证明三角函数的和差公式高考题

这是二零零七年宁夏海南高考题。若 sin alpha 减四分之派分之 cosine 二 alpha 等于负二分之根号二，那么 cosine alpha 加 cosine alpha 的 值是多少？ 如果你对三角函数比较熟练的话，那么这样的题目都是送分题。来看一下已知条件式，这个式子怎么求？ q， 三幺法加三幺法的值我们这样展开来就可以了。 这是两倍角公式，也就是 cosine alpha 平方减去 cosine alpha 平方除以 cosine alpha。 cosine 四分之 pi 减 cosine alpha 三一四分之 pi。 因为 cosine 四分之 pi 和 cosine 四分之 pi 是 一样的，相等的，所以我们可以写成这样的式子， cosine alpha 平方减去 sine alpha 平方除以 cosine 四分之 pi。 提出来这两个相等， cosine alpha 减去 cosine alpha。 然后有平方差公式可以约掉一个，就等于 cosine alpha 加 cosine alpha 减 cosine alpha 除以 cosine 四分之 pi 乘以 sine alpha 减 cosine alpha。 这两个约到是负一，因为是符号，相反就等于负的 cosine 四分之 pi， cosine alpha 加 cosine alpha 等于负的，等于负的二分之根号二，那么 cosine 法三样法就可以求出来了。 cosine 法加三引二法就等于 二分之根号二的负负约掉就是二分之根号二乘以 cosine 四分之派， cosine 四分之 pi 也是二分之根号二，所以就等于二分之一。这道题比较简单，两倍角公式，两角和的三角函数公式展开来， 再用平方差公式约掉一个音式，就得到一个关于 cosine 法加 cosine 法的一个方程，直接解出来就可以了。

本期用核叉画剂，恭喜一步秒杀三角函数问题，一套口诀通杀所有变形，学会这招，数学直接起飞。 好，那我们来看一下上面这个表格呢，就是核叉画机的四个公式和机化核叉的四个公式，我们只需要把这个公式带入题目中，直接就可以十秒结束战斗了，不需要推导草稿弄。 我们首先看啊，典型例题一，首先这个式子中扣散六十度的话，他直接等于二分之一，这个我们不用想了，对不对？那后面的这个呢？ 我们看后面的这个扣散一百加，扣散一百四呢？是不是就是扣加扣？所以说我们用的是不是就是我圈出来的这个公式，给他变换一下，变成二乘扣散一百二十度，乘扣散二十度，那 我们看啊，扣三一百二十度的话，它是不等于负的二分之一，但去了之后，二乘负二分之一乘扣三二十度的话，它是不是等于负的扣三二十度？ 那我们再继续来看啊，我们现在题目中是不是剩扣三二十加二分之一减去扣三二十，直接等于二分之一就秒杀出来了？所以我们就是运用和差画机的公式，零失误，零卡顿，直接就把这道题秒杀出来， 那秒杀一道题它不算什么，它不是个例啊，对不对？我们可以秒杀多种题型，那我们看一下这个例题二，例题二的话， 它是什么？首先我们看前面啊，前面是不散乘扣，用的是不就是散乘扣的积化和差公式啊？然后是散乘散，用的也是积化和 差公式，那我们把这两个公式给他带进去，我们看他们可以变成什么？二分之一，散九十度减去散五十度，对不对？那这个就变成减去二分之一扣散六十度，减去扣散四十度，散九十度等于一， 扣散六十度等于二分之一，那我们看就只剩下了散五十和扣散四十，对不对？那我们随便把一个换一下喽，扣散四十的话等于什么？是等于散五十度啊？然后接下来化简直接这套式子就等于四分之一了。 我们是不是第二种类型题，依旧是十秒秒杀？好，刚刚我们秒杀的两道类型题是不是非常爽？那我们是怎么用这些公 式来秒杀呢？那这些公式怎么来的呢？我们死记硬背的话，肯定是背不下来的嘛。那我们看我们正常来讲学的都是什么？两角和和两角差公式对不对？这是正弦与弦 和正切的一些公式，那我们看正弦和余弦，我们就相当于比如说把这个 一式和二式给连立，我们用一式减去二式的话，除以二就能画成这个公式，一式加二式除以二就能画成这个。 其实它就是我们的两角和差公式来进行转变的，所以我们知道它推导怎么来的之后，我们做题是不是就轻松了？ 好，那我们知道了和差化接和接化和差公式它们怎么推导出来的，那我们直接运用了，比如说这道真题，我们看分子的话，是不是以个散加散的形式， 那我们的散加散是不直接运用我们刚刚学过的公式给它变成什么？二倍的散四 t 乘 q 散 t， 那 么看那 q 散 t 和分母的 q 散 t 是 不约调了，所以说这一串复杂的式子直接变成什么了？我们求的就是 二倍的三四 t， 那 就把 t 等于二四分之派带进去喽，它就是二倍的三六分之派，直接等于一。这道题选择 a 选项， 如果说你还用两角和差公式啊，诱导公式啊，恒等变换公式这些来给它转化的话，可能一页纸都不够，那我们用和差化解公式是不是一行直接就秒杀出来了？省时间省计算？ 那最后学姐来分享一下终极斜修口诀，超级好记！合叉画机的 四个公式，正加正正在前正减正余在前余加余余并肩 余减余负正弦积化和差的四个公式。正余积正和加正差余正积正和减正差余余积余和加余差正正积余差减余和。

然后这块给了，给了几个特殊的柿子，理论上理论上去想的话，可能可以折出来的应该是一个 喷着的阿尔法加贝特的，然后这个因为前提都给了，对吧？但是不好说啊，也不好说，所以还有这个阿尔法加上四分之派啊，这个东西的话他 以后会经常用，对吧？然后把这东西展开，展开完了之后 find 加上四分之二应该是个什么呀？这个东西今后做多的话应该直接知道他是可以提出一个二分之根二的，对不对？那他就变成一个二分之根，二倍的一个 find 阿拉法加上一个 cosine 阿拉法了， 对吧？然后这个时候的话再把这个数是不是就可以往里带了？往里带的话前面刚好这个二分之根二的话，他就可以 再抄一遍。嗯， find alpha 加 beta， 然后呢再减去一个 cosine alpha 加 beta， 这理论上后面的二倍的 find alpha 乘以一个 find beta， 然后呢再加上一个二倍的 cosine alpha 乘以一个 find beta， 那 不出意外这就不好说了，这个东西就左右两边得同时 得去给它展开了，然后而且猜一猜的话，应该跟这个这个这个 alpha 减 beta 有 关系了， 想办法把这个东西展开，我就不不写了啊，它应该是一个塞抠加抠塞的形式，然后再减去一个抠抠，然后应该是是是加上一个塞塞的形式，等于这个啥呀？二倍的塞乘塞，加上一个二倍的抠塞乘塞， 然后消一消呗，这块和这块可以消掉，然后这个东西和这个东西可以消掉，然后呢左右两边我们再同时 做个一项，做个一项的话，这个挪过来就是一个三乘 cosine 减去一个 cosine 乘 cosine 的 形式， 这个是谁？这个是不是一个 cosine alpha 减 beta 了，对吧？这个呢？这个东西就是应该是一个 cosine alpha 减 beta 了，然后左右两边给它除过去啊，除完了之后能能得到什么呀？吞着它 对吧？除完了之后吞着呢？ alpha 减 beta 就 应该是等于一个一的啊。所以这题应该是一个选 b 的。 刚刚我看到公屏上好像有一块答答对了哈。

大家在学三角函数的时候，是不是发现这三角函数里面公式特别特别多，一共六十多个公式，那这么多的公式，你有没有发现你记起来特别的麻烦， 就别说你后面去用了，那今天呢，华哥带着大家一起来看一看 sin 和 cosine 和差角公式该怎么去记。那就先说一下，我们在记很多公式的时候啊，一定要尽量的避免 死记硬背，最好是带着情绪，带着感情，或者我们带着形象去记。比如说我们来看一下 sign 妈妈，为什么叫 sign， 把它叫做妈妈呢？因为在我们传统的妈妈的角色中，妈妈是一个什么样的角色，很温柔，很公平， 所以你会发现 sign 它就是这样子的， sign 阿尔法加贝塔，是不是把 sign 阿尔法贝塔把它拆开，变成 sign 法扣 sign 贝塔，对不对？这是 sign， 我 有 sign， 我 也有扣 cosine， 大家轮流着来，然后呢？接下来是 cosine， 而 cosine 被它是不是大家轮流着都有了，就非常的公平的感觉，而且非常听话，对不对？如果这个地方是加法，那这个地方是不是也是加法呀？如果这是减法，这是不是也是减法呀？所以它给人一种 非常的顺的感觉对不对？很符合咱们的逻辑，也很符合妈妈的这种性格色彩。然后我们来看一下 cosine 就 不一样了啊， cosine， 我 们叫爸爸公式， 为什么叫爸爸公式呢？因为爸爸的角色什么样子吗？很霸道，也相对来讲不那么的顺，不那么听话，是不是啊？ cosine 的 阿法加贝塔，你会发现非常的霸道，霸不到什么地方，那我自己的 cosine 就 一定要在前头，那至于说你的 cosine 给我扔到后头去， 而且不太听话这个地方是加法的时候，他这是什么减法？你这减的时候我偏偏就要怎么样加法。所以大家感受一下华哥说这些公式的时候的语气啊。散是什么？很柔的对不对？很顺的，散一下，来，扣，散一下。好，你散过，你扣过来，我们再反过来，你也扣一下，你也散一下，你也扣一下，是不是就可以了？ 加的时候我也加，你减的时候我也减，哎，非常的顺啊，这声音都是柔和的，扣赛就不一样了啊，扣赛是爸爸公式对不对？扣赛。来，大家看一下。扣赛阿法加备赛怎么办？那我扣，扣在前散，散在后头，而且你加我就减，你减 我就加，感受到了吗？所以啊，如果说我们背公式的时候都能像这样给公式赋予它什么？性格色彩，赋予它语调上，感情色彩上面的情绪变化，你会发现公式背起来是不是也没那么难呀？

