基础训练八下数学答案人教版第二十章

八下数学最难的十天练习计划，吃透稳拿班级前三！八下数学重要知识勾股定律的应用是常考常出的重点，所以老师专门整理成十天练习计划， 都是历年常考必出的真题，有助于同学快速掌握提升。家长快给孩子打印下来，每天练习两道数学，稳上一百一十加。

大家好，我是大哲老师，今天我们来看到人家把八年级下册第二十二章这里要看到的是函数，那么我们说函数 要开始接触了，万物皆变。看这边这里说了一个问题，就是说行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，那么依据这个之后，我们去研究运动变化现象中的变量之间的关系， 数学中逐渐就形成了函数的概念，那么我们通过研究函数的 研究函数它的性质，可以去更深入的去了解到现实生活中的事物变化规律。那么在本个章节中，我们可以通过具体的例子 认识常量和变量，去学习函数的概念和表示的方法。 我们在这个基础之上呢，还会用函数描述一些简单问题中的变量之间的关系，感受 函数在刻画变量关系和变化规律中的作用了，那我们针对这个关系我们来去了解到，哎，接下来 首先要去看到的是我们说的函数，它最基本的概念，函数的概念在这里提到一个关系啊，他说在一研究运动变化现象中， 我们是为了去描述事物的状态，我们经常会引用一些量，通过研究不同量之间的关系，未来去认识事物变化的规律。那么下面有几个思考题， 我们可以去思考一下。一汽车以六十千米每小时速度匀速行驶，那么匀速行驶啊，当它怎么样？当行驶的时间分别为一二五个小时的时候，我们说行驶的路程 会是什么样子的啊？那么气球它的变化喽，路程 分别是多少？那 s 随 t 的 值的变化而变化，那第二个也是一样的道理， 呃，会随它的变化而变化吗？那我们去综合研究，去看这题目的时候，要想到它的对应的关系式是什么，我们怎么去列这个式子？ 那么第三个、第四个我们可以通过自己的一些思考和寻找啊，根据公式来去反映事物的变化。那么在上面的这些问题中，我们发现了反映了这个物体怎么样？不同事物的变化过程， 那么各个问题反映的都是这个不同的，那么也就是说在整个过程中，我们要去研究探讨它的变化过程， 我们就要去了解到什么叫常量，什么叫变量。一般的在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为变量， 那么例如在问题一和问题二种，汽车行驶的速度， 电影票的售价是常量，汽车行驶的时间 t 路程 s 售出的电影票数 x， 票房收入 y 是 变量了。那么在这些问题之中，我们能够去快速把控的时候，就想到 不，我们说什么始终不变的量是为常量，数值发生变化的量视为变量。那么看到下面的例题一， 在这个例题中，他要我们去找出下列问题中的常量和变量，一，某市居民生活用水的价格为五元每吨， 那某户用来开始蹲，那月缴费用为 y。 第二个在乘地铁的时候， 公交卡对吧？刷一次存了多少钱？公交卡坐一次是多少钱？公交卡中余额为 w， 怎么去表示他的？找一找哪个是不变的，哪个是变量？那么像 刚我们看到的一和二的时候，就会发现生活用水的价格是常量，它某户的月用水量 x 和费用是变量， 你用的水越多，你搅的碎也就越越多喽。所以这两个是变化的，而不是说固定不变的，固定不变的是价格，所以它是常量。那么变量用水以及 他的用水的费用问题啊。那么第三个绳子的长度也是长量，矩形的边长和面积，他是一个变量的，那么所以这里只需要去拿捏住 长量是什么意思？变量很好理解，变化的量，长量呢？哎，稳持稳定不变的量的，那对应的练习可以去 做一做了。那思考题，我们说两个变量到每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？那么这种问题中去表示，我们可以根据公式喽， 它的变量之间的一些数量公式，我就能写出它的关系式。好了，上面每一个 问题中的两个变量，我们去看的时候，呃，当一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值已知对应了， 也就是说什么呢？呃，一个值他确定向哪的，那另外另外一个值的时候，我们是说，哎， 一个值取取一个定值的时候，另外一个它就变量就唯一的一个定值与它对应起来了，那这个对应起来的时候就要去看看，哎，我们来去找一找这种关系。一些 用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有没有上面的这种关系。 下面呈现的是一个呃，朝夕的一个关系图，那么根据这个图，我们能看到什么？能发现什么？也就是说它时间与它的朝高这两个变量符合什么样的关系？ 然后第二个存整，存整取的存款期限以对应的年利率是怎么来表示的？那么看到存款的期限与年利率 对吧？三六十二，二十四，三六六十，那年利率是没有变化，越来越高，时间越久，他的年利率也就高了。 那么一般的我们在一个变化的过程中，有两个变量， x 和 y， 并且对于 x 的 每一个确定的值， y 都有 唯一确定值和它对应，那我们就说 x 是 自变量， y 是 x 的 函数， 如果当 x 等于 a 时， y 等于 b 时，那么 b 就 可以叫做质变量 值为 a 时的函数的值。