2025高考数学最后一题图像怎么画

二零二五高考数学出题人在最后给万千考生留下一个浪漫彩蛋，难怪大家出考场脸蛋红通通的。

二零二五年新一卷数学的导数如果用极坐标来表示函数图像，那就是出题人向广大学子隐藏的表白，也因此成为了高考数学史上最浪漫的压轴。

难怪那天坐在考场上面对最后一道倒数压轴题，总感觉自己脸上慢慢开始变红了，原来是被出题人隐藏的彩蛋表白了。

同学们大家好，今天我们来看到高考全国二卷的第十七题的第二小问，求面和面所形成的二面角的正弦值。在进入这道题之前呢，我们先来回顾一下我们学习的线线夹角，线面夹角以及面面夹角。 首先线线夹角，线和线呢，我们看到直线，要想到它的方向向量，两条直线就有两个方向向量，线，线的夹角呢，是余弦值， cosine theta 等于分母是它们的模长，分子是它们的数量积的绝对值。 线面夹角呢，一个是线，一个是平面，看到直线想方向向量，看到平面想反向量线面夹角。注意我们求的是正弦的值，这里区别于我们的线线夹角和面面夹角。然后它的值同样也是分子为数量积的绝对值，分母为两个向量的模长面面夹角呢，看到平面想法向量，两个平面就是两个法向量。 面面夹角的余弦值， cosine theta 等于一样的分子，是数量积的绝对值，分母是两个向量的模长。下面我们来看到这道题目， 由第一问我们已经知道这些角度呢，都为九十度，所以它翻折起来也为九十度，且 e、 f 大 一撇这个平面和平面 e、 b、 c、 f 这两个面所形成的二面角就是我们的 a 一 撇 e、 b 和大一撇 f、 c 这两个角度呢，都为六十度，所以我们以 f 为圆点， f、 e、 f、 c 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，垂直于底面的直线为 z 轴。建立我们的空间直角坐标系。 建完系之后，要求面和面所形成的二面角，我们需要求出这两个平面的法向量，所以我们先来写出各个点的坐标， b 的 坐标很好写，就是一逗二逗零， c 的 坐标也很好写，零逗一逗零大一撇的坐标其实是在我们的 y、 o、 z 这个平面内，所以 它只是向前倾斜了一个六十度，所以大一撇的坐标我们可以这里做一条辅助线，进而就求出了大一撇的坐标呢，也是同理的坐标为零逗二分之一逗二分之根号三。 把我们需要的这些点的坐标都写完了之后，我们就来想我们如何去求这个平面的法向量。首先面 bc 大 一撇 bc 大 一撇这个平面的法向量我们要怎么求呢？我们需要找出这个平面内的两条相交的直线，这里呢，我们可以选择 bc 向量和 c 大 一撇向量，所以 bc 向量的坐标就为 c 的 坐标，去减 b 的 坐标，即负一到负一到零， 同理可以求得 c 大 一撇向量的坐标为零到负二分之一到二分之根号三。我们还需要求面一 f 大 一撇 a 一 撇这个平面它的一个反向量，所以也需要找出两个相交的向量，尽量我们选择 f 一 向量和 f 大 一撇向量，因为 f 呢为坐标圆点，写向量写起来会比较简单一点。 写出了向量的坐标之后呢，下一步我们就可以设平面的法向量了。这里我们先求平面 bc 大 一撇的一个法向量为 a 一 向量等于 x 一 到外一到内一， bc 向量和法向量应该垂直，所以他们的数量积等于零。 c 大 一撇向量和法向量的数量积呢，也应该等于零。画简就可以得到这个式子，这里我们令 y 等于根号三，就可以得到他的法向量的坐标就为 负的根号三负，根号三负一。同样的，我们设平面一 f 大 一撇 a 一 撇的法向量为 n 二向量，则 f 一 向量和 f 大 一撇向量都应该和 n 二向量垂直，即数量积等于零。进一步得到这个式子， 我们令 y 二是等于根号三的，就求得了他的一个法向量为零。逗，根号三逗负一。有了这两个平面的法向量之后呢，我们的面面夹角，我们的公式里面是求的它的余弦值，所以下一步我们就可以求得这两个平面的一个余弦值。 代入求解算出来呢，就可以得到这是等于根号七分之一及七分之根号七的。但是这道题目里面呢，他问的不是余弦值，他问的是正弦值。所以我们进一步还要用三一方加括号等于一，求出他的正弦值，算出来等于七分之根号下四十二。

二零二五年新高考一卷的圆锥曲线考的相对比较基础，难度在十八题中算比较友好的。作为一个中等层次的学生，我觉得应该也有能力拿下第二本、第一小 本。至于第二本第二小本可能更适合放在选填压轴的位置吧。

