matlab语句，行优先行向量

哈喽，同学们大家好，来到了选 b 一， 第一张，空间向量和立体几何一点三点二，空间向量运算的坐标表示。首先我们来回顾一下在平面当中有多少种的这种位置的关系，或者说是运算啊，对吧？然后呢，把它进行迁移。 第一个呢，我们说向量相等，横纵作坐标分别相等，对吧？第二个呢，加减，横纵坐标分别加减。 第三个数乘，把它给乘进去，这里面我罗列到的任何东西，但凡有一丁点的不熟悉啊，都要回到平面向量那里那里去看它这个地方只是给大家做一个什么回顾，好吧，只是做一个回顾和汇总好不好？ 第四个呢，数量积，数量积，横纵横横坐标之积，加上纵坐标之积，膜长和线段的长度，它们都可以理解为用勾股定律来进行理解啊，差不多啊，对不对？这样子。然后呢，第七个，向量平行，我们会有平面向量的这个向量共向量向量向量共向量共向量 存在，唯一的那么大，使得，对吧？使得这样子，使得这样子的情况下呢，等价于什么东西？就是它们的比值啊， x 一 比上 x 呃， x 二比上一， x 一 会等于 y 二比上 y 一 啊，当它们不等于零的时候，会等于那么大， 我们也单独的验证了，如果它们等于零，然后呢，这个狮子呢，它也成立，所以我们就归纳为这样子的一个狮子好不好，那么像这样的垂直呢啊，对吧，就是它们的数量积，也就是它们点成的一个结果为零。 假角呢，就是通过这个数量积的一个算法，对不对？然后呢，通过这个数量积的一个基本的一个定义式，我们就能求得它们假角的一个余弦值啊，对不对？就这个式子，这里一共九个，梳理了九个，看一下有没有不熟悉的，然后接着呢，我们就进行一个个的进行往空间里面做迁移， 首先向量相等，对比一下，平面当中横纵坐标分别相等，空间当中多了一个维度叫竖坐标，对吧？那么就是横纵竖坐标全都得相等，那么这个就就是我们的那个向量相等，比方说这里的 c b 和 d a 啊，这里两个向量， 第二个呢，加减啊，对吧？又是同样的多了一个维度啊，多了一个维度，然后呢，所有的我们在上一节课啊，上上一节课啊，我们也说了，所有的这个 几何的理解都是一样的，对吧？这就三三角形法则这种理解， ok， 然后接着呢，在这个地方有了加减之后呢，我们就会有一个什么样的东西呢？有了加减之后呢，我们就会有了这个，对于任意的，我们知道 提十点的坐标和中点的坐标的向量，我们就可以用中点的坐标去减去十点的一个坐标，哈，对吧？我们是通过什么样的东西啊？通过 a b 任意的向量 a b 都会等于 o b 减去 o a， 对 吧？而这个时候呢，这个东西我们说 o b， 只要它的十点 的一个坐标位于坐标原点的话，那这个向量的坐标就会等价于这个点的一个坐标，一一对应的关系，对不对？就这样子的一个东西，所以呢啊，我们就会有这样东西，所以当我们知道起点的坐标和终点的坐标，这个是最快捷得到一个向量的一个方法，回归到点的坐标上面， 接着我们来看就是我们的向量的数乘，我们说把那么大啊，这个实数给分别乘到横纵坐标，那么现在同样的多了一个维度啊，对吧？也多了一个维度，都是一样的， ok， 然后呢？向量的数量积，之前呢？横坐标之积加纵坐标之积，现在呢？哎，多了一个什么竖坐标 就这样子， ok， 接着呢，就是现在的膜也是多了一个，你看这样去记哈，我们去记，其实我们会发现没有什么新的知识，没有什么特别的东西要记啊，对吧？你知道了其中的一个，就一定会知道另外一个，好吧，没有什么很特别的地方。第六个呢，线段的距离啊，对不对？那么同样的也是多了一个维度， 我觉得没有什么特别好讲的啊，所以这个地方我过得会比较快，大家看一下有没有什么地方是不理解的啊？因为他们的格式都是一样的，都是只是多了一个维度， 然后接着呢向量的平行，哎，这个地方会有一点点不同，有一点不同的原因在什么地方？原因在什么地方？ 原因在于啊，我们原来这个地方，我们当两个的比值的时候呢，我们是可以写成一个这样的定义式的，我说当 x 一 和 y 一 它不等于零的时候啊，如果它是呃等于零的时候单独验证，对吧？那如果它不等于零， x 二比上 x 一 会等于 y 二 比 y 一 等于这个那么大，那这个时候呢，这个交叉相乘，它就会得到这样子的一个式子，对不对？那区别在什么地方？ 区别在于如果在空间当中啊，同样有这样的一个式子，它不等于零，那么但它不等于零的时候呢？他们没有办法去形成这样的一个式子，所以我们可以写成这样子的一个格式，当它们不等于零向量的时候，我们就可以写成啊，这样子的一个格式，但是它的底层原理是什么东西？向量共线的基本定律啊？是一样的哈，它们都是一样， ok， 然后呢？垂直，同样的都是数量积等于零，不要忘记数量积就是这个点乘的几何意义哈，我们永远都说这个数量积，这个点乘在整个高中当中是最重要的哈，应用是最最最广泛的好不好？ ok， 最不可替代的啊，更加应该说啊，再比如说我们在平面几何当中，平面解析几何后续的章节，我有很多东西可以替代掉这个向量的方法，但是数量记忆是很宝贵的一种方法， ok， 好 吧，那么点乘结果等于零啊，刚才也说了，就多了一个维度，然后接着呢，就是关于假角的问题，对吧？假角， ok， 假角同样的都是这个，这个式子有没有变呢？这个式子没有变，因为这个是什么东西啊？这个是向量的定义式，这个向量的定义式它并没有做改变，只不过在带入进去的时候，哎，多了一个维度，多了一个维度， 好吧，就这样子，所以这样子我们就实现了。什么东西啊？从平面当中的关系到空间当中所有的九种关系的 迁移，那这过程当中我说了，同样的，一边复习平面的，一边拓展空间的好吗？ ok， 然后呢，我们做一个汇总，这是空间的啊，大家看一下，如果需要记的话就直接截图，好吧，我这里就浏览不，不讲了，好吧，刚才讲过了，相对应的空间， 好吧，就这样子， ok， 然后我们看一下例一，射正四棱锥，这个东西，所有的棱长均为二，建立适当的直角坐标系，求得两个向量的坐标好，首先第一个事情呢，就是射正四棱锥， 大家还记不记得这里是哪里的知识啊？这是上一本书第八章第一节课八点一，认识所有的这个图形，对吧？那节课是一个非常长的一节课，那么这节课呢，有很多的东西告诉我们什么是棱锥，什么是棱台，什么是圆台等等，对吧？那么其中一个知识， 比如说什么是正四能追啊？这里蕴藏了什么样的信息啊？如果不太清楚，不太确定的同学，那么一定要回去看。正四能追，告诉我们两个信息，第一里面是个正四边形，是什么正四边形？ 什么是正正四边形啊？就是正方形呗，哈，那么第二个呢，就是它的顶点 s， 在 这个底面上的一个垂足在哪里呢？在我们底面的几何中心， 那么相对应的，如果说啊，他是正三能追，那么意思就是说底面是个正三边形，正三边形就等边三角形，对不对？那么如果是正五能追呢？正五边形，正六能追正六边形，然后呢，同样的，他们的这个顶点在底面的这个垂足， 对吧？垂足都会位于里面的几何中心啊？几何中心？那什么是几何中心？比如说这里的正方形几何中心就两条对角线的交点之处，对吧？那这个就是正 n 能追啊，所以这样的概念一定要搞清楚好不好？ 所以这里呢是有蕴藏信息的，然后他说所有的棱长均为二，对吧？这里是二，这里是二，这里是二，所有都是二，然后建立适当的空间坐标系，那么我们来看一下我们可以怎么建？ 通常来说我们直接啊看的话有几种方式哈，比如说以这个顶点和这这两个我们归类为一个吧，好不好？那这个是一个直角，对吧？以这个为一条轴，这个为一条轴，这里为一条轴啊，这是一个方式， 那第二个方式呢？是 s 这一边啊，这个作为一个轴，那么这个时候呢，坐标原点把它画在这个，呃，这个中心的这个位置，正方形中心的这个位置，然后这样子，这样子可不可以？也可以啊？两种都可以啊，但看大家的需求，所以呢，我们求这个的坐标是要建立在 我们要构建一个怎样的一个坐标系的基础之上。首先我们就以这个呃底面的这个正方形的中心 o 啊来这样去构建好不好？ 那么这个时候呢，我们就写出来哈，这个很快我们就直接给了哈 s， 它对下来 x 和 y 它都是零，然后呢它 accept 的 这个根号二，我们看这个，这个是二， 这里连过来这个直角，这个是多少？二？二两倍根号二，然后就是这个是根号二，对不对？好，那么这个就是根号二，所以它的这个高度是根号二，那么 p 一 呢？ p 一 p 二， p 三就不用讲了吧，好不好？ p 一 p 二 p 三就很简单了 好不好？但是，但是呢，看清楚这个正负，不要搞错了好不好？比如说这一边 x 是 负的， y 是 负的，说负一负一好不好？那么他们整个平面， 他们整一个平面上的 e 三就是他们的竖坐标啊，都是零好不好？那么就看横坐标和纵坐标。 p 二呢？ p 二呢？ x 是 正的， y 呢是负的， p 三呢？ p 三是两个都是正的，所以这个搞清楚，那么我们现在就能写出来了，对不对？通过点的坐标，所以我们说 写对点的坐标是第一件事情，有了点的坐标才会有向量，才会有我们后续的这个直线的发射向量，会有这个平面的这个法向量，等等，好吧，那么就这样子的一个东西， ok， 第二，能成为 e 的 这个正方体当中 e， f， g 分 别是三条边的中点啊，中点，中点，中点好不好？请用空间解析几何的方式完成以下的问题啊，对吧？因为这道题目呢，我们就限制不要用哇，我们的这个，呃，上一本书这个第八章的合成几何的方法。首先第一个呢，求证， e f 垂直于 c f， 对 吧？啊？我们首先构建一个坐标系啊，对不对？好，构建一个坐标系，构建一个坐标系之后呢，然后我们来看两个垂直，对吧？两个垂直，那我们就 分别写出代表这两个的方向向量，那么要写出这个方向向量，我们就要知道四个点的坐标，当然他重复了一个点 f， 所以 c c， e f 要写出三个点的坐标，看吧三个点的坐标来看 c 一 一零有没有问题？ 一的话呢，一的话对过来的 x 的 坐标是零，所以这个是零，对下来 y 是 一，然后对过来的这个 a 三 是二分之一， f 呢？ f 这个地方二分之一，二分之一，然后呢它的对过来的这个一下轴是零，所以是这样子的一个坐标，然后呢我们就能干嘛？这个基本上是一个流程，它空间几何的题目是非常流程化的 啊，非常的流程化，我先写点啊，这一步先写点的一个坐标，写了点的坐标，我就相对应的写向量的坐标，对不对？向量的坐标，然后就干嘛？他们点成啊，他们点成发现，嗯， 这个点乘的结果四分之一，然后这两个呢加四分之一，这个是零，加零 a 等于零，所以他们点乘的结果是零，所以呢， 我们就会知道这两个向量垂直，进而会知道什么东西，进而会知道两条直线它也是垂直的， ok， 那 么第二个呢？就是，哎，我们求这个和这个所乘角的余弦值，这个我们刚才是不是已经写了 c 的 点坐标也有了，对不对？那么现在还差就多一个点的作坐标，就是 g 的 坐标，对不对？我们直接给这个呢是刚才已经有了的，这个呢是刚才已经有了的，这个是新的，对不对？这个是新的，我们来看这个是怎么得出来的？ g 对 下来的，这 x 是 一，对下来的 y， y 是 零啊，这个对 下来的一个数坐标是二分之一，所以是一零二分之一，好吧，那么都出来了，所以进而有这个和这个这个 g 的 坐标减去 c 的 坐标，好吧，那么就一减一零，零减一负一，二分之一，减零二分之一啊，有这个出来的时候呢，我们这一个式子要求，要知道他们两个的坐标就能求他们点成的一个结果，然后呢还有什么东西呢？还要通过他们两个的坐标来求出他们的魔长， 所以这个时候呢，这个的魔长就是，哎，它的平方加它的平方加它的平方，哎，对不对？四分之三开根，所以 e f 的 魔长，它的魔长零加一加四分之一，对吧？零加一加四分之一，四分之五开根，所以是二分之根号五， 那这个时候我们就可以代入进来算了，对不对？代入进来算上面的部分，二分之一乘一二分之一，这个零就等于零了，我们忽略它，然后呢加上这个正负，不要看错哈，这个加上 也就说减去四分之一，然后呢？底下是什么？底下是二分之根号三，乘上二分之根号五，那么就是四分之根号 十五啊，对吧？那么上面就是四分之一啊，乘以倒过来，根号十五分之四，约掉，约掉啊，对吧？根号十五分之一，也就说十五分之根号五，好吧，那这个地方呢，我提醒一个点哈，我们的什么， 我们的向量的夹角是零到一百八十度的一个曲值范围的，所以一定要看清楚哈，我的这个 e f 和 c g， 它的一个位置是不能调换的哈，在某些问题当中，你比，比方说我这个我要代表一个直线的方向向量啊，对吧？我们后续所用到的 方向向量，那么我可以是 e f， 也可以是 f 一， 但是这个地方我要知道，我如果调换了一个的话，它的一个结果就会变成了负的 啊，对吧？因为它是有这个零到一百八十度，它可以取得钝角的，这个地方我们要一定要注意啊， c e 的 长啊，对吧？这个地方也是 比较简单的，对吧？我们刚才啊， c 的 坐标啊，已经有了， e 的 坐标啊，这个时候 c 和 e 的 点都有了，这个就比较简单了，就变成了我们的，干嘛？ c e 刚才都有了，直接就通过勾股定律，对吧？ x y is 分 别做叉，然后平方和，然后再开个那个结果，对不对？ ok， 然后呢我们来总结一下过去两道题这个整体的解析过程，大致的一个解析过程，第一个呢，建立一个方便使用的空间直角坐标系，对吧？方便使用的，当然它不一定是直角坐标系，在某些问题当中，我们还需要去 建立非正交系，好不好？我们后续会讲到，然后呢方便使用的定义就是我们方便干嘛去列出个关键点的坐标，严格意义上来讲你怎么弄都可以，比如说啊，我弄在这个地方作为坐标原点 行不行？嗯，可以，对不对？然后呢，我这个地方是坐标原点，然后这个是 y， 这个是 x， 这个是一三，也行啊，但是这个地方呢，就会出现很多的负，或者说它的一个横坐标，也就说 x 轴所有的都是负的，对不对？所有的点都是负的，所以这个我们就 可以，但是麻烦，所以呢一定要去方便列出点的坐标，我们说点的坐标，它才能引申出后续所有的东西，一切都起源于点的坐标，说我们要找一个方便使用的，对不对？然后呢列出个关键点的坐标，我们说先列表的坐标啊，然后呢 再列出相关向量的坐标，然后根据问题的类型，包括证明的问题，证明各种的平行垂直对不对，点和点，点和线啊，线和线，线和面等等的后续的，然后呢，还有计算长度啊，点到点的长度，点到线的长度，线到面的长度等等等等，对吧？或者说夹角，各种夹角 空间当中所有的问题，我们后续再根据问题的类型，采用相匹配的方式来解决相关的问题。那第一步呢，都是间隙 和列出相关的点啊，这个就基本的一个解析的脉络好不好？然后第三，已知空间上的三个点啊，其实这题都不用画图的，严格意义上来讲都不用画图哈，这给大家稍微看一下，三个点，两个向量， 好吧，那么设这个 c 向量的模我们是知道的，那么它又干嘛呢？它又平行于 bc 向量，那这个时候呢，求 c， 因为它与 b c 向量共线，所以呢，我们就能表达出来的，这个发它方向确定了，方向确定，膜又确定了，所以它能确定。那么这个 b c 呢？有两个方法，第一个方法呢，就通过什么东西啊，通过我的这个 a c 向量，我先求得 b 向量啊，对吧？