高考立体几何枣庄一模

这道立体几何题的第二问，我个人的解析思路和有一些习题测提供的正确答案有一点出入，因为我个人认为他们提供的答案不严谨，所以在我分享第二问的解析过程当中，呃，同学们如果觉得我考虑的有点多余了，可以留言大家一起讨论一下。 正方体棱长为二， e、 f 分 别为中点点 g 在 棱 b 撇 b 上，并且满足 b 撇 g 等于 lamb 的 乘以 b 撇 b。 第一问，当 lamb 的 等于二分之一的时候，让你证明 e g 平行于平面 d 撇 a c。 我 们直接看第一问，第一问相对简单一些， 现在当量子等于二分之一的时候，也就是 g 点在这个 b 撇 b 的 中点上的时候，让你证明 eg 平行于底下这个 d a c d 撇 a c 这个面 既然是中点了，我们连一下这个 a 撇 b， 这样的话，我们很容易就能得到 eg 是 平行于 a 撇 b 的， 同时 a 撇 b 呢， 也是平行于 d 撇 c 的， 这样子话我们就能得到 eg 平行于 d 撇 c， 进而得到 eg 平行于平面 d 撇 a， c。 再看第二问，若点 m 在 b d 上，我们把第一问的辅助线擦掉，我们重新看一下第二问， 点 m。 在 这里现在说点 d 撇 m 平行于 e f g 这个面，当 lamb 的 属于二分之一到一的时候，求 d 撇 m 的 长度取之范围。我刚才说我跟大家很跟有些 c d 测的答案观点不一样，就是在这里 有的奇提特的答案呢，直接把二分之一和一直接带入，然后求出来两个值，然后直接就说这个取值范围就是这两个值了。我觉得这个不严谨，因为你需要说明 什么时候取得最大值，什么时候取得最小值，你怎么确定他是取得最大值和最小值的？来，我们看一下，重新画一个一个图啊，我们 给大家说，先把这个题在图里面，我们把它的需要的线段给它标出来，现在 d p m 平行于这个面了， d p m 平行于 e f g。 那 么既然是一个线面平行，我们把交线先找出来，我们连一下 d 一 撇 b b 一 撇，这样话交为 o 点的话，我们再连上 o g， 这个样子，我们就能得到 d 撇 m 是 平行于 o g 的。 具体的过程不写了啊，我还是主要给大家分享思路，现在他已经平行于他了，你现在需要根据 g 点的移动来确定他的 d 撇 f 的 最大值和最小值。我们把立体的问题转化到平面上，我们画一个矩形， 这个句型是谁呢？是 d 撇 b 撇 b d。 因为我们要求的这几个线和点都在这个面上， m 在 这里， g 点在这里， o 点在这里，这个 o b 啊，从这个上面我们能看到它 o b 是 等于四分， o b 撇，它是等于四分之一的 d 撇 b 撇的，为什么？因为这是中点，我们再把这个连上，我们就会发现这都是等分， 都是等分点，所以它是等于四分之一的。这样的话，现在我们延长 o g 与 d b 交于点 f， 再连接 o b， 再过 o 点做 o p 的 o p 垂直于 d b。 为什么要这样做？我们刚才已经证明了， d 一 撇 m 是 平行于 o g， 也就是平行于 o f 的。 在这个句型里边， d b 又是平行于 d 一 撇 d 一 撇的，于是我们能得到 d 一 撇 m， f o 为平行四边形， 于是能得到 d 一 撇 m 是 等于 o f 的。 为什么要这样做？我们要把平面的问题转化到图形里，也就转化到这个三角形 o f p 里， 这样的话我们知道了 o f 是 等于 d 一 撇 m 的， 这样的话，随着记点的变化，我们来确定 o f 的 最大值和最小值就可以了。 现在在直角三角形，因为我们刚才做了一个垂直在直角三角形 f o p 中， cosine 角 f o p 是 等于 o p 除以 o f 的 这个样子， o f 它就等于 op 除以 cosine 角 f o p。 于是我们就可以根据 cosine 角 f o p 的 大小值变化来确定 o f 值的大小值变化以及它的最值问题。这样的话当很容易就可以看到， 当 o 就 也就是当 lamb 的 等于二分之一时，角 f o p 取得最大值，这个时候 o f 也取得最大值。 当 lamb 的 在左边再写下 lamb 的 等于一时，也就是 g 点和 b 点重合的时候，角 f o p 取得最小值，这个时候 o f 也取得最小值。 好了，关于它的最大值和最小值的证明，到这个过程我们就完事了。然后紧接着我们接下来就是确定它的值了，这个过程我认为是不能省略的，接下来我们再看一样的具体的数值，不给大家算，只把整个思路给大家过一下。 现在当 lamb 的 等于二分之一的时候，也就是整个问题啊。第二问的整个问题，我们现在就转化到，当 lamb 的 等于二分之一的时候，求出一个值，然后再当 lamb 的 等于一时，求出来一个值就可以了。先看当 lamb 的 等于二分之一的时候， 也就是在这个地方，现在我们知道这些都是中点了，我们再把这个地方设为 o 一 撇，也就是 a 上面这个面 a 撇 c 撇和 d 撇 b 的 交点，对角线的，我们连接 o 撇 b， 因为已知条件里面我们已经求出来了这个，我们把这个地方擦一下，在这地方写这个图画的有点大， o g 是 平行于 d 一 撇 m 的， 这是我们刚才通过线面的性质正出来的，同时因为这都是中点，所以 o g 也平行于 o 一 撇 b， 这个时候这个和这个这样的话，我们能得到通过它啊。 d 撇 m 平行于 o 一 撇 b， 再加上上面的这个对角线 d 一 撇 o 一 撇是平行于底下的这个 m b 的， 所以这个四边形把这个擦掉，这边不用了， 所以这个四边形 o 一 撇 d 一 撇 m， b 为平行四边形，所以我们就能得到 o 一 撇 d 是 等于 m b 的， 因为 o 一 撇 b 是 等于上面这个对角线的一半，所以这个底下的对角线一半，我们也就得到了，于是 dm 的 值也就知道了，再加上棱是二，这样的话， d 一 撇 m 的 值就可以得到了，然后再看第二个，当 l m 的 值就可以得到了，然后再看第二个，当 l m 的 值就可以得到了，然后再看第二个，当这个图来画 long， 等于一时，也就是 g 点和 b 点重合，我们继续画出它的负数线 o 点，当它重合的时候，也就是 o b 平行于 d 一 撇 m， 再加上 o d 一 撇是平行于 bm 的， 于是我们能得到 d 一 撇 o b m 为平行四边形， 于是 mb 就 等于 d 一 撇 o， 而 d 一 撇 o 很 容易我们能得到它是等于上这个对角线的四分之三， 他直接写出来等于四分之三的 d 一 撇 b 一 撇，于是我们现在知道了 m b， 也就知道了这一段这段的长度，再用对角线一剪，再结合棱是二， 再求出来他的值。这样的话，这道题我个人认为就比较完整了。这道题第二问相对来讲讲的比较复杂，希望同学们能听得明白。如果你对我刚才的那个关于这个 呃，最值得这个证明的这个过程啊，你有自己的看法，你可以发出来大家讨论一下。好了，同学们，今天的这道题就这样，拜拜。

虽然命只有一条，但是要命的题可不止一道。来看一下这道立体几何的压轴填空题。这道题呢，乍一看很难，实际看呢，也不简单，他说的是在圆锥 p o 的 内切球和他的外接球的球心都是重合的。 然后呢，圆锥 p o， 它的底面直径是二倍，根号三。设 s t 是 圆锥底面圆上的两个点，而且它们的长度是根号三。 然后呢，求平面 pst 结对切球所得的结面的面积是多少？而我们塑形里面有一个高大上的词叫塑形结合，所以我悄悄的给他画一个草图，当然你光明正大的画也可以，只不过这个图不是很好画，他大概长这副德性 好，我已经提前画好了。然后呢，你看啊，圆锥就是这么一个圆锥啊，他的内切球和外切球我都给他画出来了。然后呢，球心是同一个球心。 注意，这里面有个细节，就是轴节面，显然如果我们把它看的是一个平面的话，你看这几个平面他刚好是什么呢？过了球心， 如果把它的轴结面单独的给它弄出来的话，你会发现三角形它的外接圆和内切圆它的圆心是同一个圆心。那么我们什么三角形符合这德性呢？显然是一个等边三角形， 外心和内心是重合的，四心合一对吧？所以我这地方给他连接起来，他肯定是外接圆的半径，而这地方如果连接起来，他肯定是内切圆的半径， 同时也是内接球和外接球的半径。好了，所以 mb 和 ma 都等于根号三。那我刚才已经分析出来，这个轴结面它是一个等边三角形，所以 pb 等于 pa 都等于二倍的根号三， 那么所以轴角面等边三角形，它的高就应该是三，那么所以 o m 它就应该是一，因为它是三等分点处，那么也就是内切圆，它的半径就是一。 而我悄悄的给它连接 o a， 那 么刚才已经说了，它是外接球的半径，我们记为小二。由于 m a 是 根号三，所以外接球的半径就应该是二。 好，又因为 st 它在底面圆上运动，而且它的长度是根号三，然后呢，把这平面给它连接起来。 s a t 交球内切球一个结面，注意，任意一个平面结球，它的结面都肯定是个圆。大哥长这副德性，所以我给他画一下，然后呢，过球的球心做一条垂线，垂直于这个结面， 我们假设垂直为 q 上面这个地方，假设哪一个点？ c 点，那么 o c 它肯定是内切球的半径肯定是一。而根据强大的勾股定律，所以 p n 它就等于的是 p t 的 平方，减去 n t 的 平方，开根号二分之三倍根号五。 那么注意看，我把这平面给它挪到平面来，而又因为 m n， 它就应该等于再来一个勾股定律，那么它就应该等于的是二分之三倍根号五的平方， 再减去九，再开根号二分之三。然后呢，根据相似，所以 o q 比上二分之三，它就应该等于的是 p o p o 的 话就应该是二，比上二分之三倍根号五，所以 o q 它就等于的是根号五分之二， 那么 q c， 它就应该等于的是根号下 o c 的 平方，减去 o q 的 平方，其实 o c 它就是那个结面圆的半径， 所以就应该等于的是一，减去五分之四刻刻号，所以就等于五分之一刻刻号，五分之根号五。 当我们把这个圆的半径给它算出来的时候，所以它的面积也出来了，所以前面它的面积派二的平方就应该等的是二十五分之五，在乘上派就等于五分之派。 好，这就是这道题的一个答案，一个分析过程。说实话，这道题对咱们的空间想象能力还是要求有点高的，在考场上有限的时间不一定想得到。更多知识学习，可加入粉丝群哦，关注我不迷路！

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

高三立体几何的备考意向，这期绝对是干货啊，关注我的劳烦也知道我之前呢，其实更多时候关注的是立体几何，因为我把近几年所有的立体几何模考题，还有就是高考题啊，就是真的花了很多的时间在研究。 我对于有一种高考的立体几何的复习思路，我觉得是比较反感的，我觉得真的是一个很错误的方向，就是偏计算。大家其实观察一下接下来过去这三年的大体立体几何的大体，你会发现它没有什么计算量。 像我们现在很多模考题，比如说他出了一些例题集合，他要么很花哨，要么和概率结合，要么和构造函数结合，要么和一些比较偏计算的构造一些东西让你去求解，就是计算量很大的那种，或者什么动脚最值啊，一些动态的体积最值，在那个大题里面就是说一下子就给你整了很多计算量。 这种思路呢，他固然是可以难的，可以很好的训练学生的计算量和计算能力，但是他和高考的考察的一个方向是违背的。为什么这么说呢？ 大家要想一想一个很根本的问题，就是说为什么要考虑利益几何？如果说单纯只是为了考你计算能力的话，那导数圆锥曲线哪个不能考？你计算为什么要在利益几何上考呢？利益几何到底要考虑什么东西？大家得把这个问题给想清楚。 你去观察二三届、二四届、二五届这三届的高考的利益几何大题，你就会发现他并不是要考虑计算，没有什么计算量，他们二三届的就是那个利益几何里面有一个两个面的角叫二四角， 是一个几何锥，让你判断他的一个夹角，二五键，他确定一个圆心等等，他都没有什么计算量，包括我们很多模考题里面考的那些什么动态的最值啊？什么时候取得最大呀？这东西你看这几天考了吗？从来没考过， 但所以这说明一个什么问题，说明偏计算的利益几何，他确实就不是高考考察的重点。那我们在平时在模考卷，我们或者说自己刷题的时候，遇到那些计算量很大，需要你构造三角函数，构造函数，然后再一次构造两次构造，然后再求导放松的。 你说这种题目你觉得有必要去练吗？当然你考试如果说你想模考卷的话，出一些好的成绩让自己心里满意点，那也没问题，或者说你单纯为了挑战自己，但如果性价比一点说，你就是单纯为了应付高考，你应该关注什么？ 我在后面接下来一段时间后还会继续发关于逆几何的内容，大家可以关注一下逆几何，你想要去关注他，重点是你要知道他到底要考你什么， 对吧？每一个知识点他考察的侧重点是不同的。你比如说逆几何，你观察这三年的题目，你会发现他都考的不是那种非常常规的计算题，他考察的是你对于一种复杂的陌生的一种几何关系的一种转化。我比如说等你几把， 你比如说你碰到一种条件给你比较零散的，他的底边的一些垂直关系，一些情感关系，他是动态的， 或者说他并不是一个非常清晰的，肉眼可见的一种双方真正关系，他的原型在哪，他的底在哪，他的高在哪，他都是未知的。我不知道大家懂我说的是个什么意思，就是他不是那种你一眼就能把这道题看透的， 我们市场上考的很多的题目都是什么呢？你一眼就知道这个图形的方方正正的，哪条边在哪，哪个墙在哪，有什么几何关系，怎么构造？或者说他的这个图形已经给你非常明确了，你只要去构造就思路一目了然。但比如说像二五年的一级几何， 那你确定原的位置，你是不是有的时候你得先猜后账，你得先猜测他在哪，然后再去整，所以他就考察你对几何这个想象能力。几何归根结底他考的是几何，不是代数，不是考你计算能力有多强呢？ 所以说你要从这个方向上去着手的话，你要去找那些能够考察你非常规的那种立体和想象力的题目， 就是说这个图形他和你平常见的不太一样，会让你在考试时感觉有被卡住一下感觉。大家知道卡一下这个感觉非常的重要，因为你平时被卡住了，就意味着你考试时一定要被卡住， 你需要找这样的题目去练，去找那种能够给你带来一种陌生感，而不是说这种这个几何关系啊，我一眼就能看到，或者说这种题目他一定有几何法和代数的方法，因为接过去这几年的三道题，大家发现没有，他既可以见习又可以结合，既可以见习又可以结合， 但是几何法一定是要比见习要稍微快一点点，当然他对于那些基本能力非常强的人来说，也可以做到风景游人，他一定是高考题的特征。 所以说对于那种计算要求非常高的立体几何题，其实大家可以不用那么关注，去多训练自己立体几何能力 去判断那些在一些非常特殊的奇怪的位置上，我的一些线和面的夹角，线和线的一些几种几何关系，一些垂直关系、平行关系，它可以怎么用其他的方式来表达出来？比如说线和面的垂直，我是不是可以转换成法向量和一条平行的线， 或者说我要算一个面和一个面的夹角，我是不是可以转换成跟另一个面的角角，或者说鱼角，或者说我知道这个面和这个面的夹角，我是不是可以用 二面角或者说两角合的公式把它转化成另一个？大家要去想这种一些比较特殊的，大家平时用的很少的一些立体几何关系的转化。转化永远是高考考察的一个重点， 他考察的是你在非常有限的时间里，怎么把一个复杂的几个问题给他转换成相对简单一点，我觉这才是考察的重点，而不是说你去练计算，所以我觉得这是个比较错误的思路，大家各抒己见吧。

为什么高考例题几何大题中，命题人往往最偏爱向量法，因为间隙就是例题几何最稳的解题路径。今天这节课，主播就用五分钟带你轻松掌握间隙，设点求值，无人扶，你轻盈至，主播助你上大分开整。 各位同学好，那么今天呢，我们来讲一下向量的坐标表示。首先呢，一定要有一个平面直角坐标系。一般来说，一个向量是由两个点组成的，一个就是它的起点，比如说 a 点是 x 一， 逗号 y 一， 接下来还有一个 b 点， b 点的话是 x 二，逗号 y 二。那么如果 a 是 起点， b 是中点，那这个项链是不是可以从 a 指向 b 的 一个项链项链 ab 应该怎么样用这两个点来表示呢？很简单，它写出来就是 x 二减 x 一， 逗号 y 二减去 y 一， 就这么简单，可以吧。核心来说，其实后减前后面点的坐标，减去前面点的坐标。来，我举个简单的例子啊，点 a 是 三二，点 b 是 四一，好，那我问你，向量 a， b 等于多少？ b 的 坐标减去 a 的 坐标，所以四减三应该是等于一， 一减二的话，得以得到等于负一，所以我们就可以得到答案，应该是等于一，逗号负一，可以吧？ ok， 这就是一个简单的点乘向量的一个非常重要的运算。好，那除此之外，那如果有向量，那肯定是有向量的之间的运算。如果我说这是 a 向量，那假设 a 向量是 x 一， 逗号 y， 这是 b 相量的话，我们写出来应该是 x 二都好， y 二好。这个时候我问 a 和 b 它有些什么样的运算？其实无非就是加减乘除嘛。第一个， a 相量加减 b 相量等于应该是它们的坐标加减坐标，是吧？ ok， 第二个啊，就是相乘 楞打倍的 a 向量，如果乘一个式子的话，应该是等于括号楞打 x 一， 逗号楞打的 y 一， 对吧？那如果我要算 a 的 模长的话，等于多少？等于根号下的 x 一 的平方加上 y 一 的平。 好，接下来其实还有一个叫数量机， a 向量点乘 b 向量，实际上是 x 一 乘以 x 二，再加上 y 一 乘以 y 二啊，这是数量机，这其就向量的基本的坐标的计算其实不难啊，你们记住这两个常见的点就会，第一个如何去设点， 第二个如何去设动点。如果我知道一条线，这是 a 点，这是 b 点，这是 p 点。假设 pa 比上 p b， 我 们可以得到应该是等于 x 比上 y， 那 么我们是不是可以知道一个结论， p 点的坐标等于 a 的 坐标加上某个 b 的 坐标，它的分母啊， 意思就是他们的比值相加就是 x 加 y 分 子的话，分别是找的是隔壁，所以对的是 y 倍的 a 和 x 倍的 b， 好 吧， ok， 这就是一个简单的已知比例的设点方法。我举个简单的例子， a 点在这里是一二啊， b 点在这是三四。好，那 接下来 p 点在这，这个分数应该是六比五，那接下来 p 的 坐标应该是等于多少倍的 a 加上多少倍的 b 啊？他两个系数，注意，他的分母一定就是把这俩比例把它给加起来，就十一五加六等于十一 分子的话，就找隔壁啊， a 对 的是隔壁的五， b 对 隔壁的六，所以我们可以得到是十一分之五倍的 a 加上十一分之六倍的 b， 大家有没有问题？第二个就是如果我会涉及到动点的话，应该怎么去设，那么就是 p 的 应该等于 number 倍的 a 加上括号下的 e 减 number 倍的 b， 对 吧？这就是动点的 设点方法。那我们来看一下这题啊，这题我在这里给他稍微给大家去讲几个方法。首先第一个，他说这是一个边长为一的等边三角形，然后他说 d 是 b， c 边上的动点，这是我们的 d 点。然后呢他说如果做 d， e 垂直于 a， b， d f 又平 菱形于 a， b 交 a， c 于 f， 那 问如果是两倍的 b， e 加 d f， 它的值应该等于多少？直接用间隙是不是就可以了？来，我们是不是可以以那个 a b 的 中点为 o 点，然后呢？如图，间隙由于这个边长为一的等边三角形，所以你看这是不是边长为一，这是不是二分之一，二分之一？对， 所以我们可以看到这是一，也就是说整个高度我们可以得到应该是等于二分之根号三。所以你看我们简单的找到几个点， a 点的坐标其实负二分之一，逗号零， b 点的坐标其实就二分之一，逗号零， c 点的坐标我们可以得到应该是零逗号二分之根号三。好，把这些都找到之后，那接下来 d 点的坐标是多少？哎，有没有发现 d 点的坐标它是在这个 值上面移动的，所以它是个动点嘛？那也就说我们用动点的射点的方式是不是就可以了？也就说 d 点应该等于 luma 倍的 b 相量，是不是加上 e 减 luma 倍的 c 相量， 求出来应该是多少？ number 倍的二分之一零，再加上一减 number 倍，括号的二分之零，逗号二分之根号三，那也就是说他写出来应该是二分之一倍的 number， 逗号二分之根号三倍的括号下的一减 number。 这就是一个最简单的设置， 这个大家听懂了没有？那第一点的坐标有了，那一点的坐标是多少啊？做垂直，我们可以发现一点的横坐标， 就是一定是跟 d 点的横坐标是一样的，所以我可以得到是二分之一 number 逗号零。那由于这里是做平行， f 点跟 d 点刚刚好是关于我们的 y 轴对称，所以 f 点的坐标是负二分之一倍的 number， 逗号二分之，正好三倍括号的一减 number， 我们可以看到 b 一 向量，其实求出来应该是等于二分之一倍的 number 减二分之一逗号零，所以看到二倍的 b 一 向量，其实求出来应该是 number 减一逗号零。那么 d f 向量又应该等于多少啊？ d f 是 不是也是两个相减，应该是等于负零，打逗号零，那 所以我们就可以看到二倍的 b 一 向量，然后再加上 d f 向量，这应该等于多少？加起来是等于负一逗号零呗。那负一逗号零，那我们可以发现它的魔长哎，就很简单了，其最终可以得到，这是等于一， 所以这道题目核心得到就是等于一。这就是怎么去设点来。这题我们从另外一个角度告诉大家，有没有什么更好的方式去解决啊？这道题目啊，他告诉了我们 d 是 b， c 边上的一个动点，就所有的动点，你要记住，只要他涉及到终点，加上一个固定值， 无论他怎么动，然后最后让你去求一个定值，那这个时候你就可以有一个非常重要的方法，你就把它改成特殊值就可以了，也就意味着我可以直接用特殊值去解决这种问题。那这里第一点的特殊值你觉得放哪算特殊值？它是不是可以放在一个终点的地方？ 第一点我就把它改成中点，做垂直，做平行，这一段长度是二分之一，因为我们知道 bc 长度是一吧，所以一 b 长度我们可以得到，算出来这是不是应该等于四分之一，没问题吧？而我们知道这里的 d、 f 的 长度啊，因为是中位线，是不是也应该是二分之一，所以我会发现 d、 f 的 长度 其实就应该等于二分之一。那二倍的 b、 e 的 魔长啊，其实可以求出来应该是等于多少呢？也是等于二分之一，所以二倍 b， d、 e 的 魔长再加上 d、 f 的 魔长啊，这两个加起来其实就应该等于 e， 就 这么简单，对吧？ ok， 就 如果我们要去求它，就是这么简单，这就是终点特殊值的方法，可以理解吧？ ok， 好， 这是一个非常非常重要的方法，学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。 苦练十年，不如名师指点，每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

