八下勾股定理及其应用的图的折法

班级数学今天我们来看一下八项勾股定律的较复杂应用。上个视频我们讲了勾股定律的一般应用是比较简单的，这一次我们来看一下复杂的题目是什么怎么样的？如图，圆柱体 直径为派分之十二厘米这个地方，然后呢？ 呃，这个地方写的不是直径，它是一部分，它总长是派分之十二，然后呢，高为八， 假如像图中一样，斜着绕圆柱一周，绳子的长度为，绳子就是中间蓝色这一部分，虚线就是在这个圆柱后面的一部分。所以这道题我们的思路是什么呢？ 可能有些同学会说，你看这个地方，呃，是直径嘛，所以它就成了二分之一， 就是有。有的有些同学可能会说，这样子，二分之一乘二十二的平方加上八的平方等于 a c 的 平方， 可能会把 a c 的 a c 求出来，然后呢，再乘以二，他以为这样的得数答案呢，但其实这样子是错误的，因为它这个地方展开并不是你想的那样，它是一个曲线。所以来看一下正确的过程应该怎么写。 首先呢，我们要把这个图形给它展开，展开呢，就变成两个长方形， 大概就是这个样子。然后呢，我们可以知道，呃呃，我们来标一下点了 b， 然后呢，中间这个是 c， 这边呢是 b 撇，上面是一样 a， a 撇它这个线的意思呢？你看这个 a 到 c， 它其实是这里有条线，后面呢也是一样， c 到 a 撇也有一条线， c 到这边呢， 所以一共就是有两条线段，我们现在求的就是这两条线段的长度。首先呢，我们要求 b b 撇的长度吧，这个总的长度吧， b b 撇， 因为我们刚才已经说了，它的直径是派分之十二，没问题吧？直径是派分之十二呢，那我们就求一下 b b 撇它是等于什么？它这个地方它是一个曲线，所以呢，它是这样求的， 它是又是圆柱形，它是底下其实是一个圆，所以呢，是直，直径乘以 pi， 那 也就是二 pi r 的 意思。 然后呢，我们已经知道直径了，直径就是 pi 分 之十二，那我们乘一下 pi 分 之十二，再乘以 pi， 两个 pi 刚好消掉，那我们就知道直径等于十二了， 那他们的半径呢，就是各等于六， bc 和 c， b 撇各等于六，这个我们知道了，然后呢，最重要的就是看这个， ab ab 我 们已经知道高为八，那这样呢，题目就差不多解出来了，因为我们知道六八十是一组勾股数， 然后这个角也是直角，所以呢， a c 等于十，这边的 a 撇 c 也等于十，他问绳子总长度是多少，所以呢，就是两个十相加，那就是十加十等于二十厘米。那这一题就做完了， 这一题呢，主要运用的是就是一个圆的性质，二派 r 就是同学们要知道这个才能开始算，不能直接照着图这样，所以要把一个立体的图形给它展开来，成一个平面，才能算这种圆柱体，长方体，立方体都是这种做法。 本期讲解结束，谢谢大家。

记住这个口诀，甩开同班同学，尤其是最后一个应用场景最广泛。勾股模块的计算让很多同学头疼，那是因为你真的在硬算，而学霸在用口诀秒出 这个口诀就是基数平方拆连续偶数半方加减一，任意扩倍仍满足。我们来逐个拆解。先来看第一个，比如说有一条直角边，它是七， 而这条直角边他是二十四，如果直接硬算，那这个斜边就等于根号下二十四的平方加上七的平方， 太麻烦了。你如果知道这个口诀七的平方四十九，他能拆成两个连续的数二十四加上二十五，那七跟二十四，二十五就是一组勾股数，所以当你看到七和二十四的时候，直接口算出他一定就是二十五。 来看第二个口诀，偶数半方加减一，我们这个边假设是偶数八，这里如果是十五，那它是多少呢？还是如果勾股定律直接计算，就应该是根号下八方加上十五方， 如果用口诀偶数半先除以二八，除以二等于四，它在平方 四的平方加一和四的平方减一，这里是十七，这里是十五，那八十五斜边就一定是十七， 秒出任意扩被仍满足，这个用的场景是最多的，因为前几个你还对这些数值有一些特定的要求，那如果它的边长是任意的一个数呢？比如说这里是呃，二十四，这里是三十六。 我们继续用这个口诀的话，你会发现他除以二再平方，哎呀，跟他好像也没什么关系，加减一跟他都没有关系，那口诀就失灵了是吧？但是米老师教你的这个方法依旧好用，你可别直接根号下二十四的平方加三十六的平方啊，这是完全，这算蒙圈了啊。 看没看到他俩都有一个公因数，是谁？十二二十四，提一个十二，他剩二， 三十六，我提一个十二，他剩三。那就是说这个时候有一个直角三角形，如果他的这个边是二，这个边是三，我们是不是能快速的得出他的这个边？根号下二，方加三，方四加九是三， 那扩倍之后他扩大十二倍，他扩大十二倍，他扩大十二倍就会得到这个边的长度，所以他快速就能口算出是十二倍的根号十三。跟着敏迪走，数学不用愁。

王老师讲数学，今天讲勾股定律与折叠问题来看这一题，把一个长方形沿着对角线折叠一下， c 就 落到了 e 点，交 a、 d 与 f。 那 么第一问，证明点 f 在 b、 d 的 垂直平分线上。 那首先我们要考虑到利用垂直平分线的判定定律，如果一个点到线段，两个端点的距离相等，那这不点这个线段的垂直平分线上。所以我们先来分析， 如果能够证明 b、 f 等于 d f 啊，也就是说如果能够证明这两条线段相等，那么这 f 点呢，就在 b、 d 的 垂直平分线上。所以通过折叠呢，我们可以得到角一等于角二， 又因为啊，这是一个长方形，所以呢， a、 d 呢，就平行于 bc 啊，平行之后内算要相等，所以角一就等于角三， 然后这样一来呢，等角对等边就可以得到 b f 啊，就等于 d f， 这样呢，这个点 f 就 在 b、 d 的 垂直平分线上啊。第一问，不难证明，那么第二问，我们来看，如果 b、 d 的 平方等于二十四 啊， d、 f 呢，等于三，也就是这部分是三，所以 b、 f 呢，也是三，那么求 a、 d 长，也就是求这个整体的长， 我们来分析一下。