体育单招立体几何求二面角余弦值

找到平面角，假设现在有两个平面相交于一条直线，我们各取他们的一半，也就是说要这两个半平面， 那就可以看成是从这一条直线出发的两个半平面所组成了这个图形， 那么这个图形就叫做二面角，中间这条棱叫做二面角的棱。我们假设 g 为 l， 这两个半平面呢，就叫做二面角的面， 那么这个二面角就可以记作阿尔法杠 l、 杠贝塔。如果分别在这两个半平面内找到一个点，点 a 和点 b， 二面角也可以记为 a 杠 l 港币。而二面角的棱有时候也可以用两个大写字母来表示，比如说直线 pq， 于是二面角也可以表达为尔法杠 pq、 杠贝塔，或者是 a 杠 pq 杠 b。 这些技法都是二面角的表达方式，那么二面角毕竟他后面落到一个角字上， 二面角的大小应该怎么表示呢？如果从棱出发，分别向两个平面做两条直线，那么会做出很多不同的角， 哪一个能代表二面角的大小呢？我们可以过点 a 向冷 p q 做垂线。假设垂足是点 o， 过点 b 也像棱做垂线。如果他们恰好垂在了同一点处，也垂在了点 a 处，那么角 aob 就叫做二面角的平面角，它的大小就代表了二面角的大小。 我们具体表达出来就是分为这么几个要求，第一点哦，要在冷上属于 p q。 第二， oa 要含于平面而法，并且 oa 垂直于 pq。 第三， ob 要含于平面贝塔，并且 ob 垂直于 pq。 所以说相当于从这一条棱上出发，向两个半平面分别引垂线， 这样的话就能保证都垂在同一个位置，那么这个角就是他的平面角。既然二面角是由两个半平面所围成的，那么他的平面角的大小最小可以是零度，那就是把这两个半平面给他合起来， 如果完全放平，那就是一个平角，所以二面角的曲直范围应该是零度到一百八十度的 b 区间。我们来看一道题目，这里给了一个三棱锥 a、 b、 c、 d， 他的个棱长均为二， 那就是一个正四面 t， 求的是二面角 a 杠 cd 杠 b， 它的余弦值。按照我们刚才讲的二面角的做法，想找到它的平面角， 就需要分别在平面 a、 c、 d 和平面 c、 d、 b 这两个半平面内分别找到交线 c、 d 的垂线，并且要垂在同一点处。 由于 a、 c、 d 这个三角形是一个等边三角形，想在这个半平面内做 c、 d 的垂线，可以取 c、 d 的终点，假设是点 e， 我们再连接 a、 e， 那么由于 a、 c 等于 a、 d， 所以根据三线合一，可以得到 ae 垂直于 cd， 并且这个 ae 的长度是等边三角形的高，应该等于根号三。有了这个垂直以后，我们还需要在另一个半平面 bcd 当中找到垂直于交线的那条直线，并且要垂在同一点处。由于这个三角形也是一个等边三角形，我们连接 b、 e， 同理可得 b、 e 垂直于 c、 d， 并且 b、 e 的长度也等于根号三。所以根据二面角的定义，他们两个分别属于两个半平面， 并且呢都垂直于这个交线，垂足也落在了同一点处，所以这个角 aeb 就是二面角，他的平面角。那么接下来只要求出这个角的余弦值就可以了。 在三角形 a、 e、 b 当中， a e 等于根号三， b， e 也等于根号三， a b 等于二。 想求这个角的余弦值，我们可以利用余弦定理扣三角， a e， b 等于 a e 的平方加 b， e 的平方减 a， b 的平方 除以两倍的 a e 乘 b e 代入进去就是三加三减四 除以二乘跟三乘跟三计算出来等于三分之一，这就是这个二面角的余弦值。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

立体几何中如果涉及到定角，比如求某个二面角的余弦值，一般都是要间隙圆折。 p o 中 ab 是 底面圆 o 的 直径，且 ab 等于四，说明半径为二， c 是 圆 o 上一于 a、 b、 d 点既然是圆周上的，说明这里是九十度。就翻译题目的时候，就把那些能写的都写上。 pa 等于二倍根，三，无限长都是二倍根，三是这两个二面角。 pa、 c、 b 和 p b、 c、 a 分别是 alpha 和 beta， 求它们正切值平方的倒数之和的值。第一题我们要关注 alpha 和 beta 这两个二面角，二面角要么间隙，要么转成平面角。 这道题目可以是用间隙来做，但是那样子有点不需要，我们不需要把间隙用来第一问，就可以找到二面角的平面角。因为我们要找的就是在 p a、 c 面内垂直于 a、 c 的 和在 a、 b、 c 面内垂直于 a、 c 的 这两个等腰，所以这里取中点连接自动垂直， 这里设为 d。 那 么另外一个垂直呢？这里垂直，我们就让它平行于它，那很明显连接圆心就是这两个平行，所以这两个垂直。 同样的方法取中点连接，可以找到 p b、 c、 a 的 平面角， 所以 p、 d、 o 就是 二面角， p a、 c、 b 的 平面角。另外一个就是同理， p e、 o 是 二面角， p b、 c、 a 的 平面角 叫 p e、 o 上面角 p b、 c、 a 的 平面角都找到了各自的平面角，那就通过这个里的 alpha 和这里的 beta 去计算 tan 的 值。看 tan 的 值，要找到直角，这也很好找呀。因为 p、 o 垂直于底面，所以这两个都垂直于 p o。 找到两个直角，分别就可以翻译出 tangent alpha 和 tangent beta。 平方取倒数再相加， 因为它们取完倒数之后， p、 o 呢，都跑分母去了，所以直接把 p、 o 通分到分母。需要平方分子 o d 方交 o、 e 方，它们各自是 a、 c 和 c b 的 一半，所以平方之后是四再分母， a c 方加 c， b 方就是 ab 方， ab 方是十六，所以等于十六。移上四乘以 p o， 这里是二倍根三，这里是二，所以就是二倍。根号二。平方之后八等于二分之一。一问结束 第二问。如果已知了 tangent 的 alpha 和 beta 之间的关系是根三倍，那么要求出余弦值。此时就可以根据我们第一问求出来的结果和第二问单独的条件，可以得出 alpha 和 beta 的 正切值。 这里有三在分母，然后这里是一倍，所以一共是三分之四倍。 tangent 的 alpha 平方分之一等于二分之一，所以 tangent 的 alpha 方是三分之八。 线段的倍呢，应该是二倍，根号二。根据这两个值，相当于就是定出来了 c 点的位置，我们就可以根据 c 点来进行间隙。 因为 c 是 我们主要的研究中心，所以就把 c 建在圆点处，要求出这四个点的坐标， p， a、 c， b， c 是 零零零，没什么说的。 a 呢， a 是 在 x 轴上的，要求出 a， c 的 长度，就要求出 o、 e 的 长度，那么乘二之后就是 a、 c 的 长度，而要求 o、 e 的 长度可以通过看成的贝特来求，这是二倍根号二。看成的贝特也是二倍根号二，所以这里是一。 b 呢， b 要求的是 bc， 也就是 o d 的 长度二倍，因为 o， e 是 一，所以 o d 肯定是根三零二倍，根三零。 p 点的值是最后一个求的，因为它比较多一点，每一个都是非零的。 g 轴应该是 p， o 的 长度是二倍。根号二这两边呢，分别是 o， e 和 o， d， 这四个值都求出来了，就可以求出每一个平面内含有的两个向量，这两个向量就能确定出它们的法向量。由于这里是余弦值，所以一定要一个朝内一个朝外， 如果能看出顿锐就不需要，但是这里不容易看出来顿锐，如果你火眼金睛能看出来，当然就可以直接通过顿锐来判断，就不需要一个朝内，一个朝外 x， y， z， 然后另外一个也是 x， y， z 加个角标列出方程。由于 c 是 圆点，所以我们肯定是以 c 什么这样子的形式去写出我们的向量，因为就直接抄坐标就行。 一个朝内朝内的向量看起来是不是向下的，所以 z 一 应该是负数，我们就让 z 一 是负根三 x 一， 这里显示的是零， y 一 呢，应该是二倍根二。同样的方法求出 m 向量 朝外的应该 z 是 正的， y 是 零， z 取正值就取根三 x 值，不用就直接 z 值取一就行。 因为根三 y 二是零二，所以自己就直接取一，然后 x 取负二倍根号二，这是 m 和 n， 并且一个朝内一个朝外，那么就用点击再除以魔的乘 积，等于点击点击之后零，这也是零，所以只剩负根三，再除以这里的魔应该是根十一， 这里的呢，八加一是九，就开根是三，所以乘三，最后是负根号三十三分之一。感谢大家的收看！

