青岛一模泄题真相是什么

啊，题目又是人工智能啊，给大家讲的新高考特别热的人工智能，信息技术以及计算机相关的特征啊，这概率里边特别容易出啊，亚洲体啊，所以有意思的就要去训练一下，那我们有对应的专题，大家有如果需要练习的啊，可以发给大家啊，加我就可以好了。他给的是要去生成 a b 两种词源， 那么他有两种终止方式，第一种终止方式就是如果你输够了二 n 个，那么就结束。那么另一种就是如果生成了 a 就 立即结束。而每一次生成他要经历 两个步骤，第一个是预测，然后再审核好，然后下面的话，就是每一次预测 ab 的 概率就有。哎，零点五相互独立啊，这个是非常舒服的。好，第一个做 预测中，第一次出现词原 a， 审核出现 ab 均为零点五，我们都要二分之一表示吧， 就是这个是第一次啊，预测出现好，如果是第二次啊，预测出现 a， 那 么它就必然是 a。 好， 然后的话就是只要预测是出现了咱们的 b， 那 么它就一定是 b 啊，它就是生成方案就是这样的。所以这道题啊，它 这个东西是拯救了我们，因为不然的话讨论起来情况太多了。好，我们来看一下前面的话，就是让我们先把这个基本打好，就试一下这个题， 求 p h 等于一， h 等于二的一个情况。 x 是 什么呢？就是结束时生成词源的总个数，那么 x 等于一意味着什么？ 是他生成了一个就结束了，那么代表着 a 很 明显就是呃，生成的那个词嘛。 那要生成这个 a， 大家看 b 是 不可能生成 a 的， 只可能 a 生成 a， 对 吧？所以他就可以啊，通过哪个去生成？是不就是第一次预测很明显是 a 嘛？所以就是二分之一乘以多少，那要生成 a， 那 就再乘个二分之一呗，所以就是四分之一，所以这就是 p， x 等于几一的情况。 对，然后 x 等于二代表什么？是不代表着咱们结束的时候生成了两个次元，那么两个次元大家想， 我们显然这个词源的顺序必然是 b a， 因为生成 a 就 结束嘛，所以这样的话，你想要生成 b a， 我 们怎样分情况？我们画图可以这样画啊，这个是第一次预测，这个是第一次啊，生成第二次预测啊，第二次生成，那么第一次预测我们想是不是有可能是 a， 那 么 a 的 话，你就要必然要生成多少第一次 b 嘛，对不对啊？这是第一条，就分类嘛。 然后第二次预测的话，你要生成确定是几，是不是 a， 确定 a 的 话，你必然是 a 才能够生成 a 吗？对，他这个路径是不是应该是这样子的？然后预测的话相互独立，所以啊，这两个事件可以直接的去承担了出来。 好，这是第一种情况，第二种情况是有可能你在第一次预测的是 b， 然后生成必然是 b， 然后第二次，因为你这个地方的话 算第一次预测的 a， 然后你要倒打 a， 是 不是应该是这个样子？好，分别的概率，你看这是二分之一，要生成这个 b 的 话，是不是也是二分之一， 对不对？然后这个是第二次的预测，是二分之一，那这生成是不是刚好是乘一啊？因为他讲的是若第二次出现此元 a 就是 预测的时候，那么他必然就要生成 a 嘛，所以他这里是有一点绕，对不对？就就让我熟悉这个过程啊，这二分之一，这是不是相当是乘一啊， 对不对？然后这里是第一次出现，是不是？那么这就乘二分之一到达，所以这两条路径加上来对应的 p x 等于二，是不就算出来了？就是二分之一乘以二分之一，乘以二分之一加了二分之一乘一个二分之一乘以二分之一，其实应该乘以一的，是吧？因为它有 这个绝对的嘛，但不影响结果，这是第一问好，第二问，我们看求它的分布列，因为算出来后边就好算了， 这个 x 等于 x， 这个条件概率嘛，对吧？就好算这个东西，我们先算第二个分布列，分布列的话 x 可以 取到哪些子啊？首先看， 所以有可能是一次二次三个次元，我们这叫分情况，是不是有可能他没有到这个二 n 的 次数，他就结束就出现了 a 的 部分，对吧？那么这个时候我们就可以设当 x 等于 k， 那 k 的 话属于啊，咱们的重组是不是一到二 n 减一，也就相当于是你这个没有到达这个二 n 的 次元 啊？结束的对 k 属于 n 星吧。那么这样的话是不就代表着在前面我们写一下吧，就是这个是第一次 啊，预测这个第一次审核就是得词源吗？第二次这样选是吧？大家好理解一些，第三次，这第二次，第三次，然后第二次 k 减一，第二次 k 减一，这是 k， 这是 k， 那 么如果他要在没到达二 n 就 结束的话，很明显这个 k 这个地方他必然要生成 a， 他 就结束了这个过程，不然你还继续生成吗？那么代表着这个地方必然是 a 的 情况，这可以理解吗？所以这是不就只需要讨论他前边 这个贴减一次情况到底发生了什么，对不对？这是第一种大情况吗？我们写一个第一个大情况。好，那么你分析是有可能是当 前贴减一次预测啊，全尾 b 或者叫什么 a 出现零次，对不对？ 也有可能他出现一次吗？他不可能出现二次，出现二次他就百分之百要生成 a 就 结束了，对吧？所以我们这样去操作它 k 减一次的预测出现零次就相当于全部 b 吗？那于是乎此时的概率是应该是二分之一预测出现了，就是 k 减一次， 对吧？那么全部生成的就是 b 嘛，就相当于乘以嘛，就不用再乘是吧？一的 k 减一次方啊，然后就到达这个位置， 然后再继续往下走，往下走的话，你是不是有一个要有 d k 次预测是 a 嘛？所以就是二分之一，对不对？然后你要产生 a， 是 不是还要乘个二分之一， 这整个流程是不就完了？这是二分之一的 k 加一次方，好，还有第二种情况是，当 k 前 k 减一次，预测 a 出现一次，到底在哪一次啊？这不影响，这就只需要从 k 减一次选一次出来，然后把它选成 a， 选成 a 的 话，它就它就相当于只有 k 减二次 b， 对 不对？ 所以就是二分之一的 k 减二次 b， 那 么乘一个其实应该乘一个一的 k 减二次，是不是百分之百产生 b 吗？