2026八下数学基础训练答案矩形

所以我们就可以搭桥， ab 等于 bc 等于 cd 等于 ad， 那 四边都相等，我们就可以下结论说 abcd 呢是菱形 好， a、 b、 c、 d 是 菱形，我们再加上一个角， b 是 九十度就可得到，它是正方形啊，有你很幸福。说全等也可以的，全等也是可以的，全等我们就正 直接是阴影的这个三角形和这边 a、 b、 c 是 全等的。根据折叠的性质，三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 b、 c 是 全等的。 但是全等的话也只能说明 a、 b 等于 a、 d， b、 c 等于 c、 d 还是只能得这两个。我们想要想让它四边相等还是。

你们知道什么是矩形大法吗？今天这道题是去年江苏的模考几何亚洲题，题目说如果四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形的话， 那么同平面内存在任意一点 p 始终满足 a p 方加 c p 方等于 b p 方加 d p 方，这个等式就是所谓的矩形大法了。题目的第一小问就是让我们证明这个关系， 如果说你从来就没听说过什么是矩形大法的话，那可能你还真有点无从下手了。 其实它证明起来也不难，我们过 p 点向下做一个垂线就行了，然后根据勾股定律就能把这四条线段都表示出来了，所以 a 劈方加 c 劈方就等于这个， b 劈方加 d 劈方就等于这个。 由于 a、 f 和 b 一 是相等的， c 一 和 d f 也是相等的，所以也就得到了 a p 方加 c p 方等于 b p 方加 d p 方了。 好，我们来看第二小问，还是在一个矩形 a、 b、 c、 d 中一点在直线 b、 d 上，并且 b、 d 是 b、 e 长度的四倍。注意了，这里说的是直线 b、 d， 所以 一点的位置是有两个的，这里大家不要疏忽啦。 然后他让我们求 a 一 方加 c 一 方比上 b 一 方的值。那由于我们在第一小问的时候已经证明了矩形大法，所以这里就可以直接用了。 于是 a 一 方加 c 一 方比 b 一 方就等于一，加上 d 一 比 b 一 的平方也就等于十了。至于一点位置的另一种情况，也是直接计算就行了。所以说这一问是有两个答案的。 好的，我们继续来看最后一小问。题目说在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 和 a、 c 的 长度都是二倍根三， ad 的 长度是二，并且 b、 d 和 c、 d 是 互相垂直的， 然后 o 点是 bc 的 中点，让我们求三角形 a、 o、 d 面积的最大值。 好！读完题目之后，不知道有多少同学会感到一脸懵啊，不是说在考矩形大法吗？可是我怎么没看到有矩形呢？那这个时候我们就要好好思考一下了， 要想用上矩形大法，就必须要有矩形，而从现有的题目条件来看的话，就只有这里有一个直角，还缺三个呢。 这个时候就不知道你能不能想到，其实直角三角形是矩形的一半了，而且我猜出题人可能怕你想不到，所以他就在这里给了一个终点，可能他想的是，再怎么的，你看到终点也能想到背上中线吧。啊，你应该能想到吧， 所以我们直接倍长 d、 o， 这样一来这一个四边形就是一个矩形了，然后我们再连接 a 一， 你们看现在是不是就能用矩形大法了吧，这样我们就把 a 一 的长度求出来了。 由于 o 点是 d 一 的中点，所以三角形 a 一 的面积的一半可以看到 a 一 边和 a、 d 的 长度都是定值， 所以很显然，当它们俩互相垂直的时候，三角形 a、 e、 d 的 面积才会取到最大值，最后算出来的最大值应该是根号五，你学会了吗？

对角垂直，右平分，正方形稳拿分来看这道题，如图，正方形 a， b， c， d， 然后 ab 呢？边长呢？都是二，然后有两个垂直， p 是 动点，然后 p e 垂直于 a c， p f 垂直于底 b， 然后呢？现在让求什么？ p e 加 p f 等于几？这种是线段加的题，一般就是要么等量代换啊，一个线，然后就用凑来看一下这种题怎么做哈。现在是 p e 加 p v， p f， p e 加 p f， 现在有两个垂直，可以判定这个三角，这个四边形，这个垂直啊，是什么形？哎，是个梯形哎，因为 p e 垂直于 a c， 让 p f 垂直于比 d， 然后四边形 a， b， c， d 为正方形啊，为正边方，所以四边形 p e， o， f 为正方形，也为长方形， 是不是？它是为长方形？那长方形，所以 pe 就 等于 o f， 对 不对？所以这个边呢？就等于这个边， 是不是？然后因为它是正方形，所以这个角等于四十五度啊？那四个是五度，这个垂直呢？这个是不是也是四十五度？那他俩四十五度是不是 a e 等于 e p？ 是不是？我把它能把它带动，等它带坏吗？还有它是不是三个相等？哎，我这里标为角一，这里标为角二，然后因为它不是四边形吗？我还。所以一个角一等于角二就等于等于四十五度， 是不是？它等于四十五度，那四十五度，所以 a e 就 等于 p e， 然后就等于 o f， 是不是这三条线相等的，是不是？那我现在可以求，所以 p e 加 p f， 我 能换出来等于 p e， 我 让它就等于 a e， 对 不对？ 加上 p f 等不等于 o e 啊？是不是？最后是不是等于 a o？ 是不是？所以这个也能可以换到？这个是不是都可以？最后是不是等于 a o？ 那 a o 等于多少？所以 a o 就 等于多少？ a o 是 不是等于二分之一？ ac， 那 ac 又等于多少？ ac 是 不是等于二分之一？乘以二分之二就等于根号二，是不是所以这个 a o 就 等于根号二选几？记得点赞关注哦！

好，我们继续来看几何的综合应用。正方形的对角线的问题。首先第一题告诉的是，在正方形 a b c d 中， f 点是 b c 边上的一个点， 满足 p f 和我们的 a f 位置上垂直，数量上是相等的。好，首先位置上的垂直，这个直角可以和我们的正方形自身的直角来产生联系，比如说跟 b 点处的直角往斜面放，提供的是有一些互余的角度的等量关系， 比如说角 b a f 这个角和我们的角 a f b 是 有一个互余的关系，角 a f b 和我们的这里的角 e f p 这个角也是互余的关系。好，同角的与角相等，进而得角一和我们的角二是相等的。 然后呢，并且告诉的是 a f 和我们的 p f 这样的两条边是相等的。好，接着啊，这个第一小题的话，过 p 点做的 p e 是 垂直于 bc 的， 又提供的是有直角，那这个时候的边角集中到形里面是可以得形的关系的，也就是图形中是有权的。 接下来让我们求证的是， p e 是 等于 c e 的。 好， c e 目前它是不在形里面，至少不在三角形里面，四边形也是没有标字母的， 所以先看 p e p e 找型的话，找有条件的形式。 p e f 这个型里面有角二和我们的角一相等，有直角，有我们的 f p 和 af 是 相等的，所以这个时候的边角集中到型里面是有全等的。那接着就是分析这个全等即可。 好，首先第一个啊，借助我们已知的条件啊，首先可以得到的是角一是等于角二的，以及直角和我们的正方形的边相等，所以比较容易能够得到的是三角形 a b f 好， 它应该是全等于三角形 f e p 的 判定方法的话，就应该是 a a s 好， 正得全等。之后，因为是根据 a a s 三组角都是相等的，所以重点关注的是全等带来的边等好。首先就是我们目标带求的 p e 这条线段应该是等于 f b 的， 另外一个的话就是 ab， 这条已知的正方形的边， ab 应该是等于 f 一 的，而 ab 因为它是正方形的边，所以它还等于我们的 bc， 那 进而也就可以得到的是 ef 和我们的 bc 是 相等的。好，之所以去分析 bc 啊，因为 bc 和 ef 除了在数量上相等，另外在位置上是共线的， 那共线运算同时减去中间的公共部分 f c， 那 这样的话就可以得到的是此时的 b f 应该是等于 c e 的， 进而也就等于 p e 也就得到我们目标所需要的 p e 和我们的 c e 是 有相等的关系，那 p e 一 旦和我们的 c e 相等，除呢数量上相等，它们在位置上是有一个垂直的位置关系， 那如果有需要的话，连接此时的 c p 是 能够得到三角形 p c e 是 一个等腰直角三角形啊。因为第一问的话，为什么会有一个第一问啊，也是提供我们后续这个第二问的一个解题的思路啊。好，所以这个地方隐藏的还有新的特殊的信息，特殊型等腰直角三角形 啊。接着我们来看第二小题，第二小题连接的 b d， 那 b d 是 我们的正方形 abcd 的 对角线， 正方形的一条对角线重点考察的是对称性，一条对角线平分对角，在 b 点和 d 点的位置有四十五度角以及 b d 啊，这条线两侧的两个等腰直角三角形，它是有一个对称性的 好。接着给的是 b d 和我们的 a p 的 角点为 g 点，让我们求证的是 a g 和我们的 p g 是 相等的啊，大家这个地方的做法是不为一的啊。我们先来按照常规的方法来分析 正面这样的两条边相等，正边等，我们首先想到的是正全等啊，那正全等的话就是，呃，大家可能会有同学想，这个 a p f 它是一个等腰直角三角形， 那既然是一个等腰直角三角形，那 g 点最终是 ap 的 终点，有的人会想能不能连接此时的 g f， 然后正它是这个垂直啊这个地方，因为它是带正的中点， 如果是已知的终点的话，我们可以去想这个等腰直角三角形的三线合一，但是它如果是一个带正的这个终点的话，这个想法目前是行不通的。 所以回到常规的啊，证明边相等，那就正全等，正全等的话，目前的话 pg 是 不在型里面的，至少没有三角形。所以先找 ag 所在的就是 agd 好， a g d 这个形里面的话，它是由我们的正方形的边 a d， 然后 d 点，这还有四十五度角好。当然可能也有同学去想，能不能找这个 a g b 都是可以的啊， 如果找的是 a g d 的 话，那这个时候我们就可以构造一个形跟它全等。如何来构造全等？借助目标带球的 a g 和 p g 是 相等的，也就假设 g 点是一个中点，借助中点把形构造出来，再看辅助线应该怎么去描述啊？ 那这个时候就相当于具备了一边等，加上 g 点的位置是有一组对顶角的，那一边等和一角等相当于是一个边角边勾全等的。这种想法实际上可以理解为是把 d g 这条线进行一个倍长到达一点，比如说 q 点，那接下来要形成形的话，连接此时的 p q。 好，那连完之后应该是能够得到啊，最终应该是这样的，两个三角形要对称的。好，那这个时候的 d g 和我们的这个 g q 注意一下啊，辅助线的描述是要换的，因为这个地方的目标的这个 g 点是要证明它是 a p 的 中点， 也就是要证明 a g 和这个 p g 是 相等的，所以如果说我们倍长的话，那此时没有办法形成边角边， 那这个地方它是有四十五度的，那我们实际上啊，构造边形不通的情况下，选择构造角，也就是做平行，所以已知中点是被常带来平行，那如果是正中点的话，可以选择做平行，做完平行之后，上下两个图形的话，它们的所有的角都是相等的， 那就要找一组边相等，找哪一组边啊？正方形的边，因为正方形的边是有等量关系的，那也就是要证明此时的 a d 和我们的 p q 是 相等的。 好，那 a d 的 话，因为是正方形的边，正方形的边那四条边都是相等的，转到哪个位置呢啊？转到 ab， 因为 ab 角形的话是有 abf， 有 我们的已知的等腰直角三角形的 af， 所以 转移到这个 ab 这边来。好，那此时 ab 和 af 已知的边产生联系，那么 p q 就 应该是和已知的 p f 产生联系，所以找寻的话就应该是连接此时的 f q， 也就接下来就去找 a b f 这个形和我们的三角形 p q f 正，它俩是全等的啊，从而得到目标的这个结果。那这两个三角形要正全等的话，目前只有 a f 和 p f 这组边相等啊，暂时没有其他的信息，所以这个地方啊，暂时也是正不了的， 但是这个地方的形应该是有全等的这样一个信息，所以我们最重要，如果说它全等，能够带来的是 b f 和我们的 f q 在 数量上相等，在位置上垂直，也就是等腰直角三角形， 而本身 b 点，这是有四十五度的，本身是有四十五度啊，所以这个地方啊，我们借助目前的图形，然后呢重新描述这里面的辅助线，也就是直接做等腰直角三角形啊，直接做等腰直角啊，我们就重新画一下啊， 也就是这个地方啊，选择直接在这个地方的 b 点的位置，直接做 f b 的 垂线，好跟我们的 b d 的 交点，假设为 q 点，那一旦做了垂直之后，因为本身有四十五度，从而得到 f b 和 f q 是 相等的， 然后以及共顶点处的角 a f b 和我们的角 q f p， 那 这个时候的边角边 q f 角，然后呢以及 f p， 所以 接下来的话，连接此时的 p q 是 能够形成共顶点的一组手拉手的旋转权等 啊，借助这个权等，就能够得到 a b 和我们的 q f 在 数量上是相等的，当然分析角度也可以得到，在位置上是有垂直的， 进而得到 p q 和 a d 的 关系，再来解决问题。好，所以这是一个分析过程，那接下来我们写一下它的一个具体的证明过程。那辅助线的话，就是过 f 点啊，做 f q 是 垂直于呃 bc 的， 然后是交 b d 于 q 点 啊，相当于是一用我们的已知的 a f p 这个等腰直角三角形，相当于是一个旋转九十度的这样一种想法啊，旋转中心是 f 点，旋转角度是九十度啊，好，那这个时候就可以得到啊，就是我们的啊，因为此时的角 f b d 应该是等于 啊，也就是 f b q 是 等于四十五度，正方形的对角线提供的四十五度啊，进而也就可以得到的是，它应该是等于 f q b 的， 也就提供是一个等腰直角三角形 f b 应该是等于 f q 的， 结合本身的 a f 和 f p， 从而就可以去证得啊，两个等腰直角三角形的一组旋转全等啊，也就是 a b f 这样一个三角形，应该是全等于三角形 p q f 的 判定方法的话，手拿手的 s a s 啊，正得全等之后，得到的是 ab， 这条边应该是等于 p q 的 啊，进而也就等于我们所需要的 ad 啊，除了有边，另外一个就是角度啊，角度的话，我们就分析一只角吧，九十度啊，也就可以得到的是角 abf 应该是等于角 p q f 等于九十度。 好，这个 q 点的位置一旦有九十度，还有四至五度，那进而共顶点角的匀算是能够提供有四至五度，和我们的 d 点处的四至五度产生联系 好，从而得到平行或者是说有角相等啊，结合对顶角以及 p q 和 a d 相等，那接下来就是证我们的新的这样的一组全等，也就是呃， ag 所在的 a d g 这样一个三角形啊，应该是全等于 pg 所在的 p q g 啊 啊，全等判定方法的话，就是对顶角、四十五度角以及相等的边，也就是我们的 a a s 正全等啊，正得全等之后，就可以得到我们目标所需要的 ag 应该是等于 pg 的 啊，也就提供的是 g 点，是 a p 的 中点啊，这是一种想法啊啊，另外一种想法的话，就是可以结合我们的第一问， 结合第一问啊，因为第一问的话，实际上他提供了一个思路啊，就是等腰直角三角形，相当于是构造的一个三垂直，那这个时候我们也把这个图形把它转移类比到我们的第二个图形里面来，那就是可以继续过这个地方的 p 点去做我们的 bc 的 垂线， 将我们的 bc 的 延长线与点一点，好借助我们刚刚的第一问的分析的话，是可以得到此时的呃， pe 和我们的 pc 啊， c e 是 有一个相等且垂直的关系， 往型里面放，能够形成有一个等腰直角三角形，那么在 c 点的位置就提供的是有四至五度，而 c 点的位置本身是我们的正方形的，这个啊，呃，正方形自身提供的是有九十度。 另外这个题目因为它连的 b d， b d 是 对角线，正方形的对角线本身是有特殊信息的，那这个时候的两条对角线是有一个相等垂直且互相平分， 所以此时的 a p g 点是 a p 的 中点， a p 找寻我们可以找 a p c， 那 这个时候连的 a c 之后，在 c 点的位置又会出现两个新的四十五度角，从而我们的 a p 找型就是 a p c 这样一个三角形 好，并且可以得到它应该是一个直角三角形好，在这个直角三角形里面，这点是 b d 边上的点， 而这个 g 点啊，它是在我们的 b d 正方形的对角线上的点。正方形的对角线本身是具备对称性的，借助这样的一个对称性，我们是可以得到 g a 这条线段，它应该是等于 g c 的 好，借助正方形的对称线啊， g a 和我们的 g c 是 相等的，那这样的两条边相等，提供的是它的两个底角相等。假设为 r 角 好，那接下来的话，就是借助我们的 c 点处的直角进行互余倒角，那此时的角 g c p 这个角是等于九十度减 r 法。 另外一个角 g p c 这个角借助我们的 a c p c 点处的直角，那一样的是角 g p c 应该也是九十度减 r 法。 进而也就可以得到的是 gc 和 gp 是 相等的，等量代换和我们的 ag 也是相等的好，所以这个地方啊，相当于一个呃，应用斜边中线的这样一种想法啊。对称性可以得到的是 ag 和我们的 cg 是 相等的。 然后呢，借助倒角可以得到它和我们的 p g 是 相等的，进而也就得到 a g 和 p g 相等啊。但是需要用到的是第一问里面提供的 c 点出的四十五度，进而提供的是有九十度的直角啊，这是我们的第二题的另外一种想法啊，接着我们来看一下第三小题， 他说的是在二的条件下，好二的条件就是提供二的结论的，也就是 a g 和我们的 p g 是 有一个相等的关系，那就提供的是 g 点是 ap 的 中点， 那 ap 往其里面放 apf 等腰直角三角形，那等腰直角三角形底边的中点，它的用法应该是三线合一的这样一种想法，所以是连接此时的 f g， 那就可以得到的是 a g 和我们的 g f 是 有一个相等且垂直的这样一个关系啊。那接下来的话，给的是 b g f c 的 长度是等于六的，那这个时候的 f c 往斜面放的话，应该找 f c 好 f c g 好 f c g 啊。因为这个地方一旦 a g 和我们的 g f 相等，而 a g 本身是正方形的，对角线提供的这样的一个信息啊，这点是在对角线上，所以 g a 这条线段应该和我们的 g c 是 有相等的关系， 那一旦它俩相等， c f 角形应该是 c f g 这个等腰三角形。在这个等腰三角形里面， f c 是 它的底边出现的等腰三角形的底边，那优先，如果要用的话，可能会去想三线合一啊。另外 b g 的 长度是等于五倍的根号二， 好，那这个时候的 g b 点的位置，它是有四十五度的，所以这个 g b 找寻的话，可能会去向等腰直角三角形啊。最后让我们求的是 af 的 长度，求线段长度是勾股 af， 找寻的话是 af b 有 直角三角形，当然也有可能是找 af g 这个直角三角形 啊。那就借助目前的条件的一个分析啊。好，首先的话是得到刚刚的啊，三线合一提供的是 ag， 应该是等于 g f 啊，另外一个的话就是对称性提供的 a b 和我们的 c g 是 相等的啊， a g 和 c g 相等，也就提供的是一个等腰三角形，那这里面啊，就是借助等腰三角形的三线合一来分析即可啊，过这个地方的 g 点做 g h 是 垂直于 fc 的 好，那一旦垂直提供的是等腰三角形的三线合一，那两边长应该都是等于三的，那这个直角可我们的 b g 找寻就是找 b g h， 这是一个等腰直角三角形好，所以这样的话就是在我们的 r t 三角形 b g h 中， 等腰直角三角形斜边长是五倍的根号二，好，从而就可以得到 b h 应该是等于 g h， 应该都是等于五的好，一旦它等于五的话，公弦运算就可以得到 b f 的 长度是等于二的，五减去三也就是二另外一个 b c 的 长度，那公弦运算五加三是八，从而得到 ab 的 长度，正方形的边长是等于八的， 那我们的目标待求的此时的 af 造型的话，应该找 af 这个三角形啊，所以接下来就是 a b f 这个直角三角形中，两者角边长分别是二和八。勾股定底得到 af 的 长度二倍的根号十七， 好，二乘一，二乘四，二倍的根号十七，好，当然这个地方也可以选择去求这个 g f 的 长度， g f 造型找 g f h f h 的 话是等于三的，另外一个 g h 是 等于五的，以三和五为直角边对应的斜边长，然后进行一个勾股的计算，再乘以根号二倍，得到对应的 a f 也是可行的啊。

