洛阳四测答案靠谱吗

许昌、洛阳、平顶山、济源与西北四侧今日开考，为了考好，五一假期，你把公式背的比身份证号还熟，但发卷三十分钟，你开始觉得不对劲，这函数是既函数又带绝对值，还要求零点个数到底是三个零点还是五个？ 新定义书列和选项题目读了三遍，每个字都认识，连起来不知道啥意思。此时你不是什么下笔如有神，更想直接问问神。 但不管怎么说，现在暴露弱点总强迫考场暴露。距离高考还有三十天，一切都还来得及！你觉得四测比三测难度如何？点击关注，河南高考全程陪跑！

我们如何看这个题？已知抛物线 c x 方等于八外过 c 的 交点的直线交 c 于 a， b 两点，交原 e x 方加外方减四外等零于 m n 两点，其中 a m 位于 d 相线，则 a m 分 之一加上 b n 分 之九的最小值为多少？ 提阳给抛物线的方程和圆的方程。抛物线的交点可以直接写出来，那就是零。逗号二，圆的话，我们的配合方，那就变成 x 方，加上一个 y 减二，括号的平方是等于个四的，那这样圆心的话是零。逗二，半径是 r 等于个二。 我们看一下下面这个图，相当于说直线和圆交于 m n 两点，和抛物线交于 ab 两点，那这样后边啊，求的是求的最值的话是 a m 分 之一加上 b n 分 之九，求的是它的最值。 a m 相当于这段， b n 的 话相当于这段，那这样，呃，根据抛物线的定义，我们知道 a 点到也就是 a 点，如果做个垂线， a 点到准线的距离和 a a e 的 长，这个长应该是一样的。而题上求的这个 a m， 我 们可以给它换掉 a m 可以 换成 a e 减去半径， 也就 a e 这个总长减去半径算出来就是 a m， 那 这样的话，我们给它换完之后，我们会发现它减个半径 就相当于是减一个二，而这个减个二之后呢？这个地方，呃，这个总长相当于 a 点的纵坐标加上二，所以 am 的 长相当于是 a 点纵坐标，也就是 b n 的 话，也同样我们给它换一下， 也就是，呃，在这边给它换一下，也就是 am， 相当于说是等于个 a e 减去一个半径，减去个半径的话呢，减去个二的，而 a e 呢，又可以换掉 a e 的 话，相当于是等于个。我们把 a 点舍成 a 点，给它写成 x 一 y 一， b 点舍成 x 二 y 二，那这样的话， a e 的 长，我们可以换掉，换成 y 一， 然后呢，加上二，再减去二，所以是等于个 y 一 的，那 b n 这个 a m 相当于说可以换成 b y 一， 那同样道理， b n 也一样， b n 也一样， b n 换的话，你就换成 b e 减去半径， b e 减去半径，那就减去二。因为 b e 也可以换掉，换成 y 二，然后再加上一个二，所以就直接写成 y 二了。 y 二加二，再减二，就变成 y 二了。那这样题上求的这 am 分 之一加上 b n 分 之九的最值，就可以换成 y 一 分之九，加上 y， y 一 分之一加上 y 二分之九。 这样，呃，很明显就可以套着伟大定律。所以我们先把它连立一下，也就是把直线方程设一下，因为这个直线斜率是存在的，所以我们给它设成 y 等于个 k x 加上一个二，这是直线方程，然后抛物线方程照抄 x 方等于八 y， 这样连累一下，把 y 消掉，就可以得到 x 方，然后等于个 x 方等于个八倍的括号 k x 加上一个二，那一下象就是 x 方减去个八 k， x 再减去个十六，等于零的，那这样可以得到 x 一 乘以 x 二，是等于个负的 a 分 之 b， 也就是等于负的 a 分 之 c， 也就是，呃，这个等 a 分 之 c， x 一 加 x 二，等负的一分之 b， x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c， 也就是等于个负的十六，那么 x 一 乘 x 二等于负的十六， y 一 乘 y 二，我们可以给它换一下，因为等会要套这个基本不等式，我们给它换一下。 y 一 乘 y 二，呃， y 一 的话，套上面式子可以换成 y 一 的话，换成八分之 x 一 的平方，所以是八分之 x 一 的平方，乘一个八分之呃 x 二的平方，那这样的话就变成六十四分之呃，上面平方下就变成六十四分之十六的平方，那这样的话相当于是十六乘十六，比上了六十四，很明显是等于个四的， 所以下面这个可以换掉，是等于个四的，那所以我们就可以呃这个，把上面的式子换一下， a m 分 之一加上一个 b n 分 之九， a m 分 之一加上 b n 分 之九，那换角的话，就相当于 y 一 分之一加上个 y 二分之九，那这样 y 一 分之一加 y 二分之九。套着基本不等式。大于等于，很明显大于等于。二倍根号下 y 一 乘以 y 二分之九， 二倍根号下 y 一 乘以 y 二分之九。而前面我们已经算出 y 一 乘 y 二等于四的，所以四分之九开方是二分之三，也就是等于个呃三的 呃。但取等条件的话，当且仅当它俩相等的时候，等号是成立的，这个很明显取等条件是满足的，所以它这个最小值就是三，也就这题选 a 的， 也就这个题本来是求这个 am 和 bn 相关的，我们利用抛物线的定义把它换掉， 呃，把 am 换掉，换成 ae， 然后呢减去半径，然后正好它这个半径和和这这朵的长是一样的，所以相当于说把 am 换成这朵 am 和和它这个 y 是 相等的，然后半径和 y 二相等，所以求这个 am 分 之一加半径分之九的最小值，转化成 y 分 之一加上 y 二分之九的最小值，这样的话套近不等式直接就出来了。所以这个题选 a 的。

