天一大联考立体几何题

立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。

如果你是三十分到六十分的同学，跟着田鸡老师的思路，把这道二零二五年天津的高考原题答题、提问，从头到尾在一天时间之内把它弄清楚，搞明白，那么等于你做会了一百道同类型的例题及格大题， 高考必涨五分。这道题目也收入在了田七老师的题库之中。下面跟着田七老师好做完这个看似费力的练习，好，另外学习如何费力的学习。这是一道正方体啊，棱长给了，终点给了，让我们求证 g f 垂直于平面， e b f， 先不要急着在图中找出对应的线还有面，我们看他要我们正什么？要我们正的是线面垂直。 我们呢，不是说试图直接把这道题做出来，而是由婷婷老师带你由这道题迁移到所有关于立体几何的第一位，证明好。我们在做这道题的时候，在自己的头脑中要建立自己的立体几何解析地图， 这是一道证明线面垂直的问题，那我们就要去想立体几何的证明一共涉及到了哪些方面。 一题集合，无非让我们正平行或者是垂直。这个大家不管是三十分、二十分，还是你六七十分，肯定是要知道这个问题的啊，平行还有垂直？那既然我们要正平行啊。假如说一道题让我们正平行，平行有哪几种？平行 有三种线，线平行，线面平行，还有什么面面平行好，立体几何无非就是研究线的关系，或者是面的关系。我们先来想一想，线面平行，它证明的依据是什么呢？ 一条线垂直于一个平面，假设线是 l， 那 么我们必定要找到这个平面之中有一条直线，如果我平面外的这条直线垂直于平面上一条直线，那就是可以证明线面平行。面面平行呢？ 两个平面平行，我们就要寻找一个面上的两条相交直线 a 和 b。 如果 a 和 b 分 别平行于下面这个平面，比如说是 r 方， 那么就可以说明啊，两个面面平行。还有一种如果在阿尔法上也存在于两条直线，一个是 a 撇，一个是 b 撇，如果 ab 和 a 撇 b 撇分别平行，那么也就是说两条相交直线平行于另外两条相交直线，也可以证明线面平行。 既然啊是正平行关系，大部分的高道题题目都会让我们找两个线相互平行，而大部分的两个线相互平行啊，又是跟中点有关系。比如说一个三角形，这两边边的中点连线叫中位线， 如果好下面一个平面底边 b、 c 正好在这个平面上，那是不是中间的 e、 f 直线就平行于 b、 c？ 那 么根据我们线面平行的啊证明原则，是不是可以证明线面平行了？ 通过线面平行，我们还可以得到什么呢？假如说我现在已经知道一个线 l 跟下面的平面平行了，我过 l 做一个平面平行于平行，平行于平面 alpha， 那 么我这个平面和平面 alpha 的 一个相交线 b 就 平行于 l， 这也可以证明线面平行。如果是两个面面平行呢？如果两个平面已经是平行关系了，那么我现在又有了第三个平面， 假设这个第三个平面是 gamma， 它分别和 alpha、 beta 相交于两条直线，假如说 b 和 c， 那么 b 和 c 也是平行线的关系。你看，通过我们刚才这段话，已经可以把所有关于线线平行、线面平行、面面平行的证明和定义推论全都掌握了。如果你觉得刚才我们说的你没有掌握，你没看懂，那么就再回头听一遍。 如果你还看不懂，就带着我们的问题回去翻翻我们教材，我们教科书相关的定义和证明，你只要用一天时间把这些全都弄懂好，那么关于证明平行，你就毫无问题了。讲完了平行，我们还有还有什么？垂直 垂直和平行一样，也无非就是线与线垂直，线与面垂直，面与面垂直 垂直关系啊，看似很难，但其实呢，它远远比线线比平行关系要更好找啊。为啥？因为比如这道题，他就让我们正线面垂直，那么你就条件反射的想，我一定要去找一个线 垂直于平面上的两条相交直线 a b l。 如果 l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊， ab 又有一个交点是 o， 那 一定有这条直线 l 垂直于下面的平面 b， 这就是所有线面平行的证明原则。那么线面平行，我们证明完了面面啊，线面垂直，我们证明完了面面垂直呢？ 我要证明一个平面 alpha 和另一个平面 beta 是 垂直关系。 我知道了， alpha 和 beta 相交的直线是 l， 如果在平面 alpha 里面有一条直线，它是 m 垂直于 l， 那 么我们就可以说 m 垂直于平面 beta， 这就是面面平行。好在这里又要提出一个二面角的概念，三十分到六十分，同学，你能不能告诉我二面角的定义是什么？ 如果你把二面角的定义搞懂了，立体几何的大了，大题第二问你也是一点问题也没有。二面角的定义就是，如果现在有一条直线，从这个直线延伸出两个半平面， 注意哦，这个平面都是一半一半一半，就像你翻出啊，那么这两个平面 alpha 和 beta 中间的这个夹角就是二面角。二面角怎么求？一般就是以这个公共的直线 l， 好， 在这两个平面上分别做垂线， 最后求出这两个直线的夹角，这都是垂直关系。嗯，这就是二面角的几何证明。我们看面面垂直，实际上是什么呢？两个平面的夹角是九十度，那他必然是面面垂直，所以面面垂直还可以通过二面角来证明。假如我这有一条直线，哎， 只有一条直线 b， a 和 b 都在， a 在 alpha， b 在 beta， ab 呢，都垂直于直线 l， 那 么如果直线 a 和 b 的 夹角是九十度，是不是就是二面角是九十度， 那自然面面垂直嘛，对吧？那线线垂直如何证明呢？往往我们要通过线面垂直来证明。假如说我现在直线 l， 假如直线 l 垂直于平面二法，那么我就可以得出 l 垂直于二法平面上的任意直线， 那现在是不是就可以证明 l 垂直于 a 或者 l 垂直于 b 了？这就是线线垂直的基本正法。 那如果你再翻翻教材，还有一种证明方法，比如说，我现在知道了 l 垂直于平面 bet， 那 么现在我在 l 啊，有一条不重合于 l 的 一条平行线， 这条平行线在这里，假如说它是 m， 我 知道了 m 平行于 l， m 跟 l 又不重合了，那么 m 也是垂直于这个平面被它的 啊，在立体几何之中平行平行，平行的两条直线，我们就可以通过一些平移啊，来让这两条平行直线重合吧。那 m 平移到 l 的 位置，是不是 m 也垂直于平面，被到了 面面垂直啊？我们怎么通过它来得到线线垂直呢？如果我是两个平面，阿尔法和贝的垂直啊，在阿尔法上有一条直线， a 垂直于平面，垂直于 l， 在贝特上有一条直线， b 垂直于 l， 那 么我们也可以说 a 和 b 肯定是互相垂直的吧，并且 a 垂直于平面贝特任何一条直线， b 呢，也垂直于平面任何一条直线。 到现在为止，我们已经把立体几何关于平行垂直所有的证明全都讲完了。真心建议三十分到六十分的同学，花一天的时间好好研究一下我们整个的证明过程。如果有哪一个知识点你觉得我没有理解，我没有掌握，赶紧翻书翻教材， 为什么叫费力的学习呢？就是因为你在这整个动作之中，你用自己的努力来解决了一个实际的问题。我研究明白了平行垂直在高考答题中是怎么证明的，然后通过选择性的练习，我选一些高考题目去证明他第一问，第二问， 不断的加深我的这个条件反射以后，看到这个题，我马上在头脑中调出这一个一个的工具包，平，平行的判定定律垂直的判定定律，平行的性质，垂直的性质。什么叫二面角啊？下面我们顺势再介绍最后一个东西，就是你们老感到头疼的三垂线定律， 把这个定力补充之后，平行和垂直对你来说就是毫无难度的。三垂线定力研究的是什么呢？是三条线的相互关系。我在平面阿尔法上有一条直线，假如说是 a 经过这个平面阿尔法有一条斜线 b b 在 off 上的投影，我们叫做 l。 什么叫投影呢？就是过这条直线的一点，做一个该平面的垂线，好在连接这个垂点与 这条直线，平面的交点就是这条直线的投影，就像一个阳光从上面照到下面它的影子，所以叫做投影。三垂线定律研究的就是直线 a 直线 b 直线 l 之间的关系。 如果 a 垂直于 b， 那 么我 a 也垂直于 l， 如果 a 垂直于 l， 那 么 a 也垂直于 b， 这两个分别是叫三垂线定律的逆点和三垂线定律。 那我们现在是不是又增加了一些关于线线垂直的证明？以后遇到平行垂直，你就马上把这张图完整的在脑海里过一遍， 好让我们干啥？让我们判断平行，我们就去找怎么证明平行垂直，让我们判断平行，我们就找怎么证明平行，让我们找怎么证明垂直，我们就去想啊，我有哪些工具包来证明垂直，这就是条件反射 这道题，让我们证明 g f 垂直于平面， e b f g f 在 这里 e b f 是这条这个平面，我刚才想我们刚才讲的是什么？如果要证明线面垂直，那么我就在这条平面上找两条相交直线，那我看看找哪两条相交直线合适呢？ e f 是 不是可以试一下啊？ b f 也可以试一下，那 b e 也可以垂直，也可以试一下， 只要找到两条，我们就可以证明了啊。 e、 f 这条线啊，分别是中点啊，中点肯定是跟正方体，他的各个棱 a、 b、 c、 d、 e 都是平行的， 所以 e、 f 他 应该垂直于哪个面啊？ b、 c、 c、 d、 e， 所以 e、 f 也垂直于这个面上的任何一条直线。这现在是不是又到了线线垂直的工具包了？我们再看 b、 f 啊，很明显，在三角形 b、 f、 g 中，我要想证明 b、 f 垂直于 b g， 那就说这个角是直角，这个三角形是一个直角三角形啊，是不是可以试着去正一下？嗯，我们在这里啊，你如果不会三角形相似来证明，可以就粗暴的把它们的长度都求出来啊。棱长是四啊，这是 f， c 是 二， b， f 是 二， 他们是三倍的关系，那就像是一和三好侧棱是四，这里呢，一二根号五， b f 二倍根号五， b、 g 呢，是五 根二五的平方加二倍根号五的平方二十五，再开根号得五，刚好。 b、 f、 g 是 直角，那我现在已经证明完了，一 f 垂直于 f g， 那 b、 f 也垂直于 f g， 是不是想到 f g 垂直于这个平面？ e、 b、 f 上两个相交直线，此题可证。我们讲课的重点并不是说如何去证明这一道题啊，而是通过这一道题，引申出我们所有关于线线平行，所有关于平行和垂直的这个定律，也就达到了一一题抵百题这样一个目的。 如果你真的想短时间内高考提五分，那么你就信点击老师的话，用一天的时间把这些东西完完整整的复刻在你的脑子里，通过你自己，而不是拄着老师这根拐棍，这样才能达到低分的逆袭。

天一大联考，嗯，这个第一次考试，上节课，我们刚刚讲的是单选的最后一道，现在我们看多选的最后一道。 正。三棱台啊。首先这个正字就是等名三角形。三棱台。这个东西，台我们其实并不喜欢，我们喜欢锥对不对？棱台是由锥切开的，所以我们更喜欢锥啊。 这里面给了一些基本的东西，你看 a、 b， 一等于四，这就是四，上面都是四。 然后呢，两倍的 a 是四，那这个侧边就是二。多少角？ b、 e、 b， c 是六十度，也就说这个角是六十度，这个角是六十度。就想 让我去求这个侧面，这个侧面对不对？然后接下来他是他的终点，他在上面运动，这都无所谓。想搞定这种立体几何，你先从侧面慢慢挖掘。 他给了，明显给了侧面这个角。那我还是来搞侧面这个角。从侧面单看， 这是 bc， 他等于四，这是 b， 这是 c， 你这来是六十度，这来啥？这个梯形吗？我很容易就往这做垂线吗？三十度所在的直角边等于斜边的一半，这个边的一，这个边的根三。 同样的，这边也是对称的啊，这里就是一，这里就是跟三，这里就是四。你很明 明显就发现底边长是六啊，这也是六，这也是六。还是那句话，我们不喜欢这个叫什么抬体，我们喜欢锥体，你给他延长。哎。侧面这个三角形，这红色的三角形。我们假设这个边是 x， 根据三角形相似，那你 x 除以 x 加二，这段长除以整段长等于四，除以六。 这样一解除呢？ x 就是等于四啊，就等于四，这个变成四，这个变成四。 嗯，这样发现了什么？嗯，这所有边长都是六啊。这就是一个什么正 字面体啊。这就是一个正式面体啊。好家伙，可以的。好，那现在我们已经知道这是一个正式面体了。我们来感受。这个图太小了，画大一点，画大一点。 这是一个正四面题，被人劫了对不对无关紧要，你要注意。陈老师做这个题目的思路。做这个题目的思路。 然后呢？这个边是 d， 这个边是 d， 你这个边是四，这个边是二，这个边是六。这个等边三角形嘛。我很现在要做高的嘛，对不对？刚刚这个边已经求过了，跟三 这个位置求的鞋面是跟三，就相当于是一个鞋高啊。跟三。然后这个等边三角形，边长为六，高是二分之跟三乘以边长，二分之跟三乘以六的话，就是三倍跟三，他又占跟三这个位置，占二倍跟三。 