2026湖北中考数学压轴题解题技巧

武汉初三原调最喜欢考的角度一定是四十五度，今天给大家分享的是求线段长度的三种方法，也是我们原调和重考必考的知识点。 下面来看一道原调数学模拟题，在正方形 a、 b、 c、 d 中对角线连接起来了，它一定会考四十五度，好一点是重点，然后将线段 c 绕 c 旋转九十度， h 为 e、 f 的 终点，两个终点连接 o、 h 之后，最后要求的是比值为多少，那首先你得明确的是一切比值可以用特值法， 比如说 o、 h 分 母等于一，就变成了我们极求 g 的 长度，那么在这里面我们需要的是合理的色差，最好是最好是不要分数。好，我们来分析题， 从旋转这个角度我们出发，等下于 c 这个点为写个共，那么这样的话我们就会把 d、 c、 e 旋转九十度变为 b， c、 f 把 b、 f 会连接起来， 那旋转之后这里面很容易得到这个角度为九十度。 第二个点从两个终点出发，第一个终点定位分析 ef 的 终点，终点的考点也是三个，所以说这里面我们会想到中微线，那我们取 ob 的 终点， 这样的话我们标记一下 o、 h 它为一，那么 m、 f 就 为二，怎样直角直角边就为根号二，那也就是说在这里面啊， d 一 它也为根号二， 那么这样的话我们正方形边长很快就知道等于四的好。我们来看一下这个 g 一 在哪里， g 在 这边，而 e 点它有一个中点，在 d、 b 这条线上，我们称为共线比例它一定考平行线，平行线我们就出现 a 八模型，比如说 d、 g 和 b、 c 就 构成了八字模型，那 a 字模型我们可以做一个垂线， 这样的话我们继续来标记一下长度，这里四十五度是必考的，所以标记一一，而边长我们知道是等于四的，所以说这边为三，那么这样的话 e、 c 就 等于根号十。 呃，共线比例之后，这里形成一个 a 字模型，所以说我们知道 g 叉是等于三分之一的 e、 c 的， 也就是等于三分之根号十，那么最后的结果这里面一目了然。三分之根号十 在正方形的考点当中，四十五度是常见的。然后就是咱们东湖高新区最喜欢考的，也就是等腰直角以及等边三角形。

还有四天时间，九年级将迎来重要的原调考试，今天呢，我们来聊一聊火箭班的解析思路。下面来看一道，这是武汉七一中学原调模拟真题二十三题压轴题， 前面有点难，我们来看一道，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a， c， d 是 bc 上一个动点，连接 a、 d 之后，将 a、 d 进行旋转，使得 d， a、 e 和 b， a、 c 两个顶角相加，等于一百八十度。好，第一问，当 b、 a、 c 等于九十度的时候，那由这两个角度都是 九十度，两个等腰直角三角形，若 b、 e 平分 a、 b、 c， 要你求证的是 c， e 等于 c f。 好， 我们把 c、 e 连接几下， 那么第一个两个等腰直角，这里面就有共顶点的旋转，这样的话啊，我们就可以得到这个角度等于九十度， 当这个为角平分线的时候，我们给他一个啊，角一角一，那么很显然红色角加蓝色角啊，就等于九十度。所以说第一问，我们很快的得正，我们重点看下第二问和第三问， 连接 b 一 之后，取 b 一 的终点，多了一个条件终点，终点符号打上去。 猜想 a、 g 与 c、 d 存在的数量关系，并证明你的猜想。那么这里面猜想的题目我们都是先拆后证，合起来 a、 g 与 c、 d 存在两倍的关系，或者你用直角去量都可以，这里面我们猜想 c、 d， 它是等于两倍的 a、 g 的。 好，那我们分析一下。因为 g 点是中点，所以说我们有三条路选择，那么在这里面横线有两种方法，第一个就是我们做的倍长中线， 那我需要把它延长。第二种方法就是我们做的中外线，那么就是需要把 b a 给延长。 好，我们这里写个啊，方法一，这里写个方法二。好，我们来看一下啊，方法二的证明，背长中线之后，这里面也是出现中位线， 好用中位线来解，那这样的话，我们看一下，那也就说 a h 是 等于 ab 等于 ac 的， 而 a、 d 呢，又和 a、 e 是 相等的，再加上这个角度相加等于一百八十互补。那 d， a、 e 很 显然 啊，和 b a、 c 也是 b a c 啊，它的补角是为 h a、 c 的， 那么很显然这两个假角啊，我们作为 蓝线跟绿色啊，它们的假角就相等了，所以说这两个三角形是全等的， 全等之后，我们就有 c d 等于 h 一， 那这样的话啊，因为这个是中微线， 所以说很快就可以得出。好，下面看一下啊。第二种思路，如果选择倍长中线，那我连延长之后，很显然 a 一 就给它搬家到 b m 来了， 那此时我们要证明的是第三边相等，也就是 a m 等于 c d， 那 我们我们极正的是这个夹角，也就是 abm 这个夹角与 d a、 c 这个夹角相等。好，那我们知道这个 a、 e 被长中线的时候， a、 e 是 平行且相等于 b m 的， 所以说倒角的时候，通过这个平行， 因为 d， a、 e 与 b、 a、 c 是 互补的，而 d、 a、 e 与这个角与它是互补的，所以说这两个角相加也是角。 abm 加上角 b、 a、 d， 它是等于角 b a、 c 的， 所以说我们就可以得证这两个角度啊，所以说角 a b、 m， 它就等于角啊， c a、 d， 这样的话，我们通过这个啊，边角边也是可以证明两倍的关系。好，我们说一下啊，最后一问， 也是这个题目的难点，在二的条件下面连接 d， g 和 c， e， 若 b， a， c 等于一百二十度，那你首先你得知道这个一百二十度给定了，你即有六十度 加旋转，这里会出现等边，所以说我们的辅助线第一个你就很快的应该明确的是把它连接起来。 好，当 a， e、 c 等于九一百五十度的时候，那也这个为直角， 同时这是半点面上的形，一百五十度与 a、 b、 c 形成一个啊对角互补的模型， 这是我们火箭班的同学都会从条件中分析出来的思路，这里面最后一问都是直接写出，那么这里面线段的和差倍的关系，我们有两条思路，第一个就是转化成共线分析， 第二个就是通过搬家重组转化成这个特殊的啊三角形，特殊的三角形等下于我们啊， 特殊三角形等下于我们搬家重组之后一个量思维。好，我们来看一下，这是比例的关系，所有的比值我们都可以用特值法来解决，我们看一下定位分析， b、 d 在 这里， d， g 在 这边， c， e 在 这边，那么这里面火箭班的同学会怎么去思考呢？首先 a， e、 d 这里面六十度，左边看一下， 而 a、 b， abc 与 a、 c， b 这里面是三十度， 那快点，那这个时候有这两个角度的关系，以及 e、 a 是 等于 e、 d 的， 所以说一点，我们知道这三个点它是一个共圆的模型，因为圆心角，这是相当于圆心，圆心。在这边我们来画一个 原原形角与原轴角两倍的关系，这里可以啊证明，但是这里我们是直接写出的，所以说我们这就是不需要证明的题目。好，那这里面就有两倍的关系，可以得到 e、 d 等于 e c 等于 e a， 那这样的话，这里会出现四十五度，两个四十五度， 这是我们重要的结论。好，再加六十度，让我们知道这边是等于一百三十五度的，而刚刚说的对角互补，这个也等于一百三十五度。 这样的话啊，我们其实可以得到 b、 a、 e， 它也是一个共赢的，因为在第二问当中，不管是怎样，它有在第二问的这个条件下面啊，我们还可以得到一个结论，也就是 b a g b a g 蓝加红，蓝加红是始终等于 a c b 的， 所以说 b a g。 在 这里面啊，我们通过角度相等啊，也可以得到这个角度，它是为三十度的， 那么这样的话啊，我们可以得到角平分线，也就是说 a、 b、 d g， 它也是一个共圆的模型，我可以把圆画一下， 这样的话我们就可以知道，这里面啊，两个十五度，两个十五度，并且这边还是垂直的，因为这两边是对称的，垂直的， 而且还可以得到这边四十五度， 四十五度。那么这样的话啊，我们再来看最小的是哪一个？ d g c， b d， 那 么最小的应该就是 d g， 我 们可以念它为根号二， 那么这样的话，这个就为一边长， a d 就 等于二，也就是这边这个圆的半径是等于二的，那么这样的话 c、 d 就 等于两倍的根号。 在我们冰激凌模型当中，我们可以得到 a、 b 是 等于 b、 d 的， 那因为就是半等边三角形，半等边三角形，所以说我们有比例关系，如果令 b d 为 x 的 话，那么可以得到 x 加上两倍的根号二，它是等于根号三 x 的， 这样的话我们就可以很快的算出 x 应该等于根号六加上根号二的。所以说最后我们这个比例关系， b d b d 减去 d 就 等于多少呢？等于根号六， 分子为根号六，而分母呢？ c 一 c 一 是等于二的，所以说最后的结果啊，直接写出这个里面的值就为这个值， 这是我们火箭班解析的思路，就是灵活的应用四点共圆。当然这个题目还有其他的证明的方法，可能要复杂一点啊。欢迎大家有不懂的鸭子题可以私信发给我。

