高一必修二数学立体几何图形第一课时

高一没掌握空间几何，高三才幡然醒悟，看不懂题，不知道粉碎了多少人的高分梦。今天主播就从零开始，帮你补齐立体几何底层逻辑，空间几何体平行与垂直，空间向量与间隙全部拿下，轻松学会。今天 我们来研究一下空间几何体，那空间几何体主要有两个形式，第一个叫多面体，多面体它是由若干个多边形围成的，比如说我们常见的棱柱和棱锥都是多面体。 第二个就叫做旋转体，它是由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转而成的封闭几何体就叫做旋转体。比如说我们常见的圆柱、圆锥以及球都叫做旋转体，那我们来看一下旋转体的基本的考法。首先我们来看一下什么 是圆柱，很简单，它是以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周所形成的面所围成的旋转体就叫做圆柱。那我们来看一下圆柱的具体的特征啊。首先我们都知道圆柱的侧面展开一定是个 矩形，那么它上下面都是一个圆形，那如果我们知道圆柱的高是 h， 它的底面圆的半径是 r， 我 们 们就可以知道它的侧面积 s 特应该是等于二拍 r 乘以 h， 那 么它的表面积应该是侧面积，加上上下两个圆的面积可以得到应该是 s 特加上二拍 r 的 平方。好，那么接下来我们来看一下它的体积。体积 v 应该是等于 s， d 乘以 h， 写下来就是拍压的平方乘以 h。 好， 那么接下来我们来看一下什么是圆锥，注意圆锥它以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所形成的几个体， 我们就把它叫做圆锥。那么对于圆锥来说，我们要记住以下这几个特征啊。首先，圆锥的侧面展开一定是个扇形， 并且圆锥的这条边我们把它叫做母线。母线通常来说我们用 l 来表示，那么圆锥的高我们就知道应该是 h， 那 底面圆的半径我们用小 r 来表示，我们可以知道圆锥的侧面积 s 和应该是等于 i r l， 那 么它的表面积 s 表应该是等于侧面积加上它底面圆的面积，所以应该是 pi r l 加上 pi r 的 平方，那么体积。注意， v 是 等于三分之一乘以 s， d 再乘以 h， 那 么也就说我们可以写成是三分之一乘以 pi 乘以 r 的 平方再乘以 h， 这就是圆锥的体积。 那么我们来看一下一道圆锥的特别的考试手段，他说已知圆锥的母线长为四，圆锥的底面半径为一。一只蚂蚁从圆锥的底面 a 点出发， 绕圆锥侧面爬行一周回到 a， 那 么接下来他问了蚂蚁爬行的最短路程应该是多少，那么大家记住啊，虽然这是在空间当中，但是我们也要明白两点间什么时候最短，应该是连成直线一定是最短的。 所以如果我们想知道在什么时候它是最短的话，我们只需要把这个圆锥侧面展开就可以了。那圆锥的侧面展开，我们可以发现一定是个扇形， 所以它从 a 点出发，绕一圈回到 a 点，那么也就意味着我们只需要找到扇形的这条边长就可以了， a a 撇就是我们要找到的最短的距离，所以我们可以知道 a a 撇是多少呢？我们可以发现母线的长 一定是四。好，接下来它告诉了我们它的底面半径是一，所以我们可以发现它的这个扇形的弧长一定是等于这个圆锥的底面圆的周长。 那么扇形的弧长我们写下来可以等于多少？可以得到应该是 c， 它乘以 l， 应该是等于底面圆的周长等于二拍 r， 那 所以我们可以发现母线的长是四，等于二拍 乘以它的底面半径。而所以也就是说我可以得到 c 塔应该是等于二分之派，也就是说这个扇形它的这个角为直角二分之派，所以我们很明显就可以得到 a a 撇，它的长度应该是 四倍的根号二，学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。苦练十年，不如名师指点，每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

三分钟挑战十个立地几何平行题！立地几何大题啊，证明平行，就这三种情况，要么找中微线，要么勾勒平四边形。当然情况三的话，就是利用面面平行来证明线面平行， 直接上，结果证明线和面平行。你就记住，在这个面 pcd 里找一条 ef 的 平行线，那找一条 ef 的 平行线的话，你就记住过 pcd 里的一个特殊点做 ef 的 平行线。那你看，和 ef 平行的肯定是过 c 做呀，那过 c 做了之后， 同学们记住，看见这个平行线和 e、 f 是 不是长度差不了太多啊，那连起来之后，连起来之后，它一定是一个平四边形，只要证明平四边形， ok 了。第二题啊，证明这个线和这个面平行。同学们看啊，这个线和这个面平行， 在这个面里过特殊点做 bc 的 平行线，那肯定是过 m 做平行线啊，那这个线做完平行线之后，这个长度和这个 bc 啊，一长一短，一长一短，一定会形成一个什么呢？同学们，记住啊，一定会形成一个三角形， 所以在这个三角形里啊，利用证明中位线，这个两线平行，最后加上这个线在面内，这个线不在面内，所以这个线和这面平行。 第三个题啊，就是证明这个线和这个面平行。同学们看啊，这个线和路面平行，在这个面里找一条 bc 的 平行线，那肯定是过 e 做平行，而且做了这个平行线和 bc 长度一长一短，一长一短就是三角形。同学们记住哈，连起来三角形中位线。答案出来了， 第四题的话，证明线平行面，你就在这个面里做一条 e 四的平行线，那肯定是过 b 做啊，那做了这个平行线之后啊，这样的话，连起来一看就是一个平四边形。当然，出了第五题啊，你又在 p a 平行这个面，你又在这个面里做 p a 的 平行线就行，那肯定是过 e 做啊，那这样的话，做完之后形成了这么一个三角形，哎，出了 第六题啊，这枚线平面就在这个 p a b 里做四 e 的 平线，肯定是过 b 做平线啊，那做了这个平线之后，哎，看，做平线和四 e 啊，长度差不多，连起来平四边形。答案出来了， 但赵老师把所有立体几何，所有内容的啊，构建了一个视频课评论，立体几何，可以拿回去下载打印起来，考试前看上三遍。第一位啊，再也不会丢分。

