阿氏圆几何画板工具

头条号初中数学院老梁教大家做动画，大家看这 这道题是阿，资源问题啊。做读的方法是，先点点的工具，点出一个圆心，这个点凹，选中点凹点 变换平移，向上平移或者呢向右平移都可以， 比如现代向零度线平移一厘米。选中这两个点点构造射线，再选这 射线的状态下点构造射线上的这个自由点， 然后把射线和平移的那个点隐藏，选中这两点 点点构造线段，那这样点臂就可以自由拖动了，点勾也可以自由移动，移动点勾整个独行的跟着移动，拖动点臂 可以呢，改变半径的大小啊，咱们用按照比例来画的。然后双击点勾，选中欧币点变换旋转， 旋转九十度，就得这个点点 a 了，这里 a b， 选中点欧和点 b， 再点构造以圆心和圆周上的点会会圆，就得 r 字圆， 这个圆珠来了。选中 on 点构造终点， 那么这个点塞就构造出来了。选中圆针点，构造圆上的点， 这个动点屁就做出来了，顺便选中点屁，就点了编辑操作类按钮动画，然后点确定， 这时候这个按钮动画点屁，这个按钮都做出来了，然后是然后欧 d 是等于呢十， ob 是十二，所以呢，就把点 b 向点凹压缩就可以了，压缩比呢，就是十二分之十，先双击点凹作为缩放，缩放笔，选中 点闭点变换缩放，然后把缩放笔改为十二分之十， 这时候啊，这个收放点必必撇， 就是图中的点地了。然后选中点屁和点腮 和点 d， 选中三个点点构造线段，就得三条线段出来了，然后把这个 cd 把它删掉，这样就可以做出这个动画的效果了。 老师们学会了吗？想学学画板课件制作更高级的案例的老师可以到头条号初中数学卷 啊结合画板培训专栏数学案例与结合画板课件制作技术那里去学习。谢谢大家的支持，再见。

咱们先来学习制作一道最值问题的几何画板动画。 正方形。怎么做呢？我不直接用工具，如果小白老师啊，那你跟我从零基础开始做，看看会不会。 就是你先要点点工具啊，点出一个点距。 当然，如果是在一个页面，第一次点它就是 a。 对，先前已经画了图，用过了点 a 了，所以它不一定是 a。 这时候双击标签，把它改为 a。 这个图 呢，它可以拖动点 a， 可以任意点移。如果主要拖动点 b， 但是可以放大或者缩小的。 选重点 a 点，并换平移， 用极坐标，嗯，向零度线平于一厘米。然后选中 a a 品点，构成射线。先做一条射线， 把这个点 a、 p 隐藏设限的大小。咱们就可以通过选中设限点显示菜单下面 线形。这里可以要细一点啊，这个点哎，点形也稍微呢细一点。先画一条色线， 然后点点工具，在这条射线上点出另外的一个点。 然后呢，这个点 a 值可以双击标签，弹出对话框，改为点 b。 这一次呢，把点 b 绕点 a 旋转九十度，就得点 d 了。 然后再把点 a 让点 d 转转，就得点 c。 那转转怎么做呢？只要鼠标 双击这个点，选中点闭点，变换旋转。然后呢，又双击这个 b 一撇。 在选中点 a， 点变换旋转九十度。选中点 a， 点 b， 点 a 平点 b 平 点，编辑点，显示点的标签确定。把它批量修改为 a、 b、 c、 d。 再点构章线段。嗯，就可以做出这正方形 这一只。这个色线可以隐藏隐藏掉。咱们的图形是按照比例来画的，因为边长呢，是四，那这个圆半径是二。 所以咱们就选中线段 ad 构造终点啊，终点，终点呢，这个点点按 他代表的就是二， a， m 是二。这时候呢，以 a 为圆心，以 m， a， m 为半径，再画一个圆。怎么做呢？ 用鼠标选中点 a 和点 a 点构造，以圆心和 圆周上的点做圆，就可以把这个圆圆哎做出来了。然后呢，选中圆周点构造菜单圆上的点得到圆上的一个动点。 然后呢，双击这个标签键，修改成所谓的顶配。 这一次呢，选中点 p 点编辑操作类按钮，动画按钮 就可以做一个呢，点屁的个运动的这个按钮，这个按钮你点他又停，再点他又走了， 这个 a p 可以把它连起来。 还有呢， p c 选中也要零。这个 p b 选中两点构造线端。 然后呢，这个半径和圆可以设为虚线， 云可以要直线，因为椅子有。 那这样呢，就可以做出啊这个问题的一个动画。 然后咱们就可以立 用这个动画来研究这个问题啊，最大值是多少？很显然，这是所谓的阿志云问题。想学点画板动画制作技术的老师啊， 可以关注咱这个号，订购咱这个号的几何画板培训的精品专栏。 这个专栏的名称叫做数学案例集结画板动画制作技术。感谢大家的支持，再见！

