房山二模数学解析几何怎么做

好，我们看到这一道是刚刚考完的升二模的一个高三升二模的一个填空题，最后一题，第十四题啊，填空题，亚洲题啊。话不多说，我们看一下这道题怎么做，我们先看一下这道题的信息，他说到有一个小圆啊，半径是一，还有个大圆，半径是四，还有个定点呢，在大圆里面， b 点， a 点呢，是在小圆上面动 有一个圆跟 ab 相切，并且跟外面那个大圆相切。我们把图上的信息画出来，先这个大圆跟小圆是这样子，然后 b 点在这里啊， b 点大概在这个位置，那我相信很多学生都可以想得到这个圆要求跟 ab 相切，他要求的这个圆呢，肯定是要过 b 点的，那如果没有任何限制条件，过 b 点跟外面这个圆相切，他的圆半径最小的时候情况下肯定是这样子， 那么我相信很多初中生都可能都能想得到这个问题，这个时候他的圆半径是最小的，但是如果这个时候过 b 点做一条切线呢？ 它呢？是不过里面这个小圆了，也就是没有办法在里面这个小圆上面找到了一个 a 点，使得 a b 跟这个圆相切啊，那我们可以猜想一下，如果当这个圆的半径逐渐变大的时候，也就是往下移动的时候变大，这个时候它应该是逐渐变大变大的时候呢，那么过 b 点，过 b 点了，它的切线应该是越来越斜的， 那那就很容易想得到，什么情况下，什么情况下他的圆的半径可以刚好达到一个临界状态，就是使得他过 b 点的切线跟里面这个圆呢？是吗？有公共点的话呢，那应该是做一条过 b 点，做一条 ab， 跟里面这个圆相切的情况下，过一点 ab， 那 这个情况下 再在这个地方做一个圆，这个时候这个圆应该就是什么最小值了，最小值也就是这个状态。这图看的有点乱了，看的有点乱了，呃，我用红笔再把里面的关键点了关键信息给标一下，因为待会要计算的时候，实际上已经不需要用到这个圆了，已经不需要用到圆。假设跟外面这个圆的切点是 q 点，然后呢，里面这个圆的圆心啊， 是 p 点，这个圆的圆心，然后我们连接 o q p 这三点应该是共线的，因为它跟外面这个圆相切，那么呢， b p 应该是垂直于什么 ab 的， 因为它是切线，然后这里呢， o a 也垂直 ab， 然后我们再把这个焦点也标一下，这个地方的焦点标一下，假设这个点是 m 点， m 点可以了，我们只需要在旁边把这个图形把它画出来就可以了，连坐标系可能都不需要画。 然后根据题目的信息呢，我们可以把数据给标出来，我们假设我们要求这个圆的半径是 r， 也就是这个位置 p q 是 r， 然后呢， b p 呢？也是 r， 因为它是一样的嘛半径，然后呢，因为 o q 是 什么？ o q 的 长度是四，大圆的半径是四，那么 o p 的 长度呢？就是什么四减 r 路， 然后呢， o b 的 长度是二， o a 的 长度是一，根据勾股定律，我们可以算出 ab 的 长度是根号三。那我们可以看到图里面呢，这里有两个三角形是相似的，相似的，相似比是什么？一比二，那根据相似比的话，我们就可以把 o m 和 a m 给表示出来了， o m 的 长度是 一比 r 分 之一的，什么 o p， 也就是四减 r， 然后呢？ o a 等于 o， o a 等于一啊，那 a m 等于什么呢？ a m 等于一加 r 分 之一倍的 ab， 也就是根号三。 那直接拿 o a m 做勾股定律啊，那个勾股方程就可以了，也就 o m 的 平方，一加 r 分 之一，括号四减 r 的 平方， 那它就等于什么？它就等于 a m 的 平方，也就是一加二分之一，根号三的平方，再加什么一的平方。那么因为我们看到，呃，同类项嘛，一加二，把一加直接提出来，那直接就变成了四减二的平方，等于什么？根号三的平方？三，再加上这边一加二，把它整理乘出来就一加二的平方， 这计算的细节也没什么问题。这是一个什么？把它展开之后， r 会被削掉啊？一元一次方程， r 解出来等于五分之六，答案也就是五分之六了。 