然后呢，呃，这个 a c 向量 减去 ab 向量去得到，这个可以啊，一步到位的话，我们就通过什么东西 c 减去 b 啊，对不对？那么这个地方呢，当然就是 a 和 b 先表达出来，因为这个东西后续会用到啊，我们这个地方其第一问可以不用 先写出来，好吧，那么这个地方呢？哎，我们也一起算了吧，因为第二第二题我们要用到好不好？ b 的 坐标减去 a 的 坐标负一减负二一，一减零一，二减二零好不好？ a， c 的 坐标负三减负二负一，零减零零四减二二好不好？ b， c 这个地方所用到的 b， c 负三减负一负二啊，对吧？零减一就是负一，四减二二，所以得到 b、 c 的 坐标， b， c 的 坐标之后呢，因为 c 向量跟它共线，所以呢，我们会知道什么向量共弦定律，存在为一的那么大，对不对？存在为一的那么大， 好吧，然后呢，存在为一的那么大，那此时还有另外一个条件， c 向量的模长为三，那么这个时候呢，就他们的平方 之和开根等于三，那么就很快能解出来，这个那么大，可以等于一，也可以等于负一，好吧，有两种可能性，所以此时 c 向量有两种可能性，第一个就是取负一的时候，就是取负一的时候，那么就反过来二一负二， 取一的时候，负二负一啊，有两种可能性。第二问，我们刚才已经算出了 a 和 b 了，对吧？哎，同样的，我们锻炼自己的框架性的思维能力， 先把这个啊思路给想出来，我们的思路就是， a 和 b 是 已知的， 明确的，没有参数的，但这个项链作为一个整体是带一个参数 k 的， 这个项链作为一个整体是带一个参数 k 的， 但是我们可以用参数 k 来表达它们，表达它们之后呢，相互垂直，那么这个项链，比如说这是项链 a n 吧，这是项链 a n， m n 互相垂直点成的结果为零，那么我们就会得到 k 的 一个表达式，一个未知数，一个方程能够求解哈，这个过程已经说完了哈，要锻炼这种能力，对不对？好， 来写 a， b 刚才已经写了，那这个时候呢，我们就照着表达就可以了，对吧？ k 倍的减，加上 b， 对 不对？减一，然后呢？ k 倍的，然后呢？加上 啊， b 这个地方是这个零 k， 然后呢？ k 倍的零，加上二，对不对？这个写出来， k 倍的 a 向量 k k 零，然后呢？减去二 b k k 零 k 减，那么便加 k 加二零还是 k 零减去这两个表达出来，然后呢？它们两个点乘的结果啊，把它们看成一个整体啊，这两个之积， 然后呢？ k 的 平方，然后呢？二乘以负四，我们就会得到一个二次方程，所以我们会知道它一定会有两个结果，对吧？那么这里我们来看一下 k 的 平方， k 的 平方，二次项直接二 k 的 平方啊，锻炼锻炼一下自己的预算能力，我们可以不把每一项写出来再合并，我们可以干嘛呢？直接二次项， 然后到什么到一次项，这是长竖项，我们就只需要看什么东西啊？ k 减 k， 对 吧？加 k， 然后呢来看负，呃，长竖项，长竖项，负二负八减十一项一项来，从高到低，对吧？二次项，一次项，长竖项，直接合并啊，写出来啊，这个就 可以让自己的预算会更快一些。然后呢，二 a 分 之负 b 加减根号 b 平方减就加四 a c 八十八十一，就四分之负一加减 九，好吧，加九呢，就是二减九呢？负二分之五啊，所以它得到了两个不一样的一个结果，好吧， ok， 就 这样子， 然后例四啊，课本的一道例题，在正方体这个当中， e、 f 分 别是这两个线段的中点，然后求证 e、 f， d， a、 e 垂直， 呃，我们想一想啊，有兴趣的同学可以想一想，如果我们完全的不使用坐标 c， 用合成几何的方式怎么去做啊，对吧？你比方说看到它们两个中点，那么很容易能想到就是什么东西啊，简单的做一条辅助线啊，对吧？那么就得到了，因为这条 线段啊，这条直线和这个平行，进而就变成了 d， e、 b 和 a、 e、 d 的 这个垂直的问题。那我们来看一下，这个时候呢，会想到什么东西，把 a、 d、 e 把它给连起来，这个时候 a、 b 呢，垂直于这个平面。 先证明啊，也不用证明正反体 a、 b 会垂直于这个平面，所以 a、 b 呢，会垂直于这个平面内的任何一条直线，所以 a、 b 垂直于它， 对不对？然后呢，这个 a、 d、 e 呢？这个正方形对角线，这个也垂直，所以呢，我们进而通过 a、 e、 d 和这两条的垂直证明它垂直于平面 d， e、 a、 b， 然后再再通过什么样的性质，这条直线垂直于这个平面，垂哎，就垂直于它任何平面内的一条直线，那么 进而证明这个垂直于这个，通过这样的一个脉络啊，比较麻烦。当然这个已经是超级简单啊，一眼能看出来怎么做辅助线的一个问题啊，这个，这个是合成几何的方式啊，然后呢，来看一下 我们同样的如图构建坐标系啊，不能这么写哈，我只是简化好不好，我只是在这个地方，在后续的讲解当中，我都直接这么写好不好？那么正常来说，我们要写 a、 a、 b 为这个正方向的建立 x 轴， y 轴等等等等，好吧， 那么设正方体的这个棱长，这个地方没有写，对不对？他，所以我们要设为 a， 或者我们说不妨设为一也是可以的啊，不能说设为一是不妨 啊，因为他设为一还还是设为二，可以，所以你你们想设为一也是可以的，好吧，不妨设为一，那么就是一个具体的数字，如果你想更一般化，那么就使用一个代数式，好吧，用 a 标出相关各点的坐标，好吧， 这里相关的 e， f， d， a， e 没有重复的，一共有四个点，对不对？我们就一个都中点，都很容易哈。 e 这个 x 轴就是 a， y 轴零，然后呢，这里对过来，二分之一 f 的 话呢，对下来，这个地方是 x 二分之一，二分之一和一，二分之一二分之一和一，呃， d， d 这个地方 x 零 y 呢？呃，那个以上呢？也是零，这个是零，这个就是纵坐标有一个 a， 所以 零 a 零 a 一 的话呢， x 是 零， y 是 零，然后呢， assign 轴呢？是 a， 这样子四个点的坐标，标出来四个点的坐标，好吧，那这个时候呢，表达这两个， 表达这两个 e， f 等于终点减那个十点，然后 d， a， e 呢？也是终点减十点，对吧？ ok， 这个地方呢，这个地方呢？你反着来就可以了，这个就可以反着来，那这个地方呢，就可以啊， 那这个地方一减对不对？ f 减去一啊，可以这么写的哈，同学们考试是可以这么表达的哈，直接 f 减去一，什么意思？ f 的 坐标减去一的坐标，这是可以这么写的，那这个时候二分之的相对应，减减 减，好吧，得到这个东西， d a， e 呢？同样的 a， e 减去它是不是零减零，零减 a， a 减零，得到这个东西， ok， 然后接着呢，我们就干嘛点成的结果，那么这个时候点成这个，点成这个 啊，好，算吧，第一个零不用看，第二个和第三个，一个是负的四分之一，二分之一 a 的 平方，一个是正的二分之一 a 的 平方抵消永远都为零啊，这个跟这个 a 没有任何的关系，所以它垂直，好吧，就这样子。 然后呢？例五啊，继续是课本的一道例题，如图，在能长为一的正方体当中， m 为这个的中点，然后呢， e， f 啊，这这两个点呢？在它们的上边，然后呢，有一个什么东西呢？有一个比例的关系好吧， e e 和 f e 有 一个比例的关系，它都是一个四等分点， 分别 e 一 呢靠近 b 一， f 一 呢靠近 d 一 啊，也就说 e 一， f 一 还有 m， 它的一个位置关系都是全部都是确定的。求 am 的 长啊，求 am 的 长红色的这条线。同样的，我们来看一下，就是如图，构建坐标系都比较简单，我就过得会比较快点，对不对啊？相同的方式， 这键轴，然后呢， a 和 am 的 坐标 a 就 直接就圆点了，好吧， am 的 话呢，这里对过来， x 是 一 对过去， y 和 e c 都是一半的，这个边长二分之一好不好，那么这直接就是平方，平方，平方加起来好不好？第二题， b 一 和 d f 一 对吧，这里涉及涉及到四个点，对，我们把四个点给写出来， b 一 一， d f 一， 我不算了，这道题好不好？ b 一 一呃，中点减去十点坐标， d f 一 中点减去十点坐标，把它写出来很流程化的东西，对不对？非常流程化的东西。 然后呢？这个点乘的结果就能算了，再算出他们啊，四分之一平方，十六分之一加一十六分之十七，对吧？四分之十七，这个同样也是四分之十七，然后一算这个地方，这个地方我算一下吧，这个地方就负四分之一啊，就负十六分之一加一，这个地方就十六分之十五， 除以多少？十六分之十七，对吧？就等于十六分之十五乘以十七分之十六一，消掉得到 十七分之十五啊，就这样子。好吧，很流程化的东西哈，这些都是很很很基础的一些东西。 ok， 这就是我们的这节课啊，所以呢，大家理解了很基本的一些概念，知道了整个流程化的一个东西，写好点的坐标就可以了啊，这个就是我们这节课的内容。好，我们下节课再见，同学们，拜拜。

这是项链，这一张超高频考点，三线合一，等和线及画横等四求最值！今天显哥带你把这些知识点串联起来，让你做题有方向。他说 abc 是 等腰直角三角形， a， b 等于 b， c 等于四，那就说明这个等腰三角形能画出来呗，非常特殊。这个呢，是 c， a 加上一个 c b 二分之一好吧， 他说 a e 等于多少倍的 ad 加多少倍的 a c， 其中二 x 加 y 等于一，然后让我们求数量积， 其实这个数量级我们不要先求。数学是什么？数学是翻译。首先问大家一个问题，二 a 加 y 等于一，你想到什么了？二零二二新一就要考到了，所以我们先总结一下这道题，你知道他不？不知道他肯定是不行的哦！ 先给大家说一下，这辆是 o， 这辆是 a， 这辆是 b， 这辆是 c， 就是 abc。 三点共线的充上条件就是 oc 向量等于多少倍的 o， a 加上多少倍的 o b， 系数之和为一， 需要解释不？系数和为一啊，超级超级重要，必须得会啊，我就稍微解释一下，给你简单证明一下，你需要背下来，甭管解释不解释，你先背下来再说一遍。只要三点共线， o、 c 向量都可以用 o a、 o、 b 表示出来，这时候它们的系数和一定为一， 这是超高频考点，是向量。这一张最重要。差不多了，超高频考点，那所以很简单嘛，你看，那么 oc 向量，它，显然它就应该等于 o a 加上一个 ac， 没错吧？ o o c 向量等于 o， a 加 ac， 又因为又因为 ac， abc 三点共线， ac 肯定等于某个倍数的， 我们就假设 number 大 倍，这个 ab， 因为它的共线嘛， ac 等于多少倍的 ab？ 那 么 ab 呢？就应该等于个 ab 减 o a 加 o a 表示出来，所以把括号一打开，一减 number， 大 倍的 o a 加上一个 number， 大 倍的 o b， 你 看看系数和是几， 是不是正好是一大题？能直接用吗？不考大题，除了高一，高一有可能考最终考试肯定不考大题。没问题，不系数和为一。哎，但是这道题他出的稍微难一点啊。各位同学， 他现在系数值和是一吗？他现在系数值和不是一。他逗你玩呢，对不对？你不能上当，那怎么办？你看， a e 向量等于，他说二 x 加 y 等于一，那说明我先给他搞出一个二 x 来。那乘以个二呢？我就得出一个二分之一个 a d， 然后再加上一个外倍的 ac， 知道为什么这样做了吧？我得给搞出来一个二 x 来。那二分之一 ad 是 谁呢？二分之一 ad， 我 们就假设这个点是 m， 二分之一 ad 吗？就是这个这一段。所以呢，它就应该等于二 x 乘以个 am， 加上一个外倍的 ac， 那 又因为二 x 加 y 加多少倍的 ac， 说明 e 点在哪？ 说明一点，一定是在这条线上，一定三点共线，知道什么条件了吧？所以这个 m， d， c 一定是三点共线的。 这是这道题第一个关键的信息，也就是说一点，在这上面动， 在线段 cm 上动。好来，我知道一点的位置了，就是走过来，走过去，他不嫌累，再走过来，再走过去，就是在 cm 上随便动乱动，瞎动，这将是一点。那么大家体会一下。你让我求数量积 e a 乘以 e b。 哦，来，你大脑开始快速运转，选择哪一种方法？ e a 乘以 e b， 我 再给你画出来 e a 乘以 e b， 选择哪一种方法呢？这将是 e b， 这张是 e a， 是 不是他完完全全是计划横等式量身打造的一道题目？量身定做的一道题目。为什么？因为我找重点，重点就是 d， 他 是不是如果有计划横等式来做的话，他就应该等于个 e、 d 的 平方， 对不对？ e、 d 的 平方减去一个 d a 的 平方，你想想是不是 e、 b 乘以 e a 就 应该等于连接中点 e、 d 的 平方减去一个 d a 的 平方？又因为 ab 长度是四， d a 的 平方当然就是二，那也就是说 e、 d 的 平方减去二的平方减四， 所以我只需要求 e、 d 的 最小值就可以了。 e、 d 的 最小值，那你告诉我， e、 d 在 这个绿颜色上动，你说 e、 d 什么时候最小？看 e d 到这， e、 d 是 这么大，越来越大了，不行，得往下来。这这，这是最小吗？不行吧，应该在这个吧。 好，那所以他的最小值就应该是多少呢？就应该是从这点往上做垂直，所以 ed 的 最小值在这，就在这的时候往上做垂直，没有比他再小的了。你看，这是 ed 变大了，变大了，变大了，变得更大了，越来越大，又变大了，所以这时候就应该是垂直。那垂直的时候怎么做呢？ 垂直的时候怎么做呢？我求出这个角的正弦来。先在三角形 r、 t 三角形 b、 c、 m 中，大家看 c、 c， 它等于几？等一个对边是四，斜边是几呢？ 由于 m 是 四等分点，终点的终点这个长度是二，这个长度是一，这个长度是一，所以这个长度是三，这个长度是四，所以这个长度是五数。很巧，所以肾 c 塔就应该等于个四比五。那么在直角三角形这个 d e m 中，哪个 d e m 就 这个 d e m， 那 么肾 c 塔呢？它就应该等于个对边，就是那个 d e 比上一个斜边，斜边的话是 d m， d m 就 应该等于一，等一个五分之四， 所以我们就算出了这个 d 一 的最小值，它就是五分之四，所以代进去最小值就应该是二十五分之十六，减去四二十五分之一百，等于一个负的二十五分之八十四。所以这道题选二 b， 你觉得难吗？等面积法没必要吧，相似也可以，这个三角形，直角三角形和这个直角三角形是完全相似的，你用相似也是可以的。所以这道题稍微难一点，它考点比较复杂了。其实你发现现在的模拟题之所以难，不是因为他这里边考点真的难，而是因为这里边东西太复杂了， 考好几个东西，考好几个知识点，你可能就做不出来。他不是难，而是你的基本功不扎实， 所以您每个地方都得明白，这样的话才可以。所以这道题考了一个三线合一等和线，又考了一个极化横等式，然后考了个相似，求最值就可以了。

