高一余弦数学推导公式大全图解

今天我们来用向量方法证明两脚叉的余弦公式相当好玩，来，我们看一下，先画一个坐标轴，画个单位圆，把阿尔法贝特呢都找出来，这时候呢， a 点的坐标就相当于是向量 o a， 它就是 cosine 阿尔法 sine 阿尔法。同样道理， b 点的坐标就是向量 o b， 它就是 cosine beta sine beta。 这个时候我们来看一下 向量 o a 点成像量 o b， 它等于来用坐标运算，它就是 cosine 阿尔法， cosine beta 加上 cosine 阿尔法， cosine beta。 接着我们再换个方式来表示，向量 o a 点成像量 o b， 向量 o a 点成像量 o b 还等于 o a 的 膜乘 o b 的 膜乘以 q 三加角，假设这个角为 c， 它所以乘以 q 三以 c， 它。 这时候我们来看啊，因为是单位元啊，这是一，这是一，所以呢，它就等于 cosine c 特。好，现在我知道 cosine c 特等于这一部分了，那我们要看一看阿尔法减贝特是谁？ 阿尔法应该等于贝特加上二开派开属于 z， 那 么阿尔法减贝特就等于 set 加上二开派。这个时候我们来看，我要求的是 cosine 阿尔法减 beta。 cosine 阿尔法减 beta， 它不就等于 cosine theta 加二开派吗？ 用一个公式，它就是 cosine sit 呀，而 cosine sit 来，你看，不就是这一部分吗？于是证出来了，各位爱徒，这个方法你学会了吗？

这个视频我们来学习七点三点三余弦函数的性质与图像。前面我们已经学习了正弦函数的性质与图像，有了前面的学习，再来学习余弦函数的性质与图像，就变得非常简单了， 因为对于任意一个角 x 都有唯一确定的 cosine 与之对应，所以 y 的 cosine， 它是一个函数，一般称为余弦函数。 显然，现通过正弦线研究正弦函数性质一样，我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质 啊，这是可以做到的。不过呢，我们有更简单的办法来研究余弦函数的性质和图像，就是通过正弦函数的平移。我们知道 cosine x， 它可以表示为 sin x 加上二分之 pi， 所以 y 等于 cos， 它的性质与图像和正弦型函数 y 等于 sin x 加二分之派是完全相同的。 而我们刚刚学习的是 y 等于 sin x， 它的图像呢，可以通过平移得到 y 等于 sin x 加二分之派的图像，它是向左平移了二分之派。 我们已经熟悉了 y 等于三 x 的 图像，只需只需要把它平移往左平移二分之 pi 就 可以得到它，而它呢，就等于 cosine x。 我 们来看下面这个图，蓝色的就是 y 等于 cosine x， 只需要向左平移二分之 pi 变成黄色的这个曲线，它就得到了 y 等于 cosine x， 它的函数的图像。 好，这就是它的图像。接下来我们来看一看余弦函数的定域和值域，它的定域呢，很显然，和正弦函数 y 点三 s 的 定域是一样的，都是 r， 值域呢，也是负一到一，并且它的周期也是相同的，是二派 单调区间会发生了变化，平移之前单调递增区间是从负二分之派到二分之派，这样的区间是单调递增区间， 然后向左平移之后呢是负派到零。那么我们表示出来所有的单调递增区间就可以表示为负派加二 k 派到二 k 派是单调递增区间，二 k 派到派加二 k 派， 也就是这段是单调递减区间，这段是单调递减区间。 函数的零点在这就可以表示为二分之 pi 加 k pi。 另外根据诱导公式，我们可以得到 cos 负 s 等于 cos s， 很 显然满足偶函数的定义，所以说 y 等于 cos s。 余弦函数，它是一个偶函数。然后看图像，图像是关于 y 轴对称的， 并且我们通过图像观察可以发现余弦线余弦函数的图像，它的对应轴呢？在这就可以表示为 x 等于 k pi 对 称中心，这都是对称中心，就可以表示为二分之 pi 加 k pi 逗零。 接下来我们来看例题。一，求下列函数的值域。根据刚才的学习，我们已经知道这个 cos x， 它是大于等于负一，小于等于一的，那么这个函数 y 对 吧？前面由于前面有个符号， cos x 取得最大值的时候， y 取得最小值，所以 y 大 于等于把 cos x 等于一带入，就得负二小于等于把负一带入， y 取得最大值， 那就是三加一，四等于四。好，再来看第二个，第二个我们可以通过换元令 t 等于 cos x， 那 么 t 的 范围就是大等于负一，小等于一，那么整个函数就变成 y 等于 t 加二分之一的平方再减三。 我们画一下这个二次函数的图像对应轴是 t， 等于负二分之一， 然后在这个图像上找到负一和一，负一在这个位置，一在这个位置，很显然一离对线轴更远，那么在一取得最大值，对线轴这个位置在这个位置取得最小值， 所以 y 的 最小值就是函数的最小值，就是 t 等于二分之一的时候，它的零就是负三，它的最大值 就是 t 的 一的时候。那么把一代入二分之三的平方四分之九，四分之九减三，那是减去四分之十二，等于负的四分之三，所以 y 就 大于等于负三，小于等于负的四分之三，指括号这个函数的值域。 再来看例题二，判断下列函数的基偶性，对吧？判断基偶性，通常我们可以用定义，就是把负 s 代入 来判断。另外，我们根根据它的图像，原来这个函数是不是括号 s， 它是偶数啊，它上往上拼一两个单位，它还是偶数呗。因为它还关于 y 轴对称，所以说它一定是偶的。 或者把负 s 代入 cos， 负 s 等于 cos， 它还是有函数。然后它呢，也可以通过通过定义，比如说设它为函数 f x， 那 f 负 x 呢？ 就等于 sine 负 x 乘以 cos 负 x。 右导公式，嗯， cos 负 x 就 等于负的 cos， cos 小 于 cos 等于 cos， 它就等于负的 f x， 所以 说它就是奇函数。另外呢， cos 我 们知道它是奇的， cos 呢？我们知道它是偶的， 那么奇函数乘以一个偶函数，得到的一定是奇函数。这样判断也可以。 再来看例题，赞，求这个函数的周期。呃，和其图像的对称轴方程 周期的话，就取决于这个欧米哥呗。那周期 t 等于二 pi 比上欧米哥，那么欧米哥是三分之一，所以说二 pi 比上三分之一，那就等于六 pi。 对称轴的话，我们要把这个括号里当做一个整体去和 cos y 等于 cos x， 它的对称轴去对应， 那么就令这个 x 比三减去四分之 pi， 它等于 k pi， 因为 y 等于 cos x， 它的对称轴是 x 等于 k pi 嘛。 我们要把这个括号里当做一个整体，令它去等于 k pi， 然后解出 x， 解出的 x 就是 它的对称轴方程，那么解一下 x 就 等于四分之三 pi， 加上三 k pi， k 属于 z。 再来看例题四，求函数 f x 等于 cos， 这是一个余弦函数在这个区间内的最大值和最小值。 那么做这个题，我们学完了余弦函数的图像之后，通常就利用它的图像去求最大值和最小值了。那么我们画出一个 cosine s 它的图像， 我们画出一个周期的图像，找到负四分之派，我们知道这是负二分之派，这是二分之派，然后这是派这个位置 派，这是二分之三派。那么找到负四分之派在这个位置， 四分之三派在这个位置， 这是四分之三排。就是在这这段图像上求它的最大值和最小值。这显然最大值是多少一呗。 最小值呢？最大值在这取，最小值在这取在这取，应该是负的二分之根号二。

我们来看一下他这个题目，就是问零到二派之内啊， cos x 他 小于二分之一的解集，那这个时候的话，是不是 cos x 把它画出来，是不是再画出 y 等于二分之一？这个图像来两个函数图像是不是去比较就行了？ 然后这个时候的话呢，问题就变成画他图像和画他图像，他图像是一根横的线， y 点幺分之一，他的图像口三 x 的 图像的话，就是我们这一节课的内容啊，就是五点法。五点法什么意思啊？是不是就选五个点？一般是零幺分之派派或者 f 二派幺三百种，是不是？ 那我们他说零到二派内，那自然来是不是选 x 等于零， x 等于二，五派、二五、三派、二派这五个点？然后这个时候呢？我是不是分别去看他的一个口算 x 取值？口算零的时候啊？是不等于一？ 口算零，它等于一，知道吗？它在这里啊，你怎么去记它的口算值？怎么去算？用单位元去转，它是不在这里边？口算零相当于它角度是不是转成零，零那个角那是不在这里？这里的话用定义式，是不是横坐标比上它的一个半径？横坐标比上它的半径，横坐标是不是一？在单位元 单位就半点为一，那它横着的是不是也是一？那口算 x 是 不是等于一了？那口算二分之 pi 啊？口算二分之 pi 是 不是这个时候带进去啊？是不是等于零？口算 pi， 它是不是相当于 x 等于 pi？ 是 不是转到这来了？ 这个 x 就是 弧度角呗，是不是？他转到派这个角度是不是横着？表是负一半截，是不是又是一，那是不是负一除一是不是等于 q 三 x 等于负一了？然后同样的二分之三卖转到这来是零，横着表为零，所以他就零。可是 x 等于二派的时候，就等于一，又回到这来了，然后是不是就可以把这几个点标上去啊？ 我们来标五点八和图像第一步，这样确定完了之后再确定这边的函数值，确定完了再标图样。 x 等于零的时候啊， 一是不是在这里啊？口在澳门 x 等于澳门派的时候，口在 x 等于零，那是不是澳门派的时候啊？是不是他的 y 字是不是在这里啊？零 x 等于派的时候， x 等于派的时候啊？口在 x 是 不是等于负一？是不是跑到这来了？ 这一个点，这一个点是不是这一个点？口在澳门三派的时候啊？他是不是口在澳门三派？他是不是零？那是不是澳门三派表示零 x 等于二派的时候， q 三 x 等于一，是不是这这五个点把它用光滑曲线连线一下，这就是它的余弦函数，图像后面它都是一直重复的，它周期就是二派，它现在只问零的二派，我们就画到零的二派就行了。那我们这时候是不是再画 y 等于二分之一， y 等于二分之一，它在这里， 这个中间，这里，那我们这个时候是不是找我这 q 三 x 啊？它小于二分之一的那个部分， 口算和小二分之一部分是不是在这里啊？你看这是不是在它的 y 点二分之一的下方？那是不是就是从这个角点开始，是不是到最后这个角点啊？ 是不是 x 一 到 x 二啊？那问题是不是变成求这个 x 一 和 x 二，怎么求这个 x 一？ x， 你 看口算 x 一 啊，它横着被带进去之后，口算 x 一， 它是不是要等于二分之一啊？ 并且这个时候这个姐姐啊，他是不是在零的二分之派当中啊？零的二分之派只有一个函数值，它会等于二分之一，知道吗？ 