六下数学解比例课时练3536

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的反比例。前面我们学习了什么叫正比例的量， 什么叫正比例关系，还记得吗？两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。只要两个量的比值一定，并且是相关联的，那么这样的两个量就是成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。 那如果用式子表示正比例关系， y 比 x 等于 k， k 一定就证明这两个量的比值一定，所以成正比例关系。既然有正比例，那一定就有 反比例。那什么叫做反比例的量和反比例关系呢？一起来看。例二，把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。容器的底面积与水的高度的变化情况如下表， 容器的底面积是十平方厘米，水的高度是三十厘米，容器的底面积十五平方厘米，水的高度二十厘米，底面积二十高十五。底面积三十高十，底面积六十高五。 你们发现了什么？对，随着底面积的增大，我们发现水的高度在逐渐的变小。那好，请根据上表回答下面的问题。第一，表中有哪两种量呢？对，一个是容器的底面积，另一个量是水的高度。 那么水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的呢？大家观察表格，在体积不变的情况下，底面积越来越大，而水的高度却是越来 越小，所以我们得到水的高度随着容器的底面积变大而不断变小， 计算相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？我们一起来看，底面积是十，高度是三十，体积三百，底面积十五，高度二十，体积三百，底面积二十，高度十五， 体积三百，三十乘十三百，六十乘五三百。孩子们，你们发现了什么？我们发现他们的乘积都是三百， 那这个三百他表示的是什么意思呢？对，实际上就是倒入容器的水的体积，体积不变，那么用式子表示他们的关系就是底面积，乘高度等于体积， 体积一定，底面积不断的增大，水的高度逐渐的减少，但是他们两个的乘积一定。像这样 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做乘反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 判断两个量是不是成反比例关系，我们要看什么？对这两个量的乘积一定，那么这两种量就是成反比例的量，他们的关系就叫反比例关系。在上表中，高度和底面积这两个量就是成反比例的量， 高度与底面积之间的关系就成反比例关系。那如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积，乘积一定反比例关系，那我们就可以用这样的式子来表示， x 乘 y 等于 k， k 一定，乘积一定，就证明这两个量成反比例关系。那根据反比例的意义，孩子们，你能举出生活中乘反比例关系的例子吗？ 来看，小梅举了，如果长方形的面积一定，长与宽乘反比例关系是这样的吗？我们知道，长乘宽等于长方形的面积， 面积一定，那就是长和宽的乘积一定，所以长和宽乘反比例关系。小兵举出例子，如果总价一定，价价与数量乘反比例关系正确吗？因为单价乘数量等于总价， 总价一定，那就是单价和数量的乘积一定，所以单价和数量成反比例关系。孩子们，你还能举出生活中哪些成反比例关系的例子呢？ 好了，孩子们，我们学习了正比例关系和反比例关系，那么他们之间有什么相同点和不同点呢？接下来我们来比较一下， 不管是正比例关系还是反比例关系，他们的相同点都是都有两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，那他们的不同点呢？ 正比例关系，两种量中相对应的两个数的什么一定对比值一定，而反比例关系呢？两种量中相对应的两个数的乘积一定。正比例关系用字母来表示就是 y 比 x 等于 k， k 一定，就是比值一定。 反比例关系用字母表示就是 x 乘 y 等于 k， k 一定。两个量的乘积一定。所以两个相关联的量， 判断他们是成正比例关系还是成反比例关系，关键看什么对，是比值一定还是乘积一定？ 好了，孩子们来总结一下，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？首先，我们理解了反比例的意义和反比例关系。另外会判断两种量是否成反比例关系。两个条件，第一， 两种量相关联，第二，两个量的乘积一定。接着我们还根据反比例关系能够解决生活中的实际问题，大家继续思考。正比例关系的图像还记得吗？是从原点零零发出的一条射线， 那么反比例的关系图像会是什么样子呢？请孩子们阅读课本第四十六页，你知道吗？这一部分内容相信你一定会有新的收获。

今天我们来做解比例，解比例和解方程一样，首先我们要写上一个解， 然后利用比例的基本性质把它转换成方程。比例的基本性质是，外向之积等于内向之积两个外向是 x 和三十二，内向是八和十二，外向之积就可以表示为三十二 x， 然后等于内向之积就是八乘十二，三十二 x 就 等于九十六。 然后我们同时两边除以三十二，那左边除以三十二还剩 x， 右边是九十六，除以三十二，那么 x 就 等于三。第二个同样的，先写上减， 外向之积是五分之二乘 x， 那 就是五分之二 x。 内向之积是七分之一，和二分之一 相乘，那么五分之二 x 就 等于十四分之一， x 就 等于十四分之一。除以五分之二计算得 x 等于二十八分之五。最后一个 这种比例是分数形式的，那我们运用的是交叉相乘，带 x 的 放在左边，那就是七十五， x 等于一点二乘二十五， 七十五 x 就 等于三十。两边同时除以七十五， x 就 等于三十，除以七十五， x 就 等于五分之二。

来喽，今天我给大家带来几道特殊的方程，没错，是我们学的比例，那么求出比例中这个未知的项，也叫做解比例。好，今天就用扇子老师的秘诀教大家学会解比例。 我们首先要知道解比例的依据是比例的基本性质，也就是说两外向之积等于两内向之积。那这样的话，我们就要先分清楚谁是外向，谁是内向。好，首先我们把他们的队友连起来，然后写上解， 根据两外向的积等于两内向的积，我们可以把这个比例变成一个乘积相等的式子， 也就是七 x 等于三十六。那这样的话，我们再根据乘法中各个量的关系， x 作为一个乘数就等于 g 除以另一个乘数，所以我们的结果就是七分之三十六。 我们算出这个结果之后，还要带回到方程中进行检验，看两外向的积是否等于两内向的积。接下来来看第二题，他和第一题的区别在于比例的形式不一样了，从横式变成了分数的形式。 那这时候我们仍然要搞清楚比例的外向和内向在哪里，才能根据比例的基本性质来做题。好，我们观察到比例的外向是五和二十，比例的内向是八和 x， 那 这样的话，我们五和二十的积就等于八和 x 的 积， 出现了一个交叉的形式，我们也可以说这时候比例的基本性质可以叫做交叉相乘，即相等。那这样的话呢，下面我们就可以写成八 x 等于五乘二十，也就是八 x 等于 一百， x 等于十二点五。算完之后，仍然把我们的 x 带入到比例里面进行一个检验， 我们现在又看到第三题和上面两道题又有区别，这个比例中一个比是分数的形式，另一个比又是横式的形式，这样的话我们很不方便看出来哪个是外向，哪个是内向。所以我们第一步要把它们画统一， 也就是把它写成统一的形式。零点四比九等于三分之一，比 x。 好， 这时候我们就可以和一一样给它连对角进行计算。接下来零点四 x 等于九乘三分之一， 零点四 x 等于三，除以零点四等于七点五。 通过这几道解比例，我们发现根据比例的基本性质去解它。第一步一定要搞清楚外向和内向是谁，然后进行我们的秘诀，让他们手拉手， 让他们的队友手拉手。手拉手完了之后呢，撑起来去除他的对手，就得到了另外一个量，也就是我们的未知数。 所以我们可以总结为手拉手找队友，队友相成除对手。最后当然别忘了检验好了，今天的解比例你学会了吗？我们下次见。

