五三基础题八年级数学下册

新版的五三下册同步测试卷终于来了，如果你能让孩子从现在开始，每天做一页下册的同步试卷，到了考试你就知道他成绩有多好。就给孩子准备这套五三春季新版同步测试卷，里面包含了新课标、新中考、新特色、跨学科等练习题，让孩子每天练习一页， 都是各地区的考试真题，课前预习、课后巩固都很实用。答案部分也讲解的非常细致，重难点还配有视频讲解。现在就给孩子备上一套开学的月考，肯定会给你惊喜！左下角七八九年级各科的试卷都！

如何在正方形中平移？求最小值？ 八年级数学下册第三章的平移的第五题。在正方形 a、 b、 c、 d 中，边长是二，好，告诉正方形，告诉边长是二。 呃，边长是二的话，那么正方形的对角线，那就应该等于二根号二 啊。你看这个等二，对吧？这个，这个等二，那么这个 a、 c、 b、 d 就是 二根号，所以这个都等于根号二，对吧？ o a， o b， o c， o、 d 都等于根号二啊，都等于根号二啊。正方形的这条线呢，是互相平分的，垂直的， 呃，还是相等的啊？好，对角线 a、 c、 b、 d 交于点， o p， k 为 b d 上两个洞点，现在是 b p 等于 o q。 好， 这两段相等啊，把这两段相等，给它看清楚，是这两段相等， 求 a p 加 c q 的 最小值。 a p 加 c q， 我 们得想办法把 a p 和 c q 啊变在一个地方去，或者说一个算题上去。你比如说，咱们把这个 c q， 咱们平移， 对吧？平移到这来，平移到 b 是 这个叫做 pm 的 位置，对吧？ c q p 到 pm 的 位置，然后连接 cm， 好， 那么把 c q 平移到 pm 的 位置，那么这样呢？我们就知道 cm 它就是平行。切，等于 p q， 而这个 p q 呢？大家注意啊， p q 是 等于这个 o p 加 o q， 由于 o q 等于 b p， 所以 这个 p q 呢，是等于 o b 的， 当然也等于 o c 的是等于根号二的。刚才咱们说了，因此 c m 就 等于根号二， 那么而我们这正方形的对角线是垂直的，刚才我们说这个是平行的，所以这个角 a c m 也就是直角， 所以这个 a p 加 pm 就是 a p 加 c 个的最小值。那如是两点之间线段最短，所以我们可以先把 am 给它求出来。 am 等于根号，这里是根号二的平方， 这里 a、 c 呢？是多少呢？我们刚才说是二根号二，所以二根号的平方等于根号的平方是二，二根号的平方是八，等于根号十，也就是 ap 加 c 扣的最小值就是根号十。 好，具体的证明过程呢？好，我们来看到这里的第五题 啊，已知 b c 等于二啊，正方形 b p 等于 o q， 求 a p 加 c q 的 最小值，把 c q 沿着 q p 的 方向 平行到 pm 的 位置，对吧？这样我们就知道这个 c q 和 pm 是 平行于相等， p q 和 cm 也是平行相等。 那么由于正方形的边长是二，所以我们得到 a、 c、 b、 d 都等于这个二根号，并且角 a， c， m 和角这个 a o b 啊。当然呢，你说 b o c 也可以九十度，并且 c m 呢，是等于 p q 等于 o p 加 o q 啊，也就变化了，等于 o b 等于根号二，所以 am 就 等于根号 a、 c 的 平方加 cm 的 平方。呃，当这里当 apm 三点共线的时候，对吧？当 apm 共线时， 对吧？ a p 加 c q 就 应该是最小的，那两点之间线段最短，对吧？所以这个 a p 加 c q 的 最小值是更好使 好由拼音呢去证明，要多练一练，提高你的思维解题能记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十三页啊， 习题，二十一点一的六七八九题，第六题，他说如图，在 n 边形内， n 边形内啊，取一点 o， 说连接点 o 与 n 边形的各个顶点，也说 o a o a 一 a 二 a 三 a 四 a n 一 a n 啊，他们这些顶点都连线，说 n 边形被分成了多少个三角形，那你看啊，这个 o 跟你的这个两个端点连线的话，那就会围成一个三角形，然后这个三角形的这条边恰好是多边形的一条边。 那也说他这些三角形啊，都用了一个多边形的边，那有多少个三角形就用了多少条边啊，有多少条边就能有多少个三角形。所以呢， n 边形被分为了 n 个三角形。那请你利用这种方法来推导 n 边形的内角和公式。 那么首先我来答啊，首先答，嗯， n 边形被分为了多少个三角形？第六题来， n 边形被分为 n 个三角形，那他让我们推到内角和公式，那你想，嗯， n 边形分成了 n 个三角形，一个三角形的度数是一百八，一个三角形的内角和等于一百八，那我 n 个三角形 是不是应该是 n 乘一百八，对吧？ n 乘一百八，那 n 乘一百八之后啊， n 乘一百八之后，然后呢？你想我的，嗯，三角形的小盒包括了这个角，这个角是不还有个字， 那这个角呢？他不是多边形的那角，所以我得把这一圈的这一个啊，以 o 为顶点的这一圈的角，他都得减去，那这一圈呢，正好是多少度？三百六十度，所以减去三百六啊，他就等于 他是不是让我们推到公式，那我们记得公式应该是 n 减二乘一百八，对不对？那我这个三百六就可以给他变成 一百八乘二，那我们用乘法分配律逆算，那么 n 减二乘多少就行了。乘一百八，那这个公式这不就推导出来了吗？这是啊，第六题，那么第七题啊，他说如图，五边形 a、 b、 c、 d 的 内角都相等 啊，他们的这些内角都相等，然后且角一等于角二，然后角三等于角四，然后让我们求这 x， 那 你想他的五个内角都相等，那就说明你的这个五边形应该是一个正五边形了 啊，那咱不说他正还是不正，咱就说他，既然五个内角都相等，那我可不可以求出这五个啊？五个内角分别多少度啊？啊？那我们可以求一下来，第七题，五个内角分别为多少度呢？嗯，我们可以说，因为 五边形内角和为 五减二乘以一百八等多少？等于五百四十度啊？所以呢，一，每个内角，因为他们每一个内角不都相等的吗？所以每个内角 为五百四除以五等于多少？一百零八度。所以呢，你的角 e， 这个一会咱要用，然后角 c， 一 会再用，这个大角也要用，因为 x 个字，是不是这两个角 它用处不大啊？所以我们可以写角 e 等于角 e、 d、 c 等于角 c 等于多少度？一百零八度啊，把这三个大角写出来，然后我们可以说，因为你的角一等于角二 啊，然后角三又等于角四，所以呢，你看啊，这个大角相等，然后他俩相等，他俩相等，那你说我的这个角一、角二、角三、角四，是不应该都相等， 对吧？角一等于角二等于角三等于角四，那他怎么求啊？等于用一百八十度减一百零八除以几呦？ 除以二啊，等于七十二，除以二等于多少？三十六度 是不就能求出来你的角一、角三等于三十六了，对吧？所以你的 x 就 应该等于一百零八度，减去 角一，减角三，那就等于一百零八减三十六，再减三十六等于多少？减七十二是不还得三十六？ 所以 x 应该等于三十六度啊，这是第七题。那我们再看第八题，他说在四边形 a、 b、 c、 d 中，这个四边形 a、 b、 c、 d 中啊，你观察四条边数不相等，它不是正的啊。然后 a、 c 和 b、 d 啊，是两条对角线，这两个红色的线，粉色的线啊，是对角线， 他让我们比较 a、 c 加 b、 d， 也就是这两条对角线与四边形周长的大小。 那你说四边形的周长是不应该是 ab 加 bc 加 cd 加 ad 啊？对不对？那你你要比较这四条边的和和中间这两条边的和，咱们咱咱可以说一目了然，我就能看出来谁长 是不？四边形的那个周长应该长，那如何来证明呢？那我如何来比较大小呢？这里你要考虑到一个三角形它的三边关系 啊，你要求和那只，你要 ab 加 bc， 他 跟 a、 c、 b， 是 不是在这个三角形里 ab 加 bc 那 个要大于 a、 c 是 吧？啊？然后你 ab 加 cd 是 不是大于 a、 c， 这两个都是大于 a、 c 的， 那你上下这两个三角形那两边之合是不是应该大于这个 b、 d？ 那你这里边你就要怎么样呢？把这啊，四个三角形 a、 b、 c， b、 c， d， a、 d， c， 还有 a、 b、 d 这四个三角形，它的三边关系都要给它写出来 啊，都要写出来，写完了之后呢，我们再通过算式，然后，然后进一步推理它。所以说来咱们来写一下啊。第八题，减 啊，我们可以利用三角形的角和啊，那就，呃，不是三角形的角去了三边关系啊，在三角形 a、 b、 c 中， 你的 ab 加 a 加 bc 是 不应该大于 a、 c 啊？它俩的和是不大于 a、 c？ 那 么在三角形 bc、 d 中，你的 bc 加 cd 是 不应该大于 b、 d？ 然后在三角形 a、 d、 c 中，然后 a、 d 加 c、 d 是 不应该大于 a、 c？ 然后在三角形 abd 中， 你的 ab 加 ad 是 不应该大于 b、 d？ 那 你看，这四个三边关系都整理出来之后，你观察左边的都是 四边形的中那个边长，然后右边的正好都是这两条对角线。所以把这四个算式怎么样相加啊？一二三四啊，一加二加三加四得， 也就是二倍的 ab 加上，嗯， bc 加 cd 加 ad， 然后应该大于二倍的 a、 c 加谁呀？加 b、 d， 那 同时约调啊。二，是不是 ab 加 bc 加 cd 加 ad 应该大于 ac 加 b、 d， 那 么它的结论就是 ac 加 b、 d 与四边形周长的大小，那我们就可以写了。所以 ac 加 b、 d 应该怎么的小于四边形的 周长啊？这就是第八题。那么看一下第九说如图啊，要使四边形木架用四根木条定成的走四。呃，四根木条定成不变形，那至少再定上几根木条。那五边形木架和六边形木架呢？ 那你说我们那个具有稳定性的应该是什么呀？应该是三角形，对吧？所以呢，你要考虑到在这个四边形里啊，加一条对角线 啊，加对角线，然后让把你的，让你这个四边形变成什么三角形，那不就稳定了吗？对不对？所以第一个啊，至少定上几根啊？ 第一个定上一根，那这一根怎么定？记得啊，对角线，这条对角线也行，或者这条对角线也行，都可以，但是他只需要几根一根。那我们看第二个五边形，一二三四五。 那你说五边形要想给他隔出三角形来，那你想我也可以啊，过一个点来做对角线啊，一条，两条。哎呀， 那你看我现在隔出来的这个图形是不都三角形，那三角形不就有稳定性了吗？所以我至少得加几根，两根。当然你可以过这个点，这画，这画也可以，或这画这画都可以啊，只要是对角线都行。那我六边形呢？ 一二三，这三角形，这三角形，这三角形，这三角形，所以至少几根，至少得三根啊，这就是第九题，它是最简单的题。

