六下数学 圆柱面积体积推导公式小报

大家好，今天我们来推导圆柱的体积公式，那么之前我们已经学过了圆的面积公式，而圆柱无非就是 圆拉高了高这么多的长度，我们由这个思路就知道，因为圆就知道圆柱的体积就是 底面积乘以高，这是底面积，就是这个圆的面积乘以高，所以就知道了 v 等于 s h， 那 s 就是 底面积，是圆的面积， s 等于 pi r 的 平方，就是圆的面积乘以 h， 所以 我们就知道了 v 等于 pi r 的 平方乘 h。 现在我们来做一道题，当底面积的半径等于三厘米，而高等于五厘米的时候，这个圆柱的体积是多少呢？

我们都知道六下第三单元有关圆柱和圆锥里面的公式非常非常多，那今天王老师这期视频啊，就来讲一讲这些公式都有哪些公式。 首先我们来看圆柱体，我们知道圆柱是由上下两个相同的底面加中间一个弯曲的侧面， 那么它的侧面积沿高展开以后是一个长方形，有的时候还可能是一个正方形，所以它的侧面积其实是由底面圆的中长乘圆柱体的高，所以 s 侧 就等于 c h， 这个 c 呢，我们还可以换成圆周率乘直径，也就是派 d h， 那 还可以换成二排二，所以侧面积啊还等于二排二 h， 这是有关圆柱体的侧面积的三个公式。 那么圆柱体的表面积表面积我们分为，当这个圆柱体有上下两个底面加中间一个侧面的时候，它的表面积公式有两个 s 表等于二派二 乘括号里的 h 加二分之 d。 那有的时候给的我们是只有一个底面和一个侧面，这个圆柱体它没有盖，所以这个时候我们叫底侧公式， 只有一个底面加一个侧面，所以底侧表面积是二派二乘括号里的 h 加二分之二对应的推导公式王老师以前的视频中你能找到，那么接下来就是圆柱体的体积公式。 我们知道圆柱体的体积是把它利用转化的思想把它转化成原来我们学过的长方体，利用长方体的体积公式，进而推导出圆柱体的体积公式。所以圆柱体的体积啊，也等于其底面积层高，所以 v 柱 等于 s h， 我 可以把这个底面积换成圆的面积，也就是 pi 二的平方 h。 如果给的是 d 和 h， 我 还可以把这个 r 呢换成二分之 d 扩起来的平方 h。 如果给的是底面圆的周长和高，我们还可以把 这个 r 呢换成 c 除以 pi 除以二，扩起来平方乘 h。 那 么圆锥体， 我们知道圆锥啊，它是只有一个底面圆和上面展开以后是一个扇形，一般在小学阶段不研究它的表面积，但是我们重点是放在它的体积上，那圆锥体的体积为锥， 我们知道等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的三分之一，所以为锥啊，就等于三分之一的 v 柱，那 v 柱呢，又等于来它的体积等于 s h pi r pi h 所以 那么圆锥体的体积也就是三分之一的 s h。 底面积乘高等于三分之一的派，二的平方 h 等于三分之一的派，括号里的二分之 d 括起了平方 h 啊，等于三分之一的派，括号里的 c 除以派除以二，括起了平方 h。 那 对王老师所讲的这些公式，你记住了吗？关注王老师，让数学变得 so easy！

