有没有银川一中三模考试卷

今天五月二十一号，银川一中第三次模拟考试数学已经考完了，试卷已经出来了。 我看了一下这个试卷，难易程度还可以，平时基础加重点，如果掌握的比较扎实的话，考个一百分加应该没啥问题。 第十五题，考察了三角函数与向量的结合问题。十六题，向量回归方程的问题。十七题，由翻折得到的立体几何问题。 十八题，导数问题。十九题，圆锥曲线的问题。有需要的同学下方私信我，我发给你。高三的同学们加油！

欢迎大家来到中物课堂，我们今天给大家带来的是二零二六年宁夏银川市唐来回中高三三模的导数压轴题第十九题。当然呢，这道题同时还是这个一中 银川一中三模的第十八题啊。这道题整体难度呢，我觉得还可以啊， 不算是在亚洲体里面，不算是很大啊，我们完全可以做好。先看题，他说已知函数 f x 等于 a， x 减去 x 分 之零 x， 其中 a 属于 r。 第一问是，当 a 等于一时，求这个函数 f x 区间一到一闪的最大值和最小值。我们先把 a 等于 e， 快 速给它带进去，得到的这个函数 f x 就 应该等于 x 减去 x 分 之零 x。 好， 对，这个函数呢，我们对它进行求导。 求导的话，你很容易得到的应该是这个一减去 x 方分之一减烙印 x。 对 这个式子进行整理，得到的就应该是 x 方分之 x 方加烙印 x 再减一。这个函数其实我们比较容易分析，因为 x 方占掉第三，烙印 x 占掉第三，说明我上面这个函数 它整体就是单调递增的。好，在整体单调递增的情况下，我们不妨给他另一个新函数 y 等于 x 方，加上烙印 x 再减一。它如果是一个单调递增的函数，说明当我 x 等于一时，它是不是有最小值，对吧？ 好，这个函数的最小值是不是就应该等于把一带进去的值恰好是零，说明我们的这个 这个函数 y， 它肯定应该是大于零的。好， y 大 于零，对应的，就说明我们上面这个函数 f 撇 x， 它大于零，说明我们的原函数就应该是单调递增的。既然原函数单调递增，说明我们这个原函数 f x， 它应该在一处 取得最小值。好，你把最小值带进去的结果应该恰好就是一。好，那说明他的最大值 很明显就应该再 e 出去，我们把 e 给他带进去，你得到的结果应该恰好就是 e 减去一分之一啊，这就是他的最大值。这样第一问我们就给他搞定了啊。好，第一问搞定之后呢，然后我们再来看一下第二个，第二个呢，我们给他换一个颜色啊。 我们先简单来说一下这个题，因为这个题是一个含餐讨论零点问题，这个含餐讨论零点问题，咱们一般有两个思路，第一个思路呢，代叫代餐讨论 好，我们的第二个思路呢，叫分离参数。 好，其中这个分离参数呢，咱们还有两个基本的思路好，第一个叫全分离，第二个呢叫半分离。 那这道题呢，我们最简单的思路当然是可以直接采用这个全分离的方法，那我们对这个题进行全分离。全分离的话，首先我们第二个啊，要让这个函数取到零点，我们对应的结果就是让 f x 等于零。好，整理一下，我们得到的就应该是让 a 等于 x 方分之 lo in x， 好， 让这个函数产生几个零点。我们是不是可以转化成另外一个问题？当然这个转化之前呢，我们最好把它稍微变一下形， 你变一下形，这个题的难度会降低一些啊，比如说我可以给它左右两边同时乘个二，就变成了二 a 等于 x 方分之两倍的 lo in x， 你 把这个二给它放进去，就可以转化成是 x 方分之 lo in x 方，这样呢，这个函数的图像 你经过画圆可能会好画一些啊，这样的话，我们这个函数它有几个零点的问题，是不是我就可以转化成这个 a， y 等于二 a， 这个直线和 y 等于 lo in x 方，再除上一个 x 方， 判断它有几个焦点的问题。这个问题呢，我们先要去画这个函数的图像。画之前呢，你最好完成一项工作，就是我可以令这个函数的图像。画之前呢，你最好完成一项工作，就是我可以令这个 t 等于 x 的 平方， t 等于 x 的 平方，那我把这个函数相当于就转化成一个复合函数，它就可以写成是 y 等于 t 分 之零， t 好， 写成 y 等于 t 分 之零， t 之后呢， 它的值域是不变的，我们因为我们判断零点，其实判断的实际上是不是这个函数的值域问题，对吧？好，继续 我们再来看一下，画这个函数的图像应该很好画，你给它求导，求导之后呢，就是 t 方分之一减零， t 好， 它的图像呢，我们就直接画出来啊，或者简单写一下，先画它上面这个函数一减零 t， 它应该单调递减，那就说明它在 e 处 应该取得一个零点。好， e 处取得一个零点，说明我们的原函数应该是先增后减的，那我就快速把这个原函数的图像给它画出来，或者原函数的图像我就画到上面了啊，这个原函数的图像我画到这来。 好，它在 e 处取得极大值，在 e 处应该有一个零点，那整体它的函数图像就应该是这个样子啊， 哎，好在零到 e 之间它是单调递增的， e 到正无穷上它是单调递减的，说明它在 e 处应该取得一个极大值，我们把这个 e 给它带进去的结果恰好应该是一分之一。好，这样带完之后呢，我们就很容易进行讨论。 那就说明我现在是不是要让二 a 等于它，对吧？二 a 等于它的话，我们挨个讨论。第一种情况就是当我们的二 a 大 于一分之一时，那很明显它的零点个数就应该是零个。好，第二种情况呢，当我们的二 a 在零到一分之一之间时，或者我们第二个应该先写二 a 等于一分之一啊，等于一分之一时，很明显是不是有一个零点？好，第三种情况呢，当我们的二 a 在， 当我们的二 a 在 零到一分之一之间时，对应的就应该是两个零点。第四种情况，当我们的二 a 小 于等于零时，它对应的很明显应该是一个零点。啊，好，这样的话，零点个数我们就给它讨论完成。讨论完成之后呢？然后我们继续。 好，继续我们看一下这个第三问，第三问，他说，若这个函数 g x 等于 x 分 之 a 乘上一个。 呃，就这个整体这个式子呢，我们不妨先把它进行化简。这个式子我们化简的结果就直接写了啊，你化简的结果就应该是 g x 应该等于 a 乘上一个 e 的 x 方，再除上一个 x， 然后后面写成是减去 x， 然后应该是，呃，对了呢，减去 x 再加上一个 loan x， 应该可以把它转化成这个形式。那这个形式我们下一步应该怎么处理呢？很简单， 好，在我眼里面，这个式子我们最好能把它进行一个反写，就是我们的 x 实际上是不是可以写成是 e 的 loin x 方？如果你把它这样换一下的话，那么这个形式完全就可以写成是 a 乘上一个 e 的 x， 减去 loin x 方， 再减去。后面这个形式就写成是 x 减去 lo in x， 把它看作是一个整体，好，看作整体之后呢？那我们下一步肯定要换圆，换圆的话，我把这个整体你给它换一下，比如说换成一个 miu， 好， 那让 miu 等于 x 减去 lo in x。 画完之后呢？那我整个这个函数，我们不妨是不是就可以写成是 y 等于 a 乘上一个 e 的 因子方，再减去一个缪，对它进行求导，就比较简单了，那就是内导乘外导， 那就变成了 a 乘上一个 e 的 因子方，减一，内导乘外导，再乘上一个缪撇儿。好，整体我们把它整理一下，就是这个，这应该是写成 y 撇儿，对吧？这改成 y 撇儿应该比较合适啊， 我们说说，给它改了一下，这应该是 y 撇，对吧？好，那你整体对应的结果啊，这对了呢？刚才就应该是 g 撇 x 啊， 不改了，应该就是 g 撇 x。 好， 继续，那我的 g 撇 x， 我 们最终整理的结果是不就可以写成是 a 乘上一个 e 的 x 减去零 x 方，再减一，再乘以这个 m 撇，就是对它进行求导，它求导的结果应该是刚好是 x 分 之 x 减一。 那我们第二问家怎么说的？说这个函数它有三个不同的极值点，你三个不同的极值点对应的就是我们这个导函数应该有三个零点，那有一个零点比较明显，就是 x 一， 它肯定是一， 那这能产生一个零点，说明这就必须要产生两个零点，它要产生两个零点的话，我们把它整理，最终就可以化简成是 x， 减去洛音 a 分 之一，当然你也可以写成是负的洛音 a。 哎，这两个都写好，写完之后呢？那它有两个零点，这两个零点肯定就是一个是 x 二，一个是 x 三，我们把它继续代入的结果就相当于是 x 二减去 lo in x 二，我就可以把它写成是。 呃，这个换成 lo in a 分 之一都行，换成负零 a 啊，好，下一个就是 x 三，减去 lo in x 三，就应该是还是 lo in a 分 之一。 但是我们有一个前提，这个方程有两个解，我们要去判断一下。我把它当做是一个新函数， y 等于 x 减去 y x， 你 自己去画一下这个函数的图像时间原因，我这就不细画了啊，这个函数的图像应该长这个样子，他在一处应该取得最小值， 应该取得最小值，那它要产生两个零点，就说明我们的 x 加 loin x 必须是在一的上方好，在一的上方对应的，就说明我们这个 loin a 分 之一绝对应该比一要大好，也就是负的 loin a， 它应该比一要大。换句话说就是我们的 lo in a 加一绝对应该是一个小一点的数啊，这样把它写好， lo in a 加一是一个小一点的数 之后呢？那我们上面这个式子我就可以进行整体的拆解。我们 g x 一 先写出来啊，你的第一个零点就是在 x 一， 等于移出去，那我把这个 g 一 给它直接带进去的结果就应该变成了 a e 再减一，这是第一个。好，我们再写第二个，第二个就是 g x 二，这个 g x 二就应该可以写成是 a 乘上一个 e 的 loin。 哎，写错了啊，应该是 x 二减去 loin x 二次方，再减去后面，因为我们的 g x 在 前面，我已经写了，它，应该是写到这儿，对吧？ 啊？你写到这之后，然后继续，后面就应该变成了 x 二，再减去洛弦 x 二。同理，我们的，我们先把这个式子对它进行化减，它化减的结果，这个 x 二减去洛弦 x 二，是不是就是洛弦 a 分 之一，对吧？哎，它应该在这个位置，那 a 的 洛弦 a 分 之一，四方刚好就是 a 分 之一，乘以 a 就 变成一了。 好，继续，这个就是负的烙印 a， 这就变成加上烙印 a 了。同理可得，我们的 g x 三是不是也可以给它写成是一加上一个烙印 a？ 好， 它俩都是一加烙印 a， 所以我们继续。这两个写完之后，于是我们就应该得到一个新的结构，我写到这了啊，开辟一个新的空间啊，那于是我是不是应该能得到我们的 g x 一， g x 二， g x 三，这个整体是不就可以写成是 a e 减一乘上一个 e， 加上 lo in a 整体的平方，这个式子我们继续 a， 我 可以写成是 e 的 lo in a 四方相当于上面这个式子，你给它再进行一个同构，我可以写成是 e 加 lo in a， 再减一，整体乘上一个 e， 加上一个 loine a 整体的平方。哎，我们的 g x 一， 乘以 g x 二，再乘以 g x 三，我们最终就化成了这样一个形式， 那这样一个形式很明显，我们需要把一加 loine a 给它看作是一个整体。怎么看作是一个整体，那就对它进行换元。我们不妨设这个一加上一个 loine a， 可以 看作是一个新的未知数 x， 把它整体进行换元。换元之后呢？那我上面这个整体这个函数，我们不妨把它看作是新的函数 h x 相当于我的 h x， 是 不就可以写成是 e 的 x 方减一，再乘上一个 x 的 平方了？哎，我就可以把它写成这个形式了啊。 好，现在呢，我们是不是去探究这个形式就可以了？你探究这个形式的话，那前面这部分，我们或者我们往下稍微划一下，把这个就擦掉吧。 好，我们继续往这边写啊。 好，这个形式我们继续。怎么探究呢？就先搞一个新函数 h x， 我 写到这头，它等于 e 的 x 方减一，乘上一个 x 的 平方。我们写之前要注意，我们刚才其实在前面已经探求过了， 在这我们已经写出来这个这个 lo 一 加 lo in a， 它应该是小于零的。好，一加上 lo in a， 我 们已经确保它小于零了。小于零是不是就意味着 我们的这个 a？ 我 先把 a 要，这应该把 a 要先写出来的，这个 a 应该是在零到一分之一之间。 好， a 一 加棱 a 小 于零，我们得到的结果就是这的这个 x 是 要小于零的。记住新的 x 要小于零，新的 x 小 于零，我们继续对它进行求导，你给它求导的结果应该是 前倒后不倒，就是 e 的 x 方乘以 x 方。好，然后再加上一个前不倒后倒，变成了二， x 乘上一个 e 的 x 方，再减一。我们对这个整体先把 x 提出来，之后里面进行整理，就可以写成是 x 加二乘以一的 x 方，整体给它再减去一个二，变成了这个形式。那这个形式我们如何去分析呢？里面其实还是比较复杂的好，这个里面比较复杂，我们再另乘一个新的函数 y， 让 y 等于 x 加二， 乘上一个 e 的 x 方再减二。对这个 y 呢，我们再进行一次新的求导，它的导数应该是 x 加三乘上一个 e 的 x 方，那这个函数也比较简单，它很明显 e 的 x 方肯定是正的，它图像肯定这样画，它在负三处应该取得一个零点，说明我们上面这个函数它的单调性应该是先减后增的。好，先减后增，我们还是要具体进行分析，你是一个怎么先减后增法？当小于负三时，很明显这是负的， 那这个整体就是负的，再减二肯定还是负的，也就说小于负三时，我先把负三给它标上，你虽然是单调递减的，但是你永远是负的。 好，我们大于负三十呢，它就变成单调递增了，因为我们这个 x 是 小于零的，我先探求一下它在零处的取值，如果你把零带进去的话，我们恰好能得到它在零处的值，恰好是零。哎，说明我这个函数的图像整体应该长这个样子， 这个函数整体长这个样子，也就说我们上面这个函数好，可以推导出来。我上面这个函数记我们的 h 撇 x 就 应该小一点好，它就可以推出来。我们的 h x 应该是单调递增的，单调递增之后呢，我们现在继续在探求这个式子，相当于我现在转化成了我们的 h x 要大于等于一方分之四倍的一减一方。好，继续整理，你这个式子 我们可以直接写出来，相当于就是一的 x 方减一，再乘上一个 x 方要大于等于谁呢？一方分之四倍的一减一方， 这个形式你刚好可以发现，就是我这刚好，如果可以给 x 取一个负二的话，也就说我们的 h 负二恰好就等于一方分之四倍的一减一方。当然这个负二也不是我们随便得到的， 你这要出现一方的话，那我肯定给 x 要取个二相关的数，要么正二，要么负二。你是负数，可可能只能取负二，所以我们是这个负二是这样找到的啊。好，找到之后这个函数整体是单调递增的，他在负二处，他俩刚刚要相等，那要让他大于他肯定是让 我们里面这个 x 要大于负二吗？ x 等于 log a 加一，相当于它要大于负二。这个解下来的结果就是我们的 a 要大于 e 的 三次方分之一。再结合上面这个结论，他在这个区间内，那就说明我 a 最终的结果应该是在 e 的 三次方分之一到一分之一之间。哎，这样这道题我们就给它讲完了啊。这道题整体来说还是比较综合的啊， 作为第十九题来说呢，难度我觉得还是还可以比较合适，稍稍偏窄，简单一点。但如果作为第十八题的话，可能难度就稍稍大一些了啊。