然后这是有一个，有一个 a 必须要产生 b， 是 不是就是二分之一？ 嗯的二次方，这样产生产生 b 了，对不对？然后再回到这就应该是二分之一的啊，这是不是就第二次出现 a 了？ 第二次出现 a 是 不是二分之一，然后他必然会出现，它就成一个一嘛？对，所以这就刚好是 c k 减一一，然后是二分之一的三，这就是 k 加一次方呗， 对不对？所以在第一种情况下，就当 x 等于 k 的 时候，就在没有到达二分之一的次元生成的这个情况前提下， 它这个对应的概率是应该是它和它相加，对不对？就是 p x 等于 k 的 时候，这个时候应该是二分之一的 k 加一，可以提供一次吗？一加上 k 减一，就等于 k 乘以二分之一的 k 加一次方， k 属于咱们的一到二 n 减一，对不对？那么也就相当于我们把这个分布列的一到二 n 减一都讨论了，是不是就只需要看二 n 的 情况了？ 那么第二种情况，尤其它这分布这个底下分两步是吧？第二种情况是不是就是当 x 等于二 n 时啊？那么这个时候大家看 也就代表着你最后啊，我们还是把它写下来吧，就是一一二二三三到咱们的二 n 减一，预测二 n 减一，然后是二 n 对， 预测那二 n 如果你要结束的话，是不是也会分情况啊？ 对不对？因为你最终必须要保证到咱们要生成二 n 个词元了， 对不对？是不是还是按同样的区域分类？第一种情况，当啊前二 n 减一次预测中啊， a 出现零次，那 a 出现零次的话，就代表全部是 b 嘛，就是二分之一的二 n 减一， 对吧？那也就到了这这前面全部都是 b 吗？然后后面的话，这里是不是就这个和这个就不管他是什么，他是不是都只要你生成二零的词源是不是都可以？所以后面他其实就成了个一了。各位理解， 二分之一的二 n 减一，就是不管你生成了 a 还是生成 b， 就 不管这个是 a 和 b， 他 是不都会终止啊？因为你直接就生成了二 n 的 次元就结束了吗？好，第二种情况，当咱们的前二 n 减一次，预测几次？是不是一次， 对不对？如果出现一次，那么是不是同上边是一样的？这就是 c 啊，二分之一出现了嘛，然后再乘一个二分之一，就必须产生 b 嘛，对不对？然后二分之一，然后这个是二 n 减几减二 次 b 嘛，对不对？好，也到达这个地方，对吧？所以这个时候它也中指就是二 n 减一乘以二分之一的二 n 次方，对，因为也不管你后面怎么变了嘛， 对不对？这就达成了这个内容了。所以咱们这时候可以推出 p x 等于二 n 的 这个情况， 这不就是二分之一的二 n 减一，加上二 n 减一乘以二分之一的二 n 次方，对吧？有没有看懂啊？提取共因式二分之一的二 n 嘛，这相当于是除个二分之乘个二嘛，这就是二 n 加一 二分之一的二 n 次方，所以分不的我们就可以直接写出来。那有了第二问，第三问就特别简单了，那上面这个 p x 等于二的话，这是有的，是不是刚好四分之一嘛？ 然后小于等于 k 的 话，是不是把这些加上来？是不是就一到 n 这个求和它就是个差比数列对不对？所以就可以画出来。这个就用错位相减嘛，很快就可以得出来 啊，我们把它也得出来，就这个结果。自己算一下啊，我们再做一个练习，和这个题类似的啊，大家可以看一下这个广东这个题也是有中指类型啊，当然他会比刚才的简单一些，可以尝试一下啊。另外我们在二楼里面讲的甘蔗的题目，压轴啊，这是有二六年这个题也可以做一下。还有这个题啊， 啊，与数列综合的这个就是三个变量的情况，还是比较可以重在计算啊，计算会比较难一点。 那之前的话就是一七年江苏卷这个题其实以前考了很多啊，好多地方都都有这种考法，所以新大纲出了多少新题？没多少啊，都以前的有的地方卷改出来，有的就是直辖市那些 啊，地区啊，考的改变吗？在我们一轮二轮里面讲这种讲的太多了，你看包括二五年二卷这个题啊， 多练一下这类题。嗯，二五年一卷也考了概率压轴，是不是这些题难起来，学生不适应哈，并不是说他难很多，理解到其实比导数员的曲线会技巧性会更弱些，因为他更重理解一点。 哎，这种你看看起来挺麻烦，是吧？理解到非常简单这些题目。还有就是大家注意，其实概率很多题他可以用咱们的穷举法，特别选填压轴的时候， 重局法反而做起来会更舒服一些啊，注意注意几个啊？概率的啊，我们选了一个历年高考压轴啊的概率题目，选填有一个小资料，大家如果需要可以加我发给大家。

所有说一模分就是高考分的这种人，你让他今天下午发了一个关于青岛一模的这个试卷视频，然后刚才有个学生问我要了这个答案啊，对，完之后跟我说，老师是不完蛋了啊。对于你这个问题呢，我从两个角度回答，第一个角度是余情， 你现在剩下不到三个月的时间，你需要的一个是什么？需要希望啊，我可以用我的经验告诉你，有希望，一定有希望啊。所有说一模分就是高考分的这种人，你让他啊于理 见了这么多孩子，我说实话，最后你别说，别说三个月两个月了，一个月逆袭的也是比比皆是， 那什么叫逆袭？就不是说原来你啥都不是，然后突然我就考一百三，一百四，那不可能，那确实是不可能，但是你通过你自己的努力，你一个月抓基础，第二个月抓题型，你起码能抓住几个，这个两三个模块，三四个板块，那就达到你提分的目的了，对不对？ 所以说千万不要信这种说啊，一模考什么样，然后高考就什么样了啊，这种话纯是屁话，相信自己好好干就行了。

三月十六日到十八日，青岛市高三一模即将拉开帷幕了。一模和高考究竟有什么关系呢？一模不等于高考，一模不是最终的成绩，一模差不等于高考差，一模考好了不等于高考稳了。一模是高考的全真模拟和一次 体验，在题型、难度、时间、考场和状态是最接近高考的。我们通过一模呢，每个学生可以比较精准的知道哪里不会， 哪里粗心，哪里时间不够。一模的分数具有参考性，但绝对不是定数。从一模到高考呀， 一个几十分上百分的学生，每年大有人在。我们通过一模来查漏补缺，而不是通过一模来一考定终身。一模的排名比分数往往会更重要， 学生所在的学校年级极不排名，能看出你在全省大概什么样的位置，这才是填报志愿定目标的基本依据。