我们一会看这个题，三角形 a、 b、 c 的 内角 a、 b、 c 的 对边分别为，小于小 b， 小 c。 已知二倍根号三的 a， c， c， n， b 等于 a 加 b， c 乘个 a 加 b 减 c， c， n， b 等于根号二倍的 cos n， c。 第一小问求角 b 的 值，求角 b 的 值。我们先把第一个式子整理一下，那就是 二倍根号三乘以个 a c， c， n， b。 右边拆开的话是个平方差公式， a 加 b 的 平方减 c 方，那就可以写成 a 方加 b 方减 c 方，再加上一个 减 c 方，再加上一个 r a b。 呃，那这样的话套余弦定理，把 a 方加 b 方减 c 方换一下。呃，我们知道这个 cosine c 是 等于 a 方加 b 方减 c 方比上一个 r a， b 的， 那它 a 方加 b 方减 c 方，就等于 r a b cosine c。 所以 说 r 被根号三 a， c， c， n， b 就 等于个 r a， b cosin c， 然后再加上一个 r a， b。 那 这样的话每一项都有一个 a， 我 们可以把这个 a 消掉，也有二，把二也消掉啊，这样就变成左边的话就变成根号三 c， c， n， b 等于个呃 b cosine c， 然后再加上一个 b， 这样的话可以套边角互化，因为这边有个 b， 有 个 c， 有 个 b， 有 个 b， 可以 套边角互化。边角互化画一下就变成根号三倍的 c n c c n c 乘个 c n， b 等于个 c n， b 乘一个 c n， b， 再加上一个 c n， b。 因为 c n， b 不 可能等零，所以两边可以同时除个 c n， b。 同时除个 c n， b 的 话呢，就变成根号三倍的 c， n， c， 然后等于个 cosine c， 然后再加上一个一。这步很明显可以套辅助角公式，我们把辅助角公式写一下， a 倍的 c n x 加上个 b 倍的 cosine x 等于个根号下 a 方加 b 方乘以个 c， 乘以个 a 分 之 b。 这样套辅角公式，把这个 cosine c 一下向，就可以写成二倍的 sin， sin 括号 c 加上个六分之 pi 等于个一，那也就是 sin c 加六分之 pi 的 二分之一，所以 c 加六分之 pi 是 等于个六分之 pi， 或者是 c 加六分之 pi 等于个六分之五派。但是很明显，等六分之五派是要舍去的，因为等六分之五派的时候， c 是 个锐角， c 是 个钝角， c 是 钝角的话，这个地方应该是负的，那 c n b 也是负的，这个很明显是不成立的。三角，这个 c n b 不 可能是负的，所以第二种情况舍去， 所以，所以就可以推出 c 是 等于个三分之派， c 等三分之派推开之后，呃，后边这个式子就可以直接用 c n b 等于根号二倍的扣 c n c， 所以 c n b 等于根号二倍的 cosine c， 那 就等于个 cosine c 的 话，那就 cosine 三分之 pi 是 等于二分之一的，所以就等于二分之根号二，所以角 b。 当然角 b 也不可能是钝角，它只能是锐角，所以角 b 等于个四分之 pi， 所以第一小问这个 b 就 等于个四分之派。第一小问推出来之后，我们看第二小问，第二小问给这个面积等于三加根号三，求三角形 a b c 的 周长面积等三加根号三。呃，我们可以先把这个 c a 求出来，套这个面积公式， c a c n a 等于个 c n b 加 c c n b 加 c 的 话，那就 c n b cosine c c n b 的 话是二分之根号二，乘以 cosine c 是 二分之一，再加上一个 cosine b， c， n， c， 那 就是二分之根号二。 二分之根号二乘一个二分之根号三，等于四分之根号六，加上根号二。那这样的话套这个面积公式 s 三角形 a， b， c 的 面积就可以写成二分之一 a， 呃，这这个地方是 c a， 我 们可以写这个 b， c， c， a， 那 就等于个二分之一乘以 b， c 乘一个 c， a 的 话就乘一个四分之根号六，加上根号二，等于个三加 根号三，那这样的话我们就可以把 bc 求出来了， bc 就 等于个呃，这边移向移过来的话就是三，加上根号三，然后呃除以个数，乘以它，倒数，把它倒一下，那就是根号六，加上根号二分之八。 根号六加根号二分之八，这个可以提个根号出来，根号二倍的，根号三加一，这上面的话也可以提个根号三出来以抵消，所以就变成这个，就变成根号三，所以呃八除根号四倍，根号，所以就等于一个四倍根号六，所以 bc 就 等于四倍根号六。 bc 等四倍根号六之后，我们可以套这个正弦定律，把 b、 b， b 和 c 的 比值，根据正弦定律，我们比较容易能得到 b， b， c 是 等一个 c， n， b 比上个 c， c， c 变化是二分之根号二。 c， c 的 话是二分之根号三，相当于是根号二，比上根号三，那也就是呃等于个三分之根号六， 那这样，所以我们就可以得到 b 等于个三分之根号六。 c， 所以 b 乘 c 就 可以换掉 b 乘 c 就 相当于是三分之根号六。 c 的 平方等于四倍根号六，那这样，所以， 所以 c 就 可以求出来了。 c 的 话就等于这个 c 方是等十二，所以是二倍根号三。 c 的 二倍根号三， b 就 出来了。 