同学们好，咱们今天看一下银川一中第三次模拟考试数学试卷，那么这张卷子难度中等偏上，呃，计算量较大，个别题综合性非常强， 老师挑重点题说一下。第五题，抛物线，利用已知向量共线条件结合抛物线定义求解。第六题，竖立列方阵组求解即可。 第七题，分段函数与不等式分类讨论解不等式即可。第八题，三角恒等变换单选加周期， 那么题目给的是关于阿尔法和贝塔的两个方程，那么通过平方相加消元求解，那么本题的技技巧性强，然后对同学们的运算能力要求高。第十题，导数与函数性质，那么 ab 可以 利用奇偶性判断。 c 选项求导，分析单调性即可。 d 选项结合单调性和零点存在定力判断即可。 第十一题，解析几何多选压轴题，那么 c 选项直接把直接方程设出来，利用向量关系把 a 点坐标求出来即可。 d 选项，利用点差法把斜率关系表示出来，利用基本公式求最值。 第十三题，导数求极值，那么利用导数研究函数的极值，那么这道题和我们二五年高考真题的填空题第二题方法一模一样。 第十四题，填空题亚洲题，考察正方体洁面与体积，那么难点在于确定洁面形状变化，呃，在极限条件下体积的比，那么对同学们的空间想象能力要求较高，需要动态分析洁面位置，呃，此题也比较新颖啊。 第十六题，概率统计，那么考察回归方程分布列，输入期望，那么这是一道中等题，但也是易错题啊，那么这次考试计算 b 给的是第二公式，但是题目中参考数据给的是第一个， 同学们一定要把这两个公式分清楚啊！还有第二问，注意 x 单位是万件，计算要准确。 第十七题，立体几何，那么第一问，综合性就比较强，需要找出二面角，利用垂直关系，然后用等体解法或间隙求距离。 第二问，间隙求平面法，向量利用向量夹角求二面角。那么需要同学们注意的是，题目问的是正选值，所以同学们把余选值计算出来以后还要换算一下啊。 第十八题，导数压轴题之一呃，本题考察了最值零点个数问题，还有极值点偏移和不等式证明，那么第一问，求导分析单调性，求最值即可。第二问，分离参数，研究零点个数。 第三问，这是一个极值点相关的一个复杂不等式问题，那么难度极大，对同学们的逻辑推理能力要求极高。 第十九题，解析几何压轴题之一。那本题考察了轨迹方程定点定值问题，面积问最值问题。那么第一问，待定系数求方程。第二问，设点法求轨迹，写直线方程，翻译题干化简，证明定点即可。 第三问，那么涉及的考点比较多啊，那么需要联立方程，利用维达定律旋转公式和面积公式求解，计算量非常大，逻辑链条也长。 同学们最后十几天一定要稳住心态，稳住节奏，把各类题型和方法练熟练透。 那么最后一定要重视错题，把错题吃透，弄明白，比做十道新题都管用。同学们加油！记得点赞关注哦！

呃，然后咱们这边呢，就先正式开始，然后这两天大家的这个考试比较密集，然后这边这两天一直在做题，一直在做题，从周三开始做到周五。呃，先是唐中开始考，然后是一中，然后是二中，然后 所以我们现在呢手上是有三套卷子。呃，然后我们今天呢，可能大概是先花一个半小时给大家把那个一中跟唐中的这个题目先整体穿一下，然后我们这个二中的这个题呢，咱们今天想分享一下这个 一题几何的第十八题，这是我想分享的，哈哈。 ok， 然后接下来呢，我们先看一下这个一中试卷当中的单选题的第八题。这道题呢， 其实我看的那个孩子他是做对了好像，但是他圈了一下，说明他可能不是正儿八经做对的，他可能是他可能是蒙对的，或者是这个方法不太对啊，不太合适。 好，然后接下来呢，我们先看一下这个题目条件，据说有同学可能前两天刚做了一道这样子的题，是吧？嗯，他现在呢是给了阿尔法减贝塔是大于二分之三，小于二分之三，判 call 萨尔法减二倍的萨贝塔等于根号二萨尔法加上二倍的 call 萨贝塔是等于负一的，然后想知道萨贝塔加六分之派应该等于几啊？然后这道题的话呢，有没有想法？ 哎，我们可以先把这个等式的左右两边先同时平方一下，然后第一个式子的话，应该就变成了 call 萨尔法方加上 四倍的三倍它方，然后减四倍的 cos 阿尔法乘以三倍，它应该就等于二，是吧？好，这是第一个等式，然后第二个等式应该怎么来处理？哎，第二个应该也是平方一下，然后应该就是三方 加上四倍的 cosby 方，然后加上四倍的三二法乘以 cosby 是 等于一的，这是第二个等式，是吧？好，然后接下来呢，这两个等式应该怎么来处理？哎，相加 一起就行了，是吧？好的，没有问题。然后一式加二式应该也就是， 好，这是，这是一对吧？然后这两个相加的话呢，应该是四，所以也就是五，对吧？然后讲啊，五加上 四倍的，呃，括号里边是三 r 法乘以考三倍，它减去考三 r 法乘以三倍，它应该是等于三的，那么这样子的话呢，我们也就应该能够得到括号里边这个式子应该等于几，是吧？ 并且这里边呢，应该也能看成是两角叉的正弦展开式或者是余弦，是吧？好，都行啊，好，然后呢，得到的应该就是什么东西，这个里边对应什么呀？ 哎？三阿尔法减倍，它，然后应该就是三阿尔法减倍它等于负的二分之一，是吧？然后结合这个角度的取值范围，应该就能够确定出这个角度应该就是六分之七派，是不是？嗯，好的，没有问题。 哎，然后呢，我们应该就可以把这个阿尔法用贝塔来进行代换，然后选择把这个关系式呢，再带入到这个里边，或者是带入到这个里边，应该就能够得到一个只跟贝塔有关的三角函数式， 应该就能够找到贝塔的某个三角函数值，然后呢，也就能够确定他应该是等于几的，是不是？嗯，好的，没有问题。然后后边这个过程咱们后边感觉还有什么疑问吗？你们 能保证做对吗？没有没有问题吧，应该好比较简单啊，然后这道题的正确结果应该是四 d 啊，这个是单选择题的第八题。呃，然后接下来呢，我们再看一下他的这个多选题的第十一题， 然后有些同学给我反映是这个第十一题考察的知识点呢，非常隐晦。先来分析题目条件，双曲线 c 方程是 x 方比四减 y 方比十二等于一，左右焦点分别是 f 一、 f 二两条近近线，分别是 l 一 l 二， 过坐标原点的直线跟双曲线的左右两点点。 p 是 双曲线上溢于 ab 的 动点。 那么下列结论当中正确的应该有哪些？好，然后咱们先画一下这个双曲线。首先我想问一下，这个双曲线里边的 a 等于几啊？二，然后 b 呢？呃，然后这个 c 呢？好，然后这个 f 一 呢，应该就是 负四到零， f 二应该是四到零，然后这个渐近线方程应该是 y 等于正负 a 分 之 b 的 x， 是 吧？嗯，好的。然后应该也就是 y 等于正负根号三 x， 然后过圆点的直线跟双曲线的左右两支分别是将于 ab 两点。比方说我这个直线呢，可能是这个样子的，这边是 a， 这边是 b， 是 吧？ 嗯，好的，没有问题。然后第一个，如果以 ab 为直线的圆经过 f 二，那么这个三角形的面积应该就等于十二。 以 ab 为直径的圆是经过 f 二的，然后这个三角形 a f 一 f 二，它的面积应该就等于十二。 然后这个选项应该怎么来分析？然后这个图呢，咱们可以先随便画一下， 首先他说这个圆呢，是经过两个交点的，然后也就说明这个角应该是直角，是吧？然后三角形 a f 一 f 二，我们也连一下，大概在这，我想研究这个三角形面积，那当然大家能发现这个三角形它叫什么？三角形？ 焦点三角形是吧？那么双曲线当中的焦点三角形，咱们之前是不是有讲过一个面积公式，有没有印象啊？然后这个结论是什么来着？ 哎四等于哎， b 方比上贪婪他二分之 c 塔，这个 c 塔是对应哪个角呢？ 上边这个角是吧？好，那你能不能结合题目条件知道这个角度等于多少？首先在这个直角三角形当中，我能发现这个线段是它的斜边上的中线，是吧？ 所以这段长度等于它等于它，其实我们也就能知道这段长度等于它，应该也等于它是不是？那么也就能够知道这个三角形我们叫什么？三角形 三角形 a f 一 f 二，应该也是直角三角形。这次考试咱们考了没？考了十八题，第一问，哈哈，一会咱们看一下，好吧？ 好。然后 b 方的话呢，是等于十二的这个 c， 它等于九十，那么二分之 c， 它四分之派正切值等于一，也就能知道这个三角形面积应该就等于十二 a 选项没有问题， ok 吗？嗯，好的，那接下来呢，我们再看一下这个二 b 二 b， 他 说如果 p f 一 的长度是等于五的，那么 p f 二应该就等于一，或者是等于九， 这个在考什么知识点，能不能发现这个点？ p 呢？是双曲线上的任意点是吧？比方说他可能在这个地方，然后这边是 p f 一， 这边是 p f 二，是吧？ 哦， p f 一 是等于五的，然后想算一下这个 p f 的 长度，哎，他考的应该是双曲线的定义，是不是？他有什么定义啊？ 就是 p f 一 减 p f 二的绝对值应该是等于二 a 的，是吧？好的，没有问题，我们在这写一下啊， 然后这个 a 呢，是等于二的二 a 就是 四，是吧？其实呢，也就能知道 p f 一 是五，那么就是五减 p f 二的整体的绝对值是等于四的，应该就能够得到这个 p f 二是等于一或者是等于九的，是吧？ 那么这样子来看呢，我这个选项应该就因为我这边没有标答，反正我做的，我感觉他是不对的啊，比二 c 都大了，这个不行吗？你可以往这走啊， 他不能比二 c 大 吗？可以啊，是吧？换颜色他非得构成三角形吗？谁说了脸皮不能在这吗？是吧？不行吗？这个一行不行。 好，我想问一下，这个双曲线它有一些几何性质哎，双曲线它有一些几何性质？双曲线上的点到焦点的距离最小是多少？ a 减 c 还是 c 减 a？ c 减 a， 然后当它对应最小值的时候呢？这个点 p 应该是在什么地方？就是对应它的左右顶点是吧？那这个 c 是 几？ a 是 几？是不是意味着我这个 p f 一 至少得是大于等于二的那一行不行哎，一是不能要的，所以就只能是九，是吧？那这样子的话呢，就能够确定二 b 选项应该是不对的， ok 吗？ 太阴间了是吧？好的，很容易踩坑了啊。好，然后这个 c 呢？我们来看一下，过点 f 一 做 l 一 的垂线，然后垂足是 q， 然后如果向量 f 一 a 是 等于拉大倍的向量 f 一 q 拉大是大于零小于一的，那么拉大应该就是二分之一， 然后这条气啊，这条进气线呢，我们设成 l 一， 这条直线呢，设成 l 二，当然这个 l 一 呢，方程是 y 等于根号三倍的 x， l 二应该是 y 等于负根号三倍的 x， 然后过 a 点啊，抱歉，过 f 一 做 l 的 垂线， 然后这个垂线呢，大概就是在这个地方是吧？然后垂足是 q， 然后项链 f 一 a 是 等于拉大倍的项链 f 一 q， 这个条件怎么理解？哎，非常好，这三个点是共线的，说明 a 点应该就只能够是在这个地方吧， 这是 a 吧，然后这个拉姆达就等于二分之一，这个你该怎么来分析这个选项呢？我觉得有至少两种方法啊，当然有常规法，三种方法，常规法我自己不太想做，我就用另外两个方法来分析的。 然后首先我想请问一下，就是你们看到这个图像，你们有没有想到它可能会涉及到一个什么样子的二次结论呀？ i f e q 长度是 b， 好 的，没有问题，这个长度是 b， 然后 b 的 话是二倍，根号三是吧？好的，然后如果说这个 number 是 等于二分之一的，你可以验证吧， 如果说这个 number 就是 等于二分之一的，那么你能不能告诉我这个 f e a 的 长度应该就等于几？刚好三 a 点在收敛线上是吧？ 行不行？刚才才讲过这个行程， a 点在双曲线上，双曲线上的点到交点的距离最小得是多少？二吗？但是根号三比这个二还要小，所以栏杆能不能是二分之一不行， ok 吗？好的，没有问题。那常规方法你会分析吗？这是第一种方法啊。嗯，写出来 f e q 的 方程啊。首先我想问一下，这个方程你会写吗？ 怎么写？嗯，垂直，然后它的斜率跟它相乘是负一嘛？这个斜率是刚好三，说明这条直线斜率应该就是 负的三分之。根号三，然后过 f 一， 应该能够写出这条直线方程，是吧？然后呢，把它跟这个双曲线进行连立，应该就能够知道这个 a 点坐标 是吧？然后呢，再研究这个 f 一 a 的 长度应该等于几就行了，也就能知道这个 number 是 吧？好的，我就不算了，太麻烦了， ok 吗？好，没有问题。然后我们还有第三种方法。 呃，学校老师有没有讲过交笔定律啊？我说一下内容啊。呃，这个内容呢，就是双曲线上的点到它的焦点的距离是可以用这个直线的倾斜角来进行表示的，就类似于抛物线的搅拌镜，抛物线当中这个搅拌镜咱们还记得吗？ 