r语言函数density

大家好，我是波波老师，欢迎大家来到二语言快速入门课堂。今天学习第五讲数据结构中的因子。 本次课程我们将按照这个目录展开。首先我们会概括因子的基本概念和作用， 接着我们会详细讲解如何生成因子以及如何查看和修改其属性。 然后我们将学习因子的几个核心操作函数， table 用于频数统计， split 用于数据分组聚合计算。 最后，我们会通过一个电商用户行为数据分析的综合案例，将所学知识融汇贯通。首先我们进入第一部分因子概数， 那么什么是因子呢？简单来说，因子就是 r 语言用来处理分类数据的工具，它把像男女这样的文字标签 在内部转换成一二这样的数字来存储，这样做既节省内存，也方便后续的分组计算。 在电商场景中，我们分析的很多数据都是分类的，比如商品属于哪个类别，用户是男是女，订单注意什么状态等等。 掌握因子的使用是进行这类分析的关键一步。 了解了因子的概念后，我们来学习如何在 r 语言中创建因子，以及如何查看和操作它的属性。 在 r 中，我们使用 fact 函数来创建因子，最基础的用法就是直接把一个字母向量传进去。 从输出结果可以看到，因子不仅包含了原始的类别值，还列出了它所有可能的水平。我们还可以通过 labels 参数来指定水平的顺序， 这对于像低中、高这样有顺序的分类非常关键。另外，使用 labels 参数，我们可以给这些水平起一些更友好的名字， 比如把中文类别翻译成英文，或者用更简短的缩写。 创建好因子后，我们可以用 level 函数来查看它的所有水平，也可以用它来修改这些水平的名称。 a level 函数则能告诉我们这个因子共有多少个不同的类别。 如果在某些操作中，我们需要把因子变回普通的四副项链，就可以使用 i 字典 character 函数，这些都是处理因子时非常基础且常用的操作。 接下来，我们将学习因子的几个核心操作函数。这些函数是进行分类数据分析的基石。 首先是 table 函数，它的作用非常直接，就是数数，它会数出因子里每个类别分别出现了多少次， 也就是做频数统计。比如这个例子，我们统计了不同评分等级的用户数量，结果显示有四个好评、两个中评和一个差评。 在电商分析中，我们用它来统计各种分类的数据，比如有多少订单属于已支付状态，有多少用户是金卡会员等等，这是了解数据分布最基础的一步。 第二个作用的函数是 split， 它的作用是分组， 它会根据一个因子把一个数据向量拆分成几个部分。比如这个例子，我们有一组销售数据和对应的商品类别， 用 speed 之后，就把销售数据分成了服装、电子产品和食品三组。这样我们就可以把不同类别的数据分开来看， 为后续分别计算每类商品的总销售额或平均销售额做好了准备。 接下来是功能更强大的 tapply 函数，它可以看作是 split 和聚合函数的结合， 它先帮我们分组，然后直接对每个组的数据进行计算。 比如在这个例子中，我们直接使用了 t apply， 计算出了每个商品类别的总销售额，一步到位，非常高效。这是我们进行分组统计时最常用的函数之一。 比如计算每个类别的总销售额、平均评分等等，都可以用它来轻松实现。 tapply 的 灵活性非常高，我们不仅可以求和，还可以求均值、标准差等任何我们需要的统计量。比如这里，我们计算了每个商品类别的平均销售额 和销售额的标准差。从结果可以看到，服装类的平均销售额最高，但标准差也较大，说明其销售金额的波动可能也更大。 而食品类因为只有一个数据点，所以无法计算标准差，返回 n a。 通过这些分析，我们可以更全面地了解不同商品类别的销售表现。 现在，让我们通过一个综合案例，将前面所学的因子知识串联起来，解决一个实际的电商用户行为数据分析问题。 我们首先生成一个模拟的数据集，这个数据集包含了一百个用户的信息，包括它们的性别、购买的商品类别、花费的金额以及给出的评分。 可以看到性别、商品类别和评分这三列都是我们之前学的因子类型，这非常贴近真实的业务场景。接下来，我们将基于这个数据集进行一系列分析。 第一个分析，我们用 table 函数来看看用户的性别分布。 结果显示，数据里有五十二个男性用户和四十八个女性用户，比例差不多 这一步很简单，但在实际中了解用户的基本画像。比如性别、年龄分布是所有分析的起点，能帮助我们更好地理解我们的用户群体。 第二个分析，我们来看看不同商品类别的销售情况。这里我们用了两次 tapply 函数，一次计算总销售额，一次计算平均销售额。 从结果中我们立刻可以看出哪个类别最赚钱，哪个品类的 客单价最高。比如，如果电子商品的总销售额最高，但平均销售额不是最高，可能说明它的销量很大。 而如果食品的平均销售额最低，可能意味着它是薄利多销的品类，这些洞察对业务决策非常有价值。 第三个类别，我们来看看不同性别的用户对商品类别的偏好有没有不同。这里我们用推波函数做了一个交叉分析， 把性别和商品类别放在一起。统计结果是一个二维表格。 我们可以看到，男性用户买服装的有十八人，买电子产品的有十七人，女性用户购买服装的有十六人，买电子产品的有十五人。 从这个数据上看，差异不是特别大，男女用户在这三类商品上的购买分布比较平均。当然，在真实数据中，我们可能会发现更有趣的差异。 最后一个分析，我们来看看不同商品类别的用户评分情况。同样用 table 做交叉分析，这次是商品类别和评分等级。 从结果中我们可以清楚地看到每个品类分别有多少好评、中评和差评， 这对于评估产品质量和用户满意度有关重要。比如，如果某个类别的差评特别多，我们就需要深入调查原因是产品本身的问题，还是物流或服务的问题， 从而帮助业务方进行改进。 本节课程我们系统学习了二元的因子，我们了解了因子的定义和作用，它是处理分类数据的利器。 我们掌握了如何用 fact 函数创建因子，并通过 levels 等函数查看和修改它的属性。 最重要的是，我们学习了三个核心操作，用 table 做评述统计、用 split 进行数据分组，以及功能强大的 tip line 进行分组聚合计算。 最后，通过一个电商用户行为分析的例，我们将这些知识应用到了实际场景中。希望大家通过这节课能够熟练运用因子来解决自己工作中的分类数据分析问题。 感谢大家的观看！

今天继续讲解强化学习。上期视频介绍了随机变量，今天介绍 probability density function 概率密度函数。 概率密度函数有什么意义呢？它意味着随机变量在某个确定的取值点附近的可能性。这听着有点绕，我们来看一个例子，高斯分布，也叫正态分布，是一个连续的概率分布。随机变量 x 的 取值可以是任何一个实数。 高斯分布的概率密度函数 p x 可以 写成这个样。这里的喵是均值 c， 格码是标准差。这张图里的横轴是随机变量 x 的 取值，纵轴是概率密度，这条曲线就是高斯分布的概率密度函数 p x。 这个概率密度说明 x 在 原点附近取值的概率比较大，在远离原点的地方取值概率比较小。这个是离散的概率分布。随机变量 x 是 个离散的变量，只能取二、五或者八 这三个值。概率密度函数 p 是 这个样的， x 取二的概率是零点五，取值是八的概率是零点三。在其他任何地方取值的概率都是零。 概率密度函数有这样的性质，把随机变量的定义域记作是大括号 x。 如果 p 是 个连续的概率分布，可以对 p x 做定积分。把所有 x 的 取值都算上， 定积分得到的结果等于一。如果 p 是 个离散的概率分布呢？随机变量在离散的集合 x 中取值，可以对 p x 做一个加和，把所有的可能的取值都算上， 加和等于一，这就是概率密度函数的基本性质。把所有的可能的取值都算上，概率的积分，或者加和会等于一。今天的介绍就到这里，下期视频介绍，期望欢迎关注茉莉 ai， 开启 ai 探秘之旅。

晚安，马卡巴卡。那今天给大家讲讲这个单招数学这个函数值域的问题啊，分了几块？第一个是一次函数，一次函数你看见了，直接一次函数写 r， 直接写 r， 因为它是根大直线嘛， 对吧？比如二 s 加一就长这样了，它是根大直线，它最上面能到正无穷，最下面能到负无穷，所以它就是 r， 包括这个也一样，它是根大直线。那如果给了一个 x 的 一个曲值范围，那这种题怎么算？因为你想它要不是单调递增，要不单调递减， 所以这两个端点，一个应该是它的最大值，一个是它的最小值，所以我们就把这两个点分别带进去，然后就能写出来了。你看，一个是负一， f 负一就是负的，负一加二就是三， f 一 就是负，一加二就是一，所以一个算出三，一个算出一，这是一个最大值，一个最小值，那它的值域就是一到三 啊。遇见一次函数的直接代数就行了。你再来看看二次函数求值域，二次函数求值域。正常你会有一个公式，四 a 分 之四， a c 减 b 方，那如果 a a 大 于零，开口冲上，那它不就应该有最小值吗？它应该是 四 a 分 之 c， a c 减平方到正无穷，那如果 a 小 于零，开口冲下，他应该有最大值，他应该是负无穷到这个 c a 分 之 c， a c 减平方。但是这种题你做只是没给你 x 的 时候，你这样好做，如果给了你 x 的 曲值范围了，他这个正无穷负无穷，是不是就不对了？那这种题更快的我们怎么做？我们去算这个对称轴，你看啊，看这道题来， a 大 于零，所以它开口冲上，我们先把对称轴算出来，对称轴是负的二， a 分 之 b， 对 称轴就是负一，那这就是 x 等于负一的时候，它是不是应该就叫最小值？那我们带一带 f 负一，它就是一减二加三 等于二，也就说它角值是二，那它值域不就是二到正无穷吗？就这种没给没给 x 的， 你这样去做也是可以的，你不用去搞这个啊。那然后我们再看这个。第二题来， a 大 于零，开口冲上，先算对称轴，对称轴是负的二， a 分 之 b 就是 二，你说这个点是 x 等于二， 那你看，我 x 要的是零到三，你看啊，这个点是二，那如果这是三的话，这个对称的是不是应该是一啊？再往前是零，也就是说他零到三，这是零，这是三，他这个图，这是零吗？这是三，他这图在这呢。没画画啊，零到三就这根，那你画图就很容易了。最小值不就是 在这吗？最大值不就在这吗？所以最小值算 x 取对数 f 二最大值，这 f 零 最小值，这么算，算二代去，就是四减八加五等于一把 f 零算，算是五，就是他一个算出一，一个算出五，就是零到三对应的，所以他的值域是一到五。就这种题，你可以。 嗯，直接先做对称轴，先找对称轴，找完对称轴以后，你找这个范围，然后把图画出来，最小值、最大值的时候就一目了然了，就是不需要你用这个，用这个的话，嗯，你这个算出来都是正无穷负无穷，咱要是有范围的话，他不就不对了吗？ 啊，所以建议大家可以直接去找对数，然后画图算，哎，更快一点，更好算，然后再往后接下来反比例函数，反比例函数这块啊，他求值域，他直接就是 y 等于零，就记住这个熊了。 你看这个玩意，直接 y 等于零，这个玩意也是 y 等于零，也就是负无穷到零并零到正无穷。写不下来，不写了，直接这个你想想为啥啊？你比如说 这个图大家都会画啊，正宗的反比例是不是在一三相减，他的值域就是他一直到这，他交不着点，他到这他交不着点，所以 y 不 等于零就是零，这没有。那你看如果 y 等于 x 减二分之一，是不是给这个整体的图像向右挪了二，你给这个图像向右挪了二以后，就变成这样了吗？ 他还是取不到零，所以这种反比例的啊，拿到题以后直接就是 y 不 等于零就完了，想都不想直接就算，直接就秒了。然后我们再来看这个分式函数求值域。嗯，这种题 就是一次的比一次的，就是 y 等于，上头也有 x 一 次，下头也有 x， 一 次方就都有 x 一 次方的一次比一次的。这种题叫 y 不 等于 x 前的系数比。用这个你看啊，这里 x 前是一，这里 x 前是一，那它的系数比就是一，所以 y 不 等于一，这就等于 也就是负穷到一并一到正无穷来看这个 x 前系数三， x 前系数是二，那它的比就是三比二就是 y 等于二分之三，负穷到二分三并二分三到正无穷来看这个 x 前系数是负三， y 前系数是一，那就是负三比一， y 不 等于这个 y 不 等于负三，也就是负无穷到负三并负三到正无穷啊。