2026年广东数学一模第六题怎么做

刚考完的广东一模数学卷大家都做了吗？这套卷子我整体刷下来，最大的感受是稳中有新，好题密集。比如第六题的九宫格向量，第八题的指数型曲线最值。中档题考察思维，比如第十题的背页思概率， 第十一题的例题几何动态问题，压轴题更是有亮点。第十八题的双曲线内切圆，证明第十九题的地推组合模型都非常有新意。今天只挑六道最值得反复刷的好题，咱们一起看看它们好在哪里？坑在哪？怎么破？第六题 九宫格向量几何直观加代数计算，这道题好在哪里？他把向量点击放在九宫格的节点上，考察的是什么时候向量点击最大。这个几何问题， 本质上点击 a b a c cos theta。 要最大就需要两个向量同向且长度最长。坑在哪儿？很多同学一上来就每举十六个点选三个，组合数太大，根本每举不完，怎么破？ 想清楚，点击最大等于两个向量同向且最长。在九宫格里，最长的向量是梯对角线不对，这是平面图形，最长的是从一角到对角， 长度三勾二。但这样的两个向量要同向，只能是同一个方向，所以最大点击等于三勾二乘以三，勾二乘以一，等于十八。选 d。 刷题建议，这道题告诉我们，要想清楚再算，几何之观往往比暴力计算更有效。第八题 指数型曲线最值换元加基本不等式，这道题好在哪里？曲线方程 x y 三 x y 等于八十一， 这种形式在模考里不常见，他考察的是同构思。想看到 x y 重复出现，就要想到换原坑在哪儿，如果直接想解出 y 等于 f， x， 那 就掉坑里了，怎么破？令 t 等于 x， y 则方程变成 t。 三 t 等于八十一，观察的 t 等于三十成立，且左边是 t 的 增函数， 所以 t 等于三为一解。于是 y 等于 x， 三点到原点距离 d 等于 x 加 y 等于 x 加 x。 三换原 u 等于 x 大 于等于零的二次函数。求最小值，最后最小值勾二分之二十二，选 d。 刷题建议，这种换元加观察特解的思路在导数压轴题里也常见，值得掌握。第十一题，例题，几何动态问题，唯一性判定。这道题好在哪里？给了一个求， a、 b 是 直径。已知 a、 o、 k 和 c、 d。 问，添加什么条件能让四面体 a、 b、 c、 d 体积为一？ 这题考的是空间想象和逻辑推理，四个选项都需要分析坑在哪，体积由底面积和高决定。 已知两个角相当于固定了 c、 d 的 相对位置，但整个图形可以绕 a、 b 旋转，所以体积可能不唯一，怎么破？分析每个选项 a、 i 的 长，固定了 d 的 位置，体积为一。 b、 b、 c、 d 旋转时 b、 c、 d 会变，但己定值可能对应两个位置。 c、 c、 d 与平面 a、 b、 c 所成角也类似。第二面角 c、 a、 b、 d 恰好固定了旋转角度，所以选 a、 b、 c。 刷题建议。这类条件唯一性问题，高考常考，需要多练习空间想象。第十四题， 椭圆切线加垂足三角形面积，这道题好在哪里？过焦点做椭圆切线的垂线垂足分别为 h、 h， 当 o、 o 实求 o、 h 面积。这题把椭圆性质、切线方程、垂直条件、面积计算全揉在一起了， 坑在哪儿？计算量不小，需要设切线方程，求垂足坐标，用垂直条件列方程怎么破？椭圆 x 四加 y 等于一设切线 y 等于 k， x 加 m 代入判别式 delta 等于零的平米等于四 k 加一 焦点 f 勾三零， f 勾三零做垂线，求垂足坐标。由 o o 的 斜率积等于负一化简的 k 等于二分之一，最后算面积，发现是定值。二、刷题建议，这道题计算量大，但每一步都是常规操作，适合练计算能力。第十八题， 双曲线内切圆几何证明 a p q 等于二 f p q。 第三问的几何证明非常巧妙，用到了内切圆性质，双曲线定义对称性。坑在哪儿？如果没有发现 p 与 m n 切于 f， 后面就卡住了，怎么破？关键一步， 由双曲线定义和内切圆性质推出 m f m f 等于二，结合切线长相等得到点， f 就是 切点。然后设 p 坐标，由 p f 等于 p f 加四角的 p， 横坐标等于二分之一 在做对称，发现 a d q 共圆，且 f 等于 d， p q 等于 q p f， 所以 a p q 等于二 f p q。 刷题建议，这种几何证明题思路比计算更重要，建议多练几遍，体会每一步的几何意义。第十九题，地推组合模型新定义压轴，这道题好在哪里？ 题目背景是男女组队加认识关系。第一问，简单概率。第二问， i 求 a m， 并证明地推式 e i 求以社区满足条件的概率。这道题把组合技术地推关系概率计算全考了，而且地推式的证明有两种方法都很精彩。 坑在哪？第二问， i 的 递推式证明，如果直接代数运算，容易算错。方法二的分类讨论更直观。考虑特定女生 x 和男生 y 分 四种情况讨论。最后相加的 a m 等于 a m， 加二 n m a m 一 怎么破？第二问， e i。 先建立 b m 的 递推式，发现和 a m 完全相同，且出使值相等，所以 a m 等于 b m， 最后概率等于 b m c c a 等于 c c。 刷题建议，这种地推介模的思想是高中数学的最高境界之一， 如果你能独立做出来，说明你的组合数学已经很强了。刷题建议，九十分以下的同学重点刷第六八题，感受思维第十四题，练计算 第十八题，前两问，第十九题，第一问，九十到一百二十分的同学重点刷第十一题，空间想象第十四题，计算过关第十八题，第三问，体会几何证明第十九题，第二问，爱掌握地推建模。一百二十分以上的同学全卷通刷，重点研究第十八 提第三问的几何证明思路。第十九题，第二问， e i。 的 概率推导，看看能否自己独立完成。觉得视频有用的话，点赞、收藏、转发给需要的同学！下期想看哪个城市的模考，评论区告诉我。

hello， 大家好啊，这里是自闭娃，好久不见。然后今天给大家讲一下我们刚考完的广东英模，呃，我应该不会全奖，因为全奖我首先没那个实力， 其次我觉得应该也比较花时间吧，然后第一题的话我觉得比较基础，对吧？大家都会。第二题也是比较基础的，大家都会。第三题的话有些人说用二级结论，我觉得不需要 啊，没有那个必要，大家在考场上遇到这种情况还二不二级结论对吧？你去哪学这么多二级结论直接给他展开，然后耐心去算，不要慌啊，没问题的。然后第四个的话也是挺简单的，过第五个的话 我给大家讲一下。呃算了呃算了，我给大家讲一下思路，就是 因为他给的这个新数据看起来你好像很乱说哎，那是不是所有的东西啊，什么平均数呀，方差呀，啥啥都不一样的对不对？但是我们要知道方差是怎么算的，方差就是每一个去减掉你的平均数 对不对的平方加起来除以 n。 所以， 呃， 你只要记住这样，那你就知道你一定要去算这个新数据的平均数，但其实这个新数据的平均数你自己去算的时候真的会发现其实是挺好算的。那么算出来新数据的平均数之后呢？你再去算这个方法相信我一定会让你啊有一些 收获的，你会算出来的，你是算的出来的。好吧，所以第五题我们也不讲，第六题我觉得也简单，第七题说实话我在考场上没做出来， 然后我蒙了一个，我也蒙错了，所以我觉得这道题对我来说我是需要去复盘的一个题的，首先我们要找出这个平面啊， a p q， 那 么这个 a p q 呢？这样画其实很不明显，对不对？所以我们就肯定要找到所谓的平行线，然后把这个面补齐，那你看 a 到这个 q 是 不是 走了一个边长，再走了半个边长，所以 p 到另外一个点也是这样，先走一个边长，再往上走半个边长，所以应该是在这个地方。然后你看， 那这个焦点呢？我们设它为 g 吧， g 一定是四分之一的那个平分点，对吧？这个大家肯定是懂的吧？然后那我们再反向延长，这也是四分之一，对不对？我们一连 ok， 我 们就得到这样一个图形， 其实到这里还好，那问题在于你遇到这样一个很不规则的图形，你要如何去算它的体积呢？他说让我们求较小的，我们当然知道较小的是下面的这个部分的体积， 可是遇到这样一个不规则的图形，要我们要怎么去算呢？如果我们说，呃，你把这个补一下，对吧？他这里不是四分之一，是二分之一，那这个一连我们还能再算一算，对吧？还能再挣扎一下，可是，哎，他不是这样的，你看 它的整体哦，是这个样子的，它是这个部分，对吧？那这样的啊， 这样一个形状呢，至少对于我来说，我个人能力是比较弱的，然后我也是刚才尝试去算了一下，把它去割补啊，拆分啊，我也没有那个很好的基础，我也没有那个素养，我本人比较弱，没有算出来啊，所以我是去学习了一下， 大家需要观察一下哦大家需要观察一下哦，你看如果我们在这里做这个平面之后，你会发现， 其实，哎，这个平面是不是把我们刚画画出来的这个心的这一整个长方体给分成了两部分，那你看，哎，这边的高度和这个的高度是一样的，这个的高度呢？ 对不对？又和这个高度一样？我想说的是，其实它分成的这两部分的体积是一样的，是两个完全一样的啊，叫做一个立体的一个图形， 一个立方体，所以这两个完全一样的那种物体，你知道吗？所以其实我们就只需要把这个长方体的体积给算出来，再除以二就好了，那么它的边长是四，那么这一段就是三， 下面就是面积就四四十六十六乘三，再除以二，那就是三八二四。答案选到好，第八题的话，我觉得他其实不难， 甚至比二五年的高考还要简要，我觉得比二五年的高考要简单一些，就是一个同共，看你能不能看得出来，对不对？这个是 t， t 乘三的 t 次方等于八十一，如果你看得出来能同构成三乘三的三次方， 那就搞定了，那你就会发现 t 就 得等于三，所以它就变成了一个函数了，那我们就搞定了之后，你自己再去算，非常简单。第九题的话，其实我觉得是那种比较简单的函数周期问题，我我不喜欢讲这种东西， 我下一个。好， ok， 这边的话，第四题其实非常简单，我觉得他这道题出的算是比较。如果你单说难度的话，难度就是我觉得是那种。我之前在做那本 啊，叫做教材全解的时候，我就会遇到很多这样的题，然后我觉得那个难度应该就是教材全解里面算简单的那种练手的题吧？对啊，就他给的问题完全都不难啊，是你自己可以一点一点去算出来的，对吧？你你完全可以去算的。 第十一题的话我只选了 ab， 我 选对了 ab， 但是 c， 我 当时在想的时候我我不知道它是对是错，所以我 我嗯也没能给大家讲。好吧，第十二题其实是比较简单的授业基础题了，第十三题是一道也是非常简单的那种一个圆的问题了。好吧，我们讲第十四题， 我觉得十四题值得我自己来复盘，也值得我给大家去讲一下，我觉得是一道非常呃，对我来说吧，我是值得去学习的一道，呃，圆锥曲线的一道题有很多我值得去反思的地方。 我们来读一下题。首先他把椭圆的方程给了我们，然后啊这个垂线，他说有一条垂线啊，是就是他的切线嘛，这个椭圆的一个切线， 然后这里是垂直的，这里是垂直的，他就说当 o h 一 和 o h 二垂直的时候，让你求这个 三角形 o h e h 二的面积。那么好，那我们我那个时候怎么想呢？我那个时候是想说，因为我知道大家应该也都知道这个二级结论就是切线的方程就是那个切点半带入，哦，写错了， 对吧？那这个应该大家都知道，然后那个时候在想的是我是不是应该从这个切线入手， 然后发现不太好入手，嗯，至少我那个时候不知道怎么做，然后我就想，呃，难道要要要设什么东西出来，然后把这个长度，这个长度一求怎样怎样怎样的吗？反正我那个时候做到题我挺没思路的， 具体的思路我也忘了，反正我就记得我那个时候遇到这种题啊，我没有太好的方法可以去算，我是打算跳过的，然后我到最后怎么做，我就拿了我考场上的那个笔，我把这个长度一量，我把这个长度一量， 发现我去了这两段长度将差不多长，我猜他们应该就一样长吧，所以我当这个是二，这个是二， 然后就算了一下，哎，我就答案是二，我就写进去了，哎，对，我这样真的对，但是我觉得呢，这是考场上的一种解题方法对不对？我们考完之后付款的时候还是要认真的来学一下怎么做的，所以我们就把这个梯形给它拎出来。 好，这个是 h 二，这个是 f 二， 为什么要研究这个题型呢？因为这个题型才是这道题真正关键的地方。那个椭圆啊，他其实给到的是一个方程的一个作用，我觉得 你去研究那个椭圆的图形没有太大意义，在这道题里面， ok， 然后这个是 o 点，好，我接下来就给大家讲一下怎么做。首先我们设 h 一 h 二的中点为 m， 对 吧？我们连接 o m， 然后这个是垂直，那么这就是一个圆的直径了，那圆的直径的话，是不是这条边等于这条边，对不对？好， 然后呢？还有吗？还有你看 m 是 终点，这个 o 也是终点，那么这是一条中位线，中位线平行于上下的啊，两条边，对吧？然后呢， 这个时候你分啊，这个时候我们去看 h h 二 f 二是不是跟这个边是垂直的？ h 一 f 一 是不是跟我们这个边也是垂直的，因为它平行，所以这个也是垂直的， 于是它既是垂线又是中线，所以它是一条中垂线，中垂线意味着这条边等于这条边，这条边等于这条边很重要哦，接下来我们很多阶段都需要通过这个东西来挣哦，好，大家看好了， 我们设这个角为西塔吧，你看啊，西塔和 h 二 o f 二是什么关系呢？它们两个是相等，因为西塔加上这个角等于九十度，然后 o 啊 h 二 o f 二加上这个角也是九十度，所以这两个角是相等的，这个角也是西塔。你再看哦，再看哦，你看这个角在这个角是不是九十度， 然后这个角加这个角是不是也是九十度，所以这个角和这个角他们两个也是相等的哦，我们就让他是阿法吧， 那我们刚才又正出来这条边呢，这条边根据我们初中的知识就知道了，对不对？两角一边呢？那就这两个三角形是全等的对不对？ 选择的话，那么我会得到什么？让你看这条边是不是等于这条边很关键呢？关键在哪里？因为这条边的长度我们知道是多少是根号三，所以这个的长度也是根号三。 那么因为这个这个点它非常的特殊，非常的好算，它又正好在这个切线上，所以我们将它带入 等于一，因为 x 等于零， y 等于根号三，解的 y 零等于多少？等于三分之根号三。 nice， 我 们搞定了一个数， 那么 y 零得出来的，我会得，我们还能再带入到这个椭圆方程里面再解出来，我这就不带大家一起算了，等于三分之二倍根号六，大家可以去算一下。我也算了，我，我自己有算的， 然后我们算出来这个点之后，啊，我们算出来这个啊，对，这个切点之后有什么用呢？ 这个是 t。 好， 我们把 t 给算出来的，三分之二倍根号六，然后三分之根号三，然后我们思路不要乱，思路不要乱，大家要想一下我们要算的是什么？我们要算的是这个 这条边的长度对不对？我们但凡知道不就可以算了吗？对不对？ ok， 那 接下来怎么算呢？呃，接下来 我们先把这个切线给它。呃，弄回去。 x 零是多少呢？三分之二倍根号六， x 乘以四，加上三分之根号三倍的 y 等于一， 然后，呃，上下都乘以十二，妈妈妈妈 这边也是一样的处理，然后三 y 减十二等于零。 ok， 这是我们那个切线的方程，对吧？我应该没有算错吧。 然后呢？嗯， f 一 到切线的距离我们就可以算，我们就可以算了哈。 f 一 到切线的距离就是 f 一 s 一 了， 就把它带进去，它 y 等于零啊，等于根号三，那就是六倍根号二减十二。 然后，嗯，我靠，我会不会算错啊？我看一下。 不会不会，不会，没有算错，没有算错，我们继续算。嗯，但是我们就把这里 写成，嗯，我想想就是就是就是写成 s 零的平方加上十六倍 y 零的平方。嗯， ok， 那 我先不这样写，先不这样写，我们先把 s 零 y 零给他，那个啥 给它去掉，先不展开，这样方便计算，方便计算。嗯，大概是吧， 等于一两边都乘四， x 零 x 加上四倍的 y 零， y 等于四，然后，呃，再算一遍，根号下 x 零的平方加上 十六倍 y 零的平方，然后把这个 f 的 坐标带进去， y 是 等于零， x 等于 s 零乘以根号三 减四给我看吗？对吧？然后 f 二，一样的道理哦，应该是负的，负的根号三，那这个减四就 ok 了，就变成加四，把这个符号提出来嘛，反正绝对值 f 二等于三呢，等于 x 零的平方加十六倍 y 零的平方上面是啊，根号三倍的 x 零减四， 绝对值。那么 x 零等于多少？ x 零等于三分之二倍，根号六，对吧？乘以根号三呢，就是三分之来算快算二等于二倍根号二，二倍根号二减四不够减啊，对不对？ 所以绝对值完之后就应该是四减根号三倍的 x 零， 十六倍 y 零的平方， ok， 那 么算这两个东西有什么用呢？大家看哦大家看哦大家看哦。我们把这个中点也不是重点，反正这里是啊。 我们刚才这个 o m 的 长度不就可以算了吗？等于他们两个相加除以二，他们两个相加的话， 正好这个这个和这个消掉，剩个八八除以二就是四倍的 s 零的平方加上十六倍 y 零的平方，开根号，对不对？ 呃，我们下面这个东西算一下吧， s 零的平方九，呃， 九六四约一下三，三分之八， y 零的平方三分之一，对吧？ 十六三分之八加三分之十六的三分之二，十四等于 八，那就等于四除以二倍根号二就等于根号二， 所以这一段的长度等于高二。那我们刚才又知道这个边的这个边，然后这个角又直角，那这不是一个等腰直角三角形吗？那我们再熟悉不过了，这个等于高二，这个也等于高二，这一段等于二。卧槽，真的跟我想的一样，那就二乘二，再除以二就等于二， ok， nice， 我 们又搞定了一道所谓的一模一样题目题， ok， 我 们一起学习。 我来看一下这个十五题。这个十五题还是挺简单的啊，我觉得不太需要讲吧。不好意思，感冒了。不好意思， 我证明的思路就是说这样，然后先正这是就是我会先正这个边，平行这个边， 然后平行，之后因为右相等，所以这个四边形是一个平行四边形，平行四边形，这个边跟这个边又平行，那这条边跟这条平行，那这条边跟他就平行，因为两条边都平行了，对不对？那就是一个， 嗯，四点公面。 ok， 然后这个的话就是直接去算就好。然后第一问 a 的 值，我算的时候我是几行就算完了，但是我看了一下那个标准答案，还讨论的挺复杂的，我觉得我等一下应该去学习一下，去复盘一下这个标准答案的 写法吧，然后第二问的话也是一个比较简单的，到时候去求导就好了。好，我们来讲一下第十七题。第十七题我考场上 啊，只做了第一问，而且我到最后答案竟然算错了，然后第二问的话，我，我觉得大家可以跟我一起学习一下，挺值得来复盘的。 ok， 首先 abc 乘等差数列，所以 a 加 c 等于二 b， 又因为 a 加 c 加 b 等于 pi， 所以 b 等于六十度，等于三分之 pi， 这个算出来之后呢？我们能干嘛呢？ m 等于 sine a 加上口算 a 乘减 b， 我 们知道就是根号三口算 c， 根号三加上三 a， 啊，不是三 c， 对 吧？那我们就辅助角公式，上下都乘二分之一， 对不对？然后那这就是二分之刚好三，二分之刚好三，不就是 b 的 正弦吗？二分之一是 b 的 余弦，对不对？所以 m 就 等于 sine a 加 b， 上面是 a 加 b， a 加 b 就 等于 sine c， 然后下面就是 sin a。 那 么大家我跟大家说，这里有个细节，就是说你一定要先说明啊， a 等于 pi 减 b 减 c， 好， 你一定要这样说，然后就你才能说 sin 什么？ a 加 a 加 b 等于 sin c， 你 才能这样说，对，你才能这样说，不然他可能会扣你分吧。严格一点的话， 好，等一下，这里画画太快了，其实只要画一边就好了，画一边就好了，比如说上面啊，下面画成三 a 了，上面就不用再画成三 c 了。 二分之一，然后三 a 加上二分之根号三口算 a， 那 我们上下都除以那个上下都除以三 a 就是 二分之一，加上二分之根号三倍的 tangent a 分 之一，然后下面除以三 a 没了，对吧？等于这个等于这个，那么 tangent a 分 之一啊，我们给它写出来 二倍的添减 a 分 之根号三， ok， 然后我们就求一下 a 的 范围， a 的 范围是啥呢？首先 a 是 要大于零的，其次它可以等于 b 等差速递嘛，那个差可以是零嘛，对不对？那 b 是 多少？ b 是 三分之派，所以添减 a 的 范围就是 属于零到根号三，那么分母越大，这这个东西就越小，那根号三，根号三，二分之一加二分之一等于一，我那个时候不知道为什么我算错了，我算成了二，我也不知道哪一步算错了， 哎，反正现在想起来，真的觉得我自己也服了，对不对？我自己也服了， ok， 我 们来讲一下第二问， 第二问的话等比速列，那么 首先我们就知道 b 方等于 a c， b 等于根号下 a c， 那 么这里用了这个不等式，其实大家应该小学都会，我也会，但是我就是考场上就没想起来要用这个 三角形。任何一边都小于两边之和，但是又大于两边之差，对不对？哇，我那时候没想到，我真是太傻了，所以我一定要来复盘一下这道题。那么两边都平方，我们三边都平方， a c 小 于 a 方加 c 方 加二 a， c 大 于 a 方加 c 方减二 a c， 然后我们三边都除以 a c， 就 会得到 a 分 之 c 加上 c 分 之 a 减二要小于一，然后这个啊， a 分 之 c 分 之 a 加上 a 分 之 c 加二大于一，然后我们不是要求 m 的 范围吗？ m 的 范围我们 刚才是不是算出来等于三 c 除以三 a 了，对不对？那正弦定角就是 a 分 之 c 嘛？所以我们其实是要求 a 分 之 c 的 范围，那我们就 m 加上 m 分 之一加二大于一，加一要大于零，那么因为我们知道这个数因为边长肯定是正的吗？对不对？所以那肯定是个正数啊，没毛病啊，正数加正数加一大于零，没问题，这个东西不用算， 主要是这个啊， m 加 n 分 之一，减三要小于零，所以 m 方加上啊，减三， n 加一要小于零二。 ok， 我 们来回直接用那个的它 b 方减去四 a c 九减四等于五 加减负 b 三二，因为小于零，我们就取中间那 m 就 小于二分之三加根号五， 大于二分之三减根号五。还完了吗？还没有，还有细节，因为是等比数列，但是我想你能做到这一步，你应该都知道 a 要小于小于等于 b， 对 吧？那个比可以是一吗？所以 a 要小于等于根号 a c， 那 么根号 a 啊，那么根号下 c 除以 a 要大于一， 所以这个东西是要大于一的， m 是 要大于等于一的，这个可以去等号，可以去等号，所以 m， 因为这个东西是小于一的吗？所以 m 的 范围应该是大于等于一小于二分之三加根号五。 ok， 我 们又搞定一道题， 我带大家复盘到十七题了，然后十八题的话我做了前两小问，第三问的话我没思路，考场上没思路，我也就没做了，我等一下带大家一起复盘一下。