比如说这个是 a， 然后这个是 f， 这个角度是 c， 它是吧？然后交半径 a f 的 长度应该怎么来写？ p 比上一加 cosine c， 它双曲线跟抛啊，双曲线跟椭圆，我们也有类似的，这一并比讲过没 啊？我们就先说一下结论啊。好，然后这个结论呢，应该就是 a f 一， 它是等于什么？ b 方，哎，对的， b 方比上 a 加 c， 然后乘以 cos 阿尔法。阿尔法是谁呢？阿尔法是这个直线的倾斜角， ok 吗？好的，没有问题。那这样子的话呢，我应该就能够直接得到 a f 一 的长度，也就能够去验证这个拉姆达到底能不能够等于二分之一， ok 吗？好的，应该是不等的啊，应该是不等的，然后这是我们的 c 选项， ok 吗？好的，然后接下来呢，我们再看一下这个四 d， 我 们再来一，然后这个 d 选项呢？ 我们是真讲过了，所以大家这两周复习的情况怎么样了？这一周没复习，我也能理解啊，你们还记得咱们讲没讲过这个知识点吗？记得吗？点屁，在这里我给你随便画一下，然后屁 a， 这是 a 啊，然后这个是 b， p a 连一下， p b 连一下，哎，非常好，我们之前讲过双曲线的第三定义是吧？好，我们知道 如果 a 点和 b 点是关于圆点对称的，然后这个点记呢，是双曲线上的任意点，两条直线它都是有斜率的，我们也就能够知道这两条直线的斜率相乘等于什么来着。哎， a 方分之 b 方也就是等于几的， a 方是四， b 方是十二 a 方，哎，等于三嘛，那你知道 k 一 乘 k 二是等于一个恒定值的，你能不能研究这个东西它的最小值？ 哎，非常好，基本不等式。那我们也就可以把这一项整体看成是 a 方，这一项看成是 b 方， a 方加 b 方是大于等于二倍的 a 乘 b， 是 吧？好的，也就能够知道这两个分式相加肯定是大于等于二倍的 k 一 分之一乘以 k 二分之三，也就是六，比上 k 一 乘 k 二也就等于几，哎，也就是等于二的， ok 吗？取等条件是什么？ 当前仅当 k 一 分之一等于 k 二分之三，是吧？并且呢， k 一 乘 k 二是等于三的，然后呢，应该是能够找到 k 一 跟 k 二分别对应几的， ok 吗？好的，然后我算出来发现 k 一 是等于一的， k 二是等于三的，或者是 k 一 等于负一， k 二是等于负三的，然后呢，应该是能够保证我这个 k 可以 取得这两个值的，是不是？ 所以说这个 d 选项应该也就没有问题是吧？好的，那么这道题目的正确结果应该就是 a 和 c d， ok 吗？嗯，好的，这是咱们的第十一题。好，然后接下来呢，咱们就看一下二中的十八题，猛的一看，感觉还行，不是很难，但他是有坑的，是吧？ 不是很好证，是不是？好，先来审一下条件，在面积是三倍，根号三的 a b 等于二倍的 a， b 的 b， c， bc 平行 a， b， e 是 a d 中点把三角形 a， b、 e 沿着 b e 翻折到三角形 a、 e， b、 e 的 位置，然后第一问，想证明 a e， a 垂直 a e， c 这条线，垂直这条线，那你们有想到什么东西吗？就是结合第五条线给我分析一下好吗？好多边都想的。嗯，是哪些边？来标注一下， a， b， b， e 是 吧？还有 a e， 呃， b c， e， d， c， d， 呃，当然，这个三角形 a， e， b e 应该也是一个等边三角形，它和这个三角形形状是完全一样的，是吧？嗯，好的，没有问题啊， 连接 a c 是 吧？然后我们现在呢，假定这个焦点是 o 吧， a， 然后呢，其实你看啊，其实你看，呃，我这个 o 点呢，应该是对应着这个 b e 的 中点，因为如果你再把这个 c、 e 进行连接，你能不能告诉我四边形 a， b， c e， 它是一个什么四边形？ 菱形，然后他的两条对角线应该是互相垂直平分的。好的，所以呢，我们应该就能知道这条边和这条边互相垂直，当然他和他应该也是互相垂直的。那你能不能告诉我这段长度应该等于几？ 首先应该能根据这个梯形算出它的边长，这个咱们有问题吗？好，没有问题啊，好的，然后这个边长应该是二是吧？然后也就能知道这个 a o 的 长度是刚好三是吧？ 然后 o c 呢？刚好三是吧？然后其实你再连一条线就好了。 a e o。 哎，我再连接 a e o， 我在连接 a e o。 这个定力可以直接写啊，这个定力可以直接写啊，真的，或者你用矫正一下，你如果用矫正就初中知识了，没必要。其实啊， 好，我们说一下啊。呃，首先我这个 a e o 呢，其实可以选择放在这个等边三角形当中进行分析，它的长度应该也是刚好三，那么这样子的话呢，我就能够把这段线段看成是这个三角形当中的一条中线， 那中线等于它这个边长的一半，我就能直接断定这个三角形它必定就是直角。三角形 应该可以直接写， ok 吗？应该可以直接写，如果你不放心，你就正一下角的关系就好了。怎么正呢？ 中指啥？这个是是吧？这个边和这个边相等，所以说这个角和这个角就相等，然后这个边和这个边相等，所以说这个角和这个角也相等是吧？然后加起来的话应该就是 两倍，哎，两倍的这个角加这个角是吧？好的，然后他们三啊，他们四个角相加，也就等同于是这个角加这个角就是一百八吗？所以也就能证明他加他是九十度，不相垂直。我们高中可以直接写的，其实 ok 吗？好的，没有问题。这是第一问啊，然后第二问呢？哎，第二问间隙，然后这个间隙呢？我印象中给某些同学是讲过类似的一个角度的，其实啊，然后第二问，他说 ac 等于二倍的 a 一 a 等于二倍，刚好三， ac 是 二倍，刚好三，然后 a 一 a 呢？应该等于几？哎，刚好三好的，没有问题， 然后这边还是互相垂直的，我们也就能知道这个 a、 e、 c 的 长度应该就是 三好，然后这边也是刚好三，其实我就能发现这个三角形它应该是个什么三角形。 等边，然后这个角度是六十度，这个角度是一百二十度，是吧？咋了？因为我们在第一问里边其实不能算它的边长等于几是算不出来的，他没有给条件，就从这先写， 就从这钱，我以为那个是这个小时六十，是吧？好，然后呢，我们应该是能知道这条线跟他垂直，这条线跟他垂直，所以这条线呢，和这个面应该互相垂直。所以说我这个面呢，和底面应该互相垂直。 所以如果你要接线，你要找到三条线没长垂直，应该怎么怎么来接？它的交线是它嘛？是吧，那我就得过 o e 做这个 o c 的 垂线，然后这条线呢，才能保证跟底面是互相垂直的， ok 吗？然后 x 轴在哪里呢？ x 轴在这个地方，然后 y 轴在这个地方，然后 z 轴，我们就要这样子来间隙。其实这个间隙我真的讲过类似的啊，真的讲过类似的，这个是 x， 这个是 y， 然后这个角度六十，标注一下。 好，然后在这个坐标系之下，你能不能找到两个平面的法向量？能不能先求角的啊？点的坐标，那我们先看一下，比方说我可能得找到这个 a 一 的，是吧？啊，这个 a 一 点的坐标该怎么写呢？ 嗯，首先它的横坐标呢？应该是零，是吧？因为我这个平面其实跟我的 y、 o、 z 是 在一个面内，是不是？ 所以呢，我如果过这个点做这个底面的垂线垂足，应该是在 a、 o 的 某个位置， 也就能知道它的横坐标必定是零，因为它在外轴的负半轴上，是吧？然后纵坐标应该等于几？ 就是这个长度嘛，是吧？就是这个长度，然后这个长度是刚好三，这个角度是六十，上边这个角度是三十， 说明这个投影的长度应该是二分之根号三，而它在负半轴上，是吧，也就能够知道它的纵坐标呢？是负的二分之根号三，然后竖坐标就是这段线段长度应该就是二分之三，是吧？好的，没有问题，这是 a 一。 好，然后我们再把这个 b 点也求一下呗， b 点的横坐标是什么呢？就是这个长度，是吧？ 这个长度应该是一吧？啊，一，然后纵坐标是零，竖坐标是零，是吧？然后这个 c 呢？横坐标是零，纵坐标是刚好三，竖坐标是零，是吧？好的，没有问题。然后呢，这个地点该怎么写呢？ 横坐标是负二，是吧？好的，然后纵坐标和这个 c 点的纵坐标是一样的，因为这条线跟我的 x 轴是互相平行的，它是等高的，是吧？好的，应该也就是 刚好三，然后竖坐标呢？是零是吧？好，那这样子的话呢，我们假定这个面的法向量是 m， 这个面的法向量是 n， 然后这个夹角我们设成 c 塔，然后你能不能找到这个法向量 m 和 n 坐标是什么？ 然后再求这个 cos 值可以吗？嗯，好就行了吧。然后最后呢，我们得到的这个 m 应该没问题吧？然后最后呢，我们得到的这个 m 应该没问题啊，可以是刚好三， 一等号三，然后这个 n 呢，可以是零。逗一逗，刚好三，也就能知道这个平面所成角的余弦值应该就是向量 m 乘以向量 n 的 绝对值，比上两个向量的模差相乘就行了。 然后最后呢，化简得到的是七分之二倍，刚好七，这是第二个。好嘞，没有问题。然后接下来呢，我们再切回到这个一中的卷子，嗯，然后这个一中卷子里边呢？接下来我想给大家分享的是 十三题啊，我没做啊，咱们说一下思路就行了。我先问一下，咱讲没讲过类似的？讲过啊，这道题好像是不是高考题我忘了，就去年的，你翻一下二五年的全国二卷，题号都一样。那这种题咱们当时说了，你应该怎么做 啊？咱们当时说怎么做呢？咱们当时说，你就把它当成不知道谁对应几值来处理，你自己讨论它的几值有没有印象，怎么讨论。先求导，然后这个导数应该怎么写？ x 减 a 的 整体平方加上 x 乘以二倍的 x 减 a， 剩下的是 x 减 a 加上二倍的 x， 也就是 x 减 a 乘以三倍的 x 减 a， 是 吧？你，你把它处理成不知道谁对应极致，你自己讨论极致， 什么情况下？极致跟条件是完全一样的，我们也就能够得到对应的 a 的 取值就行了。那么我想请问一下，这个函数本身是代餐的，你怎么讨论它的机制？本质是讨论什么东西？ 本质是讨论这个函数的单调性是吧？也就是讨论代餐函数的单调性问题。那是哪种分类依据还记不记得 啊？就是他是个二次函数，是代餐的是吧？我们也就是得处理成含餐的一元、二次不等式的那三个层次。第一层是什么来着？ 二次项系数，第二层是 d 塔，第三层是两个根的大小关系。我用看二次项系数吗？用看 d 塔吗？不用，只用看两根关系就好了。他的两个根分别对应谁？哎，一个是 a， 一个是三分之 a， 那 你能不能知道谁在左谁在右呢？ 不能，所以得讨论什么它的大小吗？是吧？也就讨论什么 a 和零的大小关系就行了， ok 吗？好的，没有问题。然后呢， 应该是能够分成三种情况啊，第一种是 a 大 于零，第二种是 a 等于零，第三种是 a 小 于零，你是能知道谁才对应着它的极大值是吧？好的，也就能够找到对应的这个 a 的 值啊。我没有做啊，但思路是这样子的， 就是把这个笔记再回忆一下啊。对对对，一个是 a， 然后另外一个是三分之 a 是 吧？啊，那就是让三分之 a 等于一就行了， a 是 三吗？是吧？嗯，好，可以的， 理解吗？理解吗？就是我这个导数，它的两个零点，一个是 a， 另外一个一定是三分之 a， 是吧？所以说我只能是让这边对应三分之 a， 然后才能让 a 不是 对应他的几大值，而是三分之 a， 也就是一对应他的几大值，所以他就是一， ok 吗？嗯，也是可以的啊。 好，然后这个是一中的第十三题，然后接下来呢，我们再看一下这个第十四题，这道题呢，我觉得是这个卷子里边最有意思的一道题。好，我们来挑战一下啊。 然后过 o 点跟 m 点两个点的平面，把正方体分成了两部分，两部分的体积分别是 v 一 跟 v 二，然后想知道这个笔直的曲折范围， o 点跟 m 点，我们连一下 过这两个点的一个平面，然后我现在呢，随便画一个面啊，我现在随便画一个面，比方说这个面呢？呃，然后我想请问一下，就是你大概能知道我这个平面的形状是什么吗？ 矩形我倒觉得不一定。为什么是平行四边形，因为咱们之前在讲这个洁面问题的时候呢，咱们好像有讲过一个叫平行线的东西，然后这个原理是什么来着？ 就是一个平面和两个面相交，如果这两个面是互相平行的，截得到两条交线应该是什么关系啊？平行的是吧？所以 我这个面呢，和正方体的上下表面存在这两条交线，这两条线段，这两条直线一定是平行关系，是吧？好，同样的， 前后两个面它也是互相平行的，那么这两条交线应该也得是平行关系，它是个平行四边形。不一定是矩形啊，不一定是矩形，当然可以是，是吧？ o 点是中心， m 点是一条龙的中点， 我总感觉它给的这两个点好像还蛮特殊的，然后如果说我现在呢，把这个问题给你变形一下， 我现在呢告诉你，就是 m 点是这条棱的一个中点， o 点呢，是这条棱的一个中点，然后过这两个点的一个平面， 他可能会把这个正方体截成两部分，然后这个两部分的体积应该会有什么关系？想一想 过这两个点的一个平面，或者说我这个平面，比方说 o 点挪到这个地方， m 点在这个地方，你稍微想象一下啊，我这个 o 点跟 m 点中点在这里，是吧？这个中点是对应着正方体的什么东西？ 中心嘛？是吧？一个面是过正方体中心的，你想象一下嘛？一个面把正方体切成两半，它过中心是吧？它会把正方体切成两部分，它的体积有什么关系？相等吗？是吧？这样子的问题我会吗？是吧？那现在 它这个 o 点不是一条棱的中点，能不能变成一条棱的中点呢？ 就平常咱们刚才说的那个问题吗？ o 点在这， m 点在这过中心，我会做，是吧？现在 o 点不是棱的中点，那变成棱的中点可不可以 不能随便平呀？它不能动啊。那我再搭建一个几何体行不行？让这个几何体棱是过 o 点的可以吗？最好是正方体或长方体。你准备怎么来搭建？我想让 o 点变成一条棱的中点， 这个几何体呢？最好是一个正方体或长方体。怎么怎么做？ a， 我 可以过 o 点做 a、 d 的 平行线，比方说我就这样子来做 啊，然后这个 o 点呢？