鲁教版八下成比例线段第一课时ppt

初二初三的同学都可以挑战一下这道题。先读题，直角三角形 a b c 中角 b， a， c 等于九十度， b m 等于 m， n 等于 n， c， a m 等于四，我标上啊， a n 等于三，求 m n 的 长度。这道题呢，有好多种解法，如果你喜欢计算的话，你可以用间隙法， 用这个 a c 当 x 轴， a b 当 y 轴，然后每一点的坐标都标上去，然后再去计算。咱今天呢，主要用几何方法？当我读题读到 b m 等于 m， n 等于 n， c 的 时候，我可以知道 一份、两份，三份，也就是说 m n 是 bc 的 三等分点。在一条线段上有等分点的话，一定牵涉到一个比例问题，比例问题一般情况下都是构造相似，相似呢，又有最常用的两种接法，比如说 a 字形相似，八字形相似，都可以构造啊。那么咱们今天呢，就以 a 字形相似先来做一下。 当我看到 m 点把 b c 分 成了一份比两份的时候，哎，我就会想，你这是一份，你这是两份，我是不是构造一个 a 字形相似？如果构造 a 字形相似，那我就过 m 点做 a c 的 平行线， 当然了，这个角是直角，我做完以后，这个角呢，一定也是直角啊。当我看到这个 n 点把这个 bc 分 成了两份和一份的时候，我是不是同样道理也得做一个平行线，那这时候呢，我要过 n 做 b a 的 平行线，也就是这样来的一条线， 这样就又符合咱们常说的横平竖直做辅助线。那如果我这样分完以后，咱们接着往下的话，就要想了啊，这个四会用到哪呢？ 那我看一下，这个四刚好在三角形 a m 这一点，这一点咱取一点叫 pi， 那 么这一点咱就取一点叫 q， 好 在三角形 a m p 当中。哎，有这个四可以用着，并且呢，这两条线刚好还可以构成勾股。同样道理，在三角形 a、 n、 q 当中， a n 长度我知道，另两条线呢，也可以构成勾股。我是不是就可以得到两组方程啊？这时候我就用到了设而不求，也就是说，我把 a c 当成一个长度， ab 当成一个长度，这时候我应该当多长呢？ a c 是 不是 在这个 n m 垂直下来以后，分成了三段啊？三段的话，我就以小的为基础，每一段如果代表 a， 每一段代表 a， 那 么 a c， 它就等于三 a。 同样道理啊，每一小段等于 b， 那 么 a b， 它就等于三 d。 当我都分完以后，咱再接着来看啊。 dm 就 等于 a， 同样道理， n q 就 等于 b。 在三角形 a p m 当中， a 的 平方加上二， b 的 平方等于四的平方。 在三角形 a、 q n 中，二 a 的 平方加上 b 的 平方等于三的平方。好， 这两个勾股定律我已经列出来，列出来以后，但是这个题呢，我不用着急着解，因为啥呢？要求的 m n， 它就等于 b， m 又等于 n c， 我 现在呢，我就以最小的这个三角形，我只要知道 b m 的 平方是不是就可以了。 那么在这个三角形里头，我只要知道 a 的 平方加上 b m 的 平方，开平方以后，不就是 b m 吗？ bm 有 了 mn 是 不是相等啊？那这个题呢，我就不用往下写了，我可以把它俩呢都划开，这个 a 的 平方，这个四 b 的 平方，这个呢？四 a 的 平方，这个 b 的 平方，也就说上下两个方程，我一加 它就得到了五倍的 a 的 平方加 b 的 平方等于二十五， 那么 a 的 平方加 b 的 平方，它就等于五了， a 的 平方加 b 的 平方等于五，那在这个图形里头显示呢，就是 b m 开平方就行了，也就说 m n 的 最后结果呢？根号五。

辅助线构造思路匮乏，平行线分线段成比例应用不熟比例推导异物。这道题考察平行线分线段 成比例、终点性质及线段比例推导，帮助掌握辅助线构造，提升比例线段综合应用与推理能力。 在三角形 a、 b、 c 中，点 d 在 b、 c 边上，点 e 在 a、 c 边上， a， d 与 b e 交于点 f， 如图一，点 d 是 bc 的 中点，点 f 是 ad 的 中点 d g 平行 b e 交 a c 于点 g， 求证 a e 比上 ec 等于二分之一。这道题主要考察了两个知识点， 第一个是平行线分线段成比例，我们说两条直线被一组平行线所截得到的对应线段是成比例的。在这里 我们说 d g 平行 b、 e， 我 们就可以得到它所截得的线段是成比例的。第二个知识点是关于终点的性质，终 点将线段分成长度相等的两部分。这道题当中，点 d 是 bc 的 中点，点 f 是 ad 的 中点，所以我们就可以得到 b， d 是 等于 dc 的， a， f 是 等于 f d 的。 要想求证 a e 比上 e， c 等于二分之一，首先我们有平行和中点可以得，我们写下证明， 因为 d g 平行 b e 点 d 是 bc 中点， 所以我们可以得到 c， d 等于 b d， c d 比上 b， d 等于 c， g 比上 e， g 等于一比一， 那所以我们可以得到 c g 是 等于 eg 的。 