张宇30讲第八章哪些部分不用看

章鱼基础三十奖到底有哪些可以不用看，这是后期讲，仍然是评论区抽十本三十奖。咱们开始。首先是两百五十三页的反常积分，初二考的概率会非常的大，初一初三也会考， 如果章鱼老师的听不懂，可以看下这两个老师的两百五十四页的钢板函数，初二可以不用掌握，初一初三的话，该论会有设计，如果能在这里掌握的话最好。 然后是二百六十九页的这个万能公式，可以不用学，咱们直接看吴老师的二重积分，绕定直线旋转就可以了。后面的例题都要做，所有的方法都用吴忠祥老师的方法做就行了。然后是二百七十六页的这道例题，他的解析是用这个方法做的，可以不用看，咱们直接用吴老师的方法来就行。 然后是大家最喜欢的积分等式，以积分不等式证明重点。例题都给大家标出来了，大家一定要掌握。课后例题的话呢，有两道题可以不用掌握，就是十一点五和十一点六，其他的都要会。 第十二讲，有的人说这些东西很难，给大家标一下重点，这四个数二一定要会，数一的话尽可能也要学会。数一考物理应用并不多，但数二每年都有固定的一题。三 星的概念很重要，至星的公式要记熟力举，不会就算了，轱辘金地理地理不会就算了，经济用数三给我往死里学。然后是三百一十四页这个图，这个图非常的重要，没事的时候多看看，非常重要，三百二十三页，二月拉杆老日这个东西一般不会这样去考，他的题可能会用到这个方法，但是不用这个方法也可以啊， 这个不会也没关系。第十四讲这个东西的证明一定要会啊，至于后面用伽马函数的，这个可以不会，但是要常规的方法还是要会的。然后是三百五十六页的雅克笔画圆这个东西，真题是没有考过的，模拟卷喜欢考这个东西，初二的话可以不用学，初一初三的话看情况学一下吧，因为概率会涉及到 三百五十八页这个苦鲁金。第二，地理直接用咱们吴老师的方法就行啊，这个方法不用看二重积分绕定直线，然后是后面的咱们这个平面大观，这些东西很多，但基本上让你画图的话，你都能画出来，唯一要重视的就是三个图已经给你标出来了，第十九个图要重点看一下。第二十三个图要重点看一下。然后是咱们最后一个。第四十三个图要重点看一下。这道题是考过真题的， 大家一定要看一下这几个图是怎么画的。三百八十三页这个东西不会没关系啊，你只要会用就行了。然后是咱们三百九十页的微分算子，微分算子这个方法不学没有任何关系啊，我在考试的时候是完全不会这个方法的，但是仍然也能做出来，但是今年学了一下，因为要当博主了。最后一部分微分方程的几何应用和物理应用。 首先这一部分是会考的，而且会考的比较难，但是章鱼老师的例题呢，他觉得太老了，这些都是说二十年前的考法了，如果你想在这一部分有一些突破的话呢，可以去看搜一下微分方程几何应用，然后学一下专题。那么本期视频就到这里，后面我会联合二六考完的一些学生给大家出一下数一数三专项的部分，关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。

章鱼基础三日讲到底有哪些可以不用看？前八讲的内容我已经整完了，大家可以截图保存一下，这个视频也是花费了我大量的精力，希望大家可以点点赞，点点关注，感谢各位！ 首先是第一讲的三十页，那么这一部分的话呢，大家可以不用花时间去看，因为基本是不会考的，就是这个超时速，超时速包括到一直到这里，到这个后面的屈和速度，这里其实都是可以不用看的，如果你理解不了的话，不用看啊，当然你后面如果学的还不错，你可以把这个屈和速度再拿回来看一下 这个。至于这个超时数的话，可以完全不用看后是第四十一页，这个无穷小的定义啊，这一部分完全感觉就是章鱼老师给自己写美了，他写的东西都不知道是啥。然后后面这个超时数也可以不用看啊，但是无穷小紧接着就要看了，第五十一页从 这里开始啊，这里也是，你只要只需要把上面这个公式记住，行了，下面这东西你不用看啊，还有这什么考研数学最高境界，跟你毛关系没有，但是到这里就认真看了，因为这里有一部分公式啊，这前面这些东西是可以不用看。好，然后咱们看一下第一讲最后一部分，也就是六十四页，这一部分六十四页 你只要记住这个就可以了，后面这个东西不用看，跟你半毛钱关系不用不用看，不用看。第二讲的这个海列地理可以不用看啊，海列地理不用看，虽然说这个很重要，但是你前期理解不了的话，可以不用看， 同样的竖列极限也比较难嘛，所以第二讲的第八个点，关于区域 a 的 速度问题，也可以不用看啊，这部分的一些例题呢，你都可以不用做， 如果你没有学懂的话，这部分可以不用看。关于第三讲，首先你只需要记得这个就可以了，然后这个例子，然后后面这个第六部分可以不用看啊，因为这一部分太抽象了，可以不用看。 然后是第一百零七页这个专题，这个专题的话你可以去 b 站找，直接就找 f x 与 f x 绝对值，你直接去 b 站搜就可以了，因为这一部分他在二五年是考过选择题的，而且比较难，所以有很多 up 主讲的，可以去 b 站找一下。然后就是咱们的第六讲， 第六讲的微分等式，以微分不等式这一部分可以不用学，如果你的目标在一百二以下的话，可以不用看，如果你的目标在一百三以下，那微分等式要看一下，微分不等式可以不用看啊。 然后是第两百页关于这个结论的解释，你只需要知道这个结论就可以了，一个函数求完导出他的导数可能有震荡，震荡点，哎，至于他怎么去解释的，你无需了解，你只需要知道这个例子就可以了，因为他会举一个例子，那这个例子看一下就行了，不需要去把这个东西看的很深，如果你目标没那么高的话， 那么这个就是张宇前八讲一些没有必要听的地方，那么至于其他没有提及的地方都比较重要，那么本期视频就到这里，下一周我会花时间把后面期讲看一看，然后再给大家出个视频，跟上亚瑟的节奏。

考研数学高数部分内容庞杂，题型多变，很多同学在复习时容易陷入看客都会做题全废的困境。如果你也在为高数复习抓不住重点，时间安排混乱而焦虑，那么这份基于张宇基础三十讲的题型方法总结与时间规划指南，或许能帮你理清思路，高效备考。 章鱼老师的基础三十讲高数部分共分为十八讲，覆盖考研数学所有高频考点。考研数学高数部分内容庞杂，题型多变，很多同学在复习时容易陷入看客都会做题全废的困境。下面结合考试题型与复习建议，帮你快速把握每一讲的重点，不要比进度，每个人基础不同，按自己的节奏稳固推进即可。 保持手感，数学需要持续练习，即使后期冲刺阶段也要每天做题，保持状态。祝你复习顺利，一战成硕！ 如果你也在为高数复习抓不住重点而焦虑，在面对这些多变题型时，为了更精准的定位我的薄弱环节，学姐偶然发现了智能型这个提分利器，加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。第一阶段，基础建立三月至六月，目标是完成高数前十讲，建立知识框架，掌握基本计算， 按建议时长分配学习任务。每讲结束后做对应题型，如基础三百题或智能型对应专题，遇到理解困难的知识点，可结合章与视频讲解加题型专项训练。 考研数学高数部分内容庞杂，题型多变，很多同学在复习时容易陷入看客都会做题全废的困境。如果你也在为高数复习抓不住重点，时间安排混乱而焦虑。基于章宇基础三式讲的题型方法总结，或许能帮你理清思路。不要比进度，每个人基础不同，按自己的节奏稳固推进即可。 目标是完成高数前十讲，建立知识框架，掌握基本计算重点章节，如极限微分积分，可适当延长学习时间，按建议时长分配学习任务。每讲结束后做对应习题 提示。数一同学还需重点关注第十期十八讲多元函数积分学，这两部分是数一专属内容，大题占比较高。 高数复习抓不住重点，时间安排混乱而焦虑。那么这份基于张宇基础三十讲的题型方法总结与时间规划指南，或许能帮你理清思路。张宇老师的基础三十讲高数部分共分为十八讲，覆盖考研数学所有高频考点题型导向，而非盲目刷课。 每学完一讲，立即总结该讲常考题型与解析方法，建立知识点题型方法的对应关系。计算能力是根基。高数考试计算量逐年增大，平时练习务必动手算到底，保持手感。数学需要持续练习，即使后期冲刺阶段也要每天做题，保持状态。 第二阶段强化提升。七月至九月目标是完成全部。十八讲，重点突破中职定理、积分应用、微分方程等大题题型。每讲学习后，整理题型方法笔记，例如中职定理的七种证明思路、积分计算的六类技巧， 配合六六零题或智能型综合训练，提升解析熟练度与综合运用能力。每周进行一次章节测试，检测掌握情况。计算能力是根基，高数考试计算量逐年增大，平时练习务必动手算到底，避免只看不练。 章宇老师的基础三十讲高数部分共分为十八讲，覆盖考研数学所有高频考点，结合考试题型与复习，建议帮你快速把握每一讲的重点。 重视错题，错题本是提分利器，定期复盘错题，找出知识盲区，不要比进度，每个人基础不同，按自己的节奏稳步推进即可。如果你在为高数复习抓不住重点而焦虑，这份指南能帮你理清思路，祝你复习顺利，一战成硕！ 目标是完成全部。十八讲重点突破中职定理、积分应用、微分方程等大题题型，整理题型方法笔记，例如中职定理的七种证明思路、积分计算的六类技巧， 配合六六零题或智能型综合训练，提升解析熟练度与综合运用能力。每周进行一次章节测试，检测掌握情况、题型导向，而非盲目刷课。每学完一讲，立即总结该讲常考题型与解析方法，建立知识点、题型、方法的对应关系， 合理搭配智能工具。如使用智能型考研数学辅助刷题系统，能根据你的薄弱点推送题目，实现个性化训练，提升效率。定期复习，避免遗忘高数知识点，连贯性强，建议每周安排时间回顾已学章节，可通过智能型综合测试功能滚动复习。错题本是提分利器，定期复盘错题，找出知识盲区， 保持手感。数学需要持续练习，即使后期冲刺阶段，也要每天做题，保持状态。第三阶段真题冲刺十月至十二月， 目标是通过真题与模拟题训练，查漏补缺，提升应试能力。按年份刷进十年真题，重点关注高数部分出题规律。使用智能型错题回顾功能，反复训练薄弱题型。模拟题推荐李林四加六套卷，贴近真题风格，锻炼临场手感。 高数考试计算量逐年增大，平时练习务必动手算到底，避免只看不练，不要比进度。每个人基础不同，按自己的节奏稳固推进即可。重视错题，错题本是提分利器，定期复盘错题，找出知识盲区，保持手感。数学需要持续练习，即使后期冲刺阶段也要每天做题，保持状态。 高数知识点连贯性强，建议每周安排时间回顾已学章节。如果你也在为高数复习抓不住重点而焦虑，那么这份基于章宇基础三十讲的题型方法总结，或许能帮你理清思路，祝你复习顺利，一战成硕！ 按年份刷进十年真题，重点关注高数部分出题规律，使用智能型错题回顾功能，反复训练薄弱题型。模拟题推荐李林四加六套卷，贴近真题风格，锻炼临场手感。每学完一讲，立即总结该讲常考题型与解析方法，建立知识点、题型方法的对应关系。 计算能力是根基。高数考试计算量逐年增大，平时练习务必动手算到底，合理搭配智能工具。如使用智能型考研数学辅助刷题系统，能根据你的薄弱点推送题目。高数复习建议提醒导向，而非盲目刷课。定期复习，避免遗忘。建议每周安排时间回顾已学章节，可通过智能型综合测试功能滚动复习。 不要比进度，每个人基础不同，按自己的节奏滚动复习，祝你复习顺利，一战成硕！ 题型导向，而非盲目刷课，每学完一讲，立即总结该讲常考题型与解析方法。计算能力是根基，高数考试计算量逐年增大，平时练习务必动手算到底。 合理搭配智能工具，如使用智能型考研数学辅助刷题，实现个性化训练。定期复习，避免遗忘。建议每周安排时间。回顾已学章节，可通过智能型综合测试功能滚动复习。 考研数学高数部分内容庞杂，题型多变，很多同学在复习时容易陷入看客都会做题全废的困境。张宇老师的基础三十讲，覆盖考研数学所有高频考点， 第一阶段目标是完成高数前十讲。建立知识框架，重点章节，如极限微分、积分，可适当延长学习时间。重视错题，错题本是提分利器，定期复盘错题，找出知识盲区，保持手感。数学需要持续练习，即使后期冲刺阶段，也要每天做题，保持状态。

章鱼三十讲零基础部分要不要听？零基础的例题要全部做一遍吗？需要多做会吗？ 主播正式开始各科的备考了，数学每天四小时，四零八每天四小时，英语每天两小时。数学今天学的是章鱼三十讲的零基础部分，这部分属于是初高中数学相关的知识点， 个人还是建议也要学一下。基础好的同学可以用一两天时间快速过一遍，基础差的同学可以用三四天时间搭配课程来学习。主播打算用三天时间来学 基本逻辑解析式的概念与运算坐标系及其变换这三个部分了解即可，只需掌握基础概念，无需深入钻研。 方程与不等式部分，在一元 n 次方程的内容中要重点关注二元相关部分。函数部分是高频使用的重点，需要重点复习数列及其单调性部分是高中学过的，快速回顾梳理一遍即可。零基础部分的例题个人感觉不用全部做，看看就行了。