只有一个值，它，它的余弦就会等于二分之一，是不是 x 等于六分之派的时候啊？对不对？那我们再来看这个点，是不是在二分之派到二派之间啊？到二派到二派之间啊？这个点很难猜，六分之十一派呗， 是等于六分之十一派，知道吗？不是六分之七，也不是六分之五，六分之七是不是比这个派多一点点？六分之七派是不是比六分之派多一点点？是不是在这边？而且是一个负的，你发现没？是不是？六分之五派是不是也是比派少一点点？是不是在这里啊？是不是都不行啊？这是六，这个时候只能跑到六分之十一派了。 我们讲过哈，就是说分母为那种，你还可以记记那些特殊值， 反正现在答案是 x 一 等于六分之一，然后 x 二，六分之一派，六分派到六分之一派，然后我再来记这些值，就怎么值呢？这种四分之派，六分之派，六分之五派啊， 六分之派，六分之五派，这些值啊，他的余弦值啊，会等于二分之三或者正负，是不是还有六分之七派，六分之十一派，那到底是正还是负的呢？你只需要去看什么？看他的第几项线，你看六分之派他是不是第一项线，那他是不是又是分为六的？那是不是二分之根号三， 对吧？那种为三分之派的，三分之二派、三分之四派，三分之五派的那种是不是余弦值？它是不是等于正负二分之一的？看它在底弦面是不是正负二分之一，象限决定它的正负值。三分之二派的时候是不是负的二分之一 啊？你这样去记分母为六的这种呢？是不是二分之三，分母为三的时候，这个是正负二分之一，然后四分之派、四分之三派、四分之五、四分之七、 四分之七派等等等等。这种的话又看到什么呀？他是不是正负二，然后再看他在第几条线就行了，这是去记他的这些值， 这种 x、 x， 他 值应该是哪个？这这样去记。就比如这个时候我画一根线是 y 等于 x 三呢？你要知道这个时候另外这个点啊，他是应该是在四分之几派，他是不是，是不是应该是四分之七派啊？比这个二派小一点点啊？ 因为四分之七拍，它这个时候是比二拍小一点点，然后它是分母为四的，那是不，二分之二、三这种。

奇变偶不变，符号看象限。昨天讲的是正弦函数的诱导公式，今天讲余弦函数的诱导公式啊，方法到底是一样的？那这里呢？是余弦函数 y 等于 cosine x 在 零到二派之间的函数图像啊。然后异象限 啊，函数值 y 是 正的，二象限 y 是 负的，三象限 y 是 负的，四象限 y 是 正的啊。那么一二三四象限，它的函数值外分别是正负负正啊。然后还是那个道理，把尔法看成锐角， 把公式左边一定要转化成考塞引二分之派，注意，是二分之派乘 k 加尔法。然后就看这个 k 是 奇数还是偶数，奇就不变啊。奇数就是把考塞引变成塞引， 偶数考塞应依然是考塞应啊。然后看第一个考塞应，二分之派减 r， 不 就是二分之派乘一减 r。 考塞应，二分之派加 r， 不 就是考塞应二分之派乘一加 r 啊。然后你这个一是基数吧，基就要变老。哎，那这个考塞应先变成塞应， sin alpha， sin alpha 啊。哎，既变偶不变。接下来符号看象限，然后二分之派减 alpha， 二分之派减一个锐角，那不是一象限吗？一象限正的， 二分之派加 alpha， 二分之派加一个锐角。哎，那这不是二象限吗？二象限负的好，一二公式就减完了。看三四公式，考三引，派减 alpha， 不 就是考三引二分之派乘二减 alpha 吗？ cosine 派加 alpha， 不 就是 cosine 二分之派乘二加 alpha 吗？二是偶数，八偶不变。哦，那就把 cosine 照抄过来， cosine alpha， cosine alpha， 然后派减 alpha， 派在这了，派减一个锐角，这不是二项线吗？二项线负的哦。符号派加 alpha， 派在这了，派加一个锐角，那不是三项线吗？三项线负的哦，负的。 然后第五第六考三赢，二分之三派减 f， 不 就是考三赢？二分之派乘三减 f， 这个是二分之派乘三加 f 啊。然后三是基数吧，基就要变老，考三赢变三赢，三赢 f。 sim alpha， 然后找到二分之三派在这嘞，二分之三派减 alpha， 就是 二分之三派减一个锐角，那这不是三象限吗？负的。然后二分之三派加 alpha， 二分之三派加一个锐角，不就往这，这不四象限，四象限。正的。好正的 啊。第七第八考三英二派减二法，不就是考三英二分之派乘四减二法。考三英二派加二法，不就是考三英二分之派乘四加二法，是吧？四是偶数吧，偶不变。哦，偶不变，就把考三英照抄一下。考三英二法， 考三英二法。然后二派是个周角啊，二派在哪呢？找到二派在这呢，二派减二法就是二派减一个锐角，那不就这个这个位置。这不四项线正的。 那考三英二派加二法呢？考三英，二派加二法就是周角，再加一个锐角，就是这个。再往右移一个锐角，那不又是一项线，一项线正的，所以正的啊。这就是余弦函数的八个诱导公式。

好，这节课我们继续学习正弦定里的综合应用，那这节课的题型呢，比较重要，也比较综合。 在学习这个之前呢，我们来先看一下这节课用到频率比较多的一个知识点，那就是关于三角形的面积的求法。那么 首先我们看三角形的面积公式，这个我们初中小学就知道它有一个，呃，二分之一底乘高，那么一公式啊， 那我们从这里如果它的高的话，这是 h， 那 么这个作为底啊，是 a， 那 我们就可以用 s 等于二分之一 a， h 来表示三角形的面积。好，这是我们以后也会用到的第一个比较重要的公式。 好，再看还有什么呢？我们根据现在学的内容，这个 h 我 们看一下，可以用 ab 乘三 b 来表示，那 ab 呢？我们用小 c 来表示，所以呢 h 就 等于 c 乘上分 b， 那 我们把这个 h 替换到里边呢，就是 s 等于二分之一啊，乘上 a， 乘上 c 乘 c， 那 当然除了这个之外呢，我们也可以用这边来表示，那这个是小 b， 那 h 呢？也可以看成是 b 乘上分 c， 所以 这时候呢，如果我们把 h 代成这个二分之一 a b c 啊，那同样道理，我们换一个角度，如果把 h 啊高落在比如说 c 边上，这样做也可以， 那这时候呢，当然高 h 不 一样是二分之一 c 乘上另一个 h， 那 这时候呢，同样道理，我们可以得到二分之一 b， c 范围， 所以得到了这么一组啊，我们称为三角形的面积公式啊，那这个呢，是今天我们新推导出来的，那以后呢，我们也可以用这个， 那用这个的好处呢，就是你看像这个 ab 乘 c， 我 们知道 c 是 ab 两边的夹角，所以知两边及夹角时，我们可以直接用这些公式去求解三角形面积。 好，当然除了这两呢，以后我们可能还会见到还有一个就是啊，内切圆，那如果有内切圆的 这个条件，这个面积公式也还是经常用的。这个地方我们一起说一下，那比如说内切圆的圆心是 o， 那 么因为它到各个边的切点的连线肯定是相等，并且都是它的半径二，所以呢，这个面积 我们可以用三个三角形，即连接 o b、 o a 和 o c， 比如说 o a b， 那 应该是用 ab 这个边，也就是 c 乘上二，那这个呢，是用小 b 乘二乘二分之一，那这个呢是用小 a 啊，乘半径二乘二，所以呢，我们把它综合一下，提出二分之一 和二来，那就是 a 加 b 加 c 乘上半径，那一定要注意呢，这个小二是内切圆半径 啊，这是我们这个今后常用的三个公式，当然呢，也还有其他的面积公式，这个以后在求解问题的过程中，我们再继续拓展。 好，下面我们看一下啊，这个这一课的综合应用，正余弦定律综合应用，第一个就是解决三角形面积的问题。好，那你像这个题目 我们看一下，那已知两个角和一个边 a 求三角形的面积， 那如果我们想到刚才用用刚才的公式的话，那我们可以想到，哎，需要两个边，那两个边求哪一个边呢？我们从这个地方条件可以看出来有 a 边和角 a， 所以呢，我们想到用正弦定啊，我们一起分析一下这个过程，那用 a 比上三 a 等于 c 比上三 c 的 话， 那这样我们可以求出这个呃， c 边的啊，这样我们把它带进去，二除以二分之一啊，等于 c 除以二分之根二，所以呢，我们可以很容易得出 c 是 二倍根二。好，那这样有 a 边和 c 边，那它的夹角就是角 b， 那 角 b 有 两个角呢，也很好求啊，又因为这个角 b 呢 是一百八十度，减去三十，再减去四十五度，所以嘴角是一百零五度啊，那是一百零五度，所以 我们知道用用到它的正弦啊，所以这个 sin b， 也就是 sin 一 百零五度，这个我们应该记住啊，它是四分之根六加根二， 所以那这个三角形 a、 b、 c 的 面积我们就可以直接求了啊，是二分之一，我们用 a、 c 三 b， 那 直接代入就是二分之一乘二乘二 b 的 根二，再乘上四分之根六加根二， 那化简一下啊，这个二约掉，那这里提出个根二来和它相乘，得到四约掉，所以最后这个地方剩下根三加一啊，所以最后三角形的面积就是根三加一。 当然大家可以自己组织一下解析过程，这里我们主要是分析他怎么想， 所以呢，虽然是求解一个三角形面积问题，但是呢，它也结合了正弦定力去求边求角啊。 好，我们再看第二个问题，那么这里呢，这个条件里边 说这个三角形 a、 b、 c 中它们所对的边都知道，且面积为 s， 若满足这个条件和这个条件，求角 b， 那 我们先来看第一个条件啊，来分析， 当然这种情况下，因为这个给的条件还是啊稍微复杂一点，我们没法直接就能看出这个条件和最后的结论是有什么联系，所以呢，我们尽量朝着这个方向去化解就可以了。那比如说这个一号是， 那这个一我们可以怎么处理呢？既然要求角，我们可以考虑把这个边都划成角啊，所以进行边化角， 那变换角呢，我们看这里有 b， 有 c， 有 a， 所以呢，把 b 可以 画成二 r 乘 c b， 因为每一个都有 r， 这个我们以后熟悉了可以不写啊，直接写成 c b cosine c 加上 cosine c， cosine b 啊，就等于二 b 的 cosine c， cosine 好了。那因为变化角以后，这种式子一般就是前面两角和一差的正余弦公式，那像这个吧，那就是正弦公式，所以呢，左边就是 sin b 加 c， 那三 b 加 c， 我 们又知道 b 加 c 等于派减 a， 所以 它直接可以写成三 a， 那 最后呢，等于这个二 b 的 三 a 乘扣三 a 好， 所以得到了这么一个等式，或者叫方程 好。那么这个地方呢，一般解方程的时候，我们注意，可能有的同学会直接把三 a 约掉， 这个题约掉是没问题，但是今后我们做这种题的时候，首先应该注意的是不是直接把它约掉。那这种题呢，一般一是我们直接把它分解成式，比如说把它移到这边来，提出三 a， 那 里边呢，剩下二倍的扣三 a 减一等于零，所以呢，它等价于三 a 等于零或这个等啊。 