b 就 等于三分之根号六，乘一个二倍根号三，所以说呃一约的话，就变成二倍根号二。 b， c 出来之后，呃小 e 就 可以算，就小 e 可以 直接出来了，所以我们可以把小 e 算出来。根据着正确的 a 比上个 c， a 等于个呃，比如说 b、 b， c， a、 b 吧，所以可以推出来， 所以可以推出来呃， a 是 等于个 c， b 乘一个 c， a 比上一个 c， b， 那这样的话， b 我 们前面已经知道了，是二倍根号二，乘一个 c a， c， a 的 话，前面我们已经算出来，那就是四分之根号六，加上根号二，然后再比上 c、 n、 b， 那 就是二分之根号二。分子整理一下的话，那就是四分之呃，这个先约一下， 这个先约分子，这样约一下的话，变成根号二，分之根号六，加上根号二，下边的话是根号二分之二，那这样的话，这个约分就没有了，所以就剩了根号六加根号二，所以小 a 度就等于根号六，加根号二， 等于根号六，加上根号二，这样它的周长就变成 a 加 b 加 c， 等于三边的和。呃， a 是 等于根号六， 加上根号二。 b 的 话， b 的 话，这个地方是呃等于哎 b 在 这个地方二倍根号二，加上二倍根号二，再加上个 c 是 二倍根号三，所以就变成三倍根号二，加上二倍根号三，再加上一个， 再加上一个根号六，所以它周长就是三倍根号二加二倍根号三，再加上个根号六。

我们需要看这个题，在棱长为四的正方体 a， b， c， d， 杠 a， e， b， e， c， e， d， e 中， m， n， p 分 别为棱， a， d， c， e， d， e， b， b， e 的 中点 在下面，哪个选项是对的？ a 选项让证明 m， n 平行平面， a， a， e， c， e， c。 证明线段平行，得证明，呃，这个线在平面外，并且它平行平面内的另一条线都可以，那这样的话，证明 m， n 平行的平面。需要证明 m， n 平行平面， a， a， e， c， e， c 这个平面内的一条线， m 是 中点， n 也是中点，见中点，想中点，所以我们可以考虑取一下 ac 的 中点 o 点。那这样的话，很明显 m， o 是 中微线，它平行且等于 dc 的 一半， 而上面这个 n 是 中点， n， c， e 也等于平行且等于 dc 的 一半，所以说 n， c， e 平行且等于 m o， 那 这样平行四边形就出来了。平 行四边形出来之后， m， o 平行 o， c， e， 所以 这个线就平行的平面了。 所以 a 是 对的。 b 选项 m， n， p， c， e 四点共面，这个很明显不对，我们把刚才这个 m， n 和这个 o， c， e， 因为刚刚才已经证明了 m， n 平行， o， c， e 呢？这个平面这四个点应该在一个平面上的，我们把这平面往右延长一点， 往右延长一点之后和这 b， c 的 交点。假如说是 h 点，很明显 p 点是不在这平面上的，因为 p 点是在 b， b， e 这个线上的，所以 p 点是不在下面这平面上的。所以说 p 点不可能和这个 m， n， c， e 这四个点在一块是共面的， 所以这个 b 选项错的。 c 选项的话， m， n 垂直 pc， m， n 垂直 pc 正线线垂直，可以考虑正这个线面垂直，正线面垂直的话，因为 pc， 呃，我们刚才把这个地方 m o 延长完之后，这个地方标到 h 点， h 点肯定也是中点，因为下面也是正方形， h 中点的话呢，比较容易得到 b p c 这个，这个 c， e， c， h 这个三角形，它俩应该是全等的 大圈等，所以这是垂直，可以得到。呃，也就是 pc 是 垂直这个 c 一 h 的， 然后 m h 这条线，很明显它是垂直右侧这个面的，也就是 b b 一 c 这个面的，所以说可以得到 pc 垂直 m h， 然后呢， pc 还垂直 h c e 那 一个线垂直这面上两个相交直线，所以就可以得到 pc 垂直平面 c e n， m h 这个平面，那这样的话， pc 垂直平面，垂直平面任一条线，所以 pc 就 垂直 m n， 所以 c 就是 对的。 d 选项的话，三棱锥 a 一 杠 m np， 它的体积， 它的体积的话，我们观察一下这里面这个底面 m n， 然后 np， 还有这个 pm， 很 明显这三条线是相等的，并且也比较容易能算出来。它的侧棱的话， a e p， a n 和 a e m 也是相等的，所以这相当于一个正三等锥，它的底，它的底面的边长先算一下，也就是比如说 m n 吧，因为它是等面，算哪条都可以。 m n， m n 的 话是这条线， 我们把这个地方一点，这个很明显，根据勾股定力，这是二，这是四，根据勾股定力，这条边应该是根号二十，也就根号二十四，这样就可以得到 m n 是 等于二倍，根号六， m n 等于二倍根号六， m n 等于二倍，根号六，它底面还是等边三角形，我们如果过 a 一 做垂线的话，垂足一定是落在它的中心点的位置上，那底面是二倍根号六。中心点，这个就比较好算了。高的话应该是二倍根号六，乘以二分之根号三， 二倍根号六乘一个二分之根号三，这个是高，那这样明显是三倍根号二，因为中他是等边三角形中心点，把高分成二比一的两部分，所以这个部分应该占三分之二，也就二倍根号二，这样的话我们就可以把高求出来，也就是 h， 那 就等于个斜边，相当于是根号下斜边，相当于是 二根号下二十，也就二倍根号五，所以就二十。