复变函数与积分变换教材冯卫兵答案

同学们好，一刷而过。复变函数与积分变换第一个考点，复数及其运算 第一个重要内容是负数的概念。我们这里引入了一个虚数单位， i i 方等于负一，我们把 x 加 i y 另为 z， 这样的数我们称为负数。 而共呃复数是指 x 减 i y， 我们在 z 上加一个横杠来表示， x 称为 z 的实步， y 称为 z 的虚步。 第二个重要内容是负数的表示法。我们在平面上可以将负数用点和向量来表示， z 等于 x 加 i y 是代数式的形式，同时我们还 可以用三角式和指数式来表示复数。我们把负平面上的 x 轴称为实轴，外轴称为虚轴。同时我们还要掌握向量 z 的长度的计算方法，而等于根号下 x 方加外方。 第三个重要内容是复数的四则运算。我们设有两个复数， z 一和 z 二。 z 一等于 x 一加 i y 一， z 二等于 x 二加 i y 二。 那他也跟其他的那个加减运算是一样的， z 一加减 z 二等于十步加十步，虚步加虚步减法是同样的道理。乘法有一点不一样，我们这里的实步是 x 一 x 二减 y 一 y 二，虚步是 x 一 y 二加 x 二 y 一。 下面我们来看一道例题， 将 z 等于负，根号三减 i 化为三角式。这道题我们可以利用三角式的基本定义来入手。 首先我们需要计算 z 的向量长是 r 为二，然后我们需要计算 r 个 z 就是 arctengent 负一笔负根号三减派等于负六分之五派， 所以 z 的三角式就为 z 等于二乘上可三亿负五六分之五派，加上 i 乘三亿负六分之五派这道题还是比较基础的，偏向于概念的理解，同学们学会了吗？ 下面我们来回顾一下本节的考点。复数及其运算包括了复数的概念，其中复数分为复数和共饿复数，而复数的 x 和 y 又分为实步和虚步。 第二个重要内容是复数的表示法。首先我们将复数表现在平面上，可以表示为点和向亮。 我们还学习了时轴和须轴的概念，负数可以表示为三角式、指数式、代数式等等。同时我们还学习的像量 z 的长度。最后是负数的四则运算， 我们学习了它的加减乘除的基本定义。那么本节考点到此结束，同学们再见！

好，那么我们开始上课了，今天这节课呢，我们是我们已经把我们的课程，我们所有的课程现在已经呃内容已经学完了， 所以呢现在今天这节课呢，我们给大家呢，主要是给大家一个简单的复习和总结，那么借助，当然这个呃不能很详细，只能把内容串一下，另外的这些例子呢帮大家呢复习一下。首先我们来看一下 我们这个福变函数呢，那么叫福变函数，但是我们这科的是福变的积分变换，所以这是两个内容，那么前面的是福变函数的内容，后边的是积分变换的内容，这就是我们整个这个内容，大家呢可以看一下， 呃福变函数，那么从早期的一开始的研究上呢，是让孩子是把我们原来十变函数也就为积分的这一套，包括导数啊， 呃积分呢，然后呢呃泰的展开几手展开，那么这一套呢，很快的我们过来一下，是不是我们几几十个分就过了，然后呢后面胡表涵说的这一 精彩的地方呢，一个在于留寿这一部分，然后呢最后是个保鲜液色这一部分选择，这次复变函数呢区别于这个我们实变函数的地方，所以这样子呢我们呃今天呢，我们就借着按照章节把这几个主要内容呢过一下给大家呢复习一下。那么首先 呃第一部分的内容呢，我们当然就是我们最基本的内容，包括扶手的运算，然后呢我们需要掌握一些基本上的扶手函数，所以呢这些呢我们是需要基本掌握的是不是？那么下面呢我们呢开始呢，从第二，从第二章开始呢，我们讨论专门讨论扶手函数这个简习性质， 那么浮变函数的可导或解析，那么是跟我们实变函数完全不一样的东西，完全不一样的，所以那么其中最最主要的东西呢，就是所谓的科西尼玛方程，它帮助我们来理解 一个浮变函数是否解析的一个关键的一个基本的一个定律，所以呢我们来看看呢，它既可以帮助我们来判断一个函数是不是可导或解析，另外呢也能够让我们来构造解析函数， 那么主要是呢，由一个定力来保证，那么定力之前呢，我们曾经我们已经给大家复习，给大家讲过了，首先是呢，一个不变函数的话，那么他的呃实部和虚部 如果要解析的话呢，他要满足一定的条件，就单独来看实部，虚部的话，那么作为实部来看，虚部来看， 那么他如果是解析还是解析的话呢，那么他必须满足这样一个条件，什么条件呢？就是我们说的所谓的调和函数，调和函数，那么这个呢，大家这个概念呢也很清楚的， 是不是就是一个这样的函数满这个拉布拉斯方程，然后呢最后呢这样的函数会调和函数，那么具体仅仅是实部和虚部都是调和函数的话还不够， 如果想要构成一个互变函数的话，那么实部或虚部之间还有非常强的联系，所以那么他们就是靠在这个 c r 方程就是科学理论方程联系起来的，所以呢除了这个本身这个 u v 是 调和函数之外， 那么呢我们还必须满足这样的一个方程，那么这个方程呢，就是一个很重要的一个哦，科学理论方程是互变函数里面一个最基本的一个方程， 那么在这个两个定义的前提下，我们就有这样的一个定律，定律，那么可出来一个非常好的一个重要条件，就是不变函数，那么在一个区里面解析的话，那么他必须优， 必须他的这个虚部是实部的宫格调和函数，这句话要一个顺序，次序问题大家看到，因为这个科技里面方程呢，呃，看起来形势上很美，但是他呢？呃，有一点点不太对称的地方，他这里有一个符号，是不是有个符号，所以那么这样子呢？那么呃， 谁是谁的宫格调和函数，那么反过来由， 那不一定是胃的宫格和寒宿，这个顺序上是不能改变的，是不是？所以这是那么讲到解析寒宿呢？呃，那么这是有这样的一个定律呢，给了我们解析寒宿这样的一个理解，也就是说一个寒宿要解析的话， 如果按照我们以前的实体函数的理解呢，仅仅需要可导啊，仅仅需要呃连续什么就够了，那么这里不是仅仅需要光滑什么就可以，这里不一样，这里实部和虚部有很强烈的联系，强烈的关系，那么在这个意义下呢， 呃，我们就可以通过这个东西来判断一个函数是不是可导，是不是解析。那么我们下面工作就说我们 如何由一个格定的实部或者格定的虚部来造一个解析函数， 是不是？所以那么这样子呢？我们时常的从这个刚才这个实部和虚部联系我们就知道，那么因为他有很强的联系，所以呢我们可以通过实部或虚部啊分这种关系来造这样的函数，那么他的方法呢？那么有这样两种方法，一种是偏极分法，那么一种是权为分法， 偏极方法，我们等一会用例子来讲，那么全微法呢？我们可以呢具体把这个弄出来就说呢，实际上如果我告诉了 已经知道十步优，那么有十步优呢，我们可以做两个偏导数，然后按克奇尼玛方程呢，那么微的两个偏导数呢，跟 这个时差偏导数有联系，所以呢最后呢，实际上我们只要知道实部，我们就可以知道虚部的两个偏导数，而要偏导数呢就会构成一个全为分，所以呢在有已知的前提下， 在有已知的前提下，那么我们就可以知道我们要求的虚部的两个偏导， 那么有两个偏导式，我们就做成个全为分，所以呢这两个已知的前提下，我们做成个全为分，那么我们最后呢就可以通过这种式，这个式子呢把我们的微弄出来， 弄出来的方法呢，那么大大家呢可能知道的是不是有凑为分的方法，那么呢也可以直接通过 变上限的，那么呢限几分来完成，也就说他直接求元函数，是不是所以呢这样子完成，所以呢下面呢我们具体的那个例子呢，来看一下，比如说这现在有这样的一个题目， 首先一个函数，那么给我们了，那么给我们的这样这样的题目呢，就说你即使拿到以后，即使没有这一句话，就说那是这条文函数，这句话不要你去验证的话，那么呢最好还是验证一下，因为我们知道不是条文函数的话，那么造不出 一个解析函数来，所以呢，现在求以它为十步的解析函数，然后十二等于它，那下面我们来看看呢？我们主要是用第一步验证比较简单， 我们只要把两个偏导求一下啊，是不是零，所以呢，那第二步好，我们刚才说了，我们已经知道 u 的 前提下，那么我们就可以求出 u x x 求导，然后呢得到了 v y， 那么这个偏极分法它采用的思路是什么思路呢？就说呢，我是逐步的把我要求的个二元函数逐步的变成一个一元函数，最后呢再变成一个我们已知的函数，所以那么相当于就说我知道了，有以后，那么我知道了这个虚部对 y 的 偏导数，我知道了， 那我就可以反过来通过对 y 进行偏极分，在这里对积分，那么积分的结果呢？ 因为这是对 y 求导的结果，那么对 y 积分以后呢，按道理就不定积分后面加这个长数，但这个长数呢，不是说 是我们一场长数，正常，只是说与 y 没有关系，只是说与 y 没关系，是不是？所以那么后面这个长数呢？实际上呢是个 x 的 函数，然后呢，最后呢，我们通过这个式子呢，我们就可以把我们要求的一个二元函数，本来原来是一个 v 是 二元函数，那么 变化成去求反，那么这时候这个反呢，变成一个语言函数，好，这是我们利用了科心狄玛方程的一个条件，但是我们还有一个条件，还有一个条件呢是对 y 求导呢，等于 需不对 x 求导反号，所以那么在这个意义下呢，我们又可以由这个式子，然后呢通过这个本身已知的这个优求导，然后加上我们已经知道了这个结果求导，然后呢最后得个等式，那么最后得到的结果呢，就可以把反 x 的 导数得到，然后呢再进行进行一次 定不定积分，那么最后呢，我们就把这样的一个呢，最后这个位就定出来了，定出来但就是大家会发现在这里呢会差一个常数，所以这个题目呢，那么最后呢，如果给一个确定性的解析函数的话呢，我们可以通过 另外给的条件来把这个常数来定下来，所以呢这个工作呢就很好完成了，就直接呢这个 f 则有，以后呢我们直接把， 因为这里的这个二呢，实际上是我们在负数域里面，我们是实不是二，虚不是零，这直接把 x 等于二 y 点零带进去，最后把车给定出来了，对不对？可能这是采用的这个轴步球的办法，但是我们呢应该还有比较好的办法，我刚才说的 这种方法呢，比较好掌握，但是呢有点麻烦是不是？所以呢，那么第二种方法，我们说我们既然已经知道了 十步，然后十步的 x 导，十步的 y 导，那么马上就知道了这个微的，我们要求的这还是两个偏导数，那么这个偏导数已知以后，我们又根据全微分那么一个要求，这个东西应该是等于 微的 x d x 加上微的 y d y， 所以呢这样子呢，由这个式子呢？我们马上，我们虽然我们不知道微是什么，但是我们知道微的微分，微的微分，我们知道了， 你说这要求这个函数微分，我们知道了，那下面的工作呢，就有两条路可以走，是不是？第一种方法呢？说我能够把这个 d v 这边有一个， 这边有一个 d v 这边有一个四指 d， x 这边有个四指 y， 所以 你能够通过放进去，这个放进去，你能够放成 d 的， 那就行了，是不是？那我就说 d v 等于 d 的 什么东西，那这个 v 等于什么呢？ 是不是那 v 就 等于这里面这一大串，那加个长数，所以呢，我们可以通过这种方式来完成，是不是？所以呢，很简单的，我们就可以直接，那放的时候呢，当然要注意一下呢，直接 x dx 可以 往里面放，但是 y dx 如果出现这种情况的话， 那就不能往里边放，是不是？如果这一放进去变成 d y x， 那 第二等于什么呢？ 那就是那 d y x 等于 y， d x 加上 x， d y 又要重新展开的，是不是？所以呢，这个时候呢，放的时候呢，我一定要注意一下呢，我们 这种情况， x 是 往里面放的，长寿直接是往里面放，然后呢 y 往里面放，所以呢，这一题呢，我们当然没有取这样的，呃，通过两种组合往里面放的情况，所以呢，这样子呢，我们直接 d v 就 得到这个结果，那这个结果一得到以后呢，我们刚才说了，那 v 就 很快就出来了， 所以呢，这种方法呢，那么建立在什么呢？大家对这个反为分，或者对一些常见的函数，那么很快在原函数，是不是我们会很快的把这个为求出来，求出来，所以呢，这是最后呢拿了答案，呃，下一步的结果呢？