百分之九十五的学生都做不出来的中学八年级的数学好题， 所以平时这样的好题啊，一定要多练总结规律，这样考试的时候你就会觉得对别人是难题，对你却是简单的题目。我们看到角 b、 a、 d， 角 b、 a、 d。 看清楚啊，如角 b、 c、 e 的 平分线， b、 a、 d 的 平分线，这两角相等， b， a、 d， b， c、 e 的 相等，加如点 p。 呃， b， c， e 加 a， d， 如 c， e 的 反向延长线，加 a， d， 如 d。 有 其他的就看图。其实关键的就是两个角平分线，问角 p， 角 b， 角 d 三个角之间的数量关系， 呃，这里我呢这里的过程大家可以截屏截下去看，下面在这里我们一起来分析。刚才我们说啊， 这是角平分线，这是角平分线，如果我们用这两个角像呢，我们用 x 度来表示，这两个角像呢，我们用 y 度来表示的话，那么这样呢，我们就方便多了。我们来看啊， 那个对于角 p 来讲，这个角 p 加 x 度， 嗯，就得一百八十度减这个角，我们说这两个角是对零角相等，那就是这个角加这两个角的和，是一百八十度，这个角加这两个角的和。看清楚了吗？ 这是角 d， 这个角呢是一百八十度减 y， 就是 说当这个对零角相等的时候，角 p 加 x 度，就应该等于角 d 加这个角，这角多少呢？一百八十度减 y 度， 这个我们有时称为叫燕尾角，像燕子尾巴的两个角。我们再来看啊，换个地方来看，咱们把角 b 联系起来，我们看到对于角 b 来讲，咱们来看到这个 a、 o， b 和 c、 o、 d 这两个角对零角相等， 所以这个角 b 啊，加上 g 二 x 度，因为这里角相等嘛，所以角 b 加这个大角，呃，就得一百八十减它 这里的角 d 和这个角的和啊，一百八度减它。当这两个对零角相等的时候，所以角 b 加二 x 度，就应该等于角 d 加多少呢？加这个角，这角多少呢？一百八十度减二八度。 把这两个换句式找着了，题目的答案呢，就马上就出来了啊，我们看到有上面这个，我们就可以得到 x 度加 y 度等于什么呢？一百八十度加角 d 减角 p。 好， 这个我们看到二 x 度加二 y 度，就等于一百八十度 加角 d 减角 b， 哎，这是二 x 是 吧？好，那咱们把上面这个，咱们也把它理解为那个，就得到什么呢？就是由此我们可以得到上面这个， 那就是二 x 度加二五二度，那就等于三百六十度加二角 d 减二角 p， 对 不对？ 好，所以这两个相等。好，我们把这个连起来，一百八十度加角 d， 减角 b， 就 等于三百六十度加二角 d 减二角 p。 题目问的是角 p、 角 b、 角 d 的 关系，所以我们把这个 二角屁移到左边了，二角屁一百八十移到右边了。三百六十减一百八十，等于一百八十。脚力移到右边了。二脚力减脚力， 二脚力，哎， 那就是一三百六十，那就是，这就是一个角 d， 减角 b 啊，加角 b， 呃，那就做完了吧。 好，当然呢，我们这个题目他是个选择题，二角 b 减二角 p， 减角 b， 减角 d 等于一百八十度，只是这个选择值啊，我没有把它擦下来。 好，我们看到得的结果，二角 p 减角 d， 减角 b 等于一百八十度啊，选择这一个，嗯，这题目呢，有些难啊。这题目有点难度 呃，他关键就是要通过当对零角相等的时候，另外两个角的和相等啊。这等题目的类型呢，还是比较多的， 大家可以把这个截图截下去多看，认认真真的分析总结规律，记住这种规律以后啊，哎，就不怕这样的难题了，记得点赞关注哦！

做好题，好成绩，八年级数学下册的第一张三角形的这里的， 我们看到这里的一道好题，三角形 a、 b、 c、 e、 f 折叠三角形 a、 b、 c 怎么折呢？点 a 落在 a 撇处在这啊，点 a 落在这里， a 一 撇 f， a 一 撇 f。 哦，这个 a 撇 f， 如 a、 b 相交于点积啊，这个字母啊，这个点是点积，图形有点小啊。 b p、 c、 p 分 别是角 a、 b、 d 与角 a、 c、 d 的 角平行，这两角相等，这两个角相等。 若角 p 等于三十度，角 b 等于三角 a 一 撇 e b， a 一 撇 e， b 等于十六度。求角 a， e 撇 f c。 啊，这是这个图呢，我刚才这是题目啊，这里我自己写了一下推导的过程，大家跟我一起来看啊。 好，那么刚才这里呢，这个角一等于角二，角三等于角四，所以这个角一啊，等于这个角 p 加角三，所以角 p 呢，就等于角一减角三，角一减，角三就等于这个三十度 啊！已知这个三十度角，所以二角一等于角二，角三等于二倍的角一减二倍的角三等于多少呢？角一减，角三等于这个三十度。二倍的角一减二倍的角三，那就等于六十度，所以这样我们就求出角 a 啊，等于六十度 啊！这里的设计的折叠，而且有设计的一个特别的一个公式，我们在前面也讲过了，就是三角形以内角以外角的平行线所夹的角，等于第三个角的一半。 也就说，如果你熟练掌握我们前面讲的公式，那么角 p 的 二分之角 a， 那 你就很容易搞得清楚。 好，角 p 三十度，角 a 就是 六十度，角 a 六十度折过来，角 a 一 撇，也就是六十度， 对吧？这个角 a 一 撇六十度，角 a 一 撇 e g 啊，刚才题目说角 a 一 撇 e b 是 十六度，求角 a 一 撇 f c， 求角 a 一 撇 f c 就 等于角 a 加角 a g f 啊，你看它这里，这个角三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的角 a 六十度，角 a g f 等于什么呢？而这个角 a g f 啊，又等于角 a 一 撇加角 a 一 撇 e g e 啊，图形有点小 啊，这个六十度，这个一十六度，所以这个角 a e 撇 e g a 啊， a g f 就 等于七十六度。 角 a g f 也是角 e g f 等于七十六度。好，六十度加七十六度就等于一百三十六度，所以角 a 一 撇 f c 等于一百三十六度。那么这道题呢，你要熟练呢，把这个 对折之后的两个三角形对应角向的，对应面向的这这类搞清楚啊，实际上这里就是 a e f 切，等于三角 a e 撇 e f。 另外还有呢，就是内外角的平行线的加角等于第三个角的一半， 那么这个规律你要找不清楚，你要慢慢死算，算不清楚的话，那这题你就觉得很难了，所以平时我们总结出来的一些常规的一些经验呢， 要多记住，多练习，多模仿啊，这样才能够提高考试的速度，这也是一道好题，记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十七页练习。嗯，这五十七页练习呢，主要是考察的是平行四边形的定义和性质啊，那它的定义呢是？ 嗯，两组对边分别平行的四边形是平行四边形啊，也是 a、 d 平行于 b， c， a b 平行于 cd， 那只要交代他是平行四边形了，那这个对边平行就一定成立，那反之呢，就是这个定义当中说，如果已知两组对边分别形形了，那我就可以知道这个四边形是平行四边形了。啊，那么平行四边形有什么性质呢？啊？这 啊，这个是边的性质啊，平行四边形的对边相等，然后这是角的性质。对角相等，然后这是对角线的性质，叫对角线互相平分在这，那么这个里头，角啊，这个边呢， 咱们说对边相等啊，还有对角相等他呢？嗯，实际上就是性质来说，他写的不是特别完整啊。我们可以说平行四边形的对边啊，平行且相等 定义当中不说了吗？对边是平行的，对吧？然后呢，通过这个证明，我们又知道了他的对边是相等的，通过这个证全等的方法证明啊。然后第二呢，就是对角是相等的，什么叫对角？角 b 和角 d 是 对角， 那角 b a， d 和角 b c、 d 他 俩是对角。那我们因为知道平行啊，那除了对角相等之外，平行之后是不是同旁内角互补？那同旁内不叫菱角吗？所以呢，你要知道，平行四边形除了对角相等之外，你的菱角还能怎么的？ 菱角还能互补啊，只要知道它是平行四边形，那么你的这个菱角就一定互补，那对角线是互相平分的，意思就是你的 o， a 等于 o、 c， o， d 等于 o、 b， 这个是那个 平对角线的性质啊，那现在呢，我们看一下题型，第一个呢，他说平行四边形 a、 b、 c、 d， 这是平行四边形的符号啊，也说见到他就已经知道了四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形了，那已知呢？ ab 等于五， bc 等于三。来，咱们画一个平行四边形啊，配个图来， a、 b、 c、 d， 他 说 ab 等于五， bc 等于三，然后让我们求另外两条边的长啊，另外两条边的长啊，那另外两条边呢？我们就可以依据这个平行四边形的性质，对边怎么样？ 平行且相等，那这里用到的应该是相等，对不对？那我就可以说了，因为你的 a、 b、 c、 d 四边形啊，写完整吧， ab 型平行四边，四边 a、 b、 c、 d 啊，是什么型？平行四边形， 所以呢，我会得到 ab 等于 dc 啊，然后你的 ad 会等于谁？ bc， 然后因为 ab 等于五， bc 等于三，所以你的 cd 等于五，你的 ad 应该等于三。那你看另外两条边的长，不就求出来了吗？是吧？那么第二个小题啊，这是第一， 那第二个小题，他说角 a 等于三十八，来，咱配一个图，角 a 等于三十八的图啊， 这是 a、 b、 c、 d， 那 如果这是三十八，让我们求其余各角的度数，那你说第一呢？最快的依据性质就是对角相等，说明角 c 等于多少度， 角 c 等于三十八度，对吧？那么还有呢，就是平行四边形啊，这个对边平行，我们知道邻角应该是互补的，所以呢，角 a 加角 b 应该得一百八十度，那我们能求出角 b， 而角 b 和角 d 又是什么角， 又是相对的两个角，所以我们就可以把另外三个角都把它怎么样，都把它求出来，是不是？那我就可以说，因为四边形 abcd 是 什么形？是平行四边形， 所以呢，依据性质是不对角相等，角 a 等于角 c 等于多少度？三十八度。然后呢，角 b 等于角 d， 这个咱还没求，对吧？那还有一个就是邻角互补，角 a 加角 b 等于多少度？ 一百八十度。所以啊，我们可以先求出这个角 b 啊，角 b 呢，就应该等于一百八减三十八度，等于一百四十二度啊，所以角 d 等于角 b 也等于多少？一百四十二度。那你看另外三个角是不是都求出来了 啊？另外三个角就都求出来了。这是第一小题，那我们看第二小题， 他说在如图啊，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c 和 b、 d 交于点 o。 那 首先你要关注这 它本身就是平行四边形。第二呢，涉及到对角线交于点 o， 你 要想到这个 o、 b 等于 o、 d 也是对角线互相平分 o、 d 的 o、 b， o a 等于 o c， 这个有没有用啊？咱不知道，但是呢，读道题你脑袋里反应啊，跟对角线有关的那个性质 啊，然后告诉我们， bc 等于十啊，标上数据，这得十， a、 c 这条对角线得八，然后 b、 d 这条对角线得十四，那你说这得七，这得七，这得四，这得四， 是不是？然后问你，三角形 a、 o、 d 的 周长啊，你看，这不就好求了吗？这四这七，他俩还是相对的两个边，所以这是十， 对吧？那么我这个三角形的周长是不是能求了？那么第二个问呢？是三角形 a、 b、 c 这个三角形啊，和 b、 c、 d 这个三角形，它的周长哪个长？那你算一下周长呗，你的 a、 b、 c 的 周长呢？应该是 ab 加 bc 加 ac， 然后你的 b、 c、 d 的 周长呢？是 bc 加 cd 加谁啊？加 b、 d 是 不这么意思啊，那么他们两个呢，都有一个 bc 这条边， 然后你的 ab 和 cd 又是相等的，也说这个三角形当中啊， ab 加十加这个八，那这边这三角形当中呢？是，这也是 ab， 对 吧？ ab 加十加谁呀？ 加十四对不对？那你看它俩相等，这是公共的，那你的这两个三角形的周长不就是差在 a、 c 和 b、 d 的 长上了吗？ 那你 b、 d 比 a、 c 长多少？那么这个 b、 c、 d 的 周长就比 abc 的 周长要大多少啊？这个数量，这个分析呢，应该是这样的啊，那我们来写一下过程啊，看看你能不能把这个过程写清楚啊。 嗯，过程呢，比较多一点，咱们在这下面写啊。第二题，减， 首先依据平行四边形的呃，性质啊，我们要求这个 a、 o、 d 是 不得用这个对角线的一半，是不是？我们得依据对角线的性质啊？我们可以说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形？平行四边形，然后呢？对角线互相平分，对不对啊？ 然后我们可以说，你的 a、 o， 我 们说要用 a、 o 啊，它等于二分之一， ac 就 等于多少度，不是等于多少了，等于四啊， ac 等于八，是不是？然后你的 o、 d 等于二分之一的谁？ b、 d 等于 七，对吧？然后你还有那什么呢？你的 ad 和 bc 是 不是必须得相等？ ad 等于 bc 等于几？等于十？ 你把这些数据都准备好之后，啊，啊，都准备好，然后你你还得写一个啥呢？就是这个 a、 d、 a、 b 和 c、 d 得相当，因为你第二个问要用，要不你还得从头再写，它是平行四边形。来，咱把这个结论也写了，然后 ab 等于谁啊？ cd 这一会儿第二问要用啊。然后我的第一问当中的三角形 a、 b、 a、 o、 d 的 周长为 周长，应该是 o， a 加 o， d 加上谁 ad 就 应该等于四加七加十等于多少？二十一，这就是第一问。 那么第二问呢？让我们求这个三角形 a、 b、 c 的 周长啊，和 d、 b、 c 周长哪个长？那我们先来求一下三角形 a、 b、 c 的 周长 abc 的 周长为 ab 加 bc 加 ac， 就 应该等于 ab 加上十，加上八，等于 ab 加十八，对吧？然后你三角形 bc 的 周长 为呃， c、 d 加 b， c 加 b， d 应该等于 c、 d 是 不可以换 a、 b， 然后加上十，再加十四，然后等于二十四加 a、 b。 那通过这个二十四加 ab 和 ab 加十八是不可以比较一下？也就是说，呃，因为二十四加 ab， 它大于 ab 加十八，所以呢，你的三角形 dbc 的 周长 要比三角形 abc 的 周长长。 那还有一个问，叫长多少对不对？所以呢，长的就是用长的减去，短的就应该等于六啊，所以呢， 就别写，答，写所以来。所以三角形 d、 b、 c 的 周长 比三角形 a、 b、 c 的 周长长六，没有单位名称是不是？所以这是第二小题啊。那么第三小题他说如图，将 两张对边平行的纸条啊，对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 a、 d 和 b、 c 的 长度有什么关系？ 这个呢？长度应该是什么关系呢？他应该是相等的，他怎么转他都不变啊。首先我们写减二，你的 a、 d 是 等于 b、 c 的， 然后理由如下， 为啥它永远都是 a、 d 等于 b、 c 呢？第一，人家说了对边平行，也说这条边和这条边平行，也是 c、 d 平行于 ab， 然后你的 a、 d 是 平行于 b、 c 的， 所以我们得到这个四边形应该是一个什么四边形？ 是一个平行四边形，那平行四边形对边不就相等了吗？对不对？你怎么转这个纸条，你怎么那个调整它的这个转动，这纸条它的对边永远都是平行的啊。所以来我们可以说，因为 你的 ab 平行于 cd， 你 的 abcd， 所以 四边形 abcd 是 平行四边形，那它都是平行四边形了，所以我的对边 a、 d 就 会等于 b、 c 啊，它就会等于 b、 c 啊及线段 a、 d 和 b、 c 的 长度怎么样相等 能理解哈？

