了，那还有没有，还有没有？大家想想，这样的一个 a b 要跟我们的这个，那你相当于只需要把这个 你想想啊，我们要横定永远是一个四十五度吗？那你只要把这个这个 ab 啊跟我们 ac 这刚好旋转一下，转一圈，它刚好连接成一个底面啊，刚好是圆的一部分， 就这块是这样，那个圆的一部分，为什么呢？因为它刚好是你旋转以后啊，你把这个 a b 沿着这个 a b 一 沿着 a b 旋转一圈，刚好能跟 a c 重合嘛？是不是像这样这个轨迹，这是刚好是圆锥的一部分。 你想想嘛，圆锥的所有的母线跟我们的这个棱嘛，相当于我们的轴，这相当于我们的旋转轴。 a、 b 相当旋转轴，这是旋转轴。 它一根，它的母线是永远夹角，是一个横定的吗？对吧？相当于是我们，这是我们的轴，我只要这相当 ab， 是 一个母线吗？那你把它旋转，它刚好应该是形成了一个圆锥的一部分，所以这块是不是应该有一个有一个圆弧的一个交线？ 因为它要是跟我们的底面的交线，就跟我们的右侧面的交点交点嘛，对吧？要在在表面上面，所以这刚好就是圆弧的一部分。圆弧的一部分，好吧，圆弧的一部分，那我现在应该最终的结论应该是由三段组成，一段是这段直线，是吧？一段是我们的这段 a、 c 的 这条直线，还有就是我们的 bc、 b、 c 这条直线，那我们把这三段一算就行了。首先这两段直线是二倍根二，然后一加四倍根二没问题。然后这段弧是不是刚好是我们的四分之一圆？它的圆的半径是二吗？那我们的周长是不是二倍二乘以四倍，它的是四分之一的一个弧，那相当于是我们的 pi， 所以 这个读答案就是 pi 加四倍根二，所以这个 c 选项是完全正确的。这个题就刚好是因为刚好形成了一个角度相等吗？对吧？你的这条线跟这条线角度相等，那就旋转一圈就行了。把这个， 把这个 a 一 b、 a、 b、 e 当做母线旋转一圈啊，旋转到我们的 a、 b 旋转一圈是刚好旋转这个圆锥的一部分了，像圆锥的一部分，这方一般考考取我们的这个两线夹角的动线跟我们定线的夹角其实都是旋转成了一个圆锥的，这样来说它肯定是能形成一个，能形成一个我们的这个定定角度啊。好，接下来到我们 c 选项 啊， d 选项， d 选项，它让我们求的是这 p 点啊，是在我们的这个。呃， a、 b、 c、 d 啊，它是给指定好了，它是在底面啊，在底面运动的，然后我们的 p、 f、 f 点刚才就说过它是 a 一 b 一 的一个终点， a、 b 的 终点，它要跟我们的 b、 e、 c 啊， b， e， d， e、 c 这个平面要平行，那刚才说过了，我们是要做一个动线跟它的一个面平行的话，是不是肯定是先要过这个啊？这个 f 这个点去做出跟我们的已知平面平行这个平面，是吧？那我们先做吧，对吧？ 先做，先拿平行做，是不是肯定它要跟这个 e、 f， 你 这样找个中点，是不是它跟 b e、 d， e 就 平行了？ e、 f 跟 d e 平行平行了，是不是我们再找一个我们的这个 啊？ e、 j、 e、 j 是 不是肯定跟我们的这个 b、 e、 c 啊？看 b、 e、 c 是 不是跟这个 a、 e、 d 是 平行的，那你过 e 点是不是要过做我们这个平行线才能保证过面吗？是不是过 e 点再做一个平行线？这个这点是不是也是终点？ 那我们刚说过了，只要在我们正方体的这个三条棱上的三个焦点，终点的焦点，它肯定能做出来，是一个六面体，正六面体，正六边形啊， 他肯定做出来是正六边形，这是我们上节课在讲到我们的洁面问题中说过的，只要你是过这个正方体的三条棱的中点，然后构成的一个平面，这个平面其实可以扩大成一个正六面体。正六面体，正六边形啊，正六边形的，它就会让你求的是，所以我们的这个轨迹曲就是这个正六边形的边长呀。 啊，正六边形的边长，那我们的 f 点，我的 p 点是不是就应该是在这个正六边形上运动着呢？那 我们的 p 点最最远在哪呢？最远肯定是在它的这个。看，这是 f 点嘛，最远肯定是在我们对边的这个，也就是 d c 的 中点的位置，矮点处，这段 p 点如果运到这位置，它肯定是最长的，因为中六边形嘛， 这是正六边形，是吧？正六边形何时最长的？比如说，假如这是那个 f 点嘛，那肯定是跟他的对线，这个点对吧？这个 f 点就对对线的对点，对，对角的那个点就是我们的 i 点，那我一连这个长度是多少呢？他的这个，他们那个边长是我们的二啊，说错了，边长是根二， 这段是二，这段是二，这是一，这一 e f 是 根二的吧？这是根二，这也是根二，这也是根二，是吧？那这做出来，做出来这块二分之根二，二分之根二，这是根二，它一加就是根二，二倍根二。所以这个 e i e p， 哦，最大的 p f p f 的 最大值肯定是我们的二倍根二，其他位置都比它小的，其他位置都比它小的啊。好了，相当于说我们的这个最大长度是我们的二倍根二，所以就当 d 选项也对了。 好，这就是我们的这个题目的一个做法啊，他分别是考了平行、垂直、夹角，大家一定要学会处理。垂直的话，那肯定是啊，如果是动线跟动线定线垂直，那就把动线放入平面内就可以了。然后我们的平行的话也是一样的，如果我们的动线跟我定面平行，那我就把这个线放入面内。 然后如果是我们的动线跟定线是夹角，是个定角的话，那我们肯定把它放这个圆构成一个圆锥啊，现在这个圆锥跟我们的这个已知平面的截线就行了啊，截，截线就行了。好，是这样，算算我们的这个三种情况的。好。

高考一百二十加系列的收官之作，咱们来讲一讲中档题最爱考的立体几何，毕竟教育局都已经明牌了，今年立体几何难度大概率会上升。所以呢，本期视频还是基于图形确定性的分析方法，教你怎样白得十五分。 ok， 那 这期视频呢，咱们来分享这三道题目。那首先呢，再次强调一下啊，所有的立体几何体，不管放在什么地方，首先呢，都得做一波分析，而分析的核心就是这个图形的确定性， 就是你得看一下图形当中哪些点是定点，哪些点是动点，如果是定点，它是由哪些条件确定下来的，如果是动点，它是怎样运动，受到哪些限制，运动的轨迹是一个什么图形？把这些分析清楚，思路大概率就有了。 ok， 那 咱们就带着这样的分析方法，先来看第一题啊，这道题目呢，来自于二六年的宁波二摩，首先呢，给了一个三角形 abc 给出了很多条件，那这里呢，咱们自然得关注一下，这些条件之下，这一个三角形是否是完全确定的 啊？知道呢，角 c 是 六十度，知道呢， a c 是 等于四的，然后呢， bc 等于二， 各位同学，三角形两边夹角一致，这个三角形是完全确定的，对吧？同时呢，不难发现，这应该是一个直角三角形， b c 和 a c 一 比二，加角六十度，肯定是三十，六十、九十的直角三角形有没有问题？ 好，如果你要严格证明的话，那就拿余弦定力把 ab 边给它求出来，然后呢，用三边长度验证一下勾股定力就可以了。这里呢，我就不算了啊， ab 边应该是二倍根三，这个角九十度 好，然后呢，知道点 m 是 a c 的 中点，所以 amcm 全都等于二，点 m 也是一个定点。 那么同时呢，分析到这里，大家呢，不难发现，三角形 m b c 两边相等，加角六十度，这是一个等边三角形 b m 也等于二 啊。继续啊，说呢，沿着 b m 将三角形 c， m b 翻折到三角形 d m b 看一下，这个三角形做了一个翻折，那么 d m b 呢，也应该是一个等边三角形 啊。那么接下来的问题就是，这个点定是一个定点吗？哎，如果只看翻折这个条件，不一定点定呢，可以绕着 b m 做旋转，对吧？但是呢，后面给出了这么一个条件，叫做 d a 等于根号十， 那这个长度就把点 d 的 位置给它定死了，所以呢，这是一个完全确定的图形，全是定点，发现了吧， 好，但是呢，根号式这个条件不是一个特别好的条件，他没办法直接告诉咱们点 d 在 什么地方， 就是这个条件确实能确定下点 d 的 位置，但是点 d 具体在哪暂时说不清楚，所以将来呢，肯定得把这个根号式的条件转化成更容易让咱们说清楚点 d 位置的这样一个条件。 那这个呢，其实就是第一问，他让咱们证明平面 dmb 垂直平面 abm 就是 这个等边三角形和底面是垂直的，所以呢，点 d 就是 旋转到 bm 的 正上方，能理解吗？啊，那咱们来考虑一下这个面面垂直如何证明？ 那我讲两种得到思路的方法，就是后续的证明过程都是一致的，但是思考路径不太一样。 第一种方法呢，就是从面面垂直出发，想证明面面垂直，那就是要在一个平面内找到另外一个平面的垂线，咱们都很清楚，优先去找交线的垂线，对吧？那你看一下 d m b 和底面，它俩的交线就是 b m 啊，所以呢，咱们可以考虑在其中一个平面做交线 b m 的 垂线，那这个非常简单， d m b 是 一个等边三角形，那就取 b m 的 中点 o 啊，这个是中点，然后呢，把这个 d o 给它连起来， 那么 d o 呢？和 b m 肯定是垂直的，那么接下来只要证明 d o 垂直底面就可以了。好，这是第一种思路分析的方法，那么第二种分析方法呢，就是从点 d 的 确定方式出发，你看点 d 呢，是从点 c 旋转过来的，对吧？绕着谁做旋转呢？ 就是这个三角形是绕着 b m 做旋转的，但是如果你只看点 d 的 话， 那么应该是从点 d 向 b m 做垂线，这个垂足就是刚才的中点 o， 点 d 是 绕着点 o 做旋转的，应该从 c o 转到 d o， 那 你想吗？ 所以这个地方呢，肯定得把 d o 给它做出来，那么所谓的确定点 d 的 位置，其实就是确定 d o 到底旋转了多少，那你想吗？ ok， 那 么两种思路分析呢，都给大家说完了，咱们呢接着往下走啊，其实到这里就已经非常简单了，你想证明 d o 垂直底面，那就是证明 d o 和底面上的两条相交直线互相垂直，第一条呢就是 b m， 那 么第二条找谁呢？ 来，为了利用上 a d 这个条件，得把 a o 给它连起来，那么第二条呢，肯定是证明 d o 垂直， a o 用一下勾股定律，所以呢，咱们把这个三角形定 a o 给它画出来。 好，这条边呢，已知是根号十， d o 呢，是等边三角形定 b m 的 高，边长为二，这个高根号三。 然后呢，这个 a o 来，咱们呢，把底面三角形 abc 单独画出来三十度的直角三角形斜边中点为 m， 点 o 呢是 b m 的 中点，把这个 a o 连起来。那这里呢，咱们可以看一下三角形 a m o， 你看 a m 呢，应该是 a c 的 一半等于二，然后这个 m o 是 b m 的 一半等于一，那么这个角应该是一百八十度，减去角 b m c， 这是一个等边 b m c 六十度，那这个角一百二十度，所以 y 斜定律 a o 肯定能取出来，这个我就不算了，应该是根号七。 好了，验证一下，三边的平方三加七确实等于是满足勾股定律，所以呢，这个 d o 和 a o 也是垂直的，这样以来 d o 垂直底面，那么这两个平面自然就垂直了。好了，那这个第一个我说清楚了吧， 那咱们继续来看第二段。说到线段 a b 上是否存在点 p 好， a b 上有一个点 p， 使得呢点 p 在 平面 d a m 内的射影恰好落在直线 dm 上。 来理解一下这个问题什么意思啊啊？在这个平面内的射影，就是从点 p 向 a d m 这个平面做垂线，然后呢，这个垂足要刚好落在直线 dm 上，对吧？好，咱们来假设这个垂足是点 q。 哎，所以这同学，其实呢，这个条件可以换一种理解方式，咱们就从 p q 两点的确定性上出发去理解，就是点 p 是 线段 ab 上的一个动点， 然后呢，这个点 q 它得在直线 dm 上，对不对？