立体几何里的一些常见陷阱 这道题要求的是意面直线 a， c， e 和 b d， e 所成的角。很多人会直接认为这两条直线是垂直的，从而得出角度为九十度。实际上，这两条直线并不一定垂直，需要通过向量法或构造辅助线来确定。 首先我们设正方体边长为一，得到向量连 gap e 和 b， d， e， 然后计算它们的点击，再除以无穷的乘积，最后得到余弦值，反余弦后得到角度。在处理立体几何问题时，一定要注意空间中的几何关系。 这道题要求的是两个平面的二面角，很多人会直接用点击的结果来算余弦值，忽略了符号的方向。实际上二面角的范围是零到派，我们需要取绝对值， 先计算点击，再除以魔长的乘积，取决对值后反于弦，得到角度。在处理二面角问题时一定要注意符号的方向。 这道题要求的是球的半径，很多人会直接用勾股定律来算半径，忽略了其他可能的解。实际上，球的半径可能有多个解，需要考虑所有可能的情况。 射球星为 o， 连接 o a o b o c。 根据几何关系列出方程，解得二等于一或根号三、 在多步推导中一定要考虑所有可能的解。总结一下，立体几何中要注意空间几何关系、符号方向以及多步推导中要考虑到所有可能的解。 大家可以在评论区留言，你的疑惑我们一起解决。评论区留言，下期想看什么，点赞收藏，我们下期见！

好，这一课我们继续学习新的内容，我们学习立体几何，初步的第一节是棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 那么这一课呢，是我们后边研究几何立体几何的一节非常基础的课啊，就是我们认识这些图形，然后认识这些图形中的一些元素， 然后我们后边呢去研究这些元素的关系。那么首先 空间的几何体，如果我们只考虑这个物体的形状和大小，而不考虑其他元素的话，那么由这些物体抽象出来的空间几何图形就叫做空间几何体 啊，这个概念我们简单了解一些，那么我们后边呢，主要研究的是多面体和旋转体。 那首先什么是多面体呢？顾名思义，那就是肯定由多个面构成的 啊，那这个面呢，就是我们现在所所知道的平面，所以一般的由若干个平面多边形为成的几何体叫做多面体 啊，比如说像以前我们大家熟悉的正方体、长方体啊，由四个面围成，那它就是多面体。好，我们再看还有一类呢，叫旋转体，旋转体呢是由 一条平面曲线绕着他所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面，叫做旋转旋转面，那么这个旋转面围成的几何体就叫做旋转体。 那这个具体的例子呢？比如说像球，这个我们比较熟悉啊，到后面我们学习的时候再具体研究。那这一课呢，我们主要学习关于多面体啊， 那比如说这里给我们举了一些例子，我们先了解一下多面体里边一些相关的概念，比如说这个有多个面，这是由八个面围成的，叫八面体， 那围成多面体的各个多边形就叫做面啊，叫做多面体的面， 然后呢两个面的公共边，我们叫棱啊，以后这个叫棱，那棱与棱的焦点，或者说公共点就叫顶点啊，这是这个多面体的顶点 旋转体呢，比如说这个啊，那我们把绕着这条直线定直线旋转啊，这个叫轴。 好，那我们看一下我们这里主要研究的这个多面体啊，就是棱柱，棱锥和棱台下面，我们看一下什么是棱柱， 那么这概念呢，我们不用去死记硬背，只要在脑子里记住他们的代表图形，然后呢弄清楚里边的一些关键元素的一些关系就行了，对于我们研究立体几何 就足够了啊，我们看一般的有两个面相互平行啊，我们看这两个面，以它为例，这两面相互平行，其余各面都是 叫四边形，并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行 啊，也就说其余的个面你看都相交啊，都四边形，那么它们都有公共边，公共边呢，都是平行的，那这些面围成的多面体，我们就叫棱柱 啊，那这个棱柱呢，我们并不陌生啊，可能在小学初中都已经学过 那里边的相关概念，我们看刚才这两个平行的这个平面，我们叫棱的棱柱的底面，那两个底面肯定是相互平行的 啊，那所以呢，以后我们在解决一些几何问题，几何位置关系的证明判断的时候啊，要注意这两个底面是平行的，是一个隐含条件啊，底面互相平行， 那然后再看侧面，其余各个面都叫侧面，那么侧面有两两相交，那么 相邻的侧面的共边就是侧棱，那么这个地方，哎，侧棱有一些性质，后边我们再说，那再看呢， 它顶点，顶点就是指啊这些棱的焦点，那么看像这个图它有下面六个顶点，上面呢也是有六个，一共是十二个顶点， 那么这时候我们呃写这个棱柱的时候呢，就可以用它的六个顶点啊，十二个顶点去写出来啊，就是 a、 b、 c、 d、 f 杠， a 撇， b 撇， c 撇， d 撇， e 撇、 f 撇啊， 好了，那这就是我们大体上先认识一下这个棱柱啊是什么样子，里边有什么要素，我们来看分类，你像这个 这个呢，我们按多边形的边数分啊边数，那你比如说下面我们数一数，这是一二、三、四、五、六六条面，那六条面， 那他一定有六条棱，侧棱侧棱啊，所以呢我们把这个棱柱就叫做六棱 柱，大家注意六棱柱啊，其实就是他侧棱的条数，所以呢根据这个呢，我们啊还有三棱柱、四棱柱、五棱柱啊，注意这个概念。 然后呢刚才提到啊，还有点没说完，就是 它这个棱柱里面的一些特征，结构特征，除了底面相互平行之外，那么还有一个是侧棱啊， 平行，那侧棱平行的话，那也就是说以后我们可以根据这些侧棱平行啊去解决平行问题。 那实际上呢，这个侧棱平行，上下底面的这两条棱也是平行的，所以呢它的侧面肯定都是一些平行向量，这些性质我们要知。 好，那继续看几个特殊的棱柱，这个是在解决问题的时候经常用的，如果啊一般的这个侧棱与底面垂直的时候，这样的棱柱我们叫做叫直棱柱。 那这个大家一听这个概念，在脑子里应该就有印象啊，就是侧棱和底底面垂直，那肯定给我们有一个直立的这种印象，所以呢，我们把它叫直棱路， 那么不垂直的呢，我们就叫斜楞柱。好，其中直楞柱中，如果它的底面是一个正多边形的，我们就叫正楞柱 啊，那它的定义呢？就是底面是正多边形的，直楞柱叫正楞柱，也就是说正楞柱是直楞柱的一种特殊情况， 那因此支棱柱往往里边隐藏的条件就是侧棱啊，侧棱与底面垂直对的，那正棱柱呢，再加上底面为多边形， 所以正楞柱包含了两个特殊条件啊，好，这是正楞柱。