湘豫联考2026年4月数学立体几何

四月十号考的这个相遇联考，做完了这个卷的话，整体难度是中等偏上的，相对于上一次这个青铜明，四月一号二号考的这个是难一些， 这个难的地方是在于这个计算量，还有就是思考需要用的时间长， 整理写下来啊，一个半小时感觉有点吃力的慌啊，本身我今天呃状态也一般，我做了做，反正有一些易错的啊，也有一些就是比较原创的题目，也是非常值得写的一份试卷， 然后有一些不错的题目，大家回去可以研究研究啊，就像当中的第四题，然后第五题，还有就是这个第七题，第八题， 另外就是像第九题，还有第十一题，第十一题是在那个信阳高三期末的时候啊，错过类似的也是蛮不错的。 然后其他的题目，像第十四题这个题目的话是例例几何啊，外加这个排列组合相关的，也是出的版新颖的。 另外其他的就是像大体第十七题，十七题，这个关于线线平行，他对空间想象以及咱说的线面平行的性质有很多要求， 也是平常考的少吧，尤其是线线线面啊，平行相关的面面平行相关的性质啊，这个可以多去查缺补漏一下自己知识数啊。 当然这个第二份这个间隙的方式啊，可以去多研究一下，还是比较建议以 o 为原点， o a 和 o b 分 别是 x 和 y， o s 是 这种去做啊，但这个计算量比较大，主要体现在它是反过来的， 然后对于考察孩子的这个思维逻辑以及这个计算要求蛮高的，所以这个阶段也是通过他可以加大你的这个计算能力啊，确保你做的时候能挡得住 这种这种压力啊，计算是基本功啊，非常重要，到后期啊，这种计算应该多算算才对。 然后十八题，这个题整体还是蛮不错的啊，考察了是不是这个抛物线相切问题，然后你可以理解成是导数，也可以理解成是不是联力方程，所以就可以一力多解。 然后这个第二题的第二问，这个是总觉得在之前高考题里边见过啊，啊，一下想不起来，大约是二零二零年左右吧，出过这个高考题，跟这差不多。关于俩切点焦点问题啊，这个可以研究研究啊，已经有高考的影子了，非常不错啊。 然后这个十九题总感觉出的呃，偏简单了，因为这里面出现了一种常见的那种，比如，比如几十页篇一了，分人讨论了，对吧？这个题也是比较保守的啊，相当于是 可以当成抓基础，抓基本方法这样一一种存在。整体卷写下来还是比较开心的啊，有不错的题目啊，还是很有营养的，可以大家去做一做啊，开心快乐每一天！

相遇名校四四月联考，这你顶得住吗？第四题有不少同学写错啊，拿出笔来跟着我学这个第四题的话，咱有两种方式给大家说。首先第一种是最简单的，先把 o b 减 o c 找到，也就是向量相减 c、 d 在 这个图里边有，这是 c d。 然后现在跟 o a 找夹角， o a 要找夹角，你需要把它俩平移到起点，相同平移以后，是不就把它平移到这个 c 为起点， o a 是 不就等于 c d？ 这时候是不是找它俩夹角？ 找夹角余弦，找夹角余弦的方法最简单的，你就找一下股角是这个角子吧。 比如说我过 b 边再画一条水平线，这样形成一个折函数，这个是点 e， 在 三角形 b c e 当中是用余弦定义就行了，离边是比斜边，离边是三，然后对边是四，斜边是五，所以这样的话就能搞定。最后答案就是 a， 这是第一种。然后第二种的话，你就找坐标，把 c b 坐标找到 c b 坐标就等于 o b， 也就是咱讲的负一 三减去 o c， o c 就是 三零，找完之后坐标是不是负四三，再找 o a， o a 坐标里边知道是零负二。接下来算一下，它俩是数量积， 数量积等于负六，再除以它俩长度，这个长度是五，这个长度是二，所以等于负的五分之三，你学会了吗？啊，你写对了吧？大家可以发到评论区。

这是相遇名校联考二零二五到二零二六学年四月高三数学试题。第一题考察集合的焦急运算检验，对指数、函数、直域集合元素的分析。第二题考察负数的运算，检验，对负数除法、共讹、负数虚布的计算。第三题考察椭圆的离心率 检验，对椭圆焦距、离心率公式的应用。第四题，考察平面向量的夹角检验，对向量坐标、数、量积、夹角余弦值的计算。第五题，考察等差数列与充分必要条件 检验，对等差数列性质、条件关系的分析。第六题，考察三角函数的性质检验，对周期单条性向位的分析。第七题，考察空间向量与意面直线夹角检验，对意面直线夹角 向量计算的应用。第八题，考察抽象函数的性质检验，对函数负值单条性最值的分析。第九题，考察正态分布检验，对期望方差 概率的计算比较。第十题，考察数列的地推关系检验，对地推公式等比数列通项 前然相合的分析。第十一题，考察员与双曲线的综合检验，对轨迹、方程焦点最直的分析。第十二题，考察对数的换底公式检验，对对数运算、换底公式的应用。第十三题，考察二项式定律检验，对展开式长数项的计算。 第十四题，考察立体几何中的计算。第十五题，考察统计中的百分位数与概率 检验，对百分位数全概率公式的应用。第十六题，考察解三角形检验，对正弦定力、余弦定力面积的计算。第十七题，考察空间几何检验，对线面平行证明二面角线段长度的计算。第十八题，考察抛物线的综合应用 检验，对抛物线方程切线证明、线段平分的分析。第十九题考察导数的综合应用检验，对横成立问题零点范围不等式证明的分析。

来，拿出笔来看一下第十二题。第十二题这个方法咱也有两种给大家说，第一种就是把大家是不是都换成同底，所以这样的话我可以把它写成 lo a， c 除以 lo a 相关式子就行了。这里边是不是有 a 和 b， 我 可以把它写成 lo a 除以 lo b， 这样等于二，对吧？然后这个可以写成 lo b 除以一个 lo c 等于三，对吧？接下来就是两个式子，是不是 一乘你就可以得答案了，乘完之后就等于六，这是方法一啊，你学会了吗？啊？然后再看方法二， 方法二的话是说我可以把它写成这个指数形式，再参与计算就行了，指数形式对它来讲只对画平方等于 a。 第二步就是 c 的 三次方等于 b， 对 吗？ 然后考虑到你现在计算的内容当中是没有 b 的， 所以我用数学当中的时候削圆思想，我把 b 干掉就行了，干掉方法就往里带，这样的话出现 c 的 六次方程的意思， 这是第一步啊，第二步的话就把它这里边 a 是 不是换掉就行了，因为你要对它去化解嘛，换掉之后你就冒个以 c 为底， c 的 六次方程，然后等于六结束啊，你懂了吗？