好，我们继续来看几何证明与计算关于矩形的边和角的问题。首先第一题如图，在三角形 a、 b、 c 以及我们的三角形 a、 d、 e 中，满足的是角， b、 c、 a 是 等于九十度的，以及 d、 e， a 是 九十度。 好，这两个九十度往斜里面放的话，在位置上实际上是一组同位角，那同位角相等，得到两直线平行， bc 和 d、 e 是 有平行的位置关系好，因为后面已经说的 a、 c、 e 是 在一条线上，接着给的信息是 bc 和我们的 d、 e 是 相等的， 那就是平行且相等。平行且相等带来的是有特殊形，平行四边形，并且有直角，所以带来的实际上是一个矩形的清晰。好，所以我们这个地方啊，一边这个分析，一边写一下他的一个分析过程啊， 好，也就是首先是根据我们目前的题目信息，得到 b、 c 应该是平行且等于 d、 e， 然后呢，进而也就得到平行四边形，加上有角， a、 c、 b 是 直角。好，进而也就可以得到的是角， b、 c、 e 是 等于九十度的，那这样的话就可以得到的是有一个矩形啊。 好，这里的 b、 c、 e、 d 是 一个矩形， 那出现的矩形的话，重呃，矩形的重点的考点就是一个是它的四个直角，另外一个就是对角线的性质啊，有一个相等且互相平分 啊。接着啊，第一呃给的信息是 m 点和 n 点分别是 ab 和 c、 e 的 中点，那两个中点的话是向中点的中位线的用法， 那目前这两个中点的连线 m、 n 暂时不能形成中微线，一个是 ab 的 中点，一个是 c、 e 的 中点，而这两条线段暂时不在同一个三角形里面，我们只选的三角形的中微线好，所以这个时候现有的这个啊，直接是不能直接用的， 那接下来让我们求证的是 a d 等于两倍的 m n 好， 那这个地方要解决两倍的关系，又是跟中点有关的， 所以中点的所有的这种中点的相关的辅助线的用法都可以跟两倍来建立联系。比如说中点的倍长是有两倍的，等腰三角形三线合一，那也能够提供这个底边的两倍的这种关系， 包括比如说直角三角形斜边中线是由斜边中线等于斜边一半好，以及我们的这个中位线也是有两倍，那这个题目在做的时候，从目标的两条线段出发，一个是 a d a d， 找型的话，找特殊的型，也就是 a d e 好。在 a d e 这样一个直角三角形中，那直角三角形的主要的考点，一个是勾股，一个是斜边中线，那 a d 这条线段在这个直角三角形里面是充当斜边的 好，充当斜边，而且目前也没有给出边长或特殊角度的信息。所以此时的直角三角形考察斜边中线，也就是取 a d 的 中点啊，比如说 a d 的 中点为 p 点，那斜边中线等于斜边一半，得到 e p 这条线段应该是等于 a d 的 一半 好，那从而问题实际上就可以转化为去证明 m n 和我们的 pe 是 相等的即可。那接下来的话题目本身还有一个终点，就是，呃， m 点是终点 啊， m 点是终点， p 点也是终点，那此时的 pm 就 能够形成是中微线，是三角形，一个是 ab 的 终点 好，一个是 a、 d 的 中点，所以 mp 是 三角形 a、 b、 d 的 一条重围线，所以接下来就是重围线的这样一种想法。好，我们写一下这个部分的分析过程啊，首先是在直角三角形 a、 b、 d 中好，交代一下对应的辅助线啊， 好，那就是取 a、 d 中点、 p 点。然后是连线啊，连接此时的 pe 斜边中线，连接 pm 是 中位线，那首先是在 r、 t 三角形 a、 d、 e 中 啊，满足斜边中线等于斜边一半， pe 等于二分之一的 a、 d。 另外一个就是三角形 a、 b、 d 中满足的是有中位线，那 pm 这条线段应该是等于二分之一的 b、 d。 而这个地方的 b、 d 是 我们的矩形的边，那矩形的边它是有限制的，对边平行且相等，所以 b、 d 是 等于 c、 e 的， 所以 pm 的 话也等于二分之一的 c、 e。 而这个地方已知条件里面的 n 点，它是 c、 e 的 中点，也就得到的是 pm 和我们的 c、 n 以及 n、 e 是 相等的，那这里面考虑的就是和 n、 e 是 相等的， pm 和 n 一 数量上相等，位置上是有平行的，平行且相等带来的是特殊型平行四边形。好，所以这样的话就可以得到的是 pm， 应该是平行且等于 n 一 的 啊，一旦它俩平行且相等，带来的就是我们的特殊型平行四边形，利用平行四边形的性质解决对应的问题即可。好，所以接下来的话就是得到啊平行四边形。我们写一下啊， 好，也就得到这里面的四边形 m、 n、 e、 p 应该为平行四边形。 好，利用平行四边形的性质就可以得到我们目标所需要的 m n， 它应该是平行且等于 p e 好。 这里面只需要用数量关系，那我们就直接写数量关系好，进而也就等于二分之一的 a d 好， 从而也就可以得到目标带求的 a d， 它是等于两倍的 m n 的 好。所以这个地方因为本身是有直角三角形，在直角三角形的环境里面又有中点，所以它是斜边中线的用法，而目标带球的边 a d 又刚好是直角三角形的斜边，所以借助斜边中线得中点。然后呢，再结合已知的两个中点有中位线的这样一种用法， 好，这是一种想法啊，把 a 相当于是借助斜边中线得到 a d 的 一半好。另外一种想法的话，就是也可以实现把 m n 这条线段进行加倍， 因为 m 点和 n 点两个点都是中点，那既然两个点都是中点的话，那么 m n 这条线段我们应该是可以把它构造成中位线 好，那这个时候如何让它成为中微线？比如说我们固定 m 点，它是 ab 的 中点，那如何让 n 点成为中点，同时形成中微线啊？这个在我们前面中微线的构造的这种题目里面也出现的比较多，也就是把 a n 这条线进行一个倍长啊，比如说倍长这一点 q 点， 使得这个地方的 a n 和我们的 n q 是 有相等的关系，那这样的话， m n 就是 中微线连接次对应的第三边是 b q， 也就是可以得到在三角形 ab q 中， 然后呢，利用中微线是可以得到 m n 应该是平行且等于 d q 的 一半，那接下来问题就转化为去证明此时的 b q 和我们的 b d 是 相等的就可以啊， ad 相等即可。 那如何证明这样的两条边相等，正边相等，正边所在的形 a d 角形，还是找直角三角形，也就是 a d e， 那 另外一个 b q 角形也找直角三角形，就是 b c q。 好， 这两个直角三角形应该是有全等的关系。好，为什么全等啊？首先是都是直角三角形， 另外都有 bc 和我们的 d e 这组边是相等的。然后第三个条件是找边，因为我们刚刚提供的是中点，提供的是边，包括以及在这个 a q 这条线上还有一个一致的中点 n 点，它是 c e 的 中点。 所以这个时候进行共线的线段，进行一个共线运算，也就可以得到啊，此时的 a e 这条线段，它就应该是等于此时的 c q 啊，因为都是这个 a， 一个是 a n 加上 an e， 一个是 c q 加上 c n， 两组边分别有等量关系啊。所以接下来就去可以证明目标带球的 a d 所在的 a d e 这样一个三角形， 它应该是全等于 q b c 这个直角三角形好，判定方法应该是 s a s 好， 正得全等之后，就可以得到 a d 等于 q b， 进而借助中微线等于两倍的 m n 也是可行的。 好，所以一个是借助斜边中线实现得到斜边 a d 的 一半，另外一个就是借助把 m n 构造成中位线，得到第三边是 m n 的 两倍，实现 m n 的 加倍。 好，接着我们来看第二小题。好，第二小题给的是角， abc 是 等于四十五度的，那提供的是 abc， 这个三角形就是一个等腰直角三角形，那边之间就有数量关系，一比一比根号二 好。接着给的是 a、 d、 e 这个角是等于六十度的，那么它所在的形 a、 d、 e 是 一个三六九的直角三角形， 接着给的是 b、 d 的 长度是等于二的，那 b、 d 的 话往型里面放是矩形的边，那这样的话，我们的 c、 e 的 长度应该也是等于二的。 接下来要求 m、 n 的 长度。好，注意，刚刚因为已经有第一问了，那第一问的话，我们的 m n 它是等于这个跟 ad 是 有关系的， ad 等于 m n 的 两倍，所以要求 m n， 那 就把 m n 转化为求 ad 啊， ad 角形的话是 ade 直角三角形，在这个直角三角形里面，它是一个三六九的直角三角形，那 d、 e 和我们的 a、 e 之间就有一个根号三倍的关系， 另外一个 b、 d， 它和我们的 bc 是 有相等的关系，进而也就和 a、 c 是 相等的。所以这个时候啊，就是首先借助矩形 d、 e 是 等于 bc 的， 借助三六九啊，借助 a、 b、 c 等腰直角三角形，它是等于 a、 c 的。 好，那接下来的话，就是在这个三六九的直角三角形中，两者角边长是有关系的，并且还有一个相差为二的。这个信息好，所以接下来就是一个方程的想法，那我们就直接是令 d、 e 的 长度为 x， 那接下来就是在我们的 r t 三角形 a、 d、 e 中，利用直角三角形勾股定律啊，那首先是三十度，也就是角 d， a、 e 这个角度是等于三十度的啊，从而就可以得到 a、 d 的 长度应该是等于二 x 勾股定律，得到 a e 的 长度应该是等于根号三 x 的， 接下来就是在这个 a e 上进行共线运算好，从而得到啊。 b d 好， 它是等于 c e 的， 而 c e 的 话是等于 a e， 然后呢，是减去 a c 的， 把数据代入，也就得到二，应该是等于根号三倍的 x， 再减去 x， 得到的是关于 x 的 一元一次方程啊，合并啊，那就应该是根号三减一倍的 x 是 等于二的系数化，以 x 等于二除以根号三减一分母由你化化减之后，得到最后的 x 的 值，应该是等于根号三加一的。 好，我们目标带求的是 m n 的 长度， m n 的 话，借助第一问，它是等于 a d 的 一半，而 a d 的 长度是等于二 x 的 好，从而得到结果就是二分之一乘以二 x 啊，结果就应该是等于 x 的， 那 x 的 值已经求出来，是根号三加一的，也就得到目标带求的 m n 的 长度应该是等于根号三加一。 好，接着我们来看第二题。好，第二题首先告诉的是矩形 abcd 中满足 ab 的 长度是等于六的，然后 ad 的 长度是等于八的， e 点是 bc 边上的一个点，满足 ef 和我们的 ae 是 有一个垂直且相等的关系。 好，接下来如图一，这个 f 点如果刚好落在 d c 上的时候，那此时的 ab 角形就是 a b e 这样一个直角三角形，然后 ef 角形就找 ef c 这个直角三角形，那这两个直角三角形是可以证全等的 啊。因为一点处的直角跟我们的 b 点处的直角产生联系，可以互余倒角角 b a e 的 角一和我们的这个地方的角 a、 e、 b 是 互余的关系，而角 a、 e、 b 和我们的角二角 c、 e、 f 也是互余的关系，同角的与角是相等的。 好，那这个地方我们写一下分析过程。角一和我们的角二是相等的，因为都是等于九十度，减去角 a、 e、 b， 然后再加上有两个直角以及边相等，我们是可以正得三角形 a、 b、 e 好，它应该是全等于三角形。 ecf 的 判定方法的话，应该是 aas 好， 证得全等之后就可以得到啊。首先这个地方的已知的边 ab 好， 它就应该是等于 e c， 也就等于六。另外一个就是我们目标带求的 b、 e 的 长度。 好，那这个时候得到 e c 等于六的话，那 e、 c 的 话， b、 e 的 话直接共线运算即可啊。 好，这个地方的此时我们的 b、 e 的 长度，那就应该是等于 b、 c， 然后呢，减去 e、 c， 而 b c 的 话，借助我们的矩形，好，过程没有写那么完整啊。好，这个地方的 b、 c 借助矩形的边对边相等得到啊，它是等于八的， e、 c 是 刚刚求出来，等于六，从而得到 b、 e 的 长度应该是等于二的。好，接着第二小题， 第二小题给的是如图啊，题干条件仍然是成立的， a、 b、 c、 d 仍然是矩形，两条边长是六和八好，接着还是有 a、 e 和我们的 e、 f 是 有垂直且相等的关系。 好，那接下来的话就是如果说 d f 是 垂直于 e f 好， d f 一 旦和 e f 是 垂直的，那就跟我们的一点处的直角形成的是一组同旁内角，那同旁内角互补得到 d f 和我们的 a、 e 是 平行的， 因为此时这个 f 点处的这个直角暂时不在形里面，至少不在三角形里面啊，包括哪怕说我们连的这个 d e 能够形成直角三角形， 但是这个直角三角形里面，暂时他的这个呃边长都是未知的，包括你的这个斜边 d e 的 长度位置实际上也是在发生改变的，所以这个直角三角形暂时是没有直接用处的。 所以此时的 f 点处的直角和 e 点处的直角带来的是有平行的特殊信息，而本身我们的这个矩形也是有两组对边的平行且相等的关系。 好，那接下来让我们求的是 b e 比上 bc 好， bc 的 长度是确定的，等于 a d 等于八，所以实际上这个题目就是要求 b e 的 长度，而要求 b e 的 长度求线段长度，优先想到的是勾股， 那这个时候往心里面放就是 a b e 这个直角三角形，那要求 b e 转化为求 a e， 而 a e 和我们的 e f 是 有垂直且相等的关系啊。可能会有同学想能不能求 af， 但是 af 目前也不在直角三角形里面，暂时是求不了的啊。那借助如果说想到的是第一问，会想到这个构造三垂直，也就是过这个地方的 f 点去做垂线啊，那做完垂线之后，这种方法呃是可以做的啊，但是相对会比较复杂， 也就是这个地方啊，那就接下来是一种方程的想法，设 b 一 长为 x， 那 这样的话，我们的这个 e h 是 等于呃六的 e c 是 八减 x 共线运算可以得到 c h 的 长度，然后 f h 又是等于这个地方的 x， 那接下来的话就是要把它们都放在直角三角形里面，但是这个地方目前的这个全等的直角三角形暂时是不行的啊，因为这个本质和我们的 a、 b、 e 是 一样的，所以转移到 af 还需要把 af 也放在直角三角形里面， 所以需要把这个垂直继续延长到上面来，然后呢在上方再去建立勾股的方程好，所以这种方法相对会比较复杂啊，那另外一种想法啊，因为这个地方要求这个 a、 e 的 长度，它和 e、 f 是 垂直的， 而本身这个地方还有一个刚刚提到的特殊信息， df 和我们的 ae 是 平行的，那这个时候平行的话，本身还有 a、 d 和我们的 bc 平行，所以我们把这个平行补充完整，实际上是能够在这个图形中形成新的特殊的形。好，那这个时候直接延长相交， 延长相交之后就可以得到 d p 和我们的 a、 e 是 平行的，而本身 a、 d 和我们的 e、 p 也是平行的，所以带来的是有一个特殊型平行四边形好，所以这个地方啊，辅助键就是延长好，延长此时的 d、 f、 bc 交于点 p 啊，这个依据的话，就是因为有两组平行，所以这样的话就可以得到啊，就是此时的刚刚前面的一个分析啊， 也就是这个地方的 d、 f 也就 d p 是 平行于 a、 e 的 啊。另外一个就是 a、 d， 它应该是平行于 e p 的， 带来的是有一个平行四边形，也就是 a、 d、 p、 e 是 一个平行四边形，利用平行四边形的性质，对边的平行且相等，那我们目标待求的 a、 e 应该是平行且等于 d p 的 好，那进而也就得到啊，它实 际上和我们的 e 应该是平行且等于 d p 的 好，那进而也就得到啊，它实际上和我们的 e f 也是有一个相等的关系 啊，进而也就可以得到 a e 应该是等于 d p， 也就等于 e f 好， 那接下来如何去求它们的长度？ 那这个时候不是用勾股了，因为目前的直角三角形的边并不是未知的啊。那这个时候注意观察，此时的 a e 和我们的 e f 是 垂直的，包括和我们的 d p 是 垂直的， 相互垂直的。这两条线段可以跟图形的面积产生联系，也就是 a e p d 这样一个平行四边形的面积是等于底乘高的，而刚好底和高又都是相等的， 而这个平行四边形的面积又可以选择以 a d 为底，高就是平行线间的距离，也就是六。所以这个地方是借助两种不同的方式表示 a e p d 这个平行四边形的面积， 那这个面积是已知的，底和高又是相等的，那么底和高的长度就是可求的好。所以接下来的话，就是借助我们的平行四边形，也就是 a e p d 的 面积 好，它是等于 a d， 然后呢，乘以 a d 边上的高，也就是 ab 的 长度，然后呢，也等于呃， a e， 然后呢？乘以 e f 好，那接下来的话就是借助相关代入相关的数据啊， a d 是 八，然后呢？ ab 是 六， a e 和 e f 又都是相等的，我们要 a e 的 长度，那就直接都换成 a e 得到 a e 的 平方，而 a e 又是线段，所以开方之后啊，取正，那就应该是等于四倍的根号三的 好， a e 的 长度。一旦等于四倍的根号三，那接下来求 b e 的 话，就是在我们的 r t 三角形 a b e 中，好，利用勾股定律建立方程，可以得到对应的 b e 的 长度。好，这里面就可以得到啊，最后的 b e 的 长度应该是等于二倍的根号三的 好，那一旦它等于二倍的根号三，也就可以得到目标的 b e， 比上 bc 好， 也就是等于二倍的根号三，比上八 化简之后的结果就是四分之根号三好，所以这里面啊，是借助呃，垂直带来的，是有平行的位置关系，带来有特殊型平行四边形，借助面积求垂线段的长度啊，好，接着第三小题， 好，第三小题给的是 q 点，是 af 的 中点，那 af 往斜面放的话，是 af 一 这样一个等腰直角三角形， af 是 这个等腰直角三角形的底边。 所以如果说这个地方需要涉及到添加辅助线的话，优先考虑的是中点的三线合一的用法，也就是连接此时的 eq。 好，接下来让我们求 c q 的 一个最小值。好， c 点是一个确定的点， q 点是在动的，体干条件仍然是成立的，矩形的两条边长是六和八。 好，那接下来我们要研究的就是 q 点，那刚刚有分析过 q 点，那这个时候因为它是 af 的 中点这个地方， f 点的这个位置啊，暂时是这个。呃，如果有需要的话，实际上也是可以分析的，它是在一条定直线上的， f 点之所以会动，是因为 e 点在动， 那一点，这个在一条线上在动，所以 f 点应该也是在一条线上在动，这是一种想法啊，就可以找两个点，比如说把这个 f 点、 e 点放在 b 点的位置，找到 f 点的位置，然后呢确定 f 点的轨迹，进而确定它的这个终点的这个轨迹，这是一种想法啊， 好，另外一种想法的话，就是这个 q 点它比较特殊，是等腰直角三角形底边中点，所以这个点我们在分析的时候，优先考虑的是三线合一连接此时的 eq， 那 就可以得到在 q 点的位置是有相等啊，这个垂直且三条边是相等的， 那这个直角跟我们已知的矩形的直角来产生联系，就是 b 点处的直角。好，那这个时候形成的就是一个对角互补且邻边相等的这样一个四边形。 好，那这个时候的边相等是，呃，这个如果说对图形相对敏感的话，应该会注意到里面是有特殊信息的，当然如果说不记得的话，我们也可以去按照常规方法去分析啊， 这个地方是有对角互补提供，是有等角关系，那就在我们的这个 a 点的位置，角 d a b 和我们的角 d q e 啊，这个 q e c 是 相等的 好，外角是等于它的内对角，而刚好这个地方的 a q 又和我们的 eq 是 相等的，相当于具备的一边等加上一角等一边和一角，所以这样的话就是边角可以集中到形里面，得全等。好，那这个时候构造全等的方法是不为一的啊，第一个可以选择做双垂 好，做双垂构造两个直角三角形的全等，从而得到直角边是相等的好，当然这个地方那我们就画一下啊， 好，目的是为了把这组边和我们的这组相等的角放在相啊这个直角两个图形里面去。啊，那这个时候，比如说记作 m 点和 n 点，那此时就可以得到的是 q a m 这个三角形，它应该是全等于三角形 q e n 的 判定方法应该是 a a s。 好， 证得全等之后，是可以得到 q m 应该是等于 q n 的。 一旦 q m 和 q n 相等，也就得到 q 点到 ab 的 距离和 q 点到 bc 的 距离是相等的， 那到角两边距离相等的点是在角的平分线上，所以连接此时的 b q 是 能够得到 b q 是 角平分线，也就可以得到。啊， b q 应该是平分角 abc 的， 从而可以得到我们的 q 点，它就应该是在角 b 的 角平分线上在运动。那接下来什么时候 c q 是 最小的，那就是点到线的距离是最小的。啊，点到线的距离，那这个时候对应的就是它最小值所在的位置。 那此时的 c q 角形就是找 c q b 啊，因为是由角平分线四十五度，所以它是一个等腰直角三角形。 bc 的 长度是等于八的，从而可以得到 c q 的 最小值是八，除以根号二，也就等于四倍的根号二。好，这是一种想法。啊， 好，当然这个地方的做法是不为一的。呃，另外一种想法就是如何确定这个 q 点的轨迹是一条直线？呃，如果说轨迹是直线的话，可以借助我们的函数的这种想法。好，这种我们也补充说一下啊，就是从函数的这个角度来理解这样的一个信息， 那如果说这个点的横纵坐标它是满足一次函数关系，那就可以确定它是在一条直线上，所以这个地方我们有一种间隙的这种想法，也就是建一个合适的坐标系，比如说我们以这个地方的 b 点为坐标原点，建立一个平面直角坐标系。 好，那建立的平面直角坐标系之后，那这个 a 点， b 点， c 点和 d 点这些点就都是确定的点。那接下来的话， e 点是在 bc 边上的一个点，我们可以假设 e 点的坐标，比如说横坐标为 t， 那 纵坐标为零。接下来的话就是，呃，先去找这个 f 点 啊，如何来确定 f 点？那就过这个 f 点去做垂线构造等腰直角三角形的三垂直啊，因为 a 点是已知的， e 点是已知的，那么 f 点这个点就可以是已知的，可以表示啊，那借助全等， ab 等于 e， h 是 等于六的， 然后呢， f h 等于 b， e 是 等于 t 的。 好，那这样的话就可以得到 f 点的坐标，横坐标应该是 t 加六， 纵坐标是等于 t 的， 那 f 点出来之后， a 点又是已知的点， a 点坐标是零六，那这样的话就可以得到 a， f 的 中点 q 点的坐标，横坐标相加除以二，也就是二分之一， t 加三 啊，另外一个纵坐标相加除以二，那纵坐标的话就是，呃，也是二分之一， t 加上六， 要加上三，那这样的话，会发现 q 点的横纵坐标是相等的，从而就可以确定啊， q 点的这个运动轨迹应该是 y 等于 x， 也就是过圆点的一三。第一项线的角平分线的这样一条射线上，在运动后面啊，就是点到线的距离，求最值即可。