挑战零基础速通三角函数，十分钟带从入门到掌握！今天给大家分享一下三角函数里面比较重要的一些东西啊。咱们一个一个来看，第一个的话是咱们的政权定义， a 除以三元 a 等于 b 数，三元 b 等于 c 数，三元 c 等于什么？书上写的等于外积元的二二， 事实上它同样等于 a 加 b 除以三元 a 加三元 b 加上三元 c， 也等于 a 加 b 加 c 除以三元 a 加三元 b 加三元 c， 那后面的这几个要灵活运用，那理解上来说的话也比较简单，那比如说 a 等于三引 a， 那 为什么等于 a 加上 b 除以三引 a 加三引 b 呢？ 是因为我们在三角函数数学定义的运用的过程中，下方呢，比如说这个三引 a， 它可以替换成 a， 同样右侧的三元 a 和三元 b， 它可以替换成 a， 加上替换之后左右都等于一，所以它等价呢，这个大家一定要用的稍微熟练一点啊。第二个，余弦定义， a 方等于 b 方加 c 方减去二 b， c 过三 a， 那 这个书上都有的，所以说大家在运用过程中一定向第二条这个 呃 cosine a 等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 这个事情一定一定要运用到熟练。同样的，如果以后看到 b 方加 c 方减 a 方这样一个呃数值，在计算题过程中的话，一定要快速反应出来。 第三个 cosine a 方加 cosine a 方等于一，这个呢就运用到我们这样的图里面，这个图非常重要，就是单位坐标系的这个图里面， 哎，第四个，这个括三点二， a 等于括三点 a 方，减去三点 a 方，等于二倍的括三点 a 方减一，也等于一减二倍的三点 a 方。 这个三个公式，它难点就在于几个活学活用啊，一会用到括三点 a 方减三点 a 方，一会用到二倍的三括三点 a 方减一，一会也用到一减去二倍的三点 a 方，这个活学活用的难点稍大一点啊。 接下来是三幺二 a 等于二倍的三幺 a 扩三 a 这个书上呃就写的有的这个预导公式啊，下面一个扩三幺二二分之一等于正负根号下面二分之一加扩三 a 除以二啊，三幺二 a 也是一样。所以大家在学三角函数的时候，不只是要记住我们三幺二法的这个 呃图像，扩三幺二的这个图像，尤其是我们 x y 轴这个平面坐标系在这里面，那个单位圆的坐标系在这里面，那个单位圆中。扩三 a 指的是 x， 三 a 指的是 y 啊。 既然我们科三 a 指的是 x， 那 么科三用派加 a 等于负的科三 a 啊，这个的话，其实最好的记忆就是在我们单位里面。 接下来给大家讲一下这个和差化的和和差，这个也是考的比较多的，需要掌握的稍微熟练一点啊。那给大家演示第一个，第一个演示之后，剩下大家自己推导一遍啊。角 a 等于二分之 a 加 b， 加上二分之 a 减 b。 角 b 等于二分之 a 加 b， 减去二分之 a 减 b。 所以 三 a 加上三 a b 等于三二分之 a 加 b， 然后加上二分之 a 减 b， 然后再加上三二分之 a 加 b， 减去二分之 a 减 b。 哎，那这个之后再展开之后，它就事实上就等于二倍的三，二分之 a 加 b 乘以扩散二分之 a 减 b， 这这第一个公式就出来了，那剩下的公式大家自己推导一遍啊，给大家讲讲这个三角函数里面稍微难点的一些部分。这个的话，其实我对学生的要求还是要熟练掌握啊。 第一个在三角形 a b c 中啊，这是大弦前移角 b， 那 么三元一定要大于三元 b， 既然 a 大 于 b， 所以 角 b 是 一定为锐角，那么我们角 b 如果为锐角，那么比如说单位圆里面，我还是给大家强调一下这个单位圆的重要性啊。 角 b 是 这样一个角，那么在左侧给它画对称的这样一个点叫 b 撇，那么在角 a a 就是 在 b 到 b 撇中间。而三引上先给大家讲这个三引求的是什么？求的是 y 值，所以天然的三引 a 要大于三引 b， ok， 这是第一个啊，第二个啊，若角 a 等于 b 加二分之二，那么扩散 a 等于负的三引 b， 或者三 e a 等于阔三 e p， 这个一定要呃，记得非常熟啊，甚至在高考题中见过的。 第一个阔三 e a 等于负的三 e p 是 怎么推出来的呢？来给大家演示一下啊！用代数的验证方式的话，就是阔三 e a， 它等于什么呢？阔三 e b 加二分之，然后等于什么呢？ 三 e 负 b 就是 三 e 二分之二，减去后面这个角，那就等于负的三 e， 哎，第一个它是不是就推出来了啊？那第二个三 e a， 那 是不是相当等于三 e b 加二分之二，那是不是就等于扩散负 b， 那 就等于扩散 b， 所以从前往后推，他是完全 ok 的，是吧？那接下来再给大家看一下，从后往前推到底怎么样？看到底是冲要条件，还是说充分不必要，或者说必要不充分啊？呃，到底是什么一个条件？那如果若 从后往前推，扩散 a 等于负的三 b， 那 首先在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 都是我们的锐角啊，直角啊，钝角哈。那如果知道扩散 a 等于负的三 b， 那 就意味着其中有一个数字是负数啊，有一个数字是负数的话，那就意味着什么呢？角 a 为钝角，这个是一定是已知的一个事情啊。 角 a 为钝角的情况下，那怎么样？呃，往上推，推到我们的 a 等于 b 加二分之二呢？啊？如果说从我们的呃这样一个单位圆里面去推的话，其实这个的话推起来会稍微快一点啊，同样的这样一个单位圆啊， 刚说了角 a 是 一定是什么？一定为钝角，那么角 b 就 一定为锐角，对吧？那角 b 如果为这样一个角，我们刚说了三硬币，它求的是什么？求的是 y， 它指的是这个 b h， 那这个 b h， 它等于坡上 a a 是 钝角，坡上 h 就是 什么？求的是这样一个 x， 那 就意味着 a 点到 y 点的距离等于这里的什么？ b h， 那 就相当于这里 a 点。在这 a 点在这的时候就会出现一个事情哦，这个 a 倒，它等于 b h， a 倒等于 b h， 那 就相当于这个 a o 倒和 b o h 这两个三角形全等。那在这两个三角形全等呢？是不是就可以推出角 a o b 等于九十度呢？是可以的。角 a、 b 等于九十度呢，就意味着角 a， 所以 角 a 等于角 b 加上二分之二。哎，这就推出来了啊，从从后往前，呃，扩散 a 等于负的扩散 b 就 推出来了啊，这个先放这啊，然后接下来，若三 a 等于扩散 b， 三 a 等于扩散 b， 那 它能推出一个呃，什么内容呢啊？同样的，在我们的单位圆里面，因为三 a 等于扩散 b， 所以 我们呃，知道扩散 b 一定是大于零的。 扩散一定大于零，那就意味着角 b 在 这个地方是一定为锐角啊，角 b 一定为锐角的时，一定为锐角的时候。我们同样的画在一个单元角 b 就是 扩散 b， 它是一个在一象限的一个一个数字啊，同样的做一个 b h， 那 么扩散 b 它指的是什么？扩散 b 在 这个地方指的是 o h， 那 o h， 它等于三 a 三 a， 我 们先说哪三 a 求的什么？求的是呃，求的是 y 啊，相当于在这个地方取一个点，然后这个点是什么？是呃，指的是 o h 啊， o h， 然后画一条平行线， 那么 a 点在这，或者说 a 点在这，所以它能推出什么呢？当 a， 若 a 是 一个锐角的时候啊，若 a 为锐角，则 a 加 b 等于二分之二，若 a 为钝角，则 什么呢？ a 等于 b 加上二分之二。所以大家同学，大家看啊，今儿给大家推导的这些内容都是在这个平面坐标系以及 x y 坐标在一个单位圆里面啊，这个图像在我看是非常非常重要的，大家一定要非常熟练啊。 接下来呢啊，若 a 大 于 b 加二分之二，那么三也小于 b 小 于 b 呢，属于零到十分之二之间， b 呢，属于零到十分之二之间， 下面还有一个括上一边的角值值一定要大于三与 b 的 这个数字啊。同样的，我们也是在这个单位圆里面看，看的是比较清晰的啊。 a 大 于 b 加二分之一，那 b 首先是一个角， b 的 角在这，嗯，那么我们画一个跟 b 垂直的这样一个角，同样再画一个互补的这样一个角，对吧？哎， 那我们的角 a 的 范围它是在哪里呢？ c 到岛中间，在 c 到岛，三 a 三 a 指的是什么？三 a 九九指的是 y 啊， y 的 高度，比如说 a 在 这儿，所以三 a 指的什么呢？指的是 y 啊， 所以三 a 它是什么呢？它是相当于 a g， 然后扩散于 b 相当于什么呢？ o h， 所以在这一段里面啊，所以 a g 是 小于 o h， 所以 三 a 小 于扩散。 这个比较熟练一点啊。大家前提是什么呢？ a 属于还是在二分之派到四分之三派之间，那 b 呢？是属于零到四分之派之间，那同样的，如果说 b 它是属于四分之派到二分之派之间，它就不成立了啊。 接下来剩下一个比较难点的部分啊，如果 a 加 b 大 于二分之二，那么能推出什么结论呢？就是意味着 c 是 锐角，就意味着我们以后如果知道在三角形里面有一个角是锐角，那么剩下两个角的和就是大于二分之二啊。在这个基础上，那么 a 大 于二分之二减 b， b 大 于幂幂减 a， 那 三 a 大 于小于 b 什么时候成立，什么时候不成立？以及三 a b 大 于小于 a 在 什么样情况下成立啊？呃，这个我对大家要求还是那句话，这个事情已知的比较简单的内容，一定要掌握的非常熟练才可以啊。那给大家推导一下啊，若 a b 为锐角， 那么意味着两个锐角之合为钝角，那么三 a 大 于一个 cosine b， 这个就比较简单啊，一定是成立的。那若 b 为钝角或者直角啊，因为 b 如果为钝角， cosine b 一定为负 b 如果是直角，那么 cosine b 等于零。 那三 a 大 于扩散 b 天然成立啊。那若 a 为直角，那么三 a 等于一 a 为直角，变为变为锐角，那么扩散角小于 c 属于三 a 大 于扩散 b， 那 比较难点的部分是什么呢？ a 如果为钝角，这个事情它就不一定成立啊。三 a 大 于扩散 b， 我 们来看一下， 还是刚刚说的，在它单位圆里面三 a， 那 当 a 为钝角的时候，不一定成立，什么意思呢啊？ a 为钝角，那 b 是 一定为锐角，那我们在这个呃，单位圆里面把 b 标注出来， b 标注出来之后， 那我们的 a 点它在什么呢？ o c 到 o f 之间，就相当于在弧的 c f 中间，那么在这个的时候啊，扩展 b 指的是 o h， 现在再再强调一遍啊，扩散引指的是我们的 x 啊，三引指的是我的 y， 那 么 o e 垂直于 o b， 把这个 e 点找到，把这个 f 点找到， f 点指的是关于 y 的 对称点 f 啊，那么 呃，右侧角 a 撇左侧角 g 点啊，那么角 a a 撇 o b 等于角 g o f， 那 么当我们的点 a 在 哪里呢？就是角 a 撇 o b 等于角 g o f， 那 么当我们的点 a 在 c e 指的是 y， 它是大于扩散引 b 的， 当 a 点在 e 上的时候，这个 e 点值是什么呢？ o e 垂直于 o e， 那 么三 e a 啊，它是等于坡三 b 的， 相当于 e 往 x 轴做垂线啊，垂线段，这个线段长度它是等于 o h 的， 那么当 a 在 e f 这个弧中间的时候，三 e a 是 小于坡三 b 的 啊， 这个在我看来三角函数这一块内容里面，这个是非常非常重要的啊，一定要自己推倒一面，那还有什么呢？ b 大于二分之二减 a 的 时候，那么三 a b 大 于扩散 a， 其实跟上面的内容是一样的，只是说，呃，前后角度的替换三元 b 大 于扩散 a 的 时候，那比如说我们的 b 为钝角的时候，它成立的条件一定是右边那个啊。那最后一个，若 a 加 b 小 于二分之二，那么推出什么呢？那 a 小 于二分之二减 b 能推出三言一小一坡上币啊，这个留给大家注意，自己回去推导一遍啊。所以今天总结一下三角函数里面这个单位圆的这样一个图像非常非常重要，大家一定要用的稍微熟练一点啊。 还有一个，大家都已经遇到解三角形的一些问题，和平现在结合的一些问题，给大家一个比较重要的一个建议啊， 就是解三角函数的这个答题的时候，在做的时候，一定要把我们的已知的条件去判断一下这个三角形是否固定。嗯，这句话好好揣摩揣摩啊，就这样，加油！