我稍微挪一下啊，看不太清楚，挪到这，然后呢？我再过这个点做它的侧棱的一个平行线，然后我再这样平移过去。 好，然后你看啊，我们现在呢只关注我换个颜色啊，我们只关注这个 这个这个这个这个这个这个，然后中间的线呢？是虚线，咱们擦掉，能看出来我找的是哪个长方体吗？就这个粉色的就是这个， ok 吗？好，没有问题。那这样子的话呢，我就能发现这个 o 点跟 m 点是对应着这个长方体的两条棱的中点，是吧？那这两个中点的连线会不会经过这个长方体的中心位置？会的，是吧？好的，然后我现在呢，假定这个中点是 n 吧，假定这个终点是 n， 然后我现在这个黄色平面呢，会把这个长方形也是分割成两部分，然后这个交线另外一条应该是在这个地方， 能看懂吗？就是这个面把长方体分成左边一部分，右边一部分，那么这两部分他的体积有什么关系？哎？相等的一半一半是吧？好的，没有问题。那我现在呢把这个体积做一下标记，比方说，呃，我再换个颜色啊，我把 这一部分的体积能看懂吗？然后看成是第一部分的，然后左边这个的体积呢？看成是第二部分，这边看成是第三部分，这边看成是第四部分，能不能看懂？第三部分是这个几何体就是从这开始 往下延伸，然后到这到这到这到这，能看懂吗？然后第四个在这里，对吧？好，然后我现在呢其实能知道这个 v 一 和 v 二是相等的，然后它的体积应该都是原来的长方体的一半，那是正方体的几分之几？ 四分之一，正方体的体积用大 v 来进行表示，那就是四分之一倍的大 v， ok 吗？好的，没有问题。然后我想问一下，我这个三跟四的体积他们有什么必然关系吗？ 相加是一半是吧？二分之一 v， 但是他们有说体机会相等之类的吗？ 不一定吧，哎，不一定。比方说想象一下，我这条线呢，往这边适当的撇一撇是吧？好的， 那可能我这个三呢，会变得非常非常小吧，然后我这个四呢，会变得比较大一点，是吧？好的，没有问题。那我们其实也就能知道 我这个原来的这个比较大的平面，把正方体分成两部分，体积分别是 v 一 跟 v 二。那你能不能告诉我这个 v 一 可以写成 v 几加 v 几， v 一 加上 v 三，然后 v 二应该就是 v 二加 v 四，是吧？好的，没有问题。 然后这边呢，应该就是四分之一 v， 然后加上 v 三，然后这边呢应该就是四分之一 v， 然后加上 v 四，并且呢，我们也能知道 v 三加 v 四 是等于二分之 v 的是吧？好的，那你现在能不能知道我这两个体积它的比值会有什么关系啊？它可以怎么变化？ 你可以消圆吗？是吧？你可以消圆，然后比方说你把这给我看成 x， 然后这边呢，应该就是二分之微减 x， 是 吧？然后我整个笔直的话呢，应该就变成什么了？ 我这写一下啊， v 一 比 v 二，应该就是四分之三， v 减 x 比上四分之 v 加上 x， 你 能不能找到我这个分式？它的最大跟最小值应该可以吧， 然后他的最小值应该等于几？我们可以分离常数，是不是？嗯，其实只要我上边这个 v 三足够小，下边这个 v 四足够大，我就会让这个分式对应最小值吗？那 v 三最小可以到几？ 这两部分是不动的是吧？嗯， v 三最小可以到几？我这个面是给你给你一个参考啊，它可以动的，它可以转，是吧？它可以转， 比方说我能不能转到正好和这个点重合呢？这个点转到这个地方有没有可能？ 可能吧，我这个面不就是这样子的吗？啊，等会啊，就是过这个，过这个，我是一个这样子的面吗？ 行不行？ v 三可以是零吧，同样的 v 四能不能是零？可以啊，所以当 v 三对应最小值的时候呢，我整个比值应该就对应着最小值。当 v 三对应最大值的时候呢，我整个比值应该就对应着最大值，那最小是几？ 这是零吗？呃，这是零啊，这是零。这边就是二分之 v 吗？是吧？然后这个比值应该就是 四分之 v 比上四分之三， v 也就是三分之一，然后这边最大是二分之， v 这边最小是零，那这个比值应该就是四分之三， v 比上四分之一 v 也就是三比一就是三， ok 吗？好，所以我们也就能知道他的分式的曲值范围应该就是三分之一到三 b 区间就行了。 能不能理解？好的，可以把过程整理一下好，然后接下来呢，我们再看一下。 呃，这个唐中的一中的，咱们就先暂时放到这里啊，好，看一下我们这个唐中试卷的，然后我这个图呢，大概是这样子的，双曲线，然后圆，他跟横轴是交于 a 点跟 b 点， 这个是 a， 然后这个是 b。 呃，然后首先我想请问一下，就是这个圆的半径应该等于多少 c？ 好 的，没有问题。呃，然后 m 点和 n 点是圆 o 和双曲线在横轴上方的两个交点，那么说明 m 点在这里， n 点在这里， a m 在 外轴同侧，是吧？嗯，好的，没有问题。然后 a m 和 b n 是 交于点 j 的， 然后这个点呢，应该就是 j， 然后 m 是 a j 的 中点，这是一个中点，然后呢，想求解这个双曲线的离心率， 然后咱们这几个学校呢，都是不约而同的把这个圆曲放在了多选的压轴题，唐中也是，就怕你们忘了。哎，我们可以尝试连一下 o m 是 吧？嗯，好的，我看我用什么颜色啊。用红的吧。等会 哪个三角形是等边？ m a o 为什么 o a 等于 om 吗？ o n 和 o m 是 相等的，然后 o n 和 am 也是相等的，因为中位线是不是？嗯， ok 吗？好，你可以连一下啊，其实你也可以连一下，反正我是连了当时。 好。然后呢，我发现这条线是等于他的一半，也就是这条线等于这条线，是吧？然后这条线跟他相等，都是半径，也就能知道这个三角形应该是个等边三角形，也就能知道这个角度应该是六十度，是吧。然后嘞， 嗯，标注一下啊，我之前在想这个双曲线的离心率包括椭圆离心率，咱们有讲过一个二次结论，有没有？有没有印象？哎，我们当时说这个结论叫椭加双减。什么意思？ 都讲过啊，都听过了啊，你别哈哈哈，不要这样啊，你听过了？什么意思？ 呃，然后咱们当时说的是，比方说，呃，这是椭圆的两个焦点 f 一 f 二，然后这个点 p 呢，在椭圆圆周上，然后呢，我可以连成一个焦点三角形，上边这个角度是成 c 塔， 底下两个角分别写成 alpha 和 beta。 椭圆当中的离心率我们是可以写成三 c 塔比上三 alpha 加上三 beta 双曲线当中是什么呢？ 一样是交点三角形是吧？它是等于 sin theta 比上 sin alpha 减 sin beta， 整体带上一个绝对值， 因为 alpha 和 beta 不 一定谁大谁小，它可以在这一边，可以在这一边，是不是？你能不能在这个图里边给我找到一个交点三角形 m a b， 这不就是吗？我们再换个颜色， m a b 是 吧？我给你描一下。好，然后我想请问一下，这个焦点三三角形当中上边这个角度是多少？这个角度是六十六，这个角度是，所以答案是， ok 吗？都行，你要能出来也行，常规方法也行。常规方法就是找这个边长关系呗，其实也行吧，都行啊，都行。好，然后这是咱们的第八题啊，然后接下来呢，我们再看一下这个第十一题。好嘞，然后接下来呢，看一下这个多选题的第十一题。 这道题呢，我们好像也讲过一个类似的，是吧？但是当时我们讲的是切线问题，但是呢，我们当时在讲那个切线问题的时候，我记得给某些组的同学也用了这个方法，就是角平分线定力。 嗯，然后这道题呢，咱们先来分析一下条件啊，他说，呃， f 一 f 二是双曲线的左右焦点，从 f 二发出的光线 m 设在双曲线右支上的一个点 p， 经过点 p 反射之后，反射光线的反向延长线是经过 f 一 的， 咱们讲过是吧？好，然后呢，当点 p e 与双曲线顶点时，双曲线在点 p 处的切线平分角 f 一 p f 二， 然后这个双曲线方长是这样式的。然后下列结论当中正确的选项应该有哪些？其实他这个相对来说考察到的点呢，都是蛮基础的啊，只是我们在判断这个二 b 还是四 d 的 时候啊，可能啊，四 d 可能会用到几三角形， d 选项可能会用到解三角形。我再强调一下啊，高考当中元曲也是非常喜欢跟解三角形结合在一起的，你要有这个意识，就是该用什么中线定里了，该用什么角平分线定，你就要用它 就要用啊，立体几何也能够用到解三角形。哎，就是我们能找到这个渐近线的方程。渐近线是什么呢？ y 等于正负三分之四倍的 x， 是 吧？比方说我在第一个图像里边呢，画出它的两条渐近线， 然后呢，这个射线 n， 其实你能发现它和双曲线的两只都是有交点的，是吧？嗯，我们之前好像讲过，就是你要保障它和左右两只都是存在交点的，我这条直线它就不能比这个进阶线陡，是吧？嗯，它要缓一点， 那它要缓一点的话，它的斜率比它的斜率跟它的斜率要怎么样呢？绝对值要小，是吧？好，那这样子的话，你能不能找到这个 k 的 曲值范围？ 哎，应该可以，就是 k 的 绝对值小于三分之四，那也就是 k 大 于负的三分之四，小于正的三分之四 a 选项应该没有问题， ok 吗？好的，本质上考察到的是直线跟双曲线的位置关系吧。好，二 b 呢？当 m 垂直 n 的 时候， c f 一 乘以 c f 二，它说是等于三十二的。 嗯，我还没有想到这个方法，三角形面积对吧？怎么用二 b 选项啊？这个三角形面积应该就是 b 方，比上 tan theta 二分之 theta 也就是 十六嘛，是吧。然后我这个三角形面积它又能够写成二分之一倍的，它乘，它也就能够知道 p f 一 乘以 p f 二应该就是三十二二 b 没有问题，是吧？好的，还有什么方法 有 p f 一 p f 二，你还能想到什么？哎，定义嘛，是吧，其实我能知道 p f 一 换个颜色啊。 p f 一 加上 p f 二啊，抱歉，减啊减，我换个字母吧，这样写太麻烦了。呃，我假定这个长度是 s， 这个是 t 啊，也就是 s 减 t 等于二， a 就是 六嘛，是吧。 然后他现在想判断的是 s 乘 t 是 不是等于三十二。我这个 a b c 都知道，是吧？然后这个三角形它是一个直角三角形，这个边长等于几二 c 是 几 十嘛，是吧？二 c 是 等于十的。那么是不是也能够列出一个勾股定律，就是 s 方加上 t 方是等于一百的，然后两个方程进行连立，应该也能够知道 s 乘 t 是 不是好的。两种方法都可以 好。然后这个 c 呢啊，当这个反射光线 n 经过 q 点， q 点坐标呢，是七到五，然后光线从 f 二到 p 再到 q 所经过的路程应该就是十三。 光线从 f 二到 p， 然后再到 q， 嗯， f 一 q 减二 a， f 一 q 减二 a， 为什么呀？ 这个路程我用 l 表示吧？好，然后这个路程呢？其实我是能够写成 p f 二就是我刚才写的这个是 s， 这个是 t 是 吧？好，应该就是 t 加上 p q 是 吧？哎，然后这个 t 跟 s 它是有关系的是吧？好的，没有问题。然后这个 t 呢？应该就可以写成二 a 啊，保险是 s 是 吧？哎。 s 减二 a 是 吧？好的，然后再加上一个 p q， 然后这个 s 加上 p q 是 对应谁的？ f 一 q 是 吧？然后我能不能知道这个 f 一 q 是 等于几的？ f 一 是什么？ 左焦点坐标是负五到零是吧？所以说这个 f 一 q 的 长度应该就是十三， 然后减二 a 就是 减六是吧？应该就是七，所以 c 选项它是不对的，它没有减二 a ok 吗？嗯，好的，没有问题。然后这个 b 呢？如果说这个 t 点的坐标是一到零， 其实这个我觉得我真的好像讲过类似的啊，一到零，然后我想知道这个 p f 二的长度是不是等于十二的，然后我还是把这设成 s， 这个设成 t， 呃，然后这个 f 一 呢？还是负五到零？ f 二应该是五到零是吧？这个 d 选项肯定是要用到这个条件了。平分用项链吗？ 角平分线我们有讲过什么原理，什么知识点？哎，角平分线咱们有讲过两种核心方法，一种是等面积是吧？还有一个是好，第二个是角平分线定力。呃，然后我想问一下，这个等面积一般是适合于什么样子的？问题 是大三角形面积等于两个角的相加是吧？然后应该是能够通过这个等式反写出角平分线的长度是不是？也就是说当在题目条件里边呢，涉及到了角平分线 p t 的 长度，我可以选择等面积， 是吧？那第二个是什么？角平分线定律？他的内容是什么来着？就是两个边的比值等于这两段线段的长度之比，是不是？好的，没有问题。然后一般什么情况下考虑用这个方法 能知道边长之比，或者是能知道两段线段的长度之比，我就选择第二种方法，是吧？那么这道题呢，你能知道什么？ 它的长度咱们知道吗？ p t， 但是这两段线段的长度咱们知道吗？那是能知道的，所以，所以他在考什么原理？ 角平分线并立吗？ ok 吗？好的，那咱们把这个 f 一 t 求一下这个长度是几？六？好的，然后 f 二 t 呢？ 四，然后根据角平分线定律，我们应该就能够得到 s 比 t 是 等于 f 一 t 比上 f 二 t， 也就是六比四，也就是三比二的，是不是？嗯，好的，没有问题。那知道这两段线段的长度之比了， 他让算的是什么呢？他让算的是 t 等于几？那你能不能再给我找到一个关于 s 和 t 的 等式关系，然后两者进行连立呢？哎，我还知道 s 减 t 是 等于二 a 的， 也就是等于六的，是吧？那么这两个方程进行连立，能不能知道这个 t 的 值应该是多少？应该可以，是吧？好的， d 选项应该没有问题吧？好，这个答案是 a b d 啊， 这是第十一题，其实难倒还行，是吧？嗯，不是很难啊。然后整理好之后呢，咱们再看一个比较有意思的十四题，他错的那个点在什么地方呢？他错的那个点在于，我问一下啊， 比如说你能够求得 m 的 值，我想求这个范，我该怎么求？带谁？我只能带这个点，是吧？带这个点要注意什么问题啊？哎，非常好，注意单调性，他没有注意， 他就回答这一步，其他的都对，非常可惜的一一道题啊，那问题又来了， m 怎么求啊？