2026大连初中数学几何

今天刚刚考完的大连市一模数学，我带大家分析一下这张卷，这张卷的话有几个特点。第一个特点是什么？二次函数和这个几何题，它的位置改变了，二十二题是二次函数，二十三题是这几何，还有圆圆没有在二十一题，而是在这个二十题。 二十一题是一个反比例函数应用的问题，应该也没有出三角函数，这是这个主要的变化，整体的难度我觉得是稍微稍微简单了一点点，可能跟中考比。我们把这个题重点讲一讲， 这上面这个从第十题开始。第十题这里边他说什么？他说给了个正方形对不对？这些边长都是 x， x， x 给了你个图，你要去给你个图，你要去看它横坐标和纵坐标分别代表什么含义哈，它的横坐标代表的是 x， 纵坐标代表的是这个 四边形，它的面积。当 x 等于零的时候，它是一，就说明重合，重合，重合就说明正方形的边长是一。哦， 里边这四个三角形肯定是全等的，就能得到这四个边相等，这个角和这个角相等，他俩加一起是九十能得到，他是九十度能得到，他是正方形。看这个图像，是不是当他有最小的时候是零点五，所以说最小，支持他四 d 是 错的，他让你求错误的吗？ 这个你去看它正常应该是什么？这是 x， 总长是一，这是不是一减 x， 它方加它方就是 e f 方， e f 方不就是这个四边形正方形它的面积吗？所以说就是它哈。第十题选四 d 哈， 然后第十一题的第十五题，我们来看下第十五题哈，十五题，他说在矩形它中 ab 等于二， bc 等于三， 这是二，这是三，这个是不是应该是刚好十三吧？然后做了一个什么垂直平分线啊？他的垂直平分线，那这个肯定是终点，这是一份，这是两份，这是不是有个八字相似？那他比，他是不是就是一比二？ 一比二，那这个是不是应该占三分之二的 d、 b 乘，也就是三分之二的刚好十三，这是十五题。 十七题。这个题哈，我觉得有点意思的，第一个问，正常算就行了。第二个问，他说一个消费者在购买手机时获得了五百元的补贴，他这个有要求的，你必须得是按照销商品销售价格的百分之十五进行一次性立减补贴， 你大于等于百分之十五是可以的。你设这个最低价是 y 元，你这百分之十五 y 是 不是应该是大于等于五百，你才能补贴， 对不对？才能获得这个五百块钱的补贴？你解出来 y 是 大于等于三三三三点，三三三循环。这个有的人就纠结了，我到底是取三三千三百三十三，还是取三千三百三十四，因为你得能获得五百元的 补贴。如果你是三千三百三十三，你算完之后，他没有对不对？没到没到没够，没够就还没够这个补贴，你只有超过他才能获得这个五百块钱的补贴。 所以说应该取的是什么？三千三百三十四元。这个题是一个比较小的点啊，很多人同学做错了，十八题，正常算就行了，十九题正常算，二十题，这个圆也比较简单啊，正常给的这个 a、 d 弧等于的是什么？ c、 d 弧弧等，然后这个圆周角就相等，但是圆周角相等，推不出弧等，你得通过推圆心角，然后再推弧等。 第一个让你证明这个，那你就正弦等呗，这两三角形全等就行了，对不对？就正弧等了。第二个问给了 c， e 等于 c b 这俩角相等，这俩角也相等，你就能导出来这个角是多少度，是三十度，三十度。他说 ab 弧和那个 bc 弧不相等吗？那 bc 弧这个角是一百二十度，那是不是直接就一百二十度了？ l 等于一百八十分之 n， p r 算就可以了。二十一题，这个题一看是考一个什么？考了一个反比例函数，考了一个反比例函数的图像反比例函数，那你就正常设呗，你看横坐标，这是 l， 这是 f， 那 肯定是 f 等于 l， 分 之 k 带两个点，带两个好算的点，把 k 解出来， 千万不要少零。算完之后你验证带带其他点，再验证一下。第一个，他说当吸管长度为八十毫米时， 让你求对应的振动频率，那你就让谁让你这 l 等于八十带过去等于幺零八零和值，和值括号三。他说啦，差没啦，你去找啦。是什么？是四百四，这四百四是谁？是不是指 f？ 所以 说就是 f 等于四百四的时候，往里一带就约等于幺九六， 要保留整数，那就是幺九六啊。我们来看一下二十二题，二十二题，我们从后面看看这个二十二题，他说 o a 等于 c， 点与 x 等于零的时候， y 等于 c 吧， 然后 o b 长等于几， o b 长等于二啊，对不对？