那另外呢，这种题就讨论三 a 是 不是等于零，如果三 a 不 等于零，我们可以把它约掉啊，那就直接得到二倍的 cos 等于一， 所以呢，我们今后一定要关注。好，所以那我们这里看一下三 a 能是零吗？因为我们知道角 a 是属于零到派的，那三 a 要想是零的话，要么是零度，要么是派，所以这个都不可能啊，所以三 a 一定不是零， 所以呢，我们也可以得到扣三 a 就是 二分之一就可以了啊，所以呢，这个题我们要注意一下 啊，这个还是一定要严谨啊，这个题算三 a 不 等于，不代表以后的式子也是这样，比如说我们要把这里换成 cosine， cosine a 就 可以了啊，好，这是这个题目我们应该注意的地方，那由 cosine a 等于零， 等于二分之一，所以呢，我们可以直接解得 a 等于啊，三分之派。 好了，有了这个条件以后，我们再来看求出角 a 了，那这个条件又用来干什么呢？ 首先呢，我们看这边是面积，所以我们可以考虑它应该是要用其中的一个面积公式，比如二分之一 c， 三 b 还是二分之一什么呢？ 结合这个地方我们已经得到角 a 了，那这里应该是啊，要用到 s 是 等于二分之一 bc 三 a， 那 一定是吗？那么这时这时候还要结合这边去看一下，那我们来看一下这边，这边呢，很明显看到 b 方加 a 方减 c 方，这时候我们就想到余弦定比 啊，余弦定律的变形，那当这个出现的时候，我们想到的是谁啊？ cos c 是 吧，所以呢，这边应该是四分之一把这个式子，因为它除以二 a b 等于 cos c， 所以呢，这个式子就等于啊， 二 a b cosine c 啊，所以呢，我们这边化成二 a b cosine c， 那 这边，所以我，我们要用什么呢？ 那刚才我们面临面临的三个选择啊，所以呢，这个地方就很清楚，如果我们把它写成啊，这个用了角 a 就是 二倍的 bc， 三 a， 那三 a 知道，那 b 绝掉，但是这里还留下了一个 a 边，那就不好画了，所以呢，这个地方我们要注意两两边结合啊，所以呢，就知道这个地方最好选谁呢？选 a b 三 c 好，这样做的好处呢，就是我们来看，把 a b 约掉，那这个地方二和四分之一一约是二分之一，那和这二分之一也约掉， 所以呢，我们就得到了关键条件，分 c 等于 cosine c， 那 这就明白了啊，所以是弹性的 c 等于一 cosine c 啊， cosine c 出来， 它不等于零，所以呢， c 等于四分之 pi 啊，当然呢，我们由三 c 等 k 三 c 也可以直接得到这个点 好，得到这个关键条件就行了。那现在啊， a 和 c 已经都知道了，所以角 b 就 可以求了，是 pi 减去三分之 pi， 减去四分之 pi， 那最后呢，他应该算出来是十二分之五块。好，这就是最后一条好，所以这种题目呢，还是比较综合的啊，我们要对这些式如何化解，这种思路要理清楚。 好，下面再看第二个题，第二个题型呢，是解决平面几何问题，好，这个题是让我们解决在平面四边形中， 它说角 c a d， 我 们看一下 c a d 标一下啊， c a d 是 这个，这个啊，是三分之派， 然后呢， b c d b c d 是， 下面这个是六分之五块好， b d 整个 b d 的 长是根式三， 然后 b c 呢又是二。把条件标完以后，我们来看第一问，让我们求三角， c b 应该是这个角。 好了，那我们去看一下这里面解三角形的条件够不够啊？那我们发现在这个地方 b d， b d 是 知道啊， b d 已经知道，那 b d 所对的角呢？也是这个，然后呢，这个边知道，但是它所对的这个角是不知道。 那但是呢，我们可以求出这个角，如果这两个角都知道，那当然这个角必须求出来啊，所以呢，我们可以采用这个办法， 那当然呢，我们也可以用另一个思路啊，就是我们用余弦定力把 c d 求出来， c d 求出来以后呢，那我们用正弦定力求它所有角也是可以 啊，那这里我们用啊后边这个方法来分析一下啊， 那第一种第一步，那我们看如果用余弦定理的话，因为这个角知道，所以要用到这个它所对的边，那就是根十三， 它的平方是等于另外两边啊，那就是 c d 方加上 b， c 方是四 啊，然后呢，呃，再减去二乘二乘 cd， 还要乘上 cosine 六分之五块， 我们知道 cos 六分之五派就是负的二分之根三啊， 所以呢，我们这个地方把它化简一下，这里是十三等于 c 地方加四，那这个地方如果是负的二分之根三，所以前面呢就是加 啊二倍的根三 d c d， 所以 整理一下，就是 c d 方加上二倍的根三 cd， 然后呢把这个移过来，应该是减九 等于零。好，这个方程怎么解呢？我们可以把九写成 三乘三，三乘三呢，其中一个三我们可以看成是根三的平方，所以这个方法大家要注意啊，把它写成三乘根三的平方， 那我们用十字相乘法的话，那可以把它写成三倍根三和根三的一个乘积，那前面分解为一啊，那因为这个地方中间是加号，所以呢，这个应是负的 啊，所以这样的话，我们可以求出 cd 等于根三或者是负三倍的根三，因为负的这个肯定要舍去的， 就求出了。好，求出 cd 以后，那这个我们要求的角就可以用正弦 d 啊，所以呢，我们要求的 cd 是 根三比上三 啊，我们要确定角 cbd 就 等于，那另外呢，用 bd 啊，根十三除以三六分之五块， 我们知道三十六分之五派是二分之一，所以那代入去解除了 cbd 就是 二十六分之根，下三十九就解除了。 好，这就是第一位，那你看，我们综合应用了这个余弦定力和正弦定力，当然呢，刚才我说的另一个数，大家也可以自己写写看啊。好，然后再看第二位，让我们求 a c 的 长啊， a c 的 长， 那么大家看，那就找 a c 所在三角形，虽然这是个四边形，那我们解问题是肯定要放在三角形，那么 a c 这个长度不知道，那放在左右两边三角形肯定哪个条形多放哪一个， 那那放在哪边更好呢？我们看，因为 a c d 中已经知道了这个角，所以那我们考虑把它放在这边， 那知道一个角求这个边，那我们看刚才在求解的过程中， c d 我 们也求出来了是根三，所以呢，一个边和它所对的角一致，那么现在在求 a c， 所以可以考虑呢，就是它所对的角 a， d， c 啊，这个，那然后 a， d， c 这个不知道，那该怎么办呢？我们再考虑 三角形 abc， 那 这时候我们想建立这个等量关系，看如何来建立啊？ 那因为这个条件比较多，我们先写一写，首先在三角形 a， c， d 中，那我们有 c d 比上这个 c a 三十度啊，那就是 c， 先把角写成 c a， d， 那 它就等于 a c， 我 们要求的这个比上 c， a， d， c， 那我们把这个数值带进去啊，这个 sin c， d 是 二分之根三， 那这个 c， d 呢？又是根三，所以约就是二，所以呢，我们可以得到这个 sin 角， adc 应该是二分之一。 a， c 先嘚瑟，没有关系，那么看这个关系解不出来，再考虑这个三角形中呢，因为这个三角形中也有二这个条件，所以呢，我们把这个关系也写出来，就是 a c 比上 sin 叫 abc 啊，等于 b c 十二除以 sin 叫 b a， c 啊， sin 叫 b a， c， 那么因为这个 b a， c 呢？ b， a， c 前面也知道它是三分之派啊，三分之派啊， 所以呢，这个条件里边啊，也比较明显啊，也把它带进去，那这个条件里边，我们可以得到三角 abc， 等于四分之根三 bc， 得到了这么两关系啊。好了，那我们看这里边分析一下，因为这两个角知道是三分之派，三分之派。 那下面这个角呢，又是六分之五派，所以那有这个角 a， d c 角 a d， c 这两和 a， b， c 根据四边形的内角和是三百六，也就是二派，那因为这两个知道了啊， 所以剩下的这两个角加起来呢，就是二分之派啊，那二分之派，我们看一下它两个相当于互余， 是吧？那呼吁的话，那这这两个角那就有关系了。 那比如说我们可以把这个写成二分之 pi 减去 sin， 也叫 adc， 那 这个就可以得到 cos 角 adc， 那这个是三 a d c， 这个是 q， 三 a d c 同一个角的正弦与弦我们不就有关系了？ 那平方和等于一，所以呢，这面平方和就是四分之一 a c 方，那这边平方和呢，就是十六分之三倍的 a c 方，那最后呢，它等于一， 好，这样我们把它一通分以后，就得到 a c 方等于多少呢？这里可以看成是十六分之四，加起来十六分之七，所以是七分之十六，所以呢 a c 就是 七分之四比零七求出来了。 好，所以这个第二问还是比较复杂的一种纠结的情啊，大家通过这个体会一下，那就是一般四边形。首先第一步呢，我们是要把它分解成两个三角形，那至于怎么分解呢？看条件的划分，那这时候呢，要注重 两个隐含条件啊。这种题里边，一般首先 a、 c、 b、 d 这样是两个三角形的公共边，往往可以 通过它们作为桥梁进行转化，这是第一个。第二个呢，就是内角和啊，内角和是隐含条件，那当然还有的时候呢， 如果它是一个圆的内接四边形，那还有对角互补这个题啊，好，这是这个题，那最后呢，我们再看一下这个综合应用。 好，在这个三角形 abc 中，首先 ab 加 ac 等于三 c， 那有这么一个关系，我们立马想到啊，三角形还有一个内角和是一百八，这里可以求角，那这里呢，直接给出了一个角的关系，我们先来看第一步啊，去求这个三 a， 那 我们现在呢，也是不知道最后三 a 是 通过谁求出来，但是呢，我们可以先根据这些条件啊， 因为 ab 等于三 c， 那 ab 呢，我们又可以写 a 加 b 呢，可以写成 pi 减 c， 所以 我们就直接得到了四 c 等于 pi， 也就是 c 等于四分之 pi， 好， 这是这个条件很容易得出的，没有关系，那我们再看后面这个题， 后面条件呢，因为这里面呢有 a c， 那 这个是 c b， 前面我们化简题里边经常用到，可以把这个 c b 呢，可以考虑化成 a 和 c， 那 就是 sin a 加 c， 那这样的话，它等于二倍的 sin a 减 c， 所以 那我们就考虑到它的展开式肯定是能进行换减啊，那我们来展开化一下它，这里面呢，这边是 sin a 扣三 c， 加上扣三 a， 三 c 等于二倍的三 a 扣三 c， 那 这样减去二倍的扣三 a， 三 c， 好，这样把它合并一下啊，这个地方移过来，它就是三倍的 cosine a， cosine c 等于这个抵消一个是 cosine c， 好，那这样的话我们就可以得到啊，这里有这么一个关系了啊，那因为 cos 呢，因为 c 是 四分之派，所以 cos 和 cos 肯定是相等，所以我们把这个直接约掉， 这样就得到了啊，三 a 等于三倍的 cos， 所以呢，就是弹性的 a 等于三， 好，那当然，我们这个地方不是求弹性的 a， 求的是三 a 三 a， 这时候呢，我们可以考虑用平方关系，当然呢，这个对于我们来说非常简单了啊， 啊，弹性 a 等于三的话，我们可以根据 a 是 属于零到二分派的，是吧，可以直接求出三一。 