广州异模异错题，你中招了吗？新鲜出炉的广州异模，不少同学都做错这题，来看看你会不会求极指点？当然是求导令导数等于零解的 x 有 五个解，但是你以为做完了吗？ 事实上，我们还需要求二接导，只有一接导为零，且二接导不为零才是极指点。最后答案是四个，怎么样，你学会了吗？欢迎评论区分享哦！

在风中的我想你，念你，让我对你爱得痴心塌 地，伤透的心终需别离，凝望你的身影，怎么 梦在雨中的我想你， 恨恨你，靠我，莫伤心痛痴 悲欢神情才能讲过自己不再想起。

新鲜出炉的广东一模保姆级讲解来了，我将携手思源学长一起共同创作。 hello， 大家好，我是思源学长。由于时间过长，我们分两期发布，先点赞后关注，掌握知识，快人一步。 好，我们首先来过一下前几道送分题，首先我们来看一下第一道啊，他说已知集合 a 里面有两个元素，二和 a， b 集合呢， 有负二和 b 两个元素，然后他说 a 集合， b 集合是相等的，那它俩相等的话，说明它俩所含的元素是相等的，那么 a 就 等于负二， b 呢就等于二， 所以 a 加 b 就 等于零，这道题就选择二 b 选项。好，我们来看到第二题，那第二题的话，他是让我们求什么呢？求的是 x 的 平方的一个系数， x 平方向的一个系数。好，这很明显就是我们之前讲过的什么二项式定律。 那么二项式定里它含有 x 的 平方向，因为这里是加嘛，所以前一项和第二项，我们只要分别求出它的一个二项和后面这一项的二项就可以了，把它们再加起来就行。好，那有二项式定的那个公式，我们 打开式给它写一下，就是它含有二项的就是 c 四二的一的二次再乘以一个 x 负的平方项。好，它呢，算出来的话，前面的系数就是四乘以三除以二等于六。那么我们同样的，在 第二项里面，它的一个平方向的二次项系数是多少呢？就是 c 五二乘以一的平方乘以一个负 x 的 平方向。好，那我们就知道 c 五二的话就等于一个十，所以含 x 平方向的系数就是十，加上六等于十六，我们这个题呢，就选 好，接着我们来看一下第三题啊，第三题呢，他是考的负数，他说 z 等于这一大串，然后让我们求 z 的 膜，那么首先肯定是要把 z 它给化简出来的，对吧？那我们看啊， z 的 话，它等于什么呢？我们就每一项相乘就可以了哈。第一个是 cosine 七十五度乘 cosine 十五度加 i 乘 散七十五，扣散十五度，再加上 i 乘散十五度，扣散七十五度，再加上 i 方乘散七十五度散十五度，对吧？这是它的展开式，那么首先看谁和谁相关呢？第一个是不是扣乘扣和散乘散它们是相关的， 因为我们知道 a 方它是等于负一的，所以说呢，我们的式子数就变成扣扣减散散了，那扣扣减散散的话，我们就可以给它化简成扣散七十五度加十五度的一个形式，对不对？那后面我们看啊， 后面的话，这一串是不是 i 乘上这些散扣加扣散，所以说呢，是 i 乘上散七十五度 加十五度，那我们来化解一下，第一个它是等于 cos 九十度， cos 九十度呢是一个零，那后面的 cos 九十度呢？是不是一个一，所以说呢，就相当于它是等于 a 的， 那么 z 的 模就是选择 a 选项。 好，我们看到第四题，那正三角形的顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，那么这个抛物线呢，是 y 的 平方，等于根号三 x。 好， 我们就可以大致的把这个图像画一下，这个就是那个抛物线，然后正三角形的话大概就转个这样，那么因为我们知道它是正三角形， 所以我们应该是可以去简单的几何分析一下，我们就可以知道呢？我假设我设这个长度是 x， 那 这里的话应该就是根号三 x， 所以我们就可以知道，又因为这个点啊，它是在这个那个抛物线上嘛，所以我们就可以知道了。当我把根号三 x 带到这个 x 中去，或者说我们把这里设成 a， 如果不太好看的话，那么这里就是根号三 a， 或说我把这个根号三 a 等于 x 代到 y 的 平方，等于根号三 x 的 图像上去，我们就会得到一个关于 a 的 方程，最后代入的话，我们求得 a 就 等于三，所以最后这个 a 啊，它就是边长的一半，所以我们的边长呢，最后就选择 d 就是 六。 接着我们看一下第五题哈，他说第一句，已知数据 s 一 s 二的平均数为一，那平均数为一的话，我们能列出来什么式子呢？是不是 x 一 加 s， 二加 s 三 除以三等于一，所以它们相加就是等于三的。然后第二句，方差为二，方差为二的话，又能列出来什么数据呢？是不是 x 一 减去平均数，减去一的平方 啊？后面也是一样的，所有的数字减去平均数的平方，我们加在一起除以三是等于二的， 所以说他们相加就是等于二三得六的，这是前两个信息，我们得到的两个方程。然后我们看他问的是什么，问的是这一串数据的方差，这一串数据的方差的话，我们怎么列呢？ 我们看啊，我们要求这组数据的方差，那我们首先要求这组数据的平均数对不对？那他平均数怎么求呢？是不是把所有的数加在一起，我们把所有的数加在一起之后，除以六就是他的平 均数了，因为有六个数嘛，然后我们看我们是不是有三个 x 一， 三个 s 二和三个 s 三相加，并且减了一个三，是分子嘛？除以六的话， 我们看 s 一 加 s， 二加 s 三不是等于三吗？这是我们第一个方程，我们把三带进去，然后再减三除以六，九减三等于六，六除以六是不还是一，所以说这六个数的平均数就是一，然后我们再求方差， 方差的话呢，我们列这个式子啊， s 一 减一的平方，前面三个都是不变的，对不对？前面三个列完之后，我们看后面的是不是也是二四一减一，它减去平均数的平方数，就像二 s 一 减二的平方，对吧？ 好，我们把分子求出来了之后，除以六是不就是方差了？那我们看啊，前三个 我们是不是给了信息，前三个平方相加是不是等于六啊？那后三个平方相加等于什么呢？他的话是不是就相当于乘四倍了？就是四倍的左边这一条，他是可以化简的，对不对？ 所以说呢，就相当于是四乘六除以六，那最后就是等于五的，所以这道题呢，选择的是 b 选项。 好，我们现在来看到第六题呢，这个题其实还是比较有意思的，因为我们先看一下题目吧，右图边长 为三的九宫格，实际上到这呢，其实我们就可以啊，用一个什么像那个坐标的思路吗？但是这里会有个问题，就是十六个节点最后要求的是 a b 乘 a c， 我 们并不知道 a b 的 一个长度，也不知道它那个点在哪里，只知道它们是不 同的点，所以这个东西呢，它如果说我们按照求法的话，我们就会知道它实际上是 a b 的 模长向量的向量积， a b 的 模长乘以 a c 的 模长，再乘以它们的夹角，可算 c 塔好，它要求最大。在这里的话，实际上是会有三个变量，因为 因为我们并不知道每一项的具体的是多少，所以这就是这个题目有意思的点，你不能够去想三个变量怎么去统一，这个时候呢，因为它限制的只限制在一个一个的格点上，所以这里的话，你要不就是直接看出来，要不就是穷举一下， 但是呢，这里也非常容易找得到，就是我们要逆 a b 啊， a c 和 c theta， cosine theta 的 话是 c theta 角度越小， cosine theta 越大嘛，在这个图里面，所以我们就是刚好找到的是一个这样的项链和这个项链，这两个项链呢，它们的长度在 这个图里面是最长的，假设这里就是 a， 这里是 b， 这里是 c， 在 这个状态下， a b 和 a c 的 周长是最长，然后夹角 c theta 最小， cosine theta 呢就最大。这个时候呢，我们就可以去代入一个坐标，然后用坐标预算的话，可能就会快，因为如果你还要去想它那个 cosine theta 什么的话，可 就比较慢。如果说我们以 a 为坐标原点的话，我们就知道 ab 向量的坐标， a 是 坐标原点， ab 向量的坐标就等于一个什么呢？三二 a c 向量的坐标是多少呢？三三，他们俩的最大值就是三乘三加二乘三就是九加六选我们的 c 十五，所以这个题的答案就是 c。 那我们来看一下第七题，第七题他的考点就是立体几何的一个结面问题，我们看如图，这个正方体的棱长为四，并且 p 是 正方形的一个中心点， p 在 这里点 q 呢，是滴滴撇的一个中点，然后我们看过点 a、 p、 q 这三个点的一个中点，然后呢左边这个 一点，我们的洁面是什么样的呢？我们首先看我把 b、 b 撇平均分了一个四等分点，我把 c、 c 撇呢，也是这样分的哈，然后它的洁面就什么样的，我连接一下 这个粉色的面，就是它的洁面。然后我们看它是把正方体分成上下两个部分，并且它要求的是较小的那一部分的体积。那我们看这个不规则的 立体图形，我们如何求它体积呢？肯定是要转化成我们会求的这些立体几何嘛，对吧？那我们看一下怎么转化，我首先设这个点为 m， 这个点为 n， 然后我连接一下 m n， 那 我们看啊，我用绿色笔画出两个 平面，我们看这两个平面和这三条高所形成的图形是一个什么图形呢？是 是一个三棱柱啊，我们看因为下面这个部分肯定是较小的那一部分嘛。然后我把这个较小的部分呢给分成了一个三棱柱，绿色的两个面，就是它的上底面和下底面。那我们继续，我们看下面这一部分也是一个什么呢？ 也是一个三棱柱，这个蓝色的面和后面这个蓝色的面，就是这个三棱柱的上底面和下底面，所以我们把这道题就转化成为两个三棱柱体积 之合，那我们首先求第一个绿色底面的三棱柱的体积，这个绿色底面三棱柱的体积，我们首先求底面积，这个大家应该没什么问题吧？ 二分之一底乘高，然后我们再乘三棱柱的高就可以了。乘个四，然后再加上蓝色底面的这个三棱柱的体积，二分之一 底乘高，依旧乘一个高四，然后我们化解一下，十六加八就等于二十四了，所以说第七题他选择的是四 d 选项。 好，我们来看到第八题这个题呢，其实说难吧，其实也不难，就是他给的这个式子啊，给的这个曲线方程啊，可能大家一看到了就觉得非常的困难，但实际上我们稍微去拆解一下还是比较简单的。然后整张试卷我感觉单选做下来的话，包括到压轴啊，这张试卷单选的一个难度还是比较低的， 可能后面的一些大体难度会高一点。好，那我们来看到第八题吧，所以这个第八题他说曲线 c 为一个这样的曲线方程，那么在 c 上 离圆点最近的点的距离就是距离的最小值为多少。那么这个题啊重点就在怎么去处理这个曲线方程，如果你这么去看的话，实际上是很难看出来这个曲线长什么样的，但是这里会有个问题，就是我们三的指数次 和三前面的这个乘的系数，它都是一个东西，这个时候我们会想到怎么办呢？就是 t 画完圆之后，换成 t 的 话，就是 t 乘以一个三 t 啊，等于八十一， 哎，那这个是个什么东西啊？这个东西啊，就是一个关于 t 的 方程嘛，就从关于 x、 y 的 方程转化成了一个关于 t 的 方程，那么这个 t 实际上这个方程有几个解呢？或者说我们用图像去思考的话，它是只有一个解的，我们可以把它看成是一个三的 t 次 等于一个八十一除以 t 嘛，当然这个 t 过不过零点就再说了，如果你去理解成这样的话，它就是我们理解的两 函数的一个焦点，解就变成两个焦点了，一个是三的 t 次和一个八十一除以 t 嘛，他只会有一个焦点在这边，这边呢是没有焦点的，所以整个方程呢，是只有一个解的，那这个解怎么去解呢？这就是这个题比较难的一个地方了，就是你需要去把这个解猜出来，但是如果 感觉上来说数感比较好的话，你就可以知道它就是一个整数解，并且 t 是 等于三的三，乘以一个三的三次方，那就是三的四次方嘛，就是八十一。我们得到 t 等于三之后呢， 这个曲线方程就被我们化简了，它就化简成了一个什么 x 的 平方减 y 等于一个三，也就是我们的 y 等于一个 x 平方减三。 好，到后面这个曲线方程呢，就是我们的一个抛物线，那么我们去找这个抛物线上的到原点的一个距离呢，就非常好找了，你只需要去设这个点曲线上的点为 a， a 的 平方减三，然后我们去套那个点到点 距离公式就可以了。我们点到点的距离公式，他是到原点吗？那么就会是我就写到下面来了啊，就是 a 的 减去一个零的平方，加上到原点的距离的平方吗？最后那个根号我就不开了，就先算平方，最后再开个根号就行了。 a 减零的平方，加上一个 a 的 平 方，减三，再减去一个零的平方吧。好，就等于 a 的 平方加上一个 a 的 四次方，加上一个九，减去一个六倍 a 的 平方。这样的话，其实我们可以把 a 平方看成是一个 t 啊，或者其他什么的，实际上还是一个二次函数的一个求最值问题最后我们求出来它的最小值，这个函数的最小值的话就是四分之十一，最后开个根号根号了之后就变成了一个二分之根号十一。 所以这个题的答案我们就选 a。 由于后面时间有限，关注我，我们下期继续。

我萨贝尼用两种方法解二零二六届广东一模的压轴填空题。方法一，我直接设切线凹方程，连力凹于椭圆方程，根据相切得到判别式等于零， 进门得到仪式 f 一 h 一 垂直凹，由此写出 f 一 h 一 方程，并求出 f 一 h 一 与凹焦点 a 七坐标同理，求出 a 叉坐标。翻译 o h 一 垂直 o h 二可以求出 m 的 平方， 带入这一式可继续求出 k 的 平方。接下来求出底和高，进而求出面积。方法二，需要用到一个结论，椭圆焦点在椭圆切线处的射影横在以椭圆长轴为直径的圆上， 由此很容易得到 o h 等于 o h 二等于二，进而推出面积为二。可以看出，就本题来看，直接使用二级结论确实更为简易，但不使用二级结论同样也能解决此题。

这题不难，但有坑，我相信很多人第一次做的时候都会掉进去，对吧？这特别是大部分中档生， 或者在有的好生里面出新的。所以细心法一直很重要，在我们高考中，基础题我们一定要细心，不能丢分。我们来看一下他坑在何处。你可以先停下来做一下， 则函数 f x 等于 c， x 减， x 被扩散， x 在 区间，负三派到三派上的极值点个数为。 首先我们来看，看到一个函数没说了要要先分析它的三性，很明显，这是 g 函数，这也是 g 函数， g 加 g 为 g， g 函数在零处连续的话，那么零不可能成为极值点，所以我们只要 g， 这就是一个常见的啊，不常见了，你不知道，只是啊，这个是一个结论，因为我们在在连续的话。好，我们来常规思路求一下。导 f e p x 等于剩余导，函数是 cos， x 减去前导后不导，再减去前不导后导，负负得正 塞盈 x， 对 吧？我看一下，前倒后不倒减去对的，没问题，然后再最终画出来是 x 被塞盈 x， 所以 有的人令 f 一 撇， x 等于零就推出，在这个范围内，它就推出 x 一 等于负二 pi x 二等于负派， x 三等于零， x 四等于派 x 五等于二派。嗯，好简单，好简单，所以咱就选 闭胆走人，对吧？走，你看多简单你就掉进去坑了，你已经掉坑了。这就是很多同学我说了，一开始你不知道这个结论，后面我们有的人会掉，但是我们优生就不会，因为优生他会总结， 总结，他会这样想，因为我们讲极值点和零点个数，他不等价，对吧？所以咱就相当于导函数为零，不一定能成为极值点。我们讲极值点也是变号 的，导函数零点，导函数零点才可以变号的导函数零点说明就看单独分析一下。其他就是当 x 大 于零，当 x 小 于零时，编号则直接由 y 等于三 x 决定，所以 x 一 x 二， x 四 x 五则没问题，对吧？但是当 x 在零的附近的时候，当 x 在 零的附近的时候，我们只要就比如 x 比零大一点点， x 去零正的时候，只要就变成了 y 等于 x 乘以三 x， y 一 撇嘛，加上 y 一 撇等于 x 乘以三， x 则是大于零的。但是当 x 乘以零负的时候呢？ y 一 撇是等于 x 乘以三 x 负负还是得正还是大于零没编号？ 你看此处没有编号，所以则 x 等于零不是极值 点。所以本本题正确答案应该选 a 选项。你看，这就是这个坑，如果你一开始看出它是极函数，咱零肯定不可能成为极值点了，所以咱直接后面就不会掉坑，咱中档声音就是顺着算，哎，我求导公式会背了， 我也求出五个零点来了，我直接选 b 了，哎，这就是掉进去了，这就。我们高考中其实有时候也会设这种坑，你对概念，咱优生为什么不掉坑？这就是对概念的进一步了解，反而是对概念的深度了解。理解的程度有多深？ 理解程度的问题说明咱指的好，大家学一下。