同学们，我们继续上个视频内容，现在呢，我们做的记七题，第七题呢，我们一看这个题目是很有难度的，但是呢，我们再仔细看一下，发现还是能用我们最基础的知识把这个题做出来。 好，我们先读题啊，它是有一个圆，是吗？圆，那么文经着各个圆的方程呢？我们看到什么？我们看到圆的圆心在哪里？它圆心 x 呢？是零， y 是 负二，它的直径呢？或者戳半径呢？我们不知道， 靠，那有条直线，直线的话呢，我们看靠这根号三是大于零的，所以直线呢，应该是上上的后呢 更里加 r， 加 r 代表什么意思？说明它这 y 种类的焦点是是 r 对 不对？那问题是什么？问题是这推圆到这个直线上了，距离为一的点有且仅有两个。好了，我们把这个坐标呢画出来。 那么先画圆还是画那个直线呢？我们所用的简单的画的直线对不对？好了， r 在 这里，我们把它 r 标上去。 好了，那个直线呢？那个斜率应该怎么是多少？应该是根号山，根号山的鼻大的，所以呢，它应该交零，应该在这里，在负二和零之间，我们把它连起来。 好，我们直线就画出来了。那么圆呢？圆，我们先定确定圆心，圆心在哪里？零和负二，所以呢，负二在这里。 好，圆的话呢，我们看看这个题目了哦，他说圆到直线的距离为一的点，尤且仅两个。那么先随手画一个圆， 那我们看看它题目是什么意思呢？就是圆上面有一个点，它这个点呢，到直线的距离是一，但有多少个点？有两个点，应该是价值，这里有个点，这里有个点， 它们呢，到直线的距离是多少？是一对不对？好了，这是一种情况， 但但另外一种情况呢？圆能不能画小一点点呢？比如我画的多么大，行不行？很显然是不行的，对不对？因为画炭小的，它无论怎么样和这个距离呢，都是永远大于一的。好，那我们呢，那个圆的能不能再画大一点点呢？ 我必须说，不把这个圆换到这里，对不对？换这样子，这个圆的就很大了。那么圆到直径的距离有一有多少个点呢？我发现这里 是一的吧，这里也是一的，后面对撑过来也是一， 这里画画一个呢，它具体是一有多少个点呢？有四个点，这说明什么呢？说明我们这个圆呢，画太小也不行，画太大也不行。那么一般来说画了多少比较合适呢？我们再画一个新图形过来。 好，这里负 r， 我 们把逗图形复制一遍过来， 应该是这样子，这有个圆，它这里呢刚好是一对不对，让它慢慢变大。变多大呢？令这么大， 它这里呢也刚好是一，所以它的值，它的值，它的半径呢？就是应该是在这个发霉里面， 在这个范围里面，对不对？太大它会变成四个点，太小呢，它会变一个点。好了， 那我们来看一看那个题目的选项，题目选项呢，我们知道太大了，它会变成四个点，所以我们直接可以排除 c 和 d 两个。好了，那我们不知道，若叶圆太小的话呢，它只会有一个点， 或或者说它根本就距离根本不到，一对不对。所以呢， a 我 们也是可以排除的，那剩下的是分码，只能选 b， 电梯就完成。 同学们，我们刚刚知道了它的答案是 b， 但是我们是用排除法算出来的，但能不能我们正经地计算一式呢？那肯是可以的。 好，我们假设这个圆呢，刚好它是一，对不对？它距离刚好是一，这个呢，刚好距离也是一，就是说它的临界点就是在这里。那我们应该怎么算呢？我们直接算这大圆和直接算个小圆呢，是比较麻烦的，所以我们定了算哪一个呢？我们应该算中间那一个， 中间那一个是哪一个呢？就是相切的这一个，是吧？假设这个圆呢，和它是相切的， 相切的话呢，我知道圆心和缺陷肯定是垂直，所以呢，我们算这个圆的问题呢，就变成一个很简单的三角形问题。那我们把这个 提出来，我又被这个圆呢干扰到了，那这里是二，那你负二，原来我们应该在这里差不多。那负二，就我们算这个问题， 我们算它的相切，我们假设它相切呢，这个是大 r， 对 不对？大 r， 就是 说我们算一个，这个 r 的 长度是多少？ 我们把这个 r 长度算出来之后呢，这个小圆呢，应该是什么？应该是 r 减一，是吧？这个大圆呢，应该是 r 加一，所以呢，应该是这样子，我们就能算出来了。 好，这个 r 应该怎么算呢？ r 是 计算其神减的。我们发现一个问题，什么这个小的三角形上面小了三角形， 和我们整个大的三角形呢？是相似三角形，这个死呢是初中的知识来的。好，那我只要把这个 量相似三角形呢，把它能比例夸去算出来，那就可以了，但我知道这里呢是二对不对？但整个大三角形的斜边呢？是四，这个边是四， 但还有没有能能够挖掘下来呢？我们应该算的，我们效算这是直角边短的对应这个小三角形直角边短，所以我们应该把这个算出来。好了，这个算出来之后怎么应该怎么算呢？很简单，我们有一个直线的刮气对不对？ 这个直线在这里， y 是 等于零的，所以呢，我知道 y 等于 零，带进去，是吧？所以呢，我们算这档么？ x 等于负的根号三分之二，那么我们知道这个这个长度呢，就是根号三分之二了这个长度。 好了，当时我们知道这个是大三角形的斜边，我们小三角斜边你们知道吗？还不知道，所以我们还就记事算一下小三角形的斜边是多少。小三角形的斜边怎么算呢？直接勾股定律，二的平方加上 根号三分之二的平方，我们算上这个四就是三分之四，我们算的是多少呢？是三分之十六，所以呢，我们再把这个开放一下，就是这个斜边的长度是多少呢？根号三分之四。 好了，我们把这个全部算出来之后呢，我们直接用来比一比就可以了，我们用哪个比呢？用斜边的斜边比上短的直角边， 斜边短比上短的直角边，这个小三角形的也是一样，斜边比上短的直角边 好，这根套三节约调约调就是四比二，所以呢， r 等于 r 对 吧？我把 r 等按的带进去，就是一和三之间，和 b， 答案是一样的。

