高一必修一金榜教程试卷答案

一二。

高中的同学看过来，王厚雄家的教材完全解读出最新版了。我们看高一数学的必修一，第一章集合的概念， 函数的概念，三角函数，跟课本完全同步。每章内容都有解析通法和答题模板，知识解读全覆盖，一边学一边练， 每个知识点都有对应关系，例题分层训练，针对性单元复习方案，知识点讲解条理清晰，帮你备考，高效冲刺，少走弯路。

二零二六上册，周末小册卷来了，一周一测试，查缺补漏更及时，完全同步新高一教材，主打周末及时巩固，回顾一周所学，拿数学举例十五。

各位好，这是讲完高中里的第三十三讲，如图唯一置点沿直线运动的 v t 图像，已知置点从零时刻出发，在二 t 时刻恰好返回出发点，则下列说法正确的是， 好，我们看一下 a 选项， a 选项说零到 t， t 到二 t 时间内为一是相同的，我们来看一下，画个图吧。 比如说这是零，这是 t， 然后再过了一段时间之后，它才开始返回， 然后返回之后，这是二 t 的 时候。好，零到 t 的 话，就看出始位置跟末位置是这一段， t 到二 t 的 时候，我们发现它们之间的 这个长度倒是相等的，但是要记得谓语是有方向的，也就说谓语是矢量。 那我们可以看出，开始的谓语是从 a 到 t 这一段，后来的谓语是 t 到又回到 a 这一段，那么它们大小相等，但方向是相反的，所以这个不对。这个需要特别注意， 就是高中有很多量都是矢量，都既要注意大小，同样要注意方向，所以 a 选项不对，很多 n 就 错在这里了。然后看 b 选项， 质点在一点五 t 时离出发点最远，出发点最远的时刻就是当它速度回到零的时候，微等于零时离出发点最远。从图中可以看出，就是这个。 我们明显可以看出这个点应该不是 t 和二 t 的 中点吧，因为它上下 位移的围城那个面积是代表位，正向位移和负向位移最终是相等的，才能回到出发点，所以这个相等。那么这一段， 也就是说蓝色的这一段，这两个肯定是不相等的，所以这个点不可能是终点的时候，所以这个不对。 然后 t 时刻与二 t 时刻速度大小之比，我们设这个速度为 v 一， 这个速度为 v 二，我们来算一下前一段时间的位宜， 那么前一段时间的谓语刚刚已经说了和后一段时间谓语的关系，假如加 x 一 这个谓语加 x 二的话， x 一 x 二由 a 选项，我们可以知道 x 一 是等于负的 x 二的就是要有方向嘛。而既然 而它们花的时间是一样的，所以在这两段里面的平均速度就是都除以 t 以后， 所以平均速度也满足等于负的关系好。而因为它是匀变速直线运动，平均速度是等于出末速度和的一半，所以前面可以写成零。加上 v 一 除以二， 所以等于负的 v 一 加上 v 二，然后除以二。好，根据这个我们来运算一下，所以 v 一 等于负的 v 一 减 v 二，所以 v 二等于负的两倍的 v 一。 但是他问的是速度大小之比，所以加一个绝对值 v 一 比 v 二的话，那确实是一比二，所以 c 选项是 d 对 的。再看最后一个加速度大小之比，这个直接算一下就行了。 第一段加速度的话，应该用 v 一 减零除以 t， 第二段的加速度应该是 v 二减 v 一 除以二， t 减 t， 然后再比的时候，因为也是加速度大小之比，就没有方向嘛。这个我们带进去运算一下，因为 v 二是等于两倍的负的两倍的 v， 所以 就是负的三倍的 v 除以 t， 所以 绝对值的 a 一 比上绝对值的 a 二的话，那确实是一比三 好，后面这个都比较简单，其实最重要的一定要记得就是谓语是矢量，这个最终这道题的话选 c 和 d。 好， 谢谢大家。

各位好，这是讲完高中里的第三十二，讲一辆电动车从 a 由静止开始，以加速的 a 在 地面做匀加速，直线经过一段时间后，立即做匀减速运动，最后停在 c 点，每隔零点二秒记录了一下升值速度。 好，我们先看一下它的运动规律，我们可以画一个 v t 图像来方便理解。 一开始的话从静止开始做匀加速，比如说，比如说这样，我们假设这个最高点的速度叫 v m， 对 应的时间是 t。 好，接下来他开始做匀减速，最后减速到零，比如说到这个位置，这个点就是 c 点，这个点是 a 点， 我们假设这个点 最高点的速度是 v m 就 最大，然后对应的时间是 t。 第一问，小车加速度运动的时候的加速度 a 一 好，加速度的话，我们找一下 它对应的速度关系，再用这两个速速率数据算就行了。过了零变成了一，所以 a 一 的话 v 一 减零，然后除以 t 一 减零，也就是说一减零除以这个零点二米每二次方秒， 所以五米每二次方秒。第一问第二问的话 ac 的 距离， ac 要想求它的距离的话，我们要先算出这个，我们先来算一下这个 a 二， a 二的话，我们可以看出，从一点二，一点二秒的时候，它这个距速度一点一已经比前面小了，所以这一段的时候它们已经开始减速了，所以用这一组数据计算 a 二的话，可以用 v 三减 v 二除以 t 三减 t 二，也就对应的这里的零点七去减这个一点一，然后一点四去减这个一点二 米每二次方秒。上面的话是负的，零点四除以零点二，所以这个速度大小是负二米，每二次方秒。好， 然后我们来求一下这个 t 和 vm， 那 么把这个 vm 看成是粗速度，那么到了一点四秒的时候，它的速度变成了零点七，也就是说这个这个速度是零点七， 那么根据我们的计算公式，对应的零点七是可以看成是这个粗速度 加上加速度乘上对应过的时间，也就是说一点四把这个 t 给减掉。 好， 根据这个我们把那个 这是第一个关系式，那对应的前面这个 a 一 从零加速到 vm 的 话，所以还有一个关系式，那就是 a 一 等于 vm 除以 t， 我 们将这些数据都带进去，可以解得 这个 t 是 零点五秒，这个 vm 是 等于二点五米每秒。 知道这个之后，剩余的就简单了，那么对应呢？前半段就从零加速到最大速度的位移，那这个位移的话， x 一 应该等于 vm 的 平方减零的平方除以这个两倍的 a 一， 把这个数据带进来算一下，这个算出来是零点六二五，然后 x 二的话应该是零的平方减 vm 的 平方除以两倍的 ar， 这个把数据带进来算一下是一点五六二五， 所以呢 x 总的外移等于这个 x 一 加 x 二，这个算出来的话是二点一八七五米。 好，这一问就好了。最后一问， t 等于零点六秒时的瞬时速度， v 的 话，我们从 v m 看成，从减速开始看成粗速度，那加上 a 二乘上 这个时间，这个时间的话，那就是零点六去减这个，因为是从零点五开始算的嘛。然后我们把数据带进去，这个算完得二点三米每秒，如果大家不熟悉的话，可以这样把 v t 图画出来，然后方便自己去理解。好，谢谢大家。