hello， 小 伙伴们大家好，跟着蛇同学们一起轻松学数学的曾哥，今天是二零二六年的三月十九号，我们一起来看下今天的打卡题。首先看第一题，说 图中有一个四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，它的一组邻边 a、 b 和 a、 d 的 长度分别是六和八 点， e 在 边 bc 的 下方，以点 bc 为斜边，在矩形的外部呢，做了一个直角三角形 bc， 也就是说这个 e 点的位置呢，并没有明确的交代，但是 他强调了这个三角形 bce 始终是一个直角三角形，并且 bc 边就是矩形的边，是他的斜边 点 e 是 矩形 c、 d 边的中点。问 ef 黄色的，它的最大值是哪一个题目呢？告诉我们以下两个图形，一个是红色的 矩形 a、 b、 c、 d， 一个是黄绿色的直角三角形 b、 e、 c。 还告诉我们第三个条件，点 f 是 矩形 c、 d 边的中点，而 c、 d 呢，是等于 ab 等于六的，所以 c、 f 和 d f 相等，等于六的一半，等于三。 哎，点 f 是 c、 d 边的中点，这个 b、 c 是 什么呀？ b， c 是 矩形的边的，同时也是直角边的斜边，他取了 c、 d 边的中点，我们不妨来取一下 b、 c、 d、 e、 f、 g 哎，那么就有 这个 b、 g 和 c g 是 相等的，等于 bc 的 一半，也就是 ad 的 一半是等于四的，我们可以简单标注一下。 那么对于矩形而言，矩形最重要的特征，他不同于平行四边形的地方，就是他有一个角是直角， 当然呢，其他的三个角也是直角，这是矩形的定义告诉我们的，有一个角是直角的，平行四边形是矩形，那么 连接 g、 f 这地方就会出现一个什么呢？一个直角三角形， 对直角三角形而言，他有什么的特征呢？你看，我们在不断的基于判定去分析性质，所谓判定就是什么？图中有什么？你怎么看待他？如何去定位？ 他是你的女朋，不是，他是你的女同学，还是什么人？ ok， 那 直角三角形我们分析出来了， 下面就是怎么样呢？你怎么去看待他？他有什么特征？这有三，这有四，那么勾股定力，我们就有连接的 g f， 这个辅助线是五哦， 这是在矩形当中去分析，由矩形得到直角，由直角得到直角三角形，那么再来看看下方这个图形，它是一个直角三角形， 而 bc 是 它的斜边，斜边上有一个终点，那同学你想到什么？ 肯定是那斜中斜半，斜中半，定力也是它的特征哦，你定位出，你判断出 g 是 直角三角形斜边的终点，终点就中线啊，是这个终点 中线，它就是斜边的一半。当中这个定力或者这个性质定力是由等边三角形推导出来的，王八上学习的，这不能展开就说， 所以它就等于它，等于它就等于四，哦，这里有一个等腰三角形，这不重要，重要的是什么要求的？ e f 和我们所做的两个新的辅助线，红色的 g f， 红色的 g e， 他 有什么样的关联？有什么样的关系？又开始定位了，你怎么去看待这个问题的？ e f 呢？哦， 是这样一个三角形，红的，黄的，蓝色的，那他的一条边三角形的边，你又忍不住的去问自己，三角形的边他有什么的性质？ 两边之隔大于第三边，两边之差小与第三边，这叫做三角形的三边关系。当然呢，他也是三角形的判定定律或者判定的方法。哦，我们知道了，黄色的小与他两之合， 他俩加起来是等于九的，那么问题来了，能不能恰巧就等于他们就这个九呢？能， 什么时候三角形不复存在的时候，或者说这三条边共线的时候， 当然也是三点共线的时候，那么 ef 取最大值图画在这里了，此时此刻 e 在 哪呢？哦， e 就 在这样的位置。当然这个题目呢，是我们 初三同学主要研究的一个问题，这叫什么？这叫引源，我们不妨呢提醒大家一下，什么叫做引源？源，顾名思义就是圆形引，就是隐藏在其中的意思， 这个缘隐藏在哪呢？哪有缘啊？哦，我们说了，要在动当中去找不动的，或者在变化当中去找那个不变的，谁是不会不变的， 我不管你一动到哪在哪，我的 bc 始终是等于八的这个张角啊，也就这个角的意思啊， 也就是他二者张开的这个大小，始终是一个直角啊，这就是我们演员当中所说的 定弦对定角，这个我们在初三会去讨论啊，这个 c， 这个 e 在 哪呢？就是以 bc 为直径，也就是它的中点 g 为圆心，二分之一 八的长度，也就四为半径的圆周上，当然是在下方这个半圆，因为他说在外部。好，这我们简单的说一句好了，回来最后再总结提醒一下本道题的两个关键， 第一个关键就在矩形当中去作图啊，分析出他的性质众多，我们由边去分析他的角，这有个直角三角形，但同时我们还要分析一下斜边，哦，斜边，哦不，斜， 直角三角形，直角三角形对应的性质，斜边上中线等于斜边的一半，这是辅助线。第三，那就是我们的问题转化，咱们去定位所谓的 e、 f， 真正所求解的问题啊，就是 三角形的三边关系，然后呢，去验证我们的猜测是否成立，也就这个地方是否能够去等号。 当然呢，最后我们还提醒了补充了简单的说了一下引言。紧接着我们再来看第二题，说 我这个图当中呢，有一个四边形， oabc 是 矩形，矩形，还有一个名称叫小明长方形，在平行四边，在平面直角坐标系当中，这个点 a， 点 c 呢，分别在这样的两个轴上面， 是的 o， a， o， c 的 长分别是四和二。那几何角读题标图， 如果 a、 b， b、 c 上分别有一个点一和 d， 满足 c， d 的 长度是一 角， d， o， e 的 大小是四十五度。问我们点 e 的 坐标，那点 e 的 纵坐标我们是知道的 九十四，那横坐标是多少呢？我晓得，也就要求这个粉色的 a 一 的长度好了。问题分析出来了，我们做到心中有数，那么就要去展开去分析。分析嘛，就两个内容， 一个是图长方形以及它的零边二和四。 抱歉，第二个就是在平面直角坐标系当中，给了我们这样的两个具具体的条件， 他是等于一的，从而我们就能够在平面直角坐标系当中分析出点 d 的 坐标，横坐标为二，纵坐标为一啊，当然这里还有一个四十五度， 那么下面我们怎么展开去分析呢？同学，看到四十五度，你肯定控制不住的，自己要去用上这个四十五度 小题小做，我们如何小题小做呢？哦，我们说看到四十五度手心向上的是什么？但要直角三角形，那么在几何图形当中，在平面直角坐标系，我们说待极中和 叫函数和这个几何综合考察的话，有一个极其重要的模型叫一线三垂直或一线三直角都是一个意思， 这个直角是我人为的去画出来的，因为我要构造等腰直角三角形。 第二，我过点 f 做他的垂直也是画出来，而这个呢，是矩形本身的性质或者特征，叫做内角为直角。我们详细的来说一下这个图是怎么构造出来的，很简单，过点 f 作和。抱歉，这是 e 过点 e 做 e f 垂直于 o e， 延长 o d 与 e f 交于一点 f。 当然我们说做垂线的时候呢，要强调一下垂足，就是点 e， 叫过点 e 做 e f 垂直于 o e 于点 e， 交 o d 的 延长线或交 o d 与点 f， 就 有个事，这是黄色的辅助线。那第二个辅助线呢，就是过点 f 去做 a e 的 垂线，在这个过程当中，我们自然而然的会延长 a e 或者延长 ab 垂足为点进。那么这样之后呢，我们就能够得到这样的两个三角形是全等的，什么两个全等直角的全等，角三和角二是同角的，与角相等， 这个是九十平角，所以角一角三支是互余的。这个地方我认为做了一个直角就有直角三角形，直角三角形的性质，锐角是互余的，所以角二等于角三， 还有这是四十五，这是九十，他自然而然就是四十五度。三角形的角的性质，角内角和定力一百八十度， 他是九十，他四十五，所以他就四十五。我们再根根据等角对的边判定出这两个是相等的，所以他是直角，同时还是等腰。 ok， 好 了，等腰三角形，腰是相等的，说呢， 因此脚脚边，脚脚边的全等倒侧没有结束，我们同学不能戛然而止。几何叫基于判定。又来了，分析性质，你看我每个题目都在说这句话， 判定出什么，判定就是是什么，有什么，你看到什么，全等，这不够，你要问自己全等他如何，他怎么样好 对应的边相等，对应的角相等，你是四，那我也是四，分别穿上蓝色的衣服， 那么你和我是相等的。现在要求他，我们说了两个未知的量，满足最未知的数量关系，我们就可以设未知数了。 下面就是要构造方程，去解方程，就这点事情，那他两个是最最最最直接的数量关系，直接相等，所以他是 x， 他 就是 x。 那 下面核心就是转化成要计算 x 了。模型搞定了，几何，该分析的分析好了，那下面就是如何去计算， 那么怎么去计算的？同学，我们刚刚说了只有一个二，只有一个一地点的坐标在这，好像还没有用。有用。同学，平面直角坐标系当中最为核心的思路，一个字，抱歉，两个字，抱歉啊。两个字，一个操作带入， 你把这个点地的坐标二一往哪带呢？他在哪，你就带到哪，他在这样的一条直线上， 所以我就人为的射出它的解析是 y 等于 k， x 为什么不加 b 啊？ b 等于零吗？经过圆点，所以它是一个正比的函数。但到这样的一个图像当中去，那么 下面我们 f 点的横坐标已知四加 x， 那也就是对应着 a g 的 长度。那么带进去这个解析式之后，我们就能够得到当下点 f 的 纵坐标，我放大一下就是二分之一， x 加二，那到底在哪呢？划出来那就是过点 f， 我 这个地方又写了 作 f g 垂直于 x， 轴，垂直就是这个 h， 那 么 f h 对 应它的长度就是二分之一 x 加二。好了，同学，那我们说了，社会之中目的是为了构造方程， 方程去哪找呢？在图当中结合着已知的四，这是什么？这是一个矩形， 有三个角是直角的，三角形是矩形。你看，我想我写的这个还是比较清晰的。小离小作，我们同学你们的必要用因为，所以去写，你也没有必要像我这样，我是为了写给你看这么简单的道理。好了，废话不能多说， 那么方程在哪呀？方程就在矩形边，是平行且相等的， 他是四，那么他也是四，所以二分之一 x 加二与 x 的 和。那么按道理这个地方呢，应该加一个括号，表示整体，这不重要，解除 x 是 三分之四，所以一点的坐标就有了 必要的思路，必要的一个两个，三个辅助。抱歉，一个两个，三个辅助线。在这个过程当中有全等的一次转化，有 函数的一次应用，最后呢，方程落在这里，你可以说有三个转化，一是全等，二是函数，三是矩形的对应边相等， 或者叫做对的计算。这就是第二题， cu， 我 要别 cu， 我 要提醒的就是什么呢？就是这个题目最为关键的地方， 一线三垂直，有等腰直角三角形所引出来的这样一个作图，这样的一个辅助线的构造。再来看第三题，第三题看完咱再 cu 吧。 说这个图当中呢，有一个平面直角坐标系 x o y 有 两条直线，一个我用红粉色的给你标注了，一个是 深蓝色的给你标注它是已知的。 y 等于三分之一， x 加三分之五，它呢是 y 等于负二， x 加 k 只知斜率，或者只知道一次幺系数，使负二从左往右下降。 说红粉色的直线呢，与 y 轴和 x 中分别交于 b 和 a 两点， 而这两个线呢？二者交于点 c。 提出两个问题，我们知道这问题都不开，我就知道他一定会让我们去求什么，肯定让我们去求出他的解析式， 粉色的以及 ab 两点的坐标，在这过程当中还得求 c。 为什么？同学， 我们刚刚在上一题就说过了，在平面直角坐标系当中，设计函数问题，设计解析式点的坐标问题，就那么一个操作，我说就那么一个操作啊，你别听错了，不是那两个字，不是这两个字好， 什么操作？一个操作两个字带入点， c 的 坐标是 e m， 解析式有了，所以把 c 点带到这个蓝色的解析式当中，把 c 点的重坐标取出来， c 点的重坐标有了，那 c 点还在这个直线上，所以就带到它的解析式当中。 一个方程解一个未知数， b 解出来了，那么再将 ab 两点的坐标带入他的解析式，或者我们对这样一个方程，当然我们在平面直角坐标系当中，在函数里面不叫方程，叫解析式、表达式，函数式 令他的重坐标为零，令他的横坐标为零去计算。这我不能多说哈，对应的解出的结果就是这样子的， m 的 值是二，然后进一步求算出 b 是 四。同学说，老师啊，没让我们去求 ab 两点坐标，你别急着。还有第二小问，他说， 点 d 在 y 轴上，点 e， 在 平面上 是否存在着以 a， b， d， e 四点为顶点的四边形为一个矩形，如果存在，请你求出一点的坐标，如果不存在，请解释说明清楚。 那么这个题目呢，往往他是肯定的回答，我们具体来分析一下啊。同学说，已经这有图了， 这四个点呢，有两个点， ab 是 已知的哦，你这不得去求 ab 吗？同学是不是通过这个解析式， y 等于负二 x 加四，把 ab 两点坐标求出来，当然我已经求好了，在这 那 ab 作为已知的线段在举行当中，请问他可以充当什么样的角色？你看了几何又来了，就要基于判定去分析性质，你不要先性质，你被举行怎么样？先是举举行 这个 a， b， 你 怎么看待他，对吧？这都叫定位，都是是什么？都叫判定，你怎么看待他？同学说，哎，是个边，您说真好，还可以是什么？那如果是这样子呢？ a， b， d， e 或者 a， b， e， d？ 哦，当然五读，我们不能像五次高那样读，叫四边形， a， d， b， e 或者 a e， b， d， 从哪个字母开始不重要，重要的是顺时针或者逆时针去读。那你会发现此时此刻 a、 b 都充当什么角色？对角线，哎，对了， 所以两种情况，一是当 ab 为边的时候，那么 ad 是 谁？ ad 一定是边吗？不一定，这可能是 d， 这有可能是 e， 也就我们可以画出两个图， 这是 b， 这是 a， 这是 e， 这是 d， 你 同不同意？同意，但是考试人家命题了，老师已经帮我们缩小范围点 d， 他 在 y 轴上，所以如果是这样，那就不对了。 ok， 对 应的，我们可以进一步的去求算，我们先不急着去看怎么算，方法很多，思路最为重要。好的同学你再看。第二种情况， ab 如果是对角线，那么 这个 a d 是 对角线还是边呢？哦，不，抱歉， a d 是 这样的边还是这样的边呢？换句话说，是矩形 a d b e 还是 a e b d 呢？ 哦，是不是都有可能，但是人家已经给出小范围了，点 d 在 y 轴上，所以 只能是他为 d， 他 为 e， 他 为 e， 他 是 d。 哎，这就是错的。好了，下面我们来看一下如何去计算 我们算出 ab 两点的坐标。进一步的，已知的这个 ab 两点之间距离呢？用公式去求算，二倍的根号。五啊，两点之间距离公式。我再提醒大家一下，平面直角坐标系当中有这样的两个点， m 和 n， 横动坐标分别是这样子， x c 为一， x 二为二，那 m n 这个线段长度怎么算呢？那就是这两者的横坐标 作差平方，加上两者的纵坐标 做 x 在 平方开根号本质是什么？勾股定律，这里面 x 一 减 x 三， x 二减 x 一 都一样，因为它们互相反数的平方是相等的，后面也是一样，但你不要 x 去减 y 中坐标，去减横坐标。好吧，横坐标减横坐标，中坐标减中坐标，我想我应该说的比较详细了。第一点的坐标在 y 轴上，所以我们设它横坐标为零，中坐标为 m 的 好兄弟， n 一点不晓得在哪，所以我设他的横坐标为参数， s 纵坐标为 t。 啊，这就习惯的东西嘛。好了，下面咱们计算，我更为推荐的就是同学们用矩形或者平行四边形，菱形，正方形都有的 性质，关于谁的性质，对角线，对角线是相互平等的，你可以看到，那么在平面直角坐标系用这个就非常有优势，为什么呢？终点公式啊，你连接 a e 连接 这个叫做 b d 的 话，那么 a e 的 终点就是 b d 的 终点，连 a e 的 终点怎么办呢？就是横坐标相加数一样，就在横坐标， 对他而言，横坐标中点横坐标怎么样？横坐标求和再出一样，看到没有，那重坐标也是一样的， 他的重坐标是什么？这两点的重坐标求和出一样，中中点的重坐标怎么样？两个端点的重坐标求和出一样，分别求出 s 和 t， 负二三。那第二个图我就不去说了， 当然我们同学也可以说我根据对边平行且相等去做， ok 的， 没得问题。 最后的答案，一个是负二三，一个是二四，那最后综上所述。好了，最后我们来总结下第三题，那第两个内容。第一个内容就是我们平面直角坐标系当中的核心的带入，这都属于带入。第二个呢， 两点之间的距离公式，或者如何去求算线段的长的同时还有一个终点的公式。 第二一大点呢，就是我们说了这个矩形的存在性的问题，已知的 a b 充当两个角角色，一个是边， 一个是对角线再结合的条件去进一步的分析。在这步当中解方程就是用到的矩形的性质， 对角线相互平分，对应着平面直角坐标系当中的终点的恒重坐标的公式 c u。