好，我们再来看一个二次函数的啊，二次函数的前面的这两问其实都蛮简单的，关键是第三问读不懂，你知道吗？就是没有见过这种类似的题目的话，你就读不懂，所以我们来看一下他到底想表达什么样的意思啊，所以前两问我们就会很快。 嗯，会话不会话，不多说啊，什么？抛物线经过他一代入，对不对？ a 就 算出来，我这里就不细节了啊， a 算出来我们得的是负六， 好六啊，六，所以最后的结果 a 等于六，所以这个抛物线就是，呃， x 平方等于它减去六， x 加五。好，嗯，这个基本上第一问就结束了，对吧？然后我们可以把这个抛物线大致的画一下啊， 他应该是类似于这样子的，然后我们画一个竖轴，我这样子的。是因为我习惯了啊，因为我，我可能知道他这个抛物线大约是什么样子的。好，我把抛物线画这个样，这个右边吧。 嗯，他经过的是什么呢？他经过的是一个，是这个点，对吧？你看啊，我们把它画的就是 x 减去一， x 减五， 是吧？所以这个这个一个是 a， 一个一个是 b 啊，因为他不是说啊，不是 b， 他 不两个交点吗？一个是一，一个是五，是吧？这个是一零，这个是五零， ok 啊。第二问，他说， 如果 a o t 啊，这是一个 o t 的 点，我不知道在哪里啊，估计就是在 y 轴上吗？对不对？与 x 轴平行的直线相交于 bc 啊，相交于 bc， 然后 b 呢？是它的一个中点。好，我不知道啊，我不知道，我，我就假设 a 不是， 嗯， a 不是 o t 吗？它与 x 轴的横轴，那我就假设是这条线喽，对不对？ 你看啊，假设是这条线没问题吧？ a， 那 a 就 在这里相交于 b， 相交于点 c， b 为 a， c 的 中点，显然我这画的有点不太像，对不对？那我往下挪一挪，好嘞，这个就像多了，对吧？ 没关系啊，我们最后求出来是啥，我们就啥，这个估计就是看着像一点啊。呃，然后我们找其中的关系， a 如果是 ot 的 话，那 b 呢？ b 的 话肯定也是一个 t， c 的 话也是某某 t， 对 吧？关键就是它的横轴，你发现吗？ 如果是中点的话，相当于 x 的 这个横坐标，其实是 c 横坐标的一半，对不对？ 有什么意思呢？就比如说他的坐标是 a 啊， a t， 因为他不是 o o t 吗？所以 c 的 话就应该是二 a t 没问题吧？所以二 a t 我 们就射嘛， 射他的他就是二 a t， 然后我们找到 a， 我 们来求 a 啊，求 a 是 什么意思呢？因为 b 和 c 如果在抛物线上，他们是乘以对称的话，那他是关于这条对称轴对称的，对吗？那这条对称轴是多少？ 这条对称轴，因为我们刚才已经算出来，这个是一，这个是五，所以对称轴 x 是 一加五除以二，所以是三啊，所以我们通过这个我们就可以得到是 a 加上二， a 除以二等于三。 a 我 们解出来的话是二的， a 解出来是二，相当于是 b 的 坐标，你带进去不就算出来吗？ b 的 话就应该是二多少负三，对吧？所以 t 就是 负三，我们就解出来了啊，减掉了，非常的简单，所以我们快速的就过完了啊。第三个， 好啊，这个图我就需要先擦一下了，因为我们这个图用不到了啊，这个图用不到了，我们先把它擦一下，然后你读题，哎呀， 呃，差不多啊，哎呀，早知道复印一个了，早知道复印一个就会比较快，因为这道题我拿来就这样的，那个有点有点那个了。好好好，这个做完了，你看 刚才抛物线，我们知道了是三四，对不对？那就比如说这个顶点，这个顶点就应该是我们的坐标，把三带进去，三带进去的话，顶点应该是负四啊。好，顶点坐标我们也知道了，你看他说什么意思啊？首先很绕 啊， m 呢，是在三的左边， n 在 三的右边。好，我还是同样的把这个抛物线画出来来。对称轴画出来啊，相当于是 m 在 左侧，对不对？ m 在 左侧，具体在哪我不知道， n 在 右侧，对不对？是这个意思吧？ 然后呢？他说这个抛物线啊，这个抛物线还是同样的蓝色的抛物线，夹在两条均与 x 轴平行的直线上面。好，那我就是，然后这个 x 是 在 m 和 n 里面的，对不对？好，我假设啊，你们看，我看，我假设我用这个颜色，我们假设 m 在 这里， n 在 这里，可不可以无所谓的啊？ 然后呢？然后如你看，反正就是在一个在左边，一个在右边嘛，对不对？然后他说这个抛物线 x 大 于三小于 n 的 时候，也就是说这一截的时候，对不对？是不是这一截？这一截啊？你看好蓝色的这一截， 也就是我们要画的蓝色的这一部分，蓝色这一部分怎么了呢？要和蓝要和这个重叠啊， 他说这一部分夹在了两条均与 x 轴 x 轴平行的直线上面，也就是说他是不是夹在了最高点，一个最低点呀，对不对？ 你看到没，一个最高点，一个最低点，因为这一种，你看这一部分夹的地方不就是一个最高点，一个最低点吗？对不对？好， 然后我们看啊，比如说他是 l 一， 他是 l 二，他说如果说直线他两个之间的距离是十六的话，让我们求和 n 和 m 的 最大值， n 和 m 的 最大值， 对不对？那我可不可以理解为 n 最大， m 最小，对吧？ m 是 最小值。好，这我们求 m 最大的时候是哪些呢？你看，因为我们这个，因为我们这个蓝色这条线，哦， 蓝色的这条线是随着 m 它是变化的，对不对？比如说 m 如果在这里， n 在 这里的话，最高线就在这里，最下面就在这里了，对不对？ 是不是？这个是不一？你要不然的话就是 n 在 这样，要不然的话 m 在 上面， n 在 下面嘛，对不对？要不然他俩平行，无所谓的啊，你看我再画一个类似于这样子图形，呃，复制拷贝 粘贴啊，你看，无外乎还有哪一种可能呢？就是摁在下面，对吧？一个是它往上面跑一点，一个是它往上面跑一点，对不对？摁在这边啊， 没关系的。 ok， 好， 那你蓝色的线就往这边跑一点呗。好，你看第一种情况下，对不对？ n 线在一个是在蓝色的这个，呃，这个草，这个草，绿色的那个线上面，它就是 l 一， 对不对？ 我用这个颜色吧，好，一个是这个颜色，对吧？ l 一 l 二，要不然的话就是这个是 l 一， 这个是 l 二，对吧？嗯，好，那你就求呗，你看他们有什么关系？首先第一种情况， n 在 上方的时候，你发现因为我们整个的这条线是十六，对不对？这一节的话不是四吗？ 对不对？所以这一节的话就是十二，也就是说 n 的 重坐标是十二，对吧？ n 的 重坐标是十二的话，你把十二带进去，算出来 n 值是七， 然后你看 m 的 话，是必须要在哪里动啊？只能在这边这个范围动了，因为如果 n 要出去了，就变成这种情况了，就得往上画了，对不对？所以说 m m 就 应该是在这一块，那这一块当同时当 y 等于十二的时候，你把它带入到圆四子中，你可以得到的是 x 一 一个等于负一， x 二一个等于七， 所以说它是七，理所当然的，这个的话就是相当于我，我画的不准确了啊，我画的不准确了，因为这个的话应该 x 等于负一的，比如说如果我们相同的话，这个这个的情况下啊，这个解应该是在这边，好， 那就 n 就 在这边，也就是说 m 是 必须要只能在这个方向蹦跶的，对不对？只能在这个方向移动，因为 n 你 确定了 m 要比它小，顶多是等于它，对不对？所以说如果想要 n 减 m 最大的话，那 n 取七， m 取多少？在这个范围内， m 最小不就取负一吗？对不对？所以等于八，同样的，下面也一样啊，所以我这个四这个算的是不对的，因为你要等于它为十二的情况下，对吧？你要是它为十二的情况下，你这个 画的这个图就不应该这么草率啊，应该是在这个范围之内的，对吧？ 好，差不多啊，相当于 m 是 在哪儿？ m 是 在这儿， m 在 这儿。就是因为你要让这一节等于十二嘛，这一节也等于四，所以你最后 m 取得的是负一， m 取得负一是固定的情况下，你想要 i n 最大， n 在 哪一节蹦大， n 不 就从右边往这上面蹦大吗？对不对？ 那他蹦大的最高点不就是只能蹦大到七吗？所以是七，最后的结果还是 n g m 等于八，所以殊途同归是一样的啊，我不知道大家听明白了没有？就是 我们知道一个最高点，我们其实是限制了 l 二这条线，关键就是 l 一 的这条线， l 一 的这条线 五万户，你就是看看他在哪一个范围内，我们看出来是，比如说是十二，他的纵坐标是十二一，那你确定一个另一个，你就看他最最小值可以在哪，比如说这个的话就是最大值在哪，这个就是最小值在哪。夹 这个我们之前高那个高中的话会有一个夹逼，就是夹逼法则，就是你确定了一个另一个的话，你就看他在哪个范围之内，然后我们把他求出来。好，不会的话到时候评论区再问啊。

