26年数学单招试卷答案给分标准

这个部分的单招数学啊，这个对口单招的数学的真题部分的我录完了。 呃，然后我现在能不能请大家帮个忙，就是因为，呃包括学生回忆的，还有在网上搜的这点东西啊， 这个有点不太全啊。四十道题的话呢，现在大概是，呃能有差不多一半啊，别的题还是没有整出来，因为 多数学生实际上是呃考着考着到最后，尤其考数学的时候快考哭了啊，都没写完出来的。所以，呃记的题这个不太全啊。然后大家伙这个各位同学们啊，这个有没有 想起来的题的，然后不太确定的那个你后台发我给你解答一下。好吧，就是尽快的咱们把这个卷子组成， 然后我从头到尾给你们说一遍，然后你们看看这个二十六届考生啊，你看看自己大概可以预估一下啊。二十七届考生，你看看今年大概是怎么考的，你就明年的话心里有个底吗？对吧？你就记住一点，现在的数学考试就这个单招数学 呃考的面很广，就他越来越趋向于就简化版的高考， 就简化版的高考，他没有像以前那样了，以前真的是好家伙，这个呃底子稍微好一点的，好像复习两天就能考的怎么样怎么样似的啊，不是了，现在不是，就是从这几年，就是从二三年开始到今年，其实你可以说他是一个转折点 啊，二三二四二五都相对来讲的话呢，整体是比较简单的，二六年给所有考生的感觉就是特别难。 嗯但是其实没有那么难啊，这里边的话呢，因为他加了不少的拔高题，就是这些知识点，呃，你如果说没讲过，不熟悉这些题你是做不出来的。 嗯，所以二十六届的学子啊，这个，呃，看一下啊，看看自己得多少分。二十七届学子对吧？看一看自己，呃，从现在开始到明年的努力方向， 尤其，尤其是想这个。因为咱们是对口升学吗？尤其是想明年冲对口高考冲本科的一波学生， 对吧？该怎么去努力的复习啊？呃，你就记住一点啊，到最后决定你能不能考上本科的啊。其实分水岭在数学， 因为数学可以查出来的分数太多了，别的科拉个五六十分啊，几乎没办法拉。但是你要说数学，不好意思，人家学的好的跟你学的差的真就是五六十分。

哈喽，大家好，我是汉晨单招张老师，今天我们来讲一套二六年的单招数学加题试卷啊，那这套试卷的话满分是一百五十分啊，考试时长是六十分钟的时长啊，大家在做的时候要看一下时间， 那接下来说的话，他一共两个题型，一个是选择，一个是判断，那选择的话是三十道题，判断的话是十道题啊，那首先我们来先来看一下选择题第一题， 第一题考的是我们的一个集合的问题，集合的交集啊，在这个里面的话，交集啊，这个符号是交集的意思，就是找相同的部分 啊，那相同的部分的话，那我们需要先求出来这个前面 a 级和方程的解，对不对啊？那我们给它写出来， x 平方减去四， x 加上三小于等于零，那它的解集的话，应该是啊，把这个三拆开就是一三得三，对不对？这是减四，所以是减一，减三代表是减四， 所以那它的结果应该是 x 减一乘以 x 减三，括号小于等于零，所以那它的结果的话，应该就是括号为零之后，它的结果就是一和三啊，所以它的结果就是一逗号三啊，因为带等号，所以是包含的括号， 那和谁相交呢？和 b 二逗号四相交。那我给他画出来啊，这个是二和四的一个图像啊，给他画出来，那一在这边，三在这边啊，那这个是一和三啊，一和三是实心的，因为是带等号的， 那他们交集就是在二到三之间，对不对？二到三之间的话，有 a 和有 c， 大家一定要小心。那我来看 二，他带等号吗？二是不是不带等号呀？是空心的，是不包括二的，所以我们这道题选的是 a 选项二到三之间，三是带等号的啊。那好，那接下来看第二题。 第二题的话是充分必要条件的问题，他让我们找的是 p 是 q 的 必要条件。必要条件就是后能推前啊，必要条件指的是后能推前或者是大推小，我们都叫做必要条件。好，先看 a 选项， a 选项 x 大 于三和 x 大 于二，那大小指的是取数范围。那我们来看，大于三的数多还是大于二的数多呀？啊？大于三的数在这边， 二的数在这边，是不是大于二的数多呀？对不对？所以呢，在这个里面的话是小，这个是大小堆大，所以它是我们的充分不必要条件啊。所以 a 是 不对的， 那号 b x 是 偶数， x 是 四的倍数，是偶数，一定是四的倍数吗？不一定吧，比如说二是偶数，它不是四的倍数，对不对？然后那后往前来推，那是四的倍数，是不是一定是偶数呀？ 对的啊，所以是后能推出来前。所以这道题我们选择的是二号 b 选项啊，二号 b 选项是正确的， 我们选的是二号 b。 好， 我们来看下第三题。第三题是一个定义域的问题，在这个里面考察的是两个定义域，一个是根号，一个是对数， 那根号下的定域也就是根号下面整体的 x 要大于等于零，对不对？那对数的话是 l、 o、 g 啊，以 a 为底的 x 也就是这个位置啊，整体的位置要 x 要大于零啊，这是它的定域啊，这是它的定域，那两个定域我们要取它的交集。那我现在先来求解，上一个定 六减二， x 大 于等于零二， x 要小于等于三，这是我们第一个解， x 要小于等于三， 那来看第二个，第二个的话是 x 加一要大于零，所以是 x 应该大于负一，对不对？ x 大 于负一，一个是 x 大 于负一，一个是 x 小 于等于三，所以他们的解集的最终结果，我们选的是 a 选项，大于负一，小于等于三，所以我们选的是 a。 好， 我们接着来看一下第四题。第四题的话，让我们是一个函数问题，让我们找下列既是奇函数，又是在零到重无穷上为单调递增的。 那我首先先来找奇函数，那奇函数的话，首先 x 头上的次方要为奇数，对不对？那 a 一定不对了，那 x 平方，那它是我们的偶函数 s 三次方是奇函数，那这个的话是 x 的 一次方，它也是奇函数啊。 那看四号 d 是 三的 x 次方，它是我们的指数函数，它是我们的飞机飞哦，所以它不是啊，它是飞机飞哦。 在这里面的 b 和 c 里面，选一个在零到重从单调递增的趋势，单调递增就是 x 越大，它的结果越大，那我可以验证一和二对不对？ 当 x 等于一的时候， x 三次方也等于一，当 x 等于二的时候，二的三次方等于八，对不对？所以单调递增，所以选的是二号 b 选项，那 c 的 话是单调递减啊，当 x 等于一的时候，它是一，当 x 等于二的时候，它是二分之一，是单调递减的趋势啊，所以 c 不 对。 好，那我们来接下来看下第五题。第五题的话是函数 f， x 等于 ax 啊，若 f 二等于九，问我 f 负一等于几， 那负一的话，就是 x 是 不是？那就是 a 的 负一次方等于几，那我是要求出来 a 对 不对？那我通过这步来求代入啊，当 x 等于二的时候，结果等于九，那我们代入一下，那就是 a 的 二次方等于九， a 的 二次方等于九，那显然 a 是 等于三的，因为他说了 a 要大于零，所以 a 只能取正数， a 等于三，那现在的式子变成 f x 等于三的 x 了，对不对？ a 等于三，让我们求 f 负一，也就是三的负一次方， 三的负一次方，一个数的负次方等于它的倒数，所以应该等于三分之一，所以这道题我们选的是 a 选项啊，负次方是倒数的意思。 好，那接下来我们来看下第六题。第六题的话是一个对数的基本运算，那首先来看 log 二八，也就是二的几次方等于八，是不是二的三次方等于八呀，所以它的结果等于三。好，然后加上 log 五的二十五分之一，那五的几次方等于二十五分之一。那首先大家知很多这种题的时候有点分不清，那我们要知道五的几次方等于二十五， 是不是五的二次方，五的二次方等于二十五啊，对不对啊？那负次方就是倒数，那五的负二次方就是二十五分之一，大家要记住啊，所以呢，结果应该等于我们的负二， 那接下来看减去 log 三一，那我们对数必过的是一逗号零，对不对？当 log 也为底的一，结果为零，所以呢，就是减去零，那就是三减二，减零，所以等于一，所以我们选是 a 选项。 好，那接下来看一下第七题，也是一个对数的运算，在这里面他让我们求是 log 以 a 为底的六啊，用 m 和 n 的 形式来表示，在这个里面的话，那我们来看怎么着能变成六，是不是二乘三就变成六了？那在对数运算里面，我们应该是同底相加，整数相乘，就是 log 以 a 为底的二， 加上 log 以 a 为底的三，它应该等于 log 以 a 为底的六，同底相加，真数相乘啊，是这个关系，所以是它加它等于 log 也为底六，那它加它 log 以二，以 a 为底，二等于 m， 也就是 m 加上 n， 对 不对？所以这道题我们选的是 a 选项。 好，那接下来看一下第八题，是三角函数的一个问题。好，那接下来看一下第八题，是三引负三十度， 三引负三十度在我们的第四象限，第四象限三引值一定为负值，对不对？那我们直接知道负值以后，就看三引三十度等于多少。 三引三十度等于二分之一，因为它在第四象限为负，所以等于负的二分之一。好，加上扣三引六十度，扣三引六十度等于正的二分之一，所以它们相加为零，所以选的是二号 b 选项。 好，我们来看一下第九题，第九题的话，他说已知 f 是 锐角三以 f 等于二分之二三，然后让我们求碳的派减 f， 那 碳的派减 f， 在 这个里面的话，派减 f 是 属于第二象限，对不对？第二象限的结果一定为负数啊，一定为负数，那结果一定为负的碳以 f， 那接下来看的话，三引啊 f 等于二分。根号三，在这里面应该我们能背出来它的度数啊，三引六十度等于二分根号三，对不对？那说明 f 可能是六十度，那三引六十度的话，那碳啊，那碳六十度，它应该等于我们的根号三啊，因为第二项为负，所以应该等于负的 根号三，所以呢，我们来看一下选项，所以这道题我们选择的是二号 b 选项负的根号三。 好，我们来看下第十题。第十题的话是一个三角函数问题，让我们求最小正周期和最大值的问题，在这里面有两公式啊，那最小正周期的公式是二派比上我们的 omega， 那 omega 指的是我们 x 前面的数，那 x 前面的数是二，其他数都不用看啊， x m 的 数二，所以它最小正周期就是二派比上二等于 pi 等于 pi， 所以 我们选项在 a 和 c 进行选项， a 和 c 的 周期是 pi， 对 不对？那接下来求最大值，那最大值和最小值的问题啊，它的公式是 y 等于 a 的 绝对值，然后加上我们 b 和负 a 的 绝对值，然后加上我们的 b， 是这样的公式。那首先我们来看一下，那 a 就是 我们等号后面数字，那 b 就是 括号外面的这个数字啊。那 a 的 话，当 a 是 正数的话，是它最大值，也就是二式的最小值。负二式它的最小值 啊，那这个位置数是不变的啊，那他是负一，那就是加负一，也就是减一就可以了，所以让我们求最大值，最大值应该就等于二减一，对不对？最大值，所以二减一等于一。所以这道题我们选的是 c， 那 如果让我们求最小值的话，那应该等于负二减一等于负三是它的最小值， 这大家需要注意，就是等号后面这个位置变正，负这个位置不变，直接抄下来就可以了啊。好，接下来看第十一题。 第十一题的话是三角函数里面的二倍角的公式啊，三以 f 乘以扣三 f 等于多少？那这个一看就是我们三以二 f 的 公式，对不对？三以二 f 等于二倍的啊，三以 f 乘以扣三 f， 对 不对啊？二倍三 f 乘以扣三 f， 那 你说老师呢？这个里面还有二，那我没有二呢，对不对？你没有二，你最终是不是乘以二分之一就行了？就是二分之一三， 二 f 是 不是等于三引 f 乘以扣三引 f 来，对不对？两边同乘二分之一，这个二就没了啊，所以那我求这个就可以了啊，等于三引二 f f 等于十五度，那三引二 f 就是 等于三引三十度， 三以三十度肯定等于我们的二分之一，对不对？那我们要求是二分之一的三以二 f， 所以 就是二分之一，再乘一个二分之一，所以最终结果等于四分之一，所以我们选的是 a 选项，最终结果等于四分之一啊。 好，那接着再来看一下我们的第十二题，那第十二题的话是一个竖列的问题啊，已知啊，竖列啊，前项和，在这里面我们要注意，已知是等差竖列啊，这个少两个字。 已知等差竖列 a n 的 前 n 相和啊，是 s n， a 三等于七， s 四等于二十，让我们求 a 十，那如果我要想求 a 十的话啊，他有了 a 三，那我是不是要知道 d 就 行了？那 a 三和 a 十之间差是七个 d， 我 知道 d 就 可以了啊， 那我怎么来得到 d 呢？啊？那我通过 s n 的 公式， s n 是 求和的意思， s 四就是前四相和， 那 sn 的 公式应该是首项加末项， a 一 加 a 四，首项加末项乘以项数，一共是四项除以二等于二十，那这是它的公式。 在这里面我们要有一个知识点，什么 a 一 加 a 四啊？ a 一 加 a 四，它是等于我们要用到的 a 三，它是等于我们的 a 三加上 a 二的 啊，就是一加四，三加二都等于五，所以它的结果是相等的，我们用这样的关系求出来 a 二，然后让它求出来 d 啊，好，那接下来我们来套用，那我们求出 a 一 加 a 四的结果， a 一 加 a 四， 他肯定是等于我们的十，对不对？所以那 a 三加 a 二也等于我们的十，那 a 三告诉我是七，所以 a 二肯定是等于三了，对不对啊？三加七等于十，所以 a 二是三， a 二是三呢？ a 三等于七，那 a 二和 a 三之间是不是差一个 d 啊？是不是 a 二加一个 d 等于 a 三，所以 d 是 等于我们的 四？好，那我求出来 d 了，那求出来 d 以后，那我们来看， a 三和 a 十之间，三和十差的是七个数，所以是 a 三加七， d 等于 a 十，大家给他记住就行了，差几个数就差几个 d， 那 所以就是七加呃，七 d d 的 话，一个 d 是 四四七二十八， 所以它的结果最终结果等于三十五，所以我们选的是 c 选项。好，那接下来看一下第十三题， 第十三题的话是我们的等比竖列，他让我们求前五项和，那这道题的话，大家不用公式也能算出来，就比较简单，他说 a 一 等于二， q 等于二，那我以此类推就可以了。当 a 一 等于二的时候， q 等于二，那 a 二是不是等于四 啊？那 a 三再乘二是不是等于八？ a 四再乘二是十六，再乘二是三十二，这是不是就五项了？前五项和，那就是 a 一 加到 a 五，对不对？那我们给他加一下啊，那四加十六等于二十，他加他等于十，这就是三十加三十二等于六十二，所以我们选的是 c 选项啊，就是能简单不用公式的，那我们就可以直接硬推不用公式了啊。好，那接下来看一下第十四题。 第十四、十四题是一个二次函数的问题，在这个二次函数里面啊，他让我们求的是最小值，那最小值，我们知道二次函数对称轴对应的值最小啊，开口朝上， a s 平方， a 为正， s 平方前边为正啊，所以是 对称轴对应的值是最小。那我要判断这个对称轴在没在这个范围内啊，所以大家不要上来就把这个零带进去，就是最小值啊，这样的话是错误的啊。 那它的对准轴二次函数对准轴 x， 它应该等于负的二， a 分 之 b 啊，那它是 a， 它是 b， 它是 c 啊，所以等于负的 二乘一分之 b， b 是 我们的负四，所以结果最终结果等于二。好，那二是不是正好在零到四之间呀？好，那在这个范围，所以当 x 等于二的时候，当 x 等于二的时候，对应的 y 值是最小的啊，所以当 x 等于二，把二带进去， 又是二的平方，减去啊，二乘四，减去八，然后再加上五，那就是负四加五，那它等于我们的一，所以我们选的是 a 选项啊。 好，那接下来我们来看一下第十五题。第十五题是一个三角形，让我们求它的一个面积， 在这个里面它有夹角，所以它要用到我们那个呃，三角函数里面的一个三角形面积公式啊，就是二分之一 a， b 三以 c 二分之一，然后 bc 三以 a， 二分之一 a， c 三以 b， 要用到这个公式就是有边和夹角的公式。那我先从已知题目里面提取出来一些信息，在这个里面的话，它告诉我是 bc， bc 代表是 a 边， a 边等于根号三十七 啊，然后 a， c 代表是 b 边， b 边等于五，那扣散 a 啊，扣散 a 就是 a 角，对不对？扣散 a 等于五分之二，在这个里面的话，我怎么来求啊？它给的是扣散 a， 扣散 a 的 话，我可以得出来 散引，因为它都是散引，散引，散引的角度对不对？所以那我可以得出来散引 a， 那 散引 a 怎么求？也就是说我们的呃散引方 f 加上 q 散引方 f 等于一的公式，大家应该都知道，对不对？ 所以就是那 sine 方 f 应该等于一，减去二十五分之四，所以等于二十五分之二十一，对不对？所以那 sine f 应该等于五分之根号二十一，好，那它等于五分之 根号二十一，好，那做到这一步的时候好像还是没有答案，你说老师我做到这了，那我可以套用公式了吗？啊？用散引 a， 散引 a 的 公式二分之一 b， c 散引 a。 那 我现在是不是要求出来有 a 边 b 边没有 c 边呀？那我要求出来 c 边，在这里面我们应该怎么求 c 边啊？在这个时候我们可以用余弦定里把 c 边求出来， 比如说余弦定零里面有一个 a 方的公式， a 方等于什么？等于我们的 b 方加 c 方减去二 b， c 口算以 a。 哎，在这里面的话，是不是只有一个 c 位值数啊？然后，所以呢，我们可以通过这样的公式，然后把我们的 c 给它求出来， 所以 a 方是三十七，然后等于啊， b 方二十五，加上 c 方减去二乘我们的 b， 二乘五乘以 c， 然后再乘以我们的 cosine， 二分之一乘以五分之二 啊，让我们进行整理，那就是三十七等于二十五，加上 c 方，减去啊，减去谁？减去我们的五和五进行约分了，也就是减去我们的四 c。 好， 那再进行整理的话，那就是 c 方 啊，然后减去四 c 加上二十五，减去三十七等于零，所以是 c 方减去四 c， 然后减去我们的十二等于零。