你要记住，等腰三角形经常考，中考百分之百考，把你的数学下册小册第五页纸上的第五题在等边三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 等边三角形， 等边三角形三个角都是六十度，三条边都相等，看题目问什么？ b、 e 垂直于 a、 c 直角 延长 bc 到一点 d 使 c、 d 等于 c， e、 c、 d 等于 c、 e、 a、 b 等于十厘米。 那么要求这个 b、 d 的 长 b、 d 呢？我们看到这 b、 c 等于十厘米，对吧？这个 c、 d 等于多少呢？ c、 d 等于五厘米，所以这个 b、 d 那 就应该等于一十五厘米 啊，有时间我就简单的说一遍，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以 a、 b 等于 b、 c 等于 c， a 都等于十厘米。又因为 b、 e 垂直于 a、 c 根据三角合一，所以 c、 e 等于这个 二分之一 a、 c 等于五厘米，二分之 a、 c 等于五厘米。 呃，那么刚才等边三角时，我们可以把这个角 b、 c、 e 等于六十度同时说出来，又因为 c、 d 等于 c、 e 所以 角 c、 e、 d 等于角 d 等于二分之一角 b、 c、 e 等于三十度， 因为这角六十度，六十度等于和它不相邻的两个内角的和，而这个 c、 e 等于 c、 d， 所以 角 c、 e、 d 等于角 d 都等于三十度， 对吧？那么这样呢，我们就哦题目说了 c、 d 等于 c， 那 看来刚才我说的就不必要了，对吧，把 c 等于五厘米求出来呢？ c、 d 等于五厘米。好，这个就很简单的了，我们看到第六题已知点 d、 e 在 ab 上， a、 c 等于什么？等于 bc， a、 e 等于 b， d 是 说明 c、 d 是 等幺三就行。 我们可以证明 c、 e、 c、 d 等于 c、 e， 我 们也可以证明角 c、 d， e 等于角 c、 d、 e 都可以，这里的方法是多种多样的。呃，我呢觉得这样证明是不是觉得更好一些啊？大姐，您看到这里啊，呃，因为 啊， c、 a 等于 c、 b， 所以 角 a 就 等于角 b。 好， 我们看到角 a 就 等于角 b， 对 吧？ a、 c 等于 b 是 一致的，然后您看到这 a、 e 等于 b、 d， 所以呢，我们可以这样说，在三角形 c、 a、 e， 而三角形 c、 b、 d 中 看， c、 a 等于 c b， 角 a 等于角 b， a、 e 等于 b、 d。 啊，所以三角形 c、 a、 e 全等于三角形 c、 b、 d。 理由 s a、 s， 所以 c、 e 就 等于 c、 d， 对吧？前等三角都对应一边下的 c， e 等于 c、 d， 那 就说，所以三角形 c、 d、 e 是 等幺三角形。你看这样做的是不是很简单的？ 当然包括我们老师的参考答案上都不是这么写的。哎，我们老师的那个参考答案上呢，他把这个 a、 e 的 b、 d， 然后呢，他通过证明 a、 b 减 a， e 的 b， a 减这个 b、 d 得到 a、 d 的 b、 e， 当然了，我们得到 a、 d 的 b、 e 之后，我们得到三角形 a、 c、 d 与三角 b、 c、 e 两个三圈呢，当然是可以的啊，是可以的，不过我觉得就是说咱们均可呢，还是找更简单的，步骤又少啊，又正确 这样的，所以大家要多锻炼。我觉得这一题呢，这种做法我觉得是比较我认可比较好一点的方法。我们看到第七题 第六位置啊，哎，还是三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么现在这里有这个 b， e 等于这个 a、 d， 然后求角值什么呢？ e、 o、 b 的 度数，求这个角的度数。呃，要求这个角的度数，我们从哪要求呢？那当然我们得写解字。 首先我们来查，因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形啊，可以写正三角形，所以这个 a、 b 等于 b， c， 嗯，还有这个角 a， b、 c 等于六十度，嗯， ab， 那 么我们看到 ab 等于 b， c， ab 等于六十度。啊，角 a 等于角 a， b， c 等于六十度， 嗯，啊，角 a 等于角 abc 的 弧度。那我们看到在三角形 a、 b、 d 如三角形，你看呢？ a、 b、 d 如三角形 b、 c、 e 中看，这个怎么写好呢？ 我们来已知这两个相等，我们来证明， d， a、 b 边角 b， b， n。 角 b， 所以 我们看到 a、 d 等于 b e。 角 a 等于角 e， b， d， a、 b 等于 b、 c， 所以三角形 d， a、 b 全等于三角形 e、 b、 c。 啊，理由， s a、 s 你 看这样写是不是更好？那么这两个三角形的之后，我们就可以得到，角一等于角二， 所以角一等于角二，所以角 e、 o， b， e、 o， b 等于什么呢？等于角二加角三 等于角二加角三，那就等于角一加角三等于六十度。走完了，你看到这里我写的是不是？呃，这方法就比较简单多了，最好啊，模仿我的格式，认真的去写好，把每一步理记得点赞关注哦。

中学生要记住啊，每张中考试卷上都要考这个内容。例例，在直角三角形中，如果一个锐角等于三十度，那么它所对的直角边等于斜边一半， 那么是先之直角三角形当中有个锐角，后之短直角边呢，属于短直角边，短直角边等于斜边一半，这个在上一讲已经讲过了，有时间我们就不能老是重复。 好，我们看到这里的练习题啊！例题，如果等腰三角形的底角是十五度，那么腰长， 腰上的高是腰成对半。好，我们看到在三角形 a、 b、 c 中，那么这种成文字性的题目我们要重新啊，我们要重新写已知写，求证啊，写证明 啊，对于这个纯文字系数的这个中考题啊，咱们要重新写一遍啊，所以你看呢？求证，如果等幺三零的底角为十五度，那么幺上的高是幺乘的半，那我们就得写已知，如图啊，把等幺三零写成的在 等幺三零些 a、 b、 c 中， a、 b 等于 c 这里了，呃它的底角，比如说角 b 等于十五度， 呃， c、 d 是 a、 b 变得高。当然呢，你要如果画 a、 c 变得高，这样画也是可以的。求证，这个高等腰长的一半，呃， c、 d 的 ab 的 一半， c、 d 的 a、 c 的 一半啊，都行，好证明， 那么由于 a、 b 等于 a、 c， 根据等边对等角，这两一个底角三十度，也就是啊，一个底角一十五度，就是两个底角一十五度，而根据三角形，一个外角等于它不相离两个内角的和，而 这里高，说说明的 c、 d 垂直于 ad 的， 也就是垂直 ab 的， 也就说 c、 d 是 ab 边上的高，那么三十度角所对的直角边的斜边的半，所以 c、 d 等于 ac 的 一半，那么这样我们就证出来了， 当然这里的文字过程啊，证明过程有时间的关系呢，哎，就不多说，我们再来重复一遍，刚才这里把它背下来。 在直角三角形中，如果一个锐角等于三十度，那么他所对的直角边的斜边一半。实际上呢，我们反过来说，如果有一个锐角在直角三角中，如果有一个锐角所对的直角边的斜边一半的话， 那么反过来我们知道这个锐角啊，也是三十度。那么这一个呢？在我们后面的练习题第二十三页纸上的第十四题当中有。 好，虽然这个不是黑的字，但是这个我们通常要记住。在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是三十度。 好，那么这里呢，已知和求证证明呢？有时间的关系，我没有写啊。已知三角形 a、 b、 c， 角 a、 c、 b 等于九十度。呃，并且 b、 c 等于 ab 一 半啊，求证，角 c、 a、 b 等于三十度 啊，求证，角 c、 a、 b 等于三十度。那我们说，首先已知是直角三角形，然后已知一个 bc 的 ab 一 半 啊。当然这里我们确定角 a 等于三十度的话，那么这个虚线是我们要做的辅的线。在题目一开始呢，你写角 a 等于三十度是可以的，不过当最后的结果的时候，我们做了辅的线之后，我们用三个字母来表示，同样我们延长 bc 到一点 d 时， c、 d 等于这个 bc。 呃，有已知角 a、 c、 b 等于九十度，则角 a、 c、 d 也是九十度。同样 a、 c 是 公共边，那么这样我们就可得到三角形 a、 c、 d 啊，就全等于三角形 a、 c、 b。 理由呢？还是 s a、 s 两个三角形等啊。那么两个三角形等之后呢？那么这个 a、 b 就 等于 a、 d 了， 而且 dc 就 等于 bc， 而已知 bc 的 ab 的 一半，那就是说 ab 的 bc 的 两倍。现在这个 bc 啊， 等于 bc 加 bc， 也是 bc 的 两，也就是 bc 的 两倍，也就是 ab 和 ad 和 bc 都是 bc 的 两倍。这就是告诉我们， ab 等于 ab 等于 db， 三边都相等的三角形是等边三角形，所以角 d 六十度，角 b 六十度，角 b a d 六十度。刚才两个三角相等的时候，这个角 b a、 c 等于角 d a、 c， 所以 角 b a、 c 就 等于六十度的一半，等于三十度。 好，这样我们就证出来了。呃，直角三角形中有一条直角边的斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 就是三十度。这个虽然呢，在书上不是黑底字，但是我们仍然要把它牢牢的背熟。那我们看到这里一十五题就是这样的一个题目，运用刚才这个道理，那它是一个长方形的纸变，就是矩形的意思 啊，就后面我们把它叫做矩形，并且 a、 d 呢，等于 ab 的 两倍， a、 b 就 应该等于 c、 d 了啊，长方形的对边相等过点 d 做个折痕，将 a 翻折到 a 撇了啊。图中的 a 一 撇 a 一 撇，刚好落在 b、 c 上， 那么这样我们就知道这个 a、 d 是 等于 bc 的， 并且等于 a 一 撇 d。 好，已知 a d 的 ab 的 两倍， ab 的 cd， ab 的 a 一 撇 d 啊 a d， 那 么也就是 a 一 撇 d 的 二倍的 cd。 由于 长方形这角直角，所以那么这个斜边等于这个短直角边的两倍，或者说短直角边的斜边的半短直角边所得的锐角就是三十度。 而根据两直线平行，因为这是长方形对边平行，所以角 a 一 撇， d a 就是 三十度，而根据折叠，这两个角都相等，所以这里的每个角啊，都得十五度，所以角 a d a d g， 这个角 a d g 就 应该等于角 a 一 撇， d g 都是三十度的一半，等于十五度，你看呢？这里说了对吧，利用十四题的结论， 书上说了利用这结论，所以未来我们也经常有利用这种结论来解答的问题，所以这个虽然不是黑的字，还是要把它背下来，记得点赞关注哦！

