唐山二模数学步骤

大家好，唐僧二魔已经结束了啊。呃，这回这个卷子呢，我觉得他的这个 呃十一题的大选项，包括这个十四题啊，出的都非常好，然后我看十一题大选项，然后有一些那个网上老师，呃，还没有发表自己的想法啊，然后我简单说一下我的想法啊， 呃，我觉得他这前三个选项出都比较简单，就主要是看这个第四个选项，呃，就是他给了这个比特减 r 法，他想求他这个绝对值，因为我们知道，呃，比特减 r 法他的意义不就是这个呃， p a b 是吧？减去这个 pa 乘以 pb 嘛，对吧？那我们的目的肯定是为了啥呀？统一变量，统一变量的话，因为我们知道这个 pa 是 吧，它正常应该是大于等于 pa 的， 所以说啊，它应该大于等于 pa， 大 于等于 pa， 它就我的目的就为了统一成变量 pa 它嘛，对吧？然后 pb 呢？我们也知道它是不是大于等于什么呀？ pa b 是不是也是大于等于 b 它，对吧？所以说这回我的什么我的目的就实现了。那么 b 它减去嘎嘛，是吧？那它就等于啊，因为 p a b 的 b 它是不是 b 它减去啊？ b 它方， 听懂了吧？啊？小于等于，因为它们都大于等于嘛，所以这块是小于等于，对吧？小于等于，然后我们知道因为 b 它的取值范围啊， b 它的取值范围应该是零到，因为它是概率嘛， 所以说它去完绝对值之后就是被它减去被它方，那么根据一个良好的数学素养，先把二次项写在前面，负被它方加被它， 对吧？那很明显啊，它的这个当被它得几的时候啊？是不是二次函数？是不是当被它等于二分之一的时候，它是不是取最啥呀？取最大呀？是不是二分之一的时候？那我们结果我们算一下是不是它的最大值就应该是多少， 最大值是不就应该是四分之一，对吧？那么四 d 选项就出来了啊？我认为我这个想法应该是非常简单的啊。

唐山初三的家长们，二模刚考完，很多孩子发现题型跟一模不太一样，有的题甚至没见过。别慌，这恰恰是二模最大的价值。他提前帮您暴露了中考可能出现的新考法。今天教你一套二模复盘三步法， 专门针对题型变化。第一步，把新题型单独拎出来，别混在普通题型里。把所有没见过、没练过、跟平时套路不一样的题，用红笔圈出来，抄在一个本子上，然后问自己 这题考的是哪个知识点，他换了一种什么问法？第二步，找出新背后的不变。很多孩子被新题型吓住，是因为只看到包装变了， 没看到内核没变。比如数学，以前直接给你解析式，求最值新题型可能来个实际问题，让你先建模，但核心还是那个公式。复盘时一定要把这道题的股价扒出来写在旁边。第三步，找三到五道同类变形题 再练一遍。每练新题型，让孩子找几道类似的变形题练一下，连续做对三道，这个新题型就拿下了，还做不对，说明这个知识点本身就有漏洞，应该回头复习基础概念。 家长们中考不会考原题，但他考的一定是你学会的知识点。二模的新题型就是命题人提前给你的样卷，吃透了，上考场，再遇到新面孔，孩子的心里就有底了。