减去二倍根号二的平方是八，所以是等于个根号十二，也就是三呃二倍根号三，呃高就出来了，所以为 a 一 为 a 一 杠 m、 n、 p， 那 就是呃三分之一乘以二倍根号六，乘以个二倍根号六， 它面积公式也就是二分之一 a， b， c， n， c 乘一个二分之根号三啊，这部分代表的是底面积，然后高的话是二倍根号三， 那这个可整理一下。中间的话，二倍根号六，呃乘二倍根号六，也就是二十四，二十四一月份六，也就六倍根号三，六倍根号三，乘后边的话就是呃十二乘以，也就是六倍根号三乘以个二倍根号三， 那这样的话，那就是十二乘三和前面的三分之一月份，那就剩了十二，所以它的体积就是十二， 所以这个 d 选项对的，也就是 d 选项的话，它这个三棱锥比较规则，相当于相当于说是一个正三棱锥，底面是个等边三角形， 然后测温还都是相等的，所以它体积比较好算啊。但这个如果说不太熟的话，间隙也可以，直接间隙的话，呃，利用这个呃点到面的具体公式，把点到面的高，点到面的距离算出来，然后再算底面积乘高乘三分之一也可以。所以这个题是选 a、 c、 d 的。

我们一会看这个题，此棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d 的 底面， a、 b、 c、 d 为矩形， a、 b 等于根号二， b、 c 等于 p d， a、 c 垂直 p d。 第一小问，证明 p a、 d 垂直平面， a、 b、 c、 d。 证明面面垂直的话，我们一般考虑证明线面垂直，先证线面垂直。 这个线面垂直的话，题上给的有个 p a 等于 p d， 也就是 p a、 d 是 个等腰三角形，等腰三角形一般我们考虑用三线合一，所以可以取一下 a、 d 的 中点，也就 o 点，那这样一连的话， p、 o 应该是垂直 a、 d 这条线的一个线圈垂直出来了，然后 a、 c 是 垂直 p b 的 这条线 a、 c 垂直 p p b 这条线，那么 a、 c 垂直 p b 前面还给了个 a、 b 等于根号 b、 c 等二，我们把这个底面还原一下，底面这个长方形给它画出来， 相当于这是 a、 b、 c、 d。 那 这条这个是中点 o 点， 这是中点 o 点，我们把这个连起来， o、 b 连起来，把 a、 c 也连起来，那这样的话比较容易能得到。这条边是等于根号二的，这条边是二的，这条边应该是一，所以这个角的它的值应该是对比零，也就是二。比根号二，也就等于根号二，而这个角的它的值呢，也是对比零，也是根号二，所以这两个角相等。 两个角相等的话，这个角本身加上这个角是等于九十的，所以，呃，这个角加它也是九十，那所以这个九十度就出来。相当于我们可以利用底面底面上边之间的关系，可以推出来 ac 和 ob 时垂直的关系，也就是这个角 ac 和 ob， 也就是这个角是个九十度，那这个垂直关系推出来之后，那线面垂直就出来了。 因为啊， a c 本身是垂直 p b 的， a c 还垂直 o b， 所以 a c 就 可以垂直 p o b 这个平面， a c 垂直这个平面，那么垂直这个平面就垂直这个平面的任意一条线，所以 a c 垂直 p o 就 出来了， 那么 p o 垂直 a c， 然后 p o 还垂直 ad， 所以 p a 垂直底面就出来了。那这样 p a 垂直底面，那 呃 p a 又在这个平面 p a、 d 上，所以平面 p a d 就 垂直平面 a、 b、 c、 d 就 出来了啊，因为这个过程就不单写了。然后看第二问，第二问是四棱锥 p 杠 a， b， c、 d 的 外接球的球心为 m， 切点 m 与点 p 在 平面 a、 b、 c、 d 的 同一侧，球 m 的 半径为六分之根号六十六， 呃，半径的六分之根号下六十六。因为底面是个长方形，那么我们过球心往下面做垂线，那肯定是落在底面的底面的这个中心点上，也就是我们过 o 一 往上做垂线， m 点肯定在这个这条线上，那这样的话， m 点相当于往左侧，这个就 p a d 上也做个垂线垂足标个 o 啊。那这样我们可以直接把它连一下，就是把 m a 先连一下， m a 连一下之后，我们可以利用勾股定力，因为 m a 就 相当于说是呃半径球半径，因为我们知道这个球心已经落在这个呃过 o e 往上做垂线，也就是 a b、 c、 d 的 这个 法向量上，也就是落做垂线的话，就相当于垂直 a、 b、 c、 d 的 这条线上， m 点在这个地方，然后如果说往左侧做垂线的话，垂足其实落在这个呃 p 一定会落在 p o 这条线上，因为它的侧面是一个等腰三角形，一定会落在等腰三角形的中心点，也就是 落在这个 p o 上，那这样的话，我比较容易能看出 m o r o 还有 o 一， 这是个句型。那这样的话，我们先把这个 m o 一 先算一下 m o 一 m o 一 的平方套下勾股定力等于个 m a 的 平方， m a 相当于求半径减去 a o e 的 平方， m o e 的 平方，就是六分之根号六十六的平方呢，也就是六分之十一。减去 a o e， 因为这条边是根号二，这是二 ac 的 话，就根号六，所以使二分之根号六，二分之根号六。平方一下之后，那也就是四分之六，也就是减去个二分之三 啊，所以是相当于六分之十一。减去六分之九，那就六分之二，三分之一。所以我们就可以推出来 m o 一， 应该是等一个三分之根号三的 m o 一， 等于三分之根号三之后，那同用同样的方法，我们也可以把这个呃 p o 二给求出来， p o 二这个地方也连一下 mp 也是一个求半径，所以说 p o 二，它的平方也等于一个 mp 的 平方，然后再 减去一个 m o r 的 平方，那这样的话， m p 的 平方还是六分之十一。