那在这里面解方程就可以求出来 c， 那 十二啊，我们可以用二六十二啊，这是减四，所以是二减六，等于我们的负四， 所以最终答案应该是 x 加二乘一个 x 减六，应该是等于零，所以 x 等于六，这个 x 等于二等于负二是不可取的啊，不能取，所以我们 x 等于六可取，所以 c 等于六啊， c 等于六。 好，那我接着去套用公式就行了。那我套用谁套用这个公式？二分之一 b c 三 a 就是 二分之一乘以 b 五乘以 c 六，然后再乘以我们的三 a， 也就是五分之根号二十一， 对不对？然后再进行一个化简啊，五六三十啊，三十乘以二分之一就是十五，十五乘以五分之根号二十一，所以选的是四号 d 选项。 好，那接下来看一下第十六题，在第十六题里面啊，他让我们求的是呃切线方程，大家看到这个问题切线方程的时候，其实就是让我们求导啊，大家记住，就是求导的意思， 在这里面我们先把这个曲线进行求导啊，就是 y 等于什么啊？在这里面 x 的 n 次方，它是等于 n 倍的， x 的 n 减一， 大家这个公式要知道，所以就是二啊，次方掉到前面啊，然后次方的原先的次方，然后减一就行了，所以应该 y 等于二， x 的 一次方就二， x 减去多少，这个是 x 的 一次方，对不对？所以一乘二就是减去二，然后 x， 这变成零次方了，就没有了，所以就变成二 x 减二，这是它的导数， 导完以后啊，就没了吗？然后它让我们求切线方程，切线方程我们首先要求出来它的 k， 那接着把点带进去就是 k 了啊，所以接着那 y 撇应该是接着等于啊，把二带进去，二得四，减二等于二，所以 y 撇等于二，也就是它的 k 等于二，那下面 k 等于二的时候， y 等于 k， s 加 b， k s 加 b， 所以 k 等于二的有 a 和 b 两个选项， a 和 b 我 们选择哪个？那接着再来看 a 和 b 选哪个， 看我们的点过是二三点，把二三点分别带入 a 和 b， 满足条件的就是正确的。所以把点二和三带入 a 选项的时候，二二得四，减一正好等于三，所以我们答案就选是 a 选项啊，这是我们的切线方程。好，那接下来来看一下第十七题。 十七题的话，三个函数里面三扣扣三是三个公式，对不对？三个扣三，符号不变，加就是加，所以就是三引十四加上十六，所以是三引三，十度等于二分之一，直接选二号 b 就 行了。 好，接下来看十八题。是个向量的问题，让我们求 a 乘 b， 那 a 乘 b 就是 x 乘以 x 加上 y 乘 y， 就是 三乘一加上四乘，我们的负二，所以是三加负八，所以应该等于负五，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看十九题。不等式组，不等式组，我要注意的是上下两个求解完，最终取它的交集。 先来看上式三， x 的 角值小于等于六，那 x 是 有两个结果，一正一负是不是？所以是 x 等于二， x 等于负二都满足，小于取中间，所以上面的解是负二到二之间的。 那接下来看三减 x 大 于等于零，所以是 x 肯定是小于等于三。好，那它之间的一个交集啊，负二到二之间 啊，然后 x 小 于等于三在这个位置，所以它们的交集应该就是负二到二，所以我们选的是 c 选项。 好，那接下来看一下第二十题。二十题也是向量，向量的话，先让我们算二 a 减 b， 然后外表的绝对值是它的膜的意思，让我们再求它的膜，那我先一步步来算二 a， 二 a 的 话，它就等于我们的二逗号四，那二 a 减 b 啊， b 是 二和三，二 a 减 b 应该就等于我们的零逗号一了，对不对？零逗号一，那零逗二一的最终的值是多少？那模模，那它就等于根号下 x 方加我们的外方，所以是根号下零的平方加上一的平方等于一，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看二十三题。二十三题的话是一个复数的问题，让我们求它的虚部是多少啊？那我就把这个整个这个括号给它拆开就可以了啊。在这里面拆开的话，就是前乘前，前乘后对不对？后乘前，后乘后的意思啊，这就是三乘一， 然后减去三 i， 然后再加上二 i， 然后再减去二 i 方，然后进行整理就行了， 那就是三减去 i， 然后再减去二 i 方 i 方，它是等于负一，大家要知道 那负一乘以负二肯定变成正二了，是不是？所以变成加二了，所以它最终就变成五减 i 变成五减 i 了，那虚不带 i 的是虚部，那虚部肯定是负 i 就是 负一， i 的 意思就是负一，所以我们选的是二号， b 选项。 好，接下来看一下第二十二题。二十二题的话，让我们找这个直线方程，在这里面他告诉我倾斜角是一百三十五度， x 轴截取为三，倾斜角找直线的话，我要找 k 啊，就是 k 等于多少？ 那清洁角是一百三十五度，那它的 k 等于碳尔夫啊，碳一百三十五度，也就是碳四十五度的值，对不对啊？等于我们的负一，碳一百三十五度的值等于我们的负一啊，所以我们要找 k 等于负一的， 然后 x 路截距为三， x 路截距就是另外等于零。好，那我们来带着这个问题啊，我们来看下面的一个选项， 那接下来看一下 abcd 这个选项我们要找谁呀？ k 等于负一的，然后 x 轴的截距啊， x 轴的截距是等于三的啊， 所以来看 k 等于负一，那我们怎么来看下面的 k 是 不是负一呢？啊？那直线的 k 等于负的 b 分 之 a 啊，负的 b 分 之 a 来看 a 选项，负的 abc， 负的 b 是 负的一分之一 等于负一呀。好，那说明 a 和 b 啊，它们 x 加 y 是 一样的，所以 a 和 b 的 k 是 负一， c 和 d 不 考虑了，然后接着在里面 x 等于三， x 轴的截距等于三， x 轴截距等于三，说明是 y 等于零啊， y 等于零， x 为三，那我们来看一下选哪个？ y 等于零， y 等于零， x 等于三，所以选是二号 b 吧。三减三等于零，是不是这个是负，三加三等于零，所以最终结果选是二号 b 选项啊。 好，接下来看二十三题。二十三题让我们找平行的直线，那这个直线是 y 等于 k， x 加 b， 下面也是 y 等于 k， x 加 b， 形式对不对？当平行的时候， k 等于 k， k 和 k 相等，所以是二和二是相等的，所以我们答案只能是在 a 和 b 进行选择， 那 a 和 b 进行选择，那谁是呢？啊？ no， 他 说什么过二逗号一，把二号，逗号一带入，选项成立是正确的，所以把二逗号一带到这个位置，二二得四，四减三等于一，所以我们选的是 a 选项。那二号 b 的 话是什么？你看二 s 加三，二三是不是一模一样？那他们应该叫做重合啊，叫做重合。 好，接下来看二十四题。二十四题关于椭圆的问题，他问我下列关于椭圆 c 说法正确的是哪个啊？那好，来看 a 选项， a 选项告诉我的焦距是二倍的根号，我们焦距指的是二 c， 在这里面 c 怎么求？应该是 a 方减 b 方等于 c 方啊。椭圆谁大谁是 a 方，所以四是 a 方。 x 下面没有数，说明是一，一是 b 方，所以是四减一等于三，所以 c 应该等于根号三，二， c 应该等于二倍的根号三，所以 a 是 错的啊。二号 b， 焦点在 s 轴上，错啊。怎么看？焦点在什么轴上？看 a 方头上， a 方头上， a 方谁大谁是 a 方， a 方头上是 y， 说明焦点是在 y 轴上啊。 然后看 c， c 的 话是离心率等于二分之一，离心率等于 c 比 a， c 是 根号三， a 是 二， a 方是四， a 是 二，所以离心率也不对，所以我们只能选四号 d 长轴长指的是二 a， a 方是四，所以 a 等于二， a 等于四，所以我们选四号 d 选项 好，接下来看一下二十五题。已知直线和圆是相切的，让我们求 r， 当直线和圆是相切的时候，说明圆心点到直线距离等于半径 r， 也就是 d 等于 r。 好， 那在这个里面让我们求 r， 其实就是让我们求 d 等于多少，对不对啊？那 d 就是 点到直线的距离，就是圆心点，圆心点就是我们的。当括号为零是圆心点是一逗号零， 那 d 等于根号下，是不是 a 方加 b 方分之啊？ ax 加 b， y 加 c 的 绝对值啊，所以代入那它就是 abc， 大家记住啊，所以就是根号下一的平方加上一的平方，分之啊。然后 x 加 y 减二， x 加 y 减二的绝对值，所以直接代入就是根号二分之 x， y， x 是 一， y 是 零，那就是一加零减二的绝对值， 所以应该等于根号二分之一，根号二分之一。分母不能为根号，所以是同乘。根号二，所以是二分之。我们的根号二，二分之，根号二，所以这道题我们选的是 a 选项， d 等于二分之根号二，那 r 也等于二分之二啊。 好，我们来看一下二十六题。二十六题让我们求圆锥的体积，在做体积的题的时候，大家要注意，你看你求是圆锥还是什么什么柱啊，所有的锥体，不管是圆锥还是什么锥，只要是锥体，那他要等于三分之一。 s h， s 是 底面积， h 是 高。好，那我先画一下这个圆锥，这个圆锥告诉我它的底面的直径啊，底面的半径是等于三的，母线是侧棱，侧棱是等于五的。 好，那它的底面积，底面积是一个圆，那圆的面积是 pi r 方，所以等于九， pi 对 不对？那高是多少呢？那高的话，它有母线，那我需要做垂线， 对不对？做垂线，也就是说这是一个直角三角形。勾股定律，五的平方减去三的平方就等于高， 五的平方减去三的平方，它应该等于四的平方，对不对啊？所以它的高等于四，那就是三分之一啊，乘以九派，然后再乘以我们的四啊，所以最终结果应该等于三派，乘以四等于十二派，所以我们选的是二号 b 选项。 好，那接下来看一下二十七题概率的问题。在这个里面，他让我们求的是啊，一个骰子啊，有两个骰子质地均匀，然后抛出点数为九的概率， 那我骰子一共是有六个面，六个数字，对不对啊？抛两次啊，同时抛两个，那就是六乘六的关系啊，同时完成的事情，共同完成的事情，需要乘法六乘六。 那接着再来说啊，点数和为九为九的话，大家想应该是三加六为九，对不对？还有个四加五 为九，是不是？然后那第一个骰子是三，第二个骰子是六，第二个骰子是三，对不对？第一个骰子是五，第二骰子是四，也有可能这种可能，所以是一共是四个可能性，所以三十六分之四，所以等于九分之一，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看一下我们的二十八题。二十八题是二项式的问题，它让我们求的是展开式当中的第三项啊。那第三项呢？它有一个公式啊，就是我们的 t r 加一等于 c n r， a 的 n 减 r 和 b 的 r 四方，这是它的公式。那第三项就是我们的 t 三啊， t 三的话，所以 r 等于二啊。 t 三， r 加一嘛，所以二加一， 所以它等于 c 四二，然后 x 的 四减二和负 x 分 之二，括号的二次方啊，所以等于 c 四二乘以 x 的 二次方，然后负 x 平方，嗯，分之二的平方，那它就等于 x 平方分之四，对不对？然后进行整理， 在这里面我们需要把它进行拆开整理啊，就是 x 平方分之四，其实它应该是谁乘的？是四乘 x 平方分之一得到的，对不对？那接着再来看 x 平方分之一，是不是就是 x 的 负二次方呀？一个数负次方等于它的倒数，就是它的分数，对不对？所以是 x 的 负二次方。 那整理完就是 c 四二乘以 x 的 二次方，乘以我们的四乘以 x 的 负二次方， x 二次方乘以 x 负二次方就没了，是 x 零次方。那 c 四二乘以四， c 四二就是四乘三比上二乘一， 所以等于三，四乘二除以二等于六，六乘四等于二十四，所以最终结果等于二十四，显然是 c 选项啊，这是我们第二十八题，重点的话是这个公式，大家可以记住。 好，那接下来看二十九题。二十九题的话，让我们让我们求实线和面之间的关系。都说 l m 是 线， f 是 面，我们来看 a 选项， 当 l 垂直于 m 的 时候啊， l 垂直于 m， 那 m 属于 f， 那 l 就 垂直于 f 面吗？啊，在这里面，线 垂面。我们有一个前提条件，当线垂面的话，必须是线垂面内两条相交线，此时才能证明线和面是垂直的啊。在这里面的话，他只说了是 l 垂直一个 m， 是 吧？那这个没有相交线，只是垂直了一个 m， 但是不能证明这根线就垂直于这个面 r， 所以 它是错的啊，必须垂直于面内两条相交线。那接下来看号 b r b 也是让我们求的。是啊， m 垂直于，呃， f 啊，这是 f 啊，那接下来看他给的什么条件。他说 l 垂直于 f， l， 这是 l 垂直 f， 那 l 和 m 是 平行的啊，那平行的话肯定长这个样子啊，就是两根线啊，同垂面，两根线平行啊，这个是对的，所以我们选的是 r b 选项啊，两根线平行，同垂直于 a 面，那 m 也垂直 a 面，所以这道题我们选的是 r b 选项。 好，那我们接着来看一下三十题啊，统计的问题在三十题里面啊，他给我们一个图，一个饼形的一个图，他告诉我们是，呃，在调查样本数据中，然后青年教师有三十人， 则这个样本中啊，老年教师啊，有多少人啊？在这个里面，青年教师占百分之五十，也就是零点五啊，是不是最终等于我们的六十，也就是 总数一共六十，也就是说我们整个啊，所有数相加，抽取的是六十人，一个总数。他说老年人占多少数，就是总数乘以它的比例就行了，比例是百分之二十，就是零点二，所以他占的是十二个人，所以我们选的是 二号 b 选项。好，这是我们三道的一个选择题，那接下来看一下我们的判断题，判断题有十道，每道题是三分。好，首先来看第一题， 第一题的话说是等差数列，等差数列， a 三加 a 五等于四十， a 八加 a 九加 a 十等于七十，问我们对不对？在这个里面啊，我们需要思考一下，那他的话 a a 五加 a 十三啊，那他是不是就是 a 八 加 a 十，是不是等于十八呀？是不是十八，对不对？所以那 a 八加 a 十也等于四十。那我是不是要知道 a 九，那 a 九是不是 a 五和 a 十三的中项呀？你来看，他跟他之间是差四，他跟他之间也差四，所以 a 五是他们中项， 那 a 九中项的话，就是怎么等差数的？中项就是前加后除以二，所以是 a 九应该等于我们的二十，所以四十加二十应该等于六十，所以这道题是错的啊。 接下来看一下第三十二题。三十二题 f x 等于二 x 加上二的负 x 方，它是偶函数，在这里面我要想判断它是不是偶函数，其实可以用一个代入法代入正负一，结果相同，相同就是我们的偶函数啊。那我们来看一下，那 带入正一的时候，就二的一次方，然后加上二的负一次方，这是 f 一， 那如果是 f 负一的话，那带入就是二的负一次方，加上二的负的负一次方，就二的一次方，对不对？你看二的一，二的一，二的负，一二的负一，它的结果肯定是相同的，所以它是偶函数，所以是正确的。 好，我们来看一下三十三底三角有了，然后 c 角也有，让我们求 c 边是不是根号二。 在这里面我们来看已知条件里面只要是有一对出现，我们就用什么定律，正弦定律对不对？正弦定律，也就是 a 比上我们的三引 a， 等于 c 比上我们的三引 c， 用它又可以了。 好，那我们来验证一下， a 是 根号三比上三引 a， 也就是三引六十度等于二分之根号三，对不对？然后等于我们的 c， c 是 我们的。不知道，我求一下 c 比上我们的三引 c， 三引 c， 四十五度是二分之根号二。 好，那十字相乘就是相等，所以是二分之根号二乘以根号三等于二分之根号三乘以多少啊？那他是，他是我们的。呃，二分之根号六，那他也要是二分之根号的，就二分之二，三乘以谁等于二分之根号六，谁等于乘以根号二，对不对？所以 c 等于根号二，所以它是正确的啊。 好了，看三十四题，三十四，一个基础运算，三分之一的负三次方，负次方是倒数的意思啊，所以那就是三分之一乘以三分之一乘以三分之一，最终的结果再倒过来，所以等于二十七，分之一的倒数是二十七， 所以他的结果等于二十七，然后再减去二二十七的。呃，三分之一四方就是开三次，意思就二十七开三次，开三次肯定等于三呀。三乘三乘三等于二十七，对不对？所以减去三，所以最终结果等于二十四，所以他是错的。 好，三十五题是一个等比，竖列 a 二等于负四， a 五等于二分之一，让我们求 q， 在 这个里面， a 二和 a 五之间，他们差的是三个数字，所以差是三个 q， 所以 是 a 二乘以 q 的 三次方应该等于 a 五， 那 a 二是负，四为负，这个 a 五是二分之一为正，是不是 q 三次方要为负才行呀？是不是 q 三次方要为负呀？负负才能得正，对不对？ q 三次方为负， q 也是为负，他说是正负，所以显然是错的，就不用再计算数字了啊。 好，三十六题。三十六题，他说他们之间是垂直的关系，那是不是垂直？那垂直的关系是 x 乘 x 二加上 y 乘 y 等于零，那显然是错的，对不对？一乘二加上二乘四不等于零，所以他是错的啊。好，我们来看三十七题。 三十七题是一个双曲线的问题，他让我们求这个间隙线是不是 y 的 正负二分之三 x， 那 在求间隙线之前，我们先把这双曲线变成一个正常的形式， 面积的话，必须让它等号后面等于一才行，所以让它同时除以三十六就是四 s 平方除以三十六减去九，外方除以三十六等于一，所以进行化简的时候，变成我们九分之 x 方，然后减去四分之外方等于一，是不是？然后接着来求渐近线，渐近线方程是 y 等于正负 a 分 之 b x 啊，或者是 y 等于正负 b 分 之 a x 啊，是这样的形式，那是谁取决于焦点是在 x 还是在外。那我们来看一下焦点在 x 在 y 还是看 a， a 方头上 a 方，谁是 a 方，谁在前，谁是正数，谁是 a 方，也就是九头上九是 a 方， a 方头上是 x， 所以 焦点是在 x 楼上，所以我们要用这个公式， y 等于正负 a 分 之 b， 所以 等于正负 a 方是九，所以是 a 是 三，然后 b 是 二，正负三分之二 x， 它是正负二分之三，所以是错误的。 好，我们来看下第三十八题。三十八题让我们说的是圆和圆的位置关系，那圆和圆的位置关系，它让我们判断是不是相邻，那我们要知道在什么情况下圆和圆的位置关系是相邻啊？ 在这个里面我们要给他画一个图啊，圆和圆当他是相邻的话，说明是两圆心之间的距离大于两半径之合啊。在这里呢，我们就求两圆心之间距离和两半径之合就可以了。 两圆心之间的距离就是零逗号零和三逗号三之间的距离，对不对啊？那两点间的距离公式就是根号下 x 二减 s， 一 的平方就是三的平方加上三的平方，因为都是零零，对不对？所以就等于根号三的平方是九九加九等于十八，根号十八，根号十八是 呃二九十八三倍的根号二，这是两圆心之间的距离，那两半径之间距离，半径都是一和一，两半径相加是二，显然是两圆心之间距离大于是不是大于两半径之间的距离的，所以相离是正确的，所以是对的啊。 好，那接下来看一下三十九题。三十九题让我们求的是啊，他说两球的体积之比是八比二十七，它的表面之比是二比三，对不对？体积是三分之四 pi r 三次方和三分之四 pi r 啊，用个大写 r 三次方进行比较，对不对？ 他们两个之间比较的话，是三分之四派不比的，三分之四派不就比的是 r 三次方和 r 三次方， r 三次方比上 r 三次方啊，它是等于八比二十七的，所以 r 比上 r， 它应该是等于二比三吧， 对不对？那表面积是四派 r 方和四派 r 方，所以是 r 方和 r 方比，应该是变成我们的四比九，对不对？它是说二比三，肯定是错的啊。好，来看四十题。 四十题的话，他说 ab 互为互斥事件在这里面是 pa 等于零点三， pa 等于零点四， pa 并上 pb 应该是相加的关系，应该是零点七，所以这道题是错的。好，那这套试卷我们就讲到这里啊，大家有什么疑问可以在评论区留言，然后也可以私信。