真的有必要学和插画机与机画合叉吗？我觉得没那个必要，质量好的三角横等往往是考察学生对角度的化简与配凑，不信大家往下看。比如这道题目，我们的核心只需要化简口算四十和口算二十，然后起到一个消角的作用即可。 话不多说，我们来好好讲一下这道题。首先按照这样的化简，你把口算四十和口算二十的化简结果带入我们可以得到这样一串式子， 大家应该没问题。哦，那这样子他除以这个 q 三十的所有相都只有十度，对不对？看起来很清爽，然后直接把它给盛开，开完就会变成四分之三的 q 三十度的平方，减四分之三三十平方，然后这边是加上二分之根号三三十三十， 再除以一个口三十。很明显接下去就是二倍角，前面是余弦的二倍角，就变成了四分之三的口三二十，然后面是正弦的二倍角，就是四分之根号三三二十，然后再除以口三十，然后接下去的话补住角。 因为前面他这个系数是三和根号三吗？对辅助角搞一个这样的，提一个二分之根号三出来，它里面又会变成我们非常习惯的样子。度角算完之后就变成二分之根号三上八十， 这边就除以口上十，然后一约掉原式，就等于二分之根号三。所以说真的大家没必要刻意去学什么和差、化及几何和差，我们能把课内的知识学到极致即可。好，谢谢各位。

和差画机公式多想想三十秒速记这类题型 来看这道题， sine alpha 加 sine alpha 加三分之 pi 等于什么？很明显咱们要用到和差画机的公式对不对？我不会背，怎么办呢？来，我们上魔法，我们的魔法躲密躲密。你小图一画，我的答案直接出来是根号二倍的 sine alpha 加 六分之派。怎么做的？别急，我们来看一下这两个相加啊。我可以把 sine alpha 和 sine alpha 加三分之派。是不是可以看做两个项链，两个项链之合不就可以找到它的对角线，那我们就能求结了。 sine alpha 呢，就是咱们平着的这条项链啊。 sine alpha 加三分之派呢，其实就是把这个项链给他旋转的三分之派个角度。 角度咱知道了，那魔长呢，我们就把它设为一吧，它的对角线是不就是根号二倍的了？那根号二倍对角线平分它这个三分之派的角，所以这个假角是六分之派。那我们直接就写出了它的答案，是根号二倍的 sine alpha 加六分之派。好了，我们下期再见。拜拜。

hello， 大家好，我是涛涛老师，那么今天我们来看一个三角函数的一种类型题呢？这个题呢，它相对来说难度还是比较高的哈，我们直接看题，已知 theta 等于啊， theta 是 属于我们的四分之三 pi 到 pi 的， 然后贪心的二 pi 等于负四倍，贪心的 theta 加四分之 pi， 求求我们的二倍扩散平方 c 叉加散引二 c 叉，分之一加二倍散引二 c 叉。那么这个题呢，它考验的一个东西就是我们平常公式的应用到底是否是记得很熟，我们先记一下餐厅的二 c 叉的公式，回顾一下一减餐厅的平方 c 叉分之二倍餐厅的 c 叉， 然后还会用到的一个就是餐厅的的 r 法加贝塔等于一减餐厅的 r 法餐厅的贝塔分之餐厅的 r 法加上餐厅的贝塔好。这是前面会用到两个的一个公式，那么我们先来看一下这个题，我们直接带公式进去试一下，那么餐厅的二 c 塔就等于 一减餐厅的平方 c 塔分之二倍餐厅的 c 塔好。另外一个负四倍的餐厅的 括号 theta 加上四分之派，那么就可以带进去把负四写前面，然后是一减餐厅的平方 c 塔，然后餐厅的的四分之派 还有一个，那这里就是餐厅的四分之派分之餐厅的 c 塔加上餐厅的四分之派。那么这个我们可以稍作一个化简，那就是一减餐厅的 c 塔分之上面是餐厅的 c 加一，所以就是负四倍的餐厅的 c 塔减去四， 那么这两个式子是相等的对不对？所以就是一减餐厅的 theta 平方分之二倍餐厅的 theta 等于一减餐厅的 theta 分 之负四倍餐厅的 theta 减四。 那么在这个地方呢，有很多同学说，哎，交叉相乘会不会更轻松？实际上，这里我们可以把这个式子给我们写成，一加餐厅的 theta 乘以一减餐厅的 theta 分之二倍贪心的 theta， 然后等于上面这个式子，那么分母的是不是就可以约掉？那我们就可以得到的是二倍贪心的 theta 等于负四，乘以贪心的 theta 加一括号的平方， 把它平方出来，那就是负四，餐厅的 c 塔平方减八倍，餐厅的 c 塔减四。好，那这一步以后，我们再对它进行一个移项，移项呢，就可以得到的是什么呢？四倍餐厅的平方 c 塔加上十倍餐厅的 c 塔加四等于零。然后 再怎样变呢？除个二，那就是二倍餐厅的平方 c 塔加上五倍餐厅的 c 塔加二等于零。那十字相乘法，二倍餐厅的 c 塔和餐厅的 c 塔， 这后面是二和一，可不可以这样放？不可以啊，因为他得不到五，所以就是这个样子。那么因此我们就可以得到的是餐厅的 c 塔等于负的二分之一，或者是餐厅的 c 塔等于负二。 ok， 两个值，但是呢，他给了这个范围，那是不是两个都可以取呢？对吧？那 这里我们一定要特别注意的一个问题，有一个是不能取的，因为他是四分之三派的派，那四分之三派是不是等于负一？ 所以因此我们的哪个值是不能要的？对的，这个是不能要的，这个要舍掉，所以我们就得到贪心的 theta 负二，那因此我们可以对这个使用其次式是最简单的，那么原式也就等于我们的 sin 平方 theta 加 cosine 平方 theta 加二倍三，哎，不能写成二倍了，是四倍，对不对？四倍 cosine theta， cosine theta， 然后再来除以我们下面的这个二倍 cosine 平方 theta 加上 二倍 sin theta 和 cos theta， 那 么其次是一除，那就是餐厅的平方 theta 加一，加上四倍餐厅的 theta 除以 一二加上二倍餐厅的 theta。 好， 那么因此带进去负二，带进去四，加一五，再减八负三，然后下面一个二减四负二，所以最终的结果是二分之三。

挑战四分钟两头三角恒等变换，利用两角和差的拼凑角问题，这是三角恒等变换非常喜欢好的题型之一， 那么这种题很多同学在做题的时候都特别容易做错。好，今天我要把逻辑给你们讲一遍，所有所谓的拼凑角指的是什么？我要求的这个角是跟正前面两个角 和或者差而形成的，这种问题我们都叫做拼凑角问题，所以拼凑角问题他的解析的流程，永远的思考你的思维密度近视先去什么叫做凑，用条件角去凑目标角，条件角去凑目标角， 这是我们解析思路的第一步，就是你的搭建的第一步就在这，比如说你的 alpha 加 beta， 就 等于 alpha 加 beta 目标角，它合成的是这两个角，那你以后还可能会遇到这种东西，比如说 alpha 加上一个 beta 减去一个四分之派，结果题目当中前面条件给了一个 alpha 减四分之派， 那后面给了一个八倍的，这两个都告诉你了，那我肯定就把它拆成阿法减四分之八加倍，就这个道理。所以所谓的条件，只要转化目标以后，只要遇到这种后面明显跟前两有关系，你就想着给他俩是加还是减，怎么样变成目标的结构，这个就是第一步你要思考的事情 好，思考了之后，第二个再去找什么？找条件角的正余弦值。当然我们遇到正切，可能还要遇到求正切值，就是你因为你的展开之后，他是可三 f， 可三倍的加，三 f 加减去三 f 三倍，所以你需要知道他们每个人的正弦和余弦，所以你看，当 知道了这是余弦，那我就得知道他的正弦，当我知道他的正弦，我就得知道他的余弦，对不对？所以我就需要找他的正弦值，那怎么找的？这里就来了第三件事情，你最重要的板块就是判断正负，判断我的条件角， 就题目中给的条件角，他的正负也就是象限，就是判断我这 r 是 正负，就他的正余弦值，其实不能叫正负，叫象限，应该这样，他们在哪个象限，这样我就能判断他的正负了。 好，那么我们解题实际思路是这么做的，但是我们实际在处理过程当中是需要 不断的，在这个事情，在这一步上，实际处理当中要不断的去判断，因为我未来在求角的过程当中，可能需要反反复复的去检验他们的正负，这个我们也会在解题的过程中给大家去讲。好了，现在我们就来看看这道题了，那么因为考三元算法是五分之三的三元算法，咱们是不是吃多少呢？ 根据勾股定律，勾股数男生数字前面都说过那三四五，那么另一个值一定是五分之四，但是阿尔法因为在第一项线，所以它是正的，所以三样阿尔法可以愉快的写出来。 好，那因为知道了三样贝塔，那可三样贝塔，知不知道？三样贝塔在第二项线，所以它是贝塔第二线，所以可三样贝塔是负的，所以可三倍，它就等于负的。而前面勾股数五十二，十三教你们背过，所以它就是负的十三分之五。 所以你们还记不记得我今天刚开始上课就跟大家说到一件事情，就是关于孪生数字的记忆，它为什么很重要？因为你记住了这些孪生数字，那么你看到这个值一下就能知道这个值，所以你就不用打草稿，你的做题速度就会比别人快。好了，所以现在我要求的 cosine alpha 加 beta 就 等于什么 cosine alpha， 然后怎么样减去一个 sine alpha， sine beta， 那 这个值就等于多少？来，我们来看一看。 首先考三亚法考三倍的题目是不是告诉你考三亚法五分之三考三倍的，刚才求出来过了，所以他就等于什么？五分之三乘以一个负的十三分之五，对不对？再干嘛再减去一个来，因为这个是什么？减去三亚法乘三倍的，他两个都正的，就五分之四乘以一个十三分之十二。 好来，同学们，在这件事上，有的同学化简会养成一个习惯，约一下什么，我会这么去讲来，记住，在遇到拼凑角问题，一定是前面在运算过程中不约分，到最后结果才约分，为什么？ 因为他们分母高度一致，我最后一定要通分，所以我前面一定不圆，记住了吗？所以五乘十三，六十五，所以他一定是六十五，这个地方是负十五，后面是负四十八，加一块就是负的六十三，所以大家就负的六十五，分之六十三，所以我只交给最后一步去做画件，这就是整个这道题的解定流程。