六下数学最难的比例，就这十二大题型练完稳拿班级前三，今天全部讲透，家长收藏给孩子学会逆袭班级前三！六年级下册数学比例重难点应用题题型一，隐藏问题题型二，间隔问题 题型四，带有分数的比例问题题型五，行程问题题型六，铺地砖问题题型七，归总问题题型八，排队问题题型九，比例与差不变问题 题型十，比例与和不变问题题型十一，比利时问题题型十二，自行车里的数学有完整电子版。

六年级今天我们继续来学解比例，解比例和解方程，都得先写上一个解字。遇到这类分数形式的比例，我们用交叉相同的方式先把比例转化成方程， x 乘三点五会等于三点五。 x 含有未知数的这一项呢，我们放在方程的左边，十五乘二十八，那就放在方程的右边。 三点五， x 就 等于十五乘二十八会等于四百二十。那 x 等于四百二十除以三点五，四百二十除以三点五等于一百二十。 第二题，在这个比例中，未知向， x 在 内向，所以内向相乘的积我们就放在方程的左边， x 乘五分之二 会等于五分之二， x 放在方程的左边，那三分之一乘八分之三。这两个外向相乘，就放在方程的右边 五分之二， x 就 等于三分之一。乘八分之三会等于八分之一，那 x 就 等于八分之一。除以五分之二，那就等于乘五分之二的倒数二分之五， x 会等于八分之一。乘二分之五等于十六分之五。第三题， x 在 内项， x 乘三分之二，也就是三分之二， x 那 就放在方程的左边， 百分之五十乘四放在方程的右边，百分之五十是百分数。 先转化成小数，那就是零点五，那就转化成零点五乘四，那三分之二 x 会等于零点五乘四会等于二，那 x 就 等于二。除以三分之二，那就转化成二乘三分之二的倒数 二分之三， x 就 等于二乘二分之三等于三。第四题， x 在 外向，外向相乘的积放在方程的左边， x 乘三分之一，那就是三分之一， x 会等于 十二乘零点五，三分之一 x 那 就等于十二。乘零点五等于六，那 x 就 等于六。除以三分之一， 六除以三分之一，转化成六。乘三分之一的倒数三，六乘三等于十八。

小升初必考的比例问题，很多同学不会分析，赶紧帮孩子点赞收藏！一个比例，两个外向的和是四十五，差是二十七，这两个比的比值是二分三，让你写出这个比例来，两个外向的和给你啦， x 也给你了。咱们直接用三四年级学过的和差公式求出这两个外项。我们回忆一下和差公式，两个数的和有了， x 有 了，我们要找这两个数当中较大的数就等于和加差除以二就等于三十六，较小数等于和减差除以二。 我们找到了比例的两个外项，但是我们没有办法确定这个三十六在前面，九在后面还是九在前面，三十六在后面。这种我们要进行分情况讨论。第一种是三十六在前面，三十六比上一个数等于一个数，比九， 比值是二分之三，我们直接让他等于二分之三。先看前面，三十六除以一个数等于二分之三，我们写成三十六，除以一个数等于二分之三呢，等于三十六乘三分之二， 那么这个数是不等于二十四啊，这里就填二十四。一个数除以九五是不等于二分之三呢？那这个数是不等于二分之三。乘以九就等于二分之二十七， 这里就填二分之二十七。第二种情况，九在前面，九比上一个数就等于一个数。比上三十六，比值就等于二分之三。 来九除以一个数等于二分之三，那这个数就等于九。除以二分之三就等于九。乘以三分之二，最后等于六，这里填六。 一个数去除以三十六等于二分之三，那这个数就等于三十六。去乘以二分之三，最后等于五十四，这里就填五十四，所以这个比例是有两种情况的，你学会了吗？关注正能量，我们一起学数学。