呃 m o r 的 话，相当于是 a b 的 一半，也就是二分之根二的平方，所以是减去个二分之一，所以是六分之十一。减去个呃六分之三，那也就六分之八，所以也就是三分之四， 那这样的话， p o r 就 算出来，就等于三分之二倍根号三 m o 一。 知道了呃 m o 一 和这个 o o 二是一样长的，所以我们就可以推出来， p o 是 等于个三分之根号三，加上三分之二倍根号三，其实就等于一个根号三，所以 p o 就 出来了。 那么 p o 等符号三之后，我要算的是 p a d 平面 m a d 加角的余弦值，我们把这个 m o 连起来，因为 m m d 也连起来， m d 相当于也是求半径， ma 也是求半径，那这样的话 m a 和 m d 肯定相等，所以 m o 连起来之后， 那么根据三线合一， m o 肯定是垂直 a d 的， m o 垂直 a d， p o 也垂直 a d， 所以 呃 p o m 这个角就是它这个二面角的平面角。所以 cosine 角 p o m q m 套下余弦定底，需要把这个 m o 先算出来， m o 的 话，等于根号下 m o 一 的平方， m o 一 的平方的话，那就是三分之一，再加上个 o 一 的平方，就二分之一，就根号下六分之五，六分之根号下 啊，六分之根号下三十，那这样的话直接套余弦定底，那就变成呃根号三的平方三，加上个六分之十一，比上一个二乘一个 呃根号三，再乘一个呃六分之根号下三十。分子呢，整体是个二和分胞二抵消掉没有了，所以分母上就变成呃三倍根号十，比上了六分之一，那这个消下就变成根号十分之二，也就是五分之根号十。 所以说它的余弦值就算出来是五分之根号十，等于五分之根号十啊，这样这个第一问就出来了，五分之根号十。然后看最后一问，已知平面 p a d 平面 p b、 c 的 交线为 l 点 q 在 l 上设直线 q m 与平面 p b、 c 所成角为 c t， 求 c t 的 范围。 平面 p a、 d， 平面 p b、 c 的 交线为 l， 我 们先把这个 l 这条线确定， l 这条线其实就是过 p 点做这个 a、 d 的 平行线， q 点就在这条线上运动。呃，这个证明也比较好证明，因为 bc 这条线是平行 p a、 d 这个面的，那这样的话过 bc。 根据线段平行的性质，过 bc 的 面 和 p a、 d 的 交线应该是和 bc 平行的，那和 bc 平行一定是和 a、 d 平行，所以说它交线 l 一定是和这个 a、 d 平行的。 q 点相当于是在这个过 p 点，并且和 a、 d 平行的这条线上运动的。那这样的话，我们最后一问的话，就可以把这个 q 点坐标线舍出来， 相当于 q 点的横坐标，是不确定的。最后一问， q 点的横坐标相当于可以给它设成 t 横坐标，设成 t， 纵坐标应该是零，竖坐标的话是根号三。 q 点设完之后，后边的话算这个 m 点，写一下 m 点的话， m 点， m 点的话，这个 o o 一 的长是二分之根号二，所以说它的横横坐标是零，这个纵坐标是二分之根号二，竖坐标的话应该是三分之根号三， 这是 m 点的坐标。 m 点写完之后，后边要算这个和 p b、 c 再加角，所以说需要把 p 点写下 p 点的话零零根号三。 b 点的话，因为 b 点的话，这个它到呃 a 这条线的距离是根号二，然后到原点 a、 o 的 长是一，所以 b 点坐标的话是一根号二。 零 c 点坐标法负一，因为 c 点是在 x 轴，它对应的 x 在 x 轴负半轴上，所以 c 点坐标的话，应该是负一啊，根号哎，这个是根号二， 根号二，根号二，逗号零，那这样写完之后算这个线面加角的话，我们先把 q m 写出来， q m 向量等于后减弦，就是负 t 逗号二，逗号负的三分之二倍。根号三， 这是 qm 啊，那等一下，后面需要算这个 pbc 的 法向量，所以先把 p b 向量写出来， p b 向量呢，就等于一逗号根号二，逗号负的根号三，然后 bc 向量也写一下，那这样的话， bc 向量就是负二，负零，负零，那这样 啊，舍这个平面 pbc 的 法向量， n 向量舍成 x， 逗 y 逗 z， 那 这样的话，我们可以得到， n 向量点乘 p， b 向量是等于个零的， n 向量点乘 pc 向量也是等于零的，那这个可以推出来。 呃，第一个的话呢，就是 x 加上根号二， y， 再减去根号三， z 等于零，这是第一个。第二个的话，负二， x 是 等于零的，那这个可以推出来。呃， x 是 等于零的， x 等于，所以我们可以让这个 y 等于根号三， y 等于根号三， y 等于根号三的话，那 z 就 等于根号二，所以说， 所以呃法，所以这个法向量就出来了，相当于 n 向量就是零。逗号根号三，逗号根号二，那这样的话啊， c c 塔就可以直接套公式， c c 塔等于 n 向量点成。呃， q m 向量 o m 向量，然后再比上一个 n 向量的模啊，乘一个 q m 向量的模，那这样的话， n 向量点成 q m 向量啊，横成横，纵成纵，竖成竖，那是，这个是 q m， 这个是 n 向量，那就变成分子的话，就变成二分之根号六， 二分之根号六，减去一个，后边的话是三分之二倍。根号六加一个绝对值，这是分子分母的话， n 向量的膜呢，就是等于根号五。 