相遇名校四月联考这个写的填空题，第二道题啊，也不少人错啊。来，拿出笔来，辉哥带你拆解一下。每次大型考试辉哥都会发视频。 好，十三，你首先是对他进行整理，他要整理是不是只能通分，通分完就变成这样子，他进算法平方， 然后减去二倍的乘减法加一，这不就是完全平方吗？所以一整理就变成了减一完全平方。现在整理要三次方，所以是不是要三次方？ 要三次方那就变成了是不是咱说的六次方了，然后分母来说就变成了三次方了， 这是第一步对，它就变形，然后第二步的话就是处理的时候要求的内容没有 alpha， 那 不就是没有贪加法吗？所以要求必须是这个式子当中的某一个除以三次方， 对吧？除以三次方之后，它约掉了，才会出现没有贪加法。那怎样的约呢？必须出现贪加法的三次方才行。 又因为这里边他哪怕只在一个地方，所以你直接搭上他的次方是三就行了，所以直接是 c 六三，考虑到这里边有一个负一，对吧？你写的要慎重对吧？负一的是三次方，最后答案就有了，你写对了吗？

作为高考前最后一次大规模名校联考，这套湘渝名校联盟四月数学卷子到底有多难？今天我就带大家一探究竟这套卷子 到底什么水平？湘渝名校联盟汇聚了湖南长郡中学、雅礼中学、河南南阳一中等省内顶尖高中，堪称学霸的修罗厂。去年十一月的联考数据显示，物理类本科线高达三百七十分， 历史类本科线三百九十分，眼超一般联考。而这次四月阶段检测，是高考前最后的大练兵，难度可想而知。据阅卷组透露，本次数学试题整体难度系数在零点五五左右，高考一般在零点五到零点六之间，中等偏上，但不过分，这几个题 考完要复盘选择题第八题，函数性质探究这是一道典型的负值加抽象推理题，不需要具体函数表达式，只靠条件一步步推结论，考察的是数学思维的严谨性。高考近年越来越重视这类抽象函数问题的考察， 而这道题的巧妙之处在于，负值思路很自然，令 x 等于一， y 等于一，先求 f 一。 但如果选择不当，比如有人会先令 x 等于 y， 就 会掉进逻辑陷阱。 这就是命题人的高明之处，看似平凡，实则步步惊心。选择题第十一题，圆锥曲线综合这是本次试卷的压轴选择题，命题思路是把向量解析、几何三角换元、基本不等式等多个知识点融合到一道题例。 解析时需要设 l、 d、 m 两个参数，利用四点共线分别代入两个曲线方程，再代入向量关系，最终消参。第十一题中设 o p 等于 l d o r o q 等于摸 o 二的思路在高考解析几何大题中非常经典，这题如果做不出来，说明猜述法还不过关。解答题第十八题，抛物线切线与几何性质这是一道阿基米德三角形背景题。第二问 i 证明两条直线都是切线，用的是代数法。连立直线与抛物线方程，证明 delta 等于零，思路直接，但计算巧妙。第二问 e 证明直线 up 平分线段 m， 计算终点坐标时，经过多步变量消去，最后发现 q 点恰为 m 点，有一种代数推理的对称之美。这类切线与终点的结论在近五年高考中出现过至少三次，是非常值得积累的结论。模型。 这套试卷在知识点的覆盖面、题型结构与分值比例上与高考真题保持一致，难度上略高于高考真题，但并没有超纲，非常适合高考前的拔高训练。我为大家整理了本次联考 的完整视题加详细解析 pdf， 关注后在后台私信发送相遇数学即可领取。不过也要提醒一句，联考毕竟是模拟 题目，创新度比高考真题稍高，如果做这套卷子感觉吃力，不必过度焦虑，关键是找到知识漏洞，而不是纠结分数。评论区告诉我，你觉得这套卷子最难的是哪道题，我来帮你分析解析思路。

试卷分享，高三全科联考河南省相约联盟二零二五到二零二六学年高三下学期四月阶段检测试卷及答案视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。

