随机作业第三章怎么解锁

厉害了，我的一朵，正面全对，看看后面， 今天批改学霸留一朵试卷，老师您的王牌累了，我的一朵啊，你可别整啊，老师一把屎一把尿，把你攻成学霸。你说这话多让老师寒心啊。 这不是写的挺好的吗？来玩个小游戏吧，数字炸弹大家都玩过吧，我会从零到一百里随机选一个数字作为炸弹。大家来猜数字吧，千万不要和我选一样的数字哟，否则炸弹就会把你淘汰的。 我的妈呀，吓我一跳，这画的啥呀，有知道的吗？白菜对我笑，我嘞个豆，这又是什么？ 我真服了呀，学霸怎么变成卧龙凤雏了？留一朵，这张试卷交给你们判吧，多少分你们定。

hello， 同学们，大家好，来到了 b c o 二第九章统计九点一点一，简单随机抽样。好，我们来到了我们的这个 b c o 二的第九章呢，就来到了一个新的篇章，就是关于我们的统计与概率， 然后呢，看过我高中导学篇的同学哈，我的导学篇就介绍了整个高中，或者说其实小初高都是三大板块哈，第一个呢就是代数，对吧？在高中主要代数就是函数， 然后呢，第二个呢，就是几何大板块，当然还有分为平面几何，立体几何等等，对吧？第三个呢就是统计与概率啊，就这里， 那么统计与概率呢？它是链接到哪里呢？我们本章的第九章和第十章，还有就是再加上我们的选 b 三的整本书，所以呢，如果提前学的同学和有时间的同学，我是极度建议同学们呢，把它练成一个链条去学习，不然我们会过了 整整一年去到雪碧山，大量的同学呢会忘记这里的内容哈，这里就问题比较大了。 ok， 所以呢，我们正式来到第九章，然后第九章呢，是整个高中里面最简单的一张，没有之一哈，没有之一， 小学在学，初中在学，高中在学，平均数，方差，标准差都是那些东西，只是呢，加入了一些数学符号， 当然有新的东西，但是新的东西它不是很多哈，加入那些新的符号，所以在本章当中要好好好好的打磨基本功啊，这个很重要哈，打磨一些关于这个数学语言 的一个运用，因为在在后面哈，我们到了选 b 三的时候，就有一些数学语言的阅读，就必须要很熟悉，像这里的 sigma， 等一下会介绍一个新的一个符号。好吧，那么首先呢，这里呢很多文字哈，本章其实很多都前面几节课非常多文字，因为它就是一个理解性的一个章节啊，理解性的一个章节为主。 首先呢，我们去做调查与统计，常见有两种调查的方法，第一种呢，普查，就比如说我们非常常见的就是人口普查， 就是对每一个调查的对象都进行调查的方式，对吧？也称为呢全面调查普查对吧？就是我每一个都查，通常来说会出现在一些就是特别重要的一些数据当中，比如说每过几年我们做的这个人口普查，它非常的重要啊，所以它要做普查。 那么第二个呢，更多的在生活当中呢，我们见到的就是抽查，根据一定的目的，从总体当中抽取一部分个体进行抽查，并以此为依据。对总体啊，我的部分个体 对总体做估计和判断的调查方法称为抽样调查，简称抽查。好吧，那么我们当然会知道，在完全不考虑人力、物力、资金、时间、成本的理想的状态状态下，当然我们是希望所有的东西都直接普查， 对吧？普查就能获得全体的数据，一定是比抽查好的啊。不，这个不用说的哈，我说只是说从数据的精准度，就是从个体部分个体去评估总体的这个角度，那当然就是 普查，他都不用评估了，就是总体了，对吧？好吧，所以呢，一定是更优的。但是在实际的应用当中哈，我受到成本等等因素的一个质疑， 我们要综合考虑我们当时研究的一个重要性，对吧？然后呢，数据的一个精度的要求等等的方面，还有一些方法的可能性等等的因素，对吧？如果我要想要去看一下，比如说有个国家的领导， 我想大概的去了解一下，现在国家每个学生啊，每个高中生的一个体育的一个身体素质的一个能力， 那就没有必要，我只是大概了解一下，没有必要给我大动干戈的去把所有的都查一遍，这个太夸张了，对吧？一两个亿的一个高中生呢，比如说大几千万吧可能， 那这个时候呢怎么办？那这个时候呢，就是我就可以通过抽查，对吧？查一部分来随机的查一部分来代表这个整体，对不对？所以就要看情况而定。 然后呢统计当中的相关的一些术语，我们要了解一下哈，首先我们说一个案例的背景调查呢，某个学校高一年级的英语分数的水平， 然后呢，该高一年级刚入学啊，这时候刚入学共有学生大 n 个人，然后随机抽查小 n 个人，那么某位同学称为同学 a， 那 么此时呢，我们调查对象的总体，这个全体就是这个 n， 我 们就称为总体， 然后呢像这个啊，我们用 v n 图来表达，对吧？高一的全体，然后第二个呢，就是组成整体的每一个调查的对象称为个体，比如说这个同学 a 啊，这里的有很多的这样的个体组成这个总体，对吧？第三个呢，就是 我们在抽查当中，从总体抽的那部分称为样本，样本，比如说我们这个 n 个人的整体称为样本， 最后呢，这个样本当中哈，它所包含的个体数就称为这个样本容量，简称为样本量。比如说这个抽查到的群体的数量， n。 啊，我们这两个的对比呢，我们就要去稍微看一看，我们的样本呢，就是指的是这个群体，对吧？啊？大家一到十号站出来，这个啊，不是站出来，比如说抽查到十个人，那么这个十个人叫样本，样本量叫做十，这是一个数字， 好吧，当然高考是不会考你们这样的东西的，只是说基本的一个理解而已， ok， 然后呢，抽查，抽样调查的一个目的呢，是要了解总体的情况，我们知道哈，我们抽查，因为我们普查没有什么好研究的，对吧？我们主要的就是研究抽查， 抽查的目的呢，我们要了解总体的情况，所以呢，我们需要想办法让这个抽查的对象呢有代表性。