我们可以看到就是如果你能够分析的出来，在这个状态下，它的圆的半径是零界状态，是最小，我们只要把它提出来，用初中的方法，用相似跟勾股方程相似比勾股方程，就可以把这个 r 的 零界状态这个长度给求出来。我们看到网上有很多解法啦，嗯，又要设三角函数啦，设差啦。其实主要是因为他把很多功夫跟精力呢都花在了 他要怎么去把它算出来这个零界状态的时候，他的半径最小，因为他没有用图像去分析，用图像去分析这个零界状态最小，如果直接用图像分析出来呢？可以省掉了那些计算步骤。我们看到很多方法，嗯，包括这里啊，我们看到网上有些 大神讲到了什么，这道题实际上是考察员的相切问题，实际上是表面上考察员的相切问题，实际上是考察椭圆的，什么隐蔽的胶半径啊，等等啊，一大堆啊，是圆形的插入方程啊，等等啊，一大堆。那么我认为这些都没有必要，没有必要就是说，呃，一道题目就是说能把它简单就尽量简单啊，如果我们找的出这个状态，直接计算，直接计算就可以了。

在刚结束的营口二模的这套试卷当中，他的几何题的第二问涉及到了逆等线的最值问题，而在真正的中考，每一个学生你只需要掌握好将军引马就可以了。而在这个几何的最后一问呢，涉及到了二倍角解型的思想， 二倍角解形对辅助线也是有要求的，所以中考大概率也是不会出现的，但是中考前每一个同学值得学习一下二倍角解形的思想，那么这道题我们应该如何用二倍角解形来轻松解决它呢？这个视频老李告诉你， 我们在讲这个二倍角三角形之前，我们先要知道我们所看到的这样的一幅图，它其实属于解三角形当中的一种，为什么呢？如果说我给你其中一条边是六，另一条边是十，并且这个三角形当中两个角的关系还是二倍的关系，这个时候的这个三角形它就相当于之三了， 那之三的时候那这个三角形就可以解，说白了，这个三角形无论是边长、周长还是面积，我们都能把它解出来，其实它属于解三角形当中的一种高级的解法。 除此之外，我们要知道的是，这个二倍角三角形不仅仅是在初三可以解，初二的同学也可以解，通过做垂直双勾股就可以解决。 那么当我们看到这种二倍角三角形的时候，我们应该如何去构造辅助线来解这个三角形呢？首先我们可以把这个二倍角进行减半，那减半的方式有很多，比如说我们可以把 bc 延长 延长，使这两条线段相等，那这个时候这个三角形就是个等腰三角形，而且它的外角是个 r， 所以 说这两个角就一定都等于 r， 而你构造完这个等腰之后，你会发现这个是 r， 这个也是 r 呀，所以这个大三角形它也是个等腰三角形，也就是说你构一个等腰，又能出一个等腰，并且你所看到的三角形 a、 c、 h 和 abh 又是一个子母的相似， 当然我们也可以在它的里面构造一个等腰三角形，这样的话右边是 r r， 左边也是一个 r r 的 一个外角了， 所以说这个角一定也是 r， 说明三角形 a、 b、 h， 他 还是一个等腰三角形。我们够一个等腰，又能得到一个等腰， 当然我们也可以向外侧延长，使得这两条线段相等啊。那这样的话，我们也可以完成把二倍角减半的一个作用，这个时候这两个角也都是 r， 那 这个时候你所看到的三角形 abc 和三角形这里的 a、 b、 h 也会出现一个子母的相似。 当然我们也可以选择在中间构造一个角平分线，构造角平分线也可以将这个二 r 减半， 那这个时候有角平分线，这个时候这个三角形又成了一个等腰。所以说把二倍角减半的方法就是我们 很快能想到的一个思路。老师随便选择了两种情况，简单的讲解一下，并且这个是 r， 这个也是 r， 这两个边也都相等， 所以这条边长度也就应该是十了。那么接下来作为初三的学生，你就可以用子母相似来解决问题，也就是说图当中的三角形 a、 c、 h， 它是相似于三角形 a、 b、 h 的， 这是一个子母相似，那么子母相似当中，我们会发现小等腰的底，也就是 a h 比上这个大等腰的这个底， 他就一定等于这个小等腰的腰比上这个大等腰的腰。当然这个 ab 和 a h 都是相等的，对不对？