数学必修二立体几何 助眠

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

这是一个直角，停停停，你都讲那么多题了，观众们会用吗？你还不如讲讲例题，有点道理啊，让我们看看第一题， 看懂了，这题用面积法，因为中线 a、 d 可以 推出 b、 d 等于 c， d 都等于 b， c 的 一半。用小学知识我们就知道三角形 a、 b、 d 的 面积，再把已知带进式子里，就能求出 b、 d 了。最后再把要求的线段点一下，这题就结束了， 让我看看下一题。看完了，这题用全等，这里有一个已知，不能直接用，所以我们要用脚和叉构造全等条件。我先把这个过程写上， ok 了， 菜都准备好了，开始装盘，先把盘子拿过来，再把菜装上盘，这样我们就能开吃了，吃完之后我们一定得结账吧，所以正全等就像在饭店吃饭，非常的简单。 最后一道题留给你们写吧，我来看看你们的实力，写出来的可以发在评论区。

同学们你们好，今天我们学习北师大版高中数学必须二第一章立体结粗步第一节简单即合题。 三维空间是人类生存的现实空间，现实的生活空间中蕴含着丰富的几何图形，其中经典建筑更给人以美的享受。下面请同学们一起来欣赏一些经典建筑。 这是水立方、卢浮宫、 世博会、中国馆、东方明珠塔、比萨斜塔以及泰国大皇宫，非常漂亮的建筑。 如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么与这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 下面请同学们观察与这些经典建筑抽象出来的几何体， 思考第一行和第二行的几何体有何不同。 观察可以发现，第一行的三个几何体全是有平面图 为成的，而第二行的三个折体同学们应该比较熟悉，分别是求圆柱、圆锥， 他们不全是由平面图形围成的。我们把这三个几何体叫做旋断体。 那么什么是旋转体？为什么叫旋转体？请同学们观看球体的形成过程，并思考球体是怎样形成的。 从动画中可以看出，球体是以半圆的直径所在，直线为旋转轴，半圆旋转所形成的曲面围成的几何体。 球体仅称球，这里所形成的曲面我们称为球面，其中半圆的圆心叫做球心，如图中的点鸥。 我们一般会利用球星字母来表示球，如图中的球，我们可以表示为球哦。连接球星和局面上任意一点的线 段叫做球的半截。如图中的线段 o p。 连接局面上任意两点且过球星的线段叫做球的直径，如图中的线段 a b。 相信现在同学们应该能够回答老师刚刚的问题，什么叫做旋转题？ 一条平面曲线绕着它所在平面内的一条电子线旋转所形成的曲面叫做旋转面， 封闭的旋转面所围成的角体叫做旋转体。型男，球面是旋转面，球体是旋转体。 下面三个几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台。他们是旋转体吗？ 他们分别是怎样形成的？我们首先来看看圆柱的形成过程。 可以看出，圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余个边旋转所形成的曲面围成的几何体。我们再来看看圆锥的形成过程。 从动画可以看出，圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余个边旋转所形成的曲面围成的结体。那么圆台呢？ 从动画可以看出，圆台是以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其因旋转所形成的曲面为成的几何体。 谢楠，圆柱、圆锥、圆抬都是旋转体，他们分别是以矩形的一边直角、三角形的一条直角边， 直角梯形垂直与底边的腰所在直线为旋转轴，其余个边旋转所形成的曲面围成的集合体。 我们把在旋转轴上这条边的长度叫做他们的高，如图中圆柱的高 o o e。 垂直于旋转轴的边旋转所形成的圆面叫做他们的底面。 不垂直于旋转这个边旋转所形成的曲面叫做他们的侧面。无论旋转到什么位置，这条边 都叫做侧面的母线。圆台可以通过旋转得到。事实上，如果我们用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，那么截面和底面的这部分也叫做圆台。 所以说，圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面结圆锥而得到。 简单几何体除了简单旋转体外，还有一些几何体是与多个平面多边形为成的。 我们把鱼若干个平面多边形围成的折体叫做 多面体， 下面三个企鹅体都是多面体，我们称这三个多面体为轮柱。请同学们观察这三个多面体，可以发现， 这三个几何体的共同特征是有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行。所以我们可以这样归纳人柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。于这些面围成的几何体叫做棱柱。哦，可以结束 其中这两个互相平行的面叫做人柱的底面， 其余个面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的 侧棱。侧面与底面的公共点点叫做棱柱的点点。我们一般会用底面的各点点字母来表示棱柱。 如图所示的轮柱，我们可以表示为五轮柱， a、 b、 c、 d、 e、 a、 e、 b、 c、 d、 e。 那么人住的分类又以什么为标准？一方面， 棱柱可以按照底面多边形的边数来分，如果底面是三角形，我们称之为三棱柱。如果底面是四边形 线，我们称之为四棱柱。如果底面是五边形，我们称之为五棱柱。另一方面，我们也可以按照侧棱是否垂直底面来分， 如果侧棱不垂直于底面，我们称之为斜棱柱。 如果侧能垂直底面，我们称之为直棱柱。特别的，如果底面是正多边形的直棱柱，我们称之为正棱柱。 我们知道斜棱珠的侧棱不垂直于底面，那么请问同学们，斜棱 柱的侧面可能会有矩形吗？ 斜棱柱首先是棱柱，所以斜棱柱的侧面一定是平行四边形， 并且要满足侧棱不垂直于底面。