初二下册数学小练函数答案

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂，欢迎来到满分数学八年级下册第十一周一次函数的最主要问题， 我们这节课带的三个问题进课堂，第一，如何求两点之间的距离？第二，如何解决点到直线的距距离垂直问题。第三，如何解决一次函数中的将军一马问题。那我们先看两点之间的距离该如何去求。 如果题目给了我们两个点的坐标 a 和 b， 让我们求出现段 ab 的 长度，该如何去求呢？我发现这样的线段，它的位置方向啊，是不是斜的呀？它并不是水平或数值，就没法通过横坐标或坐标直接求出 ab， 那 这个时候呢，我们需要给它进行分解啊，我们在水平上进行分解，来看 水平方向这一段的长度啊，它是不是跟谁有关，跟 ab 的 横坐标有关？那数值方向这段的长度是不是跟 ab 的 纵坐标有关？对了，所以我们可以表示出这个水平和数值这两段的长度 啊，水平呢，就是绝对值 a 减 c 啊， a 和 c 它们的横坐标相减的绝对值啊， 数数子方向呢，就是 b 减 d 的 绝对值，我们就可以表示出来这两段长度了。我发现这样子，一水平一数值，中间是个直角，出现一个 直角三角形了，直角三角形 a、 b 正好是斜边，那我们利用勾股定律就可以求出 a、 b 了啊，我们可以列度式子， a、 b 的 平方会等于 a 减 c 的 平方加 b 减 c， d 的 平方啊。最后我们再给它开根号就可以得到了。根号下 a 减 c 的 平方加 b 减 d 的 平方，由于 ab 是 要取正的，所以负的我们都取舍去了。好，我们都得到两点之间距离公式 啊，学会了两点之间的距离公式，我们来看一下例题一， d 已知 a 点 坐标和 b 点坐标，求 a b 之间的距离，那我们直接利用两点距离公式就可以求了啊。第二，已知点 a 和 b， 但是 a 是 不知道的，但是给了我们距离，我们也能够利用两点之间距离公式列出发的。求出 a 好， 等于是我们按下暂停键作答去暂停。 好，我们来看例题 e 啊。第一小题要求出 a 和 b 两点之间距离，那我们来写下， ab 的 长度会等于根号下啊，横坐标相减啊，两点横坐标相减也是负三减五的平方加上纵坐标相减二减六的平方，我们给它展开啊，负三减五就是负八，负八的平方啊，就是四 啊，二减六的的负四，负的平方十六，那我等于根号八十，记到化解啊，根号八十可以看作啊四，根号五啊。 接下来答案是四个后接进去。第二小题让我们求出来啊，求对 a 一 a， a 是 a 倒数一， b 是 四倒七以及 a 变，它都是八一样的，我们列出方程， a， b 会等于根号下啊， a 减一的平方啊， a 减四的平方， 横都不要将解， a 减四的平方加上纵都不要将解啊，一减七的平方会等于八啊。这个时候我们要去解的话，发现左边带有根号，那我们可以两边同时去平方啊，咱们给他画的没根号的情况，比如说 a 减四的平方加上啊， 这里是负六的平方，三十六等于六十四啊，然后把三十六移过去去跟它相减啊，这么去计算， a 减四的平方会等于 六十四，减去三十六等于二十八，然后再可以根号 a 减四会等于。只要开根号完之后要带正负。正负啊，有两个答案了，正负解了，这里是二根号七， 那接下来把负四移过去，只有两种情况啊， a 一 可能会等于二根号七加四， a 二会等于负二根号七加四， 但我们给它综合来写啊，综合来写一个是 a 会等于正负二根号七加四，你可以这步去写啊，当然你也可以写成啊，两个都可以，或者写成这样子都是可以的啊，这两种写法都没问题。 我们来看例题二啊，前面我们解求出了两点之间距离了，我们再看一下，如果要求啊，一个点到一个直线的距离该如何去求？ 如图，点 p 是 直线， y 等于负二分之一， x 加二上的一个动点，它告诉我们是个动点，现在当线段 o b 最短的时候为 o， p 的 长度为多少？ 我们思考一下， o 是 一个定点， p 是 个动点，那么相当于求的是一个定点到一条直线的距离最短啊，点到直线距离最短，想到什么？对了，就想到垂线段了。好，这就我们去思考一下，我们先画出图像，去求出这个最短距离， 请暂停。好，我们来看例题二。好，要求什么时候线段最短？也就是点到直线距离垂线段最短，我们要最少垂线啊，垂线段最短， 所以 p 点位置要在这位置。好，我们要求出 o p 的 距离。其实我们发现右轴 o b 的 距离是不是相当于去求 o 点到 ab 的 垂线段的长度啊， 但是此时的 p 列中我们并不知道，那你没法直接去用两点去利用式去求，但是我们观察啊，它很特别， o p 高会是三角形 o a b 的 一个什么一个高呀， 那遇到高我们是可以用什么等面积法去求？对了，所以此时我们需要知道 o a b 的 一个面积，那也要知道 a 和 b 两点的坐标，我们直接算一下啊。因为直线给了我们了，所以 a 点坐标零的话二， b 点坐标也可以结算啊，四的话零 求出两点这些坐标之后呢，我们面积就可以求了，但我们还要知道斜边 ab 的 长度，所以我们要先算一下斜边的长度啊， ab 会等于根号下啊，横坐标相减就是四减零的平方加纵坐标相减零减二的平方 啊，等于二根号五求出 ab 是 二根号五，那 o a o b 我 们也知道了，只利用等面积法算好 先把，你可以先把面积算出来，那这是一种方法，升上去面积二分之一啊， o a 乘上 o b 直接带进来，二分之一乘二乘四等于四，面积为四，然后我们再利用的面积还会等于啊， 它同时会等于二分之一的 o p 乘 ab 带进来，所以四会等于二分之一乘， o p 乘下二根号五，我们就得出 o p 了， o p 是 等于五分之四根号五啊。带过来 这种友们，但如果我们要求的是点到直线距离，你要记住，求的是垂间断啊，垂间断的长度啊。第二，如果出现这种高拉这种情况，我们可以转化为等面积法去求这个线段长度 啊。我们继续来学习，在一次函数中，如果要解决这种将军一马问题啊，它跟我们之前学的将军一马问题有什么区别呢？还有什么联系呢啊？ 第一种最常见的就是两地一动的最值问题，它跟我们之前学的必考模型十四思路一样的啊，只不过现在呢，我们给他建立一个坐标系，给予点坐标去求 给予一个点 a 十到零和 b 点八到九，我们现在想要去找到 y 轴上的一个动点 p， 使得 pa 加 pb 最小 啊，还我们还要求出此时的 p 点坐标，所以对比我们之前去求的 pa 加 pb 的 最小值，我们多会要要求我们去求出这个 p 点坐标了啊，那怎么办？一样的将均码问题，我们先回顾一下几步骤。第一步， 找一个定点，做关于动点所在直线的对称点，然后再连线啊，所以我们来换一下啊，我们直接来换一下。 第一步，我们先把轴画出来，先过 a 点做关于 y 轴的对称点 a 撇，然后呢再连接 a 撇 b 啊，这样我们连接完后，我们就知道了， a 撇 b 就 会是那个最小的情况啊，我们把它的 p 点就是交点位置，就是这个 p 点，我们也找到 p 点位置了啊，所以我们就知道了，此时 pa 加 pb 的 最小值就会等于 a 撇 b， 接下来我们看怎么去求。首先第一个，我们先求出它对正点 a 撇，由于这个是十到零，那它对正点 a 撇是呢？是负十到零啊， 好，第二步，我们去根据 a 撇和我们这个啊 b 啊，这 a 撇跟我们的这个 b 的 坐标，我们可以把直线 a 撇 b 求出来， 直线 a 撇 b 如何去求呢？ 三二一，我们来看一下，在一次函数中，想要解决将军一马问题，跟我们之前所学的将军一马问题有什么区别，可联系呢 啊？我们先来讲一下最基础的两地一动的这只问题啊，这样的方法其实跟我们之前学的避好不急时势思路是一样的啊，他做作方法也是一样的，我们看有什么区别啊？在一次函数中，我们会有给余额坐标系，给一些点，让我们去求啊他的最小值以及 它的 p 点的坐标。好，首先我们要在 y 轴上找一个动点 p， 使得 pa 加 pb 最左。 但这个时候呢，我们按照我们原来学的步骤，第一步，干嘛过过定点 a 做动点 p 的 对称点 a 撇点 啊，我们也做了 a 撇点。第二步呢，将这个 a 撇点和我们另外一个定点 b 连线啊，连线完之后，它与 y 轴的这个焦点就是我们要找的这个 p 点了啊， 撇在这里。最后我们又知道了 pa 加 pb， 它最小值就会是 a 撇 b 的 这样个长度， a 撇 b 的 长度怎么求？我们可以利用我们前面截的两点之间的距离公式去求啊， a 撇 b。 所以 我们先来看一下 t 点坐标该怎么得到呢？ 第一步，我们先做 a 的 对称点 a 撇点，因为 a 是 十到零，所以它的对称点关于 y 的 这些点都是负十到零， 而 b 点坐标是八轴九，我们利用两点距离公式就已经可以把这个 p a 压 b b 求出来了啊。那我们再来看一下，要求 b 点坐标 p 点到哪里？它是不在直线 a 撇 b 上 啊，它是直线 a 撇 b 和 y 轴的交点，所以我们先利用 a 撇 b 这两个点坐标求出来。直线 a 撇 b 的 解析式引的是 y 等于二分之一， x 好 加五 好求出来了。求出来完之后呢，我们观察到 p 点是直线在 y 的 交点，所以我们就求出 p 点，坐标零都好，我们就把 p 点都把求出来了啊，这是我们最基础的一种啊，两立一动的这一次问题。 好，我们来看一下啊，将进一码问题，还有一定两动的这一次问题啊，这种问题就跟我们之前讲的这个必考分题十五的作答方法也是一样的 啊，我们一起来看一下。如果告诉我们 a 是 在 x 轴这一个定点，所以 a 是 定点啊， m n 呢，分别是 y 轴和直线 y 的 x 加 b 这条直线的动点啊，一个在 y 轴上，一个在直线上。 第一个，如果它要我们求的是三角形 a m n 的 周长最小啊，想要告诉我们这样的三角形啊， m n 它的周长最小，怎么办呢？ 我回顾一下，是不是我要过定点 a 分 别做两个动点所在直线的对称点啊，也说我们来看我们关于 m 的 所在直线 y 轴做一个对称点， a 别点，再关于 n 点所在的角直线做对称点， a 撇撇点好做两个点。然后呢，我们将这两个做的对称点一连线啊，连线完之后呢，它会与我们 y 轴和直线分别有两个交点，一个是 m， 一个是 n， 这里就是我们要找的 m a 最小值它所在的位置， 最后我们把它连起来，所以三角形的周长最小值就转变成为了 a a 撇了， a 撇 a 撇了 啊， a 撇 a 撇撇了啊！这样的情况，我们简单推导下张小新， a m n， 它是由三个线段组成的，由 a m 加上 m n 加上 a n 组成的。好， a m 对 过来相等。随用一下，我们做对称点画中这次的轴垂线，轴垂线的话， 点到两边之间距离相等，所以 a 可以 转化成 a 撇 m 啊，第一个，第二个 m n 就 保留了第三个，同样道理， a n 就 会等于 a e 撇撇 n 啊， 所以最后最小值就是三点四点共线的时候，也就是 a 撇 a p p 这条长度啊。 那我们如果想要求出这条长度具体是多少一样的，我们需要知道 a 撇和 a 撇撇的坐标，然后利用两点之间距离公式去求。想要知道 m 点和 n 点的坐标怎么办呢？一样的，我们去利用 a 撇 a 撇撇坐标求出直线 a p p 啊，这个直线的解析式求完之后呢，再让它与 y 轴的交点 m 求出来，与直线交点求出来，就知道了 m n 的 坐标了啊。这是第一种情况，求三角形周长最小值。 第二种情况，它会求的是 m a 加 m n 最小啊，要求是这样的， m a 加 m n 最小啊，这两段最小啊，这种跟前面有什么区别呢啊，我们发现前面的两条直线 啊，我们发现前面两条直线呢， m 和 n， 它跟 a 连接啊，你看它跟 a 连接 都是跟这个定点去连的连那些啊。而接下来呢，我们要说的是两条动点之间的连线的长度和一条跟定点连线的啊，这是不太一样的 啊，这种情况怎么办呢啊？一样的，我们第一部分先做 a， 关于动点所在直线对称点啊 a 撇，我目的是希望把这条线段转移过来，然后这样转移过来，他们要相等的转移过来。接下来我们发现啊，由于这两个是动点啊，这两个都动点，那什么时候最短呢？首先，首先他们得三点共线最短的啊，这是第一个要求三点共线长度是最短。 第二个既然是共线的情况下，就转化成 v 了，一个点到一条直线去移，什么到最短？是垂线段最短，所以当它垂直的时候会是最短。好，是这么一步步去转换的好， 我们就画出来啊，等它垂直到最大，那这个焦点就是我们的 m 的 位置了啊，所以其要求到最小值啊，我们第一步其实转化成 apm 加 m， n， g 的， 第二步再转化成我们垂直的情况啊，如果 apm 的 垂直情况， 那这下我们要求出长度以及要求出 m 点坐标该怎么办呢？也是根据我们前面思路是一样的啊，是不是一样的， 第一个由 a 点求出 a 撇点的坐标啊，然后呢过 a 撇点呢？你去做垂线，做完垂线之后呢，你就可以去 求出我们的 n 点的坐标了啊，然后把 a， n 啊 a 撇 n 这条直线解析式求出来，就可以求出 m 点坐标了啊，是这么个思路，学会了我们这些将金满的两种情况之后，我们来做下例题， 我们来看立体三，如图， y 等于三分之二， x 加四与 y 轴交于 a b 两点啊， c 点中呢？给我们一切， d 是 中点啊， d 是 中点， p 为 o， a 上的一个动点。问下角形 p c， d 周长最小时候点 p 的 坐标。我们先来分析一下 c 点坐标， m 没告诉我们啊，但是它告诉我们重坐标了，所以 c 我 们可以当做一个定点来看，因为我们已经知道它重坐标了，而 d 也是告诉我们是第一个定点了。 t 是 个动点，所以这里出现了两地一动的情况，那两地一动情况按照我们之前学的叫怎么样是吧， 过一个地点做动点的对射点，然后再跟另外一个地点连线呢啊，利用我们将近一码低等情况去解决问题。好，这题我们也可以按下暂停键作答，请暂停。 好，同学们，我们来看一下。首先我们要去解决这个问题的时候，我们先观察一下啊， 我们可以过地点做关于 p 点所在直线 x o 的 对射点 d 啊， d 撇点，然后呢再去连接 c 和 d 撇，连接 c 撇 d 啊，这么一连完之后呢，这个焦点就是我们的要的 p 点的位置了。 邓某的观察，我们想要知道 p 点位置，我们得知道什么是得知道 c 啦， d 撇啦，这些点的坐标。好，所以我们先根据题目的信息把这点坐标求一下， 它告诉我们直线了，所以我们可以快速得到 b 点坐标零逗号四以及 a 点坐标啊，负六到零，同时我们 c 在 这道直线上，所以 c 点坐标也能求 c 点画的是负三到二 啊， d 点是 o b 的 中点，所以定能坐标也可以直接求出来了，零逗号二啊，我们可以简单把点坐标先求下 d 点是关于 x o 对 称点 d 撇，所以是零逗号负二。 这下我们就把所有已知的点都已经求出来了，那我们要做什么？是把 c d 撇的解析式求出来啊？直线 c d 撇的解析式，我们经过代数和法去求，可以得到 y 等于负三分之四， x 减二。 接下来我们只需要去求出 p 点坐标了， p 点坐标是在哪里啊？它是在 x 轴上，说明它的纵坐标为零，那我们令 y 等于零，就可以求出它的横坐标了。所以解得 p 点坐标是负二分之三到零，所以选的是我们的 b 选项。 