南京二模数学2026第8题极限做法

大家好，我是南京数学陈老师。今天我们看一道南京二模的导数真题，认真看完这三分钟，零基础的你也能学会导数大题的通用方法。我们先来看一下题，已知函数是这个样子的，嗯，现在要讨论这个函数的单调性， 不管是什么函数题，第一步我们都要看他的定义域，在这道题中，他没有规定定义域，那我们需要自己来看一下，这是一个分式的形式，首先分子要不等于零， 这是一个指数，他肯定就不会等于零，其他就没有什么限制了。所以定义域是 x 除以二单调区间一定是要在定义域范围内的零基础的同学，我们先来看一下右边的求导的相关公式，首先它是一个分式的形式，那我们就先看这个分式形式的求导公式。 好，我们一步一步来看分母应该是什么？底下是原来分母的平方，那在我们这，原来的分母是 e， x， 现在就变成了 e 的 x 的 平方，是 e 的 二 x 字方分子。分子有两项，第一项是上倒乘下 上倒，上面是一个一次函数，他求倒之后应该就是一次下的斜数， a 乘以下，上倒乘下减去，注意符号中间是减去 下倒乘上下倒是 e 的 x。 看这里 e 的 x 次方，倒数就是 e 的 x 次方。上面照抄 a， x 加 a 减一，我们来化简一下， 上下同除以 x。 这个化简是非常简单的。求出了导函数，那我们现在就要想，它是大于零的时候就是增函数，小于零的时候就是减函数，等于零的时候可能就是极值了。 那这个导函数我们分析它大于零还是小于零，先看分母，分母它是指数，是一个大于零的形式，那我们只需要看分子的正负即可。 想一下啊，这是一个一次函数，一次函数第一步先考虑它的一次项的系数是一个字母，那我们肯定要分析， 当一次项系数为零的时候，这个导函数是恒大于零的，所以这个 f x 是 在 r 上是增函数。 现在我们来分析不是零的时候，那一次函数的单调性。大家应该都知道，一次项系数大于零的时候，他就是增的。好，那我们就是当小于零时，这个一次函数是一个增函数。我们先来看 当 a 小 于零时， f 倒 x 的 正，那这是一个单调递增的一次函数，我们来分析一下它的正负。什么时候这个导函数等于零呢？是负 a x 加 e 等于零，是 x 等于 a 分 之一时， f 到 x 是 等于零的好，想一下， x 小 于 a 分 之一的时候，负负 a， x 加一是小于零的，这个导函数就是小于零的。 x 大 于 a 分 之一的时候，负 a， x 加一是大于零的， f 到 x 是 大于零的。好，如果你现在还弄不清楚，稍微列一个表， x 中间的这个分界是 a 分 之一，小于 a 分 之一 是大于 a 分 之一。那导函数的情况是，小于 a 分 之一的时候，它是负的，等于 a 分 之一是零，这是正的，那对应的 f x 情况是对应的 f x 情况是减， 然后增，中间是一个极小值。当 a 大 于零时，同样，我们先看导函数等于零的情况，好，和上面是一样的。 再看 x 小 于 a 分 之一时，这里就不一样了，负 a x 加一就变成了大于零，那导函数就变成了大于零 x 小 x 大 于 a 分 之一时，导函数小于零。把表再列一遍啊， x 负无穷到 a 分 之一， a 分 之一， a 分 之一到正无穷。 f 倒 x 是 负零，正 f x 是 f 倒 x 是 正零，负 f x 是 增极大且啊。然后你要综上所述，把这三种情况都总结一下。 第二问，当 a 大 于零时，证明 f x 要小于二分之一 a 的 平方。 第一问的时候，我们就分析了 a 大 于零时候的单调性，我们要这个函数都小于二分之一 a 的 平方，其实也就是一个函数的最大值，要比二分之一 a 的 平方小。 那第一问求出来， a 大 于零时，这个函数是一个先增后减的一个情况，那中间这个极大值其实就是它的最大值， 那我们就把它变成了它的极大值。是 x 等于 a 分 之一的时候，那就是 f a 分 之一，它是要小于这个二分之一的平方。好，我们把它带进去选一下，那就是分母是 e 的 a 分 之一次方，分子是一，加 a 减一， 化解一下，这个是小于二分之一 a 的 平方，因为 a 大 于零，那我们可以把这个根据不等式的心值，我们把它化解一下，变成了 一的 a 分 之一小于二分之一 a。 因为指数这边是大于零的， a 也是大于零的，所以我们再把它移向一下，变成一的 a 分 之一次方，变成 a 乘以一的 a 分 之一次方要大于二。 你写的时候就要写，即正啊，我们只要证明 a 乘以 a， 现在我们就要证明 a 乘以 e 的 a 分 之一次方是要大于二。通常情况下，我们就是构造函数，分析它的单调性，求出它的最大最小值即可。 我们写到上面来，我们构造一个 g， x 是 等于 x 乘以 e 的 x 分 之一次方，因为在这里 a 是 大于零的，所以我们构造的这个函数的定义域也是大于零的， 那同样我们再对它进行求导，这是一个什么函数呢？首先它是一个乘积的形式，我们看这里乘积的形式在这里 是左导乘右加右导乘左，左导是一，左导乘右加上右导乘左右导。我们来看 e 的 x 分 之一次方求导，这是一个复合函数求导对不对？我们看这个，这什么是离导？ 好，先先算离导，里面的是 x 分 之一的导数， x 分 之一的导数是 负 x 平方，分之一乘以里导成外导，外导是 e 的 x 分 之一次方，把这个当成一个整体求导，那是 e 的 x 分 之 一次方。右导，写上啊，再乘以一个左，我们把它化简一下，变成了，变成这样啊，注意把定义域跟着写一下， x 是 大于零， 那我们来分析它的单调性，这个指数这一块是大于零的，所以我们只需要看前面是大于零还是小于零就可以了。 那是当 x 等于一的时候，这个导函数是等于零的，当 x 小 于。哦，注意，这里是大于零， 小于一的时候，导函数是小于零的。 x 大 于一的时候，导函数是大于零的。那我们还是也要画一个表，是零到一， x 是 零到一，一 一道正无穷倒函数是零，这原函数是减极小增，也就是说原函数的最小值是在哪里啊？你想想减再增最小值是不是就在极小之处？在 f 一 这个地方，那原函数的最小值就是在 x 等于一的地方，它的值是等于一的， 一次方程就等于一，要证的是这个东西它大于二，也就是证的是这个东西的最小值是大于二。现在我们知道最小值是一，一 是一是二点七左右，那它是大于二的啊，就得证了。整个这道题难度不大，零基础的同学应该自己完整的做一遍，保证其中的 求导的方法、分析，单调性的方法自己都能独立的完成。我是南京数学陈老师，关注我，每日更新零基础也能听懂的中高考数学题。

