米哥专升本押题怎么样

根据大家的留言，我们这一期视频来到了二六年山东省数学专升本考前压题系列，因为专升本数学在山东省分为数学一二三，我们这一期视频就压山东省数学一的所有内容，我们挑战一百分，这一期视频能压中 八十分以上，我们会根据过往专升本的正题，再加上老头出题的习惯，来预测二六年可能专升本数学一考哪些题目。同样大家给个点赞，关注一剑三连，把你们的省份留在评论区， 留的比较多的同学，我们会尽量尽快的出，我们最近会日更，甚至于一日双更。所以我们这一期视频就来到我们山东省数学一的押题，我们押题的时候尽可能把题目，知识点还有例题 你全部给明确的写出来，形成模板化，你们以后遇到这种题就用对应的方法和对应的模板答案去解析就行了，所以你们只需要把这个模板题目做会考试，一旦遇到了基本就没有问题。 我们就接着来看到山东省数学一的具体压题部分。首先来看到极限的部分，极限山东省数学一是考两个选择一个填空两个计算，而小题目也就是选择填空题考三分一个，计算题是六分一个。 然后先来看第一个知识点，就是函数的性质，而函数的性质我们这里主要列出了两个，一个是奇偶性，一个是周期性，不知道为什么这个粉比这里要浅一点，下面就要深一点啊。好，我们先来看第一吧，先看第一就是为奇偶性的时候第一个考点， 奇偶性他怎么考呢？就非常简单，直接直接考定义啊，他就直接说下列为奇函数或者为偶函数的式。如果是考奇函数，你就通过，只要是考， 只要是考奇偶性，全部使用这一个定义。然后你把对应的函数里面的 x 化为负 x， 然后带进去，看 f x 和负的 f x 等于多少，等于它就为 偶函数，等于它就为奇函数。所以直接带进去就可以，不管是奇还是偶啊，他问奇你就选择奇函数，问偶就选择偶函数啊。这是第一个例题，我们再看考点二，就是周期性，而周期性也非常简单，他对于记忆的要求更高一点。比如说他会直接问 向量函数为周期函数的式，你就从 a、 b、 c、 d 当中直接选一个周期函数就可以了，这个就主要靠你记啊，哪些是周期函数好，再看第二个知识点，就是间断点的类型判定。间断点的类型判定，比如看间断利益， 利益是哪种类型呢？就是分式的函数为分式的这种间断点类型，比如说这个 它就是分式。问 x 在 一点处，它的间断点的类型是什么，你就从 a、 b、 c、 d 当中去选就可以。这里提一点啊，如果说它给了这种题，然后它里面又出现了连续的间断点，往往是不选的啊，就是考它的概率非常小。 嗯，他只是我觉得只是假如没有这个点，他就少一个选项，只是用于充当选项的好，这第一个，第二，一个第二类间断点的概率也相对而言要小一点点。怎么写呢？半勾吧。 如果说你这种题实在不会做，你就给我蒙蒙，就蒙这两个当中的一个，就 a 和 b 当中去蒙一个啊。好，这是 考分式，第二就是考第二种情况，就是分段函数，你看我们 压一个知识点，他考什么样类型的函数，我们都给大家写出来了，所以你只需要去做对应类型的模板题目，就能够把它做出来啊。你们知识点在哪里学就在哪里去做，在线上报班就在线上学，线下报班就在线下的教材里面 和课后习题去学。如果是我们的内部学员，直接看我们的课程，我们讲的非常详细啊。好，这里 他就直接问这个分段函数在分段点处，这一嘛，他有问在一处他是什么间断点？ a、 b、 c、 d， 他 和这里是一样的，就同上和这里的选项是一样的，我就不去写了啊，这里是第二类，然后再看第三类，就是无穷 的比肩。无穷比肩是怎么出题呢？就这种例题， x 趋近于一的时候，它是它的什么？无穷小？比如说高阶无穷小还是低阶无穷小？等价无穷小还是同阶无穷小，自己选一个。你这里有什么就用 无穷小比肩的无穷小啊。无穷小比肩的定义，比如说这里 x 趋近于零，你直接把 x 平方减一， 然后三引 x 减一带进去就可以了，看根据它的结果来判定它的什么类型。好，再看第四一点，就是已知连续反求参数，它会直接给你个函数， 然后说在分段点做，也就在这一点处是连续的。问你 a 等于多少？这种题你就狠狠地给我抓住，左极限等于右极限等于函数值，把这三个点抓住，计算出左右极限的数值，然后等于函数值就能求出里面的 a 啊，本质上来说还是在求极限啊，没什么难的 好。第五个点，渐进线，渐进线有两种考试方式，第一种，他直接给你个渐进，给你个函数，然后他问你他的水平渐进线或者是铅垂渐进线，问了之后你直接写对应的， 问你水平就写水平，问你千锤，你就写千锤就可以了，这是第一种考试方式。第二种，他就问你有几条渐进线，但是你还是得要把渐进线求出来，你不需要写出它具体是什么渐进线，但是你要把它求出来，你才知道具体有几条渐进线，所以这种就需要把它 千锤和水平和千锤的都得求出来，然后把它的条数写上好，这是渐进线的两种考试方式。 再看函数值，函数值的方式就是这种，它给你个函数，它函数里面套函数，比如当这里写个 f 零，你就把零带进去，在这里 得到 f 零等于一，然后这里又是一，再把一给带进去，又得到多少，又才写到这里来啊。这个就完全是一个套法， 没什么难的，你只要把它带两次，它的数值就没问题了。 ok， 这是我们的第一个黑板，马上我把它擦掉，写第二个黑板， ok， 我 们这一黑板就把山东数学一的极限部分全部讲完啊。先来看第一个黑板，这个黑板就是讲极限的计算， 而在极限的计算当中，第一个考点最最最简单的，最最最基本的就是直接等价， 而在直接等价当中，你直接套用公式这两个就可以等价啊，这个我就不说了。而第二一个考点就是在等价之前先用落笔打法则，因为这个公式其实是用米格公式，可以直接等价的，但是呢， 这个公式你不能够直接用普通的等价公式，你要先求导再等价，就相当于先落笔打再等价。好，第三一个就是有理化了，有理化，我们给大家写了两个例子，有理化，比如第一种是根号减去这种数值的形式，它本质上来说 就是这种类型，根号减去一个数字的形式，这是第一种。第二种类型就是这种根号减去根号， 就这种根号减去根号分子分母同时乘以两个根号相加的形式，所以本质上来说就分为两种，第一种根号减去一个数，第二种分为根号减根号，这两种情况就用油理化来进行处理。好，这是第三个例题。再看第四个例题，就是 分式的通分，而分式的通分当中，只要你看到了两个分式相减，你就要想到通分。同样，这里的题目我这里 漏写了，主要是在填空题和计算题当中来出现啊，主要是填空题和计算题，尤其是计算题啊。好，这里就是主要两个分式啊，你就想着通分，就不要想别的方法了。第五一个 变现积分，求极限。如果你在今年的求极限当中遇到了变现积分，求极限，一旦看到了积分啊，在极限当中百分之一百 洛必达，直接洛必达求打，当然洛必达之前要等价啊，你就是分母，你要等价。好，然后直接洛必达遇遇到这个东西就是变现积分，百分之百是用洛必达法则啊。好，再看第六个题，第六个题就是这种类型， u v 型啊，就就方框三角形类型，这种类型有，我们直接给了模板，这个模板就是遇到它之后，全部用对数和指数的法则把它给抬起来，计算这一部分的极限啊。这一部分极限就简单了，其实比如说 最通常的就两种，其实就一个例题啊，这里是一个题目，我们写成了两种形式，一种是它 是不是这里就一个一一部分，然后乘以 x， 是 不是这种类型直接套用这个公式，你看这一个和这一个其实是一个题，对吧？只不过把这个分式拆分为两部分 还是一样，还是套用这个公式来进行计算啊，直接我们这里模板都写好了，直接套用这个模板啊，这个这种类型的题目就套用这个模板就可以了。然后再看第七个考点，就是已知极限反求参数。这种类型就是先告诉你 极限是等于他的，但是这里面还有一个参数 k， 然后把答案告诉你，反过来求这里的 k， k 等于多少，这就是 第七种考点。所以这一个黑白，我们就把山东数学一所有的极限部分全部完成，马上我擦掉，我们就来完成 导数部分和后面的内容。 ok， 我 们这一个黑板就把数学一的导数和积分全部讲完，所以我们直接来看到导数和积分的知识点啊。首先第一个山东数学一的二六年导数导数他选择和填空题加起来啊， 小题目嘛，选择和填空加起来考一个，计算题考一个，证明题考一个，但是呢，选择和填空题他考的太杂了，嗯， 不太好去摸出题老头的习性，所以说这一个我，你们这个点太杂了啊，所以我就没有去预测。选择加减后，我们直接到计算题，这个点，大家去把基本概念熟悉一下，确实他考的不太好做。我看了一下过往的真题，是专门研究了的啊。嗯， 计算题呢，相对而言，他喜欢考极值，而且是比较简单的，直接就让你求极值，所以说这个考试的概率非常大啊， 这个考的概率非常大，所以说大家把这个点好好看一下，那具体怎么考呢？比如这个例题，他给你个函数，就是普通的 正常的函数，然后说求他的极致是多少，你按照求极致的方法求出来就可以，这是第一个点，第二一个点出大题的就是切线，而切线他考正常，他如果是这种函数求切线，他就不会出在大题里面了。他出在大题里面就喜欢考 不一样的函数，比如说引函数和参数方程，比如说这里的就是求切线。然后比如说这个例题切线，它这个就是曲线，它求在这一点处的切线。好，这个什么是什么曲线？ 就是引函数啊，这个就是引函数，所以它其实就是在求引函数在这一点处的切线。同样， 他第二个考点就是还是切线啊，他第二种方式其实去换了一个方程啊，就是参数方程，求切线，他直接给你个参数方程，说在这一点处的切线是为多少， 所以说这两个其实都是在求切线，只不过是不同类型的函数。本质上来说，计算题他就考两个，第一个是极值，第二个是切线，极值的概率远远大于切线啊，重点看极值。好，我们再看证明题，证明题他说 啊，这名题还是一样考的非常杂，而且他杂也就算了，他每道题的难度还非常高，所以我们这里就给大家两个方向， 所以也不算去太强的预测啊，就不像这种太强的预测，给两个方向大家去掌握。第一个就是 罗尔定律，比如说直接看例题，他说 f x 它为奇函数啊，在这一点处上可导，然后你证明这个东西，这种典型的就是你只要看到这种类型啊， 典型的适用鲁尔定律。当然他有的时候会考双中指问题，双中指问题的复杂程度比单中指问题， 不是说双中指就是单中指的两倍，他会上涨很多啊，所以说双中指问题得要有一个专项，专门来讲花很长时间啊，所以我们这里就没有提双中指问题，然后这直接看不懂事，第二方向就考不懂事，考不懂事也相对简单一点，他直接就会 给你相关的不等式，让你去证明这个不等式他是怎么成立的。好，这就是不等式，这就是前面内容，就是导数部分，我们再来看积分啊，积分他是考一个填空题，两个选择题，一个应用题 啊，两个计算题，一个应用题。首先看填空题，填空题考的比较多的是这一个，这是山东省专升本 数学里面特有的他喜欢考的一类题型啊，这山东特喜欢考的一类题型就是已知一个积分让你求另一个积分，比如说 他已知他和他让你去求他前面这两个积分是题干告诉你的已知的，然后让你去求这一个，这就是已知这两个积分，求这一个。再看一个例题， 呃，他又有点不一样，他还是一样已知这一个积分，让你去求他。其实这是这题型，都是一种已知，一个积分求另一个积分，但是在题目上他是有一定变化的，所以大家把我这两道题做一下啊。 这两道我是把它放在我们的押题卷里面的，所以大家做一下。这两道题会和考试的，他一旦考到了，就和考试的题型基本是一样的，但是你不可能是原题题型方法是一样的。好，再看第二一个变现积分 求导，嗯，第二个点就变现积分求导也是在积分里面变现积分求导很简单，就是有个变上限积分嘛，然后直接对他求导就行了，这个就中规中矩，没什么难的，正常的题目啊。好，第三一个就是积分的计算呢，积分的计算，他的 填空题、计算题都有可能考啊。填空和计算题我就不写了，填空和计算题都有可能考，我们这里就列出了几种计算方法。 首先第一个就是分布积分法，嗯，分布积分法它考两类，第一类是考最多的，比如说我们直接给模型了啊，第一类就给模型，它直接是。这是什么？这是两类函数， 这是两类函数啊。遇到两类函数，比如这种，这是一类，这是一类。两类函数，不要想着直接使用分布积分法啊，这是第一类。第二一个第二类考法就是无法直接积分的函数，比如说这一个反函数， 反三角和我们的对数， 反三角函数和对数函数是这类函数考中考的最多的，比如说直接对它求积分，你没有办法求，只能用分布积分法，这个也一样，没有办法求，只能用分布积分法，所以这两类题大家掌握一下啊。好，我们再看第三类题， 就是换元法。换元法又分为两类换元，一个是根式换元，一类是三角换元，比如说 根式换元，非常简单，就直接令根号等于 t 就 可以了，你把里面的根号给我找出来， 大方大大方方的令根号等于 t， 令这个根号等于 t 就 行了，如果说他也有可能是这样子，令整个根号根号，不管根号有多大，只要出现根号，直接令根号给我等于 t， 然后把它换元过来，其实积分就简单了。好，再看三角函数换元， 三角函数花园，它就是这种模型， a 平方减 x 平方，这一个是最多的啊，这里头写的字有点小，大家放大一点， 这个是考的最多的，当然它考的最多的实际例子就是一减 x 平方，二减 x 平方，四减平方，其实它这里加减都是可以用的啊， 都是可以用的，但是考的最多的是什么？就是减法啊，考的最多就是减法。好，第四，一个有理函数积分。有理函数积分也是山东省非常喜欢搞的，其他省份也有考，但是山东分，但山东省比较钟爱啊， 比较钟爱有理函数积分啊，打了个嗝，有比较钟爱，就是这种类型的题目，大家去做一下。但有的时候它分母是一个数字，比如说是一，但有的时候它分母又是 x 平方加二， x 加一，就是这种二次项，有的时候是一次项，有的时候是没有项。好，这是 这一个例子。呃，尤利函数积分。最后再看应用题，应用题山东省他就喜欢考面积和体积，他不会考太难，他就是常规的面积和体积，比如说 就是面积体价，直接给你两个函数，说它围成图形，求它围成图形的面积，或者是它让 x 轴或者是 y 轴旋转的体积，就这么回事， 把我们的公式，特别是体积旋转的公式牢牢掌握，基本上计算不失误，是能够得好分数的。把这一个模板类型的题目把它掌握好，流程掌握好， 这里我们就把数学一的导数和积分一起讲了，我把黑板擦掉，我们再继续。 ok， 我 们这一个黑板就把数学一的所有内容全部给大家梳理完。我们先来看，首先第一个就是微分方程，嗯，山东数学一的微分方程会考选择加填空一共一个，然后加起来一个啊， 再加上一个计算题的一个，我们直接来看知识点。首先第一个知识点就是二阶梯次为求通解，考选择题和计算题要多一点，更多的是考选择题，计算题稍微要少一点，还是要注意以选择题为核心。然后他就这种直接给你个二阶积分问， 哎，给你个呃，微分方程什么二乘积分，然后问他的通解是多少，直接求出来就行，这种就是标准的求解步骤啊。第二个就是判定他的结束，同样这个也是考选择和填空题啊。 呃，判定微分方程的结数就类似于这种，给你个微分方程直接问他的结数是多少，这是基本的概念，所以还是要回到知识点内啊，你们知识点在哪里学的？回去看一下知识点，把这种类型的题目给梳理出来。第三一个就是 已知解反求方程，比如说这个例子，他给你个解说这个解是为这一个方程的解，然后让你求出这个方程。本质上来说就是求方程里面的两个参数呗，所以你把两个参数求出来，然后再去匹配我们的选项就可以。 好，这种题还是要注意一下，这个还是考考曾经就考过啊。好，再看第四一个，一阶微分方程求解，这就是在计算题里面的，这就是 考大题。一阶微分方程的求解，本质上来说就是用一阶。其次，微分方程的通解有一个标准解的结构，把那个公式记下来，直接套用就可以啊，你把它化成一阶。其次，微分方程的标准形式，再套用 那个求解的公式就没问题了啊，这是第四一个点，然后这就是微分方程。微分方程计算题，一个嘛，我们就给了一个和两，一个两个啊，然后填空题也就给了两个点，所以不多啊。 然后再看无穷极数，无穷极数选择题，一个填空加计算一个，要么考填空，要么考计算，就二选一，然后第一个知识点判定极数的收敛或发生，这是常考的啊，今年我觉得百分之九十都会考啊，在选择题当中当然是选啊， 百分之九十都会考啊，他就直接说下列级数是收敛或者是发散，只问一个啊，他会收敛，你就其中当中去选收敛，问发散就去选发散啊，这是第一个，第二个就是计算的 收敛半径，然后他利益这种，他会给你一个密级数，直接问他的收敛半径是多少，这是有标准的解析流程， 第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么，直接求出来就可以啊，这种就是考填空题，这以填空题的形式给了大家嘛。好，这是第二个点，第三个点就展开式了，展开式相对考的比较少，如果考的话，他也是在填空题里面考，他就直接给你个 计数，然后将它展开。呃，给你个函数，让你把它展开为以 x 为密集数，展开为 x 的 密集数，这里是需要你们去记忆常见的密集数的展开式。嗯，还不太好记啊，内容比较多，所以你需要花更多的时间去把这个记住，尤其是你可以 考前记一记，喝前摇一摇，把它记住了，考试时候看有没有，有的话马上写草稿，纸上，没有的话马上忘掉，所以说这个可以，就是 考前集中，把它攻克一下。好。第四一个点就是收敛欲嘛，主要是考计算题啊，考的概率也不是那么高，相对而言偶尔可能会考啊，这概率还是比较小的啊，比较小他是怎么出题呢？他还是一样给你个秘籍数，问他的收敛欲，按照什么标准流程 去解就可以了啊，没有什么难的。第五一个求核函数也是考计算题，这一个高概率就非常的高了， 而难度也会比较高，他直接会给你一个密集数，问他的和函数是多少，然后和求他的收敛域，他有的时候和函数和收敛域会同时问，所以有的时候他这一个问为什么考的少呢？因为就放到下面来考了，和函数和展开式 这两个点，都要把常见函数的展开式和和函数记住，而且是要记住他们做题的流程，这里是有一定难度的啊。 所以这两个题，这两类题啊，这个其实也是有可能考大题的，所以这两个题大家下去做个三五道题，应该问题不大了啊。好，这里我们把山东数学一的所有内容 就给大家全部梳理完了，大家把这些压到点知识点应该算比较少的，整个卷子上来说去回顾一下就没问题。好，我们这一期视频就到这里。

ok， 二六年专升本的你准备的怎么样？我们这是一个新的系列，就是考前的押题系列，当然我们是通过专升本过往里面的真题出现的规律，还有这些出题的老头子，他喜欢出什么样的类型的题目，我们来预测二六年他可能考哪些题目。当然如果说你完全没学过，你肯定是 不会做的，就算我讲了这些押题，讲了类型，给你讲了提醒，给你讲了该怎么去回答这些题目，因为你没有基础的知识点，所以也是不会做的。好，这一个视频我们就来讲江苏省蓟县今年可能考哪些题目，我们全部通过过往的专题和老头出 题的习惯来预测了这一个黑板当中极限的部分。好，我们先来说极限当中的选择和填空题，也就是小题目。江苏省因为一个选择题，一个填空题是选择，填空是四分，一个是考两个选择，一个填空，所以就是八分加四分， 十二分，选择和填空题十二分。好，我们先来看第一类题型啊，第一类题型就我已经写好了，就是无穷小的比较，今年大概率会考概率非常大的会考无穷小的比较，而它分为两种形式来考。我这里已经写好了第一种形式， 当 x 趋近无穷的时候，它就会问你两个函数， f x， g x， 它们是高 高阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小，或者是低阶无穷小。就问你 f x 和 g x 的 关系。这一类题，当 f x 和 g x， 它会给具体的函数，我们这里就没有给函数，因为不可能压到原体啊，那就是运气好，碰上了这个函数， 只会遇到这一类题型，而你遇到他问你这两个函数，你直接把他用一个分式求他们的极限，这就是笔尖他的一个定义嘛，然后他除出来的结果，得出来的极限，结果无穷，常数一或者零，就对应着高阶、同阶、等价或低阶， 这个就不说了，这个是基本的知识点，也就是一个等价啊。这是第一类题型，直接问你是什么样的类型，这个是最简单的第二一种题型， 这些糟老头子已经出惯了，他不想出这么简单的题目了，所以说他就增加一点难度，那么你正向问题会了，那你反向会不会呢？所以他的所有的问题 全部反向问，他就直接告诉你一个 f x， 告诉一个 g x， 也就是告诉你两个极限，而两个函数，这两个函数里面是含有参数的，比如说它里面 f x 是 等于多少多少里面有个 a， g x 多少多少，等于 b 里面有个参数 b， 然后 f x， g x， 他 告诉你了是高阶的，或者是同阶，或者是等价，或者是低阶， 然后告诉他他们的关系之后让你反求里面这一个 a 参数，或者是 b 参数，反正是求里面的参数。那么你做的方法是什么呢？来这是问题啊，问就是卷子上的题目，他怎么出现的方式，而答就是你 卷子上要怎么写，你怎么去回答这道题，回答这道题方法也很简单，和前面一样，还是用它的定义，直接 f x 除以 g x， 然后去 得出一个数值，这个数值里面一定含有参数，如果里面是 a， 你 的结果当中就含有 a， 如果那个函数里面参数是 b， 你 得到的结果就是 b， 得到这个参数之后，题目当中就会告诉你，它是高阶、同阶或低阶，如果是同阶话就等于常数 c， 如果是等价的话就是一，如果是低阶的话就是零。所以说直接让他等于这四个数值，你 a 等于这四个数值，就能反 过来把 a 给求出来。 ok， 小 小的总结一下，第一个选择题当中，今年大概率就会考 无穷小的比较，而无穷小的比较如果说他出的非常简单，就是第一种情况，直接问你两个函数是什么？无穷小，让你做选择题下面的选项，你就直接用定义。第二种他稍微难一点， 就是给你两个函数，它里面还有参数，然后说它是高阶、低阶、同阶或等价，然后你通过求它们的极限，然后得出结果， 反求出里面的参数，这个本质上是什么？本质上是不是就是已知极限反求参数，只不过套了一个什么，套了一个无穷小的笔尖。 ok， 这是第一类题目啊，好。第二类题目就是间断点，间断点本质上来说也非常简单啊，间断点里面它容易考到两个类型，第一个类型 就是问 f x 它里面含有参数啊，还是一样 f x 它是等于，比如说前后它里面含有参数 a， 然后它说，比如说它说 f x 在 某一点处是可去间断点，跳跃间断点，或者是第二类间断点，然后它告诉你了它的间断点类型，然后反过来让你求它里面这个参数 a， 这就是一类题型，他不是说让你直接去求他是什么样的类型的电间断点，因为江苏省这几年的考试越来越难啊，以前全国来说，浙江 是出题最难的省份，现在江苏和浙江差不多了啊，有些题目甚至比浙江还难。所以他就不会直接问你他是什么类型的间断点，反而他告诉你是什么类型的间断点，让你求里面这个参数。好，这是第一类题啊，我就不多说了。好，这是问题，那么怎么回答呢？就是卷子上我们该怎么写呢？ 你就狠狠的给我抓住左极限和右极限之间的关系。左右极限如果说都存在啊，但是不相等是什么？是跳跃间断点，如果左右极限相等，但不等于再补充一个再和函数值， 如果说这里相等不等于函数值，是不就是可去间断点？如果当中有一个不存在，是不是无穷间断点，也就叫做第二类间断点啊。好，知识点我们就不补了，我们这里是在押题来了，这是第一类题， 是已知间断点类型反求参数而解题的方法我也告诉你了，其中这一类题啊，间断点这一类题，包括第二类也一样。这里有个注意的点，就是这个 f x。 f x 是 什么类型的函数啊？ f x 出现最多 的是分式，其次是分段函数，所以你要注意这两类函数，我就是考什么样的题型，我告诉你了， 怎么问的我告诉你了，怎么答的我告诉你了。而里面这个函数考什么样的类型，我也告诉你了，就是分分式是最多的，其次是分段函数。好，接下来再说一个点，如果是分式， 你要注意哪个点呢？就是注意分母为零的点，而分段函数注意哪个点呢？分段函数的分段点。所以说函数类型我都告诉你了啊，你只需要按照我这里讲的内容回去 把你不管你在，你就算不是我们的内部学员也没关系，你在线下报的班，或者你报的其他老师的班都没有关系，你对应的把我这几个点知识点 回去回顾一下，考试的时候做专题卷或者是其他练习题的时候，把这种类型的题目巩固一下，今年考试你一定会帮你得分啊，今天这个视频一定会帮你得分。好，这是第一类。 第二类题型是什么呢？就是他给你一个函数，他不问你在某一个点处他是什么类型的间断点，而是问你 f x 有 几个间断点，他问你的是几个间断点，这时候 还是一样，答案在哪里？去找就去找分母为零的点和分段函数的分段点，就去找这两个点。嗯，额外我说一下啊，如果说他是以分母的形式啊，就是以分式的形式，那么分母 一定是他的间断点。大家想一想，为什么分母？我们间断点是判断什么？左右极限和函数值，如果说他左右极限相等呢？ 是不是分母一定是不存在的，因为分母不能等于零嘛，而你你找的是什么等于零的点，所以说这里他一定是间断点，当然前提是要这个点在定义域内啊，在定义域内他一定是间断分母这个点，而分段函数的分段点呢，就需要通过 这三个关系抓住去判定一下。所以说间断点就考这两种类型啊，今年如果他考就考这两种类型， 而且分段函数的分段，分段函数的分段点，注意分哦，注意那个分段函数和分式啊，我嘴都打岔了。好，这个就到这里，然后第三一个类型应该是是第三类提醒啊，我这里写一下，不是第三个类型啊，第三类提醒是考什么呢？就是考连续， 而在考连续的时候，他可能就问他在某一个点，如果是某一个点，他就会直接告诉你，他说，比如说在 x 等于二的时候，或者是 x 等于五的时候，某一个点他会直接告诉你， 或者说他说在定义域内，定义域内你就要自己去找，而这种找什么点呢？还是这两个点？分段函数，分段点和分式等于零的点，你去判定这两个点它是否是连续的，同样，他会直接告诉你 是连续的，让你反求参数，这时怎么办？狠狠地给我抓住！左极限和右极限相等且等于函数值，这是最重要的，他们只要连续这三个相等，而 他告诉你了，他是连续的，里面这个 f、 x 一定含有参数，所以比如说你这里求出来他含有参数 a， 这里求出来含有参数 b， 而他又等于这一个函数值，这是一个常数啊，这是常数， 所以你就能求出 a 等于多少， b 等于多少，因为它等于常数吗？这样子就是解它的整体的解题方法啊，所以大家去关注一下。到这里就总结一下极限的小题目，填空题和选择题，就注意这两个点啊。 呃，无穷小的笔节和间那个间断点，这两个点我觉得今年百分之九十五以上的概率肯定会考啊。选择和填空题，其次 线段那个连续点考的概率没有前两个高，要低一点。好，这是第一类。再说计算题，计算题江苏一个题是八分，所以说 接下来我讲的可能就值八分当中的五六分，六七分。因为他我没有给原题嘛，因为你不可能让我去偷题呗，所以说我只能把题目的类型告诉你，可能函数不一样，但是方法你要注意好。再来看计算这一部分，大家注意，我只讲一个技巧，就是注意落笔打法则。 江苏近几年极限计算的大题在越来越难了啊，就是这一个大题，他八分难度是在慢慢变高的，而这里面他非常喜欢考什么，就是洛必达法则。 江苏的，我不知道为什么，江苏的老头子就从过往真提出，他们的出题习惯就是喜欢考洛必达法则。而洛必达法则在用之前一定要注意两个点，第一个 能等价的先给我等价，比如说啊，我这里随便写了个三角形方框，因为我拿一个函数过来没意义。我说一下原则，比如说这个，你要对它使用落笔打法则，那么你 这里是不是有个三 x， 它是不是可以等价于 x？ 你 不要来了，直接啪啪给我落笔打啊，你先把它给我等价， x 能等价，先等价，等价完了之后再落笔打。好，这是第一个，第二个非零因子， 非零因子能算出来的，一定要一定要提前给我计算出来啊，它跟等价一样。为什么三 x 简单还是 x 简单？ 是不是 x 更简单？所以说你划到更简单的式子上来进行计算，那么你的计算量就会更小，出错的概率也会更小，甚至于有的时候你如果说你说我就不等价，我就要复杂一点，我只要能算出来就行了。 有的时候这种你复杂了你就算不出来了，你就必须要等价你才能算出来啊。好，我就不强调了，在使用洛必达之前要注意先等价和非零因子这两个点。哪里是非零因子呢？ 我这里就说一下。呃，非零因子的概念。很多同学把非零因子这个概念闹不清楚，他不知道什么时候能提前计算出来，什么时候不能提前计算出来，只有遇到非零因子你才能提前计算出来。好，我们再说一下什么叫做非零因子啊？比如说这个 cosine 它 就是非零因子，而这个扩散引它就不是非零因子。来说一下为什么非零因子有两个条件，第一个是不是叫非零， 第二个叫因子啊。什么是非零？很简单嘛， x 是 趋近于零的，所以 x 趋近于零带进去扩散是不等于一极限啊？是不等于一好，它第一个条件都满足，这它不等于零嘛？一不等于零， 这里他也不等于零，所以都满足非零的这个条件，但是要看他是否满足因子。因子是什么意思呢？就是你想要计算的这一部分和其他的所有部分 要是相乘的关系就叫做因子，就是把它单独拎出来，就是我一个人抵抗整个世界，我和这个世界的关系是什么？是乘法关系或者是除法关系。 当你看这里它是不是乘法关系扩散 x 乘以这一坨，而这一个它是不是乘法关系它就不是啊，为什么？因为你这里是 加法，就是你这里跟它是相乘，但是你这里是加法，而我这里怎么样？我这里跟它是乘法，跟它也是乘法，所以说这一个扩散引是不能够直接计算出来，而它是可以的。所以说这一个扩散引是什么？是非零，但不是因子，而这一个呢？ 既是非零又是因子，所以可以提前计算出来啊。这个点我反复强调讲，就怕今年会考到啊，江苏的同学，好，再来。第二个 就是你如果发现这个极限的分子非常复杂，多项特别多。我说的是特别多啊，特别多啊， 不是说两项三项啊，就特别多的时候，特别复杂的时候，你去试一试，是不是要把它拆分为两个式子来计算极限啊？就试着把它拆分开，分别能不能计算出来。 ok， 这里我就不多说了，这是几个注意的点。然后这一个整个视频的内容，我们就把 江苏省二六年极限部分选择填空，包括大企业全部有可能讲的点，我提出来梳理了一下，尤其是这两个小题啊， 就间断点和无穷小的比肩，今年大概率百分之九十五以上会考啊，如果是我们的内部学员来问我，百分之百会考，回去好好复习啊。好，我就讲这么多，我也不给题目了，我们给我们的内部，我们内部学员的押题留一点空间啊，就是一点，更直接的就是卷子嘛，当我们这里把点弄出来了，去 学一下知识点也没问题。 ok， 这一个视频就讲到这里，大家给一个点赞，关注，一键三连，我们下一期视频会继续。 ok， 就 到这里。