高考立体几何证明，难倒很多人？今天教你垂直证明，怎么用反推法让证明变简单。这节课我们将来学习空间几何中的垂直的证明的一个问题。然后垂直问题分三种，第一个就是线线垂直， 第二个就是线面垂直，第三个就是面面垂直。首先线和线垂直就很简单，对吧？就是证明，怎么证明呢？就可以用这个勾定里 是不是可以证明？你看如果他符合勾股定律，是不是这里就会有个垂直，对吧？这个就简单的，然后我们还有正余弦定律，就是通过算出边上也能算出来他是一个直角。然后重要的就是什么呢？就是我们这里面会有一个 菱形啊，菱形除了对角线会垂直以外，他还有个什么性质呢？很多出题的只要看到菱形和六十度角， 好吧，所以他会和六十度角去结合，有个隐藏的垂直就在哪里呢？如果这个角是六十度，我把一个顶点和这个中点连接起来，这个角会垂直，为什么呢？你看我把它连接起来，看上面这个三角形啊，是不是三边就会相等了，就相当于是， 对吧？所以这个是很多东西都忽略的一个问题。然后其他的，而且那个什么梯形里面也有那个对角线垂直的情况，那个就完全可以用那个国物理等等等等都能算出来的啊。好吧， 所以线线垂直是我去证明后面两个的基础，我只有线线垂直了才能证明线面垂直。那么怎么去证明线和面垂直的呢？就是要证明我一个面里面有两条线，看到没？分别和它垂直，那么下面这个面， 对吧？就是这样子的，所以我才会有这条线啊，这条红颜色，红颜色的线 和下面这个面垂直，这个就线面垂直。那么面面垂直是什么呢？面面垂直就是两个面垂直， 对吧？那两个面垂直我们怎么去判断的呢？就是说我这里面有这个面，里面有一根线垂直于下面那个面啊，好吧，就是垂直这个阿法， 那么你看我就可以说，如果啊，这个贝塔是过这个 l 的， 那这个贝塔就会垂直 r， 对 吧？所以它的本质是不是还是线面垂直，对不对？所以， 嗯，你要说它有平行兰吗？它没有，只是这里面会有一个方法，我们等一下后面会讲的叫反推法，因为很多人看不出来它是垂直的，对吧？然后这个面面垂直里面有个很重要的性质啊， 就什么呢？就是如果就用这个图来说啊，这个文字你们自己去看，就是如果我两个面是垂直了，然后这个 l 它垂直于这个交线，这个是交线啊， 好吧，那这个 l 就 会垂直于 r， 这个我们在平行里面也也经常用到，只要你看到面垂直于面，那这个定你是一定一定不要忘记的， 好吧？然后刚刚说了三个垂直，其实不管题目是让你证的线线垂直还是线面垂直还是面面垂直，它的本质都是要你去证明线面垂直，我才有线线垂直， 好吧？然后，嗯，面面垂直的，一样的，是线面垂直才有面面垂直吗？对吧？然后很多同学就说，为什么不是线线垂直去推出来线面垂直呢？ 但是你在大题里面，你，你随便去看，只要问的是线线垂直的，它里面一定是先正线和面垂直之后才去证明线和我的一个线去垂直的，很绕的，这个等下我们讲题你就知道了啊。好吧， 那我们就看一下，先从简单的开始，然后你看这个就线面垂直嘛，对吧？嗯，刚说的线面垂直就要找线和两条相交的线啊，相交的线， 嗯，然后他说在这个三楞柱中， ab 是 垂直于侧面 b， b， e， c， e， c 的， ok， 就 相当于这个这条线啊，垂直于左边那个面的，然后 ab 等于 bc 等于一， ok， 这是一，然后 bb 等于二， 就等于二，然后 bcce 等于三分之派， ok， 这个角就是六十度。然后呢，我们证明的就是 c 以 b 垂直于这个底面， 那他一定要找 c， e， b 垂直于两条相交的线，对吧？ 这个简单，这个一眼都看出来。因为我题目里面看 ab 是 垂直于面， b， b， e， c， e， c 的， 所以 ab 是 不是垂直于这个面里面的任何一条直线，刚好里面有谁有 c e b， 对不对？所以第一条我们就有了，这是第一条，这是第一。第一条垂直， 那是不是再找另外一条垂直就可以了？我们那怎么去找呢？嗯，这里我们没有别的的条件了，因为它里全是 ab， abc， 你 自己看一下啊，我 ab 已经组合了，要不就 abc， 要不就 ac 嘛， 对吧？ ok， 我 们先从 bc 入手，这是很多东西看不到的时候啊，你们就这样自己去量的组合，看能不能证明，然后刚好他给了你边给了你角， 对吧？所以就相当于这里是一，这里是二，这个是六十度。我们要把这个 c 一 b 先算一下，看他有没有可能能算出来，因为 c c 一 他也是二嘛，测能会相等吗？ 对吧？所以刚好你这里啊，很多同学说有个六十度，有个一有个二，那我这里就直接垂直了。你考试的时候你要怎么写呢？你要说口算，以六十度是不等于 b c 的 平方，加上 c c e 的 平方，减掉一个 b c e 的 平方，去除一个二，乘以 b c 乘一个 c c e， 你 要这么去写，然后我算出来 b c、 e 等于根号三啊。这一步很重要啊，很多东西都直接去写的，所以要用余弦定律去写，所以才有了勾股定律，你写了之后才有了勾股定律。 好吧，所以这里有勾股定律，你们就自己去算，我就不去写了啊。所以你看第二个垂直不就有了， 对吧？所以就是 bc 一 就会垂直于 bc 嘛。好吧，过程，这个总结的过程你们自己去写，这里就就很简单。但是重点是什么呢？重点就是这里，这个是第二条垂直了吧，第二条 垂直于两条相交直线。你看，我就说又因为 bc 交 a b， 对 吧？等于 b 点这个东西就代表我这两条线是相交的，就是我后面的它和后面的 a b， 对 吧？因为都是 c e b 嘛，垂直于两条相交的直线啊，所以 我才有了什么呢？然后还没有，且 bc 和 ab 都是属于面 abc 的， 对吧？所以 c e b 就 垂直于面 abc 看到没？关键一点就在哪里，这在这一步，很多东西你要是不写的话啊，可能在高考中他会是又做成一个扣分点的啊，好吧，所以这个就线面垂直， 对吧？他，他比那个，呃，我们的平行要简单很多，因为他的平行都很固定。 好吧，那我们看一下这个第二题啊，他说，嗯， p a d 垂直于这个 a、 b， c d 就是 左边这个面垂直于底面，然后 p a 等于 pd 等于二， ok， 然后四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为二的菱形， ok， 看到没？菱形出来了， ok， 六十度出来了， ok， 他 肯定有隐藏条件的，不然他不可能这么给你，对吧？ ok， 这也是二，这也是二，这也是二，这也是二。然后 e 是 a d 的 中点， ok， 然后让我们证明的是， b e， b e 在 哪里？ b e 在 这里， 垂直于什么？ p a d， ok， 首先你看到这个东西面面垂直，然后看到这个有个等腰，等腰说明什么？等腰是不是说明 p e 啊？ p e 啊？ pe， 它是垂直于 a d 的， 所以你以后你们看到等腰等边，对吧？有中点，那它不就会垂直吗？然后这个东西刚刚说了，两个面垂直一定会有一个什么性质呢？就是如果 等一下我画个图给你们，就如果有两个面是垂直的啊，哎，这笔等一下啊， 算了，就用这个吧，两个面垂直的，对吧？然后他说，嗯，也没了，但是我们这个结论可以用，就是 p e 是 垂直于 ad 的， ad 刚好是两个面的什么线？ ad 交线嘛，对吧？所以 p e 现在就是垂直于两个面的交线，所以我能得到一个什么线，一个什么结论，是不是 p e 垂直于面这个底面， 对吧？这个就是我们刚刚垂直里面讲的一个两个面垂直的一个很重要的一个性质啊，所以这一步啊，大家是一定不能忘记的，所以你看，我就根据条件我就能推出来。 p e 现在在垂直于谁， 垂直于谁？垂直于我们底面里面的这根线。 b e 嘛，就是我们题目里面有的，所以第一条垂直，这个就是第一条 不就出来了？那么第二条在哪里呢？我说了，你看菱形六十度，会联想到一个什么点，我把它单拎出来， 你看不出来？有一个方法，就是你把我这个底面或者你要的面这样把它单拎出来，字母坐标，终点坐标，对吧？坐标之后，然后 b e 一 连我说了， 呃，他说谁啊？ d a b ok， 这个角等于六十度，所以这不就垂直了吗？ 对吧？你怎么说呢？你就说我连接这个，因为它是菱形，所以 a d 等于 ab， a d 等于 ab 之后有一个角是六十度的，等腰三角形，是等边三角形，所以就等边了，等边了，所以 b e 不 就垂直于 ad 了吗？所以我这个条件就能得到的就是 b e 垂直于 a d 啊，好吧，所以一一个个条件去分析，很多同学看到这个，你看不出来，对吧？但是我说了，题目给你的条件他肯定有特征，面面平行，想到什么？想到这个， 对吧？然后这个等腰或者等边，就想到中线垂直，菱形有六十度，就就就一样的想到这个模型，怎么可能做不出来呢， 对不对？所以啊，你看我现在这里相当于谁垂直于 b 了，就是 a d 垂直于 b 了，这个不就是第二条， 对吧？然后就说明他们两个相交，就是 p e 交 a d， 你 自己看一下，看图嘛，这两个相交是不是交于点 e， 不 就证明了两条相交的直线分别和我这条直线去垂直了，所以我不就证明了 b、 e 垂直于 p a、 d 了吗？ 对不对？所以啊，这个就是教你们怎么去用这个题目给你的特征，因为很多高考题他考的很难，等一下我们后面会会讲一道浙江卷的高考题，那一年难倒了很多那个第一位，好吧？ ok， 然后我们来看一下面面垂直啊。呃，面面垂直，其实我说了面面垂直，它还是线垂直于面，对吧？因为我只要证明了线垂直于一个面之后， 那么我过这个线的一个平面看到没，它也就垂直于这个面了啊。 我们看下题，他说四棱锥 a、 b、 c、 d 是 一个边长为二的菱形， ok， 看到没？二就是菱形和六十度啊，所以这个条件我下意识的我就要知道它一定会有个垂直的， 对吧？嗯，然后 e 是 c、 d 的 中点，然后 pa 垂直于底面 ab， 让我们证明 p b， e 垂直于 pa， b， e 在 哪里？ p b 在 这里，对吧？然后 p a、 b 在 那里，前面这个面， ok， 看着就不垂直，对吧？但是图是会欺骗我们的，因为我们会有一个斜二侧画法吗？四十五度的角，我们就要在斜二侧里面画成一百三十五或者四十五吗？对不对？所以我们怎么去做呢？ 你一定要记住啊，证明面和面垂直，刚刚说了要找到线和面垂直，那就要在这里面，或者在这里面去找一根线和另外一个面去垂直就可以了。那怎么找？我们就要根据图像来了， 那么从谁入手，我们现在看不出来，对吧？你不可能一个个去试，题目会给你提示，一定要记住，题目一定会给你提示的啊。好吧，那这里的提示在哪里呢？就是这个，你看我把底面给展开了， 就这样子的点标下 a， b， c、 d， 然后连接的是谁啊？连接是 b、 e 这样子的，然后有个六十度在哪里？ b c、 d 这个角六十度，我刚刚说了，这个角一定是个直角，因为一样的变变成了个等边三角形嘛，所以这个条件它就能推出来谁呢？嗯？ be 它是垂直于 c d 的， 图是看不出来的啊。 好吧，但是我可以根据这个条件去找模型，对吧？ ok， 那 这里的提示不就出来了吗？他不就让你找 b e 吗？所以我是不是就把这个题目我就转换成了找 b e 垂直于面 p a b 了吗？ 对吧？那怎么就证明呢？你看 c d 又平行于谁？ c d 是 不是又平行 ab 的？ 是不是这里就相当于是 b e 垂直于 ab？ 看没第一条有了吧，这个就是第一条， 对吧？那么我们只用找第二条呗。第二条还有一个条件没用啊，看到没？ pa 垂直于面 a， b， c、 d 这个条件我就能推出来 p a 不 就垂直于 a b， c、 d 里面任何一条线刚好 b e 在 a b， c、 d 里面，看到没？ b e， 对吧？所以你看 b、 e 垂直于两条相交的嘛， a b 交 b a a p a 啊，等于 a 点，对吧？所以我是不是就说 b e 就 会垂直于面 p a b， 然后就说又因为，呃，这个 b e 是 属于面 p b e 的， 所以面 p b e 不 就垂直于面 p a b， 对 吧？重点啊，重点就是相交啊，因为垂直里面的第一个扣分，扣分点一定是这个，你写没写这个相交的啊？然后其他的反正我就就用文字给你们说的，我这里就不去写了啊。 好，反正还是那句话，你写的越详细越好，然后要点是必不可少的啊， 相信你们只要能听得懂，相信你们自己去写，一定不会扣分，好吧， 然后再来看一道，比如说这这道这是四轮锥，然后 ab 是 平行于 cd 的， 然后 ab 等于一， cd 等于三， ap 等于二，然后 dp， dp 等于二，被勾上三，然后 p a， d 是 六十度， 六十度，对吧？然后 a， b 是 垂直于这个 p a， d 这个底面的，然后 m 在 p c 上面动，然后它又 证明的是 p a b， p a b 垂直于 p c， d。 把这两个面标一下啊，就是 p a， b， 然后就 p c， d， 我 给这两这两个面干脆他们都没有交线了，对吧？所以又更难一点了，对吧？那么这里我还是从 嗯条件去入手，因为我要找到是线垂直于面， ok， 我 现在我不不知道到底是找的 p b 还是 ab 还是还是那个呃， p a 去垂直于后面这个面，还是后面的线垂直于前面的面，对吧？所以先从条件入手， 或者你们有经验之后一眼都能看得出来啊。嗯，看出来之后，应该像我这里看图就是 pa 要垂直于呃， 这个面 p c， d， 对 吧？但是很多人可能有的题看不出来怎么办呢？就根据条件去入手。怎么去看啊？这里有一个六十度，就 p a， d， 然后 ap 等于二，然后 pd 等于二倍杠三，所以这里 先用口塞六十度呗，它是不是等于二分之一，那它是不是就会等于 a d 的 平方加上 pa 的 平方，减掉 pa 的 平方去除于二，乘以 ad 乘以 pa， 对 吧？然后把数字一代 a d 是 几啊？没有 x 方把它数给 x， pa 呢？ pa 是 四 二的平方，四吗？然后 p d 呢？就是一十二， ok？ 去除以一个二，乘以 a d， 不知道 x 就是 再去乘以一个 p a 就是 二，下面就是四 x 吗？就是 x 方加四减一十二， 所以四 x， 对 吧？你不能说有个一比二三，那我另外一边有个六十度，我直接说它是个直角，你要像这么去算啊， 所以就四 x 就 会等于二 x 方，然后后面是减几啊，减去一十六吧，就交叉相乘之后，对吧？所以就是 x 方减去二， x 加上减啊，减， 减去八吧，等于零。你看 x x， 然后就是一个是负四，一个是二，对吧？所以 x 等于四或者负二嘛？所以 x 等于四啊，看到没？所以你要去证明出来， 对吧？所以你要证明出来它那个 a d， 所以 说就说 a d 算出来等于四嘛？等于四刚好就是 有个垂直出来了，就是二的平方加上二倍根号三的平方会等于四的平方嘛？所以就能推出来 ap 是 垂直于 pd 的， 各位，所以你这样也能知道？我应该是找的 ap 垂直于后面这个面， ok， 那 第一条，这个就是第一条 已经有了，那第二条在哪里呢？第二条我们还有个东西没用，看到没？然后又因为 a b 是 垂直于面 p a d 的， 所以就说， 哦，对，还有一个，等一下，然后且 a b 是 平行于 c d 的， 是不是就相当于 c d 嘛？这里就相当于是，对吧？ 所以你看就 c d 垂直于面 p a d 嘛，然后就所以 c d 就 垂直于这个里面的任何一条线， 对吧？ ok， 那 这线里面刚好有 ap， 看到没，所以第二条看到没 ap， 所以 这个就是第二条， 所以你看不就是 c、 d 和 p d 交于点 d 吗？然后又因为 p d 交 c、 d 等于 d， 然后它们两个都属于这个面 p c、 d 的， 所以 p a 不 就垂直于面 p c、 d 吗？然后又因为 pa 是 属于这个面 p a、 b 的， 所以面 p a、 b 不 就垂直于面 p c、 d 了吗？ 对吧？所以我说，说了面面垂直，你还是要去证明线面垂直，只是这里又稍微难一点，你要找到这根线，那怎么去找？找题目的提示， 你只用翻译出来一个题目的条件啊，翻译出来一个垂直，那我这这根线不就找到了吗？对吧？ 然后这个看一下啊，下一题就是他说四边形 abcd 为正方形， ok， 正方形先标一下，然后 b、 e 是 平行于 df 的， 就这两根线平行， 然后 ab 等于 b， e 等于 d， f 等于它，那我就先把它啊，比如说我把它设成根号二，那么前面的这三个东西都会等于一嘛， 对吧？所以， ok， 标一下 ec 就是 根号二，然后 ab 是 一， b， e 是 一，这个也是一，然后 d、 f 也是一， ok， 他 说了 ab 是 平，垂直于 bce 的， ok， 然后我们证明的是平面 a、 e、 c， ok， 先标一下 a， e， c 在 哪里， a， c 是 中间这个， 然后 b、 d， f， e 呢？ b d， f， ok， 是 这个， 对吧？ ok， 还是一样啊，我这个条件我还是要转换成线垂直于面，那么找哪一根线呢？题目看上去啊，是 a、 c 垂直于后面这个面，对吧？我，我有可能这个里面是找的 a、 c， 因为看图 对不对？ ok， 然后我们就从题目入手， ok， 这个正方形，这个条件它有什么用呢？正方形不就是对角线垂直吗？所以就是 a c 垂直于 b d， ok， 你 看，这不是有了天然的第一条吗？ 对吧？然后再去找一条就可以了。然后我们这个边还没用到边，起码这里会有个垂直，因为是相当于是一比一比根号二吗？ 对吧？ ok， 先写着 b 垂直于 bc， 对 不对？ ok， 这还有个条件，就是 ab 垂直于 bc， 那 么这个条件一定能得到 ab 垂直于里面的任何一条线嘛，对吧？那是谁呢？你看，这里有个 bc 嘛，那就找 bc 呗， 对吧？那为什么不找 b e 呢？等一下你，你也可以把，你们就也可以想一下，为什么不去找 b e， 因为如果我找了 b e， 你 看啊，就相当于 b e 又垂直于 bc， 又垂直 ab， 是 不是就相当于 b e 要垂直于 abc 啊？ 嗯，这么看呢，好像有用，对吧？所以你看它是不是就相当于我这里，其实你自己要在脑袋里面去想一遍， 那么我先把 b 啊，因为刚刚想了一下，好像有点用，对吧？所以你看， b 垂直于 bc， b 垂直于 ab， 那 么 b 就 会垂直于这两条线构成的面，就是 abc， 对吧？那 b e 垂直于 abc 的 是不是就相当于 b e， 不 就垂直于 a c 了？哦，刚好看到没？刚好有了 第二条，所以你看，嗯，是不是 a c， 这有个 a c， 这有个 a c， 是 不是垂直于 b d 和 b e 形成的？然后就 b d 加上 b 等于 b 吧，对吧？然后就又说，他们两个都是属于这个平面 b d、 f e 的， 所以我就能得到 a c， 不 就垂直面 b d f e 了吗？所以，又，因为，嗯， a c 又是属于 a e c 的， 对吧？ 所以就是 a e c 这个面垂直于 b d f e 这个面了， 对吧？所以，嗯，条件就是一个个去试的啊。好吧，因为高考提的那个图虽然很标准，但是你还是看不出来到底谁和谁是垂直的。 ok， 这个面面垂直还不难，难的是线线垂直啊。 接着就是线线垂直。我刚刚说了，其实线线垂直，它还是要你先证明线面垂直。线和面垂直之后我们才有线线垂直啊。这个，嗯，有点绕。先看题， 他说 e、 b 是 垂直于底面这个 a、 b、 c、 d 的， 然后 a、 d 等于 c， d 等于二倍杠三，二倍杠三，然后 ab 等于 ac 等于二， 表一下，然后 abc 是 一百二十度，然后 g h 分 别是中点，然后 m 是 b 上面的动点，他说让我们求证 g h 永远垂直于 dm， g h 垂直于 dm， ok， 那 我为什么说这个东西要转化到线垂直于面呢？因为线线垂直。 呃，才有了线面垂直吗？但是那个线线垂直是他们在同一个平面，这个就相当于是意面了啊。就所有的意面直线垂直，其实都要转换为线垂直面，那什么意思呢？那这里其实就相当于我 g h 就 要垂直于一个面，然后这个面里面要含有 dm， 我 们一眼都能看出来，应该就是找的就是这个面吧，就是我现在标蓝颜色的这个面吧， 对吧？所以我就这里应该是垂直于面 dbm， 因为它垂直于 dbm 之后我才有 g h 垂直于 dm， 对吧？所以这个是我们能看出来的啊。等一下，还有看不出来的，那能看出来就这里就很好证，因为就相当于我如果连接了 b d 之后，就连接 b d 之后，那我是不是就会两边的这个三角形，是不是就会全等呢？就相当于是，对吧？那全等是不是就肯定会有那个能证明出来 g h 这 g h 是 垂直于 b d 的， 对吧？就用全等去正就可以了啊，好吧， 有可能不会这样，你看就是你看就这两个角它会相等吗？然后 g d 又会等于 d h 吗？然后他们又有他公共边吗？看到没？就两个三角全等，你们就这么去写就可以了。就是比如说，就说三角形嗯， g d 夹的这个点啊，这里有个点，好吧，这里有个点，设成 p， 好 吧。呃，就是 gdp 是 全等于三角形 hdp 的， 你们就这么写，然后才推出来的这个啊，那么就相当于它是个等腰三角形，那么对吧？ ok， 那 第一个垂直 我们有了，对吧？这是第一个，那还要找个谁啊？还有个条件没用吧？就是这里 e b e b 不 就是 mb 吗？所以就相当于 mb， 他 是垂直于面 a b c、 d 的， 所以我就能推出来 mb 是 不是垂直于 a b c、 d 里面任何一条线呢？ 里面刚好有 g h， 看到没？所以这个就第二条， g h 又垂直于 b d， g h 又垂直 m b， 所以 就有了 g h 垂直于面 d b m， ok， 所以 g h 垂直里面任何一条线，但是你写的时候就说 就这么写，反正前面的我都教你们怎么写，然后后面的啊，就说又因为嗯 dm 是 属于这个面的，对吧？ 这个要写清楚，所以嗯， g h 就 垂直于 dm， 看到没？所以这个就是我刚刚讲的所有的垂直，其实都是线面垂直在哪里？在这里就是要你去找的这个线去垂直于这个面， 他不管是面面垂直啊，面面垂直就是一样的把它转换成线垂直于面嘛，然后线线垂直，他也是线垂直于面， 对吧？ ok， 然后再看一道啊，这个折叠的啊，折叠的有一点点难度， 他说 ab 等于五， ac 等于七，然后 d 为 ac 上的点，然后 b、 d 等于 c， d 等于四， ok， 所以 这是三，所以三四五刚好，这里有个直角， 然后就是以就是沿着 b、 d 这样折起来嘛，然后得到图案这种，然后 m 点是 b、 c 的 中点， 然后 a、 m 又垂直于 b、 c， ok， 那 这两个东西是不是就是相当于，嗯，就是等腰三角形呢？对吧？所以就是 ac 就 会等于 ab， 对 吧？所以你看到这这种很明显的模型问题，你就先把这个结论先写出来，就用铅笔在试卷上面先写出来， 那它的正面就是 ab 垂直于 cd， 那 么同理，我这里要找到的是线垂直于面，那线线垂直其实是垂直里面最难的，因为我到底是前面的这个线垂直于后面的一个面，还是后面的线垂直于前面的一个面呢？我都不知道， 对吧？所以还是要根据题目给的提示去做吗？嗯，刚刚我们得到那个 a、 c 等于 ab， ab 是 五，所以 a、 c 它也是我们先把这里的边修都标一下，然后这是四， a、 d 就是 三，然后 c、 d 就是 四，看到没里边一标就能看出来三是五吗？就是就看这个三角形啊， 对吧？就是 a、 c、 d 这个三角形是不是就是一个勾股定律了？所以这个条件我又能推出来一个什么呢？就是 c d 是 垂直于 a d 的， 对吧？ ok， 所以 提示不就出来了，是不是？这里我其实就是要转化的 c d 垂直于一个面， 对吧？那么 cd 现在垂直于 ad 了，然后这里我就可以反推了，那 cd 又垂直 ab， 那 是不是就垂直面 abd 了？看到没找面，我就这么去找，所以反推去找面 是很好找的，所以一定要学会反推，懂了吧？就是根据，因为我们能够根据题目算出来的，一般情况下只有一根，对吧？那么我们再结合我们题目要证明的东西再去证明吗？等一下我们要讲的那个浙江卷的题，他更加啊，就要运用运用的这个反推啊。 那么这里我就证明呗，对吧？反正 c d 垂直于 a d 这个东西我们刚刚证明了，那是不是？呃，除了 a d 以外，现在题目是让你 a 让你证明 ab 嘛？所以我是不是只剩下了 b d 了？所以我现在还要证明 c d 是 垂直于 b d 的， 对吧？就相当于我要你证明这个角是一个直角，然后这个角有没有了，有吗？你看我，我把这个三角形沿着它折起来的时候，这个是不是天然形成的， 对吧？所以两个垂直我们就都出来了，所以根据这两个垂直，我就能证明 c d 是 垂直于面 abd 的， 所以我才会有 c d 垂直于垂直于那个 ab 啊， 对吧？这道题很简单，好吧，然后我们再讲一段那个， 嗯，这张卷这题啊，这题也是当年很难的，对吧？但是你按照老师的这个反推啊，反推法很简单， 我们看下题啊，他说四能追，然后底面是个平行四面形，不是这一题啊，应该这一题啊，一九年的这一题啊。 好吧，反正这题你不用反转音，基本上啊，可能很难看出来，除非你对空间想象很好啊。然后他说你这三楞柱，然后 a a e， 然后 c e c 是 垂直于地面 abc 的， 然后 这个角 abc 是 九十度，然后 a a 等于 这个东西，我把它设个值，好吧？比如说设个设个设个二，好吧，这个就是二，然后 a e c， 这也是二能等于 a c， ok， 然后他说，嗯， ef 分 别是中点，然后要我们证明的是 ef 垂直于 bc， 是 哪两条线呢？是这一条线， 然后 bc 是 这条线，对吧？这条线一样的，是意面嘛，所以我还是要先找到这线垂垂面，但这里我们怎么去找啊？因为这个图真的， 嗯，很抽象，可以说是，对吧？所以你看我怎么去反推啊？反正我就先把条件去搞清楚，首先有个等边三角形，然后 e 又是中点，所以一定会有什么， 这个 a e e 是 垂直于 a c 的， 对吧？就根据这个条件，然后根据终点能推出来它，那推出来它之后， 嗯，好像没用，你看这是 a c， 这是 a e， 这是 e f 测 bc， 对 吧？没一没一条边可以用的。 ok， 那 么我们从谁去入手呢？还有一个条件，九十度，那这个九十度是不是就相当于是 bc 垂直于 ab， ok， 你 看现在不就有了？然后题目这里有个 bc 垂直于 e f， 看到没？我就先把这个题目的条件拿来，这是要证明的嘛？我就拿来，我就去反推，到底是要我证明的是哪一条线垂直于哪一条面，对不对？ ok， 然后乍眼看去啊， a b e、 f 好 像都没有交点，但是我们会有一个平行的性质吗？就什么呢？ a b 和谁是平行的？ a e b e 看到没有？所以 bc 垂直于 a e b e。 现在 a e b e 和 e f 是 不是就会有一个交点呢？就是 f 看到没，所以它这个面积是隐藏的很深，它没有画出来， 所以应该是我这个红颜色的面，所以 b c 就 垂垂这个红颜色的面了吧，就是 a e b e， 懂不？所以你看这个题目，其实你如果不会这个反对，你要看半天的， 对吧？ ok， 所以 我现在只用去证明他不就可以了，对吧？那题目这个条件是不能用的， 对不对？但是 bc 垂直于 ab 这个条件我们可以用，所以这是第一条，因为我就可以把它说成 bc 垂直于 ab， 因为这两 ab 和它是平行的，所以这个条件是我们可以用的，那么还差一条，对吧？ 抬出一条在哪里呢？在这里嘛，看到没？面和面垂直。说了，面和面垂直有一个很重要的特征，刚好看到没？它垂直交线，两个面的交线在哪里呢？是不就是 a c， 对吧？这条线就是他们的交线，所以我这里又会多出来一个结论，就是什么 a e 要垂直于底面嘛？ a b c， 所以 它又垂直于底面之后，所以 a e 它不就垂直于谁啊？ b c， 对 吧？所以这个就是第二个，这是第一个，所以两条线看到没？所以第一条线刚刚证明了，就是 b c 垂直于 a e b e， 然后第二条线就是 b c 垂直于 a e e， 对 吧？然后这两条线 a e b e 和 a e e 是 不是都是属于哪一个面面？ a e b e e， 所以 我是不是就得到了 b c 垂直于这个面， 所以我是不是就能知道 bc 是 垂直这个面里面的任何一条线吧？所以不就垂直 e f， 对 吧？所以这个就是反推法，好吧，当然了，如果你第一眼能知道我面面垂直，先推出来它，再再推出来它，再推出来它，一样的也能知道 bc 应该是垂直这个面的啊。 好吧，所以反正两个方向都是去反推，好吧，所以这个就是。嗯，线线垂直，线线垂直是高考题里面就我觉得啊，是属于那种让你证明平行和垂直里面最难的题型了， 好吧，因为线线平行，垂直里面它既有那个，呃，证明线面垂直，对吧？主要是这个线和面就我们很难去找，就这一步啊， 很难去找，所以我们才会用反推法，就是把题目的条件当做已知条件，然后去带入到我们能算出来的条件里面去，然后他才会有线和面垂直，对吧？因为我不知道到底是选 e f 还是选 bc 去垂垂面啊。 好吧，反正原理就是就是这个原理。但是根据他题目的不一样啊，反正第一步 根据题目的提示去啊，一定不要看图。嗯，如果你空间感很强，那你看图就没有。 呃，错误了，但是如果你空间感不是很强，你去看图，对吧，可能会让你白算很多啊。那为什么不把题目条件一个个去翻译呢？对应的模型面面垂直，就去找交线看有没有垂直的，对吧？然后菱形中点有六十度的话，它也是垂直吗？ 然后等腰等边它也是垂直嘛？然后要不就是给了你边，给了你一个角，你用口上引去算嘛， 对吧？所以每一每一个条件都是对应一个模型，就就是相当于是，所以你先把这个模型的结论先一定要熟练。好吧？反正我们也讲了这么多嘛，特别是这道高考题，对吧？ ok。