好的南京二模目标都忘记定了啊。不用定了做的稀烂。对时间也不充足都没做完。第七题我求打求错了 歪一撇我等的是四分之一负我都给了我这写个平方该负二次方啊我算了两三遍都写的是这个玩意哎 做的时候还有人在提醒我其实但是我都没发现你知道吗我以为他在问问题他说他说 y 等于四 x 他 说 y 等于 x 分 之一的导数是什么我以为他在问问题我还给他解释了一遍但我就没发现我自己给求错了。 嗯奇奇怪怪啊然后这个题没有时间而且也不太会我试了一下简单的试一下不太会就算了。这个题也不太会主要是没时间后面都没写完呢。 嗯然后十五题十分钟。嗯 是不是做的有点慢是吧。做的有点慢十六题用了八分钟挺好的然后十七题用了十二十五分钟啊我的天啊 难怪时间不够然后这边二十七分钟我觉得是差不多的啊剩下就是搞其他的了。好的我们接下来开始改卷看下具体的分数 这边是 a b a c a b a c。 对 刚做完的时候他们帮我对过答案嘛他说这个单选都是全对的啊我们确认一下 a c d b 这边 b c 这边 b c d 嗯这边呢是漏了一个漏了个 b 选项负二分填空题六分之派根 二百杠二。呃这不对了先对线就是哎呦哈哈哈哈失误了失误了失误了。靠啊非常无语啊这边没问题没问题 是吗这个题我真的错了吗啊这个这昨天还没人说这个问题啊说了吗？不记得了，这边反正分三类没问题。 嗯，四分之太，十分之。这也不对法项链没求。对啊，这什么东西啊，我怎么有根号啊。 他一个根号都没有，这边至少得扣我五分呢，不知道咋回事，用那么多时间还做错了，亏亏麻了，成绩为一。这边的话，是的，他这个化简过程真的是没分的呀。 是的，那我这个这个是不用扣分的啊。昨天有同学说需要扣分，是不是看错了，我这是加了 t 分 之二的，但我没必要非得写 x a 加 x b 等于几。那不还得减个 t 分 之二吗？我就把 t 分 之二写在左边，这样子再去化简。没有什么问题啊。这边是我们的化简的具体过程在这边啊。 那这个参考答案就我这边确实是伪证啊，伪证就我并没有化简完，而参考答案他也是这样子的呀。对，你看这个，他写了字就开始写等于零了，慌的是个啥嘛，对不对。哈哈哈，没问题没问题，给分了二十五分之六。对的，这边的话是 十六。不太啊，他就是说拿了一个三分之五给他， 就是说他这是 n 减一次剩个三，剩个五分之三就给分母乘以三分之五。对，没问题，我就这样写，好看一点。所以我这样去写了啊，然后这边没有说多少，后面多少分。那我们扣八分吧。好吧，这个试卷真的难度挺大的啊。这边负八分，十三分， 二十三分，二十五分啊，好，幺二五。哈哈哈，现在写来不及了。是的，这个试卷总的说就是说 运气分肯定是有很多的啊。我的第七题我就看到什么他一个 d 都没有，我就第七题没写。那我就不选 d， 我 选啥呢？我是傻瓜吗？对不对啊？这个是搞失误啊。失误，对，这个 a d 都是蒙的，没有问题的，这边也是失误。嗯， 所以说应该说他的难度就是略高而已，对不对？就是我如果拼尽全力不失误，也是可以达到一百三左右的。我的实力差不多就是那个那个样子啊。对，如果高高于一百三十五，说明我是说明是试卷简单的啊，如果低于一百三十五，说明难度就 就偏大了啊。那这个的话，基本上区间一百三到一百四之间都算是难度正常的试卷啊。我的个人个人认为啊，没问题，就是这样子的。

讲一下建业区一模数学的部分填空题，第十四题，一道翻折的题目，将矩形折叠，使 a 点落在中点一处， a b 是 十 b c 十二则折痕 m n 的 长。那么 根据他这个中点五和五的话，我们随便设一下假设，设他为 x， 那 么他就是十二减 x， 根据翻折 m 一 呢，就是十二减 x， 这样的话，我们在这样的一个 r t 三角形当中，就可以把 x 给解出来，就是 x 平方，加上五的平方，就等于十二减 x 的 平方，这样的话 x 就 等于幺幺九，除以二十四。 x 解出来之后呢，我们根据这个是中点，我们可以得到这样的两个三角形呢，是一个全等的关系，所以这一段呢，也就是 x， 那么这个做垂直下来之后呢，这个 g c 呢？也是 x， 所以 我们要去求 ng 的 话，我只需要用 n h 减去 g h 就 可以了，那么 n h 呢？我们根据翻折的性质，这个角它和这个角是相等的，也和这个角是相等的。 所以我们会发现三角形 h m n 是 等于二三角形，也就说 m h 就 等于 n h 就 等于两倍的 m 一 就等于二十四减去二 x。 这里我们先不用把它算出来，因为你算出来之后呢再减，这里还要重复计算，我们不妨就让它先用 x 表示，这样的话， ng 就 等于这个 m h 减去 g h， 也就是二十四减二 x， 再减二 x， 那 就是二十四减四 x 把它代入进来，那么它就等于二十四，减去六分之幺幺九，就等于六分之二十五。 所以这样的话，这个直角三角形 n g 是 等于六分之二十五， m g 是 等于十十，就是六分之 六十，实际上呢，六分之二十五，就是六分之五去乘以五，那么六分之这个六分之六十呢，就是六分之五去乘以十二，所以这个 m、 n 呢，它就是六分之五呢去乘以十三，所以答案就是六分之 六十五。