要保证斜棱珠的侧面有矩形，只需要满足侧棱会垂直于底面多边形的其中一条边即可。 事实上，虽然斜棱珠的侧棱不垂直于底面，但是斜棱珠的侧棱有可能垂直底面多边形的五条边。 如图所示的四轮柱，虽然侧轮并不垂直底面，但是这个四轮柱的这条侧轮会垂直于底面这条边， 所以这个斜四棱柱左右两个面他是矩形，所以说斜棱柱的侧面是可能有矩形的。 请同学们在观察这三个结体，我们把这三个结体叫做人追， 那么请同学们思考具备哪些限制的解体叫做人锥。 观察可以发现，这三个几何体的共同特征是，有一个面是多边形， 其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共点点。所以我们可以这样归纳人追的定义， 有一个面是多边形，其余个面是有一个公共点点的三角形。 与这些面围成的折体叫做人锥，其中这个多边形的面做人锥的底面 有公共点点的各个三角形叫做人锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做人锥的侧棱，各侧面的公共点点叫做人锥的点点。 我们一般会用点点和底面各点点字母来表示人锥。如图所示的人锥，我们可以表示为五人锥， s、 a、 b、 c、 d、 e。 如图所示的四轮锥，虽然底面是正方形，但是各侧面并不全等， 所以这个人追并不是正死人追。所以说底面是正多边形的人追不一定是正人追，要满足是正人追这两个条件缺一不可。 圆台可以看作是用平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。如果我们用平行于棱锥底面的平面截棱锥，那么 洁面和底面的这部分我们称之为人台。所以我们可以这样归纳人台的定义，用一个平行于人 椎底面的平面去截人椎截面与底面的这部分叫做人台，可以看出人台也是多面体。 下面我们根据轮胎的定义归纳轮胎的性质 与于截面和底面是平行的，所以轮台的上下底面 四多边形。由于轮胎的侧面， 由于轮台的侧面四边形两条边是平行的，另外两条边不平行，所以轮台的侧面是梯形。 又因为轮胎是与轮锥结的，而轮锥的侧轮会相交于一点，所以轮台的侧轮延长线必交于一点。 下面请同学们判断以下两个几何体是轮胎吗？ 要判断几何体是不是人才，实际上就是要判断几何体 是否满足轮台的三个特征，第一，上下两个底面平行，且是相似多边形。第二，各侧面为梯形。第三，各侧轮的延长线交于一点。 我们首先来看第一个几何体，从图中可以看出，第一个几何体各侧轮延长线并没有交于一点，所以第一个几何体不是轮胎。再来看第二个几何体， 第二个结体的各侧的阴长线交于一点，但是第二个结体上下两个面并不平行，所以 第二个解体并不是轮胎。那么轮胎的分类又以什么为标准呢？ 轮胎是与人锥结的，而人锥可以按照底面多边形的边数分为，三人锥、四人锥、五人锥。 类似的轮胎也可按照底面多边形的边数分为，三轮胎、四轮胎、五轮胎。也就是说与三轮锥结得的轮胎叫做三轮胎， 与四人锥捷德的轮胎叫做四轮胎，与五人锥捷德的轮胎叫做五轮胎。特别的 用正能锥捷德的轮胎叫做正轮胎。类似的，我们可以利用轮胎上下两个底面各点点字母来表示轮胎。 如图所示的三轮台，我们可以表示为三轮台。 a、 b c a e b e c e 好，接下来是同学们 题目，问下列几额底中是人住的，有要解决这个问题，我们首先要明确人 柱的定义，棱柱是指有两个面互相平行，其余个面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 我们首先来看第一个几何体，第一个几何体上下两个底面互相平行， 其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，所以第一个解体是人住。 我们再来看第二个几何题。这个几何题上下两个面平行， 其余各面都是四边形，但是相邻两个四边形的公共边并不会平行，所以第二个几何体不是人出，事实上这个几何体是人才。 再来看第三个企鹅体，第三个企鹅体上下两个面是平行的， 但是它的侧面是一个曲面，所以这个几何体也不是人柱，事实上它是圆柱。 再来看第四个解体，第四个解体中并没有哪两 两个面是平行的，所以他也不是人柱，事实上他可以看作是一个三人柱切去了一部分。 我们再来看第五个结体。第五个结体左右两个面是平行的， 其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行， 所以第五个结体四人珠事实上他是一个三人珠。所以下列结体四人珠的有一和五。同学们，你们做对了吗？下面请同学们 继续完成课堂练习。第二题 题目问，圆柱、圆锥、圆台、过轴的截面分别是什么？图形过轴的截面，也就是轴截面。我们首先来看看圆柱的轴截面， 它是一个四边形，其中这个四边形的两条边是圆柱上下两个底面圆的直径， 另外两条边是圆柱的母线。因为圆柱上下两个面 互相平行，且是全等的母线垂直于上下两个地面，所以圆柱的轴接面是矩形。 再来看圆锥的周界面，它是一个三角形，这个三角形的两条边是圆锥的母线，第三条边是圆锥底面圆的直径， 而圆锥的母性长都是相等的，所以这个三角形是一个等腰三角形，也就是说圆锥的轴解面是等腰三角形。 再来看圆台的轴节面，圆台的轴节面是一个四边形， 这个四边形两条边分别是圆台上下两个底面的直径，另外两条边是圆台的母线， 而与阳台上下两个底面互相平行，且是相似图形， 与安台的母线长是相等的，所以这个四边形是一个等腰梯形， 也就是说圆台的轴解面是等腰梯形。 同学们，你们做对了吗？下面请同学们跟着老师一起来小节本堂课。本节课我们主要学习的两类简单几何题，分别是简单旋转题和简单多面题。 其中简单旋转体包含了球圆柱、圆锥圆台。简单多密体有人柱、人锥、人台。 另一方面，本节课还体现了数学抽象、分类思想、归纳思想等数学思想和数学素养。在观察经典建筑抽象 几何体的过程中体现了数学抽象，在对几何体进行分类的过程中体现了分类思想， 在归纳几何体的定义和结构特征时体现了归纳思想。最后请同学们完成课后作业。 好，本节课上到这里，同学们再见！