每天一道好题，为高考加油！今天这个题目是二零二六年四月唐山二模的第十九题，这是一个导数压轴题， 这个题目是一个考察函数零点的经典的好题。嗯，这个题目啊，应该说比较俗套了，因为前几年高考或者说模拟考中考的比较频繁， 而且尤其是去年的新高考二卷，就是二零二五年的新高考二卷，他就考了一个这种比大小问题，所以在二零二六年的高考中，我觉得考这种题型的可能性不会太大。 但是对于二零二七年的高考考生，也就是现在的高二学生学习这个题目是很有帮助的，因为他真正的考察你对韩对导数的认识，对函数这个分析的呃，是应该说是很有帮助的。好了，我们来讲解一下这个题目。 函数 f x 有 两个极值点， x 一 x 二 x 一 小于 x 二，求 a 的 取值范围。有两个极值点，那就是导函数有两个变号零点啊，下面我们看导 e 的 x 次方，这应该是减去二 a x 减 e， 它等于零，应该有两个时根，有两个不等时根，那你这个有两个不等时根往下你怎么求 a 的 取值方位呢？往下的思考角度应该有两种，一种就是分离函数， 一种就是直接分析这个函数，看这个函数图像 y x 时候，什么时候会有两个交点。 由于下边第二问，尤其是下边的一些问题里边，既涉及到极致点，又涉及到零点，我觉着分离函数的话，将来会。嗯，对讨论零点或者极致点应该说是有点影响，所以我们考虑的方法就是直接对他求导，分析这个 导函数的导函数，也就是二阶导函数，来研究一阶导函数图像，我觉得这样比较好，所以呢，这个题啊，这里边应该是有两个零点， 有两根吧，那么下面呢，我们就是对这个一阶导函数再求导，我们记作二阶导，这个 e x 次方减去二 a， 那 么我要研究二阶导函数，显然这个二阶导函数是一个单调递增的，大家应该能看懂是吧？ e 的 x 次方是个增函数， 那么这时候二解导函数，它的正负呢？与 a 的 取值有关。第一种情况，如果这个 a 要小于等于零，显然这个二解导函数应该是一个恒大于零的，那么就是说一解导函数在整个实数范围内应该是单调递增的， 他要单调递增，那么他的零点至多有一个，不可能会有两根，所以这时候是不可能符合题的，所以至多有一个零点，所以这时是不合题的，不合题， 那么 a 大 于 a 小 于等于零，不行。那么下面第二种情况，我们就考虑 a 大 于零的时候， 如果 a 要大于零，那么这个二阶导函数又是个单调递增的，那你想一想， x 趋向于正无穷，它是趋向于正无穷的， x 趋向于负无穷呢？它也是，它不趋向于负无穷，应该是趋向于负二 a 的， 所以这时候大家应该是有零点的， 对不对？所以这种情况下，我们另一个二节导函数让他打零，那我们就可以知道， e、 d x 四方等于二 a， 也就是 x 应该等于 long 二 a， 这个导函数等于零，是有零点的，这样的话，我们就可以想象一下， 当 x 小 于浪二 a 的 话，这个一节啊，这个二节导函数应该是小于零， x 大 于浪二 a， 二节导函数应该是大于零，所以这个一节导函数，它在负无穷到浪二 a 应该是单调递减的， 在绕二 a 到正无穷这个区间上，应该是单调递增的。好，我们要研究的是一节导函数有两个零点啊，有两个零点，那么一节导函数又是先减后增，你可以想象一下， 那么他要与 x 有 两交点是不是？你看，就这个就是这种画图的方法啊，所以我们可以考虑机械的方法。你看，当 x 要趋向于负无穷的话，我们看这个 e 极导函数，在这里 x 趋向于负无穷，这是趋向于零的。这个东西呢？ a 要大于零，这个东西是趋向于正无穷的，所以整个函数值是趋向于正无穷的。 嗯，然后 x 要趋向于正无穷的话，我们再往右看整个这个指数函数，它是起主要作用，它是趋向于正无穷大，而且趋向于正无穷大的速度很快，所以整个导函数是趋向于正无穷的。 好了，我们就可以知道，要想 f 撇 x 有 两个零点，导函数等于零有两个，那么 只需要什么呢？只需要这个导函数的基值点 f 撇 l 二 a， 它是一个小于零的就可以，对不对？ f 撇 l 二 a， 我 们就可以把它带进去，把 l 二 a 带入 x 的 位置，那这个就是 l a， 所以 我们把它写出来，这就是 l a 减去 l a 倍的 l 二 a， 再减 e， 这个东西就一定有小于零才行。 所以我们下面要求 a 的 范围，只需要这个东西是小于零的，这个东西要小于零，求 a 的 取值范围。怎么考虑呢？ 我们只需要把它再看成一个函数，研究一下它的图像，因为这个 a 是 正实数，任何题都能满足题，对吧？但是我们得保证这个时候小于零啊，所以我把它重新设成一个函数， 比方说设成 g a 吧，就等于二 a 减去二 a 倍的 l n r a， 再减 e， 这个 a 呢，是个大于零的， 研究它的话，对它求导呗。哎， g 撇 a 啊，这就是二减去这个里边这个二倍的。我先提出来 a 倍的 l n r a， 它是一个乘以 l n r a， 然后加上 a 乘以 l n r a 的 导数， l n r a 是 个复合函数， 那么绕二 a， 导数是二 a 分 之一，再乘以二 a 的 导数是二，导函数是这样的，然后后边 e 的 导数是零，在这不写了， 这样的话，这里边 e 等于这个呢？ a 小 于 a 小 于 a 小 于 a 就 成个 e， 那 么减二和这个二有效掉，所以这个结果就等于负的。二倍的绕 n a， 那么这个导函数是他的话，我们可以看这个导函数的正负了吧。那么当这个二 a， 嗯，第一种情况，嗯，就是二 a 要大于零，小于，也就是 a 大 于零，小于二分之一的话， 这个 g 撇老 g 撇 a 吧，他应该是一个大于零的。当 a 大 于二分之一的话， 这个 g 撇 a 呢，应该是一个小于零的，对吗？所以我们就可以知道 g a 这个函数，它在零到二分之一是单调递增的，二分之一到正无穷呢，它是单调递减的， 那么 g a 先增后减，特殊的地方就在二分之一。我们看一下这个二分之一 a 要等于二分之一的话，把它加进去，也就是二 a 得一，二 a 得一的话，这就变成了 e， 这个变成 e 浪一得零， e 减 e， 它还得零，所以这个 g 二分之一它正好得零， 说明什么？我们要求的是 g a 它得小于零，然后这个 a 这个关于 a 的 代数式呢，它又是一个先增后减的 g a 的 时候，而 g 二分之一的时候又得零， 所以你只要保证 a 不 等于二分之一，那么在 a 大 于零不等于二分之一的情况下， g a 是 不是小于零？ 所以我们就可以知道，这个 a 的 取值范围就是零到二分之一，并上二分之一到正无穷就可以，这样的话， g a 就 一定小于零。然后呢，函数就有两个极值点。 好了，第一问我们就分析完了，这个呢，当然分析起来很麻烦，但是呢，对于我们第二问呢，第三问有帮助，所以我们是用这个直接讨论正负来研究的。好了，我们来看一下这个第二小问， 当 x 二大于零时，即 x 三为 f x 的 最大零点。第一小问还有两小问啊，证明 f x 有 两个零点， 这个从哪下手呢？这时候是研究 f x 了，研究它了。好了，我们根据刚才讲的 f x 这个函数啊，应该是一个 有两个极值点，导函数是这个样子的，这个有个 x 一， 这有个 x 二，这边正，这边负，这边正，所以 f x 肯定是先增再减再增的。 那么根据题中条件，前面已经用完了，只给了一个 x 二大于零， x 三是最大零点，你怎么证明他有两个零点呢？ 这个条件乍一看没啥用处啊，实际上这个就是一个数学的思考之美吧。条件没法用，那我们就得找一些特殊的，因为这个条件没有在用的地方了，怎么特殊呢？你要仔细观察的话，会发现这个 f 零， 嗯，正好这 e 的 零次方是 e， 这两个都是零了，一减一正好得零， f 零正好是零，是个零点，而这个 f 撇零呢？你观察这个它也得零， 那 f 撇零得零，说明这个零就是 f x 极值点， f 零得零，说明零就是 f x 的 零点， 所以这就是一个隐藏的哎，天生的极致点和零点，你这个都能看得出来。所以我们根据刚才咱们分析的，你想想，函数 f x 是 先增后减的，我们来往下看， 函数 f x 是 先增后减的，那么这个极值点有一个 x e 有 个 x 二，而且这个极值点有一个是零，你看到了吗？有一个是零，这个 x 二还大于零，嗯，说明这个 x e 就是 零， 对不对？所以我们从这就可以发现，这个 x e 正好是一个极值点，而且这个极值点极值又是零，所以这个 f x 图像它很有特点，就这样的，对不对？这个就是极值点，也是零点啊，所以我们就可以知道第二问啊，第二问， 我们注意到这个 f 撇零，它是得零的，然后 x 二它又大于零啊， x e 又小于 x 二， 对不对？所以我们就知道这个 x e 就是 零啊， x e 就是 零，所以这个 f x 它就在负无穷到零，是单调递增的，零到 x 二单调递减， x 二到正无穷，它又单调递增， 而且我们又发现这个 f 零它还得零，这个图像就是这样的，看到了吧，所以你就想想，它是不是就应该有两个零点呢？应该有两个零点，那怎么说这个声呢？ 