注意了，家长们， r 式圆问题是初中几何的重难点，也是考试的必考考点，同时还是丢分的重灾区，我们今天一起来学习一下，争取在考试当中遇到你可以轻松拿捏。已知在等腰直角三角形 abc 中， ab 等于 bc 等于四，我们把它标一下圆 b 的 半径为二， 圆 b 的 半径为二点， p 为这个圆上的一个洞点，它绕着这个圆呢，不停地转动，求 pa 加二分之一 pc 的 最小值。 我们解决这类 r 数圆问题是有我们的标准步骤的，第一步就是利用这个系数来构造相似三角形，利用系数第二步就是利用两点之间线段最短，画折为直。 第三步就是利用勾股定律求出它的最值。不熟悉的同学啊，这里就把它收藏保存一下，我们可以看到这个圆的直径二和这个三角形的直角边呢？四是成一个一比二的关系，那么我们怎么样再来构造一个一比二的关系呢？ 如果我们在这个半径上找一个中点，我们把它跟 p 连起来的话，那我们看看他能不能证明这个小三角形和大三角形相似。我们来试一下，既然这里为中点，那这边的尺寸就为一，这边的尺寸也为一，而这个角呢，就是一个公共角，我们定义为阿法， 这个中点我们把它定义为 d。 到了这里啊，我们可以发现，小三角形的 b、 d 如果比上我们大三角形的 b、 p 这条边的话，这两条边之间的比是不是一比二？ 还有我们小三角形 b p 这条边，如果比上我们这个大三角形 b、 c 这条边的话，它也是一比二，我们来把它写一下，那就是 b、 p 比上 bc 也等于二比四，那就是一比二， 再加上我们的公共角阿法组成的边角边，这样就可以证明出我们三角形 b、 p、 d 和我们三角形 b、 c、 p 呢，是一组相似三角形，我们把它写一下，那就是三角形 b、 p、 d 相似于三角形 b、 c、 p， 它们用到的定律就是 s、 a、 s， 正因为有了这种相似，所以我们就可以得到我们的 p、 d， 如果比上我们的 pc 的 话，也是一比二的一个比例，从而我们的目标是二分之一的 pc 呢，就等于我们的 pd， 这样我们的目标是 pa 加二分之一的 pc 就 变成了是 pa， 加上 pd 的 最小值，那 pa 就是 我们的这一段，而 pd 就是 我们这一段。 这样我们要求的目标是就转换成了求我们这两条蓝线的最短，而这两条蓝线呢，就是由 p、 d 加 pa 组成的，这个时候 怎么样才能让它最短呢？我们又知道两点之间是线段最短，所以我们把两点之间 连起来，连起来之后我们就到了第三步，利用我们的勾股定律来来求它的对值。在三角形 a、 b、 d 当中已知的两条边的长度来求第三条边的长度，是不是非常简单，那就是四的平方加上一的平方，把它开一个根号，就是我们要求的 a、 d 的 值， 那 ad 是 不是就等于四四十六，就根号十七，所以根号十七呢，就是我们 pa 加二分之一 pc 的 最小值，你学会了吗？

好，大家好。呃，最近刷到一位老师在讲阿诗园，热度还挺高的，评论区和私信有很多人要他的课间， 我也是去仔细看了他的课间。嗯，我发现其实还有些问题的，他反复强调自己的方法更接近阿诗园的本质和来源，也就是他认为他对数学这个本质 认识是更透彻的。但是光从子母型相似来说，还有阿诗园，我认为这个方法是本末倒置的，他是开逻辑的倒车。 但是当我向他提出更高观点的建议时，嗯，我也受到很多抨击。有人说我脱离了学生的视角，但实际上来说，我就是一名初三的学生，我认为这样就是我的思路是更贴近我们的思考的。嗯，也有人说我的想法是空中楼阁， 是脱离教学的。嗯，呃，这个老师把我屏蔽掉了。今天不争论谁对谁错，我只想用数学来解释子母型相似为什么是开逻辑的倒车，也就是它为什么是倒着走呢？以及阿诗源真正的本质是什么。 我从解析法和几何法两个方面来表述，最后把两个方面结合起来，相互印证，去解释数学内在的结构，内在的美。如果你听完觉得还是他比较对的话，可以在评论区留言。 