2022新一卷数学立体几何

同学们好，我是汪老师。这节课我们一起来看一下二零二二年新高考一卷立体集合大体如图，值三棱柱 abcaebce 的体积为四 三角形 a、 e、 b、 c 的面积位两倍根号二。第一位，求 a 到平面 a、 e、 b、 c 的距离。 先仔细分析一下题给条件，第一个值，三棱柱是什么意思？他有什么特点？ 我们知道直三棱柱是侧轮垂直于底面的三棱柱，所以这里有个隐藏性期是侧棱 aea 垂直于底面。 那么告诉你这个值三棱柱的体积是四三角形 aebc 的面积是两倍，根号啊。这样的话，求 a 到平面 abc 的距离。我们就可以用等体积法来看， 以 a 一为顶点， abc 为底面的这个三棱锥，他的体积是这个值三棱柱的体积的三分之一，因为他们是同体等高的，一个是棱锥，一个是棱柱， 求出来这个棱锥的体积是三分之四。而这个棱锥 aeabc 又可以看作以 a 为顶点， aebc 为底面这样的一个三棱锥，那么这个三棱锥它的体积是等于三分之一倍的底面积乘以高底面积就是三角形 aebc 的面积， 高就是我们要求的这个 a 到平面 abc 的距离。我们再把直带进去，他是三分之一乘上底面积，底面积是两倍，根号二，再乘上高， 这个是等于三分之四的，所以高他就等于 分号哈。这个也就是 a 到平面 aebc 的距离。这个第一问，我们用的是等体积法来求点到平面的距离。 接下来看第二问，设 d 为 aec 的终点 aae 等于 ab 平面 aebc， 垂直平面 abbea 一求二面角 abdc 等阵线值。 这第二问，我们可以用几何法和间隙法两种方法来求一下。当然，无论哪种方法，我们都是要根据题目条件，先把这个棱柱的一些棱长 求出来。首先由直三棱柱 abcaebce， 我们可以得到 aea 垂直于底面，这样的话就有 a ea 垂直 ab， 那么在直角三角形 aeab 中， aea 等于 ab， 所以这是一个等腰直角三角形。不妨设 aaea 等于 a， 那么 ab 也等于 a， 这样的话 a 一 b 等于根号二 a， 而这个 aeabb 一，它是一个正方形， 所以 ab 一会垂直 ab。 再结合题目给我们的第三个条件， 平面 aebc 垂直平面 abbea 一。怎么用上这个面面垂直的条件，我们需要先观察一下两个平面的胶线是谁，他们的胶线是 ab， 这样的话 ab 一垂直两个平面的交线，那么 ab 一就垂直于平面 aebc。 由这个思路，我们把过程写一下，连接 ab 一， 因为平面 aebc 垂直平面 abbeae。 然后还要写清楚两个平面的交易 线是谁， 胶线是 a e b， 那么我们根据面面垂直到姓氏的定力，垂直于胶线的直线会与另一个平面垂直，这样的话就有 ab 一 垂直平面 aebc。 我们再另这两个直线的焦点是一，由线面垂直，我们知道 a 一就是点 a 到平面 a 一 bc 的距离。而第一问，我们求出了 a 到平面 abc 的距离是根号二，所以 a 一就等于根号二， 这样的话我们就可以得到在直角三角形 a eab 中， a 是等于二的， 这个是棱 aae 和 ab 的长度，现在还有 bc 和 ac 的长度，不知道他们怎么求？ 首先由前面的这个 ab 一垂直平面 abc， 我们可以得到 ab， 一，就垂直这个平面内的任意 一条直线也会垂直 bc， 这是第一个隐藏信息，那么 bc 还会吹吹谁？ 由前面的这个值三棱柱可以得到 aae 垂直平面 abc， 其实这里我们也可以得到一个隐藏信息， aae 还会垂直 bc， 这样的话就得到了 bc 垂直 aaebc 垂直 ab， 那么由这两组垂直，我们就可以得到 bc 会垂直平面 a， e， a， b， 这样就有 b， c 垂直 a b， 同样的 bc， 他也会垂直 ab， 那么在直角三角形 abc 中 三角形的面积题目已经告诉了你是两倍更好。二，它是等于二分之一的底层高，也就等于二分之一乘上 a， b 乘上 bc， 而 aeb 是等于根号 are a 的，所以这个是等于两倍根号 are 再乘上 bc， 最后算得 bc 等于二。 这样我们就根据题目条件，把这个三棱柱的一些冷场求出来了。利用这些冷场，我们再来求二面角的正形纸。 先用几何法来看一下要求二面角 abdc 的正线值，我们需要把这个二面角的一个平面角给找到，在找之前，我们还有一个题目条件没有用上， d 是 abc 的终点，这个条件怎么用？ 因为这个 aea 垂直于底面，所以 aaa 垂直于 ac， 这样的话，在直角三角形 aeac 中， d 为斜边的终点，那么 ad 就等于 cd， 而我们在前面求出来 a b 是等于 bc 的 bd 等于 bd， 这样的话三边相等，那么我们就有三角形 abd 全等于三角形 cbd。 接下来再过这个二面角的公共能 b d 做垂线， 过 a 点做 a h 垂直， b、 d 垂足为 h 点。