体育单招数学立体几何计算题，该如何精准拿分？看一下，审一下条件啊！那假设圆柱的底面半径为 r， 球的半径也为 r， 那 圆柱的表面积 s 柱，它应该等于的是两个底面的面积二派二方加上一个侧面的面积，那是底面周长乘上高。 我球的面积 s 球应该等于的是四 pi r 方啊。两个 r 是 相等的，那此时它俩相等，那就是二 pi r 方，加上二 pi r h， 应该等于的是四 pi r 方。我们把二 pi r 挪过去四个减两个，剩两个。 二 pi r h 等于二 pi r 方的情况下，二 pi r pi 底没了， r 走一个，那我们只剩了一个高等于半径 r， 那 此时我的 v 柱 就应该等于的是底面积乘高 pi r 方 h h 等于 r， 那 它就是 pi r 的 立方。 而 v 球啊，球的体积是三分之四 pi r 的 立方，那么他们两个进行比例啊，那就是 派 r 的 立方比上三分之四倍的派 r 的 立方。派 r 立方，派 r 立方抵掉 一除以三分之四，相当于是一乘四分之三，那就等于的是四分之三就行了。因此答案是什么？是三比四啊？三比四，或者你写成四分之三，他都对。大家看一下有没有问题？有问题问没有问题咱们过啊。好同学，我看写的是三分之四，写反了啊！

同学们，你用什么方式确定他是锐角或钝角？或者你用什么方式确定这个和两个法项链的夹角是相等还是互补？我们法项链的夹角呢？是不是 a 一 n 二？我们认为他是阿尔法，可以吧，我并不用干什么，我并不用去他瑞和顿，我只要确定他俩是相等还互补就可以了。好，有个方法，大家参考一下。我画的图可能有点区别啊，大家都理解一下啊， 假设这是 p， 这是 b， 这是 c， 这是 a， 我 就这个意思啊，它不垂直，但我假设垂直了，好吧，是不是 p b c a 二面角可以这么理解，是吧？ 那我们两个反向量哎，这是不是垂直这个平面，然后垂直这个平面，为了讲课方便，我讲它是 e， 可以 不 啊？我把这个连上，能理解，是不是啊？同样的，我再画一下啊，我们为了讲课方便，什么意思呢？讲讲公式和做题的原则是什么？别再求新的变量，别增加麻烦啊。 那我们怎么办？我可不可以这么理这，哎呀，怎么画好啊，这个意思啊，这个意思啊，这个是加点 e 是 不也可以？然后呢，同学们，就垂直吧，反向量垂直吧， 我连个线啊，好，把这图拎出来，大家听习惯就理解了啊。我听习惯理解了，把面拎出来，因为老师老不会啊，一不会就拎出来啊，不会了就拎出来。 呃，这个是点 p， 这个是点 a， 这是点 b， 这是点 e， 大家看可以吗？ 看看这这样图，能感觉到这个意思没？你说老师那个一定是这样吗？你别管，你就先这样画啊。呃，我现在呢，我写个东西大家看啊，这是向量 n 一， 这是项链 n 二，可以吧。那同学，老师你是谁呀？你就用 pa， 你 不前面后面吧，就 pa 就 好了啊。 pa， 我 用这三个项链就能鉴定出谁的和阿尔法的关系。注意听，我把准备擦掉了啊，这个没有用了啊。 好嘞，我们如图，这是不是就谁的二面讲，这是不是就阿尔法能理解？好嘞，看老师假设这个情况啊。注意了啊，我先写你们，我先讲写写一下啊，等会你们再理解。为什么啊？ 老师，我没用过这个，你讲老师讲完就用了， 老师什么意思呢？你这个为例啊，你看老师写的是 n 一 n 二，大家能不能看出来 实际这个是阿尔法，是阿尔法吧。哎呀，这是垂直的，这是垂直的阿尔法和写的什么关系？互补吧，按照老师画的两个向量，阿尔法和写的是不互补， ok 吧， 但是你得用计算说明吗？请看 n e 和 pa 的 乘积，正的负的 两个向量的乘积。来点注意力啊，等会我们再换节奏啊，现在就是跟上老师节奏，注意听啊，两个向量的乘积的正负是由什么决定的？摩摩乘于弦，于弦吧， 是由这个假角的锐和钝决定的。很显然，我们这个图一个锐角，大家懂这个意思吗？锐角，所以它乘完之后这是正的， 再来 n 二， n 二是不是这个方向？大概这样哎， n 二和 pa 是 钝角，它就是负的。 正乘负是小于零，是不是符合我们这互补的情况？互补什么意思？是不是现在等符号，因为一个锐一个钝呐，你阿尔法是锐，他就谁是钝啊。阿尔法钝谁是锐啊， ok 吗？ 同理，你说老师那都小于零吗？当然不是，再举个例子，我把 n 二调箭头啊， 假设这是 n 二， n 一 n 二，看出来没？大家来看， n 一 n 二的假角是哪一个？ n 一 n 二， 是不是？这是阿尔法？看出来没？阿尔法吧，这个时候阿尔法结结是不是相等了？相等的啊，这不是互补了，而是相等的关系。 好嘞啊，相等，那这时候来看 n 一 和 pa， 假角是锐角， 那我下面指定要讲 n 二啊， n 二是不是这样？是不还钝角， 所以这是正的，这也是正的。哎，这 r 八和 c 的 什么关系？ 相等了吧，是不是？看是不是相相，相等了是吧，这个加它一百八，这个加它一百八，阿尔法等于塞特， ok 吧。 所以我们可以写成什么呢？ cosine si 等于 cosine 阿尔法。

我们看一下这道立体几何，这道立体几何它考第一轮考的垂直，第二轮考的是线面角， 线面角，哦，那个二面角，对吧？它的二面角，也就说这道题也是比较典型的一种考法， 也就是我们单招里面单招立体几何。最后一道大题，它是可以这样去考的，首先垂直在历年整体面确实考过，有可能去考， ok， 我 们看它如图，在直三棱柱。首先你要翻译的第一个条件就是直三棱柱，当你读到直三棱柱的时候，你脑袋里一定要有一个信息，就是 侧棱垂直于底面，对吧？侧棱，嗯，垂直于 底面，对吧？你这个条件得有。然后他又告诉我， a c 垂直于 bc， a c 垂直于 bc， 也就这是个直角，这样的话，我们是不是能想到我们间隙肯定是没问题，以点 c 为圆点开始间隙，对吧？也就是说我们第二纹的二面角绝对是能做出来。然后他说 e 为 b， b e 的 中点， e 为 b， b e 的 中点， 一为 b b 一 的中点。然后它要干啥？它告诉 ab 等于 ab 等于 c， c 一， ab 等于 c， c 一 等于二，这个等于二，这个等于二，然后告诉你 bc， 那 bc 就 只能是一了，对吧？这样的话，我们 我们大概表达出了，我们 ac 就是 根号三， ok， ac 等于根号三。第一版让我们求 ac 垂直于 c e e， ac 垂直于 c e， 我们要证明 a c 垂直于 c e e， 我 们其实只需要去证明我 a c 垂直于 c， e e 所在的 c e e 这条线所在的这个面就行了，是不是？也就是我们只需要要证这个，我们只要证到 a c 垂直于谁， a c 垂直于， 嗯， bc bc 一 就可以了。如果我们能正到这一步，能正到这个结论的话，是不是我们再去说 c 一 在这个面里面，然后就可以正垂直了？大概思路是这样，来我们具体写一下， 我们思路是这样，但是我们写的时候肯定是不是反过来写的，嗯，因为值三楞柱，对吧？值三楞柱， 因为这三楞柱，然后所以说你一定能得出来，你的 c c 是 垂直于 a c 的 c c 垂直于 a c 又因为你的 b c 垂直于 a c， 你 的 c c 胶水交 b c 于点 c， 对 吧？ c c 交 b c 于点 c 所以 说我的 a c a c 垂直于面 b c c 一 b 又因为你的啥？ c e c e 属于面 b c c e b 一 c e b 所以 说，所以说啥？所以说你所以说啥？是不是就是 a c 垂直于 c e， 对 吧？第一问也是非常简单常规的一个考法，第二问间隙了。二面角 大概率就是间隙啊，我们基本上单招嘛，不用结合法去做，基本上都是间隙， 用向量。 