刚刚结束的广东省的一模题，这套题目出的其实挺不错的，这个题目呢，来自这道题里面的单选压轴题目，其实不太难，但是考察的内容呢，还是挺巧妙的，咱们一起来看一看已知这个曲线，问曲线上的点到原点距离的最小值， 那这个曲线拿到了之后呢？我不知道大家发现没有一个问题啊， x 方减 y， x 方减 y， 这俩东西是一样的，大家一定要有这样一种思想，就是换圆，当一个整体出现多次，咱给他换个圆， t 乘三的 t， 次方等于八十一，然后把 t 除过来， 三 t 等于八十一，比上 t， 那 除 t 的 时候要保证 t 不 等于零，很明显这个式子里面 t 就是 不为零。那得到了这个东西之后，咱们来看，这不就是三 x 这个函数 x 分 之八十一这个函数的焦点吗？ 通过画图我们其实发现了这两个东西的焦点呢，一定在第一象限，而且只有一个，那这一个焦点该怎么求呢？这个方程肯定不会解，那不会解的方程怎么办？就是式 很明显，三的几次方，这是八十一，八十一能写成三的四次方，那当然 t 就是 三，这一步是很关键。那有了 t 等于三之后，咱们再来看 x 方减 y 等于三， 所以他最后问的是曲线 c 上的点到圆点的距离，那不就是 x 方加上外方开根号吗？再结合 x 方等于三，加 y 代入 根号下外方加上 y 再加上三，我们只要求他的最小值就行了，一个二次最小，当 y 等于负的二分之一的时候，直接给他代入，对应的就是根号下四分之一减去二分之一，再加上三，所以最终答选 a。 对 于这道题目来说，首先第一个你要学会换元，第二点就是你要能猜出这个方程的根，才能迅速的解决这个问题。

刚考完的广州一模的数学卷在难度计算量的设置上是克制的，既有区分度，也能保证正常的成绩分布，明显优于武汉三跳等一些所谓的网红卷。唯一的缺憾就是对尖子生区分度不大。单选题前五题是绝对基础题，第六题和第七题是中档题，第八题其实是初中几何题，第九题是非常好的概率基础题， 第十题又是考核岔话机，第十一题树形结合无计算量，十四只需要耐心讨论，均为中档题。大题中前四题都比较常规，其中第十七题是很好的概率中档题， 第十八题就更常规了，参辩分离，第三问必要性探路就可秒杀。第十九题最为精彩，将整张试卷的水平拉高不止一个台阶，将双曲线引含椭圆动点轨迹、角度、比例关系结合几何变换与计算量极大。

与广东异模、广州异模并列的还有广东大湾区异模。试卷小提出的非常棒。压轴大题题型常见，但计算量超级大，而且又建立题。几何压轴选择题只有第八题略微有点难度。三角函数见模和易错题 三道多选择题层次分明，都是非常优质的考题。尤其是第十题的两组数据合并后的统计量变化十分重要。第十一题是例题，几何综合有难度填空。第十四题传球问题是概率中的经典模型，考察马尔可夫列的思想。 大题中第十七题是常规极指点偏移问题，考烂了。第十八题又建立题。几何压重体积比，通过延长线构造台体，利用相似比求解有计算量。第十九题也是今年考的较多的解析，几何与数列结合压轴题主要难在计算量过大。