那我们去思考这些问题的时候就会想到，嗯， 它路程和时间、速度三者关系。我只需要用 路程等于速度等于时间这个关系来去做出，列出他的一些函数式，就能知道哪一些是自变量，哪一些是他的函数了数值了。 那么我们练习题给的也相对来说是简单，所以大家对着练例题提出的进行一个讲解了，那么 这边练习题就不多说了，我们来看到例题二，从上面的内容我们可以去知道啊，函数啊是刻画变量之间对应关系的数学模型， 很多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示，那比如说汽车油箱油五十油，气油五十升，如果 不再加油，油箱中剩余的油量 y 与行驶路程是什么关系，对吧？他说随行驶路程 x 的 增加而减少，那么以及平均耗油量为零点一升每千米， 那么写出它关系式只需要 y 代表什么？ x 代表什么？零点一 x 又代表什么？ 那我们看到行驶路程 x， 它是自变量，那油箱中剩余的油量就是 y， 四 x 的 函数 y 等于总共是五十，减去零点一 x 减去消耗，这就是剩下的 一个油量喽，那也就是说它和它的观测值能够正确地表达出来。那么第二个指出自变量 x 的 取值范围， x 的 起始范围，那也就是把它化解，看看 x 的 范围在哪里了。这里的 x 注意了，是它的路程啊，是路程，那第三个两百，行驶两百，那我就把它带带进去喽，带进去两百喽，看看还有多少 升汽油就行了。那么他也说到了什么是指叫做图解函数的 这个形式啊？函数的一个形式，这种式子像什么样的式子啊？像五十 y 等于五十，减零点一 x， 这样用关于自变量的数学式子去表示函数与自变量之间的 关系，是表示函数的常用的方法，这种就是它的函数的解析式。 那么我们可以按照他的概念，一步一步去把下面那些题都写出来， 写完之后要检检查一下，看看上面提到的这些数据能不能带进去， 能不能符合啊，这就是我们说的这个部分的，所以这部分更多的是打下基础，是让我们去理解，去了解到他的一个整个的流程啊。当当当，在这里的时候要注意刚学的时候那几个概念， 质变量、音变量，以及我们说的他的一个关系式函数的解析式，这些都要能够去把握清楚。 练习部分我们就不再提了，那么这边还有个图说数学史，可以有空的时候去看一看啊。这一块的话我们就不再不再说了，我们作为一个信息点 自己去了解清楚了，那么下一节课要说的就是函数的表示怎么样？表示函数？函数是什么，对吧？通过什么关系的去表述啊？好了，这就是今天中午的家长课堂，就到这里了，拜拜。

hello， 大家好，我是大哲老师，今天我们看到的是菱形，也就是说在这个战局中他是最为关键的，最重要的。我们前面已经研究了 角满足特殊条件的平行四边形矩形，那我们再来看看边满足特殊条件的平行四边形，我们来看到先是有一个平行四边形， 他说一组邻边相等，他的一组邻边相等时，这时的平行四边形也是特殊的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形， 所以在这个时候我们看到菱形，它的特征是由一组对边有一组邻边，有一组邻边相等， 那平行四边形从这里出发的时候，我们就能看到菱形，哎，特殊性特殊，在它的边是菱边相等的四边平行四边形就能得到是菱形了。那么菱形也通常会 我们用来日常生活中去做，一些漂亮的窗格，中国结活动的搭架等等，挂架呀等等，都有它的一些身影，包括窗花上的一些呃 图形。那我们能看到对于举行的研究，我们来看到呃，举行的时候我们也研究了它的性质和判定。那么现在我们看到菱形， 看到菱形的时候，我们也是重点放在研究菱形的性质和判定。那么菱形首先我们说了它先是平行四边形，它的一组菱边相等，所以才推出它是 菱形，那这个时候平行四边形，所以它就平行四边形的所有性质，但由于它的一组菱边相等， 他是否具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？比如说平行四边形，有的他也有，有没有平行四边形，没有的菱形有呢？ 那我们按照按照菱形的边角对角线出发，我去研究可以发现， 而且可以去证明哦，菱形还有以下两个性质，第一要说菱形的四条边都相等，第二，菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角，那么也就是说他的两条对角线是互相垂直，而且每一条对角线注意了，是平分一组对角， 那么我们可以通常发现，菱形他是轴对称图形，他的每条对角线所在的直线就是他的对称轴喽。那么我们看到下面的一个图形，在下面的时候，比如说这个图形 容易发现，在这里的时候啊，它的对角线和平形四边形对角线相比，菱形的两条对角线把菱形分成了四个相等的 直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对相等的三角形。 所以在这里的时候，我们说，呃，去得到他有关的一些性质定律的时候，抓住他的最大的特征， 对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形呢，他只是一般只被分成两对全等的三角形了。