先来审题啊，他说现在这个 f x 是 m 乘以三四分之派，乘 x 加派， m 大 于零，派大于零小于派， 然后图像跟 y 轴的交点是零到二分之根号六， a 点跟 b 点分别是最高跟最低点，把这个图像沿着 x 轴折叠成一个顿而略角， 这样折了一下啊，这样折了一下，然后呢？夹角是一百二十度，然后 a、 b 的 距离是等于五的，然后想知道这个斐的值。 其实我们在学校里边一轮复习，你们肯定见过这样子的问题，然后包括我讲这个每日一题，我也讲过一道这样子的问题，我觉得换个背型你可能就会了。来给大家画一个这样子的图啊， 看，有印象。其实最后这个阶段真的不建议大家做太多题了啊，就是看笔记，我们讲过很多这样子的东西，是不是都是一样的？其实啊，然后咱们当时在讲这个立体几何的时候呢，咱们有讲过一个这样子的问题，比如说这个是 a、 b、 c、 d， 然后我这个 a、 c 的 长度是一， b d 长度也是一， ab 长度是等一的，然后我这个二面角的平面角是六十度。比方说啊，然后呢，我这个 a、 c 跟 ab 垂直， b、 d 跟 ab 垂直， 我想求一下这个 cd 的 距离，你们有印象？对呀，原题呀，笑的怎么这么苦涩，我只记得是原题 讲过吧，这种题是不是肯定讲过啊？肯定讲过，就是他的创新之处就在于他把三角函数剪在一起了，非常好的一道题啊，非常好玩的一道题，当时怎么做的这个题，哎，项链就是我们立体几何里边研究两点间的距离，咱们都有什么方法， 这是前段时间咱们刚刚复习过的一个内容是吧？只是咱没展开讲。我们有两点的坐标公式，距离公式是吧？还有什么指尖法，放在三角形里边是吧？还有什么肌底向量法是吧？比如说 我现在呢，把这个向量 c、 d 写成哪个向量加上哪个向量加上哪个向量，你能不能算出这个向量的模长 怎么算？周长？先平方再开方嘛，这不就行了吗？那这道题呢，再来一页， ab 两点间的距离，我们连一下， 你能不能也把它写成哪个项链加上哪个项链加上哪个项链，可以吗？比方说我现在假定这个项链，注意看啊， 是项链 a， 然后这个项链是项链 b， 这个项链是项链 c， 我 就这样画吧，我再挪一下啊。好的，然后我想请问一下，这三个肌底项链膜长跟狭角你能表示吗？首先这个项链它的膜长怎么表示？ m 是 吧？这个项链呢？ m 这个项链等同于是这个项链它的模长你会写吗？五就是周期的一半吗？是吧？这个周期是几啊？ 周期是八，也就能知道这个向量 b 的 模长应该就是四吗？是吧？好的，没有问题啊。当然向量 a 的 模长和向量 c 的 模长都是等于大 m 的， 那么这样子的话呢，我能不能把这个向量 a b 用 a b c 进行表示？ 那就是向量 a 加上向量 b 加上向量 c， ok 吗？好的，没有问题。那能不能把这个向量的模长也就是五写成这三个向量相加平方，然后再开放， 完全可以吧？好的，那平方展开一下可以吗？也就是向量 a 方 加上向量 b 方加上向量 c 方，加上二倍的向量 a 乘以向量 b 加上二倍的向量 b 乘以向量 c 加上二倍的向量 a 乘以向量 c。 写不下了就拐个弯啊， ok 吗？好嘞，那我想再问一下，你能不能知道这个 a 跟 b 是 什么关系？垂直 b 和 c 呢？好的，没有问题。所以说这两项相乘应该就是零吧。 那关键是向量 a 乘以向量 c， 你 会写吗？它应该就是向量 a 的 模长，长以向量 c 的 模长，然后再乘上两个向量所乘角的余弦值，是吧？那 a 的 模长是几 m 吗？ c 的 模长呢？ m c， 它呢？不是一百二吗？不是一百二吗？ 哎，就是我这两个向量应该是看这个角是吧？然后这个角跟这个二面角有什么关系？应该是互补的是吧？好的，没有问题啊。所以说这个 c 它是六十度，也就是等于什么 二分之一倍的大 m 方， ok 吗？好的，没有问题。然后往这边进行代入， 量 a 的 魔长平方也是 m 方，然后这边也是 m 方，然后再加上一个十六，是吧？然后再加上一个二倍的，这边是二分之一倍的 m 方啊，二倍的它就是加上一个 m 方， ok 吗？ 好的，然后再开方，然后再化解一下，就是三倍的大 m 方加十六，然后开方，然后让它等于五，是吧？那你能不能知道这个大 m 应该等于几？ 哎，对的，根号三。好，然后怎么办呢？然后带点是吧？好的，然后我们现在呢就可以得到这个 f 零，它就是根号三倍的 sum， 是 吧？好，然后是等于二分之根号六，也就能够知道这个 sum 呢？应该是二分之根号二， ok 吗？好，然后 sum 的 范围是零到 pi， 零到派里边呢。我们有两个角的正弦值是二分之根号二，一个是四分之派，一个是四分之三派，但是你要注意，我这个点是在单调减去线上 那正弦当中是四分之派还是四分之三派？在单减去线上四分之三派，所以我们也就能知道这个派呢？应该是四分之三派，所以我们也就能知道这个派呢？应该是四分之三派，所以我们也就能知道这个派呢。一道题啊， 好的，没有问题。然后接下来呢，我们再看一道十六题，这道题呢，我除了没有给高兴讲，其他人我都讲了。当时过年回家了。方差 什么公式？分层方差公式对吧？我还记得我老公当时起的那个名字，生孩子中的分层方差问题。我们有这个视频啊，有这个视频，然后我们这个公式形式是什么来着？ 嗯，乘上嗯， s 一 方，加上 x 把减 z 把的整体平方，然后加上嗯， m 加 n 分 之 n， 然后乘以 s 二方。我再写一下吧。呃，然后这个证明咱们也是推过的，我就不讲了啊， ok 吗？是这个吧，讲过吧，老师应该也讲过啊，老师应该讲过。好的，嗯，那我先问一下这个第一问该怎么算乘尾数？就是用一条线把这个面积分成两半，是吧？然后这条线大概在什么地方 能看出来吗？这个啊，这个面积应该是零点三，是吧？好，然后这个是零点零五，我写一下吧，然后这个是零点一，这个是零点二，这个是零点二五，然后这个是零点一，是吧？然后这条线呢？大概是在这个地方，怎么求这个值呢？ 哎，先设他对应的横坐标，比方说是 m 或者是 b 吧，可以吗？好，然后你能不能列出一个等式关系， 它左边的这个面积是吧？或者右边也行啊，算右边可能会更好一点，是吧？对，算右边会更好一点啊，应该是怎么写？中间这个左边这个加上这三个，是吧？让他等于零点五。我的意思是算这三个会好，算一点吧， 是吧？好的，没有问题。然后得到的这个，呃，中位数呢？我算的是七十五，不知道有没有问题啊？这是第一问，没问题吧？好的，没有问题。然后第二问，呃，考的是这个分层的方差公式，然后咱们能不能把这个数值对应一下， 首先这个 m 比上 m 加 n， 这是什么意思啊？是占比吗？是吧？那你能不能根据频率分布脂肪图找到这两部分的占比等于几比几？ 怎么怎么算？这个的频率是零点二，这个的频率是零点三，所以这两部分的占比应该就是二比三，是吧？所以这一项应该就是五分之二，后边那一项应该是五分之三， ok 吗？好的，没有问题。 这边是五分之二，这边是五分之三，然后这个 s 一 方对应谁？六是吧？然后这个 x 八呢？六十五是吧？关键是这个 z 八。我不知道呀， z 八是什么意思？是总体的一个平均值是吧？总体的平均值该怎么写呀？ 嗯，类似于算期望值吗？是吧？就是用它的对应的值，然后乘以它的占比就行了，是不是？好，也就是这把怎么写？ 我这个频率分布值方图应该怎么算平均值？哎，用中间值乘频率是吧？乘占比啊，乘它的占比是两部分的占比， ok 吗？不是看总体的啊，好，应该就是六十五乘以 五分之二，加上七十五乘以五分之三， ok 吗？好的，我只是算这两部分的一个平均值，不是算总体的啊，这要注意一下。 好，然后这个数值呢？算出来应该是七十一，然后这个 s 二方对应谁啊？哎，三，然后这个外八就是七十五是吧？然后呢，直接往里一带就行了。这是咱们的第二题啊，咱们都讲过的 公式现场可能你忘了，咱们就课下再把它重新巩固一下就好了啊。然后接下来呢，我们再看一下我们这个里边的第十九题，最后一题啊，第十九题， 然后其他的咱们就等那个周天的时候有时间咱们再讲，周天咱们要讲中考题，然后接下来呢，看一下这个十九题的 第一问，然后这个十九题跟一中的十八题是一样的啊。好，然后咱们来看一下这个十九题，然后我切到这一页吧。好，然后这道题的话呢，咱们先来看一下这个第一问，一中的第十八题啊，一中的第十八题。好，我们先看一下这个第一问， 他说当 a 等于一的时候呢？想知道 f x 在 一到 e 上的最大值和最小值？第一问咱们应该没什么问题吧，然后第一问稍微带一下啊。 呃，当 a 等于一的时候呢？我们是能够知道这个函数应该是 x 减浪 x 比上 x 是 吧？ 研究它的最大跟最小值方法就是求导研究单调性，找极值，找端点值作对比就行了是吧？好的，没有问题。这是第一问，然后答案的话呢，你们可以在旁边标注一下。 应该是这样子的啊，它的最大值是 e， 对 应的它是单增，好像啊，它是单增的， 然后也就是一减一分之一，然后这个函数的最小值是一，对应的也就是一。然后这个文字版的解析我有发到，就是社交媒体，你们有如果说有兴趣可以看一下。然后第二个研究函数的零点问题。咱们讲过什么方法？ 第一种是直接解方程是吧？当然他不能直接解。第二种方法是参变分离，然后转化成两个图像间的焦点个数问题。然后第三种方法是 应用零点存在性定力，然后结合单调性，讨论他在每个单调区间上是否是存在着为的零点，也就能知道他在整个定义当中总共是存在几个零点的， ok 吗？那么这道题应该不能用直接法，那么参变分离行不行？ 就是把 a 单独拎出来可以吗？ a 我 觉得是可以的，非常好的一个方法。那么也就等同于是 a 倍的 x 等于浪 x 比上 x， 然后呢？我这个定义域应该是 x 大 于零是吧？好的，那能不能两边同时除上一个 x， 把 a 单独拎出去， 哎，完全可以啊，也就是 a 等于浪 x 比上 x 方。那我现在呢，只要能够找到这个函数的大致图像形状，然后知道它的最大跟最小值，应该就能够知道我们两个图像之间是存在几个交点的， ok 吗？那这个函数比方说我们换一个啊，换个字母吧，设成 h x， 你 会画图吗？我们讲过哎，求导，然后研究单调性就好了，是吧？好，然后咱们走一下啊。然后这个导数应该就是 x 的 四次方是吧？ 上导 x 分 之一乘以 x 方减浪 x 乘以二倍的 x， 然后化解一下，这边是 x 是 吧？上下可以约掉一个 x， 是 吧？好的，应该也就是一减二倍的浪 x 比上 x 的 三次方， 然后令导数等于零，应该也就能知道浪 x 是 等于二分之一的，也就能知道 x 应该是根号 e 吧。嗯，好的，没有问题。然后它会把整个定域分割成几部分，哎，两部分，然后第一部分是 零到根号 e， 第二部分是根号 e 到正无穷，然后第一部分我这个导数，看这里 是正值还是负值，给 x 带个 e， 哎，正值是吧？好的，原函数是单增的，然后第二段导数是，嗯，复制函数是单减的，是吧？我们也就能知道这个函数的最大值应该就是根号 e 对 应的， 然后往里进行代入，应该等于多少，哎，应该是二亿分之一。然后呢，我还可以再研究一下它的极限是吧？好，当 x 接近零正的时候， 这个极限也不知道高考能不能用啊。因为我们的这个教材上是有这个极限的符号的，就是看这个月宣老师是怎么去评判这个标准的？不确定啊。好，然后当 x 去进临政的时候，然后我这个 h x 应该是接近于， 嗯，富无穷，有没有问题？好的，没有问题。然后当 x 接近正无穷的时候，我们能知道这个函数值应该是趋近于零的，并且是个正值。零正， ok 吗？ 好的，没有问题。那这样子的话呢，应该就能够绘制成它的大致的图像。呃，然后我再问一下，就是你能观察到 h 几正好等于零吗？ 观察到 h 几正好等于零，哎， h 一 是吧？嗯，好的，没有问题。然后这边就是根号 e， 然后这边对应的就是二 e 分 之一是吧？好的，这个是外周圆点 x 轴，这个可以弄短一点啊。 好，然后这个是我的 h x， 那 我现在能不能知道这个 a 的 位置它可以变是吧？好的，比方说，呃，当这条线在这个地方，这个是 y 等于 a 有 几个，哎，有零个是吧？然后当这条直线在这个地方， 一个在这呢，也是一个是吧？在这两者之间呢？哎，两个在这里呢，哎。一个就可以写结论了， ok 吗？好的，自己把答案可以整理一下，就至少前两问是比较好拿分的。其实，对吧， 反正像我们这个极限的这种写法呢，如果是放在十八十九这种位置，你就随便写吧，就写就行了。好，然后这个第二问，咱们整理好了吗？ 好了吗？ ok 的 啊。好，接下来呢，再看一下这个第三问。呃，第三问是一个比较有意思的问题。好，然后咱们尝试挑战一下，看能不能听懂啊。十九题今天来不及讲了，咱们周天讲啊。 嗯，他说这个函数呢，有三个不同的极值点，然后 g x 一 乘以 g x， 二乘以 g x 三大于等于这个东西想找到 a 的 对应范围。 我们我们在之前其实给大家讲导数的时候呢，我们有说过，就是零点问题，其实它的可延展性非常强，很多题都能变成零点问题， 比如说有多少条切线，有多少条公切线，有几个急着点， 有几个焦点，像这些都能变成零点问题，是吧？那么这道题他说有三个不同的极致点，翻译一下，导函数有三个变好零点呗，是吧？那我就求一下导函数这个导数应该怎么写呀？ 可以先化简一下是吧？好的，我先告诉大家啊，化简之后的结果是这样式的，咱们就不算了，没有时间了啊。 a 乘上 e 的 x 比上 x 加上浪 x 减 x， 其实我刚开始观察这个函数的时候呢，我有发现就是这一项 和这一项有点关系哎，同构就是只对，同构就是我这个东西如果取个对数，正好跟他是有关系的，不为相反数，是吧？所以刚开始呢，我是朝同构去考虑的，但是我最后我没有算到最后啊，发现比较麻烦，这又回来了， 然后我先求倒一下可以吗？好的，然后这个这一撇应该怎么来写？嗯，前倒后不倒，加上后倒前不倒，然后再加上分得倒数，是吧？