来到立体几何这一章节，那么这一章节我们今天首先要学习的是第一大类型题目，也就是求一些常见立体图形的体积，那么这个体积的求法有很多种，我们通常来讲常见的就是公式法 等体积法，分割法还有割补法，我们今天来先看第一种，也就是非常好用的公式法， 对于这种方法，我们只需要记住他们的体积的公式就可以。做一些题目来看这道题目，他告诉我们了这是一个正四棱台，上底面的边长和下底面的边长分别是二和四啊，告诉我们了侧面面积为十二倍根号三， 这大家要注意这个侧面面积是十二倍根号三，其实指的是我们的总侧面面积，也就是代表的是四个侧面面积之合是十二倍根号三，那其实每一个侧面面积其实就应该是我们的三倍根号三，这大家要注意这是一个易错点，那么我们 知道棱台的公式是什么，是上底面积加下底面积加他俩乘积开根号，再去乘以一个棱台的高。 在观察这个题目中，可以发现上底下底边长都告诉我们了，那所以对于前面这个括号里的所有东西，我们都已经可以解出来，那么这个题的当务之急就是要去解到棱台的高， 也就是这条高，我们假设是 o o 一 吧，要解这个高，那么我们就知道还有一个条件没有用，是十二倍根号三，侧面积是十二倍根号三，那每一个侧面就是三倍根号三， 三倍杠二三能做出来什么东西呢？我们知道棱台的侧面其实应该是一个梯形，那么它上底加下底乘高除以二，是不是可以算出来我们侧面面积的高，它的 s 应该会等于二分之一 bc， 再加 b e c e 再乘以 h 等于三倍根号三，我们可以解出来这个 h 其实应该会等于根号三，那么如果 h 是 根号三，就代表着我们可以把这个图形抽离出来，这是我们的 o o 一， 这个地方是我们高的 斜高的一个点，就是这是我们 bc 边， bc 边的点，那下面这个地方应该是我们的 bc 边的点，然后我们可以求出来的东西是谁？是不是求出来这个高是我们的 根号三，那这个高如果是根号三，我们要去解的是 o o 一 的话，我们按照初中的几何方式完全都可以解决它。我们只需要知道，我们假设这地方是个 p， 这是个 q， 我 们只需要解决 o p 的 长度和 o q 的 长度就可以。那么我们知道 o p 的 长度，它其实应该是在 底面面积中的这部分，它应该是底边边长的一半，所以它应该是一 o q， 就 理论来讲应该是上底面边长的一半，就应该是二。 好，那我们解决了以后，这个高是不就变成了一的平方？ o q 减去 o p 的 平方，再加上 o o 一 的平方会等于 p q 的， 所以 o o 一 会等于根号下， p q 的 平方是三就是三，减去一等于根号二。好，那现在我们的所有条件都可以出来了，那么就可以去求它的体积，体积就应该是三分之一，上底面面积是四，下底面面积是二，中间他们的底面积乘积分别是四 乘以二，再去乘以根号二，我们直接把它算出来，就是三分之二十八倍根号二，所以这个题目选到 a 选项。

好，咱们今天来看一下内切球的问题，那么内切球对于轮锥来讲，我们的核心思路就是要利用等体积法，如果一个轮锥，他的内切球 存在以后，那么内切球球心到每个面的距离应该是相等的，都是 r， 那 么如果我们把这个球心和轮锥的每个顶点所连接以后，他就可以分成很多个轮锥， 然后我们的半径 r 就 会变成新的棱锥的高，我们就可以利用等体积法去做这个题目，所以要去求内切求的半径，核心思路是得知道棱锥的体积和表面积，那么我们来看下这个题目，他说 底面边长为二的正方形，然后正好侧棱都是二。好，这是我们的一个棱锥 a、 b、 c、 d， 顶点是 p， 每个棱长都是二， 侧棱也是二，那么我们要求它的体积肯定得先知道高，那这个高怎么求？那肯定是要往下做垂线去用勾股定律 ac 的 一半，再加上侧棱，那么我们可以去求 po， 它应该等于根号下 ap 的 平方减去 a o 的 平方， 那么 ap 的 平方是四， a o 的 平方是二，那么这个东西就应该是根号二，所以 po 的 长度是根号二，那么高是根号二，以后，我们就可以算体积， 体积等于三分之一 s h， 那 么三分之一乘以四，再乘以根号二，就等于三分之四倍根号二，这是我们的体积，然后我们继续去算这个表面积，那么表面积首先它是由 四个全等的等边三角形，再加上底面一个正方形构成，那么四个全等的等边三角形，那就应该是四乘以 二分之一。好，然后再加上他的底面积是四，那么这样的话我们可以算出来他其实应该是四倍根号三加四。然后我们利用等体积法，我们知道 v 他 会等于三分之一，那么全部的表面积 再去乘以半径 r， 那 么这样的话我们就可以推出来 r 其实等于三 v 除以啊，全部的表面积，你带进去四倍根号二除以 四倍根号三加四，我们可以得到 r 就 应该是二分之根号六减根号二，那么我们继续去求这个球的表面积啊，带到这个 s 等于四派 r 方就可以了， 再进行算，应该是八减四倍根号三派，所以这个题目选到 a 选项。