可是我是那个二七，我现在基本上都复习完了，那个基础上讲，就是学到一了之后，还用再复盘前面的这些东西。这位同学提到的说复习到积分学了，前面要不要复盘，这是个很好的习惯，我们讲说知识很多的啊，你一张一张一讲一讲的学，学到后面会忘了前面的这个人，经常会发生这种情况，遗忘，这是我们一个很大的敌人，而且这个敌人呢，你是消灭不了的， 只能说减轻这个敌人对我们的影响。怎么办呢？那就是事实的重复，当我学完一元积分学的时候，那我回过头来要把一元为分学啊， 要复习一下，那么怎么复习？不是重复再去看，而是通过做题题，挑例题，重新做啊，通过做题的方式来把这个前面学的知识呢，把它调动起来，那么如果哪一个位置你调动不起来了，那就说明这块被你忘记了，那么你要很好的去把它补回来，这样就可以了。所以事实重复呢，是一个很好的办法，但是重复的手段要注意，一 般不要重新再去看知识的话，可能感觉到很乏味。呃，所以呢，还是通过做练习，那么来巩固温习以往的知识，这个方法会比较好一些。

昨天我讲了，呃，大部分的同学都不适合用章鱼的基础三十讲来打基础啊，也不适合跟章鱼老师 啊，为什么好多同学在下面留言啊，就说自己已经从这个呃章鱼转战周养心了。还有同学说，呃转战其他老师的。其实啊，我就特别强调，我说这个基础三十讲，名字叫基础三十讲，同学们，他真的不基础， 你学起来就懂了。里边的东西不是说不好，我感觉拿来给老师背课就不错了，因为它相当于是一个很好的备查的东西。但是对于学生来讲，我说你一上来就去学这么上头的东西，我感觉到最后你一定会崩溃，而且你搞得你自己抓不住重点了。 好多同学第一反馈就是问我说，学长这个应该背哪些公式？这书上了那么多公式，到底应该背哪些？我说实在的，真的是没法搞，如果像这种情况，所以我的建议是什么呢？如果说你们自己是吧你背，你感觉你这个知识框架你构建不起来，反正我自己是整理了这样的一份这个数学思维讲义，就专门呢给大家，就是把那些 将来呃骨干的这个知识吧啊抽取出来，那这样你学起来会快了很多，对吧？啊，不管你跟哪个老师学，我觉得如果说你发现你学的时候你边学边忘，边学边忘，那这个时候呢，你就要怀疑一下你的路线是不是正确的了。我敢说，百分之九十以上的同学，你们跟张女士一定是吃力的啊，因为原因很简单，这个里边的东西 实在是太多了，而且你一下子你是搞不过来。还有一个同学问到呢，他说要不要去学这个基础三角形的时候呢？配套的做一点一千题，我的建议就是百分之九十的同学你是不用做的，因为你根本就没有时间做。你如果说有时间的话，你把你学过的基础三角形好好复习一下，效果会更好一些。

三十讲刷几遍，我觉得至少得你一遍是不够的。你像三十讲刷几遍的问题，我经常给学生回答是，有些章节一遍是可以过的，有些章节可能要两到三遍，这不能统一而论。有些章节是你这个重点，而且是你不太容易学懂的地方，那么这个就需要多刷一两遍。 有的章节内容多，他这个容易忘记，虽然多刷个一遍两遍的，这个完全是应该的。有些章节呢，没有那么难，一遍就过了。大家在学习基础三十讲的时候呢，一定要达到这个深刻的理解啊，这个很重要。

二期考研同学们，你们好，上期视频咱们讲到了二四章鱼强化的问题，这期视频咱们讲，一讲章鱼基础，三讲结束后的保姆规划细致说明，一个视频就给你讲的透透的啊，我给你们的任何老师的规划都是在我脑海中完美走过一遍的， 直接就是你开始学到考研前的前一天的完整体系，你们不需要操任何其他的心，你只需要按照我的规划努力即可，不必受其他任何的影响，做我的沙兵，拿下二期考研的 fmvp。 我在去年就说市面上的讲题老师 up 已经这么丰富了，为什么这个数学的平均分还是这么稀烂？明明你们享受的已经是全国数一数二的教育资源了，已经和高中完全不一样了，不存在什么山区的教育资源啊，就属于北京差了。那就是啊，你们即使享有最好的教育资源， 你们依旧不会用，依旧乱用，给你们一本分绝，你们根本就没法领悟，甚至走火入魔。那我的出现就是能让你们最大程度的利用这些讲题的教育资源。碰巧的是，今年的数学平均分和总分确实太吓人了， 你们也在网上刷到了大量跟着我考四百加的毫不吹嘘，二六的粉丝在我这低于四百一都排不上号。不过由于试题难度也相对简单，我依旧需要二七年再次拿到一个 mvp 啊，证明一下自己。 过完基础三章讲后的路线如下所示，一、高速二、刷基础，三章讲搭配一千 a 的 这个错题，每天十道错题，这十道错题的选择一定是你。二、刷这一讲之外的题， 比如你要是刷到第五奖了，那你的十道错题的任务应该选择第五奖之外的啊。如果做完上述的任务，你仍然感觉顺利且精力充沛，那你优先选择的应该是同时开限行代数，而不是什么八八零的基础。那高速现代时间占比五五开现代期间最重要的是高速。我不希望有任何一个人给我说， 哎呀，秘密哥，我学完现代了，但是我的高速全忘了，如果你在我这出现了这种情况，我直接给你拉黑了啊。现代基础强化连在一起学， 不是学完一张现代基础就学一张现代强化。不是这样，而是学完全部的现代基础后再开现代强化啊。如果做完上述的任务， 你依旧感觉精力充沛，那你可以考虑加一本八八零的基础的高速部分二，很可惜，你并没有早点发现咪咪哥你是中途才关注我，发现没有实力去二三三四讲， 那你就去搭配二四的强化课，看完一讲就去做二四的强化讲义，二十二对应的基础讲义的全部啊。此讲的一千 a 的 错题，如果你没有做一千 a， 那 就是加上一千 a， 每天死到错题的思路依旧和第一个学习路线一致。注意，绝对不能开现代，绝对不能开现代！搞完二十三的讲，再去开现代 三，你跟着秘密哥做的不错，能不看课二十二的动，但某些章节依旧无奈，比如反常积分等等。像这种情况，二四的章鱼强化已经不再是最优解了，而是民间的老 up 们， 他们会让你得到更爽的补习训练。直接去隔壁最好的大学搜索即可看播放量高的评论区，好评如潮的啊！时到做题的思路依旧，参考路线一， 现在可以同时开，也是参考路线一。当然，如果你们在二刷三刷讲的过程中发现能做秘密 a 四大法任务，记得一定要做，如果不能做，那就等三刷三刷讲时候再做啊！切记， a 四的任务一定是默写，如果你不是默写，一点用处都没有。 如果你不符合我讲的三个路线中的任何一个，那你的情况是比较特殊的。我希望你能在直播间上麦和我交流一下，我有必要跟你们说一下我现在的直播间的每日福利。一、 按点赞数送欧吉里的会员以及言知世会员。二、送作为模板一套。三送两个楞子哥的信号全键打印。这里真的要特别感谢楞子哥，这个东西如果在他那里拿下得花二十八呢，他竟然让我直播间一次就送两个名额， 实属破费了。感谢楞子哥！四，一个月至少有半个月都送五十米圆梦你的 kfc 之梦啊！ kfc 维尼五十 everyday 五、 打字哥一本六百题和两本现代讲义六、遇老的三本现代讲义七、一个星期一本伽马哥的信号提提册啊！补贴这一块，助学金这一块啊！还是那句话，我要带领关注我同学们，干碎那些不关注我的同学们！

说实话，刚开始刷三十讲的时候，我也差点崩溃了。宇哥的课听起来确实爽，段子一个接一个，立体讲起来行云流水。但当我信心满满的合上视频，自己动手做立体时，完全没思路，那种落差感就像从山顶直接摔到谷底，特别打击人。后来我才慢慢明白，这不是你一个人的问题，而是三十讲本身的打开方式需要调整。 先搞清楚三式讲到底难在哪。三式讲的例题确实不简单，有些甚至接近强化阶段难度。宇哥在课上讲的例题，很多时候是带着你一步步走的，你觉得自己听懂了，其实只是跟着他的思路在走，并没有真正内化成自己的能力。 更关键的是，三式讲的知识点密度很高，一讲讲完可能还带好几个小模块。如果你像追剧一样，一口气听完一整讲再做题，知识点早就串味了，做题时根本想不起来该用哪个公式， 那到底该怎么学？听课和做题必须碎片化结合，不要等一整讲听完再做题。宇哥讲完一个知识点，比如极限的七种，未定时立刻暂停，把对应的例题独立做一遍，做不出来就再看一遍讲解，直到自己能完整写出来，再听下一个知识点。这样做的好处是，知识还在脑子里热乎着，马上就能用起来，印象会深很多。 对于我们这些在基础阶段挣扎的同学来说，面对考研、数学中这些高密度且容易混淆的知识点，我发现单纯靠死记硬背例题完全行不通。我开始寻找一种能针对我薄弱点进行精准突破的工具。加上后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。 例题要二刷甚至三刷，三是讲的例题每道都很经典，第一遍跟着视频写，第二遍必须独立做。如果第二遍还是卡壳，说明这个知识点没真正掌握，标记下来，周末集中攻课，很多人问我例题，下面就是答案，忍不住想看怎么办？ 我的建议是，用白纸把答案盖住，或者去网上找那种三十讲做题本，把例题单独摘出来，留出空白做题的那种，强迫自己独立思考。 遇到完全没思路的题，先别急着看答案，卡壳的时候，先翻回前面的知识点，把公式和定律在草稿纸上默写一遍。很多时候，不是题难，是你想不起来该用什么工具。如果思考十分钟，还是毫无头绪，再去看答案，看完一定要合上答案，自己重新写一遍，直到能独立完成为止。 关于一千题的搭配，三十讲的课后习题其实不算多，很多人听完课就去刷一千题，结果发现寸步难行。我的建议是，先把三十讲例题和课后习题吃透，正确率达到百分之八十以上，再进一千题。 如果基础篇都做的痛苦，说明你三十讲没过关，回去补基础比印刷题更重要。一战失败后的反思中，我发现最大的问题在于自己动手解题能力不够强。有句话说得好，你看到的不一定是你真正看到的。 对于习题而言，就是这样的情况，你看到一道习题，如果你不会做，你可能会去查看答案，然后以为自己掌握了。但事实上，你只是记住了答案而已，并没有真正掌握。正是因为这一点，我要给所有同学的建议是，一定要注重做题加练习计算能力这个重点。 然而简单粗暴的题海战术不是提高数学成绩最有效的方法，应该有针对性的做题，才能提高对知识点的掌握能力。对于我的二战来说，我选择从题目入手，重新学习和消化知识点。 当时我使用了一个刷题平台，名叫智能型考研数学，我二战全程使用了这平台，因为智能型能够让我有针对性的做题，一层层的夯实基础。简单来说，就是能够把知识点分解成小模块来消化，从而建立一个完整无死角的知识框架。 在进行数学学习和复习的过程中，平衡观看课程和做题练习是直观重要的。我一站就是一位看视频不进行做题输出，到了后期才去做题，才发现会出大问题。 我发现光是看视频进行学习，经常会发生一种情况，就是看完了整个视频，甚至也做了笔记，但是看完之后却说不出到底从中获得了什么知识。 但如果直接做题，又会有一种两眼一抹黑的情况发生，这样非常不利于我们对于自己做题的主动性。在使用智能型进行学习时，每一张开始前都会有一个复习要点，包括了核心的知识框架。 在听课时，经常会发生听完一节课但脑袋空空的情况，这种情况下，我们就可以在看视频前通过这个知识点列表来明确目标，从而更高效的看课。特别应该利用好智能型的查拆分知识点的功能，先了解本章有哪些知识点，再带着对 diss 知识点的疑惑去看视频中老师是如何讲解，怎么样推出这样的结论的， 这样能让我们避免看完视频仍然脑袋空空的情况。看完课就可以用智能型对这一章进行练习。做题练习是巩固知识、检验理解程度的有效方式，这在对之前看过的知识点起到加强作用的同时，也能查漏补缺。 像这样采取看视频和做题交替进行的方式，可以确保你在学习过程中既能够获取新知识，又能够及时巩固和应用所学内容。一开始，每当我遇到不会的题，就去翻答案，去背答案，最后发现这只是虚假的学会了某道题，而不是学会了一类题，甚至这一题都不一定保证下次能做对， 而把一道题彻底弄明白。底层逻辑，看似用了更多的时间学某一题，其实为之后的学习省去了许多时间。二战我开始正式使用智能型后，我发现它的功能确实超乎我的想象。 首先，它通过人工智能技术和大数据分析，根据我的学习数据提供个性化的学习计划。它会根据我的需要制定一个合理的学习计划，安排课程和复习时间，有效帮助我合理安排时间，特别是到了后期，可以让我有足够的时间复习专业课和背政治。这一点智能型的全程规划中也有说道。 我们可以在刷完智能型相应的章节等级之后，去用习题测对自己的学习成果进行一个检验。比如基础阶段可以用一千八百基础篇，强化阶段可以用六六零、八八零等。冲刺阶段可以用各种模拟卷和真题检验。 基本上在刷完智能型之后，一千八百、六六零等习题测的一刷正确率可以达到百分之八十以上。每个里程碑又分别分为许多任务，大家可以用这些时间做指引，更好的安排自己的复习。 但因为智能型的训练是因人而异的，所以每个人的情况都不一样，可以根据自己的情况做一些调整。总的来说，实际训练时间和你的基础有关，基础越好，训练时间越短，基础越弱，训练时间就会涨一些。在我学习的过程中，对于积分的几章内容学习的比较慢，当时非常焦虑，但在学完之后去做任务中对应的六六零时，就发现努力都不会是白费的 一站。直到后期，我才意识到自己做题不熟练，计算不稳定的问题，可惜为时已晚，犯了一种看到题目知道解法，但答案算不对的毛病。 算到一半放弃，遇到难题不想去计算简单题目又算不对答案，这就是所谓的眼高手低，这个坏毛病让我一站吃了大亏。考研题计算量可以很大，可以涉及分类讨论，可以综合多个知识点，也能涉及高级模型背景 计算是基本要求，如果连计算都做不对，这名题也别指望能完成。有时候运用计算技巧也是非常有意义的，计算一错，全盘皆输。计算能力考验个人的细心和基础功底，所以在复习初期，我们就要踏踏实实的练习计算和常规解析方法，如果做不动题目，通常是因为计算方法不熟练和畏难情绪导致的。 计算不行，解决情绪不行，解决情绪没有捷径可走。对于考研数学这种硬式型的考试，重要的是培养解析思维能力。在备考的第一年，我正是因为缺乏这种思维能力，才在一定程度上导致了失败。 同类型的题目换个数据体干变化一点点就不能立刻联想到考点和具体解法，也不能根据题目的条件选择最合适的方法。 智能型有一种很有效的训练方法，当你在一道应该做的出来的题目卡住时，会给你一道之前做过的类似题目的提示，以达到举一反三的刷题效果。 这种训练方式很好的解决了我之前一看题目就无从下手的坏习惯，我开始主动将之前掌握的知识点和解析思路联系起来。最后想说，三十讲确实有难度，但他难得有道理，他是在帮你搭建一个完整的知识框架，而不是简单的堆砌题型。 接触阶段痛苦一点，强化阶段会轻松很多。如果你现在正被三十讲折磨，别怀疑自己，我去年数一百四十三，前期也被三十讲虐的很惨，但只要方法对了，熬过去就是质变，坚持下去，你一定可以的。二期考研冲。