十四题，它说已知正四面体 a、 b、 c 的 棱长为啊四倍根二，且某座 m a 的 平方加 m b 的 平方，等于啊，等于 m c 的 平方加 m d 的 平方， 在正点 m 过程的平面截正四面体 a、 b、 c、 d， 则所得前面的面积啊，只要是正四面体，我们肯定条件反射，应该把它放哪里去啊，所以应该放到正方体里面去吧。嗯，放正四，放正方体里面去啊，我先把这个前面画一下啊， 里面的线是虚线，嗯， 等于实线 a、 b、 c、 d。 好 了，这样的话，我们首先来看一下啊，他说能长为四倍根号二，四倍根号二，那所以边长就为四了，对吧？ 对，边长为四，那这样的话，我们是不是他又求正点 m 的 轨迹方程？那我们做这问题的话，我们是不是 m a 的 平方加 m b 的 平方加 m c 的 等于 m c 的 平方加 m d 的 平方？我们来求一下 m 的 轨迹就好了，这不进戏嘛，对不对？不对，不一定直接进戏。 s、 y、 z， 那 首先 m 坐标，我们是 m 坐标 s y、 z， 嗯， a 点坐标 a 点坐标是四点四啊， b 点坐标啊，四四零，四点坐标零四四， 这点是圆点零点零的哎，所以它，所以它其实会消掉下。 m a 的 平方加 m b 的 平方 m a， 那 是不是就是 x 减四的平方加上 y 方，加上 z 减四的平方。 但是啊，加上 m b 的 平方加 m b 的 平方 加 m b， m b 的 话，是不是 x 减四的平方加上 y 减四的平方，是不是加 z 方，所以这个平方都会叠掉等于 m c 的 平方， m c 的 平方就是 s 平方，加上 y 减 y 减四的平方，加上 z 减四的平方 啊，加上 m d 的 平方， m d 是 不是 s 方加 y 方加 z 方，首先肯定这个平方都会抵消掉，首先啊，这里一个啊，首先 y 减四的平方都会抵消掉，然后这边还有个 z 减四的平方是不是也会抵消掉， 对吧？还包括这个 s 平方加 y 平方加 z 平方都会叠加掉，所以那这样的话，我们是不是看一下啊？这边肯定会会留下一个什么呢？负八 s 加十六，是吧？这里会留下一个什么呢？嗯， 这不也是一个负八 x 加十六，对吧？然后这边两边两边的 x 方和两边的 x 方肯定会抵消掉， y 方是不是也会抵消？这方也会抵消掉，所以是不是它等于零了，是吧？它等于零了，那所以这个得到的是什么？得到的是 x， 嗯，那就负八 s 负四六， s 等于负三十二，所得到 x 等于二， x 等于二，这个是什么意思啊？ 这个是 m 的 轨迹，所 m m 是 不是 a 多号？什么 a 多号 y z 是 吧？ a 多号 y z， 所以 这个 m 的 轨迹应该是个，是不是在 x 轴上面走的走的一个轨迹， 是不是？那应该我发出来的话，应该是这样子的一个估计吧，一个这样的平面 来先来看， 对吧？应该是这样子，应该是这样子，是个中点，并且还是个中点，是不是？所以他要我求他的什么？他的洁面的面积，他洁面的面积，所以因为这个点是个中点，这个点是个中点，这个点是个中点，所以那这样的话，我连线的话，你看 是不是也是这样子？一个四边形截这个四边形啊，就是我这个，就是我这个横线就它的轨迹，所以它就是个什么？它是不是就是个菱形，对吧？菱形。所以这个床是四， 这个床呢？是不是也是四？所以是不是它的轨迹是不是就是 s 等于四乘四，再乘以二分之一，是不是就等于八？哎，所以这个题很简单的一个题啊。嗯，所以它的姐妹们就是八。

哈喽宝宝们，今天我们来看相遇联考的第八道题啊，它是单选择题的一个压轴题吗？题上灯给出它在零到上面是不恒为零的一个函数，对不对？钱满足第一个，第二个，其实这道题他没有给我们，他具体表达是不是那么没有给的时候呢？他肯定考察是咱们的抽象函数， 对吧？那我们来看一下这个题目，他说下列说法错误的是，那抽象函数一般讲首先肯定是一个负值的方式来解决，对吧？所以我们看 a 选项，他说 f 一 是等于二的， ok， 那 我们来看一下，这道题目当中，我可以直接令 y 等于一，当 y 等于一的时候，那这边就是 f x， 然后这边就是 f 一， 那这边就变成是二倍的 f x， 所以 我们能够直接求出 f 一， 它是等于二的 a 选项，它是一个正确的选项，对吧？然后我们接下来看第二个，他说零到正数当中，让我们去找 f x 大 于零的，那我们已经知道是 f x， 它是在零到一处， f x 是 大于二的，对不对？那现在让我们找出它整个是大于零的情况啊？那我们来看一下， 那我可不可以这样，我直接令 y 等于根 x， 那 当我令 y 等于根 x 的 时候呢？我们是不是就可以得到 f 跟 x， 再乘 f 跟 x， 那 这边就等于二倍的 f x， 对 吧？那么从而推出 f x 就 等于二分之一乘上 f 跟 x 的 平方，因为它在平方吗？平方呢？肯定是一个远远大于零的一个情况啊，所以我们就可以倒说它在上面是全部大于零的，这是我们随第一个方法直接令它的。然后我们再来看一下，如果我要填幺零，第二个方法呢？是不是啊？我们可不可以令 x 等于一， 当令 x 等于一的时候，当令 x 等于一的时候，那么整体上这块数变成了应该是 f y 分 之一乘上 f y 就 等于二倍的 f 一， 对不对？ f y 它是一个四，是不是？所以我们就从而得到了 f y 分 之一乘上 f y 它要等于四，是不是？那我们来看一下啊。因为如果 y 它是一个大于零小于一的， 那么 y 分 之一它就是一个大于一的，对不对？那我们知道它在零到一的时候呢？在零到一时， f y 它永远大于二了，那它是一个正的，对不对？而我们相处时，它这个四还是一个正的，那是不就意味着 f y 分 之一它必然为正， 对吧？所以不管你说他是这个零到一的，还是说他是一个大于的情况，他是一个为正的情况，我们是不是可以他在这个零到正下面是 f x 永远大于零的， ok， 所以 b 选项还是正确的啊。现在我们开始来继续看 c 选项，他说 f x 在 一到正无穷上面是个单调递减， ok， 那 这道题考什么？是考察，就说还是这个单调性，是不是，对不对？他考察单调性，那 c 选项我们知道考察单调性的时候单调性，一般情况下面我们采用的是不是做叉法， 对吧？但这道题我们会发现题干当中给的是这个，我们先做叉挪过来，对吧？我们去减了，不好减。所以这道题我们换一个方法啊，因为我们在 b b 选项当中已经知道的是 f x 永远是大于零的， 首先我们让 x 知道它永远大于，所以教程我们采用叫做作商法，哎，我们做商法的时候呢，我们来看一下这个地方是不是就可以把它变成是 f x 比上 f y， 它要等于二分之一，然后再乘上 f x 比 y， 对 吧？那如果在这里面我们来看一下，我令 y 大 于 x， 它要大于零，那么 y x 比 y， 它是不是就是大于零小于一，那它是大于零小于一的时候，是不是就知道了 f x 比 y， 它是大于二的，所以整体是不是大于一对不对？那整体大于一的，我们是不是就 得到了 f x 比上 f y， 它是大于一的，那就是 f x 是 大于 y， 那 我们知道 x 是 小于 y， 那 我们是不是从二中得到它是一个 d 减的，所以 c 也是一个正确的选项，那这题我们就选 d 了，那 d 一定是错的了，那 d 为什么错呢？我们来看一下这个 d 选项， 我们在 d 选项当中其实已经知道了，就说 d 选项的第二个的话当中，是不是已经知道了这个公式对不对？那我们是不是可以把它写成就是 f x 分 之一乘上 f x， 它是要等于四的，是不是就可以知道 f x 它在一到这上面它是一个点对不对？而且我们也知道它是这个 f f 一， 然后我们在这个 b 选就是 a 选项当中，我们也知道 f 一 f 一， 它是等于二的，对吧？ f 一 是等于二的，然后 x x 大 于零小于一十， f x 是 大于二的，那 f x 大 于一十， f x 就 必须得小于二，是这样子对不对？那它小于二的话，那我们刚已经知道是不是这块的关系，对不对？那又说 f x 它是等于四比上是 f x 分 之一，对不对？但是它永远大于多少 零的，是不是？刚才一个大零时，然后完之后他又是因为他 x 是 x 大 于一时， x 分 之一就是大于零，小于一的，那么 f x 分 之一他就必须大于二，是不是？他大于二之后，我们是不是可以推出它是小于二？对，但它小于二呢？是不是？它到底小于多少？最终最小小时你知道吗？不知道，因为我没有办法求出它最小小时，我只能得到 f x， 它是小于二的，大于零。是这样子，我没有办法去得到它的最小值啊。所以这道题当中 d 选项是错的，那我们这道题就选择的是 d 哈，选择的是 d。