今天我们要通过湖北二零二五中考压轴题讲解旋转与相似结合的几何考察思路。我是蔡老师， 今天蔡老师要带大家一起处理湖北中考真题。湖北中考通常喜欢考察终点旋转以 以及全等相似和勾股定律，那我们今天通过这道真题来看一下。好，先看第一问啊，题目要正的是两个三角形相似，我们给到的信息是一个直角三角形 a、 b、 c， 他 绕这个 c 点旋转，旋转到这个直角三角形 d， c， e。 啊，好，那由于旋转的性质，我们就可以得出啊，旋转对应的边是相等的， 所以 e、 c 它是等于 c， b， c， a 是 等于 cd 好， 两组线段等加上两个角相等啊， 两角相等，好，那我们这个地方延伸出来的就是三角形 b、 c、 e 和三角形 a、 c、 d 啊，它们俩是相似，那我们知道啊，如果两个形状一样的三角形啊，是等腰三角形， 我们把等腰的那个顶角啊去给他旋转，我们带来的就是手拉手的全等啊。如果说这两个三角形它是顶角相等的啊，两个角形态一样的三角形，我们去旋转带来的就是相似啊， 所以在这个地方我们推演出来的就是相似，快速通过两组边对应成比例以及夹角相等角 e， c， b 等于角 d， c、 a， 从而得到两个三角形是相似的。第一问可以快速拿下，好，我们再看第二问， 第二问里面给的信息是 bc 的 长度是二，然后 ac 的 长度是一，由信息的同步啊，旋转我们可以带来 cd 的 长度也是一。 现在我们题目要求 b、 e 的 长。好，我们前面有说过，做第二问，看第一问对不对？好，那你的第二问和第一问之间什么联系啊？第二问和第一问是不是在两个三角形相似，相似，相似比是 等于它的边长之比啊？所以我们现在要求 b、 e， 那 我们不妨就回归到哪里来，信息是不是通常集中在三角形 b、 c、 a 里面？所以我们可以把这个 b、 e 啊， 它和这个 d、 a 的 比例关系，是不是二比一的关系，所以 b、 e 的 长就可以转换成两倍的 d a， 也就是现在这个题目要来求 d a 了。好，我们看 d， a 这个三角形里面啊，我们可以放到这个 三角形 c、 d、 a 中，它是一个等腰三角形，对不对？好，那这个等腰三角形啊，我们该如何去处理它的信息呢？我们只知道它的两个边长，但不知道这个假角的大小对不对？好，那我们再来看这个二，对这个题目有什么帮助呢？ 它是一个直角三角形，这个 b、 c 的 长度等于二，所以我们可不可以发现？哎，这个三角形是不是可解的呀？ 一比二，那他的三边比例关系，一比二，比根号五，所以就是啊，比例关系是确定的，所以我们可以由这个地方啊，他的这个值啊，角 d， a， c 啊， 他的对边比邻边是确定的，所以我们可以得到贪婪。角 d， a、 c 啊，是等于二比一。 好，那我们就可以基于此，是不是发现，虽然这个角不知道啊，但是我们可以知道这样一个角 d， a， c 啊，虽然角 d， c， a 不知道，但是我们可以知道这个角 d， a、 c， 它的这个角的三角函数值，所以我们就说一个三角形如果可解的话，它的一个三角形的六个心心，你起码要知道三个心心啊。 好，那基于这个点，我们是不是知道这个角 d， a， c 的 弹性值，那辅助线啊，就可以很好的想到求线的长，我们的方法是这个相似勾股定律啊，那这里是不是用到了勾股定律，我们再做回到三角形 c d a 的 时候啊，我们用的是一个勾股定力来解决问题，那我们现在就可以过这个 d 点啊，往这个 c a 上做垂 好，取一个 h 点。好，那我们就可以快速的找一个直角三角形，哎，大家可以很快找到是 r t 三角形 d， c， h， 在 这个三角形中，我们就可以列勾股方程啊，那我们就可以根据这个摊平角 d a， c 是 二比一，所以转换出设 a h 它是等于 x， 那 d h 它就是等于二 x 啊，好，那现在 c h 的 长啊，我们就可以把它表示为一减去 x， 这样 r t 三角形 d， c h 中，我们可以得到这个 c h 方，加上 d h 方是等于 c d 方啊，好， d h 啊，它的长度是一减 x 凑起来的平方啊。 d h 它是二 x 就是 四 x 方，而 c d 啊，它是一，我们去解出来就行了，把这个勾股方程就给它解出来去括号，一减去二 x 加上 x 方，再加上四 x 方，就等于一 两边的一常数消掉了啊，那我们可以得到五 x 的 平方是等于二 x， 所以 x 一 是等于零， 二等于给它数过来就等于五分之二啊，两边可以同时列个 x， x 等于五分之二，这里就是我们要找的答案啊， 所以 b 的 长它求出来了，是不是就是这个 b 的 两倍，就等于五分之四啊？这是我们解析的策略，从现在长该怎么去处理，定向思考，用相似还是用勾股啊？好，然后我们再来看第三问啊？第三问，我们给到一个 a 点做 a b 的 平行线，哎，我们发现 本身是这样的啊，一个不规则的四边形，我们现在变成了一个规则的平行四边形。平行四边形我们要想什么？是不是想平行线带来的这个相似啊？只要有平行线，我们就往相似上去构想啊，是我们几何体系的一个非常重要的话语。 那我们现在啊，看题目的要点，现在呢，需要正 a c 等于 c f。 好， 那你说正线段等是什么体系？正线段等是不是几套思路之前都给大家讲过啊？我们正线段等最常规的，如果有共点， 那我们就去正等腰，如果没有共点啊，无共点，那我们就去找全等， 或者是去旋转啊，旋转去搬家，转换信息，对不对？好，就是我们需要掌握的一个知识要点。那显然这个地方 ac 等于 cf， 是 不是共顶点呀？那我们来找到 ac 和 cf 现在是不是要正？这个 c 是 af 的 中点呀，对吧？好，这两个现在放在一起，大概率来说不是直接正，我们要间接正，对不对啊？七年级学过，要找中间桥梁。好， 好，那我们同学可以很快找到谁是这个中间桥梁，这个 c a 它由旋转可以等于谁？ c a 由旋转是可以等于 c d 啊，所以 c d 是 不是我们所谓的这个中间桥梁？好，现在就要让这个 c d 是 不是让它去等于我们目标要正的这个 c、 f， 也就是找到中间桥梁之后再去回归到这样一个目标啊？去正 c、 d 等于 cf 这个地方啊，是用等腰呢？还是用这个全等呢？ 我们在这个地方，虽然他们是共顶点，对不对？我们会发现啊，这里是共顶点，但是我们也是 要用全等，就不是等腰了，因为 c、 f 和 cd 没有办法放到一个完整的三角形中，而刚刚的这个 c、 a 和 cd 可以 放到一个完整的三角形中，没有被破坏，对不对？所以那 c、 f 和 cd 我 们就去找全等啊。好，那现在找全等，我们看 你要你要正的这条信息， cd 等于 cf 肯定是用不了的，我们要去找其他的信息啊。好，把它们俩放到哪两个三角形里面呢？ cd 和 cf， 哎，等同学可以很快的识别到我们刚开始的旋转是不是三角形 bca 旋转到这个 bcd。 所以 啊，我们可以带来一组边等的，在题干的大体干里面，我们可以得到 bc 等于 cd。 好， 现在好像南红线段是不是就把我们的三角形锁定了呀？好，就是这两个三角形啊，三角形 c、 d、 b 和这个三角形 c、 f、 e， 哎，我们会发现这个角 b、 c、 a， 它是九十度，那这个角 b、 c、 f 是 不是也是九十度？同时这个角 b、 c、 d 是 不是也是九十度？两个九十度叠加在一起，我们就可以扣掉啊，中间公共的部分是不是 得到这两个尖尖角是相等的呀？好，一组信息就出来了啊，一组南边也就是 e c 等于 bc 啊， 这个南边我们肯定是要用出来的， e、 c 等于 dc， 好， 再来这个角 e、 c、 f 是 等于这个角 d， c、 d 好， 那我们肯定不能用 s a、 s， 因为这个边是要正的啊，这个红边是要正的，所以我们必须要去找一组角啊。那我们找角怎么去找呢？我们是找这个小的锐角呢？还是找这个大的钝角呢？哎，我们会发现平行是不是带来了 倒角，平行线可以同旁内角互补，这样去倒角啊，那我们就会很清晰的发现这个地方的角 e、 f、 c 和我们这里的角 a 是 不同，旁内角互补对不对？好，然后这里的角 b、 b、 c 和这个角 c、 d、 a 是 不是也是零补角互补？哎，我们通过这个互补的关系啊，就可以找到，永远都是在大倍镜里面去找信息啊，好，在大倍镜里面找到信息，我们可以发现这个角 b、 d、 c 是 等于这个角 e、 f、 c， 从而就可以把这个三角形全等给它正出来啊，正出全等于三角形， c、 f、 e 是 全等于三角形， 这个 c、 d、 d 好， 从而就可以得到啊。这个 c、 f 是 等于 c、 d 好， 加上 c a 等于 c、 d， 从而证出我们题目要证的这个 a， c 等于 c、 f 好， 前面都是我们非常常规的考点等腰的使用以及这个旋转的使用。那我们来看一下这一问啊，直接写出， 直接写出是不是老师通常给大家说的一些答题技巧呀？直接写出一定要干嘛？一定要巧用数据巧妙的去设未知数对不对？给的信息是五比六，那我们直接就把它当成五和六来做，明明白加上平行线的背景啊，所以我们这里给了平行线 g f 比上 g d 是 五，比六 好， g f 比上这个 g d， 也就是平行四边形的这个零边啊，一个是五，一个是六，那这边是五，这边是六好。 c 是 不是一个中点？好，这个中点我们怎么去用？题目给了什么要去 表示？ k d 比 k e 好， k d 和 k e 它是不是刚好是一个交叉线？我们说平行线里面夹交叉线是不是就构成八字形的，他们组合在一起就是这个 d e， 他们是不是被夹在了平行线之间，所以看到这种形态是个残缺八字形，我们就给他去延长啊，把这个八字形去给他补好。好，由于这个 c 是 中点，是不是平行线 夹中点和八字形全等？