跟我们前面结果呢？那答案是一样的， 所以呢，这是这一题。好，下面呢，我问一下，呃，这一题还有没有更好的办法？ 更好的办法是不是真的？我只说真的这一条而言，那么呢，应该还有更好的办法，更好的办法。所以大家学过这个，学了浮变函数以后呢，应该建立这样一个概念， 十不定下来十步。一确定这个浮变函数在这个解析函数是唯一确定的，除了插个常数之外。 所以呢，在这个意下就说，如果有两个函数的时步一样的话，而且都解析的话， 那他的虚步也只差个长寿。如果两个解析函数虚步一样的话，他的实步也只差个长寿。那么在这个意下呢，我看看大家，我这样子说，看大家听不听懂。你看， 这是二 x 减一 y， 这个一写开呢，是二倍的 x 减二倍的 y。 我 们想象一下，我现在问这样的一个问题，这样的一个函数是不是解析函数， 这个函数是不小于函数？是小于函数。那我问这个函数的时步是多少？虚步是多少？这个函数的时步是多少？虚步是多少？所以如果大家清楚这个的话， 清楚这个的话是不是，所以呢，那么你就可以很快的知道说我，那我就再问你了，这个二倍的 x y 是 哪个解析函数的十部？ 但是二倍 x y 是 这个函数的虚部啊？虚部 i z 的 平方，它的实部是多少？ 二百 x y， 是 不是说他是谁的十步？ y 是 谁的十步，这还是负， 是不是？所以呢？很快就知道说我这个函数，首先第一是解析函数，第二他的十步就是他，所以现在说要以他造个虚步出来， 那能不能是其他的呢？不能是其他的，只能是这个函数的虚部加个常数，那么常数加到虚部上，加到函数上，不一样的， 是不是？所以呢，很快就把减函数的某些实部和虚部，很快就可以把你要求的，你是要我求这样的一个函数，那么所以我采用最简单的问题说现在有一个 e x cosine y， 这是个十步，说以他为十步造一个虚步啊，构成减去函数。那我问虚步是什么？那只有 x 以外，是不是只有 x 以外？ 什么道理呢？就是因为他加他本身就是一个减去函数，减去函数，所以他减去说你现在另外找个减去函数，还找个减去函数，说实步跟他一样， 虚，不是别的虚，不是他可不可能，那不可能，是不是，所以不可能。所以呢，那么这种情况下呢，是可以很快的，那么一些常见的函数我们可以时常很快的，所以这就体现什么呢？实不一确定，虚不是唯一确定的， 所以呢，那么这个题呢，那么可以用这种方法来求解是不是？所以呢？好，这是第一部分呢，主要是我们对解析函数呢有一个比较深的一个认识。好， 那下面呃第三第三章呢？是积分这一部分，那么积分这一部分呢？答案，我们是把 呃微积分里面的曲线积分这一部分呢，引引到我们的浮变函数里面来，是不是第二个曲线里面的浮变函数来，但是呢，他自己呢，又建了一整套理论，就称为科系理论，实际上这个科系理论呢，是整个这个浮变函数的一个最基础的理论，那么他主要有三大定律，我这三大公式组成， 那谁干呢？那么一个是科西积分公式，科西积分定律，科西积分公式高级导公式，那么呢，他这是也是解释解释解析函数那么最本质的一个性质，所以我大家回忆一下，大家回忆一下，这个函数在心元可导，然后呢则灵是其中的一点， 然后呢， c 是 包含这个窄零的一条 b 曲线，当然呢，这个条件呢，可以放宽到，放宽到呢？还是在区里面可导，然后呢 c 是 边界，然后呢还是在边界上连续就够了，可以放宽到这个程度， 是不是？所以呢，我们这里呢，就不把它放宽了，就直接是在区域解析区域里边的一条 b 曲线，然后呢这个窄零，这一点呢 是在这个 b 曲线里边，那么这个时候呢，很自然推出第一个 b 漏积分为零，这是解析函数，是吧？ b 漏积分为零，可以推出，漏镜无关，这是一套，整个一套可以过来，是吧？这是第一。第二呢， 可以推出，因为这个时候，因为这个时候的背记函数变了，下面有个 z 减 z 零，而 z 零又在 c 里边，所以呢构成这个背记函数呢，在这个背记函数呢，就不再解析了。 在这个时候呢，当然不会等于零，但是他有一个很漂亮的公式，那最后得到结果的是 f 减零。但我们一看这个式子呢，可能没有什么体会上，这个式子呢，减少一个非常漂亮的东西是什么呢？是一个解析函数 任何一点或者内部的任何一点，那么由一条 b 路上的，就由边界上来决定。我刚才不是说了吗？是不是？刚才不是说了吗？这是 c， 是 边界，这是 d， 这里面任何一点的函数值，任何一点的函数值，是等于这个函数的一个在 c 上的取值有关， 是不是？所以呢，也就是说这个函数一个角形函数在边界上的值已给定的话，里边的值全部给定了， 全部给定了，所以他解释了一个非常好的一个东西，所以呢，这个式子呢，也可以进一步换成，换成什么呢？换成 f， 可 c， 我 们把它换一下，是不是 在大家常背记函数一翻嘛，背记变量一翻嘛，然后则是任意的则嘛？是不是换成则嘛？所以呢，马上说，哦，原来一个解析函数可以用积分的形式表示出来， 找出来，那这个积分呢？这可 c 仅仅在 c 上取值，在 c 上取值，是不是？所以呢，这个 c 上一旦这个 c 上的这个函数， c 上这个值一定的话，那么这个 z 全部都定了，因为 z 是 什么？ z 是 属于 d 的， 是不是？或者 z 是 属于这个 c 所围成的， d 所围成的这个区间的，所以呢，这样子来，我们看到呢，这是，这是一个灰常所谓科学级分工，是结识。 为什么他称为不变，还是整个理论基石啊？是不是他这个东西有了以后呢？那么后面整个一套理论都是建立在这个公式上的，那么再次基手上呢？那么，呃，高阶导公式，那么呢也是结识减小了另外一个性质，什么性质呢？一个函数一旦可导， 可以无穷之可倒，可以无穷之可倒，所以这是我们伏案是违禁里面也是没有的，是不是？所以呢，好，这一部分呢，我们，我们呢只把呃作为一本书里的部分，我们只做一个证明题呢，我们来看一下，我们来看一下，所以呢，下面就这样一个证明题， 这这名题呢，大家这写起来看很啰嗦，只让大家想到一看这样的积分呢，就应该想到可能是用的科系积分定律或者科系公式公式，那么唯一的是什么呢？我们需要转换一下， 那么怎么转换呢？我们要关心的是不在于这个函数到底有多少个起点，我们要关心的是这个函数真正的在我所积分的区域里边，积分的这个线路里边，那么解不解析，如果一旦解析，这个等于零， 是啊，这边好，现在一看，那么因为，可是那么正因为嘴小于他，那么然后呢，这个可是是等于二在这上面积分的，然后呢这个时候呢， 这个手，这是背肌横，这是背肌变亮，是吧？这是背肌变亮完了之后呢，那么他有两个起点，现在这个嘴是任意的固定的一个嘴，是不是？所以那么这个嘴呢，又是在二里边，在二里边，所以他在我们的积分线路里边，所以呢这个手呢，他是起点，但是这个呢不是 这个二的平方一除上这的空格呢，那么一取绝对值的话，那么他会大于二，所以呢这一点呢，是在我的这个积分切入的外边外面，所以呢，那么这样子呢， 这样的左边我们就可以改写一下，那么改写的结果呢，那么我们就可以把这一项单的写出来，这一项呢， 这项不再有起点，我说不再起点，不是说永远没有起点，是说我在我的积分的这个线币币的里边，那么他是个解析函数，所以这样子就归到他我们高市我们的这个科技积分公式了，然后呢直接就等于 这样的一个函数，然后用 z 带进去就完了，那么带的结果呢？然后呢带进去继续再运算呢？最后得到 z， 所以呢，那么这是呃直接利用科学原理来证明这样一个结果。好，这是第二部分呢，关于这个，所以呢现在到现在为止呢，我们实际上呢， 呃，把理论部分有完了。好，下边呢我们来看看呢，我们所熟悉的泰的展示和龙王展示啊展示，那么这部分内容呢，我们就呃稍微简单一点，因为我们维吉芬也学了，维吉芬这个地方是这一部分是很熟的，所以那么 呃大的公式我们看得到，就是说一个函数呢，我们总是想用比较简单的漂亮的多项式来展开，那展开的话呢，当然会给这样的一个结果， 这个结果告诉我们呢，一个函数能够展开，但是呢当然很有很多前提，那么这个前提呢，这个函数，然后呢是， 呃作为这个函数本身来讲呢，那么这是展开的，我是全展开的，含正名词，负名词，但是具体对应到具体的函数呢，那么他有可能含正名词，有可能含负名词，有可能含正红名词，都有，那就是涉及到的时候，你展开点，这个函数在你要展开的点呢？是不是？起点？ 是不是？所以那么最后这个里面这个细绳呢？这是由我定，这个细绳呢也给出来，我是给的统一的细绳，统一的细绳，因为大家看到距离这个刚这个形式他看的很熟的，刚刚这个形式二排二跟它加一层，然后这个形式很熟的这个形式呢？似乎 是不是大家可以看刚才回一下刚才那个高阶导公式，那似乎就是 f 在 这一点的伦次导数。伦次导数，我说的似乎是什么意思呢？是说我这个函数并没有告诉你在这里这一点可导或者减习， 如果一旦减习，这地方就变成导数，那就是我们的太阳的展示，是不是？所以太阳的展示呢？只是我们的展示一个特例， 特例，所以这是这个。但是我们平常展开的时候呢，我们一般来讲呢，呃，作为我们学习，是不是啊？我们学习上以后大家工作当然不是这样子，我们学习上呢，我们呢？呃，可以采用另外一种方式，也就说呢，对一些常见的函数， 因为我们所见到的抽等函数都是由基本抽等函数经过四周计算，然后呢经过分析计算 构成的，是不是？所以呢，我们只要知道一些基本抽等函数的展开，我们就可以呢来展开我们一般的函数，而那最基本的是两个，哪两个是哪个呢？我们只需要知道这样两个， 这一个，这一个，我们就可以来展开我们平常见到的一些函数，所以这是这个前提，保证什么呢？是暂时是唯一的，因为唯一性，所以就会展开，所以那下面呢，我们来看看这样的例子。 那么罗兰展，呃做罗兰展开呢，最主要的是什么呢？我们需要，因为罗兰展开呢，它永远是在也还是，虽然罗兰展开可以在在非典型展开，但是展开完了之后，它有收敛反，所以呢，反过来，我们需要把我们要展开的函数在整个平面上， 以展开点为中心，以起点为半径，然后把整个平面分成很多剪辑的环，也就是说一旦发现展开点，这是展开点，一旦发现有起点， 那我们把起点用圆圈去掉之后，那么整个平面就变成两个，两个区域，那么这个还是在这个区域里面是剪辑的，外面这个也是剪辑的，如果这一点也不剪辑的话要扣掉。 总而言之，我们要把一个函数通过展开点，通过起点把整个平面分成很多个解析的环，解析的环，那么这样呢，我们在不同的环里面再来展开，是不是？所以呢，下面我们来看看呢？在这点一处，我们就可以分成，因为它本身这是展开点， 本身是起点，所以要扣掉。然后呢二本身也是一个起点，所以呢，那么在 z 减一小于一这个环内，那么呢我们可以来展开，你刚才说了，那么我们怎么展开呢？我们就可以直接利用刚才的已有的结果， 因为一减 z 减一分之一是可以直接涨的，说 z 减一分之一是要不要涨呢？不要涨，因为我们最后说在这一点展开的意思就是展开 z 减一的迷痴嘛， 那我现在已经是减一的迷赤嘛，就不用斩，所以呢，我们需要斩的是后面这一部分，以减折分之一，这一部分要展开， 这一部分要展开，前面这个呢已经是折的迷赤，所以这里意思是说已经是一个函数乘函数，前面函数已经是迷赤，函数已经是我们要的迷赤函数，就不用斩，是不是？所以呢，那么这样子后面一斩呢，再一放进去，我们就得到结果。 但是有个前提，那么是在这个范围里边是这点一小于一，这个能够写成七个码是有前提的。好，下面再是大于一，在这个环里面说我们还能这样子呢， 所以呢，这就涉及到刚才这个移减这分之一，它有一个前提需要移减后面的这一块东西，绝对是小于或小于一，我们才可以展开。现在大于一了， 大一也很简单嘛，是不是大家可以看到大一怎么办？你大一一我除过就小于一了嘛。所以呢，把这个折减一分之一往外一提，变成折减一分之一，一减折。