二零二六年相遇名校联考考勤分析如下，本次联考总参加学校约一百六十余所，其中物理组总参加考试人数约十四万人，物理组特供线与近三年高考分数相比为最低。物理组本科线划线仅高于二零二四年高考，且总体划线较为接近二零二四年高考划线。 历史组总参加人数约四万人，历史组特供线及本科线划线分数与近三年高考分数相比同样为最低水平，总体最接近二零二四年高考划线考勤侧面印证高考大小年现象，预计今年高考偏难。 此次联考分数方面，语文最高分于一百三十三分，数学最高分于一百五十分，物理最高分于一百分，历史最高分于九十五分。以上数据仅供参考，点击关注，河南高考全程陪跑！

刚刚考完的百项联考二、二十三题，张老师带着大家一起来看一下这道题核心考的是折叠，折叠中有一个特殊的模型， 折痕过某条边的终点，折完之后必然会出现一个等腰三角形，并且会出现一个角缝线，所以他就是等腰三角形。顶角的外角的角缝线平行于底边这个模型的一个应用。如果这个模型你知道的话，那么前两问应该拿下不成问题。 最后一问，涉及到等腰直角三角形的存在性问题，那当然就是讨论到底哪个角是九十度，然后逐一画图去求解。我们一起来看题。 平行四边形 abcd 中 ab 的 长是等于四角， b 呢，是等于六十度， e 是 ab 的 中点， a 的 长和 b 的 长都等于二顶点 b 处是个六十度。 f 是 在 b、 c 边上的一个洞点，连接 e、 f， 然后沿着 e、 f 把这个角角给翻折过去， b 点跑到了 b 平。第一问， 如果 f 点和 c 点给重合了，看这个图， b 平恰好落到了 a 的 位置，让我们猜想这个大的四边形 a、 b、 c、 d 它是个什么形状， 明显他就是个菱形，因为折叠，所以 b、 c 的 长，他就跑到了这个 c、 a 这个位置，这两段是一样的， b 的 对应点正好是这个 a， 所以 再结合这个角是六十度，那他就是个等腰加六十度，所以是个等边三角形。 ab 这条边的长和 bc 的 长是一样的，前面已经告诉我，四边形 a、 b、 c、 d 是 个平行四边形，再加上一组菱边相等，所以它就是菱形了，所以低温没任何难度 好。第二种点， f 在 b、 c 上移动，当直线 f、 b 撇与边 a、 d 交于 h 点的时候，让我们来说明 a、 h 和 h b 撇，它俩是相等的，这一种其实就是模型。 因为 e 点是中点，所以你是二，你是二。翻转过来之后，那 e、 b 撇依然是二。此时如果我们连接 a、 b 撇的话，那么三角形 a、 b 撇 e， 他 必然是个等腰三角形。同时等腰之后来这个小角是 r， 因为折叠图里面的角一和角二他俩应该是相等的， 而角一和角二的和就是这个三角形 a、 e、 b 撇的一个外角。所以我们得出来角一和角二其实都可以用 r 来表达了。 现在让我们证明的是 h、 a 和 h、 b 相等，那其实就证明一号三角形是个等腰三角形即可。因为顶点 b 处是六十度， 所以顶点 a 处这个大角 b、 a、 h， 他 应该是一百二十度，所以我们得出来这个小角就是一百二十度，减去 r 八装到里沿，因为折叠顶点 b 撇是这个小角，是六十度 角， ab 撇 h 啊，他依然是一百二十度，减去 r 法，一百八减去六十度，再减去 r 法，所以我们正得三角形 a、 h、 b 撇是个等腰，这一问也就结束了， 核心他考的就是一个模型。最后一问，连接 c、 h， 当三角形 c、 f、 h 是 等腰直角三角形的时候，让我们直接写出 b、 c 的 乘。我们先以图三这个图为例，我们来感受或者分析一下。 连接了 c、 h 之后，这个三角形 c、 f、 h 是 个等腰直角三角形，它应该有三类情况，到底哪个顶点处的角是九十度？这个图画的看起来像顶点 c 处的九十度，所以我们第一个直接在图三中我们分析一下。第一种情况是顶点 c 处这个角如果是九十度， 那么会得出来这个小角它应该等于四十五度，这个角也应该是等于四十五度。顶点 c 处如果是九十度的话，那么顶点 h 处的这个角应该也是九十度，平行的，它的边 ab 的 长是等于四，所以 c、 d 也是四了。以及角 b 处是六十度，所以顶点 d 处啊也是六十度。 所以三角形 c、 d、 h 是 个三十、六十、九十的直角三角形。 d、 h 的 长应该是二， cx 的 长是二倍根号三，因为此时它现在是个等腰直角三角形，所以 cf 也是二倍根号三。 我们假设 b、 f 如果是 x， 那 么分折过来， b 撇 f 应该也是 x， 然后这个 bc 的 长就是 x 加二倍根号三，而 bc 的 长和 ad 的 长是一样的，所以 a h 的 长我们可以表达为二倍根号三，加 x 再减二， 而 a h 永远和 h b 撇是一样的，所以 h b 撇也是二倍根号三，加 x 减二。然后此时 h、 f 作为等腰直角三角形的斜边，所以我们得出来 x 加上二倍根号三， 将 x 减二，应该是等于二倍根号六的，因为直角边是二倍根号三。由这个式子我们来解出 x 即可，那就是两个 x 应该是等于二倍根号六，减二倍根号三，再加二，所以一个 x 是 根六减根三加一， 这个长度是 b、 f 的 长，所以 bc 的 长，那就是再把 f、 c 给加上，加上之后，所以答案应该是根号六加根号三，再加一。这是第一种情况。 第二种情况，如果顶点 f 处的角是九十度，那根据折叠的话，左边这两个小角他应该是四十五度，所以这个也是一个特殊的折叠。我们在备用图里把这个图给画出来。好，我们大概画完图之后，这两个小角此时应该是等于四十五度， 然后 b 的 长是二角， b 呢是六十度，所以此时三角形 b f 啊，它是可解的。我们先可以算出 b f 的 长，它的做法就是过一点向 b f 做一条垂线段， 那么这是 q 点的话， b q 就是 一， eq 就是 根号三， f q 也是根号三。 bf 的 长是一加根号三， 让我们求的是 b c 的 长，所以接下来只需要求 f c 的 长就行了。因为 f c 此时是等腰直角三角形， f c h 的 一条直角边，另一条直角边是 f h， 它其实是这个平行四边形的高，这个高根据前面我们做法其实是知道的，它是二倍高三， 所以 fc 就是 二倍根号三。 bc 的 长应该是一加根号三，再加二倍根号三，所以是三倍根号三加一，这是第二种情况的 bc 的 长。 第三种情况，如果顶点 h 处是九十度的话，在图三中，那么顶点 f 这个角依然是四十五度，它应该是四十五度，所以这个角我们大概先把这个图画出来，这个图应该画起来比较长一些。 好了，我们大概画出这样一个示意图，此时顶点 h 处的这个角是等于九十度，只要他这个等腰直角三角形，那么顶点 f 处这个角应该是四十五度，顶点 c 处他应该也是四十五度， 因为是等腰直角三角形，并且我们知道这个平行四边形 bc 的 高线应该是知道的，所以此时我们过 h 点画一条垂线段， 如果垂足是 q 的 话，那么这个高线应该是二倍根号三，那么又是等腰直角三角形，所以这个也是二倍根号三，这个也是二倍根号三。 b、 f 如果是 x， 那 翻折过来，这个就是 x， 以及此时 bc 的 长是四倍，根号三加 x， 所以 我们把 a、 d 的 长也可以这样表达出来。过 c 点，我们向 a、 d 也是做一条垂线的，那么这个是二倍根号三，这个就是二。 然后此时三角形 c、 h、 m 他 依然是个等腰直角三角形，所以他也是二倍根号三。由此我们可以得出来，这个 a、 h 的 长是四倍根号三加 x 减去二倍根号三，再减去二，应该是二倍根号三 加 x 减二。因为 a、 h 和 h、 b 撇永远是相等的，所以这个 h、 b 撇也是二， b 根号三加 x 减二。 此时三角形 f、 h、 q 中，这又是个等腰直角三角形， x 加上二， b 根号三加 x 减二。这作为斜边，它应该是等于二， b 根号三，再乘以根号二。 所以由这个时候我们来解一下 x 两个 x 应该等于二倍根号六减二，倍根号三再加二。所以一个 x 等于根号六， 减根号三加一。所以此时 b、 c 的 长就是 x， 再加上四倍根号三，所以它的结果应该是根号六加上三倍，根号三再加一。 所以这道题三种情况我们就逐一给大家写完了。确实每一种情况孩子们应该能写出来， 然后逐一把它画出这个图。根据题目中特有的一个条件，然后我们找到角的关系或者边的关系，然后使它求解。关注数学张老师，这个春季，我们一起攻克山西中考压轴题！