最后呢，还得要求这个 p q 和平面 d， a m 是 垂直的。 哎，这两个点是根据这些条件确定下来的，能理解吗？啊，那么这个呢，我觉得怎么呢？就间隔器就可以了，因为确定 p q 的 这些条件在坐标系当中都非常容易表示出来， 那么考虑到这里这个角 abc 是 一个直角，所以呢，咱们可以以 b a 为 x 轴， bc 为 y 轴啊，这种呢就不给大家画了。 ok， 好， 那么接下来呢，先把 p q 两点坐标给它表示出来啊，点 p 呢，在 x 轴上作为一个动点， 咱们呢可以设点 p 的 坐标，设一个 p 零零好，点 q 呢，在这个直线 dm 上，那么想表示点 q， 得先有 dm 两点坐标，点 a 的 坐标 ab 是 二倍根三，二根三 零零啊，点 c 呢，在外轴上 b c 等于二点 c 的 坐标零二零，那么 m 作为 a c 的 中点 m 点的坐标根三一零。好，然后呢，这个点定 啊，上一个呢，咱们证明过了，定 o 和这个底面是垂直的，那么点 o 呢，是 b， m 的 中点，点 b 呢是圆点，点 o 的 坐标二分之根三，二分之一零。 所以呢，点 d 的 坐标 d， o 呢，是根号三就是二分之根三，二分之一根三。好了， d 和 m 的 坐标都有了，那咱们来表示一下点 q 的 坐标 啊，可以用下这个定比分点的公式啊啊，点 q 的 坐标呢，就可以表示成 t 倍的点 d 坐标，再加上 e 减 t 倍的 m 坐标 t 乘上这坨二分之根三 t 二分之一 t 根三 t， 再加上这坨乘一减 t， 根三减根三 t， 一 减 t 零。好了，这两个加起来那么点 q 的 坐标 根三对不起，减去二分之根三 t， 然后呢是一个一减去二分之一 t， 最后根三 t， 那 到此为止呢，这两个限值条件已经用完了。最后一个限值条件 p q 垂直，这个平面如何理解？其实呢，就是 p q 向量是这个平面的一个法向量，这里呢，有两种处理方式啊，咱们呢，先把这个 p q 向量给它取出来 啊，就是根三减二分之根三 t， 再减 p 一 减二分之一 t 根三 t 啊。第一种处理方式就是 p q 向量和这个平面上两个不共线的向量分别点乘等于零。那么第二种处理方式就是你先把这个平面的以个法向量给它求出来，这样 d a， m 三点坐标都有了，以个法向量大家肯定都会求 啊，这个呢，我就不算了啊啊，算出来呢，应该是一根三一啊，那么这个 p q 向量和这个反向量应该是平行的，对吧？ 那么两个向量平行，就是所有的坐标对应成比例 来，第一个坐标根三减二分之根三 t 减 p， 它呢除以这个地方的一，然后呢就等于 一减二分之一 t 除以这个地方的根号三，同时呢，就等于根三 t 除以最后一个坐标除以一啊，这个一呢，就不写了， ok， 那 么这样一来呢，就得到了一个关于 t 和 p 的 方程组，这个方程组相当好解，后面两个方程可以算出 t 啊，一减二分之一 t 等于三 t 一 等于二分之七 t， 所以 t 就 等于七分之二。然后呢，随便带回到哪个方程，把这个 p 给它求出来， 算出来应该是七分之四倍根三，那么 t 和 p 全都有了。最后呢，这道题让你求 a p 的 长度，来，各位同学看一下 啊， a p 的 长度，其实呢，就是 ab 减去 b p， 然后呢， ab 是 二倍根三， b p 呢，就是这个地方的 p 七分之四倍根三，所以算出来七分之十倍根三，那这道题就做完了。 好，所以大家呢，会发现，其实呢，这个分析的思路就是看一下每个点是如何被确定下来的，每个点受到哪些条件的限制，然后把这些条件合理的表达出来，就可以了，理解了吗？好了，那这道题就说到这里， 那咱们再来看这道来自于甘肃二摩的题目，图形呢，乍一看好像有点小复杂，但其实这道题啊，分析起来还是很舒服的 来，他呢，给了一个多面体，知道呢，底面 a、 b、 c、 d 是 一个矩形啊，那么看到矩形，咱们自然要关心它的长和宽是否是确定的，对吧？来到后面找一下啊，这里呢，知道 a、 d 等于二以及 a、 b 等于三啊，这边三，这边二，所以底面完全确定 啊。接下来呢，知道这个 a、 e、 c、 f、 d， 七分别和平面是垂直的，看一下 a， e、 c、 f、 d， 七，所以呢，这三条线的方向是确定的。然后呢，又给出了 a， e 等于二， c， f 等于三，这段等于二，这段等于三。 好，那么这样一来的话，点 e 点 f 这两个点也是定点，对吧？现在呢，就只剩点进是一个动点了。最后呢，知道 m、 n 分 别是 b、 d 和 e、 f 的 中点，看一下两个大中点 m n 也是定点， 所以呢，看来看去，这道题的动点只有点进这一个动点， 但是呢，这个动点的运动方式相当简单，就是在定界上上下移动，只要定界的场动确定了，那整个图形就完全确定了，发现了吧？ ok， 那 带着对图形的理解，咱们先来看第一问，让你证明 m n 平行平面 d， c f 七 m n 呢？在这个地方， d， c， f 七是后面这个平面 啊，我个人觉得这个思路还是挺容易看出来的，因为这个图形给的实在是太规整了，很明显就是证明 m n 和 c f 平行就可以了，这两条线看上去就像是平行的，对吧，那具体怎么证明呢 啊？考虑到这里，点 m 是 b、 d 的 终点，咱们可以把这个 a、 c 给它连起来，那么底面呢，是一个矩形，所以 m 同时也是 a、 c 的 终点。 好，然后呢，咱们看到这个平面 a、 e、 f、 c。 注意啊， a e 和 c f 都跟底面垂直， a， e、 c、 f 是 平行的，这四点确实在同一个平面上。 好，它俩平行，所以呢，这是一个梯形，那么 m 是 a c 的 中点点， n 是 e、 f 的 中点，所以呢，这个 m n 就是 梯形的中位线，那么梯形中位线的性质和上下底边都是平行的，那不就正出来了吗？ 所以 m n 和这个 a， e 以及 c f 都是平行的。 好了，所以 m n 呢，和这个平面 d， c， f， g 也是平行的。 ok， 第一问呢，就要结束了， 来第二问啊，说呢，点进点 e 点 b 点 f， 四点共面，求这两个平面所成角的余弦值。看一下这四点共面 啊，一开始呢，咱们分析过啊，点记呢，应该是一个动点，但是加上四点共面的条件，点记的位置就被定死了， 对不对？所以这道题呢，其实就是根据四点共面，先把定记的长度给它求出来，那只要这个长度有了接下来间隙，算坐标都是相当简单的。这道题有大量的垂直，比如说呢，这个是 x 轴，这个是 y 轴 啊，只要根据四点共面取出 d、 g 的 长度，所有点的坐标都能取出来，发现了吧？好，所以咱们来考虑一下这个四点共面如何使用呢？ 来这里呢，给大家讲三种不同的方法啊。第一种方法呢，就是非常常规的坐标的方法，这个就给大家说一下思路啊，就是你先把其他点的坐标都给它写出来，那么点 g 的 坐标呢？比如说可以设成是零零 p， 可以 吧？ 好，那么所谓的四点共面，用坐标是这么去表示的，先找到平面 b、 e、 f 的 法向量 啊，反正呢，这三点坐标能求出来，这个法向量的坐标也能求出来。然后接下来因为四点共面点进也在平面 b、 e、 f 上，所以 b、 g 向量和这个法向量 n 向量一定是垂直的，各位同学想一下有没有问题？ 好，那根据这个垂直就能把 p 给它取出来了，那理解吧。 ok， 这是第一种方法好，然后呢，第二种方法处理四点共面，咱们还可以用向量的方法 啊，具体来讲呢，就是这样的，你在这个平面之外任选一点，比如说选这个圆点 d， 然后呢，从点 d 到这四个点会形成四个向量，把其中一个向量，比如说 d、 g 向量， 用另外三个向量给它表示出来，也就是呢，表示成 a 倍的 d， b 向量，加上 b 倍的 d， e 向量， 再加上 c 倍的 d， f 向量。那么一旦表示完成之后，根据四点共面， a 加 b 加 c 系数和必须等于一，根据这个东西就能把这里的 p 给它取出来了啊，这种方法呢，给大家具体的演示一下。 ok， 那 咱们从递进向量出发，目标呢，是把它转化成这三个向量啊。首先呢，可以看到 m n 这个向量，因为 m n 分 别是 b， d， e， f 的 中点， m n 将来可以转化成这四个点。 那么上面呢，咱们证明过啊， m n 和 c f 是 平行的，所以 m n 和 d g 也是平行的，因此呢， d g 向量一定可以表示成 t 倍的 m n 向量，哎，将来只要把 t 给它求出来， d g 的 长度自然就有了。 好。然后呢，继续对 m n 向量做转化这一道呢，这些向量都是从点 d 出发的，所以把 m n 向量转化成 m d， 加上 d n。 ok， 那 么这里的 m d 注意到 m 是 b d 的 终点， m d 就是 负二分之一 db 向量，再乘 t 负二分之 t 乘 db 向量好， db 呢就有了。 然后直接说，这里的 d n 点， n 呢是 e， f 的 中点，所以 d n 向量就是二分之一，定义向量加二分之一， d， f 向量，再乘上 t 二分之 t， d， e 向量加上二分之 t， d， f 向量。 好了，各位同学，那咱们的这个目标就完成了。那么最后呢，根据系数和等于 e 这三个系数相加 啊，正好呢，就是二分之 t， 它等于一，所以呢， t 就 等于二。哎，这样以来， d g 的 长度应该是二倍 m n 的 长度， 那这个 m n 的 长度又是多少呢？那非常简单，上一个呢，咱们说过啊， m n 应该是梯形 e， a， c， f 的 中位线，那么中位线的性质应该等于上下底边和的一半， 所以呢， m n 的 长度就是二分之一 a e 加上 c f。 好 了，这个 a e 等于二， c， f 等于三， d， g 等于五 行了，那有了 d g 的 长度，接下来间隙算坐标这些东西都不困难吧？ ok， 那 接下来呢，咱们再来说一下四点共面的第三种处理方法。 那最后一种方法呢？是一种纯几何方法，咱们呢，还是看到这个点 n 就是 点， n 是 ef 的 中点，所以点 n 肯定在平面 g e， b， f 上，对吧？咱们把这个平面呢设成是平面二法好，所以这样以来， g、 n、 b 三点都属于平面二法 啊。同时呢，咱们刚刚说过了， m n 和 g d 会确定一个平面， 咱们呢，假设它俩确定的平面是平面贝塔，那么这样以来， dm 两点都在平面贝塔上，那么点 b 是 直线， dm 上一点点 b 也在这个平面上，所以 gnb 三点同时也属于平面贝塔。 好了，各位同学，那么这三点同时在这两个平面上，而咱们都知道两个平面相交得到的是一条直线，所以这就能说明 g、 n b 三点共线。 好了，那看回到这个平面， g、 d， b， 你看这个 m 呢是 b d 的 中点，然后 g n、 b 三点共线， m n 和 g d 又是平行的，所以很明显点 n 只能是 b， g 的 中点， m n 就是 中位线，所以 g d 等于二倍 m n 和刚才推出的结果完全一样， 看懂了吗？好了，那这个 d g 的 长度有了，剩下的就不给大家仔细说了，说一下最终的答案，大家呢自己算一下好吧， 啊，就是接下来呢，可以算出这个平面的法向量，咱们用 m 向量来表示，是一个九十六，然后呢，这个平面其实就是 y o z 平面，法向量幺零零。那么最后呢，假设两个平面所成角是 c t， 可以 算出 cosine c t 是一个二百一十七分之九倍的根号，二幺七是一个还比较复杂的数，但是呢，这个没有什么太大的关系，因为这道题的核心就是四点共面，如何处理？这盘我说清楚了吗？ ok， 那 第二题就分享到这里， 那来看最后一道来自于深圳中学的题目，依然是基于图形的确定性去做分析 啊，这个图呢，给的不像是一个很规则的图形，咱们先看一下条件哈。啊，知道呢， p a， p d， a， d， c， d 都是二，看一下， p a 等于二， ad 等于二， pd 等于二。好，那么三角形 p a d 是 一个等边三角形，所以这个三角形完全确定。 然后呢，知道 ab 是 等于一的， ab 平行， cd， ab 垂直， ab 这个地方是垂直的， ab 和 cd 是 平行的，那咱们把底面这个四边形单独画一下。 好，这里是 abcd， 这里呢是垂直的，那么这个地方也是垂直的，知道 ab 等于一， cd 等于二， a d 呢也等于二，那很明显，这个梯形也是完全确定的，对吧？所以呢，这个多面体当中有两个面都是确定的，那整个这个多面体是确定的吗？ 哎，这个呢，还不一定，为啥呢？因为你可以把这个 a， b， c， d 给它固定下来，然后让 p a， d 绕着 a d 做旋转，相当于这两个面形成的二面角的大小还不确定，对吧？所以接下来呢，在看问题的时候，要关注一下这两个平面的夹角是否确定 好，咱们先来看第一问啊，知道呢，平面 p a、 d 垂直平面 a， b， c， d 啊，这个条件呢，给的非常好，就是刚刚提到过的这两个平面互相垂直，面板垂直加角九十度，那整个图形就完全确定了，对吧？然后呢，让你证明平面 pbc 和平面 pcd， 看一下这个平面，这个平面是垂直的， ok， 这两个平面所在的位置呢，不是那种特别好看的位置，所以我个人觉得考场上直接选择间隙就可以了，因为第一的话，有已知的面面垂直，这个坐标器会比较好见。第二，因为整个图形完全确定，所以每个点的坐标一定都能写出来，能理解吗？ 啊，那么这里间隙的思路呢啊，我个人觉得就以点 a 为圆点，这里呢是 x 轴，这里是 y 轴，可以吧？ 啊，那么点 a 坐标零零零，点 d， 坐标零二零，点 b， 坐标幺零零，最后呢，点 c 坐标应该是一个二二零好，然后呢，还差一个点 p， 你看 p a、 d 呢，是一个等边三角形，面面垂直，如果你从点 p 向底边做垂线，这个垂足应该是 a、 d 的 中点，对吧？然后呢，这个高是根号三，所以呢，点 p 的 坐标零一根三。 好了，现在呢，所有点的坐标都有了，那么这两个平面的法向量应该非常容易算出来，就不给大家仔细算了，说一下最终的结果啊， p b c 的 这个法向量， 它呢是一个二负一跟三，然后 p c、 d 的 反向量零跟三一，那么这两个向量点成显然等于零，那面面垂直就正出来了，有没有问题？ ok， 咱们呢，再来看第二问。 好，第二问呢，说 b c 垂直 p b， 看一下刚才的面面垂直就没有了，知道的是这个 b c 和这个 p b 它俩是垂直的， 然后让你求两个平面夹角的余弦值，那么这面的光线呢，还是要想清楚啊，就是因为底面的这个条件是不变的，所以 a b、 c、 d 四点一定是定点，那么此时点 p 是 不是定点？ 这它也是定点，一开始说过了，相当于啊，三角形 p a d 绕着 a d 做旋转，然后旋转到 b c 和 p b 垂直的这样一个位置，那么点 p 的 位置一定是被定死的，对吧？ 所以呢，这面的关键就是根据这个垂直条件，把点 p 的 坐标给它求出来，然后这两个平面的夹角一定就能求了，那这个坐标要怎么求呢？哎，因为点 p 是 一个定点，所以你得去找点 p 是 被哪些条件限制出来的 好，首先第一个现实条件呢，就是之前提到过的 p a d 绕着 a d 做旋转，那么如果说到点 p 的 话，就是从点 p 向 a d 做垂线垂足呢，即为 h， 那 么这个 h 的 坐标应该是 a d 的 中点，也就是零一零。 好，就相当于啊，点 p 绕着点 h 做旋转， 那么在这个旋转的过程当中，你会发现 p h 和 ad 始终是垂直的，这是第一个限制，同时 p h 始终应该等于根号三，这是第二个限制。 最后呢，再加上 b c 垂直 pb 第三个限制，三个限制就足以把点 p 的 坐标取出来了，对不对？ ok， 所以 这里呢，咱们先把点 p 的 坐标给它设出来 好，这道 p h 和 a d 是 垂直的，所以点 p 的 第二个坐标一定等于一，那就把坐标设成是 x 一 z， 这样以来呢，第一个限制就用完了。然后呢，第二个限制， p h 等于根三 来点 p 坐标点 h 坐标 p h 的 长度应该是根号下 x 方加 z 方，它等于根三，所以 x 方加 z 方等于三。好，最后呢，就是这个 bc 垂直 p b 来吧， bc 向量点 c 减点 b 一 二零。然后呢，这个 b p 向量 点 p 减点 b， x 减一，一 z 两个向量点成 x 减一加二，也就是 x 加一等于零。 行了，这样一来呢，点 p 的 坐标就有了，第一个坐标负一，第二个坐标一把 x 等于负一，代入这个方程， z 方等于二啊， z 呢，就取正的这个就可以了，根号二有没有问题？ ok， 那 点屁的坐标有了，这道题呢，其实就已经做完了，剩下的就是一些纯粹的计算环节了，所以到这里咱们再次总结一下这个思路， 其实呢，关键就是从几何的角度去分析这个点到底是不是定点，然后如果他是定点，这个点是由哪些条件的限制确定下来的，再把这些限制条件转化成方程，求出点屁的坐标就完事了，理解了吗？ 好，然后呢，最后呢，再给大家说一下这两个平面的法向量， p b c 的 法向量用 n 三来表示 啊，应该是一个二根二，负根二五。然后呢， p c d 的 法向量用 n 四来表示，应该是零 根二一。那么最后呢，这个加角的余弦值答案呢？可以告诉大家，三十五分之根号一百零五。好了，各位同学，那这三道题目我都说清楚了吗？ ok， 这期视频就分享到这里。

你们老说立体几何难，我承认，但那是立体几何本身难，不是他的解答题难。我已加入抖音，抖音精选高考应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟， 追更高考过来人一百招。首先立体几何解答题第一个，平行问题，平行无外乎就考线面平行，这是考的最多的。线面平行的证明方法又有三种，第一个是转化成线线，第二个是转化成面，面面平行一定是线面平行。第三个间隙， 如果烤面面平行的话，它的方法就是当然是唯一的，就是这个面内的两条相交直线分别平行于另外一个面。我们就说面面平行，还有什么呢？线线平行，线线平行是一个重点，需要学会， 就是我怎么证明两个线平行呢？这条线平行这个面，那么这条线或这个线的任何一个平面，如果和这个桌面相交，这条线和这个桌面一定是平行的， 所以这就是一个线线平行问题，对吧？当然如果考小题的话，有可能考平行的存在性问题，就这四种考法。第二个就是考垂直，垂直的话也是基本上考这三个，就是线线垂直。怎么证明线线垂直啊？需要转换成线面垂直，线面垂直一定推出线线垂直， 然后面面垂直，线面垂直一定推出面面垂直，所以判定定你得搞定，就是垂直，基本上就考这三个， 当然也包括垂直的存在性问题，对吧？第三个呢，就考的是角线面角二面角。第四个就是距离问题，距离问题呢，他有一个点到面的距离最基础的，这也是原来老高考的时候就有了一个知识点，一个是点到线的距离，这是新高考新增加的啊，还有什么呢？一面之线之间的距离，这点也是需要掌握的。 所以例题结合的假答题太固定了，几乎就这么考了。那很多人说小题太难啊。第一个问题，小题特别喜欢考平行垂直问题，就是满足什么什么垂直的，是哪个选项。这两年特别喜欢考体积问题， 尤其是可能不是特别规则，他需要割补一下。然后呢？考球球的话，找球心的那种相对来说不规则的结合体，你可以不学，因为你的技术没有那么好，但是有死记硬背公式的地方。有相对来说比较套路的地方，比如正方体，长方体的外接球，比如直棱柱的外接球，正棱锥的外接球，球心太好找，正方体的中心，他不就球心吗？ 长方体的中心不就球心吗？然后正楞锥，它的球心不就是落在体高上吗？剩下的内容，洁面问题，轨迹问题，综合问题，你就学简单的就可以了。比如小题考到了二面角，你只要理解二面角的概念，从这两个面内分别做两条线，垂直交线，我们就说它是一个二面角，那就可以了吗？所以就是立体几何， 虽然小题考的时候特别难，你想想他都考十一题了，你想想你的目标只有一百分，你需要搞定十一题吗？所以就是还是搞基础，所以把这些内容搞定，尤其是解答题，我觉得你的一百分目标还是比较容易实现的。希望各位同学都能够有信心的去学好它，信心是最重要的。

好，我们来看下一个问题，如图四边形 a、 b、 c、 d 与 a b、 e、 f 呢，都是直角梯形，这里这两个字母我标反了，现在呢，我已经标注出来了，这个是 e 啊，这个是 f， 并且平面 a、 b、 c、 d 垂直于平面 a、 b、 e、 f。 当我们阅读一个题目的时候，读到这个位置，你就要发现这是一个非常非常关键的题目信息，你要敏锐的捕捉到这个题目呀，他在考我们面面垂直的性质，那么我们第一步一定要先找到这两个平面的交线， 现在这个交线呀，他就是 ab， 那 么哪条线垂直于 ab 就是 我们接下来要找的关键信息。 接下来他说 abcd 与 ef 是 互相平行的， cd 的 长度呢是一， ef 的 长度也是一， ab 是 二， ab 是 二， af 呢也是二。 b， a d 与 b a、 f 这两个角都是直角。好，读到这样的时候我们就发现了哦，这里边的 a、 f 以及 ad， 它们两个都垂直于交线 ab， 那 就说明 a、 f 垂直于下表面， ad 呢垂直于内表面。 第一问让我们去证明 bce 垂直于 af， 那 这就非常的简单了，因为 af 呀，它已经垂直于线表面了，它自然呢就垂直于啊 bc， 所以 第一问非常的容易。我们再来看第二问， 让我们去求平面 acf 与 bce 夹角的正弦值， 那么这是一个求二面角的问题，我们要先建立空间直角坐标系，那这个题解析就非常非常的简单， 直接，以 a 点为坐标原点，这个为 x 轴，这个为 y 轴，这个为 z 轴。那么我们把坐标写一写， a 点呢，自然就是零零零， c 点呢？ 二一零 f 点零零二， b 点零二零 e 点零一 二，这样的话呢，你只需要写 a， c， f 以及 b， c， e， 把法向量都给它写出来，然后呢，去求正弦值就可以了。注意啊，是要求正弦值这个题目呀，我们着重要讲的呢，是它的这个第三问， 这个第三问呢，勉强呀，也算是一个新的问法吧，就是说它把向量的这个考法更加具体化了。 第三问，他说如果空间当中存在着一个点 q， 并且呢，他满足 d q 向量等于喇么的倍的 d f 向量，再加上一个六倍的 b b 向量， 喇么的与六呢，都是属于 r 的， 并且呀， a q 它是垂直于平面 b c， e 的， 让我们去求这个 a q 的 长度。 由于第二问之中啊，我们已经建立了空间直角坐标系，那我要想求 a q 的 长度，有一个最简单的方案，就是我要是知道 q 点的坐标， 由于 a 点它是坐标原点，那么 a q 的 长度自然等于 x 方加 y 方加 c 方，再开根号就可以了。所以说，我们关键呀，是要把这个 q 点的坐标呢，它满足的合金， 它满足的核心条件就是 d q 向量等于喇么的 d f 加上 m 倍的 d b。 那 刚才我们写了 d 点的坐标呢，它是二零零，所以说这个 d q 向量 就等于 x 减二 y z， 而这个 d f 向量 等于负二零二，而 d b 向量呢，负二二零。那我们知道 d q 等于喇么的 d f 加上缪倍的 d b， 也就是 x 减二 y z， 它等于喇么的乘以一个 d f， 也就是负二喇么的，然后呢，再加上一个缪倍的 d b， 也就是负二缪 二缪零。