这一节我们讲讲高考数学中的例题几何大题。首先我们还是老规矩，先梳理一遍对高考数学中例题几何大题的认知，然后实战讲题。 首先说认知例题几何一般安排在大题的前三道，言外之意，这三道大题属于送给我们的分数，当然送的这部分人排除三年不努力学生，也就是那些不及格的，因为对于这部分人看都看不懂，何谈送分， 所以针对的九十至一百一十区间的学生是放弃。第二问， 这道题属于中规中矩，你只要日常练习到位，这道题的第二问是完全可以拿下。只要高考不乱来，这道题的难度就是中规中矩，你可以的，如果碰上乱来的，你做不出来，放弃可以理解， 因为其他人做不出来的也多，但如果是中规中矩，你做不出来，别人可是会做出来的。 什么叫中规中矩？就是你几十秒内或者不需要思考就可以知道哪里间隙，因为只要间隙出来，标点标线段，设法向量求法向量套公式出结果可以一气呵成。接下来开始讲这道题， 我们就直接跳过第一问，第二问开始，第三问问点到面低距离解析思路就是找间隙位置， 然后当读到两边相等，我们就可以本能中点做垂线，因为三线合一，然后把垂线做出后，基本间隙位置我们就基本锁定了。 接下来我们要做的就是证明三边两两垂直，因为间隙是需要说明这点评分标准明确，有两分的设置的，所以不要耍流氓，很多同学喜欢耍流氓，肉眼观察出不说明给我直接见。 在这儿强调一下间隙的两个前提，一是说明两两垂直，而是用已知条件把线段该求的编求出来， 然后就是走流程，标点标线段，设法向量连力求法向量套公式出结果。我们就讲完了。这个题大多时候都是中规中矩，只要你把历年真题中例题几何中规中矩难度拿下，这道题就可以拿下， 某年不重规中矩的忽略就行。这个题其实还可以用几何方法，而且比间隙更简单，但我还是推荐间隙，因为很多人脑海里没这个概念，也很少训练这一块，所以考场上根本反应不过来 的。踏踏实实给我间隙就完事了。这道题的几何方法我们留到下一节讲。

这道立体几何题我们依然是主要讲剪题思路，剪题过程在后边，大家可以选择性的来看。四棱锥 p a、 b、 c、 d 的 顶面为平行四边形点 m、 n、 q 分 别为 p、 c、 a、 c、 d、 a、 b 的 中点。第一问，求证 m、 n、 q 和 p a、 d 平行。第二问，在棱 边上确定一个点 s， 使 n s 平行于平面 p、 b、 c。 第一问，面面平行。我们拿到这个面面平行，首先要想到的是证明面面平行的必要条件，那就是两条相交的直线平行于另外一个面，那么这两条直线 所在的平面就相交于另外一个平面了。根据这个指导的思想，我们第一问直接去找那两条相交的平行直线就可以了，根据这个 m、 n、 q 全是终点。所以第一问其实相对比较简单，我们很容易就能得到 m n 是 平行于 p d 的， 同时 n q 是 平行于 a d 的， m n 和 n q 又交于点 n， 这样的话我们就能得到 m n， q 平行于 p a、 d， 这样的话第一问就搞定了，我们再看第二问。第二问唯一的迷惑啊，就是在这个点上确定一个点 s， 并不是说提前把这个 s 点给到你，然后再让你证明，那你可以自己去选一个点啊， 你选完了这个点之后，把它证明它就是和它平行的，那不就可以了吗？所以这里边我们根据它的已知条件给的都是终点，我们也选择一个 pa 的 终点 s， 再选择一个 p、 b 的 终点 e， 我们把它连接画的有点弯啊，来重新画一下， 这点是 e， 这样画画完了这个中点之后呢，我们会发现 s e， s， e 是 平行且等于二分之一 ab 的， 根据那边是中点，我们也能得到 n， c 也是平行且等于二分之一 ab 的， 这样的话我们就能得到 s e 平行且等于 n， c， 这样的话，我们就能确认 s， e， c， n 为平行四边形。 这样的话，我们要证的这个 sn， 它就平行于 ec 了。再根据线线平行， ec 属于 pcb， sn 不 属于 pcb， 进而我们就得到了我们要求的最后的结论， ns 平行于平面， p， b， c。 好 了，今天的这道题，这个思路啊，相对比较简单。其实这这道题的两问啊，唯一一个稍微有一点迷惑的就是第二项的这个很多同学可能会正，但是呢，你不知道怎么确定这个点，他既然说让你 确定一个点使这个条件成立，那你就先让这个条件成立，然后反过来去证明你这个点的位置就可以了。好了，同学们，今天这道题就这样，拜拜。