hello， 大家好，我是汉辰单招张老师，今天我们来讲一下二六的单招数学押题试卷二， 在这个里面的话还还是满分，是一百五十分啊，我们还是先从选择题看起啊，选择题一共是一百二十分，三十道题。 首先第一题的话，他让我们求的是集合里面的一个交集啊， a 交 b， 在 这种交集的话，其实很简单，大家就是看数字就行，那四个数字啊，我们交集就是取中间值去掉最小的，去掉最大的就是我们中间值，那这四个数最小的数字是负二，对不对？那最大的数字是二， 所以剩下的就是负一到二分之一之间，那就是我们的交集中间区域，所以这道题我们选的是二号 b 选项，在这里面需要注意，你看这二分之一是带等号的，所以我要用中括号来表示啊，这个负一不带等号，所以要用小括号来表示。好，来看第二题。 第二题的话，让我们求的是命题的否定，命题的否定，看到这种问题的话，就是特称变全称啊，全称变特称，对结果否定。呃，就是我们如果遇到是道 e x， 你 就变成我们的道 a x， 如果遇到的是道 a， 那 就让它变成道 e 就 行了啊。 在这里面啊，他们前面变完以后对结果否定，结果是他是大于等于零的，结果就是小于零就行了。所以这道题我们选的是四号 d 选项啊，特称变全称，然后对结果否定啊，对结果否定。好，接下来看第三题。 第三题的话是我们的定域的问题，在这里面的话，它是多个定域的进行一个结合啊，我们要知道多个定域的结合，取最终的交集部分。 在这里面，首先我能看到的，比如先看它，它比较好看一点，在这里面的话是 x 减一，那 x 减一的话， x 减一肯定是不等于零的分母，那 x 肯定是不等于一的， 那我通过这个判断，我能把谁删掉？肯定是 a 和 b 进行删除。为什么？在这里面 e 的 大小是大概是二点七，一八什么什么什么啊？大概是大大概是二点七，那所以负无穷到一之间是也有一的， 所以我们答案只能在 c 和 d 进行选择啊，我们通过一个啊，删除 ab 选项，那接下来看这个那根号根号下的定律，根号下的定律是不是大于等于零啊？根号下的 x 要大于等于零，所以就是一减 long x 要大于等于零， 所以 long x 要小于等于一，对不对？在这个里面呢， long 是 什么？ long x 它就是我们的 log 以 e 为底的 x， 在这里面他说 log x 要小于等于一，那是不是 log 以 e 为底的 e 等于一啊，对不对？所以 x 怎么着？ x 应该是小于等于我们的 e， 对 不对啊？ x 小 于等于 e， 那 它结果肯定就是小于等于一了啊，所以小于等于 e， e 带等号，所以我们选的是四号 d 选项。 好，那接下来看一下第四题。第四题的话是 f s 等于 x 乘以二减 x 的 单调递减区间啊，单调递增区间 在这里面的话，它是我们的二次函数的问题啊。那如果看不出来的话，其实大家可以把这个括号去掉啊，你会更明显的看出来啊，那我们去下括号呢？是不是 f x 它又变成了 二 x 减去 x 方呀？啊？那再一下向，那就是等于负 x 方，加上我们二 x， 对 不对啊？所以它就是我们二次函数，一个开口朝下的一个二次函数，是不是一个这样子的呀？ 在这里面的话，我要找到它的递增区间，是不是这啊？从这开始啊，到这个位置是单调递增，所以我找到它的对称轴，对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b， 这是二函数的对称轴，所以等于负的二乘我们的负一分之 二，对不对？所以那等于负的负二分之二，所以结果等于正一啊，也就是负无穷到一为单调递增，所以我们选的是 a 选项。 好，那接着来看第五题。第五题是 f x 减二等于什么？什么让我们求 f 一， 也就是他最终的括号的结果是一，对不对？那我是不是要括号是对应括号的呀？对不对？他让我们求是 f 一， 所以我们整个括号变成几啊？ x 要等于三的时候，他整个括号是不是才是一 呀？啊？三减二才能变成 f 一， 对不对？所以 x 等于三，所以 x 等于三的话，带进去，那就是 log 以三为底的三加上三的平方， log 以三为底，三就是三的一次方等于三，所以等于一加九，所以等于十， 这么选是四号 d 选项在这里面，切记不要把一直接带进去，带进去你就做错了啊。那接下来看第六题。 第六题告诉我们是球的体积为三十六派，让我求球的表面积，那球的体积的公式是三分之四派 r 的 三四方，球的表面就是四派 r 方啊，我先把公式写下来， 然后我根据球的体积求出来 r 就 能求它的表面积了啊，在这里面，那他告诉他等于我们的三十六派， 对不对？所以那我进行除就行了，那就是三十六派除以三分之四，三十六派除以三分之四，是不是代表是乘以四分之三派呀？对不对啊？是在这里面派派，然后就进行耶，除了啊，那就是三十六乘以四分之三， 乘以四分之三的话，就是 r 的 三次方等于二十七，所以是 r 等于三。然后再套入这个公式里面， r 等于三就是四派乘以三的 平方啊，就乘以九四九三十六派还是等于三十六派？所以这道题我们选的是二号 b 选项啊，大家要把这个公式要给记住。第七题啊，他说下列函数在区间零到正无穷上为单调递增，在这里面我们可以先进行一个排除法。 首先啊，能把四号 d 形排除，为什么这个是我们 y 等于 ax 是 我们指数，对不对？ 当指数的时候， a 是 在零到一之间的时候，它就是我们的单调递减，所以四号递是不对的 啊。那看 a 选项， a 选的话是根号 x 分 之一，在这里面是，它是这个位置是为正数，零到正无穷，那分母越大，它的结果应该是越小，那你可以帮 x 等于一的时候，它的结果等于一，那当 x 越大，结果越小呀啊，所以它也是单调递减， 那我们结果只能用到 b 和 c 选项。那如果大家记住好的话，那 c 选项可以直接进行选择，就是 c。 为什么在这个里面的话， log 是 l o g 以十为底的 x， 当这个 l o g 以 a 为底， x a 的 位置是大于一的时候，它就是我们的单调递增，所以这道题就选 c 选项啊，那二号 b 为什么不对呢？二 b 是 x 减一块的平方，那我们可以给它拆开成啊， x 平方是吧？ 啊，然后减去二 x 啊，然后加上一，那它是不是可以变成这样的形式？二次函数形式，那在这个里面的话，那我们找它的对称轴啊，开口朝上对称轴，对称轴是负的二， a 分 之， b 就是 负的 二分之负二等于一，那它的单调递增区间应该是一到正无穷啊，所以二号 b 是 不对的啊。 好，那接下来看一下我们的第八题，下列函数中为偶函数的式啊。那首先我们来看一下，二号 b 选项一定是错的，当 x 头上为基数的时候，就是它的基函数啊，为偶数的话，就是它的偶函数，这是基函数。 那在这个里面， c 选项的话， sin 是 奇函数， cosine 是 偶函数，大家记住啊，那接下来看 a 选项， a 选项是零 x， 零 x 不 能取负值啊，所以是 a 是 错的。 那接下来看四号 d， 那 完全排出来只能选四号 d 了，那我们怎么来验证偶函数带入正负一，结果相同啊？结果相同，那我们来带入正义的时候，那是不是变成 e 的 一次方加上 e 的 负一次方？ 如果带入负一的话呢？是不是 e 的 负一次方加上 e 的 负的负一次方，是变成正义了，所以它们的结果肯定是相同的，所以它就是偶函数选四号 d 选项啊，大家记住， 那接下来看一下第九题，第九一组还是一个绝对值不等式大于五，绝对只有两个结果，所以大于取两边，小于取中间，所以选四号 d 带货字的是两边。 好，那接下来看一下第十题，第十题的话用的是我们的均值定律啊，大家记住，在这里面用这个公式 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a， b 的 公式，大家记住，行了，那他就是 a， 他 就是 b 啊，加号左边是 a， 加号右边是 b 啊，那套用就是 x 加二 y 应该是大于等于二倍的根号下 x 乘二 y。 好， 那在这里面告诉我， x 乘 y 等于四，那就是那 大于等于二倍的啊，根号下二乘以四，对不对啊？二乘四等于我们的八，等于根号八，也就二倍的根号八，那根号八是不是我们二倍的根号二呀？然后再乘以我们的二，所以等于四倍的根号，所以我们选的是二号 b 选项。 第十一题的话，是一个对数的问题，他让我们求这个 a 是 多少，那对数的话，我们要知道啊，他是一个怎么转指换指数的一个关系，那应该就是 a 的 负三次方是等于八的，他是一个这样的关系啊。那我们对数的结果其实就是这个 a 的 次方的问题， 那谁的负三次方等于八呀？那肯定是我们的二分之一呀，因为负次方是倒数，对不对？那你如果不知道的话，可以挨个来代入，比如说我代二，那二的负三次方，它应该等于八分之一， 那四的负三次方应该等于四的三次方分之一啊，所以呢， c 二分之一啊，二分之一的负三次方，那就是等于我们的八分之一分之一的倒数，对不对？所以就是等于我们的正八，所以这道题我们选的是 c 选项。 好，接下来看一下第十二题，让我们比较对数和指数之间的一个大小啊，在这种问题的话，你就是大概去预估它的值是多少就行了。 首先来看 a， a 等于 log， 以三为底的七，在这个里面的话，对数求的四方就是三的几次方等于七，那显然是没有这个数字的， 但是我知道，那他肯定是大于三的三的，因为三的三，三的一次方，三的一次方是等于三，三的二次方是等于九，所以那这个的结果肯定是在一到二之间的，对不对？一小于 a 小 于二，那在一到二之间的，这是第一个结果。 那第二结果的话来看，二的一点三次方，二的一点三次方，我不知道他是多少，但是他一定是 b 是 大于二的，因为二的一次方就是二，是吧？那大于一，那肯定是大于二了，他是一点三了，对不对？所以是 b 是 大于二的， 那 c 零点七的零点三次方，那零点七的零次方，他是等于一的，在这里面零点七他是小于一，是单调递减的趋势，所以是头上越大， 结果越小，所以 c 是 小于我们的一的，那显然 b 是 最大的，对不对？ b 是 大于二， a 是 在零到一之间， c 是 最小的，所以这道题就是 b 大 于 a 大 于 c， 所以 我们选的是四号 d 选项。 好，接下来看第十三题。下面函数 y 等于三 x， 图像 y 等于三 x， 这是指数。当指数 a 的 位置是大于一的时候，就是我们的单调递增的趋势， 那单元 d 增的趋势，那我们来看哪个是单元 d 增 a 肯定是不对，因为它是有一半减一半增，图像统一从左往右看， 二号 b 是 增，对不对？然后 c 选项好像也是增，从往往右看是不是也是增？四号 d 也是增啊，那在这里面哪个是它的图像？那我们记住是我们的二号 b 是 它的图像啊，我们指数的图像是在上半周啊，整个 y 的 上半周， 这个四号 d 是 我们的对数的图像，对数是在我们的啊，我们的整个的右半轴一上一下的形式啊。好，那接下来看一下第十四题。 十四题的话，他说 f 属于负二分之派到零之间，那就是在我们大概在第四象限的位置，对不对？他说他 f 等于负的三分之派，然后问我们三 in 在 这个里面的话，那三 in pi 加 f， 那 f 告诉我大概是在第四象限的，那我举个例子，他说负 九十度到零之间，那我是不是有一个，比如说负三十度也满足条件对不对？负三十度，那如果 pi 加上负三十度的话，那是等于我们的一百 pi 是 一百八十度，那应该等于我们的一百五十度，是不是在第二项间， 所以它的结果一定为正，所以我们首先来正负三排除掉，所以是 b 和 c 排除掉，那我答案只能是 a 和四 d， 那 只是，那其实就是让我们求三以 f 的 对不对？三以等于 y 比 r 对 不对？在这里面的话，那碳是 y 比 x， 所以 y 是 四 四啊，分母为分子，是为四的，所以这道题我们选的是四号 g 选项。实物题让我们求三以二 f， 那 要知道公式三以二 f 的 公式等于二倍的三 f 乘以我们的 cos 二 f， 好， 那就是二乘三 f 三 e 啊，给了一个坐标点，三 e 是 我们的 y 比 r， cosine 是 x 比 r 啊，在这里面它是 x， 它是 y， 那 r 是 谁？ r 应该等于我们的根号下 x 方，加上我们的外方，这个大家记住，根号下 x 方加外方啊，所以在这里面啊，给大家写清楚一下啊。 所以这里面要求出来， r， 那 根号 x 方加 y 方，那就是一的平方，加上二的平方开根号肯定等于根号五，对不对？所以它用公式，那就是变成二比根号五， 然后乘以一比根号五，然后再乘以我们的二，因为是二倍的，对不对？然后根号五乘根号五等于五，五分之二，然后再乘以二，那就是五分之四，所以我选的是四号 d 选项。 好，接下来看一下十六题，十六题的话是三角函数里面让我们求它的最小正周期，最小正周期的公式是二派比上我们的 omega， 对 不对？比上 omega， omega 是 x， 前面数，你说老师在这里面啊，他有啊，他有 x， 他 有 x， 我 们要看谁的值啊。 再遇到这种问题，不管是加号还是我们的减号啊，就是不管是加还是减，你能认出来哪个，你就看哪个就行了啊，找其中的一段就行，找其中一段看就行。那我显然是不是会看他呀， x 前面显然是二，所以就用他要写的二派比上二啊，那就是派，所以我们选 a 选项， 那如果我要是看前面这段的话，前面这段是三乘以扣三，对不对？如果遇到乘法的话，你要去数 x， 这是一个 s， 这是一个 s， 是 两个 s， 所以 是二排比上二啊。 好，我们来看十七题，十七题的话，它是我们的俯角公式的问题啊，根号三倍的三， x 加上 cos 值的指数范围，也就是你们书上背的啊。 y 等于 a 倍的三， x 加上 b 倍的 cos x 啊，它的公式应该等于根号下 a 方加 b 方，是吧？ sin 什么 omega， x 加上 five 的 形式对不对？所以那它最大值就是根号下 a 方加 b 方，那它的 a 方它就是 a， 那 它前面没有数，就是 e， 就是 b， 所以是根号下根号三的平方加上一的平方，所以等于根号四等于二，也就是那他的结果最终等于二，也就是他的最大值为二，那最小值就应该是负二，所以我们选的是 a 选项，正数是在最大值，负数他的最小值啊。 好，那接下来看一下十八题。十八题是扣扣三三的公式，扣扣三三，然后就是加变减，减变加，所以它应该变成扣三的三分之派，减去 十二分之派，对不对？三分之派是我们的六十度，十二分之派是我们的十五度，所以是六十减十五，那扣三四十五度等于我们的二分之根号二，所以我们选的是 c 选项。 那接下来看一下我们的十九题。十九题的话啊，有边有角，要么正弦，要么余弦，那我们来看一下他说给的 a c， b， 让我们求是 b 在 这个里面是正弦还是余弦，你就看逗号之前， 逗号之前如果是 abc 全给齐的形式，那就是我们的余弦啊。如果是给一对，那就是我们的正弦，那在这个里面显然是 abc 都有了，那就用我们的余弦公式， b 方 b 方等于 a 方加 c 方减去二， a c 扣三以 b， 对 不对？那直接套用行了，那就是 a 方是四， c 方是三，减去二乘，呃，二乘以根号三， 然后再乘以我们的扣散，以扣散 b， 这是我们的三十度，扣散三十度等于二分之根号三，所以进行计算，就等于啊七减去二乘二是四四倍的根号三，然后再乘以二分之二， 然后再进行相乘的话，根号三，根号三等于三，然后所以是二乘三等于六，所以是七减六等于一，所以我们选的是 a 选项啊，这是我们的余弦定律公式，大家会公式就一定能算出来啊。 好，那接下来看二十题，二十题的话是一个等差数列，在这里面，他说 a 一 等于一， a 二加 a 四等于十，那 a 二十等于多少？