这种题一次比一次的直接用这个系数笔去做，再往后 指数函数域最基础的叫零到正无穷，也就是你看见 y 等于二的 x， y 等于五分之一的 x， 看见这种的啊，直接零到正无穷。比如这个零到正无穷啊。然后往后看，这是三 x， 它是零到正无穷，那他给他加了一了，他不就一到正无穷了吗？ 但这个三分之一的 s 给他减了二了，他不就负二到正无穷了？所以这种题直接看后面就完了。因为你二的 s 不 就等于二的 s 加零吗？零到正无穷，一到正无穷，负二到正无穷。哎，遇见指数函数求直域的，直接看后头加几就几到正无穷，没加就零到正无穷。然后最后来看三个函数， 三角函数求值域。那这个咱们都会画图，三 x 是 不是老师教过？是这样的，那最上面是一，最下面这个值是负一，所以它的值是负一到一，这是它的值域。 那这为啥看三 x 前的系数是一，所以它就负一到一。那你看 cosine 前面系数是负三，所以它就是负三到三， 这就值域。看这个加了五了。先不管，先看这个二倍的 cosine x cosine 前面系数是二，所以它就是负二到二，它的值域是三到七。 来再看，先不看这个减三，先看前面这一堆，他前面系数是负五，所以他就是负五到五，那整体减三就给他减三，给他也减三，所以他就是负八，他就是二除以就是负八到二， 这是三角函数求值域的啊。中间 x i 减多少减多少就不用看啊，不用看，直接看前面的系数就完了，然后最后看一个加法了。加法这个需要用到这个辅助角公式，你正常做碰见加法就是直接给他加上他前面系数的平方相加开根号出来这个根号五， 负根号五到根号五。那这个用到是一个辅助角公式，就是这个式子出来以后，它应该是 y 等于根号下二的平方加上一的平方倍的 sine x 加 f。 啊，这不还是那一度路不用管吗？ 是吧？所以求最值，你只需要看前面这系数就行了。是二方加一方开根号，这是根号五，所以它的值域就是负根号五到根号五。这是加法的啊，减法的也一样学会了吗？

大家好，这里是工蜂，今天我们会继续二年的教学，考虑到后续的教学会使用到各种各样的儿包，所以在这节课我们先进行儿包安装和常见问题的教学。 那么什么是儿包呢？首先在我们这个儿四丢丢的大厨房里就自带很多的儿包，就像是我们买下厨房的时候，卖家已经送了我们很多的厨具取烹饪数据。 这个自带的除句就是 r 的 base 库，在不安装任何外置 r 包的情况下，我们使用 l s 命令就可以查看 base 库包含哪些函数。 当然，随着分析需求的增加， base 库的函数肯定是不够我们用的，那么这个时候我们就需要新添除句来满足我们的分析要求了。 最常用的安装 r 包的命令就是 install 点 package 死命令。以 read x l 包为例，这是一个用于读取 excel 文件的 r 包，输入 install 点 package 死括号，用双引号把我们要安装 r 包的名字给括起来， 点击 run 运行命令。 r 包开始安装的时候，我们就会看到提示 r 在 运行的红圈以及 r 包下载的进度条。当看到下载的程序包在叉叉叉目录的提示词时，就表明 r 包已经安装成功了。 我们可以在 r 语言文件夹里看到一个叫 library 的 文件夹，里面就是我们安装的所有 r 包。 当我们下载完 r 包以后，使用 library 括号函数就可以导入我们的 r 包，只有使用 library 进行导入后，才能使用 r 包中的函数 library r 包时， r 的 名字就不需要再加双引号。 当我们下一次重新进入 r 源时， r 包就不再需要重复安装，不需要在 install， 但是需要重新 library， 而当我们 library 某个我们没有下载过的 r 包时，就会提示报错，不存在某某 r 包。 使用 install 点 package 括号 c 括号 package 一、 package 二就可以一次安装多个 r 包。哎，我们上节课讲过的定义向量的方式在这里就派上用场了， 此处就是把 r 包名称进行了向量化，以字母串向量的形式作为输入。许多与生性相关的 r 包不能直接通过 install 点 packages 函数安装，而是要通过 by manager 来安装。所以在安装这些 r 包前，我们先要事先安装 by manager。 首先，我们以相同的方式 install 点 packages 括号双引号 by manager 来安装 by manager r 包。 这里因为主播已经安装过 by manager， 所以 就不再重复给大家演示。如果我们已经安装的某个 r 包出现损坏，我们可以先使用 remove package 命令来删除该 r 包，然后重新 install 点 packages。 当我们要更新某个 r 包时，我们可以使用 update packages 命令。在安装完成后，我们就可以使用 by manager 双冒号 install 括号双引号 r 包名的方式来安装相关 r 包了。 同样也可以进行将 r 包明定为向量，做一次安装多个 r 包的操作。 我们在安装 r 包时会遇到各种各样的报错，经常看到的一种报错即出现请求超时，无法连接到 c、 r、 a、 n 镜像的报错。这种报错其实就是我们的网络不太好，没有办法连接到下载 r 包的网站，所以导致下载失败。 遇到这种情况，我们可以尝试在浏览器中直接搜索该阿波的阿波名，找到该阿波的 by conductor 网站，进入网站后下滑，我们可以看到一个下载 source package 的 按钮， 点击下载，下载完成后，我们就得到了一个压缩文件夹，复制该文件夹的文件地址，粘贴到我们的函数中。 注意文件目录的斜杠方向，并设置 ropes 等于 n u l l 表示不使用在线安装，设置 type 等于 source 表示原代码安装 运行代码和一般的 install 点 packages 一 样，看到安装目录的提示词后就表示安装成功了。 通过源代码安装，我们基本上可以解决 r 包安装百分之七十以上的报错，而如果看到 r 包名不存在 r 包版本，没有查找到类似于这样的报错，那可能可以考虑一下是不是自己输入的 r 包名称存在拼写上的错误。 到这里，阿包安装的基础教学就完成了，下节课我们将继续讲解 r 语言数据的读入、写出以及编辑，希望视频能帮到你，我们下期再见。

hello， everybody 我是 神奇小猪。欢迎大家来到一数八高函数性质篇。那接下来我们进入周期性和类周期的小八高 周期性三个表达式。不给大家推了，单括号里面 x 符号一样都是正的啊，这都是正的。呃，这也都是正的，这表达的是周期性。如果是 f 等于 f， 那 最简单的周期是 a， 如果前面加了符号，或者取了一个什么数的倒数，那周期翻倍是二 a， 你就给我记住了，这仨是最基本的。那考试有没有可能稍微难一点？有可能啊，比如二零二二年给你这个式子，问你二十项的一个和， 那人家又给你个 f 一 等于，你给你 f 一 等于干嘛呢？让你带它呗，我就把其中一个 x 也好， y 也好，我带上一试一试。所以令 y 等于一，那变成 f x 加一， x 减一，然后 f 一 乘以 f x， f 一 是一的情况下呢，就是这一项就是一了。这边等于 f x 这几道题出现三个 f， 但是每一个 f 啊，你看正 x 正 x 正 x 符号一致，所以大概率它依然表示的是一个周期。那凡是遇见你没见过的题目，而且和周期有关的，刚才也说了，你求和的问题，要么跟周期有关，要么跟对称性有关，跟周期有关的，你大胆叠代。有些同学可能学过这个式子，哎，你别太高兴太早啊，一会有难的，你也得给我叠代。 我先以它为例来讲，叠代就是你把所有的 x 给我换掉，你这里面设到 x 加一了，我就都换成 x 加一，有一个算一个全都换掉，那就变成了 f x 加二加上 f， 它加一再减一就 f x 这边 f x 加一，做到这停一停， 它俩目前相等的。这俩目前相等，而且全都是一左一右，一左一右，你说我上下干什么啊？我上下相加，那是不是这俩约掉了啊？这俩也约掉了，就相当于说它加它等于零。 打住，这是对称性。不，不是，你这一个正 x， 你 一个负 x 才是对称性。你这俩符号一样的，它是周期性。我把它一向 f x 加等于负的 f x 减一，还没看出来。没关系，我继续也在把所有的 x 换成 x 加一，左边就是 f x 加三等于负的 f x， 现在看出来没？是不是符合我们刚才讲的第二个式子？是不是它周期应该是 a 的 两倍，像这样的周期就应该是六？ 当然我我好人做到底，我给大家推，为啥周期是六？我继续迭代把所有的 x 现在不 x 加一了，因为，呃，这明显是 x 跟 x 加三的事。我把所有的 x 换成 x 加三，所以左边 x 加三加三加六喽，右边负 f x 加三。哎嘿，你 f x 加三是等于负的它，那你负的 f x 加三，我把它加，再加括号就是 f x， 相当于我直接带入了那 f x 等于 f x 加六。我姥姥都知道周期是六，那我求所谓的什么前二十二项和，那就会做了吗？我把前六项和从 f 一 到 f 六我都给它找到喽，然 f 一 是一，然后我求 f 二，呃，想求 f 二我都带成一的话行不行呢？一加一是有 f 二，但是一减一 f 零，我还没算 f 零呢，我想算 f 零。凡是这种抽象，还是我们下节课专门来讲哈。我们一般来说，先尽可能的把 f 零算出来。 f 零怎么算？ 第一个思路，我把 x y 全都带成零。哦，那你确实能，好像能搞出来 f 零是吧？左边是 f 零加 f 零是二倍 f 零，右边是 f 零是 f 零平方。我发现这么带的话， x y 都带成零，你变成了一个有关 f 零的二次函数。 f 零有两 个情况，可能两个情况都对，有可能你其中有一个不对，你得去舍舍哪一个你可能不知道，你不好做了。做，换个思路，我不把它俩都带一，比如说 x 我 带成一， y 我 带成零，我看看有什么情况发生。 左边 f 一 加 f 一， 二倍 f 一， 右边呃， f 一 本身是一。呃，这边出现一个 f 零，找到了你。 f 一 是一，那我 f 零 就是二，有了 f 零，有了 f 一， 那我 f 二。来算一下，咱把 x y 都代成一，不就有一加一了吗？ f 二加上 f 零， f 零是二， 等于 f 一 乘 f 一 啊，一乘一是一，所以得到 f 二是负一，你有了一，我一加二就是三，哼，再代入，二一 二一二一。 f 三加上 f 一 等于 f 二乘 f 一 啊，就是负一乘一是负一。哦豁， f 三负二，有了一二三，一定就有四，因为我四能写成，比如说二加二，所以 f 四加上 f 零等于 f 二乘 f 二。呃，负一乘负一就是一， f 四是负一， 一点一点做来，该五了。五我能写成一加四，我也能写成二和三都行，我就一加四。注意，我写四一，不写一四，因为我一旦写一四的话，一减四出现负三了。负三我没算对不对？但是四减一我算了， f 三不有吗？所以代数过程当中也不是无脑袋的，你得动动脑子， 四一四一， f 五加上，这是 f 三等于 f 四乘 f 一 负一乘一，得到 f 五等于一。好嘞， f 六还用算不？整个函数周期为六， f 六就是 f 零啊。 f 零是二的情况下， f 六也是二， 这是我通过一点点代值把这些值就能算出来的一个方法。很墨迹，但是你得会。但这题其实也有更简单的方法，因为其实我们已经得到这个式子了，它表示的是相邻三项的一个等量关系，这是 dx 减一项， dx 项和 dx 加一项，你就给它想一下数列是吧？我改写一下，那是不是 f x 加一？哎，这 d x 加一项啊，它等于 f x， 它的上一项 减去 f x 减一，也就是它的上上项。如何理解？我在求出 f 零和 f 一 之后，我想求 f 二是多少？ f 二就用它的上一项的值一减去它上上项的值二一减二负一， 想求第三项，上一项减上上项负一减一负二，以此类推，那求 f 四，那就 f 三减 f 二负二负二减负一是负一负一减负一是二。如果你能看出这个式子的规律，那实际上你求值，那可能是更快的。 一二三四五六，前六个值我算完，你问我多少我其实都知道了，目前二十二个数，二十二除以六三六十八于四。每个周期我算一下啊，正一负一约掉，正一负一约掉，正二负二也约掉，每个周期加起来是零，所以我最后其实就是前四个数相加一负一负二，负一负三选 a。 这在咱们周期性里面就算是比较难的题目了啊，需要你不断的进行迭代。呃，针对这个式子本身其实还可以说的再难一点。呃，高考可能不是特别敢考哈，但是你说不准他抽风对不对？什么都有可能考，有一些不是特别常规的表达式你也得会 来举两道题目。第一题定义在全体实数 r 上的一个实值函数就是你不能出现虚数是吧？总有这个式子成立。最后让我证明 f x 为周期函数。太恶心了啊，出现大根号了怎么办？哎，你能怎么办？你会怎么办？你只能一向平方把根号去掉呗。所以左边 f 减二分之一移过来，我两边平方，右边根号不就没有了吗？ 接下来停啊，我就到这，接下来你告诉我我怎么办呢？我左边是一个完全平方式平方的一个结果，右边 f x 减 f x 平方，你可以把它也配方啊，这是一个思路，或者把它展开，其实理论上都行。那如果把它稍微配方一下，它是负的。 x 平方减 f x， 我 凑完全平方式，中间这是二倍，两者乘积二乘二分之一，我再加个四分之一，这就完全平方式了对不对？那这跟原来不一样啊，我这平白无故减了四分之一，后面我再加四分之一， 这中间就变成了 f x 减二分之一平方，验证一下对不对。它方它方减二倍，两者乘积非常漂亮。 现在有没有看出一点点小端倪？都是谁减二分之一平方，谁减二分之一平方，而且括号里面正 x。 呃，正 x， 那 肯定跟周期就有关了呗。跟周期有关要证明怎么办？叠代把 x 全都换成。我不换成 x 加一，因为这个 x 和 x 加 a 是 是 a 的 一个关系，我加 a， 这个代换成 x 加 a， 那 你就变成 x 加二 a 喽。现在右侧我这也变成 x 加 a， 负的 f x 加 a 减二分之一，平方再加四分之一来历，哎，这个部分和这个部分长得一模一样的，对不对？但是呢，一正一负，我上下啊，你可以相减， 左边减左边，右边减右边，依然相等，但也可以，哎，直接把它带进来啊。呃，这不相等的吗？我直接带进来也是可以的，你就看你的预算习惯，你喜欢怎么算，我就直接把它带进来，但你前面呢，有符号，所以这一整项就变成了把它加符号 括号，平方减四分之一，最后再加四分之一。哎，那一正一负没有了，咱最终得到一件事，它平方等于它平方。 那我是不是在这能直接大胆的哎，把它约掉呢？两边开根号，你开出来之后，你这里面是正是负，我意味着我要比较一下 f x 和二分之一的一个大小关系在哪里边能看出来 f 和二分之一的大小关系。很显然，这根号是一个非负数，它大等于零，那二分之一加上它一定大于等于二分之一， 意味着我 f x 加 a 大 于等于二分之一。那你如果看着加 a 等于等于二分之一，那你如果看这加 a 反我迭代 x 换成 x 减 a， 就 能推得 f x 大于等于二分之一。我随便推，就意味着我其实这个函数每一项都是大于等于二分之一的。所以上下两个式子，实际上啊，在横乘利问题当中是等价的。你把 f x 左加右减，左右平移之后，你函数值大于二分之一，那你平移之前，我平移并不影响我的函数值啊，我直域是不变的，所以我 f x 也大于二分之一，相应的我平移二 a 的 长度 也大于二分之一。所以在括号里面每一项都是非负值的情况下，两边开根号平方可以直接约掉，我得到它减二分之一等于它减二分之一，那二分之一，二分之一也约掉 f x， 加二 a 就 等于 f x， 咱的周期就是二 a， 非常漂亮的一道小题， 类似的，再给大家讲一道题，二零二五年福建模拟的一道节选题目。那题没让你正周期函数啊，直接给你的就是这个条件，但是你如果看见这个条件，你没有往周期函数上去想，那是没法做的。 那其实你遇见这个形式跟什么比较像呢？哎呦，它俩相加等于二倍的二分之，它俩相加，二分之它俩相减，这其实是不是 cosine 的 和差化积公式啊？你看看 cosine x 一 加 cosine x， 二，哎，是不二倍。 cosine 二分之，两者合，乘以二分之，两者差。 哈哈，这是不一样吧，所以 f 其实理应就是 cosine x 啊。但是你考试的时候你不能这么正，你不能说，哎，因为这个成立，所以 f x 就是 cosine x。 嗯，不严谨。 如果考试，今天考大题，怎么去正？这其实跟我们第一题是一样的，你看左边是加，右边是乘，然后给一个具体值，这题是不是左边加号，右边乘号，给个具体值，咱第一步是把这个具体值带进去，得到 f f f 的 事，对不对？ 所以今天这题也一样，只不过带的时候可能不像刚才那道题那么好带。刚才直接啊，咣当。哎，咱们把这个 y 设成一了是吧？把 y 取一就就剩 x 本身了。 现在要是直接把 x 一 或者其中一个 x 二设成二分之派啊，它变成二分之派了。哎，那你后面也有一个。这这这变成二分之派，这怎么做呀？ x 减二分之派，再除以二变成二分之， x 减四分之派，没法做了。所以这题的代换是多少有一点 技巧的。我想出现二分之派，但不能让其中任何一个值本身等于二分之派，那我就把，比如说这个正题，哎，如果它等于派，是不是就出现二分之派了？ 所以我令，当然你令前面等于派，其实也能做哈。我令后面等于派，好像更直接一点，令他等于派。把所有的 x c 替换成 x 二，再加派来开换，它是 x 二加派， x 二不动二倍 f x 二加派，再加 x 二，那就是二倍 x 二加派除以二，也就是 x 二加二分派。 呃，其实不管怎么样，后面你成了一个 f 二分之 pi， 你 是零，哎，所以得到它加它等于零，那我把 f x 移过去，它等于负的 f x 二，你看着 x 二难受。我把 x 换成 x， f x 加 pi 等于负的 f x 周期多少啊？中间有符号的周期应该是二 pi。 以上两道非常规的周期表达式，如果大家会了的情况下，那我想考试，人家考多难你应该都会了。那周期性先讲这么多，咱拔高课直接进阶，来个累周期。 就在原本周期的这个形式基础上。我乘一个系数，乘个三，啥意思啊？像这样的式子我们一般都这么分析。我把三除过去， f x 加二等于三分之一 f x， 我 们带几个值来理解一下？比如 x 我 随便带一个，带个一，那木 f 三是三分之一倍的 f 一， 呃，我带上二， f 四就是三分之一的 f 二，等等等，说明什么？说明我自变量大二的话，函数值会变为原来的三分之一。什么叫自变量大二？比如说原来零到二，那图像长这样，随便举个例子啊，自变量大二， 那我零到二就变成了。都加二的话，就变成二到四了呗。自变量一到二，函数值变为原来的三分之一，那我整个图像就沿着 y 轴方向压缩为原来的三分之一倍。 这么解释能懂了不？所以你看后面人家给你这玩意干嘛的？就让你由一段函数的图像推得后续往右平移每一个，每一个越来越小，越来越小，让你推这个的，这么说大家懂了吧？所以我开始画图像，它零到二呢？它是一个开口向下的二次函数，零也太明显了，一个是零，一个是二，这么画 最高点，把一带进来，负一加二是一，那我往右平移完两个单位之后，把它压缩为原来的三分之一，最高点一变成三分之一里，然后接下来再往右平移两个单位，我继续压缩，然后在区间长度为二这个区间里面。比如说 n 能从这个一开始取吧？ n 取于一的话，那就是零到二， n 取二的话是二到四， 这区间就画的这一个。一个区间当中，它说它的最大值为 a n， a n d 开始就是一，然后三分之一，然后九分之一，咱能形成一个等 等比数列。问， a n 的 前 n 相和 s n 是 多少啊？等比出来求和喽。我求前 n 相和。那我直接用公式一减 q， q 是 三分之一分之，首项是一乘以一减 q 的 n 次幂化简完就是最后答案 啊，难度并不算大啊。那么再来一题，继续练练手啊。他说 f x 定义为 r， 这是奇函数啊，这又是偶函数，那这整理是奇函数呢？我把 x 代成负 x， 那 就互为相反数呗。我直接写了啊，它和代换成负 x， 这俩互为相反数呢。它俩相加就等于零，然后这是偶函数，那意味着原来和我把它换成负 x 之后，这俩是相等的。 所以我得到了有关 f x 和 f x 的 两个方程。是太好解了，我把 f x 约掉就行了呗。所以我左边加左边等于右边加右边一左一右 f x， f x 就 约掉了，加一下二倍 f x， 这是二 x 方减 x， 右边零加 x， 截得 f x 方程 x 减 x 方，然后就跟刚才一题差不多，那在零一之间呢？这 g x 是 f x， 这个解式是，那我先把零一之间的图像画一下，开口向下得最高点，在二分之一处取得二分之一带进去。 呃，零点二五，然后好戏开始，那一到正无穷，他有 g x 等于二倍 g x 减一，他啥意思？我也来分析分析。像刚才一样， 带几个值带 x 比一大的值，比如说 g 二， g 二是二倍 g 一， g 三是二倍 g 二， g 四是二倍 g 三，什么意思？当我自变量比原来大一的时候，整个函数值变圆的两倍，所以自变量越大，我整个函数越高，越高越高。很浪漫的一个图形。零点二五啊，零点五一二，这是 四。画个草图，然后人家问我，对于任意的 x 零到 m， 他 总小于等于三和任意问 m 的 最大值啊，你整个函数何时总小于等于三？ 这是三，所以小于等于三的部分。我取的话，从零到 m 开始取，开始取了啊，这，这总在他下边，这也 ok， 但是不能越过这个点， 这就是你要求的这 m 的 最大值。那我这个解析式我还没求呢，我求一下这段函数解析式是多少？初中数学问题啊。经过一二三三点确定抛物线是不是可以做，又或者你根据这套题目，我第一开始的这个形状，他的图像是确定的到这个最大的。这个经过了多少个翻倍啊？二倍， 四倍，八倍，十六倍，就可以先把它变为原来的十六倍，那么高，也就是十六 x 减十六 x 方，但是还没完。你这图像是是是这样的，你还得把它往右平移多少单位？从零 啊到四平移四个单位，左加右减，把 x 取 x 减四，这才是最后答案。哎，但是如果你没想到这个也没关系，你如果能发现它零点四和五，那我直接两点式来做，待定系数是设为 a 倍， x 减四，再减五， 然后使得呢？当 x 取四点五的时候，带进去整个函数值为四，你同样能得到这个 a 的 值。好了，那不细说了，让它呢，等于三，非常好解，解完之后二次方程两个根，你取这俩根当中的小的那个值作为 m 的 最大值。答案是四分之十七选 b。 嗯，这题四项难度也高了啊，三项半吧。我们来看最后一道类周期问题，我们呢要稍微有点变化了。刚才两道题目都是我进行一个平移之后啊，然后呢？整个函数值哎，变为了两倍，或者变为了几分之几？那如果我现在在横向不是平移变化，而是横向也有伸缩变换，给你个这玩意你会不会分析 遇见类周期，呃，非常容易做反啊。所以你就多带几个值来试一下。比如说 x， 呃，你带上一 f 二等于二倍， f 一， 呃，带个三 f 六等于二倍 f 三，呃，你带个一百，呃， f 两百是二倍， f 一 百，说明什么呢？说明你自变量变为原来两倍之后，函数值也跟着 变为原来的两倍。那根据题目，他给我了一到二的解析式，我继续画图，一二三四五六，一到二，你是二减 x 长这样呗，注意左开右闭。那我自变量乘以二之后，函数值也要乘以二。我自变量是二，说明我在横向是拉伸的。你把自变量是一到二的分别都乘以二的话， 一乘以二跑到二来了，二乘以二跑到四，所以一到二下一个区间应该是二到四，函数值变为原来的两倍，由一到二 零呢？还是零这样了，还是倾斜角为一百三十五度的斜率为 k， 一 的平行关系。