哈喽，大家好啊，我是毕燕玄鹤，今天来给大家讲一下二零二六年青岛一模的第十九题压轴题。这道题目呢，把圆锥曲线和一个非常复杂的函数结合在一起，考察的它的一个代数问题。这道题目呢，第二小题的第一小问，让你去证明 ab 垂直于 ac， 这个题目就利用了一个点差法的经典结论， k 一 乘以 k 二等于负 a 方分之 b 方，很容易就把这道题写出来。而最后小问呢，难度相对是比较大的，它和圆锥曲线几乎就没有什么关系了，基本上考察的就是一个非常复杂的代数问题。 我会给大家讲两种方法，一个是利用三角换圆去削圆，然后去写第二种方法呢，就是你没有想到三角换圆，那就直接射点，然后不换圆的去写整个题目呢，非常考验你的代数基本功。那话不多说，我们就来讲一下这道题。 首先我们来读一下整个题目啊，题目说已知椭圆啊，这个东西离心率二分之一，长轴是四，那第一小问直接就写出来了，四分之 x 方加上三分之 y 方等于一。我们来看第二小问。 第二小问说，若过 o 点的一条直线， l 交椭圆与 ab 两点，那不相当于就是过圆点的一个椭圆的弦吗？ 哎，那过圆点的一条弦，然后呢？ c 点又是我们椭圆上的另外一个点。我们能想到一个经典的结论，什么结论啊？就是我们这边。哎，看这个图啊，这个图上就应该有一个结论，就是 k a c 乘以我们的 k b c， 它应该等于负 a 方分之 b 方， 这个结论大家应该要一下子能够反应出来，好，我们接下来继续去看。他就说啊， d 点是我们 bc 与 x 轴的一个交点， a 点的横坐标呢，是 d 点横坐标的三倍。 设 a 点的坐标是 x 零 y 零， b 点的坐标呢，因为是对称的，所以就是负 x 零，负 y 零， c 点的坐标你需要去额外的设一下，因为 c 点是任意的一个点，它是 x 一 y 一。 而根据题目说了，哎， a 点的横坐标是 d 点横坐标的三倍，所以 d 点的坐标就是三分之 x 零，逗号零。所有的点都射出来之后啊，其实你就能列出很多很多的关系了。首先第一个关系就是我刚刚说的 k a c 乘以 k b c 等于负四分之三，这东西如果你忘了怎么去证明，哎，我带你去证明一下，其实也很简单， 就 a 点在椭圆上， c 点在椭圆上，所以得到两个椭圆的点的关系，就这两个式子，这两个式子你相减一下就能得到两个斜率， k a c 乘以 k b c 等于负四分之三，一下子就证明出来了。我们是需要去证明什么呀？我们是需要去证明 k a、 c 乘以 k a b 等于负一，对不对，因为要证明它是垂直的嘛，要证明这个东西，而我们现在有的条件啊， k a、 c 已经有了， 所以接下来就是要去找我们 kab 和 kbc 的 关系，那就看 kbc 嘛， kbc 的 话，我们题目上还有另外一个条件，那就是 d 点的坐标是有的， d 点坐标有的，那也就是说我们的 bdc 三点共线啊，三点共线不就是 kbc 等于 kbd 吗？ kbd 刚刚说了 d 点坐标是这个，然后 b 点坐标是这个东西，你把这两个相减一下，就能得到他们的斜率是这个东西，所以 kbc 整个斜率啊，就这个东西。哎，这东西是个啥呀？ 这东西是不是和我们的 ab 斜率是有关的呀？因为 ab 的 斜率等于多少？ kab 是 不是就应该等于 二 y 零比上二 x 零啊？也就是 y 零比上 x 零，那不相当于就等于四分之三的 k a b 吗？我们题目需要有 k a、 c 和 k a、 b 之间的关系，而 k b、 c 又能转化成 k a b， 所以 两个式子连立起来，就能得到 k a b 乘以 k a c 等于负一，也就是 ab 垂直于 ac。 当然你要说明一下，哎， a c 斜率， ab 斜率有没有可能不存在啊？这个你简单说明一下就行了，所以第二小问是很容易去证明的。好，那接下来我们来看第三小问啊，这个第三小问的代数变换呢，相当有难度。我们来看一看题目吧。 题目说，若 a 点和 b 点都在这样的一条曲线上， m 大 于等于二，求 n 的 一个最大值。哎，那整个题目啊，这个最后一想问，是不是和我们的 c 点、 d 点都完全没有关系了？它就是什么意思呢？就是我们的一个椭圆，然后过圆心，有这样对称的一个 a 点和 b 点， 然后 a 点和 b 点呢，都在这样一个曲线上，求 n 的 最大值，那不就是和 c 点 d 点完全没有关系吗？所以这道题目啊，出的其实并没有太好，因为它的这一小问和这一小问是完全割裂开的。 首先我们有个最简单的思路，这个思路就是 a 点坐标 x 零 y 零， b 点坐标负 x 零负 y 零，然后他们彼此之间有一个关系，就是四分之 x 零方加上三分之 y 零方等于一。 接下来我们可以把 a 点和 b 点啊，都带入到我们的这个曲线里面，就能得到 x 零 y 零 m n 的 两个方程的关系， 然后 x 零 y 零之间又有这样的一个关系，对不对？四个变量有三个方程让你去求 n 的 最大值肯定是能写的， 但是四个变量去处理，你肯定是觉得非常麻烦，那有没有什么办法能够把四个变量变得简单一点啊？有一个办法就是三角换元，你看啊，我们椭圆 四分之 x 方加上三分之 y 方等于一。刚刚你是设点 x 零 y 零两个变量，对不对？两个变量彼此之间是有一些关系的，那我们能不能设一个变量呢？完全是可以的，你就设它是二扩散器它， 然后它的纵坐标呢，就是根号三倍的三眼 c 塔，那带入进去不就是 cosine 平方加三眼平方等于一吗？然后 c 塔就是唯一的一个变量。所以啊，我们可以尝试一下三角换元， 那试一下的话，就是设 a 点的坐标是两倍的 cosine c 塔，根号三倍的 cosine c 塔， b 点相对应的就是负。二 cosine c 塔，负根号三 cosine c 塔。 