那么我们左右边提出了一个， 你问有菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？那么它对角线的长度告诉我了，那么比如说告诉我的长度，那我这一段知道，这一段知道 面积不也就能求出来吗？先求一个，再乘以四，因为他四个都是全等的，这是说到的应对这个提问，让我们来具体的看到练习的 例题的例题三，在例题三中注意它求两条小路的长度，哎，这是个菱形喽，那就是二十米喽，这也是二十米喽， abc 六十喽，那么修成这两条， 说明六十，它平分那一个就三十咯，三十二十，这就直角咯，这就六十咯，三十度数对的直角边等于斜边的一半咯，所以 a o， 那 就等于十咯。那么要去求 bo， 用什么勾股定律，勾股定律求出来 啊？我们例题中设它相交于 o 点，那么是菱形，那么垂直也能是九十度啊，九十度出来三十度，三十度所对的直角边，斜边的一半， 对完之后，用勾股定律求出 b、 o， 然后花团的两条小路，那就是从 求出一半之后乘以二，求出一半，再乘以二，就是他的这个路程了，那么花他的面积啊，花他面积，我只需要求出一个三角形在 乘以四，那就是他的菱形的面积了。所以在这个时候，我们看他的一些特征，也是能够很直观的带来给我们想，哎，我们要求的内容是什么？我们怎么去应对他？ 同样的，我们来看到练习的，那么练习题的时候，我们先看前面的啊，练习题他说第一问，第一题 练习的部分我都稍微提一下了啊，它是一个菱形，对角线 a、 c、 b， d 相加于 o， 那 么画一个菱形相加于 o， 然后去求出 a、 c， 那 么比如说我们随便画一个啊， 针对第一题，我们随便画一个，比如说这个啊，那么对角线 a， 那 就是 c、 b， d、 o 好， 那么 a b 等于五， a o 等于四，那这里直角三求出来，立马就出来了。 所以在这里的时候，我们取一实去看呢，其实结合它的现有的性质，是很快就能推倒出来的。那么第二个 a、 b、 d 的 周长，那就是这个，这个，这个， 而且角的关系告诉我们了，对吧？立马根据菱形的性质去推出来喽。那么第三题，他说 a 是 等于六十度，注意 a 在 这里，它分别是中点、中点、 中点，那么在这里的时候， e、 f 是 中点，那感觉也没用呢，这是个菱形，那我能不能去连接 a、 c 啊？ 那 e、 f 等于 a、 c 的 一半喏， a 等于六十度，三十度喽，那等于九十度就出来喽。所以我们去求证的时候，一步一步推，按性质去推导，那么对于我们来说， 他的练习就会显得简单了，只是这套用我们的公式了。那么接下来我们去研究菱形的判定。有菱形的定义，我们可以知道有一组菱边相等的平行四边形是菱形， 那除了这个方法，还有没有其他的方法去判定他呢？是一个菱形，跟我一样的，按照 研究前面的一些平四边形、矩形的方法，我们去研究菱形的性质定理的时候去看看，反过来，你说它命运题，看看是否成立喽。 那我们思考这个问题，呃，菱形，它是对角线互相垂直的平行四边形，那反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 我们同样的菱形是四条边相等的四边形，反过来，唉，他是吗？对吧？四条边相等的四边形是菱形，那么我们看到可以通过我们先猜想，猜什么？对角线 互相垂直的平行四边形是菱形，所以一定是互相垂直才能是他的菱形。第二，四条边相等的四边形是菱形， 四条边相等的四边形是菱形，那么四条边相等四边形啊是菱形，所以这两个也显得尤为关键。也许我们要去了解到这个特征是什么，那我们就要关注 哎他的一些性质和判定定律了，那我们来看到立体四， 记住哦，这些讲到的这些判定定律，我们一定要很熟练哦，熟练到自己随时都能把它调出来使用，那么这样我们才能够去说你掌握了这一块的知识，一定是求证 a、 f、 c e a f c e， 它是菱形，它是菱形，我们可以求什么证？我们看到题干分析已知 a、 c 垂直 e、 f， 那 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，那也就是说还需要去证 a、 e、 a、 e、 c、 f 是 平行 c 的 四边形，那证出来之后，那 a、 o 和 c o 相等，那就需要证 e、 o 和 f o。 所以 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 e 平行 c、 f， 所以 角一等于角二， 角一等于角二，又因为 a、 o、 e， 所以 a、 o、 e 和 c o、 f、 c、 o、 f 是 等于相等的， a、 o 等于 o c， 所以 这两个三角形 a、 o、 e 和三角形 c、 o、 f 是 全等，它们全等 推出什么？推出来的是我们的 e o 和 f o， e o， f o 相等，而且 a c 和 e f 又是垂直的，所以 e o 等于 f o， 而有一个是 a c 垂直 e f， 那 么我们就知道利用的是对角线互相垂直的平行四边形，它是菱形， 所以我们能够快速得到这个结果了。