我不能说我刚才抽查英语的这个水平，然后我在一千个人里面呢，抽查了五十个人，全都是尖子生，那么他得出来的平均数等等的一个指标，对于整体的一千人 就没有代表性很弱啊，因为代表性不是一个量化的一个过程，他的第二代表性很弱好不好？ 好，这里看两个案例，比如说哈，我们抽样调查一批代售袋装牛奶的细菌数，他是不是超标，那么我的目的是干嘛？ 是要去了解整批牛奶的这个，呃，细菌含量超标超标的一个情况嘛？而不只是说我抽查那几袋的情况，所以为了让抽查到的那几袋牛奶更加具备代表整整批的这个情况，我们的核心思想就是随机， 对吧？一定要做到随机，我们不能说我不随机，像刚才我们的这个英语的案例，我专门去抽尖子生的，这个就不随机啊，对吧？随机这个不用解释了吧？这两个字，对吧？一定要去随机，等概率。 然后呢？还有呢，就是比如说我们假设口袋当中有红色和白色，一共一千个小球啊，那么除了颜色之外呢？小球的大小质地完全相同，我们可以通过抽样调查的方式来估计袋子当中红白球的这个数量比例。我不知道这个数量比例啊，通常抽样的方式有两种， 有放回，可不放回，意思就说比方说哈，我们抽样调查一百个球去估计，那么有放回，顾名思义有放回，就是我取出一个好，是红色，我登记好啊，红色这个地方画正，对吧？一个， 然后放回去这个袋子当中再抽啊，红色又一个，再放回去，然后抽一个白色，对吧？然后再抽一个红色，再抽一个白色，对吧？画正好统计可以吧？ 那么这个呢，就是有放回，那么相对应的呢，就是不放回，就是我直接抽，我抽完一个我就拿出来了，我一千个抽了一个，就剩下九百九十九个在里面了， 好吧，所以这个呢，就是我们常用的两种方式，那么最后最后统计这一百个小球的颜色比例哈，对吧？用我一百个的这个小球的比例，比方说我一百个里面，我抽出来是有八十个红球， 二十个白球来估计，整体的一千里面，我认为应该大概有八百个是红色的，两百个是白色的， 对吧？有没有可能有偏差呢？当然有可能啊，我，所以为什么是估计是吧。那至于有放回和不放回的这个区别和哪个更好一些，那这个就是我们选 b 三的内容了。 所以这个就是我为什么很建议同学们去按板块学习的原因啊，到时候肯定过了一年啊，你肯定忘记我现在在讲的一个事情，这样更有利于你们把这些知识给串联起来。 ok， 然后呢，我们学最简单的一个抽样，就是叫简单随机抽样。什么意思呢？我们该说哈，一般的设一个总体呢，有大 n 个个体，从中逐个抽取小 n 个啊，当然小 n 是 一到 n 之间，对不对？那这里不画等号，画等号这个变成什么了？如果 n 等于小 n 等于大 n， 这个就相当于普查了，是吧？我都全部抽出来的，全都抽出来就不叫抽了，是不是就不叫抽了？对不对？没有意义了。如果抽取的时候，总体的各个个体被抽到的概率都相等，核心的一个点概率得相等，则称这样的抽样方方式为简单随机抽样，它是个名字哈， 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。其中根据抽取是否返回，可分为返回和不返回，刚才我们已经介绍了，对吧？好，那么与放回随机抽样比较，不放回随机抽样的效率更高。 我们如果放回，每次放回去很麻烦，并且我也提前预告一个结论，就我说了，刚才说了，我直接说一下选 b 三呢，我们学到后面就会发现，哎，不放回其实他指导的那个准确率是要比放回的准确率要高那么一点点的 啊，这个直到你们学到这个抄几何分布应该是选 b 三的七点四点二啊，就会讲到这个东西。 好吧，那所以呢，实践当中更多采用不放回，随机出样，而在课本当中呢，通常不说明也都是不放回啊。这个我们简单的了解一下，然后第一简单的来看一下我们的一个理解是否到位 啊？下面的抽查是不是简单随机抽样，我们说核心的点是随机，第一个呢，是某班四十五个同学指定成绩优异的两名参加一个作大会，不随机当然就不是，对不对。那第二个呢？从二十个零件当中一次性的一次性的拿出三个，不是不是逐一取出， 这个地方同学们去想一想哈，为什么我们要逐一抽出？因为一次性，你比方说二十个零件，对吧？那二十个零件，比如说有一个工人去做啊，他不是流水线，你们假设想一想，他刚好那个时候不舒服，头晕了一下，连续三个 质量出现了问题，那么事实上我们二十个里面呢，是有十七个是 ok 的， 但是一次性抽了三个都不行，那我们认为是百分百，对吧？那这个时候呢，所以一抓一把是有可能，他是有巨堆的一个效应的，很多情况下，所以 一次性是不一样，逐一取出就是要保证随机性，就是要保证随机性的一个手段，所以不能一次性。好吧，那为了食品安全，中秋节前 从某厂提供的一箱月饼当中拿出一个检查之后放回，再拿出一个检查后放回，连续拿出，又放回五次，检查了五个月饼，这个是 随机出样，并且是属于放回的简单随机出样，我们说放回与不放回不影响，它是不是简单随机出样？哈，这是两码事，放回和不放回都是属于简单随机出样啊，它这里是属于放回， ok。 然后第二呢，就是用简单随机抽样的方法，从含有十个个体的总体当中抽取一个容容量为三的样本，那么其中个体假在第二次被抽到的可能性为多少？ 好吧，那这个时候呢，这道题目呢，怎么说呢，他并不是在本节课当中的，但是呢，我觉得因为这个东西其实很早之前就有概率到初中有概率，这个也比较简单，同学们去呃，看一下，回顾一下能不能想起来简单的概率。 第一次呢，甲没抽中的概率是十分之九，对吧？因为甲被第二次抽中，那第一次一定是没抽中，所以我要求他是第一次有十分之九的概率没被抽中，然后呢，他在第二次被抽中，就剩下的九个人当中，他抽到了他乘以九分之一，所以他是十分之一。哈，这个呢，就是 去回顾一下，好吧，基本的概率问题看一下。