各位二零二七考研的同学们，大家好，我是张宇，那么从今天开始啊，我们就要一起走上二零二七考研数学的征程了 啊，那么在二零二七的考研数学的复习过程当中，我想大家知道啊，我们有这样五本教材，在基础阶段， 这个基础阶段的三十讲有五个内容，一个呢就是我们现在要给大家讲的这个零基础 零基础的通关讲义， 这个内容呢是我们在大学数学啊，更严格意义上讲是考研数学跟大家中学数学之间的一些啊，这个衔接的知识， 就是说你在考研里头要做题目也好，想问题也好，做计算也好，那么是用的到的中学数学知识， 那么我们需要做一个全面的通关，所以把它叫做零基础通关讲义啊，这是我们的第一个材料啊，大家手里拿到的这个小册子，那么这是第一个，第二一个呢就是我们的高等数学分册， 高数分册，然后呢我们就开始讲这个高等数学 啊，因为零基础讲完之后，那么大家就完全具备了开始学习高等数学考研的高等数学的内容的能力了，那我们就一点一点的开始学习， 那么在整个高等数学学完之后，那么大家再拿起第三本书，也就是那个，哎，一元积分学的一元函数，呃，积分学 通关讲义， 那么这个一元函数积分学通关讲义呢？它一共分成了七组， 那么七组训练题，我个人的建议，那么大家在整个高等数学学完之后呢，去做这个工作 是吧？当然有的同学呢，愿意在高等数学啊，学到一元积分学这块的时候呢，那么就拿出专门的一段时间去好好做一做这个一元积分学的七组训练题， 这个也可以，但是从进度上来说的话呢，你要中间要专门拿出一块时间来练啊，这个还是要花一定时间的啊，因为我告诉大家是这个内容，实际上就是， 呃，我在小册子里面写的是核心计算的通关讲义啊，那我们可以认为这个一元函数积分学啊，那实际上就是一个核心计算 啊，是一个核心计算的这个通关讲义，那确实如此，就整个的你考研里头最难算的东西是吧，区分度最高的当然就是这个一元函数积分学的计算了 啊，所以呢，我们今年是新增加了这么一块啊，新增加这一块呢，那么我想建议大家就是等这个高等数学全部在学完之后呢，那么专门我们啊拿出一块时间来学 啊，也可以啊，那么穿插在这个高等数学分册里面啊，当你学到一元函数积分学之后，那么你学完了一元一元积分学，那么你可以做这个核心讲义核心计算的这个同款讲义， 那么这是我们的第三本册子，那么上面呢，我们就等于把高等数学呢就全部说完了啊，那么你把这个高等数学就把这三个册子都做完学完啊，搞懂吃透， 实际上你就达到了啊，传统意义上来讲的基础跟强化的所有内容，你再换句话说，你学完这三个时间可以上考场了 啊，但是呢，我的意思大家不能这样就上考场啊，当然因为什么，因为我们可能要奔着更高的目标去走， 所以在基础三讲的高数学完之后啊，这是高等数学啊，那么你经过学完之后呢，我们就可以进入，那当然是我们以后的事情了，是吧？啊，那么最后后面呢，就进入高等数学十八讲，那么就是那个专门讲解题的， 是吧？这知识呢，我们在这块学如何解析呢？我们放到高等数学十八讲里去讲啊，好，这是我们说的高数这块。然后第四本册子就是向量数的分册， 新型代数的分册，新型代数分册，这样也包含两个内容了，一个呢就是零基础讲义，这个零基础讲义呢，由于新型代数相对比较少一些，我们就把零基础讲义呢跟新型代数分册就合在一起了啊，合成一本册子， 那么到这为止呢？呃，到这现代数结束了，现代数结束呢，数学二的同学就结束了，那数学二呢？只考这四个册子啊。然后呢，还有一个就是第五个册子，就是该理论与数据统计， 该理论与数据统计的 这个分册，那么这块呢，就是数学一和数学三要学的啊。呃，那么这个概率论与数学统计，它的零基础呢？就是第一讲， 因为整个的概率统计的这个教学的这个体系的安排啊，它就给了大家一个第一章，或者叫第一讲， 叫随机事件与概率。那么随机事件与概率，严格来说他并不属于大学的概率论里面的基本知识啊，因为大学的概率论实际上是要以随机变量作为研究对象的，而第一讲里头没有涉及到他的研究对象，所以呢，其实他是个零基础， 所以我们概率统计的零基础跟专业的内容呢，也是合在一起的啊，所以大家要注意啊，就是高等数学有个零基础，因为太重要啊，而且相对内容来讲也不少，所以要单独拿出一块来。但现代数也有零基础，概率统计也有零基础 啊，注意啊，都有这个，相当于是预备知识的这种零基础啊，分别都在这个分册里头了。 那么这样呢，我们这个整个二零二七的考研数学的基础上来讲，那么就是五块内容啊，就是这么多，这块是数学二不考的啊，数学二只有前面的四个内容啊，四个册子，那么数学一三呢，就是五个册子。

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

张宇的书你根本不需要全买，但你需要一套完整的方法论，把手里的书吃透。我全程只跟张宇三十讲，没有中途跳车，没有缝合其他老师的讲义，三十讲也只过了一遍。数一考了一百四十三，网上劝退三十讲的声音不少，无非是太厚，信息密度太大，基础阶段根本消化不了。 但换个角度想，正因为他在基础阶段，就把知识压到了足够的密度，你后期才不用反复回头补漏，整体战线反而更短。体系不在于你买了多少本书，在于你怎么把一套书用到极致。 这篇文章不聊心态，不灌鸡汤，只拆方法论、听课节奏、刷题策略、复盘方式、时间排期，我全部摊开来讲，能直接复制的你就拿走。在展开之前，先纠正一个认知偏差。 大部分人把精力砸在攻克难题上，觉得难题啃下来，分数自然就上去了。现实恰恰相反，一百四十三分的卷面，拆开看，真正称得上难题的分值不过二三十分。撑起分数的，是那一百二十分左右的基础盘。决定你能不能破一百三十的，根本不是那几道压轴题，而是你的基本功有没有做到滴水不漏。 那问题来了，基本功怎么练到这个精度？单靠听课加做课后提，这种单线循环，大概率会在强化阶段撞墙。你不知道自己到底哪里真会了，哪里，只是听懂了，但不会做。 面对这些基础盘里的稀碎考点，我偶然发现了智能型这款工具，他帮我把那些以为懂了的盲区全揪了出来。后面我会重点说说他是如何帮助我复习的？后面我把整套方法论拆成四个板块，逐个说透。这是我踩过最大的坑，也是无数学姐反复提醒，但大家还是会踩的坑。 今年三十讲很厚，分散的结论也多。章鱼老师的风格就是内容密度极大。说句实话，许多原本安排在强化阶段的内容，被提前到了基础阶段。这直接导致两个问题， 第一是知识点之间的连接不够紧密，前几讲还能跟上，到了积分部分就开始觉得散，有些同学形容每一讲都像在学新课。第二是很多同学会产生虚假的掌握感，上课时觉得全懂了和上书一做题就露馅，这种我以为我会了的错觉才是最耽误时间的。 我去年就这样，但用智能型 ai 教练一测，才发现存在大量薄落点，那种感觉就像你以为期末考试准备充分了，结果一翻卷子全是盲区。 后来我就把智能型当成了每一讲的照妖镜，每学完三十讲的一张，马上去智能型刷对应的专题。它的逻辑和传统习题测完全不同。考研数学其实没那么难，主要就是量大，知识点多，但考研题型反而更固定，关键是要把知识点划分得够细， 知能行。就是把大纲拆成了几百个小考点，从不同维度反复考，你哪个角度不行，他就追着你练。传统习题测的问题我深有体会，这些习题测能帮你从一百到一百三十，但无法帮你从零分到一百分。这就好比爬楼梯，习题测的起点在十楼，但你现在可能还在三楼。 如果你基础还没到一百分的水平，就去啃八八零一千，你会体验到那种做一题看一题答案，看答案就懂，但下一题又没思路，这样反复循环，非常沮丧。不是题太难，而是你中间跳过了太多台阶。有个一百四十五分的学姐跟我说过一句话，印象特别深，相信算法，你让他挖，你的概念哪里理解不清楚，都让智能型挖出来。 所以我的第一条建议是，不管你跟谁的课，都要有一个工具来检测真实水平。尽快结束纯听课阶段，把题练会最重要。听课是输入，做题才是输出。智能型帮你把输出的效率拉满，用同样的时间得到几倍的效果。因为别人在遗忘的时候，你在收获复利。这不是夸张， 智能型的综合测试会定期把你学过的内容混在一起考，你，帮你把遗忘曲线压下去。到了后期，你会感受到，当别人在拼命回忆学过的公式时，你早就内化成本能反应了。张宇的课信息量大，不是那种舒服的听故事型课程，需要你主动参与。一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会，这是正常的。不要觉得自己笨， 关键不在于你花了多少时间，而在于每一分钟都用在了刀刃上。从第四讲开始，我每次听课前会先自己翻一遍对应章节，把不会的地方做一下标记，这个工作是十分有意义的。你带着问题去听课，注意力会自然集中在不懂的地方，不至于全程走神。 如果你基础忘的比较多，看都看不明白，也别硬撑，预习的效果就不大，这样的话就可以从零基础通关讲义开始学起，等落了门再回来预习也不迟。很多人喜欢听一遍就过，觉得听懂了就往下赶进度，但第一遍如果没听明白，相当于做一个预习，再去听第两到三遍，把这个内容彻底搞懂。 大家不用焦虑，数学课本身门槛很高，重复是最正常不过的事情。不过我后来发现一个更高效的办法，第一遍听完，不急着从头重听，而是先去做题。做题会暴露你没听明白的具体知识点，到底卡在哪个定律，哪个变换上暴露的一清二楚。 智能型在这个环节很好用，他推给你的题就是你最薄弱的点，做完几道之后，你就清楚哪块需要回去重听了，不用自己瞎猜，尤其是积分这种重计算、零碎、知识点多的内容。智能型刷几道基础题，很快就能记住公式，理清体系。 听完课，大家紧跟着要去做课后习题，三十讲，每一讲后面都有配套题目，习题可以很好的来巩固和加强我们对于所学知识的掌握，这一步别偷懒跳过，但课后题难度有限，只做课后题容易高估自己的水平。 做完之后推荐马上去智能型刷对应考点。它的题目有分层，从基础到综合，循序渐进。智能型刷到三级满六六零八八零一千，这些习题册一刷正确率都是百分之九十左右，到了那个程度，再去碰习题册，你会发现刷题居然是一件有成就感的事，而不是反复受挫。关键不在于你花了多少时间，而在于每一分钟都用在了刀刃上。 很多人听课做题都能坚持，偏偏在复盘，这不掉了链子。我的做法是用导图来复盘，我选择以导图的形式规范了每节的内容，在原三十讲开头的导图基础上，扩充了对应的知识点、公式、图形以及小结论，非常全面清晰，大家可用它来复盘总结，哪怕用来睡前记忆也很方便。 复盘到底是在做什么？章鱼老师说过一个特别精辟的比喻，把书由薄变厚，再把书由厚变薄。听课做题的过程是把书由薄变厚，你不断往里面加入自己的理解和细节。而复盘就是把书由厚再变薄，把一整张的内容压缩回一两张纸。基本概念、定理、公式、典型例题，你自己的薄弱环节，这张纸就是你真正学到手的东西。 你能不能做到这一步，决定了你是真学会了还是假学会了。总结，复盘的针对性十分重要，不要漫无目的的从头到尾重新看一遍，要盯住不会的和做错的地方。 但很多人的问题恰恰是不知道自己到底哪里不会。你翻开笔记，觉得每一页都认识，合上笔记又什么都说不出来，这恰恰是复盘方向不对的表现。这时候，智能型的价值再次体现，他帮你精准定位薄弱点，你不需要自己猜。 有的同学复盘就是把笔记翻来覆去看，但有个一百四十五分的学姐说了一句话，让我特别认同，错题不要反复看，而是当新题重做。检验自己的方法。翻错题本是低效的，因为你可能只是记住了答案而已。 智能型不会让你做原题，他会换个角度出类似的题，测的是你有没有掌握方法本身。另一个学姐说的更实在，计算过关，学了不忘最重要。考试上来就是计算题，这是纯功夫活，没有捷径。智能型的综合测试会把你学过的知识打算重组来考，你这种学了不忘的效果是单纯翻笔记做不到的。每过一轮，你对这一讲的理解就深一层。 复盘不是一次性的工作，而是贯穿整个备考周期的习惯。现在到五月底，全力搞基础，基础阶段的核心是沆实基础，这直接决定后续复习的上线，这段时间不追求速度，只看重质量，真正做到吃透知识点。三是讲，按顺序过，每讲配合智能行刷对应考点。 六月到八月进入强化阶段，智能型等级目标拉到三级中后期，同时开始做六六零、八八零的对应专题，重点做智能型 ai 猜推荐的薄若章节就行，不用每道都刷。九月之后进入冲刺，这时候重心转向真题和模拟卷，近五年真题必做， 基础不牢，地动山摇。到了冲刺阶段，你会真切地感受到，前面花在基础上的每一分力气都没有白费。整个规划的核心就一句话，先把基础上的每一分力气都没有白费。整个规划的核心就一句话，先把基础盘拿死，再去够那些拔高的分。 不要一上来就追难题，那是性价比最低的操作。最后说句真心话，数学不是一蹴而就的事，是日积月累的结果。每解决智能型推送的一个薄弱点，你都在向幺四零加靠近一步，找到自己的节奏，坚持执行下去，结果一定不会差。二期考研加油，期待你们明年顺利上岸！