好，前面我们例题上讲了两定一动这样的将军马问题，我们再来看一下例题四啊，这里讲到的是啊，怎样的一个图形啊，两动一定了， 直线 y 等于 x 加三啊，这条直线与 x o y 轴交于了 a b 两点，已知 p 点坐标是负一到零，而 m n 都是动点，那么求 m n 加 n， p 最小值为多少？ p 是 定点， m v 是 动点，且它的线连线是两动点的连线，以及一个动点，一个定点连线啊，但这属于我们将军一马啊，两定一动。第二种情况 一样，我们要先学会如何去做辅助线，然后再去解答。好，同学们可以暂停思考一下，请暂停作答。 好同学们，我们来看例题四，它属于我们将军一马的两动一定问题。第一步，我们先 做定点，关于动点所在直线对称，因为 p 是 跟 n 连的，所以我们要 p 先关于 n 所在直线 y 走去对称点， p 撇点，我们先做出它的对正点。好，我们可以用 p 撇点来表示。接下来呢，注意了， 这下线段都变成什么了？是不是就变成了 m n 加 n， p 最短了？ n p 加 b 最短的时候，第一个要让三点共线头最短，所以三点共线头一定最短，但是呢，这个时候还不完全是最小值，因为我们现在转化成为了 p 撇点 到直线最短距离，那什么时候最短呢？是不是垂线段最短啊？对了，所以这个时候我们要过屁撇点向直线做一条垂线道啊，这么举手， 这个可能会追到，此时 n 在 这个位置， n 就 在这个位置啊，我们知道了啊，垂线段找追到好。现在要求垂线段的长度，我们首先先把已知能求的点坐标先求一些啊，帮助我们去寻到 a 点坐标是负三到零，因为我们在直角上可以快速得到 b 点坐标是零到三好， 以及屁撇点坐标就是一动零啊，这些基础的我们都可以给它先求出来。但赵子豪发现，哎，我屁撇点想要去求出 m 点坐标和 n 点坐标是有一些困难的。好，那我们来观察啊，这里有一个非常重要的隐藏信息， 当我们的 k 值为一的时候，或者 k 值为负一的时候，这两种情况，那么这条直线非常特殊，它是什么？它与 x 的 夹角 啊，这直线与 x o 的 夹角是四十五度啊，同样跟它跟 y 轴夹角也会是四十五。是一样的啊，它与 x、 o、 y 轴的夹角都会是四十五度。这其实因为我们之前有见过 正比例函数中 y 等于 x， 它是什么？它是正好是一三象限的角平分线，那角平分线是四十五度啊，那我经过皮移 是不是也是实数读啊？ p 是 平行的关系，所以平行 k 值相等，所以当我们 y 减 x 或者是 y 等于负 x 的 时候啊，这两个情况 他与他夹角都是四十五度，这是我们可以直接利用的啊，那我们知道这里是四十五度之后呢，这道题就很好解决了，我们三角形 a m p 撇啊，这个小角形变什么？是不是有直角有四十五度，他是找等腰直角三角形， 对了，那你知道他是等腰直角三角形？对了，那你知道他的斜边的长度，可以先求 斜边 a p 撇是多少，就等于一减负三啊，等于四啊，你可以加九对子，也可以大几角，也可以斜边出来了，那我们知道直角边怎么一比一比勾好， 它们是根号二的关系，所以说 m p 撇它就会等于二分之根号二的斜边 a p b 啊，大家记没，二分之根号二乘四等于二根号二，那我们知道它最小值刚好等于 m p 撇，也都是二根号二。 所以同学们，当我们要将一个问题的时候，你一定要分清楚它到底是什么类型的 啊，几个动点，几个定点，以及它们的连线到底去求什么的啊，弄清楚之后，利用我们所学的知识画出图形，再去跟着题目一信息去求解。还有一个注意的点呢，是 当题目告诉我们的 k 值刚好为正负一的时候，它其隐含了一个条件，就是它直线会与 y 轴的夹角刚好是十度度 三二一。好，我们这节课呢，学习了一次函数的锥子问题啊，解决了几个问题。第一，如何去求两点之间的距离，我们利用这个距离公式就可以求了， 根号下横坐标相减的平方，加上纵坐标相减的平方啊，就可以求出两点之间距离了。第二， 如果交点到直线的距离最值。问题啊，我们同样要知道点到直线垂线段是最短的，我们画出直线之后呢，可以利用两点之间线段最短去修啊。那你也可以利用我们的等面积法去修啊，一张 伊斯兰出土的将军密码问题，通常考察的两种类型，第一，两并一动啊，注意了。第二，一并两动。那不管哪种问题，我们记得第一步是先去画出图像，找到最短时候的点以及最短时候的那个线段。 第二，我们如果想要去求点坐标，或者是求这种啊点的位置，我们记得我们要需要把点坐标以及这种直线解析式给它求出来，再利用我们这个点它的特殊情况啊，再拿再直线上还是两个直线交点 去求出这个具体点的坐标啊。以上呢就是本节课的学步电脑啊，大家回去记得及时复习巩固啊，拜拜！

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂，欢迎来到满分数学八年级下册第八周，依次函数与方程不等式。 我们带着三个问题进入可答，第一，如何解一元一次方程了？如何解二元一次方程？第三，如何求不等式的解集啊？以我们的用我们的一次函数去解决这三个问题。 首先，我们来看一下如何用一次函数去解一个一元一次方程啊。比如我们想求一次函数 y 等于三， x 减六，它与 x 的 交点坐标 a， 那 我们可以怎么去求呢？ 既然与 x o 相交， x o 站点什么特点啊？是所有的重坐标都为零啊。对了，所以我们要抓住它重坐标为零这个特点去求解。 ok， 令 y 等于零啊， 此时令 y 等于零，这个就变成了三 x 减六等于零，其加就变成了一个一元音词法称，我们是可以解决 x 等于二，说明 a 的 坐标就是二度零。 好，我发现我们要去解决一个一次函数 y 等于三， x 减六与 x o 交点的横坐标这个问题，实际上就可以转化成为去解一元一次方程三 x 减六等于零这个问题啊。 第二，如果反过来要去减一个一元一次方程 a， x 加 b 等于零，这样的情况，我们就可以把它看作一个一次函数 y 等于 x 加 b 与 x o 交点的横坐标啊，它呢，减 x 等于多少就是我们的横坐标的 值啊，这两个是互换的。理解这个后，我们来做下例题。我们看一下例题啊，我们理解了一次函数与一元方程它之间的一些联系。我们看第一小问， 直线 y 等于 x 加 b 啊，经过了点 a 和 b 两个点，则关于 x 的 方程 x 加 b 等于它的解会是多少？ 第二个给了我们一个表格，让我们去求 a x 加 b 减五等于零的解是多少啊？它记住，考察了一次函数和这个方程它的解之间有什么联系啊？同学们可以暂停思考一下，请暂停作答， 我们来看例题啊！第一小问，一次函数和关于 x 的 方程 a x 加 b 等于零，它有什么联系呢？可以发现 a x 加 b 和这是一样的，你说可以看作 y 等于零的时候啊， x 的 值， 也就是我们是需要去看看当一次函数 y 等于零的时候，它 x 对 应了横坐标等于是多少。 那我们要观察 ab 两点，发现 b 点是不是告诉我们了，当它重坐标为零也是 y 等于零的时候，横坐标是二，所以此时我们的解就是 x day 啊啊，这个值就是与这个 y 等于零，它的横坐标的值就是我们的解啊。再我们看第二题， 也一样的，一差数对应的底下这个方程和这个表格。我们先看这个方程嘛， a x 加 b 减五等于零， 其中左边的 a x 加 b 和这个函数右边是不一样的，那我们把它变形一下，就给写成 a x 加 b 等于五啊，把它移过来。这下我们问题就变成了去求当一次函数 y 等于五的时候，对应的它的 x 的 值 啊，很多标志。那么回到表格来看，找到当 y 等于五的时候，对应的 x 是 负二，我们都知道它的减 x 等于负二。好，所以我们要巧妙地利用一次函数和这个方程它之间的连续去求解， 我们接下来先看一下例题三啊，阅读直线 l 是 依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像，那么点 a、 b 的 直接上，我们求解下。第一，写出方程 k x 加 b 等于零的解啊，写它的一个解啊。第二，我们看直线 l， 这里有个点 p， 它在直线 a 线段 a、 b 上运动啊，注意它限定在 a、 b 上运动出 n n 的 一个曲值范围啊。第一个，我们要去结合函数图像和我们的方程它有什么联系，就可以求出解了，在结合图上的信息。好，大家可以按下这题键作答去暂停。 好，我们来看例题三。好，第一道题要求方程 k x 加 b 等于零的解，其实这我们可以怎么去分析啊？它相当于一次函数 y 等于零的时候对应的 x 的 值 啊，那我们来看图直线啊，当 y 等于零的时候，在哪里是刚好是 a 点啊， a 点坐标负二到零，当 y 等于零的时候，它的横坐标为负二，所以我们应该知道 a 点的坐标是负二到零，那么对应的方程 啊， k x 加 b 等于零，它的解就是 x 等于 four。 好， 所以这道题就是巧妙利用的一次函数和一 h 方子，它就能连续纠结它。第二， 此线上有一个点 p 在 线段 a、 b 上运动为 m n 的 曲子范围，它在 a、 b 上运动。我们来观察一下 a 点的八负二到零， b 点坐标二到二，在这个线段下运动化，它的横坐标是介于一个范围内啊，它重作八是不是也介于一个范围内？我们来先分析一下，因为线段 a b 啊，线段 a、 b， 它上面的点啊，有什么特点呢？所有的横坐标都要介于负二到二，所以这个屁点，它的 m 的 横坐标也会大于等于负二，小于等于二啊，它得介于负二到二之间去运动。 重坐标 n 呢？我们来观察线段 a、 b 上的点啊，它的重坐标是介于零到二之间的啊， a 是 零， b 是 二，是介于零到二之间的，所以对于我们的 n， 它也会介于零到二之间啊。 我们前面学习了一常数与一元一次方程的一个关系，那我们先来看一常数和二元一次方程又有何联系呢？ 例如，我们求一个一次函数 y 等于 x 减二和一个一次函数 y 等于负 x 加四，它们的交点坐标 m。 我 们可以往这求啊， 因为既然交点，它就要满足一次函数 y 等于 x 减二，也要满足第二个一次函数，说明又把 m 的 坐标带回去，两个函数都得成立，令两个函数成立，那我们就可以把这两个函数 连立成一个二元一次方程组啊，去求它们的公共解，这公共解就是我们要的这个坐标 m 啊，我们连立后得到 x 等于二， y 等于零，那么 m 的 交点就 y 的是二到零 啊。所以我会发现啊，一个一次函数 y 的 a， x 加 b 和另外一个一次函数的交点坐标，其实就是把它们俩连立成一个二元次方程组，去求出它们的解。 x 对 应的就横坐标， y 就 对应的是纵坐标 啊，我们可以这么去写，当然，你也可以写，直接写成一个等式的形式啊。这么去连立求出 x 之后呢，再带回去把 y 也求出来，一样我们也能得到 m 减的坐标二到零。好，所以对于 两种方法都是可以的啊，我们可以连立成二元一次发的注，你也可以先做成一元一次再去单独记着啊。学会了我们如何去求焦点坐标，我们来看下面的例题。 接下来我们看一下例题二啊。第一题，已知两条直线啊，直线一是 y 等于 f， x 加四，直线和是 y 等于二 x 加，他们的交点是 t， 三度 n， 求关于方程组的解会是多少啊？第二个 给给两条直线呢，问，我们的交点不可能在第几条线啊？我们先来观察第一题， 关于方程组啊，这个方程组我们观察它的结构， x 加 y 减四等于零，是不是跟我们上面这个函数很像？二 x 减 y 的 加 m 等于零，跟这个函数也很像，我们给它稍微变形一下啊，是不是就变成了 y 等于负 x 加四和 y 等于二 x 加横啊？哦，我们把这两个分子组一变形，发现了它实际上就是上面的直线连立过后的方程组，那也就是求它的焦点坐标，所以我们要需要把它的焦点标求出来。 好，第二题呢，我们也可以来思考判断一下啊，它的焦点会在第几项线？请按下暂停键作答，请暂停。 我们来看例题二第一小题，这个关于方程组的解，实际上就是求它们的焦点坐标， 但焦点坐标的 n 还是不知道的，我们观察焦点既在直线一，也在直线二上，由于直线一它的解析式是都具体数字都有了，所以我们就把 p 点坐标带入这个直线一中啊，把 p 三到 n 带入 y 等于负， x 加四周，我们可以求出来， n 是 等于一，所以 p 的 坐标三斗一，那么它的解就是 x 等于三， y 等于一啊，就是一次函数和我们的二元次方程组它的联系啊，它们的焦点坐标既是连立乘于方程组的解。 那我们再看第二小题啊。第二小题，第一条直线， k 和 b 是 告诉我们的，此时 k 是 大于零的， b 也大于零，所以我们可以画出第一条直线的一个草图啊，它会经过一二三象限，这是第一条直线， 但第二条直线它并没有告诉我们，只告诉我们 k 小 于零，而 b 是 不知道的。那其实你可以想，我们无论怎么画，既然要求的是焦点，那焦点肯定也会在第一条直线上， 那么他的位，他的交点只可能在第一一下线，第二下线或者三下线不可能在第四下线，所以本身我们这套直线就没有经过第四下线，在交点也不会出现在第四下线啊，我们可以这么举，他能出来。 好，我们来看例题四啊，如图，点 a 坐标负二到三点， b 坐标二到一直线， y 等于 k， x 加 k 会经过啊， y 等于 k， x 加个角，直线会经过 p 点负一到零。 想探讨，如果直线与 a、 b 有 交点的时候，那么 k 的 值的范围是多少啊？由于此次 k 是 没有告诉我们的，所以这条直线它这条可以是变动的，它会绕着这个 p 点进行转动啊， 他可以这样画，是不是可以长到这里来，也可以从下设置的这样转啊，这些范围都是可以的，只要保证与线段 a、 b 有 交点的齐嘛。啊，那这个时候我们要去考虑极限的情况啊，一周他如果最极限到哪里？顺极限是不是往 我们的逆时针转，是不是只能到 a 这位置结束啊？顺时针转是不是到 b 这里结束 啊？其次呢，我还要去考虑 k 的 一个正负性啊，因为 k 的 正负性其实就是一个分界点了，我们过 p 点做条垂线 啊，我们可以分析一下，在 p 点右侧 k 是 怎么样？ k 是 大于零的，在 p 点左侧呢？ k 会小于零。好，以此为基础，咱们来讨论一下 k 的 曲的范围是多少？首先我们可以按下暂停键做的啊，请暂停。 好，我们来看例题四啊。我们前面来分析了一下，此时 k 它得分两种几何，去讨论 k 大 于零和 k 小 于零情况啊。那么一个来，如果 k 大 于零的时候，我们来分析一下， 由于我们知道绝对值 k 越大，图像越陡峭，觉知 k 越小越平滑，所以发现如果越靠近这条垂线，是不是它的 k 值越大呀？ 越远离这条垂线， k 是 越小，所以最远到哪里，最远是不是刚好过 b 啊？啊，我们都找到了 k 值的 一个端点，最小值过 b 的 时候，所以 k 的 最小值我们其中在 k 大 于零，基本上最小值找到了，就是当直线经过 点 b 的 时候，那我们来求下 k 的 这幺子啊啊，减 b 坐标是二到一 点， p 坐标是负一到零，那我们把二到一带到直线中去好吗？把二到一带入 y 等于 k， x 加 k 中， 我们可以求出来， k 是 等于三分之一啊，所以我们知道 k 的 最小值是三分之一，那么 k 会怎么样？ k 会大于等于三分之一啊，这个范围都是可以的，越接近这条直线，它的 k 值越大啊，除以五九 啊。