第一道题他说 ab 两个数的最大公因数是六，最小公倍数是三十六，且 a 比 b 等于二比三，那么 a 是 多少， b 是 多少，那我们就知道这是有关于一个比和我们的一个 嗯因素倍数那里面一个综合的问题。那首先呢，我们知道我们最大公因子的话，我们就可以用短除法和我们的 嗯，这个最小公倍数都是用短除法可以表示出来的，所以首先呢，我们不知道这个 a 和 b 分 别是多少，所以我们首先给他写在短除符号上面，然后呢就知道他们最大的公因子呢，这个地方是 啊六，然后我们就把它就知道 a 除以六，我们就把 a 的 下方写上小写的字母 m， 然后 b 除以六，下方小写上小写的字母是 n， 那 这时候我们就知道 a 的 话它就是等于六 m， 然后我们的 b 的 话，它就是等于六 n， 然后它说呢 a 比 b 等于二比三，所以我们就知道我们的六 m 比上一个六 n 也就等于二比三。 好，那这时候就可以知道根据 b 的 基本性质。同时啊，除以六的话，那这时候我们就知道 m 比 n 也就是二比三了，说明我们这个 m 可以 是， 这里可以是两份，然后这里就是三份，然后这时候我们可以看到啊， a 的 的话就是二乘六，那就是十二，然后我们的 b 的 话就是三乘六，三六十八， 然后我们可以看到，呃，这个地方这串数它的乘积就是它的最小公倍数，我们发现正好就是六乘二乘三，也就是等于三十六，所以符合它最小公倍数是三十六的，所以我们找到了 a 是 十二， b 是 十八。 其实这道题的话，就是如果你对数比较敏感的话，我们就知道这个地方是六，然后呢，他俩的比是二比三，那说明他俩就应该一个是二，一个是三，因为二乘三十六六，再乘六就是三十六，这就符合他们的最小公倍数是三十六，所以这时候我们就会算出 a 的 话就是二乘六的积， b 的 话就是三乘六的积了。啊， 好，我们继续再来看一道自行车的一个，嗯，转动问题，首先呢，他现在问我们前轮后轮的直径比是多少，那我们就知道前轮这个直径的话是零点七六米， 然后我们后轮的这个直径的话是三十二厘米，所以要算这个直径的比的话，首先是单位没有统一，所以这个地方我们就要去把零点七六米 给它换算成厘米，那就是七十六厘米。好，单位同意。好，以后呢，我们就要注意顺序，那是前轮和后轮的直径比，所以就是七十六比上一个三十二， 那这时候呢，我们是一定要给他画成最简单的整数比的啊。然后我们就去看七十六和三十二，它里面的最大公因数是谁，嗯，我们应该是能够看出来是四的，七十六除以四的话是十九，然后我们三十二除以四的话是八， 这时候我们就用比的基本性质比的前项和后项同时除以四，所以就得到了十九比八，所以十九和八他们除了共因数一以外，没有其他的共因数了，所以就已经化成最简形式了，也就是十九比八。 然后呢，骑行时同一时间内前轮和后轮行驶的路程相等，我们要知道前轮和后轮它行驶的路程是等于什么的？它行驶的路程是等于我们这个呃，这个车子它的前轮的周长 轮上转的圈数， 然后等于路程。好，那现在告诉我们路程是一个定值，那路程是一个定值的话，那我们就知道我们这个前轮的周长和它转的圈数，那就应该是成反比例关系，所以呢，我们可以看到就是说它的这个 直径是越大，也就他的周长会是越大，那他这时候呢，他相同的路程，前轮肯定是转的圈数要少，后轮转的圈数就要多一些啊。好，那首先呢，我们就知道他们俩刚才的直径比是十九比八，也就是说这两个 前轮和后轮他们的一个周长比，也就是十九比八。 然后呢我们就可以知道他们转的一个圈数的比就是呃反比，把他们反过来，所以他就是八比十九， 那我们知道这个前轮是转动了四十次，那四十次是对应了八份，所以我们就可以先算出一份，那就四十除以八，然后我们后轮是要转动这样的十九份，所以再乘十九，所以也就是五乘十九，算出来是九十五次啊， 所以我们的后轮转动了九十五次，所以解决我们的第二小问的话，我们其实就可以用这个反比例来去做，因为前轮这个转动的周长和乘这个转动的圈数就等于它的路程， 所以你的周长是越大的时候，你转动的圈数就会越少啊，所以呢，后轮转动的圈数就相要相应的要比前轮转的圈数要多啊。

六年级今天我们来学解比例，不管是解比例还是解方程，都得先写上一个解字， 解决这类分数形式的比例。根据比例的基本性质，我们用交叉相乘的方式可以得到一个方程，三乘 x 等于三 x， 一 点五乘二 可以得到这个方程，再根据解方程求出未知数的值即可。通常为了方便我们带有未知项的呢？放在方程的左边， 三 x， 那 就会等于一点五乘二等于三， x 就 会等于三。除以三 x 最终等于一。第二题，根据比例的基本性质， 两个内向相乘会等于两个外向相乘 x 在 外向，那 x 乘三分之一， 就等于三分之一 x 放在方程的左边，会等于十分之一乘九分之七，那三分之一 x 就 会等于九十分之七， x 会等于九十分之七。除以三分之一，那就乘它的倒数三 x 最终会等于三十分之七。 第三题，这里有比的形式，有分数的形式，我们可以把分数的形式给它写成比的形式，那就转化成 x 比零点四。接着，根据比例的基本性质， 内向相乘八， x 会等于外向相乘二十。五乘零点四，八， x 就 会等于十， x 就 等于十。除以八， x 最终等于四分之五。 第四题，外向相乘的积等于内向相乘的积。 x 乘一点八，那就等于一点八， x 会等于六乘零点一五。 一点八 x 就 等于六乘零点一五等于零点九， x 就 等于零点九。除以一点八， x 最终会等于零点五。