你就会发现这个点啊，这个点地其实是这个侧面的，侧面的正中心。正中心，嗯，就是上面分为二比一吗？啊， 那现在你这个点 a， 那你这 a 点往这戳，最中心，他是一个正式面体啊。你要把这个三角形当成底面， ad 肯定垂直于底面了， 你把它当成顶点了，往这中间这等面上，你的重心一锤， ad 肯定是垂直于顶点。 同样的，这个边长是高吗？这个也是可以的，边长是六，高是二分之跟三乘以六，这也是三倍跟三。 跟三，三倍跟三，这里是垂直的。勾股定理，我们搞定一下 a d 是多少？二十七，三九，二十七，二十七，减三二十四，二十四，十六，二十四。这个是二倍跟六，二倍跟六。 接下来他要求体积的对不对？求体积的话，我还得求高吗？那我们从这个位置找这个重心，再从这个位置找这个重心，这个重心是把底面也分为根三、 二倍跟三，这样三倍跟三啊，自己感受啊。然后的话，这边长也能算， 这边上也能算。这底下是四，四这个位置是高，是二分之三，二分之四倍跟三。 然后再去乘以二，三分之二倍，这个位置我也能算三分之二倍。 往下再做，我们做高。这个呢，整段长是跟三吗？从这个位置到这个位置跟三，这个位置占了三分之二倍跟三。那这个位置呢？就是三分之跟三。 三减去三分之一，三分之八，三分之八开根号三分之二倍更啊，这高三分之二倍更 好，这个高也能算出来。所以我们第二步抽体积就可以了。它的体积 v 呢？我们用轮台的体积三分之一上，底面是四分之根三 a 平方， a 平方加的下，底面是四分之根三 a 平方。 我用的是等边三角形的面积公式啊，四分之根三乘以边长的平方，加上呢根号下。嗯，四分之根，三乘以四的平方， 乘以四分之根，三乘以六的平方，再乘以能抬的高三分之二倍更。二。这样一算 我就不算好了。陈老师之前是算过了，我看一眼，是三分之三十八倍的根啊，并不是五十倍的根啊。这个位置不对啊，必就不对。 接下来求 a p i a p p 在哪？ a p 的长度是二倍跟七。首先你看这来是二倍跟六对不对？二倍跟七的话是什么呢？ 二倍跟六，他的平方是十六、二十四，二倍跟七，就是二十八 四六，二十四二倍。根据二十八。也就是说差两个嘛，差二的平方嘛。二十四 四加六吗？差两个。所以我们这个位置，哎，刚刚好是两。所以 p 点在这个位置是可以的。到这个边的面， p 点到这来也是可以的，这来也是可以的。为什么呢？你这来是垂直的，这是二倍跟六。你这是二勾股定理，这不就是二倍跟七吗？ 你要对勾股定理很熟啊。勾股定理很熟。就相当于这个点 a 到这个这个边上点和这个点 a 到这个 c 这个点都是二倍根基。 它相当于什么是一个这样。哎，这样二倍根期，它每一个都是这样的二倍根期。所以题目才会说，虽然 a、 p 是一个洞的，但它到这个面的正期还是不变的。你这个 a、 d 是垂直的吗？ ad 是垂直的。这个图形是这样的，这是 a， 这是 d， 这是 p， 这是 p。 这来是垂直的， ad 是二倍跟六，这个边是二。你这个 p 是二倍跟七。 所以他要求 ap 和这个面的夹角就和这条线的夹角摊平，阿维根就出压。 所以贪听 c 等于二倍跟六，除以二等于跟六啊。这个三分之二倍跟二。这个不对啊。答案是跟六。答案是跟六， c 也不对。 那这个典型 d 就是对的了。因为这道题是个多选题。怎么去找动点 p 的 轨迹呢？其实很简单，我们已经知道屁在这个边，屁在这个点，屁在这个点。你看这段又是多少？这段刚刚已经算过整个完整的。这一段是三倍跟三。三倍跟三是多少？三倍跟三的平方是二十七。 二十七要到二倍跟七的话，二十八少个一。所以要从这个位置终点往这个偏一个一过来， 这个终点啊，就偏一个一过来，这也是另外一个 p。 p 三，这里是另外一个 p。 p 四。 他肯定甩的是一个这样的弧度啊，因为这个东西是到定点的，距离等于定长。他是一个球吗？球被这个侧面所结，肯定是个圆吗？他肯定是个弧啊，对不对？所以大概就是一个这样的弧， 或者是一个这样的。听不懂的同学啊，我们来给你拿出来。 他这个图应该是这样的。看清楚啊，这个位置是终点，这个位置是 p， 这个位置是 p。 嗯，这个位置是 p， 这个位置是 p。 他的弧应该是这样的。就这个弧啊，是这样的， 那这个位置是地点。所以这一段弧就是轨迹。这一段弧是一个轨迹，他完整的话应该是一个圆啊。这段是多长？ 嘶。这段是啊，那这一段这来是根。三，这来是一啊，这也是啊，你看，这是啊，这是啊，这就是呼。他 这是二，这是二。那这来呢，是多少度啊？这个位置是一，这个位置是二，这个位置是跟三，这来也是一， 总共是一百八十度。这个假角是六十度，说明这个角和这个角应该是一百二。两个弧长是能拼成一个圆的，整个是一个圆，所以这来是一百二，应该六十，这来是六十一百二。 所以我们这个扇形如果拼到一起的话，就是一百二十度。三分之二拍可以半径为二， 所以弧长。 l 三分之二拍乘以二，三分之四拍。这个 d 依旧是对的。 我们解释在立体结合中，你要对等边三角形的东西，等腰三角形的东西 啊，都很俗。以及这个勾股定理的计算。 其实我们讲一下这个立体几何，其实没有那么难，你只要能把每个边都算出来，其实就会很简单。这道题有个简单的突破口，就是你会发现一算完这个东西是一个正式面题，所以 a 就瞬间搞定了。 哎，这个这是高吗？不垂直于底面才怪呢，对不对？体积也是很容易酸的。这个轨迹动点的问题对不对？你先去找到特定的长度 哎，然后就能知道他会形成一个弧。他形成弧的原因是因为这是球的定义，在一个平面去 结球，肯定会结成一个圆。这个圆我预计是这样的一个圆，这样的一个圆。这块漏出去了。因为这里要是啊才够嘛。他是根三，那也无所谓啊，就是这半弧，这半弧。 好，自己感受一下。这个题目图画的毕竟有点乱，基础知识就看我的合集。好，剩下的时间同学们自己看一下这个题目啊。

离体集合大题还不能满分？过程书写总有遗漏，一个视频教会你轻松拿满分！ 为什么你的立体几何大题永远拿不到满分啊？经常看到后台有同学私信我，想让我梳理一下立体几何这一节的书写规范问题。 那么今天距离高考还有最后十四天左右的时间，我将带领着大家从零到一，将立体几何大题常见的一些考法，最后再梳理一遍，助力同学们在高考考场上遇到立体几何不再慌。 有一道例题是二五年的高考真题，那么为什么选它呢？因为啊，它不仅涉及到了平行与垂直的判定啊，没有垂直，只有平行，它还涉及到了一个角度的求法，除此之外，还有一个折叠，我们通过这道题还可以学会折叠的一些性质。 好，我们先看第一问，他让我们证明 a 撇 b 平行于这个平面， cd 撇 f， 那 么就是什么线面平行吧。同学们，你拿到一道题，让你证明线面平行，你要先想，你可以从哪些方向去证明，是不是有两个呀？ 一个是什么线线平行吗？我们可以通过线线平行来证明线面平行，还可以通过面面平行来证明线面平行。如果是线线平行的话，你要说 a 平行于 b 两条线它是平行的，并且 a 它不在这个平面内， b 它在这个平面内，所以你就可以说明 a 这条线它是平行于 ar 这个平面的。好，这是我们拿线线平行来证明线面平行。那如果你想要拿面面平行呢？ 面面平行的话，你得先强调这两个面它是平行的，并且你要证明的是线面平行，所以我们要说一条线，它是在这个面内 ar 的， 它是在 ar 这个面内的， 那我们就可以得到这个 a 啊，他就会平行另外一个平面贝塔。那为什么呢？因为同学们想一下，我既然两个面是平行的，不就会有其中一个平面的任意一条直线都会平行于另外一个平面吗？ 那么我们竟然讲了这个线面平行啊。把平行梳理完之后，我们再强调一下，垂直、垂直、 垂直。同样的，我们是不是也会有两种思路去证明这个线面垂直啊？第一种是什么？是不是线线垂直啊？如果同学们想拿线线垂直去证明线面垂直的话，我们要说的是 一条直线 l， 它会垂直于这个 m 和 n， 也就是一条直线，它会垂直于一个面内的两条相交直线。好，什么叫做面内呢？那你要强调 m， 它在这个平面阿尔法内， n， 它也在这个平面阿尔法内。什么叫做一条直线垂直于 一个平面内的两条相交直线呢？所以你要强调一下相交 m 交 n 会等一个 p， p 是 它的焦点。然后你再强调一下 l， 它会垂直于这个线 m， l， 它会垂直这个线 n， 那 么我们五步就可以把这个线面垂直给它梳理完。 好，那么我们是不是是不是也可以通过面面垂直来证明这个线面垂直啊？ 如果你想拿面面垂直来证明的话，是不是会有先强调一下面面垂直阿尔法，他会垂直于这个贝塔两个平面，两个平面是垂直的，然后阿尔法交贝塔等于 a， 你 两个平面的交线是这个 a 啊，那么我们其中一条线 l 它是属于其中一个平面的， l 它在这个平面 r 法内，那么那么你还要再强调一下， l 它会垂直于这条交线，那你就可以得到 l 它是垂直于另外一个平面的。 好同学们，我们基本上啊，这四个判定定理，如果你都能够很熟练的掌握的话，高考的第一问，我相信你不会再被扣分了。那么我们学会了判定定理，是不是得看一下具体的题目呀？接下来我们就看一下第一题怎么写 啊，让我们证明 a 撇 b 会平行于这个平面， c， d 撇 f， 哎，这是不是一个很明显的线面平行啊？ 如果你想要证明线面平行，我们刚刚是不是说了，你可以通过线线或者面面去推导啊，我们观察一下线线行不行，线线的话，你想要证明出 a 撇 b 平行于后面这一个平面的一条线，光看这个图好像不那么好找吧， 那我们线线这条路先搁置在一边，观察下面面平行，面面平行的话，好像就比较明显了呀，这一个平面，对吧？ a 撇 e， b 和 d 撇 f c 这个平面，他是不是一看他很像是平行的呀？ 很像是平行，我们得正出来才可以，怎么正呢？你要正的话，大概的思路应该就是，我要证明 e b， 它会平行于这个 f c， 然后就可以得到 e， b 会平行于后面这个平面， a 撇 e， 它要平行于 d 撇 f， 所以 a 撇 e 就 要平行于后面这个平面，所以我们面面平行就出来了。那我们看一下能不能挣出来这两条边，这两条边它们是平行的，我们观察一下这个题干 给了我们 ab 平行于 cd， 这一条和这条是平行的，又有了这个 ef 平行于 ab， 这一条和这条也是平行的。那我们不就可以得到这个四边形，它是平行四边形的吗？又有角 a、 b 啊，它是九十度啊，这个是九十度，所以我们就可以得到这是一个矩形，然后这个图形它怎么来的呢？ 这个图形啊，它是我们的四边形， e、 f、 d、 a 沿着 e、 f 翻折得到的，那不就是这个四边形沿着这个 e、 f 往上面翻吗？ 所以底下这个四边形所具有的性质，我上面同样具有。那么讲到这里，相信同学们的思路已经有了，我们来看一下具体过程要怎么规范。 第一步啊，我们先梳理一下折叠前后的基础条件，因为在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 平行于 cd， 那 是题目给的，且 ef 平行于 ad， 所以 这是一个平行四边形。 又因为角 d、 a、 b 等于九十度啊，这个九十度，所以有一个直角的平行四边形，它就会是矩形。那么写完之后，我们第二步来，你先证明一个先面平行， 因为啊，我折叠后，这个矩形，它的性质是不变的，所以我原来 a、 e 是 不是平行于 d、 f， 折叠后就会有 a 撇 e， 它平行于 d 撇 f， 然后利用一下刚刚讲过的线线平行，怎么推出线面平行？ 线在面内，线不在面内，所以线平行于面，这是第一个啊， a 撇 e 平行于后面这个平面，那思路是一样的吧。 eb 来 e、 b 平行于 f、 c， 所以 e、 b 它不在后面这个平面， f、 c 它在后面这个平面，所以可以得到 e b 平行于后面这个平面。两个线面平行是不就可以得到面面平行了呀？我们就可以得到，因为啊， a 撇 e 和 e b， 它相交于点 e 的， 然后 a 撇一和 e b 呢，它都在前面这个平面内，所以前面这个平面就会平行于后面这个平面。又因为啊， a 撇 b， 它是在前面这个平面内的，所以 a 撇 b， 它就会平行于后面这个平面。那我们第一问就很快的得到了。 如果说你按照这个步骤去书写啊，我相信查卷老师他不可能会扣你过的步骤分。好，接着我们来看下一步，我们讲完了这个平行和垂直的问题，是不是要考虑角度的求法了呀？ 角度啊，我们同影像量，因为现在距离高考还有最后的十四天的时间，我们不讲过于复杂的几何法，我们只讲投影向量。好，先强调一下意面直线所成的角，我们取的都是什么角啊？ 都是锐角啊，锐角，呃，这里不书写啊，都是锐角。