今日话题，张宇三十讲使用指南高树篇。

基础三十讲呢有一个好处，这个好处呢就是，呃，基础三十讲的每一讲的后面都是有习题的， 就是本身呢，我就是不带习题集的情况下，我这个里也是有习题的啊，大家看了这个习题呢，也是给大家要讲的， 是吧？啊？高鹏老师好，给大家讲这个习题，这个习题这个东西呢，它可以很好的来巩固和加强我们对于这个所学知识，是不是真的掌握的一种很好的一种检验 啊？那这个呢，我想你要这按照这个要求去做，然后题目并不是非常多啊，一讲后面比如说这有十六个题， 那么你是不是能够啊这个尽早的去做这个工作啊？做这个工作是吧？嗯。

所以我在强调的内容是你基础内容精讲，学完之后你要回过头来，在基础知识结构里面盖上这个内容，你只留下基础知识结构 就那个框架图，你看看你是不是自己脑子里能够把这些东西都描述出来，是不都记在脑子里了？比如说基础知识结构里一定会写定积分的性质，他的定义是什么？性质是什么？你看到这个位置了，那你脑子开始回忆了，有什么限性性啊？限性可拆性，还有重点是保号性 这几个特别常用的东西，还有这个古制定律等等，真正考场上要用起来了，你忘记了，或者说你根本就有时候也不是叫忘记，这你打开书 你是知道的，可是呢，书合上以后啊，你没法做题，没法做题的一个有一个重要的原因是什么？就是你忘记了有这么个性质，人家考的就是性质，一个题目写了点东西，他不能说 来，题目来了，我给你提示一下，这个题用定积分的可拆性，他不会提示你，你要看着题目，他不说话，你要把它翻译出来，这就叫做题。要会做题，你必须要把基础的东西先牢固的掌握在脑子里。

