六年级下册圆柱公式 漫播 配音

三十秒动画让你领悟圆柱圆锥倒置转换问题，此类问题重点抓住水的体积不变，圆柱和圆锥的底面积相等。先看第一想象，我们有魔法可以控制水静止不动。切开， 先让圆柱里的水下落体积不变，剩下高十八厘米是圆锥里的水。先来从公式理解一下圆锥与圆柱之间转换的关系。转化过程，体积不变，所以相等，别忘了这里的底面积也相等，所以柱体的高等于三分之一，锥体的高。 回到题目，这个锥体的水下落体积不变，转换成柱体，其高就是锥体的三分之一，等于六厘米， so easy！ 再看例二，倒立过来水不动，这里是柱体转化为锥体，那就先把锥体填满水。已知锥体的高度是十五厘米， 那他就只能装柱体里五厘米高的水，柱体还剩七厘米的水，下落填满高度还是七厘米，最后就是十五加七等于二十二厘米了，是不是 so easy 呢？

同学们大家好，我是山西省阳泉市盂县实验小学的李老师，很高兴今天能和同学们一起来学习。 通过前面的学习，我们对圆柱体已经有了初步的认识。这节课我们一起来研究圆柱的体积。 你们看，老师带来两张长三十厘米，宽十二厘米的长方形纸， 现在把这两张纸分别横着卷、竖着卷，卷成了两个圆柱体， 再往这两个圆柱体中装入沙子，你们猜哪个圆柱体里面装的沙子多？ 说说你的想法，哪个圆柱体积大，哪个圆柱体里面就装的多。同学们，你们也快来帮忙看一看，哪一个圆柱体积大一些呢？ 我选第一个，因为第一个粗一点，可能体积大一些。我选第二个，因为第二个高一些，可能体积大一些。我觉得这两个圆柱体里面装的沙子一样多， 因为它们是大小相等的，两张纸卷成的。意见不统一了，现在我们看不出哪个圆柱体的体积大一些，该怎么办呢？ 在五年级，我们已经学过物体所占空间的大小叫做物体的体积， 并且知道了长方体、正方体的体积等于底面积乘高。圆柱体体积的大小会与什么有关呢？请同学们大胆的猜想一下。 通过刚才的观察与交流，同学们可能会觉得圆柱的体积与高矮粗细有关， 到底有什么样的关系呢？下面我们就来一起动手试一试，验证我们的想法。 请你拿出已经准备好的学具，想一想，有什么办法可以知道圆柱体的体积呢？ 把你的想法写在学习单的任务一上，接下来我们来听一听这几位同学的想法。 我的圆柱体是用橡皮泥做的，我通过捏一捏，将圆柱体变成学过的长方体，就能求出圆柱的体积了。 我的圆柱是中空的，我想到了往圆柱中倒水，将圆柱的体积转化成水的体积，就可以求出圆柱的体积了。 我的圆柱是白萝卜做成的，我想到了把白萝卜放入水中，水升高的体积就是圆柱的体积。我的圆柱体是用黄瓜做的，我通过切切切切成若干个小的一立方厘米， 也能大概求出圆柱的体积。同学们，你们看这些操作过程多细致，多认真啊！同学们真了不起， 遇到了新问题呀！想到了用我们以前所学习的知识和方法来解决。 可是只卷成的圆柱体形状，他不能切，也不能捏，又不能放在水中，该如何来求这两个圆柱的体积呢？ 看来咱们需要继续开动脑筋想办法。虽然这四种方法没有帮助我们直接解决问题，但是将圆柱体转化成我们学过的立体图形给了我们启发。 我们一起凭借以往的学习经验和方法，把圆柱体变成长方形，并寻找两个立体图形之间的联系。爱思考的同学快来想一想吧， 把你思考的结果填在学习单的任务二上，再试着借助身边可以利用的学具操作一下，在操作过程中一定要注意安全。 我们来看看同学们的想法吧！圆柱的底面是圆形的，这让我联想到了原来学过的圆面积公式的推导过程，是把圆平均分成若干份， 转化成了近视的长方形。不知道这个办法能不能将圆柱体转化成长方形呢？ 我准备的学具是圆柱体的火腿，火腿的底面是圆形的， 我把火腿的底面平均分成八份，然后沿直径把火腿切开，将它等分成八份，和我们原来学习的圆面积推导公式一样，再把切开后的八份拼插成了近似的长方体。 通过观察，我发现圆柱的体积和长方体的体积一样，高也一样，底面积也没变。 请你结合刚才的操作过程，说一说圆柱体的火腿是怎样变成长方形的。 