立体几何组合体的体积不会求三分钟从头学各不放。好，咱们今天这一期呢，看到 立体几何中用一些特殊的方式去求它组合体的体积，然后这个东西它只告诉我们了 m n 的 长度是二分之三， 下面的下底面是一个正方形，而且边长为三，还告诉我们了 m n 到 a、 b、 c d 的 距离为二， 那么他让我们求体积，先要先清楚第一个东西，不管这个体积能不能直接求，先要翻译一下题目，这一句话告诉我们 m n 到底面的长度是二，那就代表着我这个 立体图形不管怎么分，他其实就是说顶点到底面的高，不管是你以后要分成一个柱体还是个锥体，他的高等于二。然后我们来看一下这个题目，这个题目想要去直接求肯定是求不了，因为我没有学过这种图形的一个 体积公式，那么就只能通过分割法告诉我们了， m n 是 二分之三，底面是三，那其实告诉我们长度其实就是上面这条边和下面这条边的关系是一比二，那么我们 把它分成一个柱体，你会发现，哎，这个点肯定是我们的中点，那所以这样的话，我们就可以把这个立体图形分割成一个三棱柱，再加一个旁边的四棱锥，那么我们是不是只要去求三棱柱和四棱锥的题就可以了。但是这个题目 有一个点，他只告诉我们了高十二，那么我们这个三棱柱的体积应该怎么求？如果你只用这个下面的底面积二分之三的话，你会发现他的这个高不知道，那如果你要用高十二，你的这个东西是不是必须得把它补成一个 我们所说的类似于长方体啊？就是平行六面体的一个图形，把它补成这个样子以后，才能用到我们的高十二， 那这样的话，采用底面积乘以高，再给他除以二，就是我们的三棱柱的一个体积。所以这个题的第一步思路割为三棱柱加四棱锥，四棱锥的体积可以直接求，我们就先不说，他 第二步就是要把这个三棱柱补成一个平行六面体，就是有点像长方形的那种图形，但是他的这个高不垂直，好，我们给他大概画出来，就画成这个样子，补成这样以后， 那么三棱柱的体积其实就是平行六面体体积的一半，那么平行六面体的体积就是底面积乘以高，底面积是可以算的，高是二，我们也知道，那么这个题目就可以去求解了。 我们先算 v 一 v 一， 首先等于二分之一的平行六面体体积，底面积是九的一半，乘以二分之九， 再乘以高，他就等于二分之九。然后我们还要去算一个四棱锥的体积，四棱锥的体积底面积乘高再乘以三分之一，那么三分之一底面积是二分之九，再乘以高等于三。那所以我们的总体积 v 等于 v， 一 加 v 二， 就是三加二分之九等于二分之十五。所以这个题目选到 d 选项。

好，我们今天继续来看这道三轮锥的外接球的题，这道题他给我们给了一个三轮锥，告诉我们侧轮是垂直于底面的，而且高是二 abc， 一个角是一百二十度，然后告诉我们底面的面积是二分之三倍，刚好三，让我们求外接球表面积的最小值。首先我们先从问题出发分析一下这个题目，我们要求外接球表面积的最小值，那么无外乎就是要求的是这个 外接球的半径的最小值。那么一个三轮锥的外接球，它的半径 实际上来讲就应该是整个这个高的一半，然后再加上这个底面三角形外接圆的半径，利用这个勾股定律去做，这地方是我们小 r， 这地方是我们的二分之 h， 所以 这个题目就变成了我们要去求的是 底面三角形外接圆半径的最小值，那么我们知道底面三角形的外接圆肯定是要利用正弦定力，余弦定力去求它，那么第一步我们首先要干的事情是要利用这个面积先求出来二分之一 a， 这应该是 a c 三以内， b 等于二分之三倍，根号三，那么我们就可以求解出来，这个 a c 永远是个定值，这个定值是六， a c 是 六，我们要求的是底面圆的半径，那么我们肯定还是要利用正弦定力，那么正弦定力的话， 有 a c， 还知道了这个塞硬币，那么我们是不是可以利用余弦定力再去求一次 b 方等于 a 方加 c 方减去二 a c call 三以 b， 那 这个地方我们先把它化解一下，应该是 a 方加 c 方减去二 a c， 然后乘以负二分之一，然后观察一下这个 a 方加 c 方，我们是不是可以去求解？基本不等式，它应该会大于等于 二 a c 加上 a c， b 方大于等于三， a c， 那 就是 b 大 于等于十八，那就是 b 大 于等于三倍根号二。然后这我们注意一下，其实就是当 a 等于 c 时取等号，那么 b 大 于等于三倍根号二， b 的 最小值已经出来了，那么我们是不是可以去求 r 了？ r 应该会等于 b 除以二倍的散敛币，我们把这个式子变形的话，其实就是二 r 等于 b 除以散敛币啊，所以我们给它变形变过来这地方大于等于三倍，根号二除以 根号三，那么就是 r 大 于等于根号六，那么 r 大 于等于根号六。以后我们就可以利用我们第一次推的东西，这个 r 求的半径肯定等于 r 的 平方，再加上二分之 h 的 平方，再进去求一下，他应该是根号下六加一等于根号七，他是根号七，那么我们的 s 就 等于四派， r 方等于二十八派，所以这个题目选 b 选项。