因为两个三角形垂直，所以你连接这个 c h 的话， c、 h 也是垂直 b d 的， 这样就找到了两个平面内垂直于公共能的直线 h 和 ch， 那么 ah 和 ch 的假角就是我们这个二面角的一个平面角，最后再把这个上一角 ahc 求出来就行了。那么怎么求呢？ 这里我们需要在三角形 ahc 中把它的三边求出来。首先比较简单的是 ac 的长度， ac 它是直角三角形 abc 的斜边，而这个 ab 是等于 bc 的，所以 ac 等于根号二倍的 bc， 也就等于两倍根号二。 再来看 ah 怎么算，我们可以把三角形 abd 单独拎出来。其实 仔细观察一下哈，这个 ad 和 bd， 它分别是直角三角形 aeac 和直角三角形 aebc 的斜边的中线， 所以 ad 和 bd， 它的长度都等于斜边的一半，也就是二分之一 aec 的长度。 而 aec 的长度我们用勾股定理来看，它是等于二分之一根号下 aa 一的平方，也就是二的平方加上 ac 的平方，也就是两倍根号二的平方。最后算一下，等于根号三， 我们再把这个长度在三角形 abd 里面标下， ab 等于 bd 等于根号三， ab 等于二。这样的话，在等幺三角形 abd 中，我们可以先把这个 d 到 ab 的距离给求出来， 设 df 垂直 ab， 那么 df 它的长度用勾股定理，也就是根号下三减一等于根号二， 那么三角形 abd， 它的面积就等于二分之一的底层高等于二分之一，乘以二乘上根号二，等于根号二。同样的这个三角形 abd， 它的面积 还可以用二分之一乘上 b， d 乘上 ah 来算，因为 ah 是 bd 上面的高，我们把值带进去， bd 的长度就是根号三， 那么 ah 的长度就等于两倍，根号二除以根号三， 这里我就不画剪，这个长度也是 ch 的长度，这样的话，最后在三角形 ahc 中， 我们可以用余弦定理，先把这个科三一角 ahc 给算一下，它是等于 ah 方， 加上 ch 方，减去 ac 的平方，除以两倍的 ah 的长度，呈上 ch 的长度，再带直进去， 等于三分之八，加上三分之八，减去八除以二乘上三分之八。最后算一下，这个等于负的二分之一， 求出夹角的余弦值，那么正弦值就等于 二分之根号三，这就是我们利用几合法来求二面角的正弦值。我们是先根据 三角形 abd 和三角形 cbd 全等，那么做 cah 垂直 bd 就有 ch 垂直 bd， 这样的话， 角 ahc 就是二面角的一个平面角。最后利用长度关系，利用余弦定理，先把这个角 ahc 的余弦直求出来，最终求得这个正弦值是二分之，跟好三得出答案。 接下来我们再来看一下怎么用间隙法来求二面角 abdc 的正线制。首先是要间隙，由前面我们知道。

来看一下今年新高考一卷的立体几个考察。以往呢是两小一大的题，今年出现的三小一大，三小一大就二十七分了。第四题考察的是台体的体积公式。第八题考察的外接球的一个综合问题。第九题考察的是线线角线面角， 而大体考察点面具和二面角。可以说考察的很全面了。我们来看一下这个单选压轴。 这个题考察的是正四龙锥的一个外接球问题。我们说正龙锥以及侧轮相等的龙锥都可以用圆锥模型。这个在我五月五号的视频里面有讲解。 我们可以列方程，也可以利用直角三角形摄影定理得出。外接球的半径公式是这么一个，他告诉你体积，也就是知道半径。我们的底下的外接员半径 h 跟 l 有这么一个关系。那么体积公式呈现出一个关于 l 的一个函数。当然大部分做到这可能会想到利用导数去求他的范围。这里呢，我说一下高一同学也能做的一个方法，那就是三亿元不等式， 就是三个重数的算数平均数不小于他们的几个平均数。也就是 a 乘 b 乘 c， 小于等于三分之 a 加 b 加 c 的三次方。把最大之球套答案只有 c 选项。

亲爱的同学们，老师们大家好，这个微课我们主要讲讲二零二二年全国新高考一卷第十九题，那么这道题表面上非常频繁，但是实际上一点都不简单，虽然做起来是有一定难度，这也是体现出初学者精心秘制啊。 这个看起来学生啊，右手啊，就是不是太难，因为这个图形学生见的很多，但是呢，这个也能考察学生直观想象、逻辑推理和数学计算等核心素养啊。 在第二小窝中，可以间隙，也可以不间隙，我们两种方法都做介绍，那么在学习解题的时候，我非常推崇啊，这个由于我老师啊，对于这个高傲题的电视研究这样的研究风格，当然我们广州很多其他教育员也在这样做这样的研究， ok， 好了，呃，还有我 非常推崇这个吴康老师。刚昨天啊，我也是刚发啊，收到之后，他的这个对幺幺七，对，这个也是七题啊啊，就今年的高考时期的体检推广 这种研究方式呢，我觉得也是非常不错的，当然你要做出这样的研究，肯定要有一定长期的积累和水平，是吧，这个就是我们所谓的数学核心素养，对比其他简单呢，我们同时都是平常讲的都是这样的， 做一题丢一题，一直往下做，没办法，因为我们做出答案，哪怕你们做出一半还没做出来，你要的赶紧往下做， 因为实际考试时间紧啊，是吧，只有两个小时。