第二问，对这个折叠以后啊，要在新形成的 r、 t 三角形中有勾股定力来解线段的长度问题，也就是说折叠之后，新形成的这个三角形是谁啊？ r t 三角形 a b、 f， 所以如果我们如果在这里头知道啊 af， 知道 bf 和知道 ab 的 时候，就可以求解了，所以我们要设 af 为 x， 那 么 ad 呢，就等于三加 x。 我 们第一步要求出来 ab 的 平方，所以在 r t 三角形 a、 b、 d 中先用一次勾股定律，求 a、 b 的 平方， a， b 的 平方就等于 b， d 的 平方，减去 a、 d 的 平方，那么 b， d 的 平方。题目中给了二十四，减去 a， d， a、 d 的 平方， a、 d 是 三加 x， 所以 三加 x 的 平方，所以这是 a、 b 的 平方， 所以再再啊，再用一次格物定律 r t 三角形啊， a， b， f 中，那么 ab 的 平方加上 af 的 平方，就等于 b， f 的 平方， ab 的 平方在这儿啊，把它带到里边就是二十四 减三加 x 的 平方，加上 a f， a， f 在 这啊， x 的 平方， b， f， b， f 就 等于啊， d， f 等于三，所以就等于三的平方，这样就可以把 x 给解出来了， 等于一，所以呢， a， d 啊，就等于一加上三就等于四。好，求解这种折叠问题啊，我们要注意两点，第一点， 这是用了两次勾股定律，所以叫双勾股。第二呢，要用放用到了方程思想 来解决这种折叠问题，所以这种题型你学会了吗？

我们先一起来回顾两个旧知识，第一，勾股定律的内容是什么？谁能举手说一说？第二，我们之前学过哪些三角形全等的判定方法？ 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 当时我们是通过画图叠合，直观感受得到的，并没有进行严格的数学证明。今天这节课我们就带着刚学到的勾股定律来完成这个证明。 同时我们还要解决一个新问题，我们知道任何实数都能用数轴上的点来表示，那像根号十三、根号十七这样的五理数又该怎么在数轴上精准画出来呢？ 今天就让我们一起走进勾股定律的应用世界，用代数的工具解决几何的问题，用图形的直观感受数的奥秘。

同学们，生活里藏着好多数学知识呢！看王师傅家新做了一个门框，他想知道这个门框的角是不是标准的直角，可他手里只有一把卷尺，你们能帮他想想办法吗？ 同学们，我这新做的门框总觉得不太值，可我只有一把卷尺，你快教教我咋检查。 大家回忆一下我们学过的勾股定律，逆定律是什么？如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那它就是直角三角形。 那我们能不能用这个原理帮王师傅设计一个检测方案呢？谁来说说我们需要量出哪些边的长度哦，量三边就行。我量了 ab 是 八十厘米， bc 是 一百七十厘米， 你能帮我判断一下角 b 是 不是直角吗？对了，只要量出门框的两条邻边和对角线的长度，就能判断是不是直角啦！ 那如果我的卷尺只有一米长，量不完整，门框的边还能检查吗？对了，我们可以在边上各量一小段，用小三角形来验证大角是不是直角。这就是数学里以小见大的智慧。懂了，就是在 a、 b 边上量八十厘米， b、 c 边上量六十厘米。在量这两个点之间的距离要是刚好一百厘米，就说明大角是直角，这筐子真省事儿。 同学们，大家有没有注意到两艘轮船的航行路线在空间中形成了一个什么样的几何图形？ 如果我们要判断这两艘轮船的航行路线是否垂直，也就是航线形成的夹角是否为直角，大家可以回忆一下我们学过的哪些数学知识可以帮助我们解决这个问题呢？

今天我们预习八年级下册数学第十七章第一节勾股定律。初中阶段最难的几何是什么？你的脑海里是不是已经闪过一堆乱七八糟的图形了？那你有没有想过，这些花里胡哨的图形，其实大部分都是由三角形拼出来的呢？ 三角形天天见，但这种自带固定比例，天生就在公式的三角形你一定没见过。今天这节课咱们就来搞定难倒无数初中生的几何刺客。特殊直角三角形 提起直角三角形，你一定优先想到的是四十五度和三十度，但有没有想过，除了这些，还有几十种别的角度？那为啥我们不想七十五度和八十度，反而想的是四十五和三十度呢？其实这是因为带有这两种角度的三角形三边比有额外的意义。那我们就拿毕达格拉斯的勾股定律来看看 这个含四十五度角的等腰直角三角形的三边笔有什么特殊的意义吧。已知题干为等腰直角三角形，所以我们可以把两腰长设为 a， 再根据勾股定律，可以列出 a 的 平方加 a 的 平方等于二类的平方。 开方后，我们就可以得出斜边为根号二 a。 现在我们就可以把三边比列出来为 a 比 a， 比根号二 a， 再仔细观察，里面都有个 a， 所以 就可以直接变成一比一比根号二。也就是说，含四十五度角的等腰直角三角形的腰长为一分，斜边为根号二分。 根据这个比例，如果已知一边的长度，就能火速算出另外两边的长度来看这道题，已知一个含四十五度的等腰直角三角形，腰长为二， 求另一腰和斜边的长。根据一比一比根号二比例，已知的腰长是一份，另一腰也是一份，所以腰长为二，要求斜边，所以就是根号二份相乘后得到斜边长为两倍根号二。那现在已知腰长求斜边长的学会了，我们再来想想已知斜边怎么求腰长？ 再看这题，已知一个等腰直角三角形，斜边为四倍根号二，求两腰长是多少？根据比例一比一比根号二。现已知斜边为四倍根号二份，所以求一份的长就用四倍根号二，除以根号二等于四， 要求的两腰都是一份，所以腰长都是四。依据以上两道题，我们就可以总结出一个口诀，求有关等腰直角三角形的边时，已知腰长求斜边时就乘根号二。已知斜边求腰长时就除根号二。那我们再来一题试试，提示下，这题可有个大坑，同学们可以好好想想。 