好，来看， 我们如果想让你求 e 面直线所成的角，你就要想啊，把两个 e 面直线的方向向量给它表示出来，然后利用你在向量那一节学到的向量的数量积公式进行一个变形，是不是就可以得到口算 c 的 会等于这一串呀， 对吧？同学们，因为我刚刚强调了，你 e 面直线所成的角，我们取的都是锐角，所以你要加上一个绝对值， 绝对值啊，绝对值。好，那我们接着来看线，线角。讲完之后我们要讲什么？ 是不是线面角啊？线面角，它指的是直线与平面所成的角啊，那我们同样你要在这个平面内找出它的法向量。我们算线面角的话，是算线面角的正弦值会等于这个 直线直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦值。那同理啊，这个余弦值要取一个绝对值绝对值，那方法呢？方法的话，同样你是利用你在向量那一节学到的公式吗？对不对？ 好，线面角讲完之后我们要讲什么呢？那这里啊，这里有一个易错点，就是同学们要知道你线面角所 我们利用这个方向向量与法向量所求得的这个余弦值啊，是等于我们线面角他的正弦值。好吧，具体为什么呢？在我的八十五天冲刺系列课里面，这个立体几何这一节有讲到的啊，有讲到的 好，接着我们要看什么面面角了吧，那面面角通常是指二面角，也就是两个半平面所形成的假角。我们来看一下，核心是我们要在这两个半平面 找出它的法向量 m 和 n， 然后啊，然后计算这两个法向量他们所成假角的余弦值。 算出来之后呢，要注意，我们算出来的是加绝对值的啊，算出来的值是加绝对值的，那具体我这个二面角它的余弦值是多少？你要回归图形，我们观察一下你的几何，直观来判断你到底是锐角还是钝角， 如果是锐角的话，口算 c 塔肯定结果不变。如果是钝角，你要在你求得的值他的前面再添上一个符号。 好，那么我们角度的求法就讲到了这里，我们就选取这一道具体的题目进行一个讲解，来，我们看，他让我们求这个平面 b， c， d 撇和这个平面 e， f， d 撇， a 撇他们所成的二面角的正弦值。那我们按照思路是不是要求这两个平面各自的法向量呀？ 求出发向量后，我们利用法向量的乘积，再除掉他们各自魔长的乘积，是不就得到这个二面角的余弦值的绝对值啊， 再利用 sine 方加 cosine 方等于一，从而得到这个正弦值吧。好，我们来看，第一步是要间隙怎么建呢？因为我们通过第一问得到了这个角度啊，这里是垂直的吧，所以我们可以以 f 为坐标原点， f， e 它是 x 轴， f， c 它是 y 轴，然后啊，再过这个 f 点做 z 轴，它垂直于这个底面就可以了。 行，我们来看一下第一步，因为他这个题目啊，没有给我们具体的每一条边的长度，他只给了我们比值关系吧，所以我们看 ab 等于三倍的 ad， 我 们可以假设 ad 为一，用一位 cd 等于两倍的 ad， 然后 f 点它是中点，所以啊，这个 d， f 会等于 c， f 都是一，那因为我们第一问得到这是一个矩形吧，所以 a， e 是 不是也是一啊？那 e， b 就 只能是二了吧。好，我们得到这些条件，来观察一下 你要的这个平面 b， c， d 撇是不是坐标都可以写 b 点坐标很容易了，它是不是 x 走上距离应该是一啊， y 走上距离是二吧，然后 z 走上为零，然后 c 这个点的坐标呢，也是很容易的吧，应该是零一零吧。那 d 撇呢？同学们，这一道题重点就是这个 d 撇要怎么求了？ d 撇我们看一下，你不知道这个 d 撇 f 这一段长呀，它是由 d、 f 翻折上去的，所以 d、 f 是 不是为一， 对吧？同学们， d 撇 f 为一，然后这个二面角来看一下 e、 f， d 撇 a， 找一下 e、 f， d 撇 a 这个平面和下面这个平面 e、 f、 c、 b， 也就是说这个平面和这个平面，他们的二面角是六十度，我们观察这一条边是不是垂直于这个交线的， 这一条 cf 是 不是也垂垂这个交线？所以我们的 d 撇 fc 这个平面角，它是不是就是这两个平面所形成的二面角呀？对吧？所以我们 d 撇 fc， 它是等于六十度的啊。 d 撇 fc 六十度， d 撇 f 为一，所以 d 撇 它的横坐标啊，它的啊，不是横坐标，它的 y 轴上的距离是不就是 d 撇 f 乘以 o 三影六十度啊？它的 z 轴距离是不就是 d 撇 f 乘以三影六十度啊？所以我们可以把 d 撇的坐标也算出来，那所有的点坐标都有了向量，坐标是不就出来了？ 我们看一下你想要求得这个法向量，是不是假设先设这个 b、 c、 d 撇，它的法向量为 n、 x， y、 z， 然后啊，我们看到上面这一块，是不是可以写出这个 c、 b 向量乘以法向量等于零， c、 d 撇乘它也等于零。然后你把具体的坐标带进去， 再来，你带进去之后，你要先赋值，我们赋其中一个为根号三，令这个 y 等于根号三，所以这一整串为零的话，它就等于一了，然后 y 等于根号三，你的 x 是 不也得等于根号三呀？ 所以法向量 n 就 出来了，那同理，这个平面法，这个平面 e、 f、 d 撇 a 撇，它的法向量跟上面这一个的算法的格式是一样的，我就不细讲了，那过程就在这里。接着你有了两个法向量坐标，是不是就可以算他们的假角了呀？ 假假就是口算 c 两的绝对值会等于这个法向量的乘积的绝对值，再除掉它们各自抹长的乘积，然后算一下。其实我们这个分子啊，这个分子它应该是绝对值，然后负三再加 一。好分子应该是这一个啊，应该是这一个，然后算出来的话，结果还是不变的。你算出来余弦值之后，我们的正弦值是不是也可以直接利用这个三一方加口三一方，等于一来给它表示出来呀？ 那么我们这道题的第二问是不是就求出来了？因为它是求二面角啊，所以我们算到这里就可以结束，那么我们今天的课就讲到这里。

开始啊，咱们来讲一下立体几何的相关大题，然后今天咱们解决这道呢，是第一道题，它包含了面面垂直的证明。二、面角计算是高考立体几何的高明考点，然后咱们来一步步拆解。 首先咱们来看一下题目，他说在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 呢，怎么垂直于这个平面？ p a 垂直于这个平面 a， b， c， d， 然后呢， p a 是 等于这个角等于一百二十度， 然后还告诉咱们什么 a c 垂直于 b 的， 就是这个是垂直的，对吧？然后呢，还有条件就是三角形 b， c 的是个什么三角形？是个等边三角形，就是这个三角形 b c 的。 那第一问，第一问的话，你想咱们要证明两个面垂直合一方法是不是证明一个面内的一条直线垂直另一平面，也就是找什么线面垂直，对吧？那这道题咱们来简单写下步骤，首先写个紧，然后证明 因为什么，根据已知条件咱们要找什么，找垂直吧，对吧？所以题目告诉我们 pa 垂直平面 pa 怎么的？垂直于平面 a， b， c 的， 对吧？然后 c 的 是不是也在这个平面内啊？ 在平面什么 a， b， c 的 之内，所以说怎么的 pa 是 不是就垂直于 c 的 呀？对吧？然后呢，又告诉咱们 a、 c 垂直于 b 的， 是不是写因为 a c 垂直于 b 的， 然后还因为什么呀？还因为这个三角形 bc 的 呀？它是个什么等腰三角形，咱们为什么要这么写？咱们要找什么导角度？ 那所以说是不是 a b 等于 a 的， 且什么角 b 的 c 是 不是六十度啊？那你说角 b 的 c 是 六十度，你说角 b a 的是多少度？ b a 的 还是怎么的？它又是一百二十度， 是不是？所以说怎么的？是不是角 a 的 b 是 不是等于角 a b 的 等于一百二十二十三十度？是不是因为顶角是一百二十度的一个等腰三角形？所以说咱们能推出角 a 的 c 是 不是等于九十度？也就是 说明 c 的是怎么的垂直于 a 的， 然后 pa 啊，你看啊， pa 是 不是在平面？怎么的？咱们现在已经正完了什么？ 已经马上要证出来什么？是不是证明出现面垂直，对吧？所以说咱们写 pa 属于平，在平面 pa 得上， a 得呢？也在平面 pa 得上，然后 pa 呢？交 a 得还等于 a， 所以 说 c 得这条线是不是就垂直于平面 p a 的 呀？然后咱们要正这两个面垂直，对吧？所以说因为什么呢？ c 的 在这个平面 p c 的 上，所以说这个平面啊， p a 的 是不是就垂直于平面 p c 的 呀？这第一问咱们解决了，第二问，第二问，让他们求二面角的正弦值， 对吧？二面角正弦值的话，咱们要空间向量法解决，对吧？首先咱们来找一个合适的圆点，间距要细，题目里给咱们的 a c 垂直于 b 的， 那咱们把这个点它的焦点设为什么设为 o， 那咱们以向量 o b 方向为正方向啊，为什么 x 轴正方向以 o c？ 为什么 y 轴的正方向再怎么呢？平行于怎么呢？ p a 向上键这个 y 轴 z 轴， 对吧？咱们一般是键右手系，所以说咱们键完了。然后接下来计算作表， a b 是 不是等于 a 的 等于二角 b， a 的 还等于多少？等于一百二十度，所以说什么呢？ b 的 是不是等于二倍刚好三呢？那 o b 是 不是就等于 o 的 等于刚好三呢？那等边三角形 bc 的 中，你想高， o c 等于三，又因为什么？ a o 是 等腰三角形 ab 的 底面的高？所以说怎么的 o a o 等于一，哎，等下这个 o c 啊， o 看啊， o c 是 等于什么？ o c 应该等于三倍杠三，对吧？ a o 等于一， o c 等于什么？三倍杠三对不对？所以说个人坐标咱们现在就能找出来 b 点是杠三都零都零， c 是 零都四都零， 个是负杠三斗零斗零， p 的 话，是不是零斗负一斗二啊？对吧？然后咱们接下来就要找反向量了，找反向量，首先你要找 p、 c 向量，是不是给它算出来是零斗四斗负二， p b 向量呢？是不是杠三？逗一逗负二？那这一块步骤其实可以简单点写，如果写过程的话，那我就直接跳过前面那些步骤就是，但是你们写的时候要写，所以说咱们正常接下来步骤就是设法向量，对吧？设法向量， n 向量是不是等于 x y， z 呀？然后所以说咱们能列什么？是不是 n 向量乘上 p， c 向量等于零， n 向量乘 p， b 向量等于零，然后咱们代入，代入之后呢，咱们要怎么的？ 是不是得到一个式子，是不是二 y 减二四， y 减二， z 等于零，杠二三， x 加 y 减二， z 等于零，那咱们是不得负值啊？咱们另 y 等于一，接着什么？ 是不是 z 等于二， x 等于杠二三？所以 n 限量是不是就是杠二三到一到啊？到二，对吧？那接下来还得找什么？找另一个平面 p 到 c 的 一个反向量， 那 p 到 c 的 反向量咱们也是一样的步骤我就不写了。那最后咱们能解得这个它的反向量是多少？是不是负？高三到一到二， 然后你看啊，咱们是不得先咱们要求什么？正弦值？正弦值的话在零到派内是不是都是正的？咱们不需要考虑它正负的问题。 那所以说咱们先来算一下它的余弦值，余弦值的话是不是等于它俩点的夹角对不对？是不是就等于多少？是不是二比上二倍，根号二乘二倍，根号二等于四分之一吧。 然后跟接下来求正弦值，就利用什么同角三角函数平方关系，就是塞 n， n 向量 m 向量夹角等于什么？根号下一减 cos 方，这个 对不对？是不是就等于根号下一减去四分之一的平方就等于多少？四分之根号十五吧。 然后这里要注意二面角的大小要反映在内角可能是怎么相等或互补的，但正弦值是不是都是相同的？就像我刚才说的，是不是他们在零到派上的话，你看正弦的图像，他都是正的，对吧？而且是关于什么？关于二分之派是对称的，但是余弦的话他他怎么的？零到派他是有正有负的这个分解点，二分之派， 那所以说你就要考虑这二米角的正负了，但正弦值就不需要考虑。那今天这道题咱们就讲今天这个第一问啊，咱们讲的一个是什么？是不是通过正面面垂直？咱们要想到什么？正线面垂直，线面垂直之后 再来正面面垂直，对吧？线面垂直怎么找？线面就是在这两个平面中找一条线，你看哪个线和另一个平面好，正垂直你就用哪个，然后你就基本上没有什么问题。那今天咱们讲到这。