例题已知 x 大 于等于二分之五，则 f x 等于二， x 减四分之 x， 平方减四， x 加五有最什么指解？在这种题中，我们可以设二 x 减四等于 t， 那么 x 就 等于二分之 t 加四， f x 呢？它就等于七分之二分之 t 加四的完全平方减四乘以二分之 t 加四， 然后加五，它就等于 t 分 之四分之七。平方加八， t 加十，六减二， t 减八加五等于 t 分 之 四分之 t 方加二， t 加四减二， t 减三 等于一分之四分之 t 方加一，他就等于他除他四分之 t 方除 t 等于四分之 t 方，再加 t 分 之一， 这样一除，我们就构造出了导数的形式，它的极就为定值大于等于二分之四分之 t 乘 t 分 之一等于一， 单且减单。四分之 t 等于 t 分 之一及 t 等于正负二， 所以二 x 减四等于正负二，所以 x 等于或 x 等于一。舍去，因为 x 大 于等于二分之五，所以当 x 等于三十，这个式子有最小值一， 所以选答答案类似这种类型。 f x 等于 m， x 加 n， 奔之 a， x 平方加 b， x 加 c， 分母是一次函数，而分子是二次函数，这一种求最值。问题呢，我们一般都设 m x 加 n 等于 t， 然后反解出 x， 再代入二次函数中， 构造导数的形式。当然，除了这种，还有类似于 f x。 如果分子是一次函数， 分母是二次函数，它的方法也是一样的，仍然是设 m x 加 n 等于 t， 然后反解代入 便是。已知 x 大 于等于二分之五，求 f x 等于二， x 减四，除以 x 方减四， x 加五的最值分子为一次函数，这个时候分母为二次解，设二 x 减四等于 t， x 呢？等于二分之七加四， f， x 就 变形成七除以二分之七加四的平方减四乘以二分之七加四加五。 根据我们上一道题的计算，我们知道它等于四分之七方加一，那这个时候分子是一次，分母有二次，我们接着怎么办？接着分子分母同除以 t， 它分子除以 t 就 等于一分母除以 t 就是 四分之 t 加七分之一。 这个时候我们可以对分母使用基本不等式，因为它是导数的形式，乘积为定值， 所以对分母使用基本不等式。它是大于等于二倍根号下四分之七乘以七分之一的，但是它在分母上，所以不等号要编号小于等于一。二倍根号下四分之七乘以七分之一等于一 单且减单。四分之 t 等于 t 分 之一，即等于正负二， x 等于三十。另外一个值给舍去了， f， x 有 最大值，因为它小于等于，所以有最大值为一。 这两种类型的函数，在用基本不等式求最值的时候，不管分子是一次还是分母是一次， 思路都是设一次函数等于 t， 然后反解 x， 最后用换元的思想把这个里的所有 x 换成 t， 然后再构造导数， 这个是相应的练习题。

十分钟彻底搞定！高一物理开学考必考追剧相遇考点！今天只用一套方法，带你横扫所有追剧相遇题型，零基础也能轻松逆袭！这不仅是必修一的重难点，更是考试当中专门挖坑的高频题。 别担心，琴姐教你使用通用解法，不管是选择题还是大题，照样稳拿过程分，听懂就能做题，做题就能拿分。开讲前，我给同学们整理了一份追击相遇知识点总结，赶紧下载打印。那么追击相遇，追击相遇这个问题核心就是看前车和后车他俩的速度的 关系。那我们先来学习第一个逻辑啊，第一个逻辑是什么呢？如果前车的速度大，那么两个车之间的距离 d 就是 在增大，这个能接受吗？就是你看前面这个人跑得快， 后面这个人跑得慢，就像你们班学习好的同学还比你努力一样，他本来都已经比你强了，他还在继续努力之后他只会比你强的更多，是吧？所以这两个车的距离就在增大，如果前车他的速度小于后车的速度，那两人的距离就在减小，这就是后来者居上。 有的同学在最开始的时候成绩挺不错的，但是后续不努力，那你就不要怪人家一开始不如你的同学在逐渐的 怎么样赶上你，甚至是超越你吧。所以其实关键的就是看前车和后车的速度，会导致他们之间的距离发生变化。 那什么叫相遇呢？就是距离等于零的时候就相遇了呗，是不是啊？所以呢，此时这个是我们要先想什么样的第一件事。当然，我们所讲到的追急相遇的问题，这些物体并不是在做一个匀速之间运动，他会做匀变速，对吧？可以做匀加速，也可以做匀减速。那么换句话来说，速度就是会发生变化的，也许一开始是前车速度大，但 后面可能就变成前车的速度小了，那这个又会有什么样的效果呢？比如说我举个例子，同学们现在前车再以速度为十米每秒做匀速直线运动， 他的速度不变，后车呢，出速度为零，开始做匀加速，直线运动。所以对于这两个车而言，一开始啊，你的前车的速度是比后车大，所以咱俩之间距离再增大吧。 可是由于它的速度是在慢慢增大的，它可以变成一，可以变成二，可以变成三，可以变成四。好，那么有一瞬间是不是可以变十，从此之后是变十，一变成十二，变成十三，变成十四了。你就说后车的速度会比前车速度大了吧？后车比前车速度大，是不是两个人距离就在减小？ 好，所以他们俩的距离是不是先增大后减小，那就会有什么值？咱俩距离先增大后减小，会有最大值，那最大值是在什么时候出现的？