已知一个等腰直角三角形，一边长为三倍根号二，求另外两边。如果你只回答出一个答案的话，那就错了，因为此题没有设置前提。 我们不知道三倍根号二是腰长还是斜边，所以就要分类讨论。如果三倍根号二是腰长，那他就是一份，另幺也是三倍根号二，斜边就是三倍根号二，乘根号二为六。如果三倍根号二是斜边，那把它除以根号二，就得到两腰长为三， 所以此题选 c。 看完含四十五度角后的等腰直角三角形后，我们再来看看含三十度的直角三角形，他的三边比又有什么特殊意义呢？ 我们学过在直角三角形中，三十度角所对的直角边为斜边的一半，所以假设三十度所对的直角边为 a， 则斜边为二 a。 根据勾股定律，另一直角边则为根号三 a。 所以 三边比为一比根号三比二。 一定要注意，一份的边是三十度所对的边，根号三的边是六十度，角所对的边二则是斜边。计算时要先算最短的边，再算别的。来到题目，练练，已知一个含有三十度角的直角三角形， 三十度所对的边的长度为三，求另一条直角边和斜边的长度。已知三十度所对边的长度为是一份，要求另一条六十度所对的直角边，也就是根号三份，所以用三乘根号三，就求出另一条直角边为三倍。根号三 要求的斜边就是占两份，那就用一份的三乘二等于六，故斜边为六，另一条直角边为三根号三。最后我们再上点难度来看看这道题目。 根据题目 c、 d 垂直于 ab， 角 a 等于六十度，所以不难看出角 b、 c、 d 也是六十度。那么左右两个直角三角形的三边比例就是一比根号三比二， 求证 b、 d 等于三倍 a、 d。 先看短边 a、 d， 它是一份那么较长的直角边， c、 d 就是 根号三份，所以 c、 d 等于根号三。 a、 d、 c、 d 的 另一个身份是左边这个直角三角形中的最短边，所以再乘根号三等于较长直角边 b、 d。 因此 b、 d 等于根号三。 a、 d 乘根号三， b、 d 等于三倍 a、 d。 看来把较短的直角边乘根号三，就能快速的求出较长直角边， 反过来想求较短边，就是除以根号三。关于特殊直角三角形的三边关系我们就已经全部讲解完毕了，如果还想学习关于特殊三角形的面积问题，大家可以直接去洋葱学员首页搜索张无限领取 vip 即可全部会员内容，我们下期再见了！

这道题太难了，只有两成的同学能做对，为啥呀？蚂蚁爬行路线最短的问题，我们啊，平时从这一点到这一点还会爬，但是从这一点到这一点，你发现了吗？它的爬法可就多了， 我们可以选择这两个面爬，可以选底下的面爬，可以选择上面的面爬，看没看见。所以这道题难在，我们需要把展开图打开，三种路线分情况讨论。 但是今天我不给你讲分情况讨论，我教你一个秒杀这类题目的口诀，一个口诀，所有这类题目都能让你在五秒之内秒出答案 来。我们这类题型啊，老师也给大家把最短路境问题做了一个汇总，你可以试一试，利用老师的方法，这套题目都可以秒出答案啊！家长们不信的话，听完这个视频可以打印给孩子来一起看。一个蚂蚁从顶点 a 沿长方体爬行到 b， 那这个时候怎么算它的最值呢？难道我要分情况都算完了再填回去吗？那考试没有那么多时间呀，怎么才能又快又准呢？就是这一句话叫做短短相加勾股最佳。 由于这长方对应的长宽高分别为八、四、五。短短相加什么意思？找到这三个数当中两个较小的数加在一起，哎，再和另外一个数去应用勾股定律， a 方加 b 方， 所以这个时候我们就可以找到最短路径的值。四加五不就是九的平方吗？九的平方再加八的平方开方，我们就可以求出最终的答案。所以这就是我们所说的啊， 短短相加购股最佳。所以在这里我们就可以总结一下这种题目解析巧算的公式，哎，短加短， 在和那条最长的边，利用勾股定律开方，我们就直接可以秒出答案了，快去试一试吧！

翻到书本二十三页，我们来看一下勾股定律，勾股定律是怎么来的呢？ 有一个叫三高的人，他构造了一个勾股弦分别为三、四、五的直角三角形，并且指出了两矩共长二十有五。什么意思呢？就是说分别以勾和股为边的正方形，它们的面积之合恰好等于以弦为边的正方形的面积。 哎，你看他举了个例子，这里有一个红色的直角三角形，他的三边分别为三、四、五，然后以这三条边分别往外做一个正方形，哎，得到一个正方形， 那么这个小的正方形加上这个中等的正方形的面积，他加起来正好会等于这个大正方形的面积。 哎！从边的角度来看，这个直角三角形的三边，他是满足两条直角边长的平方和等于斜边的平方，也就是说这里会得到这个三的平方， 加上四的平方，会等于这个五的平方啊。所以他就在想，那其他的直角三角形的三边是否也蛮也能满足这样的数量关系呢？哎，来看到探讨，他说 每个小方格它的面积均为一，图中这个正方形 a、 e、 b、 e、 c， e， 它们的面积关系有什么样的？它们的面积关系是什么？好，你来看到这个 a、 e、 b、 e、 c、 e， 你来看一下这个 a 一 很好算，它的边长都是一和一，对不对？它的边长都是一和一，所以它的面积就是一乘一得一，而这个 b 一 的面积，它的边长是二和二，所以它的面积就等于四。你再来看这个 c 一 的面积，怎么算呢？我们可以用割补法来算。那你把它看作一个什么？ 你把它看作一个大的长方形啊，大的这个正方形减去旁边四个小的三角形就可以了，而这个小的三角形的边长分别是二 和一啊，这个直角边的边长分别是二和一，所以这里是三，这里是三。 c 一 的面积，它就会等于三乘三。减去什么呢？减去四个小三角形的面积，减去四个小三角形面积。二乘一除以二， 它就等于多少呢？这里二二二和二约掉就等于四，所以是九减四等于五。发现了没有？你看这个 c 一 的面积求出来等于五，它们的关系也满足。 a 一 的面积加上 b 一 的面积会等于 a 一 的面积，会等于 c 一 的面积，那这个就是它的关系。