首先，我们不从数学角度来讲，就从历史的逻辑来讲，阿施圆顾名思义是阿布罗尼斯得出来的一个圆，那么这个阿布罗尼斯是在什么时候提出来的？他在写这本圆锥曲线论的时候发现这个阿施圆，并把它命名为阿施圆吗？但是他在用的时候， 他没有用子母型相似去证，也就是说明什么？说明这个子母型相似并不是阿施元的本质。你想那么伟大数学家他都想不出来子母型相似，何况我们学生呢？我们学生难道就能想出来 这种更接近本质的吗？所以说嘛，他并不是本质。那么他在圆锥曲线论中是怎么描述这个 r 是 圆的呢？在直线上有一点 a， 有 一点 b， 这个图已经画好了。嗯，然后有一动点 p， 对 于所有 p 点，它满足 p a 比 p b 等于一个常数，这常数我们用拉姆达来表示。 好，现在我们站在历史的角度来讲，就是他当年是怎么去证明这个屁的轨迹是圆的。呃，我们先用解析法 令点 a 负 c 多少零，点 bc 多少零，然后我们根据这个关系式就可以得到 是点 p 的 坐标为 ps 轴号 y。 好， 这边其实是带根号的，我们直接左右同时平方，就把这个计算给省掉了。然后我们移一下相 好，到这一步之后，我们就可以直接把这个二次项给提出来，去观察一下这个，这二次项系数是一，这是一，这是拉姆达方，这是拉姆达方。其实到这一步的时候，我们就能观察出来什么，嗯，它会出现一个 lamb 的 方减一，然后乘以一个二次项的形式，它会出现这样一个形式，其实到这里就已经能解释它的轨迹是个圆了，但是呢，嗯，可能说这样不太严谨吧。那 展开之后可以得到 x 方减蓝的方， x 方加 y 方减蓝的方， y 方加二 t， 嗯，用 c 吧，二 c x 加 c 方减蓝的方， c 方减二朗的方 c x 等于零，然后下面整理，我就直接口算，这也是非常明晰啊。一减朗的方 x 方加二 c， 朗的方加一 x 加一，减朗的方 y 方减朗的方 c。 好，到这一步其实就已经能看出来了，这是个圆的标准方程，其实不是很标准，但它就是圆方程。 然后呢？根据这个二次项吗？那么大方减一，还有一减那么大方，我们可以得出来什么，就是 当前仅当拉姆打方不等于一的时候，它轨迹是个圆，那么拉姆打方等于一的时候，拉姆打也等于一，或者等于负一，但是负一在几何里边其实不成立啊，所以我们就只考虑这个一，那我们观察一下它等于一的时候是什么情况？它等于一的时候，相当于是在这条线的中垂线上，它就是一条直线，然后此外其他情况都是 这个圆。所以从初中角度来看，我们不妨取两个特殊点， 在这里取点 p 一， 在外取点 p 二，根据它的定义，那么 a p 一 比 b p 一， 就等于朗的还等于 a p 二比 b p 二。其实这时候学过那个角平分线定理的时，就可以观察到它，这个其实就是角平分线吗？ 好，这是探路的过程，也就是说我为何想到了角平分线，这是通过两个特殊点的寻找来确定，确定我们要做一个角平分线，好，一条两条，这，这有点歪了。 好，现在我们标下角，阿尔法阿尔法贝塔贝塔， 那么二阿尔法加二贝塔等于一百八十度，我们可以知道阿尔法加贝塔是九十度，这要是九十度之后，我们根据定角对定弦的话，我们现在可以猜这个 p 的 轨迹可能是个圆，为什么不可能是圆？也就是说我们现在就要证明 p 一 和 p 二它到底能不能定下来，那么实际情况是不是能定下来了？我们把刚才的关系式再写出来，也就是 呃，这个点 p 的 前提条件，而且它同时也是角平分线定律推出来的一些东西，就是 a p 一 比 b p 一 等于 a p 二比 b p 二等于 a p 比 b p 等于啷门的。 好到这里就我们可以看出来， a p 一 比 b p 一 是定值，然后 ab 又是定值，所以我们可以求出来这个点 p 的 坐标，那么我们就不求坐标，通过长度吧。 a p 一 它等于什么？等于拉姆加一分之拉姆乘以 ab， 这很容易看出来吧。然后 a p 二比 b p 二，现在它有个重叠部分，所以我们就用 呃，类似几何中的割补法。 a p 二等于什么？ a p 二等于 a b 加 b p 二，然后我们就可以转化成 a b 加 b p 二比上 b p 二， 然后就可以得到它是等于 b p 二分之 a b 加一等于 lamb 的， 然后我们就可以得到 b p 二等于 a b 比上 lamb 的 减一。 