二六年专升本同学考试准备的怎么样呢？我们这一个系列是用于二六年专升本数学的押题系列，我们会押各个省份，你们二六年 可能出哪些题？我们通过过往的真题，包括出题老头喜欢出题的方向，来判定二六年他可能出哪些题，我们给大家一一梳理出来。同样你们觉得哪些题目比较难，没有解决的，可以在评论区留言，同样你是哪个省份的也可以留，我们尽快出 留言比较多的省份和题型。好，我们这一个视频来压江苏省的综合题和证明题是分数比较高的啊，十分一道题，这里 一道综合题，一道证明题就二十分，可能这一个视频就能值二十分，帮你从考试当中得到二十分。然后大家可以同样，如果你是江苏的，可以收藏起来，到时候考完了回来对一下，看我们今天有没有压中，有没有讲对。 好，我们先来看到第一个就是综合题部分。呃，因为江苏省第二章导数部分不喜欢出计算题，也就是说这一张他不会出计算题，但是他会出综合题，一道综合题和一道证明题，而一道综合题就是十分， 这一个题就值十分啊，而我们只压了一个，只压了一个类型的题目，但是这一个类型他有三种考法，我把这三种考法全部给大家梳理出来了，就是说这个题怎么考，以什么样的形式来提问， 我都给你梳理好了，但是说你说是哪个函数，比如说这个函数是等于三 x 还是科三 x 还是什么函数，这个我没办法一说，除非我去偷卷子，就今年二六年，你们要考试了，考试前一个月，我先去偷卷子， 把卷子偷出来，先在这里泄密给你们，告诉你们，然后我进去蹲一年，然后等二七年。哎，二七年同学又要考了，我又进去提前一个月偷卷子，又告诉你们又进去蹲一年，就这不太可能啊。所以我们还是一样把具体的考点，怎么考试，以什么样的形式考试，大概率 我给大家梳理出来，然后你们把这个知识点按照我这个方式去把它掌握住，考试的时候就只有这个 f x 不 一样，你需要自己计算一下 大概的步骤，我给大家梳理出来。当然有的同学说，你这个一定会考吗？我只是说大概率会考，这是我根据真题和老头出题的习惯来出的，所以说你可以记一下，我觉得比你那种散慢的去复习效率高很多。好，我们不说了，我也不叠假了，我们就直接来说内容，第一种题型， 而他就只有一种题型啊，我预测他今年就考一种题型是什么？凹凸性、拐点和极值，哪两个考的概率更高？凹凸性和改和拐点，他会在一个题目当中考， 就直接问凹凸性和拐点极值考的概率相对比较小，而凹凸性和拐点概率大。而他考试的方式有什么呢？有三种方式，第一种就是给你个 微分方程，通过微分方程让你求出 x f x， 比如说啊，这是一个微分方程，是不是可以通过微分方程的求法？这种求法有可能是一阶的，也有可能是二阶的，但是一阶的概率比较大， 你通过一阶的微分方程的求法，把 f x 给我求出来，你求出 f x 之后是不是就可以求这个函数的凹凸性拐点和二阶导也是可以的啊？嗯，求凹凸性和拐点呢？是不是就求二阶导 判定出凹凸性拐点即止？这三类方法不管是我们的免费视频还是我们的内部学员啊，我都是把方法固定的，去把方法好好看一下啊。我们的学知识点的部分， 这是第一类考点，第二类考点。第二种考试方法啊，不叫考点，就一个考点，只不过不同的方式。第二类方式就是他第一问他是一个内容啊，题目当中给你一个变现积分，你通过变现积分求导得到一个微分方程，然后就怎么样？这一个是不是就回到这里了？ 就回到第一种类型的第一种考法，变现积分一求导就变成微分方程。微分方程是不是可以求出 f x， 然后再通过 f x 求出题目当中要你求的内容。同样，我这里写个同上，就是第二点的意思啊， 就是同这个上。好，这是第二类考法。第三，一类考法相对而言比较少，前两类考法的概率要大很多，所以说先掌握前两类考法的概率要大很多。所以说先掌握前两类考法的概率要大很多。所以说先掌握前两类考法的概率要大很多，所以说先掌握前两类考法的概率要大很多。所以说先掌握前两类考法，让你去求凹凸性拐点和 机制，同样哪两个可能性大？凹凸性和拐点的可能性是最大的。当然你的做题的方法是什么？就是回答的方式是什么？就比较简单的啊，参数方程怎么求导？你把它掌握掉，然后同理去求它的一阶导和二阶导就可以。参数方程求导里面可能 极值的概率和凹凸性拐点差不多，如果说他要出难一点，他就把参数方程里面还有一个参数，你要先通过题目的条件把这个参数求出来，也就把参数方程求倒，而参数方程的具体的表达式求出来，然后 求出来之后再求凹凸性和拐点或者极值还是一样。梳理一下，综合题里面我们的前两种方法，考法是最大概率，这个 概率要小一点啊，不是没有要小一点。好，这是综合题。然后我们再来看证明题，证明题是一道题十分，然后考试的题型，两个题型刚才是一个题型啊，这里是两个题型，我一般而言给的题型比较少，比如他 考一道题，我给一个题型，只不过三种方法，你看这是不是其实就一种方法，只不过稍微变动了一下，求的都是这个东西。而证明题考一道题，我给两个题型，比如说我给个三五个题型， 不用押了，就所有的知识点就三五个，六七个题型，我全押了，你不如全部学一遍，所以我尽可能押的少一点。你们聚焦一点啊，来这里两个题型，第一种，我觉得今年考不等式的概率比较大，所以你好好看一下。而考不等式的概率呢， 就是通过倒数来证明不等式，通过倒数求倒来证明不等式，而只要他考了不等式啊，注意，大概率都是二阶导，不会说一阶导，就让你直接把这个不等式给我证明出来，概率非常小啊。大概率是二阶导。好，他具体怎么提问？这里重点来了。第一问， 第一个他怎么提问呢？他就直接给你一个不等式，然后让你去证明这个不等式是存在的，但他会给你个 x 的 范围，比如他给这个 x 在 什么什么范围啊？我这里就随便选一个 x 在 什么范围， 然后让你证明这个不等式是存在的。你该怎么回答呢？就是该怎么做题做卷子呢？第一步，先令出 f x， 比如这一边是不是有有表达式？这里三角形加方框等于五 五角星，这是不是表达式？不要把这个表达式留在这边，这边移过去，让这边等于零，这个移过去是不是等于零？这就变成减去五角星，所以你就列函数， f x 是 等于三角形加方框减去五角星，是不是就是令出了 f x， 然后你再求出它的二阶导？我说了， 大概率都是要求到二阶导，一阶导你证明它就直接不等市场力，概率是比较小的，大概率是二阶导。我再强调一次，然后二阶导，你就能够得到二阶导是大于零的，然后也就推出 二阶导大于零，是不是推出一阶导是单调递增，而一阶导单调递增，是不是就能推出 f x？ 一 撇大于 f 零？一阶导是单调递增，所以说它 是大于 f 零一撇，而 f 零又等于零，是不是就得到 f x？ 一 撇等于零？好， 一阶导大于零，一阶导大于零，是不是就得到 f x？ 是 单调递增，那么是不是就可以得到 f x 是 大于 f 零， f 零又等于零，是不是就正到了 f x 是 大于零的，那么 f x 它是大于零的，我们是不是就得到了题目这个问，如果考不等式啊，很有可能就这么考啊。当然这里是写的大于，如果是小于呢？ 小于一样的方法，你这里就是要证明它这里是小于零，这里的符号就相反了，你这里符号相反，下面也相反。好，如果考的话，就以这一类题型， 你看我把怎么考怎么做的题型都告诉你了，你只需要把 f x 套进去，到时候如果考到了，就直接使用好，这是第一类题，再说第二一类。第二一类就是考罗尔定律，当然也就是中值定律。嗯，这个概率也比较大，但是我觉得今年考不懂事的概率 比考罗尔定律的概率要大一点。所以你们先复习不懂时再考罗尔，再来复习罗尔。啊。好，我们说一下罗尔吧。罗尔他怎么提问呢？他大概率会提两个问，第一个问，考一个零点定律概率比较大，当然他有没有可能两个问都考罗尔？也有可能， 但是考零点定义的概率要大一点。还是那句话，就是我没有去偷卷子啊，我也没看到真题卷，我是预测今年他可能会这么考，所以大家到了后面你们知识点都学完了。通过我对老头的理解，我对这些出题就是糟。老头子他怎么出题，我应该会 比你们就是理解的会深一点，因为我毕竟教了六七年七八年了，包括自己。呃，读研考研期间接触的数学的卷子，包括各种的那个数学竞赛的卷子当中，我推测出来他比较喜欢考这两个，当然还加上过年 过，过年去了，过往的真题啊，好，回到知识点啊。呃，第一，他问他可能会问两个，第一个是通过零点定义，第二个是通过罗尔定义，而通过 零点地理呢？你就老老实实把零点地理那个规范记下来去写就可以。那你让我把现在把过程给你写出来也可以。本来我想写的，那这里空间不够了，我就没有写了，我想像这样子给他写出具体的，我就没写了。好，第二个问问罗尔，只要他考到罗尔，他 百分之八十的概率，如果考罗尔，百分之八十的概率就是考这个式子。好，这个式子我就不说这个式子是怎么去代表什么意思，怎么去做的，我们这里还是要不学具体的知识点，我会把这个知识点给你指出来，你去把这个知识点通 通过。你之前不管你是我们的内部学员，还是你是我们的免费的，我们有免费公开课，全程的就是基础类的知识点都可以免费学。还是你是我们免费的学员，或者是你是线下报课，线上报课，都可以去把这个式子搞清楚，在中指地理当中代表什么意思，怎么解题，这是有具体的步骤的，然后你通过它 另出 f x， 然后再通过罗尔定律把它挣出来。 ok， 我 就说到这里啊。最后再强调一个点，江苏省这几年尤其是在证明题 和我们的综合题，这两个题出题的难度越来越高了，江苏省的大题，特别是压轴题的难度是越来越高，越来越像考研的风格。所以这里一定要去注意第一个点，这个 f x 啊 和这个 f x 是 不是只是 f x， 有 没有可能是狗？就是这是方框，是不是有可能被广义化？哦，这是第一个 f x， g x 呢？更加有可能广义化啊， 所以你们一定要注意 f x 被广义化和 g x 被广义化，然后再把它找出它的令的函数也就大 f x 吧。一百，我们令大 f x。 好， 这一个证明题和这一个 综合题我们今天就给大家说到这里，然后后面我们会继续给到更多的类型的押题和更多章节的押题。好，今天我们就到这里。

这是二六年专升本的数学押题系列，我会根据过往专升本的真题和老头出题的习惯来预测今年可能出哪些题目。当然我们会全国各个省份都会押你们，把你们的省份和你们想要押的章节比较难的题目，哪个知识点写在评论区，我会尽快，最近我会日更或者是一天 跟几个，就是为了加快频率在考前。然后第三一点，为了减少压的知识点，比如说一个章节他只考两道大题，那么我只压三到四个知识点，我就不压多了，压多了，那么就相当于重新学新知识，意义不大。然后第四一个点，有的同学说能不能多给一点模板题目 考试，他大概以哪一种形式来考？然后我这里就给了。比如说这里你看直接写了例题，我会把固定的题型给到大家，当然不可能完全一样，数学变，随便变动一个数字换一个函数，题目就不一样了。但是他的答题方法、解析套路 思想是完全一样的，所以我这里就把这种题型给模板化，你们把这种模板性的题目做题方法，自己把它弄懂就 ok。 有 些固定的套路我会写出来，当然这种比较简单的套路我就没写，有一些比较复杂，但是考试经常考的 固定套路我会写出来。好，这就是这个系列。然后我们这一期视频是出江苏省二六年多元函数的预测，因为二五年他没有考选择题，但是以前有考选择题，一般是考一道选择题， 而二五年没有考，二六年会不会考呢？可能考，也有可能不考，但是他只是一个选择题，所以我们就跳过，我就没有出选择题，我就直接来到计算题。 计算题在多元函数这里，他会出两道计算题，一道出在引函数，求全微分，另一道是出在二重积分。我们两道题，第一道题我给了两个方向，这个方向啊，他就只考一道题，而我就把这一道题只分了两 个题，所以相对中的概率就很大了啊，你们节省了大量的时间。所以我们先来看第一种。先说一下分数啊，多元函数他考两道题，一道题八分，所以一共就是十六分嘛，这个就不多说，来看具体的题目。 多元函数第一类题目就是多元引函数，然后求全微分。呃，引函数，求全微分，无非就是这种类型的例题，他给你一个方程，这是一个引函数啊，他就直接说 这是由它所确定的，这是一个引函数，然后求这个方程的权微分。权微分它可能直接写 d x， 但这就是代表权分的意思。还有一种可能就是写 d x， 这里打一个竖线，写个零和 e， 就是 写一个坐标，什么意思呢？你就是把这个权微分求出来，再把这个标带进去，那么就可以得到一个具体的数字， 这两个，其实这一个就多了一步，就是把它带进去嘛。所以核心思想，你们下去要看一下引函数、多元引函数是怎么求权威分的，这个考的概率非常大，我预测今年在这一块 考权威分的概率比考二阶偏导的概率更大。第一就是说第一个例子的考的概率，这种模板比 第二个例子考模板更大一点。好，第一个我就说完了，具体怎么求步骤。这一个是比较简单的，不管你们是线上线下考，线上线下学跟着学，还是跟着我们的内部学员学，还是跟其他老师学，应该都有讲过，复习一下，今年大概率会考。这是第一个题型的模板，第二个就是引函数，多元引函数 求什么？二阶偏导，多元引函数求二阶偏导，他还是一样给你一个引函数，但这个引函数和这个引函数是一样的。为什么我只是讲模板，就是说想考什么样的题型，然后用什么方法去求解， 怎么样来提问，就相当于我把题目模板先告诉你，你自己去把这个类型的答案把它学会。一个标准化的步骤啊，不难，标准化的步骤弄懂就可以。如果他还是问一个引函数求导，那么他就会让你去求，比如这一个 z 对 x 求导，再对 y 求导，求出它的表达式，或者是 x 对 x 求导，再对 y 求导，然后把这个值带进去。这两个问题其实是一个问题，只不过后面这一个比前面多带了一个数值， 其他的没有任何改变。 ok， 这就是在多元引函数求导的这里，然后也就是多元函数嘛，求导多元函数的。我这舌头又不听话了，每次我讲课讲的我思路 加飞出去了，舌头跟不上，舌头在后面就捣乱，就跟不上节奏，然后要么就嘴瓢，要么舌头就没说清楚。好，回来啊，回到课程当中，多元函数的部分就是考求导，但是这两个当中具体哪一个大家都看一下，就两个题也不多，一个题八分啊，非常值钱啊，这是多元引函数。 嗯，再说二六年江苏省多元函数的计算题。第二一道题预测就是在二重积分，这个每年都考，今年不例外，一定会考。所以说大家把我这里给你的两个题型，你去把对应的例题，你去找一个也可以， 然后看一下。我这里有一个啊，这一个没有，因为这一个相对比较简单。好多说一个题二重积分八分， 所以这里以下讲的它就值八分，所以江苏省的同学看好了。第一种二乘七分，最简单的啊，就是直接 x y 型。 x y 型最简单就是第一步把那个图形画出来，画出来之后列出对应的 x 型还是 y 的 表达式，然后再把它计算出来就可以了。这一个是非常常见的，只要你正常学过，二乘七分的基础你都学过，所以这我就不讲具体的例题，你们直接去做几道题就行了。那这是第一个。第二一个 江苏省到现在到改革，江苏省是二二年专升本改革，以前是不考限行代数，二二年开始考限行代数，考纲也改革，自改革以来从来没有出现过急坐标，我不知道为什么是江苏省出题的那些老头子 思维固化或者是太熟悉了，不想跳过，跳跃出舒适圈，他就没有出现过极坐标。今年不一定，因为他很多题型出了很多了。所以我今年给大家提一句，如果你在表达式里面看到了 x 平方加 y 平方，那么你就要想到用极坐标啊，只要看到这个东西， 就要想到用级坐标，以前从来没出现过，今年一防止他出现。好，这是第一种类型。第二种类型江苏省出现过是什么？就是他直接给你一个二重积分， 让你去计算，他不让你列表达式了，也不给你图形了，他直接就像这个例题一样，给你一个二重积分，让你把它算出来。有的同学一向一看，哎，这这老头子还挺好，怎么市值都列好了，我直接从这里定积分计算， 带进去再计算就可以了。就是大家不要低估了糟老头子的坏的程度，就是他们出了几十年，六七十岁了，呃，七八十岁了，出了这么多题目，怎么可能直接给你个题目让你算出来，这是一个大题，八分啊。所以说这个题目为什么能直接给你？ 因为这个是计算不出来的，这个积分叫做超越积分。比如说这一个积分啊，你是不是应该按道理来算？哦，我们平常的 正常的想法来说，是先把这一部分虚线部分算出来，虚框算出来，再带到这里面去再记，再把这一部分算出来就可以了。但是这个虚框你是算不出来的，它是超越积分，有很多积分是积分不出来，它就没有答案，它是不能被积分算不出来的，所以这个积分就算不出来。所以一旦你在真题里面， 尤其是二六年的真题里面，你看到了这些，老头子给了你一道这种直接大题啊，直接给了题目，让你计算出来，大概率是算不出来的，就老头子不会，不会有好心的。所以你要怎么样？你要交换积分次序， 这里是什么？这是不是先对 y 积分，再对 x 积分？你要把它改变为先对 x 积分，再对 y 积分，所以说你要先把积分秩序交换，然后再来求积分就没问题了啊。这是老头子的初心，但是他不会告诉你他就让你直接算，而道学蒙头算半天都算不出来。 ok， 这就是江苏二六年的内容，大家可以准备好，到时候来回看一下我有没有预测准。

二六年专升本，你数学准备的怎么样呢？这是一个二六年专升本数学考前的押题的系列视频，我已经不知道更新多少期了，最近我一直在日更，甚至于一天更两期，所以大家可以看我的主页，我会把全国各个省份，包 包括你们想要知道哪些题，怎么考，哪些知识点，可以在我评论区留言，留言多的我会尽量早一点出这个视频我们是压的江苏省的无穷级数和微分方程，无穷级数会考一个选择，一个填空，两个小题，两个小题我只压三个知识 点，我不压多，压多没意义，就相当于学前知识教材丢给你，这些都是要考的。然后第四一个就是我会尽可能的给这种立体模板，不一定是这个题啊， 是去把你们平时学的，如果是我们自己内部学员去把教材上和我给你们的押题卷，把这种类型的题目好好做一下，如果是你们自己线下线上报班，做一下你们自己的题就 ok。 我 们都是给例题啊，尽可能给例题模板。好多说我们来看到 一个无穷极数，江苏的二六年无穷极数啊，正常他的出题的格式是相对比较固定的，也就出题的题型一个选择，一个填空，四分加起来就是八分。然后选择题最常出现在哪里呢？就是出现在 常数项极数。选择题他基本上不考密极数，就专门考常数项极数，然后常数项极数当中去判定一个极数是收敛，或者是 这里是或者啊，或者是条件收敛，他就给你个选择题，他说这就是模板题目啊，下面的题目，他说下列极速当中是收敛或者是条件收敛的是哪一个？当你一个题当中不可能 既问你收敛，又问你条件收敛，他就问一个，如果问收敛，他就直接问收敛，如果问条件收敛，他就问条件收敛，反正他说是哪一个，然后你就通过正常的常速向极速 判定收敛方法去判定就行了啊。这些就不讲了，因为这个题目也不是说让你去做这个题，这是一个模板，你去把这一类题多挑选几个做一做，考试考到了应该问题就不大好。这是这个题，这个题就不多说啊。选择题，再来看填空题， 填空题我列举了两个例子，第一个就是求密集数的收敛，半径、区间 和域。考一个，他在填空题当中，江苏省的那些老头子喜欢考密级数，他就喜欢考密级数，他不喜欢考长数、项级数，所以在填空题把密级数好好掌握一下。其实就这三个啊，半径、区间和域。 其实半径和区间是不是一个东西？其实就是一个东西，只不过叫不同的名称和表达式不一样。好，我们回到题目，比如说他给你一个级数， 当然这是密集数，然后让你去求他的半径和区间或者区间，这两个是一个东西，只不过多 多走一步而已啊。或者是让你求域，反正就是求这三个东西。然后这种类型的题目大家多做一点，我还是那句话，不是做我这个题目，是做我这一类型的题目，到时候考试如果考到了，你肯定没问题， 这是第一类，第二一类就稍微有一点点不一样，他就是已经知道密集数的半径或者是区间，这两个是一样的，或者是知道域，知道这三个当中，他已经告诉你半径是多少，或者已经告诉你区间是多少，或者已经告诉你域是多少，让你反求这个密集数当中他含有一个参数。 我们这里给了一个例子啊，这个例子他说这一个密级数，他的收敛半径是等于二，如果说他收敛半径等于二，他的收敛区间是多少，是不是负二到二，那么他让你求当中这个参数 a 是 等于多少， 你看这个级数，他就是级数告诉你，结果告诉你。但是他中间含有一个什么？含有一个参数 a， 你 需要通过这个结论反过来 把参数 a 给求出来。其实方法很简单，就是一样，你这里是怎么求的半径和区间的？半径和区间你这里就怎么求，你求出来之后，比如说你求出半径和区间啊， 求出来之后它中间就含有参数 a， 然后比如说它半径是等于二，等于二，你就直接令它等于二，然后把 a 给解出来 就可以了，就这么简单啊。好，这是无穷极速的选择和填空题。一，每个出一道题，一共四乘以二，一共八分，所以我刚才讲的就有可能是八分。然后接下来我把黑板擦了，我再把 变形代数的大题计算题也写一下， ok， 这就是江苏省二零二六年数学微分方程的押题。因为微分方程江苏省只考一道大题，他不考选择题，不考填空题，只考计算题，所以一道题就八分，所以接下来我讲的就有可能 是八分啊，当然他考一道题，我预测了三个方向。好，先来说第一个非其次，二阶 微分方程。非其次，二阶微分方程。就像这种例子，它就是一个二阶微分方程，但是这里它不等于零，它是等于一个，等于一个 f x， 就是 有一个就是非其次的吗？不是零。然后你通过这一种题非常简单，如果今年考到这道题，就是送分给你，它就是什么走流程，这里就直接走， 就是套标准流程。我们解非歧视的二阶微分方程是有一套标准的解析流程的，所以你直接套进去就可以，但是你连标准的 基本的方法都不会，那就没办法了啊。好，再来看这种就不说了。第二种是一阶非歧视微分方程，这个同样一样，怎么样 套流程？这个套流程他怎么套呢？我就写了个例子，我还是一样，这一个不一定是考这个题，比如这里是二，他有可能是三，这里可能是四，这里可能是六，他的系数有可能会发生变化，甚至于这里可能没有 x， 只有一到三 x。 所以 这一类型的题，你只要做一点这种类型的题目就可以了，不要纠结于这一道题啊。好，第二种类型就是非其次 e 非方程，它就是类似于这道题，还是一样，这个题目重不重要，这个例题重不重要？不重要， 但是这个类型的立体就很重要，所以你把这个类型的题目弄懂就可以。比如它是一阶，然后非其次的，因为它这里可以移过去，它可以把它调整。为什么 y 一 撇 p x 乘以 y 等于 q x， 其调整为这种一阶非其次的，然后调整为这种标准模式之后怎么样？ y 是 等于多少？ y 是 不是就可以套公式？这是标准公式啊，这个是要记住的，直接套这个公式，把 p， 把 q 包括这里的屁带进去就可以了。哎，这里我记是不是，这里是不是有符号？哦？这里是没有。 ok， 然后我把这里，我把它去掉啊，大家去把这个 去把这个公式记住就可以，我这里就不去调整它了。然后再一个就是已知解，就是它告诉你一个解未知方程，它比如这个例题，它告诉你 y 是 等于 y， 等于它是这个方程的解， 他已经告诉你了这一个解，然后你反过来求这个里面的参数，当然他不可能。我，我再强调一次，这一个不是题目啊，题目，比如说他会把这个 f x 等于多少告诉你，或者这个 q 告诉你，他只会有当中的一个 参数，它不会说全是参数，比如说 p 是 参数或者 q 是 参数，然后 f x 或者是如果是 q 是 参数， p 和 f x 知道，如果它是参数，它就和它知道。我给的是一个模板，你去把这一类题做会，那么这所有的题都 不会了，我给你一道题，那考试他系数一遍，你不是又不会了，所以把这一类题弄会就可以啊，然后他就让你去求什么呢？求这个方程的通解或者是特解，如果让你同求通解，就不会让你去求特解，让你求特解就不会求通解或者啊 或其中的一个，而你怎么求答呢？第一，求出方程，你求出方程是不是要求出这里面的参数？所以你要先把方程里面的 参数给他求出来，先求出参数，把整个方程给还原出来，你就能知道这个方程整体是什么样子，再通过这个方程的整体把它 的解，如果是求通解，就把通解求出来，如果求特解，就把切特解求出来。主要是哪一步呢？主要就是这一步把参数求出来，求到了参数， 其实也就回到了前两个问题。所以这一个题目就是有一点不一样，你要通过解把参数求出来，再求出它的特解。 ok， 还是一样，我们提供考试的模板，他会往哪个方向考？然后接下来你去把这个模板对应的题目做个几次，应该问题也就不大了。好，今天就到这里，江苏的。