什么关系啊？ a 一 的面积加上 b 一 的面积会等于 c 一 的面积。 好，他又问，那么 a 二、 b 二、 c 二呢？也能满足这样的关系吗？我们再来算，你看这个 a 二的面积等于二乘二等于四，这个 b 二的面积，它的边长是三，所以是三乘三等于九。然后这个 c 二的面积跟刚才一样，你把它画成一个大的 正方形，用割不放，你用大的正方形减去四个。哎，这里画少了， 应该往里面画一点，这个大的正方形减去四个小的三角形就可以了。所以这里的 c 二，它会等于这个长是五，这个长也是五，对吧？就等于五乘五， 减去四个小的三角形，它的长，它的边长是二和三，所以是四个二乘以二，那么约掉二三四十二， 然后这里是五五二十五，二十五减十二等于十三。哎，你会发现，四加上九等于十三，所以它们的关系也是 a r 的 面积加上 b r 的 面积会等于 c r 的 面积，那这个就是 a 二、 b 二、 c 二的关系。然后再看 a 三、 b 三、 c 三一样的，你同样去算这个 a 三的面积，它等于三乘三，等于九，这个 b 三的面积， 它这里是五，这里是五，那就是五乘五等于二十五，而这个 c 三的面积把它围成一个大的 正方形，再拿这个大正方形的面积减去四个小三角形的面积，这个小三角形，它的两条直角边分别是三和一、二、三四、五和五，对吧？那么这个 c 三， 它的面积就会等于，这里是八八乘八， 减去三乘五除以二，这是一个三角形的面积，再乘上一个四，好算一下，这里约掉还剩二三五十五，十五乘二等于三十六，十八、八六十四，六十四减三十等于三十四。 好，你看这个九加二十五是不是正好等于三十四？所以他们的关系也是 a 三的面积加上 b 三的面积等于 c 三的面积， 那就满足这样的关系。看到了吗？以格点为顶点，你看中间夹着的这个三角形，是不是全都是直角三角形？发现了没有？ 哎？发现了没有，全都是直角三角形，那么以格点为顶点，在正方形纸片上任意画一个直角三角形， 类似的做出三个正方形，那么这三个正方形的面积有什么关系？由此你可以得出直角三角形三边关系的猜想吗？那这个三个正方形的三，这个面积有什么关系？两个中等的 啊，一个小的加中等的三角形的面积等于大正方形的面积，就是这个意思，知道吗？啊？小正方形面积加上中等正方形面积会等于大正方形的面积，只要满足是直角三角形的三边往外做的正方形就可以了 啊，那么因此我们就可以推出他的结论了，可以发现，以直角三角形两边 两条直角边为边的正方形的面积之合，就等于斜边为边的正方形的面积。由此我们可以猜想，如果直角三角形的两条边长分别为 a 和 b， 斜边为 c， 那 么就可以得到 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方， 对吧？那你看这里，这里是三的平方，这里是五的平方，这里是多少这里的斜边啊？我们不知道，但是我们知道它这个面积是等于三十四，对吧？好，那么这个是三十四的话，它的边长就是根号三十四了，对不对？好，是一样的，所以这个就是勾股定律。 知道了什么是勾股定律，那这个东西应该怎么证明呢？哎，我国古代数学家赵爽，他就是用这个图来证明的，这个图也叫赵爽弦图。哎，他是怎么证的呢？你看，他是拿两个 正方形，这个正方形的边长分别为 a 和 b 啊，所以这两个正方形的面积就是 a 方和 b 方，那我把它框出来啊， 它就是边长为 a 的 一个正方形，而右边 就是边长为 b 的 一个正方形，他把这两个正方形合在了一起，那么至少你知道 这个小正方形的面积等于 a 平方，这个大正方形的面积等于 b 平方。现在他把这个两个正方形拼在一起之后，找到一个点，使得这条边和这个 a 是 相等的啊，然后呢，通过构造一线三等角啊， 他可以分出几个呢？分出四个，一二、三四，这四个一模一样的全等三角形，然后把下面这个三角形 往上折，把这个三角形往上翻，哎，他就得到了一个。那你把这个图放到这里来，你把这个三角形放到这里来，他就拼成了一个斜着的一个正方形，看到了没有？他把这个斜着的正方形边长当做 c， 哎，这个 c 看，我也把它框出来。 这个正方形的边长是 c， 而这个正方形它是由什么得到的呢？它是由这两个正方形 拆分之后重新拼起来的，所以这个正方形的边长是 c 的 话，它的面积就是 c 平方， 所以这个大正方形的面积由这个两个小正方形的面积拼起来的，所以就可以得到 a 方加 b 方等于 c 方，所以 a 方加 b 方等于 c 方啊， 这个是他的思路，那么他后面呢？哎，在探讨里面，他又说，你能通过计算来计算这个面积，推导出勾股定律吗？那我们就直接拿这个图来推导一下，好吧，用面积法去证。那他上面讲的这个，哎，其实就是我刚刚讲的这两个图的转换思路。 那现在我们如何去证明勾股定律呢？你看他说了这个小镇小的 三角形，它的边长这一段是 a， 这一段是 b， 所以 这个也是这一段是 a， 这一段是 b， 那 这一段是 a， 所以 这一段是 b， 那 么这个黄色的小正方形的边长 这一段就会等于 b 减 a。 你 看现在我们可以看得出来，这个大的正方形，它的边长是 c， 他这个大正方形的面积等于四个小三角形的面积，再加上中间这个小正方形的面积，这个中间是一个小正方形，他的每一条边都是 b 减 a， 你 看这段是 b， 这段是 b 减 a， 他的每一条边都是 b 减 a， 知道吧？好，这里写的完整一点是大正方形和小正方形，而这个大正方形的边长是什么呢？是 c 的 平方啊， 是 c， 它的面积就是 c 的 平方，所以大正方形的面积就是 c 的 平方。