好，那么在这里我们说，也就是说这条边 c g 和 eg 是 相等的。又因为 点 f 是 ad 的 中点 d g 平行 b e， 所以 我们可以得到 a f 等于 d f， a e 比上 eg 等于 a， f 比上 d， f 等于一比一，那所以我们可以得到 a， e 等于 eg， 那所以 a e 就 等于 c g， 哎，等于 e g， 那 这样子我们就可以得到 a e 比上 d， c 就 等于 a， e 比上我们的 e g 加上 c g 等于一比二。 好，那这道题关键在于对于平行线分线段成比例的一个应用，那么在题目当中我们一定要去关注它的一个 重点，就是我们的平行加上终点，我们可以得到 a e 和 e g 相等的，同理我们也可以得到 a e 和 e g 的 相等的。最后我们将线段 ec 转化成 e g 和 c g 的 和来进行一个证明。好，接下来我们来看一下第二题。 如图二，若 b d 比上 dc 等于一比四， a f 比上 f， d 等于三比二，求 a， e 比上 ec 的 值，那第二问也是对平行线分线段成比例的运用。 我们说遇到题目当中给出线段比值，最后求线段比值的题，我们往往就会采用构造平行线的思路来进行解决。那对于平行线的构造，我们说这种题型我们往往在 n 等分点处来做平行线， 那这道题我们说在这里 d 和我们的 f 都是属于 n 等分点的，根据 a e 比上 e， c 的 值所求，那么我们可以过点 d 来做 b e 的 平行线。 好，我们来解一下，我们可以过 点 d 做 d， h 平行 b e 交 a c 与点 h， 那 我们说因为 b d 平行， dc 等于一比四， d h 又平行 b e， 所以我们可以说平行线分线段乘比例 h， e 比上 c， h 等于 b， d 比上 dc 等于一比四， 所以也就是 c h 等于四倍的 h e。 好， 我们来标一下，在这里我们可以把 e h 是 看作 a 的， 那么 c h 就是 啊。四 a， 又因为 a f 比上 f， d 等于三比二 d h 平行 b e， 所以 我们可以得到 a e 比上 h， e 等于 a， f 比上 f， d 等于三比二， 所以可以得到 a， e 是 等于二分之三 h e 的。 在这里我们说 h e， 我 们设成了 a， 所以 在这里 a e 就是 我们的二分之三 a， 那这样子我们就会得到 a e 比上 e c 的 值。我们说因为 a e 比上 e c， 哎，进行线段的一个转化，等于二分之三的 h e 比上 h e 加上四倍的 h e， 那 么经过化简之后，它的比值是三比上十，那所以我们就可以得到 a e 比上 e c 的 值 为十分之三。好，这是我们关于求两个线段成比值啊，求两个线段比值的一个做法。那么在这里我们需要重点注意的就是我们如何去进行一个平行线的 构造，我们往往是在 n 等分点处来去做平行线的，那么做完平行线之后，我们再根据平行线分线段乘比例来对线段进行一个适当的转化，最后来求出我们所要求的两个线段的比值。 到这里我们的讲解就结束了，同学你学会了吗？

hello， 九年级的小伙伴朱老师又来更新了啊，今天还是已知比例求比例的问题来继续。 啥意思？他这里给你一个图形， b e 是 啥呢？三角形 a b c 中点是中线的话，那咋的这个点就是中点，中点，也就说你这两个线段，这两个线段是咋的？是相等的，然后点 f 在 啥呢？在这个 b 上延长 a f 至点 d， 使 b f 等于三倍的 e f。 看 b f 等于三倍的 e f， 那 我假设看这块就是 b， 这块就是三 b， 它来反过来三 b 和 b 啊，然后让你求这个比例， b d 比 d c， b d 和谁呢？和这个 d c 的 比， 你看有比例，求比例，咋的？我们是不是通过做平行去解决这种问题？哎，那你看，我就从这个比例的分点，咋的去做一个平行，你看，哎，我要过这点去做平行，往这一做平行，你看这是 a， 这也是 a， 对 不对？那也就说你这个线段，这是 c， 是 不？这也是 c， 因为这个点是 中点，那他就是中位线，是不他俩就相等，这是 c， 这也是 c， 那 我们从这个图形上看看这个图形， 哎，是不是？你看这是三 b， 这是 b， 那 你这是 c， 那 这块是不就三 c， 所以 我这个 b d 是 不就三 c， 所以 你的 b d 比 dc 是 不就三 c 比二 c 就是 三比二，对吧？哎，这是一种方法。 那你看，我们从这个啥呢？从这个终点再去做平行，这是一个终点，我要从这个 e 点去这么去做平行。你看它俩相等吧。哎，那它俩相等，那你这个 a e 比上 ec 是 一比一， a e 比 ac 是 不是就一比二啊？所以你这 ef 跟这个 谁呢？跟这个 dc 是 不就一比二？我假设这是 a， 这块是不就是二 a， 对 吧？那刚才说了，那你这里这是三 b， 这是 b， 那 你从这个八字形当中看， 哎，是不是他跟他是三比一，那他跟他是一比三，所以你这是 a， 这块就是三 a， 哎，还是一样，那你 b d 比上一个 dc 就是 三比二，对不对？哎？还有更多的方法自己在评论区打出来。