今天我们用一张二零二六年最新的中考异模数学试卷，带领大家进行一场最完美的一轮复习。时间宝贵，咱们直接开始。首先我们来看第一题， 下来交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪一个？什么叫中心对称图形呢？就是把这个图形绕着某一个点旋转一百八十度，能够和自身重合，那么它就属于中心对称图形了。 什么是轴对称图形呢？就是关于某一条直线对称，对吧？哎呀，它能够左右两边完全重合，我把它叫做轴对称图形， 所以你有发现它属于轴对称图形，但不属于中心对称图形。它属于轴对称图形，但是不属于中心对称图形。而这个呢，它既不属于轴对称图形，也不属于中心对称，所以这里面满足条件的只有我们的 a 选项。好，我们看立二， 现在我告诉你，有一个坡坡高呢，是等于一的，就是这个是一，而且水平距离 bc 呢，等于根号三。问，我们整个斜坡 ab， 也就是这条坡，它的坡度是什么？ 其实我们一个斜坡的坡度是用这个斜坡的高啊，也就是用一比上整个斜坡水平上的宽度，也就是比上根号三，所以我们知道坡度呢，也就是三分之高三，所以这题我们选的依然是 a 选项。好，接下来我们继续往后第三题。 如果 x 比上 y 呢，等于四分之七，那么 x 减 y 比上 y 的 值等于多少？其实这个题考的是我们见比设参，它的一个怎么样的方法技巧啊？比方说呢，你可以令它是七 m， 对 吧？那么它就是四 m 了，那么整个分子呢，它就会变成七 m， 减去四 m， 整个分母呢？它就会变成怎么样呢？四 m， 对 吧？哎，我们除以四 m， 所以 也就是三 m 比上四 m 等于多少？等于四分之三，所以选 d。 当然，像这种题，其实尤其是选择题目，你我我建议大家直接怎么样呢？ 你把这个就当做七，你把这个呢？就当做四，那整个题目它就会变成七，减去四，再除以四等于几呢？那不也是四分之三吗？搞定 好，接下来我们再来看第四题。 o 第四题看起来好像有一点点难度，对吧？有一个立方体的木块静止在斜面 o v 上啊，就是，这是个木块对吧？这是我们的斜面。好，它的受力分析呢？如图所示哈， 受力分析其实是我们高中物理里面的一个分支了。好，它的重力计的方向数值往下啊，这个就是这个物体自身带的重力。 好摩擦力 f 一 的方向与鞋面平行，就这个方向呢，和我们的鞋面是平行的，往上了，他到底想干嘛？支持力啊，就是我们这个面对他的一个弹力，对吧？哦，往上弹的一个力怎么样呢？与鞋面是垂直的哦，也就是这个呢，你如果把它延长，跟整个鞋面是垂直的关系。好，我们继续往后了。 如果鞋面的坡角角一等于三十度，就这个角多少度呢？啊，我告诉你是三十度的。好，现在让我们求什么？求支持力？ f 二啊，就是这一条线与我们重力啊，重力计这条线他们的夹角的度数是多少？那么这个你一看就知道，他肯定是一个钝角，并且跟我们三十度有关吗？ 和三十度有关的钝角，你说是哪一个呢？很明显，对吧？当然如果你说这样呢，我想系统性的求其怎么办？其实这里面方法很多， 但我个人觉得比较常规，比较简单的方法是哪一种呢？举个例子，比方说我直接把它延长出来，你正面你可以用什么平行线来进行搞定，对吧？啊？亮，在这里我索性就用什么呢？就用我们的呃八字模型吧啊来进行处理 啊，因为你要知道这个是垂直的吗？也就是这个角呢，它是九十度，对吧？这个角是直角，这个角呢是 直角，能看到，画的比较小。哈，好，你会发现喏，还有啊，我把它标一下，也就是我们这个角能看到吗？这个角 跟我们这个角这两个绿角是相等，大家能不能看到？把它放大，可以吧，两个绿角相等啊，对顶角吗？那么此时你会发现在这个三角形以及这个三角形中能不能看到？在这个，这个，这个这个三角形跟这个三角形中，对吧？我的对顶角等于对顶角， 我的直角和直角对应相等，你垂直吗？所以这个角一定是九十度，对吧？三角形内角和呢？一百八十度。现在我有两组内角对应相等，一组内角对应相等，两组内角呢？对应相等，对吧？ 对，我们的第三组内角一定对应相等，你这个角是三十度，所以我们知道也就是这个角能看到吗？这个角它一定也是 三十度。理解没有。当我们求出这个角等于三十度，那剩下的它的零补角，也就是我们角二呢一百八减去三十度嘛，所以也就是一百五十度了，因此这里我们选什么？哎，我们刚才说和三十度有关的，对吧？很明显也就是 b 选项了。 当然在这里面，如果你像这样做平行可不可以呢？也可以做出来方法非常多啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，我们再来看一下第五题了， 第五题这个题其实本质上考的是我们相似的判定呐。首先我告诉你，三角形顶点都在正方形的网格格点上呐，像这种这种这种都在格点，对吧？那么下面鹰眼三角形，你发现它的顶点也在格点上，那么哪一个相似呢？ 其实我告诉你，这个题正常情况你应该怎么做呢？我讲两种方法，第一个呢就是我们所谓的常规的方法，第二个就是流氓法。好，首先标准方法他是这么描述的， 你这个三角形在网格里面三边可以求，你这个边长度是几呢？这个边的长度一定是我们的单位一，对吧？好，那这个边的长度呢？它是正方形的对角线，在这个等腰直角三角形中，你可以求出来它是根号二，没有问题吧？ 剩下的那这条边的长度等于多少呢？嗯，你会发现他在一个一乘以二的直角三角形是一根号二，根号五。 那么我请问各位同学们，那我们剩下的 a、 b、 c、 d 每一个三角形的边长可以求出来吗？百分百可以举一个例子，比方说这个边长是几呢？是根号二，对吧？这个边长是几呢？你会发现它在一个一乘以三的 一乘以三的直角三角形中，你用勾股定律可以求出来，这个边是根号十，也就是这里的每一个每一个三角形，它的三边你都可以求出来，哪怕慢一点。 求出来之后呢？我们知道相似的判定里面有一种两个三角形，如果三边对应成比例，那么这两个三角形一定相似，对吧？但是在这里面你会发现我们需要怎么样呢？一二三四， 我们要求四个三角形的三个边，我们要求十二条边，而且我们要比来比去的比较麻烦，那这里有没有稍微快一点点的方法呢？哎，首先你要知道我是不是一个钝角三角形，没问题吧？我这个钝角三角形的钝角等于多少度呢？首先这个角是九十度直角，没问题吧？ 剩下你会发现我们这个角呢，也就是这个角多少度呀？这个角这是等腰直角三角形吗？因此我们这个角一定多少度是不等于四十五度，没问题吧？ 那此时你会发现我们整个大大的钝角等于多少度？四十五度加九十度，也就整个钝角他一定是一百三十五度，没有问题吧？哦，我是一个含有一百三十五度的钝角三角形，你但凡跟我相似，你是不是必须得有一个一百三十五度才可以，对吧？ 那请问 abcd 哪个三角形，哪个钝角三角形它有一百三十五度角呢？很明显只有谁只有 a 选项，对吧？你这是九十度吗？ 你这是一个等腰直角三角形，这个角四十五度吗？九十度加四十五度，一百三十五度。除了 a 选项之外，你会发现 bc 里它都不含有一百四十五，一百三十五度，为什么呢？你比方说你这个角是四十五度，你这个角一定是小于九十度的，对吧？这个角是不是百分百小于九十度， 所以你整个角一定是小一百三十五度？不行，同样的，我们再看 c 选项，就你这个角是直角，对吧？但你这个角呢？它大于四十五度，为什么呢？你会发现我们连一下，对吧？连一下，你是个等腰直角三角形，因此我们这个角呢，等于四十五度， 对吧？那你整个大角不就大于四十五度吗？那你加在一起，所以我们知道，那整个大大大大的钝角一定大于一百三十五度，也不满足题。 好，最终我们再来看 d 选项，那 d 选项怎么判定呢？你想想，如果我这个角等于一百三十五度，那么这两个角相加一定等于四十五度，那么也就是每个角等于多少度呢？每个小角一定等于二十二点五度，对吧？那它等于二十二点五度吗？ 你想想，你连接一下，对吧？我们知道它是一个等腰直角三角形，咱们这个角呢，百分百等于四十五度嘛？ 四十五度是整个三角形的外角，那么肯定等于这个角加上这个角了。你想想，你是二十二点五度，那我这个角不也是二十二点五度吗？能不能理解？就这个角他也是二十二点五度， 那么也就是我们是一个等腰三角形了，也就是你这个边呢长度。哎，这个，这个边的长度怎么样呢？等于这个边的长度，你觉得可能吗？ 我这正方形的边长是单位一吗？你这个是正方形对角线根号，对吧？所以很明显，也就是我们可以推出来这个角，能理解吗？这个角跟我们这个角它的大小是不相等的，因此呢，它不可能是四十五度一分为二的二十二点五度。因此呢，我们 d 选项 它也不是一个含有一百三十五度的钝角三角形，因此满足题的只能是我们的 a 选项。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天的例六， 这里考的就是我们位次图形，让我们找位次中心啊，也就是有一个三角形 a、 b、 c， 还有另外一个三角形 a、 b、 c， 对 吧？那么请问它的位次中心的坐标是什么？什么是我们的位次中心呢？它的特点就是你的 a 点跟 a 对 应点的连线， 以及你的 c 跟 c 点对应点的连线，对吧？哎，我不知道交于哪啊？包括你的 b 点跟 b， 你 对应点的连线，你一定会交于同一点，这个三条直线相交的同一点就是我们这两个位置图形的位置中心。 既然三条直线会交于两点，我们真的需要把三条直线都画出来吗？不需要，我们只需要画两条就可以了。比方说，首先我们画 a 跟 a 点，哎，这一条直线把它画出来，所以我们知道 v 四中心一定在我们的 y 轴上。好，接下来我们再找怎么样呢？找我们的 c 跟 c 点这两个对应点， 你会发现这两个多一点，他在一个二乘以三的怎么样的大大的长方形中，所以你接着画的话，他依然会在一个二乘以三的大的长方形中，也就是怎么样呢？他整个的连线是这么走的，他会走二乘以三的这个长方形矩形的对角线，对吧？ 所以也就是在哪里呢？啊？就在这个位置，那么这个点呢，很明显就是零负一，所以我们选择 d 选项。搞定。好，接下来我们再看一下 例期，其实你我发现前面整体来说都比较简单，例期其实也不难啊。好，我们给出一个烧瓶球的半径是五厘米。好，我们知道它的半径呢，等于五。好，液体已过半，现在我告诉你， c、 d 等于七厘米，整个 c d 是 七，那就相当于告诉你，这个边的长度呢，是等于二的，对吧？半径是五吧。 好，那么请问圆中的弦 a、 b 的 长度等于多少？这个题很明显考的是我们的垂径定理，那么正常情况下，我们的线应该用虚线表示，我就直接连了啊，我们知道圆的半径是五吗？你的半径是五。好，那么此时我们用勾股定理，我们可以求出来，那剩下这个边的长度呢？哎，求一下， 斜边是五，直角边呢是二，用勾股定律我们求出来，等于根号二十一，对吧？根据垂线定律，那么这个边也是根号二十一，所以整个长度呢，也就是二倍的根号二十一，选 c。 好， 我们继续往后了，这是我们今天的例题，我们再看例八， 例八，它属于我们三角函数的一个实际应用。好，首先学生甲在量体 a 处，量体在哪？在这里，对吧？测的弧形岛。 c 啊，就是弧形岛啊， c 点在其南偏西十五度的方向上，什么意思啊？就是 哦，把 a 当做一个我们的观测中心啊，这左西右东，上北下南嘛，这时候就是我们的南，这边就是我们的西，对吧？ c 在 a 的 南偏西，南偏西，就是从南边往西边，这边偏段，偏十五度，对吧？偏十五度的方向， 其实就是告诉你角一等于十五度嘛。哎，好，我们把它清掉。那说白了，咱们白说了，也就是这个角等于多少度呢？它等于十五度 是吧？哎，我把它标出来可不可以？哎，我把它写在旁边，这个角是等于十五度的。好，我们继续往后 右，从 a 处向正东，正东就是水平，往右干嘛呢？行驶三百米到达凉亭 b 处，也就是告诉你这个长度是三百。好，测得弧形 c 在 其南偏西，六十度，一样的嘛，对吧？ no， 这是南岸， 这是 c 在 b 的 南偏西，六十度啊，这个六十度已经给你标出来了。好，我们继续往后啊，已经标出来，我们就不用管他了。 好，那么请问此时 b 和 c 之间的距离，也就是 bc 的 长度等于多少？其实在这里面，我们知道他相当于告诉我们怎么样两个条件，第一个条件就是我们这个角他一定是三十度，没有问题吧？好，第二个条件是什么呢？他相当于告诉你这个角他的度数等于多少度。 这个角是九十度吧，没问题吧？九十度加十五度，其实也就是一百零五度。那我想问一下，剩下的我们这个角的度数等于多少度， 也可以求，对吧？三角形内角和一百八十度吗？减去一百零五度，再减去三十度，所以我们知道剩下的一定是 四十五度。挠，我就觉得比较简单了。在一个还有特殊角的直角三角形中，我们知道其中任何一条边，他所有的边长，所有边长全部都可以求解出来，为什么呢？比方说我们过 a 点直接做垂线 对吧？做垂线，比方说亮在这里放个屁，看到没有，我在这放了个红色的屁啊，臭死，那踢一半就逃跑了，各位同城。 哎，我们知道三十度所对的直角边是整个斜边的一半，就是一百五，对吧？所以你这个等腰直角三角形，我们这个边也是一百五了。 你不管用勾股定力，还是根据特殊直角三角形三边比的关系，我们都可以求出来，这个边呢是一百五十倍的根号三，所以整个程度呢，那自然就选择 b 选项了，一百五加上一百五十倍的根号三，其实比较简单啊。好，接下来 我觉得目前稍微有那么一点点难度的，也就是我们的第九题。嗯，这里看起来好像很火人的样子，就是很多推看到这么亮了，我脑袋都大了，对吧？这怎么处理？其实我个人觉得比较简单啊，给出一个抛物线啊，像这样的啊，我告诉你， a 大 于零，开口向上吧， 它与 x 轴交于 a 点 m 零交于 b 点 n 零，并且 m 呢，在这个范围里面，请问 n 的 取舍范围是什么？ 其实这个理本质上他也是有流氓法的，但我个人觉得我们完全没有必要去掌握那么多的，让大家觉得怎么样呢？ 呃，需要记的方法，我们直接用标准方法来搞定，可不可以？首先我们可以得到两个条件，第一个条件，开口是向上的。第二个条件，他的对称轴是二分之一，因此我们可以画出一个开口向上的抛线，就大概长这个样子，现在怎么样呢？他与 x 轴，注意他有两个焦点，对吧？他有两个焦点。 那问题来，有人亮亮，那你这个 a 点跟 b 点谁在左谁在右呢？你又没有说，对吧？那乌七八糟的，那谁知道呀？好，其实因为这个题目，我告诉你，我们的对正轴是什么？咱们整个抛线的对正轴多少呀？ 抛物线对中轴是二分之一，对吧？那对正轴也就是 x 等于二分之一嘛？你其中一个焦点是什么呢？我现在已经告诉你，其中一个焦点的横坐标是负一到零之间，对吧？也就是这个呢，是负一，这个呢是零吧， 对不对？所以很明显也就是你这个 m 呢，那一定在对称轴的左边吗？对称轴二分之一非零，不都在二分之一的左边吗？好，问题来了，那另外一个焦点的横格标 n 的 取值范围是什么？其实这个题你会发现看起来好像很难的样子，其实它考的是什么呢？三个字，抛物线的对称性。 什么意思呢？你想讲啊，那你这个焦点在两个整数之间，对吧？那关于对称，那我这个点他也可以在两个整数之间吗？那请问这两个整数分别是什么呢？比方说，那请问这个点，对吧？ 那比方说我另这个点跟他关于对称轴对称，大家告诉请问这个点是多少？你可以用对称器，你也可以用距离嘛。比方说，同学们，实在不会的，你到我们对称轴二分之一个单位吧，对不对？所以你到我们的这个，呃，这个对正轴呢，也是二分之一个单位嘛？ 对称轴本来就是二分之一，你再往右边走二分之一，所以我们是几呢？哦，就这个点，对呢，就是一嘛，对不对？ 那剩下的你说另外一个点呢？他在两个怎么样呢？整数点之间嘛？剩下一个点一样的道理。 no， 你 会发现，哎，你索性求吧，负一在对应轴，负一在二分之一的左边，二分之三个单位，对吧？那你往右边走个二分之三呢？ 二分之一加二分之三减，那不就是二吗？对吧？所以也就是我们剩下一个焦点，我把它清掉了，那么剩下你这个焦点呢？一定在一到二之间，所以这个题呢，我们选择 c 选项搞定，是不很简单，不过如此吗？ 好，接下来我们再看一下我们今天的例式哦。这个题看起来好像就有一点点的难度了，呃，是吧，很多同学比较头疼的什么？呃？选择题的压轴题，填空题的压轴题。 好，我们一起来看看这题它到底有什么样的一个难度啊？给出一个矩形纸片，我告诉你， a、 b 是 十二的哪一个？就这个边等于十二。好， a d 等于十，就这个边呢？它的长度是十，我把它在图中标注出来， 好点， e 是 中点，那么也就是这个边是六，这个边是六，我们尽量把题案中的条件标注在我们图示里面。好，现在问题来了，把这个纸纸片呢折叠两次，第一次怎么折？ 使得，哎，沿着他们这样翻折，对吧？使得 a 点翻折到 e 点。这里其实我跟大家说一下，你可以把这些边呐，这些边呐，这些边呐全求出来，为什么呢？他是六吗？ 你另他是 x 可不可以？这个边不就是十减 x 吗？没问题吧？你把这个图形翻折到这里，你这边是不是也是十减 x？ 你 在这个直角三角形中用勾定力，你一定可以把 x 求出来，就是你在拿到题干的时候，你的脑海里面一定要有怎么样呢？啊？第一种像这种反应， 好，接下来我们再看，当然我们先放一下干嘛呢？好，接下来连接我们的 m e， 呃， n e 就 连了很多，之后呢？第二次折叠，你怎么折？哎，使得 n 与 e 重合，就像这样再折一次，对吧？使得 n 点跟 e 点重合，这是怎么折的？大家观察一下 哦，也就是折痕是 h g 了，对吧？沿着这里折叠是不是？哎，是的，你这个 n 点呢？折到哪去？折到 e 点这里，你这个 b 点呢？就落在 b 点，说白了也就是把这个图形，对吧？沿着 h g 折叠到这个图形，哎，这看起来好像不是特别的友好，好，现在问题来了， 折完之后呢，其实整个图形的形状、位置、大小、折痕全都是固定的。现在让我们求什么？求 e h g 哪个角 啊？ e h g， 也就这个角，对吧？我把它标出来，也就是我们这个直角它的正切值，嗯，是不是这个角？ e h g， 求三角函数方法，它只有三种，第一种干嘛呢？就是你判断它是不是特殊角，对吧？如果这个角是一个特殊角，那就不用说了。哎，我，其实我就 今天就尽量不要见题讲题吧，这个题其实我们直接讲非常快啊，但是我希望跟大家去分析他的底层逻辑，分析他的一些怎么样的处理方法。这个特殊角，如果他是三十度，四十度、六十度，那你就不需要管他在什么样三角形中直接求解就可以了？ 好，第二种方法是什么呢？如果他不是特殊角，对吧？你根本就不知道他多少度，那么此时你就需要把它放在一个直角三角形中，如果不在呢？你可以作出一些，对吧？哎，我们需要构造 哎，或者寻找一个直角三角形，如果没有，你得做垂线，这是第二种方法。第三种方法是什么呢？就是等角转化， 如果一个角的三角函数，你会发现在这里面怎么都无法求解，不好求，对吧？那你此时你就需要稍微的转换一下，你不好求，我就找一个和你相等的角来转化一下，进行求解就可以了。比方说，那我想问一下各位同学们，因为你要知道 正面他会产生折痕啊，注意，我们把这个四边形翻折，得到这个四边形，对吧？那我请问，根据对称性，我们这两个直角相不相等是不一定相等的，对吧？ 啊？他一定等于我们这个直角两只角相等，我可不可以求这个角的三角函数呢？一定可以，其实你有发现，那根据对称性，这还是九十度呢？他本身就在一个直角三角形中，对吧？好， 他多少度你知道吗？反正我是不知道的，我相信在座各位同学，你们也无法直接判断出来他是具体多少度。好，问题来了，你把它变成这个角，那又能怎么样呢？我想问一下各位同学们，因为你要知道脑，咱们是把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？ 我们这个角是直角九十度吧，你翻折到这里面，这个角是不是也是九十度？没问题吧？我们刚才说了，那你这一条折痕他怎么样呢？就是你要知道啊，你对应点的连线 一定被我们的折痕垂直平分了。哎，这个大家懂不懂？也是，这个角一定是直角，对吧？那我想问一下你呢？垂直于 e n， 我呢也垂之于人，那我请问这两条线它平行吗？也就这两条绿边，这两条绿边它平不平行？ 百分百是平行的，两只线平行，对吧？哎，比方说被我们第三条边所接，所以你要知道哦，咱们的同位角相等， 也就是咱们这个角跟我们这个角它是不同一角，所以它相等的，是吧？啊，也就是我们这个角呢？哎，我们转换成，你只要求这个角就可以了。好，那这个角接下来那又该怎么求结呢？其实你会发现，这个角本质上它等于哪个角， 它就等于我们这个角，对吧？是不等于这个角有没有问题？所以你只要把这个角把它求出来，我们依然可以轻松搞定。 其实到这里我们就已经可以直接求解了，但是为了让整个题目变得更加简单，好，我继续等角转换。比方说，哎，我去干嘛呢？我去连接这一条线，大家看清楚啊，我连接一点跟 a 点，对吧？哎，我们把它标成一条虚线，可不可以？ 好，我们知道，因为咱们是干嘛呢？咱们是把这个三角形翻折到这个三角形了，对不对？所以我们 a 点和 e 点是对称点吧。说白了，我们知道这个角一定是直角九十度，如果把这个角标做 a r 法呢？你会发现我们剩下了这个小小的绿角，也就是我们这个角，哎，这个角 它一定等于多少度呢？一定是九十度减去 a r 法，对吧？好，这么标有什么好处呢？此时你会发现，在我们整个大大大大的直角三角形中，我一个锐角是九十度减 a r 法，此时你会发现剩下这个角， 它不就是我们想要找到的 alpha 吗？此时你会发现，我们需不需要像刚才这样引着未知数呀，去构造方程，完全没必要，对吧？最终你会发现我们要求解的这个角，我们最终把它转化到这个直角三角形中去了，也是怎么样呢？哎，我们知道这个边呢，它是六的吗？对吧？ 以及我们这个边呢，它等于多少？等于十，对不对？所以你方我们需不需要引入未知数？完全不需要。这个角它的正切值等于多少？等于它所对的直角边，比上相邻的直角边，也就用十比上六，所以我们最终求出来三分之五搞定。 所以你会发现所有很多所谓的压轴题，它其实处理的方法是非常有限的，而且它的突破口呢，也往往都是一些常规的内容。好，接下来我们看填空题第十一题，那给出一个三角形啊，告诉你， a c 大 于 a b， a c 大 于 a b， 我 们自己就可以看出来 好， d 点在 a c 边上啊， d 点呢？跟 a c 不 重合的。好，我们需要再增加一个条件，就可以使得 a、 b、 d 哪个三角形？就是这个三角形，相似于 a、 c、 b， 对 吧？哎，相似于整个大三角形，你这个都画的其实不是特别标准啊， 我们要学会利用不太标准的图形求出我们标准答案。其实很简单，你会发现这个三角形跟整个大三角形，它本身就有一个公共的顶角，对不对？所以在这里面你千万不要去为难自己啊，我们再加上一组等角就可以了，干嘛呢？我使得你这个三角形的角 a、 b、 d， 对 吧？ 等于什么呢？等于整个大三角形，它的角 c 就 可以了，也就是角 a、 b、 d 等于角 c 就 可以了。当然，如果你说我要舍得两组边对应成比例，可不可以呢？也可以。或者你说我们这个角等于这个角，呃，就是这个角等于这个大角，行不行呢？也可以，对吧？ 你只要属于我们相似的判定都可以了。简单，我们就过得稍微快一点点。好，接下来看一下我们的例式二，这个东西属于我们的反比例里面的等比模型。好，在这里我也尽量跟大家讲的详细一点。 首先给出一个反比例函数， y 等于 x 分 之一啊，就是这条直线呢，是 y 等于 x 分 之一，对吧？为什么？因为 k 大 于零嘛，它经过一三项线，对不对？所以经过第三项线的啊，它的 k 是 正的，那 x 小 于零，就是我们取它第三项线，是吧？横格标负数的，也就这个半截。好。现在我们连接 o a， 连接 o a， a 点在哪呢？不知道，你可以把它当做一个动点嘛？现在我永远过 o 点做 o a 的 垂线和另外一个反比的函数呢，交于 b 点，我告诉你，是 o b 等于三倍的 o a， 就是我这条线段的长度，永远是你的三倍。好，在正面我们就索性先，哎，我们先直接把它写出来吧。就是这条线段呢，它是三 m 好 不好，这条线段呢，是三 m 的 长度，你这个线段呢是小 m， 我是 你三倍。 好，现在问题来了，嗯，那当 a 点在这个图像上运动的时候，点 b 呢？在另外一个反 b 的 函数图像上运动，这个反 b 的 函数呢？就是 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？现在让你求反比函数的表达式。其实我告诉你啊，这个等比模型的结论是什么呢？它的结论就是 你这两个 k 之比的绝对值，对吧？一比上 k， 哎，就是你要知道我们平常为什么要去学习很多的方法技巧，二者之比的绝对值一定等于什么呢？ 它一定等于。哎，这两个之比的平方等于这两条线段之比的平方啊，等于 o a 比上 o b 之比的平方，这个结论百分百成立， 对吧？ o a 比上 o b 是 一比三嘛，所以它就应该等于一比三的平方，所以它们的比值一定是一比九，理解了没有 啊？既然是一比九，那剩下你会发现他就比较简单了。为什么呢？因为你要知道你这个 k 是 呃，一，对吧，所以我们这个 k 呢？当然，我是经过二四象限的吗？ k 是 负的，所以他一定是负九。 所以你不妨当你学学会很多方法技巧之后，我们做题呢？那别人可能要五分钟呀，十分钟，甚至没有思路，那我们可能十秒钟就只能能够直接口算出来。好，问题来，这个问题我们该怎么去证明呢？其实很简单，对吧？因为你要知道，在我们这一条直线上呢，在一条直线上，我们出现了一个直角，九十度吗？ 那在一条线上出现了直角，所以如果你过端点分别往下做垂线，比方过 a 点往这边做垂线，对吧？哎，比方说就像这个样子，嗯，一样的，我们再过 b 点往这边做垂线，就像这样的， 对吧？那我把它标下，也就是咱们这个角呢？它是直角，它是直角，它是直角。那我请问 各位同学们，左右两个三角形相不相似？就是左边这个三角形跟右边这个三角形很明显，它一定是相似的，一线三垂直，我就不再说了，可不可以？ 那请问这两个三角形的相似比是多少呢？比方，这个我把它标作 m， 这个把它标作 n， 可以 吧？也就是三角形 o a m， 它一定相似于三角形 o a m 和怎么样呢？和我们的 b o n， 对 吧？和 b o n 两个三角形一定相似。相似比多少？很明显，你的斜边是 m， 我 的斜边是三 m， 也就是它的相似比呢？相似比多少？ 相似比，它就是等于 o a 比上 ob 的。 我先懒得用什么 e 比三呀啊，或者 m 比三 m 来表示，就是 o a 比 ob， 没问题吧？以这个线比上这个线，那不就是我们的相似比吗？好，那现在我想问一下，请问接下来那我们的 k 跟什么有关呢？ 相似比等于这么多，那我请问这两个三角形的面积比等于多少？大家能告诉吗？面积比等于多少？面积比是不等于相似比的平方是不等于 o a 比上 o b 的 平方没问题吧？你会发现 o a 比 o b 的 平方不就出来了吗？ 而这两个三角形的面积比还等于什么呀？举个例子，比方，你这个 x 分 之几呢？我就是 k 一， 可不可以？你这个呢？就是 k 二，可以吗？一个 k， 一个 k 二，那你要知道， ab 都是反比例函数图像上的点，你向 x 轴做垂线与坐标原点与坐标原点所围成这个直角三角形，面积等于多少？它是不是二分之 k 一 的绝对值？你这个面积是不等于二分之 k 二的绝对值，有没有问题？ 所以你用这个面积比上这个面积，那不就是 k 一 的绝对值比上 k 二的绝对值？ k 一 比 k 二， 那其实就是 k 一 比上 k 二的绝对值，我们是不是证明完毕？那也就是你只要过坐标原点，对吧？你发射一个九十度角，这个角呢，和两个反比的函数交 a b 两点，你要知道， 那么这两条线度啊，比值的平方一定等于这两个 k 之比的绝对值，因此这个结论呢，我们在这里就证明完毕了。你刚才这个就是 k 一 吗？对吧？你这个就是 k 二，理解没有？ 嗯，不就是怎么样呢？等于二者比值的平方吗？对吧？所以剩下你会发现，喏，它 o a 比上 o b 是 几比几？ o a 比上 o b 在 整个题目中，哎，我把整个题目还原了好不好，不然大家可能看起来觉得有一点点乱。 这个题我并没有单纯的说就题讲题啊，如果只是单纯就题讲题的话，我们完全可以脱离这个结论，对吧？啊？快速告诉大家，很明显，这个值多少就是一比九，是不是 啊？ k 等于多少？ k 一 他是一吗？所以也就是怎么样呢？ k 二的绝对值，你这个是一了，你这个下面 k 二绝对 k 二是负的吗？注意啊，他是经过二四象限的，所以你这个 k 一定是负的理解没有， 一比上一个负数绝对值等于一比九，所以这个 k 呢？你想想一比上一个负数的绝对值，对吧？中等一比九的，你这里面负数只能填几，只能填负九，理解没有。 好，那么接下来我们继续往后再来看一下我们的第十三题。这个题我个人觉得就简单一点点啊。首先给出一个平行四边形， a， b， c， d。 啊，我是一个大大大大的平行四边形， e 是 a、 d 的 中点，就是这条边呢，等于这条边两边相等， 现在点 f 是 c、 b 延长线上一点啊， f 在 整个 c b 的 延长线上，就像这个样子啊，并且 e、 f 的 平行 b d， e， f 平行 b， d 就 像这个样子，对吧？其实你要知道啊，咱们这一条线，它是平行于这条线的，对吧？ 另外这一条线呢，还平行这条线，是不是因此我们知道它也是一个平行四边形嘛？两组对边分别平行，它就是平行四边形了。好，现在我告诉你， a g 比上 a， e 等于 a。 呃，什么意思？ a g 比上 a e。 其实我告诉你各位同志们，就是在我们平常考试，如果你处理比例关系，尤其像这种，对吧？让你求比例关系最快的方式 就是令分母式单位一也是，我就令你是 a， 我 令你是一，对吧？那我比上你不就是 a 比一吗？你会发现整个题目里面就只含有一个字母了啊，对吧？那当然他也是一，但如果你说练了不行啊，那我们要是大题写过程怎么办呢？好，如果你大题写过程，你就引入两个未知数好不好？ 其实我更加建议平常自己做题的时候，尤其是选择填空，你就使得其中一个边为单位，一会更快的啊。好，我比上，你呢是 a 倍的。好，那我也是小 m， 你 这个边是二 m， 所以 这个边呢，也是二 m， 对 吧？以及你是 m， 所以 我们这个边呢，也是 m， 对 边相等吧。平行四边形 好，那接下来你会发现，喏，在这个三角形跟这个三角形中，大家能不能看到两直线平行？首先咱们知道内错角相等，对吧？ 哎，内错角相等，平行吗？另外，你还会发现我们的对顶角相等，咱们的对顶角相等，所以你会发现这两个三角形什么关系？它就不再是简单的相似，而是全等，对吧？这两个三角形，红角等于红角，绿角等于绿角。我有 m， 你 有 m， 所以 全等了。 你是 am， 所以 我们知道剩下这个边呢，它也是 am， 对 不对？就这个边是 am， 就是 这条边嘛。 好，剩下让我们求 b g 比上 f c。 b g 是 什么呀？它不就是 am 吗？好，整个 f c 呢，它不就是三倍的 m 吗？咔嚓，约掉了，所以等于三分之一。嗯，也是比较简单简单，我们就过得稍微快一点点啊，我们继续往后啦，哒哒哒。 好，再来看一下我们今天的例十四，其实这个题它的处理方法我个人觉得比较多，这个题我们最少可以用三种不同的方法来进行处理啊， 比方在边长为四的正方形，它的外侧啊，边长为四行，你的边长了四，你的边长了四，我们就把它标出来。好，现在我们干嘛呢？做一个直角三角形 a d， 使得这个角 a e d 呢，等于九十度，就这个角呢，是一个直角， 好， a d 呢？三十度，哪个角？也就是我们这个角是三十度的，对吧？啊？就是这个角啊，这个角 多少度？他是三十度，那其实我们可以求出很多线段的长度，比方说呢，你要知道咱们正方形的这个边长等于几？边长等于四吗？对吧？三十度所对的直角边等于斜边四的一半，所以我们知道这个边是二，以及你用勾股定律或者特殊直角三角形，我们求出来二倍根号三。 好，接下来我们看看这里到底想干嘛啊？好，第一个，让我们求 a e 和 d 的 长度和 a e 和 d， 哈哈，你这个有点瞧不起我了，也就是二加上二类根号三吧，对吧？长度和好。第二个，如果 o 是 a c 的 中点， 对角线的中点，正方形的性质大家必须得知道啊。连接 o e， 让我们求 o e 的 长是什么？ 这个题你可以直接怎么样的？用勾股定力，对吧？那求一条斜边，最常见就是把它放在一个横平竖直的直角三角形。先这么去求，可不可以？我告诉你，百分百可以， 你再遇到这种方正的几何图形里面，如果你没有思路，你想要拿下满分，你可以用间歇法都可以，对吧？那么在这面我用一个我个人觉得比较常见的方法啊，叫做边等角补模型，什么意思呢？首先你连接我的对角线也不算连接对角线吧，连接我们的 o d， 对吧？那么根据正方形的对，正方形的对角线是互相垂直平分且相等的，所以他是一个等腰直角三角形，明白了不？所以连接完毕之后，我们知道也就是这条绿边呢，他一定怎么样呢？等于这条绿边， 嗯，对吧？我这个方法，我个人觉得计算量是比较小的啊，绿边等于绿边，并且咱们这个角呢，一定是直角，他一定是九十度，对吧？ 哎，直角，好，现在我告诉你，所以你看看，你们平常错过了很多很多的几何，哎，哎，你们真的错过了很多的几何模型，什么叫做边等角补模型呢？边等角补就是一个四边形，如果零边相等， 对角互补，那你看看，这是不零边相的，这是不零边相的，对吧？我对角是不互补，对角是不互补，那么此时像这种图形，它的万能处理方法，旋转，你只要旋转，百分百就会轻松处理，你会翻很多答案，他会告诉你，同学们，转一下，为什么转呀？ 为什么要这么转，对吧？你倒是说呀，好，怎么转呢？你会发现连接对角线，他会把整个图形分成一个两个三角形，你随便旋转任何一个三角形就可以。怎么转呢？比方把这个三角形我们直接转到这里， ok， 哎，差不多就转到这里吧，就转过来，好不好？哎呦，我觉得稍微有一点点误差吧， 哎，就这样吧，好吧，就这样，我们把它转过来，有这样的，那对角互补有什么用呢？边等有什么用呢？你把这个三角形转到这里， 因为你这个绿边跟这个绿边相等，所以你把这个三角形转过来之后呢，你可以靠着这个绿边，对吧？那角补。对角互补有什么用？ 其实你要知道啊，我们这个角跟这个角对角互补，那么我们这个角跟这个角对角也是互补的。好，把它标一下，比方我把这里的三十度，我把它给清掉。嗯，如果我令这个角呢？比方这个角它是 arva， 可以 吗？这个角是 arva， 那 剩下我令这个角呢？它是贝塔， 就是用蓝角。这个角呢？我令它是 beta。 好， 角补有什么用？你把这个三角形旋转过来，你这个角是 alpha， 所以 我们知道，那剩下这个角它是不是也是 alpha， 对 吧？我们刚才说了吧，你的对角是互补的，你的 alpha 加 beta 一 百八十度， 那 ar 法在这，贝塔在这，那相加一百八十度，所以它是个大大的平角，懂了没有？如果你没有对角互补这个条件，你旋转过来呢？那它就不再是一个平角，它就不再是一条线，它就会翘起来，就翘成什么样子，就翘成可能像这个样子。懂了， 不对吧你，你整个图形，它就不再是一个完整的三角形了，它是一个三角形加另外一个三角形，它是个四连形，懂了吧？ 哎，对角互补可以保证，哎。比方放个哎屁，可以保证 p d e 三点在同一条线上。好，那旋转完毕，我们可以得到什么呢？其实我们百分百可以得到一个等腰三角形，哎，为什么呢？比方说我另这个边是一个红边好不好？你这个三角形有一条边是红边，可以吧？ 你把这个三角形旋转到这里之后呢？你这个边是红边，我们这个边一定也是红边，所以看到没有，你只要旋转边等角部，一定可以得到一个等腰三角形。 当然了，你把这个三角形转过来，你这个边是二，所以我们知道这个边呢，它也是二，对吧？就是 p d 这个边它也是二。那然后呢？注意啊，咱们这个角是九十度，九十度意味着什么？你可以用旋转的思想去处理，或者你说这样哈，我不太会用各种思想。行，那你这个角是 a r 法，可以吧？ 好，接下来你这个角呢，是贝塔行不行？哎，我们就不再用刚才的 a r 法，贝塔重新再来这个角直角嘛。那你不就相当于告诉 a r 加上贝塔是不一定等于九十度的，没问题吧？ 你把这个三角形旋转到这里，你这个角是 alpha， 所以 我们知道这个角呢，一定也是 alpha， 对 不对？我们刚说 alpha 加 beta 等于九十度嘛，你这个是 alpha， 你 这个是 beta， 所以 相加等于九十度呢。这个角是一个大大的直角，因此你会发现 我们可以得到一个大大大大等腰直角三角形。我们知道斜边是二加二倍根号三，那么请问直角边 o e 的 长度呢？等腰直角三角形，你从斜边到直角边，你除以根号就可以了，理解没有， 对吧？从斜边到直角边，二加上二倍根号三，这个就是我整个斜边吗？从斜边到我们的直角边，你除以根号就行了。除以根号，你除以根号呢？他就是根号，对吧？你除以根号呢？你算出来的根号六。嗯， 所以这个题你看，虽然是个大题，他为什么敢出填空呢？一般同学你去猜什么根号三呀，根号七呀，对吧？哎，什么二倍根号呀，你们猜一个的话，很难猜中的，根号加根号六。搞定。好，那接下来我们继续往后再来看一下我们今天的解答题。 那么解答题其实我们全国有百分之八十以上的中考，我们整个大题里面特别喜欢考我们这种怎么样呢？实数的运算跟我们逆的运算呀，啊，绝对值的化解呀，我们这种三角函数呀，对吧？哎，综合起来考察分值比较高。 呃，然后呢，又比较简单，所以大家千万不要轻易的丢分。好，一样的，首先我们我就不写几了，扩散六十度等于多少？ 扩散六十度，其实大家得知道啊，你画一个六十度的直角三角形，对吧？六十度，这个角就是三十度嘛， 哎，一二根号三，对不对？所以扩散六十度就是他的邻边比上斜边是不是二分之一，所以也就是三乘以二分之一。好，我们减去一个数，只要他不等于零， 他的零次方呢？一定等于几？一定是一，明白，没有什么派的零次方呀，哎，这个八的零次方呀，七分之五零次方都等于一，好减去。那么像这种负指数密怎么办呢？比方说七的负二次方，他说等于七的二次方，再来一个分之一的 比方说呢？哎，这个这个五的负三次方，他就是先把五三次方再来个分之一就可以了。好，这是我们负指数密，他的怎么样呢？一个运算的法则，所以在这里面你去算他怎么办呢？首先负四分之一，你先来一个平方，对吧？ 不，四分之一，你先求它的平方，它的平方等于多少？等于十六分之一嘛，对吧？你再把它倒过来，求它的倒数，你想想十六分之一，它的倒数呢？是不等于十六，所以这个东西你求出来它就是十六的，理解了吧， 我们减去十六。好，最终我们减去，最后还有一个什么呢？有一个绝对值，一样的绝对值，你在去处理的时候，你首先判断里面的正负根号三减二，那这个不用说了，一定是负数吧，负数带绝对值去掉之后呢，变成自身相反数，那么它的相反数等于多少？ 你减我的相反数，就是我减你根号三减二，相反数就是二减根号三，所以最终我们求出来等于多少？等于二减根号三，所以最终我们求出来等于二，再减根号三， 所以也就是，哎，加上根号三，呸，所以最终我们求它等于根号三，怎么样呢？我们最终再减去十七又二分之一， 对吧？把前面放在一起等于这么多，你用这种代分数或者假分数都可以啊，这种答案都是对的。好，我们继续往后了，我们再来看一下今天的例十六，这个题其实我个人觉得也比较常规啊，然后把这个图稍微的缩小一下，不然大家可能看不到，哎，再缩一点点好不好？ 这里你会发现我们整个中考里面喜欢考我们这种旋转呀面积哈，那往往也是送分了。好，那首先给出一个格点图形，它每一个小正方形的边长呢？都是一个档位 啊，就是边长都是一边长，都是一对吧。好，现在 abc 的 顶点都在格点上面， o 就是 这个，就是三角形 abc， 它的格点呢？顶点都在格点上面。好，普通，建立平面直角坐标系，使得圆点是 o， ab 坐标分别是这么多，其实这个量呢，就直接画就可以了好不好？ 嗯，负三负一，所以我们整个平面直角坐标系呢，就大概长这个样子？好，大家来验证啊，你会发现 a 点坐标包括我们 b 点坐标呢？是不是题干中所给出的这样，嗯，这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，以这个呢是我们的坐标原点，可以吧？ 好，接下来这个题第二问，我觉得有些同学他可能就会丢分了，他干嘛呢？现在我们要以 o 为位次中心， 化州三角形的 v 四三角形 a d、 c， 干嘛使得这两个三角形的相似比是二比一，注意啊，我和你相似比是二比一，对吧？你说前面是后面这个图形的二倍， 注意以谁以 o 为 v 四中心吗？其实我告诉你，它应该正常情况下，它应该有两种怎么样的图形？我可以像这样去发射一个 v 四中心吧，大家懂不懂？使得我们的 a 一 在这里，明白吗？ 对吧？我们的 c 呢？在这里，以及你的 b 一 呢？ b 一 在这里，懂吗？哎，这个边等于这个边， 这个边等于这个边，以及呢？这个边等于这个边，懂了没有？他也是以 o 为谓词中心的，但是你要注意这个题目，那两个第一个呢？他要求我们怎么样呢？嗯， 呃，在格格点这个图形中去作图，对吧？另外一个，你想想你，你这边都没有格点，你怎么找呀？你不好找，是不是我们要利用网格来进行作图嘛？所以在这面我们有第二种方法，也是怎么样呢？哎，我们连接 a o b 延长，是吧？ 注意啊，因为你要知道你这个连接 a o， 他 在一个什么？他在一个一乘以三的长方形中，他跟我们前面题目比较像，那你就反复的走一乘以三的 长方形，对吧？走它的对角线，这不就是一乘以三的这个长方形的对角线吗？这不就是一乘以三的长方形的对角线吗？对吧？走到对角线，你说走到哪个位置呢？你就走到这个位置，这个点就是我们要找到的 啊，怎么样呢？ a 一 了，对吧？这是我们的 a 一， 好，一样道理，接下来我们再找另外一个啊。好，我把它清掉了，清掉，不要了。 呃，然后接下来我们再找另外一个。呃，找 b， 他的位置对应点。好，一样的，你看他也是一乘以三的直角三角形吗？