同学们好，我们今天来看一下这个第四单元的重难点题型的一个梳理啊，那么这个题目上面呢，涉及到了什么？涉及到了比例的基本性质，同时还涉及到了一个比例尺的一个易错的题型啊，比例尺的易错题型， 然后呢，还涉及到了一个面积的一个规律问题，所以，呃，整个整个这上面的这个九题啊，都是这个单元的一个易错点，所以这些题目要一一过关啊。我们看一下第一题， 在一个比例里，两个外向的和是八，两个内向的积是十二。那么说在比例里面一个最重要的性质就是用到它，基本上涉及到比例都用到它叫什么？内向之积等于外向之积，那么说内向的乘积是十二，也就意味着两个外向的乘积也是十二， 那两个外向的乘积是十二，两个外向的和是八，而且这两个外向还均是自然数啊，是零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二，这些整数 又包括零的这个这些整数是不是称为自然数，对吧？啊，那，那有同学会说负数呢？负数不在里面啊，这个我们小学阶段所说的自然数就是零和正整数，也就是说零、一、二三、四、五、六、七八、九十这些数啊。 好，那么你就想一下，和是八，乘起来等于十二，这两个外项是几呢？是不是只能是二和六啊？对吧？所以很容易想到啊。第二题，在一个比例里，两个外项的和是十六，那其中一个外项是另一个外项的三倍， 嗯，那你想一下，其中一个外项是另一个外项的三倍，那么可不可以用分数来解决，比如说 另一个外项是一份的话，那其中一个外项就是三份，那加起来是不是四份？四份是不是对应的是十六？ 那我们可以迅速算出一份是不是就是四，一份是四，那三份的是不是就是十二？所以我们现在固定了两个外项，分别是四和十二，那么可以列出比例，是不是有两种啊？对不对？ 你可以是什么四十二这样放啊？四和十二两个外向吗？可以这样放，也可以十二放，这四放，这对不对？所以两种不同的形式。好，如果四放这，十二放这，你要由此你看两个比的比值是三分之二，那我们四比多少？是三分之二， 四比六还是三分之二？你就你看本来是二，呃，比值是三分之二，也就二比三的，对吧？那二比三的那二乘了二，那三乘二，所以四比六，然后这边二比三的话，三变成十二了，乘了四，所以二又乘四，就是八比十二，对吧？ 好，那如果十二方这边，那我们就是，呃，本来是二比三，对吧？四。在脑子里面想一下，本来是二比三的二，前项是不是扩大六倍？那这边三也扩大六倍，所以是十八，然后后项是四，那你想我，我后项本来是三的，变成四了， 是不是乘了个三分之四，对吧？乘了个三分之四，那前项是二，也乘三分之四，是不是三分之八啊？这个只能写正形式啊。好，第三题， 长操场的长是一百零八米，宽六十四米，画在练习本上，选择哪个比例尺比较合适啊？那我们一般做的题目就要你求图上距离，要么求实际距离，可是这题他 有点不太一样啊，是不是让你选比例尺？难道我要把每一个都带进去算吗？是不是？不，不太需要，对不对？但是我们至少要算，算几个，我们要知道他，我们算什么啊？那么这是实际距离吧，画在这一本上是不是要画出土壤距离？ 其实他其实就是在求图上距离，对不对？那图上距离，比利时，我们选哪个呢？你想我们，你把一个超长画在练习本上，我怎么可能放大了画呢？那肯定是缩小了画，对不对？哎，这是练习本啊，对吧？那我们肯定缩小了画，那我们肯定选一个缩小比利时。首先 a 就 排除掉了， 那 a 排除掉，在 b， c、 d 里面选一下，那我们这时候要通过一些计算啊，那如果选 b 的 话，那我们算一下，如果比例尺是他，那么算出他的图上距离，对不对？是在图上画出来，对吧？算出图上距离，好，要求图上距离，我们之前已经写过很多遍，图上距离 是不是用比利时乘以实际距离，对不对？要用乘法，求图像距离，用乘法，所以用一百零八去乘，但是此时一百零八去乘的话，一百零八是米啊，那么把它换成厘米啊，换成厘米，填两个零 乘二百分之一乘以比利时，比利时不是二百分之一嘛？好，这边约掉两个零， 那谁呀？再约掉二，这是五十四，你就要画五十四厘米，那本来长是一百零八，那我结果长画成五十四厘米，你想在练习本上，整个练习本的那个都没有五十四厘米，对不对？所以不太合适啊，不合适。 然后 c 呢？我们看一下啊。 c， 嗯，其实不用算了，你看我乘二百分之一是五十四，那出位乘两千分之一，是不是这时候我们要多个小数点啊， 对吧？是不是？你想象一下啊，这里是不是多约掉？嗯，所以就是五点四，五点四厘米，是五五厘米多一点，嗯，是不 还可以，对吧？算合适啊，所以选 c。 地球，地球越来越小量，刚这边 c 是 五点四厘米，那那到 d 的 话就是 什么了？就零点五四厘米了，那太小了，所以也不太合适，所以选 c 啊。所以像这种题目不要每个都算，你去算出一个，然后去推其他的就行了啊。好，第四题，第四题跟第三题类似，对吧？都是这种题型啊，看一下。呃，一颗钻石，它上面是直径四毫米的圆， 这个四毫米的圆，那他是不是实际距离啊？那现在要将这颗钻石画在这样的广告纸上，那是不是选一个放大比例尺去画，对不对？ 那精密的这种钻石的这个四毫米的直径，那我们要画往大了画，这时候选哪个呢？是 a， 就 先排除掉，先排除 a， 那 b， c， d 里面我们先算一下 b 吧。啊，那我们要求图上距离，同图上距离，还是刚才方法？用什么实际距离乘比例尺啊？实际是四乘比例尺，比例尺是三百比一就是三百，对不对？所以我们就是什么 一二零零啊？单位跟四的单位一样，所以是毫米，那这个毫米是等于多少？它画在这个，呃，这个以米做单位一样，所以是毫米，怎么画？呃，从毫米 毫米化成厘米，去掉一个零，去变成分米，再去掉一个，然后变成米，是不是一点二？你想啊，嗯，这单位，哦，单位你要熟记啊，米分米，然后呢？厘米， 然后再到毫米，这也是十啊十啊十啊，他到他是不是一千？ 所以说去三位一点二。哎，那你这个整个画广告纸长才一点啊，那你要画这个圆的话，你圆，嗯，你的直径现在变成了一点二米的话，是不是肯定是不好画的，对不对？你直径啊，对吧？ 现在直径变成一点二米了，那你这宽才零点八米，是不是不够画，对吧？圆，哎，对吧？ 嗯，好， b 排除，那 c 呢？ c 是 一百五十比一，就相当于是零点六米，对吧？所以我们应该是画出来应该直径是零点六米，直径是零点六米， 那直径零点六米是不是他的一半，对吧？宽零点八，我零点六米是不是也够画，对吧？所以只有选 c 啊，不是半径啊，如果半径零点六米就不够画了，因为半径零点六米的话，那我直径就一点二了，然后我这个宽这边就不够了，是不是？ 所以直径的话是够的，直接选 c。 啊 d 的 d 太小了啊 d， d， d， 不是 啊 d， 呃，也是大了啊 d， 呃，也是大了啊 d， 呃。选 c。 好。 第五题， 第六题，呃，把一个精密零件的一个图纸上两厘米表示实际一毫米，那么这个比利时什么？我们说比利时一定是图上距离比上实际距离， 图上距离比上实际距离是一毫米，那就用，呃，图上距离是二厘米，画人跟我们说，求比利时画小单位，对吧？啊？厘米画成毫米是二十比一啊。小美 在这个图纸上量得两点圈的距离，那这就图上距离，那图上两厘米是一毫米，那八厘米是不是乘个四啊？这里 直接写啊。好，第六题，第六题就涉及到什么？我们刚刚讲的什么题型啊？面积的变化规律。好，面积相差这么多，然后他俩，你看他俩的周长比是三比四，我们说周长比就等于长度比，对吧？ 那周长比只等于长度比，所以长度比相当于边长比是三比四。那面积比是不是边长比的平方，所以就是九比十六啊？只有面积比才平方的啊。九比十六， 那九比十六相差了七十，那那就相当于我们现在面积的分数有了，那面积相差的分数是不是十六减九是多少？七分，所以 这个就是七分是七十，一分是十，那要求小的小的是九分，对吧？小的面积九分，一分是十，九分，九十。好，第七题思路一样啊。思路一样就不讲了。你好，这是两分，这是三分，那面积比是四比九，然后这样去计算。好。第八题， 分子分母的和是三十八，分子加上五分母减三啊，新分数约分之后三分七。好，这题呢，有同学会用这个比例的，这个解比例用方程来解，但如果不用方程怎么写呢？不用方程，教一个，教大家一个不用方程的方法啊。你看 分子分母的和是三十八，分子加五，分子减，分母减三，那它的和是发生什么变化呢？ 和是不也跟着加五减三啊，对吧？你分子加五了，我分子分母的和是不会跟着加五，然后你分母减三了，你分子分母的和是不也会跟着减三？所以你的分子分母的和数变成四十了， 那分子分母的和是四十，现在呢？约分之后，分子是一份，分母是三份，那合起来是四份，四份四十，一份是十。那我这边是不是就可以写出来一份是十，那这个就是 分子就是一份就是十，那分母就是三，三份就是三十。好，这是新分数啊，我要求原分数，新分数就其实就是三十分之十的，对不对？那原来的分数分子是不是本来不加五的？之前现在是十，不加五之前是不是就五啊？对吧？ 那分母呢？也是分母不减不减三之前是不是加三给它还原啊？那是不是三十三？所以原分数是三十三分之五啊？ 大家自己按照这个思路自己推一遍啊。好，第九题，第九题我写了两种方法，两种方法都要会啊，这种方法是我们上学期讲的，那这种方法呢？其实就是比例的，现在这个新的方法 好，我们说钾糖是乙糖的质量的四倍，甲里面取出一百三十克放到乙，此时的质量比是七比五， 那你想给来给去什么？和不变对不对？假放到一里面，那整个和是不变的，所以我们可以用分数啊。你看假比，原来比是四比一，后来比变成七比五了，对应好了啊。七比五了，那当然和不变，你看和是不是五分，这一和是十二分， 那和既然不变，我们可以，那为什么他五分，他十二分呢？所以我要统一分数啊。五和十二最好。公倍数是六十，百变成六十， 那变六十，是不是乘了十二啊？那我前面的这个笔也要跟着乘，对吧？这个乘十二是四十八，这个乘十二是十二。 好，那现在原来的没有用了，我把新的圈出来啊，所以现在的这个甲的分数四十八分，乙的分数十二分， 然后呢？他的这个和是十二，是变成六十，要乘五就有跟着乘五，这是三十五，这是二十五。好，由此把这两个圈出来，现在只要看他俩就行了啊。那你看甲原来四十八份变成三十五份，是不是少了十三份？ 少十三份就是因为他拿出了十一百三十克出来吗？对吧？他是多十三份吗？好，那所以这个十三份就是一百三十千克，那一份就是十千克，一份十千克要求假，原来假，原来是四十八份，所以四百八十千克，对吧？ 带这个啊，带这个，不带这个啊，不带这个带这个。好，这是原来我们上学期我们就讲过的方法的思路啊。那这学期新的方法是什么呢？你好， 乙是甲，是乙的四倍，不妨设。乙原来有 x 千克，那甲的原来有四 x 千克，那，呃，甲四 x 千克是不是少掉了？一百三比上阔整体啊？比加括号， 提到整体加括号啊，比上 x 是 加一百三，所以等于七比五，那内向之积等于外向之积等于五乘这个整体。然后我们到这一步，有同学不会算了，我们干嘛？ 乘法分配律展开呀？好，就七 x 加上九百一，等于二十 x 减去六百五，然后呢？ 两边都有 x 对 𠲎 移，我们移项啊，比如说把七 x 调到右边去，是不是就要编号变成减七 x 啦？那二十 x 减七 x， 十三 x， 然后这边减六百五，把它调到左边来，是不是就加六百五？那九百一加九百五是不是一五六零？那 x 算出来是一百二 x 是 以的，那与假原来是不是四 x 四百八一样的啊？好，两种方法都要会。我们今天讲到这边，同学们再见。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例。第一课是比例的意义。六年级上册我们已经认识过比，什么叫比？比？各部分的名称又是什么呢？ 对两个数的比表示两个数相除，那么在一个比中，比号前面的数 叫做比的前项，这个符号叫比号，比号后面的数叫做比的后项，它们所得的商叫做比值。那怎么求比值呢？前项除以后项所得的商叫做比值。比如以这道题为例， 三十六比七十二，那就表示三十六除以七十二，结果商等于零点五，那么零点五就叫比值。那么从这里我们看到比值可以是分数， 可以是小数，也可以是整数。比例它和比有关系吗？今天这节课我们就一起来研究 国旗啊！孩子们是我们中华人民共和国的象征，图中的国旗分别是天安门广场的国旗、学校操场的国旗以及教室内的国旗。看到下面不同场景的国旗，你有什么发现？ 很多孩子会发现他们国旗的大小是不同的，但是他们的形状相同吗？你怎么来证明他的形状相同或者不相同呢？我们以天安门广场和校园操场两面国旗为例， 用你想到的方法说明两面国旗的形状是否相同。对，我们可以分别求出两面国旗长与宽的比值。 怎么求比值呢？长比宽就是五，比三分之十，比值二分之三，二点四比一点六等于二分之三。那我们发现这两个比的比值相等 说明什么呢？对两面国旗长都是宽的二分之三倍，两个比的比值相等，那我们就可以把这两个比用等号连接起来。除了求两面国旗长与宽的比， 还可以求出什么呢？对，两面国旗的宽与长的比值相等吗？是的，长与宽的比是三比二，那么宽与长的比就是二比三。通过比值相等，都可以说明他们的形状相同。 那除了这种方法，还有别的方法证明他们的形状相同吗？对，有的同学想到了两面国旗长与长的比，那就是 五比二点四等于十二分之二十五。再求出两面国旗宽与宽的比，那就是三分之十比，一点六，比值是十二分之二十五。比值相等 也可以说明这两面国旗的形状相同，所以这两个比就可以用等号来连接起来。大家继续思考，教室里的国旗与它们的形状相同吗？ 怎么说明呢？根据天安门广场，这面国旗长与宽的比值是二分之三。那我们也可以求出教室内国旗长与宽的比，它的比值也是二分之三。那大家在思考，教室内国旗长和宽的单位是厘米， 他们的单位是米，有关系吗？对，虽然长与宽的单位都是厘米，但他们的比值表示的是长和宽的倍数关系， 他们的倍数关系相同，也可以证明他们的形状相同。根据他们的比值相等，所以这两个比也可以用等号来连接。我们用不同的方法比较了任意两面国旗长与宽的比， 或者比较长与长的比，宽与宽的比，都说明两面国旗的形状相同。继续观察这三面国旗长与宽的比， 它们的比值你有什么发现？通过观察发现比值相等，那也就是国旗长与宽的比都是三比二吗？ 是的，国旗的制作它是有规定的。我国国旗的旗面为红色 长方形七，长与高为三与二之比。旗面左上方准黄色五角星 五颗，长与高为三比二之比，那也就是长与宽的比是三比二。 正因为有了这样的规定，不可随意改变，才显着我们的国旗更加庄重与威严。来观察刚才得到的这些式子，两个比的比值相等， 都可以用等号连接，像这样表示两个比相等的式子叫做比例，那么这两个比相等组成的这个式子 就是一个比例，那这个式子也叫比例。比例，它由几个比组成，对两个比，并且这两个比的比值相等。像这种比例呀，我们还可以把它写成分数的形式， 二点四比一点六等于六十比四十。虽然写成分数的形式，但是我们读的时候仍然读作比。大家思考比和比例相同吗？有什么区别？ 是的，形式不同。比它是由四个数组成，两个比四个数， 另外他们的意义不同。比表示两个数相处，比例呢，表示两个比相等的式子。根据比例的意义，我们可以判断两个比能否组成比例。比如这道题 下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来，这里给出了两个比，六比十和九比十五， 这两个比能组成比例吗？我们可以求出它们的比值，六比十等于零点六，九比十五等于零点六，比值相等，所以这两个比可以组成比例。再看第二小题，二十比五和一比四能组成比例吗？ 分别求出它们的比值，二十比五等于四一比四等于零点二五，它们的比值不等，所以不能组成比例。那王老师，这里还有两道题，孩子们，请你按下暂停键，快来判断一下吧！来，孩子们总结一下， 通过这节课的学习，你有了哪些新的收获呢？对，我们知道了表示两个比相等的式子 叫做比例，也就是比例的意义。我们还知道了，判断两个比能否组成比例，我们要看这两个比的比值是否相等。最后，在生活中其实还有很多比例，相信你一定是一个勤于思考，善于观察的孩子。