就是在咱俩速度相等的那一瞬间出现的呀？好，所以你写一下，前车的速度等于后车的速度有距离的最值， 这个最值可以是最大值，也可以是最小值，就是看我们是先距离增大，还是先距离再减小了，能听懂这个意思吧，所以这是我们需要掌握的第一件事情，就是 速度改变了距离，距离是我们研究的关键，那么接下来我们用什么样的方法来分析这样一个追及相遇问题呢？今天给你讲一个非常好用的叫做距离公式的通用解法，不管是匀速追匀加速，还是匀减速追匀速，反正都无所谓，只要你把这个距离公式写出来，那么这个问题就已经解决了。 这个距离公式就是我们两车之间的距离等于咱之间的初十距离，再加上前车的位移，减去后车的位移，这个 就是距离公式。那它是怎么推导的？我们可以看到这个图，这是前车，这个是后车，那前车和后车一开始的距离，初始距离零在这 就这个绿色这一段。然后前车呢？是不往前走了，他从这走到了这，后车也往前走了，后车从这里走到了这里，所以后车的未移，前车的未移出来，那么现在两个车之间的距离是不是这个距离 d， 这就是我们要求的那个距离 d 吧。好， 所以现在的问题就是这一段橙色的线，它和这个蓝色的、红色的、绿色的关系是什么？很明显，它应该等于这一大段减去这一段吧，那这一大段不就是 d 零加上 x 前，这一段不就是 x 后？ 所以用 d 零加 x 前减 x 后来写出距离公式。哦，琴姐，那你说明白了啊，就说这个距离公式其实是一个几何关系，对不对？ 这个几何关系有你说的那么好用吗？当然了，同学们，你 x 前和 x 后可以根据题目展开，比如你做匀加速，那你自然就带匀加速的公式，如果你做匀减速，自然就带匀减速的公式，所以最后这个表达式，它会变成一个与 t 有 关的方程，那如果现在你要问我， 咱俩什么时候相遇？同学们，什么叫相遇呢？相遇不就是距离为零吗？所以只需要让这个方程 d 等于零，因此这就变成了一个含有时间的表达式，让它等于零就可以解方程了。相遇 让距离 d 为零，那如果说，哎，同学们，请问一下，这两个人在运动的过程当中，什么时候有距离的最值？距离的最值又是多少呢？同学们，这个我们刚刚说过了，什么时候有距离最值呢？就是前车的速度等于后车速度，那我就可以求出有距离最值所花的时间， 而时间算出来了，把它带回到距离公式里边，就可以求出来这个距离的最值具体是多少了。听懂掌声啊，金姐，原来是这样，那我用这样一个公式，就可以既解决相遇问题，也可以解决距离最值的问题，反正就所有的追悖问题我都解决了，是吧？是的，截图我们来 验算一下。现在看到这题，一辆小汽车，发现前方有四呃四十八米处有个大客车，正在以十米每秒匀速。我们大致的画下这个图啊，前面是一个客车对不对？然后呢，后面是这个汽车咱俩之间的出驶间距，第零是四十八， 客车呢，在做匀速直线运动，然后小车从静止开始做匀加速，所以小车开始做匀加速。他说小车经过两秒时的速度为二，是求小车加速度，那这太简单了对不对？那就根据 v 等于 v 零加上 a t， 速度是二，出速度是零，时间呢，经过两秒嘛，所以加速度就等于一米每二四方秒，所以小车做的是一个出速度为零，加速度为一米每二四方秒的匀加速直线运动。什么时候追上？追上时的速度有多大？就是问你什么时候相遇吧。来，那咱们写距离公式，距离 d 等于 d， 零加上 x 前减去 x 后，表达式当中 d 零就是这里四十八， x 前呢，前车在以十米每秒做匀速直线运动，所以就十乘以 时间 t， 后车在做匀加速直线运动 v 零 t 加二分之 a t 方，所以它的谓语表达式就是 二分之一 a t 方， a 等于一，所以就二分之一 t 的 平方，这是距离 d 距离 d 等于它，你要求的是相遇，那相遇就让距离 d 变成零，也就说这个表达式是零吧。所以是负的 二分之一 t 方加上十， t 加上四十八等于零。那我们稍微的整理下这个式子，把它变成 t 的 平方减去二十 t 减去九十六等于零，这个没毛病吧？老铁们，从这到这的化解应该是会的，我们同时乘以 负二啊，同时乘以负二就得到它了，那得到它之后，我们是不是可以尝试使用十字相乘法？九十六，那就变成二十四和四，二十四和四，那这里负号，这里是正号，这样的话，一一一乘四 加上一乘以负的二十四，正好等于负二十。所以我可以求出来，相遇的时间有两个根，一个根呢是等于二十四的，一个根呢是等于负四的。那我取谁？那我肯定保留它呀，因为你没有见过时间为负值的吧。所以 什么时候追上大客车，二十四秒的时候追上大客车，那小汽车的速度为多大？小汽车不是在做出速度为零，加速度为 a 等于一 等于匀加速直线运动吗？所以汽车的速度就等于加速度一乘以时间二十四，因此它的速度就等于二十四米每秒。第二问就结束了，那第三问说这两个人之间最远的距离是多少？问距离的最值了吧？什么时候距离最值啊？写一下， 共速的时候有距离最值。前车的速度一直是十，做匀速直线运动，后车速度是做出速度为零的匀加速直线运动。 v 零加 a t v 零是零， a 是 一时间 t， 所以 在 t 等于十的时候，它们应该会有最大的距离。那在最大的距离具体是多大呢？你带回去等于四十八加上十乘以 t 的 平方，你把这个 t 等于十带回去不就完了吗？ 距离在这，距离公式已经在这了，所以就等于四十八加上，这是一百吧。啊，这一百，这地方呢是一百除以二等于五十，所以这里变成了四十八加上五十，那结果是不是等于九十八 米？因此这两个人之间的距离最值为九十八米。题目就这样做完了，那你看是不是琴姐所说那样，你不用管它是什么，云加最云减，你也分不清。有的时候你你可能也会忘记这些结论， 但是我们这个逻辑是时刻都满足的对不对？那不管是什么样的问题，我们都可以用这一套方法来解决，这就是我们说的 通用解法。所以要想物理学的好，我们必须要掌握更加高效的解题方法，掌握更加高效的学习逻辑。祝愿同学们在接下来的学习过程当中都能够有更好的学习方法，有更好的学习节奏。那记得关注琴姐，后续还有更多高考物理干货。