于是乎呀，我们可以得到这样一个方程，就是 x 减二，它就等于负二栏的减二缪， y 呢，它就等于二缪，而 z 呢，就等于二栏的。 从现在我们得到的这个方程来看，我们是没有办法把这里边的阿拉伯和缪呢给它求出来的，因为啊，这里还有一个条件，就是 a q 向量垂直于平面 b， c、 e， 这就说明呢， a q 向量是平行于 b， c， e 的 反向量的，这个 a q 向量呢，它就是 x y， z， 而这个 b、 c， e 的 反向量，我们在第二问当中呢，是可以把它算出来的，它就是 一二一。于是乎呀，我们还可以得到这样一个方程，那就是 x 等于 y 比上一个二，然后呢，再等于 z， 那么我们去解这几个方程就会得到呢，喇么的是等于四分之一，而缪呢，是等于二分之一的。然后我们再把这里的喇么的和缪啊给它 带回去，我们就可以得到每一个点的坐标，这里的这个 z 呢，它就等于二分之一，而 y 呢，它就等于一，那 x 呢，它就等于 二分之一。有了这三个坐标，我们再求 a q， 那 就非常非常的容易了。那这个题目呀，其实呢，它的本质还是比较简单的。 再来看下一个问题，把一副三角板按照如图所示的方式呢进行拼接， 告诉我们， ab 的 长度呀，是二倍根号六 ac 的 长度呢，也是二倍根号六角 bc， 这个呢是九十度角， bcd 呢也是九十度， 这个角呢是三十度。然后呢，把这个三角形 abc 沿着这个 abc 的 这个位置，并且呢让这个二面角呀为直二面角， 也就是说这两个平面呢，现在处于互相垂直的状态，我们又一次得到了这个互相垂直这样一个信息，那既然还是互相垂直的，那么我们还是要搞定交线呀，就是 bc， 谁垂直于 bc， 这是非常非常重要的一个信息。 左边这个图当中呀，我们可以分析到就是这个三角形 bc， 它是一个等腰直角三角形， 既然他是等腰直角三角形，那么我们很容易想到，我可以找到他的这个中点，假设这个中点为 o， 那 反映到右边这个图上，他就是这样的这个点呢，就是 o， 很 明显这个 p o 呢，他就垂直于 bc， 那 p o 垂直于 bc， 他 自然就垂直于平面 b、 c、 d， 它垂直于平面 b、 c、 d 自然垂直于 b、 c、 d 之内的所有线。第一小问，让我们证明 p b 垂直于 p c、 d， 现在我们知道的是 c、 d 是 垂直于 b c 的， 而这个 c、 d 呢，还垂直于刚才我们找到的这个 p o。 把这两个信息放在一起， c、 d 呀，它就垂直于这个平面 pbc， 那 它垂直于平面 pbc， 它就一定垂直于 pb。 而由于这个三角形 pbc 啊，它是一个等腰直角三角形，所以这个 pb 呢，还垂直于 pc， 那 我们把这两个信息放在一起， pb 既垂直于 cd， 又垂直于 pc， 它自然呢就垂直于平面 pcd， 这是一个非常容易证明的问题。 第二问，让我们去求这个点 c 到平面 p b d 的 距离， 这个题目呢，我们还是可以用两种方法加以解决。第一种方法当然就是建立空间直角坐标系，这种计算方式还是比较简单的，我们以 o 点为坐标原点，然后呢， o、 b 作为 x 轴，然后啊 做 c、 d 的 这个平行线，这个东西作为 y 轴，那这个东西啊，作为 z 轴，然后把 c、 p、 b、 d， 它的坐标都给它写出来。那这个 c 点，它的坐标呢，我们可以到左边的这个图当中进行计算， 这里这个 bc 的 长度呢，它是四倍的根号三。所以说这个 c 点的坐标呢，就是负二倍根号三， 零零 d 点的坐标 c、 d 的 长度呢，它是等于四的，所以说呀，它就是负二倍根号三，四零 b 点的坐标二倍根号三，零零 p 点的坐标呢，那自然就是零零 二倍根号三。那接下来啊，就是找什么法，向量之类的，用点面距距离公式进行计算就可以了。 方法二，还是使用等体积转化法。我们先来算这个 p、 b、 c、 d 的 体积，那它的这个体积啊，可以用三分之一 s， 三角形 b、 c、 d， 然后再乘以一个 p o 进行计算。 同时呢，它的这个体积啊，也可以用三分之一 s， 三角形 p、 b、 d 乘以我们要求的那个距离 h， 这个 p、 b、 d， 它的面积还是非常容易求解的，因为这个 p b 的 长度呢，是 二倍根号六，这个 b、 d 的 长度呢八。而 p d 的 长度呢，也非常容易算。在这个三角形 p、 c、 d 当中，使用勾股定律就可以算出， p d 的 长度呢，是二倍，根号十。 那么我们写出来之后就发现，哎，这三个长度呀，它正好是符合勾股定律的，所以它这个长度呢，就可以写成二分之一 p b 乘以一个 p d， 于是乎呢，用等面积法，它等于它就可以把这个 h 给它求出来，这是第二种方法，也是比较简单的。接下来呢，我们来看它的这个第三问问， 在这个线段 p d 上是否存在着一个点 e， 使得呀，这两个二面角所成的这个余弦值为二十八分之，根号十四。如果存在的话，让我们去求这个 p e 比上 p d 的 值， 那这又是一个探索型的问题。其实这种问题它非常非常的简单，它唯一的难点就在于这个计算量稍微有那么一点点大上，我们直接设这个 pe 向量是等于喇么的倍的 pd 向量的，然后呢点 p 的 坐标，刚才我们已经写过了，是零零二倍根号三，这个点 d 的 坐标 负二 b 根号三四零。我们先假设这个 e 点呢，它是 x y 以及 z， 于是乎这个 p e 向量自然就是 x y， z 减去 二倍根号三，它等于喇么的倍的 p d 向量，也就是负二倍根号三四，负二倍根号三，那么 x 呢，就等于负二倍根号三，喇么的 y 呢就等于四喇么的，而这个 z 呢，就等于负二倍根号三，喇么的再加上一个二倍根号三。这样的话呢，我们就找到了这个一点的坐标， 接下来你只需要用这个一点的坐标去写它这个法向量，然后呢就可以完成。对于这个问题的运算还是很简单的，只要耐心细致的去算，很容易知道答案的。那本题的最后答案是栏目的等于七分之一，同学们可以自行计算一下。 接下来呢，我们来看一个以圆台为考察背景的一个问题，如图，圆台的上下底面圆，心分别为 o 一 和 o 四边形 abcd 为下底面圆，它的内接正方形，并且呢， ab 等于 o 一， o 二是等于二的， e 和 m 呢，是上底面 o 一 和 o 二上的两个点，这里有一个 m 点，这里有一个 e 点， f 呢是 bc 的 中点，并且满足条件， abe 垂直于平面 abcd。 那 这又是一个面面垂直的问题，我们一定要找到交线，那交线显然就是 ab 了。 从我们目前知道的条件，我们知道底面它是一个正方形，那就是说 ad 垂直于交线， bc 也垂直于交线，所以 ad 和 bc 它们分别垂直于平面 abg。 而这个题他又告诉我， e a 跟 e b 是 相等的， e a 和 e b 相等，就说明三角形 e a b 它是一个等腰三角形，那等腰三角形又出现了三线合一的问题，我肯定是先想法找到这个 a b 的 中点， 我找到这个 a b 的 中点，向下一连，假设这个中点为 h 吧，那这个 e h 自然呢，也垂直于 a b， 它就垂直于下表面。 第一问，让我们证明 a f 是 垂直于 d e 的 这一问呀，它的核心考法其实呢，就是三垂线定义 一条斜线，他想要垂直于平面内的一条线，就需要平面内的这条线垂直于他的投影线。 刚才啊，我们过 e 点向下表面做的这个 e h 就 已经找到了 e 点在下表面的投影。那接下来呢，我们把这个 d h 呀给他连接起来，现在呢，我们把这个底面图形呀给他画出来。 这种证明垂直的方式呢，我们称之为交叉垂直，他用的原理呢，也是非常非常的简单的，并且呀，非常非常多的次数出现于各种形式的考试题目之中， 那么我们把这个底面图形呀先给他画出来，这个点呢是 h 点，这个点呢是 f 点， 我们怎么去证明 a f 和 d h 是 互相垂直的呢？这个方案非常非常的简单，我们只需要去证明这个角的正切值与这个角的正切值是互为倒数的即可。 我们已经知道下表面是一个边长为二的正方形，那就说明这个边等于二， a h 这个长度呢是等于一的，所以说这个弹性的角 a d h， 它就等于对边比邻边，也就是一比二，而这个弹性的角 d a f， 我们这样给他连接一条辅助线，当然呢，你也可以去求这个角，因为他俩是相等的，那么他的正切值等于对边比上邻边，自然呢是等于二比一的，一个是一比二，一个是二比一， 他们两个互为倒数，所以说这个角与这个角是互余的，那么这个角就一定是九十度， 于是乎呀，这个垂直就非常非常的容易了。我们已经知道 e h 是 垂直于下表面 abcd 的， 那么 e h 就 一定垂直于 af， 而我们又知道 d h 也垂直于 a f， 那 就说明 a f 呢，它是垂直于平面 e h d 的， 那么它就一定垂直于 d e， 这样的话呢，我们就完成了对第一问的证明，第二问，第二问，让我们去求圆台的体积，那这个还是非常的简单的，因为呢，我们是有圆台的体公式的， 我们只需要把下表面的半径以及上表面的半径呢都给它求出来就可以了。那下表面的半径很简单 o a 啊，它就是等于根号二的，那上表面的这个半径呢？它其实呀，就等于这个 h o 这个长度，那 h o 这个长度是等于一的，所以说上表面的这个半径 r 一 等于一，那 r 二呢，是等于根号二的，我们直接带到体积公式里头， v 就 等于三分之一派 乘以一个 r 一 的平方，加上 r 二的平方，再加上 r 一， 乘以一个 r 二，然后呢乘以它的这个高 h， 也就是这个 e h， 而这个 e h 呢，它正好是等于 o o 一 的，也就是等于二往里边代入，就可以得到它的这个体积。 接下来我们来看这个第三问，如果直线 f m 与平面 a d e 所成的这个角的正弦值为十分之三倍的根号十，让我们求点面距。 嗯，这一问呢，其实它的融合程度还是非常非常的高的，它属于呢，就是把平面解析几何和立体几何呀，给它融合到一起进行的一个综合考察。 呃，很多同学在解决这个问题的时候呢，因为我前面证明的这个过程啊，引入了一个 e h 这样一条直线，很多同学就会思索，哎，我能不能在 h 这个点去建立空间直角坐标系呢？ 因为这里上表面的这个点 m 呀，他并没有一个固定的这个位置，如果我们用 h e 去当坐标轴 z 的 话，就不太容易引入这个 m 点的这个参数值。所以啊，我们在解决这个问题的时候呢，还是要按照我们一般性质的处理原态问题的基本思路，那就是拿着这个 o o e 去当这个 z 轴，而 x 轴和 y 轴的选择呢，方法呢有两种，一种方法呀，是这样，我把 a c 和 b d 这两条线给他连上，因为呀他们两个都是正方形的对角线自动呢，就是垂直的，我就可以以这个当 x 轴，以这个当 y 轴，这是一种间隙方案，还有一种间隙方案也是比较容易想到的，那就是我这样去选择 x 轴，这样呢去选择 y 轴，这两种方案都是可以的，但是呢，还是以这个 o o 一 当 z 轴啊，这种方法是比较容易的， 因为刚才我说了这个题目他最大的难点就是把平面解析几何和这个空间向量进行了一个融合性的考察，我们关键呢要搞定这个 m 点的这个坐标，那 m 点的这个坐标我怎么搞定他呢？现在呢，我们就观察这个上表面， 它是一个半径为一的单位圆，这个 m 点呀，它就是单位圆上的一个动点。那么由平面解析几何的知识知道单位圆吗？我们在引入它参数的时候，只需要让它的横坐标为 cosine， 纵坐标为 cosine 即可，由于它的高度呢是二，所以它的竖坐标呢就是等于二的。