但是如果你天天这样做题做题，这是为了获得答案，对你提高数学理解真的有帮助吗？如果有帮助，我们高三学生可能做了上 千上万道题，数百份的各种模拟卷呢，但对高考有多大的作用？仅仅是把基础知识打牢一点而已嘛，是吧，但是 还是不够啊。所以这个例子中啊，吴教授已经不仅是在做题或刷题了，而是在研究题目。因此我认为新高考学生要学习成功的关键在你把平时的做题变成去真正的去研究一个问题， 在这过研究过中，你才能培养你的各种数学的核心素养。就像为东一大神所说的，他说他真正做题并不多，但想的题目多，他想题目不满足做已有的题， 这是我说的题目仅仅是素材。做题不仅仅是为了获得答案，他在常常给自己出题，不断的给自己提问题，要长时间去冥想，当然在需要花时间， 是吧，寻找答案花时间太多，要平衡啊，因为你这个墙那可可能变弱了，这没办法逐一公布啊，这是学数学一个基本的方法。好了，我们通过这道题也来贯彻这种精神。好吧，好，我们先看一下题值，三人处 abc， 以这个 abc 的体积为四，这个触体很精巧啊， 这个导致我们画图的时候都因为那些这些边墙不知道多少，你要你要计算出来才能进行画图，这是出的精心秘制，又知道这个这个面积， aebc， 当然这个在这个图中也能看出来，是吧，这个面积，知道这个面积，知道个体积， 但这个人墙呢，是我们最后要算的，对不对？这暂时还不知道他是多少啊。这个奥贝干二第一个问，这里求 a 一 a 一啊，就是这道平面， a 是这个啊啊， a， a 是一个 a 到这个紫色的平面 abc 的距离，所以这个真的非常精彩，是吧？好了，那么我们以前是知道这些点坐标，反过来求面积，求体积，所以这是个立项的命题，所以出题很厉害啊，好，我们看一下怎么求 啊，其实这里呢，有个非常重要的基本模型基本图啊，就是这个，就是你可以把这个啊，你可以把这个怎么样，这个移出来，看到没有，对这个体积是怎么样的不变的，是吧？啊，这个是一个基本图， 就是这个，这个三人锥的体积啊，是我们人住体积的三分之一，当然我们证明就可以把它切成三部分，但是我们这不需要切啊，直接直接用就好了，因为它三分之一 sh 嘛，是吧，所以我要求 a 到平面 ab 距离，本就这样就做高了，是吧？啊，如果我们没做高一样可以做哈，那那个因为我要进行一个体积转换，是吧？啊，把表面上呢，因为这些边还不知道这些高，也不知道，知道吧，知道这个四， 然后这个面积，知道啊，这个面积是什么样的三角形，现在 aebc 也是学生在考场上，暂时没想到什么三角形，所以他是很困惑了，是吧，怎么解决这困惑呢？好，我们来看一下，有非常精彩的地方啊， 正常地方就是我们学校掌握的等面积法或等体积法。好了，我们对这个体三人主要 v a 一 a， b， c， 我们对着体积算两次，一个是以谁为底呢？一个是 a， b， c 为底，底高就是 a a 一，是吧？ 啊，另外一个是以这个三角形 a， e， b， c 为 d 高就是目标所求的 a 到这个平面的距离啊，我们讲是 h 八，哦哦，这个刚好是谁呢？这刚好就是这个整个面积四是吧，上面这些约掉啊， 这四就等于这个底面，又知道这底面的是二倍跟二二是吧，乘 h， 这样就很容易就做 h 呢？是，答案是二除以根号二，也就是多少 啊，也就是跟号二，所以这个 a 到这个平面距离啊，这个是有用的，这个点一啊，这是 就可以很轻松的求是刚好用的是个等面积法啊，等体积法 ok， 好在初中就用等面积啊，这个方法非常重要。好了，再求出低问之后呢，我们就去看第二问，到时候如果点低呢，是这个 ae 的终点啊， a a 一呢，注意，非常重要，条件是 a a 一，这个条件啊，就是敢于 a b 这个 a a 一啊， 就这个条件非常重要，本来又是个直三人注，直三人注，再加上这里就是是 a a 一定是垂直底面，就 a 一一定垂直 ab 又加上 a a 的 a b， 就说明这个三角形 a 一 a b 啊，这是一个等腰子啊，三角形等腰子非常重要，这里引航到四十五度，而我们刚才所求的 a 一，这条边长已经是根号二， 所以这里呢，就可以求出啊，其他编程出来，所以这个非常精彩啊，要相当这个四十五度的等直角上行中，这边跟二说这 ab 呢，斜边就二了，然后相等说这边是二，原来最终是通过这个条件，加上前面的这个 距离跟二二求出这两条边啊，一个高，而二底边为二是吧。啊，那么现在 ab 究竟多少呢？也要求啊？还不知道，所以就加那个条件，我们以前是已有以根据条件去证明面面垂直，现在出题者逆向命题， 你有面面垂直，反过来求线段是吧？