第二种情况， k 小 于零， k 小 令的时候，说明它在它的左边区域，我们来画一下右边也知道呢，当绝对值 k 越大， 那么越陡峭，绝境 k 越小越平缓，所以我们也可以去找到，当它经过 a 的 时候，有个最极限啊，在这个区域中，我们 k 到它极限的值，也就是 k 的 极限最大值啊，你说当我们的直线经过 a 点的时候就会出现吗？我们把 a 减值八带起来，负二得三带入 加 k 中求出来， k 是 等于啊，负三 啊，所以注意啊，当负三的时候啊，此时已经是 k 最大值了，是因为我们再往上走的时候变成负四，负五，负六是越来越小，所以 k 最大，最大是到负三，也就是它的范围是小于等于负三， 所以中占所述，它有两个范围，第一个 k 是 小于等于负三的，或者 k 是 大于等于三分之一，这两个范围它都会跟我们的直线线段 ab 有 交点， 那所以同学们注意啊，我们都要通过画图去结合去判断，而且呢，我们要去分析一些特殊位置， 尤其是端点的位置，以及这种垂直的位置啊，端点的位置，还有我们要时刻注意了， k 值 k 的 绝对值越大，那么倾斜程度就越大，所以我们通过这样判断可以去判断出来，在 k 找到最极端的时候，是比它大还是比它小，我们就要通过这样的去判断 好。我们前面学会了一次函数和一元次方程以及二元次方程组它们的关系，我们先来看一下一次函数跟这个不等式有何联系啊？我们以个例子为学，例子 如图所示，我们想求出 a x 加 b 大 于等于零的的的解集会是多少啊？求出这个不等式的解集，那我们截个图像来看嘛， 它告诉我们 y 等于 x 加 b， 这是角一次函数，我们对比一下，是不是这两个是一部分是一样的，所以相当于此时的 y 就是 我们这个零了啊。移动我们要求的什么是求出 y 大 于等于零的时候的一个情况 啊？不等式组翻译过来就让我们去找这条直线上 y 大 于等于零的时候，首先第一步，我们先找到我们需要的点啊，你说但当等于零的时候的点在哪里？ y 等于零的点，我们找一下，是不是就这个啊？它的点都没有负二等零， 既然让我们再找出它的射的范围比零大是哪一段呢？啊？是不是上面这一段对了啊，比零大的上面这一段， 下面这段是，万一是比零小的，所以我们找到这个范围呢，是比零大的。接下来呢，我们找到这个图像，最后呢表示出它的解集， 它解集是指的是 x 的 范围，所以我们要找的是这一段横坐标的范围。横坐标从哪里开始？是从负二开始啊，一直往右啊，这一段是不是都可以？所以对应的它的横坐标的解集就是 x 大 于等于负二，它解集是 x 等于负二。 好，我们找它又求的是横坐标 x， 所以 我们得把 x 的 范围给它找到。 那么再来看一下，如果是两条直线啊，求个不等式告诉我们，不等式 a x 加 b 会大于等于 mx 加四啊。要我们根据的图像求出它的剪辑。 首先我们先观察一下这里 a x 加 b 是 不是跟这里一样啊？ mx 加四和右边这个一常数一样， 那我们把它编辑为 y 一 和 y 二，它要比较的是左边大于右边，实际上是不是比较是 y 一 要大等于 y 二啊？我们什么时候 y 一 会比 y 二大？ 那我们就看图来找啊。一样的，第一步，先找相等的时候，也就是中间这个相交点的时候，此时 y 一 会等于 y 二。接下来我们再判断一下，以此为基准， 哪一边的情况下， y 一 会比 y 要大啊。我们来找出范围，看这条虚线的左边还是右边，我们可以找到是虚线的右边区域啊。为什么我们随便找一个任意的 给一个 x， 比如随便给个 x， 我 们对下来看，它所对应任何一个 x， 它的 y 一 是不是比 y 要更大？我们再找一个 啊，其实 y e 是 始终比 y l 大。 对，当 x 相同的时候，我们就可以比到出 y e 和 y l 大 小了，所以我们发现右边这块区域是满足的，我们前面提到的 y e 会比 y l 大。 好，接下来我们就可以去写出他的对应的剪辑了。我们来看，此时相等的时候，他的横坐标是三，但再往右都是可以的，那么横坐标是比三大都可以啊 啊，因为我们求的是解集，解集是求的是 x 是 多大，也就是对应呢恒久标是在哪个范围是合适的啊？是比三大都可以，就求出来 x 是 大于等于三啊，三的右边这块区域都能满足， 所以我们想要去求一个，不能是可以转化成我们去看一次函数去解决问题，学会这的方法。我们来看例题， 我们来看例题五啊，直线 y 等于 four， x 加二与坐标轴 a， b 两点啊，交于两点，现在直线 c， d 又交于 c 和 d。 第一个让我们去求这个不等式的剪辑啊，第二个求出这个四边形的一个面积。 首先这个不等式解集它我们来观察一下，我们可以设直线，第一个直线为 y 一， 第二个直线解析式我们不知道，所以是需要求的，所以这题我们要把直线二也求出来啊。 我们这一米看，其实它在那就是比较的是 y 一 什么时候比 y l 大 啊，这个时候 y 一 这个 y l 它这至于是什么时候 y 一 比 y l 大， 那我们几个通过图像信息去找啊。好兄弟们，先把这个 y l 求出来，之后我们再去对比一下，请暂停作答。 好同学们，我们来看例题五，第一小题，它要求的是它的解集，解集我们发现实际上就是求什么时候 y 会比 y 大， 那我们要找的是这个相等的时候先去找，也就是易解， 此时一点坐标还不知道，那我们需要先把 y 二这条解七式给它求出来。题目告诉我们 y 二经过了 c 和 d， 我 们就把 c 的 坐标带进去啊，把这个零的后负三和六的话，零带入 y 等于 k， x 加 b 中啊，我们可以得到两个式子， b 等于负三以及六， k 加 b 等于零，这样我们都可以求出来， k 是 等于二分之一， b 是 等于负三，也就是直线 c、 d， 它的解析式变成了 y 等于 好二分之一 x 减三，我们求出直线 c、 d 的 解析式之后，就可以连立，把这个坐标 e 求出来。好，我们将两条直线连立起来， y 等于负二， x 加二以及 y 等于二分之一 x 减三， 这样我们就可以求出来， x 是 等于二， y 等于负二，也就是一点坐标是二等负二，我们求出了一点坐标，二等负二求出一点坐标之后，我们就可以去表示这个解析了。 因为题目写望我们表示的是什么时候二 x 加二会大于等于 k 加 b， 实际上就是为什么时候 y 一 会比 y 二大，当 x 等于二的时候，它们是相等的关系，我们再看以它为基数，左边还是右边更大呢？ 啊？我们再来看是不是左边区域啊？对了，因为我随意给一个 x 的 值，会发现 y 一 在 y 二的上方，所以 y 一 会比 y 二大，所以在它左边区域是满足的。 那左边区域从哪里开始是横着横着标为二开始往左呀？所以我们就知道了， x 是 小于等于二，对了，比二小的这块区域都是满足的 啊。当然，这道题还有小技巧啊，由于我们已经知道了这两个设置啊，负二 x 加二以及二分之一 x 减三，如果我们不会根据图像去做，我们也可以直接去解这个不等式，也是能得到的啊。 好，我们再来看第二小题，然后写对第二小题要求 o b、 e c 啊，这个 o b， e c 的 面积，那该怎么去求呢？ 我们先来观察啊，这个面积它是个不规则式变形，那不规则式变形，我们那么需要给它变规则，我们可以看作 o、 d、 c， 哎，减去这个 b、 e、 d， 这我们可以看作啊，胳膊大的减小的追求，因为大的和小都好求好，但我们需要哪些信息呢？我们需要接点的坐标，比如我们要知道什么，我是不是要知道 b 点坐标啊？ b 点坐标， b 点是在直线一下，所以它可以快速得到是一到零 啊。 b 点八一到零， d 点这八也告诉我们了，六到零，还有呢，一点到八前面已经求出来了，二到负二我们就可以编上去。 c 点这八也告诉我们了，零到负三，那就可以直接去求了。好四边形 o、 e， o， b， e、 c 的 面积，它可以写成三角形 c， o， d 减去三角形 b， e、 d 的 面积啊，讲开来，二分之一底层高， c， o， d， 我 们可以看作以 o、 c 为底， o， d 为高，那直接算啊，乘以三乘上六减去。而 b、 d 呢？我们注意了， b、 d 可以 看作以 b、 d 为底，然后过 e 做垂线啊， e 的 这个 重坐标的绝对值作为它的高，我们也带过来二分之一乘上啊，注意了，这也是六减一啊，是五再乘上啊，最终算出来是等于四，我们这也就求出了四边形面积是为四。好。同学们 遇到这种题目中告诉我们一条直线并没有给我们解析式，但给了我们两个点的话，我们就用这个待定系数法给它求出解析式。如果遇到这种面积不规则，我们可以用我们常用的割补法去求这个面积。 好，我们这节课学的是一次函数与方程和不等式的结关系，我们来看一下 一次函数与一元一次方程有什么联系呢？我们知道如果要取一个函数与 x o 的 交点横坐标，其实就可以转化成为对应的一元一次方程的一个解啊。 第二，如果想要取是两个一次函数与 x o 交点的横坐标，也是可以去找一元一次方程的解。第二，一次函数与二元一次方程组又有什么联系呢 啊？如果我们想求两个一次函数啊，它的焦点坐标两条一次函数焦点坐标其实就是把这两个一次函数连立成一个二元一次方程组去求出这个方程组的解啊，就是我们的焦点坐标 啊！第三，一次函数和不等式有什么联系啊？要求一个不等式其实也可以转化成对应的一次函数去寻找啊。 根据图像，我们可以先找到相等时候的点，然后再去由相等去看哪一边属于我们符合条件的部分，再去结合图像，最终写出剪辑。 以上呢，就是本节课的全部点喽，大家回去后记得及时复习巩固啊，拜拜！

三个步骤带你秒杀一元一次不等式和一次函数相结合的题目！关于一元一次不等式和一次函数相结合这一类题呢，是我们每次考试当中的一个必考的题目， 也是很多同学容易错的地方，那老师呢，关于这类题，给大家做了一个系统的总结，如果咱们孩子做这类题经常没有思路的话，一定要把它打印出来，分题型来练习好。我们来以这道题为例，看看我们应该以 哪三步来解决这类题目啊。来看这个，这是一道综合题啊， y 等于 a， x 加二和 y 等于 m， x 的 交点为负二负四这个地方是它来的交点。 然后来看下面有四个结论，正确的有几个好。第一个， a 大 于零，这个 a 大 于零取决于什么？这是不关于一次函数的性质， a 大 于零取决于 它到底是经过的哪些象限。这个题比较明显是不过的有一三象限，所以 a 就是 大于零的。而这个题它其实还挺特殊的，但因为呢，我知道它经过负二到负四这个点，所以 a 的 值我是不是就直接可以给它求出来？怎么求？把负二到负四是不是往这个解析式里面带， 带进去就可以求出来其中 a 的 值？好，那这个题 a 我 还能求出来，它等于三，所以它是 ok 的 啊。来看圈二， m， n 的 乘积大于零， m 是 这个函数里面 k 的 值， n 是 这个函数里面 b 的 值， 它们的正负是不是也由它过的象限来决定？过一三象限，一三象限，所以 m 的 值一定是大于零的好，因为它和外周交交在了负半周，所以此时这个里面 n 的 值应该是小于零的， 所以 m 乘 n 的 乘积这里面应该是小于零，那二不对，我们就画个叉，好，来。第三个，他说这两个方程的解是 x 等于负二，这两个方程的解其实反映在图像上，就是什么 两个函数的交点的问题啊。交点，那交点是不就在这题目上给了负二？负四解是什么？ x 等于负二，所以没有问题啊。好来第四个。第四个就是涉及到不等式了。好，如果这个式子则 x 的 取之范围，那这个式子其实相当于里面有几个不等式， 有两个不等式，那我们把它两个分开来看啊， m x 加 n 小 于 ax 加二，然后以及 ax 加二小于零里面是不是相当于有这两个不等式？那我们如何来解决这一类题目呢？就是刚才老师老师所说的三步骤。第一个啊，先看它 m x 加 n 小 于 ax 加二。我们在解决这类题的时候，第一步先找到这两个函数在图像里面的交点，也就是我们所谓的找交点， 找焦点，焦点是谁？负二都负四。第二部分，左右是这个焦点的左和右，这个左右怎么分？看他俩 a x 加二大于 m x 加 n 的 时候，到底是在这个点的左侧还是右侧？那这个题我们来看一下，谁大谁就在上方，就说明 a x 加二应该在上方，在哪啊？ 在这个角点的右侧，你看是不是朝这个方向上来， a x 加二在上方。好，这边既然是它在它的右侧，那最后一步定范围范围是什么？在谁的右侧？在这个点的右侧，那取值的时候取的就应该是负二的右侧，那求出来 x 就 得大于 负二，这个没有问题。好了，再看 a， x 加二小于零，小于零意味着什么？ 零，零，那就相当于是 x 轴这个位置，是不是就此时此刻 y 取零的这种情况对不对？好，这那就相当于是到这个点， 其实相当于是它和 y 等于零的这个交点也是不是一个也是一个长交点的问题。好，小于它，那就说明应该在这个点的这个方向，所以取的是不是中间这一段，那我们要解决的一个问题就是这个点，就是这个 a x 加二到底和 x 的 交点是几的一个问题，能求不能？ 当然可以了，我们刚才在解决圈一的时候，是不是已经求出来了？ a 的 值是等于三呢？那我们给它带进来是不是可以？此时可以求求 x 的 对应的这个值就 ok 了，这其实相当于是三， x 加二小于零， 不看图像，直接解这个不等式是不是也能解决这个问题？看图像，那就是 y 等于三， x 加二和 x 轴的交点的问题。 这个题和 x 的 交点应该是负 k 分 之 b， 也就是负的三分之二，那所以 x 在 这个问题里面取的就求出来，结果应该是要小于这个负三分之二，因为它应该在负三分之二的左侧。当然了解这个不等式是不是依然能解决这个问题。好，看一下，则 x 大 于负二小于负三分之二。好，圈四也是对的，所以里面正确的个数有三个。这个题答案选的是二 b。