那比如说底面向这个，这个假说底面是正五面形，那我们就说它是正五楞柱啊， 那如果底面是个正三也行，并且侧楞垂直于底面，那就是正三楞柱。 所以大家要注意，以后题题目里面出现这些概念的时候，它本身就是一些隐含的条件 好。再一个呢，就是平行六面体啊，那平行六面体一共六个面，所以我们看它的底面应该是平行四边形的字母叫做平行六面体 啊，比如说像四这个图，底面是个平行四边形，那它可以是斜的啊，也可以是直的，但是呢啊，它一共有六个面，这时候我们把它叫做平行六面体。 好，这是一些特殊的棱柱。 好了，那把刚才的内容稍微一总结呢，就是棱柱我们一般分为直棱柱和斜棱柱啊，这两个是对立的。呃，然后呢，直棱柱里边又包括了正棱柱， 那正楞柱呢，因为底面就是正多边形，所以这个我们要注意。再一个呢，就是这个几种四楞柱之间的关系啊，首先如果一个四楞柱底面是平行四边形，那根据定义它就是平行六边形， 然后平行六面体侧棱于垂直的底面，它就是直的平行六面体。好了，那如果再特殊一点，这个直的平行六面体，它的底面啊，底面 不光是平行的边形啊，底面再是长方形或者叫矩形， 那么这时候它就成了长方体啊，长方体，大家想一想，是不是啊？这个关系我们要注意，那长方体在特殊一点啊， 那么如果它的个面都是一样的，或者棱长度相等，那它又包括了啊，正方体在这里有这么一个关系啊， 那当然我们看这个路线呢，就是侧棱垂直于底面的叫直侧棱柱，然后再把底面弄成平行四边形，就是直平行四边形啊， 那对，还有一种呢，就是长方体的底面是一个正方形，那这样的呢，它也还是一个长方体啊，它外有棱，长相等才是正方体啊。 好，然后再看棱锥的结构，它能那有了前面我们这个呢就比较好说啊，一般的什么是棱锥呢？这个我们应该有这种印象啊，底面是一个面，然后呢上面一个尖， 所以呢，我们给他一个定义，就是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 啊，所以你想一想，那我们随便画一个底面三角形也好啊，四边形也好，画完以后是吧，那么他们都从同一点出发，往它的顶点去连， 那不就形成了一些平面，那么这就构成了一个棱锥啊，所以它的侧面一定是三角形，而底面呢，是一个多边形。 好，那相关的概念呢，就是底面都是多边形，侧棱必须是三角形，并且有公共的顶点，那侧棱相邻侧面的公共边 叫侧棱啊，这个呢，注意，呃，和这个棱柱里边概念差不多啊，因为棱柱里边呢，也是有侧棱，底下这些边呢，也叫棱，所有的棱 啊，那顶点呢，也是各侧面的 侧棱的焦点，或者说啊，这个侧面的焦点公共。 那同样的，我们看对于棱锥，棱锥它的名称啊，首先记住 把底面的写在一块字母啊，然后顶点的单独写在一块，中间有横杠啊，这是三棱棱锥的表示，那么所以它的分类呢，也是和棱柱差不多，就是根据底面多边形的边数 啊，我们可以把它分为几楞锥，那因为刚才我们说了边数是多少，那么他的侧楞就有多少，所以那底面是三角形的，有三条侧楞，我们就会叫三楞锥啊，那同样的，底面是四面形的，就有四楞锥，以此类推， 那底面是正多边形，并且顶点与地面中心的连线，垂直于地面的棱锥叫正棱锥。好，这是一种特殊的棱锥，这个我们要注意啊，比如说我们底面画一个正三角形，然后呢， 底面与中心的连线 啊，因为它底面是正正三角形，所以有中心这个连线，如果和底面垂直的话，我们就把它叫正棱锥啊，那当然再特殊一点呢，就是如果六条边 啊，或者叫六个棱都相等， 那这样的三棱锥，我们就是叫正四面体，对，大家记住啊，正四面体，所以一提到什么是正四面体，那就是各个面都是正态，正态形啊， 六棱相等，也就是各面为正三角形，也就是正面三角形啊。 好，这是正棱锥，那同样的，这是正三棱锥，那同样的，如果底面是一个正方形，那就是正四棱锥啊，以此类推。 好，那棱台我们来看一下，注意这个棱台的概念很重要，那它是什么呢？注意是用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥， 把底面和截面之间的那部分叫棱台。那简单的说呢，就是像这样的一个 啊，这样的一个棱锥，我们用这个 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇这个平行于底面的面去截，那把上面截了一个小的棱锥拿走，剩下的下面呢就叫棱台。 好，所以这个棱台呢，和前面不一样，它区别于前面的概念啊，这个是用棱锥截出来的，所以呢，它就有一个要求啊，比如说我们平时看起来啊，像一些台的啊，但不一定是台， 那什么要求呢？就是棱台的各个侧棱延长以后必须交一点啊， 那所以这里面相关概念呢，我们来看一下，首先这样一节呢，有两个底面，上下底面，那它的关系呢，也是平行的， 那然后侧面都是梯形，相邻侧面的公共边 叫侧棱。然后呢，同样的侧面与上下里面的公共的顶点啊，公共的顶点叫顶点啊，这个棱台的顶点，所以就不说了，那记法呢，就是也是把上下里面的几个字母都写下来就行。 同样呢棱台的分类呢，根据用几棱锥截的，那它的侧棱也是有几条，所以三棱锥截出来就叫三棱台，五棱锥截出来就叫五棱台啊， 好，这就是关于这几种多面体的结构特征，大家可以看到，虽然我们对这些 呃图形的直观印象应该是呃很深，也非常简单，但是呢，我们毕竟要研究的是这些几何体内部的像线面之间的一些关系， 所以呢，这些几何体里面隐含了哪些位置关系我们要弄清楚，这是我们学习的重点，也是以后应用的时候必须的。