ok， 我 们键盘系也是这样，键盘系这样，其实我们这个坐标特别好写，能看得出来坐标特别好写。第一个，我们看一下，第一个面叫做 a 杠 e c 一， 对吧？ a 杠 e c 一 a 杠 e c 一 a 杠 e c 一。 这个面的反算量绝对是要求求的，这个反算量是去求的，然后我们再看一下 e c e b e c e b e c e b e c e b。 是 不是就是我们刚刚所说的侧面这个面啊？ e c e b e 这个面它的发向量，其实它的发向量是谁？它的发向量是不是就是我们的 ac， 对 吧？它的发向量是不是就是我们 ac？ 它的发向量其实就是我们 ac， 对 吧？那 ac 的 坐标就是，嗯， a， c， c 点减， a 点就是不，根号三逗零逗零，这个反向量有的， ok， 我 们现在所有的目标就是去求 a， e， c， e 的 反向量。反向量，那我们开始写坐标，嗯，我们随便选两个 a 点 a 点的坐标， 根号三斗零斗零，然后 c 一， c 一 的坐标是零斗零斗零斗零斗二，然后 e 的 坐标 e 的 坐标是零斗一斗一，零斗一斗一。所以说我们 选的第一个反向量就是 c a， c a， c a 对， c a， 它的反向量就是根号三豆零豆负二，然后第二个反向量我们选 c， e， 它就是零斗一斗一，零斗一斗负一，对吧？零斗一斗负一， ok， 我 两个反向量求出来了，是不是要求这个啊？我这两个向量求出来，要求反向量。 反向量，我简写了啊，反向量这个非常套，这个方法就是 写两遍，根号三斗零斗负二，根号三斗零斗负二，我要求反算，零斗一斗负一，零斗一斗负一。 ok， 写两遍还是把最外脸两列划掉，中间这个零乘以负一是零，零减去 零减去负二，正二，对吧？负一，负二正二，然后中间这个就是这四个交叉相乘相减，然后剩下这四个 同样交叉相乘相减。符号乘以零，零减去负根号三，那就是根号三逗根号三，然后剩下的是这四个 根号三乘以一是一，减零根号三。也就是说我们这个法向量是二到根号三到五根号三。这样的话我是不是都有了啊？那我 cosine c， 它这个 a c 乘以法向量比上，呃， ac 的 膜，反向量的膜， ac 的 膜，反向量的膜，对吧？这样的话我一乘的话是负的二倍根号三，负的二倍 根号三，然后它的膜，它的膜是根号三 乘，以这个的模，其实就相当于是它的模式，根号下四加三加三就是九，九加四、十二 七，对吧？呃，这个是三加三六，六加十啊？ ok， 那 就是这样，这样我们首先再约分一下根号三，根号三，约掉就是根号十分之二，然后我们再约下十分之二被根号十，那这个就是负的五分之。 嗯，根号十，负的五分之根号十，这样我们算下来，这个负的五分之根号十。但是我们二面角的题一定要自己去看一下那个面，它到底是个钝角还是个锐角？如果它是个钝角的话， 如果它是个钝角，它就是负的五分之根号是，如果它是个锐角，那它就是正的啊。这个需要看一下这个面，它叫个 a 杠 a 杠 e c 一 a 杠 e c 一 a 杠 e， c 一 b， 其实公共边就是它 a 杠 e c e b， 对 吧？这个这个角我们看着它，它就是个动角啊，它，它，它，它不是个，哦，它是个锐角，它不是个钝角。所以说我们其实真正的你的余弦值， 你的余弦值，其实它是正的不是，也就是五分之根号十，五分之根号十才是你答案，你这个要稍微注意一下，就是这个一定能是能看出来的。 a 杠 e c e b， ok， 这就是这道二面角的一道题。

高考立体几何证明，难倒很多人？今天教你垂直证明，怎么用反推法让证明变简单。这节课我们将来学习空间几何中的垂直的证明的一个问题。然后垂直问题分三种，第一个就是线线垂直， 第二个就是线面垂直，第三个就是面面垂直。首先线和线垂直就很简单，对吧？就是证明，怎么证明呢？就可以用这个勾定里 是不是可以证明？你看如果他符合勾股定律，是不是这里就会有个垂直，对吧？这个就简单的，然后我们还有正余弦定律，就是通过算出边上也能算出来他是一个直角。然后重要的就是什么呢？就是我们这里面会有一个 菱形啊，菱形除了对角线会垂直以外，他还有个什么性质呢？很多出题的只要看到菱形和六十度角， 好吧，所以他会和六十度角去结合，有个隐藏的垂直就在哪里呢？如果这个角是六十度，我把一个顶点和这个中点连接起来，这个角会垂直，为什么呢？你看我把它连接起来，看上面这个三角形啊，是不是三边就会相等了，就相当于是， 对吧？所以这个是很多东西都忽略的一个问题。然后其他的，而且那个什么梯形里面也有那个对角线垂直的情况，那个就完全可以用那个国物理等等等等都能算出来的啊。好吧， 所以线线垂直是我去证明后面两个的基础，我只有线线垂直了才能证明线面垂直。那么怎么去证明线和面垂直的呢？就是要证明我一个面里面有两条线，看到没？分别和它垂直，那么下面这个面， 对吧？就是这样子的，所以我才会有这条线啊，这条红颜色，红颜色的线 和下面这个面垂直，这个就线面垂直。那么面面垂直是什么呢？面面垂直就是两个面垂直， 对吧？那两个面垂直我们怎么去判断的呢？就是说我这里面有这个面，里面有一根线垂直于下面那个面啊，好吧，就是垂直这个阿法， 那么你看我就可以说，如果啊，这个贝塔是过这个 l 的， 那这个贝塔就会垂直 r， 对 吧？所以它的本质是不是还是线面垂直，对不对？所以， 嗯，你要说它有平行兰吗？它没有，只是这里面会有一个方法，我们等一下后面会讲的叫反推法，因为很多人看不出来它是垂直的，对吧？然后这个面面垂直里面有个很重要的性质啊， 就什么呢？就是如果就用这个图来说啊，这个文字你们自己去看，就是如果我两个面是垂直了，然后这个 l 它垂直于这个交线，这个是交线啊， 好吧，那这个 l 就 会垂直于 r， 这个我们在平行里面也也经常用到，只要你看到面垂直于面，那这个定你是一定一定不要忘记的， 好吧？然后刚刚说了三个垂直，其实不管题目是让你证的线线垂直还是线面垂直还是面面垂直，它的本质都是要你去证明线面垂直，我才有线线垂直， 好吧？然后，嗯，面面垂直的，一样的，是线面垂直才有面面垂直吗？对吧？然后很多同学就说，为什么不是线线垂直去推出来线面垂直呢？ 但是你在大题里面，你，你随便去看，只要问的是线线垂直的，它里面一定是先正线和面垂直之后才去证明线和我的一个线去垂直的，很绕的，这个等下我们讲题你就知道了啊，好吧， 那我们就看一下，先从简单的开始，然后你看这个就线面垂直嘛，对吧？嗯，刚说的线面垂直就要找线和两条相交的线啊，相交的线， 嗯，然后他说在这个三棱柱中， a、 b 是 垂直于侧面 b， b， e， c， e， c 的， ok， 就 相当于这个这条线啊，垂直于左边那个面的，然后 ab 等于 bc 等于一， ok， 这是一，然后 bb 等于二 就等于二，然后 bcce 等于三分之派， ok， 这个角就是六十度。然后呢，我们证明的就是 c 以 b 垂直于这个底面， 那他一定要找 c， e， b 垂直于两条相交的线，对吧？ 这个简单，这个一眼都看出来。因为我题目里面看 ab 是 垂直于面 b， b， e， c， e， c 的， 所以 ab 是 不是垂直于这个面里面的任何一条直线，刚好里面有谁有 c、 e、 b， 对不对？所以第一条我们就有了，这是第一条，这是第一。第一条垂直， 那是不是再找另外一条垂直就可以了？我们那怎么去找呢？嗯，这里我们没有别的的条件了，因为它里全是 ab， abc， 你 自己看一下啊，我 ab 已经组合了，要不就 abc， 要不就 ac 嘛， 对吧？ ok， 我 们先从 bc 入手，这是很多东西看不到的时候啊，你们就这样自己去量的组合，看能不能证明，然后刚好他给了你边给了你角， 对吧？所以就相当于这里是一，这里是二，这个是六十度。我们要把这个 c 一 b 先算一下，看他有没有可能能算出来，因为 c c 一 他也是二嘛，测能会相等吗？ 对吧？所以刚好你这里啊，很多同学说有个六十度，有个一有个二，那我这里就直接垂直了。你考试的时候你要怎么写呢？