那后面其实我都会画了，你二到四下一个区间都成二的话，应该是四到八向下倾斜。最后发现呢？呃，二也好，四也好，八也好，二的一次米，二的二次米，二的三次米，二的四次米，二的五次米，二的多少次米？它含用值都零。 a 选项说的没错， 我现在是往右推，那你往左推的话，一到二这个区间你要除以二，就是二分之一到一，放大点小小个，再往左缩小二分之一，四分之一到二分之一，还是小小个无限无限缩小。所以他依然满足什么二分之一的零次密，二分之一的负一次密，二分之一的负二次密，函数值 都是零，然后 b 选项函数的这个值域是零到正无穷。哎，因为我们图像呢，是无限往上延展的，你延展到最后又像那个阿迪达斯似的，是吧？他从最小的零一直到最大的正无穷。哎，没问题啊，我最终形成这些空心点都在 y 点，用 x 这个水平直线上无限往上走， 所以 b 也选上来看 c 它存在， n 是 整数，使得 f 多少，它等于九。我先不管别的，二的 n 次幂是什么东西，是刚才咱看的这些个函数值为零的点呀？这 这些都是啊，二的多少次幂？那这个点呢？上面呢？都是有空心点的，是吧？哎，都有空心点，那空心点本身它的这个纵坐标，刚才说了，这个空心点形成的是 y 点，用 x 这条直线上的点，所以它的这个纵坐标其实就是四。本身 二的时候对应的这个空心点坐标是二，而四的时候对应这个点的总坐标也是四。那你现在研究的是二的 n 次幂加一，就是意味着我这函数值为零的点的下一个值，它的下一个是三四的，下一个是五八的，下一个是九。他问我这些点他的函数值有没有可能是九，我找规律啊，你就看这些个点，我一个一看 这点的纵坐标就它的纵坐标减去一呗。因为咱每一个形成的，你看这个都是等幺直角三角形横坐标加一，我纵坐标就减一，所以相当于说这点纵坐标二的一次幂减一，这点纵坐标二的二次幂减一，这个是二的三次幂再减一，所以对于它来说，它的函数值就是二的 n 次幂 再减一，那二的 n 次幂减一，想等于九的话，有减吗？二的 n 次幂等于十五，减的 n 是 是是，不正是整数，所以 c 不 对， ok， 刚才是我通过图像来给大家分享。当然你其实能直接把函数解析式是不求出来呀，比如啊，我从二的 n 次幂到下一个二的 n 加一次幂，它这个解析式两点确定直线方程这点空心点本身的坐标二的 n 次幂 逗号，二的 n 次幂斜率还是负一，所以直接写这 y 等于负一倍的 x 减去二的 n 加一次幂，也就是二的 n 加一次幂减 x， 所以解析式都有的情况下，哎，那我刚才把这个值啊，哎，带进去，为啥呢？因为二的 n 次幂加一，呃，二的 n 次幂加一，正好一定是在这个区间里面的，是吧？当 n 大 于一的时候，所以解析式都求出来的情况下，那我就把刚才这东西哎带入进来呗。为啥敢带？因为我这个字变量二， n 加一，一定是二的 n 次幂，往右偏移一个单位，在我这区间之内，我就可以带这一带， 那也就是二 n 加减二， n 减一倍，它，那就剩一倍，它 跟刚才通过图像算出来这个值是一样的，对吧？ ok， 这个怎么做都行。那接下来来看最后一个选项，它在区间 a 到 b 上单调递减的冲要条件是存在整数 k， 使得 ab 是 这个部分的一个子集。哎呦，啥叫单调递减呀？我们这个函数有无数个单调递减区间，这是单调递减， 这也是单调递减。哎，这是一段一段一段的，对不对？哎，你不能跨越中间的两段，比如说你取这单调递减吗？你减了减又增上去了，这不行。所以你想单调递减呢？一定是这区间在我其中一个区间 之内。那正好是子集的意思呗。所以它得在呃，这俩数之间取，才能是单调递减区间。我图都画出来了，他问我什么是不？我都会啊。 ok， 那 么以上咱把对称单调周期该讲的都讲完了。

函数单调性，在高考卷里边它属于必考题，那我们说数学公式我会背，我能不能做题？我们来看看今天数学公式的考察哈。这是高一开学的模拟考十七题，已知函数 f s 对 于任意的 x， x 属于 r， 总有这个式子成立，他问你存在 x 属于这个范围，这个不等式，然后怎么办呢？求 a， 题没抄完是吧？最后的话，求 a 的 范围。好，我们来看这个题啊。首先拿到一个题目之后，我一直给大家讲，我们要学会把这个题的拆解，拆解这个题目里边 f s 任意的它，那么这个是什么意思？定义域。 然后的话，这个式子给你之后，我们来看一下整个这道题并没有 f s 解析式，所以我们不能把这里边的三 x 减 a 或者 s 加 a 方往解析式里边去带。那我们把这种不等式称之，为什么？抽象不等式？那我们来看看这个题啊，来看这个一个条件， 这个已知条件在我们的数学公式里边，他长得像谁？大家思考思考这个问题啊，我们在教材里边哪个位置见过他？所以其实我一直给大家讲，高中教材是很重要哈，这个狮子长得像谁呢？我们来看啊， x 一 x 二属于谁？属于 r， 而 x 一 和 x 二一定不取相等，为什么？因为它取相等的话，你这个位置应该有取零才对，是不是？所以它们两个相乘大零和它们两个消除大零是一样的，也就是说在这里边我得到谁 f s 一 减去 f s 二，除上一个，它怎么办？大于零。所以在这里边的话，我们说这个式子长得像谁？这个式子长得像谁？它像不像教材里边最原始的单调性的定义， 是吧？我们说自变调和音变符号取同号为增，异号为减，它俩相处大于零，那么这个时候得到谁？ 我得到 f x 是 一个单调递增的函数，那么它这个单调递增的。我们来看最后我要解的这个不等式，它是个单调递增的，我把它看成 t 一， 我把它看成 t 二，所以在这里边 f t 一 小于等于 f t 二，我们说自变量和因变的符号保持同步，所以这里边相当于谁？ t 一 啊， 小于等于 t 二，那么 t 是 谁？ t 是 三 a 减 x， 所以 在这里边三 a 减 x 要小于等于 x 加上一个 a 方，那我要求的是谁？我要求的是 a， 怎么办？把这个 a 孤立出来哈，它俩一合并相当于是 二 x 要大于等于负的 a 方，然后呢？加上一个三 a， 负的 a 方加上一个三 a， 这个式子怎么办？好，我们来看扣题，题目里边说的是存在， 存在和恒成立的区别是什么？如果在这里边这个不等式要恒成立，那我只需要让他的什么最小值比他大，咱就不要比了。 高三一班的最后一名比高三二班的第一名的成绩还要再高，你说两班的成绩咱还比吗？不比了，哈哈。所以在这边我让他的最小值都比他大，那其他不用比了，这叫恒成立。题目说的是什么？ 存在？存在是什么？能成立？横成立求的是最小值，那么能成立求的就是最大值。我们说它的最大在哪里？ x 取值范围在它 r s， 是 一个单调递增的一次函数，所以它最大，在右端点取，所以这个数字转成谁了？ 二、 a 大 于等于负的 a 方，加上个三 a， 我 们把它移过去，相当于 a 方减 a 幺大于等于零大于号取两端，所以在这里边 a 的 指数化为 a 幺大于一或者 a 幺小于零，那么大一相当于取的是谁？ 一到正无穷，然后的话，小于零相对取的是富，无穷到零简单不？十七题不说简单不简单哈，我一直给大家讲高中的公式，记住了，一定要把这个公式的模型给它看透，我们不能只记一个教材里边这个公式，你看换汤不换药。 然后在这里边的话，调用了一个函数最值的理念哈。好，整个这道题的思路我们就讲解到这里，这种题哈，在高考卷里边一般考察他不会放在解答题。考察，一般我们会放在选择题的十一题，或者选择题的第八题。什么意思？压轴题。

这种指数和对数的形式就分两种情况， a 大 于零小一和 a 大 于一，是因为随着 a 这两个范围的不同，它相应的递增递减情况不一样，所以咱们要这样去分析。首先画第一个图， a 大 于零小一是它是 既然底数比一小了，所以是递减的一个指数形式，然后这边是一个递减的对数形式，对吧？具体的话可能还要平移，但咱们只是结合这个来分析。现在说相应的在 a 范围内， 它要值域为 r， 比如说如果 a 是 在这的话，那咱们左边要的是这个指数，右边要的是这个对数，这个定域是不是为 r 了？就是从最小到最大，所以 y 的 值都能取到，所以在这个焦点左边是可以的。而假如去放到右边呢？ 就是当 a 在 这的时候，那咱们现在要这个函数，现左边要的是指数，现右边要的是对数，这个时候是不是相当于空了一段，那值域就不是二了，所以这个时候不行。那他俩的区别怎么去列等式呢？其实就是根据相应的把这个 x 等于 a 给它带入。 对应到刚刚这种左边的情况，对数形式要比指数形式要大，所以就是把 a 带入。 劳格以 a 为底，这边是二， a 加一，对数要比指数大，所以这是小于号，而这边是 a 的 零次方，这边是劳格 a 二， a 加一， a 的 零次方是一 对吧，它一加它大于它，说明相应的劳格以 a 为底，而 a 的 对数应该是相应的大于零的，而零也就是以 a 为底， 一的对数结合 a 是 大于零，小一的，同增一减，所以相信这个时候是低减，也就是二， a 要小于个 a， 小 于二分之一，所以综上 a 的 范围就出来了，在零到一的范围内，又要小于个二分之一，同时满足，所以 a 就是 大于零，小于二分之一， 这是第一个范围。因为是选择题嘛，所以咱们到这里就已经选出来了，然后你想一下等于的时候行不行呢？假如等于的话，他的图差不多就长这样， 是吧？这边是指数，这边是对数，这一点也是可以取到，等于的也是满足，相应的值为二，就刚好接上，所以相应的等于也可以，咱们最终就能得出相应的 a 选项， 可以吧？然后自己可以试着分析一下，大于一十，大于一十就画两个递增的，你发现除以 r， 然后列不等式，发现解出来应该是没有解的，所以最终咱们得到的就是 a。 总结一下，这一题主要就是要见到这种形式，指数和对数形式要学会去分类讨论。讨论啥呢？讨论底数的一个大小是零到一之间还是大于一， 要分类讨论，这是第一个得到这个分类讨论，然后其次要学会画图，竖形结合去看， 要学会画指数和对数的图，其次的话就值域 r 要满足上，就是要相应的满足，他们所有的外值都能取到，也就说这种对吧？所以外值都能取到，而这种就不可以，中间就会空一段。

大家好，我是本次分享人唐唐唐在上一次我给大家带来了单细胞数据处理的关于降维去批次的内容。我们这边等 harman 去批次运行好了之后，我们就来看一下这边的这个函数， 这里要填的就是我们需要去批次的一个数据，然后就是根据我们这个的样本信息来进行一个去批次，后面这个参数我们就默认填处就可以了。 这里就是看你把你的样本信息储存到了哪一个列名里面，里面，你就填上对应的一个列名就可以了。然后我们来看一下 c c a 这一个相关的一个代码，可以看见 c c a 这边的话也是一个这个 c c a 相关的一个代码，依旧是我们需要去批次的一个数据，然后 是我们 c c a 去批次的一个方法，以及后面就是基于 pc 来进行的一个去批次，以及我们要在这个单细胞数据里面新生成一个数据，我们要命名为 c c a 这个参数就是指我们在分析的时候是否会显示这样的一个进度条， 填 false 的 话就代表不显示进度条，如果你想显示的话，这里就把它改成错误就好了，它就会有一个进度条的一个形式在下面。 然后我们这边来看一下我们单细胞数据这里面的一个 reduction 这个地方，我们这里的话就可以看见这里就有我们 harmony 的 这一个数据了， 那对应的如果我们进行了 c c a 去配置的话，这个地方就会有对应的一个 c c a 这个数据，以及我们的 p c a 数据也是储存到这一个层级里面的，那它就不是储存在我们的 mate data 里面，它是储存在我们的 reducing 这个，嗯，这个层级里面。然后我们也可以通过绘图来看一下 刚刚我们去批次的一个效果是否好，然后我这边就直接运行一下，然后因为我用的 harmony， 所以 我运行这两个函数。然后我们可以看一下， 我们就可以把这个图和之前的图对比一下，之前的图就是它会存在这样的几个一个情况， 就是比如说它的点就并不是很集中，然后我们去除批次之后就可以看见，呃，就没有像刚才这样某个区域只有一个样门点，那就代表这些样门基本都混合在一起了，那么它的一个批次效应就基本上已经去除了。 