数学只能考五十分甚至三十分？别慌，这条视频是来救你的。我做这个系列只有一个目的，带领四十分甚至三十分以上的同学稳稳突破八十分大关。 我曾经也是学家，深知那种痛苦，除了送分题，通通无穷下手，看见那个分数，心里特别难受，甚至怀疑自己是不是真的学不好数学。我想告诉你，高考数学里，一百五十分有一百三十分，都是基础题和中档题， 也不需要攻克亚洲题，也不需要成为数学天才，只需要把里面的基础题做出来，砍下八十分，轻轻松松。这个系列，不讲难题，不讲技巧，即将怎么用我们现有的一点点知识和做题技巧，稳稳拿到这八十分。 今天我们重新做一次二零二五年高考数学一转，看看使用基础知识到底能拿多少分。一般来说，高考前面四个小题是基础中的基础，大家应该都会，所以今天呢，我们就从第四集开始讲。又一热身， 我们看下第四题，先读一下题目，它说有一个 a 零，是一个函数的对称中心，那么这里函数是什么函数呢？是一个天减的函数， 我知道天减的函数呢，在图上上面它是有无数条的，所以说它呢，对称中心呢，是有无数个对称中心，而那我们选一个对称中心，应该怎么选呢？所以 a 零呢？其实这是零零。 好了，既然对称中心，所以这个 r 呢，我们是可以不看了，我们会把它忽略掉，然后我们看后面 x 减三拍。 x 减三分之拍是什么意思呢？就是整个图像向右移动三分之拍，那么现在移动三分之拍就变成右边这个图像，它问我们什么问题呢？就是偏的最闪的是哪一个？就是这里， 这里就是三分之一，所以我们选 b。 好 了，我们再看一下第五题，第五题我们一句句分析，哦，第五题他说什么？他说在上面是偶函数，而只是周期为 r， 所以 我们根据这个条件，我们说的偶函数是这样子 的，是关于原点的轴对称， 还有这是什么周期为 r， 所以呢，它无论加 r 还是减 r 呢？都是一样的， 这个就是我们现在知道条件第二条件是什么呢？当它在 r 和三之间的时候呢？它有这样一个表达式，对不对？所以呢，我们看把表达式写下来，五五减去 r x， 反正这条件是 r 到三之间。 好了，那我们要求个什么呢？我们只修的 f， 在 什么负的四分之三的时候，那负四分之三明显不在二和三之间，所以我们要怎么？我要把负的四分之三 找一个数，在二和三间反着相等就可以了，是对不对？所以应该是这样子，等于假设是 a， 对 不对？这个 a 呢？刚好就是二和三之间， 那我们怎么相等的？就利用我们前面的这两个条件把它做和相同就可以了。那我们怎么做呢？我们先选一个条件，对吧？假设我们先选第一个，是不是负的四分之三带进去， 直接等于四分之三，那我们猜不等于哪个？用完这个条件，我们就用下面这个条件去等什么？等于 f 的 r 又四分之三。 好了，我发现什么？我发现这个 r 又四分之三，刚刚好等于什么？ r 和三之间呢，对不对？那我们 是把 a 找到了呀， a 是 不是就是二又四分之三呐？要，那我们再不做什么东西呢，就是把这个带进去就可以了，又等于多少呢？我们算一下，就等于 五减去二乘以二，又四分之三，等于负的二分之一。 有同学说这个转化呢，太复杂了，而且两个条件不知道先弄哪一个，能不能用简单一点方法做呢？肯定是可以的， 我们呢可以用画竹的方法做，把这个直线呢画出来。首先我们分析一下，五减去 r s 必然是条直线，所以呢，我们很简单的把二和三节带进去，二带进去就是一，三带进去呢，就是负一，我们把这两个连起来 好了，那我们求的直线呢，是在这里的对不对？但是直线在这里明显是不对的，所以我们今天怎么办呢？我们先把这条线想办法移到这里来， 那怎么移呢？我们看一下，它是周期为二的函数，所以呢，我们把这个向左移动两个单位，就是在这里二变成了零，三变成了一，所以把这移到这里画出来 好了。那下一个什么应该怎么移呢？我知道它是偶函数，偶函数呢，是关于 y 轴对称的，所以呢，我把这个对正画出来，负一对过来，在这里。 好，那么在后面来呢，就很简单了，这只是一，这里负一，这里明显是什么？明显是 x 等于负的二分一，对不对？那我们求的是多少呢？求的是负的三分之四，就是在这里， 在这里。那么我们讨论最想断的距离是多少呢？是四分之一嘛，对吧？所以我明猜这里是多少，就是一半，是不是 这是负的二分之一，那我就搞定了。所以选 a 我 们看下第六题，第六题的题目呢，很长，而且有个表格，还有个图，那么应该怎么做呢？我们需要 认真的仔细看一下它题目，挖掘一下它题目有没有关系，还有把那些迷惑你的文字把它去掉。 首先呢，前面第一句我们一般是不看的，我们看的重点是啥里？重点是式风风数的向量是正风风数的向量和全型风数向量之合。那我们先把这个条件呢先列出来， 那先式风等于什么？等于真风 加上什么船风对不对？好了，我们把这个列出来之后呢，再看下一句，船的风数 对应的向量和船数对应的向量是什么？大小相等，方向相反，所以我们得出了一个结论，就是船风等于负的 传数好了，那我们把这个做出来之后呢？那怎么办呢？我能不能再推一下把这个传风呢？ 大海镜里面对不对？这等于什么？所以这个又等于什么？等于真风减去什么 全数好了，那我们刚好什么是峰和全数？我们有了，但我们求出什么呢？我们求的是真峰，对不对？那我们咱们再转会一下呢？ 因为我们向量相减呢，是比较麻烦的，是吧？所以我们看一下，就是真峰 等于是风加上什么旋速好了，那我们求出来了， 我的问题呢，刚好也是求正风，那么我们知道是风和旋速之后，我们把这两个相加起来，是不是正风啊？那是风呢？我们有吗？有了是吧？ 权数呢？我们有吗？有了，所以呢是峰加占权数，就是这里起点，这次终点是怎么？是哪？对的， 我们这个就是真峰。 好了，那么真峰的速度我们算得出来吗？算得出来这是 r， 这是这里也是 r， 所以 真峰的速度呢？就是两倍的根号 r 是 吧？两倍根号等于多少呢？ 等于二点八二。那么我选哪一个呢？我们就选等级二，就是清风选择 a。 好 了，今天的视频呢就到这里，后面两题呢是比较难的，我们下个视频再讲，点点关注，我们明天见。