ok， 这是二六年专升本数学考前的押题系列。押题系列我们两个原则，第一个，尽可能少押知识点，比如说极限这一张，他考两个选择题，我们争取只押三个或四个知识点，如果我押十多个，那没有意义。 第二个点，我们争取把这种题目是怎么提问的，这种模板化给大家梳理出来，你应该怎么去回答呢？也给他模板化，或者是主要的方法给他提炼出来，你直接用我的套路，你就能得到答案，这样子才 才高效嘛，这才叫压题，我尽可能把所有省份能压的全部都给大家压了，大家在评论区打出你们的省份，或者是你们想要关注压的哪些知识点比较多的，我就提前压，当然大家给个点赞，关注一键三连，我就尽快给大家出视频，这一个视频我们把江苏省二六年的 选择、填空、计算综合全部都给他讲完，所以说这一个视频搞定江苏省的积分。江苏省在积分这一部分，选择填空题各考一个题，一共加起来两个题，当然一个题两分，两个题就四分，所以两个题我们出四个押题的知识点，所以不多啊。两个题我们只 出四个押题的知识点。我们先来看第一个，就是选择和填空题，在选择和填空题这里，第一个最多的啊，考的最多的就是元函数， 把原函数的概念和相关的计算相结合，当然考对的就是以选择题为核心，同样这种题型的模板就是题干，他会告诉你已知条件，就是比如说 f x 是 g x 的 原函数，当然这两个就是各自有一个视为具体函数，比如说啊， f x 是 三引 cosine 探进的都有可能，那么 g x 它就是一个抽象函数。如果说 f x 是 一个抽象函数， g x 比如就是 x cosine， x 探进的三引 cosine 都有可能，其中一个为具体函数，一个为抽象函数，然后它就要你提的问是什么呢？ 他就问你 f x 或者是 g x 相关的。我先假如说啊，假如说 g x 是 一个具体函数，它就会让你求 f x 这个抽象函数的导数，或者 f x 抽象函数的积分 与之所对应，如果 f x 是 具体函数，它就会求 g x 的 导数和 g x 积分，这就是它的问题。最后我们该怎么答呢？答的时候关注一个点，这一个点就是 他，他说 f x 是 g x 的 原函数对不对？那么 f x 求导是不是就等于 g x？ 同样反过来， g x 积分是不是就等于 f x？ 所以 说这两个关系大家掌握好，我这里再补一个吧。 ok， 就是 这两个点把握住了，然后再去求出 f x 和 g x， 就 基本上这类题就没问题了啊。好，这是第一个知识点。 第二一个知识点就是变现积分求导，变现积分求导选择和填空题都有可能考，而且都考过啊。直接说它的已知条件当中经常出现什么样的函数？已知条件经常出现到 f x， 它的变上限积分是 x， 只有 x 这种情况下。而第二种情况就是 f t， 它这里是关于 f， 就 关于 x 的 复合函数，比如说 x 平方三 x 探见 x 都有可能，它不只是一个 x， 是 x 的 复合函数，而这时候核心是什么？回答的核心就是规律性求导，比如说我这里就直接写这一个函数求导是等于多少，对于这个整体 它就直接等于 f x， 就是 把 x 放到 t， 就是 把这里面的这个 f x， t 全部换成 x 就 可以了。好，这一类怎么等于多少呢？这一类它的核心方法就是直接直接找用这个规律去求就行了啊。它就直接等于 f， 这里的 t 换成这个整体 x 平方，这个整体直接换到 t 这里来，所以这里就是 x 平方，然后还要乘以个 x 平放的导数。当然如果这里是方框怎么办？那么这里就是方框，这里也就是乘以方框的导数，所以的整体的核心方法就是我们这里讲的这两个方法。考试遇到了 直接啪放进去，然后再求导，比如这里就是直接放进去再求导就可以了，没有什么多余的操作，考试就喜欢这么考。好，我们再看第三个点，第三个点就是积分 已知结果反求参数，比如说他求一个定积分，定积分里面他这个函数 f x， 他 含有一个参数 a， 当然这里这个 a 和这个，这是上下限啊，这是下限， 这是上限，这是这个意思。然后上下限他这里面还有一个参数 a， 他 知道这个结果，比如说他说这个定积分的结果是等于一个常数好，他的结果等于一个常数，或者说他的结果与 另一个定积分相等，好，他与另一个定积分相等，另一个可能他含有 a， 也有可能不含，含不含都无所谓， 反正这一里他一定是含有一个 a， 问题啊，他就直接让你去求 a， 正常的作答非常简单，无视这一个 a， 假装没有看到，把它当成长数，比如把它当成一二三四五都有可能当成长数之后正常的用积分的方法把它求出来，然后带进去，就是正常计算积分，然后得出等式。比如说计算正常计算积分，他这里计算出来，我这里就直接写啊。比如说这一个计算出来， 他是等于这里面还有一个常数 a， 好， 这里这个是不是里面有一个位数？比如等于二， 我们就可以把常数求出来。同理，如果说他不等于常数，是等于一个另一个定积分，好，另一个定积分如果不含 a， 他 就定积分的结果计算出来，是不是一个常数？假如说也等于二，好，如果等于二，是不是也可以把 a 求出来？如果说他不等于二，他比说等于也是一个常数 a， 那 么一个等式，我是不是这里二就没了啊？是不是我就可以把 a 求出来？我只需要一项怎么样就把 a 得出来，所以就可以直接求出 这个参数，好，当然这个题是以填空题为主，这就是第三个点。第三个点大家不要被它里面还有常数给吓到，你直接按照正常的积分计算出来，等于这个常数，它计算出来结果就含有 a， 呃，计算出 a 就 可以，如果是有这里的 呃定积分的话，你这里直接他有可能含 a， 有 可能不含 a， 直接相等，也可以得出常数 a， 好， 这是第三个点，就不多说。再说第四个点，嗯，第四一个，江苏省今年有可能考的就是定积分比大小，这一个点就是考选择题，而且这一个点 在过往专升本的江苏省卷里面从来没有出现过啊，就是江苏从来没有考过这一类型的题目，当然今年他有没有可能考呢？嗯，我觉得概率适中吧，不高，也不低，适中，所以说大家注意下这个点。好，这个点直接说他提问会怎么提？他直接在提概，你告诉我三个积分， 比如积分那个 i 一、 i 二、 i 三，大家观察他们有什么共性，是不是 a b 上下限都是一样的，它们只有这一个背期函数不一样，比如说 f x， g x 和 f x 这三个函数不一样， 那么回答的时候就是你们自己在做答的时候应该做一什么样呢？如果说上限一样，上限和下限一样，就直接去比较这三个背期函数。 f x、 g x 和 f x 就 比较这三个函数，这三个函数在这个区间内，也就是上下限这个区间内，谁大 对应的定积分就大，谁小对应的定积分就小。比如说我随便举个例子，嗯，在 a 到 b， 我 写在这里吧， 在 a 到 b 这个区间内，也就是上下限内。如果说是 g x 最大， f x 第二大， f x 第三大，那么它的顺序是什么？就是 i 二大于 i 三大于 i 一， 就这个顺序啊，因为它 g x 是 最大的，然后 f x 第二大， f x 第三大。好方法，就这个方法没有什么复杂的。 好，这就是第四一个点。好。再说计算题，江苏的计算题一个题八分，非常高啊，然后考两个题，两个题分别是一个考定积分， 一个考不定积分，刚好两道题一共十六分。当然他具体考什么题目，你让我把原题抄给你，我，我不能去偷题啊。所以我就只能说他会考哪几个方法来解题。当你只要有一定技巧，把这几个方法固定一下，在考试的时候用上了，基本没太多问题。首先来，呃，第一个方法 就是定积分或者是不定积分，都有可能他的分子是含有两项的，就他分子不是一项，他是两项相加的，或者相减也一样啊。相加或者是相减减号也写上吧。 好，他如果是相加或相减，百分之九十的概率，直接把它拆分为两个积分进行计算。比如说这个积分，它这里是两项相加减，那么你直接把它三角形拆分为一个，方框拆分一个拆分为两个进行相加减，你分别再去计算这两个积分， 就会相对比较简单，就没那么复杂了啊，因为他拆分了就相当于计算两个积分。好，这是第一类。如果遇到了 分子，两项相加减，拆分为两项，好，这是第一个。第二一类，定积分，他一定会考 换元啊，我说的是一定，今年他一定会考换元啊，这是江苏的这个老头子就特别喜欢考的一类题目。好，他考这一类换元是怎么考呢？首先第一个， 三角函数换元。三角函数换元，如果你遇到了这一个是最抗，我只写了一个，因为它是最常考的，就是 a 平方减去 x 平方。好， a 个平方减 x 平方是不是用三角函数换元？但它有的时候会含有根号， 有的时候它就不含有根号啊。当然我再说 x 平方减 a 平方，能不能用三角函数换元也可以。我再问 a 平方加 x 平方能被用三角函数还原？同样可以啊，只不过这一个考的是最多的，因为它直接令 x 等于 a 倍的那个三引 就可以了，当然它求出来就是 cosine 嘛，根号去掉就等于 cosine， 所以 相对比较简单，考的比较多。好考的比较多的当中具体的例子就是这三类，四减去 x 平方，二减去 x 平方和一减去 x 平方，同样这些 x 令谁？ x 令等于二倍的三引，这个令多少？直接就令三引啊， 这三个是考的最多的。好，再说根式换元，根式换元相对就比较简单，没有这么复杂，如果你看到这一个函数里面，这个积分里面他没有这个三角函数换元，而他又出现了根式，那么相对而言就比较无脑的。令这个根式等于替 换元，带入到原来的积分式子里面求解就可以了。你换元之后，他的整个式子就会变得很简单，反而有根号会更加复杂啊。这是第二一部分啊， 一定会考幻园啊，江苏的那个老头，我不知道他有什么执念。就是江苏的老头就是很喜欢考幻园，我也不知道为什么。所以你把他喜欢什么，你就学什么，考试就考什么，你就得分就可以了啊， 投其所好就可以了。好，再来第三一个就是分布积分法，分布积分法考的概率没有前两个高，但是是一个中等的概率吧。好，分布积分法我就说一个点， 如果说你遇到了，我这里是随便写的啊，不是说考这个题啊，我随便写的。如果在积分里面遇到了几类不同的 函数，比如说这里是三类，一般来说就是考两个，比如说他和他，或者说他和他任意的不同的两类函数写在一起， 就用分布积分法，直接套用分布积分法的方法就可以。我这里不去讲方法，如果你们想看方法，直接去看我们的全程班，但我们的内部学员，或者是你们是跟着线下线上的课程学，直接去回顾那个课程内容就行。如果你是内部学员，内部学员我们讲的更清楚啊。好，这就是 分布积分法，不同类型的函数相乘，直接用分布积分法，不需要考虑任何东西。好，这是第三个。第四一个分段函数来求定积分，这一个考频和第这两个考频是差不多的，而这一个 相对而言，江苏又有好几年没有考了，所以你们要更加的重视这一个点啊。好，这三四个点考频差不多，一二个 是考频比较高的啊，三四个低于一二个。好，说一下分段函数定积分求法是什么？我直接把题目的问题和答案模板直接告诉你。第一个 f x， 它给的函数 f x， 它一定是一个分段函数，比如说大于 a 是 三角形，小于 a 是 方框，然后它让你去求 b 到 c 当中的一个定积分，当然这个 b 到 c 到 c， 那 个 a 的 大小值啊，就在 b 到这，比如说这是 b， 这是 c， 这里就可能是 a， 就 a 在 b 和 c 之间，为什么呢？它就相当于，比如说这是一个竖轴，嗯，这个是 b， 这个是 c， a 就 在这里，它就相当于把 b 和 c 给切断了， a 到 b 就 相当于，嗯，这里是小于，就是一个函数值， a 到 c 相当于大于 a， 是 一个函数值，你就需要在 b 到 a、 a 到 c 上分别采用定积分，把它计算出来。你不能通算啊，因为它不同的区间上它的函数不一样，所以这时候你直接你看 b 到 a， b 到 a 上， 你看 b 到 a 上使用定积分， b 到 a， 说明是什么？小于 a 的 对不对？这里是不是小于 a 的？ 是不是在这里？同理，如果说是 a 到 c， a 到 c， 是 不是大于 a 就是 三角形？就是。哎，我这里还写反了啊， ok， 看啊，我这里再写一下，这里是 b 到 a， b 到 a 应该是小于 a 的， 所以这里是方框，然后这里应该是三角形啊，因为这个是大于 a 的 嘛， a 到 c 是 大于 a 的， 就写三角形。好，这就是整，你再把这两个极限，呃，这两个积分计算出来。这两个定积分不会难啊，相对而言比较简单，它难就难着什么，你把这一个式子给我画成这一个式子。 好，这就是江苏省计算的所有内容。马上我把这个黑板擦了，我们再来讲他的综合题。综合题我们题型非常固定，江苏省的综合题知识点就考我们的面积或者是体积，但是他有几种出题的形式，常考的啊，我这里全部给它梳理出来。好，我先擦黑板， 接下来我们把江苏省的积分部分的综合题怎么考给大家梳理清楚。因为综合题一共考两道，一道题在第二张，也就是导数，第二道题就在积分，积分一道题十分，所以这里可能就价值十分啊。 接下来我讲的内容。好，我们先来看啊，综合题他就考一个东西啊，本质上来说就考一个东西，体积或者是面积，当然考体积的概率是大于考面积的，考体积因为更难一点，计算量更大一点。 所以说出题的就你想想那些糟老头子，一道题十分，他会让你轻轻松松得到的吗？他肯定要给你设置障碍啊，所以说考体积的概率啊，远远大于考面积。好说，第一个考哪里？第二种以什么样的形式考？我这里列出了三种形式，这三种形式考的概率是非常大的，我一一给大家说梳理啊。 首先第一个第一种题型，就是他直接告诉你函数，然后你通过画图把那个面积在坐标轴上给他画出来，画出来之后第第一步就画图，然后第二一部分 就是套公式，你看那个图，如果求面积，直接套 x 型或者是 y 型，求体积也一样是 x 型或者是 y 型，当然套公式最重要的是什么？大家都知道，出来混最重要的是什么？就是你得要出来呀，所以说套公式最重要的是什么？最重要 就是你要有有公式啊，所以你要记住公式你才能套嘛，你没记住公式你套个屁啊。好，这就是 第一个类型啊，非常简单，把函数图像画出来，画图，然后套对应的公式，知识点大家自己学，我们这里把怎么考告诉大家啊。第二个就是题型，第二类题型就是来了，这就是江苏的出题老头很喜欢的这糟老头子。因为这种题太简单了，就是正常的画图求公式， 但是这一种题他就要复杂一些，他是什么？比如说他把函数里面，他把函数告诉你，但是里面又含有一个参数，比如说函数等于多少多少，里面还有一个参数 a， 然后再告诉你函数二，然后他告诉你 它所围成的面积是或者是体积等于多少啊？结果告诉你，比如说等于它里面也有可能含有参数 a 啊， 比如说等于三五十，十分之一都有可能，或者是十分之 a 都有可能，他就反正是把参数，把面面积或体积直接告诉你，告诉你之后他让你求什么呢？ 第一个让你把参数求出来。第二一个，如果这里告诉你的是面积，他就让你求体积，如果告诉你的是体积，就让你求面积，他这里只会告诉你一个，这里让你求另一个。好，这里就是求的方法，就是题目怎么来出题的方法。第二个怎么答呢？第一个 无视 a， 在 答题的时候你不要管这个 a， 你 就把 a 看正常数，正常的把图像画出来，画出来之后 直接计算出，就是你通过这一个，因为它，你这里是不是已知函数，它会告诉你一个面积或体积，它告诉你面积，你就通过套公式把面积计算出来，告诉你体积，就把体积计算出来，反正让面积或者是体积让它相等， 你这里是不是具体的数字，这里有个常数 a， 你 就直接得出常数 a 等于多少，就可以得出答案啊。好，这是第一个，然后再看第二一个， 第二个就是求体积，嗯，比如说他这里是告诉了面积，你通过得出来的式子是不是可以把这里的 y 得出来，就可以把体积求出来，或者是把面积求出来，这里告诉体积，这里告诉面积，这里就求体积。好，这是第二一类题型。第三一类题型就是已知 y， 直线曲线，然后面积或者是体积，但是这个 y 是 什么？是一个抽象函数，他没有告诉你他等于多少，他没有告诉你，然后他就是让你把这个求出来，因为他这里告诉你面积或者是体积吗？ 然后或者是第一种啊，就是把它求出来。第二种是把 y 求出来之后再把，如果这里是告诉的是面积，你就把体积求出来，如果告诉了体积，你就把面积求出来，这就是提问的方式。好，它的方法是怎么做的呢？第一个，如果说是告诉的面积或体积啊，先套公式，套公式之后你会得到一个定积分， 然后把面积或者是体积求出来，这是第一类。第二一类。第二这第一步啊，因为你通过它就可以得到这个等式吗？第二一步，再对两边同时求导，你就可以计算出这个 f x， 也就是这里的 y， 这一个你就能求出来了，求出来了。第三一步就相当于回到这里了，你就正常的，它如果说已知面积，你正常通过式子把体积求出来，如果它已知体积，你正常把面积 出来就行了。好，一共就这三种类型掌握好，然后再加上计算不失误，应该问题就不大。好，这一个江苏的积分，我们这一个视频就讲完了。

二六年福建省专设本挑战考前压题，一个视频压中八十分以上，甚至于我们当中会给很多知识点说，在选择题、填空题或者是计算题当中，百分之百我预测他会考，所以我们会给的非常直接。 我们会根据过往招生本的真题和老头出题的习惯来预测今年可能出哪些题目，给个点赞，关注一键三年可以把你们的省份和你觉得比较难的账解留在评论区，我们会尽量尽快的给大家押题。之前评论区很多同学说押广东省，因为留言比较多，所以我们上一个视频把广东省的所有的押题 全部出完了，然后广东省出完之后，又有很多同学留言说押福建省，所以我们这一个视频福建省的就来了。 而且我们在押题的过程当中尽可能把题目和答案都模板化，如果说你们考试遇到了这种题目，然后你用对应的模板化的答案去回答就可以。好，我们这一个视频就正式开始我们福建省的押题。福建省首先来到我们的极限的第一章内容，第一章福建省会考四个选择， 一到两个填空，去年考到一个，但是之前考到两个，所以有的时候考一个，有的时候考两个，不确定，然后就是两个计算题。好，这是福建极限部分出题的分数量，当然一个题是 选择填空三分，一个计算题是六分一个，你加起来相成就行了。然后我们现在看第一个知识点，第一个我们就给了百分之百啊，百分之百会考就是定义域，而且是具体函数求定义域，比如说我们给一个立体模板， 他说举例子，这一个函数是给的一个具体函数，求它的定义域，你就只需要把这一部分，这一部分对应定义域的法则带进去，求一个不等式主，就能求出定义域，你把 a、 b、 c、 d 选择就可以了啊。好，这就是模板。当然你们在哪里学到，比如说你在线上线下， 在哪里报的班，在哪里学的，去做一下对应的题目就可以啊，我们的内部学员应该我们课程当中反复强调过啊，去做一下对应题目就行。好，再看第二一个 间断点的类型，间断点的类型是主要是考啊，知识点是考间断的类型，但是他考什么类型的函数，我们都给你啊，是考的什么分式的函数？他考分式函数是非常多的，比如说这个立体模板， 他说在这一个点处函数是为他这是不是一个分式函数，然后问他的在这一点处的间断点类型，比如说是可去 跳跃无穷正荡哪一个，这里选就可以了啊。好，这是第二类题目，再看第三类题目，函数的基有性，但这一个考试概率也非常高啊，我就百分之八十到九十啊。 好，再看奇偶性，奇偶性的判定，比如说给个例一啊，给个例怎么办？他直接会问下列函数是奇函数或者是偶函数，他只会问一个啊，而他问奇函数，你就选奇函数，问偶函数就选偶函数。其实是用什么方法解题？就用一个啊， 就看它是等于哪一个，它是等于负的 f x 还是等于正的 f x 来判定啊。就这个方法，方法我都给到大家，大家直接 以后遇到了，只要考试当中啊，遇到奇偶性的判定，全部给我用定义法，不要用那些花里胡哨的方法，定义法在福建省的正题里面就是能够通杀啊，不要用其他乱七八糟的方法，就用它。好，第二个例题， 他就是给你个函数，问他是奇函数，偶函数还是非奇偶，还是不确定啊？他只要给了函数，你直接还是用这个方法。我说了是通杀的方法，直接使用，然后进行判定， 当然不确定，如果你考试遇到了啊，不确定，直接去掉啊，飞机飞偶也直接去掉啊，就他只会是基函数或者是偶函数，飞机飞偶的概率还是有一点点，但是非常小啊，肯定是在这两个当中选。如果你实在不知道， 告诉大家一个小窍门啊，蒙基函数的概率要大一点。就福建省老头出题的习惯，他就喜欢基函数，你问我为什么，我也不知道。如果你实在不知道选什么，就选基函数啊。 好，再看有界性。呃，有界性出题概率有，但是没有基数性那么大。我们先来看啊，它就是直接让你判定哪一些函数是为有界函数，它直接说下列函数为有界函数的式，你就选 a、 b、 c、 d 当中的一个就可以了。 好，这是第四一个，我们再看第五一个周期的函数，周期函数就是判定函数的周期性，比如第一，他说下列为周期函数的式，然后你就去选呗，哪些是周期函数？ 这个还是一样知识点，你们在哪里学的？这是最基本的知识点，所以你直接去把这个知识点看一下，包括做一个两个这种类似的题目就没问题啊，非常简单啊。好，再看第六一个 无穷小的比肩，无穷小的比肩怎么出题？我们给了两个立体模板，第一个是 x 在 趋近于零的时候，它是它的什么？比如它是它的高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小或等价无穷小。这个用什么方法？ 用无穷小节数的定义啊，定义当中是怎么求，你这里是怎么求，我写一下啊。比如说这两个，你就直接求 x 趋近于零的时候，三 e x， 下面是 lo in 一 加 x 平方，就求这个极限等于多少极限的值，极限的值不一样，那么它对应的 高阶低阶等价不等价和和同阶都不一样啊。好，这里就说方法也给了啊。这第二个题呢，他就说 x 趋近于零的时候， 三 x 是 低阶无穷小的事，就下面哪一个是三 x 的 低阶无穷小，那么你就要把一个一个地匹配上去进行求就行了啊。 ok， 所以 这就是方法用什么？还是用这个方法啊？还是用这个删除，然后求极限的市值就可以。 ok， 我 们继续来看到第二一个黑板，第二个黑板就把所有的极限部分全部给他讲完啊。我们现在看到第六一点，第六一点极限的计算，这是一个大点，这个点在选择、填空、计算 都会考，所以我们就一次性把第六个点分为了七个小点，全部给大家梳理完。但七个小点大家看，七个小点好多呀，其实不多啊，我们只是分的非常细，而且分也非常简单啊，我们直接来看吧，第一个 等价就直接等价，比如说这里你是不是直接等价于 x 平方？就是直接等价选择和计算题啊，计算题也会考啊， 就非常简单，就没什么难的啊，就第一个点就直接用等价，然后求出答案就可以了。好，第二一个就是落笔打法则再加等价，这种等价你会发现这个等价和这个等价怎么样？这个是不能直接等价的，你要先通过落笔答案把它求成 比较简单的常见的形式，然后再等价啊。这种就是第二个，其实也是落笔夹，落笔打加等价，本质来说可以归属到这里面啊，但是我把它分开，让讲的细一点。好，第三个考点就是油理化，油理化就是针对于这种根式和减法的时候，根式差的时候， 嗯，根式差我们分为几种情况？第一种情况就是这种，我直接写这里吧，就根号减去一个，第二个是根号减去根号，目前而言，嗯，福建省就主要是考这两种情况啊，我就直接给他写了，这里是哪一个？这个是不是第一种 根号减去一个常数。好，这是第一个，有理化分子分母同时乘以这两个式子相加就可以啊。好，就是考点三，我们再看考点四，恒等变形。恒等变形其实就是 这里把拆分为两个式子相乘，其中有一个就是 x 减七啊，剩下另一个就是恒等变形啊， 本质上来说就是考验什么十字相乘法啊。好，这是第五第四，然后再看第五就是抓大头，抓大头 x 在 去进无穷的时候怎么抓最高次，后面的直接不要了，就这么简单抓大头啊，没什么难的。 然后再看第六一个考点，这个，这个稍微要有一点公式啊，他是什么？方框分之三角形，比如说这里是不是就是方框？这是不是三角形？只要是方框上面有个三角形的次方，这一类题通通使用这个方法。我直接给他写这里啊，比如说 方框分成三角形乘以方框。好，这是考点六，我们再看考点七， 考点题，就是已知极限反求参数。好，已知极限反求参数，就是把极限的结果告诉你，但是极限当中他有一个常数 k， 他 没有告诉你，然后你通过这个极限的结果反求 k， 你 说他我是不是可以求出来？他可能就等于 等于多少，它里面是含有 k 这个字母的，你让它等于多少？等于它，你就可以把 k 求出来，也就是把这里的 k 求出来。所以这就是这个极限的所有计算考法啊，我全部给他写在这里了，就是参与极限的计算。好，最后再来两个小点。第一个， 呃，函数的符合什么意思呢？他会告诉你一个函数表达式不一定是这个啊，就是类似的，这是一个模板题，给你个类似函数表达式，而 f 里面它还含有 f， 然后让你去求 他或者是他，这两个有啥不一样？就是你把他求出来之后，把 x 代为零就可以了啊，就这个不一样，没有什么区别啊，这是函数的符合这个模板题。再看第三一个，呃，第八一个， 已知连续反求参数，这时出现在计算题当中，而且预测是百分之百会考啊，我说的是百分之百会考计算题啊，大题 他是怎么出的呢？他就是给你个函数是个分段函数，大于零是多少，小于零是多少，然后说在这一点处是不是分段函数的分段点处是连续的，但他有的时候也会说处处连续， 你处处都连续，这个点是不是也连续，所以一样的，在这一点处和处处连续都一样，然后反过来让你求 a 是 等于多少的， ok， 所以 说这就是呃通已知连续反求函数方法是什么？ 狠狠的给我抓住三个点，其实两个点就够了，但是我这里补给大家写完三个点，第一个是左极限， 第二个是右极限，第三个是函数值，狠狠的把这三个点抓住，只要是连续，他就相等，相等，你就能通过 左极限，右极限求出来之后相等求出 a 的 值。好，这就是所有的福建省的极限部分。 ok， 我 们接下来这一个黑板就把福建省导数二零二六年的押题给大家讲完。首先说福建省的导数是有 三个选择，两个填空，一个计算，一个应用，各自多少分呢？大家去查吧，这三分六分，八分，我就不不写了啊，好，大家自己去看就 ok。 然后我们就来看具体的知识点啊。第一个 函数的求导，函数的求导主要啊，以选择题为主，填空题为辅，以哪些求导呢？而且是再说一次，百分之百 会考的啊。第一个考点求一阶导，这个就非常简单，就给你一个符合函数，让你求出一阶导就可以啊，就给你函数求导结束就这么简单。第二个就是求二阶导，同样给你个函数求二阶导，不就是在一阶的基础上再求一次导，就是二阶导吗？所以这两这种题啊， 我觉得今年肯定会出啊，百分之百会出，然后基本上就属于送分题的感觉啊。然后这是再看考点三，微分。微分的本质是什么？是不是也是求导？而他求导不就是对求导之后再加一个 d x 吗？比如他求 d， y 不 就是 y 一 撇 乘以 d x 就是 微分的内容吗？所以说就是给你个导数，然后求微分本质上也是在求一阶导啊，还是在求这个东西好。我们再看第二个点，就是参数方程求导。参数方程求导， 呃考选择题和呃填空题和计算题，这两个都有可能考。呃，他是怎么考的呢？他就直接给你个参数方程，让你求它的一阶导，有的时候会让你求 t 等于一的时候，他的你先把一阶导求出来，再把 t 等于一带进去，有的时候就没有它，只有这一部分， ok， 所以 这就是整个的参数方程求导。再看引函数求导，引函数求导部分 以填空题和计算题为主，他求的还是一样，他的题型就会直接告诉你， y 等于 y， x 是 由这个所确定的，让你去求它还是一样先把 y 对 x 求出来，再把 带进去就可以了啊。而这是第三个隐含说求导。隐含说求导和参数放进去导是有固定的求导流程和方法，你们之前在哪里学的知识点，你就在哪里去看。线上报班就在线上看，线下报班就看线下的知识点啊，这个老师应该都是会讲的，不管是在哪里学 好。再看第四一个点，去 f 法或者是导数的定义啊，这两个其实去 f 法只不过是导数定义的一个使用技巧啊，本质上来说是用的导数定义，主要是选择和填空题。他的出题的类型是什么呢？他出题的类型就是 给你一个 f、 x、 e 点出的导数，然后让你求这一点，出的极限就是直接使用去 f 法是最快的啊，因为只有计算题才要步骤嘛，这里不需要步骤，你直接用 什么方法得答案快就用什么方法啊。好，这个，这个，这类题大家多做一点啊，很有可能会考啊，考选择题的概率要大一点点吧。相对填空题而言， 我再看第五个拐点，拐点是什么？非常简单，非常直接，给你个函数，让你求它的拐点，同样最值呢？也是给你个函数，让你求这个区间的最值。把标准化的，你们学知识点的时候，标准化的步骤把它弄清楚就可以啊。 好，再来一个吧。这个黑板的最后一个点就是切线问题。嗯，切线百分之会百分之百考计算题啊，就今年预测百分之百考计算题有两种考试方式，第一种，引函数求切线， 比如说这个例子，给你一个曲线，这个曲线，这就是一个引函数，让你求在这一点处的切线，第一步其实就是在求 k， 也就是在求 y 一 撇，也就是求它的斜率啊，然后再把这个点带进去，就是直线。好，第二个考点， 参数方程求切线，而参数方程求切线，同样给你个参数方程，问你在这一点处的切线 还是一样先，你要求切线对不对？先把导数求出来，先求出 k， 是 等于 y 对 x 求导，然后再把这个点带进来，求出 k， 然后求出 k， 之后再把这个带进去，求出 x y 的 点，然后这三个就可以求出对应切线的 直线方程。 ok， 我 们这一个视频就把导数的剩下部分全部讲完，其实就一个题，就是我们的应用题啊，应用题会考多个小问，他不只是说考一个小问，好，来看吧，他常考的小问一共有三种类型，然后一般只问两个小问。 第一种类型就是它不会把 f x 就 这个函数，它不会直接告诉你，而是通过微分方程或者是变上限积分，通过你自己把它求出来，然后 先求出 f x， 然后再问你当中的，比如说让你求出单调性区间、凹凸区间或者极值啊，这是第一种类型，直接给 f x， 让自己求，然后让你求这一类和下面这一类啊，就是这两个是会让你求一个，比如说这一个就是 f x 等于 k 加 x， 他 有的时候直接是 k， 有 的时候会加个 x， 呃，就看具体的题目，然后说他 f x 的， 然后再根据 f x 根的情况来判定 k 的 范围， 让你把 k 的 范围求出来，这个其实是有难度的啊，而且这是什么？这是福建省的特有的题，就福建省老头的钟爱，他就很喜欢在亚洲提出一个这种题目，所以说大家这里 要注意一下啊。好，我就不多说这三类题目，我们看一个例题，这是我们自己的一个押题卷上的题目啊。嗯，他说已知 函数，函数我告诉你，当有的时候他不告诉你的话，就要自己求，当然这里就告诉你了啊，然后说求单调区间、极值和凹凸性，这个就正常，求正常的解析步骤和方法。 然后说 f x 等于 k， 恰有三个实根让你求参数， k 的 范围就是这种类型的题目。大家把你们福建省有没有之前怎么学知识点，把这里好好看一下，做几道题目也不难，因为这一类题它的方法相对比较固定，所以说 我们导数的押题就给押到这里。 ok， 我 们接下来内容就是福建省的二零二六年积分的押题，所以我们直接来看这个黑板的内容。首先第一个 福建省会考一个选择一到两个填空和一个应用题，这是题量，当然小题目就是三分，一个大题目就是六分一个。好。再看第一类，已知第一个 考点啊，已知抽象积分，求另一个抽象积分或另一个抽象函数，或者是积分啊，只求一个。比如说有个例子来说明， 我们知道这一个积分，他会直接告诉你他积分等于他这是什么。 f x 是 抽象的啊，他没有一个具体的表达式，但是他把他的关系式告诉你，然后让你去求 f x 等于多少，或者让你去求这个等于多少， 那个积分等于多少，跟 f x 相关的一个复合函数。但这种题大家做一下，很喜欢考，真的很喜欢考，今年大概率是会考的啊。然后 a、 b、 c、 d 的 做出来之后选择就行了，这里我就不写了，你写出来也要去选择嘛，也要先做出来好。第二个知识点就是元函数的概念，再加上积分的计算， 嗯，怎么考呢？我就直接写题目，比如说它会说它是它的一个元函数，然后问你 他是等于多少？好，这一句话，我们从从这句话当中要得到什么？要得到 f x 等于多少，或者是 f x 的 积分等于多少，这两个当中一定要得出一个来匹配这里的条件，把它计算出来啊，然后这里是用谁肯定用这一个啊？好方法，具体的方法大家就去看你们的知识点啊，做几道这种例题啊。好，第三一个偶备机灵。偶备机灵 就是先看到它的上下线，如果上下线是对称的，比如说，呃，正一负一，正派负派，正二负二，正三负三这种对称的，你就要去观察这里面是奇函数还是偶函数了。当然有的同学说这一个整个函数令它等于 f x， 它不是奇函数，也不是偶函数呢。 有的时候如果一个函数就单独看，有的时候你多个函数，你就得拆分开，你看这个是奇函数，偶函数，这个是奇函数还是偶函数，分开计算啊，偶倍机灵，注意一下，就要分开计算，如果是一个函数就直接计算好这第三个点，再看第四个点，就是分段函数求定积分， 分段函数求定积分，很有可能考大题啊，我直接写就是计算题啊，很有可能考计算题，他是怎么做的呢？就是，当然一会我们还会继续说计算题啊，我们直接这个相当于是模板给的模板， 比如说 x 大 于零的时候， x 取它， x 小 于零的时候， f x 取它，然后他问在零负一到一它是怎么求的？大家看这个分段还是说分段点是不是在正负一之间，所以你要分开来求，从零到一， 嗯，从他是等于从负一到零是选择小于他的，小于他就是方框，从零到一就是大于他的，就是成三角形。好，这就是这一部分。第四个点，再看第五个点，积分的计算，这里 我们的小题和大题都会考啊，都会考，而且这三个是积分的方法有很多，这三个是简单粗暴，比较直接考的，我就直接给大家梳理出来了。 好，我们来看第一个，第一个考虑是测微分。测微分的方法是什么？比如说这个 x， 这里只是一个模板，我把它放在后面去，是不是就 变成了 x 平方？前面有个二分之一，原则是什么？就是你把它放在后面去，三角形里面必须要有 x 平方这一项，你才把 x 放在后面去，就是说这一部分和这里面它一定要是 有一样的东西才可以。好，这是考点一，再看考点二，考点二就是根式换元呗，根式换元非常简单，看到根式直接给我令，令它等于 t， 包括这里啊，令这个，这里就是令，整个根号等于 t 了，这里就是另一个。 好，这就是考点二，是根式换元，我这里再补充一下，因为我们这里讲到换元嘛，我再补充一下，就是三角换元，我就直接现写啊，换一个粉笔，三角换元。 嗯，三角换元和根式换元有什么区别和不一样呢？我直接写了三角换元，用的最多的就是这种情况， 就是这种情况啊，你看它是不是也是有根式，但是它其实考的是什么？其实考的是这一部分， 就是它是 a 平方减去 x 平方。看到这一个啊，就要想到用根式还原，当然是用三角还原，当然有的时候也会有加法啊，加减都有可能啊，主要是以这种形式为主，而其中考的最多的又是什么呢？好，我直接写。这里 考的最多的就是根号下一减 x 平方，根号下二减 x 平方 和四减 x 平方，考的最多的就是这三个，一二四减去 x 平方，最多的就这三种类型啊，这是换元，我们的根式换元。再来看我们的考点三，就是分布积分法。分布积分法主要就是这种模板 倍积函数是两类不同的函数，比如这里一个是 x， 一个是 log， x 是 不是密函数和 我们的对数函数，所以这一种就要用到我们的分布积分法啊，所以这里这个黑板应该讲了百分之八十，马上我把黑板擦掉，再来讲后面的部分。 ok， 我 们这一个视频就把福建省的积分全部给大家搞定。好，我们先来看啊， 其实就主要讲了一类题，就是我们计算题在计算的时候拆分计算，怎么拆分呢？这一部分我们讲的非常像，给了模板，给了例题，给了吃点啊，所以第一个就是给了，呃，直接就是对 括号进行拆分，然后他的模板是什么呢？就这种括号里面外面，然后一个进去，然后把它拆分为两个计算计算。比如说我们给了一个例题啊，比如这个例题大家可以做一下， 这里就是它乘以它和它乘以它分开为两个积分进行计算。这是第一种，是用括号把它拆分，但这两个积分计算出来相对就比较简单了，不可能像这么难啊。好，这是第一个，第二个就是分式拆分，分式拆分 模板呢？就这种分母哦，分母是一个分子，是加法或减法，那么这里就加减或加法或减法，是不是可以把它拆分为两个式子？ 两个积分分别计算，这两个就相对比较简单。好，这是给了一个例题啊，这个例题其实相对还比较难一点啊，就考试， 福建省不可能考这么难啊，我只是给了一个相对比较难的例题。好，我们这里就把所有的我们的积分部分全部给它讲完了，大家可以把笔记做好，我们马上接下来的向量 部分。好，我们继续把福建省的最后一个黑板讲完，这一个黑板讲完，福建省的所有内容就完全的结束了，所以我们先来看福建省，上一次讲积分的时候，我们还漏掉一个应用题，应用题分数还挺高，所以上次漏了，我们这里就直接补上上一个黑板， 哎，应用题他就是求一个面积，体积，就求这两个东西啊，然后这两个东西呢，他就会直接给你直线和曲线的方程，说他这是他围成的面积， 然后就让你去求它由这些函数所围成面积的值和绕这些面积啊，绕 x 轴或者是 y 轴的体积。当然考哪一个最多？肯定是考 x 最多， y 轴考的很少，基本上不怎么考，不知道为什么 老头他就喜欢 x， 他 不喜欢 y 轴啊。好，这是积分的部分，我们再来看向量，向量这一部分会考一个选择题和一个计算题，一个选择题和一个计算题，而选择题当中他喜选择题，喜欢考这个叫点，就是 他喜欢考点相关的应用，不是说考点是点就是坐标，这是一个点的坐标嘛？当然是，比如这一个啊， 立体上就是三个数字的坐标，就是考这种点相关的应用，而不是考点相关的应用啊。考点肯定得考呀，而是点相关的应用啊，这个因为考的比较杂，我们这里就不去预测了，大家去那个多看一下题目就行，也就只考一道题目啊。 好，我们再看计算题，计算题，一个计算题他会考两个小问，而两个小问分别会求直线和平面的方程。比如说第一个求直线相关的方程啊，我们给了一个相关的例子，他给了已知一个点，是他，然后给了直线方程，说 过点且与直线方程平行的直线方程就是经过这个点，而且我们所求直线与这条直线相平行，求这一条直线方程啊，这是求的是直线。然后我们再来看面 平面方程啊，平面方程一样例子，我们也给了一个过一个点，且与直线它垂直的平面方程，这是给的两个最最基本的 求直线和平面方程的方法。其实你们在考试的时候可能还会遇到稍微复杂一点，就是在前面会增加一点点前提条件，但是本质上来说都是差不多的。 好，你们先把这些模板题去找到，做两个考试的时候遇到考题应该问题也就不大了。然后我们再来看微分方程， 微分方程就是最后一个章节了，微分方程考两，一个选择，一个填空，一个计算，各自考一个啊，这里是 这写了两个点，然后，呃，给了四个考点，你看三个题，我们给四个考点，应该是非常少的了啊，就是非常集中化的大量截取了你们，省掉了你们去复习更多知识点的时间。首先第一个 求二阶梯次的通解，考选择题比较多，怎么什么叫做二阶梯次通解？比如说这就是一个二阶梯次，然后求它的通解，你把它的通解求出来，然后去匹配 a、 b、 c、 d 的 选项，哪一个匹配上了，你就选那一个就行了，所以 就是我，所以我这里没写出 a、 b、 c、 d 的 选项来，写出来你也得去计算，所以我就直接写了模板性的题目，把这种类型的题目多做一点。第二一个就是已知解反求函数，比如说他说他和他为微分方程的解， 为这个微分方程的解啊，然后这个微分方程里面它是不是告诉了你的最终的解，但是方程里面是含有参数的，然后问 p 和 q 分 别为多少，这就是 a、 b、 c、 d 当中应该选择的。就 p 和 q， 你 也要求出来，你才能在 a、 b、 c、 d 当中去匹配嘛。所以我这里就没有写出 a、 b、 c、 d 啊，大家直接 通过这两个解可以带进去，把 p、 q 求出来，然后再去匹配最后的选项，这是第二类题目。好，再看第三类题目。嗯，前三个题目都是在小题目当中容易考，什么叫小题目？就是选择和填空题当中容易考，而在计算题当中是考第四个点，我们这里写了百分之百。 先看第三个题啊，第三个题就是给你一个方程，然后这是二阶的，然后说他和他求对应的特解，二阶方程告诉你，你把这个解求出来，然后给了你两个特解，让你求出这一个，两个特解的情况下， y 的 特解啊，好，这是第三个 方程的特解，第四一个就是在计算题当中出现，就是在大题当中出现呢，而且我说了百分之百考，我今预预测今年，因为老头就喜欢考这个东西啊。 e j 方程求通解啊，计算题 怎么出来？直接给你个方程，让你求出它的通解，就这么朴实无华，没有任何技巧而言，你就通过这种解求出用它的通用式子。这种求是有一个固定的 模板，然后解析的答案也是有一个固定的模板，只要你是跟着专升本的课程学，不管是线上还是线上，线上还是线下，都是有有讲过这种啊， 这个我就不去提了，所以这里就是我们所有的福建省的押题，就到这一个视频结束，大家可以做好笔记，到时候回来看一下押中了多少。