那么这个去批次的图我们也可以对它进行一个保存，我们这边的话就保存运行这两个代码就可以了。 后面的话我们再对我们的这个矩阵进行一个合并，先前将我们这个矩阵进行分开，它是方便我们这个 c、 c、 h p 次，现在我们将这个表达矩阵里面这六个样本又给它合并成一个就可以了。现在我们就来可以看一下， 它就是合并成了一个只有 data 和 com 的 一个数据，就是在这里面。接下来我们就来看一下我们的一个最适合的组成的个数，就是这样的，我们直接给它运行一下，运行好了之后就会是这样的一张图， 在这个图上我们就可以看见我们的一个 pc 数，这个 pc 数越少的话，它所表留的一些信息就会越多， 但是这么多的一个 pc 数，我们怎么进行一个判断的话，我们就需要大概来看一下它在哪个 pc 数的时候，这个曲线，这个线它就趋近于平稳，那么可以看到大概是在二十这个时候，它的这个线就基本开始平稳了，三十这时候就更平稳了， 然后我们就尽量往小了的这个 pc 数来选择，就可以看到事实呃，或者是之后的都是更加平稳的。但是我们如果选择更加平稳的话，它所保留的一些关相关的信息就没有我们前面的这个二十的更多，所以说我们尽量往小的一个 pc 数选择， 嗯，然后如果你选择十的话，他十到二十这个区域又是比较倾斜的，那么就没有二十往后的平稳，所以说我们选二十，一般我们的 pc 数选择二十到三十之间就差不多了。 大部分的文章的话， pc 数据就是选择二十到三十之间的这个数字，所以说我们后面分析这个这个定这一个 pc 数 就一比三二十对我们的数据进行一个聚类，它是基于这些算法来识别我们这个细胞促这样的一个参数。这里需要填上的就是我们前面所使用的一个去 p 测的方法，我们 之前使用的是 harmony， 所以 说我们那里就需要填上一个 harmony， 如果你使用的是 c c a 的 话，这个地方就填 c c a 就 可以了。然后后面这个 就是填上我们的一个 pc 数，那么我们就运行一下对我们的一个降维序类，运行好了之后，序类的话就已经结束了， 那么这个序类的话就比较好理解，它也就是将我们相似的一些细胞类别句子在一起，也就是说我们后续就会画成这样的一个细胞序类的图，就比如说像这样的一个降维序类的图， 那么他又是根据我们各个细胞的一个基因表达情况，在一个二维的平面当中来展现出来的，并且将我们的一些基因表达特征相似的细胞聚集在一起，就是这些一个细胞处之间的距离， 就是由他们这个基因表达谱相似程度来决定的。就我们的基因表达谱相似的这些细胞他就会聚集在一起， 比如说我们这个 cluster 二，这里面的这一些所有的细胞就说都聚集在了一起，就说明它的一个基因表达谱更加相似一些，并且我们把它标记成了同一种颜色，那么这里就是方便我们后续来重视细胞类型，提供一些分析基础。 如果像这种 cluster 二和 cluster 一 之间，这两个细胞处之间的距离就比较远，就代表它们两个之间的细胞，它们的基因表达谱就有一定的差别，这就是我们进行细胞质内的一个操作。然后我们本次的分享就到这里 感谢大家的聆听，下一次我会继续给大家带来单细胞呃测序相关步骤的一个分享，大家记得来看哦。

今天的视频主要是对昨天在群里面上传的一个画图的啊函数进行一个调整，昨天我们画出来的图是相当于直接显示了一个 就是科学计算法的一个数值， p 等于或者 p 小 于前面这一部分没有显示。我们今天把函数里面修改了一下，让这一部分的东西进行一下显示。 我们看一下代码，代码其实主要的部分没有什么变化，就前面这些部分没有什么变化，还是说读入一些数据，读入一些分组，然后指定你的一个对照组和你的一个实验组。 第二步就是指定你的需要分析什么样的基因，需要的配色是什么样的，然后你的数据库是什么，你的对照组是什么，你的实验组是什么，这些都需要给定。 编辑完之后，我们就把修改后的函数给加载进来，然后展示一下这个图就可以了。我们可以看到和昨天相比，它就显示的一个 p 等于加上一个科学计数法的一个数值。 因为有些杂志审稿人他要求你把这个 p 等于什么什么给他放进去，所以这样的话也不用一个一个去输入了， 这样的图看起来就比较的完善。然后我们来看一下这个修改后的代码到底是个什么样的情况。对一个函数来说， 可以修改的部分就是包括一二三四五六七，就包括这七行。第一个就是分组表达矩阵，你的参考组，你的实验组，你的表头就是你的就这个表头 g c r h c， 你 也可以修改成其他的 color， 就是 颜色这两个颜色是什么样的？然后这里我加了一些代码，就是防止你输入一些错误，比如说你有些说一个基因，比如说 t p 五十六，它可能不在这个大的表达决证里面，它就会报错， 会报出来一些错误。这种很多时候你如果不添加这一行的话，因为这一行他会提示你到底是什么原因导致的报错，你如果不提示的话，他可能会 r y 会报出来一种你也搞不清是什么原因的报错。 这种就相当于你把这个错误的原因给明确了，是不是你输了一个错误的东西，或者输的东西不在这个分组里面。然后就是一个数据的域处理，这个不太重要， 这个和昨天我们代码里面区别就是昨天我们显示的 p 值，显示这个就是显著性差异的，这个数值是直接用 ggpop 的 style cpu 这个 啊函数来画的，今天我们不是今天，我们是相当于用 t 检验，自定义，就先把这个 p 值给算出来，然后这个 p label 会展示在画图里面的这个 illustrator， 使用 illustrator 这个函数给它粘进去。其他的就是一个普通的画个小立型图，然后在小立型图里面画一个柱状图， 然后增加颜色，描边颜色和这个填充的颜色。其他的就设置一下主题以及这些 label 啊一些 样式什么的修改部分，基本上就是显著性标记的生成模式。要注意的就是我们用的这里用的就是 t 检验，不是用质核检验，所以大家如果使用这个代码，在写文章的时候要写清楚了，这个使用的是 t 检验，因为一般 一个基因在肿瘤组和正常组中的表达一般都是遵从体检验的。随后大家就可以使用这个 ggset 对 大家进行一个保存，这里保存大家也不用修改，它保存的最后的命名就是你在这个目录下，我这个目录夹，我这个文件夹的名字是这个，所以就是在这个文件夹下 表现为生成一张什么样的 pdf 图片，就是你这个基因名和杠 n， 杠 vs 杠 t 这个名字，就是这样的一张图片，应该还是挺好看的，那这个视频就说这么多。

好，那么我们欢迎来到这个导数的本质这个第二课哈，好，那么这节课咱们将啊从这个导数的运算以及复合函数求导这一个过程， 一直到咱们这一个切线的问题，咱们进行一个简单的串讲啊，让我们进行一个简单的预习一下哈， 那么这个课程不会过于的细致，嗯，大家可以就是听懂就行，然后大家可以私下的去进行一些题目的练习，这个板块呢，呃，基本上 不会特别的恼火，可以一遍过哈，基本上，那么首先咱们先讲一下这个基本函数，基本出的函数的这个导数公式，那么这个地方呢？咱们呃 推导吗？就是简单做做样子哈，其实他的一些很多东西咱们是不用推的，直接背就行哈，公式呢？我们咱们推不出来，没那个能力去推哈，咱们现在就不要求掌握。那么对于一些简单导数，咱们可以进行一个推导哈，比如咱们第一个推导这个 f x 等于 x 平方的导数， 那么这个东西呢，咱们在上节课已经讲过了哈，就是咱们的这一页啊，这一页哈，咱们这个利益哈，已经讲过了他的这个推导过程， 比如说咱们还是第一步，咱们怎么呢？咱们套这一个定义式，对吧？把定义式套进去之后，咱们就怎样，咱们就直接开始一步一步去化简呗，是吧？化简之后咱们算他是多少？他是二 x， 对 吧？也就是我们这个 x 平方， 它的导数是多少，它是二 x 需要掌握的，那那几个咱们就直接哈背下来就可以了，背哈，连教材它都没有写哈。 嗯，书上也是没有进行一个推导，它那么需要掌握哪些呢？咱们第一个就是咱们这个长函数，长函数它这个导数呢？ c 是 长数，那么它这个导数应该是多少？它导数应该是零。 好，为什么呢？因为在上一节课咱们已经说了这个导数的几何意义，什么呢？就是这一个函数的什么某一点的切线的斜率，那么我们这个长函数 他都是一条平的，这样过去是吧？他的这个切线斜率是不是一直始终是零？所以说我们这个长函数，他的这个导数就是零， 那么下一个 f x 等于 x 的 r 法次方，在这里，我们这一个看 r 法，它是属于这个有理数集，且我们的 r 法它是不等零，那么它这导数是应该是多少？应该是 r 法被的 x， r 法减一次方，咱们这样记的时候就这样，就这样记哈， 咱们把这个 r 法子啊给他提到前面来哈，最后一步，然后再给他减一级，你反正你怎么好记就怎么来记哈，这个肯定是需要熟练掌握的。那么下一个就是咱们这个三角函数，咱们这一个三 x， 它的导数啊， f 一 撇 x 应该等于 cosine x， 那 么对于 f x 等于 cosine x， 它的导数应该等于负的 sine x。 注意这个符号，符号不能掉哈，符号一定不能掉，等于负的 sine x。 好，那么对于 f x 等于哈这一个 a x， 哈，首先咱们这个 a 要大于零，且咱们的这个什么呢？ a 要不等于一， 那么此时咱们可以有一个公式， f x e 啊，它的这个导数呢？应该是啊 a x 倍的烙印啊，烙印 a， 咱们在这个，呃，你们在记笔记，或者说是在这样写的时候呢，就可以啊，边写边记下来就可以哈， 咱们下一个就是咱们的这一个对数哈，咱们这个 log 以 a 为底 x 对 数，那么他的这一个，呃，首先对于这个 a 和 x 肯定是有要求，是吧？但这个 a 要大于零，且咱们这个 a 不 等于 一，并且咱们对于这一个呃， log 以 a 为 d x， 它的这一个对数还有一个要求是什么？就是咱们这个 x 它要大于零。好， x 要大于零，然后它的导数是咱们的这个 x 倍的落引 a 分 之一。好，那么对于有两个特殊的情况哈，比如说咱们这个哈 f x 呢？哈，它等于 e x 哈，那么它的导数应该是多少呢？ f 一 撇 x 就是 e x， 哈，就是 e x， 咱们把这个套进去，套进去，是不是一样的吗？对吧？这个 a x， 这里的 a 是 e 了吗？对吧？ 把 a x 换成了 e x， a 就是 e 了呗，对吧？这样换过来之后，然后你看它的左边是 a x， 对 吧？那我就把这个 e x 抄一遍， 然后右边应该是摞引 a， 这个 a 变成了什么？变成了 e， 也是摞引 e， 摞引 e， 那 不就等于 e 嘛，对吧？那么也就是这个 e x 方，那么下一个 x f x， 它如果是等于咱们这一个 e x， 那 么它的这个导数应该是多少呢？应该是咱们这一个 x 分 之一，这几个是咱们需要熟练掌握并且把它背诵哈，啊，对了哈，咱们这个一次函数哈，注查就是斜率呗，斜率，如果咱们这个 f x， 它如果是成，如果是 k x 加 b， 那 么此时咱们这一个它这个导数呢，就是多少啊？就是咱们这一个 k 好， 这里需要掌握，然后呢咱们还有几个四则混合运程这个法则哈，呃，这个部分呢，咱们 就把这个写到这里来哈，写这里来，那么第一个和差运算好这一部分呢，咱们就也是直接记哈，把它练熟就可以了，咱们这个推导过程呢，说实话可以不用过于的去掌握哈， 当然你要这个推导过程，你可以去教材上啊，请观看哈，它里面有一些这个函数的这些什么呢？构造哈，构造，还有咱们这一个 啊，一些思想的，咱们后面会在这一个啊专题去讲解到，是吧？咱们这里咱们就直接先把这个公式记住就可以了哈，和差运算咱们就直接这样，就直接把它这样分别求导，然后相差减， 那么下一个是乘积运算，乘积运算他就有一点点的复杂了，比如说咱们这一个啊 f x， 他 如果是要乘以这个 g x 的 话，我们求他的这一个导数应该什么呢？