陪你一起预习课本八年级数学下册的第三十四页纸。 我们前面用尺规做出了满足一定条件的直角三角形，那么现在问你能用尺规做满足一定条件的等腰三角形吗？ 我们看到如果说已知三角形的一条边以及这边的高，能不能做满足条件的三角形？我们看到如果说这一条边是这么多，那么他的高，你比如说等于一个比他等于两厘米吧， 那我们怎么做呢？嗯，我们做他的高两厘米，比如说这高两厘米，这顶顶在这，这顶顶在这，还这顶顶在这里呢，那么这些三角形，比如说这高两厘米大概在这， 哎，那么是不是这个三角形呢？也不一定是吧，比如说是这个三角形吗？所以那么这样呢？它高的位置是不确定的，所以这呢我们说不能唯一做出啊，就是做出来的图形呢？哎，他是， 嗯，不是确定的一个三角形啊，那么如果我们要做唯一确定的三角形， 我们看下面第二个问题，已知等腰三角形的底边以及底边上的高啊，如果他的底边以及底边上的高，知道我们能不能做出满足要求的这样的三角形呢？能做出几个呢？刚才应该说这种情况是能做无限多个啊，不能唯一做出 啊，叫不能唯一做出，那么要做呢，可以做无数个，而这里已知现在这个是底边，底边上的高， 那么是能做几个呢？我们来看到这里的图形啊，如果说已知线的 a h 用直角作图，等腰三角形，底边 b c 等于 a 高， a d 等于 h。 好， 我们看到我们怎么做？ 我们先做 b， c 等于 a， 好， 我们先做个 b， c 等于 a， 那 我们随便做一条射线，好，然后我们比一下这个 a 这么的长，好，以这点 为半径，那么这个是 b， c， 好， 就等于 a 这么的长。 好，现在我们来看呢，我们要是做他的这个高呢，是底边上的这个高啊，等腰三就行， 那么等腰三底边的高啊，呃，应该在底边的中垂线上，所以我们现在以这点啊，点 c 和点 b 为中心，以大于二分之 b、 c 的 长。又，我刚才就以 b、 c 的 长，是吧？ 大于二分之 b， c 的 长，那就可以，只要能找到加点就可以了啊。好，那么做 b、 c 的 垂直平分线，我们说这个叫 l 啊，这个叫 l 好， 在 l 上截取 a、 d 的 h， 好， 刚才这个 h 这么的长，好，现在我们再来做一下，这个是 d， 呦， a 在 这，刚才我这个线可以画长一点啊，好，这一点是 a， 这个车轴是 d， 对吧？现在连接 a、 b， a、 c， 好， 那么这个时候我们说这个三角形呢，就是唯一可做的啊，这个不管多少个同学，你只要按照这个方法来做，你们用剪刀把它剪下来，它都是全等的啊，就是唯一做出 啊。好，下面我们看过直线上一点 p 做 a 的 垂线， 我们刚才其实在前面已经做过了，比如说这是，嗯，做什么啊？直线好，比如说这就是一条直线过点 a 做垂线，怎么做呢？以点为中心， 以任意长为半径做弧，对吧？再分别以这两点为半径做弧， 对吧？两弧加入两个点，好，其实这里有三个点了，这里也是个点，对吧？这样就做啊，这个垂线就出来了啊，但是题目上说过一点 p， 那 我刚才写 a 是 吧？ 好，我们看下面的这问题过，只写 l、 y 的 一点 p， 用指标做它的这个垂线，那么如果说过这点做垂线，咱们怎么做呢？ 嗯，咱们以这个点 p 为圆心，以大，呃， p 到 这个 l 的 距离为半径。呃，但是我们后面下一页说啊，说在这个 l 的 另外一侧找一点 q 啊，我那个就找近一点的啊，这点 q， 然后呢，以点 p 圆心以 p q 为半径。 好，那么它加 l 两点，再分别以这两个点为圆心，以大于二分之一两点的长度为半径，大于二分之一两点的长度为半径。 好做弧，加入两个点好，过这两个点做一条直线。 好，当然也就是经过点 p 的， 那么这条直线呢？那么就是过点 p 的 a 的 垂线。好，刚才这里的图形呢，我就做到那边去了啊，有时间有的就不多说了。 好，我们看到这里的 a、 b 的 垂直平分线与 b、 c 的 垂直平分线交于点 p， 三角形两边的中垂线交于点，那么两边的中垂线交于点呢？在这点呢，到点 a 的 距离 等于到点 b 的 距离，因为线的中垂线上的点到线的两段距离相等，那么如果说这个 p 也是 bc 的 中垂线上点，那么它也就等于 pc 了， 那么这个 p a 等于 pc 的 时候呢， p 也就在 a、 c 的 中垂线上。所以我们就说三边的垂直线加入一点，三零三边的垂直平行线加入一点。 呃，这点以后呢，我们把它叫做外星啊，并且这一点到三个顶点的距离相等，这个呢，要把它背下来，记得点赞关注哦。

我们一起来看两道八年级下册关于勾股定律的应用的题目。第一道题，在 r t 三角形 abc 中，斜边 bc 为根号二，则 bc 的 平方加 ab 的 平方加 ac 的 平方等于多少？ 我们先来画一个直角三角形，斜边是 bc， 长度是根号二，那么直角就是角 a。 通过勾股定律我们知道 ab 的 平方加 ac 的 平方等于 bc 的 平方。 而题目上面让我们求的是 bc 的 平方加 ab 的 平方加 ac 的 平方，那么我们不就可以把 ab 的 平方加 ac 的 平方转化成 bc 的 平方吗？所以 这条式子我们就可以等于 b c 的 平方加 b， c 的 平方，那就等于两倍 b c 的 平方。 而题目上面告诉我们 b c 是 等于根号二的，那我们带进去不就等于二乘以根号二的平方了吗？所以就等于二乘以 二等于四，所以这道题的答案等于四。再来看第二道题，在平面直角坐标系中点 p 负四三到圆点的距离是多少？我们先画一个平面直角坐标系， p 是 负四和三，所以在第二象限点 p， 在 这里 p 是 负四三，我们过 p 点做 p a 垂直于 x 轴，那么我们可以连接 p o， 这样子就可以组成一个直角三角形，而 p a 的 长度它是等于方， 而 o a 呢，它是等于负四的绝对值等于四，就是说 o a 这里等于四， p a 这里等于三。那通过勾股定律我们就可以知道， po 是 等于根号 p a 的 平方加上 a o 的 平方就等于根号 三的平方，加四的平方就等于五三，四五是一组勾股数，所以这道题的正确答案是 c， 这就是这两道题的解析思路和方法，大家听明白了吗？自己在本子上面做一下吧！关注小朱老师，我们下期再见！

我们一起来看一下这一道八年级下册关于代根号的数的整数部分和小数部分的求法的题目。若三减根号二的整数部分为 a， 小 数部分为 b， 则代数式二加根号二， a 括号乘以 b 的 值是多少？ 做这一道题之前，我们首先要知道根号二的范围，已知三减根号二的范围，我们知道根号二是大于根号一，小于根号四的，所以根号二就大于一小于二， 那么负根号二就大于负二小于负一。在这一步，有些同学可能会不明白，他就会不明白为什么 负二放到这边来了，因为一个数乘以一个负数，那么我们是得变符号的。好，我们接着往下讲。那么负根号二加三就小于负一加三 大于负二加三，所以三减根号二就小于二大于一。就是说三减根号二，它是等于一点多的 一个小数，它等于一点多，那么它的整数部分不就等于一了吗？而剩下的就是小数部分，例如一点五， 他的整数部分就是一，那么他的小数部分不就是一点五减一等于零点五，就是用这个数减去整数部分，不就是小数部分了吗？所以 三减根号二的小数部分就等于三减根号二减一，那就等于二减根号二， 那么 a 就 等于一， b 就 等于二减根号二。我们把 a 等于一， b 等于二减根号二，带入这个代数式， 二加根号二， a 括号乘以 b 等于二加根号二乘以一，乘以二减根号二括号， 那就变成二加根号二的和乘以二减根号二的差，用平方差公式， a 加 b 的 和乘以 a 减 b 就 等于 a 方，减 b 方，那就等于二的平方。减根号二的平方，那就等于四减二等于二。所以这道题的正确答案就是二。 这就是这道题的解析思路和解析过程，大家听明白了吗？关注小朱老师，我们下期再见！

新版的五三下册同步测试卷终于来了，如果你能让孩子从现在开始，每天做一页下册的同步试卷，到了考试你就知道他成绩有多好。 就给孩子准备这套五三春季新版同步测试卷，里面包含了稀客标、新考向、新特色、跨学科等练习题，让孩子每天练习一页，都是各地区的考试真题， 提前预习、课后巩固都很实用。答案部分也讲解的非常细致，重难点还配有视频讲解。现在就给孩子备上一套开学的月考，肯定会给你惊喜！左下角七八九年级各科的试卷都有！