各位同学大家好，欢迎来到我们今天的第四节立体几何的专项，很多同学在咱们立体几何这里一直都拿不到高分，因为是可能普遍存在这几个问题，第一个就是咱们的公式记不牢， 特别是算表面积或体积的时候，容易公式记不牢，容易记混记错。那第二个呢，就是在证明题里面，平行和垂直的一个判定是逻辑不清楚的，证明题写不出来。第三个就是空间想象力 比较弱，比如说咱们看不懂一些图形的折叠或者切界面，或者一些二面角这些问题，他看不清楚这些角他是在哪里， 所以我们今天呢就是专门帮大家去把这些问题一一解决，我会把咱们的核心考点，必备公式，还有咱们的解析存在的套路，一错陷阱全部都讲明白。然后我们每道例题带着大家去一步一步写过程，算结果，让我们看到这些力和 立体几何啊，没有大家想象中的那么复杂，很难，让我们来看一下。其实高考立体几何就考四大板块，第一个就是我们的表面结合体结，第二个是平行关系的 判定，垂直关系的判定和球的切切问题。其中第二块和第三块就是我们常见的 大题的证明，呃，就是咱们通常位置应该是在十七题是必考一道的，并且它就是围绕着我们平行和垂直的去判定，然后去计算我们的体积。 那现在我们就来先看第一部分表面积与体积的计算，这里是我们必须要掌握的一些公式，就比如说 柱体的体积是我们的底面积乘高，那它的表面积呢？就是我们的一个侧面积加两个底面的面积，其中侧面积是我们底面圆周长乘高，然后我们圆的面积的话就是 pi r 的 平方嘛， 然后锥体的体积就是在柱体的体积上乘三分之一，一定要记到这个三分之一，然后它的同样它的表面减就是一个侧面积加一个底面积，那侧面积呢？其实是一个扇形的面积，就是扇形公式要记牢。 第三个就是我们球体的一个表面积表，球体的表面积的话就是四帕尔的平方，体积是三分之四帕尔的平方，所以这个 呃三分之派尔的立方，所以这些公式只要记牢就行。然后我们常用的解析方法，可能有时候咱们的一些利息几何去求体积或表面积的时候，他给的是不规整的，那这种情况下我们就是要把它转化成我们常见的一些几何体 以及啊等体积法，就是比如说他给了一个底面，给了一个高，那这种情况下我们要选择比较容易求的面积，去替换掉他原本 给的一些不规则的面积。然后易错点就是如果是在求表面积的话，一定要注意一些重叠的部分，以及当我们折点的话，他的一个前后的啊边长是保持不变的。第二个考点就是平行关系， 那我们以前学平行啊，只是学过一些线线平行，但在线线平行里面我们知道它平行是有一个传递性的，如果直线 a 和直线 b 平行，直线 b 和直线 c 平行，那么通过传递性我们发现 a 和三也是平行的， 但我们高中这块除了线线平行之外，我们还考线面平行和面面平行。那我们来看线面平行，他指的是平面外的一条直线与平面的一条直线平行，那么他就可以证明线面平行。就比如说我们现在这是一个平面 啊，叫做 r 法，然后现在就有一条直线，它是 a， 然后这个 a 呢？它是不属于不在这个平面上。但是只要你在我们啊平面 r 法里面找到一个 直线 b， 这个 a 和 b 是 平行的，我们就证明了 a 和 r 法它是平行的，这是我们的一个线面平行。所以说咱们线面平行的核心就是在平面上找到一条线，与平面外的一条线平行，就可以证明线面平行。 那面面平行呢？就会发现一个平面内两条相交的直线都平行于另一面。 原本啊，我们要证明面面平行，已经证明好了线面平行，但是怎么去推他线面平行呢？我给大家画个草图来看一下。然后这个是平面而法，这个是平面 北塔。首先呢，呃，要想证明而北塔和而法是平行的，首先如果平面上平面北塔上有一条直线 a， 然后他能够证明，呃，这个直线 a 是 平行 r 法的，就证明了我们的线面平行了吧？要怎么去证明面平行？如果 b 塔上还存在一个线， 他是 b， 然后这俩呢，他必须有一个交点 p， 在 有交点的情况下，确实因为两条直线呢？确定一个平面吗？ 如果当两条直线都平行于这个平面而法的话，那么这个直线所经过的平面，他就一定是平行而法的，所以这就是我们面面平行的一个 呃性质，那关于咱们面面平行的一个几何语言大家也要掌握好。然后这三种平行转换关系呢？我们有就是如果线线平行， 咱们条件再多一点，可以推出咱们线面平行，然后线面平行条件再多一点，可以推出咱们的面面平行，所以它只是一个连锁反应，那注意下这个关键信息。呃，线面平行它是能够得到一个直线与平面无公共点的， 因为如果一旦有公共点，那就说明这个线他是穿过这个平面了，他就不可能是保持平行的。然后如果是面面平行的话，可以推出一个平面内任意直线都平行于另一平面，这也是因为两个平面平行吗？那 平面上所有的直线就不存在交点，那不存在交点情况下，那就任何直线都可以和另一条面是保持平行的关系。关于一些意面直线的变细的话，也是只要没有公共点且不平行的话，它们都可以称之为我们的意面直线， 这是我们平行关系。现在来看我们第三部分垂直关系。垂直关系的话，首先如果在大体里面要你证明线线垂直，我们通常有三种办法。第一种就是我们呃高中阶段所学的一个线面垂直的证明方法，就是 直线垂直，平面内所有的直线就可以得到这个线是垂直平面的，这是我们的几何语言。第二个的话，就是当要证明两个线去垂直的话，就是用勾股定律的 逆定律，比如说我们得到了 a 方加 b 方等于 c 方，那么 a 方和 b 方就是垂直的。 第三个呢，就是根据我们的等三角形的三线合一，然后那么中间那个就是垂直的，这是我们在大体里面常见的一些线线垂直的判定。那第二个线面垂直，线面垂，就是直线垂直平面内的两条交线， 就比如说现在这是一个平面而法，然后平面而法上存在一个直线 a 存在一个直线 b， 如果有一条直线 l， 它是垂直于我们这个 a 和 b， 并且 a 和 b 在 呃那个而法呢是有交点情况下，那么这个 l 它是垂直于我们的面的，这是我们的一个线面垂直呢，就是一个平面经过另一平面的 垂线，就比如说这是我们的一个平面 r 法，然后这是我们的一条直线 l， 它是垂直 r 法的吧，然后另一个平面呢，这个是经过 l 的 一个平面，就比如说这是个 b 塔， l 就 在比特上面，那就可以证明啊，那个阿尔法和比特它是相互垂直的。那这些垂直关系呢？也是以线面垂直是为枢纽，我们得到线面垂直，它既可以推出我们的线线垂直，又可以推出我们的面面垂直。 所以说如果你要想证明线线垂直或者是面面垂直的话，首先是要证明一个线面垂直的， 然后我们面面垂直的话，它是可以推出什么？推出平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，这是我们的一个几何语言。 大家要证明咱们这些这部分的话，咱们这个几何语言是一定不能出错的，而且这个逻辑也是不能出错的。我们在嗯考试的时候如果有一个步骤缺了，那么就是这块一定要注意这个 逻辑的通顺。然后两直线都垂直于同一平面的情况下，两条直线一定是平行的，就比如说假设这是一个平面而法，然后呢， a 呢是垂直于而法的， b 呢也是垂直于而法，就发现这两条 a 和 b 它是 平行的，这是我们的几何圆，然后排除呢？就是呃，易错点就是直面直线垂直，平面内的一条直线就 不不等于他是线面垂直的，他有可能只是这两条线垂直，但是他们不一定是，嗯，线面垂直的。还有就是两平面同时垂直于第三平面的情况下，也不能得到一个 面面垂直，然后第三个呢，就是我们来看一下这个垂直关系的判定和转化。首先我们在做大体的时候，空间直角坐标系的建立是因为什么？是因为我们有时候做不出来题的情况下，我们间隙就是万能的做题方法。 那在间隙的情况下我们怎么去间隙呢？只优先选择两两垂直的人为做标准，这样子你可以直接去减少一些计算量， 然后同时在计算的过程中可能会用到一些咱们之前所学的向量的一些运算，比如说魔长公式呀，点击公式呀，还有一些夹角公式。同时呢，关于咱们就是平行和垂直，因为间隙他一定是存在向量的吗？那么就回顾一下我们之前向量的平行，向量平行就是向量的共线，有这样的一个方法， 然后向量垂直的话，就是我们呃向量点积数，量积为零，然后之间的这个点到面的距离公式的，咱这个是可以记住的，因为我们大体的时候也经常会考一些， 比如说啊，锥形的体积呀，这种点到线的最大距离，最小距离的情况下，通常也会用到我们点到平面的距离，他们 d 就是 等于 pa 乘 a 向量的模 以上 n 向量的模，其中 n 向量是我们这个平面的法向量，那 p a 向量向量就是点到平面中任意一个直线的一个表示的向量。 那接下来呢，我们来看一下这道题，如图，在这个平行四边形，这不是在这个平面四边形 a， b， c， d 这个 a， b， c， d 中， ab 是 等于 八，我们标一下， ab 等于八，呃， cd 等于三， cd 等于三， ad 等于五倍根号三， ad 是 这个最长的，这部分是五倍 根号三，然后角 a， d， c 是 九十度， a， d， c 这里是九十度，然后 b， ad 是 三十度， b， ad 这个小角是三十度，然后满足 a， e 这个向量是等于五分之二倍的 ad， 你看 a， d， 它给的是五倍根号三的 a， e， 直接就可以求出 a， e 是 等于二倍根号三，然后 ab 等于八， af 等于二分之 ab 呢？ af 是 等于四。然后是将三角形 a， e， f 沿 ef 折叠至 pdf， 也就是说这个三角形 a， e， f 这个三角形和这个 e f， p 这个三角形它是全等的，然后使得 p c 等于四倍根号三，证明 e f 垂直 p d 其实这道题我只呃摘出来第一问啊，因为这个证明是非常典型的一个证明，那现在我们来看一下这个证明的思路。 首先啊，在三角形这个 a， e， f 中，在三角形 a， e， f 中，我们知道了角 f a e， 它是等于三十度， 然后 a e 呢，它是等于二倍，根号三，然后 f， 它是等于 a， 是 ab 的 中点，哎， 那个，呃，二分之一 ab 嘛，所以 a f 是 等于四。我们发现在这个三角形里面啊，又是三十度，又是二倍，根号三，又是四的， 我们觉得他很像我们那个三十度六十度的一个直角三角形，那我们来只用我们的余弦定律去证明一下这个究竟是不是直角三角形嘛。所以我们令 算一下这个口三角 e a f 就是 这个 e a f 这个角，它就等于 a e 的 平方加上 a f 的 平方，减去 e f 的 平方，然后再比上二倍的 a e 乘 a f， 这是我们的之前所学的余弦定律。然后我们把已知的公式带进去之后，就等于 十二加十六，减去 e f 的 平方，比上二乘二倍，根号三，再乘四，然后 e a f 等于三十度，那考三 a 三十度呢？等于 二分之根号三，所以这个是四。式子里面，我们很容易就能算出来 e f 的 长度，那这里我们不去做太多的一个计算步骤，直接就是在草稿纸上完成计算，那么算出来 e f 是 等于二，我们发现二 二倍，根号三四，哎，很明显他就是一个三六九的一个直角三角形，那么我们就得到了 e f， 它是垂直于 a d 的， 那我们得到了 e f 垂直 a d。 要想证明 e f 垂直 b d， 我 们发现啊，这个 b d 是 在平面 p e d 上，在这个后面这个平面 p e d 上，所以要想证明垂直于 p d， 就 证明 e f 要垂直这个 p e d， 那 是我们刚刚发现在这个三角形里面啊，它已经得到了 e f 要垂直于 a d。 那 其实只要在证明 e f 垂直 e p 就 行，那 e f 垂直 e p 应该怎么正？ 哎，对，因为是我们三角形 a e f 和三角形 a e f 是 三角形 p e f， 它俩是全等的，因为是折叠过后，它的棱长长度是不变的，全等情况下圆，那么角 a e f 是 不是等于角 p e f， 然后都是因为垂直就等于哎，九十度。所以呢，我们就知道 e f 它还垂直于 p e， 我 们就得到两个垂直了。那现在要想证明这个 e f 垂直于 pd， 就 要证明 e f 垂直这个平面。所以我们把完整的步骤写下来，就是写一下这个几何圆，就是因为 e f 垂直于 ad， ef 垂直于 pe， 然后且 a d p e 含于这个面 p e d 的， 所以有咱们的 ef 垂直于面 p e d， 然后知道了线面平行，线面垂直之后，我们就直接得到了，所以我们的 e f 垂直于 p d。 因为什么？因为 p d 它也在面 p e d 上，所以得到 e f 是 垂直于 p d 的。 那么这道题啊，用这个线线垂直，其实用的就是我们之前的， 你看之前的第一个判定，要想证明啊线线垂直，那就要证明先从 垂直于面就垂直于面上的所有线，所以我们第一步要证明的就是垂直于过 p d 的 那条面，那那条面的话，我们就用我们的呃之前线面垂直的判定方法，线面垂直就是直线，垂直平面内所有的直线即可。 这是我们的理题一来看我们的考点核心四就是球的切接问题，其实球的切接问题啊，咱们大题也不会经常考，一般要考也是考选择或者是填空，我们来简单看一下， 首先外尖球的核心是什么？