在这个里面的话，我要想求 a 二十，我是不是要求出来他的 d 是 多少呀？对不对？在这个我通过他，我通过前面的 a 二加 a 四，其实就能求出来 d， a 二加 a 四，它等于十，那 a 二是不是就是 a 一 加一个 d 对 不对啊？就是 a 二，那 a 四是不是 a 一 加三 d 对 不对？然后它是等于十的啊，我们进行一个置换的关系，然后在这里面，那它 a 一 是一，也就是一加 d， 然后加上一加啊，我们的三 d 啊，它是等于十，所以就是二加四， d 等于十，所以说四 d 应该是等于八，那 d 应该等于我们的二， d 等于二， d 等于二的话，那我就 a 一 和 a 二十的关系， a 一 是不是加上十九 d 就 等于我们的 a 二是因为他们相差十九个数，所以相差十九， d， 所以 是一加， d 是 二，所以一加。我们的呃，十九乘以二，所以加上三十八，所以结果应该等于三十九，所以我们选的是 c 选项。 r 题是一个等比数列，它说 a 二等于四， a 五等于三十二，让我们求 s 十，在这个里面的话，那我可以先进行求一下它的 q， 那 a 五和 a a 二和 a 五之间差是三个数，所以差是 q 的 三次方，也就是四乘 q 的 三次方等于三十二， 所以是 q 的 三次方等于三十二，然后除以四，所以等于八，所以 q 它是等于二的，那我得出来 q， 那 我得出来 q 的 话，那我是不是可以求出来 a 一 呀？ 那 a 二等于二，等等于四，那 a 一 肯定是等于二了， a 一 等于二，然后 q 等于二，对不对？那我用公式，那 s 十 s 十，它应该等于一减 q 分 之 a 一 啊，然后乘以我们小块一减 q 的 n 次方，对不对？所以用这个公式就是一减 q， 一 减二分之 a 一 就是二，乘以我们小块一减二的 n 次方，在这里面是十，那就是十次方啊。那进行括号的话进行整理，那一减二就是负一，负一分之 啊。一乘二是二，然后减去二乘二的十次方，也就是二乘二的十次方，从你乘成四方加加二的 十一次方，对不对啊？在这里面，那就是那它最终的结果好像没有，那除以负一，除以负一的话，那这个位置是不是变了啊？变成我们的二的十一次方，然后减二，是不是就是正变负，负变正了，对不对？所以站在这里面我们选的是四号 d 选项。 好，那接下来看一下二十二题。二十二题是我们的导数的问题，在这里面，他让我们求 x 平方乘以三 x， 他 是这个关系，那导数的话，如果是 f x 等于 a 乘 b 的 时候，那导数他的公式 f 倒 啊，那他应该等于 a 倒，乘以 b 不 倒，然后加上 a 不 倒，乘以 b 倒，他是这样的形式，先倒啊，这个不倒，然后这个不倒了，然后这个再倒啊。 所以那我来套用一下那 x 平方，那它的导 x 的 n 次方，它等于 n 倍的 x 的 n 减一，对不对？所以 x 次方的话，应该是二 x 的 一次方，也就是我们的二 x 啊，二 x， 然后导完后面不导了，乘以三 x 啊，这是前面二 x 乘以三 x， 然后 再加上我们的，加上谁再加上我们的啊，前不倒也就是 x 平方乘以啊，散溢倒，散溢的倒是我们的 cos 啊，所以满足条件的是我们的 a 选项啊，正确答案是 a 选项。二十三题的话啊，让我们求 ab 的 夹角，在这个里面的话，这是我们向量的问题啊，求夹角的公式，那我们要知道， cosine 夹角，它应该等于 a 乘 b， 比上我们的 a 模乘以 b 模，这个公式大家一定要记住啊，这是我们向量里面经常考的一个点， 那 a 乘 b 就是 我们的 x 乘 x 加上 y 乘 y， 然后 x x 一 乘以 x 二加上 y 一 乘以 y 二啊，那 a 膜乘 b 膜，一个向量的膜等于根号下 x 方啊， x 方加上我们的 y 方啊， x 一 方加上 y 一 方， 然后乘以那 b， 那 就是根号下 x 二的平方，加上我们的 y 二的平方啊，大家记住，行了，那 x 乘 x 加 y 乘 y， 它乘它等于二， 它乘它等于三，所以是二加三等于五，对不对？五比上，然后根号下 a 方加平方，那它的平方啊，它的平方就是一的平方，然后加上根号下一的平方，加上， 嗯，我们的负三括号的平方，然后再乘以根号下二的平方，加上我们的负一括号平方，所以它等于它等于根号十，它等于根号五，所以就是根号 五十分之五，那根号五十五十是二十五，乘以二，对不对？所以就是五倍的根号二分之五五倍根号二分之五，约分，约分等于根号二分之一，所以根号二分之一，然后上下同乘，根号等于二分之， 根号二，二分之根号二，也就是扣三以四十五度啊，所以乘以选择我们的二号。 b 选项二十四。题上我们找过这个点与圆相切的直线方程 啊，与圆相切就是长这样子啊，这个圆和这个直线是这个样子相切的，相切的话就是圆心到直线的距离，它是等于我们的 d 是 等于我们的 r 的， 在这里面，它的 r， r 是 等于我们的根号五， r 方式五，所以它是 r 是 等于根号五啊， 所以那我们先来看一下哪一个 a、 b、 c、 d 哪个选项先过这个点吧，过一，逗号二点啊，我们先做一个排除，首先来看 a 选项， a 选项当 s 等于一， y 等于二的时候， a 结果等于零啊，它过， 然后二号 b， 当 s 等于一，然后 y 等于二的时候啊，这是四减四，它也过啊，然后 c 选项看一下，当它是一，然后它是二的时候，然后负三啊，负三加三， a 也过啊，然后四号 d， 我 们再看一下， 当他是一的时候啊，当他一的时候就是二 x， 然后减二减二等于零，他不过啊，所以我通过一个代入点排除了 四号 d 选项，那我们接下来就来求这个 d 啊，就是看哪一个？呃，圆心点到直线的距离是等于他的 r 的 那圆心点，圆心就是在这里面，圆心是我们的零零点，对不对？到直线 a、 c、 b 都是我们的零点，对不对？到直线的距离 d 等于根号下 a 方 加 b 方分之啊， ax 加 b， y 加 c 的 绝对值，对不对？根号下 a 方加 b 方，那，那我们来看一下，根号下 a 方加 b 方，那它就是，它，就是 a， 它就是 b， 对 不对啊？那就是根号下一的平方加上二的平方，分之 啊。把零零点带进去，零和零带进去，那就是变成了负五啊，所以就是他变成我们的根号五分之五，根号五分之五，然后进行化简，那就是上下同乘，我们的 根号五，所以变成五分之五倍的根号五，所以结果等于根号五 a， 那 他的 d 就 等于我们的根号五，那 d 等于 r， 所以 相切，所以去一道题就选择 a 选项啊。二十五题，已知点 a 和点 b 的 直线与这个直线进行垂直，让我们求这里面的 a， 在 这个问题里面啊，那我们要知道一个点就是什么啊？这个直线我们用 l 一 来表示，他们用 l 二来表示，那 l 一 大概长这个样子吧，比如它是 l 一， 那 l 二是这个样子， l 二过 a 点和 b 点，它有可能 a 点在这，有可能是 b 点在这位置啊，也就是大概这个样子啊，在这里面，那用到的垂直啊，其实就是让我们求 k， 当我们知道是垂直的时候，就是 k 一 乘以 k 二，它是等于我们的 负一啊。我通过两点是不是也能求出来 k 啊？那两点 k， 它等于 y 二减 y 一 比上 x 二减 x 一， 那直线的 k 等于负的 b 分 之 a， 对 不对？负的 b 分 之 a， 所以 在这个里面，直线 k， 那 它就是 a， 它就是 b， 所以 负的啊，负一分之一等于一，也就是它的 k 等于它的 k 等于一啊。 k 一 乘以 k 二等于负一，那另一个 k 一定是为负一，才能等于负一吧。所以就是说，那我求出来这个 k 要等于负一，也就是 y 二减 a， 也就是四减 a 比上二减一，最终结果要等于负一， 那二减一等于一，那四减 a 要等于负一，肯定是四减五啊，所以这道题选的是四号 d 选项啊。那好，那接下来看一下二十六题。 二十六题让我们求概率的问题来看一下，他说有三名男生，两名女生，从中任选两个去参赛啊，然后参加比赛，既有男生，又有女生。概率做概率的问题，大家一定要分两步啊，先分我们的分母，然后再分我们的分子 啊，我们分两步来做，先求分母，求分母的话，先别管他干什么啊，反正我知道要怎么着选两个人啊，就是所有的可能性，有可能都是男生，有可能都是女生，有可能是一男一女，对不对？ 所以在这里面一共是三个男生，两个女生，五个人，也就是 c 五二五个里面选两个啊，这是所有的可能性，然后再求分子，也就是他的要求，他的要求是既有男生又有女生，也就是男生肯定是一个女生，也是一个男生，就是 c 三一，女生就是 c 二一啊，就计算就行了。 c 三一乘以 c 二一等于我们的六，然后比上 c 五二， c 五二就是五乘四，比上二乘一，所以等于十， 十分之六啊。约分，所以变成五分之三，所以我们选的是四号 d 选项二十七题的话，让我们求双曲线的离心力，在这里面他说 s 平方，然后减去九，外方啊，等于九，让我们求他的离心力。做这个问题的话啊， 先要把什么求了啊？先要把这个式子变一，所以变成 x， 平方比上九，减去 九，外方比上九，变成了外方比上一了，对不对啊？月份变成一了，所以等于我们的一，在这里面离心率 e 等于 c 比 a， 所以 我们要求 c 啊，找 a， 那 在这双曲线里面，谁在前，谁是正，谁是 a 方，那它就是我们的 b 方， 它是 a 方，它是 b 方， c 方，它是等于 a 方加上我们的 b 方的啊，所以 c 方应该等于我们的十，所以 c 就 等于根号十啊。 c 比 a， a 方等于九，所以 a 等于三，三分之根号四，所以我们选的是 a 选项。 好，接着再来看，在这里面让我们求，让我们找焦点，坐标为负一，逗号零的抛物线， 焦点在哪个轴上？负一在 x 位置，所以他的后面要跟着 x， 那 a 和 b 不 对，后面跟 x， 后面跟 s 在 这里面呢？谁是呢？那我们知道，那我们之前说过，求焦点，求焦点是除以四的，也就是他和他谁除以四等于负一，那显然是四号 d 啊，负四除以四等于负一啊，所以我们选的是四号 d 选项，大家记住 焦点数字在哪写着，那后面就必须跟着是哪个字母啊。好，那看二十九题，二十九题啊，然后让我们求二项式的道题，他让我们求 x 的 系数，也就是含 x 的 一次方向的系数啊， 那我要进行给他整理，在这里面要用到我们的二项式的公式， c n r， a 的 n 减 r 和 b 的 r， 要套用这个公式，那 n 就是 我们的四 r 是 要我们求的啊，所以是 c 四 r， x 的 四减 r， 然后 负啊，这是负的，所以要带的啊。负的 x， 这个是 x 二次方分之一，所以应该是 x 的 负二次方，大家给它变一下啊，变一下倒数 x 的 负二次方，括号的 r 啊，然后再进行整理，那在这里面负 x 的 负二次方，这个负代表是负一乘以 x 负二次方，意思啊，所以给它拆开，应该是负一的 r 四方，乘以我们的 x 负二括号的 r 四方啊，是这样来计算，然后是 c 四 r， 然后再乘以 x 的 四减二，然后再进行整理，让 x 和 x 进行整理，那是不是变成了 x 的 四减二，然后乘以 x 的 负二，同底相乘，次方相加，所以变成 x 的 四减三 三 r， 对 不对？四减三 r， 然后前面的话是负一的 r 四方，然后乘以 c 四 r 啊，是这样的形式，他让我们找 x 的 一次方向，前面记住， 所以 r 四减三是不是才能等于一，所以 r 要等于我们的一，也就是我们求出来 r 等于是一，所以变成负一的一次方，乘以 c 四一， c 四一等于四负一的一次方等于负一，所以等于 负四，是我们选的是 a 选项啊，这是我们二十九题，我们来看三十题，三十题的话是一个正方体啊，它让我们求 a、 a e 和 e、 f 所形角的正切值。在这里面，首先你也知道什么叫正切，正切指的是我们的碳， 碳等于我们的对边，比上文的零边啊，散等于对比斜扣散等于零比斜啊，碳等于对比零。好，那我现在先来找这两根线， a a e 在 这个位置 啊，然后 ef 在 这个位置啊，让我们找这两个夹角，那首先如果要想找线和线的夹角，必须让线和线然后挨上，对不对？挨住，所以那我可以把 a、 a、 e 进行平移，如果没有线，线之间没有夹角，要进行平移，让它产生夹角啊， 那把 a a e 进行平移，可以平移到哪？是不是可以平移到这个位置啊？过一点的这个位置是不是可以平移到这个位置啊？ 啊？拼到这个位置啊，拼到这的时候，那我们在在以这条件告诉我， e 是 什么？ e 是 整个这个后面 a a e d 啊， d e 啊，他这个面的一个中点，所以那我这个就是他的一个 中线，对不对？这是他一个中线，所以呢，这根线和前面这根线的长度应该是相等的，对不对？在这个里面的话，那这个角，这个角就是我们的产生的假角啊，那在这个里面，但凡是产生假角问题，我都要给他连成个三角形，我可以把这个和这再连接上啊，形成个这样三角形啊。 在这里面他没有告诉我数字是多少，那我可以随意举例，比如说让正方形的边长为二，边上为二，那那边长为二的话，那这段的距离是不是等于一的呀？对不对？他是终点正好一半是一，那我是不是要找到这段的长度 是不是？那这段长度的话，那我可以用直角三角形的勾股定律，因为他的长度是二，那所以他是一，他是一，所以勾股定律得出来的，他就是我们的根号二，对不对？根号二。然后那我们有了 正切，是对比的，也就是对边比上我们的邻边，也就是根号二比上一，所以选的是 a 选项，等于我们的根号二。好，那我们来看一下判断题， 判断题一共是十道啊，一共是三十分。那我们来看第一题，第一题的话，它说已知函数 f x 定于是 r 啊，然后则 f 零等于零，是 f x 等于奇函数的必要条件。 在奇函数定义里面，那我们背过这个例， f x 如果是奇函数的话，那它满足 f 零等于零，也就是后是能推出来前的啊。 那 f 零等于零就一定是奇函数吗？不一定，比如说 x 平方啊。当 f x 等于零的时候，那 x 平方是不是也等于零？那 x 平方是我们的偶函数，所以是后能推出来前，也就是我们的必要不充分条件，所以是对的 啊。那进来看第二题，他说一定过零多少？一，所有的过点题直接代入， x 是 零，也就二，零次方减一，二零次方是一，一减一等于零，也就是 y 等于零，它的 y 是 一，肯定是 错的。所以三乘以 cosine 大 于零，那 f 一定是第一项线。 cosine 乘以 cosine 大 于零。大于零大于零，要么是同正啊，正乘正大于零，要么是负乘负大于零，对不对？那 如果是在都在第一项线的话，肯定都为正数，那还有都为负的，对不对？比如说都在第三项线，那数就是为负呀，所以这道题是错的啊。 然后三十四题啊，都说 a 平行于 b， 那 二 a 减 b 就 等于它，那我来看一下， a 平行于 b 的 话，我要求出 x 是 里乘里等于 y 乘 y， 那 负四，二乘负二，所以 x 应该等于我们的 负二才行啊。那二 a 减 b， 那 二 a 就是 我们的负八和负四，然后 b 就是 二和一，对不对？不用动，那二 a 减 b， 那 负八减去二肯定等于负十啊，所以就是错的啊。 那接下来看一下三十五题。三十五题啊，一个三棱锥，我先给它画出来啊，是一个这样的 三棱锥，他说三棱锥啊，棱长都是为三啊，就是他为三，他为三啊，所有的边长都为三啊，都为三。 然后让你求他的表面积，表面积指的是我们的所有面的面积，那所有面他是不是一共有一个面，两个面，后面一个面，三个面，还有底面，一个面，四个面，有一个四个 三角形呀？四个完全相等的三角形，对不对？我求出一个三角形的面积，那我就是乘以四，那就是它的表面积，对不对？那好，那我就求出来这个面，那这个三角形它的面积是多少？它告诉我了，边长都是为三，所以它是一个等边 啊，等边三角形，对不对？等边三角形，它的角度就应该是六十度，所以我可以用它的公式，二分之一 ab 三以 c 的 公式对不对？所以就是二分之一乘三乘三乘以我们的 三，以六十度啊，所以就是二分之一乘以九乘以三，六十度，等于我们的二分之 根号三啊，所以结果等于四分之九倍的根号三啊，这是一个三角形的面积，我们是几个面呀？表面积一共是四个面，所以乘以四等于九倍的根号三，所以它是对的啊。 好，那我们接下来看一下三十六题。三十六题，他说他这个直线和这个直线平行，那平行的话是 k 一 等于 k 二，对不对？他说 a 等于四啊，就是平行， 那我们看一下是不是验证一下就行了。那第一个 k k 等于负的 b 分 之 a， 对 不对？那第一个 k 应该等于负的啊，一分之二，所以应该等于负二，这是第一个 k， 那 第二 k 的 话，负的 b 分 之 a 应该是负的三分之四，显然 k 一 不等于 k 二呀，对不对？所以是 a 等于四，是错的啊。 三十七题啊， s 四等于八，这是我们的等差数， a 一 等于一， a 三等于三，那 a 四一定等于四， a 二一定等于二啊，对不对？所以是一加二加三加四啊，那肯定也不等于八了，所以这道题也是错的啊。 然后第三十八题，焦距指的是二， c 在 椭圆里面，谁大谁是 a 方，所以它是 a 方，它是 b 方， c 方是 a 方，减 b 方等于 c 方，所以是二十减十六等于四， 所以是 c 就 等于二，那二 c 等于四，所以它也是错的。好，那接下来看三十九题。 三十九题的话，他说是 m 平行于 f 啊，有一根线啊，有一个面，这是面，然后这个线 m 平行于 f， 然后 n 在 啊， n 在 f 内，比如说 n， n 在 f 内，那 m 就 平行于 n。 不一定啊，那我现在这样画是平行的，那比如说我要这样画呢？我 n 要长这个样子呢？那 m 和 n 还平行吗？显然不平行，这是错的啊。我们来看一下四十题。四十题说直线经过 a 点和 b 点，则直线 l 的 倾斜角为六分之派。遇到这种问题，两点啊，求角度。其实就是找 k， k 等于我们的 y 二减 y 一 比上 x 二减 x 一， 它等于我们的碳 f， 在 这个里面的话是六分之派，是三十度，那碳三十度应该等于三分之根号三，对不对？所以我要求出来这两点 k 最终结果等于三分之根号三啊，那它就是正确的。 在这里面的话呢，外二减外一，那就是一减根号三比上根号三 x 二减 s 减三。在这里说，哎，老师，我看不出来他是不是等于这个结果呀？那我给他化解。在这里面，为了消除这个根号三，所以我们要上下同乘，根号三加三啊，同乘根号三 加三啊，上下同乘，它，所以就变成 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方的形式，所以变成了我们的三减九分之啊。在这个里面的话，你就直接去括号相乘行了。一乘根号三变成根号三，对不对？根号三乘以我们的根号三变成我们的 三，所以减三啊，然后再让他和他相乘，然后再加上三，是吧？然后再让他和他相乘，然后再减去我们三倍的根号三， 所以他俩进行约分掉，那他和他进行约掉，就是变成我们的呃，负二倍的根号三，然后比上我们的三减去九，等于我们的负六，所以约分，约分啊，进行互化减，所以等于三分之 根号三 a 满足条件，所以它是对的。好，那今天这道试卷我们就先讲到这里，大家有什么疑问可以在评论区留言。