那这个地方呢，有一个比较简单的算法啊，就是三比 q 呢，是三比一，所以呢，它的正弦一定是十分之三倍的根式， 用勾股数去求啊，就是根据定义，如果它的坐标是三啊，一三的话，是吧，它的斜面一定是根十。 好，这是第一问，那第一问求出来以后，我们再看第二问，求 ab 边上的高， 那这里呢，又给出了一个条件啊，就是 ab， 它这个边是五。现在呢，我们已经知道了三 a， 其实就知道角 a 了，又知道角 c 了， 那求这求这个 ab 边上的高，我们可以考虑用什么呢？那当然我们想一想，如果你直接去做 做这个高，那可以求出 a c， 或者说啊，主要求 a c 求出 a c 呢，用 a c 乘三 a 就 可以了 啊， a c 乘三 a， 那 当然我们也可以用什么呢？用这个面积， 因为求高，所以我们想到那五，都知道这是底二分之一底乘高，那如果再用别的方法也能算出来，那就更好了啊，所以，那我们考虑一下哪个方法都行，那我们先看如果求 ac 好 求吗？ a c 这个边的话，用上这个边，那么这时候我们可以考虑用正弦定去解决啊，那 a c 所对的边是角 b， 所以 我们需要把 b 的 正弦去了， 那 b 的 正弦又得用到 a 和 c， 所以呢，我们先把关于 a 和 c 的 这个三角函数求出来，那我们已经知道啊，三 a 是 十分之三倍的根式， 所以呢，扣三 a， 对， 我们直接写是十分之根式，这个应该很清楚啊，所以我们要求的三 b 可以 化成三 a 加 c， 那这个展开呢？我们这个公式就不行，那就是三 a， 十分之三倍的根十乘上 q， 三 c 是 二分之根二。啊，加上 q 三 a， 十分之根十乘二分之根二。 好，这样呢，把它化简一下，就是五分之二倍的根五， 那肾 b。 知道了，我们可以利用正弦定律去求 a c 啊， a c 除以肾 b 就是 五分之二 b 的 根五等于啊五除以肾 c， 肾 c 呢，是二分之根二。 好，这样，所以这个 a c 我 们就可以求出来啊。约一下是二 b 的 根式， 那 a c 求出来了，所以我们要求到 ab 边上的高啊。那刚才说了，可以用 a c 乘三 a 直接求，那 a c 是 二倍的根十，三 a 呢，是十分之三倍的根十，所以最后算出来这个是零，就结束了。

余弦平方差，三角函数高频考点赫赫有名，超级重要，考场上总容易忘记符号，记不住公式。其实只要你会降低公式，会和插画机余弦平方差一 点都不难。今天显哥通过一个视频带你推导，彻底搞懂余弦平方差。由于圣贤法加贝塔，我知道圣贤法减贝塔，我知道他有个方方方方怎么办？考生方减去考生贝塔的方，你想到了怎么做？当， 当然，这是一个非常有名的公式啊，非常有名的公式叫余弦平方差公式，我不知道你背过没有，当然你又没背过，公式有点多，还是那句话，背不过怎么办？多刷题呗，多推导呗，推导变成多了就会 那。所以我一看这道题，这不是方解方，二次方有点大呀，所以我想到了降密公式。好， ok， 我 想到了降密公式，那 降密公式谁还不会吗？降密公式，降密一定生角，一加考甚二，二法减去一个二分之一加考甚二背，他听懂吗？ 降密公式二分之一，二分之一减没了，所以他就应该等于个二分之一倍的考生二二法再减去一个考生二倍。塔来，大家再思考一下，什么公式？是不是核差化积公式？核差化积是正弦还是余弦？ 是最后这辆是肾肾还是考肾？考肾。来想想核差公式，核差公式，他把它想成某两个角度的核，哎，他是减了，所以是正弦乘正弦，还是余弦乘余弦？是考肾考肾还是肾肾？所以这道题是不是相当于啊？这个是二分之一乘一个负两倍的，没错吧？ 因为是负两倍的， sin 相加除以二，然后呢？乘以个 sin 相减除以二，所以这个题的答案就应该是 sin 二法加贝塔，答案就出来了嘛。如果写成公式的话，这是一个非常有名的公式，大家看清楚， sin 二法加贝塔 给你写出来吧。肾阳化加倍的，这叫余弦平方差公式，我们课本上不好意思还是有把符号给他看到吗？这就是一个公式，不会背无所谓，会推就可以了。所以这道题的答案是肾阳化加倍，它是二分之一，肾阳化肾倍，它减，二法是负的三分之一，答案就是负的六分之一，会了不，所以这道题选四 d。

高考公式推导必会定律，今天学的是余弦公式定律，哎，你把这个项链的两边给他来个平方，对不对？好，所以你把这个项链的两边来个平方之后啊，那他就得到 a c 摩擦的平方等于 ab 摩擦的平方， 加上 b、 c 摩擦的比方，再加上二倍的 a b， 项链的 a、 b 的 摩擦乘上 b、 c 的 摩擦，而再乘上 a、 b 和 b c 的 夹角。呃，来看一看这个 a b 和 b c 的 夹角。那注意，我们都是两个箭头的方向所夹的角，是吧？那 a b 朝这边， b c 朝这边，所以现在是这个角。这个角是啥？是 cosine 拍减 b 是 不？ cosine 拍减 b 什么事情？那么拍减，我听到 cosine 拍减 b 是 这么兴奋啊， 好，因为它的夹角是这个吗？那我们说项链的夹角都是它箭头方向上所成的角，能懂吗？这个箭头朝这边，这个箭头朝这边，所以它的角是这个。 ok， 好， 那我们把这写在 ac 摩擦的平方， ac 其实就是 b 平方，加上 bc 是 c 平方，再加 a 平方，加上 ab 是 二 b 或者是二 c a， 然后火柴引拍减 b， 火柴引拍减 b 等于负的，负的，负的火柴引平 啊，所以这个数字就出来了， b 平方等于 a 方加 c 方减二 a c 倍的 cosine， 这就是余弦定律。关注大号老师，成绩嘎嘎提升！

那么正弦函数和余弦函数呢？我们通过例题已经跟大家分析过怎么去解决了，实际上来讲，关于正弦和余弦，它最终的目的是为了解决复杂三角形的面积。 传统的三角形面积我们都知道是用底层高，那如果说在三角形当中没有告诉你底和高的性质，是否可以去解决呢？这就是用正弦定力和余弦定来解决的问题。我们来看一下 三角形 a、 b、 c 内角，它的对边分别是小 a、 小 b、 小 c， 那 给了我们这样一长串的数字，并且还有这么一个数字， b 方加 c 方减 a 方等于八，要求的是三角形 a、 b、 c 的 面积。首先当我们看到这样的一长串数字的时候，我们首先要想到的是什么？一定是化解， 那这里面怎么去化解？这边有 b， 有 c， 还有 a， 那 么很显然，我们立马想到的是用正弦定力把 b 换成了三引 b， 后面跟着撒引 c， 那 么后面也是把 c 换成撒引 c， 后面是撒引 b， 后面是四倍的。把 a 换成撒引 a， 那 么后面跟着是撒引 b， 再乘以一个撒引 c。 好， 接下来我们就会发现一个问题啊，这个地方是撒引 b， 撒引 c， 这边也是一样的，所以就相当于是两倍的 sin b 乘以 sin c， 等于四倍的 sin a 去乘以 sin b 乘以 sin c。 好， 写到这个地方，我们就会发现 sin b 和 sin c 正好可以抵消二和四，还可以抵消一个，变成了只剩下两倍，那么于是我们就得到了一就等于两倍的 sin a， 所以 sin a 就 出现了等于二分之一。好，这个问题有什么作用呢？接下来我们继续往后看， 当我们看到了 b 方加 c 方减 a 方的时候，我们要想到它肯定是跟余弦定律有关系的，那这个余弦定律怎么去用来我们画一个三角形， 这边是 a， 这边是 b， 这边是 c， 那 对应的就是小 a、 小 b 和小 c。 观察一下， b 方加 c 方减 a 方是什么呢？是不是正好是用口算 a 的 时候可以用到， 所以 cosine a 正好就等于 b 方加 c 方减去 a 方，再除以二 b c 就 等于 cosine a 了。 那接下来我们就正好可以把 b 方加 c 方减 a 方等于八，带进去就变成了二 b c 分 之八，也就是等于 b c 分 之四。 好，接下来 bc 分 之四等于 cosine a， 那 我们求出来的是什么？咱们求出来的是 sine a 很 小一件，我们发现这个 bc 是 三角形两条边，它一定是大于零的，所以这个值一定大于零。 那么由三 a 我 们可以求出口三 a， 所以 口三 a 应该等于根号下一减去二分之一的平方等于二分之根号三。那么对应到这个地方来，我们就会发现，所以 b、 c 分 之四就等于二分之根号三，也就是 b c 就 等于 三分之八倍根号三。当我们求出 b、 c 的 值之后，接下来我们要求三角形 a， b、 c 的 面积就变得非常的简单，我们怎么做呢？ s 三角形 a， b、 c 的 面积就直接等于二分之一的 b c 乘以三 a 就 可以了。那么这个时候我们 b、 c 已经求出来了， 等于三分之八倍根号三，而三 a 的 值已经一开始求出来等于二分之一，所以最后的答案就等于三分之二倍根号三。 所以最后我们来总结一下这道三角形的面积问题，它充分利用了正弦定力和余弦定力两者的结合，所以当我们遇到了三角形面积求值的时候，一定要想到这两个方法。

我们今天来学习鱼线定理， 首先我们来看一下作业上的两道题目，我们昨天讲过了，对于这里的第五题，我们写的是中药条件， 所以结合一下我们初中学习的内容，我们说初中学 a 大 于 b 等价于那角， a 要大于角 b， 那 在这里我们有， 那我们所研究的是在三角形 a、 b、 c 中的， 于是我们有大边对大角的这一个结论， 因此我们来看一下这个选择题。第六题，我们在这里会发现那 a 选项， 通过我们正弦定的应用会发现这里叫 b 是 九二分之一，那没有什么别的解，只有一个解。 接下来我们算一下 b 这个选项，在算 b 这个选项的时候，我们其实利用一下刚刚的大边对大角， 你就会发现这里最大的角应该是 b， 那 b 要比我们 a 还要来的大，那显然这样的角是不存在的。之后我们看一下 c 选项， c 选项说 a 比上犯 a 等于 b 比上犯 b， 这个时候我们 b 可以 是 锐角，也可以是钝角，只要比我们的 a 三十度来得大就可以了。那么我们计算一下犯 b， 发现犯 b 是 等于 三分之二，那我们可以有两个答案，所以 c 是 正确的。最后我们再算 dog 选项， 这里说七十二比上我们的算 a 要等于六十比上我们的算 b， 这里的算 b 等于 三十根号二除以七十二比一都要大，所以我们这里这个是无解的。最后我们选择 c， 这两道题都体现了最重要的一个结论，叫大边对大角，以及我们在解三角形的时候，那范围 b 或大于一，那肯定是没有解， 这是我们左在嗯，在此基础之上的话，那我们正弦定里还学了两个推论，一个是三角形的面积公式，可以用两边 再乘它们夹角正弦值的一半，以及我们说最后它这里，我们说最后它等于的是外接圆的直径， 这是我们之前学习的内容。