注意 theta， 你 要写一个范围，那这道题目我们就不妨设， theta 是 零到二分之派上的，为什么可以这样设呢？你仔细来看一下啊，这个地方是有点考虑的。 首先看一下我们这个曲线啊，这个曲线左边这个部分啊， m 的 x 加一次方，它是不是就应该等于 m 乘以一个 m 的 x 次方，这是一个指数函数吧？ 并且这个指数函数的底是不是大于等于二的，然后前面乘以一个系数啊，这个系数就不用管吗？它相当于就给这个图像拉伸了一下，整体是没有什么变化的，然后后面加上一个 n， 这个 n 你 需要去管吗？ n 也不太需要去管，它相当于就是把这个指数函数图像拉伸了之后，上下又平移了一下，对不对？ 所以整体这个曲线啊，就应该是这样的一个感觉，对吧？那这样的两个曲线啊，就应该是这样的圆心 o 点， 那只有可能我们一个点在第一项线，一个点在第三项线啊，有可能一个点在第二项线，一个点在第四项线吗？这肯定是不可能的，对吧？ 因为如果一个点在第二项线，一个点在第四项线，你画出来的话，这个指数函数啊，他这个底一定要是一个大于零小于一的数，没问题吧？所以啊，经过这个简单的讨论之后呢，我们就可以确定 a b 两个点一定有一个点在第一象限，所以我们就不妨设我们的 a 点在第一象限，也就是 c 塔属于零到二分之派，这个是需要简单的去说明一下的。 好，接下来我们继续去看啊，三角换元之后，我们就没有 x 零 y 零这样的两个变量了，而只剩下了一个 c 塔这个单一的变量。所以我们把 a 点和 b 点带入到我们这样一个函数里面，就是得到了这样两个关系， 这两个关系你仔细观察一下，这玩意和这玩意一正一负，所以我们可以两式相加，就能得到 n 等于负二分之一倍的 m 的 这个次方，加上 m 的 后面这个次方。哎，很显然啊，我们括号里面的这个式子一定是大于零的，前面又是一个负的，所以整体 n 一定是一个小于零的数，没问题吧？ 好，那这个式子呢，我们可以看到它里面这两个部分啊，都有 m 的 两倍的 cosine theta 次方这样一个整体的形式，所以们可以不妨把这个式子啊化解一下，就设 t 等于这个式子，可以吧，所以我们令 m 的 二 cosine theta 次方等于 t， 那 t 应该是有一个默认的范围的。注意，题目上说 m 大 于等于二，然后我们的 c theta 又是零到二分之派，所以 cosine c theta 它的范围就应该是一个零到一。 cosine c theta 零到一 m 大 于等于二，然后这玩意又是它的一个指数，所以我们的 t 应该是大于一的，这没问题吧。 好，那接下来我们来化解一下刚刚的这个式子，那 n 就 应该等于什么呀？ n 就 应该等于负二分之一倍的，注意，我们设的是 m 的 两倍的 cosine theta 是 等于 t 的， 而这边啊，后面是 m 的 二， cosine theta 加一次方，相当于就是乘以个 m 嘛，所以就是 m 乘以 t 再加上一个。后面这个东西也是 我们这边有一个 m 的 一次方，所以是 m 除以一个 t 没问题吧，所以 n 现在就应该等于这个东西， n 等于负二分之 m， 括号 t 加上 t 分 之一，注意，刚刚说的它是小于零的。 好，现在我们就得到的 n 的 一个关系式，而我们这道题啊，就是要去求 n 的 最大值的，那接下来问题来了，现在我们还有两个变量，很复杂吧， 那两个变量要去求对值，我们肯定想到的是去消元，对不对？那要消元的话，就要知道 m 和 t 的 关系， m 和 t 的 关系，我们题目上还有好多好多式子，肯定是能写出来的，那我们来看看 m 和 t 都有哪些关系呢？首先我们设的 m 的 二 cosine c 塔，四方等于 t， 这不就是 m 和 t 的 一个关系吗？但是这个关系呢，我们的 c 塔在它的指数上，我们希望这个 c 塔放到它的外面来， 因为我们上面的这些关系啊， c 它都是单独放在外面的，对不对？所以我们可以两边给这个式子取一个对数，也就得到了二 cosine c 乘以 lo in m 等于 lo in t， 这个 cosine c 它就放到外面来了。哎，那接下来我们还发现啊，根号三倍的 cosine c 等于 m 的 二 cosine theta 加一次方，而这个东西不就是我刚刚说的 m t 吗？对不对？加上的 n， n 又写成了这个形式，而这个形式不就是我们的负二分之 m 乘以括号 t 加上 t 分 之一吗？ 所以我们把 n 等于这个带入进来，然后这个式子写成 m， t 又得到了一个式子，就是根号三倍的 cosine theta 等于 m， t 加 n 带入进来，就等于二分之 m， 括号 t 减去 t 分 之一，没问题吧？ 仔细看啊， cosine theta， cosine theta， 然后 m 和 t 是 我们需要的一个东西对不对？ m 和 t 这边都有了 n， 我 们都消除掉了， 那这两个方程我们是不是还可以去把 c theta 给消除掉啊？怎么消除掉 c theta？ 利用一个天然的关系， cosine 平方 c theta 加上 cosine 平方 c theta 等于一就可以了。 我们把 cosine theta 移到一边，也就是 cosine theta 等于 loin t， 比上两倍的 loin m， 然后 cosine theta 就 应该等于什么呀？呃，二根号三分之 m， 括号 t 减去 t 分 之一，对吧？ 所以现在就能得到一个关系，就是它的平方加上它的平方是等于一的，也就是这个式子，那这个式子不就是我们需要的 m 和 t 的 关系吗？ 所以接下来这个思路你应该是有的，这个式子化简出来就是 m 和 t 的 一个方程，那接下来这个思路应该是比较明确的，我们这个方程就是 m 和 t 的 一个关系， 那如果我们利用这个关系啊，去代入到这个式子里面，比如把 m 全都化成 t， 那 这个式子不就变成了 n 关于 t 的 一个函数吗？ 