hello， 大家好，这里是自由民学了预备定理，两条直线被一组平行线所截所得的对应线段成比例后，我们就要学习它的推论， 平行于三角形的一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段成比例。这个也不需要怎么正，还是上期的思路好吧， 他只不过就是把他嗯平移了一下是吧，香蕉特别好正，所以说我们就直接来练习好吧，找两道题练习一下。 已知 l 一， 平行 l 二平行 l 三， 那这里就会有出现对应线段，然后 j h 等于二，该标的标一下， a g 等于一点五， b g 等于二点 e f 等于五啊， e f 又标不了啊， 求的是 d h 和 e k， 那 就要看所求线段与哪些线段成比例，然后以列方程的那种形式来计算出来。之三、求一，我们仔细观察 h d 的 对应线段有 f k， 然后 g b 也算，但我们不知道 f k， 但我们知道 g b， 那 么我们就就用 h d 比 g b 来试一下， h d 比 g b 等于 g h 比 a g g b g h a g 都知道往里面带 g h 二， a g 是 一点五， e g 二十字交叉相乘 g b g h e g 都知道，那么就往里面带，然后 g h 等于二， a g 等于一点五， g b 等于二点五，十次交叉相乘 h d 得三分之十。 现在我们来看一 k 一 k 的 对应，一 k 的 对应，现在有 j h a g， 可是一 k 我 们只知道 e f 在一 k 这这个这条线段线上，我们读到 e f 前面，我们求 h d 的 时候是知道 g h 的， 所以说这个时候，呃，小比小等于小比小，这个思路就不适合我们，我们应该去换一种思路，就比如说， 呃，大比小，大比大，比小等于大比小，这样子我们不仅小可以小比小，我们也可以大比小， 那么我们就用一 k 比 e f， 然后一 k 所对应线段，比如说 e， 那 么比上它 大的线段， a b a g a b 都知道，然后 ef 也知道，十字交叉相乘，一看就出来，呃，这里你们自己算一下 来，我们看这道题，首先又告诉我们一堆平行，然后又告诉了一个线段比，那么还是想对应线段乘比例， b f 等于六， 那我们就可以通过呃 b f 和这个线段比，求出 e f 来，就比如说这样子， b f 比 e f 等于 b， d 比 a d 十字交叉相乘， e f 三分之二六， b f 等于四， ok， 非常的快，就是要看等级，一个前半， 现在我求 f c f c 的 话，我们是呃 f 一 知道了等于四，然后 b f 知道了等于六，那么就可以 用一下，呃，那我们就求 e c 嘛，求 e c 就 知道 f c 了， 那 e c 怎么求？通过线段笔来求求， ok， 那 么 d e d e d 就 等于 d e d e d 抓住对应线段 二分之三， b， e 是 六加四十，那么 e c 等于三分之二十， ok， 这期我们就讲完了， 提前给大家来个预告，就是下期会整个活儿主播想要二十个点赞，二十个点赞立马爆跟，好吧，那这期就这样，下期见。

辅助线构造思路匮乏，比例线段推倒易混乱。方法，选择一卡壳这道题考察平行线分线段成比例、终点性质及线段比例推倒， 帮助掌握辅助线构造技巧，提升比例线段综合应用与推理能力。如图，已知三角形 a、 b、 c 中 f 分 a、 c 为一比二两部分， d 为 b、 f 的 中点 a、 d 的 延长线交 b、 c 于点 e， 求 b、 e 比 e、 c。 我 们先来看这道题所涉及到的知识点 e， 三角形全等的判定方法 a、 s、 a 角、边角两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 第二，三角形相似的判定方法平行判定法平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与圆三角形相似。 我们来看这道题，解过点 f 作 o， f 平行于 bc， 交 a、 e 于点 o， 那 么因为 o、 f 平行于 bc， 所以 角 o、 f、 d 就 等于角 d、 b、 e。 那 么在三角形 o、 d、 f 和三角形 e、 d、 b 当中， 角 o、 d、 f 等于角 b、 d、 e。 