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂，欢迎来到满分数学八年级下册第十周，依次函数与面积问题， 我们带的三个问题进入课堂，第一，如何运用函数解析式求面积。第二，如何运用面积词去法求函数解析式。第三，如何用面积关系去求解析式或者是点坐标。我们首先来看一下我们如何去运用函数解析式去求出面积 啊。假如我们已知一个函数解析式， y 等于 k， x 加 b， 它与 n 外轴交于 a b 两点啊，那么交直线与坐标轴围成的面积该如何求呢？我们现在观察一下它与坐标的围成的面积在哪啊？什么这个 a o b 啊，这一块， 其中 a 点坐标是零到 b 啊， b 点坐标怎么求呢？我们当 y 等于零时候带进去等于负的 k 分 之 b 到零。 好，我们可以表示出 a 和 b 两个点的坐标，那么 o a 的 长度， o b 的 长度是不就求出来了？那记得这里答案绝对值啊，绝对值 b 以及绝对值负 k 分 之 b 来表示 o a 和 b 的 长度，最后就能够求出面积了。二分之一底层高求出面积，那有二分之一 o a 和 o b 的 长度。 我们来看立体 e 啊，平面直角坐标系中啊，点 a 的 坐标告诉我们了负六得零，直线 e 不知道直线二是 y 等于二， x 以及 b 的 坐标是 m 都四啊。 现在让我们求 b， o m 的 一个面积，又求 b， o m 的 面积，我们来看一下，我们要知道 m 的 坐标以及 b 点坐标才可以去求，所以我们先去求出直线一的解析式，再去求出 m 的 坐标，再求面积。 好准备可以暂停思考一下，请暂停作答。 我们来看例题一啊，我们判断到 b 点坐标的重，坐标有了横就不要不知道 这个 b 点很特殊，他既是直线一，也是直线二下的点，说明 b 可以 把它带入直线二中。因为直线二的解析是我们是知道的，所以带进去可以得到 b 点坐标二到四 啊。知道 b 点坐标之后，我们再结合 a 点坐标负六到零，就可以求出直线一的解析式了啊。这里用到待定系数法。我们先假设直线一的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 然后把两个点带进去，负六到零和二到十带入， 我们就可以求出来直线一的解析式， y 等于二分之一， x 加三。求出直线一的解析式之后， 我们可以看一下什么可以求了？ m 点坐标是不是可以求了？它与 y 轴交点坐标零到三，这下我们就可以去求三角形 b， o m 的 面积了。二分之一底层高，以谁作为底边呢？以 o m 作为底边啊， 以谁作为高呢？我可以比 b 点啊，这有横坐标这个值作为高。横坐标是 b 点，带进来二分之一乘三乘二，所以最终面积是三。 前面我们提到了如何利用函数解析式去求面积，那接下来我们如何用面积的值反求做函数解析式呢？我们举个例子啊。第一，如果我们已知一个 b 以及这个三角形的面积要求这个函数中的 k 怎么办 啊？我们来看一下，由于 b 是 知道的，那么对于一次函数 y 等于 k， x 加 b 来说， b 知道了它与 y 轴的交点，坐标也就确定了。 但是由于 k 是 不确定的，那只是 k， 它就要分类讨论呢，有可能大于零这么个朝向啊，也肯小于零这么个朝向，我们来画出来啊， 与 a 焦点都标， a 已经确定了，我们可能是朝下画的，也可能是朝上画，所以两种情况，因为所围成的三角形面积，右边这块和左边这块，它是面积是一样大的，所以我们要分两种情况去讨论 啊。第二，如果它告诉我们已知 k 和三角形的面积求 b， k 固定呢，就说明直线的朝向决定了，但是 b 不知道啊，我们一样的要去分类讨论 啊。如果此时 b 是 在正半轴的话，我们来看一下，那么它围成的面积是三角形 a o b。 但如果 b 呢，是在负半轴，它围成三角形也是 a o b， 这两个面积是一样的啊，但它们的关系是，哎， a， 这里是零到 b 一 啊，这里是零到 b 二，而且这两个长度正好会相等，这个坐标正好反互为相反数做坐标。 再注意了，当题目告诉我们了 k 或者 b 其中之一，以及三角形的面积。另外一个情况也要思考分类讨论，它可能有多种情况。好， 学会了面积去求函数解析式，我们来看一下例题。好，我们来看例题啊，函数图像 b 告诉我们的事实， k 不知道它与两坐标轴围成的三角形面积事物啊，已知面积和 b 求出 k， 但这个时候我们可以画一个图，帮助我们去分析一下， 我们先画出一个作坐标轴啊。好，接下来我们来看一下，由于 b 是 确定的，那么 这位于这里，它们焦点坐标是零到四 k 不 确定，所以我们要思考两种情况啊，它有可能是 朝上的啊，也有可能呢啊，注意有可能是朝下的呀，这样的情况， 两种情况，所以我们要分特两种讨论，第一种情况可以大于零少，第二种情况可以小于零少，这是第一种思路啊。画完图像，我们来看一下面积，确定了是五， 其中有一条，这条高数一样的呀，高都是十，面体知道了，高都是十，我们是可以把它的底边先给它求出来是多少，再去求知它的焦点坐标啊。我们来把底边算一下， 由于面积固定呢，面积是等于二分之一底层高底我们是不知道的，高是十，它会等于面积五，所以我们可以求出来的这个占有级的底边会知道啊，底边刚好是一， 你说此时它们的长度为一，那么就可以求出这两点坐标了啊，有可能是一到零，也有可能是 负一到零。第二种情况，接下来我们只要把一到零和负一到零分别带入这个函数解析之中，求出它的 k 就 可以了啊，我们可以第一种情况，把一到零带入，这就得到了 零等于 k 加四， k 等于负四一等情况。第二种，我们把负一到零带入，就可以得到了零等于负， k 加四，那么 k 就 等于四。 所以直接表达式有两个，第一种 y 会等于十 x 加四，或者第二种 y 等于负四， x 加四。 想当题目告诉我们了具体的一个 b 或者具体一个 k 的 时候，以及三角形的面积，我们记得要去分类讨论， 今天我们再看一下我们如何利用下面级关系去求出解析式或哪些点的坐标啊。这道题目会给我们一些特殊的面积关系，比如第一个， 如果告诉我们平分三角形面积的直线解析式该如何求啊？我们看下面这个例题啊，一条直线 a、 d， 它交 b 四于点 d， 使得三角形 a、 c、 d 和三角形 abd 相等啊，面积相等就 a、 d 的 解析式。 那么先观察直线 a、 d 没告诉我们怎么样的，所以我们要记这句话，它过 a 点跟 b 线相交， 但由于我们知道三角形中有一个线非常特别，它有平分面积的作用。是什么线啊？对啊，是中线，那三角形内部的中线会平分面积，所以我们就知道了，这条 a、 d 就 会是三角形的一条中线，我们画出来， 它将三角形 a、 c、 d 的 面积就会等于右边三角形 abd 的 面积啊， 那我们因此就可以去求出 a、 d 的 解析式了啊，我们可以根据 b 和 c 的 坐标求出 d 点的坐标啊， d 正好会是 bc 的 中点啊，抓住这个特点， d 是 bc 中点，求出定能坐标，再求出 a、 d 的 解析式啊，学会当它平分的情况呢？解决问题，我们来看一下下面这个例题来，我们接下来看一下例题上这道题 以一次函数 y 等于四分之三， x 加六的图像与 x y 轴交于 e、 d 啊，所以这条式 y 等于四分之三， x 加六。 接下来呢，又有一个过 b 点的直线将面积平分成啊，两部分啊，平分的面积问直线 l， 它的表达式是多少？ 首先，我们通过直线 e， 我 们可以先把 b 点的坐标和 e 点坐标先给它求出来啊， 求出 b 点坐标零到六， a 点的坐标是负八到零，由它们两之后呢，我们可以推导出 c 点坐标平分面积，说明 c 会怎么会是中点啊，会是 o， a 的 中点，我们就可以做出 c 点坐标，再结合 b 点坐标函数解析式就有了。好，首先我们可以暂停作答， 请暂停！ 我们来看例题上啊节目我们分析到了 a b 两点坐标，要需要先求出来， 接下来呢， c 会是 ab 的 a o 的 中点， a o 是 相当于长度是八呀，但中点一半就是四，所以 c 点坐标是负四负零，我们也就得到了。知道 c 点坐标，知道 b 也坐标，利用待定系数法求，我们先设直线 l 是 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，我们把两个点零到六以及负四到零带入 y 等于 k， x 加 b 中，那也可以得到了啊，六等于 b 以及零等于负四， k 加 b， 这样我们就可以求出来， k 是 等于二分之三， b 是 等于六，也都是 y 等于二分之三， x 加六，选的哪个选的是 d 选项？ 三二一，这我们选的 d 选项正的。所以这道题告诉我们，如果遇到三角形的中穴，它会平分面积的话啊，这个时候我们就可以抓住这个中点去解决问题。 前面我们提到了，如果面积相等可以这么解决，那我们看一下，有些时候他们告诉我们面积会有一个关系，比如说是二分之一或三分之一这样的关系，我们又该如何去解决它呢？ 啊，我们看下面这个例题啊，现在呢，题目告诉我们，在 y 轴上啊，这个点它在 y 轴上了，要找一个点 d， 使得三角形 b、 c、 d 的 面积会是 abc 的 面积的一半。我们怎么先去分析啊？首先， b、 c、 d 啊， d 在 y 轴上，那它是以 bc 啊，也是以 bc 为底边，而正角形 abc 呢，是不是也以 bc 为底边了？当题目中的两个三角形，如果有公共的一条边，我们通常可以把这条边作为公共的底边，或者是高高高啊，然后再去算出另外的一个高，它有什么关系？ 那底边相同面积是一半，那你说高什么关系啊？哎，是否可以快速知道它高会是一半呀？对， 说明我们的这三角形的高啊，会等于二分之一的啊。 abc 的 高，那 b、 c、 d 的 高会等于二分之 abc 的 高，那我们就可以画出图像来判断它位置关系了。 首先我们来看一下原来的三角形 a、 b、 c， 我 们假设的高为 h。 接下来呢，我们分析出来了新的三角形 b、 c、 d， 它的高要是原来三角形的一半啊，我们把它延长过来，找到一半 啊，找到高为一半的情况下，我们都可以锁定地点位置啦，画出图像啊，所以我们是以 c 这个头线为例，向上这么长二分之 h， 找到地点，同样的这个地点呢，有可能在下方，所以还有种情况， 它的高有可能是在下半径的长度二分之一 h， 所以 有第二种极块，第二啊，所以上下会有两种极块，你记得要分类讨论。学会这个方法，我们来做一下例题。 好，我们接下来看例题四，这道题在平面直角坐标系中，过点 c 零到十二，与直线 a、 c， 直线 o、 a 相交于点 a， 那 第一题让我们求出 a、 c 的 表达式。第二个让我们求出三角形 o、 a、 c 的 面积。 a、 c 表达式可以直接求，因为我们知道 a 点坐标，也知道 c 点坐标了，可以直接去求了。求完之后我们就可以求出三角形 a、 o、 c 的 面积。好，同学们可以暂停作答这两题，请暂停。 好，我们来看例题式啊！第一小题要求 a、 c 的 表达式，我们用代入去数法先假设啊，直线 a 次解式式为 y 等于 k， x 加 b 加呢？我们把 零到十二以及八到四代入，我们可以得到十二会等于 b 以及四会等于八， k 加 b， 我 们就能阻住 k 等于 负一， b 等于十二。所以这个解集式就是 y 等于负 x 加十二，我们都得到了啊。第二套题要求出三角形 o、 a、 c 的 面积， 我们先来观察一下啊， c 点坐标是零到十二， a 点坐标是八到四，那么正方形面积该怎么求呢？我们以谁作为底边啊？是以 o， c 作为底边。那过 a 点做垂线啊，这条垂线的长度我们把它用做啊，作为它高。 好，那我可以给个 d 点 a， d 为高，所以三角形 o， a、 c 的 面积就可以写成二分之一，抵 o c 乘上高 a， d 啊。此时 o c 考究 o， c 就是 十二，那 a d， 其就是 a 点的横坐标，也就是八，我们带进来，所以答案是四十八，我们都做出来了。好， 接下来我们看第三小题，我们来看例题式的第三小问啊，他说一个动点 m 在 o a 和射线 a， b 啊， 自然运动是否存在点 m， 使得 o， m、 c 的 面积会是 o a c 面积的二分之一，如果存在，求作 m 的 坐标，如果不存在，仅说明理由。好，那么这道题我们来观察， o m c 和 o a c 是 都有一个 o c 啊， 证明此时我们可以把 o c 作为公共的那条边啊，公共边来去判断 m 的 值啊，我们也可以把 o c 作为公共的底边来看啊，一样能求出 m 值。 这里的面积是二分之一的关系，其说明这里涉及到什么？是涉及到中线了，面积是二分之一，斜涉及到中线。 像这种类型的题目，我们可以去通过图像分析，也可以通过去列这种啊，解析式去计算。那我们先通图像去分析一下， 如果 m 点是在 o a 上啊，第一种情况，如果 m 在 o a 上的话，那么会在哪里呢？是不是会在 o a 的 中点，我们来给它画出来？对了，因为中点中线会平分，面积落在中点的位置，刚好互加平分了，我们就可以求出 m a 的 坐标了。 好，我们可以利用 a 点坐标八到四，以及圆点坐标零到零去求作中点啊，它的横坐标会刚好是 o a 的 中间部分啊，中 二一半，那 o a 的 一半，所以说 m 点的横坐标就会是四，它重坐标刚好会是 o a 的 一半啊， a 是 四，那零除以一半的是二四到二，然后我们也可以通过这样方法快速求出来啊。 第二种情况，当 m 点呢，如果在 a c 射线上的时候，那么注意啊，在 a c 射线上，它有可能在 a c 这一段，是不是也有可能 c 左上角那一段呢？啊？所以同样呢，我们还可以再划出一种情况啊， 它有可能在 m 二，有可能在 a c 的 中间，也有可能是在 a c 射线的方向啊， c 的 后面的方向 如果在 a c 的 中间的话，那正好它也是中线，那也就是我们知道 c 点坐标零到十二以及 a 减坐标八到四，我们可以求出它的中点坐标 啊。正极八，就利用横坐标是 c 点坐标和 a 点到横坐标相加除以二，也就是零加八除以二，这么去求 等于二十，所以它的中点的标是四啊。同样的，我们可以利用 a c， 它的重坐标十二加四去除于二，那它的中点坐标啊，是等于我们的八，所以它坐标是四的八啊，我们可以用这样方法求出 m 二， 所以 m 二是四等八。好，我们再来看 m 三的几块 m 三，其结合 m 二来看就好了 啊。由于 m 三这个位置，我们来观察啊，这一段 m 三 c， 它是不是也会等于 a c 的 一半啊，所以此时 m 三和 m 二会正好关于 c 点左右对称， 那我们可以利用这样求出 m 三的一个坐标啊， m 三标怎么做呢啊？其很简单，这一道函数表是不是四，那这一道的函数法是也要是四呀，所以它是负的，都是负四。 其次，重的来看，重的这一道是多少呢？十二减八十四，所以上面这道也会是四啊，我们就可以知道了， m 的 重的标是十二再加四十六。通过画图法，我们可以去分析出三个点的坐标啊，就可以解答了。 好，但我们现在学过通过图像的方法去解答，那我们看一下如何去列式子去给它求解， 我们来看下，下面讲了，我们通过图像直接可以分析出来它们的点坐标啊，那如果我们是需要通过列式计算，该如何计算呢？好，我们把这个先简单拆除一下啊，我们来列式计算一下， 也是需要分这两种情况来讨论啊，我来先观察左边这的情况，左边这幅图我们用另外的颜色笔来去描述一下啊，左边这幅图我们观察 o c 是 不是作为它们的包围的底边呐， 但面积是一半，其实反映到哪里是反映到高，这里高是它的一半啊，这条高是 h， 它又是二分之 h， 它们高是一半的关系啊，所以我们可以利用 s 三角形 o m c 会等于二分之一的 s 三角形 o a c 啊去列作式子。 其中我们可以把 m 一 给它设一个它的坐标， o 也设为啊，小 a 多 b 给大家一个坐标。那我们来看一下第一个 三角形 m o c 的 面积可以怎么表示？二分之一 o c 为底边，然后呢啊，这个绝对值 a 作为它的高，因为这里 a 其实不一定是正的，有可能是负的，因为我们有可能在左边啊，所以我们大家绝对值 同样右边呢，是二分之一乘下二分之一底层高， o c 乘上高是等于八， 所以通过我们左右抵消 o c， o c 抵消了二分之一的抵消，得到了 a 会等于正负四啊，也绝对等于四，那 a 就 有正负四两个答案，所以我们可以确定 m 点它的横坐标要么是四，要么是负四。那因此我们再进行分类讨论啊。 第一种情况，当 m 是 在啊，比如我们说当 m 是 在 o a 上的时候，我们来分析一下 m o v 下的话，我们只需要带入解析式中去求就可以了，所以它既会在 o a 角直线， o a 直线是 y 等于二分之一 x 我 们是可以求出来的啊，我们给它带进去啊，就可以求出来 m e 的 坐标，是啊， 四度啊，好，我们可以解第二种情况，我们来看一下，当 m 在 射线 a c 上的时候， 在设阶梯式，这样的时候我们已经锁定了哈横坐标，我们可以同步图清看出来，如果在正半部分，它的横坐标是四，不在负半部分，它的横坐标是负四到多少啊，所以我们一样的，我们可以把 这个 x 等于四的时候给它带入我们的解析式中。我们知道 b c 解式可以算一下，是 y 等于负 x 加十二，我们给它代入去 带入 y 等于负 x 加十二，求得它是 y 是 等于八，所以也答案出来了， n 是 四到八，当 x 等于负四的时候，也给它带入 y 等于负 x 加十二种求出来， y 是 等于十六，所以 n 不 三，负十到十六哒 啊，所以我们可以通过两种方法，一种是通过画图去找终点坐标的关系，直接去锁定，那这偏向于我们，如果是小题或者是他并没有要我们求出求解过程，直接写出坐标的话，我们就可以用这种图像法去做。 当逻辑中要我们去写出色迷过程啊，那我们就建议通过这种列式子的方式去给它一步步求出来啊，那这种方法需要把 ga 直线的解析式一步步给它求出来啊，也会相对于繁琐一些， 所以同学们记住，当如果底相同的时候，高的和面积会成比例关系。你说当我们发现有两个线段是一样相等的话，我们就以它为底来另外去求高，看下高之间有什么关系啊，根据面积去求。 以上呢，就是例题式的解析过程，大家核对完毕后，我们最后来看一下这节课学习的内容。 好，我们来看这节课我正在学习了依次函数与面积的问题。第一个，我们提到了我们如何利用函数解析式去求面积，如已知函数解析式，那对于这个图像就只有一种画法，我们给它画出来，再根据图像上求出面积就好。 第二，如果他是给了我们面积，但没有给我们解析式的话，那我们就要去分类讨论嘛，已知 k 和三角形面积去求 b， 注意 b 有 两种情况啊，同样的已知 b 和三角形面积求 k， k 也会有两种情况。 第三，我们逻辑运用面积关系去求解析式或点坐标啊。当题目中告诉我们的信息是平分三角形面积，那这个时候抓住关键啊，平分角形面积，那这的直线很可能是三角形的一角中线啊。第二， 根据三角形的面积比例去求坐标，这个时候我们去找如果有两个线段是相等的公共边，我们把它作为底边来看，再去比较高和面积啊，中间高的关系就跟和面积的关系是相同的。 抓住这些信息，我们可以列出四字求解它。以下呢就是本节课的全部内容，大家学习回去之后记得及时复习巩固，拜拜。