哎，这一块就小于一了，只要小于一了，行马上就可以展开， 前面是这点一的平方分之一，后边呢是西格玛，所以呢，那么是啊，那个公式看到好像我们只是一个很简单，但是最后的这个尾巴，也就是嘴的魔小于一，这个分数函数展开，它是非常关键的东西，是吧？由大家决定了，我们最后展开的形式是正一次， 或者是只含有些复迷词，还是完全是复迷词，或者是有些复，有些正迷词，他自然就决定出来是不是好。第二种情况呢，我们就直接呢留给大家去做。第二种情况呢，那么留给大家去做，我就把结果呢告诉大家，是吧？所以呢这是，嗯， 这是我们前面跟违纪分一样的内容，那下面我们说，呃， 普遍函数里面两个关键的问题，一个是留守，一个是保鲜亮舍，那么呢这两个问题呢，我们就可以呢，呃，来看看看他关键有什么好地方，所以那有好的地方我们来看看。 我们刚才做罗朗展示，或者说做泰勒展示，那么这个社会追求的目标是把一个函数展开成了我们所认为比较好处理的多项式。 长成多长时有什么好处呢？那么我们多长时，因为我们多长时现在很熟悉嘛，所以呢，实际上是用简单的函数代替了复杂函数，那么一旦代替又有什么好处呢？那我们就可以研究了嘛，是不是？比如说这个函数求导怎么办？ 哎，就可以作案求导嘛？说能不能作案求导，那就要条件了，那你再讨再去讨论嘛，是不是？但是一旦如果可以作案求导的话，那我们这导是不是很容易是不是？所以呢说积分怎么办？哎，如果这个孩子可以作案求导的话， 本来这个函数要积分，因为我们谈到积分里，哎，我们变成对这些简单的函数积分，这函数积分当然很好积啊，所以总而言之，我们变成多项式之后，我们肯定是比用来比较容易来研究本身函数本身，比如说我们现在研究个积分问题， 而且前提是假设可以走向积分，当然不是假设，实际上这样，假设函数展开以后，那么它是能够保证走向积分的，走向积分的，所以呢， 那么唯一的我们只需要知道，所以这些唯一的我们只需要知道说你这样的一个函数， z 减 z 零的 n 乘二分之一， 这样函数的积分我能不能算出来，我能够算的出来，那我最后结果就全部会集出来，所以呢，哎，这个积分恰恰有个好处，那么呢，这个积分按 a 的 c 积分 可以化成用刚说必读那个，按照那个科学积分定律的话，那么最后以必读那个积分为零，那么最后可以转化成什么呢？这个函数沿着一个什么外面积分的话， 如果这个函数里面不再有起点的话，那么可以沿着这个起点用圆圈积分就完了。所以那么用这个利用这样的东西呢，我们很快就可以把这个积分全部算出来， 但是现在非常发现非常有好处，是什么呢？这个积分恰恰只有 n 等于一的时候才是个排位， n 只要不等于一，全部是零， 那这有什么好处呢？我马上就可以。如果现在我要算一个积分，当然前提这个 c 零呢，是只包含 z 零一个起点的，就是包含 z 零的这样的一个，就是或者说这个函数在这个里面呢， 不在其他其他起点，因为我们可以用符号 b 轴定律把一个大的积分问题变成很多小圆圈的积分，所以呢，我们只需要考察这个函数在一个小圆圈里面含一个起点孤立起来的积分，所以呢，那么这两面积分大家看到呢，这是零，这是零啊，这都是零，都是零，都是零， 最后就剩下 c 的 负一， c 的 负一，所以呢，那么在这个一下我们我们说叫留守，就是这样来的，是吧？最后结果最后只留下这一项， 这一项，所以呢把一个积分问题变成什么问题呢？变成了我们只需要本来是要上积分，变成了我们只需要知道罗朗展示的 c 的 负一次 b 的 系数， 就可以作为最后的积分的结果。首先这个是我们有时候定的这个流来，所以那么这样子把积分里面这个问题，这么大家说那还是很麻烦呢，那你我本来是要算积分，你现在把积分问题变成了一个展开成罗朗极速的 c 的 负一次 b 的 问题， 那我要展开展开罗曼奇受，那么呢当然哲学家就想了很多办法，所以最后呢，我总有办法，我不通过展开，因为我只需要，我不需要其他的吸收吗？是不是我仅仅需要 c 的 附益吗？所以呢，我有其他的办法， 其他现在我可以完全不知道，我都都把 c 的 负一的这个负一次谜，把 x 这样这样的负一次谜给弄出来，所以呢想就我们就给了一套，我们讲课的时候呢，给大家一套法则，是不是怎么判断， 怎么判断这个函数一旦展开之后，那么这个 c 的 负一次谜怎么弄出来？给了一套方法，所以那下面呢，我们举个例子呢，我们就来看一下， 那么他的前提大前提的是我们首先需要呢去判断判断这样的一个函数， 一个函数的起点，再把类型一分类，怎么分类呢？实际上说那么很简单说我们只要发现 这个汉字，如果根本没有起点，这样有起点，但是没有起点，或者展开以后呢不含负离子，那么积分是零，若含有负离子，我们有办法，所以呢我们曾经就给大家的一些方法，那么这里呢，我们就来看一下，比如说我们只要判断出十二级极点，那么我们就可以通过有的 求这个 c 的 负求留守的公式，我们直接就可以呢把它救出来，那么这是我们求留守的公式，然后呢最后把结果就可以算出来，所以呢积分问题，最后实际上这样子说，有了留守基金之后， 有了基金之后，那么 b 漏积分问题呢，就完全变成了求留守的问题，求留守问题，所以呢基本上不需要你再去算什么 b 漏积分，全部是拿来用留守算就完了， 所以这是但是流程呢又是很简单的算的，当然这一题我给另外一种方法，因为这一题呢，我们大家复习一下呢，高阶导公式，因为这个是个很典型的 c 的 三 z 的 三次化上面这个碱函数， 所以呢直接用高阶导公式呢，也可以很快得出来得出来，但是大家看看呢，这两个形式上呢，呃，在简化上呢，那么不太一样的，大家可以呢自己去再去分好这是 那么第二个呢，我们也举了一个这样的例子呢，呃，是北京起点的情况，那么大家已经学过了北京起点的什么，我们就就不再不再解释，这个我们就会来看一下，是吧？那么有一种情况还是 就说我们最后改三种情况，一种是可去起点，一种是极点，一种是本性起点。那么对前两种情况，我们只要一判断出来，马上就会求出来，但是对本性的情况呢，我们还是都没有办法，还是要用他的罗兰展开全部展开之后，但这个展开的结果呢，我们不需要知道 其他的系数，我们最后紧紧关心，在展开以后不要全部乘开，我们紧紧关心再减一的负一次幺他的系数多少，因为这是很好乘的，是不是他乘平方就行了，是吧？然后呢他乘上一次方就行了， 所以呢这样子一来，马上呢这个结果就出来了，然后呢等于二百二乘上这个 c 的 负一乘以它的系数就行了，所以这是用留守的办法呢，来求解这样的问题，所以这是第五章呢，那么我们主要是解决这个留守的这样一个问题， 主要解决积分问题。好， 那么作为图片还说，那么最后一张呢，是也是最也是最有意思的张，那么或者也是使用意义，使用价值非常明显的非常大的 一张，就是保险色，保险色，那么呢他通过呃比较好的印色，把一些我们认为不规则的区域印色成我们认为规则的区域， 是不是？所以大家以后就说，以后万一说就求解这个偏文方程呢？那么在一个不规则的钢板上啊，或者什么温度分布啊，那你就可以把它变成规则钢板或者规则的东西来求解一些问题。首先那么 那么这一部分呢，那么主要是，呃也分两个内容，一个是呢，我想要 把一个想要把一块区域变成一块区域，通过保鲜映色，但是我的前提是要什么呢？我给你一个函数，以后你能不能够先有一块区域？给个函数，你能不能够知道变成什么区域？ 这个前提，知道之后我才可以给两个区域给你，你找一个函数是不是变过来？首先那么他分两个，两个部分，那一个部分就说呢是已知原始区域和函数，那么他能够把这样的区域映色成什么区域？ 那么第二个问题呢，是隔两个区域找一个函数，然后呢？能不能把它移出来， 那么作为我们功课，呃，学习呢？我们只因为我们这一部分内容是很深的一部分内容也是，当然我们只需要来了解呢，呃，其中的比较简单的一部分内容，什么？就是关于一些有圆弧，有直线弹，那么构成这样的区域，我们能不能把它变成我们的 当委员，那么为什么别人当委员就勾搭呢？因为这里有一个这样的前提，也就是说这个大家可能，呃，想起我当年我们实习的时候，呃，看提花说你到一个新城市是从火车上下车的，然后到你住的地方， 然后第二天呢，你结果跑到另外地方去玩去了，玩的时候呢，回不到我的地方了，回不到住的地方了。所以很简单，你只要打听说火车站在哪里，你到了火车站，因为你从火车站到住的地方嘛，所以它是个中转，所以那我们说 任何一个区变成任何一个区，这我们怎么办？那蛮简单嘛，总有一个圆嘛，说你能够把任何区域变成圆， 你又能够把任何个区域也变成圆，这里过渡一下就行了，是吧？一个反弹就回来了。所以呢，那么所以呢，把问题简化了一下呢？所以呢，那么所以呢，这部分内容呢？我们要照宝形映色，我们最后结果也很简单，我们只需要你能够把任何的区域变成单位圆就达到目的了。 所以呢，首先这就是我们把问题要简化好，那么这一部分要要照呢，我们给一个给大家用一下符，我们给个一般的步骤，一般的步骤，一般的步骤呢，其中最最主要的关键的工具是分时晕色， 分时晕色能够把圆变成圆，但是这有什么好处？这个没好处， 关键的是他能够把圆变成直线，这是他的好处不是？或者说他能够把直线变成圆，这才是他说保圆性，大家老讲保圆性，保圆上不是体现的，他真的把圆变成圆，这个没有意义，他的最大的好处是 能够在圆或直线之间进行交换，本来是它是个缺点，但现在是个优点，是不是？所以呢，那么这是它最好的地方，所以呢，我们有想的办法，是什么办法呢？我们采用这样一种办法。那么 大家想一下，我，那么这这，你这有什么好处呢？当然有好处啊，我们这不是想变成圆吗？ 那我现在问你一个上半，这是不是个圆？是个圆，这是不是个圆？我让我画的不圆了，是不是是个圆？说我帮你摘了，是不是个圆？是个圆？我最后大到 这是不是个圆？是个圆？所以呢，首先就说我实际上你既然能够在直线和圆之间转换，所以呢，我只要把区域不是变成单位圆，我能够变成上半平面就行了， 上半平面的边界就是一个圆，是半径无穷大的一个圆，而圆和圆之间就可以转换，所以呢，马上就可以达到目的，所以呢，好物体又变了，所以呢，我们不是直接到圆，我们是把区域变成上半平面，上半平面再到圆， 因为上半平面和圆是一回事，一个只不过是半角线的圆，一个是半径无穷的圆，所以呢，那么整个这个步骤呢，我们就可以看看呢， 我们首先要通过一些简单的工具，一些简单的运算，最好能够把你的区域变成只有两张符组成的。然后呢，所以第二呢，我们通过要不要上去很简单，因为我只要把区域变成无穷区域， 拉成无穷区域，所以呢，那么把一个焦点变成无穷远，然后另一个焦点变成零，我就能够把 一个区域映色层，因为一旦是无穷圆的话，这个边界不可能再是再是弯的，什么边角就是个直边角，是不是就是个直边角，无穷区域嘛？是不是？所以呢，那么当然我说这个意思是，前提是我们是不考虑这种复杂的区域什么抛物型的，因为我们只考虑由圆弧段和直线段 构成这个复杂区域，所以呢，好，一旦映色啊，我们通过分色映色呢，就变成角形带形鱼， 然后呢角形带鱼，刚才那么我们讲课中也也学到了，那么只要是成了角形和带形鱼的话，那么就可以呢，马上把它映色成上半平面，那么作为是角形鱼，我们只要一放大上半平面是带形鱼，我们只要做一个紫色映色，就把带形鱼变成了上半平面，所以呢，那么 我们可以通过分式映色，通过通过这个迷函数把角形余变成上半平面，我们可以通过子数函数，那么把带形余变成上半平面，所以一旦变成上半平面呢？那么最后呢，我们有 已经前人帮我们做好的现成的公式，我们可以很快的就把一个上半平面，因为它也是一个圆， 是不是啊？我们可以很快的呢？通过分式也是把圆变成圆，变成圆，是不是？所以那么这个意思就可以可以完成，所以这是最后整个作为我们一个要求这样的问题的话，一个一般步骤。 所以呢，最后呢，我们举两个例子，那一个例子呢，是说隔一个区域，然后求向， 求向的话，特别是一发现是分实映色，因为我们只有几种映色，是不是啊？