又因为 b、 d 等于 df， 角 o、 f、 d 等于角 o、 b、 e， 所以 三角形 o、 d、 f 全等于三角形 e、 d、 b， 那 么 b、 e 就 等于 o、 f， 那么因为 o、 f 平行于 bc。 根据三角形相似的判定方法，平行判定法我们可以得出三角形 a、 o、 f 和三角形 a、 e、 c 相似，那么又因为 a、 f、 b、 c 等于一比二， 所以 a、 f、 b、 a、 c 就 等于一比三。那么通过相似三角形我们可以判断出来， o、 f、 b、 e、 c 就 等于一比三。因为 o、 f 等于 b、 e， 所以 b、 e 比 e、 c 就 等于一比三。 我们对这道题进行总结，这道题主要用到的知识点是三角形的全等和三角形的相似，那么核心思路是通过作平行线，构造全等三角形和相似三角形，将未知的线段的比例转化为已知线段的比例。 那么这道题我们就讲到这里，大家学会了吗？

中考像开挂，山西中考十五题必会定律之梅涅劳斯定律。大家好，我是专治数学压轴的杨老师，今天和大家聊一下梅涅劳斯这个定律在十五题中的应用。 并理描述的是三角形 a、 b、 c 中，若被一条直线拦腰所截，与三边或其延长线分别交于 d、 e、 f 三点，那么被切开的线段 a、 d、 b、 d、 b、 f、 c、 f、 c、 e、 e、 a 之间会存在一个神奇的比例关系。好，我们先写结论， a、 b 比上 b， d 乘以 b， f 比上 c， f 乘以 c， e 比上 e， a， 这个结果等于一。 怎么去记？其实只要顺时针走一圈就可以了。 a、 d 比 d， b 乘 b， f 比 c， f 乘 c， e 比 e a 那为什么是这个样子呢？其实它背后的原理就是我们所学的构造 a 字或者构造八字形的相似，只需要做一条辅助线，过 c 点做这条直线的平行即可。 假设交 a、 b 于点 m， 那 接下来我们把这三个比例可以用相似做一个简单的替换， a、 d 比 b、 d， 这个不动， b、 f 比 c f， b、 f 比 c、 f 放在三角形 b、 d、 f 中，那 c、 m 平行就形成了一个 a 字模型。所以 b、 f 比上 c、 f， 其实就等于 b、 d 比上 md。 我 们来做这样的一个替换， b、 b 比 md， 下一个 c， e 比 a， c， e 比 e， a。 再换一个三角形三角形 a、 m、 c 中 d、 e 和它平行，又存在一个 a 字模型，那 c、 e 比 e， a 自然就等于 md 比上 d， a。 好 进一步做替换， md 比上 b、 a， 那 全部替换完以后，把 a、 d 比 b、 d 抄下来，它们这个相乘就可以发现，刚好实现了全部约分 a、 d 和 d， a 约分 b， d 和 b， d， m， d 和 m， d 约分完以后，结果为一， 这就是梅尼老师定由。定理可以看出，只需要知道两个比例，我们即可通过这个等式求出第三个比例，所以它解决的问题也就是已知两比例求第三比例。 在中考中，往往是一个完整的三角形，内部出现了两条分割线，当题中给出两个比例，我们就可以求图中所有的比例。在这里需要注意，题中有两次迷你老师定义可用， 第一次是可以选择 abc 作为三角形， d， e 作为那条截线，于是得到结论就是 a e 比 e， b 乘上 b， d 比 c， d 乘上 c， f b f a 结果为一。 除此以外，还有一处以 b， e， b 为三角形， a， c 为节点，那么就可以得到 b， c 比 cd 乘上 b， f 比上 f， e 乘上 e， a 比 ab， 这个结果也是一。那这个定律的证明就到此为止，你学会了吗？

线段的计算，如果遇到这种含有比例的题目，可以考虑用设参数的思想，可以帮助我们很快的算出答案。比如这道题， ab 比上 bc， 比上 cd， 等于二比三比四，那就是这一段比这一段比这一段， 这里可以怎么设参数呢？你可以设它为二 x， 它就是三 x， 它就是四 x。 下面他说 ab 的 终点 m， 这里是 a、 b 的 中点，说明这两段相等，那他们俩应该都是 x 与 c d 的 中点 n， c， d 的 中点 n， 说明这里就是二 x， 这两个点的距离是三厘米，那就是从这里到这里等于三厘米。 在图里可以看到，它就是 x 加三， x 加二， x 等于三厘米，所以得到这么一个关系，它们加起来是等于三厘米的，所以 x 可以 解出来 等于二分之一。题目 b、 c 的 长度，那 b、 c 的 长度是三个 x， 所以 b、 c 呢？就等于二分之三厘米。所以做题看到了这种比例关系，可以考虑用设参数的方法来解。如果这种题目还不熟练，可以把我整理的这份资料拿去再巩固练习一下。