应该就是咱们这个先对他进行求导啊， 然后呢右边先不变，第一次不变，然后相加哈，相加，然后第二个部分呢，就是他不变了哈， f x 不 变，然后咱们对 g x 进行这样求到。 第三个是咱们这一个商的运算哈，商的运算，比如说咱们这一个哈 f x， 他 来除以这个 g x， 是吧？我要对他求导应该是啥呢？首先啊，咱们把下面这一个 g x 进行一个平方啊，对 g x 进行平方，然后上面咱们和这个乘法是一样的步骤，指是啥呢啊？先导 后不倒，注意这里会变成什么？这里会变成减号，好，先倒后不倒，然后就减了，先不倒，后倒好，这样的一个公式一定要给它记住哈，四的横和竖的法则就长这样子。 那么这里掌握之后，咱们来看下这个复合函数求导的方法哈，那么一般的哈，比如咱们对于一个复合函数，咱们这一个 y 等于这一个啊， f g x， 它长这样子的话，如果我们要对这个 y 进行求导的话，好，咱们可以先加，咱们可以先把 y 看成一个什么呢？复合函数是吧？ 那么这个 y 它的外层应该是 f u 是 吧？这步没没问题。然后我这个内部这个 u 呢？又可以写成啥？又可以写成咱们这一个 g x 是 吧？ g x， 那么我们先要求这个 y 的 它的这一个啊，关于 x， 它的这个 x 这个导数啊， 它这个导应该是要等于咱们这一个 y， 我 们求这一个 y u 的 导数，然后再乘上这一个 u x 的 导数。好，所以说咱们这一个 y 对 于 x 的 导数呢？它就等于 y 对 于 u 的 导数，于 u 对 x 导数的乘积啊，就是这样的一个式子。那我们知道这样的一个公式之后呢？是吧？咱们怎么来求这一个复合函数的这一个导数呢？ 咱们第一步是不是可以把咱们这个函数看成这样的一个内外层，是吧？咱们先对什么先对外面进行求导，然后再对里面求导，然后再把这个给它 x 呀，给它还原回去，是吧？ 比如说咱们来求一个 y 等于哈 cosine 哈，二 x， 我 们要求它的这一个导函数，咱们怎么去求？首先咱们是不是可以把它拆分一下，我们把它拆成一个外乘，一个内测， 咱们这个外层呢？咱们可以看成 f u 是 吧？对吧？ f u， 我 们把它看成 cosine u， 然后内层还有什么？还有一个 u 等于啥呢？ g x 是 吧？ g x 是 多少呢？应该是多少？这个 u 是不是很明显？它是怎样把这个二 x 给它替换掉了，是吧？那么首先咱们来求一下，这个 f 一 撇 u 应该是多少呢？咱们套公式是吧？ cosine u 应该等于这也，这也什么负的 sine 应该是负的撒引 u， 对 吧？那么里面这个 u 等于二 x， 它进行求导，二 x 它属于一次函数型是吧？一次函数型它就等于它什么斜率啊？我们这个 g x 它导数应该就是二 x， 什么？它的一个斜率就是二， 好，咱们进行一个还原，把这个 u 把这个 u 给它换成二 x， 呃，也就是负的 sign 二 x， 对 吧？然后把这两个导数进行一下，进行相乘，那么最后咱们可以得出它的这一个导函数，也就是二倍的，好， 再乘以一个负的三二 x， 也就是多少，也就是负的二倍三二 x， 好， 那么这里咱们就呃讲到这里，然后下一个咱们这一个重点板块就是咱们这个切线问题，切线问题咱们需要 弄清楚两个部分哈，第一个是在某点，这个部分呢？呃，相对来说比较简单哈，因为他说是在某点哈，咱们只需要呃验证一下这个 在一点，他这一点是否是在曲线上，对吧？咱们来看，他说是在某点处的切线方程，曲线在某点，曲线在某一点，那我很明显这个点应该是什么呢？应该这个曲线的啥呀？ 他的这一个切点，他是在这一点上做的切线，所以他是什么？他是切点，然后你看这个切点呢？会怎么样？这个一斗十二，他刚好是在这一个曲线上， 所以说咱们这一个啊， p 既为切点，又为这个在曲线上的一点。好，那我们这一步确定了 p 是 切点，然后第二步咱们就来算这一个切线的什么呢？斜率，是吧？为什么要算斜率呢？ 咱们知道这个切线它过了某一个点，咱们是不是只需要知道斜率之后，咱们就可以通过什么呢？通过点斜式把它进行一个计算出来， 那么这个切线方程它的斜率，咱们知道这一个导数呢？它的几何异就是某一个函数，它的某一点的这个切线方程的斜率，是吧？那么我们来看它， 我们只需要通过对它求导，是不是咱们把这个一处的这个点带进去，是不是就可以知道它这个斜率是多少，对吧？那我们首先要进行求导呗，那么 y 一 撇应该等于多少呢？ x 三次方， 我们刚刚讲过了， x 的 r 法次方应该是他的导数应该是多少？应该是 r 法倍的 x r 法减一次方，是吧？长这样子，那同样的，我们把这个三怎样给他提前，然后再给他减一次， 也就变成三的 x 平方。这右边是什么？加十一，加十一什么是长数项，是吧？是长函数，它就是这个零， 那么最后我们算它的导数是三 x 平方，那我们只需要带一进去，是吧？把一这个一带进去，但我们可以知道它的斜率是多少？是三乘以一的平方也是等于三，好，对吧？切线的斜率是 k 等于三， 那么此时咱们通过什么点斜式算出切线好？它经过这个一度十二，咱们就 y 减去十二，对吧？然后等于多少？等于三倍的，咱们这个 x 减去一，咱们稍微整理下就变成了 x， 嗯，等于三 x， 是 吧？然后再加上一个九，那么把这个 y 移过来，变成三 x 减 y 加九等于零，这就是咱们的一个 切线方程。那么下面我们来看这个切线问题的第二的一部分是过某点啊，注意这里变成了过某点，那么过某点这个问题就变得比较复杂了，它变成了过某点， 那说明什么呢？就说明这个点他，他不一定是咱们这一个切点，我过了这个点片，他不一定是切点啊，对吧？那我就需要怎样啊？咱们就需要先设切点，注意这里的做题逻辑哈，咱们没有切点，是要先把切点给他设出来 哈，无切点，先设切点，这是第一步哈，设切点，咱们把这个切点设出来， 也就是 x 零，那么我是它的横坐标是 x 零，它的纵坐标应该是多少？应该是 x 零的三次方，再加一个十一， 对吧？这个部分好理解哈，那么第二步哈，第二步咱们还是一样的哈，有了切点之后呢，咱们就要算哈，咱们就要算它的这个切线斜率， 那么斜率就和咱们这个导数有关哈，导数有关。咱们第二步咱们算出它的这个导数呢，是三 x 平方，那么切点又是 x 零，是吧？咱们把这个切点给他带回去，咱们可以算出它的这个什么呢？切线方程的这个斜率，是吧？ 那么带进去之后，也就是三的 x 零的平方，那么这个时候咱们知道了这一个斜率，还知道了这个切点哈，那我们是不是可以通过什么呢？ 点斜式，然后把这个方程写出来哈，那么也就是 y 减去 x 零的三次方，再减去一个十一， 应该要等于咱们这一个三倍的 x 零的平方，是吧？然后 x 减去 x 零，这是咱们这个 直线方程。好，那么我们知道他还过哪个点呢？他还过一斗十二，是吧？那我们就把这个一斗十二给它带进去哈，那么带进去之后，咱们就把它这个方程改写一下，也变成了十二减去 x 零的三次方，再减去一个十一， 要等于咱们这个三倍的 x 零的平方，是吧？然后这是一一减去 x 零， 咱们再稍微整理一下哈，也就变成了二倍的 x 零的三次方，然后再减去一个三倍的 x 零的平方，是吧？再加上一个一，它等于零。好，那么此时咱们有一个目标哈，你看这个就很明显了， 咱们就是要把这个 x 零给它求出来，那么如何去求这个 x 零呢？一元三次方程，咱们是不是在暑假的这个衔接课的时候就讲过呀？对吧？这个三次方程咱们怎么去解？ 咱们是不是可以通过哈，通过咱们的这一个试根法，对吧？试根法，通过试根法来求，那么这个时候咱们来试哪个根呢？咱们试根应该是从咱们这一个啊正负一开始试啊，对吧？或者是零也可以试，对吧？ 再或者是这个正负二分之一正负二哈，差不多就这样子了哈，其他菜再这样，大点或小点，这个，呃，你就可以不用去试了哈，如果你这些都试不出来，那多半这个方程你试根法是解不出来的。 好，那么这一步好，咱们试哪一个呢？那你通过去试，你会发现他二分之一是可以的，那我是不是就可以可把它写成二 x 零加上一，然后再乘以某一坨等于零这样的一个形式，对吧？ 好，那我们就需要通过什么呢？大除法哈，大除法，通过大除法这样的一个方式，把这一个括号里面这一坨给他算出来，那我们除以一个二的 x 零，加一，是吧？ 好，那么如何凑一个 x 零的三次方呢？咱们就这样乘以一个 x 零的平方就可以了，是吧？那么它就变成二倍的 x 零的三次方，然后再减去一个多少？再加上一个，再加一个 x 零的平方，是吧？咱们再给它减去， 减掉之后，这是负三 x 零平方，是吧？减去一个 x 平， x 零的平方已经变成了负的四倍的 x 零的平方，再加一个一，是吧？咱们要凑一个负四和 x 零的平方，那我是不是应该要乘以一个啥？负二 x 零，那么把负二 x 零乘进去， 这一坨就变成了负的四 x 平方，再减啊，再减去一个二倍的 x 零，咱们再一减，好，这里给它消掉了，那么也就变成了多少？变成了二倍的 x 零，加一。 好，那我们就直接加个一，那么这边你就这样求出来了，也就是 x 零的平方，是吧？再减一个二 x 零再加一。好，而此时 你就发现了，你就把这个其实可以把它写成啥呢？我的 x 零的平方减去一个二， x 零加一，他可以写成一个完全平方的这样的一个形式，是吧？他等于零。 所以说咱们这个 x 零还有两个根，一个是，一个是咱们这一个一，或者说是咱们这个 x 零等于负的二分之一， 那么这个第五步，第五步你就这样，你就把这一个当 x 零是负的二分之一时，或者是 x 零等于一的时候，这两种情况分别带进去哈，分别带进去，那么你会求出他的这两个啊，切线方程应该是三 x 零 啊，这个三 x 减 y 加九等于零，三 x 减四， y 加一个四十五等于零。好，这是咱们这一个第二的一个题目。好，这个题稍微好，要麻烦一点点。好，那我们 此时来梳理下这个切线问题的这一个思，呃，思路怎么去做好？首先咱们是不是要确定切点的坐标，是吧？第一个，咱们要怎样确定切点？确定切点，如果说咱们这个切点啊，他不知道哈。弱， 好，当切点不知道的时候，咱们就怎样，咱们就设切点哈，就设切点好，把切点咱们就设为 x 零，是吧？然后就 f x 零这样带进去，是吧？好，咱们有切点，咱们用， 无切点咱们就设。那么第二的一步哈，第二的一步，咱们肯定要怎样进行求导？然后呢，咱们就算算这个 f 一 撇 x 零，它的值就对应咱们是咱们这一个 切线斜率，是吧？算出这个切线斜率 k， 然后第三的一步哈，第三的一步用点斜式哈，用点斜式写直线方程 啊，这一步是比较简单的哈，用点斜式写直线方程。然后第四的一步是什么呢？就是带入定点是吧？ 然后就求这一个 x 零，咱们把这个 x 零求出来，好，把这个切点求出来，好，求这个切点，然后咱们就可以开始写这个直线方程啊，这咱们算这一个直线方程的一个总体思路，那么看到最后一个便是二哈，这个部分咱们怎么去做好？ 也是这个切线问题，他说已知直线 y 等于 k， x 是 曲线， f x 等于 e x 的 切线，那么他问实数 k 的 值是多少哈，这个部分 咱们就可以套用这个总结思路，咱们把这个问题解决掉，好，看一下这个怎么解决。第一步我们知道要讲要先确定切点，是吧？这个题切点咱们知道吗？ 哦，不知道怎么讲，咱们就设切点呗，是吧？设设切点，切点，不知道咱们就设切点，切点是 x 零，然后呢代表这个关系式是吧？也就是 e 的 x 零，这是切点， 那我们再通过求导来算出斜率，是吧？求导算斜率，那么他的这个求导之后呢？ f 一 撇 x 很 明显背的公式吗？ e x， 好 公式，记不住的要往前面翻哦，好，要把这公式给要记住，一定要熟练去运用。 那么这里我们知道他导数是这是这个样子，那我知道他的这个缺点是 x 零 都一的 x 次方，是吧？那我们就把这个 x 零带进去，算出来的这一个斜率，也就是一的 x 零次方，对吧？那他的斜率知道了，切点知道了，咱们可以通过第三步用点结式解方程， 那么也就是 y 减去一的 x 零次方，等于一的 x 零，乘以 x 减去 x 零，那我们通过这一个移项啊整理咱们可以。好，我写这里来。 好，那我们把这个式进行一个整理一下，那么已经变成了 y 等于一的 x 零次方乘以 x， 然后呢？再怎样再加上一个，哈， 对吧？这一步没没有问题。然后咱们再对照一下，好，对照一下，他说直线 y 等于 k， x 是 他的切线，哈，他的切线。那我这两个一比一对照，是不是就可以得出 k 等于一的 x 零次方， 是吧？然后这右边是没有这一个啊，常数值是吧？所以咱们这个一 x 零 乘以这个一减去 x 零，它应该等于多少？它等于零，是吧？那我们可以推出这一个 x 零，它等于一，然后这一个是吧？一 x 零应该等于多少？应该等于一，是吧？也是 k 等于一， 所以咱们这个实数 k 又等于一，这个题就搞定了。那么课后作业咱们这个答案呢，会发在评论区。那么这一个，呃，导数的本质，这一节课咱们就到此结束了哈。 那么后面咱们要进行一些比较难的学习啊，希望大家可以继续把这个寒假即将开学这一段时间利用。好，那么感谢收看咱们下个视频，再见。拜拜。