好，接下来我们讲第十章的题型，那么在讲题型之前，我这里先把旋转体的体积公式给大家讲明白啊，因为我们在一千题里面啊，我已经给大家提到啊，这样的一个助翘法，也是二重积分， 这是一个万能公式，注意啊，去解决旋转体体积，只需要记这一个公式，记住了，只需要记这一个公式。 好，那么有同学呢，我就喜欢记公式。好，你喜欢记公式，那么你需要把这两个记住就行了，这两个是最简单的，是不是这一个和这一个啊，一些题讲的也很清楚了啊，大家应该课下也知道，一个是绕 x 轴，一个是绕 y 轴啊，是 啊，这两个公式啊，你可以记，这是定积分的一个啊，公式是不是我们可以记下来，但是我觉得一个公式都不用记，就只记这一个，除了这一个之外的不需要记。为什么？我们看一下啊， 你对于这样的题，好，你看，哎，我们知道你能够画出它的一个积分的一个区域是这个样子，是不是积分的区域是这个样子。好，你可以用这这个两个公式， 那么对于题难一点的呢？哎，那么我们考研里面不一定都是考这种简单的呀，是不是绕 x 绕 y 轴的这种这个样子的体积，这个这个样子的一个积分区域啊，去，让我们去啊，旋转啊，旋转区域啊，那不是这么简单的题，怎么办呢？你比如说 这种题，我们绕一个 y 等于一这根线，这是我们的积分区域，好，你去绕这根线去，去做，你仍然去，可以选择啊，我们刚刚说的啊，你去用这个一元的，就是定积分的里面的啊，这个微元法 或者你平移对不对？你这个做一下，我是不做，因为我觉得啊，出错率太高了，比如说这种题， 你绕一个啊， y 等于 x 减一这根直线，你看你绕这根直线去旋转，你做做试试，你再用我们那个一元的定积分做一下试试，出错率绝对直接高达百分之九十。 所以啊，大家记住这样一个万能的一个公式，就是用二重积分，有同学还没学到二重积分，没事，等你学完二重积分回来再把这个视频补一下，我会把它单独拎到第十张习题的前面，作为前沿部分啊，大家回来再看一下。 好，三步法，我们先去记住这三步，然后给大家解释一下啊，在一千题里面，在一千题里面没有给大家解释，只告诉了啊怎么去做。好，现在我们先花三十秒把这个步骤记一下，很好记啊， 找到你的旋转区域，每个题的都是能找到旋转区域的，对吧？你去 d， 找到之后，我们在内在它里面啊，取一个点 x y， 然后这个点呢？到旋转轴，哎，你要么绕着 x 轴，要么绕 y 轴，要么绕一个直线，是不是好这个点啊？就是这个点好， 到旋转轴的距离我们记成 r， 那 么体积公式就是这个，给我记住二拍，然后这是二重积分吗？在这个区域上二重积分，这是谁啊？这不就是这个距距离 r 吗？好， d c 个吗？ d c 个吗？是我们取的面积为圆，面积为圆呀，你二重积分取的是面积为圆呀。 好，这三步记住了啊，我默认都记住了，然后我们讲一下是为什么啊？我希望 讲完之后以后再遇到选择题体积公式的时候，求体积的时候就用这一个公式，我们不要去给自己找那么多麻烦， 你记那么多公式还容易出错。对一些难的题，我们用一一重积分，也就是定积分，你去做维元法的话，或者平移，出错率非常高啊，这个我都是知道的啊，大家可想啊，这一块出错率太多了，所以我们就用这个公式，出错率非常低啊，基本不会出错的。 好，我们就以这个题为例，看一下啊，这个二重积分我们取为圆，那就是面积为圆了，我们一重积分定积分，对不对？我们取的是 d x 或者 dy 啊，那么面积为圆，那就是 d c 个嘛， d c 个嘛，就是 d x dy 啊，好，那么我们取面积为圆，那么我们就取一个圈圈，哎，就取一个圈圈，哎，这个这一个圈作为我们的面积为圆，好， d c 个嘛？啊， 好，它现在绕着这个 y 等于一这个直线，是不是？我们看一下啊，绕着 y 等于一这根直线， 哎，是不是绕着这根直线去旋转呀？我们想一下啊，它旋转出来是个什么呀？是不是类似一个游泳圈呀？游泳圈或者什么乾坤圈，是吧？哪吒的那个乾坤圈， 好，不管是游泳圈还是乾坤圈，大概就是这个样子，是不是这就是我们的体积为圆呀？哎，体积为圆，那么我们把这里 切一刀，我们拿个刀啊，从这里给它切开，然后再给它展开，那你想象一下，这很好看出来啊，展开之后它就是一个圆柱，你是不是这样的一个圆柱， 我们是微圆法，你取圆圈取那个都可以啊，就咱们随便取都可以，我们就取了一个小圆作为一个面积为圆。好，你把它砍砍一刀，是不是？然后再给他展开，不就是一个小圆柱吗？那你圆柱的体积你是知道的呀，好， 底面积乘以高就是它的体积，底面积就是我们取的这个面积为圆。 dc， 他 呀，是不是，哎， dc 干嘛呀？ 就这个啊，这就是我们的面积啊。好，那么你底面积有了，你高呢？你高的话，你看啊，我们这个这个长度，这个长度不就是这个乾坤圈这一圈的一个周长吗？是不是？ 好，那你这个乾坤圈一圈的周长，那就是二拍 r。 r 是 谁啊？我们刚刚说了，你看我们做题的一个步骤，这个 r 的 话，就是这个点到旋转轴的一个距离，你看是不是这个点，也就是我们取的这个面积为圆到旋转轴的距离，这个紫色的线，这不就是我们的一个 r 吗？ 好，那不就是这个 r 吗？看到没，这 y 等于一啊，所以就是这，我们取得这个啊，这个点啊，我们这个这里面取了一个点 x y 啊，好，那么这就是 r x y， 所以我们这个长，哎，圆柱这个这个长，不就是底面周长吗？哎，这个圆，那个底面周长，底面周长就是二拍 r， 是 不是这个 r 就 出来了呀？好注意啊，我们取的这个 这个面积微圆啊，这个点啊，第一步我们不是取个点吗？这个点就在这啊，就是这个，你就默认在这个我们取的这个面积微圆里面啊，这就是 x y 这个点， 好吧，好，这个点啊，这个紫色的，就是我们取的那个点，就是我们做题的第一步，然后它到 y 等于这根线的一个长度，就是我们这个 r， 是 不是你这就联系起来了啊？好，二拍 r， 那 你体积为圆，我们就可以写出来了呀，二拍 r d， c 吗？是不是底面积乘以这个高？ 那你整个的一个面积，不就是把这一块我们积分区域 d 你 全部给他啊，积分不就行了，是不是我们现在只取了一个啊？这一点 啊，一个微圆，是不是我们起了一个，取了一点这个面积微圆，那么你这面积是一大块呢啊，我们给他积分二中积分就行了呀。好，那就是二排二 x、 y、 d 是 一个吗？那就是我们前面写的啊，把二拍可以提出来呀，然后我们进行二重积分就行了， 你这个二重积分就是很简单了呀，所以以后遇到这样的题啊，旋转题题记就只需要记这一个公式，我们再看一下啊，是不是 找到旋转区域地，找到了没？找到了，我们取点 x、 y， 好， 这个点到旋转轴的一个距离就是记为 r， 然后最后我们体积公式就这一个，其他的根本不需要记，我们看啊，再解释一下 a 前提里面这个啊，已经当时解释的很清楚了，我们再解释一下啊， 嗯，用哪个笔呢？用哪个笔呢？这个好，那你比如说你这个公式，有同学我记下来了， ok， 你 记下来了，其实呢，我们仍然都可以用这个助翘法，是不是就二重积分这个啊？助翘法， 你看啊，我们在里面取一点啊，在这啊，我们再换一个笔吧，这个笔怎么都重合了啊，这个这个这个 这个吧，啊，黄色的啊，好，你看啊，我们绕 x 轴的啊，这个题，绕 x 轴的话，我们在里面取一个点 x y， 好，那么我们根据公式啊，这个点到我们旋转轴 x 轴，它的距离是不是 y 啊？哎，这个 y， 这个 r 就是 y 了呀，然后二拍，然后这个 r， 然后我们对这个区域进行二重积分，你看最后这个结果就是我们这个公式啊，就是我们这个公式， 然后包括绕 y 轴的话，我们还是只用这个方法。那你我们用二筒积分啊，二拍 r， r 是 谁啊？我们现在绕的是啊，我们取一个点，在这呢，取一个点，这个 x y， 我 们绕的是 y 轴，所以这个点到 y 轴的距离就是我们的 r， 这个 r 不 就是 x 吗？哎，这个 x 出来了，那你二重积分，我们把这个面，哎，二重积分一下不就行了？最后的结果，哎，你发现就是我们背的这个公式， 所以我们除了这个公式啊，就不需要背任何的公式了啊，你最多要背的话，你就把这个这两个背一下，我建议直接都不用背，都不用背， 是不是我们都不用背，只需要记这一个，其他的都不用背啊，只需要记这一个。课下把这个啊要熟练的给我记下来， 那么你比如说我们再改写一下，你看你，你改写成这个，绕着直线去旋转，你看你用，你用这个 一元的啊，定积分的一个微元法，你做做试试，你是不是非常非常麻烦，甚至你做不出来，就算你做出来，你出错率啊，你的方法找对了，然后你这个结果可能也是错的，所以啊，大家把这个公式记下来，那这个绕直线的话，怎么怎么去做呢？好，我们仍然是哎，取一个点， 然后你到直线的距离，是不是？那我们记为 r。 哎，点到直线的距离公式了吗？对吧？这个点 到直线，这个直线我们要给它改写成啊，这个标准的一个形式啊，点到直线的距离， 这是有公式的呀。好，那公式就是 a 啊，我们把这个这个点带到这个里面。好，那就是 a， x 加上一个 b， y 加上一个 c， 点到直线的距离的公式。哎，我们再去回顾一下这一块不就行了？那我们最后直接利用这个公式二拍，然后把这个区域进行二重积分，然后这个 r 就 写到这里面。 好，那对于这个题的话，那么这个这个直线的话，就是 x 减去一个一，然后加上减去一个 y 等于零，这不这个直线吗？是不是我们这个都可以改写一下在上面对于这个题的啊，这个先写着啊， 对于这个题，我们这个下面就可以给它写成 x 减 y 减去一，是不是？那你根号下 a 的 平方加 b 的 平方，那就是一个根号二了呀？好， 哎，你去绝对值，你就看一下这个谁他跟他谁大呀？你看这个区域在哪边，这个直线的一个左边，所以 x 啊，这一块他绝对值是可以打开的呀，也就是说 y 减去一个 x 加一是大于零的， 也就是 y 减去这一块是大于零的，所以绝对值打开。哎，你根据具体情况去打开这个题的话，直接就可以就可以给他打开啊，去加，打开的时候是加一个符号啊，加一个符号的。 好，这是不关键的，关键呢就是跟大家说的要把这个公式啊去熟练的去应用，就是一个助窍法的一个应用助窍法， 还有同学他就说，嗯，我就不记我不记，那你不记，杠精咱就不说了啊， 杠精不说了，我希望大家记住啊，我希望大家记住一个方法解决所有的题目，所有的 ok 啊，所有的，你以后直接就用这个三步法去去做就行了，你根本就不用去考虑他旋转出来是什么个样子，对不对？你有的同学他那个 呃空间的一个想象能力不不行，那你就都不需要你想了，好吧，以后都不需要你想，你直接就给我做就行了，你把二中积分学好就行了。 好，那这个题目啊，啊，不是这个题目啊，这个知识点就讲到这里了啊，这是求旋转体体积的啊。对啊，这里跟大家说一下啊，我这边如果遇到旋转体体积的题目的话，我只用这一个方法啊去给大家解， 目的是什么呢？目的是只用这一个公式，然后让大家啊做这样的题目就用这个公式做这样题目，用这样公式这个方法你就掌握了，然后这个方法呢他出错率也非常低，所以目的就是让大家能够把这类的题目啊都做。对啊， 那么你要是不喜欢的话，那你就是去用啊，这个一元的啊，定积分的微元法做也可以，你只要做出来啊，都可以，只是说我跟大家的一个建议而已，你可以听可以不听吗？好，毕竟每个人啊都有自己的一个思路啊，是不是 啊，我还是希望大家按照我的这个啊，好不好？那么第一步是不是找旋转区域啊？好，旋转区域哎，取位于曲线 y 的 下方， x 轴上方的无界区域。好，第一步啊，把区域给我找出来，哎，这区域也很好画呀， x 啊，增大， y 是 减小的， x 等于零的时候， y 是 等于一，所以是递减的，以 x 轴为渐近线，是不是？好，那么这个区域是一个无界的区域， 那么我们区域找到了。第二步，在里面取一个点，是不是我们取一个点啊，这个点就是 x， y， 好，他到旋转轴，我们现在的旋转轴是非常简单的啊，这一类的，大家背的也有公式啊。好，这个距离是谁啊？你看你这个点是 x， y， 你 到 x 轴的距离不就是一个 y 吗？没问题吧？好，我们就可以用公式了呀，二拍，然后把公式写出来， 二拍往这里一放，好，这个 r， 我 们知道了呀，就是这个 y 啊，好， y 就 先写到这吧，然后对这个啊，这个面对吧，就是我们的积分区域 d 啊，去求啊，他的一个 啊，积分呀，你求积分很简单吧，这个区域求积分， x 从零到正五求，对不对？ d x， 然后 y 呢，我们穿一根线上去，那就是 y 下面是 y， 等于零，上面这根啊，他穿出去的这根线不就是 y 等于一除以根号下一加 x 的 一个平方吗？是不是你把这个 y 往后面挪一下， 你看这，这是不是没啥，没啥难度呀，其实你这个后面积分一下啊， y 的 话，它是 y 的 平方，除以个二，然后零， 哎，把这一写，那你二分之一可以给他写到这，那就只是一个 y 的 平方， y 的 平方的话，那就是一加上 x 平方分之一 d x， 哎，你会发现是跟我们背的公式一样，但是我希望大家不用背公式啊，这样做的话，你其实也没浪费几秒钟吧。好，你觉得浪费了，那你就背公式啊，我，这个我不杠啊，咱不做杠精。 好，拍，背的 arg 贪婪的 x， 目的大家都知道啊，目的就是让大家去熟练的去应用这个公式呀，不是说你背公式不好， arg 贪婪的正无穷极限二分之拍呀，零的话是零了二分之拍的平方啊，大家都是为了大家好啊，好， 二分之 pi 的 平方是不是？好，那这个题目就讲到这里了，旋转体体积是不是跟大家讲了啊，我后面讲旋转体体积啊，只用这一个方法啊。 好，那么圆域呢？绕 x 轴旋转一周啊，所得的旋转体的体积多少呢？好，我们就按照这个方法啊，第一步，找到旋转区域地。好，那你就得画图呀，是不是把图画出来， 那么这是 y， 这是 x， 这是一个圆域啊，圆心 x 等于零， y 等于 b。 好， 假设这个是 b， 然后它的半径呢？是 k， k 是 小于 b 的， 所以啊，它大概就是这样的一个圆。 好，哎，就这样吧。啊，好，是个圆，嗯，半径是 k 啊，半径，这是 k 啊，好，绕 x 轴旋转一周，反正就是这个圆域。好，我们第一步找到了，然后在里面 找个点。好，就是这个点了 x y， 然后这个点到旋转轴，我们的轴就是 x 轴呀，的距离。好，这个距离我们记成 r， 那么我们是很明显可以知道啊，这个 r 的 话， r 就是 y 啊，对不对？你这个点到 x 轴的距离不就是 y 吗？