北京八下月考几何压轴题

数学的重点在哪里？抓住这几块，孩子的成绩大概率不会差。我是北京海淀任老师，今天我们讲第三部分，四边形， 初二下册几何最难最容易出压轴题的就是这张了。从普通的四边形到平行四边形，再到菱形、矩形、正方形，性质特别多，变化也多，引含的条件多，辅助线 思路自然就多，难度几乎没有天花板。学这一张，千万不能碎片化学习，一定要形成框架，系统化去学，从边角、对角线、对称性四个角度理清他们之间的转化关系，把性质和判定彻底吃透。 很多孩子都说辅助眼画出来我也会，可是自己做的时候想半天也不知道这个辅助线到底该怎么做。核心就是要吃透各种几何模型， 比如矩形的翻折模型、菱形正方形的对称模型、正方形的对角线旋转模型、悬图十字架十字架模型、半角模型、手拉手模型等等。 常考的题型也给大家梳理清楚了，比如用方程的思想在平行四边形中构造全等，结合勾股定律求线段的长度，线段的坠值问题与将近一码问题的综合，还有动点问题，构造中位线 啊，特别是直角、三角形、斜边中线等，都是压轴体高频考法。我是北京海淀任老师，关注我，带孩子一起学好数学！如果你的孩子数学有困惑，欢迎私信我，咱们具体问题具体分析。

八下数学备考必刷三十道勾股定律与几何辅助线压轴题吃透稳上班级前三！ 完整版零三七打包下载打印！

这个题竟然是代数题型的几何伪装数！在八下考试，甚至中考考场里无数学生啊，对着这个式子猛算代数，却不知题目就是把几何密码藏在了式子里，只要一旦识破数形结合加勾股定律的思维，就能直接秒杀这道题。 别着急啊老师，今天一条视频带你彻底学透数形结合的代数应用，学会后不管期中、期末还是中考，都能轻松秒杀！一起来看题 说，已知 x 加 y 加 z 和等于六，让我们求根号下 x 方加一，加根号下 y 方加九，加根号下 z 方加十六，和的最小值是多少？已知条件非常简单， x、 y、 z 三个字母和是等于六的。 接着要求的这个式子呀，它的特点就非常明确了，大家来看，根号下 x 方加一，那一呢，我可以看成是一的平方， 第二个根号下外方加九，那个九显然是完全平方数三的平方。第三个这方加十六，那十六呢？自然我们想到是四的平方，换句话说呀，根号里边通通都是什么呀？平方和的形式对不对？那么在我们初中阶段， 出现根号下 a 方加 b 方的形式往往都在哪儿啊？勾股定律对吧？哎，在直角三角形中，如果两只角边小 a 小 b， 那 么斜边小 c 就 可以用 根号下 a 方加 b 方进行计算，这是我们大名鼎鼎的勾股定力。并且呢，出现这样的式子，往往都是竖形结合去构造这样的直角三角形，勾股定力帮助我们解析。好，我们一起来学习一下本题如何快速利用勾股定力完成竖形结合的 构造来解决这道代数题啊，那么第一个呢，我们要配凑的两直角边，一个长度是 x， 一个的长度是一，那我就画一个直角三角形， 这条直角边长度为一，另一条直角边 x， 那 么斜边长根号下 x 方加一。 好，接下来我们再来看第二个两直角边，一个长度是 y， 另外的一个长度是这个三， 那么我要如何去画图呢？所以关键是啊，很多同学他能够看出来，这道题目确实要用数形结合，确实要用勾股了，但是他不会去画图。那么老师来教大家，已知条件给的是啥？你看啊， x， y， z 三者之合，所以在图形上，我们如何把这三个边长，把它相加求和呢？所以 图形上要想把它三加起来，我们往往是把它画在一条直线上，对吧？如果它歪七扭八的，它就没办法知道哪条边是六了，能理解吧？ 所以说啊，我在画第二个直角三角形的时候，延长这条直角边，这个长度就是我的 y， 就是 我的 y。 好， 那接下来我再画这样一个直角三角形往下画。老师，你为啥往下画，不往上画呢？大家来讲啊，最后我们要求的是什么？ 斜边加斜边加斜边，大家都讲过这个将军印马是吧？做轴对称，如果往上画，是不是还得对称下来？我得让 斜边想方的好像连到一起，对吧？在一条直线啊，或者是折线上。好了，那么我们往下画直角三角形，这条直角边长度是三，斜边就是外方加九。 好，那关键问题来了，老师，第三个直角三角形 z， 另一条直角边是这个四，这时候我该怎么画？同样的， 老师说了，这个 z 啊，我要延长跟 x y 在 同一条直线上，这条边长度为 z， 那 这时候我比如说我再往下画，往上肯定是连不上了那个斜边，但是往下画呢？你看我这画直角边三角形， 哎，我怎样画直角三角形啊，都没有办法跟前面两条斜边连到一起。所以这里有一个小小的技巧啊，连不上的时候，我们可以先去做一个矩形， 你看我先构造这样一个矩形，利用矩形对边长度相等，把这个 z 转移到这样一个位置，此时大家再去构造这直角三角形，是不是就容易连多了？你看是不是我这时候再把它画下来， 你看这条直角边长度是四，这条直角边长度是 z， 所以 这个斜边就是 z 方，加上十六再开方 没有问题啊，所以这里边有一个构造矩形的小小技巧，这时候大家再来跟我观察已知条件， x y z 之盒转化成了三边之盒，并且连成了一条直线上，那么这条红色线段的长就是这个六。让我们求的是这三个斜边啊，斜边、 斜边和斜边和的最小值是多少？经典的化折为值问题， 当这些点通通共线的时候，也就是说我这三条斜边长成绿色线段的样子，此时取到和的最小值好了，那么最后一步我们只需要完成计算即可。同样去构造上方的 矩形，这个六就是这个六，这个一就是这个一，对不对？在大大的直角三角形中，勾股定律求斜边，所以这个斜边是根号下六方加上这一三四，也就是八六方加八方勾股 number， 直接口算六八十， 斜边长度为十，也就是这三条斜边和的最小值。所以这道小题回过头来看，发现这样经典的根号下平方和的样式，想到勾股定律， 大直角三角形，利用竖形结合，把这些代数的式子转化成一些线段长，通过求三条线段长度和的最小值来完成这样一个代数式的最小值计算，你学会了吗？