然后呢，有一个研究的案例啊，课本上的一个研究的案例 就是一家家具厂要为数人中学整个高一年级制作课桌椅，他要事先了解全体高一年级学生的平均身高，包括男生和女生。那有了这个平均身高才可以去设定啊，他的一个标准的高度在哪里比较合适？那么已知数人中学高一年级呢，有七百一十二名学生， 如果通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，那我们应该怎样去抽取样本呢？ 在这个问题当中，哈数人中学全部的高一年级的学生构成调查的总体，对吧？我们首先把这个模型，这个是调查的总体，每个学生是个体，学生的身高呢？是调查的变量。 我们对高一年级进行简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高来估计整个年级的平均身高来实现。我们的简单随机抽样的方法很多，刚才我们的简单随机抽样是一种思想，对吧？我们要保证随机这两个字，对吧？但是事实上 ok， 怎么抽？ 我们现在落地到怎么样去抽他的具体的操作方式主要有抽签法和随机数法。 那么第一种呢？抽签法就是顾名思义嘛，就抽签，对吧？抽签法就是把总体当中的 n 个大 n 个个体编号，把号码写在号签上，这里二十三号，当然他一定要不要一定是阿拉伯数字啊？也不一定对不对？比如说我的高一 一班，对吧？这里是二十三号，这也行，对不对？高一一班的二十三号学号的同学也行，反正这个我看到这个号码我知道指的是谁，你直接写名字也行，对吧？ 把号码写在号签上，那么将号签放在一个不透明的一个容器当中搅拌之后呢？从中不放回的逐个抽取号签，连续抽 n 次，那么就小 n 次就得到一个容容量为 n 的 一个样本，对吧？其实我们看这节课哈，或者说下节课都是它很像一个常识， 其实在本章的好多节课都属于常识，就是我们在社会当中啊，比如说我以前我请过人， 对吧？开个公司有很多同事的一些关系的一些合作，就是就算是小学毕业做一个简单的文员，他也知道的，好不好就是一个常识。所以我为什么在这里再提呢？我经常讲很多同学一遇到数学课，放在数学里面就瞬间变傻子， 瞬间变傻子就这个东西在生活当中会很简单，但是放在数学当中我就一，我就觉得这个东西一定是啊，就就痛苦了，都是常识的问题。教你怎么抽签，抽签对不对？就这样子， ok， 那 么简单的理解呢？我们说对个体编号呢，也可以利用已有的编号，我并不需要说一七百二十 啊，七百一十二名学生，我重新变一次零零一零零二零零三，一直到七幺二，我也不需要，因为他本身是有学籍号 啊。本身是不是嘛？二零二五，什么呃，零一二三之类，它本身会有个学籍号，或者说它本身会有每个班的学号，对吧？那我刚才比如说用班级加学号，我不一定要用 新的编号，我用已有的编号也行，对不对？那我们这里所说的不透明的容器的本质是保证尽可能的随机，所以它并不一定说一定要是一个不透明的容器，我不看它透明，我不看，行不行？也行，对不对？ 而且呢我们要保证尽可能的随机，不仅是说容器我看不到，还需要做的这个措施还包括比如说让号签的外观、质地等没有差别，充分搅拌等等，对吧？我的一摸， 这个纸有硬的有软的对不对？那这个不行，有长的有短的，我一摸，哎，我就知道是哪个不行，对不对？所以呢，我们要这个质地外观，我摸不出来，他没差异，我也看不出来，然后呢充分搅拌啊，这都是常识，好不好？都是常识。 然后呢抽签法通常五个步骤，我们简单的说一下，给总体当中所有的个体编号制签，对吧？写签上，然后把号签放在一个容器当中，然后摇匀，然后呢就抽签，连续的抽 n 次，对不对？然后取样就把所有的我们抽出来的号签的个体都拿出来，然后呢形成样本去研究他们的数据啊，对吧？就这样子。 然后呢抽签法的优缺点，优点呢就是我们说的嘛，抽签法谁不会呢？它简单，所以在总体较少的情况下哈，简，操作简单。比如说我们十个同学里面抽取两个值日生，或者说我们刚才说七百一十二名，我觉得顶天了这个数字，那如果是一百万个人里面抽呢？我要至千 一百万个，那就太夸张了，而且我们也摇不匀呐，对不对？对吧？所以呢缺点呢是总体样本量如果很大的时候，质签的工作量巨大，且难以保证搅拌均匀，从而影响随机，你怎么保证的？ 像炒菜一样，对不对啊？我没有办法均匀，对吧？所以呢是没有办法做到，它只能在总体较少的时候随便弄一下，是不是这样子？第二个呢，是什么方法呢？叫随机数法，随机数法的意思呢？就是用随机数工具，什么意思呢？其实就是信息技术工具啊，我们的 computer， 我 们的电脑，对吧？ 然后呢手机等等啊，电脑里面呢，也有好多好多不一样的软件，手机也有，现在有什么现在有 ai， 现有 ai 呢？无论是电脑和手机，你让他去直接发个命令就行了。说实话，时代已经进步了，对吧？其实已经，所以课本介绍的很多方法我都没跟大家说了，这个已经没什么意义了，您直接打开个豆包就可以了，打开个，打开个 deepsea， 然后呢，用这个东西呢，来代表抽签，生成随机数来进行抽样的方法。抽签呢，通常四个步骤，第一个呢，编号，编号还是得编的，你要告诉他，比如说我们用的 excel 表， 那么干嘛呢？比如说我们有个格子，可以输出输入一个公式，等于等于什么呢？ random， 我 们知道 random 随机嘛？然后呢？ between 啊，有很多的，比如说 random between， 它是一个公式，对吧？ between 啊，比如三到十二，那么意思就是从三到十二之间 啊，去抽取，任意抽取，你输入一次，它就随机一次。