这里我们之所以没用 x y 二这样的这个坐标形式进行运算，是因为你用了这个形式之后呀，最后还是需要用 x 方加 y 方等于一这个圆的方程，然后呢去解方程，那都是解方程，三角方程，他肯定要比 普通的那种方程要容易解一些，所以呢，我们把这个 m 点的坐标呀这样进行设是相对而言比较容易的。那现在呢，我们有了这个 m 点的坐标，我们再把其他点的坐标给他写出来，此时这个 a 点的坐标呢就是一 负一零，这个 d 点的坐标呢是一一零，而这个 e 点的坐标呢是零负一二， f 点的坐标呢是负一零零。把这些点的坐标都给他写完了之后呀，然后我们去搞定这个 a、 b、 e 这个平面的法向量，我呢就不去进行具体的运算了，它的法向量算完了之后呢，是二零一。好，那现在呀，就是 f m 向量，我们也给它写出来， 等于 cosine 加一 cosine 二 f m 向量与这个法向量的这个夹角呢，正弦值算阿了法， 那当然就等于向量与向量之间夹角的这个余弦值了。横乘横，纵乘纵，竖乘竖。上面啊就是二 cosine 加上一个四，下面呢是模，一个是根号五， 另一个呢就是 cosine 加一它的平方，加上 cosine 的 平方，然后再加上一个四，这个位置整理完了之后呢，就是六，加上一个二 cosine 右边呢是十分之三倍的 记号十。我们去解这个三角方程，解完了之后呀，他就是四 cosine 它的平方加上一个七， cosine 减十一等于零。再去解这个方程呢， cosine 它不是等于一的，它就是等于负的四分之十一的，那这个数肯定是不合理，我们直接给他舍掉， 那 cos 它，它是等于一的，那 cos 它自然是等于零的，那这样的话，这个 m 点啊，它就变成了一个固定点一零二，那我再去算 m 点到 a、 b、 e 的 这个距离，直接使用点面距距离公式就能给它算出来，最后这个距离呢是五分之二倍的 点五。这个题啊，只要在间隙的时候选择 o 一 o 二当 z 轴都是比较容易进行计算的下一个问题，这个题目呢是一道高考原题， 之所以把这个题目选出来，是因为呀，这个题目他在第一问的证明过程之中 非常非常的曲折，需要我们抽丝剥茧，层层递进的去分析每一个条件，只有你把每一个条件都分析到位了之后呢，他的这个证明才是一个水到渠成的过程。这和我们前面做的有些题目啊， 就大伤径庭，因为有些个题目我们用眼睛一看，大体上就能够明白他的思路，但这个题不然，他需要我们认真的去分析，把每一个条件都要分析到位。 首先呢一点，他是圆锥的顶点，这个条件看似简单，但是呢他的作用非常非常的大，因为顶点他在里面的投影正好是里面圆的这个中心， 同时它也意味着 b o 这条直线呢，它是垂直于整个这个圆面的， o 是 底面圆心， a e 呢是直径，并且呀 a e 跟 ab 的 长度是相等的， 底面直径与母线的长度相等。这就说明如果我们从侧面去观察这个圆锥的话，我们会发现这个圆锥的这个结面呢，它本质啊是一个等边三角形， 这三个位置的长度呢，都是相等的，并且呢这个角呀是等于六十度的三角形， abc 呢是底面圆的内接正三角形，那么我们把这个底面图形给他画出来，这里呢有一个内接的正三角形 abc， p 呢是 d o 上一个点，并且呢有这样一个非常古怪的信息， p o 等于六分之根号六倍的 d o， 这个条件它很关键， 而且呢，我们一眼看过去，并不知道这个条件它到底是怎么用的。第一问，让我们去证明 p a 是 垂直于平面 p b c 的， 我要证明线面垂直，我一定要能够证明 p a 呢，是垂直于平面 p b c 之中的两条相交直线的。 然而我们从目前分析的这些条件来看啊，没有得到任何一条跟垂直有关的信息。所以啊，我们要对这些条件呢进行一个重新的梳理。 a e 啊，它是底面的这个直径， 那就意味着 a e 这条线与 bc 这条线呢，他一定是互相垂直的，这是由垂径定律的性质知道的，这个位置是一个直角。现在我们来分析 bc 啊，它垂直于 a e， 而 bc 呢，还垂直于 d o， 既垂直于 a e， 又垂直于 d o。 把这两个条件给它放到一起，我们就可以得到。 bc 呢，它是垂直于平面 ape 的， 那么 bc 自然就垂直于 ape 之内的所有线，它垂直于 ap。 这样的话呢，我们就得到了一个非常重要的垂直关系， ap 呢，他至少已经垂直于 pbc 中的一条线了，那么我们需要他再垂直另外一条线，那我另外这条垂线上哪去找呢？ 通常来讲，如果我们在做题的时候，这种几何性质的垂直呢，我们用完了，那接下来的垂直啊，通常来讲都是跟长度有关的。 这种垂直呢，我一般称之为勾股垂直，因为我要用长度去正垂直，那无外乎就是找直角三角形，那这个条件呢，它就会显得尤为的重要，这个 p o 等于六分之根号六 d o， 也就是说这个 d o 呢，它是等于根号六倍的 p o。 现在我们观察这个结面式图，这个 b o， 它的长度呢，是 p o 这个长度的根号六倍。现在呀，我们不妨假设 a o， 也就是底面的这个半径是等于一的，那反映到这个结面式图里边，就是这个 o a 这个长度呢，是等于一的，那 d a 这个长度呢，自然就等于二。 所以说这个 d o 这个长度呢，它就等于根号三。反映到这边来，那么 p o 这个长度呀，它就等于二分之根号二。 也就是说这个位置呢，它是二分之根号二。那么在三角形 p o a 之中， 使用勾股定律， p a 的 长度呢，就等于二分之六， 而 p c， p b， p a 这三条线啊，它的长度是相等的，为啥呢？因为这个点 p 啊，它是来自于这个轴上的这么一个点，那么你过点 p， 向着底面的这个圆去做三条线，那这三条线的长度肯定是相等的，所以说这个 pc 的 长度呢，它也等于 二分之根号六。我们再观察底面圆的这个矢图，这个位置是 o， 如果这个位置是一的话，那么我们去做这个垂线去，很显然这个位置是二分之根号三呀，那么就说明 a c 的 长度呢，它是根号三。 现在我们观察三角形 p a c 这里边 p c 的 长度二分之根号六。 p a 的 长度二分之根号六，而 a c 的 长度呢，是根号三的 这个的平方，加上这个的平方，正好等于这个的平方，也就是说 ap， 它是垂直于 p c 的 三角形。 p a c 呢，它是一个等腰直角三角形，所以说 p c 也是垂直于 pa 的， 那结合刚才我们得到的 bc 也垂直于 pa， 所以 说 pa 这条线它就垂直于平面 pbc， 那 有了这个第一问作为支撑，我们再来看它的第二问啊，就要容易的多，让我们去求这个二面角 bpc 一 的余弦值，那就是搞定这几个点的坐标就可以了。 所以说呢，我们只要选择合理的方式去建立这个空间直角坐标系就 ok 了。那么这个位置呀，那肯定是当仁不让的这个 z 轴了，那我 x 轴和 y 轴怎么去搞定它呢？哎，我们可以用这里的 o e 当这个 x 轴，然后呢过 o 点去做这个 b c 的 平行线，用这个线去当这个 y 轴就可以了。剩下的呢，我们就是写这个坐标，这个坐标还是比较容易写的，我们写一下这个点 b， 自然就是负二分之一， 二分之根号三零点 p 零零，二分之根号二 点 c 呢，他跟点 b 啊，是对称关系，负二分之一，负的二分之根号三零，这个点 e 呢是负一零零。把这四个点的坐标写出来，剩下所有的认为啊，都变得非常的简单了。 最后呢，我们再来看一个以三棱台为命题背景的立体几何问题，如图，在这个三棱台之中， ab 呢，是垂直于 bc 的 这个图呀，他看起来非常非常的别扭，因为呢，他这个直角呀，放在这个位置， 这个位置啊，从我们的这个视觉直觉之中呢，总是感觉他不是很垂直，所以说对于这种非常别扭的这种题啊，我们要注意提防这种阴险的角度， ab 等于二 a 撇， b 撇等于四，下面的棱长呢是四，这个棱长呢是二， bc 呢是四倍的根号二 m 和 n 分 别是 a、 c 和 bc 的 中点，并且呢， an 垂直于 b 撇 n。 第一问，让我们去证明 a 撇 m 平行于 ab 撇 n。 对于这种线面平行的证明呢，我们第一选择肯定是在平面之内寻找一条线，然后让这条线去跟 a 撇 m 平行。那么我们观察这个仕图最容易想到的线呢，其实就是这条线。 我们假设这个为 p， 这个为 q， 现在呢，我们只要能够证明 a 撇 m 是 平行于 p q 的 即可。 我们先观察这个点 p， 因为这个几何体啊，它是一个三棱台， 三棱台呢，就意味着 ab 一定是平行于 a 撇 b 撇的。并且乞丐之中明确告诉我们， ab 比上 a 撇 b 撇呢，是等于 二比一的，那这就说明这个 p 点它一定是一个三等分点，也就是说 ap 比上 p b 片一定是等于二比一的。 同时呀，由于 m 和 n 分 别是 a、 c 和 b c 的 中点，那就意味着 m n 平行且等于 ab 的 一半。 m n 它是一个中位线，那就意味着 ab 比上 m n 等于二比一。那么我们就能够知道 q 点呀，它也是一个三等分点，所以说这个 a q 比上这个 q n 也是等于 二比一的。于是乎，我们就可以知道这里的这个 p q 呀，它一定是平行于 b 撇 n 的。 又由于 m n 平行且等于 ab 的 一半，那就说明 m n 平行且等于 a 撇 b 撇。 那么这个四边形 m n b 撇 a 撇呢，它是一个平行四边形 p q 平行于 b 撇 n， 那 么 p q， 它就一定平行于 a 撇 m， 所以 说 a 撇 m 呢，就平行于平面内的一条线，那么这个平行呢，就正完了。 当然了，这个题目呢，我们还有第二种证明方案，就是我们可以通过构造面面平行来证明线面平行。怎么构造呢？我们找到这个 n c 的 终点，假设这个终点呢，是点 p， 再找到这个 b 片 c 片它的中点 q， 然后我们顺次连接，把这个 p q 给它连上，然后呢，再连接这个 a q。 现在呢，我们观察这两个平面 m p 啊，它是 a n 的 中位线，所以呢，它是平行于 a n 的， 而这个 p q 呢，它又平行于 b 片 n。 同时呀，由于这个 p q 与 mp 呢是相交状态， a n 与 b 撇 n 也是相交状态，那就说明一个平面之内的两条相交直线，平行于另一个平面之内的两条相交直线，那么这两个平面自然就是平行的，那两个平面都平行了，那 a 撇 m 作为一个平面指定的一条线，它自然呢就平行于另外一个平面，这是第二种正法。接下来呢，我们来看它的第二问，让我们证明 ab 撇 n 是 垂直于 a 撇 b m 的， 那既然是证明面面垂直，我就需要在一个平面之内呀，找一条线，让他去垂直于另外一个平面。显然呢，这里呀，有这个垂直信息 和这样的这个长度信息，他是可以辅助我们完成对于这种问题的证明的。但是呢，这个垂直信息我们看着呀， 他还是很直接的。如果在第一问的证明过程之中，我们连接了这个 p q 这条辅助线的话，那么我们就知道这里的 a n 是 垂直于 p q 的， 这是一个非常重要的垂直关系，但是只依靠这一个垂直关系，我们没有办法完成后续的证明。 对于这种问题，通过前面几个问题啊，我们已经形成了一个比较良好的解决他的这个思路，就是当我对某一个问题看的十分不清楚的时候，我们一定要把他的这个底面给他画成一个平面图形，仔细研究这个平面图形的特点。 他这个平面图形刚才我说了，他非常非常的别扭，他故意把这个直角放在这个位置，我们从直观视觉上是没有办法直接看出特定的垂直关系的。