三角函数恒等式公式，推导一两角和与差的正弦。与弦公式算口诀，塞可塞 口诀可可塞塞二两角和与差的正切公式 三正弦 二倍角公式 五，正切二倍角攻 势，辅助角攻势。

今天咱们来看三角函数的和差公式。三角函数的和差公式一共是两种，是 sine alpha 加 beta 等于 sine alpha 乘以 cosine beta， 加上 cosine alpha 乘以 sine beta， 这前面是加号，后边是加号，前面是减号，后面是减号， 等于 sine alpha。 cosine beta 减 cosine alpha 乘以 sine beta。 你 看啊，它这个 sine 的 这种，它变的是这行是不同的，乘不同的，所以它的加减号是不变的，看出来了吗？然后咱来看 cosine， cosine alpha 加 beta 等于 coco 减 cine， cosine alpha 减 beta 等于 coco 加 cine 来看 cosend， 它就是变的是这前面是加号，后面是减号，前面是减号，后面是加号，变的是这号，但是它这乘的是相同的，你要记住别弄混啊。然后咱们来看这道题， cosend 扣减 cosend， 这应该是 sine 减号，一百度减四十度就等于三六十度，这种特殊角的三角函数值当中背下来的六十度的散值应该是二分之根号三，所以这道题是不对的。然后下一道再扣加扣塞，所以这个也是塞的，塞三十五度加二十五度 等于塞六十度，等于二分之根号三，这道就是对的。记得点赞评论关注呦！

那么我们今天来讲一下高考考察频率非常高的一种题型啊，三角函数，那么三角函数分为 研究图像和正弦和余弦定力，那我们今天研究的是图像问题啊，我们看这道题，这道题是二零二五年黑龙江新高考二卷的第十五题。 首先我们观察到这个函数关系给你了， f 零等于二分之一，求 sine 直接将零代入呗，所以就是 f 零等于 cos 二乘以零是零吧，所以是不是 cos sine 等于二分之一，那么 sine 给你范围了，大于等于零，小于 pi， 所以 解出来 pi 应该是六十度，是不是三分之 pi 啊？我们第二个 给你 g x 了，所以我们构造出搞清楚 g x 等于啥，它是 f x 加上 f x 减六分之派构成的，所以直接代入就变成了 cos 二 x 加上三分之派， 加上 cosine 二倍的 x 减六分之派，再加三分之派，然后给一个中括号， 然后接下来我们把它打开啊，展开给它硬算， cosine 展开是 cosine， cosine x， cosine 三分之派减去 sine sine sine 三分之派， 然后看看后边，后边是不是先把二乘进去，二 x 减三分之外加三分之外分别掉了，所以是不是 cos 二 x， 然后我们继续把这些数能算的算下来啊，所以就是二分之一倍的 cos 二 x 减去二分之根号三倍的 cos 加上 cos 二 x。 所以 整理一下 二分之三倍的 cos 二 x 减去二分之根号三倍的 sin x， 那 么我们会会发现啊，这是同一个角的 sin 和 cos， 所以 我们利用辅助角公式。首先回顾一下辅助角公式， 角分别找到 sin 和 cos 前面的系数，一个是二分之三，一个是二分之根号三， 提取他们的系数的平方的和 k 根号，所以是根号下二分之三的平方加上 二分之根号三的平方，所以等于根号三，所以我们提取个根号三出来，就变成了根号三倍的二分之。根号三口三 x 减去二分之一倍的三 x， 那么继续这个有 cosine， 我 们就去想谁的 sine， 然后是根号 cosine 是 不是正好是 sine 六十多三分之 pi 啊，其他都不要变，减去 cosine 六十多吧，三分之 pi 再 sine x 一 sine 一 cosine 展开式啊，所以根号下 sine 三分之 pi 减 x。 好，我下一步研究这个函数的值域啊。首先因为 x 是 属于负无穷到正无穷的，因为它没有要求嘛，所以 sin 二三分之 pi 减二 x， 不 管里边的角度是多少，它是可以随便取啊，所以永远都是负一根正，那么 g x 等于它的根号三倍，它等于根号三倍的 sin 三分之派减二 x， 所以 它的范围就应该是小 a 等于根号三，大 a 等于负根号三，所以 g x 属于负根号三到根号三。 然后我们继续研究一下它的单调性啊，那么首先求单调性，我们喜欢用整体法 令三里边的这个为一个整体三分之派减二 x 等于 t， 那 么这个函数就变成了 g t 等于根号三倍的三 t， 那 么我们通过图像画一下它的图像， 标一下点， 通过图像我们我们可以观察到， 当 t 属于负二分之派到二分之派的时候，是不是单调递增啊，所以我们得到当 t 大 于负二分之派加上二 k 派，小于二分之派加二 k 派， ok 属于 z， 还是单调递增的， 所以我将 t， 我 最后是要求 x， 所以 我将 t 给它换掉，换成 x， 三分之派减二 x 就是 小于二分之派加二 k 派，大于负二分之派加二 k 派。 所以我们先一下小于二分之派三分之派减过去六分之派加二 k 派，大于 负的六分之五派加二 k 派啊。然后是不是同时除以负二啊？不等号方向需要改变吧，所以是负的十二分之派减 k 派，因为都需要除， 然后是十二分之五派减 k 派，所以可以下结论了。所以当 x 属于 good， 十二分之派减 k 派。逗号十二分之五派减 k 派的时候，它是单调递 增函数。 同理，单调递减就留给课后作业了。那我们这节课就到这。

hello， 大家好，我们来看一下十五题。第一问，求角 a、 b、 c 的 大小。然后它给了我们两个条件，一个是 cosine a 除以 cosine b 等于 b 比上 a， 一个是 cosine c 等于 cosine a， 那 我们可以先用一下正弦定律，把这个条件给它转化掉，那就是 cosine a 除以一个 cosine b， 它是不是就等于一个三引 b 比上一个三引 a， 对 不对？三引 b 再比上一个三引 a， 好， 那我们再来看，那我们可以给它整理一下，那左边就是 sin a 再乘以 cosine a， 它是不是就等于 cosine b 再乘以一个 cosine b， 那 我们可以用一下二倍角公式，那左边就是二分之一 cosine 二 a， 它是不是就等于二分之一 cosine 二 b？ 好， 那到这里我们就要分两种情况了， 我们先来看角 a 跟角 b 两个角的范围。首先你 ab 这两个角肯定是在零到派之间，因为它是个三角形， 那你 a 加 b 这两个角的大小相加是不可能大于派的，因为三角和三角形的内角和是一百八十度，你两个角相加肯定也是在零到派上，对不对？那你二 a 加二 b 这两个角的范围相加是不是也是在零到二派上面，对不对？好， 那这里有一句话分两种情况。第一种情况，当二 a 等于二 b 时，你要当二 a 等于二 b 时，那 sin c， 它是不是就等于 sin pi 减去 a， 再减去 b， 那 就是 pi 减去二 a， 对 不对？好， sin pi 减二 a， 它是不是就是一个 sin 二 a， 那我们是不是就可以得到三幺二 a 是 什么？三幺二 a 是 二分之一，三幺 a 乘以括三 a， 它是不是就等于一个括三 a， 所以 我们知道三幺 a， 三幺二 a 是 两倍的，对，是两倍的。三 a 乘以括三 a， 那 三 a 是 不是就等于二分之一？因为这个 a 是 属于零到 派的，所以这个 a 它是只能等于一个六分之派。那它为什么不能等于六分之五派呢？因为角 a 跟角 b 的 度数是相等的，你 a 等于六分之五派的话，那 b 也要等于六分之五派，这两个内角和就要比一百八十度角来的大了，所以说这个 a 只能等于六分之派。好，那我们再来看第二种情况。 第二种情况是什么？第二种情况是二 a 加二 b， 它是要等于一个 等于一个 pi 的， 对不对？好，既然二 a 加二 b 要等于一个 pi 的 话，那 a 加 b， 它是不是要等于一个二分之 pi， 对 不对？既然 a 加 b 等于二分之 pi， 因为我们知道三角形的内角和是 一百八十度，那你 a 加 b 等于二分之派的话，那这个角 c 是 不是也要等于二分之派？所以这个 c 要等于二分之派。既然 c 等于二分之派的话，那 sin c， 它是不是就等于 sin 二分之派？好，它是不是正好等于一个 一？那括号 a 等于一的话，那这个 a 是 不是要等于零啊？所以这个肯定是不符合题的。那这个情况不能要，对不对？好，所以说只能是，所以只能是 a 等于 b 等于一个六分之派。好，再来看第二位， 设函数 f x 等于三，二 x 加 a 加上三二 x 减二分之 c， 让我们求函数 f x 的 单调递减区间。 好，那我们先把它抄下来， f x 等于 c， 二 x 加上一个 a， 再加上 cosine 二 x 减去二分之 c， 对 不对？好？因为我们知道 a 是 等于六分之派，然后 a 等于六分之派等于 b， 对 不对？那 c 是 不是就等于 a 加 b 是 三分之派，那 那 c 是 不就等于三分之二派，对不对？好？所以说这里就是等于三引二 x 加上一个六分之派，再加上 cosine 二 x 减去 c 是 三分之二派，除以二就是三分之派，那就是二 x 减去三分之派，对不对？好， 那我们发现这个角减去这个角，二 x 加上六分之派，减去二 x 减去三分之派，它是不是就正好等于一个二分之派，对不对？所以说我们就可以得到 cosine 二 x 减去三分之派，它是不是就等于 cosine 二分之派减去一个二 x 加上一个六分之派，对不对？好，那 cosine 二分之派减去二 x 加上一个六分之派，它是不是就等于 sine 二 x 加上一个六分之派，对不对？ 好，所以说我们这里就可以有了，这里是不是就等于 两倍的 sine 二 x 加上一个六分之派？好，它先让我们求的是什么？让我们求的是这个函数的单调递减区间，那么它是个三，这个函数我们给给它画一下三这个函数，它是不是在 图像，是不是大概这个样子？它是不是在负二分之派到二分之派上？这样是单调递增的，对不对？那它的单调递减区间，它是不是就是在 二分之派到二分之三派，对不对？所以说我们就二 x 加上六分之派， 它是不是要大于等于二分之派加上一个二 k 派小于等于 二分之三派，加上一个二 k 派，其中这个 k 要为一个整数，对不对？好，那么给 x 的 范围算一下， x 是 不是要大于等于派，再加上？呃，这里不是派，这里是 k 派，加上二分之派，减六分之派，是三分之派，那再除以个二就是六分之派，它小于等于 k 派，加上二分之三派，减去六分之派，是，这是六分之九派，减去六分之派是六分之八派，再除以 二就是六分之四派，那就是三分之二派，对不对？所以说，最后大家去减去减，是 x 属于 k 派加六分之派，到 k 派加三分之二派，其中这个 k 要为一个整数。好，那这道题就结束了。