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高一的同学们如果想在课外备上一本好用的同步教辅，我会推荐给大家这本教材完全解读。同学们在高一的时候也不想给自己的课外安排太多的任务， 这本书呢，就完全贴合大家在高一阶段的核心需求。首先，全书与教材完全同步，同学们如果在课堂上遇到了没能透彻理解的概念、公式或者定律，在这本书中呢，正好就有对教材上每一个知识点的深度解读， 助力大家把知识点学懂学透，真正理解到位。紧接着，还会全面规划相关的题， 题型方法，包括一些实用的拓展内容也是有的，甚至还会带领同学们对接相应的高考专题，看一看在高一学到的这些考点 在高考中具体是怎么考的，系统提升解析的能力。当然，适量的课后巩固练习也都给大家准备好了。

小伙伴你好，我是小学长。这个视频开始啊，咱们来讲追及相遇问题。这个追及相遇问题啊，是咱们云变速振动研究里面的最后一个题型，内容比较多，咱们连讲三节课，这节课咱们先讲相遇时间的计算， 下节课咱们来讲距离的最值和相遇次数的问题，最后咱们来讲追集相遇的图像相关的问题。这个追集相遇问题啊，在咱们的高一上有着非常重要的地位， 他是咱们整个必修一前两个章节唯一一块难度够得上压轴题的题型，就是进入历学之前两个章节就是咱们研究直线运动想问的东西。所以说高一上的第一次月考压轴题一定是考追及相遇的计算， 如果你们学校的进度没有那么变态，到了这个高一上七中的时候还没有进入历学部分，那你们期中考试的压轴题也一定是追及相遇问题。 而且到了后面咱们学板块模型的时候，其实那个板块运动的计算，他的核心思路其实也是追及相遇问题的一个分析，就说追及相遇问题特别的重要，接下来的三节课大家一定要好好的听。 咱们很多小伙伴应该在听我这个课之前也学过追击相遇吧，是不是都觉得很难，给大家总结一下哈。大部分小伙伴觉得两大难点，第一个就是觉得听不懂，记不住， 就是讲老师讲这个的过程讲的很复杂，因为啊，咱们很多老师喜欢的讲法是这种传统讲法，就是先把追击相遇分成两大类， 小追大和大追小。这个小追大指的就是一开始就是后面的那个物体速度慢，前面速度快，后面那个物体逐渐加速，追前面的小追大，大追小呢，指的是后面那个物体一开始速度快，速度比较大，大追小， 先分成两大类，然后呢再去做细分，什么匀加速，匀速匀减速，什么匀加速，匀减速等等。分了好多类， 要求咱们做题的时候也要去分类这种讲法吧，就是一个典型的以老师的视角来讲，因为老师他这块已经学的很通透了嘛，他觉得这么可以去分类这种讲法吧，有点道理，但是不多好吧， 而且呢，这么教大家的学习压力会特别的大，你会感觉你听不懂，学不会，更加的不会用。所以说啊，这节课我不会这么教大家，大家放心，我崇尚的是简洁式的学物理方法。所以说呢，这节课我会教大家一套特别简洁的方法，不用对这个问题去做分类， 这个方法可以解决所有的追击相遇的计算题。第二个难点就是不会写过程，因为追击相遇大部分考计算题，计算题是不是大头都是过程分， 然后咱们算的时候呢，就搞不清这两个物体在追的过程中，他们之间的距离的各个关系，就不会写方程，拿不到过程分。 这节课啊，咱们最重要的内容就是我带着大家把这个距离的关系搞清楚，搞清楚之后这个问题呢，就可以彻底解决了。 下面咱们进入这节课最重要的内容就是我来教大家追击相遇问题的核心思路。这个核心思路啊，用一句话总结就是咱们需要把任意时刻两个物体之间的距离的表达式写出来， 你只要能把这个表达式写出来，后面所有的问题都好说。下面我用 georgia 给大家来一个动态演示，让大家把这些距离的关系彻底理清楚。 这个追击相遇啊，其实就是你追我赶嘛，你追我，我追你。其实这个就跟这个谈恋爱有点像，大家可能现在年纪还小，没有经历过哈，给大家简单的介绍一下这个，其实这个谈恋爱啊， 这个两个人在一起之前就很少出现，两个人就，哎，都是谁都不用追，谁就自然而然在一起的很少，一般都是一方比较主动，一方追另一方，然后追成功了在一起了。 那像我跟齐小鱼当时，那就是他比较主动，是吧？他追我就是，咱们就以这个齐小鱼追我，咱们来把这个追集相遇这个过程给大家演示一下，注意，你看我用这个紫色的这个点表示，齐小鱼在一开始的位置， 他在后面，我呢是这个橙色的点，我在前面，他来追我。一开始我们俩之间的距离是这个 x， 然后下面大家注意看，我让这个时间开始变化的时候，咱们注意看一下我们两个之间的距离，他是怎么随着时间在变的。 下面追击相遇正式开始，你看我们一起往前跑，是不是随着时间的往往前，我们俩之间的距离是不是在减小，你看大家注意看这个 x 在 减小吧，减小减小减小减小减小减小，哎，到这个位置减到零的时候，是不是就追上了， 然后呢？继续再往前跑的时候看是不是他就他就反超了，这个就是一个追集的一个过程，是不是在追的过程中，这个 x 随着时间的推移在逐渐减小，如果追上了，反超了就继续增大，这是这个全过程。 下面我再多标几段位移，我们两个再来追一次。大家重点看一下任意时刻我们两个之间的距离， x 跟别的距离是什么关系？比如说我随便选一个时刻， 这时候注意，首先我先解释一下这些点和距离的含义，注意大家看这两个空心的点，空心的点是不是表示的是我们两个的起点？你看，比如说我选了一点三秒， 也就是说这一点三秒的时候，我从这个点走到了这其小于从这个点走到这。 注意，首先空心的点表示的是我们两个的起点初始的位置，那你看，那这段 x 跳是不是就表示这一点三秒我走过的距离？从我的起点到我当前的位置， 那这个 x 与就表示其小于这一点三秒他走过的距离吧。这个红色的 x 就 表示在一点三秒的时候，我们两个此时此刻的距离。你看是用他当前的位置到我当前的位置之间的距离。这个红色的这段 这个 d 零指的是初始时刻我们两个之间的距离，你看是我们两个起点起点之间的距离。