他又加了 abc 这个平面皮，垂直这个左侧面， abb 这个左侧面啊， 因为面面垂直非常重要特征啊，就会得出一个线面垂直，因为这条刚才 ae 已经垂直 aeb， 所以这条线就会垂直这个紫色这个平面，从而 aaa 一就会垂直这条边 啊，垂直照片啊，然后这个哦，本身 bc 又垂直 bbe， 所以就会给震出 bc 啊， 垂直左边这个侧面，所以由面面垂直，要推出线面垂直，这个逻辑推理多么重要，是吧，主要就证明底面是什么三角形里面 abc 是一个直角三角形 是吧？这一步就是由面面垂直推出了两次线面垂直，这个太厉害了，不是那么容易的啊，是吧。好，这具体过程我就不写了，那大家听听就好了。好，现在我们好运正，就是正出这个垂直之后，我们还要计算 bc 究竟多长呢，对不对啊， 就在解决中，不断的边提问边解决边思考，是吧？ bc 究竟多长呢？表面上一卡，没有什么条件，其实有隐藏中。原来在体积中可以求 bc 啊，所以我们就是这个三人注 v 已经证出这个里面啊，就没有三分之一了， 已经种出了，这个是底边是一个直角，就哦，就是底边是 sh 码度呢，二分之一乘二乘以 bc， 再乘以它的高是二等于四，这样我可以求助 bc 的。原来 bc 长是在这里中求的，说出题是很厉害啊 啊，这个每一个表面上题目非常的平凡，非常简洁，每个条件都缺一不可啊，逻辑非常严密，非常值得我们同学体会啊。好，求这个啊，这样我们才真正就可以把这个图画的很精准啊，当然可以间隙来做，是吧？ 好，接下来我们看一下继续球啊，要你求澳面角 abdc， 那么这样看澳面角我是这样教学生的，你把 abd 看这个平面， abd 自己找一下， abd 就这个三角形平面是吧，然后 bdc 又看这个平面 b， d， c 呢？就是啊，就是，其实这紫色平面就是要研究这个平面和这个平面 b， d， c 的二面角，那么此时我已经挣出这个直角，又这个两两垂直，这样点 b 为圆点，间隙是毫不犹豫的低选择，因此间隙是可以求，是吧？ 啊，就间隙以 b 为人点，如图间内只要这道细，这样你可以轻松的把所有东西都解出来，是吧？好，那么 间隙呢，之后要求二面角的平面角，关键要把这两个平面的法向量 bdc 啊，因为此时 ac 是定点， ac 是定点啊，点 disco， 求三点，知道当然可以求二面角的平面角是吧， 当然可以去二面角的方向呢，同理，这个也是啊， gb 单做都做的很精彩，直接就可以把二面角的画出来，这个是一百二十度 是吧？啊，当然我们这个其他软件啊，有几个画板好像有老师做的很不错啊。好，那么我们现在介绍另外一个不用间隙的方法，一个间接方法，一个缺点的运算量。不间隙呢，就要找平面角，找奥面角的平面角，那么怎么找呢？我就做了个这样的辅助线啊， 好放大点，其实呢，最关键就要目标，其实就要求 amc， 但是怎么把 a 点确定啊，这个有些老师只要把做了一个，但是没有做严谨的证明啊，我这里做了个简单的证明好了，那么其实道理上不了啊， ok， 好，第一步 我们是做什么呢啊？就电话，就是假设不见戏啊，就是做 n， 第一步做 dn 啊，垂直这个垂直 ac 与 与 n 大 n 啊。第二步呢啊，做，这是做啊，做 nn 呢，垂直什么呢？ bd 与 n 啊，我们网正这个角啊，就是奥面角的平面角，那么这时现在已经已经有了 bd 这条公共人已经有了第一条边垂直 mn， 是吧，这做出来了，现在就要证明 bd 为什么会垂直 nc 呢，是吧， 好，那么 gb 画图当然非常精准啊，做出画出来就是答案是吧，感觉你要做这个六十度说这一百二说正确，只是马上可知是吧，好，但是我们现在是不知道啊，我们现在只做了这个是垂直，但是并不知道 bd 是否垂直 nc 呢啊，如果只有 只要证明 n b d 必须要证明啊， b d 就是 n c 才能才能说明啊。这个角啊啊，这二面角的一半呢？应该这两这两个是对称的吗？是吧，这这个轴对称模型啊，这样像我们这个这几天所说的一个啊，高考里所说雅马鞭闹那个模型。 ok， 好了， 现在我们将进行用数学计算方法来证明，当然这个解法真的是不值得推荐，因为就算他有点大。好，我们简单证明一下，这边是二，因为这终点，所以这边是一中一线啊，刚刚算着二二啊，这边，所以这个一半啊，斜面上中线斜边一半啊，就跟了二了，这边也是跟了二， 然后有些勾股定理算做 bd。 好，这里第一个量是要 bd， 要算的， bd 呢，就等于根号下一平方加根号，平方就等于根号三，所以 bd 是根号三，然后你会发现 原来 cd 也是高三，这也是要用的啊，因为这个 cd 怎么算呢？就 a e a c， 就是先算出 a e c 啊，就是二比这条高，是二，这两边是二倍跟二 的平方高四加八跟二十十二二倍高三，所以这个 cd 呢，这个求出是高三。哦，原来这是一个等腰三角形，我们现在目标网正，这个角必须是直角，现在没办法，只能用勾股钉立定的来证明，是吧，我们把它全部算出来。 