好，接下来第三步，直接去应用公式呀， v 等于二拍 好区域 d， 然后这就是一个 y 啊，然后 d 是 一个嘛，然后我们对这个区域进行二重积分呀。好，二重积分的话，我们这里讲两个方法。 好，首先第一个方法你就是按不就班的去算，第二个方法，我们就是把这个区域啊，给它平移一下啊，用雅克笔行列式去平移一下。好，我们先用第一个方法，那就是计算量稍微大一点呗。好，这个 v 就 等于二拍。 好，那么我们采用 x 形域的方法看一下啊，我们用这个笔啊，这样画一下呗， 这个区域二重积分呗，那这就是负 k 是 不是？这是 k， 所以 啊，是负 k 到 k 没问题吧？好， d x， 我 们再看一下， 这个 y 放在这里啊，那么我们做一个箭头，往上一指，这就是定的它的上下线。好，你下面的话和上面，我们知道啊，它穿进去和穿出去 是不是都是从这个圆上面穿，穿进穿出呀？那你去解一下呗，你看啊，这个 y 减 b 括号的一个平方是等于 啊， k 的 平方减去 x 的 平方，那 y 减 b 就 等于正负根号下它是不是？那你 y 等于多少呀？ y 的 等于就等于 b 正负根号下它。 好，你这上下线不就出来了？定见方法大家都会啊，学过二重积分，没学过的稍后学完再过来啊。好，那你这个上面就是 b， 加上它下面 b 减去它 是不是这定线没什么问题吧，没什么难度啊。好，那么我们这里写个 y， 那 在这个地方就是一个一，你这二重积分就去慢慢积就行了。其实计算量还可以啊，没有那么大， 我们先算一下这一块，那么它就是 y 的 平方，除以二，除以二，我们把这个二啊给它消掉。好，那就是下面是 b 减去它，然后上面是 b， 加上它。好，那么它的结果就是它的平方减去它的平方， 然后算一下啊， b 加上啊，他的平方减去 b 减去。哎，你这样写，你看着计算量大，其实你化简一下啊， 也是很简单的。你化简一下，你看这是 b 的 平方，加上 k 的 平方，减去 x 平方，加上二 b 根号下这一块。是不是？来，我们写一下啊，减去，你看这都消掉了，其实加上 k 的 平方减 x 平方减去二 b 根号下它， 你看这些是不是消掉了呀，那就剩的是二 b 减去一个负二 b， 那 就是四倍的 b 根号下这一块。好，那么我们这个结果就写到这里了啊，它就是 四四倍，是吧？根号下 k 的 平方减 x 的 一个平方。好，你这个 d x 再去积分。 好，你坐到这你就会了呀，是不是？我们把四拍 b 提出来，然后注意这个被积函数是个偶函数吧，我们可以写成两倍的，两倍的，这就写成八。好，从零到 k 对 它进行积分，这用 定积分的集合意义大家都知道，这一块他的一个积分的结果就是四分之拍 k 的 平方，是不是啊？这个在先提的讲过了啊，这就是一个圆吗？第一象限，四分之一元的意思， 是不是第一象限啊？这一块啊，四分之拍 k 的 平方。好，那你这个结果直接就写了啊， 八拍 b 乘以后边这一块就是四分之拍 r 的 平方，就是 k 的 平方，你八除以四是二，然后拍的平方 b， k 的 平方 是不是？好，那是，这是第一个方法，我们再说一下啊，直接把这个我们要积分的这个圆域给它平移下来，是不是 平移到啊？这个圆心在圆点呀？好，你这是 u， 这是 v 坐标轴的话， 那么这一块的话啊，大家没有学这个亚克比行列式的，可以课下来再去学一下啊，那 u 等于 x， 然后 v 是 不是 y 减 b 啊？你圆心往下平移了呀，对不对？好，那 x 就 等于 u 啊， y 就 等于 b 加上 v， 没问题吧，那么我们，哎，去求一下啊，雅克比行列式 啊， x 对 优求导，对， v 求导，对，然后 y 对 优求导，对 v 求导，这也很简单啊，大家学过的都都很简单。那么我们的区域这现在就变成它了，第一撇本来是 d， 现在变成第一撇了，那么我们的 v 是二拍，哎，就换成了第一撇，是不是？然后你这个里面本身是这个呀？本身是 y， 我 们的 y 现在是 b 加 v， 是 不是？然后 d sigma？ 好， 那我们拆成两部分，二拍 b， 这个区域几分啊？第一撇啊，然后加上二拍好 v， d， c 吗？注意啊，我们现在区域是 d， 一 撇了，它关于 v， 关于 u， 这两个轴都是对称的，那么你看，这是一个 g 函数，我们又利用了二重积分极有性作题，是不是 g 函数啊？这个 区域关于 u 轴对称，这个 v 呢？它是一个 g 函数啊，一次方，所以这一块直接等于零了，那么只剩前面这一部分了，前面这一部分的话，注意啊，我们二重积分的一个 几何意义是什么呀？你这个积分的一个背记函数是一，我们的几何意义是取整，取取顶柱体的一个体积，那你体积的话，好，你的高是一，是不是高是一，那么我们就相当于去求我们积分的啊，这个区域的面积了，对不对啊？ 所以那么就去求这个区域的面积就行了啊，看到积分变量是一的时候，我们直接啊去求区域的面积， 面积的话，那你看你这卖面积，你难道不会求吗？拍 r 的 平方呀， r 是 k 哦，好，拍 k 的 平方，这不就得了，拍 k 的 平方，你这结果直接 r 拍的平方 b k 的 平方，是不是就这个结果啊？跟上面这个不一，我们算的是一样的呀， r 拍 平方 b k 的 平方，是不是？好，这方法都要掌握一下啊。好，那这个题目就讲到这里了， 一数二，那么求弧长的，那你就把公式记住呗，是不是从一到一，对吧，哎，一加上 x 对 y， 求一节道，然后平方一下开方，这个公式记住啊， 从一到一根号下，一加上 x 对 y， 求一下导，我们看啊，就在这里求啊， x 对 y， 求导，那四分之一乘以个二 y， 对 吧，减去二分之一乘以 y 分 之一。 好，你整理一下，这个是 y， 然后二分之 y 减去二 y 分 之一。好，我们通分一下， 这是 y 的 平方，减去一个一，是吧？好， y 的 平方减一平，最，这里面还有平方以下，不要忘了啊， 这不就这个吗？ d y， 哎，我们把根号下，再去平方一下啊，再去通分一下，通分一下四 y 的 平方，上面四 y 的 平方加上 y 的 四次方减二， y 的 平方加上一。好 d y， 你这个你去化简一下呗，从一到一，好，我们化简一下啊，看一下，底下是四 y 的 平方，上面是 y 的 四次方加上二， y 的 平方 加上一，这是四 y 的 平方，这就是 y 的 平方加一他的一个平方，是不是？那你开方出来，他都是取正的，对吧？ y 是 取正的，所以你开方出来，直接就是 y 的 平方加一除一个二 y 啊，然后 d y， 这积分没什么难度了，二分之一你可以提出来，然后一到一，第一部分就是 y 分 之一啊， 好，再积分一下了，认真啊，好，这个里面第一部分 y 的 平方除以个二是吧，然后给他直接积吧，加上第二部分，那就是老鹰 y e e 没问题。好，你就带上下线就行了啊。 第一部分我们看一下，二分之一乘以一的平方减去一个一。第二部分，劳力一是一，劳力一是零，所以加个一。哎，你整理一下啊，四分之一倍的一的平方加上一， 好，把公式记住啊，你给我认真算，那这个题目就讲到这里了， 数二，星形线啊，这些常见的线啊，大家要记住，星星形线，还有双纽线，还有后面的摆线啊，那么他的弧长弧长公式啊，这是关于参数方程的，是不是弧长公式大家要记下来啊，你公式记下来，你就直接带公式就可以了啊。 好，小于等于 r 法，大于等于啊，大于等于 r 法，小于等于 bet 啊，弧长公式从 bet 到 bet， 然后 x 对 t 求一阶导平方，加上 y 对 t， 求一阶导平方， 加到一起啊，开个方 d t。 好， 你把公式记下来。这些啊，数学书啊，需要掌握的啊，几个图大家去掌握一下，不然你到考场上你还得去去画它吗？就是说你不会画它，你还得去推导怎么去画它吗？那是没那个时间的。是不是 星星嘛，哎，有点像星星是不是啊，不太像。那就就类似类似像吧。啊，它是啊，都是关于 x 轴 y 轴对称的啊。对，画的不太对称呢，不得劲，重新画一下。 好，这样看着舒服了。那我们求弧长的话，是不是整个是写成四倍的啊，第一象限的一个弧长就行了呀，是不是？好，那么它的一个角度零到二分拍啊，第一象限啊，去求导就行了啊， 那 x 对 t 求导。哎，负函数求导啊，是三倍的 cosine t 的 平方，负的 sin t 整个平方一下，好，加上后面 三倍的 sin t 的 平方，然后 cosine t 整个平方一下，哎，这个用小括号也可以了。 d t。 好，我们去化简一下。你这个里面的话，我们看啊，是九倍的 cosine t 的 四次方。这样啊，这样，这有个中括号，是不是 这个中括号啊？九倍的这个 t 的 四次方，然后是 sin 的 t 的 一个平方呀，好，然后加上九倍的 sin t 的 四次方 cosine t 的 平方， 那你九可以开出来是一个三，所以这里就变成一个十二。好，那这一块呢，我们提出来一个 cosine t 的 平方， c n t 的 平方，那你就剩了一个 cosine t 的 平方，加上 c n t 的 平方，它跟它是等于一了，所以只有它，你开个方是绝对值。 大家知道啊，开方的话一定要加绝对值，在零到二分之拍，直接可以把绝对值给它去掉。 c n t cosine t d t， 这没有难度了，零到二分之拍，哎，你去把这个 cosine t 给它凑到后面， decine t 没问题吧。好，你这就解出来了啊，十二倍的二分之一倍的 c n t 的 平方，零二分之拍， c 二边等于一啊，所以结果是六啊，零的话就等于零了，所以没难度啊，把图记住啊，它都是关于 x 轴， y 轴对称的，直接写成四倍的 s 一 就可以了。把公式记一下。好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看这个题，求 y 在 区间上的平均值，那我们得知道平均值的公式，这也很好记啊。哎，积分除以这个区间的一个长度啊，是吧， 那 y 一 八呢，就等于一，除以 b 减 a， 它减去一个，它取倒数啊，二分之根三减去一个二分之一。好，这个是不是我们可以算一下呀？先写过来吧， 这是一个 y， dx， 好， 二分之，这分母是这根三减去一，取个倒数呢，就是二，比上一个根三减一。好，二分之一，二分之根三，把 y 写过来啊， dx， 我 们看到这样的一个积分的话，怎么积呢？根号出来了是吧，根号下还是我们熟悉的一个形式，它属于哪种形式啊？这种形式是吧， a 方减啊， x 方，这种形式要想到啊，根式代换，三角换圆的意思。 好，那三角还原啊，我们令这个 x 呢，就等于 a 乘以 c 零 t 或者 a 乘以 cosine t 啊， c 零 t 就 够用了。 a 就是 一嘛，那 d x 呢，就等于 cosine t dt， 我们先把它算一下啊，换元要三换第一换，哎，就是积分上压线啊， x 取二分之一的时候， t 取多少呢？ c 多少等于二分之一啊，三十度呀， c 三十度，也就是六分之拍呀。 好， x 取二分之三的时候， t 取多少呢？ c 多少等于二分之三呢？ c 六十度是吧？ c 六十度啊，那就是三分之拍呀。好， 那是第一换，第二换是背积函数 x 的 平方，现在就是 c n t 的 一个平方，除以 一减， c n t 的 平方是 cosin t 的 平方，再开方是 cosin t 的 绝对值。 t 呢？在这个区间内， cosin t 是 不是取正的呀？正的绝对值就可以打开，你不要忘了分析这一步啊。好， d x d x 就是 cosin t 底题啊， 你看，靠近靠近就消掉了啊，那剩的就是。好，这六分之拍，三分之拍 c n t 的 一个平方， d t 这是第一换，这第二换啊，第三换就是基本变量啊。好，现在看到 c n t 的 平方了，咱给它降次就行了，用到我们中学学的二倍角公式给它降次是吧？降密公式啊。好，它的话就等于二分之一倍的 二分之一。写前面可以吧，二分之一倍的一减去一个 cos 二 t 啊。好，第一题， 这应该都没问题了啊，它积分的话，那就是上线减去下线，三分之拍，减去六分之拍，那就是六分之拍这第一部分积分的结果。 减去它的一个原函数的话， c 二 t c 二 t 求倒的话会多一个二，所以前面补一个二分之一，这是原函数。好，六分之拍，三分之拍算一下呗。 好，这个乘进先乘进去也行啊，就直接写成两部分，十二分之拍减去二的四分之一啊，两部分 c c 三分之二拍减去 c 三分之拍。哎，他俩是不是一样的一个结果呀？对呗。 c， 那 这是拍，这是二分之拍， 三分之二拍在这，三分之拍在这。哎，他们的结果是一样的，所以就乘一个零，对，他减他啊，上线减下线就零了，那结果就是 十二分之拍。注意，这不是最终结果呀，你别写着写着忘了啊，我们现在算的是这一部分。好，所以 y 一 八就等于二，比上一个根三减一乘以十二分之拍， 拍除以二，消掉了，还有一个六根三减一。好，你写这样也行，一般来说，我们把带根号的啊，给他挪到上面，对不对？上下我们都乘一个根三加一， 这乘以根三加一的话，就完全平方式了。三减一是个二二六一十二，是吧，这样的一个结果啊，根三加一拍除一个十二， 很简单吧。哎，公式，记住，看到了这个形式，自然要想到根式代换，三角换元。好，最后用的啊，中学的，高中的哈，一个这样式公式啊，二倍角公式记熟练了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，求曲线 y 等于根号 x 的 一条切线 l， 哎，使得该曲线与切线以及两个直线所围成的图形的面积最小， 我们把图画出来，把面积的表达式写出来，那通常呢，就化为了，哎，一个一元函数求最值的问题了，是不是？好， 这个图，认真画一下，这是 x， 这是 y， y 等于根号下 x， 就 这样的。好，我们作为它的一条切线，假设切点在这啊， 好，就这样吧。啊，贴着的啊， 这缺点啊，我们就记为 x 零，根号 x 零，可以吧。假设这一条切线就是我们求的啊。好，那这个切线呢，与曲线以及 x 等于零以及 x 等于二围成的面积啊，围成的图形的面积不就是这一块吗？对， 这一块这一个好，这是二啊，那这个面积怎么表示出来呢？ 是我们把切线的一个方程求出来，切线的方程求出来，再减去曲线的这个表达式。好，在零到二这个区间上积分就行了。对呗，零到二区间上积分啊，被积函数是它减去一个，它这个表示的是 看这个图形的面积吧。好，所以我们要把切线方程啊求一下。那过这个点过切点的切线方程。