你要说口算，以六十度是不等于 b c 的 平方，加上 c c e 的 平方，减掉一个 b， c e 的 平方，去除一个二，乘以 b c 乘一个 c c e， 你 要这么去写，然后我算出来 b c、 e 等于根号三啊，这一步很重要啊，很多东西都直接去写的，所以要用余弦定律去写，所以才有了勾股定律，你写了之后才有了勾股定律。 好吧，所以这里有勾股定律，你们就自己去算，我就不去写了啊。所以你看第二个垂直不就有了， 对吧？所以就是 bc 一 就会垂直于 bc 嘛。好吧，过程，这个总结的过程你们自己去写，这里就就很简单。但是重点是什么呢？重点就是这里，这个是第二条垂直了吧，第二条 垂直于两条相交直线，你看，我就说又因为 bc 交 a b， 对 吧？等于 b 点这个东西就代表我这两条线是相交的，就是我后面的它和后面的 a b， 对 吧？因为都是 c e b 嘛，垂直于两条相交的直线啊，所以 我才有了什么呢？然后还没有，且 bc 和 ab 都是属于面 abc 的， 对吧？所以 c e b 就 垂直于面 abc。 看到没？关键一点就在哪里，这在这一步，很多东西你要是不写的话啊，可能在高考中他会是又做成一个扣分点的啊，好吧，所以这个就线面垂直， 对吧？他，他比那个，呃，我们的平行要简单很多，因为他的平行都很固定。 好吧，那我们看一下这个第二题啊，他说，嗯， p a d 垂直于这个 a、 b， c d 就是 左边这个面垂直于底面，然后 p a 等于 pd 等于二， ok， 然后四边形 a、 b、 c、 d 是 边长为二的菱形， ok， 看到没？菱形出来了， ok， 六十度出来了， ok， 他 肯定有隐藏条件的，不然他不可能这么给你，对吧？ ok， 这也是二，这也是二，这也是二，这也是二。然后 e 是 a d 的 中点， ok， 然后让我们证明的是， b e， b e 在 哪里？ b e 在 这里。 垂直于什么？ p a d， ok， 首先你看到这个东西面面垂直，然后看到这个有个等腰，等腰说明什么？等腰是不是说明 p e 啊？ p e 啊？ pe， 它是垂直于 a d 的， 所以你以后你们看到等腰等边，对吧？有中点，那它不就会垂直吗？然后这个东西刚刚说了，两个面垂直一定会有一个什么性质呢？就是如果 等一下我画个图给你们，就如果有两个面是垂直的啊，哎呀，这笔等一下啊， 算了，就用这个吧，两个面垂直的，对吧？然后他说也没了，但是我们这个结论可以用，就是 p e 是 垂直于 ad 的， ad 刚好是两个面的什么线？ ad 交线嘛，对吧？所以 p e 现在就是垂直于两个面的交线，所以我能得到一个什么线，一个什么结论，是不是 p e 垂直于面这个底面， 对吧？这个就是我们刚刚垂直里面讲的一个两个面垂直的一个很重要的一个性质啊，所以这一步啊，大家是一定不能忘记的，所以你看，我就根据条件我就能推出来 p e 现在在垂直于谁？ 垂直于，垂直于我们底面里面的这根线， b e 嘛，就是我们题目里面有的，所以第一条垂直，这个就是第一条 不就出来了？那么第二条在哪里呢？我说了，你看菱形六十度，会联想到一个什么点，我把它单拎出来， 你看不出来？有一个方法，就是你把我这个底面或者你要的面这样把它单拎出来，字母坐标，终点坐标，对吧？坐标之后，然后 b e 一 连我说了， 呃，他说谁啊？ d a b ok， 这个角等于六十度，所以这不就垂直了吗？ 对吧？你怎么说呢？你就说我连接这个，因为它是菱形，所以 a d 等于 ab， a d 等于 ab 之后有一个角是六十度的，等腰三角形，是等边三角形，所以就等边了，等边了，所以 b e 不 就垂直于 ad 了吗？所以我这个条件就能得到的就是 b e 垂直于 a d 啊，好吧，所以一一个个条件去分析，很多同学看到这个，你看不出来，对吧？但是我说了，题目给你的条件他肯定有特征，面面平行，想到什么？想到这个， 对吧？然后这个等腰或者等边，就想到中线垂直，菱形有六十度，就就就一样的想到这个模型，怎么可能做不出来呢， 对不对？所以啊，你看我现在这里相当于谁垂直于 b 了，就是 a d 垂直于 b 了，这个不就是第二条， 对吧？然后就说明他们两个相交就是 p e 交 a d， 你 自己看一下，看图嘛，这两个相交是不是交于点 e， 不 就证明了两条相交的直线分别和我这条直线去垂直了，所以我不就证明了 b、 e 垂直于 p a、 d 了吗？ 对不对？所以啊，这个就是教你们怎么去用这个题目给你的特征，因为很多高考题他考的很难，等一下我们后面会会讲一道浙江卷的高考题，那一年难倒了很多那个第一位，好吧？ ok， 然后我们来看一下面面垂直啊。呃，面面垂直，其实我说了面面垂直，它还是线垂直于面，对吧？因为我只要证明了线垂直于一个面之后， 那么我过这个线的一个平面看到没，它也就垂直于这个面了啊。 我们看下题，他说四棱锥 a、 b、 c、 d 是 一个边长为二的菱形， ok， 看到没？二就是菱形和六十度啊，所以这个条件我下意识的我就要知道它一定会有个垂直的， 对吧？嗯，然后 e 是 c、 d 的 中点，然后 pa 垂直于底面 ab， 让我们证明 p b， e 垂直于 pa， b， e 在 哪里？ p b 在 这里，对吧？然后 p a、 b 在 那里，前面这个面， ok， 看着就不垂直，对吧？但是图是会欺骗我们的，因为我们会有一个斜二侧画法吗？四十五度的角，我们就要在斜二侧里面画成一百三十五或者四十五吗？对不对？所以我们怎么去做呢？ 你一定要记住啊，证明面和面垂直，刚刚说了要找到线和面垂直，那就要在这里面，或者在这里面去找一根线和另外一个面去垂直就可以了。那怎么找？我们就要根据图像来了， 那么从谁入手，我们现在看不出来，对吧？你不可能一个个去试，题目会给你提示，一定要记住，题目一定会给你提示的啊。好吧，那这里的提示在哪里呢？就是这个，你看我把底面给展开了， 就这样子的点标下 a， b， c、 d， 然后连接的是谁啊？连接是 b、 e 这样子的，然后有个六十度在哪里？ b c、 d 这个角六十度，我刚刚说了，这个角一定是个直角，因为一样的变变成了个等边三角形嘛，所以这个条件它就能推出来谁呢？嗯？ be 它是垂直于 c d 的， 图是看不出来的啊。 好吧，但是我可以根据这个条件去找模型，对吧？ ok， 那 这里的提示不就出来了吗？他不就让你找 b e 吗？所以我是不是就把这个题目我就转换成了找 b e 垂直于面 p a b 了吗？ 对吧？那怎么就证明呢？你看 c d 又平行于谁？ c d 是 不是又平行 ab 的？ 是不是这里就相当于是 b e 垂直于 ab？ 看没第一条有了吧，这个就是第一条， 对吧？那么我们只用找第二条呗。第二条还有一个条件没用啊，看到没？ pa 垂直于面 a， b， c、 d 这个条件我就能推出来 p a 不 就垂直于 a b， c、 d 里面任何一条线刚好 b e 在 a b， c、 d 里面，看到没？ b e， 对吧？所以你看 b、 e 垂直于两条相交的嘛， a b 交 b a a p a 啊，等于 a 点，对吧？所以我是不是就说 b e 就 会垂直于面 p a b， 然后就说又因为，呃，这个 b e 是 属于面 p b e 的， 所以面 p b e 不 就垂直于面 p a b， 对 吧？重点啊，重点就是相交啊，因为垂直里面的第一个扣分，扣分点一定是这个，你写没写这个相交的啊？然后其他的反正我就就用文字给你们说的，我这里就不去写了啊。 好，反正还是那句话，你写的越详细越好，然后要点是必不可少的啊， 相信你们只要能听得懂，相信你们自己去写，一定不会扣分，好吧， 然后再来看一道，比如说这这道这是四轮锥，然后 ab 是 平行于 cd 的， 然后 ab 等于一， cd 等于三， ap 等于二，然后 dp dp 等于二，被勾上三，然后 p a， d 是 六十度， 六十度，对吧？然后 a， b 是 垂直于这个 p a， d 这个底面的，然后 m 在 p c 上面动，然后它又 证明的是 p a b， p a b 垂直于 p c， d。 