好，接下来这里，这里关键 a n a 也是很没求的，因为等面积吧，啊， n n 啊，就是等于啊，底层高除，底层高啊，就一层根号二，除以根号三，我们尽量保留这个啊，我们不需要把它变成一个三分之杠六，不需要 aa， 已经出差了，是吧？我们要证明这个角是只角，我们要把这条边和这条边也算出来，是吧？好，这条边呢，这个利用这个摄影定理啊，摄影定量就是一的平方，就这里有个直角方向行 一的平方。高考点多少呢？高考的 n d 乘以整条边，整条边是根号三，所以 nd 是可求的， nd 是一除根号三， 在这边求出来了，我们只要把球这边求出来，是吧？好，这边怎么求呢？这涉及到个类似于初中非常基本的问题，两个两，两个三角形啊，三边出道啊，是吧，这个二怎么求这个高 啊？初中可能等面积法，高中可能三条数啊，那么我们用初中方法，好吧。啊，因为我们就用这个，对，这个做个中线下来，这边是一，所以这边是跟二 二等面积法，就算求了。二乘以根二是面积啊，除以啊，根号三除以啊，那么这个 h 呢，就得二根号二除根号三因子，这个刚才的是 nd， 虽然是三分的高，三分的高三，现在目标已经又出来了，这个 这个是 h， h 就是那个 n c， n c 就等于二跟号三二乘高号，再除杠三，因此我们看是否成立啊，因为 d n 的平方加 n c 平方刚好是多少呢？啊，这个是一除根号三方加 o 根号二除根号三方 啊，刚好，非常神奇啊，三分之一加三分之八，刚好是三分之九，刚好是三，因此刚好得 cd 的平方，因此就正出了这个啊， 原来这个脚真的是直角啊，所以这个脚滴当用下面这个球可以啊， dmc 的确是直角，这样根据二面角的平面角定义啊， 一这条线就垂直这条边，对不对啊？如果要说这两个后面要是说一半呢，就这个啊，主要就说明这个是整个，因为这有对称性啊，这个角就这个角的一半，那我只要求这个角就好了，是吧。啊，这个啊，当对称性原因，因为这个是一个挡腰子的三三十腰，这个垂直啊， ok， 好 啊，这个角非常简单，因为这边知道，这边知道，我直接求他的摊菌池，因为刚才真的这个角是这样，是吧，所以这个在这个三角形中啊，这条边啊，这个是 n c 在这里，这边是根号二， n 在这里啊，这个边求出来。是啊， 这个 an 啊，是这个是吧？刚好二除刚好三，我就直接求到了探军区探军这个叫 c 当直接看出来。可 cnn 啊，直接就等于 被别人比上。这个是吧？刚好刚好二月掉，刚好是刚好三，既然刚三出来时候这个角是六十度了，说整个一百二十度了，说他正悬直啊，就上一百二十度就非常轻松了是吧？当然等于上六十度啊。 当然就是啊，刚好删除啊。好了，这个也非常精彩，我这里只讲了一部分啊，当然间隙方法就是在考试时间紧迫情况下第一选择 单对研究这道题呢。呃，我们通过这个传统的非间隙方法，可以更加领悟到里面所蕴含的数学知识基本思想。好了，可能还有其他解法，也欢迎同学们讨论交流，谢谢！

今天主要针对二零二二年新高考全国二字的第二十题进一个讲解，这题考拉词典，它是立体几何啊，第一问就是高一下期学的内容啊，第二问就是高二上一期学的内容， 第一问采用几格法，第二问采用间隙法，非常标准的一道高考类型题啊。那咱们一起来看看这道题。首先证明 oe 平均于平面 pac， 那咱们打眼一看，欧一和这个 pac 这三条边，任意一个边都不带平行的，对不对？所以说咱们得换一种思路想能不能正出来一个面和这个面平行，从而推出来先面平行 啊。这时候他给你条件 p a 和 p b 等这两边的 a b 又垂直于 a c， 说明这是一个直角啊，虽然这个直角 画的不太像，但是他确实是个指甲， e 呢，是 pb 终点啊，这两个边的。好，那接下来 pa 和 pb 还告你 pu 垂直于平面 abc 的，所以说咱们默不露连接 ao， 这时候就有 pu 垂直于 aopu， 也垂直 pu， 因为 pu 垂直面，也就是相当于垂直于面上任何一条子线啊。得到这些以后，我们会发现 pua 全等于三角形 pub 也就能算出来 ov 和 ob 是相等的 啊， o a 和 o b 相等，相等了有什么用？那这个人一来我做锤以后三线合一啊，过点偶像 a b 做锤，那这个，因为这个 c b 是一个直角，所以说我也得做了一个跟他平行的啊，也差不多是长这样啊，这个点，比如说低点， 那这样一来， od 他是平行于 ca 的，因为 od 不在平面 cap 上啊，所以说 od 他就平行于平面 pc， 地点是终点，那这时候我再连接第一，那这时候有第一平均 ap 中微线啊，也就能知道第一也是平均于平面 pac 的， 因为 odod 和 de 相交于点 d 啊，所以说也能得到平面 od， 平行于平面 apc， 所以说就能得到 oe 平行于平面 p a c 啊，咱们第一问就出来了啊。好，接下来咱们看第二问啊，第二问告咱们， a b u 是三十度， c b u 也是三十度， 那这是直角，哎呦，这个直角，这个确实不太像哈。