同学们大家好，现在我们开始上课。呃，今天老师呢给开始给大家讲这个板栗下册的五三测试卷，我们从第一章只要三角形开始讲。 好在直角三角形中有一个对角等于四十度，另一个对角五十度，对不对？互语，下列各种数据中不能作为直角三角形的三边勾五定理对不对？你看四、五、六肯定不行，九十二十五，这除以三四，三十五对不对？这是五，三十三个五数二加三等于五，这可以是吧。 好在直角上的写 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度，角一等于三十度， c、 d 是斜边上的高，然后 b、 d 等于二，这个角也是三十度，对不对？这是六十度，所以这是四。 a、 b 的话是不是等于八？八减二等于六，所以选 c。 然后看第四题， 在直角上呢写 a、 b、 c 中角 b 等于九十度，然后呢， a、 d 呢？平分的这个角 b、 a、 c、 c、 d 呢等于六， b、 c 等于十，也就是四，对不对？ a、 d 平分 a、 b、 c， 然后呢， d 到 a、 c 的距离是不是角平分线上的点到角两边的距离线呢？这是十字，也是十。所以选 a， 移至 a、 c 和这个 b、 d 垂直，然后 a、 o 等于 c、 o， a、 b 呢，等于这个 c、 d 全等，对不对？ h、 l 可以得到全等 h、 l 选为直角边，斜边 好看。第六题，角 c 等于九十度，然后 a、 d 等于十三， b、 c 呢等于三， c、 d 等于四，这是五，对不对？这是十二，所以 a、 b 等于十二，选 d。 在正方形网格中，他说每个小正方形的边上都是一 顶点的格点是 a、 b、 c 的周长，你看啊，这个是一，这个是四，对不对？这是根号是七， 然后呢，一二三四三，这是五，对不对？二十五减十，一是八， f 的话，所以两条对不对？两条物流数好，然后看第八题， 有一个水池 b 一呢，它是等于十六，那终点以后，这是八，对不对？在水池中间有一个芦苇，它高出水面 连尺，高出水面连尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好在水面，问的是这根芦苇的高度，你猜它是 x 吗？对，那这个是不是 x 减二，所以呢，就用八八六十四加上 x 的平方减四， x 加四，对不对？等于 x 平方，所以这个时候呢，四 x 等于六十八， x 呢，等于二十七，一十七，对不对？一十七，所以选 c。 好的，看这个点， a 出测的 p 在北偏东六十度方向上， b 点测的 p 呢，在北偏东三十度方向上，那这是个等腰，对不对？你看这是三十，这个也是三十， 对不对？因为这个角是六十嘛，这叫三十，三十，三十等腰啊。现在 a、 b 等于二，所以这个 b、 p 也是二，对不对？那 b、 c 呢？是不是一？ p 到 a， b 的距离， p 到 a、 b 距离是不是更好？三、选 b， 一比二比更好，三，对不对？以 r、 t 三角形， a、 b、 c 的三边为斜边，分别做等腰直角三角， a、 b 呢，等于十，那它就是根号四，一比一比根号二，根号五，根号五。不对，五倍根号二，五倍根号二。好，现在要算的图中阴影部分的面积为多少？呃， 阴影部分的面积对不对？嗯，我们知道，我们测这个是 a 啊，这个是 b 啊，那就知道什么 a、 b 的平方加 b 的平方等于多少呀？呃，等于 a 的平方加 b 的平方等于一百，对不对？等于一百。好，然后呢，我们来看它的面积啊，它的面积，呃，你看这个是 a， 对不对？那这是不是 after 根号 a， after 根号 a， 这是 after 根号二 b， after 根号二 b， 所以呢，它的面积是不是乘起来除以二 的话就是呃，二分之一就是四分之一 a 平方加上四分之一 b 平方再加上这个呃五倍的话，乘五倍的话的话是二十五，对不对？因为要除二嘛，所以呢，等于四分之一乘一百加二十五等于五十，对不对？选 a， 一个三角形的上边长分为一三个二十，那么最长边的中线就是斜边上的中线，等于斜边的一半，对不对？斜边上根号十，所以是 f 的根号十， 他是购物定理吗？对不对？一加三，一加九等于十购物定理，斜边是更好使。如果说是小明从坡角三十度的斜坡上的底部走到顶部，共走了一百米，那么上坡的高度五十，对不对？三十度，十六的直角边等于斜边的一半。 看过来，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中呢？ c、 d 是斜边上的中线角，一等于二十度，那这个角是七十度，对不对？ b、 c、 d 也是七十度，等于三角形嘛， 好看。第十四题，他说 o、 c 呢四角 a、 o、 b 的平分线， d 呢是射线上的一点，然后呢， d p 垂直于 o a， d p 呢等于四， q 呢在射线 o、 b 上，然后呢， o、 q 呢，等于三， 这边也是四，对不对？他他用求的是 o、 d、 q 的面积，三乘四除以二是不等于六？ 嗯，好看。四五题，在二题，三角形 a、 b、 c 中，角四等于九十度，然后角一角等于三十度， a、 b 的垂直平行线，这也是三十，这也是三十，对不对？垂直平行线嘛，等于好， 现在连接的 c、 d 等于一，那求那 d 也是一，对不对？这锤子，那 a、 d 就等于二。在某公路，呃，某段公路的正上方呢，有一段距离为七米的摄像头 a， 嗯，要画图啊，这道题老是画到这里。某公路的正上方有一段距离地面七米的摄像头。哎， 一天，小李，一天呢，李叔叔驾驶汽车从南公路比着的人数死了。当时死线比例的时候，第一次死，死第一次射线，此时 a、 b 的距离是二十五 一点五秒后，第二次射线，汽车恰好到 a 的正下方，那行驶的速度，你是个 s 嘛，对不对？二十五减七是十八，二十五加七是三十 十二，对不对？乘起来也就是九十六十四，那三八，二十四，甚至是二十四，你用这个距离，二十四除以他的时间，这是二十四米，对不对？二百四除十五一十五，九四五六，三十十六十六米六。 好了，看十七题啊，在长方形 a、 b、 c、 d 中呢，沿对角线 b、 d 折叠，使得 c 恰好落在 c 次 c 处， b 次 c 呢的加 a， b 于点一，然后呢， a、 d 等于八， a、 b 等于四。 老师教大家啊，有折叠就会有个无定理。你记住老师这句话，以后到了初三的时候还是经常这样子，有折叠就会有个无定理，你看啊，我们这个角一等于这个角二等于这个角三，对不对？平行吗？所以这个第一是不是等于 b 一，你是，他要求的是什么？求一，因是是 x， 那这个 d 是多少呢？是不是八减 x？ 因为 a、 d 等于八嘛，所以这边是八减 x， 对不对？然后是不是有勾股定理？ x 平方加四的平方等于八减 x 的平方，你解出来 x 等于多少？等于三啊？所以 a 等于三，勾三五四千五，对不对？不用解都知道，三四五嘛，对不对？ 好，接着我们来看这个 spat。 呃，在直线 l 上摆放着一个七个正方形啊，椅子斜边放置的三个正方形的面积存着，大约是一二三面积啊， 那他就是一，一根号二，根号二，对不对？那这个是根号三根号三水平方这四个正方形，他说要求这四个面积之和，你看这是一，对不对？那这是不是二分之根号二，对不对？ 分之高，二的平方是不是二分之一，然后二三啊？二三，你看这是个二了，对不对？所以他的 等一下啊，等一下，等一下，这个，这个不能在这算， 他这不是等腰，他这不是四个一样的啊，他这是大小不一样的啊，大小不一样的，我们来看一下，我们来观察一下， 你可以算它是 a， 它是 b， 它是 c， 它是 d 啊，那我们有什么呢？这两个三角形肯定是全等的，对不对？一线三角毛线嘛，双三垂直。所以呢， a 平方加 b 平方等于多少？等于一，对不对？ b 平 方加 c 平方的等于二， c 平方加 d 平方呢？是不是等于三？这样子的对不对？等于三？好，我们现在要求的是什么呢？就是求 a 平方加 b 平方加 c 平方加 d 平方。 嗯， 这个多了一点啊，然后看一下， 这样，我们这样，我们这个加这个就行了，对不对？ a 平方加 b 平方，一加三就行了，对不对？也就是 a、 e 加 a， 平方加 b， 平方加 c， 平方加 d 方，就就是四，对不对？所以这个不要 好，我们接着往后看啊。呃，我们来看这个十九题，它是如图，三角形 a、 b、 c 和这个 d、 b、 c 呢？角 a， 角 d 都是九十度， a、 c 呢？等于这个 b、 d。 然后用这么全的全的话是 b、 c 是不是公共边斜边，对不对？ h、 l 对不对？ 因为 r、 t。 三角形 a、 b、 c 与 r、 t 三角形 d、 c、 b 中有什么呢？有这个 a、 c 等于 b、 d、 d、 b 对不对？然后呢， b、 c 等于 c、 b。 所以 r、 t。 三角形 a、 b、 c 全等于 r、 t。 三角形 d、 c、 b、 h、 l。 好，第二问，他说这个 o、 b、 c 是什么三角形？你看全等以后，这个角一等于二，对不对？因为 r、 t。 三角形 a、 b、 c 全等于 r、 t。 三角形 d、 c、 b， 所以呢，角一等于加二，所以呢， o、 b 等于 o、 c 对不对？所以三角形 o、 b、 c 为等于三角形。 对啊，就要做完好。接着我们来看这个 s、 t 啊， 他是在三角形 a、 b、 c 中呢？角 a、 c、 b 等于九十度，然后 a、 e 呢？平分，这个是 a、 b、 c、 d 呢？和他垂直，现在 d、 c、 b 呢？等于五十度，那这个角是四十度，对不对？现在 a、 e 平分的，所以这个是五五十度的一半，二十五度，二十五度，那这个 c、 f、 c、 e、 f、 c、 e、 f 就是九十度减二十五度，对不对？ 因为角 d 是不是等于五十度，所以呢，角 c、 a、 d 也等于五十度？ 右 a、 e 平分角 c、 b， 所以呢，角 c、 e 等于二十五度，所以呢，角 c、 e、 f 等于九十度减二十五度等于六十五度，对不对？ 好了，那接着我们看第二个，它是 c、 f 等于 c、 f 一，你看啊，因为叫 a、 c、 f 等于四十度，对不对？所以叫 c、 f 一呢？ c、 f、 e 是不等于四十度加二十五度等于六十五度，对不对？等于角 c、 f 即叫 c、 f 等于叫 c、 f 一，对吧。剧情完了，好了，我们接着往下看啊。 他说已知等腰三角形 a、 b、 c 底边上的 c、 d、 b、 c 呢，等于十三， d 呢是幺三 a、 b 一点， c、 d 等于十二，那这 b 就等于五，对不对？哦，还没数啊？没数没数，垂直， 我们现在就是证明这个 b、 d、 c 是直角三角形，对不对？嗯，那 b、 d 等于五，它说了，说了说了， 因为五的平方加十二的平方等于十三的平方，所以呢，角 b、 d、 c 等于九十度，所以呢，三角形 b、 d、 c 为直角三角形， 好看 d、 m 啊，它又求 a、 b、 c 的面积，对不对？你看它是个等腰三角形，对不对？等腰三角形，然后呢？ 嗯，设置是 x， 那这边是不是 x 加五，对不对？所以呢， a、 c 等于 x 加五，所以呢， x 加五的平方是不等于 x 平方加三的平方，也就是十 x 加二十五等于多少？一百四十四，对不对？十 x 呢，是不等于一百 一百一十九，对不对？ s 等于十分的一百一十九，好呃，所以啊， 二十三角形 a、 b、 c 等于五，加上十分之一百一十九，乘以十二除以二，对不对？是五六三十三十，加上这里乘以六六六的话，是五分之五分之六六，五分之三 一百一十九乘以三三九二十七，三百五十七，对不对？所以是五分之多少五分之加个一百五，是不是？五百零七，五分之五百零七，对不对？平方厘米在单位。好，然后呢，我们接着做个 s r 条， 它是在锐角上的，写 a， b、 c 中呢？ a， b， c， c， d 和这个 b、 e 呢？都是垂线对不对？都是垂线，都是高嘛。然后呢， m， n 呢？分别是中点，让你证明的是 m， n 和这个 d， e 垂直，你看，你把它连接起来，把它连接起来。 你看这个三角形，因为 r、 t 三角形 b， c， d 与 r， t 三角形 b， e， c 中 m， v 斜边 终点，所以什么？ d， m 是不等于 e， m 等于 f 分之一 b， c 对不对？又 n 为第一终点，所以呢， m 就垂直第一，对不对？等一下，三角形三相合一嘛，对不对？三相合一。好，我们做完了。 嗯，好的，我翻过来，他说如图，四边形 a， b， c， d 呢？角 b， a， c 等于九十度，然后呢， a， c， d 也是九十度，平行，对不对？平行。现在 a、 b 呢？是等于二分之一 d， c 二分之一 d， c， e 呢？是重点，那就是 a， b 等于 c， 一对不对？ a， b 等于 c， e， 然后这个 a、 c 是公共边，所以这两个三角形是全等的，对不对？所以 a， e 等于 b， c， 因为 a、 b 等于 f 分之一， c， d 等于 c。 一再三角形 a， b、 c 与三角形 c， e， a 中有什么呢？是不是 a， b， a， b 等于 c， 一对不对？角 b， a， c 等于角 e， c， a 等于九十度。然后呢， a， c 等于 c， a 对不对？所以呢，三角形 a， b、 c 全等于三角形 c， e， a 对不对？变角变好圈了以后呢，所以 a， e 等于 c， b 对不对？好，这第二步，他说 a、 c 呢，等于多少？等于四， a， d 呢等于多少？等于四倍格号二，那这个 c、 d 也是四，对不对？那他是二二二。然后再要求 a、 b、 c 一的面积，因为 c、 d 等于根号四倍，根号二的平方减四的平方等于四，所以呢， a、 b 等于二分之一乘四等于二，所以 s、 a、 b、 c 一等于多少呢？ 两个面积加起来对不对？按乘四除二，再乘二等于八。我们每一圈平行四边形啊，我们不能用底乘高，我们要用这两个三角形面积加起来，知道吧？所以是按乘四除二再乘二。好，我们接着往后看， 小王讲了两张完全相同的直角三角形纸片，进行了如下说，拿出一张纸片啊，提上去 a、 b、 c 将 a、 b、 c 燃至第一呢，折叠，使得 a、 b 重合，现在 a、 c 等于多 等于六， bc 等于八，他这个是直角对不对？所以这个是十，这是五，这是五，那五以后呢？他又求 acd 的周长对不对？那 cd 的周长是不是 ac 加 cd 加 adad 就是 bd， 所以就是 ac 加 bc， 对不对？就是六加八等于十四， 好，然后呢， c、 a、 d 啊， c、 a、 d 比上这个 b、 a、 d， 它是等于四比七角度啊，你试它是四 s， 它是不是七 s， 那这也是七 s 对不对？ 所以呢，四 x 加七 x 加七 x 等于九十度，十四的话，十八 x 等于九十度， x 是等于五度， x 等于五度，所以呢，角 b 等于七 x 五七三十五度，对不对？ 好看，第三个，呃，小王呢，拿出另一张 a、 b、 c， 然后将 a、 b、 c 呢染成 a、 d 低折叠，使得 c 点落到这个斜边上的终点 a、 b 上一处 落 a、 c 等于九， b、 c 呢，等于十二三四五五，放到三倍是十五，对不对？你看啊，这是锤子，这是锤子，又是终点，所以它是不是一半一半呢？以后呢？就是二分之十五，二分之十五，那 c、 d 等于多少呢？ 首先我们来看，我说的是 x， x 可不可以？你看，因为 a、 c 等于九， b， c 等于十二，所以呢， b、 a 等于更好，九的平方加上十二的平方，对不对？是不是等于十五？好？然后呢，四、 c、 d 等于 x， 由面积相等的方法啊？ s 三角形 a， b、 c 是不是等于九乘 十二除以二，对不对？那是不是等于两个三的形面积加起来， x 乘九除二加上呢？十五乘二十除二，对不对？除二除三以后呢，是二九十八，是一百零八，九加九加十五呢，是二十四。 x， s 等于多少呢？你同时除以一个一百零八，除以二十四，对不对？三，一个二一三二五十四三，一个四三，一个三三四三，一个三一四三八，二十四，二分之九，对不对？ 所以呢， cd 等于 f 的九，好。这道题讲到这里，然后，呃，这道卷子讲完了，呃，直角三角形呢？很重要啊，很重要，都为我们后面的几何打基础。好，这道卷子老师讲到这里，呃，谢谢大家的观看，如果你喜欢老师的视频，谢谢您关注老师。