像这样判定比例关系，我们把它化成比例的形式可以轻松解决。来看第一个，如果三 x 等于五 y， 那 么 x 和 y 成什么比例关系？ 那三 x 和五 y 相等，肯定有两个是内向或两个是外向，那我就把三 x 看成两个外向，那么 x 是 一个外相比上一个内向，就等于这地方三也是一个外向。三 x 五 y 这两个数肯定都是内向， 那都是内项的情况下，我可以随意写在这两个位置，哪一个都可以。那我把 y 写到前面来，五写到后面，是不是就可以转化成 x 比 y 等于五比三？ 没问题吧？来，再还原一下， x 乘以三是两个外项是三 x， 那 两个内项积是五， y 等于五 y， 那 x 比 y 等于五比三，那它的结果画成比值是不是三分之五呀？ x 比 y 等于三分之五，它是一个一定的值，比值一定。所以说 x 和 y 是 什么关系？正比关系是不是出来很简单吧。再来看第二， 如果七分之 x 等于九分之 y， 那 么 x 和 y 成什么关系？同样的啊，两个外向，九和 x 是 不是一个外向？所以 x 会写到最前面，比上谁等于谁？比上九九是不是一个外向？ 好， y 和七是两个内向，那我就把 y 写在前面，七写在后面。同样啊，你这两个可以交换位置，因为它两个内向写在哪都一样。只是说我们最后呈现的形式是 x 比 y 的 形式，所以说我把 y 写到前面来， 那它就等于九分之七了，它比值一定，它两个也是成正比例的关系。好看。第三个，如果说四分之 a 等于 b 分 三，那么 a 和 b 成什么比例？ 同样的呀，两内向乘积等于两外向乘积，利用比例的基本形式，所以两外向是 a 乘 b， 两个内向呢，就是三乘四，三乘四等于十二，所以他两个的什么一样？哎，乘积一定，积一定，那肯定就是什么呀？反比例关系了， 所以把它转化成比例的形式，可以轻松帮我们判定是什么比例关系，你学会了吗？