面试官抛出问题，你们怎么处理向量数据，然后存进数据库的？你脑子里闪过念头，就是把内容分割转成向量存起来呗。如果你是这样回答，这个职位就跟你没关系了。为什么？因为面试官已经听出来了，你没有实战经验。大家好，我是大宇， 今天咱们拆解一下，一个年薪百万的大魔性专家，到底是怎么玩转这套系统的。首先问你个问题，你拿到的文档是什么样的？我跟你说，真实的数据源有多混乱？老旧扫描件、十多年前的 pdf、 o c r 乱码满天飞，页码、水印、页脚全混在内容里，网页爬虫数据、 html 代码、 java script、 cs、 央视第三方追踪脚本一团乱码。办公文档、 word 里面表格套表格合并单元格、隐藏文本 排版。逻辑糟透了，你要是直接拿这些废料去切割会怎样？进来的全是垃圾，出来的肯定也是垃圾，这就是业界的铁律。所以第一步必须清理， 用工具库，比如 unstructure 或者布局识别算法，把格式统一，乱码去掉噪音清掉，整理成规范的结构。但这还不够，最关键的一步，大多数人都漏掉了。打标签。什么叫打标签？就是提取原数据、发布日期、来源、部门、保密等级、业务分类。 有了这些标签，后续搜索就能实现精准过滤用户。问最新的技术方案，系统只返回二零二四年最新的来自技术部的文档。没有标签， 你的搜索就是瞎蒙，在大海底捞针，全靠运气。现在数据洗干净了。接下来第二步就是分割这个环节，这里有个坑，很多工程师都踩过， 最常见的做法是什么？简单，暴力，设定固定的制服数，比如五百字一段，知道会发生什么吗？一个完整的逻辑，一句话， 一个知识点，可能被深深切成两半。我们的优化策略分为三部分，第一是性能优化，第二是 ai 拿着这个残缺的片段去做匹配，怎么可能准确，就像医生只看了患者的半条腿，根本没办法诊断正确做法。智能定位切割系统会聪明的识别 这里是不是句子的分界线，这里是不是段落的转折，这里是不是逻辑的断点，然后才切，加上划窗重叠。 前后两个片段故意有百分之十至百分之二十的重合。比如片段 a 第一到第十句，片段 b 第八到第十七句，故意重合第八和九句。这样形成一个缓冲地带，确保边界信息不会因为被切到接缝处就丢失。但最高级的玩法 叫小块大块架构，这是区分业余和专业的分水岭。理解，小块解锁块，大小控制在两百至三百字，一个单一完整的知识点， 特征鲜明。这个镜像量库，大块生成块，大小控制在一千五至两千字，包含完整的背景，详细的案例，深层的解释。解锁出小块后，把对应的大块送给模型，为什么这样？因为小块的向量特征非常突出，搜索时能精准定位，但生成答案时，模型需要丰富的上下文。 这个架构就是用小块做精准定位，用大块做充分生成，既保证了搜索精度，又保证了答案质量。 大多数公司的 r a g 系统效果平平，原因就在这，要么只优化了搜索结果，信息不足。要么只优化了深层结果，搜索不准。只有真正的高手才能两者都兼顾。第三步，非常重要的一步，文本要变成向量，需要 ingabili 模型。 这时候有人会想，我直接用最强最贵的模型肯定没问题啊！错，这是大坑！我给大家讲个真实发生过的案例，某医疗公司做 ingabili 模型处理医学文献，结果怎样？效果特别差。 用户问，什么是冠心病？系统返回的是什么？是普通感冒的内容？为什么会这样？因为通用模型是用互联网通用数据训练的。 他根本不理解医学领域的专业黑化。在通用模型的向量空间里，心梗、心肌梗死、冠状动脉狭窄这些在医学里完全不同的概念， 都被挤到了心脏相关的同一个区域。模型无法区分。法律领域也一样，合同违约和协议变更在普通人眼里区别不大，但在法律专业里，是两个完全不同的法律问题。通用模型分不清，怎么解决？微调，你不能依赖通用模型， 必须用我们行业的专业数据对模型进行调整。拿医疗的几千份专业文献，对 bgm 三或 m 三 e 这样的基础模型进行微调。训练完成后，模型就变聪明了。他学会了区分冠心病、心肌梗死、心力衰竭 这些词在医学里的真实含义和细微差别。效果提升有多明显？精准度能提升百分之五十至百分之八十，这不是小数字， 这直接决定了整个系统的天花板。记住，通用模型加垂直微调才是王道。第四步，向量有了，要存进数据库。很多人会说，我用 panico， 我 用 milos， 我 用 vivite， 这都是表面真正的核心在锁影算法的选择。 假设你有一千万条向量数据，你能用最朴素的 f l a t 锁影吗？什么是 f l a t？ 就是 暴力搜索。每次用户查询，系统要把查询向量和所有一千万条向量都计算一遍，距离 计算量是什么量级？一千万条数据，每次查询都是一千万次浮点预算，你的服务器会直接被烧穿，用户要等好几秒才能看到结果，这完全不行。所以我们用 h n s w 分 成导航小世界， 这是目前最实用的解决方案。 h n s w 怎么工作的？想象一下，不是直接在数据大海里乱翻，而是先构建一个多层级的图结构，这个图像导航地图一样，让你快速定位到最相关的数据区域。搜索时，你不是全表扫描，而是沿着图的边逐层跳跃，逐步逼进最相关的向量。 性能提升有多明显？时间复杂度从 n 级别降到了 log n 级别，也就是说，一千万条数据， f l a t 需要几秒钟， h n s w 只需要几十毫秒，这是质的差别。还有个被百分之九十九的人忽视的细节。批量入库优化，很多初级工程师怎么做的？一条一条的发送请求 入库，第一条限量等待入库，第两条等待入库，第三条等待，这是最低效的方式，数据库完全没办法发挥兵发能力。 怎么做？把数据分批一次性发一千条项链的请求，让数据库能够并行处理，效果有多明显？入库速度能快五到十倍，一百万条数据从几小时降到几十分钟，这就是生产级系统和玩具级系统的根本区别。有人会想好了，数据入库、完成，任务结束，错的离谱， 真正的问题才刚开始。向量解锁最可怕的漏洞是什么？它会产生幻觉。什么叫产生幻觉？用户问怎么开户，系统却把怎么销户的内容解锁出来了。为什么会这样？因为这两句话在向量空间里太像 模型，根本分不出区别。意思完全相反的两件事，被系统当成了同一件事。用户来开户，你给人讲怎么销户？这是什么服务啊？所以需要一个超级关键的机制，混合解锁。什么是混合解锁？不止靠项链，而是同时用项链搜索和关键词搜索。比如用户问怎么开户， 向量搜的角色找所有与意相近的内容，关键词搜的角色找所有包含开户这个关键词的内容。两个搜索结果一结合，开户和销户就再也别想混淆了。但这还不够，我们还要加一个 re rank 重排序模型，这是最后一道防线。 想象这个流程，初选阶段向量搜索加关键词搜索，先塞出前五十个后选。复选阶段重排序模型接手，对这五十个后选重新打分， 用一个更聪明的模型来判断真正的最相关决选阶段，只返回 top 五，最靠谱的结果给大模型。这就像选秀节目的流程，初赛是海选，塞出所有有潜力的，复赛是精选， 从这些人里挑出真正的明星选手。有些顶级公司还会用 h、 y、 d、 e 技术，让 ai 先模拟一个可能的答案，拿这个假答案去做向上搜索，为什么这样有效？因为答案和答案的相似度往往比问题和答案的相似度更高，召回率能直接翻倍。所以 整个向量数据工程的核心就三点，第一，源头要精细。第二，上下文要完整。第三，搜索要精准。 好了，假设明天有面试，面试官问这个问题，你怎么回答才能赢？我给你一个三层级回答框架。第一层，质量意识，我们非常重视源头数据质量，首先用布局分析清理格式，然后提取原数据打标签，为后续精准过滤做准备。 第二层，架构优化，采用低规切分加划窗重叠，确保语音连贯。核心是小块，大块架构，小块镜像量库，保证搜索精准度。 大块送大模型，保证深层质量。引编码模型也是垂直为调的。第三层，工程闭环，用 h n s w 锁影配合 p 处理，保证 性能。入库后用混合解锁重排序和 h y、 d e 技术做多重校验，避免语义错误，持续通过数据驱动迭代优化。你这么回答，面试官听完会怎么想？这哥们真的做过生产级项目？保证他听完直接想给你发 offer， 那 一刻 你就赢了。好了，今天的分享就讲到这儿，点个赞，关注一波，我会持续更新大模型的深度技术内容。

那我们这节课其实涉及到平面向量基础概念其实特别特别多，需要给大家仔仔细细的讲。所以今天呢，我会给大家做几个快乐小辨析，帮助大家彻底学懂平面向量。首先问大家一句话，他说，如果若两个向量大小相等，那么这两个向量就相等，对还是不对啊？大家可以把自己心目当中的答案打在屏幕上，三二一， 我给大家画个图，人家这大小相等只是说这几个箭头长度一样，但方向是不是有可能不一样？那我们知道，向量既看大小又看方向，你方向都不一样了，能说这几个向量是相等向量吗？显然不能啊。因此接下来这个知识点大家一定要记好了。 人家说，或者你推出来两个向量相等，那有两层含义，第一，它的大小，或者说它这项量箭头的长度是一样的。第二，人家指向的方向也必须完全相同。你看这图形里面，这 ab 和 cd， 人家都往上指，这就叫方向一样，我可以把它写成 ab， 等于 cd。 而且项链还有一个性质，它特别大胆。你看啊，这项链 a、 b， 我 把它平移了，哎，我把它往下平移，我平移的过程当中有没有改变它的大小和方向呀？是不是没有？我平移前后俩项链大小方向完全一样，前后就是同一个项链。这条项链的性质大家一定一定要记好了，项链可以随意平移， 比如给大家举个例子吧，他说，正六边形 a、 b， c， d， f， 中心是点 o， 问，哪个跟 o a 是 相等的呀？我知道 o a 在 这啊，你看这呢？ o a， 它以 o 为起点， a 为终点。然后他问我 a、 b、 c、 d 哪个跟它相等，那我就看哪个大小方向都一样呗。 首先 d o， 我 发现这大小方向好像的确都一样，那这 a 我 赶紧选上，那 b e、 o 在 这呢， a 大 小是一样，但是方向很显然不一样， b 不 能选 c f o f o， 那 这方向也不一样， d c o c o 往这指了，方向也不一样。这题说的太简单了啊，纯属逗我玩呢。那我们再讲后续内容之前，再给大家辨析几个小概念啊。 限量第一节课嘛，概念课呃，稍微有点墨迹，现在有三个小概念，意思是比较类似的，第一，线段，这俩段点 a 和 b， 有 没有起点和终点的这个说法嘞？是没有的， a 和 b 没有。先来后到，你说线段 a b 和说线段 b a 那 是一回事。 接下来我们来看平面向量，既有大小又有方向的量，叫平面向量。比如说我画个平行四边形啊，你说 ab 向量跟 b a 向量是一个向量吗？ 不是啊，那跟我们向量呢，比较类似的一个概念，在我们教材里面有，他叫有向线段。啥叫有向线段呢？教材我们解释是叫有方向的线段，这大家知道一下就行，因为考试考的概率不太大。在我们人教版教材里面，有向线段也用箭头来表示 有方向的啊。由起点到终点，一个有向线段，那它究竟跟平面向量有什么区别和联系嘞？ 它俩只有一个不同点，那就是平面向量可以平移，我把 a b 移到 d c 上。 a b 跟 d c 是 同一个向量， 向量可以平移嘛，但是有向线段不一样，有向线段它强调的是起点跟终点，这线段是固定的，定在这了，有向线段可不能平移啊啊。所以曾经考试考得比较刁的时候，他给你出了多选其中一个选项，说平面向量就是有向线段。这句话对还是不对呀？ 大错特错。因为向量是活的，它可以平移，但是线段是固定死的，线段就在这不能平移。 ok。

hello， everybody， 我是 神奇小猪。欢迎大家开始平面向量的学习，大家可以根据自己的学习进度，还有脑容量，随时暂停，随时学习，快点开始吧！ 在学数学之前，今天咱先学点物理。在物理学里面，有很多既有大小又有方向的量，比如说咱们非常熟悉的位宜，我从心爱的家走到心爱的学校， 这谓仪，这物理量，很显然，它既有大小，我知道我走多少路，还有方向，我知道往哪走。这种有大小有方向的粒子特别多，比如说咱分析鞋面上一个小物块所受的力啦，这不同方向上的力，很可能大小也不一样。像这种既有大小又有方向的量，在物理里面我们叫屎量。但是在数学当中，我们起了一个新名字，叫向量。 因此大家如果想学好向量，就掌握两件事，第一，向量有大小。第二，向量有方向。那他知道向量是啥了，他怎么表示嘞？第一个方法，咱画图来表示呗，咱画一个小箭头，这箭头既能表示出他的大小，他多长，又能表示出他往哪指，他的方向是多少。 除了几何表示之外，我们还有代数的表示方法，因为咱总不能每次出现这样都画个图吧。第一种代数表示方法，咱由起点到终点给他写下来，他不是由 a 开始到 b 结束吗？咱们在这上面加一个小箭头，这就表示 ab 这个向量了。 哦，那我要是由 c 起点走到 d 嘞，那我姥姥也会了，那就写成 c d 向量呗，简直不要太简单。注意哦，起点在前，终点在后，别写反了，咱要是把 a b 写成 b a 喽，那可出大事了，咱就由 b 起点往 a 指了，这俩向量长得一模不一样，方向完全相反，不是一回事啊。 ok， 这是第一个表示方法，咱把起点和终点连起来。接下来我们来讲第二种表示方法，咱可以把一个项链啊，起个小名，这跟给小孩起名是一样的哈，你说咱有个孩子，每次叫他不能报身份证号吧，咱得给他起个张三李四张的小名。 项链也一样，咱一般用小写字母表示一个项链，项链 a， 项链 b， 这是项链的第二种表示方法，小写字母加箭头。 这里也有一点需要注意哦，这是我用手写出来的，叫手写体，咱手写体是加箭头的，但是还有另外一种书写方法，叫印刷体，啥意思呢？就大家在书上或者练习册上，他在表示向量的时候，人家可以把小写字母加粗加黑，表示一个向量，人家不需要加箭头， 这大家得认识，它表示 abc 三个向量。当然大家也别淘气说啊，那写箭头太麻烦了，每次啊，我也加粗，哎，我也这么写，我加的粗粗的，用这表示向量行不行呀？不行，咱用咱自己小手写出来的字，必须得加箭头，别加粗，别整没用的。好了，以上就是有关向量本身的一些基础概念。