就是长方体外接球的直径就是我们这个等于他的一个梯队角线， 记住这个直径啊，就等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，然后正四面体的外接球半径 r 等于四分之根号六倍的 a， 这个一定要记住啊，这个记住之后我们选填是可以直接用的，就不用你专门的去啊，再计算很多了， 那在这里呢，因为计算过程比较浪费时间，而且考试的话他也不会专门去考你这个正四面体的外接球板，你是怎么算出来的？所以这里大家只需要记住，考试的时候，嗯，直接用能够提高我们的做题速度即可。 然后我们找球心的关键就是找个顶点的一个距离相等，如果考试考出来不是长方体或者正四面体，比如说给了你一个其他的一个楞锥情况下，我们只要找到就是呃，建立用咱们的勾股定律去计算这个半径就行， 然后咱们还有一个圆和直线之间的一个半径就行。然后咱们还有一个圆和直线之间的一个位置 关系，圆和直线之间呢，要么是相离的，要么是相切，要么相交的，相离的话就是没有公共焦点，那没有公共焦点，他就是一个类似于这样子的，这是咱们的圆心，然后这是咱们之间 l 相离的话，就是这个点到线的直线 d， 然后这是我们的半径 r， 它的 d 和是大于 r 的， 那相切呢？就是正好是 这样子的，那么正好他点到直线的距离 d 就 等于我们圆的半径 r， 然后第三个相交呢，相交就是这是一个 l， 然后这是一个 圆，那这里的半径半径到直线距离 d 是 小于我们的半径 r 的， 所以这是我们直线和圆的一些位置关系，也是我们选择和填空经常考的一些内容， 包括我们点到直线的距离，也有咱们的这个直线距离公式，就是比如说这个点啊，它是等于 a 和 b 的， 那么这个点 a b 到咱们直线的距离就是等于啊 a a 加 b， b 加 c， c 的 一个绝对值，比上 a 方加 比方，这个呢是我们点到直线的距离。那现在呢？我们来看一下例题二，直线 l， 它是 mx 加 y 减 m 等于零， 然后与圆这个给了一个圆 x 方加 y 减一的平方等于四交于 ab 两点，我们发现这是一个什么，应该是我们圆与直线是相交的关系，然后得到 d 是 小于 r 的 关系， 问你求 ab 的 最小值。然后这道题我们简单的去画一个草图来看啊，首先这个圆他过的是零一这个圆心，然后他的半径是等于二的，对不对？所以我们简单的来画一下这个 草图，这是 x 轴，这是 y 轴，然后圆形是零一，零一在这，然后半径是二，然后我们画一下半径大概就是这个样子位置，所以我们画一下这个 圆，画完这个圆之后呢，我们再来画这条直线，那这个直线我们能不能看出来他过一个什么定点呢？这样子不好看，那我们把它去做一个化解， m 倍的 x 减一 加 y 等于零，那这样子是不是能看出他是过一个定点一零的？所以我们先找出了一零之后我们去过一个定点， 然后我们这是直线 l， 它交于 ab 两点，那现在要求 ab 它的最小值。我们来看一下，如果一般情况下，我们 a d 应该怎么求？应该是首先 ab 他的一个长度，我们假设如果他过这个线，呃，过这个圆点，然后做一条关于 ab 的 垂线，我们假设 gvc 的 话，那就应该是等于 二倍的 ac， 那 ac 怎么求呢？ ac 是 一个在直角线，只用那个勾股定律就等于二倍的半径，我们圆的半径是等于 r 的， 也就是 r 的 平方减去我们 o c 的 平方，那 r 的 平方减 o c 的 平方就等于 r 方。我们是知道是等于 啊四的，就等于四减去 o c 的 平方，所以我们要求 ab 的 距离应该是求 o c 的 距离，而且 ab 的 距离最小的话，那 o c 的 距离就应该最小，那怎么样情况下是 o c 最小呢？哎，就应该我们是 o c， 就 应该就是 c 点，就是我们刚刚说的这个定点，这样子我们就能保证 o c 是 最小的，所以呢，我们 c 点的距离应该是一零，然后 o 点呢，是我们的零一，所以要求 o c 的 距离应该就是一的平方加一的平方应该是等于 根号二的，那所以我们 ab 最小就等于二倍的根号下四减 o c 的 平方是等于二，应该就是二倍的根号二，所以应该选择的是 c 选项。那这道题呢，其实就是考察了我们一个直线和圆的一个位置关系，如果是相交的情况下，什么情况是距离最短的？应该就是我们圆形到直线的距离是最短的情况下，那么他的一个 呃圆上的一个捷径，他也就是最小的。那这道题呢，就是我们高考常见的一种类型题，高考基本上也就是这种难度，所以这种题大家下去多练， 多去掌握这种方法就可以了。然后我们再来看一下第三题，第三题他说在这个三轮锥 p abc 中，然后 ab 是 等于 二，然后平面 p a b c， 这个 p a b c， 它的一个 呃二面角的大小是等于三分之派的六十度，然后 ac 等于二倍的 bc， ac 等于二倍的 bc， 假设这是 x 的， 这是二 x， 然后问你点 c 到平面 p a b 的 距离最大值是多少？哎，这又是一个求点到 平面的一个距离，那这道题我们来看一下啊。通常情况下，其实这道题如果你用直接的去计算的话，其实是没有思路的， 那这时候我们就想到了我们之前所说的，如果你没有任何思路，我们就间隙，那这道题的难点呢？是其实是在于间隙方面，应该怎么间？哎，那我们假设找一个 a b 的 中点 为 o 吧，然后因为题目不是给了你 p a， b c 的 一个二面角吗？所以我们就以 o 点，然后这个二面角角度为一个切入点，去做一个平面角系。首先中点是 o 的 话，那么我们以 ab 间隙， ab 是 x 轴，然后呢，去找一下咱们 ab 的 中垂线作为 y 轴，然后这样子垂直下来，我们做一个 z 轴，这是我们建立的一个平面直角坐标系。现在呢，建完平面直角坐标系之后，我们就可以对应的去写 abc 它的一些 呃坐标了。那个 a， 首先它是因为在 ab 上，它这二的话，这里是以一，所以 a 点应该是负一零，然后 b 呢？应该是 一零，然后我们设 c 呢，它是一个 x 和 y， 因为我们要求 c 到 p a b 的 距离吗？所以我们 c 的 位置其实不知道，那我们就设未知数，而且因为我们有什么，因为有 a c 等于二倍的 bc， 二倍的 bc， 所以 这应该是一个 我们用来计算的一个等式，对吧？所以现在我们来计算 a c， 它是等于，如果写成向量的话， a c 向量应该是等于哎 x 加 y， 然后 bc 向量呢，它是等于 x 减一， 所以咱们 ac 等于二倍的 bc， 实际上 ac 向量的模等于二倍 bc 向量的模，所以我们来计算 ac 向量的模，是等于根号下 x 加一的 平方加 y 的 平方，然后等于二倍的根号下 x 减一的平方加 y 的 平方，我们同时化减下，其实它会整理得到一个圆，就是这个是 x 减去三分之五的平方，加 y 的 平方等于九分之十六，大家可以自己下去化简一下，就是最终结果。化简成一个圆，是以圆心是三分之五零，半径为三分之四的一个圆，所以我们发现其实这个 c 啊，它是应该是在一个 呃圆，呃是一个轨迹，是一个圆形，首先这个什么，他的一个圆心是什么？ c 点这个轨迹的圆心是 三分之五零，那么他一定是在我们的平面 abc 上，对不对？所以啊，在平面 ab 深 c 上的话，那么我们就知道这个 c 点，他离我们的直线 ab 这个最大的距离是他的一个半径，半径 d 是 等于三分之四的，因为，呃，圆心啊，他是在咱们这个 ab 上移动的，那么 c 点到 ab 最大的最大的距离呢？就是我们的半径呀，对吧？就是垂直情况下，一个半径 就等于 d， 就是 三分之四。那又因为咱们的二面角，呃，这个 p a b c 它的一个大小是六十度的，所以咱们这个最大的最大的距离是等于咱们的三分之四乘三引 三分之派的，因为这个距离是乘一个三引六十度的一个角，所以就等于 三分之四。乘二分之根号三就等于三分之二倍的 根号三，所以选择的是 b 选项。那这道题呢，其实放到我们高考里面就比较的难一点，因为它涉及到了一个间隙的问题，而且它见的还是，嗯， 对于咱们找这个直角来说还是比较困难的，所以难就难到间隙，如果你发现咱们间完隙之后，你就发现啊，其实整体计算来说他不是很难， 所以大家平常在做题的时候，一定要积累去我们常见的一些间隙的点和常见的一些间隙的一些思路 就可以了。那只要提示到这，那这节课呢，其实我们讲的四部分，第一个呢就是我们表面积体积的计算公式，一些球呀，圆柱呀，圆锥呀，这种 公式要记牢，其实考试的频率不那么高，但是如果考出来之后一定要记牢公式。那第二个第三个呢，就是关于平行和垂直的判定，那这一块就是线面平行，线线平行，线面平行，面面平行，还有线线垂直，线面垂直，面面垂直，它的一些几何证明 需要啊几何的证明，几何的一些逻辑思考，包括你在证明几何语言的时候不能丢失的点要大家要注意。然后还有就是一些圆的嵌接问题，比如说 呃，那个半长方体的呃外接圆，还有正四面体的外接圆，这些其实我们要多记的是咱们的二级结论，因为在选择填空里面其实能够提高你的做题速度的。 那这节课就讲到这，然后课后呢，把老师给大家布置的一些题目，大家回去写完咱们的答案，在配套的资料中评论区就可以看到咱们免费的获取方式。那本节课就到这，大家再见。

本视频时长三十二分钟，带你搞定立体几何几何法求空间角综合训练，从题目出发，解决各种综合题型，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 第一道题告诉我们一个三能锥，然后说这个 a、 b 啊，是垂直底面的，然后告诉我们底面还是一个直角三角形就是 b、 d、 c 是 直角，然后 ab 等于根三。 然后接下来有两个比较模糊的条件，需要你精准的去处理和翻译一下。第一个说最长的棱是等于多少根号十三。 第二个说当这个棱锥体积最大的时候，最后要求 a、 c 和 b、 e 所成的角，所以你想求这两个意面直线所成的角。首先看一下这个根号十三在说谁，这是你要解决的第一个问题。第二个体积最大的时候代表着什么？ 那我相信大家思考过了，然后接下来我们一起带着你的思路，带着问题我们来感受一下。第一个问题 说最长的棱，根号十三，谁是根号十三，你分析完之后，整个题里边最长的那个棱说的是谁？这是咱们要搞清楚的第一个问题，这个问题你解决不了啊，你进行不下去，对 ac 是 吧？ 所以看的时候呢，在这道题里边啊，怎么看最长的？那你看我们整个三角形，因为这里是垂直，这里也是垂直，有很多直角三角形，那直角三角形中什么斜边是最大？你先看一下扮演斜边的， 这个扮演的是底面的斜边，这个扮演的是斜边，所以这三个首先都是斜边，另外两个不用考虑。接下来再看这三个斜边， 这个斜边在这个三角形中相对于他又扮演了什么啊？直角边，所以他也不用考虑，然后最后就剩下这两个扮演斜边，那这两所在的直角三角形，你发现有个公共边是根号三， 他俩谁大？看他俩，他对应的另外一个直角边是他，而他对应的另外一个直角边是他，谁对的另外一个直角边大，那很明显是这个边对应的另外一个直角边是底面的斜边，而他对应的另外一个直角边是底面的什么啊？直角边，所以这个相对大一点，最终最大的是谁啊？ ac， 好 了，所以第一个条件咱们就处理清楚了，原来在告诉 ac 等于根号十三，我们标上去。然后第二个问题， 他说当这个体积最大的时候，那这个体积最大，又在告诉我们什么体积最大，又在告诉我们什么样的特点，或者什么样的特殊性？其实这些呢，多少都是一些非常基础的概念性的问题，他只是把非常简单的问题串联在一块。对 底面积最大，那底面积最大的时候又告诉我们什么呢？好，那我们就一起来分析一下啊。来，从不到有 等腰直角没问题，你看整道棋啊，体积最大体积看什么？底面积和高，这条线垂直底面，他就是高，那这就是底面， 所以我们要求体积怎么样？最大，就是要求底面积最大。然后接下来你看一下底面积有什么特点，因为整个这里是一个 r t 三，这根号十三，这根号三，所以这根号十， 所以你发现底面是一个什么？斜边为根号十，然后对应的直角是直角，那我们说这个点 d 的 轨迹在哪里啊？这是我们初中学过的什么定边定角吗？这刚好相当于一个圆的什么直径，然后呢，这个点 d 就 相当于永远在这个圆上运动， 那它在圆上运动的时候啥时候面积最大呢？就是等幺 r t 的 时候。所以第二个问题就在说底面为等幺 r t 的 时候体积最大，说白了也就是在告诉我们 b、 d 等于 dc， 都等于根号五。 坐到这里，你看他题目在告诉你条件的时候告诉的相对来说都比较委婉。那我们对条件的翻译，第一个来自于什么？我们初中知识对这种边的理解。第二个，体积最大的时候，首先要知道体积最大到底是谁最大？是面积最大，面积又是怎样一个图形呢？定边定角的一个三角形， 你把这两个条件完全处理清楚，那接下来还有什么综合性完全确定的？