这道题目我们用两种方法来解，先看题吧，在十八比二十等于三十六比四十中，第一个比的后项减去四，第一个比的后项是谁？二十 二十减去四之后，要是比例仍然成立的情况下，第二个比的前项应该增加多少？第二个比的前项是三十六呀， 它应该增加多少？那我们第一种方法可以用解比例的方法来，那比如说这个比就变成了十八比二十减去四，是不是变成了十六呀？就等于多少比四十了，这 是不是解比例？哎，我解出来这个方方就等于两外向乘积，等于两内向乘积，然后再除以十六就可以了。 方方最后算出来就等于四十五，原来是三十六，现在变成四十五了，四十五减三十六又可以等于九，所以这个空里面应该是增加九就可以了。好，这是第一种的方法。那第二种的方法应该怎么来？想 想一下他比的前面比的后项，二十变成十六减去四了，变成十六就相当于整变二十乘以多少才能变成十六数？是不是十六除以二十就可以啊？所以他是乘五分之四就可以了。 那么这一项要是内项其中有一个乘以五分之四呀，才能保证他俩的乘积不变呀，对不对？ 所以这就是三十六除以五分之四就可以了。就是三十六乘以四分之五， 四和三十六约分是不是也等于四十五？哎，你看他其中一个内项乘以五分之四，要保证两个内项乘积不变，那么另外一个内项就要除以五分之四。 所以像这样的方法也可以使我们的计算更为简易。两种方法，你更喜欢哪一种呢？