注意，随着时间的变化， x 跳、 x 余和 x 都会变，但是 d 零它是不变的， 它不变的，比如说我这样这个时间变一下，时间变一下，你看是不是这个 d 零都是固定的，是吧？都 d 零都是不变的。下面我再随便选一个时刻，比如说就一个这个一点六六秒， 那我看一下这个时刻 x 跟这三段之间的关系是什么？是不是很显然，看这个图是不是一眼能看出来就是 d 零加上 x 条应该等于 x 余加 x， 因为你看嘛， d 零加 x 条是整个这一段的长度， 然后呢， x 与加 x 也是这一段的长度，是同一段长度吧，所以说一定是相等的。注意哈，我再强调一遍， d 零加 x 跳等于 x 于加 x。 来，各位，这个等式大家听懂的没问题的，公屏给我扣一个，懂了， 这个就是咱们这节课最重要最核心的内容，就是咱们的距离公式，就是这个等式，可以把 x 的 表达式来写出来，再把这个过程走一遍哈，大家再通过这个过程动态的来看一下这个关系，是不是很显然很直观，是吧？ 好，那下面呢，咱们来总结一下这个距离公式。通过刚才的演示，这个关系咱们应该都理解了吧，就是这个任意时刻我们两个之间的距离 x 再加上其小于这段时间走过的距离，应该等于初始距离，再加上我走过的距离吧。 然后呢，我现在要的是 x 的 表达式，我把这个 x 于移到等号的右边，是不是就变成了这一个式子，这个就是 x 的 表达式， 任意时刻我们两个间距离 x 等于初始距离，加上这段时间我走过的距离，再减去其小于走过的距离，这个就是距离公式。首先有一点我要强调一遍，就是这个 d 零。 以前我每次讲追悼相遇，讲到后面两节课的时候，就有小伙伴问我，哎，老师，递陵是啥呀？注意哈，我专门强调一遍，只要是追悼相遇的问题，在我的课上，递陵一律表示初始时刻他们之间的距离。 你把这句话给我写一遍，不要，之后我讲题的时候讲到地陵，你又不知道地陵是啥了，注意哈，再讲一遍，地陵就是初始时刻他俩之间的距离 导致。关于这个齐小鱼追我这个过程中，这个距离公式怎么写大概都没问题了吧。但是大家以后做题的时候，追集相遇的两个物体，肯定不是我跟他，就是咱们需要一个更加通用的一个版本。 注意，你看这个地方为什么是加 x 跳，减 x 于呢？为啥不是加 x 于减 x 跳呢？因为一开始的时候我在前面，他在后面，对不对？ 所以说这个距离公式啊，大家记，下面这个就是任意时刻两个物体之间的距离，等于他们之间的初始距离， 加上一开始在前面的那个物体的距离，减去一开始在后面的那个物体的距离，这个是一个通用的版本。 注意啊，咱们怎么来确定谁在前谁在后？很简单，你就看刚开始的时候，谁在前，谁就是 x 前，刚开始的时候谁在后，谁就是 x 后。 看到这很多小伙伴会有个疑问，那如果反超了怎么办呢？比如说，你看，一开始我在前，他在后，如果呢？反超了，我就变成后面了，他就变成前面了。那这时候谁在前谁在后，怎么去定呢？ 是不是要我得变一下，变成他在前我在后呢？注意啊，咱们谁当成前，谁当成后，咱们就从最开始定一下，只要一开始定了，就不变了。 一开始我在前，那咱们写距离公式的时候，就把我的距离定为 x 前，他定为 x 后，就算反超了，咱们距离公式也用一模一样的写法来写就行了。 因为你看咱们的距离公式的目的是为了表示任意时刻我们两个之间的距离吧。如果发生了反超，咱们来看一下这么写行不行。 你看，就以我画这个图为例，比如说 d 零是三米， x 前是两米，然后呢，这个 x 当前此时此刻是一米，那这个 x 口肯定是六米吧，他们这样满足这样的关系。这时候如果我还是用刚才的这个距离公式，我把数带进去，看看算出来是多少， 是不是 d 零是三，加上 x 前是二，再减去 x 后是六，算出来一个负一。注意，这个时刻我们两个之间的距离应该是一，但是我算出来一个负一， 其实这个负一没有问题，你看他的这个数字的大小，是不是跟我们两个之间的距离是一样的，就他的绝对值。所以说你看他的这个数字还是可以体现出这个时候我们两个之间的距离吧，因为我们两个之间相距的距离就是一米啊。 这个负号表示啥呢？这个负号其实就表示反超了，如果反超了，你可以理解为咱俩的距离为负。 就这么简单。就说你看咱们就用统一的距离公式，反倒简单，就直接无脑袋去算。 你在预最开始确定了谁是前谁是后，就用地零加 x 前减 x 后，如果算出来 x 是 正的，就说明还没追上 这个数字的绝对值，就表示距离大小，如果算出来这个 x 是 个负的，就说明已经反超了，这时候他的绝对值就表示他的距离，所以你看你这么写还是可以表示他们的距离， 就大家哈，不要纠结反超，咱们写距离公式的时候，你不用关心你要分析的那个时刻到底有没有反超，你就把最开始谁在前谁在后，确定了之后就写一样的式子就行了， 就说是否反超这个问题咱们也解决了哈。下面还有一个问题，就是如果这两个人啊，他不是从同时开始运动，那我怎么算地龄？比如说在下午三点的时候，他在这，我在这，我们两个之间的距离是 x 一， 然后呢，我从三点钟的时候我就开始往前跑了，他还没动，到了三点十分的时候，我跑到这了他才开始跑，三点十分的时候，我们两个之间的距离是 x 二， 那你说这时候我的 d 零是 x 一 还是 x 二呢？注意啊，这时候你就看谁跑的晚， 谁跑的晚，就以谁起跑的那个时刻，当成咱们分析问题的零时刻，就作为这个追击相遇的零时刻。咱们分析的时候啊，都是从他们一起开始跑开始分析 就说如果他们一先一后的话，你就看谁跑的晚就行了，咱们的递零都指的是零时刻他们之间的距离，所以说像我举这个例子，这时候 x 二 是我的地灵啊，所以如果不同时的时候，就咱们以这个晚跑的那个开始算，也不难吧。 注意啊，再想一遍，咱们分析追击相遇的时候，咱们是以他们两个一起开始跑的那个时刻作为零时刻来分析，咱们一律这么做，思路是统一的。 