现在大家已经学到了第三单元，关于圆柱体和圆锥这一块，很多孩子对这一块不是很理解，那么今天王老师就用实物来给大家做演示，圆柱体它是由三个面组成的， 分别是由上下两个完全相同的，底面是圆，侧面是一个弯曲的面。我呢现在把这个圆柱体沿高给它剪开，展开之后大家来观察它就是一个长方形，当然还可能是正方形。通过观察我们发现 长方形的这个长刚好是圆柱体底面圆的周长，长方形的宽刚好是圆柱体的高。那么这样我们求圆柱体的侧面积公式立马就出来了，就等于底面圆的周长 乘高，所以 s 侧就等于 c h 啊，等于派 d h 等于二派二 h， 这是关于它的侧面积啊，包括他们的表面积。 那么接下来王老师啊来演示我们如何把这个圆柱体给它转化成长方形，通过长方形的体积进而推到圆柱的体积，那么现在大家看到的是圆柱。接下来王老师来给大家做演示， 大家来观察，刚才是一个圆柱体，现在我把这个圆柱体转化成了我们以前学过的长方体，转化前后，圆柱体的底面积就变成了长方形的底面积，圆柱体的高就变成了长方形的高， 所以根据体积不变，那么我们得到了圆柱体的体积也等于底面积乘高。大家发现啊，通过演示，你说一万遍，不如让孩子演示这一遍，效果可能将记一辈子。

今天我们把圆柱体积推导过程的知识考点进行归类总结，建议家长把这些知识点收藏起来。我们来看一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积， 体积单位有大到小是立方厘米，立方厘米， 这是第一小题，那么第二小题，把圆柱的底面分成相等的扇形，把圆柱切开拼起来，得到一个近似的。我们看把圆柱哎分成相等的扇形，拼起来，得到一个近似的长方体。 我们观察上面有圆柱体到长方体，这一个转化的过程中，我们知道物体的形状发生了改变，有圆柱体到长方体，但是物体的体积没有发生改变。 我们在观察，在这个转化的过程中，长方形的底面积就等于圆柱的底面积，长方形的高就等于圆柱的高。但是在这个转化的过程中，长方形的表面积增加了，增加的就是左右这两个侧面积， 左右这两个侧面积是增加的，表面积 增加的两个面积是长方形。我们通过观察图形，每个长方形这个长，它就是这个圆柱的高 h， 那 么这个长方形的宽就是圆柱的底面半径 r， 这时有圆柱体到长方体的转化过程。那么我们看第三小题，从圆柱到长方体形状变了，但是体积没有发生改变，因此长方体的体积就等于圆柱的体积， 长方体的高就等于圆柱的高，长方形的底面积就等于圆柱的底面积， 但是长方体的表面积增加了，增加了左右两个侧面积，每个侧面积的长，那就是圆柱的高。 h， 长方形的宽就是圆柱底面的半径 r， 通过这样的转化思想可以得到，圆柱的体积就等于底面积乘以高。 如果用字母表示圆柱的体积，那么 v 就 等于 s h， 这是圆柱体积推的过程比考的考点。

如果你知道长方体的体积是长成宽成高，那么你一定知道圆柱的。

六下数学最难的圆柱的体积，就这十三大题型练完稳进班级前三，可打印六下数学必备公式，圆柱与圆锥圆锥体积的计算圆柱体积的计算圆柱的侧面积的计算圆柱的表面积计算。六下圆柱体积十三大题型题型一，圆柱体积推倒题型二，水滚 梯形三、铁皮为最大圆柱梯形四、底面积乘高梯形五、展开图梯形六，圆柱体积的实际应用梯形七、圆滚梯形八、等级变形梯形九、排水法梯形十，瓶子倒置梯形十一、斜截圆柱梯形十二、胶带梯形十三、切圆柱以上均有电子版。

六下数学最难的圆柱的表面积和体积死磕这十四大必考题型，考试轻松当学霸！六下数学圆柱的表面积和体积十四大必考应用题一，表面积六大题型类型一，求圆柱的一个底面和一个侧面的面积之合 求圆柱的表面积两个底面和一个侧面。类型三，只求圆柱的侧面积。类型四，求表面积的一半切割问题综合类问题 体积八大题型圆柱的体积与分数乘除法解决问题相结合。类型二，用展开图求体积。类型三，转化图形求体积。 类型四，不规则图形的体积。类型五，等级变形类型六，先求圆柱体积再解决问题。类型七，容积问题型八，圆柱切削求体积应给孩子针对性练习，小升初考试稳提分。以上均有电子版。