好的各位观众，我们又到周末了，然后我们今天继续来更新一下我们的视频内容，我们的视频内容叫什么？今天的视频内容叫和差画，机与机画和差公式 就是咱们辽宁这边还有咱们用新课标，新课咱们用那个人教。 b 版的同学现在正在学习三角函数这一块，我相信寒假大家一定都有所预习，对吧？ 然后呢，肯定大家或多或少听说过这个和差话题与计划和差公式。然后呢，这里在这个表格我先把这个公式给到大家。首先是计划和差， 奇化和差呢？第一个公式叫做二倍萨尔法萨尔比特等于 cosine 阿尔法减比特减去 cosine 阿尔法加比特。 第二个公式叫做二倍 cosine 阿尔法 cosine 比特等于 cosine 阿尔法减比特 加上 cosine alpha 加 beta。 第三个公式就二 cosine alpha sine beta 等于的是 sine alpha 加 beta 减去 sine alpha 减 beta。 第四个公式叫二 sine alpha cosine 等于 sine alpha 加 beta 加上 sine 尔法减倍塔。这是我们的计划和差公式，总共有四个。然后呢，我们还有一个叫和差化积公式 和差化积公式，第一个叫做 sine 尔法加 sine 倍塔 等于二倍 sine 二分之阿尔法加 beta cosine 二分之阿尔法减去 beta sine alpha 减 sine beta 等于二 cosine 二分之阿尔法加 beta sine 二分之阿尔法减 beta cosine alpha 加 cosine beta 等于二倍的 cosine 二分之 alpha 加 beta cosine 二分之 alpha 减 beta。 最后一组 cosine alpha 减 cosine beta 等于负二倍的 cosine 二分之 alpha 加 beta sin 二分之二或减倍它。看到这里你一定会以为我就是把公式写在这里，然后让大家去背，背完就去做题，是不是？ 不是这样的？那这样的话我未必有点太不负责任了。这个这八个公式大家不用去背啊，在考场上完全足以现推。为什么呢？因为咱们考试你不可能， 可能，咱们考试可能会涉及到一一，顶多就一道题或者两道题，考到这个核察化机，还有计划核察。 所以呢，你在这做这一道题或者两道题的过程中，你直接现推，他这个时间是完全够用的。而且呢，你要背的话很容易什么很容易背错， 很容易背错的话呢，你就会导致题做错呗，然后就没分，你还不如直接回到线推这方面来，大家都不是学竞赛的， 对吧？时间也没有那么紧迫，所以我直接给大家演示一下这个公式怎么记。第一个叫计划和差公式啊，这个其实呢，我觉得还是比较比较好整的，为什么？因为你看，假如说我随便给你一个， 它无非就是什么塞塞塞口塞口塞塞塞口塞，不就是无非，不就是这四个吗？ 无非就是这四个。然后呢，我们完全可以用合脚公式来处理， 叉脚公式， 我们完全可以用这四个公式直接在旁边一摆，然后我们就直接可以现推了，而且现推呢，有个什么技巧？这个技巧是什么呢？大家肯定玩过扑克，扑克都有什么？有什么？有红桃对吧？ 有方片，还有什么梅花，这个呢，各的。所以呢，你就看这个东西也是一样，你就把它上一个口哨看成两个不同的花色， 同花色你就想什么，同花色你就想口塞，不同的花色你就想塞，为什么这么想？因为你想想啊，核算公式是不是口塞阿尔法加减倍等于的是 cosine 碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱碱 碱碱碱碱碱碱碱。 你会发现这两个它都是不同画色的。然后呢，我们直接来演示一下，现现推一个公式，现推一下，那我们就直接来背来。就以第一个为例， 我们要画一下二倍三倍的，首先看同一画色 通化色，直接把 cosine 这个公式摆在上面， cosine alpha 加 beta 等于 cosine alpha， cosine beta 减 sine alpha， sine beta， cosine alpha 减 beta 等于 cosine alpha cosine beta 加 sine alpha sine beta， 这是一十，这是二十，我们可以直接 一式加二式，哎，他要求二倍的塞塞，那我们就直接二式减一式，那我们就是二倍的塞阿尔法塞贝特等于口塞阿尔法减贝特减去口塞阿尔法加贝特， 我们发现和我们得出来的是一样的，所以我们就这么推导出我们的计划和差公式，我们直接现推，在考场上现推啊。 然后第二个呢，就比较难了，和差化剂公式把它放在后边讲，也是因为你看这有二分之，然后这前面还有个二，导致特别的不好记，那我们这个东西怎么办？ 而且这个东西你看它既有扇扇扇加扇扇减扇口扇加口扇，口扇减口扇，那这个玩意看起来很难记，怎么办？我们依然是现推，怎么现推？ 我们再拿一个例子来举，来整一下啊，就是整一个最简单的扇，二发加扇贝特吧，我们知道它是二倍扇口扇，我们直接把 这个阿尔法呢拆成什么？拆成二分之阿尔法加贝特，加二分之阿尔法减贝特，这个贝特呢，就拆成二分之阿尔法加贝特，减二分之阿尔法减贝特，你发现这两个东西是相等的， 所以我们直接给他拆 sine 二分之阿尔法加 beta， 加二分之阿尔法减 beta， 这要加中括号，加 sine 二分之阿尔法加贝特，减二分之阿尔法减贝特，这里加中括号。然后呢，你把这个东西写到这里之后呢，还有一个技巧，就是你不用再去管这个二分之阿尔法加贝特，还有二分之阿尔法减贝特了，因为你前面你都是前面都是加号，后边都是减号， 后边后边都是减号，所以你根本就不用管它，你就直接把符号写出来就完事了。然后等于什么？等于 sine cosine 加 cosine， sine 加上塞口塞，减去口塞塞，你发现没，口塞塞就约掉了，最后剩下的就是二倍塞口塞，最后吧，再把这个加号和减号补回来 就 ok 了。所以呢，这个也是这么推的，这个呢，我们就推出来了，你要是遇到 减号，你就也一样，但是这个注意一下啊，这个机核插画机呢，他只能处理同花色相加或者相减的问题，同符号的三角函数相加或者相减 加减口塞为它，你要是塞耳法加减口塞为它，这根本就是没办法处理的。为什么？因为你看这个是塞口塞加口塞塞，你这个是，你这是什么？这是口塞，口塞 加减散一散，你发现没，根本就是无法化减的，所以这个只能有同花色，或者说是同符号。然后呢，我们再给大家拓展拓展几组公式， 拓展的第一个叫做正弦平方差，叫做什么？叫做 side 方 alpha 减 side 方 beta 等于 side alpha 加 beta， side alpha 减 beta， 这个好像你看背着，背着好像挺容易的啊， 但是你怎么去想，你怎么去把这个公式推出来，其实特别简单，我们知道与减二倍角公式， cos 二 r 等于的是 cos 一 方 r 减三方 r 法 等于二 cosine 方 r 减一等于一减二 cosine 方 r 法。我们就看这一个，那就是 cosine 二 r 等于一减二 cosine 方 r 法，那 cosine 方 r 法就是等于的是二分之一减 cosine r r 法。 然后呢，你就把这个变成二分之一减 cosine r r 法，减去二分之 一减 cosine 二 beta， 这个二分之一二分之一就没了，就是二分之一倍的 cosine 二 beta 减 cosine 二阿尔法 cosine 减 sine 是 什么？ 是负二倍的塞塞，就是我们的这个最后一个公式，这里我们就不再推了，直接用了，你就变成负二分之一的 cosine 二啊，减 cosine 二倍等于负二分之一乘以负二倍的 sin alpha 加 beta， sine alpha 减 beta， 这把就这把就变成一了。就是最后就是 sine alpha 加 beta， sine alpha 减 beta， 这个叫做正弦平方差， 类似的我们还有其他的一些关于平方的公式，我们这里把它们全部给到大家，就不再推理它们了。第一个是 cosine 方 alpha 减 cosine 方 beta 等于负的 sine alpha 加 beta， sin alpha 减 beta， 你 发没发现这个玩意正好是相反数啊，为啥？为啥会这样呢？看啊，上一方 alpha 减上一方 beta 等于负的，那就是 cosine 方 beta 减 cosine 方 alpha， 你 一个象，你把它移到这边来，把它移到这边， 把他移到这边去，你发现这边是上一方 r 方加口塞方 r 方，那边是口塞方 r 方加上一方口塞方背他加上一方背他两个，就是可以推出来一等一等于一，所以呢，这个就是他们两个是互为相反数的。 然后呢，也还有不同花色的 cosine 方阿尔法减 cosine 方 beta 等于 cosine 阿尔法加 beta cosine 阿尔法减 beta sin 方阿尔法减 cosine 方 beta 等于负的 cosine alpha 加 beta cosine alpha 减 beta。 依然不用去背，依然记公式就可以。 依然不用去背啊，依然是记住推理方法就可以了。刚才的一个口误。然后呢，我们直接来看到例题， 例题是二零一五年重庆，重庆里我们直接看一眼题目告诉了我们什么， 若 tan 减的阿尔法等于二倍 tan 的 五分之派，则 cosine 阿尔法减三分之派。比上 cosine 阿尔法减五分之派是多少啊？这是十分之三派，说错了啊， 我们发现这个式子给我们的是阿尔法和五分之派的关系，然后这个变成了阿尔法减五分之派，这个就变成十分之三派了。我们要给他画一下 cosine 阿尔法减十分之三派。这里涉及到一个凑脚拆脚的一个技巧啊，你看它变成五分之派，再减去二分之派，根据诱导公式，它等于的是塞阿尔法加五分之派吧， 所以我们要求的原式就是扣 sine 阿尔法加五分之派，除以 sine 阿尔法减五分之派这个东西怎么推 这个东西？这个东西就是我们看这个条件，我们直接切划弦， sine f 除以 cosine f 等于二倍的 sine 五分之 pi， cosine 五分之 pi 交叉相乘 sine 阿尔法 cosine 五分之 pi 等于两倍 sine 变成 cosine 吧。 cosine 阿尔法 sine 五分之 pi。 我 们为了方便后续的计算，在上面，在它们两个的前面都乘一个二，得到这个十字， 我们想用核察化机，我们发现是不同花色的不同花色，我们要想到 sine 的 加减，这是怎么回事？这个笔我们直接把 sine alpha 加 beta 的 公式，还有 sine alpha 减 beta 的 公式写在旁边， 我们这是一式，这个是二式，我们发现左边呢要求的是，要求的是二倍的 sin cosine， 我 们这里还有一个技巧，我们直接就把这个贝特变成五分之派就可以啊， 直接把贝特变成五分之派， 那我们二倍的 sin cosine 是 不是上下？是不就是一加二就是等于左边 一加二是什么？ sin alpha 加五分之 pi， 加上 sin alpha 减五分之 pi， 然后右边是 cosine cosine。 我 们要我们要怎么处理？一减二还得乘一个二吧，那就是我们的右边 一减二，那就是二倍的 二倍的 sine 阿尔法加 beta 减二倍 sine 阿尔法减 beta， 然后我们一项，这是五分之派啊， 这是五分之派，那我们的 sin alpha 加五分之派等于三倍的 sin alpha 减五分之派，然后再把它除过去，就是 sum alpha 加五分之派， 除以 sum alpha 减五分之派，最后等于的是三，那我们的答案就选 c， 这道题的答案就是 c 三啊， 然后呢，我们再来看一下二零二五年新课标一卷的十九题，我们只做第一问就可以了，第一问呢，这个是一道导数啊，高一的同学可以听到这里就听到这里就可以结束了，高二高三的同学继续听 这个导数呢，你发现前面有一个五，然后这是这，这里边是个五，你发现你直接对这个函数处理的话，不太好处理，你就给它求导呗。 求导之后呢，发现 cosine 变成负倍负赛，然后系数不变，就是负五倍的 sine x， 然后这个是什么？这个是 cosine 呢？变成负 sine， 然后呢，前面因为你是负函数，你前面还要乘一个系数，乘一个五，对吧？加上，为啥是加？因为你这个负负得正了，加五倍的 sine， 五 x， 把五提出来， sin， 五 x 减去 sin x， 你 发现这个是和差化机，那我们就直接推导一下和差化机 合成画机呢？我们是不是让阿尔法变成二分之阿尔法加贝特，加上二分之阿尔法减贝特，把贝特画成什么？二分之阿尔法加加贝特，减去二分之阿尔法减贝特。 然后呢，那我们就直接把这个东西变成五倍的三，二分之二，加倍的是谁？二分之五 x 加 x 除以二，那是三 x 吧， 二分之二发减 a 的是五 x， 减 x 除以二的是二 x， 加上三，三 x 减二 x。 然后呢，我们直接在里面进行化减，在里面化减， 你看这边就写错了，一定要小心，对吧？你把这个这个就就掉了，那就是十倍的， 十倍的散以二 x， 散以散以三 x， 口散以二 x。 哎，等会儿 等会发没发现哪里出错了？这个是减号，对吧？这是减号，那这个是加号，那这两个才应该，这两个才应该约掉。 最后是十倍的除以二 x， 口除以三 x。 然后呢，我们知道 x 是 属于零到四分之派的，二 x 属于零到二分之派啊， 那我们的上以二 x 是 不恒大于零呢？那我们要考虑这个导出的正负，就看 cosine 三 x 就 可以了呗。三 x 属于的是零到四分之三派， 三 x 属于零到四分之三派，对吧？然后呢，我们直接看一眼啊，它 cosine x 是 这样的一个图形， 这是二分之派，二分之派就已经到零了。而三 x 呢，是属于零到四分之三派， 四分之三派，假设在这啊，四分之三派。所以呢，它在三 x 等于二分之派， x 等于六分之派之前， x 等于六分之派。这个是一个临界点，也就是说什么呢，当 x 大于零，小于等于六分之派时， f 导 x 大 于零。 f x 是 单调递增的吧？ 它是单调递增的。当 x 大 于六分之派，小于等于四分之三派时， f 导 x 小 于零， f x 是 单调递减的， 所以 f x 在 六分之派处，在六分之派处取得的，取得的是最大值， 就是 f 六分之派。我们是负五倍的， 呃，五倍的 cos x 减 cos 五 x， 五倍的 cos 六分之派，减 cos 五乘以六分之派， cos 六分之派， cos 三十度。二分之根号三，这个是二分之根号三， cos 五倍的六分之派，六分之五派。 呃，六分之五派，口在半圈。相反，负口在六分之派加口在六，负六分之派也是口在六分之派， 这个是五乘以二分之高三，这个是怎么算的啊？这个是，这个是，你看啊，口在六分之五，派 你给它减一个 pi， 口乘以负六分之 pi 等于负口乘以六分之 pi， 那 就是夫妇再加上一个口乘六分之二分之根号三等于六，乘以二分之根号三等于三倍根号三。 好的，我们做到这里，也就解决了这道高考题。高考导出题的第一问，但是我的能力，哎我去，我的能力有限，也只能解决到这里了。在这里感谢大家的观看，我们下期视频再见。