那这个就是 excel 表里面的其中的一个公式，但它还有很多的公式，它不一定是推逻逻辑啊，它还有别的逻辑。好吧，那这样子设参数，然后呢？抽签，对吧？因为抽 m 次或者统一抽，这个地方我就写啊， 逐一的进抽签或者统一抽。为什么我这个地方可以统一抽呢？因为它是计算机，它可以模拟，对不对？我不需要，不需要说我抽一百个，我一定要统一抽呢？因为它是计算机，它可以模拟，对不对？我不需要说，我就要逐一逐一抽， 对吧？那如果我用信息技术工具，那我直接告诉他，我要抽一百个，他直接给我生成一百个就可以了，然后呢，最后取样， 好吧，这里的所有东西都不没有任何的要背的哈，大家不要在这个地方给我在狂背这些步骤哈，这个就很没必要了哈。好吧，那这个地方呢？哎，跟大家聊一个事情，做个知识的拓展。目前我们的计算机系统哈， 他是无法实现真正的随机数的，我们所看到的随机数，严格意义上来说都是尾随机数，大致的原因呢及案例如下，跟大家说一下，计算机它是确定的系统， 虽然我们用很多的随机数工具，它背后都是二进制的，这个系统所有的操作都依赖预设的指令，所以生成的随机数的本质是可预测的。尾随机数原理呢，是利用算法来模拟随机数， 所以呢，形容赌场的随机性。还有比如说一些重大事件的一些密码，比如说核弹发射啊，一个国家，对吧？比如说美国，他拿着核弹的发射，他有个发射器的密码，如果这个密码的设定，我们去使用信息技术去加密，这就极度危险的哈， 比如说哈，在二零一七年，有一个黑客就通过预测尾随随机数的这个工具来破了美国某这个赌场的这个彩票的系统， 就这个彩票的系统，他是随机的，但这个随机呢？他完全通过什么东西，他不通过人为，他就通过计算机去生成，结果这个黑客他找到了他背后的那一套什么算法， 他这个随机，他就能预测他的随机。同学们去思考一个事事情哈，说这个呢，其实让我们好好去理解一下这个点， 包括未来说我们去设置我们很重要的银行卡密码，手机密码的时候，就不要说，哎，我只是哎四位数豆包给我生成一个，这个是没那么安全的，大家知道。然后呢，给一个大家一定很关心的一个实力游戏，对吧？一定玩过游戏吧，你们对吧？ 那么你们玩玩这个王者荣耀，玩其他的单机游戏，是不是有什么闪避率，呃，那个暴击率等等的这各种的率啊， 抽奖概率是不是你们抽到这个 s 卡的这个概率零点一百分之一等等，那么这些都是伪随机的，同学们要知道，所以像王者荣耀里面啊，我如果有百分之二十的暴击率，他并不是每次都执行百分之二十的一个暴击， 并不是说啊这样子的，他有一套算法，他没有办法做到真正的随机，所以很多时候呢，他的随机是有补偿性的， 补偿性就很多刀没有暴击，那么是会有一个会暴击的，这个是一个我觉得一个常识啊，带大家去理，了解一下，一个基本的一个常识啊，对吧？ 好，然后呢，继续我们刚才的一个研究案例，那么下面呢，就是从刚才的那个树人中学，我们高一年级的学生当中哈，我不管用这个抽签法还是随机数法，反正我们的身高的变量值如下， 这个东西呢，五十个，你们要不要算一算啊？有兴趣的就动手算一算。好吧，如果呢也没有必要看着我们讲就可以了，总体的平均数呢，就是我们首先说在这个样本当中， 总体当中有大 n 个个体，它的变量分别为大 y 的 一到 n 之间，则这个东西呢，称为总体均值或者总体平均值。但不要看这个东西，它就是平均数， 跟小学学的那个平均数一模一样。好吧，那同学们就说，我为什么要有这样子的东西啊？首先它的平均数怎么表达？看到上面有一横表达平均数啊，这个习惯新的一个写法，这里有第一个新的东 西，对吧？ n 个个体分子或他们两个，他们所有的加起来除以这个个数，对吧？那这个地方呢，就出现了个新的东西啊，这个呢， sigma 是 一个求和符号， sigma， 这个读 sigma 是 大写的 sigma， 这个希腊字母，它的小写呢，是这样子的 啊，好吧，这个呢，通常来说代表标准差差也是 sigma 好。 这个地方呢，就同学说，有的同学就，哎，那没必要，我知道啊，既然你说平均数，我为什么要接触这个东西？这个就是我 无数次苦口婆心地跟同学们讲的一个点，在我们知识极度简单的时候，一定要好好地利用这个机会去上手新的语言。 比方说我们在高中一进来的时候，我们的集合语，常用逻辑用语，就让我们去开始使用数学语言来表达事情，那么既然它简单，我们先上手，对吧？我们先上手， 先熟练。那么等到我们选 b 三，必须要用到这个的时候，以及高考他不使用这样子的东西，直接给我们的，这个时候我们能快速的能看懂，好吧，所以这个呢，是一定要大家去强迫自己去跳出舒适圈好不好？不要嫌我啰嗦太多的同学了， 跳出舒适圈好不好，去使用新的符号去理解它这个马尾求和符号，就是说这样子呢，就是相加， 我们来看一下怎么去阅读它两个主要的点。首先呢，我们看到这个 i 和这个 i 这两个对应，代表了式子当中谁在变，你看这个地方 x 一， x 二，一直到 x n， 对 吧？谁在变 i 在 变 i 呢？是常用的，它有个名字叫缩影变量， 比方说哈，我这个地方有十个同学的身高，我称之为 x， 那 就 x 一， x 二， x 三，一直到 x 十，那我能不能用 abcd， 对 吧？可以吗？可以，但是我们通常都用这个有什么样的特点呢？我们在面对同一个类别，同一系列， 比方说我刚才说了，在统计当中十个同学的身高，它是同一个系列的，我们就会用什么，我们就会用这种 x 一 或者 a 一， a 二等等等等， 用这样子的一个字母加加上一个这个下标来表达这样的东西，那这个东西叫缩影变量。缩影变量通常用 i， 通常 我不一定用 i， 我 用 a 行不行？