哈喽，大家好，我是番茄学术，那么今天我们这节课是来学习一下如何去写空间向量的大题， 那我们这节课就以二五年的全国一卷以及全国二卷的那里面的两个呃空间向量的题为例哈，那首先我们来看到是二卷的好，首先大家读一下题吧，划个两分钟， 嗯，好，时间到了啊，四边形 a， b， c， d 中，我们先首先要分析条件，那分析条件之前啊，我们最好先把这名先给它看完，就是你先看完这个，然后你再去读题，你会特别注重 这这个东西，知道吧？好，我首先看一下 a 撇 b 红色的部分，干嘛呢？平行平面 c， d 撇 f， c， d 撇 f 红色的要去平行这个蓝色的。好，那我们等会读题的时候就要多关注一下这个了。好， a， b 平行 c， d 它两平行 d， a， b 等于九十度 d， a， b 等于九十度，九十度你要给它画出来啊， f 是 中点好， e 在 ab 上， e 在 ab 上，它又说 e， f 平行 a， d， e， f 平行 a， d。 好， 那我们这边哈，首先它平行它，它又平行它，你看它平行它，它平行它，这什么东西啊？ 平行四边形， a， b 平行 c， d， e， f 平行 a， d 所以 a， e， f， d 平行四边形。 好，这是我们刚才看到的，后面应该会用得上。好，我们继续哈， a， b 等于三倍的 a， d， a， b 等于三倍的它，假设它是一，它就是三啊， c， d 等于二倍的 ad， 假设它是二，它就是就是，假设它是一，它是二倍的，那就是二喽，对不对？然后这边又有一个中点，对不对？哎，那它等于它等于它。好，刚才又有平行四边形哦， 哎，他等于他，等于他，等于他，然后这个就是二倍喽，因为整个是三喽，可以吗？好，那我们偷偷的可以知道所有的边长，假设他为一，他为一，他为一，他为一，他就为二，不知道用的用不用的上， 那要用上的时候我们就干嘛呢？因为 a、 b 等于三， a， d， c、 d 等于二， a、 d， 你 直接写个 u， 所以 a、 d 等于 d， f 等于 c， f 等于 a， e 等于二分之一的 b、 e， 这样就把所有的边长的关系都找出来了。好，你不要一个一个写，一个一个写，很累的。 好，接着呢，将四边形 e、 f、 d， a， 哦，我们再注意一下哈，因为它是平行四边形，然后呢，它有一个角是九十度，所以是什么东西啊？这什么东西啊？平行四边形，又有一个角是九十度， 边还相等，这不，这不正方形吗？对不对？所以这个正方形，哎，给它折上去变成这玩意， 然后他说使得这个面与 e、 f， c、 b 与他的所长二面角为六十度。好，注意哦，这边是垂直下去的哦，这边垂直嘛，这是正方形嘛？垂直的哦，垂直。然后他与这个 是六十度，那就是这个角吧，这个角六十度，或者这个角六十度啊，他折上去的嘛，六十度， 六十，六十。好，现在第一问，还是让你正他平行这个面。好， 那我们直接正的话，好像就是直接看的话，好像不知道从哪里下手，对不对？但是刚给了很两个条件，他平行他，他平行他。哎，这两个面有两条直线相互平行的话，是不是这两个面就平行啊？好，这是第一种方法。我先写一下啊， d、 d， 因为 a、 b 平行 c、 d， 所以 b、 e 平行， c、 f 这边折上去的也会平行哦。 一呃， a 撇一， a 撇一平行， d 撇 f， 这两条边，这两条边相互平行，那相互平行的话，那这两个面是不是就平行啊？ e、 b、 a 撇平行， c、 d 撇 f。 呃，我们要证明 c、 d 撇 f 嘛，那我们这一边写的时候也要对应的啊，你写这边 b、 a 撇一，这样好看一点，平面平面，嗯，不要漏字哦， 所以它俩也平行，可以吧？好，那这两个面平行之后呢？哈，那，那这个，这个线在这个面里面是不是也会平行另另外一个面啊？有， a 撇 b 属于平面平面， b， a 撇一，所以 a 撇 b 平行平面， c、 d 撇 f。 好， 这就是第一问，大家有想到吗？好，那第一问肯定是开胃小菜了，我们这难点重点肯定是在第二问好， 求哪个面呢？ b、 c、 d 撇好，第一问的话还有一个方法哈，还有一个方法，来，我们第一问，再注意一下啊，这边如果取个中点，这边也取个中点啊，好，连起来干嘛呢？我们瞅一眼哈， 它与这边这边也取个中点，取个中点，连起来。 瞅一眼这两个，这两个会不会平行写相等啊？我们瞅一眼哈，首先这边这个，这个，这个，这个，这两个是不是全等？ 全等，然后这下面，哎，正的感觉跟刚才一样的，还不如刚才那个呢，知道吧，这两个全等嘛，全等。然后他俩平行嘛，且相等嘛，平行且相等嘛，所以就平行嘛，然后他平行他，他就平行，他这三条边是不是都平行啊？这三条边是不是都平行啊？ 或者你刚才这边这个给他连起来，这样好像好一点，因为这边取的是终点嘛，你刚才正全等好像还差一点东西，应该这样子哈，就取他终点，然后连起来，这边也连这两个终点也连起来，这两相互平行 且相等，然后所以他这两个就平行，然后他本来就平行他，他又平行他，所以最后 a 撇 b 平行，这个可以不，但是这样好像有点麻烦，还不如刚才我们这面面平行呢，是不是好， 那么接着第二问哦， b c d 撇， b， c d 撇这个，那我们把把第一文擦掉啊，拿蓝色的 b， c， d 撇 与谁呢？ e f d 撇 a， e f d 撇 a 所呈的二面角的余弦值。 我们来瞅一眼这两个面要求余弦值，那肯定要求它们的发向量，我们来回顾一下啊，你看啊，两个面 我要求它们之间的夹角，这个夹角怎么求呢？求它的发向量 m 以及它的发向量 n， 然后这两个法向量求完之后可算以西塔，哎，这个西塔跟这个有什么关系啊？他们的可算引是不是一样的？ 这个角和这个角会加起来等于派，嗯，然后这个角和这个角是一样的，所以如果哈，因为我们不知道法向量具体是朝这边的还是朝那边的， 是朝上面的还是朝下面的，所以我们求出来，只能根据求出来到底是正的负的去判断到底是这个角还是什么，还是这个角， ok 吗？ 嗯，这边可能是有有一丢丢难，但我们没关系，我们首要目的还是先把它两法向量找出来，然后再去判断最后一步。嗯，好， 那要找法相呢的话，我们这个先等会，等会有用先放这，先找法相了呗。找法相呢？之前要干嘛？解析喽，对不对？那解析的话，首先 肯定要先保证 x 和 y， 干嘛？ x 轴和 y 轴垂直，那我们来看一下这边是不是有垂直啊，或者这样呢？也行吧，对不对？好，那我们就这样吧，这样看起来好看一点喽。这边是 x， 这边是 y， 好，那往上做一条线，就是 z 了，可以往上做一条垂线哈，不然的话没地方连了呀，对不对？好， 做这个 z 轴垂直于这个面。嗯，好，以这些建立直角坐标系，你写个如图所示，建立直角坐标系就好了。好， 那我们要找他的发箱量，还有他的发箱量，首先这些点我要标出来喽，然后长度是不是没设呀？对不对？没设，那我们要干嘛呢？我们要先把长度设出来。 好，设长度有一个小技巧哈，就是你这边刚才不是一一一一一一二吗？哎，感觉写的很流畅，对不对？好，但是我们注意下，这个第一撇点， 它的纵，它的 y 轴，这边的坐标是多少呢？这边是六十度哦，我们把它单独拿出来 f、 c、 d 一 撇，做个垂线，这边是六十度，然后这 这边往下做个垂线，这边六十度嘛，这边是垂直的嘛，然后这边呢？这边多长呀？ 这个长度就是这个长度，对不对？我们要设出来，如果这边长度为一，那这边就是二分之一，对不对？那为了好，算一点，是不是长度为二，那这边就是一吧，对不对？这样好，算一点喽，好， 哎，为什么这边这边为二，这边就为一啊？三十六度所它的边等于斜边的一半， ok 吗？这个肯定要会的喽。好，所以我们射这边，刚开始写的时候，你就射它为 设这一串吧。刚写的时候可能想不到啊， a， b、 d， f 等于 c， f 等于 a， e 等于二分之一， b， e 等于二。好， 那我刚才设的边长为二楼，那所有的边长都是二楼，这边也是二。好，这边是四楼。 好，这边垂，这边长度的话是一好，这样的话我们就可以把所有的点的坐标都表示出来吧。 那这个 a 撇的等会的 y 轴的坐标就也是这个一吧，对不对？这边做个垂线嘛，一，这边是二，这边六十度的话，这边是一好。 好，那我们分析完我们就可以写了。呃，做 z 轴垂直， a、 b、 c、 d 与 f 点，好似图所示，建立直角坐标系。 好，然后我们把需要用到的点都给它标出来。我们要求法向量的话，首先这两个面都要，都要在这两个面里面找两个向量干嘛呢？ 与法向量垂直，所以我先设呗，设 b、 c、 d 撇，法向量 为 m、 x、 y、 z。 好， 你别先别管它的，等会有个小技巧啊。好， b、 c、 d 撇，那我们要等会要用到哪哪几个边长呀？哪几个？呃，哪几个点呢？首先 b 的 b 这个点坐标是不是二四零二四零？ 好，还有 c 点，那 c 点零，二零零二零，还有第一撇点，第一撇点零一， 这边多少？刚才正好给这边写出来了。一，这边是根号三，对不对？零一，根号三。 好，然后我们就组两个向量呗，假设 b、 c 向量喽，和 b、 d 撇向量喽，可以吗？这两个向量我们先求出来， b、 c 向量后面的坐标减，前面的坐标，它减它的。好，那就是负二负二零。 b、 d 撇呢？ 用第一撇的减 b 的， 那就是零减二，负二，一减四，负三，根号三减零，根号三。 所以什么呢？它的法向量乘以 b、 c 向量， b、 d 向量等于零吧。法向量垂直于这个面里面的所有的向量了，好， 继续 它乘它 x 乘负二，负二， x 加上负二， y 加上零 z 就 不写了。这边呢，负二 x 减三， y 加根号三， z 等于零。首先由第一个，我们知道什么呢？负 x 等于，把这个移到右边来哈，二 y 负二 x 等于二 y 嘛，然后二约掉。 负 x 等于 y， 好， 负 x 等于 y 的 话，我把这边干嘛呢？ 把这边变成负二，负二 x 可以 写成二 y 了。减去三个 y， 加上根号三 z 等于零，那二 y 减三个 y， 那 就是负 y。 负 y 移到右边来， 好，也就是 y 等于根号三 z 好， 这边是 x、 y、 z 之间的关系求出来了。那我们令令 x 等于多少呢？等于根号三， 这样的话 y 就 等于多少呢？负根号三 z 就 等于负一，好，所以 m 根号三，负根号三，负一。 然后我们如果写在那个答题卡上的话，就中间这些步骤可以通通省略掉。嗯，你直接哎它等于零，然后直接解得 m 等于根号三，负根号三，负一就 ok 了，知道吧？好， 这些是省略掉的。嗯，好，那我们已经求到了它的一个发向量，那我们现在还要求它的一个发向量，对不对？好，那么你也可以设它的发向量为多少呢？ 设它的法向量为，嗯， n e， f， d 撇 a 撇法向量为 n。 刚才把这边全设为 x 一 y 一 z 一。 哈，因为我们有两个嘛，对不对？那我们这就这边就设为 x 二 y 二 z 二。 好，还是一样的法项链，我要找两个项链与它干嘛垂直啊，我随便找两个，我找 f 一 和 f 低撇。哎，为什么找这两个？因为 f 在 圆点上，那 f 一 的话，等会直接找一的坐标就好了。 f 低撇的话，等会找低撇的坐标就好了，很好找的啊。 好，那这边的话，我们还差谁的呀？还差一的坐标，一的坐标。偷偷地在这边写一下， 呃，二， x 轴上是二零零零零。好，那 f 一 坐标就是二零零喽。 f d 撇呢？ d 撇刚才已经求了零一，根号三。嗯，好，等会我再带你们规范一下步骤啊。这边先尽量讲的详细一点。 好，所以干嘛？所以 n 向量乘以 f， e 向量等于零， n 向量乘以 f d 撇向量等于零。好， e 就是 刚才的操作了， 二乘 x 二二， x 二等于零，然后呢，这边一乘 y 二，那就是 y 二加上根号三， z 二等于零。好，这样的话上面就能解出 x 二等于零，那下面呢？ y 就 等于 负，根号三， z 二好令， y 二等于根号三。令我们另一个我们比较能，就是比较好算的数字哈。啊，因为现在只知道他俩之间的关系嘛。 它等于根号三，那它就等于多少呀。负一， c 二等于负一，所以，嗯，向量等于多少？呃，零，根号三负一。好 啊，接着我们就可以规范一下步骤了，写到这先暂停一下刚才写的这一大堆啊。算了，我们算到最后再来规范一下步骤吧，大家毕竟第一次做好。那我们已经求到了两大法项量，对不对？ 求的两大法相等，我只要口三，嗯， m 就 可以了。口三，嗯， m 的 话就是多少啊？这边 m， 嗯，相乘，然后 m 的 向量乘 n 的 向量的模 好，它俩相乘的话就是零乘根号三，然后根号三负根号三，那就是负三，负一，负一加一好，除以下面 根号下他的模， n 的 模等于根号下零的平方加上根号三的平方加上负一的平方，那就是这边三加一等于根号四，根号四就等于二。 好，等会写，然后这边呢， m 的 模等于根号下这边三，这边它的平方三加它的平方加一，那是根号下这边多少？三三一，那是七 好，然后我们化简一下，根号四等于二，这边的话就是负二，所以最后就是负根号七分之一等于负七分之根号七好，然后我们来注意一下啊， 我们算上是负的，但是啊，我们自己瞅一眼哈，这两个面他们的之间的夹角多少度呀？你能猜出来不？肯定是锐角了，对不对？所以他如果是锐角的话，那你看啊， 他们之间是锐角，那我现在求的是求到的是多少呀？求出来，这是乘法音，是负的呀，负的，负的，说明你看我这这个角和这个角干嘛？求出来的是这个可以吧，但是我们要的却是正的，那怎么办？答的时候就答， 呃，我们要求的是什么？正弦值？正弦值是 sine 嘛，对不对？现在求的是 cosine， cosine 还是负的，跟我们原来不一样呀，我 cosine， 我 因为这个它们之间的夹角是锐角，所以如果求到的是负的，你偷偷给它添绝对值，添绝对值， 添绝对值， 这样的话就是七分之根号七了，知道吧？或者你不填也行，你不填也行，你最后答的时候你直接答就好了。 答，因为要求正弦值嘛，正弦值为 根号下一减去负七分之根号七，括号平方就 ok 了。 来写一下，一减去七七，这边就是根号七分之一的平方嘛，那就是七分之一，那就是七分之六。根号下七分之六等于七分之六七四十二，七分之根号四十二。嗯， 好，那我们来再来探讨一下呦再来探讨一下呦。这边如果是钝角，你就算求出来的是这个是锐角，你要答的时候偷偷填符号， 如果你求出来正好是负的，那你如果是钝角的话，那你直接打的时候是这个钝角就好了。然后还要看清楚是正弦值还是余弦值。大家可能对最后一步可能有点迷，这个没有关系，你写着写着慢慢后面就会了。好吧。好，那如果是锐角呢？那如果你看啊，如果两个角的夹角是锐角， 两个面的夹角是锐角啊，画的好像这边有点 y 啊， 它们夹角是锐角，但是你求出来的口塞印反而是什么呢？反而是负的，那说明什么？你求到的是这两个是这个角，这个角与这个角它加起来是 pad， 你 虽然求到的只口塞印是这个，但是你直接它们的值， 他他的值和他的值是互为相反数的关系。所以你答的时候，比如说我如果要求余弦值吗？我要求余弦， 那你这边求到的是负七分之根号七，那你答的时候你直接说七分之根号七就好了，因为你知道，因为它是锐角嘛，对不对？你说锐角它们之间的是锐角，所以余弦值为 七分之根号七，这是这个啊，不知道大家有没有听懂。 然后这个题的话主要是要注意这个，你要会画这个图，就是原始的，就是原来这个就是两个面之间的法向量之间的关系，它是有两种情况，一种是求出来是正的，一种求出来是负的，你要对应上去，知道吧？嗯， 该正的时候就是就是，如果是锐角你求出来，就算是负的，你也改成正的。好。对对对，然后我们来规范一下步骤吧。那我们写的时候一般是这样子，他就是见完戏之后的话，然后把所有的点都标上去，你看这些点标上去。好， 嗯，这边擦一下。呃，把所有的点都放一块，然后该这边这边几个直线就是线的放一块，然后法相在这边。 呃，这边呢？和他在一块，这边和他在一块。直接解得就好了，调一调，调一调完了，这个好像很难拿出来， 这边零零碎碎的就不要了。好的， 嗯，这就是我们的流程了。首先建完系，然后把要的点标出来，然后把要的线给它写出来，然后之后再把法向量设出来，然后再直接乘起来，等于零， 它里面的两个向量以及它的法向量乘积等于零，然后直接解得，这边也是一样的，直接解得可以吧？好，然后再口算一下， 你不管正的负的你都要干嘛？你要根据情，实际情况来，反正这边的话，因为他两的夹角是锐角，所以你求出负的，你也要给他改成正的， 但是你这边你改不改都无所谓，因为他要求正弦值，你都要根号一下，但是你改一下肯定更好一点。你加绝对值的话，你加绝对值的话，那求出来的这个口三就正好是什么 求出来的口塞音值，正好。是哦，现在这个更好一点哈，现在这样求出来的正弦值。呃，余弦值。