没关系，我们给他画成一个平面图形 abc， 这里的 m n 啊，它是中点，那么我们把这个 a n 这条线给它连上，这个呢是四 b n， 这条线呢，它是二倍的根号二， 然后呢，我们再把这个 b m 给它连上。现在我们研究一下这个角它的正切值，我们不妨记这个角为角一盘前的角一， 由于 m n， 它是中位线，所以这个位置是直角，它自然就等于 m n 比上 b n， 也就是二比上二 b 的 根号二，这个东西呢，等于一比根号二，我们就不去化简了。接下来呢，我们再来研究这个角， 也就是这个角 b n a 弹它角 b n a 这个正确值呀，它正好等于 ab 比上 b n， 也就是四比上二 b 的 根号二。算完了之后呢，我们发现它正好等于根号二， 那这就说明这两个角的正切值是互为倒数的，它们相乘等于一，那这两个角一定就是互余的。也就是说这里的 b m 和 a n 呀，在这个位置它是垂直的，那么 a n 同时还要垂直这个 bm， 我 们把这两个垂直信息给它放到一起，就很容易得到。 a n 是 垂直于平面 b p q 的， 而这个平面 b p q 呢，它恰好就是平面 b m a 撇，而 a n 这条线，它又恰好在平面 a b 撇 n 之中，所以说这两个平面呀，就是互相垂直的。 这一问其实还是非常非常的难想的。他要求呀，我们有良好的解析习惯，一旦我们研究某一个问题啊，觉得他走到了一个死胡同的时候呢，一定要把他这个底面画成平面图形，仔细去对他进行研究。接下来我们来看他的第三问， b 撇 b 等于 c 撇 c 等于根号六，让我们去求 a b 撇 n 与 abc 所夹角的正弦值。 那这个题目做到这的时候呀，你可以发现就是这个三龙台，它其实是一个非常非常奇怪的三龙台，那这个奇怪的三龙台，我们想要通过建立空间直角坐标系的方式去确定一些点的坐标值呀，这本身其实是非常非常的困难的。 这个题目呀，我们就不能从空间直角坐标系的这个角度再继续向下思考了。 在第二问之中，我们证明了一个非常非常关键的信息，就是这两个面互相垂直，而且呢这条辅助线是非常非常之重要的一个辅助线。那么 第三问，让我们去求这两个平面所夹角的余弦值，而这两个平面他们的交线恰好就是 a n 这条线。 从二面角的平面角的定义出发，如果我们能够在两个平面的交线上 找到一个点，过这个点，向着这个平面去做一条线，过这个点向这个平面去做一条线，这两条线都跟这条已知的线是垂直的，这个位置是直角，这个位置是直角，那么我们就找到了这个二面角的平面角。 而在第二问的证明过程之中，我们已经证明了这样一个事实，那就是 p、 q， 它是垂直于 a、 n 的， b、 q 呢，它也是垂直于 a、 n 的， p、 q， 它恰好在平面 a、 n、 b 撇之中， b q 恰好在下表面 abc 之中。所以说，我们要找的二面角的平面角，要么就是这个角 p、 q、 b， 要么呢就是它的补角。当然了，我们要先集中完成对于这个角的运算上来。 题干告诉我们，这个 c、 c 撇的长度呢，是根号六，那就说明啊，这个 b 撇 n 的 长度呢，也是根号六。这个前面我们已经分析过了，它是一个平行四边形， 而 a、 n 的 长度呢，是等于二倍的根号六的。于是乎，由勾股定律我们就可以得到，这个 a、 b 撇的长度呢，是等于根号三十的。 现在呢，我们分析左面的这个平面，也就是这个 a、 b、 b 撇 a 撇，我们把它单画出来， a、 b 的 长度是等于四的， b、 b 片的长度是等于根号六的， a 片 b 片的长， a 片 b 片，它的长度呀是等于二的。 而现在我们又知道了，这个 a、 b 片的长度是根号三十。那么我们就可以啊，用余弦定比，把这个角的余弦值给它算出来， 这个余弦值 cosine 角 a、 b、 b 撇就等于十六加六减三十，比上二乘以四，再乘以一个根号六，也就是负的六分之根号六。 于是乎我们就可以知道，当我们把这个位置给他连接起来的时候，这个角的余弦值呀，他一定是等于六分之根号六的。 我们假设 a 撇 b， 这个长度是 x， 那 么六分之根号六，就应该等于四加六减 x 的 平方比上一个二乘二，再乘以根号六。 通过这个方程，我们可以得到 a 撇 b， 他的长度就等于编号六。而在第一问之中，我们已经确定了，这个位置与这个位置的长度之比呢，他是二比一，于是乎我们可以得到 b p， 它的长度就等于三分之二倍的根号六。现在我们观察这个三角形 b p q， 在 这个三角形之中，我们已经搞定了这个 b p 的 长度， 这个 p q 的 长度也很容易知道，它是等于三分之二的一撇 n 的， 也就是三分之二倍的根号六， b p 呢？还是三分之二倍的根号六，那么我们只缺这个 b q 的 长度，而 b q 这条线呀，它是来自于底面的。我们再回到我们最开始画的这个底面图形之中， abc m n， 把这个位置给它连接起来，这个点呢，它就是 q 这里边呀， b q 的 长度除以这个 q m 的 长度呢，还是等于二比一的。而这个 b m 的 长度 很容易计算，因为 b n 的 长度呢，它是二 b 的 根号二，而这个位置呢，它是二。所以说这个 b m 的 长度呢，它是二 b 的 根号三， 于是乎这个 b q 的 长度就等于三分之四倍的根号三。那么我们要求的这个二面角的平面角，它的余弦值 cos 角 b q p， 它自然就等于 b q 的 平方，加上 p q 的 平方，减去 b p 的 平方比上二乘以 b q， 再乘以这个 p q， 把我们计算得到的所有的长度呀，都给它带入其中，这个值呢最后就等于二分之根号二， 那么我们要求他这个正弦值，因为余弦值啊，我们还需要去确定他到底是锐角或者是钝角，但正弦值就不需要了，他一定呢就等于二分之根号。

立体几何，动点轨迹总踩坑，别盲目刷题，三大出题逻辑加六类核心题型，带你稳稳拿分。好，接下来我们来看一下点零三这道题目主要是给的一个条件是距离，就像是某一段长度或者某一个长度在某个范围内，它就相当是距离的一个条件。 然后让你求的是我们的最值问题就是 c、 d 选项分别是有解问题，就是 c、 d 选项，它给的是外接球的表面积， 是我们的三十六派，相当于是这个正三棱锥的外接圈表面积。那我们是通过它的表面积是不是公式直接反推出我们的半径四派 r 方是不是等于我们的三十六派，是不是反算出我们的 r 是 等于我们的三呢？ 好吧，这就是我们的题目条件给的大家看 a 选项， a 选项让我们算的是外接球的体积啊啊，不一样，看两个答案是一样，但是他不一样，他问的是体积是吧？那是不是带公式，他的体积是不是直接吗？半径是告诉那直接就外接球体积是不是应该是？呃，三十三分之四 pi 立方，也就是我们的三的三次方。最后整理化简算以后，这个答案是我们的这个三十六 pi， 因为这刚好约掉一个是四九三十六嘛，对吧？说明人家对了 a 选项正确，是吧？好，那接下来看一下我们的 b 选项，它给的是 ab， 是 等于三倍根三的时候， 就相当它的底面的边长啊，等边三角形的边长是三倍跟三，然后 p 点到，让你求 p 点到 abc 的 距离是二，那我们算一下啊，这个底面是个等边三角形嘛，你这是 ab 是 三倍跟三的话，是不是大家能把 b、 d 算出来？ 因为这是外心嘛，外心到上顶点距离应该是三分之根三 a a 就是 它的等边三边长嘛，那这段长度是不是反算出来是三？ 你可以很快算一下它是三，它是三的话呀，很奇怪啊，外心啊，这个，这个是本来是这个三角形 a、 b、 c 的 外心，它是三，我们的 我们的这个外接球的半径是不是也是三，说明啥？你这个这个地点到我们的 b 点距离是三，那我们的我们的半，我们的球心到 b 点距离也是三， 是不是到同理那个 d， c 距离也是三， d a 距离也是三，就说明这种情况下，我们的 d 点就是球心 o 啊，就是球心 o， 所以 那你到 p 点距离是不是也就是半径是三了啊？这题目简单判断一下，这个 b 就是 错了， 这个答案就是我们的 b 错了， b 错了不选。那我们先来看 c、 d 选项， c、 d 选项给出的是我们的 ab 的 距离， ab 的 范围是零到三倍跟三啊。这道题就相当于是把这个题目上升了啊。这个 b 选项 算的是刚才特最特殊的一种情况，而 c 选项就向你求的是动态问题了，那我们的 ab 长度是一个零到三倍 k 三，大家其实想想啊，这道题其实我们不用动笔算 c 选项还不用算了， d 选项倒是要算 c 选项。请你想一下啊，我们的这个 啊，当 ab 的 长度是我们的三倍跟三的时候，相当于我们的这个地点坐标，也就底面圆的圆圆心，外界圆圆心，其实就是我们的外界球，球心嘛，所以这个 abc 的 外界圆就刚好是它这个最大圆， 就如果我的 ab 长度是跟啊，三倍跟三嘛，它刚好是在这个最大圆的外径圆啊，最大圆的圆面上，对吧？那如果它的 ab 长度是零到三倍跟三，那是不是相当于我们的这个边长就少了？边长小，是不是它这个外径圆就小了？那是不是上升到它的那个？ 你的这个外界圆小，那就是不是肯定你得距离球心得往上走，是吧？那比如说你，你到达某一个位置，比如 ab 长度是二倍跟三，是不，二倍跟三，他肯定在上面某一个位置 的一个外界圆嘛？是这样的个三角形，那是不是下面是不是也对应了一个有同等大小的一个二倍跟二倍跟三的那个啊？三角形，那这两个的这个条件是一模一样的， 他们的，他们的到，呃，外界圆，圆心到我们的球心的距离是一模一样的，是吧？因为我们的半径是不变的，球的半径不变了， 就这段长度永远是三嘛？是不是你 ab 长度变小了？ ab 长度变小，是不是这段 d b 就 小了？ d b 小 的是不是相当于是 o o a 是 不是又相当于变大了？那是不是对应了 o a 的 距离？距距离球心嘛，对吧？比如说这是球心 o， 你 的 o e， 在 这 o e 到我们的 o 点距离是一个定值。如果是在零到三倍根三的时候，它对应的刚好是两个圆，上面一个 圆，下面一个圆，它们到达这个距离刚好是对称的，所以是有两个的。既然你连出来这个三棱锥是刚好也就两个， 所以这是没问题的， c 选项就是可以的。像这种有解问题的话，你一定要考虑到对称问题，对称性还要通过一些相关计算把它算出来，行了，好吧，当然你也可以老老实实算，就是把它这个，把这个边长设成 a， 把它高度表示出来，用 a 表示出来， 得到一个关于我们这样的一个方程去连力求解行也是可以的。我们 c 选项其实可以思考一下就可以，对吧？多想少算，这是我们的新高考的理念。好吧，那接下来看一下 d 选项， d 选项就是没有办法避免了，为什么呢？啊？大家想想，他让你求的是 p 杠 abc 的 体积最大， 那这个时候大家注意啊，它实际上 ab 长度在变的时候，它这个外接圆的外接圆大小也在变嘛，也就是它的这个正三弦的边长也就在变，也在变的话，是不是高度也在变？就是你假设你就把 p 点就放到最上顶点处， 那你这个三轮锥是不是相当于你可以一直在上面下面都能动，但是你要要求体积最大的时候，体积最大的时候，是不是你底面就要满足，既尽可能尽可能大，然后体高眼满足尽可能大，是不是相当于上下 就是这个最大圆面的上面跟下面他们的底面是一样的，对应的是一样的，对吧？所以这种情况下，他肯定是在圆下发生的， 就是这个最大圆的下面发生的，因为这样来说他的嗯高才能比上面的高，都能大吗？底面积你都是有对称的，对吧？你上面有个，比如有一个二 b 跟三的边长，下面也有个二 b 跟三嘛，所以肯定是我要满足高最大嘛？ 高尽可能大吗？对吧？是不是现在肯定在下面找的这个体积最大肯定在下面呢？那我们现在要求他的这个体积最大咋算啊？