而如果说平行线中啊夹的比例分点，我们是勾到八字形相似，这些都是非常常规的一个考点啊，那我们看到平行的大背景，直接把它延长过来，这边是六，这边就是六。 好，再看前后信息能不能用在这个第三位的背景之下，刚刚前面正的这些全等啊，是不是都能使用出来？好，所以我们现在要去求这个 k d 比上 k e， 实际上是不是求这个边，往这个 边边上面，边眼上面去靠呀？也就是 b d 以上这个地方的这个 e h 啊， b d 以上 e h 好， 这个 b d 和 e h 它的比例关系是我们现在需要去重点去求解的。好，这个长度啊， f h 等于 b a 等于六啊， 好，那我们现在要求这个 b d 和这个 e h 的 长度？好，那他们的长度该怎么去求呢？我们从题目的信息里面发现， b d 刚刚是不是已经是等于 e f 了？假如我把这个 b d 或者是 e f 求出来，这道题是不是可以大功告成了？好，这是我们的一个解析策略啊。那我们有前面的这个信息，这个的五啊，想一下怎么去用，发现，哎，这个地方是一个垂直啊，对吧？哎，他这个垂直直角前面用了，这里依旧能用啊。好，他是直角，这是一个什么？是一个直角梯形，直角梯形怎么处理？ 是不是给他做一个垂？好，哎，做一个垂线之后，这个是终点啊，这个是三，这个是三，所以这里也是三，这里是三，那其实上到底是不是还是三角函数？我的这个三边比例关系，三四五是不可以派上用场？好，怎么去转换？ 这里是不是也是三呀？对吧？好，他也是三的话，前面的套路是不是在这里依旧能使用？刚刚是一比二，现在变成了三四五啊，现在变成三四五，所以这个是三，这个是三。我们依旧去做垂啊。好，依旧做垂，那我们这里取一个 g 点啊，我们把它拿出来啊，单独分析啊， 拿到旁边来。好，这里是 c、 d、 a， 好， 分别 c、 d 等于 c， a 是 三和三，然后这个贪停值啊，这个贪停值，现在的贪停角 d、 a、 f 就是 等于这个对边比邻边是四比三啊，那我们做一个垂线之后，就是这是四 x， 这是三 x， 然后这边就是三，减去三 x。 好， 那我们就可以快速列勾股方程啊，三减三 x 扣起来的平方，加上四 x 扣起来的平方，是等于这个九啊。好，三三得九，减去 三三得九，乘二十八 x 加上九 x 方，再加上十六 x 方，就是二十五 x 方等于九，是不是？这个方程一模一样？跟刚刚我们这个九和九依旧能消掉啊？把一个 x 等于零，一个 x 就 等于这个两边消掉啊。把二十五除过来，就是二十五分之十八， 二十五分之十八是我们求的这里的 x 啊，我们题目现在是要求这个 b d 啊。好，那我们就可以通过这个信息啊，那我们求出 x 是 二十五分之十八，这个是三 x， 这里是四 x， 他 是不是五 x 呀？对吧？那先去求五 x 的 话，五 x 就是 把它去乘以五， 乘以五，约掉之后是五分之十八。好，我们就可以转换出 b d， 它的长是等于 b a 减去 b a， b a 减 d a， 也就是五减去五分之十八，那五是五分之二十五。减去五分之十八，也就是等于五分之七，对不对？好，这是五分之七，对方标错了啊，这个地方应该是五啊，这个地方背长过来之后， b a 等于 f h 等于五， 这个地方是五分之七。加五，那就是五分之二十五。加七是三十二，那就是五分之七以上五分之三十二，所以它的比方就是七比三十二， 七比三十二。就是这道题直接写出答案，直接写出，一定要有策略，有方向去想前后问之间什么样的题都能借鉴过来，哪些内容能够去包含进去？ 三角函数这个题没有任何的显现条件啊，题目里没有出现三角函数的影子，也没有出现他的这个这个表达的字母形式，所以大家很难想到这个三角函数，也就是我们这道题啊， 唯唯一的一个难点就是要想到三角函数在里面的一个嵌套，帮助我们更好的去做题啊。三角函数作为初中生，高中的一个必学的，是我们高中重点会学的，那湖北卷呢？他去年就考察 方向，其实是非常好的，可以作为一个学生的一个选拔。好，这就是今天给大家分享的内容，你学会了吗？

我将用这张二零二六年最新中考一模试卷带领大家进行系统的一轮复习。废话不多说，直接开始。 接下来我们进入到最后两题的攻坚战中啊，倒数第二题，二十三题考察是一个相似的内容啊。那么这道题当中 运用到了一个非常典型的模型，叫做手拉手，同时结合了三角函数以及这个见比射参的一个方法的运用，所以这道题的含金量我个人认为还是比较高的啊。 那么我们一起来看一看。首先题干告诉我，角 a、 c、 b 等于九十度，这是个直角三角形，然后他把三角形 a、 c、 b 绕点 c 旋转，得到 d、 e、 c， 这我们就知道旋转前后的两个三角形肯定相等啊，并且它会有一个对应边的关系，所以 a、 c、 b 是 直角，那我们 e、 c、 d 肯定也是直角，对吧？这个信息先得到点 a 的 对应边 d 在 ab 上，这句话有什么用呢？它其实就是告诉我们 c、 d 和 a、 c 这两条边是相等的关系， 明白不？那么就说明 a、 c、 d 构成了一个等腰三角形，它两边相等，底角相等，这只扣在后面会用到啊。 好，我们直接看第一问，第一问相对来说还比较简单，很明显，这个 a、 b、 c、 e、 b、 c、 e 是 一个等腰三角形，对不对？因为 bc 等于 c、 e 嘛，然后 a、 c、 d 也是一个等腰三角形， 同时呢，他们这个角顶角，你看角 a、 c、 b 是 直角吗？然后角 e、 c、 d 也是直角，对不对？他们俩都是直角，中间有一个公共的部分， 我给他剪掉以后，剩下的来的两个角是不肯定也相等，那剩下的这两个角其实就是这两个等腰三角形的顶角啊。 那你说两个等腰三角形顶角已经相等了它的底，它的底角是不是肯定也相等？那它三对角全部都相等了，很明显相似就出来了，非常简单啊，所以第一问的过程我们不写了。 好，第二问， b、 e 等于四， b、 d 等于三啊，求 a、 c 的 长。 那么这道题当中，他在第一问相似里面有一个非常非常重要的结论，或者说非常重要的等角关系，我们要利用起来，也就是来观察啊，这个角他是等于这个角的，因为他都是等腰三角形的两个底角吗？对不对？ 那它有什么用呢？角 a 和角 abc 加起来是九十度，所以这个角 e、 b、 c 和角 abc 加起来也是九十度，那么整个 e、 b、 d 就是 一个直角了，这是个隐藏条件， 看到没有？所以在第二问的图形当中，这里其实是一个等，呃，不是，其实是一个直角三角形，看到没有？这是它的信息啊。好，我们看看有什么用？它告诉我， b、 e 等于 b， e 等于什么？ b、 e 等于四，这条边是四，然后 b、 d 等于三，你这中间又是直角，根据勾股定律，这一下就数出来了，三、四、五嘛，这条边就是五，也就是 e、 d 等于五，对吧？而 e、 d 是 由 ab 旋转过来的，所以 ab 也是等于五的， 对不对？这个信息就很重要了。那接下来我们要求 a、 c 的 长就比较简单了啊，你可以借助于什么设为指数，然后利用相似之间的 比例关系去求解。好，我们看看。嗯，设谁呢？看一下吧。 b、 e 等于四嘛？ b、 d 等于三，然后这个 d、 e 就 等于五嘛， 所以 ab 也等于五， ab 整个 ab 等于五，那 ad 这条边不就是二吗？五减三对不对？然后这两三角形相似，你看相似的话有什么 对应？边之间成比例了，说明这个，这个 b、 b、 e 比上 b、 e 的 对应边是谁？比上 ad 等于我们， b、 c 比上 a、 c， 对 吧？然后 b、 e 不 求出来了吗？ b、 e 等于四， ad 呢？等于二也求出来了，所以这个比不就是二比一等于二，说明 b、 c 是 a、 c 的 二倍。那你再根据这个 三角形 a、 b、 c， 它的斜边等于五，去列个方程出来，不就很好解了吗？对吧？我设 a、 c 是 x， 那 么 b、 c 不 就是二 x， 对 不对？接着它的斜边，整个斜边等于五啊， 对不对？那方程就有了。我设 a、 c 是 x， 那 x 的 平方加上二 x 的 平方，括起来不就等于五的平方吗？ 算一下 x 等于多少？五 x 方等于二十，五， x 等于根号五，是吧？很简单，出来了， 好，这是第二问啊，前两问还还难度还不算特别大，那我们接下来看看第三问，他说过点做 过点， e 做 ab 的 平行线，交 a， c 的 延长线于点 f 连接 d， f 交 bc 于 k， 交 bc 于 k， 那 么 k 就 在这啊，这个图不太明显， k 在 这里。现在第一问，第一小问，让我们求证两个三角形全等啊，我们来看看有哪些条件啊？ 首先 a、 c 把它延长了对不对？所以这里也是个直角就比较好找。 然后 d、 c、 e 也是一个直角，这两个直角同样有中间的公共部分，也就是角， b、 c、 e 这个是公共的，把它去掉，这两个角不就相等了吗？ 对不对？所以在这两个三角形当中，已经有什么一对角相等，接着呢？这个 c、 e 还等于 bc， 因为它是旋转得到的嘛，是总的题干 对不对？所以它已经有一边一角了。接着我们看第二个缺少的第三个相等条件啊，比较比较难找。那这个地方是不是要用到我们的什么平行线了吧？ 两直线平行。