四边形和将军印码结合的题，是八下月考期中考试一定会考的一类压轴题型。 由于这道题要用到四个步骤，缺一不可，而很多的孩子呢，只会里面的两到三个步骤导致丢分，所以错误率非常之高。那这道题呢，李老师将带你重新打通这四个必要的步骤。 学完这道题之后，再把林老师给大家整理了四边形十大必考题型，拿去练习一下，只要把重难点都搞定了，月考多拿二十分。我们来看题， 如图，菱形 a、 b、 c、 d 的 边长是十啊，也就是说这四条边它都是十对角线， b、 d 等于十六。好，这条是十六啊，我们标记一下它是十六， 然后 p 和 q 是 两个动点，它是一个双动点模型。然后呢，让你求 a p 加 p q 的 最小值。 好，那这种题呢，我们一共要经历四个步骤，分别是构造、对称化、折为直垂线段最短和等面积。好，那具体怎么做呢？林老师将带着大家从底层逻辑给他梳理一遍。 首先第一件事情，我们要求这两条边相加的这个最小值，就得先把它们处理成同一边。那怎么处理最好呢？这个位置呢？我们需要把这个 q p 给它，想办法折叠到这个 a p 的 另一侧， 把它从同侧折成另外一侧。所以我们怎么构造呢？我们在这个 b、 c 上去截取一个点啊，咱截取个点 m 吧。 ok， 然后呢，我们要令这个 b q 和这个 b m 它相等。 相等完之后呢，就可以利用首先这两个角相等，这两条边相等，再加上中间这是一个公共边，对吧？所以我们可以构造出两个全等的三角形出来啊，所以呢，我们 本来是要求 a p 加 p q 的， 现在就转移成了求 a p 加 pm， 所以呢，这一步呢，我们要构造对称。解决了第一步，好，紧接着我们看第二步，我们要化折为直， 为什么要这么处理呢？你想啊，现在是这条边加这条边要最短，对不对？所以呢，我们折线肯定不如直线来得短嘛，对不对？所以呢，我们把这个 p 点呢和 m 点呢就整成三点共线， 那这样子呢，我们就可以得到这条 a m 啊，它是属于整个 a p 加 pm 里面最短的一种情况。那现在呢，第二步也解决了第三步，垂线段最短又是什么意思呢？你想啊，现在我变成了要求 a m 的 最小值，那 a m 是 不是有无数种情况啊， 对不对？其中最短的情况必然是什么？做垂线的情况才是最短的，所以 n 点在这里的时候呢，我们就可以得到一条最短的这个和，也就是垂线段最短，我们也解决了。好，解决完前三步，我们看最后一步，等面积法求高是什么意思？ 现在我们已经梳理出来了， am 就是 我们要求的最短的啊，那个最小值。所以呢，我们现在想办法把它处理成什么？把它处理成高来求就行了，那我们需要把这个 ac 给它连起来， 然后呢，用等面积的方法来处理，你看条件里面给了我们这个是十，这个是十，这个是十，这个是十，对不对？ 然后呢， v d 作为对角线给了我们的，它是十六啊，那么一半它就是八喽，这是十六，这是八，这利用菱形的性质，对角线相互垂直，所以呢，中间这个 o 点啊， a o 它就是多少，它就是，这是八，这是十，那这些六勾股定律六八十。 好，所以这个 a o 是 六啊，那么 c o 它也是六，就这一整条 a c 作为对角线，它就是十二。然后呢，我们就可以利用菱形的面积公式，怎么求啊？就是 s 等于二分之一，乘以对角线，乘对角线就是十六，乘以十二 等于多少呢？等于九十六啊，这个就是整个菱形的面积。好，那得出面积之后，我们最要求的这个 a m 呢？它是怎么求的？我们就可以利用啊面积公式，把这个 b c 看作是底啊，也就是十，对吧，乘以这个 a m 啊，乘以这个 a m， 它就等于我们刚刚求出来这个面积九十六啊，九十六，对吧？十，乘以 a m 等于九十六，所以 a m 我 们就可以得到，它等于九点六，所以最后我们答案就是九点六 搞定。最后林老师再总结一下，这道题一共要用到四个步骤，分别是构造对称化折为直垂线论最短和等面积求减四个步骤，缺一不可，请务必掌握。

八、下数学最难的几何最值二十一题全部掌握，稳拿班级前三。八年级下册数学几何最值二十一道压轴题题型一，一个洞点求两线段合做一个对称点。题型二，两个洞点求几条线段的合做两个对称点。 题型三，两个洞点求两段线段的合做一个对称点，结合垂线段最短题型四，两个洞点主从连动找动点轨迹，根据垂线段最短 题型六，构造全等利用三边关系求对值。题型七，无不规问题转化为将军引码问题。题型八，选桥选址模型转化为将军引码模型。以上均用单词吧。

同学们好，今天我们一起来看一道八年级下菱形期中必考题，今天两句口诀教你了解问题。来看题目，菱形 a、 b、 c、 d 中角 d， a、 b 等于六十度 b， e 等于 e， c 等于二点， e 为 bc 中点，那么由中点加平行，我们会想到构造八字形全等。在这张图上，我们可以延长 f 一、 ab 构造这两个三角形全等，也可以延长 a、 e、 d、 c 构造这两个三角形全等。具体看题目要求。往后读 又告诉我们一个二倍角关系，即角 d、 f、 a 等于二倍的角 e、 a、 b。 那 么在菱形当中，我们由对边平行内错角相等，可以知道角 d、 f、 a 等于角 ab， 那这两个小角就是相等的。再根据平行加角平分线，我们可以得到等腰。据这两个口诀，我们就可以构造八字形全等，即延长 a、 e、 d、 c 交于点记，那么这里这两个三角形就是全等的关系 问题。让我们去求 c、 f 的 长度，那我们就设 c、 f 的 长度为 x， 那 根据全等可以知道， c、 g 和 ab 相等都等于四， a、 f 等于 f， g 等于 x 加四， d、 f 等于四减 x， a、 d 等于四。那所有的条件都集中在这个三角形 a、 d、 f 当中，这 a、 d、 f 不是 一个直角三角形，我们不能直接用勾股定律。再看题目条件， 角 d、 a、 b 等于六十度，那么这个角 d 就 等于一百二十度。过 a 做 a、 h 垂直于 c、 d 的 延长线，构造这样一个直角三角形，这个角是六十度，这个角是三十度。 那么对于三、六、九直角三角形，我们有三边的比，是一比二，比根号三。因此我们可以求出 a、 h 的 长度是二，根号三 h d 的 长度是二。 那么最后我们只要把 x 放入一个直角三角形中，用勾股定律就可以解决问题了，可以放在直角三角形 a h f 当中。接下来的任务就交给同学们了，评论区打出这道题目的答案。