好，那 b p 二也定了点 b 是 定点，点 a 是 定点，拉姆达是常数，那么 p 一 p 二都是可解的，都是可解。因为什么 p 一 p 二是个定弦，然后定弦对定角，那么点 p 的 轨迹实际上就是以 p 一 p 二为直径的一个圆。 当然这里可能有些不严谨，也就是说你怎么保证它这个圆上所有点都满足这个式子，也就是你怎么保证它这个圆上所有点都等于拉姆达？那么现在我们就需要用到字母形相似去正，嗯， 也不能说子母型相似吧？就是说这里他会出现一个相似，那出现这个相似呢？恰恰好是他说的那种子母型相似的结构。这里提供两种寻找相似的方法。我们先把圆心标出来吧，然后点给它换个名字， 防止混淆吗？换成 c， 这个换成的， 就我们通过观察不难发现，就是这个三角形 p o b 和三角形，呃， a o a o p 是 相似的，这，这里提供两种证明思路。第一种是比较简单的，就是我们先倒角嘛。 好，这是纯几何的方法。设这个角是 beta， 这个角是 alpha， 这不是角平面吗？这也是 alpha， 然后这个 o p 等于 o c， 这不是圆的性质吗？半径相等，这是 alpha 加 beta， 就是 一百八十度减 alpha 减 beta， 所以 这是 beta 等角，等角，等角，等角还有比例，那么相似就出来了。好，这是第一种方法。第二种方法呢，我们用这个乘比例线段， 也就是 a p 比 b， p 等于 a， c 比 b， c 等于 a， d 比 b d， 然后可以推出来 这个 a c 加 a， d 比上 b， c 加 b， d 等于 a， d 减 a， c 等于 b， d 减 bc。 对拉姆达好，这样也能推出来相似。推出来相似之后，我们就可以得到它这个一直是呈这个拉姆达这个定，这个比值一直是拉姆达这个定值的，所以说我们推导出来这个轨迹是成立的。 好，那现在相当于就是几何和代数，它就交叉了。交叉什么呢？就是从几何的角度上，它必然会出现一个圆，从几何证明上，我们也证明出来它已它出现了这个圆。嗯，当然还有 就是更加吻合的，就这个点 c 的 坐标，点 o 的 坐标，点 d 的 坐标，它求出来和代数法求出来一样的，只不过代数法很繁琐，所以这里就不带着大家算了。 到这里呢，就是说那个子母型相似，我们现在就用这个找出来相似去推结论。 当然这是几何方法，用代数方法也是可以推结论的，但代数方法相对比较繁琐，所以这就直接用相似的来推结论了。然后我们把这相似笔都写出来， 什么 p o b a o 等于 o b 比 o p 等于这个 p b 比 ap， 这什么这什么？这不都是半径吗？然后把它换掉，而比 a o 等于 o b b r 等于 p b 比 ad 好，这不是 a d 啊， a p。 我 写字比较抽象，然后现在我们可以推出来一个结论啊，两个结论就是 r 的 平方就等于 a o 乘 b o 啊，看这里嘛，然后它又等于 lamb 的。 那么 lm 的 平方等于什么？ lm 的 平方等于 p p o 乘 a o， 这 p p o 乘 a o， 不是 p o 比 a o 乘以 o b 比 o p 啊，这俩相乘吗？它不相当于 lm 的 平方吗？因为这个等于 lm 的， 所以我们现在又可以推出来另一个结论， 嗯，朗姆大方，等于 a o 乘 b o。 哦，不，是 a o 比 b o。 不好意思，朗姆大方等于 a o 比 b o 好， 然后这个朗姆大给它换一下，它就等于 pa 比 pb 嘛，这就很明显了。 好到这一步呢，其实已经能发现一些端倪了。于是阿式圆，它有什么要素呢？ a o， b o， l， d r。 然后我们仔细分析一下这四个要素，假如说给定这两个相当于什么？给了 a 点和 b 点，还有圆心，哦，这是 b o。 哈， 然后我们可以求助 r 和 lamb 的。 呃，放到这个老师的题里面的话，就是这道题只给了这里是 lamb 的， 然后给了 c d， 然后说实话，他这个思路我是看不懂的，就是他截取了一点 e， 然后根据他的字母形相似， 这个什么 p e 比 c e 就 等于 c d 比 c p 等于二，这是多少？