来观察一下，两直线平行是不是有同位角内错角，同旁内角，那我们需要的就是这两个 同旁内角，它俩互补吧，对不对？然后我们之前分析过，说 a、 c 等于 cd 啊，那证明这是一个等腰三角形，所以它的两底角相等， 对吧？发现没有？好，我们现在来标一下角度啊，角 a， 这个红色角和角 a、 d、 c 这个红色角相等， 同时换个颜色，同时角 a 的 同旁内角。在这里我们能找到它和这个蓝色的角是互补的关系，而角 a、 d、 c， 它有一个零补角， 是角 b、 d、 c， 所以 它俩也互补，对不对？而两个红色的角又相等，说明两个蓝两个蓝色的角必然也相等，那这就不是不就是第三个条形出来了吗？对不对？这个就构成了角角边全等了 啊！过程我们就不写了，把条件给大家拎一下，拎出来，角 c、 f、 e 等于角 b、 d、 c、 c、 d、 b 也行啊，这个角 e、 c、 f 等于角 b、 c、 d， 再来是 c、 e 等于 c、 b 三个条件全等出来了，它构成的是角角边啊。这第一问，全等，这个全等在后面作用还是非常大的。这个最后一问啊， 当 bc 比 a、 c 等于四比三时，直接写出 d、 k 比 f k 的 值啊，我们还是把它求出来，那么这一位难度算是比较大的，它需要用到什么呢？ 三角函数相似以及四点共圆的相关知识点，如果你把这几个都能灵活运用的话，它的难度就会降的非常低了。 好，我们一起来分析一下啊。首先这个 b c 比 a c 等于四比三出现比的时候，我们可以利用见比设差，把其余能表示的边都给它表示出来，对不对？一步一步来啊，慢慢分析 b、 c， 我 就设它等于四 a 吧， 那么这个 a、 c 是 不是等于三 a？ 同时我们前面推导过 a c 和 cd 是 相等的关系，所以 cd 也是三 a。 接着我们要去找一组非常隐蔽的相似啊，但是这里要用到四点公园，我跟大家说一下，四点公园不是说整个图形当中必须要有圆存在才可以用啊，四点公园最主要的作用是在复杂的几何图形当中去推导角的关系，特别是推导相等的角 啊，那么我们找找看怎么用呢？来叫我们刚刚之前说过来，我们推导一下。第一问这个相似，它能够得到非常有用的线索啊。找找对应边，你看 相似正出来以后， e、 f 的 对应边是不是 b d 对 不对？那么 e、 f 和 b d 它就应该是平行且向的。写一下啊， e、 f 是 不是平行且等于 b d 对不对？所以说明 b e、 f、 d 这应该是一个什么平行四边形吧，对吧？同时它又有直角，你看这里是一个直角对吧？前面分析过，如果你没抓住的话，那么还可以通过 c f 等于 cd 等于 ca， 利用斜边中线定里的逆定里倒过来，也可以推导出它是一个直角，看到没有？非常巧妙啊，所以 b、 d、 f、 e 它就从平行四边形变成了一个矩形，也就是长方形了，那么这里就有很多直角出现了，对不对？你这是直角啊， 对吧？好，接着往下看。那它告诉我的这个比实际上可以转换成某个角的三角函数 bc 比上 a、 c， 实际上就是角 a 的 什么？正切看到没有？所以说贪婪 a， 它就等于四比三，三分之四，那么所有和角 a 相等的角，它的正切应该都等于是三分之四，对不对？和角 a 相等的有哪些呢？你看角角 b、 k、 d 看到没有， 它和上面这个角 a、 b、 c 是 互余的吧，同时角 a 跟角 a、 b、 c 也是互余的，所以这两个角相等， 那么它的正切是不是就是 b、 d 比上 d、 k， 对 不对？ b、 d 比上 d、 k， 那 么就是擦掉啊，擦掉，把它重新写一下。 这个笔大家有没有发现它跟勾股数有关系？看到没有？正切不是直角边的笔吗？三四，那斜边就是五了，对不对？好，所以这个我们写一下， d、 k 是 三份， 然后这个 b、 d 就是 四分了，那么说明 b、 k 就是 五分了，对不对？那我可以得到它这个角的所有的三角函数值，正弦、余弦、正切都能得到 啊，待会用啊。接下来我们看看，找四点共圆，利用四点共圆去推相似这个角是直角，注意看啊， d、 c、 e 角 d、 c、 e 这个角是直角， 然后 b、 d、 f、 e 这个角也是直角，因为它是矩形嘛，不推导出来了吗？所以这两个角都是直角，那么它们对的边都是 d、 e 这条边，发现没有？在一个四边形当中， 如果同一条边所对的出发所对的另外两个角它相等的话，那就代表这四个点是共圆的。你可以把它理解成什么？以 d、 e 为直径 所画的一个圆，它是不是会经过 f 跟 c 两个点？因为直径所对的圆周角是直角嘛？对不对？那我以 d、 e 为直径所画的这个圆 d、 c、 f、 e 这四个点是不是刚好都在圆上？这就叫共圆了？理解吧。那么既然它共圆之后，这个角是不就等于这个角了？看到没，实际上这里还有其他更多的相等的角 啊。但是这道题只用到这一对就行了，角 c、 e、 f 和角 c、 d、 f 相等， 而角 c、 e、 f 第一小问全等当中已经得出来，它应该和这个角相等。对角 a、 b、 c， 所以 说角 c、 d、 k 和角 a、 b、 c 是 相等的关系，那么也就有这个小三角形和这个大三角形相似。 c、 d、 k、 c、 d、 k 和 c、 b、 d 相似出来了。 c、 d、 k 和 c、 b、 d 这两个三角形相似， 那它的对应边不就能比出来吗？这个 c、 d 好， 我们把它比一下啊，相似就不写出来了。 c、 d 比上这个 c、 b 就等于 c、 k 比上 c、 d， 看到没有，这个比例关系就出出来了。那么 c、 d 是 三 a， cb 是 四 a， 这不是有吗？ c、 d 是 三 a， cb 是 四 a， 那 么根据这个比例关系，我们就可以求出 c、 k， 它应该等于四分之九 a， 对 不对？换个换这个笔型啊， c、 k 通过相似啊，我就不写出来了，不然我怕写不下。 c、 k 等于四分之九 a， 这个 c、 k 求出来了，接着 b、 c 减去 c k 嘛，那就是四， a 减去四分之九， a 减一下就是四分之， 嗯，多少？七吧？四分之十六减九，四分之七 a， 对 吧？ bk， 好， 那么 bk 是 bk d 这个三角形当中的斜边，我们刚刚不是说了吗？这个角的三角函数值全部都能求出来，实际上三边的比，这是三，这是四，这是五，你把比例系数找出来，剩下两条边是不是都可以求了？所以说 b 这个 dk， 哎，换这个啊， d k， 它就等于五分之三倍的 b k 五分之三乘它去算一下，就是二十分之二十一 a， 好， d k 解决了，一个问题解决了， 接着就是第第第二个问题，还有什么？还有这个 f k， f k 怎么求呢？也挺简单，我们在下面这个三角形当中，哎，怎么回事？ 我们在下面这个 f k c 这个三角形当中，这个角也是等于角 a 的 呀，对不对？所以呢， c k 为三份， c f 四份， f k 五份， 对不对？ c k 有 了 f k， 那 我们就这么求嘛。 f k 这么写， f k， 它等于三分之五倍的 c k， 把 c k 带进去，四分之九，四分之九乘三分之五等于多少？ 哦，怎么，怎么消失了？ f k 写大一点啊，等于三分之五倍的 c k， 那 就等于 三分之五乘四分之九，等于多少？三分之五乘四分之九，嗯，四分之四分之四分之三四一四，四分之十五吧， 四分之十五， a， 对 不对？那就可以直接比了，它 d k 比 f k， 那 不就是这个？用它去除于它，把 a 约掉，就是二十分之二十一， 去除以四分之十五，大家可以自己去算一下 这等于多少？颠倒一下，我算一下，二十分之二十一乘以十五分之四， 这是五，这是七，二十五分之七笔直出来了，来，弦根数学轻松拿捏。

武汉中考数学，选上一百一十分甚至满分，那就要知道压轴题考什么学的中华改革呢？武汉数学考的没有以前那么难的，但还是有三个难点。 第一个呢，是几何的线段对值问题，一共是有六个模型，分别像垂线、最短、将军引马、胡不归瓜豆模型以及俄式圆的问题。第二个呢，是二函数综合题，也是有六个题型，包括第一个，图像与系数关系 结论问题。一般呢，在选择填空的函数题，利用代逆系数法就函数为四，这个是几乎必考的内容，一般是函数题的第一小问，二次函数与最值的问题。二次函数图形的面积问题。特殊三角形的存在性问题。特殊四面形的存在性问题。 第三个呢，是新定义题，函数的新定义，几何的新定义，代数与几何综合的新定义。一般会涉及到一些高中知识，考的呢，虽然比较新一些，但是压轴题没有什么好的办法，只能够 多见题多练习，要围绕总结解题的方法和步骤，那么一百零五分以上同学就要重点练，一百零五分以下同学重点练习第二个。

二零二六中考数学最难的填空压轴题，其实就这十二个母题全部吃透，成绩轻松一百一十五加，很多孩子碰到这类题就选择跳过，而这类题恰好是学霸拉开差距的关键。 老师分析历年真题，发现中考反反复复就出了这十二个母题。练一道母题等于会这一类题，考试时举一反三，难题也变送分题。家有出三娃的，赶紧让孩子把这些题练一遍。