河南省高三二六年四月九号十号湘渝联考分数线以及省排名一出，物理组负分分数线为，清北线六百八十三分、九八五线六百一十五分、二幺幺线五百九十一分、套空线四百九十分，本科线三百九十八分。历史组负分分数线为， 京北线六百六十五分、九八五线六百零二分、二幺幺线五百七十七分，特工线是五百零一分，本科线四百二十一分。大家想知道省排名及能够上到哪个层次的大写，读到哪些专业评论区留言分数加选科？

河南高三湘玉联考成绩公布，物理组特控线四百九，本科线三百九十八。历史组，特控线五百零一，本科线四百二十一。赶紧对照孩子分数来查位次，这可不是普通模拟考，这是河南、湖南两大高考大省的联考，参考价值直接拉满 特控线以上的家长，重点盯省内双一流的王牌专业。咱们河南考生的分数优势得用在刀刃上， 本科线徘徊的分数段呢，咱们稍不注意就可能会滑档到专科。所以查完成绩，我们先锁定位次区间，再按充文宝电四档我们来选，学校 优先。我们挑选就业缺口大的物理组啊，我们盯计算机、电气、医学。然后我们的历史组呢，我们看师范财会，包括数字媒体，关注高老师，帮孩子少走弯路。

必刷题这么厚，有人刺杀我用它来挡刀都只能捅到目录，所以小王学姐就来带咱们疏通高考必刷题里的重点题型。话不多说，咱们上正餐！ 哈喽呀，小宝们，咱们今天继续来讲例题几何啊，那今天呢，第一个考点啊，点面线位置关系的判定。哎，知道 哎，湖北的二零二五年的联考题哎，就很有那个味了啊，以前高考很经常这么考。那这道题，他说 ab 表示两条不同的直线，阿尔法、贝塔、伽马三个不同的平面，那下列推理正确的是，那首先来看选项， a r 法交，贝塔等于 a， 那 b 属于阿尔法，我的 a 就 平行于 b 吗？哎，你直接画图呗， 这两个面，一个阿尔法，一个贝塔，那这是咱们的 a 这条线对吧？啊，那我的 b 属于阿尔法，那我的 b 如果是这样的一条直线呢？那我延长下来是不是就会跟直线 a 相交呀？ a 很 明显的就是错误的选项啊，排除那 b 选项来看啊， 阿尔法贝塔交于 a 啊，那 a 平行于 b， 那 b 平行于阿尔法，且 b 平行于贝塔，这么一看，好像没什么太大问题，对不对？我这个 a b 平行，那我好像确实这个 b 平行于阿尔法，也平行于贝塔， 对不？但是啊，注意你忘记了一个线面的关系，那就是属于，如果说我的 b 它属于贝塔，或者说它属于阿尔法呢？它在这个面内呢，那它就不能用平行来表示了。所以说 b 啊，它就是有一个点，哎，很多同学可能就会在这个点出错啊， 就是它还有一个属于关系，所以咱们 b 选项啊，它也不是完全正确的 b 选项排除 c 选项，线段 a 平行于贝塔，哎，线段 b 也平行于贝塔，那我这个 ab 相交吗？哎，肯定不对啊，我这样子，我一样平行啊，我一个平行这条，一个平行这条啊，哎，所以说这个就 c， 完全没道理啊，在那胡说八道。 所以这道题只能选 d 了啊，那 d 就是 没什么问题的，而阿尔法贝塔平行，那阿尔法交伽马等于 a， 贝塔交干嘛等于 b？ 那 其实 ab 啊，它既然是平行，那我上下平移都是一样的，但当我贝塔啊，平行于到这个阿尔法这个位置的时候，它们的交线是不是就重合了？那它如果不在这个位置的话，那这个交线就是平行的。所以说 d 选项没毛病啊，选 b， 下一道题，哎，如图是正方体平面的展开图，那让你在这个正方体中啊，下列命题正确的是，那这道题非常 简单啊，他既然给了你一个展开图，那他问的是正方体内，你把这个展开图还原成咱们的正方体就可以了，对吧？那这个呢，就是相当于玩色子啊，我不知道你们玩色子的时候都有没有去想象过，他各个面能把它还原就行。那这个题呢？哎， 就很简单，难度不大，我们来画画一下啊，这是一个正方体啊，你只要能把它的这个就是还原，对，就没问题。那我们 ab 啊，我就以中间这块为它的底，这就是它的 ab， 对 不对？那这是 c， 这是 d， 那 我把右边这块翻折起来，我这 c 啊，它上面是不是对应的就是 n， 那这边呢？哎，这一块我给它翻折起来啊，我的 a 上面对应的就是 f， b 上面对应的就是 e， 那 左边呢？这块呢，就是做这个正方体的后背了，那这块呢？哎，就是做它的侧边了，那这个 m 啊，转过来，它就变在 d 的 上方了哈， 好，那这样呢，咱们就把这个正方体给它还原出来了。我们再来看题目，他说 a m 平行于 b n， 那 不是非常平行吗？哎，这两个面都平行啊。然后呢？哎，这个又可以构成一个平行四边形，和我们的 a、 b， m、 n 这两条线又可以构成平行四边形，所以肯定平行，没毛病 啊。那再看 b 选项， b f 垂直于 d n， d n 是 哪？换换个颜色啊。 b f 垂直于 d n 啊，那这垂直吗？我们把 b n 啊给它平移过来，先做个平行四边形连接过来。那我们的 a e 是 不是平行于 d n 啊？那我的 a e 又是垂直于 f b 的， 对不？所以说他肯定垂直啊，咱们 b 选项也正确。再来看 c 选项，他说 c e 等于 m e 啊，那 c e 是 什么？是这个正方形的对角线，对吧？那 m e 也是他的对角线，那长度肯定相等啊，也没毛病。那 d 选项，嗯，大概率就不会对了，对不对？这是一个多选题。 那 am 与 df 是 异面直线吗？ am 这里 df 啊，这肯定不一页面啊，直接都在一个面了，是不是？我们只要把这个这个各个点还原到位，哎，那就直接能判断出来了，所以说第选项就错误的哈。