好，我们现在来看第二问，第一问，我们已经计算过了，曲线 c 方程是九分之， x 方加外方等于一，那么接下来我们画一个草图，以便于我们去理解。接下来说是 a 点在这里， p 点不在外轴上，没说在哪里，那我们不妨 p 点，那就来一条线，那这个是 p， 那 这个就是 r， 假设啊，那么这个时候因为 a p r 三点共线，而且 r 在 射线一 p 上，说明 ar 和 ap 是 方向一致的，那么 ap 长和 ar 长的 乘积等于三，我们就可以翻译成 ap 向量乘 ar 向量等于三，这个时候 p 点坐标 m 都和 n， a 点坐标零到负一，所以说我们去反解 r 点坐标的时候，会发现 r 点的坐标是由横纵坐标两个位置构成的，这个时候他的横纵坐标一个方程是解不出来，我们还需要再利用共线 再解一遍。所以说我们直接可以设 ar 向量等于拉姆达倍的 a p 向量，这个时候，那么带到上面去以后，就得到了拉姆达倍的 a p 向量的平方就应该等于三，那么 a p 向量我们 一算是，呃，算出来是 m 倍的 n 加一，整理一下 a p 方，那么就是拉姆的就等于 m 方加 n 方再加二。我直接写的 拉姆的等于 a p 方，那就是 m 方加 n 加一的完全平方分之三，我们对拉姆的进行化简一下，把它拆开，待会要做运算来啊， m 方加 n 方加二， n 再加一分之三，那么接下来 ar 向量等于拉姆的倍的 ap 向量，我们如果设 r 点坐标为 x 零外零的话呢，它就是 x 零，逗号外零加一等于 m 方加 n 方加二， n 加一分之三倍的。什么呀？ 呃，是不是 m？ 逗号。 n 加一，所以说我们的 x 零就等于 m 方加 n 方加二， n 加一分之三 m， 那么外零加一就应该等于 m 方加 n 方加二， n 加一分之三， n 加三。 所以说外零再进行一次分解，得到了 m 方加 n 方加二， n 加一分之三， n 加三，再减 m 方再减 n 方再减二， n 再减一，整理一下就是二， n 减 m 方减 n 减。嗯，那就是 n 嘛？对， n 减 m 方减 n 方再加二。整写到这里， n 减 m 方减 n 方再加二，应该是这个， 应该是这个值。对，好，没问题。那么接下来我们得到了 p 点，哎， r 点的坐标就是 m 方加 n 方再加二， n 再加一，两个一样不写了。 好，那么上面它的是三 m， 它的就是 n 减 m 方再减 n 方再加二。好，这样我们就得出了 r 点的坐标。 第二问的第一小问结束。

好，今天给大家讲的是二零二五年全国一卷填空题的最后一题，这道题相比较二四年来说，填空题最后一题来说，难度还是下降了不少。但是同样在考场上，很多同学没做出来这道题，有一个重要的原因就在于审题不够仔细。好， 那我们来看到这道题目，题目说有五个相同的球，分别标有数字，一、二、三、四、五。好，有放回啊，注意，有放回的随机取三次，有放回就说明你每一次取。哎，面临的都是这五种情况。好，每次取一个球， g， x 为这五个球中至少被取出一次的球的个数。 那很多同学这句话没有读懂什么叫做五个球中至少被取出一次的球的个数。好，那我们就来理解一下这句话。如果说 x 等于一， 如果说 x 等于一，也就意味着这五个球中至少被取出一次的球只有一个，那说明他对应的是哪些情况？可以是我取了三次一，可以是我取了三次二，可以是三次三，等等，等等，对吧？啊？至少被取出一次的球只有一个，说明你三次取的都是同一个球。 好，同样 x 等于二，那它代表的是什么情况呢？啊？可以是两次一加上一次其他， 对吧？也可以是两次二加上一次其他，两次三加上一次其他，对不对？总而言之，你一共要取三次球，其中的两次得是同一个数字。好， x 等于三啊，它代表的则是三次均不相同啊，三次均不相同， 那在这里呢，我们就理解了 x 它一共会出现的情况，并且了解了这个事情的大致脉络。好，接下来我们只需要把它的概率分别对应的写出来就行。那在这里可以发现，如果当 p x 等于一的时候， 好，一共要取三次，每一次有五种选择。在这里我们知道分母就应该是五乘五乘五，当 x 等于一的时候，就代表你可以是三次一，三次二，三次三，三次四、三次五，总共是不是就是这五种情况啊？那我们算出来它的概率应该等于二十五分之一， 好。再来看到当 p x 等于二的时候，他应该等于这个时候，你要知道我们的分母是保持不变的，仍然是五乘五乘五，好，那 s 等于二，意味着你要取到两次是相同的数字，一次是其他的数字，对不对？也就意味着我要从这五个数当中一共要取出两个数吧，对吧？啊？五个数当中我先取两个数出来， 好，那同样这两个数字可以是假设我取的是一和二，可以是取了两次一，也可以是取了两次二，对不对？啊？那在这个情况下又有两种情况，好，那我取，假设我已经取了两次一，一次二，那对于它的分布，我到底是第一次取了二，第二次取了二，还是第三次取了二呢？这里是不是还需要对它进行一次排列啊？也就说可能是 一一二，也可能是一二一，也可能是二一一一，对不对？一共。这里我们可以算到概率应该是二十五分之十二， 好。最后一步， p x 等于三，好，那在这里同样分母保持不变，五乘五乘五，好。至于分子呢？啊？三个完全不一样的数，对不对？啊？那就应该是多少啊？就是 a 五三，也就是五个数当中我取三个出来进行排列好，那可以得到它的概率也是二十五分之十二。 那每一种可能性对应的概率全部都算完，可以得到数学期望 e x 就 应该等于情况一乘概率二十五分之一， 情况二乘二十五分之十二，情况三乘二十五分之十二。最终可以得到他的期望应该等于二十五分之六十一，所以这道题答案就应该是二十五分之六十一。