刚才的研究，我们借助了圆面积公式的推导过程的经验，从面的转化联想到了体的转化，真会思考。 有的同学通过观察可能发现了切割拼板后的火腿有点不太像长方体呀。别着急，我们再看看学具的演示， 想象一下这样继续分下去会是什么样子呢？ 是的，就会越来越接近一个长方体了，这就是我们数学学习中的极限思想。 仔细观察这些有意思的操作过程，请你完成圆柱体体积公式的推导，完成学习单任务。三、 我们发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方形的高等于圆柱的高， 长方体的体积等于圆柱的体积，而长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积等于底面积乘高，用字母表示为 v 等于 s h。 我们还要细致的看一看转化后的长方体与圆柱的关系， 仔细观察转化后的长方体，相信善于观察和思考的你们也发现了转化前后图形的联系，请你们按下暂停键， 也试着说一说长方体的长宽高和原来圆柱体的关系吧。 我发现长方体的长相当于圆柱底面周长的一半，长方体的宽是原来圆柱 的高。因为长方体的体积等于长成宽成高， 所以经过思考，我发现圆柱的体积就是底面周长除以二乘半径再乘高。 经过整理，我发现等于 pi r 的 平方乘 h， 也就是底面积乘高，因为 pi 乘半径的平方就是圆柱的底面积。 我们进一步确认了圆柱的体积等于底面积乘高。我们一起推导出了圆柱的体积等于底面积乘高。验证了最初我们的猜想， 圆柱的体积的大小既与高低有关，也与粗细有关。那老师用大小相等的长方形纸卷成的两个圆柱体， 到底哪个圆柱体装的沙子更多的问题我们现在能解决了吗？我想同学们心里已经有想法了， 根据这些数据，你能知道哪个圆柱体的体积大一些了吗？请同学们想一想，试一试。在学习单的任务四上写一写， 一号长方形的长等于圆柱体的底面周长，所以圆柱体底面半径等于底面周长除以二倍，底面半径大约四点七八厘米。 又因为长方形的纸的宽就是卷成的圆柱体的高，所以再用三点一四乘四点七八的平方乘十二，大约八百六十点九三立方厘米。 二号圆柱体的体积，因为长方形的宽等于圆柱体的底面周长，所以圆柱体底面半径大约一点九一厘米。 又因为长方形指的长就是卷成的圆柱体的高，所以再用三点一四乘一点九一的平方乘三十，大约三百四十三点六五立方厘米。 我们发现一号圆柱体比二号圆柱体大一些，所以一号圆柱体装的沙子多一些。 接下来，请同学们在学习单任务五中完成三号、四号圆柱体的体积计算，我们一起来看看大家的计算结果。 三号圆柱体体积大约是五百七十一点五五立方厘米，四号圆柱体的体积大约是五百一十七点二八立方厘米。 爱观察的同学们有没有发现，我们的一号、二号、三号、四号圆柱体的侧面积都是三百六十平方厘米， 但体积却各不相同。在圆柱体侧面积相等的情况下，是什么决定了圆柱体的体积更大一些。 如果大家有兴趣，请在课后再找几张侧面积相等的纸卷成圆柱体，继续验证我们的猜想。 这节课你有哪些收获？请你按下暂停键想一想，说一说 我们通过同样大小的两张长方形纸卷成的圆柱体哪个体积大的问题，猜想圆柱的体积可能会与高低粗细有关。 通过不同方法的操作验证和深入思考，我们发现圆柱转化为长方体的对应关系， 确定了圆柱的大小既与高低有关，还与粗细有关，也就是底面积的大小和高决定了圆柱体体积。 最后，我们通过研究和归纳得出了结论，圆柱的体积等于底面积乘高，解决了最初哪个圆柱体撞沙子更多一些的问题。 我们在这一系列操作活动中，一边收获了知识，积累了经验，同时获得了成功的体验， 相信这些经验和方法一定能帮助同学们解决更多的数学问题。 善于观察的同学不难发现，我们平时用来装液体的容器一般都会做成圆柱体，这是什么道理呢？ 课后请同学们讨论交流，动手试一试，你会发现我们的生活中处处都有数学知识。这节课我们就到这里，同学们再见！