那要求他的最值，我们只需要去研究 t 的 范围，然后写出来就行了，对不对？所以整个思路还是非常清晰的。但是问题来了，你看一看这个式子，化简一下呀， 他化简一下就得到这个东西， m 方程以 t 方加上 t 方分之一减二，再加上。哎呦，这个东西相当的吓人啊，等于一个十二，你无法做到把这个式子分底变量得到 m 等于什么？什么什么 m， 这是完全做不到的， 那做不到你就无法去削圆啊，那这就是赵体最难的一个地方，我们仔细来看看，接下来应该怎么去写呢？ 来看啊，我们无法去削圆，哎，那能不能把原来这个式子借助我们现在得到的一个关系去化解一下呢？能，但是化简之后也不好写，你看一看啊， 如何去化解呢？你会发现，哎， t 加 t 分 之一，这边又有一个 t 方加上 t 方分之一，想到什么呀？想到这玩意平方吧，所以 n 方它就等于四分之， m 方乘以括号， t 方加上 t 方分之一加上二，而我们的这边 m 方乘以 t 方 加上 t 方分之一括号，这整个部分呢，在这边是出现过的，对吧？所以我们可以把这个整体的部分代换一下，也就得到四分之一倍的十二，减去 这个东西，再加上四 m 平方，那写到这，你可能觉得这个式子还不如不化解呢，越来越复杂，对吧？那接下来如何去写呢？ 既然消不了圆，我们就一定要找一找 t 和 m 的 一些大小关系来进行放缩，否则无法进行消圆。 又或者你先以 m 为一个变量，冻结 t 这个变量，先把 m 放缩掉，然后呢，再去单独的处理 t 啊，两种思路都是可以的，那我们来看看接下来该怎么去写吧。 我们现在要求的是 n 的 一个最大值，那 n 方现在等于这个式子我们已经写好了，然后唯一的一个条件就是 m 和 t 的 一个方程，就这个东西， 我们来冻结变量吧。其实这个式子啊，冻结变量去写是非常好写的，为什么呀？你看一看 m 的 位置啊，题目说 m 是 大于等于二的， 而我们发现啊，四 m 方，关于 m 是 递增的吧，而这个式子呢，记不记得我们刚刚换元的 t， t 是 不是大于一的呀？ t 大 于一，就说明它的分子是大于零的一个数，并且 m 是 大于等于零吗？小于 m 也大于零，并且它在什么上？它在分母上， 而且前面的系数是一个负的。那整体 n 方的这个式子不就关于 m 怎么样啊？ 是一个递增的式子吗？递增的式子，而 m 的 最小值我们是有的。题目上 m 大 于等于二，那我们是不是可以冻结变量进行一些放缩来尝试一下呀？ 对吧？我们来写来看一下。 m 大 于等于二，因为它是关于 m d 增的，所以 n 方就大于等于四分之一乘以这个东西对不对？把 m 等于二带入进来，那问题来了， 我们 m 和 t 是 有一个方程的，你这个式子如果你去取一个等号，也就是 m 如果等于二，按照到底 m 等于二带入到这个方程里面， t 是 不是也是一个确定的值啊？所以我们来看一看啊， m 等于二的时候， 我们 t 等于多少？你来研究一下 m 等于二的时候，也就是啊，我们带入到这个方程里面，就是四倍的 t 方加上 t 方分之一减二，再加上后面这个数字，等于十二。 这个方程是一个超越方程吧，正常去解肯定是解不出来的，但是你发现这个形式非常的特殊，如果我们的 t 等于二，它就等于三 三的话，此时我们 t 等于二，它等于多少啊？它就等于四，加上二的平方四分之一，再减去一个二，前面的再乘以一个四，它就等于多少，就等于十六，加上一，再减去一个八，不就等于九吗？九加上这边的三，不就等于十二吗？ 所以你会发现啊， m 等于二的时候，我们的 t 等于 m 等于二，恰好满足这个条件是不是？所以我们可以不妨假设一下， t 等于 m 是 不是这道题的一个特殊情况，或者说是这道题的一个突破口， 并且你再去仔细的观察一下这个式子，这个式子整体关于 t 也有一个微妙的关系在里面。右边这个式子啊，我们就看左边这个式子啊， 这个部分关于 t 是 递增的，对不对？而这个部分呢，这个部分有一个对勾的形式在里面，而这个对勾的形式 大概是这个样子的吧，如果我们的 t 足够大，他是不是也是一个递增的呀？哎，那有意思的地方就来了，我们刚刚得到一个取等的条件，是 t 等于 m 等于二的时候，整体这个方程是满足的。那我问你， t 能不能大于 m 呀？ 你看啊， t 如果大于 m， 我 们的这个式子刚刚说了，我们这是一个对勾函数，这个对勾函数呢，它是相当于 t 方等于一，是它的一个最低点。就这个形式嘛，那 t 方如果大于一的话，它就是关于 t 方的一个递增的函数，对不对？而我们现在 t 大 于 m， 而我们的 m 一定是怎么样大于等于二的，所以它一定 t 方在这个递增的范围里面，所以整体关于 t 方是一个递增的，那整体这个式子啊，是不是就可以把所有的 t 都放缩成 m 了？ 也就是它大于 m 方，乘以括号 m 方，加上 m 方分之一，再减去二，后面呢，把 t 变成 m， 也就加上一个三， m 大 于等于二，我们把这个式子啊化解一下，就是 m 四方减去二， m 方加四，配方一下就是 m 方减一，括号的平方加三， m 大 于等于二，那整体这个式子啊，就大于等于十二。 注意了，我们这个式子严格的大于十二，而我们题目又说了，这个方程是等于十二的，那不就矛盾了吗？矛盾也就说明我们的 t 能不能大于 m 啊？ t 不 能大于 m 对不对？ t 不 能大于 m， 不 就说明 t 一定是小于等于 m 的 吗？所以这是这道题非常困难，非常不容易看出来的一个隐藏的条件， t 一定要小于等于 m。 好， 那既然 t 一定要小于等于 m， 那 这个问题就非常的简单了，我们来看啊， n 方刚刚说的等于这个式子对不对？ t 一定小于等于 m， 并且 t 又大于一，所以这个式子呢，我们就可以对 t 进行一个放缩，它整体就大于等于四分之九，加上 m 的 平方，对不对？