把这两个面标一下啊，就是 p a， b， 然后就 p c， d， 我 给这两这两个面干脆他们都没有交线了，对吧？所以又更难一点了，对吧？那么这里我还是从 嗯条件去入手，因为我要找到是线垂直于面， ok， 我 现在我不不知道到底是找的 p b 还是 ab 还是还是那个呃， p a 去垂直于后面这个面，还是后面的线垂直于前面的面，对吧？所以先从条件入手， 或者你们有经验之后一眼都能看得出来啊。嗯，看出来之后，应该像我这里看图就是 pa 要垂直于呃， 这个面 p c， d， 对 吧？但是很多人可能有的题看不出来怎么办呢？就根据条件去入手。怎么去看啊？这里有一个六十度，就 p a， d， 然后 a p 等于二，然后 p d 等于二倍杠三，所以这里 先用口塞六十度呗，它是不是等于二分之一，那它是不是就会等于 a d 的 平方加上 pa 的 平方，减掉 pa 的 平方，去除于二，乘以 ad 乘以 pa， 对 吧？然后把数字一代 a d 是 几啊？没有 x 方把它数给 x， pa 呢？ pa 是 四 二的平方，四吗？然后 p d 呢？就是一十二， ok？ 去除以一个二，乘以 a， d， 不知道 x 去，再去乘以一个 p， a 就是 二，下面就是四 x 吗？就是 x 方加四减一十二， 所以四 x， 对 吧？你不能说有个一比二三，那我另外一边有个六六十度，我直接说它是个直角，你要像这么去算啊， 所以就四 x 就 会等于二 x 方，然后后面是减几啊，减去一十六吧，就交叉相乘之后，对吧？所以就是 x 方减去二， x 加上减啊，减， 减去八吧，等于零。你看 x x， 然后就是一个是负四，一个是二，对吧？所以 x 等于四或者负二嘛？所以 x 等于四啊，看到没？所以你要去证明出来， 对吧？所以你要证明出来它那个 a d， 所以 说就说 a d 算出来等于四嘛？等于四刚好就是 有个垂直出来了，就是二的平方加上二倍根号三的平方，会等于四的平方嘛？所以就能推出来 ap 是 垂直于 pd 的， 各位，所以你这样也能知道，我应该是找的 ap 垂直于后面这个面， ok， 那 第一条，这个就是第一条 已经有了，那第二条在哪里呢？第二条我们还有个东西没用，看到没？然后又因为 a b 是 垂直于面 p a d 的， 所以就说， 哦，对，还有一个等一下，然后且 a b 是 平行于 c d 的， 是不是就相当于 c d 嘛？这里就相当于是，对吧？ 所以你看就 c d 垂直于面 p a d 嘛，然后就所以 c d 就 垂直于这个里面的任何一条线， 对吧？ ok， 那 这线里面刚好有 ap， 看到没，所以第二条看到没 ap， 所以 这个就是第二条。 所以你看，不就 c、 d 和 p d 交于点 d 吗？然后又因为 p d 交 c、 d 等于 d， 然后它们两个都属于这个面 p c、 d 的， 所以 p a 不 就垂直于面 p c、 d 吗？然后又因为 pa 是 属于这个面 p a、 b 的， 所以面 p a、 b 不 就垂直于面 p c、 d 了吗？ 对吧？所以我说说了面面垂直，你还是要去证明线面垂直，只是这里又稍微难一点，你要找到这根线，那怎么去找？找题目的提示， 你只用翻译出来一个题目的条件啊，翻译出来一个垂直，那我这这根线不就找到了吗？对吧？ 然后这个看一下啊，下一题就是他说四边形 abcd 为正方形， ok， 正方形先标一下，然后 b、 e 是 平行于 df 的， 就这两根线平行， 然后 ab 等于 b， e 等于 d， f 等于它，那我就先把它啊，比如说我把它设成根号二，那么前面的这三个东西都会等于一嘛， 对吧？所以， ok， 标一下 ec 就是 根号二，然后 ab 是 一， b， e 是 一，这个也是一，然后 d、 f 也是一， ok， 他 说了 ab 是 平，垂直于 bce 的， ok， 然后我们证明的是平面 a、 e、 c， ok， 先标一下 a， e， c 在 哪里， a， c 是 中间这个， 然后 b、 d， f， e 呢？ b d， f， ok， 是 这个， 对吧？ ok， 还是一样啊，我这个条件我还是要转换成线垂直于面，那么找哪一根线呢？题目看上去啊，是 a、 c 垂直于后面这个面，对吧？我，我有可能这个里面是找的 a、 c， 因为看图 对不对？ ok， 然后我们就从题目入手， ok， 这个正方形，这个条件它有什么用呢？正方形不就是对角线垂直吗？所以就是 a c 垂直于 b d， ok， 你 看，这不是有了天然的第一条吗？ 对吧？然后再去找一条就可以了。然后我们这个边还没用到边，起码这里会有个垂直，因为是相当于是一比一比根号二吗？ 对吧？ ok， 先写着 b 垂直于 bc， 对 不对？ ok， 这还有个条件，就是 ab 垂直于 bc， 那 么这个条件一定能得到 ab 垂直于里面的任何一条线嘛，对吧？那是谁呢？你看，这里有个 bc 嘛，那就找 bc 呗， 对吧？那为什么不找 b e 呢？等一下你，你也可以把，你们就也可以想一下，为什么不去找 b e， 因为如果我找了 b e， 你 看啊，就相当于 b e 又垂直于 bc， 又垂直 ab， 是 不是就相当于 b e 要垂直于 abc 啊？ 嗯，这么看呢，好像有用，对吧？所以你看它是不是就相当于我这里，其实你自己要在脑袋里面去想一遍， 那么我先把 b 啊，因为刚刚想了一下，好像有点用，对吧？所以你看， b 垂直于 bc， b 垂直于 ab， 那 么 b 就 会垂直于这两条线构成的面，就是 abc， 对吧？那 b e 垂直于 abc 的 是不是就相当于 b e 不 就垂直于 a c 了？哦，刚好看到没？刚好有了 第二条，所以你看，嗯，是不是 a c， 这有个 a c， 这有个 a c， 是 不是垂直于 b d 和 b e 形成的？然后就 b d 加上 b 等于 b 吧，对吧？然后就又说，他们两个都是属于这个平面 b d、 f、 e 的， 所以我就能得到 a c 不 就垂直面 b d f e 了吗？所以，又，因为，嗯， a c 又是属于 a e c 的， 对吧？ 所以就是 a e c 这个面垂直于 b d f e 这个面了， 对吧？所以，嗯，条件就是一个个去试的啊。好吧，因为高考提的那个图虽然很标准，但是你还是看不出来到底谁和谁是垂直的。 ok， 这个面面垂直还不难，难的是线线垂直啊。 接着就是线线垂直。我刚刚说了，其实线线垂直它还是要你先证明线面垂直，线和面垂直之后我们才有线线垂直啊。这个，嗯，有点绕。先看题， 他说 e、 b 是 垂直于底面这个 a b c d 的， 然后 a、 d 等于 c， d 等于二倍杠三， ok， 二倍杠三，二倍杠三，然后 ab 等于 ac 等于二 表一下，然后 abc 是 一百二十度，然后 g h 分 别是中点，然后 m 是 b 上面的动点，他说让我们求证 g h 永远垂直于 dm， g h 垂直于 dm， ok， 那 我为什么说这个东西要转化到线垂直于面呢？因为线线垂直。 呃，才有了线面垂直吗？但是那个线线垂直是他们在同一个平面，这个就相当于是意面了啊，就所有的意面直线垂直，其实都要转换为线垂直面，那什么意思呢？那这里其实就相当于我 g h 就 要垂直于一个面，然后这个面里面要含有 dm， 我 们一眼都能看出来，应该就是找的就是这个面吧，就是我现在标蓝颜色的这个面吧， 对吧？所以我就这里应该是垂直于面 dbm， 因为它垂直于 dbm 之后我才有 g h 垂直于 dm， 对吧？所以这个是我们能看出来的啊。等一下还有看不出来的，那能看出来就这里就很好证，因为就相当于我如果连接了 b d 之后，就连接 b d 之后，那我是不是就会两边的这个三角形，是不是就会全等呢？就相当于是，对吧？那全等是不是就肯定会有那个能证明出来 g h 这 g h 是 垂直于 b d 的， 对吧？就用全等去正就可以了啊，好吧， 有可能不会这样，你看就是，你看就这两个角它会相等吗？然后 g d 又会等于 d h 吗？然后他们又有他公共边吗？看到没？