所以这个 ab 你 也可以把它写成 a h， 那 这个时候如果我们交叉相乘的话，我们就会发现 a h 的 平方就等于 ac 乘以 b h， 所以最终你通过子母相似，一定能得到一个类似于摄影的一个结论，也就是这个三角形跟这个三角形如果相似的话，公共边的平方一定就等于这个点所引出的两条线段的乘积。 比如说这里的 a c 是 十，那也就说明十的平方一定就等于六乘以六加 bc 了，那这样的话，我们就可以把 bc 这条边求出来，完成解三角形之三推所有的这样的一个能力。 当然如果你是一个初二的学生的话，坐到这的时候，你可以选择三线合一，因为等腰三角形非常多，你可以在中间做一个垂直，你做完这个垂直之后呢？如果说你设这条边是 x 的 话，那你会发现根据三线合一，左边就应该是六加 x， 对 不对？你会发现在这个直角三角形当中， 六的平方减去六加 x 的 平方也是 a h 的 平方， 那么双钩股表示的都是 a h 的 平方，你就能列出一个方程，也就是说这里 a h 的 平方，它既等于六的平方减 x 方，它也等于十的平方减去六加 x 的 平方，那你解这个方程就能求出 x 的 值，也能满足之三解这个三角形。 当然如果按照子母的这个结论出发的话，其实我们会发现 a h 的 平方其实也就相当于是 ab 的 平方， ac 的 话就是 ac， 而这个 bh 就 相当于 ac 加上 bc， 对 不对？所以说如果我们把它还原一下这个图形，你会发现，当你看到这个二倍角三角形的时候，那就说明这个二倍角所对的这条边的平方一定等于 ac， 乘以 ac 加 bc， 对 不对？你可以这样去理解， 当然他只能用在天空选择。如果作为初二的学生，你也可以向内侧去构造这样的一个等腰，如果向内侧构造等腰的话，那这个时候你会发现这个是 r r， 那 这个是 r， r， 这个也是 r r， 说明这个是六，这个是六，那这条边一定也是六。 那么我们仍然利用三线合一做一个垂直，你会发现设这个边是 x， 那 这个边一定也是 x， 你 会发现这里 a h 的 平方 等于六的平方减 x 方，他还等于十的平方，减去六加 x 的 平方，我们仍然可以通过双勾股求出 x 的 值来解决问题。然后我们来看营口二模的这道题， 首先题当中告诉我们这个角是 r， 这个角是二 r， 它们俩是二倍的关系，所以我们设个圆，并且这个是九十，那这个角也就是九十减 r， 这个角是一百八减二 r。 首先左边这个三角形是一个二倍角的三角形，右边这个三角形呢，也是一个二倍角三角形，并且又给了我们这个边是六。我们难免就会想到解二倍角三角形，但是左边这个三角形他只知道两个条件之二，他是没法去解的，右边这个三角形也是同样的，只知道 两个条件，没法解这个三角形。所以我们难免就会想到的是，如果我们把 b、 d 当做一个已知的边， 它如果是确定的边，那么根据 bc 的 长度等于十六，那这条边就应该是十六减 x， 对 不对？那么左边这个三角形是不是这个时候也就知三了？ 我们也就可以用 x 把 ab 表示出来，同样右边这个三角形是不是也知三了？所以说 a、 c 这条边我们也可以通过 x 把它表示出来。那么首先我们可以想象一下二倍角三角形，我们如果往外， 对吧把二倍角减半，那这个时候这个是一个等腰三角形，那这条边是 x 也能得到这个三角形，也是一个等腰三角形，所以我们把 ab 这条边就可以转移到 bh 这条边的身上，那你会发现，在通过子母相似 bh 的 平方等于 x 乘以 x 加六， 所以最终也就能把 ab 这条边的平方表示出来，刚好等于 x 乘以 x 加六啊。同样的，在右侧的这个二倍角三角形当中，我们也可以把这个二倍角减半啊，向外构造等腰啊，对不对？这条边十六减 x， 这个点是点 p， 同理我们也可以确定 这个大的三角形也是一个等腰三角形，对不对？所以说 a c 转移到了这个 cp 的 身上，再根据字母相似 cp 的 平方就等于十六减 x 乘以十六减 x 再加六。 