好， 我们会表示吧，点斜式 y 减去一个根号下 x 零等于 k 倍的 x 减去 x 零， k 等于多少呢？ k 就 等于 y 在 这一点的一个导数值呀， 对，斜率好求求倒，就是他把 x 零带过来过这一点的切线的斜率嘛。好的， k 就 写过来了。一比上二倍的根号下 x 零。好，整理一下啊，整理一下， 一比上二倍的根号 x 零， x 减去一个 x 零，除以二倍的根号 x 零，把这边呢移过来，再加上根号下 x 零，这个跟这个一除的话，是根号下 x 零啊，是吧？ 根号下 x 零，好，也就是 y 呢，就等于一比上二倍的根号 x 零。 x 啊，它跟它合并一下嘛，是加上二分之一倍的根号下 x 零了。 好，现在呢，我们就把面积表示出来了啊，面积它是关于 x 零的一个函数了吧，好，在零到二这个区间上积分，是吧，来定积分啊，曲线的一个方程减去 取啊，这个是切线的方程啊，减去曲线的方程就是根号下 x。 好，那我们把它啊求一下这个结果啊，求一下这个结果。嗯，对于它来说的话， 它的一个原函数。哎，因为我们现在啊是对 x 变量积分，那 x 零都给它看成这个常数就行了啊。好， 那它的原函数就是 x 一个平方除一个二，我们零到二积分，那就是二得四，四除以二就是一个二，是吧？好，咱们这样写一下吧，再写一步啊，加上二分之一倍的根号下 x 零这块积分的话，就是上限减，下限就是二了，再减去它进行积分的话， 那就是它。是，这，它是 x 二分之三次方，前面补一个三分之二，零到二。好， 看一下，这是四倍的根号下 x 零分之一，这个挪到一起了啊，二得四，四点零就是个四，哎，这个四就消掉了吧。好，再加上这是二除以二，没有了啊，根号下 x 零减去三分之二倍的 上线啊，带过来二的二分之三四方八开方，是吧？二倍的根二，这个直接直接给他化简了啊，那就是三分之四倍的根二啊。 好，那我面积表表示出来关于 x 零的一个函数，那你现在就是一元函数求最值的问题了，求导就行了啊，求导，对 x 零进行求导。 好，它求导的话，嗯，这就是 x 零的负二分之一次方，求导是吧？好， x 零的负的二分之三次方，那前面要补一个负的， 哎，它去求导是吧？它求导啊，是这样的，不是乱，不要乱补啊，求导吗？是它啊，好，负的二分之一， x 零的负的二分之三次方。 好，再加上他，他去求导，那就是二倍的根号下 x 零分之一，这个求导就是一个零了吗？对，好，我们令导函数等于零，解注点得注点 好看一下啊。前面呢，我们可以给它写成负二分之一乘以 x 零的二分之三次方分之一吧，再加上啊，这个二分之一。好， x 零的二分之一次方分之一等于零， 你看 x 零等于多少呢？它俩相加想是等于零的话啊，你看我们这个都可以乘个二嘛，乘个二之后就是它跟它得是相等的，对不对？一负一正嘛，它俩相等的话， 这个都是正的一个值，那你只有可能是一 x 允许一对不对一一分之一，所以是负一加一嘛，是不是就只有这一个 注点？你看看你还有别的吗？你解不出来别的呀。好，所以就是得到了一个唯一的注点， x 零等于一，那这个注点肯定就是极小止点，也是最小止点是吧？好， 那作为选择题的话，你就直接啊知道了， f 零等于一，它是最小值点了，把它带过来。但作为大题的话，我们要写一下原理来写一下，就是 x 呢， x 零大于一的时候，它是一个最小值点吗？大于一的时候，导函数呢？ a 大 于零是吧？那 s 关于 x 零呢，就是单调递增，就把这个它是一个啊，计算计算值点说明一下啊。 那 x 零呢， a 小 于一的时候，这也应该还得标一下啊，它得大于等于零是吧？我们这个 你看这个 x 零啊， x 零呢，它是在曲线上要满足啊，你根号下这个 x x 必须得是大于等于零的才有意义嘛。好， 导函数就是小于零的， s 呢，这个时候就是单调递减的，咱们这个是用判定极值的第一充分条件是吧？你也可以求二阶导，用二阶充分第二充分条件，但再求导也没有必要了啊。好， 所以啊， x 零等于一是 s， x 零的极小值点， 也是最小值点，则 也就是当 x 零 x 零等一的时候啊，面积最小。我们要求的呢，是，你注意，求的不是最小的这个面积啊，求的是这一条切线 l 是 吧，则这个切线 l 方程 为奇异方程在这呢吗？是吧，把 x 零等于一一带就行了啊， y 就 等于一比上二， x 加上二分之一，这就行了呀，求什么，你得写什么，你别把最小面积最小值求出来了呀。 好，这题也不难吧，点斜式把奇异方程对值问题。好，这个题就讲到这了。 好，我们来看十点七，十点七，第一问的话，求旋转体体积，跟大家讲过了啊，在前沿部分没有看过的同学再去看一下，我每做一道都会跟大家说一下啊，不要烦，只讲这一种方法啊。好，我们看 这个第一和第二呗，我们的做题步骤要找到解析的啊，这个旋转题的旋转区域，把第一第二画出来， 图得会画啊， y 等于二倍的 x 平方，然后在它它它未成的区域。好，我们抛一线，我们在右侧啊，为什么啊，你看这个 a， a 是 大于零的，是不是 x 等于二也大于零呀？ 所以我们这个假如说啊，这个是 x 等于二，然后这是 x 等于 a， 因为 a 是 在零的二之间的呀。 好，那么 y 等于零不就是 x 轴吗？这个区域就是第一黑色的啊，这个 y 是 等于二 x 的 平方的，然后再看一下第二区域，第二区域 y 等于零， x 等于 a。 哎，这是它了呀，好，红色的是第二区域。 ok， 我 们开始去做 v 一 了， v 一 是谁啊？ 它是第一绕 x 轴，我们这里取一个点 x y， 第一步 ok， 第二步到它的旋转轴是 x 轴，它的距离，那距离不就是 y 吗？好，找到，然后应公应用公式去做。好，那就是二排 啊，我希望大家不用去背那么多公式啊，这个距离就是 y d 是 一个嘛，你就按步骤去计算就行了，去计算二重积分，你这个区域二重积分多简单呀，从零，从 a 到二， 然后 y 的 话，这里这个 y 不要忘了。好，我们采用啊， x 形域的一个方法，是不是我们直接一个箭头支出去 好定上下线，下线不就是零吗？上线不就是这个 y 吗？是不是，哎，就是一个 y 就 行了啊，那么去积分一下呗，二排 a 二 d x， 哎，你这一块积分的结果是 y 的 一个平方除以二，然后零， y 带进去是二分之一倍的 y 的 平方，是吧？好，那你这个二分之一 跟这个二就消掉了这个 y 的 平方了。 y 的 平方是谁啊？那就是他的平方，不就是 y 的 平方了吗？是不是，你看跟我们背的公式是一样的。好，你算一下拍，然后里面是有一个四四拍 a 的 a 的 二，然后 x 四次方 d x， 这个简单吧，四拍 x 的 五次方，比个五，然后 a 二，好，我们写到这里啊，四分之五倍的拍 啊，二的五次方三十二，然后减去 a 的 五次方。好， v 二，我们往后边写吧。啊，写不下了，画的太大了啊，这个图好， v 二，那么就是第二 这个区域，我们找一个点，哎，这个点就是 x y， 它是绕 y 轴，我们让它垂直于 y 轴，这就是我们点到选人轴的距离，那不就是 x 吗？好，直接应用公式了， 二排，对这个区域，这个是第一，这是第二了。区域进行二重积分，这个距离我们说了啊，这个二是 x。 好， 二排，你这个二重积分也很简单，从零到 a x， 别忘了 仍然是找一根针穿出去。好，下线是零，上线仍然。哎，是这个 y， 是 不是。好，你这个积分的话是 直接就是一个 y 啊，对吧？他的一个结果不就是有 y 吗？你 y 的 话直接塞到前面啊，前面有二拍，别忘了 y 塞到这里，那这个 y 的 话就是二 x 的 一个平方，所以这就是二 x 的 一个三次方呀。 二重积分没难没难度啊，你要列好式子就可以了。好，那就是四排，然后 x 三次方，求圆函数，它的四次方我们再除以个四，是不是？然后零 a， 那就是拍 a 的 四次方，是不是好，求完了呀，第二问， 第二问呢？让你求最大值。哎，这就解决实际问题，一般来说啊，求极值点，那个唯一的极值点就是最大值点。好，那么 v 一 加上 v 二，你看看等于谁呀？ v 一 是他，我们稍后啊，给他化简一下啊，给他整理开，加上 v 二，我们给他把括号啊，给他打开。嗯，三十二， 这里怎么又写错了呢？啊，抱歉抱歉啊，大家可不能跟我一样啊，你这是五分之四倍的拍，是吧，你这咋写成四分之五了呢？五分之四啊， 五分之四，不要像我一样啊。好，那就是三十二乘一个四， 一百二十八，拍好，这是一个五，给打开括号吗？好，那就是四拍 a 的 五次方出一个五，这是第一部分，再加上第二部分。研究极值点吗？我们去求导呗。好，去求一下导啊。 v 对 a 求导，是不是？ v 是 关于 a 的 函数呀，那么求导的话，就这两块了，减去四拍 a 的 四次方，加上四拍 a 的 三次方，等于零。 好，这个没什么难度啊，我们就是说令一阶导等于零，把它的一个注点给它解出来， a 就 等于一啊，你把四拍啊，给它扔掉，那么把 a 的 三次方，负 a 的 三次方提出来。好，这就是 a 减去一，是不是？好，你是等于零的，那你 a 就是 等于一啊。然后我们再用它大于零，一阶导大于零，一阶导小于零，解出来一阶导的一个增减区间，我们写往下面写吧。好，它的 区间零到 a 的 时候，一阶导是大于零的。好，然后 a 大 于一小于二的时候，因为它是在零到二之间呀，然后一阶导 是小于零的啊，我们刚刚已经写了啊，这个一一，这个你得会算啊。一阶导，这是 a 啊，这是负一， a 减去一个一，然后这是 a 的 三四方， a 的 三四方就不用管了，它是大于零的，是不是我们用用它大于零，它小于零，解出来增减区间？ 好，所以的话，你看一增一减，那这个点就是它的一个极值点，它是唯一的一个极值点，那么就是它的一个最值点，所以 a 等于一是唯一的极大值点， 极大值点对于实际问题，那么 g a 等于一是最大值点， 你解决实际问题吗？你就这一个唯一的一个极值大指点，你不是对，指点是啥呀？是最大指点。好，那你最大值 v， 那 你就是把 a 等于一带进去啊，我这写不下了啊，直接写一下是五分之一百二十九拍啊。好，你 a 等于一带进去，你带到这里不就行了啊，带到这里不就行了，算一下就行了，题没有什么难度，重要的就是算的时候认真一点呗。 好，那这个题目就讲到这里啦。好，我们来看十点八，又是算旋转体体积在十张体之前，前沿部分啊，跟大家多次强调， 我以后讲旋转体体积只用这一个方法啊，是因为这个方法出错率极低，希望大家掌握啊。好，我们看这个题，你把白线 画出来得会画啊，我们在前面做过双纽线的题了，还做过星星线的题了，还有这个摆线的题又出来了，所以啊，这些图形啊，数一数二，同学要掌握一下也没什么难的嘛。是吧，我们听过课的同学啊，听过，听过这一块的课的同学，大家都会画的啊， 好几个关键的点呗，提取拍 x 去拍 a， 提取二，拍 x 去二拍 a， 这几个关键的点你画出来你就知道啊，大概它它的图形你都能画出来了，如果你没记住的话，画一下它这个两个特殊的点呗。好， x 去拍 a 的 时候，那这个啊，这个是二 a， 你 看嘛， x 去拍，也就是 t 去拍嘛， t 去拍 cosine 拍是负一啊， e 减去负一啊，是二，所以这是打到最高点了，是二二 a， 好， 那么就是求它对吧。哎，它与 x 轴所围成的一个平面图形，不就是这个区域吗？绕 y 轴旋转，我们区域找到了，第一步，在里面取一个点， x， y 取一个点， 哎，就取你了啊，你是 x y， 好， 进行第二步，第二步，这个点到旋转轴，我们旋转轴是 y 轴呀，它的距离记为 r， 这个 r 不 就是 x 吗？好，第二步结束，第三步带公式去了。还带公式呢？好， v 就 等于二拍， 我们对这个积分区域啊，进行二重积分。这个，哎，我们这个 r 不 就是 x 了吗？然后 d， c 个吗？接下来不就是进行二重积分了吗？你把这个区域啊，已经找到了，我们看 x 不 就是零到二拍 a 吗？没问题吧？好， d x， 你 这个 x 放到这呗，然后我们看一下 y， y 的 话也很简单呀，我们穿一根线上去了，那下面下线是零，上线不就是这个啊，这个这个曲线吗？这个曲线就是 y 啊，是不是就写 y 啊？ 好，然后我们这个地方就是一个一了呀，啊，是不是我们去积分。好，二排前面的先给它抄下来 x， 这些都给它抄下来， 我们去积分它，你积分它。这不是描眼法一眼就描出来了吗？它不就是一个 y 吗？所以它的结果是一个 y 就 放到这就行了。好，接下来注意啊， 我们不管 x 还是 y， 它都跟 t 是 相关的呀， x 关于 t 的 函数， y 关于 t 的 函数，所以我们下一步啊，要进行画圆了啊， 我们先把 x 跟 y 写出来，写成题里面的啊，关于 t 的 函数， a， t 减去 a 倍的 c， n t， 这是 x， 好， 乘一个 y， y 呢，是 a 放到这了啊，然后 e 减去 cosine t， 我 们把这个 a 啊，这个 a 前面，这个这个 a 也给他，也给他弄一下啊，给他弄到前面，这个给他弄到前面，不然你碍事的很。好，这就是 a 的 一个平方了，对吧？然后 d x， 注意啊，你现在有同学又有点迷糊了，到这你注意，我们现在是对 x 变量进行积分哎，有同学说这 t 又不可以看成长数呢。 x 跟 t 啊，他们可是啊，有关联的呀，对吧？ x 关于 t 的 函数呀。 好，所以你不可能把它看成常数，所以这个时候就是一个换元那个问题啊，你看啊，你现在不是 x 作为积分变量吗？你是从零到二派 a 对 吧？ x 是 从零到二派 a， 那你看 t 啊，你这个背积函数已经已经都换完了啊，我们现在只需要换上下线和它就行了，是不是？好，那你 t 等于谁呀？你 x 等于零的时候， t 等于零呀， x 等于二拍的时候，这是二拍啊，所以我们就变成了二拍 a 的 平方，上下线就是零二拍了。 好，这个积分变量啊，上下线已经换完了背积函数哎，天然的就已经换了了是不是？然后你 d x， 你 d x t 里面抵多少呀？ a 倍的 t 减去 c 零 t， 哎，你不就是 a 倍的 e 减去 cos 零 t 吗？这个没什么问题啊。好，我们这里就相当于 d x 给它换成它，然后 d t， 那 再乘一个 a， 是 吧，这个地方就变成 a 的 三次方了。 好，你这再乘一个，一减 cosine t， 这就是一个平方了。第一题，你下面再去积分就没有难度了，只是说你积分的时候你认真一点呗，是不是你把这里面给他拆开，然后按部就班的去积分 啊，但是我们的思路就是很简单，思路简单，那剩下的你就是考你的认真程度啊，二拍 a 的 三次方。