q m 向量的膜 能变成 t 方，然后后边的话是二分之一，后边是二分之一，加上一个，呃三分之四，乘三，也就是三分之四，所以说这个通项分的话呢，就是六分之七，所以 t 方加上一个， 呃六分之，哎，这个通分之后，这个是六分之三，加上六分之八，应该是六分之十一啊，这个通完分之后是六分之十一，所以 应该是乘一个根号下，根号下 t 方加上个六分之十一，那 c c 它等于它，那很明显，呃分母最小的时候，整体最大的最小，分母最小就 t 方等零的时候，那 t 方等零的话， 呃带那这个 c c 它就可以算出来，也就是当梯方到零的时候，我们可以算出来 c c 它最大值，那 c c 它最大的话，那就是二分之根号六，分子上二分之根号六，减去呃这个三分之二倍。根号六，应该是六分之根号六，所以分子是六分之。根号六分母的话是等于个 呃，根号五，乘一个，呃根号下六分之十一，那这样的话就是六分之根号六，呃乘一个 乘一个啊，根号下五十五分之根号六，这很明显，那就等于根号下五十五分之一，所以是五十五分之啊，五十五分之，根号下五十五，所以相当于他最大值就出来了， 那所以说他就是他这个范围就出来了，因为他肯定是大于零的啊，零到五分，五十五分之根号下五十五之间啊，这个 t 是 可以取零的，所以这个是可以取等号的，所以他是等的。对于这个题，这个我们舍得 t， t 的 范围是属于全奇实数的，我们在这个地方写 t 的 范围是属于全奇实数的， 因为它可以在这个现场任意一点进行运动，所以 c n、 c 它的范围就是零到呃，五分之，更换下五十五之间，这是这三位。

洛阳的高三家长们是不是老在想，高三的四次模考，到底哪次最接近高考？那些模考一般，高考却考的好的孩子，真的是靠运气吗？ 今天咱把这事聊透。先说句实在话，模考成绩和高考真没啥直接关系。什么三册最接近高考，纯粹是误导人啊！每年都有孩子三册没考好，心态直接崩了，觉得完了没戏了，这才是最可怕的。 高中三年就剩最后一百天，但这最后一百天恰恰是提分最快的关键期，家长们一定帮孩子抓住这个机会。 模考最大的作用啊，就是查漏补缺，摸摸底，仅此而已，它决定不了高考结局。每年都有一批孩子三测到高考之间能冲上去一百多分，这不是奇迹啊！只要方法对，状态稳， 绝对有机会逆袭那些模考成绩一般，但高考发挥好的孩子，他们绝对不是靠运气，是有三个关键的原因。第一， 高考评分更公平，是双平制一道题啊，至少有两个老师打分，只要步骤对了就有分，模考这点是根本比不了。 第二，模考和高考不一样，模考会出一些超纲题，锻炼孩子的应变能力。而高考只考考纲内容，吃透课本基础题，轻松拿分，平时被模考折磨过的高考反而会更轻松。第三， 多次模考的锻炼，孩子能更好的掌控考试节奏，练会了图答题卡空节奏，连紧张都变成了兴奋。流程熟了，心态稳了，发挥自然更稳。所以，洛阳的家长们别再让模考成绩影响孩子的心情了，更重要的是帮孩子稳住心态， 做好剩下这段时间的冲刺，高考成绩最终是靠最后的八十天的努力和现场状态决定的，不要纠结模考成绩，集中精力，全力以赴，确保高考那一刻有最佳表现。亲爱的家长们，你们对孩子高考还有哪些担心？ 或者是模拟考试的成绩，或者是孩子的心态？或者还有其他原因？快在评论区告诉我你们最担心什么？我们一起聊一聊，互相帮助，给孩子们加油！

我们要看这个题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a， b 等于二， a， d 等于三点， e、 f、 g、 h 分 别是边 a、 b、 b、 c、 c、 d， e 的 中点，则 e， f 向量点成 f， g 向量加上 g， h 向量点成 h 向量点成 h， e 向量等多少？ 这个很明显是考这个极化恒等式的。我们先把极化恒等式说一下，随便画一个三角形， a、 b、 c， d 是 中点，那这样的话，呃从三角形同一个顶点发出来两个向量，也就是 ab 向量点成 ac 向量， 这样 ab 向量点成 ac 向量， ab 向量根据三角形法则换一下可以换成 ad， 加上 db， 也就是 ad 向量减去二分之一倍的 bc 向量，后边也是一样，后边这个 ac 可以 换成呃 ad 向量，然后加上一个二分之一倍的 bc 向量， 这样的话，这相当于构造出了一个平方差公式，所以可以写成 a、 d 向量的平方减去四分之一倍的 b， c 向量的平方。这就计算恒等式相当于从三角形的同一个顶点发出两个向量， 呃的积是等于中线的平方减去四分之一倍的对边的平方，也就是 a、 d 方减去四分之一的四分之一倍的 b、 c 方。 知道题画横着时之后，我们再看这个题，题想给的是 e， f 向量点成 f， g 向量， e， f 向量点成 f， g 向量，我们需要它调一下，调成 f， e 点成 f， g， 那 后边这也是一样， g， h 点成 h， e 可以 写成 h， e 点成这个 h， g。 呃调完之后我们观察一下，因为外边是个等边，外边是个平行四边形，并且这四个点全是平行四边形，比如说把它连起来， 因为它是中一线，它平行等于它的一半，它也平行线等于它的一半，所以这个 e、 h g、 f 这个平行四边形，它这个平行四边形的话， o 是 终点，比较容易能看出来，那这样 o 是 终点的话，我们就可以套着计划横等式，也就是上面的式子，我们给它换一下，上面的式子给它换一下，换成负的， 先提个符号出来就负的。呃，括号里边应该是 f e 向量，然后点成 f g 向量，再加上一个 h g 向量，点成 h e 向量。 