那 b 点坐标就是二斗零，这个就是负三斗零把两个点带进去，这个小 a 小 b 可以 解出来，抛物线解式可以解出来，他说 d 点的横坐标是一，你把 d 点的横坐标一带进去，纵标就等于二，那 b d 长两点坐标都知道，你就往下做垂线，购物钉里是不是能得出它？应该是刚好五 科二一结束了哈，然后往下，他让你正点 a 在 直线 d e 上，要想证明点 a 在 直线 d e 上，你得把 d e 这条直线解式给我解出来，对不对？咋去解 d， e 点知道 e 点坐标呗，那跟 e 有 关系的，他是不是给了个 d e 等于二分之一？ b d 这个题其实我觉得出的挺好的哈， 因为 b d 长，第一个让你求了你，第二问你是不是可以利用它的长？你这个 d e 是 不是应该是二分之根号五，这个是刚好五，这是不是二分之根号五，那一点在 y 轴上，你就设一点坐标是零度 t 呗，你是不是就可以把它俩之间的距离 表示出来，往这边做垂线或者往下做垂线一的平方加上二减 t 的 平方，让它等于什么？二分之根号五就可以把 t 解出来。 t 有 两个，他给了 o， e 是 不是小于 o b 的？ 所以说我这个 e t 点是不是要二分之三解出来？这个 d 点的坐标， e 点的坐标是什么？ e 点坐标就应该是零到二分之三， e 点坐标就是零到二分之三。解完之后你可以把 d 这条直线写出来， d 这条直线写出来之后的话，那你就把这个 x 等于负三带回来，你看它的 y 等不等于零等于零，那是不是说明他在这上，所以说框二 也做出来了哈。然后来看一眼这个括号三，我觉得这个括号三看着很简单，但是你这个 x 一 的范围还是有点考究在里边，因为第一遍算的时候就算的是不太对的少，情况没有那么严谨。他说这个看着题很复杂，这么多点，但是你就按照他的要求一个一个写就行了， 把它这些特殊的都给它标记上来，它说 m、 n 分 别在线段、线段上，对不对？那你随便标一个点，假设 m 点就在这， n 点就在这，对不对？它们分别是横坐标是 x、 e、 x， 且 x e 不 等于 x， 很 重要，它 p q 在 抛物线上，且 pm 平行于 q n， 然后平行于 y 轴，它仨都平行，平行重合肯定不能是平行，对不对？所以你这个 l， 你 这个 x 二、 x 二， 还有这个 x 一， 是不是都不能等于零吗？如果等于零，是不是都重合了？也不能等于这个一，如果等于一的 q n 是 不是就在就就不叫就是重合了，对不对？ 然后他说直线 q n 与 b e 相交于点， g g 点在这呢，对不对？他给了 pm 等于这个。看着图哈，我把 p e 点 m 点标注出来，因为你这个 d e 这条直线，因为 e 点坐标知道， b 点坐标知道，那这条直线的解析式是不是就可求了？然后 x 一 x 一 横坐标都相同，你把 p 点和 m 点的横坐标都写出来，你给它做个叉，是不就能把 pm 的 关系式给它表示出来了？ 可以的， pm 的 长度就含 x 一 的给它表示出来。同理你把 q n 也给它表示出来，一定要看准这个点。为什么说这道题出的比较好一点？这个题其实很像我们高中圆锥曲线里边的计算，我我们上高中会学圆锥曲线大计算， 就是带点做茶，用罗密达法，用那个根据习俗的关系，各种超超超复杂的计算。哈，所以说这个在提前演练吧，给你们一点点这个提示，我觉得还挺好的，别看错了，一定要严谨， 很容易看错。 pm 表出来了， q 人也表出来，现在就差 e g 了，你看 e g 在 这，你这 e g 怎么知道一点？知不知道？但这一点你不知道，你可以用两点之间距离公式，但是这题你也可以用相似，因为这个长是二分之三，这个长是二，是不是说明这个应该是一个三四五的三角形， 那这个里边是不应该也是三四五的三角形？所以你知道这个长是 x 二，你除以四乘以五，是不就是 e g 长？ 所以说 e g 长就是四分之五 x 二，然后你根据这个关系式去倒倒倒倒倒往里写，这里边有个数据的处理，到这到这之后我可以怎么办？我可以把这个长得一样的给他移过来，给他乘四乘四，然后变成这了， 你可不可以给他平方差公式， x 一 加 x 二乘以 x 一 减 x 二，他俩不相等，是不是可以直接约掉？