初中讲函数的时候，我们用的是这个符号， y 等于 x 平方，但是到了高中和大学之后，我们就改成了下面这个符号啊， f， x 等于 x 平方，那为什么会有这样一个改动呢？以及这两个符号哪个更好？我们今天来说一下。 首先先说一下这两个符号的区别哈，当然在本质上是没有区别的，但是呢，不同的符号体现了人们对函数这个概念不同阶段的认识。 首先上面这个符号，它是将函数理解成一种变化关系， x 是 自变量， y 是 因变量 y 随着 x 变化而变化。所以说我们把 y 等于 x 平方，用这个符号来表示 这个呢，其实是对函数早期的一种理解。后来啊，人们对函数有了更深的理解，就不再把它理解成是一种变化关系，而是一种对应法则，也就是说有两个集合，前面这个集合的元素，这种对应法则就成为一个函数， 用更形象的语言表示，就是输入一个 x， 然后给它输出一个 x 的 平方，就相当于把它理解成是一部机器， 这部机器作用在 x 上的结果就是 x 的 平方。所以啊，我们用 f 这个符号，因为 f 它是来源于英文单词 function， function 就是 作用的意思。那这个呢，是对函数更本质的一种理解，所以现在我们用的都是 f， x 这种符号。 下面来说一下这种符号的好处啊。第一个就是它可以用来表示复合函数，什么叫复合函数呢？就是给你两个函数，比如 x 平方，再给你一个函数，它呢是 sin x， 那我们就可以把两个函数复合在一起啊，也就是一个套一个，那它的结果就相当于是 sin x 外边整体来上一个平方。那如果用更专业的符号表示，就是 f， 一个空心的小圈，一个小 g 哈，这个表示的就是两个函数的复合。所以啊，用这种格式来表达复合函数是比较方便的。 框道理。我们还可以研究类似这种结构的式子，比如 f x 加二，这个也是一个复合函数，它表示的就相当于 f x 的 图像向左平移两个单位，用 f 这个符号体现这种关系是非常方便的。 第二个好处啊，也是非常重要的好处，就是可以体现自变量。到底是谁？什么意思呢？比如，如果我只写 y 等于 x 平方，那很容易 x 是 一个自变量， y 是 因变量。但如果给你写这样一个式子，它是 x 平方加上 t 的 平方， 那这里边有两个字母，一个是 x， 一个是 t， 那 这两个谁是自变量呢？这就有问题了啊，如果用这个符号表示是分不清楚的，但是啊，如果我写成这个样子， f x 等于 x 平方加上 t 的 平方，那我就知道了， x 是 自变量。当然了， 如果 t 是 自变量的话，那我就可以写成 f t 等于 x 平方加上 t 的 平方，这样的话，自变量是谁就可以区分的非常清楚。 当然了，还有可能 x 和 t 都是自变量。于是啊，我们又诞生了二元函数这个概念，也就是 f x t 等于 x 平方加上 t 的 平方，这里面就有两个自变量哈，所以管它叫做二元函数。 这就为什么在高等数学里边求导，我们用的是这个符号来表示哈，他就可以很清楚的告诉你到底是关于哪一个自变量进行求导。当然了，有两个自变量，那同样还可以有三个自变量，乃至 n 个自变量，所以说我们可以给他推广到多元函数， 甚至啊，不光自变量有好多个，因变量也可以有好多个，这个就引出了向量函数这个概念。所谓向量函数指的是 r n 空间到 r m 空间的一个函数哈，也就是说它自变量有 n 个，因变量有 m 个。当然你也可以理解成由 n 为向量到 m 为向量的一个映射， 也就是说它的自变量一共有 n 个分量，它的因变量呢，一共有 m 个分量， 而这 m 的 分量，每一个分量都是一个 n 元函数，我们分别用 f 一， f 二一直到 f m 来表示，形成的这样一个类似于矩阵的样子，它其实就是所谓的向量函数哈， 那大家可以看出来，对于向量函数而言啊，用 f 这个符号表示也是非常的方便的，这就是现在数学里边，为什么我们越来越多的使用 f 这种符号它的原因。

hello， 大家好，我们从今天开始开始来看第五章三角函数啦。好，我们接下来看五点一，任意角和弧度值，从这一张开始，从这一节开始， 我们对于角的定义就有多了一个新的，我们之前都是多少多少度，多少多少度，从今天开始学完弧度值，我们就会学到多少多少弧，多少多少弧啦， 我们还是一点一点来看。我们先来看角啊，角我们从很早之前就接触到过，就是看把角看做一个射线，然后绕绕着某一个端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的这个图形，这就是有这一条射线，我绕着点 o， 然后嘟嘟嘟嘟转了这么多，然后转所转的这个角度就是我们所说我们所之前所知道的角。 然后呢，我们逆时针转，就是叫做正角，我们正经常日常用的这个角就是正角，如果是顺时针转，从这往这转，我们把它叫做负角。然后菱角呢，就是没有任何旋转，就不叫做菱角。角的运算其实也非常简单，相加， 两个角相加，那我就相加，如果两个角相减，那我就等于加上它的负角，这是我们前面的角的一些基本概念。然后我们来看 象限角，什么叫做象限角？就是在一个平面直角坐标系中，我们是不是分为一二三四四个象限，那我们的角中边落到了第几象限，那么他就是第几象限角，那如果这个中边落到了坐标轴上，那这个角就不属于任何一个象限。就比如说我这个角， 我等这，我是这个角度，那我就是第二向前角，那如果我这个角绕了一圈又到这了，等于说三百，比如说三百九十度，那他落中间是不是落到第一象限那，那他就是第一象限角，那其实有的话，他可能，比如说他有会缺， 比如说 t 会这样说啊啊，第二象限角肯定比第一象限角大，这种这种说法是肯定是错误的，因为他只是说中边落到哪个象限角大，这种这种说法是肯定是错误的，因为他只是说中边落到一个象限角是三百六十度吗？ 然后我们可以来看一下象限角的一些常用表示，如果正常啊，我们看这个是怎么表示的？正常，我们第一象限角，我只只不不转圈，就是从零度到九十度，对吧？ 这个角从零度到九十度，那如果我这个角转了三百六十度之后至三百六十度，对吧？到这 那三百六十一度，他是不是还在第一象限那？所以说每转三百六十度又转回来了那，那我这个角其实就是零度 加上三百六十度乘以一个 k， 然后到九十度加上三百六十度乘以个 k， 这个 k 就是 一个整数啊，我可以转一圈，转两圈，转三圈都一样的，其实这就是我中边落，无限的中边落，只要只要是中边相同，我不在乎你转了多少圈。 这是第一象限角，第二、第三、第四也是一样的。第二象限角本来是九十到一百八，然后加上三百六乘以 k。 第三象限角，比如本来是一百八到二百七，加上三百六十乘以 k， 然后最后一个第四象限角就是二百七到三百六，或用负角也是一样的，都一样。 然后我们来可以来看道题啊，如果我的 r 法是第一线角，那我二分之 r 法是第一线角，那我就可以这样写，那我 如果我的 r 法是第一线角，那我的 r 法取值是不是零，加上三百六十度乘以一个 k， 然后到九十度加上三百六十度乘以个 k， 那 二分之 r 法呢？那我都除以二，这边就是一百八十度乘以个 k， 这边就是四十五度，加上一百八十度 乘以一个 k， 那 看他可能在第几项线。如果 k 等于零，那就是零到四十五度。第一项线 k 等于一，就是一百八十度，到 四十五度加一百八十度，那就是二百二十五度，那就是第二第三项线，所以大家就是第一项线或者第三项线，就这样就是这样子算的啊。 然后紧接着我们来看轴线角，其实我们刚刚看完现象向向线角，我们再来看轴线角就非常简单了，就是我们的中边落到我这个轴线上，落到这个 轴落到这，这这一共是四个，对不对？然后是四四边，一二三四，那我可以看一下啊，我们落到我们一个一个看，我们落到 x 轴负半轴， 非负半轴，也就是这边这半边我们最开始是不是零，然后转一圈三百六十度又转到，然后再转一圈七百二十度又到了，所以说每次能落到这就是零加 k 乘以三百六十度， 然后 y 的 负半负非负半轴，第一第一下是不是？哎？九十度到到这了，然后每转一三百六十度，又碰到了，每到三百六，所以九十加三百六，所以我来看这种东西的时候，我就会先找第一个，找我第一个碰到的角是多少度， 后面我们会讲到中边相同的角，也是用这个方法啊。第一个碰到角是九十度，然后我再来看我每转多少能碰到一次，每转三百六碰到一次，所以就是 k 乘三百六，那我们那我们就一下，就就一下看到，那如果落到了 x 轴上呢？ 来看落到 x 轴啊，落 x 轴是这一条线，对吧？然后第一个第我不用转，第一个就是零度到，每转哎，一百八碰到一次，所以就是 k 乘一百八十度，就是这意思啊，然后所以 k 一定要属于一个 z， 然后这就是到了我们说中边相同的角的集合了，中边相同的角的集合，也就是对于所有的，比如说 所有的中边都落到这一条线，这个角是阿尔法，那我第一个角是不是先是转到转了阿尔法，然后我就开始转，我每转三百六十度碰到了一次，每转三百六十度碰到一次，所以一直与这个中边相同，就是阿尔法加上 k 乘三百六。那我们可以来看一道例题啊， 看这道第一题，中边与直线 y 等于 x 重合的角， y 等于 x， 是 不是这样画的？ 那中边与它相同的。我们先来找第一个角，我转多少度？我是找到了第一个角，这个角是多少？四十五度，哎，对，我转了四十五度碰到它了，那就是四十五度， 我开始加上，我看我转多少度，我碰到这个线，噔噔噔噔，哎，这是多少度？这是不是一百八碰到了，又落到这条线上了？转到一百八又落了，转一百八又落到了，所以这个时候我就不是转三百六了，我转的是一百八，所以这个就是一百八十度乘以的 k， 所以 答案就是选 a， 选项 k 属于 z， 这就是我们找中边相同的角的时候，就是可以这样找啊。然后我们看完前面的之后，我们就来看这个，这节课的重点就得去掉个弧度值，我们的弧度值呢，就是和角度值的一个互化， 我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度角，我们记作一 r a、 d， 然后或者叫做一弧度平正正常，就是日常我们写的话，这个 r、 a、 d 是 省略的，我们就直接写一， 然后我们可以看一下弧度值和角度值的一个互化啊，就是我们默，我们就是认定一百八十度等于派弧派，弧度一百八十就是，所以说我们正常写就一百八十度等于派，我们都以这个为这个为基底来互化的，其实很简单，它除以它除以二九十度是不等于二分之派，那我们 那我们就可以得到我每一个每一弧度，其实我就等于一百八十度，除以一个 pi 就 等于多少多少度，那换，换句话说，但是我每一度就等于 pi 比除以一百八十弧，那比如，比如说啊，我现在那我们的角度 化为弧度，其实就是什么？就是乘以一百八十度分之派，就比如说我的角度是三十度，那我乘以一百八十度分之派，就等于六分之派，那，那我的弧我写到这了啊，我的弧度想化为角度， 那就是乘以乘以派分之一百八十，比如说我的弧度是六分之派，那我想换成角度，那我就乘以派分之一百八十，就等于三十度， 就是这样互化的啊。