第十五题移到反比例函数的题目，那么这样的题目呢，我们基本上的方法都是将反比例函数图像上的两个点， 用字母把它的坐标给表示出来，也就是说，用同一个字母把 m、 n 的 两个坐标的关系给找出来，然后直接给它带入，就可以列出一个方程。那么这个题目告诉了我们是 o m 和 b n 相等，所以基于这个呢，我们考虑有两种方法。方法一， 我们过 m 点做一个垂直过来，过 n 点呢，也做一个垂直过去，这样的话，我们很显然可以得到这样的两个三角形呢，它是全等的关系。那我不妨就设 m 点的坐标为 a a， 因为它在这个 o、 c 上面，那这个长度就是 a， 这个长度就是 a， 这个长度也是 a， 这个长度也是 a， 这样的话， a、 n 点的这个坐标呢？我们看下怎么给它表示它的纵坐标，是不是就是用四减去 a， 它的横坐标呢？是不是就是用这个 b 点的横坐标？你看这一段 c 点的横坐标是四四， b 点的横坐标是八零，这段长度是八，那么这段长度也就是八， c 点的横坐标呢，是四，所以它就是十二减去这一部分，那就是 n 点的横坐标， 这样的话， m、 n 都在这个反比例函数图像上，所以呢， x 乘以 y 就 等于 k， 那 么 a 乘以 a 就 应该等于十二减 a， 乘以四减 a， 这样的话，我们给他解一下，就是四十八减去十二， a 减四， a 加 a 的 平方，这样的话四十八就等于这个十六 a， a 呢给它解出来就是三， a 是 三的话，那 m 的 坐标就是三三， 所以 k 呢就等于九。这是第一种常见的方法。通过构造全等，第二种方法也比较容易想到，因为它告诉我们 o m 和 b、 n 是 始终相等的，而 o m 和 b， n 又始终是平行的，所以这里也比较容易想到这个四边形。 o m b n 就是 一个平行四边形， 那么它既然是一个平行四边形的话，那我们看 o b， 它和这个 a、 c 就是 互相平分的，那么这个就是它对角线的交点 o 点，同样的这个 m n 一 连呢，它肯定也是经过这样的一个 o 点，这样的话，我们就可以通过这个中心把 m n 的 这个坐标 的关系给构造出来。这个 o 一 撇既然是 o b 的 中点的话，那我们可以把它求出来，这个 b 点的坐标呢是十二四，所以 o 一 撇的坐标呢，就是六 二。这样的话，我们还是设 m 的 坐标为 a a， 那 我们设先设一下，假设 n 点坐标是 x y， 我 们是不是就可以得到？ x 加 a 除以二就等于六， y 加 a 除以二就应该等于二，这样的话，我们把 x y 给求出来，那么 x 呢就等于十二减 a， 这个 y 呢就等于四减 a， 那 么与这里求出来是一样的，在进入到下一步呢，那方法是一模一样的。所以在求这个 m 与 n 两点之间坐标关系的时候呢，我们一个常见的方法是通过构造权的， 另外一个方法呢，就是通过这个平行四边形找到它的这个中心，把它的这个坐标给求出来之后呢，再建立起两者之间的关系。填空题的第十六题是一道等边三角形裁剪正方形的问题， 这道题目两分性价比很低，很有可能学生投入大量时间之后，最终有可能会得到一个错误的答案。那么这道题目在二零二四年鼓楼区二模考试压轴题当中也有探讨一个差不多的问题，当时这个鼓楼二模的 这个拼接呢，它是拼接一个矩形，那么这道题目呢，拼接的是一个正方形，具体我们来看一下，当等边三角形剪开后，拼成一个正方形，问你下列结论正确的是？那么正方形无非我们还是从这里延伸出来，先把它拼成矩形，然后再让它邻边相等，这样的话就得到正方形。 那拼接矩形的话，实际上我们可以把这个等边三角形分为四大块，比如说这个是第一个模块，第二个模块，第三个模块，第四个模块， 我们可以保留其中的一块不动，然后把其他的三块呢给他拼到一块去。那随便你是保留哪一块不动，我们这里就保留三不动好了，把一二四拼接过来。那么一呢直接可以平移，通过平移平移到这里来。 二和四呢，我们可以通过旋转加平移，也就我可以做 b 关于 f 点的对胜点， d 关于 f 点对胜点，实际上就是把这个二啊这样旋转过来，这样把它这样弄过来，把这个四呢这样转过来，这样的话让他无缝拼接到一块去，那拼接到一块去之后，他会得到一些什么样的这个性质呢？我们一起可以这样去看一下， a d 平移到这里 m d 一 撇，所以 a d 和这个 m d 一 撇肯定是相等的，那么这个二又是旋转过来的，所以这个 b d 和 m d 一 撇也是相等的，那这样的话，我们就可以得到这个 a d 和 b d， 它是相等的。第二个我们等价判断，这个比较比较容易出错。我们看第三个 d h 和 i g d h 它平移之后是不是得到 d 一 撇 h 两撇，那么 d h 是 不是又旋转得到 d 一 撇， h 一 撇，所以这两条它就是相等的， 分别都等于这个正方形的边长的一半。同样的，这个 i g 和这个 i 一 撇 g， 它也是旋转过来，它也相等，它也等于边长的一半，所以这样的话我们就可以得到这个 d h 和 i g， 它们都是相等的，都等于正方形边长的一半，所以这个第三个也是正确的。 第四个， f h 和 e i， 那 我们看 f h 在 这里， e i 在 这里，它们有什么样的关系呢？ f h 加上 f h 一 撇，加上 i h， 比如这三段相加， 他是不是就等于这个正方形的边长？就这一段加这一段加这一段等于正方形的边长，而这两段相加， e 一 撇， a 一 撇和 e 一 撇 h 两撇，也等于正方形的边长， 而这个两段是相等的，所以就相当于是两倍的，两倍的 h f 加上 hi 就是 正方形的边长。