这个题目啊，主要难点就在于你的这个边长不知道呀，这个三角形的边长不知道，还有这个高度也不知道吗？是不是他的高 大的时候，他的这个底面的边长反而是小的？所以他是个矛盾的，你消彼长，此消此消彼长的一个过程，所以这个题你要兼顾不一定没有什么说中间的，最中间的，他的底面确实最大，但高并不是最大的，所以这个时候我们就要考虑我把这个边长设出来， 就我们把这个 ab 的 边长设出来，是吧？然后我现在就要把这个体高通过我们的小 a 给它表示出来就行了。如果你把它这个这个 a 设出来了，边长设成 a 了，那不球心肯定是在这个 p d， 因为我们刚才说了，它这个球心肯定是在我们的这个 这个三三点下方的啊。球心在这个位置的时候，我们这段长度是三，这是半径吗？这段长度也是三，也是固定的，这段长度是不是就是我们的三分之根号三 a， 而这段长度是不是我们的提高啊？减去我们的三， 减去我们三，好，我们现在是不是要算的就是你要求的这个体积最大吗？这块三角三角锥的体积最大吗？是不是 v 就 应该等于我们的三分之一 s 乘以 h， s 是 不是就相当于是我们的四分之根三 a 方吗？它是等变三型再乘 h， 是 不是相当搞的就是这个 ah 的 一个关系吗？它是个二元对不对了？那我们就要消元得到等量关系，等量关系就在这呢，就在这个外接球这块了，是不是相当于通过我们的勾股定律？是不是 h 减三的平方 加上我们的三分之根三？ a 的 平方是不是等于我们的九 列出来一个 h 和 a 的 一个等量关系？你等会把其中的一个消掉，是不是得到一个单变量？问题是不是我们的体积就通过我们的函数问题就能解决了？那我们通过变换以后，是不是咱能通过整理以后得到一个 h 方减去六 h， 再加上我们的三分之一 a 方， 是不是等于我们的零？那是不是整理化简以后，咱就能直接把这个 a 方给它表出来？ a 方是不是就直接可以表成我们的三倍的 六 h 减去 h 的 平方，是不是现在 a 方就表出来了？ a 方表出来是不是换？直接换嘛？是吧？直接就转化成了 h 的 单变量问题了。 三分之一乘以四分之根三，再乘以三，再乘以我们的六 h 减去 h 方，再乘以我们的 h， 是 吧？整理化简再消掉，消掉，是不是得到我们的四分之根三倍的六，相当于是六倍的 h 方减去我们的 h 三次方， 是不是要求这个函数的一个最大值呢？相当于关于 h 的 一个函数 h 的 范围，我们稍微注意一下， h 范围肯定是要呃，大于我们的零， 对吧？那你肯定你你这个，你这个圆心啊，肯定必须 p 点到这 h 就是 我们的 p 点到 o 撇的距离吗？ o e 的 距离吗？那肯定是大于零的啊，要小于段呢？六最大， 它的球的半径不是三吗？最大就是直径，六是在这个范围里的啊。让你求这个函数的最大值，是不相当于关于 v 的 一个函数吗？ 那我们要求最值问题，大家想想，这是个高次函数，没有什么更好的方法，直接求导就行了，而且它求导很好算，它又没有指数，也没有对数，是吧？求导就是非常爽的一个函数，因为如果最值问题，无非是导成一个基本不等式或者是导函数吗？直接用导数分析不出来的，你直接求它导 是关于 h 的 一个导，求完导函数是不是得到一个我们的四分之根，三倍的负三 x 的 平方， 加上把这个乘负三 x 平方，对吧？然后再加上我们的十二倍的 x， 十二倍的 h 是 把 h 提出来以后，能令导函数为零的话，你求出来导函数是有两个解， h 有 两个点，应该 h 应该等于我们的四， 另外一个是 h 等于零的零，肯定射掉了，不在这个范围内的，所以这是一个二，这个导函数是一个二函数， 是开口向下二函数，它的两个 h， 一个是四，一个是零嘛？那那我们就直接判断人家定义是在零到六吗？是不是只判断零到六里面的单调性去了？零到六，零到四是导函数是负值，所以它应该是在零到四 先增，在 h 再到四到六，值是单减的，说明 h 在 四处取得它的一个最大值，所以 v max 也是最大值，就相当于是 h 等于四的时候，把它四代入， 是吧？把它四代入相当于是我们的八倍的根三，把四代入一算就八倍根三，所以这个 d 选项完全正确，所以最后答案选择 a、 c、 d。 好， 这道题啊，就是我们的最值问题啊，最值问题其实主要考虑的就是 到底导向是基本不等式还是我们导向函数了，好吧，这种题目一般是要设点或者是设未知数，就得到一个关于函数关系就行了。而我们的存在性问题也就有解问题啊，这种大家一定要考虑我们的一个对称对称，因为大家图形去做的话，它肯定有对称关系， 或者是有我们的解的个数。直接拿方程，就是你可以把这个刚才类似一样，就是它得到这样的 a 和 h 的 关系吗？你这当你的这个在这个范围内的时候，你算一下， 相当于是我们的 ab 在 我们的零到三分之三里面，你可以算一下这个 h 的 h 的 h 的 解的个数，是吧？如果我们的第二塔就像是关于第二塔是有两解的，第二塔大于零的话，那说明 h 就 两解嘛，对吧？这也是可以拿方程解的。当然我们刚才是拿图像去分析了。好，这个例八，我例第三，第三道题我们就说到这。

这套哈，三中的三模考了有一段时间了，但这套试卷我觉得是出的非常的。我觉得是有点恶心的啊。难度比较低啊，但是有点恶心。 嗯，小题没什么好说的啊，这边他们说是马尔科夫恋这个，但是我没看出来我的第一反应应该是什么求和的内容。并不是这个马尔科夫恋啊 啊，还没有去研究管他呢啊。主要是这个十六题啊，考场上他们说啊排排这个全错牌给自己排蒙了。然而我老早就已经做了排列组合的合集全错牌问题在高中他最多考了五缺，果不其然，这个题只考到了四个元素的全错牌，所以我这边是拿到就直接就轻松搞定了啊。对， 忘记说了啊，这边我觉得这个多选题好像有点耗时间。当时啊，最后这两个题把时间给拉回来了，也就是给我后面十八十九， 正常情况下我需要留一一整整一个小时各半个小时去搞定十八十九的。最后呢，就是因为这个，这个题我比较熟练，所以加上这个题十七题非对称为，它定义又比较常规，我也非常的熟练，而且我的过程是非常的优美啊，得夸自己啊。这个我我的过程绝对是最简的啊。已经最简了。 嗯，常规方法最简单。也许你有邪修。我不知道啊，反正在考场拿满分是没有任何问题的。就说这个排列组合我已老早就已经做过视频， 然而就前面很多次考试其实都不是考全错牌，我都误以为是全错牌，我硬着头皮是套不知道抽了多少多少次题目啊，多少次大题我都是硬套全错牌，结果发现最终并不是。 哦，然后呢，这里终于考到了，我终于就有发发发挥的地方了，然后完整发挥出来了，嗯，然后最后考了这个新定义对不对？ cover x y 啊，这叫什么来着？ 我也不记得了啊，反正呢，这个的话就是也是有思维难度理解提议。这里当时有同学问我就直接写了个通向在这里啊，大概就这个意思。然后第十八题的话，第三问我是纯粹没看前两问，真的是纯送分呢对吧。哎， 两六十度， c 叉九六十度，那还有什么难点呢？没有什么难点啊，但是我还是扣分了啊，就第三问只有七分呢，这里我忘了，是面面角，我们要绝对值的，所以最后呢也是扣掉一分。 是的，这边的话我是差一点就拿满分了啊，当时大家都很惊讶，感觉我这个题要拿满分的。最后呢是在这里抽了一下对吧。这个 g x 取倒 三求三四应该是十二，我写了一个八，哈哈，导致后面答案呢偏差了一丢丢，并没有得到最终的那个什么五，我得出个四， 所以这里没有办法。第一轮总共六分吧，我们就扣掉四分算了，就只拿前面两分，然后第三题的我差点就搞定了。我已经解到，可惜我方字没写这啊， 没写这 h x h x 就是 这个啊。对，他有个重根 x， 他 有两个 x 减一。好吧，他有两个 x 加一啊， 我死活想不到他还有第二个。我想着我已经带过负一了，我就不要再带负一了，多带个三次方程，差一点呢就给他解出来了 啊，最后也是。嗯，考完演示了一遍，确实很容易解的哈。忘记重更这个梗啊，我这个可能前面把脑子用光了吧。是的，所以这个试卷我觉得是有机会拿到很高的一个分数的。所以这里最终的是一百三十分，确实也已经算是比较高了。 对，也基本上只有这五分，加上这边七分，就这个题，这套直线的话我可以不扣这七分的，也就幺三七 对幺三七左右。所以这个试卷呢，我觉得是，就是说看平时积累吧，刚好我运气比较好，我都积累到了，所以，呃，很多题能搞定，但十九的话是一个难度非常偏低的压轴题，因为压轴题比他恶心的多的多的多。

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

来看这道二五年高考真题，三二一是不是没思路？辅助线根本摸不着考场大半人卡，这就是没 get 平行证明的破题逻辑，今天这节课十五分钟带你秒破平行满分套路。首先我们来看一下平行证明的三个核心的转化，也就是我们的线线平行、线面平行以及面面平行的 它们性质和判定之间的一个纽带。首先我们来先看一下线面平行的判定和性质，线平行大家应该是非常熟悉的，主要是证明线平行面对一条线就可以了，它的性质就是如果有一条线跟一个面已经平行了，那有另外一个平面过了这条线，它就平差两个交线， 那面面平行的判定和性质主要是判定一个平面中的两条相交线和另外一个平面平行， 那么就可以它主要的核心是要证明两个线面平行，那性质的话，就是如果有两个平面平行的话，它有另外一个平面跟它两个面的相交线也是互相平行的。 第三第二个性质就是如果有两个平面已经平行了，那它其中的一个面内的一条线就肯定会跟另外一个面平行，这个是可以用来证明我们的线面平行的，所以我们总共的线面平行的话，大家需要注意这块是我们在做题中的一个核心了，它一般是有两种思路， 一个就是我可以拿判定定力去算，另外一个我可以拿面面平行的性质做，就是我可以先证面面平行，再去判定线面平行，这对于是一种难题的做法，考法，我们的二五年的这个真题也就考到了这样的一个做法。 好，那我们不管是我们的线面平行，还是我们的面面平行，它最终的核心是什么呢？你看面面平行最终核心是不要证明线面平行， 而线面平行最终要证明线线平行。所以大家对做题过程中啊，我们最核心的应该掌握的是线线平行的一个证明，这是重中之重。那怎样证明呢？用我们的初中还有我们高中所学的一些知识，我们完全可以做到。总共是有四类， 第一类就是我们的中移线，还有我们的平行线分线段成比例原则，第二个就是我们的平行四边形，第三个就是平行的一个传递性， 第四个就是我们的线面平行或者面面平行的性质定零，那我们的一二是在我们考试中比较高频的，他有有简单题的话，就是我们题干中肯定直接有平行线或者中位线，对吧？或者平行四边形，要么就是可能稍微难一点，我们需要做辅助线，做出中位线，还有做出我们的平行四边形， 这样来说我们就能达到线线平行的一个目的。总之这三种这四种方法你掌握清楚，就可以完全做到我们的题目。接下来我们来看一下第一道题目，也就难度系数一星，难度比较简单。首先来看题干， e a 是 和 c、 d 都垂直于底面，那就说明 c d 和 e a 是 平行的，那 e a 是 等于二倍的 dc 等于二，那说明它的长度是知道的。还有 ac 长度也给了 f 是 我们的 e b 的 中点，那其中让证明 df 平行于我们的 abc 这个面， 那我们怎样证明线和面平行呢？是要证明线平行面内的一条线，那请问那条线在哪呢？呃，我们首先是要在边界线看一圈啊，好像没有，没有的话，那这个题目肯定百分之百是要做辅助线的，怎样做出这条辅助线呢？我们学很多学员可能就没有思路的， 那如果没有速度学生，我们完全可以把这个 d、 f 啊，你拿你的铅笔把它沿着下往下平移，平移通，哎，从 c 开始，对吧？从 c 点开始，哎，这块有这样一条线，那这样条线就跟我们 d、 f 就是 平行的，是吧？那，哎，有人说，那我怎样做出这个点呢？ 那这个点到底在哪呢？啊？我们这不有交交了个点吗？对吧？和我们的这个 a b 交了个点，这个点到底多少呢？ 啊？一般我们以终点为先猜测，对吧？因为我们题干中已经有 f 点是终点了，那我们不妨就给它取也是取终点，是吧？取完终点以后，大家可以先看看，这个肯定不是中位线了，它能构成一个，我把 f h 一 连，它不就刚好是一个平行四边形吗？ 对吧？那我如果能证明这是个平四边形，那你要的 d、 f 和 c h 也就平行了，怎样证呢？首先我们的 f 和 h 是 不是都是中点了？那我们的这个 f、 h 就是 这个三角形 a、 b、 e 的 中位线， 它中位线的话呢， f、 h 是 不是就平行，其相当于二分之一 e， 同理， c d 也是平行，其相当于二分之一 e。 刚才已经说过它两平行了，是吧？那我们这就有个平行四边形了，所以我们的 d、 f 也就平行于我们的 c、 h 了，那我们就也能挣出来了。所以我们在书写过程中，先是书写这两组线，线面线面平行，线线平行，对吧？也就是我们的 f、 h 都是平行，且相等于二分之一倍的，我们的 a、 e 的，是吧？最后它俩就平行相等，所以从而我们就出来是它是一个平行四边形，从而你就要到了我们的这个 d、 f 平行于我们的 c、 h， 那 你的 d、 f 不 在面内， c、 h 在 面内，从而得到线面平行。这个过程大家写严谨就可以了。好，这是我们的第一道题。