那只需要证明它在，哎，这这个点就是 x 二了啊，这就是 x 二，这块横坐标就是 x 二，只需要证明 x 在 大于 x 二这部分，它函数值有正的就行了， 对不对？因为我们可以知道这个 f x 二肯定是小于 f 零的啊，这个 f 零正好得零，所以只需要在大于 x 二的那部分函数值是正的就可以。这样的话，你要严谨的说，你可以卡根，就是选一个特殊的值，使这个函数值是一个正的， 你要是不愿意卡根，省时间，在考场上，你就可以利用极限 x 趋向于正无穷。 f x 呢，肯定趋向于正无穷， 所以肯定存在一个 x 三，它就属于 x 二到正无穷，使 f x 三等于零，这是零点分散性定律。所以我们就可以知道 f x 有 两个零点啊，一个就是零， 嗯，一个是零，一个是 x 三，明白了吗？所以第二问的第一小问我们就解决了，就结合图像 好了，我们再看这个第四第二问的，哎，不对，这这个问出还太多了。第二问的第一问的第二小问，证明 x 二大于二减 a 分 之一，这又是怎么个事呢？ x 二是极值点呐，极值点怎么会大于它呢？这怎么倒 好，我们看一下这个 x 二啊，在这里，这是 x 二，这是 x 三啊，这个就应该是那个 x e， 那么这个 x 二怎么大于 a 几 a 什么呢？嗯嗯，什么呢？把 x 二大于二减 a 分 之一呢？ 这个呀，我们不可能找出 x 二的值来，用什么来解决呢？我们呢，这里面就是构造一个不等关系， 这里面 x 二的一个函数值是已知的，因为 x 二的点的值不知道， x 二的函数值是知道的。 x 二是啥呢？是一个极小值点呢？所以这个 x， 嗯， 第二问的第二些都不会编号了。第二小问吧，这个 f x 二他肯定是一个负的，我们把它带一下啊。嗯，我把这个， 哎，我弄下来，弄下来，我摘下来啊，要不题目看不到了， 总往上去找。这个 f x 二是什么呢？就是 e 的 x 二次方减去 a 倍的 x 二的平方，减 x 二减 e， 它应该是一个小于零的。 那么我们别忘了，这个 x 二还是一个极致点，它以导函数的零点，对不对？导函数的零点，也就是 e 的 x 二次方减去二倍的 a 乘 x 二减 e， 它应该得零。 我们要找出这个 x 二和 a 的 一个大小关系，是不是利用这个不等式再加上一个等式就行了？ 因为这里面有个指数性的式子，我们要利用这个不等式解出 x 二和 a 大 小关系是没法解的，所以我们利用这个等式把这个 e x 二次方给它消掉，好，我们给它代入。 那这个 e 的 x 二次方呢？就是二 a 倍的 x 二加 e， 它减去 a， x 二的平方减去 x 二再减 e， 它这个应是小于零的，我们可以看到 e 就 消掉了，那也就是二 a x 二减去 a 倍的 x 二的平方，减 x 二小于零。 由于 x 二是正数，每一项都含有 x 二，我又可以消掉，那么就是二 a， 嗯，这个 x 二是大于零的，我先写上， 就是减去 a 倍的 x 二减一，应该是小于零的，这样的话我们下面就可以解了。那么这个 a x 二就大于二， a 减一，所以这个 x 二就大于 a 分 之八，除过去就是 a 分 之二， a 减一就是二减 a 分 之一，这就出来了，也就正出来这个结果了， 看明白了吧？所以第二问的第二小问，啊，不，不对，这个号我都不会变了。第二问的第一小问的第二小问，我们也争出来了，就是 x 二大于二，减 a 分 之一。 像这种大小关系的问题，实际上就是一个什么呢？不等式和等式的一个文字游戏啊，你给它消元写成一个不等关系就可以了。 好了，我们再看这个第二问的第二小问啊，这个就是最后一问了，比较二 x 二与 x 三的大小， 这又是个什么事呢？这个呀，就是仿照着去年新高考二卷的第十八题的最后一问出的，实际上这种题也不是一个新颖的题，在一个新去年新高高考之前，已经有很多这种题型了啊，在以前的时候，天津卷里边就已经考过。 好，我们来看一下这个 x 二和 x 三，根据刚才这个图， x 二在这， x 三在这，你要比较这俩的大小关系，显然你是不可能算出来的 啊。你虽说第二小问的第二小问这个东西，我找出来个 x 二和 a 的 关系，但是 x 三呢，你这个是看不出来的呀，所以不可能是利用上面的起式来做，用什么来做呢？这时候我们可以考虑这个图像，因为这个 x 二和 x 三都是位于在这样一个对称线上， 在这样一个正区间上，你要比较这个二 x 二和 x 三的大小，那二 x 二要么在左面，要么在一位吧。 那你看二 x 二，要在 x 三的左边，你就可以考虑这个函数值。你看 f 二 x 二，它就比 f x 三小。 如果二 x 二大于 x 三， f 二 x 二就大于 f x 三，所以我们要比较这个大小关系。实际上是考啥呢？考函数的单调性， 这是第二问的第几小，问了这个，这个我都不会编号了。第二个小问吧，我要比较 f， 这这个二 x 二和 x 三，只需要算这个二 f 二 x 二与 f x 三的关系，而这个 f x 三我们放心去带，因为它正好得零， 所以只需要看 f 二 x 二是大于零还是小于零就可以。好，我们把它带进去试试，看看能不能做的出来。那么 e 的 二 x 二次放减去 ax 二的平方，减去二 x 二减 e， 这就是 f 二 x 二，那这个 f 二 x 二怎么看它的正负呢？这里边既有 a 又有 x 二啊， 这样的话，我们还是根据刚才这个思想，这个 a 和 x 二之间是满足这样一个等式的，我们是不是是给他消圆一下呢？ 啊？这这个方法啊，实际上题不一样，方法都不唯一啊，这就是数学之美，不同的问题，他的思考角度都不一样，这个题我们这个就是利用它来代换来消圆就可以。 我们消谁呢？上一步解这个 x 二和 a 的 大小关系的时候，是消的指数式，你这个呢？我们不能消指数式，因为你这个 a 和 x 二它里边两个变量，我们不好确定整个代数式的正负，所以这里边我们是消这个 a 啊，从这里面把 a 给解出来带进去。好，这个就是 e 的 二 x 二次放，减去四 a 乘四 x 二放吧，我们算这个 a 呢？ 这个 a 应该是等于二 x 二分之一的 x 二次方减 e 就是 从这里边解出来，因为你把它移过去，这不是二 a x 二吗？把 x 二再除回来，就是 e x 二次方减 e， 就 这个东西。 好，后边这个再减二 x 二减 e。 我 们看先整理一下这里面这个二 x 二是不是可以消掉一个，所以这上面还剩个二 x 二。好，写一下， e 的 二 x 二次方减去二 x 二倍的 e 的 x 二减 e x 二次方减 e， 减二 x 二再减 e。 我 们整理一下这个减二 x 二减负， e 正好变加，这个跟它正好消掉。所以这个式子带进去以后好像还挺减的。 e 的 二 x 二次方减去二 x 二乘以 e 的 x 二次方，后边应该是减个 e 就 没了。 下边这个任务我们就是看他的正负，那是大于零还是小于零，那么我们这个你一定能判断出来吗？ 这个实际上都是一个探索过程，没有说哪个方法一定能行的。这个我们实际上这种探索正好正确，对吗？为啥正确？我们下边倒一下就行了。 比方说我令这个 h x 就 等于 e 的 二 x 次方减去二 x 乘以 e 的 x 次方，减 e x 等于零啊。我导一下这个导函数，就是二倍的 e 的 二 x 次方，后边的导函数，我可以先把二提出来， x 一 导数乘一点 x 次方，就是一点 x 次方，前导加上前不导后导，嗯，然后减去 e 的 导数，没了，不用写了。这时候我们发现每项都有 e 的 x 次方，而且还都有个二，我把二乘以 e 的 x 次方提出去呢， 提完以后，这剩个 e 的 x 次方，这剩啥呢？这剩个 e， 这乘个 x， 所以 里面就剩下个 e 的 x 次方。减 x 减 e， 写到这里，大家会发现它有一个非常经典的代数式，这个大家应该都熟悉，这个就是我们常见的这个放缩不等式嘛，是吧？ e x 四方是大于等于 x 加 e 的， 这个想必大家都知道，这个啊，我就在这里就不给出证明了，所以这个东西，由于这个 x 有 大于零，所以这个是一个等于零的 啊。这几边我就不写过程了，所以我们就可以知道这个 h x 在 零到正无穷上一定是一个单调递增。 单调递增的话，我们就知道找找这个零点呗，以及这些特殊的这个端点。那 h 零呢？ h 零是啥？ h 零它正好得零，你看到了吗？ e 的 零次方零次方零， 这部分是零了。 e 的 零次方程是 e 一 减一，正好也得零，所以正好这个 h 零得零，那也就意味着这个 h x 一定永远大于 h 零是大于零的。 h x 大 于零，也就是 f 二 x 啊，不对， f 二 x 二一定大于零，这个零正好是 f x 三啊。由于 f x 啊，是在 x 二到正无穷是单调递增的。 f x 它在 x 二到正无穷单调递增，刚才咱们正了，你看哎，头在这了， x 二到正无穷在这个地方，它是单调递增的，对不对？它是个单调增函数，所以我们就可以知道这个二 x 二肯定是 大于 x 三，这就正确啊。好了，这就是唐山二模的第十九题，表面上呢，看着无从下手，实际上你思考一下，这个题是很简单的，今天就讲到这里。