考前一百题，今天咱们看一下这个武汉三调这个立体几何题，它呢是区别于咱们传统的方法，传统方法呢，一般是立体几何法还有一个间隙法，那么这里呢，咱们选用的一个方法是基底法， 那么已知体部中的条件，那这样咱可以把边长给它标注一下，那根据边长哎度这个已知，因为它的棱长都是已知的，这样呢，咱可以通过 这个解三角形的问题，通过娓娓娓理把它的夹角求出来。但是这里呢，怎么几何法和这个解析法都不是很好做，所以这里咱们就选用 p p b 以及 pc 作为基点，因为他们的夹角是已知的勾三。 所以第一位咱们在求 m n 的 时候，需要通过 m n 所在的三角形，比如说三角形 p m n 来做，那么要解决 m n 的 话，那首先我要求出来 pm 以及 pm 的 长度，因为 b p c 可以 通过预先定义做，所以呢咱们通过观察可以分别求出 a p m b， p c 以及 a p c 它的共三值，那么进而可以得到在直角三角形 p a m 以及直角三角形 p n 里求出 p m 以及 p n 的 长度， 然后转化到三角形 p m n 里面，利用余弦定底，就可以得到 m a 方等于 p m 方加平方减去二倍的 p m 乘 p n 再乘口三角 b p c。 那 么再看第二问，求三棱锥体积的话，那么咱需要还是回到咱们之前讲过的体积问题哎，它的具体的一些方法， 割补法等体积法哎，体积比例也有比例转化以及间隙公式，那么刚才这个题呢，它间隙肯定是做不了，那么第二个体积，这个等比例法，通过转顶的一形式啊，它也无法转出来，因为它的底面积，包括它的高都不是好求的，所以这里咱会想到一个体积比例，因为在这里知道这个 p a m n， 它的体积好求，那么根据小的三棱锥的体积与大的三棱锥的体积比值，那这样式呢，就可以得到它们之间的体积关系，因为这个体积呢，它就等于三分之一底面积 a m n 乘以高撇。 那么根据第一问，咱们求的这个口三值，就可以利用哎他们边长之间的关系，求得这个小的三棱锥的体积。 所以说这个小体积，小三角形的体积和大三角形的体积啊，咱们就可以通过它们之间的关系，其实就是底面积之比，变成了三角形 p m a 与三角形 p b， c 之间的关系，再代入咱们的面积公式，这样就可以求出来。哎，它的题第三题呢，它这个题啊，这个求解法向量的方法还是用基底法，一旦涉及到面的话，那肯定是要求它的法向量，所以咱们这里设这个平面 p a b 的 法向量， 那因为这里没有坐标嘛，咱就写成 x 倍的 pa 加 y 倍的 pb 加 z 倍的 pc， 因为这是一组基底，还是根据咱们求法向量的方法，法向量乘以 面中的两个向量等于零，求得法向量。当然了，你在这里，因为它有一个 pa 垂直于底的关系，你也通过题目中找寻它的条件，进而得到一个直角坐标系也可以。 那通过题目中啊，这个 a m 等于 m n， 这样咱可以通过这个呃， a n 的 这个中点作为圆点， 进而建立一个坐标系，哎，写着坐标啊，它可以也可以解决，所以说咱们回头来看这个题目，它就是处在这个题纲里的某一个方法，所以说你现在要做的一个事情就是把你的方法一定要体系化， 这样在面对一些比较陌生的题目的时候，这样就不会出现没有思路的情况，你学会了吗？

同学们大家好，我是来自浙江省三门中学梅雨老师，很荣幸这节课能和大家一起来学习立体几何中的四心问题。 那学习立体几何四心问题之前，我们先复习平面几何中三角形的四心问题，我们一起来看一下三角形的四角点。三角形的三条角平分线相交于点，我们把它叫做三角形的 内形，它的性质是到三边的距离相等。第二个是高线的交点，三角形三条高交一点，我们把它称为三角形的垂心。第三个是中线的交点，三条中线相交一点，我们把它叫做三角形的重心。 第四个是垂直平分线的交点，三条垂直平分线相交一点，我们把它叫做三角形的外心， 它的性质是到三角形三顶点的距离相等，那么我们已经知道了三角形的四心，那么我们拓展我们的四心，从我们的二维到我们的三维。 我们通过第一个例子来看一下三角形 a、 b、 c 所在平面外点到到 c、 a、 c、 b 的 两边的距离相等，那么点到在平面 a、 c、 b 的 内部，那么 f 经过三角形 a、 b、 c 的 什么心？ 好，我们来看一下。在这个三点锥中，我们稍微放大一点来看一下。现在按照提议，我们过 d 点做 c、 a 和 c、 b 的 垂线。 好，我们先做 c、 b 的 垂线，把垂足记为 f， 然后再做 c、 a 的 垂线，我们把垂足记为 e 点，那么按照提议，我们要找到零点 d 在 底面的垂线垂足，我们把它记为 h 点。好。然后呢，我们再连接 h 和 c， 那么还有 h、 e 和 h、 f， 我 们把这三个连接起来。好，那在这个图中我们清楚的看到了这个角是直角，这个角也是直角，那么因为已知告诉我们导 e 是 等于 f 的， 那么我们看到了导 e 和 f 呢，都在三角形 r h e 和三角形到 h f 中。好，在这两个三角形中，我们看到了这两个三角形是什么样的三角形呢？啊？因为刚才我们讲到了我们到 h 呢是垂直于底面的， 这样子我们就得到了到 h 垂直于这个平面的所有的直线，当然我们在这里能够得到到 h 呢垂直于 h f， 那么 d h 呢？又垂直于我们的 h e， 那 么现在我们就看到了这两个三角形是一个直角三角形哦，因为 d e 等于 d f， 我 们又看到了 d h 呢是一条公共边， 那么这样子我们就知道这两个三角形是全等的三角形，全等我们就可以知道 h e 呢等于 h f h e 等于 f h f， 那 么这两个相等，那么 h e 我 们看到了和 a c h f 和比 c 到底有着怎样的关系呢？那么在刚才垂直底面的过程中，我们也能看到到 h 还和比 c 是 垂直的， 那么导 h 呢？同底和 a c 也是垂直的，好，那我们看一下导 h 呢和我们的比 c 垂直，那么刚才我们做的过程中，我们又知道导 f 也垂直于 b c， 好，那我们看到了到 h 呢和到 f 呢是相交一个点的，所以通过这两个我们就可以证明到 h 呢作在的平面，也就是 b c 垂直于平面，到 f h， 好， 看来我们在这里又能得到 b c 和 h f 是 垂直的， 那么同理可得我们的 a c 是 垂直于我们的 h e， 好， 这样子，我们又看到了现在 h 点到 b c 和 a c 的 距离相等，到这两个的距离相等，那我们看到了已知告诉我们这个点， 那我们看到了它在角 a、 c、 b 的 内部，那我们就可以知道到两边距离相等的点应该落在这三角形的内心啊，这个是内心到三边的距离相等啊，那么也就是说它一定经过三角形 a、 b、 c 的 内心啊，这是我们看到了到两边的距离相等， 那当然我们也可以推广到三边的距离相等，那么这个图形中我们看到了它的特征。好，那么接下去我们看下一个。好，现在呢，到是三角形 a、 b、 c 所在平面一点，它到三顶点的距离相等，我们看一下。 