然后 pu 的长度是三， pa 的长度是五，那我把 l 连上，他依然是四啊。 那这样一来的话，咱们得选择一个比较好的位置进行间隙啊，因为他正好 c 和 ab 垂直，所以说我梦不如以 ab 为爱轴， 这是 i 轴，那歪轴就是 ac 的延长线啊，他所在之间没歪轴，那这轴就是过点 a 直接做一个高，他是这轴 啊，这样间隙间隙的话，咱们只要把这四个点求出来就 ok 了啊。因为咱们 ao 和 ob 相等嘛，所以说他也是三十度，那整个就是一百二十度，等于三角形， ab 就是四倍杠二三，那是因为这是直角，这是六十度，所以说这个角就是三十度， 这个变长呢，就是十二。所以说咱们先把 c 点周标求出来哈，就是零豆十二豆零，就是 c 点周标啊， a 点周标比较好求了，对不对？就是零豆零豆零。然后一点怎么求一点？先来写求 p 点， p 点的话，首先他的红坐标很清晰，能知道是二倍高三哈，那他的中坐标呢？就是二啊，数落标呢是三， 这是咱们 p 点，因为一点是 p， p 的终点，那 b 点坐标咱们也知道是四倍，高二三都是零，都是零，所以说一点坐标就是相加除以二啊。 p 个 b 相加除二是三倍，高二三都是一，都是二分之三，一点多标也有了， 你要紧接着咱们这四个点都有了啊， c 点、 a 点，一点和 b 点。接下来就求发项链 啊，先求平面 aec 的发项量，求法项量怎么求？因为有坐标了，我直接写了哈，比如说这是 n 一，那就是 n 一项链乘以这个 c， a 项链等于零，然后继续 n 一项链乘以 c， e 项链也等于零，那这样一来的话，我就可以把这个 n 一项链给具体算出来了哈，这个算出来 n 一项链以后是 高三豆零豆腐六啊。然后咱们紧接着设平面 ab 的反向量， 设这个反应量为 n 二，那同样道理我就不说了哈，那这时候 n 二相量差距也能算出来，就等于 零豆三豆腐二，这个时候求这个二面角的证件值，咱们法项量知道了，就先把咱们两个法项量的夹角给求出来，就是口才 n 一项量和 n 二项量，他的鱼线值这个时候就等于 n 一项量乘以 n 二项量除以他们各自的模， 算出来以后等于十三分之四倍。杠三 啊，这是他们法项量的一个鱼线夹角的鱼线值。那咱们面和面的夹角的鱼线值跟他其实是 有可能是钝角，有可能锐角，但是要不然他就带正号，要不然带符号呗，对不对？但是咱们要求的是正闲值，所以说就忽略了这个问题，因为正闲值的话就是高压一减嘛，对不对？所以说我设 这个角为谁的那就是赛谁的，就得什么呀，高下一剪辑口塞 n 一项链和安然项链夹角的平方啊，算出来这个值以后就是十三分之十一哈，所以咱们这道题答案就是十三分之十一。听懂的大家关注并点赞。

如果你也在学习解三角形，那么这一道高考题一定不要错过，曾经它难倒了许多在那时的高考生。首先当我们看到这个形式，一定要把分式变成整式， 观察形式我们可以继续合并化解， 所以我们就得到了 a b 两角的关系，这样 a 角就可以用 b 角表示出来，下面我们展开处理即可。 第一问是通过统一变量得到一个方程求解，那么第二问可不可以这样做呢？ 我们先将三个变量转化成两个变量， 然后我们展开整理， 我们通过一系列整理，最后得到这个式子， 这样我们就达到了统一变量的目的。 对于题干中的式子，我们先边画角处理， 然后我们全都用 c 角表示出来。接着我们通过公式把分子上的余弦转化成正弦形式， 下面我们正常用基本不等式就可以了。

大家好，我是王老师，我们继续分享一卷的第三道立题几何，请看题 十九、如图，直三棱柱的体积为四，三角形 a、 e、 b、 c 的面积为二倍跟二。第一位求 a 到平面 a、 b、 c 的距离，这是一个常见的类型， 点到面的距离，我们通常是球体机换顶点的方式来解决这个问题。那么我们首先先选择一个棱锥的体积，我们选的是 aeabc 啊，三个， 我们可以首先把它看成 d 是三角形 abc， 耳膏是 aba， 它还可以转化成以 a 为零点， a， abc 为底的三愣坠，这是同一个三愣坠，所以他们的体积是 相同的。那么我们知道棱锥他都是三分之一，底面积成高，而棱柱是底面积成高。我们这道题给了这个直山棱柱，他的体积为四，那么他们属于同底啊。 abc 为低， a， ea 为高，所以那他的体积就可以推出是三分之四，也就等于以 a 为零， 读点 a、 e、 b、 c 为例，把它的底已知告诉了，所以我们可以写上三分之一，乘上底面积二倍。根号二。 我们设 a 到平面 a 一， b、 c 的距离为 h， 那直接可以推出第一问的结果， h 等于根号二啊，这是第一问的结果。 让我们来看一下第二问。设 d 为 a， e、 c 的终点， a， a 等于 a、 b， 那说明 a e， a， b， b 站直。三，稳住，它是一个正方形的车面平面 a， e， b 和 a bbb 这个侧面垂直，求二面讲 abbc 的正弦直，一看二面讲的正弦直， 我们想到求两个面的发项量，进而求出两个面的夹角，那么要想求出发项量， 需要知道各个边是多少，下面要算一下。