专题三了，那个我今天一看，哦，专题三了，还有六个小节，嗯，就三三节，三三个小本，三个大本，然后咱就结束了这个假期，那离你们开学好像又近了一步哎，我们看一下我们今天的题啊。 嗯，专题三的例题结合，然后第一块小题考法的例题结合，初步这里边考的都有什么呢？首先， 嗯，立体几何里边那些空间几何体的侧面积，表面积，体积，所以说这些公式你首先要记得牢一点。第二个，他这个平行垂直，还有嗯，线线 平面里边的，还有空间里边的平行垂直关系，还有与球有关的内切，球外内切外接， 还有这空间关系，这个咱我忘了，我给咱们总结忘没了，反正是回回学校看时间，估计还得再重新总结。来，我们看一下我们今天的题啊，现在题挺好玩的， 来，首先我们看一下第一道题，嗯，这个正四棱台，他上 ab 的 长度是等于二倍根号二， 然后 ab 是 等于根号，然后测棱于底面所乘角是六十度，底面角所乘角是六十度，他让我们求测面积，求测面积的话，因为他四个测面积是一样的，只要求一个测面积就行了。而测面积最重要的是什么呢？求你测面积上的高，我们把测面积给你画出来。 测面积其实也侧边，侧面是什么呢？ a 一 b 一 b a， 而且上底是根号二，这是二倍根号二，那如果做垂直，做垂直，这是根号二，那这是二分之根号二，二分之根号二，那所以说你不用看这个图上啊， 这个 q 吧，所以说你要求这个侧面积的话，也就是要求 a 一 q 的 长， a q 的 长，你现在知道 a q 等于二分之根号二，所以说你需要的是 a a 一， 那 a a 一 怎么知道呢？我们看一下，它说的是侧棱和底面所成，角六十度，你过 a 一 做底面的投影， 放在 e 点，然后 e 点呢？因为它从上往下看的话，其实是长这样的， a b c d a 一 b 一 c 一 d 一， 然后二倍根号二，根号二，那所以说 a a 一 在底面的投影落在了哪了？就在这，那我们看一下二倍根二， a c 的 长是四，那所以说 ac 的 长是二，这段长是一，也就是 a e 的 长等于一。而而且呢，你这里边哪个角是就六十度呢？角 a e a e 等于六十度，而 a e e 是 垂直于面 abcd 的， 所以说这里边就有 af 是 等于二好。 a a e 等于二，那你的 a q 就等于根号下二方减二分之根号二，括号的平方，那它就等于什么呢？就等于四分之根号七。 好，那这里边你算出来 a q 的 长度， a e q 的 长啊，这是 a e q， 那 所以说 s 测 等于四乘以，嗯，四个啊，因为四个面都是这样算的，二分之一乘以上，底加下底，根号二加二倍，根号二乘以高，二分之根号十四，答案就出来了，六倍根号七，好，这是立一 第二题，这道题他说的是正方体，你画一个正方体， a b c d a 一 b 一 c 一 d 是 c c 一 的重点。好，这是 p， 它说的是若三角形 b b p 第一， 以 b 一 d 为轴，旋转一圈，我们先看一下这个三角形长什么样啊？我把它给画出来， b d 一， 好，这是 p， 这里边呢，你应该知道。呃，边长是二的话， pc 等于 pc 一 二根号五，一二根号五。还有你这个 d b 的 长式作为对角线的话，你棱长是二的话，它是二倍根号三的 二倍根号三。那我们看一下。嗯，二倍根号三的话，还有这个作为最中间的位置的话，这个长度二根号二。 好，那也就是说其实是长这样一个三角形，根号五，根号五，这个是二倍根号三，进行绕着它进行旋转，旋转应该是得到两个嗯，圆锥，而且这两个圆锥底面半径都是等于根号二。嗯，那个啥 高是等于根号三，然后你求一下它的表面就行了，是两个这样的圆锥，不加底面积，它也就是它两个的侧面积相相加， 自己看。然后这道题的话是一道很经典且简单的题，它绕着它转的话，那也就是你看一下这个每一条线，它所旋转之后，除了 ab 这条线 形成的这些都是一个曲面，也就是它最后形成一个这样的圆， 下边是一个圆面，也就是这个几何体的表面积是什么呢？是大的圆台，大的圆台的侧面积， 大圆台侧加底，然后再加一个小圆锥， 测面积就可以了。嗯，你们自己算啊。这个我不说了，这个比较简单。这道题挺好玩的，一个三阶魔方，嗯，二十七个单位，咱们就把那个单位记为一就行了。 嗯，每个边长都是一，那所以说这个长是三三三三三，然后他说中间一层转动了四十五度之后，那我们看一下，本来你的表面积是什么呢？是三乘三乘啊，三乘三乘六。 那我们看一下，首先你这三乘三乘六变了没有？没有，他只是增加了什么呢？增加了，你看这样一个小三角形。这个小三角形， 那你看一下，还有在我们看不见的那边还有两个三角形，也就是说你看啊，是长这样的，比如说他对应的是这一块，那这个对应的是这一块那边还有个他，他，那你看一一个，呃，有几个这样的三角形呢？一二 一二三四，那对应的下边这个第二层下边还有四个四加四，那上边这一层下边这一块这一块这一块再加四，下边这一块这一块也就是再加一个四，也就是总共是几个呢？十六个这样的小三角形。 那所以说我们的目标是干嘛呢？求这一个小三角形的面积，它怎么求呢？我们来看一下。问题在于，我们知道这个魔方的边长是等于三， 这个边长是等于三，那这个小三角形的边长是不知道的，我们把小三角形的边长设为什么呢？设为 x， 那 这也是 x， 那 这段的长是什么呢？ 是，你看一下，这是 x 九十度，所以说它是根号二 x， 这也就是根号二 x， 那 所以说就有二 x 加根号二 x 等于三 x 呢？是等于三减二分之三倍根号二的，这个自己算啊。那所以说每个小三角形的面积 s 呢？就等于二分之一乘以三减二分之三倍根号二，括号的平方自己算。我抄答案了， 四分之二十七减二分之九倍根号二，那所有增加的面积 s 就 等于十六 f 一， 就等于一零八减七十二倍根号二。这道题。嗯，你自己不行的话转个魔方，家里边有魔方没有？ 好，然后接下来看这道题，他说圆台上上下底面半径分别是一和三，这道题你要是再错错有点过分了啊。嗯，出去别说你是实验高中的学生，我开玩笑的。 已知三棱锥 s 三， s a， b， c 如图所示啊，这里边 a s a b a c 两两垂直且长度都等于三，长度等于三，然后 e f 分 别是中点，那这是二分之三， 三三二分之三，二分之三。好，我不标了。然后 g 呢？是靠近 cs 上的三等分点，它让你求下边这个棱锥的体积，我把它记为 v 二。 那 v 二其实就等于什么呢？ v s abc 减去 v s e， f g， 那 v 我 就把它记成 v 一 减 v 三吧。那 v 一 就等于什么呢？ v 一， 它这里边是很明白的，三分之一乘以 三乘三乘三乘二分之一，好，这是其实也就是最呃，他这个比较大的面积等于二分之九啊，体积。然后那你看一下 v 三，也就是我们这 v s， e， f， g 如果直接求的话，其实不好求，我们把它轮换一下。顶点， 它等于什么呢？ v 以 g 为顶点， s， e， f 也就是等于。那 g 到， 也就是我先写吧，它体积就应该等于什么呢？三分之一 d g 点到 s， f， e 的 面距离乘以 s 三角形 s， f， e， 那看一下 s 三角形，哎，它的面积好求，因为你 ef 垂直于 sa， 嗯， efsa 的 面积，它 s 三角形，嗯， sfe 就 等于二分之一乘二分之三乘二分之三，一个二分之三是 s 一， 一个二分之三是 ef。 那所以说这个距离怎么乘呢？ d g f 一， 因为你既是 cs 上靠近 c 的 三等分点，所以说它就等于三分之二。 d， c 到 s， e， f 的 距离也就等于三分之二，乘以三等于二，也就等于 a c a c 的 一三分之二啊。好，那然后你剩下的自己算就行了，这题多好玩。 好，接下来这个东西你自己看。 好，我们接下来看这道题，他说体积为二派，体积先给你了，圆轴结面为正方形，那 ab 我 把它设为二， r 的 话， bc 也是二 r， 那 所以说你的呃体积 v 就等于派， r 方乘以二， r 等于二派，那也就是你这个 r 等于几呢？一，好，他说点， e 在 这个圆周上，点 e 在 圆周上的话，那 a， e 和 e b 肯定是垂直的，他问的是 c c a e b 体积最大，那 v c a b e， 它的体积就等于什么呢？等于二分之三分之一， c， b 的 长乘以 a， e 乘以 e b， 那其实如果这道题你，嗯，其实一看出来，它应该就怎么呢？ a e 乘 e， b 什么时候最大呢？就是当它为等腰直角三角形的时候， 因为它底边 ab 是 确定的嘛，就看 e 的 ab 的 距离最大值。 e 什么时候最大呢？在你这个圆上的话，就是当它坐在这的时候，作为 ab 正好中垂线过圆心的时候 与原焦点这一点，当然你也可以按照答案的那种。嗯，那啥基本不等式就是什么呢？你要求，因为这 c b 的 场是等于二三分之二， a， e 乘以 e b， 这是第一种方法，法一法二的话， 你就老老实的，因为你 a 一 方加上 b 一 方等于 ab 方等于四，那所以说，嗯， a 一 方加上 b 一 方就大于等于二， a 一 乘以 b 一， 那所以说就有 a 一 乘以一， b 小 于等于二，当且仅当 a 一 等于 b 一 等于根号二的时候，等号成立。但是你也可以用这种方法啊，我觉得你其实一画图的话，答案就出来了。 好，接下来看这道题，这道题估计是问题最多的，那我们看一下这道题在处理的时候怎么进行处理啊？来我们看一下它是进行打印的一个零件。 a 多面形、多边体，多边形 a， f， r 垂直于 abc 平面， 这个垂直于底平面， c， t、 d 垂直于平面， ab 垂直于 bc， 这是一个直角， ab 平行于 ef， 然后还平行于 r s， 还有 c、 d， 然后这里边，那我不念题了，你们自己看啊。长度关系里边有 ab 等于 bc 等于八八， a， f 等于这个四四，然后 r a 等于 r f 是 二分之根号五二分之根号五二分之五，二分之五二分之五，二分之五。 那然后他问你这个多面体的体积，来，我们看一下这个多面体其实是完全对称的，我们先看一下你这个从上到下去看的话，其实他的图形大概长什么样呢？从上去下往下去看，这是四八， 这是八，又一个四。好，这是 a、 f， 这是 r 在 底面的投影，这是 t 在 底面的投影 c、 d， 那 所以说你看一下 r s 连接的话，其实你的 s 落在了这， 那我们看一下你这是 e， 所以 说 f e 的 长是等于多少呢？它是等于十，那它等于十的话，这一段长是等于几呢？二，那也就说你 r s 的 长是等于 错了，这是十二啊。 f e 的 r e 的 长不是 f e 的 长， f 一 的长是十二，这段的长是二，所以说 r s 的 长是十，那我们看一下，它是完全对称的，所以说我从这先切割一下，也就连接 b e， 连接 b， e 的 话，等于说是完全把它切割成了什么呢？两个这样的几何体完全对称的，那所以说其实我们只用求其中的一个，然后再考虑乘以二就行了。 那切割完的这个几何体，我们现在只看哪个几何体呢？ r s， a， b， e， f， 那 我这个几何体我们还要再进行切割，我们怎么做呢？过 b 点做 ar 的 平行线， 这个点我记为 q， 然后再过 q 点做 r f 的 平行线，这个点我记为 n， 那所以说 v， 这个就等于什么呢？等于首先有一部分是 v a， r f 杠 q b， n， 还加上谁呢？那我们看一下，剩下这个 q s， b e n q s， b， e， n， 它我还需要再分割，那它怎么分割呢？你看一下，我连接 s， n， 连接 s， n 的 话，也就说刚才说的那个 q s， b， e， n， 它应该怎么表示呢？它就等于 v s， q， b， n， 加上什么呢？ v， s， b， e， n， 是 不是就等于这样两个三棱锥，那然后我们去求它的体积就行了。那这个三角，这是一个三棱柱，它底面是，它等于什么呢？等于 ab 的 长， a， b 乘 s， 三角形 a， r， f， 加上这个呢？它等于，嗯，三分之一乘以高，其的也就 q s 乘以 s， 三角形 q， b， n， 然后再加上 v s 到底面的距离， v 啊 v， 我 直接写啊，三分之一 d， s 到 b n， e 的 距离乘以 s， 三角形 b， n， e， 那 这里边我们都需要什么算什么？一，它和它一样二三 一。三角形 a， r， f， 二分之根号五，二分之五，二分之五四，那所以说这是二，那所以说你求一下它那个高， 所以说这个高是应该是等于根号下二分之五括号的平方减二的平方，然后你算一下，有了高之后，你就可以把它的面积给表示出来了，而且这个高 也就是你这个等于 d s 到 b n e 的 距离那一结束了，它也可以，它也可以说三，三的话， b n e 更好处理了呀。 b n 是 等于四，这块也是等于四，它是直角，那所以说二分之一乘四乘四。好， 他解决，他解决，他也解决，那体积。最后，哦，这应该是二倍啊，二分之一的它等于这，所以说你看一下这道题，还挺挺好玩的，就是看你空间感怎么样了啊， 好，我们我看一下，我们继续。好。第三，这道题在正三棱柱 abc 这里边点 d 呢，是 bc 的 终点。其实做这样的题你先干嘛呢？先画图，这是我用答案上的图啊，就是，嗯，我其实是不用间隙的啊。第一问，你看一下他 a 选项，要的是问的是 a d 和 a e， c， a， d 和 a e c 它肯定不垂直啊，所以 a 选项肯定错多简单了。第二个， b e， c， e b e c e 和平面 a a e a， a， e d 垂直不垂直呢？肯定垂直啊，因为你这个平面和 bc 是 垂直的，所以 b 选项是对的。 c 选项 a d， a， d 和 a 一 b 一 a 一 b 一 和 a d， 它俩不平行啊，它俩都，你看 a a 一 都在这，那 d 选项 c c 一 和 a a 一 d c， c 一 和它 a a 一 都平行了，所以说这个肯定也是对的 过啊。 好，这道题我们来看一下正方体 a， b， c d 杠 a， 就 这 p 是 上边的一个动点， p 是 动点，首先它说 d， c， d 在 哪呢？ d c 平行于平面 b p d e， 那 d p 和 d c 是 平行的吗？所说 a 选项很简单啊， a 选项是肯定对的， b 选项他说 b c、 e， 我 把这个给擦了，哎，用垫子，好处就在这 黑板我都有时候都不舍得擦擦。 b c， b e c， b e， c 和你的 b p b p， 你 看一下它在哪个平面呢？在这个平面 这里边，你 b、 e， c 垂直于 b c e b e， c 又垂直于 b c e b c e， 所以 说你 b、 e， c 垂直于面 b p c e， 那 所以说 b 选项也是正确的。 c 选项它说你那个体积是定值，我们看一下定不定啊？ p 是 一个动点，那它作为到面 a 一 a， b e， c， 它这个面积是定的，但是 p 到它们的距离是不确定的，所以说 c 选项错误。 d 选项我们看一下，如果这道题你有时间的话，你尽情的间隙设 p 点坐标，然后求这两个面的法向量，嗯，看一下能不能 p 点式的这两个发线量互相垂直，如果你不想没时间的话，咱就考虑没时间的方法就是什么呢？你要是这两个平面垂直的话，用定义的话，也就是说这两个平面它的二面角是等于九十度的，那他俩的二面角你得找他们的交线。我们看一下 b b， e p 这个平面 a a， e p 这个平面， 那它俩交线是谁呢？是这个 p p 一。 那所以说你要求的那个面 b b 一 p 与面 a a 一 p 的 夹角，其实也就角谁呢？角 a 一 p b 一。 那我们看一下，我画一个正方形， a 一 b 一 c 一 d， 它是一个正方形，会不会使得角 p 会使得这个角是等于九十度呢？不存在的，那所说 d 选项是错误的。 继续例四，例四，这道题估计也有好多同学懵啊。来，我们看一下 三棱锥底面斜边长是二倍，根号二的等腰直角，三角形，等腰直角，这，这是我做题的时候差点忘了一个结论。嗯嗯，的条件， s 在 底面的投影是 a c 的 终点，那也就说你这个 s a 和 s c 相等， s a 等于二二，那然后 a、 c 的 长是二倍根号二，这是根号二，那所说根号二，根号二。还有就是，嗯，我们看一下它这里边，哦，等腰直角，对，就是等腰直角，那所说 a、 c 的 长是二倍，根号二的话， ab 根二，二，这段长是二，这段长也是二。还有就是 o a 的 长是根号二。那又有一个什么呢？你看一下你这里边 s o 是 垂直于底面的，所以说 s o 垂直于 o b， s b 的 长度也是二， 那也就是说在这里边三角形 s a、 b 为等边三角形。 然后呢，你这里边我们要求的是谁呢？要求的是 s e 和 c， e 的 动点，动点 e 在 移动的时候最小值。那我们看干嘛呢？就相当于是把这个 s， a、 b 这个平面干嘛呢？给它，哎，平铺过来， 平铺过来，这是你的 c， a， b， 就是 刚才画的这个。我，再我再我擦掉。标一下它的长度关系啊， 这是二倍根号二，这是二， ab 的 长也是等于二，然后 s， a、 b 它是这样翻折，这样翻折过来了， 与 abc 现在放在同一个平面内，它这个翻折过程中不影响 se 的 长度，也不影响 se 的 长度，那所以说这是二二，那你看一下 e 在 ab 上移动的时候，什么时候 se 加上 se 最小呢？就是连线， 那这时候怎么求呢？这是二，这是二，这个角呢，等于九十度加六十度。那你用一下域线定力就可以把 cs 给求出来了啊， 不用我求了吧， c c， s 平方等于啥啥，自己写 好，这是感悟，提升自己看。然后这道题的话，没什么难度啊。它测面积是三派的话，你根据测面积公式算出来，母线长 l 是 等于三的， 嗯，然后 s 三角形 a， 它也是 l 三， ab 半径是一一一，那所以说 s o 的 长是等， s o 的 长等于二倍根号二，那面积等于二倍根号二没问题，所以 a 选项正确。 b 选项侧面展开图的圆心角 阿尔法是等于二 pi， r 比上 l 等于三分之二 pi， 所以 b 选项也对， c 选项，它说由 c 点绕侧面旋转一周之后又回到 c 点，那其实你就把它的侧面展开图给它画出来， 所以说 c 到 c 撇最短距离呢，这就是三三，那然后这段的长，这个是多少呢？三分之二派，你用一下余弦定力，哦，不用余弦定力就正常的求就行了。所以说它等于三倍根号三， c 选项正确， d 选项，它说若 ac 的 长等于根号， ac 的 长是根号二的话，我们会发现，嗯，二，根号二， ab 的 长是二，那所以它的长也是根号那所以说 s 不是 v o， s， a， c 的 体积， 嗯，等一下 v o， s， c， a 的 体积，我们可以把它给轮换。顶点就是等于什么呢？等于 v， s， o， c， a 的 体积。那我们看一下，这时候根号二，根号二，其实也就是说你现在的三角形 a， b， c 是 长这样的， a， b， c 直角 o， 那 所以它的体积就等于三分之一乘以 s， o 乘以 s， 三角形 a， c， o 就 等于三分之一乘二倍根。号二乘二分之一乘一，等于三分之根号二，所以它这个是错误的。 嗯，立五立五这个结面问题啊，很很很很好的一道题。来，我们看一下，边长是一，用 r 法去一个平面， r 法去截正方体，截面面积是 s， 经过了哪？ a 选项，我们看 a 选项经过 b， a 一， c 一， 哎，那正好连线不就是一个平面吗？面解自己求啊。 b 选项经过 b， g， h， 那 这时候你看一下，我们找找结面最经常用的就是平行线或者是延长线， 好过 h 做 b， g 的 平行线正好交于点 d， 而你过 g 点做 b， h 的 平行线也是交于它，所以说这个 结面就出来了。好， c 选项经过 e、 f， g， 还是找平行线，先把它们两个线画出来。那过 e、 f， 过 g 点做 e、 f 的 平行线 a 在 这， 那你看一下这里边，再去做他们的品，除了他还有谁呢？还可以找，在这也有，其实这个估计好多同学直接根据你的，嗯，你，你高中所学就应该能猜到啊，是长这样的一个平面。 那如果你没有想到的话，同学你应该怎么考虑呢？就刚才我们第一个先过你 g 点做 e、 f 的 平行线，做到这 a， 那 接下来要做你 g、 e 的 平行线了。 g， e 平行线在 f 点不好做的话，我们过 h， 所以 有这条线， 那再再做一个，再过他做 e、 f 的 平行线，有他，然后那这些一连就是一个六，嗯，等边六边形啊， 这是 c、 d 选项的话，我们看他说经过了谁呢？ e、 f 第一。那我们看一下 e、 f 连他俩的线在哪呢？在这 这个就要用到延长线了， 它与 d、 a 交于这个点，我记为 a 撇，与它交于这个点 b， 嗯， c 撇吧。 而你看一下中点，中点，所以说其实这个也是连接，就是这样的。哎，这是中点啊，哎，不是中点，错了，错了，错了，错了， 连连。 那然后你看一下这里边，它和它的比值是二比一，所以它和它的比值是一比三，所以说是一个三等分点啊。 a、 b、 d， 好，来看一下这个棱长为 a 的 正方正四面体木块点 p， 在 v a、 c 内过 p 点锯开，使这个平面既和 v、 b 平行，又和 a、 c 平行。那我们还是做平行线，先过点 p， 做 a、 c 的 平行线， 然后再因为你那个平面要和 v、 b 平行的话，那我们过在这条线在这儿中点，然后做 v、 b 的 平行线。哎， 他也做 v、 b 的 平行线。 a， 好， 那也就是他和他都平行，于且等于二分之一 v b， 这是 a， 那 所以二分之一 a， 二分之 a， 他 中点中点，中位线二分之 a， 中点，中点，中位线二分之 a， 所以 就等于二 a， 好，来，我们看一下，这道题也是需要延长的啊，我们看一下，他说的是你这里边 e、 f 分 别是中点过 a， e、 f 做三棱柱， 嗯，它与交面交于点 p。 哦， bc 上交于点 p， 那 我们看一下，还是我先延长 c、 c、 e， 为什么呢？因为你这个 a、 f 延长之后会交到这，这个点我记为 m， 那然后那这个平面就是谁呢？我连接你这个 e、 m 这个点就是 p， 那 我们要求的就是什么 b， e， p 这段的长度， 这段长度怎么求呢？我们看一下，你再延长到 m 点，这时候你 s 三角形 a， 啊，不用 s 了。 a a， e， f 和 三角形 m， c， e， f 是 完全相等的全等三角形。所以说， 所以说你的 m， c， e 是 等于几呢？等于二，二一一。 然后还有什么呢？还有就是你看一下我过 e 点做它的平行线的话， c 一 这个点，我把它记为 n 点，它是等于一。那其实 m p c 一 与三角形 m 一 n 是 相似的，相似比是二比三，那所以说 b 一 c 一 比上一， n 是 等于二比三， 那所以说一 n 的 长是等于多少呢？一 n 等于二，所以说 b 一。 嗯，不是，这是 p c， p c 一 是等于三分之四，那所以说 b p b 一 p 就 等于二减三分之四等于三分之二。 数学美，自己去看吧。好，结束了啊。

大家好，大连高三一模还有三周的复习时间，给大家一些实用的复习建议。我们今天只说数学立体几何这个模块，结合三年新高考二卷的真实考情，怎么把这道大题稳稳拿住？先讲最关键的， 近三年新高考二卷立体几何到底占多少分？二三到二五年，三年结构完全一样，选填两道加解答一道，总分呢，稳定在二十分上下，占比接近百分之十五。 解答题呢，位置和考法相对固定，第一问证明平行垂直，第二问求空间角，几乎没太变过。也就是说，这二十分是必拿分。稳拿分不是难题，是你必须吃下来的分数。

同学们好，欢迎来到今天的立体几何课堂。今天咱们用纯几何法把二零二三年全国乙卷这道压轴题讲透。这道题考了线面平行、面面垂直和二面角是高考里的高频难点。 首先看题目里最关键的条件， b、 f 垂直于 a o。 这是整道题的第一个难点。我们先在底面三角形里分析， 已知 a、 b 垂直于 b， c o 是 b c 的 中点。通过计算可以得出 f 点其实是 a、 c 的 中点。这个结论是后面所有证明的基础，一定要先把 f 点位置定下来，后面就顺了。 第一问，证明 ef 平行于平面 a d o， e 是 a p 的 中点， f 是 a c 的 中点，所以 ef 和 pc 是 平行的。同时， d 是 b p 的 中点， o 是 bc 的 中点，所以 d o 也和 pc 平行。这样一来， ef 就 和 d o 平行了， d o 在 平面 a d o 里面， e、 f 不 在这个平面里，直接满足线面平行的条件，第一问就正完了。接下来是面面垂直，核心思路是先找线面垂直， 只要一个平面里有一条直线垂直于另一个平面，那两个平面就互相垂直。我们先算一下边长，会发现 a o 和 d o 是 垂直的。有第一问，知道 e f 和 d o 平行，所以 a o 也垂直于 e f。 题目里又说 b f 垂直于 a o， e f 和 b f 交于 f 点，所以 a o 就 垂直于平面 b e f 了， a o 又在平面 a d o 里面， 所以平面 a、 d o 和平面 b、 f 互相垂直。第二问搞定。这是最关键的疑问。我们用几何法来找二面角的平面角。 先设 a o 和 b f 交于 h 点， a d 和 b e 交于 g 点，连接 g h， 通过中点的比例关系能得出 g h 和 d o 平行，而 d o 垂直于 a o， 所以 g h 也垂直于 a o。 又因为 b f 垂直于 a o， 所以 角 j h f 就是 我们要找的二面角的平面角， 再通过解三角形计算，这个角的正弦值就是二分之根号。二。第三问就解决了，咱们来复盘一下。这道题一共用到了六个核心知识点。 一、三角形中位线定力，用来找平行线。二、线面平行的判定定力。三、勾股定力。逆定力用来证明垂直。四线面垂直的判定定力。五、面面垂直的判定定力。六、二面角平面角的定义与解三角形 全程不用键做标系春几何法更简洁，计算量也更小，把这些基础知识点串起来，就能轻松拿下压轴题。大家可以在评论区留言说说你平时做例题几何更喜欢用几何法还是间隙法？我们下期再见！