一个三棱锥要求里边两条意面直线的什么所成的角，那它就变成 一个单一知识点，就是求意面直线所成角的问题来最后一步了啊，那么求哪一条呢？求这两条，我们说意面直线所成的角要用几何法求的，关键是什么？平移让他两相交。那么这道题你看到这个点就在这个线的面里边，而且是中点，直接做个中位线，那 就这就是我们要找的什么角了。这个角找到之后怎么求呢？第一个是通过做平行找角，第二个只要找到就放在一个三角形中，正弦定力解，三角形拿下，所以你去求长度就行了。 根据刚才这个是根号五，这个是多少？二分之根号五，这里是直角，根据勾股定律，那 b f 就 算出来了二分之五，这里是中点，这里是中点，这里有个根号十三，根据中位线二分之根号十三，然后接下来剩下这一个长度，它在哪里？ 他也在一个 rt 三角形中，而且他是斜边上的中线，那他就等于斜边一半，你只要知道斜边就行。两个直角边，根三和根五，斜边二倍根号二，斜边中线根号二结束了，所以在这个三角形中，三边长度都知道，根据余弦定律算一下， 算出来它好像是一个什么负的，但是因为两条线所成的角必须是小于等于九十度的，所以你取它的绝对值就 ok 了，所以这就是最后的答案。所以说这道题看似好像是一个小小的什么空间角的综合，其实它就涉及到了三个问题。 第一个啊，就是你要掌握清楚怎么去判断最大的棱，其实主要是根据直角三角形三边关系 逐步找到最大的，判断清楚。第二个体积的最大值，那本质上是看体积是怎么构成的，底面积和高转化到 s 最值之后，看这个三角形的特点， 变成一个什么初中知识，这就是它综合的两个你曾经学过的基本点，你搞明白之后，第三个才是真正这几天咱们学过知识点，就是意面线的两步找角， 然后求角就 ok 了。所以我们经常讲，在高中呀，很多综合题是怎么综合，就是把你学过的一个一个知识点在一道题里边叠加串起来，跟串糖葫芦一样，串成一个完整的题就 ok 了。 这道题把，这道题因为是个翻折问题，我带大家把图画一下，然后大家再看啊。这道题的话，先告诉我们个平行四边形，然后说 a、 d 等于三，对角线等于四，然后还告诉我们这个角是个什么啊？ 余弦值是个五分之三，那说明了这个三角形中一个条件，两个条件，三个条件，一个三角形有三个已知的条件 代表着什么呀？代表着这个三角形的所有条件都已知，对吧？所以通过正弦定力也好，余弦定力也好，最终你发现这个三角形是个直角三角形，而且它是一个三边为三四五的直角三角形，再根据是平四，那这边对应的也就是五和三，这里也是一个什么啊？直角。 然后接下来他说将这个三角形 d， a、 c 啊，你注意沿 a、 c 将它翻起来啊，翻起来，你看啊， 我翻的时候稍微挪了一下，这就是刚才的，我给你对应一下，你把图先对应上，这是这里的这个直角三角形，现在做底面，然后把这个货翻上来， d 就 变成了 p， 所以 它变成了一个三棱锥，所以最终要让我们处理的是 p a、 b、 d 这个三棱锥，你发现 p a 首先是垂直 a、 c 的 这个直角底面也是啊，所以接下来回到这个题当中，告诉我们 p b 还等于根号三十四，然后要求 a、 b 与 p b、 c 所成角的什么正弦值， 那这就是一个线面所成的角啊。这道题看到这一步的话呢，剩下的已经比较简单了，首先图是确定的，告诉你这个等于根号三十四，往往在告诉你一些垂直关系，你就看一下 有没有勾股定律，他在哪个三角形，他在这个三角形当中三的平方加五的平方刚好等于三十四，所以他在说这里也是垂直，那么这里也是垂直的话，说明这个线是垂直底面的。那么接下来要求的是啥呢？要求的是这个线和这个面所成的角。 那我们说线面所成的角用几何法核心操作是过这个线的端点，向这个面找垂线，找到垂足，连垂足和交点，找投影， 那么这个角就是我们要找的角，那么你看一下这个点， a 垂直，这个面垂直在哪里？你知道不？我放弃了，一眼看不到，我就默认为我能力不行， 所以我们说在线面角找不到的时候咋办来，找不到不是问题，找不到不代表问题解，找不到对等体积法， 因为我们说你随便向这个面做个垂线，这个除了找到这个角用几何法算之外呢？你随便画一个这个线，有一个啊，叫做 专业名词。其实点到面的距离可以看作是一个追起的什么高，那这看作高，这是个线。那三引阿尔法不就等于 h 比上 ab 吗？对吧？所以 ab 知道只要求 h 就 行了，求 h 非得知道垂足在哪里吗？不用 咱们上上周讲的几何量中的什么，但凡球点到面的等体积，那么接下来第一个表示体积，就是这个面和它上面的高。第二个要选择一个能求的，那选谁呢？正常的底面和正常的高， 所以我先表示出来两边的三分之一，我就不写了啊，反正都就约掉了。 p、 b、 c 的 面积乘以它所对应的高，等于 abc 的 面积乘以它所对应的高。咱带个直，先看这个，这里呢，也是个直角三角形，为啥呢？因为这个线它和它垂直， 也和这个垂直，所以它垂直侧面的面，这是直角，那它的面积就是三乘五除以二乘以 h， 那 这边 abc 呢？三乘四除以二，再乘以高是多少？三，二和二约掉了，三和三约掉了 h， 等于五分之十二， 拿下，对吧？带进去，这等于五，这等于五分之十二，非常简单，二十五分之十二。所以你理解透了，你走到每一步，你都知道 对应不同的现象，对吧？能找到怎么解，找不到怎么算，都能轻松拿捏。好了，那这个就结束了，接下来继续向下看。啊，还是个翻折的问题。这道题呢，又告诉个平行四边形，告诉我们这个是一，这个是根号二，这个四十五度，两个奇特别的像。那这不是又知道三个根据什么 正弦定理就得到，这也是个直角三角形，整个是个平四，这也是个直角三角形，对吧？然后他也把这个棋翻了一下，他咋翻？他沿着这个翻， 沿着这个翻，说明原来的底面 b、 d、 c 还是个等腰直角三角形。把另外一个等腰直角三角形翻上来，就是把 a 翻到这了，对吧？那把条件梳理一下，翻上来之后，这个是一，这个是一，这个或原来的它根号二。 b、 c 根号二，这个角就是原来这里的角直角，这个角，原来这里的角直角。这就是咱翻完的图啊，我给大家换一页，画大一点， 这是他翻完的图。翻完之后，这道题要求什么呢？他要求的呀？嗯，不止线面角，他先是给你条件的时候给了个二面角，他说翻到 p、 b、 d 和这个面所成的角， 要你自己去梳理，同时还要求一下此时这个 p、 d 和底面所成的角是多少。这道题呢？首先第一个，但凡咱们看到了空间角，你选定了小棋嘛，优先选择几何法。 你选定了几何法，你一定要把这个角找到，不管是已知的，就是它必须是平面角，最好放在一个三角形中，它才能用得上。你要求的这个角，它也必须是一个什么啊？你初中所学的这个角的样子， 然后放在三角形中，你要能够怎么样去算它？所以这是基本意识。那首先第一个看二面角，那么两个面所成的角咋表示呢？我们说先找到交线，交线是 b、 d 嘛？然后每一个面向交线做垂线， p 刚好 p、 b 垂直它， c 向它做垂线， c、 d 垂直它唯一不幸的就是没垂在一个地方。我们说当这两条线垂交线没垂在一个位置的话，二面角还是没出现， 那接下来只要怎么样平移就可以了。那接下来比如说我把 c、 d 过点 b 做他的平行线，那我一平移就平移这去了。 平移之后原来是个三角形面，因为这个线和这个线平行的，他们还是共面，所以整个底面呢，就变成了一个什么四边形的面。所以那我就找到了这个二面角，再说这里是四十五度，然后我把它放在三角形里边啊， p、 b、 c 撇这个三角形里边有个四十五度。 第一个条件找到了，接下来要找的是线面角，这个线和底面所成的角和底面所成的角，那也简单过，什么 过端点向面做垂线，所以点屁要向面做垂线来，垂足在哪里？知道不对，在 bc 上。为啥呢？你看啊，这条线是垂直这个面的吗？ 对吧？你要看到关注垂直嘛，这个垂直的话就是绿色的，面和底面是垂直的，这个面和底面垂直的。你屁要向底面做垂线，肯定在 b c 撇上， 所以做垂线连接 d h 这个小小的角就是我要求的角。好，找到了，接下来咱也放到三角形中了，就剩下算了嘛，要算关注长度来， 这个是一个直角三角形，这里有个一，有个四十五度，那这个 p h 是 二分之根号二，然后这个线本身就是二分之根号，假设这个是个 r 法，那这个 sin r 法就等于二分之根号二，除以根号二，就等于个二分之一， 所以这个角三十度轻松拿下。你看这个难度也在逐渐上升。前两道题呢，他是跟我们学过其他知识结合，但是只处理一个角，然后这是第一题和第二题、第三题的话条件， 嗯，一个角，一个二面角，对吧？然后要求的要是一个什么线面角，所以一个棋里边多个角出现的话，那都是咱们 这些知识在串联。那接下来咱看一个更多的线面角，线线角二面角都有，我们看一个多选题啊，哎，这个题啊，这个题还有一个平移的方式，忘了说了，就平移的时候大家方式可能不一样，比如说刚才找到 这两个都垂直，没垂在一个位置。在平移的时候，有些人一想垂直这来都不知道垂在哪，他可能不想再再 几何体外边去做，所以还可以怎么样？你就选个中点，都平移到什么中间也可以的啊，一模一样的。 然后你比如说在这选中点，他两个平行，他两个平行，那这个角就是我们要找的角。然后在这个图形中，只是你向下找垂线的时候，从这去做就行了啊。 f 向下做垂线一叠，在这里，两个跟刚才的是相似的，只是要求的三角形小一点， 所以这没啥区别啊。所以说你在平移的时候，平移到中间位置，两个都去平移一下也可以啊。好，接下来看我所说的这个多选题，那这道题先给大家看一下一个正三能柱，首先 那他上边下边都是正三角形，其次正能柱肯定是直能柱，所以侧能一定是垂直底面的啊。然后接下来说 e、 f 分 别是它上边的点，这两个点在哪？不知道啊，你可以认为是动点， 不是中点，也不是三等分点。然后接下来说 e f 与 a a e 所成的线面角为阿尔法， e f 与底面所成的线面角是贝塔。然后 f b c 这个面和底面所成的二面角为伽玛。 接下来要处理接下来这个四个选项，这道题我觉得出的非常好，值得大家下去反复把它通透几遍。你真的把这个题里边的这些点想明白了， 那你对于空间的这些角，在几何法的角度去找去算啊，就会有很大的进步啊。好了，第一个先齐到了三个角，一个一个找。首先 e f 与 a a e 它俩所成的角，那要怎么样平行相交，然后去找这个角， 那么过哪个点做平行线呢？一个是这个线，一个是这个线， e、 f， 对 吧？ 过哪个点做个平行线啊？对，肯定过 f， 因为 a、 e、 a 和 f 明显在一个平面，在一个平面内做平行线最简单，所以 f 向下做个什么平行线， 那他俩所夹的角就是这个，或就是阿尔法，把这个阿尔法放在三角形中。好了，那阿尔法有了。接下来看第二个角叫贝塔。 e、 f 与底面所成的角， 那么 e、 f 与底面所成的角，线与面所成的角。咋找？过点向面做垂线来？ f 点到底面的垂足在哪里？ 那不就是 f d 吗？那么这个投影和这个线所夹的角就是谁啊？线面角，所以这是贝塔， 当你贝塔画出来的时候，你就知道 a 选项，这个分拿到了，再难的多选区，往往有一两个选项，就是考你对概念或者说基本功有没有扎实的理解。可以了啊。好， 接下来我们接下来看第二个选项，贝塔与伽玛。伽玛是啥呢？那又得找第三个角，第三个角叫二面角，哪两个面呢？一个是 fbc， 一个是 abc， 二面角找交界，交界就是 bc， 那 他俩要分别向交界去做垂线 这个棋。咱们过哪个点做垂线呢？如果一个面内刚好有像另外一个面有垂线，你就过这个垂足直接做，然后根据三垂线定力，或者根据线垂面， 这个角直接就是什么二面角了。所以咱过点 d 啊，向它做个垂线，做完之后，因为你发现 bc 和谁啊？ d h 垂直， bc 和 df 也垂直，所以你连一下 f h， 它一定垂直。 bc， 那 这个角就是伽马了，所以伽马直接找到， 在这个棋里边呢，我们要的不管是线线所成的角，线面所成的角以及二面角都肉眼可见了，也都放到三角形当中了。但是这个 b 选项它要比较的是这两个角，但凡要比较两个角，那你就得看它俩对应的三角函数， 要看三角函数各自放在一个 rt 三角形中，贝塔在这个 f、 d、 e 当中，然后这个伽玛呢？在这个 f、 d、 h 当中来看这两个角的什么值，正弦余弦正切，看它的什么值会舒服一点。 你要看这两个三角形，要去比较，就要看一下这两个角有没有对应的一样的定量，因为在这两个三角形中，这个量是个定量，所以它俩对边都是定量的话，你看正切，那就是它俩相同的量，一个比 d e， 一个比 h， 如果你看正弦是相同的量，一个比 f e， 一个比 f h， 所以 表示出来去比较的时候，往往只看分母了，分子都不用看，因为分子是一样的， 所以要关注他俩的定量，或者叫做相等的量，要会选就是这种细节是很重要的。