因为前面视频山东省的呼声比较高，所以我们上一期视频已经把山东省数学一的所有押题全部完成，我们这一期视频挑战完成山东省数学二考前押题押中八十分以上，所以大家给一个点赞，关注一键三连，可以把你们的省份留在评论区，比较多的省份 我们会提前出卷子，我们争取把这种题型知识点和答案模板化，你们在回答这一类题。 ok， 我 们就直接来到山东省数学二的具体内容。首先山东省数学二的极限部分是考两个选择，一个填空，两个计算，选择和填空题都是三分，一个计算题是六分一个。好，现在看直接进入到支点。第一个就是判定间断点的类型，这出现在选择题当中， 而判定间断点类型又分为两种函数，这是一个知识点啊，考这个知识点，然后我们再细化一点，考，具体什么样类型的函数呢？就是这两种。第一种类型的函数就是分式函数，比如说第一， 你看他就是这样子的一个分式函数，说在一点处的间断点是什么类型，你就把一点处的间断类型，间断点的类型判定一下就行，判定了之后去选择下面对应的类型。 嗯，但第一个连续点，如果说啊，他是这种类型的题目，一般来说不会是连续点，所以说假如说你不会，你蒙题把连续点去掉，同理这个点 是第二类间断点，概率也非常低。所以说如果你实在不会，这道题怎么样？你蒙，你从这两个当中蒙，如果你能判定一个不是，那一定是另一个，所以说如果蒙题的话，你蒙也是百分之五十的概率，所以这是第一类。再看第二一类，就是分段函数。 嗯，第二类分段函数就是函数，类型不一样，问法完全一样，问在一点处它是什么样的类型？同样我就 a、 b、 c、 d， 我 就直接写这里啦， 就是这里的上面的选项我就写上面，我就不去再重新写一下，因为都完全一样嘛。好，这是第二类，分段函数。再看第二一个知识点，就是无穷大量和无穷小量。同样是在选择题部分， 怎么考呢？他会给你 x 趋近于一时，下列为无穷小量的为，或者是为无穷大量，这两个当中考一个，然后你就去选择无穷小量，你就选无穷的大量，你就选无穷的大量。好，这就是 选择题的无穷大量和无穷小量。这个知识点非常简单，你们在哪里学到？比如你在线上报班或者线下报班，去对应的教材或习题车上去做几道题，就没问题了。好，再看第三个知识点， 函数的性质。同样是选择题，分为两类啊。第一类是奇偶性，他就直接问你下列函数为奇函数或者为偶函数的式。如果问奇函数你就求奇函数，问偶函数你就找偶函数，就可以。同样在奇偶性这里 统一的给我用这个类型，或者是等于负的 f x， 你 就直接带进去看 f 负 x 是 等于 f x 还是等于负的负的 f x， f x 为偶，负的 f x 为 g。 固定啊，只要求既有性，全部用这个方法，用定义法判定啊，绝对没问题啊！我说的是绝对啊，绝对没问题啊。好，这是例一，我们再看例二，也就是第二种类型，就是周期性，他会直接问你下列函数为周期函数的事，那么你就直接 去判定下面四个函数，哪一个是周期函数，这一个就纯靠记忆啊，哪些是周期函数，大家自己去记一下。好，到了第四个知识点，就是定义域， 选择题或者是填空题啊，他就会值，非常简单，就是直接考你们具体函数的定义域，比如这道题， 直接给你个函数，问他的定义域是多少，你通过他把定义域求出来就可以。如果是选择题，你直接选，填空题直接写，其实都是要求的，填空选择没什么区别。好，第五个就是函数的函数值，但大家把这些题做好笔记啊，我就是提前写好，节约你们的时间，视频的时间也会短一些， 会以填空题为主。比如说第一个选择题啊，第一啊，不是选择题啊，以填空题为主。第一他就是这种直接给你个这种类型的函数， 在函数里面套函数，比如他这里写的 x， 他 也可以写多少，也可以写零，让你去求一样的啊，这是第一种这种普通的函数。第二种就是分段函数，还是一样的求法， 这种题的方法完全一样，你先求里面的 f 零，你先把零带进去，然后这里是零啊，零带进去求到它的值是多少，再把这一部分再带进去，再求一次，就是带两次数值就可以了，这种类型的题都是这么做的。好，我们再看 第六个知识点，已知极限，求另一个极限，就题目当中告诉你一个极限，然后再让你求他相关的另一个极限的值，比如说例题，他告诉你这么一个 两个抽象函数的极限，然后让你去求这一个极限。嗯，这种类型的题是山东省数学二和数学三特有的题目。嗯，数学三，因为你们是这里是数学二的押题，数学二也很喜欢考这种题啊，所以大家注意一下这种题，这种类似的题就是用 极限的定义，你还是一样知识点在哪里学的，你们回去问一下你们的老师就 ok， ok， 这就是山东省数学二的第一个黑板，然后第七个题，大家不用管啊，第七个题是数学三考的，我就 刚才一不小心写在这里了啊，大家只需要关注到第六个点，然后我把这个黑板擦掉，我把山东省数学二的极限部分再写一个黑板，就结束 极限部分，然后再讲后面的导数。好，这里先到这里，我马上插去黑板。 ok， 我 们继续来到极限的第二个黑板的预测。好，我们首先来看到极限的计算。第一个就是 直接应用等价，在直接应用等价当中，他就是直接给你这样的题目。呃，里面你看这一个是直接用等价就行了，他等价有碳金的 x， 直接应用就行了，就是直接考等价的公式，这是第一种考法。 好，考点二就是先落必达再等价。比如这一个式子，你不能直接等价吧，因为这个没有等价公式呗，所以只有先落必达，然后再一次使用 等价公式。当然你分母要先等价，然后洛必达，然后分子再等价啊，所以这里是先洛必达再等价，这是第二种类型的考点。嗯，相对而言，第一种很简单，第二种稍微要难一点点，也不是很难。嗯，第三一种就是有理化，而有理化，我们又写了两个例题，两个例题有啥区别呢？首先看第一个例题， 这一个是不是根号减去方框，所以它其实本质上来讲是 根号减去三角形，而这里就是根号减去根号。你看，这里是根号减去一个值，根号减去一个值，而这里是根号减去根号，是不是根号减去根号。所以这两个题就是两种类型，第一种是根号减去一个数字，或者是一个 啊 x 减去一个值，这种直接使用有理化，这里当这里有理化。分母是谁？分母是一啊，分子分母同时乘以这两个相加，这里一样，这里就是两个根号了，分子分母同时乘以这两个式子相加。好，这一部分就是前三个点。我们再看第四个点。第四个点就是 分式通分，只要你们在考试当中极限的题目当中遇到了两个分式，直接通分啊通分，再进行回到之前的进行计算，所以这个题你直接通分就可以。我就不去多讲了，只要遇到了两个分式啊，直接通分。第五个好点， 变现积分求极限，而变现积分求极限，只要你们在极限当中给我看到了有积分符号。在这道题百分之一百 是使用什么落笔打法则？只要是变现求积分求极限，他百分之一百使用落笔打法则。所以只要遇到了， 把这里等价一下，马上落笔打。只要这种题型啊，他的核心方法就是落笔打，没有第二种方法，我说的百分之百啊。好，再看第六种题型，就是这种固定的题型，这种固定的题型我们直接给了模板，这种模板就是这种， 如果说是方框的三角形，它就等于一的三角形，乘以洛以方框，全部使用这个方法啊。比如说这个例题，你看这里是不是 方框，这里是不是三角形，它等于什么？是不是直接套用这个公式，那么如果这里面不是一个整块，是一减去多少呢？大家观察一下，这个题是不是就是这个题变来的，其实是一样的啊？然后当然一样的话，我看一下，嗯，三二， 嗯，两个啊，我就不看了，反正是方框，这里是方框，这里是三角形，这里是三角形，只要是这种类型全部通用这个方法就可以，这里面不管是多少，不管是两个式子，还是一个式子啊，全部都是这么做，我就不去多说了。再看最后一个点，就是考点七， 已知极限反求参数，这种类型，就是他通过前面的形式，先把极限反求参数，这种类型，就是它里面还有一个参数， 然后让你求里面这个参数，所以这就是这种类型，你就正常的把它求出来，它等于多少 k， 然后再令它等于，它就可以求出 k 等于多少， 所以这就是考点期。 ok， 这就是山东省数学二的极限部分的所有，我们马上把它擦掉，擦掉之后就开始我们的导数部分。 ok， 我 们这一个黑板就来到山东数学二的导数的 压题，我们这个黑板把它全部压完啊，现在看到导数导数，它是两个，一个选择，两个填空，一个计算，一个证明。我们先来看 选择题部分，选择和填空题。选择和填空题首先看第一个考点，就是极值和极值点，而极值点就这个点是喜欢出现在选择题当中。比如说例一，他给你个函数， 一个普通函数，就问你直接问他求极值点，这个就正常的用，你们学知识点在哪里学的就去哪里看这种方法怎么求？这是有固定套路的啊，把极值点求出来，如果是求极值，就像立二， 就是用这种用填空题的方式来考啊，去极值更多的是在填空题当中。好的第一个，第二一个就是第二个知识点啊，渐近线，渐近线 很正常，就很常规的给你个函数，问他的水平或者是垂直，渐进线问水平就打水平，问垂直就打垂直啊，没什么特殊的好。再看第三一个，第三一个就是 导数的求法，有很多类导数的求法我们这里给大家规划起来，其实很多时候他的不同问法其实是问的同一个东西。比如说啊，我们来看 第一个，第一类，他问微分、导数、斜率这三个东西就是求的一个东西啊。比如我们来看一个例题啊，他说已知这一个函数求它的 d y， d y 是 什么？是不是微分？微分是什么？是不是就是 y 一 撇乘 d x 是 不是就导数啊？ 这个微分是不是就是导数，本质上就是求导。第二一个他问他是不是把他求导之后，把他 x 等于一带进去就可以了，没什么特别的，就是一样求出来，带进去。好，这第二个问， 我问在这一点处的斜率是不是，这个斜率是不是就等于他？因为导数和斜率就是以这一点处的斜率就等于这一导，这一点处的导数值不就这么回事吗？所以这第一类 再看第二类就是参数方程求导。嗯，参数方程求导，他就是给一个参数方程，问你在他某一点处的这里怎么写成切线呢啊？嗯，问他某一点处的导数， ok， 好， 回来来我们这里啊，他就是 给你一个点，然后他问你在，哎，在这里啊，给你个那个参数方程，就是断了一下啊，参数方程，然后问在这一点处他的导数是等于多少？同样，这是就考的这类函数啊。同理。第三类就是引函数，他给你个引函数， 然后问你在这一点处的，然后问你这是二啊，问你在这这一点处的导数是等于多少？参数方程和引函数求导是有固定的方法和流程啊，同学们， 回到你们的知识点，线下线上报班都可以啊，在哪里学到？一定是教过的，你把这个点给他巩固一下就可以。好，这是第三一点。我们再看第四一点就是切线。切线分为三类啊，其实和求导有点像啊。第一类就是正常函数直接求切线，他给你函数，问你在某一点做切线， 直接求求了这这一点带进去就是他的切线。而第一类，第二一类就是参数方程求导，参数方程求切线，这个你看这个 方程都一样啊，我就不去练了，他就这个方成为你在这一点做的切线。本质上来说，你还是要先把这一点做导数求出来，然后再把 t 带进去，求出 x 和 y， 再求出它的切线。同理，引函数求切线也一样的，先要把它导数求出来，然后 再把这一点带进去，就能求出它的切线啊，这是第三类。好，这是求切线的这几类，这一个再看到第五一个，这个是在应用题啊，求极值。 嗯，在山东求数学的时候，他有有些题是非常难的，比如说证明题，他考的非常难，他有的时候会考你双中指问题，这考研才会考的啊，就非常难，但是他考的方向也不定，所以我们其实 证明题是不是很好预测的，我们只给了两个方向。而在求极致，这个他考的相对就比较简单，他就直接给你个普通函数，然后直接问他的极致， 就非常直接了，当你就直接用对应的方法去把它一步一步求出来，计算不失误就可以了。反而来到第六点证明题这里， 预测是很难预测的，而且他考的比较难，那么方向就比较杂，所以我们很难预测，我们就给了两个方向，第一类方向就是鲁尔定律，就是他说 f x 他 为奇，函数在这个上是可导的，让你证明 这个式子，这种就典型的用罗尔。第二种就是不等式，就证明这种不等式，这种不等式是用什么？是用单调性， ok 啊，是用单调性证明这种不等式啊。 好，我们这一个黑板就把山东的数学二的导数部分讲完，马上把黑板擦掉，我们再来讲积分部分， ok， 我 们这一个黑板就把山东数学二二六年的积分的押题全部讲完。我们先来看到考什么吧，第一个是 填空一个选择一个，两个计算，一个应用，我们直接来看到具体的知识点，首先第一个就是定积分比大小，定积分比大小，他会直接给你三个定积分，比如说啊，这里 一二三就这三个定积分给你，然后问他下面的关系式是什么，无非你就去比较一二三哪一二三哪个更大呗。这里给大家说一个技巧啊，一旦你发现这三个积分上下线 一样的，你比较的是什么？其实比较的就是他们中间的这个函数，这三个函数在比如说这个题，在零到一上， 这三个函数谁大，他所对应的积分谁就大，所以你要去通过对比这三个函数去对比 i 一 i 二 i 三谁更大，你再在选项当中去选择。当然我这里只写了 a 和 b 啊， 正常来说有 a、 b、 c、 d 四个选项，但没意义嘛，你也要自己求出来再去匹配嘛，所以我这里就象征性的写了一下选项。 好，再来看变现积分求导，这是第二个知识点，变现积分求导他怎么考呢？就直接给你个变现积分，你看这是是不是直接给你个变现积分，然后让你求他的导数，或者是求他某一点的导数值，反正你总之是要求他的导数，你直接把这种变现积分怎么求导？回顾一下这个知识点， 呃，具体的方法其实也很简单，就是把它带进去就行了啊，这个就不说，当然这里还有个 x， 要注意好，这是这一个，然后再看原函数 相关的计算，原函数计算它是怎么求的呢？就是相当于这个例题，它会说已知 f x 的 一个原函数是它，它会告诉你它的一个原函数是它， 然后你要通过这个式子求来判定出这个是怎么计算的。其实只要告诉你的语言函数啊，你要能得出两个东西，第一个 你要知道 f x 等于多少，第二一个就是通过 f x， d x 等于多少，只要是他说他是他的一个语言函数，你要能判定出这两个式子，再来求出它啊。这是 这一类题，全部都是这两个点，得出下面的结论啊，这个也要回到这里啊，然后你再通过 abc 去匹配匹配，我这里就没有写 abc。 好， 再看第四个 就是已知积分，求另一个积分，这是我们山东省特有的一类考题，山东的老头喜欢出这类题，不知道为什么他钟爱于他啊，所以大家把这一类题掌握好。首先来看， 别看第一种类型，他就是给你一个这个已知条件，这是不是一个抽象函数，告诉你抽象一个积分，告诉你，然后让你求这一个积分，其实就是把它放到后面去进行凑微分，然后再得出来嘛，反正他会给你个 积分，让你求另一个积分，这是第一种类型。第二种类型什么？同样给你两个积分，这两个积分也是已知的，然后去让你求这一个积分，所以这一类题大家好好掌握。这，这是我们押题卷里面我挑了两道题出来，大家好好掌握啊。这一类题。 好，再看。第五个就是拆分积分的计算，怎么拆分呢？有两种拆分方式，第一种 拆括号，怎么拆？他就这么拆括号三角形外面，你这里把它乘进去，乘进去，拆分为两个分，变为两个积分进行计算就可以了。好，这是第一个， 然后大家他所对应的例题，我们写了一个啊，大家仔细看一下，然后做一下这个题，可以做一下。好。第二种拆分是什么拆分呢？就是分式拆分， 分式拆分它是一个分式分子啊，它有两项，当然也有可能是减，减啊，有可能是减，然后你把分子拆分拆分为两项来进行计算就可以了。同样，我们也给了一道例题啊，这是两类拆分拆分， 老头也还是比较喜欢中意啊。嗯，没有上面那个这么中意，但是他还是比较喜欢的。 好，我们来看积分的计算吧，这里积分的计算就比较重要了，他在选择计算，填空都会选择填空，计算都会喜欢考啊。首先来看计算第一步， 第一个要点就是分布积分法，而分布积分法当中，我们进一步详细，进一步细化啊，尽可能给大家讲详细，就是两类函数。 第一类就是两类函数相乘，比如这个它就是两类函数相乘，然后使用定积分分布积分法，比如这一个，它就是两类函数嘛，三角形和方框是两类函数，把它化为分布积分法。第二一个是 无法积分的函数，比如说反三角函数，比如说我们的呃，对数函数，他没有办法积分，你就直接使用分布积分法，这是这两类啊，分布积分法的两类。 然后再来看换圆法，也有两类，一类是根式换圆，根式换圆最核心的点是什么？看到根号直接给我换圆，比如这里根号是谁？就这里嘛，直接看到根号就换圆啊。我这里字写的比较小，大家把屏幕可以放大，你可以把屏幕划，把这里放大一点， 然后看到它就可以直接换圆，然后令它等于 t 就 行了，这是根式换圆。再一个就是三角换圆， 三角画圆，核心是什么？核心是看到这个东西，一旦看到了 a 平方减去 x 平方，甚至于 a 平方加减 x 平方，它就等于更要像一减 x 平方，二减 x 平方，四减 x 平方。这三类是考试最喜欢考的这三类啊，它重点是什么？不是根号啊， 重点不是根号，重点是里面的 a 平方减去 x 平方，重点是这几个啊，好，这是三角画圆。然后再来看第三一种计算考法就是有理函数积分，这也是 山东省数学老头喜欢考的一类题目啊，有理函数积分，同样，他是不是只是这一个？不是啊，他有的时候会写，比如写个常数 a， 甚至有的时候是 x 平方加 b 加二， x 加一，他这是什么？有的时候是一次项，有的时是二次项，有的时候没有项，所以说下面都是二元函数，上面是要根据一元、二元和常数都有可能去把这三类题都做一下。这三类题是有固定套路的，我们内部应该是 内部学员讲的非常透彻啊，你拿到这个题就是模板答案，往往模板上写就行了，我们就不讲了，这里把题型告诉大家，大家去把答案找到，然后怎么做，把它弄懂。第七个， 偶备机灵。偶备机灵经常性的，他是给你两个函数加在一起加或减，你会发现 只要是在对称区间上，第一反应是什么，就是偶备机灵，你看到偶备机灵之后， 然后这里你看一下它是奇函数还是偶函数，有的同学说这个整体不是奇函数，也不是偶函数，如果整体不是奇偶性，那么你把拆分为两个计算，单独看它们是奇函数还是偶函数啊？好，这是第七个。然后再看应用题， 应用题简简单单就是体积和面积，而在体积和面积当中， 他就直接给你这种函数围成图形的面积，然后问你这个围成图形的面积是为多少，或者是问你绕 x、 y 轴的体积， 反正就是给你个函数，你去把它画出来，问他的面积是等于多少，问他旋转题的体积是等于多少。这一类是非常简单的题吗？一点都不难啊。这个 你去把固定的流程，尤其是体积啊，今年大概率是考体积，不是考面积。 ok， 我 们这个黑板就把数学二的积分全部给它讲完。 ok， 我 们这一个黑板就把数学二的多元函数和微分方程全部给大家梳理完。好，直接来看吧。多元函数是 选择加填空，考一到两个题不太稳定啊，反正一到两个呗。然后计算题是考两个，我们就直接来看具体的知识点。首先第一个就是二阶偏导考选择题，二阶偏导考选择题，他会 比如给个例子啊，他就直接给你个二阶偏导，给你个二阶函数。什么直接给你二阶偏导，给你个二阶函数，然后让你求，这里是对 x 求两次偏导，而这一个是先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，反正都一样求两次偏导。这是第一种就是考选择题， 第二一个知识点就是权威分，权威分选择填空题都有可能考。嗯，考计算题的概率比较小，主要是以选择和填空题为主。 然后他说求这个，还说这是一个二元函数，求它的全微分，其实就是对 x 求偏导，再加上对 y 求偏导，本质来说还是在求偏导。 好，这是第二个知识点。第三一个交换积分次序，这就是二冲积分呐，二冲积分他会直接立体按，直接给你个二冲积分，然后让你交换他的积分次序。嗯，两步，第一步画图像，第二一步，我们这里是先对 x 积分，再对 y 积分嘛，所以第一步 先画图，第二步再先对 y， 再对 x 积分，写出它的表达式就可以了啊，这是有标准流程的啊，学知识点学过。好，第四一个知识点。二，从积分到计算，这个是考计算题啊， 百分之百会考啊，肯定会考，而且大概率考什么呢？级坐标。因为二中积分的计算是有两种，一种是级坐标，一种是直角坐标系，所以大概率是考级坐标，而级坐标非常简单，也就是最正常的啊，给你个 函数，然后他的地区告诉你，让你计算这个函数，画图像，写表达式，求出值就可以了啊。好，这第一类，第二一类就是 x， y 轴的坐标 还是一样，给你个表达式，把 d 的 区域函数告诉你，这是为 d 区域函数啊，然后让你求它就可以了，这是就是第二一类，整只就是二重积分，求积分的计算。好，这是第四个知识点， 然后第五一个知识点，就是引函数求偏导，引函数求偏导，它会给你这种函数，这 它的引函数，然后求它的偏导。其实就是，当然有两种方法，一种是逆函数公式法，另一种就是两边同时对， 比如对 x 求偏导，那么两边同时对 x 求导，对 y 求偏导，两边同时对 y 求偏导，是还是一样标准流程啊？在学知识点的时候就学过，然后再来看微分方程，微分方程是一个选择和一个计算题，是六分一个嘛？然后第一种，当然这个是考选择题啊， 判定微分方程的结数判定微分方程的结数就是给你个微分方程，然后让你选它的结数 a、 b、 c、 d， 你 比如是一阶你就选一，是二就选二，但我选项就没写，正常来说你也是做出来再去匹配嘛。好，第二，一个 一阶微分方程求解求通解，这是考计算题啊，然后考计算题，它就会给你个微分方程，让你去求通解，这个就用其次的 其次解的方程啊，其次解的方程会专门有个公式，直接套进去就可以把它化成其次的模板啊，这个还是一样，这些都是套路性的题目，所以你直接用对应的题目去解就可以了啊。好，第三，一个 二阶梯次求通解，同样给你个二阶的通，给你个二阶微分方程，让你求它的通解。这个其实比这啊都差不多，反正都是标准流程，当然他也是考计算题啊。 好，微分方程我们就给三个点啊，所以是给的非常少的。那我们这个视频就把山东省高速二的所有内容全部给它梳理出来，大家去把它整理好就可以。 ok， 我 们这个视频就先到这里。