现在大家已经学到了第三单元，关于圆柱体和圆锥这一块，很多孩子对这一块不是很理解，那么今天王老师就用实物来给大家做演示，圆柱体它是由三个面组成的， 分别是由上下两个完全相同的，底面是圆，侧面是一个弯曲的面。我呢现在把这个圆柱体沿高给它剪开，展开之后大家来观察它就是一个长方形，当然还可能是正方形。通过观察我们发现 长方形的这个长刚好是圆柱体底面圆的周长，长方形的宽刚好是圆柱体的高。那么这样我们求圆柱体的侧面积公式立马就出来了，就等于底面圆的周长 乘高，所以 s 侧就等于 c h 啊，等于派 d h 等于二派二 h， 这是关于它的侧面积啊，包括他们的表面积。 那么接下来王老师啊来演示我们如何把这个圆柱体给它转化成长方形，通过长方形的体积进而推到圆柱的体积，那么现在大家看到的是圆柱。接下来王老师来给大家做演示， 大家来观察，刚才是一个圆柱体，现在我把这个圆柱体转化成了我们以前学过的长方体，转化前后，圆柱体的底面积就变成了长方形的底面积，圆柱体的高就变成了长方形的高， 所以根据体积不变，那么我们得到了圆柱体的体积也等于底面积乘高。大家发现啊，通过演示，你说一万遍，不如让孩子演示这一遍，效果可能将记一辈子。