x 十 x 加上一百等于二百三十 x 呢？就应该等于多少？ 改就完蛋了，赶紧改，妈妈赶紧改呀。

八年级下册数学专项训练来了！专攻一次函数知识点，先用思维导图理清知识脉络。专项学习通过基础解读十七个高频知识点，搭配点例精讲，带孩子拆解思路， 配合提分训练二十个训练点精准突破，搭配三大专项强化练练通每个知识点，最后综合练习，验收学习成果参考答案，搭配知识点，解析思路更清晰。本书一趟五册数学专项训练，哪里薄弱练哪里。

hello， 大家好，我是数学张老师，欢迎大家来到我的满分数学课堂。 欢迎来到满分数学八年级下册第七道，一次函数我们带了三个问题进博特答，第一，一次函数有哪些性质？第二，如何用待定系数法去求解析式？第三，如何用图像位置关系来去求解析式。 首先，我们先讲一下什么是一次函数，以及它有什么性质。一次函数呢？它是形，如 y 等于 k， x 加 b， 这样的形式我们称之为一次函数。使用的 k 和 b 是 常数，而且要求 x 的 系数 k， 它不能为零啊。 再比如我们的常点呢？举例，折 y 等于负三， x 减二啊，这都属于一次函数啊， y 等于二分之三， x 加八啊，这都属于我们的一次函数啊。嗯， 但如果题目告诉你是 y 等于 k， x 加 b， 那 这样是一次函数吗？思考一下，如果题目没有告诉你 k 不 小于零的话，因为我们要求 k 必须要不等于零才能使。 那么观察到这样的形式跟我们萨蒂克学的正比例函数是不是很相近啊？对了，当 b 等于零的时候，那么它就是一个正比的函数了，所以我们可以说正比例函数，它是属于特殊的一次函数。 那弄清楚一次函数形式后，我们来看一下它的图像该如何去画。我们前面学过了正比例函数的五点会指法啊，我们一样的一次函数也可以这么去画。 显然，我们这条新的直线 y 的 x 加一，它与 y 轴的交点坐标会是零，逗号一啊。我们再来画一条，如果是 y 的 x 减一，这条直线呢？ 它与这个 y 轴交点坐标会是零，逗号负一，所以我们来分析一下，当此时啊， 后面这个 b 是 负一的时候，交点坐标是零，逗号负一， b 是 一的时候，向量积轴八是零，逗号一，而 b 是 零的时候啊，自己可以看到零，是不是交点坐标是零，逗号零的？ 对了，可我发现这个 b 跟这 y 轴的焦点坐标有关系啊，这个 b 就 会是我们 y 轴的焦点的重坐标 啊，为什么它是 y 轴焦点做坐标呢？请我们来看一下，在 y 轴上，它的横坐标都为零啊，都为零，所有点都为零。你说当 我们一个是指 y 等于 k， x 加 b 这个一次函数啊，如果我们当 x 等于零的时候，带进去是得到 y 等于零，乘以 k 加 b， 零乘以任何数都是零，所以也都得到 y 等于 b， 我 们就发现了，当 x 等于零的时候，它的重坐标就是 b， 也说它与 y 轴交点重值表就是 b 了啊。所以我们就可以知道，一个函数出来之后，我们可以快速判断出来，它与 y 轴交点坐标是零的符号 b 啊，这么来的。 所以呢，当 b 大 于零的时候，那么图像就会与 y 轴交于这慢轴，也就是上慢这部分。如果 b 小 于零的时候呢，它会与 y 轴交于负半轴啊，我们就知道了 b 跟图像它有什么联系了， 我再来看一下，当我现在知道 b 的 情况，我们来锁定 b， 让 b 都等于一，我们再来研究下 k 会让图像有什么变化啊，这 k 我们先来观察一下，当 k 大 于零的时候，我们知道它图像都是往朝上的趋势啊，从左下到右上这个趋势的样子好，而且呢， k 越大，我们来观察一下， k 越大的直线又怎么样？是比 k 越小的直线更加陡峭啊？哦，它的倾斜程度会更大，而 k 越小的话，这条直线看起来是更加平缓呀。 只有我们发现 k 更大的时候呢？哎，这直线会更加陡峭一些。那我们再来看一组啊，当 k 小 于零的情况，我们也来分析一下， k 小 于这条直线的什么特点，它是不是都是朝下的趋势啊？从左上到右下这样的趋势好，而接下来，我们来观察一下， k 负二、负一和负二分之一，它们的陡差程度是怎么样的？负二的话，是不是陡差程度会更大呀？而负二分之一会更小。但我们总结来看，是，当绝对值 k 啊，绝对值 k 它越大的情况下， 这个直线会什么呀？是会越陡啊，哦，会越陡 好，如果它越小的话，它会越平缓啊，越缓 平缓啊，越稳越平稳啊！所以你会发现，这样的情况我们就可以推动出来 k 影像图像的情况了。好，那我们总结一下， k 其实跟它的增减性是有关系的啊。我们如果 k 大 于零的时候，这个图像整体的趋势是， y 会随着 x 增大而增大。记没记到了，从左到右去看，当 x 增大的时候呢， y 也随之增大，所以它会一起增大。 而当 k 小 于零的时候呢， y 会随着 x 增大而减小啊，它们的变化趋之相反。好， x 越大， y 反而嗡嗡嗡嗡降低了 啊！最后一个绝对值， k 已知这个绝对值 k 这个数值会反映呢，是这个直线的倾斜程度啊，如果它的 k 值越大啊，绝对值 k 值越大，它就越倾斜，反之， k 值越小，就会越平稳，越平缓啊， 这样我们就学会了 b 和 k 对 于我们直线的一个影响。 那我们来看一下，学会这样的方式，我们就可以画出一个简易的一些函数啊，如果他并没有告诉我们 k 和 b 具体的数字，而只是告诉我们 k 和 b 的 正负性， 那我们也可以画出一个大字的图像，比如告诉我们 k 大 于零， b 也大于零，那根据我们之前学的啊， k 大 于零，说明这个图像的区域是什么？是从左下方右向朝上，这个区域是画的， 而 b 大 于零，说明它与 y 轴交于正半轴，所以我们就可以画作图像了，朝上的趋势啊，且于 y 轴交于正半轴这个焦点位置的正半轴。 但我看这样的图像画出来，它会经过第几项线呢？是它会经过第一、第二和第三，会经过一二三项线 啊，所以反过来，如果题目告诉一条直线经过一二三相切，我们也能画出这个图像，判断出来它的 k 和 b 的 正负形。好，我们再来看，如果 k 大 于零，但是 b 小 于零，怎么画呢？ k 大 于零，说明它的直线是朝上的， b 小 于零，说明交于外的负半轴，所以我们图形要这么去画，它会经过一三四这三个相切。 好，那如果 k b 正好等于零的话，那么它就会经过圆点啊，也是朝向的趋势，经过一三两个象限 啊。我们再来看，如果 k 小 于零，这图像又该如何画呢？ k 小 于零，但是 b 大 于零，我们知道 k 小 于零，说明它的直线朝向是往右下方这倾斜的啊，曲线朝向 b 大 于零，说明它交于 y 轴的正半轴， 所以图像发出来了，它经过了一、二和四象限，一、二、四象限。再来看，如果 k 小 于零， b 小 于零，怎么画啊？这边是不会画了。对了，朝下且经过复半轴，经过了二、三、四这三个象限， 最后 b 等于零的时候，它经过原点，已知它只经过二、四这两个象限。 我们这样就学会了啊，给予我们 k 和 b 的 正负性，我们能画出图像，反过来给了我们图像，我们也能判断出来 k 和 b 的 正负性。那学会这些，我们来看一下例题一， 我们来看一下例题一，已知因式函数 y 等于二， a 减三， x 加四减 b 啊，根据图条件确定 ab 的 一个曲值范围。 第一个说 y 三 x 增大而增大啊，那我们前面提到了，如果遇到 y 三 x 增大而增大，那么它的 k 是 什么情况？是狂压啊， k 什么情况啊？第二， 函数轴向与 y 轴交点坐标在 x 的 下方，与 y 轴交点坐标跟谁有关？是跟 b 有 关了，先像 b 是 不一样啊。第三，函数图像经过二、三、四象限。那求求我们想要看此时的 k 和 b 又是什么关系呢？ 求求们可以暂停作答，请暂停！ 我们来看例题啊，它分别告诉我们了几个信息，让我们去判断 a 和 b 的 取折范围，我们一个个来看啊。 第一种情况，函数值 y x 增大而增大，它反映出来什么？它反映出来 k 是 大于零的，而此时我们看一下 k 是 啥， k 是 则是二 a 减三这个整体， 所以我们都知道了，二 a 减三要大于零，求出来 a 要大于二分之三， 对于 k 有 限定，但对于 b 有 限定吗？对于这里 b 是 没有任何限定的啊。 y x 增大增大只跟 k 有 关，跟 b 无关。所以此时的题目中的小 b 啊，题目的小 b 是 任意，与他跟他没有关系，所以他是取任意数字都可以啊。第二道 函数图像与 y 轴的焦点位于 x o 的 下方， x o 下方，说明这个 b 怎么样？ b 是 y 的 这焦点坐标，它就会小于零啊。注意了，此时我们说的 b 是 指是我们正常的函数解析式 y x 加 b 这个比啊，跟题目中的比是不一样， 所以此时题目中的是四减 b， 指代是我们原来这个啊，所以我们可以知道四减 b 这个整体会小于零，也就求出来 b 要大于四。 由于与 y 轴交点只跟 b 有 关，跟 k 是 没有关系的，所以 a 这里就任意了啊，跟他没有关系，任意。但是注意一个讲呀啊，出列条件呐， 由于我们要强调的是 a， 它虽然累，但是 k 值还有一个额外的限定，它不能为零，所以此时的二 a 减三，它不能为零，也就是 a 要不等于二分之三 好，这样才行好。 b 大 于四， a 不 等于二分之三。 第三个函数图像经过第二、三、四象限这种吗？遇到这种经过递减象限的，我们不妨先画出一个函数草图啊，函数这样的草图，我们只需要给它 x， y 和零就过了。 这样呢，经过二、三、四象限，我们想说经过这三个向量怎么画呢？是指的这样画哦，它是要一个朝下的，交于 y 的 负半轴，那都会出现出来， k 是 小于零的， b 也是小于零的， 那我们就判断出来了，二 a 减三要小于零，所以 a 要小于二分之三，这是一个其次，四减 b 也要小于零，那其实 b 要大于四，我们就得到了一个限定了， a 小 于二分之三， b 要大于四就大。 我们要知道 k 是 跟增减性有关的啊，他会知道 k 大 于零，直线的朝向是朝上方走的， k 小 于零，直线朝向朝下方走。而 b 呢，它是与我们函数与 y 轴的就坐标有关啊，与 y 轴交叉点就坐标有关。 如果是 b 大 于零，交于 y 轴的上半部分， b 小 于零，交于 y 轴的下半部分。我们的哈迪迪奥 在同一笔面。对啊，周列线内有两个一次函数，问下列图像哪个是符合我们这两个一次函数的？我来分一下这两个一次函数啊， 它都跟这个 a 有 关系，它的 k 和 b 都跟 a 有 关。我们知道 k 不 能为零，所以其实就只有两种情况，一种情况是 a 大 于零的，一种情况是 a 小 于零的，我们可以抓住这两种情况去分析一下啊。 好，那同学们可以按下这样几键作答其他题。 好，同学们，我们来看例题二，这里给我们两个一次函数，我们去分类讨论一下。 a 大 于零的时候呢，我们来观察第一个函数的 k 和 b 和第二个函数 k 和 b 长怎么样？我们照 k b 的 正负极就能画出图像了。 第一个函数 k 一 是大于零的， k， b 一 也是大于零。第二个函数 k 二大于零， b 二也大于零，同时大于零，那么它的函数图像我们就可以画出来了，都是朝上且交于正八折的两条直线 啊。那我们来看一下 abcd 中有没有类似这样的选项的，发现并没有两个同时朝上的啊，去交于正八折的情况，所以第一等情况在选项中是没有的，我们再看第二等情况， 当 a 小 于零的时候，第一个函数 k 是 小于零的，但是 b 是 大于零的，第二个函数 k 是 大于零的， b 是 小于零的。那么这个图像的形式大次我们可以画出来 啊，一个是朝下交于正半轴的线，一个是朝上交于负半轴的线 啊，那这样的图像我们来看一下是不是有没有类似的图像有 c 和 d 啊？ a b 就 排除了这两个的不符合，所以我们在 c 和 d 中再去挑哪一个是更加准确的， 这个时候我们通过大字的图像已经只能得到形了，那还需要一些细节去佐证。那么回到题目来看，由于正 k 和 b， 它实际上都跟这个 a 有 关啊，跟 a 的 数字有关，那我们来观察 交于正半轴的是什么？我发现交于正半轴的是第一个，那第一个函数它是 a 平方，所以它的这里是零逗号 a， 而底下交于负半轴是零逗号 a， 打这边一样的，这里是零逗号 a 平方，零逗号 a， 那 么来观察它俩有个大小的区别啊。是这两个是有个大小的区别 啊，一个是 a 平方小于绝对值 a， 一个是 a 平方大于绝对值 a， 那 我要去判断一下 a 平方和绝对值 a 到底谁大谁小 啊？我们观察到是不是 a 平方，它至少会比 e 大 呀？题目已知信息， a 平方比 e 大， 那说明什么？就说明绝对值 a 也要比 一大二，它们同时比一大的情况下，那 a 平方 a 谁会更大？是 a 平方更大。举例子，二的平方是四五的平方是二十五，是平方更大， 说明我们要选哪个？选 d 啊， a 的 平方值呢？值要比绝对值 a 要更大，所以选 d。 我们来看例题，上一次函数 y 的 k， x 加 b 啊，当 x 大 于等于零小于二的时候，对应的 y 的 函数值是 y 大 于等于 four 小 于零。四，求这一次函数的解析式 啊！