同样的，这个 e 一 撇 h 两撇，他是等于 e h 的， 他是等于 e i 加 i h， 所以 他也等于两倍的 e i 加 i h， 这样的话，我们就可以列出这样的式子， 这两个是相等的，所以也可以得到这个 f h 和 e i 也是相等的。实际上拼成矩形的话，我们满足这个条件就可以了。当然它还有一个隐藏条件，就是 b 点关于 f 点，对伸过来是 m 点， c 点关于 g 点，对伸过来是 m 点，所以 f g 就 等于二分之一的 b c。 你 看鼓楼的这道题目，它做的就是这个东西，使得 f g 等于二分之一 b c， 那么这个 f g 跟 b c b f 就 下面了。你看第二文当中的 b f 和 c g 这两条有什么样的关系呢？按原来如果只是拼接成矩形的话，我们只需要保证 b f 加上 c g 等于二分之一 bc 就 可以了，但是它这里要拼接成正方形，你得邻边相等。 所以呢，我们理论上来讲，就不仅是要保证它是这个二分之一倍的关系，那我们可以直接去判断它符合与不符合就可以了。 b f 等于 c g， 如果 b f 等于 c g， 那 下面这四段都是相等的对不对？四段都相等的话，我们不妨就设设这个边长，设这个等边三角形的边长啊，就为四。那么我们刚才也讲过了，这个正方形的边长，它相当于就是这个 i 一 撇 e 加上 h 两撇 e 一 撇，实际上就是这一条， 加上这一条，那我们又挣到了 e 跟 f h 相等，这我们就 e f 是 正方形的边长，那我们去验算一下，首先它是否满足我们基本的拼接面积是否相等， 如果他俩相等那边长，我们设他为四，这样的话，你看这一段就是一，这一段是二，而这个又是六十度，所以这个一连肯定就是直角三角形了，这样的话，这个 e g 我 们就可以给他算出来，就是根号三 f g， 那 他自然就是两份，那么这个 e f 呢，就等于根号七，因为正方形的边长，我们就给他算出来的是根号七，那正方形的面积呢，就等于七，而等边三角形的面积呢，我们用二分之一 乘以底，乘以高，那么给他算出来呢是四倍，根号三显，这个三角形和这个正方形连面积都不相等了，那他自然不可能会相等，所以呢，这个二是错误的，这样的话我们就选一三四。 在考试的过程当中，实际上这道题目如果要去给他研究透的话，我个人认为性价比不是特别高。如果按照题感的话，可以先把你有把握的写上去，之后没有把握的稍微猜一猜，回过头来再看也行，当然如果你一眼就能够发现，那另当别论。

南京二模考完真是一片哀嚎，数学越差的同学嚎的嗓门是越大的。这张卷子啊，就是冰火两重天，尖子生会觉得难度一般，尤其是压轴题，对他们来说就毫无压力。那基础不好的同学呢，整体就会感觉这张卷子难爆了，每道题都很面生，都不会做。 那咱们具体来看看卡住你的是哪些题目啊？单选的前四道集合负数，二项式抛物线都是从问题，没什么好说的。那第五题呢？最短弦核心就是一个知识点，过定点的弦中点对应最短弦长，知道这个结论直接就秒杀。 第六题，三角运算，同角三角函数加和差公式直接算。第七题，看着吓人，导数切线跟竖列放到一起，实际上呢？你把切线方程老老实实的写出来，然后后面就顺理成章了。 第八题，离心率取值范围问题。这道题呢，确实有点难度，很多同学看完啊，就不知道怎么下手了。单选，整体来说你做对七个应该没啥压力，那如果单选都做的很吃力的话，那就说明你的知识点漏洞真的比较大了。 多选第九题，不等式考对数性质送分题。第十题，分段函数加抽象函数图像，关键是你得把图像画出来，图画对了就一目了然。 第十一题，立体几何多选。今年一直有传言说立体几何今年要提高难度啊，但南京二模这次是真的没有为难你，把正弦定律和球心定位搞清楚就可以了。多选，整体难度是不算特别大的，但是有两类同学可能会做的特别痛苦，一类是函数图像画不出来的，还有一类就是空间想象能力比较弱的 填空题，这次也是有个大坎啊。第十二题，三角函数平移加奇偶性还算是比较常规，到了第十一题，例题几何轨迹问题，很多同学就直接放弃了。第十四题，构造函数，这类方法如果你平时没有专门练过，你在考场上基本上是想不到的。 对填空题的平均分啊，我估计也就在七分左右。解答题前两道算送分题。第十五题，竖列就是常规套路。第十六题，导出分类讨论加最值，也是考你的基本功。第十七题，解三角形跟立体几何折叠结合，只要坐标系见对了，计算是不复杂的。 那第十八题，圆锥曲线后面两问计算量很大，拿过程分呢？可以，但是想拿全了就不容易了。第十九题，概率压轴题，第一问纯送分，后面两问有难度，但作为压轴题来说，还是算比较温和的。 那南京二模这次整体分差呢，可能会比较大，我估计平均分在八十分上下，尖子生分数可能会特别高，那平时数学如果属于中下等的同学，这次考的就会特别差。

南京二模的出题人在网上被喷成筛子了啊，这张数学卷子考出了骨灰级的难度，就这么说啊，孩子在考场上面认真的一顿答，结果不如人家蒙的分多。那咱们啊，先把这个情绪放一放，具体看看这张卷子到底难在哪。 南京二模一直有个特点，就是大题的创新度非常高，小题到处埋陷阱，导致你一步流程就会考出史上最低分。几个关键题我稍微去说一下， 第八题解析几何，这题跟苏西常镇的第十一题方法是完全一样的，我一直喊着南京的同学一定要去做一做苏西常镇的二模，考前听话的同学是不是都赚到了？只要你提前积累了这类小题的处理方法，直接就能拿下 没积累的同学，考场上限推大概率是做不出来的。第十一题，逆题几何，这种题就是看着难，只要你系统性的把高级的方法和结论过一遍，稳稳拿下，光靠基础方法去硬算，你也做不出来。 那第十四题导数和绝对值结合，这个就看着比较唬人，你把绝对值去掉，分两类讨论，慢慢慢慢就能捋出来了。这种题考的不是解析能力，是你的心态，你慌了就丢分，稳住了就是送分题。 