而四个小三角形的面积是 a 乘 b 除以二， 是 a 乘 b 除以二，再加上中间这个小正方形的面积，就是 b 减 a 的 平方，那么 c 的 平方就会等于这两个就约掉了，等于约掉之后还剩个二，二乘 ab 就是 二 ab 加上 这个括号的平方。用完全平方公式把它打开，会得到 b 的 平方减二 ab 加上 a 的 平方，你会发现 二 ab 和减二 ab 就 抵消掉了，所以就会得到 c 的 平方等于 b 的 平方，加上 a 的 平方，再反过来写，你就得到了 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方。这个是用面积法去证的。 哎，就是我们这里探求的要求，那他叫我们通过计算弦图的面积去推导勾股定律，那这样就推导出来了，这个就是用面积推导赵爽弦图当中的规律。 来看到例题一，怎么用勾股定律呢？你只要是在直角三角形里面，就可以用勾股定律去计算，根据所给的条件，分别求出两个直角三角形当中未知的边长。 在这个三角形当中， b， c 知道 a， c 知道 ab， 不知道对不对？好，这里有个直角写了，那么第一个我们就怎么写呢？首先你要知道是在直角用 r、 t 来表示 r、 t 三角形 abc 当中，这是直角三角形，我们可以根据勾股定律， 根据勾股定律， 咱们可以得到这个 a、 b 的 平方啊，不对，这个 a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方， a、 b 的 平方会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，所以这个 a、 b 就 会等于 a、 c 的 平方加上 b、 c 的 平方再开放，那么它就会等于八的平方，加上六的平方再开放，等于根号下六十四，加上三十六 等于多少，等于根号一百，根号一百等于十，所以 ab 这条边就等于十，对吧？好，那这个怎么样呢？那一样的，它这里有直角，然后斜边和一条直角边告诉我们了，我们用勾股定律去算，对不对？在 r、 t 三角形 d、 e、 f 当中啊，根据勾股定律， 我们可以得到这个 d、 e 的 平方加上 e、 f 的 平方会等于 d、 f 的 平方，所以这个 d、 e 的 平方会等于 d、 f 的 平方。减去 e、 f 的 平方， 那么 d、 e 的 平方就会等于十七的平方。减去十五的平方，七的平方是等于二百八十九的，十五的平方是二百二十五，所以这里一减等于六十四， 那么 d、 e 的 平方是等于六十四的，所以这个 d、 e 就 会等于八，就可以了。那这样写就 ok 了。 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 它的斜边长为 c。 第一个已知 a 等于六， c 等于十，叫我们求 b， 因为 c 是 最长的，对不对？好，我们就直接 由勾股定律，因为它这里直接说了是直角，对吧？好，所以我们就可以直接用勾股定律，直接由勾股定律 咱们可以得到，这个 b 是 等于 c 的 平方减去 a 的 平方再开方的啊，那么这里带进去就会等于十的平方减去六的平方， 十的平方减去六的平方，它就等于根号多少啊？哎，根号六十四，根号六十四的话，它就等于八，所以第一个答案就是八，对吧？那第二个也是一样的啊，它告诉我们 ab 叫我们求斜边 c， 那 么就可以由勾股定律得， 这个 c 的 平方是等于 a 的 平方加 b 的 平方的，当然我们这里可以一次性把它写好，就直接写 c 会等于 a 的 平方加上 b 的 平方开方，那么它就会等于五的平方加上十二的平方再开放五的平方等于二十五， 十二的平方等于一百四十四，加起来就等于一百六十九，对于一百六十九开方， 那就等于十三，然后第三个已知 b 等于十五， c 等于二十五，叫我们求 a， 我 们这里一样的由勾股定律去得 啊，这个 a 是 直角边，所以呢，我们要用斜边去减去 b， 对 吧？所以 a 就 会等于 c 的 平方减去 b 的 平方再开方，就等于二十五的平方减去十五的平方再开方，它算出来的话，它就等于这个四百 拆方，他就等于二十，因为这个是等于六百二十五的，这个是等于二百二十五的，他们一减就等于四百，所以根号四百等于二十。 如图，图中所有的三角形都是直角，三角形、四边形都是正方形，已知正方形 a、 b、 c、 d， 它们的边长分别是十二、十六、九、十二，叫我们求最大正方形 e 的 面积是多少？好，我们这里标一下啊， 这个是边长是十二，这个是十六，然后 c 的 边长是九， e 的 边长是十二。好，他教我们求最大的这个正方形 e 的 面积是多少？由于它这里都是直角三角形，所以它是可以满足勾股定律的，对不对？好，因为 所有三角形 都是直角三角形， 所以可以用勾股定律。 我们把中间这两个没有标注出来的正方形，我们设为 m 和 n， 它的两个边长我们分别设为 m、 m、 n、 n。 好， 那么这个 e 呢？它的边长我们把它设为 e、 e、 e。 好 了，那么现在来看一下。首先在这个直角三角形当中，你就会知道， 这个 a 的 面积加上 b 的 面积是等于 m 的 面积的，也就是用勾股定律你会发现是十二的平方， 十二的平方加上十六的平方会等于 m 的 平方，而这个 m 的 平方就等于什么？就等于这个 m 正方形的面积，对不对啊？所以就可以得到这个 a 的 面积加上 b 的 面积会等于 m 的 面积。 然后再看这个，这里是九，十二的平方，加起来会等于 n 的 平方。这个勾股定律，九的平方加上十二的平方会等于 n 的 平方。我们就可以推出 c 的 面积加上 d 的 面积会等于 n 的 面积。 而最后一个三角形，我们就可以得到 m 的 平方加上 n 的 平方是等于 e 的 平方的，那这里就可以推出这个 m 的 平方是 m 的 面积， n 的 平方是 n 的 面积，它就会等于这个 e 的 面积。