抛下极化乘法式，那就是变成负的括号， f e 点成 f g， 那 就换成 f o 向量的平方，减去一个 四分之一倍的 e g 向量的平方，再加上个 h e 点成 h g， 那 个 h g 点成 h e 也是一样，那就变成加上一个 h o 向量的平方，然后再减去个四分之一倍的 e g 向量的平方。 这里面我们刚才证明了 f e， h g 它是个平行四边形，所以说 f o 和这个啊 h o 它俩应该是相等的，都是等于 ab 的 一半，都是等于 ab 的 一半，所以给它合起来，就变成减去负的二倍的 f o 向量的平方，然后再减去二分之一倍的 e g 向量的平方。题上已经给了这条边是 ab， 是 等一个二的，这条边是等一的， e 是 中点，那同样 e g 的 话，应该是等一个三的，所以直接代入一下，变成负的。 呃，括号二减去个二分之一乘一个数，那也就是二减二分之九，二减二分之九，代替着负的二分之五，所以前面还有个符号，所以就等于个二分之 等于二分之五啊，好，所以说，呃， e f 向量点成 f， g 向量加上 g h 向量点成 a， c 向量就等于个二分之五。 也就是这个题还是考虑极化恒等式的，我们只要看到两个向量相乘，可以考虑看能不能极化恒等式。从同一个零点出发的两个向量相乘应该等于中线的平方减去四分之一倍的对边的平方，所以这个题答案是二分之五。

各位高三家长大家好，今天呢是二零二六年的五月七号，咱们洛阳高考四测呢，终极实战演练今天正式开考，这是孩子们高考前最后一次的全真模拟，十年寒窗磨一剑， 每一次落笔呢，都是沉淀，每一次刷题都是成长。在这里，翟老师衷心祝愿所有的高三学子，四测呢，我们能够稳住心态，超常发挥，考出理想成绩，为高考打下坚实的基础。 家长朋友们，大家一定要记好，一个月后的今天，也就是六月七号，孩子们将要踏入高考考场，迎来人生第一场终极的大考，也就是说，二零二六年的高考正式进入倒计时三十天。 那越到最后的关键阶段，咱们高三家长越不能慌，那很多家长现在还在迷迷茫啊！河南新高考到底该怎么匹配？专业院校到底怎么设置？冲文保 抢机计划？专项报考提前批到底是怎么样一个录取情况？志愿填报有哪些新规则？ 如果说我们不懂政策，再高的分也容易浪费，那今天晚上，我专门为咱们洛阳高三家长拆解河南新高考报考政策，解读报考规则、志愿填报技巧、 低分简陋策略。那想要精准规划孩子升学路的家长，赶紧预约锁定直播，我们一起学习新政策，科学规划，为孩子的高考保驾护航，助力孩子金榜题名！

洛阳的高三家长大家好，洛阳思测今天正在开考，这么关键的节点，韦老师一定要给大家提个醒，这次思测考试对学生来讲是一次非常重要的摸底考试，因为这应该是咱们高考之前最后一次正儿八经的摸底了，非常的重要。 但对咱们家长来讲，其实它也很重要，因为思测结束之后，咱们距离高考的时间就只剩不到三十天了， 那孩子们这个时间正是冲刺高考的时候，肯定没有时间来研究一些升学的信息，所以说咱们家长们一定要重视起来，因为每年六月十号高考完，六月二十五号就要出分了嘛， 对吧？那出分之后，马上就要到了咱们正式志愿填报的时间了，高考之后呢，这半个月还非常的紧张，你像孩子们刚高考完，可能还要补补觉旅旅游，拍拍毕业照啥的，所以咱们在高考之前一定要尽多的收集一些相关的信息， 那高考完之后呢，我们才不至于手忙脚乱。那根据以往的经验，试测考试的成绩，我估计在十一十二号左右就会公 布，那公布完之后，我会给大家去开一场专场的直播，手把手教大家去做等效分换算模拟志愿填报。那大家在听课之前呢，可以提前了解一下不同的层次的高校往年的录取分数。 那我把在河南招生的全国所有大学近三年的头档位词表和录取分数线都给大家整理好了，有需要的家长可以私信我领取。 河南的志愿填报，因为考生数量多，竞争激烈，所以志愿填报也是最难的，咱们应该怎么去选择到好的志愿组，报考到性价比最高的学校？怎么去排序？ 怎么判断哪个学校好，哪个学校哪个专业的实力强？我在直播的时候都会给大家去讲到，到时候大家一定来听。关注韦老师撕扯后，手把手教你如何做好志愿填报。

我们一个看这个题，已知函数 f x 定义为 r， 若函数 y 的 f x 加上二乘三的 x 方是偶函数， y 的 f x 减去四乘三的负 x 方是奇函数，则 f x 在 一到整数的最小值为多少？先给这个式子，它是一个偶函数，它是一个奇函数。 这样根据奇函数和偶函数的定义，我们可以列两个式子，利用这两个式子就可以把 f x 的 解析式，解析式之后算它最小值就比较好算了。呃，先根据偶函数的定义，我们可以得一下， f 负 x 加上一个二乘以三的负 x 方，是等于个 f x， 再加上个二乘三的二乘以三的 x 方， 二乘以三的 x 方，那下面是个奇函数，所以是 f 负 x 减去个四乘以三的 x 方等于负 x， 然后再加上个四乘以三的负 x 方， 那这样的话，这个数字我们再整理一下，整理一下之后，一下向左边的话，可以写成 f 负 x 减去 f x 等于右边的话，啊，二乘以三的 x 方加上个二乘以三的负 x 方。哎，这个是减，减去二乘以三的负 x 方， 减去二乘以三的负 x 方。