来接下来把他俩的正切值啊，贝塔对应的是 f d， 比上 d e， 然后伽马对上的是 f d， 比上 d h， 所以 你就看一下 d h 和 d e， 哎，都是从点 d 与 bc 上点连线，但是 d h 肯定最小，那 d e 肯定是大于等于谁啊？ d h 的， 那么这个分母大，说明他整个值小，或者什么等于，那正切值越大角越大，所以贝塔小于等于伽马也没有问题，所以 b 选项也选定了，所以前两问本质上还是在于谢谢角，谢面角，还有二面角，你能不能找的很， 怎么样很扎实？就是你对在空间中把他先找到，放在三角形里边，基本功扎实，那处理起来啊，也就轻松拿捏了啊。 好，那么接下来我们再看一下这个 c 和 d 选项，这个选项里边，首先啊，它要比较贝塔与四十五度的大小，还有阿尔法和伽马，但是都有个前提，再处理角，那它给一个这个边和这个边的大小， 那大家想一下这个到底是这个条件，到底是咋用？都在研究角给这两个长度跟角怎么能建立上关系，或者说这两个长度跟哪个角有关系。你就想 这两个边对应的角肯定是放在一个三角形中，就是这个角，所以告诉它俩的大小关系，从某种角度上是在告诉这个角的范围，因为这个边比这个边大，那贪定塔 c 塔就等于 a e a 比上谁啊？ a b 肯定是大于一的，说明摊定塔 c 塔是怎么样，说明 c 塔肯定是大于四十五度的。那么这些你看在咱们线线角、线面角二面角的基础上，它又给出了一个角，直接写成 c 塔，它等于谁啊？ a e a 比上 ab， 然后呢，他是大于多少一的，所以 c 塔大于四十五度。但是这道题比较的是谁啊？不是 c 塔与四十五度的关系，是贝塔与四十五度的关系。那你就看一下贝塔和 c 塔对应的正切值，哪里是相同的分子，他的分子 df 和这个 c 塔的分子 a e a a e a 和 d f 是 相同的，你就看这两个分母谁大。所以贝塔其实看似跟四十五度比较，其实是在和 c 塔比较，对吧？是不是 ab 更大，那么 ab 更大， 分母更大，角更小，所以 c 塔小于贝塔。第二 b 选项又知道贝塔小于等于伽马，又知道它大于四十五度， 所以贝塔肯定大于四十五度，这胡说八道呢。然后接下来他说还是这个条件，阿尔法是不是小于伽马的？那阿尔法是什么呢？阿尔法是九十减贝塔，贝塔比四十五大， 那阿尔法肯定比四十五小，阿尔法肯定小于伽马。结束我觉得这道棋出的还是非常的好，所以最终在一个棋里边陷陷角，陷面角，二面角，最终还出现了一个参考角，对吧？跟他们之间还要进行一个比较， 所以这道题你要研究透了，我相信你对空间角几何法的角度下啊，一定有比较不错的理解啊。好了啊，然后如果在清的过程中觉得，嗯，自己还是想不到，那你下去之后拿重新把甲乙打印出来， 然后扎扎实实的把这些题再就是重复个一两遍吧。每周每每个细节，关键点，为什么想到这里？为什么要做这样的选择？包括你看刚才 首先找角，然后选这些角的三角函数，选什么三角函数，为什么这个条件要朝角去思考，因为他比较的是角，对吧？那么朝哪个角去思考，你就看这两个边的比值跟哪个角有关，他就是跟这个角有关， 然后这个角有了对应的是正切值，看他的正切值和贝塔的正切值之间的关系，其实你会发现每一步还是比较丝滑的。 接下来我们要处理的后三道，这三道题有个公共的特点，就是一般情况下会给你一个两个半平面，然后在这两个半平面中有一个线段交线的啊，大概的模型就长成这个样子，告诉不同的已知条件，去求不同的东西，但是他们有相同的底层逻辑， 我们一起来感受一下啊。第一道题做一个例子，这道题告诉我们，二面角为一百三十度的两个半平面啊， b、 d 和 a、 c 分 别在两个平面内，它们都垂直它们的交线 l。 然后在这还告诉一些长度，说 ab 等于二， ac 等于二， b、 d 等于二倍根号二。最后要求一下 cd， 首先不管他给我们的什么条件，当你看到二面角来，只要一个题目中出现了二面角，这道题，你选择了几何法，这些题都可以用空间向量啊。 我说一遍，这接下来讲三道题，以前我讲的时候是几何法加空间向量啊，今天呢，我不讲想讲向量，我只想讲几何法，咱们就说几何法， 所以站在几何法角度上看到一百三十五度，这个一百三十五度必须怎么样？只要二面角出现，你只要用空间角，这个角必须还是那句话，呈现在某个三角形中，首先他是平面角，其次放在三角形中，所以找到公共的，他俩都垂直平移，你平移 a、 c 吧， 这样二面角一百三十五度就出现了，出现了来放在一个三角形中。所以说这个操作应该很简单，二面角 在哪？你但凡用几何角，只要提到这个角，要求这个角，你都要问自己在哪，你找到了，那这个问题解决了， 对吧？那找到之后能得到什么呢？那你在平移 b 撇 c 的 时候啊，你平移完之后，其实的这个肯定要放封闭图图形中，所以这个棋很重要，就是一定会联系一下 c、 c 撇，联完之后你就会发现 c、 c 撇始终是垂直这个面的，这两件事情干完之后结束了，所以通过找角， 只要构造出现垂面这组关系，要求啥都解决了，不管给的什么条件，走一遍吧。题目告诉我们这个是二倍根号二，题目告诉我们这个是二，这是一百三十五度， 你就可以求出这个是二倍根号五。具体咋求呢？你用鱼弦定里也行，你用你初中的玉特殊角做垂线也可以啊，在这做个垂线，然后呢，这是 d， 这是二，这是二倍根号，这也是二，这也是二，一个直角边二，一个直角边四，你也可以求出二倍根号五。 好，这是二倍根号五，这 c c 撇就是 ab， 是 二，这又是什么啊？直角嘛，线垂面做一个勾股定里，求个 c d 二倍根号六，直接就搞定。 所以棋本身很简单，但是你只要看到这里，你会发现，你要找到这个角，你必然平移，平移完找到这个角必然出现线垂面。 只要想明白这道棋里边要干的这两件事情，接下来随便他怎么考，都可以顺利的把它拿下啊。那最后梳理一下，所以我们接下来讲的这一类棋都说了，两个半平面，两个面里边都有两条线，对吧？有些时候垂直，有些时候不垂直， 在你最终一定要找到两个垂直的平移产生什么二面角，产生二面角的基础上，把它放在一个三角形中， 平移的这个端点连线一定和这个面是什么垂直的，有了这样的一个什么关系？这些题都可以轻松拿捏来练两道。这道题的话，一样的，告诉一个二面角为一百二的这两个半平面， 说 a 点到这个距离是一， b 点到这个距离是四，然后这回把 a b 告诉了二倍根号七。那他这次要求的是什么？他要求的呢？这次不是长度了，他要求这个公共的棱和这个 a b 所成的角是多少。好，老规矩，按照刚才的思路再来一遍，你会发现轻松拿捏第一个。但凡这种告诉你二面角还是那句话， 都有二面角，用几何法在哪呢？分别向他做垂线，有了平移嘛，比如说我平移了一下谁啊？ b c 平移到 b 撇 c， 然后这就是一百二十度啊，一百二十度在这里，然后接下来会产生平移后的这个线垂面，那你就在这里边去求，那你先找一下角在哪呢？ 本来是他俩所成的角，那这不就是我要求的角吗？那这个的话，我知道这里是二倍根号七，我要去求他求出 a 撇 b， 或者求出 b b 撇都行。那这道题知道啥呀？知道这里是一，知道这里是四，知道这是一百二十度，画出来求一下吧。这里是一百二十度， 这里是四啊，这里是一，那这是二分之一，这是二分之根三。哎呦，这个好难算啊，四分之三，这个二分之九，二分之九的话，一平方四分之八十一，四分之八十四等于二十一。好了啊，初中方法也能算根号二十一。 所以当你发现 ab 撇是根号二十一，那这个角的对边是根号二十一，斜边是二倍，根号七，所以这个角的正弦值二分之，根号三，那所以这个 c 它不就等于啊，它只求正弦值， 那我写完了，对吧？所以你发现跟刚才一模一样，只要看到这种，你首先要平移，找到什么二面角放一块， 第二个就一定会垂直，什么出现什么线垂面，从而问题就一定可以解决。这道比较简单啊，接下来最后一道还是稍微有点难度的，这道题也是两个半平面，也告诉 m a 等于三， a b 等于二， b n 等于一，然后接下来告诉这里是一百二十度，还有这个 n b a 啊，这里也是一百二十度， m n 还等于三倍，根号三，它最后要求的是异面直线 m a 和 b n 所成的角，那这道题唯一不一样的就是没有垂直了。看一下 你学完之后能不能灵活解决这道题的话。看到之后啊，二面角给了这么多，还是得平移。平移呗，你要求他俩所成的角叫做空间角，他必须出现，那你平移了就是求这个角，那求这个角就得放在这个三角形中， 放在这个三角形中数条件，我知道这个是三，我知道这个是一，没了，那没了肯定不够嘛，对吧？你只有两个条件，肯定求不出这个角。然后我们就想在这种一定要出现线垂面，但是这道题 有两个半平面，没有二面角怎么办？没有就自己做呗。所以没有就自己做。所以咱过 n 向他做个垂线，过 m 向他做个垂线。 做好垂线干什么呢？平移，所以你平移之后，这就是谁啊？二面角，然后把这个面做出来，这个线就会垂直这个面，那么对于这种两个半平面的，你始终要坚信 有两个半平面要做二面角，然后就会出现线垂面，然后要解决很多，就都可以迎刃而解。来看一下，我们知道哪些长度啊？因为这里是一百二十度，这是六十度，这里是一的话，这一段是二分之一， 然后这一段是个二，这里也是六十度。因为刚才告诉这一百二，这里是三的话，这是二分之三，二分之三，二二分之一，你就会发现整个这个长度等于多少？等于四， 整个这个长度等于四，其目又告诉这个长度等于三倍。根号三，根据勾股定律，二十七减去十六等于十一，所以 m n 撇等于根号十一。 好了，有了根号十一，我们说我真正要求的是这个角，我缺的长度是这个长度，我得求这个长度。这直角三角形这一段，这一段是二吗？和它相等，剩下也是二，这根号十一，这是二。直角三角形，根号十五，完了， 这里是三，这个是一，一三，根号十五。说要求这个角于弦定力，拿下搞定。所以说你看最终没有垂直，也得自己去找到垂直平移，垂直产生线，垂面顺利拿捏。

hello， everybody 我是 神奇小猪。比如二零二三年新高考二卷，既是不能直接见的，你要先正， 再见。三棱锥， d， a， d， b， d， c 相等，嗯，歪着的。然后 b、 d 垂直于 c、 d。 啊，你俩垂直，哎，你既相等又垂直，那底面这个三角形就是一个等腰直角三角形。太好了，就到这，是不是出现等腰三角形了？等腰三角形有可能要考什么呢？题目又说了易是终点，这些大概率啊，你这 d 是 不是连起来 这三线合一，你一记中点，这应该也是垂直有可能要用的，这是我在读题过程当中发现的。然后呢，继续往后看，他说俩角相等， a、 d、 b 等于 a， d、 c 停， 哎，就这模型，高考已经出现好几回，不下三回。底面两条边相等，然后你支出来一条线，然后使得这条线跟这个俩边的夹角也相等。哎，就这模型，我们经常找全等三角形， a、 c、 d 那 个面三角形跟着大面 a、 d， b 三角形边边相等啊，还共用一条边。然后啊，假角也相等，那是不是就形成了 s a s s a s 初中几何啊？全等了，全等意味着 a、 c 跟 a、 b 也相等，那不就又有新的等腰三角形又有垂直小妙招了？等腰三角形三线合一。 所以我刚把题目读完，你会发现，辅助线我已经帮大家连好了，垂直小妙招太关键了，这 b、 c 既跟这条线垂直，也跟这条线垂直，那就跟这两条线所形成的面儿线面垂直。哎，你线面一垂直，线跟面上任何一个线，包括 a、 d 就 垂直。第一问正完了呀， 然后看第二本，他说 e、 f 这向量跟 d a 向量是相等，哎，你向量相等，那形成的这个东西本身就是一个平行四边形，对吧？然后让我求一个角度，那我这是求角度，那我在这道题里面我要间系呀，不间系的话，很多同学都更不会了。那系在哪？ 整个图形啊，它有个名字叫鳄鱼小嘴模型，你看这两条边相等，这两边也相等，像一个小鳄鱼张开了它的小嘴。那具体这张嘴张了多少度，题目当中肯定没有直接告诉我。 你不能说是现在直接就一点间隙了啊，你这么见，你这的确是九十度，但是谁说 e a 一定垂直于底面了？叔没说呢，你得正啊，题目当中有哪个条件还没用上呢？这这这都用上了，这六十度，这个度数本身还没用， 它是六十度，意味着，哎，题目说你底下不是这俩相等吗？那六十度的等腰三角形，那就是等边三角形，那另外那个边啊，这个 a c、 d 也是等边三角形，然后底面呢？还是一个等腰直角三角形。那如果我设 我设什么呢？我设边长不设一，我设二啊，因为这里面涉及到终点了，设二的话你就没有分数了。一比一比根号二， bc 长度就是二倍，根号二，那 bc 的 一半，这一点点就是根号二。 d 长度等于斜边一半也是根号二。