这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五以上的孩子都拿不到分。这是一道初二月考关于一线三等角和四边形综合考察的一道填空压轴题，难度系数特别大。来，同学们，今天我们一起来分析下这道题啊！首先来，我们先来一起读下题， 题目告诉我们，角 b 等于九十度啊， c、 d 和 bc 是 垂直的，那所以这个角呢，也是为九十度好。第三个条件呢， d、 f、 c 等于四十 五度， a、 c 边等于二倍根号下十五 c、 e 边呢？等于三倍根号三啊！然后呢，最后一个条件， b、 e 这个边又等于 c、 d 好。 最后，题目求的是 a、 e 啊，这个边最后应该等于多少？ 徐老师已经把初二四边形板块中所有必考经典题型，包括平行四边形十大题型十大题型、 菱形十大题型、正方形十二大题型、中立线八大题型等，再结合往年考试真题 u 中选 u 整理成了初二四边形经典一百题，练完四边形考试直接拿满分，需要的家长我发你一份， 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题啊！首先呢，很多同学一看到这两个条件，他立马想到了我们的一线三等奖，哪两个呢？第一个是我们的 b， 一 边 等于 c、 d， 对 吧？第二个呢，是角， b 等于角，这个 d， c、 e 等于九十度。哎，很多同学看到这两个条件，他立马想到我们的三等角，对吧？但是呢，这个题呢，不是我们的三等角，为什么呢？因为这两个直角三角形，很明显， 它不是全等的，它大它小，如果是三等角的话，它们俩是吧，应该是全等的。问题的关键就在于 中间这个角，它是一个钝角，它不是直角。如果我要构造三等角的话，那么这条直线上这三个角都应该相等等于九十度，对吧？好，所以接下来我们去构造一下一线三等角。哎，如何构造呢？哎，我可以过一点， 哎，做一条垂线和 e、 d 是 垂直的，对吧？好，那么这个时候你看，哎，我在延长 b、 a 和它相交，这是我们的 t 点啊，我们是，它是垂直的，哎，辅助线就是 t、 e， 哎，垂直于我们的， 我们的 e、 d， 对 吧？ e、 d， 好， 那么接下来，那么这个时候，你看这个三角形 t、 b、 e 和我们的 e、 c、 d， 它不就是全等了吗？啊，很好，证明。来，我把这个角设为 alpha， 那 么这个角设为 beta， alpha 加 beta 呢，正好等于九十度，好，再来，它也是九十，所以这个角呢，也设为 阿尔法，对吧？阿尔法等于阿尔法，九十等于九十。还有 e 组边 c、 d 等于 b、 e， 所以呢，哎，我们就得到三角形，这个是 c、 b， e， 哎，全等于三角形。 e， c、 d。 好， 全等。以后呢，我们得到什么？ c， e 等于我们的， 这个是 e、 d， 对 吧？好，中间呢，这里有个九十度来，所以呢，我连接 t、 d 之后呢，我们就可以得到一个什么 等腰直角三角形，对吧？啊， t， e、 d 就是 等腰值来，接下来我们再读题哈，题目又告诉 d， f、 c 这个角等于四十 五度啊， a、 c 边呢？等于二倍根号下的十五， c， e 边呢？等于三倍根号三。好，最后呢，题目求的是 a、 e 这个边应该为多少，对吧？那么接下来这道题的突破口呢，就在于这个角度啊，四十五度，四十五度如何去利用呢？ 大家思考一下。哎，我们已经构造出来 t、 e、 d 是 一个等腰值，对吧？那所以这个角就正好是四十五度。来，咱们观察一下， 这里有个四十五，这里有个四十五，哎，这两个角呢，正好互为内错角，内错角相等，两直线 平行。哎，所以呢，我们就得到这两个边是平行的，因为这两条线都和 bc 边是垂直的，所以它们俩一定是平行的，它和它平行， 它和它现行。两组对边分别平行，说明什么？哎，我们的 t、 a、 c、 d 应该是一个特殊的我们的平行四边形，对吧？好，所以呢，我们就得到哈四边形， 哎，我们的 t、 a、 c、 d 为我们的平行四边形，没问题吧？那平行四边形，这两组对边正好是平行且相等的来，所以 t、 d 就等于 a、 c、 a、 c 知道二倍根号十五，所以这个边呢，也是为二倍根号十五，对吧？好，二倍根号十五，正好又是 t、 e、 d 等腰值的斜边来，那所以直角边我的 t、 e 就 出来了， 等于几呢？哎，一比一比根号二，他除以根号二，哎，就多少根号下的三十啊。 t 出来了，好，这个为根号下的 三十，好，哎，题目又知道 c 一 等的三倍根号三啊，因为他们俩是什么 k 型全等，对吧？那三倍根号三，那这个边呢，也应该是为三倍根号三，对吧？同学们，哎，来，这个直角三角形， 斜边知道，直角边也知道，那这个直角边 b 是 不是出来了？好，我们接下来算好，所以 b 一 边 六等解，等于他的平方减他的平方啊，等于根号下三十，减去三倍根号三的平方就是二十七，就得到根号下的 三。啊，这个边来，哎，他就为到就为根号三。奥特曼，我最后求什么呢？求的是 t e 这个边。哎， t e 正好在 a b e 这个直角三角形当中。哎，我们已经知道了一个直角边，我只要再把 ab 求出来了， 勾股 a e 不 就出来了吗？好不好？求， a b 好 求，因为这个 c b 已经出来了。哎，我们知道这个边 cd 和 a t 是 相等的，同时呢， b e 也等于 cd， 因为我们的 k 型全等嘛，对应边相等，所以呢，这个也是为根号三，那这两个边相等，它也是为 根号三，对吧？所以就得到我们的 a b， 哎，就等于三倍根号三， 减去根号三，等于二倍根号三。好，最后呢，我们求的是 a e 再用勾股，那就等于， 哎，它是为解，这个是二倍根号三，对吧，它的平方就是十二，再加这个平方三，所以 a e 呢， 等于根号下的十五。所以这道题 a e 的 最终答案应该为根号下的十五。好，这道一线三等角和我们四边形的综合考察的题，你听懂了吗？来关注数学老师，数学满分不迷路！

八下数学最难的六大压轴题，全部掌握，稳拿班级前三！平行四边形十大压轴题一、平行四边形传统解答证明题二、动点问题三，旋转问题 四、翻折问题五、背长中线法构造平行四边形完整版分享！

一道有争议的八下压轴题，很多同学看到这道题没思路，无从下笔，但老师告诉你，这道题你只要找到核心方法，一根辅助线直接秒！到底是什么方法？跟上老师的思路，直接来看题 说，如图， a、 b 垂直于 bc， 这有个垂直， a， b 垂直于 a、 d 两个垂直符号标好点， e 是 c、 d， 中点 有到一个非常重要的终点信息。还有线段长， bc 等于五， a、 d 等于十， b、 e 等于二分之十三。最后让我们求的是线段 ab 的 长。 好了，那么经典的条件有两个垂直带来了什么？显然，我发现 bc 和 ad 是 一组 平行线，平行线之间夹着一个中点，平行线加中点，马上我就想到可以延长之后构造八字葫芦形的全等三角形。所以我的辅助线就是延长 b、 e 交平行线中的另外一根 a、 d 与点 f 延长之后，马上得到红色阴影的这对三角形。八字葫芦形全等由终点带来了等线段同时对顶角相等。当然由平行还带来了内错角相等，两角一边得到全等， 全等之后有对应边相等，所以 b、 e 和 e、 f 相等等于二分之十三。当然我的这条 b、 f 线段也就知道了两个二分之十三等于十三同时由全等。我还知道对边相等， d、 f 和 bc 长度相等等于五， 所以十减去五，剩下的这个 a、 f 线段长呢，也是五啊。因此呢，在我绿色的这个直角三角形中，已知了斜边和一条直角边，求另外的直角边，你还不会吗？所以勾股定律，你直接计算五十二十三，可以直接口算出答案的。 所以这道小题核心关键就是出现了平行线之间夹着的中点信息延长，能够构造八字葫芦形全等，再根据一些条件找到直角三角形勾股定力求线断长即可，你学会了吗？