我们继续学习一下啊，线段中点模型结论的第四个结论叫三中点模型，三中点模型呢，顾名思义就是有三个中点，那分别是谁的中点呢？我们来看一下已知点 c 是 线段啊，读读题的时候不要关键词啊，因为以后的时候会碰见直线了哈。点 c 是 线段， a b 上任意一点， 点 c 是 线段， a b 上任意一点，然后点 m 一 是 m 二 m 三分别是终点，那三个终点，是吧？那么首先看，一个个看，别着急啊， m 一 是 a c 的 终点，这样 m 一 是 a c 终点，这样去看哈，找找到。 m 一 是 a c 终点，那 m 一 是 a c 终点，我们画一条短弧， m 一 是 a c 终点，对吧？ m 二呢是 bc 终点， m 二是 bc 终点，那，那，那因为这个弧跟差不多，那我们可以那这个画弧，我们可以画画条这样，这样带棱的这种，是吧？那就能明显区分出来他们不一样，对吧？那这是 m 二呢是 bc 终点。 好，我们再继续看一下， m 三呢是 ab 终点， m 三呢是全部的终点，是吧？那我们读到这时候，我们看 m 一 和 m 的 关系，是不是就我们前面那个啊？ 结论一两线段无共部分的，那我们读到这儿的时候，我们就发现这个 m 一 m 二，它就等于谁啊？等于二分之一 ab， 是 吧？二分之 ab， 对 吧？啊，就是说我们的第一个结论， m 一 m 二等于二分之 ab 是 我们前面第一个结论中两线段无共部分的时候，这个 m 一 是左边部分的终点， m 二呢是右边部分终点，它们之间间隔呢，等于全部的一半。 那我们看一下，因为这个 m 三呢，又是 a b 终点，那么 m 三是 a b 终点 a m a m 三和 m b 就 正好等于全部一半，是吧？就正好等于二分之 a b， 所以 它得到第一个结论。 好，这第一个这个结论本质上就是那个我们前面讲过第一个结论，是吧？我们来看一下第二个结论。那么看一下，既然我们 m 三是 a b 终点，我们再画一下 m 三是 a b 终点 m 二 m 三等于什么？看一下 m 二 m 三，这个 m 二 m 三指的是谁？你看 m 三是全部终点， m 二呢？是右边部分终点，这时候是谁啊？ m 二和 m 三，它分别是 bc 和 ab， 终点 bc 和 ac ab， bc 和 ab， 它们是有公务部分的，是吧？有公务部分呢？就是我们说的那个我们前面的结论二 图形前面那个什么结论二啊？结论二、结论二和结论三里面的结论，是吧？ bc 和 bc 和 ab， 它们是有共部分的，那这时候那有共部分的时候，这个 m 二 m 三，它就是什么点？这两个中点之间间隔就等于非共部分的一半，那谁是非共部分？这时候 bc 和 ab 看一下啊， bc 和 ab 的 非共部分就是 ac， 是 吧？所以它就等于二分之 ac， 他 们可还可以正出来，是吧？好， 那二分之 a c 呢？因为 a c， 那 a c 看一下 a c， 它也是有终点的，是吧？是 m 一， 所以说二倍的二分之一的 a c 就 等于什么 am 一 和 m e c， 是 吧？就等于 am 一 和 m e c。 就 这么一小结论，这三种点模型，这三种点模型里面，它本质上是，那我们前面的结论一和结论二、结论三就相当于两现在无共部分和两现在有共部分的，它一种综合一起总组成了一个什么三种点模型。 好，那我们再看一个叫线段的多中点模型啊，这一个其实更简单哈，我们看一下条件，如图，点 m， 在 线段 a n 的 延长线上点看，虽然很多，一个去找点 m， 找点 m， 在 这是吧？ m 在 线段 a n 的 延长线上能看出来了，这就在线段 a n 的 延长线上，且 m n 等于二，它中间部分标一下，它长度等于二 a。 第一次操作，分别取线段 a m 和 a n 的 中点啊，取 a m 的 中点是 m e， 得到什么？ a m e 等于 m e m， 对 吧？ m 分 别取什么线段 a m 和 a n 的 中点 a 呢？啊，得到一个什么？这一段等于画一下啊，这一段等于这一段 分别取线段 a m， a m 和 an 的 中点 m 一 和 m 二，这第一次操作是吧？啊，我们再看一下第二次操作呢，分别取线段 a m 一， 再取 a m 一 啊，和 a n 一 的中点 a m 一， 是在一段 a m 一 的中点得到，得到什么 m 二，是吧？得到一个 m 二 m 二啊， a n 一 的终点呢？得到一个什么 a n 一 的终点得到一个啊，这一点和这点相同，是吧？ a n 一 的终点得到 a n 二，等于 a n a n 二 n 一， 是吧？看画的有点乱，我们一个个去看，经过第三次操作，又这样找了，连续这样操作 n 次，让我们去总结一下 m n a n 的 一个关系， 如果考试的时候，比如说问你什么 m 二零二六， n 二零二六，还是这种 m n n 的 时候，那对于这种底数比较大的时候，我们一般情况找规律的时候怎么去找嘞？ 那我们上学期的找规律题有没有讲过？