然后呢？ x 一 加 x 二是不是应该等于多少？ 等于的就是二分之一， x 一 就等于二分之一减 x 二，他让你写 x 一 的取值范围对不对？那我 x 二肯定是在零到一里边，那负 x 二是这个范围内，它就是在这个范围内，但是不要忘了，我这 x 一 是不是还不能等于零？它俩还不能相等？它俩相等的时候是不是应该是 x 一 等于 x 二等于四分之一？所以说我要把零和四分之一都扣掉，两边还取不了等啊？这个有点意思，我们来看最后一个二十三题， 二十三题的话，第一个问，哎，边角边全等就可以了，第二个问正常倒角就行了，你可以把它算出来。这个题括号一和括号的圈一还是蛮友好的，让该得分的同学还是得分的，你就不能你这个一点不得吧，对不对？还是给人一点希望的。括号二的圈二和圈三是有一定难度的。 这里边他说 b、 f 与 a、 d 相交于点， g 看见中点，我们看见中点，我们要想到什么？要想到四点四个方向，对不对？看见中点，第一个我可能会想到背长，背长中线， 第二个我会想到什么？第二我会想到，比如说三线合一，三线合一，我还会想到什么？斜边中线斜中，第四个我还会想到中位线，对不对？我上来我不可能直接就 知道辅助线正确的是怎么样，我肯定是要通过试错才能把它那个做出来，看它哪个是对的。那所以这里边我看 这个说让你求 a g 比上 a c 的 值是多少，那我有两种方法，因为我看见了终点对不对？那我这个是等腰直角三角形对不对？我可以第一种方法，比如说我取这个 bc 的 终点，这不斜中吗？我取的终点，我把它连上， 这是终点，我把它一连上之后，我们来看一下，这有啥？你这个是不是应该是九十度，对不对？这不是中位线吗？中位线是不是平行于第三边，并且等于第三边的一半？这是而法，这就是四十五度减，而法这个是不是也是四十五度减？而法，那这个是不是就是四十五度加？而法 上面这个角哈是四十五度，那这个是阿尔法减四十五度，你一倒角是不能得到。用四十五度减去，他是不能得到九十度减阿尔法，他要是九十度减阿尔法，这是四十五度加阿尔法，这是不是也是四十五度加阿尔法。所以你就能得到我的 ag 和 ah， 他 俩是相等的了。他俩如果要是相等的情况下，那你会发现什么？ 你会发现我这个俩 a g 和我这个 a h， 他 俩是不是应该相等了？ a g 和 a h 相等了，那我来看我的 a h 是 什么样子的？我的 a h 是 不是应该等于二分之杠二的 a c？ 所以 我的 a g 是 不是应该等于二分之杠二的 a c？ 这是第一种方法。这么做中线， 那我还可以怎么的？我可以 b 长，我把 b a 延长，对不对？延长至点 p 时，它俩相等，然后我连接它，那实际上是不是就这三边相等？这是不是还是个等腰直角三角形？它如果是等腰值，这是四十五度，这是不是也是四十五度？可以的中位线，它是不等于二分之一的它，我用同样的方法去倒它俩等腰呗。 那你去看这个角是 r 发，这是四十五度。四十五度加 r 发，这是四十五度，这个是同一角，这个刚才算出来是二 r 发减四十五度，对不对？这个是不是也是二 r 发减四十五度，那你看这个用四十五减它，这就是九十度减二 r 发，那这个是 r 发加四十五，这是不是也是 r 发加四十五，我就能得到我的 p f 和 p c 是 不是应该等于刚好二倍的 a c， 那 是不就正出来了？ 那这道题其实，嗯，还可以哈，看见终点还能想到，那我们来看一下这个圈三圈三，他说在圈二的条件下，圈二有啥条件就说明他还是终点，对不对？他说当 b f 等于 c， f 等于二的时候， 你圈二这个 b f、 c f 长不一定谁大谁小，但是圈三的话，它俩如果要相等的话，这是不是相当于一个对称图形？对称图形它就有很多特殊的情况哈，你可以把这个 a f 给它连上， 这个是 g 对 不对？你就可以得到 g， 其实告诉你是终点了，这一块左右两边都是对称的，那你这个 q 也是终点，这其实就是一个中微线了，如果它是中微线，你会发现你这个 g q 是 等于二分之一的 bc 的， 而你这个 bc 是 不是等于刚二倍的 ac， 所以你的 g q 就 等于二分之二的 ac？ 