可以，用 n 行不行啊？也可以啊，这 n 在 这里，这里不能用，用 n， 对 吧？那所以这个数字对应，那么就告诉式子当中谁在变，如果这个是 i， 这个是 a 不 对应，那么就变得是 i， 这个 a 不 关事。哦，好吧， 那第二个呢？我们来看这个一到 n 什么意思啊？从一开始到 n 结束，那所以同理，如果这个是三呢？从三开始到 n 结束，三到五呢？从三开始到五结束，看懂了吗？好，我们来试一下。看懂了，试一下。第三理解求和式，这个和这个的一， 我们首先看第一个，谁在变呢？ n 在 变，对吧？ n 在 变，从哪里变到哪里啊？从二到五，所以这个式子表达的是什么东西？二的平方加一直变三的平方，加 四的平方，加五的平方，好吧，从二三四五，明白吗？所以这个式子是这个意思。第二个呢，我们来看哈， a， 我 换了一个，没问题， a 从一变到 n 啊，这个括号必须要加，如果不加啊，应该说不加和加是两码事哈，就是我这个符号 a 等于一 n， 然后呢，二 a 加三，不一样的，这个是一个整体，算完之后加三，这个加三，所以这个一定要括号好不好？那这个时候多项式啊，如果我们多项式扩进去，一定要括号， 这时候我们看就是第一个是一，就二乘以一加三，第三个呢，二乘以三加三， 以以此类推，一直到 n， 二， n 加三，对吧？所以我们会知道有这样子的一个规律，所以我们要知道它表达的是一个什么样的东西，好吧。第四，继续理，理解这个，那这个就更复杂一点了，同学们看， 刚才理解完之后，我们说这个是独立的，最后加二不关事啊，对吧？然后呢？ b 的 平方啊，这是一个常数，然后 n 呢？谁在变？ n 在 变，跟 a 有 没有关系？没关系， a 是 一个常数，所以这里面我们会知道 b 的 平方分之一，括号里面做求和，从一加到五，对吧？所以呢， a 跟这个缩影变量没有关系，此时的缩影变量是 n， 对 吧？ 从哪里开始？从一开始啊，开始加 ax， 二加 ax， 三加 ax， 四加到 ax 五，好，这个这个就算完了，最后 加二哈，一定要读懂这个东西哈，好不好？所以我们呢要搞清楚他们的意义，好吧，好，然后呢？ sigma 的 简单预算法则啊，我们课本当中对 sigma 的 要求很低，但是 考试会有要求，考试有些东西呢，就是还是多少会有，所以简单的预算法则我们得知道。第一个呢是加减法可拆啊，我这里面有写的很详细，就如果他是有加减法的一个多项式啊，多项式 我在保证前面不变的情况下，我是可以把它拆起来的，就说我前面不变，然后这里是 a 到 b， 这里也是 a 到 b， 同时它是不是也能合成回去， 对吧？可拆可合，但前提合的情况下是 ab 啊，对吧？这里是 c， 这里是 d 啊，那不一样啊，对吧？我一定都是从 a 到 b， 那 我们就可以把它给合起来， 然后呢？什么呢？常数可以提出来哎，刚才那道题目当中里面的 a 它是可以提取出来的，记不记得我们刚 b 的 平方分之一，然后呢？ a x 一 的平方加，是吧？一直加到 a x 五，那这个 a 是 不可以提取出来，所以这里的常数是可以往前提的啊， 常数跟我们的所引变量没有关系的部分，我们可以往前提哈，好吧，然后呢，第三个呢？我们的常数求和，这是什么意思啊？ 这的意思呢？就是每一项它都是 c 啊，这里所说的 c 都是常数哈，这里没有单独说明 c， 它都是一个常数，那么这里的意思就说缩影变量，但是这里有没有缩影变量？没有啊，整个式子它都没有缩影变量，就它缩影变量在变，跟这个没有关系，它的每一项都是 c， 它一共有 n 项， c 加 c 加 c， 对吧？一直加，一共有多少个 c 啊？一共有 n 个 c， 所以呢就 c n， 好 吧，简单的三个理解，我们要有哈这个，然后呢，首先我们回到刚才的这个总体平均数，然后接着呢，如果在这个 n 的 个体当中， 不同的只有 k 个，不妨记为 y 一 y 二到 y k， 其中呢，每一个 y i， 你 看，所以变得出来了哈，逼着自己去看懂这样的语言。 y i 出现的平数，有没有看过这个词啊？平数为 f i， 则总体平均数，也可以写成加权平均值的形式，大家自己先理解一下，先暂停自己理解一下这里平数啊，这个以前就经常出现过的，对不对？那比如说十个人的身高，有两个人都是一米七五的， 那么他的评述就是二有两个出现。加权这两个字大家正常到了高中也不陌生吧，对不对？比如说我们的艺考生啊，会有一个什么体育生，就会有个什么权重， 有一个权重，生活当中我们也会讲啊，这件事的权重不一样，什么意思啊？比如说以前，比如说艺术分百分之六十，加上文化分百分之四十来组成你们的总分，后面变成了五十五十，对不对？那这个叫什么？这个就叫权重， 是吧？那比方说简单的说一百分制，一个考了九十六分，一个考了那个八十七分， 那么如果这个的权重是零点六，或者说百分六十，那么这个的权重是百分之四十，最后这样去计算，这个叫权重，那所以这个呢，在生活当中也非常的多见好不好？那我们回到这个地方来看，每一个数，就像刚才的一米七五， 再乘以它所对应的平数，对吧？那么一米七六乘以它所对应的平数，所以呢，就这个式子就等于什么等于 y 一 啊？ f 一 加上 y 二， f 二一直加，对吧？加到多少？加到 k 好 不好？自己要慢慢的去这样，所以在这个地方开始，我就没有给大家写这个东西了，我让大家开始去 慢慢去习惯去阅读这样子的式子，加完之后，最后算一个平均数，所以这个也很简单哈，所以我们来看一下，用一个比较简单的一个数据，就用十个很小的一个数据来看一下，大家能不能理解，分别用总体平均数和加权平均数两个方法计算下列的数据的均值，不一定要套公式哈，不一定要套公式，常规的就行。 