就是先从最小的开始找，我们先找求一下 m 一 n 一 等多少，再求 m 二 n 二等多少，再求 m 三 n 三等多少，然后找出规律就可以提出来 m n a n 等于多少，是吧？我们看一下。先求 m 一 n 一 m 一 n 一， 就是我们前面说的什么 m 一 n 一， 看一下他们是 m 一 n 一 m 一 是全部的中点， n 一 呢，是左边部分的中点，那它俩之间距离呢？就应该等于非公部分的一半，那就得到它等于二分之一的谁啊？非公分是谁啊？是 m n 的 一半，是吧？等于二分之一的 m n， 求出来，等于二分之一，乘一个 二，乘一个二 x 等于个 a 啊，这是 m 一 n 一， 那么再求 m 二 n 二，是吧？ m 二 n 二是谁的终点？我们看 m 二 m 二在这是吧？是这个是这个 a m 一 的终点， a 二呢，是它的什么？是它的谁啊？ n 二是 a n 二 a n 一 的中点，是吧？相当于也是左边部分中点，那么这两个，那这两个什么 m 二 n 二之间的间隔，它应该等于什么？也是非共部分，是谁啊？但是我没把没用的都擦掉哈， 来看一下。那这是一个什么来？ m 二 m 二是 a n a m 一 的中点， a 二呢？ 重新画一下啊， n 二呢，是 a n 一 的中点，这时候我们看这两个中点之间间隔就应该等于非共部分一半，是不是等于他一半，所以就等于二分之一的，什么 m 一 n 一 就等于二分之一，乘一个乘以这个 a 啊，是吧？到一个二分之 a， 好， 我们继续再看 m 三 a 三，重新看一下 m 三是 a a m 二的中点，是吧？ a m 二的中点 n 三呢？是 a n 二的中点，所以说这两个 m 三 n 三的间隔就等于二分之一，非共部分是写 m 二 n 的 一半就等于二分之一，乘以什么？ m 二 n 上一个引求出来，乘以个二分之 a 等于二的二次方分之 a， 对 吧？ 那你看一下，这是二的二次方分之 a， 这是二的一次方之 a， 这，这是什么二的？嗯，我们就不讲了哈，二的零次方分之还没求到，是吧？好，我们继续看一下，这时候我们看一下求 m n n a， 它的时候应该等什么？我们看一下它是三的时候这二的二次方，这二的时候是一次方。那么说你看一下这是这是 n 的 时候，它应该等于什么？二的二的什么 n 减一次方的 a 啊？上面答案是写的二分之一的 n 减一次方，跟正常本质上是一样的啊，当你也可以把它写成什么，比如说这就写成二分之一乘以 a， 这呢写成二分之一的二次方乘以 a， 是 吧，所以它也可以写成二分之一的。 谁啊？ n 减一次方乘以 a， 这个选项也是可以的，一样的哈，写他写他都对。好，这是他的几个结论啊，找规律的是吧？都是等于前面那个一半啊，这一个多重点模型，相对来说大家好好理解的话也是不难啊，对吧？ 好，大家要把这几个模型记下来，因为我们，嗯，后面的话还要继续去学习他的一些题型啊，我们用这些结论去去学习。好，这个视频就讲到这。

首先来看一下题目，这个就说美呢，是一种感觉。当人体下半身长与身高的笔直约接近零点六一八时， 这个给人呢一种更美的感觉。说母女士呢，身高是一百六十五厘米，下半身长 s 与身高 l 的比值是零点六。在这里他已经告诉我们这个 x 啊与身高 l 的笔直了。那么大家想，既然 x 与这个 l 的比值是零点六，那我们是不是可以根据身高和这个比值求出 x 的来值了呢？那么求出 x 之后，但是这个时候他的笔直没有到零点六一八。所以呢，为了达到这个零点六一八呢，这个很多女士呢要穿高跟鞋啊，这个穿上高跟鞋之后，要注意的就是下半身的长度增加了，身高也要增加了。 所以呢，这个时候啊，我们在解答的时候要注意这个方法。首先利用 x 与身高 l 的笔直求出 x 来，然后再去试穿的高跟鞋的高度。所以呢，这里啊，我们来看一下这个简单的思路。 有提议。首先求出 x 是九十九厘米，这个时候你再去试他应穿的高跟鞋的高度为 a 厘米。那这个时候根据身下半身九十九厘米的高度加上高跟鞋的高度，这不是那个穿上高跟鞋之后的下半身长度加比上总的身高加上高跟鞋的高度，这是穿上高跟鞋之后啊，那个身高， 两者之比呢，是零点六一八这个数把它还是啊转化为我们所学的整式方程，两边都乘以一百六十五加 a 减出来呢， a 约等于八。因为这里要求精确到一厘米。所以呢，最后要取整数 算出来，应该是七点七几啊，七点七七几。这是关于这个题。这个八厘米的来历哈， 很多同学作业当中没有任何痕迹啊，添了一个八厘米，或者添了一个八， 大多数呢，是错的啊，是其他的数值。