哈喽，大家好，欢迎来到星星子爱数学，那么今天开始更新高考百日冲刺课第一点，我们首先来更新立体几何大题部分。 立体几何为什么要分大题和小题？是因为立体几何的大题和小题他的考点不太一样，所以我们按照考点的侧重点我们来，嗯，把大题分开和小题单独去这种讲解，所以下期我再出立体几何的小题部分。 那大体的话呢，是稍比较具有这个套路化的，所以呢，大家可以通过我后面给的一些例子进行把这些套路给背会，而且把那个几何法常考的模型给记住， 呃，这个立体几何你就可以有望考满分。所以立体几何他是无论出在呃哪种位置，除非他是在最后一道题的位置上，他就会稍微难一些，但是呢，他如果在前面的位置，比如说前四道题的位置，那他都不会很难。所以呢，这个视频可以你可以放心的看完，看完你可以得到立体几何满分，所以，嗯，大家要有点信心。好，那我们开始讲解。 首先，呃，这个内容就是基本知识点和部分的题型讲，讲完了高考的所有的考点，所以大家可以放心观看。然后有一部分题没有讲解，我将把这些题放在评论区，然后再通过后期的每日 每日一根的方式，把每日一根，每日跟一道两道题的这种方式就是按每日一题的方式来进行讲解，所以这部分题大家可以先自己做一做，然后我讲解完这些题，大家也需要进行自行嗯， 梳理和再做一遍，所以因为我讲我能讲的出来和我能自己做对，那是我的本事，所以大家需要你能听懂，也并不是你很厉害。嗯，你能听懂可能， 嗯，只能说明你是一直在跟着我思路，所以你需要自己做一遍才能验证你到底会了没有。所以我建议大家我讲完的那些题目大家可以自己进行。如果你是真的是零基础，一点都不会，你可以听完我的视频以后再做一遍，然后如果你是有点基础，你可以在我讲这个题目之前把它暂停，然后做一遍。然后如果你自己的做法和我的做法是那种比较 呃浓长，而且还比较贵难的方法，那你可以吸取我做的方法，然后改正你的这种思路。如果你觉得你自己的方法够好，那你就用你自己的方法，毕竟高考题也是不止一种方法的好， 所以这个视频大家需要做的就是，嗯，把这个基础知识点进行梳理，并且和这个习题进行自我检测，并且把这些我讲到的这个视频的所有内容看完，你就能，嗯，精通立体结合， 后面就是立体几何小能手。呃，后面这些题我们有讲的这些部分的题，呃，思路和方法和前面讲那些题是一样的，大家可以抽时间每日做一道或每日做两道的方式，把它做掉，放在评论区，大家可以自行去，自行去。这个截图好。 呃，立体几何呢？它分为第一问和第二问，那第一问往往是会考这种证明，所以呢，证明我们要如何证呢？它也有两种方法，第一种是几何法，第二种是间隙法。那么呃， 你，呃，我在这写了一句话，叫做高考一般不会让你在第一问就证明，第一问证明就要让你见戏，因为什么？因为一般在一些模考题或者是一些简单一些的题里面，你发现我所有的条件在题目中给出，那我第一问直接见戏，我就可以很快的用这个见戏的证明方式来解决。那这种方式根本就不用动脑子啊，那就直接两问直接结束了，所以没有什么难 难点。但是呢，我们通常在高考一般是要把这个几何法是因为我们是高一学的内容，那间隙法它是高二学的内容，所以，呃，我们高考是要考全面一些的内容呢，所以往往都是让你第一问几何，第二问间隙来做，所以我们要得都得掌握好，我们来看一下几何法证明。 首先我在这，你，你别看我罗列了这么多东西，但其实不多，呃，有些东西他是不需要你去你记住的，比如说这这些地方，但是呢，我要得讲一下，让你知道我这个几何法是在哪些逻辑上去建立的。那这些，我说上面写的这些基本事实和推论就是我几何法建立的逻辑，那我们要稍微搞清楚一下，如果高二你是掌握的很好，你可以直接跳到，哎，我讲这里的地方啊。好， 首先基本事实一，我是如何去定义平面的呢？我们定义，呃，不在同一条直线上，就是不共线的这三个点可以确定一个平面。哎，这什么定义的那，呃，我是几个点可以确定一条直线呢？ 还记得吗？是两点确定一条直线，对吧？好，所以这第一个点叫做，不过不共线的三个点可以确定一个平面。好，那我们看推论一。那我们说两点可以确定一个平面，那其中这三个点里面的两个点，我们可以确定一条直线，所以呢， 就是如果点在直线外，那有一条直线和一个点，我们可以确定一个平面。好，这个是，呃，他的基本事实和推断。好，再看第二个事实，如果一条直线上的两个点 都在平面内，哎，什么？两点？确定一条直线，对吧？直线上的两个点，那就确定这条直线吗？那这两个点都在平面内，那就说明我的直线就在平面内，这很好理解，没问题吧？好，然后我们再看。呃，这个基本事实三。 嗯，如果两个不重合的平面，如果有一个公共点，你看啊，如果有两个平面具有一个公共点，那么它们尤其只有一条通过该点的公共线，然后那意思是什么？我两个平面，比如说我这样一个平面 和这样一个平面，它具有一个公共点，我把它延伸，延伸，延伸延伸，我发现它们具有一条交线，那这条交线也在这个公共点上啊，是这意思，所以，呃，它就 它就这个很简单的一个事实，能看懂即可。咱们看基本事实四。呃，这叫什么呢？平行于同一条直线的两条直线相互平行，这叫做平行的传递性， a 平行于 b， b 平行于 c， 则 a 平行于 c。 好， 这叫平行传递性啊，这懂就可以了。来，我们再看这个推论二。刚刚讲过推论一了啊，经过两条相交直线，尤其只有一个平面，那这个也是通过它来得到的， 这个能看懂即可。就是两条相交直线可以确定一个平面，这个在后期的这个，呃，平面与平面平行的时候可能会用到，所以我们要注意啊，两条相交直线确定一个平面或者是三个不公线的点，可以确定一个平面，一条直线和一个点确定一个平面。好， 那我们再看推论三，推论三就是两条平行线，尤其只有一个平面。哦，意思是我如果有两条平行线，这两条平行线同在我的平面内是很好，那我们再看等角定律，它是什么？如果两个边，你看，如果两个角的两个边对应平行，则这两个角相等，会互补。这怎么理解呢？比如说我有一条线平行，我有一条线平行，你看啊， 你看这个角和这个角互补吧。如果是这样子啊，平行平行，你看这两个角相等，所以这叫等角定律。所以这就是一些基本事实和这个几何法建立的一些逻辑。那我们再看这个重点考点，我们考到这了啊， 直线与平面平行的判定好这个判定和性质。那我给你们讲一下什么叫判定，什么叫性质？为什么有些人觉得，哦，这个地方我加了个判定，又加了个性质，感觉，哦， 越来越难背了，越来越懂了。你看啊，我们看，首先判定定论。判定定论是什么？判定定论就是我现在不知道这个最后的结果，但是我要得正出这个结果，我要来的这些证明方式，所以意思就是直线和平面的直线和平面平行的判定定论意思是什么？我如何证明直线和平面平行好，就是人话， 那性质定论是什么呢？我如果知道直线和平面平行，他有什么性质呢？哎，这是性质定论，能听懂吧？好，嗯，那我们看下判定定论啊，这个就是我们高的大体往往要考察的内容，就是我如何证明直线和平面平行呢？如果 平面外一条直线和平面内一条直线平行，则先面平行。这句话要记住啊，你可以当顺口溜背，你看直线外一条直线 a 不 属于耳法，来，直线内一条平面内一条直线叫做 b， 属于耳法，看平行 a 和 b 平行，则先面平行。啊，这里面的这个耳法啊，一般你要得写这个面耳法， 我在这着急，我就没有写，所以我们在这个地方我们都要写一个面啊，不要忘记。好，这是判定定力，我们再看性质定力。那性质定力是什么呢？如果我有这个线面平行，你看我线面平行是已知条件，那我你看啊，线面已经平行了，这条线和底面平行了，那会有什么条件呢？那我过这条线做一个平面， 和我这条原来这个平行的这个平面交于一条交线了，对吧？这条交线和我这条线平行，就这句话， 所以呢，我得到线面平行，我可以做一个交面，就是我过这条直线做一个平面，我得到的这个交线呢，我就可以与原来的直线平行，这是一个很好用的结论。好， 我们再看平面与平面平行的性质和判定和性质。那面面平行如何去证明呢？面面平行，你看啊，来两条相交直线，可以确定一个平面，对吧？所以这个平面我就要得用这两条相交直线来确定。 所以前面的知识点重不重要呢？重要。但是，嗯，他影响，影响你考高分，他确实不是很影响啊，来看一下啊。那这个怎么写呢？如果平面就是，如果平面上两条相交直线与下一个平面平行，则面面平行，所以我得写什么？ 写平面内的两条相交直线。你看平面内的两条相交直线， a 在 耳法内， b 在 耳法内， a 和 b 交于点 p， 你 看耳法内的两条相交直线。这三句话是不是搞定了？来，平行于平面，平行于第二个平面，意思就是 a 和贝塔平行， b 和贝塔平行，对吧？好，五句话，我确定了，什么面面平行，这没问题吧？ 好，那我们要怎么得到它的推论呢？首先啊，这个一般来说，你看线面平行是在考试，不会跟你说的。那我要得把这个线面平行要展开吧。我们之间怎么说的？线面平行要写哪句话？看这看这看这，要写三句话，对吧？平面外一条直线和平面内一条直线平行，线面平行，对吧？所以我们要把它拆开，写出三句话来，所以我就会得到这样的一个形式，如果 你看一个平面内的两条相交直线和另外一个平面的两条相交直线平行，则面面平行。哎，这就很好用，对吧？因为我这里面不知道这个线面平行，那我要把下面线面平行给补全，会了吧？会了啊，那这就是两个平行，那我们再看啊，这里有两个推论， 我们看推论二，那这有点像平行的传递性，对吧？来，平行于同一个平面内的两个平面平行。我们刚说过平行与同一条直线的两个平行，对吧？那这个就是如果第一平面和第三平面平行，那第一平面和第三平面平行。 这个很容易看出来啊，这就是平行的传递性，所以在平面里共同适用。那我们再看，如果一个平面与两个平面平行。 呃，如果你看啊，已经有两个平面平行了，那我可以做一个共同交于两个平面的这样一个交面，那它会形成两条交线，对吧？那这两条交线平行，这就是平面与平面平行的性质定律。 好，那记住就可以了。那我们看啊，性质定律都都有些啥？你看线面平行，我可以做一个交面，对吧？交面会产生一条交线，交线和线平行，对吧？面面平行，我可以做一个交面，那它会产生两条交线，那这两条交线平行， 很容易，记住吧？好，那这个就是它的性质，我们刚刚梳理过了，我们就不看了。呃，你可以回去看一看我有没有漏掉的，你可以自己看一看啊。那我们再看直线与平面垂直。线面垂直，线面垂直。如何证明？我们要得看什么？看？判定定力，对吧？如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么线面垂直，这很容易理解的，对吧？ 两条相交直线可以确定一个平面，所以呢，这条直线如果与平面内的两条相交直线，我是不要写出来来， a 和 b 都是，而法内 a 和 b 交于 o， 这不就是平面内的两条相交直线的意思吗？对吧？好，我要得使得这条直线与平面内的两条相交直线都垂直。好，那都垂直，则先面垂直，所以我要写五句话，对吧？ a 属于二法， b 属于二法， a 交 b 与 o， 然后 l 垂直于 a， l 垂直于 b， 则 l 垂直于面。而法啊，这里还要写面啊？面面面面面。好， 我们再看性质定律。那垂直于同一个平面的两条直线平行，这很容易理解，没问题吧？哎，我第一条直线垂直于这个平面的两条直线平行，则这两条直线相互平行。 这个你如果是美术生，你画一下图，你能看得出来？呃，体育生嘛，你也画一下，可以吧？你不至于长这么大，你这个图也画不出来啊。所以，呃，如果两条直线都垂直于这个平面，则线线平行。好，这就是我们直线与平面垂直，如何去证明？我已经讲完了，我们再看一下 这个平面与平面垂直，那我刚会正了。直线与平面垂直，对吧？那直线平面与平面垂直就特别好正，你不要觉得很难来。直线与平面垂直，我刚正出来了，对吧？ 好，如果呢？我有一条平面，就经过这条垂直于这条平面的这个直线，则面面平面垂直，那就这么简单。所以你只需要写一句什么，你就只需要写一句，哎，这个平面就经过这条垂线就结束了。所以就意思就是我这个 l 就 在这个 b 塔平面内， 那 l 已经垂直于 r 平面，则 r 垂直于 b 塔，就这么简单，没有难度，对吧？所以很简单吧。那线面垂直怎么写？还记得吗？还记得吗？还记得吗？来，看这看这看这，我要写五句话，对吧？直线与平面里的两条相交，直线垂直，则线面垂直。 嗯，很好啊，那知道了，这个我们就。嗯，结束。那我们再看性质定义。性质定义，那如果我现在有了这个平面与平面垂直，那我可以找到什么？平面和平面垂直？他们肯定有一个交线，对吧？没问题。好，那这个交线呢？我可以在平面内找到一条直线 l 和我的这个交线垂直，那我就可以得到什么？得到这个 l 就 垂直于这个平面啊，怎么写啊？来看啊， 平面和平面垂直，对吧？那我 l 就 在 b 塔平面内， 那我如果得到 l 和我这个交线垂直，则线面垂直，所以我从面面垂直可以找到线面垂直。我要找什么？找交线和我这个平面内的一条垂线就可以了。很简单啊，这个推断和其他阶段你们自己看一下就行了，基本不会考。那这就是我的几何法证明。那几何法证明里面我没有讲什么， 我是不是直接开始讲线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，对吧？那我为什么要讲线线垂直，线线平行呢？ 为什么？知道吗？那是因为我们初中学过线线平行，线线垂直，所以呢，我要得有一点初中的基本几何尝试，不然的话，你这个立体几何会错的有点吃力。首先来看一下啊，中位线定力是什么， 还记得吗？记得，对吧？来一个三角形中，我如果找到两个边的中点，我连接，我就会与下面这个平行和这个直线相互平行，且这条直线等于下面这个直线的二分之一，这个中位线定力，对吧？很轻松，没问题吧？不用写那么多，很直接写两个中点。哎，所以他是啊， 两个中点，然后平行就完了，不用想那么多啊，来等腰三角形的性质。来等腰三角形会有什么性质呢？这两个边相等，则我等边对等角。这两个角相等，对吧？还有什么性质啊？ 还有我的这个三线合一，对吧？中线垂线和角平分线是同一条直线，没问题吧？好，我知道这些性质就可以了。来，我们还看一下等边三角形。那等边三角形是什么？是不是六十度的等腰三角形没问题吧？所以这三个边都相等，而且它有三个 三线合一，对吧？它还有一个。呃，三个三角合一有一个重重心，对吧？那个重心它是什么？上面比下面，它这条比这条是多少？比多少？二比一嘛，对吧？一共是三嘛？所以这边占三分之二，这边占三分之一，这个能清楚吧？这是等边三角形的性质。 你初中不太好，稍微补点初中内容啊。这个，这没有办法，我没有那个时间去给你补初中知识。那这个初中知识没有任何问题吧？这三个，那我们再看全等和相似，那全等相似，我不需要让你证明那么多东西，你只需要知道，哎，三个角相等，那就是相似，对吧？来，三个边相等，那就是全等，对吧？两边就是两角，你看两边一角， 呃，相等，那就是全等嘛，对吧？所以这个，呃，你知道基本的一些知识就可以了。然后我们还需要一些知道一些基本的一些几何图形，里面有这些平行垂直的关系，你就知就可以了。比如说什么？比如说我这个梯形， 那无论是我直角梯形还是等腰梯形，那我都有什么？我上下两个平，上下两条直线都平行，都没问题吧？然后我还会有哪些条件？比如说，如果是我的这个直角梯形， 那如果是直角梯形，上面和下面如果是二分之一，则我的这个对角线这个点，它就是一个三等分点，这没问题吧？好，这是几何图形，你要得稍微对这个平面几何有点感觉啊。然后还有什么？比如说正方形，然后长方形， 然后菱形，对吧？这是我们的一些考点，比如说正方形里面，我是四个边都相等，并且它有四个边都有这个垂直，而且我对角线一连也垂直，没问题吧？而且对角线相等。 然后呢，这个长方形它有什么性质呢？它长方形的对角线一连，它相等，但不一定垂直，没问题吧？但是呢，长方形它有什么？它天然有四个垂直，这没问题啊。然后呢？菱形，菱形有什么规则？菱形的对角线一连，它们相互垂直，但是这两个对角线不一定相等，对吧？但是我菱形的四个边都相等， 这没问题啊。好，那知道这些就可以了，基本就差不多。然后再平行四边形，那平行四边形对边相等，对角相等，没问题吧？对角相等，那对边相等且平行。好，所以我有些时候证明平行的时候，我只需要指出它是个平行四边形就可以了。那平行四边形如何证明呢？如果我的对边平行且相等，它就是平行四边形，如果我的四个边 就是对边两两相等，那就是平行四边形，对吧？这个比较好证明吧？这个初中的东西应该没有忘忘光啊。然后在这里啊，我要得在这个垂直，这里我要得稍微补充一个东西，叫做三垂线定律。好，那三垂线定律是什么呢？如果啊，我在这个平面而法内有一条这个 a 直线， 对吧？然后 l 是 一条这样一个斜线，但是交于平面没有问题啊，那我可以做这个 l 他的一个垂线过来，那我可以在这个平面内找到这个 l 的 一个摄影， 清楚吧？你看斜线摄影，这垂线没问题啊，如果我这条线和我这个斜线的摄影垂直，则这条线和这个斜线就垂直，这没问题啊。嗯，因为这个垂线肯定垂直于这个 a 的。 好，如果这条线垂直于这个 摄影，那就垂直于这条线吗？对吧？如果现在有什么这条线垂直于这个斜线，则这条线就垂直于这个摄影啊，倒过来用也可以。所以他到底是啥呢？我他其实就是一个线面，就是线面平行， 没问题啊，你看这条线和这个垂线肯定是垂直的，因为垂线肯定要垂直这个平面嘛，所以他垂直于他没问题。如果我证明出他垂直于他，那说明一条线与一个平面内的两条相交，直线垂直，则线面垂直，线面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直， 都没问题啊。所以，然后再来一个，比如说这条是垂线，对吧？垂线和这条线垂直，那斜线也和这条线垂直，那就说明这条线和这条线垂直，所以这条线就和这条线垂直啊，所以这个就是三垂线定律。其实就是什么？ 就是一个线面垂直不断在用而已，就是正过来，反过来用，所以这是我们初中的一些几何知识，我们要得会，然后这个几何法证明就这么多内容。 你很快就几何法证明的时候，还有一个点，就是我们初中可能会学过的一个知识，叫什么？叫如果是个直角三角形，我肯定有什么，肯定可以用勾股定律，对吧？如果给你一些边长关系让你去证明这个垂直，你可以用什么证明啊？ 我可以用勾股定律来证明垂直啊，不要忘记有些题他就是让你反反复复的在用勾股定律来证明。呃，那这个算不算高中学的内容呢？肯定不能算高中学的内容啊，你这个勾股定律一定要记住。好，那我们再看一下间隙法如何去证明。好， 我们先看一下啊。第二问，我们要一般考察什么？我们第二问，一般考察什么？二面角呀，线面角呀，点面具呀，面具呀，线面具呀，动点问题啊，外接球啊这类的一个问题。那。呃，一般来说呢，这些东西 我可不可以用几何法来做？可以，那我要用几何法怎么做呢？我肯定是在这个这一大堆图形里面，我要去，比如说 啊，我要找这个二面角，对吧？我可以找二面角的平面角，比如说我如果要求这个平面和这个底面的二面角，那我怎么找来？我要得找这条线做一个这样垂线，找出这个垂线，然后呢？再找出这条垂线。好，我要算这个角，那这个算这个角怎么算？我可以再做一个垂直，用勾股定律算，对吧？这是？ 嗯，这是几何法的做法，对吧？这也是你高一学过的内容。这不是你高一没学过，高一我们没有学间隙，所以我们高一这种什么二面角呀，还有这种下面角呀，我们都是用什么做的？都是用几何法去找那个角，找那个角的平面角，然后，嗯，然后用勾股定力把它算出来的。这个， 呃，但是高考题会让你这样做吗？那个图形一般都很复杂，你要去搁那找角，你肯定是在那段时间里面是找不出来的。所以呢，我们用几何法做这样的计算题是很不方便的啊，我们最好不要用几何法来做。 那我们用什么方法呢？我们可以间隙，那间隙是干嘛？首先间隙首要得找出三条两两垂直的线，以右手来间隙来，拿出你的右手 能不能比出像这样的一个图形来，你能不能把你的大手可以比成这样的形状，可以吧？好，那我们规定什么？你看，规定你的中指叫 z 轴，叫 z 轴。好，那你这样张出来，这个轴叫做 x 轴，然后你的这个 x y， z 还可以随意旋转。那比如说，哎，我长这样子， 那我现在啊，我的图形就是长这样子，那我现在规定他叫做这轴。那我可不可以用你刚才那个右手来怎么弄？我把右手张开，你的拇指指到哪了？拇指是不是指到这了？所以这是 x 轴，那食指指到哪了？食指是不是指到这了？这是 y 轴， 你能弄懂，你能弄清吧？可以啊，你要你如果把手摆成这样子，你的拇指就是 x， 食指就是 y， 中指就是 z， 一定要，一定，不要忘记，一定要摆成这样子啊。好， 那我们还有一个方法叫做这个，学过物理的人都知道这叫什么？这个叫右手螺旋定则，对吧？这也是拿出你的右手啊，不要拿出你的左手，把你左手收回去。好，拿右手。好，拿右手啊，拿右手，拿右手，拿右手。重要的事情说很多遍，好，我们一定要拿出右手来，你把它螺旋这样放着，你看啊，你的这个大拇指朝上，对吧？这就是 z 轴。好，那谁是 x 轴，谁是外轴呢？ 好，你看啊，你的拇指螺旋方向是哪个方向？是不是这个方向？你看啊，我们的 x 轴向外轴，这样就是 y， 对吧？所以这个就是你看你的卷法，你的，你如果手最后卷出来，应该是这样子的，你如果手卷出来是这样子的，你看，我如果在这建了个这轴，那你手如果卷成这样子了，那谁是 x 轴，谁是 y 轴呢？由 x 指向外，所以这边有一个 x， 那 这边肯定有一个 y， 肯定吧，你看，就这样卷的来，比如说这个，你看我这轴已经确定了，来，我右手来卷一下，是从哪指向哪，你的卷法应该是绝对是这样，对吧？从 x 指向 y。 好， 我再举个例子， 比如说我的 z 轴向下，那我的，呃，那我现在画这两条线，这条在前面，这条在后面啊。来，我拇指是不是这样放下去了？你的，你这个是我从哪卷到哪？是不是从这卷到这， 对吧？所以从 x 指向外，这是 x， 这是 y， 所以 这也很好做啊，要么你把你的手伸成这样子啊，都是右手啊，不要弄错，都是右手。来，你把你的右手拿出来做一遍来，这个右手指成这样子啊，拇指是 x， 食指是 y， 中指是 z， 任意旋转都可以。好，然后你可以把你的手弄成这样，螺旋状，由 x 弯向 y。 好，这个就是我的解析方法。所以我解析的时候呢，写法是什么？你刚刚是不是在图上已经把这个箭头已经标好了它如果是这样一个几何图形，我这个箭头已经标好了，对吧？那它上面肯定有 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g， 那 么一堆一堆点，对吧？好，那你要先把圆点写清楚，这是以什么？什么为圆点，以 a 为圆点， 以 b 为圆点，以 c 为圆点，都可以，对吧？好，以 a 为圆点，什么？哪个向量为 x 轴？你看啊，一定要得记住啊，有些人很多时候都要写什么 a、 b 为 x 轴， a、 c 向量为 y 轴， a， d 向量为 y 轴， a， d 向量为 z 轴来解析。如图， 如图要写，因为你要在图里面做箭头啊，那个你高考做图的时候啊，你用铅笔把它写好，画好以后，你再用中性笔把这个箭头给描一遍，因为过不去那个机子，识别不了你那个铅笔画的啊。所以你要得让老师看你的间隙，你要得写一个如图给写好啊，然后按照题目的信息，我要得先写出点坐标 来，你 x、 y 在 你都清楚了，如果说这个 a、 b 长度为二，那 x 等于多少？ x 肯定是二嘛。那如果我说你看 b 点这个坐标，如果我说这个长度是二，那在 x 轴上，那要怎么写？ b 点坐标， b 点坐标，是不是只有 x 是 二零零，对吧？这个很会写吧， 如果在每个轴上，那对应的哪个轴以外的两个，比如说，如果我在 x 轴上，那 y 和 z 肯定是零嘛，对吧？他演的顺序也是 x， y， z， 对 吧？这个点的顺序也是 x、 y、 z， 所以 你要写出点坐标，慢慢写，你写个五分钟都没有关系，你这个点坐标写慢点啊，然后因为点坐标不能写错，如果写错了，那你这道题就全部废了，没有办法。然后呢，我还得写下量 啊，我要按照题目信息写点坐标，题目让你写哪个点坐标，你就写哪个点坐标，不要写那么多，你看啊，比如说这道题，你看啊，题目说了什么来？ p、 b、 c 和平面 p， d， c 的 夹角的余弦值。那我应该写哪些点坐标？我是不是写 p 点坐标， b 点坐标， c 点坐标写过了，把 p 点坐标写过了，所以我只要写 p、 b、 c、 d 四个点坐标，对吧？ 有些人就很可笑啊，你还要写 p 点坐标， a 点坐标， b 点坐标， c 点坐标， e 点坐标， d 点坐标，全写出来，你浪费时间不？很浪费时间啊，这没必要啊，你只需要把那个题目啊，要求你写的给写清楚就行了。好，点，坐标写好了，我要求向量，对吧？我要求向量，向量怎么求？就是中点起调，对吧？来，我教你如何写点坐标啊，你把点坐标竖着写 来，你看，一一对齐，对齐在这，可以吧？来，你项链也给我竖着写，来 a、 b 项链，那我就是 b 点减 a 点，对吧？中点减七点，来 x 中点减七点，就是得减 a， 得减 a， e 减 b， e 减 b， f 减 c， f 减 c， 对 吧？ e 的， 你看，这就写出来了， 你看啊，我让你竖着写的目的是什么？不要算错。很多人啊，这个横着写完以后啊，你看， a 写在这， b 写在这， c 写在这， d 写在这，然后呢，你 x 减 x 的 时候，你可能是用 y 减 x， 你 说你亏不亏吧？所以啊，你把这个竖着写好，你不容易出错啊。那个减的时候，你就是对应这样减，对应这样减，对应这样减，来中点减起点，你看啊，这 a b， 那 b 放在后面，对吧？就是 b 减 a， 得放在后面，对吧？得减 c 来，得减 c， g 减 e， k 减 h， 到 l 减 r， 这不完了吗？所以你要得会写这个点坐标啊。向量，向量会写了吧？向量就是终点减起点，终点就是这个起点就是这个，对吧？来复习一下啊。向量它是一个有象线段。好，这样一个有象线段，对吧？那这个有象线段它有些什么性质呢？首先，向量我要得会写，比如说这个叫，如果我知道这两个点坐标， 我可以通过中点减七点，中点减七点，中点减七点来把这项量算出来，对吧？这项量怎么写？会写了吧？如果现在知道一个项量，对吧？这是个项量啊，这项量来这里有一个误区，大家特别会 错，点坐标不用写等号，你看我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？但是项量必须写等号，不要忘记啊。所以很多人可能就是点坐标也写等号，项量也写等号，要么点坐标不写等号，项量也不写等号 啊。这这这。呃，见怪了啊，说，我不要这样搞，你看点坐标不写等号，向量写等号，嗯，记住啊，记住就行了。所以我现在如果知道这两个向量，随便一个向量，对吧？那向量的模怎么算？模就是我每个，你看 x， y， z， 对 吧？ x， y， z， 那 这 abc 这三个点我要怎么办？都平方和，你看平方和，再开根号，这不就是我的模吗？ 就是我的长度。向量的长度怎么算？就这么算。好，那这个两个向量的点击就是点乘乘 y， z 乘 z， 三个加起来，你看 a 的 加 b， e 加 c， f， 错了吧？好，那数乘就是比如说这个拉姆达就是个三，或者是二，或者是一，对吧？那这样一个数乘一个向量，那就是意思是我每个点坐标都要得乘这个数，那比如说我这是未知数，可以吧？那拉姆达乘以 a， 那 就是 a 倍的拉姆， b 倍的拉姆达， c 倍的拉姆达。你看我都乘这数乘它还是向量，但是点乘我就变成一个数，你看这是个数， 没问题啊。好，所以这是空间向量的一些基本知识，我就变成一个数，你看这是个数，没问题啊。好，所以这是空间向量的基本就用到这些，其他的不用知道就行了。好，然后这个向量 我就讲完了，向量如何做？没问题啊，现在如果我找到了两个平，就是平面内的两个不共线的向量，那两个不共线的向量也就是两个不共线的直线吧。那两个不共线的直线可以确定一个平面，对吧？那两个不共线的向量也能确定一个平面。好，那我如果要得求法向量的时候，我要得写什么来看清楚啊？向量如何求？来这里啊，非常重点，重点，重点，重点， 我要得首先写一个叫做设平面某某某的法向量为 n 等于 x、 y、 z。 哎，这句话必须写，就比如说，哎，我在这里你看他说平面 p、 b、 c， 那 我是不是要求平面 p、 b、 c 的 法向量，对吧？怎么写？设平面？平面，面吧，面别面 p、 b、 c 的 法向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 你 看是啥你就写啥，你看我就默写，默写啊，然后我再找出这个平面两两个不共线的向量，可以吧？我找出两个不共线向量，那我要干嘛？法向量是什么来？比如说这是个平面，那法向量就是与这个平面垂直的向量， 那垂直于这个平面，那意思是我这条这个法向量就垂直于这个平面的所有直线，那我是不是在平面内找了两个不共线的向量，那这个法向量是不是与这两个不共线的向量都垂直？那我就要列一个这样的式子，叫做这条向量乘以法向量等于零，因为你看啊，如果是向量和它垂直，那我可以互推出。你看啊， 这个 r 向量和我这个 n 向量如果是垂直的，那他们两个点击就为零，那这就是我两个向量点击为零，你就写成这样就行了。来，法向量具体怎么求的，我现在告诉你 啊，原来你们的法向量求法的话，你就要得写出这个式子来啊， a 点乘 n， a 点乘 n， 怎么写啊？来， x 乘 a， 那 就 a， x 加上 b， y 加上 c， z， 对 吧？等于零，然后这边是得 x 加上 y 加上 f， z 于零，然后你要解这两个方程，对吧？啊，你别这样了啊，我们直接就做。呃，首先啊，我们的口诀叫做求谁挡谁，交叉相乘外取负好，比如说，我要得求这个法向量，你看法向量里面的 x， 对 吧？我把这两个向量竖着写好，对吧？竖着写好，我求谁挡谁，我要求 x， 我 就把 x 挡住，你看， x 挡住了，挡住了，挡住了。来交叉相乘，它乘它，它乘它相减， 它乘它减它乘它。就是 b， f 减 c， e， 你 看 b， f 减 c， e， 可以 吧？交叉相乘相减。好，呃，那个我们再看 z。 怎么求？来，看啊，我要求 z 挡 z， 我 把 z 挡住，来，它乘它减，它乘它， a 乘 e 减 b， 等于， 可以吧？好，求 y 挡 y， 我 把 y 挡住，交叉相乘， a 乘 f， 再乘 n， 再减 c 乘 d， 对 吧？来，我要 y 取负，对吧？来，我要取个符号。 为什么要取符号？来，我给你看演示一下啊。我求 x 的 时候我挡住了，这四个是不是连在一起啦？ 我求 z， 我 求 y 的 时候，来，这四个断开了，那我是不是应该怎么样？我断开了，是不是规则稍微不太一样？那我就加个符号嘛。这行了， 所以你就这么理解这个到底是什么原因？你到大学你就知道了。好，这个不用管，你法向量这么求就行了。你这个不要把这个过程写上去啊，你也不要把这个口诀写上去。呃，你偷摸着用就行了。来，你看设这个向量来，点击为零，来，这三句话写好了，对吧？直接写法向量，比如说这是个一二三 一二一二三，这是个三四六。好，你会求法向量吧，你直接就算就行了，你看二乘六减四乘三，写出 x 来求 y 等 y， 对 吧？然后三乘 忘记了，哈，就那样一算就行了，一算就行了，这就结束，对吧？好，这个法向量会算了，对吧？法向量就是平面里与平面垂直的向量，算出来就行了。就他只要说平面，你看，比如说这样一个题，他说平面与平面的夹角，那我就要算这个平面的法， 这个平面的反向量。哎，我要得解决这个问题。你看二面角。二面角啥意思呢？来， a p d， 你 看 a， p d， 你 看 a p d， 这个平面和那个平面呢？ p d c p d c o， 这个平面。好，两个半平面的夹角，就是这个平面和这个平面的夹角。那我要算什么？这个平面的反向量。这个平面的反向量会算吗？会算啊，不要忘了我们会算好 反向量，会算了，我们再看怎么算后面的部分，比如说算二面角。二面角。什么二面角？就是我两个半平面的夹角，你看啊，这个叫半平面，这个叫半平面， 那我这两个半平面之间可以形成一个夹角，对吧？那这个夹角最小是多少度？最大是多少度，你知道吗？知道，对吧？你拿出你的卷子来翻一下，哎，我是可以从这个零度，你看我是可以从这样的形状可以一直翻过来，对吧？翻到一百八十度， 你再往下翻，和上面翻的一样，对吧？反正就是你零到一百八十度吗？那如果是两个平面的夹角是啥意思？那平面他是无限延伸的，他长这样的，对吧？来，平面是无限延伸的， 哎呀，这个是来，这是两个平面的夹角，对吧？它会形成一二三四四个角，那我要取哪个角呢？我要取小的角。所以如果考点是什么？考点？如果是两个平面的夹角，那我最后算出来，我只需要算它的最小的那个角就行了， 可以吧？但是如果是两个二面角的夹角，那它是从零到一百八十度的，对吧？零到一百八十度的，嗯，所以它的余弦值肯定有正有负。好，我们再看。呃，这个出两个 m n， 两个反向量，对吧？那我要得设，你看啊，二面角也有一些规则要写啊，你要得设二面角为 theta 啊，你就这么写就行了。然后 cos theta 啊，但是标准的写应该叫做设二面角的平面角为 theta。 好， cos theta 等于 cos theta m n， 那 cos theta m n 怎么算？ m 乘 m 的 摩乘 n 的 摩乘 n 的 摩， 可以吧？这很好记吧？好，很好记啊，那 m 点乘 n 会算吧？它们的对应 x 相乘，对应 y 相乘，对应 z 相乘，加起来，对吧？那 n 的 模怎么算呢？它的 x y z 全部平方开根号，对吧？加起来，然后它也是全部平方加起来开根号，对吧？这很好算啊。然后如果看图，看图，如果是钝角，那我就取它的负值。看图，如果是锐角，我们就取它的正值，如果你的观察力不强，你就直接取正值，往往百分之九十题都是正的。 好，这样就行了。好，最后你答一下，你就答一下。说什么你这个算出来口算谁？他他是我这两个向量的夹角。那我最后要答一下，你说什么？二面角口算，二面角的余弦值是多少多少就完了。如果让你算算怎么弄？算的话，我就用这个公式，根号下一减口算一方。这个公式有没有不会的？ 会的吧，一定会的啊，一定会啊。如果你算出来这个口算呀，然后你也可以画个直角三角形，然后你这个口算，如果是一个 a 比 b， 那 口算也是 a 比 b 呢？就是零边比斜边嘛，对吧？这是 b， 零边是这是谁他嘛？零边就是 a 嘛，对吧？然后 a 比 b， 那 我可以用勾股定力稍微算一下这个，那这个就是根号下 b 方减 a 方嘛。 然后呢？算一次他就是谁根号下 b 方减 a 方分之 b 嘛，对吧？这个，嗯，你也可以画直角三角形，也可以，干嘛也可以用这个嘛？这个我们怎么用？我们知道算一方 set 加 cosine 方， cosine 等于一嘛，所以我可以用这个公式，这是个三幺乘法式，对吧？如果要算 cosine， 我 可以把它移过去，叫做一减 cosine， 对 吧？平方我要看更好，这不就完了吗？这不是公式嘛。所以一定要记住啊。这个，如果他让你算正弦值，你就要得用这个方法算，没问题吧？那正弦值的话就轻松了。如果余弦值我不知道。正负无所谓，我平个方，你正负都无所谓了啊。那一减它，那 cosine 肯定是正的， 这没问题啊。好，我们知道了。二面角如何算？我们还要得看线面角如何算，对吧？线面角是什么？直线与平面的夹角，对吧？你看直线与平面的夹角，那这个角怎么算呢？来，这个角算出来叫做 sin theta。 来，注意，注意，注意，注意。你看二面角算出来叫做 cos theta， 对 吧？线面角算出来是 cos theta， 那 cos theta 是 啥呢？就是 cos theta。 这个 a 和 n a 是 什么？ a 就是 直线向的向量，比如说这直线向我取的向量叫做 a 向量， 可以吧？完全可以啊。然后呢？平面 r 的 反向量很向量。好，那怎么算？口算 a n 会算吧？口算 a， n 就是 a 乘 n 的 幺 n 幺，对吧？那算 x， 它肯定是一百零到一百八十度嘛，那肯定是正的，所以我给这个整体去绝对值，所以最后算出来，无论是正还是负，我都去 正会了吧。好，那口算 x， 它怎么算？来根号下一减三方，这就很好弄啊，那这个线面角就结束，线面角就这么算，那线面角的话也要得，也要写这句话，叫做设，你看某个直线与平面的夹角，也叫做设，某个线面角等于 x， 它 设什么？什么 vc 碳啊，你要写这句话，然后算完以后，最后还要得搭一下，搭一下，搭一下。好，那个距离，那距离公式是这个，那得等于一条距离是什么？距离是点面距，线面距，面面距，你看点到平面的距离，直线到平面的距离。呃，平面到平面的距离。 好，那怎么算？那我首先啊，点面距，我要转换成线面距，那点面距我要得有一条直线可以相交于这个平面，那我在这条直线上找向量 a， 那这个就向量 a， 那 直线那就好弄了，那直线上的向量就是 a。 向量好，平面，那平面的话呢？我要在这个平面和这个平面相交的这个部分，我要得找一个 向量 a， 所以 他们三个，比如说点面具我要转换成向量面面具我要转换成向量，所以我最后算的就是向量 a， 那 这个向量 a 是 啥，知道了吧？ a 就是 我的这个直线上的向量好，那就是法向量来，直接在这个公式来。这个公式和这个公式有什么区别？我不除以 a 的 模二。 看清楚啊，我不除以 a 的 模儿好，一定要注意啊，这个公式不要背错， a 点乘 n 比上 n 的 模儿好，这是距离公式来，呃，这个动点问题，动点问题是什么？动点问题就是这个意思，如果我有一个直线，比如说这叫做 ab 向量，这是 ab 向量，没问题啊，那我知道 a 点坐标叫做得 e f， 那我算出来这个 a b 向量是这个，对吧？这没问题。那现在我知道点 p， 我 如果上面写着什么 p 点在 a b 上运动，哦， p 点 p 点在这个 p a b 上，也没说 p a b 多长，对吧？那我就说了点 p 点在 a b 上，那我可以列什么？那我可以用向量共线定律，你看 a p 和 a b 共线，所以 a p 等于 a b 的 楞大倍。你看 a p 等于楞大倍的 a b， 那 楞大倍的 a b， 那 我 a b 向量，我知道的，那就是直接就是 那么大， b 那 么大， c 那 么大，那我可以写出这个点，对吧？好，那 a p 就是 p 点减 a 点，那我把 p 点设为 x 的 y 的 z， 可以 吧？那 x 减谁？你看 a p 嘛，那 p 点减 a 点，那 p 点减 a 点，我知道，就是 x 减得，你看 x 减得，那就是 a 那 么大， 没问题吧？ a p 嘛，好， y 减 e 等于 b 篮板， z 减 f 等于 c 篮板。我可以通过这个 p 点减 a 点，我可以得到 a p 向量，那 a p 向量这个我是用 lambdas 表示出来了，对吧？呃，表示出来了，好，我最后把这个 x 一 解，那 p 点的坐标又出来了。你看 x 一 解出来，那 x y z 就是 p 点的坐标吗？那 p p 点坐标也出来了，那 p 点坐标我出来了以后，我虽然带着 lambdas， 但我也是一个 p 点的表示方法，没问题吧？所以我 p 点的这种动点我表示出， 那表示出来了，我可以带进题目信息，比如说他告诉你了什么二面角呀，我可以带进去把这个拉曼解出来，这个就是重点问题，很简单啊，这个没有那么难。后面我们有题，我们可以做让我们看外接球，那外接球半径，我可以通过间隙把所有的顶点 给写出来，然后呢，我可以射球心叫做 o 的 x y z， 然后我知道什么外接球，那就是，呃，如果是这样的一个图形，那意思就是我外接球就是我所有的顶点都在球面上，那球面到圆心的距离都相等， 没问题吧？所以我可以把这个 o a 向量， o b 向量， o c 向量， o 的 向量就是所有顶点和这个 o 的 向量写出来，那他们的模，那他们的模不就是我原先到每个顶点的距离都是我的半径吗？我可以列这样一个式子，叫做 o， a 的 的模等于 o， c 的 模等于 r， 我 可以解出什么 o 点坐标，我可以算出这个 r， 这个 说着比较轻松，但是呢，计算量稍微有点大，那几何法也是可以通过这个外接球来算的，但是呢，啊，这个 不太直，就是，呃，用几何法去看那个外接球，他是不是那么很容易看出来的，所以我们能用间隙的时候，就是能直接用间隙来求外接球的话，嗯，我们用间隙来求，虽然说计算量比较难，但是我们不会花那么多时间在看图上。 如果你要用几何法来去弄这个外接球也好弄，但是需要再补充更多的一些知识，那个就是比较分数比较高的一些人的选择，那我们也可以再把它放在小题里讲，因为小题考外接球是考的真的比较少。那近年的话， 去年的高考题就考了一次吧但是，呃去年高考题也是考在一卷里了二卷基本没考二卷一直都是那个难度一直都是比较常规的题型但是呢我们也会补充，呃这个外接球在大题里如何考因为有这样的一个题我放这了啊所以外接球的话呃结合法的方式可以做但是我不会去大奖特奖在这个大题里那我们呃 在小题里把这个几何法的外接球在那个时候再建好这个几何法这个间隙法的这个计算我稍微讲了一下啊间隙法你发现哦这个计算其实很有套路对吧我只需要什么写这个我只要找出两两垂直的这个情况我可以间隙对吧。间完系我要写这句话写完这句话我要写点坐标写完点坐标我要写向量写完向量 我就开始求法。向量对吧向量就是要写这三句话然后向量哐哐哐一下就算出来了对吧然后二面角我要得设设对吧设然后设好以后可以代公式一下就算出来了你发现哦还真的挺 套路的你发现真的没有难度啊这个没有什么难度的然后线面角也是你设线面角为什么 set 然后呢算 set 代公式一下就出来了。好你要得算出反向量啊然后的这个距离也是你算这个点面距啊或者线面距啊面面距你就设它为的好那的往这一代公式就出来了。好 动点问题的话呃他如果说这样 p 点在某某个直线上运动那我要得写什么向量共线定力对吧。向量共线定力我把它写出来，然后我反解，把 p 点反解出来，然后用 log 表示 p 点，那我用这个动点， 把这个动点我画成了定点，对吧？那我至少我这个 p 点的这个坐标我可以表示出来，那表示出来以后带入题目信息，我截出来，这就很轻松啊。然后外界求半径的话，我就是要弄什么，我把顶点全部写出来，顶点坐标写出来，然后干嘛？射球星坐标 x、 y、 z， 然后通过什么？我球星坐标到球星到 这个顶点的距离就是半径来，我可以列一个等式，把这个 x、 y、 z 给算出来，这个就还是算量稍微有点大，然后别的就很简单，对吧？然后我们看一下几何间隙法证明是什么东西， 因为有些题目他那个第一问题目信息就给的比较全，所以我们直接用几何法来证明。好，我们这个很快就能看完啊。来线面平行，那我如果要得证这个线面平行，那我还能证什么？你看线面平行，我前面是用那个直线外平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，对吧？ 我还得找平面内那条直线是哪个，对吧？我现在我建好细了以后，直接可以算平面的法向量。法向量不就是垂直于平面的向量吗？如果线面平行呢？意思就是我这条直线和平面平行，则什么？ 这条直线后的法向量就是垂直的？好，所以我只需要正这条向这条直线上的向量和我这个法向量是垂直的，那意思就是我垂直就是点击为零呗，这就完了，我只需要算 a 乘 n 等于零就完了。好，如果是平面与平面平行，那，呃，我两个平面的法向量可以算出来，对吧？那这两个法向量就是平行的。 好，那我要得正，两个法向量平行，那我可以是它的数倍。要做平面向量基本定律嘛，对吧？这个向量和向量平行，他们是数倍关系， m 就是 那么大的 n 嘛。好，然后线面垂直，线面垂直，就是 直线与平面垂直，那这个直线和平面垂直，那他与法向量就是平行的。好，那他与法向量平行，那我可以用 他们是数倍关系吗？这就完了，我只要把这个向量算出来就可以了。一看他是一个两三倍关系啊，三倍关系还是两倍关系，我就证明出来了。这个向量和法向量垂平行，则直线与平面垂直，这不就完了吗？然后我再可以找什么面面垂直， 我还有什么方式？我算出来以后，他如果与我这平面内的两条向量 垂直，那也说明我线面垂直啊，这，这也比较轻松。然后面面垂直，面面垂直的话，就是我两个反向量嘛，对吧？这两个反向量，那面面垂直，我两个反向量也是垂直的，那我只需要这两个反向量垂直，那两个反向量垂直，我只需要把它们算一下点击是不是零就完了。那点击还会算吧？会算啊，会算 x y z 对 应，相乘相加就行了。好，这个就是我的间隙法证明，那间隙法证明明显就 不需要任何的知识点，直接一算就可以了。然后，呃，这个几何法证明要掌握清楚啊，一定要得。注意啊，这个勾股定律一定要得。会用。那个第一本可能会用到勾股定律。好，这就是我这个百日冲刺课立体几何的思路部分。那我们再看题目来练习一下啊。题目练习一下，这个不刷，光讲不练，那就是空本事。我们要得练练题。