把这两个式子还原回它们两个，所以这个 e 的 面积， 把这两个式子还原回它们两个。所以这个 e 的 面积加上 s n， 那么这个 s m 它等于 s a 加 s b， 所以 就是 s a 加上 s b， 再加上 sc 和 sd。 好， 那么这个 x e 的 面积到这里就可以算了。 s a 等于十二的平方，第二个就是十六的平方加上九的平方，加上十二的平方啊，然后把它全部算出来，加起来就可以了。 十二的平方呢，等于一百四十四，十六的平方等于二百五十六，九的平方等于八十一，十二平方等于一百七十四，一百四十四，把它全部加起来等于六百二十五，所以这个 e 的 面积就等于六百二十五，就 ok 了。 如图，在平面直角坐标系当中有两个点，一个是 a 点五零，一个是 b 点零四，叫我们求这两个点之间的距离，叫我们求两点之间的距离的话，最好是构建一个直角三角形，用勾股定力计算。 但是你会发现，这个图里面本身就有 x 轴和 y 轴是相互垂直的，所以这个九十度就是白给的，对吧？好，所以呢，我们就可以用勾股定力直接算 ab 就 可以了。 那我们也要解释一下，因为点 a 的 坐标是五零，所以 o a 等于五啊，因为 o b b 点的坐标是零四，所以 o b 的 长度就等于四，对吧？又因为这个 o b 是 垂直 o a 的， 所以在 r t 三角形 a o b 当中可以用勾股定律啊，我们就可以构建这里，接着往后写， a 的 平方加上 a， b 的 平方会等于 a b 的 平方，那反过来，你要求 a b 的 话，就会等于 a b 的 平方加上 a b 的 平方再开方。好，直接代入 a b 就 会等于 五的平方加上四的平方再开方，那么 ab 就 会等于二十五加上十六再开方，二十五加六等于四十一，所以 ab 就 会等于根号四十一。好了，它的结果就是根号四十一。猜不出来的啊。

哈喽，大家好，我是大哲老师，今天我们一起看到的是二十点二勾股定律的逆定律及其应用，那么在这个章节的时候，我们很自然由前面的勾股定律得到了一些计算呢，减直角三角形的方法，那在这个时候我们想想， 哎，反过来，如果我们一直说他的两边，呃，直角边平方之和啊，会等于第三边的平方，那反过来的话是否成立呢？那成立的话 满足什么样的一个条件性呢？那么我们看到在这里的时候，根据我们的图例啊，课本中给出的这些上述方法，哎， 使用呢有一个角是直角，其他的是打结，然后方法把一根长绳打上等距的十三个结，然后三个结间距，五个结间距的长度为边长。 这个方法之后看看他是不是我们说的直角三角形的，观察完之后发现，哎，好像是哦，那如果是的话，他就是符合我们说的，去猜一猜，猜下他的什么呢？如果三角形 的边长为 a、 b、 c 满足这个，那么这个三角形是直角三角形，那这个猜想我们就把它叫做 勾股丁零的逆命题。我们下面由猜想完之后，现在我们要去怎么样去证明它， 证明什么？证明他符合这个的要求，那我们看他，呃，下面我们就来证明他，证明的过程请看下面的例题， 直接证明。那么我们来看到，如果是三角形上边长满足这个球，他的三角形是 直角三角形，那么过程我就不再多去念了，大家可以看清楚 的过程写的到底是什么了，在这写的过程中，我们要注意他都已经呃，在这里的要求计算做了一个全新的，对吧？做了个全新的，在这里的时候，全新的和他的关系又是一个 相等的关系了。那么相等的关系哎，我们就可以用什么呀？用我们学过的三角形，全等证完之后发现 这样是符合的，所以我们最后推出这么一句话，我们证明了勾股定律的逆命题是正确的， 他也是一个定律，这个定律叫做勾股定律的逆定律，他是判定直角三角形的一个依据了，那我们依据什么？哎，依据他边的关系就能证明他也是一个直角三角形。 咱们看到例题一，在例题一的时候注意了给了我们的线段 abc 让我们去看，那我们可以灵活的利用是勾股定力及其逆定力去判断一个三角形是不是直角， 只要判断两条较小的边呢？长的平方和是否等于最大最长的边的平方，那么像这样的话，这些数我们会把它统称为勾股数，对吧？ 八十五、十七六八十三四五都叫做勾股数了，它符合，那我们最后结论就是符合了，这里只是按照公司的概念定义去把它推导出来了，所以 对应以上的两个例题是这样上去，那么根据勾股定律应该有这个的依据不成立，因为什么？因为他们不相等啊，不相等的时候就不是喽，相等的就是符合喽，这是我们最大的一个逻辑，就在这里， 那么我们通常把他们的关系是要理顺，理顺的时候，我们下面的练习题通常都是，呃，让我们去练手，让我们去熟知他们的一个 呃逆令，你刚学的是不是能够用上去啊？我们根据的是什么字母？加 b 的 平方会不会等于 c 的 满足，那就一定是了，不满足那就不能说它是直角了，这是两个第二题 关系出来了吧，判断它，那这三个边的就是半圆的直径咯，直径完了之后，看看它们的关系会不会像 平方，它平方加平方等于它的平方呢？会，那就是符合了 et 二、利用它还可以解决一些实际的问题。这个实际问题我们看到这里的是一个海岸线上 的船只远航是否圆这个方向行走，那我们看到给定了这些，也给定了我们的速度。什么这一段，那我们可以把它的线段这段 p q p r 求出 这个 pr 求，说完之后我们根据呃它的关系 r q 也知道，对吧？那么看看是否符合公式， a 方加 b 的 平方 符合，那他就是在这里的时候，哎，符合的话，那这个角度就等于九十度了。好，这里通常给出例题都是在使劲的让我们去熟知它的应用，那么例题上 可以综合去应用勾股定律及其逆定律来解决的一些问题。到这里的时候，例例三，他说，哎，他要去求出判断出这个线段 a c 和线段 a d 是 否也垂直，那这句话一来，我们就要看到它垂直就是有九十度喽，哪一个角会等于九十度？