哈喽，小伙伴们大家好，这里是和同学们一起轻松学数学的增课。今天是二零二六年的三月十八号，我们一起来看一下今天的打卡题。首先看第一题，说图中这个四边形 a、 b、 c、 d 呢，是一个矩形 点， p 是 它对角线 a、 c 上的一个点，现在过点 p 做 e、 f 平行于 a、 b 这条边。 而矩形的对边 a、 b 和 c、 b 呢，本身是相互平行的，再有这样的一个平行，所以我们根据平行的传递性，能够得到从上往下 a、 b、 e、 f 以及 dc 或 cd 两两相互平行。 紧接着他又连接 p、 b， 连接 p、 d， 告诉我们，如果 a、 e 等于二， p、 f 等于九，那么请计算出阴影部分的面积之和等于多少。我们刚刚已经初步分析了矩形的对边相互平行，他做了平行于上下这组对边的平行线。 哎，矩形的另外一组对边 a、 d 和 bc 呢，也是相互平行的，那么我们也可以过点 p 做 a、 d 或者 b、 d、 b、 c 啊，抱歉的，平行线假设与 a、 b、 c、 d 的 交点分别为 m、 n， 那 么从左往右呢？他们三也是两两相互平行的。好了，同学， 下面我们能够得到什么呢？几何角基于判定去分析它的性质，你判定出了什么？ 在这个图当中，你发现了什么？有什么？是什么？有一个矩形，他是一个矩形，这还是一个矩形，还是个矩形， 当然这个也是矩形，他也是矩形，那用到的就是矩形的判定定律。有三个角是直角的四边形为矩形。这个呢，我就不展开就说了，很明显的， 因为他的边是相互平行的啊，他们两两都是相互平行，再有本身这是一个矩形，就有直角，那么直角转化有同旁内角，有同位角等等。具体我们再说 一个方面，另外一个方面，矩形它怎么样呢？我们判定出来是矩形，下面就要问自己，矩形它的特征特点， a c 是 什么？ a c 是 他的对角线的，同时也是他，也是他的对角线，你连接的 p d 和 p b 是 什么呀？就是这样一个矩形的对角线，把门给我关上， 那么这个对角线就将矩形一分为二， 这两个部分是全等的，形状相同，大小相等，面积自然而然就相等。 这个里面呢，也是的，所以我们就能够得到一和二的面积相等的。 再给你换个蓝色的三和四，面积是相等的，再来五和六面积是相等的，最后黄色的七和黄色的八面积也是相等的。好了， 大的呢，也是相等的哦，所以就有红的、绿的、绿的、黄的加起来等于红的、蓝的、蓝的、黄的面积加起来，红色等于红色， 黄色等于黄色。根据等式的性质，从而我们就能够得到 五六之和，就等于三四的面积和，而三四面积相等，五六面积相等，从而我们就能够得到五和三的面积相等。 要算五加四，那就是求的三加四。所以最后问题就转化成了要求，要求这样一个矩形，它的面积，矩形的面积等于零边之乘积或者长乘宽， 它等于九，而它呢等于二。 v 是 什么呀？因为这也是一个矩形，我们刚刚分析了，哎，这是矩形，这是矩形，叫上下相加或者相组合， 他左右组合，左右组合也都是矩形，这里面矩形太多了，所以你可以思考问问自己，现在我这个图里面有多少个矩形啊？好了，现在我们总结下本道题目有以下几个内容，第一， 矩形的性质对边是相互平行的。第二，平行的传递性。第三，那就是矩形对角线，将矩形分割成了两个 可以重合或者叫做全等的部分，面积相等，最终转化计算。这就是第一小题。紧接着我们再来看第二小问，说最后一个三角形 abc， 已知他的 ab 边是等于四等， ac 边等于三倍根号二 点 d 是 bc 边的中点，有中点，我们就知道线段被平分或者线段相等， b， d 等于 c、 d。 紧接着他说一个直线 l 经过点 d， 可以 绕着 d 去旋转 做 a， e 垂直于这条 l 线直线 b、 f 也垂直，它垂足分别是 e、 f 两个点。 a。 同学，不管你 a、 o 怎么动，你始终经过点 d。 那 么我们讲呢，相交 只有平角，只有对顶角，只有零股角等等，这叫基于判定。我们下面要去分析他的性质，什么性质啊？譬如说对顶角是相等的， 那再加上这两个线段相等，也就是终点对菱角的顶点是线段的终点。同学，这是一个极其之重要的模型，什么模型？八字全等，所以我们就过点 c 做 l 的 垂线，垂直为 m， 那 么这样的两个三角形，它就是全等的角角边的全等。 全等他是什么？或者有什么？我这么一构造，他出现了什么？总而言之，他都叫做判定，叫问你紧接着要问自己，他怎么样，你不能戆然而止，他怎么样啊，对应的边相等， 所以我就将紫色的 b f 转化成了紫色的 c m， 这是一方面，所以问题就变成了他加他，就是他加他。另外一个方面呢，我们要将这个线段求和的线段 给他变得共性，然后再去研究最大和最小值，这是非常明确的一个思路。那怎么去 让他俩贡献呢？同学，你请看，我过点 c 做 c n 垂直于 a e， 那 当这个 a e 足够的短或者不够长，我自然而然的要延长他这个垂足呢？为 n 点。 那么这个地方就出现了两个图形，一是直角三角形，二 是矩形矩形的判定，这是我第一次构图得到的直角，或者你讲零补角互补，这是我第二次作图得到的第二个直角，它本身又垂直，或者你讲对菱角相等， 三个角是直角的四边形。矩形矩形怎么样呢？这叫判定。是什么？基于判定，我们要分析性质，也就是特征、特点， 对边相等。所以我第二次转化就将 a e 加 c m 变成了 a e 加 e n 或者 n e。 哦，现在问题就变成了要求 an 的 最大值。 那 a n 是 什么？我们叫判定，判定就是定位，你怎么去认识它，你怎么去看待它。我们刚刚说了这有个矩形，呃，抱歉，这有个直角三角形， 直角三角形怎么样？小学生就知道的，直角边永远小于斜边或斜边。 a c 三倍根号永远是比这个 a n 长的。那么现在要求的时候， a n 的 最大值，我转化了 a n， 所以 a n 有 没有可能取到这个 a c？ 也就这个地方有没有可能是等号呢？有， 当他俩重合的时候， a n 与 a c 重合的时候，那么他就取到了三倍根号二。同学说，你这不废话吗？你把图画给我看看。不好意思，画出来了，那怎么画？同学说， 你能不能给我讲一讲，他凭什么与 a c 垂直的时候， a n 就 能够取到最大的值 a c 我 们刚刚已经说过了， 我现在假设 a n 能够取到最大值 ac， 也就说 a n 能够和 ac 是 重合的， 而 a o 它本身就是与这个 a n 垂直的。这不，我说的这题目说的 a e 也就 a n 呢？这 a n 是 我延长的吗？刚做辅助线，这里要延长与 l 是 垂直的，而现在我的假设是 a c 和 a n 重合，那么 ac 与 au 的 关系就是垂直的。我想我应该说清楚了，再快速说一遍。因为我现在仍未假设 an 与 ac 重合，而 an 和 au 是 始终垂直的， 那如果他俩重合，就意味着我这个 a c 与 a o 就 变成重合了，并且这个 a o 始终经过点 d， 所以 我就过点 d 做 a c 的 垂线，这个垂线，这条直线就是 a o 吧，很明确吧。好了， 那么原先的八字全等在这 c m 此时此刻就与一 n 是 重合的，这个矩形就不复存在的，不存在的，二者重合 到了这里。那么 a e 呢？原来与一 n 共线，现在就与 n c 共线，又跑到这里，所以他 加他，就是他加他，哎，正好就是 a c， 这就最大值三倍根号二。好了，现在开始总结本道题目，我们要明确以下几件事情，第一，八字的全等中点对菱角 第一次转化有权等三角形的性质转化紫色相等。第二， 勾到矩形，通过矩形的性质。第二次转化的矩形的性质就是对边相等。第三， 直角三角形的性质，斜边永远长于直角边，直角边永远比斜边要短。那最后呢，就是具体的计算或者具体的去讨论，看看我们的假设是否成立。好了，最后我们再来看一下第三题，说 这个图中 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，它的对角线 a、 c 和 b、 d， 二者交于点 o， 并且告诉我们 a、 c 是 等于八， b、 d 是 等于五的。 那么根据平行四边形对角线的及其之重要的性质叫相互平分，我们就能够得到 o、 b 和 o、 b 相等，等于二分之五， o、 a 和 o、 c 相等，等于 a、 c 的 一半等于四。 今天他说这有一个 e 点和一个 f 点，分别从 a 和 c 两点出发，往 a、 c、 c、 a 的 方向去运动，它们的速度都是每秒两个单位长度，并且是同时运动的。 所以我们知道哦，时间相同，速度相等，所以路程也就形成一样大， a 速度乘时间， c、 f 速度乘时间，两 t 两 t 相等， 问，经过多少秒，四边形 b、 e、 d、 f 是 一个矩形。哎，我们刚刚分析了这个 o、 a 和 o、 c 相等，又得到了 o、 a、 e 和 c、 f 相等。那根据等式的性质， o、 e 和 o、 f 就是 相等的，大的减小的，长的减短的，他们的差是相等的，所以我们就能够得到该四边形 b、 e、 d、 f 对 角线相互平分，他就是平行四边形。你看同学 我们要叫要学会从性质去学习判定二者正好相反的。我们刚分析了平行四边形，他的对角线怎么样叫对角线相互平分。现在对角线相互平分的四边形是什么？是平行四边形？你看 我没有给你就题论题，可能在我们同学看看你说了好多题外话。不， 我总是有意或无意的想帮助你把一些套路搞搞清楚，把一些逻辑本质，逻辑东西背后根本的东西给你捋捋顺。你比如说我刚刚说的叫从性的出发去学习判定， 那平行四边形部分四个图形，我们苏格版教材一共有十三个判定，除了四个定义之外，还有其他的平行四边形、菱形、矩形和正方形，还有其他的若干个。这个判定定律你能不能捋捋清楚？好了回来， 那现在你要证明他是个矩形，已经是一个平行四边形了，还是在分析他对角线？平行四边形与矩形对角线二者最大的不同在哪？叫矩形的对角线？除了平行四边形的相互平分，还在于 b、 d 和 e、 f 相等，叫矩形的对角线相等，他和他相等。 哎，我们刚刚已经说了黄的和黄的相等，红的和红的相等，那现在红色加红色，黄色加黄色，它们相等， 就以为两倍相等，就意味着一倍或者一份量是相等了。 o e 和 o b 相等，这是一方面，哎。另外一方面，同学， 这是个实际问题，是个动点问题，是个行程问题。行程问题当中有什么相遇？ 一开始二人二者是面对面行驶的，当他们到 o 点相遇的时候，同学，有件事情产生了什么叫 我们之所以相遇是为了更好的分离，叫相遇。同学，要说 red 是 这样子吧，哎，所以 e 点到这， f 点到这之后，他们继续往前走，二者就告别了。所以我们应当分两种情况去讨论， 第三什么呢？哦，这个一和 f 都在哪运动啊？在对角线， a c， a c 的 长度是有限的，是八，所以我们还要考虑一下它的最大运动 时间。而这个图呢，就是对应着第二种情况，所以你看我这个画的很清晰，当 e 从 o 点 往继续往 a c 的 方向运动，这个 f 点从 o 点继续往这个 c a 方向或者 o a 方向运动的时候， 蓝色的 a e， 它的对应的路程，绿色的 f， 它对应的路程，我分别给你画出来了，就是这样子的。 ok， 那 么下面呢，就是具体的这个过程的整理书写了。 二者相交于 o 点，路程是四，速度为二，所以相遇时刻他们所使用的时间是两秒钟。 第二，他们各自到达自己的终点，最大运动时间就是最大的路程形成最大值，除以速度八，除以二等于四，所以相遇之后， 他的时间应当是二到四之间的。那这个过程，这个过程我就不去展开说了，那这种情况用到的就是四减二 t， 因为 o e 就 等于 o a 减去 a e o a， 我 们在上面都交代清晰啊，用平行线的性，平行四边形对角线的性质，四减二 t。 而再看第二种情况，第二个图，它就是二 t 减去四，它对应着 o e 以及 of， 它是二 t， 这个 o a 是 四，这两个相减，它就是二 t 减四，跟上面的正好相反的算出 t 是 四分之十三。 这两个值呢，分别都是符合他们各自的大前提的啊，所以最后综上所述，两种情况都是成立的。最后我们来总结下本套题考察什么内容。题型叫做动点形成一个矩形， 那么在这个过程当中我们要注意一本质，就考察矩形的判定，什么样的平行四边形是矩形，叫对角线相等的平行四边形是矩形。 第二实际问题，实际分析，相遇之前，相遇之后， see you。