接下来我们来看今天要探讨的问题。 我们先看第一个问题，已经知道了 a 等于一百三十度， b 等于十五， c 等于十之后我们来求 a， 按照我们的正弦定律，我们可以发现这个时候 有我们的 a 比上算一百八十度等于十五比上算 b 等于十，比上算 c， 那 这里 b 和 c 它有一定的等量关系。 我们写出来这个式子之后，发现它的计算是非常繁琐的，我们需要先把这里这一堆划开来， 然后等于十倍的反比，然后还要结合 很多我们的反方呃，平方加平方等于一页之类的，最后算出来反比和反 c 的 值。 那么我们在昨天学习的正弦定力的基础之上，我们今天想来介绍余弦定力，让这个问题的解答变得简单一些。 回忆正弦定力的时候，我们曾经把三角形 a、 b、 c 放在坐标系里进行研究，所以在一线定力的时候，我们仍然可以尝试使用这种方法。 我们可以把 c、 a、 b 三个点的坐标都写出来，写出来之后，我们最后的目标是要求解 a 的 长度，那根据两点之间的距离公式， 我们可以写出来， 那 a 的 平方是等于 c， 加上 b 口算 a， 也就是 c 减呃， a 的 平方等于我们的 c 减去 b 口算 a 的 平方，加上 b 算 a 的 平方， 于是我们整理可以得到 a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 口算 a， 我 们把这样的等式叫做于弦定里， 那同样的道理，我们可以得到 b 方等于 a 方加 c 方减二 a， c 口算 b， 以及 c 方等于 a 方加 b 方减二 a， b 口算 c。 那 我们想一想还可以表示成什么形式呢？我们经常会说想要求口算 a， 那 么我们会把口算 a 放在一边 得到它是等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b， c 同样可算 b 可算 c， 我 们也可以写出来。 最后我们思考一个问题，我们说余弦定力和我们三角形之前在初中学的勾股定力有什么联系呢？ 我们会发现如果这里的 cosine a 变成零，也就是 a 等于我们在三角形 a， b， c 当中所说的二分之派的时候，我们会发现这个时候 我们很天然的有 a 方等于 b 方加 c 方 c 方，它就是我们的勾股定律，所以我们说它是我们与勾股定律是鱼弦定律的特特例。接下来我们看一下例题一， 在例题一中我们知道了 a、 b， c， 那 现在来解解我们剩下的小 c 和角， a 和 b， 那 我们很想想到用正弦定例来做，那这个时候你出现了。三 a 等于二分之根号三， 那由于我们要大边对大角，我们这里是 a 比较 a 比较小，所以应该是 a 小 于 b， 所以 a 可不可能是钝角啊？不行，所以我们说 a 只能是六十度。 之后我们再去求解别的其他的几个角度，或者用余弦定力来求它的长度，那是正弦定力。我们要首先要判断 a 指呢是六十度。 即使我们在用正弦定理计算的时候，我相信有同学已经遇到困难了，因为我们说是要有根号六比上算 a， 然后这边是根号三加一比上算 b， 那 算 b， 我 们 如果出现了 b， 我 们说没有办法求减了吧。所以我因为有两个未知数，但只有一个方程，所以我们要把 b 换成换掉，换成四分之三派，减去 a 之后，你再来代数字减方程，它其实是一个比较复杂的过程。那么我们再来想一想，用今天学的余弦定例 该怎么处理呢？我们看一看，在我们的余弦定理当中，哪里又出现了角 c 又出现了 ab 啊，是不是我们的第三条公式啊？所以我们在这里用余弦定理的时候，先把第三条公式写好， 那最后说 c 等于，呃，我们把所有的数字都带进去算，算出来 c 的 平方等于四，那所以这里 c 等于二， 那这个时候我们来算 cosine a， 因为我们还剩下两个角嘛， 这是 b 方加 c 方减二 b， c 二减 a 方除以二 b， c 算出来它是二分之一，那所以 a 等于三分之派，那显然 b 等于十二分之五派了。 那用余弦定理，我们首先计算量小了，其次我们也不用来判断我们角 a 是 什么，钝角还是锐角吧，因为我们说 cosine 的 值，它天然的一个是正的，一个是负的吧，所以很好判断它到底是钝角还是锐角。 接下来我们看一下例二， 在例二的当中，我们也可以来先试一试能不能用我们的正弦定理， 比如说这是 a 比上我们的三 a 等于二比上二分之一等于我们的二根号三比上三， b 等于 c 比上三 c， 那这里目标要求角 bc 和边长角 c， 那 你这里 b 和 c 都不知道。如果要换成同一个，我们首先要求出来算 b， 之后再求出来算 a c， 并且我们算 a c 的 求法比较复杂，它是要用算 a 加 b， 在 我们作业上已经出现过了，那你又要算 cosine a， cosine b， cosine a， cosine b， 要算很多东西吧， 最后你才能得到。我们说角 c 是 一个非常困难的计算，也不知道非常困难吗？就是很烦的计算，那今天学了鱼弦定理，肯定是有它的作用的，所以我们尝试用鱼弦定理来做一做。 那鱼弦定理 用余弦定理来做这道题的时候，那我们可以说哪个公式里面又有 cosine a， 又有我们的什么 a b， 我 们说这里的第一条有，那我们把第一条写下，写下来， 接下来我们带数字进去算， 算出来 c 有 两个答案，一个是四，一个是二，那我们看看这两个答案都可不可以。那 c 等于四的时候， cosine c 等于零， 那 c 等于二分之派， b 等于三分之派，是符合提议的。大边对大角是可以的。并然后第二个 c 等于二的时候，那 cosine c 等于二分之根号三 c 等于六分之派， b 等于三分之二派，那也是符合提议的。所以我们说最后有两种答案， 我们现在来总结总结， 如果这个我们现在来思考一个问题，如果把这里的 a 我 们改掉了， 改成了数字四，算到最后我们会有几个答案呢？我们也像刚刚一样，我们都是解这个方程嘛，那原来这里已经变成四平方十六了，那我们解这样的一个方程， 舍 c 的 平方减六， c 减四，等于解出来一个正的一个负的，舍 c 等于三加减根号五十二，那显然我们的三角形的边长不能是负的，所以舍负。我们得到这个时候只有一个答案了，那是 接下来我们总结总结，那到底取哪些值？我们会有这样的 c 存在，并且还可能有两个，或者说它有没有可能不存在呢？ 我们现在把已经知道的条件通过图像的形式画出来， 我们说这里是 a， 这里是三十度之后，这里是 c， 这里是我们知道的两倍的根号三。 那我们要改变有两个指，一个是 a 的 a， 小 a 的 指，一个是小 c 的 指。我们先来看看，因为我们这里已经提示你了，它变的是小 a 的 指，那么我们这里来看， 如果小 a 的 值，如果 a 只有这么点，是不是不满足啊？而如果 a 变长了一点，是不是正好垂直变得满足了？那如果 a 再长一点呢？ 你会发现，那我们以 c 为圆心作圆，观察我们这个距离 a 和我们这条边，这条边的一些交点，我们就可以存在一呃来判断它是不是存在，或者说有几个这样的三角形呢？ 我在这里已经画好了一幅图给大家， 这里的 a、 c 和的一些长度，就是我们刚刚的 a， c 就是 等于我们的两倍的根号三。接下来我们看一下，如果我们说小 a 的 长度很小， 那肯定构不成三角形嘛，因为它跟我们 a、 h 这条线根本也没有交点，画不出来三角形，那稍微变大一点点，变到我们相切的一个角度，那我们可以发现，这个时候是开开始有，也就是相切的时候 开始存在三角形了。那我们算一算，这个时候相切，那小 a 是 等于根号三的。之后我们持续地将 a 变大， 这个时候我们出现了三角形 a、 b、 c 和 a d、 c 两种。也就是说，也就是我们刚刚在立二不的时候解出来的 c 等于二或四，这时候 a 再继续变大。 如果这个时候我们的小 a 正好等于我们的二根号三了，那我们这个时候只能出现三角形 a、 c、 d 了吧。因为我们的 b 点和 a 点已经重合了，那这个时候重合的时候，我们可以计算一下， 也就是说我们的小 a 是 等于我们的二根号三，接下来持续往持续扩大，你会发现那一直都只有一个焦点。所以根据这幅图我们可以写出来， 如果 a 是 小于根号三，无解， a 等于根号三，一个三角形 a 在 根号三到二根号三之间有两个三角形，那么 a 大 于等于二根号三，又是只有一个三角形了。 这里我们是通过图像来解决的，那么我们可不可以通过代数的式子也来说明说明这个问题呢？ 我们可以发现，这里是 a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 可算 a， 我 们把它单独拿出来看， 这个时候我们的 a 方和我们要求的 c 是 不确定的，于是我们把别的确定的数据先放进去， 于是我们得到了 c 方减去六 c 加十二减 a 方等于零， 那么我们目标是解出来 c， c 是 我们的变量，于是我们在解的时候，先算 delta 的 二次函数，二二二次的方程嘛， 它等于四 a 方减十二。那首先第一种情况，等下它小于零肯定无解， 也就是我们这里是零小于 a 小 于根号三的时候，那第二种情况，如果等下它等于零，那肯定是一个解，也就是 a 等于根号三的情况，那最后等下它大于零， 那这个方程它现在是有两个解了。但是我们在要求边长的时候，我们会要求 c、 b 虚是大于零才有意义吧，所以它不仅要加它大于零， 如果要使它有两解的话，我们还必须保证十二减 a 方也要大于零，那这里解出来是我们的二根号三和根号三的一个区间。那第四种情况 是，那这里虽然得它大于零了，但是一个根一个根正，一个根负，那它还是只有一节的，所以我们这里是 a 要大于等于二根号三的，所以我们从代数的角度也可以来得到相同的结论。 接下来我们看一下例三。 第三，首先求 a 的 余弦值，应该是只要把它带数字进去算等于四分之三，那同样我们可以，因为我要算面积嘛，面积等于 s 二分之一 b， c 算 a， 那这个时候在 a 是 我们要求的，那它显然是一个正的值，是四根号七，所以算出来是四分之十五根号七。那么这道题还可以换成两个问法，第一个 问问，求三角形 a、 b、 c 的 最大角， 那我们应该求哪个角？求角 c 大 边对大角。第二个我们还可以说 判断三角形 a、 b、 c 的 形状， 那么三角形 a、 b、 c 的 形状第一种类型是锐角、直角还是钝角？那第二种是等边、等腰等等， 那主要是这两大类，那么在这里我们要判断它的形状，那首先也是 判断，如果要判断这个锐角、钝角什么，那我们就看最大的角求角 c， 对 吧？那其他的等边、等腰，那看我们到时候具体的一些题目 在我们判断这里求角，我们如果要判断是锐锐角、直角还是钝角的时候，我们是求角 c， 那 求角 c 是 求它的最大角来判断嘛？所以我们说要算 cosine c， 那 么我们想想 cosine c 小 于零是钝角，等于零是锐角， 那等边和等腰的话，我们会在具体的题目里面来具体的分析它。总结一下本节课所学， 总结一下本节课所学，最主要的就是我们的余弦定理的三条公式，这是我们需要牢记在心的。