就相当于把这个式子整体放缩成一个三，然后十二减三等于九， 前面就是四分之九，后面就是四分之一，乘以四， m 方就等于 m 方，所以整体大于等于四分之九，加上 m 方， 并且我们的 m 又大于等于二，所以整体呢，就大于等于四分之九，加上四，也就等于四分之二十五。而我们题目最一开始就说了， n 是 小于零的，现在 n 方大于等于四分之二十五，那么 n 就 应该小于等于负二分之五，所以 n 的 最大值就应该是负二分之五。 哎，看似没有问题啊，但是这个里面是有非常多的细节的，你仔细看啊，你这边用了两次放缩，第一次把 t 放缩成 m， 第二次把 m 放缩成二，这两次放缩呢？能不能同时取这个等号？我们来看一看。第一次放缩的取等条件就是我们的 t 等于 m 的 时候， t 等于 m。 注意了， t 等于 m 的 时候，这个方程就已经能够解出来的呀，就是我们的 t 等于 m 等于二的时候啊，所以第二个不等式取等，完完全全是碰巧， m 正好等于二的时候，就是我们第一个情况， t 的 m 等于二的时候取等， 能明白这个意思吧？所以这道题啊，真正的去写，其实并不好写，因为它最后的取等条件啊，是一个凑巧的情况，正好 t 等于 m 等于二，然后 m 又能放松最小的值，二就取等了。 所以整个题目啊，就写出来了，最终 n 的 最大值啊，就是当我们 t 等于 m 等于二的时候，也就是 m 的 二。 cosine theta 等于 m 等于二的时候，也就是这边的二 cosine theta 等于一的时候， cosine theta 等于二分之一的时候取得没问题吧，所以最终 n 的 最大值就是负二分之五。 好，那接下来我们再来看看方法，二不进行换元，该如何去写这道题呢？首先， a 的 坐标是负 x 零，负 y 零， x 零和 y 零呢？满足四分之 x 零方加三分之 y 零方等于一这样的一个关系。那我们把 a 点和 b 点代入到题目中的曲线中，我们就能得到 m 的 x 零加一次方加 n 等于 y 零。还有这样的一个式子，这两个式子呢，很显然可以相加，可以相减， 相加的话，就会把 y 零和负 y 消掉，得到 n 等于什么？什么东西相减呢？就能把 n 消掉，得到 y 等于什么？什么东西？还可以怎么去操作啊？我们是不是还可以把 n 都移到这个右边去得到这样的两个式子？这两个式子我们是不是可以两式相乘呀？ 为什么可以相乘呢？因为这个和这个乘起来不就是一个平方差吗？ x 零和负 x 零就消掉了。 所以我们把这三个关系啊都写一下，两式相乘就得到 m 方等于，哎，平方差乘一下就是 n 方减去 y 零方，然后我们还可以这两式相加相减，也就得到 n 等于这个东西，而这个东西你会发现啊，括号里面的式子肯定是大于零的， 前面还有个负二分之一，所以整体 n 是 小于零的，这就说明我们最终要求的这个 n 的 最大值啊，是一个负数。 同样的，我们两式相减，就得到 y 零等于这样的一个式子，没问题吧？好，接下来我们要求是 n 的 一个最大值，对不对？那我们来看看 n 有 怎样的一个表达式呢？我们选用这个来作为 n 最后要求的一个最大值的一个式子，为什么选它？因为这个式子相对这两个都很简单吧， 对吧？所以 n 方等于 m 方加上 y 零的平方，而我们现在它的变量还是太多了， y 零方可以消吧， y 零它就等于这个二分之一这个东西嘛。所以我们把 y 零带入进来，就得到 n 方整体等于这样的一个式子， 没问题吧？而这个式子，注意哎，我们 m 是 大于等于二的，而 m 大 于等于二的时候，你能看出来吗？还是一个冻结变量的思想啊？因为这边 m 和 x 零你肯定不能再去，相当于消圆了，不方便去消圆了。那我们就观察一下 这整个式子啊，关于 m 它是怎么样的一个递增递减的情况？关于 x 零又是怎样的一个递增递减的情况，应该不难观察出来吧？关于 x 零呢，它是一个递增的，对不对？你 x 零越大， 这个一加 x 零越大，你这个指数就越大，而后面这个减的东西，它就越小，对不对？所以一个大一个小一减，它整体就变大，那关于 x 零，它肯定是递增的。那关于 m 呢？关于 m 应该也是一个递增的，怎么看出来啊？ 首先 m 的 平方是一个递增函数吧，那后面这个式子你可能不太容易看出来，那我们就求导呗。求导的话就是这样的， 首先 fm 我 们就设它是后面这一坨东西，对 m 进行一个求导。复合函数求导，首先是二乘以这个括号内内部的东西，然后这个东西整体要求一个导，对 m 求导的话，注意这边不要求错，很容易写错的。首先是这个玩意求导是 x 加一， 然后 m 的 x 次方，后面这个东西求导呢，应该是一减 x 乘以 m 的 负 x 次方， 那后面这一坨东西正负号能看出来吗？首先我们这个 x 肯定是大于零的， m 又大于等于二，所以你这个 x 加一，肯定不管怎么样都比一减 x 要大，对不对？其次，我们这两个指数都是一个正数，对不对？那 x 大 于零， 一个还还，还有一个是这个负 x， 那 肯定是 m 的 x 次方要比 m 的 负 x 次方要大呀，所以不管怎么样，你后面这个括号的东西肯定是大于零的。同样的，前面这个东西呢，也一定是大于零的吧，因为 这两个指数函数，你的 m 这个底啊，是大于等于二的，然后这边的这个指数 x 加一肯定比负 x 加一要大吧，所以大于等于等于整体导函数大于等于，也就说明我们的原函数 f x 也是这东西是一个递增的， 没问题吧？当你发现 n 方关于 m 递增，那有趣的事情就又来了， 我们可以把 m 等于二这个极端的情况带入进去来看一看啊。当我们 m 等于二的时候，你发现啊，哎，我们这个式子啊，是不是能得到一个 y 零和 x 零的关系啊？也就是 y 零它等于二分之一，这个 x 零的这样一个关系，对不对？结合我们的四分之 x 方加三分之 y 零方等于一， 又是 x 零和 y 零的两个方程，对吧？