看题，某天王叔叔爱好骑行，计划骑行六小时，这六个小时是一共的时间，一共的时间，出发是上坡骑行，每小时两千二十千米， 原路返回是下坡骑行是提高百分之五十。求王叔叔出门骑行多少小时后就应原路返回。好，用笔的解答， 我们先求一下回来时的速度。回来的速度他说了是提高百分之五十。好，那就是二十乘以括号一加百分之五十等于三十千米每时，这是回来时的速度。 好，我知道了，一共骑行是六个小时，王叔叔要多少小时后返回对不对？好，我们是 是王叔叔骑行 x 小 时后， x 小 时后返回。好，骑行 x 小 时，那去的时候是 速度是二十，骑行 x 小 时，那回来的时候是六减 x 小 时，回来时候的速度是三十。这里有一个量是相等的，是什么呢？就是去时候的路程和回来时候的路程 相等，我们就用这个路程相等来解出这题。好，解出来之后是二十 x 等于一百八减三十 x， 五十 x 等于一百八， x 等于三点六。好奇，行，王叔叔骑行三点六小时后就应原路返回。本题的关键就是路程相等。

光看数字是不是有点猛？别担心，我们用比例的基本性质一步步拆解，保证一听就会一座全对。已知两个数的和，还知道这两个数的差，回忆一下和差问题公式，就可以分别求出这两个数了。 大数等于这两个数的和，加这两个数的差的总和，再除以二，大数就等于四十五。加二十七的和除以二等于三十六。小数等于这两个数的和。减去这两个数的差，减后的结果，再除以二，小数就等于四十五。减二十七的差除以二等于九。 现在知道了大数和小数也就是两个外项是三十六和九。条件说两个比的比值是等于二分之三， 外向有两个，所以要分两种情况讨论。当第一个外向是三十六的话，那第二个外向就是九，这是第一个比例。当第一个外向是九的话，那第二个外向就是三十六，这是第二个比例。注意，这两种情况，每个比的比值都是二分之三。 三十六。比多少等于二分之三相当于三十六。除以多少等于二分之三，所以这个数就等于三十六。除以二分之三等于二十四。多少比九等于二分之三， 相当于多少。除以九等于二分之三，所以这个数就等于二分之三乘九等于二分之二十七。这样就完成了第一个比例。再来看第二个，这个比就是 九。除以多少等于二分之三，这个数就等于九。除以二分之三等于六，这个比就是 多少。除以三十六等于二分之三，这个数就等于三十六乘二分之三等于五十四。通过刚才我们的分析，这道题有两个符合条件的比例，一个是三十六比二十四，等于二十七比九，另一个是九比六等于五十四比三十六。