高一数学必修二，这本书是你最容易拿分的一本书了，这本书到底该怎么学？有哪些重难点？罗老师带大家来看一看。那么第一章呢，是平面向量，非常重要，这一章里边有一个正弦定律和余弦定律， 需要结合我们前面所学的三角函数考察，高考大题里边必出一道，而且这一道大题是我们必须要得分的。除此之外，后面我们在选修里边会学到空间向量， 平面向量可以说是空间向量的基础。那么第二章呢，是复数，也是高考的一个必考点，但是非常简单，都是送分题，只在选择题当中考察，要么是第二题，要么是第三题。那么第三章呢，叫做立体几何初步，是整本书的第二个重难点，也是非常重要的高考大题里边必考一道， 所以这本书呢就占了两道大题了。那么例题几何初步除了他的主流考法，也就是我们经常做的平行啊，垂直啊，他的一个各种证明，还有两个比较难的考法， 一个就是外接球和内切球的各种问题，另外一个就是空间角的各种运算，所以这是两个难点， 想要冲高分的同学，这两个难点必须要掌握，必须要会。那么最后两张呢，就是统计和概率，如果考简单了，大家都会，如果考难了，谁也做不出来，那特别是概率，也基本上是每年都考， 正常的分值是在十分左右。所以大家要知道这一本书它的重难点在哪里，那么我们学起来呢，才会有方向。

假期在预习高一下就是 b 修二这本书的时候，你只需要预习两张就可以了，就是第六张和第八张，因为第七张、第九张、第十张这三张内容和高一其他章节比来说，就是一加一等于二，根本就不值得你花太多时间。首先说第六张向量这一张，它在高考当中一般是出一道小题，这个大题是在正余弦定理，这在 在以前六道大题的时候，他是必考的，一般就是第一题或者第二题，现在六千五有可能去掉了，也就说按照我们原来高考的习惯，这个第六张自己就占了一道大题，一道小题就是十八分打底。那第八张立体几何的一道大题，一道小题，而且这道大题大概是不会去掉的，因为六道大题当中他算比较特别的一个，所以说这一张自己也至少占了十八分， 这两张加起来在高考当中占了三十六分，你说重不重要？第七张复数这个东西，上学你就跟着听一遍就行了，这道题就一道小题五分，不是第一题就第二题一体生成得到，所以根本不需要专门花时间预习。第 九章和第十章往往不单独命题，他是跟高二的统计联合这么命题的，所以他占的篇幅是很小，所以这两张到后面学的时候，你就跟着学校学一遍就差不多了。 重点一定是放在第六章第八章上。那第六章难点就有两个地方，一个是向量的数量机，这向量数量机这图形多方法多运算又比较困难，所以很多人到这块就卡住了，但是这是一个重难点，你一定要花大量时间去突破，再 就是正弦定律的大题要是出的话，他算是几道大题当中最简单的一个，所以比较好拿下。你一定要把大题写的非常熟练，但是因为他结合的知识点比较多，比方说高一上学期的很多三角的公式基本不等式，你要尽可能在假期的时候把这个正弦定律的大题 归类，包括方法给他提取明白了，还有立体几何，考大题的时候，这个几何法非常非常重要，每一次都一定要强调，你不能光等着高二上学。空间向量只会间隙 立体几何这道大题，他一般第一问是证明，第二问是求值，就是求角度或者距离，第二问的这个求值是用空间向量比较简单，但是往往第一问的话就是几何法正比较简单，你几何法几步就出来了，有的人间隙证明的话，他就非常麻烦。 所以在假期时间不太充分的时候，你预习高一下学期只是三个地方比较重要，一个是向量的数量积，一个是正弦定律大题，还有就是立体几何大题， 你把这三个如果假期拿的差不多，下学期学就比较轻松，而且高一下学期这个必修二这本书算是五本书上最简单的一本书，因为真正有难度的只有这么两张内容，所以它属于占的分多，但是难点和重点又比较少，是比较好把握的。