这道题还有点意思哈，看着就是好像难度不那么大哎，但是他就是能考到某些人啊。那再来看第三题啊，第三题，这个是考点 线面平行与面面平行的判定，哎，那考的就是你判定了吗？平行的判定了吗？那我们再来看啊，他说三棱柱 a， b， c， a， b， c， d 中点 d， 嗨，在咱们 b b， e 上，且 b d 等于三分之二倍的 b b e， 也就是说这里是两份，这里是一份，那 e、 m 分 别是 a e， b e a， a e 的 中点 n 在 棱 c c 一 上，若 m n 平行于平面 c， d， e， 哎，要求这个 c e， n 和 c n 的 比好，我们来看啊，它说 m n， 哎，平行于咱们这个面啊，这个三角形这个面，那 m n 是 它的一个中点， 那我既然，哎这个东西要平行这个面，哎，那我是不是要想办法做一个平行四边形，哎，让它跟这个面相交啊，那我把它这个 m 啊延长，哎，垂直于 a b， 延长 啊，那我这条线是不是平行于这个 c， e， c 的， 对不对？然后这条线呢？交这个 d， e 啊，于咱们点 f 了，我给它命尾点 f， 好， 那我这条线 m f， 它肯定平行于 n c 这条线，那我把 c f 连接起来啊， 那这条线，哎，他的投影是不是肯定平行于咱们的 m n 呢？哎，题目中说平行嘛，对吧？所以这里呢，咱们 m f， c， n， 它就是一个平行四边形，那我们 m f 的 长度，它其实就等于 c n 的 长度了， 那我们 m f， 它的长度是多少呢？哎，我们来看一下啊，把这一块给大家拎出来 画一下，我们的这是 b e， d 啊，这是 a e e， 我 们的 b e， d， 哎，是不是占一份？我假设这里的长度是二，哎，那他这边是不是就应该是三呀？在整个这个棱柱里面，你给他带进去算一算，对不对？那我的这里啊， m 啊，包含不是这么算的，应该是这样的一个，那 m 是 这个 a 一 b 一 的中点，那我这里 m、 f 坐下来，哎，它是不是就是这个梯形的中位线呀？因为它平行于 b， e， d 也平行于 a， e， e， 它就是咱们这个梯形的中位线。那中位线的长度有什么 关系呢？跟他的上底和下底，他是不是应该等于他的上底加下底除以二呀？这里的长度他应该是多少？他应该是二分之五吧， 那我们 m、 f， 他 就等于 c， n 等于二分之五。好，那我刚刚假设 m、 b， e、 d 是 二，那我们整个 b， e， b， 他 就是六的这个长度，但我们 c， e、 c， 他 也是等于六的。 c， e、 n， 它等于多少？是不是等于六？减去 c， n 等于六，减二分之五，等于二分之七。所以啊， c， e、 n 比上 c， n， 它就等于七，比五，等于五分之七。 哎，这道题咱们就做出来了，选 b， 哎，重点就是大家能不能反应过来，它是一个梯形的中位线。好，这道题过，我们来看下一道题， 这道题又是一个多选择题哈，如图这四边形 a， b， c， d 是 边长为二的，哎，注意，边长为二， 那正方形啊，那 a， e， a， b， b， c， d， e， d 都垂直于地面 a， b， c， d 啊， d， d 等于这些关系我就不念了，等于 三，对吧？ d， d 等于三，那这边是二，这边是二，这边是一。好，那点 e 现在在这个线段 c、 c 一 上，哎，平面 b， e， d， e， 哎，交线段 a， a， e 于点 f 则好，我们来看一下 a， e， b， e， c， e， d， e 四点不够面，我先把这个长度差了啊，那这道题他要正，他说这个 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d、 e 四点不够面，对，不对这个选项 a， 那 我们来看一下啊，这个 b、 b、 e 的 长度是一，那我把这个 b、 b、 e 的 长度是一，那这个点啊，我假设它是 m， 那我们 m、 d 的 长度是不是和 b、 b、 e 的 长度相等？那 am 的 长度是不是又和这个 c、 b 的 长度相等？所以咱们这个 b、 e、 c、 e， 哎，它的这个长度是不是就和咱们 a、 e、 d、 e 的 长度相等，对吧？然后，哎，我们 a、 e、 b、 e 又平行于 c、 e、 d、 e， 哎，它就是一个平行四边形，它怎么是不共面的呢？哎，它肯定共面啊，所以说 a 选项错误，那 b 选项啊，他说该几何体的体积为八，很明显啊，他这个图形是一个什么呢？是一个长方体给它切割成的，且咱们的这个高，哎，应该是四，哎，应该是四， 它就是两个它重合在一起，那它的高就是四。谁说它的体积是什么呢？这是二，然后它的高是四，那就是底面积乘高 十六，那十六除以二，哎，就是八，所以咱们这道题体积是八，没问题啊，没毛病。那第三题我们来看啊，他说过 a 一 c 一 b 一 d 一， 四点的外接球啊，我们先把它连接起来看一看， a 一 c 一， 哎，连接起来 b、 d 啊， a 一 b、 d 啊，给它连起来。 好，你会发现什么呢？发现啊，好像这个图形它是一个三棱锥，对不对？它是一个三棱锥。那我们再来看一下它底边的长度，好像我 b、 d 和 a、 e、 d 的 长度相等，又和咱们 a、 e、 b 的 长度相等，这三条边好像是相等的呀， 那说明什么呢？说明它的底边呀，是一个正三角形，对吧？那我们这个东西呢，它就是一个正三棱锥啊，正三棱锥 啊，那他的一个外接球的表面积呢？ ok， 给大家看一下。