我们知道一次函数是一条直线啊，所以每一个 x 对 应了一个 y 的 数值，那么这两个端点自然而然就会对应的两个 y 的 值啊，对应的两个 y 的 值。 那么看到底零是对应谁，二是对应谁呢？我们需要去判断一下。由于我们并不知道它是 k 的 一个正负性，所以此时你要去分类去思考， k 大 于零的时候，它是如何一一对应的， k 小 于零的时候又是如何一一对应的。 好，首先我们可以按下暂停键作答，请暂停。 我们来看例题三，当 k 大 于零的时候，我们知道这个图像的趋势是朝上的啊， y 是 x 增大而增大， 那么此时 x 越小的时候，比如 x 减于零的时候， y 是 什么？ y 是 不是取小的那个数字啊？ four， 当 x 属于更大的时候，二的时候， y 加取更大的数字。四，所以我们找到了直线上的这两个点，零的话，负二，二到四，我们也想把这两个点带到依次函数解析四中去，求出 k 和 b， 我 们带进来就可以得到 负二等于 b， 第二个四等于二， k 加 b， 我 们可以求出来 k 和 b， 了 解得 k 是 等于三， b 等于负二。好。第二种情况，当 k 小 于零的时候呢？直线是不是朝下的 y， x 增大反而减小，所以当 x 更小的时候， y 要更大，当 x 更大的时候， y 要更小。 我们都找到零的话，四和二的号负二，这两个点了一样的代入解析之中列去一的二 y 次方值组啊，得到四等于 b 以及负二会等于二， k 加 b， 这样我们就求出的新的 k 和 b， k 会等于负三，必要等于四，所以最终答案有两个，第一种情况， y 会等于三， x 减二。第二种情况， y 会等于负，三 x 加四。所以同学们在我们题目中没告诉我们 k 的 时候，我们记得要去考虑它的正负来判断，根据 k 的 正负性可以知道它到底是递增啊， 弯增大了还是减小的，这样我们就可以考虑到端点的一对应问题。好，这都是例三的两种情况，核对完毕后，我们继续来学习。 好，我们现在来学习一下如何去求一个含一次函数的解析式，我们会用到的是待定系数法来解决， 如已知一次函数，图像经过点一到二和点二到一到，求一次函数解析式，由于它们并没有告诉我们 它的解析式长什么样子，所以第一个我们要去设这个解析式。好，我们根据一次函数的特点可以设 y 等于 k， x 加 b， 指示要保证 k 不 为零 啊。第一，我们可以先测出已知函数。第二步，由于函数经过两个点，那么这两个点的坐标带入这个解析式中，它叫成立，所以我们就把一逗二和逗一带入这个函数解析式中，就可以得到一个二元一次方程组， 带入进来之后，我们去写这个二元一次发生数，就能求出 k 和 b 的 值，求出 k 和 b， 我 们只需要再带回原来的解析式中，把它具体的解析式写出来。那这就是我们的代理之路法。通过这几个步骤，第一步，先设 啊，设出函数解析式，第二步，把点带入，第三，写出 k 和 b， 第四，把它重新写出正确的情况。好，我们学会了待定系数法去解决一次函数。我们来看下面的题目， 我们看对于异次函数，如果我们想对它的图像进行变化， p e 变换的话，那变化后的异次函数能不能求出来解析式呢？好，它跟变换前的有什么关系呢？我们一起来探索一下。像我们举个例子，以 y 等于 x 为例。 好，我们将这个式子向上平移两个单位。好，我们看下 p e 后的图像啊， 就会得到 y 等于 x 加二，那这个怎么得到呢？我们来观察找点，因为直线的平其实就是直线上所有点的共同平移，比如说这个点圆点零到零，我们经过向下平移之后，它到哪里呢？是到零到二里啊，发现没有， 我所有的点坐标都是增加了啊。我们再来看一个，如果这样加直线往下平移一个单位呢？他就会得到了 x 得一， y 等于 x 减一，那么与 y 的 交点坐标是零度负一啊，它的焦点坐标往下减少了一， 所以我们发现向上向下平移是不是都在 y 轴方向的平移啊，那么它会影响人这个 y 的 值， y 会增加， y 也会减少啊，所以我们可以总结出来，对一个直线 y 等于 k x 加 b， 如果对它进行上上下两个方向进行 p e 的 话，我 p e m 个单位，那我向上的话就会加上 m， 如果向下的话，就是减去 m 啊，向上就是加，向下就是减，所以有个口诀，上加下减啊。对于 y 轴方向的变化，大家看，如果对于左右撇呢？以作在 x 轴方向变换会怎么样呢？比如我们以 y 点二 x 为例，好，我先呢拉向左撇一个档位 啊，观察到这里是指向左移了一个单位，那么移后的直线会是多少呢？是会等于 y 等于二 x 加二。哎，这个二 x 加二怎么来的呀？ 啊？实际上我们对于 y 等于二 x 这函数要偏移的话，由于啊，我们是对 x 轴方向进行偏移，所以它变化的是这个 x 向左撇一个单位的时候呢，看左边就会啊，加一， 这么来的，展开后就是 y 等于二 x 结合啊，向左提这一横的标是加一啊，是加的关系。那么向右呢？我们再看，如果向右提一个单位， 它也是对 x o 进行变化了，它会得到 y 等于二 x 减二，看是不是焦点坐标变负了， 它的变化怎么来的呢？它是由对于 x 向右的话，我们就是减啊， x 减去一，所以展开后是二 x 减啊，这么来的，后来它其实左右的话，它跟后加减是相反啊。如果是对一个 y 的 k a 加 b， 左右移 n 的 单位，那么我们对 x 进行变化啊，加括号，向左的话是加，向右的话是减。我们记下这个口诀，上加下减，左加右减啊，这样能够快速搬砖。我们去判断啊，变移化后的直线长什么样子。 所以我们刚才也观察到了，如果两条直线它只是通过皮移，那么前后是平行关系。 但对于平行来说，它们的 k 值会相等啊。因为我们前面提到， k 是 反映的是图像的倾斜程度，那既然平行，那么它们倾斜程度是一样，所以它们的 k 值会相等。 但由于平行前后是两条直线，所以此时 b 是 不相等啊，因为如果 b 相等了，相当于这两条直线就重合在一起了。第二， 如果两条直线是垂直的话，那么他们的 k 值也有个特殊关系，那这特殊关系属于拓展内容，我们可以提前去学习一下啊。你说，当两条直线垂直的话，他们两的 k 值相乘，就会是负一 啊，一个比如是二分之一，另外又是负二啊，那如果垂直，他们的 k 值刚好会是相成为负一，互为倒数，负倒数 好。学会这些图形变换之后，我们来做一下下面的例题。我们来看例题四，已知依次函数图像经过五到三啊，且平行于直线， y 等于三， x 减二分之一。 我们说两条直线平行，可以知道什么？是不是可以知道 k 值是相等的关系啊？哎，对，这里要举一次函数表达式，它没有给我们，我们就要先待定系数法，先设出这个函数表达式。同学们可以按下暂停键作答，请暂停。 我们看例题四，我们先设一次函数的解析式啊，设一次函数为 y 等于 k， x 加 b。 好， 接下来呢？因为平行啊，因为两条直线是平行关系的，两直线平行， 所以我们黑子涵的 k 值是相等的，也就是我们这条一次函数的 k 值要等于另外一条啊三，所以说 k 等于三。所以呢，我们的解析式就变成了 y 等于三， x 加 b 了，就只差一个 b 要求了。 我们又知道一次函数图像经过五到三，所以我们将五到三带入，将五到三带入，注意，得到三等于三乘以五加 b， 我 们就可以去求出 b 了解得 b 就 等于负的十二啊，所以呢，我们的一次函数表达十九了啊， y 是 等于三 x 减十二。 好，这道题告诉我们啊，如果两条直线相平行的话，我们要知道它们的推值是相等的关系，如果它题目没有给我们一次函数的表达式，那我们要是用待定系数法先设出一次函数解析式中再去求解。 我们来看立体五，如图，在平面直角坐标系中给了我们直线一的解析式， y 等于四分三， x 是 这个正比例函数。还有一个直线二的解析式， 现在告诉我们 a 点的横坐标是四，那我们知道 a 点的一个横坐标是四，纵图还暂时不知道啊，以及它直线位交于负半轴，所以我们知道这个 b 的 一个范围是小为零的， 且 o a 会等于二分之 o b 啊， o a 常数是 o b 的 一半。那现在呢，去思考一下，第一个，我们能不能说出 b 点坐标以及直线化的解析式。 第二，如果将直线下在 p、 e 五个单位之后，新的直线所围成的象形 b、 c、 d， 它的面积又该怎么去计算 好？同学们，先从第一题出发去思考一下啊，已知直线一的解析式，我们可以把 a 点坐标先求出来啊，然后带你思考一下这个 b 点坐标和 e 点坐标啊，利用这个式子，咱们把它们的都求出来。好， 请按下到零点作答，请暂停。好，我们来看例题物啊！第一小问，首先我们可以把 a 点坐标瞅出来，因为我们知道 a 点它的和坐标是四，所以当 x 等于四的时候，我们让 y 等于四分之三啊，它就会得乘以四就等于三，我们就求出来了 a 点坐标是四等三嘛啊，利用这 a 点在直线一上面，谁带进去就可以求出来了。 接下来我们再来看一下题目，告诉什么 o a 是 等于二分之一， o b， 我 们 e 点就把它既然知道了， o a 的 长度也都可以求了。 o a 可以 利用购物定式算啊， ctrl 标是四， ctrl 标是三，所以它的斜边 o a 就是 根号下四的平方加三的平方等于五，我们就做 o a 的 谈吐了。既然 o a 知道了 ob， 我 们也能求了， o a 是 o b 的 一半，反过来 o b 就 会是两倍的 o a 啊，等于十，那么 o b 的 长度知道了， b 点坐标也做出来了， b 点坐标零到负十，别的 o b 长度是十，那 b 点是负的，所以是零到负十， 这样我们就知道了 a 点坐标以及 b 点坐标了。两个点坐标知道，我们就可以带入直线二，列出二与 h 方的组，求出 k 和 b 了。咱们这样带进去啊，把 a 四到三以及 b 零到负十带入 啊，带入我们的直线， y 等于 k， x 加 b 中，将我们这位列出是指啊四 k 加 b 等于三，以及 b 等于负四，所以啊，减到 k 是 等于四分之十三， b 等于负四，所以它的直线二解析式就有了。 y 是 等于四分之十三的 x 减四。好，这第一角问我，再来看第二角 第二小问号，他说将直线 l、 e 向上 p 五个单位，无限压向上 p 五个单位之后，它图像我们可以简单画出来啊，是一图画出来啊， u 一 提议，它的脾气呢，我们给它标为直线 l 三， 那对于新的直角三，它的解析式就是等于 y 等于四分之三， x 加五。注意啊，又不在上下去平移，所以它变化是 y 上加下减向上就直接加五就可以了啊。接下来我们再看一下它的焦点啊， 七的直线与 y 的 交点是 c， 那 么 c 的 坐标我们可以直接求出来了， c 是 零到五。好，还有呢，以直线 l 二交点是 d 啊，这个 d 的 交点我们也能求 d， 怎么求呢？因为这个地点很特殊，它是直线 l 二和 l 三的交点，因为它既要满足 l 二，也要满足 l 三，那我们就会把 l 二、 l 三这两个啊，函数解析式当做一个方程，二元式方程去给它连立 啊，求它们的公共解， 也求出了。公共解就是它的焦点坐标了啊，我们可以解得 解的， x 等于六。好，我们可以代入去，把 y 也给它求出来， y 二分之四分之四分之三啊，乘上六，再加上我们得到二分之九加五也是二分之十九 啊，我们就知道了，递减坐标是六到二分之十九 加。知道地点坐标之后，我们来求下 b、 c、 d 的 面积， b、 c、 d 的 面积，我们来观察一下，我们可以以 b、 c 作为底边啊， d 点来过， d 点向外轴做垂线，这条垂线段的长度我们可以表示它的高，而这条垂线段的长度是什么？是刚好是 d 点的横坐标啊，所以它的面积就可以求了。 s 三角形 b、 c、 d 的 面积，它可以写成二分之一，以 b、 c 为底边，再以 d 点的横坐标作为它的啊，高需求 啊！那我们来带进来二分之一乘以 b、 c， b、 c 怎么算啊？ b 点坐标坐标是负十， c 的 地方是零到五，那它们之间差多少呢？是大减小啊。对了，五减去负十，也就是五加四 啊。那扯淡，他们呢？很准备六，所以这种答案是四十五啊！答，所以它的面积是四十五 啊。所以同学们遇到像这类的题型，如果啊，他要我们求焦点，我们要知道，也就是把两条直线给它组成一个二与 h 方程组。 因为求出来的解，它既要满足直线一，要满足直线二，也叫它的点焦点，它既在直线一上，也在直线二下，所以这个求出来的 x、 y 就是 我们要的焦点坐标啊。 好，我们这节课学习的是一次函数。首先，对于一次函数的图像和性质，我们来研究下一次函数，它是形如 y 等于 k， x 加 b 这样的形式，其中 k 是 不为零的啊。对于 k， 它反映的是它的图像的增减性， k 大 于零，图像是朝右上走趋势的， k 小 于零是朝右下的趋势的啊。 b 呢，反映的是图像与 y 轴的焦点重坐标， b 大 于零交于 y 轴的正半轴， b 小 于零交于 y 轴的负半轴 啊。第二，我们要求一个函数的解集式，我们可以用待定迅速法去求。第一步设，先设出函数解集式是等于 y 等于 k 加 b 啊， k 和 b 暂时不知道 加。根据题目的信息，把函数经过的点坐标带进这个方程中去啊，得到了含 k 和 b 的 一个方程组，根据这个方程组，我们可以解出来 k 和 b。 最后呢，再把我们的解析式写出来 啊。三、如果两条直线是平行关系的，我们记住它们的 k 值是相等的。如果两个直线它们是垂直关系的，那么呢， k 值相乘会是负一。 对于一的函数要进行平移，我们记住了，通过 y 轴方向，你说上下去平移的话，我们是在 b 的 后面去增加或减少，向上就增加，向下的减少，上加下减。而对于左右平移是针对 x 轴方向的，所以我们对 x 及其变化， 向左就是加，向右是减，左加右减。以上就是本节课的全部内容哦，这道课后记得及时复习巩固，拜拜！