好，我们说这些判定判定完了之后，我们就要去呃，例，例题也看了，那我们就要去看看练习题， 比如说这里带入的四个三个练习题相对来说都比较简单，大家可以去自行正一正对角线 a、 c、 b、 d 相交于 o， 且互相垂直平分，那就很明显了，又垂直又相等，所以 用什么啊，对角线互相垂直平分的啊，那么第二个第三个就不多说了，可以去试一试。我们看到这样就菱形看起来疏散的知识点很少，但实际上我们家长如果再去给 孩子讲的时候，就要注意这一块的性质，定力特别重要，很多人会搞混，那么在这里说可以通过什么，通过画图记忆去 分类，把它整理出来，看看哪一个是相对来说更好记的，记成什么样子的啊，我们就要能够去把它的特征拿捏清楚了，这是说到了他的这个， 那么这个章节小节部分呢，我们通常呢也是会把呃他和综合题放在一起了，那么综合题放在一起的时候，我们就要注意喽，我们去解 这些大题就要用到它的时候就能够做到，哎，看到大题呢，理解到为什么要这样去做，这样做的依据什么？我们菱形有哪一些 明显的特征呢？那下一章节的话，每个小节这个第三个小节是讲的一个正方形的，正方形的话相对简单一点，那么我们也是按照一小节一小节录制的要求啊，给大家讲， 那今天中午也差不多了，就是讲到菱形，菱形最大的几个特征，我们可以一起来回顾一下，叫做菱形的判定定律，对角线互相垂直的平行四边形叫做菱形，还有呢四条边相等的 四边形也是菱形，我们去判定它的时候，按照这个来判定，应该能够很快的得出它是一个菱形，那么菱形 还有什么性质？菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线它是平分一组对角了。 所以中午的时候我们花这个时间呢，跟大家一起去把课本看清楚，读明白了，那我们去理解的时候，就能够把它抓住 本小节的核心，应用在我们的练习以及解答题之上。好了，这是我们说到的这个部分，那这个部分就到这里了，拜拜。

八下数学最难的每日练习全部吃透，逆袭年级前三八年级下册数学记寸题。每日练习类型一，二次根式的乘除运算 类型二，二次根式的乘除运算二十题五到八 九到十六，二十五到三十二，三十三到四十。

八下数学计算题，每日一练，全部吃透。我拿班级前三八年级下册数学计算题每日练习，第一天例行一二次根式的乘除运算，二十题，一到四题。第二天，五到八题， 第三天，九到十二题第四天，十三到十六题第五天，十七到二十题第六天，二十一到二十四题 第八天，二十九到三十二题，第十天，三十七到四十题。完整版分享。

小柯，你看这田埂围起来的图形，四条边都连在一起，这就是四边形吗？对啊，小夏， 这就是四边形，平面内四条线段首尾连起来，围成封闭的图形，就是四边形哦，可是这两块田的形状不一样，一块方方正正，一块便是斜的，怎么都叫四边形呀？ 因为他们都只有四条边呀，方方正正的是矩形，两组对边平行，四个角是直角， 只有一组对边平行的是梯形，他们都是特殊的四边形。那平行四边形和矩形有啥不一样呀？我看着都差不多，你再给我说说。 你看两组对边都平行的是平行四边形，如果有一个角是直角，那就是矩形了，很好区分的。小柯，你看这个伸缩门的形状，是不是就是你说的平行四边形？对了对了，就是平行四边形， 他能伸缩，就是利用了平行四边形容易变形的特点呀。小柯，不管是什么形状的四边形，内角和都是一样的吗？怎么证明呀？ 很简单哦，你看画一条对角线，四边形就变成两个三角形，三角形内角和是一百八十度，两个就是三百六十度，所以四边形内角和都是三百六十度。 原来如此，四边形的知识这么有趣，谢谢你小可，我现在都懂了。不客气呀，小夏，咱们带着这些发现去课堂上再好好巩固一下吧。 边形也是一种基本的几何图形，今天我们来学习四边形的一些概念和性质。

大家好，这个视频是接着上一个视频，讲两个八下数学第二张的易错题型里的一种不等式与一三数图像的问题。 然后我这个资料里也分了三类啊，就单线、双线和隐藏线啊，单线就是只有一条线，然后双线两条线，隐藏线就是需要我们自己来画出一条线，本质上也是一种 双线啊。然后这个资料里啊，分了这个三大块啊，每一块都有一个例题，然后例题下面啊，还有这个专项的训练，来巩固一下，如果你这些题做会了，咱们月考考这种题就不会错了啊，我们先看一下第一种啊，就是单线题， 我们应该怎么做的啊？嗯，好嘞，给你一个函数，经过这个点，然后问你， k x 加 b 小 于二的几级为几 啊？像这类题啊，如果有小孩看不懂的话啊，咱们可以把这个问题改装一下， k x 加 b 小 于二， k x 加 b 正好就是 y 啊，这个重坐标相当于啊，嗯， y 小 于二啊，然后对应着这个 x 的 区域范围啊，那咱们看这个图就可以找到， y 等于二的时候，这个 x 对 应的是几啊？嗯，也就是这个 a 点啊， a 点 y 等于二，那对应着 x 啊，就等于负三啊，那咱们要的是负三的左边还是右边呢啊，看一下啊，这个 y 小 于二，是啊， 重坐标小于二，那就在下边了啊，你看老师描成红色的这部分啊，就是符合题意的啊，你看每一个点的范围，就是 x 小 于 负三啊，这个选项就出来了啊，那我们看一下第二类题啊，第二类题就是这个双线啊，双线啊，我们要记着一句话啊，谁的函数值小， 那这个图像呢啊，就是在另一个图像的下面啊，那我们把这个问题啊，就可以给它翻译一下了啊。