好，我们来看第十题，画一个图，然后这个图就这样吧。那么接下来我们处理这个题的时候，首先 a 选项 a 的 等于 af， 显然定义式啊。接下来 a， e 等于 ab， 这个计算不太好计算， a， e 等于 ab， 这个怎么怎么翻译来着？首先我们根据 a 的 等于 af， 然后呢， a， e 还是公共的，所以说 a、 e、 f 这个三角形和三角形 a、 e、 f 是 全等于三角形 a、 e、 d 的， 同理，三角形 b， e、 f 是 全等于三角形 b、 e、 m 的， 那这个时候我们来看这个这个角， 那么角一和这个角一就相等，角二和这个角二就相等，那么所以说我们能够说明 a e 是 垂直于 b e 的， 这个可以吗？好，那么 a e 垂直于 b e 的 情况下， a e 是 直角边， ab 是 斜边，那么 b 显然错。 好， c 选项 c 选项 ab， 因为是交点弦，所以说 ab， 这里我们用交点弦的公式二 p 比上三以平方 r 法，这个 r 法就指的是 ab 直线的倾斜角。 呃，三引平方二，那因为三引平方一定是小于等于一的，那么他一定什么呀？大于等于多少？二屁，二屁就是六，所以说 c 也是对的，那么在做得的时候，那就看你对题有没有题感了。如果要正常做， 正常做的话，那么这个时候显然两种思路，方法，一，设直线 l， a， d 反射，直线引发正射，一直线引发 x 等于多少？看 t 倍的 t y 再加二分之 p， 这是一种设法，然后去解得 a、 b、 e 点的坐标 啊， a， b、 e 得 m， 这些坐标全解出来，然后去算 a e 弦长， b e 弦长。第二种的话就去推这个什么呀，这个 a e 和 b e 长度乘起来它是什么？那 a e 乘 b e a e 是 谁来着？ a e 我 们哦， a e 的 话我们可以看成什么呀？ a e 和 b e， 那 么 a e 的 长度我们怎么表示它比较合适呀？ 哦哦，这样子， a e 的 长度我们用个，用个相似来做三角形， a e f 是 相似于三角形，相似于三角形，因为都知道三角形 a e b 的， 那么这个时候我们以这个角为，呃，以这个角为 c t， 那么在大三角形 a e b 当中，三隐 c 它等于多少来着？是不是对边比斜边，那么 b e 比上一个多少？ b e 比上一个 ab， 那 在这小的 a e f 当中呢？三隐 c 它应该等于多少？ e f 比上一个 a e， 所以 说得到了一个 a e 乘 b e 就 应该等于 a e 乘以 e f， 那 ab 式弦长是二 p 比上三亿平方阿尔法 e f 呢？这个角是阿尔法，那么这个角就是阿尔法的补角赛，阿尔法的补角赛的话，那这个角就是阿尔法，也就是说角 f e 角 f e m 也等于 r 法，对不对？ f e m o a 对 着 f e m， 你 阿尔法和斐是互余的，斐和这个阿尔法也是互余，对着没问题。那么这个时候这个 e f 是 谁来着？ e f 就 等于多少？ e f 的 长度就应该等于 f 到总线距离是多少来着？是 p 比上一个三引阿尔法，所以说代入以后得到结果就是二 p 平方比上 二 p 平方比上一个三引三次方。阿尔法类比于三选 c 选项，它也是大于等于十八个啊，这是一种做法。 但是，呃，上面这个粉色粉色的直线方程我不是解释了啊，第二个的话有点呃，好多老师说的什么阿基尼的三角形啊什么的。这个我觉得针对大多数同学来说，你考场上现推就可以了。这是看基础问题啊，就焦点先交半径这些，要了能够反应快一点。 那除了这两种之外呢？我老师你说的连力方程我办不到，你说的交半进公式我也不清楚，咋办？你你你你你，你知道之前我我不擦这个来，那我们我们想一想一件事就行， 想一件事就很简单，之前我们在之前的高考题当中不是有这个题吗？就说是两条焦点弦互相垂直， 让他们加起来，这是什么？得 e， 这是什么 ab， 现在说是 ab 和得 e 垂直的时候，什么时候他两个和 ab 加得 e 要最大还是最小无所谓，他应该是取最小啊。啥时候 那 ab 的 长度是 x， 得 e 的 长度是 y 的 话， x 和 y 加起来一定大于等于二倍。根号下 x 乘 y， 前提是基本不等式嘛，对不对？那你现在问一大堆 找特殊位置吗？你现在问的 a e 乘为 x， b e 乘为 y， 那 无非就是 x 乘 y， 那 x 乘 y， 那 二 x y 小 于等于 x 方加 y 方，你能办到吧？什么时候成立呢？是不是 x 要等于 y 的 时候成立？ x 和 y 要相等，那么不就是 a e 乘和 b e 乘相等吗？ a 一 长和 b 一 长相等，那长这样呀，是不是就是通径啊？这是 a， 这是 b， 这是 e， 那 么此时这是 f， 那 么 a 点坐标，这里是 p， 那 这里也是 p， 那 这个地方根二 p， 那 么 a e 乘以 b e 不 就是 二屁方嘛，屁方等于九二九十八嘛，那它是最小的位置吗？答案是十八，没问题啊。所以说 du 也是对的啊。呃，需要一定的同学去把 du 选，去把 du 选项的这个直线方程也一连一遍试一试。 如果同学们基础可以把第二种情况也要分析分析，实在不行你去把之前的高考题好好做一做啊。