说错了，求出来的余弦值正好是它两之间的余弦值， 嗯，因为它之间是锐角嘛，对，肉眼看出来的。好的，这是这个题目的完整流程哈，大家可以看一下。好，那接着我们讲一下。 好，那我们接着来看到一卷的这个立体呃，空间向量的题哈， 那有呢，刚才那边的经验，这边的话可能速度会稍微快那么一点。好，我们来看四轮锥， p a b c p a b c d， 他 说 p a p a 垂直底面， a b c d p a 垂直底面，然后 b c 平行 a d b c 平行 a d a b 垂直 a d a b 垂直 a d， 它是垂直的。 好，现在要证明 p a d p a d 垂直谁啊？ p a b 垂直 p a d， 好， 这两个也是一样的。我给大家画出来面，垂直面，我们先要再找一个面， 就找这两个面里面的其中一个面的里面的一条线去垂直另外一个面，那我们就证明到了。哎呀，拿黄，呃，拿红色的。 好，这两面垂直吗？哎，如果我找到 a d， a 垂直于这个面，那 d a 在 这个面里面，所以这个面也会同时垂直它，这就是面与面垂直，需要等人去证明。在其中一个面里面找一条线垂直另外一个面。 好，首先我们来看一下 pa， 因为垂直 a b c d， 哦，它垂直下面呢？它垂直这个面，垂直所有的线板，所以它垂直这个线喽。然后又告诉你 a b 与 a d 垂直，所以 a d 就 垂直这个面了，所以 a d 就 垂直这个面了。很简单吧， d t pa 垂直面 a b c d pa 垂直 ad， 又 ab 垂直 ad， 所以 ad 垂直面 p a b 啊，这种写 r 一 键的就是这两个线啊，就是这两个线一定是在这个面里面，而且这个 d a 肯定在这个面的外面写 r 一 键的东西我们直接写就好了。当然肯定你多写几部好一点喽。你再写一个什么 paab 属于平面， p a b， 然后 a d 不 属于平面， p a d， 呃， p a b， 然后又再来一个 p a 交 ab 于 a 啊，你要多写这些也 ok， 但是我我是会省略一下哈。好， 那它垂直这个面了。右 a d 属于 p a d， 所以 p a d 垂直面 p a b。 嗯，你倒着写一下更好一点。 p a b 垂直 p a d， 这样更好看一点，因为要你求的就这个嘛，你不可能写到最后你还反倒一下，对不对？好，这是第一题。 嗯，把它给它放到右上角去啊，第一题超级简单了。好，我们来看第二题。 他说 pa， 呃， pa 干嘛呢？等于 ab 等于根号二，根号二。 嗨，注意哦，这边是垂直下面这个面的，那这边根号二，根号二，那 p b 就是 二了， 他给你这么多边长，肯定等会有用的，知道吧。先先给他列出来， a d 等于根号三加一，这边根号三加一，然后 bc 等于二， bc 等于。哎，有的同学问，哎，这怎么看着像是 呃正方体，哎，怎么不是啊，他只说这边这边，这边是垂直的，这边垂直，这边也垂直，但是这边垂不垂直我不知道，知道吧？这边没说垂直。哦， 好吧，不要看着他像平行四边形，或者是呃，那个像，你就以为他是，有的时候是诱惑你的，又骗你的，把你骗进来杀你。如果是他是二，他是二，那就错喽。好，然后 b， c， a， a 没没有说 b， c 啊，然后他说什么 p， b， c， d， p， b， c， d 这四个点都在同一个球面，然后射球面的球心为 o， 证明 o 在 平面 a， b， c， d 上， o 在 这里面， o 在 这个平面里面。怎么证明呢？我们一般是这样子的哈，因为圆心到每一个点的距离是不是一样的，可以吗？所以我可以先设。设什么呢？先建立直角坐标系吧。 x， y， z。 好， 所有的点我都能呃，都能给它表示出来，先渐细吧。渐细，如图所示。渐细哦。 啊，这两个字好像写错了，不过没有关系啊，不影响大局啊，先接戏啊。 我设 o 为啊， o 等于 x， y， z。 好，设，先设一下，如果这个这个点哎，在这个里面等会算出来，那说明他在这里面就证明到了，可以吧。好，设完之后，然后呢？我要 p b， c， d， 我 这几个点都干嘛呢？给它表示出来， 等会表示完之后我们要干嘛？ o， p 等于 o， b 等于 o， c 等于 o d。 为什么圆心到圆上的距离都一样呀，知道吧，他们在同一个球面，我说错了，应该是在球哈，球心对， 好，那我们写一下呗。 p 点等于零零，根号二 b 点呢？根号二零零 d 点呢？ 零，根号三加一零好，所以 a， p， b， d， 哎， p， b， d 还少了个 c 了。 c 的 话是根号二 二零好。 o p 等于 o， b 等于 o， d 等于 o c。 这什么？ 他减，他减，一个一个减，那我写出来的话，我列的话，我就不不一横一横的列哈，因为比较就是，你先看我怎么写哈。零减 x， 就是 x 加上零减 y 方， y 方加上根号二减 z 括号方， 这是 o p 哦，根号喽，好，它会等于 o b， o b 的 长度。怎么求？ b 减 c？ 哎，不说错了， b 减 o， 根号二减 x， 括号平方加上零减 y， 括号平方加上零减 z 括号平方。 好，然后继续往下写，然后我就写到下面来了，因为右边太占空间了。 o d 的 话来写一下，零减 x 平方加上根号三加一减 y， 括号平方加上零减 z 括号平方。 最后一个根号二减 x 括号平方加上二减 y 括号平方加上零减 z 括号平方。就这个这四个相等，那相等的话，有根号的话我可以都去掉 有根号我可以都去掉。然后啊，因为这边等会我们解解求出来，直接解得就好了，所以我们这边不用老老实实这样子，我们可以在草稿纸上先给他排成排，我们瞅一眼这四个相等 四个方程，解出三个未知数是绰绰有余啊，对不对？那我们怎么解呢？我瞅一眼哈， 我们看一下哪些东西能约掉。你看这个和这个，你看 z z 方根号二减 x 括号方。这两个如果一减的话，干嘛 一减的话就约掉了，是不是？或者左右两边一抵消？哎，也可以约掉，好让他们相等一下。根号二减 x 括号平方加上 y 方加 z 方，会等于这个 根号二减 x 括号加上二减 y 括号加上这一方。好，一样的东西划掉，划掉它。 好，那这个边前平方二二得四加，后平方减两倍，乘乘后好， y 方， y 方也约掉了，好，四 y 移到左边去，四 y 四再约掉， 也就是 y 等于一好 解得慢一点。现在只解出一个好， y 等于一好。继续，我们继续观察啊， 给他和他等一下，他和他等一下我们就可以干嘛呀。首先这个 y 我 肯定干嘛了， y 肯定解出来了，对不对？或者是我瞅一眼哈，或者哪个更好算一点呢？ 嗯，这个和这个吧。啊，这个和这个刚才用了，我们直接这个和这个相等一下吧。因为现在 y 等于一解出来了嘛。 x 平方加上 y 方加上根号二减 z 挂方。 哎呀，这样不好这样不好，不好意思，我们他俩先等一下吧，他俩等一下的话这样 z 方约掉了。 为什么要先把 z 方约掉呀？ z 方约掉只剩 x 与 y 了， x 与 y 的 话我还把 y 解出来了，所以这样就只剩 x 了，知道吧，还是他俩吧。哎，不要着急。 根号二减 x， 括号方加上 y 方加这方，等于这边 x 方加上根号三加一减 y， 括号方加上这一方，这一方这一方约掉。好， 这边 y 等于一，你可以带进去，这都是草稿纸上进行的哟。好，根号三的平方就是三好，前平方二加后平方减两倍的前乘后 加一等于 x 方加三， x 方 x 方约掉。好，然后你这边二加一等于三也约掉。好，等于零，说明 x 等于零，可以吧。 好，这样的话 x 等于零， y 等于一。那你随便带哪个我都能把 z 写出来带进去。那就是根号二的平方喽。那就是二加上这边二减一的平方，一加上 z 方 好，让它等于什么呢？呃，等于等于它吧。呃，等于第第一个，第一个零加一的平方一，然后再加上根号二减 z 夸平方好， x 等于零，好，继续结一一抵消掉。好，这边前平方二加，后平方 z， a 平方减两步的乘乘后二根号二， z 好， 二加 z， 零一样的抵消掉， o， o 抵消没了， 所以 z 等于零，所以解，直接解得就好了。直接解得 x 等于零， y 等于一， z 等于零。嗯，刚这一大堆， 给它复原一下， 复原一下。 嗯， 这边长相等，然后我们直接解得 x 等于零， y 等于一， z 等于零。 呃，所以 o 的 坐标就是零一零，零一零在哪？零一零是不是在 a， b， c， d 这个平面上呀？对不对？好，那么就结束了。好，最后 这第二问呢，还是比较简单的吧，一个纯计算的题目啊。第二问的第一个，哎，这是第二问的第二个。 求直线 a c 与 p o 所成角的余弦值，那 a c 的 法向量求出来， b o 的 法向量求出来，扩散一下就好了呀。然后我们记住啊，两个直线的余弦值，它只有零到九十度。哦， 好吧，所以你求的时候，你如果求出什么呢？你如果求出什么？你如果求出这个了，就是你找，万一找错了，哎，找到这个线的这个和这个线的这个，你求出是负的，负的，你赶紧填个绝对值，就跟刚才这边一样的， 如果找到的是负的，你一看就是锐角，锐角怎么可能是负的，你贴个绝对值就好了，能理解吧，看到了赶紧添。哎，这个是我们不需要去说明的。好，那我们来看一下啊， a b 和 a c， a c 向量能不能求呀？ a 的 话是零零， c 的 话就是 a 根号二二零以及 po po 向量的话就是多少呀。 呃， p 是 这边零零，根号二，然后 o 的 话是 o 零一，零减下零减零等于零，然后一减零等于一，减零等于一啊，然后零减 根号二，负根号二。好，然后再口算一下就好了。口算角 a c。 好， 记住刚才说的两个线之间它们之间的夹角，你不不能是什么？ 不能，干嘛不能是负的，你等会如果求出负的来了，你赶紧改一下。好，等于 a c p o， 但是一般他给了，一般他给了什么？两个线段，两个线段你一般求是不会有负的，但是我说了，万一，知道吧，万一。好吧，继续。 a c p o 好， 等于上面啊，根零乘根号二，不用写一乘二二，然后下面根号下二加上四乘以这边根号下一加上二。好，最后就是根号六，根号三分之二 啊，可以写成这边根号。呃，二乘这边这边可以写成根号二乘根号三。哦，所以根号三，根号三变成三了。好，二，然后上下再同时乘根号二，楼二二二三，然后二根号二，所以最后二二底小三分之根号二， 然后答，这这这三分之，根号二。好了，这就是今年的两个立体几何的题，难度不是特别大。 那这边讲解这么慢的原因是因为我考虑到大多数同学啊，之前是没学会的，所以我这边讲解的会比较慢一点。那之后的系列的话大部分都是这样子去更新哈，以某个题行为 精准。好吧，好了，那么本期视频就分享到这，如果觉得不错的话，可以给我点赞投币加关注啊。你们的点赞投币加关注会帮我把我的视频推荐给有更多有需要的同学。好了，那感谢大家的收听，我们今天就到这，拜拜。

咱们高一的家长们哈，马上到寒假了哈，现在这个咱们很多，这个寒假课什么的也都开始了是吧？ 之前上过初升高了，不要再走之前的老路了是吧？现在到高一下了，我们开始学这个向量了。咱指人教 a 的 这一帮子啊，那个人教 b 的 这块不是三角函数嘛，是吧？咱们先说人教 a 的 这一帮子。平面向量这些东西，平面向量我们要搞定哪些东西 啊？首先就是平面向量，这里头我们看了，哎呀，向量加减法平平面向量法则是不学习啥都很简单是吧？但是这里这块你要搞定的是啥？是 记住这句话啊，利用平面向量去处理图形里头 任意两条肌底边和任意一边的关系，也就是什么在平面向量里头用任意两个肌组肌底向量去表示什么？ 表示另外一个向量是吧？咱这个咱们有那个上过预科，是不是现在都在做这种题是吧？然后有的说，老师，这种题好简单啊，就也不算难是吧？把这块搞定了之后是干啥？ 不要说是，就光看见那堆题，那堆题是不都长一个模样？这种题的核心是要干什么东西？想一想向量是不是就是啥有长度，有方向，实际上就是干啥？把图形里的其中两条给定的已知边和什么任意的一条边， 可能就是说我们在图形里头我们找不出来他们的关系，但用向量我们可以找出来，是吧？我们把它建立了一个联系， 然后有的说，老师，那这个东西还算不了啊。那紧接着还有啥？下一块是啥？向量的数量积，向量的数量积是干嘛用的？向量的数量积我们计算的时候是干啥？ a 点乘 b 等于摩 a， 摩 b cosine c， 它 干啥用？它把向量又重新和模 a 模 b， 那 是啥？是不是图形里的线段长度？ cosine c 的是啥？夹角，这是图形的性质吧，我又把向量和图形性质给结合起来了， 那么这样子之后，我再通过数量机的计算，我是不是就把基底向量 和任意一和我图形里边的任意一个向量就是咱们求的这种？我原本只有个向量的关系，我算不了，现在结合着数量机干啥？平方以后是不是就能算了？ 是吧？我就是利用向量干啥？我把图形里边任意三条边之间的关系我都给搞定了， 边角关系是不是，对吧？这是向量的作用，你把这个东西搞定了啊，然后在这个中间图形里头还穿插了一个什么向量基本定律，是不是？平面向量基本定律就是所谓的贡献定律？鸡爪子模型是不是？鸡爪子模型实际上是不是就是 一个渐变的这种？因为鸡爪子模型那个形，那个形形是不是特别简单？一个三角形中间画条线，是不是？这是属于最简单的这种图形单元了？是不是在这种最简单的图形单元里头啊？ 我找找到两个基础箱底箱量的话，我可以通过定比分点，是吧？我可以表示出另外一个箱量来，是吧？我也可以。然后结合着数量机，我是不是也可以求另外一个箱量了？ 是不是就是所谓的什么另外一个那个什么边长是不是？这就把什么呀？你看 利用平面向量的这个工具去解决咱们啥平面几何里边的边角问题，你看它是一个工具，有说老师它是唯一的工具吗？不是啊，我们后边这块啥？咱们向量后边这块有一些应用，叫啥正弦定力，余弦定力，是不是这俩一样？是什么 正弦定律？余弦定律的话咱们正常情况下是单独放出来是啥的？解三角形是吧？ 因为他还要结合是什么三角恒等变换的东西是吧？三角恒等变换的东西给我们角的知识，然后有正弦定律，余弦定律，他们自己有单独的处理边角问题的方法是吧？然后纯用向量的是我刚才说的前面这一块，是不是？然后这里头 为什么是先是向量，后是鱼线定律啊？有一年考试都考了鱼线定律，用什么证明的？用向量的什么数量机来证明？ 很简单啊，自己也可以去尝试一下。你看这叫把知识学透了，这叫把这一块知识学透了。任何一数学的任何一个知识点，他都是拿来解决的。就是什么 用函数的思想，用向量的思，用向量这个工具，用三角函数这个工具去解决什么问题呢？去解决 几何问题？咱不能说平面几何立体几何里也有空间向量是吧？就是去解决几何问题，因为几何问题是现实问题，几何是不是咱们，咱们这个大千世界里头是不是 要么就是咱们小学、初中学的应用题是吧？这个买多少东西，是不是？你看具体到抽，具体到抽象，这是函数的，然后再利用函数向量，再利用这些东西解决现实中的什么问题？我们眼睛能看到各种几何图形，是不是解决几何问题？ 你看你从这个角度出发，再去看知点，你再去看待实际问，再去看待这个题。那题这东西就啥，是不就是实际问题的一个抽象出来的玩意，是吧？ 这么去看待他，这叫学习，明白了吗？啊？