嗯， k x 加 b， 那 不就是这条 y 啊，那这个 k 二 x 加 c 呢啊，那是不是就是这条 l 二啊？ 啊，咱区分一下这个？是啊， y 二啊，那就是 y 一 要小于 y 二啊，刚才老师讲了啊，谁的函数值小，谁的图像就是在另一个图像的下边啊，找到这个临界点啊，就是这个位置啊， x 等一的时候， y 一 和 y 二是相等的 啊，那咱们要的是 y 一 小啊， y 一 的图形在下面啊，那你就看一下啊，左边还是右边呢啊，那肯定是左边呗。啊，看一下啊，是这样的啊，嗯，这条是 y 二啊，这条是 y 二啊，这条是 y， 你 看， y 一 在下面是符合提议的哈，那对应着 x 的 范围啊，就是一的左边啊， x 小 于一啊，就完事了啊。然后第三类啊，第三类是隐藏线，就是少了一条线 啊，少了一条线，需要我们自己来补充一下啊。你看，嗯，你看这个啊，他过这个点 p 点啊， k x 加 b 啊，是这个 y 啊，那咱们就给它标成 y 一 呗啊， y 一 啊，那这个是啥呢啊，咱们可以设一下啊，对，设一下这个 y 二等于负 x 啊，那就是 y 大 于等于这个 y 二呗，然后 x 的 取值范围啊，那没有，咱补一下啊，这明显是一个正一的函数，而且要经过这个 p 点啊。嗯 嗯，就大概这个样子啊，这么个样子，这条线就是 y 二啊，咱们看好， y 一 是大的，那 y 一 的图像是在 y 二的上面啊。嗯，这个是 y 一 的，你看这个 p 点是临界点左边还是右边的啊？就一下子看出来了啊，在这呢。 嗯， y 一 在上面， y 二在下面，符合题啊，所以对应着 x 的 范围哈，你看这个对应的是负一啊，那就是负一的右边 x 大 于等于 负一啊，有细节啊，就是这个问题里有等于号。那咱们这个结论里也是有等于号的。好了啊，这就是这三类题啊，加油。

如果孩子的实力不够，他根本就看不出来这道题考的是什么知识点，因为数学最根本的学的是什么？大家 学的是斯文。如果你真的让他学知识点，或者叫背知识点的话，你知道初中数学要背多少个吗？你一共要背一千九百七十六个，但是 你要让他学数学思维呢？数学思维从小学到高中一共就五个，今年五个，明年五个，后年还是五个，所以这五个你早早的把它精通了，那么这类题是不是就能够 轻松拿下了？看我这道题，毕老师问一个所有人都能回答出来的问题，哎，一眼看上去，这道题是个代数题还是几何题？明显它是个代数题吧，但是这个代数题，你给我找一下初中所有的代数值点，哪个知识点能解决它？ 没有一个能解决。这个时候我们要用什么思维呢？对，我把代数问题几何化，这就叫做数形结合思维了。我为什么要几何化呀？ 开窍的秘密就在这，你想让孩子开窍，一定要教会他观察这个东西的特点。请问我要求的这个东西有什么特点？他是根号加 x 方吧。啊，你是 x 平方加上谁加上一一就是谁 一的平方吗？啊？那再来，这个是谁？外方，外方加九九是谁的平方？三的平方啊，这个是谁？这方？这方加十六十六是谁的方？四的平方？哎，各位，你给我回忆一下， 所有初中学过的知识点中，哪个知识点是平方加平方啊？是不是几何中鼎鼎大名的 勾股定律呀？勾股定律里面两个直角边的平方和就等于斜边的平方，说白了 c 方就等于 a 方加 b 方，那 c 就 等于谁？ 哎， c 它不就等于根号下 a 方加 b 方吗？所以想让两个平方加和再开放， 各位干嘛拿这两个分别注，直角边斜边就是你要求的，所以大家会了吗？哈哈哈，你不是让我求这值吗？一下子就顿悟来，第一个表示，挨个表示啊， 说，我是根号下 x 方加一方啊，怎么样，是不是有一条边是 x 哎，跟他垂直的这条边就是一啊，那么这条边就是谁 根号下 x 方加一，毕老师说清楚了吧，所以他就表示 a 到 p 的 长啊，那再来，那我这个就是一个边是 y， 一个边是三呗，是吧？哦，那 y 和三怎么画呀？ 看看已知条件有什么特点呢？已知条件，想让 x 和 y 夹在一起，各位，几何上两个边想夹在一起，必须让他俩干嘛 贡献？你稍微偏一点，不好意思，加不了一起去了，明白了吗？所以这个答案就在题上写着呢，你只要会观察这特点就行。 x 想加 y 好， y 一定要跟我贡献， 毕老师说清楚了吧。啊，那这个时候 y 还想跟三怎么样？垂直？垂直才有勾定力吧。所以啊，我们面临两个问题，往上垂还是往下垂啊？啊？显然，各位，你要但凡学过将军尾巴点，你就知道往上垂，你也得给我对称过来，对吗？那何苦费那事 呢，直接往下垂呗。所以这个边长但凡他得三，那这个边长就是根号下 y 方加九，所以第二段咱就表示出来了。那接下来第三段，我又得有一个边长是 z， 有 一个边长是四，对吧？这个东西怎么画？大家观察特点， x 跟 y 跟 z 怎么样？ 想加在一起？想加在一起就得共线，所以我把这条线延长一小段，让它等于 z， 让它等于 z 的 意思就是从 m 到 n， 整个就是 x 加 y 加 z 等于几 啊？等于六 m n 这条变长得六了啊，它不能变，那接下来我这一方得加四，如果 z 在 这跟它垂直来个四，这一段是不是没跟前两段连上啊？ 