第二题，这个题目特别有意思的一个题目啊，可以快的人可以在十秒钟之内秒杀，慢的同学可能吭哧吭哧十分钟都不一定做的出来。来，我们看题目吧。如图，矩形 a、 b、 c、 d 被割成四个直角三角形，而一个，两个，三个，四个和一个矩形， 他们的面积分别上下两个是 s 一， 左右两个是 s 二，中间这个矩形是 s 三。注意， s 三虽然标在这，他表示的是这个矩形的面积，那此时此刻，当然他把中间这个矩形的对角线连完了之后，哎，发现什么？发现他跟上下两个是平行的， 并且他这个得到的这个图形啊，拼成一个长方形，他仍然是一个中心对称图形。这句话特别特别重要，如果你真的看懂了这句话，这道题你可以在十秒钟之内解决问题。你看啊， 它如果是中心是那个旋转之后，它依然是中心对称图形，说明这个 e、 f 所在直线是不是相当于是我们这个 ab 和 cd 的 中垂线啊？这句话同学们能不能理解？ 哎，你想，如果它旋转一百八十度之后，它依然是什么？依然是跟它原图形是重合的，那说明这条线肯定是在中间的呀。如果你理解，就这题结束了。你看，如果这是中间的，那所以这个矩形的面积是等于整个 四边形，整个矩形面积的一半，而这个三角形呢，又等于这个矩形的一半，所以我们此时这个大的不就四个 s 一 吗？所以这个题目四个 s 一， 结束十秒钟，十秒钟出答案，一点都不过分吧！正确答案选 a。 当然有同学说，老师你这个是通过你的这种呃，就是相当于是推论推导推导出来的。那我们能不能真正的通过一些呃，有理有据的这些呃，一步一步的这个过程，能不能把它表达出来呢？其实也是可以的，我们怎么去处理呢？ 其实它的核心点就是你要证明这个 e 和 f 啊。刚才我说的就通过我用眼力一看就能看出来， e 和 f 其实都在它的中心线上。那说白了，这个题目我就是要证明 e 和 f 在 它的中心线上吧。那比如说我先正 e 可不可以？或者正 f 也可以，随便你啊。 那如果要正 e 在 它的中心线，是不是叫正 e， 是 这条线的终点啊？所以我不妨把这个连起来，比如说我连啊，延长 这个用虚线啊，延长 a e 交这个点，比如说这一点为 a b c d e f g g 没用过。好，那这个点就叫 g 点。 此时此刻，我的目标很明确，只要证明 g 是 a， e 是 a g 的 终点，假如我能证到 g e 啊，是 a g 的 终点，这题目是不是基本上就解决了？那怎么样去证明 a e 等于 e g 呢？来，我们看一看。根据题目的意思，我们知道这是个直角，这也是个直角，是吧？ 那么你看这个垂直于 d e， 这个也垂直于 d e， 垂直于同一直线的两直线平行，所以这两条线它本身就平行的，这样有平行，那么这个跟这个平行 e f 呢？又和我们的 c g 平行。哎呀，同学们，你们很惊喜的发现 没有，这是个什么形？是个平行四边形吗？好，既然他是个平行四边形，接下来我们是不是很快就能知道 e g 是 等于 cf 的 呀？ 那接下来我只要证明这个 a f 是 等于我们的这个 c f 的， 那么问题是不是解决了呀？那如何证明 a e， 哦，不，是 a e 等于 c f， 那 你看如何证明这个 a e 等于 c f 呢？好了，那么根据题目，我们能不能挣到这个三角形和这个三角形全等？ 这个全等还是非常好挣的吧？是不是？好？首先他们有一条边，有一条边，还有个直角，还有什么呢？哦，还有我们再找一个角就行了，你比如说你可以把它也延长，这是不是也是个平行四边形啊？ 拼音视频对角相等，这个角跟这个角相等，对不对啊？当然有人说，老师，我们不用延长，那因为这个角跟这个角相等，是内错角，那这个角又跟这个角相等，是同位角，所以这个角就跟这个角相等，所以这两个用全等。这个全等太好占了，我就不再说了。 当你见到它全等的时候，所以 a e 不 就等于 c f 吗？我刚刚见到这是个平行四边形，所以 a e， 所以 我们的 e g 等于 c f， 那 现在证明这两个是全等， a e 又等于 f c， 所以 立刻就有我们的 a e 是 等于 e g 的。 哎呀， e 是 不是终点？当你得到 e 是 终点之后，那这题是不是就结束了呀？ 哦，我们得到 e 是 终点，你看看此时此刻的这个 s 一， 这个三角形的面积，或者说我把它也连起来，这个面积跟这个面积，这两块面积是不是一定相等啊？ 因为是终点吗？这这两个面积相等啊，这两个面积相等，然后整个矩形的面积是不是等于这个三角形面积的两倍啊？啊，那这样的话，这个整个矩形面积不就等于这个 se 的 四倍吗？当然，这个题目我除了证明 e 是 它的终点之外，还有一种可以证明 f 是 它的终点，可以吗？ 也是可以的吧。那么证明方法也很简单，证明他俩相等，证明他俩相等。第一个用平行四边形的对边相等，第二个用三角形全等，从而也能够正到这两条边相等，把它写下来两条两组。证明边相等的方法是一全等。 首先有上下全等，能够证到 f 和 e 是 终点吧，是吧？上下全等能知道这两相等，还有一个是利用平行四边形，第二个就是平行四边形对边相等。 这个题目我们就能够完美的解决了，所以它正确答案也能得到，是等于四个 s 一。