同学们好，本节课我们来看一下平面向量概念这一节的常考题型。本节常考题型有两种，第一种是平面向量的概念题，第二种是利用平面向量解决几何问题。在解答平面向量概念题的时候，我们一定要掌握向量的定义， 既有大小又有方向的量叫向量，我们还要掌握共向量与相等向量的定义。共向量是指方向相同或者相反的向量， 它完全由方向来定义的共线向量也可以称作平行向量。而相等向量不仅要求几个向量方向相同，而且要求它们大小相等，就是长度相等， 我们要同时考虑方向和大小两个要素。因此啊，相等向量肯定是共线的，因为它们方向相同。但是反过来，共向量不一定是相等向量。 同学们还要注意，点的共向量和向量的共向量含义是不一样的。几个向量共线，这几个向量可以在同一条直线上， 也可以不在一条直线上， 但是点的共线一定要求这几个点在同一条直线上。 接下来是两个特殊的向量，零向量有三个特征，第一是长度是零，第二方向是任意的。第三，零向量与任意向量平行，而单位向量长度是一方向是任意的。 那在解答概念题的时候，我们最常用的方法就是举例法那向量的几何题。我们通常是从向量的共线或者向量的相等入手，得到边的平行与边长的相等， 进而判断四边形的形状，或者进行一些证明。在四边形 a、 b、 c、 d 中，我们由向量 ab 等于向量 dc， 我 们能得到四边形 abcd 是 平行四边形， 为什么呢？因为向量 ab 等于向量 dc 的 话，那 ab 和 dc 的 长度是相等的， 而且 a、 b 和 d、 c 的 方向是相同的，也就是 a、 b 平行 d、 c 那 一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形。好，这个在知识今讲课也给大家证明过的。 好。接下来我们来看题目。第一个判断真假。第一小题，两条表示单位向量的一条线段有共同起点，其终点必相同。单位向量长度是一，方向是任意的，我们来看 这两个单位向量，它们有共同的起点，但是它们中点不相同，所以第一小题是错误的。第二小题，向量 a、 b 与向量 b a 的 长度相等，向量 a b 是 从 a 指向 b 啊，向量 b a 是 从 b 指向 a， 所以 向量 ab 和向量 b a 长度相等，方向相反，所以第二小题是对的。 第三小题，向量就是油相线段，我们说这种说法是错误的。向量包含两个要素， 大小和方向，而有向线段包含三个要素，大小、方向以及起点。 所以向量跟有向线段不是一回事。但是因为有向线段中包含了大小和方向两个要素，所以我们可以用有向线段来表示向量。 好。第四小题，零向量是没有方向的，那这种说法是错误的。零向量长度是零，但方向是任意的，它不是没有方向。 好，下一题判断下列命题的真假。第一个，若向量 a 的 模等于向量 b 的 模，则向量 a 和向量 b 长度相等，且方向相同或者相反。 我们说向量的模就指向量的长度，所以 a 的 模等于 b 的 模，就是向量 a 和向量 b 长度相等，但是这道题的条件并没有给我们方向的信息，所以第一小题是错误的。 第二小题，若向量 abcd 满足 ab 的 模大于 cd 的 模，且向量 ab 与向量 cd 同向，则向量 ab 大 于向量 cd。 这个结论就错了。向量不能比较大小，不能说某个向量比较大，某个向量比较小。因为向量包含了方向和大小两个要素，而方向是不能比较大小的，所以第二小题是错的。 第三小题，若向量 a 不 等于向量 b， 则向量 a 与向量 b 可能是共向量。好，我们来举个例子看一下。 向量 a 和向量 b 大 小不相等，方向相反，所以向量 a 不 等于向量 b， 但是向量 a 和向量 b 此时是共线的。第四小题，若非零向量 a、 b 与向量 c、 d 共线，则 a、 b、 c、 d 四点共线， 两个非零向量共线，这两个非零向量可能在同一条直线上， 也有可能不在同一条直线上。而 a、 b、 c、 d 四个点共线，这四个点肯定要在同一条直线上， 所以我们不能由非零向量共线得到这四个点一定共线，所以这道题是错误的。 好，下一题，如果向量 a 与向量 b 不是 相等向量，则向量 a 与向量 b 一定怎么样？我们说两个向量要相等，那要求大小相等，方向相同。 所以两个项链不相等，就会有三种情况，第一种情况是大小相等，但是方向不同。第二种情况是大小不相等，方向相同。第三种情况是大小不相等，方向也不相同。 我们来看 a 选项，向量 a 与向量 b 一定不共线。我们来举例看一下。 在我们的例子中啊，向量 a 与向量 b 方向是相反的，所以向量 a 和向量 b 不是 相等向量，但它们俩在同一条直线上，它们是共线的，所以 a 选项错误， b 选项长度不相等。我们来举个例子， 在我们的例子中，向量 a 与向量 b 方向是相反的，所以向量 a 与向量 b 不是 相等向量，但是这两个向量长度是可以相同的，所以 b 选项错误， c 选项向量 a 与向量 b 一定不都是单位向量。我们来举例子。 在我们的例子中，向量 a 与向量 b 方向相反，所以向量 a 与向量 b 不是 相等向量，但向量 a 与向量 b 长度都等于一，所以它们俩都是单位向量。所以 c 选项错误， d 选项向量 a 与向量 b 一定不都是零向量，那 d 选项是正确的。如果向量 a 与向量 b 都是零向量的话，向量 a 等于向量，向量 b 等于向量，那么向量 a 与向量 b 就是 相等的了， 就不符合题目条件了。所以这道题选 d 好。 这道题就是用举反例的方法 好。下一题如图所示。已知四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形， o 为对角线， a、 c 与 b、 d 的 交点设点集 m 等于 o， a、 b、 c、 d 就是 集合 m， 由 o、 a、 b、 c、 d 这五个点构成 向量的集合 t， t 中的元素是向量，向量的起点和终点 p、 q 是 m 中的元素，而且 p、 q 不 重合，则集合 t 有 多少个元素？ 我们来看，奇和 t 是 由向量 p、 q 所构成的，而 p 点、 q 点都是 m 中的元素。所以如果我 p 点取 o 点的话， 那我 q 点是可以取 a 点、 b 点、 c 点、 d 点的，我 q 点不能取 o 点，因为 p、 q 不 重合。 如果 p 点取 a 点的话，那 q 点可以取 o 点、 b 点、 c 点、 d 点。如果 p 点取 b 点的话，那 q 可以 取 o 点， a 点、 c 点、 d 点。 如果 p 取 c 点的话，那 q 点可以取 o 点， a 点、 b 点、 d 点。 如果 p 取 d 点的话，那 q 可以 取 o 点， a 点， b 点、 c 点。做到这一步，有同学说，每一行是四个向量，总共是五行，那总共就是二十个元素，这个答案对不对？我们说这个答案是错误的， 因为这二十个元素，这二十个向量中是有可能出现相等向量的，这就导致了集合 t 的 元素重复了， 而集合中的元素要求有互异性，所以我们还要排除重复的元素。我们来看，当 p 取 o 点的时候，如果 q 取 a 点，那此时就构成了向量 o、 a， 那向量 o、 a 和向量 c、 o 是 相等的，是集合 t 里面的重复元素，所以我们就要剔除掉一个，我们留下 c、 o 这个元素，我们把 o、 a 剔除掉，那当 p 取 o， q 取 b 的 时候， 向量 o、 b 是 等于向量 d、 o 的， 又是重复的元素，那我们把 d、 o 这个元素留下，我们把 o、 b 这个向量剔除掉。当 p 取 o， q 取 c 的 时候， oc 这个向量是等于 a、 o 这个向量的，又是重复的元素，那我们就把 a、 o 这个元素留下，把 o、 c 这个元素剔除掉。 当 p 取 o， q 取 d 的 时候， o、 d 这个向量和 bo 这个向量是相等向量，那我们就把 bo 这个向量留下，我们把 o、 d 这个元素剔除掉， 那当 p 取 a 的 时候， q 取 o， 我 们刚已经看过了，那 q 取 b 点的时候， a、 b 这个向量和 d、 c 这个向量是相等的，那把 d、 c 这个向量留下，把 a、 b 这个元素剔除掉， 那当 p 取 a， q 取 c 的 时候， a、 c 这个向量没有相等向量，那 a、 c 就 留下。 p 取 a， q 取 d， 那 ad 这个向量和 b、 c 这个向量是相等的，那我们就把 b、 c 这个向量留下，把 ad 这个向量剔除掉。 p 取 b 的 时候，那 q 取 o 和 q 取 c， 我 们已经看过了，我们来看 q 取 a 的 时候， b、 a 这个向量和 cd 这个向量是相等向量，那我们把 cd 这个向量留下，把 b、 a 这个向量剔除掉。 p 取 b， q 取 d， b、 d 这个向量没有相等向量。 p 取 c 的 时候， q 取 o 和 q 取 d， 我 们已经看过了，我们来看 q 取 a 的 时候，那 c、 a 这个向量没有相等向量。 p 取 c， q 取 b 的 时候， c、 b 这个向量和 d、 a 这个向量是相等向量，那我们就把 d、 a 这个向量留下，我们把 c、 b 这个向量给剔除掉， 那 p 取 d 点的时候，此时 q 取 o 点， q 取 a 点， q 取 c 点，我们都已经看过了，那 q 取 b 点的话， d、 b 这个向量是没有重复向量的， 所以我们数一数，我们总共去掉几个，一二三四五六七八，我们总共去掉了八个元素，所以就是二十减八等于十二个元素。好，这道题的易错点就是忽略了集合元素的互异性。 好。接下来我们来看平面向量的几何体。在菱形 a、 b、 c、 d 中角 d， a、 b 等于一百二十度连接 a、 c 和 b、 d。 下列说法正确的是， a 与向量 a、 b 相等，向量只有一个，不含向量 a、 b 相等向量，那就是向量 d、 c。 它和向量 a、 b 大 小相等，方向相同， b 与向量 a、 b 的 模相等，这样的向量有九个，同样不含向量 a、 b。 那 首先，向量 b、 a 就是 和向量 a、 b 模相等的， 那其次，菱形的每条边的边长都是相等的，所以向量 a、 d 以及反方向的向量 d、 a 和向量 ab 模相等。向量 d、 c 和反方向的向量 c、 d 模相等。向量 c、 b 和反方向的向量 b、 c 模相等。现在已经有七个了，我们来看还有没有其他的 题目中告诉我们，角 d、 a、 b 等于一百二十度，而菱形的对角线是一组对角的角平分线，所以角 c、 a、 b 就 等于六十度， 而 b、 a 是 等于 b、 c 的， 因此三角形 a、 b、 c 是 等边三角形， 有一个角是六十度，等腰三角形是等边三角形，那因此 a、 c 的 长度也是等于 a、 b 的 长度的， 所以和向量 ab 模相等。向量还有向量 ac 以及反向的向量 c、 a 好， 所以与向量 ab 模相等。向量总共有九个，不含向量 ab、 c 选项。向量 b、 d 的 长度等于根号三倍向量 d、 a 的 长度。 我们假设 a、 c 与 b、 d 的 交点是 o 点，菱形的两条对角线是相互垂直且平分的，所以角 a、 o、 b 就是 直角。所以在 r、 t 三角形 a、 o、 b 中， 我们看角 c、 a、 b。 我 们刚已经算过了，角 c、 a、 b 是 六十度，那 sign 六十度是等于 bo 比上 b、 a 的 sign 六十度是二分之一， b、 d 比上 b、 a 的 长度是等于 d、 a 的 长度的， 那因此我们就能得到 b、 d 等于根号三倍 d， a 也就是向量 b、 d 的 长度等于根号三倍。向量 d、 a 的 长度 d 选项，向量 c、 b 与向量 ad 不 共线， bc 和 ad 是 菱形的一组对边，所以 bc 是 平行于 ad 的， 所以向量 c、 b 与向量 ad 是 共线的，所以 d 选项错误。 好，这道题的题目要我们找出正确的选项，那就是 a、 b、 c 这三个选项是正确的。 好，下一题如图所示。方格指有若干个边长为一的小正方形，并在一起组成。 方格指中有两个定点， a、 b、 c 为小正方形的顶点，且向量 a、 c 的 长度等于根号五。第一个让我们画出所有的向量 a、 c， 向量 a、 c 的 长度是等于根号五，而根号五是等于 根号二的平方加一的平方的，而每一个小格都是边长为一的小正方形。所以我们就考虑利用勾股定律去找直角边，边长是二和一的直角三角形。我们来看， 当 c 点在这里的时候，那 a、 c 的 长度就是根号五。那 c 点也可以在这里， 也可以在这里，也可以在这里，也可以在这里，也可以在这里， 也可以在这里，也可以在这里。 我们把它标个号， c 一、 c 二、 c 三、 c 四， c 五、 c 六、 c 七、 c 八。 好，我们画好了这样的项链， a、 c 有 八个。 第二小题，让我们求向量 bc 的 长度的最大值和最小值。好解，第二小题，我们可以把所有的 bc， 也就是 bc 一 到 bc 八，每个长度都算出来，然后最大值最小值就出来了。我们也可以先判定一下，然后再计算，这样计算量会小一点。 那我们来判定一下，当 c 点取 c 一 和 c 二的时候，此时向量 bc 的 长度是有可能取到最小值的。我们来算一下， 向量 bc 一 的长度等于根号，有勾股定律，二的平方加一的平方等于根号五， 向量 b、 c、 r 的 长度等于根号一的平方，加二的平方等于根号五。啊，这两个数值是一样的， 我们再来看最大值， 那当 c 取 c 五或者 c 六这个点时， b、 c 的 长度此时可能会取得最大值。我们来看一下 b、 c 五，这个向量的长度等于根号四的平方，加上五的平方等于根号四十一。 b、 c 六的长度等于根号五的平方，加四的平方也等于根号四十一。 所以当 c 取 c 一 或者 c 二的时候，向量 b、 c 长度取得最小值根号五。而当 c 取 c 五或者 c 六的时候，向量 b、 c 的 长度取得最大值，根号四十一。 在这里啊，再给大家说明一下是怎么判定的。很多同学说为什么最大值有可能在 b、 c 五，而不是在 b、 c 四呢？ 同学们可以把 b、 c 四连接起来，然后在三角形 b、 c 四、 c 五中啊，大角对大边，根据这个性质，我们就可以判定出 b、 c 五的值是大的，那其他情况都是同样道理。 好，下一题如图所示，四边形 a、 b、 c、 e 中，向量 a、 b 等于向量 d， c、 n 和 m 分 别是 a、 d 和 b、 c 上的点，且向量 c、 n 等于向量 m a。 向量 c， n 等于向量 m a。 求证向量 d， n 等于向量 m、 b。 那 要证两个向量相等，那我们要证明这两个向量大小相等，且方向相同。 