好，我们开始十七题一题几何的证明。首先我们对问题进行分析，你要让我证明平面 p a、 b 垂直，平面 p a 的， 那么面面垂直怎么正？面面垂直，那就是找柱子。所以说我可以在 p a、 b 当中找柱子，也可以在 p a、 d 当中找柱子，所以话就分两边， p a、 b 那 条 p a、 b 当中，哪条线它是垂直于平面 p a、 d 的 呢？ 待会看图， p a d， p a、 d 里面哪条线是垂直于平面 p a、 b 的 呢？ 大家伙看图来，我们先看左边，改个颜色， 好，红色部分。那我就要在 p a、 d 当 p a、 b 当中找线， p a、 b 当中有几何直观可以看出来，它应该找的是 a、 b， 那同样的，在右边，在 p a 的 当中，哪条线垂直于 p a、 b 呢？有几何直观应该是 a 的。 那么接下来我就要证明 a、 b 垂直于平面 p a 得或者 a 得垂直于平面 p a、 b。 那么在证明的线面垂直的证明之前，一定要看一眼题目当中有没有出现面面垂直，以防应用到面面垂直的性质。定例，题目当中没有。接下来那一定就是 a、 b 垂直于什么？ a、 b 垂直于什么？我需要在 p 的 当中找两条两条相交的直线，那 a 的 垂直于什么？ a 的 垂直于什么？也是一样。那么通过读题我们就可以判断 a、 b 它是垂直于 a 的 的，那 a、 d 也在平面 p e 的 当中，没问题。其次， a、 b， p a 不是 垂直于底面，那么 a、 b 也垂直于 pa， 它已知，它已知，自然就有 好。右边呢？也可以 a、 d 垂直于 a， b 已知， a、 d 垂直于 pa 也已知。所以这个题第一问比较温柔，两种思路都可以做， 那么中具体的解析过程，同学们根据截过图反向递推回去就可以。比方说油体已知 a b 垂 p， a 垂直于底面 a b c d， 所以 a b 垂直于 pa 小 圈一同理，又因为 a b 垂直于 a 的 小圈。二 接下来 a 的 pa 都属于平面 pa 的， 所以得出 a b 垂直于平面 pa 的， 即 a b 属于平面 p， a b， a b 还垂直于平面 p a 的， 所以两个平面互相垂直。

同学们大家好，今天我们来看到高考全国二卷的第十七题，这是一道例题几何的题目。如图，在四边形 abc 大 中，其中 ab 是 平行于 c 大 的大， ab 是 等于九十度的 f 为 c 大 的中点，那么大 f 呢，就是等于 c f 的 点 e 在 ab 上， e、 f 呢，平行于 a 大。 由这些平行关系呢，我们就可以得到，凹处的这些角都为直角， ab 呢，是等于三倍的 a 大 的， c 大 呢，又等于二倍的 a 大。 这里呢，给出了边长之间的关系，但是这道题没有给出长度，所以在这里呢，不妨设 a 大 的长度为一， 因为 c 大 等于二倍的 a 大， f 又为中点，那么大 f 的 长度也为一， c、 f 的 长度呢，也为一。有图我们可以看出，四边形 a、 e、 f 大 为一个矩形，所以 a、 e 的 长度呢，也为一。又因为 ab 呢，是等于三倍的 a 大 的 b， e 的 长度就为二。 将四边形 e、 f 大 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f 大 一撇 a 一 撇，使得面 e、 f、 c、 b 所形成的二面角为六十度。 四边形 a 一 撇大一撇 f e 是 一个矩形，这里的二面角六十度就是我们的角 b e a 一 撇，这个角度为六十度。第一问，让我们证明 a 一 撇 b 是 平行于平面 c 大 一撇 f 的。 要证明线面平行呢，我们有两种思路，一种呢，是去证明线线平行，然后另外一根直线属于平面 c 大 一撇 f。 还有一种方法呢，是去找一个面面平行，其中有一个面是 a 一 撇 b， 要所在的面。在这里呢，我们发现我们很难在我们的平面 c 大 一撇 f 这个平面内找到一条直线平行于 a 一 撇 b， 所以 我们可以换一个思路，我们去证明面面平行。 我们来看 a 一 撇 b、 e 这个面是否平行于 c、 f 大 一撇这个面，如果这两个面平行的话， a 一 撇 b 呢？又是前面这个面内的一条直线，我们就可以得到线面平行了。把刚刚设 a 大 的长度为一四边形， a 大 f、 e 为正方形的过程，我们把它写下来之后，我们可以得到 a、 e 是 平行于大 f 的， 那么折叠之后就可以得到 a 一 撇 e 是 平行于大一撇 f 的。 这里我们想证明面面平行。要证面面平行，就是要在一个面内找两条相交的直线，这两条直线都平行于另一个平面，这里我们由 a 一 撇 e 已经可以证得它平行于背后这个平面了。 因为大一撇 f 属于后面的这个平面， a 一 撇 e 不 属于后面的这个平面，所以我们就可以证得 a 一 撇 e 是 平行于背后这个平面的。那么要证明这两个平面平行，我们只需要在前面这个 a 一 撇 e、 b 类这个面内，再找一条直线平行于后面这个面。显然 b、 e 是 平行于背后的这个平面，证得了 b， e 也平行于背后这个平面， a、 e 也平行背后这个平面之 后，我们只需要说明这两条直线都属于前面的这个平面， a、 e 也平行背后这个平面之后，我们只需要说明这两条直线都属于前面的这个平面， a、 e 也平行背后这个平面之后，我们只需要说明这两条直线都属于前面的面面平行了。 证得面面平行之后呢？又因为 a 一 撇 b 是 平面 a 一 撇 e b 类的一条直线，所以我们就证得了 a 一 撇 b 呢，它是平行于我们的平面 c 搭一撇 f 的。