hello， 大家好，现在想讲一个就是一个很实用的东西，就是直角坐标系和极坐标系的转化。现在我们考虑一个函数， f， 在 二维直角坐标系下 x y， 那 这个 f 是 由这个 f x 和 f y 两个分量组成的，对吧？那么在直角坐标下是这样，在那个极坐标下，就是一个方向 r 和一个方向 c， 它，那么这个 f 就 就会表示成 f 二和 f 四它这两个分量。呃，我们用向量怎么表达呢？在直角坐标系中，在直角坐标系 f 等于 f x 乘以 x 的 箭头， 但直角坐标系是这样表达，那么在这个极坐标系下就是这样， f 二乘以二加 f c 的 乘以 c 的， ok， 现在我们要解决的问题是，就是这两种该怎么通过关系来进行转化？ ok， 其实很简单，我们只要需要这样理解就行了。就是，首先，呃，首先 f 二 f 二比较直观嘛， f 二就是在那个在这个镜像的这个函数，然后 x y 也比较简单， x y 就是 x 就 f 的， 在 x 方向的， y 就是 在 y 方向，它是 f y， 就这样写吧，比较抽象的，其实这个 c 塔方向该怎么表示？其实也很简单，我首先就意识到这个 c 塔， c 塔它是，它是一个章角，对吧？ 所以说 c 塔呢，它是由这里到这里的一个章角，所以 c 塔也可以写成这样， f c， 它写成一个和它垂直的一个一条线就行了，所以这个转化实际上并不难， 这样的话我们就可以很简单的得到，哎，首先这里这个角， 嗯，这个角是 c， 它的，对吧？这个角是 c， 它 ok， 那 么那么现在我们想得到 f x， 比如说 f x 就 等于 f r cosine c， 它再加上还不对，这应该是把它给正好对称下来，对吧？再减去 f c， 它三也 c 它， 对吧？这样，然后你想得到 f y 的 话，也很简单， f y 就 等于 f r sin x 减去加上，这里是加上，因为它们都在同一边。 f c， 它 cosine x， 它， ok， 那 么这样我们就有了这个直角坐标，写到极坐标的转化，那像同样的，你也可以得到 f 二和 f c 它的关系，这个都很简单，就不写了。然后顺便我们接下来再说一下，在三维直角坐标写下，这个该怎么得到。 我们只要得到了前面的，只要懂了基本的原理，别的都很简单，三维就是画图会稍微麻烦一点。嗯，你看我们这里还是有一个函数 f， 然后有了 f 之后， f 在 x y z 方向的分量都知道了，然后这个是 f 在 二 c， 它 f 方向的分量。 ok， 我 现在重新画这个图，重新画一下，嗯， 就是我先画一个三维的空间直角坐标系 x y， z， 他 们在 x， y， z 的 分量分别是 f x 这里，这里是 f x， 这里是 f z， 他肯定满足满足这个式子，对吧？ ok， 现在我们来找二 c， 他 fine， 他 该怎么写？ 嗯，先用，先用蓝色先写一下。二，二很简单，二，他就是镜像嘛，镜像学过高数肯定就知道，就在这个方向，可以把它分解一下， 对吧？所以这个角，这个角，我们给它规定，这个角是那个是 c， 它，然后这个角是 y， 然后这条线是处于这个 x y 平面的，这条线是在空间中的，好吧？ ok， 现在找那个，找那个 c， 它，这个是 f 二， 我们找 f c， 它 f c 它该怎么表示？和之前一样，你找它那个和它垂直的这条线， f c， 它肯定是和 f 二垂直的 f c， 它，所以 f c， 它就是就是哪里啊？就这里嘛。 呃，因为它这个角是从 z 到 x 方向进行张开始张开的，对吧？这个 c 它是在在这个位置的，所以它的方向实际上是朝这里，那这样的话，我们画出它的平行就好了。 画出它的平行，平行的话，我们把它移到下面，需要移到下面， 这样就比较简单， ok 吧？然后找那个 ffi， ffi 的 话，一样的， f 是 从这里到这里长的，那就完全和上面相同了。 所以这个 f 这个角应该是在这个位置，在 x y 平面第二项线，然后和这个和这条线垂直，所以 f 是 哪里呢？看一下。嗯， 反应该是这里，这里这个角是反。 ok， 那 现在我们现在好了，现在好，我们现在来推这个 f x， 把这擦重新推一下，那我们推一下 f x， f x 等于什么？这个是 f 二，对吧？那么那么你看这个三角形，就这个三角形 解这个三角形就好了。那这个点，这个边就是 f 二三 in c 的， 放大一点看，可以 f 二三 in c 的， 然后再看这个小三就行，在这个 x y 平面的这个小三就行。这里就是，所以说它在这个 x 方向的分量是 f 二三 e c， 它乘以 f 乘以 cosine c， 它 cosine phi， 乘以 cosine phi， 那 第一项就有了，就是 f 二三 e c， 它 cosine phi， 那 第二项是这个，这个绿色的 来看这个绿色的，绿色的，这个是 fc 塔， fc 塔， ok， 来，还是一样的，还是一样，我们先找角，嗯，这个角画的稍微有点乱了，别急，我找一下。这个角是 c 塔， 嗯， 所以它现在变成这个角了，是吧？ ok， 那 所以说， 所以说这个就变成了 f c， 它，它在这里的分量就是 f c， 它 cosine c， 它， 它在这个 x y 平面的分量。这个 f c 塔在 f x y 平面的分量是 f c 塔，乘以 cosine c 塔，然后再转到这个 x 方向来，那就变成了 f c 塔，乘以 cosine c 塔，然后再乘以 cosine phi， 这样， ok， 第二项就有了。 最后第三项，第三项来看红色，红色是哪里？是在 x y 平面的第二项线这里，然后这个角是 by， ok， 因为它是在负半轴的，负半轴，我们要把这个给加上去 f i， 由于平行嘛，内错角，对吧？嗯，然后 f i 就 在这里，所以这很简单，就直接最后减去了这个 f i 乘以三 i f i， ok， 那 这样就得到了，得到了我们这个从直角坐标到极坐标这个变换公式。同理，同理，你，你当然也可以推 f y 等于什么， f z 等于什么， 都是可以的，都很好推，只要基于这个边角关系就行。然后你得到了这些之后，你也可以再反推 f y， 二 f c 它 f y 的 这些， 所以我这里只讲这一个就好。嗯， ok， 所以 这个东西看，看起来其实是比较简单的，实际上我也刚刚学会这个东西。嗯， ok， 讲到这里。