当然这个证明过程，你可以看我前面的讲解的过程，所以我们最后就可以得到 a c 的 平方就等于十六减 x 乘以十六减 x 再加六了， 你会发现我们把这里的 ab 方和 ac 方都表示出来了，而 ab 和 ac 刚好在一个直角三角形当中，我们是不是也就可以勾股定律了？ 最终我们列完这个勾股定律之后，同学们你会发现化简之后 x 就 能求出来。这个计算我就不说了，我们最终可以求出来， x 一 等于的是十二， x 二呢，等于的是四。而这道题要求 b d 是 一定要小于 c d 的， 所以舍掉一个最后答案， 这道题 b d 的 长度也就是四。同学们，二倍角解三角形，你学会了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！

这是近期山东泰安二模中选择题的最后一道题。先看题目，矩形 a b c d 中长是四，宽是三，一点是宽， ab 上的动点 e f 和 b d 平行， f g 又和 e f 垂直。让我们求线段 e g 的 最小值， 分享两种方法。方法一，有已知的平行和垂直，我们知道这也是个垂直，而且 f t 比上 b e 是 四比五的关系，因为小白三角形的三边刚好是三四五的比例关系。同时你还会发现橙色三角形也是个三四五，所以 b t 比上 b g 也是四比五， 所以这两个直角三角形相似。那么 b f 垂直对角线 a c 时，最小口算是五分之十二，此时 e g 也最小， 用五分之十二乘以四分之五，刚好等于三。方法二，延长 e f 与 a d 相交，因为这两个都是等幺三角形，所以 e f 和 f k 相等，由三线合一，我们知道橙色的也是个等幺三角形， 所以 e g 和 k g 相等。虽然这两点都是动点，但是我们知道 k g 永远是大于等于矩形的宽，也就是三的。

这道题是合肥瑶海区二模选择题的第九题，今天就给大家分享学渣与学霸的两种做题方法。学渣方法？这啥呀？这是 学霸方法？先看题目说直角三角形 abc 中， ab 是 八， ac 是 十，直线 l 与 ac 平行，地点是直线 l 上的动点， a、 d 不 仅与 d 垂直，而且还是它的三倍。让我们求当 c、 e 最小时， b、 d 的 长是多少？ 一线三，垂直成色三角形相似，相似比是三比一，所以 b、 d 是 e、 f 的 三倍， a、 b 同样也是 d、 f 的 三倍，那么 d、 f 就是 三分之八。 设 e， f 是 x， 那 b、 d 就是 三 x 延长 f， e 在 绿色直角三角形中， e、 k 等于八减 x， c k 等于十，减去三分之八，再减去三 x， 也就是三分之二十二，减去三 x， 因为 c、 e 最小， c、 e 的 平方也最小。勾股定律， c、 e 的 平方等于。这个我们不需要全部算出来，只需要知道二次项系数和一次项系数即可。 你看这边有个 x， 这边是三 x， 所以 平方以后加起来就是十 x 的 平方。一次项口算，一个是负十六，一个是负的四十四，加起来就是负的六十 x。 至于长数项，我们不用管它，利用二次函数顶点坐标公式，当 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是三的时候有最小值，因为 b、 d 是 三， x 也就是九了。前面那个人好像蒙对了。

今天咱们来看一道上海宝山二模的十七题。如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中，将 b、 c、 d 绕 b 点旋转至 b、 c 一 撇 d 一 撇的位置，点 d 在 b、 a 的 延长线上， a、 d 与 b、 c 交于点 e。 如果 a、 e 等于四， d、 e 等于五，求 a、 e、 c、 d 的 面积。我们目前可知 s 三角 s、 a、 e、 c 一 撇 d 一 撇是等于 s 三角形 b、 d 一 撇 c 一 撇减去 s 三角形 a、 b、 e。 这没问题，但问题的关键就是说 s 三角形 a、 b、 e 中的 a、 b。 不 知 现在如何求 a、 b。 