逗包是否能够帮助我们解决所有的数学压轴题呢？马克，不一定，刚刚一位粉丝就用逗包做了一道题目， 然后没有找到正确的答案，我们来看一道，这是刚刚七月华圆三月的数学正题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 知道是等于三的，然后将这 d、 a、 b 绕着 d 点进行旋转，一点恰好落在 b、 d 上面， 当这个 b g 等于 g h， 要的求的是矩形的面积。好，我们把条件翻译一下，首先 a、 d 是 等于三的，然后绕着是 d 点进行一个旋转， 旋转的时候 e 点恰好在这个 b 上面，那也是这是直角 g 点为 b h 的 中点，要求的面积，那么我们可以转化成一个量，就是求 ab 的 长度， 那这里面因为是恰好在 b、 d 上面，所以说平行线加角平行线就会得到一个等腰，这是第一个要点，也就是说 b h 是 等于 d h 的， 那么这里我们可以令 b a， b g 等于 y， 那 这样的话， d h 等于二 y h， c 就 等于三减二 y， 第一个方程各五厘米，我们可以得到三减二 y 或 x 的 平方加上 x 平方等于二 y 或 x 的 平方。把它进行一个化简一下，可以得到 x 的 平方， 加上九减去十二万等于零，那我们知道 x 平方加上九，它实际上就等于 b d 的 平方， 也就是可以得到这个式子 b d， 它是等于两倍的 根号三 y 的， 那这样的话，我们来继续的标记一下， d 一 是等于三的，所以说我们可以表示出 b 一 的长度等于多少呢？ 两倍的根号三 y 减三。好，那么这样的话，在这个场景中我们来找一找， 此时我们做一条辅线，也是比较关键的，就是把 d g 跟它连立起来，那这里面我们来看一下 e g 的 平方等于什么？ 我们用多种啊，双勾股， e g 是 在这个直角三角形，也在这个直角三角形中。好， e g 的 平方是等于斜边平行的，是 y 的 平方减去 两边根号三 y 减三差的平方，这是在这个勾股当中，另外一个 等于斜边减去三的，而这个斜边 d g 它又等于什么呢？ c g 的 平方加上 x 平方，所以说我们可以继续写一下， 它是等于三减 y 或取的平方加上 x 平方，再减去三个平方，也就减去九 这两个，这样它也行。好，那么这样的话，我们把这个啊 x 平方加九，用十二 y 来替代一下，把这个数字我们来归纳一下， 上面点 y 方，然后减去十二， y 减去九，加上 十二倍的根号上 y。 好， 下面四十等于什么呢？下面四十等于 x 平方 加上九，加上 y 方减去六， y 减去九。好，我们来约一约，上面有 y 的 平方 减九减九，没了 x 的 平方加九，我们知道是等于十二 y 的， 所以说这里面合并同项就等于六 y， 再把这个十二 y 减去，后面来也就是可以得到十二倍的根号三 y， 它是等于十八 y 的。 那么横线这里面我们啊约一约，把它化简一下，可以得到 y 等于三分之四的， 那么 y 求出来之后，我们再来带到这里面来求 x 即可。 那很显然十二 y 就 等于多少呢？十六，那么这样的话， x 平方减去，我们说七就等于零， x 就 等于。很好奇。那最后的面积啊，很显然就等于三倍的，很好奇。

我将用这张二零二六年最新中考一模试卷带领大家进行系统的一轮复习。废话不多说，直接开始，我们接着看下面的解答题。十六题，负一的平方等于一， 然后根号四等于二，对吧？然后根号二减一的绝对值，这里面我们需要判断绝对值内的 数是正还是负啊，很明显，根号二大于一，所以它是正数，那么绝对值去掉以后保持不变，还是根号二减一？最后一个二零二六的零次方还是等于一啊？那么一加二加根号二减一，再减一，化简之后就变成了根号二加一。 好，十七题，这是一个简单的全等啊，在三角形 a、 f、 d 和 b、 e、 c 当中 点 a、 e、 f、 c 在 同一直线上， a、 e、 f、 c 就是， 我看一下啊，就这几个点了， a、 e、 f、 c 啊，这四个点在同一条直线上，已知 a、 d 等于 c， b， a、 e 等于 c， f、 a、 d 平行于 bc， 求证，角 b 等于角 d。 那 么这道题求证两个角相等啊！在我们初中阶段，一般是依据他们所在的两个三角形全等来证明，那么全等呢，就有边边边，然后边角边，还有角边角 角角边以及 h、 l 直角边、斜边这么五条定律，对吧？其中呢，这个 h、 l 是 只有直角三角形能用的， 其他的几个是任何的三角形都能用的。那么这道题很明显它没有直角，告诉我们的是两个相等关系，一个平行关系，对吧？平行相等相等， 所以很明显，平行线我就想到去找角对不对？ a、 d 平行于 bc， 那 他被 a、 c 所截，是不是刚好能够找到一组内错角？这个角相等我们就找到了，接着再看相等，相等 a、 e 等于 c、 f， a、 e 是 这一段， c、 f 是 这一段， 我们如果加上中间公共的部分的话，就可以得到什么，就可以得到整个 a、 f 和我们的 c、 e 相等。这两段相等，那么它就刚好可以用到全等当中去啊。所以这里面全等的三个条件，我们把它罗列出来， 详细的过程我们就不写了啊。一个是 a、 d 等于 c、 b， 接着是角 a 等于角 c， 然后是 af 等于这个 c、 e 啊，每一步我们要知道怎么来的，第一个 a、 d 等于 c、 b 已知条件。第二个角 a 等于角 c 是 通过平行得出来的内错角相等。 第三个 a、 f 等于 c， e 是 由 a、 e 等于 c、 f 再共同加上 e、 f 所得出来的。那么三个条件凑齐了，这不就刚好得到全等了吗？所以三角形 a、 d、 f， 它就全等于三角形 a、 d、 f， c、 b、 e 对 不对？这符合的是边角边全等，那么我们角 b 就 等于角 d 了 啊，非常简单啊，这个过程大家可以自己系统的去梳理一下，我们主要讲证明的思路。好，下一道题十八题，他给我们一个一元二次方程，说有两个根， 然后第一问要求 m 的 取值范围，第二问是否存在 m 的 值，使得这样一个等式成立，若存在求出 m 的 值，若不存在，求出说明理由，那这个等式很明显， x 一 加 x 二，以及 x 一 乘 x 二，我们很容易联想到什么，就是根与系数的关系，也就是著名的伟大定律对不对？ 两根之合等于啥？两根之几等于啥啊，这个定律大家要记住啊。好，回到第一问，求 m 的 取值范围怎么来的呢？这是由根的判定，是 derta 来的。 我们知道 delta 大 于零的情况下，这个方程是有两个不等的实数根，对吧？不相等的实数根，然后 delta 等于零的话，它是有两个相等的实数根，如果 delta 小 于零，它是无，没有实数根， 无十根啊，没有十根。所以条件只告诉了我有两个根，但并没有说它们是相等还是不相等，那就都有可能 出现。所以我们的 delta 应该是要大于等于零的。这个要求啊， delta 大 于等于零，那么去解 delta 等于 b 方减四 a c 嘛， b 方就是负二的，平方就是四喽，四减去四， m 大 于等于零，这个 m 就 怎么样？好，第一位，我们写到前面啊，这个 m 就 小于等于一就出来了啊。第二位，写不下了，我把它清除掉啊。 好，第二位，那么依据维达定律， x 一 加 x 二等于啥呢？ x 一 加 x 二，它等于方程当中的负的 a 分 之 b， 其中这个 a 就是 二次项系数， b 是 一次项系数，还有个 c 是 常数项，所以 a 是 等于一，然后 b 就 等于负二喽，那这个就不就等于二吗？接着 x 一 乘 x 二，它是等于 a 分 之 c 的， 对不对？哎，没写好啊， a 分 之 c， a 是 一， c 就是 这里的常数项 m， 所以 它刚好就等于 m， 那 么说明第二问当中这个条件就是二减去 m 等于三，这我们很容易求出来 m 等于多少呢？ 负一嘛，对吧？但是大家不要认为求出这个结果来就大功告成了，你还要去验算一下它是否符合第一问里面的范围，范围是 m 小 于等于一， 那么负一在这个范围内符合成立，所以他就保留下来啊。因为后面我们碰到的题目，他有可能这第二问会求出两个结果来，那有可能就是一个结果符合，一个结果不符合，你们要自己去进行取舍。好，下一题。十九题， 这个比较简单，我们就讲快点啊，这是个统计的题目啊，他说抽取了二十名用户，那就二十个数据，规定七分及以上为手机 app 的 受益人群啊，这里下了一个定义，后面会用得到。 好，现在假款手机给了一个扇形图，然后已款手机直接把所有数据列取出来， 那很明显，我去把它数出来就可以了，几个六，几个七，几个八，几个九，把它数量整理出来。第一位让我们求 ab 分 别等于多少？ a 是 遗嘱的中位数， b 是 遗嘱的重数，那很明显数呗，这个有五个 五个六，然后六个七，这有八个八，然后一个九，他要求了中位数，一共二十个数据，中位数就是第十个和第十一个的 平均数，理解吧。那么第十个是谁呢？就这个七嘛，第十一个还是这个七，所以两个七的平均数，他还是七。 a 就 等于七啊，我们就不写算式了，比较简单。 然后 b 是 代表遗嘱的重数，重数就是八吗？因为八出现的次数最多，所以这个就等于八。 