今天我们来看一道二次函数压轴题，已知抛物线与 x 轴的交点 a、 b 与 y 轴交于点 c， 且交点 a 的 坐标负一零。 第一问，求抛物线的解析式，以顶点 d 的 坐标。很显然，我们将点 a 的 坐标代入抛物线的解析式，可以求出 b 等于负二分之三，这样可以得出抛物线的解析式 y 等于二分之一， x 方减二分之三， x 减二， 进而可以求出顶点 d 的 坐标为二分之三，逗号负八分之二十五。 由此我们进一步可以得出点 b 的 坐标为四对零，点 c 的 坐标为零对负二。第二问，我们判断三角形 a、 b、 c 的 形状，并证明 当让我们判断一个三角形的形状的时候，它肯定是一个特殊的三角形，比如等腰三角形、等边三角形或者直角三角形。通过点 a、 b、 c 的 坐标很明显可以得出 这里边没有相等的边，它不会是等腰三角形或者等边三角形，所以考虑它是直角三角形。连接 a、 c。 通过勾股定律可以得出边 a、 c、 边 b、 c 和边 a、 b 的 长。 a、 b 方等于二十五， a、 c 方等于 o， e 方加 o c 方等于五， b、 c 方等于 o， b 方加 o， c 方等于十六，加四等于二十。所以可以得出 ac 方加 bc 方等于 ab 方。所以三角形 a、 b、 c 的 形状为直角三角形。再看第三问，已知点 p 在 抛物线第二象限内，且满足弹角 p、 b、 c 等于二，我们求点 p 的 坐标。 由第二问可知，角 a、 c、 b 等于九十度，所以我们可以利用这个九十度来构造直角三角形。在此直角三角形中，弹角 p、 b、 c 等于二，所以我们可以延长 c a， 同时延长 b p 交于点 m， 所以 弹角 p b， c 等于 c m 比 bc 等于二， bc 是 已知的，所以可以求出 c m 等于 四倍。根号五。 又因为直线 a 四的解一式是可以求出来的。 按 a， c 等于负二， x 减二， 所以我们可以设点 m 的 坐标为 m 二， m 减二，所以 线段 c m 的 长度等于根号下 m 方加上二， m 减二加二，而且来平方 等于四倍。根号五，可以求出 m 等于负四，所以 m 的 坐标为负四等于六。 所以进一步，我们可以求出直线 m 的 解析式。 将 m b 两点代入，可以得出直线 b m 的 解析式为 y 等于负四分之三， x 加三。 将直线 b m 的 解析式与抛物线解析式连立， 且点 p 在 第二象限内，所以可以得出点 p 的 坐标为二分之五。二分之三十九。 提第三问，我们可以使用一种相对更为巧妙的方法来解决。利用三角函数的和差公式， tan alpha 加 beta 等于 tan alpha 加 tan beta 除以一，减去 tan alpha， 乘以 tan beta 来解决。在题目中，角 p b， c 等于角 p b o 加角 c b o， 所以 它角 p b o 加角 c b o 就等于根角 p b o 加根角 c b o 除以一，减去根角 p b o 乘以 角 c b o。 例，在题目中，我们已知它角 c b o 等于二分之一，代入就可以得出 它角 p b， o 加上二分之一除以一，减去二分之一 n 角 p b o 就 等于题目中告诉的二，所以可以得出 n 角 p b o 等于四分之三，所以我们可以得出直线 b p 的 解析式。因为直线 b p 经过二四项线，所以斜率为负的 就是 k， b p 等于负的四分之三，所以我们可以设直线 b p 的 解析式，换 b p 等于负的四分之三， x 加 b， 将点 b 的 坐标代入解析式，即可求出直线 b p 的 解析式。然后连立 y 等于二分之一， x 方 减二分之三， x 减二，既可以求出点 p 的 坐标，大家可以整理三角函数的和差公式，在某些问题中可以更方便的解决。