各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。

hello， 大家好，跟着马哥跑数学没烦恼，咱们今天看一下二零二六年高三唐山二模数学试卷讲解。 咱首先来说看一下第一题，第一题，这个题啊，都有手都行， 为啥有手都行呢？首先看这个 t， 分 母是一减矮，分母不能带矮，所以说上下同时乘以分母的公个负数，那就是一减矮。 上下同乘之后，分母都变成了二，可以利用这个平方差公式，然后二二一消，都剩一减矮了。剩一减矮之后， 这个他问的是虚部，虚部是啥呀？是矮前面那个数，矮前面那个数是多呢？一瞪眼，矮前面那数是负一。 那有的学生都瞪眼一瞪，啪，是负矮，都完米了，都掉壳了， 完蛋了。所以说这里边有一个易错点，易错点就是这个徐步肯定不太矮，他就得负一。 再跟我嚷嚷一遍，跟着马哥跑，下一句是数学没烦恼。

中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。

大家好，今天我们给大家带来的是二零二六年唐山路南区二模的第十二题啊， 这个昨天上午啊，昨天这个唐山路南区进行的这个二模啊，是我们省内比较早进行二模的一个区域啊。 啊，那我们来看一下这道第十二题，也就是选择题的压轴题。首先来看题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 等于五。哎，注意一边读题，一边标注 a、 b 等于三倍的根号三，这不好标，我们标到上面 d、 c， 这啊，它等于三倍的根号三。矩形的话，四个内角都是直角，我们一般可以先标两个啊。然后点 e 在 a、 b 上， 且 a e 比 b， e 等于一比二，点 e 在 这， a， e 比 b， e 等于一比二，你知道什么呢？点 e 是 ab 上的一个三等分点，那 ab 的 长度是知道的，等于三倍根号三啊。那么所以 a、 e 呢，我们就可以求出来，它是等于根号三啊， b， e 呢，它就是二倍的根号三。 好，背景图形分析完毕，然后我来看说，在矩形内找一点 p， 使得角 bpe 等于六十度， 哎，这个角始终是六十度，那这个点 p 在 哪呢？不知道啊，要找一点，那这个点有多少呢？嗯，有很多，对吧？所以这个点 p 其实是一个动点啊，点 p 是 一个动点，这会让求的是线段 p d 的 最小值，让求的是线段 p d 的 最小值。 那结束目标，我们说对质问题处理基本思路分析，定点，动点点屁是动点，点 d 是 定点，然后去找动点在运动过程当中的不变特征。动点点屁在运动过程当中有什么不变特征呢？这个题目当中只有一个，就是要想使， 呃，要使这个角 bpe 等于六十度，也就是说点 p 在 运动过程当中的不变特征，就是始终保证了一个角等于六十度啊，是一个定角，哪个角呢？就是角 bpe， 那 这个角除了点 p 是 一个动点之外，点 b 和点 e 是 两个定点， 哎，所以现在很明显了，对吧？这就是一个定弦对定角问题啊，定弦 b e 对 着定角角 b p e 六十度啊，定弦对定角问题，我们之前也给大家讲过，我们上一条视频呢，也给大家分享过，对吧？但定弦对定角问题，它其实有两类啊， 我们大致可以分为两类，一类是定角是九十度的，就是我们上一条视频啊，海港区一模的那道题啊，那么我们今天遇到的这个问题呢，它属于啊另外一类啊，在上一个上一类当中去进行这个拓点，它不是九十度了，不是九十度的时候，那么 我们如何去通过这个定弦所在的这个轨迹，这个浮动圆呢？ 这个里边我们前面在这个啊，我们这个线上直播课，他们也给大家讲过啊，是怎么整呢？就是我首先我们要根据 啊圆当中这个角度的关系，我们所所说的这个定角，他是一个圆周角啊，圆周角这个点在圆上吗？所以他是一个圆周角，那我要想去，我们要想去找到这个圆，我选首先要找圆心，对吧？找圆心啊，找圆心找半径， 所以那必必不可少的就是我们一定要去找到这个圆心角啊，要圆心角，那我们根据在圆当中啊，同弧所对，圆周角是圆心角的一半啊，那么在这个弦的同一侧啊，在这个定弦啊，定弦 他他同一侧的时候，我们这个圆心角是圆周角的二倍，对吧？所以我们就可以去找这样的一个二倍的这样一个角啊， 那我们刚才那个是六十度，对吧？所以我们这个里面就可以找一百二十度，但是只找度数也是没有用的，我们需要去考虑，他既然是圆心角，那么这个顶点啊，这个圆心角的顶点他就必须得是圆心。 圆心的话，那么我们说动点，还有这两个定点都在圆上，所以我们连接哎这个圆心还有另外的两个定点的时候，我们就可以得到它是其实是一个顶角，是这个定角二倍的这样的一个等腰三角形，对吧？哎，等腰三角形啊， 所以那我们就其实也就清楚了，我们在这道题当中，要想去根据这个定弦对定角去找这个辅助圆啊，动点 p 所在的这个圆，我们首先要找的就是这个圆心 o， 圆心 o 怎么找？我们刚才也说了，就是去首先去做一个等腰三角形，而且这个等腰三角形以 b e 为底，以点 o 为顶点， 而且这个角 b o e 必须要等于二倍的角 b p e 在 这个题目当中也就是等于一百二十度，也就说我们这个题需要以 b e 为底去做一个顶角，是一百二十度的这样一个等腰三角形啊，这个三角形是比较特殊的一个三角形，所以好做出来，对吧？做出来之后呢， 我们可以知道这个是一百二十度的啊，一百二十度这样的三角形我们是熟悉的，对吧？那是一个一比一比根号三的这样一个三角形，那么我们刚才分析了， b e 是 等于二倍的根号三的，所以那么我们这个里边就可以直接求得半径 o b 和 o e 啊，当然了， o p 也是啊，那就等于多少等于 二啊，等于二。好，那么现在呢，我们就以点 o 为圆心，以二为半径，做这样的一个圆就可以啊，以二为圆心，以 o 为圆心，以二为半径做这样的一个圆，把这个圆做出来，点 e， 点 b， 还有点 p， 都在这个圆上 啊，好了，做开这个圆之后啊，这个点屁就在这个圆上运动，当然了，具体到这个题目当中呢，它是圆上的啊，这矩形内部的这一部分，这个圆弧啊， 呃，这个需要有一个简单的一个认识啊。好，那么现在呢，我们需要去在这一段圆弧上去找到点 p， 找一个点 p 的 位置，使得线段 p d p d 的 最小值啊，取最小怎么找呢？一箭穿心，对吧？连接 o d 啊，这个线段 o d 和圆 o 交于 点 p 啊，此时啊，这个 p d 就是 有最小值的。好了，那么找到了最小值的位置，下面就是需要去进行求解， 要想去求 p d， 我 们正常来讲，一般都是先求 o d 两个定点之间的这个线段啊，然后再减去半径 po， 半径是二，所以我们剩下为要求的就是这个 o d。 要求 o d， 怎么求呢？ 我们说首先需要关注这个图形的基本因素，对吧？点 o 是 圆的圆心，那这个圆怎么来的呢？我们是以 b e 啊 这个为基础来做出来的， b e 是 这个圆当中的一个弦，所以要想去求这个 o p 的 o d 的 话，我们也需要去做一些辅助线，首先就是我们可以先 啊跟这个过点 o 去做 o h 垂直 b e 与点 h 啊，利用这个垂线定律啊，利用垂线定律，我们可以到点 h 是 b e 的 中点，也就是 e h 和 b h 都等于根号三啊，都等于根号三。 好，那么要想去求 o d 的 话，我们需要考虑 o d 所在三角形，所以我们现在呢需要去做一个，再做一条辅助线，把 o d 放到三角形当中，我们可以过点 o 啊，做 o f 垂直 a d 与点 f， 这样的话就把 o d 放到了一个直角三角形 o d f 当中，那么这个直角三角形呢？ 嗯，我们要求的是斜边，所以我们先找两个直角边啊，先看 o f， o f 的 话，因为我们这个是做的垂直啊，角 a， 这也是直角，然后 o h 这角也是直角，所以四边形 o f a h 是 一个矩形 of 就 等于 a h， 那 a h 呢，就等于 a e 加 e h， 也就是根号三加根号三，它等于二倍的根号三啊， o f 是 二倍的根号三， 然后另外一条直角边 dfdf 等于什么呢？那 df 它就等于 d a 减 afda 是 五 af 的 话啊，根据同样是根据矩形，它是等于 o h 的 o h 呢啊，我们可以根据勾股定律求解出来，对吧？或者说直接用特殊直角三角形三边关系一比根号三比二，可以求出来 o h 是 等于一的啊， o h 等于一的，所以 af 也就等于，那么 df 呢，就等于四啊， df 等于四。 好了，两个直角边知道了我们要求的这个 o d 啊，就可以用勾股定律进行解 o d， 它就等于二倍根号，三个平方加上四的平方，然后再开根号。啊，根号里边注意一下，二倍根号三个平方，二二得四三四十二啊，然后四个平方是十六， 所以里边呢就是十二加十六，就是二十八，二十八，四七二十八，所以它就等于二倍的根号七。 对啊，我们求的是 o d， o d， 我 们要求的是 p d， 对 吧？所以那么这个 p d 呢，还需要用 o d， 也就是二倍的根号七减去 o p， o p 是 半径，半径始终是等于二的啊，所以 p d 的 最小值就是等于二倍的根号七减二。 好，那么这道题呢，是我们这个去年咱们河北省中考最后一道题，考那个定弦对定角的一个延伸。啊，我们上一条视频也是啊， 是区别于前两道题，我们刚才提到两道题啊，前两道题左右的定角都是九十度，那么我们这个题呢，变成了一个非九十度的这样一个角，涉及到如何去找到这个辅助圆啊，找圆心，找半径啊，就是去找这个，呃，等腰三角形，具体呢，我们可以看一看这个视频。啊， 好，那么我们这道题就先讲到这。