好，那这个追击相遇问题的距离公式就讲到这，下面咱们来讲如何利用距离公式来分析相遇时间的计算。 有了距离公式的思想，计算这个相遇时间其实特别的简单，你看这个相遇时间的本质，不就是让我们计算一下当他们两个的距离为零的时候的时间吗？ 比如说如果用了 t 秒，我们俩从一开始的这个这个位置变成了这个位置这个位置的时候，我们两个相遇了吧，相遇肯定是 x 等于零，挨在一起才叫相遇啊，所以咱们就计算当 x 等于零的时候的时间就行了， 大家可以按照下面的这个步骤来。第一步咱们一定要先明确一下零时刻，这个第一步就是针对那种两个物体不是同时开始跑的情况， 跟着刚才讲的，咱们要以后跑的那个作为临时课，先明确临时课是哪个，然后呢，把 d 零计算出来，有的题 d 零，已知有的题 d 零，需要我们计算。第一步先得把 d 零算出来， 然后你设一下，你就设从你选的这个临时课开始，需要 t 秒追上， 然后呢，你就明确一下，谁在前谁在后，把这个距离公式写出来，因为咱们要的是当 x 等于零的时候的 t 就 带零，距离公式直接写成 d 零加 x 前减 x 后等于零， 因为要计算的是相遇吗？相遇的时候 x 等于零，这取零。然后呢，咱们分别把前后两个车从零到 t 的 位宜时间公式写出来， 因为要想计算时间，你肯定这个式子得得有时间才行啊，就咱们用这个谓语时间公式，然后呢，咱们把这个两个谓语时间公式都带到这个等式里面，把这个时间解出来就行了，咱们用这个步骤可以计算剩余时间。 乍看上去好像挺复杂的，一共有五步，但是咱们做两个题，你就体会到其实很简单。下面呢，我们来两个题来练习一下这个相遇时间的计算。第一题，甲乙两车从同一地点同时出发，注意，同一地点同时出发，说明啥？说明地零等于零。 然后呢，甲是从静止开始做匀加速运动，加速度是五，乙呢有出速度，人家是以十米每秒做匀速运动，注意，你看他俩同时出发，我的甲得从零开始慢慢加速，乙呢，直接有出速度， 那是不是一开始这个乙会一下子跑到前面去，然后呢，甲追乙，因为乙有出速度， 一开始肯定领先，就说这时候乙是在前面，甲是在后面，好吧，是甲追乙，那问的是两车再次相遇的时候运动的时间是多少？那就射一下呗，射 t t 秒的时候追上。 下面咱们来写下距离公式，这时候是不是 d 零是零，然后呢，前面的那个因为是假追，以前面那个是以，那就是 x， 以再减去后面那个就是 x， 假应该等于零吧，计算相遇时间， x 取零， 那么分别把甲乙的位移时间公式写出来呗。那这个 x 甲是啥？ x 甲是做的是初速度为零，加速度为五的匀加速振动，那就是二分之一 a t 方， 那乙呢，是不是应该它做的是一个匀速运动？我设它的速度是 v 乙吧，就是 v 乙乘以一个 t， 然后呢，咱们把这个 x 加 x 乙都带进去，那就是啊， v 乙乘以个 t， 再减去一个二分之一 a， t 方直接等于零， 我可以约掉一个 t， 把这些数带进去。 v 是 十，减去应该是二分之一乘以五，乘以一个 t 等于零，算出来这个 t 应该等于四秒吧，所以说四秒追上这个题答案，直接选 a 就 行了。 注意啊，这个追击相遇哈，就算是简单题，也不能像咱们别的题型一样，可能一步就搞出来，它是需要这些步骤的，但是啊，这种题无论简单还是难，它的步骤都是固定的，是统一的，咱们只要多练就行。 所以大家一定要按照我的这个步骤，一步步来，跟着我的思路把它去写一写哈，只有多写一写，你才能学会。来，各位，这个题大家听懂这问题的公屏给我扣一个。懂了， 好，现在呢，我们再来一个。一辆警车停在路边，当警员发现从他旁边以十米每秒的速度匀速行驶的货车超载了，他要去追赶。经过了五点五秒后，警车发动起来， 并以这么大的加速度开始去做匀加速，去追问警车发动后多长时间才能追上。 注意这个题，是不是这个警车和这个货车他们开始运动的时间是不一样的，你看，一开始咱们换下这个关系啊，一开始这个警车停在这，这个货车呢， 跟他说的是题目，说的是从他旁边经过的时候，就是在擦过警车的时候，他们在同一位置的时候。哎，警车发现你丫超载了，我要去追你，但这个警车他不能立刻发动，他需要一个五点五秒的施法前摇， 他得，比如说他得把这个车门关上去，然后呢把这个踩刹车，再拧钥匙，总之需要五点五秒才能跑， 也就是说在五点五秒后，这个警车才真正的开始运动。那这时候这五点五秒，这个货车在干嘛？货车闲着吗？没有啊，货车是不是在一直在往前跑，跑到这了？ 那你看咱们刚才说过了吧，是以晚出发的那个车出发的时刻作为出使时刻， d 零要取初始时刻的距离，就是咱们要取五点五秒后，当警车开始发动的那个瞬间，他俩间的距离作为 d 零，那就是这段， 这段，这段距离就应该用这个货车的车速乘以这个五点五秒，这个时间我设为 t 零吧，我设为 t 零，是不是这个 d 零， d 零就应该等于 v 或叫 vh 吧，用 h 表示货车 v 或乘以一个 t 零。 所以咱们先明确哈 d 零是多少，注意再想一遍，这里面这个提示警车，货车出发的时间不一样，咱们以晚出发的那个车的出发作为临时课。 就这个里面咱们要算，当警车完成了施法前摇，真正开始跑的时候，他俩边的距离是这个货车的速度乘以这个时间 t 零。 好，咱们就可以设一下了，你就设因为这个题是计算题嘛，你要写清楚，你要设设警车发动后 t 秒追上追上，明确的把这个时间设出来， 就可以写距离公式了，是吧？这个距离因为要追上嘛，最终肯定要距离为零，应该等于 d 零， 加上一个，前面的是货车，就是 x 货，后面的是警车，注意哈，明确前后，因为前面的是货车，所以说加 x 货，后面是警车，就减去 x 警，用这个勾来表示。 然后呢，我们分别把货车、警车的位宜时间公式写出来，这个 x 货做的是元素，那就是 v 或乘以 t， 这段时间内一直做匀速，它的位移就是 v 或乘以 t， 那 警车呢？