二比一，然后得出这个 c e 是 一，但这里有一个问题啊，假如说这个圆的半径不是二呢？ 这个题的条件是正方形，求这个最小值，假如说它不是二呢？把它变小一点， 假如说它不是二，那这个题的话，它的那么大平方就不满足这个 c e 比上 e d， 那。 那也许有人说，这个题如果它半径不是二的话，那这题就出错了。也就说这老师讲思路，只要做题就是对的。但是如果只是为了去做题，那它还接近本质吗？它不就相当于一种硬式工具吗？ 而且这种方法做题也不是一定对吧。我给大家出一道题，这个题就是相当于在 y 等于根号三这条直线上运动， 然后我们连接 po 和 pa， 求 po 比 pa 的 最大值。嗯， 好，我们回到它子母型相似，这什么也没有，你怎么用？子母型相似显然就用不了呢， 所以还要回归 r 十元的本质，与直线上两定点连接的线段的比值为定值的点的集合，它构成了个圆。注意，是集合， 为什么要强调这个集合呢？我们不难发现，这个 p o 比 pa， 它是不是也是一个比值的形式？也就是对于每一个 p o 比 pa， 它都有一个 p 的 集合，也就是它都有一个 这个 p 的 轨迹，也就是 p 的 圆在这里。但是我们又对 p 进行了个约束，也就是什么 p 的 外坐标，它是等于根号三的。那我现在就可以把问题转化成什么，还是从定义，从本质出发，而不是从子母型相似出发。也就是说这个圆的前提条件是什么？是它一定要和这条直线有交点， 而且是什么是相切？为什么是相切？我们画一个圆，哦，这画成椭圆了， 我画一个圆之后呢？我还是有点难看，我们不妨就是一直放大它发现什么，发现只有它相切的时候是最特殊的那一下。而且这个题让我们求最大值，而不是最小值。说明什么？说明他们的边界条件是重合的。那你说子母型相似是做题？好，那我也用做题的思路去 去说，去去去解题吗？他们两个的边界条件是重合的，因为这个圆可以无限大，他可以相交，但是他只有一次是相切的，这个最大值也只出现了一次，说明什么？说明这个题如果有解，那么他们的边界条件是重合的。如果边界条件是重合的话，我们就可以直接草出来，让这个 圆和它相切。相切之后呢，我们根据这个是吧？那么方等于 a o b o， 这个 r 是 可以得到的，当它相切时候就是根号三 好，根号三的平方是三，然后我们可以得出 b， 所以 这个题的答案就是根号三。 那么怎么严谨的去推导呢？我们把这里擦一下，把这个图留下来。 首先我们对这个式子进行一些变形，这才是从本质去出发。 这个 p o 比 pa 的 平方等于什么？我们假设一点 m 吧，这里吧，嗯， m o 比 am。 好， 我们现在把这个比值给表示出来了， 也就是说这个比值拉姆的平方等于 m o 比 am， 然后我们再对它进行一些变形， o 等于 a o 加 am 比上 am， 它就等于一加 am 分 之 a o。 然后我们又知道这个 a o 是 定值，所以当 am 越大的时候， 这个拉姆达方是减小的，拉姆达也是减小的，也就是说当圆心距它越远，那么这个拉姆达就越小，所以我们要让这个圆心离 a 尽可能的近。但是呢，我们又发现，当它尽可能近的时候，这个 r 要满足什么？ r 的 平方等于 am 乘 o m o a 啊，不是 o m， 就是 当 am 下降的时候，这个 r 方也会下降。所以说当 am 越大，那么大越小， am 越大， r 越大，但是此时 lambada 就 会变小，也就是 r 越大， lambada 越小。所以说我们就要取 r 最小的时候， lambada 最大，而且又要保证它们是有交集的，也就是这个题是有解的。所以说 r 取最小的时候是什么？那么不就是相切吗？ 所以它半径是刚好三。然后现在不管是采用代数手段来来算也好，那都是可以算出答案的。 但是呢，这个题可以用子母形相似做吗？不可以。而且什么子母形相似，它是阿式圆推导出来的，就是出后来才出现一个几何结构。 这个子母形相似，它是由阿式圆定义推到后面的。你说这个子母形相似只是用来验证阿式圆的工具，我们在这里也用到了，也就证明 p a 和 p b 它是一直成一个定值。