呃，第二数字整理一下呢，就是 f 负 x 加上一个 f x 等于个呃四乘以三的负 x 方，然后再加上一个四乘以三的 x 方，那这样的话，下面减，上面一减，把 f 负 x 减就没有了，因为我们留的是 f x， 所以 就变成二倍的 f x 等于这个减的话，它减它相当于变成二乘一个 三的 x 方，他减他就变成六加上个六乘以三的负 x 方，所以就可以得到 f x 等于三的 x 方，再加上一个三乘三的负 x 方，这样就求出来 f x 的 解析式，相当于由这两个式子可以求出来， 由它可以推出 f x 是 等于个三的 x 方，然后再加上一个三乘以三的负 x 方， 那这样很明显这是一个。呃，如果我们给它写成这个形式，就三的 x 方加上个三的 x 方分之三，这很明显可以套着进不等式，也就是个对勾函数，所以我们可以换一下元舍 舍 t 等于三的 x 方，那这样，因为 x 是 大于等于一的，所以说 t 应该是大于等于三的。 t 大 于等于三的话，那所以说我们相当于是舍 g t 等于 t 加上 t 分 之三，那这很明显这是个对勾函数。呃，在零到正无穷上，图像大概是这样的， 图像大概是这样的，它最低点应该是 t 等 t 分 之三的时候，也就等根号三的时候，等根号三的时候，它是最小的，我们要的是三到正无穷，所以说我们可以得到 g t 的 最小值 其实就等于个 g 三，那么 g 三带进去之后，很明显是等于四的，那它等于四，说明这个 f x 它整体的最小值就是等四的。所以这个题是选 c 的， 也就是根据题原给的这个奇函数、偶函数，我们可以把这个 f x 利用奇函数、偶函数定义列两个式子之后，利用这两个式子把 f x 解析式求出来， 解析式求出来之后，这样，呃，利用换元法把它换成对勾函数的形式，也就 t 加上 t 分 之三， t 的 范围是大于等于三的，所以它的最小值就出来了，最小值就是四，所以这个题选 c 等。

成功靠的不是奇迹，而是你每一天一点一滴的努力。不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是你不够成功，而是你不够努力，所以人都是一样的。

洛阳高三家长，你是不是想知道洛阳一测、二测、三测、四测，到底哪一次成绩最接近高考？那些模拟考试成绩一般，高考反而能超常发挥的孩子，是不是全凭运气？今天我就把这两件事都给大家说一说。先跟各位说一个客观的事实， 孩子的几次大考成绩和高考其实压根没有多大关系。一直有传闻说三测成绩最接近高考，全都是误人的谣言。 每年有太多孩子三册没考好，一出分心态就崩溃了，认为自己发挥失常，高考的没希望了，甚至有人直接自暴自弃，这才是最可气的。高中三年满打满算就是十个一百天，其实最后这一个一百天，才是孩子提分最快最关键的黄金期。看到这条视频的家长，真的要帮助孩子抓住最后一百天逆袭的机会。 记住，大型模拟考试唯一的作用就是帮孩子查缺补漏，找薄弱点，明确一下当前的位置。除此之外，他什么都决定不了，更决定不了你家孩子的高考结局。每年都有这样的学生，三次到高考不到一百天，成绩提高了一百多分左右，这也是我们经常说的黑马， 这从来不是天方夜谭，只要肯努力，考试状态锻炼稳定一点，完全有机会脱颖而出，成为最终的大场面先生。而那些模考成绩一般，高考却能超常发挥的孩子，也绝对不是单靠运气， 背后往往有三个重要的因素。第一，高考严谨公平的评分机制。和大型模考不同，高考全程严格执行双平制，至少有两位阅卷老师专人负责，最大程度减少主观扣分。就像数学大题，就算是答案错了， 只写公式，步骤写对也有步骤分。第二，模考和高考的难度差异。地势模考经常会出一些冷门知识点，抄纲创新题，目的是为了锻炼孩子的抗压能力。而高考只能紧扣考纲，百分之五十是基础题，吃透课本熟练练习就能拿分。 百分之三十是灵活应用的中等题，只有百分之二十才是拉分的压轴题。平时模考经受的考验多了， 高考反而就会更容易发挥出真实的水平。第三，量变到质变的积累。孩子经历了多次模拟，不仅补全了知识漏洞，更能熟练掌握涂卡规范时间分配。考试节奏就像运动员形成的肌肉记忆，连考前的紧张感都会转化成考试的兴奋感。流程熟，心态稳， 高考自然也比平时要发挥的更出色。所以，洛阳的高三家长们别再被模考分数牵着情绪走，也别用万一高考考砸了怎么办的焦虑来影响孩子。最后冲刺阶段，帮孩子做好时间精细化管理，脚踏实地补短板，稳心态，比纠结模考成绩都重要的多。高考从来还不是模考决定的， 最后八十多天的努力，考场的状态才是最终决定成绩的关键。请坚信，孩子的高考分数一定会是所有考试中最高的那一次评论区可以打出高考加油！祝愿二零二六年所有高考的考生都能金榜题名，考上自己心仪的大学！

洛阳的高三同学、家长朋友们，今年联考全停三模后，千万别再瞎刷题了！今年有一个非常重要的政策变化， 教育局明确禁止各高中私下组织联考，试面上的联考机构也基本停办了。这意味着什么？意味着接下来的备考不再是比谁参加的联考多，而是比谁能接触到更前沿、更精准、更有质量的命题方向。 而目前全国范围内，只有头部名校拥有最强的命题能力和教研实力，他们的试卷就是最接近高考风向标的参考。所以，我给所有高三同学一个核心建议， 三测之后不要再盲目刷题，而是要多见题。不是让你把名校试卷全部做完，而是重点去看看他们考了哪些新考点，用了哪些新材料，换了哪些新角度，看的多了，考场上遇到新题型、新问法，你才不会慌，才能做到见新不新。 这个过程就是查漏补缺，就是提升备考效率，就是让你比别人更懂高考，更会备考。从这周开始，我会每周整理全国著名高中最新的大型联考试卷，免费分享给大家，不用你到处找，不用你花钱买， 我直接整理好发给你，需要的话评论区留言。最后让孩子记住一句话，见多自然，识广，多看才能高效！跟着名校方向走高考，少走弯路，冲刺更有底气！