外接球，他的 r 是 四分之，根号六 a， 内接球呢，他的 r 是 十二分之，根号六 a， 这是一个常用的一个数据啊，大家可以背一下。那你知道这个东西之后呢？哎，他的 a 是 多少？ a 是 两倍根号二，哎，这是他的这个边长，所以他的外接球的 r 是 应该等于四分之，根号六乘以两倍根号二等于，哎， 根号三啊，那它的面积是多少呢？四 pi r 的 平方啊，那就是等于 十二 pi， 所以 c 选项它也是正确的啊，这里是 c e 啊，连错了，我就说怎么画的不像，再看 d 选项，结面四边形 b， e， d， e， f 的 周长最小值为十。来看一下 b e， d， e 和 f 的 周长啊，那我们 f 啊，是这个面与 a、 a， e 的 交点，那我们肯定想到的是做什么呢？做它的一个平行四边形，哎，我这里是咱们的 f， 哎，我这个平行四边形交这条 a， a， e， 它的一个焦点呢，就是咱们的 f 啊，那我们 f d， 哎，是不是和这个 b e 相等？哎， f b 也和咱们的 d， e 相等，那现在求的什么呢？求的是它的一个周长啊，它的周长，哎， 是不是四边相加，那又等于什么呢？是不是等于两倍的 b e 加上 d e， e， 因为它是平行四边形嘛，它的对边相等，所以可以转换成这样的一个形式。到这一步啊，很多同学就不知道该怎么做了，那我来把这个图像给你画一下，我要求的是这条边加这条边的一个 啊，这个长度的最小值，我把这个图像啊给它展开啊，我换成这样的一个图像， 这里，哎，是咱们的 c e c， 这是 b e b 啊，这是 d e d， 那 我们现在要求的是把 d e e 加 b e 的 一个长度什么时候是 最短呢？那我画出来就很明显了啊，只有当 d e， e b 这三点共线的时候，也就是说它形成一个这样的一条线的时候，哎，那它是不是长度是最短的呀？那这个时候长度等于多少啊？这是二，这是二，这是三，哎，这，这条是五了，哎，那就两倍， 那就应该是十，所以他的最短最小值应该是十，哎，第选项没错哈，这个题还挺有意思的哎，你又把它展开，又要把它合上的，你有没有发现啊，我又考了一个合上的，又考了一个展开的 啊，这个求最值还是比较有意思的啊，这个方法请大家记住。好，我们再来看考点六啊，线面垂直与面面垂直的判定，那这道题它是四轮锥啊， p a b c d， 那 底面是 a b c， d 是 矩形， ab 是 等于二的，那 bc 就 等于三。好，那 pa 等于 pb， 等于根号六， 两边都相等啊，这边是根号三，这边也是根号三，那说明什么呀？说明他这两个侧边，哎，他是是等腰三角形哎，是等腰三角形，那等腰三角形有什么性质啊？哎，他的这个 垂线，哎，也是他的两条角平分线，也是他的这个底边的这个平分线，哎，他这个点也是平分，哎，这个底边的 啊，所以这个性质咱们就知道了哈，那该四棱锥的体积为，那我们棱锥啊，要求他的这个棱锥的体积 v， 他 一般是等于什么呀？等于三分之一，底乘高，底乘高。那现在底，哎，他的边长都告诉咱们了，底咱们知道了，但是高咱们不知道，那我的高该怎么求呢？ 哎，这个时候啊，我们刚刚那两个信息就派上用场了，我要求的是 p 点垂直于 abcd 的 这个线的长度，那我能不能，哎，我就取 cd 的 中点， ab 的 中点，一个为 e， 一个为 f， 哎，我给它连起来。 我们要找垂直嘛，肯定要先用别的信息，哎，别的垂直来转换，那我们刚刚这个等腰三角形啊，它就天然的蕴藏了一个垂直的信息，所以我们就拿来利用一下。那我们把这个 p e 和 p f 连接起来以后，哎，我们 p e 是 不是它就垂直于 ab 的？ 那我们 p f 又垂直于 cd 的， 那我们的 ab 和 cd 它又是平行的，所以啊，我们有什么？有 p f， 它也垂直于 ab， 那 我的 pe 又垂直于 ab， 所以 什么呢？我的 ab 它垂直于咱们平面 p e、 f 的 两条相交的直线，那就说明我们的 ab 啊，它就垂直于这个平面，哎，垂直于咱们平面 p e， f， 哎，我的 ab 垂直于这个平面，那我来我做这个点啊，我过 p 点做 ef 的 垂线， 哎，那我的 ab 是 不是就垂直于咱们的这个？我测这点为 o 啊，垂直于咱们的 po 啊？啊，那我的 po 它就垂直于咱们底面 a， b， c， d 啊，那我的 po 就 很自然的就是高了啊，那我们 po 长度该怎么求呢？哎，还是利用咱们的这两个等腰三角形哈，那我们 c b 的 长度就等于 e f 的 长度啊，那 e f 又是等于 e o f 的， 我假设 o f 它等于 x， 那我的 e o 的 长度是不是就是三减 x， 我 们有什么关系呢？我们的 p o 是 它们的公共边啊，那我的 p o， 哎，它的 p o 的 平方，它是不是就等于，哎？ pe， pe 是 多少呢？我们来看一下啊，你算一下，这边应该是根号五，那 p f 的 长度应该是根号二，那我们五减去 三减 x 的 平方，哎，它是等于什么呢？等于二减去 x 的 平方的。那我把这个式子一展开啊，我会发现 x 它等于一，哎，算出来 x， 它等于一，也就是什么呢？咱们的 p o 这个高，哎，它等于一， 哎，那我高知道了，底知道了啊，这个体积不就出来了吗？谁知道题选 b 哈，那主要就是考你能不能正出。哎，咱们这个平面啊，它是这个 p o， 它是垂直于这个 a b c d 的， 你能不能找到这条线给它正出来。好，以上呢，就是咱们今天要讲的这个立体几何的必刷题哈，那我们下期继续，拜拜。