好，零到二拍， 我们把这个啊，这里面进行展开，然后啊，然后展开之后啊，它是这样的， t 减去，大家要 课下展开一下啊，这里就不写那么详细了啊。 t 减去 c 型 t 加上 t 乘以 cosine t 的 平方， 你说你展开的话，你肯定得会啊，你不可能是不会的。好，减去 c n t， c n t 的 平方，这是我展开的，你看看有没有问题啊，你展开一下 c n t 减去二倍的 c n t c n t。 好， 第一题， 哎，这一块，哎，我们给它加个括号啊，哎，加个括号。好，那你就一步一个去算呗，你这有几部分？一二三四五六六部分 慢慢算啊，这里面存在好几个零呢。好，我们算一下吧。啊，二拍 a 的 三次方。好，那第一部分是 t 是 不是？那你 t 的 话我们都知道啊，是 t 的 平方，除以个二，它的原函数，那你零到二拍，那这个的话，是不是就是二拍的平方呀？我们直接写了，不然写不下了。 二拍的平方，这是第一部分，减去 c n t 是 不是？你 c n t 的 话，它的一个原函数是不是负的 cosine t 啊，那你负的 cosine t 就是 cosine t， 那 你 cosine t 再零到二拍，很明显是等于零了，所以这一块不用看了。接下来第三部分。 第三部分是 t cosin t 的 平方。好，你这个可以用二倍角啊，我们直接在这个地方写了啊，不然写不下，大家看一下过程就行了。零的二排 t cosin t 的 平方，你给它降密啊，降密就变成用二倍角公式，它 是不是？好，那你，你给它拆成两部分啊。第一部分就是二分之一倍的 t 的 平方，除以个二，哎，这是它的元函数，然后积分一下。第二部分， 二分之一倍的零到二拍，是不是 t 乘以靠近二 t 啊？ d t。 好， 你第一部分的话，我们看啊，这个结果啊， 拍的平方呀，你二拍带到这个地方，四拍的平方，又除一个四，不就是拍的平方了吗？所以第一部分是拍的平方，看一下第二部分， 第二部分我们算一下啊，是等于零的啊。第二部分这一块啊，算一下是等于零的，好，那算一下吧，给大家，这块大家可以掌握一个表格法啊，这个表格法的话也是比较好的，我们现在是 t c 二 t d t 表格法是这样的啊， 就是 t， 哎，求倒，求倒一次，是不是一啊，你再求倒一次，哎，就变成零了。而 cos 二 t 是 去积分，积分一次好，是负，二分之一是二分之一倍的 c 二 t 好，它再进行积分一次，就是负的四分之一倍的 cosine 二 t 了，是不是它的一个结果就是这样的啊，大家课下可以去学习一下这一块啊，这就不详细讲了，它的结果就是二分之一倍的 t c 二 t 啊，就交叉着啊， 减去一个负的四分之一倍的 cosine 二 t， 那 就是加上四分之一倍的 cosine 二 t。 好，你零到二分之拍，你看看，零吧，零吧，所以这一块是零。好，你实在，表格法你学不会，那你就去凑微分去做一样的啊，只不过你时间可能花的稍微久一点，所以这块是零啊，这块是零，那么我们这一堆的话，算的结果就是 pad 平方， 对不对？好，这下面擦一下啊， 接下来是不是这一块了呀？好，这一块就是减去零到二排好 c n t， 我 们给它凑到后面啊，这就是 cosin t 的 平方 d cosin d cosin t 是 负的啊，这个 d c 就是 说它的话啊，前面要补一个负号，对不对？ 好，你补个符号，这个前面就变成加号了啊。 dec 整数是负的啊， c n t d t 的， 所以那它的一个原函数就是 cosine t 的 三次方除以个三零的二派，很明显是等于零了，所以这一块等于零，接下来它 好，那这就是减去二倍的零到二倍 t， 然后 cosine t， 那 就这可以给它凑为分啊。 d c n t 是 不是，那你就是负二倍的好 t c n t 零到二倍 减去啊，这个减去 c n t d t， 那 你这个的话啊，它的一个结果不是负 cosine t 吗？那就是加上 cosine t 啊， 然后零到二拍，很明显这也是零了，你看这是零，这也是零，所以这块又是零了。 最后一步了啊，这是减去二倍的零到二拍。 cnt cosnt， 这个大家得知道啊，它的原函数你要第一时间给我写出来啊，它就是负的 cnt 的 平方呀，这是不是它的原函数？你看一下啊， cnt 的 平方，求下倒的话，是不是二倍的 cnt 啊？ c n t 再求一下，倒的话是 cos n t， 所以 啊，这个二倍的 cos n t， cos n t， 求它的一个原函数的话，要第一时间给我反应过来啊，是负的啊，这前面因为负号嘛，所以这有个负负号啊，负的 c n t 的 平方。好，那这就是零到二排，那结果也是一个零， 你看这多么多那么多零。所以这个结果啊，其实不难算的，你只要仔细一点，不难算的，那你这个的话就是这些了。 后面是三拍的平方，对吧？那你整整个的话，就是六拍的三次方， a 的 三次方呀，对不对？你这个，你只要把这个万能公式记下来，那你剩下的你就认真计算呗。没，没有什么要说的啊。好，那这个题目啊，就讲到这里了。 好，我们来讲一下，十点九又是旋转体的体积，在前沿部分跟大家说了啊，我后面只讲这一个方法啊。好， 那第一步要找旋转区域，哎，你这个区域我得给你把这个曲线 y， 这个 y 表达式你得求出来啊，是不是？然后你再去看一下啊，他这个图形到底是什么样的？好，那么他就比之前的题啊，稍微 复杂一点点，你把这个 y 给它求出来具体的表达式，把图像啊曲线给它画出来。好，那你想把绝对值打开，不就是比较 x 取负一一，哎，这几个区间吗？ 那这几个区间的时候，我们去讨论一下呗，对不对？你 x 平方整个大于一的时候，那绝对值直接可以打开 x 平方小于一的时候，你，你就得加符号了，要想打开，是不是？所以啊，负一和一是它的一个端点， 好，分段点，那么 y 就 等于我们就给它写成 f x。 好， 那你看啊，当 x 小 于负一的时候，哎， x 在 这的时候，那你 x 小 于负一，你平方的话是大于一的呀，所以你可以直接打开 x 的 平方，减去一，那是三，减去它，加上一个它， 那就是四减去 x 的 平方。好，那你 x 啊大于等于负一小于一的时候呢，在这个区间等号写到哪都可以啊， 你在这个区间的话，你这个平方的话， ok， 你 的啊，结果是比一小啊，那你减去一个一的话，那你打开绝对值要变成相反数了，所以就三减去一减去 x 平方，那就是三减一，二加上 x 平方，二加上 x 平方呀，你这是 没难度啊，没难度，你当 x 大 于等于一的时候，等号先拿都可以。好，你绝对值又可以直接打开了，是不是？ 那，那这个结果就是四减去 x 的 一个平方了呀，是吧，好，画图的话也很简单呀。哎，两个抛物线嘛，是不是这两个是属于一个抛物线在一个抛物线啊，这个呢，是一个抛物线，所以啊，这个图是很好画的， 那么这个图画完，这是曲线 y 与 x 轴为成的封闭的一个图形，那不就是说它吗？ 哎，这个封闭的图形吧，绕着 y 等于三。哎，这个点啊，我们这个点按这个点，就是啊，一和三，那么 y 就是 等于三了，所以绕着 y 等于三，就是这样去旋转，然后得到旋转体的体积，那么我们很清晰，这个 我们的区域是不是关于 y 轴对称呀，一定要学会用对称的思想，我们在数学里面啊，这样会简化我们的计算量的。我们把这个令成第一区域的话，我们就去把第一区域绕着 y 等于三啊，这个 直线啊，旋转之后啊，这个得到的体积再乘一个二不就行了吗？但是这个区域第一啊，我们用第一啊，整个 第一项线的区域是第一。哎，你第一区又分成两部分啊，是不是又分成两部分？因为你看上面这个曲线跟这个曲线它是不一样的，表达式是不一样的，所以你必须给他切成两部分。 哎，怎么画不直了？好，必须切成两部分。好，就这样吧。好，这就是一呀，这个点打这个很好求出来的，所以就画成两部分了，那么第一部分 是这个区域，第二部分是这个区域，我们就说他是这个吧，这个是第三，然后绿色的是第二， 这个区域是第二。好，我们把第一和啊分成第二和第三，你这里面取一个点，我们就按照我们的啊这个做题方法了， 这里面取一个点，然后这里面取一个点，然后啊去到旋转轴的一个距离去求出来，然后把它这个区域绕着 y 等于三，这个轴旋转的体积算出来，它也是算出来，加到一起 不就是它整个第一吗？然后最后再乘一个二不就行了啊，这个思路是不是很清晰啊？那思路清晰的话，我们去啊，第一象限的是第一的话，二倍的 v 一， 而 v 一 呢，我们又给他画成两个区域进行算是 v 二加 v 三。为什么画成两个区域啊？你这个曲线，这个表达式都不一样，你必须给我画成两部分啊。好，那我们把它擦了啊，不然没法做题。 那你这个画完了，我们去求了呗，这个区域是第三。好，我们一个一个的去求。好，先去求 v 二，那 v 二， 第一步，在区域内找一个点，这个区，这个点啊，找到了 x y。 好， 第二步，然后这个点到旋转轴的距离到旋转轴的距离，你看一下 是不是这个啊？这个绿色的一个线呀，他到旋转轴的距离不就等于三减去 y 吗？这整个是不是三呀？减去我们这个点的一个纵坐标在这呢啊，你三减去这一块不就等于这一块吗？这一块不就是我们想要的吗？三减去 y， 是 不是你得会写啊？ 好，那二拍往这里一写，然后啊，这里也往这里一写，然后这个二就是三减 y， 我 们应用公式了啊，已经走到第三步了，是不是这个二已经求出来了？好，那么你去去这个积分呐，二重积分没难度吧，你这个区域啊， 好，现在我们就这样了啊。 ok， 现在去算这个区域进行二重积分。好，那很明显 x 从零到一 没问题吧？那 y 的 话，我们做一根线啊，往上指的一根线，然后下面是不是零呀？你上面的话是不是过的这个这个线啊？你看啊，这个线的话，他的一个表达式是二加 x 平方，他呀，哎，你这能看出来吧。 好，那你写完了三减 y， 那 你不就是下面是积分那个问题了吗？多简单呀。好，这一块啊，写到这，我们去积分一下吧，给大家积分一下， 二拍零一 d x， 我 们去算一下后边这一块，后边这一块的话，它的原函数三 y 减去 y 的 一个平方除以个二。 好，零，二加 x 的 一个平方，你去带一下，你把二加 x 平方给我带到这个 y 里面，三倍的 二加 x 平方减去二分之一倍的 y 的 一个平方，它的平方四加上 x 次方加上四倍的 x 平方，是不是，是不是它呀？好， 我们整理一下。哎，这个整理没什么难度了啊，整理一下啊，是六加上三 x 平方减二减去二， x 的 平方减去二分之一倍的 x 次方，是不是这个你整理再不会整理吗？好，那你这个结果大家去算吧，是不是你这个密函数，求这个原原函数啊，去积分多简单呀。 好，我们积分一下啊，最后的一个结果给大家写一下啊，是十五分之一百二十七拍可下，算一下啊，没难度啊。好，那你 v 二算完了，我算一下 v 三去，哎， v 三，好，把公式给我先带一下， 哎，我去，求这个二，是不是？好，再再再这样写一下。 好，这是一，我取一个点 x y 吧。好，你到 y 轴的啊，一个距离是不是就是这个蓝色的线，是我们现在想要的呀，这个距离就是一个 r 呀，这个距离 跟我们刚刚说的有啥区别呢？这个距离不就等于三减 y 吗？跟上面是一样的呀，对吧？三减去这一堆，这个 y 不 就是上面这个距离吗？好，这个距离我们也已经找到了，那就是二乘积分的问题了， 二拍好 x， 哎，对这个区域进行二重积分啊，从一到二没问题。好，这就是啊， y y 定定套的一个线的话，我们仍然是啊，往上面指个箭头，下面的话，哎，是零 上面，哎，它过的是不是这个曲线啊？你这个曲线你看就是它了呀，四减去 x 的 一个平方，是不是然后三减去这个 y 啊，这个 y 的 话也是我们说的啊，是四减去 x 的 一个啊，平方了， 这里不对，这里我犯了一个错误，希望大家引以为戒。引以为戒，我们是对二重积分呀，你这怎么能够轻易的换换成 x 呢？你这个必须写成 y， 就是 三减 y， 懂不懂？这三减 y 就 就往这一写就行了啊，不要去给他改成 x， 因为我们现在是二重积分，不是定积分呀， 不是一重的积分。好，那这个积分的话也是很简单呀，是不是二排，然后一二 d x， 你 把这一块算一下，我们刚刚说了啊， 他的原函数是很好算的，三 y 减去 y 的 平方除以个二，然后上下线一带，对吧？然后你算完的结果往这里面啊一写，他这个结果就是四，加上 x 平方减去二分之一倍的 x 四次方。 好，就是他啊，大家去化简一下，那这个结果他就等于九十七拍除以十五。好，算完了，那你 v 二 v 三算完了，那你最后的话，我们可以写结果了呀，往这里写，二倍的 v 二 算完了， v 三也算完了。好，那你最后就是 最终的一个结果，是不是这是最终的结果啊？好，你看看，你用这个方法啊，就是万能的，这个方法就是万能的，你根本都不用去想其他的，你就代公式，然后去积分去认真去计算就行了。这个地方呢，给同学们一个答疑啊， 有同学是不是用咱们讲义上面的一个公式是吧？首先我不推荐用这个公式，不建议你去记，有点复杂，是不是这个记不清楚了，考试的时候 这个就做错了呗，所以不推荐啊。那你要是实在想去记，想去用，那有同学呢做的答案怎么跟咱们参考答案这个结果是不一样的呢？ 好，那看一下错在哪里啊？你看我们这个公式啊，带完之后呢，得的是不是这个结果呀？十五分之九十二拍是不对的，为什么呢？你看啊，我们套公式得的是什么？你得知道这个公式啊，得出来的是哪一部分的区域，绕着谁旋转出来的一个体积啊， 你看套公式是红色的区域绕着 y 等于三，哎，旋转的 出来的一个体积啊，好好理解一下这个公式啊，他可不是咱们这一部分的，去绕 y 等于三呀，对不对？好， 那我们要求的是这一部分啊，去绕着 y 等于三旋转出来的旋转体的体积。那我们，哎整个这个啊，长方体绕着 y 等于三旋转出来的体积，好，减去你代公式 得出来的这部分体积，那不就得的是蓝色部分是吧？绕着 y 等于三旋转出来这个体积吗？对不对？这个长方体绕着 y 等于三旋转出来的是不是一个圆柱啊？这个体积会算吧？ pi r 方 就是拍二方是底，面积是不是乘以高圆柱的一个体积公式吗？它高不是等于四吗？是不是半径不就是个三吗？这个都都理解的啊。好，就是这一点啊，这个给大家答疑一下，答疑完之后还是不建议你去记这个公式啊。