你记住啊，中学数学世界上经常有的题目，在这里我们跟大家讲 八年级数学下册配北斯大版的第七页纸。我们看到第一题，用反证法证明，三角形中至少有一个角大于或等于六十度，至少最少也有一个角大于六十度啊，或者说是等于六十度都行， 那我们就反证法的第一步呢，我们是提出假设是结论的反面，那么有大于等，那我们就说没有大于等，那就说全是小于六十度的。所以第一步，我们假设每一个内角都小于六十度，所以第一步 啊，我们就这样来设设，每个内角都是小于六十度。好，我们看到第二题， 如图点 d 是 三角形 b、 c 边上的一点好，看到这个图形，角 b 等于角一，做记号啊，角三等于八十度，角三等于角 b 和角一的和，所以这两个角那就都等于四十度。 现在角 b、 a、 c 等于七十，七十减四十就等于三十，所以角二等于三十度，这都很容易。我们看到底 三题 e、 c、 c 三点连接啊，这个现在看关键的 cd 平分角 a、 c、 b 啊，这两个角相等， cd 平分角 a、 c、 b 平分角 a、 c、 d。 好， 我们看到 b、 e 平分角 c、 d 的 话，那我们有直角等于直角， c、 d 是 公共边，所以这两个角相等，那就说三角形 c、 b、 d 是前等于三角形 c、 e、 d 的 啊。理由， a、 s、 a、 e 那 么两个三角形等的时候呢？ c、 b 就 等于 c、 e。 嗯，现在有 a、 c 等于十， bc 等于六， bc 等于六。刚才我们说三角形 c、 b、 d 如 c、 e、 d 两三千呢，这就是六。呃， a、 c 等于十，那么十减六等于四， 实际类等于四，所以这个 a、 e 就 等于四，那么 a、 e 等于四，我们再来看呢，这里又有了角 a 等于角 a、 b、 e 角 a， b、 e 等于角 a、 b、 e 等于 b、 e， 所以 b、 e 也就等于四了。哎呀， b、 e 等于四怎么表示呢？刚才两个三千点的时候，实际 d、 e 是 b、 e 的 终点，那么 b、 e 等于四，因此 b、 d、 e 和 d、 e 就 都等于二了 啊。 b、 e 等于 a、 e 等于四，而这两个相等，刚才前面已经说过了，我们看到第四题， b、 d 是 等边三角形的中线哪里呢？这是中线中啊，搞清楚，它说的是等边三角形。等边三角形呢？ a、 b 等于 b， c 等于角 a、 c、 b 全是六十度。好，我们看到等一会儿需要什么东西，我们就拿什么东西出来啊。 以 d 为圆心， d、 b 为半径，那这就是说这两个相等呢？以 d、 c 啊， d 为圆心， d、 b 为半径，作弧加 b、 c 的 圆心如点 e， 那 就是 d、 b 的 d 等腰三角形。 刚才等边三角形，底边的高也是底边的中线角 abc 等于六十度，所以角 dbc 等于三十度， 那么角 d、 b、 c 等于三十度，这个角 c、 e、 d 也就是三十度，而 d 六十度等于两个角的和，所以这一角也就是三十度。那么这样呢，我们就得到了这个 c、 d 是 等于 c、 e 的。 好，我再说一遍，因为三角 a、 b、 c 是 等边三角 d、 a、 c 的 中点，所以啊， b、 d 平分角 a、 b、 c 三线合一，所以， 嗯啊，除了这个所以之外，还有那个角 a、 c、 b 等于六，等于角 a、 b、 c 等于六十度。有了三角合一之后，所以角 d、 b、 c 等于二分之一，六十度等于三十度 啊。又因为 d、 b 等于 d、 e， 所以 角 e 等于角 d、 b、 c 等于三十度。又因为角 a、 c、 b 等于这个角 c、 d 加角 e， 所以 角 c、 d 等于六十度，还等于三十度，于是也等于这个角，等角，再等 b、 a、 c， 所以 c、 d 等于 c、 e。 好， 我们看到第五题在提升题，说明稍微难度大一点，在等幺三角形中，角 b、 a、 c 等于四十五度， a、 d 是 什么？ a、 d 是 底边比 c 上的高线 a、 d 哪个呢？哦，它是等幺三的 a、 b、 c 是 吧？那么等幺三 a、 b 底，那就是 a、 b 等于 a、 c 喽。 当然说明 a、 b 等于 c 贴膜没有写出来，但是应该是知道的，底边的高线也是顶角的平分线，也是底边的中线，对吧？所以这个 b、 d 等于 c、 d。 而且这个角和这个角啊，都是等于二十二点五度， 对吧？角 e、 a、 f 和这个角二十二点五度，那就都是对不对？好，还有什么呢？ c、 e 垂直 ab。 好， 这是只角，刚才这四十五，这，这不也就是四十五度了吗？ 好，这个角四十五度，那刚才这个角 b、 a、 c 四十五度，这里有个关键的角 b 就 应该等于角 a、 c、 b 等于一百八十减四十五除以二 呃一百三十五的一半，等于六十七点五度，那么这里的角，那么角 bce 就 等于角 b、 a、 d 不 就都是二十二点五度了吗？ 当然还有这个 a、 e 等于 e、 c。 所以 第一个要证明 e、 f 等于 b、 e 的 话，实际上我们是要来找这个三角形 a、 e、 f 前等三角形 c、 e、 b。 我 们看到 a、 e、 f 的 a、 e 是等于 c、 e 的， 哪来呢？因为这个四十五度角 e， a， c 等于角 e， c a 啊，等于四十五度，所以等边的角好，然后这个角 a， e， f 等于角 c， e， b 等于九十度，这直角，这也是直角啊。 哎呦，那看来我这里写的不对，那么这里应该从哪写起呢？应该从这个 角边角啊，那这个角等于这个角等于这个二十二点五度。哎呀，把它写在这里啊，好，按照角边角的顺序，所以这个角 e， a， f 等于角 e， c， b， 对 吧？二十二点五度，所以按照叫做什么东西呢？所以三角形 a， e， f 形等于三角形 c， e， b 理由看来是 a s a 啊，当然呢，你用这个角等于这个角，然后 a， a， s 当然也是形的啊，也就说大家的步骤也不一定完全跟我一样 好。 a 三的线 a， e， f 尖端三点 c， e， b， 所以 这个 e， f 等于 b， e。 好， 我们看到第二个，如果 a、 f 等于八，那就是 b， c 等于八，刚才等腰在你底边上的高就底边的中线，所以 b， d， e 就 等于四啊。第二个 b， d， e 等于四 啊， b， d 等于什么呢？等于 b， c， d 半根据等腰在你底边上，所以刚才这个三 a， e， f 和 c， e， b 全等，我们还是要好好的把它给写出来，所以，然后对应 b， a， f 等于 c， b 等于八，记得点赞关注哦！