马上要考的第一次月考压轴考点一定有勾股定律与最短路径综合题型，我们一起来看这道题。圆柱形的玻璃杯内部距离底面三厘米处有一滴蜂蜜，在玻璃杯外部距离玻璃杯的上端 四厘米处有一只蚂蚁，问蚂蚁去吃蜂蜜最短的路径是多少？那这是一个非常典型的勾股定律与最短路径综合的问题，一定是压轴题中必考的题型，也是很多孩子丢分的重灾区，一定帮孩子收藏保存学习。同时这套马上要考的月考真题见包含了人教 北师、苏科浙江的全国十二个版本，家长一定领去月考，稳稳拿分。那这种题的核心解析方法一定是展开图法， 所以我们先将圆柱体进行展开，圆柱体展开其实是一个长方形，那我们就需要在展开图中找到 c 点，找到 a 点的位置， 那 a 点是在圆柱的最左端， c 点在圆柱的最右端，那其实 c 点应该是在展开图中间的这条线上面，而我们的 a 点应该是在长方形最左边的这个位置，那我们蚂蚁走的路径就应该是从 a 到杯口再回到 c， 其实求的就是这个小 a 加上这个小 b 的 最小值。那这种问题其实又转化到了我们将军一马的问题，要求这种折线段最短， 我们一定是做对称，用两点之间线段最短来解决问题，那所以这个时候我们就做 a。 关于咱们上面背口的这条展开图的对称点，假设是 a 一 撇， 那么接下来呢？我们就会发现，将 a 一 撇，和我们中间的这个假设 b 点连接起来，小 a 就 转化到了上面这个位置，那我们现在求的是这个小 a 加这个小 b 的 最小值，那我们只需要连接 a 一 撇 c， 两点之间线段最短，那最短路径其实就是 a 一 撇 c 这个长度，那想要求它的长度，我们只需要把它放在一个直角三角形中解决问题。那首先我们先来看一下 c 距离顶端是三，那接下来我们不妨去做一条垂线， 在这里构造一个红色的这样的直角三角形来解决问题。那么此时由于底面周长是十八，那我们说这个 c 应该是在中间这个位置，所以这边应该是九，而我们这里是三，那这个地方也是三， 高是十一，那上面的这段就应该是十一减三为八，那么再加上他的四，所以说这条直角边的长度应该为十二，那由勾股定律我们不难求出，斜边就为十五，最短路径长即为十五厘米，你学会了吗？

八下平行四边形一定是我们本学期要突破的一个重难点，因为这里面不仅图形多，而且涉及到模型和变形也特别多。 光拿正方形来说，他涉及到模型和辅助线就有九大类，那今天我们就把正方形这种特别特殊的四边形再拿出来来看一看与他结合的角平分线模型和截长不断辅助线的做法。 那有关于正方形、平行四边形、菱形、矩形这一张结的特殊图形，老师都已经给大家把常见的这些易错题做了一个总结。 如果啊，咱们孩子做几何综合的大题，还经常没有思路，做不出辅助线，一定要分题型，咱们来进行练习，把它刷透了纠错好，我们再做这种题绝对是没有问题的，下面一起看看。这道题 说四边形是正方形， m 是 bc 上一点， e 是 c， d 边上的中点有中点，必然有这两段相等啊。先标上条件，上图， 接下来 a e 平分，那这是角平分线，让你求证， a m 等于 a， d 加 mc 怎么正啊？哦，在这里看到 a 加 b 等于 c 形式的式子。 上学期我在我的几何模型专项里特意给大家做的这个模型的专项叫做截长不断。凡是看到 a 加 b 等于 c 形式的式子，立马想到这道题的解法就是截长不断，谁是长啊， 这肯定是长啊，它俩是短呢。于是我们想到辅助线的思路就是在长上哎，我截这么一咕噜，让它和其中的一个短的相等，然后再去连接看没看见。这是我做题的第一个思路，在长的上面截一咕噜和短的相等。 接下来我只需要正另外这一咕噜短的和这个 m c 是 相等的就可以了，看没看见，所以在这我再去连接 m e， 那这个时候就可以通过哎，正这两个三角形全等，进而得到最终的答案了。来，这是我的第一个思路，叫做截长补短，具体的正法已经在我上一学期很多课程视频当中都讲过了，这里不赘述了，咱们今天要讲思路的连通性好不好？ 这道题还有第二个思考的方式在哪？在这个角平分线上来涉及到角平分线，咱们上一学期学过什么叫做角平分线的四大名辅，还记得吗？ 有角平分线，有角平分线，一点向角的两边做的一个垂直，那下一步你的思想是干嘛呀？ 对了，由角平分线入手做啥？做双垂直对不对？是不是？哎，叫做双垂直，所以由这个思考我们就可以做出。哎，那我过点 e， 我 这可以做个垂直，我做 e f 垂直于 a c， 那 我们做完垂直以后，你可以发现，哎，是不是这两边三角形有点关系啊？干嘛全等啊？为什么全等啊？你可以发现 a a s 就 可以正 这两个三角形全等，那这一边和这一边的长度是不是就转化过来了？那还是又回到这里了，我要想证 am 等于这一段加 m c， 就 再证他俩相等就行了， 还是给他连上啊，连上之后，我们再通过证这两个三角形全等，是不是就可以得到最终的答案了？所以你看啊，同一道题，同一个解析思路，我们是不是可以从两种路径上去解析呀？ 哎，一种这样从 a 到 b， 哎，一种走这个从 a 到 b， 就 跟我们选上路、中路和下路走一样， 最后殊途同归对不对？所以这两种方式做辅助线的做法和证明的过程略有差异，我把详细的解析过程发在咱们群里了，大家做完了之后可以去找我去对答案，一定要把这种多个方法多个维度思考的能力培养孩子建立起来。