好，现在我们把这个图稍微放的小一点，我们来看一下它到三顶点的距离相等，那么接下去我们看到了三顶点距离相等， 现在呢，好，我们连肩加印的 f 和 abc 啊，那我们看到了在这个三角形中啊，它到三顶点的距离相等，那么现在顶点在地面的射影是 f 点，那我们可以看到多少 f 呢 啊？多少 f 呢？是垂直于底面的啊，垂直于底面 abc， f 垂直于底面，那么我们看到了 f 和这个平面内所有的直线都垂直，所以呢，我们看到了它和底面内的，我们看到了 a f 啊， b f， c f 都是垂直的，所以呢， f 呢？垂直于 a f 也垂直于 b f 啊，到 f 呢，还垂直于 c f， 那 么也就是说三个三角形，到 a f， 到 b f 和到 c f 这三个三角形 啊，这三个三角形我们看到了它有一个公共的直角边到 f， 而且呢，我们又知道到 a 等于到 b 等于到 c， 因为一次告诉我们哦， a 等于 b 等于 b， c， 这是已知告诉我们的，所以我们就看到了这三个三角形是全等的关系啊，三个三角形全等，那我们就可以知道 b， f 等于 c， f 等于 d， f 啊， b， f 啊，我们就可以知道 a， f 等于 b， f 等于呢？ c， f。 好，那么这样子，我们在这里见到了三角形内有个点到三顶点的距离相等，那么我们根据刚才平面几何知识的复习，我们就知道 f 呢，应该是三角形 abc 的。 好，我们就记得了，是它的外心到三顶点的距离相等。 好，这是我们看到了到三顶点的距离相等，我们可以得到顶点在底面的射映，是它的外心。 好，接下来我们来看第三个例子。好，第三个例子，我们先看条件， 二面角 d， a， b， c， d， a， c， b， 还有 d b， c， a， 它们的大小均相等，那么三棱锥的顶点 d 在 底面三角形的射影我们看到了，我们只有记为一点，它应该为三角形 a， b， c 的 什么心呢？ 好，那我们来看一下，现在呢，我们看到的是三个二面角的平面角相等，那三个二面角的平面角相等，那我们只能去做出二面角的平面角。好，那我们先来看一下，过多少点呢？我们去做体面的垂线。 好，那么我们把相应的垂足我们记为一点， 然后呢，我们过多少点做 ab 的 垂线，做 ab 的 垂线。好，那把垂足我们记为 f 点，然后呢，再过多少点做 b、 c 的 垂线， 那么把垂足我们记为 g 点啊，最后我们过多少节做 a c 的 垂线，那么把垂足我们记为 h 点。好，那么接下去这三个垂线我们已经完成了，那么连接我们的 e f， 连接 e f， 再连接我们的 f g 啊，再连接我们的 e h。 好，三个连接之后，我们来看一下，现在我们先去说明一下这个二面角的平面角的问题。好，在这一个图形中，我们放大一点来看一下，现在我们能否直接通过刚才的作图来说明一下。 好，刚才我们刚才做的是相应的 bar f， 这一个是直角，这一个也是直角，这一个也是直角。 好，现在呢， bar e 又垂直于底面，跟我们刚才说的一样，那我们得到了这些角也都是直角。 好，这个角也是直角，那么当然这个角也是直角。好，这三个角都是直角，那我们看到了 dot e f， dot e h 和 dot e g， 它三个都是直角三角形，那跟我们刚才一样， 现在按照我们上述，我们可以呢，能否去证明一下， e f， e g 和 e h， 它们三都垂直于相应的对应的这条边，那我们先证明一个，其他就同理可得就行了。好，那我们先看，刚才我们已经说到了，我们的导 e 是 垂直于平面的， 垂直于平面 a b c， 那 么导 e 就 垂直于 e h， 那导 e 垂直于 e h， 那 么当然导 e 呢，也是垂直于我们的 a c。 好， 刚才我们做的过程中，我们是导 h 呢，是垂直于 a c 的。 好，我们在这里看到了，现在呢，根据这两个 导 e 呢，加上导 h 呢，是等于点到的，所以我们看到了 a c 垂直于这个平面内的两条相交的直线，我们就得到 a c 垂直于平面导 e h， 而 a c 垂直于这个平面，那当然 a c 应该垂直于这个平面内所有的直线，我们就得到 a c 是 垂直于 e h 的 好， a c 和 e h 垂直，那么同理可得，那我们的 e f 好， 也就垂直于我们的 ab， 那么还有我们的 e g 呢，也垂直于我们的 b c 啊，这样子的话，我们就得到了一点到三角形三边的距离相等，所以我们可以判定一点是三角形 a b c 的 啊，那我们同学也知道了是它的一个类型啊，那么我们来看一下， 在这个图中，我们清楚地证明了这个点，那么这个图形我们可以在其中通过任何的位置可以去判断它这一个一点是它的一个什么心 啊，这是我们的第三个例子，我们看到了二面角平面角相等的话，那么接下去我们通过刚才一起来看一下，如果点到到三边的距离相等中，已经一起把它解决掉了， 我们可以确定它是三角形。好，同学有没有记得它是它的什么心呢？ 好，那么回答非常好，我们就讲到这里，那我们现在去看第五个例子。好，第五个例子我们看一下，如果 h 呢是三角形 a b c 所在平面外一点 h a h b h c 两两垂直，而且呢是相等的， 我们看这三个相等，而且呢是两两垂直，那么我们要确定 h 在 地面上的射影 g 是 它的什么星。首先根据我们刚才三个， 也就是顶点 h 到三顶点的距离相等。好，大家还记得应该 h 呢，是我们顶点在地面的射影，这一个 g 应该是它的一个。好，我们就知道了，是一个 y 形。 好，现在呢，它又是两两相等，我们看到了两两相等之外有两两垂直，所以呢，三角形 h a、 b 和我们的三角形 h、 b、 c， 还有三角形 h、 a、 c， 我 们看到了这三个三角形它们的关系， 它是三个对应直角边都是相等的，而且又是个直角三角形，所以三直角三角形是全等的直角三角形啊，这样子的话，我们又可以知道底面 a、 b、 c 和 c a 是 相等的，也就是说三角形 abc 是 一个等边三角形 abc 的 话，那当然我们的外心也就是我们三角形的中心， 所以呢，我们在这里的话，碰到这样一个特殊的三角形，直接可以得到它是它的一个中心啊，这是我们对于第五的第一个小题，那接下去我们看第五个第二个 h 呢，是三角形比数在平面外一点，那我们看到了，现在是对棱啊，对棱 h a 和 b c， 我 们看到了 h a 和 b c， h b 和 a c， 还有呢，我们的对棱啊，我们看到了。 