哈喽，小伙伴们大家好，这里是和同学们一起轻松学数学的增课。今天是二零二六年的三月十八号，我们一起来看一下今天的打卡题。首先看第一题，说图中这个四边形 a、 b、 c、 d 呢，是一个矩形 点， p 是 它对角线 a、 c 上的一个点，现在过点 p 做 e、 f 平行于 a、 b 这条边。 而矩形的对边 a、 b 和 c、 b 呢，本身是相互平行的，再有这样的一个平行，所以我们根据平行的传递性，能够得到从上往下 a、 b、 e、 f 以及 dc 或 cd 两两相互平行。 紧接着他又连接 p、 b， 连接 p、 d， 告诉我们，如果 a、 e 等于二， p、 f 等于九，那么请计算出阴影部分的面积之和等于多少。我们刚刚已经初步分析了矩形的对边相互平行，他做了平行于上下这组对边的平行线。 哎，矩形的另外一组对边 a、 d 和 bc 呢，也是相互平行的，那么我们也可以过点 p 做 a、 d 或者 b、 d、 b、 c 啊，抱歉的，平行线假设与 a、 b、 c、 d 的 交点分别为 m、 n， 那 么从左往右呢？他们三也是两两相互平行的。好了，同学， 下面我们能够得到什么呢？几何角基于判定去分析它的性质，你判定出了什么？ 在这个图当中，你发现了什么？有什么？是什么？有一个矩形，他是一个矩形，这还是一个矩形，还是个矩形， 当然这个也是矩形，他也是矩形，那用到的就是矩形的判定定律。有三个角是直角的四边形为矩形。这个呢，我就不展开就说了，很明显的， 因为他的边是相互平行的啊，他们两两都是相互平行，再有本身这是一个矩形，就有直角，那么直角转化有同旁内角，有同位角等等。具体我们再说 一个方面，另外一个方面，矩形它怎么样呢？我们判定出来是矩形，下面就要问自己，矩形它的特征特点， a c 是 什么？ a c 是 他的对角线的，同时也是他，也是他的对角线，你连接的 p d 和 p b 是 什么呀？就是这样一个矩形的对角线，把门给我关上， 那么这个对角线就将矩形一分为二， 这两个部分是全等的，形状相同，大小相等，面积自然而然就相等。 这个里面呢，也是的，所以我们就能够得到一和二的面积相等的。 再给你换个蓝色的三和四，面积是相等的，再来五和六面积是相等的，最后黄色的七和黄色的八面积也是相等的。好了， 大的呢，也是相等的哦，所以就有红的、绿的、绿的、黄的加起来等于红的、蓝的、蓝的、黄的面积加起来，红色等于红色， 黄色等于黄色。根据等式的性质，从而我们就能够得到 五六之和，就等于三四的面积和，而三四面积相等，五六面积相等，从而我们就能够得到五和三的面积相等。 要算五加四，那就是求的三加四。所以最后问题就转化成了要求，要求这样一个矩形，它的面积，矩形的面积等于零边之乘积或者长乘宽， 它等于九，而它呢等于二。为什么呀？因为这也是一个矩形，我们刚刚分析了，哎，这是矩形，这是矩形，叫上下相加或者相组合， 他左右组合，左右组合也都是矩形，这里面矩形太多了，所以你可以思考问问自己，现在我这个图里面有多少个矩形啊？好了，现在我们总结下本道题目有以下几个内容，第一， 矩形的性质对边是相互平行的。第二，平行的传递性。第三，那就是矩形对角线，将矩形分割成了两个 可以重合或者叫做全等的部分，面积相等，最终转化计算。这就是第一小题。紧接着我们再来看第二小问，说最后一个三角形 abc， 已知他的 ab 边是等于四等， ac 边等于三倍根号二 点 d 是 bc 边的中点，有中点，我们就知道线段被平分，或者线段相等， b， d 等于 c、 d。 紧接着他说一个直线 l 经过点 d， 可以 绕着 d 去旋转 做 a， e 垂直于这条 l 线直线 b、 f 也垂直，它垂足分别是 e、 f 两个点。 a。 同学，不管你 a、 o 怎么动，你始终经过点 d。 那 么我们讲呢，相交 只有平角，只有对顶角，只有零股角等等，这叫基于判定。我们下面要去分析他的性质，什么性质啊？譬如说对顶角是相等的， 那再加上这两个线段相等，也就是终点对菱角的顶点是线段的终点。同学，这是一个极其重要的模型，什么模型？八字全等，所以我们就过点 c 做 l 的 垂线垂直为 m， 那 么这样的两个三角形，它就是全等的角角边的全等。 全等他是什么？或者有什么？我这么一构造，他出现了什么？总而言之，他都叫做判定，叫问你紧接着要问自己，他怎么样，你不能戆然而止，他怎么样对应的边相等。 所以我就将紫色的 b、 f 转化成了紫色的 c m， 这是一方面，所以问题就变成了他加他就是他加他。另外一个方面呢，我们要将这个线段求和的线段 给他变得共性，然后再去研究最大和最小值，这是非常明确的一个思路。那怎么去 让他俩贡献呢？同学你请看，我过点 c 做 c n 垂直于 a e， 那 当这个 a e 足够的短或者不够长，我自然而然的要延长他这个垂足呢？为 n 点。 那么这个地方就出现了两个图形，一是直角三角形，二 是矩形矩形的判定，这是我第一次构图得到的直角，或者你讲零补角互补，这是我第二次作图得到的第二个直角，它本身又垂直。或者你讲对菱角相等， 三个角是直角的四边形。矩形矩形怎么样呢？这叫判定。是什么？基于判定，我们要分析性质，也就是特征、特点、 对边相等。所以我第二次转化就将 a e 加 c m 变成了 a e 加 e n 或者 n e。 哦，现在问题就变成了要求 an 的 最大值。 那 a n 是 什么？我们叫判定，判定就是定位，你怎么去认识它，你怎么去看待它？我们刚刚说了，这有个矩形，呃，抱歉，这有个直角三角形， 直角三角形怎么样？小学生就知道的，直角边永远小于斜边或斜边。 a c 三倍根号永远是比这个 a n 长的。那么现在要求的时候， a n 的 最大值，我转化了 a n， 所以 a n 有 没有可能取到这个 a c？ 也就这个地方有没有可能是等号呢？有， 当他俩重合的时候， a n 与 a c 重合的时候，那么他就取到了三倍根号二。同学说，你这不废话吗？你把图画给我看看。不好意思，画出来了。那怎么画？同学说， 你能不能给我讲一讲，他凭什么与 a c 垂直的时候， a n 就 能够取到最大的值 a c 我 们刚刚已经说过了， 我现在假设 a n 能够取到最大值 ac， 也就说 a n 能够和 ac 是 重合的， 而 a o 它本身就是与这个 a n 垂直的。这不，我说的这题目说的 a e 也就 a n 呢？这 a n 是 我延长的吗？刚做辅助线，这里要延长与 l 是 垂直的，而现在我的假设是 a c 和 a n 重合，那么 ac 与 au 的 关系就是垂直的。我想我应该说清楚了，再快速说一遍。因为我现在仍未假设 an 与 ac 重合，而 an 和 au 是 始终垂直的。 那如果他俩重合，就意味着我这个 a c 与 a o 就 变成重合了，并且这个 a o 始终经过点 d， 所以 我就过点 d 做 a c 的 垂线，这个垂线，这条直线就是 a o 吧，很明确吧。好了， 那么原先的八字全等在这 c m 此时此刻就与一 n 是 重合的，这个矩形就不复存在的，不存在的，二者重合 到了这里。那么 a e 呢？原来与一 n 共线，现在就与 n c 共线，又跑到这里，所以他 加他，就是他加他，哎，正好就是 a c， 这就最大值三倍根号二。好了，现在开始总结本道题目，我们要明确以下几件事情，第一，八字的全等中点对菱角 第一次转化，有权等三角形的性质转化紫色相等。第二， 勾到矩形，通过矩形的性质，第二次转化的矩形的性质就是对边相等。第三， 直角三角形的性质，斜边永远长于直角边，直角边永远比斜边要短。那最后呢，就是具体的计算或者具体的去讨论，看看我们的假设是否成立。好了，最后我们再来看一下第三题，说 这个图中 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形，它的对角线 a、 c 和 b、 d， 二者交于点 o， 并且告诉我们 a、 c 是 等于八， b、 d 是 等于五的。 那么根据平行四边形对角线的及其之重要的性质叫相互平分，我们就能够得到 o、 b 和 o、 b 相等，等于二分之五， o、 a 和 o、 c 相等，等于 a、 c 的 一半等于四。 今天他说这有一个 e 点和一个 f 点，分别从 a 和 c 两点出发，往 a、 c、 c、 a 的 方向去运动，它们的速度都是每秒两个单位长度，并且是同时运动的。 所以我们知道哦，时间相同，速度相等，所以路程也就形成一样大， a 速度乘时间， c、 f 速度乘时间，两 t 两 t 相等， 问，经过多少秒？四边形 b、 e、 d、 f 是 一个矩形。哎，我们刚刚分析了这个 o、 a 和 o、 c 相等，又得到了 o、 a、 e 和 c、 f 相等。那根据等式的性质， o、 e 和 o、 f 就是 相等的，大的减小的，长的减短的，他们的差是相等的，所以我们就能够得到该四边形 b、 e、 d、 f 对 角线相互平分，他就是平行四边形。你看同学 我们要叫要学会从性质去学习判定二者正好相反的。我们刚分析了平行四边形，他的对角线怎么样叫对角线相互平分，现在对角线相互平分的四边形是什么？是平行四边形，你看 我没有给你就题论题，可能在我们同学看看你说了好多题外话。不， 我总是有意或无意的想帮助你把一些套路搞搞清楚，把一些逻辑本质，逻辑东西背后根本的东西给你捋捋顺。你比如说我刚刚说的叫从性的出发去学习判定， 那平行四边形部分四个图形，我们苏格版教材一共有十三个判定，除了四个定义之外，还有其他的平行四边形、菱形、矩形和正方形，还有其他的若干个。这个判定定律你能不能捋捋清楚？好了回来， 那现在你要证明他是个矩形，已经是一个平行四边形了，还是在分析他对角线？平行四边形与矩形对角线二者最大的不同在哪？叫矩形的对角线？除了平行四边形的相互平分，还在于 b、 d 和 e、 f 相等，叫矩形的对角线相等，他和他相等。 哎，我们刚刚已经说了黄的和黄的相等，红的和红的相等，那现在红色加红色，黄色加黄色，它们相等， 就以为两倍相等，就意味着一倍或者一份量是相等了。 o e 和 o b 相等，这是一方面，哎。另外一方面，同学， 这是个实际问题，是个动点问题，是个行程问题。行程问题当中有什么相遇？ 一开始二人二者是面对面行驶的，当他们到 o 点相遇的时候，同学，有件事情产生了什么叫 我们之所以相遇是为了更好的分离，叫相遇。同学，要说 red 是 这样子吧，哎，所以 e 点到这， f 点到这之后，他们继续往前走，二者就告别了。所以我们应当分两种情况去讨论， 第三什么呢？哦，这个一和 f 都在哪运动啊？在对角线， a c a c 的 长度是有限的，是八，所以我们还要考虑一下它的最大运动 时间。而这个图呢，就是对应着第二种情况，所以你看我这个画的很清晰，当 e 从 o 点 往继续往 a c 的 方向运动，这个 f 点从 o 点继续往这个 c a 方向或者 o a 方向运动的时候， 蓝色的 a e， 他的对应的路程，绿色的 f， 他 对应的路程，我分别给你画出来了，就是这样子的。 ok， 那 么下面呢，就是具体的这个过程的整理书写了。 二者相交于 o 点，路程是四，速度为二，所以相遇时刻他们所使用的时间是两秒钟。 第二，他们各自到达自己的终点，最大运动时间就是最大的路程形成最大值，除以速度八，除以二等于四，所以相遇之后， 他的时间应当是二到四之间的。那这个过程，这个过程我就不去展开说了，那这种情况用到的就是四减二 t， 因为 o e 就 等于 o a 减去 a e o a， 我 们在上面都交代清晰啊，用平行线的性，平行四边形对角线的性质，四减二 t。 而再看第二种情况，第二个图，它就是二 t 减去四，它对应着 o e 以及 of， 它是二 t， 这个 o a 是 四，这两个相减，它就是二 t 减四，跟上面的正好相反的算出 t 是 四分之十三。 这两个值呢，分别都是符合他们各自的大前提的啊，所以最后综上所述，两种情况都是成立的。最后我们来总结下本套题考察什么内容。题型叫做动点形成一个矩形， 那么在这个过程当中我们要注意一本质，就考察矩形的判定，什么样的平行四边形是矩形，叫对角线相等的平行四边形是矩形。 第二实际问题，实际分析，相遇之前，相遇之后， see you。

哈喽，大家好，今天咱们来讲一道关于矩形折叠的经典题型，我们看一下这个十三题。如图，在矩形只欠 abcd 中， a、 d 等于四厘米， ab 等于十厘米，按照如图方式折叠，使得点 b 与点 d 重合，折痕为 e， f 得 d， e 的 长为多少？这道题是关于咱们的这个矩形折叠的一个问题。首先第一步的话，我们需要找一下等量关系，根据折叠的性质，咱们这个折叠前的这个 b 点呢，和折叠后的地点 啊，它是重合的，这个 e f 是 它的，其实就是 b d 的 一个垂直平分线啊，其实就是 b d 的 垂直平分线，所以呢，这块的 d e 其实就等于这个 b e， 这是咱们解析的关键。 我们这一块现在是要求的是这个 d e 啊，要求 d e， 那 么 d e 的 话，咱们之前讲过，就是说如果要求线段的长，我们最好是把它放到一个直角三角形里边，然后再利用勾股定律去求。那直角三角形呢？这道题当中我们已经看到是这个三角形 a， d e 啊，如果是在这个 a d e 当中，我把这个 a d 求出来，然后 a e 也求出来，那么 d e 的 话，就很很容易就可以算出来，对吧？那 a e 的 话咱们不知道呃， d e 呢？也不知道，但是呢，我们这块有一个 ab， 它等于十， ab 等于十，那如果是我把这个 b e 和这个 d e， 因为它俩相等，我假设说它俩都是 x， 然后这个 a e 的 话，它就应该等于十减 x 啊，那这样的话，我们在这个 r t 三角形 a， d， e 当中呢，我们可以利用勾股定律啊来设未知数，设一个未知数，然后列一个方程，根据勾股定律列方程，对吧？ 两个直角边的平方的和等于第三边的平方，所以这块应该就是 a d 的 平方加上 a e 的 平方等于 d e 的 平方 啊，也就是说四的平方加上十减 x 括号的平方等于 x 方，那这样的话，我们把这个 x 给它求出来就可以了啊。这个最后算出来是一个五分之二十九， 或者说你写成五点八也可以啊，所以我们 d e 的 长就等于 五分之二十九厘米，对吧？那咱们简单总结一下折叠的问题呢，其实就是找等量关系，然后再根据勾股定律列方程，咱们再复杂的折叠问题都能轻松解决。

好，有一道新定义啊，准矩形，准菱形。这道题其实比较难的，反而是在它第二文上了，第二文比较难啊，好，那么挨个来看一下啊。这个新定义指的是，首先第一个啊，有一组对角是直角的四边形，叫准矩形， 哎，什么意思？看懂了啊，你就只要一组对角九十度就可以了，是吧？哎，我不要求他剩下两个九十，那么第二个什么叫准菱形呢？我只要两组菱边分别对应相等，就叫准菱形，这个概念看懂了吧，是不是？好，那么继续来切入了啊，好，他还画了两个图。第一问，让你作图，第一个， 在图三中画出这个准矩形，我们先把它连起来来看啊，这个 a b 准矩形得需要对角是九十度，你会发现点 b 处是九十吗？它不是九十了，是不是只能让 a c 处是九十了， 对不对？那 a c 如果 a 是 九十的话，我就得需要画这样的垂直，如果 c 处是九十，我就得画这样的线，两条线的交点是不是正好在这个点上了， 这是不是就 d 的 位置了？听懂了啊，哎，让确保 a 和 c 处是九十就可以了，就是要体现一下你过这个点就行了， 听懂了吧，是不是？好，那么第二个想画准菱形，这么一连，哎， ab 跟 bc 它不等吧， 不等的话就自己自己得创造，也就是等会你找那个点得这样子大概率是不是？哎，所以我们大概找一下 ab 的 长度一般给的比较巧，是不是？所以大概率就在这个位置了， 这样能确保两个边呢，正好都是相等的。所以这个第一问相对来说还好化一点啊，还好化一点呢是不是好，所以这第一问啊主要是第二我们来好好来斟酌一下如果让我出卷子这个第二我就绝对不会考选择题。其实考选择题也行， 因为你填不对的话少一个多一个都不对，是不是啊？但是我会出证明题啊，我会把这题摘下来考一道证明题给大家啊。就第二问题出的蛮好的来看一下啊说呃下面正确的是第一个有一组对边平行的准矩形是不是矩形 那来看图我们就用图一图二来看了就省的自己在画图来。首先准矩形是不是对角是不是已经是九十了，那么他现在还告诉我，哎有一组对边平行，那让谁平行是不是都可以。假如说这条边和这条边平行了， 一旦平行我九十度直接瞬间是不是就上去了？那是不是三个九十是不是直接变矩形了。所以一号很好判断对不对啊。这个一号很正确啊，主要是二号和四号来看一下啊。二号有一组对边相等的准矩形是不是矩形 还是第一个图啊有一组对边相等。那假如说我就是 x 呗，咱俩是不是已经相等了是不是但是你也可以上下都可以啊，没什么区别啊。好，它是不是矩形呢？ 他俩都 x 了如果是矩形的话对边已经相等，如果他俩那如果是矩形的话他俩是不是也得相等才可以？是不是我要先正平行四边形才能正矩形啊对吧？你要满足矩形首先得满足平行四边形，那也就是告诉我如果我能证明他俩相等就好了 那他俩正边长相等是不是大概就是勾这个，这个全等了是不是？那你肯定是不得连这条线，怎么着？是不得连 b d， 哎，对，我们首先，哎，这是我分析出来我得连 b d 的。 那根据勾股定律，两个三角形斜边一样，有一条直角边还一样，所以他们这条边一定怎么着？是不一定相等， 听懂了吗？但是有些人我不想用勾，那你用全等也行啊，来，有两个直角三角形，它们直角边一样，它们的斜边是不是也一样？是不是 h 是 不是就全等了？听懂意思了啊，我不管你用勾股定力也好，或者用全等也好，你是不是都可以挣出来 c d 跟 ab 是 不是就相等了？对， 听懂了啊，那么既然对边相等了，哎，我首先是平行四边形，再加九十度，所以是不是直接变什么了，变矩形了？ 听懂了啊，所以在坐这儿的时候你就要悟明白了，原来我们是从全等去切入的了，而且我连的是 b d， 我 连的是 b d， 听懂了啊，哎，所以来第二个很正确， 用全等去乘的啊，来，三号有一组对边相等的准菱形，那你其实的时候他是不是首先告诉我的是这两组是不是相等，是不是？他还告诉对边相等，不就告诉 x 等于 y 了吗？这个三号不要太好判断是不是，哎，那四条边全一样了， 四号来看一下啊，有一组对边平行的准菱形，我们随便挑一组啊，假如说这一组和这组是平行了， 当他俩平行的时候，他是不是菱形的，有钢的经验可得，我觉得大概率是不是又要成全等了，是不是？而且我肯定是连 b d 更好，又不要破坏他等腰的感觉是不是？那但既然平行来，假如说我是 r 法，首先我也是 r 法了，我是等腰， 然后其次，我平一线，我平一线，我内错角直接就过过来了。看到了，那我也过过来了，我等腰。那你说我这俩三角形好不好整全等，我们是不是还共用了一个底边？完了之后，我们的底角是不是长得一模一样，对不对？所以这俩三角形直接就整全等了， x 就是 等于 y 了。 听懂了啊，是两次都是正的全等啊，都是正的全等哎，所以这个四号正确的要你考试，你可能也不敢选啊，这个题一二三四全都是对的， 一二三四全对哦，听懂了啊，哎，尤其这个二号四号，大家把它当大题去看待啊，懂了吧？哎，当大题去看待啊。好，来，接下来第三问， 咱思路有听清楚啊，能听懂的啊，原因就是你看我上来，我当然还是连对角线了，阿尔法一射等腰啊，这是等腰完了之后，平线，我阿尔法直接到这了，又是等腰，所以阿尔法又过来， 这俩三角形就可以正确的，因为他们底边是同一个，是不是？底边同一个，我是不是脚边，脚边角是不是？哎，就出来了啊，来看下一问啊。 第三问，如图所示，角 a b、 c 呢？九十度啊，向外做了一个准菱形啊，这个准菱形里边呢？哎，这一段等于它这一段呢，等于这段啊。那第一个，如果 a c e 等于这个角， 刚刚的经验所得是不是只要能正全等是不都可以，是不是？那你看他都提到了这两个角了，那明摆不就是想正这两侧两个三角形能不能全等是不就可以了？ 你顶角都一样，你还都是等腰啊？同学们，你这个角是不是全都对标起来了？完了之后，你是不是还有公共的这个边在的，是不是？所以你要真要写的话，你看你考试的时候啊，你这两个顶角是不是一样，你是不是能推出来这两个底角？是不是？这四个角是不是都一样？是不是完了之后要推到这些角上再去正确的，因为这样才可以角边角。 听懂了啊，可以用角边角去正全等就可以了，哎，去正全等就可以了啊。所以第一问，你只需要去正三角形这个 f、 a、 e， 是 不是？哎，全等于三角形 c、 a、 e 就 可以了啊， 好。第二个啊，在一的条件下连接 b、 d， 好， 我们来连接 b、 d 啊，好，如果 b、 d 的 长度呢？等于根号二， 哎，角 a、 c、 b 呢？等于十五，这边等于三十，直接写出这个四边形 a、 c、 e、 f， 因为在一的条件下，是不是已经是菱形了，是不是菱形面积求法，最快速的方法当然是对角线乘积的一半了， 是不是这样的，是不是？好，来看一下啊。那么这道题，这个根号二怎么用的？其实刚刚已经提示过的呀，我们早就讲过这个问题了，为什么呢？因为已经是菱形，就会呈现出有一个九十度，有一个九十度的话，两个九十度在一起，最重要的辅助线就是斜边的中线了，毋庸置疑， 对不对？好，所以我们需要把这个点给它连起来，那么连完之后呢？哎，这个三十呢？这不就是六十吗？这个十五作为外角，我们就是三十吗？是不是 正好两倍了？外，因为什么？因为它是等腰，哎，这个俩都是三十，你说这个角是不是六十？是不是两倍的？完了之后这十五，这是三十，我主要想正这里其实是九十度， 是不是？正好九十，对不对？那正好都九十了，完了之后还相等，你说这个三角形，他是对等腰，直角三角形啊，所以 这段场就是一，他也是一。然后呢？这个数据还这么特殊，有三十、六十、九十在，所以这段是不是也是一看到了，是不是？你这段是不是根号三了？ 这个都能挣出来吧？是不是？你看这个三角形够不够特殊？是不是一个非常标志的三十、六十、九十的三角形，完了之后这等于一，他都是一，完之后这也是一够，不具体算数，根号三，是不是？哎，全都有了啊？完了有了之后菱形的面积等于对角线乘积的一半， 哎，所以等于二倍根号三啊。这道题就出来了，也是比较综合的道新定义问题了啊。