必刷题这么厚，有人刺杀我用它来挡刀都只能捅到目录，所以小王学姐就来带咱们疏通高考必刷题里的重点题型。话不多说，咱们上正餐！ 哈喽呀，小宝们，咱们今天啊，开始正式进入例题几何这个板块的必刷题了哈，那这个部分知识点也是又多又杂，烦死了。那今天呢，就开始跟着小王学姐一起通过咱们的经典例题来给它复习一遍。 那今天呢，咱们第一个啊，这个考点啊，就是立体几何的结构特征来看这道题啊，已知圆锥的 侧面展开图是一个面积为 pi 的 半圆，则该圆锥的高是多少？好，我们来看一下啊，我已经把这图画出来了，咱们的这个哎，圆锥的母线 l， 哎，是不是刚好就是咱们这个侧面展开图的一个半径呀？ 那题目中要求的是咱们 h 的 长度，那 l， h， r， 哎，刚好构成一个直角三角形，所以我需要先把 l 和 r 先求出来。好，那题目中只给了一个信息哈，就是咱们的侧面展开图，哎，它的一个面积是 pi， 哎，那这个派他又等于什么呢？等于二分之一派 l 的 平方，咱们的这个展开的吗？它的半径是 l， 所以 我就把 l 写上来。那我们的扇形还有一个面积公式是啥呢？等于二分之一哎，半径乘以弧长。 因此啊，咱们是不是就可以求出 l 的 长度以及弧长的长度？那 l 的 长度是咱们的根号二，哎，弧长呢，哎，他是根号二倍的派， 哎，这样咱们就求出来了哈，那 l 已经求出来了，咱们还差 r 没有求出来，对不？那 r 啊，我们可以怎么来求呢？哎，我们的弧长啊，是不是这个弧长刚好卷起来，就是咱们这个底面圆的一个周长？咱们的二 pi r 刚好是等于弧长的，等于根号 二，那现在呢？ l 有 了， r 有 了，我们 h f 就是 等于根号下 l 方减 r 方吗？哎，那等于根号下二减二分之一，等于两倍根号六。好，这道题咱们就选 a， 哎，这道题他考的啥呀？就考你知不知道，哎，咱们扇形的一个面积公式，哎，考，你知不知道，咱们这个圆锥的侧面展开图，它是一个扇形， 这是第一个啊，第二个呢？我们来看这道题，已知正三棱台 a、 b c 和 a b c e 的 上下底边长分别为六和十八。那这个是正三棱台啊，正三棱台说明它上面的一个，呃，三角形和下面的三角形，它都是一个等边三角形， 那他说内部有一个内切球啊，好了好了哈，内切球，正三轮台，那你首先就要知道的哈，他这个内切球，他的这个啊，这个与上底和下底的 切点啊，一定是在上下底的重心上的，上面三角形的重心与下面三角形的重心上的。那重心，哎，又是什么呢？哎，我们重心，哎，其实就是它高上的啊，三分之二处，哎，也就是说咱们正三角形啊，它的重心哎，是在咱们高上的， 那这个高呢？哎，重心是把它分为三等分，那咱们重心是在这个点上的，哎，上下笔是二比一，哎，回想起来没有呀，所以啊，这道题，只要你知道这个东西啊，这道题就非常非常简单， 那么来看，上底的边长是六，下底的边长是十八。那我简单给他画个示图啊，那这里也是相切的，那我给他连起来，哎，大概是一个这么样的一个内切球，那 我们这个长度是多少呢？这个长度，哎，他又是多少呢？记住啊，我们是二比一的一个关系，对不对？那他的这个高啊，上底的高，他是多少？ 上底的高是三倍根号三，哎。这里是六嘛，这里是三倍根号三，那下底的高是九倍根号三，对不对？哎，那这里呢？占了三倍根号三的 其中一份啊，那就是根号三。下面呢，哎，占了九倍根号三中的三分之一份，那就是三倍根号三，哎，这两个长度咱们就找到了哈。那我们这个内切球啊，是不是还有一个特点是什么呢？ 这个角和圆心连起来，哎，咱们左边这个三角形是不是和右边这个三角形是全等的？那同理啊，我们把圆心和这个点连接起来，是不是这两个三角形，哎，他也是全等的。 因此啊，你这里是刚好三，那咱们这边是不是也是刚好三，哎，你这里是三倍刚好三，那我们这边是不是他也是三倍刚好三。那这个正三棱台的高为多少？那其实求的是什么？求的是这一条的长度，哎，求的是这一条的长度，哎，那这一条的长度呢，就是等于这条的长度 乘以二，哎，那我们接着来算啊，那我们的侧边就是四倍根号三啊，那我把它连起来啊，那我这一条，哎，他也就是这一条给他平移过来，那这一条呢？他是多少啊？ 他不知道啊，我们要求对不对？那这一条呢？哎，就是下面我平移后的这条直线啊，他到这个点的一个长度是多少呢？哎，是不应该是三倍根号三，减去根号三呀， 对吧？因为上面这一段吗？这一段是根号三，那右边这一段就是两倍根号三，哎，所以啊，这个直角三角形，一边是四倍根号三，一边是两倍根号三，那我根据直角三角形哎求解就行了。那最后解下来呢，咱们这个高啊，应该是六。 哎，这道题啊，重点就在你要知道内切球他的重心啊，是在咱们上底下底的一个重心上的。 哎，这道题就解出来了，都是计算啊，没什么太难的。我们来看考点二啊，表面积与侧面积。那这道题，他说已知一个圆锥和圆柱底面半径和高，哎，分别相等，那圆锥形的结面是等边三角形，那这个圆柱和圆锥的侧面及之比是圆锥和圆柱的侧面及之比哈， 啊，它为多少？那我们来看啊，它的底面半径和高分别相等，那说明什么？说明我可以把它画成一个同底同高的哎，我就把它放在同一个图形里面来对比，你看，像小毛雪画的这样啊，与圆柱里面哎，含了一个圆锥，这样子来对比，那它的这个结面啊，轴结面， 它是等边三角形，那说明什么？我先假设它的这个底面的半径为 r 啊，就说它们 r 是 相等的嘛， 那我这个圆锥的，它的母线 l 长度是多少呀？是不是二 r， 对 吧？那它的高是根号三 r， 那 我就用这个 r 来表示它的这个半径，也用 r 来表示它的高，那我们就统一单位了，待会好比较 好。那我们 s 锥啊，它的一个测面积是多少？是不是等于二分之一？哎，咱们底面的这个，这个圆的周长二 pi r， 再乘上咱们的它的一个母线长度二 r， 那 这里算下来就是二 pi r 方啊，那接下来呢，咱们 s 柱呢？ 哎，它等于多少呀？一样的啊，底面周长乘以它的高根号三 r， 那 是不是等于两倍根号三 二方，哎，那题目中说的是圆锥与圆柱的比，哎，那我上下比啊，二派二方比上二倍根号三派二方，那等于多少啊？根号三分之一等于三分之根号三。哎，这道题呢，咱们就选 c 啊，这个呢，就是考你这个面积公式啊，考你面积公式比较简单。那下一道题呢？哎，有点搞笑啊，有点搞笑。这种题目呢，也是咱们现在高考啊，他可能的一个命题趋势，他就给你把咱们的知识放到实际应用题里来考你，那就看你能不能读懂题目了。 那这道题啊，前面都是废话，那现在啊，从这里开始制作一件三层的六角宫灯，哎，三层均为正六棱柱， 且里面是全空的啊，那其中呢，上层和下层哎，它底面周长均为一百二，高为五。那现在里面放入一个体积为三十六派立方厘米的球形灯， 且球形灯与各面的距离不少于九厘米，哎，那我们的这个侧面积至少为，哎，有些同学读到这里是读不懂的啊，我们题目中他已经说了，他是三层六角功灯，且他只告诉你了什么，咱们上层和下层就是说这层和这层，哎，他的一个 这个底周长和高，那中间的这个，他的一个边长和高是没有告诉你的，这就需要咱们自己去算，哎，也就是说，哎，我们的中间这个啊，是根据题目中，哎，他的求的就是他这个距离 的值在变化的，那现在要求的是它的一个侧面积。那我想问大家一个问题啊，我在这个容器里放上一个球，那我这个球到各边的一个距离长度是不是就代表了我球的半径？那如果说我这个长度越大，哎，说明我的这个球越大，那同理，我的这个容器啊，是不是就必须越大？ 那我容器越大，我是不是它的表面积就得越来越大了？所以啊，咱们题目中求的是至少，那至少就意味着咱们的这个 r 它就等于九，哎，这个球的半径它就等于九， 哎，你才能求出他的至少啊，那我们来看啊，既然他说他到个边的距离都不少于九，那我们上面这个高是五，下面的高是五啊，那我们二乘九就是他这个球心吗？到上面和到下面都是九，二乘九，减去咱们的二乘五，是不是就是咱们中间这个 正六轮住的高了？那就是八厘米啊，是他的一个高，这是他的高，那我们来把这个正六边形画一下，题目中说的是咱们到各个面啊，都是九，那说明，哎，这个内切球，哎，他到咱们就是这个斜面上个边，这边是九，这边也是九， 这条长度是多少呀？这条长度，哎，是不是应该是九除以二分之根号三呀？那等于多少？等于 六倍根号三，那这条长度就和咱们的边长是相等的，因为这是一个正六边形，所以这里是六倍根号三，这里也是六倍根号三，因此啊，咱们就算出来了，中间这个部分，他的高 h， 他 是等于八厘米的，他的边长 a 是 等于多少呢？是等于六倍根号三厘米的 啊，那这个时候咱们要求它的侧面积了，那上下两个部分啊，已经告诉咱们了，咱们先求 s 一， 它是等于什么呢？哎，底面周长为一百二，那底面周长乘以高嘛？乘以高是五，那再乘以二，哎，就是两个， 那等于多少呢？等于一千二平方厘米，那我们的 s 二，也就是中间哎，中间这一个，它的一个表面积啊，也是啊，咱们的周长就六个小长方形构成的， 六乘以 a， 六倍根号三，再乘以他的高就是八，哎，那等于多少呀？六乘六乘八二百八十八倍根号三平方厘米，所以啊，他的这个测面积至少就是为 s 一 加 s 二， 两个相加，哎，就算出来了哈，这就是这道题，就看你能不能读的懂。我们再来看下一个考点啊，考点三，咱们的体积，哎，这道题呢，哎，比较简单，我就不算了，但是我要讲一下，为什么我把这道题放出来啊， 这道题很明显的，你看，他说，哎，他上底是正方形，下底也是正方形，对不对？他没有告诉你上底，直接告诉你他是正方形，他只告诉了你下底他是一个正方形。但是啊，这几个垂着的面啊，竖的面，他都是一个正三角形，那正三角形有什么 特点呀？是不是三边相等啊？我假设这里是一，那这里是不是也是一，这里也是一，那这里是一，这里是一，那说明什么呢？说明这种啊，咱们倒着的这几个三角形，哎，他是不是都是等腰三角形啊，而且他的这个腰长都是一样的， 那说明什么呢？说明他们的底的长度也是一样的，这边等于这边，等于这边等于这边，然后又是一个垂直的关系，所以他其实就已经告诉你了，他上面就是一个正方形， 这个正方形呢？哎，他题目中又说什么呢？求这个东西的一个容积，那就是求他的体积，那这个体积啊，咱们可以直接去算啊，我们也可以干嘛呢？哎，我们给他补全，补成一个正方形， 哎，我给他补成一个正方形，哎，这就是为什么我要把这道题拎出来说的原因啊。他这个求体积啊，我们平时求的时候一定要想到一个方法叫割补， 哎，你可以去分割，可以去，哎，填补，重点就是把它啊补成，或者说割成你已经学过了的球体积的一些这种，呃，几何的一个公式，你已经学过的这些几何，哎，你就把它割补成这样的一个形状， 所以这道题呢，哎，咱们就可以用各部分来做哈，这道题选 c， 哎，你可以自己去算，我就不多说了，哎，我们来看一下这道题啊，重点是这道题，我要讲一下这道题，他说正六棱柱 p， a， b， c， d， e， f 的 体积是八倍根号三。问题来了，正六棱柱体积公式是多少？哎， 三秒钟答不出来，那你就该去复习了，咱们 v， 哎，六棱柱，它的体积是多少？两倍根号三，乘以 a 方 h， 哎，这是正六轮柱的一个提取公式啊，那它等于多少呢？等于八倍根号三，那说明咱们的 a 方乘以 h 是 等于，我看一下啊，等于十六的，那我们 p a 啊，它是是什么呢？我们先把 咱们的正六轮柱画出来，这是咱们的正六轮柱，那这是 p， 这是 a， b， c， d， e， f， 那 我们的 p a， 它的一个长度就是什么呢？是不是就应该是咱们的这条边和这条边？哎，就是一个垂直的嘛，这条边和这条边啊，平方相加，再开根，哎，就是咱们的 p a 的 长度了，哎，那这条边啊，我假设这点是 o， 那 a o 这个长度是多少呢？ 是不是刚好等于咱们的这个边长 a 啊，对不对？因为它是正六边形嘛，所以题目中这个啊， a o， 它其实就是 a 方，哎，咱就是 a， 那 我们要求的是 a 方加上，哎， p o 的 平方， p o 就是 咱们的高，哎， h 的 平方，哎，我们 p a 啊，它是等于这个的，那我们怎么去求它的最小值呢？哎，很明显啊，我们要把它先统一啊，先统一换成一元的一个形式， 那我换 a 啊，我换 a， 因为 a 方直接就有了，那就是十六除以 h 加上 h 方，哎，开根就是咱们的 p a。 好 了，到这一步啊，有的同学也不知道怎么算了啊，那你要知道啊，这道题他考的是立体几何，哎，也不仅仅是立体几何，我们中间这个部分怎么做呢？ 哎，用函数了，我就令 g h， 它是等于 h 分 之十六加上 h 方的，那我 g， 哎，对 h， 求倒啊，那就是负的 h 方分之十六加上二 h， 哎，那给他通一下啊， h 方分之三二， h 的 三次方 减去十六，哎，那很明显啊，当 h 等于二的时候，哎，它取到它的一个最小值，那我们把二带进去啊，那这道题呢，就选 a 两倍根号三， 对不对？我为什么要讲这道题啊？就是因为。哎，咱们现在这种。嗯，你很难去想到立体几何会跟函数结合在一起，或者说跟求最值结合在一起，但是这道题他就这么去考了，所以咱们的思维是绝对不能固化的。好了，贪多嚼不烂，我们今天就先讲到这，下期再见。拜拜。