圆柱体积有两种推导方法，先看第一种，用无数个小圆片重叠 就形成了一个有高度的圆柱体，那么它的体积就等于一个圆的面积乘小圆片的数量，而这个数量就相当于圆柱的高度，所以圆柱的体积等于圆的面积乘高，也就是派二的平方乘 h。 再来看第二种推导方法， 方法二跟圆面积推导过程类似，将圆柱转化为长方体。别眨眼，精彩动画来了！ 长方体的长等于圆周长的一半，也就是派二，宽就是圆的半径，二高就是圆柱的高 h， 所以圆柱体积就等于长方体体积，也就是长乘宽乘高，即派二乘二乘 h。 再化简一下，就得到派二平方乘 h。 这就是圆柱的体积，你学会了吗？学会了，赶紧把这个知识运用到各种题中去吧！

有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

六下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完，开学稳进前三，可打印六下圆柱圆锥必备公式汇总，圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长成高圆柱的表面积等于侧面积。加两个底面积，圆柱的体积等于底面积，成高圆锥的体积等于三分之一乘底面积成高 圆锥体积计算公式圆柱体积计算公式圆柱侧面积计算公式圆柱表面积计算公式圆柱和圆锥必考题型，圆柱和圆锥的体积和表面积铁皮制作圆柱体，圆柱的切割圆锥的体积和表面积圆柱的体积和表面积以上均有电子版。

同学们好呀，今天咱们来聊聊怎么推导出圆柱的体积公式，其实一点都不难，跟着我一起思考就好了。大家还记得长方体的体积公式吗？对了，就是长乘宽乘高，也可以说成是底面积乘高， 这个公式咱们先记在心里。现在想象一下，我们有一个圆柱体，比如一个罐头或者一个柱子，如果我们把这个圆柱体切成很多很多非常非常薄的小薄片，就像把一根黄瓜切成无数片很薄的圆片一样， 每一片虽然很薄，但他还是一个圆柱体，不过因为太薄了，我们可以近似的把他看作是一个非常薄的圆盘，就像一张圆形的纸片。 那如果我们把这些圆形的小薄片一片一片的叠起来，是不是又能重新组成原来的圆柱体呢？现在关键来了，如果我们把这些圆形薄片想象成是一个一个非常非常小的长方体，可能有同学会问， 圆形怎么能变成长方形呢？其实啊，我们可以把一个圆分成很多很多个小扇形，就像切披萨一样，切成很多小块，然后把这些小扇形巧妙的拼在一起，是不是就能拼成一个近字的长方形呢？ 这个长方形的长大概就是圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以圆的面积公式 pi 平方就是这么来的，这个大家应该还记得吧。 好，那我们把每一个薄圆盘都这样近似看成一个底面积是 pi r 平方高非常非常小的长方体。那这么多小长方体叠在一起，总的体积不就是所有小长方体体积的总和吗？ 每个小长方体的体积是底面积乘高，那所有小长方体的体积加起来，底面积都是 pi r 平方高，加起来就是原来圆柱体的高 h 了，所以总的体积就是 pi r 平方乘 h， 也就是底面积乘高。 你看这样一想，圆柱的体积公式是不是就和长方体的体积公式联系起来了？都是底面积乘高，只不过圆柱的底面积是个圆形而已。 其实数学里很多知识都是相通的，用我们熟悉的东西去理解新的知识就会简单很多。那大家现在明白圆柱体积公式是怎么来的了吗？或者你们还有什么更巧妙的理解方法？欢迎在评论区分享哦！

六、下数学最难的圆柱的体积就考这九个题型，练完你就是黑马！圆柱的体积必考九类题型考点一，圆柱拼长方体考点二，基础圆柱体积公式 考点三， r h s 底微倍数关系考点四，圆柱沿底面积横切考点五，圆柱沿直径竖切考点六，圆柱高增加减少考点七，水平倒置和倒水 考点八，正方体削最大圆柱考点九，圆柱和长方体的榫柱电子版可分享！