我们来看，由向量 a、 b 等于向量 d、 c， 我 们能得到 a、 b 的 长度是等于 d、 c 的 长度的，而且 a、 b 是 平行于 d、 c 的， 所以我就能得到四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那么 b、 c 的 长度是等于 a、 d 的 长度的， 而且 bc 是 平行 a、 d 的， 那由向量 c、 n 等于向量 ma， 我 就能得到 c、 n 的 长度是等于 ma 的 长度的，而且 c、 n 是 平行 ma 的， 那么因此四边形 c、 n、 a、 m 是 平行四边形，那么因此 c、 m 的 长度就等于 n a 的 长度 c、 m 长度等于 n， a 的 长度，那刚刚我们又证明了 bc 的 长度等于 a、 d 的 长度， 所以我们就能得到 d、 n 的 长度等于 mb 的 长度， 而 d、 n 又是在直线 a、 d 上的， mb 是 在直线 bc 上的，而 bc 是 平行于 a、 d 的， 也就是 d、 n 平行于 mb， 那我就能得到向量 d、 n 等于向量 m、 b。 因为这两个向量大小相等，方向相同。 好，下一题。四边形 a、 b、 c、 d 中，向量 ab 等于向量 dc， 且向量 ab 的 长度等于向量 ac 的 长度， 它连 d 等于根号三、判断四边形 a、 b、 c、 d 的 形状，我们由向量 a、 b 等于向量 d、 c， 我 们就能得到 a、 b 的 长度等于 d、 c 的 长度，而且 a、 b 是 平行 d、 c 的， 那因此四边形 a、 b、 c、 d 就是 平行四边形。 那题目中告诉我了 a、 b 等于 a、 c， 我 们又证明了 a、 b 等于 d、 c， 那 么因此 a、 c 就 等于 d、 c， 那 tan 的 d 等于根号。三，我们就能得到 d 等于六十度，那由 a、 c 等于 d、 c 以及角 d 等于六十度，我们能得到三角形 a、 c、 d 是 等边三角形， 有一个角是六十度的，等腰三角形是等边三角形， 三角形 a、 c、 d 是 等边三角形。那我就能得到 a、 d 等于 dc 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，而且 a、 d 等于 dc， 也就是一组邻边相等， 那一组邻边相等的平行四边形就是菱形，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形。好，这道题我们就做完了。 好，本节课的例题我们就讲这么多，本节内容相对来说还是比较简单的，只要把概念掌握清楚，题目都不难。好，本节课就到此结束，我们下节课再见。

高中数学最难的平面向量十二大题型全部吃透，稳进班级前！三平面向量十二种题型二，十八道题提高版题型一，平面向量限行运算题型二，用已知向量表示其他向量 题型三，平面向量共线问题题型四，平面向量垂直问题题型五，平面向量数量积的计算 题型六，平面向量的模的问题题型十，平面向量中的取值范围问题完整版分享！

项链啊，看我们怎么三十秒钟速记项链公式，我们在考试中，项链我们就说平行，比如说项链 a 平行于项链 b， 他 怎么出题呢？他会告诉你，比如说 a 随便取个数啊，负四六，那么 b b 是 什么呀？他会告诉你是负二 m， 让你求 m， 告诉你它俩平行，像这种公式啊，我们就记不住，对吧？临时抱佛脚，我们怎么记？这个最简单的，只要是平行，我就是里边的相乘等于什么啊？外边的相乘，里边的相乘多少？负十二等于多少？ 四 m 等于四 m， 让你求 m， m 是 不是等于负三？是不是这个求出来了，你比如说老师我还是不会，不会，很简单？好，我们就来说有选项吧，选项我就挨个带，只要符合这等式就行，对吧？这是平行，那我们还知道我们的还有什么呀？垂直向量 a， 垂直于向量 b， 那 比如说 a 向量，我们可以说六 x， 对 吧？举个简单， b 向量我可以使三九 让你求，谁让你求 x， 那 你说平行的话，是里边的相乘等于外边的相乘，那么垂直这个更好说了，垂直于你不要记那么复杂，就是前面的相乘 加上什么啊，后边的相乘等于谁？等于零，那就是六乘以三加上九 x 等于零，那么总体来说，十八加上九 x 等于零， x 等于多少？负二，对吧？这就是向量的垂直这一块啊，垂直和平行啊，里边乘里边，外边乘外边，对吧？里边啊。第 来我们来简单的记一下这个公式啊，怎么记啊？向量的平行，再举个例子记一下啊，向量的平行什么呀？比如说 a 是 三四， b 是 x 六，他要平行的话就是四 x 等于他，这两个是相等的，那么比如说 a 是 三二， b 是 六 m， 他 俩要垂直啊，垂直更好说的，前面的加上后边的相加等于几？等于零，浅 加厚等于零。这个呢是里边的，里里边的。哎，这边，我这个笔不好啊，里边的等于多少？外边的，里边的等于外边的。呀呀呀，等一下重新写一下，怎么写？对了，这个 就是里边的等于什么啊？外边的，那这必然是八分的题。那我们还涉及到了项链还有哪一块，比如说很简单的 ab， 对 吧？加上 bc， 问你等于谁啊？ ac， 那 还有减法呢？减法，比如说 ab 减去 a c， 你 看这样怎么办？一样消消了 a 相同的消了，但是减法你就记住了，你看加法是按顺序， a 在 前面， c 在 后边，那这个减法反过来 c b， 嗯，这不很简单吗？这就向量的，这最少是四分，加四分，加三分加三分。

平面向量值此开学之际，相信大部分同学面对的第一个难点便是平面向量中的各种条件转换。本期视频将重点呈现向量平、形象量、垂直模长计算以及数量积这五个核心专题 很基础，但是很重要。 首先看到第一题，在一个三角形中，要求向量 c、 b、 c d 和 c a 的 三者关系，并且点 d 是 一个中点，所以 c、 d 是 一个中线。 那么中线怎么和两个邻边产生定量关系呢？在初中咱们就学过被乘中线法， 那么他对项链来说也有作用吗？首先咱们标出三个需要考虑到的项链，用红、黄、蓝三种颜色，接着把中线 c、 d 倍长一下，得到 c q。 并且啊，我发现这个 c b、 q a 四边形刚好是一个平行四边形吧， 那么向量的平行四边形法则就刚好能够用上了。向量 c b 加向量 c a 等于向量 c q。 两邻边向量所对相加，得到对角线向量，所以 c b 加 ca 等于向量 c q。 而且啊， c q 是 由 c d 倍长而来的，所以 c q 还可以代换为两倍的向量 c d。 哎，到这里我发现呀， c b、 c a、 c d 等量关系已经得到， 那么题目要求向量 c b， 我 们就把 c a 给挪到右边去， c b 等于两倍的 c d 减 c a 直接选择 c 选项。接着我们看到线型运算的第二个题目， 还是给到三角形 abc， 还是给到 a、 d 为 bc 边上的中线。 那么根据上一题的经验，咱们就可以标出这样三个关系非常之强的向量。向量 a、 b 加向量 a c 等于两倍的向量 a、 d。 怎么来的呢？在上一题中一模一样的做法，但是这一题要求的是向量 e b 点， e 是 a d 的 终点，咱们给它标出来， 要求解的是向量 e b， 并且必须表示为向量 a b 和 a c 的 混合表达式。但是仔细看图后，我发现 a b 还好，这 a c 和 e b 好 像是八竿子打不着的关系，那咋办嘞？就一步一步来， 那就先和 ab 攀上关系再说。哎，我发现呢，从一点到 a 点，再从 a 点到 b 点，是不是就相当于从一点直达 b 点呢？ 这样我们就可以得到向量 e b 等于 e a 加 ab 这样一个法则，我们称之为三角形法则。那么接下来呢？我发现呢， ab 有 了，但是 e a 我 仍然不想要它， 那 e a 怎么给消掉呢？认真观察，向量 e a， 他 和 d a 有 很大的关系，并且刚好是向量 d a 的 二分之一倍，换成二分之一倍的 d a。 而 d a 和 ad 的 关系就更加明确了，是一对相反方向的向量。向量 d a d。 到这一步，我们再来观察这样两个等式，向量 ab 是 我可以保留的， ad 是 不能留的，不能留的怎么办呢？不能留的就给它消掉吧。 从上面这个式子，我们可以得到向量 ab 等于二分之一倍的向量 ab 加向量 ac 直接换进去，就是这么个玩意， a 到这个时候，向量 e b 就 完全用 a b 和 a c 表示出来了，而题目的选项中也只有 a b a c。 所以 这样一个式子化简之后，就必然得到某一个选项， 四分之三倍的向量 ab， 减四分之一倍的向量 ac， 选择 a 选项。接着进入第二个专题，向量平行。这是一道来自二一年全国一卷的填空题， 提干其实是比较简单的，就给了一个 a 平行于 b， 那 么向量的平行我们怎么能够定量的给他表示出来呢？这个非常简单，同样也非常的重要， 就是向量 a 一定可以表示为向量 b 的 特定倍数，这里的 k 是 一个实数， 那么在这样的情况下，我们就可以直接将向量 a 与向量 b 分 别代换掉，前面是向量 a， 后面是向量 b， 并且呀，这里的 k 必须要乘进去等于拉姆的 k， 逗号，四倍的 k， 到这一步，二五等于后面，这玩意是不是横坐标二和拉姆的 k 相对应，纵坐标五和四 k 相对应呀？ 所以就可以得到这样一个方程组，二等于 k， 拉姆的五等于四倍的 k， 通过下面这个式子可以得到 k 等于四分之五， 再通过上面的式子可以很快算出最后的答案，那么的等于五分之八，像这样这一道题就算完整搞定了。 接着看到第二种位置关系，向量的垂直，这样一个条件好像明显的复杂了很多，但是不管他有多么复杂，其本质是不变的，还是两个向量， 两个向量相互垂直，那么两个向量之间相互垂直可以用什么定量关系来表示出来呢？ 没错，就是两个向量的数量积等于零，只要咱们看到两个向量相互垂直，就可以放心的写出后面两个向量相乘等于零的结论。那么接下来像这样两个向量相乘应该怎么展开呢？ 其实向量的音是相乘展开，和咱们此前学过的正常的代数音是没有任何的区别，放心的， a 乘 a， a 乘缪 b， 拉姆打 b 乘 a， 拉姆打 b 乘缪， b 展开相加就可以了。 但是接下来就是向量的相关内容了，向量 a 乘向量 a， 管他谁乘谁，坐标写上去就可以了。一逗号一乘一逗号一，就是横坐标乘横坐标一乘一， 加上纵坐标乘纵坐标一乘一等于二，所以 a 乘 a， 它就等于二。接着看第二项，向量 a 乘向量 b， 那也就是一逗号一乘一，逗号负一，还是一样的，横坐标乘横坐标一乘一，加上纵坐标乘纵坐标一乘负一，哎，它等于零， 所以这里咱们的第二项他就是零，整体可以完全不要了。再接着看到最后一项，这里前面的系数不用管，只看后面的向量相乘， 向量 b 一 逗号负一，乘以向量 b， 本身一逗号负一，横乘横一乘负一， 他也等于二，所以啊，这里的向量 b 乘向量 b， 他 也等于二。这个时候整个式子还剩下的就只有前面的二，中间的零以及最后的二倍的那么大没有了吧。 他们三相加等于零，于是便可以得到一。加上拉姆达，缪等于零，那么拉姆达乘以缪，自然也就是负一了。这一道题选择 d 选项， 接着咱们进入今天的第四个专题，向量的模。这一道题虽然没有标明出处，但是他仍然是一道高考题，只不过年代有些久远，当然知识点不会过时。 看题，向量 a 和向量 b 两个玩意夹角为六十度，并且给到 a 的 模长等于二， b 的 模长等于一。 磨长是个啥意思呢？其实简单来说就是向量的长度没有任何特别之处，我们按照这个比例给他均匀一下， 再接着夹角为六十度，向量是可以随便平移的，我们就给他移到一块去，让夹角等于六十度就可以了。 再接着看题目的要求，求向量 a 加上两倍的向量 b， 那 也就是向量 a 加向量 b， 再加一个向量 b 吧。 这一道题我们再补上一个向量 b， 两个向量 b 串在一块，自然就是两倍的向量 b 了。 那么这个时候我们再来观察，发现向量 a 加两倍的向量 b， 这是两个共有起点的向量，我们是不是就可以用上平行四边形法则了呀？ 股权这样一个平行四边形，两个邻边向量红加蓝就等于对角线的绿色向量，那么这个向量自然也就是红加蓝 a 加上两倍的 b， 他的魔长是多少呢？他的魔长就是对角线的长度。并且呀，这样一个平行四边形还非常的特殊， a 的 魔长等于二两倍， b 的 魔长他也是二，他还是一个菱形， 并且顶角六十度，这个半角便是三十度，他也是三十度。在这样一个等腰三角形 abc 中，底角为三十度，那么底边就是斜边的根号三倍， 这一题的答案是两倍的根号三。现在来到最后一个板块向量的数量积。这一道题看着有点吓人，但是不要害怕， 题干给到三个向量 abc， 咱们就分别用红色、绿色和蓝色来进行区分，代替 题干说向量 a 的 模等于一， b 的 模等于二， c 的 模也等于二，我们就把三者的比例关系调整均匀。这一部分的图像处理完毕了，我们来看到最关键的等式，三个向量相加等于零。 首先不着急，这个零是个什么东西？它到底是一个数据呢？还是一个向量呢？ 这个地方大家一定要记住，它叫做零向量，因为向量之间无论是相加还是相减， 无论是多少个向量之间相加相减，答案一定是一个向量，哪怕是零，他也得叫零向量好。回到正题，首先三个向量相加我没啥头绪，但是两个相加我会写呀。 比如这个地方的 b 和 c， 如果要相加，并且两个向量不相邻怎么办？ 不想领就强行让他想领就可以了。这样两个共有起点的向量相加，我们就可以用上平行四边形法则，等于对角线的黄色向量，他也就是 b 加 c。 到这一步就好办多了，题干变成了红色项链和黄色项链相加为零，相加为零，那么二者自然是等大反向的吧。反向没有问题，但是等大呢？这看着明显就不一样。 不过我可以进行视觉上的调整，先把已经知道的长度给标记出来。在这些已经知道的长度不能改变的情况下，怎么改变黄色项链的长度呢？ 自然是扩大向量 b 和向量 c 之间的夹角吧。把这个平行四边形的张角拉的很大，拉到黄色向量和红色向量，刚好是等大反向的地步。像这样，这个图片就算搞定了。 这个时候再回到题目的要求上来，求向量 a 乘向量 c， 再加向量 c 乘以向量 a。 根据数量积的公式，两个向量相乘，就等于两个向量的长度之积，再乘上两个向量的夹角余弦值 a 夹角。 比如向量 a 和向量 b 的 夹角为 c 塔一，这是向量 a， 这是向量 b。 那 么 c 塔一到底是 a 角还是 b 角呢？大家可以思考一下， 这个地方一定一定是 a 角度，因为两个向量之间的夹角，必须是箭头之间的角度，必须是箭头之间的夹角，哪怕他是一个钝角，所以 a 就是 c 态一。 同样的道理， c 塔二呢？向量 b 和向量 c 之间的夹角，哪怕中间的角度如此之大，夹角还是得是它 c 塔三。同样的道理， a 和 c 的 夹角。那么写到这一步，向量的任务就完全搞定了。我们来看三个角度的余弦值。 首先， theta 一 和 theta 三并不困难，我们做一条垂线，斜边长度等于二，底边长度等于二分之一，那么这样一个阿尔法角，它的余弦值便等于四分之一。而和它互补的 theta 一 呢， 夹角余弦值是负四分之一， c 塔一和 c 塔三还是完全相同的角度，上下对称，这个并不是那么困难，比较难的是这个 c 塔二它应该咋求啊？思考一下， 我发现 theta 二可能比较困难，但是二分之 theta 二是不是刚刚已经得到了呀？它的余弦值就等于四分之一吧。 而 theta 二和二分之 theta 二之间的关系就可以用上余弦的二倍角公式，等于两倍的二分之 theta 二的平方减掉一， 它的大小等于四分之一整体的平方，那么 cosine theta 二便等于负八分之七。到此， theta 一 有了， theta 三有了， theta 二，也有了 三个角度的余弦值。我知道，三个向量的模长我也都知道，最后便是无脑的三者相加，算出答案等于负二分之九作为最后的答案。 当然，这一道题其实是有更加快速并且更加暴力的解决方法的，大家如果感兴趣可以思考一下。