如果是分实映色呢？我们需要用到分实映色的保元性、保角性，如果是迷函数或者 根式函数呢，我们就利用它的扩大缩小区域啊，带形边，角形边变成矩形，变成带形边变成那个，嗯，圆区，你变成三角形这样的性质来来做。首先这里一看是分实映色呢，因为分实映色又能把圆变成圆，但是你始终要记住，直线是圆， 说线段是不圆呢？线段是圆的一部分，是不是？是一个 是一个圆弧是吧？是一个整个这个圆的整个这个圆的一段，所以呢，线段是圆弧，是还是这个意思是不是？所以呢，我们只需要，那要地圆怎么办呢？说这个意思把它运到哪去了呢？所以呢，把圆我知道肯定变成圆了， 那这一段线肯定是变成圆了，变到哪去了呢？那很简单的，三点的圆嘛。所以呢，找三点，找一个零，找个一，找个无穷，我看你变到哪去了，所以三点一画，无穷爱零， 是不是？这是无穷圆，然后到二点，到零点，三点一画，还是这个直线好，然后再把这一段 三点看边哪去了？这是一二无穷。对，三点三点边，因为有个无穷圆点，这个三点本来如果是一个有限的三点，那那是个圆弧，那现在有一点、两点，另外一点在无穷圆点 过这三点的过，这三点的圆是个什么圆？那当然是个直线了，是不是？所以那就是个前提是好， 但第三个不一样，第三个是从这一段，所以呢，倒过来的，那么是无穷啊，和一加爱到爱变成了，这是零二分之一，一加爱一。所以呢，把无穷远，一加爱一爱，这三点 变成哪三点呢？变成这样的三点，那这个时候三点定个圆呢？就恰恰是个圆弧，然后方向也有方向，有那么有方向，我们就会马上定区域，所以最后呢，区域就出来了。现在，所以这是，呃，对分时映色而言，我们可以通过这种方式来把区域定下来。 好，这是正问题。不是我们说呃，已经知道区域，知道映色，让你把映色的区域向区域瞅出来，反过来。好，下面我们就解决这一个问题了，说我们隔在一个区域，说你跟我把它变成单位员， 所以那么用的前提是说，我先不管你，我先不管你，我，我先问一个问题，如果我有一个映色，有一个映色，把这上面的这是一张符吧， 这个浮上有一点拉成无穷远了，那这一道浮一定是变成直线，是吧？不管你原来是浮，直线上面有一点是无穷远，那一定是直线。说我如果有一有一个映色，把一道浮的一点映成无穷远点， 那这一道符就一定是一条直，要么是直线或者是射线，因为他不可能再是一个半径有限的，因为过无穷圆的圆，过无穷圆的圆的话，不可能是一个半径有限的圆呢，是不是他只能是一条直线，所以呢，这个办法就很简单，就说我只要找一道公共点， 公共点，然后呢，这个意思能够把你这两条线的公共点都拉到无穷远点，那这样子，把两条线全部拉成两条射线，两条射线， 所以呢，那么我只要把这一点，不看上面这个，这一点，三分之一，仅仅三分之一就能够把根号三这一点拉成无穷远。一拉成无穷远以后呢，那么这一段变成了直线，这一段变成了直线， 但是他又是到无穷远去了，所以呢，只能是两条射线，然后有拗角线呢，我们就可以马上知道上面这个是保证什么呢？保证把这点拉到圆点， 拉到圆点什么呢？因为你看嘛，副科三带进去嘛，就是零嘛，所以呢向是圆点，所以这样子呢，把一点拉成了无穷远，你看一个橡皮筋一样的，是不是这个橡皮筋把这个拉到无穷远点，再拉到圆点，所以呢，马上用拗角线，然后呢，最后呢，我们就会很快的， 很快得出象区域原来是个这样东西。说这个东西怎么办？那么也很简单，我们马上有现后续工具， 因为这个角度我们可以算出来，可以算出来了吗？是不是？所以呢，后续工具马上就可以通过三次方，上半平面， 上半平面，上半平面是个圆，一定要清楚上半边的边界是个圆，从圆到圆很简单，只要找三点定圆就可以定出来的，当然我们已经有现在的公式呢，我们就不需要这样子了，所以呢，我们很快就可以 变成圆。好，我们是轴部完成的，那最后呢，我们再把这轴部呢全部要合起来，合起来合成一个美，不是很简单，是不是啊？分色映色，明映色，分色映色，但最后合成一个比较复杂的映色，那么这个映色就能够保证把这个区域变成这个区域， 是不是？所以呢，那么这节课呢，我们就给大家来复一下这个复变函数内容，那么我们下节课呢，我们就给大家继续来复习呃，积分变换这一部分内容，好了，下课吧。

啊，同学们好，今天我们来学习复变函数积分变换的。复变函数的积分部分好，首先我们看一下复变函数积分，他有一个积分路径，在微积分中我们也学过这东西， 计算 led 十步，对吧？ z 是一个负数，他的十步，然后作为被击函数，然后 dj。 其中 c 是来看从原点到点一加二的直线段好， 以及这个抛线外点 s 平方从原点到一加二的弧段。那么我们这个例子主要是让大家认识到我们在复变函数的积分，他的路径方程如何写好。 首先我们说一个复数的形式是 z 等于 x 加二 y， 他的 x， y 之间是没有关系的，这个有印象吧，我们这负数是负平面的一个点， x 逗号 y 是吧，他是一个点，那 x 二之间没关系，最后取值啊，如果给定路径以后呢？他沿着确定的路径走， x 跟 y 之间 就满足了一个路径方程，这个时候 xoy 就建立了联系。好，我们以这个为例，从原点到点一加二的直线段，那显然原点是哦，一加二是这么一个点，他 他的路径这个直线段呢？显然满足 y 等于 x， 也就任何时刻 x 跟 y 的取值相同的。以前我们说一个负数 x， y 是没有关系的哈，所以我们确定路径关系是 y 等于 x， 从而写出代 入到这个负数 z 等于 x 加 i， y 的形式，也就是 x 和 y 是相等的好，我们得到他的参数方程，看清了 z， t 等于 t， 加上二倍的 t， 能理解吧？我们以 t 为一次变量，因为你 x y 是一个变量啊，他俩始终是相同的， 所以我们都把它表示成 t， 看明白这个逻辑没有？原来这个位置是个 x， 右边 i 乘以 y， 那么我们发现 y 跟 x 相同，我们同时把它取个 t。 好，这是第一个积分路径的参数方程，我们就写出来了。接下来我们看第二个，从抛物线外等于 x 平方，从原点到一加二。那我们再一次写，首先路径 x， y 值呢？关系是 y 等于 x 的平方，那你猜到没有？也就是爱后边这个虚数部分的 y 和前面的 x 满足一个平方的关系。 那我写出他的积分漏镜的参数方程来，看清了 t 加上 i t 方，假设这个 t 是 x， 那后边的 y 应该是什么？ x 平方，也就是 t 的平方，你 看明白这个逻辑了吧？我们最后把一个复数 z 等于 x 加 y 二这样一个标准形式，写成了一个含 t 的参数方程，就将这里 z t 等于 t 加 i t 的平方，前边 t 和后边 t 方怎么来的？我希望你看明白，它是基于 x y 之间的关系， y 等于 x 的平方，所以假设 x 是七，那么外应该是七的平方。好，我们再看第三个，从原点沿 x 数到点一，然后再到一加二的一个折线，从这来看呢，就是从 o 到一，然后再垂直上去到一加二。好， 这个显然是一个分段问题，是吧？积分漏镜有两段直线段构成，我们分段计算。在以前微积分中，我们说漏镜积分是不是也有分段计算？这个操作好，我们看第一段，他的方程式外等于零 万等于零， x 取自由值，所以这个路径的限制其实就只限制了 y 等于零， x 取值自由，那么他的结果是 x， 假设是个七， y 是取零，看到没有？七加上二乘以零。好， 注意，我这个二乘以零再减弱一点，其实就是 zt 等于七。然后我们一这个地方一般是不写的，我在这里特意写一个加上二乘以零，实际就是个零， 就希望你牢牢记住，复数是 z 等于 x 加 i y， 我们首先确定了 x 跟 y 之间的关系，然后假设 x 是多少，那么得到 y 应该是多少。用一个 t 把 x y 之间的关系连接起来好，接着第二段是 x 等于一，像这样东西外曲自由者，那么你猜一下这题应该等于什么？一加上爱 乘以一个对象。好，带起来就是一加上二乘以 t， 因为外取自由值，我假设外是 t， 那么他就形成一个 zt 的一个关于 t 的函数。好，我们通过这三个例子是希望大家能够认识到如何去写一个积分漏镜的参数方针，让他写成一个 t 的字，变量同， 同时把 xy 改成 t 的函数，基于的方式就是 xy 之间的这个关系，比如说 y 等于 x， 或者 y 等于 x 平方，或者我们这的 y 等于零和 x 等于。这种形式好，改， 大家五秒钟时间，大家掌握一下路径方程这个参数方程。关于题的函数如何写？五秒钟搞定它。 好，刚才呢，我们已经学了漏镜的写法，接下来我们讲这个负边函数积分的计算，那么用参数方程将积分化成定积分。好，首先假设一个光滑曲线 c 的参数方程式， z 等于 z t a xt 加二倍的外题。这就前面我们说的 xt 和外题怎么写？有印象吧。假设 x 等于一个什么什么让 y 死的关系是吧？写出外题的形式好，那么 t 有一个范围 a 到 b， 那么我对上边这个 f z 做积分，注意 z 是一个负数， f 是一个函数， f z 叫被击函数，对吧？ c 是积分漏镜。关于 z 做积分，那么我转换一下之后变成了关于 t 做积分来，注意了 f 辅 z， 把 z 换成了 t 的表达形式，然后后边 d z 变成了 z， 以偏 t 为的 d t， 然后 t 有个范围 a 到 b 来回忆一下，在前边微几分钟，我们学过 意外等于 y 一撇 x 的 gx， 这叫微风是吧？实际上应试到这叫什么？ dz 等于 z 一撇七倍的 dt， 一模一样的啊，我们前边 fz 照抄改成 t 的表达形式，然后后边 dz 罗列过来，照写就是 z 一撇 tv 的 dt。 好， 这就是用参数方程做这个副变孩的积分。来举一个例子，计算类比的 dz 从原点到点三加四二的直线段。好， 首先我们把三加四，哎这个直接呢写出来，显然这个直线方程就是 y 等于四分四比三乘以 x。 好，我们具体来看直线方程，那么为了我方便书写，我假设 x 等于三， t 看到没有，我写三题， 我能够把这个分数搞掉。如果 x 取三提朝里边一带，那么 y 就是四提，我通过一个 t 建立了 x 跟 y 之间的关系，大家都是 t 的表达式，然后 t 的取值范围呢？是零到一，看清了，不是零到三， x 取值零到三，其实对应过来 t 就是零到一啊，这个小范围要看清了好，那么在 c 上，也就是在这一条曲线段上， z 等于三， t 加四， it 因为 x 和外朝着一段形成复数的表达形式， 我们就接着写 dz 关于 t 的求道，也就是 z 关于踢球的再乘以 d 题，那么显然 t 球道是三加上四爱，然后爱是长寿，跟 t 没关系哈，所以是四二倍的 d 题。然后我们对 z 北的 d z 进行之分，显然 t 的取值范围是零到一，然后注意了，一定要看清楚， z 本身是三 七加四爱七，然后我先把 z 抄下来，就是三加四二，再乘以七，这是 z 本身抄过来的，然后再乘以 dz 变 变成了三加四二倍的记题，我把 dz 改成三加四二倍的记题，合起来就是三加四爱库里的平方乘以七倍的记题。好，我们接着对他求原函数，那么我是对的题做积分。显然三加四爱的平方是一个长寿，跟七没有关系， 就一道前标，变成七倍的具体显然原函数就是二分之一，七的平方好打一竖带进去，零到一，那么前边三加四的平方合起来，最后就得到这样一个结果，这是一个标准的复变函数积分，我们对 难受的积分，其实就是先写积分路径，然后确定这个积分 t 的取值范围零到一，然后呢，把你的 z 带进去，改成 t 的表达形式，然后 dz 用微风的形式写成他倍的 dt， 然后朝里边 好注意，尤其是第一步到第二步之间特别容易错，有人顺手就把 dz 写成 dt， 他忘了 dz 等于三加四二倍的，具体注意， z 是超过来的三加三 tb 的四。 it 好， 最后的积分呢？我们关于踢球元素，前面这个没关系，就直接抄了。