这个不太好是不是？哎，我们得跟他连上，因为你万一要连上呢？你看，然后你这三段加和想最短，是不是两点之间线段最短了？那关键问题是怎么把它连上，对吗？哎，各位，平移一下不就行了吗？你看一下啊， 说你这一段是 z， 嘿，我横着来一刀，我让这一段也是 z， 可以 吧？啊，说你想往下四个单位，各位，我就从这开始。 往下四个单位对我这题没影响吧？啊，你是 z， 你 是四，那我这个 q 到 b 的 这个长是不是就是根号下这方加十六啊？ b， 老师说清楚了没？哎，那么到此，各位，我要求的三个根号加和的最小值就转换成一段加一段加一段，三段边长加和最小二这些边长，你无论 x、 y、 z 怎么变，你就这两个点再变呗。 但是 a 到 b 的 横向距离是不是永远都得这个边长得几得六？那 a 到 b 的 纵向距离呢？这段有个一，这段有个三，这段有个四，一三四加在一起，这段永远都得几 哦，永远都得八，六跟八还永远都怎么样？永远都垂直，然后两点之间线段最短。永远都垂直，然后两点之间线段告诉我们六八 十，所以十就是咱这题的最小值，所以这类题是不是就轻松拿下了？那毕老师要问大家一下，数形结合思维只能解决购物定律和二次根式的题吗？ 不是吧，他是不是在各个章节中都能用？所以老毕才给大家强调，你要是学会了思维，你就能一通百通，无论题型有多少种，变化万变都在你会的其中，毕老师说清楚没？

八年级下学期不要心软，一定要让孩子坚持每周做一张小测卷，检测自己的学习成果，等到了第一次月考，你就知道他的基础掌握的有多好了。给新学期扒下的孩子们提个醒，一定要把每周学过的知识用周测卷再巩固一遍，到了第一次月考， 很可能直接冲进班级前三。动作快的妈妈早就给孩子准备好了再往的周末小册卷，他是专门为初二孩子加急出版印刷的，就让孩子从现在开始坚持一周一册，查缺补漏，等到考试你就会知道他的基础有多扎实。这套试卷他和孩子的学习进度完全同步。比方说语文，每周学两课， 做一张试卷，它能够及时的巩固孩子一周所学的内容，效率非常的高。而且每张卷子的考点整理的非常全面，你比方说字词、句子、文言文默写、课外文阅读等等，只要是课本上学过的考试，有考到的他都能让你练到。还有月考卷和期中期末卷，全都 紧贴考试趋势汇总的新情境，新考法，开学你就让孩子跟着他的复习步骤走，一整个学期的成绩都不用愁了。现在下单额外赠送一套单元检测卷给八年级的孩子准备起来。

八下开学考必考点，二次根式，今天他来了一个视频，带你学透二次根式的全部必考点，全程干货满满，学不会尽管来找我哦！ 首先来看第一个考点二次根式的定义，什么叫做二次根式呢？就是我们把形如根号 a， a 大 于等零的式子叫做二次根式。在这里我们要注意第一个点， 就是必须要带有二次根号，就是这个符号。第二个就是被开方数 a， 在 这里要满足 a 大 于等于零，这是第二个条件，所以只要有这两个条件存在，那么我们就可以把这个式子叫做二次根式。 这也是我们判断二次根式是否有意义的条件。在我们做题的过程中，他通常都带有二次根号，所以我们在判断是否有意义的时候， 我们只需要判断什么呢？只需要判断这里的 a 被开方数是否是大于等于零的。另外我们要注意的一个点就是它的整体结果根号 a 也是大于等于零的， 这也是二式根式的一个性质，就是双重非复性。 这里指的就是首先被开方数 a 大 于等于零，整体结果根号 a 也是大于等于零的。好，接下来我们再来做两道题目。第一题，他说若代数是根号线 x 减三分之二有意义，则 x 的 取值范围是多少？ 我们前面已经学了。在判断代数式是否有意义的时候，那么首先要判断这个二至根式的被开方数是否是大于等于零的，那么这个被开方数就是 x 减三分之二，我们只需要使它大于等于零就可以了。 我们看一下，在这里呢，这个分式实际上就是一个数除以另外一个数，那么首先这个二是一个正数，那么 x 减三的正负我们是不知道的， 那么如果两个数都是正数的话，那么这个结果相处一定是一个正数，那么如果 x 减三是一个负数的话，那么这个数的结果一定是小于零的，所以我们就要令 x 减三大于等于零， 那么 x 减三它可以等于零呢？显然是不可以的，因为 x 减三它在分母上面，所以我们就要排除掉 x 减三是不可能等于零的，那么我们就可以得到 x 减三大于零，那么就可以推出 x 是 大于三的，所以我们最后的它的取值范围就是 x 大 于三。 再来看第二题，他说若根号线六减二， x 在 实数范围内有意义，那么 s 的 取值范围是多少？ 那么这个就相对来说比较简单了。我们把六减去二 x 看成一个数的话，那么这个就是它的被开方数 a， a 要大于等于零，那么也就是六减去二 x 大 于等于零， 那么也就是二 x 小 于等于六， x 小 于等于三，所以我们直接就可以得到结果， x 是 小于等于三的。 第二个考点，二次根式的性质，首先第一个就是二次根式的双重非负型，那么这个也是很好理解的。首先他的被开方数 a 是 大于等于零的，那么这里的二次根式整体也是大于等于零的， 所以只要这个二次根式出现，那么他就满足这两个条件。第二个和第三个性质是比较难理解的。