堂上的初三家长们，二模试卷拿到手，别只盯着分数，我教您三分钟快速做试卷分析，找到题分点。第一步，看十分分布，把所有错题分成三类，知识漏洞、审题粗心、时间不够，哪一类最多就先解决哪一类。 第二步，考高频十分题型。数学选择题错的多，就每天练十道选择题。英语阅读题错的多就精读两篇圈出生词，集中火力打脖肉环节。第三步，定一个最小的行动目标，不要想着全补来不及了。 比如每天弄懂一道物理大题，把古日四默写满分拿下，每解决一个，孩子的信心就涨一分。最后提醒，偏科不补难，只补基础分，压轴题不会就别纠结，把基础和中等题的分数稳稳拿到手，总分照样能上去。您的孩子哪科最拉分？评论区打出来，我来告诉你最后一个月应该怎么突击！

二模开考在即，一分钟纯干货答题技巧，听完直接提分别走神！我是唐山贺阳的小曹老师，同学们拿到试卷后应该先填姓名、准考证号、条形码，填好后再三检查，别因漏题而丢分， 立刻通览全卷，分清难易，心里快速排答题顺序，不慌不忙。答题要遵循先易后难，基础题秒做，不纠结难题，果断跳过决不死，可浪费时间。审题要逐字去读，圈化关键词， 避开题干陷阱，杜绝看错条件，答非所问，选择填空。做完后应该立刻填图，答题卡， 别留到最后，容易慌中出错。大体要按步骤去写，哪怕不会也写相关的公式定律，步骤分绝对不丢。留出三到五分钟的时间去进行检查，优先改，明显错误不轻易改。第一，直觉的答案， 把心态放平，会的题拿满分，不会的题抢步骤分，二模正常发挥就没有问题。

得数学者得天下，路北二模，语文难度大于一模，物理难度略大于一模，化学难度略大于一模，数学难度 大于一模，政治难度约等于一模，历史难度和一模基本持平，相对简单一点，英语略微有一点点难度，七科。我这么说是不是大家都能明白了？数学 确实难，路北每年二模都比一模难，就是你们家长们听的那个二模比一模简单，是有个别缺陷。我跟你们说啊，你们一定要记住得数学者得天下这个事， 你先把数学和英语搞上去，你可能就是第一梯队的小学霸，你在学霸中再拔出来，你就得看你的英语和语文的这个成绩了。但是你数学如果不好的话，不是我打击咱们直播间的家长们，你们孩子很难总成绩，或者是 他的整体的一个学习能力达到学霸的这个行列，我希望在座的所有的家长看我直播的，你们的重心规划都要放在数学上，数学好了，我们再往下去培养去塑造， 你会发现他的一个底层逻辑，他做什么事，他的底层逻辑在他，也许我们就能形成一个能长长出大树的种子。

今天给大家挖掘一下切安中考二模数学卷子里有哪些题需要重视。首先，第一到六题都是基础题， 第七题如果你不会，一定要去弄懂，因为他既考了思路，又考了计算。第八题同样也是既考了思路，又考了计算。而且他考的是读题能力， 读习能力非常重要，因为之后高中每一学科都会有类似的题， 而且题干还会更长。所以说第九题一定要弄懂。第十一题考的旋转啊！这道题有点难，一百分以下同学不需要弄懂。 第十二题出的不好，其实他没有第十一题难，但是会的人一分钟就能把它做完，不会的人要做很久。第十三题和第十四题都是基础题，第十五题一定要弄懂， 因为他也是既考了思路，又考了计算，第十六题反而没有第十五题难。十六题他考的就是正六边形，没有任何花里胡哨的东西。 第十七级到第二十一级都是基础题，第二十二题考的是折叠问题。第三问有点难度，一百分以下同学不需要弄懂。 第二十三题考的是平面几何，第三问非常难。如果你不打算考满分，不需要去看第二十四题，反而难度一般。考的是二次函数，它的特点就是不了别的多啊，用来消耗时间的，你如果没有足够的时间是做不完的。 总的来说，这道试卷如果你考了一百一十分以上，那么你已经非常棒了，能考一百一十分以上，说明你知识点没有任何漏洞。好在如果以上内容对你有所帮助，别忘了点赞加关注！

唐山初三的家长看过来，一模二模都比较难，有的家长开始已经慌了，我们家孩子最后一个月要是不能逆袭怎么办？不能考上高中怎么办？中考题如果还像一模二模这么难怎么办？ 来，我告诉你三点，帮助你们家孩子实现逆袭。第一点，如果感觉孩子的分数低了，提前给孩子锁定学校，不要等到中考以后再抓瞎好学校，不给你们家自己留着。 第二点，要选择适合咱们家孩子的，最好的不一定是最适合的，哪一些适合呢？如果你们家孩子是属于这种类型的，需要学校看的紧一点，老师管的严一点， 成绩蹭就上去的这种，那欢迎你选择寄宿制的，封闭式的，真正的衡水模式的高中，欢迎选择超越中学。第三一点，根据孩子的特长，可以降低孩子的录取分数，不仅仅是在中考当中，也是在高考当中。 所以亲爱的家长们，选择特长是一把双刃剑，如果咱们家孩子真的有特长，有优势，那就好好的发挥孩子的特长， 龙生九子各不相同，天生我才必有用。如果选个特长只是为了给孩子降分，被学校录取，那也要做个长久的打算，到高考当中能不能还这样？记住我这三点，能够帮助孩子和家长在最后的一个月当中逆袭一百分。

唐山初三学子的二模如果考了五百分，到底相当于中考多少分呢？首先一模，一模题目太简单，可参考性不大， 三模呢，是本校自己老师出题可能会偏难一些，所以说咱们的二模是最具有参考价值的。二模的丢分大多数不是不会，而是第一个心态不够好， 第二个基础不牢，打好基础补知识点的漏洞。然后第三个优化自己的解析技巧和解析思路，那么中考提个二三十分很轻松，加油！

哈喽，同学们大家好啊，二模考试啊已经结束了，是不是有人考完试之后啊，心里发慌，分数不理想就开始焦虑，考的不错呢，又 忍不住要松懈了啊！其实在这跟大家说两句实话，二模的成绩绝对不等于你中考的最终分数， 这次考试只是帮咱们查清漏洞啊，真正拉开差距的恰恰的是 啊，剩下这段时间的冲刺时间啊，考砸了的同学别灰心，丢分的地方都是提分的突破口，把这个错题分分类啊，粗心的失误啊，基础的薄弱呀啊，难题的卡点啊，挨个梳理清楚， 优先吃透这些课本的基础，别再死磕那些偏题怪题了啊，稳住本该拿到的分数就是最大的进步啊！如果说发挥不错的同学啊，咱们千万别骄傲，现在最忌讳就是浮躁大意啊，保持咱们做题的手感 啊，规范的啊，答题步骤，守住细节啊，咱们才能稳稳的发挥啊！在接下来这段时间呢，不要再盲目的熬夜刷题啊，每天要进行错题的复盘， 巩固核心知识点啊，限时训练这个适应咱们考试的节奏啊，文科的话，坚持每天要背诵啊，放平咱们的心态啊，找准咱们自己的短板，针对性的补齐啊！ 二模只是一次这个检验，调整好状态，全力以赴，把遗憾呢全部留在模拟考啊，带着实力支付咱们的中国考场啊，你的付出的每一份努力啊，最后都会化为满意的答卷，加油，咱们出山的学子们！