那第十八题解析几何大题，这道题跟第八题的套路是一模一样的，如果用常规的方法去推，你根本就算不完，计算量太大了。但是这种题型啊，我们老师都提前整理好了很多的解题方法和公式，你就能直接秒杀 我学生考完之后呢，对我们的方法也是五体投地啊，真正强大的解题方法，比刷一万道题都管用，那今天这道题就直接验证了 第十九题，概率题，又是事件分割啊，跟苏北的最后一题一样，难度还没有苏北的高。但是这道题的障碍啊，在于摸求规则的理解，你得先理解清楚规则，这种题呢，不是算不出来，是很多同学他读不懂题目， 所以我们在考前就一定要去练这种理解障碍型的概率题。最后啊，跟家长们说句实话，今天孩子考试，如果心态考崩了，这个太正常了，因为这张卷子本身就不是正常，高考的难度，尤其是对于中等生来说，是非常不友好的。 所以今天晚上回家呢，就不要急着去问考了多少分啊，没有多少意义，真正关注的是孩子在哪些题上面暴露出来了方法的空白。二模的价值不在于这个分数，而是在于帮你定位了最后这个阶段，你应该补什么。

南京二模数学难度新高度，这张卷子整体都难度大，不少题目都有陷阱，创新题和陷阱题的数量比苏习长征二模和苏北八十三模加起来还要多，这对你的基本要求就非常高，想拿高分真不容易。具体看一看这张卷子到底难在哪里？ 先做单元题第七题，出题人就开始为难你了，考察切近方程拮据、数列求和的问题。第八题为全卷最难单选，考察的是几何条件转化离心率，其实本地可以和先前的数益长征二模第十一题放在一起看，方法是一样的。南京这一次单选能拿到三十分以上的同学，就算是基础很扎实了， 多小题的难度也很大。第九题和第十题属于中等题，吃透知识点的同学问题也不大。第十一题是一道立体几何综合，光靠基数方法去计算也是做不出来的。立体几何小题一定要在系统书里多掌握一些高级的方法和结论。 第十四题属于填空压轴题，考的倒数和绝对值的结合。这道题真的有点难，计算量也很大，在极值点条件和绝对值方程化简易上容易出错。第十八题解析几何压轴难点在于连力化解量大、斜率转化、对称点性质，属于典型的思路常规，但算对很难。 第十九题全卷最难，压轴又是一道概率事件分割和数尾八式的最后一题如出一辙，需要理清摸球规则再去处理，设出第二次，第一次摸到红球，记得对 n 次再摸一个计算概率即可。本题属于概率设置理解障碍的题目，考前也是复习的重点，需要重点对待。 总的来说，南京奥模数学是真的难，这是中等生，优等生和兼职生的分差会特别的大，因为这张卷最厉害的地方 在于能让那些平时考的不错的中等生、右等生原形毕露。但这张卷子是超过正常高考难度的一张试卷，高考绝对没有那么难。王老师想说，心态崩了完全没有必要。模考的价值不在于那个分数，知道自己哪里暴露短板的最后一定要做好冲刺，补缺补差才是最重要的。

好，今天我们来讲解一下昨天刚考的苏西长征二模的填空压轴题啊，这个题的话，今天有学生说考试的时候做错了，其实这个题呢，非常符合新高考的方向，整体难度呢，也不算特别大，但是考试中你说能真正做对的同学，那也是比较利优秀的。那我们一起来看一下。 他说甲乙进行抽卡游戏，每一局游戏中将分别为编号为一到八的八张卡片中抽一张， 记 a 为甲抽取的两张卡片中较大者的编号， b 为已抽取的卡片编号。他说当 b 大 于 a 小 于二 a 时，则称该局为默契局，则一局游戏成为默契局的概率为多少？那我们不妨先把甲的两张卡片，我们先把卡片设好，我们设甲， 我们可以这样想，设甲抽取的，我们设甲抽取的两张卡片，我们记作 c 和 a 吧。那我们知道 c 是 小于 a 的， 然后以抽取的， 以抽取的为 b 啊，以抽取的卡片为 b， 那 我们知道 a 小 于 b 小 于二 a 啊，然后是大于 c 的， 然后我们先来算他的默契局的概率啊。概率的话，分母非常简单，就是 c 八二乘以 c 六一，那关键是分子啊，那分子的话，我们就一个个讨论就行了。其实也很简单，我们比如说 a 等于二的时候， 对吧？ a 等于二的时候， c 只能取一啊，那么 b 呢？ b 在 二到四之间，那 b 只能取三，所以就一种情况，对吧？那如果 a 等于三的时候呢？ a 等于三的时候呢？ c 因为比他小吗？那 c 可以 是一二一二中选一个，那么 b 呢？在三到六之间，三到六之间有四和五， 所以是不是二乘二等于四种，对吧？那如果 a 等于四的时候， c 又哪些？ c 是 不是一二三，对吧？ c 是 一二三，那么 b 呢？就等于 五六七，那么就是三乘三等于九，对吧？那么 a 等于五的时候， c 就是 等于一二三四，对吧？那么 b 呢？五到十之间，是不是就是六七八？因为他总共最大，最大就是到八吗？所以是不是四乘三等于十二，对吧？那么 a 等于六的时候， c 等于多少？ a 等于六的时候， c 是 不是一二三四五，对吧？那么 b 呢？是不是属于 b 呢？是不是属于七到八，对吧？因为五到十之间吗？因为他要六啊，就是六到十二之间，那么只有七八了，所以五乘二等于十，对吧？那么 a 等于七的时候， 同理 c， c 相当于是六种，然后 b 呢，是不是只有一种了？所以就是六种啊，我都懒得，我都懒得写了。所以接下来就非常简单，就是一加四 加九加十，二加十加六，这个一算，我们就算出是四分之一啊，这个整体难度也不大，每举一下非常的快啊，不要想的太多啊，这种方法在考场上是比较直接的。方法好，然后第二问就更简单了，你把第一问做完，第二句非常简单，他说 如果出现默契局，以得两分，甲得零分，否则以得零分，甲得一分，则甲与两个人得分之合的数学期望是多少？那我们比如说既得分之合，既 他单局，因为他是三局嘛，三局我可以考虑单局，这是利用期望可夹性的一个思想。今年高考新一卷也考了，我们就设单局啊，我们就单局两人 得分之和为 y 啊，因为他说要三局，我就考虑一一局啊，那 y 呢？要不就是一，要不就是二，那么屁 y 等于二 是什么意思啊？屁 y 等于二就是出现默契局了，默契局的概率是不是四分之一？那屁 y 等于一就是没有默契局了，那没有默契局的概率就是四分之三，所以 y 呢，每一局的概期望就是二乘以四分之一，加上一乘以四分之三啊，那么它就等于四分之五， 所以最终这个 e x 就 等于三倍的 y， 那 么就等于四分之十五啊。那所以这个题我们就结束了， 这个题呢，是一道非常好的题啊，我觉得出在高考上也是非常好的一道题，因为它本质上没有很复杂的技巧和方法，只是考验同学们在短时间内的一个反应速度和一个提取信息能力啊。那本题我们就讲解到这里。