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型几何综合问题。那么这道题考察的是矩形和全等三角形综合。好，我们来看具体的条件。在矩形 a、 b、 c、 d 中， b、 d 是 矩形对角线， e 为 a， d 边上一点啊，连接 ec， 如图一角 d， c、 e 等于四十五度啊， bc 又等于 c e， c d 等于 e， 让我们求 b、 d 好。 第一问，非常的简单啊，考察的就是一个矩形的性质啊，那矩形有两个特殊的性质，看到矩形马上想到这两个特殊的性质，第一个是四个角，都是直角啊，第二个是对角线相等， 那么角 a， d， c 就是 九十度，所以三角形 d， c、 e 就是 个等腰直角三角形，那么 c、 d 等于 d， e 都是一啊，都是一。 好，那这样的话，我们就可以得到了利用勾股定律啊， c e 就 等于根号二。哎，接下来那么 b、 d 啊，也是利用勾股定律在 r g 三角形 b、 c、 d 中啊，那么 b、 d 就 等于根号下 c d 方加 bc 方，而 bc 又等于 c e 啊，所以就等于 c d 方加 c e 方，往里面带入就可以了，是根号三、接着来看第二问，如图二， c f 垂直 ec， c f 又等于 c d 好 呃，当 h 是 b f 中点时，证明 d e 是 二倍的 c h， 那 我们先把 d e 找出来， d e 好 和 c h 证明这个绿色的线段是这个红色的线段的二倍。那么乍一看可能无从下手。那这道题我们知道啊，肯定是需要去做辅助线的，但是辅助线从哪里去突破呢？那么题目中给的这个 h 是 b f 的 终点，这个终点就是我们要找的一个突破口。 好，那么看到中点，我们现在来梳理一下和中点相关的一些性质和辅助线。首先看到中点，我们第一反应是想到中线和中位线， 第二我们想到倍长中线这种辅助线，第三啊，可以去做平行啊，平行加中点，我们可以构造一个全等三角形，那么 第二种和第三种在一定程度上它是可以相互转化的啊，你去做背长中线去构造的全等三角形和做平行去构造的全等三角形，那么它的实质都是去构造一个八字形的全等，那么第三种方法是很多同学容易忽略掉的 啊，那么老师希望你经过这道题目的讲解，能够对背长中线的一个实质有一个更加充分的理解。好，那么这道题目呢，我们用第二种方法和第三种方法都可以，那么这两种方法老师都会一一的进行讲解。 好，我们先来看第一种方法去做倍长中线， c h 是 三角形 b c f 的 中线，那我们在 he 上截取 h p 啊，让 h p 等于 c h。 好， 此时我们再连接 b p， 那 老师就用实线了啊，好，那么此时是不是就构造了一个八字形全的啊？ c h 等于 p h 又有对顶角，对顶角又有 b h 等于 f h， 所以 利用 s a s 构造了一个八字形全等 啊，好，那么接下来我们要证明的是 d e 等于二倍的 c h。 好， 由于它全等，那么此时我们利用全等的性质是不是可以得到 p h 等于 c h， 那 么也就是说这个线段二倍的 c h 是 不是就转化成了 c p 哦，所以这个问题就转化成为了去证明 d e 等于 c p， 哦，转化成了这个问题，那么证明 d e 等于 c p， 我 们是不是只需要正它所在的两个三角形全等是不是就可以了？好，此时如果我们正出来啊，三角形 b、 p、 c 和三角形 c、 d 一 全等就可以啊。好，就整这两个三角形全等，我们现在来看条件啊， 好，由于刚刚我们正了一个八字形全等，所以第一个我们可以得到它的对应角相等，也就角 b、 p、 c 等于九十度。好，所以有一个九十度对应角好，再来， 那么这两个角是不是也相等？角 bce 和角 d， e、 c 也是相等的？好，还差一个，再看 还差一条边啊！由于题目中还有一个 c、 f 等于 cd， 这个我们还没有用到啊。 cf 等于 cd 好， 那 cf 是 不是又等于 b p 好？等间再换，所以 c、 d 就 等于 b p 好， 所以用 a、 a、 s 是 不是就整出来全等了？ 好，那么全等，所以问题就迎刃而解了。好，接着我们来看第三种方法去做平行。好，同学们，你来看啊， 如果这个题目我不不结，不结啊，那么我们可以去过点过点 b， 把这个擦掉，过点 b 向 c、 e 去做垂直。好，此时对顶角，对顶角，直角直角 b h 等于 h f a a s 是 不是八字全等？ 好，那么你来看这两个是不是就相互去转化了？你如果做倍长中线，也就是去截， 去截啊！ hp 等于 c h， 那 么此时我们也是整出来一个八字形全等。好，整出八字形全等之后，利用它的性质，那么这个角是不是也等于这个角也是九十度？因为它九十度，所以这两个是不就平行了？哎，所以由中线我去转化到的平行。 哎，那反过来呢？哦，如果我去做个平行，那么用 a a s 去证完全等哦，此时我们再利用全等的性质，是不是也能得到 p h 等于 c h？ 好， 那是不是又可以转化到了中线这条？呃，这个辅助线的做法，也就是说啊，倍长中线和做平行 啊，当然不一定是中线啊，也可以是背长线短啊，和做平行之间是可以相互转化的啊。好，那同学们这道题目听明白了吗？重点是这道题目 我们所学到的一个做题的方法啊。好，记得课下认真去总结。那么这节课就到这里，可以给老师点关注，我们下期再见。

hello， 小 伙伴们，大家好，这里是何同学们一起轻松学数学的曾哥。今天是二零二六年的三月十七号，我们一起来看一下今天的打卡题。首先看第一题，说 图中呢是一个矩形， a、 b、 c， d， b， e 是 垂直于对角线， a、 c 的 垂足点为 e， 如果角 a、 c， b， e 等于多少？ 那么由这个直角呢？我们能得到三角形 bce， 是 一个直角三角形，这叫判定。先分析是什么，有什么，也就是 what？ 然后在此基础上，我们去分析有关的性质，谁的性质啊？那就是我们判定出来的或者定位出来的那个东西，它对应的特征特点，我们把它叫做性质直角三角形。 已知一个锐角是二十三度，那么另外一个锐角，我们可以求出来直角三角形的性质，锐角互余， 或者用三角形的性质，谁的性？什么性质啊？角的性质，内角和定力都能够算出 c、 b、 e 的 大小，所以现在要求它只需求出 o、 b、 c 即可。那这是一个什么三角形啊？是一个等腰三角形。 因为矩形的对角线，它的性质有平行四边形的性质，相互平分， o a 等于 o c 的 同时， o b 等于 o d， 那 它还有自己独有的不同于平行四边形的 特殊于平行四边形的，就是它的对角线还是相等的。两倍是相等的，也就是 a、 c 和 b、 d 相等，所以一半一倍 o， b 和 o c 就是 相等的，从而就有， 这是一个等腰三角形，这叫基于判定去分析性质。由矩形得到这两个相等。相等之后，你得问自己，他怎么样？因为你 分析出等腰三角形还不够等边对等角。最后的答案是六十七减二十三，选择 b 选项。这就是第一小题，主要考察矩形的性质，还有直角三角形的性质。 我们紧接着看第二题，他说这个图呢， a、 b、 c、 d 仍然是一个矩形， bc 和 b、 d 分 别是四和五，这是 矩形的边，这是对角线。所以我们通过勾股定律能够算出 cd 是 等于三三四五。 又说 m 是 a、 d 上的一个点， o 是 b、 d 的 中点，有中点，我们能得到线段相等。 o， b 等于 o、 d， 并且等于五的一半是二分之五， 连接 m、 o 并延长交 b、 c 于一个点点 n。 我 们说了，这种有延长，有相交，你就要注意了。对顶角，对顶角怎么样相等 平角，平角一百八十度，可能有零补角，零补角怎么样互补等等等等。那这里有对零角。他说如果 mn 平分角， a、 m、 c 角一等于角，二，让我们去求 dm 的 长度。 我们几何角读题标图进行初步的分析，初步分析之后，我们叫正儿八经的分析，也就基于判定去分析 对应的性质啊，这就是核心的思路。好了， 我们刚刚说了，这里有对菱角，有线段相等，再加上这是矩形，对边是平行的两直线平行，我们同学到这就戛然而止。 平行，这叫做是什么？有什么是一组平行线？有什么有一组平行线？这不够，你要近距离分析他。怎么样？两只线平行，我们同学都会说内错角相等，内错角相等， 同位角同旁内角也有对应的关系，再加，所以这个三角形呢，和这个三角形就是一组八字的全等，全等怎么样？我们同学又戛然而止啊， 全等有对应的边相等，对应的角是相等的，从而就有要求的。 dm 实际上就是等于 b n 的， 这是一方面。另外还有一个模型，我们昨天打卡也遇到过，叫在 长方形、平行四边形、菱形、正方形当中等等等腰三角形，它本身就固有的平行内错角，角一角三是相等的，这里角一和角二是相等的，所以根据同角不能叫同角，等角相等叫 等量代换，我们能够得到角二和角三是相等的啊，你们俩都等于角一，所以你俩也是相等的， 从而我们就能够判定出等腰三角形，角等角对等，边紫色的和紫色的相等。那么下面来了核心的思路，几何的方程思想。 当多个量都未知，但是满足作为直接的数量关系，他是多少你不晓得，他是多少你不晓得，但是他们的和为四，所以你可以说他为 x， 你 也可以说他为 x， 到底哪一个呢？题目恰巧问的是 dm， 那 就设它吧，或也就它，那在这里设它为 x， 它就是 x， 从而它就是四减去 x， 它是四减 x， 这个 c m 也是四减 x。 勾股定律，我们得到一个关于 x 的 方程， 解方程就可以了，叫当两个及两个以上的未知量满足数量关系最为直接的数量关系，我们就设未知数。这第一句话， 第二句话设未知数目的是为了什么？为了构造方程。第三句话，构造方程或列方程的前提是什么呢？是找到不同于刚刚这个等量关系的。新的等量关系的前提是什么呢？是找到不同于刚刚这个等量关系的找围绕着 题目已知的量取法，那么往往会隐藏其中有平角，零补角，那是角的有关的方程， 这里有边或者线段所对应的直角、三角形，隐藏的或固有的，天生就这样的勾股定律， 最后算出是八分之七。最后总结下本道题目考察什么，这是八字的全等，你要晓得怎么呈现出来的。第二个叫做角平分线加平行线， 这叫角平分线的模型。我们上学期这个八上在讲角平分线的时候就总结过了四个，五个常见的模型啊，等腰三角形，最后落到实数叫计算的工具。 第三题，他说这个图当中有一个四边形， a、 b， c， d， a、 d 和 bc 这组对边呢，是平行的，并且还满足两倍的关系。在这个过程当中又说点 f 是 bc 的 终点，所以我们就能够得到一两三，他们是相等的，当然除了一是中，而 f 是 终点，一还是 ab 的 终点。与此同时， 绿色的条件直角角臂等于六十度。提出这样的两个问题，我们首先看第一问， 证明 a、 f、 c、 d 是 一个矩形。我们知道这是一个定理性的证明，那就是直接考察我们矩形的判定。如果版教材告诉我们有两个判定，一个定义叫三个判定的方法，第一是那是定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形。第二他的判定定律有三个角是直角的，四边形是矩形。 第三也是判定定律，叫做对角线相等的平行四边形是矩形。好了，那我们来看到底用哪一个呢？已经有一个直角了， 那么我们优先选择他的定义，证明这是一个平行四边形，那平行四边形我们初步的分析已经分析过了，这组对边是平行的，这组对边相等的啊， 这就是一个分析的过程，我就不一个一个的去读了啊。最后两个方面，一说明是平行四边形，二强调直角落到顶点。我们紧接着再来看他的第二小问，让我们去求角 a、 d、 e 这个角的度数，然后下面我们就展开分析， 有一个条件，咱还没有用上哪一个条件呢？这个 e 是 ab 的 终点，所以有 a e 和 b e 相等，这是一方面。另外一方面，我们讲过没有平白无故的提问， 你第一小问是根据题目条件的大前提证明出来结论句型，所以就可以作为第二小问的条件去大胆使用。 矩形最主要的特征，最重要的特征不同于平行四边形，就在于它的角，这四个直角，这个角是直角，所以这个角也是直角， 他是直角。我们同学，下面咱们分销，你就得问自己这是什么？或者途中出现了什么？出现了一个直角三角形，刚刚有终点一连线，而是他本身已经连好的，这就是直角三角形的 斜中定律，斜半定律，斜中半定律，斜边的中线等于斜边的一半，因此你现在看到的三个粉色的线段， a e、 b e、 f e 三者是相等的， 哎，这还有一个六十度，这是一个等腰三角形。两边相的三角形是等腰三角形，这是等腰三角形的定义最根本的判定，这又来一个六十度，所以他就是摇身一变。 正三角形，等边三角形，这是等边三角形的判定，定力判定方法之一， 有一个角是六十度的，等腰三角形，为正三角形，为等边三角形。所以你现在看到的是红色的、粉色的、粉色的、粉色的是相等的。而刚在第一问当中，条件已经告诉我们了， 所以这这这这这这三个粉色，三个红色的，他们都是相等的，这六个线段一样长，哎，一样长，所以这是什么三角形？这是等 腰三角形。刚刚已经说过了，等腰三角形是等腰三角形， 那现在要求的什么哦？先定位，你要问自己，不断的问自己是什么几何，就那么两个内容，是不是判定 先定位是等腰三角形的，什么是等腰三角形的？底角，我们同学说是锐角，你说锐角一点用都没有，对不对啊？精准的定位， 那么要求底角、顶角知道吗？顶角和六十度是一组同旁内角，你看看， 你要给他定位，他不仅仅充当的是等腰三角形的顶角这个角色，他同时还是平行线，三线八角里面的， 和他的关系叫一组同胞内角，你是六十，我就是一百二，这是一百二，那么结合这三角形的内角和定力， 这三个角是一百八十度，最后他和他相等一百八十度，减去一百二十度的一半。那这就是一个分析的过程，主要是两个步骤，第一个步骤说明这里是 等边三角形，第二个步骤说明这里是等腰三角形。先强调等边，才有这里的等腰，最后又落到了计算上面， 同旁内角互补啊，这是分析的过程，你可以自己暂停去看，我就不去读了， 这就相当于我们写作文的一个提高，写提高你不一定全部写完整，好吧，我们现在有的同学现在就是太崇拜这个东西了，太喜欢写这个东西了，不要 写大概就可以，你要知道写这个东西的目的是为谁服务的，是为他服务的，为他服务的， 直接抄就可以了，这我不就展开就说了哈。最后呢，总结下本道题目我们要注意哪些内容？第一个，定力的判定举行要非常的熟悉，他的判定有哪三个， 那么我们学完菱形的时候呢，要将矩形和菱形去比较，再结合在前面的平行四边形，还有后面的正方形。到时候呢，给大家总结一个框架，这是一方面，另外一个方面呢，那就是我们 几何的核心分析思路，基于判定，分析他的幸福。因为举行本身就这两个内容，那具体的知识点呢，我就不再重复了， see you。