好，那么 h c 和我们的 a、 b， 它们是两两垂直的。问，顶点 h 在 底面的射影距应该是三角形 a、 b、 c 的 什么心？好，现在我们 好，我们来看一下这一个图形，现在呢，通过对等相等，我们假设呢，顶点 h 在 底面的射影 o 是 底面三角形，我们看一下射影是 o， 它应该是三角形的什么心呢？好，我们先同样来做出相应的， 按照题中的条件，我们先来做一下过顶点 h 做底面的垂线，那么然后呢，把这个垂足我们记为 g 点啊，再我们画出 啊，那么连尖 a g 并延长，相交于 b c， 然后再连尖我们的 b g 并延长，也相交于 a c 啊，再连接我们的 c g 并延长啊，相交于 a b， 那 么相应的，我们来看一下，把相应的 这个点和这个点和 h 点连接一下，我们把这个点呢记为多少点？ 好，那么再连接相应的 h 和这个交点，把这个点呢，我们记为 e 点，然后呢，同理我们把这一个 h 和 a c 的 这个交点连接一下，把这个点呢记为 f 点好，那我们看一下，在这个图形中， 好，我们可以呢，从不同的面来看一下它的特征。好，现在呢，我们得到的是对棱垂直。好，那我们要得到顶点在底面的摄影，应该是它的什么心 好，对棱垂直，那我们通过一组对棱来看一下它的特征，刚才我们做了一个 h g 垂直于底面 啊，垂直于平面 a b c， 那么 h g 就 垂直于这个平面内所有的直线，那么我们就得到 h g 呢？所以呢，是垂直于我们的 b c 的 h g 垂直于 b c。 已知又告诉我们 h a 是 垂直于 b c 的， 那我们看到了 h g 呢？加上我们的 h a， 它是等于 d h 的， 那么我们就可以来得到 b c 是 垂直于平面， h a e 好，那么如果 b c 垂直于这个平面，那么 b c 垂直于这个平面的所有的直线，当然我们就得到了 b c 是 垂直于 a e 好， b c 垂直于 a e， 那 么同理可得，我们就可以得到 我们的 b f 呢，是垂直于 a c 的， 那么我们的 c g 呢，是垂直于 a b 的， 好，那我们就看到了它是三角形，三条高的角点，那么我们就知道了顶点 o 在 地面的射影应该是它的一个垂心， 好，那么我们在这个图形中已经看到了对人垂直得到的顶点在地面的射影应该是它的垂心。好，这是 我们对于对人垂直这个问题，那我们就讲到这里。好，那么我们看一下今天我们同学你收获了什么呢？好，那么首先我们同学看到在三人追中我们学到的是，好，那么我们今天的课就讲到这里，同学们再见。

来到立体几何这一章节，那么这一章节我们今天首先要学习的是第一大类型题目，也就是求一些常见立体图形的体积，那么这个体积的求法有很多种，我们通常来讲常见的就是公式法 等体积法，分割法还有割补法，我们今天来先看第一种，也就是非常好用的公式法， 对于这种方法，我们只需要记住他们的体积的公式就可以。做一些题目来看这道题目，他告诉我们了这是一个正四棱台，上底面的边长和下底面的边长分别是二和四啊，告诉我们了侧面面积为十二倍根号三， 这大家要注意这个侧面面积是十二倍根号三，其实指的是我们的总侧面面积，也就是代表的是四个侧面面积之合是十二倍根号三，那其实每一个侧面面积其实就应该是我们的三倍根号三，这大家要注意这是一个易错点，那么我们 知道棱台的公式是什么，是上底面积加下底面积加他俩乘积开根号，再去乘以一个棱台的高。 在观察这个题目中，可以发现上底下底边长都告诉我们了，那所以对于前面这个括号里的所有东西，我们都已经可以解出来，那么这个题的当务之急就是要去解到棱台的高， 也就是这条高，我们假设是 o o 一 吧，要解这个高，那么我们就知道还有一个条件没有用，是十二倍根号三，侧面积是十二倍根号三，那每一个侧面就是三倍根号三， 三倍杠二三能做出来什么东西呢？我们知道棱台的侧面其实应该是一个梯形，那么它上底加下底乘高除以二，是不是可以算出来我们侧面面积的高，它的 s 应该会等于二分之一 bc， 再加 b e c e 再乘以 h 等于三倍根号三，我们可以解出来这个 h 其实应该会等于根号三，那么如果 h 是 根号三，就代表着我们可以把这个图形抽离出来，这是我们的 o o 一， 这个地方是我们高的 斜高的一个点，就是这是我们 bc 边， bc 边的点，那下面这个地方应该是我们的 bc 边的点，然后我们可以求出来的东西是谁？是不是求出来这个高是我们的 根号三，那这个高如果是根号三，我们要去解的是 o o 一 的话，我们按照初中的几何方式完全都可以解决它。我们只需要知道，我们假设这地方是个 p， 这是个 q， 我 们只需要解决 o p 的 长度和 o q 的 长度就可以。那么我们知道 o p 的 长度，它其实应该是在 底面面积中的这部分，它应该是底边边长的一半，所以它应该是一 o q， 就 理论来讲应该是上底面边长的一半，就应该是二。 好，那我们解决了以后，这个高是不就变成了一的平方？ o q 减去 o p 的 平方，再加上 o o 一 的平方会等于 p q 的， 所以 o o 一 会等于根号下， p q 的 平方是三就是三，减去一等于根号二。好，那现在我们的所有条件都可以出来了，那么就可以去求它的体积，体积就应该是三分之一，上底面面积是四，下底面面积是二，中间他们的底面积乘积分别是四 乘以二，再去乘以根号二，我们直接把它算出来，就是三分之二十八倍根号二，所以这个题目选到 a 选项。