这道南京高三二模第十八题，看着点很多，线也很多，但真正的主线只有两条，一条割线，一条垂直切线。 第一问，右顶点给出 a 等于一，渐近线互相垂直，斜率一个是 b， 一个是负， b 乘积等于负一，所以 b 也等于一，双曲线方程直接落地。 第二问，不要急着算，先把几何结构搭起来， l e 是 割线 l， r 或 t， 且垂直于 l e。 更关键的是 l， r 还是双曲线的切线，切点就是 m， 只要设切点 m 为 m， n， 双曲线切线方程就是 m， x 减 n， y 等于一，它和 x 轴的交点就是 t。 另外，等于零，立刻得到 t 的 横坐标，示意除以 m， 所以 m 和 t 的 横坐标之积横等于一。 接下来不要直接正平行。我们换一次，只要证明和 b 也关于原点对称就够了。因为 m 和 n 已经关于原点对称，于是两条对角线都会被原点平分。 用维达定义代入，加上双曲线条件， m 方减 n 方等于一。化简之后立刻得到 x， a 加 x， b 等于零。 现在结构就很清楚了， m 和 n 关于圆点对称， a 和 b 也关于圆点对称，所以 o 同时是 m， n 和 ab 的 中点。四边形 a， m， b， n 的 对角线互相平分，它必然是平行四边形。 这题真正的难点不是算出每一个点，而是看见两件事，切线锁定 t 对 称锁定平行四边形。 微积分数学带你看见压轴题的结构入口。

n 次事件的状态概率，南京恶魔的概率压轴，我觉得是高考的一个重要方向标，因为它告诉我们 n 次事件概率的理解跟状态有着非常大的关系，而不单纯是去套什么马尔科夫列，什么期望地推的公式都不是的，主要讲究的是一个状态。 好话不多说，我们开整。首先这个题他讲的是摸球，假如两个人一起摸球游戏，每个人是摸两个球，有黑球就直接放回盒中，有红球就不放回，那这个时候我们就要分析一下这个游戏，首先是他进行的状态是什么呀？我把它分为两类，第一类是 盒子中有四个黑球，两个红球，在这种情况下的一个状态。第二个状态是由于有的时候你盒子中的红球被取出，那也就是盒子中 有四个黑球，一个红球。所谓游戏进行的状态，你不管你是第几次摸球，他就这两种情况对不对？这叫做所谓的状态下去，就是游戏结束时候的状态， 这个状态你要怎么去分？分为第 n 次摸球中两个红球被取出，而第二个状态就是第 n 次摸球中 一个红球，一个黑球被取出，或者我讲的直白点就是仅剩的一个红球被取出。那你这么分析的一个好处就在于什么？在于我默认了前面的 n 减一次当中其中一次会取出红球，对不对？ ok， 当你明白了这两个这种游戏状态以后，我觉得做题就容易很多了。首先既然你明白这个状态，那我们一开始就要先分析某次，比如说红球被冒出的概率呗，对不对？ 也就是第一种情况，在四个黑球和两个红球的状态下，这个红球被取出的概率。比如说我这个时候我摸到两个红球的状态是多少？是不是相当于 c 六二？那这个概率也很好算， c 六二， c 四二，对不对？那就是十五分之八，不对，这边是十五分之六，不好意思，那就是五分之二。好，那这个时候继续呗。比如说在四个黑球 与一个红球时，那他的这个摸出红球的概率又有所不同了。比如说你这个时候摸出一个红球的概率 就是多少？ c 五二分之 c 四一 c 一 吧，那你摸出零的红球的概率就是五分之三，对不对？ ok， 那 你确定了这个以后，那我们说游戏进行的状态也就搞定了，那此时，那我们 就在分析游戏结束后的状态，对不对？那你游戏结束的状态你要怎么去分析啊？也很简单，比如说你可以这样，我突出在 n 次摸球过程中我加个，所以，所以在 n 次摸球的过程中，我比如我可以试这个 d k 次 与最后一次各摸一个红球，那这种情况呢？概率我设为 pk， 就是 你 d k 次摸到一个红球， 那也就是我前面的 k 减一次都没摸到红球，那就是零红，在这种情况下，五分之二的 k 减一次密，这个时候我第 k 次我摸到了一个红球，那是不是十五分之八？这时我后面都是没摸到红球的， 这是五分之三的 n 减 k 减一，最后一次正好摸到一个红球，最后一次摸到一个红球，肯定是在四个黑和一个红里面，对不对？五分之二，这个大家应该没问题哦，接下去的话，我这个第二种情况就是 最后一次接摸两个红球，那这个时候的概率叫做 p t 吧。那直接是多少？就相当于前面的 n 减一次，全部都是在四个黑球和两个红球的状态下面摸到红球呗，最后一次摸到了红球，最后一次也是在四个黑球和两个红球的状态下摸的。 ok， 所以 最后的 p n 就是 等于 pk 加上 pt， 这个大家自己去算。我觉得我把这个状态已经讲的很明白了。 ok， 谢谢各位，我们下次再见。