三分钟带你通透平行线分线段成比例定律，平行线分线段成比例的理论啊！首先我们来看一下它的定律，定律是什么？是三条平行线截两条直线啊，所得的对应线段成比例。 我们来看一下左面这个图啊，三条平行线啊， a、 b c、 d 还有 e f 结两条直线 l 一 和 l 二，对吗？然后它所得的对应线段成比例。我们来看一下所得的这么多条线段，那么谁和谁成比？我们从左侧就开始看啊， a c 比上谁， a c 比上对它的对面对面这条 l 二结的两条线段对吗？那么 a b 和 c d 结 a l e l 二是 a c 和 b d 对 吗？也也就是说 a c 比上 b d 等于哪啊？等于下面这个等于，也是左右它俩比，等于 c e 比上 d f， 对 吧？ 左比右，左比右，对吧？这是结的这个小的线段，那么它整体是不是也可以乘比例啊？也就是 a e 和 b f 也可以等比，对吗？ 所以我们可以得出哪个可以得出第一个就是 a c 比上 b d 等于 c， e 比 d f 还等于哪个整条的这个 a e 比 b f 啊，那我们接着来看，那么 a c 比上 c e， a c 比 c e， 这是上下比，对吗？这一条直线对吧？ l e 这一条直线上，那么捷德的 a c 和 c e 也可以乘比例对吗？ a c 比 c e 就 等于 l 二的 b d 比上 d f 啊，那么还可以等于哪个？也是整条比，那也是等于 c e 比上 c e 比 a e 对 吧？等于哪个等于 d f 比上 b f 啊，这是他的一个定律。 三条平行线啊，注意，是三条平行线，然后被两条直线截啊，截完之后所得的对应线段成比例，那么截得的不光是这个短的线段啊，单独这条短的线段，那么整条这个线段也可以成比例。 接下来我们来看一下这个定力他是怎么来的啊？你就知道他是，对吧？怎么证明的这个定力？那么你们你在后面再用的话啊，就会知道他这个原理是怎么使的啊。我们来看一下怎么证。 首先我通过连接哪个连接 a、 d 和 d、 e， 那 么连完之后我们看哪个三角形？ a、 d、 e 这个三角形对不对？一个大的这个整个三角形，它是被 c、 d 这条直线怎么样？ 从一个点给它切成两半了，对不对？之前我们说过啊，之前我们说过是哪个从一个点一个三角形，从一个点给它分成劈成两半，对吧？那么两个三角形什么比？面积比等于底边比，对吗？ 为什么？因为他们怎么样？这个一个三角形它是等高的，对吧？也就说面积比等于底边比啊。最后我们写一下啊，连接 a、 d 和 d、 e， 我 们看整个 a、 d、 e、 s 三角形， a、 c、 d 对 吧？比上 s 三角形， e、 c、 d 等于两个底边等于 ac， 比上 c、 e 好。 接着我们来看它的右侧 在 l 二这条线段，同理我连接 b、 c 和 c、 f 啊， b， c、 f 这个三角形，对吗？然后也是通过点 c， 然后我切出来这个切成俩三角形，对吧？然后接下来看，所以它的比是哪个比？ c、 d、 f 的 面积等于 f、 c、 d 对 吧？ c、 b、 d 和 f、 c、 d 对 吧？它俩比等于哪个？也是底边比，就是等于 b、 d 比上 d、 f 啊。接着来看，又因为哪个 ab 平行于 cd， 它俩平行。我们接着来看，你连完之后还可以看出来哪个 同底都是 c d 这条底，对吗？那么它俩平行线通过这个点的距离都是相等，也就说它们同底等高，也就是 a c d 和 b c d b c d 它俩是面积是相等的啊。那么同理 c d 平行于 ef， 那 么同底是 ef 这个底，对吧？它也是等高， 平行线之间距离相等也是等高，所以呢， c e f 和 d e f 它俩的面积是相等的，那么我们看一下前面这个左边这俩是相等的，右边也是相等的。那么进而可以得出什么 a c 比上 c e 是 等于 b d 比上 d f 的 啊。所以我们这条定律，平行线分线段成比例的这个理论是这样来的啊，是这样推导过来的。 那么最后我们现在就可以直接用了啊，两三条平行线，只要说是被两条这个直线所结，结完之后他的对应线段是成比例的， 左比上，右左比右啊，上比下也等于上比下，然后单独一个小线段可以成比例，那么整个这个线段长也可以成比例。关注，我用白话给你讲透数学。

好，时间到，我们请这边这一位同学，请你来说一下你算的 x 等于多少？ 等于二分之根号五减一。好，一个是二分之根号五减一。好，请坐。非常好，表扬， 我们一起来分析一下。因为点 c 是 a、 b 的 黄金分割点，根据黄金分割的概念，我可以得到 短 bc 比上 ac 等于 ac 比上 ab。 大 陆得 bc 是 一减 x 比上 x 等于 x 比上一有分母，我们要去分母两边同时乘以 x， 得到一减 x 等于 x 的 平方一相得 x 平方加 x 减一等于零。用公式法求解得到 x 一 等于二分之根号五减一， x 二等于 二分之负根号五减一。但是我们的 x 表示的是线段 a、 c 的 长度，所以我们要取正的这一个，把 x 二舍去。 好，所以我们就得到了黄金分割比的准确值是二分之根号五减一，约等于零点六一八。 我们已经知道了黄金分割的概念，并且知道了黄金分割比等于二分之根号五减一，约等于零点六一八。那如何找一条已知线段的黄金分割点呢？ 请同学们拿出事先准备好的圆规和尺子，跟着老师一起来找，老师用几何画板来演示一遍。 好，第一步，做出已知线段 a、 b 设为二 x。 好。第二步，过点 b 做线段 b， d 垂直于 a， b 长为 x， 也就是说线段 b、 d 是 线段 ab 的 一半。