我们去正的 就是看三角形 a c、 d 是 否为直角三角形，如果它是为直角三角形，那么这个一定是直角了，那我们就很清楚喽，根据它垂直 a c 先是垂直 bc， 所以 a c 九十度 已知条件求出 ac 的 长度，对吧？ ac 的 长度，然后再求出，看看 c d 啊， c d 是 等于多少 啊？ cd 求出来， ac 这里知道， ad 也知道，所以去利用它的逆定力去求出来喽。 所以书上的这些知识的时候给了我们，我们要去发现它的特征，以及去摸索出它的规律。书上这样出题，为什么要出这样练习题？ 这样练习题给到我们的时候，我能不能快速根据课本的那个知识，我去把它 表示出来，这里表示出来的时候，我们要通常要注意它的一个计算，因为更多的去逆定律应用的时候，算数不要算错，算错了数，那就很可能判断也会跟着出错了。 今天下面的练习我们来看看 a b， c， 那 么这里很明显是一组勾股术。这些简单的我就不再多说了，能够用，通常用上去三角形，它的平方的就直接用了啊， 而后面的可以先把它呃求一求，如果不会求，先把它正出了，就是一步步来啊。然后综合应用中，我们来提一下几个稍微难一点的，比如说第 第几题看一下来按到第五题吧。第五题它要求 a e， a， e， f， 它是等于九十度，问这个会等于九十度，那么我们看到 e 是 它的中点，那就是一半一半 f， 它的一点 c， f 会等于四分之一 c d， 那 么我能假设的部分是什么呢？ 这里假设部分我就看看要求这个直角，那我是不是又想到去去把它进行逆定的使用呢？逆定的使用的时候，我们来算， 看看怎么来去假设，而且 cf 的 关系告诉我们了，那我们假设它的这里为 a， 那 整个就是四 a 喽， 边长为四 a 喽，边长为四 a， 那 我们就一步步来喽，对吧？直角三角形各个去求解出来，那么这里就等于三 a 四 a， 那 么我们去求出 a f f， 求完之后这边和这边是二 a， 二 a， 这 a 求出这个，这个和这个求出这个，三条边都求出来，看看两个直角边的平方相加会不会等于 af 的 平方， 也就是说最终的目的是我要求完这些之后，线段 f 平方要等于 a e 的 平方加上 e f 的 平，所以这个满足了之后，它就是喽。那这题目相对来说也简单一点点啊， 刚学的时候可能会觉得有一点难，那后面的图说历史、数学史这些，大家课后可以去看一看，去跟着他 去画一画，看看这个图案呢，能不能去找出他的这些特性呢？所以整张的购物经理，其实用我们的话来说，课本讲的简单，也就是说应用起来东西也不会说特别难，大家要去思考清楚， 他的一个应用长宽的话，长他的边长，对吧？三角形的边长关系就能得到的 一个数值了。那么后面那些题大的练习题，整个练习题还是需要大家来去看，我们下一节课的时候会直接来对着课本讲 第二十一章，所以前面的练习希望大家快速的把它完成，那我们今天就到这里了，拜拜。

这类题目堪称勾股定律天花板，同时也是高频考点，能做出来的同学屈指可数，因为你会发现学校教的 a 方加 b 方等于 c 方无处安放。为什么呢？因为老师是不会告诉你勾股定律，还有个孪生兄弟叫一垂直两勾股， 老师今天就用一个视频教你彻底学会这个原理，学会后，考场再遇到这类题型，直接拿分来看题 说，如图，在 r、 t 三角形 abc 中， a、 b 长等于根号下六十一， a、 d 长等于根号下三十四， b、 d 长等于三。让我们求 a、 c 这条直角边的长是多少？题目非常的简洁啊，那这里边，我们除了已知了直角三角形 abc 之外，我在图形中是否观察能发现一些 其他的信息，所以这时候需要大家睁开一双慧眼，仔细来观察一下啊。因为题目中啊，你如果直接利用勾股定律去计算，你会发现 这条边 c、 d 长我并不知道，显然不可以直接算出来啊，所以我观察发现呀，除了直角三角形 a、 b、 c 之外，图中还隐藏了一个蓝色阴影的小小直角三角形 a、 c、 d。 所以这里边啊，一个垂直出现了两个直角三角形，就可以用老师教给大家的绝招一、垂直两勾股，直接快速解题！好，那怎么来操作呢？首先，在小兰直角三角形中，问号线段也是它的一条直角边，也就是说， 小兰和大的直角三角形 a、 b、 c 中，两直角三角形拥有的是弓 共边，公共的直角边就是 a、 c， 抓住公共边怎么样呀？同时去表示这条公共边，或者说公共边的平方， 未知的蓝色 c、 d， 我 用小 m 表示其长度来大的 r、 t 三角形 a、 b、 c 中怎么表示 a、 c 或者表示 a、 c 的 平方呢？直接利用勾股定律，也就是斜边根号下六十一的平方，减去直角边 三加 m 的 平方，这我表示的是什么呀？是 r、 t 三角形 abc 中利用勾股定底表示出的 ac 方。 好，同样道理，我在蓝色阴影直角三角形中也来表示一下直角边 ac 的 平方，它也就是斜边 a 地方， 根号三十四的平方，减去直角边 c 地方，减去 m 方，所以等号右边呢？我还是表示的是线段 a、 c 的 平方。直角三角形 a、 c、 d 中利用勾股定律表示出来的， 所以两边是相等的，一垂直两勾股。得到这样个等式之后，你只需要进行认真计算来化简。整理一下， 左边六十一减去括号的平方，注意符号啊，减九减六 m， 再减去 m 的 平方，等号右边开方再平方之后三十四，再减去 m 的 平方， 两边都减掉 m 平方，所以我利用等式的性质，两边同时加上 m 平方，消掉不见了，整理一下，这不就是解什么呀， 关于小 m 的 一元一次方程嘛。所以六 m 我 挪挪到等号一边，常数部分六十一减九，再减去三十四，所以六 m 等于十八， 算出小 m 的 值来。等于三啊，你看小 m 都有了，你算 a、 c， 是 不是等号左边或者等号右边都能算出来，对不对？所以啊，我比如在蓝色的 小直角三角形 a、 c、 d 中直接利用勾股定底，我知道 a、 c 就 应该等于根号下斜边根号三十四的平方减去直角边 小 m， 也就是三的平方，这是三十四减九根号下二十五，所以 a c 的 长等于五 完事了。所以这道小题啊，回过头来总结一下。出现一个垂直的条件，但图形中会出现多个直角三角形， 两个直角三角形，一垂直，两勾股，同时去表示公共边，或者说公共边的平方啊，那我两边开方也可以吗？当然可以啊， 两边平方之后，我表示公共边的平方计算更加简单，最终把未知的一条边长，一条线段长给它算出来，再来求解我们想要的公共边即可。