本学期第一次月考马上就要到了，那作为一个八年级的同学，在这次月考中，这个题必须得会，因为这个知识点不仅在三角形中能用，在你们现在学的四边形中同样能用。这个大招叫什么呢？就叫做一线 三等角。首先不知道的同学啊，老毕先给你巩固一下，什么叫做一线三等角啊，他也包括了你们之前学过的一线 三垂直，他说是这么一回事，说我这条直线上如果有三个角都相等，哎，比如说我这个角是阿尔法， 然后呢，我这边这个角一样是阿尔法。好的，那接下来我在这块啊，哦，还有一个阿尔法，那这个时候一线三等角就形成了，一线三等角形成的情况下，左右两个三角形形状一定是一样的。什么意思啊？大家来看， 形状一样就是对应的角度相等啊，因为你得阿尔法，所以我角一加角二等于多少？一加二是不是就等于一百八十度减去这个阿尔法呀？ 同样道理啊，哎，我这是三角形，三角形内核得一百八，所以这个角三加上这个角二，再加上阿尔法也得一百八吧，那就是三加二同样等于一百八减 阿尔法啊，你加二得这么多，你加二也得这么多，你俩怎么样相等？所以角一跟角三相等，阿尔法跟阿尔法相等，那么剩下这两个角必然也相等，所以这两个三角形形状一定是一样的。在九年级，我们这个知识点就叫做相似的一线三角了。 那么一个相似题如何变成全等呢？只需多一个条件，那就是再来一组对应边啊，通常情况下，它会给我们这样的两边相等啊，我，二法所对的边跟你二法所对的边，咱俩是一样的，所以两直角相等，再加一组边， a、 a s 定里三角形是不是就是全等了？ 但是大家学一个东西，要彻底把它学透，你未来做题才能更轻松，对吗？一线三角能不能变化就全等，这种的能不能变化？能。当阿尔法得九十的时候，是不是就变成一线三垂直了啊？那一线三垂直还能不能变化？ 还能。各位，我们一条线上三个角相等，并不要求这三个角都在同一个 方向上，什么意思呢？啊？说，我这块有一个九十度，哎，我过这边还有一个九十，我这个九十有意思了，上边有一点，下边有一点，接下来我让这两个边一样相等， 往回再做一个垂直，你看三个九十度的顶点，只要长在一条线上，那么这两个三角形一样，怎么样 能够全能？所以一线三角真正学透，他的威力是非常大的。那接下来这个知识点一旦知道了，那我们怎么借助他去欺负咱们的月考压轴题呢？一起来看吧。说，在这次月考中，有这样的一个题， 角 b 等于角， e 等于九十。嗨，有同学开心，一条线上已经有俩九十了，马上怎么样？ 再做一个九十，然后你就掉坑里了，哈哈，因为我中间这个角得九十吗？不得，它得一百二啊。然后 a、 b 等于根号三， bc 等于四，告诉我们这两边相等，最后问 d、 e 等于多长， 那 d 等于多长呢？毕老师告诉你这个知识点了，你是不是也未必能做出来，哎，所以知道是一回事，想要到掌握甚至到精通，还需要多练习。毕老师来帮大家分析一下啊。大家回答我，你看啊，我这一百二十度没法变吧。 啊？一百二十度，这两边相等还挺好吧。为什么呀？因为你这阿尔法两边就得要求相等啊。啊，那你这个阿尔法现在相当于已经得多少了？一百二吧，那这两边相等这个角得一百二还变不了？ 你要是变不了的话，那我索性就让这阿尔法得多少得一百二，可以吗？哎，那我就需要两边这个阿尔法也得多少一百二啊。哎，那这回问题就解决了，那说我这边不是一百二，我怎么样 硬造一个一百二可以吧？啊，那他是一百二十度，隔壁就是多少 六十，这是六十，这是九十，这小角就是三十啊。长的直角边是短，直角边根号三倍，所以呀， 你是根号三，我这就是一，你是一啊，三十度数对直角边又等于斜边一半，我这边就是二，那整个这小段得四，左边已经得一了，剩右边这小段就等于 啊三，所以一个三角形不就出来了吗？好，那再继续，你是一百二，我是一百二，右边想要一个多少？一百二没有怎么办啊？没有枪，没有炮，咱们自己造，我自己做一个一百二 可以吧？做完一百二，角一加角二的一百二，二加三的一百二，一跟三就相等，对吗？一百二跟一百二相等，边长跟边相等，所以 a a s 三角形 全等，三角形全等，你得二，我就得二，你得三，我就得三，是这个道理吧。那再来，这角一百二，隔壁多少？ 六十，他是六十。这就是啊，三十度，三十度数对直角边等于斜边一半，你是三，我就是二分之三，长的直角边是短直角边的根号三倍，所以这就是二分之三倍。 高三轻松拿下。毕老师说清楚没？所以从了解到精通必须经历这些过程，如果你连了解都还没了解，赶紧多跟毕老师多学一些，如果你了解了，但是没有精通，你一定是缺一些好题给你做配套练习。联系老毕吧，一切都会有的。