就两个三角全等，你们就这么去写就可以了。就是比如说，就说三角形嗯， g d 夹的这个点啊，这里有个点，好吧，这里有个点，设成 p， 好 吧。呃，就是 gdp 是 全等于三角形 hdp 的， 你们就这么写，然后才推出来的这个啊，那么就相当于它是个等腰三角形，那么对吧？ ok， 那 第一个垂直 我们有了，对吧？这是第一个，那还要找个谁啊？还有个条件没用吧？就是这里 e b e b 不 就是 mb 吗？所以就相当于 mb， 他 是垂直于面 a、 b c、 d 的， 所以我就能推出来 mb 是 不是垂直于 a b c、 d 里面任何一条线呢？ 里面刚好有 g h， 看到没？所以这个就第二条 g h 又垂直于 b d， g h 又垂直 m b， 所以 就有了 g h 垂直于面 d b m， ok， 所以 g h 垂直里面任何一条线，但是你写的时候就说 就这么写，反正前面的我都教你们怎么写，然后后面的啊，就说又因为嗯 dm 是 属于这个面的，对吧？ 这个要写清楚，所以嗯， g h 就 垂直于 dm， 看到没？所以这个就是我刚刚讲的所有的垂直其实都是线面垂直在哪里？在这里就是要你去找的这个线去垂直于这个面， 他不管是面面垂直啊，面面垂直就是一样的把它转换成线垂直面嘛，然后线线垂直，他也是线垂直面， 对吧？ ok， 然后再看一道啊，这个折叠的啊，折叠的有一点点难度， 他说 ab 等于五， ac 等于七，然后 d 为 ac 上的点，然后 b、 d 等于 c， d 等于四， ok， 所以 这是三，所以三四五刚好这里有个直角， 然后就是以，就是沿着 b、 d 这样折起来嘛，然后得到图案这种，然后 m 点是 b、 c 的 中点， 然后 am 又垂直于 b、 c， ok， 那 这两个东西是不是就是相当于，呃，就是等腰三角形呢？对吧？所以就是 ac 就 会等于 ab， 对 吧？所以你看到这这种很明显的模型问题，你就先把这个结论先写出来，就用铅笔在试卷上面先写出来， 那它的正面就是 ab 垂直于 c、 d， 那 么同理，我这里要找到的是线垂直于面，那线线垂直其实是垂直里面最难的，因为我到底是前面的这个线垂直于后面的一个面，还是后面的线垂直于前面的一个面呢？我都不知道， 对吧？所以还是要根据题目给的提示去做吗？嗯，刚刚我们得到那个 a、 c 等于 ab， ab 是 五，所以 a、 c 它也是。我们先把这里的边修都标一下，然后这是四， a、 d 就是 三，然后 c、 d 就是 四，看到没里边一标就能看出来三是五吗？就是就看这个三角形啊， 对吧？就是 a、 c、 d 这个三角形是不是就是一个勾股定律了？所以这个条件我又能推出来一个什么呢？就是 c、 d 是 垂直于 a、 d 的， 对吧？ ok， 所以 提示不就出来了，是不是？这里我其实就是要转化的 c d 垂直于一个面， 对吧？那么 cd 现在垂直于 ad 了，然后这里我就可以反推了，那 cd 又垂直 ab， 那 是不是就垂直面 abd 了？看到没找面，我就这么去找，所以反推去找面 是很好找的，所以一定要学会反推，懂了吧？就是根据，因为我们能够根据题目算出来的，一般情况下只有一根，对吧？那么我们再结合我们题目要证明的东西再去证明吗？等一下我们要讲的那个浙江卷的题，他更加啊，就要运用运用的这个反推啊， 那么这里我就证明呗，对吧？反正 c d 垂直于 a d 这个东西我们刚刚证明了，那是不是？呃，除了 a、 d 以外，现在题目是让你 a， 让你证明 ab 嘛？所以我是不是只剩下了 b、 d 了？所以我现在还要证明 c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 对吧？就相当于我要你证明这个角是一个直角，然后这个角有没有了，有吗？你看我，我把这个三角形沿着它折起来的时候，这个是不是天然形成的， 对吧？所以两个垂直我们就都出来了，所以根据这两个垂直，我就能证明 c、 d 是 垂直于面 abd 的， 所以我才会有 c d 垂直于垂直于那个 ab 啊， 对吧？这道题很简单，好吧，然后我们再讲一段那个， 嗯，这张卷这题啊，这题也是当年很难的，对吧？但是你按照老师的这个反推啊，反推法很简单， 我们看一下题啊，他说四能追，然后底面是个平行四面形，不是这一题啊，应该这一题啊，一九年的这一题啊。 好吧，反正这题你不用反转音，基本上啊，可能很难看出来，除非你对空间想象很好啊。然后他说你这三楞柱，然后 a a e， 然后 c e c 是 垂直于地面 abc 的， 然后 这个角 abc 是 九十度，然后 a a 等于 这个东西，我把它设个值，好吧？比如说设个设个设个二，好吧，这个就是二，然后 a e c， 这也是二能等于 a c， ok， 然后他说，嗯， ef 分 别是中点，然后要我们证明的是 ef 垂直于 bc， 是 哪两条线呢？是这一条线， 然后 bc 是 这条线，对吧？这条线一样的，是意面嘛，所以我还是要先找到这线垂直面，但这里我们怎么去找啊？因为这个图真的， 嗯，很抽象，可以说是，对吧，所以你看我怎么去反推啊？反正我就先把条件去搞清，搞清楚，首先有个等边三角形，然后 e 又是终点，所以一定会有什么， 这个 a e 是 垂直于 a c 的， 对吧？就根据这个条件，然后根据终点能推出来它，那推出来它之后， 嗯，好像没用，你看这是 a c， 这是 a e， 这是 e f 测 bc， 对 吧？没一没一条边可以用的， ok， 那 么我们从谁去入手呢？还有一个条件，九十度，那这个九十度是不是就相当于是 bc 垂直于 ab， ok， 你 看现在不就有了？然后题目这里有个 bc 垂直于 e f， 看到没？我就先把这个题目的条件拿来，这是要证明的嘛，我就拿来，我就去反推，到底是要我证明的是哪一条线垂直于哪一条面，对不对？ ok， 然后乍眼看去啊， a b e、 f 好 像都没有交点，但是我们会有一个平行的性质吗？就什么呢？ a b 和谁是平行的？ a e b e 看到没有？所以 bc 垂直于 a e b e。 现在 a e b e 和 e f 是 不是就会有一个交点呢？就是 f 看到没，所以它这个面积是隐藏的很深，它没有画出来， 所以应该是我这个红颜色的面，所以 b c 就 垂垂这个红颜色的面了吧，就是 a e b e， 懂不？所以你看这个题目，其实你如果不会这个反对，你要看半天的， 对吧？ ok， 所以 我现在只用去证明他不就可以了，对吧？那题目这个条件是不能用的， 对不对？但是 bc 垂直于 ab 这个条件我们可以用，所以这是第一条，因为我就可以把它说成 bc 垂直于 ab， 因为这两 ab 和它是平行的，所以这个条件是我们可以用的，那么还差一条，对吧？ 抬出一条在哪里呢？在这里嘛，看到没？面和面垂直。说了，面和面垂直有一个很重要的特征，刚好看到没？它垂直交线，两个面的交线在哪里呢？是不就是 a c， 对吧？这条线就是他们的交线，所以我这里又会多出来一个结论，就是什么 a e 要垂直于底面嘛？ a b c， 所以 它又垂直于底面之后，所以 a e 它不就垂直于谁啊？ b c， 对 吧？所以这个就是第二个，这是第一个，所以两条线看到没？所以第一条线刚刚证明了，就是 b c 垂直于 a e b e， 然后第二条线就是 b c 垂直于 a e e， 对 吧？然后这两条线 a e b e 和 a e e 是 不是都是属于哪一个面面？ a e b e e， 所以 我是不是就得到了 b c 垂直于这个面？ 所以我是不是就能知道 bc 是 垂直这个面里面的任何一条线吧？所以不就垂直 e f， 对 吧？所以这个就是反推法啊，好吧，当然了，如果你第一眼能知道我面面垂直，先推出来它，再再推出来它，再推出来它，一样的也能知道 bc 应该是垂直这个面的啊。 好吧，所以反正两个方向都是去反推，好吧，所以这个就是，嗯，线线垂直。线线垂直是高考题里面就我觉得啊，是属于那种让你证明平行和垂直里面最难的题型了， 好吧，因为线线平行，垂直里面它既有那个，呃，证明线面垂直，对吧？主要是这个线和面就我们很难去找，就这一步啊， 很难去找，所以我们才会用反推法，就是把题目的条件当做已知条件，然后去带入到我们能算出来的条件里面去，然后他才会有线和面垂直，对吧？因为我不知道到底是选 e f 还是选 bc 去垂垂面啊。 好吧，反正原理就是就是这个原理，但是根据他题目的不一样啊，反正第一步 根据题目的提示去啊，一定不要看图。嗯，如果你空间感很强，那你看图就没有， 呃，错误了。但是如果你空间感不是很强，你去看图，对吧？可能会让你白算很多啊。那为什么不把题目条件一个个去翻译呢？对应的模型面面垂直，就去找交线，看有没有垂直的，对吧？然后菱形中点有六十度的话，它也是垂直吗？ 然后等腰、等边它也是垂直嘛？然后要不就是给了你边，给了你一个角，你用口上引去算嘛， 对吧？所以每一每一个条件都是对应一个模型，就就是相当于是，所以你先把这个模型的结论先一定要熟练。好吧？反正我们也讲了这么多嘛，特别是这道高考题，对吧？ ok。