其实在解题的时候，你需要记住两点，第一旋转 必有相似，第二就是 相对难一些的，一定想到相似 好来，根据这里，我们目前缺少的就是 ab， 我 们设 ab 为 x， 可以 吧，这是 x， 因为旋转 cd 也等于 x， 那 此时其实我们能知道三角形 a、 b、 e 相似于三角形 bc 撇 d 撇，那我们就由 x 比四等于九，比上 x 可知 x 等于六，那我们知 x 等于六，那这道题就轻松了。那 s 三 s， a、 e、 c 撇 d 撇，那就等于二分之一的 c 撇 d 撇乘以 c 撇 b 减去二分之一的 a， 一 乘以 a、 b。 最后解答，答案等于十五，你学会了吗？记得关注我，我每天都会更新的。

大家好啊，那今天看一下二六年朝阳二模的椭圆压轴的题目啊。这里面首先是求椭圆的方程，给的两个条件，一个是长轴与短轴长之和为六，就是二， a 加二， b 等于六，然后 a 加 b 等于三。 另外一个是焦距等于二倍，根号三就相当于是 c 等于根号三。我们用一下 a 方减 b 方等于 c 方，嗯，把 b 用 a 来表示一下把，就可以把 a 求下，等于二等于一。 最后求出来这个椭圆的方程是 x 方，除以四加上 y 的 平方等于一。 接着来看它的第二位，设 o 为圆点，点 a x 一 y 和点 b x 二 y 分 别为这个椭圆第一象限和第二象限内的点。而且 a 点的横坐标是 b 点纵坐标的二倍。 当点 m 满足向量 o m 等于二分之一， o a 加上二分之根号三的 o b 的 时候， 正一下点 m 在 椭圆 e 上面，这个 a 点和 b 点的坐标我们都是清楚的，这个 o m， o a 和 o b 就 相当于其实就是 m 点 a 点和 b 点的坐标，也就是 m 点，可以用 x 一 x 二和 y 一 y 给它表示出来。 那我们先写一下 m 的 坐标，那很容易可以写出来， m 的 坐标就是这个条件，其实指的就是 m 是 二分之 x 二分之一倍的 x 加上二分之根号三倍的 x 二。 呃，然后纵坐标是二分之一 y 一 加上二分之根号三倍的 y 二。那么这道题有一个特点，就是他没有直线方程了，我们也不需要去设直线，然后用伟大定律呃，要正一下这个点在椭圆上，其实就我们把这两个横纵坐标平方加起来，呃， 椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方等于一，那我们也可以用这个 x 方除以四加上 y 方，看看是它是不是等于一，或者去证一下， x 方加四， y 方等于四，这样就没有这个分母。 那剩下问题是，它一共有 x 一、 x 二和 y 一 y 二四个字母，但实际上呢，因为 ab 都是在椭圆上的，所以这个 y 一 可以用 x 一 表示， y 二也可以用 x 二来表示，然后它给了这个 a 和 b 的 相线，那么就省掉了一个分类讨论的一个情况。 那么又有另外一个条件，就是 x 一 等于二， y 二。这样呢，我们实际上最后应该是可以把它转化成只有两个字母的一个式子。 转化成只有一个字母呢？比如说所有的字母都可以用 y 二来表示啊，因为 x 二可以用 y 二表示，然后 x 一 可以用 y 二表示，那么 y 一 呢？可以用 x 一 表示。那比如说，我们最后可以转化成比如说都用 y 二来表示的一个式子，然后去把这个 y 二的这个式子进行一下化解。 接着呢，因为它是在椭圆的上面，所以我们可以把我们可以列出的所有等式都列一下，看一下怎么进行消圆，然后得到我们最后的一个式子。 那么条件分别是 a 在 椭圆上， b 在 椭圆上，还有 x 一 等于二， y 二，我们把它进行一下简单的呃 b 之后，会发现它会得到一个式子，是四万二的平方加四万一的平方等于四， 那么这个式子，呃，很显然它算是比较整洁的，因为这个能够说明 x 一 x 二，呃，还有 y 一 y 二，它们如果组成一个坐标的话，都在一个圆上面， 然后我们也可以把 x 一 的平方加 x 二的平方当成一个字母，就比如说我们最后能凑出一个 x 一 的平方加 x 二的平方，那我们就可以不用把它都强行换成某一个字母了。 