总体平均数呢，就是我在这个地方出现两个二，所以二出现两个三，所以三乘以二， 出现了三个四，所以四乘以三，五乘以一，六乘以二，对吧？就是我不要二加二，要二乘以二，就这样子啊。有的同学也觉得啊，这么简单，我也不记这个东西，这个是引导到后面我们的频率，进而引导到概率的基础 啊，所以这个得知道简单的这样，当然知道到时候全都出现的代数式，大家就蒙了。我们的所有的题目当中，应该是统计与概率出现的字母是最多的，没有之一， 它不是最难的啊，最难的都是在几何和代数的板块，但是它出现的字母，它出现的代数，代数的形式是最多的，最多最多的哈，有新出的阶乘，后面有的，还有这里出现的这个求和符号 sigma， 那也有一些，这平均数也有缩影变量啊，非常的多，所以非常考验大家这个东西，好吧？然后呢，刚才我们说的是总体，现在说样本没有任何的区别，没有任何的区别，就是刚才说的是我的总体当中，对不对？我的总体当中，然后现在呢，变成了样本，所以呢，刚才的大 n 变成了小 n， 那 y 其实就给它命个名哈，就是给它命个名叫样本均值。刚才是总体平均数啊， 然后呢，我们常用这个才是他思想的关键，我们常用样本的平均数来估计总体的平均数啊，对吧？ 那么事实上抽样的核心方法论呢，就是我们样本数据来估计总体数据，所以并不只是用平均数来做估计，包括还有别的其他的统计指标，包括说方差、标准差。然后呢，我们会发现哈，就是我们在总体当中的数据会发现，哎，刚才我们说这两个东西就是为了定义一个所谓的样本均值而已，对吧？ 那么两个东西全都一样的就是什么呢？刚才总体是用的字母不一样而已，这个用 y， 对 不对？然后呢，所以呢，总体当中的数据通常用大写英文字母来表示，比如说 n， 比如说 y， 而样本当中呢，就用小写，这是一个通常，这是一个习惯， 所以呢，这是个约定俗成的一个比较常用的一些表达方式，同学们不一定要这么使用，但是呢，这个是大家都这么用啊，所以这也是比较好用，所以呢，就是建议大家使用这样的方式来进行表达，习惯用这样的方式，样本当中的全用小写， 总体当中的全用大写，这样好去做区分，好去做区分啊。然后第六题，我们随机抽取某超市四月份五天的营业额，分别为 二、三、四、五，那么则这个商场四月份营业额大概多少元？随机抽的五天来代表四月份是吧？先算出五天的这个均值，接着呢，用五天的均值来估计总体，就是这样的一个思想啊，考试不会考这么简单的，所以本章大部分都是一个 基础，因为一定会涉及到统计，统计概率必然涉及到统计，那统计的基础我们就呃去讲很多的一些这样的东西。好吧，考试当然有例外，像二零二五年 全国二卷的第一道题啊，这是一个例外，当时出了什么二六十二，什么十六十八啊，什么五个数字的均值啊，作为第一道题， 小学生的题目，真的真的是彻底小学生的题目，这个就不开玩笑，这道题目被很多人调侃了很久啊，这道题目啊，第一道题目 啊，大家也可以去看一下二零二五年的全国二卷的第一道题啊，他大部分不会，所以他是个基础啊。然后呢，最后做一个总结，就是简单，随随随机出样的他并不是万能的，但我们呢，要了解到说用样本的平均数来估计总体平均数的这个思想。 然后呢，它是一个基本的方法，是其他抽样方法的基础，是所有其他抽样方法的基础。比方说我们下节课所讲到的分层随机抽样， 那么在实际的应用当中，其实我们运用简单的随机抽样有很多的局限性，好比如说当总体很大的时候呢，我们简单随机抽样，给所有的个体编号等准备工作呢，非常费时，甚至呢难以做到。 抽中的个体往往很分散啊，要找到的样本当中的个体并实施调查，会遇到很多的困难。然后呢，还有一些问题呢，就是如果他的很多的差别会很大的情况下 哈，这个下节课会说啊，我们就要用到分层随机抽样，所以一般呢是把简单随机抽样和其他随机抽样的方法组合使用啊，我们的一个核心的一个理解。 好吧，所以这节课呢，我们总结就是本章的基调就基本上是这样子，没有特别多的一个知识，大量的文字，因为都是理解，你们一翻书，书的文字更多，密密麻麻，像像一个文科一样，对吧？就是理解，然后让很多东西来讲一个道理， 有很多东西他也不是一个百分百确定的一个东西，也是有权衡和抉择的。然后这个过程当中呢，我强调说，在简单的时候呢，一定一定一定一定要 我们的符号啊，我们新的符号一定要去跳出我们的舒适圈，然后呢去习惯使用它。那我经常说我们从那个 b， 那 个 b 秀一的第一章，我就说 math language， 它是个语言，既然说是语言，就听说读写， 我要多去说，多去读阅读，多去写它，我们才能熟悉哈，在简单的时候打磨内功啊，这是一个常用的一个方法和技巧。好吧，那这个就是我们的这节课啊，下节课再见，同学们，拜拜。

又来学校门口抓同学检查舞蹈作业了。来了来了，遇到了媛媛同学，放学了 老师帮他，回忆中有点兴奋，和同学玩耍。你要录啥？今天跳的还有点怀念小时候了，长不大真好。欢声笑语结束，开始检查作业， 过两周再来突击检查员员同学。