但是大家要注意，这个八指的是出现次数最多的这个数据本身，而不是指他出现多少次。不要以为是这个八啊，这不对。那么第二问，四千人下载的假款，五千人下载的遗款， 分别估计这两款手机 app 的 受益人群，我们刚刚提到过受益人群是七分及 七分及以上，对不对？所以读题要把要扣定义啊。那么在甲组当中，它的七分和以上，那就是这三个喽， 对不对？我们标记一下，七分的八分的九分的百分之十五，百分之二三十，百分之二十就是乙。呃，甲组，然后乙呢？乙七分及以上，我们把它找出来呗。七分有六个，八分有八个，然后九分有一个，那不六加八加一吗？ 对吧？然后总数是二十嘛，这个百分比就出来了，所以对于甲来说，来，我们列一下啊。对于甲来说，那它总数是四千， 我就去乘以它的百分比，也就是百分之十五加上百分之三十，再加上百分之二十 就行了啊，这个算法。然后乙呢？乙，他是七分，八分，九分，数量加起来六，加上八，加上一，再除以我们的二十总数，这就他所占的百分比，再乘以他的总数五千 啊，就这么求，这就是第二问，没有什么难度啊。第三问，通过以上数据分析，哪一款手机实 app 实用性的满意度更高，并说明理由，哪一款手机的满意度更高？像这种情况啊，属于一个比较开放的问题，因为 公说公有理，婆说婆有理嘛，我们可以从不同的角度去解读他，对不对？所以他没有一个固定答案。如果从中位数来看的话，那很明显假的满意度要更高一些，他更大一些嘛。那你如果说从受益人群的角度看的话，乙的受益人群更多，所以他的满意度会更高， 那这两种解读方式都可以啊，都没有任何的疑问，所以这个就是开放性的答案。下一题， 这个二十题，它是一个一次函数跟一个什么反比例函数两个图像相交的问题 啊。所以我们知道反比例函数呢？ y 等于 x 分 之四，是个已知的，对不对？那么根据 a 点的横坐标，我就能求出它的纵坐标，根据 b 点的纵坐标，我就能求出它的横坐标，那么 ab 两个点完整的坐标是不是都知道了？ 接着你再把它们通过待定系数法放到这个直线，也就是一次函数 y 等于 k， x 加 b 当中，就可以把 k b 求出来了，对吧？所以 这一二问一次性全都解决了，非常简单啊。接着第三问，我们再看图像啊，好，那么图像是什么意思呢？ 他是要我们写出 x 分 之四小于 k， x 加 b 小 于零，对吧？首先看左边一半，他是反比例小于一次函数，也就是说双曲线 小于什么？小于直线对不对？那就代表这个双曲线要在直线的下方，那只有谁？只有 b 点往右边这一段，你看直线在上，这是上吗？这是下， 这个满足，当然你要到外走就截止了啊，穿过就不一样了。接着另外一边呢？ a 点， a 点还是往右，就这一段 直线在上，这个双曲线在下，也符合，对吧？所以左边一半这个不等式，它就是两个范围，一个是 b 到外走，另外一个呢，就是 a 点再往右边 到无穷去啊。好，再看另外一半，是 k， x 加 b 小 于零，这也就是直线小于零嘛。那说明这个直线要在 x 轴的下方， x 轴在这嘛，对不对？ x 轴的下方不就是这一段嘛。 所以你把两个不等式的要求综合起来，最终保留下来，就只有这么一部分， 就只有这一小的看到没有？也就是我要求的解集就是从 b 点到这个标为 c 吧，到这个 c 点之间的横坐标的范围 三分解决了啊，然后我们开始求这个点的坐标，那么 y 等于 x 分 之四，还有一种写法是 x， y 等于四，就是反比例函数的，所以我们就直接让它的横纵坐标相乘等于四就可以了。那很明显，一乘 m 不 就是 m 吗？ m 等于四，然后负二， n 也等于四，所以 n 就 等于负二喽，对不对？那么 a 点坐标， b 点坐标就有了， a 是 一四，然后 b 是 负二。负二好，接第二问，求一次函数的解析式。 把 ab 两个点带嘛，往直线里面带，对吧？那么就是有列一下，这个一四带进去， k 加上 b 等于四，然后 b 带进去负二， k 加上 b 等于负二， 对吧？接着我们求出来 k 等于多少？嗯， k 应该等于二吧，然后 b， b 也等于二，对吧？ kb 求出来了，所以这个一函数就有了， y 等于二， x 加二 出来了。那么第三问当中我需要的这个交点 c， 它的坐标不就是可以根据 一次函数的解析式在求吗？对不对？那我令这里面的这个一次函数当中的 y 等于零，令 y 等于零，求出来， x 等于负一，所以这个 c 点坐标就是负一，零看到没有， 那 b 到 c 之间那范围就简单了， b 是 什么？ b 是 负二， c 是 负一。 解析出来了啊，搞定，这是二十题。好，接着我们看二十一题，一个圆的题目，他说 ab 是 直径， cd 是 圆 o 上两点角 abd 等于二角 a 过 c 做 c e 垂直， db 交 db 的 延长线，这是一个垂直的。 第一问，求证 c e 是 圆 o 的 切线，正切线，我们知道肯定要把过切点的半径连起来，对不对？然后想办法干嘛？那就把 o 跟 c e 连起来， 想办法证明 o c 和和我们的 c e 是 垂直的，也就是 o c e 这个角为直角，对吧？那么 c e 已经和 b d 垂直了， 所以我只需要证明 oc 和 db 是 平行的关系就可以。这里的依据就是这个条件啊，去推 ab 是 直径，然后有这个条件存在， 那么很明显，我们能知道什么呢？角角 a， 角 a 在 这，对吧？角 a 所对的弧是 bc， 这条弧对吧？角 a 同弧所对的圆周角，它是圆形角的一半的，对不对？所以这个角 cop 看到没？角 cop， 这个角它就是角 a 的 二倍， 那它就是。那么这个二倍的角 a 就是 角 c o b 哦， c o b， 哦，写错了，所以 abd abd 在 这，它就等于这个角，那很明显内错角出来了，对不对？这个图内错角相等，两直线平行，那么 o c 平行于 d b， 又因为 c e 垂直于 d b， 所以呢？ o c 就 垂直于 c e 切线出来了啊，非常简单，因为 角 c o b 等于二倍角 a， 角 a o b 啊，角 a b d 也等于二倍角 a， 这个英文没写见啊，所以角 c o b d 就 等于什么角 a b d 对 不对？所以 o c 就 平行于 d b。 接着又因为 又因为 c e 垂直于 d b， 所以 o c 垂直于 c e， 所以 o c 啊，不是 o c 啊， c e 是 是什么圆 o 的 切线啊？证明过程就是这样啊，我们把它涂掉啊， 来看第二问，好，先清除掉第二问，他告诉我半径是五，接着 c、 e 等于四，要求 d、 b 的 长。这道题其实 非常简单啊，中考当中圆的题，圆的大题，如果在靠前的位置上，他就不会很难的。那么这道题我们用一个比较典型的方法，叫做矩形大法，也就是我过实际上考察的就是垂心定力啊，我过 o 点往 b d 这条弦， 过 o 点往 d b 这条弦上面去做一个垂线，这样做一个垂线，那么我们看看啊，那么 o 把它标个点吧，把它叫做 h， 对 吧？好，那么 o h 和 d、 b 是 垂直的关系， 这个 o c 和 c e 垂直，那说明这个地方 写一下吧，也就是 o、 c、 e、 h 这个四边形，实际上它是一个什么？它是一个矩形了，长方形，也就是我们说的对不对？ 这个就这就是矩形大法这个名称的由来啊。所以那 c e 等于四，我这条边是不是也等于四，那就是 o h 了，然后 这个 o c 等于五，半径等于五，对吧？那我 e、 h 这条边是不是也等于五？同时 o h 等于四的时候， 那你 o b 等于五啊，我可以求谁，在直角三角形 o d、 o b、 h 当中，我是可以求出 b h 的， 对不对？在依据垂径定里， o h 和 b d 垂直，垂直于弦的直径平分弦， 那说明 h 是 b d 的 终点了，对不对？ b h 求出来了， b d 不 就是 b h 的 二倍吗？这很简单啊，好， 过程我们就不写了啊，这个大家自己下去推一下，这个是三，对吧？这是四，这是五，那这个就是三，那 b、 d 就是 六，对不对 啊？接下来二十二题啊，讲快点，把更多的时间留给最后两道题，比较难的啊 啊。他说，素材一，买十个玩偶和二十个徽章需要三百九十元，买十五个玩偶和十五个徽章需要四百零五元，这不就是典型的方程组问题吗？对不对？ 素材二，是要平台促销活动，方式一，购买四十八元会员卡后，所有商品打八折。方式二，没有会员打九折，全部打九折啊。接着任务一， 解决问题，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？那不就是方程组问题吗？我设玩偶 x 元，徽章外元，对吧？那这里也是 x 跟 y， 所以 我们可以得到十 x 加上二十万。 这第一句话嘛，等于三百九十，然后十五 x 加上十五 y 等于四百零五，对不对？得到这样一个方程组，那把 x 跟 y 分 别去求出来就行了。看一下啊，写这个 x 等于多少？ x 应该等于，呃，二十吧，十五还是二十？ 看一下 x 等于多少五 x， 嗯，五 x 减五， y 等于十五， x 减 y 等于三。三呐， 一个十五，一个十二， x 等于十五， y 等于十二。