高一下学期的数学就俩字，几何解，三角形、平面向量、立体几何、直线圆，就这些东西拿出来之后，当当当全都是图形。 所以很多孩子上学期被函数略的够呛，还没等喘口气呢，这学期几何又压过来了，所以很多孩子可能脑子没有转换过来，他还在用之前对代数的学习理念去研究几何，所以他就会啃不动，那么就很容易崩。 那么接下来杨老师告诉大家我们怎么去培养孩子的几何思维，今天开始就带着孩子照着这个方法去做。第一，一定是画图， 画图还是画图就是你几何题，你不画图就相当于是上战场，没带地图，不管题目给没给你图，你自己也得画一画。其实你画着画着，你就能看到那些隐藏的几何关系，你比如平行啊，垂直啊，各种各样的特殊位置关系啊，你的眼睛看到了图，你才能想到他的思路。第二， 要从算变成推你像你在数问题当中，往往设一个未知数列个方程你就去解，但是你到了几何这一部分，你是要拆解它的逻辑链条，从 a 怎么到 b， 从 b 怎么到 c， 整个这道题，从它的解析过程步骤到它整个的逻辑链路是什么，这个是你一定要推理出来的。 所以每次做完几何题之后，你不要光看算的对不对，你更主要的是要看你的逻辑推理对不对，你的解析炼录越清晰，你的做题就会越准确。第三点我们也要记一些几何模型，就是你一道几何题，你再复杂，它也是用一些基础的几何图形组合到一起的， 其实就有点像乐高，每一个小拼图，你得知道它是怎么回事，你才给它拼起来。你像立体几何当中的墙角三棱锥啊，你像解三角形当中我们学过的像什么？两边一对角，两角一对边，那平面向量当中什么鸡爪模型啊， 各种各样的模型，你也要记一些，你把这些基础的图形刻在脑子里，你看到复杂的图形，你才知道怎么去拆解它。最后说一句，其实几何啊，它远比代数的思想去研究几何， 所以现在赶紧调整你的大脑，把你从一个代数模式调整成几何模式。大家可以在评论区里留言几何，我把我会总的几何模型分享给大家。

本期视频来看高一数学立体几何涉及到面面平行作图找动点轨迹的问题，看这道题，如图，正方体能长为二， e 为 b d e 的 中点 f， 这里没有标出来 f 是 在侧面上的一个动点， 并且 b e、 f 是 平行于平面 a e b e 的， 这里 a e b e 是 一个不可见的面，我用虚线连接 就是一个蓝色的平面，现在问 f 在 右侧面上的轨迹的长度，首先咱们突破点从哪开始找呢？就是 bef 平行于这个平面 a 一 b 一 b 一 是一个定点， f 呢是动点，是在右侧面上的一个动点， 怎么找他的运动轨迹呢？直线和平面平行想到这条直线所在的一个平面，如果和这个蓝色的平面平行的话，那么 就能推出这个 b e、 f 在 面内也是和蓝色平面平行的，对吧？那首先我要找到一个过 b e 点，并且平行于平面 a e b e 的 一个平面，怎么找？面面平行， 两条相交直线分别平行于面内两条相交直线，那么就可以推出来面面平行，对吧？所以我首先过 b 一， 先找到第一条和蓝色平面边线平行的直线， 那你很显然这个 a e、 e 能不能找到呢？和它平行的线呢？啊？我在 c c 一 上找中点，比如说 f 一， 我连接这个 b e、 f 一， 很显然它是平行于 a e、 e 的， 对吧？找到了一条，然后再找一条 和这个蓝色平面的一条线平行的相交线。那现在这个 a 一 b 观察一下这条线 过 f 一， 能不能找到 a 一 b 的 平行线呢？ a 一 b， 它是侧面的对角线，对吧？呃，我现在在找一个终点 c 一， 第一的终点 f 二，那我连接 f 一 f 二，它肯定是平行于 c 一 的， 而 c d 又是平行于这个 a、 e、 b 的， 所以 f 一 f 二这条线也是平行于左边对角线这个 a、 e、 b 的 吧，所以找到了第二条相交平行的线啊，那么连接 b e、 f 二， 那么现在这个红色的三角形所在的平面就一定平行于这个蓝色三角形的平面吧。然后呢，他说这个 b、 e、 f 是 平行于蓝色平面的，这个 f 已经确定了啊，这个红色的平面和右侧面是相交于线 f 一 f 二的， 那肯定这个 f 一定是在 f 一 f 二上的一个终点，对吧？那它的轨迹就是 f 一 f 二就能求出来了。好，咱们写下简单的过程啊。首先怎么做的？这个面面平行，首先在这个呃， c、 c、 e 上找一点，找个终点 f 一 啊，因为这个 b e、 f 一 是平行于 a、 e、 b 的， 然后根据两条相交线啊，这个 bef 一 交 f 一 f 二是等于 f 一 相交于 f 一 点，然后同样 a e 和 a e、 b 相交于 a e 点，并且 这个 bef 一 f e、 f 二是在平面 b e、 f 二内，然后这个 a e、 a e、 b e 内啊，这么多条件同时满足推出啊，这个红色的平面 b e、 f、 e、 f 二是平行于蓝色平面 a e、 b e 的 吧。然后呢，又因为平面有个 b e、 f、 e、 f 二和右侧面的交线就是线段 f e、 f 二，并且要求这个 b e、 f 是 平行于 a e、 b e 这个平面的，所以这个 f e、 f 二就是点 f 的 运动轨迹。那怎么求 f e、 f 二比较简单，连接 c d 一， 那很显然，这个 f e、 f 二应该是平行且等于二分之一的 c d 一 啊。 cd 一 呢？就是二倍根号二代入以后，最后结果就是根号二，这道题就做完了，大家理解了吗？

好，我们今天来看这道题目，他给我们给了一个母线长为 a 的 圆锥的侧面展开图为半圆，然后里面放了个圆柱，他说圆柱的侧面积最大时，让我们求圆柱的体积。 那第一个东西，我们通过前面的第一句话，可以求出来一些关于圆锥的信息。我们可以求出来圆锥的半径，他应该会等于 二分之 a， 这怎么求呢？其实就是让我们的二派 r 等于二分之一，再乘以二派 a。 哎，这东西解出来 r 应该等于二分之 a， 那 么圆锥的底面半径知道，我们就可以知道圆锥的高， 圆锥的高带三角函数，我们可以解出来它是二分之根号三 a， 这是关于圆锥的两个信息。那么我们现在要关于求一下圆柱，他说圆柱的侧面积最大，那就是要知道圆柱的侧面积公式是什么东西。 对于圆柱来讲，它的侧面积其实展开以后是个长方形，长是它的二 pi， r 宽是它的高，所以侧面积最大就是要求的是底面半径和 h 的 一个关系。那么我们这个题目 就要去求解圆柱的底面半径和圆柱的高的一个关系。好看，旁边这个图，上下两个三角形肯定是相似的， 所以我们设圆柱的半径为 r 为 r， 一 高为 h， 那 么我们可以得到，由于相似得到两个关系式， r 一 比二分之 a 等于二分之根号三 a 减 h， 比二分之根号三 a 就是 上下两个三角形相似的比例式，那么我们就可以得到 r 一 等于根号三分之 二分之根号三 a 减 h， 这是一个 r 一 与 a 的 关系， r 一 与 h 的 关系。