好，我们接下来看第二问，第二问的话，第二问的第一个， 它给了各种的长度，然后让我们证明这个，让我们证明 o 点在平面 a、 b、 c、 d 内，那这个证明相比较而言，呃，我觉得直接算就行了啊。 好，那么这个时候以 a 为坐标原点， ab 为 x 轴， a 的 为外轴， pa 为 z 轴，建立空间直角坐标系。这个时候我们可以得出 ab 长度是根二， pa 长度是根二，那么 bc 长度是二， a 的 长度是一加根三。 这种时候我们现在新高考没有俯势，没有三式图了，我特别希望同学们去自自己学一学这个三式图的问题，你去画一下俯势图，这是 a， 这是得，那它就是 y 轴。好，这是什么呀？ b， 这就是 x 轴， 那这是 c， 这是一加根三，这是根二，这是二。接下来，好，我们可以得出所有的点坐标 a 点作以 a 为圆点， 如图间隙，不解释了啊。 a 点坐标零零零， b 点坐标根二零零， c 点坐标根二二零得点，坐标零豆一加根三豆块零， p 点坐标零零根二。 那么这个时候注意审题，我要的是 pbc 得四点均在球面上，那么 pbc 得四点均均在球面上，我要去反解这个球心， 这个球星的话，那我就在 a、 b、 c、 d 这个面里面去找，那么现在要在这个这个球面上的是 b 点、 c 点和 d 点，它的形状是不同，呃，它的形状是个动脚三角形，那这个时候找它的外接圆圆心，那么两种思路，第一种的话，我就去 利用平面直角坐标系的内容去画那个对角线，哎，画那个中垂线去求这个球心 o。 第二种的思路的话，我可以设点，用向量去算，我比较推荐向量是因为这个题间隙我们都做完了啊，这个是它的 b， c 中点，它一定是 一定是什么呀？ a， a， a 一定是，一定是。我的纵坐标等于二，横坐标不知道，所以说由题由题， 我们设的点。呃， o 点坐标就是 t 勾一勾零，则 o， b 一定是等于 o， c 的。 好，接下来我只需要让满足 o， o， b 等于 o， c 还等于。最后是和 o 的， o 的 长度应该等于根号下好， t 方加三， o， p 的 长度应该等于 t 方加一，再加二再开根，那么 o p 和 o 的 也是相等的，所以说 o 的 o p 相等， o， b， o， c 相等，而它们都相等即可。 这个时候 o， b 的 长度呢，就应该等于多少呀？是不是 t 减根，二的完全平方，再加一开根， 我让它等于根号下，等于 o 的 根号下， t 方加三，整理一下， t 方减二倍，根二， t 再加三，要等于 t 方加三也值得 t 等于零，所以说此时 o 点坐标应该是零一零， 此时 o 点一定在平面 a， b， c， d 内，我们解出来这么一个 o 点坐标，所以说也就证明了 o 点在平面 a， b， c， d 内了啊。

嗨，同学们，我现在呢做第八题，第八题呢是选择题的最后一题，这一题呢应该是比较难的，那么我们看一看能不能用最基础的知识呢，把这一题呢解出来。 好，我们先读题哦，我们只等三个数， x， y， z， 它满足的这条连党式很长用呢，我们看一下它，问题是它这个大小关系不可能是什么，我们记住，不可能哦，我们不要把可能的损上去。 好，我们把这个题目呢点看看连党式，我们敲岔来，我看看有什么规律。 等于三，加上 lock 三， y 等于五，加上 lock 五对 seven 对 不对？好，我们看看我发的 r 删母这几个数字呢，我们应该可以把它化简一下，对不对？我们这个 r 呢，我们不要全部呢，减去 r 也等的嘛，是不是 三加上 lock 五的意思？好了，这桥连挡式，连挡式的话呢， 我们住己处理起来呢，是比较麻烦的，但我们干脆把它量它们全部等于 k， 总不等于 k， 这样子的话呢，我们就隔壁把它们分开了，怎么分开呢？这是 log r， x 等于 k， 对 不对？一加上 log 五，一线也等于 k。 好了，后面呢，我们再化简一下，我们同时减去一，减去一，减去三，减去三，这样子呢，我们就全部把 x， y 线提取出来了， 但是这样子呢，我们还够吗？我们不够对不对？未对，因为一个对数盘数呢，对于我们来说呢，还是有点麻烦，有点复杂，但我们怎么做？我们把它变成我们熟悉的样子，怎么变呢？把对数我们把它算出来嘛，是不是二的 k 四方等于 x， 三的 k 减一等于 y， 五的 k 减三等于四，这样子呢，就全部变成我们熟悉的样子，这样子呢，我们就是算起来就好方便 好了。但我再回到问题的喔，他说大小关系不可能是啦， 四选一，九一个是不可能的，那么您能值换过来说，我们应该怎么样？就是四个中呢，有三个是可能的，就是说它的 x， y 以外呢，它的大小关系有三个， 所以说 sy 是 它大小关系呢，是不固定的。怎么决定它大小关系呢？我怎么看呢，就以应该是 k 来决定它们大小关系对不对。 k 取不同的值呢？它大小关系呢，是不一样的好，那么 k 应该怎么算出来呢？ 我们算这种大小关系题目呢，我们一般呢是不会硬算，我们呢应该 把 k 换成几个数字，再把数字带进去试一下，但硬带哪都比较好呢，我们带这个特殊的十好不好？特殊怎么啊？怎么指的特殊呢？我们试一下，把这个 密变成零也好了嘛，是不是好？怎么变成零呢？我画一个表，我们记录一下。 k 取不同的数，那 x， y 以 x 是 有不同的大小的，那不，首先我们把这 k 取用零对不对？二的零是方就是一三的负，一是方呢，就是三分之一， 零五的负三次方呢，就一百二十五分之一。好了，这样子我们第一个关系也出来了，赢个什么？ x 大 于 y 大 于大于以 c， 对 不对？ 那这个是哪一个？就是省下 a， 省下 a 呢，它是可能的，它是可能的。好了，后面再取一个什么特殊角呢？我知道 k 减一，我们把它变成零嘛，就是 k 等于一，对不对？ k 等于一呢，就是 s 又是 r， 对 不对？三就是一， 一减三等于负，二就是二十五分之一。好了，二十五分之一， x 大 于 y 大 于 x， 好， 和这个相同，那么数，所以呢，这个呢，我们是是不用取的， 后面呢，我们是个取二呢，我们不取二，对不对？约着，为什么不取二呢？因为 k 减三嘛，我先取个三会比较好一点点是吧？ 二的三次方是八，对不对？三减一等于二，三的二次方呢？就是九，这个呢，就是一。好了，那我们发现关系变了吗？变了，是 y 大 于 x 大 于以 side， 对 不对？ y x 以 side 是 哪一个？是 c。 好 了，那我们要不要继续取下去呢？我们继续取下去试一下嘛？试 好了，这顿算起来应该怎么算呢？ k 要三变掉十，对不对？这里面是不全部加一，那很好，算出来，十六二十七五， 一样是 y x y x 这样没有变，那我借取下一个乌，应该三十大，对不对？二十七，我们不算出来，我们乘以三，对应该二十五。好了， x 大 也显很明显的，对不对？那个 y 呢？二十七乘以三，很明显比这两个都要大，所以呢， y x 以线，它也是没有变。 好了，那么再去拎一个呢？六对不对？六应该是六十四，这是二十七乘以九，对不对？好了，这个针一百二十五，我们再看看， y 一 样是最大的，对吗？但是这个变了吗？变了， x 比 y 响一点，后面呢， x 是 最响的。好了，玩出那个是哪一个呢？ y 以 c， x， y 以 c， x 是 b， 所以呢，我们这题不可能的是哪一个，只能是 b， 我 们用排除法把它们全部排序出来。好， 我们选择题呢，就全部讲完了，明天呢，我们开讲一下，填空题原点关注，我们明天见。