警车做的是初速度为零的匀加速，那这个警车就应该等于二分之一 a t 方， 把这几个式子，当然还有前面这个式子写出来，这个题的过程分就拿满了，然后咱们计算的时候，只要把这个 d 零，把这个 x h， 把这个距离公式里解出来就行了。 下面咱们来计算一下，又带进去吗？那就是零零应该等于货车的速度是十十乘以五点五，这个是 d 零，再加上一个 十 t， 减去一个二分之一 a， a 是 二点五 t 方，这个是怎么？ 这个解的过程我就省略了哈，解出来这个 t 应该等于根号六十加上四秒，这个结果比较看着比较奇怪，但就这个结果，这个结果是啥不重要，重要的是这个思路。好吧，当你能把这个方程列出来的时候，你看这方程里说只有 t 一个位置量，一定能解出来吧。 所以说警车发动后，要这么长的时间就能追上货车了，这就是一个完整的他。出了计算题之后，咱们怎么写？ 那对于最基础的行驶时间计算，讲到这，下面咱们来讲一种比较复杂的情况，就是在这个追的过程中，如果其中一个车它是一个多段运动的时候要咋办？这里面啊，比较常见的两种情况，第一种就是前车在刹车， 前面那个车先刹车，刹车到零之后停那了，然后呢，后面那个车把他追上了，那你看整个这段追击的过程，他是先减速到零，最后再停下了，他是一个多段运动吧，分两段运动。 第二种常见情况呢，就是这个后车限速，比如说后面那个车，他的限速最高速度是二十米每秒，他从零开始匀加到二十之后，就只能以这个速度匀速。 那你看这个时候你在追集的过程中，你就不能用一个方程把它的位宜时间的关系写出来了吧？这时候咋办呢？这时候啊，咱们叫分段来分析，一段一段的来求 把整个的追集相遇拆成两段来分析。下面咱们给这两种常见情况分别讲道题来练习一下，你就知道我说的是啥意思了。 这个题说的是，当汽车 b 在 a 前方七米的时候，这时候呢， a 做的是匀速直线运动，而 b 呢， 开始做刹车了，出速度是十刹车，刹车减速加速度是两米秒子方秒。然后呢，从这个时候开始计时，问 a 追上 b 需要的时间，注意这个题里面是不是这个 d， 零就是这个 s， 零是七米， 这时候这个 b 他 是先刹车，当他刹到零的时候，如果还没追上， b 就 停那了， b 就 不动了， a 继续去追。就是咱们得先分析一下，先计算一下，当这个 b 刹到零的时候有没有追上， 咱也不知道，得算一下，那就先算一下刹车时间呗， t 刹， t 刹应该等于 v， b 比上一个 a 算出来应该是五秒， 那在五秒末的时候，这个 b 就 刹车到停下来了，那五秒末的时候有没有追上呢？咱们得算一下，就是咱们得算一下这个五秒末 时的 x， 得算一下，这时候这个 x 写下出使距离 d 零就是 s， 零 加上前面那个车的位移，前面是 b， 就是 b 做的是一个匀减数，那就是 v b 乘以 t 减去二分之一 a， t 方再减去后面那个车是 a， a 做的是匀速，那就是 v a 乘一个 t。 注意，因为咱们求的是五秒末，这时候呢？注意，这时候咱们是已知 t 求 x， t 就 带五就行了，带进去 s， 零是七，加上 v b， v b 出速度是呃，十乘以五，再减去二分之一 a 就是 一，再乘以五五二十五，再减去 va， va 是 四四乘以五是二十， 算出来是不是应该是十二米？十二米说明啥？说明在 b 杀到零的时候，它们之间还剩了十二米， 那如果 a 想要追上 b， 他 只要再把这十二米追上就行了，因为这时候相当于是 b 就 在 a 的 前方十二米，然后 b 静止了， a 只要往前再跑十二米，就跟 b 相遇了。那需要多长时间呢？那这个 t 撇不接，直接就是十二比上 v a 吗？算出来应该是三秒吧， 算的总共时间是多少呢？是不是咱们第一段是五秒，再加上一个三秒，应该是八秒吧。这题答案应该选 c， 所以你看这里面，因为 b 他 在做的是刹车，他整个这个追的过程中，他是一个多段运动，先匀减到零再停下来， 所以咱们就不能一个式子解决，你要先算一下刹车时间，先算一下，从开始到刹车结束再算剩下的。大家明白这个意思了吧？就是多段运动的时候怎么去算这些大应该选 c 好。下面呢，是我们这节课的最后一个题，这个题跟前面那个题有点像，就是也是一个警车停在路边，突然发现旁边有一个货车又超载了，又超载了，又去追赶，然后呢，也得经过一段时间后才能发动，你看有一个施法前摇吧，两秒， 然后加速度是两米秒，几方秒，但是这个警车要守规矩，它的最大速度是十六米每秒，它不能超过这个速度。那么计算一下，警车发动后要多长时间才能追上货车？ 首先咱们还是要先算一下 d 零吧，这个算 d 零跟刚才那个题一模一样，因为两秒之后，警车发动的那个瞬间作为零时刻，因为警车是晚运动的嘛， 那警车发动的时候，这个货车是不是往前跑了？十二乘以二是二十四米，就说这个 d 零应该等于十二乘以二，应该等于二十四米，二十四米，这是 d 零。 然后这个题里啊，这个警车它是有限速的，咱们得分段分析。咱们先分析一下，当警车加到十六，就是警车做匀加速的那段有没有追上， 我也不知道警车啥时候追上，就先射一下，我就射，我就射射。这个警车达到最大速度的时间为 t 一， 这个 t 一 咱们直接给算出来吧， t 一 就应该等于十六，比上加速度是二，应该等于八秒。 比如说这个警车啊，开始加速加了八秒就能达到最大速度，那么就算一下，八秒末，八秒末他们之间的 距离 x 呗，写下呗。那这时候 x 是 不是应该等于 d 零，加上这时候肯定货车在前面，那就是 x 或减去 x 颈，这是距离公式吧。然后呢，我的 d 零已经知道了， x 或就应该等于 货车的速度为或再乘以一个时间 t 一， 那我的这个 x 颈呢？ x 仅是一个速度为零的匀加速，就是二分之一 a 乘以 t 一 的平方带进去，那我的这个 x 数就应该等于 d 零， d 零是二十四，然后呢，再加上一个啊，货车的位移，那就是货车的速度乘以时间，那就是十二乘以八，应该是九十六， 九十六，再减去一个二分之一 a 一， 再乘一个 t 的 平方八八六十四，八八六十四，算出来是不是应该是五十六米？