我们正好解得 x 零等于一。好，那现在啊，我们又知道， 刚刚就这个 y 零等于的这个式子，就 y 零等于二分之一，这个 m 的 什么什么次方减 m 的 什么什么次方，也就我们刚研究这个东西，他肯定是一个怎么样递增的，对不对？既然是递增的，就很容易找出矛盾。你看啊， 我们刚刚把一个临界情况是 m 等于二的时候， x 零等于一的这个情况给他写出来了，那我问你， x 零能不能大于一呢？ 假设 x 零大于一，那这个式子因为是一个递增的，所以他肯定就大于等于我们把 m 等于二带进去的这个式子对不对？然后这个式子整体又是关于 x 零是递增的，所以我们把 x 零等于一带进去，它整体要大于二分之三。好仔细看啊， x 零大于一的时候，我们推导出的 y 零，它居然是大于二分之三的，你觉得这可能吗？ 肯定不可能啊，因为你四分之 x 零方加三分之五零方，此时就 x 零大于一，拿进去放缩，然后 y 零大于这个二分之三，也放进去放缩，那整体这个东西就大于四分之一加四分之三，也就等于一了。 但是我们知道你这个 x 零， y 零是椭圆上的一点，它一定是等于一的，就不矛盾了吗？ 矛盾就说明我们的 x 零绝对不可能大于一，也就说明 x 零一定小于等于一，没问题吧？ x 零小于等于一，那有意思就来了，我们三分之 x 零的平方，它又等于一减去四分之 x 零的平方， 而 x 零小于等于一，所以整体它就大于等于四分之三。所以 y 零平方呢？就大于等于四分之九， y 零就大于等于二分之三。因此看啊， n 方等于 m 方加 y 零方， m 大 于等于二， y 零大于等于二分之三，对不对？所以我们两个放缩一起使用，整体就大于等于四分之二十五。 当然，你要看一看能不能同时取等，因为你放缩了两次，对吧？ m 大 于等于二，它的取等条件是 m 等于二，那还有一个取等条件是 y 零等于这个二分之三，对不对？就这个取等条件和这个取等条件，能不能同时取等啊？ 显然是可以的吧。因为我上面推导出了， m 等于二的时候， x 零正好等于一，而 x 零等于一的时候， y 零正好等于二分之三，所以这两个放松是同时取等的。因此 n 方大于等于四分之二十五，也就说明 n 小 于等于负二分之五，也就说明当前仅当这两个条件的时候取等，所以 n 的 最大值就是负二分之五。那这道题也就写出来了。好，今天就讲到这个地方，感谢大家的收看。

青岛的家长注意，二零二六年高三一模正在进行中，测高线预计在五百分左右。你家孩子如果一模在五百分以上，市排名大约在一万四千名以内， 这个位次意味着什么？万赞城省排名大概在九万五千名左右，去年这个位次能上山东科技大学、青岛大学等省重点高校一摸，核心是暴露问题，不是定输赢， 现在开始针对性补漏，高考还能再提三十到五十分。你家孩子一摸估分多少？评论区告诉我选科和估分，我帮你分析冲刺方向。

好，今天我们用两种方法来讲解一下这个青岛异模的填空崖轴，即三角形的内角 abc 对 边分为 abc， 满足这个式子，则求这个东西的最小值是多少。 好，那这个题我将今天使用两种方法来解决它。 法一法一呢，就是我们我昨日发的这个公众号里有的是利用摄影定律。 好，那我们一起来看一下。已知 c 扣三引 a 比上 a 扣三引 c 加上二。 c 扣三引 b 比上 b 扣三引 c 啊，等于三，那我们持不振能推出有这险定力把 c 的 地方变进行变换， 口三引 b 除以三引 b， 口三引 c 就 等于三，那我们就得到什么贪井 a 啊，分之贪井 c 加上 摊紧 b， 分 之摊紧 c 等于三，那再给它进行这个逆向一下，我们只得到摊紧的 a 分 之一，加上摊紧 b 分 之二等于三，除以摊紧 c。 也就是说，我们要求的这个式子，它是不是就等于三比上摊紧 c， 那这个是不是就没有问题？那也就说要求它最小值，那我们就求贪婪 c 分 三除以贪婪 c 的 最小值嘛？好， 那么我怎么用摄影定理呢？我们先画一个三角形， a b c， 这是 c， 这是 a 啊，大家看， c 扣三引 a 比上 a 扣三引 c 加上二 c 扣三引 b 比上 b 扣三引 c 不是 等于三吗？这个 c 扣三引 a， c 扣三以 a 是 哪段？是不是相当于这个座高这一段对不对？它是不可以写成 b 减去 a 扣三以 c， 对 吗？整段是 b 吗？然后这个是 a 扣三以 c， 同样的另外一段，这个两倍的 c 扣三以 b， c 扣三以 b 是 不相当于就是这一段，那是不等于 a 减去 b 扣三以 c 比上 b 扣三以 c 就 等于三。那么进行化简就得到， b 除以 a 扣三以 c 加上二， a 除以 b 扣三，引 c 就 等于六。那我们把这个扣三引 c 给它挪过去，那就是 a 分 之 b 加上二， a 比上 b 等于六，扣三引 c。 那根据基本不等式，这边是不是大于等于两倍根号二呀？那我们就退出扣三以 c 是 不是大于等于三分之根号二小于等于一，因为余弦值肯定小于。那么把这个三角形画一下， 这个角，那它原先只是根号二 b 上三，那这里是不是就根号七啊？所以这个贪井 c 不 就是属于零到二分之根号十四吗？ 那么贪井 a 分 之一加上贪井 b 分 之二，不就等于三？比上贪井 c， 它是不是就可以等于大于等于三分之二除以根号十四，它就等于七分之三，根号十四，那这个就是利用，就是在这一块， 这一块我们需要利用这个，嘿，这一块我们利用这个摄影定律嘛，就在这一块把用摄影定律把它给弄开，因为分分母高，可以进行约掉。 好，那我们这个方法就是用摄影定力球赛。那我们再来一个方法二，换支笔，用蓝色的法二， 那前面步骤不变，贪井 a 分 之一加上贪井 b 分 之二，本质上是等于三。除以贪井 c， 这个是不变的。 那贪井 c 和贪井 a 加贪井 a 和贪井 b 有 什么关系呢？是不是有这么一个等式，贪井 c 是 等于贪井 a 加贪井 b， 比上 贪井 a 加贪井 b 减 e， 对 吧？