六项数学，我们一起来看到解比例的应用题来，你看甲乙两人原有前数比为六比五，后来甲又得一千八百元， 乙又得三百元，这时甲乙前数之比为十八比十一，甲乙两人原来各有多少元？好？这个题呢，我们可以用方程来解答， 因为他说甲后来得了一千八百元，乙得了三百元后，他们的比有六比五，变成了十八比十一。所以我们可以设甲原来有 x 元，那么乙呢？有多少？乙就是甲的六分之五啊，所以乙就有六分之五 x 元， 对吧？我们设完以后，我们再加上他们后来有得的这些前数，就比，就变成多少比，就是十八比十一。好，我们先解设， 我们解设甲原来有 x 元，则以原来有六分之五 x 元。好，我们可以列出方程，你看甲原来的 x 加上就一千八百元来，甲 x 元加上一千八百元， 对吧？比上乙乙是多少呢？乙原来有六分之五 x 元，加上它又得的三百元，好，就等于现在的比是多少？十八比十一。 好，我们把比例列出来以后来解方程，内向积等于外向积，对吧？来，你看十一 乘上外向等于十八乘上这个内向，是吧？我们在乘的时候我们写一下，你看十八 内向积等于外向积嘛？十八乘上六分之五 x 加上三百内向积，外向就是十一乘上 x 加上一千八百。 好了，我们下一步就需要把这里面的未知数给他，是吧？我们把这个数字分别相乘，能计算的先计算，那么这边就等于十八乘上六分之五 x 等于十五 x 加上十八乘上三百是五千四百，五千四百，它就等于，你看十一 x 加上十一等乘上一千八百是一万九千八百。 好了，再下一步呢，我们把未知数移到左边，把数移到右边来，解方程了啊，来，在小学阶段，我们这个移的时候就用这个各部分之间的关系，那么我们在移项的时候呢，我们可把某一个数看成一个整体，你比如前面十五 x 加上五千四百，那后面 就相当于整体，就是一个和，对吧？那你要把五千四百，它相当于是其中一个加数啊，它移过去，所以它变成符号就是和减去它，它是不是变成减号了？那你这个你再翻回来，那它俩 它俩相加，对吧？等于它，那你它又相当于是其中一个，什么减数？一，其中一个加数，对吧？那十五 x 作为和，那把它移过来，不就是和减去其中一个加数等于另一个加数吗？可以这样想， 但是我们也可以通过一项变符号啊，就我们到初中会学习的啊。来，我们开始移了啊，把十一 x 移过来，这边是十五 x 减去十一 x 就 等于，你看一万九千八百，你这个是减去五千四百。 好，那么左边就是四 x 等于，右边是一万四千四百，最后解得 x 等于多少？一万四千四百除以四 x 是 三千六百。 好，我们求出了假是三千六百元，那么乙是多少呢？那乙不是他的六分之五吗？乙，非常简单了，乙就等于六分之五，六分之五乘上三千六百， 是吧？算出来等于多少是三千元，乙是有三千元，甲，有来答，写上答啊，答，甲，你们自己完整的写，甲是多少？甲，三千六百元，乙呢？乙是三千元。 好，大家完整的去写啊，老师这里就简写了一下这道题关键的问题就是在通过它的比例关系，我们 写出比例方程，比例方程，然后解方程，再去把乙算出来就可以了。啊，那这套周末小卷上的题呢，好多都是在巩固基础，最后这道题呢，它是一个素养测，思维拓展训练，它可以锻炼我们孩子的思维能力。 那么前面都是基础类型的题，大家看一下，你看这是我直播时候所讲的这些题，这题很好，你看我们不是学到了比例吗？对吧？比例解比例，你看 通过解决问题来锻炼我们结比例，还有上面你看直接让我们写出比例来结比例，对吧？所以我们的基础知识能够得到很好的巩固啊。我可以我推荐给大家这本小这本书啊，周末小卷他确实是很实用的一本书，而且他这 书上面都有二维码，我们也可以扫码来听视频讲课的，很适合六下学生在学习新知识阶段去巩固基础知识。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例的第二课时比例的基本性质，这节课非常重要。首先我们来回忆一下什么叫比例，上一节课学习了对，表示两个比相等的式子叫做比例。 注意，比例它是两个比组成，并且比值相等，这个式子叫做比例。那根据比例的意义，我们可以判断两个比能否组成比例来看第一题，十二比二十和九比十八能否组成比例呢？ 那我们可以分别求出这两个比的比值。十二比二十等于五分之三，九比十八，比值是二分之一，我们发现比值不等，所以不能组成比例。再看第二个比，二比十和一点二比六， 二比十的比值是零点二，一点二比六的比值也是零点二，比值相等，所以能组成比例。我们知道比，他有各部分的名称，那同样呢，比例也有自己各部分的名称。我们以二点四比一点六等于六十比四十 这个比例为例来看，组成比例的四个数叫做比例的项，那比例有四个数，所以比例它有几个项呢？ 对，它有四个项。另外呀，两端的两项叫做比例的外项来，在这个比例里，二点四和四十这两项在两端，所以它叫比例的外项。 中间的两项叫做比例的内向，那一点六和六十就叫比例的内向。 另外这个比例啊，我们还可以把它写成分数的形式，那把它写成分数的形式就是二点四比一点六等于六十比四十。注意哦，写成分数的形式，它仍然是一个比例， 二点四和四十仍然是比例的外向，一点六和六十，他是比例的内向。 哎，我们发现比例的外向和内向正好形成了交叉的位置关系。那这些比例中存在什么样的奥秘呢？我们继续来研究。例一，计算下面比例中两个外向的积和两个内向的积， 比较一下，你能发现什么？第一个比例，二点四比一点六等于六十比四十，两个外向的鸡，那就是二点四乘四十等于九十六。 那两个内向的鸡呢？一点六乘六十等于九十六。接着再看第二个比例，两个外向的鸡，那就是三乘十五等于四十五，两个内向的鸡五乘九等于四十五。孩子们， 你们认真观察，发现了什么？对两个外向的鸡和两个内向的鸡正好相等。像这样， 在比例里，两个外向的鸡等于两个内向的鸡，这叫做比例的基本性质。 前提条件在比例里边才存在两个外向的积等于两个内向的积，这就叫做比例的基本性质。如果用字母来表示比例的基本性质，又该怎么表示呢？孩子们来 用字母表示比例的基本性质， a 比 b 等于 c 比 d。 根据比例的基本性质， 两外向的积等于两内向的积，那对于分数的形式而言，那就是交叉相乘，所以我们得到 a、 d 等于 b、 c。 注意这里边 a、 b、 c、 d 均不为零。根据比例的基本性质，我们知道两外向的积等于两内向的积，那反过来 四个不为零的数，如果其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等，那么这四个数就可以组成比例，也就是说，反过来根据积相等来判断能否组成比例。那我们来看这道题，孩子们 判断下面哪组中的两个比可以组成比例。那大家回忆一下，到现在为止，判断两个比能否组成比例有几种方法？对，第一种，按照我们以前学的方法，看这两个比的比值是否相等。 那也可以用我们今天所学的比例的基本性质，看两万向的基和两内向的基是否相等，就可以判断两个比能否组成比例。那好，接下来呀，我们根据今天所学的比例的基本性质来判断一下。 那第一题，根据比例的基本性质，我们可以求出两万向的基和两内向的基是否相等。 六乘五等于三十，三乘八等于二十四，鸡不等，所以这两个比不能组成比例来。再看第二题，零点二比二点五和四比五十。我们根据两万向的鸡是否等于两内向的鸡来判断，零点二乘五十等于十， 二点五乘四等于十，两万向的鸡和两内向的鸡相等，所以可以组成比例。 孩子们，这里还有两道题，请你按下暂停键，根据比例的基本性质来判断它们能否组成比例。 我相信呐，这两道题一定难不辱大家。好了，孩子们，接下来我们总结一下，通过这节课的学习，你有了哪些收获呢？对，首先我们知道了比例各部分的名称，还学习了比例的 基本性质，还学会了判断能否组成比例的两种方法。孩子们，这节课你学的怎么样呢？如果把这节课的内容定为十分，你能得几分？评论区交流一下。

甲乙两个车间有相同数量的功能，如果从甲车间调四十人到乙车间，那么甲乙两个车间的人数之比是三比五，两个车间原来各有多少人？ 题目已知，原来甲车间人数与乙车间人数是相等的，现在呢？从甲车间调四十个人到乙车间，那现在甲车间的人数是不是要减少四十个人，而乙车间的人数是不要增加四十个人。现在 甲乙两个车间的人数是三比五，等于三比五。 虽然甲乙车间的人数是两个量，但是原来甲车间的人数会等于乙车间的人数，那就意味着只存在一个位置量。那求一个位置量的话，我们是不是可以通过解比例的方式来求出来？所以我们可以设 两个车间，原来各有 x 人，那这样的话，甲车间就是 x 人，乙车间也是 x 人，这样的话，我们就能写成一个比例，然后通过解比例求出这道题。 我们先设两个车间，原来各有 x 人，假车间原来有 x 人，乙车间原来也有 x 人。那么假车间调走四十个人之后，假车间现在只有 x 减四十个人，那乙车间呢？掉入了四十个人，现在乙车间有 x 加四十个人。 题目告知，两个量的比现在是等于三比五，那我们再通过外向机等于内向机来解这个比例，那么五乘以 x 减四十会等于三乘以 x 加四十， 那么五 x 减两百会等于三， x 加一百二十二， x 等于三百二十， x 等于一百六十人。所以最后两个车间原来各有一百六十人。