我们走走走，走一乘以三的直角三角形，走一乘以三的直角三角形，是不走到这里了呀，所以这个点他就是我们的 b e， 对 吧？好，最终我们再来找下 c 点啊，清掉，清掉，大家看起来可能会更加舒服一些。 c， 他 就在一个什么呢？他在一个二乘以三的直角三角形，对吧？二乘以三的直角三角形，我们走二乘以三的， 我们走二乘以三的吗？这不就二乘以三的一个直角三角形，对吧？二乘三，二乘三，所以你有发现我们这个点呢？哎，哪个就是这个点， 对吧？他就是我们的 c 了，所以这种扭法我们连接起来，我换个颜色连啊，好不好？换个比方说，胖胖的紫色吧， 连一下，他就是我们要找的我们的 v 四图形了。好，接下来我们看第三个，第三个是把某一个三角形绕着某一个点顺时针方向旋转九十度。什么叫顺时针呢？这是你们家的钟表，对吧？哎，你们家中表一边往这边转，这个叫顺时针， 那这边呢？就叫逆时针。首先你不要把这个方向给弄混了啊，不然的话你就直接嗝屁了，也就是把这个三角形绕着 b 点顺时针往这边转九十度。很多同学亮亮，我怎么去把一个三角形旋转呢？其实很简单啊，你就转什么呢？转对应顶点或者转转边，你直接旋转的话，很多同学可能不知道， 为了方便大家理解，我把这坐标系都清掉了，这样的话，我们做起来可能会更加的直观一点点。其实很简单，你把这一条线绕着 b 点设置针转个九十度是不可以了。那怎么样旋转线呢？很简单，你把这个线放在一个直角三角形中，理解没有， 对吧？他在一个二乘以四的直角三角形中，你旋转完毕之后呢？你把这个整个直角三角形绕着 b 点旋转九十度吗？你这个数值的他不就转到水平的位置了吗？就转到这里了，懂了没有？你这个水平的，他不就转到数值的位置了吗？ 懂了吗？就像这个样子吗？各位同学能不能理解，你这个二乘以四的直角三角形绕 b 点旋转九十度，就会到达我们的 a 二， 看到没有，这个点就是我们的 a 二了，明白了不啊？就像这样一样的道理，那接下来我们再转 o 这个 c 点，我觉得旋转是比较简单的啊，为什么呢？你这个线它就是水平的吗？三个单位，所以你转完之后是不是就是三个单位啊？所以我们这个，哎，我们的 c 二呢？就在这里，对吧？ c 二就在这里，是不是？其实我个人觉得这个图好像也不是特别标准，为什么呢？你绕 b 点旋转的话哈，其实有 b 二吗？他没有，对吧？其实这个三角形他就是我们旋转后的我们对应的图形。 b 点呢？你绕着 b 点转吗？这不就转完之后的我们旋转之后的三角形吗？ 搞定好简单，我们就过的稍微快一点点，我们继续往后了，一起来，再来看我们今天的历时期。 这个题其实本质上是我们三角函数的一个应用，其实我们现在全国各个地方三角函数以前有什么呢？有什么羊角福角问题，有什么方位角的问题，对吧？有我们的什么坡度问题。但是全国现在 慢慢慢慢的更形成我们三角函数的生活中的实际应用，比如水龙头呀，我们的行李箱呀，对吧？哎，我们的夹子呀，我们的这个平常生活的这种什么呢？照明灯呀，就是跟我们的实际生活联系的，它依然是什么呢？ 依然是我们所谓的什么仰角、俯角的问题啊。好，现在某校为了检测师生的体温，再需要这么安装了。某型号的侧卧门。好，如图，是侧卧门的。呃，前面是一图，现在我告诉你整个 a d 的 顶部 a 处距离地面是二点二米。你发现这种题的就是比较啰嗦， 你就直接告诉整个高度是二点二就可以了，对吧？就整个高度多少呢？是二点二我就不带单位了。 好，为了了解自己有效的测温区间，身高一点五米的小熊做了如下实验。啊，身高一点五米对吧？他在地面 n 处时测的，嗯，就是测温门开始显示额头的温度，就是在这里的时候开始测温度，此时在额头 b 测的阳角是十五度，阳角是什么呢？ 就是这个角，说白了啊，就这个角，对吧？你抬头去看你这个 a 嘛，你的水平视线跟你的啊，就是水平线跟你的视线所夹的这个角，就是我们，怎么样的啊？阳角十五度， 好，那然后呢？在地面 m 处就是你小葱跑到这里，对吧？那么此时阳角十五度，阳角十五啊，四十五度， 仰角多少度呢？仰角是四十五度，也就是告诉你怎么样呢？这个角它又等于四十五度了啊，就这个角对吧？它等于四十五度，一般像这种角度呢，我们都会尝试把它放在直角三角形中。好，我们继续往后了。 小聪的身高是一点五米，所以也说你这个 b n 是 一点五，你这个 c m 也是一点五，对吧？好，现在我告诉你，小聪在地面有效测温 m n， 让我们去求这一段的长度该怎么办？ 这个长度也就是求 bc 或者求 m 都可以，对吧？怎么求结呢？首先你要知道啊，这个十五度和这个四十五度。十五度，知道三角函数四十五是一个特殊直角三角形，所以我们都容易想到要把它放在一个横平竖直的直角三角形中，哎，也就大概长这个样子， ok， 好， 把它延长出来。 好，延长出来之后呢，比方说，呃，这个角呢，也就是九十度了，我在这里就放一个屁，行不行？你这二点二，先走开， 放个黑色的屁吧，看到没有？亮了，放个屁，臭死。那些听一半逃跑的各位同学们，好，现在你要知道咱们整个的高度多少？整个高度是二点二吗？ 而你这个高度一点五，这个高度一点五，所以咱们这个高度也是一点五，对吧？因此我们可以知道剩下的这一段的长度等于多少呢？这一段长度他这一点是二点二，减去一点五，也就零点七，没有问题吧？ 啊？这个长度它一定是零点七。好，现在我想问一下，四十五度怎么用的？你是一个等腰直角三角形，所以我们知道这个边的长度是不是也是零点七没问题吧？零点七。好，剩下的你让我求谁？你让我求 m n， 对 吧？我不，我只要求 bc 不 就可以了吗？ 求 bc， 我 不，我只要求整个 p b 是 不是就可以了？那接下来怎么求？这是一个含有十五度的直角三角形，我知道它的对边，我要求它的邻边，我要用什么？我一定要用它的正切值，对吧？也就是我们知道 tan 紧的 十五度，它等于多少呢？我就不再写什么 a p 比上 pb， 我 就不再写了，我直接用零点七比上 pb， 可不可以用零点七比上 pb， 它等于多少？约等于零点二七嘛？哦，约等于零点二七，但说白了 也就怎么样呢？左边乘以 pb， 右边乘以 pb， 右边乘以 pb 呢？也就是零点二七倍的 pb 等于多少？等于零点七，对吧？ 那接下来也就是 p b， 你 可不可以求出来？一定可以吗？你把 p b 求出来，约等于多少？你用零点七除以零点二七吗？哎，我们打个草稿，零点七除以它呢？其实就是七除以二点七，就是七十除以二十七嘛？ 七十除以二十七，我们上几呢？上三不够上二，好吧，二五十四，也就是剩下十六十六，我们上几呢？呃，你借了一个零，也是我们上 九，可以吗？试一下好不好？哎呸呸呸，什么叫亮亮你唱我揍你啊，求你，我们上上六行吗？六，一百二，四十二，不行，我们上五，对吧？好，五七三十五，一百三，剩下二十五，对吧？ 呃，那剩下也就二百五十除以二二十七呢？那此时我们好像真的可以上亮刚才所说的 九了。对，我们试一下啊，你上个九七九六十三，对吧？哎，六十三，嗯，一百八，二百四十三，所以也就于七。哦，也就是怎么样呢？ 他是二点五九，你在上就是上二三也不够，对吧？所以也就是他是约等于二点五九的，有没有问题？ p b 是 二点五九吗？整个是二点五九，所以我们整个 bc 的 长度呢？也就是我们要求的你的 m n， 对 吧？它就等于 bc， 等于什么呢？用这个二点五九，我减去你这个零点七吗？减去零点七，所以等于多少？等于一点 八九，但你要知道这个题目精确到零点一啊，精确到怎么样？精确到我们小数点后一位，所以我们知道它约等于多少？约等于一点九。 好，我就不带单位了，最终作答的部分呢，量就省略了好不好？所以其实你有办法像这种题呢，我个人觉得还是比较常规，也是比较简单的。好，接下来我们继续往后了， 我们再来看一下我们今天的例十八这个题，它相当于是我们相似的一道简单的综合应用了啊，我个人觉得难度也不高。好，首先呢，我们给出一个三角形 abc， 大 大大大三角形 好， d 分 别在两边上， d 点在这，一点在这啊。然后呢， d、 e 平行 bc， 而我们 d、 e 呢， 是平行于 bc 的， 对吧？哎，那既然平行，我们知道这个三角形跟整个大三角形百分百就是相似的。好，现在 a、 f 比上 f、 d， 我 告诉你 a、 e、 f 比上 f、 d 干嘛呢？等于 a， d 比 d， b 等于 a， d 比上 db， 这啥呀， 这个边比这个边，等于这个边比这个边，风马牛不相及，乌七八糟的，对吧？好，第一步，让我们求成 e f 平行 d， c， e f 平行 d， c。 其实我们去求两直线平行啊，当然，你可以用什么同位角，内错角，同旁内角，对吧？除此之外呢，在我们整个相似里面，你有两种方法，第一个，就用相似去证明我和你相似了吗？ 这个三角形要是相随整个大三角形，那不用说，我一定跟你平行，我就不再多解释了啊。第二个呢，用平行线分线段成比例定义，什么意思呢？比方说 d， 我 直接放这里啊， 因为 d 平行 bc， 好 吧，我们知道 d 是 平行 bc 的， 我考试，哎呀，我怎么直接比了呢？因为他 d 是 平行 bc 的， 对吧？两直线平行这个边，平行这个边。那我请问各位同学们， a、 d 比上 b、 d 等于什么？所以我们知道 a、 d 比上 b、 d， 它一定等于什么呢？ 哎，当然，这个题说了，等于 af 比 f、 d， 对 吧？啊，还等于 af 比 f d 好， 行，等于 af 比上 f、 d， 题目说的嘛，是不是 还等于什么呢？你这个线跟这个线平行，所以我左边比左边，那就一定等于右边比右边，对吧？所以它一定等于 a e 比上 e、 c， 结束了， 没了，搞定了你会发现 a、 f 比 f、 d 就是 这个边比这个边等于什么呢？等于这个边比这个边吧，对吧？所以我们知道，那这两条线一定平行， 平行线分线段乘比例定里是不是？那你只有这两条线平行，才能左边比左边，等于右边比右边吧，理解了，没有百分百是平行的啊。 好吧，好，当我们推出来平行之后呢？那第一问不就搞定了？那其实我们也知道这个三角形一定相似于整个大三角形，对吧？好，接下来我们继续往后了。这里我告诉你， a f 这三 af 这个边是三， f d 是 六，这个边是六，那你比我是一比二吗？所以这个边比这个边一定也是一比二了，对吧？没问题吧？所以也就是我们知道 a e 呢，比上 e、 c 就 等于你的三比六，也就是一比二的吗？是不是？我是 m， 你 一定就是二 m 了，一比二， 好，你要注意啊，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，第一问我们就用到了吗？一边，好，现在我告诉你， d 是 六倍根号三，这个题太简单了，这个边呢？六倍根号三，让我们求什么？求整个底边 bc 的 长度等于多少？我们刚才说了， 这个三角形一定相似于整个大大大大三角形，相似比是几比几，你不要觉得是一比二啊，这个三角形它的 m 比上整个大三角形三 m 相似比是一比三的，你是六倍的高三，所以整个里边十八倍的高三。简单，我就快一点，我就不再写标准过程啊， 我们直接过了。好，接下来我们来看一下我们后面的例十九。好，其实在我们正考里面，除了我们常规的像全等的判定呀，箱子的判定这种题目之外，还有一种他很多题目他喜欢考我们这种常规的四边形， 什么平行四边形，矩形啊，菱形，正方形，他简单的性质与判定的综合，比方说他就是一道非常具有代表性的题目。好，我们一起来看看。 首先我给出一个长方形，也就是矩形 a b， c， d 在 这里，对吧？好，延长 a d 至 f 点延长 a d 到 f 有 什么要求呢？使得 d f 等于 a d 好， d f 等于 a d， 并且我们知道这个角一定是直角。哎，其实你会发现啊，各位同学们， 那你这条线不就是 a f 的 垂直平分线，有没有问题？我这个线我既垂直，你吗？我怎么样？我还平分你吗？对吧？ 所以它是垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离相等对不对？以及垂直平分线上点到线段两端距离一定相等的。好，我们继续往后了，说白了就是怎么样呢？子边等于子边对吧？ 以及呢？绿边等于绿边，但是子边跟绿边相不相等，不知道啊，你目前为止你是不知道的，明白了没有？子边等于子边，绿边等于绿边。 好，这个题目先来告诉你，那过 a 点做 a e 平行， c f 就是 a e 呢？和 c f 是 平行的，那平行其实在几个题目里面就相当于怎么样呢？嗯，告诉你内错角同位角之间的关系，就这个角呢？它等于这个角，对吧？ 是不是这两个角相等？那又能怎么样？注意啊，因为你这个三角形，对吧？绿边的绿边等腰三角形，它有三线合一的性质， 你是底边上的中线，底边上的高，你一定是顶角的角平分线，所以这两个角相等，明白没有？ 这两个角相等，你是 a r 法，我也是 a r 法，我也是 a r 两个 a r 相等，所以咱们是等腰三角形，所以紫边跟绿边相等，也就我们可以推出四边相等，好不好？四边相等我就不再说了。这边，哎呦吼，四边相等，也就是这些角呢，我都把它清掉，可以吗？ 哎，这边角度七秒，我们正出它是个啥呀？它就是个菱形嘛，我就把它都标成子边，咱们都把它标成子边，可以吗？好，你给我发第一问，让我们证明菱形，我们就搞定了。 好，接下来我们看一下第二问好，连接我们的 b 交 a d 于点记。什么意思啊？但你发现我们后面好像跟点记没有关系啊，他说当 ab 等于二， ab 是 二，你角 a c b a c b 是 哪个角？ a c b 是 我们这个角，对吧？这个角， 这个角的正切值是一比二的啊，就是我的对边比上我的零边是一比二的，所以我们知道旁边这个边呢，他就一定是四啊，就是咱们这个边是四。其实让我求什么？求 b 的 长，这是不是有点过于简单了， 对吧？你是二吗？所以我这个边不也是二吗？那菱形的对角线相等且互相平分，这个边不也是二吗？你让我求 b， 这这这啥意思呀，对吧？ 而且你要知道这是一个长方形，长方形这个角还是个直角，对吧？所以你发现在这个大大大大直角三角形中，一条直角边四，另外一条直角边也是四，根据勾股定律，所以也就求出来四倍根号。这个题你会发现我们没有写任何的我们的函数标准过程，求解完毕，我们直接过了啊 啊，所以你看前面大题，我个人觉得都比较常规。好，接下来我们再看第二十题。这个题我觉得也不难。好， ab 是 圆的直径啊， ab 呢？而不是圆的弦啊。好， o d 垂直 ab， 那 你过圆心向弦做垂线，不用说了，垂进定力，这个边一定等这个边，对吧？ 好，垂直是 h， 好， bc 呢？垂直 ab， bc 垂直 ab， 那 已经标出来了，好，连接 a、 d 延长交 b 啊，这个，这个交 a d 的 延长线呢？于 c 点。好，现在问题来了，第一个求证， d 是 ac 的 终点， d 是 整个 ac 的 终点，也就是求证这个边等于这个边，对吧？其实证明的方式也有很多，比方说我求证，嗯，你用相似于整个大三角形一定相似的， 相似比是几比几呢？你这个三角形用这个边比上整个大三角形的这个边，相似比是一比二， 所以你这个三角形的这个边比上整个大三角形的这个边相似比是不是也是一比二？那 d 不 就是终点了吗？对吧？那除此之外，还有还有没有什么其他的方法呢？有，比方说，各位同学们， 我们就用到我们刚才所谓的垂进定律的结论吧，好不好？我们比方说连接一下 b d， 连完之后你要知道，首先这两个角相等，我觉得各位同学应该没有问题吧，是吧？就是这个角，对不对？ 等于这个角没问题吧，为什么呢？因为你垂直于弦，你平分弦，而且平分弦所对应的弧，也就是这条弧一定跟这个弧相等，等弧对等弦嘛，所以也就这条弦等于这条弦，对吧？嗯？等弦 对等角吗？所以，哎，也也不呸。不是啊，说你是个等腰三角形，所以两底角相等，除此之外，你还可以垂直平分线的。我既垂直你，我又平分你，我不就是等腰三角形了吗，对吧？哎，我到你两边距离相等吗？等腰三角形，所以这两个直角一定相等。 好，我离你是阿尔法，我离你是阿尔法。好，接下来你有法，我们用最笨的方式，你是个大大大大直角三角形，对吧？啊，这个角是直角的，题目中说的 对不对？你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角一定多少，一定是九十度减 ar 法，你这是一个大大的直角，没问题吧？拿走 ar 法，所以这个角呢，也是九十度减 ar 法。 好，到这里就证明完毕了。那依然是重点。为什么呢？你是个等腰三角形，所以咱们这个蓝边一定等于蓝边，对吧？等腰， 同时我也是一个等腰三角形，这个绿角等于绿角嘛。所以呢，我也是个蓝边。哦，你是蓝边，我是蓝边，你也是蓝边。三条蓝边相等地是个重点，所以我发现我们不管怎么样都可以挣出来搞定， 我们用两种不同的方法去推倒他了。啊。好，现在我们再来看一下那。哎呦，这个行吧，不要就不要，有什么大不了的，清掉 都不要了，可以吗？我们主要来看第二问，第二问现在告诉你， ab 呢是六，这个是三，这个是三了， ac 是 二倍的根号十三，那你这个边呢，就是根号十三，对吧？ 你要知道我们刚才第一问求证，你是终点吗？这不就根号十三吗？这个不也是根号十三吗？对吧？我们都知道根号十三，但是中间呢，我把它用一个彩色的点把它割开， 让我们求圆的半径，这是有点过于简单。首先你要知道啊，这是个直角三角形，知道斜边，直角边，我们可以求出这条边的长度几呢？这个边的长度一定是二，虽然这个度不是很标准啊，你让我求半径，那我首先得把半径给构造出来，对吧？好比方我们去连接 o a 吧， 可以吗？好，连接完毕之后，也就是差不多长这个样子，连接 o a， 那 此时扭法我们要求半径，我就令半径是 r， 可以吗？你这个是不是也是半径呀？对吧？也是半径拿走两个单位，所以剩下你会发现这条线段的长度呢？是 半径减去二，是吧？那最终在这个直角三角形中，咱们用勾股定律可以直接求解吗？你的平方，也就是半径减二的平方， 加上你的平方，就是我们垂径定律非常常见的一种题型，对不对啊？等于斜边的平方，所以我们求出半径的平方减去四倍，半径加上四加上九等于多少？等于半径的平方左右两边咔嚓了，我们知道四倍的半径等于十三，所以我们求出的半径呢，等于四分之十三。 计算过程，那样写的就稍微快一点点啊，我们继续往后了。好，接下来我们再来看看，我们后面稍微有一点点的，终于来了，对吧？我觉得这个题目算是我们所有大题里面有那么一点点分量。第二十一题， 好，首先我告诉你，你是角 e r 法角贝塔都是锐角，一个角的正切是二分之一，一个角正切是三分之一啊，求这两个角的度数之和。 好，如图一，小亮同学呢，在边上唯一的正方形的网格中画出了角 b a d 和角 c a d。 其实我告诉你，这个叫做一二三四五模型，他在我们处理某些特殊三角形或者某些怎么样的，嗯，线段求解的时候非常非常的快啊， 好，然后干嘛呢？在图中画出角 b a、 d 和角 c a d， b a d 是 哪个角？ b a、 d 是 这个角，对吧？你发现这个角呢？它的正切值不就是，喏，它在个一比二的直角三角形中吧，对吧？所以这个角的正切值呢，就是二分之一的，对不对？这个角的正切值二分之一， 好，剩下还有一个角 c a d c a d 在 哪？ c a d 其实就是这个角嘛，对吧？你会发现这是一，这是三，所以这个角的正切值呢，不就是三分之一吗？啊，一个是 a r a， 一个是 beta， 所以这两个角的度数之隔也就是这个角了，是不是阿尔法加贝拉就这个角嘛，对吧？好，现在问题来了，嗯，按照这个思路，求阿尔法和贝拉，也就是求这个角的度数之隔，这个很简单啊，那我们去求，既然能求出来，你觉得这个角可不能比方七十三度呀， 哎，四十六度呀，像这个咋求我都不会，对吧？更不要说你们了，说他很显然是一个特殊角，特殊角，它往往出现在特殊的直角三角形中，我们连接 bc 好 不好？ 连接 bc 之后，你会发现我们可以得到什么结论呢？你会发现呐，各位同学们呐，我们这是什么？这是一个一乘以二的直角三角形，对吧？同样的，我们这是一个什么呢？这也是一个一，哎，这也是一乘以二的直角三角形，看到没有 啊？大家都是一乘二，大家都是一乘二的直角三角形，所以这两个三角形一定全等。理解了。没有全等对边相等嘛，所以你这个子点 一定怎么样呢？等于此边，我们目前正出它等腰了，我们再正出一个直角就可以了，对吧？直角怎么正的？非常简单，比方说啊，我用最快的方式把它标注出来，我令这个角呢，是 a r f 可以 吗？那你全等对应角相等，这个角一定也是 a r f 没问题吧？好，接下来我再用这个角呢，我再令这个角是，嗯，比方说，这个角我把它丢一边去啊，这个一走开，我再令这个角是 b 的， 对吧？再用这个表示 beta 搞定了。因为你会发现，在我们这个直角三角形中，喏，在这个直角三角形中， a r 加 beta， 哎，我我，我们这个题有 a r 加 beta， 哎，你就忽略一下好不好？忽略忽略啊，你把 a r 加 beta 一定是九十度嘛，对吧？ a r 加 beta 一定是九十度直角，你这是 alpha， 你 这是 b 呢？我们刚说 alpha 加倍到九十度，苏宁凡他一定是一个直角，理解，没有。苏宁凡，我们是一个等腰直角三角形。因此，这个题，我们本来要求的这个角多少度呢？就这个角，对吧？一定是四十五度 好不好？哎，所以第一问呢，我们求出来四十五度，搞定了。好，接下来我们再来看一下啊。呃，第二问，第二，我觉得他跟第一问好像没有什么关系啊，那我就直接把它清掉了，我把这个也清掉了，可不可以？ 我把这个咱本来就不能带有阿尔法和贝塔，所以我都把它清掉。四十五度。好，现在我告诉你，如果一个角正切是刚好三，另外一个角正切是三分之刚好三，求阿尔法解密了，其实你要知道谁的正切等于刚好三呢？在这里面我就不再详细解释了。可不可以？我们前面其实已经讲的比较憨了，对吧？这个角是六十度， 对吧？你这个角多少度呢？这个角三十度，对应完我们再处理三角函数，我们如果知道它的特殊角，你就先把它求出来，就这两个角相加呢？你这完全送分的吗？九十度。 第二问比第一问更简单。好，这个题难的是我们的第三问。好，现在我告诉你，埃尔法，贝塔，呃，包括那个，这，这个念什么我已经有点忘了啊，对吧？他们都是锐角。嗯，现在我告诉你，我的正极是七分之一，对吧？ 啊？并且这两个角相加等于它让我们求它的正值，该怎么办？嗯？ 是 c 卡马还是 f 七龙啊？好像不对啊，好像是，不管读什么，嗯，就是求它的正值。就是首先我们需要构造一个三，一比三和一比七的。首先一比七，你要知道它是比较难构造的，我们先把它构造出来。可不可以画一个七， 这是怎么样呢？这是长度为七，没问题吧？是不是你数一下长度为七，然后另外一个长度为一，是吧？就像这个样子，那所以你要知道这个角就是我们的 beta 角，这个角是不是我们的 beta 角 把它标出来，就这个角，是不是这个角是咱们的贝塔角？好，那，呃，正确，是一比七。那现在这个一比三怎么弄的？一比三，你会发现如果你像这样画的话，他就有点麻烦了，是吧？我们用用用这个蓝色的画吧。一比三，你这么画出来， 这有啥用呀？你这个角呢？是埃尔法，埃尔法加贝塔，就这个角你放根本搞不定，对吧？这，这怎么求解？ 有点麻烦。那么在这面我们会想，一比三为不要放在一乘以三，我可以放在二乘以六的直角三角形中，可不可以，可以吗？对吧？我做两个一乘以三吧，所以你有法，也就这个边是二，剩下一个边是六，行不行？行吧？那所以也就是这个角呢？它就是我们的阿尔法，是吧？ 它就是我们的 a r 法，所以你所谓的就是让我们求这个角的正切值了，怎么求呢？有量了，可是这个好像也搞不定啊，大家会发现，其实我们刚才标注的是一个什么，它就是一乘以三的直角三角形，大家记不记得等下我在这里把它标出来啊？黑色的， 黑色的，大家记得吗？这是一个二乘以六，哎呸，二乘以六的一个直角三角形，对吧？ 好，接下来你会发现，各位同学们，如果我把这个去掉呢？看清楚啊，你，你，我这个红线怎么移动？你这个贝纳角肯定是不变的吗？对吧？我红线怎么移动，你这个贝纳角肯定不变吗？是吧？你这个角依然是不变的。好，接下来大家看看，如果我连接这条线呢？ 连接起来，大家观察一下，你会发现我把这条线放在了一个直角三角形呢，我也把它放在了一个 v， 为，能看到吗？所以切正反，这个边是一吧，这个边是三吧？哦，你是个二乘以六直角三角形，你两边这里是一比三，我也在一个一比三的直角三角形中。请问接下来各位朋友 护理完毕了没有？是不是已经搞定了？然后把它清掉不要了？把它清掉不要了，可不可以？所以大家能想到吗？你会发现呐，咱们这个直角三角形两只角边是一比三，我们这个直角三角形两只角边，这里也是一比三，所以这两三角形一定是相似的，对吧？ 啊，那既然相似，那我请问一下，举个例子，比方说我们令这个角，我就不再去像刚才那样犯错了啊，比方我令这个角是 x， 好吧，相似了，那你这个角是不是也是 x？ 没问题吧？好，接下来我再令这个角是 y， 比如这个角我们令它是 y， 对 吧？你告诉 x 加 y 等于多少度？它是一个直角三角形嘛？所以我们知道 x 加上 y 一定等于九十度，那你是 x， 你 是 y， 我 们刚说 x 加 y 等于九十度嘛，所以我们可以推出，那这个角百分百是一个直角， 对吧？所以我们把 ar 法加倍啦，直接把它放在了一个直角三角形中，你让我求整个大角它的正切值，对吧？你只要用这条边比上这条边就可以，那这个需要求出来吗？你可以把这个边求出来吗？你可以把这个边求出来，但这需不需要？求不需要， 因为你会发现这个三角形跟这个三角形相似比是几比几？我的一比上，你的二相似比是一比二吗？所以你用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边，那不就等于相似比吗？那不就是一比二吗？所以你把它的正切值呢？就是二分之一。 嗯，好吧，其实这个题主要考察我们所谓的一种转化思维了，我们接下来继续往后了，再来看一下我们今天的第二十二题，其实这个题你会发现呢，我个人觉得还没有我们前面那道圆难的 好。首先，在我们三角形 a、 b、 c 中，我告诉你， ab 的 ac 的 啊，就是 ab 这个红边，对吧？等于 ac 这个红边，这两个红边是相等的好 啊， d 是 bc 终点。你这么说的话，我觉得就有点看不起我，你连接 bc， 他 百分百是个等腰三角形吗？你取终点，所以也就是我们知道这个边等于这个边，对吧？你这会还知道这个角呢？一定是直角，对吧？这个角一定是直角啊，就这个角一定是 我标这里吧，一定是九十度，可以吧？嗯，好，现在你看它又给出一个条件，角 abc 谁啊？ abc 就是 这个角，对吧？它的角平分线，交 a， 交 a d 一 点啊，这是个角平分线，角平分线。那行吧，我就把它标出来，你这两个角角相等吧，就是咱们这个角，对吧？ 怎么样呢？哎，我画的稍微好看一点点吧，就咱们这个角怎么样？一定等于这个角， 两个小角相等，两个蓝角相等。好，问题来了，嗯，现在我们以 o a 圆心啊， o e 为半径，以 o a 圆心， o e 为半径干嘛呢？ 呃，点 o 在 延长线上面，对吧？我们画个圆。好，如果 ab 是 二倍根号三，你想想啊，你这是二倍根号三，对吧？你是二倍根号三，我也是二倍根号三，你 b d 是 刚好三呀，你 b d 是 刚好三。其实说白了它是个什么东西？各位同学们， 他不就是一个等边三角形吗？对不对？等边三角形，你现在让我求半径，这咋处理？等边三角形 每个内角怎么样？六十度，你平分这个角三十度，所以呢，你要知道没有问题吧？等边三角形吧，所以这两个角都是三十度， 你是个直角三角形，所以我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们要求怎么样呢？求圆的半径。哎，我把这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢？拿走 连一下，这不就是半径吗？嘿嘿，那，那你会发现剩下我觉得非常简单。为什么呢？这个边是半径吧， 这个边是半径吧，两边相等吧。等腰三角形，等腰三角形一旦含有六十度，他立马是个等边，对吧？这不百分百是等边，那其实说白了也就是我们这个角呢，他也是六十度，是不是这个角，这不也是六十度的直角三角形，你看看较长直角边是刚好三吧。 嗯，这个直角边是刚好三，所以你不管根据勾股定律还是特殊直角三角形三边比的关系，这个边呢，他是一，这个边呢十二， 所以也就是我们求了第一半，你十二，当然这个题的方法很多啊，对吧？方法非常非常多啊，我们在这里随便说其中的一种。好，我们把它清掉了。清掉了好，第一个的条件在第二个里面有能用吗？他就不能了，因为他说的弱吗？对吧？ 那所以你会发现这些长度呀，这些特特殊的线段呀，你就不能再用了啊。好，我们都把它清掉。好，接下来我们一起来看第二问清的。第二问是什么呢？是圆和 a d 延长线交界 f， 呃，你把 a d 延长，对吧？和圆交 f 点好， m 是 c f 的 中点好，也就是我们告诉你这两边相等的，对吧？这个边等于这个边。其实我们知道这是一个直角三角形嘛，直角三角形斜边中线一定等于斜边的一半，也就是这三条线段一定相等。好，接下来 连接 md， 边延长的交于 n 点，对吧？让我们求什么？求 b n 等于 b d， 哈哈， b n 等于 b d， 这太简单了，我们为什么这么说呢？首先你会发现呐，各位同学们， 咱们可以标注一些角度啊，也就是我们可以推出这个小的蓝角，它一定等于这个小的蓝角，对吧？等于幺三角形，两底角相等吗？ 而你要知道，这个角呢，是我们这一段弧所对的圆周角，那么一定等于这段弧所对的另外一个圆周角也是怎么样呢？咱们这个角它也是一个蓝角。 好，那到这里你会发现还有什么呢？这个蓝角它的对应角是谁？我先把你这个绿色的九十度清掉啊，好，它等于这个角，对吧？ 好，当我们知道这两个角相等之后，整个题目就结束了，为什么呢？因为你要知道咱们这个角是直角的，是吧？我们刚才已经标注出来了。嗯，好，你会发现呢，那也就是你跟我相加是直角九十度，那么我跟你相加自然也是直角九十度，没问题吧？ 也就你会发现咱们这是一个直角三角形，我标哪比较好？标这里，对吧？这个角一定是九十度，那这时你会发现 我这是一个三角形。那我顶角的角平分线吗？角 abc 的 平分线，一个三角形，顶角的角平分线同时是底边上的高，那么他一定是等腰三角形，所以也就是我们可以推出怎么样呢？哦，也就是 b， d 这个边呢？一定等于边，这个边证明完毕，搞定 好，接下来我们看最后一题。那么给出一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b x 减三，与 x 轴交于 a 点，负四零啊，就是 a 点坐标呢，是负四零的，我们把它在途中呢，把它标注出来。 好， b 点坐标是一零， b 点坐标一零，与 y 轴交于 c 点，其实 c 点坐标我们也可以求出来，对吧？也就是零负三，我们看一下它到底想干嘛？ p 点是直线 a， c 下方抛物线上一点，也就是又在直线 a， c 的 下方，又在抛物线上，所以 p 点只能在这一段红色的圆。哎，这个，呃，弧线上运动好。 b 问，让我们求 a 加 b， 其实说白就是让我们求二次函数表达式啊，你想想知道，三个点坐标求二次函数表达式，我就直接省略了好不好。 y 等于四分之三， x 平方加上四分之九 x， 再怎么样呢？减去三，所以 a 等于四分之三， b 等于四分之九。因此呢，我们可以求出来 a 加 b 等于几，我们直接求出来。等于啊三， 好不好？简单，我们就过的稍微快一点点。好，这个题的第二个主要考察我们所谓的面积问题啊，好连接 a、 p、 c， p、 bc 啊，你会发现，把 a、 p 连接起来，把 c、 p 连接起来，把 bc 连接起来干嘛呢？ 好过 p 点做 x 轴的垂线啊，垂轴是 f， 和直线交一点，对吧？好，他帮我们做了很多线， 说当 p、 a、 c， 也就是这个三角形的面积等于五分之四倍的 a、 b、 c 等于这个三角形面积五分之四倍的时候，让我们求 p 点坐标。 其实我告诉你这个题常规的方法是什么呢？注意就是把 a、 b、 c 的 面积求出来，可不可以求知道 a、 b、 c 的 面积一定可以求出来，对吧？ 求完出，求完之后呢，那么五分之四倍的我们自然就会轻松搞定了，也就是我这个面积，整个三角形的面积等于一个固定的值， 你可以把这个三角形面积把它表示出来吗？用我们的牵扯法就可以了。在这里面我们会用到另外一个我个人觉得更加有意思的方法，叫做什么呢？叫做平行线的方法。什么意思呢？你想讲你这个三角形跟这个三角形，他们是不是有一条公共的底边？ a、 c 没有问题吧？ 那现在我要面积等于你的五分之四，底是公共的，是相等的，是重复的，我如何使得面积是你的五分之四呢？ 很简单，我只要使得 p 点到你的距离我的高和 b 点到你的距离，我只要使得这两条高是一个四比五的关系，说白了 就是我这条高是你的高的五分之四是不就可以了？好，如何保证我的高是五分之四呢？我们只要做一条平行线就可以轻松搞定了。首先呢，我们把直线 a、 c 把它画出来，那我想问一下，直线 a、 c 的 表达式咱们可不可以求出来？各位同学 一定可以，对吧？为什么呢？因为你要知道我们 a 点坐标是负四零， c 点坐标零负三吧，是吧？你是负四零，你是呃，零负三，呸，所以我们知道整个直线表达式一定给求出来，给我一点时间，好吧，零减负三三，呃，负四减零，负四三除以负四，也就是 负四分之三，也就是 y 等于负四分之三， x 再减去三。好吧，大家可以验证一下，你会发现量求的是对的。好，接下来我们过 b 点呢，直接做他的平行线，过 b 点做你这条直线的平行线。好，做完之后大概长什么样子呢？就大概长。哎，我把它画一下啊， 我把它画成虚线，可以吗？嗯，也就差不多长这个样子。那你要知道啊，两直线平行 k 是 相等的吧，你的 k 是 负四分之三，所以我的 k 一定也是负四分之三，对吧？好，那问题来了，我这个 b 怎么求呢？ 因为你要知道，咱们经过一零，我们不是随便画的平行线，我们是过一零点所做的平行线，有时候你把一零带进去，一定一定可以使得整个等式成立，对不对？所以你说你后面加的是几，你把一零带进去吗？横坐标零等于负四分之三，对吧？ 哎，有数量的我不理解，注意听清楚啊。你把横坐标一带进去吗？右边不就是负四分之三加上谁吗？等于左边你把 y 等于零带进去吗？是吧？所以你发现这里面就是四分之三了， 是不是你加上四分之三才能等于零吗？哦，也就是我们的屁股是什么呢？咱们后面这个屁股是加上四分之三。好，问题来了，各位同学，我如何使得 b 点到你的距离和你这个 p 点到你距离是 五分之四倍的关系呢？其实很简单，你首先看看他相当于往上平移了几个单位。我把这个都清掉啊，你想想从我们下面这个线到上面这个线，从这个线到这个线往上平移了几个单位得到的呀？你往上平移了，从负三到四分之三，他相当于往上平移了 四分之十五，相当于往上平移了四分之十五个单位，对吧？ 你往上平，我往下平移距离只要是你的四分啊，只要是你的五分之四是不就可以了？你往上平两个单位和往下平移两个单位之间距离相等吗？你往上平移和往下平移距离，对吧？哎，我往下平移，如果往下平移 四分之十五个单位，那么 p 点到你距离跟你 b 点到它距离百分百是相等的。但现在我要保证我的高是你的五分之四吗？那我干嘛？我直接乘以五分之四就可以了。理解，没有 咔嚓，咔嚓咔嚓也是。我们怎么样呢？往下平移三个单位就可以了。好，也是怎么样呢？我们往下移三个单位就可以轻松搞定了。 往下移三个单位我们可以得到什么样的直线呢？也就是差不多啊。哎，我随便画一下，在哪不知道啊，就差不多在这个位置，可不可以？嗯，大概长这个样子，你想想这条直线往下平移嘛，那也是在屁股上直接减三，对吧？所以也就是等于负四分之三 x， 你再减三呢？那不就减六了吗？哦，也就是我们这条直线上与抛线的交点就是我们要的 屁点了，理解没有？则是 b 到我的距离跟屁到他距离，我的距离一定是你的五分之四，面积就是五分之四，所以这个交点呢？这个就是我们的第一个屁，这个就是我们第二个屁。我们可以把所有屁点一个不拉全都求出来 好吗？可是问题来了，这个屁怎么求呢？太简单了，你讲讲二函数表达式，知道了你这个一函数表达式，也知道求二者的焦点简不简单？非常简单，对吧？使得它等于它构造方程吧。所以也就是怎么样呢？嗯，我写一下， 四分之三 x 平方加上四分之九， x 减三等于负，四分之三 x 减去六啊，这里的空间不够了，所以我直接稍微口算一下，给我点时间啊， 等一下我好不好？我同时移过去，四分之三 x 加上四分之二，也是加三， x 加上三分之四 x 方加上三分四 x 加上四。哎，刚我们求出来也就是他是 x 加二的平方，对吧？哎，等于零，所以我们求出来也是 x 一 等于 x 二等于负二啊。比如我们求出来 x 一 等于 x 二等于负二，其实这个意味着什么？各位同学们，就意味着也就是我们最终怎么样的。 它刚好是相切的，是吧？它只有一个焦点。为什么呢？我们算出来整个方程的解只有一个对应的数字吗？也是，我们求出来。你这个坐标呢？我写哪？写这里吧。哎，好不好？这里写不下，所以屁点的横坐标也就是负二，对吧？ 嗯，那纵坐标是多少呢？纵坐标。一个把屁点带到这里面去啊一个把屁点带到整个抛线里面去啊。那我们肯定带到这里面去了。乘一下二分之三减去二分之十二也是怎么样呢？等于负的二分之九 好不好？负的，哎，等于这个负的二分之九，我们直接写负的二分之九。好，我们写到这里。嗯，好，接下来我们再继续往后来看一下。第三问啊，其实我个人觉得第三问这个题 有一点放水了。你就是他属于角度的存在性问题，但是我个人觉得有点过于简单了。他是怎么描述的？你看啊，他是这么问的，有点过分。清掉清掉，都清掉，好不好？都清掉，这都不要了。 嗯，他这么说的。那同学们点 m 是 直线， a c 上方，抛线上一动点啊，又在 a c 的 上方，又在抛线上，所以要么在这一段，要么在这一段，对吧？哦，要不要分类讨论呢？嗯，并且使得 m a o 等于 o c a o c a 是 哪个角？ o c 是 这个角吗？就这个角的，它的大小多少呢？我不知道，但我知道这个角一定是固定的，对吧？哎，我只要舍得这个角等于这个角就可以了啊。其实你要知道啊， m a o m a o 是 什么呀？ m a o 其实你会发现 就是我们一条线。哎呦吼，就是我们这一条线怎么样呢？跟我们 a o 的 夹角，对吧？哎，我要跟整个 a o 的 夹角呢，会产生一个锐角，我要舍得。这个锐角怎么样呢？等于你这个角，是不是这个意思？ 好，其实正常情况下这个锐角应该有几个呢？应该是有两个的，为什么呢？我可以在你的上方产生一个加角，我使得这个加角等于你，对吧？我还可以怎么样？我还可以在你下方产生一个加角，对吧？使得这个加角，但你有办法下方呢？ 我们这个点就跟 c 点重合了，是不是？而且这个题目明确要求只能在抛线的上方，所以这个题我个人觉得它就比较简单，是不是？嗯，就这个点呢？就是我们的 m 点，这个该怎么求？这个我个人觉得比较简单啊， 我们在角度的存在性问题。我顺便说一下啊，整个初中阶段所有角度存在性问题，他只有三种方法，第一种方法干嘛呢？我写哪？我写这吧，好不好？第一种方法也就是构造全等或者相似。第二个就是干嘛呢？嗯，构造直角三角形斜边中线。 构造直角三角形斜边中线，好不好？来进处理。第三个干嘛呢？第三个做平行， 做平行啊，所有角度的存在性问题用这三个方法都可以搞定，比方说在正面，原来呢，我们该怎么处理呢？其实这个理我觉得用这三种方法中的任何一个都有点小题大做了，我怎么样使得这个角等于这个角呢？ 你这个题太没有水平了，你其其实直接把 c 点对吧？你对称上去找 c 一 撇啊，这两个角是不就相等了？其实我们这个原理是什么呢？这个原理它就相当于是构造全等啊，明白了没有？嗯，好，也就是我在这先把这个线清掉， 好不好？咱们首先找一个对应点，四点坐标是零三吧，我又找出一个点，使得这个点的坐标，是啊，零负三，我找出这个点是零三，这样的话，我这个点跟这个点啊，是不是就对称的？对称完毕之后，你会发现，你一旦把它连接起来连一下， 你这么想吧，其实你这么连，对吧？这个三角形跟这个三角形是不一定全等呀，全等三角形对应角，对应角自然就相等了，是不是？所以一定相等，你把这条线延长吧。哎呦，你这个还有点为难，我还把它延长， 对吧？延长。所以你要知道，这个点就是我们要找到 m 点，此时 m a、 b 呢，指的不就是这个角吗？它自然就等这个角了，是吧？ 那剩下我们该怎么求解呢？一样道理非常简单喏，我们知道 a 点坐标，知道这个点的坐标，知道两点坐标，求这个一次函数表达式非常简单，等于三减零，等于三零减负，四三除以四，四分之三，哎，口算一次函数 四分之三 x 加上三就可以了。好，现在你会发现，知道一次函数表达式，知道二次函数表达式，求二者的焦点，这个求焦点还需要量去描述吗？ 使得这个函数和这个函数表达式相等，对吧？也就是四分之三 x 平方加上四分之九 x 减三，等于什么呢？等于这个东西我真的担心，有些同学可能我不构造，他就觉得有点卡壳啊，所以最终我们求出来整个方程的解是什么呢？ 呃，等一下，我觉得我用表达定理求是不是更快一些？移过去，移过来，负六，对吧？二者相乘等于三分之四，乘以负六， 负八，负四二，对吧？也就是我们的 x 一 呢，等于负四， x 二呢？等于二，是吧？这个方法我们也会讲哦，在这里面我们就不再多说了啊。你说我们最终求出来有两个焦点，一个焦点横坐标负四。为什么呢？因为这条线与抛线的焦点是 a 点吗？横坐标不就负四吗？ 所以另外一个焦点横坐标是二，也就是指的是 m 点的横坐标是二。纵坐标呢？你肯定带到这里面去吗？ 嗯，二分之三加上二分之六，也就是怎么样呢？二分之九好不好？所以我们求出来也就是 m 点的坐标， m 点的坐标，横坐标二，纵坐标二分之九。搞定，跟着亮亮无脑学习。