虽然说我难度高，但是我分还高，给大家做一下整体初三二模的一个复盘和总结。呃，因为下午啊，路北这边的成绩刚新鲜出炉，有的家长提供标准分了之后呢，我给大家测算了一下整个的一个区排，以及我们校排对应能上什么样的高中。 今天晚上呢，我要把一些整体的一个成绩对应的这个位置啊，给大家去分析清楚，分析清楚，然后先播报一下路南路北区的一个最高分情况，路南区的最高分是五百七十九分，出自唐山九中，是 啊，一中零班的一个选手。然后路北区的最高分呢是五百八十二分，是来自二十一中啊，这个是咱们整个市区路南路北的一个最高分的一个情况。然后关于 整体的一个路北区大概一百名的一个位次对应的一个成绩啊，对应一个成绩是多少分？我这边的一个预估呢，是五百五十五点五，五百五十五点五啊，深度的去分析了一下路南路北这边的一个整体的一个二模考试情况，我们从难度上来说的话，路北这边 整体难度要高于路南，但是分数情况的话也要比路南高，虽然说我难度高，但是我分还高。路北目前是这样的一个情况，尤其是在唐一唐二这个分数段的。

初三的二模出成绩了，那么你是在关心你的成绩还是关心你那些不会做的题呢？我们来看一下数学里边第十一个选择题， 我们来学习一下他，呃，我们看他给出的条件和要求的条件，那么他们两个呢？和他是差了两个数，和他也差了两个数，这个是差减两个数，这个加两个数。 那么我们看观察到这个关系以后，我们就可以用换元的方法来代替我们要求的这个 m 减去二千零二十四括入的平方，然后我们再用完全平方公式来展开，就能巧妙的算出它的值，那么我们来解一下解， 设 m 减二零二四，它等于 a， 然后带入以后，我们用 a 来代替它，以后我们就多减了两个数，那么我们把多减的那两个数加回来， 然后加上一个，我们要用 a 来代替它的话，我们就少减了两个数，那么我们把少减的那两个数呢？再减去， 这样就把它变成了 m 减二千零二十四，再减个二，就等于减二千零二十六，那么它的平方等于四十， 我们再用完全平方公式把它展开，它是 a 的 平方，加上一个 b 的 平方是四，再加上它是 a 的 平方，减二 a b， 然后加上一个 b 的 平方，二的平方，然后等于四十。那么我们看一下 a 的 平方和 a 的 平方，他们俩合并同类项是二， a 的 平方加 二， a 乘以二减二， a 乘以二，那么他们两个相的合并的时候就没有了，这加了四，这加了个四，那么一共是加了八， 然后他就等于四十，他等于四十。现在我们来看一下 a 的 平方等于多少呢？ a 的 平方他就减这个方程就行了。 a 的 平方呢，他等于四十减八三十二，三十二除以二等于十六。 那么也就说我们就巧妙的算出了他的平方 m 减去二千零二十四，他的平方呢，就等于十六。那么 c 对 里外选 c， 同学们不要光盯着你的分，去看看我们哪有漏洞可以补一下，我们可以中考拿一个更高的分。 这选择题呢，一共有十二个题，但是他前几个题是不难的啊，我拿六年级的孩子去试做了一下，今天中午从十二点零四一直做到十二点十一，他就能做了七个题，全对了。

家长们，二模成绩已经出来了，这条视频请你一定要看到最后，因为他关心到您孩子最终能被什么样的高中录取。 我再说一遍，现在不要盯着分数看了，盯着位次和指标看。为什么？因为唐山市已经明确了省级示范性高中指标到校比例不低于百分之八十。唐山一中的录取，超过八成的名额是按指标分配给初中学校的，全是统招名额，不到两成。你光盯着统招线的分数去对比，没有什么意义。 同样考了六百八十分，那一所实力较强的初中可能进不了唐山一中的指标线，但在另一所初中可能排在指标名额里。稳稳录取， 不是你的分数决定你上什么学校，而是你在全校的位次加上你们学校的指标名额，决定你能上什么样的学校。所以，现在作为家长应该做什么呢？第一，跟班主任确定你们学校分配到了哪些省级示范高中的指 标是你的。另外，还要特别留意 资格硬门槛是连续三年在学籍所在学校就读，中途转学的同学可能失去资格。如果你还不知道你家孩子学校具体指标名额，或者拿不准这个位子到底怎么卡，指标线，都可以在评论区直接告诉我，我来帮你分析。关注我，升学路上不盲目！