第七题，这个题目很有意思，他跟我们之前讲过的一个结论叫垂美四边形，有没有同学有印象了？ 垂美四边形。什么是垂美四边形啊？叫对角线相互垂直的四边形，叫垂美四边形吗？垂美四边形有哪个解？哪些结论呢？第一个关于垂美四边形的面积是等于二分之一对角线的乘积，对角线的乘积。 第二个结论是什么？垂美四边形，对边的平方和相等。 我把这两个结论给大家复习一遍，因为可能时间过得有点久远了，垂美四边形的一些性质有一部分同学已经忘记了。首先第一个概念，垂美四边形的概念指的是对角线相互垂直这样的四边形，我们就叫做它垂美四边形吗？ 好，我随便画了一个四边形，哎，它的对角线相互垂直，只有这一个结论啊， a、 b、 c、 d？ 好， 那么在这个四边形当中，它的面积等于什么呢？哦，根据题目啊，比如它焦点交 o 的 话， s 四边形来证明一下 a、 b、 c、 d 的 面积，是不是可以把它转化成两个三角形，叫 s 三角形？ abd 加上 s 三角形 c、 b、 d 就 等于二分之一底底是谁？ b、 d 乘以高，高是 a、 o， 再加上二分之一 b、 d 是 底，高是谁？高是 c o。 提取一个二分之一 b、 d 里面是不是 a o 加 c o， a o 加 c o 不 就是 ac 吗？就等于二分之一 b、 d 乘以 ac， 是 不是就能得到第一个垂面四边形的面积等于二分之一对角线的乘积啊？第一个解决。 那么第二个结论，这是第一个结论，第二个结论叫对对边的平方和相等。什么意思？就是 ab 的 平方加上 cd 的 平方永远都等于 bc 的 平方加上 ad 的 平方，这个我们也可以证明的。根据勾股定律， ab 平方加上 cd 平方，是不是等于 o a 的 平方加上 ob 平方， 再加上 o c 平方再加上 o d 平方啊？哦，这因为是垂直吗？勾股定律， ab 平方不就它俩的平方和吗？ c、 d 平方不就它俩的平方和吗？好，那你再看一下我们另外一组对边 bc 的 平方加上 ad 的 平方，是不是 bc 平方等于什么？是不等于 ob 平方加 oc 平方啊？哦，就等于 ob 平方加上 oc 平方，再加上 ad 的 平方等于什么呢？根据直角三角形是不等于 o a 平方 加上 o d 平方。哎呀，同学们看一下，等号右边的一模一样，所以等号左边的一定相等，从而就能得到第二个结论，叫 a、 b 的 平方加上 c、 d 的 平方永远都等于 bc 平方，加上 a、 d 平方。 我希望所有同学都牢牢记住这个结论，就是如果一个四边形，它的对角线是相互垂直，那么这样的四边形一旦出现的时候，我们要知道这里面有两个非常重要的结论，第一个，它的面积可以用二分之一对角线的乘积来计算，推导方法在这。 第二个就是对边的平方和相等，也就是说，如果一个四边形，它的对角线相互垂直，则他们对边 ab 平方加 cd 平方，一定等于另外一组对边 bc 平方加 ad 平方。那么有了这样一个结论加持之下，下面我们看这个题目吧。 第一个，他说如图一个点 p 啊，是矩形对角线上的一个点 p， 点过点 p 呢？做对角线的垂线。哎，同学们想想，是不是这个跟我们之前学过的矩形中的十字架又扯上关系了？但是我们要知道，这个垂直的话，你看，如果垂直，请问啊， 在矩形固定的情况下，这个 e f 的 长度是不是固定的？同学们想一下这个问题，那肯定是固定的吧，这个好理解吧？ 好，所以 ef 它肯定是个固定的。接下来他问第一下，问四边形它的面积是不是钉直哦，这个四边形是不是对角线相互垂直的一个四边形啊？ 那它的面积是等于二分之一对角线的一半哦，根据矩形是固定的，所以它的对角线固定。而根据刚才我们 ef 是 垂直于 ac， 所以 ef 它也是固定的嘛。 ef 为什么是固定的？其实根据我们可以去计算的。 你想啊，我只要 e f 永远平行于 a c， 那 你看看，这是个平行，这条线跟这条线平行，这个跟这个也是平行，所以这个四边形永远是平行四边形。不管你屁运动到哪里的时候，那我们这条平垂直于他的线与这个上下两个焦点，一个叫 e， 一个叫 f 的 情况下， e f 的 长度是永远都不变的呀，它是固定不变的呀， 这个好理解吧。哎，为什么固定不变？其实很好理解，你只要证明这个四边形是平行四边形，所以这个 e f 跟这个 e f 相等，也就每一个 e f 它都是相等的吧。 好，所以第一个它是正确的，它的面积不变。当然只要矩形不变啊，因为题目很明确说了是矩形对角形上一个动点，所以这个矩形是已知的，只有 p 是 个动点嘛。好，紧接着第二个，他说 a c 加 c f， a e 加 c f 在 这， 那这两条线段怎么让它变成一条线呢？哦，通过平移，我把这条线平移到这上面来，可以不？哎？让它变成一条线，那此时此刻，我是不是就可以相当于过点 c 做一个垂直于 a c 的 一条线，交 a d 的 延长线于一点？那么此时此刻，根据题目，比如说这个点，我给他取个名字叫 g 点， 因为我这个是做了垂直，这也是垂直，所以根据题目，这条线跟这条线平行，垂直于同一直线，两直线平行，又因为矩形的一组队员本来就平行，所以这是个平行四边形嘛。所以我们瞬间就把我们的 c f 平移到 eg 这块了。所以第二个里面，第二个里面他说了什么？说了 a e 加上 e g 啊， a e 加 e g 不 就等于 a g 吗？ 哦，等于 a g， 那 根据题目，我们知道 a c 是 固定不变的，它的方向不变，长度也不变，那么过这个 c 点做一个垂直之后，这个 c g 是 不是永远等于 ef 啊？ 哦，只要这个矩形不变，因为 ef 也不变，所以直角三角形，两条直角边是固定的，所以它的斜边 a g 一定固定吗？ a g 固定，也就意味着 a e 加 cf 的 和是固定的，这第二个也是固定的， 那第三个对不对呢？第三个题目很明显，它是正不到的。这个地方我们经常做的是什么？要求我们的 c e 加 a f 的 最小值啊？ 回忆一下我们曾经做过的这个最小值啊，是怎么来做过，怎么样做的啊？它存在，既然存在最小值，它肯定不是个定值对不对？那么这个最小值怎么做的？你看一下，假如题目中求这个与这个的最小值，这边有一个定长的动线段，刚刚是不是说定长动线段？ 所以当题目中求最值问题时候，遇到了定长动线段 e f 是 不是固定长度，定定那个固定长度的动线段？我们的解析技巧就一句话，在之前的， 嗯，周周练或者说直播课上都有讲过的是什么是过定点做定长动线段的平行且相等的线段 来构造一个平行四边形吧。我用蓝色的笔给大家来构造一下，我们过定点 c， 做一个与 e f 平行且相等的线段，此时此刻我是不是就把我们的 c e 瞬间就转化为这个地方了？这个点我给它取个名字叫 m 点， c e 是 不是永远等于 f m？ 所以 当我们题目要求 a f 加 c e 的 最小值，是不是就转化成 a f 加 f m 的 最小值啊？那 f m 加，呃，这个两个最小值是不是三点共线的时候最小啊？ 能看懂吗？也就是说在这种情况下它是最小的。这个题目有印象吧，这其实是我们曾经做过的题目啊，所以既然它存在最值，那肯定它的值不可能是个固定值，那如果固定值就不存在最值呀， 所以第三个它肯定是不对的。那么对于第四个呢？第四个它说什么哦？ a e 平方加 c f 平方， a e 平方加 c f 平方，等于 a f 平方加上 c e 平方，那不就是我们垂面四边形的一个结论吗？对于我们这个题目而言，也是吧， a e 平方加 c f 平方。第四个我们可以证明一下， a e 平方加上 c e c f 的 平方，不就等于根据勾股定律， a e 的 平方等于什么？等于 pa 方加 p e 方，所以就是 pa 方加上 p e 方， 再加上 p f 方，再加上 p c 方。那么同样后面的 a f 的 平方加上 c e 平方，是不是立刻就能够看到是 pa 的 平方加上 p f 的 平方， 再加上 p e 的 平方，再加上 p c 的 平方。通过观察我们发现等号右边居然是一模一样的，只有顺序不同罢了，所以立刻我们就能得到哦，这个地方， a e 平方加上 c f 的 平方，他肯定是等于 a f 平方加上 c e 平方吗？ 那么立刻就能得到我想要的结论。第四个就是对的，所以这个题目正确答案就是一二四， 通过这道通过这道题目啊，我们要牢牢记住一点什么，第一个是关于垂美四边形中两大重要的结论，第二个就是在矩形当中啊，如果你发现有一条动线呢，是垂直于他的一个 指对角线的，那么注意这条动线段的长度是永远不变的。那么如果这题目中涉及到求最值问题，你要记住它的核心点就是过定点做定长，动线段的平行且相等的线段。把这句核心话写下来，过定点 做定长，就这个固定长度的动线段，这个线段是动的动线段的平行且相等的线段，平行且相等的线段。 这就是我们遇到求最值问题的处理技巧。当然他如果求的不是最值，而是定值问题的话，那这时候你就要看了这个定值，我能不能把它转化成同一条线段，其实也是要通过构造平行四边形来解决这个问题的吧？

如何在平面直角坐标系 x o y 中，把矩形 o a， o a b c 绕着 c 点顺时针旋转 r 法度，旋转 r 法度， a 点是零三，所以这个是三， c 点是零五零，所以这个是五。 当 r 法等于六十度的时候，求 cbd 的 一个形状，哎，这个是六十，这个就是三十，这个就是六十度。因为旋转，所以 cbd 和 cd 又相等，所以它是一个等边 三角形啊，这个猜也能猜得出来啊，肯定是等边三角形。好，那么第二问，他说当阿尔法在零到九十度的时候，旋转图形连接 o h， 连接 o h， 若 o h c 为等腰三角形，求 h 点的一个坐标啊，那这边的话，我们 有两种方法，有设点法也可以做，也可以用这个几何法，我们用几何法来算吧，简单一点啊，那么首先我们要分三种情况，第一种 o h 等于 o c， 第二种 h o 等于 h c， 第三种 c h 等于 c o。 啊，三种情况啊，第一个 o h 等于 o c， 我 们来看一下 o h 等于 o c 啊，那么这两个图有点像啊， 这个图正好 o h 和 o c 差不多，那么这个是五，所以 o h 等于五，这个是三，所以这个是四，所以 h 点的坐标横坐标就是四，纵坐标就是三，四三，结束啊，结束 啊，好，然后继续。下面一个，他说 h o 等于 h c， h o 这条边等于这条边，那这个怎么做呢？这个要做个垂线， 做个垂线，根据三线合一得到这两条边应该是相等的，对吧？这个总长度是五，所以一半就应该是三，二点五，所以 h 点的坐标应该是二分之五，等号三。好，那么最后一个， 最后一个啊，最后一个，这个 o h， c 还有个谁啊？ c h 等于 c o， c h 等于 c o 这条边两条边相等，那这个边就是五。哎，这个是三，这个就是四，那这个是四的话，那么反过来 a h 就 等于多少？ a h 等于一 啊。所以 h 点的坐标横坐标应该是一，重坐标应该是三一三啊。所以这条题面有三个答案啊，四二分之五和一，很简单。好吧，我们过了啊。

哈喽，同学们，好久不见，甚是想念，我是你们的数学 master， 那 么在开始之前呢？ master 想分享一下最近的一个喜悦啊，虽然总共只发了三个视频，但是我全网的粉丝数量已经突破了十位啊，所以也特别感谢同学们对于 master 的 信任以及 认可，那么 master 也将在接下来的时间里面为你们做出更好的关于数学的相关讲解。 那么也很感谢其他同学能够看到曼 sir 的 视频，那也希望你们更多的去关注一下曼 sir 啊， 给曼 sir 一 些更多的鼓励与支持。同时在评论区，你们只需要评论我要霍云涛五个字，曼 sir 也将为你们提供视频相关的练习，来辅助大家去突破自我。好吧，那么接下来我们讲解一下矩形的判定。 我们都清楚啊，矩形它其实是由什么呢？平行四边形得来的哎，我只需要抓住顶点地向左去推它，使脚臂形成一个九十度，哎，我就称之为这个四边形为矩形。那么由此我们也就得出来了一个定义， 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，那既然是定义，那也是矩形的判定。我们来看到判定二三个角是直角的四边形是矩形。 我不知道同学们有没有观察到，前面关于矩形的定义是有一个角是直角的四边形，而这里却变成了三个角是直角的四边形， 哎，他俩有什么样的区别？这个时候我们就来做一个验证，来看一看这个定义是否成立。 首先，既然是三个角是直角的四边形，我就可以得到什么呢？角 a 等于角 b 等于角 c， 他 是九十度， 那么既然角 b 等于角 c， 且角 b 加角 c 是 等于一百八十度的。哎，同学们，你们能想到什么？是不是能够想到通过同旁内角来证明 a、 b 和 c、 d 平行的呀？ 所以我们就可以得到 a、 b， 它是平行于 c、 d 的。 那同理，角 b 加上角 a 也是等于一百八十度的，所以我就可以得到 a、 d 是 平行于 c、 b 的。 既然 a、 b 平行于 c、 d， a、 d 平行于 c、 b 两组对边分别平行的四边形是什么？四边形是不是平行四边形？所以我就证明出来。哎，四边形什么 a、 b、 c、 d， 它是 平行四边形，那既然是平行四边形，我再给到角 b 等于九十度，那么这个平行四边形 a、 b、 c、 d， 它就变成了什么呢？变成了矩形。 判定三、对角线相等的平行四边形是矩形，那我们怎么来判断哎，这个判定是否成立呢？首先我们来看到给出的条件，对角线相等，我可以写成 a、 c 是 等于 b、 d 的， 同时他又说四边形是平行四边形。我们想一想平行四边形关于对角线的性质，是不是对角线互相平分呀？ 那对角线互相平分且对角线相等，我就可以直接得到 a、 o 等于 b o 等于 c o 等于 d o。 我 们再来观察下图像， b、 o 是 等于 c、 o 的， 所以我角一是可以等于角二，角一等于角 a、 o 又等于 b、 o， 我 是不是可以得到角三等于角四呀？哎，角三等于角四， 这个时候我们来观察一下这四个角是不是在三角形 a、 b、 c 当中，所以三角形的内角和就由角三加角四加角一加角二是等于一百八十度， 角三等于角四，我是不是可以写成两倍的角四呀？哎，加上角一等于角二，我是不是可以写成两倍的角一等于一百八十度呀？那我想请问一下，角一加角四它就等于多少度，是不是就等于九十度呀？ 那也就说明角 a、 b、 c， 它是一个直角，那既然有一个角是直角的平行四边形，那它就叫做什么？是不是就叫做矩形了呀？ 我们来总结一下矩形的三个判定，判定一，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。判定二，三个角是直角的四边形是矩形。判定三，对角线相等的平行四边形是矩形。在这里我一定要提醒一下各位同学， 我们用判定的时候一定要想清楚，是否需要借助平行四边形来做判断， 明白吗？矩形的判定当中只有一个是不需要借助平行四边形，那就是三个角是直角的四边形， 那剩下的啊，我们都需要通过平行四边形来做一拖。好吧，那如果有同学还没有听懂啊，可以私信 master， master 将为你们一一做出解答啊！那么视频的最后也祝同学们月月考，月月好，月月能够破云涛，同学们再见！

你等一万次都不如自己实践一次，迈出第一步才能得到自己想要的。行动起来，不要让自己总是停留在想象当中，时间会让我们成为更。

好，看下这个第六题，矩形 a、 b c 的 中有个垂直，那就是的 h 垂直 a， c 交 b， c 于点记 e 为 h 记上一点连接 b， e 延长交 a c p 就要 c 等于 f b 一 e， f 以及得 f， 三条线相等，那说明点一就是个终点啊。点一是终点，有终点，那我们就想着，这里是考察中立线， 还缺一条对角线，那么连接另外一条对角线 b 的， 把它规定为点 o， 点一是 b f 终点，那么就连接这两个终点，那很明显，这个 o g 就 为三角形 b f 的 中一线。 好，那么就设这个 o g， y x 好， 根据这一组信息，嗯，那这个得 f 就是 它的两倍啊，得 f 就是， 以及 e f 以及 b e 都是二 x 好， 这里 y x， 这里二 x， 得 f 也是二 x， 好， 这里有个点 p， 我 们就标了。嗯， 好，再看，那这里我们重点看一下这个位置，一 f 和的 f 相等，那就有一组相等的角。等腰啊，定为一和二好，那么就得到角一等于角二 好，就因为这个垂直，这个的 h 垂直 a c 好， 再定个角角三，这里角四 啊，沿着垂直呢，角一加角三等于九十等于九十好，知道角一等于角二，那么角三也就等于角四了。角三等于角四，注意，角四也等于这个角 fpc 啊， fpc， 那 说明我们就可以得到 pf 等于 fc 好， 再看 o h 平行得 c 中一线的特征吗？啊， o h 是 平行得 c 的 好，这里有个角，那就是五和六吧。五 啊，那就五和三。角五等于角三，角五也等于角四，角五等于角四，角五等于角四了，那这个得啊， o o 一 就等于一 p， o 一 等于一 p， 那 就等于 x， 那 这个 p f 等于 f c 呢？ p f 呢？也就是 x 了，所以这里是 x， 这里 x， 这里也是 x。 好， 这几条边我们表示出来看，用勾股关系，在 r t 三角形 b c f 中，这个 b c 呢？我们就可以用斜边 b f 方减去 f c 方， 嗯，四 x 十六 x 方减 x 方，根号十五 x。 好， 再看另外一个直角三角形 bc 的， 知道 bc 又有得 f 得 f 是 三 x 啊， bc 刚才算了，那就可以表示 b 得 斜边就是十五 x 方，加得 f 方九 x 方二十四，根号二十四，二倍根六 x。 那 么又有这样一个信息，已知 a c 是 对角线啊，等于 b 的 等于十二，那所以 我们的二倍根六 x 就 等于十二啊，一除五 x 就 等于根号六，及我们的 c f 也就等于根号六啊。连对角线，对角线连起来，中点勾中位线 啊，然后通过导角的关系啊，有直角，有等腰啊，导出来，然后相应的边用勾股来整出 cf 的 结果。