因为贪井 c 是 不等于负的贪井 a 加 b 啊，在三角形中， 由这个贪婪 c 对 于负的贪婪 a 加 b 得到。好，那我们可以射 要求的这个贪井 a 分 之一是等于一个 m， 二除以贪井 b 是 等于 n 嘛？那么贪井贪井 c 不是 等于这个嘛？是不就等于 m 加上二分之 n 除以一减去二分之 m n， 对 吧？ 那我们把 m 加 n 固定一下，固定 m 加 n 为一个 x 好 了， 那是不就得到 x 减去二分之 n 除上一减去二分之 n 的 x 减 n。 好，那这个 tan 零 c 不 就是等于 tan 零 c 是 不是就等于三比上 x 啊？对吧？因为我们把 m 加 n， m 加 n 等于三比上 x， 那 我们做一个要带路， 相当于用用这个地方，用 x 比上三代路，把该约的约掉，那就得到 x 方减二分之 n， x 等于三减去二分之三 n， x 加二分之三的 n 方， 那我们要求这个 x 的 这个最小值嘛？那我们就把它看成一个 t 的 一元二次方程，那就是把它看成一个 n 的 一元二次方程。那二分之三的 n 方减 n， x 加上 三减 x 的 平方等于零，那判别式是等于什么呢？ x 发 x 方，这里写 x x n 根号 x 方减去嗯，四倍的 三减 x 方，再乘上二分之三大于等于零，那我们最终推出 x， 同样也是大于等于七分之三倍的根号十四， 跟这个答案是一模一样。所以答案学会了吗？我觉得第一种方法还是比较巧。第二种方法呢？需要利用一言二词方程的这个判别式法来求解。

青岛市二零二六年数学不参加统考还是自主命题官方发布啊？青岛市二零二六年沿用二零二五年中考的做法，只对道德与法治，也就是道法这一类选择省统一命题的一个形式， 其他学科呢，由青岛自主命题。从青岛市中考数学题命题来看，青岛市和山东省其他地区相比呢，有很明显的青岛特色。 市题呢，和山东省其他城市的中考数学以及省级的统一命题的那一份题目有很大的差异， 比如说青岛重视动点，青岛重重视函数，和几何相似。但是其他地区呢，比如说重视反比例函数，重视探究，重视二次函数的动点，那青岛的话在这些题型上和省统一命题还是差距很大的。所以对于青岛的考生来说，有两大复习建议。 第一就是以青岛本土的一模卷、二模卷中考卷为一托，以三年的一模卷、二模卷中考卷作为一个个体， 把这些卷子练熟练透，适应中考的一个命题趋势。第二就是把山东省其他地区的选择题以及反比例题和三角函数题拿过来可以借鉴参考。因为山东省其他地区的选填以及反比例还有 三角函数和青岛这里还是有很大的一个相似性的，而且的话他们出的相对来说比较新颖，比较好，是我们提升思路，提升思维的一个关键。还有的话就是可以领取我们这样子十一套 中考一模押题卷回去写。这样十一套卷子呢，是最新的青岛的一模二模，山东省以及其他北师大版本地区出的新题， 李老师呢，把它整合成了这样子的十一套卷子，每一份卷子都有坑，每一份卷子都有可圈可点的一个地方。这样子把十一份卷子领取回去，结合上真题，那这样子适应青岛中考没有什么问题。冲刺一模，冲刺中考，回复九八五即可领取。

今年的青岛一模数学卷出来了，我总体分析了一下卷子哈。呃，总的来说呢，第一点，这个难度比去年是下了一些，整体难度也更贴合这个高考的难度，所以说是一套不错的卷子。第二个点呢，就是它的考点考的还是比较稳的，没有一些偏难怪的考点。 第三个点呢，就是这套题，我觉得印印证了我的一个说法，就是你只要把基础题和中档题能够做到位，那么你拿到一个一百二十分左右的分数是不难的。 这道题的难题，你包括十一、十四加上十八、十九吧，这个十八题是一个偏理解的题目啊，十九题这个圆锥曲线 最后一问，再点问题，加上函数处理，像我的专题课也都讲过，所以说我觉得我的孩子在这个一模里应该是考的不错的啊。总的来说，这套卷子难度不算特别大啊，比较适合我们高考之前去做一个复习，所以这套这套卷子一定要吃透。

三月十六日到十八日，青岛市高三一摸即将拉开帷幕了。一摸和高考究竟有什么关系呢？一摸不等于高考，一摸不是最终的成绩，一摸差不等于高考差， 一摸好了不等于高考稳了。一摸是高考的全真模拟和一次体验，在题型、难度、时间、考场状态是最接近高考的。 我们通过一摸呢，每个学生可以比较精准的知道哪里不会，哪里粗心，哪里时间不够。一摸的分数具有参考性，但绝对不是定数。从一摸到高考呀，提个几十分上百分的学生，每年大有人在。 我们通过一摸来查漏补缺，而不是通过一摸来艺考定终身。一摸的排名比分数往往会更重要。学生所在的学校年级的几部排名，能看出你在全省大概什么样的位置，这才是填报志愿、定目标的基本的依据。

哈喽，各位高三的同学和家长们，今天咱们深度分析一下这套二零二六年高 三第一次适应性检测数学卷，帮你找准提分方向。这套卷子几乎把一轮复习的核心考点都考全了， 基础题占百分之四十，向负数运算集合交集、正态分布这些只要概念吃透，计算细心，就是送分题。中档题占百分之四十，比如等差数列、双曲线、离心率、立体几何、垂直证明， 需要一定的逻辑推理，但掌握方法后完全能拿满。答题只占百分之二十，集中在函数、零点四面体、结面、椭圆导数综合，用来区分顶尖学生 基础扎实能拿多少分？如果你的基础知识很扎实，基础题和中档题基本不丢分， 难题只拿步骤分，或者适当放弃，保底能拿一百零五分以上正常发挥，稳定在一百一十到一百二十分发挥出色，甚至能冲击一百二十五加。 在答题的过程中，选择题优先用排除法、特殊执法提速，别死算解答题一定要先易后难，步骤写完整，哪怕最后结果错了，步骤分也能保住。遇到难题别死磕， 先把会做的题全做对，才是最高效的得分策略。最后，大家可以先回归课本公式和定理，把基础漏洞补牢， 每周限时做一套模拟卷，训练时间分配和应试心态，重点刷错题本，避免重复犯错，提分才会快。祝大家高考数学加油，金榜题名！