八戒老师，各位同学大家好，今天给大家分享一下咱们苏州市第一初一中学的第二十二题，距离安徽。此外呢，距离安徽省中考倒计时还有三十天，仅有三十天，最后一个月，大家一定要冲刺冲起来啊！那第二十二题的话也讲过类似的题啊，这个呢，就是以什么正方形 a、 b、 c、 d 以背景来出题的， 然后呢， b、 e 是 等于 ab 的， 也就是什么这四个，这五个边干嘛 都相等？然后第一个让我们求的是什么呢？是 o d 和什么 o、 e 明显的什么相等，为什么呢？只要证明这两个三角形干嘛全等就行了，对不对？来了，边边对吧？垂直，垂直对角，对角对吧？用的是什么 h o 对 不对？或者是什么是角角边对不对？ 对吧？证明这两个三角形全等没问题吧？特别简单啊，只要证明什么三角形 a、 o、 c 全等于三角形，什么 是 eob 就 没问题了啊，比较简单，这两个三角形全懂就行了啊。 ok， 那 第二题的话，我本来想办法呢，想证明这两个三，就是他，想证明这两个三角形干嘛相似，我本来想证明两个角相等就行了，对不对？但是呢，我始终没找到， 没找到的话，我只能找什么角加边，我当时说这个已经给了多少 c， f 给了什么 d， e 是 垂直的，那这个垂直的话，我们根据什么垂直有余弦定力，对不对？我想互余，那说这是 x 对 不对？这个就是 y， 对 不对？那这就是什么 y 对 吧， 对不对？ x 加 y 端多少？九十度，那这个也是九十度，那这个是九十度，这个是 y， 说明这多少 x 对 不对？来进行什么？导角，对吧？那这好，来，继续走。那我已经导出来这两个三角形相似的话，是不是有这个角和这个角相等了，对不对？好，大概画一下哪两个三角形好？黄色部分的这两个三角形， 对不对？黄色部分的。然后呢？这一部分什么？ ok 啊，这两个三角形吗？相似，目前呢，这是 x， 这是 x， 那 我想证明这两个角相等行不行？没证明出来，或者证明这个角和这个点相能能不能证明出来？我也没有证明出来。 那加了怎么弄呢？我们知道两个三角形相似的话，还有什么？还有叫两边重比例且加角相等，对不对？那我能不能证明这个边比上它且加角相等，对不对？那我再证明两个边对吧？ 对边什么平啊？对边比着相等不就行了吗？对不对？ ok， 我 就想什么呢？想的是 d e， d e 比上什么这个三角形的，对不对？这叫斜边比上，这叫什么？一个短边比上这个三角形的什么？一个短边，对不对？所以 d e 比上什么 f c 对 不对？就等于什么这个三角形的最大长度不就行了吗？所以说什么就是什么，就是 d e 比上什么比上 bc， 对 不对？ ok 啊，那只要能够证明两组这边乘比例且加减相等不就行了吗？对吧？那怎么来呢？那我就设什么？这个是 a， 可以 吧？那这个呢？就是吗？这也是 a， 然后这也是 a， 这也是 a， 对 不对？那这个呢？也是 a， 对 吧？是不是？然后我们知道再来看， 嗯，这边有很多角相等，那他们的三角函数对应的余弦、正弦都是相等的，对不对？是不是？那我看啊。嗯，好，你看这个角，嗯， 这个 d e 先这样子把， d e 能不能求出来？ d e 是 多少？勾股定律对不对？多少 d e 好 求就等于多少啊？ i a 的 什么平方加多少， a 的 平方就等于几， d e 的 平方对不对？所以 d e 就 等于几？所以 d e 啊，就等于 根号五 a 对 不对？ ok， d e 求出来了，然后这个斜边呢？是多少？是 a 对 不对？也求出来了，对吧？所以呢， d e 知道了， bc 知道了，它能比值是多少等于多少？根号五 a 比 a， 什么根号五？ a 比什么？比 a 对 不对？约等于几？等于根号五， 那这个边是多少呢？我不知道，我要只要能证明 d e 比上什么 f 不是 等于根号五不就行了吗？不就成立了吗？对不对？对吧？ ok， 今天这个呢？还没有，还没有相等啊，来我看看，就等于多少呢？这个是多少？嗯，这个是一半，对吧？由第一问可知，对吧？往往我说了，人家往往让你求第一小问的话，往往不可能让你白求的，对不对？那这个长度是 a 的 话，那一半多少？ 二分之 a 对 不对？你看这个是 x， 在 这个三角形用什么正切对不对？是不是？然后呢，它比它是多少？一比二对不对？那它比它也多少？一比二，对吧？因为都是什么 x 对 不对？都是什么垂直的啊？ ok， 所以呢？我设置多少这是，呃， 嗯，是什么呢？是 m 对 吧？那这个就是什么 i m 对 不对？是不是，对吧？弹停嘛，对不对？一比二嘛。所以在这里面用购物定例，我能不能把什么 c f 求出来，也就是什么？也就是 m 嘛，对不对？所以说就等于 m 的 平方加上什么 i， m 的 什么 平方就等于几？ a 的 平方，对不对？然后这边就是五， m 的 平方就等于几？ a 的 平方，对吧？所以 m 就 等于几 m 就 等于乘以五的话，五，然后呢？ 五分之 a 的 平方，对吧？是不是？然后呢？这平方对吧？然后呢？再来就等于几就等于五分之，什么？根号五 a 的 什么， 对吧？五分之根号五 a， 对 不对？所以对吧，你这个 m 求出来，你 c f 不 就求出来了吗？对不对？你 c f 是 五分之根号五 a， 那 你 d 这个呢？ c d 呢？是多少？好，你往里算一下不就行了吗？ c d 是 a 对 不对？ c d， c 是 等于几就等于 a 比上多少？五分之根号五 a 对 不对？ a 调等于几， 是不是？还是等于几？根号五，对吧，满足吧是不是？所以呢？他的比值是等于根号五，他的比值也等于根号五，他俩就是什么就相等，所以也就是什么两边乘比例，对不对？他比他，他比他且什么夹角相等，对吧？这两个 角相等是夹角，对不对？所以呢，就能证明这两个三角形干嘛相似了，能听懂吗？还是比较简单的吧，你角找不到，你就要去找什么找边， ok 啊，这个题呢，很多同学呢，我估计在考场上卡住了，因为他角找不出来，要找边，对吧？两边重比例且夹角相等，再加一个什么条件 是角 c d 对 吧？ c d e 等于什么呢？角 f c b 对 吧？ ok， 这两个条件就能证明什么这两个三个相似了， ok， 好， 第三个呢？嗯，其实也挺简单的，第一种方法啊，方法一，你把所有的边都都求出来啊。 方法一，你把所有的边就出来，因为这里面有，对不对？那这就出来，这就出来了，那这个呢？这个什么？这是中位线，对不对？是不是，对吧？那大这个长度求出来了，这一半，一半的话，减去什么 d f， d f 刚已经求出来过后了，对吧？所以说嘛， 这个是 o f 也能求出来了，对不对？那这个呢？ c f 求出来了，对吧？都能求出来，因为这两个扇形干嘛？相似的话，根据相似比的话，对吧？它也能求出来，它也能求，都能求出来，往那边带就行了，好吧，方向一，是吧，把每个边都求出来，把 边墙蹲嘛，求出来就行了，求出即可，求出即可，对不对？ ok， ok， 好， 方法按的话就更简单了啊。方法，按方法按的话，我直接什么连这个题都做过，类似的连接，它 使这个什么做做垂直，你看这两个三角形干嘛？这两个三角形是什么？是全懂的， ok， 这两个三角形的为什么是全等呢？各位同学，你看这个边和这个边干嘛相等，对不对？是不是还有呢？那这个是 x， 对 不对？那这个呢？也是 x， 因为这什么平行对不对？说明这个也多少也是 x， 对 吧？是不是？那这是 x， ok， 好， 这是 x， 那 这个呢？也是多少 x， 对 吧？这是 x 啊，这是 x， 对 不对？对吧？ ok， 那 这个角和这个角相等，这个边和这个边相相等，再来啊，那这是垂直的，对不对？那 然后呢？这也是垂直的，两个垂直的都是减去公共部分，所以说剩下的两个角相不相等也相等吧。所以说什么角？边角对不对？是不？然后呢？角，然后呢？边角？因为这是正方形啊，对不对？而且什么人家给了什么？这个边和边是相等的，因为有了对不对？是不是 这和这相等？这个边和这边相等，三边是相等的，所以说这两个三角形干嘛全懂对不对？所以只要证明什么三角形， c f b 对 吧？全等于三角形是吗？这 h 吧，好吧， d b h x 全懂过后，然后呢？所以这个边 和这个边就什么就相等，然后题目让我们求的是什么？ f e， 你 看，求 f e 减去 c f， 因为 f e 减去 c f， 因为这个边 对吧？和。因为这两个三角形干嘛全等过后，所以 f c 就 等于什么 h e 对 不对？所以呢？ e f 减去它就相当于什么 e f 减去它减它过后就等于几？ f b f h 了，对不对？所以问题就转化成多少就等于 e f 减去 c f 对 不对？就等于什么？就等于？ 嗯？ ef 减去什么 h e 对 不对？减去 h e 其实就等于什么呢？就等于 e， 什么 e h 对 不对？那这个 e h 了，比上什么 b f 对 不对？所以答案就等于几？所以它要求的是什么？ e h 比上什么 b f 对 不对？再来看，因为刚刚这两个三角形干嘛全等过后，所以说这个边和这边干嘛相等，然后呢？这是垂直度对不对？说明这是什么？等？腰直角三角形，这多少度？这四十五度对不对？我们根据什么比对不对？一比一比什么根号二对不对？是不是？所以呢？ e h 是 几 啊？相减过后，是啊，是 f 啊， h f 对 吧？它减它是什么？是 f h 啊，然后 f h ok， 这是 f h ok， 好 吧， f h 来 f h 是 等于减根号 i， 对 吧？然后呢，这是多少？ 一对不对？ ok， 答案就等于几等于根号 i 嘛，对吧？所以说这个值就等于几根号 i， 好 吧。两种方法，第一个什么把所有的边都给它算出来，好吧。第二种方法就是什么利用做这个，呃，做这两个垂直对不对？然后呢？这两三你看嘛，全等全等过后呢？就是拿什么 f e 减去 f c 就 等于 就等于什么？就等于 f 一 减去什么 h e 就 等于什么 f h f h 比上什么 f b 就 等于它根号二比一，答案就能做出来了。 ok， 今天就分享到这，大家辛苦了，拜拜。