无论你是刚上高一还是即将高考，这些三角函数题你都必须会，这是考试最常考的三大类型。第一大类型求 omega five 最小正周期转向。第二个，通过和角公式、诱导公式和万能公式来化简的转向。 第三个部分是正余弦定里专项。今天咱们一个视频把这些整明白。第一题，如果我们把 omega x 加 five 看成一个整体，那么它是不是就是一个普通的正弦函数？再以 x， 咱们把它图像画出来， 是不是大概就是这个样子？两个相邻的极值点 x 一 和 x 二，那么 它们之间的距离是多少？是不是 x 二减 x 一， 也就是半个周期， 那么它是不是也就等于二分之 pi 等于半个周期？二分之 t， 那 是不是它也就等于 omega 分 之 pi？ 看这两个式子是不是 omega 就 等于二。送分题，第一题搞定， 接下来咱们来看第二题，还是这幅图有相邻两条对称轴，让我们求范，那求范咱们是不是先得求出偶一个？那用五分之四分之五 pi 减四分之 pi 是 不是等于 pi， 也就是半个周期？ 二分之 t， 那 t 是 不是就等于二 pi， 也就是 sine x 加 phi， 到这咱们其实可以看出 phi 了，那也就是 x 加 phi， 它等于 它的对称轴。二分之 pi 加 k pi， 咱把 x 加 pi 看成一个整体，那现在 x 等于四分之 pi， 是 不是也就是四分之 pi 加 pi 等于二分之派加 k 派，那 five 是 不是等于四分之派加 k 派？同学们看这儿 five 属于零到 five， 那 么如果这里 k 等于一，是不是它就是四分之五派？ 是不是超范围了？所以这里 k 肯定等于零，所以 five 等于四分之派。第二题搞定，我擦一下 再来问第三题。现在有一个函数告诉你，这里是单增区间，这里是单减区间，它是不是不包含全部的单增单减区间？ 所以遇到这种告诉你一个单增区间和一个单减区间的，千万要加小数。但这道题，这有三分之派，这也有三分之派，它的极大值点已经定下来了，咱们把 omega x 看成一个整体 图像，就是这样子，那它先增后减，是不是也就是极大值？这里就是 三分之派，那么这是不是它的一个对称轴？对称轴的表达式是不是二分之派加 k 派？ 但是同学们看，一个周期里只有一个极大值啊？所以这就是二 k 派， 那也就是 omega 乘 x 等于，它把 x 等于三分之派带进去，两边同时乘派分之三，是不是也就是 omega 等于二分之三，再加上六倍的？ 第三题搞定，再来看第四题，这是不是一个标准的三角换元的那种表达式？那咱们提出一个根号下，根号三方加一方，是不是也就是提出一个根号四等于二，二倍的 二分之根号三 sin， 我 们一个 x 加上二分之一 cosine omega x， 那 这是 cosine 六分之 pi， 这是 sine 六分之 pi， 是 不是也就等于二倍的 sine omega x 再加上六分之 pi 啊？那咱们把它的图画一下， 大概也就这个样子，那这上下是不是都是二啊？那 y 等于一在哪？ 咱们就令它在这，那是不是也就是它等于一，也就是散以偶，每个 x 加六分之 pi 等于二分之一，二分之一是不是散以六分之 pi， 那 么有一个 x 是 不是得等于零？那在这 这个点就是零一，这是其中的一个焦点，这是不是还有一个焦点？后面是不是还有一个焦点？但是这两个焦点是不是最近他俩的距离就是 三分之派？那这两段是多少呢？咱们看这个式子，咱们如果在这里提出一个 omega， 是 不是也就是 omega 被的 x 加上六 omega 分 之派， 那这里对于 x 加了六 omega 分 之派，这里是不是也就是六 omega 分 之派？这两个都是六 omega 分 之派，那么这一个整体从这到这半个周期是不是也就是 六 omega 分 之二 pi， 也就是三 omega 分 之 pi 等于再加上 三分之 pi 等于半个周期二分之 t， 那 二分之 t 等于多少？是不是等于 omega 分 之 pi？ 那 现在咱们给它们左右两边同时乘呃，除以一个 pi， 上面就都变成 一了。现在咱们在左右两边同时乘一个 omega， 是 不是这两个 omega 就 没了？但是这里这个一就得得变成 omega， 也就是三分之 omega 等于 三分之二， omega 等于二。那这题要求 t 是 不是 t 就 等于一？我实在写不下了。擦一下 第五题，二分之派到派肯定不是它完整的单减区间，那如果我们把 omega x 加四分之派看成一个整体，它的图像 是不是就是普通的正弦图像？那它单调递减区间是不是从这到这也就是从二分之派到二分之三派， 那也就是它的单减区间是二分之 pi 加二 k pi 到二分之三 pi 加二 k pi， 那 么咱们把 omega x 加四分之 pi 看成一个整体，也就是 omega x 加 四分之派属于它呗。那咱们先给它减去一个四分之派，这里也就是四分之派，这里也就是四分之五派，再除以一个偶，没一个。 这里我们 get 得大于零，位置不够。忘写了，那题中 x 是 不是属于二分之 pi 到 pi， 它是不是肯定是它的一个子区间？咱们画一个线段图， 实心上面这个，这个就是空心下面这个，那么是不是 omega 四分之 pi 加二 k pi， 它必然小于等于二分之 pi， 另一个同理， 它也就大于等于 pi。 同学们自己解一下我就不解了。第五题搞定， 第六题就是考基础了。先是对称中心，咱把它看成一个整体， 是不是就是一个普普通通的正弦函数？反引 x， 那 它的对称中心是不是就是零派？二派也就是 k 派，那也就是二分之一 x 加六分之派等于 k 派，解一下 x 就 可以了。 那单增区间呢？咱们把它补全，是不是就是从这到这负二分之派到二分之派，但是它是加 k 派还是加二 k 派呢？所以说讲 下一个单增区间，是不是从这到这 它的一个周期内只有一个单增区间，所以应该是加二 k 派，那也就是二分之一 x 加六分之派属于负二分之派，加二 k 派到二分之派加 二 k 派。同学们自己解一下它就可以了。大家看第七题，是不是所有的正弦函数的图像的解析式 都可以用它来表示？咱们只需要解出 a， omega 和 five 就 可以了。那上面是二，下面是二， a 就是 二，那 omega 怎么求呢？大家看，如果咱们用十二分之五 pi 减四分之 pi， 得到的是不是四分之一个 最小正周期，也就是六分之一 pi， 它等于四分之 t 等于二 omega 分 之 pi， 那 么 omega 是 不是就等于三？那 five 怎么求呢？同学们想，咱们先把三 x 加 five， 这里是 三，咱们把它看做成一个整体，那是不是又是上面这个普通的正加 u 图像了？那它的对称轴是不是就是二分之 pi 加 k pi， 也就是它等于它， 那此时 x 等于几啊？是不是等于这里的四分之派？那咱们把 x 等于四分之派带进去，它等于二分之派加 k 派，这就是四分之三派，这就是四分之二派。 那 five 是 不是就等于咱们把它挪过来？负四分之 pi 加 k 派，它让咱们写出一个解析式，咱们就把 k 等于零带进去，也就是它的解析式就是三 x 减 四分之 pi。 第七题搞定，第一大项搞定。我擦，一下 来看第二大项和角公式右等公式万能公式专项第一题，既然要求 tan， 那 么咱们是不是得把已知的也变成 tan？ 那 能不能让它上下同时除以 cosine alpha， 也就是一除以一减 tan alpha， 它是不是等于根号三？那现在这个式子咱们能不能把它打开？ 那 tanter alpha 加 beta 给它打开，是不是就是 tanter alpha 加 tanter beta， 这里 beta 是 四分之 pi， 也就是 tanter 四分之 pi 再除以一减 tanter alpha， tanter beta， 也就是 tanter 四分之 pi， 那 tanter 四分之 pi 等于多少？是不是也就等于一啊？ 那这个式子和上面这个式子咱们怎么把它联系起来？如果我在这减二再加二，是不是上面这就是负一再加二， 那我们分离常数是不是可以分出一个负一，再加上一减 tan 阿尔法分之二，那它是不是就是二倍根号三等于二倍根号三减 一？一题搞定。第二题，咱们是不是还得跟上题一样，把它换成忐忑的形式？ 那二 sign 二其特是不就是二倍的？四倍的 sign 其特？ cosine 其特 前面还有一个七 cosine 方奇特，那正常，咱们是不是上下同时除以一个 cosine 奇特或者 cosine 方奇特？那现在它没有 分母，那咱们能不能让它除以一？也就是相当于除以 sine 方奇特加 cosine 方 奇特，那现在上下同时除以 cos 一 方奇特等于七减四， tan 奇特除以 tan 方奇特再加一，那 tan 奇特等于二，是不是它也就等于七减八除以四加一等于负五分之一？第一题，第二题搞定。我擦一下 第三题，遇到这种双变量的题，同学们一定要长个心眼。这里的 sin 和 cosine 通常不是让我们直接打开的，那咱们看所求能不能化解一下它也就是负 cosine 阿尔法加四分之 pi， 那么咱们让阿尔法加贝特减去前面的贝特减四分之派，是不是就等于阿尔法加四分之派？咱们看，凑出来了，那咱们不妨令一个为习特，一个为范， 所求是不是就是负 cosine 习特减范，那两个条件是不是就变成了 一个 cosine phi 等于三分之一，另一个 cosine 等于这里的五分之三？那咱们把所求打开，是不是也就是 负的 cosine phi？ cosine phi 减去 cosine phi phi 现在是不是就求 cosine 奇特和 cosine fire？ 那 奇特是不是就是 alpha 加 beta， 它是不是大于二分之 pi， 小 于 二分之三？ pi， 它在第二和第三象限，那么 cosine 奇特是不是就小于零，它就等于负五分之四？那咱们再来看比特减四分之 pi， 是 不是它大于 四分之 pi， 小 于四分之三 pi， 它在第一第二象限，所以这里 sine 它是大于零的，所以它就等于 根号下一减九分之一，也就等于三分之二倍根号二，那现在这四个都有了，剩下的就不用我算了吧。我擦一下 第四题，这是阿尔法，这是二阿尔法，那咱们让它这个里边乘二行不行？也就是二阿尔法加上三分之 pi， 那 让它再加上三分之二 pi 减二，阿尔法是不是正好就等于 pi？ 那么所求是不是可以写成 cosine pi 减二倍的 alpha 加六分之 pi， 那 咱们不妨令 alpha 加六分之 pi 为奇，它也就是 cosine pi 减奇它啊，减二奇，它 给它化简一下，也就等于负 cosine 二奇，它把它打开，等于负的 cosine 方奇特，再加上 sine 方奇特，那咱们把 cosine 方奇特变成一减 sine 方奇特，是不是它也就等于二 sine 方奇特再减一，那 sine 奇特等于三分之一，它就等于九分之二，减一是不是也就等于 负的九分之七？第四题搞定，下面咱们来看第五题，它是不是可以通过和角公式变成一个 sine 的 形式？那它的图像是不是就是 这个样子的？那关于 x 等于 m 对 称，那么它是不是有两个对称轴？ 那这是不是难办了？但同学们想，这个对称轴与函数同样的交点，是不是就是它的极值点？那他们是不是有个共同点，就是导函数为零，那咱们不妨把它求个导 f 撇 x 是 不是就等于 cosine x， 再加上啊？再减去根号三 sine x， 当 x 等于 m 时， 导函数等于零，那也就是 find m， 它等于根号三分之一呗。那 m 是 不是就等于六分之 pi 加 k pi， 那 现在让我们求 sine m， sine m 是不就等于正负二分之一？这里有个坑，因为这里是 k 派，不是二 k 派，所以这里前面得加一个正负。第五题搞定。我擦一下 第六题，同学们凭直觉是不是先让一和四乘，再让二和三乘？因为这里二十一度加二十四度等于四十五度，这里二十二度加二十三度也等于四十五度。 那贪的四十五度，也就是贪的二十一度加上二十四度， 是不是就等于一？那咱们现在把它打开，也就是贪的二十一度 加贪特二十四度除以一减贪特二十一度，贪特二十四度，它等于一。咱们把下面这个挪过去再减回来，是不是也就是贪特二十一度 加贪特二十四度加贪特二十一度乘贪特二十 四度，它是不是等于一啊？那第一项和第四项相乘等于什么？是不是等于一加贪特二十一度加贪特二十四度加贪特二十一度贪特二十四度。 从这到这，它是不是等于一？那一再加上这个一，是不是就等于二？那这两个桶里也就等于二二乘二等于四。第六题搞定。再来看第七题，有贪婪二分之二法则，是不是摆明了让我们用万能公式？ 那如果贪的二分之二阿尔法等于 t， sine 阿尔法就等于一加 t 方分之二 t cosine 阿尔法就等于一加 t 方分之一减 t 方，那让它减它，也就是二 t 除以一加 t 方减去，这样减 一加 t 方，是不是它就等于下面这里的二分之一啊？ 交叉相乘，也就是四 t 减二加二 t 方，它等于这里的一加 t 方，那么把它挪过来，也就是 四 t 减二加二， t 方减去一，再减去 t 方，它等于零。化简一下，也就是 t 方加四， t 减三等于零。位置不够了，我在下面写。那根据求根公式，也就是二 a 二分之负四加减根号下 b 方十六减去四 a c， 也就加上十二 等于二分之负四加减二倍，根号七等于负二加减根号七。那这中间到底是加还是减呢？同学们想，这里 阿尔法属于派到二派，那么阿尔法二分之阿尔法是不是就等于属于二分之派到， 那它的二分之阿尔法是不是小于零？所以这里就是减号 d 七题搞定，我擦一下， 下面来看正余弦定理专项第一题。先看第一小问，告诉我们这三条边的关系，让我们求角，是不是咱们就得用到正弦定理边化角，那正弦定理是什么？是不是就是 a b sin a 等于 b 比 sin b 等于 c 比 sin c， 它等于外接圆的直径二 r。 那 现在咱们是不是可以把这个式子里 a、 b， c 都换成它们各自的 sin， 再乘上这个二 r， 那 也就是根号三二 r 乘 sin b 等于 r， r 乘 sine c 加根号三 r， r 乘 sine a。 那 现在这几个 r r 是 不是可以约掉了？屯尾一共熟练了，这个就不用写了。那 sine a 是 不是就是 sine 六分之 pi， 也就是二分之一，所以这里就是二分之根号三， 要求角 b， 但这里还有一个 sin c， 咱们是不是得把这个 sin c 去掉？那任意一个三角形内角和是不是都是一百八十度？也就是 pi， 它减去角 a 的 六分之 pi， 再减去角 b， 它是不是就是另一个角 c 啊？那也就是 sin 六分之五 pi 减 b， 它就是这里的 sin c， 那这边是根号三，在 b 不 变，这边是不是就是这里的加二分之根号三了？那中间这个六分之五派咱们能不能化解一下？那它减去一个派是不是就是负六分之一派？ 那前面是不是就得有一个符号了？因为咱们减了个派，那咱们再把这个符号给提出来，是不是这里又变成正的了？ 现在咱们把它打开呗，我往左边写，不然位置不够。也就是 sine 六分之 pi， cosine b 加 cosine 六分之 pi， sine b 加二分之根号三。那六分之 pi 是 不是三十度？ cosine 六分之 pi 是 二分之一， cosine 六分之 pi 就是二分之根号三，是不是也就是根号三？ sign b 等于它， 咱们把它挪过来，是不是就是二分之根号三？ sign b 再减去二分之 cosine b 等于二分之根号三呗。 那咱们提出一个一，其实不用提，这是不是就是 cosine 三十度？ cosine 这是不是就是减去 sine 三十度？ cosine b， 它等于二分之根号三，是不是也就是 sine b 减三十度等于二分之根号三，那 b 是 不是就等于九十度？ 第一题，第一小问， b 等于九十度，我擦一下 再来看第二问，第二问， 知道 cosine c 等于五分之一，那咱们就用余弦定理呗。余弦定理， cosine c 是 不是等于 a 方加 b 方减 c 方，而这里的 c 方是不是就是一方？也就是一再除以二 a、 b， 那它等于五分之一，这是第一个条件。再来看第二个条件，是不是根号三 b 减根号三 a， 它等于 c， 也就是一。 那提出一个根号三，根号三倍的 b 减 a， 就 等于一把根号三挪过去， b 减 a 就 等于根号三分之一。那 b 减 a 的 平方，也就是 a 方减二， ab 加 b 方，是不是就等于三分之一？ 哦，上面这是不是有 a 方加 b 方，这也有 a 方加 b 方，那 a 方加 b 方是不是就等于二 ab 加三分之一？ 那上面 cos， 也就是二 ab 加三分之一减一，除以二 ab， 它是不是等于二 ab 分 之二， ab 加减三分之二，等于五分之一？ 分离常数一减六， ab 分 之二，也就是三 ab 分 之一， 它等于五分之一。把一把它挪过去，把五分之一挪过来，也就是三 a、 b 分 之一，它等于 五分之四。交叉相乘，也就是十二。 a b 等于五， a、 b 等于十二分之五，那 a 方减二， ab 加 b 方等于三分之一。既然咱们要求 a 加 b 加一，不就它的周长吗？那么是不是咱们还得知道 a 加 b 括号的平方，这样给它开个根号再加一，是不是就得出答案了？那它等于 a 方加二， ab 加 b 方， 咱们知道 a、 b 等于十二分之五，它们之间是不是差四 a、 b， 所以 它就等于这里的三分之一。加上四倍的十二分之五，也就是三分之五等于二，给它开根根号，根号二加一，是不是就是它的周长？第二小题搞定。我擦一下， 咱们继续。接下来咱们来看第二题。看到 b 方加 c 方减 a 方等于负 bc， 咱们首先就要想到余弦定理 cosine， a 等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 那 它等于负 bc， 是 不是它就等于负二分之一？那 a 等于多少？咱们换个单位，元儿 是不是就是一百二十度，这就是负二分之一这一小段，那 a 是 不是就等于一百二十度？ 那知道了 a 的 度数，三角形的面积表达式又是什么？是不是就是 s 等于二分之一？ b， c 乘三 a， 那三 a 是 不是就是它？它是不是就是二分之根号三？所以它也就等于四分之根号三 bc 也就求它的最大值就可以了呗。那么这里的负 bc 又等于什么？它等于 b 方加 c 方减一百四十四，因为 a 等于十二， 那么它是不是可以用基本不等式？大于等于二， b， c 减一百四十四，把它挪过来，它挪过去三 b， c 小 于等于一百四十四， b， c 就 小于等于 四十八，那把它带进去也就是四。先是用四十八除以四，是不是它等于十二十二，再乘根号三，是不就是十二倍根号三？第二题搞定！搞定！观众们，五年级今天又是一大堆数学题。