体育单招数学题型有没有规律？ ok？ 同学们啊，这个就是近十年体育单招数学里面大题最后三道题咱们考的一个章节啊，按理来说，哎，他可以考的章节有以上七个啊，竖列解三角形， 还有这个啊，三角函数，导数，圆锥曲线，概率立即几何。但是同学们往往在做真题的时候就发现啊，他很好像啊，从来就没有考过这个三角函数啊，什么叫三角函数的大题呢？就是求这个啊，单调增区间减区间啊，最大值最小值啊，限定范围这些东西啊，包括对称轴，对称中心这些都可以考大题啊。 然后同学们看一下，近十年最常考的，不用我说，一眼望过去，不是立体几何，就是咱们的圆锥曲线，还有解三角形，所以说解三角形加圆锥曲线加立体几何，我可以给同学们说，他就是最常规的咱们的答题考法了啊。 然后同学们往这个之前去看啊，你看他之前好像数列考的这个频率也也也不是很小吧，对吧，这不连着一六一八年都考了吗？ 哎，但是近几年从一九年啊，往后的话就是常规题型考的比较多，你看每一年好像都有这个圆锥曲线啊，所以说咱们圆锥曲线基本上现在的话基本上都是每年都有啊，所以说同学们考试的时候一定得啊，这个注意啊， 然后同学们观察近十年的结论就可以发现啊，这个立体和圆锥曲线仍旧是咱们啊常规考型啊，或者是常规题型啊，一个标杆。所以说同学们在接下来这几天啊，最后的冲刺当中，尤其是对这个圆锥曲线的相关知识点，包括伟大定律这些东西啊，必须要非常的熟练啊， 然后立体几何的话，你像那个面面平行啊，对吧啊，面面垂直啊这些啊，比较这个啊，稍微难一点的，咱们也要稍加把握住啊，同学们，看完近几年的这这个大题考题啊，不知道你有如何感想啊，给同学们预测一下啊， 因为我觉得啊，二五年他考的已经比较难了，所以说二六年啊，他可能啊，就两种情况吗，要不更难，要么稍微简单吗？如果稍微简单一点的话，咱们的啊，这个考勤啊，就可能不会太大变化，那无非就是 解三角形圆锥曲线，立体几何或者是什么呢？你看去年刚考的导数，我觉得有可能就不会再考导数了，可能会考一个这个概率啊，这四个仍就是目前为止最常考的，或者是概率最高的啊，四个大题啊。所以说如果同学们 没有时间了，或者是基础比较差，咱们着重就练这四种答题就行了啊。如果他要是难度再往上拔，或者是再想考一个啊，恶心人的话，难度咱们就把中等啊，他可能就会来搞你什么了，来搞你数列了。为什么呢？因为数列同学们老是掉以轻心啊，比如说错位相减啊， 分组求和，这些同学们好像有的还没有学过，所以说如果是中等难度，他可能考数列加负函数求导，我觉得不可能连续考两年吧，这太嘚了啊，可能就是立体再加上什么呢，再加上圆锥曲线，这个也是比较合理的啊，如果他再恶心一点 啊，就考你什么了，就考你啊，三角函数大题。因为这个好多同学没有练过，所以说啊，他你不说你不能说他难吧，但是说他比较啊，这个出其不意，对吧，加什么呢啊？加速练。 那有同学说圆锥曲线是必考吗？哎，你会发现啊，在一七年啊，他没有考圆锥曲线，但是往后几年都考了，所以说圆锥曲线啊，他可能 呃现在就是一个常驻嘉宾了吧。所以说这几种组合，同学们啊，可以自己这个注多加注意点啊，根据你现在掌握的这个知识点啊，这个准备一下，好吧，然后还是那句话，如果同学们基础不太好，还是以常规题行为主啊，就是圆锥曲线解三角形立体几何啊。 做了这么多，给同学们一个备考的建议啊，即使他考的题型是一样，但是他相对的这个难度也是不同的啊，你比如说像以前的立体几何多考的什么呀，线面平行啊，线面垂直啊， 哎，那么最近几年这个模拟卷，你会发现啊，考这个面面平行啊，面面垂直啊，或者是利用面面平行推 啊，线面平行，利用这个面面垂直推，线面垂直啊，这一些他也是可以深入去考的点啊，即使是相同的题型难那么难度啊，也是这个天差地别啊。你比如说像这个圆锥曲线 啊，我记得我有印象就是这两年好像都没有考连体的，一个叫什么呀啊，一个性质一个了解啊， 你像去年他考的是什么呀？圆锥曲线没有连力是一个什么题型啊？是一个，就是解几何的一个题型，你像第一问考的一个 cosine 的 余弦定律，就是焦点三角形嘛，对吧你包括前年他也没有考这个连力的题型啊，所以说圆锥曲线啊 啊，这些东西同学们必须要多加多加练习啊，最后这几天咱们就看看之前模拟卷上出过的题啊， 然后把知识点同学们拓展一下就可以了啊， ok， 那 么最后时间呢，希望这些东西对同学们有一个帮助啊，能让你对接下来的考试啊，有一个这个起码他考了一些啊，比较怪的，你不要太陌生太害怕啊，你们预测一个，哎，老师心里觉得啊，就是 真真正正啊，就是我心里觉得啊，咱们也别谈什么难易程度了啊，我感觉今年啊，就是概率加圆锥曲线加 立体几何是一个非常大的几率啊，同学们，咱们拭目以待吧啊，如果这个没没这个压中啊，可别可别来这个喷老师啊，老师只是感觉一下子好吧。 ok， 同学们啊，如果 这期反响不错，或者同学们还想听政治的话，我可以给同学们罗列一下近十年来政治的啊，他的一个这个出题范围啊，然后让帮助同学们自己去啊，压一下题啊，或者是这个感觉一下，好吧， ok， 同学们啊，那么下期再见吧，拜拜！

现在考生都在问预测押题，今天最后一次给大家汇总一下。上次已经讲了政治的大题，有两种组合考法，政法加哲学加中特占百分之七十。政法加哲学加京剧与社会占百分之三十。 数学的大题设计的题型有三角、横等变化，正余弦、竖列、概率、立体几何、圆锥曲线。倒数七选三就有三十五种组合考法。今年我们预计有三类， 竖列加圆锥曲线加立体几何，概率加圆锥曲线加立体几何。恒等变化加圆锥曲线加立体几何。英语就作文到底是考申请信、建议信还是邀请信，反正都是写信，那就背一个作文的通用模板。 押题单词一样的，你现在背不了九九六个单词，就背押题两百词，所以老师已经帮你了。九九六个单词就背押题两百词，所以老师已经帮你的只有答题技巧， 由我们四科特级老师针对二零二六体育单招考试整理了九点五个小时的考试技巧，都是老师原创的解题方法和技巧，掰开了揉碎了喂到你嘴里，学了就能拿分，上了的同学都是跑题，所以赶紧学起来，考前再搏三十分！

大家好，今天我们来看体育单招数学二零二五年真题填空题的最后一道立体几何。在长方体 a、 b、 c、 d， a、 e、 b、 c、 e、 d、 e 中， a、 b 等于 b， c 等于一， a， a 等于三则直线 d， a、 e 与 a、 c 所成角的余弦值是什么？ 好，我们算意面直线所成的角，我们是要把其中的一条意面直线进行平移，然后使得我们这两条意面直线有交点，继继而去算这个 跟一条意面直线平行的线和另外一条线所成的角。好，我们第一步还是要先把我这个立体几何图画出来啊。 好， ab 等于 bc 等于一，所以我的底面是一个正方形，高是三， d， a 一 好， d， a 一 就是这条线 和 a、 c 所组成的角。那这个时候我们就可以把 a、 c 平移到我们的上底面上， a、 c 和 a、 e、 c、 e 它是 平行的。现在我们 a、 c 与 d， a、 e 所组成的角，就可以理解为 a、 e、 c， e 与 d a、 e 所组成的角。好，这个角就是角 c、 e、 a、 e、 d。 接着我们就看角 c、 e、 a、 e、 d 的 余弦值是什么？我们把边长求出来， a、 e、 d 就是 根号下 d、 d 一 方加上 a、 e、 d 一 方，就等于根号十。好， a、 e、 c 一 就是根号下 b、 e、 c 一 方加上 a、 e、 b 一 方，就是根号二。然后我们连接 d， c、 e 好， d， c、 e 就 等于也是根号十啊，就是根号十。接下来我们用余弦定理 cosine 角 c， e， a、 e、 d 就 等于它的两条邻边的平方相加，减去对边的平方。 好，对边的平方就是 c、 e、 d 的 平方除以二乘以两条邻边相乘。 ok， 那 就是二加十减十除以二乘以根号二乘以根号十，好，就是根号十分之 根号十乘以根号二 九分之一，根号二十分之一，等于二十分之根号是二十，好，这个还可以继续化解啊。我们的根号二十就是二倍根号五，然后二倍根号五除以二十就是十分之根号五，好，知道。