好，最后呢，化解完之后是这样子的，我也不让你们算了啊，化解完之后是 x 减一，比上 x 方乘上 a 倍的 e 的 x 减 x， 如果没有算错啊，应该是这样子的，我们刚才说了这个问题能够变成什么？变成什么东西呢？变成我这个导函数，它有三个变号，零点，然后分别是 x 一、 x 二、 x 三，是吧？好的， 其实有个零点应该比较好观察，我发现这片一正好等于零，所以我不妨令 x 一 就等于一，那么也就说明什么呢？ 也就说明我让他等于零，他可以等于零，他也可以等于零，是吧？说明后边这个应该有两个零点，分别是 x 二和 x 三， ok 吗？好的，没有问题。我又变了一下，然后 进一步，等同于是 a 乘上 e 等 x 减 x 或者是等于零，它有两个根， ok 吗？好的，分别是 x 二和 x 三， 它们和 e 是 不一样的， ok 吧？嗯，好的，没有问题啊，变成了一个这样子的问题。 那我觉得至少到这一步的这个步骤分，咱们是能争取一下的，你会想到怎么办？跟第二问的思路是一样的，这个方程有两个根，你能不能先找到一个 a 的 初步的范围？ 根据他有两个根，先给我找到一个 a 的 大致范围行不行？这个范围可能不精准，因为还有这个条件没有用嘛，是吧。我先找一个范围嘛。哪点步骤分嘛？ 你会怎么办？参变分离，然后转化成两个图像间的焦点问题。跟第二问是一样的， ok 吗？ 这一部分是能拿分的，其实二好，然后呢，我们也就可以把它进一步处理成为 a， 是 等于 x 比上 e 的 x 方， ok 吗？ ok 的， 没有问题。 那我就研究一下这个函数的图像和极值最值什么的不就行了吗？是吧，那么我再设个新函数，好，设成大 h， 好， 然后我想画一下图像，怎么办，哎，求导是吧？好的，然后这个图像咱们其实也研究过啊。 嗯，然后这个导数呢，应该是一减 x 比上 e 的 x 方令，它等于零，也就能够得到 x 是 等于一的， ok 吗？ 好嘞，那这样子的话呢，他应该可以把整个定律分割成两部分，是吧？好，这个定律呢，同样是零到正无穷。好，第一部分是零到一， 第二部分是一到正无穷，是吧？好，第一部分看一下这个导数啊，是正值还是负值？ 正值单增，第二部分单减， ok 吗？嗯，好的，没有问题。并且我能知道当 x 接近零的时候，我这个大 h 是 接近于几的零吧？嗯， ok 的 啊，接近零，呃，然后当 x 接近正无穷的时候，我这个大 h 应该是接近 零正，并且也能知道这个大 h 的 最大值应该是一来对应的，是吧？然后呢，把一代入到这个里边应该就是一分之一，所以呢，我是能把这个 h 的 图像大概画一下的， 这个图像呢，其实跟刚才那个图非常像，是吧？而且你应该能发现我们这两个它就是一个取对数之后的一个结果吧，是吧？然后这边是一个空心点啊，然后这边是一， 然后这边是一分之一，然后这个是大 h x， 然后这个是 y 轴圆点 x 轴， ok 吗？嗯，好的，没有问题。 我现在要求什么？ a 和这个大 h 的 图像得存在两个焦点，是吧？那你说这个 a 的 位置只能是在什么地方？哎，只能是在零到一分之一，也就能够得到一个初步的 a 的 范围， ok 吗？至少是能拿一部分不，不准分的。这是第一部分啊，当然，因为我这个范围的求解没有考虑到这个不等式，所以他应该是偏大的，我可以再缩小。那这个不等式应该怎么来分解？我们再起页， 这个写完了吗？这个是 y 等于 a 啊。第二个不等式的话，我要想研究，那总得先化简一下吧， 而且我能知道什么呢？我能知道这个 x 一 是等于一的，是吧？所以这一边呢，有个这一嘛，你能把这一给我求一下吗？这个，这，我把它带过来啊。嗯，等我先，我先带这啊，放在最上边。 这一等于几？我们求一下可以吗？嗯，就是 a 乘上 e 再减一。 好的，没有问题。那我能不能把这个 g x 二和 g x 三也求一下呀？ g x 二应该就是 a 乘上 e 的 x 二次方，比上 x 二加上浪 x 二减 x 二， 当然这个 g x 三呢，也是一个类似的，是吧？但是我总不能把这些东西都往这带吧，这也忒麻烦了，是吧？ 应该是能化解的吧。怎么化解呢？我们还知道什么呢？我们还知道刚才说了这个方程有两个根，分别是 x 二和 x 三，是吧？嗯，好的，我也把它粘过来。那这个条件你准备怎么来用呢？我先放这吧，他对我这个 g 的 化解有帮助吗？想一想， a 带进去就是非常像咱们之前讲过的引流点问题，是吧？好的，那我现在呢，其实可以把这个方程写成两个式子，第一个是 x 二对应的 a 乘上 e 的 x 二次方，其实是等于 x 二的，另外一个是 a 乘上 e 的 x 三次方，是等于 x 三的， ok 吗？好的，没有问题。那么结合这两个等式，我应该是能化解这个函数值的。 先看一下他，他就是什么呀？他就是一吗？是吧？好的，没有问题。这是一啊。那这呢，这能化解吗？ a 我 们之前也讲过，可以对两边同时取对数，记得吗？好的，没有问题，然后也就等同于是 a 肯定大于零嘛，是吧，我能取对数啊，也就是浪 a 是 吧，加上 x 二是等于浪 x 二 b 啊，第二个应该就是浪 a 加上 x 三是等于浪 x 三的。 那你能想到怎么化解？注意观察，把这个移过去是吧，然后也就能得到这个东西，是吧？那这是什么？哎？浪 a 就是 一加浪 a ok 吗？然后下边的话呢，一样的，也是一加浪 a， 他们都是一加浪 a， ok 吗？嗯，好的，没有问题。那这样子的话呢，我应该就能化简出这个不等式的左半边，是吧，然后左边就等于这一就是 a 乘一减一乘以一加浪 a 的 整体平方， ok 吗？好的，没有问题。当然我这个不等式的话呢，其实也是能够进行绝对通扣的，你能发现吗？因为你看啊，就是我把这个取个对数， 正好是什么一加浪 a， 是 不是？所以说它也能够进行绝对通扣换元就好了， ok 吗？好的，那咱们直接分析也行啊直接分析也行，然后 你要想通过这个不等式找到 a 的 另外一个范围，就得解不等式吧，是吧？这个不等式你会解吗？这是一个超越不等式，是吧？超越不等式我们之前讲过，讲的不多。当然啊，怎么解啊？你可以先猜他的一个端点值， 然后再研究他的单调性，他最好是单增或单减的。比方说，我现在呢，假定左边是个新函数，关于谁的？ 哎，关于 a 的 比方说是乘负 a 啊，就是我右边呢，正好是对应着负的某个函数值，比方说负 x 零，我又发现这个负 a 是 严格单增的 x 零在这边，是吧？我怎么才能保证负 a 是 大于等于负 x 零的？ 那 a 要满足什么条件？ a 要大于等于 x 零，比方说它是单层的， ok 吗？也就说我们要想研究这个超越不等式，可以先尝试找到它对应的是它的哪个函数值，然后再研究单调性，卡出这个范围就好了， ok 吗？嗯，好的，没有问题。 那研究单调性呗，或者说你先找一下哪个函数值正好对应右边这个值，你能猜出来吗？ 但他肯定是在零到一分之一之间的一个值，不能是其他值了，是吧？ x 零可能是什么？而且你发现我这个里边有浪吗？ 说明什么？说明我这个 a 一定是跟 e 有 关系的。那比方说像二亿分之一这种可以吗？如果说 a 等于二亿分之一这种可以吗？ 你化解完之后还有没有浪？有啊，拿不掉呀，是吧？所以说这个 a 可能和谁是有关系的？ 不能是多少倍的 e 分 之一，那应该就是 e 的 几次方分之一，你就是就行了，就这样子来考虑， ok 吗？那 e 方分之一行不行？验证一下，如果 a 等于 e 方分之一行不行？ 然后这一边呢？就是负二，这边就是一吗？那会有四吗？不会吗？不是他。那再换一下，三次方分之一行不行？试一下应该得行了，是吧？行了啊，就是一的三次方分之一， ok 吗？好，所以说我大概率是能够通过这个不等式发现 a 是 大于等于 e 的 三次方分之一，或者是小于等于 e 的 三次方分之一取决于它的单调性， ok 吗？能理解吧。好嘞，那研究单调性怎么研究呢？我们再来一啊。 好，然后求导的话，那就是泛平 a 换圆也行啊，换圆也行。好，然后咱们就直接求啊， 那就是前倒后不倒加上后倒前不倒是吧？好的，我直接告诉给大家。最后结果啊，最后结果是一加浪 a 乘以三倍的 e 加上一倍的浪 a 减 a 分 之二。注意，我本来是已经得到 a 大 于零小于一分之一了，这个可以先看成它的定域， ok 吗？好的， 那么在这个范围里边你能不能知道这个倒数的正负到底怎么样呢？首先这一项是正值还是负值啊？负值是吧？后边呢？ 啊，这一项对，这一项是复制，这一项也是复制，但是他比这个三 e 相加之后啊，你能确定正负吗？哎，不能是吧，那怎么办？再倒一下，我们对它进行二次求导。好，然后，然后我，我现在把这个函数呢，再设一个 u 吧， 可以吗？好，然后对 a 进行求导啊，好，然后应该就是我就直接说结果了啊，应该就是一比 a 加上二比上 a 方。 呃，我已经把这个笔记分享到这个这个社交群体了，你们可以看我的这个学习过程啊。好，能知道这个导数的正负吗？ a 是 正值正，哎，正的好，说明这个 u a 单调性怎么样？哎，单调，那也就能知道这个 u a 是 不是肯定 小于一分之一，对应的函数值零也不能往里带是吧？好，然后它对应的是几呢？ 三 e 加上 e 乘以负一减二倍的 e 是 不是正好是零？ 好，那这样子的话呢，我们也就通过二次求导的方式判断出了这一项同样是小于零的，那么也就能知道这个 f 片应该是正值还是负值。 真不行了啊，范围是大于零的是吧？好，然后呢，也就能知道这个范围是单调底层的， ok 吗？ 好，然后呢，我们刚才说了，就是我这个 u a 的 图像是上升的，是吧？范围啊，抱歉啊，范围图像是上升的，然后 e 的 三次方分之一对应的正好是这个函数值，是吧？我怎么才能保证泛 a 是 大于等于这个函数值的？ a 要满足什么条件？ a 一定是比它大的， ok 吗？好的，所以我们也就可以利用单调性相当于是脱 f， 然后找到这个 a 的 对应范围， a 是 大于等于 e 的 三次方分之一，然后把它呢跟刚才的这个范围求交集就好了。 答案是什么？答案是 e 的 三次方分之一到 e 分 之一 b 去，呃，左 b 右开是吧？ ok 吗？好的，那我们这道这道题咱们就讲完了，然后周天咱们再把这个元曲讲一下。

一做到小作文就完全没思路，怎么才能十分钟无脑保底写作十二家呢？今天雪糕老师手把手带大家使用我们的独家技巧，三六二原则，整理构思出一篇高分小作文。那么我们来以这一次银川一中的以图表作文为例，图表作文在近几年当中比例呢逐渐增大，那么我们来看下图表构思是否也符合三六二原则呢？ 图表构思除了三六二我们叫十一分的内容分以外，我们包含词汇语法，句式多样以及我们的主题升华。那么我们把第一段里面的含蓄提纲转述呢？换成我们的图表描述，一定要符合我们的内容完整，看到什么都要说出来，以及我们的主题突出， 符合我们的主旨。那么我们来看一下这篇文章。首先我们来看一下第一段，三分段我们要进行一个图表描述，在这个图里面大家看到了一支笔，看到了一个手，还有一个苹果，都要在这个句里面写道，内容要保证完整，然后要保证我们突出的主题是我们的，二是我们的艺术。那么首先我们先把我们的标题抄上， 首先看一下我们的整体的图表描述，可以出一个模板，生动的表明 图片在生动的表明，表明什么呢？一只手正在仔细地画一个苹果，反映了什么呢？我们要把主题突出写出来， 紧扣我们的艺术以及艺术疗愈，心理健康，在治疗什么方面？ helen our minds。 好 的，让我们回顾一下第一段，第一段里面可以使用到的模板句式，正如生动的在图片当中展示出来的一样，他反映了其他内容是可以换的， 其他内容在写到其他图表当中呢，要依据图表去进行替换，那么划横线的这一部分内容是不需要替换的。接下来我们来写第二段。要点转述，针对艺术对心理健康好处，个人的好处，团队的好处以及国家的好处。先写小点， to begin with in my opinion。 首先呢，在我看来啊，我们可以使用我们的四大句式，我们四大句式包含，主谓宾、主系表、 z， y， b 句式。刑事主语，保证我们的刑事多样化。我们可以先使用一个刑事主语，这是非常珍贵的礼物，因为写到了苹果，苹果在西方当中的意向就表达珍贵的礼物。对我们什么来说？我们的精神健康啊，可以进行一个分类，在什么方面的精神健康， 缓解我们的焦虑，而且释放消极的一些情绪。那么对个人来说就是说艺术可以陶冶情操啊，然后再到团队里面，艺术可以凝聚精神，是吗？可以什么让我们进行一些合作，所以我们可以使用我们的句型，我们 的形式主语已经使用完了，那么这个时候我们可以使用一些主系表，主谓宾和 z 二 b 的 句式。那么想到了我们之前讲过的我们的句式 play， an e， c 中扮演重要角色，一定要注意， a 是 小于 b 的， 我们使用一下这个 艺术 play， 因为是复数，所以选择了 play。 essential knowing 啊，在什么方面啊？成就感的建立方面，比如说画完一个雕塑会感觉到有成就感，那么可以进行一个举例，尤其是在什么方面？创造性的作品方面。然后呢，再可以去写我们的第三层，最后也是非常重要的， 就我们所有人而言，众所周知，然后我们可以使用 zelda 格式了，因为 zelda 格式还没有使 there is no doubt that。 其实只是一套句，是为了体现出我们的模板非常多样。然后呢，上升到高度当中去写艺术，帮助了我们去拥抱 多姿多彩的生活。那么我们来看一下第二段的这个内容，主要通过个人、团体、国家对我们艺术进行了一个好处的解析。 那么包含，首先在我看来啊，然后呢使用了一个形式主语，形式主语，然后其次，众所周知，使用了一个 play a eason show role in 的 固定搭配。 最后也是非常重要的，众所周知，就我们而言，使用了一个毫无疑问的句式，符合句式重要性。那么我们来看一下我们的最后一段，要进行一个主题扣题以及创意，我们可以把它缩在一起，总的来说，艺术，让我们，让艺术治疗我们的内心吧。 整篇文章就到这里了，那么关于我校英文报的艺术与心理主题真人活动的讲解就到这里了，你听懂了吗？