陪你一起做练习 八年级数学下册的这个配套的小练习小册数学作业本的第九页纸，如图，在 r、 t 三角 a、 b、 c 中，角 b 等于五十度。他说了 r、 t 直角三角形五十度， 那么这个角 a、 c、 b 就是 四十度。现在 c、 d 平分，则这两个角都是二十度，所以第一题选择 b 二十度，第二题 c、 f 平行于 d 啊，两者就平角 a、 c、 b 九十度。角 a 等于三十度，这个角等于三十度，所以角 b 就 等于六十度，角 e 等于一十八度。那我们可以来过这里， b 做一个跟 这个 c、 f 平行的直线，所以这个角呢？又这六十度，所以这边的角就等于四十二度， 所以这个跟上面平行，跟下面也平行。哎，对顶角相等，所以这个角就应该等于四十二度角二，也就是四十二度，所以我们选的 a。 第二题选的 a。 第三题等边三角形的各角都等于六十度。他的秘密题呢，就把这个条件和结论倒过来说，就是各个角都是六十度的三角形，是等边三角形啊 啊，如果有一个三角形，它的各个角都等于六十度。反过来，如果一个三角形的各个角都是六十度，各个内角啊，那么这个三角形等于三。我们说这个逆命题啊，它是真命题，对吧？三个角都是六十度的三角形，它当然是等边三角形。 第四题有一个裁缝加个长方形的布料折叠，这个角 baf， baf 在 那里，这个角 等于五十度。 b、 a、 f 等于五十度，那么 b、 a、 d 是 九十度，所以这个应该是四十度。由于这个折过来，所以这个角等于二十度，这角等于二十度，因为折过来两个角相等，呃，这里是直角，所以角 a、 e、 f 就 等于直角，再连锐角互为，这是七十度， 所以角 a、 e、 f 等于七十度。包右上角的这个小圆圈呢？有人总是不给我写清楚。 好，我们看到第五题， e 是 三角形 a、 b 边上的一点连接，这没有图形啊。那角 a 等于十度，角 b 等于五十度。当三角形 b、 c、 e 为一个直角三角形的时候，角 a、 c、 e 是 多少度？哎，我们打个草稿，好吧， 十度可不大好画了啊。嗯，这一个角是五十度，这个角是十度。 好大概啊，大概。这个，比如说，这角 a 是 十度啊，画的不大像啊，大概的样子，这角 b 是 五十度，现在 bce 是 直角。三题 a 可能就这个 在这，那么这个角 bc， 呃， bc 呢？就是四十度，那么这个五十度，这十度就是六十度。这个角 a、 c、 b 原来就是一百二十度。 角 a、 c、 b 等于一百二十度的话，那么这个角就应该等于八十度，对吧？好，我们再继续来看。当然呢，这个，刚才我们说 e， 这就是直角的顶点，那么它也可能是这样的， 对吧？这样的 a、 b、 c 是 直角，乘以这是直角，那么这是直角，那这个角呢？那就应该是四十度 啊，四度等于十度，加这角就三十度，所以或者三十度没有了。这角 b 不 能是直角，对吧？所以可能 e 这地方是直角顶点，或者 c 这地方是直角顶点。所以这道题是两个答案。好，我们看到第六题， 如图，在三角 a、 b、 c 中， a、 d 是 bc 边上的高， a、 d 是 高， 嗯，还有什么呢？角 d、 c、 m 哪里呢？在这等于角 m a e 等于这个角，我们说这这点角是相等的。角 a m e 等于角 c m d， 所以 角 a e d 啊 a e m 角 a e m 就等于一百八的减，这两个角也得一百八的减，这两个角等于这个角，所以它就等于九十度，也就说三角形 a， e m 是 直角三角形，这个比较简单，就不多说了。我们看到第七题， a、 d 是 三角形 abc 的 角平分线 a d， 然后呢？又 ab 等于 a c， 所以呢，是底边的高线，底边的中线，对吧？ 第一个说明 a、 d 是 等幺三角形哦，题目是这个问题，那么等幺三呢？我们看到这里有一个叫 d e 平行于 c， 所以 这个角 c a d 啊，等于角 a d e， 于是角 e a， d 等于角 a d e， 所以 这个我们就有了这个 a e 呢？等于这个 d e， 所以 三角形 a d e 是 等幺三角形。嗯，再说一遍， 因为这个 a、 b 等于 a c a d 呢，是顶顶角的平分线，所以这两角相等。 要因为 a、 c 跟 d 平行，所以两证明内侧角相等，所以这个角 e a， d 等于角 e d a 等于 e d， 所以 三角形 a、 d 是 等腰三角形。好看到第二个入 a b 等于十， 那当然这个 a c 也等于十了啊。 bc 等于一十二，那这就等于六，这就等于六，那这个 a、 d 就 等于八。 哎，刚才为什么等于六呢？等幺在你底边上的这个。呃，等腰顶角的平分线也是底边的中线，也是底边的高线，三角合一，对吧？这里等幺三角形， 哪里呢？顶角的平分线也是底边的中线，所以这十二对吧？这不就是六，这就是六吗？然后也是垂直的，记得点赞关注哦。

你们催着要的二零二六年春季新版五三下册同步练习册重磅上线了！它精准匹配新教材大纲，每章节知识点以词条形式清晰罗列，概念理透彻拆解立体讲解深入浅出，细节远超课堂讲授。遵循基础夯实、能力提升，综合巩固 科学训练体系。单元自主检测卷加期末综合检测卷层层递进，每天仅需二十分钟，即可扎实掌握一个知识点，与书英各科齐全配套答案解析，直击重难点。现在入手，让孩子赢在新学期起跑线！

数学八年级下册的重难点第一章二次根式我们需要掌握的是二次根式的概念以及它的运算，还有它的双重非复性以及它的大小比较。那么再往下间接一点难一点的，我们就要需要考虑二次根式它与这个基本不等式之间的关系， 以及二次根式它的最值问题。那么再往下第二章在勾股定律当中，除了要掌握住基本的勾股定律，相关定律以及它的这个公式包括简单的勾股数之外，我们还需要去考虑到 勾股定律当中所涉及到的时实际问题，比如说洞点、桥洞以及它这个台风的问题。那么再往下就到了八年级下册一个相对难学的部分，也就是平行四边形部分， 平行四边形部分呢，它分成了平行四边形，正方形，矩形还有菱形这四个四边形我们需要重点把握住它们各自的概念性质以及判定， 因为在我们再往后做相关的这些证明以及解答题的时候，你的证明过程后面是需要写上这些性质和判定的。 那么再往后呢，就是依次函数，函数是初中阶段的第一次学生们接触这个函数，所以首先第一点你先把函数的概念搞清楚，其次再去理解 整个一次函数它的图像了，增减性了，或者说是对称性了，以及到后面一次函数和这个一元一次方程的结合，或者说是一次函数和这个基本不等式的结合。 以上呢就是八年级下册整个的知识体系，希望能对同学们的学习有所帮助。