答题一下册一共就两大难点，一个是旋转，还有一个是平行四边形。那关于平移旋转这一类题呢，是很多同学的拦路虎，同学们只要一看到这种动态的旋转的东西， 就被吓得不行。那其实这一类题呢，你只要看透了他的旋转的本质，会构造这个旋转情况下的这个图形的话， 你是可以直接秒杀出来这种难题里面的第二问和第三问的，能帮你轻松拿分。接下来呢，老师就以这道题为例，给同学们讲清楚它旋转的本质到底是什么，我们该如何去构图呢？那关于这一类题，老师也给大家整理了历年的一些考试真题， 如果咱们孩子做这类题，经常最后两问得不到分，一定要把它打印出来，结合着老师上课所讲课的方法啊，直接去秒杀这一类的大题啊。来看一下这道题，他给了一个定义，给了个等补四边形。什么是等补四边形呢个邻边相等，并且呢有一组对角互补的凸四边形，我们就给它称之为是 等补四边形。这个概念我们读完了之后，脑子里有个印象，等会儿在题目里面，我们就可以直接去用这组等补四边形来看第三问啊。第三问呢，就是三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形， 在 b、 c 上任意取一个点 d， 然后连接 a、 d， 把三角形 a、 b、 d 绕着点 a 逆时针旋转六十度，然后让 a、 b 和 a、 c 重合。根据题目上给的条件，根据等补四边形的定义，判断一下 a、 d、 c、 e 是 否是一个等补四边形。 这是一个什么？是不是一个三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 e 应该是全等的， 所以这个地方它不仅仅是旋转，是不也可以理解成我们七年你所学过的叫什么？是不是旋转型的全能，手拉手型的全能是不一个意思，对不对？好，那那 a、 d、 c、 e 是 不是一个等幅四边形？观察里面的条件够不够就行了？邻边相等，有没有邻边相等？ 三角形都全等了，那里面 a、 d 和 a、 e 的 这个边的长度是不自然而然是全等相等的。好，那有没有对角互补？也有，因为因为全等，所以里面的 a、 d、 b 和这个 a、 d、 c 这两个角度相等，而这边又是一个邻补角， 它两个互补，那也就意味着里面的 a、 e、 c 这个角度和 a、 d、 c 这两个角度是不是直接就是互补？它俩是不是称之为对角？所以对角互补直接就出结果，这个地方它是一个等补四边形，所以第一问其实相对来说比较好，拿出来直接通过旋转来看来看这个图形就可以了。来第二次问，他说 在这个等补四边形 a、 b、 c、 d 当中告诉我们了 a、 b、 c、 d 是 一个等补四边形，还知道 ab 等于 bc， 一个边相等边形，还知道这个角度和这个角度，这两个角度它都是九十度。问我们四边形 a、 b、 c、 d 面积等于八，让我们求求 b、 d 的 长， b、 d 怎么求？ b、 d 在 这上， b、 d 怎么来求呢？ b、 d 如何来求？给了四边形的面积，这个四边形可以理解成里面是不是有两个直角三角形？ 给了两个直角三角形，我们也不知道其中任何一个边的长度，那如何去解决这个问题？所以这个题第二小问，如果我们没有思路，一定要考虑考虑这个题， 从前往后刚才我们做了一些什么事，其实也可以理解成这类题，他也可以理解成是一个类比探究的题。第一问里面我们在做什么？我们在通过旋转是不是正了一组四边形，是一个等补四边形？第二问是告诉我们他是一个等补四边形，那我们其实由着第一问的 思路，第一问他不是白给我们的，不是随意给我们出了一个题，就是为了给后面的第二问和第三问做铺垫用的。这里面有一个旋转型的全等，那这个图里面我们是不是也可以根据这个等补四边形倒着去推倒着去构造这样一组旋转型的全等？可以的， 旋转型的全等其实也就相当于我们刚才是不是在第一问里面说了是不是相当于一个手拉手，那手拉手的基本模型是什么？ 共顶点、双等腰，夹角相等，那所以我就在第二个图里面去找手拉手形的基本基本特征，共顶点，双等腰有没有共顶点？这个里面共的这个顶点你一定能看得出来，一定是谁，一定是 d， 这个点 一定是 b 这个点，那双等腰里面已经给了 b， a 等于 bc 一 组等腰已经有了，我接下来是不是只需要再构造第二组就 ok 了？而让我们求的是 b d 的 长，而 b d 刚好就在这，所以我们的第二组我在构造的时候，就可以直接去 以 b 这个点为为为共顶点的那个顶点，画出来一个和 b、 d 一 样长的一个线段，并且夹角相等， a、 b、 c 的 角度一定也是九十，好让它在这 不是往这个方向给他构造，在这边构造一个九十度，让他和谁和 b、 d 这个线段是不是让他俩一样长就行了？而这个题我一旦构造出来之后，你会发现一个问题，里面这个 b、 a、 d 这个三角形和下面这个 b， 比如说这边是 e 吧、 e 吧和 b、 e、 c 这个三角形，这两个三角形一定是什么关系？一定是一组全等的三全等的这个三角形一定是一组全等三角形。因为九十度九十度，所以这个角和这个角相等，这个地方是否构造出来的啊？构造出来这组全等有什么用？构造出来这组全等之后，我们就会发现一个问题，这个角度 它和下面这个钝角，也就是这个 bce 这个角度，它俩一定是相等的。而刚才去原始图形 a、 b、 c、 d 当中，对角互补角 a、 b、 c 和 a、 d、 c 它们两个九十度是互补的，那剩余的两个角度也是互补的，这个角度和这个 b、 c、 d 它们两个是这个叉角和这个点角，它俩是不是也是互补的？那它们两个互补也就意味着旁边这个 bce 这个角度和 bcd 互补。其实在这个问里面我们就挣出来了一个东西是什么？是这个 dce， 这三个点应该是处于一个共线的关系，我只要构造出来这样一一个 bce 这个线段，那么我就能推出来 dce 是 共线的，求出来它是共线有啥用呢？ 那我就能发现，把这个三角形跟这个三角形，我是不可以把它俩替换一下，那 a、 b、 c 这个 a、 b、 c、 d 这个四边形的面积，你会发现一旦换到这两个三角形之后，它其实就相当于是里面三角形 b、 e、 d 的 这个面积。而 b、 e、 d 这个三角形是一个什么图形？ 他是一个等腰直角三角形，我构造出来的等腰直角三角形，所以我就可以直接去根据他的面积是八，是不求出来直角边的长度，直角边的长度应该等于他是几 b、 d 的 长，在这一种情况下是不直接求出来，结果是不就等于四？ 所以你看其实他还是一道类比探究。我们要根据第一问的这个图，第一问的这个思路用在第二门里面，只不过第二门我是干什么，我是不是倒着去用，倒着去推的 这个过程很重要。来看第三小问，他说在四边形 a、 b、 c、 d 当中，这个题还是给了 a、 b 等于 b、 c、 a、 b 等于 b、 c 知道 b、 d 等于四，知道角， a 加这个角 c 等于一百八十度。 让我们求 a、 b、 c、 d 的 面积的最大值是什么？咱先不说最大值，先说求 a、 b、 c、 d 的 面积，你就会发现这个题里面的第二问和第三问是不是也是非常类似的关系？无非是第二问给了面积，让你去求 b、 d， 第三问给了 b、 d， 是 不是让你去求面积的？ 那所以第三问构造图形的时候，在第二问的基础上，我们是不是更容易构造？怎么构造？这个地方是构造了一个这样子的双等腰，那在这边我是不同样的思路，也构造一个双等腰，所以这个地方我 还是要过 b 点再构造一个和 b、 d 一 样长的一个线段，但是注意啊，我构造的时候，因为我要保证夹角相等，所以那个角度是一定要和 a、 b、 c 这个角度是相等的，所以同学们在画的时候一定要注意尽量的把它画的相等一点，比如说在这边这个是 e、 b、 e 和 b、 d 一 样长，其实通过第二问这个地方，我们就可以直接划发生，那把 c、 d 这个线是不是往反向给它延长一下，延长一下之后，它一定和这个 e 点，它们三个点也是共线的关系，我们给他推就行了， 我们先把图形给它画出来推就行，很好推的。怎么推？你看角 a 和这个角 b、 c、 d 它俩是一个互补的关系，而我构造出来了 b、 d 等于 b、 e 的 话，这个边等于这个边，而且还保证夹角相等，那就意味着这两个小角也相等，所以里面全等三角形是不是出来了？ 全等三角形出来了，那也就意味着里面角 a 这个角，它应该和角 b、 c、 e 这两个角度是不应该是相等的， 这个角度和这个角度它俩是相等的。而题目上告诉我们了，角 a 和角 b、 c、 d 相加等于一百八，那也就意味着角 b、 c、 e 和角 b、 c、 d 相加也是一百八。好，直接 d、 c、 e 贡献好它们两个贡献让我们求的是四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 那在这个图形里面，其实就可以转换成是哪个图形的面积是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？三角形 b、 d、 e 的 面积，那 b、 d、 e 在 这个三角形里面，红色的三角形里面，我们现在已知 b、 d 的 长度是四，也知道 b、 e 的 长度是四， 什么情况下最大？那我们接下来就是考虑最大值的这个问题了，什么情况下最大？ b d 的 长度是固定的，位置也是固定的，什么时候最大，是不是就看 b e 所处在处的位置上对不对？那 b、 e 在 什么时候的时候会是一个最大值呢？长度还固定，只能是垂直，也就是 b e 大 概是在这个位置上的时候， 第一大家处在这个位置是垂直的时候才是最大值，所以这个题的最大值直接就出来了啊，四四二分之一，结果是个八，所以这个题最终结果还是个八。