快速的点评一下二零二六广州高三一模的数学卷子哈。第一题考的是负数的计算和共二负数，属于冲分题。第二题考的是子集的概念，注意不要跟子集混淆了，也是属于基础题。第三 题考的是指数和对数的计算，属于基础题。第四题考的是三角函数的诱导公式和被角公式，再加一个最小周期的计算，属于常规操作。 第五题开始就有一丢丢的难度了哈，因为很多同学他高一会卡在基本不懂事上面，然后高二高三也会一直逃避这个知识点，一直没有好好的去研究他。这道题的区分度很高，不是区分智商，而是区分勇气，你有没有勇气去面对自己不会的知识点，并且去克服他？ 第六题熟练的同学基本上都秒过，不熟练的同学基本上就秒错，除了注意下预算以外，还考了导数和三角函数的结合，关键呢，你还要看得出来它是个偶函数，很多同学会卡在拐点的错误的理解上面选了个 b。 第七题跟定义有关的坐标计算，计算量不算很大，算是看着挺虎人，实际上不太难的一道题。第八题的难度就比较大了，同时考了初中的一个虎步规模型，初中基础好的话，你做一下辅助线就能比较简单的做出来。这道题的方法其实有很多的，求最值的时候也可以用导数的方法来做。 第九题也是一个生物分题啊，考的是正态分布的基础概念，不能拿满分，不能原谅啊。这道题第十题考的是三角函数的理解，属于中等难度， 要求同学对三角函数的理解和运用比较灵活才可以，有理解的同学基本上难度不算非常大吧，但是有一些依然用初中的方法来学习数学的同学啊，他们只会按题型来做一些常规的三角函数，那么这个题对于你们来说就比较难度了。 第十一题，考斜率的几何意义，不算很难，但是有坑，成绩中上的同学应该都能做的出来才可以。十二题是基础题，纯考计算从分题。 十三题中等难度，考的是一个高一的函数内容，但这个是很多同学到高考都迈不过去的一个坎，虽然不算很难了，但是预计这个题的得分率也会很低。十四题就是耐心分类讨论，慢慢计算就可以了。这道题跟前面的第七题啊，第十题一样，属于不算很难，但是烦 老师专门把这道题放在水天的，后面是拿来拖你时间的，让你没有时间去做。后面的大题是专门拿来搞你心态的，所以要注意自己的考试策略。看到这种题，你可以先跳过先去做后面的大题，有时间了再回来前面慢慢搞嘛。 第十五题，进入我们的大题部分啊，第一问是常规的倒数，然后构造，属于是练到要吐的一个类型了。第二问就是一个等差等比的分组求和，属于机操，如果不能够一秒钟出思路，同学真的是要反省一下自己这三年都在干嘛了。 十六题，从题目和问题上面看，理论上来说它是一个送分题啊，但是如果你仔细看，你会发现它里面有阴招，虽然说不算很难，但也没有那么白给， 他要你连的辅助线还是挺多的，间隙之后还要用等面积法去算一个点 p 的 坐标，比较考验同学的一个耐心了。十七题也是看上去唬人的题目，第一问就是白给， 第二问就是用阿尔法和贝塔用代数去考，不给你实际的数字，让你怀疑自己，怀疑人生，但也比较容易确认自己做的对不对啊，因为他后面给了你一个公式，如果你前面写对了的话，你马上就应该知道怎么去套公式往下算了。 十八题的第一问考了一个二次求导的问题，作为第一问的话，我会觉得他是偏难的那么一丢丢，但也属于机操了。 第二问零点也是一个很重要的专题内容了，属于有难度但也比较常规的考法，成绩比较好的同学，第二问必须给我全拿了，基础一般的同学啊，现在考完试了，必须要把第二问给我做透啊，加深对导师的理解。 最后一道题十九题，网上很多老师都说这是个送分题啊，但我觉得就未必了。我觉得这个的第一问出的很有区分度，考了一个很常见的二级结论， 但是因为圆锥曲线里面常见的二级结论其实也很多了，所以大部分的同学啥都见过，但是啥都不熟练，很容易就反应不过来，就做不出来了。然后第二问第三问曲折范围的难度一下子就上去了。 总的来说呢，这份试卷的题目还是 ok 的， 做的还是挺好的，中等的题目偏多，当中还会挖一些小坑，有一个比较好的区分度，难度适中，比较适合同学们自己反复琢磨的一份卷子了，属于是。