好，这里是人教版同步初中数学精讲班八年级下册的课程内容。我是豆豆老师，今天呢，我们要接着学习二次更式的配方，哎，那什么叫配方呢？ 好，我们先来看一下。我们以前啊，学过完全平方式的时候，平方差公式的时候，会在一些化简中用到一些配方法，对不对？那其实二次根式里面也可以有配方法，那这两个公式就是它的基本模型，我们来看一下 x 减两倍的根号， x 减根号 y， 括号的平方 x 大 于零， y 大 于零。 之前我们学过，上节课我们学过的什么？在计算题里面，老师是从右往左给的这样的一个公式，对不对？那我们反过来呢？同学们也要会，这还是一个逆向思维，对吗？从左往右，从右往左，大家都要会，那你们看到这个的时候能想到他吗？以及看到 这一个的时候可以想到他吗？这样子一来呢，一个普通的式子啊，就会被你们变成一个某某的平方，哎，那我们就很好去开方了。好，那你会说，老师，这个样子我会，那如果变成算式，大家会不会呢？好，我们一起来看一下啊。我们来看一下例一，他说若 这个式子等于零，则这个式子的值为多少？那我们肯定是希望能够求出 x， 然后求出 y 带进去就可以了，对吧？ 那我们就来求一下 x y 啊，那你会说，老师，这个有二次，还有两个未知数，这叫什么？二元二次方程，我不会解啊。好，我们来看一下啊， 你们来观察一下， x 的 平方加 y 的 平方减四， x 减二， y 加五等于零。我们今天说了，要讲配方法跟完全平方公式有关，那我们来看一下，一看到 x 的 平方和减四 x， 那 我想 我如果还差一个四，我加一个四进来，它是不是就正好可以配成一个完全平方式呢？我们再来看一下这一个跟 y 有 关的， y 的 平方减二， y 如果我能再加上一个一，他是不是又可以配成一个与 y 有 关的完全平方式呢？ 正好这个是叉四，这一个呢是叉一，我这里有一个五，我可以把五拆成四加一，那这样子呢，我们就变成了什么啊？ 就变成了 x 的 平方减四， x 加上四，对吗？再去加上 y 的 平方减二， y 加上一等于零。哎，这个大家可以看懂吧？我先把五分成了四和一，为什么分成四和一，而不是二加三，老师刚刚已经解释过了，对吗？然后我们再把它写成完全平方式的样子，就变成了这个样子， 去加上 y 减一括号的平方等于零。好，这个时候大家应该就都会了吧，非负性，这个也是一个非负性相加等于零，那么只可能说它们两个都等于零，对吗？ 好，所以呢， x 这时候肯定是等于二的， y 呢？肯定是等于一的，对不对？好，那我们就带进去喽。好，带一下，那原式就等于什么？我们写一下啊，那么原式 这是一个填空题，所以老师这个解啊，都省略掉了啊。大题的时候我们要写的规范一点，因为是填空题，老师把它当草稿打给你们看的，带进去，这个就上面变成了根号二，去减一括号的 平方，去加上四倍的根号二，对吧？ 好，然后呢，这个二再加上根号二。 好，我们来把它算一下啊，同学们，算一下，这一个呢，整数部分是什么？他的平方加上他的平方是不是等于三呢？所以是三减去两倍的根号 二，对吗？然后再去加上四倍的根号二。哎，那这个减两倍的根号二，再加上四倍的根号二，我们就直接就把它写成加上两倍的根号二，是不是就可以了？下面呢，依然是二加上根号二， 那这个是不是我们的答案呢？肯定不是啊，因为我们的分母里面还含根号，对吗？所以我们接下来来把它油理化一下。写不下，我们写这边直接去乘以二减根号二， 对吗？直接去乘以二减根号二。 这边呢，分子也一样的，二减根号二。好，那我们来算一下，我们来看一下分母部分是四减二等于二，对吗？分子部分我们这个是不是要好好的算一下，我们把它展开就可以了。好，我们来看一下 分母部分等于二，分子呢？这个是三乘二等于六，对吗？然后这个是三去乘 根号二，所以是减三倍的根号二。还有什么？还有这个轮到他了，所以是加上四倍的根号二 这一部分呢？这个是减四，对吧？你看两倍的根号二去乘以根号二呀。好，所以就是直接减四了，那这样子我们看一下， 六和四变出来等于二，是吧？就等于还是写一下吧，这个是二，然后他和他呢？ 加上根号二，对吗？好，所以呢，这个不能够再画了，所以这个就是我们最终的一个答案。 好，那这一道题呢，其实最麻烦的并不是老师写的这一串计算，而是这一个也不难，但是你们可能没做过就不习惯，那现在你们有这种思维了，以后看到这个就想办法自己要配一配啊。好，我们来看一下第二题，他说已知这个等于零， 则他的知跟上个一样，我们依然是还想求出 x 和 y 各等于几，再带进去，对吗？ 好，那我们来看一下，这个跟刚刚比是不是有一点点含蓄啊？没有那么一眼望到头的 x 的 平方， y 的 平方，但是 这个跟我们今天开头的时候讲的那两个公式是不是一样的呀？我们可以在我们眼里，我们完全可以把它看成什么，完全可以把它看成根号 x 去减根号 y， 括号的平方等于零，对吗？同学们看一看，这个化开是不是等于这个 没有问题吧？所以这样一来呢，我们就可以得到根号 x 减根号 y 一定是等于零的，那所以根号 x 就 等于根号 y， 也就是说我们可以得到 x 等于 y， 对 吧？ 那我还是不知道 x y 各等于几啊？不重要，那我们就只能把 x 等于 y 带进去了，我们可以都化成 x， 或者都化成 y， 我 们来看一看会等于什么啊？ 这也是一个填空题，我们来打草稿，比如说老师全化成 x， 三 x 照写，哎，这边是不是会变成根号下 x 的 平方啊？所以我们直接因为它们都大于零嘛，所以直接就减 x。 好，那这个加 y 呢？我就把它写成加上 x， 然后五 x 呢？我们依然是照写的好，这个加上什么？加上三倍的，是不是加上三倍的 x 啊？ 然后这个减四 y 一 样是写成减四 x 一 样是写成减四 x， 那 么我们来口算一下啊， 这边分子就变成了三 x， 分 母变成了什么呢？就是八减四等于四，所以就变成了四 x 分 之三 x， 所以呢，就是等于四分之三，如此一来就算出来了，对吧？我们不需要知道 x y 各等于几，因为无论它等于几，我们都会是这个答案，对吗？所以这个题的答案是四分之三，填上去就也说了是非零时数，对吗？非零时数， 而且非零时数在这个地方 a 肯定是大于零的呀，对不对？肯定大于零的，而且我们可以看到啊，在这边既然是非零时数，哎，我们是不是先想着把这一串等式先去去分母先化简一下下，对不对？ 而且因为 ab 是 非零时数，所以我可以两边直接去乘以 ab， 对 吗？因为当我左右两边都去乘 ab 的 时候，我发现 这五个分式全都可以变成整式了，对吧？好，所以我们一起来画一下，我们把等式两边同时都乘以 a b， 会得到一个这样的算式，对吗？ 这样的算式啊，左边右边都有 a b， 所以 我们可以把它移到同一边来观察一下，移了以后我们发现什么呢？哎，变成 好，这个跳步比较快啊，其实移了以后会变成，你看 b 的 平方移过来是不是变成减二 b， 然后四 a 是 不是移过来变成减四 a？ 这个很像我们刚刚讲过的例一里面的第一题，对吗？你看五是不是也可以拆成一加上四啊，对吗？ 只是说符号有点区别，我们刚讲的那个题好像有一个加号，对不对？好，所以这一个 就变成这个样子了，那我们很明显可以得到， a 也是等于二的， b 也是等于一的，对吗？那我们接下来呢，把 ab 带进去， a 等于二， b 等于一，带到这个式子里面来是不就可以了？到这里了还不行，因为我们还要进行 分母有理化，对吗？分母有理化的时候，这里要注意了，有的同学说，老师，你没有这一个根号，如果只是三加上两倍的根号二，我会，可是你这有两个根号，我要怎么办呢？我不会了，好，同学们看这里啊， 这个式子啊，其实它也是我们今天要讲过的，可以用配方展开，这个你不需要配，比如说你只需要把三拆成一加二就可以了，因为你看啊， 当我们拆成一加二的时候，而且二我不写成二，二我把它写成根号二括号的平方， 再去加上两倍的根号二，是不是照写啊？然后呢，一，我们把它写成一的平方，你看，三拆成了 二加一，然后这个二和一我写成了这样的一个算式，这样子一看，大家是不是就会觉得非常的熟悉了呀？就可以变成根号二加上一括号的平方，对不对？所以呢，我们就会变成这个样子， 那被开方数既然是一个完全平方数，而且它都大于零，我们拆开是不是分母就变成了一加上根号二呀？然后分子、分母约分就变成一了 啊？这是一个小细节，有的同学如果说求出了 a、 b 到这里画不出来了，就非常的可惜啊。好，那既然讲到这里呢，老师再跟你们拓展一下，刚刚我们是不是说过了，好，我们往上翻，直接看一下刚刚那个， 好，刚刚我们是不是说过了它，对吗？好，在这个里面啊，有的时候它会非常的仁慈，写成我们刚刚那种方式，比如说我们写会写成什么？写成 写成我们这样子的方式，就很容易看出来，对不对？但有的时候呢，在这个里面啊， x 和 y 它是可以加起来的，因为比如说你看根号三和根号五，没有办法加减，对吧？但是根号三的平方加上根号五的平方可以写成八呀，对不对？所以这种往往在我们的题目里面反映出来，不会有三项，它只会有两项， 一项是这种含根号的，一项就是我们的正常的这个整数。所以我们要做的就是要想办法根据这样的一个部分去把这个整数拆成怎样的两个，然后把它配成一个完全平方式。 比如说你看刚刚在这里，你看我们是不是只有两项啊？但是我们就根据这个两倍的根号二把它拆出来了。那你要问老师我们怎么拆的呢？因为我们知道完全平方公式是什么，完全平方公式它无论加还是减，它中间一定是有一个二 a、 b， 对 不对？ 好，我们把它看成二 ab， 这个二照写了， ab 是 什么？根号二，那肯定就是根号二去乘一啊，对不对？那根号二去乘一，那肯定一个就是根号二，一个就是一，正好这个就是根号二的平方，加上一的平方等于三。 好，我们再来做下一道题的练习，同学们可能会有一个更直观的了解，好比如说这个和这个 好，老师如果讲了这个，我觉得你们就一定会开这个了，他这个很像我们刚刚讲过的那道题，就是刚刚讲过的这一个呢？是不是有两个根号，我们去化简啊？对不对？好，这一个也是的， 如果说他可以写成一个完全平方式，根号下，这里面可以写成一个完全平方式配出来的话，那我们直接就可以把这个根号拿掉就做出来了，对吗？那我们怎么去呢？如果说啊，你看 六倍的根号五，老师刚说了，他有的时候很狡猾， x 加 y， 他 加成了一个十四，我们就要把十四拆开，拆成什么呢？哎，这里有一个根号五，那根号五的平方是不是等于五啊？那我们来看一下啊，当我把它拆成五加上九的时候会怎么样？ 哎，五加上九，那它是不是就可以看成三的平方？它是不是就可以看成根号五的平方呀？好，你看三的平方加上 根号五的平方，再加上六倍的根号五，哎，它是不是正好可以变成一个完全平方式啊？好，我们来写一下，你看 这个九，把它写成三的平方，根号五的平方，然后六就写成了这个样子，对吗？二 a b， 是 不是所以这个非常的好配，就配成这个样子了？那么同样的道理，后面这一个我们只需要把这个加法变成减法，是不是就可以了呀？ 好，你说。老师啊，这个我还是有一点点不熟悉，那我们可以用另外的思维来想啊， 就是通过这个六倍的根号五怎么去反推出九加五呢？其实我们可以更详细一点，我们知道一 般来说都是这两项整数，对吧？这两项可能是一个整数和一个这样的根号的平方，可能是两个根号的平方，对吗？都可以变成一个整数，那我们如何猜呢？我们一定要从中间这一个入手，我们既然知道中间是二 a b， 我 们可以推啊，比如说你看六倍的根号五，我可以写成二， 因为二 ab 是 一定含二的，对吗？二，它可以写成什么？二乘以三，再乘以根号五，你看那不就出来了吗？二 ab 正好 a 的 平方等于九， b 的 平方等于五，五加九正好等于十四，这样是不是就猜出来了呀？ 所以呢，这个题就可以这样子做，用配方来做就非常的简单，对不对？这是我们的第一种解法，是老师手推的一种解法，配方法好，那肯定有解法一就有解法二呀，那我们可以怎么办呢？我们观察一下这两张相减，你说老师两个根号，我看着好好头痛啊， 我如果能把它平方一下，我是不是就可以解决掉一个根号呢？好，可以用，那这时候呢，我们就可以用试一下平方法了，什么意思呢？我们把它整串设为 x， 我 们平方就是整体平方，我们来求一下， x 的 平方等于什么？那我会发现什么？ 当它平方的时候，是不是这个的平方加上这个的平方，再去减去二 a b 啊？对不对？你看这个平方直接就可以把这个根号摘掉，变成它了， 这个的平方呢？直接就也可以把这个根号摘掉，变成什么？变成这一个，对吧？好麻烦的，就是中间的二 a b， 它写成了这样子，二 a b， 好 好，我们来看一下。 首先呢，这一串老师画横线的这两部分呢，我们可以抵消，直接变成了二十八，对不对？因为加六倍的根号五和减六倍的根号五没有了， 好，然后我们再来算中间这一串你们觉得看起来很麻烦的东西，这个二照写根号下，是不是这一个去乘以这一个呀？同学们看，这不就是平方差的公式吗？对不对？ 那就可以变成他的平方去减他的平方，对吗？好，那我们经过一些计算，我们可以算一下，他的平方是等于 十四的平方，是等于一百九十六的。好，六倍的根号五的平方等于三十六去乘以五，对吧？三十六乘以五等于一百八十， 那我发现减了以后呢，就等于十六，所以根号十六开出来就是四二四得八，二十八减八就等于二十，对吧？也是一个整数，但是呢，这里是 x 的 平方，我们最后的答案还要再开一次，对不对？因为 x 大 于零，所以 x 等于就是根号二十嘛，根号二十开出来就等于两倍的根号五，跟我们刚刚做的答案也是一样的，对吗？那这个呢，就是第二种解法。好，那我们再想一想，有没有第三种解法呢？我们把它看成一个整体， 因为你会发现这一串数和这一串数他们实在是太有联系了，对吗？他们相加相减都是可以抵消的，对不对？那由此呢，我们来可以看一下 第三种办法，就是换元法，把他们啊当做一个整体，比如说你看 x 等于这一串， y 等于这一串，然后我们需要求的是 x 减 y， 对 不对？ x 减 y， 然后呢，我们在做平方的时候，是非常容易得到 x 的 平方加 y 的 平方，刚刚我们做的时候，那我们把这个整个设为 x， 整个设为 y， 他 们的平方加起来是不是就等于二十八呀？对吗？然后他们 相乘呢？哎，为什么有他了以后我就要求他呢？同学们，还记不记得我们在之前学分式的时候，是不是也会有一些这样的题啊？对吗？ 就是我们在最开始学平方差和完全平方公式的时候，我们会有很多很多这样的练习，对吗？好，然后 x 乘 y 呢？我们刚刚是不是也算过，是不是等于四啊？通过上一题你看， 我们知道说这两个相乘，就这两个相乘是等于根号十六，根号十六就等于四吗？对吧？所以可以算出来它是等于四的。好，然后我们要求的是 x 减 y， 对 吗？那我们就可以把它写成 x 减 y 括号的平方，依然是先求出它们的平方， 好这个样子，带进来，把它们带进来，对吧？把它展开，那先把它展开，因为展开了以后，我就可以用到二十八和四了呀，对吗？但是我要减的是二 x y， 所以 这样算出来来呢，就等于二十八，减八等于二十， 这个其实跟我们刚刚一样，也是求出了它们的整体等于二十，对吗？所以再把二十去开方，就得到了两倍的根号五，所以这个就两倍的根号五， 嗯，因为我们可以看得到，肯定是前面是大于后面的吗？对不对？所以肯定是一个正数。好，那这个题呢，老师觉得非常的有代表性，所以讲了三种方法，希望同学们通过今天的学习呢，能够深刻的了解配方的巧妙，然后加大练习啊，那以上呢，就是。