这是一道高考例题几何题，今天分享给大伙，希望祝大家一臂之力，因为有人私聊让我讲解一下这一块。这好像是一道曾经的四川高考数学真题中的填空压轴吧。 说实话，这种题一看就是高考真题的那股子味道，就是那么纯正，就是那种你看着很熟悉，看着自己好像会做，但做不出的那种感觉，不管是知识点，综合考察，还是给人的感觉 就是那么正，这就是高考真题的含金量。好了，言归正传，我们基本思路就确定了，要间隙， 当然也很好见，因为给的太明显了，甚至都告诉垂直了。但是如果是大题的解析，几何肯定不会告诉我们的， 需要你证明垂直才能去间隙，没有证明说明凭肉眼间隙扣两分是必然的。一般这一步设计安排有两分的，有很多同学忽略这个环节，直接给我间隙的， 间隙之后，随之点都表示出来了，线段也就是表示出来了。这基本操作我们就简单跳过讲关键环节。第一个关键点就是设边长，我们要聪明一点， 因为有终点我们就设边长二，那终点就是一，这样就计算会方便太多。有很多同学死脑筋就是不上道，习惯设边长为一，然后终点二分之一，最终就是在计算这条道上给自己增加很多拦路虎麻烦。 第二个核心环节就是求最值，在这里就必须反复重复一点，最值一定要谨记这句话。最值跟定义域息息相关，好多人算着算着就忘了它的存在，所以大家把定义域最好每一步都旁边标注出来， 接下来就是平方去根号，然后其次化除以 t 的 平方化分子为一分母，就出现我们熟悉的二次函数求最值模式，只要把定义域熟记于心，答案就呼之欲出了， 所以也就是 t 等于两时有最大值为五分之二。我们就讲完了，祝大家能有所收获。

新高考一卷的立体几何可以说是花样各异。二零二三年长方体直接间隙。二零二四年给二面角让你球边长，二零二五则是球外接球。哪一道才是合你胃口的菜呢？

今天开始我们将进入一个全新的章节，例题集合。例题集合在我们高考中大概是占了二十分左右的分值，那么希望考到一百二十分以上的同学们呢，例题集合是一定要拿到满分的。 我们来看一下例题集合，我们首先要从几个方面来学透它，那么第一个就是我们需要去了解我们的空间几何体，也就是我们今天这几个所需要做的内容。 那么第二节课呢，你需要了解我们空间几何体之后，你就需要知道它的平行与垂直关系。跟我们初中一样，我们初中在平面内去研究了平行与垂直，那么我们在立体几何里面呢，也要去研究平面内的平行与垂直的关系。 第三个模块就是空间中的角度问题，这里的角度呢，他可能就不再是平面内的角了，比如他问你直线 a、 e、 b 与我们的直线 c、 e、 c 这两条直线所形成的角度为多少？ e？ 或者是问你啊，我们的 b、 a、 e、 c 这个三角形，这个面与我们上面这个 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d、 e 这个面所形成的夹角又是多少？那么最后一个模块呢，我们就可以考虑到我们的空间向量 与间隙法，去解决我们前面的平行、垂直以及角度的一些问题。我们的空间向量以及间隙法，它就是利用一个工具去解决我们前面的两大核心问题， 花了一点时间搞清楚我们高中立体几何所需要掌握的内容有哪些。那么今天我们来看到要讲的内容，今天我们要讲的东西有四个东西，柱体、 锥体、台体以及球体。我们今天的内容呢，主要是了解一下我们这些体的一些特征。首先我们来看到柱体，我们柱体是什么呢？首先它有两个平行的面，在这里我们的平面 a、 b、 c、 d 与我们的平面 a 一 b 一， c 一 d 一， 这两个面呢是平行的，平行之后我们去把它们对应的点呢，去连起来之后所形成的这个空间几何体呢？我们就把它称作为柱体，这里有几个新的 词我们要掌握。首先这是一个点，我们的 a、 b、 c、 d 的 四个点，以及下面的 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d、 e 这四个点呢，我们把它叫作为顶点，每个点都叫顶点。然后我们刚刚说的两个平行的面，我们叫做底面， 这个上面的呢，我们通常把它叫做上底面，下面的呢那叫做下底面，其实都可以用底面来表示，然后另外的旁边的这些 一条一条的我们称，为什么呀？这里不再叫边了，旁边的呢我们把它叫做侧人，就是侧面的人嘛，那上底面与下底面这边的叫人吗？他也是人，但是他只不过不是侧人而已，明白吗？他每一条边都叫人，每一个点呢都叫顶点。 然后上下两个平行的面，我们把它叫做底面，旁边的这一些面称作，为什么称作为侧面，这个很好理解吧，就是根据他的位置来确定他的名字啊，这不是侧人，我们这里笔误啊，应该是侧面，我们这里写成侧面就可以了。 那注体它的表示方式又是哪一些呢？首先它的上底面有四个点，然后下底面也有四个点，所以我们可以把它写成 a、 b、 c、 d， 中间打一个横杠，然后 a、 e、 b 一、 c 一、 d 一 就可以了。当然你也可以用我们柱体的体对角线，比如我们这里连接 a、 c 一， 你就可以用 a、 c 一 来表示这个柱体，当然你用 b、 d 一 也是没有任何问题的，或者说 a、 e、 c 都可以用它的体对角线也能去表示这个柱体。 下面我们来看一下柱体有哪些分类。第一个分类标准，按照底面的多边形分类，比如我们第一个它的底面是四边形，第二个呢，底面是六边形，所以我们第一个就叫做四棱柱，第二个就叫做六棱柱。如果底面是三角形或者说三边形，我们不叫三边形吗？叫三角形， 那么叫做什么三楞柱，五边形呢？就叫做五楞柱，这是以底面的多边形来分类的。那么第二种就以位置关系来分类，我们按照侧楞与底面的关系来分类，看到第一种我们叫做直楞柱，什么叫直楞柱呢？ 它的侧轮与底面是垂直的，我们想想看，我们这里一个地面，然后我们这里有一根电线杆，竖直的或者说垂直的插在地上，那么像这种，我们就把它垂直叫做垂直底面，懂吗？所以应该能够理解，所以呢，我们这里是以它的关系来分类的，如果侧轮与底面垂直，那我们就把它叫做 呃，直楞柱，如果不垂直呢？我们就直接叫做什么斜楞柱就可以了。当然斜楞柱是我们的 柱体里面才有的称呼，这么多人柱，其中以四人柱考的最多，那我们来看一下四人柱它常见的模型有哪一些？首先第一个就是普普通通四人柱， 如果我们现在把两个底面分别变成什么平行四边形，那底面为平行四边形的话，它就变成了一个什么平行六面体。为什么叫平行六面体呢？首先它这条侧棱呢？每条侧棱都是平行的，对不对？然后我们两个底面呢？它又是平行四边形，所以我们就可以把它叫做什么 平行六面体，为什么是六面体？你数一数两个底面，然后呢？对面一个面，外面一个面，然后这里两个面一共是六个面， 然后我们再去把它垂直，如果我们的侧人去垂直了我们的底面，我们就可以把它叫做什么呀？直的平行六面体，这个当然不一定是正方题啊，平行六面体直平行六面体，仅此而已。 那在特殊一点，当它的两个底面为矩形的时候，那它变成了什么？我们常见的正方体对不对？ 底面如果为正方形呢？它就叫做正四棱柱。什么叫正四棱柱？你等会就知道了，底面是正方形，我们就把它叫做正四棱柱，我们等会讲锥体的时候，也会出现这个正这个字。好，那我们什么时候是正方？就是每条棱怎么样都相等的时候，就为正方题。 接下来我们来看到锥体，那么什么叫锥体呢？它很简单，首先有一个多边形的底面，然后其他的侧面呢？都有一个什么公共顶点的三角形，那么这种空间几何体呢？我们就把它叫做锥体。那锥体我们怎么去表示？首先它这个 点啊，这个公共的点，我们把它称作为顶点，顶点不一定是在上面的，它这个叫顶点，我们记顶点为 s， 然后下面为 a、 b、 c， 那 么这个锥体我们就可以把它写成 s， 然后以杠 a、 b、 c， 它就表示的是一个锥体，并且 s 呢，它是表示的是顶点，那根据底面的 边数的条数，我们可以把它分为三人锥、四人锥、五人锥，那它的区别是什么？唯一的区别就是底边的啊，底面的条数边数不一样。锥体它有一种特殊的存在，比如我们这三个图形，你会发现 它的底面，第一个它是一个正六边形，然后第二个呢是一个正方形，第三个是一个正三角形，并且它的顶点做一个竖直的线下来或者投影下来，它一定在我们底面的中心。像这种锥体我们就把它叫做什么 正追题啊，然后我们分别以它的底边的多少为命名。第一个它底边是一个六边，底面是一个六边形，所以我们第一个叫什么？叫做正六人追， 正六人追，那么第二个呢？相信同学们也能够知道，第二个就是正四人追，第三个就是正三人追，正三人追他也可以叫正四面题，有几个面，一个面，然后旁边有三个面，所以我们可以把它叫什么？正四面题也表示的就是我们的正三人追。 棱柱以及棱锥的定义就是这些，下面我们来看到圆柱、圆锥以及球的一些概念，那么圆柱圆锥呢？我们通过旋转的定义来理解它， 圆柱它是以我们矩形的一边为轴，然后去旋转所得到的一个空间几何体，它呢就叫做圆柱。那我们怎么表示这个圆柱呢？ 我们分别以两个底面的中心 o 一 以及 o 来表示，那么它就可以写成圆柱， o 一 o 就 可以了。圆柱呢，它这里有几个新的定义，首先它这旁边的这条线，我们把它叫作为母线， 它只要不是垂直于我们这条轴的任意一条线，比如我们这边一条线，然后这边一条线呢，都叫做它的母线，它侧面只有一个面，对不对？因为它是一个整体嘛，所以我们把这个旁边这个整体的面呢，同样也是叫做侧面，跟前面一样的，我就不再书写我们的圆锥，怎么叫 圆锥呢？它是以我们直角三角形的一条直角边为轴，然后去旋转所得到的一个空间几何体。我们的圆锥可以写成 s o， 以顶点于我们底面的中心来表示的是圆锥，同样它旁边的边，我们也把它叫做母线，然后呢，它旁边的这个面，我们同样把它叫做侧面。最后一个球球我们怎么去理解？那圆我们是说平面内 任意一个定点的距离都相等的一个形状，是不是我们就把它称作为圆？那么球呢，就是在空间内到我们球心这里，应该是说任意的距离都是相等的，我们就把它称作为球，只不过是从二维变成了三维，仅此而已。 最后我们再来看到人台以及圆台这两个几何体，他是怎么来的？我们的人台呀？他其实补全之后就是我们的人追，截去一部分之后， 就得到了我们的人台。这里呢，它是一个人追，我们把上面这一部分截去之后呢，它就变做了我们的人台，那么人台怎么表示？同样跟我们的助体表示的方式是一样的吧，它可以用 a、 b、 c、 d， 然后呢一杠 a 一 撇 b 一 撇 c 一 撇 d 一 撇来表示。圆台呢，它其实也就是通过我们的什么圆锥把我们去截得一部分所形成的空间几何体， 我们把上面这一部分截掉之后，就得到了我们的圆台，那么圆台我们怎么去表示？同样用我们上下两个底面的中心来表示，它就可以表示为圆台 o o 一 撇。 那么到这里呢，我们今天要讲的这一些空间几何体的概念，相信同学们都应该能够了解。看到一个例题，来帮助理解一下我们前面所讲的一些概念。看到第一个 侧面是全等的等腰三角形的人椎是正人椎，那么相信同学们理解起来是比较困难的，我这里画了一些图来帮助同学们辅助一下。第一个图你看一下，首先呢，我们这里的所有侧面这个面，以及我们这里的面，还有底面呢， 就是最里面那个面哈，我们不叫底面，应该叫里面那个面，他是不是都是全等的等腰三角形，但是你看看他是一个正人追吗？我们正人追的要求是什么呀？首先底面你得是一个正多边形，并且呢我的顶点他投影下来 在底面的中心吧，所以很明显我把图画出来之后，那么同学们肯定能看出来，第一个就错了，第二个侧人都相等的人追是正人追，侧人都相等的人追就是正人追吗？ 我们这里只给了一个什么要求啊，侧棱他都是相等的，那我们现在随便画一个侧棱都相等。好，这是侧棱，然后呢，这个也是侧棱，然后我们再画一条侧棱，长度是一样的，他只要要求对不对，那我们把长度画成一样就可以了。 那我们来看一看他这个正棱锥，他这个棱锥是不是正棱锥？我想问一下，你的侧棱只保证了长度相同吗？你只能说这三条棱他的长度相同吧，所以 第二个我们也是错的。然后再看到第三个，他说底面是正方形的人追，一定是正四人追，底面是正方形，那我们还有一个要求是什么呀？我们的顶点的投影呢？一定要在什么底面的中心？那我们来画一下 里面。首先我们就画一个正方形啊，这里的画法是斜二侧画法，我们后面会讲，你不能直接画成一个正方形啊，那如果我们这个人追呢？他斜过来可以吧？我们斜到这边来哦，我们去往旁边斜，画到这个地方，然后呢，我们这条边在这里，这条人， 然后接着往下画，我们把它画完之后，你会发现呢，它顶点的投影并不在我们底面的中心，对不对？所以呢，第三个很明显也是错了，然后再看到第四个正四面体，就是正四人追。我想问一下，正四面体我刚刚还特意讲到过吧，四个面，你看看这个 正四人追，假设这是个正四人追，你看他有几个面，底面一个面，然后侧面的一个、两个，三个，侧面有四个面吧。所以正四面体他其实应该是正三人追。我们刚刚才是不是特意讲到过，看到第五个顶点在底面上的投影， 既是底面多边形的内心，又是底面多边形外形的，人追必是正人追，我们来好好看一下这句话， 顶点他在底面上的投影，那么这个投影又是这个多边形的内心，又是这个多边形的外心，说明这个多边形怎么样？他是两心合一，外心也在这里，然后呢？内心也在这里，说明这个多边形 一定是一个正多边形嘛。然后顶点的投影呢？刚好在这个内外心上，所以第五个就是对的。这里我们选到这里，希望同学们对前面的一些概念能够有所了解，我们下期视频再见。

管安玛卡巴卡。来，咱们今天讲一道这个立体几何异面直线所成角的这种题啊，你看它点一个正方体，然后它是异面直线啊，两个异面直线所成角的大小呀，所成角的正弦值与弦值啊。这种题怎么做？第一步要平移 啊，平移啥呢？就是你给这两条线，你通过平移让他俩挨住，有交点了啊，这个线通过平移让他俩有个交点。 然后第二步啊，把这个线往起一连，连上以后你就得到一个三角形，那这个角的余弦值就能用这个余弦定里 cosine 就是 a 方加 b 方减 c 方除以二 a b 嘛。啊，把这个三个边的值一算，然后往里一带就行了。 来，我们看这道题啊，他说意面直线 b， e， c， b， e， c 这根跟 e、 f 这根现在求它俩所成角的，那我现在先平移，你看，我不管这个 e、 b， e、 c 往哪移，好像都挨不着， e f 就 挨不着，所以 e、 f 给它平移到这，哎呀，有点歪了 啊。 e、 f， e 跟 f 都是中点，所以 e、 f 能平移到 b、 d 这，然后这个 b， e、 c 是 不是能平移到这个 a、 e、 d？ 哎，这就我平移完以后，我现在要求这个 b， e、 c 跟 e、 f 它俩的，嗯，角大小，也就是求这个角的角大小， 对吧？就平移，然后得到三角形，把它连起来，得到了一个三角形，得到了。我把这个拿出来看这三角形，你看这三角形是 a， e， d， b 这个三角形，那你现在看，我要求的是小 d 这个位置， 就是最终我要的这个角大小，我最后要求的是它，那我们来看边吧，来看这个 a、 e、 d 这条边， a， e、 d 这条边，不就是左边这个面的这个对角线吗？那如果整体这个正方体，它的边长是一的话，那这个 a、 e、 d 是 不是根号二？ 然后这个 b、 d 是 底面的表现，也是根号二，然后这个 a、 e、 b 是 正面，就正前方最前面这个面，它的表现，它也是根号二。你会发现这是一个等边三角形，所以直接选个六十度就行了啊。那这种题有的时候可能不是等边，你要算这个的话，就是它的平方加它的平方减它的平方除以二它，它去算这个值。 来二十五题看看啊，正方题里边 e、 f 是 终点，那 e、 f 这根边跟 a、 e、 d e a、 d、 e 这根边，现在求它俩所成角的大小，还是挪对吧？先挪 e、 f 一 挪挪到 a、 b 这了， a、 e、 d 一 挪挪到 b， e、 c、 e 这，哎，它这一挪不就有交点了吗？所以最后求这个角，就是求这个角 b、 e 的 大小，那我们把这个三角形给它拿出来 啊，这个 a、 c、 e 一 连，对吧？给他拿出来，这是 c、 e， 这是 b， e， 这是 a， 那 来看现在这个 b、 e、 c、 e 如果正方体的边长是一的话，那 b、 e、 c、 e 就是 一，然后这个 a、 b、 e 它就是正面前面这个面的表线 a、 b、 e， 所以 它是根号二。 a、 c、 e 是 体对角线，就是斜大角的那个表线，正方体的体对角线就左前跟右后嘛， 所以它是根号三，那一看，这不就是一个。求这个 b， 它不是直角吗？一方加根号二方等于根号三的平方，你也可以选四 d 啊，九十度直接出来，你也可以用个预先定理。嗯，一方加上根号二的平方，减去根号三的平方除以二乘一乘根号二，你会发现上面不正好等于零了吗？ cosy 啥时候等于零九十度的时候？ 那你有他不知道这个根号三是咋来的是吧？你看一下，我给你们说一下这个， 甭管是正方体也好，长方体也好，它的体对角线的公式，根号下长的平方加上宽的平方加上高的平方，这就是体对角线。那你看正方体，它长宽高都是一，就是一加一加一开根号，这不就根号三嘛，你看咋来的啊？你算一算，比如说，就拿这个图来看嘛，我把哎呀我把这个图来 看嘛，我把哎呀我把这个图来看嘛，我把哎呀我把这个图来看嘛，我把哎呀我把这个图来看嘛，我把哎呀我把这个图来看嘛，我把哎呀我把这个图来看嘛，我把这个体对角线 前面右前跟左后嘛，提对角线，对吧？大对角线，那这根多长？他是一，这根多长？他是根号二，这是个直角一的平方加根号的平方，这不就是根号三吗？这是提对角线。那你进入这个公式以后，甭管是长方体也好，正方体也好，要都能用。你看这个，比如说我这是三啊，然后这是二，这是一，那他的这个 体对角线就是根号下三方加二方加一方，因为这是一，这个三方加二，二方开出来就是这根，那这根的平方再加它，不就大斜对角线了吗？所以再说一遍，中心思想啊，求两根 意面直线的夹角。第一步，通过平移把这两根线弄到一个有交点的地方，你最终求的就是这个角，然后把它俩一连上三根线，弄到一个有交点的地方，你最终求的就是这个角，然后把它俩一连上三根线，弄到一个有交点的地方，学会了吗？

那年我双手插兜，不知道什么叫做别看答案，你能做对吗？这个题让我们求的是 三棱锥 p、 a、 b、 c 体积的最大值，那我们根据三棱锥的公式， v 等于三分之一 s h 可以 得到， 因为它的高是一定的，因为上下底面的高是垂直，它是固定的，所以我们现在的话，只要算出它的高，然后呢，根据它底面这个三角形 a、 b、 c 面积的最大值，就可以算出咱们体积的最大值。所以第一步应该是先算这个三轮锥的高，因为他告诉了你三轮锥外界球的表面积，那么可以用咱们外界球的表面积就是 s 等于四派 r 的 平方就等于 五十二 pad， 这样的话，我们可以算出外接球的半径就是根号下十三，因为它这个屁在上面这个圆上运动，然后呢 abc 在 下面这个圆上动，但是呢， 你不管怎么动，你还得满足这个三棱锥的表面积永远是定值五十二块，所以我们就可以得到一个结论，这个三棱锥外接球，也就是这个圆柱的外接球，因为只有这样上下底圆， 它的上面所有的点都在这个外接球的球面上，所以它的屁不管到哪，它组成的三棱锥的 表面积他永远是五十二派。所以的话呢，那我们就可以把这个圆柱的外接球画出来。现在我们可以发现这个三能锥外接球的球心刚好就在这个 o 一 o 这个直线的中点部分， 比如说是 q 点，因为只有在这一块的时候，他到上下两个圆圆弧上的距离才能一样，那我们就可以算一下 这个 o 一 o 的 一半是多少？然后呢再乘以二就可以了，因为我们刚才算出来，它外接球的半径是根号下十三，所以 q c 就 等于根号下十三。我们现在要算一下这个底面 a、 b、 c 外接圆的半径， 因为我们知道这个 ab 等于二， a、 c， b 是 三十度，我们可以利用咱们的正弦定力， ab 除以 c 音角， a c， b 就 等于二，除以 c 音三十度就等于 二。 r， 我 们可以得到 r 呢就等于二，所以它外接圆的半径是二，利用勾股定律就可以得到。 o， q 就 等于三， o o 撇就等于二倍的 o， q 就 等于六，这个 o、 o 撇的话，那也就是咱们三轮锥 p abc 这个体积固定的高。现在的话，我们就需要去算一下这个 s 的 面积什么时候最大，然后把下面这个底面可以给它拿出来。 那我们这个 abc 在 运动的时候，什么时候它的面积最大？这个 ab 是 定弦，然后呢角 c 是 动角。 利用我们初三学过的知识点，什么时候这个 abc 的 面积最大？在 ab 的 垂直平分线上，且过圆心与圆的交点上，所以我们就可以把 c 放在这个地方。角 c 是 三十度，我们呢可以连接 a、 o 和 o、 b， 那 可以得到 a、 o、 b， 它就是一个等边三角形，那这一段是一，这一段呢就是根号三，所以呢我们可以写出 s 三角形。 abc 面积的最大值就等于二分之一， ab 乘以， 这是根号三加二，等于根号三加二为 p， a、 b、 c， 它体积的最大值，那就等于三分之一， s h 就 等于三分之一，乘以六， 乘以根号三加二，就等于四加二倍根号三。这题最难的就是需要知道三能锥外接圈，就是圆锥的外接圈，那就简单多了。好，你学会了吗？