接下来我们再看一个例子，计算 z 背的这个膜纸 dz， 然后 c 是圆珠膜纸，等于二，那显然这个膜纸等于二，就是以圆点凹为圆形，形成一个半径为二的圆。好，我们具体来看积分，这个漏镜的参数方程， 就等于 z 等于二倍的一档二 c 塔，在这里我们是以 t 作为一次变量，把 xy 改成了 t 的函数，因为你这里是一个圆的方程，我们用 c 塔来做变量比较合适。三百六十度直接转， 也就是二倍的 e 的二， c 的，这其实是负数的一个指数表达形式。好，二是他的磨长，然后二 c， 他表示这个角度，角度是 零到二派。好，我们进一步来搞 dz 等于多少倍的 dc 档，把它转成 cd 的积分来看清了。对 c 塔球道的时候，二照朝 e 的某个对象，球道还是 e 的某个对象，然后那首先 e 的爱， c 塔就抄下来了，然后顶上这个 c 塔，也就在这里是爱 c 塔。关于 c 塔球道有一个爱来， 这就是为什么二 i 啊，这里的二是怎么来的？接着我们继续看，那么 z 的膜值， dj 转成超， z 的膜值显然就是二了，因为你的圆周半径就是二。好， dz 是赵超的二，二倍的 e 的二， c 的 dc 的好，进一步化简。 那么我们接着看，我们是对 c 塔做积分，然后四爱，就做一个长寿超的，前面零到二派做积分，那么一打二四塔直接球员按住呢？不好使。我们把一打二，四打改成三角表达形式，那就是什么角度是 c 塔，那 x 作为十步，就是靠近四塔， 加上二倍的四 s 打 dc 的好，然后写出他的元函数。利用的是这样一个公式，写成三角形数表达形式。那四二，然后零到二派，然后科三四打 dc 的，然后我们把加法拆开，后边是四二乘以二倍的 cs 的，那写上二的平方负一减四倍的零到二派 cs 大积分。 科森西打，原来是多少，显然就是 c c 大了。我们打一束 c c 打零的 ipad， 然后 c c 大圆压柱是负的扣增的，但是你是减号，所以我是加上四倍的科四的。如果你对这个加减不明白，你算完之后再往后倒一下是吧？四倍括三四的一球到是负四倍的 c c 的好，跟前面一致，打 一竖零到 ipad 带进去四 e f 分之派，然后减零，我们就不再计算了，这个非常简单。好，我们通过这两个例子，希望大家掌握复变函数积分的计算方式，转成某一个变量七 或者 c 塔的一个积分。好，尤其是这个指数型的转换，这里是参数方程的转换，这里是指数形式。给大家五秒钟时间，大家再观察这两个题的计算方式。

好，接下来我们说负边还有积分的一些性质，其实就跟以前基本没差别，设 f， z 和 gz 是一个连续积分漏镜来， fz 的 dz， 然后等于负的 c 逆啊，然后 fzgz， 这其实啥呢？就是一个漏镜啊，从 o 到 p 的积分等 等于负的从 p 到 o 的积分，跟咱们学的那个第二类取件积分很像吧，讲方向啊，从 o 到 p 和从 p 到 o 结果有一个复号的关系。好， 如果你这个漏镜已经反了，那么结果填个符号就 ok 了啊。第二个 k 是作为一个长寿往前拿着，跟以前都一样哈，然后加法的，这个积分等于积 积分的加法是吧？积分加减法，这也很 ok。 来。第四个射， c 是 cec 啊，连接而成，就他有两段是吧？比如说我们这的这个 o， a， p 是吧？从 o 到 a 再到 p， 我可以分成 oe 的积分，再加 ap 的 积分，这以前也见过是吧？基本跟你微积分学里边没有什么差别啊。大逻辑顺一下就过来了，给大家五秒钟时间，大家再随便感受一下。 好，接下来我们举个例子，射计算这个 a， e， d， d， 其中 c 是从原点到减是吧？这就是一开始了，我们说讲解如何写一个参数方程那个东西。好，我们具体来看，首先积分路径的参数方程，第一个是零 原点到一加二是吧？我们把这个图一搞出来，你就发现他的直线方程是 y 等于 x。 好，所以写参数方程 zt， 我直接就来了啊， z 的原含是什么？ x 加二位的 y， 我发 发现 xy 之间相等，所以 x 射位踢的时候爱踢，然后自己的表达形式好，带进来写他的十步，这个作为被击函数，是吧？所以 l ez 呢，就是踢本身，然后 dz 你要把它求出来，这一步不能少啊，一加二倍的， 我是关于踢球大的。好，全部带进去啊。一 z 呢？抄进来，那就是踢被的，然后 dz 也抄进来，一加二倍的的踢，然后踢的取值范围呢？是零到一。好，我们继续做一步计算。那一加二作为一个长寿就不说了，踢的原案数显然是二分之一踢的平方， 带起来就二分之七八，加上二分之七八，乘以二打一，数零到二。具体计算呢，我们就不带系数了，得到这样一个结果，好，一带进去，减去下界零带进去就 ok 了。好，第二个题，积分路径的参数方程。首先是 y 等于 x 的平方这样一个形式，那么 你是沿着原点到他，我们依然是写出他的参数方程， z， t 等于 t 加爱 t 的平方。特别强调，当 x 取 t 的时候，实际上 y 是 t 的平方，用 t 建立了 x 跟 y 之间的关系。好，我们接着来他的十步，显然就是 t 了，然后他的 dz 就等于 关于踢球道，那就是一加上二踢二倍的 gt。 好，我们带进来，阿一 z 倍的 dj， 然后具体就是踢，抄进来，然后 dz 也抄进来，一加二踢二倍的 gt。 好， 进一步化解。那我们依然说关于踢球的，然后踢第一个踢呢？关于踢球的就二分之一踢的平方，第二个是叫踢乘以二，踢二是吧？二踢的平方是不是三分之二踢的三次方啊？好，我们回忆一下，主体是踢的平方吧，原函数就踢的三次方，为了保持一致，所以我在前面添个三分之二二， 让他的信守一致哈。如果这个点还没送过来，你可以把他的倒数求一下，是吧？一求倒数三过来了，恩爱提帮。好，这是一个常见 n 接倒数的这个求解方式啊。零到一，然后带进去，具体计算，我们就不再坠数了，没有意义哈，来第三个积分路径有两段之间构成，我们是从 o 到 a 再到 p。 好， 第一段 x 轴当直线的参数方程，那么显然 x 我们没有限制是吧？ x 随便取，然后 y 的取，这是个零，所以就是 t 加上零乘以二。好，具体他的十步呢，就是提 dz， 对了， dz 等于一倍的 gt， 后边是个零哈，我们带进去呢，一加一二，我们再把这一道方程也搞出来。一到一加二是吧？那显然 zt 就等于什么呢？ x 是一，然后 y 是随便取之，我们设为 t， 然后构成一个 zt 的积分函数。好，我们接着看他的十步，显然就是一了，然后他求到以后， dz 注意了，我是关于踢球的，一是长寿球道是零二倍的 dt， 然后进一步带进去，那么就接着往后走，先带第一段是吧，也就是 oa 这一段的计算方式，零到一，然后踢抄进来一倍的 dt 写上，他再写第二段，第二段的十步是一，然后第四是二 记题，他也是零到一，做积分。好，我们就得到这样一个结果，那么合一下之后，直接求原按数，他这二分之一七的平方，这是二乘以七，然后打一竖零到一，就得到结果了。好，给大家五秒钟时间，大家把这个题的计算再看一看啊，非常清晰，希望这种题大家一定要掌握，来，五秒钟搞定他。 好，接下来我们讲一个非常重要的观念，叫柯西古萨定理。好，我们说长寿 f z 的单联通币内处处解析，然后 呢， fz 沿壁内任何一条封闭曲线， c 的积分为零， fzdz 等于零，简单来说就啥呢？ fz 是被击函数，然后沿一个路径 c， 如果你是闭合的，他的积分就是零，要求是你处处解析。好，一般说都是解析的，那咱们直接看计算积分，然后二 z 减三分之一记 z， 然后 z 的拇指取一。那首先我们看 看这个 z 的摩值取于他的积点啊，二 z 减三，分母不能为零吧，所以二 z 减三等于零，得到 z 等于点五，那么 z 等于点五是他的积点， 但是他的范围，你看 z 的膜值为一，也就说他实际上是一个半径为一的圆一点五，这个没有意义的起点，他并没有在我们的积分区域之内，也就这个积分路径之内，也就所谓的不在 z 的膜值小一点一中。好。 所以我们说函数二 d 减三，在 z 小一点一内是封闭取件，处处解析。在这点说明一下你所见到的常见函数，什么 x 分之一，二 d 减三分之一，什么 y 分之一啊，那些都叫常见函数，他们都是解析的，唯一的就是他的分母不为零， 这个零点是一个起点。那你发现分母为零的时候，一点五并不在我的范围之内，是吧？因为你的取的这个积分范围是 z 的拇指等于一啊，那 你这个封闭区间里是没有积点的，也就没有一点五这种没有意义的点。好，所以他出入解析，那么根据这个科西古萨定律，我就得到他的积分值是让一个零 来给大家五秒钟时间，大家再结合这个题感受一下科技股。擦定，其实简单来说就是一个分布取件，然后他的积分磨值为零，那么具体判断呢？就你这里边没有无定义的点，对吧？好，五秒钟搞定他。 好，我们再拿一个具体的例子，还是说科西古萨定理叫封闭取件，处处解析，积分为零是吧？来计算积分，他，然后积分取件是 z 减二的拇指等二分之一，然后得到这样一个倍镜函数。好， 我们首先观察 z 乘以 z 的平方加一分之一，我先找显然无定义的点吧，因为你是一个分数吗？所以 z 分之一减去 z 的平方分加一分之 z。 好，具体我们看怎么拆的，我要 列项之后才能算你无定义的点，所以首先写肯定有个 z 分之一，然后有个 z 的平方加一分之，我不知道是多少，随便加设。然后两个通分一下来，看清了通分，第一个 z 应该乘以 z 的平方分之一，就通分上去了。哎，通分以后，前面就 z 的平方加一， 这是减去，然后我怎么样把它等于左边呢？写上写个 z 就可以了。好， z 朝这一写呢？因为你通风的时候应该乘个 z 吧，那他通风的结果显然就跟左边一样。好，我提示这个地方可能有一点点逻辑上的难度。一， 一般来说，我们分解两个乘法，直接就是应十分之一，再来一个应十分之一，他俩不是减法就是加法，搞完之后你再调上面的细手，哎，通常来说都是一，不是一呢，就是个 z 或者什么 z 加一啊，或者自己减一，类似于这样的或者二分之一啊，你具体调一下就出来，这随便调一下，两边通风一下，你感觉这里应该像几，是吧？哎，调一调就出 出来了。好，接着我们对 zb 上 z 的平方加一，进一步列减， zb 上这平方加一，我们对 z 的平方加一，改成 z 加二，乘以 z 减二， 因为一等于二的平方吧。啊，所以是平方差公式哈，那 z 加二分之乘以 z 减二分之，所以我直接改成 z 加二分之一和 z 减二分之一， 上边应该是多少呢？我也不知道，是吧？啊，我一般就是假设唯一，然后咱们看一下，然后我拿到 z 加二和 z 减二之后，我两个通风一下，一乘，左边是 z 减二，应该乘到分子上吧，然后右边一乘呢？是分子上去了， z 加二，我两个一加是什么？呃， z 是吧，跟前边多了一个二，所以我乘个二跟你扯平了。 实际上大部分的列相基本上都是一或者一个非常简单的 z 或者什么负 z 啊。二分之一这种长寿类的问题难度不大，你简单通风一下是吧，从左边到右边，然后回一下就出来了。好，我们 接着往下走，那显然 z 分之一减去，后边这个通风，结果列列，想成这样一个结果哈。接着我们找他没有定义的点，显然就分母为零的点，对于第一个 z 分之一来说，他的起点也就无定义的点是 z 是零， 那么弦这个点就在零零点，是吧？然后 z 加二分之一，他的起点是 z 加二去零，就分母为零的时候， z 等于负二，所以他对应的点在负平面内是零负一。好， 我们具体来看这个效果啊，他对应的点是零负一，刚才第一个是零，零这个点是吧？第三个，他们俩这个点呢，都不在 z 减二小一等于二分之一之内。先看 z 减二小一等于二分之一是啥？实际上 z 减二后边这个二呢，是零一这样一个点，就是在负平面内， x 取零，外取一这样一个点，实际上就 z 减去一个 z， 零吧，减去某一个点，然后他的膜值呢，在二分之一之内，所以 他是以零一为圆星，得到半径二分之一的一个圆。