今年四川儋州的同学怕是要笑哭了，答案已经陆续出了，难度不高，大部分同学不用担心自己要进场了。这个是护理类的答案，大家可以暂停查看，对了，还有其他科目的，大家想不想看呢？

单招都快考试了，是不是数学是你心里最没底的科目呀？单招数学啊，其实考的不难，百分之七十五的题目都是基础题，套公式呢就能拿分，那最后几天如何拿下基础分呢？你就死磕每年的必考基础题， 像集合函数、概率数列这些来看这里哈，针对这些考点呢，我们老师啊提取出了针对性的解析思路， 每个题型的解析思路呢，都说的明明白白，短时间内能够快速拿下基础题，做完呢就能拿分。需要数学公式和解析技巧的同学呢，六六六我可以直接发给你哈，记得点赞关注哦！

hello， 大家好，我是汉辰丹装张老师。今天我们来讲一套专家预测卷，二 十道判断，三十道单选。好，那我们来看第一题。第一题说是零不属于空集，在这里面是正确的，因为空集没有任何元素啊，所以零不在空集范围内，所以叫不属于。 好，那第二题根号下 x 平方加二的定域域为 r， 定域指的是 x， 对 不对？根号下的定域 x 平方加二要满足大于等于零，也就是它的结果等于等于零。问我 x 取数范围，他说 x 取 r， r 的 话是所有数，对不对？那在这里面，那我们知道 x 平方它的最小值肯定是为零， 然后除了零的话，那 x 平方它的结果肯定为正数，对不对？所以说零加二肯定是大于等于零的，那正数加上二肯定也是大于等于零，就是说我不管你 x 取正还是取负还是取零，你的最终结果加上二一定是大于等于零的，所以这个是对的。好，接下来看第三题， y 等于 x 分 之一，再负无穷到零上为单调递增，是不是单调递增，大家可以假设带入，比如说带一个负二和负一，对不对？带负二的话是负的二分之一， 负一的话变成负一，那负的二分之一是不是我们的负的零点五和负一啊，对不对？在这个里面的话，应该是负的零点五大于负一吧，所以他应该是单调递减，对不对？就是我的 x 越大，对应的结果越来越小，所以应该单调递减，所以这道题是错的啊。好的，接下来看一下第四题。 第四题说是第二象限角啊，务必比第一象限角大，这个肯定是错的吧？啊，比如说这 这个位置在第二象限角，比如在这个位置，这个角度如果是为一百五十度，是吧？这在第二象限，那第一象限，比如说，呃，这个这个意思啊，大家来看，我转一圈转到这是不是还在第一象限，那在这个位置的话，其实我是三百六十度了吧，对不对啊？所以说，呃，在第二象限角一定比第一象限角大，肯定是错误的啊。 好，那接下来看一下第五题。第五题的话是说将这个三角函数，然后沿 x 轴向左平移，我们一共有一个叫左加右减，对不对？左加右减的一个说法啊，所以这里面向左平移，应该是 x 进行加， x 加四分之一，所以是对的。 好，那第六题的话，是一于五的等差中项，等差 abc， 那 abc 中项就是 b， b 应该等于 a 加 c 除以二，也就是一加五除以二等于三，所以它是正确的。 好，接下来看第七题。第七句话是互相垂直，垂直的话，我们之前教过一些技巧，是不是垂直？就是说让我 x 和 y 互变，然后中间的加号变减号，那 x 和 y 系数互变的话，应该变成二 x 和 y， 然后中间加号变减号，就二 x 减 y， 二 x 减 y 满足条件，所以它是正确的啊。 好，接下来看一下第八题。在这个里面的话， a 平行于 b， c 平行于 b， 那 是否 a 也平行于 c？ 在 这里面的话，我可以把 b 先画到中间啊，因为 a 平行于 b， 然后这个 c 啊也平行于这个 b， 说 a 和 c 是 否平行，当然平行了，这是我们平行的传递性啊。好，那第九题 任何一个事件的概率都是在零到呃一之间，在这里面我们要注意，应该是小于大于等于零，小于等于一之间啊，应该是零和一都包含啊，所以这道题是错的。 好，我们来看下第十题。第十题的话，负数 z 和它的共轭负数不能比较大小，但它的模相等，对不对？在这个里面的话，那 z 如果举例子，比如说是等于三加四 i 的， 那它的共轭就应该等于三减四 i， 也就是 i 前面变正负三加四 i 和三减四 i， 那 它们之间就是互为共轭的一对负数， 那在这对负数里面，它们是不可以比较大小的，但是它们的模相等，那模怎么算呢？那 z 的 模和呃 z 的 共轭的模，它们的模都等于根号下 a 方加上 b 方，也就是三方加四方和三方加负四方，它的结果一定是相等的，对不对 啊？所以这道题我们是正确的。第十题，好，那这是我们的判断题，那接下来看我们的一个选择题。 好，来看第一题。第一题已知集合， a 等于一三五七， b 等于 x， 就 已知 x 大 于等于五，那么 a 交 b 为多少？那在这个里面的话，我要看 b 集合时大于五的数，从五往后，从往后有五和七，所以我们选的是二号 b 选项。 好，我们来看下第二题。第二题的话说， a 是 有理数，是 a 是 实数的什么条件？在这个里面，我们知道实数是我们的所有数， 是不是所有数啊？那他的范围应该是最大的，那他的范围肯定稍微小一点啊，因为实数包括有理数和无理数啊，所以说是小范围推大范围，所以我们称之为充分，不必要，所以我们选的是二号必选项。 在第三题里面啊， a、 b、 c 为实数，则下列命题正确的是， a 大 于 b， 则 a c 方一定大于 b， c 方这个显然是错的，因为 c 方你不确定它是不是等于零。如果 c 方为零的时候，两边同乘零应该是相等的，对不对？所以第一个是错的， 那第二个的话是，呃，零大于 b 大 于 a， 你 可以代数，比如说代一个负一和代一个负二，那在这个里面的话，那就是 a 的 平方应该等于四，四大于二，然后大于我们 b 的 平方大于一， a 满足条件，所以二号 b 是 正确的啊。 好，接下来看第四题，在这个里面，它的解集为多少？那这个解集的话，我们先求上面解集，那 x 减三的绝对值小于一，我想求绝对值的解，那我就需要怎么做？就是去掉绝对值等于后面数字的一正一负，那就是 x 减三等于一， x 减三等于负一，所以 x 等于四， x 等于二，对不对？也就是说一个是二，一个是四，也就是二到四之间的，所以说二到四之间是第一个解，那第二个解是多少呢？我不太确定是不是， 那我来看一下第二个，那我需要把它给解一下，那在这个里面的话，我可以分解一下这个一，一乘一等于一，对不对？然后前面是加二，这个位置是乘的问题，几乘几等于后面数是一乘一，然后后面是加二，那就是加一。加一代表是加两个数，所以那它应该成， 应该变成这样式子， x 加一，括号乘一个 x 加一，然后括号应该是大家等于零的，对不对？所以在这里面 x 应该等于我们的负一，就是让括号为零，就是它的结果。 两个都是为负一，说明他有两个相同的减。 s 等于负一，那大于应该是取两边，是不是就是负一的两端？负一的两端但是又带等号，所以又包括这个负一，所以从负一，然后到包括这个负一，再到这边，是不是负无穷到正无穷呀？ 也就是下面的结果是负无穷到正无穷，也就是我们的数轴是二到四之间，这是第一个，然后第二个的话，也就是负无穷到正无穷就都有，那他们交集在哪呢？交集数就是二到四之间这个问题题，所以我们选的是 c 选项啊，这是我们的第四题。 好，那看来第五题第五题定义域的问题啊， y 等于根号， x 减一分之一，那它的定义域是什么？在这个里面的话，既有根号又有分母，对不对？既有分母又有根号，那根号下是大于等于零，分母是 x 不 等于零，对不对？所以它们之间要进行结合的话，那肯定就是大于零 啊，因为它不能等于零，肯定要把这个零去掉了，那就是 x 减一大于零，所以 x 大 于一，所以我们选的是 c 选项。好，接下来看第六题， y 等于三 x， x 属于零到二的图像，在这个里面的话，这是。呃，单看它的话，是不是我们正比例函数啊，对不对？ y 等于 k， s 对 不对？那它大概是长这个样子， 但是它说 x 是 在零到二之间，所以这边就没有了吧。 x 是 从零开始的，从这个位置开始到二结束，对不对？也就是这段线二对应的 y 值在这啊，这个后面也没有了 啊，就是说他的 x 值取值这个范围就是零到二之间的范围，所以说，那这段线，这段线肯定是一条线段吧，所以我们选的是二号 b 选项啊。那直线，什么叫一条直线？直线是可以无限延伸的，这边无限延伸，这边无限延伸。大家知道那射线，射线指的是从这一端开始往这无限延伸，这叫我们的射线啊。好， 那接下来看一下第七题。第七题的话是下列函数为奇函数的式，那奇函数的话，我们优先找 x 投放，是奇次方的啊，那 a 不 对， a 是 x 二次方，这是我们的偶函数，偶函数加长数依然是偶函数啊， 所以我们在这里面，我们看来 c 和 d， 那 c 的 话是二， x 是 x 一 次方一，呃，奇函数是不？这是奇函数，奇函数，但是不可以加减长数，所以它是我们的 非奇非偶，所以 c 不是。 那四号 d 的 话，就是 x 三次方，三次方是奇数，所以它是奇函数，所以我们选的是四号 d 选项啊。那号 b 的 话，它是属于根号， x 是 属于我们的非奇非偶。如果大家想验证的话，你可以带入正负一来验证啊。然后如果它的结果 如果是结果相同啊，那它就是我们的偶函数，结果相同，就是我们的偶函数啊，互为相反 啊，互为相反就是我们的奇函数。比如说你把它带入一，那它的结果等于一，你带入负一，它的结果等于负一，是不是结果互为相反数，所以就是属于我们的奇函数，大家给它清楚啊。 好，那接下来看一下我们的第八题。第八题是一个二次函数的问题， y 等于 x 平方减四， x 加二，在这个区间内的最小值。做这种题的时候，大家千万不要犯一个最低级的错误，什么错误呢？就是说老师我把这个一带进去， 或者说我把这个四带进去，得出来，结果就一定是它的最小值，那这种问题你就要这样做的话，大概率就是错了啊。在这个里面，我需要去先找一下对称轴，首先是 ax， 然后 a， s 方加 b， s 加 c， 它 x 平方前面为正，所以它的开口应该是朝上的一个图像， 然后要找到它的个对称轴，对称轴对应的外值啊，外值对小，对不对？我所以要找到这个对称轴，对称轴就是我们的 x 啊，所以它的 x 对 称轴应该等于负的 二， a 分 之 b， 对 不对？所以他是 a， 他 是 b， 他 是 c， 所以 是负的二， a 分 之 b， 那 我代入来一下，应该等于 负的二分之负四，所以应该等于正二，也就这个位置应该等于我们的正二。好，那二在没在负一和四之间啊，对不对？那比如说这个位置瞄一下点，那这个二旁边应该是三，再往旁边应该是四吧，对不对？越小是在左边，应该是一，然后应该是零，应该是负一，对不对？此生我们来看一下， 那么最小值，最小值指的是谁？指的是 y 值指的是 y 啊，然后 x 等于二的时候，是不是对应的 y 点最低啊， 对不对？所以说 x 等于二的时候值最小，所以我们把 x 等于二带进去，也变成四，减去八，然后再加上二，所以应该等于我们的负二选 c 选项啊。那你说老师在这道题如果考我最大值呢？对不对？那你来看谁对应的 y 值最大，是不是负一对应的 y 值最高呀，对不对？所以说 x 等于负一，它应该是值最大的，对不对？ 好，我们来看下第九题。第九题下列函数中不是密函数的密函数是我们 y 等于 x 的 a 次方啊，后面再不能加其他东西了啊。 就在这里面的话，不是密函数的，是我们的 a 选项啊。你说老师二号 b 是 吗？二号 b 是 x 分 之一，是 x 的 负一次方，这个是 x 一 次方，这个是 x 的 负三次方，对不对？所以 a 不是 密函数。好，我们来看第十题， 指数函数 y 等于零点二五， x 的 图像一定经过哪个点，指数 y 等于 a， x 它一定经过的是零。逗号一， 对不对。也就是说 y 等于 a 的 零次方的时候，结果是等于一的任何数零次方等于一，但是不能是零的零次方啊。 no， a 也有要求， a 本来就不能为零，对不对？ a 要大于零，且不等于一，所以在这里面我要知道，我要知道是过的是零，逗一点，所以我们选的是 a 选项，当零带进去的话，它的结果等于 一啊。然后十一题二百二十五度加上 k 乘三百六，那 k 乘三百六的意思就是说我转几圈的意思是吧？你的象限在哪？如果说我是三十度是吧？这个位置是三十度，然后我问你，我转一圈，我转一圈回到这是不是还是在三十度？在第一象限这个位置 对不对啊？所以大家要注意啊，就说你转几圈不影响你的相间的位置的变化，那在这里面二百二十五度是在我们的第三项线啊，所以不管你转几圈是吧？然后你永远回到我们的是第三项线。好，那第十二题， 第十二题的话，在这个问题里面，他说二倍的 cos 方三十度减一等于多少？那读大家读下来的时候有没有发现这是我们的公式啊， 是不是我们 cosine 二 f 公式等于二倍的 cosine 方 f 减一，它跟它是不是长得一模一样啊，对不对？所以就是 cosine 二 f 公式，那 cosine 二 f 也就是 cosine 多少度？六十度吧，对不对？ cosine 六十度应该等于二分之一，所以我们选的是 a 选项。 好，接下来看十三题。在三角形中，角 c 等于四十五度，角 a 等于三十度， a 等于六，问我们 c 等于几 这种有边有角的问题啊，要么是正弦，要么是余弦，所以我看逗号之前，那逗号之前的话，有一对 a 出现，只要有一对出现，我们就用正弦定力啊，所以应该正弦应该是 a 比上三， a 等于 c 比上 三，以 c， 这样来做的，那 a 是 六，六比上三以 a， 也就是三以三十度，它应该等于二分之一，然后应该等于 c， c 是 让我们求的比上三以 c， 然后 c 角是四十五度，所以是三以 c 应该等于我们的二分之根号二啊，所以大家首先要先会代入啊， 那接着十字相乘相等就是二分之一， c 等于六乘二分之根号二，所以是二分之一， c 应该是等于三倍的根号二，那 c 应该等于三倍的根号二，是不是除以二分之一？除以二分之一代表的是乘二，所以等于六倍的根号二，所以我们选的是 c 选项。 好，我们来看一下第十四题，第十四题的话，它是我们三角函数里面辅助角公式这个问题啊，那它是哪个？它是我们这个 y 等于 a 倍的三， x 加上 b 倍的 cos， x 等于根号下 a 方加 b 方啊， a 方加 b 方啊，撒引啊， omega x 加上 five， 它是这个啊，所以在这里面让我们求它的最大值是我们根号下 a 方加 b 方，那 a 是 谁？ a 就是 三以内前面三以内前面这个数，那 b 就是 根号 cos 前面这个数， 所以它应该等于根号下一的平方加上根号三的平方，对不对？所以它应该等于根号下一的平方加上根号四，等于二。所以我们先来看下第十五题， 在等差数列中，然后前项和啊，前项和是 s n 让我们公差 d， 那 公差 d 啊，那应该是我们的后减前，也就是 a 二减 a 一， 那我想求出来 a 二和 a 一 应该怎么来求，怎么利用 s n 来求？大家要记住啊，那给大家先推理一下， 那 a 一 是不是就等于我们的 s 一？ s 一 就是前一项和，前一项和就是一个 a 一 啊，对不对？那 s 二它应该等于什么？ s 二应该等于 a 一 加 a 二吧， 是不是这个问题？ a 一 加 a 二是不是等于前两项格就是 s 二，那 s 二减去 s 一 是不是等于 a 二？ s 二是 a 一 加 a 二减去 a 一， 是不是就只剩下我们这个 a 二的问题呢？所以 s 二减 s 一 就等于我们 a 二， s 三减 s 二就等于我们的 a 三，大家要记住啊，等于 a 这个问题，等于这等于 a 二，所以在这里面我求出 a 一 有 a 二行了，那 s 一 就是 a 一， 那 s 一 的话， s 一 应该等于我们的 二减一，等于一，对不对？也就是 a 一， 它是等于我们的一的。好，那再接着来求 a 二，那我们先求出来 s 二， 那 s 二它应该等于二乘以二的平方，然后再减二，是吧？然后，所以它应该等于我们的六啊。 s 二等于六，然后六再减去 s 一， s 一 是一，那就六减一 等于五，所以是 a 二，它应该是等于我们的五，对不对？然后 d 那 就是五减去一啊。 