老铁们啊，欢迎回到咱们的第二期啊，扫盲系列啊，那么本期给同学们带来的公式是，哎，放这里了啊，本期咱们来解决一下立体几何当中的一些啊，比较易考的一些 啊，小点啊，第一道题用到的是咱们啊，这个外接球跟内切球的这么一个问题啊，一共是两个，前两道都是啊，那咱们先讲一下什么意思嘞？哎，就是在正方体啊，或者是长方体当中啊， 他可以在他们外面框个球，哎，那这个在考点里他怎么说呢？或者是考试里面啊，他会这么说，哎，就是哎，四棱柱啊，或者是一个，呃，巴拉巴拉啊，顶点都在一个球面上，他的意思就是考的是外接球啊， 外接球啊，也就是说给他整体框上了啊，那这个跟咱们的边长有着某些关系，有什么关系呢？哎，他是这个体对角线的一半啊，就是他的半径，但是都到这个阶段了，咱们直接给同学们一个好用的公式啊，无论你是正方体还是长方体啊，反正你只要是四棱柱啊，这这种东西啊， 咱们的外接球跟半径不是咱们这个外接球的半径跟这个长宽高的关系，永远是 r 等于二分之根号下 a 方加 b 方加 c 方，那 abc 是 谁呢？就是你的长宽高。老师说，哎，我正方体的长宽高一样啊，那你就全换成 a 方不就完了吗？ 哎，这个就是咱们外界球的半径啊，当然你知道半径之后，你就可以求这个，他的这个表面积啊，或者是体积都可以求，对吧？那咱们看一下第一道题啊，哎，首先啊，我是一个啊，有这个底面是这个一一一，然后高是二 的一个长方体啊，或者是正四棱柱都可以顶点在一个球面上，求它的表面积，求表面积，首先我们得知道表面积的公式是什么呀？是四派 r 方，对不对？那找 r 吧， r 的 话就等于二分之根号下 a 方加 b 方加 c 方呀， 对吧？哦，刚才这写错了，如果这么写的话啊，你这个全部换成 a 就 行了啊，那就是一方加一方加四，对吧，那就是二分之根号六。 ok， 这就是咱们外接球的一个半径。那你再代入这个公式嘞， 四派乘以四分之六，那答案很简单，就是咱们的六派，同学们学会了吗？ ok， 那 第二道题依旧啊，但是第二道题他引出来了一个新的概念啊，叫内切球。什么叫内切球啊？首先这个记住只能存在在 正方题当中啊，正方题里面可以框一个球，有人说长方体，这回不行了吗？长方体，你看你怎么框啊， 哎，你这边框不住啊，对吧？所以说啊，咱们只有正方体才有内切球，那内切球的半径呢？是什么呀？有同学说，这也是对角线吗？这不是了啊，因为咱们从正面来看，你看我把这个球平稳的框住了，那我的半径是什么呀？当然是我这个边长的一半了。所以说啊， 咱们可以从第一句话里哦，我的内切球的体积，那球的体积是什么呀？三分之四 pi r 立方。我们可以知道 pi r 立方等于四倍，根号三 pi， 借此我们就可以把它的半径取出来啊，那它半径是多少嘞？哎，三分之四移过去， pi 先消了吧， 那就是三分之四 r 的 立方等于四分之根号四倍根号三乘以四分之三，巴拉巴拉啊， r 的 立方等于三 倍根号三，比如说这个怎么算啊？你猜呗，一看就是根号三，乘根号三乘根号三，所以说你就得到了 r 就 等于根号三，那 r 的 话就是什么呀？哎，我刚说了啊，是，你这叫什么啊？ 正方形的边长的一半，对吧？而一半是根号三，那整体肯定是多少啊？啊，变长了二倍根号三啊，所以说咱们的边长是二倍根号三啊。行了，当你知道这个，你看他又问了一个外接球啊，那这道题很有意思啊，我现在里面包了一个，我就在外面框了一个，那框了的这个表面积 是四派 r 方，对不对？那咱们依旧求 r 啊，记住啊，这俩不是一个 r， 你 一个是内切的，一个是外接的啊，肯定是外接的长一点，对吧？那外接球的这个啊，半径啊，咱们刚讲了，跟你的边长什么关系呢？二分之根号下 啊，二倍根号三的平方加二倍根号三的平方，加上二倍根号三的平方，那咱们先算一个吧，一个就是二的四三四十二，那上面是多少？是三个 十二乘以三就是三十六啊，所以说里面是根号三十六，再除以二六六，三十六再分之二，那就是三，所以说外接球真正的半径是咱们的三，那在四派二方呢？ 四乘三三的九派等于三十六派，同学们学会了吗？第三个考的是咱们立体几何里面最常考的一个图形叫扇形啊，或者是这个叫圆锥也可以啊。这两个当然了，他是一块考，对吧？这个里面咱们同学们需要知识点，需要知道的知识点是什么呀？ 哎，首先扇形的面积怎么求啊？他是二分之一 l 二，那有同学说，我圆锥里面的这个侧面积也是个扇形啊，为什么他俩面积不一样啊？对吧？咱们都知道圆锥里面这个侧面积打开是什么呀？ 是 pi r l， 为什么不一样啊？哎，充其量是什么呢？是他们的字母不一样，以前啊，这个叫半径，现在这个叫 l 了，听懂了吗？咱们不用管啊，你就知道他们各自的公式就行了啊。 然后，啊，以前这个二分之一拍 r l 啊，这个二分之，以前这个二分之一 l r 里边啊，这个 l 怎么求啊？同学们， l 的 公式咱们是一个小重点啊， l 等于 ar a 是 圆心角的弧度值， 那什么叫圆心角啊？你比如说这个啊，这个就叫圆心角，比如，比如说我是三十度，那我的这个弧长是多少呢？哎，你就得把它转换成多少派，三分之三十度是六分之派，那他就是六分之派乘以他的 r， 听懂了，同学们，啊， ok， 那 这个里面啊，这个叫 l 了，底下的这个 原本的 l， 原本的弧长，现在是什么？现在是二派 r， 所以 说二分之一二派 r 乘 l， 就 变成了咱们的 拍啊 l， 懂了吗？同学们，啊，所以说这个啊，命名不一样了啊，这个公式你得知道，那这道题咱们看一下什么意思啊？他求一下圆锥的体积。首先复习一下，圆锥的体积是三分之一底，面积乘以高，那底面积的话，你得知道是什么呀？是个圆，你得知道底下的半径啊，那咱们看一下这道题什么意思 呢？我是一个圆锥啊，我的侧展开之后，侧面半径是三， o 侧面的半径是三，也就说咱们的母线是三啊，圆心角是三分之二 pi， 圆心角他已经给你转化完了，咱就不用再转了啊， 哎，那我立马就能把底下的这个母线求出来，为什么呢？你的弧长是什么呢？扇形的弧长是 l， 等于啊 ar， 那 就是三分之二 pi 乘以三，好吧，那就是二 pi， 也就说底下是二 pi， 那底下这二派对于咱们底下的圆有什么用啊，对吧？啊，现在的这个底边弧长就是底下圆的周长，圆的周长是二派啊，那你等于二派，哎，等于二派啊， 那我底下的这个半径呢？哎，你一算就能算出来啊， r 就 等于一，那底下是一，这是三，咱们如果想求体积的话，三分之一 s h， 你 还得知道高，那高，同学们，这个也得知道，利用勾股定律来求，这样的话是一个直角三角形一啊，这是三 啊，然后你就是九减一呗，就是根号下这个九减一，对吧，那就是八，二倍杠二。 ok， 那 现在关键的咱们已经都有了啊， 是二倍，根号二，这是三，底下半径是一，那咱们就是三分之一底面积，底面积是 pi r 方 h 三分之一乘以 pi 乘以一，乘以二倍，根号二，那咱们答案就是三分之二倍根号二 pi， 同学们，选哪个呢？ 选咱们的 c， 对 吧？ ok， 同学们啊，这就是咱们本期所遇见的一些常考公式啊，同学们啊，那下期解决哪个章节你来定？