这个地方希望大家逐渐去熟悉啊。如何看一个魔只化成一个圆的形式，是吧？ 位减去某一个圆点，你高中所学的是吧？一个星的点减去一个某个点，哎，然后他距离是吧？那个距离小一等于多少？是不是就这个意思啊？我用一个星值自己减去一个点，然后他的距离小一点二分之一。好， 那么显然呢，这两个没有定义的点都在这个积分区域之外，所以我们称他们在这个积分区域 z 减二等于二分之一内，都是闭合且解析的，显然根据这个科西古萨定理，他的积分就零了。然后我们看 z 减二的起点是 z 减二等于零，显然 z 等于二，他 他的范围是在零一，看到没， z 减二，他这个点本身就在零一，他正好在我们的积分范围，这个 z 减二的摩值等于二分之一的这个 曲线内部，所以在这个点，我们在这个范围内不解析啊，因为你你有零，是吧？无敬意啊。单独计算好，我们整个式子呢，对他进行进一步化解，就整个积分对象拆成三个减法的计算。好，我们进一步就是什么加减法的积分等于积分的加减法，是吧？好， 对于前两个我们单独计算，刚才已经说他们都是闭合切铁西，然后呢，我们就称根据科西谷萨经理就是零了，然后减去后边这一部分，那后边这一份是一个公式，我们暂时先不讲为啥，后边讲到后边自然会让大家解释这个公式，在 这里你直接跳就行了，我们在这里重点是学习科西古萨定理。好，至于后边这个直接带公式，我给你解释一下。怎么看公式啊？锐减二分之一，看，这是 n 加一次方，那显然你这里是什么一次方，所以 n 取零。好， n 取零呢？人家说 这是二派二，然后呢？所以我直接就等于负二分之一。好，这个形式就是乘以二派二。后边我们会讲这个公式是怎么来的，再教你记，这里不用倒数来 给大家五秒钟时间，大家结合这个题，把科西古萨定理再仔细看一下，也就是封闭曲线，处处解析他的积分为零，要求你这里边都得有定义，是吧？也就是无起点，如， 如果有起点，咱们要单独集团，如果无起点，咱们就是闭合界。解析积分为零啊，起点在他外部就 ok 了，五秒钟搞定他。

好，接下来我们说一个东西叫复合毕露定理啊，非常简单。那先不看东西，我们直接看结果， f z 在定内解析。好，然后说这个 c 是一个积分路径，我们对 c 的积分路径转成了 c 一 c 二 c n 的积分路径。好，我们先结合一张简单的图来看，也就是说外边有一个积分路径是 c， 他是逆时针，叫正向，然后里边也有一个积分路径 c 二， 他也是沿正向，他俩之间构成了一个阴影区，这个时候我们说我们对外围 c 的积分可以转成对内围 c 二的积分，那如果你里边的积分路径不止一个，就说有 c 二， c 一 c 有多个的时候呢？我们对外围的积分可以转成内外内部的积分的加法，也就是这里的 c 一 c 二一直加到 c， 其实就是说啥呢？你俩是同向的，看到没？从这张图 最简单啊，就是你俩是同向的，然后 c 二是逆时针，然后 c 也是逆时针，那我对 c 的积分我可以转成里边一个较小的 c 二的积分。一般来说 c 二是什么东西呢？就是一个标准的盐，而 c 是一个比较复杂不好看的东西，是吧？ c 二是一个标准圆，好看。好，我们看一下条件啊， c 因为他是一个闭合曲件上内部简单，互不包含，切，互不相交，这是条件是吧？然后，并且，哎，以他他他为边界的区域全包含于地，然后 fz 在地内解析 啊，基本上你见到的都满足条件啊。简单来说，就一句话，对外围的积分等于内围的积分，他俩方向是相同的。好，第二个条件是啥呢？对于 外围的积分和内围的积分方向不相同，你看我是逆时针，你是顺时针，如果你这个积分区域是由 c 以及 c 二，是吧？就他构成的，我们说这个时候构成的闭合回路呢？他的结果是个， 注意他跟前面的区别啊。我们前边是对 c 做积分，或者改成对里边的 c r 做积分，在这里是什么？对 c 和 c 构成的同一个路 路径，也就是他们组合起来的闭合路径啊。注意你 c 跟 c 二是同时限制了这个符号，他的这个代表路径。好，那这时候是个零， 也就是说我什么同项的时候呢？咱俩从大圈化成小圈，咱俩反向的时候直接就是个零了。好，给大家五秒钟时间，大家简单看一下，复合毕露，定点就记这两张图就行了。 好，我们接下来拿一个具体的题，讲一讲这个 b 条路的应用哈，计算积分，他，哎， d z 是吧？这是他 z， 他为包含圆珠 z 等于一在内的任何正向简单闭合曲线。好，那这个题我简单给你画了一下任何正向是吧？就题目随便给你一条，反正是正 讲究逆时针啊。然后里边包含他包含了这等于一这样一个半径为一的圆周吧。好，我们具体就来看了，显然你以外边这个对象作为积分路径，你都不知道他的方程是吧？那肯定是没得做了是吧？好，所以我们进一步来看，首先研究背脊函数，他 有没有基点，也就是说分母为零，无定义的点。好。二， z 减一呢？我们进一步斩 z 乘以 z 减一，在负平面的两个积点，一个是零，一个是一，是吧？我们带进来看，第一个点是零，第二个点是一发现没有他， 他就在这个积分闭合区间内，所以你没办法用刚才那个静止，因为在这个正向积分区间内呢，他不是出处解析的，我们通过构造两个小圆，形成一个新的路径，让他解析。哎， 在他那做两个互不包含也互不相交的正向源 c 一和 c 啊，因为你是正向的，我做两个正向的，看到没？这个时候我们可以有一个简单 逻辑，叫什么对外围的积分转成对内围的积分相加大，逻辑出来了，对吧？好，咱们具体再看。那么 c 一呢，只包含这个零点，然后 c 二呢，只包含一这样一个起点，好进一步画点。那复合闭路定理，同向的外圈积分等于内圈吧，我们对这个东西的积分就可以转成里边两个内圈的积分。 好，我们进一步转，转成 c 的和 c 二的。接下来我们对被击函数进行展开，因为这个东西求原函数肯定出不来的，是吧？ z 乘以 z 减一分之他，我们再次说，是吧？ z 分之一，后边是 z 减一分之一，然后你上边细数应该是多少呢？简单一看就出来了，假设都是一哈，然后你一通风，是吧？哎， 前边乘以 z 减一，后边乘以 z， 那 z 减一加 z 是不叫二 z 减一，所以他就成立了。一般考试这个结果大部分都是个一啊，不是一，你就填个二是吧？再不是二啊，你就填个 z 啊，就那么一个东 东西来，接着往后走，我们把这样一个 c 一闭合路径呢，通过列相拆开，锐减一分之一，加上锐分之一，然后再加上后边锐减一分之一分之一，这样 我们就得到了四个区间的积分。那我们再回忆一下前边有个科技古萨丁的叫什么封闭曲线处处解析的时候，他画个圈，积分为零，是吧？所以我们需要判断他是不是处处解析。来， 首先看第一个 z 减一分之一，他没有定义的点是不是 z 等于一啊？显然就是在这个点一零八，他并不在 c 一范围内，看 看见没有？他并不在 c 范围内，所以第一块绿色部分满足这个科技古萨定理，他的结果就是零了。来，我们再看第二个 c 二这个积分区间，注意啊，我们这个积分路径是 c 一是吧？后边这个积分路径是 c 二，然后我们观察 z 分之一这一块，你看 z 分之一，他的基点是什么？ z 等于零， 所以对应的是这里的点零，零，他并不在右边 c 二的这个积分路径之内，所以右边这一块也是零。还剩第二个跟第三个。第二个，你观察 z 分之一，他的几点是 z 等于零， z 等于零恰好在什么呢？在 c 范围内， 而后边这个锐减一分之一，他的基点是一零是吧？他也恰好到 c 二之内，所以对于前边第一个和后边第四个，他们直接通过科西古萨定理是吧？封闭取件为零了。出示解析， 中间第二个和第三个，我们直接记原来的公式，就等于二派二加上二派二。好，我们再看一次公式咋来的？这里是 z 减一的一次方，所以朝里边带，那 这里就是恩，是零了，所以他的答案是二拍，这是 z 减零或者分之一，那也是一次方，也是个二拍，所以结果换成四拍。我们还是说在这里 重点关注的是前边科西古萨定理和这个复合闭路定理，至于中间这两个对象为什么是二派啊，后边我们会讲怎么去理解这个公式，以及后边会推的来，在这里不用计较，给大家五秒钟时间，大家在观察这个题目的计算。 好，接下来我们说一下元函数的定义啊，这其实跟高中学员没什么区别，直接看，如果函数犯罪的，他的倒数是 fz， 我们称犯罪是 fz 的区域，并在元函数是吧？这跟你以前的想法是不是一样的，就一个对象求倒之后得到另一个对象，那这个对象本身就称为你倒数的这个元函数是吧？ 好，接着我们称 f 大 z 啊，是这么一个，他的一个圆按住以前一样吧，就是个文字上的定义来 fd 的任意两个圆按住相差一个长住，这能想象吧，因为我们求圆按住之后你可以加个 c， 加 c 之后不影响他求到 是 fz 是吧，就想起 fz 啊，好，接着看不定积分的定义啊，简单回忆就行，他是一个一般表达是 fc 加 c 是吧，然后他好积分回乘， fz 加 c 加个长寿是吧？ 前面微积分一样不再坠数来。如果两个函数并内解析，然后你是 z 零到 z 一，然后咱们就求了 gz 是他的一个元函数啊，就相当于我积分已经搞出来了，然后呢， g z 一减去 g z 零，这不就是以前所说的打一数是吧？ z 零到 z 一吗？假设你是零到一做积分是吧？那 f 一减去 f 零啊，跟前边都是一模一样的，你不要想多，他跟你学的微积分的那个积分，其实元函数不定积分概念基本都一致哈，直接上照着你曾经的逻辑稿就行了。 z 零 零到 z 一 z 分之 d 的积分，那显然圆还是什么二分之一 z 方吧，这大眼一看就能搞出来是吧？好，带进去，那么就是二分之一 z 方打一数， z 零到 z 一好，二分之一 z 一的平方减。最 比方说啊，你就是没学这些，其实你也会搞他，就跟微积分一个逻辑哈来，例如 e 的 z 次方记 z。 好，我们首先看 e 的 z 方原函数嫌就 e 的 z 次方本身吧，那直接带进去就来了他的一个原函数 e 的 z 次方。好，直接往后走， e 的 z 次方打一数一到一加二，把上届一加二带进去减去，下届一带进去， 就得到这样一个结果，来，一的一次方拆出来是吧，乘以一的二次方，那一的二次方是不是一的二乘以一样角度为一豆是吧？扣子一加上艾比的字一后边一剪就出来了。好，给大家五秒钟时间，大家随便了解一下哈。

考试的时候看到这道题，你会不会高兴的昏过去？有理函数的积分是比较容易的，就是算起来麻烦，接下来我们就一起来复习一下计算有理函数的过程。 第一步，把分式裁分成简单分式的和。第二步，将右边的式子通分，这样我们就可以得到一个横等式。 第三步，把右边的四字展开。第四步，根据恒等式列出方程组。第五步，解方程组。第六步，重新写积分。

不要再讲了，不要再讲了，道理我都懂。好，我是垃圾，但我带不上。