s 二减去 a 二减去 a 一， 对不对？所以应该等于四，所以它公差是四，所以我们选的是四号 d 选项。 好，那接着再来看一下第十六题。第十六题的话，这个通项公式让我们求它的前三项和，在这个里面，目前我们看不出来它是等差还是等比对不对，所以我可以单独去计算一下。那前三项和就是 a 一 加一，二加一三，所以我给它进行罗列一下。那 a 一， 那就是 n 等于一的时候， n 等于一的时候 啊，就是 a 一， 是吧？那就是二乘一减一，所以等于一，这是 a 一 等于一，那 a 二 a 二的话，就是二乘二乘二减一，所以是二乘三等于六啊。那 a 三应该是三乘 二乘三减一，所以是三五十五，所以最终相加的话，应该等于二十二，所以这道题我们选的是二号 b 选项，就三项相加啊，就可以了。好， 那接着再来看一下第十七题。第十题问我们 a 乘 b， 这是我们的向量的问题。 a 乘 b， 它应该等于 a 模乘以 b 模，乘以 cosine 假角，它用的是呃，给的是 a 模 b 模，所以要用这个公式，如果他给的是两个坐标点的话， 那 a 乘 b 还等于什么？ x 乘以 x 加上 y 乘 y， 对 不对？你要看他给你什么条件，然后你再套用哪个公式啊？那就是二乘三乘以 cosine 六分之 pi， 是 不是 cosine 三十度啊？ 那扣散三十度，他应该等于我们的二分之根号三吧，对不对？所以再乘以六啊。六乘以二分之根号三，所以应该等于三倍的根号三，所以我们选的是 c 选项。好，接下来看一下第十八题。第十八题说的是平行，平行的话我们怎么说？里乘里等于外，乘外就是一六得六，二三得六，所以选的是 a 选项。 好，接下来看一下我们的第十九题。十九题说是 a 点 b 点，关于 p 点对称，问我们 b 点是多少？在这个问题里面，你要知道到底谁是对称点，这是 a 点，这是 b 点，他说关于 p 点对称，说明是 p 是 对称点，是不是？那中点怎么来？求的应该是 a 加 b 除以二，它是等于 p 的， 是不是？大家要知道终点怎么来的啊？所以说现在让我们求这个 b 对 不对？所以应该是 a 加 b， a 加 b， 整理一下是不是等于二倍的 p， 它乘它是不是等于我们的分子了，对不对？等于二倍的 p， 那 所以 b 应该等于二 p 减 a 呀， 是不是？所以说但凡让你求一端的，不管让你求 a 端或者求 b 端，你就让对称点乘以二减去一端就等于另一端就行了，大家给它记住，行了。 所以那二 p 应该就是我们的零逗号六，是吧？零逗号六减去 a， 那 就是一逗号二，所以应该等于零，减一应该等于我们的负一六减二应该等于四，所以是负一逗号四，所以我们选的是二号 b 选项。 好。第二十题，直线的倾斜角的曲值范围，直线的倾斜角就是零到一百八，包括零，不包括一百八，这是定义，大家一定要把它背会，这是定义啊，选四号 d 选项。好，那我们来看一下二十一题。 二十一题，让我们找它的圆心和半径，在这里面，它的圆心和半径应该怎么找啊？那有两种方法，那我先说一下配方的形式，因为我感觉配方比较简单一点啊。 那如果配方的话，你就让 x 和 s 配和 y 和 y 配，那现在是加二和减，呃，加四和减二，你就让各加减它们的一半啊，那就变成 x 加几，它是加四，你让它加二括号的平方，然后加上 y， 然后 y 是 减二，你让它减一括号的平方，这就行了。然后接下来配完怎么办？把后面数字的平方再扔出去，那就是减去二的平方，减四，减去一的平方，那就是减一等于零，对不对？所以整理就是 x 加二括号的平方，加上 y， 减一括号的平方，等于全乘过去，所以应该等于 五。好，那谁是圆心？括号为零就是圆心，所以 x 等于负二， y 等于一，然后它的半径等于 r 方吧。所以它这个五应该等于根号五是它的半径，所以我们选的是 c， 选择负二逗号一，然后根号五。啊， 好，二十二题问我们渐近线方程渐近线 y 等于正负 a 分 之 b x， 或者是 y 等于正负 b 分 之 a x， 这两个啊，看用哪个？两个区别是正负 a 分 之 b x， 说明焦点是在 x 轴上，在 x 轴上啊，然后正负 b 分 之 a 是 在外轴上，焦点是在外轴上，大家要注意，那焦点在哪个轴上，主要就是看谁是正的，你看前这时候，前面是正的， 后面后面这组数字是不是有负号呀？是不是？所以说它是为正的，所以那就是说谁是正的，谁是 a 方，也就是二是 a 方， a 方头上是 x 方，所以就是说间隙线是在 x 轴上，如果是 a 方头上，如果是二分之外方， 然后减去呃，四分之 x 吗？那此时焦点就是在我们的 y 轴上，大家要注意啊。所以说这个大家也可以理解为就是说谁在前，谁是 a 方， a 方头上，就代表我是焦点在哪个轴上啊？所以这里面我们要用谁，要用 y 等于正负 a 分 之 b x， 所以 说谁在前谁 a 方，他是 a 方， 所以 a 方等于二，那它是 b， 所以 说 b 应该等于二，所以变成根号二分之二 x 对不对？ y 等于正负，根号二分之二。在这里面的话，我们知道分母不能为根号，有根号要化简，上下同乘，根号二对不对？所以变成 二分之二倍的根号二，约分，约分等于根号二 y 等于正负，根号二 x， 所以 选是四号 t 选项。好，我们来看一下二十三题。 二三，你说是抛物线的问题，外方等于二 p x 有 一个焦点为 f， 若点 a， 二四在抛物线上，这个是不是在线上的问题？我之前说过在线上的问题直接代入就行了，对不对？它让我们求 a f 的 距离，也就是点 a 到焦点之间距离 啊？到焦点这句，那我想求焦点的话，我是不是必须知道这个 p 才行呀？我必须知道这个 p 的 字母是多少才行啊？所以说那给了这个问题点在线上的问题，那这个点就是怎么着带入才能体现出来它的价值啊？给他带入，但凡看到这个点在线上问题，你就先给他带入就可以了啊。 所以在这个里面的话，那 x 是 二， y 是 四，对不对？所以应该是二 p 乘以二等于我们的呃，四的平方，对不对？所以是四 p 等于我们的十六，所以是 p 应该等于我们的四吧？是不是 p 等于四？那我求出来， p 等于四以后，是不是二乘四应该等于八 x 呀？所以 y 方等于八 x， 是不是 y 方等于八 s？ 然后此时你再求 f， 因为他说 f、 a、 f 之间距离，是不是要求 f 求焦点，那焦点怎么求？焦点就是除四，准线除负四，焦点除四，这是定义是公式，大家记住行了啊， 除以四，所以这有这种让八除以四，八除以四就等于我们的二，所以 x 后面是 x， 所以 就是 x 等于二，所以就是二逗号零。好，那就是它的焦点。那 a、 f 之间距离，也就是我们两点之间距离吧，就是二逗号零和二逗号四之间的距离，那两点间的距离公式不是根号下 x 二减去 x 一 括号的平方，加上我们的 y 二减 y 一 括号的平方了吗？对不对？这个公式，所以它应该等于我们的根号下什么 x， 二减 x 就是 零的平方了，对不对？零的平方，然后加上，呃，零减四或者四减零，对不对？加上四的平方吧。所以应该等于根号 的四的方，根号十六还是等于我们的四，所以我们选的是二号 b 选项。那做这道题的话，重点就是说，我想求焦点，我怎么求焦点？我必须知道这个屁的屁的这个数字是多少，那这个屁的数字到底是怎么来的？我需要把点带进去啊，所以最终等于 y 等于是八 x 啊，得到这步的话，我才能去求焦点除四啊。 好，那二十四题下条说法正确的是任意三个点能确定一个面，错吧？叫什么不共线的三个点，不共线的三个点才能确定一个面啊。然后点垂直于同一条直线的两条直线平行，垂直于同一条点，比如说这样的它 既垂直于这条线，也垂直这条线，比如说给它想一个正方体，对不对啊？那这两根线，那这根线和这根线垂直，和这根线也垂直。那你说 a 线和 b 线是平行吗？显然不平行吧，所以是错的啊。 那接下来看 c 任意两条直线都能确定一个面，错，说什么两条平行线和两条相交线确定一个面啊，这也是我们的定义。然后那对的肯定是 c r t 了，平行于同一个平面的两个平面平行，这是我们的平行的传递性啊。是这样的，平行传递性 好，进来看一下二十五题。二十五题，已知正方体的棱长为一则，这正方体的表面积。那表面积的话是什么？表面积指的是所有面的面积，我的正方体是不是一共有六个面啊？简单给他画一下，一共六个面，那比如这是一个面是吧？你算出来一个面的面积，你给他乘以六，那就是他的表面积啊。 他说是棱长为一，那你的面积应该是边长乘边长吧。一乘一应该等于一，一共几个面？六个面，对不对？所以一乘六，所以我们选的是 c 选项。 好，二十六题，从三名女学生和两名男学生中各选一人参加比赛，各选一人，这叫合作完成，应该用乘法吧。所以应该是三乘二等于六，所以选二号 b 选项啊， 你也可以这样来做。你说老师各选一个人，我也不太清楚，是吧？你也可以说三选一，是吧？ c 三一，然后乘以一个二选一，就是 c 二一是不是等于六，对不对？ 然后二十七题， a n 二等于二十，问 n 等于多少？如果大家就是说我反推推不出来的话，你就可以带入下面是不是都是 n 呀？你当 n 是 四的时候，你带进去是不是？ a 四二 a 四二应该等于什么？是四乘三吧，从四开始倒乘，一共乘一共几个数？两个数 啊。四乘三等于十二，那 a 五二就等于五乘四，一共乘两个数，五乘四，四五二十，所以我们选的是二号 b 选项啊。 好，二十八题，抛一颗骰子，然后点数小于四，然后且为偶数的概率，那一个骰子一共是有六个数字吧， 对不对？六个数字，然后他说点那六个数字，总共六种六个数字，那这个六就是我们的分母啊。然后接下来看分子，分子就是说他要想要满足什么条件，他就要满足什么条件。小于四的数小于四有一、二、三，然后且为偶数，只有二吧，所以只有这一种可能，所以是六分之一，所以选的是四号 t 选项。 二十九题， a 加 b i， 然后等于负三加四 i， 那 问我 a 乘 b， 在 这里面，如果它们相等的话，应该是 a 等于 a， b 等于 b， 大家要知道，所以应该是 a 等于负三， b 应该是等于四的，所以是负三乘以四等于负十二啊。然后三十题， 在这个里面 f 撇，这是导数的意思啊，然后 f 撇一，我们应该先导后代入数字，那先导的话，在这里面重点就是涉及到 x n 次方，那 x n 次方，它的导应该等于 n 倍的 x 的 n 减一，比如说 x 三次方，它应该等于三倍的 x 二次方 啊，那 x 的 五次方，它应该等于五倍的 x 四次方，就把这个次方调前面头上减一就行了啊，这是它的一个定义，要求大家要记住。 接着再往看这道题，这道题的话应该是二 x 平方，平方掉到前面头上减一，所以变成四 x 的 一次方，对不对？然后再接着来看的话，那这个问题， x 的 一次方， x 一 次方的话，掉到前面是不是变成加上一 x 的 零次方了？ x 零次方就是我们的一啊，对不对？所以只加一就行了。 这个三三是我们常数，常数导等于零，常数用 c 来表示， c 撇等于零，所以只剩下是四 x 加一，那现在导完以后，再代入 x 等于一的时候，它的结果等于几？所以是四加一等于五，所以我们选的是 c 选项。 好，那这套试卷就导到这里，大家有什么疑问的话可以随时后台联系，私信留言。

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一分钟教会大家向量垂直的题型。另外，关于单招数学中的必备公式，李姐已经给大家整理好了，如果你还不知道背哪些公式的话，那你可以拿去记一记，拿去看一看，有需要的同学可以从这条视频的评论区或者是我的主页进到我的粉丝群里。好，我们来看， 如果两个向量用坐标来表示，好给你两个坐标，然后让你求它俩垂直，这时候有一个公式，比如说我们现在有两个坐标，一个是 x 一 y e， 一个是 x 二 y 二， 那要表示这两个向量垂直该怎么办呢？它里的公式是 x 一 x 二加上 y 一， y 二等于零， 所以只需要满足他们俩的乘积加和等于零，就证明这两个向量互相垂直。好，我们来看一下，问你互相垂直的话， a 选项，这里是 x 一， 这里是 x 二，这里是 y 一， 这里是 y 二。代入一下呗， x 一 乘以 x 二，一乘以二等于二， 加上 y 一 乘以 y 二，二乘以负一等于负二，所以二加上负二正好等于零。满足这个题，直接选 a 选项，所以同学们，向量垂直。记住， x 一 乘以 x 二，加上 y 一 乘以 y 二等于零。同学们，你们学会了吗？学会的同学记得点个关注和收藏，免得下次找不到了。

hello， 大家好，我是汉辰单招张老师，今天我们来讲一下二六的单招数学押题试卷二， 在这个里面的话还还是满分，是一百五十分啊，我们还是先从选择题看起啊，选择题一共是一百二十分，三十道题。 首先第一题的话，他让我们求的是集合里面的一个交集啊， a 交 b， 在 这种交集的话，其实很简单，大家就是看数字就行，那四个数字啊，我们交集就是取中间值去掉最小的，去掉最大的就是我们中间值，那这四个数最小的数字是负二，对不对？那最大的数字是二， 所以剩下的就是负一到二分之一之间，那就是我们的交集中间区域，所以这道题我们选的是二号 b 选项，在这里面需要注意，你看这二分之一是带等号的，所以我要用中括号来表示啊，这个负一不带等号，所以要用小括号来表示。好，来看第二题。 第二题的话，让我们求的是命题的否定，命题的否定，看到这种问题的话，就是特称变全称啊，全称变特称，对结果否定。呃，就是我们如果遇到是倒 e x， 你 就变成我们的倒 a x， 如果遇到的是倒 a， 那 就让它变成倒 e 就 行了啊。 在这里面啊，他们前面变完以后对结果否定，结果是他是大于等于零的，结果就是小于零就行了。所以这道题我们选的是四号 d 选项啊，特称变全称，然后对结果否定啊，对结果否定。好，接下来看第三题。 第三题的话是我们的定域的问题，在这里面的话，它是多个定域的进行一个结合啊，我们要知道多个定域的结合，取最终的交集部分。 在这里面，首先我能看到的，比如先看它，它比较好看一点，在这里面的话是 x 减一，那 x 减一的话， x 减一肯定是不等于零的分母，那 x 肯定是不等于一的， 那我通过这个判断，我能把谁删掉？肯定是 a 和 b 进行删除。为什么？在这里面 e 的 大小是大概是二点七，一八什么什么什么啊？大概是大大概是二点七，那所以负无穷到一之间是也有一的， 所以我们答案只能在 c 和 d 进行选择啊，我们通过一个啊，删除 ab 选项，那接下来看这个那根号根号下的定律，根号下的定律是不是大于等于零啊？根号下的 x 要大于等于零，所以就是一减 long x 要大于等于零， 所以 long x 要小于等于一，对不对？在这个里面呢， long 是 什么？ long x 它就是我们的 log 以 e 为底的 x， 在这里面他说 log x 要小于等于一，那是不是 log 以 e 为底的 e 等于一啊，对不对？所以 x 怎么着？ x 应该是小于等于我们的 e， 对 不对啊？ x 小 于等于 e， 那 它结果肯定就是小于等于一了啊，所以小于等于 e， e 带等号，所以我们选的是四号 d 选项。 好，那接下来看一下第四题。第四题的话是 f s 等于 x 乘以二减 x 的 单调递减区间啊，单调递增区间 在这里面的话，它是我们的二次函数的问题啊。那如果看不出来的话，其实大家可以把这个括号去掉啊，你会更明显的看出来啊，那我们去下括号呢？是不是 f x 它又变成了 二 x 减去 x 方呀？啊？那再一下向，那就是等于负 x 方，加上我们二 x， 对 不对啊？所以它就是我们二次函数，一个开口朝下的一个二次函数，是不是一个这样子的呀？ 在这里面的话，我要找到它的递增区间，是不是这啊？从这开始啊，到这个位置是单调递增，所以我找到它的对称轴，对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b， 这是二函数的对称轴，所以等于负的二乘我们的负一分之 二，对不对？所以那等于负的负二分之二，所以结果等于正一啊，也就是负无穷到一为单调递增，所以我们选的是 a 选项。 好，那接着来看第五题。第五题是 f x 减二等于什么？什么让我们求 f 一， 也就是他最终的括号的结果是一，对不对？那我是不是要括号是对应括号的呀？对不对？他让我们求是 f 一， 所以我们整个括号变成几啊？ x 要等于三的时候，他整个括号是不是才是一 呀？啊？三减二才能变成 f 一， 对不对？所以 x 等于三，所以 x 等于三的话，带进去，那就是 log 以三为底的三加上三的平方， log 以三为底，三就是三的一次方等于三，所以等于一加九，所以等于十， 这么选是四号 d 选项在这里面，切记不要把一直接带进去，带进去你就做错了啊。那接下来看第六题。 第六题告诉我们是球的体积为三十六派，让我求球的表面积，那球的体积的公式是三分之四派 r 的 三四方，球的表面就是四派 r 方啊，我先把公式写下来， 然后我根据球的体积求出来 r 就 能求它的表面积了啊，在这里面，那他告诉他等于我们的三十六派， 对不对？所以那我进行除就行了，那就是三十六派除以三分之四，三十六派除以三分之四，是不是代表是乘以四分之三派呀？对不对啊？是在这里面派派，然后就进行耶，除了啊，那就是三十六乘以四分之三， 乘以四分之三的话，就是 r 的 三次方等于二十七，所以是 r 等于三。然后再套入这个公式里面， r 等于三就是四派乘以三的 平方啊，就乘以九四九三十六派还是等于三十六派？所以这道题我们选的是二号 b 选项啊，大家要把这个公式要给记住。第七题啊，他说下列函数在区间零到正无穷上为单调递增，在这里面我们可以先进行一个排除法。 