在这个圆上运动时，我们是用子母形相似去验证它的结论，而不是作为一个推导工具。 如果用它进行推导，那不就是本末倒置了吗？我们可以类比一下。大家都知道海伦公式， 海伦公式是什么？推的海伦公式肯定是通过二分之一底程高来推的，但是我现在说我用海伦公式也能推到二分之一底程高，那么我现在操作一下， s 等于根号下 p， p 减 a， p 减 b， p 减 c， 然后令 p 等于二分之 a 加 b 加 c， 然后我们将 p 代入之后， 把这个二分之一 a 提出来，二分之一 a 乘以根号下 b 方减二 a， a 方加 b 方减 c 方平方。然后呢，我们这个 通过这个余弦定理口算 c 等于二 ab， a 方加 b 方减 c 方。 所以我们可以推出来什么这个根号下的式子，它实际上 b 乘以三 c 好， 这个推这个计算过程不给大家呈现了。然后 b 三 c 正是以 a 为底的高 h a， 那 么什么二分之一 a 乘以 b 乘以 h a 好，这是通过海伦公式推导二分之一底层高？很荒谬吧？但是他从逻辑上是对的，为什么？因为数学他每一个条件都相当于一个元素，一个集合中的元素，这些元素他通过某些操作，他一定可以产生其他的元素。 这就像那个用通俗易懂话就是充分必要条件，他们可以互相推导。也就是说阿士元的定义能推出来这个子母型相似，子母型相似也能推出来阿士元，但是你能说子母型相似就是阿士元定义吗？显然它是荒谬的。这不就是最好的例子吗？ 啊？哪哪个神经？但用这个海伦公式去推二分之一提成高，那网上还有更荒诞的，用微积分来证明一加一等于二。那当然可以啊， 是吧？他在数学上是对的，但是他一定本质吗？他不本质，反而他这种思路是空中楼阁的。如果你说做题的话，他当然快，但是那你深究其本质，他不快。 嗯，他是偏离数学本质的，只能说是一种方法。但是你说他是数学本质，那就错了吧。好，就这些。

阿士元碰到系数小于一是不是直接蒙圈？两定点在员外，咋取点咋构造相似咋消系数全靠猜算到最后全错！今天精准破解阿士元核心题型，两定点在员外，教你向内取点一招！这类题闭眼秒解，看完直呼原来这么简单！ 先搞懂核心阿式圆的关键还是动点，在圆上加带系数线段和求最值。两定点在圆外系数小于一的专属解析密码就是向内取点构造字母相似，把带系数线段转化成普通线段，最后用两点之间线段最短求最值来看典型例题， 直角三角形中圆半径为二点， p 是 圆上动点连接 p a p b 求带系数线段 a p、 b p 和的最小值，这是标杆题型，吃透这道同类题，直接套先识别模型，妥妥的。 r 是 圆系数小于一题型 点 p 在 圆上， ab 是 圆外两定点，求系数小于一的线段加另一条线段的最值。解的核心就是向内取点造相似，这是破题关键，美它直接卡壳拆透方法，向内取点怎么玩？核心就是按系数比取点，让取点线段与圆半径的比 等于圆半径与定点到圆心线段的比。结合公共角构造字幕相似，直接把带系数线段转化成普通线段，瞬间变送分题， 例题四问，一招通解，全程不跳步。第一问，求 a p 加二分之一 b p 的 最小值，在 c b 上取点 d 使 c d 长一连 p d a， d， c， d 比 c p 等于 c p 比 b， c 等于一比二加公共矫正。三角形 b， c、 d 相似于三角形 b， c p， p， d 等于二分之一 b p 原式变 a p 加 p d p 在 a d 上是最小 a d 长根号三十七就是最小值。第二问，求二倍 a p 加 b p 的 最小值，直接套第一问。结论，二倍 a p 加 b p 等于二乘，括号 a p 加二分之一 b p 最小值就是二倍，根号三十七。第三问，求三分之一 a p 加 b p 的 最小值。在 c a 上取点 g， 使 c g 长三分之二连 g p， b g， c g 比 c p 等于 c p 比 a c 等于一比三加公共矫正三角形 c g p 相似于三角形 c p， a g p 等于三分之一 a p 原式变 g p 加 b p， p 在 b p 上时最小 b p 是 c p 长三分之二倍，根号三十七就是最小值。第四问，求 a p 加三倍 b p 的 最小值。 到第三问。结论， a p 加三倍 b p 等于三乘括号三分之一 a p 加 b p 最小值就是二倍，根号三十七。其实阿是圆两定点，在圆外系数小于一的题，根本不用怕核心就记。向内取点，按比例构造子母相似消系数， 把代系数最值转化成最基础的两点之间线段最短。再复杂的系数和定点，按这个方法来，全是送分题。以后再碰到这类阿是圆题，直接用向内取点法一步构造相似，轻松拿捏。