从这个例子反映出来，就说科技积分公式呢，给我们还提供了一种计算积分的方法，这个方法呢是来的简单，也就是我把一个积分的计算问题呢，就转换成了一个函数值的计算。 好，我们再来看一下，立三点一一，好，立三点一一，我们呢看给的这个区域，这个积分路径呢，还是在这个这个上面呢？去积分， 然后呢我呢就考察这个背极函数，在这个简单 b 曲线 c 所谓的这个区域上呢，是不是解析的，如果是解析的话，这个积分值呢，我马上就写出来了，就是零。 当然呢现在呢，我们看到这个背极函数呢，在这个简单 b 曲线 c 所谓的区域上呢，它不是处处解析的， 你比如说这个背及函数呢，他有两个起点，一个呢是三，另一个呢是负的二分之拍 i， 但是呢这个三呢不在这个区域里面，对不对？ 是不是好？只是呢这个负的二分之 pi 在 这个区域里面，那我就可以来做这么样的一个处理，怎么样处理呢？你要用柯西积分公式呢，你就要把它呢凑成这样的一个形式，那好了，那我呢现在呢，我就 保证这个，因为呢分子应该是解析的，我就把分子呢就写成这种形式好， z 减三分之一， z 在 这个里面当然是解析的， 那然后用科西积分公式呢，那我也就是知道，我就只需要算出 f z 等于 z 减三分之一， z 再负二分之一处的值，因此呢，最后呢我算的这个值是这样的，然后呢 我呃算算的这个值等于他还要怎么样呢？你在就是再乘上一个啊，乘上一个二拍 i 嘛，最后得到的值呢，是这样的，这是他的实部和虚部呢，我就把它分开了，这就是我们介绍的科西积分公式。 好把刚才所说的呢，我们再把它总结一下，他说这个公式为科西积分公式，他的优点呢，就说我们从计算这个角度，他的优点呢是把积分转化为求函数值，这个是一个最简单的边值问题。 然后呢，他说科西积分公式反映了解析函数之间有很强的内在联系， 就是 f c 在 区域区域内点 c 的 值可以用 f c 在 边界 c 上的值通过积分来表示。也就说呢，函数 f c 在 区域 d 内的任意的点的值，完全完全由它在区域边界上的值去确定 好，这个呢是时变量可为函数所不具有的，它所不具有的，这就是刚才我问你们，我说这个呢，还是等于它对不对？ 下面呢有同学就在摇头，因为呢，这个呢，我们在微积分课程里面，或者在实函数类里面呢，我们是得不到这样一个结论的，实际上在这个上呢，有科西积分公式告诉我们，这个结论呢，是正确的，他在区域低里面的任意点的值就可以由他的在边界上的值来确定 好。当然作为特例，如果这个边界呢，是比较特殊的，比如说这个边界是一个圆周的话，那么它的这个意义呢，我们看得更清楚了，这就是推论一给出的。 推论一，它说这个函数 f c 呢，在这个圆域里面呢，是连续的，也就说它这个是符合科西积分公式的，那么呢， 他在这个圆心这一点的值呢，就可以由这个积分式给出。好了，这个积分式呢，既然我们说推论一，我们叫平均值公式，实际上这个积分式呢，他给的是什么呢？你看啊， 这是二拍。好，这是这个函数，这个 z 呢，是定义在这个圆周上面的，实际上呢，也就是说的是在圆心这一点的值呢，可以由圆周上的平均值给出。 当然这个地方的平均呢，不是我们以前说的什么算数平均、几何平均，它是一种指的是一种积分平均。你看这零到二拍，它除二拍这个地方是指的是一种积分平均。 好，这个定律的正确性呢，当然我们由科西积分，不是这个推论一呢，当然我们由这个科西积分公式可以很容易的推导出来的，你比如说 现在呢，就是由科西积分公式是有这个的，然后呢，这个 g 呢，是在 这个圆周上面，那时候 g 减 g 零呢，我就可以把它写成 r、 e， i、 c， t， 然后呢这个 g 呢，在圆周上面我就写成 g 零，加上 r， e， i， c， t 好， d， c 呢，我写成这样的，那么这个 r 和这个 r 约掉了， e， i， c， t 约掉了， i 和这个 i 约掉了，那么就是它。 好，这个推论一的意义就说一个解析，函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。好，这是推论一， 那么推论二我们要说什么的呢？我们知道科西积分公式呢，它要求这个 f、 c 呢，是在一个单连域上解析，如果呢，给我们的这个域不是单连通的，而是多连通的，这个科西积分公式它成不成立了， 这就是我们要问的。好了，当然呢，这个结论呢也是肯定的，这就是我们的推论二要给出来的，他说 这个函数 f z 在 由简单 b、 简单 b 曲线、 c 一 c 二所围的这个多连通域上呢，是解析的， 在这个黄色所涂的这个区啊，这是个多连通域上是解析的，那么呢它还是这样的，它说在 z 零这一点， z 零呢，是它的这个解析域里面的一点，也是可以由它在边界上的这个积分来给出，那它是这样的， 就是相当于是沿这个 c 一 上面的积分，再减去沿这个 c 二上面的积分。 好，为什么呢？当然这个证明呢，对我们来说可能就比较容易了，我们怎么样呢？就变这个多联通 为对为单联通，那就和我们这个前面呢用到的是一样的，那你就从这个地方剪开嘛，是吧？从这个地方剪开， 从这一段剪开，你还是看这个红色箭头所跑的，他就是一个简单的 b 曲线，那么这个简单 b 曲线所围的区域呢，就是一个解析区，那么你再在这个解析区域上呢，你再用一下科西积分公式得到的呢，就是我们的推论二， 是不是？你比如说你看你是这样的吧，你说你这是沿这个 c 一 上面的积分啊？沿 c 一， 呃，沿 c 一 上面的积分，然后再加上这个 a b 上的积分，然后呢再加上这个 b a 上的积分，然后呢再加上沿 c 二的逆向的积分吧。 好，这个积分呢就是，呃，你写出来是等于他的，因为这个呢就没有了，对不对？好，这没有了呢，然后呢这个呢，实际上呢就又变成了什么呢？就又变成了沿 c 一 上面的积分，然后呢再加上沿这个 c 二的逆向的积分， 然后你这个呢？你再来一下，这个呢？实际上呢，沿 c 二上逆向的积分呢？就变成了什么呢？就是由这个方向的积分，所以呢， 这个推论二呢，他由科西积分公式也可以很快得到。好，这个证明过程呢，我都不证了，都留给你们课后去证明，教材上也有啊。 好，这是推论二，当然你要说这个推论二呢，可能呢，用的了也不太多啊，也不太多这样的形式。 那么由这个平均值公式，或者说由推论一，是让我们还可以得到解析函数的一个很重要的性质，那也叫做什么呢？解析函数的最大模原理。 好，我们现在是大二上学期，那么在下学期的时候，你们要学数理方程，那这个最大魔原理呢？在那个地方的就你就看到它是用的比较多的啊。好，这个最大魔原理说的是什么呢？我们来看一下啊， 最大膜原理呢，他就说一个解析函数，一个解析函数的膜，它的最大呢，不可能在区域内部达到， 就一个解析函数的，它的膜的最大不可能在区域的内部达到。他说的就是这样一件事情， 那么我们再把它说的确切一些，精确一些呢，就是我们的定力三点九给出来的最大魔原理，它说函数 f z 在 区域 d 内呢，是解析的，它又不是一个常数， 注意啊，它在区域 d 内解析，但是它不是常数，它的结论是什么呢？那么它的魔在区域 d 内呢，是没有最大的值， 这个就叫最大魔原理，就一个非常数的解析函数，他的魔最大，不可能在区域的内部达到。好，这个定理了，我不正了， 这时间关系，我不正了，你们下去了就看教材。当然如果你把这个结论呢，你就是说能够呢，就是接受下来也就够了。好， 接下去呢，我们再把这个定理来做进一步的解释，就是推论一和推论二，他说在区域第一内解析的函数， 若他的膜在第一的内部达到最大的话，那么这个解析函数就一定是常数， 因为他说非常数的解析函数的膜不可能在区域内达到最大嘛，所以我们有这个，然后推论二， 他如果 f g 在 有界区域 d 内解析，然后呢，在他的边界上是连续的，则 f g b 在 d 的 边界上达到最大值啊，最大摩，这也就他的摩的最大呢，不能，不能在区域内达到， 但呢，他可以在区域的这个边界上达到，这是对一个解析函数或在边界上是连续的话，他这样的 好，这个推论一和推论二呢，实际上给出来的这个是给出定力三点九的一个更具体的一个解释。好，这些我们不正了啊，你们下去了自己再去看一看。好，关于这些的应用呢，我们呢，再说一个这个解析函数的一个特点啊， 好，是这样的， f g 在 全平面上是解析的， 又对任意的 r 大 于零， r 大 于零，我就呢就是令 m r 呢，是它的模的最大， 因为模的最大呢，如果它不是，就是模的最大，只能在边界上达到。所以呢，我就这样来写，它要我们证明什么呢？证明这个 m r 呢，是关于 r 的 一个单调上升的函数， 你注意啊，这个 m r 呢，它是一个实实函数，它不是负函数，负函数，我们不谈单调，因为它不可以进行大小的比较，我们更不谈它的单调，所以这个 m r 呢，是一个实函数，它是模的最大码。好，我们来看一下，怎么去就是求证这个结论啊， 所以我们说对于任意的 r 大 于零 f g， 在 这个上面呢是解析的，因为它在全平面上是解析，在这个上面当然是解析的它，所以呢，由最大膜原理以及它的推论。二，我们知道 f g 的 膜， 他在这个里面的膜最大呢，只能在他的边界上达到。既然是这样的话呢，那么呢，也就是说呢，他的这个膜的最大呢，就在边界上达到，我就记作 mr， 那 是我们给出来的记号。 好了，接下去了，我们又知道，当这个 r 一 小于 r 二的时候呢，那么这个不等式是成立的，对不对？ 这个 r 一 比 r 二来的小，那么在这个圆盘上的最大值肯定要比在这个圆盘上的最大值来的小，这个是 肯定的，是不是？好了，然后呢，这个最大值呢，只能在边界上达到，那我就记作是 m r 二。好，这个的最大也只能在边界上达到，我记作 m r 一， 那我们就有什么呢？就当 r 一 小于 r 二的时候，我就有 m r 一 小于 m r 二，那也就说明 m r 这个函数呢，是一个单调增的函数。所以呢，这个命题呢，我们就得到了证明， 也就是说在全平面上解析的一个函数，那么它的模最大呢？应该关于这个 r 呢，是一个单调增的函数，当然呢是在是是这样的一个在在这个一个圆周上的这个呃模啊，好了， 这是我们讲的这个科西积分公式，好，接下去了我们再看啊，再看， 接下去我们再看，还是看这个式子，二拍 i 分 之一， 这是科西积分公式，如果呢，我对这个呢要去进行求导，要去求导的话也就得对 z 零求导，现在呢，我 z 零呢是在这个区域低上的任意的一点，那么随着 z 零不同，这个值就不同，对不对？ 那我就把 f g 零， f g 零就是 g 零的一个函数了，那我对 g 零求导，实际上呢，我也就说将这个式子呢就是对 g 零求导， 那我就问这个求导出来的值为多少？我就要问这个好，求导出来的值为多少了？我现在来形式的看一下， 我就怎么样呢？我把这个求导怎么形式的看呢？我把这个求导的这个计算呢，就拿到这个积分号里面去进行计算， 当然通常这个交换是不允许的，但是呢，在一定的条件下，这个求导的符号和积分的符号呢是可以交换的。在一定的条件下，在什么样的条件我们后面再说。我们先形式的看一下， 这个呢，对 z 零求导，以后呢就是二拍 i 这个不动，然后呢这个呢就变成了什么呢？ z 减去 z 零的平方，然后呢 f g d g 是 对 z 零求导，那好了，他就等于什么呢？ f 一 撇 z 零，这个是不是对的呢？当然我们还不一定先放这个地方，我现在来想要求他的导数，我看他导数怎么来表示，可以怎么样表示，然后呢这个有了， 那我再求他的二阶导，也就是说再求他的二阶导，求他的二阶导吗？我就在一阶导的基础上再导一次，好，我还是这样形式的去看，那这个呢？二阶导， 二阶导呢，他就可以，那我就看做什么呢？你看啊，对这零求导吗？我还是把求导的符号和积分的符号做一个交换，那这是二拍 i， 好， 这个地方呢，就有一个二拿出来了，然后呢然后呢这个地方呢？ c， 这是 g 减去 g 零的三方，然后呢 f g， d g， 就 这样的了， 我就能一直这样的形式的做下去，一直这样做下去的话呢，那么我们是不是这个能够推出， 也就是说我们是不是能够呢？对这个 f 在 z 零处的 n 阶导呢？就用这个来表示，就是二拍 i， 好， 然后呢这是 c， 好， 这是 f z， 然后呢 d z， 你 想这个下面呢就是 z 减去 z 零的多少次方呢？ 多少次方？ n 加一，那么这个地方呢，它就是 n 的 阶乘，那我就问这个呢是不是 成立的，那么当然是有一定的条件好，这个呢给出来的呢，就是我们下一节要给的叫做高阶导公式，这样呢在一定的条件下来，这个等式呢是成立的，就是我们下面高阶导公式给出来的。 这解析函数的高阶导数，就说在一定的条件，什么条件呢？