朋友们，欢迎回到博瑞 max， 每晚陪你平静听数学。今天我们继续平缓的学习向量的向量 的向量机以及坐标表示综合应用。如果你想听着数学舒缓的入睡，可以点一下关注我们先看向量与几何图形的结合，特别是三角形和平行四边形。在三角形中，中线、高线、 角、平分线都可以用向量来表示。例如，在三角形 a、 b、 c。 中， d 是 边 b、 c 的 中点， 那么中向量 a、 d 等于二分之一倍的向量 a、 b。 加向量 a、 c。 这个关系来自于向量加法的平行四边形法则，它将中线与两条边联系起来。 再比如，在三角形中，从顶点 a 做 b、 c。 边的高垂足为 h， 那 么向量 a、 h 与向量 bc 垂直，即它们的数量即为零。 这些关系在解题时可以直接使用来看一个三角形 a、 b、 c。 中已知 ab 的 长度为二， a、 c 的 长度为三角 a 等于六十度，求中线 a、 d 的 长度，这里 d 是 bc 的 中点。首先写出向量 a、 d。 等于二分之一倍的向量 a、 b。 加向量 a、 c。 要求 a、 d 的 长度，可以计算向量 a、 d 与自身的数量积，也就是 a、 d。 膜的平方等于四分之一倍的向量 a、 b。 加向量 a、 c。 膜的平方展开，这个平方得到四分之一倍的向量 a、 b。 膜平方加向量 a、 c。 膜平方加两倍的向量 a、 b。 点成像量 a、 c。 向量 a、 b。 膜平方等于四。 向量 a、 c。 模平方等于九。向量 a、 b。 点成像量 a、 c。 等于二，乘以三，乘以 cosine 六十度等于三。 所以括号内的结果是，四加九加六等于十九，再乘以四分之一，得到四分之十九，因此 a、 d 的 长度等于二分之根号十九。这个过程中用到了向量的加法。数量、积和模的计算，每一步都是前面学过的内容。 再看平行四边形中的向量，应用在平行四边形 abcd 中，对角线 a、 c 和 b、 d 互相平分，向量 ac 等于向量 ab 加向量 ad， 向量 b、 d 等于向量 a、 d。 减向量 a、 b、 d。 用这两个关系可以求出对角线的长度。例如，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 的 长度为四， a、 d 的 长度为三角， a 等于六十度。求对角线 a、 c 和 b、 d 的 长度。 先求 a、 c 向量， a、 c 等于 ab 加 a、 d。 所以 a、 c 膜的平方等于 ab， 膜平方 加 a、 d。 模平方加两倍的 a、 b 点乘 a、 d 等于十六，加九加二乘四乘三乘 cosine。 六十度等于二十五，加十二等于三十七， 所以 a、 c 等于根号三十七。再求 b、 d 向量， b、 d 等于 a、 d 减 a、 b。 所以 b、 d 模的平方等于 a、 d。 模平方 加 a、 b。 魔平方减两倍的 a、 b 点乘 a、 d 等于九加十六，减十二等于十三，所以 b、 d 等于根号十三。这两个结果体现了向量加法与减法 在求对角线长度时的对称性。接下来看向量，再解决长度与夹角问题中的综合应用。长度和夹角是向量的两个基本几何特征， 通过数量积可以将它们联系起来。对于任意两个向量，它们的数量积等于魔长乘魔长乘夹角的余弦。 因此，已知魔长和数量积可以求出夹角，已知魔长和夹角可以求出数量积，已知数量积和魔长也可以求出夹角的余弦。 这种相互转换在解析中非常常见。来看一道求加角的例题，已知向量 a 的 坐标为以根号三，向量 b 的 坐标为根号三十一，求 a 与 b 的 加角。 首先计算 a 的 模等于根号下一的平方，加根号三的平方等于根号下一，加三等于二。 b 的 魔等于根号下根号三的平方加一的平方等于根号下三，加一等于二。再计算 a 点乘 b 等于一，乘以根号三，加上根号三乘以一等于两倍根号三。 然后甲角的余弦等于 a， 点乘 b 除以 a 的 魔乘以 b 的 魔等于两倍。根号三除以四等于二分之根号三。所以甲角为三十度，也就是六分之派。 这道题直接应用了数量积的坐标形式和夹角公式，步骤清晰。再看一道已知模长和夹角求数量积的例题，已知向量 a 的 模为五，向量 b 的 模为四， a 与 b 的 夹角为一百二十度， 求 a 点乘 b。 根据定义， a 点乘 b 等于 a， 摩乘 b， 摩乘。扣塞一百二十度等于五乘四乘负二分之一等于负十。这里扣塞一百二十度等于负二分之一，所以结果为负十。 这个结果说明，当甲角为钝角时，数量积为负。接下来看向量垂直与共线的综合题型。垂直的条件是数量积为零，共线的条件是存在时数 l m d 时，得一个向量等于另一个向量的 l、 m d 倍。 或者用坐标表示时交叉相乘相等。这两种关系经常出现在同一个问题中，需要根据条件列出方程，求解参数。来看一道垂直与共线结合的例题， 已知向量 a 的 坐标为一负二。向量 b 的 坐标为三 m， 其 a 加 b 与 a 垂直，求 m 的 值。首先写出 a 加 b 的 坐标等于一加三，负二加 m， 即四 m 减二， 这个向量与 a 垂直，所以它们的数量即为零。计算数量 g 四乘以一加上 m 减二乘以负二等于零，即四减去两倍的 m 减二等于零， 展开得四减二， m 加四等于零，且得 m 等于四。这道题将向量的加法与垂直条件结合， 通过坐标运算得到方程。再看一道共线条件求参数的立体，已知向量 a 的 坐标为二三向量 b 的 坐标为负四米，且 a 与 b 共线，求 m 的 值。根据共线的坐标条件， 二乘以 m 减去负四乘以三等于零，即二 m 加十二等于零，解的 m 等于负六。验证一下，当 m 等于负六时， b 的 坐标为负四，负六等于负两倍的 a， 所以 a 与 b 共线。 这类题目是贡献定律的直接应用。最后看销量的简单实际应用场景。向量在实际问题中通常用来表示力、速度、位移等物理量。将实际问题转化为向量模型时， 需要先建立平面直角坐标系，确定各向量的方向和大小的表示方式。然后通过向量的加法、减法、数量积等运算求解来看，一个力的合成立体，一个物体受到两个力的作用。 f 一 的大小为六牛顿 方向，水平向右， f 二的大小为八牛顿方向，数值向上求合力的大小和方向。建立平面直角坐标系，以水平向右为 x 轴正方向，数值向上为 y 轴正方向， 那么 f 一 的坐标为六零， f 二的坐标为零八合力， f 等于 f 一 加 f 二坐标为六。八合力的大小等于根号下六的平方，加八的平方 等于根号下三十六加六十四等于根号一百等于十。牛顿合力与水平方向的夹角设为 c， 它则 tan t 等于八，除以六等于三分之四， c 塔约为五十三度。这道题将向量的加法与坐标表示结合起来，体现了向量在解决实际问题时的直观性。再看一个速度合成的例题，一条河宽一百二十米，水流速度为三米每秒， 方向向东。一艘船在进水中的速度为四米每秒，方向垂直于河岸，向北，求船的实际速度大小和方向，以及船到达对岸所需的时间。已向东为 x 轴正方向，向北为外轴正方向， 那么水速的坐标为三零，船速的坐标为零四，实际速度的坐标为三四，大小等于根号下三的平方，加四的平方等于五米每秒，实际速度的方向与北方向的夹角 c 大 满足贪 c 大 等于三，除以四等于零点七五。船过河的时间由垂直于河岸的分速度决定。 河宽一百二十米，垂直于河岸的速度为四米每秒，所以时间等于一百二十除以四等于三十秒。这道题将向量的加法与简单的运动学知识结合，是向量在实际问题中的典型应用。 这一期我们将向量的向量的向量机和坐标表示综合起来，应用到了三角形、平行四边形等几何图形中，解决了长度、夹角、垂直、共线等问题， 并通过简单的实际应用场景如力的合成和速度合成，进一步体会了向量作为描述方向和大小的工具在解决实际问题时的作用。 向量的学习到这里，已经覆盖了高一阶段平面向量的核心内容，从基本概念到向量的核心内容，从坐标表示到数量积 再到综合应用，形成了一个完整的知识链条。后续的学习中，这些内容会继续与三角函数解析、几何等知识结合起来，展现出更丰富的应用场景。如果想以后完整的听，可以点一下收藏，他会一直在下期再见。