哎，大家好，我们来进行一下我们鱼弦定理的一个什么呀，推演的一个过程啊，这是高，属于高中的知识啊，知识， 好了，我们看一下，大家看一下我们的这个三角形 a、 b、 c 啊，对吧？假设我们以角 b 为研究对象，那么我们就以角 b 对 面的这个 过点 a 做 bc 的 垂线了，以后就以三角形 a、 c、 d 为研究对象，为研究对象，那么这个红色阴影 部分的这个三角形里面， b 的 平方，它就等于 a、 d 的 平方，加上怎么样 c、 d， 那 么我们又如何用已知的 abc 去表示我们的 a、 d 和 c、 d 啊？ 我们思考一下，不能着急，我们这样思考 c、 d 他 是不是等于我们的 a 减去 b、 d 啊， 对不对？只要我们把 b、 d 给表示出来了，那么我们也就能够用角 a 减去，不是用长度 a、 b、 c 的 长度是 a， 再减去红色，这个已知的就等于 c、 d 了，对不对？那么我们一个一个的来表示，好吧，那么 a、 d 我们看一下啊， a、 d 等于，因为 a、 d 用这个 a、 d 是 属于角 b 的 对边，因为这是直角，对不对？是不是对边比什么呀？除以 c， 对 边比斜边，是三眼还是狗三眼啊？当然是三眼对吧？是三眼多少啊？ b 三点 b 等于对边 b， a、 d 除以什么呀？ a、 b， a、 b 又知道了，对不对？所以 a、 b 是 c， 它除以 c 这里，它就等于，等于什么呀？ 等于三点 b， 我 们把它表示出来啊，这样 b 是 a、 d 除以多少 c， 对 吧？我要等式，两边相等， a、 d 要等于 a、 d， 所以 这里我也要乘以一个什么呀？ c 乘以 c 了，以后我们才好约分，对不对？这里乘以 c 的 话，我们移到上面试试，这里也要乘以什么样？ c 字母对不对？ a、 d 我 们就可以把它表示出来了， 对不对？ a、 d 表示出来了，我们再来看一下 c、 d、 c、 d 要求 c、 d 的 话，我要把 b、 d 给表示出来，对不对？ b、 d 表示出来了，我就用总的长度 b、 c 再减去什么呀？ b、 d， 它就可以得到了 c、 d 了，对不对？我们现在来表示一下我们的什么呀？ b、 d、 b、 d、 b、 d 是 不是角 b？ 在 三角形 a、 b、 d 中，它是不是我们角 b 的 连边呀？连边，比如说我们的连连边， 我等于连边是关于连边比斜边的话是连比斜，对不对？连比斜的话，它是属于我们的 cos 形，角与弦是 cos 形 b， 对不对？扩散圆 b 的 话，扩散圆 b， 我 展开出来是扩散圆 b， 等于连边比斜边，连边是 b、 d 对 不对？再除以什么呀？我们的 斜边是不是 ab 啊？ ab， 它告诉我了没有啊？告诉了是 c， 对 吧？但是等式的两边它是不是相等啊？不是。我们把分母给去掉，我们就乘以个 c， 我 们才去掉，对不对？这里乘了 c 以后，当然上面的我们也要乘以什么呀？ 一个 c 对 不对？ b、 d 是 不是我又可以把它表示出来了呀？对不对？ b、 d 表示出来了以后啊，我们又可以什么呀？把 c、 d 给表示出来了？ c、 d， 它是不是等于我们的 b、 c 减去 我们的 b、 d 啊？ b、 c， 它是告诉了我们是角 a 所对应的边小 a， 对 不对？是 b、 c 是 等于 a， b、 c 减去什么呀？ b、 c 减去 b、 d、 b、 d， 我 们算出来我们表示出来是这个，是吧？再减去什么呀？ c 乘以括号，乘以什么呀？ b 知道没有啊，对吧？我们就表示出来了， c， d 表示出来了，对不对？ ad， 我 们也把它表示出来了， 对不对？ a， c 得了没有啊？ b 得了没有啊？ a， c 是 等于 b， 那 么根据这个三角形 a、 c、 d， 我 们就很容易的得到 b 的 平方，斜边的平方看到没有？等于直角边的平方相加 a， d， a， d 等于 c， 乘以什么呀？ c 乘以它的平方，谁也什么呀？ b 的 平方，对不对？是不是？那么 等于 a、 d 的 平方加上什么呀？ a， d 的 平方加上 c， d 的 平方，对不对？ c、 d， 我 们又表示出来了，这里是属于多少呀？ a 减去 c 乘以 cos 什么呀？ b 好 了没有啊？它的平方我们就把平方给展开，对不对？ c 的 平方加上 a 的 平方，对吧？ 减去二 ab 啊， b 是 这坨，我们要记得分坨坨，知道没有啊？ c 乘以 cosine 什么呀？ b 知道没有啊？那么我们又来看一下还剩最后一项的平方，那么我们就加上最后一项的平方， c 的 平方 cosine 什么呀？ b， 对不对？那么我们整理一下这个式子，我们观察 c 的 这里有 c 的 平方，这里有 c 的 平方，我们可不可以，可不可以把 c 的 平方怎么样给提出来呀，对不对？然后括号这里剩什么呀？闪隐什么呀？闪隐 b 的 在 b 的 平方加上 c 的 平方，提出来了，还剩余什么呀？ cosine b 的 平方，对不对？那么这个的平方加这个平方，我们已经在前面已经写过，它等于什么呀？ b 同一个角的正弦 和余弦，它的平方将下来等于一啊，它就可以消掉了，对不对？那么剩余的中间的这里我把它搬下来等于一啊，它就可以消掉了，对不对？那么剩余的中间的这里我把它搬下来等于一啊，它就可以消掉了，对不对？那么剩余的中间的这里我把它搬下来，加上什么呀？ a 的 平方 减去二 a， c 乘以 cos， 等于什么呀？ b， 对 不对？我们整理这里，它就等于什么呀？ c， b 的 平方啊，这里是 b 的 平方，我把它照抄下来，对吧？ b， b 的 平方好，等于 c 的 平方加上什么呀？ a 的 平方，看到没有 a 的 平方，对吧？再减去二倍 a， c 乘以 cosine， 怎么样？ b， 好 了，我们就可以直接把余弦定离 cosine， b 把它表示出来了，对不对？ 那么我们把这一整个给移到左边，他就变成正的了，知道没有啊？再把 b 的 平方移过来， b 的 平方移过来，他就这里是正好的，变为负号，所以说我保留这里 c 的 平方加上 a 的 平方，怎么样？再减去 b 的 什么呀？平方， 然后这里它还有把这个移到左边来的话，它变为正的了，它还有前面的系数，就相当于正的二 a c， 所以 说有了这个，我们要两边同时同时除以多少啊？ 二倍的什么呀？ a， c， 它的这个前面的这个才能够消掉，对不对？所以扩大成 b， 它就等于 c 的 平方加 a 的 平方减 b 的 平方除以二 a， c。 好 了，这个得到了这个以后我们如何去考虑啊？我们如何去用啊？对不对？我们推演出来，我们要去用， 只要我们知道三任意三角形的三条边，我们就可以求这个角的余弦是多少，那从而我们可以求出这个角是多少度，对不对？因为 abc 是 不是题目已经告诉我的，他可以用阿拉伯数字假设 a 等于三四三六 七，对不对？那么三六七，那么我们就可以把我们的长度给带进去，就可以把它实质性的给求出来了，这个就是我们高中当中所讲到的一个移弦定律，所以说大家一定要谨记，而且 请大家看一下我们的这个位置，因为我们要去记忆。扩展点 b， 扩展点 b， 它是 b， 它的邻边扩散成 b， 这个角被哪两条边夹到起啊？被 c 和 a 夹到起对不对？那么它就是 c 的 平方加上怎么样？ a 的 平方再减去角， b 的 对边的平方，看到没有？角， b 的 对边是不是 b 的 平方啊？这里 对边是不是 ac 啊？ ac 是 不是等于 b 啊？ b 的 平方就是除以二二倍，怎么样？ ac 二倍的 ac 分 母是这个角的， 组成这个角的两条边，知道没有啊？所以我们是得到了这个了，以后我们要想如何去记不相邻两， 哦不是组成这个角的两条边的平方相加，再减去他的对边的平方，再除以他组成这个什么呀？角的两条边的两倍，这就等于他的余弦，知道没有啊？我们要这样去 理解，我们技巧怎么样快一些，所以说这个只需要大家去慢慢整理，整理出来了我们就可以解决的很部分的关于余弦定语的一些高考的题目，知道没有啊？好的，谢谢大家。

呦吼，欢迎来到三花猫的数学笔记本期视频全程高能十分钟，带你彻底拿下余弦定律、正弦定律的所有知识点、核心考点、做题思路以及解题妙招。包含了余弦定律、正弦定律的相关内容，以及 三角形面积公式、角分线定律、中线定律，当然还包括了最高能的三角函数与解三角形的做题思路的方法论。赶紧开始吧！ 那首先咱的余弦定律哎，我就直接讲证明了，了解即可。你看，我做了一个三角形 a、 b、 c， 然后在里面分别有这三个向量 a 和 b 和 c， 我 已经标清楚了箭头哦，方向哦， 那么这个向量 c 啊，它是不是就等于向量 a 减去一个向量 b， 根据这个向量的减法法则，然后两边同时平方一下哎，左边呢是一个 c 的 平方，这个向量的平方给它打开一下， a 加 b 方减去二 a、 b， 注意，都是向量哦， 那左边这个 c 的 平方，那它是不是就等于这个哎， c 所对应的这个边长它的 c 的 平方呀，注意，这个小写字母是边长哟， 那 c 方就等于右边是个啥嘞？哎，这个展开不就是 a 方加 b 方哎，再减去一个什么呀？二 a b 再乘一个 cos c， 那 这个就是余弦定律啦， c 方等于 a 方加 b 方减去二 a， b 乘一个 cosc， 你难道没有发现吗？这个东西长得非常的漂亮啊，你看它这个对称的结构，左边呢是一个哎，这个边长 c 的 平方，右边呢是两个邻边， a 方加 b 方 再减了一个二倍的哎，里面的乘积 ab 乘了一个 cosc， ok， 那 与之对应的是不是还有另外两个边呢？这是 c 吗？那还有是不是 a 和 b 啊？ ok， 那 咱的余弦定律就来了，哎，大家只用记住这三种结构就 ok 了，这个证明呢，了解即可呦，那主要是应用到三角形里面， 只不过它的证明用了相应的办法。 ok， 那 咱这个 a 如果写到前面，是不是就是 a 方等于 b 方加 c 方减去二 b， c 乘以一个 cosa 这个系数？二，不要忘了，那同样的这个 b 和 c， 哎，我就不念一遍了。那所以其实这个就观察出来了， 余弦定律，它解释了什么呀？为啥叫余弦定律？