读完初三二模数学卷，同学们是不是又难哭了？三年数学白干！今天严老师从哼到拉，对每个题进行排序，看看你现在到哪个水平了？好，我们现在挨个来看。首先，我已经把选择题填空题部分给搞上去了， 我们拉的部分就不说完了，我们从先往后捋一捋稍微有一点困难的部分，你看你有没有在这个选择题部分给他跳进去啊，有没有跳进陷阱里头去？ ok， 我 们先看第四题。 第四题，这个题考了一个三角形的三边关系，有同学说这题我没想到在这第四题出现一个比较麻烦的位置，我给到他一个人上人的位置。 接下来我们看第五题。第五题涉及到一个分式运算，我们有同学一遇到这种分式运算，我的妈呀，不会算，感觉太困难了，不知道如何下手。所以第五题有同学可能在这里犯错误，搞不出来。好，我们再往下去看第八题。 第八题是一个勾股定律的计算，或者有同学知道角平分线性质的话，很很快出单，如果不知道你勾股定律，也能列方程把它搞出来。 但是在这个几何题，有同学一看到就搞不出来，所以在这里我给到他一个人上人位置。朋友们，虽然说选择题他感觉没那么快，但他人上人位置。来，我们接下来看第十一题。 十一题是一个量角器问题，考法比较新颖，但是本质上你如果能看懂题的话，这题是超级简单的。朋友们，只要你能把坐标搞出来。 ok， 这题能做出来。所以十一题 虽然不是拉完了，但是仅仅能达到一个 n p c 的 水平，你应该能把这个搞出来。大部分同学来，我们看十二题，十二题这个题我觉得 你想把它做出来或者证明出来是比较困难的，但是你如果说想蒙答案，蒙出来是非常容易的，我觉得大部分同学都是 能蒙对的，但是在这有同学可能不敢蒙，所以我给他一个顶级的位置，你能做出来或者蒙出来都堪称顶级。好，我们接下来看填空题，填空题前两个说真的，十三十四拉完了，只要说你能做出来， ok， 他 就能， 应该不会错吧。来看十五题，十五题是一个角度问题，我是用方程组的思想去解决的， 当然这个题他不属于特别难，只要说你耐心思考，那段时间你会商圆，你能找见里面关系，十五题就能搞出来。所以十五题给到他一个人上人位置，这样能做出来，你是堪称人上人。 好，我们再看十六题，十六题在这按理说是一个非常吭的级别，但是他到不了。为什么？因为十六题这个 图形给的太明显了，他就是一个一线三等角模型，或者同样像 k 自己模型，一线三垂直模型，如果你能理解他，找两个端点去求数，只要说你计算不错，肯定能搞出来，所以这题撑死给到一个顶级水平，也就是说目前省的填空没有出现特别难的吭的位置， 大部分你是靠算或者靠你蒙，是能把它蒙对的，所以在这个人感觉难度不会特别大。也就是说到现在为止，如果你做完选择填空，个人保守啊哈，我做选填充花了十五分钟时间，如果说你正常做完选填充，你如果感觉到四十分钟了，朋友们，你就前面做的太慢了。 因为选填充不难，所以后面大体一定是有难度的。朋友们啊，前后难度其实是 合起来可以打到一个比较难的地方，是不是？好，我们接下来看大题，大题前几个你会做的非常非常顺手，当你做前面非常顺手的时候， ok， 那 你会发现后面题一定是特别难的，你就揪点心吧。所以遇到简单题要做的是 稍微的快那么一点点，是不是让我们往后接着去填啊？十七题整个计算，我给到一个拉完了的位置，因为它太简单了。如果说你十七题错了，朋友们，不好意思，你的计算要好好的去看一看才行。同理，十八题，我们翻到十八题， 整体整个题目给到一个拉完的位置，因为他也就是个单纯的计算，如果你这样的计算，你同学说我最后科学计算不对，那你为什么算不对？加减乘除以上难的只要看题是不可以了， 所以十八题也是给到一个拉完的位置，甚至朋友们，十九题也整体给到一个拉完了的位置，因为他本身到不了难的地方。有同学说我十九题做的时候低了，那那那那，那个概率还能为零嘞， 那为什么不可以？你耐心读题，他不可能发生的话，是不是概率就为零？你同学可能在这可能会陷进去，但是这不属于难题部分，明白了吗？朋友们，包括第二本，只要说你认真的画树状图或者列表，你是错不了的， ok， 所以 前三个大题简直是送分题。 好，我们接下来看第二十题，从二十题开始，说真的，我觉得同学就开始逐渐的进入一个崩溃的位置， 什么玩意啊，你就给我个正常数不行吗？虽然这个背景大家都知道，公园里面都有，就那个，就，就那个，就那健身器材是不是？但是把它放到生活实际中 掺和了一些数，甚至说掺和了一些角度，什么四十二度，什么五十三度，有同学就感觉这数算起来太难算了，所以这题不是难，难在意什么？难在意他算不出来这个数。有同学计算一到这就卡住了， 理解这意思吧。所以我们现在看二十题，如果说二十题第一问你能搞出来，朋友们 给他一个 n p c， 他 思路超级简单，我觉得在大家练了很长的三角函数题目之后，这个题不属于难题，但是你在这可能会卡进去，明白意思吗？ 但是第二问就涉及到一点点思路，涉及到思路的话，可能就会有一点点困难，所以如果说你第二问这个角度搞出来了， ok， 给到你一个人上人的位置， 二十题第二问。所以二十题开始还是有一点点难度的。好，从二十一题开始就开始逐渐的变难，但是大家慢慢去想，我接下来给位置的时候，会发现， 每个题的第一问他都有简单地方，所以每个大题第一问你都是能保守做出来的，朋友们理解这意思吧。好，现在咱们看二十一题第一问就是求两个超级简单解决事，我把二十题的二十一题的第一问给到一个拉完的位置，你做不出来这个题，咱 三年数学白干是不是？三年数学白学好？第二问开始就逐渐变得，因为涉及到思路，涉及到计算机，同学就感觉说，啊，这是什么呀？我怎么 不会呀？好，我先说二十一题的括号二，是仿照前几年一个中考题来做的，这个题至少有六七年的历史了，所以大家现在一定要把六七年前的知识点拿出来，再翻来覆去的去练一练，很多时候 考题会循环去考，考多年以前呢，是非常非常有可能的，明白意思吗？所以第二问的二十一题括号二的圈一 给到一个人上人的位置，因为它本身确实有那么一点点的难度 啊，是到计算上比较难，但是思路上还是比较紧的，你只要能把坐标写出来就可以了。然后我们接着来看圈二圈二，说真的，二十一题 第二问的圈，按理说有同学在这可能想了好久，什么动点位置在这个范围之内，讲道理，这个题不难，他你可以先把那个对称完，那个点求出来，然后放到那个范围里头就行了，这样你做起来就会方便很多。 但是有同学说，什么玩意对称呢？我不了解。那你可以适当的话去接触一下这些类型题，你就会变得非常的简单，感觉对他来说，所以这题称不上哈，称死是个顶级，明白了吗？ 好，接下来的话我们来看二十二题。个人感觉二十二题这个提出的相当的没水平， 整个题分了好几问，他说了一问两问，但我把后面这是加上三问四问，整体感觉这个题难度不大啊，你就是你耐心去读题，你对四边形有一点点基础，你能把数算出来，你会倒三十度，六十度关系这题二十二题九分，你是可以拿满分的，所以这个题 难度不大，朋友们理解这意思吧，你正常去看，耐心去做题就行了。来，我给他二十二题的第一问，朋友们，你如果说不会正，这个你就拉完了，然后第二问你也就拉完了。 所以底下我把这当成三问和四问。第三问，尺规作图以及求一个数。首先，尺规作图你得会那五种，朋友们记得吧， 五种尺规作图至少要会四种，哪四种？咱在这不说啊，但是你心里应该明白，以及求 x 需要涉及到特殊角度，你得把它搞出来，你搞不出来，你这个挺就白费了。理解这意思吧。所以我们来看 这里的话，这个第三个我给他一个 n p c 的 位置，他称不上难题，朋友们理解吧，但是你值得去做 啊。来第四本这个拓展，我给到一个拉完的位置，同学说，那前面你 npc 怎么最后这个二十二题的这个第四个给到拉完位置呢？因为它确实不难，就考到一个矩形的一个对角线相等性质，你如果能看完题， ok， 你 前面不会，后面也能做出来。 所以有的时候难题不一定在后边啊，有可能在中间，如果前后关系没那么大的话，你可以舍去中间去求后边，是不是？ 好，我们接下来看二十三题，从二十三题开始，有同学就开始逐渐接近崩溃，我猜想有很多同学可能写到二十三题的时候还剩余很长很长时间， 尤其对一些成绩比较不错的孩子，从二十三题就开始去抠，就开始去想，就开始不明白怎么回事。说真的，二十三题，二十四题这俩题还是出的相当的难，但是 拿分还是能拿的，你有时间你是能把它抠出来的，所以我们来耐心的话去看一下这俩题能到哪个水平来。二十三题第一问，不用想啊，给到你个 npc 的 位置， 求个解析式，简单包括说你求完第一，哎，第一问的圈一，不好意思，第一问圈一，你求解析事还是非常容易的，但这题分值给的不高。然后我们去看二十三题的圈二， 二十三题圈二的话就是简简单单的话解一个方程，但这方程的话不好解，尤其最后带根号，他说什么玩意啊，怎么就怎么就带根号了。所以把二十三题的 第一问的这个圈给到一个人上人的位置，你能把这求出来，说真的已经超级厉害了，尤其你在有些同学时间不够到这的时候感觉，哇塞，我在时间紧张情况下能把这个数算出来，太厉害了，理解这意思吧。所以我们接下来看二十三题的第二问，就是括号。朋友们， 当你判断 a 等于 km 是 否永远成立的时候，什么玩意啊，本来两个字母就够用的，结果这里面出现了三个字母，这里面是一道一个销源，是一道联系的事，所以还是一道因式分解的事。朋友们，你慢慢去练，是能把它练出来，但是这题可能也在 从这开始就看不懂了，所以你能把这个括号整出来，你就非常的顶级，但是到不了行啊，因为这个思路你有大部分同学都是能搞出来的，我觉得，所以他撑死给到一个顶级，但是到不了行。但是第三问，朋友们， 你在括号的基础上去做题啊，你想求 a n 长度，或者说你想求最后这个范围，说真的，这四分不好拿，你能把这四分拿出来，第一你前面做完了，第二你前面思路完全理解了，而且你能处理这么多字母，你跟我一样厉害，你是能把二十三题的最后两问就 括号三的最后两小问做出来的，所以在这你能把它搞出来，朋友们，你简直是憨爆了。所以二十三题的括号三，不论圈一还是圈二，你能搞出来，全都憨爆了，尤其到这个位置，太厉害了。 那二十三题整体难度还是不小的。我们最后来看二十四题，二十四题这个几何题，这个动元问题是 现在考试中，你说有一个洞点，还好这里出现两个洞点，这两个洞点还在其中，有一还在来回动， 而且这个圆还在变大，还在跟这个四边形去找一些关系，这里面整个图像你要把它想明白才行，所以这个题整体思路还是挺难的，但是 前两位也是能送你点分的。如果说你第一问没有把角度求出来，没有把 t 等于五的时候，这个 m 搞出来，你就拉完了。朋友们，所以二十四题的前面的括号一这三分也是送你的，但是括号二开始， 比如说求 m 的 最大值，有同学就说，哇塞，我怎么不知道这个第，我把第二个都拆开了哈， 我拆开求 m n 把这圈圈一，这个还是非常好搞的， m n 最大值，大家能想出来它怎么运动，有同样是能把它搞出来的，所以这个乘除给到 n p c， 但是前提你要能看题，把题看进去，能看懂是不是才可以？ 好，那第二问，这个球落在里面的面积，我天呐，这就比较难算了，不光是思路难算，而且里面涉及到一些计算带根号的，我印象中好像有根号三十七，你算起来就比较麻烦，所以这就堪称顶级了。朋友们，就是我给到二十四题 的括号，二个圈，给一个顶级的位置，你能把面积搞出来就相当厉害了。来看第三问， 第三个说半圆与它相切，首先你考虑两种情况，因为整个运动过程中分两波， m 往那边的时候和 m 回来的时候两波，这两波中都有可能是相切的，所以能想到两种情况，以及把两种情况图自己画出来，再把两种情况的里面这个结果给算出来，你能把它这搞出来， ok， 你 就憨爆了。所以 朋友们，这个位置必须要给他耗，二十四题的第三问，第三问都耗了，第四问别说在里头了啊，你想把第四问在里边的闲肠不便做出来，你必须对整个过程是有所了解，而且你必须对前面的数算的是非常清楚的，你才能搞出来。 所以二十四题的第四问，咱给到一个好爆了的位置，那么到现在为止的话，我们已经对每个题的位置已经有了排序，朋友们， 请给我一点点时间，我把分值写上去，我们接下来揭晓一下大家到底能到哪个水平。 好，朋友们，我已经算完分数了，我们整体来看的话，能达到夯的分制有十分，有时候你能考到一百一十分的话，简直夯爆了，你太厉害了。这次二模考试，所以你看你有没有到这个位置， 这个分数应该比一模的时候稍微高一点点，因为超级大难题没有那么多理解这意思吧，但是你想考到这个分数还是非常不容易的，所以这次考高分的同学依然不会特别多啊，想这个事哈，来，我们接下来看，达到顶级的话， 顶级题目有十三分，能达到九十七分， ok， 你 的基础是非常没问题的，你只不过说解决这些超级大难题以及有非常有 值得思考的题是有点困难。所以如果说朋友们你考到九十七分，放心吧，你的基础超级厉害，以及你的做题速度应该没什么问题，你接下来就是需要更多的话去练一些难题，练一些大题，同时复习一些压轴题是不可以了， 但是不要忽略了什么一些对基础题的一些正确率理解这意思吧。所以九十七分的同学已经非常厉害了， 那我们接下来看，你能考到八十分以上，说明咱也达到人上人水平，基础也是没问题，但是接下来可能要注意什么，第一要速度，第二是不是准确度，应该把这些能扣出来的，适当的话去扣一扣，你发现每多扣一个题，其实多三分，每多扣一题多三分，我们 整个罗列下来，是不是几乎每个题都是三分，两分，两分、四分，平均下来是每个题都是三分，所以你到这个水平应该多多努力去把这些能扣出来，尽量多扣出来，顺势的话 提高一下速度是不会更好。好，接下来我们看，如果说你能考到六十一分， ok， 朋友们，那只能说咱有很大的欠缺，有些 该拿出来的题就没有做出来，你要加倍努力才可以。明白这意思吗？好，那六十一分底下的同学，不好意思，咱这次考试拉完了， 希望你能在接下来的不到一个月时间之内，耐心的话去整理一些基础题，去复习这些题，避开这些陷阱， ok， 你 的成绩会逐渐的往上去提升。 以上的话就是对整个二模数学里面的一个总结，整体来看，这张试卷难度还是有的，但是基础题占比比较大，难题占比是比较小，这个难题就属于哪种啊？属于是你想把它全部搞出来是非常困难的， 他确实有难度，但是你想考一个不错的分数也是可以的。这我觉得就是中考的一个方向，注意，我说是方向而不是难度。中考方向就是说有些超级大难题，大家可能说确实不好把它搞出来， 但是对一些中等同学，或者说中等往上同学，我能保证我一些题目的一些正确率，我能达到一个一百分左右的水平是没问题的，明白意思吗？在这个基础上，你多扣一点分数上去，你就更厉害一点，你就更好一点点，明白意思吗？好，现在的话，我们距离中考还有 不到一个月时间，考试永远不代表最后中考成绩。我们每次考试不是说为了证明自己有多厉害，或者自己有多菜，我们是为了找见自己目前的不足调整加了一个复习方向，明白意思吗？ 朋友们，中考加油，你一定可以成功的，我们下期再见，点关注呗。