首先看体积，直三龙柱的体积是四，他可以写成里面几三角形 abc， 床上高 a a， 我们在这里可以写成 a b， 因为 a a 等于 ab。 下面我们需要正下三角形 abc 是什么样的三角形？我们取 a、 e， b 的终点为 o， 连接 ao， 因为 aae 等于 ab， 而还是在直闪冷柱中，所以四边形 a e， a， b， b 为正方形， 我们取欧为 aeb 的终点连。还有， 所以 ao 它是垂直于 a、 e、 b 的。因为面 a、 e、 b、 c 垂直面 a b b， a、 e， 而他们的交线是 a、 e， 所以 ao 是垂直于面 a， e， b、 c， 这是根据面面垂直的性质定力。因为 b、 c 是在面 aebc 中，所以 ao 他也是垂直于 bc 的。因为直三棱柱， 所以撤冷是垂直于底面的，那么也就垂直于底面直线啊。 bc， 那相当于 bc， 这一垂直于 ao 也垂直于 ae a 那垂直于一个面内的相交纸线，所以 b、 c 它是垂直于侧面的。 又因为 ab 是 mera 一 abb 的直线，所以 bc 它是垂直 ab 的。那么说明三角形 abc 尾二 t 三角形， 那他的面积就可以写成二分之一 ab 乘上把 bc 后面有个 ab， 说的是 ab 方等于四，因为三角形 abc， 他的面积 为二倍根号二，那么可以推出二分之一 a b a b 食指是根号二 ab 再乘上 b， c 等于二倍根号二。那两个方程两个位置数，我们可以得出 ab 和 bc 的长度有一是二是可以求出 ab 等于 bc 等于二。又因为 aa 一也等于 ab， 所以 aa 一也是二。然后我们开始间隙，进一步取用二面角的正弦直， 请二面角的正形直。我们首先先见细，一定要右手细发折。所以一我们设臂 在顶点为零斗零，以 b 为圆点， b、 c 的方向为 x 轴正半轴， ba 的方向为 y 轴的正半轴， bb 为 j 的正半轴。我们分别表示各个点， a 点 零到二到零地点，地点是 a， e， c， 它的终点。我们把 a、 e 和 c 分别表示出来， a 一 那的由终点公式可以表示为一到一到一。我们先求面 a， b 的他的发项量，所以设面 a， b 的他的发项量 vn， e， x， e， y， z。 找出两个香蕉纸线，必定 个点坐标减 b 点坐标，再找一条 b， a 依然是 a 点坐标减 b 点坐标。那么法相量和这两个相交直线分别数量计等零。 这样我们就求出项链，按一看，万一是零啊，另 x 一为一的话，这一是负一。 同理，我们可以求出面 b， c， d 他的发型量啊，令他为三二，我就 不再求了。跟的方法是一样的，那么两个法相量锁成夹角的余弦纸， 他的绝对值和两个面所呈夹角的余弦值，他的绝对值是相等的。所以我们设一下啊，两个反向量夹角啊，是 seed， 可以口塞 seed 到五鱼 啊。数量计公式，把带入横成横，加重成重，上面就剩一个一，下面是根号二乘根号二啊，是二，二分之一。 我们这道题求的是正前置，所以我们设这个二面角啊，他的角度为阿拉发，由于二面角他是在零到派之间，所以 他的正弦指一定是正的。我们直接用三角形同角，三角形是关系，把它解出来，所以最后结果是二分之根号三。

二零二二年新高考一卷解答题三，立即结合这道题是我们高考必须拿满分的一道题，如图，直三人注， abc aebcee 体积为四，三角形 aebc 的面积为二倍。根号二，求 a 到平面 abc 的距离。 家庭要求 a 到平面 a， b， c 的距离，他实际上他是等于这个 a， e， a， b， c 的这个体积，所以说用等题技法来做就可以了，也就是 v a e a， b， c 这个题几是等于 a a 以 a 为零点， a， b， c 的体积所加起来是基本是一个送分体，所以说呢，我们把它表达出来，这个体积等于这个呃值，三个人住的体积的三分之一，也就是四，乘以三分之一，就等于这个三分之一，乘以它的底面积 二倍。根号二，然后再乘以这个距，就他这个距离，地也就这个高啊，所以说这个地呢，你根号二，第一位就做出来了，第二位， 第二问呢，他说这个 d 为 a 一 c 的终点，这个是个终点 a， a 一等于 b， 这个是个呃等腰直角三角形平面 a， b， c 垂直于平面 a， e， b， b e a 求二面角这个 a， b， d， e， c 的这个正弦字，那于 a a， e 等于 a b， 这个这个等于二。在线没有什么边长的关系啊，只能通过这个面积的相关的东西来做。所以说呢，我们首先呢，就取这个 a， e， b 的终点为 m 点， 取这个是 m 点，然后连接 am， 这样把它连起来。