五十六米，这说明啥？说明当这个警车加速到最大速度的时候，他们之间的距离还剩下五十六米， 这个警车还得再追这五十六米才行。这时候是不是之后的运动，他俩都做匀速。 那你看，警车的速度是十六，货车的速度是十二，那我多久可以追上这五十六米呢？那简单吧，这个时间 t 撇，直接写成这个五十六比上的速度差就行了呀。直接用这个十六减去十二。因为你看吧，警车是速度是十六秒，就一秒钟能跑十六米， 货车呢？十二就是一秒钟能跑十二米，多了四米秒说明啥？说明一秒钟警车能追四米是吧？我是十六，你是十二，一秒钟，我比你多四，我能追四米。 那我追五十六米需要多少多少秒呢？那就五十六除以十六减十二就行了呀，算出来它应该是等于十四秒， 那总的时间是多少呢？是不是总的时间替总就应该用十四，再加上低段的八应该等于二十二秒，就说总的这个追的时间应该是二十二秒。你看这个题是不是也是要分两段？ 咱们就以这个分界的那个点来算，因为这里面警车它是一个多段运动，咱们就以警车分段那个点来算， 咱们先算警车在匀加速的那段到结尾的时候有没有追上，如果这个 x 算出来是负的，就说明，哎，第一段已经追上了，我就不用管后面的了。 如果呢，还没追上，那我就得算一下之后需要多长时间能追上。你看这个题算出来，是不是当警车加到十六的时候，八秒末还剩五十六米，那么继续再算一下呗，追剩下五十六米需要几秒？然后呢，把这个十四跟地段的八相加就行了。 就这道题的一个思路，分段分析哈。这道题跟上一个题特别的典型，一个是前面的车刹车，一个是后面的车限速，这样的题大家一定要完全弄懂。好，那我们今天这节课呢，就到这最后就是咱们的打卡时刻。 首先老规矩，评论区回复一个已打卡，跟谁做个见证？这节课咱们讲的是追击相遇里面计算相遇时间的题， 但其实咱们的核心还是讲的距离公式，这个距离公式它可不只用来计算相遇时间，它是咱们后面计算别的东西，也是以这个距离公式为核心。咱们首先讲的距离公式 就是这个 d 零加上 x 前减 x 后等于 x， 那 咱们计算相遇时间的时候呢？咱们按照这五步来列就行了。第一步，确定零时刻，你得先把 t 秒追上， 然后你明确一下谁前谁后，因为相遇什么含义，就是那个时候 x 等于零，就说你这个以 x 为零，写一个距离公式，然后把这个两个车的位宜时间公式写出来带入就行了。 然后注意啊，如果是有多段运动的时候，比如说前车刹车或者后车限速，这时候呢，咱们要分段来分析。 好，那下节课咱们来讲追击相遇的第二节课，咱们来讲稍微难一点的问题，就是让你计算在相遇之前他们两个车距离的最大值或者最小值，或者让你分析从一开始到最后他们一共能够相遇几次这样的问题。 这两种这两种题啊，也是追击相遇里面很难的题，但是用咱们的距离公式都可以很简单的来求解， 所以说下节课咱们核心依然是使用距离公式来分析，所以我就说嘛，只要如遇相遇，我给大家讲的思路都是统一的，不管这个题目问的是啥，咱们都用距离公式来分析，不用去做别的分析，很简单。好的，最后呢，大家要点波关注，关注 up 物理上分。

真题一定要拍，我先说一下真题的重要性，各位，你做模拟题，我问他的模拟真题，所以说真题是一定要拍。首先我们的答案两个特点，第一个特点，各位朋友看一下，我们有这样的试卷分析表， 每套卷子都有这样的试卷分析表。你孩子做完这道题以后，各位家长，你看一下孩子是哪道题对了，哪道题错了， 代表着孩子的哪个知识点学的还行，哪个知识点他是有漏洞的。当然我们做一套题， 就说他这个知识点有漏洞是不合适的。哎，我们再做第二套，我们做完第一套再做第二套，做完以后再在前面给他画对勾、画叉。做完第二套来我们再做第三套，做完第三套以后再在前面给他画对勾画叉。各位家长， 三套真题下来，你家孩子哪个知识点需要补？你家孩子哪个知识点需要在后续的复习的时候重点关注，一目了然，你这个章节的知识点是有问题的，回头好好看一看，哪个题错了，我们就直接给你说， 你这个知识点是有问题的，然后知道真题，他是一个选拔性最强的考试。什么叫真题？各位，什么叫真题？就是往年各个省份考，大学高考考的就是这个题，真题是必须要排，一定要排，不排不行。

各位聊城高一的家长哈，今天来给大家进行分析一下本次期末数学的一个试卷。那本次呢，我们是统一命题，试卷整体的难度呢？基础中等和难题的分别的一个占比为六比五比三， 那它整个覆盖了我们必修一核心的知识点，重点考察了，比如说我们的三角函数，函数不等式等模块儿，综合性呢，相对来说比较强。 那本次的题目呢，注重基础啊，与能力的相结合。基础题呢，他侧重是公式的记忆啊，基本的一个预算全部都是哈，那中档题强调的是知识综合应用，比如我们单选的第六个和第七个题，多选的第十题，填空题，第十三题， 大题第十七、十八题，全部都是这样的。然后难题呢，他聚焦的是新定义问题，函数综合应用等复杂的一个题型， 他每一个难题呢，都是我们当下每个题型最后的一个题啊，比较偏难的。那试卷呢，本次啊，既考察了学生基础知识的扎实程度，那也注重了逻辑的一个推理，数学的一个建模、运算、求解等核心能力的一个检测，全部都进行了一个检测哈， 符合高一期末的这种备考导向。那我们本次考试呢，学生容易出现问题的点哈，一个是集中在计算的精度啊，还有一个就是公式的灵活运用， 包括我们几何与代数转化等方面。那比如说对我们的抽象函数，他的一个性质横乘律问题，这种综合性的题型的解析思路呢， 容易欠缺，就是步骤化的思路比较欠缺一些建议啊，等我们这次成绩出来拿到二卷，我们仔细的去分析一下自己的失分原因，针对性的去解决。 那这个寒假呀，是我们选科后第一个假期，选科定方向，寒假助根基，这个寒春是高中数学逆袭最好的阶段， 所以寒假呀，咱们一定要聚焦，好好的利用，把理科的思维呀建立起来，马上放寒假。需要规划的同学评论区六六六。