然后我们来看一个题，这个是需要你不断的去练习，然后把这些角度非常熟悉的印到脑子里，比如说看我当时针阔拨慢，拨快十分钟，分针转过的弧度是多少，我们可以来看，这是个表， 我们只看这么多啊，然后这个角度如果拨快十分钟，我的分针是不是从十二到了，到了二，这是多少度？先来看这是多少度，然后我们再来画回弧度啊，还有这走了两个格，这一圈是三百六十度，一共分成了十二个格，所以我们可以得到一格是三十度，走了两个格，两个格就是 六十度。好，我这我这一共是两个格，我走了六十度，我要画成弧度，那就是六十度，乘以一个一百八十分之派，那就等于 三分之派。哎，到了三分之派，有的同学可能就说，那我选 a， 那 我想一下，那我看那，我看到一个答案，好像有个负三分之派，什么意思？我的这样拨快正常是不是顺时针？顺时针我们之前说过它是什么角？对，是负角，所以我的答案就是选 b， 我 的弧度是负三分之派， 然后这是一个常用的角度和弧度的一个互换，不需要你背啊，你只需要多做题之后，你就很清楚的能得到三十度角所对的弧度是多少，一百二十度角所对的弧度值是多少。 然后最后我们来看到一个弧长的公式和面积公式，对于一个扇形来说，这是一个扇形，然后这个扇形的 对这个扇形来说，这个扇形的半径是 r， 它这个角是阿尔法弧度值啊，这一定要是弧度值，然后这个角所对应的弧长是 l， 那 对于它来说，这个 l 就 等于 角，弧度至的弧度至乘以半径，就它，它是等于它乘它的，然后它面积呢？就等于二分之一的 l 乘以 r。 我 其实你记这个就可以大概的把它当成一个三角形，二分之一的底乘高嘛，对吧？二分之一的 l 乘以 r， 然后我们可以利用这个公式来做一道题目啊，半径为二，中心角为三十度的弧长为多少弧长？我可以得到 l 等于 r 法乘以 r 算有半径了。我刚刚说过这个 r 法一定是什么？一定是弧度值，所以我要先把三十度换成弧度值，三十度换成弧度的乘以一百八十度分之派，所以等于六分之派，所以我这里就是六分之派。再乘以个 r， 所以 等于三分之派， 所以就是等于三分之派。厘米。好，我们今天这节课就讲到这里，我们下次再见。

来，今天给大家分享一个欠套函数啊，那这个函数是整个高考里面非常有意思的点，也是一个难点来看， 首先它强调是单调函数，满足这个式子。好，我估计很多同学一看到这个就贵了，好吧，怎么来处理？来看这哈，我们这个地方可以令整个括号里面等一个小写的 t， 好， 那么此时把二的 x 移到左侧， f x 等于它。 此时要注意了，因为刚才我们念这个是等于 t 相当于是 f t 等于三，一定记住了， f t 是 等于三， 那么 t 带到哪去？带到这里面去，那相当于就是二的 t 值方加 t 等于三。好吧，那这个地方来此处，因为这个它其实是一个单调的，因为这是个指数函数，单调啊，这个也是单调，好吧，这是个单调，单调的时候你会发现一个细节， 你把 t 等于一带进去的时候，你会发现刚好成立啊，也就是当 t 等于几？ t 等一的时候，它只有唯一的一个结， 只有唯一的一个结，那此时 t 就 等于一， t 等于一带到。这个是指 f x。 解析式出来了啊，那 f 三答案就出来了，这个题非常有意思，同学们一定要去细品细品，好吧。

呀，来了，上课吧。来，我们看一下这道题啊。 已知定义在 r 上的 g 函数啊， f x 满足这个，那说明什么啊？这函数关于谁啊？你看，呃，一加 x 加上一减 x 是 不是得二啊？是定值吧，不管 x 等于几，它都得二。说明这个函数的对称轴是谁啊？ x 等于一啊，函数图像关于 x 等于一定要竖的，竖着的直线对称啊。 已知当 x 除以零到一的时候， f x 等于这个啊，则这个方程恰好有六个 解呗。嗯，不相等的。问咱们实数 m 的 取值范围啊。首先呢，咱们可以把 a 求出来。呃，为什么呢？因为对于奇函数来说啊，只要。 哎呀我的妈呀，啥呀，对于奇函数来说啊，只要 f 零在定义域里 就是零， x 等于零这个点。在定义域里 f 零一定得一定得零嘛，为什么 f x 加上 f 负 x 等于零，这是奇函数对吧？所以啊，你把 x 的 零带进去，这不二倍 f 零的零吗？ f 零就得零。 当然了，不是所有奇函数都有 f 零的零啊，因为像 y 等于 x 分 之一，这个函数它就是奇函数，但它 x 得零，不在定义域里，所以它不经过原点啊，咱们可以直接带了，因为这在零到一里就成立嘛。 f 零得谁啊？等于一减 a 等于 零说，所以怎么 a 得一嘛，那 f x 得谁啊？ f x 就 等于谁二的 x 次方减一，当 x 属于零到一的时候，这是咱们求来的，对吧？ 啊，同样的奇函数，说明他图像是不是关于圆点对中心对称啊，说明这个函数呢，既有周期性啊。不是，呸，既有奇偶性又有对称性啊。奇偶性呢，分为奇函数和偶函数，对称性呢？分为中心对称啊和 轴对称，那当这两种性质出现在同一个函数身上的时候呢，他们俩会相互作用，从而产生周期性啊，这就是皆有性加对称性 就可以产生周期性啊。但是不能反推啊，不是所有的周期函数都是既有既有性又有对称性的啊。不一定， 你像他们俩是怎么呃相互产生作用的呢？咱们就拿这个函数来举个例子啊，我给你画一下你就知道了。哎呦，可以 在零到一的时候长这样子啊，这个函数图像长这样子，过一到一这个点差不多这样吧。嗯，然后呢？还关于 x 等于一对称， 还关于 x 等于 e 对 称，那对称的话右边长啥样？就长这样呗。嗯，它长这样，那我再经过原点这个对称中心给它对称一下呢？ 长这样对吧？他对称过来的。长这样，长这样子，那我这个新出现的部分呢？我又可以拿对称轴去做，你知道吧，拿这个轴去对称一下，他就 变成这样了啊，那我这部分呢，我还可以通过原点的中心对称呢，给他变到这来。哎，你就发现这么一直一直变下去，这个函数就可以无限的延伸了。所以这就是我说的对称性加呃，借偶性产生的这个周期性啊。 当然了，这个对阵中心和对阵轴之间隔的距离是相邻的。对阵中心对阵轴之间隔的距离是多少？四分之一个周期嘛，所以它一个周期，你看图像也看出来了，这是一个完整的重复单位吧，所以它一个周期是四啊。呃， 咱们跳过了一步是这个函数，为什么关于 x 等于一对称啊？这个如果你会看公式的话，当然可以了。呃，公式怎么写？ f a 加 x 等于 f b 减 x， 对 吧？特点是什么？ a 加 x 加上 b 减 x 的 零，就是不管 x 得几，括号里的两项相加都是常数，那这个函数关于谁 x 等于谁？二分之 a 加 b， 就是 这个常数 等于 a 加 b 啊，的二分之一对称啊，就就是这个意思，为什么呢？我给你主观的感受一下啊，咱们也不用什么 证明什么的啊。呃，你想就拿这个道题数啊， f 一 加 x 等于 f 一 加 x。 好 的，我画一个轴啊，这个轴是 x 等于一， 我现在呢，给 x 随便赋值。我第一个啊，我让 x 的 零，那我 x 的 零用什么呢？是不是 f 一 等于 f 一 啊？ 哎，这有点废话啊，就是咱们就当这个这个这个 f 一 在这个轴上啊， f 一， 好吧。嗯，但我这个函数值都随便画的啊，都无所谓的。接下来呢，我让这个 x 的 一，那我这有什么？是不是 f 二等于 f 零啊？ f 二和 f 零，我把 f 零放在这吧， f 二呢？那就零在这了， 下一个啊，我让 x 等于二，那我这有谁啊？是不是 f 三等于 f 负一啊？ 同样随便啊，就这样吧，你看我取了，我现在给 x 负了三个值，你可以看到我给这三个点大致的描线， 大致的描一下啊，那图像是不是左边长这样子，右边长这样子，你就发现其实它已经是有点对称那个趋势了，对吧？特点是什么呢？就是你给 x 随便负一个值呢？你都能一定能在这个轴的另一侧找到一个点。 这两个点有什么特点呢？首先它俩的高度一致，其次它俩到 x 等于这条竖着的直线的距离都相等。那它俩可不就关于这条直线对称吗？你给 x 负无数个值就能找到无数对这样的点，所以你这个是 就这个等式是一定可以推出这这个这个这个对称轴这个性质啊。 ok， 现在咱们这个，哎呀，不擦了，就这样吧。啊，这个轴对称和这个周期性啊，都差不多了，咱们可以做题， 你发现这个函数啊，对这个这个等式有 六个不相等零点，就这两个函数图像有有六个不相等的焦点呗，就是不重合的焦点就完事了呗。嗯，然后呢，你发现正好这个函数它也是一个关于 x 等于一条直线对称的啊。当 m 大 于零的时候长啥样？长这样子。当 m 小 于零呢，就长这样子 啊，就是这样子啊。呃，我我我，换个好看一点的图形啊。 没有， 我是想把它画成那种。呃，这样和这样就稍微带点弯的啊，你不能画成这样子和这样子啊，你说这不都是递增吗？它俩有区别啊，这个叫快增， 就是这个叫快走啊，这个呢叫慢走。你像这种函数图像的话，典型的是 low x 这种的话就是各种指数函数，他他都长这样子，一 x 方，对吧啊，尤其在这种看需要看焦点的时候，他的形状你尽量一定要画准确一点啊，而且二 x 方他其实也没有 没有多难画吗？他已经是个快走啊，是长这样子的啊。 ok， 咱们先左边先画到这来啊，右边，右边，右边。哎呦， 差不多啊，像这样。然后呢，这条线是 y， x 等于一，嗯， x 等于一。 那咱们很显然吧，要讨论 m 的 正负性，因为 m 是 正是负，会影响这个图像的形状嘛。啊，然后你看啊，这两个函数 有六个交点，那是不是对称手左边三个啊，就右边三个，左边三个就好了。这是一定的吧，你右边三个一定能确保左边有三个，那你先去画呗，你画呗，咱们只要让单面有三个就可以了，是吧？嗯， 而且那个 m 倍的那个，那个绝对值，那个还过一六零这个点，所以咱们就从这个点出发啊，你看，我这么画，他不就有三个交点吗？ 我这么画他就，呃，我我，我这么画，他就这一个焦点，对不对？当然他不可能没有焦点了，因为他无论如何都都被这里盖住了。我现在讨论是 m 大 于零的情况啊， m 大 于零，嗯， 所以你就要明白一个事，临界点在哪啊？在这，在这个尖，这里，我所有的线呢，都要比他还低，都要比这个标准线低啊。那问题来了啊， 我有没有可能比三个焦点多啊？因为他不是正好咱们就需要三个焦点吗？在右边，可能的啊，可能的，你看我这样子，他就比三个焦点多了，所以咱们说明在 下面，就是咱们直线可以往下走，但也不能太过往下。临界点在哪呢？在这，在这个尖啊， 咱们符合条件的直线呢，就被这两条线给夹住了，所以 m 的 取值范围呢，也进而就转化成了 这两个直线的斜率，咱们只要把这两个直线的斜率取出来之后，呃，只要求出来，那那 m 的 范围就就夹在这两个斜率之间，当然是开区间啊，不能是 b 区间，因为这两条直线不能取的。这条直线呢，和原来的同样只有两个交点，这条直线有四个交点都不行啊， 那咱们就算呗，对于这个直线来说，这个斜率好算，这里是多少啊？一一 一一，因为这个点是一都一对吧。哎，所有的间纵轴边都是一，那横横着的呢，你看啊，这里是多少啊？你发现这就是其实就是一个完整的周期吗？这不就一个最小的重复单元吗？四，这里是四， 说明对于这条直线来说， k 一 的谁的四分之一啊？那对于 k 二呢？还是这里是一，那这里是多少？你发现这是两个周期吗？啊，所以横着的是多少？八， 所以 k 二的是 k 二的八分之一好吧，所以当 m 大 于零的时候，它的范围就是八分之一到四分之一的开去减。好，咱们现在讨论 m 小 于零啊， 我只画了右边啊，因为我刚说了吗，这是对称的，这左左边，你右边有三个焦点的话，左边一定有三个焦点，因为这个图像和和和这个绝对值的，这个图像全都是关于 x 等于对称的，我是屏幕不画不下了。 对于 m 小 于零的话，你发现三个焦点只有这一种情况，就是过这一个尖， 就是这样子的啊，所以你的 m 就是 一个定值，那你回看选项的话，是定值的，也只有四号第一个选项，所以这题就选四号第，当然你要想求的话也可以求。对于这个啊，直线来说，你看这里还是一，这里多长啊？ 首先这里是四，然后再加半个周期，二六负六分之一完活。哎呦我的妈呀。