好，同学们，大家好，呃，刚考完七八联考数学，今天老师呢给大家做一下试卷分析。首先本次考试整体的难度属于中等，建议同学们呢能拿到一百分以上才算及格。然后在这十九道题当中呢，有十道容易的 七道中等的两道难题。下边呢，老师给大家说一下这次考察的涉及到的章节。首先在道当中，老师把它分成了三个层级，这三个层级在本次考试当中呢，你像集合补数，这经常就是期末的前两道题，这次呢也是常规考察，然后下边考了一个逻辑连词， 然后以及这个平面向量，这是咱基本上在第一层级就是占二十分，这次在这张卷子当中呢，也正好有体现。然后下边第二层级的话，就是三角函数，解三角形，竖列立即几何，这四张呢，三角函数考了两道，然后解三角形呢，考了第一道大题， 竖列的话，考了两道选填，然后立即几何呢，考了一道多选一道大题，都属于比较常规的考察，然后这个分布也非常合理， 然后下边这个概率解一几何，还有函数导数这三章的话，概率这次考了两道，选填一道大题，并且这次呢概率放到压轴了，解一几何的话，考了三道，也就是单选题的最后一道填空的最后一道，还有这个解一几何，这个第三道大题考， 然后同时呢这个函数导数，这考了两道。那这时候老师在这重点给大家分析一下这次考试，首先呢，他涉及到这个平均分布，你会发现他每个章节都会考察，同时呢他相对来说你像解一几何，这他前边考察的都是最后一道单选和最后一道填空， 那同时他的大题就提前了，他在第三道大题来考察了，所以他们的难易程度其实在整张卷子上也进行了一个平均， 然后再有立体几何也经常在考察当中呢，考察的也比较平均分布，这次呢多选题考察了你像涉及到的证明垂直平行、 求体积、求角度，这次呢都考察，所以整体的这张卷子的话，它的章节是比较平均的，同时呢难点也比较突出，你像几何或者是导数都放到这个难题的部分，然后同时呢，在这张卷子当中呢，有 七道知识交汇问题，也就是这道咱需要不仅只能学会，不仅是只学会这一章，然后其他章节也得会才能把这道题做出来，对吧？你像这个数列当中和函数稍微结合结合，对吧？或者是咱这个逻辑连词的话和不等式结合结合 啊？所以这时候呢，咱各位同学在准备的时候要注重这种知识交汇问题的一些准备。然后最后老师在这也说一下，这次的选择是两个 a、 两个 b、 两个 d， 比如说他也属于平均分布的，这也是咱在进行这个大型的考试当中经常会用到的一个方法， 也就是说你在解析当中，每一个选项他不会特别多，也不会特别少，也呈现平均分布的这种情况。那你像咱有一共有四个选择 abcd， 对 吧？一般的情况就是 两个 a、 两个 b、 两个 c、 两个 d， 也有可能呈现三二一这种情况，比如说有可能三个宝宝选项，两个，呃，两个，然后再加上一个啊？ 同时 a、 b、 d 和 a、 c、 d 这个多选的选项是比较多的，所以你在解析当中呢，不光是咱可以，咱能把这个选项选出来，同时呢也可以通过概率的角度，然后把咱这个题呢大致能推一推，这是咱这次卷子的一个分析。