三角形的面积等于长方形面积的二分之一，圆锥的体积也等于圆柱体积的二分之一吗？ 第二组实验等底不等高， 第三组实验等高不等底？

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

狗蛋儿做完了几个援助，这时材料店的派老板跑了过来， 喂，臭小子，你们付钱了没啊？原来大大咧咧的李狗蛋儿没结账，听好，我们店材料按面积收费， 每派平方厘米收费十元，赶紧付钱。这下尴尬了，狗蛋完全没注意自己用了多少面积的材料，看来只好乖乖求出这些圆柱所有表面的面积了，也就是圆柱的表面积。一起来帮帮狗蛋吧！ 想求圆柱的表面积，我们就得搞清楚一共是求哪些面积。你觉得圆柱的表面积等于下面哪个算式呢？ 选 b 算表面积就得算上所有表面，除了显而易见的侧面和上底面，还有一部分你可别忘记就是藏起来的下底面。 所以圆柱的表面积就等于圆柱侧面的面积，加上两个底面的面积，你也可以简写成圆柱的侧面积加两个底面积。 不过这么长的一串字，是不是看着心烦意乱啊？哎，是时候让简化表示界的大佬字母君登场了，表示面积可以用字母 s， 这里再外加一个字就能搞定，你可看？好喽， 依次是表面积， s 表等于测面积， s 测加二 s 底是不是清爽无比？ 明确了，求啥？下一步，狗蛋就得按照设计图分别去求这两个部分了。我们先求两个底面积，二 s 底，也就是两个圆的面积， 根据圆面积公式，你来算算二 s 底等于多少呢？ 选 b 这个不难算吧，一个圆也就是 s 底等于 pi r 平方，那二 s 底呢？是二 pi r 平方 代入底面半径 r 三厘米，得到二乘 pi 再乘三的平方，一共是十八 pi 平方厘米。 最后还剩一个障碍，有点麻烦，就是测面积 s 测这个弯弯曲曲的面要怎么算面积吗？ 用公式好像没有哎，苦思冥想的狗蛋盯着制造设计图，突然小眼神犀利了起来，怎么忘了这茬啊？侧面不就是长方形围起来的吗？面积肯定不变， 再展开成长方形问题不就迎刃而解了？长方形面积好算吧，就是长乘宽。再看看整个展开的过程，这个长方形的长乘宽对应到圆柱上，其实就是谁乘谁呢？ 选 b， 做错的同学你也别灰心，我们再强调一遍，展开后的宽和圆柱的高 h 一 样长。 长呢，得和圆柱的底面周长相同，长短才能围成圆柱，所以圆柱的侧面积等于底面周长乘高。 要是用字母均大写的 c 来表示底面周长，就能得到 s 测等于 c h。 现在你来求一下 s 测是多少呢？ 选 a， 我 们知道底面是个圆，周长 c 就 等于二 pi r， 代入到 s 测呢，就是二 pi r h。 再根据半径 r 三厘米和高 h 五厘米 s 测就很简单了。 多少呀？二乘派乘三乘五，三十派平方厘米。另外，二 s 底早就有了，等于二派 r， 平方是十八派平方厘米。 所以圆柱的表面积 s 表的公式就是 s 测。二 pi r h 加上二 s 底，二 pi r 的 平方在这里一共是三十 pi 加上十八 pi， 四十八 pi 平方厘米。 知道了如何求圆柱的表面积，狗蛋很快算清了材料费，但好不容易攒下的压岁钱也就一下子就花完了。 总结一下吧。首先我们明确了圆柱的表面积 s 表等于侧面积 s 测加上两个底面积二 s 底，其中二 s 底等于二 pi r 平方。 s 测呢？根据侧面展开图，等于底面周长 c 乘高 h， 也就是二倍 r h， 所以 s 表等于二倍 r h 加上二倍 r 平方，你学会了吗？

六年级下册啊，第三单元咱们学了圆柱与圆锥，哎，这里的公式呢，很多有的学生啊，他就是不理解，来，今天老师一次性给你讲明白，这是咱们的核心公式，侧面积等于底的周长乘以这个圆柱的高。 那么如果给你一个题，哎，底的周长没有只给你了直径，那么它的侧面积就等于派 d h， 只给了你半径，那怎么办呢？所以公式咱们也要变换一下，二派 r 再乘以高，也就是半径的两倍，他就是直径。好了，那侧面的公式，他无论是给你周长，还是给你直径，还是给你半径，咱们都能直接套用公式。 咱们呢，还经常会碰到求圆柱体的表面积等于二派 r 括号，哎，高加上二分之 底。就像呀，给圆柱穿了件戴帽子的外套，侧面加上了两个底面，全给它裹住了。那如果要是让咱们求体积，圆柱的体积啊，其实就是个伪装者，把它转化为长网体之后，圆柱的体积它就等于配 r 的 平方再乘以高。那如果他给你要直径了呢，那就是 pi， 这是半径，如果给你直径，他就是二分之直径的平方，然后再把这个 h 一 乘，也就是直径先砍半， 然后他在平方，如果他没有给你的直径，也没有给你半径，只给了你底面的周长。哎，那咱们也直接套用公式嘿，二派以周长括号的平方再乘以 h， 也就是周长先除以派，再砍半。好，这是圆柱的侧面积，表面积和体积。下面再讲一下呢，圆锥， 圆锥，这家伙体积上特别崇拜等底等高的圆柱，但他只敢占人家的三分之一，圆锥就是圆柱的小迷弟，圆锥的体积他只敢占人家的三分之一，然后底面积再乘以高， 这是核心公式。那么如果题目只给了你半径，所以他就是三分之一配 r 的 平方嘛， 再乘以高 h， 那 如果要碰上这个题呢？他只给你直径了，没给你半径，那怎么办？无，无论怎么着，这三分之一别丢了 pi， 二分之直径是 再乘 h， 那 咱们再看看周长版，那周长就是二 pi c， 然后平方再乘以高， 基本上就这些个公式。所以无论遇到题目给定你什么条件，记住核心公式就可以了。好，我是石老师，关注我，轻松学数学。