因为里面这个三角函数是不是有个 cosa 有 个余弦呢？它没有正弦的哟。 而另外呢，就是三角形的三个边， a、 b、 c， 所以 它解释了三角形三个边与一个角的余弦它之间的等式关系。 那么第一个英文就来了，啥时候用余弦定里呢啊？这个是咱们做这个三角函数减三角形最恼火的一个地方，啥时候用余弦定里，啥时候用正弦定里，啥时候运用这个三角和等变换呢？哎，思涵，我直接给他讲出来了呀，两边一角用余弦， 因为是这样的，你看它里面接收到这个三个边啊，一个角的余弦的关系，那么这样的话， 你知道了两边一角，那另外一个边咱是不是用这个余弦定力就给他推出来了呀？哎，因为里面的未知数只有一个边了，三边一角吗？ ok， 所以 两边一角咱就余弦哦，哎，这样可以把这个上去的三个边全给解出来，舒服了。 那另外其实这个东西它看着比较的抽象一点，那么就是这个推论喽， 余弦定律，咱直接把这个余弦写到前面行不行？太可行了，哎，注意看，这个男人叫小帅，这个东西叫做余弦定律的一个变形，或者说我平常就经常用这个东西，哎，我还不用前面那玩意呢，因为他给出来这个东西看起来比较丑， 变得每一点就是 cosa， 他 等于一个分子是 b 方加 c 方减 a 方，哎，分母是一个二 b c， ok， 你 看 平方和再减去对边的平方，再除了一个二倍乘积项，这个乘积就是里面的乘积， ok， 那 同理，这个 cos 在 b cos 是 不是也出来了呀？这个结构真的非常的好记，前面平方是 a 方加 b 方，后面呢是一个对边 c 的 平方，那这个分母呢？就是一个二 a b 了， ok， 那 第二个应用也出来了，哎，神不神奇？已知三边，求角度，咱也用与弦定离， 相当于题目的三个边长，你都知道了啊，一个三角形，三边长度已知啊，比如我随便画了一个， ok， 三边长度是一个二啊，这是一个四，这是一个七， 哎，这样吧，这是一个二，这是一个十，那这边呢？是一个十一，那三边长度已知的话，咱根据这个余弦定律，你是不是可以把任意一个角，它的这个余弦值都给解出来呀？啊，因为这个角呢，它要是在零到一百八十度之间，那么它的余弦值知道，其实这个角度按理来说也知道了， 这叫智取宝贝。那所以余弦定的两个应用，第一个就是两边一角用于弦，第二个就是以三边曲角度赞用于弦，来这两个记下的，咱们弹幕里扣一个六六六，或者说理解的宝贝们啊，因为咱们刚学是一个新课。 ok， 那 继续了啊，这个第四和第五就比较简单了，你看这个第四与勾股定律之间的联系，哎，发现没有，之前的勾股定律，如果这个角位是个九十度的时候，咱是不是得到了 b 方加 c 方是等于 a 方的呀？ 那现在根据这个余弦定律，它就是 a 方是等于 b 方加 c 方减去二 b， c 乘以一个 cosine， 它其实说白了就是当 a 等于九十度二分之派的时候，这个 cosine 二分之派是等于零的呀，那这一项就没了，那就变成了咱的勾股定律了。 所以勾股定律其实是预先定的一个特殊形式，哎， ok， 那 第二个，当这个 a 是 锐角的时候，就是 a 小 于二分之派。假设这个 a 是 咱三角形三角角里面最大的一个角，这个其实可以用于判断是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。 如果锐角的话，根据这个公式，然后 b 方加 c 方减二 b， c cos a， 但是锐角的时候，这个 cos a 是 一个正的呀，那这个 b 方加 c 方 减去了一个正数，哎，是不是就更大了呀？所以 b 方加 c 方就大于了一个 a 方了，或者说这个 a 方更小了，因为 a 方等于 b 方加 c 方减去一个正数，比如减去一个八，那么 a 方就比这个 b 方加 c 方要小了。同理，当它是钝角的时候， 那你想想这个角 a， 它所对应钝角的话，这个边长 a 应该非常非常大，大到什么程度呢？大到这个 a 方呀，大于 b 方加 c 方，这两边的平方和比这个 a 方还要小 以上呢，就是余弦定律的基本知识点了。那当然，学到余弦定律，就不得不引用另外一个名词，叫做解三角形，哎，高考中有个板块叫做三角函数与解三角形，其实正弦定律它和这个三角函数的联系非常非常大啊，就是用来解三角形的。那啥是解三角形呢？这说了一个废话，非常简单， 就说三角形呀，他有三个角，大于大 b， 大 c， 他 有三个边，哎，小于小 b 小 c， 我 们经常就用这个小符号表示边，大于字母表示角。那这是不是三角形的六个元素呀？哎，六个基本的元素，咱已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做减三角形了 啊。比如说一个三角形，我给你的这个大 a 大 b， 哎，两个角分别是一个三十度啊，另外一个是一个四十五度，然后给了一个边，是一个五，让你去求另外一个边，或者还有一个边，这个过程叫做减三角形。甚至有时候题目给的更复杂，它是一个代数式的形式，那比如什么三 a 成了一个，什么 cos b 啊？ 哎，随便假设到减去一个三 b 成了一个 cos a 啊，它就等于一个，哎，三倍的括号 c 呢？哎，那这样的话是不是也是？哎，知道了他们之间三角函数的关系，让去解这个三角形也算一种，哎，这个出题的思路， 因为正弦定律，其实我们就研究一个事情，那就是解三角形啊，所以这个后面慢慢再说，给大家讲题型，讲技巧的时候都会贯彻啊，现在这个题目是怎么做的，怎么去分析的，以及什么样的题型，该用什么的办法。 ok， 那 接着，废话不多说，直接上正弦定律，哎，我就直接给出这个正弦的内容吧，你看，余弦是和这个角的余弦值有关，那么正弦就是和正弦值有关喽， 它这个结构非常的对称，非常的美，哎呀，这个比三花猫还要美，哦，不对，它没有三花猫美。那么这个小 a 除以三 a 就 等于小 b 除以三 b 等于小 c 除以三 c， 这个小 a， 小 b， 小 c 啊，是三个边上的指，而大 a、 大 b、 大 c 分 别是三个所对应的这个对角，也就是这个对边 和对角的这个正弦值的比值，这三个三角形，这三个比值它都是相等的，它们等于啥呢？等于这个外接圆半径的二倍。 ok， 这个东西其实非常好正，你看我给大家怎么去正的， 小子，看好了，这一道会很帅。你看这里，我来了一个三角 c， 那 么这个 c 角 c 的 对边就是一个小 c 了， ok， 这边就是一个小 b， 那这样我做了一个，这个高，我记为一个 a m， 哎，藏猫非常聪明，做了一个高，那么这个 a m 等于啥呢？你看，在这个三角形里面，这是个直角三角形，哦， a m 是 不是等于这个小 c 再乘一个三 b 啊？ ok， 那 同时右边这个直角三角形里面，哎，这个 a m 呢，就等于小 b 乘了三 c， 那 这样咱就得到了 c 倍的三 b 等于 b 倍的三 c。 ok， 给它一个象，就变成了 b 除以三 b 等于 c 除以三 c， 长得非常的漂亮，非常的美，那么这个知识点里就出来了呀，那同理，你这个 c 除以三 c， 是 不是也能证出来？ a 除以三 a， 所以 这三个它们都相等喽？ ok， 那 另外第二个怎么挣出来他等于二二的，大家可以看一下，这个借助了初中的知识，就是平面几何的知识，但其实这个不会考到各位，就是高中阶段，他对于这个圆的考法并不是在平面几何上，而是后面的这个， 哎，解析几何在平面直角坐标系里面，所以这大家我就不讲了，我现在大家都看得懂，只要你上过初中的话，只要你是一个高中生，应该是没有问题的哟。 ok， 那 so， 我 们就继续了，重点是它的这个变形啊，你看第一种变形，我把这个一个象是变成了 a 除以 b 等于三 a 除以三 b， 哦，你把一个边的它的比值关系变成一个角的比值关系，这个东西叫做边角互化。 ok， 同理，这个 b 除以 c 等于三 b 除以三 c， 因为这个结构非常的对称呀，那这边是一个 b， 那 么这边就是个三 b 了啊，这边是一个 c 啊，这边就是个三 c 了，哦，开心。那同理，这个我就不再过多说了，那另外你这个比值还可以怎么去玩呢？哎，都快被玩坏了呀。 你还可以就把它写成 a b b 比 c 的 形式，那是不是就等于三 a 比上三 b 比上三 c 了？因为相当于我这三个都干嘛了都。除了一个二二，那是不是变成了这个三 a 三 b 和三 c 了？哎，舒服了。 ok， 那 同理，还有种玩法，它这里如果是一个 a 加 b， 除了一个三 a 加三 b， 那 其实是不是就等于二二了？ 另外这个 a 加 b 加 c 除以三 a 加三 b 加三 c 也等于二 r 了呀，这个是小学二年级学过的知识，各位，你把它变形一下就出来了，因为这个 a 是 等于啥呀？等于二 r 成了一个三 a 的， ok， b 等于二 r 成了一个三 b， c 等于二 r 成了一个三 c， 你 把这个二提取出来，是不是得到它了？哎，舒服了， 那所以我猎取了这么多色号猫，想干嘛？想告诉大家什么时候用这个正弦定力？那第一个就是对边对角，用正弦毫无疑问呀，因为正弦定力结实的就是这个对边与对角的正弦之间的关系。你看 a 和 b， 这边是角， a 和 b， 这边是边， b 和 c， 这边是角 b 和 c， ok， 第二个就是其次，是用正弦，那啥意思呢？那就是说两边他都是关于边的其次或者关于角的其次。比如说我给了这个例子， ok， 它看起来好像不那么齐，左边是 a 倍的 cosine， 解决 b 倍的 cosine， 右边是一个二小 c， 但是别着急。哎，三号猫有妙招，我们只看谁呀？只看这个边 cosine 和 cosine 先不管， 那么这个等式两边它关于边是个奇次式呀，你看这边只有一个边 c， 那 左边呢？是一个边 a 和 b。 哎，那这样我给两边直接干嘛呀？除了一个二 r， c 除以二，是不是等于一个三 c 了？ ok， 那 这边是不是等于三 b， 这边是不是等于三 a 了？或者是我直接一步到位这个除以二这个过程我就省略了啊，因为 a 比 b 比 c 等于三 a 比上三 b 比上三 c， 那 么这个 a 和 b 啊，直接变成这个三 a 和三 b， ok， 那 右边这个 c 啊，也变成一个三 c， 那相当于你把一个既有边又有角的式子给它转换成了一个只有角的式子来，那这样，这个只有角的式子，你再用一个三角恒等变换，哎，就把它变出来了一个非常神奇的事情， 那么究竟用哪个三角恒等变换呢？这里不再过多赘述了，大家可以看一下。哎，这个在上一期仓皇猫讲的三角恒等变换的这个题型。 ok， 我 们的主要任务呀，在这个正弦定的主要任务就是体会正弦定力是怎么用的，所以其字是用正弦。什么是其字式呢啊？就是这个等两边啊，它是关于边的其字式，或者关于这个角的正弦的其字式。