圆柱圆锥八合一演示套装六年级专用教具。针对第三单元难点，配置了面洞成体系凉糕器圆柱体积演示器 圆柱表面积展开图。圆柱体积演示器圆锥表面积展开图。知识点一，创新设计面动成体系快速转动小棒，学习圆柱圆锥知识。知识点二，推导出圆柱体积的公式。知识点三， 推导出圆柱的表面积公式。知识点四，用量高器快速测量圆柱圆锥的高。知识点五， 推导出圆锥体的表面积公式。知识点六，通过具体实验推导出圆锥的体积公式码。看视频学习更多知识！圆柱圆锥八合一演示套装六年级专用教具。

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同学们，今天的每日一题呢，是基于圆柱的体积公式的推导过程。我们在课上研究圆柱的体积公式的时候呢，带领大家操作，也动画演示过，我们当时呢，是将一个圆柱转化成了一个近似的长方体， 从而推出了圆柱的体积，通过观察转化前后的圆柱与长方体的变 与不变，而推导出了圆柱的体积公式。我们先来回顾一下当时的推导过程吧，大家请看这里呢，有一个圆柱，这个圆柱我们先把它十六等分，现在呢，我们把这个圆柱交叉展开， 展开以后呢，我们再把它拼成一个长方形，大家请看现在这个圆柱，由于转化前后的圆柱和长方体的体积是一样的， 而长方体的长刚好就等于圆柱的底面周长的一半，用字母表示就是 pi r， 长方体的高就是原来圆柱的高， 而长方体的宽呢，它是圆柱的底面半径，因为长方体的体积等于长乘宽 再乘高，所以圆柱的体积公式就等于派 r 的 平方 h。 这是我们上课的圆柱体积的推导过程。而今天的每日一题呀，我们在这个长方体的基础上，再把它进行一个翻转， 大家请看他现在就成了这个样子。第一题，观察上图，我们发现翻转后的长方体的底面积等于圆柱的什么呢？ 同学们，回顾我们刚刚拼成长方形的过程，大家请看现在，现在红笔涂出来的这一部分，大家可以清楚的看到，它就等于圆柱侧面积的一半， 而现在长方体的高大家可以看到是这里，这里呢，它刚好就是圆柱的底面半径， 大家请看这个翻转过来的长方体，长方体的体积呢，就等于底面积乘高，所以呢，它就等于侧面积的一半再乘高 r， 所以 啊，圆柱的体积还等于侧面积的一半乘底面半径呢。 现在用我们的发现来解决一下下面的问题吧，告诉了我们圆柱的侧面积和半径 要求它的体积。我相信如果没有刚刚的分析，很多同学会这么去做，他看到侧面积是八十平方分米，他就会想到二 pi r h 是 八十， 又根据半径是五，然后呢，先求出来圆柱的高，再通过 pi r 的 平方 h 求出来它的体积。而经过我们刚刚的分析，大家知道了，圆柱的体积还可以通过侧面积的一半乘底面半径直接求得。 所以这道题我们可以直接用八十乘五除以二求得是二百立方分，而不需要再通过测面积求出来 h， 再用原来的 pi r 的 平方 h 去计算了。所以同学们，任何时候我们换一个角度，就可能让事情变得简单。 这道题我们一旦把这个长方体翻转一下，我们就得到了另外一个求圆柱体积的公式。当呢，遇到已知条件中有侧面积有半径的时候，我们就不需要再翻回去重新求高，而是可以直接用侧面积乘半径来计算啦。 所以我们求圆柱的体积啊，可不一定要知道高哦。学们转化思想让我们的数学变得有趣又简单， 应用公式的时候，我们同样可以灵活的去转化，去翻转，从而从另外一种角度理解圆柱体积的推导过程， 这样在某些已知条件中就能很快的得到应用。希望大家都能把转化的数学思想牢牢的刻在你的脑海里，遇到题目的时候灵活变通。以上就是今天这道题的讲解啦，我们明天再见！