大家好，今天我来讲一个数学几何常考的模型，阿是圆。 那么什么是阿是圆呢？咱们之前肯定做过类似的这样题吧，比如说 p a 加上 p b 让求它的最小值，这类问题叫做将军印马。 那如果说在 pa 前面加上一个系数呢？比如说二分之根号二倍的 pa， 此时它就分为了两种情况，一种情况叫做弧不规， 第二种情况叫做阿是圆。来看弧不规，弧不规，它是一个动点在直线上运动， 然后阿是圆，阿是圆，是一个动点在圆上运动。 有的是说当动点在直线上运动时候，这类问题叫做胡不归，当动点在圆上运动时候，这种情况叫做阿是圆。 那么咱们先看题，这道题一看就是阿是圆的模型，咱们看三角形 a b c 中角 a c， b 是 九十度， c b 等于三倍根号二， a c 等于九。以 c 的 圆心三为半径作圆， c p 为圆心上以动点连接 ap bp 则三分之一 ap 加 b 的 最小值为。 咱们做阿是圆。第一步必须要连动点和圆心， 第二步咱们需要构造线段，那么该如何构造呢？咱们看题则三分之一的 a p 加 b p 的 最小值它给你了，它的系数是三分之一， 那么这个题上一定会出现一个线段，使得半径和它的比值是一比三，那咱们的半径是多少呢？半径是不是三？ 那请问在图中有没有一条线段与它的比值是一比三？大家看这里 a c 等于九，用半径比上 a c 是 不是刚好就是一比三？油是三分之一， 那么咱们有时从 c 点出发，向 a c 构造一个线段，那么该构造多长呢？咱们看第二步二向外构造，大家看它的系数是不是就是三分之一，这个时候咱们就要系数大逃亡。 那么什么是系数大逃亡呢？咱们会发现半径比上 a c 是 一比三， 也就是三分之一，刚好 a p 的 系数也是三分之一，那么咱们就需要过 c 点向 a c 系数大逃亡， 系数是多少就逃亡多少倍的半径，比如说它的系数是三分之一，那咱们就需要系数大逃亡，向 c a 逃出三分之一倍的 r， 它的 r 是 不是三？那么三分之一 r 就是 一，过 c 点截取 c q 等于一，这是 q。 然后第二步咱们需要连 p q， 连完之后，也就是这个三角形 c p q 一定相似于三角形 q a p， 而且你会发现这个小三角形的 c q 等于一，比上这个大三角形的 p q 等于三，刚好是三分之一的关系， p q 比 a p 就是 一比三， 也就是说三分之一的 a p 就是 p q， 那 么咱们就将三分之一的 a p 转化为了 p q， 那 么题目中就变成了 p q 加 b p 的 最小值， 大家看图形也就转化成了这个，那么该如何确定它最小值呢？根据两点之间线段最短，咱们连接 cd， 理由是当这个动点运动到这里，使 cd 为一条直线的时候，它的最小值就求出来了。 回到图中，咱们连接 b q， 那 么这个情况 p 点到达了这里，那么该如何求呢？题目中给了 c b 是 三倍，根号二， c q 是 一，也就是根号下一的平方加上括号三倍根号二的平方 等于根号十九，那么三分之一的 a p 加 b p 最小值等于根号十九，有时选 c。 答案。