好，我们一起来看一看银川一中啊，高一数学的期中考试现在已经拿到我的手上了啊。这里整体来看的话呢，这套试卷出的还比较挺合理的，出题质量也比较高。那考了目前学的这个正弦定力、余弦地理什么解四角形、点线面的位置关系啊，基本上都考了， 难度还是比较适中的。低档题、中档题和高档题基本上都有，但是你想考一百二十分还是比较困难的 啊。我们具体看一看这个里面的一些考题啊，比如说这个单选择题第四题是吧，它是一个比较综合的题目啊，向量和复数都考了，但是难度不高，难度不高啊。第五题考察到这个外接球其中的一种啊， 我们上课的时候是讲了很多种的，比如说墙角模型、马汉堡模型等等啊，我们是通过勾股定律来计算这个外接球的半径的啊。好，我们再看这个，比如说再看填空题啊，填空题的十三题，它考察的是向量，这题的做法最好是用间隙来做。 但是我们上课的时候其实也讲过这个类型的做法有哪几种，比如说这个 a 向量乘以 b 向量这个类型的，是吧，我们可以转换成已知向量来做，也可以像正体一样间隙来做，也可以转换成极化行等式啊，但是这些方法呢，都是有前提条件的啊。好，我们再看大体啊， 大体十五题减三角形。十六题和十七题考察的还是比较多的， 我们看一看，比如说这个十六题啊，这个十六题十六题第二本考察的是证明线和面平行啊，我们就回忆回忆，上课我们讲过要证明线和面平行，有哪几个方法啊？比如说第一个方法是吧，要构造平行 c 边形，第二个方法呢啊，构造中位线，或者说构造两个三角形相似等比例也行。 比如说第三个方法呢，我们可以用这个先证明面和面平行，通过面和面平行证明先和面平行啊，如果上课认真听讲了这题肯定没问题啊，主要这个题目的难度呢啊，放在了这个十九题，十九题确实有一定难度，但是也是我们上课啊，讲过的啊，是讲过的，我们通过啊， 把各个边用这个 sita 来表示来解析啊，如果你有这个思路，这个题目问题也不太大啊，不太大啊，整个试卷来讲的话呢，我有一个建议啊，比如说对于中等学生，我们以后复习的方向就变成了啊，每一个题目它的解析方法有几个总结归纳一下， 就比如说我们刚才说的啊，向量的题目， a 向量乘以 b 向量，再比如说刚才说的线和面平行的题目啊，把方法总结一下，对于好学生而言的话，我们要重点突破啊，这些压轴题，比如说选择题的十一题，然后填空题的十四题，是吧？再比如说这个大题的十九题， 要多练啊，不要出现一些小的错误，多练你会更加的熟练啊，争取能考到一百三，而中等生呢，我们争取啊，下次能考到一百一，一百二这样的分数啊。如果大家对这道试卷还有什么其他问题，我们可以评论区见。

哈喽，今天下午刚结束的一中三模，听力还是中规中矩，天气频率、地点、时间、数字星期都出现了，我们来看一下。阅读理解 a， 阅读理解 a 是 志愿者招募， 全篇几乎没有生词是简单的，但是一定要注意。第二十二题是一个坑，给了一个明确的两点到四点之后，后面还有一句叫要提前十分钟来，要提前领取一项任务，所以你不能两点来，你要一点五十来。 阅读理解 b， 十五岁的 alex 由于课业非常的繁重，所以呢，跟父母的沟通时间比较少。这道题也有一个坑，这个坑就是关于第四段的二十九题，当时他们已经 经过不沟通到，沟通到气氛非常的融洽的时候，他们说起来了公园的争吵，把它叫做数学大战。其实这个时候你要理解到整个家庭的氛围已经非常非常的融洽了，所以要以这一点为基础看这一道题。大部分的孩子看到第四段的时候其实是没有头绪的， 考完试之后把第四段重新再来过一下，看看能不能把它给读通读下来。阅读理解 c， 倒是挺简单的，再写关于蚂蚁的一些信息。阅读理解 d， 关于睡眠障碍的一些解析，我觉得写全对应该是问题不大的。 完形填空，十四岁的汤姆总是杞人忧天，直到他的爷爷重病之后，他突然意识到，世界的生活呀，在瞬息之间就可以改变，所以我刚才说这句话就对应了这道题非常容易出错误的。这道题 四十六题，很多很多同学选了 a 希望，他不是说希望生活在瞬间变化，而是他意识到人们的生活在 in a second， 在 瞬间就可以发生变化。语篇填空，关于文房四宝看下来容易错的是哪几个单词？有 五十九题 best， 六十题 especially 以及六十二题 famous。 这三个空容易混，特别是五十九题，非常容易写成 famous。 盲填， 在我看来简直送分不全对话送分作文倒是很有意思啊，虽然还是书信的，最近写了几次模拟考试，都是关于书信类的作文， 而且依然给了一个思维导图，所见所作所思。所以整篇文章的第一段人家给出来了。第二段，介绍你的所见，介绍你在这一次科技展，科技展当中看到的这个发明， 他怎么发明的，介绍他的功能，谁发明的可以往里面多加一些信息。第三段，你要写出来自己的发明，垃圾分类箱，科技的书包 带有计算机功能。然后我有个学生今天写他发明了一个文具盒，上面带有镜子，当他感觉到紧张或害怕的时候，他就对着镜子说， you can do it？ 我 觉得也挺好。 最后一段，表达对科技展的看法，并且在收尾的时候要和 mac 互动，因为这毕竟是书信作文，你估了多少分？在评论区给我留言吧！

我们来看一下银川一中这次期中考试高二的化学卷子啊哈哈，吴老师出的卷子啊，这个卷子真的，我选择题做完我一直在那笑，知道，我就说这帮孩子，呃，先不说有多少上九十分的啊，就这个选择题有没有全对或者只错一个的， 如果有的话，真的孩子那真的是超级棒。这个选择题真的坑太多了，真的，我感觉是我吴老师自己出卷子时候是我出出自己都笑了，哈哈，上面的这些小点真的就是 你一眼就能看出来，就是这些小姐，我们上课的时候会提到，但是不会重点去讲，为啥没有时间，就是我们把主线上的任务能讲完，已经竭尽所能了，你知道吗？就是已经尽力了，基本的东西掌握不了，这种稍微需要深思的东西你就特别不好弄。你像第一个啊， 第一题，这个选对好，选一丁氨，系统命名啊，二加一丙氨，然后这个四 d， 如果有人纠结，就会纠结这个四 d， 氨，氨氨体能与锈的四裂化碳容易发生取代吗？我们知道氨氨体和锈，但这是能取代的。到底是什么条件 发生取代知道吗？不知道啊，这个回去好好查去啊，是锈的状态啊，锈水锈的四裂化碳都不行，知道吧。然后再往下，你像第三题，第三题它其中提到了一个 x 的 肌肽原子的电子有七种空间运动状态。那空间运动状态和运动状态 那有啥区别，对吧？到底哪一个是轨道书，哪一个到底是电子书，对吧？好多人坐在这很紧张，就是情绪上比较紧张，比较专注，到这一下子脑子就忘记掉这个事了，哎，然后大圆子直接就写上了，对吧？啊？然后后面这个第五题，然后问硝酸和硫酸的，我第一眼你知道我做这个题的时候没选出来，哎，我一看这不都对着呢吗？ 结果我又看第二遍的时候，我就感觉这个三比四有点问题，硝酸和硫酸 c 个码键个数比，哎呀，我说这个个数比的话，这个里面画出来的单键和 c 个码键刚好是个数呀，我最后一想，抢机里面还有 c 个码键呢，对吧？所以这个地方就是 你仔细一想，你能想明白一题，是你也觉得特别简单，但是你考试的时候你就老忘他一那个清氧啊，之间的那个四个马甲没给你往出滑，你知道吗？然后就导致大家这地方就容易就毛掉了， 那你想一下，有抢击，他肯定是能形成分子间氢键的，在水中当中，要么硫酸和胶酸在水中溶解都那么大了，对吧？啊？然后像这个第八题，这个我感觉好像是我们练习册，我感觉我讲过，忘了是给高三呢还是 高二的，当时我们练习这个题的时候讲过这个题啊，就是印象挺深的啊。然后在后面的这个金包，哎，第九题，这个金包题还是比较明确的，就是至少这些金包是我们熟悉的金包，对吧？ 像这个二 b， 对 吧？数这个配位数，哎，这个总共是八个，这个还是比较明显的啊。然后第十题，这个，呃，金包这个还好，就是目前这个金包的坐标，它给的都是 x y z， 都是互相九十度垂直的，没有给内角是一百二十度的那种平面坐标，对吧？啊， 因为我们做这个题里面有过，所以就让人很头疼啊，然后在后面这些考有机物的这些简单的性质呀，对吧？啊？这个数，这个相对分的质量算不饱和度呀，对吧？观灯团呀，啥？这个就是相对来说还稍微好闹一点啊，你要十四题，这个数图分一个题，那你就数吧，那这个就没办法，对吧？ 啊？你这个就基本上好闹，你数清楚了，逻辑对了，那这个事就好办了啊。选择题上整体上不太好做，大体上还稍微好一点，就是至少整个思路你是能顺下来的啊，个别扣可能不太好填啊。 嗯，前面这个比较见角的，还有这个井的这个形成氢键，他已经说了，哎，他结合了一个氢离子，对吧？啊？形成的是碱氧离子，对吧？哎，那所以他这个应该是氮氢上的氢，然后和水的氧去形成氢键啊， 然后大题十六题从这个地方就有一个杂话，你看这个杂话我们就见的 sp、 sp 二、 sp 三，对吧？这里面但是考到了 d 和 sp 之间的关系 啊，所以这个你看我们上课的时候没有正面去讲这个东西啊，就是因为也没有什么练习能统一的对应去练这个，但是这个地方就给到了，所以这个地方就是我们在题里面会稍微说一下，你能感悟到，感悟不到，你只能通过大量的练习来去琢磨，他知道吧？因为这个他不是个系统的内容啊， 你比如说像这个啊，杂化的，他说的这个反反，我们知道他是他的架垫子，就是 d 三四、 s 二，对吧？所以他最外面总共是五个垫子，但是他里面又说了这个中心原子采用内层轨道杂化啊，然后这个题里面说他的这个啥配合物的这个分裂能比较小啊， 然后已知条件里面说了，这个大的时候采用的是内层 d， 小 的时候采用的外层 d， 所以 这个呢，它的杂化就是 s p 三 d 二啊。所以这个地方首先你得知道它的这个杂化的轨道数，因为 c 个码键和配备键总共六个，所以它的杂化轨道数肯定是六，对吧，所以你就是 啊， b c 里面去分析啊，所以这两个根据题目要求来选。然后还没还有现在这个尿素的这个六棱柱的这种形状 啊，六龙珠我们也能接受，就是那种体型立方最密堆积，但是这个呢，你看给考了一个斜的啊，他里面这个啥的这个情况，所以这个你得接受啊，吴老师整的这些题肯定是每一个选项都是得让你认认真真琢磨一下的，知道吧啊，所有的字不会凭空出现的啊，所以 你生在一中了就没办法知道吧，这个跟你平时啊学的理解的多好多少没有深刻的关系啊，最重要的是 你能从这些题里面能悟出来，能感受到它的这个变化的逻辑，然后你下次再遇到这种题的时候还会好一点啊。然后，哦，你看这个第四文，你看它这里面就给到了这个坐标， x y 的 坐标角是九十度哎， z 轴呢，和它俩是垂直的啊，九十度的哎，那你看这个 啊，你就得稍微转化一下，对吧？我们这给高三的我们做那个练习里面确实是练到这个了，但是这个高二已经开始让你们接触了，但是我们前面学物理结构的时候就这样的题没见着啊，然后在后面的十七题就常规了啊啊，稍微有机的这个计算一点点啊，然后十八题这个题。哎呀，我这 原模原样题我讲了我忘了是给高三的前面讲过还是咋回事啊，反正当时就是挨个的把这个过程还说了一下啊，因为它这个里面就是冷却热饱和溶液和之前的那些我们冷却热饱和溶液是反着的啊， 但是他的原理是一致的啊，所以说这个卷子真的就是难度有呢啊，而且很挖心思的去搞这些坑，就是考验你们对这些基本的能力有没有灵活的去掌握住啊。课本上讲的是课本上的东西啊，高考就是需要你具备这样的能力，你越具备这样的能力 啊，你的这个抗风险能力越强，你稳定能考高分的这个实力就越强，知道吧，所以说啊，在一中你们就好好享受吧啊，这个确实很好哈，咋说呢，这个卷子就是你正正常能考到一军分以上，应该是年级分，我估计这应该是过五十呢，你考到年级均分以上就其实不要太担心， 对于高考来说对你来说放在全区水平上来说没有啥压力，只是你在学校啊，总感觉学的没有成就感哎，自己课也上着呢，各方面也努力着呢，但是这个总是就奔不到六十多七十多啊，那个过程是需要有一定天赋，而且你至少要刷两套以上的 练习册啊，就同样的时间你能刷够两套练习册，你才能达到七十分以上的水平，这个卷子啊，或者说就是你就是祖师爷赏饭的那种啊，自身理解能力比一般人要强的多的多啊！好了，大家有什么问题啊可以评论或者来私信啊，希望金老师在化学上能给大家有一个小的助力啊！

同学们好，老师今天给同学们分析一下银川一中高三二模试卷，那么这张卷子的整体难度是中等偏上啊， 那么计算量比较大，然后区分度还是比较明显的。如果同学们的基础题和中等题做的不错的话，那么同学们考个一百到一百二的话，还是比较容易的。那么同学们考个一百到一百二的话，那么就要把最后两道题的第二和第三这两个硬骨头啃下来啊。 老师先整体说一下就是，嗯，这张卷子的这个前五道题，还有第七道题， 嗯，前两道填空题，第一道大题都是比较容易的顺风题，同学们，如果这一块还错的话，说明你公式概念没记住，同学们接下来要好好记公式概念啊。 那么第六题看着像解不等式，是要考察的函数单调性的一个构造，同学们千万不要去平方啊。同学们通过什么对称性或者求导去求解，那么第八题比较大小，那么构造函数是唯一出路，那么如果同学们带特殊值的话，容易算错啊。 那么第十六题是统计概率，这道题计算量还行，就读题需要同学们有点耐心啊，计算那个阅读量比较大，在比较两个模型那个你额度的时候，看谁更接近于一。还有一点，同学们千万不要把公式给我带反了啊。 呃，还有比较好的题，就第十一题，嗯，考察了双选的内心轨迹问题，这道题实际上是一个二级结论，同学们如果说是能够记住的话，直接可以通就行了。 那么第十八题和十九题老师要重点说明一下，尤其第十八题，考察了立体几何的一个动态旋转和轨迹长度问题，这也是我们目前新高考压轴题的重要方向啊。 我觉得难点就在于同学们在间隙的时候把这个逻辑顺序给我搞清楚。那么第十九题导数题，嗯，也是个常规题型了，他重点考察了公接线双边不等式，还有极点偏移的一个模型，就是计算量比较大，同学们要有时间去计算下去。 那么最后老师想说，二模成绩不重要，重要的是同学们通过这场考试找出自己的薄弱项，然后极致的查漏补缺，同学们加油啊！