挑战二六河南专升本考前压题压中一百分以上系列视频的第二一期，我们会根据过往的真题和老头出题的习惯来预测今年可能出哪些题目，大家给个关注点赞，一键三连，可以把你们的省份或者你觉得哪一张的题目比较难，想要我们提 提前预测，放在评论区比较多的小伙伴，我们会提前更新，最近我们会日更，甚至于一天更两期，尽快把内容全部给大家录出来，我们尽可能把我们押题过程当中的知识点，包括的一种考法，两种考 考法，然后题目全部模板化，如果答案可以模板化，我们也会给大家模板化，所以大家考试遇到了，就可以用标准的模板化的步骤，或者是你们之前在哪里学的步骤来解答这些题目。好，我们这一期视频把河南二六年导数的所有题全部压完。 荷兰导数这一张一共会考选择题五个两分，一个十分，填空题三个两分，一个六分，然后应用题会考七分，但是应用题导数这一张，他是考的经济应用或者是物理应用，所以这个不好预测，他的发 搭讪性特别强，我们这里就不去管应用题这一题，然后计算题考一个五分，证明题考一个六分，这就是所有的内容，当然我们这个黑黑板写不下，到时候这个黑板讲完了，我再重新写，然后再继续讲。啊。好，先说第一个 知识点，我们的导数的应用。导数应用这一张先看第一种考法啊，这里就比较多了，主要是以选择题为主，它就是考具体函数的单调性，即指凹凸性，比如说我给一个例题， 这个例题，当然我们还是一样，给什么给题型的模板啊？比如说 f、 x 是 等于它的，它给你一个具体的函数，问你在这个区间上， 这个函数是单调递增还是单调递减，当然它只会出现一个啊，或就出现一个，它说单调递增或者是出现一个是单调递减，这是 a 选项， 再看 b 选项，是凹或者是凸。函数在这个区间上它也只会出现一个啊，就是真正考试的时候，它只会说是凹函数或者是凸函数。 然后再就是他在这个上有极值或者是有最值，让你去根据这个函数在这个上面的特性去选择一个好，这是另一，这是第一种，第二一种。第二就是第二种模板，他就是说函数在 a 点处是能够取得极值的 函数，在 a、 b、 c、 d， 同样我们这里是给模板啊，它就说在这一点处，哪一个函数是可以取得截值的？这是问截值或者是 word 啊，或者是在这个区间上 有拐点的，就是说下列函数在这个区间上有拐点的是哪一个，你就去判定这四个函数哪一个在这个区间上是有拐点的。好，这是例二啊，这是第一种考法的两种题型模板。我们再来看 考法二，第二种考法，他就是给一个具体的函数，让你去求很多写不下，我就写个点啊，我们在题目当中来看，比如说 另一，他给你个具体函数，当然我这里是给的模板啊，三角形和方框，他给你个具体的函数，问 他的拐点或者是他的极值拐点，或者是极值，或者是极值点，大家注意了，极值和极值点可不一样啊，极值，比如说他的极值是 五，那么这个五是它的极值，而它在哪里取得的？比如说在坐标 x 等于一， y 等于二，就是一二这个点取得的，这是不一样的啊，极值和极值点，或者是求单调区间或者是凹凸区间，当然它这个就只会考一个啊，我这里都是 war， 他就会直接问你这个函数，然后他的拐点，极值，极值点，单调区间或者是凹凸区间，他考什么？考填空题，所以直接把它写在这里就可以。当然有的同学说，那你这么多，我怎么知道考哪一个来啊？ 拐点是求二阶导，极致求一阶导，极致点求一阶导，呃，单调性求一阶导，凹凸区间求二阶导。这些常见，这是非常常见的啊， 非常常见的考法都有标准的步骤，这就是你们之前学知识点在哪里学的？如果是我们的内部学员，应该是非常轻松的，我们给了标准步骤， 你们如果在其他地方学这些基础知识，应该也是给了标准步骤，你们只需要对着这个模板去找你们的题目，就是你们之前做的题目就可以了。好，这是 导数的应用。讲完了再来说第二个点，第二个点我们就没有给具体的题目和内容，为什么？因为中指定律非常的发散，我们不好给具体的题目。所以这个点我们就是提醒一下大家， 它这种例题会说在某个条件下，比如说 x 大 于零， f， x 一 撇是等于多少的，反正是给一个条件说下列正确的事，而下列它就会给你很多不等式，这种就需要通过中值定律去判定，或者是不等式的证明，当然这个 只要考到了还是比较难的，所以我们这里就不去说，他考的范围也非常广啊。好，第二个点我们就相当于提醒大家，我们就跳过。好，再来看第三个点，渐近线。渐近线可能考选择题，也有可能考填空题，说两个考法，第一个考法 就是具体函数求具体的渐近线，比如他说在这个函数求 求他的水平或者是垂直渐线，只会一个啊，如果求水平渐线，你写这里，求垂直渐线，写这里，水平渐线和求直渐线的求法是有固定的方法和套路的，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么，就可以求出来这一个就是看你知识点跟谁学的， 就去看你之前的笔记和教材。好，第二种考法，考选择题和填空题都有可能啊，就是问渐近线的条数，就是有几条渐近线，他会给你一个具体的函数， 然后这个函数，然后当然我这里还是模板，我给的是三角形，他问这个函数有几条渐近线，那么 你就一条一条去求，先求水平，再求垂直，或者是再求斜，反正是把不同类型的渐线全部求出来，然后去数有几条写在这里。 ok， 我 们继续来看第二个黑板的预测。 嗯，首先来看到第四个点，就是切线或者是法线，切线和法线就是一个东西，就是我是说他在做法上是一个东西啊，因为切线和法线他们有什么关系？就是斜率不一样嘛，切法是等于负的， 可以切分之一，法线的斜率就等于切线的斜率，分之一，再加个符号不就是他吗？其他的就没有什么变化，就是一个直线方程。好，这个就不多说啊，又涉及到知识点，我又讲到知识点了啊，我们说到考反， 考反就是不同函数让你去求切线或者去求法线。先看第一， 例如他说曲线这个曲线，这就是一个普通的，呃，就是一个普通的符合函数。问在零点处的切线或者是法线，这一个直接对他求导就可以啊，求出外一撇，然后把它带进去，就求出 k 切， k 切，然后求 k 法呢？就用这个方法就求出 k 法，然后再把这个点带进去，就切，就求到他的对应方程。好，再来到例二， 曲线，这是一个什么曲线？参数方程曲线他求的是参数方程，在 t 等于这一点处的切线和法线。同样通过参数方程求导的方法， 把 y 一 撇求出来，然后再把它带进去，就求到 k 切。同样，如果这是求切线啊，然后就可以求到切线的斜率，然后再把它带进去，就求到 x 和 y 的 值，然后就可以求到切线。同样你把它 k 切求出来，再通过 k 法，也能是也是能够求出来的啊。好，这里就不多说了，这是这种题型，自己去找两个，因为你们在哪里学的就去，在教堂一定是有的啊，在教堂上去一找，练个两三个题就没问题了啊。好，再看第三个例题，这是什么函数啊？ 这是引函数，这种就是说曲线它是由它所确定的，问这个函数，在这一点做切线方程，引函数直接用引函数求导方法，两边同时求导，或者是用公式法都可以，然后 再求出 y 一 撇是等于 k 的， 就求出对应的切线或者是法线，都是一样的，和刚才一样。好，这是第四个点，切线和法线都是一样的，和刚才一样。好，这是第四个点，切线和法线。他就这么考啊，没有什么太难的。 好，再说求导，第五个点是一个非常大的考点，这里他会考选择、填空、计算，全部都会考。我们先讲选择和填空题，而讲完之后我把这个黑板全部擦掉， 插完了，我再来讲我们的计算题，计算题其实他考选择填空也是有可能的啊。好，我先来把这里讲完。首先第一个选择填空的考法，我这里是先讲选择填空啊，就是这三个考法。第一种普通函数求二阶导或三阶导，比如说 就给你一个否定函数，问他的二阶导里面含个它，含个 x 等于一的时候，不就是对他求导，就是先把二阶导求出来，就连续求两次导，再把一带进去就可以了，或者是求三次导，就多求一次嘛，就这么简单，没有什么复杂的啊。 好，再看考法二高阶导。高阶导是怎么求呢？它就是这种题型，给你个它，给你个具体的函数，然后它要么是求 n 阶导，要么就是求二零二六，因为你们是二六年考，所以它就求二零二六阶导， 同样它有什么方法？就三个字啊， 找，归。哎呀，归，归， 规，规，规，规律。 ok 啊，就三个字，找规律就可以了，没有什么。而找规律最多求几次呢？告诉大家，最多求四次啊， 你最多求四次就能把他的规律找出来，如果你求四次还找不出规律，说明你是找规律的方法错了，而不是就是你找规律自己寻找规律的那个思想错了。方法肯定是没问题的，但不要去找这个题啊，这个题是我随便写的啊，我不知道他有没有规律啊。我是随便写的一个题， 应该应该也是有的，但我不管的话，我是给的一个模板。好，再看考点三。嗯，考点三就是求微分。微分本质是什么？是不就是求导在导数后面加一个什么，加个 d x 啊， 就这么回事，然后再求符合函数导数，符合函数求导就是普通的求导，就是这种函数求导，然后再求斜率。好，这种完全没有任何的含金量，这是基础题型， 比如说他会给你个符号函数，让你去求出一阶导或者是它，它是等于什么？不就是 y 一 撇乘一个 d x 吗？你把它求出来带进去不就可以了吗？ 好，这是第一种让你去求这个。第二一个让你去求某一点处的值，你把它求出来，带进去 x 等于零，带进去就求出来，这个也一样，这个就没什么说的。最后再求斜率，斜率是本质就是求导斜率，它是不就是等于这一个？ 他这一点出的斜率和它是不是一样？你看这里有多少种问法，第一种求导，第二种求微分，第三种求具体某一点出的导数，第四种求某一点出的微分，第五种求斜率。本质上来说都是在什么？ 一步求导，只不过换了一种问法，本质上就这么简单啊，没有什么复杂的，把具体的求导公式啊，法则这些准备好，记好就可以了。 ok， 我 们继续来看到最后一个黑板的重点，这个黑板就把河南省的导数压题部分全部给大家讲完啊。 我们首先来看第一个，嗯，第六一个点就是讲到参数方程求导，他在选择、填空、计算都有可能考，而这种参数方程求导，相对而言，他的求的方法又比较固定，所以大家把他们的固定套路 学会，考试遇到了直接用就行啊，这种就是遇到固定的模型，用固定的套路计算，不失误就可以得分啊。好，这就是。 呃，参数方程求导来了，它就是这种 x 等于多少 t， y 等于多少 t， 然后就让你求 y 对 x 求导，或者是 y 对 其中一个，只会让你求一个 y 对 x 求导，然后 t 等于多少时，它具体的值，你直接把 t 带进去就可以啊。好，这是第一种 参数方程求导。第二一个就是引函数求导，引函数求导，嗯，出题老师还是比较喜欢考的啊。 首先说，引函数求导和参数方程一样，选择、填空、计算都喜欢考，都有可能考，而它解析的方法和套路和参数方程一样，都是比较固定化，比较流程化，死记硬背，记住，然后运用它就可以。 呃，比如说这个题，它会给你个函数说 f x 是 由这一个表达式所确定的，然后让你去求它的导数 d y 对 d x 的 导数。 呃，没有什么技巧可言，把这个求导的方法记住，我说一下吧，有两个方法求导，第一个，两边同时对 x 求导，这是第一个方法，第二个方法把它移过来，用公式法求导。那么具体的方法大家可以去看 我免费的全乘班，我们那个某站上有我免费的全乘班，还有就是你们自己之前报到哪里的班就去看哪里的啊，你们之前是学过的嘛？好，这是第七个，再看第八一个凹凸性和拐点。 呃，凹凸性和拐点？比如说它会直接第一种考法啊？凹凸性和拐第一种考法，呃，它只考 就是我说的这一种考法，只是在计算题当中出现，因为之前选择填空题当中小题目考法我已经讲过了。我这里讲计算题。呃，计算题考的概率大不大呢？我觉得不是很大，因为近两年以前 河那个河南省出题的老头很喜欢考，但是近两年都没有考，所以今年他会不会突然考一下呢？我觉得比去比如比如说啊。嗯，去年来说，如果前年没考，去年他考的概率比较小，今年可能比去年考的概率要大一点。有的同学说去年的卷子都出来了，我也知道他考没考了， 暂且这么一说。不去那个较真啊，也不去那个扣字眼。我们去说一下，他会给你个具体的函数，直接让你求他的凹凸性和拐点。这个是有标准的解析步骤的，而这个标准的解析步骤你在哪里学的知识点，你就回去巩固一下，做两道题就可以了。好，这些因为 标准的解析步骤都是课堂上同学的，我这里就没有题了。好，我们就来看证明题，河南省的证明题是六分一个，你们只考一个证明题一定是在第二张考啊。好，不等式证明题。先看第一种考法，一共有两种考法，第一种考法， 第一种考法就是通过我们的单调性来证明不等式，我这里写一下吧。第一种是通过 单调性证明 不等式， ok， 第一种是通过单调性证明不等式，比如说另一，它让你证明 x 大 于零的时候，这个不等式是成立的。它具体的方法是什么呢？我这里给大家写了一两步。然后具体的方法啊，我们来看， 这时候我们要把它转化为函数的不等式。那怎么转化呢？直接把 x 挪过来，是不就是 x 加一乘以 l， x 加一减去 x， 就 令这个函数。我们证明是证明什么？是不是证明它大于零，就证明出了这个等式不等式？ 所以说我们的一切目标就是证明 f x 大 于零。好，这是第一种。另一种就是第二这种， 它是证明 x 大 于零的时候，证明这个不等式。这个不等式有什么？有分母啊？记得啊。第第二主要就是有分母， 有分母要怎么样？不要把它直接挪过来，令 f x 等于一减去这个整体，这个分母不好证明啊，这个证明不出来，要怎么样消去分母？ 你想要消去分母怎么样？只能是 x 两边同时乘一个 x， 把 x 这里乘一个，这里乘一个，把 x 消去，然后再把洛以 x， 洛以一加 x 挪过来， f x 是 不是就等于它了？ 好，等于它之后，我们要证明它大于零，是不是也要证明这个不等式，也要证明 f x 大 于零呗。所以统一的解法呢？我这里给大家写了 上面两个题，都一样，统一的解法，先求导。嗯，有两种情况，大概率是第二种情况。首先说第一种情况，如果说你求出一阶导之后， 你能够判断出一阶导啊，这里如果你直接能判断去，先不看这个啊，你直接能判断出一阶导是大于零的。不看这个， 不看那个，这一部分啊，这一部分先不看是不是你。如果你求了一阶导之后，你直接能判断出一阶导大于零，那么你就能判断出 f x 是 单调递增的，然后，哎， f x 单调递增，是不是就得到 f x 是 大于 f 零的？因为 它是在零点起嘛，它单调递增是不是一零点是，它起点后面是不是都大于它，所以 f x 是 大于零的，而 f x 又等于零，所以 f x 就大于零了，你就能证明出 f x 是 大于零了。好，这是第一种。第二种就是比较复杂，你求出一阶段之后，发现它是不能求出它是大于小于，或者是等于都不知道都有可能，那么 你就求二阶导，二阶导，往往就能得出它是大于零的啊，二阶导是能得出来的啊，如果二阶导再得不出来，就说明你观察的有问题，或者是说你的做法有问题。二阶导大于零之后，是不是得出一阶导单调递增，一阶导单调递增，同样，那就得出一阶导， 它是大于 f 零一撇，而这里是等于零，它是大于零的，那么也就得出一阶导是单调递增好，而就得到 f x 单调递增，同理，就得到这里就能得到 f x 是 大于零的，当然这个就证明完毕了啊。 好，这是证明题的第一种考法，就是不等式的证明好，不等式的证明完了，我们再来看第二种，就是通过中值定律来证明啊。第二种考法，中值定律来证明。实际上中值定律考的最多的是谁？最多的就是罗尔定律。 ok 啊，考的最多的就是罗尔定律，而罗尔定律当中考的最多的是哪个方法呢？来就是这一个，如果他想考复杂一点，大概率就是考这一个方法啊。这个通式当然有没有其他的考法？当然有， 但是其他方法就无穷多种。这名题就是中值定律。为什么难？难就难在他没有一个固定的套路，怕不像这种 他有固定的套路和解法，你去解就行了，这种就需要你的思维能力特别强啊。但是呢，他有几个常见的考法，我们这里就列出一个，就是这一个，大家把这一个式子记住这一个模板，然后你怎么念呢？这个还是一样，大家回到自己的 学知识点是在哪里学的？去做几道这种题就可以了啊。这个题，呃，我觉得考的概率还挺大的啊。今年，今年我有，我觉得他考中职定力和不懂事差不多，但是略微，我觉得考中职定力的概率要大一点点，这两个都差，这个是百分之五十一，这个百分之四十九，就这个意思。 好，这就是我们整个河南省倒数部分的所有的压题部分。好，所以就结束，然后下一个视频我们再来讲积分。

挑战二六，河南专升本考前压题压中一百分以上，这是系列视频的，我已经不知道多少期了，大家回去看主页，我们会通过过往的真题和老头喜欢出题的形式来预测今年可能出哪些题目，大家给个点赞，关注一键三连，把你们的省份或者你想 提前预测的哪些章节放在评论区，比较多的小伙伴，我们会尽量快一点出我们所有的题型，尽可能把这种知识点，把题型全 全部给固定化，流程化。如果说有解析思想的，我们把解析思想也固定化，这样子你们遇到对应的题目，就用对应的流程，对应的模板去 解就可以了。 ok， 这是荷兰专升本的多元函数的章节，这一个黑板，我们把多元函数的选择和填空题全部压完，很多我们是比如说百分之百会出百分之百，百分之一百会考，所以这种我们确定会考的，我们就说百分之百。下一个黑板，我们把 把计算机全部压完，我们先讲第一个黑板，首先说选择题会考三个，填空题会考三个，那么就是一个是两分，一共就是六分，加起来十二分，再加上两个计算题，计算题是五分一个，那么 计算题一共就是十分。好，我们先来看选择填空题啊，先来看第一个选择题，选择题及坐标啊，考的概率非常大，真的非常大啊，百分之九十吧，我觉得是会考的，所以大家来看，只要你们再遇到 题目的时候发现，呃，二重积分当中的 d， 也就是这一个啊， d 所围成的面积，围成图形的，这个图形啊，它只要含有 x 平方加 y 平方，或者是 背机函数当中含有 x 平方加 y 平方，那么这一种儿童积分他一定是用极坐标啊，只要出现这两个啊，当然他大多数是什么大多数同时出现啊，当然出现一个也要用极坐标。好，这是第一个题型，就是用极坐标计算儿童积分，在选择题当中出现。 嗯，我们还是要给题的模板，大家自己去你们之前在哪里学的知识点，翻一翻你们的教材和习题册，你们就有这种类型的题目，多做几道肯定没问题啊，考试好。第二，一个 交换积分次序在什么题考选择和填空题考，考的概率是多少？我个人预测百分之百会考啊，要么考选择题，要么考选填空题啊，今年你们考完了，拭目以待。考完了之后，我们来看一下真题，他是否会考啊，我预测是百分之百。 好，交换积分秩序是什么呢？他会直接给你一个二从积分，一个完整的二从积分，然后明确告诉你，交换这一个二从积的积分秩序。题目就非常简单粗暴，直接说交换这个积分的 二从积分的积分秩序，然后第一步。这句解析方法来了啊，解析模板化流程，第一步，先通过这个二从积分的上下线 把图形画出来，这是第一步。第二一步，然后再交换积分秩序，把它写出来。当然你写出来 a、 b、 c、 d 是 多少，你直接哪一个跟它一样，你就写哪一个就可以了。我这里就不把 a、 b、 c、 d 写出来，没意义啊，因为写出来你也要通过计算把它计算出来。好，这是第二类题，一定会考啊，交换积分秩序。 第三类题又是一定会考啊，同学们，多元函数求极限，而且百分之九十九啊，基本上就百分之百啊，百分之九十九都是要用到等价这个式子。就等价的方法来计算啊，就是我们一元函数当中的等价。 来给个例题，比如说这个极限， x 趋近零， y 趋近于一来，分子是不是可等价于 x， y 分 母呢？是不可等价于，这把它看成一个整体呗，就等价于二分之一二， x y 是 不是这个，这几个相乘，是不是这个就可以直接约掉了啊？我把解题过程都给了啊， 好，这就是多元函数求极限，不会复杂，绝对不会复杂，就会比较简单直接。嗯，就用我们一元函数求极限当中的方法。好，这第三一个，再看第四一个，第四个考选择和填空怎么样？ 百分之百会考啊，就是我个人预测他今年就是百分之百考，当然这里我也预测是百分之百，我们拭目以待啊。看卷子出来是不是百分之百考， 来看第一类，嗯，偏导数我们分了三类，考的最多的是前两类。其实就一类啊，只不过我讲的细一点。 好，我们先说第一类啊，就是一阶求偏导，就是给你一个多余函数，让你对 x 求偏导，或者是对 y 求偏导，反正就是求偏导，这个就正常求偏导就可以了，就是最普通的方啊，朴实无华的方法，把它解出来就可以了。好，第二一个 二阶求偏导就分为两种，第一种是先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，或者是对 x 求两次偏导啊，同样它前面的这个函数也是最普通的二元函数啊。好，这是第二一类，那第三一类就是引函数求偏导。 好，这一类在选择填空题当中出现的概率比前两类要小一点，但是也有可能出现，所以重点掌握。其实就是前两个啊，第三个没时间了，你就算了，他考的概率没有前两个大啊。我先说一下这种是怎么考，他例题他会直接说 它是由方程这一个所确定的引函数方程，然后这是一个引函数啊，它和前面的这种正常函数有什么不一样呢？它就是这个 z， 你 看 z、 y、 x， 它分不开，它必须在等号的一边既有 x、 y、 z 三个同时有。你看这一个， 它这等号的一边只有 z， 这一边只有 x 和 y， 是 不是 z 和 x， y 是 能分开的？从这里分开，这边是 z， 这边是 x、 y。 好， 这一个你不可能分开，分不开，这种分不开的就叫做引函数， 引函数多元引函数求导是有固定的方法的，这个在学知识点的时候是有讲过的，如果我们自己的学员内部学员，我们是讲的非常详细的，按照我们的平时讲的方法来把这一类题解出来就可以了啊。 这个是有一个固定的流程，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么。好，我这里就不讲了，大家把你们嗯教材或者是之前的刷题设，把这类题多做一点就行了啊。 好，来到第选择填空的最后一个题，就第五个题，你看选择填空一共考六个，我们只压了五个类型啊，压的不多。 嗯，就是说基本上这些题就是百分之百考，你看我这里又写了填空题，百分之一百会考，所以我压的都是准确率极高的题目啊。好，现在来看第一个， 呃，就是用格林公式例题，他会给一个 l， 这个 l 他 会给一个围成他的 图形的面积，要么是椭圆，要么是圆，比如说这里就是椭圆，就椭圆公式，如果是圆的话，他就没有这个分母， 要么是椭圆，要么是圆所围成的。然后他会告诉你是逆时针或者是顺时针，因为他这涉及到符号的问题，逆时针或者是顺时针会直接告诉你，然后让你来求一个 这种格林公式下的曲线积分。就是就第二类曲线积分当中的格林公式嘛，这类格林公式就是 p 和 q， 大家直接套公式就可以，所以大家把格林公式好好看一下。 填空题我觉得今年就百分之百考，还拭目以待，希望今年整体下来我们这里全部都考了啊。好，这就是同样一样 同样，大家去找一下你们的教材和刷题设当中有格林公式题目，做个两三道就非常熟悉了，这就是标准流程，第一步做什么，第二步做什么，下面记住，考试直接用这一版，大家做好笔记， 今年整体下来，你一定会感谢你做好笔记的自己，因为这些题真的会考。 ok， 我 们继续来看到第二个黑板的预测，就是计算题的内容，计算题就考两道嘛，一道五分，我们先看第一个， 嗯，计算题一定会考的啊，我说是百分之百一定会考的，就是二重积分计算 x y 型，而不是极数的类型的计算好，这种类型呢，他就是直接给你个二重积分，然后当没有展开，然后让你说，让你去画他所围成的图形，求 这个二重积分。好，这是例一。好，第二一个就是偏导数的组合问题，偏导数的组合考的概率多少呢？我觉得是百分之九十。然后比如这个例题， 他会给你一个呃，给你一个多元函数，然后再让你去求他的偏导，他的偏导，当然你要偏导 求出来，带进去再计算一次，这就是这一种，你先把偏导求出来，然后再求一个组合就 ok 了。好，这是第二一类。 好，第三一类就是引函数求权威分，引函数求权威分或者是偏导，其实都一样，权威本质来说就是对他们求偏导嘛，所以其实就是求的一个东西，他的改考的概率是多少呢？百分之十， 所以说不是考他就是考他，反正第二个一共两个小问吗？第一个是他，第二个要么是他，要么是他， 然后例题，他说他是由他所确定的函数，这就是典型的引函数啊。 z 和 x， y， z 是 分不开的， 然后让你去求它或者是去求它。嗯，这里就是如果是求全微分，你就是把 x 呃，求偏倒， y 求偏倒，然后带进去求，如果是求 x， 你 就单独求 x， 求 y 就 单独求 y， 好， 就这么简单，这就是所有计算题的内容。 ok， 这就是我们多元函数所有的内容，然后最后还有一个视频，就是我们下一个视频，再预测微分分长和极数的内容。

挑战二六，河南专升本考前压题系列，压中一百分以上，这是我们系列视频的第四期，所以前三期我们在主页已经更新了，我们会根据过往专升本真题和河南省老头出题的习惯来预测今年可能出哪些题目。当然大家给个关注点赞，一键三连， 把你们的省份打在评论区，或者是你们觉得比较难的章节打在评论区比较多的小伙伴，我们会尽量快一点出，最近我们会日更， 甚至一天双更、三更都有可能。我们会尽量把题目给模板化，直接给这种例题，你们去做对应的题目就可以，如果有答案，我们尽量把答案也模板化，遇到这种题型直接套这种模板就可以。好，这是我们系列视频的第四期，河南省的项链空， 而向量空间，河南省一共是考三个选择题，一个填空题，一个计算题，所以加起来大家自己去加十三分。然后我们现在看第一个就是求，就选择题部分啊，就是求直线平面的位置关系。 嗯，他是怎么出题的呢？我们就直接给例题大家去比对，这种例题找你们之前在哪里学的去看就可以了。第一种比如说他会直接给一个直线方程， 然后说语言平面方程，再给一个平面方程问他们的位置关系，这种就 a、 b、 c、 d 这种直接去通过直线和平面的。什么直线就是通过它的方向向量，平面呢？就是通过法向量，我这里写一下，直线就是通过 方向向量，然后平面就是通过他的法向量。就只要是关于直线和平面的位置关系啊，你就狠狠的给我抓住两个点，一个就是 直线的方向向量，第二个就是平面的法向量，他们俩的位置关系就决定了直线和平面的位置关系。 ok， 所以 这一类题啊，全部都是抓住这两个点，然后大家去找一下你们平时学知识点的时候，这一类题多做几道就可以。好，这是第一种题型，直线和平面。 第二一种题型，也就是列二，他是派一平面和派二平面的两个位置关系，这是什么？这是平面， 平面与平面的位置关系。同样，平面与平面的位置关系，主要是抓什么？就是抓法项链啊，只要是平面，你就把法项链给我拎出来，然后看他们的位置关系，当然有垂直，有平行， 然后有重合和相交，当然这个就完全是通过法向量来判定，这是第一个。第二一个知识点来了， t 度同样是考选择题部分。 ok， t 度和我一起讲了吧， t 度和方向向量 都是喜欢考选择题啊，而且这两个我说的是 t 度和方向向量，是几乎每年必考的题。 嗯，今年老头一定是从这两个当中选一个题型来的。呃，题型也非常固定，就是我给的这两类题目，而这两类题是我在我的押题卷里面出现过， 大家就可以看一下这两个题目，做一下啊。这两个题大家自己做一下，不知道方法的回去回顾一下你在哪里学的方法，然后看一下他怎么讲的。一般老师都会讲啊， 我们来看，他就说如果是梯度，就给你个方程，然后问你在这一点处的梯度是多少。这种题目套路非常明确，第一步干什么，第二步干什么，第三步干什么，记下来，直接用就可以， 同样方向向量，方向导数也一样，第一步干什么，第二步干什么？直接套上去就行了，还是一样他在这一处沿着这个方向的方向导数。 这两个我就不说了啊，因为答案方法非常的固定，大家去看一下你们之前在哪里学的啊？如果我们内部学员你去翻一下我们的课程是讲的非常详细的 啊，这是这一类，呃，第三一个和第二一个，这一个就是，呃，不是最后一个啊，是第四一类，就是判断曲面的类型，这种题型 相对比较固定，但是他不是说百分，百分之一百会考，嗯，考的概率，也就是在选择题当中填空题不太会考。 而这一类呢，它有几大类？好像有四五类吧，四五个大类，大家把这四五大类的特点记住，然后直接匹配就行。我这里就不去讲具体的大类，因为这个就涉及到具体的知识点。好，我们就直接略过这一点啊，就来到第五一点， 第五点切面，切线和法向量都是针对于曲线而言和曲面的， 然后我们就直接来看例题了，比如说第一种题型，他就会直接说这个曲面在这一点处让你求他的切平面， 呃，这个呢？还是一样，和前面因为整个项链这一张解答问题的模板化非常强。 一类，这是一类问题对应一类解析方法，你去把它就是这几个，这几个题啊，大家可以做一做，然后用你们平时学的知识点把它解出来，记住就可以了，今年考试大概率都会考啊。 好嘞，嗯，这里就是求的就是以这种题型啊，这是曲面，然后还有一种就是给你一个曲线，让你去求他在某一点处的法线方程啊，这是第二这一种题型，第五题我就 压，就压在他会出现在切平面和法线这两个题当中，考一个。好，这是第五一个。再看第六个题，第六一类题，我就直接给出公式，就是距离公式，他是考填空题， 两点距离点到平面距离和面对面的距离面到面，这就是三个对应的公式，大家在做这类题， 记住公式，然后把对应的数据填进去就可以，不需要任何推导，如果你记不住这类题，做不出来，记得住你就能做出来。这类题就这么简单啊，我预测他今年会考一个填空题，在距离的公式上面啊，这是我们的第一个版面，大家会觉得 怎么都是题型，没有答案，因为整个我们的向量空间，它就是以题型为主，然后答案， 你只要是听过这一类课啊，答案就是非常流程化，固定化的，记住就能回答题目。好，这是第一个版面。 ok， 我 们来看到第二一个版面，是空间向量的计算题啊，也就是五分计算题部分。计算题部分我们一共给了三个方向，首先看第一个就是直线方程， 直线方程当中给了两个例题，第一个例题，这个里面已知 m 点，这是一个坐标点，然后已知一条直线方程，让你求过这个点，且与这条直线 平行的直线方程。 ok， 这一种题就是已知一个点，然后已知一条直线方程，求另一个直线方程，同样直线遇到了，找他什么？找他的方向向量 方向项链啊，把他方向项链找出来，这就是他这一条直线的方向项链，因为平行的嘛，比较简单。好在看第二一个就是平面方程，第二个点啊，然后他说，嗯，过这个点，且 在这条直线的平面方程，也就说这个点在这个平面方程上，然后还过这条直线，这条直线在这个平面方程上，这个点也在这个这个平面方程上。好，直线我们要求的是什么？ 直线就是求到方向向，哎，就在这里啊，就是求到方向向量好，然后通过点和直线来求出平面方程，这是两个可能出题的，一个平面方程和直线方程。第三一个就是夹角，而夹角相对而言就比较简单。 嗯，因为还是一样模式化、固定化，他已知一条直线，然后求和一，已知一条直线和一个平面，让你求与直线 l 和平面派的夹角，也就是求这个线， 这是一个平面，然后这是一条直线，求这个夹角是等于多少？这个有标准化的公式啊，又遇到直线，又这遇到直线，怎么样？求方向向量？只要遇到平面，求什么？求法向量啊？然后通过他们来这个平面嘛，平面不就是求法向量吗？ 通过向量的夹角来反映出直线和平面的夹角。 ok， 这就是我们向量空间的所有的预测，然后马上我们进入到下一个章节，下一个视频，拜拜。