首先啊，能把四号 d 形排除，为什么这个是我们 y 等于 ax 是 我们指数，对不对？ 当指数的时候， a 是 在零到一之间的时候，它就是我们的单调递减，所以四号递是不对的 啊。那看 a 选项， a 选的话是根号 x 分 之一，在这里面是，它是这个位置是为正数，零到正无穷，那分母越大，它的结果应该是越小，那你可以帮 x 等于一的时候，它的结果等于一，那当 x 越大，结果越小呀啊，所以它也是单调递减， 那我们结果只能用到 b 和 c 选项。那如果大家记住好的话，那 c 选项可以直接进行选择，就是 c。 为什么在这个里面的话， log 是 l o g 以十为底的 x， 当这个 l o g 以 a 为底， x a 的 位置是大于一的时候，它就是我们的单调递增，所以这道题就选 c 选项啊，那二号 b 为什么不对呢？二 b 是 x 减一块的平方，那我们可以给它拆开成啊， x 平方是吧？ 啊，然后减去二 x 啊，然后加上一，那它是不是可以变成这样的形式？二次函数形式，那在这个里面的话，那我们找它的对称轴啊，开口朝上对称轴，对称轴是负的二， a 分 之， b 就是 负的 二分之负二等于一，那它的单调递增区间应该是一到正无穷啊，所以二号 b 是 不对的啊。 好，那接下来看一下我们的第八题，下列函数中为偶函数的式啊。那首先我们来看一下二号 b 选项一定是错的，当 x 头上为基数的时候，就是它的基函数啊，为偶数的话，就是它的偶函数，这是基函数。 那在这个里面， c 选项的话， sin 是 奇函数， cosine 是 偶函数，大家记住啊，那接下来看 a 选项， a 选项是零 x， 零 x 不 能取负值啊，所以是 a 是 错的。 那接下来看四号 d， 那 完全排出来只能选四号 d 了，那我们怎么来验证偶函数带入正负一，结果相同啊？结果相同，那我们来带入正义的时候，那是不是变成 e 的 一次方加上 e 的 负一次方？ 如果带入负一的话呢？是不是 e 的 负一次方加上 e 的 负的负一次方，是变成正义了，所以它们的结果肯定是相同的，所以它就是偶函数选四号 d 选项啊，大家记住， 那接下来看一下第九题。第九一句话是一个绝对值不等式大于五，绝对只有两个结果，所以大于取两边，小于取中间，所以选四号 d 带货字的是两边。 好，那接下来看一下第十题，第十题的话用的是我们的均值定律啊，大家记住，在这里面用这个公式 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a， b 的 公式，大家记住，行了，那他就是 a， 他 就是 b 啊，加号左边是 a， 加号右边是 b 啊，那套用就是 x 加二 y 应该是大于等于二倍的根号下 x 乘二 y。 好， 那在这里面告诉我， x 乘 y 等于四，那就是那 大于等于二倍的啊，根号下二乘以四，对不对啊？二乘四等于我们的八，等于根号八，也就二倍的根号八，那根号八是不是我们二倍的根号二呀？然后再乘以我们的二，所以等于四倍的根号，所以我们选的是二号 b 选项。 第十一题的话，是一个对数的问题，他让我们求这个 a 是 多少，那对数的话，我们要知道啊，他是一个怎么转指换指数的一个关系，那应该就是 a 的 负三次方是等于八的，他是一个这样的关系啊。那我们对数的结果其实就是这个 a 的 次方的问题， 那谁的负三次方等于八呀？那肯定是我们的二分之一呀，因为负次方是倒数，对不对？那你如果不知道的话，可以挨个来代入，比如说我代二，那二的负三次方，它应该等于八分之一， 那四的负三次方应该等于四的三次方分之一啊，所以呢， c 二分之一啊，二分之一的负三次方，那就是等于我们的八分之一分之一的倒数，对不对？所以就是等于我们的正八，所以这道题我们选的是 c 选项。 好，接下来看一下第十二题，让我们比较对数和指数之间的一个大小啊，在这种问题的话，你就是大概去预估它的值是多少就行了。 首先来看 a， a 等于 log， 以三为底的七，在这个里面的话，对数求的四方就是三的几次方等于七，那显然是没有这个数字的， 但是我知道，那他肯定是大于三的三的，因为三的三，三的一次方，三的一次方是等于三，三的二次方是等于九，所以那这个的结果肯定是在一到二之间的，对不对？一小于 a 小 于二，那在一到二之间的，这是第一个结果。 那第二结果的话来看，二的一点三次方，二的一点三次方，我不知道他是多少，但是他一定是 b 是 大于二的，因为二的一次方就是二，是吧？那大于一，那肯定是大于二了，他是一点三了，对不对？所以是 b 是 大于二的， 那 c 零点七的零点三次方，那零点七的零次方，他是等于一的，在这里面零点七他是小于一，是单调递减的趋势，所以是头上越大， 结果越小，所以 c 是 小于我们的一的，那显然 b 是 最大的，对不对？ b 是 大于二， a 是 在零到一之间， c 是 最小的，所以这道题就是 b 大 于 a 大 于 c， 所以 我们选的是四号 d 选项。 好，接下来看第十三题。下面函数 y 等于三 x， 图像 y 等于三 x， 这是指数。当指数 a 的 位置是大于一的时候，就是我们的单调递增的趋势， 那单元 d 增的趋势，那我们来看哪个是单元 d 增 a 肯定是不对，因为它是有一半减一半增，图像统一从左往右看， 二号 b 是 增，对不对？然后 c 选项好像也是增，从往往右看是不是也是增？四号 d 也是增啊，那在这里面哪个是它的图像？那我们记住是我们的二号 b 是 它的图像啊，我们指数的图像是在上半周啊，整个 y 的 上半周， 这个四号 d 是 我们的对数的图像，对数是在我们的啊，我们的整个的右半轴一上一下的形式啊。好，那接下来看一下第十四题。 十四题的话，他说 f 属于负二分之派到零之间，那就是在我们大概在第四象限的位置，对不对？他说他 f 等于负的三分之派，然后问我们三 in 在 这个里面的话，那三 in pi 加 f， 那 f 告诉我大概是在第四象限的，那我举个例子，他说负 九十度到零之间，那我是不是有一个，比如说负三十度也满足条件对不对？负三十度，那如果派加上负三十度的话，那是等于我们的一百，派是一百八十度，那应该等于我们的一百五十度，是不是在第二项间， 所以它的结果一定为正，所以我们首先来正负三排除掉，所以是 b 和 c 排除掉，那我答案只能是 a 和四 d， 那 只是，那其实就是让我们求三以 f 的 对不对？三以等于 y 比 r 对 不对？在这里面的话，那碳是 y 比 x， 所以 y 是 四 四啊，分母为分子，是为四的，所以这道题我们选的是四号 g 选项。实物题让我们求三以二 f， 那 要知道公式三以二 f 的 公式等于二倍的三 f 乘以我们的 cos 二 f， 好， 那就是二乘三 f 三 e 啊，给了一个坐标点，三 e 是 我们的 y 比 r， cosine 是 x 比 r 啊，在这里面它是 x， 它是 y， 那 r 是 谁？ r 应该等于我们的根号下 x 方，加上我们的外方，这个大家记住，根号下 x 方加外方啊，所以在这里面啊，给大家写清楚一下啊。 所以这里面要求出来， r， 那 根号 x 方加 y 方，那就是一的平方，加上二的平方开根号肯定等于根号五，对不对？所以它用公式，那就是变成二比根号五， 然后乘以一比根号五，然后再乘以我们的二，因为是二倍的，对不对？然后根号五乘根号五等于五，五分之二，然后再乘以二，那就是五分之四，所以我选的是四号 d 选项。 好，接下来看一下十六题，十六题的话是三角函数里面让我们求它的最小正周期，最小正周期的公式是二派比上我们的 omega， 对 不对？比上 omega， omega 是 x， 前面数，你说老师在这里面啊，他有啊，他有 x， 他 有 x， 我 们要看谁的值啊。 在遇到这种问题，不管是加号还是我们的减号啊，就是不管是加还是减，你能认出来哪个，你就看哪个就行了啊，找其中的一段就行，找其中一段看就行。那我显然是不是会看他呀， x 前面显然是二，所以就用他要写的二派比上二啊，那就是派，所以我们选 a 选项， 那如果我要是看前面这段的话，前面这段是三乘以扣三，对不对？如果遇到乘法的话，你要去数 x， 这是一个 s， 这是一个 s， 是 两个 s， 所以 是二排比上二啊。 好，我们来看十七题，十七题的话，它是我们的俯角公式的问题啊，根号三倍的三， x 加上 cos 值的指数范围，也就是你们书上背的啊。 y 等于 a 倍的三， x 加上 b 倍的 cos x 啊，它的公式应该等于根号下 a 方加 b 方，是吧？ sin 什么 omega， x 加上 five 的 形式对不对？所以那它最大值就是根号下 a 方加 b 方，那它的 a 方它就是 a， 那 它前面没有数，就是 e， 就是 b， 所以是根号下根号三的平方加上一的平方，所以等于根号四等于二，也就是那他的结果最终等于二，也就是他的最大值为二，那最小值就应该是负二，所以我们选的是 a 选项，正数是在最大值，负数他的最小值啊。 好，那接下来看一下十八题。十八题是扣扣三三的公式，扣扣三三，然后就是加变减，减变加，所以它应该变成扣三的三分之派，减去 十二分之派，对不对？三分之派是我们的六十度，十二分之派是我们的十五度，所以是六十减十五，那扣三四十五度等于我们的二分之根号二，所以我们选的是 c 选项。 那接下来看一下我们的十九题。十九题的话啊，有边有角，要么正弦，要么余弦，那我们来看一下他说给的 a c， b， 让我们求是 b 在 这个里面是正弦还是余弦，你就看逗号之前， 逗号之前如果是 abc 全给齐的形式，那就是我们的余弦啊。如果是给一对，那就是我们的正弦，那在这个里面显然是 abc 都有了，那就用我们的余弦公式， b 方 b 方等于 a 方加 c 方减去二， a c 扣三以 b， 对 不对？那直接套用行了，那就是 a 方是四， c 方是三，减去二乘，呃，二乘以根号三， 然后再乘以我们的扣散，以扣散 b， 这是我们的三十度，扣散三十度等于二分之根号三，所以进行计算，就等于啊七减去二乘二是四四倍的根号三，然后再乘以二分之二， 然后再进行相乘的话，根号三，根号三等于三，然后所以是二乘三等于六，所以是七减六等于一，所以我们选的是 a 选项啊，这是我们的余弦定律公式，大家会公式就一定能算出来啊。 好，那接下来看二十题，二十题的话是一个等差数列，在这里面，他说 a 一 等于一， a 二加 a 四等于十，那 a 二十等于多少？在这个里面的话，我要想求 a 二十，我是不是要求出来他的 d 是 多少呀？对不对？在这个我通过他，我通过前面的 a 二加 a 四，其实就能求出来 d， a 二加 a 四，它等于十，那 a 二是不是就是 a 一 加一个 d 对 不对啊？就是 a 二，那 a 四是不是 a 一 加三 d 对 不对？然后它是等于十的啊，我们进行一个置换的关系，然后在这里面，那它 a 一 是一，也就是一加 d， 然后加上一加啊，我们的三 d 啊，它是等于十，所以就是二加四， d 等于十，所以说四 d 应该是等于八，那 d 应该等于我们的二， d 等于二， d 等于二的话，那我就 a 一 和 a 二十的关系， a 一 是不是加上十九 d 就 等于我们的 a 二是因为他们相差十九个数，所以相差十九， d， 所以 是一加， d 是 二，所以一加。我们的呃，十九乘以二，所以加上三十八，所以结果应该等于三十九，所以我们选的是 c 选项。 r 题是一个等比数列，它说 a 二等于四， a 五等于三十二，让我们求 s 十，在这个里面的话，那我可以先进行求一下它的 q， 那 a 五和 a a 二和 a 五之间差是三个数，所以差是 q 的 三次方，也就是四乘 q 的 三次方等于三十二， 所以是 q 的 三次方等于三十二，然后除以四，所以等于八，所以 q 它是等于二的，那我得出来 q， 那 我得出来 q 的 话，那我是不是可以求出来 a 一 呀？ 那 a 二等于二，等等于四，那 a 一 肯定是等于二了， a 一 等于二，然后 q 等于二，对不对？那我用公式，那 s 十 s 十，它应该等于一减 q 分 之 a 一 啊，然后乘以我们小块一减 q 的 n 次方，对不对？所以用这个公式就是一减 q， 一 减二分之 a 一 就是二，乘以我们小块一减二的 n 次方，在这里面是十，那就是十次方啊。那进行括号的话进行整理，那一减二就是负一，负一分之 啊。一乘二是二，然后减去二乘二的十次方，也就是二乘二的十次方，从你乘成四方加加二的 十一次方，对不对啊？在这里面，那就是那它最终的结果好像没有，那除以负一，除以负一的话，那这个位置是不是变了啊？变成我们的二的十一次方，然后减二，是不是就是正变负，负变正了，对不对？所以站在这里面我们选的是四号 d 选项。 好，那接下来看一下二十二题。二十二题是我们的导数的问题，在这里面，他让我们求 x 平方乘以三 x， 他 是这个关系，那导数的话，如果是 f x 等于 a 乘 b 的 时候，那导数他的公式 f 倒 啊，那他应该等于 a 倒，乘以 b 不 倒，然后加上 a 不 倒，乘以 b 倒，他是这样的形式，先倒啊，这个不倒，然后这个不倒了，然后这个再倒啊。 所以那我来套用一下那 x 平方，那它的导 x 的 n 次方，它等于 n 倍的 x 的 n 减一，对不对？所以 x 次方的话，应该是二 x 的 一次方，也就是我们的二 x 啊，二 x， 然后导完后面不导了，乘以三 x 啊，这是前面二 x 乘以三 x， 然后 再加上我们的，加上谁再加上我们的啊，前不倒也就是 x 平方乘以啊，散溢倒，散溢的倒是我们的 cos 啊，所以满足条件的是我们的 a 选项啊，正确答案是 a 选项。二十三题的话啊，让我们求 ab 的 夹角，在这个里面的话，这是我们向量的问题啊，求夹角的公式，那我们要知道， cosine 夹角，它应该等于 a 乘 b， 比上我们的 a 模乘以 b 模，这个公式大家一定要记住啊，这是我们向量里面经常考的一个点， 那 a 乘 b 就是 我们的 x 乘 x 加上 y 乘 y， 然后 x x 一 乘以 x 二加上 y 一 乘以 y 二啊，那 a 膜乘 b 膜，一个向量的膜等于根号下 x 方啊， x 方加上我们的 y 方啊， x 一 方加上 y 一 方， 然后乘以那 b， 那 就是根号下 x 二的平方，加上我们的 y 二的平方啊，大家记住，行了，那 x 乘 x 加 y 乘 y， 它乘它等于二， 它乘它等于三，所以是二加三等于五，对不对？五比上，然后根号下 a 方加平方，那它的平方啊，它的平方就是一的平方，然后加上根号下一的平方，加上， 嗯，我们的负三括号的平方，然后再乘以根号下二的平方，加上我们的负一括号平方，所以它等于它等于根号十，它等于根号五，所以就是根号 五十分之五，那根号五十五十是二十五，乘以二，对不对？所以就是五倍的根号二分之五五倍根号二分之五，约分，约分等于根号二分之一，所以根号二分之一，然后上下同乘，根号等于二分之， 根号二，二分之根号二，也就是扣三以四十五度啊，所以乘以选择我们的二号。 b 选项二十四。题上我们找过这个点与圆相切的直线方程 啊，与圆相切就是长这样子啊，这个圆和这个直线是这个样子相切的，相切的话就是圆心到直线的距离，它是等于我们的 d 是 等于我们的 r 的， 在这里面，它的 r， r 是 等于我们的根号五， r 方式五，所以它是 r 是 等于根号五啊， 所以那我们先来看一下哪一个 a、 b、 c、 d 哪个选项先过这个点吧，过一，逗号二点啊，我们先做一个排除，首先来看 a 选项， a 选项当 s 等于一， y 等于二的时候， a 结果等于零啊，它过， 然后二号 b， 当 s 等于一，然后 y 等于二的时候啊，这是四减四，它也过啊，然后 c 选项看一下，当它是一，然后它是二的时候，然后负三啊，负三加三， a 也过啊，然后四号 d， 我 们再看一下， 当他是一的时候啊，当他一的时候就是二 x， 然后减二减二等于零，他不过啊，所以我通过一个代入点排除了 四号 d 选项，那我们接下来就来求这个 d 啊，就是看哪一个？呃，圆心点到直线的距离是等于他的 r 的 那圆心点，圆心就是在这里面，圆心是我们的零零点，对不对？到直线 a、 c、 b 都是我们的零点，对不对？到直线的距离 d 等于根号下 a 方 加 b 方分之啊， a x 加 b， y 加 c 的 绝对值，对不对？根号下 a 方加 b 方，那，那我们来看一下，根号下 a 方加 b 方，那它就是，它，就是 a， 它就是 b， 对 不对啊？那就是根号下一的平方加上二的平方，分之 啊，把零零点带进去，零和零带进去，那就是变成了负五啊，所以就是他变成我们的根号五分之五，根号五分之五，然后进行化简，那就是上下同乘，我们的 根号五，所以变成五分之五倍的根号五，所以结果等于根号五 a， 那 他的 d 就 等于我们的根号五，那 d 等于 r， 所以 相切，所以去一道题就选择 a 选项啊。二十五题，已知点 a 和点 b 的 直线与这个直线进行垂直，让我们求这里面的 a， 在 这个问题里面啊，那我们要知道一个点就是什么啊？这个直线我们用 l 一 来表示，他们用 l 二来表示，那 l 一 大概长这个样子吧，比如它是 l 一， 那 l 二是这个样子的。 l 二过 a 点和 b 点，它有可能 a 点在这，有可能是 b 点在这位置啊，也就是大概这个样子啊，在这里面那用到的垂直啊，其实就是让我们求 k， 当我们知道是垂直的时候，就是 k 一 乘以 k 二，它是等于我们的 负一啊。我通过两点是不是也能求出来 k 啊？