八下道法，咱们即将迎来第一次月考，非常的难。首先啊，八下是咱们从七到九里面连接起，承上起下的主体最多，概念最多，还最容易混淆的一二两个单元。那第一单元呢？我们讲的是宪法之上，第二单元呢，是权力义务，很多同学觉得他是孤立的，他是独立的，他是分开的，错，他是连在一起。 而这两个单元怎么连在一起呢？有一个暗含的考点被你忽略了，那就是党。所以今天啊，桑老师用一张图给大家，把咱们的第二单元，第一缺考的三个核心考点，以及他们的关系给大家梳理清楚，月考就不会迷路了。那我们先来看，首先这个三角形的第一个顶点呢，就是党， 宪法就规定了咱们党的领导啊，所以党的领导是宪法确定的，他是有法律依据的。那首先我们来看第一个，党和法是什么关系呢？那咱们都听过呀，依法治国呀。对啊，党领导和治理国家一定不是随便治理的，要带头的遵纪守法，要依法治国，要依宪治国呀。 所以你看党和法是有关联的。第二个，那法和党又有什么关联呢？非常明确，因为在宪法中就规定了咱们党的领导地位，所以党的地位不是从天上掉下来的，是法律确定的。你看 法和党、党和法就连接在一起了。那第三个词呢？叫做权。首先我们来看权力和义务的关系是谁确定的，非常明确，是法律，是宪法， 包括我们的受教育权，我们的人身权，我们的尊严等等，都是法律规定的。那反过来，如果我们的权力受到了侵犯，我们就要通过法律来增强自己的维权意识。比方说我们可以通过调解啊，和解啊，包括仲裁，甚至包括打官司的方式去维护自己的合法权利， 你看就变得非常清晰了。那第三个维度是党和权力又有什么关系呢？那这里面要说到两个点了，一个是力量的力，一个是力的力。那我们都听过一句话叫风能进，雨能进，国王不能进这个国王啊，指的就是公权力这个力量的力，而这个进的这个门槛呢，就是我们的力的力 了。所以一定要注意啊，要让权力的那个力量的力在阳光下运行，从而保证我们公民的合法权利。 你看非常清晰，也就是党要确保我们老百姓拥有自己的权力，而反过来，党的权力又是人民群众 赋予的。那这里面就暗含了我们说党和人大的关系，为三单元和四单元的内容打下了一个基础。所以你看整个八下第一次考的本质核心就是三者的关系，党法还有权力义务， 你只要掌握了这三个核心点，低速考绝对不会迷路。三个呢，还把咱们整个低速考的必备考点给大家做了一个整理啊，赶紧领一份儿回去学起来，咱们八下倒法，低速考不迷路。

八下数学最难的二十一到几何最直，全部吃透，逆袭班级前三，八下几何最直二十一题思路一，一个洞点求两条线段的和作为一个对称点。 思路二，两个洞点求几条线段的和做两个对称点。 思路三，两个洞点求两条线段的和做一个对称点。结合垂线段最短。 思路五，两个洞点求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短。 思路七，胡不归问题转化为将军云马问题完整版分享。

八下数学啊，有两大压轴难点，一个是依次函数，另外一个就是这里平行四边形了，平行四边形他往下考，还有菱形、矩形、正方形，每一个图形他都有那个九十条的性质和判定， 综合在一起，同学们就不知道该怎么做了。而且这种题还有一个难点就在于他不仅是只考我们四边形啊，他四边形的题必然会结合着八、上学期三角形全等三角形轴对称去出题， 所以一旦你上一学期的知识有漏洞到这，你不可能把这道题做完善，做完整，所以在这就要把整个几何的网状思维给建立起来了。 这个学期是我们升入九年级最后一个能有大块的时间查漏补缺的下假期，所以同学们发现漏洞，抓紧时间去补，尤其几何模型辅助线这一块啊， 那老师啊，也给大家把有关于平行四边形这里常见的二十三大类模型辅助线都做了一个总结，如果咱们孩子现在还经常遇到大题做不出辅助线，没有思路的，抓紧时间带着孩子逐个题型去突破。下面啊，咱们就来一起看看这道题。 这道题啊，他证明的是正方形当中一个典型的模型十字架模型。正方形这个家族由于他太特殊了，他自己设计到的模型和辅助线就有八九种，所以这个视频咱们单拿出来这个十字架一起来正一正。 什么是十字架呀？就是说啊，在这里哎，有两条线十字交叉形成这个形状，他研究的是哦，这两条线给了你垂直的关系，我想推他们的数量关系是不是相等，那该怎么正啊？ 同学们来看一看这里这个图形咱看着是不是有点眼熟啊？是不是和我上一学期几何模型专项里讲到的互与倒角模型是一模一样的呀？什么意思？来看正方形是不是有九十度啊？ 九十度的话，那另外两个角是不互余啊？小叉加上小圈是不是等于九十度啊？来继续看，这是不是九十度啊？那这个是个小直角三角形，这两个角互余，这是小叉，这是不是就是小圈呢？ 同理，看整个大的，这又是一个直角三角形，这是小圈，这不就是小叉吗？合着这个图上我所有标记相同符号的角，它都是相等的， 所以你会发现正方形它本身就有一边是对应相等的，又有两角，甚至三角咱们都能推出来相等。所以现在这两个三角形什么关系？ 三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 a、 h 是 什么关系？全等的两个三角形全等对应边相不相等 一定相等，所以咱们就推出来了。所以十字架模型简而言之去说，他的结论，给你两条线在正方形当中垂直，那么一定可以推他俩相等。反过来给你他俩相等，一定可以推垂直。