好，第一问就出来了啊，玩偶的单价是十五元，徽章的单价是十二元。 接着我们来解决第二问，下一个问题啊。任务二，他说玩偶和徽章一共要买三十五个， 那代表他们的数量总和是三十五，对吧？我设玩偶有 m 个，那么你的这个徽章徽字不好写啊，我写章字，好吧，投一下，懒，他不就是三十五减 m 吗？对不对？这就他的数量，你把这个先找出来，先表示出来，再来去看下面的问题， 单价我们已经求出来了，对不对？直接直接在下面用就可以了。若按方式一购买，方式一是先买会员卡，然后打八折，所以方式一的费用就应该是，哎， 方式一的费用是四十八，加上它的玩偶是 m 个单价是十五，那就是十五 m， 加上徽章是十二元，一个数量是三十五减 m， 这它总总价也就是原价，把它扩起来，再乘以零点八打八折，对吧？这个大家自己去化简一下啊。 那么方式二，方式二写上面，方式二是直接打九折，没有会员卡，那它就是原价，也就是原原来商品的总价， 再加上什么十二倍，括号三十五减 m， 整体给它干嘛？打一个九折乘以零点九，这就是方式二，大家自己去化简一下啊。那么这个方式一就是 化简结果是什么？方式一，四十八加它，那就三 m， 三 m 减三 m 加上，嗯，十二乘三十五，四百二，四百二，四百二乘零点八， 四八，三十二，三百四百二，四十八乘二百一十六，三百三百三十六，那就是三三 m， 二点四 m， 加上三十六加四十八，三百八十四。好，这个是方式一的 花费，花这么多钱，然后方式二直接打八折，直接打九折，那化简之后它就是三 m 乘以就是三二点七 m， 再加上 四百二乘零点九，四百二乘零点九，那个四百二，四九，三十六，二九十八，三百七十八，三百七十八。好，这个方式一方方式二花的钱算出来了，接着最后一个任务三， 他说在任务二的条件下购买玩偶的数量在什么范围内选择，方式一更划算，更划算就是他花的钱更少呗。那我直接给他列一个不等式就行了。方式一的钱少于方式二，那就是二点 二点四 m 加上三百八十四，写不下了啊，写下面 小于二点七 m 再加上三百七十八，把这个不等式解出来，再和我们上面这个 m 的 原始范围合并起来就可以了啊。因为 m 还要大于零小于三十五吗？对不对？那么这里解出来的是多少？ m 大 于六零点三六二十，对吧？ m 大 于二十，所以最后总的范围就是 m 大 于二十哎， 大于二十并且小于三十五，弦根数学轻松拿捏。

二零二六中考数学十六道压轴题，命中率百分之九十七，练完逆袭前三二次函数压轴题就考这十六道！提醒一，存在性问题。提醒二，最值问题。 提醒三，二次函数与圆。提醒四，二次函数与相似三角形。 提醒六，公共点问题八，取值范围问题，定制问题。完整电子版领取！

老师，这道题到底怎么做啊？别急，杜老师来教你。那么今天我们看一下平行线分线段成比例定义的综合应用。 在三角形 a、 b、 c 中， a、 e 是 角平分线， b 的是中线，它们相交于点， f、 b、 f 比 f、 d 等于三比一。让我们求出三角形 a、 b、 c 的 周长，这个里面还有一个已知条件。 首先我们来看一下三角形 a、 b、 f、 a、 d、 f 这两个三角形，它们是底，在同一条直线上，它们高是同高的，因为 s 三角形 a、 b、 f 比上 s 三角形 a、 d、 f 就 等于同高的。两个三角形的面积比就等于底。边长的比等于 b， f 比 f、 d 等于三。 一过 f 做 f， h 垂直于 a、 b、 f、 h 二垂直于 a、 c 垂足分别为 h 一、 h 二、 要因为 a、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 角平分线，所以 f、 h 等于 f、 h 二，我们再换一个角度来看，三角形 a、 b、 f 的 面积就等于 a、 b 是 底了，高是 f、 h 一 得一半。而三角形 a 的 f、 a、 d、 f 的 面积，我们把 a、 d 看成是底，那么高是 f、 h、 r 那 么的极等于一半。这样从这个角度来看，这两个三角形面积的话，它们是等高的。所以 s 三角形 a、 d、 f 比上 s 三角形 a、 d、 f 就 等于 ab 比 ab 也要等于三点一、 d 是 终点，不是 a、 b 为 x， 那 么 d、 c 也是 x， 这样我们就可以得到 a、 b 三、 x、 d、 e 怎么来表示呢？同学们看 d、 f 比 f、 b 一 比三。那么第二个步骤，我们可以过 d 做 bc 的 平行线构造八字形， 我们可以设 dm 为 a， 则因为平行平行线分线段成比例， dm 比上 b 一 就等于 d， f 比 f、 b 等于 b 三，由此可以推得 dm 是 a， 那 么 b 一 等于三个 dm 三 a， 且因为平行，所以 dm 比 ec 就 等于 ab 比 ac 一 比二，这样我们可以推得 ec 是 dm 的 两倍 m c， 那 么 ec， 那 么 ec 就是 ab 加 b 一 等于三倍的根号三， ab 是 三 x， b 是 三 x， b 是 三 a， 所以 三倍的 x 加三， a 等于三倍根号三，所以三角形 a b c 的 周长 就等于三 x 加五， a 加二， x 等于五， x 加五， a 等于五倍的 x 加 a 就 等于五倍。跟到三，记得点赞关注哦！

原来数学真的有捷径，最难的十个压轴题，每日一练，逆袭一百一十五加，冲进年级前十不是问题！中考数学压轴题，一道题就是十几分，直接决定孩子能不能进中高，但是千万不要乱刷题，必考的就这十种题型，每天吃透一道母题就够了！解析思路一通百通，考场直接套用，这下考试稳了！

哈喽，同学们好呃，再过几天就是三月二十六号，也就是我们蚌埠市赛前一市涿山同学的模拟考试，这次考试据说难度很大，那我们一起来看一看，这道题 能不能对你的测试有所帮助。这也是一道中考的压轴题。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 c、 d 的 中点，将正方形纸片折叠，点 b 落在 i 上， i b、 f 先将 e 折叠， 那点 b 落在 i 一 上，那点提出折痕为 i f， 若 i d 等于四，那也就是正方形的边长为四， 然后让我们去求 c f 的 长，求 c、 f 的 长，那我们如何去求 c、 f 的 长呢？在这里面，在这里面我们就要想到以下，那既然是折叠问题， 大家都知道这些问题往往出现在矩形和正方形中，只要有这些问题，那我们往往采用的方法是勾定或者是等边结合。 那我们看这道题怎么做呢？首先，一是 c、 d 的 后面好了，这么一个变长又是四，那我就可以得到 d 等于 c， e 等于二。 然后点 b 落在点上，那角 b 等于九十度，那这个角也是九十度， ab 是 四，那 ag 也是四，所以我们就可以得到 ab 等于 ag 也等于四。 让我们去求 c、 f 的 长，那我们就设 c f 的 长为 x， 那 b f 的 长就是四减 x， c f 的 长是 x， 那 b、 f 就 等于四减 x。 还有呢，在这里面我们可以得到 i d 是 四， d 是 二， i 一， 我们也可以求出来，那我们可以利用勾股定律， i 一 就等于更好，下 a、 d 的 平方加 d， 一 的平方十六加四，二十二倍更好。五 好了，那 i 一 是二倍，根号五， i 一 是四，那 g 一 等于多少呢？那 g 一 就是 i， 一 减 i， g 等于四减二倍，二倍根号，五减四。 好，这个 g e 也求出来了，那 c f 是 多少呢？ c f 是 b， f 是 四减 x， 有 折点可得，那这个 b f 是 等于 f g 的 好， f g 我 也可以得到等于 b f 四减 x。 这个题目当中所给的量我都找到了呢，那如何去求 c f 呢？今天要告诉大家一个性能， 一个直角三角形可以勾股定律建立方程。两个直角三角形也可以勾股定律建立方程。 大家可以看这是九十度，这也是九十度。这两个直角三角形刚好有共同点，这是直角三角形，这是直角三角形，它的共同点就是 e f， 那 也就是说 f g 的 平方加 g， e 的 平方等于 e， f 的 平方，也等于 e f 的 平方。 那也就是说两个社交在一起，也可以购物定力建立方式。两个 社交在一起，也可以利用购物定力建立方式。这就是我们今天要得到的 那两个直角等于共定力建立方程。但是它有一个条件，什么呢？这两个直角在一起，必须要有共公变，这样才可以共定力建立方程。好，那既然我们知道共定力建立方程了，那我就可以得到，四减 x 的 平方 加上根二倍根号。五减四的平方等于 e f 的 平方，又等于二个平方加 x 的 平方， 二个平方加 x 平方。所以解得 c f 就 等于 x， 就 等于六减二倍根号。好，六减二倍根号。 那也就是说这道题给我们带来的启发是什么呢？那就是在真理问题当中，我们要想到固定的建方程， 这是第一个，第二个我们要讲到什么呢？就是一个支教在一起可以共同建立阶梯方程，两个支教在一起也可以利用共同建立阶梯方程，但是必须要有什么呢？共同币。好，感谢，今天我们就讲到这，好让你家孩子看一下，记得点赞收藏。