就是解析这样的一个条件下， 在从这一章的这个学习呢，我们看到了，我们前面说，我们说在我们复变函数里面呢，我们研究的主要对象呢，就是解析函数，你看啊，我们这个章推出来的一些结论呢，都是与解析函数有关的， 他说首先他就告诉我们，他说一个解析函数不仅有一阶导数，并且有各阶导数，他说这个呢，是与时分析是完全不同的。 实际上呢，你看啊，这个高阶导公式呢，就是要回答我们这样的一个问题，我们在前面呢，我们说我们利用了这样一个结论，就说解析函数的导函数还是解析的，实际上呢，也就说解析函数的任意阶导函数都是解析的，我们就是用这个高阶导公式去回答的。 你看啊，他这样说，他说 f c 在 简单 b 曲线 c 所围成的区域 d 内呢是解析的。那好了，我们呢，就说在这个区域 d 内呢是解析的。 然后呢，他说在这个 d 八也就 d 加 c 上是连续的，实际上在告诉我们，在这个边界上呢，是连续的， 则 f z 的 结论啊，则 f z 的 各阶导函数都在 d 内呢解析，并且呢，它还给出了我们这个导函数就可以由这么样的一个积分来表示。好，这是高阶导公式。 我想呢，首先呢，我们把这个高阶导公式的正确性呢给予证明好，怎么去证明呢？这个证明的方法呢，我们采取的是数学规律法， 采取数学规律法，当然呢，这个数学规律法呢，这个方法对你们来说是比较熟悉的啊，是比较熟悉的，看我们在这呢怎么去用它 好，由前面的科西积分公式，由前面的科西积分公式，这个 g 呢，是 d 内的任意的一点啊，这个 g， 这是我们这个函数呢，在这个区域 d 内的是解析的。然后这个 g 呢，是这个区域 d 里面的任意的一点，同样的这个 g 加上 d 呢也是这个区域里面的任意的一点，既然是这样的话呢，那我们知道 在这个区域 d 里面的任意的一点 f z， 我 可以用这个积分来给出，好了，在区域 d z 加多少 z 这一点的值，我也可以用这么样的一个积分来给出，这是由科西积分公式我们得到的。 那好了，我下面呢我要说明什么呢？当这个函数呢，这个 f g 是 解析函数，我当然没有必要去说明它的可导性，我要说明的是什么呢？我要说明它的一阶导呢，就等于二拍 i 分 之一 f theta 比上 theta 减去 z， 再就是这个二二次方，然后 d theta 我 要说明的是这个，那好了，我就下面来说明。 为了说明这个的话呢，你看啊，我呢就做这样的一个，就是函数的增量与自变量增量的比，然后我将 f z 加上 delta z 减去 f z 比上 delta z， 就 分别用这两个式子带进去， 带进去整理以后就得到了它好，当然这个整理的过程呢，就靠你们自己下去整理啊，整理得到了它，这个整理的过程，你们下去自己去整理，然后呢我再做进一步的整理， 做进一步的整理了，我就把这个积分呢分成了两部分，把这个积分分成了两部分， 是让我们看到第一部分呢，那么我们就下面我就要说这个嘛，就 delta z 趋近于零的时候，这个极限肯定是存在的，因为它解析对不对 是吧？它解析了它肯定存在，或者它你在这个段也可以说明这个 delta z 趋近零的时候，这个极限是存在的。好，这个极限呢，像这个第一项呢，是与 delta z 无关的， 那么正好是我们要说明的，这个左端，当 delta z 趋近零的时候就趋近它，下面呢，我需要说明右端的第二项，当 delta z 趋近零的时候，趋近于多少呢？ 我需要说明，当 delta z 趋近零的时候，这一项趋近于多少呢？ 你们就大声说，不要拿手比划，就说趋近于零，有的同学告诉我说趋近于零，他就趋近于零好了，那我们的就功夫就花在这个上面，我们来说明他，当德法 c 趋近于零的时候，趋近于零。好了，我们来看一下啊， 在这个地方呢，我们把这个第二个积分呢就记作 i， 然后呢我们看到就是积分的摩，这是积分的摩，或者 i 的 摩应该小于摩的积分。 我下面呢要说明这个呢，当 d 趋近零的时候是等于零。好，怎么去说明呢？他说一， 因为 f g 塔呢，在 c 上是连续的。好，我把这个啊，在这个 c 上面呢是连续的，所以呢，他肯定就这，这是我们的积分路路线呢，是 c 吗？好，这个呢，在这个上面是连续的，那么呢，他在这个上面呢，我就能够找到一个 m 大于零，使得它的膜小于这个 m。 好， 这是第一步。然后呢，还有在这个地方呢，我就给出了这样一个 d， 这个 d 是 什么呢？是边界上所有的点到 z 的 距离的最短者，我就记住是 d， 那也就说呢，边界上的任意点到 z 的 距离呢，都会大于等于 d。 那 好了，我就知道什么呢，这个 z 它减去 z 的 模就应该大于 d， 然后 z 它减 z， 减 d 减 d 的 模，它又是什么样的一个状况呢？我们来看一下啊， 在这个地方呢，它说设 d 为从 z 到曲线 c 上各点的最短距离，并取这个 d， 它 z 适当的小，这是可以这样去考虑的，为什么呢？因为我要考虑的是当多少 z 七乘以零的情形，我当然可以考虑它的膜适当的小，小到什么程度呢？二分之一 d 就 够了， 我呢是要为了估计这个式子啊，小二分之 d。 好 了，那么，呃，这个 zeta 减 z 是大于等于 d 的， 那这个量呢？我们来估计一下。这个量呢，我们估计一下。好，这个 z 它减 z 减 d， 它 z 的 膜应该是大于等于 z， 它减 z 的 膜加上减去 d， 它 z 的 膜，那它当然就是大于二分之一 d 大 于二分之一 d 呢？然后呢，我再把这些量呢都带到里面去，你看啊，这个用 m 去换， 这个呢用 d 平方去换，这个呢，用二分之一 d 去换，那这个柿子呢，仍然是放大了，对不对？ 好了，那你说背脊这个德塔之一的膜与这个积分变量没有关系，可以拿出去的， 那你说呢？剩下来的就是这个积分，这个积分呢，就剩下来的倍级函数是一，然后呢，这个呢，是 d， j 的 膜就是它的弧长，那这个积分呢，的值就应该等于这个曲线 c 的 长度，曲线 c 的 长度呢，我就记住是 l。 那 好了，那这个就变成了什么呢？这个 i 的 膜呢，就应该是小于 它。那好了，那我们整理一下，就是这样的，那当 darta z 趋近零的时候，这个趋近零的好，那么一个积分它的模趋近零，这个积分当然就等于零了，是不是当然也就趋近零，所以呢，这个时候呢，我们这个结论呢，就得到了证明，我们就有这个了， 就是 f 一 撇 z， 我 们是求的这个吧，这个极限呢，就是 f 一 撇 z， f 一 撇 z 就 等于它了，那也就说呢，我们就完成了高阶导，就是用数学规律法证明的第一步，当 n 等于一的时候，这个结论呢是成立的。 按照这个同样的方法呢，你还可以证明什么呢？这个 f 一 撇的一撇是存在的，并且呢是等于它的 好，那么有这个式子呢，它就表明什么呢？解析函数的导函数仍然是存在的，因为这个存在呢，是在这个区域 d 上呢，是存在的。那么在区域 d 上可导和在区域 d 上不，或者在区域 d 内 可导和在区域 d 内解析是等价的。所以我们就知道解析函数的导函数仍然是解析的，还可以来证明到它 是这么样的一个，可以用这个表达式给出来。也就说呢，这个科西积分公式对 n 等于二的时候也是成立的，你一直下去，一直下去呢，他说依次类推，用数学规律法呢，你就可以得到 科西，哦，不，是得到高阶导的公式好下去了，你们自己再把教材好好的看一看啊，这是高阶导公式了，我就介绍了这个地方，那么在这个高阶导公式呢，我们还可以看到， 还可以看到什么？你看啊，如果这个地方的 n 取零的时候，这个叫 n 取零的时候，那么这个高阶导公式就是什么公式呢？ n 取零的时候，这个高阶导公式是什么公式？ n 取零嘛，那就是这个呢，就是零阶导，那就是函数值喽，是吧？然后呢，这个地方是零，就是一，那这个呢是什么呢？就是我们前面介绍过的 科西积分公式，所以他说第一点，科西积分公式呢，可以看作是高阶导公式中 n 等于零时的情形。 好了，第二点要说明的是什么呢？就说这个这个定律，高阶导公式呢，它就说明了解析函数的任意阶导函数还是解析的 好，那就是我们前面呢一直用的这个结论呢，在这个地方呢就得到了证明。好。第三，他说他还提供了某些积分值的计算，可以通过导数去解决。你比如说我们先看这个啊，先看这个， 这个 c 呢，是包含 a 在 内的简单 b 曲线，如果这个 c 不 包含 n， 这个积分就等于零。好了，那你看到啊， a 是 这个背积函数的一个起点，由于这个 c 包含了起点 a， 所以 这个积分值就不见得是等于零，对吧？好，那它等于什么呢？我就需要计算 好，从这个形式呢和高阶导公式的形式比较了，我们就发现呢，它十分的相像，我就把它呢和高阶导公式呢，就是把它呢对应起来，对应起来了，那也就说了， 题目里面的 a 就 相当于高阶导公式的 z 零，然后 z 三方减 z 就 相当于高阶导公式的 f z， 那 么你需要，你要如果要用高阶导公式，你需要考察的是什么呢？就是这个分子，这个函数 在这个 b 曲线 c 所围的这个区域上是不是解析的，那么这个函数在 c 所围的区域上是不是解析的呢？ 是的，因为它在整个负平面上都是解析的，那我就可以用高阶导公式。好，那这个三，这个地方是三，那么呢，你需要对这个 z 三方减 z， 求多少阶导呢？ 对二阶导。好了，我们呢，这个呢，就简单了啊，用起来就简单了。这个不直接的呢，求这个 f， z 等于 z 三方减 z， 二阶导等于六 z 带 a 进去一整理，我就得到这个积分， 那么就是从这一段我们看到这个负函数的积分呢，可能比你十遍函数十函数的积分呢，可能呢方法来的更多一些，你看啊，因为我们知道求导和积分来比的话，通常求导要比求集要来的容易，你现在把积分变成了求导的计算。好，这是我们力 啊，下面呢，我们再看一个这个函数，你看啊，这个函数呢，你可以看到 这个背记函数是它，那么在这个圆周，所谓的就是在这个圆周里面呢，它有这个起点，所以它的积分不一定等于零。 那你这个呢，又看到它的分子一负 z 扩散引 z， 那 这个呢，在这个里面呢，是解析的，这个呢，和高阶导公式比较的话呢，那你马上算出它的值是多少。好了，由这个高阶导公式，我们还可以推出一个重要的结论，叫做科西不等式， 柯西不等式呢，他说的是这样的啊，这 n 的 阶乘，然后呢 f 在 z 零的 n 阶导，它就应该小于这个好，这个 ro 是 什么呢？ ro 是 以 z 零为中心，然后 ro 为半径的这样的一个圆啊， m ro 是 这样的。 好，这个证明呢，很容易的啊，这个证明很容易的，就由高阶导公式，你看啊，由高阶导公式有这个等式吧， 然后这个 c u 呢，是这个圆，我就记这个在它上面达到最大值，肯定应该在圆周上面达到，就是 m u 是 这样的。然后呢，再把它写过一下，再来， 在这个地方呢，你再看啊，它就小于它嘛，然后呢一整理就得到的呢，是这个结论。好，当然 这个今天有一点没讲，那最重要的呢，我们还可以推出一个什么结论呢？就有借整函数一定横等于长数。 在这段我解释下，整函数是什么呢？就在负平面上处处解析的函数，我们叫整函数，我们书上的定律呢，他是这样写的，就在整个负平面上解析的函数，那么他是有借的话，他只能是长数。 为什么呢？就由科 c 不 等式呢？我们可以推出，那这是有界的整函数，那你说给一个 m 大 于零，我就是对，你认给一个 z 呢，我有这个不等式成立。 然后呢， f c 在 这个上面肯定是解析的由科 c 不 等式呢，我们有这个结论，有这个结论。那好了， 我要说明它是常数，我只需要说明 f z 在 z 零这点的导数是等于零的，因为 z 零呢，是这个区域里面的任意的一点， 当 u 趋近零的时候呢，这个呢是趋近零的，所以我就说明 f 在 z 零这点的导数是为零的，由 z 零的任意性，那我就知道 f z 呢，就是一个常数。 好，这个结论，他告诉我们说在副平面上处处解析的有界函数只能是常数。好，今天课我们到这个地方。