今天的日记也写完了，然后读完第三张，把它放在 ipad 上读，读起来会轻松一点，因为字放在图片里特别小。 第三张，硬币世界硬币世界这一张很重要，也很难懂，看完就能明白贪婪为何在失败后会变成恐惧，恐惧又是如何悄无声息的让我们对这个世界失去兴趣，迷茫、抑郁和痛苦。 我一直是一个对古币特别感兴趣的人。除了货币属性，硬币在历史的很多时候都象征着天意，这种天意的正义性，正是我们看清楚自己贪婪、恐惧极其重要的一步。 而是因为我们越来越觉得，人心里很多东西和硬币很像，贪婪与恐惧，知行合一的知与行。 一个硬币的两面永远同同时存在，但你却无法同时看到。我最早意识到这一点，不是因为看书，而是因为我小时候真的做过，做过一件很蠢又特别真实的关于硬币和自行车的故事。 十二岁的时候，爸爸去四川回来送给我一枚熊猫纪念币，金色的，我一直以为那是真金币，可后来一段时间，我特别想买一辆特别好一点的自行车，但爸妈不同意，我自己又没有钱。 于是我开始盯着那枚硬币看。看着看着，我心里慢慢冒出来一个念头，要不把它卖了。 这个念头一出来，事情就开始有意思了，因为从那一刻开始，我的心里其实已经同时站着两股力量，一股想要，一股害怕， 想要那辆车，想把我喜欢变成我得到，这是贪婪。我也知道这硬币是爸爸送给我的，拿去卖掉这件事怕以后被问，怕自己卖了之后又后悔，这是恐惧，所以我开始掷硬币。 我一开始给自己定了一个规则，如果至两面，两次正面我就去卖，结果一次正面，第二次反面。于是我在想，那就改规则为两次反面，结果又变成一正一反。然后我又想， 那就换个规则，再来再来。我不停的改规则，两次正面不行，两次反面不行，一正一反也不行，总之我一直 制不到那个让我安心的天意。到最后，其实我已经知道，真正难的从来不是硬币，难的是我自己。我不是在等一个答案，我是在等一个理由，和现在 与我连麦的很多粉丝很类似，等一个可以让我把这件事情做下去，同时又完全不任用，承认这是我自己决定的理由。后来我又改了一次规则，我说那就三次吧，如果制出三次 不连续相同，我就去卖，结果真制出来了，一正一反。 于是我拿着那枚硬币去卖了，可真到店里，人家一看，说，这不是金币，这是镀 银的金，镀金的银币。我当时特别沮丧，因为我前面折腾了那么久，反复治，反复改规则，反复说服自己，结果最后换来的甚至不是我以为的那个东西。但 也是在那个瞬间，我突然明白了一件事，我前面一直盯着硬币的正面和反面，觉得自己在等一个天意，可真正决定我行动的从来不是硬币，是我自己。更准确的说， 我心里的那两股力量，一直在打架的东西，一股想要，一股害怕。从那以后，我看到硬币这两个字就很难，把它从一个物件看， 他变成了我观测现实世界的一种角度，我叫小世界。很多年以后，我在电视剧少帅中看到张学良和杨雨婷常因怀那段旧事时，我一下子就有了感觉。 很多人讲那个故事，会把重点放在到底治了几次，到底是不是做过手脚，到底是不是天意。这些地方，我后来越来越觉得那都不重要，重要的是他为什么需要一枚硬币。人很多时候 不是不知道自己想做什么，而是不愿意承担这一句，这是我自己决定的。于是我们就会给自己找很多理由，找一个看起来不是我的理由， 有的人找运气，有的人找形式，有的人找概率，有的人找一枚硬币。可这些东西很多时候都只是表面，真正压在下面的，其实还是那两股力，一股想往前，一股想往后，一股想得到，一股怕失去。 后来，我越来越习惯去硬币，习惯用硬币去理解很多事情。很长一段时间，我特别喜欢去 有很多清澈见底许愿池的，有我特别喜欢去有很有很多清澈见底的许愿池的地方发呆。当我又犹豫顾虑的时候，我会去到那里。我安静的坐 在一边，看大家丢下属于自己的恐惧与贪婪，思考自己的代价与结构。 当我站在一边观看他们丢下一枚枚硬币，一会儿欢呼雀跃，一会儿失落，一会儿悲失落悲伤，一会儿一笑而过， 一会儿反复尝试，我就会走进我的硬币世界。万家灯火的那一刻，反仿佛一枚硬币，一面是贪婪，一面是恐惧， 不是轮流来的，是指在某一刻，哪一面朝上你往前冲的时候，你以为自己是贪婪， 其实恐惧也在。你也许怕穷，怕输，怕一辈子只是个普通人。你退下来的时候，你以为自己是恐惧，其实贪婪也还在。你也许还是想要，还是不甘心，还是舍不得， 只是你更怕付出的那个代价。所以，人真正的状态，从来不是我只有贪婪，也不是我只有恐惧。真实的状态是，贪婪与恐惧同时存在， 那只是某一刻，哪一边的阻力更大，哪一边的阻力更小，水就流往就往哪 边，水流就往哪边。走到这里，我们慢慢的把河底的石头这件事情想清楚。河底的石头并不一样， 有些是大石头，有些是小碎石。贪婪是大石头，它更显眼，更容易被看见，更容易直接改变水流。一个人想赚钱，想翻身，想成功，想证明自己，想得到某种未来，这些东西通常都很明显， 你站在岸边，一眼就能看出来哦，我想要这个哦，我是冲这个去的哦，这么拼，是因为我太想拿到了。 所以我说贪婪像大石头，这无关任何高级或低级，而只是因为它对水流的影响，很容易被肉眼发现，水冲过去，表面会立刻涌起。 人也是这样，一个人贪婪很强的时候，动作情绪大，决策猛，你很容易看见。可恐惧不一样，恐惧更像小石头，小碎，不显眼，更会藏。他很少说我害怕， 他更常说的是，再等等，还没准备好，更谨慎一点，不是不敢，只是想想清楚一点，不是退缩，只是觉得现在不合适。所以，人很容易感受到恐惧， 但更难察觉到恐惧。你知道自己不舒服，会 知道自己退了，会知道自己犹豫了，但未必你知道。那下面压着的其实是怕，怕失败，怕丢脸，怕麻烦，怕白做，怕人笑，怕承担。自己其实没那么厉害，怕自己不过就是个普通人。 所以后来我越来越觉得，人平时看见的往往只是个普通人。所以后来我越来越觉得，人平时看见的往往只是个普通人。所以后来我越来越觉得，人平时看见的往往就是个普通人。所以后来我越来越觉得，人平时看见的往往证明， 可真把人困住的。很多时候，反而是那些细碎的小石头，他们平时不显眼，可他们会堆， 一颗怕失败，一颗怕丢脸，一颗怕白忙，一颗怕拒绝，一颗怕被别人看不起， 一颗自己其实配不上自己想要的东西。