这道题又来啦，那我们看一下这道题目，这道题目是勾股定里面呃，常考的一个类型题，叫折底问题。 那题目我们来解题一下，因为这道题目在我课堂上稍微小测了一下，结果全班只有七八个人，对，那占比只占了七分之一，所以我是蛮惊讶的，这道题目有这么难吗？那我们来看看折底问题是怎么入手的？ 题目说将 a、 b、 c 折叠过来对不对？那说明这两个三角形有什么关系？是全等的，而全等是推，怎么推什么？结论呢？是推边相等和角相等对不对？全等的目的就是推对应边相等，对应角相等，那相当于这两个三角形关系已经确定了。 那翻折这个过程本身是将这个大大三角形分出了三个三角形，其实这三个都是 r t 对 不对？都是 r t， 那 不管，因为这两个关系是全的，那现在还差这个三角形还没有。那我们先来看看这个三角形到底起到什么作用呢？题目说 b c 等于六， a c 等于八，没了啊啊，这还有个九十度，那我们班同学错在哪？他是错在他们都会算出边勾股马上说啊， a d 等十啊，折叠一半等五，接着不会啦，那你们看看你们是不是出现这个问题，或者你家小孩是不是出现这个问题？ 那这道题目其实不是这么做的，因为刚才老师第一题就特别强，第一第一句话就特别强调，这两个全的是为了推对应边向的和对应角向的，所以你应该立马反应的是 b 一 等于 a 一， 是吧？那题目要求的是移 c， 问什么是什么？是移 c 为 x， 那 么因为 c a 等于八，所以 e a 是 不立马可以表示了，是八减 x， 对 不对？那是不可以马上替换过来八减 x， 所以 这一题这个还没有用到的三角形其实用来建立方程的，不知道同学听明白了吗？ 好，所以我们现在把它排除一下，如果没有听明白是平移，倒回去再重新听。那这题是怎么做呢？首先由折叠可知， 这个 b 一 是等于 a 一 的，那设 设这个 c 一 等于 x， 所以 a 一 就会等于 a， c 减 c 一 等于八减 x。 在 r t 三角形 bc 一 中角， c 等于九十度， 所以 b c 的 平方加 c， e 的 平方就会等于 b， e 的 平方，即代入六的平方加上 x 的 平方会等于八减 x 的 平方 啊，对不对？这个 b 等于 a 一 等于八减 x。 一 起写啊，呃，所以外面去算，老师这边打草稿，三十六加 x 的 平方等于八八六十四，然后减十六， x 加 x 平方，这俩消掉， 所以是十六， x 等于六十四减三十六是二十八，对吧？所以 x 是 等于十六分之二十八，咱们要约分，同时约掉四，所以 x 是 等于四分之七，那我们这边写解的 x 等于四分之七，所以要求的这条 c 移 就是等于四分之七啦，快快点赞收藏吧！这道题目很经典。

八下这种题目太经典了，月考期中一定是必考的，他考察了利用勾股定律、几何构造法来去求什么？求最值？那咱们来一起看一下啊，本来这道题他是没有图的，他只有这个题干， 那这个题干看样子是一道代数题，但是我们却可以用几何法去解题，方法就是巧妙啊！那今天依依老师就教你几何法去解题，方法就是巧妙啊！那今天依依老师就教你几何法去解题，方法就是巧妙啊！那今天依依老师就教你做不出来的压轴题。 那有关于勾股定理，这里历年必考的这些压轴题，老师也给大家分题型做了一个整理，如果这类题型你还没见过，还没有这种解析技巧的话，一定要把它打印出来，咱们分题型进行练习。下面呢，老师带着大家一起来看一下这道题。 a 加 b 等于四啊， 那么说明两个数的和是四， a 方加一，加 b 方加四，哎，我在这啊，就有蹊跷了，为什么呢？因为我看 a 方加一，这不是 a 方加 b 方的形式吗？ b 方加四，那 b 方再加二的平方，哎，这不也是 a 方加 b 方的形式吗？所以由它我想到了勾股定律的基本型哎！勾股定律的基本型是啥？ a 方加上 b 方等于 c 方，对不对？ 所以合着它是求两直角边为 a 和一，两直角边为 b 和二，两个直角三角形斜边和的最小值。 那我们现在就可以构造了，来两个直角三角形构出，构造出来 a 和一， b 和二，而且还告诉你 a 加 b 等于四，那是不是就说明这条线段的长，它不就是四吗？ 对不对？下面想要求这两条斜边，他不就是根号下 a 方再加一吗？他不就是根号下 b 方再加二的平方吗？再加四吗？他俩斜边和的最小值怎么求呢？ 两点之间线段最短，我们直接啊这两点连线就可以了。连上线之后啊，我们把这个图形哎给他 构造出来新的直角三角形出现了，这是二，这也是二，整个这条边是三。这条边人家题里告诉你了， a 加 b 等于四，那这是三，这是四。来，请问斜边长是多少啊？ 对了，斜边长一定就是五了，所以这两边和的最小值也就是五了，直接秒了。所以你有几何构造法这种思想，咱们可以轻松构造出图形，利用两点之间线段最短，解决这类最值问题。

八下数学最难的勾股定律五大模型全部吃透，逆袭班级前三！八下数学压轴必考勾股定律五大必会模型，模型一，风吹树折模型二，蚂蚁爬行 模型三，三七八和五七八模型模型四，出水芙蓉模型五，垂美四边形完整版分享！