那接着我们就需要去算一下 m 这个式子，看看这个 m 这个式子怎么能进行化简。比如说变成 y 一 的平方加 y 二的平方，或者是 x 一 的平方加 x 二的平方，如果不能呢，我们就需要再进行一下，比如说用 x 一 再表示 x 二之类的， 那么 m 这个式子里面有 x 一 x 二也有 y 一 y 二啊，那我们最好还是要给他进行一下处理。比如说如果我们想要凑的话呢，可能会比较想要凑 y 一 的平方加 y 二的平方，因为如果 x 一 的平方和 x 二的平方，感觉上应该会有比较多的一个分数， 我们需要替换的就是 x 一 和 x 二，只保留 y 一 和 y 二，看能不能凑一个 y 一 的平方加 y 二的平方。那么这里面呢，我们就需要去看一下 这个是二分之一倍的 x 一 加二分之根号三倍的 x 二。然后我们在这里面， 比如说我们这个把 x 一 替换成 y 二，或者是把这个四 y 二的平方，或者把四 y 二的平方替换成 x 一 的平方之后，会发现一个比较巧一点的事，这个四 y 一 的平方，它应该等于 y 二的平方， 那么也就是说 y 一 和 y 二也是可以互相表示出来的，我们就不需要再转一手了。那我们就接着就用这个把 x 一 换成二百二，然后 y 一 应该是要换成负二倍的 x 二， 那进一步化简之后呢？呃，我们可以用 x 一 的平方加四外一的平方等于四和 x 二的平方，加 x 一 的平方等于四，可以得到这个 x 二的平方，它应该等于四外一的平方。 然后因为 x 二是小于零的， y 一 是大于零的， b 在 二项线， a 在 一项线，所以我们最后可以把 x 二换成负的二外一。 这样呢，我们就也没有分类讨论的一个情况了，因为我们正常互换应该是带根号的，那么这个 m 我 们最后就可以把它换成只有 y 二和 y 一 的。那接着我们就需要把这个 m 这个点带到椭圆的方程里面，看看能不能正好凑出 y 一 的平方加 y 二的平方。 如果可以的，我们 y 一 和 y 二就可以不用互换了，那接着我们代入一下，求出最后结果就可以。 那么把这个 x 二和 x 一 都替换完之后，然后再代入这个四分之 x 方加 y 方，会发现最后化简完的式子正好就是 y 一 的平方加 y 二的平方，那这样我们就可以直接证明这个 m 就 在椭圆 e 上。

同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。

有同学问这个道理，二模这个无刻度纸画图啊，如何来进行理解啊？好，那我们老师领着来看一下啊。 首先呢，他说做一个四十五度角，那我们知道构一个 m 型啊，那么从这这是一个，还有这是一个，那可以构造一个等腰直啊，这样就有四十五度了。第二个 函数 a、 c、 d 要等于一比二，那么这是三角比，那这道题出的还是不错的，我们通常在做这种啊，无刻度画值，画图要的是构型，也就是转化，那么三角比是个比例，能转化成什么？相似比， 那么我们就需要找一块比例，一个相似比是一比二的，那么是沿这个三角形看，我这个比，这个三角形和这个三角形比例是一比二，那正好是这个焦点了。 ab 这个线的什么焦点啊？那这样的话就得到了一比二， 那下面呢？是要垂直还是转化？那么垂直，我们知道这等号直，这里有个立导，有人管这个叫双高图啊，我们叫立导啊，那立导这个点是怎么确定呢？你说老师我不能画这样的，叫立导，直接立导了。这个这这多长？ 那要我们需要找一个从这到这的距离，等于从这到这还是够一个，这个三角形全等在这延长，全等这俩三角形全等就完事了啊，然后一连接啊，这就是一延长，这就是垂直啊。 啊，那么其他部分呢？比如说像这需要的，他说让你画什么的地方用实线，那其他地方用虚线， 那像这类题呢啊，这个考的现在无刻度尺画图，跟以前那个画图不一样了，考的就是逻辑啊，也就比如说这里的转化思想是不是一种逻辑啊？对吧？好，加油。