我们来看一下一中这次高三期末考的这个化学卷子，我们先说这个卷子整体难度绝对达到高考要求了，每一块的这个题都基本上大体里面都闹得比较饱和，而且这里面我觉得最难做的是选择题。选择题你看高一高二的卷子，那基本上你看一眼 思路就是超级明确的啊，只是看一下别的选项，验证一下那个选项对不对，这个呢是你一二 a、 b、 c、 d 你 都得看完，看完然后你去对比这选出来 那一个合适的，而且你选完了之后，你再回到题里面，还得再考究一下，所以这个选择题做起来就很浪费时间，我整整看了两遍就有的题，我看了两遍我才把这个题才看明白。 第一面的选择题倒还好，就是你认真的往下顺一下，基本上都就能选出来了啊，然后从后面的时候，从第八题的时候你就开始要变细了，哎，就是它的分子结构呀啥的啊。 第九题第十题你像，尤其像第十题这种题，他的答案就在题干里面，你把选项挨挨个整完一遍之后，你再回头去看的时候，然后你才知道他这个四 d 是 错哪的，知道吧啊？然后像其他的， 呃，十二题也是，你看他涉及到他的这个反应，你得一点一点去分析着看，就是选择题整体上就是做起来肯定做不快，你得慢慢的来啊。 然后后面你像十三题这个和十四题这个电池你一点办法都没有，你只能就一点一点去，然后他问的这个过程，每个选项里面你都在对应的题里面再去找他的出处，然后一点点把这个往出分析，明显到这的时候，你整体的这些化学上的逻辑 要是不太清楚的话，这个题都不好做，就是你做完了之后，你可能排除两个错误答案，你都不好排除，知道吧？啊，所以这个卷子我听说一中年级均分五十多分，其实这个分已经不低了啊，往年的时候 啊，化学年级均分大概也就是六十到六十五啊，这么个区间，所以就是很接近了啊，再通过后面一学期的学习，大家就很接近这种水平了啊，但是这个卷子是绝对是 满足高考的要求的啊，完全满足十五题大题，这个相对来说还算让人松了一口气啊，这个工艺流程相对来说其他题来说，这个做起来连贯度很快啊，这个题就能分析完，然后到十六题也能做。但是十六题有一个问题，就是 首先你得先把这个方程式写出来，他这里面这个膨酸二钾纸里面的这个碳呢，是负二钾，他到后面生成一氧化碳了， 但是你根据氧化还原配平的时候，你发现你反应物里面碳多了，你后面怎么办？你只能生成负二价的，不含氧的。最后，哎，这个东西就应该是个一缺， 然后整出来之后，后面的这个事你就能好好判断了啊，然后十七题吧，哎，这就是一个反应原理啊， k 相关的计算的啊，前面的这几问都还好。然后就是第四问的时候，他问整个图像的问题，包括后面算这个压缩平衡常数， 发现到这个地方的时候，三段式就列不了了，而且他是恒压体系，你只能列物质量三段式，然后用物质量去分压去啊，然后再把压强带进去，把这个平压强平衡函数算出来。但是到这很多人肯定这个计算已经就不算了 啊，反射弧有点太长了啊，但是你要化学想考到七十分以上这些计算题你肯定要平时要加强要练的啊，这些就是思路是很明确的，就是看你这个手速快不快了，知道吧啊？ 然后十八题，这个有机，这个有机长得就很大，这个分子量都长得很大，但是它没有已知条件，没有已知条件相对来说就是我们正常是能分析的，前面 a、 b、 c、 d 这几个还好哎，稍微琢磨一下都能出来，就是到 e 这， 你这个 e 到 f， f 到后面这个东西，它后面又说后面你还会生成岩酸，那就说明这个 f 往这走的时候，它应该是有一个绿原子被取代了，那就说明前面那个家伙还带个绿，对吧？那 e 到这的时候它加氢氧化钠，明显就是脂基的水解嘛，啊，这里面有脂基，有酰胺基， 结果这里面刚好是一个太阳双剑，水解出来两个强击，对吧？这是谁？这就变成碳酸了？我们前面遇到过两三次就是这种水解出来，选择题答题里面都见过，但是你正儿八经在写他的时候，其实内心还是挺抗拒的啊，所以他最后出来碳酸和气氧化，那就变成碳酸钠了啊， 哎呀，所以这个题没有一道说是就是说是能特别简单的那种，你一眼就能瞪出来那种题很少很少， 所以这个题的难度还是很大的啊，这个能考到及格以上，那就说明这个水平已经很高了啊，真的就是这个绝对是算是高水平了 啊，后面继续保持，你将来高考复分就是往九十左右，这个是很快的啊，但是就是啊，四十分左右啊，五十分以下的啊，大家再加把劲，把这个再加强一下啊。好了，大家高三复习有什么问题的也可以随时私信我。

大家好，我是麦斯丽，今天我们与大家来分享银川一中二零二五至二零二六年高一上的第二次月考试卷，这一份试卷我们要好好来分析一下。这一次试卷可以说难度上还是有一定难度的， 对很多咱们新上高一的同学来说还是有很大的挑战。我们通过拆解与统计，大家这一次的防守分数应该要达到一百一十六分。 下面具体把哪些题要防守住，我以贴图的形式已经放在了屏幕上，大家自行去做查看。下面我们来跟着老师的节奏，我们来看一下每一个部分大家得分的一个具体情况。 我们先来看一下我们的单选择题部分，单选择题这次我们要求大家防守住的题依然以前七道题为准，第八题来说可能会在思路上 很多人还没有去见过这种题型，我们可以允许大家出错。在前七道题当中，我认为对大家可能会有挑战的两道题，我来说一下第一个就是我们的第三题， 第三题，这道题让你来判断二分之二角所在的一个象限问题，这个其实很简单，前面给出大家一个绝对值的一个式子，其实就是变相的告诉了你，靠塞音二分之二发是一个大于零， 所以他脱绝对值之后依然要满足什么三二分之二放进，而大家只需要结合二放为第四象限，其实很容易来确定二分之二放交错在象限，所以大家要知道这个绝对值的这个关系是什么意思。 过来之后就是我们的第七题，这道题大家并不是第一次见到此类问题，之前的考试已经反复遇到过，又是一个两边带有 f 型的这种不等关系，我们需要把这个 f 拖去。 想要把 f 拖去，我已经反复提到要具备两个东西，第一个你要知道这个函数的基有性以及这个函数的单调性。 只有知道了这两个条件之后，大家才应该知道如何去把 f 脱掉。如果 f 脱掉，我们最终就可以构建出关于 a 的 什么不等式组，进而去把这个 a 解出来。 那这道题已知条件给的是 f x 等于 x 倍的括号 x 绝对值加四。 那其实一见到绝对值大家其实并不陌生，你只要通过定义法把它做一下分类讨论，这样大家就可以解决 f x 的 什么既有性，进而解决它的单调性。所以这道题来说，我认为大家这一次考试应该要拿下它。 第八题虽然没有纳入防守范围，但是我把这道题的逻辑和思路也给大家做一下破解，那么大家会发现这是一个不等式，但是你要想确定出里边参数 a 的 范围， 你一定要能够有一个思维，就是转化思维，如果我们代数解决不了，那么大家立马要转化为图像来解决， 仔细会发现不等号的左边一定是一个二次函数，右边是一个对数函数，大家只需要把这两个图的对应的图像画在同一直角坐标系，你去结合图像，就会看出 a 在 一到二这个区间内什么情况下很成立。 所以说这道题大家如果有这样的思路，我相信做起来应该就会容易很多了。 这一次下面我们来看一下多选题，这次我们给大家的防守策略啊，第九题要得满分，拿上六分，后面两个题也就十和十一，大家分别得三分，这两道题全部以单选来应对， 我认为更加稳妥。那么第九题这道题给的是一个密函数，很多人可能一见到 mn 互斥 这个条件，一下就搞蒙了，什么叫两数为互斥，那么只要他的最大公约数为几为一，所以这个条件其实不影响大家去做对的答案，所以这道题大家结合密函数的相关性质，基本能够选出 正确答案了。但是十和十一这两道题客观来说对大家是有挑战，我为了让大家稳妥起见，大家每道题选出唯一正确的答案即可，不用去再去考虑多选的一个问题，这样我们整个的得分依然能够达到十二分。 填空题这一次我认为考的难度上而言还是有一些层次的，有一些挑战。第一道题依然考察了我们的符合对数，那么在零到二上为单调递减，那么底数现在依然是 a， 没有给出大家范围， 那么这道题首先考察了你是否能够考虑底数 a 的 范围，进行分类讨论。 第二个就是符合对数的单调性，转成真数大于零，在零到二张横成立，那么这种题就只要动轴的定区间了，那么我们对应的这个题而言， 那么大家要知道怎么能够全面的考虑出 a 的 范围，这个题对大家的要求其实也是很高的。 十三题是一个集合问题，这个题想必应该容易一些，大家只要把我们集合的三性把它解决清楚， 这个题基本是可以出来防守住，前两道题，最后一道题直接挑过，下面我们来看解答题部分。这次十五题十三分的题考了一个对数的计算， 对数这一块的计算，可以说这个公式我们给大家讲了八个公式的运用，那八个公式如何去运用它，每一个化简大家能否到位，这就取决于大家的基本功了。 那么第二小问是一个只对的一个转化，这么一个化简题型应该也没有问题。这道题我认为应该要把它防守住，十三分要全部拿上。十六题说一下。这道题我认为出的很好，也是三角函数这一块比较常见的一类问题， 那么给了个解析式带有两个根号，那么大家学到三角函数，我一再强调心中永远要有一个已知关系式，也就是塞英方耳法加 cosine 方耳法必须等于几一了。那么这道题只需要做一下分母有理化，大家就应该能够把这个根号的式子转化出来。 当你把根号拖去之后啊，注意这一块有一个关键点，根号拖去一定是 a 的 绝对值，耳法 应该是分母部分，应该是考塞因方而法，那么你一定要加绝对值，如果你把绝对值这个问题忽略掉，那你这道题可能拿满分就不是那么容易了。第一问解决之后，其实第二问所求，塞因四次方 x 加 cosine 四次方 x， 那 么这个式子的化简应该是很容易的，大家只需要把它转化为塞因方 x 加 cosine 方 x， 括号的平方减去多出来的项也就两倍的三元方乘以三元方，那么已知条件基本我们是能推出来，所以这道题基本考察了大家三角函数这一块的化简题型，客观来说也对大家是有基本要求。下面我们来看一下十七题 这道题依然是考察了复合对数函数，那么告诉你为偶函数第一位让你求 k 的 值， 那我们奇函数可以借助 f 零等于零，但是偶函数你只能借助 f 负 x 等于 f x， 通过这个关系式，其实变相的考察了大家对数的运算，那剩下的问题就是你能否把这个对数进行化解， 最终化解完之后，大家就可以确定出 k 的 值。第二问，这道题大家依然是要有一个思路上的转化过程，我们依然要把 f x 等于 g x 最多有一个实数解问题，最终要把它转化为一个图像问题，但是这里边又要涉及到求 f x 的 最值，如果大家去求出 f x 的 最值，进而你就能够把动直线 m， 通过最小值来确定出他的范围，那么确定最值，我们依然要解决单调性问题。所以我们在十七题这道题上，大家我希望你们在做的过程当中，希望先解决第一问，第二问，如果你有我刚才说这样的思路， 我认为可以放在进攻环节去处理，他不要一下扎进去这道题其实在做的过程推理的过程中还是有一些耽误时间，下面我们来说一下两到十七分的题。十八题这道题又是考察了我们对数，给出了大家对应的两问，第一问，让你来定 求零点，顾名思义其实就让你求这个方程的什么根，大家只需要把 f x 及 g x 全部带进去进行化简及整理，本质上还是在考察大家对数的运算。 那么如果大家能够把这个方程转化出来，最终你的第一问应该是可以解决的，但第二问可能就有一定的难度了。这个第二问依然让你来讨论 h x 在 一到二十七这个区间上的零点个数问题，那我们在讨论零点的个数这种题型上， 大家要有一些基本的逻辑，那么也就是我们需要把整个式子整理出来之后，把它看作是两个函数，那最终依然要转化为两个函数的图像问题， 最终大家要通过这个图像来去确定我们零点的个数，所以说这个思路大家是要有的，那在具体做的过程当中，大家要去考虑那么分类讨论的情况，所以说这道题肯定第二位上也是有难度的， 也是拉开大家之间差距的一类题型。最后这道题是属于我们定义型的什么函数问题了，给了你一段叙述，让大家去理解里边的奇函数，包括它的重要条件，以此得到了 f x。 那 第一问让你写出它的对称中心，大家首先要清楚啥叫对称中心，对称中心一定是 函数图像与我们 x 轴的一个焦点，你的对称中心一定是坐标，所以这道题的第一问，我认为大家应该能够拿下，也就达到四到五分的得分吧。那么在第二问，他设置两小问，那第一问我们应该可以深入一下， 证明一到正无穷的单调性，那么你按照证明某一个函数单调性的一个步骤来去做一下什么推理，那么在这个推理的过程中，一旦出现卡壳的问题，大家其实也不要担心，但是你一定要有一些正确的这个步骤， 那么这些步骤我们是可以有一些得分的，所以这道题我认为大家如果能深入一下，你应该能达到分了七到八分。 那么以上就是我们这一次一中高一的月考试卷，客观来说有难度，有层次，我们也不愧是我们一中的试卷，大家能够发现你学到什么样的段位，你能考到什么样的分数， 这一定是真理。所以说我希望大家通过这次月考，尽快的去查缺补漏，有没有能够达到老师所说的防守分数， 如果你在防守分之上，我认为没什么大的问题，如果你离我的防守分数偏，这个偏差比较大，大家一定要被这个敲响警钟，看看自己的问题到底在哪里， 那么是很多东西没有理解，还是基本功的提醒没有解决掉，要抓紧时间去解决了。也希望大家一旦有什么样的问题需要于老师深度链接，可以跟我的小助理去进行私信或者说微信联系。 今天这份试卷我就平息到这里，感谢大家对这期视频的观看，关注我，你的数学不再困惑。