这是二零一三年全国高考题。设当 x 等于 c 时，函数 f x 等于三， x 减二倍的 cosine x 取得最大值，那么 cosine c 等于多少？ 当 x 等于 ceta 的 时候，三 x 减二， cosine x 取得最大值怎样？求 cosine ceta。 像这样的式子，我们可以用辅助角变为一个三角函数， 因为方加一的平方是五，所以我们可以这样做， sin x 减去二， cos x 就 等于根号五， 根号五分之一， cos x 减去根号五分之二 cos x， 那么我们可以设个二法，角 根号五，这是这个一，这是嗯， 也就是三阳法等于根号五分之二， cos 阳法呢？等于根号五分之一，那么就等于根号五。 乘以三 x， cosine alpha 减去个 cosine x， sine alpha 等于根号五， cosine x 减 alpha， 那么这个时候取得最大值就是根号五。取得最大值的时候是 set 角， 那取得最大值，这个是一，也就是三 set 减 alpha 等于一， set 减 alpha 就 等于 alpha 的 派的时候，是吧？ 这个时候是取得最大值，那么 c， 它就等于 alpha 加 alpha， 那 么 cosine c 呢？可以算出来 cosine c， 它就是 cosine alpha 加 alpha。 如果把 alpha 看成锐角的话，就是第二象限角等于负的等于 alpha， 负的三 y， f 就是 负的。根号五分之二 等于负的五分之二根号五。这属于三角函数的基本概念题。像这样的 啊，两个对称余弦函数的和或者差配成一个三角函数的方法，这是基本要求，希望人人都会 那配成一个三角函数，我们才好确定它的最大值或者是最小值。像这样的应用在三角函数中经常会碰到。