比如这里变成一个 c 方， b 方 a 方，那也是适用的呀，我这里再加一个平方是不就行了呀？ 哎，你给他加个括号嘛，完全没毛病。 ok， 还有第三个出现，面积用正弦，因为这里面有个关于面积的正弦定律的公式 啊，那我就直接往下翻了，我们先看这个面积三角形的面积公式，之前咱们学过的，非常的 low 啊，就是这个二分之一叠乘高，太 low 了，能不能高级一点？ 你看，我直接来了， s 等于二分之一 ab 三 c， 二分之一 ac 三 b， 二分之一 bc 三 a， 注意，前面还是有个二分之一的，那么这个东西咋来呢？ 哎，也很好理解，它非常的对称，这边是 b 乘 c 的 话，两个邻边再乘，这个加角的正弦值就出来了，我给大家证明一下。哎，四号猫又开始秀操作了，这个证明不需要掌握，但是你可以简单掌握，但是你可以简单。哎呦，你看我这个是一个小 c， 那 么你看这个 am， 这个高，是不是刚做的这个 哎，辅助线呢？它是不是就等于啥呀？啊？等于这个 c 再乘一个三 b 了，那 s 等于什么呀？二分之底升高呗， 底是这个 b c 的 长度，那就是 b c 了，那高是一个 am， 那 b c 是 啥呀？ b c 是 不是这个 a 的 对边，它就是一个小 a 了？二分之一小 a 再乘一个 c 倍的三 b， 那 么就是二分之一 ac 三 b surprise 呢？ amazing 呢？请在弹幕里面扣出来一个六六六，哎，这三个公式一定要记下，因为有了这个公式，我们就不需要去哎，非把每个题的这个高给他做出来，这样太复杂了，太 low 了，这是小学生的做法， 咱是高中生呀，为了证明咱是一个高中生，那我们就用点这个高级的面积公式，不用做辅助线了，我只需要解三角形的哎，两个邻边以及这个对角的正弦去解出来，完美 它的面积就出来了。那另外再给大家扩展两个面积公式，一个呢，就是这个关于内切圆的半径，注意，刚刚我讲的是一个外切圆，咱们刚刚这个大 r 是 外切圆啊，用大来表示，而这个内切圆呢，咱就用小 r 来表示。 但是我知道内切圆半径怎么计算面积呢？ s 就 等于二分之一小 r 成了一个 a 加 b 加 c， a 加 b 加 c， 是 不是就是这个三角形的周长呀？这东西非常好，之后你画一个图形，利用面积分割法就挣出来了，这个小学让你都掌握的 ok。 第三个海伦公式， 这个呢，哎，大家可以了解啊，如果你是好学生或者平时想省事的话，可以记一下，但是其实在目前新高考的阶段，他让你直接套这个公式的真的不多了，各位， ok 啊，有这么一个东西啊，就是你知道上角三个边的边长，那这个小屁啊，是不是等于二分之 a 加 b 加 c， 我 记为一个半周长， 那么根据这个海龙公式， s 等于根号下，哎，这一坨我就不念了，大家你能记住的记住最好，记不住也没有关系，相当于知道三个边长，我怎么求它的面积，哎，一个思路，海龙公式，另外一个思路，你还可以用这个正余弦定理啊，你看，知道三个边长， 我是不是可以把这个三 a 给它截出来呀？你知道了这个 a b c 的 边长，先把这个，哎，不是三 a 是 cosa 用弦吗？ cosa 等于啥呀？来，开始念经， b 方加 c 方减 a 方啊，这是分子分母呢，是一个二倍的 bc， cosa 解出来了，那根据 cosa， 你 再根据这个三角函数，再把这个三 a 解出来， ok， 再根据这个面积公式， s 等于二分之一 bc 三 a。 哇，太妙了，请把妙扣在弹幕里， 完美！这个就是高中解三角形的厉害之处了，哎，我就不用初中去这个平面几何做辅助线了，我非常的高级，我用代数的方法给他全解出来了， ok， 那 另外再回到这个第四个知识点，就三角形解的个数，这个东西是一个重难点，我给大家标记一下， 这个形呢，非常的常考哎，如果你知道一个 a 为锐角，那么题目如果告诉你 a 小 于 b b 的 三 a， 那 这个三角形呢？一定是无解的，就是没有任何的啊，这个边上能满足这个 a 小 于 b b 的 三 a， 为什么呢？ 注意看，这个男人叫小帅。我直接做了个图，方便大家理解，这个东西很难哦，哎，很多地方甚至说很多同学到了高三都没搞明白，但四号猫一张图直接给大家讲明白了。你看，我这里是一个小 b， ok， 一个边上，这里是一个小 a， 那 么咱还是这个辅助线做了一个高，那么这个高呢？是不是就是小 b 成了一个三 a 啊？因为它的这个对角是 a 吗？小 b 成了三 a， ok， 那 么你看这个 a， 我是 不确定的哦，就是咱要比较这个 a 和 b 为三 a 的 关系，如果 a 非常小，小到什么程度呢？ 想到它比这个垂线段，那这个 b b 的 三 a 还要小，那可能存在这个 a 使它成一个三角形吗？不可能呀，你要想连接一个三角形，这个 a 比如这么大， ok， 可以 连接 a， 如果再大一点，哎，也可以。 a 如果再小的话，它最小是不是只能等于 b b 的 三 a？ 我 再小不可能了呀，我再往左边还要变大了呀，它怎么可能比垂线段还要小呢？ 所以当 a 小 于这个 b b 三 a 时候，小于这个垂线段的时候，它是无解的。 ok， 那 么第二个，当 a 等于 b b 三 a 的 时候，它是一个解，因为你看 a 等于 b b 三 a， 我 是不是只能在这里？那么这个三角形自然就是这个黄色的三角形了。 ok， 那第二个，当 b 大 于 a 小 于 bb 的 三 a， 就是 这个 a 啊，它介于小 b 和 bb 的 三 a 之间，那这里毫无疑问是不是有一个呀？啊？一个 a， 这里毫无疑问是不是也有个它对称的，那么三角形就有两个了，一个这个三角形， ok， 另外一个呢？还有这个三角形 啊，那所以就有两个解了。那第二个，当 a 等于 b 的 时候，它就是一个等腰三角形啊，那所以就有两个解了。那第二个当 a 等于 b 的 时候，它和这个 b 重合是不可能的， ok， 那这个就是当 a 为锐角的时候的情况，那如果当 a 为这个钝角或直角呢？哎，咱画一下这个 a， 这个钝角，它是开口比较大，那这个比较特殊了，只有当 a 大 于 b 的 时候，它才有一个解， 因为这个大边对大角嘛，它这个 a 如果是钝角的话，那么钝角所对应的这个边小， a 是 不是就应该比 b 要大呀？如果题目给了你一个 a 小 于 b， 那么它是无解的，不可能只有 a 大 于 b 了，并且 a 大 于 b 的 时候，它只有一个几，你画一个图就出来了，这个考的比较少，主要这个锐角的形式，哎，就两个字，做图，然后做这个高辅助线就出来了，舒服。 那接着还要再补充一个知识点，就这个角分线定律，还有中线的相关结论， ok， 角分线定律，说白了就是，哎，给这个三角形 a、 b、 c， 那 么这个 a、 d 是 相等的，你看，标了一个阿尔法，那么这样 s 三角形 a、 b、 d， 哎，这个三角形面积我记为一个 s 一， 这个记为 s 二， s 一 除以 s 二，就是 a、 b、 d 的 面积，再除以 a、 c、 d 三角形的面积，它就等于什么嘞？哎， 等于这个 b、 d 除以 c、 d， 为什么呀？因为可以把这个 s 写成，根据刚才面积公式，是不是二分之一啊？这左边写成二分之一，我这个 a、 d 记为一个小 m 吧，二分之一小 m 成了一个 b， d 再成了一个三倍的 c 塔，这个 c 塔就是角 a d b， ok， 这是 s 一 哦，那么这个 s 二，它等于啥呢？它等于二分之一 a， a、 d 成了一个 c， d 再成了一个三，这个 pi 减去一个 c 塔。 哎，那么这个三 c 塔呢？它在这三 pi 减 c 塔是谁啊？是不是这个角呀？ ok， 咱们用了两次面积公式哦， 那么众所周知，地球人都知道，这个三判减 c 塔是不是就等于三 c 塔？根据三角函数。 ok， 那 么这两个 s 除以 s 二，你看这个 m 就是 啥？就是 ad， 那 么 ad 和 ad 约掉了，这个三 c 塔，三 c 塔也约掉了，是不是就剩下一个 b、 d 除以 c、 d 了？那所以第一个 a 三角形面积之比就等于 b， d 除以 c、 d 就 出来了。 那么第二个三角形面积之比还等于这个 a b 除以 a c， 这是为什么呢？大家自己证明一下，也是用这个面积公式。 s、 e 可以 写成来换颜色的比，换个颜色的比 s、 e， 我 写成这个二分之一 a、 b 乘了 a、 d 再乘以三 r 法， s 二呢？写成一个二分之 a， c 乘了 a、 d 乘以三 r 法，它们都有个公共的，这个 a、 d 三 r 法也是相等的，那么是不是就等于 a、 b 除以 a、 c 了？ 所以根据这个角分界定律，我借助了一个面积相等就证出来了 b、 d 除以 c， d 等于 ab 除以 a c。 amazing 呐，漂亮呀， 那以后这个东西可以当做一个结论来记住了呀，那只要这个 a、 d 是 个角平分线，它平分完之后，这两个边的比值就等于这两个边的比值了啊，这个经常的考各位， ok， 那 加上角平分线，我们再扩展一个中线吗？高角平分线以及中线 高的话主要用于做辅助线，刚已经证明过了，哎，用于这面积里面。而这个中线的话，比如说你说 a d 如果是一个中线啊，意味着这个，哎， b d 和 c、 d 是 相等的，那这样我得到一个结论， ab 方加 ac 方相当于两个邻边的平方，和就等于什么嘞？二倍的 a d 方，中线的平方，再加上一个 b d 的 平方，哎，或者说这个 b d 方也可以写成一个 c d 的 平方， ok， 注意这个系数二不要忘了，但这个用到的比较少，也不会直接用的，有时候会让你证明一下，哎，他如果你给他放到平行四边形里面，是个更一般的结论了，你比我这边给他补一下，变成一个平行四边形， 那这样是不是相当平行四边形的一个定律啊？ ok， 大家稍微了解一下即可了，主要是这个角分线定律，那么到目前为止，咱的正弦定律全拿下了，哎，知识点， 考点以及相关的做题思路以及技巧。那当然最后还有一篇就是咱们的三角函数除以减三角形的做题思路的方法论哎，包括这个边角符号正确的使用条件的一个总结，以及余弦的使用技巧以及范围最值问题。哇，这个可是全身的干货，全身的高能，那么这个呢，会在后面给大家再更新的， 等大家先学完这个基本的知识点考点，然后做一些题的时候，再给大家更新这个题型课，因为本学期啊，给大家大量的去更新 啊，让三号麦一个更新，也是时间和精力非常的有限，所以我尽量给大家做到最及时的更新，大家可以多多去私信我哎，告诉一下你们学校的进度， 我尽量把这个知识点哎做题的核心技巧，以及马上会更新这个题型课的哎，包括知识点课，做题技巧课以及题型课三个课程，尽量给大家做到最全面的更新，那么下个视频再见哎掌握的同学请在弹幕里面扣一个六六六， 拜拜，下个视频再见喽！