欢迎同学们来到这个课堂，今天我们直击广州英模数学卷的前七道单选，一起拿下接触分！前七道单选覆盖复数集合、分段函数、三角函数、 向量、喷雾线、立体几何七大基础核心考点，侧重基础运算与概念理解， 稳抓考点就能快速拿分。一、复数代数运算与共恶复数代念二、一元二次不等式求线，整数级与此级个数计算。三、分段函数的嵌套求值需判断自变量范围，选对应解释系 四、三角函数的恒等变形与最小正周期，求解。五、向量数量及运算与向量模的取值范围推导。六、抛物线与圆的综合性质、焦点斜率关系及交半径计算 七、正三棱柱中的空间几何最值问题含线段和最小值转化。第一、负四题第一题核心是负数的除法运算、分母时数化以及共轶负数的定义， 只需完成负数求解后交换虚部符号即可得出答案。第二题先解一元二次不等式， 筛选出整数元素构成集合，再依据集合元素个数计算子集数量，核心是集合的基本概念与运算。第三题 考察分段函数的取值逻辑，关键是先判断自变量的取值范围，再带入对应区间的函数，解析式需注意欠道求值的先后顺序。第四题围绕三角函数展开， 核心是利用互与角关系进行恒等变形，将复杂式子化简为标准正弦型函数， 再计算最小正周期。第五、负六题第五题核心为向量的数量基运算，结合一次方程条件，转化为平面直角坐标系中的距离问题，最终球向量模的最小值范围。 第六题通过函数求导找极值点，结合函数的奇偶性分析区间内的极值点分布， 核心是导数与函数极值的关联以及既有性的简化应用。第七题，核心是抛物线与圆的综合几何性质，结合直线斜率的条件，先确定抛物线参数， 再利用抛物线的交半径公式计算线段长度，涉及圆的方程、抛物线定义与几何性质的结合。以上就是前七道题的核心考点梳理，这部分题目属于试卷基础分板块，只要精准把握每个考点的核心逻辑，就能高效拿下。 后续可以针对薄热考点针对性练习，进一步夯实基础，为后续难题突破做好铺垫。