同学们好，今天晚上的初二数学家练是关于一次函数的专项练习，那也是我们这学期的必考题，我们一起来把一些易错题来简单过一下来。首先来看一下第一个一次函数判断，那符合什么定义？第一，首先 你的次数一定要为几为一，对不对？其次呢，你这边的系数是不能为零的，所以下面属于一次函数的很多同学会选择 c， 这个选项是错误的。为什么我们写一次函数一般式的时候，一定会加上一个 k 不 等于零的条件的，因此这道题没有给，所以这个 c 是 错误的， 那这个二次肯定也错，对不对？这个是分式，所以只有 d 是 对的，所以考试一定要小心点，看他的 k 有 没有写不等于零。 那往下来看到我们第三题，第三题说这两个东西成正比例，我说正比例就是 y 等于 k 倍的 x， 对 不对？那他现在只是换成了二 y 加一和我们的 x 减五成倍正比例，那所以怎么列式？ 应该就是我们的二 y 加一会等于 k 倍的 x 减五，这样就对了吧，对吧？所以我们把展开整理一下，会发现 y 与 k 含一是我们的什么关系？应该是我们的依次函数关系，选择我们的 a 选项， 那往下第四题，这种过圆点的题，直接把零斗零带进去是不就完成了，对不对？零斗零带进来，我们得到 零就会等于我们的 k 平方减四，那因此我们的 k 应该会等于我们的正负二的。但一定要注意啊，既然是一次函数，所以你 k 加二是不能等于零的，也就是你 k 是 不能等于我们的负二的，所以这道题只有二是可以的。选择我们的 a 选项，不要手快，马上选个 c 下圈，那就错误了。 那往下来看我们第五题，第五题这个是印错，这里应该是我们的 n 减一次方，然后这个东西是一次函数，所以我满足什么条件？首先系数不为零，也就是 m 减了不等于零。其次次数为一，所以我们的 n 减一要等于我们的一，因此我们的 m 是 不能等于二， n 是 等于二的。选择我们的 c 选项。 那第六题，第六题是我们的二二元一次方程组和我们的函数结合，二元次方程组是我们初一时候学习的内容了已经，那所以 如果有忘记的同学，一定要回去多复习复习。好吧，这初一的知识，那现在说解为非复数，那我们是要把解写出来，对不对？那这个方程组的解救谁？就是我们的 a 和，就是我们的 x 和 y 吧，对吧？所以我们首先第一步你要去把 x， y 以及你 a 的 参数之间关系给它写出来，那消的话也很好消。上面是一，下面是二，我们可以选择先消我们的 y， 那 我们就可以得到一，先消掉我们的 y， 那 我们就一加上二乘二就可以了。那我们就可以整理出来，我们的 x 应该会等于我们的 a 加二分之五 a， 那 你要写 y 的 话，你可以把 x 直接往里带，也可以再去把用我们的一减去二乘四都可以，看你喜欢哪一个。那整理出来我们的一减去二乘四都可以，看你喜欢哪一个。那整理出来，我们的 y 应该会等于我们的负二分之一， a 加上我们的二分之三，现在说解为非负数，那也就是你的 x 要大于等于零，并且你的 y 也要大于等于零，然后就剩下就是我们解不等式了吧，对不对？你去把这两个不等式解出来，我们可以得到负二分之五会小于等于我们的 a 小 于等于我们的三。 其次呢，它要令这个一次函数图像不过第四象限。那如果不熟悉的同学可以稍微画一下图像， 不过第四象限也就过我们的一二三象限，所以整个函数图像应该是长这样的吧，对不对？那长这样的函数一定是递增的，也就是 a 加一要大于零，并且呢，与 y 轴交于我们的正半轴，所以三减 a 也要大于零， 那或到。所以这两个东西你去解出来三减 a 是 可以等于零的，但解出来你可以发现 a 应该是负一到三之间。 好，那这个有的话综合两个，一个是负二分之五到三，一个是负一到三，结合起来，这个应该就是我们最后的取值范围了吧，对不对？所以我们的 a 应该是负一小于 a 小 于等于三的，所以在这区间之内的整数 a 应该是有我们的四个的吧，零一二三。因此这道题选择我们的 c 选项 不等式和方程组。如果有忘记的同学，一定要回去多复习一下。好吧，晚自习来找老师也可以。那往下支点三待定系数法，求一次函数图像，就很简单的待 把点带进去就好了。那第一个是我们的必过什么点？我们说必过什么点，其实就是与谁无关的问题吧，对不对？那与谁无关，怎么做？就令他的系数为零就好了。既然与 m 无关，我们就把 m 合并同一项，那我们可以得到整个应该就是 x 加一倍的 m 减二，那 所以令他的系数为零，我们就可以得到 x 加一是要等于零的，因此 y 是 等于负二的，所以这道题必过点，负一到负二就完成了。 然后第八题也是一样的，不论 k 为和值，说明与 k 是 无关的，那与 k 无关怎么办？令 k 的 系数为零，所以合并起来，我们得到 x 加三倍的 k 加一，那因此令系数为零，也就是 x 加三等于零，所以 b 过负三等一这个点，选择我们的 a 选项。 那往下来看到我们的第十题。第十题正比例函数。正比例函数怎么设？一般是就是 y 等于 k， x 吧，对不对？你要先设出来，然后经过这个点，所以代入进来，我们可以得到负二， k 会等于六，因此我们的 k 是 等于负三的，因此这正比例函数就是 y 会等于负三， x， 对吧？那所以当 x 等于负三，带起来，你的 n 就是 等于九的，选择我们的 d 选项，那包括第十一题也是，这个是他的图像，问我们 k 是 多少，是不是两点法，对不对？带入两个点就够了，你一个点是我们的一到零，另一个点是我们的负二到 是我们的零。逗负二，把这两个点带进去，我们可以得到一个二元次分了组，从而求出我们的 k 和 b 就 可以了。那往下来看到我们第十二题，第十二题又是刚刚做过的， y 减一和 x 成正比，所以怎么列？那是 y 减一等于 k 倍的 x， 对 不对？然后去把它带入进来，我们的 k 就 可以求解。这道题就做完了， 那第五题判断函数，也就我们函数共存问题怎么办？先定一条，比如说我们以 y 一 为界限，那我们来先判断 a y 一， 比如说 a 这张图 y 是 不是向上，对不对？那递增的话，我们说它的 a 就是 大于零的，并且交于什么轴？与 y 轴交于负半轴，所以它的 b 是 小于零的， 对吧？那根那我们再来看 y 二， y 二是一个递减的，所以这里的 b 是 小于零的，那 a 呢？交于负半轴，所以 a 也小于零，这一样吗？这不一样对不对？那这样 a 和 b 的 曲值不一样，说明它不能共存，所以这个是错的，那这里是不一样的。每张图都可以这样判断， 这种 y 一 递增随，这题 a 也是大于零，交于什么轴？正半轴随 b 大 于零， y 二呢？递减随 b 小 于零，交于什么轴？正半轴随 a 大 于零，发现 b 又不一样，所以这个也去掉， 对吧？那么看 c c y 一 递减，随 a 小 于零交于正半轴，随 b 大 于零，这零呢？递减随 b 小 于零交于负半轴，随 a 小 于零，这一样吗？ 还是不一样？那因此我们来看 d， d 递增，所以 a 大 于零交于负半轴，那因此 b 小 于零，这里递减， b 小 于零交于正半轴， a 大 于零，那数轴 c 是 一样的，对不对？那因此这道题就选 c。 根据我们增减以及与 y 轴的交点， 我们可以判断出它整个的取值范围是正是负。那十四题也不要蒙好吧，输入 x 取相反数，那就负 x 乘二，那就负二， x 加四，那就负二。 x 加四，输出 y， 那 其就是 y 会等于负二 x 加四，对不对？那因此递减交于正半周，选择什么？选择我们的 d 选项 就完成了，包括这也是的 k， 大 二零递增 b， 小 二零教育复半周，增又教育复半周，是由 c， 对 吧？所以这种图像问题是非常好判断的，只要只要去关注他的 k 和 b 的 取值就可以了。 那往下我们来看一下第十六题重要会啊，递减教育复半周，不熟练，还是一样的，先画图，对吧？递减教育复半周应该长这样，所以不经过我们的第一象限，包括这个也是递减教育正半周，那应该长什么样？ 应该是讲这样吧，对不对？所以应该是不经过我们的第三项线的选择我们 c 选项，那这个呢？递增交于负半轴，那意思选什么？选 b。 所以 只要抓住你的斜率，你的增长性以及你的焦点方向，你整个图像体会做的非常快，非常轻松， 那你倒着推也要会推，对不对？比如说我们看第二道题，他现在说 y 随 x 增大而减小，那不就递减函数吗？对不对？递减函数，所以你 k 是 小于零的，那因为你 k 乘 b 会大于零，说明同号，所以你 b l 小 于零，因此整个函数应该是递减并交于负半周，所以应该是长这样的， 对吧？因此不经过我们的第一项线选择我们的 a 选项，包括二十一题，也是不经过第三项线应该长什么样？应该长这样吧，对不对？那所以是一个减函数，并且呢交于正半周，所以我们知道 k 减二是要小于零的，并且呢， k 是 要干嘛？ k 交于正半周，所以是要大于等于 k 等于零吗？是不是也可以等于零，对不对？等于零的时候，你还是不经过，所以 k 应该会大于等于零，所以去算出来，我们就可以得到我们想要的结果了。 那往下来看到我们的第二十二题，这种选项比较多的题，也不要怕，就也还好吧，对吧？就一个判断就好了。那 k 小 的零， b 大 的零，还是一样的 递减，并且交于我们的正半轴，所以应该是长这样的整个函数图像，那所以 e 肯定是对的，对吧？经过一二三，然后 b 呢，增大而减小也是对的， c 呢，与 y 轴交于零，逗， b 肯定也是对的， d 呢，当 x 大 于负 k 分 之 b 时， y 会大于零，这就要计算一下对不对？ y 大 于零， 那可以去算一下，其实就这个焦点，就就这个焦点就行了。那这个焦点其实令 y 等于零的时候，因此 k x 加 b 等于零，去算一下，我们的 x 应该会等于我们的负的 k 分 之 b 的， 那应该是往应该大吗？应该是这个点往哪？往左吧，对不对？所以应该是 x 小 于负的 k 分 之 b 时候，整个 y 才大于零的，因此选择我们的 d 选项。 那二十三题这种几何问题，只要求做到就好了吧，对吧？交一点 b， 那 是这点应该是零斗一，交一点 a， 这个点应该是我们的负二分之一斗零，所以整个的面积应该是二分之一乘一，再乘二分之一，应该会等于我们的四分之一，我们的几何一 包括这题也是一样的，怎么办？你去把整个图像大体画一下，整个是递减，并且交于正半轴，所以应该长这样。然后我们去把两个焦点 算一下就好了，这个焦点是令 x 等于零，所以应该是零。逗一，这个焦点呢，是令 y 等于零，所以算出来应该是我们的二分之一逗零，因此面积还是我们的二分之一乘一，再乘二分之一，还是我们的四分之一， 对吧？然后画函数图像也是一样的，图像我们都已经做过很多了吧，对不对？那这二十六题比较特殊，在这两个直线上的点，这个直线比较特殊，你会发现它的 x 是 不定值，对不对？ x 定值说明什么？这条线实际上就是 x 等于负三，因此只要满足 x 等于负三的，都是选择什么？选择我们的 a 选项，好吧。 然后这种识别摇会啊，我们来讲一题嘛，二十八题，一次函数。什么叫一次函数？你看次数为一嘛，系数为三分之一这个数就是了，对不对？这 y 会等于我们的三分之一 x， 所以 这一是二呢？也是包括看它根号二，奇怪，只要次数为一就行了。然后三呢？不行，因为它是分式啊，四呢，也可以吧，对不对？五呢这是？ 这是一个五，可以吗？你去拆开发现它和二次有关吗？没关系，所以五，也是因此这道题有几个？应该有四个，应该是我们的一二四五， 这就是我们一次函数判断重点是这个分式不要选进去，好吧。然后定也是的，有一次函数的定义要记住什么？ 比如说我们选二三十二题，一定要记住你的系数不能为零，对不对？所以你 k 是 不能等于二的， 并且呢，绝对是 k 减一，次数一定要为一，所以算出来 k 应该会等于正负二，排除掉一个二，所以这个只能是 k， 只能是等于负二。因此解析式我们就有了 y 应该等于我们的负四 x， 那 负二带进来，要是负 负四减三，所以减七，这就完成了。好吧，那剩下带进去法都是一样的，把它带进去我们就可以求出我们想要的东西了。那今天加练到此结束。

这种一次函数结合四边形的动点存在性问题呢，是咱们目前江苏巴夏可能会考到的压轴题之一。像这类题呢，旭哥整理了几道，并且都安排了录制视频讲解，有需要的呢，回复苏科八六一，旭哥直接安排给你， 但是这道题呢，你得给我听完。如图，这个直线， l 一 的解析式给咱了， l 二的解析式给咱了，他们两个的焦点给咱了。然后呢，让咱来求 a b 的 坐标， a b 的 坐标呢，就是 l 一 与 x 轴 y 轴的交点， 那么这个里面缺个 b， 这个里面呢？缺个 k， 就 一个未知数吗？把 x y 往里一带就 ok 了。那好，把二二分之三呢带入到第一个里面， 二分之三，然后呢，这是二负四分之三乘以二等于负的二分之三，然后呢，再加上一个 b， b 呢，就等于二分之三加二分之三，也就是等于三，所以说， l 一 的解析式是等于多少啊，就变成了 y 等于负的四分之三， x 再加上三， 当 x 等于零时， y 等于三，所以说 b 点坐标是零三，那当，哎，当这个 y 等于零的时候呢？零等于负的四分之三， x 加上三又是四分之三， x 等于三， x 等于几啊？ x 等于四，所以说 a 点坐标是多少啊？ a 点坐标是四零。 好，那接下来呢，我们再来把这个 l 二的解析式也给他求出来吧。 x 等于二， y 等于二分之三往里带，那就变成了二分之三等于二， k 减去六，那就变成了二分之十五呢，等于二 k， 那 k 呢，就等于四分之十五， 那所以我们就可以知道，它的解析式变成了 y 等于四分之十五 x， 然后加上减去六啊，四分之十五 x 减去六。 好，那我们再来看第二问，他说呢，在这个线段啊，这个 bc 上啊，注意是在线段 bc 上，所以说呢，这个线段上， x 是 等于零的，这个 x 是 等于二的，比如说 x 的 取值范围啊，是零到二啊，在这个区间。 然后呢，有个点 e 过，点 e 呢，做 y 轴的平行交直线 l 二呢，于点 f 设点 e 的 横坐标为 m， 那 点 e 的 横坐标为 m， 那 它的纵坐标是多少啊？因为点 e 啊，他在这个直线 l 一 上， 对吧？那当 x 等于 m 时，那它纵坐标呢？就是变成了负四分之三 m， 再加上三，那点 f 的 横坐标呢，也是 m， 因为 e、 f 它俩是平行于 y 轴，它俩的横坐标相同，那点 f 呢，在 l 二上，那它的纵坐标呢？就变成了四分之十五 m， 再去减去率好， e f 两点坐标出来了。 然后呢，他说当四边形 o b e f 为平四时， m 的 值，他如果为平行四边形，那我们可以知道，他们两个肯定是对应变，为啥？因为他两个平行，对吧？他们两个是平行的，点 e 呢，并且只能在这动，那又只能是这种情况，点 e， 并且一定在点 f 的 上方。 因为这道题出的比较简单，因为点 e 就 只在线段 b c 上，如果他说不在 b c 上，比如说点 e 在 这的时候，那 f 呢？可能在这了，对吧？那 f 可能在点 e 的 上方，所以说这道题只能是 e 在 f 的 上方。然后呢，他是平四，就是他，他们两个相等呗， o b 的 长度等于多少 e， f 的 长度就等于多少，那 e、 f 等于多少呢？由于点 e 在 点 f 的 上边，所以点 e 的 纵坐标一定是大于 f 的 纵坐标，所以说它们两个之间的距离就是点 e 的 纵坐标，减去点 f 的 纵坐标就 ok 了，那等于多少啊？那它就变成了负四分之三 m， 减去四分之十五 m， 就 变成了负的四分之十八 m， 那 就变成了负的二分之九 m， 然后呢，这是三减去负六，三加六呗，那等于就 没问题吧？好，那这个呢，就是它俩之间的距离，那 o b 等于几啊？ o b 等于几？ o b 呢，就是点 b 的 纵坐标， o b 呢，是等于三的，那所以我们就可以知道，负的二分之九 m 加上九等于三， 所以我们就可以知道，负的二分之九 m 等于三减九等于负六，那 m 呢，就等于九分之十二，也就是等于三分之四，所以 m 的 值呢，为三分之四。写直接写在就可以了，因为这道题比较简单，点 e 呢，是在线段 bc 上运动的，如果说他不在 bc 上运动，那还有可能第二种情况，那这就是他的绝对值等于三了， 对吧？因为点 f 可能在上面，点 e 在 下边。好，那接下来呢，我们再来看第三问啊，也是最后一个压轴问，那我把这个删掉了啊。 好，我们来看括号三当底。若点 p 呢，为 x 轴上的正半轴上的一点，且三角形 a， b， p 呢，为二分之二十五，则在 y 轴上是否存在一点 q， 使得这四个点呢，构成一个梯形，若存在呢，求出所有符合点 q 的 坐标，那上来管他会不会百分之九十九是存在的， 对吧？那首先第一件事， a， a 点坐标我是知道的， b 点坐标我是知道的，那它的面积是固定的。那所以说点 p 的 坐标我也是知道的。那比如说我设 p 点的坐标为 m 零，那我们就可以知道。