咱们来看这道题，设 b c 为实数，满足关于 x 的 方程，这个有六个互不相等的实数解，其中 f x 这个函数是一个 带的绝对值，这么一个函数则 f 二零二五， b 加 f c 加二零二四的最小值啊，这个咱们首先啊，其实一眼就能看出来，当然呢，咱们稳当一点写了 f 负 x， 这个是看啥呢？看它的解偶性，对吧？ 你能看出来，因为带的绝对值的缘故，所以咱们一整理就会发现啊，他就是一个偶函数啊， 它又是一个偶函数，然后咱们还是想办法先去绝对值，这个很明显了啊，如果咱要 x 小 x 分 之一大的时候啊，当然我这个都是在 x 属于离到这个球上去讨论的 偶函数嘛，咱讨论 x 大 于零， x 小 于零，那边咱就写出来了嘛， 你看啊，在零到一上啊，这时候 x 小 x 分 之一大，所以咱们前面这个啊，第一个这个绝对值是取的相反数啊，第二个直接啊，第二个肯定是正的了，咱们这么讨论啊，就得到他， 然后大 x 大 于等于一时，这时候第一个前面这个是正的啊，咱再打开，哎，就得到它，这时候咱们可以怎么样呢？可以把它这个图像画出来了， 它的图像啊，看好了啊，连到一上的时候还是这么样一个直线啊， 然后大于一的时候是这么一个，他这个是往上往上走，再是咱们可以看到他永远怎么样呢？永远会怎么样，永远会小于二啊，所以说是这么样一个， 然后咱们看啊，这个方程，你要是想他有六一个六个互不相等的实数解，那你怎么办呢？你肯定有一个是零啊，是吧？有一个解是零，另外一个解在零到二上， 是吧？这样一二三四五六，对吧？好呢，如果说有一个解是零的话，其实咱们知道呢，咱们不可能要 c， 不 可能要 c 啊，是吧？ 所以啊，咱一定会得到一个什么呢？得到一个 c 等于零啊，我说我写了得到一个 c 等于零啊，因为一个解是零，那另一个解呢？因为韦达定义的缘故，咱就值啊，那一个解是负 b， 是 吧？ 负 b， 所以 负 b 呢？负 b， 咱们看出来了，负 b 得在负二到零上，是吧？ 这样的话，咱们继续，咱们要的是这个 f 二零二五 b， 当然这个 b 咱们已经知道了， b 属于谁呢？属于这个负二到零， 是吧？其实咱就能看出来呢，咱他恰巧配的是谁配成这个 f 负一的零，这时候是最好的 啊，后面这个呢？这个 c 就是 个零，所以说这就是 f 二零二四。前面呢，咱们配成了这个 f 负一啊， 是零，所以说在直接写出来就行了，得到最后答案就是它。好了，这道题就这样白，那个白。

同学们，大家好，今天我们要讲解的是高考全国二卷第十八题的第二小问的第二小问，比较二倍 x 一 与 x 二的大小，并证明你的结论。 这里呢，我们可以得到二倍 x 一 是大于 x 二的证明呢，我们如下，首先，我们由第二问的第一个小问可以知道， g t 呢，在区间零动 x 一 上是单调递减的， 所以呢，我们就可以得到 g 零是大于 g x 一 的， g x 一 呢，代入就可以得到这是 f 二倍的 x 一。 又由我们第一问分析出来的 f x 的 大概的一个图像，我们可以知道， x 二呢，是它的一个零点，所以 f x 二呢，刚好是等于零的，所以这里的零我们就可以写为 f x 二大于 f 二倍 x 一。 又因为呢，我们是在零斗 x 一 上是单调递增的， x 一 到正无穷呢，都是单调递减的。二倍 x 一 呢，肯定是处在这一段的范围内，它的函数值比 x 二这个位置的函数值还要小，所以二倍 x 一 只能在这边，即二倍 x 一 是大于 x 二的，所以我们就挣得了二倍 x 一 大于 x 二。