我们首先来看第二个，他说根号 a 的 平方等于 a， 那么当我们看到这里的根号 a 的 时候，我们就知道他是一个大于等于零的数，那么 a 也是大于等于零的数，那么他如果开根号再平方的话，很显然他就等于 a， 那 么另外一种我们该如何理解呢？我们也可以这样来看， 我们知道根号 a 的 平方，它就等于两个根号 a 进行相乘，那么两个相同的数开根号再进行相乘的话，那么它就等于这个数本身。所以当我们看到一个二次根是在开根号的话，那么它就等于这个被开方数 a。 再来看一下第三个形值，他说 a 的 平方开根号就等于 a 的 绝对值，并且当 a 大 于等于零的时候，那么这个数的平方开根号就等于 a， 当小于零的时候，这个数就等于负 a， 这个是如何得出来的呢？我们来看一下，假如我们给 a 负一个值，我们来看一下，当 a 等于二的时候， 那么 a 的 平方开根号很显然就是二的平方再开根号，那么他就等于四，再开根号就等于二，那么这里的二指的就是 a 的 值，所以呢，我们就可以得出，当 a 大 于等于零的时候，那么这个数就等于 a。 我 们再来看一下， 当 a 小 于零的时候，假如 a 等于负二的平方再开根号， 很显然他就等于根号线负二，再乘以负二就等于根号四，那么他就等于二。那么这里的二和 a 之间有什么关系呢？很显然就是在 a 的 前面加一个负号就等于负 a， 所以 当 a 小 于零的时候，那么 a 的 平方开根号就等于负 a。 另外我们在记的时候也可以用这种方法，就是一个数 开根号，他在平方的话，那么在外围平方就等于这个数本身，那么假如他平方之后再开根号的话，那么他就等于 a 的 绝对值。我们只需要记住一个数的平方肯定是一个正数，所以呢他就等于被开方数， 那么这个数的平方再开根号的话，那么他就不一定了，所以呢，就要等于 a 的 绝对值，同学们也可以用这种方法尝试记一下。好，接下来我们再来看两道题目。 首先来看第一题，他让我们化简根号三减五的平方再开根号，很显然他是一个 a 的 平方，开根号 很显然就等于 a 的 绝对值。那么到底是等于 a 还是负 a 呢？取决于 a 的 符号，当 a 大 于等于零的时候就等于 a， 当 a 小 于零的时候，那么就等于负 a， 所以 我们首先判断的就是根号线三减去五是一个正数还是一个负数。我们知道 根号线三，那么他是大于一小于二的，所以如果在他的基础上再减去五的话，那么很显然他就是一个小于零的数。 既然是小于零的数，那么很显然这个数的结果就要等于负 a， 所以 就等于负的根号线三减去五就等于五减去根号三，那么这个就是它的结果。我们再来看一下第二题，第二题他说实数 ab 在 数轴上的位置，如图所示， 他让我们求这个式子等于多少，我们可以看到这是两个二次根式进行相加的情况，并且这两个二次根式的形式是一样的，都是 a 的 平方开根号， 那么这里的 a 指的就是这个小 a， 那 么这里的 a 呢，指的就是 a 加上 b， 所以 我们只需要判断这里的 a 和 a 加 b 是 否是大于等于零的，或者是小于零的。 我们来看一下，通过他给我们的这个数轴，我们可以知道 a 是 小于零的， b 呢是大于零的，并且呢， b 到圆点的距离是要大于 a 到圆点的距离的，所以呢， b 的 绝对值一定是大于 a 的 绝对值的， 那么我们首先通过 a 小 于零，那么就可以判断出第一个数 a 的 平方开根号，他是等于负 a 的。 我们再来看一下 a 加上 b 的 符号，首先 a 是 小于零的， b 是 大于零的，并且 b 的 绝对值要大于 a 的 绝对值， 那么 a 和 b 是 两个不同符号的数，那么当两个不同符号的数进行相加的话，那么最终结果的符号就要取决于绝对值较大符号， 那么绝对值较大的数是 b， 所以呢，我们就要取决于 b 的 符号，那么 b 是 一个大于零的数，所以呢， a 加上 b 一定是一个大于零的数， 那么既然他是一个大于零的数，那么这个数的平方再开根号的话，很显然就等于这个数本身就等于 a 加上 b， 所以 我们最终的结果就是负 a 加上 a， 再加上 b， 最终就等于 b。 第三个考点，二次根式的运算。首先来看加减运算，就是先化简成最减二次根式，再合并同类二次根式。什么叫做最减二次根式呢？假如根号线 a， 那 么这个 a 是 被开方数的话，那么首先第一个条件就是 a 要不含分母，这是第一个条件，第二个条件就是这里的被开方数 a 不 含被开得进的音式。 什么意思呢？我们来看一下。假如给你一个数，根号线二分之一，在这里二分之一，它是一个分式，是含有分母的，所以呢，要排除掉。假如它给你一个根号线 a 的 平方，那么在这里呢，根号线 a 的 平方，它是等于 a 的 绝对值的， 这个数它是可以再化减的，所以呢，它也是不是最减二次根式。我们把一个式子化成最减二次根式之后呢，再合并同类二次根式。什么叫做同类二次根式呢？就是被开方数是一样的， 比如根号二和根号三，那么这里的被开方数是不同的，所以呢，就不是同类二次根式。那么根号二 和二倍的根号二，那么这里的被开方数是一样的，所以呢，它就是同类二至根式。