得到它以后，我们就要去求一下这个测面积， 它的测面积其实就是二 pi r 一 乘以 h， 那 么把它化解，它应该是根号三分之二 pi， 然后乘以 h， 再去乘以二分之，根号三 a 减 h。 观察后边这个部分， 后面这个部分明显是可以使用基本不等式的，原因是因为他们两个的和是一个二分之二，三 a 是 个定值，而且 h 是 正的，二分之二三 a 减 h 也是正的，因为是你的高，不可能比圆锥的高更高嘛。所以后面这个部分肯定也是个正的， h 等于 二分之，根号三 a 减 h 十。哎，这个东西有一个最小值对吧？有一个最大值是多少不重要，我们不用求它，我们只需要知道它的这个高和 a 的 关系。高是四分之根号三 a， 我 们就可以求出来 r 一 的关系， r 一 我们带进去求，这就是四分之一 a， 那么它的体积 v 就 等于底，面积乘以高 pi r 一 方，再乘以 h 等于四分之根号三 a 再去乘以十六分之 pi， a 等于六十四分之根号三 pi a 三。好，那这个题目就选到 a 选项。

好，我们来看一下这道关于球的题目，他说点 a 是 球球面上的一个点，过 o a 的 中点 o e 做了垂直于直线 o a 的 平面，我们先把图大概画一下，过 o e， o a 的 中点 o e 截一个面，他截完大概就是这个样子， 结完以后呢，他说这个结的平面面积为九派，让我们求球的表面积，那么球的表面积我们肯定要知道半径，这个大半径就是我们的 o a， o a 正好又是二倍的 o e a， o e a 和我们的这个小圆的半径又可以连立成一个直角三角形，我们就可以解了。所以这个题目首先先通过被结的圆面 九派可以先推出来。我们小 r 的 半径应该是三小 r， 如果是三的时候，我们在这找一个点，那么这个长度就是三，再连接 o 和这个点，比如我们点 b 吧，连接 ob， 连接 ob 以后，我们的大 r 就会等于根号下 o o 一 的平方加上三的平方， o o 一 正好是我们大儿的一半，那就是二分之儿的平方加上三的平方， 我们可以解出来这个儿儿等于二倍根号三，那么我们只需要带进去求我们的 s 就 应该等于四派，儿方等于四十八派，所以选 c 选项。

立体几何的小压轴？是的，这个题目还是有点意思，因为他的特点就是我们把题目审完了之后，虽然知道他在问啥， 可是最开始不知道怎么下手，但是他有很明显的特点就是如果你能勇敢的把图画出来 啊，把线索标到明面上去，那这个题目就会越来越简单。 ok， 先把题目审一遍，有一个二面角是四分之派，然后呢？ o 点呢？在 ab 上， ab 是 谁呀？ ab 是 这两个面的交线是吧？点 p 呢？在阿法平面内。点 q 呢？是在北塔平面内 角 p o a 等于三十度，让我们在这样的基础之上求角 p o q 发音的最小值。 ok， 我 把图画出来了，求角 p o q 的 最小值。立体几何， 我把图画出来，你的角 p o q 不 在格纳吗？就问这个角什么时候最小呗，对吧？ 怎么办呢？怎么办呢？是不是我们在学最小角定理的时候，最小角是不是我们教材里的？他是讲的啥呀？他说有一个斜线，有一个斜线和我一个平面，他的夹角 什么时候最小？是不是斜线和平面的夹角最小的是线面角呀？是线面角吧。好，那线面角的范围是零到二分之派喽。也就是说你这个角 p o q 最大，最大的时候是二分之派。那如果让我求这个三音的最小值，不就等价于让我找 p o q 啥时候最小吗？嗯，根据最小角，那你这个角 p o q 是 线面角的时候，它不就是最小吗？ 是吧？那啥是线面角？过点 p 做我北塔平面的垂线吗？然后这个角就是线面角了吗？那也就是说我的点 q 跑到这里来的时候，你的当 p q 垂直于北塔平面，那你的角 p o q 就 最小了吗？此时此刻，因为我的线面角是零到二分之派的，所以你的塞音角 p o q 就 成了最小的吗？是这样吧， 那有了这个，把最小的地方都找到了，你再来去求它的塞音值，那不就是简单之极吗？好，把已知线段省一遍。 这个角 p o a 是 三十度，然后线面角是多少度？线面角是四分之派。那我过点 p 做 ab 的 垂线喽， 对吧？线面角吗？做交线的垂线，同时我过点我，我连接这个 q， 假设这个交点是 h 点，那这个角不就四分之派了吗？没问题吧？二面角。 所以呢，第一个，你的三角形 p q h 中，那我的角 p h q 是 等于四十五度的二面角， 因为你的 p q 是 垂直底面的，所以 p u 肯定会垂直 q h， 是 吧？好，此时此刻，我只要把我的 这条边求出来，再把我的 p o 求出来，那你的三英值不就求出来了吗？因为这个角是我最小的那个角。好， 给了你条件，给了你线索吗？给，没有给你任何边线段的长度。那我设一个呗，我设它为二 m 呗， 可以吧？设 p h 等于二 m 啊。在我的三角形 p q h 中，它是个等腰直角， 所以你的 p q 是 不是会等于二分之根号二倍的二 m 呀？那会等于根号二 m 哦，这个边是根号二 m。 好， 又，因为你这个角是三十度，你这个 p h 是 垂直于 ab 的， 因为我做的是 p h 垂直 ab 啊，那你这个三十度，那你的 p h 三十度的对边等于斜边的一半二分之 p o， 所以 你的 p o 是 不是得等于四 m 了呀？ 好，那所以你的三阴角 p o q 不 就会等于对边比斜边根号，二 m 比上四 m 等于四分之根号啊？做完 确实不精细琢磨吧。那首先我们看到这种求最值立体几何求最值的题目，你肯定要把图画出来，然后把这个角给我找到，然后尝试着去看一看这个角在什么情况之下它会变成最小吧。 你只有这样的一个逻辑走下去，你才有可能把这个题目做出来吧，去吧。 当然了，如果你忘记最小角定理的话，其实我们在考场当中，如果你能够把图画出来，你照猜你都能猜到，肯定是当 p q 垂直于北塔平面的时候，你这个 p o q 这个角是最小的。 那最大的时候呢？最大的时候不就等价于你 o q 垂直于 p o 这个角是九十度的时候吗？线面角，线面角最大也就是九十度啊，是吧？ ok， 好， 我们这个题就分享到这里，拜拜。