我岳云鹏讲二零二六届广东一模的压轴多选择题，这里半径而已知，阿尔法等于角，右系贝塔等于角 c、 o、 d 也已知，进而根据题设四面体 a、 b、 c、 d 中这四条边已知，且 a、 d 垂直 b、 d、 a 选项 a、 d 已知，则根据勾股定律可以求出 b、 d。 进而四面体的六条棱都确定好了，进而面积也确定好。 a 对 b 选项角 b、 c、 d 已知。在三角形 b、 c、 d 中使用余弦定力可以求出 b、 d。 再用高股定力可以求出 a、 d。 同样的也能得到 b 选项正确。 至于新选项，我考虑做 d h 垂直底面于 h， 此时 c、 d 与底面加角西塔为角 d、 c、 a 进而高 d、 h 已知，而底面面积同样也已知，进而体积可以唯一确定。 至于 d 选项，如果是已知的角 a、 o、 c 和 c、 o、 d 均为直角，此时可以验证二面角为九十度，这时候点 d 取法并不为一，进而体积不为一增加。这个条件无异于画蛇添足，并不能唯一确定体积。 d 选项错。

后，现在是十点十三分开始刷一下广一膜，广一膜。第一题 z 等于五除以二加矮，然后上下同乘二减矮， 然后下面就变成了四减去矮的平方，也就等于五，然后就抵消了，所以就等于二加矮，等于二减矮， 然后注意一下，他是求共讷，所以是二加矮，所以第一题选 c， 然后第二题他这个不等式整数还是求子集，所以就是 x 乘以 x 减二小于等于零， x 在 两根之间， 所以就包括零一二那三个元素，它的子集就是二的三次方选都。 然后第三题带值，先把 log 三二 log 三二的话是比一小带进去，应该是 log 三上带入，然后等于二，所以这一坨带完之后就等于二 f 二带入到第一个就等于 log 三一， log 三一等于零，所以第三题选 b， 然后第四题考的是三角函数的运算 这道题。嗯，观察一下会发现这两个角是互余的，所以互余的两个角我们可以合成一个，那么把后面呢，就变成了 cosine 括号 x 加上六分之派，然后后面就给他替换掉，然后替换完之后呢，就等于二分之一， 再乘扣三，应该等于二分之一塞，然后角翻倍二， x 加上三分之派，然后最小周期的话应该是二派除以二，所以选 c， 然后再看第三题，第三题呢？ 呃，这道题考坐标，但是呢，我们先把 a 减 b 算出来， a 减 b 就是 正常减就可以了，也就是二都二五，然后 这两个向量相乘等于一，向量相乘等于一。嗯，呃， 我们用画图几何的方法去做，我们先把二到二给他 表示出来，这个就是二到二，然后这个就是向量 c， 不是 向量 c， 这个就是向量 a 减 b， 然后它本身的长度呢，是二倍根号二的，所以我们需要我们的投影，嗯，我们用的公式是，呃，投影乘以它的长度。投影公式， 嗯，所以它的投影就应该是。所以 c 落在这个方向的投影就应该是四分之根号二， 四分之根号二，所以它的长度要比四分之根号二大，所以这道题应该是选 a， 嗯，估计 学生应该是，嗯，第四题开始计算量大的，它但凡没有用到好的方法，应该就 就会费好多时间。然后再看第六题。第六题，他在这个区间上，他的极值点，极值点就是导函数等于零的点，这是首要要求，所以我们要对他先求导， 先求导的话呢， side， 求导就是扣 side， 然后再减去这个求导就是左导 左倒右不倒，再加上右面求倒是负的 sin x， 然后左不倒，所以化简就等于 sin x， 再乘以 x 算 x 乘以 x 的 话，那它的，呃，先找等于零的结，先找等于零的结。 这个他的单调性不是类一次，也不是类二次，所以我们没有别的办法，我们只能够列表，列表的话，我们先找根根。第一个，嗯，先是零， 然后零，然后是派二派，然后三派不顺，然后是负派负二派， 然后它的导函数的正负，哦， 这个导函数的正负，嗯，这几个都是等于零的，这导函数，这都是等于零的，这都是等于零的。然后， 嗯，他的，我们先判断右边右边零到派的时候， 零到派，派二派三派，零到派的时候呢，这个东西是正的，那他也是正的，所以这个位置就是正的， 然后派到二派，横坐标是正的，纵坐标是负的，所以这是负的。然后再看左边。 呃，这个是负的，负负为正，所以这是正的，然后再左边。 哦，这个，这个忘说了。大于二派的时候，二派到三派是正的，这是正的。然后负二派到负派，负二派到负派， 负派负二派。然后这个是正的，这是负的，所以这是负的。然后这个在左边就是负负为正，这就是正的，所以就是增减增增 减增。极值点，所以极值点的话，应该是这个应该算一个，这个应该算一个，零不算，然后这个应该算一个， 然后这个应该算一个。嗯，还得保证，还得保证两边的单调性是相反的，所以这道题答案应该选 a。 然后再看第七题。第七题考的是抛物线还有圆， 然后这个抛物线呢，是开口朝右的，开口朝右的， 然后焦点是 f， 然后这个圆的圆心是负一，但是负一画哪呢？那我先别把 f 画上，因为我也不知道 f， 我 先把负一画上，负一零，然后圆心是四 四的话，就大概这么大。对，我这个画图会比学生现场画图会方便一些。嗯，然后他说会与 c 交于 ab 点， a 点和 b 点。 若直线 am 和 bm 的 斜率之积等于负三， a m 和 b m 的 斜率之积等于负三， 那就意味着这一个斜率就是根号三了。那就意味着这个角是六十度， 然后求 a f， 求 a f 的 长。嗯， 首先这个点的坐标是不是能够知道呢？六十度的话，那它横着的 就是这个半径是四，那横着的就是二二的话，那这个 这个图画的不是很像啊。这个六十度画的不是很像，但是整体来说就是这个应该是二，然后他右边就是一，所以 a 的 横坐标就是一， 然后纵坐标的话就是二倍根号三，最纵坐标就是二倍根号三，然后我们就可以把这个算出来了，带进去， 二倍根号三的平方三四一十二，十二等于二， p 乘以一，所以 p 是 等于六的，所以这个方程应该是外方等于十二 x， 所以 它的， 嗯，可以吧。好，那么呃，焦点就有了，除以四，那么它焦点就是三，就是三，所以它的焦点 就是三，然后他这边的准线就是 s， 等于负三， 所以 a 到 f 的 距离就是 a 到准线的距离一到负三的距离是四，所以第七题应该是选择 c， 然后看第八题第，嗯，干扰题对几何 有一点点要求啊。然后第八题第八题是一个正三棱柱，正三棱柱，然后正三棱柱画哪呢？就画在 这边拍正三棱柱，先画一个草图，然后呃，正三棱柱的话，底面是正三角形，然后 abc， 他们都是二二二，然后这个 a a 一 b b 一 c c 一， 然后这高是一，然后他说 d 点是在平面 abc 上运动，则 d 点在底面运动，然后则 a 一 和 d 加上二分之根号二倍的 c， d 的 最小值 a 一 和 d 点 c， d 再乘以二分之根号二， 嗯， c、 d 乘以二分之根号二。 嗯，我也不会。然后我们就先随便画一个 d， 随便画一个 d， 反是平面里的，然后 a 和 d 先连起来，然后 c 和 d 也连起来， 然后相当于是， 嗯，二分之根号二呢？实际上肯定是跟四十五度有关系，这肯定是跟四十五度有关系。那 c、 d 里构造四十五度呢？可能会比较的难，因为它本身就在平面里， 所以我们就不妨把斜的勾到四十五度，所以我们都同时提取二分之根号二，提取二分之根号二， 那 那第一个就变成根号二倍的 a、 e、 d， 再加上 c、 d 根号二倍的 a、 e、 d。 呃，我们刚才直接把原来所问的这个东西给否掉了，给否掉的话我们再来一遍啊， 因为感觉把二分之二提出来好像也不太靠谱，我们再重新试一遍，那就是 cd 的 话要乘以三四十五度，三四十五度， 我们把这个图画的稍微再像一点啊，因为人家底面是比较宽大的，我们再重新画一遍这个图， 然后这个是二，这是二，这个是二，然后这个就是 abc， 这个就是 a 一， b 一， c 一， 然后，呃， d 是 底面上一个洞点，然后连接 aed， 沿着 a、 d 和 c、 d， 嗯嗯， 它应该是那种将军御马的变形， a、 d 是 可长可短的，然后如果 a、 d 短，那 c、 d 就 长， a、 d 长，嗯，要想求最小值的话，那应该是 应该是对称，把谁对称过去呢？ 我们底下再补一个，底下再补一个。 嗯，我觉得这道题他的一个特点就是 a 一 和 c， 他 本身就已经在这个，本身就在一个平面里了，那这个 d 的 话，怎么样他才会 更短了？应该就是在这个平面里运动，他虽然放在立体几何里，所以我们应该是把这个平面画出来，我猜他应该就在平面里， 把平面画出来，这个就是平面，这个就是二，这个就是一，然后这个就是 a， 一， 然后这个就是 c， 然后我们就直接的 给他做一个这个角平分线， 角平分线完之后呢，所以这个就是这个垂直，然后这个就是这根斜线，然后怎么样是最短的呢？应该就是共线的时候最短 贡献的话，那应该是多少？应该是怎么做垂直呢？嗯， 我们设 如果这是，呃，这是垂直，那这个肯定是四十五度，那我们就说底下的边长为 x， 那 这个边长也是 x， 那 这个上面的边长就是根号二 x， 那 它的这个就是一， 因为这个也一定是四十五度，这也四十五度这一，所以， 嗯，根号二 x 等于一， x 就 等于二分之根号二，然后它的整个的长度就应该是等于根号二，加上 二分之根号二，所以这道题应该是选 b。 ok， 然后再看第九题， 第九题他考的是一套概率的正态分布，正态分布呢，他说小于十四的时候，他的概率是八分之一，小于等于十八的时候，概率是八分之七，这两个正好是相加 的概率和等于一，所以正态分布的题呢，我们上来都是先画一个正态分布的图，然后这个对称轴已经确定了，不知道对称轴是多少。然后十四 的左边他的概率是八分之一，然后跟他对称的这个位置是十八，他的右边也是八分之一， 右边也是八分之一，他左边是八分之七，所以我们相加除以二，也就是三十二除以二等于十六，所以我们的 米五等于十六，所以，嗯， ok。 然后 x 在 这个范围里，它的概率是八分之一，八分之一，四分之一，所以中间的话呢，就是四分之三， 嗯，所以在这里面的概率是四分之三，所以 b 也是对的。然后它是属于二项分布，每一个单件呢，它在这里的概率都是， 嗯，二项分布四件，然后每一件的概率都是四分之三，所以它期望值是三是对的。然后这道题 c 是 错的， 但是我们都选三个对的话，一定要看一下这个 c， 可 c 等于一，也就是 s 等于一，那它对应的就是，呃， 四分之三只有一个，那四分之一呢？就是剩下的三个，然后再乘以 c 四一， 嗯，所以四分之三乘以十六分之一，然后四分之一乘以四，这俩抵消了。 哎，为什么概率算的不对呢？嗯，啊，哪写错了呢？ 可 c 等于一，一个。 哦，对对对，傻了。我们算的概率是六十四分之三，所以 c 它就是错的。然后，所以这道题选 a、 b、 d， 然后再看第十题， 第十题，这道题就比较抽象。嗯 嗯，对学生来说，可能第九题能选出一部分，但是第十题，嗯，他们应该就瞎选了。 然后他的意思是什么意思呢？嗯，他说存在能够使得他成立，你就想存不存在吧。 呃，我们把它图形画，图形画的话，就是这个图画的再好看一点， 这是零，这是 pi， 然后这是一，这二头在零到二分之 pi 的 时候 小于它，它是不是可以拆成 sine x， cosine y， 再加上 cosine x， sine y， 这个系数是不是比一小？这个系数是不是也比一小？ 所以肯定是右边小啊，这个 a 肯定是错的。嗯，就是我们选择把它拆开，啊，就是不存在啊，不存在，就右边很小，然后所以 a 不 能选，然后 b 选项对于任意的。 呃，这个，这个除以二，然后这个是二分之一。这个就是考的是函数的凹凸性，然后 x y， x y 横坐标，然后它们横坐标，它们的相加的中点，也就是这个值， 它会比，这个也是对的，它是图函数，所以 b 是 要选的。 然后再看 c， c 的 话，这个东西存不存在左边减右边小于这个存在吧？我们就假设这是六十度，这是三十度，然后这个是三十度， 三六十度减三三十度，是不就是二分之根号三减去二分之一小于二分之一吗？ 二分之根号三小于一吗？这个是对的哇，每个选项都用不同的方法。嗯，然后再看多选项， 都选项，嗯， 都选项，跟 b 选项长得好像。然后我好想把这个符号放进去，也就是在 x 加上在负 y， 然后除以二，它小不小于三，括号 x 减 y 除以二。嗯，零到二分之派。 那如果把它放进去的话，那我相当于是把这个函数的定域给它扩大了，扩大到这边了， 到这边的话，那还一定会小于吗？这个应该就不一定了，所以 d 应该就不成立了。 但是我也不知道这个等价变化是不是，是不是等价的。 嗯，为什么不成立呢？就是因为它的这边，它是凸的，但这边是凹的。 嗯嗯，算了，时间有限，我就不检验了，我接着往后看吧。这个第十一题，十一题。呃，所以这道题要我选的话会选 b、 c， 然后 d 的 话呢？应该是不选， 但是我刚才只是用了一个方法去判断，然后再看第十一题，十一题的话，他说给了一个曲线方程，曲线方程， 然后说有一个点在这个曲线方程里，那存在另外一个点，如果使得这个成立， 那么他们就是互为 曲线 哦，如果曲线上有两个点，嗯，那符合这个曲线的是哦，它这个是让考的是代数匀算。我们就假设 x 一 方加上 y 一 方是等于五， x 二方加 y 二方也等于五，然后我们看这个式子成立不成立。这个式子怎么看它成立不成立？ 这个 a 选项比较难看，我们一会再看。我们看 b 选项，就是 y 一 等于 x 一 减一， y 二等于 x 二减一，那这个式子里 x 一 y 二减三等不等于 x 二， y 一 x 一 减一， 这个会等吗？我们看一下啊， s a s 二抵消了，也就是负三倍的 s 一 等于负 x 二，也就是只要取三倍的 s 一 等于 s 二，要取这两个点呢，有一比三的关系，它就可以符合，所以 b 是 要选的。 然后再看 c 选项， c 选项的话， x 一 y 一 就等于零 x 一， 然后 x 二， y 二就等于零 x 二，然后带进去就是 x 一， 括号零 x 二减二等不等于 x 二 哦， 没有。呃， x 二， 然后 y 一 y 一 的话，就是零 x 一， 嗯， x 一 零 x 二减去二， x 一 等等于 x 二，零 x 一， 这个会成立吗？ 存在不是恒成立。注意，存在不是恒成立，存在就是有就可以。咱假设它是这样的，它有没有呢？ 我们假设 x 一 等于一， 那这个就抵消了，等于抵消了，也就是 long x 二等于二， x 二等于一的平方，那就有哦，有就可以哦。所以 c 是 对的， 它不是唯一的解，它是一个关系，它只要符合某关系就可以。然后，呃，看看 a 和 d， 先检验哪个呢？先检验 a 吧， a 的 话就是 x 一 a。 哎，感觉还是比较难下笔。不减 a 了，我们还是减减多吧。先减减多多的话，横坐标是 x 一， 然后 y 一 就等于 e 的 负 x 一 减二，然后横坐标是 x 二， y 等于 e 的 负 x 二减二， 然后 x 一 乘以 y 二一的负 x 二减二，再减二减四等于 x 二乘以 y 一， 也就是一的负 x 一 减二。 啊，然后还是这么丑的东西。那我们设 x 一 等于零不行， s 一 不能等于零。我们设 x 一 等于一， 设 x 一， 如果等于一等于一的话，这个就是一的负 x 二减四，等于 x 二 乘以一分之一减二。哦，然后它后面考的是这个 x 二有没有解的问题？如果 x 一 等于一， x 二有没有解呢？ 这个 x 二是个减函数，所以 e 的 负 x 二减去一分之一 x 二。 不对，这个整个系数，整个系数是负的，移过来就是正的，这个应该是加 加，把它取向函数就是二减一分之一， x 二 减四等于零，真的是麻烦。嗯，前面是减函数，后面是增函数，还要求导，真烦。这个求导应该是等于负的， 这个 e 的 负 x 再加上二减一分之一，这导函数是正的还是负的呀？嗯， 这个本身是减函数，再加减，它是增函数，增函数的话应该是负无穷带进去， 富无穷他是个增函数，增函数，如果富无穷带进去的话， 他这个位置就是正无穷。易的正无穷词还是正无穷，再加符号是富无穷，所以这边是富无穷，然后正无穷带进去的话，那他就是富，无穷 一的负穷去零，那他是去零，然后这就是正的，二减去一分之一，这是正的，所以 它是有解的，它是有解的，而且这个解的正负是不要求的。 yes， 都判断对了，那这道题就不用判断 a 了，选 b， c、 d， 然后再看第十二题。 第十二题，这个是 a 方， 这个是 b 方，那离心率呢？就是 c 比 a 等于一比根号五，所以 c 比 a 比 b 就 等于一比根号五比二， 所以 a 方比 b 方，应该就等于五比四， a 方比 b 方，应该就等于五比四，那 m 就 等于四。 yes， 然后 我们再继续看第十三题。十三题它为奇函数，它为奇函数，也就是 f。 一 是等于零的，所以它的对称中心应该是一斗零， 对称中心是一斗零。 基函数对称中心是一斗零。呃，那就是点对称，是一斗零的。 如果是个点对称的话，我们不画 y 轴。如果是一个点对称，那它小于一的， 它大于一，一到是增， 那小于一的也是增。所以我们就可以知道题目的意思就是二分之一到一上，然后这个函数也是增的， 然后这个函数的特点就是 x 括号。嗯，别管 x 了，还是管 x 吧，因为它实在是一日分析好容易。 x 括号 a， x 减一， 那 a 是 正的还是负的呢？他没有说。那又开始分类讨论了。 呃，没有地儿，我把上面这个删了， 我们第，我们拿红笔写。第一种情况就是 a 是 大于零，那他两个根，一个根是零，一个根是 a 分 之一，那他就是开口向上，零和 a 分 之一。开口向上，要求的是 二分之一到一上是增的，那二 a 分 之一就应该 小于二分之一，所以二 a 分 之一小于二分之一， 然后二和二抵消，所以 a 要大于一，这是第一种情况，然后第二种情况就是 a 是 小于零的，如果 a 小 于零的话，那呃， a 分 之一就是负的，开口就是向下的， 那他二分之一到一上就是增的，这不可能的，所以我们就可以得到 a 的 范围是一到正无穷。然后再看第十四题，十四题感觉考的是解三角形。 十四题有公园里有三条边三角形，然后 d 和 e 在 三角形 a， b， c 的 边上，然后线段 d， e 把它平分成面积相等， ok， 然后 首先这个三角形比较特殊，是一个直角三角形， 嗯，但是他没有说哪个对哪个。哦，我们假设这个就是 a、 b， c， 然后 点 d， e 在 它的边上，并且能够把面积平分成两个， 那就首先这个面积的话，我们应该是找二分之一 a、 b、 c 的 逻辑， 所以要想面积变成原来的一半，那就是卡的两个边的积变成原来的一半 啊，那要想距离最小， 嗯，有没有 b 过的点，面积一半的话，有没有 b 过的点， 比方说这个就是 a， 这个就是 b abc， 然后现在呢是 a 乘 b 的 边 变小了，变成 m 乘 n 了，然后 m 乘 n 呢，应该是等于二分之一倍的 a， b， 然后求 d， e， d， e 的 话，应该是用余弦定零， 第一应该是用余弦定离，应该是等于 m 方加 n 方 减去二 m n 乘以 cosine c， 二 m n 就 等于 a b， 然后 m 方加 n 方，应该就等于 m 加 n 的 平方减去二 m， n 减去 a， b， 再减去 a b cosine c， 然后 m 加 n 应该是会 大于等于 m 加 n 应该大于等于二倍。根号 m n， 所以 m 加 n 方应该是大于等于四倍的 m n， 四倍的 m n， 再 m n 等于二分之一，也就是等于二倍的 ab， 然后所以化简就等于四倍的 ab， 减 四倍的 m n， 也就是二倍的 ab， 然后也就是 ab， 再减去 ab， cosine c。 啊，那最短的话呢？这个 ab 有 可能 就是三十四十五十， 这个 ab， 嗯，到底最短中的最短是多少呢？有可能是三，别写三十、四十五十的。嗯，我们都给它缩小十倍，我们就写三四五 三四五，有可能是三四，有可能是三四，三四的话就是十二。减去十二倍的 cosine c， cosine。 哎，啥？不好意思啊，怎么是三四五？ 这个应该是五十四十，这是五，这是四，然后 有可能是 a， b 是 三十五十，也就是三五。 a b 有 可能是三五，三五的话就十五。减去十五倍的 cosine c， cosine 的 话就是五分之三 cosine， cosine c， 五分之三，然后这个就是三三得九，所以它等于六， 所以第一个有可能是等于根号六，然后我们再看啊，如果是三四三四的话，十二，减去十二倍的扣三，这个就是 零，扣三九十度等于零。对，然后这个等于十二，也等于二倍。根号三，这个肯定不可能了。然后四五 四五二十。减去二十倍的 cosine， 五分之四 四除以十六十六，然后等于四四四，再开放等于二。所以这道题最短的答案应该是等于二的。

同学们好，今天我们来拆解广州二零二六届高三一模数学的核心题目，从填空题到数列立体几何，帮你抓住考点，理清思路，高效提分。 一、填空题部分基础与技巧并重，这部分包含三道填空题，覆盖椭圆离心率、函数对称性与单调性、 三角形面积分割最值三个核心考点，整体难度中等，是必须拿下的得分点。一、椭圆离心率问题第十二题这道题给出椭圆标准方程， 已知离心率求参数 m。 解题关键是先判断椭圆的焦点位置，再利用离心率公式建立方程求解。 这里要注意椭圆中 a 平方大于 b 平方的基本性质，避免混淆长半周和短半周。二、函数对称性与单调性第十三题， 题目以 f x 加一为基函数为切入点，先推导出 f x 关于点一零，中心对称，再写出 x 大 于一时的函数表达式，最后通过导数分析单调性 求出参数 a 的 取值范围。这道题重点考察了函数平移对顺性和倒数应用的综合能力。三、三角形面积分割最值第十四题这是一道经典的最值问题， 在直角三角形中，用线段第一 e 将面积平分，求第一的最短长度。我们需要分三种位置情况讨论，利用面积公式和基本不等式或余弦定例分别计算第一的最小值， 最后比较得出结果。二、竖列解答题第十五题等比竖列构造与求和。这道竖列题分为两小问，是高考的常规考法，技巧性很强。一、证明等比竖列题目给出地推关系， 我们使用待定系数法将原式变形构造出一个新的等比竖列一除，以 a、 n 减。一、 通过证明后项与前项的比值为常数，完成等比竖列的证明，这是处理线性递推的核心方法。二、求前 n 相和并且不等式。先由第一问的结论求出竖列 e、 a、 n 的 通项， 再将 e、 a、 n 加 n 拆分为等比竖列和等差竖列两部分，分别求和得到 s、 n 的 表达式。 最后通过代入验证破解不等式，找到满足 sn 小 于一百二十的最大 n 值。这里要注意竖列求和的分组方法和不等式的验证技巧。三、立体几何解答题 第十六题，空间垂直与面面角这道例题几何题考察了线线垂直，证明和面面角计算是高考的重点和难点。一、证明 ab 与 c、 e 我 们采用几何法，通过取 ab 终点 f 构造中位线 e、 f 和等边三角形 a、 b、 c 的 高 c、 f， 利用线面垂直的判定定律，先证明 a、 b 垂直于平面 c、 e、 f， 从而得到 a、 b 与 c e， 这体现了线线垂直、线面垂直、线线垂直的经典证明逻辑。二、求平面 p a、 b 与平面 p、 c、 d 的 夹角于弦值这一问，采用空间向量法，首先根据点到平面的距离公式求出高 pa 的 长度， 然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量。最后利用向量加角公式计算出两个平面加角的余弦值。向量法是解决空间角度和距离问题的通用工具。结尾引导，今天的讲解就到这里， 这些题目都是一模的典型代表，大家可以暂停视频，自己动手算一遍，再对照解法看看哪里需要改进，有任何问题欢迎在评论区留言。