上海中考数学又出新定义这道浦东二模第二十四题最后一问角度陷阱， 百分之九十的同学连题目都读不懂。大家好，我是苏老师，今天我把这道冠轴抛物线压轴题，从基础到角度陷阱， 一步一步讲解透，让你考试不丢分。下面我们来分析第一小题。因为一次函数 y 等于负， x 加三经过 c 点， 所以这个 c 点坐标就出来了。零三，我们可以把这个抛物线经过 c 点，先设出 a 点坐标计算出来。三、零，把它带入，就可以把 b 求出来。二次函数的解析式 迎刃而解。第二小题是平行四边形的存在性问题，我们先来求 a 点， c 点的坐标，把二次函数设出来，因为它经过 a 点，所以我们就有了关于 m， n 的 方程。把 m 解出来，带入 二次函数的解析式，把这个解析式整理一下，写成交点式，这样我们就得到了 b 点的坐标是负一零， 看这个二次函数的解析式，我们就可以把顶点的坐标写出来，横坐标负的二， a 分 之 b， 重坐标四， a 分 之四 a， c 减 b 方整理一下。因为四边形 b、 c， d， e 是 一个平行四边形，我们可以对 e 点进行调整， 让它是平行四边形，这里可以用向量来做，也可以考虑到对角线互相平分，所以对角线的焦点一定在 y 轴上。因为我们有 b 点坐标， d 点坐标，用中点坐标构造方程， 现在我们只要把这个 n 解出来就可以了， n 等于三。第三小问，角度陷阱的核心重点来了， 我们先来求 y 一， 这条直线和坐标轴的焦点求出来，再求 y 二，它和坐标轴的焦点也求出来，这样有了 p 点 q 点， 而抛物线呢，是惯轴抛物线经过 p 点和 q 点，我们就可以把抛物线的解析式设出来，又因为它经过它们俩的交点点 m 带路进行计算，就把 a 求出来了。看一下二 k 加一分子，二 k 加一 k 等于负一，抛物线的解析式就写好了。总结一下， p 点坐标， q 点坐标， m 点坐标，现在我们都用含 k 的 式子把它表示出来。这道题目告诉我， 点 n 在 第四项弦，并且角 p m n 等于七十五度。思考一下， n 在 第四项弦， p m q 在 它的上方，是不是我们所部分的量要小于全量，所以角 p m q 一定要大于七十五度。 在三角形 p m q 当中，上面这个大的三角形当中， p m q 这个角要大于七十五度，而角 o m q 已经是四十五度的角了，所以角 m p q 就 应该要小于六十度。 在三角形 p m o 当中， m o 两 k 加一，它是大于一的，加一大于一的，因为 o p 等于一啊， 所以它又等于 o p， 所以 我们说角 m p q， 它应该大于四十五度。 好了，现在我们出来了一个范围，角 m p q 这一个角，他应该大于四十五度，小于六十度。 把数据带入二 k 加一，这个 o m 就 应该大于一，小于根号三。 好，这个角三十，他要大于根号三。我们来解这个方程就可以了解的， k 大 于零，小于二分之根号三。 总结一下，核心就是新定义的理解加平行四边形性质加角度的临界点的分析， 前两问是基础，最后一问是拉开差距的关键。想要本题完整的解析？微信公众号收挑战压轴题轻松入门篇 持续更新上海各区二模中考数学压轴题的精讲，帮孩子们稳不得分！

哈喽，各位同学，大家好，我是吴老师，今天呢，有一个同学点播了一下北塔刚刚考完的八下的亚洲题，这道题呢，我看完以后，我感觉难度不是那么大，因为他考的是一个构造全等的方法，叫截长不断。 为什么难度不是那么大呢？因为他把这个方法用材料给你陈述了一遍。那接下来你要做的就是模仿吧，如果你这个模仿能力还可以，那你这道题呢，做起来应该是比较轻松的，我们一块来看一下，难还是不难的， 整体看的时候呢，他长这个样子，文字比较多，图形也有，好像比较难，但是具体分析分析呢？来先看一眼第一小问，他说三角形 abc 呢，是一个等边三角形， 如果他是等边三角形，那这个角呢，就是六十度点， d 呢是下方的一个点，并且告诉你这个地方是多少一百二十度。现在呢，要探索这三个线段之间的关系， 要怎么去做呢？开始给你演示截长不断的方法了，我们把 dc 延长，延长的这个 c、 e 的 长度和 b、 d 的 长度相等，然后把 a、 e 连接就可以，连接完以后想干什么？想挣两个三角形拳头， 那这两个三角形全等还是不全等呢？肯定全等，为什么？因为我们三角形 abc， 它是一个等边三角形，所以这条边和这条边的长度啥关系相等。 然后呢，我们四边形 abc 内角和是三百六啊，那你这个地方六十和一百二加起来是多少？一百八，所以剩下的两个内角加起来也是多少一百八吗？ 那你看我这个角加旁边是不是也是一百八，所以旁边这个角和我们这边的这个角啥关系啊？相等，那这样的话，我们 abd 这个三角形和我们这边的 ace 这个三角形就怎么样？边角边是不是就全到 ok 吗？他们全等以后我们能得到什么东西呢？我们能得到这条边 和这条边作为对应边怎么样相等？我们能得到这个角和这个角作为对应角怎么样相等？那你看这个点加上旁边的这个叉叉是不是六十多？那旁边的点加这个叉叉也是多少？六十度？ 所以我们三角形 a、 d、 e 是 两个边相等，加一个六十度。等边等，边三角形的话，那这条边和 a、 d 的 长度啥关系？相等， 那这样的话我不就轻松得到 a、 d 等于 dc 加 c， e， c， e 其实就是谁呀？ b d 吗？所以这根三的关系我就知道了。来写到这 d a 等于 db 加上个谁呀？ d， c 吗？接下来看一下第二小问， 如图啊，在 r t 三角形里面，这个角呢是个九十度，并且它告诉你这两条边向的 o 等腰直角三角形 b， d， c 呢？这个地方也是多少？九十度？哎，这个地方你读到这有没有点感觉跟前疑问有点相似啊？ 这个角加这个角还是多少度？一百八，那你看前面呢，这个六十加这个一百二也是多少度？一百八这种东西我们就叫什么对角互补，那对角互补怎么用呢？第一小问，其实已经给你了，倒两个角相等， 来，我们这道题往后做的时候我们再倒一下试试啊。好，这两个角都是九十度， 现在他要干什么？探索三个线段之间的数量关系，并说明理由吧。那模仿模仿他延长谁跟谁相等，我再来一遍不就行了吗？