辅助线构造思路匮乏，平行线分线段成比例应用不熟比例推导异物。这道题考察平行线分线段成比例、终点性质及线段比例推导， 帮助掌握辅助线构造，提升比例线段综合应用与推理能力。在三角形 a、 b、 c 中，点 d 在 b、 c 边上，点 e 在 a、 c 边上， a、 d 与 b e 交于点 f， 如图一，点 d 是 bc 的 中点，点 f 是 ad 的 中点 d g 平行 b e 交 a c 于点 g， 求证 a e 比上 e， c 等于二分之一。这道题主要考察了两个知识点， 第一个是平行线分线段成比例，我们说两条直线被一组平行线所截得到的对应线段是成比例的。在这里 我们说 d g 平行 b、 e， 我 们就可以得到它所截得的线段是成比例的。第二个知识点是关于终点的性质，终 点将线段分成长度相等的两部分。这道题当中，点 d 是 bc 的 中点，点 f 是 ad 的 中点，所以我们就可以得到 b， d 是 等于 dc 的， a， f 是 等于 f d 的。 要想求证 a e 比上 e， c 等于二分之一，首先我们有平行和中点可以得，我们写下证明， 因为 d g 平行 b e 点 d 是 bc 中点， 所以我们可以得到 c， d 等于 b d， c， d 比上 b， d 等于 c， g 比上 e， g 等于一比一， 那所以我们可以得到 c g 是 等于 eg 的。 好，那么在这里我们说，也就是说这条边 c g 和 eg 是 相等的。又因为 点 f 是 ad 的 中点 d g 平行 b e， 所以 我们可以得到 a， f 等于 d f， a e 比上 eg 等于 a， f 比上 d， f 等于一比一，那所以我们可以得到 a， e 等于 eg， 那所以 a e 就 等于 c g， 哎，等于 e g， 那 这样子我们就可以得到 a e 比上 d， c 就 等于 a， e 比上我们的 e g 加上 c g 等于一比二。 好，那这道题关键在于对于平行线分线段成比例的一个应用，那么在题目当中我们一定要去关注它的一个 重点，就是我们的平行加上终点，我们可以得到 a e 和 e g 相等的，同理我们也可以得到 a e 和 e g 的 相等的。最后我们将线段 ec 转化成 e g 和 c g 的 和来进行一个证明。好，接下来我们来看一下第二题。 如图二，若 b d 比上 dc 等于一比四， a f 比上 f， d 等于三比二，求 a， e 比上 ec 的 值，那第二问也是对平行线分线段成比例的运用。 我们说遇到题目当中给出线段比值，最后求线段比值的题，我们往往就会采用构造平行线的思路来进行解决。那对于平行线的构造，我们说这种题型我们往往在 n 等分点处来做平行线， 那这道题我们说在这里 d 和我们的 f 都是属于 n 等分点的，根据 a e 比上 e， c 的 值所求，那么我们可以过点 d 来做 b e 的 平行线。 好，我们来解一下，我们可以过 点 d 做 d h 平行 b， e 交 a c 与点 h， 那 我们说因为 b d 平行， dc 等于一比四， d h 又平行 b e， 所以我们可以说平行线分线段乘比例 h， e 比上 c， h 等于 b， d 比上 dc 等于一比四， 所以也就是 c h 等于四倍的 h e。 好， 我们来标一下，在这里我们可以把 e h 是 看作 a 的， 那么 c h 就是 啊。四 a， 又因为 a f 比上 f， d 等于三比二 d h 平行 b e， 所以 我们可以得到 a， e 比上 h， e 等于 a， f 比上 f， d 等于三比二， 所以可以得到 a， e 是 等于二分之三 h e 的。 在这里我们说 h e， 我 们设成了 a， 所以 在这里 a e 就是 我们的二分之三 a， 那这样子我们就会得到 a e 比上 e c 的 值。我们说因为 a e 比上 e c， 哎，进行线段的一个转化，等于二分之三的 h， e 比上 he， 加上四倍的 he， 那 么经过化简之后，它的比值是啊，三比上十，那所以我们就可以得到 a e 比上 e c 的 值 为十分之三。好，这是我们关于求两个线段成比值啊，求两个线段比值的一个做法。那么在这里我们需要重点注意的就是我们如何去进行一个平行线的 构造，我们往往是在 n 等分点处来去做平行线的，那么做完平行线之后，我们再根据平行线分线段乘比例来对线段进行一个适当的转化，最后来求出我们所要求的两个线段的比值。 到这里我们的讲解就结束了，同学你学会了吗？