阿式圆刚搞懂系数小于一，碰到系数大于一又蒙了，系数消不掉，最值算不出，明明听懂课，一做题就全错，今天这招直接描解阿式圆压皱题， 看完就能用。先搞懂核心逻辑，阿式圆万变不离其宗，都是动点在圆上加带系数线段和求最值。但关键看两个东西，定点位置加系数大小，系数小于一定点在圆外，小于一定点在圆内向外取点， 这一个方向区别百分之九十的人都搞反。今天教你三步绝杀法，找对方向题直接解一半，直接看题目， 扇形 c o d 中角 c o d 是 九十度， o c 长六， o b 长五， o a 长三点， p 是 弧 c d 上的动点，求二倍 p a 加 p b 的 最小值。这题就是典型的 r 是 圆系数大于一，题型 重点， p 在 圆上， a 是 圆内定点，求带大系数的线段和最值。不用懂复杂原理，先辨清模型，接下来三步直接破题。第一步，向外取点造相似和系数小于一，反向点要取在延长线上，要削二倍 pa 的 系数，就在 o a 的 延长线上，取点一，让 o e 长十二， 保证原半径 o p 比 o e 等于 o a 比 o p 等于二分之一，刚好对应系数二的倒数。结合公共角，正三角形 o p a 相似于三角形 o e p。 第二步，转化线段，消大系数相似。三角形一出来，关键线段直接转化， p e 等于二倍 pa， 原来的二倍 pa 加 pb 瞬间变成 pa 加 pb 大 于一的系数直接消掉，难题一秒变送分题。 第三步，三点共线最短勾股算答案根据两点之间线段最短，当 p e b 三点共线时， p e 加 p b 最小最小值就是 b e 的 长度。在直角三角形中套勾股定律，轻松算出 b e 等于十三答案直接出 r 是 圆根本不难，难的是找对方向，踩准步骤， 不管系数是几，不管定点在哪，就记这三步。一，变系数定方向，小于一向内取点，大于一向外取点。二，按比例取点，构造相似三角形 三转化线段三点共线算最短以后再碰到阿士圆，先看定点位置，再看系数大小，找对取点方向。按三步法解析，这类压轴题直接变成送分题。

好，今天给大家讲解一下 r 式圆问题。什么是 r 式圆？若有定点 a b， 动点 p 满足 pa 比 p b 等于 k， k 不 等等于一，那么 p 的 轨迹是 r 式圆。在这个问题当中， r 式圆常用来解决形容 pa 加 k 倍的 p b 的 最小值问题， 核心方法是构造母子形相似三角形，把 k 倍的 p b 转化为一条线段，再用两点之间线段最短求结。那 同学听到这里会想，我们前面讲了胡不归，那么胡不归也是去解决 p a 加 k b 的 p b 的 最值问题。那么如何去区分 r 十圆和胡不归呢？其实非常简单，如果你的动点的运动路径是一条线，那它就是胡不归。如果你动点的运动路径是一个圆，那它就是 r 十圆。那接下来我们来通过一道例题来给大家讲解一下 r 十圆问题如何快速的解决掉。那看这个第一题，如果 在二十三角 a b c 中找 a c b 等于九十度， c b 等于六，然后圆 c 的 半径为二， p 为圆上一动点连接 a p b p p， 求 a p 加二分之一 b p 的 最小值。好做 r 是 圆问题的时候，第一步我们需要将细处不唯一的线段两端点于圆心相连接啊，那也就说我们需要连接一下 c p， 根据半径是二， c b 的 长度是四，那我们可以得到 c p 比上 c b 等于二。接下来我就可以去构造相似三角形了啊，我们要去构造拇指形相似三角形 啊！大家都知道母子型相等三角形，比如说这两个三角形必须要有公共角，那么我们选择哪个角作为公共角呢？那么一般情况下，我们都选择圆心，以圆心为顶点的那个角为公共角 啊。那同学又会问了，我要构造相等三角形，我们的相似比是多少呢？就是当你间断前面的系数是多少的时候，你构造的相似比就是多少啊。所以说这两个三角形，我们构造出来的相等三角形相似比就得出来一比二，那加 c b 上截取 c n， 使 c n 的 长度是一，连接 p n， 那 么这时候 c n 比上 c p 就是 一比二，那此时三角形 n c p 是 相似，三是相似于三角形 p c b 的， 那么这时候以 p n 比上 p b 也是一比二，那 p n 就 等于二分之一的 p b， 那么圆体当中求 a p 加二分之一倍的 b p 就 转化成了 a p， 加上 p n 连接 a n， 根据 a 四的长度是六， c n 的 长度是一，那么 a n 的 长度就是根号三十七。这道题选 a， 那 么 r 是 圆啊。最难的部分就在于构造母子形相似三角形，那大家一定要注意，就是当你线段前面的距离是多少的时候，那么你构造了相似三角形的相似比就是多少。