唐山二模考完了这次的题偏，难怪很多孩子考完试之后就直接崩溃了。但是你要知道，二模的意义从来都不是让你去预测高考分数，它是一场兜底考试， 以后不管考什么，怎么考，你的成绩都不会比这次低。二模不是你高考的上限，而是你成绩的下限。如果你家里有高三的孩子，请把这条视频看完，会对孩子恢复信心，找回状态有帮助。 首先，二模考试是所有模拟考试中难度最大、考场面最全的一次考试，而孩子又恰好处在最疲劳，知识漏洞还没有完全补全的一个阶段里， 这基本上就是你整个高考备考周期里边最低谷的一个时期。所以二模考的不理想很正常，这就是你高考的一个保底分，从今往后，你的成绩只会往上走，不会再往下掉了。第二点，二模定的是下线，而不是上线， 你在状态最差，准备最不充分的时候考出这个成绩，以后还有几十天呢，你可以不断的去补全知识的漏洞，不断的去练手感，你会越来越稳，成绩会一路飙升。 这不是我给你画大饼，而是每一年每一届都会发生的真实的涨分规律。很多二模考的差的孩子，反而在高考中表现的令人非常惊艳，就是因为人家没有被这次成绩打倒，而是把憋屈画成了动力。 第三点，二模之后才是真正拉开差距的黄金窗口期，很多人被二模搞的心态都崩了，而有的人却悄悄整理心态，准备逆袭。二模的试卷是你最真实的错题地图，你要通过这张地图找到哪些题型是你总丢分的，哪些知识点是你一知半解的， 哪些科目丢分是因为你复习时间分配的不合理导致的。高考最可惜的丢分不是那些你不会的难题，而是那些明明应该会，明明应该拿分，却因为知识漏洞没有补全，白白浪费的。所以 按摩之后你不要再盲目的刷题了，你的核心任务就是把你发现的漏洞一个一个的给他补上。很多孩子在按摩之后就陷入负面情绪，一直走不出来，反复纠结于这个分数，而不是去分析他的错音，直接影响了后面复习备考的效率。其实你考前焦虑大多数不是因为你不够努力， 而是你不相信自己还能够进步。你要知道啊，二模是你在最差的情况下考出的成绩，高考你准备会更充分，发挥会更稳定，所以状态一定会更好。二模最大的价值从来都不是分数， 我是让你能够清醒的、正确的去看待问题，剩下的时间稳住心态，补气漏洞，高考你一定会比奥模分数高出一大截。如果你心里还拧巴，那来找我聊一聊，我是王老邪，点赞加关注，志愿条报不迷路！