那两点 k， 它等于 y 二减 y 一 比上 x 二减 x 一， 那直线的 k 等于负的 b 分 之 a， 对 不对？负的 b 分 之 a， 所以 在这个里面，直线 k， 那 它就是 a， 它就是 b， 所以 负的啊，负一分之一等于一，也就是它的 k 等于它的 k 等于一啊。 k 一 乘以 k 二等于负一，那另一个 k 一定是为负一，才能等于负一吧。所以就是说，那我求出来这个 k 要等于负一，也就是 y 二减 a， 也就是四减 a 比上二减一，最终结果要等于负一， 那二减一等于一，那四减 a 要等于负一，肯定是四减五啊，所以这道题选的是四号 d 选项啊。那好，那接下来看一下二十六题。 二十六题让我们求概率的问题来看一下，他说有三名男生，两名女生，从中任选两个去参赛啊，然后参加比赛，既有男生，又有女生。概率做概率的问题，大家一定要分两步啊，先分我们的分母，然后再分我们的分子 啊，我们分两步来做，先求分母，求分母的话，先别管他干什么啊，反正我知道要怎么着选两个人啊，就是所有的可能性，有可能都是男生，有可能都是女生，有可能是一男一女，对不对？ 所以在这里面一共是三个男生，两个女生，五个人，也就是 c 五二五个里面选两个啊，这是所有的可能性，然后再求分子，也就是他的要求，他的要求是既有男生又有女生，也就是男生肯定是一个女生，也是一个男生，就是 c 三一，女生就是 c 二一啊，就计算就行了。 c 三一乘以 c 二一，等于我们的六，然后比上 c 五二， c 五二就是五乘四，比上二乘一，所以等于十 十分之六啊。约分，所以变成五分之三，所以我们选的是四号 d 选项二十七题的话，让我们求双曲线的离心力，在这里面他说 s 平方，然后减去九，外方啊，等于九，让我们求他的离心力。做这个问题的话啊， 先要把什么求了啊？先要把这个式子变一，所以变成 x， 平方比上九，减去 九，外方比上九，变成了外方比上一了，对不对啊？月份变成一了，所以等于我们的一，在这里面离心率 e 等于 c 比 a， 所以 我们要求 c 啊，找 a， 那 在这双曲线里面，谁在前，谁是正，谁是 a 方，那它就是我们的 b 方， 它是 a 方，它是 b 方， c 方，它是等于 a 方加上我们的 b 方的啊，所以 c 方应该等于我们的十，所以 c 就 等于根号十啊。 c 比 a， a 方等于九，所以 a 等于三，三分之根号四，所以我们选的是 a 选项。 好，接着再来看，在这里面让我们求，让我们找焦点，坐标为负一，逗号零的抛物线， 焦点在哪个轴上？负一在 x 位置，所以他的后面要跟着 x， 那 a 和 b 不 对，后面跟 x， 后面跟 s 在 这里面呢？谁是呢？那我们知道，那我们之前说过，求焦点，求焦点是除以四的，也就是他和他谁除以四等于负一，那显然是四号 d 啊，负四除以四等于负一啊，所以我们选的是四号 d 选项，大家记住 焦点数字在哪写着，那后面就必须跟着是哪个字母啊。好，那看二十九题，二十九题啊，然后让我们求二项式的道题，他让我们求 x 的 系数，也就是含 x 的 一次方向的系数啊， 那我要进行给他整理，在这里面要用到我们的二项式的公式， c n r， a 的 n 减 r 和 b 的 r， 要套用这个公式，那 n 就是 我们的四 r 是 要我们求的啊，所以是 c 四 r， x 的 四减 r， 然后 负啊，这是负的，所以要带的啊。负的 x， 这个是 x 二次方分之一，所以应该是 x 的 负二次方，大家给它变一下啊，变一下倒数 x 的 负二次方，括号的 r 啊，然后再进行整理，那在这里面负 x 的 负二次方，这个负代表是负一乘以 x 负二次方，意思啊，所以给它拆开，应该是负一的 r 四方，乘以我们的 x 负二括号的 r 四方啊，是这样来计算，然后是 c 四 r， 然后再乘以 x 的 四减二，然后再进行整理，让 x 和 x 进行整理，那是不是变成了 x 的 四减二，然后乘以 x 的 负二同底相乘，次方相加，所以变成 x 的 四减三 三 r， 对 不对？四减三 r， 然后前面的话是负一的 r 四方，然后乘以 c 四 r 啊，是这样的形式，他让我们找 x 的 一次方向前面，记住， 所以 r 四减三是不是才能等于一，所以 r 要等于我们的一，也就是我们求出来 r 等于是一，所以变成负一的一次方，乘以 c 四一， c 四一等于四负一的一次方等于负一，所以等于 负四，是我们选的是 a 选项啊，这是我们二十九题，我们来看三十题，三十题的话是一个正方体啊，它让我们求 a、 a、 e 和 e、 f 所形角的正切值。在这里面，首先你也知道什么叫正切，正切指的是我们的碳， 碳等于我们的对边，比上文的零边啊，散等于对比斜扣散等于零比斜啊，碳等于对比零。好，那我现在先来找这两根线， a， a e 在 这个位置 啊，然后 ef 在 这个位置啊，让我们找这两个夹角，那首先如果要想找线和线的夹角，必须让线和线然后挨上，对不对？挨住，所以那我可以把 a、 a、 e 进行平移，如果没有线，线之间没有夹角，要进行平移，让它产生夹角啊， 那把 a a e 进行平移，可以平移到哪？是不是可以平移到这个位置啊？过一点的这个位置是不是可以平移到这个位置啊？ 啊？拼到这个位置啊，拼到这的时候，那我们在在以这条件告诉我， e 是 什么？ e 是 整个这个后面 a a e d 啊， d e 啊，他这个面的一个中点，所以那我这个就是他的一个 中线，对不对？这是他一个中线，所以呢，这根线和前面这根线的长度应该是相等的，对不对？在这个里面的话，那这个角，这个角就是我们的产生的假角啊，那在这个里面，但凡是产生假角问题，我都要给它连成个三角形，我可以把这个和这再连接上啊，形成个这样三角形啊。 在这里面他没有告诉我数字是多少，那我可以随意举例，比如说让正方形的边长为二，边上为二，那那边长为二的话，那这段的距离是不是等于一的呀？对不对？他是终点正好一半是一，那我是不是要找到这段的长度 是不是？那这段长度的话，那我可以用直角三角形的勾股定律，因为他的长度是二，那所以他是一，他是一，所以勾股定律得出来的，他就是我们的根号二，对不对？根号二。然后那我们有了 正切，是对比的，也就是对边比上我们的邻边，也就是根号二，比上一，所以选的是 a 选项，等于我们的根号二。好，那我们来看一下判断题， 判断题一共是十道啊，一共是三十分，那我们来看第一题，第一题的话，它说已知函数 f x 定于是 r 啊，然后则 f 零等于零，是 f x 等于奇函数的必要条件。 在奇函数定义里面，那我们背过这个例， f x 如果是奇函数的话，那它满足 f 零等于零，也就是后是能推出来前的啊。 那 f 零等于零就一定是奇函数吗？不一定。比如说 x 平方啊，当 f x 等于零的时候，那 x 平方是不是也等于零？那 x 平方是我们的偶函数，所以是后能推出来前，也就是我们的必要不充分条件，所以是对的 啊。那进来看第二题，他说一定过零多少一，所有的过点题直接代入， x 是 零，也就二，零次方减一，二零次方是一，一减一等于零，也就是 y 等于零，它的 y 是 一，肯定是 错的。所以三乘以 cosine 大 于零，那 f 一定是第一项线， cosine 乘以 cosine 大 于零，大于零大于零，要么是同正啊，正乘正大于零，要么是负乘负大于零，对不对？那 如果是在都在第一项线的话，肯定都为正数，那还有都为负的，对不对？比如说都在第三项线，那数就是为负呀，所以这道题是错的啊。 然后三十四题啊，都说 a 平行于 b， 那 二 a 减 b 就 等于它，那我来看一下， a 平行于 b 的 话，我要求出 x 是 里乘里等于 y 乘 y， 那 负四，二乘负二，所以 x 应该等于我们的 负二才行啊。那二 a 减 b， 那 二 a 就是 我们的负八和负四，然后 b 就是 二和一，对不对？不用动，那二 a 减 b， 那 负八减去二肯定等于负十啊，所以就是错的啊。 那接下来看一下三十五题。三十五题啊，一个三棱锥，我先给它画出来啊，是一个这样的 三棱锥，他说三棱锥啊，棱长都是为三啊，就是他为三，他为三啊，所有的边长都为三啊，都为三， 然后让你求他的表面积，表面积指的是我们的所有面的面积，那所有面他是不是一共有一个面，两个面，后面一个面，三个面，还有底面，一个面，四个面，有一个四个 三角形呀？四个完全相等的三角形，对不对？我求出一个三角形的面积，那我就是乘以四，那就是它的表面积，对不对？那好，那我就求出来这个面，那这个三角形它的面积是多少？它告诉我了，边长都是为三，所以它是一个等边 啊，等边三角形，对不对？等边三角形，它的角度就应该是六十度，所以我可以用它的公式，二分之一 ab 三以 c 的 公式，对不对？所以就是二分之一乘三乘三，乘以我们的 三以六十度啊，所以就是二分之一乘以九乘以三，六十度等于我们的二分之 根号三啊，所以结果等于四分之九倍的根号三啊，这是一个三角形的面积，我们是几个面呀？表面积一共是四个面，所以乘以四等于九倍的根号三，所以它是对的啊。 好，那我们接下来看一下三十六题。三十六题，他说他这个直线和这个直线平行，那平行的话是 k 一 等于 k 二，对不对？他说 a 等于四啊，就是平行， 那我们看一下是不是验证一下就行了。那第一个 k k 等于负的 b 分 之 a， 对 不对？那第一个 k 应该等于负的啊，一分之二，所以应该等于负二，这是第一个 k， 那 第二 k 的 话，负的 b 分 之 a 应该是负的三分之四，显然 k 一 不等于 k 二呀，对不对？所以是 a 等于四，是错的啊。 三十七题啊， s 四等于八，这是我们的等差数， a 一 等于一， a 三等于三，那 a 四一定等于四， a 二一定等于二啊，对不对？所以是一加二加三加四啊，那肯定也不等于八了，所以这道题也是错的啊。 然后第三十八题，焦距指的是二， c 在 椭圆里面，谁大谁是 a 方，所以它是 a 方，它是 b 方， c 方是 a 方，减 b 方等于 c 方，所以是二十减十六等于四， 所以是 c 就 等于二，那二 c 等于四，所以它也是错的。好，那接下来看三十九题。 三十九题的话，他说是 m 平行于 f 啊，有一根线啊，有一个面，这是面，然后这个线 m 平行于 f， 然后 n 在 啊， n 在 f 内，比如说 n， n 在 f 内，那 m 就 平行于 n。 不一定啊，那我现在这样画是平行的，那比如说我要这样画呢？我 n 要长这个样子呢？那 m 和 n 还平行吗？显然不平行，这是错的啊。我们来看一下四十题。四十题说直线经过 a 点和 b 点，则直线 l 的 倾斜角为六分之派。遇到这种问题，两点啊，求角度。其实就是找 k， k 等于我们的 y 二减 y 一 比上 x 二减 x 一， 它等于我们的碳 f 在 这个里面的话是六分之派，是三十度，那碳三十度应该等于三分之根号三，对不对？所以我要求出来这两点 k 最终结果等于三分之根号三啊，那它就是正确的。 在这里面的话呢，外二减外一，那就是一减根号三比上根号三 x 二减 s 减三。在这里说，哎，老师，我看不出来他是不是等于这个结果呀？那我给他化解。在这里面，为了消除这个根号三，所以我们要上下同乘，根号三加三啊，同乘根号三 加三啊，上下同乘它，所以就变成 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方的形式，所以变成了我们的三减九分之啊。在这个里面的话，你就直接去括号相乘行了。一乘根号三变成根号三，对不对？根号三乘以我们的根号三变成我们的 三，所以减三啊，然后再让他和他相乘，然后再加上三，是吧？然后再让他和他相乘，然后再减去我们三倍的根号三， 所以他俩进行约分掉，那他和他进行约掉，就是变成我们的呃，负二倍的根号三，然后比上我们的三减去九，等于我们的负六，所以约分，约分啊，进行互化减，所以等于三分之 根号三 a 满足条件，所以它是对的。好，那今天这道试卷我们就先讲到这里，大家有什么疑问可以在评论区留言。

二六年单招考试，你这是干嘛呀？语文你把我当小学生，数学你把我当研究生了？ 今年单招考试数学比以往更难了些。那么没有关系，同学你放心，你难，其他同学也难，所有同学分都会变低，不要焦虑压力，下午考试平缓对待，下午直测考试，各大类难度绝对不会太高。相信自己，你的置业方案由我来守护。

这里是南京交通职业技术学院，我是教院通哥，二六年单招校册考完了，结合二二年到二五年、四年官方暴露人数和真题情况，今年 两千零九六人报名，三百分满分。考生反馈，语文难，数学简单，英语持平，数学全中最高同分。先看数学， 按数据精准推导，今年一百九十分以上录取概率百分之九十五以上，一百八十六到一百八十九分是核心竞争段，一百八十三分以下风险偏高。 数学七十五分以上最稳，至少也要考到七十分。语文五十五分保底，英语正常发挥就够用。数学分越高，录取希望就越大。评论区打出你的预估分，我帮你一对一分析录取概率。 我是郊院通哥，南京郊院的成绩和录取线一出，我第一时间更新，关注我不迷路！

接下来看一下二零二六河北省单招数学的真题吧。第一题，集合 a 加 b， 我 们直接来看 a 的 哪一些元素符合大于零的这个范围啊？很明显，那就一和二选 c。 第二题，中位数，这一组数的中位数，中位数指的就是中间的那个数， 那么我们来看这种数据啊，中间那个数好像是没有，那么我们就选择五和七的平均数，那就是五加七除以二等于十，二除以二等于六了，选 c。 第三题，除法，那这个就是同底数密相处，底数不变，指数相减，这里是三分之二，那就是三分之二减二。我们单独来算一下， 三分之二减二呢，就是减三分之六等于负的三分之四。四选 a。 第四题，负数化简一下，这个啊，分子分母同时除以 i， 那 同时乘以 i， 那 就是三加四， i 乘以 i 等于 i 翻 三， i 加四， i 方，对吧？等于 i 方是负一，这里就是三 i， 那 这里的 i 方也是负一，那么四乘以负一就负四减四等于负三， i 加四等于四减三， i 选 c。 第五题，向量啊，我们来观察一下，我们要求的是 b、 c， 现在题目给的是 a b 和 a c， 那 么很明显啊，它们两个的起点都是一样的，说我们要用向量的减法， 向量的减法就是共起点，看中点，从右往左写，我们就可以把这个向量的 b、 c 变成向量 a， c 减向量 ab， 这样子的来看来来，这叫做共起点，然后看中点， 然后从右往左写就是 b， 写到 c 就是 b， c， 这样子的等于向量 a， c 是 一勾三，向量 ab 是 二勾零， 然后 x 轴减 x 轴负一， y 轴减 y 轴三减零，等于三负一。逗三选 b 第六题，定义域，定义域为零到正无穷小括号，那么只能选 b 了。这题还是比较简单的选 b 啊， a 是 错的， a 是 这样子的，中括号的零到正无穷这样子的。 第七题也是向量，向量的平行，向量的平行就是内项之积等于外项之积就是负二乘以负二等于四，外项之积一乘以 t 等于 t， 直接 t 等于四啊，选 d。 第八题，向量啊，求 a 一， 我们先把 q 求出来吧，我们可以这样子啊，用 a 六除以 a 五，那就是等于 q 了吧。 a 六为十六， a 五为八， 所以得出 q 等于二，那这里呢，我们用等比数列的通项公式啊，也就是 a， n 等于 a 一 乘以 q 的 n 减一次，用这个公式我们套个 a 五进去算吧。 a 五等于 a 一 乘以 q 的 四次，对吧？然后八等于 a 一 乘以 q 的 四次， q 为二，二的四次就十六啊，所以得出 a 一 等于二分之一啦，选 b。 第九题， a 小 于 b， 下列不一定成立，这，这个应该搞错了，应该是一定成立的，应该是一定成立的。 来看 a 的 这个选项，我们把这个 b 移到左边，那就变成了 a 减 b 小 于零了，所以 a 是 对的，那么 b 就是 错的了。 选 a， 那 么 c 怎么，为什么错啊？我 c 可以 是两个都是正数啊，是不是我 a 可以 取一， b 可以 取二，两个都是正数， 那 c 就 不成立了，那 d 为什么是错啊？ d 我 可以一个一个取负数，一个取正数，我 a 可以 取负二，对吧？ a 等于负二， b 可以 取一，那么负二的平方，那不就是变成了四了，一的平方还是一，所以四大于一啊， d 也是错的。 第十题，三角函数，那么这里有两条公式，大家要记一下，第一条是塞眼的 a 加 b 等于塞眼 c， 第二条是口塞眼的 口塞眼 a 加 b 等于负的口塞眼 c。 这两条要记一下，如果你们记住了这两条，那就很轻松的就得出来这题的答案，直接选 b 了。 第十一题，我们先求这个 f 二 f 二代入哪一条啊？代入下面的这条嘛，那就等于一减二乘二等于 一减四等于负三了。那现在得出这个 f 二为负三，我们再求 f 负三， f 负三代入第一条啊，那就是等于二减负三等于二加三喽，等于五，所以十一题选 d。 十二题二项式的展开是 x 平方 y 方，我们来先把二 x 和 y 写下来，然后来看呢，它要配凑成 x 的 平方和 y 的 平方，那么我们这里的 i 呢，是不是要给它一个平方呢？ 同时 x 也要给他一个平方，刚好啦，把四分别拆开为二和二，给了他们刚好啦，然后把它们乘起来。那么前面呢，是一个 c 几几的组合的写法，怎么怎么写呢？现在总数为四四写在下面， 然后看这里啊，看后面的这个次数为二，所以上面就是二了。 c 四二好了，那这里呢，就是等于 c 四二算一下啊。 c 四二等于四乘以三除以一乘以二，这里一约变成了二二三得六对六啊， 六乘以四 x 的 平方乘以 y 的 平方等于二十四 x 的 平方 y 方了，所以它的系数为二十四啊。选 d 好 了，今天课就到这里。