好，我们再来看一下第二个乘法。乘法呢，比如说根号线 a 乘以根号线 b， 那 么它就等于根号线 ab， 那 么反过来也是一样的，那么在这里呢，它要同时满足 a 大 于等于零， b 大 于等于零， 假如说他告诉你根号二乘以根号三等于多少呢？很显然，他就等于根号线二乘以三，就等于根号六。 再来看一下第三个除法，除法呢，和乘法一样，也是很好理解的，比如说根号 b 分 之根号 a， 那 么他就等于根号线 b 分 之 a。 假如根号 b 和根号 a 的 倍开方数一样，比如说是根号二分之二倍的根号二，那么在这里我们就不需要把它化简成这种形式了，我们只需要上下进行相约，等于二就可以了，那么假如他的倍开方数不一样， 比如根号二分之，根号三，那么在这种情况下，我们就可以写成根号线二分之三。 再来看第四个乘方，乘方呢，和我们前面学的是一样的，又是根号 a 的 平方，那么他就直接等于 a， 在 这里 a 是 大于等于零的， 那么第五个开方，开方就是 a 的 平方，再开根号，所以他就叫做开方，那么在这种情况下呢，他是等于 a 的 绝对值的，那这个我们前面呢，也已经讲解过了，那么总的来说呢，他的核心就是先化简，再进行预算，最后呢，我们的结果要划到最简。 好，接下来我们再来看两道题目，首先来看第一题，他让我们估计这个式子的值应该在几和几之间，我们要估计这个数的值，那么就要把它来进行化简。我们来看一下根号六乘以小括号，根号七减去根号六分之一， 我们可以把这个根号六分别与这个括号里面的两个数进行相乘，那么就可以得到根号六 乘以根号七，再减去根号六乘以根号六分之一。 我们知道这里呢，很显然他就是一个乘法运转，那么他就等于根号线这里面的数进行相乘，就是六乘以七，再减去。什么呢？我们知道这里有一个根号六，这里有一个根号六，那么他是可以直接进行相约的，就减去一， 那么最终就等于根号线四十二，减去一，我们知道六的平方是等于三十六，七的平方是等于四十九，所以呢，根号线四十二，他应该是大于六小于七的， 那么一个大于六小于七的数，如果再减去一的话，那么很显然他就是大于五小于六的，所以他应该在五和六之间。那么第一题我们应该选择 a 选项， 再来看第二题，下列计算中正确的是哪一项？首先来看 a 选项，他说根号线二十五等于正负五，我们来看一下，在这里呢，二十五是五的平方，很显然，根号线二十五，他就是五的平方，再开根号， 那么这里的五就相当于 a， 也就是 a 的 平方，再开根号就等于 a 的 绝对值。那么具体是等于 a 还是负 a， 要看 a 的 正负。我们知道 a 等于五，它是一个大于零的数， 所以根号线 a 的 平方就等于五，所以第一题 a 选项应该是错误的。再来看一下 b 选项，他说根号线十二除以根号三是等于二的， 我们知道这的根号三已经是最减的了，那这里的根号线十二，他有被开的进的音势，所以呢，他应该要进行一个化简。 我们知道根号线十二，它可以写成什么呢？它可以写成二倍的根号三，所以根号线十二除以根号三，它就是二倍的根号三，再除以根号三， 那么最终就等于二，所以呢， b 选项是正确的。再来看一下 c 选项，他说负三的平方开根号，在这里， a 就 等于 负三，那么 a 的 平方开根号就等于 a 的 绝对值，那么 a 是 一个负数的话，那么这个数的平方开根号就等于负 a， 那么 a 是 等于负三的，所以呢，负的负三应该等于三，所以 c 选项是错误的。再来看一下 d 选项，根号三乘以根号二等于根号五，那么根号三乘以根号二，我们应用乘法口诀，那么它就等于根号线三乘以二， 它应该等于根号六，而不是根号五，所以 d 选项也是错误的，那么第二题我们应该选择的是 b 选项。好，今天的题目就给大家讲解到这里，同学们再见。

开学了，我整理了一份八级下册数学各单元压轴题，这份练习是我甄选出来的，主要针对的是各单元的一个压轴题型，比如勾股定力的几何模型和实际应用、平行四边形的几何模型和辅助线依次函数的实际应用和几何动点问题等。 那很多学校校内是不教拓展培优题型的，那如果说不会写的那个题型，可以借助我的一个拓展视频来解决知识漏洞，解决压轴题不会写的问题。

大家好，我是你们的卓老师，今天带给大家一道八年级下册数学中考真题。话不多说来看题，先化简再求值。 a 加一分之一减去 a 加一的平方分之 a， 其中 a 等于根号二减一，有需要的同学可以暂停两分钟，仔细思考一下。 好，老师接下来为大家讲解一下这道题目。 看了这个题目，不难发现，我们首先应该想到的是不是就是通风？通风后我们可以得到什么？ 得到 a 加一的平方分之 a 加一减 a 加一的平方分之 a。 接下来这个式子等于什么？是不是就等于 a 加一的平方分至 a 加一减 a， 这一步应该没问题吧？好， 我们进一步化简，可以得到 a 加一的平方分之一。 然而题目告诉了我们， a 等于根号二减一，我们将其带入这个式子中，可以得到原式等于 根号二减一加一的平方分之一就等于根号二的平方分之一。 高二的平方分之一等于多少，是不是就等于二分之一？ 因此这个题目就解出来了，等于二分之一， 学会了吗？跟着卓老师无脑学习！