大家好，我们继续讲解平面向量专题，今天我们讲模块四里边的第三讲向量数量积的性质。对于性质这一块呢，我们需要掌握五条性质，才不影响我们做这一块的题目。 我们话不多说，直接开始讲啊，五条性质，我们挨个讲清楚。嗯，那我们上来先把这个向量 a， 向量 b 啊，设为非零向量， 为了便于我们标记呢，我们把向量 a 与向量 b 的 夹角设为 set 啊，当然，我们清楚地知道 set 角的范围是啊，啊，零到派，或者你写零度到一百八十度都可以 b 去减。 好，那当然我们再回忆一下咱之前讲的向量数量积的定义，或者你说它的公式 就应该等于什么？ a 点乘 b 等于 a 的 魔长再乘以， b 的 魔长再乘以啊，口舌啊，塞特是吧，这是我们的这个前提。那接下来呢，我们挨个去学一下它的性质啊。第一条性质就是魔长公式， 模长公式，咱向量 a 的 模长应该等于什么呢？啊，如果你要不知道等什么，那我问一下，向量 a 点成像量 a， 它应该等于什么？ 按照咱刚刚说的，呃，数量机的一个公式，就应该等于 a 模再乘以， a 模再乘以啊，口申啊，同相对吧，相等相等啊，它就应该是零，那口申零就应该是一啊，所以说就应该等于 a 模乘以 a 模，也就是 a 模的平方。 所以我现在问你，向量 a 的 模长等于什么？是不是左右两边同时开根号，根号下向量 a 点成像量 a 就 可以了啊，就可以了。好，那值得注意的是什么呢？你会在很多资料上看到它会写这个形式 向量 a 的 平方啊，如果你看到它，你应该清楚它表示的是向量 a 点成像量 a， 但是呢，我不建议你去这样写， 因为我们之前就解释过这件事啊，对于项链 a 点成像链 a， 他 中间的那个实心圆点既不可以省略，也不可以写成成号，那你写成平方，你不就给我省略了吗？他不标准，完了之后他就是，包括我们如果学了叉乘的话，他也会引起歧义啊， 那所以呢，咱不建议写，但是如果你在做题的时候遇到你清楚他表达什么意思就行。好，这是第一个知识点，魔长公式来。第二个性质就是咱的夹角公式， 咱的夹角口是用 c 塔啊，应该等于什么呢？咱就直接根据咱这个啊，蓝色的这个点乘公式啊，给他把公式变形，就应该等于啊， a 点乘 b 再除以啊， a 的 魔长， b 的 魔长。 好，这是我们的夹角公式。呃，第三个，继续。第三个就是我问你一下，这个向量 a 点成像量 b， 它数量积的绝对值 和这个 a 膜乘以 b 膜它的一个大小比较。哎，中间我应该填什么符号 啊？应该填什么符号呢？啊？如果不清楚，我们给他推导一下，你看 a 点乘 b 外边加一个绝对值，因为点乘是一个实数嘛，那实数加个绝对值嘛， 那他对谁起作用呢？公式展开是不是只对那个口舌印起作用？所以你就给口舌印这里啊，加个绝对值就可以了。那这边是 a 的 摩擦乘以 b 的 摩擦，所以他俩的大小关系就完全取决于谁啊。 啊，完全取决于啊，这个口舌用舌特的绝对值，那口舌用舌特的绝对值属于什么口舌啊？舌特是在零到一百八的范围内，那口舌有零度到一百八十度，那就应该是这样的 啊，加上绝对值，那就应该是零到一啊，没有问题吧，这比较简单。没有没有什么可多说的哈。好，那么既然清楚的知道这个事情，那所以说他们中间应该填什么符号？ 最大最大口型 c 的 绝对值等于一，也就是取等号，除此之外都是啊，小于人家的，所以填的应该是小于等于号。好，这里填小于等于号， 而且是啊，当前仅当什么的时候等号成立。当前仅当啊 c 特角要么是零度，要么是一百八十度的时候是成立的，那也就是向量 a 和向量 b。 是 啊，共线的。好，注意一下，这是咱的第三条内容 啊，继续往下第四条。第四条内容呢？我给你说的比较详细一点哈，给你画上几幅图， 好，在这五幅图里边，我们分别看一下它的一个数量积的一个正负情况啊，或者是说啊，它具体这个公式是怎样的？来，我们挨个去看。在第一幅图里边啊，向量 a 与向量 b 什么关系？显然是同向的， 它既然是同向，那么推导出来的这个向量 a 点成向量 b 就 应该等于什么？ 被公式就应该等于 a 的 模长再乘以 b 的 模长再乘以口申要零，口申要零是一，所以就不用写了啊，所以就这样的，在第二幅图里边。 好，你再注意一件事，再注意一件事，如果向量 a 点成像量 b 就 等于 a 模，乘以 b 模，你能不能回推过去？ 能不能回推？向量 a 与向量 b 同向啊？是可以的，因为我们前边有这个大前提， a 与 b 是 非零向量啊，就是我们这个大前提在这放着呢哈，所以是可以的。 好，继续第二条。第二幅图，像量 a 与向量 b 是 反向的，那这个时候我们推导出来的向量 a 点成像量 b 就 应该等于什么？ a 的 模长再乘以 b 的 模长再乘以啊，口舌影一百八，口舌影一百八是负一，所以前面加一个负号， 这是我们第二幅图。第三幅图是垂直的。好，还是那句话啊，你由向量 a 点成向量 b 等于负的， a 模乘以 b 模，能不能回推？ 嗯，在这个非零向量的前提下，当然是可以回推过去的啊。向量 a 与向量 b 是 反向的。 好，这是我们的第二幅图。继续第三幅，向量 a 与向量 b 显然是垂直的，那么垂直一定能推导出来，向量 a 点成向量 b 等于什么 啊？口是用九十度，可是零呀，零乘以任何数都等于零啊，那所以直接就变成零了。那向量 a 点成向量 b 等于零，能不能回推过去啊，也是没有问题的，这是我们的前三幅图。继续第四幅， 第四幅图，这个时候 c 角是什么范围？是锐角啊，我直接给你画范围斜范围了哈， 他大于零，小于九十度。那么我推导出来的向量 a 点成像量 b 应该是怎样的呢？啊？具体等什么不知道，但是我知道口是用一个锐角，一定是正的，那再磨长磨长也是正的，所以他一定是大于零的，没有问题吧？ 哎，一定是大于零的。好，我现在问你，向量 a 点成像量 b 大 于零，能不能回推？它是一个锐角，思考一下， 并不能啊，为什么呢？你看一下圈一，你看一下那个图一呗，它如果是大于零，你看第一幅图里边，向量 a 点成像量 b 等于魔长乘魔长，又是非零的，是不是大于零啊？一定是大于零的呀， 那它大于零，你也没有推出来向量 a 与向量 b 的 夹角是锐角呀，对不对？那所以我如果非得想回推呢？我非得想回推过去，那你就给他加上一个限制条件，哎，你且 向量 a 与向量 b 不 能同向，哈哈哈，也就是说不能共线哈，向量 a 与向量 b 不 共线， 是不是就可以回推了呀？哎，当然可以，好注意一下这个内容哈。继续第五幅图。第五幅图，如果 sit 是 一个钝角， 你一定能推导出来向量 a 点成像量 b， 怎样口舌要钝角，它就一定是负的小于零，对吧？ 问，你能不能回推啊？如果他俩点乘小于零，可不可以回推过去？是假角，是钝角呀？ 啊，看图二，图二里边，如果向量 a、 向量 b 反向，他们的摩擦点乘等的这个东西是不是小于零的？但是，哎，他们并不是锐角，假角是一百八平角。所以说呢，你要想回推过去，你也得限制条件 啊，就是不能反向。不能反向也是啊，不能贡献向量 a 与向量 b 啊，不贡献即可，你要想具体一点，那就是不反向呗，那你就可以回推过去了。 好，这是我们的第四条性质啊，这个东西大家要注意啊，我是拿的图，然后挨个给你讲，我认为是比较清晰的哈，比较清晰的，希望你能把它记在脑子里。做题的时候要注意这些小细节 来，最后一个性质呢，咱给你补充一个。第五个啊，常用的公式，我给你梳理一下， 我们在做题的时候经常会用到初中学的几个公式，只不过跑到向量里边来用了啊，第一个是什么呢？咱的这个 平方差公式，你比如说向量 a 加上向量 a 减去向量 b， 按照咱的多项式乘多项式的法则，是不就应该等于 a 的 a 点乘 a， 再减去 b 点乘 b， 那 所以我们就直接写成了 a 的 魔方减去 b 的 魔方。 好，这是第一个公式。然后我们第二个是完全平方公式啊，在完全平方公式里边有两个啊，一个是向量 a 加上向量 b， 绝对值的平方。好，注意这个写法哈， 它加上这个绝对值的平方和我们这个括弧，你想一下它俩的作用一样不？ 它俩的作用是一样的啊，你加上这个呃膜长和我加这个括弧它是一样的啊，所以这两个东西等价过来的，那就应该等于啊，首平方 啊尾平方乘积二倍放中央。好，当然我们也有完全平方差公式 哎，它也等价于向量 a 减去向量 b， 括弧的平方就应该等于 a 的 魔方减去二倍的 a 点乘 b 加上 b 的 魔方。好，这是我们在做小题的时候可能会用到的一些公式，在这里给大家梳理了一下。 讲到这里呢，我就已经把咱的这个呃向量数量、积的性质五条全部给你讲清楚了。嗯，也比较简单，是吧？那我们做题来感受一下，来看一下第四题， 已知向量 a 的 魔长是一啊， a 减去二， b 的 魔长是根七， a 减 b 的 魔长是二分之根号是九。让我们求一下这个 a 与 b 的 夹角的大小，求的是夹角的大小， 嗯，你要想求夹角的大小，那你就得通过口舌影啊，也就是说你得通过口舌影。向量 a 向量 b， 这个夹角公式等于 a 点乘 b， 再除以 a 模 b 模 啊，你根据这个公式来，那根据这个公式来，里边 a 膜长有，那也就是我需要求 b 的 膜长，我还要求一下它俩点层，那现在呢？我们，哎，公式里边有两个膜长，而且都是这种相加相减的形式，那所以干什么 借助啊？完全平方公式，所以走到这呢？你实际上可以这么记一下，我们以后几乎看到一个啊，括弧里边，比如说 k 倍的 a， 再加上这个， 我们以后看到，哎，绝对值里边，如果是 m 倍的向量 a， 再加上 n 倍的向量 b， 就 看到这个东西几乎是 b 用完全平方公式， 你别管是求它们的数量积啊，还是去求某一个模长啊，几乎是必用，那所以我们就直接给它进行平方 来吧。第一个向量 a 加上二倍的向量 b 的 平方就应该等于七。展开一下模长，加上四倍的点乘， 再加上四倍的向量 b 的 魔方就应该等于七， 那所以就变成了这个 a 的 魔长是 u， 四倍的向量 a， 点成像量 b 再加上四倍的向量 b 的 平方，魔方就应该等于六。这是我们得到的第一组公式 来继续第二组向量 a 减向量 b 的 平方就应该等于四分之十九，展开首平方减二倍乘积， 加上尾平方就应该等于四分之十九，所以代进去的话，就是负二倍的向量 a 点乘向量 b， 再加上 b 的 魔方就应该等于。呃，四分之九，减去一的话，也减四分之四，也就是四分之十五。 好，我们通过一式和二式能不能解方程组？能不能求出来 a 点乘 b 和 b 的 摩擦？如果可以直接代进去，公式就出答案了。这个题啊，当然可以，对吧？你就把它看成二元一次方程组即可啊。把它看成 x y 啊，你当然可以解了，那我们给二式进行成个二倍，那就变成了负四 点乘加上二倍的平方等于二分之十五，那作为三式，呃，一和三相加就可以吧。 一加上三，那就变成了前面没有了，后边是六倍的 平方，加在一块的话，那就应该等于二分之十五。二分之十二，二分之二七。所以啊， b 的 魔长应该等于什么？ 先把那个六给他弄过来的话，那就应该是十二分之二。十七。开根号，那就应该等于三倍的根号三，下边是二倍的根号三，那就是二分之三。 好，这是求出来它了。那所以你有没有求出来向量 a 点成像量 b 啊？ 来，我们给它带到哪里边求呢？带到二十里边求吧，看二十哈。嗯，它的平方是四分之九，四分之十五，减四分之九的话，那就是 四分之六，也就是二分之三，二分之三左右两边同时再乘个负的二分之一，那就是负的四分之三 啊。如果能口算就口算，不能口算拿笔算哈。那所以我们口 c 向量 a， 向量 b 的 夹角就应该等于 a 点乘 b， 再除以 a 模， b 模 就应该等于负四分之三啊？除的是一乘以一乘以谁啊？二分之三，那所以就应该等于负的二分之一。那又因为我们夹角的范围在哪里啊？ 在零到 b 区间哈，零到 pi 里边，所以我们夹角只能等于多少？在零到 pi 里边负二分之一，那只能是啊，三分之二 pi 也就是一百二十度。有这个答案吗？选四 d。 好，这是我们的第四题，也做完了，并没有说是很难，就是把我们讲的内容进行一个应用啊。你如果一开始做的话不熟练，那就多做两个，做着做着速度就上来了 哈。嗯，再往下，再往下，我们讲个稍微有点难度的，可以吧，你看最直这里。

hello， 我是 木木，今天我们来看向量的有关概念，向量，什么是向量呢？咱们既有大小又有方向的量叫做向量，所以它的两个重要点，大小和方向。 一般的话，我们用有象线段来表示向量，比如说这个向量， a 向量， 向量的大小也叫做它的长度，或者称之为膜， a 向量的膜长，这个代表的就是它的长度。 零向量，顾名思义就是长度为零的向量。记作零向量，我们看到它的记法哈向量，我们印刷体当中如果加粗的地方，它是可以表示向量的，但是我们在手写的过程当中的话，只能老老实实在上面给他加一个箭头。 单位向量也是限制了它的长度，长度等于一个单位的向量，就是我们的单位向量。平行向量，两个向量要平行会有哪些情况呢？ 它的方向会相同或者方向相反，所以平行向量的时候，我们要注意限制的是它的方向，这个方向有两种可能，相同或者相反， 也叫做贡献向量。还有另外一个名字也是我们的贡献向量。相等向量，两个向量如果要完全相等，那就要控制住它的两个方面，大小和 方向都得一样，长度相等，方向相同，那么相反向量的话，自然强调的应该是方向相反，所以长度相等，方向相反，这样的向量叫做相反向量。比如说我们的 a 向量， b 向量，它们长度相等，但是方向相反，也可以记作 a 向量等于负 b 向量。 好，这就是我们向量主要涉及到的几个概念。来看到立体当中这四个命题，首先第一个命题， a 向量平行于 b 向量，两个向量平行代表着它们的方向 相同或者相反， 则 a 向量等于 b 向量。 a 向量要想要等于 b 向量，它得满足哪些条件呢？它的方向相同， 大小相等，长度相等， 所以前面条件只强调了方向，那么它是得不到这个结论了。第一个命题我们不正确。第二个命题，两个向量的模长、长度相等， 能不能得到他们俩就相等呢？不能，缺一个什么？缺方向，所以第二个也不正确。第三个，摩擦长度相等，他就一定平行吗？不一定，他强调的只是长度，方向的话并没有限制。 第三个也不正确，两个向量相等，它强调的是方向相同，长度相等，那么它的模长一定是相等的，所以第四个是对的。所以正确的个数的话，咱们只有一个，所以选择的是 a 选项。