挑战二六河南专升本考前压题压中一百分以上系列视频第一期，我们会根据过往的真题和老头出题的习惯来压二六年可能出哪些题目，大家给个关注点赞！一键三连可以把你们的省份和你觉得比较难的章节留言在评论区 比较多的小伙伴我们会尽量早一点出，最近我们会日更或者一日双更，尽快把整个系列全部给大家更新出来。我们压到所有知识点，题目包括答案全部都会模板化，如果考试遇到了，直接用对应的模板来解析就可以了。这个视频我们压的是河南省 一线的所有题，包括选择、填空、计算。选择题会出五到六个选择题，一个题两分，所以就是十分到十二分，填空题是两分一个，一共出两个就是四分，计算题是五分一个出两个，所以是十分。而这个视频我们会全部给到。大家。好，我们先来看选择题部分，首先选择题 考试频率非常高的一个知识点就是奇偶性，而奇偶性就喜欢在选择题，不喜欢在计算题和填空题去考，而他考试的概率是在百分之八十到百分之九十，所以概率非常高，今年几乎 也会非常高的概率考，而且是第一个题目啊。好，我们现在看考法，一共有两个考法，第一个考法是 判断具体函数的奇偶性，这个是比较简单的，他就会直接考试的形式，就像这个立体一样，直接让你去判定下面的函数是奇函数或者是偶函数，考奇函数的概率更大，因为偶函数太简单了， 然后你就需要把 a、 b、 c、 d 这四个选项全部套用这一个模板， 也就是 f 负 x 等于多少。如果 f 负 x 是 等于 f x 的， 那么它就是为偶函数，如果是等于负的 f x 的， 所以它就为奇函数。只需要套定义啊， 只要是具体函数全部套。第一，非常简单，没有多的方法，这个方法最简单，最高效。好，这是第一个类型的题目。第二一种考法就是抽象函数。嗯，抽象函数的考法，我们是给了两个例题，首先看第一个例题， 它会直接让你选择下面的选项为，比如说为奇函数的式，那么这种它没有一个具体的表达式，只是给了 f x 这种抽象函数，它同样用什么方法？还是用这个式子啊？ 看他等于 f x 还是等于负的 f x， 直接带进去就可以了。同样，这里说一句，我们这里所有的例题，大家不需要把这些例题做会，因为有些例题是没有答案或者是答案，甚至于好几个目标是什么。我把题型告诉你， 如果你是我们的内部学员，你去我们教材上刷题设上，包括押题卷上随便找这种题很多，把这种类似的题搞定，考试，这种题就没有问题，就算我把这个题是正确的，或这个题 我是变动一个数字，我这里三变成二，一变成四，你就不会做了考试，所以把题型的模板套住，考试直接套用好，回到知识点，所以大家不要在乎这里的具体的某一个数字或者某一个表达式，把具体的题型给它弄懂就行了。 好，这里这里还是一样套用这一个定义式子，然后看它是等于 f x 还是负的 x， 那 么你就能知道它是奇函数还是偶函数。好，这是第一个第一种例题，第二一种例题， 他就是直接给你一个抽象函数，问你他是奇函数偶函数，非奇非偶，还是说无法判定？这一个肯定不会考啊？如果考试遇到这个选项，先把它去除掉。一定不会啊，这一个大概率也是，去除掉，肯定是 a 在 b， a 和 b 当中来选，假如说你不会做，怎么办？ 直接选 a 和 b 二分之一的概率吗？当然它的方法还是一样，把它用什么方法，用我们的定义的方法来做就可以了。看，把这个整体看成一个大的 f x 啊，你直接令它等于大的 f x， 然后求大 f 负 x， 看它是等于负的还是正的就可以了。好，这是第一类题，选择题。好，再看第二一类题，就是间断点。间断点我写的概率是多少？ 百分之一百啊，就是在选这选择题当中百分之一百会考啊，这个是河南省出题老头的一个执拗，他就特别喜欢出这种题，我也不知道为什么， 也也不需要知道为什么，他喜欢出，我们就他喜欢考，我们就把这个点给他狠狠的拿捏住不就行了吗？好了，来看第一个 考题一。嗯，第一个方向就是直接求间断点的类型，他是求的什么函数？就是我告诉了你的考点，我连考什么函数我都告诉你了啊，所以你只需要找对应匹配的题目去做就可以了。就是分段函数啊， 他喜欢考分段函数，而分段函数又分为两种类型，慢慢来。首先看第一个类型， 第一种类型就是 f、 x 这种，记住是大于和等于的这种分段函数啊，他说在 x 等于零处，嗯， 他不一定是零，他要看这个分段点是在哪里，如果分段点是一，那么这里就是一处，是二，这里就是二处，所以分段点是在哪个地方，这里一个点就在哪个地方，同理。 然后他说求这个函数是什么点，然后因为这里是间断嘛，他第一个问，他说是连续点可去跳跃或者是第二类间断点，因为这里写不下了，我就就间断点三个字啊，我就打个省略符号， 然后我们在判定间断点的时候，大家狠狠地给我抓住三个点，我写在这里啊， 左极限、右极限和函数值，狠狠地把我这三个点抓住，然后去判定这三个点是否相等或者是 函数值不存在，还是说左右极限相等或不等，去判定可去跳跃和第二个阶段点还是连续点啊？这个我就不提了，这是详细的知识点，你们之前学知识点跟着哪里学的，你就在哪里去看就行了。 好，这是第一种考法，注意是这种大于或小于的分段函数，然后你要去判定它的左右极限和函数值就行。第二种考法就是第二，它是这种等于或不等于的分段函数，这种分段函数你们在求左右极限的时候 它是一样的，也就是说你求左右极限，你需不需要先求左极限，再求右极限？不需要，你直接极限求一个就是它， 因为左右极限是相等的，他只要不等于零，他的左右极限都是这一个表达式。所以在求这一类的时候啊，不要去求左极限右极限，看他是否相等。直接求极限啊，因为他的表达式是一样的，除非他里面什么加绝对值或者其他情况啊。如果普通函数直接左右极限， 一个是字解决，然后同样他问你是这些间断点 a， b， c， d 我 就不提了。方法和这里一样啊，只不过是表达式不同啊，这是第一种方法的两种考试模板。好，再看第二种方法。 第二种方法他第二种考法，他就是说已知间断点的类型，让你反过来求参数，他就是在这例题在这里啊，他就是给你一个函数，当这个函数表达是不用去管他，我只是说模板，你看这个函数里面他含有一个参数 k， 说明什么？函数里面是含有未知数的，然后他说大于零是多少，小于零是多少？问你在这一点错，他是为跳跃间断点，是不是结论已经告诉你了，他是为跳跃间断点， 然后让你反过来求 k 等于多少？嗯，当然他如果求，如果这道题出填空题可不可以？可以的啊，你就直接计算出来，当然选择题你就计算出来，再去匹配对应的答案就可以。 ok， 这就是这一类题啊，这一类题没有什么难的。 考法二和考法一你的解析思路完全一样，都是他说了是有跳跃，跳跃间断点呗，你把左右极限求出来，跳跃间断点就是左极限和右极限不相等，你就让他和他不相等，求出 k 就 可以了啊。 当然这里这道题是没有答案的啊，所以我说不要在意这一个题的答案，把这个类型的题目给他掌握清楚，但这里他有可能是什么，他有可能是可去 间断联，也完全是 ok 的 啊。但这一个你最后再说啰嗦一句，考点二的考试概率没有考试一大啊，考点一，考点一的概率是最大的。 好，我们这一个版面就介绍了选择题的两大考点， ok， 接着来看第三一种类型，就是让你选择极限值的类型。极限值这种题就比较开放， 它会有两种考法，第一种是给你个条件，然后问下列极限存在的，是它给你个前提条件，让你来判定 a、 b、 c、 d 这四个极限，哪一个是存在的。好，这是第一种题型，这种题型就偏向于一点极限的概率。好，这个就不多说啊，这个考的概率 不算高，但是也有可能考。然后再说第二一个，第二个例子，他就是直接问你下列极限计算正确的事，就需要你把 a、 b、 c、 d 当地写不下，我就不写了， a、 b、 c、 d 三个极限哦，四个极限，让你把这个极限算，你就一个一个算出来。当然，你们从哪里开始算？从 d 选项、 c 选项、 b 选项、 a 选项算啊，不要从 a、 b、 c、 d 挨着挨着算。你想想，那些出题的老头子，都六七十岁了，五六十岁了，他们 做题的经验肯定比你们丰富，所以他们知道你们会从 a 开始算，然后往 d 算，肯定答案是在 b、 c 和 d 当中概率大一点，所以你们就从 d 开始算，所以你们可能第一个，第二个就能算。对啊，好，这就不说一点小的技巧，节约时间。好，这是第三种类型。再来看第四种类型， 无穷小的比肩，无穷小的比肩。它的考法就是通过高阶、低阶、同阶等价的定义来求。嗯？什么呢？什么意思呢？就比如说 高阶无穷小，低阶无穷小、同阶无穷小，等价无穷小的定义的计算式子，再加上极限的计算，就能解决这一类所有的题型。好，我们先看第一个例题， 比如他说当他等于一的时候，他是他的什么？比如说他，比如 x 乘以一啊，他是他的高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小还是等价无穷小？这个就直接通过他们的式子我直接写了啊。 这里比如说 x 趋近于一，你就直接计算 x 平方减一和三， x 减一，就计算这个极限的结果来判定它是哪一种情况。当然你要熟悉它的定义，这个就涉及到知识点了，具体知识点 大家还是一样用对应的题目去找你们报名的线上或线下课程当中类似的题目去做几道就没问题了，这是利益。 再看例二，例二就是 x 趋近于零的时候，下列是 x 的， 它会问一个，我这里是用的或者嘛？或者 比如说它说下列是 x 的， 高阶是哪一个，低阶是哪一个？等价是哪一个？它就是问下面 a、 b、 c、 d 四个选项，哪个是它的高阶无穷小，低阶无穷小。同样原理就是把它和 a、 a 选项啊，这样子来做，来算一次，和 b 选项这样子算一次， c 选项这样算一次， d 选项算一次，看哪一个符合等价，等价不就结果等于一就等价吗？如果是低阶是多少， 低阶是不等于无穷，高阶等于多少，高阶是不等于零，就看极限的计算结果，所以它是和极限的结果是强梁强关联的。 好，再看第五一类，第五类是选择、填空计算，都有可能涉及到，而且他的 考的概率啊，非常大来，这一部分，呃，是一定会考啊，因为他是涉及到最基本的极限计算，这是在极限计算当中占分占比最高的一部分。现在说选择题他会考两个，填空题会考一个，计算题会考一个，所以说基本上是百分百啊。 ok， 我 说的是百分之百，选择题两个，填空题两个，那个计算题两个，而选择题还不一定，选择题有的时候是一个，有的时候是两个，这两个肯定是会考的， 所以这一块你看这么大一定要掌握好啊。我会把嗯，河南这些老头子喜欢出的那几类我给大家梳理好，你们去做对应的题目，多做几个，然后我这里的方法你都用上了，基本没太多问题啊，尤其是我们内部学员，我们讲的是非常透彻的啊。 现在第一个等价就不错了，他就直接使用等价，比如这个直接等价，这个直接等价得出结果，等价是最简单的最 最基础的东西啊。第二一个就是 u v 型， u v 型是老头喜欢的一个点，我不知道他们为什么特别喜欢这个点，还是一样， 不管为什么，只要老头喜欢，我们就研究把方法梳理给大家，大家做就行了啊，就投其所好就可以了，不需要管为什么，我们是考试目标是得分，而不是去研究数学。好，我们来这里啊。 u v 型是什么意思呢？就是这种类型，比如说方框的三角形次方，他就直接等于 e 的 三角形，乘以罗隐的方框，直接套用这一个公式啊，比如说啊，这个题他是不是可以直接套用这个公式啊？这一个 就是这里的方框，这一个就是三角形，同理，这里是不是方框，这里就是三角形。套用这个公式，所有的题，只要是 方框和三角形里面含有 x 啊，只要方框和三角形里面含有 x， 全部直接套用这这个公式。用这两个题都一样啊，你看这里，他们只是这里不一样嘛。所以直接套用这个公式，不要管为什么，也不要管什么类型，只要是这里面含有 x， 直接套用这个公式就可以了啊，我不多说了，再看第三 抓大头。抓大头分为两种，抓大头，第一种是这种密函数的时候， x 抓大头，四方越高的只抓高的嘛，这种只抓高的，这个比较简单，很多同学都会。 还有一种就是不同函数的抓大头，而不同函数的抓大头，有些函数他天生就非常大，他不需要你去比较，和他同类型的比较啊。我说的是不同函数的抓大头，比如说这是密函数，这是 对数函数，这是指数函数。天然指数函数是大于对数函数，然后逆函数是大于对数函数的，所以对数函数其实是在趋近于正无穷的时候啊，正无穷是最小的，但这一种 只有还是一样。具体的知识点你去跟谁学的？你去看你们的教材，如果有讲到的话，这一部分还是比较简单的，他有一个技巧公式，大家记下来就可以。那我们内部学员他，我们是给大家总结好的，所有的 高阶技巧，包括一些不常用的，常用的，特殊的一些技巧，全部给大家梳理好的啊。再看例四， 例四是用什么方法？哎，就是通分。他，如果说你在计算极限的时候，遇到两个分式相减，不要管，直接通分 乘他就可以了啊，不管这里是多少啊，他只要是两相减，你直接通分就可以了。好，这是例四，再看例五，而例五是有理化，什么叫有理化呢？ 就分为这三种情况，如果说极限计算的时候，这里有一个根号，减去后面一个表达式，就后面他不是根号，那么你在分子分母同时乘以这两项相加的形式， 然后用公式把它化简就可以。同样，如果是两个根号呢？那更要分子分母同时乘以这两个相加啊。 当然，如果这直接只有两个根号，他没有分母呢？其实有分母，分母是谁？分母是一，也要两个同时乘以这两个相加的形式。好，这是例五。嗯，最后一种类型就是 第六，就叫做变现积分。如果你发现在计算极限的时候，里面分不管分子还是分母，出现了这种变现积分的式子，这道题一定百分之一百啊，我说的是百分之一百，使用什么方法？ 落笔打法则，分子分母同时求导，变现积分求导把它放进去，我说是百分之百啊，只要是遇到了变现积分求导，百分之百是用 落笔打法则求导。 ok， 好， 这是这一个版面，我们就讲完了。 ok， 继续来看到第六一个考点啊，第六个考点选择填空计算，都有可能考啊，都有可能考核心方法和思想给到大家。 首先第一，第一个考点，就第六个考点，它的方法是什么呢？是题目会问什么？就是已知极限反求参数就是极限的结果，我告诉你。然后但是极限的表达式里面，它还有一个参数， a 或者是 b 或者是 k， 都有可能， 反正这里面 f x， 它是含有一个参数的，它说它的极限等于二，答案告诉你，让你求里面的这一个参数，所以这就是这一类题。这一类题怎么做呢？很简单，这个当做一个普通的极限计算出来，比如说计算出来等于等于多少 a， 然后你让 a 等于二，而让这个整个等于二，是不是 a 就 可以求出来了，就可以求出它？好，这是第一种例子。再看例二， 例如已知连续反求参数和极限其实有一点相像，哎，两个，嗯，一个函数在某一点处连续要怎么样？左极限右极限，函数值，所以在这里狠狠的给我抓住，左极限等于右极限等于函数值。 然后比如说这一个题，这个例子啊，是分段函数，反而在这个知识点，他喜欢考分段函数啊，假如说 他说这一个分段函数，这里我是随便写了个方框啊，因为给模板嘛，给思想，他说在某一点，在这个参，这个分段函数处处是连续的，处处是连续，说明什么？说明在分段点处 它也是连续的，那么我就直接判定它在分段点处连续时， a 等于多少。嗯，当然你这里判定分段点处连续，是不是直接计算左极限，右极限等于函数值？所以这里只需要计算 x 趋近于二，比如说是二啊，二正 f x， 二正是大于零，就是 三倍。 e x 加 k 等于 x 去，哎，我本来说不想讲具体的知识点啊，但这就是方框，然后再等于 f， 二，本来不说讲具体的知识点，这里也写出来了，这就是解题方法。就能求出 a 等于多少，因为这里面就 这里应该是 k 啊，这里应该是 k， 求 k 等于多少，因为这是 k 嘛，就不是 a 了。好，这是第 二一个考点，然后我们再来看第七，这是第六个大选项的第二个考点，再来看第七，一个已知笔接反求参数，这一个就喜欢考计算题来，这个是计算题当中啊， 嗯，计算题五分一道啊，他喜欢考这个类型啊，嗯，计算题他喜欢考什么呢？第一种就是直接给你一个计算的表达式，就是普通的那种极限的计算，没有多的花哨，里面，你按照极限常有的方法把它计算出来就可以，这是第一种。第二种 就是这种已知极限，或者是已知连续反求参数，这是极限的，这是极限大题的第二个题，喜欢考的第一个点。 第二个，第二个点就是这个已知比肩反求参数。所以说极限计算的第二个大题，要么出现在这里，要么出现在这里，大家把这两个点好好记一下，记下来，做好笔记之后和你们平时做个类似的题目，多做几道就可以了啊。好，不多说。第七点，他就是说 已知比肩反求参数，比如说已知函数，它是，呃，嗯， 然后直接看考点吧。嗯，太就直接说，太抽象了啊。比如说，呃，考点第一种考法，它就说 f x g x 是 等价的或同阶的，是不是就这个同阶或等价，它是等价的或同阶，它会出现一个，如果是等价，它就直接说等价，如果是同阶就会直接说同阶 这两个，然后让你反求 a， 因为这个函数里面这两个函数它含有一个未知数，也就是 a， 然后解的时候你直接套用它的等价或同阶的定义，同阶是不等于常数， 常数我就直接写个 c 吧，如果是等价，是不是就等于一就是一或者 c？ 好， 就这一个啊。然后第二种考反 就是 f x 和 g x 分 别啊，它们俩分别是一个式子，我这里就写的方框来代替啊，是一个式子的高阶无穷小或者是低阶无穷小。只有考试的时候只写一个啊，题目它只会给一个高阶或者是低阶，然后 无穷小让你反求 a 的 范围，因为这个函数里面这点函数里面它一定是包含 a 的， 解析方法完全一样。然后题目我们这里刚才说了是求 a 的 范围，刚才那个解我还写的跟这个写成一样的啊，应该是这么解的， 因为它说 f x 和 g x 都是它的高阶无穷小，或者是低阶无穷小。假如说啊，我们先说高阶吧，如果它是它的高阶无穷小，根据定义是不是它除以它的 极限，应该是等于多少是等于零的，当然它也是它的高阶无穷小，也是等于零的，这是在高阶的时候，如果是低阶呢？低阶是不是就是等于无穷的？这里也是等于无穷的，而它里面是含有 a， 它里面是含有 a， 然后通过 这两个把 a 的 交集求出来，就能得出 a 的 范围。好，这一类就是这样子去做的啊，这一版基本上就很容易考计算题。 好，这个大家把笔记做好，然后这是我们的第一期视频，接下来我们会把这个系列全部更新完好，这个视频就到这里。

不知道二六专升本同学准备的怎么样呢？这是一个二六专升本数学的考前压题系列，当然你们可以把你们的省份，然后把你们比较难的章节或知识点留在评论区，比较多的同学我会尽量出，最近我会日更，每天更新一篇，甚至于一天更新于两个视频。然后今天这一个视频我们就讲江苏省的 变形代数的押题。变形代数是考两个选择，一个填空，两个计算，这是两个计算，十六分加四分就是二十分，一共就是二十八分，所以这一个视频可能就值二十八分呢。然后我们 先说选择题，选择题会出两个，然后每一个题我们给大家说可能考哪两种情况，我们不说太多，只说一两种或两三种。 先说第一种选择题，嗯，第一题他比较喜欢考质，嗯，质呢？他有两种考试方式，第一种当然就最简单的直接给你个矩阵，然后问 这个矩阵的质是为多少，这是第一种，这个就不说了，按照标准的普通的流程走下来就能求得，只要计算不失误。第二种就是这一个矩阵里面含有一个参数，但这个参数你无视他， 你把字通过出等含变换变换成阶梯形就可以了。然后他这里要求这个是或者啊，他要求他说 这个是小于三，或者是等于二，就看他的条件来判定这个 k 等于多少，所以他就是知道这个方程里面有一个参数，然后知道字告诉你， 而你通过这个变形出等行变换得出他可能为质的时候，质为多少的时候，得出 k 的 值。这一个也没什么难的，只不过就是这里面有个参数，正向求解之后得出 k 就 可以。这个就不多说啊，是 比较简单的类型。好，选择题第二个题他怎么考呢？没有拿具体的题目，我直接说他考哪个知识点。有两种考法啊。第一种考法就是直接问你这个项量 项链是相关的还是无关的，他让你直接在选择题当中选出项链相关的事，然后你选出来就可以。第二种是项链 相关反求参数，他直接告诉你这个项链是相关的，但是里面它含有一个参数，比如说 a， 比如说 b， 让你把这个参数 a 或者是 b 给它求出来。好，这就是两类题啊，这两类题大家注意一下。抽象的项链啊，这个是考具体的项链， 这个是容易考抽象项链。好，我就这么说啊，这个喜欢考数字的项链，这个喜欢考抽象的项链。好，我就提到这里，这是选择题第二题。嗯，填空题本来有一个，但是呢，因为填空题出的太不稳定了，我预测的点太多了，我这里就不写我们内部的押题卷，因为有五套，我内测内部可以选 选多个点去预测他。那这里我就不提了，因为只有一个题。 ok。 接下来是江苏省二零二六年的限行怠速计算的压题点。压题点他一共考两个题， 就是计算整个计算考两个题，一个题八分，所以接下来讲的内容就有可能只十六分啊。这两个题的方向还比较固定，只不过这个方向我给两个小的类型。好，先说第一个，第一个方向就是矩阵的变换， 通过矩阵的变换来求矩阵，比如说第一类型的题就是这一种，它告诉你一个 a 矩阵，它是一个三阶段，然后它只有一个矩阵啊，然后这个 a 矩阵它是需要 a 矩阵啊，它是通过这种矩阵的运算要得出让你求出 a 矩阵，这是第一种类型，只有一个 a 具体矩阵。第二种类型就是有一个 a 矩阵，一个 b 矩阵，也就是我们的例二， 两个矩阵都是具体的，然后再给你一个还是矩阵变换，通过这种变换把 x 求出来，你看这两个，一个就是单个矩阵，一个是多个矩阵，无非就是这两种情况啊，整体来说就是通过矩阵的变换来求出矩阵，同样大家不要在意，你看我这里矩阵都写的一模一样， 说明什么？这两个题是什么？不是在给你题目啊，你去找一找，因为我们内部学员肯定有，我们会直接给押题卷，或者是他们去我们平时的教材上去找一找。这种题，类似的题目做一做考试就没问题啊，因为不可能，除非漏题，不可能有人压到原题。我随便一个数字变动， 全部的过程全部都不一样了。所以说方法题型最重要，把这种题型的固定方法留下来考试，直接套用就可以了。我不说了啊。好，这是两类题。好，再说计算题的第二种类型就是方程组的求解。方程组的求解又分为两种，第一种是最简单的，直接给你一个具体的 方程组，让你求出它的通解，这个就按照标准流程求出来就行。好，不多说第二种类型。第二种类型就是参数方程， 它里面方程里面还有参数，比如说这里是谁含有参数呢？这里就是个 a， 这是不是一个参数？然后他说有情况讨论，他说这个 a 取何值时， 它没有解，然后你要通过除等行变换，然后通过整个固定的流程把它变换为除等行变换，看什么时候矩阵的值和真广矩阵的值不相等，它就是无解的。 这个过程我就不说，因为一说过程就要讲详细的知识点，那么就太多了，这个黑板就写不完，所以我就不说具体的过程啊。呃，你们把这类题还是一样， 你们在线上报班或者线下报班，或者是自学都可以，你去找这种类似的题做几道就可以了，方法都是一样的，通用的。好，这里就是这一个，然后再看第二种，第二个小问，他就会说 a 等于多少时， a 等于多少时，他是无穷， 然后让你把无穷解给求出来啊，你这里就是增广矩阵的值和矩阵的值相等的时候，它就无穷解呗，那么 a 就 可以求出来，你这里就可以求出 a， 然后再带进去，就回到了第一种，然后再求出它的 无穷解就可以了。所以这一个黑板就是江苏省的限行代数的整个押题，大家搞定，今年一定。这里面啊，这里面我押了这两部分，就是二十四分，嗯，可能二十分是有的啊。好，我就提到这里，大家做好笔记，再见。

亲爱的朋友们，欢迎来到我们专升本挑战系列，这一期视频是挑战二六年河南专升本考前压题，压中一百分以上，我们会通过过往专升本的真题和出题老头喜欢出的题型来压今年他可能出哪些题 型，大家给一个关注点赞，一键三连，然后把你们的省份和你们觉得哪些章节比较难的，想让我去压的留在评论区比较多的小伙伴，我们会尽快更新， 我们最近会日更，甚至于一天两更三更，尽快给大家全部出来。这是河南省的第三一期，之前的已经在我们主页了，这一期视频我们就压河南省积分的所有的考题。好，我们先来说会考几个题，考多少分啊？ 河南省选择题会考积分这一部分会考五个，然后每个两分，所以一共十分，然后填空题是三乘以二两分，三个六分，计算题就是二乘以五，因为计算题是五分一个，一共考两个，所以就是十分好。现在看 第一个定积分比大小，就是考选择题啊，就是喜欢考选择题。河南啊，嗯，考的概率有多大呢？我觉得百分之七十到八十吧。 嗯，河南省我先看例题，他喜欢考的题型是什么？就是这种题型，比如说给你个 i 一 i 二 i 三，然后你会发现他们的上下线都是相等的，只有什么不一样，只有背机函数 不一样， ok， 背机函数不一样，所以他的目的是什么？就让你去判定 i 一 i 二 i 三谁大，当然选项我也就不不念了啊，就是去判定谁大谁小， 他的技巧是什么？当上下线一样的时候，就去比较函数的大小，比如这个题上下线都一样，就去比较函数谁大，那么他的积分谁就大。我随便举个例子啊，比如说在零到一之间， i 一 是大于 i 二的，也就是说 e 的 x 大 于 e 的 二 x。 如果说在记住啊，就如果在零到一之间， i x e 的 x 大 于 e 的 二 x， 那 么 i 一 就是大于 i， 二就看当中的谁的函数大，谁的 定积分计算就大。好，这是第一个，我们再看第二个点，选择题、填空题，都有可能就是原函数的概念，再加上计算原函数的概念加计算。比如说看例一 这例子，他说 f x 啊，这是不是 f x 啊？是这个函数，这个函数重要吗？不重要啊，他只要是个函数，因为考试不可能考原题啊。 比如这个函数是 f x 的 原函数，它是它的原函数，然后就让你去求关于 f x 的 一切，比如说他让你求 f x 一 平，比如说他让你求二到零到二分之派 f x 加三 x 的 定积分，而这个 求啥都可以，只要是你把怎么把 f x 求出来不就行了吗？所以说它的核心啊，结合性就是求出 f x， 而 f x 怎么求呢？ 因为他是他的原函数，所以他求导就等于他，所以 f k 什么求，就是这一部分求导。当然这个重要不不重要，他只要是个方框，他是什么函数都有可能啊，这是什么？这是题目的模板，遇到了就这么去做。好，这是 第二个题，再看第三个点，第三个点就是抽象函数求积分，这个考选择题，而这一个是什么？是河南特有的， 就其他省份不这么考，就河南省喜欢这么考啊，所以大家注意一下，这个考的概率很大啊，我觉得有个百分之八十吧，所以大家注意一下。呃，先说例题，比如说我给了两个例题，这两个例题 其实是我们自己内部学员押题卷里面的两道题啊，我就给大家了，比如说他说 f x 求导是等于它，这一样嘛？ f x 求导等于它，然后让你去求这一个 积分等于多少，或者是去求这个积分等于多少。当然这是选择题，会有 a、 b、 c、 d， 但 a、 b、 c、 d 我 就没写出来，因为意义不大。为什么你就算我写出来，你也要把它求出来，然后再去匹配嘛？所以你直接去求就行了啊，把答案求出来。 好，呃，这个题目就给大家，然后具体的解法怎么解呢？我直接告诉大家，就是臭微分啊，臭微分，比如说这一个，他是这一个题，他其实是可以分布积分法。好，这一个，哎， 这里咔，从臭微分那里开始减啊，减到臭微分，然后下面到直接到我这里啊， 好，就是臭威风。好，这两个题，然后大家自己通过方法去解一下，如果不知道怎么做，问一下，比如说你们在线上线下报个班，问一下你们的老师是怎么做的，很有可能考啊，这种类型的题。好，这是第三种类型， 再看第四种类型，变现积分求导，这一个考的概率就没有前面大了，我预估是在百分之四十到五十， ok， 大 概吧。嗯，选择填空都有可能，确实不大，可能也百分之三十到四十吧。嗯，但是他的方法也就这么多，也不难。我们来看啊， 比如说他说求这个例子，求 f x， 等于它求 f x 一 撇好，求 f x 一 撇怎么求？我就直接写了，选项我就不写了，没意义，因为你选出来也要去匹配，也要自己做。 比如他一撇，他怎么求呢？他就把三 x 直接放到这里，应该是 t 啊，直接放到这里来，把三 x 带去 t， 是 不是就等于零一加三 x， 然后不要忘记还要对 它求导，所以说你要乘以它的导数。 ok， 方法就这样，当然求出来就等于 cos 了。好，这就是前面四个点的 具体的内容。 ok， 我 们继续来看到第二页黑板的押题内容，首先看到第五一点，就是积分的计算了，这一部分计算啊，这一整个黑板还没写完，马上我们还会再写一个黑板，才能把积分的计算全部讲完啊。首先来算到积分计算当中选择题 比较多的一个部分。好，选择题考点一就是广义积分判断收敛或者是 发散，就这两个当中的一个收敛或者是发散啊，题目会怎么出来？就像这种例题，他直接告诉你， 问你下面积分是收敛或者是发散的，就问其中一个哪一个是收敛，哪一个是发散的，那 abcd 这种选项没有什么 简单的方法，你就直接，然后老老实实啊，这里是无穷啊，就老老实实的把它们计算出来，计算出来等于常数的 就是收敛，等于无穷的就是发散，就去看谁，谁等于无穷，谁等于常数。然后这些当中最重要的一个方法就是什么，比如说这里的零，其实你是带不进去的，带不进去怎么样？带极限？比如说你求出来之后， 我举个例子，比如这个求出来之后，嗯，这个吧， e x 求出来是不是就等于 e x 无穷，是不是带不进去，那么你就 x 趋近于无穷，看 e 的 x 的 极限是等于多少，所以带不进去。带极限，这就是唯一的方法啊，就这么简单，没有太复杂，但这个题也是个模板题啊，大家去做几道这种题， 好在看考二。嗯，第二个考法就是去判断正确或者是错误的极限积额积分计算啊，这个没什么难的，还有时间让你去判断下面积， 下面的是正确的，是错误的，是让你去选择就行。我这里就随便写了两个，这种也没有什么技巧，你平时怎么做积分的，就把它做出来，当然里面比如说这一个，还有这一个他是怎么计算的，马上我们下面会讲到啊，这是比较喜欢在这种类型当中出题的点。 好，第三一个就是积分的面积计算考点三，嗯，面积计算是定积分，定积分的本质是什么？定积分的本质是不就是求面积？所以说他有的时候会考这种面积，尤其是圆的面积。比如说啊，这个例题 是不是两部分构成，这一部分它没有面积可言，而这一部分是不是可以用面积计算，所以就要把拆分为两个积分来进行计算。 如果说他只有这一部分，假如说他只直接让你计算这一个积分，那你怎么样？直接用面积来进行计算就可以。好，这一个他是谁的圆的面积，他是不是等于 y？ 好， 他等于 y， 圆是怎么画的？圆是以一为终点，一为半径来进行画圆， 它是代表哪一部分呢？你看这一部分，首先啊，这里又讲了知识点了啊，首先 x 是 不是在正负一之间，这是负一，这是正一，所以 x 范围是在这个范围之间，然后根号下根号是不是本身就大于等于零， 所以它只能取大于等于零的部分就是 x o 上半轴，所以它本质上来说就是这个半圆的面积。所以一旦遇到这种类型的题目啊，这种类型的题目，一定要记住圆的计算啊。嗯，圆的计算，我给大家两个 比较常见的例子吧，你看到这个式子你就想到圆的计算啊，第一个式子是， 嗯， a 平方减 x 平方，就这种啊，如果它是从负 a 到 a， d x 这一个，你就要想到积分当中利用圆的式子来进行计算，或者是零到 a， a 平方减 x 平方 d x 一 样啊，这一个你看到这一个也要想到纪念于那个 用圆的计算面积的那个方法来计算，这个不等。呃，那个叫什么定积分啊？什么不等式计算定积分？因为这样子他计算速度，计算的时间和失误率都是最快最小的。好，这就说了， 姐，如果第一个就画图，如果是直接计算这个就画图，第二个如果是有其他多的，你就拆分计算就可以了。好，这是第三个号列，第四个号列， 偶备机灵，这是定积分的一个特殊性质，这个在你们学知识点的时候肯定是讲过，不管跟哪个老师都是讲过的啊。来，我们比如说， 呃，你直接去一个例题啊，一个例题说明，如果说让你直接去计算这一个积分，而他的区间是什么？是对称的，你就要去想，当然你对称的还有这种情况啊？这种情况你看就是用圆，当然你如果没有这种情况，你就想 只要是出现上下线对称，你就想到这里能不能用偶倍积零？用偶倍积零的同时，比如说你这个整个积分，你是没有偶倍积零的，你要去判定它 f 负 x 吗？如果你令整个函数为 f 负 x， 判断它的奇偶性， 那你这里怎么办？没有，它不是偶函数，也不是 g x， 非奇非偶的，这里一旦出现加法或者是减法，把它拆分为两个积分，你把这一部分 单独作为一个积分，这一部分单独作为一个积分，这一个是什么？其实就是偶函数，这是什么？这就是奇函数。分别计算得出答案再来选啊。当这里的不要去看这里的那个答案啊，我这里是随便写的，给了一个模板题，我是说这一类题该怎么办？如果是 一个函数，直接看偶倍奇零，如果是两个函数分开分别看偶倍奇零。好，这是考点四， 然后第六一个考点，你看怎么还是积分计算？因为这里是以填空题和计算题为主了啊。刚才这一部分全部是以选择题为主，这一部分是以填空和计算题为主。马上我会把讲完就把黑板擦掉。再写一部分就是以计算题为主了。 好，这里主要是几大三大方法。我这里为什么写四个？其实就三个啊。第一个考法一就是凑微分，凑微分的核心思想就是看你凑了之后和前面的有没有一样。比如说 这个题也是凑微分，就是把 x 往后面一放，是不是就变成了二分之一？ x 平方就是看这里的平方，这里是不是有个平方，就是你把这个凑到后面去，看里面和后面有没有一样的式子。来说一下啊？ 这几个方法，有的同学说不就是积分，就这几方法，对，积分就是这只有这几种方法，就常见的方法啊，但是 在平时做题当中有非常多就是花里胡哨的东西，但是我结合河南省考试的习惯，我把它总结出来比较简单，直接看到什么用什么，看到什么用什么，这种方法来给你们说考试的时候怎么用啊，这是河南比较喜欢出的一类 好。第一种就是你把 x 放在后面去，你放在后面去的部分，这一部分啊，放了之后的部分，前面是有跟他一模一样的部分，同理，这里一个题也是不是也是你把 cosine x 放在后面去，是不是 sine 这里也变成了 sine？ 有 一样的部分，这一个是不是也是你把 x 分 之一放在后面去，变成 loin x， 这里是 loin x， 不 管把谁放到后面去，前面要有一样的东西。第二个就是根式换元，根式换元非常简单，你直接给我看 里面含有根式的，直接令它等于 t， 然后就可以了。根式换元你就看根号， 只要含有根号啊，直接令它等于 t， 然后换就行了，没有什么复杂的。再一个就是三角换圆，三角换圆也会含有根式，但是它含有根式又不一样，它有一个模板，就是类似于这种模板， 比如说根号下 a 平方减 x 平方，这个重点是什么？重点是 a 平方减 x 平方，而不是根号啊，他就算没有根号，你也可以 a 平方减 x 平方，只不过大多数情况下，题目他就是有根号的，所以这种 主要抓 a 平方减 x 平方。它有几个细小具体的点啊，第一个一减 x 平方，第二个二减 x 平方，第三个四减 x 平方。这是几个常考的具体的类型，如果看到这种类型，直接用三角还原。这里，比如这个题念什么？念 x 等于三， 嗯，这里念什么？念 x 等于根号，二倍的三 e t， 这里就念 x 等于二倍三 e t 啊，这就是他的模板，遇到这种直接用根式，用三角换元。 嗯，最后一个，这个黑板的最后一个考点四就是分布积分法。分布积分法只有一种情况下使用，就是不同函数相乘的时候使用。其实还有一种啊，就是比如说我只，我先说这里吧，他的模板 就是这种，比如这里的方框，这里的三角形就是不同类型的函数，不同类型的函数，比如这个题逆函数， 对数函数，所以它就用分布积分法。逆函数，三角函数用分布积分法，就是不同函数 对应的方法使用分布积分法啊。当然我刚才说的还有一种情况是什么？比如说直接只有 log x， 只有诺言 x， 也要用分布积分法，这一个它就是分布积分给你凑好的，但这一部分这种类型的题考的相对而言少一点，没有这种类型的多 好。这就是我们第二一个黑板，马上我把它擦掉，然后我们再来讲最后一黑板，就把积分知识点全部给大家讲完。 ok， 我 们继续来到积分的最后一个版面，就把积分的所有的全部压完，当然我们这里额外还有一个是积分的 应用题部分，一个题是七分。好，我们先从这里开始吧，先从第五个小点也是积分的计算当中开始来这里积分的计算。这里是什么？是计算题，也就是大题啊，这是考大题的地方，考大题他会考两个大题，第一个就是不定积分的 计算，第二个就是定积分的计算。那我这里就直接写了分段函数搞定积分，这是 河南省出题的老头非常喜欢考的一类题目，而且是在积分的大题当中，你第一个他会考不定积分，第二个考定积分，定积分他就考分段函数求定积分，我不知道他有什么执念，就是老头他就喜欢考这个，可能是 年轻的时候被他伤过吧，所以就喜欢考这一类题啊，所以这一类题掌握好，基本上是板上钉钉。会考的。百分之百会考的啊， 那百分之百喜欢考的，嗯，他考试的方法一般分为两种题型，第一种就是我们的利益，他给你个积分。嗯，这两个题都是我们押题卷上的题，我就直接给大家写出来了，这两个题大家可以认真做一下啊。 呃，之前我们这些题目都是模板这种题，这两个题可以做一下。呃，第一个题他就直接给一个定积分，大于零是多少，小于零是多少，个子是多少，然后就让你去求这一个积分。好，这个积分，这个就不用说啊，直接求。而这个 f x 怎么求呢？ f x 是 不是在 零的时候？嗯，负二和一之间是不是有零？这里是不是有零？然后你就求在 把 f x 写成零到一是这一部分，零到一是大于零这一部分，然后零到负二是这一部分，然后分别带进去两个，把它求出来就行了，我这里就不具具体写了，方法给到大家啊。而第二类就是同样，前面是一个分段函数，而后面 它这里是什么？它就不是直接 f x， 它是 f x， 里面是 x 减一这种抽象函数加符合函数形成的我们的定积分，这种怎么办呢？直接令这一部分就是 x 减一这一部分等于 t 就 换元 定积分，换元之后我这里写了换元之后，它就等于它。好，这时候你看它是不是以零为分界点，负一和一之间是不是也是有零？ 那么这里有零，你这个时候 f t 再把它换成这两个函数，从零到一是 这一个大于零，而零到负一是小于零，然后带进去两个相加就可以。大家去把我这两个题好好做一下，考试应该是会这两个当中的一个啊。 好，他的技巧是什么呢？就是对应区间，用对应函数去进行积分，就这么简单，没有什么复杂的。好，这是第五个点。再说第六个点就是猜积分，积分怎么猜呢？嗯，有两种类型来猜啊，这个是考什么？这个是考 大题的定积分啊，大题的定积分五分啊，大题的定积分。嗯，第一种就是猜括号，比如说我给了模板，它题目就是外面一个括号里面一个，然后这种计算怎么计算呢？就是它 乘以它算第一个积分，然后这两个积分就相对比较简单，就是我们前面讲的 给大家罗列的那四种类型当中的积分进行计算就可以。比如说我写了一个例子啊，这里是不是就它乘以它，再加上它乘以它，进行两个积分拆分就可以。计算好，这是第一种类型拆括号。第二种类型就是拆分式， 就这种分式也给了一个模板。分式分母当然肯定是不变的，上面是相加或者相减都有可能，如果相减这里就相减，然后你就把拆分为他和他这是一个，他和他这是一个，而分别去计算这两个。比如说给了一个模板，这个题是不是可以从这里拆分开？ 分母不用拆分啊，只是分子从这里拆分，然后这里这一部分是一个，然后这一部分是一个，进行计算就可以啊，这个也不多说了，拆分也是出题老头喜欢考的一类好。最后一类就是积分的应用题，积分应用题一个是七分啊， 也分为两种类型，但是第一种类型是考的最多的啊，百分之八十到九十 都是考到。我们的。第一种类型也是非常简单的类型，就是直接计算面积或体积。直接计算面积和体积就是考验你们能否记住公式，能否画出图像。很多同学画图像他有问题，得练一练啊，这种题多练一练就好来。比如说第一个例题， 呃，我这里是随便写的，大家不要把这个题当做模板题啊，呃，直呃，不要把它当成例题，当成模板题，去做一下这种类型的题就行，自己在哪里学到知识点，线上线下去翻一翻教材，做一做这种题，比如他给一个函数，给一个函数，然后给一个，我看我这里写了个 a， 其实是会给，比如说给等于二，等于三都可以， 反正是围成，由它围成图形的面积，在坐标轴上，先把它画出来，作为第一步。求解的第一步就是通过它把图形画出来，第二一步，它就会让你去求面积，或者是绕 x 轴，绕 y 轴的体积，直接套公式， 求面积套公式，求体积套公式，这个就完全是模板化的啊。但第一步很重要，画图很重要啊， 很多同学卡在这里。然后我们再来看第二一类，呃，这是第一类考题，百分之八九十就是考第一类，第二一类是已知面积或者体积，反过来求参数。好，这一类题他会怎么做呢？来例题，我写在这里的，他会把 函数告诉你，当然他里面会含有一个未知数 k， 然后他说是由他所形成的面积或体积，然后他会直接 问，他就是会给你第一种啊，他怎么问呢？他给你面积和体积的关系式。但这个三分之八也是我随便写的啊， 你就需要通过这一个图形把面积和体积分别求出来，带进去，套入这一个关系式，然后把 k 求出来，这是第一种求单个的参数。第二一种就是问， 把面积告诉你等于多少，你要通过面积把这个 k 给他求出来，也就是求出 k， 然后他还有可能让你再求他的体积，你 函数都已经求出来了，你这个 k 都求出来了，体积当然也就求出来了，所以这就是积分的应用。喜欢考的两类题， 嗯，这一类题概率小一点，这一类题概率非常大啊。好，大家去把这两类题找一个对应的题型来做就可以了。我们所有的积分内容全部讲完，下一个视频继续后面的内容。