hello， 机智的你，又见面了，八年级同学，马上第一次月考，我们依然去突破几道小牙洲啊，关于辅助线的一些做法和思路，那这道题你先暂停，自己去思考完呢，咱们回来。 好，咱们回来。对于中点的辅助线，咱目前学到的有什么呢？背长中线、直角三角形斜边中线、中 a 线等等。 实则大家非常容易忽略。中点的辅助线呢，和平行相关度是非常大的，比如说啊，被长中线，它其实和平行关系也很大，是吧？比如这个中点，哎，把它被长出去之后，连接这有八字的全等。 那么这条线和这条线是不是就有平行呢？所以我在讲被长中线的时候，往往后期啊，咱们直接做平行， 哎，做平行，做连接延长，这样的方法呢，会非常通用。那平行和背长中线是有联系的，对吧？好，除此以外， 中位线和平行的关系，那就更不用多说是吧？有中位线这个地方就有平行了，有平行这个地方啊，可能就会有中位线，所以看目前所学到的三个辅助线啊。关于中点做法，背长中线、直角三角形斜边中线以及 中微线，哎，这两个和平易线关系都非常非常紧密。那么今天这道题，我们看该如何去进行辅助线的延伸啊？那如图， r、 d 三角形 abc 中， a、 c、 b 呢，等于九十度点， d 和 e， 它是在 a、 c 和 b， c 上， ad 这边给出是四 b， e， 这里是二 m 和 n 呢，分别为 他俩的终点。问， m、 n 的 长度，很多同学想，哎，这有直角，这有终点，好连接他，对吧？直角三角形斜边上中线，哎，有这个思路呢，没什么问题啊，下次有直角，有终点，还是会想连，但是你会发现连接他之后没什么用，这两个数据该怎么去使用呢？ 那个同学说，哎，是不是连接下面呢？依然存在这个问题啊，你的这些数据和条件用不到，用不下去， 对吧？说明这个辅助线，哎，你就是有问题的。回到这道题上而言，它有关于 m、 n 的 长度， 并且这里，哎，还有个直角，有长度，有直角，那么勾股定律，我们仍然高看它一眼， 是吧？我们去高看它一眼，是不是要去使用勾股定力呢？那如果我们要使用勾股定力，那必然要出现靠着 m n 相关的直角三角形，那这个直角三角形在哪？ 而且这里是不是有一个相关的直角，那这个直角能不能转换到 m n 相关呢？ 所以啊，这个辅助线方法是很多同学都特别容易啊忽视的，我们可以通过平移来实现角的 改变，位置的改变吧。那你想，我要 m n 出现直角，是不是我在这边把 e、 b 这条边可以平移到这，然后呢，我们把 a、 d 这条线平移到这，它就会有直角呀，因为 a、 d 和 b、 e 它俩本来就是垂直关系啊， 所以靠着 n 和 m 构造它所对应边的平行。那么你想 e、 b 这边啊，我们直接平行做一条线，平行于 e、 b， 同理，哎，我们过 m 这条平行于 a、 d， 那 么此时它俩平行，它俩的平行线必然也平行。这个地方，是 啊，我就说错了啊，垂直是吧，他俩必然也垂直，所以这里呢，是一个直角，哎，直角三角形靠着俺们是不是出现了，哎，这个条件我们直接在这里进行一个使用， 那如果这是在考试中啊，我猜一猜，到了这里他和他是相关，这和这相关，一猜一猜，这个地方是一，这个地方是二， 但是现在我们在学习过程中要稍微严谨一点，怎么让这条边和他有关系呢？那必然我要找他和他所在的图形，是吧？又有终点，又有平行的，你想到什么了？ 中微线呗，那有没有可能 pe 就是 它的一半，那就说明这个 pe 直接构造一个三角形啊，构造 eba 所在三角形，看它是不是中微线就得了。所以我们大家去看一下啊，连接这里的 啊，连接这里 a、 e， 连接完以后，有的同学说它连接完不一定过这个点啊，那我们去先连接，再去思考，如果假设我们是连接的 a、 e， 我 们取这里的终点，它是不是就平行了？ 来，你看这是二，这就是一，那依然。你看这条线依然和 a、 a、 d、 e 啊，是同一个道理，如果这里是中点，我连接这里的 m、 p， 它是不是也是这个三角形中一线？这里是四，这里是二，所以二一，这边自然就是根号五。 所以通过这道题，希望呢给大家有一些启发，我们在遇到终点的时候，多去想一想平行的关系，平行的构造 不要死记硬背很多模型啊，背多了话其实对你好处不是很大的，一定要注意啊，这些最基础方法的使用。好，这个就到这里， ok， 拜拜。

勾股定律的实际应用啊，是我们初二几何的一大难点，尤其是遇到这种蚂蚁爬行的最值问题，还有他的出题，把蚂蚁放在杯子外，把蜂蜜放在杯子内，又要结合着将军一马模型考察， 所以我们整个初二的难点就在于这些知识的综合程度上。那今天啊，老师就会带着大家用一个技巧轻松的最短路径问题。 那勾股定律这里常见的实际应用问题一共就有八大类，老师都给大家总结出来了，如果咱们孩子遇到这种题，还经常没有方法找不到答题的思路，建议家长们帮孩子打印出来，咱们分题型来进行练习。 下面呢，咱们就来一起看看啊，这里有一个玻璃杯，玻璃杯呢，高是多少呢？十二厘米，现在说呢，底面周长为十八，这一圈是十八，在杯内，杯底四厘米处有一个 c 点，那这一段就是四了， 现在有一只蚂蚁在什么杯外杯内看不看？蚂蚁在这呢，离杯顶这是多少啊？四厘米，现在说想要这个蚂蚁啊，爬进去吃蜂蜜最短路径，求出这个最短的距离是多少？那你想想， 他得先翻山越岭，他得先爬进去，再爬下来去吃，对不对？所以啊，这道题有没有点像我们之前学的将军 a 马折线段和最值问题啊， 我们在内不知道该怎么去做，我们就把这一点对称过来，到 a 撇点，哎，假设他在杯子外，再去找这两点之间的最短路径就行了，那这个最短路径咱会找啊，因为我们对应把这个圆柱体长开，它就是一个什么呀？ 长方形哎，他的侧面是不是就是一个长方形？来看他现在那个 c 点在哪来，在这吗？并不是，他的 c 点在这，在一半的位置上， 如果这个封闭， c 在 这才是展开之后的这个位置，对不对？那 c 在 这，那 a 在 哪呢？ a 撇是不是相当于在这 a 在 这里，对不对？所以求这两点之间的最短距离，咱们直接两点之间线段最短就可以解决了。 连接之后呢，咱们会发现，哎，这一段的长度正好是我们整个圆柱体底面周长的一半，底面周长是十八，那这一段不就是九吗？ 同样咱们来看，这段是四，这一段是十二减四，那这一段的长度不就是十二吗？九十二，那根据勾股数我们可以直接秒出。另外一边 a 撇 c 的 长度也就是十五，那蚂蚁到达蜜蜂的最短距离就是十五了。