大家好，今天我们来推导圆柱的体积公式，那么之前我们已经学过了圆的面积公式，而圆柱无非就是 圆拉高了高这么多的长度，我们由这个思路就知道，因为圆就知道圆柱的体积就是 底面积乘以高，这是底面积，就是这个圆的面积乘以高，所以就知道了 v 等于 s h， 那 s 就是 底面积，是圆的面积， s 等于 pi r 的 平方，就是圆的面积乘以 h， 所以 我们就知道了 v 等于 pi r 的 平方乘 h。 现在我们来做一道题，当底面积的半径等于三厘米，而高等于五厘米的时候，这个圆柱的体积是多少呢？

动物城警局紧急报案，商业街援助型物资接连被做标记，嫌疑人留下线索，只有算出援助表面相关面积，才能找到他的踪迹。各位小侦探，我是朱迪，我正式邀请大家成为动物城警局的侦探，而我你 一起破解线索，抓捕嫌疑人！想要破案，得先搞定圆柱的表面积计算，这可是破解所有线索的关键，准备好了吗？同学们，一要算出给圆柱整体涂色的面积，必须！ 这是破解线索的第一步， 想要拿到贴纸后的线索，必须先算出侧面贴纸的面积，也就是圆柱的侧面积。快一起探索侧面积的计算方法吧！ 这是嫌疑人留下的核心物证，算出罐头侧面面积和整体涂色面积，就能锁定嫌疑人的活动范围。各位侦探开始计算， 嫌疑人故意混淆侧面写表面写两个概念，各位侦探一定要明确二者的区别，才能避开陷阱，顺利找钱犯。 同学们，你通过计算和嫌疑人的表面一合 计，获得了嫌疑人留下的密码， 界面标注了三个嫌疑人曾经出现的地址。同学们，快点出发，破解嫌疑人留下的线索， 成功算出所有线索答案，嫌疑人已被抓捕，报案成功！大家凭借超强的数学推理能力，完美掌握了圆柱表面积的计算方法，为你们点赞！ 授与全体同学动物城机制侦探称号！希望大家继续用数学知识解决生活中的难题，做最棒的数学小侦探！

想不想了解圆柱与圆锥的体积之比？一起来看看吧！首先进行数据的假设，根据题目给出的条件，设圆柱的半径为三，圆锥的半径为二，圆柱的高为一， 圆锥的高为三。现在半径和高这两个条件都知道了，它俩的体积是不是就可以计算了呀？ 我们知道圆柱的体积等于底面积乘高，底面积就是派乘半径的平方，那圆柱的体积就等于派乘三的平方，再乘一等于九派。圆锥的体积等于三分之一，乘底面积乘高，底面积是派乘半径的平方， 所以圆锥的体积就是三分之一，乘派乘二的平方，再乘三等于四派。题目要求他们的体积比 就是求圆柱的体积比圆锥的体积。我们已经计算出圆柱的体积是九派，圆锥的体积是四派，所以它们的体积比就是九派比。四派。根据比的基本性质来化简比 前项和后项，同时除以派，化成最简比是九比四，最后求得它们的体积比是九比四。

今天我们来学习圆柱的侧面展开图。 首先我们来看一个立体圆柱，这个圆柱有上下两个底面圆和一个侧面。现在我们将圆柱的侧面沿母线剪开，逐步展开，展开后圆柱的侧面变成了一个长方形。 圆柱展开后得到的平面图形包括两个全等的圆和一个长方形。长方形的宽等于圆柱的高，长等于底面圆的周长。因此圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，这就是圆柱侧面积的计算公式， s 等于二， per 乘以 h。