二六年专升本的你准备的怎么样？我们这是一个二六年数学的押题系列，会押各个省份的二六年可能考哪些知识点，以什么样的形式来考，然后我们以什么样的套路来解析好。这是一个系列视频， 同样大家可以把你们的省份留在评论区，然后我会根据每个省份都会出对应的押题系列。当然这一个视频我们是江苏省的导数，江苏省导数部分是一道选择，两道填空，一道题四分，加起来就是 十二分呢，所以这一个视频有可能就值十二分，所以你们可以点赞收藏起来，到时候考完了再回来看一看，有可能这些点都考到了。 ok， 我 们这里选择填空题一共三个题啊， 一共三个题，我给了四个知识点，因为我给太多了，很多同学说，那你还不如不押题，我把整个教材学完了算了，你还押有什么意义？你押个十个点有啥意义呢？所以我就只押了四个点。这四个点是这些江苏省出题的老头啊，非常喜欢考的点他，我是根据过往专升本 的真题，包括这些出题老头的习惯来押的。这四个点你好好看一下第一个点吧。第一个点就是 导数的定义。导数的定义先说以选择题为主，填空题考的概率大不大呢？不大，如果他考也没问题，反正是在选择或填空填空题的概率是最大的。而在导数定义当中，我们课程不管是我免费的课程，还是 内部的付费课程，还是说你们在其他地方看到应该都有去 f 法这个知识点，这个知识点大题是不能使用的，是专门针对小题目，也就选择填空题来使用。所以在考导出第一的时候 去 f 法一定要会啊，当然他只有一类考法。嗯，就是第一种，就问题当中啊，就题目，他就是问你嘛，他说 f a 这一点做导数，他给出一个值，当然三角形代表一个常数，给出一个值，然后他问你 x 在 趋近于 a 的 时候，他给你一个函数，求他的求他的极限等于多少，这一个函数他用什么方法来解呢？他就要通过导数的定义 转化为 fa 这一点处的导数值来求出它。当然如果你导数定义一精通，你可以变形，更多的是用什么，更多的就是用去 f 法来考啊。所以说这里把去 f 法好好回顾一下。但回答的方式，第一种 就是用去 f 法，这是最简单，最高效，最快得到答案。第二种就是凑导数的定义，当然这个就是 考验你的数学功底了。好，第一个点不说了，就是导数定义以选择题为主，这里考法就是这个考法。或者是啊，这是第一种类型，如果考察概率最大的就是它，或者是它告诉你了一个极限值等于多少，让你反求 f a 这一点，出的 导数值，要么已知他求他，要么已知他求他，反正已知一个求另一个。好，这是第一类题，我们不多说。再说第二类题就是求高阶导数，高阶导数 也是以选择题为主，填空题有没有概率，考也有概率，而相比而言，他考填空题的概率比他要大一点，因为这个确实考填空题概率太小了，这个还是可以考起填空题的啊， ok， 但是还是以选择题为主，它也只有一类的出题方式，它就是给你个 f x， 问你 f x 的 n 接导，或者是问你 f x 的 二零二六接导，为什么？因为今年是二零二六年考，所以说他就问你二零二零二六接导数，这个嘴巴 ok， 训练一下嘴巴 ok， 好， 我们继续啊，二零二六。然后你回答是什么呢？方法非常简单，就三个字，找规律，就找规律就行了，而且你求导最多求几次，求四次， 就是你把这个导数求四阶导，就一二三四阶导求出来，找他们之间的规律来推算 n 阶导和 二零二六阶导应该等于多少得出答案。如果说你四阶导求出来都找不到答案，那么你求五阶导，你也找不到规律，求列就得，你也找不到规律，所以这个就是看你找规律的能力。好，这是第二类题型，再说第三类题型，第三类题型就是求导， 这一类题以填空题为主，选择题为辅，以填空题为主啊。然后先说一下他的问题会怎么问，如果考的话，大概率就是考这三类，当然也你说有没有可能考符合函数，就是一个简单的符合函数，让你求导也有可能，但是出题老头，江苏的老头 更偏向于出这几类，分段函数、引函数和参数方程求导。同样这三类函数， 他们求到的方法是什么呢？这个就我不好讲了，因为这里是在压题，压知识点就是他出题以什么样的形式来出，我们以什么样的形式去回答。我是在以这种形式来预测今年考什么题，我就不好讲知识点，如果讲知识点的话，就从不全部重新讲一次。所以你们在学知识点的时候应该就学过 这三类题，有对应的严格的做题流程，第一步怎么做，第二步怎么做，第三步怎么做。去把这三类题回顾一下，记起来。考试，今年江苏专升本一定会考到这三类求到啊，如果说在选择填空题没考到，大题都会考到啊，就是，反正第二章一定会考到这三类 题求导。当然你说一定是考求导吗？也不一定，他也有可能考什么。考微分。微分的本质是什么？是不是就是求导？因为微分本质就是对求导的结果乘以个 d x 嘛，不就是他的微分了吗？好，这就是求微分啊。呃，这是最常见考的，如果他想考的再难一点，如果考的再难一点，他就会考切线。 为什么？他就考分段函数引函数和参数方程的切线。求切线要求什么？是不要求斜率？斜率是什么？是不就是函数求导带入这个点得到它的 k 值，也就是斜率嘛。所以求切线本质上来说，第一步 就是在求 k， 也就是在求这一点处的导数。第二一步在求直线方程。 所以说只要是这三类函数求导数、求微分、求切线，他的根本含义就是想考你他求导是怎么得来的。好，我就不多说了。然后，当然切线是要带入方程的，也就是第二步求直线。好，这是第三类求导的 第一考题，第一类第一种类型，而第二种类型呢？他就是还是告诉你这三类 函数的结果就是，比如说我随便举个例子，比如说 x 大 于 a， x 小 于 a， 然后这里是 f x， 这里是 g x， 我 写潦草一点，它给你一个这样一个分段函数，然后它告诉你结果 f x 求导等于多少，它告诉你这是个方框，但是它里面含有什么？ 含有一个常数 b， 然后你已知他的结果，让你反求这个常数等于多少。解题方法也很简单，就是因为直接求考太多了，你们都会了，这些老头呢？ 你说他让你轻轻松松把分数得到，可能吗？也不太可能，太容易得到，那是不是每个人都得到了？所以说顺着不行，他就反过来，他直接把这个题当中含有一个参数，然后把结果告诉你，让你求这个参数，你就当做这个参数是一个常数，还是用 对应的流程把这三类的导数求出来。你求出来的时候，比如说他求出来啊，他里面就一定含有 这个参数 b 一定就含有在这里，然后他说了这一部分是不是等于这个结果，然后你让他和他相等，就求出了这个结果。 所以说本质上来说，你就当它没有参数，直接求求出结果就是求出来。比如说 f x 求导，它里面有个参数 a， 你 直接让它等于结果，就能把 a 给求出来啊，反求出来。好，这是第三类题型，就是求导。最后再来最后一类题型，就是已知极限 拐点反求参数，因为考极限拐点和凹凸性，它不会再选择填空题来出。不是说所有省份不会啊，是江苏省 出题的老头没有这个习惯在选择填空题来出，而是更加喜欢在大题当中来出，所以我们后面还会压你们的综合题，还有你们的证明题，到时候我们再聊，这里先聊我们的选择和填空题。嗯，这一类题是什么呢？它的问题啊，就是一个 f x 告诉你了它的极值 或者是拐点，然后让你反求里面有个参数，他跟这个是不是有点像？他把答案告诉你，但是题干当中有个 a 让你反求参数，但有的时候他会告诉你极值，或者是告诉你极值点啊，极值或者是极值点，方法都一样，方法是怎么来的呢？方法就是对 f x 求一阶导，让他你求一阶导，因为你 f x 里面有参，有参数嘛，所以你求出来里面一定是含有一个 a 的。 好，这是你求出来导数，而他比如说 让你求极值，那么你就令它等于零，你就能求出这个参数，是不就能求出 a 等于多少？极值是一阶导，所以等于零，而拐点是不是要求二阶导？二阶导，你同样得出 a 等于多少，令它等于零，是不是怎么样都能求出 a 等于多少？这个 a 就是 让你求的 这个参数呗，也就是反求参数。 ok， 这就是四类题型，这我给的不真不多啊，你想一想，一共考， 一共考三个题，我给了四个知识点，你把这四个知识点拿到，可能这三个题你就全部做会了，或者是两个题你就做会了，是不是至少轻轻松松比你学知识点，慢慢去把所有知识点学完，考试考到哪一个就碰机会概率大多了。 所以说大家好好去复习这四个点，然后等你们考完了之后回来看，心里就明白了。好，我们这一个视频就到这里，然后后面我们会给大家讲更多的押题散会。

挑战二六广东专升本考前押题系列，押中八十分以上，我们这一期视频会把广东省所有的数学全部押完，我们会根据过往的真题和老头出的习惯来预测今年可能出哪些题目，大家给个点赞，关注一键三连，在 评论区留下你们的省份，或者你觉得比较难的章节，我们会提前尽快的出视频。最近我们会一日双更，甚至于一日三更，把你们的所有省份全 全部出完。我们所有的押题部分，把题目和答案尽量都给大家固定化，模板化，如果考试遇到了这种类似的题目，你只需要把题目的模板化，记住答案的模板化对应就可以了，我们尽可能使大家考试更加简单。好，我们这一期视频就开始 广东省的内容，广东省这一个黑板，我们把极限讲了一大半，然后一会我把它讲完之后，再把它擦掉，再来继续讲啊，我们一个视频给大家搞定好，现在看到广东的极限部分会考两个选择题， 一个计算题，而在广东省一个选择题是三分，一个计算题是六分，所以这就是三到六分，然后这里就是六分。我们先来看第一个知识点，第一个知识点就是已知 连续反求参数，是在极限的应用当中啊，当然考什么题考选择题比较多啊，而且他最喜欢就广东，我不知道广东省出题的老头，他就喜欢出分段函数，他不喜欢出普通函数，所以我们就投其所好呗。他喜欢分段函数，那我们就 压分段函数，大家也去看分段函数啊，这里非常容易考到分段函数，它就是这种 x 等于零和 x 不 等于零这种情况。比如说 x 不 等于零等于它， x 等于零等于它，它说 在等于零处，或者是在处处是连续的。好，他等于零和处处是不是一样的？就是一样的啊，他有的时候会直接告诉你在零点处，有的时候会说处处是连续的，如果说处处是连续，在零点处是不是也是连续的？所以说你直接运用就可以。 好，他说是连续的，让你反求里面常数 a， 这时候只需要左右极限和函数值相等就可以了啊。比如说这里你就只需要 x 趋近于零， f x 等于 f 零就可以啊， 这个是最基本的一个极限思想。同样这里是等于和不等于，他也可以出 x 大 于零，或者是 x 小 于等于零，就有两种说法，一种是 不等式，一种是大于和小于这种不等式，或者是这种大于和小于啊，都是分段函数，方法都一样， ok。 再看第二个小点，就是无穷 无穷小结的知识点的应用，比如说我们直接来看考点，这里有两种类型，他比较喜欢考。第一种类型就是判定无穷小的类型，比如说这一个例子， 他说 x 趋 x 趋近于一的时候，他是他的什么无穷小量，就让你去计算呗，是高阶低阶等价还是同阶？同样他的做题方法是什么呢？就是无穷小量阶数的定义啊，比如说这个题啊，他说的是哪两个函数，那么你就直接求 x 趋近于一， 那么上面就是 x 平方减一，下面就是三一 x 减一，直接求出来就可以了，根据结果来判定它的类型，当然这一个结果类型，你这就是具体的知识点了，如果我们讲具体知识点，那就成全程班了，全部都要讲， 你们之前在哪里学的，就去把这种类型的题多做几个，今年考试就容易考到啊。好，这是这一个，那再看下一个点。第二个考点，已知 类型反求参数。比如说 x 趋近于零的时候，它与它 视为等价无穷小，当然它是不是可以说它与它视为同阶无穷小也可以，所以不同的类型也就比对着不同的结果，你反过来求里面的参数就可以。这里面它这里是有一个参数的啊， 它直接告诉你两个函数的类型，但是让你反求里面的参数，解体方法完全一样。和这里一样啊，直接用定义法求极限就可以，你把 a 的 数值求出来，与下面的进行匹配就可以了。好，这是无穷小的解数。 呃，这个点也非常容易考的，我就不去多说了。然后我们再来看下一个。 呃，间断点的类型。间断点类型我们也给了两个考点，其实是一个考点啊，只不过是两个不同类型的函数，我们尽可能细致化给大家讲。好，首先第一个考点就是分式函数，它就直接给你个函数，只不过它是个 分数。然后说折在 x 等于一处，它是什么间断点，你就去判定在 x 等于一的时候，它是什么，可去跳跃无穷还是正荡，是哪一个，你就选哪一个就可以了啊，就这么简单。第二一类其实也是间断点，只不过是什么？是分段函数，比如说这种， 它 x 大 于零小，小于零和大于等于零是不同的函数，它是分段函数，这里是分式函数， 而分段函数它一样，它说在零点处是什么间断点，你去如果是连续点就选，这个概率是非常小的啊，这个概率非常小，一般都是在 b 和 c 当中选的比较多啊，这两个选的比较多，你就去根据正常的类型判定，判定出来，然后直接选进来就可以了。同样 在间断点的时候，狠狠给我抓住。什么？抓住三个点啊，左极限、右极限和函数值，把这三个点求出来，去匹配他的定义就行了，我们就不多啰嗦了，这个在学知识点的时候是 一定是讲过的，不管你在线上学还是线下学。 ok， 我 们继续来看到第二一个黑板的预测。第二个黑板的预测主要就是预测极限的计算问题， 极限的计算呢，应该是最最最最基础的内容啊，当然他会考计算题啊，六分会考计算题，我们这里就把这一部分就是计算计算的选择题和计算题一起写了。首先说第一个考点 就是直接带入，这个当然考选择题啊，非常简单，比如说 x 趋近于零的时候，你把它带进去，这一部分是不是等于一就是直接带进去啊？就有点像 x 加一问 x 等于一的时候，你直接把它带进去，不就等于二了吗？这个极限计算，这个带入就直接这么带啊，当然他最多也就考一个选择题啊， 好，再看，考虑二就直接等价，只要你记住公式，你直接等价一下，然后就把它计算出来，非常简单。比如说 x 距离零的时候，他这里等价于四 x 啊，这两个一约就等于三分之四，就直接等价就行了啊，就是非常简单的等价公式，当然选择题直接选就行。 嗯，第三一个，前两个都非常简单。第三一个，呃，也是一样，考选择题他是什么类型呢？他就是这种 下面和上面方框和三角形这种类型。只要是这种方框和三角形的类型啊，计算这一种类型的所有极限全部套用一个公式。什么公式呢？来我这里给大家写。方框三角形是等于 e 的 三角形挪引方框就套用这个公司就可以了啊，不需要什么花里胡哨的，只要你看到这个类型考了，你直接套用他就行了啊，非常简单，全是模板化固定化的内容。 好，再来第四一个点，就是横等变形或者是落笔打法则，这是考选择题或者是计算题，考计算题的概念还概率还挺大的。嗯，来说一下什么题型吧， 比如这个例题， x 在 趋近于七的时候，分母是不是等于它？很多同学会通过十字相乘法等于它，然后这两个再约分约掉 可以，没有，问题是对的。但是最简单的方法是什么？直接分子分比分母，落笔打法则上面等于一，上面不就等于二 x 减四了吗？你再把 那个七给他带进去就可以了啊。好，大家就自己看结果，结果肯定是一样的，计算出来落笔答是更简单啊，对，这一类题直接一步就出答案啊。好，第五一个抓大头，抓大头他就喜欢考这种 四方高的啊，你只需要抓大头，后面的直接不要就行，只保留前面的这种抓大头的，其实也是非常技术，非常简单的。呃，最后一类就是我们的有理化，而有理化分为其实就一类啊，只不过我们给大家分为了更细节的东西，就是分为了三类。比如说第一个例题， 它是什么呢？它是一个根号减去一个长数，这种类型啊，只有一个根号减去一个长数， 这种上下同时乘以这两个相，分母就是一嘛，上下同时乘以这两个相加的形式，好，这是第一种有理化。第二种是在分母上，同样是他啊，在分母上是这种上下同时乘以这两个相加的形式， 好，这是第二个。第三一个类型就是根号减去根号了，是不是两个根号同样分子，分母同时乘以这两个相加， 这就是做题方法了，我都，我都在讲做题方法了，这种类型就是根号减去根号的类型，也是要用油理化的， 所以这一个黑板就把所有的极限内容全部讲完。 ok， 我 们这一个黑板就是二六年广东省的导数部分的所有押题，我们这一个黑板把所有的押题给大家讲完。首先导数这一部分是选择题，一个题 一到两个填空题，然后计算题是两个，一个综合题，我们这里接下来就全部把它讲完。当然选择题是三分一个，所以这里三分，这里是三到六分。计算题两个就是十二分，因为六分一个，这里就是 综合题，我忘了好像是七分还是八分。好，就一个综合题吧。然后我们来看下面的具体的知识点啊。首先第一个一点出了导数值或者是斜率，比如说他说 y 是 等于他的，这是他随便给你个函数啊，不一定是这种函数，反正随便给你个函数， 然后让你去求，在这一点做导数，你是不是，是不是先把导数求出来，先求出 y， x 一 撇，然后再把一给他带进去，好，这就在求导数啊。如果求斜率呢？方法完全一样，和这里完全一样，先把导数求出来，然后再把它带进去，一样的就是斜率的 k。 好， 这是第一种类型，当如果是出选择题，就直接选就行了。 第二个参数方程求导，或者是求斜率，因为斜率和导其实就一个东西，都是在求导啊，只不过换一种问法而已，方法都是完全一样的。 好，来看参数方程，他就给你个参数方程，直接让你求他等于多少，或者是求斜率，他会给你个具体的点，说 x 在 零处，他的斜率等于多少。就这么回事啊，要么直接求，要么求斜率，求斜率也是在求导。好，这是第二，再求第三个。 第三个知识点就是求二阶导，二阶导，选择题和计算题都是有可能考的啊，选择和计算非常简单，朴实无华，给你一个 函数，让你求出他的二次倒，就是求两次倒呗，求完一次再求一次就完了。好，这是第二个。第三，一个微分，微分也很简单，也是填空和计算题啊，这有点送分的意思，但是广东省的出题老头，他就喜欢出这种题目，没办法，就是 我们一切以整体为准，就是想让你们做到一样的题目，一个模板的题目，所以说他除了出的简单，我们预测的也简单，他就给你个函数，然后让你去计算他的一个微分，微分不就是，他不就是导数， 但你要把那个点，比如说是零点出来带进去，就换一个形式，其实微分就是导数啊，都没办法，他就喜欢考微分，我们就说一下呗，最后渐近线，同样渐近线，喜欢考填空题 或者是选择题吧，主要是以填空题啊，填空题或者是选择题，然后这个例题，他就说给你个方程，让你直接求它的渐近线，你通过对应水平和垂直渐近线的求 的方法，把它渐近线求出来就行，不一定是这个函数啊，是这个模板，反正让你求渐近线呗，把这个知识点看一下就行。你们之前在哪里学的？ 比如你在线上学的，你跟着线上的老师把教材看一遍，线下学的，就把线下的老师的教材看一遍。习题册，然后跟我们内部学员学的，内部，我们的内部学员，你直接把对应的教材和或者是习题集做一下就行了。 好，再来引函数求导，或者是求切线，引函数啊，前提是引函数求导或切线求切线，前提你就是要对他求导，然后再把这个点带进去，求出他的切线。 本质上来说都是在求导，只不过就多一步啊，方法就是在求导啊，它会隐函数，是什么函数呢？这种它就是隐函数，比如说啊，它直接会说 y 等于 y， x 是 由这个函数所确定的，那么只要是这种说法， 只要是引函数，它一定是这种说法，这就是在求引函数，它就会直接让你求它的导数，或者是求某一点处的切线。好，这是第一种，这是第一种考法，这是考法一啊，考法一， 考法二是什么呢？就是参数方程求导，都是求导啊。参数方程求导或者求切线，我就不解释了，一样，它直接会说曲线，这是一个参数方程， 然后求在这一点处的切线，或者是它直接写成这种形式，也就是说 x 在 等于四分之派的时候，它的导数是等于多少？ ok， 就是 这 参数放长，主要是要把参数放成怎么求导的这个方法，给巩固一下，然后和引函数怎么求导的方法巩固一下。好，最后第三个考点 就是分段函数求导数，分段函数求导数，比如说当这里写个等于啊，在分段点，在各自的大于和小于上，是不是直接求导？而在这一点处，记得要用定义来求啊， 要用定义来求，这个还是一样，把这三个方法掌握一下，考试直接对应的模板写下去就行了，只是函数不一样， 方法完全一样。 ok， 我 们这一个黑板来看到导数的计算题和综合题就两个题啊。呃，因为计算题前面我们已经提到过，所以这里就再补充一个点。嗯，计算题会求极值或者是凹凸性和拐点，就凹凸性的区间或者是极值的区间。比如说啊，例题， 他给你个函数，但这个函数不重要啊，他考试肯定是不可能一模一样的。给你个函数，然后说他的极值或者是凹凸区间是多少，你把它求出来就可以，就是普普通通的求法啊。 好，这是计算题，再加上我们上一个黑板的就讲完了，然后我们就来看到综合题，综合题 就是考不等式相关的知识点，但是它的形式是不确定的，是多种做多样的，整体来说是和不等式相关，比如说它的考法，它第一个，这是第一小问啊，第一小问， 第一小问它会说通过别的方法，比如说通过变上限积分求解得出 f x， 然后再把 f x 相关的一些性质，把它放到我们的证明题当中来，就把第一个小问放到第二个当中的 证明不等式相关的式子，当然不等式我们给了一个大类的不等式，大家把这个题可以看一下啊，那第二个问它就和这种题差不多，但是第一问它会和 f x 相关，然后把它求出来，再用到这里面啊。好，这就是所有的 我们导数部分的压题，这一个黑白，我们把广东省积分二六年考哪些题给大家压好。一共广东省积分二六年会考一个选择题，一个填空题，两个计算题，一个综合题，当然选择填空都是三分一个，计算题是六分一个。 我们先直接来看我们压的具体哪些知识点。首先第一个就是我们的元函数加计算，元函数自身的定义，再加上计算，但核心我都给他写出来了，核心你要通过元函数的性质求出 f x， 然后或者是求出 f x 的 积分，这个是通过元函数的性质可以直接得到的。但是我就不去讲具体的知识点啊，因为这个在你们学知识点跟谁学的时候，那就讲过，不管是线上还是线下，老师都讲过啊。 好比如说例一，这里怎么是这里啊？例一它是它的一个元函数，然后让你去求这个积分，你要先通过它把 它相关的，比如说 f x 或者是 f x 的 积分先把它求出来，这里其实求积分就够了啊，当然我们不去讲具体的题目，爸爸大家把这种模板，你们自己教材或者刷题册里面的模板多看一下，把这种题多做一下就 ok 了哈。这是第一类题目， 然后再看第二一个知识点，就是定积分比大小，定积分比大小非常喜欢在选择题当中出， 他是怎么考的呢？他就是给你三个积分， i 一 i 二 i 三，然后大概率，我预测他只要是考这一类题，大概率都是上下线 是一样的，只是中间这个背机函数，大家看这个背机函数不一样，然后 a、 b、 c、 d， 就 让你去选择 i 一 i 二 i 三，谁大谁小，排个顺序出来，当然你不用老老实实去， 不用非常老实的把每一个积分计算出来啊，这里技巧都给大家总结好了。技巧，如果上下线相同的情况下，直接比较函数的大小，比如说这里三个是不是上下线相同，然后我就去比较三个函数谁大谁小。假如说举个例子我就随便说啊，假如说， 嗯， i 三最大，然后 i 二 i 一 第二， i 二第三，那么它的顺序就是它是第一大，它是第二大，它是第三大，那么 i 一 i 三 大于 i 一 大于 i 二，就这个顺序啊，就看里面函数谁大谁小。好，这是第二个。再看第三个知识点，偶备机灵，选择填空大题都有可能， 偶倍积零是怎么呢？它就是给你个函数通过，只要是这里上下线是对称的情况下，一个是正，一个为，一个为负，就一定要注意是否能用偶倍积零啊。很多同学一看这一个题， 这个整体令它等于 f x f 负 x 也不是偶函数，也不是奇函数呀。 如果说是一个函数，你直接定，如果是多个函数，两个函数啊，分开看，这一个是不是偶函数，这个是不是奇函数，所以分开看啊。如果是一个就直接看，是两个就分开分为两个积分来进行看。 ok， 好， 再看第四一个。第四一个就是填空题了，最近填空题近几年广东省考的难度越来越高，就不知道为什么他的发散性特别强，东考一个，西考一个，不知道为什么出题老头近两年就特别习惯，不知道是有可能跟老太太吵架了啊， 所以心情不太稳定，出题的习惯风格都不太稳定，所以我们这里给大家一个大致的方向。呃，两个考点，第一个考点， 第一个考点就是变现积分的应用，比如说这里给了一个小例子，这 g g t 是 等于 f x 相关的一个变现积分，如果他对 g t 求倒是把它放进去就可以了。好，第一个填 空题，这里因为出题老头和老太太吵架了，所以说整个的方式不太确定，所以我们给一个大家。这两个和老太太吵架了，所以说整个的方式不太确定，所以我们给一个大家。这两个知识点你掌握好，应该在填空题当中是会出现的啊。就第一个， 我们刚才也说了变现积分，第二个就是反常积分，反常积分就是正常积分，而这里就趋近于无穷。好，这是第二个考点啊，这是填空题部分，然后再来看计算题，计算题 这一部分我们压了三个点，这里是两个点，一会我们把这个黑板擦去，再给大家说第三个点，和综合题一起讲。好，第一个就是拆分积分计算，怎么拆分呢？我们给大家分的非常详细啊，两个点全部给大家列出来。第一个点就是 考点一就是括号拆分，比如说你看这是不是括号，它括号外面有一个，你分别把它乘进去就可以了，把它拆分为两个积分进行计算。 然后比如说我们还可以这个例题啊，这是模板，这是例题，例题，比如这一个你直接拆分进去就可以了啊，就不多讲，当然肯定不可能是原题啊，是类似的题目。第二个考点 就是分式拆分，前面是括号拆分。第二个是分式拆分，也就是分母上出现加或者是减的时候，然后你把它拆为两个分式， 变为两个积分进行计算就可以了，当这也是一个模板，然后我们再给大家把这个写一个例题吧，这里再给大家写一个例题，我写在哪里呢？ 嗯，这是模板，写个例题，写在这里吧， x 再加上除以 x， ok， 就 以这个作为例题，大家可以看一下啊，就这个作为他的例题，是不是可以这从这里拆分开，拆分为两个进行计算啊？ 好，这是计算，你这个考的概率非常大，就是可能老头老太太吵架了，但是老头还是喜欢出这个点，就是他的特性啊，我也不知道，好，再来看啊， 分布积分法，分布积分法，非常喜欢考定积分，在定积分当中考，顺便说一下，我们的计算题，他会考一个定积分 和一个不定积分啊，这里就喜欢考在定积分当中分布积分法，它的模板是什么呢？就是两类不同的函数进行积分，就用我们的分布积分法，比如说啊，这里是随便举个例的，这一个是密函数，这一个 是我们的对数函数，所以两类不同的函数用分布积分法， ok， 我 们这一个黑板就是整个计算题。就积分的计算题啊，最后一个黑板都没写完啊，就两个点，第一个点就是注意一下 换元，三角函数换元和根式换元。首先说根式换元就是根式换元，考点一啊，一旦你看到了根式， 基本上除了三角函数换元之外啊，基本上无脑的。令整个根号等于 t， 比如说这一个题，这个例题啊， 这里就令这一个根式，整个根式直接令它等于 t。 假如说，这里再复杂一点，我再加括号印，哦，不能加括号印啊， 拓上引要根据具体情况，比如说再加一个三 x， 那 也要令这个根号，只要是根号啊，直接令它等于 t， 不要去多想，令它等于 t。 好， 这是第一个。第二一个考点就是三角函数换元。三角函数换元考得出题老头啊，考的最多的就是它， 他虽然吵架了，但是本性不会改啊，所以他非常喜欢考这个模型。你会看，你会看到这里是不是也是有根号，但是根号重不重要？不重要啊？三角函数换元主要是看这里啊， a 平方 减 x 平方或者 x 平方减 a 平方，这是 a 平方加 x 平方啊，这样子啊，主要是看这一个模型啊。嗯，考的最多的就是这三个，一减 x 平方，二减 x 平方，四减 x 平方，这是三个出题老头的执念啊，他非常喜欢考这一类。好，再看第四一个 分段函数求积分，分段函数求积分，但这是定积分啊， 我们在计算题当中，第一个小问是求不定积分，第二个小问就是求定积分。分段函数给一个模型他会给，比如说这里有可能是一，有可能是零，有可能是二，都有可能，反正是个数大于它，小于它是等于多少，然后让你求这个定积分，你会放心啊？ 放心，这一个分段函数的分段点肯定在哪里啊？肯定是在上下线之间，你看 是不是负一和一，是上下线，零是不是在这两个之间，所以你要拆分，从负一到零，从负一到零，从一到零，从一到零，当然负一到零是不是小于零，小于零就是三角形， 从零到一是不是大于零，大于零就是方框，所以这就是这种题的解法，这两个计算出来就比较简单了啊。好，这里整个就是我们所有的积分部分。 ok， 我 们接下来这一个黑板，就把广东省的微分方程和二重积分这两部分全部给大家预测完。 好，我们先来看微分方程。微分方程就考填空题或者是选择题，加起来啊，就考一个，他要么考填空，要么考计算，反正一共考一个题，然后就直接来看知识点了。如果说 第一个点啊，考填空题，他就喜欢考什么 e 阶的微分方程。比如说这个例子，他直接给你个 e 阶微分方程，让你去求出它的解，也就是求出 y， 或者是让你求出 y， 当 x 等于零的时候， y 等于多少？嗯，这一个其实就是把 y 求出来，再把 x 等于零带进去就没了呗。好，这是第一个，再看第二个点，第二个点就是其次的解，就是求二阶啊，当然是二阶，二阶。其次的解，填空题和计算题 都有可能考，而考计算题的概率要大一些啊，比填空题要大一些好。再来看立体边，他就是直接给你个 呃，二阶的微分方程，它这里等于零，所以才是其次嘛，让你求它的通解，然后这个 没什么好说的，标准流程啊，标准流程直接做就行了，我就不去多讲了，大家把这个流程走一下，做几道例题就行了。好，第三，一个已知解反求参数。什么意思呢？就是 比如说这些我们是不是都是求它 y 等于多少， y 等于多少，都是求的解，但是他有的题目他就会直接把解告诉你，但是在参数就是在这个 呃，这个方程里面，比如说他这里就不是等于十了，他就写个 a， 他 这个就用 a 来代替十，他已知解，让你反过来求这个 a， 这个题就是已知解反求参数。 嗯，他求完参数之后，这个方程是不是就知道了？然后再让你去求通解来，比如说看这个题啊，这个题他说他是这一个方程的 通解。好，它是它的通解，我们是不是就已知解反求这里面的 p 和 q 的 参数？如果说你通过它把 p 和 q 求出来，是不是这个方程就完整了？再通过这个完整的方程让你求出它的通解，它让你求通解，你必须要把 p 和 q 求出来才能求通解啊。 好，这是第三个点。然后我们再来看多元函数啊，多元函数刚才是微分方程，接下来是多元函数。多元函数它可能会考一个 填空题，因为去年就没有考填空题，但是之前又考了，所以出题相对而言没有那么稳定。填空题可能考，可能不考，但是计算题一定会考，所以我们就来看。呃，第一类题型就是直接求求常规的 二二元函数的偏导。比如说啊，给个例子，他说这是一个二元的函数，然后让你去求 z 对 x 求导，或者是 z 对 y 求导。 呃，都可以啊，这是求一阶嘛？第二种，或者是 z 对 x 求导完，再对 y 求导，或者是对 x 求二阶导，这里其实就是在求二阶啊， 这里其实是一阶，要么求一阶，要么求二阶，这个当然也是常规方法，常规思路。好，再来看第二一个，第二个，引函数求偏导，这个 很有可能考大题啊，就是我预测他今年是会考计算题，也就大题啊，大题当中的计算这个笔，我不知道为什么这个笔他有的时候写出来特别特别细啊，这个字好，引函数求组合偏导是什么意思呢？ 他一旦考到组合偏导，就是在大题计算题当中考啊，所以说，我预测今年广东省的 多元函数引函数求偏导的组合就就会在大题当中考啊。呃，我就不写了，直接就写这里。大题他怎么写的呢？他直接说 z， 他 是由这个东西所确定，他是有什么确定的？那么他就是引函数， 这个就是引函数啊，包括在这是二元一元当中也会这么说啊，只要说了它是有什么确定，就是引函数，然后让你去求， 你看这里写个二倍的，它再加上它，其实就是把 z 对 x 求偏导求出来，再 z 对 y 求偏导求出来， z 对 x 求偏导，乘以个二，然后两项加就可以了，本质来说还是在求偏导，所以大家把引函数求偏导注意一下，它会考大体啊。 好，这是多余函数。然后我们再来看二重积分的内容，二重积分选择和填空题加起来考一个，要么考选择，要么填考填空，然后再考一个计算题， 接下来来看，嗯，第一种题型就是交换积分秩序，他考选择和填空题，如果考选择题，他就考选择，如果考填空，他就考填空，考小题目 概率大一点啊。小题目他就直接给你个二重积分，然后说交换他的次序，就是给个二重积分，让你交换他的二重次序，就没有别的了，就这个。然后再来看第二个点，就是考级坐标， 嗯，极坐标喜欢在计算题当中出现的比较多，在我们计算题而计算二乘极坐标，计算二乘积分，就是这种，他直接给你个二乘积分，然后把 d 的 范围给你，他有的时候会直接这么给你，有的时候会这种，就是 d 有 什么有什么，有什么为成的， 这两种给的方式完全一完全一样啊，他直接给你这个，他也是这个意思，给围城的，就说的详细一点，做题的方法上完全是一样的，没有任何区别， 然后再看。呃，二重集坐标做二重积分，给大家一个点，只要一旦出现了 x 平方加 y 平方这种，只要出现了这个元素，百分九十九啊，百分之九十九就是用几坐标，比如说这里就出现了，你看，比如说这里也出现了，所以这两个地方一个地方出现了他，你就要想到用几坐标。而这第一个点，第二、第三一个方向就是正常的 x y 型求二重积分，这个就是普通方法，就是最最最常规的方法，就是它就没什么特别的，给你个 d， 然后就让你计算它，你把第一步画图， 第二步按照口诀，什么后机先定线，线内画条线，先交写下线后交写叉线，这都是， 这是讲知识点讲烂了的地方啊，你们只要是线上线下，不管在哪里学的啊，都讲过啊，都讲知识点讲烂了，我们内部学员你肯定口诀做梦都能备注啊。同样，这里也是一样啊，也是先画图 再解析啊，如果求极坐标也一样。好，这一个黑板，我们就把微分方程二多元函数二重积分全部预测完。 ok， 我 们最后一个黑板，把广东省的极数，包括 去年，就以前广东省从来没考过的曲线积分啊，去年二五年考了，今年应该大概率还会延续，所以我们给大家梳理一下。好，我们先来看广东省的极速选择和填空题，选择和填空题 加起来出一道，也就是选择题出一道，或者是填空题出选择不出选择，反正就一道，然后再加一道计算题出一道题。嗯，一共分了三个知识点，第一个 已知一个抽象极数，判定另一个极数，比如说举个例子，这种题型，他说 这一个极数是收敛的，则下列极数是收，当他只问一个啊，是收敛或者是发散，如果他是收敛的，你就选收敛的，如果他问发散的，你就选发散的，而这些极数都是跟，比如这里是 u n， 这里全部都是跟 u n 相关的表达式。 好，这里就是第一个知识点，再看第二个知识点，已知极速求极限，就是先告诉你一个极限信息，哦，极速信息啊，再问你极限信息。 好，我们先看第一个题啊，这就是其中的典型的例题啊，他说他是瘦脸的，问他是怎么样的，这就是是我们押题卷里面的一道题啊，我很这里很多题都是押题卷里面直接给大家拿出来的啊。好，这种题 大家去了解它的性质来做题，这个还是要回到知识点，你知识点在哪里学的，你就往哪个地方去看一下，如果我们内部学员，我们应该讲的是比较清楚的啊，就看你们知识点在哪里学的。好。再看第三个点，判断极数的联想性，哎呀， 判断极数的联想性，嗯，比如说他就直接给你个极数，让你判断它的联想性，这个是出什么？ 他居然是出计算题啊，就是出大题啊，计算题是在二六年，我预测他是会出计算题啊，所以说这就是极速的部分。最后我们再来看到 曲线积分的部分，嗯，曲线积分这一部分二五年以前从来没考过，广东省的考纲范围特别大，但是考的范围比较小，而二五年之前从来没考过这类题，这是二五年第一年考，今年我觉得他会延续下来，因为他今年如果再不延续他去掉的话，他明年又又重新出来考， 就会遭骂吗？所以说我觉得他会考的啊，来吧。嗯，曲线他分为三种类型的题目。第一种，告诉你一个曲线，这是什么 参数方程的曲线啊，这是我们的参数方程，求曲线的形式啊。这个就不说了，大家把这题，这是有固定的，这里三道题啊， 全部都是有固定的解析套路，你们在哪里学的知识点还是一样，不管是线上线下，老师只要教了这一部分，应该这是知识点，都是教过的啊。好。第二一个，它由它连接到它两段的直线线段，对弧长的曲线积分部分，让你去求这个曲线积分，这都是第一类啊，我们再看第二类曲线积分， 它就是说 f x 是 由这个所正向的方向围成的，当然它这个是圆的面积，它有的时候它会给椭圆啊， 这里是圆啊，有的时候它会给你一个椭圆的图形，都一样，反正是一个闭合的区间，然后让你去求这一个，这个就是用格林公式来求啊，所以大家注意下这三个题。好，这里所有的内容，我们就 把二六年广东省的全部预测给大家写完了，大家好好考，到时候来看一下有哪些考中呢？拜拜。