好，我们来看一下这道关于球的题目，他说点 a 是 球球面上的一个点，过 o a 的 中点 o e 做了垂直于直线 o a 的 平面，我们先把图大概画一下，过 o e， o a 的 中点 o e 截一个面，他截完大概就是这个样子， 结完以后呢，他说这个结的平面面积为九派，让我们求球的表面积，那么球的表面积我们肯定要知道半径，这个大半径就是我们的 o a， o a 正好又是二倍的 o e a， o e a 和我们的这个小圆的半径又可以连立成一个直角三角形，我们就可以解了。所以这个题目首先先通过被结的圆面 九派可以先推出来。我们小 r 的 半径应该是三小 r， 如果是三的时候，我们在这找一个点，那么这个长度就是三，再连接 o 和这个点，比如我们点 b 吧，连接 ob， 连接 ob 以后，我们的大 r 就会等于根号下 o o 一 的平方加上三的平方， o o 一 正好是我们大儿的一半，那就是二分之儿的平方加上三的平方， 我们可以解出来这个儿儿等于二倍根号三，那么我们只需要带进去求我们的 s 就 应该等于四派，儿方等于四十八派，所以选 c 选项。

高中数学必修二，每日一题！很多同学觉得向量就考一道小题，随便学学就行，真是这样吗？向量单独考确实是一道小题五分，但它真正要命的地方在哪？ 解三角形的大题里，条件经常用向量给后面学例题几何间隙之后全靠向量算， 解析几何里用向量能省一半计算量。向量是工具，工具不顺手，后面每一道大题你都算的磕磕绊绊。所以这本每日一题，把平面向量和解三角形的大题单拎出来，一道一道带你练。 而且你看书上只有题目没有答案，逼你先自己思考，想不通了再扫码 扫一下，我就在视频里把这道题从头讲透。向量的基底怎么选，坐标怎么建，且三角形的正弦与弦怎么切换，每一步都给你掰开揉碎。每天一道大题，把工具磨锋利了，后面学什么都顺。

好，我们来看一下这道圆锥的内切求题目。第一问，他说已知圆锥的半径还有测面积，让我们去求圆锥的体积，那么很简单，我们就只需要求出来圆锥的母线和高就可以了，带一下测面积公式， 三， pi l 等于十五， pi 可以 得到这个 l 应该是五，那么无限长是五，那么这个高就勾股定理解一下，高应该是四，所以我们圆锥的体积很快速的写一下，应该等于三分之一，乘以 pi 乘以九，再去乘以 高着四等于十二派。第二个，他让我们求圆锥的内切球，那么内切球的意思就是说这个球心他应该到圆锥的侧面和到底面的距离是一样的，而且这个球心肯定是在高上，他既然在高上，那么他其实就应该是我们说 这个三角形角平分线上的一个点，那么我们就只需要去求的是三角，其实就是这个三角形一个五五三的三角形的角平分线上的点到角两边的距离就可以了。所以我们设 下面这个圆心是 o 一 中间的球心，球心与圆心， 那么 o o 一 的长度就应该会等于这个 o n 的 长度， o o 一 的长度等于 o n， 那 么它都等于我们的球的半径 r， 那 么我们就可以知道，哎，这个长度比如说是 a 吧， a o 的 长度就应该是 a o 减去 r， 其实也就是四减 r， o n 比 a o 等于小儿的半径比 母线，也就是三比五。我们用一下三等函数可以得到这个 o n 的 长度， r 比四减， r 等于三比五，那么可以解出来， r 会等于二分之三， r 如果等于二分之三，那么我们的表面积 s 就 会等于四派， r 方就是四派，乘以四分之九等于九派。