平时看都不看，很多人忽人在忽略中，慢慢事情发展到不可收拾的地步。恐惧， 他堆成一座雁塞湖，这就是恐惧最可怕的地方。贪婪让水面起浪，恐惧让河道堵塞，大石头把水顶起来，小石头把水堵住。很多人看到人选天选论不敢看，觉得自己 无法行动，不敢选。这是典型的恐惧，暂时形成厌涩湖的情况。很多人不是不想要，也不是没动力，更不是完全没有贪婪，他只是被那些小石头一点一点堵住了， 于是整个人慢慢的会进入一种很奇怪的状态，表面上还活着，也还在想，偶尔也激动，偶尔也羡慕，偶尔也会说自己想改变。可真的轮到他往前走的时候，他动不了了， 不是没有路，是河堵了。雁上湖最麻烦的地方不是浪大，恰恰相反，它看起来很平静，平静的像理性， 像成熟，像看淡了，像没事。可你往下看，就会发现，它根本不是。水还在，河也还在，可它不流了，水流不进来，更流不出去， 河的沿岸迅速扩大。自己越恐惧，越学习，越学习，知道的越多。知道的越多，就知道自己不知道的越多。越恐惧，河流就越堵塞。当一个人被恐惧的小石头， 小石堆。当一个人被恐惧的小石堆堵， 当一个人被恐惧的小石堆堵住以后，最常见的状态不是疯狂， 而是拖延、自洽、麻木，对任何事情都提不起兴趣，仿佛人生没有希望。拖延是因为留不动，自洽是因为要给不动找解释。麻木是因为堵久了，连自己都忘了原来想去哪里。 所以，很多人迷茫，不是因为他们没有目标，而是因为他们的河流已经被这些小石堆堵住了。为何会有这么多恐惧、贪婪去哪里了呢？ 这是最可怕的循环。贪婪的大石头会碎，小石头却不会变成自己，变成大石头。一个人年轻的时候，贪婪往往很大，想赢，想快，想翻身，想证明自己和别人不一样。所以，那块石头很大， 大石头也很多，水一冲，表面全是浪。可如果他一次一次撞，一次，一次失败，一次一次付出代价，那块大石头是会碎的， 碎成很多小石头。原本的我想要，我想成功，慢慢碎成，我怕再输，我怕再丢脸，我怕别人笑我，我怕自己其实没那个命。 所以，很多人不是不贪了，是贪婪，在一次次冲击之后，碎成了无数的小恐惧。这 也是为什么有些人年轻时很猛，越来越，后来越来越谨慎，越来越会说算了，别人会说他成熟了，但很多时候不是成熟了，是那块大石头被现实打碎了。 说到这里，还有一个很多人会忽略的点，连我们自己开始观察自己，研究自己，想把这一套考明白，这个行为本身也不是中性的。 很多人以为自己开始研究内心是因为理性，是因为成熟，是因为想变成清，想变得清醒。其实很多时候也不是。 有些人观察自己是因为贪婪，他想把这一套搞明白，然后赚钱，想把这一套搞明白，然后提前看懂。别人想把这一套搞明白，然后在世界里 赢得更多，想把这一套搞明白，然后少走弯路，快点起来， 这是贪婪在推。还有人观察自己是因为恐惧，他不想赢，他不是想赢，他是怕以后再 吃亏，怕以后再掉进同样的坑，怕以后会突然出事，自己一点准备都没有，怕自己如果不把这些想明白，后面会出更大的问题， 这是恐惧在拉。所以后来我越来越明白，人很少因为纯粹的好奇心而观察自己，这也是如此多人反对和故意不理解我的原因。 很多时候，要么贪婪推了他一下，要么恐惧拽了一下，这就意味着连观测本身也被硬币影响了， 你不是站在一个完全客观的位置上看自己，你也是带着一枚翻转的硬币低头去看河底，这也也是为什么 我后来越来越重视怎么观察。如果你想直观的看贪婪，其实并不难，就在你最兴奋的时候，最想证明自己的时候，最不甘心的时候，最想拿到的时候。 因为大石头就是这样的，他会直接把水顶起，你不太可能看不见。如果你想更中性的看，恐惧就没那么容易了。你不能在最激烈的时候看， 你得在水面相对平的时候看，也就是你没那么兴奋，没那么慌的时候。比如跑完步以后很累的时候，你坐下来写东西的时候，那个时候水慢一点， 表面安静一点，你更容易看见那些平时看不见的小石头。所以我后来越来越觉得，贪婪最好在浪起时看，恐惧最好在水平时看。 写到这里，我越来越不觉得贪婪和恐惧是什么复杂的东西，他们太普通了，普通到每个人都有，普通到每一天都在发生。 你看到好机会的时候，他们一起出现。你爱一个人的时候，他们一起出现。你想离开的时候，他们一起出现。你决定创业的时候，他们一起出现。你准备认错的时候，他们一起出现。他们从来 不是轮流来的，他们同时都在，只是某一刻 哪一面更重，水流就往哪边去。所以人真正的问题，从来不是没有贪婪，也不是没有恐惧，而是他们同时存在的时候，你看不看得见哪一面硬币正在 朝上。当我思想出生，我思考如何如何河我，我思考如何河流的前沿，到处都是大大的石头， 当我们的人生走向老去，我们河流只有小石头，甚至沙子了。 所以我才很喜欢一句话，天意从来高，难问况人情老，已乎悲难数。这才是人间灯火缭缭的样子。 很多人一生都在讨论世界，讨论命运，讨论别人，讨论机会，却从来没有低头看过自己手里那枚硬币到底翻到哪一面，而这才是迷茫真正开始的地方。 因为人为什么会迷茫，不是因为没有路，而是因为两面同时都在，自己却看不见。那下一章， 那下一章，那就是下一章了。我有一件斩灭迷茫读完了，那各位晚安吧。

今天的天气超级好，我们又来随机检查作业了，猜猜谁是今天的幸运儿呢？寻找目标中，孩子也太多了，白宇老师都要变成人形监控了。来了来了，我们终于寻找到了今天的第一位同学，他看到我们居然跑掉了，火速追赶 啊！让我们一起寻找第二位幸运儿，意不意外？开不开心？成功捕获两小只？来吧，开始唤醒记忆！顺动作中， 接下来进入今天的正题，让我们来欣赏一下两位同学的表现吧！ 还可以还可以，还可以，任务完成！