好，我们取 ab 的 终点 m 连接 a， 呃，这个 am， 那所以说呢， a m 就垂直于 a， e， b， a， m 垂直于 a， e， b， 那因为这个是平面，是垂直的，因为平面 a， e， b， c 锤子一平面 a， b， a， e 啊，这个是垂直的，那时候 am 垂直于他们的胶线，就垂直另一个平面，所以 am 呢，就垂直于平面 a， b， c， 那随时我们就可以得到 a m 就垂直于 b， c， 好，这就正确。 m， 锤子 b， c， 又因为 a， e， a 是锤子一平面 a， b， c 的，那所以说 a， e， a 就垂直于 bc， 那你看把这两个条件啊，把它结合起来，这是第一个 am 垂直于 bc， 这是第二个 aa 垂直于 bc。 把这个写在一块来，是 bc， 即垂直于 am， bc 又垂直于这个 a a 一，那谁说 bc 就垂直于平面 啊？这个平面就是 abb ea 啊，这个非常关键。那所以说呢， b， c 就垂直于 ab， 那这时我们就可以发现了这个 bc 垂直 ab， 而 bb 又垂直这个面，所以说这个 ab， bbc， bb 是两两互相垂直的 证明这一点至关重要，因为你要把这一点证明出来的，这个两两互相垂直就是我们间隙的一个重要的依据，那就是我们证明的 bc 垂直 abbc 垂直 bb 一，那我们就可以以 b 为圆点建立空间的调制标系，所以以 b 为圆点 建立空间指甲图标系， 这样我们就可以用空间项链来做了。好，这里建一个 x， 走，这样建一个 y 走，这样建一个 z 走。好，现在我们就来求相应的这个数据，因为 a 到 平面 a， b 线的距离为 我们第一问求出来了尾根号二，那所以说 am 等于根号，而这是个等于二加三也行，所以说 a a 一就等于 a， b 就等于二了。而这个题几十四啊，又因为 v a b c， a b 一是一等于四是二，乘以啊，这个 s 三角形 a， b， c， 因为这个高是二啊，这就等于四，那所以说 s 三角形 a， b， c 就等于二。对面积等于二，那因为 ab 是锤子， ebc 的是二分之一，乘以 ab 乘以 bc， 这个就应该等于二，那所以说呢，这就求出来， bc 也等于二啊，因为 ab 等于二，所 bc 就等于二，这样才等于四。好了，我们就可以把这些数据稍微标一下，你看这个是二， 这个三，这还三，那这个坐标都全部取完了，那所以说我们需要的点的坐标都可以取出来了啊，需要的点作为 a 点的坐标，他是多少呢？就是两 零二零，低一点的坐标，那就是圆点零零零，然后还需要低一点的坐标啊，那先把这个 c 点的坐标取出来， c 点坐标是二零零， 那 a 一的坐标来取出来， a 的坐标红，坐标是零，那是零二二啊，所以说这个 d 为 a， c 终点， 所以说 d 的坐标就 a， e， c 加下除二， a， e， c 就 a 一，这个 c 加下除二，这是一一一， 让 m 点的坐标也跟他求出来一下， m 点的坐标是 a， e， b 加下乘二，就这个 a 一和 b， 这个加下乘二是零一一， 那因为呢， a m 是 垂直于平面哎 abc 的，所以说呢， am 即为 bgc 啊，即为平面 b d c 法下量，那假设是 m 下量， 所以说 m 下亮等于 a， m 下亮， 好，把它求出来， a m m 点在这里啊，再说是零负一一啊，射平面 abg 反销量为 n， 检测是 x 一 y z e 有 b， d 项链，打算一下， b， d 项链， b 点在这里， d 点在这里，一一一，还有 b a 项链 等于零二零，那所以说这是 x e 加 y， e 加 z， e， 因为这个法项链和这个项链相乘等于零，还有呢，二万一等于零是吧？ n 项链呢？所以我们可以取啊， a 线呢，那我们取一下，取 x， 一等于一， y 呢等于零， z 呢，就可以取负一。好，所以这个所乘的这个角啊，这个二名角 设为 c 塔，二面角设为 c 塔角，所以可生意 c 塔啊。然后他的绝对值就等于 m 下面乘以 n 下面的绝对值乘以 m 下面的摩长乘以 n 下面的摩长。这里呢，因为这个脚是个钝角，但是他还要求正弦直，我们先求个他的绝对值，先来把他算出来。好，这个 n 下量和这个 m 下量这样一乘，结果就是负一的绝对值， 然后他的模式根号再乘个根号，所以这个等于二分之一，而我们要求的是三颜色一套，三颜色一套，你根号线啊，一减去扩散方式一套，这个针线值啊。二面角，不管他顿 角，面角都是正的，所以这里不用考虑符号的问题，这是一减去四分之一就点四分之三十二，点二分之等于二三，所以说二面角 a， b， d， c 的真心字 为二分之点二三。这道题呢，他，呃，也是有一定的难度的。 呃，我认为最难是证明这个 bc 垂直 ab， 一旦能够证明 bc 垂直 ab 相应的现状的关系，空间指标坐标系都可以进出来，甚至不用空间指标坐标系也可以做出来。好，谢谢大家。