不知道你们发现没，今年吐槽河南专升本体男的人挺多的，往年这个时候各大机构早都坐不住了，开始疯狂宣传，我们压住了百分之八十的原题，各种喜报全网都是，今年发现没这些声音直接小了很多。 为啥呢？因为二六年河南专升本完全不按常理出排，出题人直接把高频考点全避开了， 专挑冷门的考卷子，简直是难倒了一片英雄好汉拿到手直接蒙圈，机构根本压不中。但是还有少数的机构在硬吹教材，出过相关的知识点就敢说压中原题教材那么厚，随便扯出来个相关内容就来割韭菜了，这偷换概念的套路真的太六了。 以前靠押题或许能混点分，今年纯靠硬实力说话，谁基础扎实谁才能笑到最后。劝告二七届考试的宝子们，一定要擦亮眼睛，别信他们所谓的押题玄学，遇到这种说押题的直接拉黑，好好学习，一步一步走才是升本的王道！

最近有很多同学发我一些题目，问我这个题型考不考，感觉越学越焦虑，越学，感觉有很多东西还是不会相信，有很多同学有类似的情况，那这个视频希望对你们会有所帮助。以下是我罗列的一些你学过但几乎没有考过的知识点， 眼尖的同学会发现，这个欧拉方程不是在一五还是一六年这张卷子已经考过了吗？那我想说的是， 在考纲当中，这个未分方程，他主要考察的是这个一阶线型方程，可分离变量型的这个文方程以及其次方程。二阶里面呢，他考这个二阶，其次和二阶非其次。那像这种超纲的题， 其实你会发现，近近五年，近八年，近近七年，他都没有考过了，你要知道，超纲的题目他不是常态啊。那不，这个不能一直超纲对不对？ 那么像类似于这种你陌生的感，又感觉学过的，其实还有很多很多你学不完的， 大家这么想你就能想通，如果你站在二三年的考生视角，你是不是在担心下面的知识点他会考，但是你看二三年这张卷子他有没有考到？同理，如果你站在二十四年，二五年这个考生的视角，你可能会担心，哎，这个假币经理啊，反函数求导啊。呃，区间在线公式啊，这种证明题考不考 也没有考到，对吧？那你说二六年他会考吗？我不能说绝对不考，因为我也没有看到卷子，那到时候万一考到了，你放心，即使认真学过这些，所有指点同学他也不一定做的出来。到时候你可能还会在评论区喷我说你说不考的，你看他考到了吧？ 我说这些知识点是可以学可以学的啊，但起码你现在要有一百四十分的水平。当然你要做好心理准备。就是你花了十几天的时间去研究这些题型，但是最后考试的时候啊，他一道都没有考到。 那不如我们把这些时间都花在巩固常考题型上面，你说对不对？这才是提分效率最高的方法。 至于哪些题型必考，我都整理在冲刺课里了，你只要跟着我学就行，不需要自己去整理和总结。偏的题型我是不讲的，因为在最后阶段我们必须提高复习的效率。

大家好，我们今天来压广东专升本的英语作文押题，那么先展示一下战绩吧，我二三到二五年的广东专升本连续押中，然后历年的高考也经常押中，这个都是历年视频可以看的，而且最近的广东高质高考，对吧？我也押中了， 那么这是我二五年的广东专升本的一个押题，对吧？我当时押了啊，可能存在通知什么，什么活动，对吧？还有我们的目的可能会考到要求时间，那么在去年他就我们的茶话会里面不就都考了，对不对？ 那么来看一下，为什么我每年经常都是能压中我们的作文的，因为我的押题跟很多老师不一样，很多老师可能说，哦，今年时政政治可能考，医疗可能考健康可能考这个跟那个的。 我的押题是根据历年的一个作文来进行押题的，再配上我的万能模板，那么来看一下我们历年的一个考试内容，对吧？我们会发现，对吧？他经常有一个东西是类似的，什么东西类似的呢？就是你看我们的作文要求，他很多都有介绍活动内容是什么，对不对？还有我们的时间地点， 对吧？那么我们就可以推理出我后面会不会在今年考出时间地点。例如像二一二年，他属于之前一直考，时间地点考的很平凡，但是在二三二四年他刚好没有考，那么我就合理的推测二五年他大概率会考，那么二五年的时候就刮目就考到了，对不对？那么我推断今年二六年也大概率会考时间地点。 那么后面我再讲一下，今年大概你会考的一个重要要求是什么？后面再讲，我们现在讲一下主题预测，这什么是主题预测呢？就是我们茶话会啊，体育锻炼啊，学习英语啊，这个本质上都是一个呃，我们的一个主题，但是主题是一般情况下，就是也是不太需要去背的， 但是有些不太懂，但是同学一点都不懂，对吧？那么怎么办呢？就是他可能给你个主题体育活动，好，我体育这个词不懂得写，怎么办，对吧？凉拌炒鸡蛋，那么 这里我就给出一些主题，就是背完这些主题后，那么今年大率如果考到的话，你直接写这个主题，当时你知道这个主题当时是什么，你就能写上去。而在今年高招高考我里面也押中了，那么好，那么这个主题的这个截图大家可以给他截下来， 我们来看一下我们的二六年的作文押策，那么二六年我觉得他百分之六十还是会考，就是我们通知类的一个作文模板，就报导直接他本质上只要不是写信，他都是通知类的一个作文。 那么像通知类的这个作文为什么会考呢？因为我们看一下来，他之前都连续两年考一个同样类似的，你看连续三年，那么今年我觉得大概率也是还会考这个通知类的，而且通知类也是这几年作文转型的一个重点，那么他做要求对吧？ 大概率会以时间地点以及我们的啊介绍这个活动的内容，介绍这个活动的理由，还有我们这次的活动感受，或者说啊你对这次事件的一个感受，还有我们的期待回复之类的一些要求，这些就是我们今年大概率会考的一个部分， 那么要完题后，我们就要看一下我们作业要求了，就是我们作文要拿高分，本质上就是我们要按照这个要求去评分，对吧？那么我们这要求一般情况下你写对主题五分保底，就是你如果跑题，那你写邀请信，你写那个 通知什么的，那么你直接五分以下，但是你只要写对，是哦，我这个邀请信那么五分起步，那么后面的一个要求，两个要求就是我们分别涨分的一个关键，你要看像这个作文，对吧？我们写的它电子邮件，对吧？它是一个建议性，是不是？那么它是个建议性， 你这个写对了，你就有个五分，那么你以上的每个要求，你只要写对一个，就大概是三四分，三四分的这样子加，那好，来看一下我们的每个要求，你只要写对一个，就大概是三四分的这样子加，那好，来看一下。我们再换个思路，就是 我们其实所有的作文它本质上都是一个介绍信，就是为什么很多同学即使我当年没有押题，他也能拿到高分，就是因为我这模板，他把所有的信件都改成了介绍信这一个模板，那么介绍信这模板就很简单了，对吧？为什么是介绍信？你想想，如果是通知，是不是介绍活动内容， 活动的时间地点，活动的 xx， 对 吧？邀请信，哦，我们这地方为什么好？你为什么参加这个活动，对吧？都是要介绍来介绍去的， 那么这个就是我们的模板的核心灵魂，那么看一下我们的万能模板，好，第一个就是开头部分，对吧？第一个你要看像这个信件类开头，对吧？我是李华，作为名字啊，叉叉叉的学生，对吧？这里我们分别有两个身份，就是一个是学生，一个是一个朋友。那么如果你是写通知之类的，或者说写给那个外教之类的，你就写 一个学生的身份，那么如果你写朋友那些以朋友的身份，对吧？我写这封信，那么这里我们也是可以改成通知，我写这个通知了，作为一名学生，我喜欢英语活动，对吧？我写这个通知是为了跟大家通知这个活动，对吧？那么然后这里 大家注意哦，就是这里有个度，对吧？但是大家不要把这个度就真的写成一个度了，他本像是一个动词，这后面都是一个替换的动词，就是介绍、邀请、跑调，其实都是一个动词，对吧？为了介绍 你看，然后我们再写个对象，就是你若不懂单词的话，写到这里，对吧？哦，是为了去道歉，然后写到这里就可以了，也行。但是如果你懂一点单词的话，你知道他的对象是谁，比如说啊，对象是外教，对象是你，对象是全体学生，对不对？那么你要看你这里就可以写个啊，我这个 信是为了去邀请你，对吧？然后这个是非信开头，这个其实也是可以写通知的，对不对？那么因为像我们这通知是一个社会问题的话，你要随着社会的发展，这个 事情变得越来越重要了，那么很慎重的思考，为什么需要他？若是写非信类的，或者说报导类的话，我们就可以用这个开头，但是重点要把这个给它背下来。好的，那么第二个就是我们转接器了，那以下的细节或以下的理由， 如果你是写介绍东西的话，那么你就写以下细节，如果你是写道歉啊，或者是说介意啊，那么我们写理由会比较好，那么基本上是为了介绍我的观点，为了介绍这个世界，为了介绍这个活动，为了介绍这份信封的通知，基本上我们在这里只要改一两个单词，这个就是我们模板的万能性了，因为模板哎，你看 他直接把这个各种类型的，我们就直接写上去就可以了。然后第三个就是我们的这个要求标志为什么要写上去？因为第二、第三经典三种事为什么这样写？因为 我们如果没有就是这个标志词的话，老师他评分，我们刚是不是说了，我们的评分上了一个要求两个要求的，那么你写了这个乱七八糟挤成一堆，那么老师看起来都乱，他怎么会给你个高分，对吧？那么放过别人也是放过自己，你把这要求的标志词写上去， 老师评分舒服了，给你的分数也会相对比较高，那么接下来就是我们的作为要求了，那么这个也是我们拿分的关键来。第一个就是时间地点了，对吧？那么时间地点啊，这个活动将于几月几天那个几点开始，对吧？请准时到达，那么来看， 若是那地点的，我们就写这个。第二个就是介绍某一个东西，这个是我们作文模板的一个重点，就是这次今年大概会考到的，大家一定要注意啊，就是你要去介绍个东西，那么我们怎么写呢？就是你这东西非常的有意思，对吧？你这个活动，你这个人这个事，对吧？那么基本上我们任何的作用，无非就是讲活动， 无非就是讲人，无非就是讲这件事，对吧？那么基本上这三个三覆盖了，你根据重要要求你去写一个就可以了，那么是非常有意思的，对吧？我相信你一定会感兴趣，对吧？你要这个东西肯定扔，对吧？哎，这个东西很感兴趣，对不对？那么我们可能会有一些活动，对吧？那么今年例如是考那个体育的啊？好， 我们这个活动包括那个体育，那个乒乓球，包括羽毛球，对吧？那么我们可以写，我们安排包括 a 和 b 和 c， 那 么这个大家可以自己去写，那么如果这不懂得写怎么办呢？ 用拼音，哪个拼音会扣你零点五分，但是我们总体的收益是比较高的，因为你写对一个要求的话，你是大概能拿到三到四分的，那么你三到四分再扣个一点五分，至少你的分数是相对比较高一点点的。还有我们的第二个就是你介绍东西，对吧？我们还有第二个方法，就是啊，这东西是好的，因为它有很多的优点， 那么叉叉叉只要被用于正确的方向，那么它就会有利于学生成长，社会和谐，那么基本上学生的社会和谐就是一个通用的覆盖的一个东西。好，那么这些积极影响这个部分就基本上不用背了，对吧？我们基本上背到这里就可以了。 好，那么我们再看一下下一个这个也是要重点背的。那么第三个就是表达你的观点，就是说哦，你对这个事情的看法，对这个事情的一个东西，或者说这个也你的看法，其实本上也是你介绍某个东西的理由，那么其实我们这里都是可以 把它写在我们的观点类跟我们介绍类的，那么我们怎么写呢？对吧？好友的事，我认为这个事情是好的，因为他有很多优势，其实我之前正反其实都是可以写的，当时我发现就是我们的作业要求，他并不会强生要求，我们就说，哦，一定要写正，一定要写反的，所以我索性就是把所有的作业，对吧？这个给他弄成一个 啊，这是一个好事，直接一个一方倒的一个好，这个过去，这样的话可以节约大家背的一个时间，那么我们也有一些进阶版的玩法，这什么进阶版的玩法呢？就是叉叉叉，对吧？只要他被用正确方向， 那么就会利于学生成长，或者说侍卫的和谐，对吧？若是跟学习相关的，跟那个学生成长相关的，那么就学生成长了，对吧？那么如果是跟侍卫相关的，或者跟其他相关，那侍卫和谐什么事情都是为了侍卫和谐，对不对？那好， 我们这里你要这个叉叉叉，你就自己去替换了，好，那么这个大家也要去背下来，这也很重要。第四个就是措施类，那么例如我们这活动说，我们应该对这个事情应该做点什么事情的话，我们该怎么样呢？我们应该采取一个积极的活动，对吧？积极的措施，对吧？那么什么是积极措施呢？对吧？ 充足的准备对吧？准备就是积极的措施，是不是？那么我们为什么去准备呢？因为随着社会的发展，这个变得越来越重要，哎，各位同学有没有发现，这个跟我们的开头这个要求也是一样的，对不对？那么我们就是尽可能的节约大家背的一个时间。好的，那么我们直接来看一下下一个 邀请了，我相信你在这个活动会发挥很重要的作用，没有你我们就难以成功嘛，道德绑架一下嘛，对不对？好，那么第五个就是作用类，那么第六个作用类，这个也是要重点背的，就是他说你这个活动有什么用，对吧？或者说你邀请别人的时候，你也可以写这个，对吧？这作用类也是可以属于邀请的，因为你想想吧，你邀请别人的话，你是不是 要写哦，我这个东西有什么用才能去吸引别人呢？对不对？那么你看你可可以写哦，这个通知这个活动其实主要还是这个活动，他目的是为了提高学生的学习能力，脱困学生的一个视野，对吧？当然还有一些其他方法。后面我们再讲这个模板的时候，我们再来讲一下， 来，我们这里面有个万能结语，就是这个东西就像一扇窗，为我们或者说为你打开一个新世界，通过它我们可以更好的学习知识，解决问题，处理人际关系，面对未来，帮助他人。了解中西方文化，对吧？如果你是学英语的话，就是了解西方文化，如果你是介绍中国的，非遗，中国的，中国的啊，传统节日，对吧？那么 就是我们的一个中国文化了，对不对？那么如果是锻炼身体对吧？好，那么就面对未来，如果是跟帮助他人，或者说啊人际关系，像去年朝会，对吧？更好的处理人际关系是不是一个很重要的？ 不是学习某种技能，对吧？我们学习啊，兼职之类的一个东西，对不对？或者说工作之类的一个东西，对不对？那么我们就学习知识，解决问题，对吧？你如果，对吧，你还缺单词的话，你写完一个要求后，对吧？你可以加个 end， 然后再附上另一个要求，最多两个。哦，那好，我们基本上到这里我们的字数也差不多够了，但是有些同学都不能是印钞，对吧？可能存在字数不够的情况下，那么怎么写呢？对吧？非常感谢你阅读的来信，或者说如果是一篇通知的话，那么 你就把这个信改成这篇通知，但是你写通知的话，基本上到这里就结束了，然后你如果你写信的话，你可以把后面的这个给他写进去，而且这个也是个重要要求，就是我们会有些信说，哦， 就是邀请信哦，期待你的一个到来，期待你的一个回复，对吧？那么我们这后面这个一下背下来，那么基本上全面加起来就是一百多个单词，一百多不懂单词，那么我们如何稳拿高分呢？第一个就是抄，使劲的抄，就是这个是我亲身的一个经历，就是我当年高考时候，我明明压对了作文，但是我当时提笔就忘记了，我忘记 这个东西，我明明就会写，但是我就是不会写，背，没有办法，因为我的脑子跟我的手他是背不上的，就是有一两个字母我可能都会写出，所以我们要抄这模板，你要抄出记号去抄他个十几二十遍，抄出你就你提起笔，你放在纸上，你就直接夸夸夸的写出来了，这个是我发现的最好用的方法。 第二个就是背一些作文要求，就是啊，你可以背一些其他类型的一个作文要求，那么其实我们考试我们开头结尾可以覆盖所有的作文都是可以的， 但是我们这作为要求它是存在变化的，所以这一部分大家如果有条件的话，可以自己去背一些。第三个就是我们要拿一些真题去练习，就是或者说拿一些练习题用这个模板去套，就是你要套啊，我这个东西的思路是怎么样的？这种东西今天我那个随着社会的发展，这个事情变得越来越重要，然后怎么样说 你在抄后，你要去拿真题去套，这样子才能拼出高分。那么在我的小店里面其实也是准备了一些题目，大家有需要的话可以购买，然后里面有一些进阶版的作文要求在万能模板里面的，那么大家有需要的话可以直接去买。那么第四个就是我们在中升本考试前，对吧？我们还有一小段时间， 那么在这一小段时间内，你要拿起你的笔，不断的抄抄抄抄，然后等到灵感一开，你马上就先把作文给它抄下来，不要浪费你的记忆中任何一点记忆，知道吗？好的，那么本期视频就到此结束了，希望大家点赞生点赞，越多更新越快，拜拜。