所以我也模仿他将这条线段延长， 延长到某一个地方，你比如说我延长到这吧，这个地方呢？我取一个谁呢？点 e， 然后让他跟这个长度啥关系啊？相等，那现在呢？你只要把这个点和这个点干什么连起来不就行了吗？ 接下来模仿第一问，证明这两个三角形干什么？全等，来看一下现在的条件有哪些？ 一条边，一条边相等，再来一条边，再来一条边相等，所以我再有一个夹角相等是不就行了？夹角相等怎么办呢？第一个对角互补得相等四边形 a、 b、 d、 c 内角和是不是三百六？那这个地方九十加上下面这个地方的九十已经是多少了？一百八，所以这个圈加上这个叉也是多少？一百八，而叉加上旁边也是一百八，所以旁边就是一个圈。那这样的话我们这两个三角形就怎么样了？ 边角边，边角边是不是就全等？全等以后能得到什么？来我们标一下，我是不是得到这个角和这个角怎么样相等，而这个角加上旁边这个三角是多少？ 九十度，所以呢，我们这个点加上这个三角也是多少？九十度。 所以我们 a、 d、 e 是 一个等腰直角三角形来。为什么是等腰直呢？因为我刚刚全等的时候，这条边和这条边的作为对应边长度相等， 如果是等腰直的话，我们知道等腰直角三角形斜边是直角边的根号二倍吗？那不就这个东西吗？一一根号二吗？ 所以它的斜边也就是这个东西其实就等于根号二个直角边，它要的是 a， d 还是 a e 这条直角边呢？要的是 a、 d 这条直角它的字母顺序是 d a， 我 也写成 d a 吧。 所以我们 d， e 呢，就是等于根号二个 d a 吗？而 d， e 又是谁呢？不就是 dc 加 c e， c， e 是 谁啊？ b d 吗？所以这根三之间的数量关系叫根号二倍的 d， a 等于 dc 加上一个 b， d 高低， 这就可以了。其实呢，我们第二小问的这个图还是直角三角形共斜边模型，那你看上面这个角是九十度， abc 是 不是直角三以下，下面这个角是九十度 bdc 是 不是直角三以下？那 bc 这条边是不是他们公用的一个斜边？ 所以它就叫直角三角形公用斜边的模型，它里面也有考点，只不过这个地方没考到而已。 好，接下来我们再看一眼第三角窝吧，第三角窝两块斜边长都是两厘米的，一副三角板把斜边 摆在一起。哎，三角板，那不就是等腰直角三角板和三十、六十、九十的三角板吗？那肯定小的这个角是多少？三十度呗， ok 吧，大的这边这个角肯定就是六十度。那我读完第三问，我好像感觉这个头跟第二问有区别吗？也是两个直角三角形共用一个斜边吗？ 对吧？他现在求的是谁呢？这个东西，这个东西不就是连接以后的这个东西的长度吗？那不就是我第二个图里面的谁啊？ ad 吗？ 哎，我一看你这第三小问还是个填空，那我第二小问证明的这个过程我是不是就可以省掉了，直接用这个结论不就行了吗？用什么结论呢？来这边呢，我随便写一个字母吧， m n。 好 吧，那这样的话，我直接用结论不就是这个东西等于。哦，这个前面有个根号等于谁呢？这个东西加上这个东西， 这不就我第二问的结论吗？不就是 a d 等于这个东西加这个东西给 a d 乘根号二吗？那我直接用是不就可以了？所以我现在的目的是什么？想办法算出来这两条边的长度即可吗？ 而又告诉我们，斜边，也就是这里的 m n 是 几二？又有三十度，又有直角三十度角，所对直角边斜边一半，这个地方自然是根号三嘛，所以我立马得到根号二个，它等于谁呀？ 等于这边的根号三加上一，所以它是多少？把根号三除过，把根号二除过去不就行了吗？ 那么你除过来以后不就是根号三加一吗？接下来分母有理化，上下同时乘个根号二，所以变成根号六加谁啊？根号二搞定， 那你搞定以后，填到这个地方不就可以了吗？ ok， 来我们填到这吧，这就是根号六加上一个根号二，再除以减二。好，这道题呢，难度应该没那么大吧，大家听完以后感觉 好，如果大家还想讲哪个题呢？你可以点拨一下发给我。好，这道题就讲到这，拜拜。

二零二六年日照二模即将接近尾声，今天也考完了我们的数学，那本次数学二模试卷的难度是什么样子的呢？本次二模考试的难度是中等偏上的，比港中一模的时候的题要难，比北中要简单一点， 与新颖跟田家炳当时的一模的难度其实是相仿的，那题目出的也很规范，也很标准。整套题目里边，相对来讲，有一些难度的题目是填空题最后一道啊，逆等线模型，还有就是最后一道大题旋转问题， 很多孩子可能会觉得比较难，那二模也出现了一件非常难平的事情啊，想必很多人都已经知道了，就是数学试卷当中啊，第十七题一模的时候， 好几个学校已经考过了，几乎是原题。那第十九题去年新迎一模的原题应该很多孩子也做过了，所以说这次考试按理说你从难度上来讲，一百零八分以上应该算是高分段了吧，但是又出现过考出现了这种考过的原题， 那很多孩子都已经做过了，那我就不知道该怎么评价了。从年份上来对比了，今年的二模要比去年的要难一些啊，所以会不会也暗示着今年的中考数学可能不会像我们去年那么简单？今年虽然说是省统一命题省统考， 但因为今年也是偶数年，所以要有数学会有难度的这种心理准备啊各位。但是不管怎样啊，不管是哪个学段的 啊，孩子目前最重要的就是稳下心态来，稳住心态啊，稳下来，不要浮躁，能学多少算多少，同时尽可能的把自己会的都得到分就做过的题，你得真的会呀，下次考你得还你得，会不会再出错，你肯定能赢。

不要考后嘴炮这个结论那个结论的，还记得一顿发要考前给学生发到位才有用。 比方说这是南京二模的选择题最后一题互相垂直的从圆点出发的，倒数的平方和为定值对吧？在二三年级开始就已经给学生准备准备好了，让他们去自己背一背 对吧？你只有把东西全部给到位才用，不要说等他考完之后再说。哎，这边有一个 r 理论怎么怎么的对吧？啊，你说的根号三倍把它算出来小于的 b 不 就完事了吗？ ok 啊，就这么简单。