给我六十度，就是让我来计算的，有些垂直是可以算出来的。继续 ab 啊，这是不等边吗？不二吗？那么在这个直角三角形当中，根号二二， 呃，这条边也是根号二，勾股定里，然后我发现，哎，你 a d 按照我设的，它也是二啊。那么我算完的根号二，根号二二正正好好也能形成一个直角三角形。我通过一切的证明和计算才可以解析。 现在 a、 e 跟 d， e 垂直， a， e 还和 b、 c 垂直，那 a、 e 就 跟整个底面是线面垂直的。由此开见 x 轴， y 轴、 z 轴开始写坐标 d 根号二零零 a 零零，根号二 b， 呃，零，根号二零， 这里面就差谁了呢？就差这个 f 点坐标。你求二面角的话，你这 f 是 是必须要求的。那怎么求呢？那停住了， e、 f 向量和这个 d、 a 向量是相等的，那 e 本身就是圆点了，所以 e、 f 向量它就是 f 点坐标。所以想知道 f 点坐标，我直接用 d、 a 向量来表示就好了。 d、 a 向量中点减起点 负根号二零，根号二。那接下来就有老生常谈的问题啦， d、 a、 b 选俩项量，我选 d a 和 d b 坐标，分别求出来罚限量一算，直接口算找零啊，这是零，它俩比例关系是负一比一，所以放到这来，我就写一比一， 具体中间是多少？负根号二，加根号 y， 加零等于零， y 就是 一相同过程。再求一遍 a、 b、 f 面上俩向量一写法向量一，求向量夹角一列式分子，它乘它，它乘它，它乘它二分母，这根号三，这根号二，算完三分之根号六， 让我求什么呢？求二面角正弦值。我如果设它是而法，那么这个三而法二面角不变明，那二面角正弦有好处，无论你是锐角、钝角， sin 值永远是正的。 所以 cosine 是 三分之高六，那我 cosine 就是 根号下一减九分之六，算完就是三分之根号三，轻松又愉快。 这是一道高考题，需要你先证明啊，先计算一下哎，才可以解析。咱们再来道模拟题。长得很像的哈色棱锥， a， b， a， d 相等， c， d， c， b 相等哦，底面是一个风筝型，然后 a、 c 整个长度还是。哎， 一比二比根号三，这这这这。直角三角形三十六是九十的，所以底面图形非常非常特殊，上面三十六是九十一个，下面三十六是九十，又一个，非常对称。然后他给我了一个面面垂直，是 eac， 这一面跟整个底面，呃，面面垂直。出现面面垂直，就想那么一件事，做交线的垂线。 所以这题不管他问我什么，我一定是过这个 e， 哎，做交线垂线垂足，随便随便写一个啊，比如说是 o， 那 e， o 跟整个底面线面是垂直的。我先来看他，问我什么，他，如果现在两面交线是 l， a， b， e 还有 c， d， e， 哦，这交线他，他没给我画出来是吧？那我问他，你能不能画出来？ of course 哦，我把 dc 还有 ab 都都延长呗，你 l 图形里面不好看，我在平面图形来做这 e 延长，比如这是一个 h 点吧， 那这蓝面 e， a、 b 就 沿着 a、 b 延展成为 e a， h 了。小绿面 e， d， c 沿着 d， c 就 变成 e d， h 了， 所以交线出现了啊，就就是 e h 嘛。所以我想证明 e、 b 跟它平行不平行，你 m 是 终点，那 b 只要也是终点，那就是中位线，那 b 是 中点不？呃，我这头画的不准啊，这九十度啊，这三十，三十，这六十，那意味着这个角也是三十度， 那在 a、 c， h， g 三角形当中，两角相等，它就是等腰三角形，那这个 c、 b 还垂直于底边， b 就是 中点，三线合一吗？所以这道题最简单的一个正法，我直接把这个交线 l 找到了。 那直接我们来看第二本，他说 a、 c、 e 六十度，哎，这是在做什么？还告诉我 c、 e 常用的是一，你这一这二，这六十度，那这又是啥？三角形？是不是还是三十、六十九十的一比二比根号三的三角形？ 所以说白了啊，这立起来的三角形跟这三角形和这三角形是同一个三角形，是是全等关系。那他问我这个线面角，我先不管问什么，你是不是要间隙？你间隙以谁为圆点来间隙哈，你总不能以地点你，你这么间隙吧， 要利用上题目当中的这个对称星。刚才说面面不垂直了吗？哎，你线还跟交线垂直，那你线面就垂直，我以 o 点见最简单， 这肯定是 z 轴了。呃，那关键是 x、 y 轴在哪？这 o 点是个什么点呀？呃，我就在这个小三角形里面给大家看哈。这六十度，这是一，意味着 o、 c 长度应该是二分之一， 如果在平面里面把 b、 d 连接的话，这是不同一个小三角形，这六十度，这一，这也是二分之一，所以实际上这个 o 点就是 b、 d 的 连线，所以 c 好 见了，这垂直的 x 轴， y 中， z 中。宝贝们，每一个点的坐标都相当好，求对不对？在他最后问我什么线面角变成套路题了，最后答案自己来算，七分之根号七。

立地几何一点都不难，题型非常固定，第一位永远就是平行或垂直，第二位永远就是一个夹角问题。但是立地几何为什么拿不到满分？原因就是里边有一些难的点。像这种结面问题，往往处在选择或填空题的最后一题 作为一个压轴题存在。既然郑老师利用三分的时间带同学们理解一下结面问题该如何去考察。像这种结面问题的话，往往使用的一个方法就是扩展平面。你要像这个题，三角形 a m n， m n 是 这两个边的中点， 在这个正方体中，把这个三角形 a m n 扩出去，然后研究出它的结面。有些同学说这个 a m n 所在的结面不就是 a m n 这个三角形吗？ 其实不是，为啥呢？因为 ama 在 整个这个几何体里边，它画的并不完整，我们需要把这个三角形 ama 往外进行扩展，扩展到与六个侧面，或者六个侧面中的其中几个面有交线。哎，把那些交线都找出来，那所以结面问题的话，一定会牵扯到一个知识点，就是扩展平面问题。 那如何把这个 amn 这个三角形进行一个扩展或延展呢？方法的话，我们常见的就这两个方法。第一种方法的话就是做平行线，我们根据平行线的性质，平行线一定可以确定唯一的平面，所以我们只要过 a 点做 bc 的 平行线，这样做出来。 过 c 点做 ab 的 平行线，这样做一下。过 b 点做 ac 的 平行线，这样做一下。朋友们，看我现在画出来这个大三角形， 是不是就比刚才这个小三角形 abc 更大一些，所以你这个面大了之后扩出去的面大了之后，你和外边哈他的一个延长线，或者说他的交线是不是就出来了和其他面的交线。 所以把三角形 abc 扩展的第一个方法就是过顶点做另一组边的平行线，根据平行线性质，所以他们这些所有的点一定是在一个面里的，这些面还是一个 r 法啊，这是第一种方法， 那第二种方法的话就是什么呢？延长直线找焦点，我们想要把这个面进行延展，哎，我们可以把相应的边进行延展，哎，把 a c 往两边延一延， 那延出来一个，比如说 a 一 延出来一个 c 一， 然后呢，你把该连的连一连，就出来一个大的三角形，这个三角形变大了之后，是不是和其他面可能就会有交线了？那所以第二种方法是延长直线找焦点，而且这个焦点往往是其他一条线的一个延长线上的一个点。 我们结合这个题目，我们看一下这个题的一个做法，这个题的话，我们拿到题之后常见的方法哈，常见的方法是方法二就是做延长线，因为能做平行线的，往往这个题都比较简单，所以这个地方延长谁呢？我们看这三条边，一定记住延长 m a 延长谁呢？这个线一定要在其中的一个面上的这样的线去延长它，不要去延长，延长 am 和 an， 因为 am 和 an 在 这个立方体里边，它是在空中穿过的一条线，像这样的话，你延长直线找焦点，它往往是没有焦点的， 但是 m a 不 一样， m a 这个两点形成的这个线的话，在底面 a， e， b， e， c， e， d， e 中，所以把 m a 进行延长的话，同学们想哈，因为 m a 是 在底面上的，在底面上的，所以它延长过来之后，一定和 a e， d， e 它的延长线是相交的。 你说这地方假设出来一个 p e， 它一定是相交的，因为这两条线，这两条线都在底面上，它们都在底面上，所以这地方肯定会有一个交点。 而且这个焦点的话，同学们仔细观察，他除了在这个 m a 上，他还在 a 一 d 上，换句话说，这个 p e 呢，还在后边那个侧面上，而这个 a 点呢，是不是也在后边那个侧面上？所以导致你把 a 点和这个 p e 点把它连起来， 哎，把它连起来，把它连起来之后， a 和 p e 这两个，这个线是不是在后边那个侧面上的？而 d， e， d 是 不是也是在后边那个侧面上的？所以这个点其中就是一个焦点 啊，这个点就是其中一个焦点，这样的话，这个三角形哈，同学们仔细看哈， a， m p 这个三角形看到没有？是不是相当于把刚才 a， m a 那 个三角形进行往外扩了一部分，就是用的这样一个思想，那这样哈，把它给连起来， 把它连起来，哎，这样的话，右半部分我们的结交线就已经出来了，哎，就这么一个形状的，有没有看出来这么一个形状啊？好，那继续把 m 往左这边去延伸，同样的道理，他延过来之后，是不是应该和 a 一 b 一 的延长线会有一条交点？这个点记住啊， 片吧。哎，这个地方，那这个线的话，同学们仔细观察哈，这个点是不是在底面上的啊？他不平行，必然会相交，就一点，这个点在 a 一 b 的 延长线上，那肯定这个点是在左边这个侧面上的，而这个 a 呢，是不是也在左边这个侧面上，所以把它给连起来， 哎，是不是就可以了？这样的话，这条线和左边侧面上的 b b 一 这个点，这地方是不是有一个线，有个焦点 f 啊？这样的话就出来了，把它连起来好了，同学们，仔细观察，我现在画出来一个什么呢？本来是 a， 本来是 amn， 本来是 a m a， 把 a m n 括出来之后形成的那个三角形，就是这个三角形，就是 a p 一 p 二这个大三角形。我们仔细观察一下哈，那这个大三角形和整个立方体啊，整个正方体和长方体， 大三角形和这个长方体和正方体，它的交线的话，交面结面是不是就已经出来了？就是这个 a f m n、 e 啊？ 那这样的话，得到这个面之后，这样的话，如果说他让你求周长，或者求这个洁面的一个面积的话，那怎么去求呢？我们只要把每个长度是不是研究出来就可以了， 而这个每个长度怎么去研究？同学们，记住，主要问题是要考虑 e 点、 f 点，这几个点是几种分点，那想要求这个 e 是 几种分点，往往我们使用的方法是什么呢？需要摘取一些平面，比如说我们想要研究 e 是 几种分点，我们就得知道这个长度是多长 啊？这个长度是多长，那想要研究这是多长的话，我们把底面这个 a 一 b 一 c 一 d 一 啊，把它给摘出来。所以像这种题啊，往往还会用到一个摘取平面进行一个计算的问题哈，啊，这是 m， 这是 n， 那 所以它沿过来之后，同学们看哈，这个 p 一 点应该在什么位置？假设是个正方体，边长是二，那这样哈，这是二 啊，这个长度是不是一啊？这是一，那这样的话，这个长度应该是多少？你仔细看，这地方是不是有一个什么八字形的一个什么相似或者是全等啊？因为这两边是相等的，所以这条有个八字形的一个什么全等，那全等，这是一，这是不就一啊？ 所以这样的话，我们就找到了第一点，第一点，这个地方哈，这是一，这是二。然后仔细同学们再看这个三角形，看到没有？这个三角形， 看到没有？这个三角形和四个小三角形是不是应该是相似的？那相似比是几比几啊？这是一，这是三，所以相似比，是不是一份比三份，一份比三份，所以这个长度是二的话，这个长度是不是应该是三分之二？所以你们看啊，这个长度并不是一个终点三分之二，根据 这个长度，这个长度，利用勾股这个理，求这个边长，没问题吧？啊，这样的话，就可以把这个长度求出来了。同样道理，像这个长度呀，这个长度啊，或者 f 点是极陡分点。同学们不妨分析一下左边这个侧面，以及分析一下这个 p 二这个点的位置哈， 这个 p 二点的位置，通过 p 二点以及左边这个侧面研究出来，他是一个极陡分点。哎，这样就行了， 这是这一类问题的一个解决办法，所以同学们哈，学会了做洁面之后，有时候我们还会有时候犯一些什么的经验主义错误，或者是想当然那些错误。 比如说像这个一点，哎，做完之后有种对称性感觉，怎么感觉怎么感觉这个一点就是个终点，实际上这个一点是一个什么？是个三个分点， 但是下次这个点有可能就变成一个终点了，因为这个 m n 不 见得就是终点，他说 m n 可能是三等分点之类的。所以像这种问题，洁面问题一定要牵扯到立体几何的摘取平面。

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。