举个例子，因为它在 x 轴正半轴上啊，比如又在这吧啊，比如又在这，那 abp 的 面积怎么求啊？ 因为 s 三角形 a， b， p 的 面积是不是等于二分之一乘以底，乘以高啊？当然了，点 p 有 可能在 a 的 左侧，对吧？那 p a 之间的距离呢？是不确定的，所以说就是 m 减去 a 点坐标的绝对值， a 点坐标是四，也就是 m 减四的绝对值，表示它们两个之间的距离， 然后呢，再乘以高，高就是点 b 到 x 的 距离呗，就这样吧，就这个三角形面积多少啊？等于三， 对吧？等于三。嗯，高是三，然后等于几啊？等于二分之十五，那所以我们可以知道 m 减四的绝对值等于几？等于五，那 m 等于几？ 所以 m 等于。呃， m 减四等于五，当 m 可以 等于九，或者是 m 等于几？ m 等于负一，但是负一这种情况应该舍掉，因为人家说了啊， p 为 x 轴正半轴上一点，那所以说 p 的 坐标呢？就是九零， 那也就是说 p 点坐标是固定的，比如说他在这啊， p 点坐标是固定的。 q 点在哪呢？ q 点在 y 轴上，在 y 轴是哪？我也不知道， ab 两点坐标是固定的，他要是个梯形，那什么时候是梯形？是不是一边平行另一边不平平行的图形是梯形，对吧？那我们率先想到的，比如说 p q 平行于 ab， 哎，那这是我们常说的第一种情况，对吧？好，那第二种情况是谁啊？因为它比如说这个第一种情况，我们说 p 和 b 啊，是对边哎，是对应角，是对对角线哎，是对连接对角线的，是对应角， p q 平行于 b， 那 第二种情况有没有可能说 p q 是 对应角啊？ 对吧？那这个时候第二种情况它是怎么来的呢？比如说 p 跟 b 连着， p 跟 a 连着，那是不是说明就是 p q 平行于 p b q 在 这的时候也可以它俩平行，一边平行，另一边不平行。所以说对于最后一个问题，我们要分两种情况， 那第一种情况呢，就是 p q 啊， p 跟 q 挨着，它俩平行于 ab， 然后呢？第二种情况呢？就是这个 p， 呃，这个 a， p 跟 b 是 挨着的， p b 呢？平行于这个 a q， 哎，就这两种情况，因为 p 跟 a 肯定是邻边嘛，就是 p， p 点的对边是谁？对角，这个对角是谁？ 第一种情况 p 和 b 是 对对角。第二种情况呢？ p 和 q 是 对角，对吧？ p 跟 b， p 跟 a 连着，是吧？ p 跟 q 是 对。所以说像这种最后的压轴题啊，至少两种情况，正常都在三种或三种以上。 好，那 p q 平行 ab， 那 我可以知道 ab 的 解析式是多少啊？是负四分之三， x 加三。那所以说这个时候我就可以设 p q 的 解析式为它的解析式，因为它俩平行嘛，那它就为 y， 等于当它俩平行的时候， k 值是相同的，比如说负四分之三， x 加上 n， 可以吧？啊？负四分之三加上 n， 因为 p 点的坐标为九零，那所以我们可以知道，零等于负四分之三乘以九，等于负的四分之二十七加上 n， 所以 n 等于正的四分之二十七，那这个 q 点坐标不就出来了吗？就是零四分之二十七。 好，那这第一种情况就出来了，那第二种情况呢？ p b 平行于 a q， 那 这个时候稍微复杂一点点，因为 p b 平行于 a， q 呢？这个 p b 的 解析式啊，我们是没有的，那比如 q 在 这，所以说我们得求出 p b 的 函数解析式，它的一个 k 值是多少， 那么我们可以说，因为 b 点坐标是多少呢？ b 点坐标呢？是九零，则 p b 函数解析式为， y 等于这个。你这个时候我们可以设代入解式。可以，如果正常的步骤设 pb 函数解析式为，比如说 y 等于呃， ax 加 c。 随便举个例子， ax 加 c， 我 们得用题干中没用到过的那些字母，因为题干中把 b 用到过了， k 用到过了啊，我们可以设 y 等于 ax 加 c， 然后呢，把 x 等于零， y 等于三，往里一带啊， x 等于零， y 等于三，那所以说 c 等于三，把 x 等于九， y 等于零往里带，比如九 a 加上三等于零，那 a 等于几啊？ a 等于负的三分之一， 所以说我他就是变成了 y 等于负的三分之一， x 减成三，我就省略一下啊，你正常应该是待定系数法，应该这么来的。设啊， b p 的 解函数解析式为， y 等于 a， x 加 c 则是吧，它加它等于零，它加它，它加它等于三，它加它等于零。哎，往里一带能出现这个东西。 好，那接下来 p b 的 解析式完事了，是吧？那这个时候我们再设这个 q a 啊， a q 设 a q 的 函数解析式为，因为它俩平行，所以说 k 值呢，肯定是相同的，比如说负三分之一 x 加，加什么？你这个还是得用字母啊，加 加 e 吧啊，或者用 a， b， g， d 啊，用 d， d 没用过是吧？加 d。 所以， 呃，他的解析式说完了，然后 a 点的坐标呢？ a 点坐标是多少啊？因为 a 点坐标为第一问，算出来， a 点坐标为四零， 那所以我们可以知道，零等于负的三分之四，加 d， 所以 d 等于三分之四。那所以 q 点坐标是多少？零三分之四。 那综上所述，点 q 的 坐标为零四分之二十七，或者是零三分之四两种情况来分类讨论。那么对于最后一个问呢，其实并不难啊，我们需要记住一件事，什么是菱形啊？一组对边平行，另一组对边不平行。他常用列的解析式存在性问题就是他们两个 结合着函数， k 值相同，因为两条直线如果平行，他们的 k 值是相同的， y 等于 k， x 加 b， 是 吧？他们两个 k 值相同。这是八上的知识啊，他不是八下的。内容在这呢，徐哥带你们复习巩固一下好了，那这个视频你听懂了吗？

这套八年级下册数学专项训练同步教材，含该勾股定律、二次根式平行四边形、一次函数数据的分析，每本都科学划分为三大模块， 高频知识点分、知识点搭配立体精讲与视频讲解直观易懂，帮助学生轻松理解并扎实掌握核心内容。 必会提分点分训练点精选各类典型考题，关注过程，学会总结， 强化专项列紧面对接中考考纲，针对易错点、常考点进行分类训练，题型有且入深，有效突破学习难点，综合检测。最后附有参考答案，全方位帮助学生攻克薄弱环节，专项培优。

同学们好，欢迎来到八下及中考依次函数小综合专题视频，本期内容分为上下两部分，大家可以按需观看。 大家好，依次函数是八年级下册的核心考点，也是北京中考数学的必考题型。今天我们聚焦小函数这道综合题，疏理解析式、图像性质、方程不等式，结合 实际应用等高频考法，用典型例题带你吃透思路，稳拿分数。那么在做一次函数小函数这道综合题之前呢，我们要清楚啊，那么这一类题型它主要到底是考察我们什么？那么实际上它就是考察我们一次函数图像的核心性质。 那么在此之前啊，我们就要先重点梳理一次有关于一次函数图像的核心性质的相关知识点， 尤其是 k 和 b 对 图像的影响。好，首先，我们明确，依次函数的基本表达是 y 等于 k， x 加 b， 其中 kb 为常数且 k 不 为零， 它的图像是一条直线，而且这条直线的位置走向完全由 k 和 b 两个参数来决定，二者分工明确，我们逐一进行一下拆解啊！好，首先我们来看 k 的 作用， k 决定了直线的走向和倾斜程度，也就是我们常说的斜率。第一呢，当 k 大 于零时， 直线从左到右呈上升趋势，此时呢， y 随 x 的 增大而增大。 而当 k 小 于零时，直线从左到右呈下降趋势，此时 y 随 x 增大而减小。第二呢， k 的 绝对值越大，直线越陡峭，函数图像越靠近 y 轴。而 k 的 绝对值越小，直线越平缓，函数图像越靠近 x 轴。这一点在中考图像辨析题中也是经常考察的， 下面我们再看 b 的 作用， b 决定了直线与 y 轴的交点位置，我们把这个交点叫做零 b。 当 b 大 于零时，直线与 y 轴交于正半轴，也就是 x 轴的上方。而当 b 等于零时呢，直线经过圆点，此时一次函数就变成了正比例，函数 y 等于 k x， 当 b 小 于零时， 直线与 y 轴交于负半轴，也就是 x 轴的下方。这里我们要注意， k 和 b 共同决定直线经过的象限，比如 当 k 大 于零，且 b 也大于零时，直线经过一、二、三象限，也就是中考常考的基础判断。所以大家有没有发现，我们可以根据一次函数中 k 的 相关性质，可以把 k 的 变化 和函数图像的旋转联系起来，又可以将函数解析式中 b 的 变化和函数图像的平移联系起来。比如，当 k 的 绝对值变大的时候，函数图像向 y 轴的方向 进行旋转，而当 k 的 绝对值变小的时候，函数图像向 x 轴的方向进行旋转。而当 b b 的 值 增大时，函数图像向上平移，而当 b 的 值变小时，函数图像向下平移。那么接下来呢，我们将重点梳理函数图像与二元一次方程组不等式之间的关系，这是一次函数小综合题的核心考点，也是解析的关键突破口。 第一呢，函数图像与二元一次方程组之间的关系。我们知道啊，一个二元一次方程可以转化成一次函数的形式， 比如说方程组 y 等于 k 一， x 加 b 一， y 等于 k 二， x 加 b 二，那么它对应的就是两条一次函数的直线，那么这两条直线的焦点坐标 xy， 它就是 这个二元一次方程组的解。反过来呢，如果两个一次函数的直线平行， 即 k 一 等于 k 二， b 一 不等于 b 二的情况下，那么这两条直线是没有交点的，对应的二元一次方程组也就无解。 而如果两条直线重合，即 k 一 和 k 二相等， b 一 和 b 二也相等，那么它们就会有无数个交点，对应的方程组就会有无数组解。北京中考中常结合图像求方程组的解，或者根据方程组的解来判断图像的位置关系。 第二呢，函数图像与一元一次不等式的关系。对于一次函数 y 等于 k x 加 b， 我 们可以把它和不等式结合起来， 当 k x 加 b 大 于零时，是不是就是 y 大 于零时啊？那么对应的就是函数图像在 x 轴上方的部分，那么此时呢， x 的 取之范围就是不等式 k x 加 b 大 于零的解集。 当 k x 加 b 小 于零时，是不是就是 y 小 于零的时候呀？那么对应的呢，就是函数图像在 x 轴下方的部分，此时呢， x 的 取值范围就是不等于 k x 加 b 小 于零的解集。 那么如果是两个依次函数图像的比较的时候呢？比如说啊， k 一 x 加 b 一 大于 k 二 x 加 b 二，那么对应的就是第一条直线在第二条直线上方时， x 的 取值范围。 注意啊，谁大谁就在上方。那么这也是中考综合题中常考的题型，比如结合图像求不等式的解析，或者根据解析判断图像的位置。 最后我们来总结一下 k 定走向和陡峭程度， b 呢，定与 y 轴的交点，二者共同决定直线的位置。函数图像的交点对应方程组的解 图像在 x 轴上下方的部分对应不等式的解集。掌握这些核心关联，我们就能轻松应对八下及中考中的依次函数图像的综合题。接下来我们结合具体题型实际实战演练一下。

我今天给六年级讲的分式方程讲的整比比例，比例比的内项之一，内项之一。这个十字相乘不就是比的内项之一等于外项之一吗？他比他是等于他比他吧，对吧？对，他俩是在里边吧？这个有问题吗？没有解出来等于多少？ 两千 f 等于两千元对不对？两千元？两千元是谁的？销售？去年，去年的对不对？去年是两千元对不对？那么今年是多少？一千六百元？那么咱来看销售第二本啊。 第二问主要考的是不等式的计算，还有就是一次方程的对值问题，咱们看一下啊，找关键点。第一个不等式的关系你们能找出来吧，共六十辆， 这是等式。第一个就是 ab 不 超过 ab， 共六十辆，对不对？共六十辆，继续不超过 ab 的 不超过 a 的 两倍，那么你们怎么设？ 射什么射？射，射 a， 射 b， 射 a 是 a 型车，有多少辆？有 m 辆？ a 辆都行啊，那么则 b 型车有多少辆？ 六十减六十减 m 量有问题吗？他说了啊， a， g 的 数量不超过 a 的 两倍， b 的 数量哪个是 b？ 是 这是 b 吗？是不超过是什么？ 不超过是什么？大于等于小于等于小于等于二倍的 m， 所以 会减吗？会， m 能等于多少？ 小于等于三十，小于等于等于他一个来是负的吧，所以除以负三次，他变号吧。 m 大 于等于二十二十，对吧？有问题吗？那么咱们来看获利问题啊， 然后再写一下，是这个你，你这个射的时候跟他射的一块啊？行，给这块啊，是这个获利 总销售额，总获利为，总获利为多少钱？ w 元一般不都是 w 吗？对不对？你想想获利怎么求？咱原来讲过，那天我我我说他一顿获利怎么求？ 你挣钱？你这个车你有进价，有卖价，对不对？卖价减进价，卖价减进价，对不对？那么你现在假车是 m 辆吧？现在假车的进价是一千一，今年的销售价格是多少？今年价是一千六吧，所以 w 等于。咱三看， a 型车， a 型车多少辆？ a 型车多少辆？ m 辆？ m 辆是数量吗？数量乘以什么？乘以他的单价利润，单价利润对不对？他的进价是一千一，卖价是一千六，所以是 m 乘以一千六减一千一，明白了吧？这是 a 型车的吧？ b 型车呢？ 六十减 m 对 不对？对，它是多少？它是两千减两千减一千四，对不对？两千减一千四，它等于什么呀？五百 m 对 不对？ 是五百 m 吧？对，五百 m 加多少？这里是多少？这里是多少了？两千减六百对不对？六百乘以六是三六一二三三个零，有问题吗？没有减去六百 m， 所以 它等于的是三千六百减去一百 m， 这是个什么函数？ 每一。这是什么函数？这是个什么函数？ 减减函数，减函数。它问的是什么呀？获利最大，获利最大是不是？你看啊， m 是 不是最小取二十辆啊？你想想，你如果，这里如果说这个值越大的话，总销售利润越什么呀？ 越小越小，它越大的话，它越小吧？它它它它它， m 肯定是正数，它减去一个正数，这个数越大，它越。 所以 m 取什么值啊？最最小的是他取最小值，他才剩的越大吧。因为你这，你这一块是不是你减去的前数啊？你现在让你的前数是不是最大了？对，咱怎么写啊？因为因为什么呀？负一百小于零，所以什么呀？ w 随着随着什么这句话得写啊，随着 m 的 增大而减小而减小，对不对？对，所以当 m 等于二十时， w 取得最大值自己算出来。好吧， 这个给留个尾巴啊，明天我看这个答案整理一下。我是李老师，点个关注呗。

一次函数八年级下册数学专项训练，全书五十二页，同步教材汇总函数知识，整合十七个高频知识点二十一个必会提分点五个。强化专项练习，先是思维导图，梳理各章节知识框架， 接着基础解读，知识点划分细致，足以解读核心要点。搭配例题精讲与视频讲解，让学生轻松掌握。 提分训练精选典型例题，注重思路梳理与方法总结。专项练习聚焦易错点与常考点，题型有请入声， 综合练习对接中考，全面检验学习成果。中难点题目附带视频讲解，全方位助力学生攻克薄弱点，专项培优。

这个左边的时候呢？谁在上呀？ x 加 b 在 上，谁在下呀？ a x 加 c 在 上在下，对不对？那凭什么说这个时候它就大呢？那你比如说 我在这个地方取一个点 x， 而此时 x 呢？你看，当 x 取这个点的时候，我再到依次函数这个 a， x 加 c 的 时候呢？它所对应的值是哪个呢？是不？它所对应的值是 这个位置啊？是不是？而上面的这个点呢？它对应的值在这，那这就是此时此刻的 y 一， 这就是此时此刻的 y 二，那 y 一 可不大于 y 二呢，对不对？所以呢，咱们从这个角度去理解的话。