好，我们今天来看这道题目，他给我们给了一个母线长为 a 的 圆锥的侧面展开图为半圆，然后里面放了个圆柱，他说圆柱的侧面积最大时，让我们求圆柱的体积。 那第一个东西，我们通过前面的第一句话，可以求出来一些关于圆锥的信息。我们可以求出来圆锥的半径，他应该会等于 二分之 a， 这怎么求呢？其实就是让我们的二派 r 等于二分之一，再乘以二派 a。 哎，这东西解出来 r 应该等于二分之 a， 那 么圆锥的底面半径知道，我们就可以知道圆锥的高， 圆锥的高带三角函数，我们可以解出来它是二分之根号三 a， 这是关于圆锥的两个信息。那么我们现在要关于求一下圆柱，他说圆柱的侧面积最大，那就是要知道圆柱的侧面积公式是什么东西。 对于圆柱来讲，它的侧面积其实展开以后是个长方形，长是它的二 pi， r 宽是它的高，所以侧面积最大就是要求的是底面半径和 h 的 一个关系。那么我们这个题目 就要去求解圆柱的底面半径和圆柱的高的一个关系。好看，旁边这个图，上下两个三角形肯定是相似的， 所以我们设圆柱的半径为 r 为 r， 一 高为 h， 那 么我们可以得到，由于相似得到两个关系式， r 一 比二分之 a 等于二分之根号三 a 减 h， 比二分之根号三 a 就是 上下两个三角形相似的比例式，那么我们就可以得到 r 一 等于根号三分之 二分之根号三 a 减 h， 这是一个 r 一 与 a 的 关系， r 一 与 h 的 关系。得到它以后，我们就要去求一下这个测面积， 它的测面积其实就是二 pi r 一 乘以 h， 那 么把它化解，它应该是根号三分之二 pi， 然后乘以 h， 再去乘以二分之，根号三 a 减 h。 观察后边这个部分， 后面这个部分明显是可以使用基本不等式的，原因是因为他们两个的和是一个二分之二，三 a 是 个定值，而且 h 是 正的，二分之二三 a 减 h 也是正的，因为是你的高，不可能比圆锥的高更高嘛。所以后面这个部分肯定也是个正的， h 等于 二分之，根号三 a 减 h 十。哎，这个东西有一个最小值对吧？有一个最大值是多少不重要，我们不用求它，我们只需要知道它的这个高和 a 的 关系。高是四分之根号三 a， 我 们就可以求出来 r 一 的关系， r 一 我们带进去求，这就是四分之一 a， 那么它的体积 v 就 等于底，面积乘以高 pi r 一 方，再乘以 h 等于四分之根号三 a 再去乘以十六分之 pi， a 等于六十四分之根号三 pi a 三。好，那这个题目就选到 a 选项。

咱们继续来看这道外接球的题，首先他说有一个三棱锥是 a a e p b， 然后告诉我们 a p b， 它在一个圆面上， o a 的 长度是二， a o p 是 一百二十度。然后告诉我们体积第一问让我们求圆柱的表面积，那么我们知道圆柱的表面积是由上下两个底面再加上它的 pi r 二， pi r h 就是 侧面积构成的，那么要求 表面积就必须得知道我们的高，那这个高正好也是这个三轮锥的高。所以这个题目的第一问就由 求表面积转化成了通过三棱锥的体积求三棱锥的高，这就是一个转化法的思路。那么看一下题目条件，他说 o h 二 ab 是 直径， ab 是 直径的话，我们就知道这个 a p b 一定是九十度， a o p 是 一百二十度的话，我们就知道角 a 肯定是三十度，那角 b 就 一定是六十度，那所以这个 a p b 其实是一个三十度、六十度、九十度的三角形，那么 a b 的 长度是四，那么 p b 就是 二， a p 就是 二倍根号三。所以咱们先可以算出来咱们的底面积， s d 就 等于二分之一乘以二倍根号三，再乘以二就等于二倍根号三。那么我们有体积公式可以知道， v 等于三分之一 sh， 那 就是三分之一乘以二倍根号三，再乘以 h 等于三分之八倍根号三，所以可以得到这 h 其实就是四， h 是 四。以后我们要求表面积，那么直接代表面积公式，二派 r 方，再加上二派 r h 全部带进去以后，我们可以得到前面这个东西是八派， 再加上后边的十六排，那就是二十四排，这是第一问，第二问，他让我们求三轮锥的外接球的体积，那么我们要看一下这个三轮锥，假设 a p b 是 在这个这个圆面上啊， a p b 那么高，肯定是这样上去的， a 一 这个点也在圆上，也在球上，那么他要内接，他要外接这个球的话，是不代表着我们要求的三轮锥的外接球其实就正好是我们圆柱的外接球，那么所以我们可以通过圆柱外接球的这个东西，我们可以知道。哎，这东西都在球上的话， 那么球的半径是不就应该是 a 一 b 的 一半？那 a 一 b 的 一半是不是就应该是二分之高的平方，再加上半径的平方就是我们的半大球的半径，所以我们可以得到 r 等于 根号下二分之四的平方，再加上二的平方，也就是二倍根号二，那半径是二倍根号二，那么外接球的体积就是三分之四 pi r 三带进去算一下，三分之六十四倍根号二 pi。