那 我刚才第一个问，圈二是不是得到 a g 等于二分之二 ac， 你 就能得到这三个边是相等的了？这个三个边相等，这是不是应该是一个等边三角形？ 如果它是等边三角形，那这个角就是六十度，六十度，六十度，它是六十度，那旁边这俩角加一起是不应该是三十？这是二 r 减四十五，二 r 减四十五，加在一起是不是四 r 减九十等于三十，我就能解出来 r 等于三十， 如果 r 法等于三十度，这就解三角形就简单了。这个是几？这是二啊。你往这边做垂线，三十边随便随便一半，这是不是一，这是不是刚好三？这块是等腰值，这是不是一？所以我的 ab 乘数应该是刚好三加一吧。 这个正常，去倒角哈，你能看出关系好正。但是可能说这个点是终点还是需要一点点？那个 整全等啊，或者整什么就稍微不太好说一点点。这个就是我们今天考的大连市的一模的数学卷。整体来说我觉得出的还是可以的，不会让你得到很高很高的分，还是有一定的难度在里边的，拜拜。

大连市中山区初三年级的期末考试啊，这个二十二题的几何压轴题，那这道题呢？呃，难度整体来说其实不算大啊，但它的考点跟呃该区的 极其的一致啊，也跟我们说这两年中考的一个模拟和中考考察的方向是非常非常的一致的啊，所以他的考试方向呢，还是非常非常好的啊。那主要的第一个还是我们的几何变换，对吧？考察的我们 存在几何变换里面的一个问题啊，那这道题呢，是做了一个旋转，对吧？那这道题其实跟我们常规的在旋转过程中产生的一些 线段呀，角度啊啊，或者说数量关系面积啊，类似这样的是没有关系的啊，那这道题只是一个简单的旋转啊， ok， 好， 那第二个问题呢，考察的就是解三角形啊，好，那这道题对于解三角形的考察是非常非常的到位的啊， 我就说也跟现在的中考是非常非常吻合的，是吧？来第一问啊，第一问应该大家倒角都非常非常的轻松啊，所以存在二倍角的话，那是我去做这道题一定会设小角为阿尔法，大角为二倍的阿尔法，对不对？ ok， 好， 然后，呃，第二位涉及到就是一个旋转啊， b d 转到了一个 b e 是 吧？ ok， 然后这里应该是一个垂直的 啊，是一个垂直的，对吧？嗯，然后这个也是一个垂直的啊，这个也是一个垂直的状态。说 dc 和 b f 的 关系，很明显能看出来它俩是相等的，对不对？好，那么我们怎么来看，怎么出来证明这个问题啊？就是 b e 呢，和 b d 是 相等的，对不对？好，然后接下来呢，就是我说 你需要做的事情是这个角为阿尔法，这个角二二倍的阿尔法，然后进行一系列的倒角，是吧？等腰三角形 a、 b、 c 啊，那底角底角都是多少呢？都是九十度减去一个阿尔法，对吧？然后再加上这个是直角，那我就能推出来这个角是阿尔法。 ok， 这两个条件一有啊，就开始做完了，是不是 b、 e 和阿尔法， b、 d 和阿尔法一边一角的构造逻辑，对吧？好，这道题用一边一角构造，我们就做完了啊。当然，如果要严格看模型的话，就是 b、 e、 f 这个三角形和 b、 d、 c 这个三角形 边边角模型啊，边边角模型，当然这道题比较简单，你不会那个边边角模型，做这个一边一角也非常轻松，我只要截一个 接一个 b、 m 和 e、 f 相等，是不是好，那么这个，这个，这个 b、 f 呢，就会等于这条，所以我要证 c、 d 等于 d、 m， 只需要证这两个角相等， 而这个角不就等于幺三幺乘的底角吗？对吧？这个角是多少呢？也特别简单啊，因为这个角是九十度减去二倍的二法， 所以这个大角就是九十度加一倍的 r 法，是吧？就这个角啊，他的补角九十度减 r 法就做完了啊。第二位是特别特别简单的啊，方法其实不止一个啊，但整体来说，一边一角的构造比较基础啊。来第三题，在第二位的前提下， 连接 d， e tangent a 等于四分之三 f， g 这个长度是一对吧？ d、 e、 f 的 面积啊，拿到这道题的那一刻啊，就一定是解解方程，为什么呢？因为告诉我了一个角的三个函数，也就是我们的 tangent， 二倍的 r 是 应该等于四分之三的，对吧？好，那我就说啊，其实，其实系统学过，学过这个相似模型的应该都知道， 如果在三四五的直角三角形里面做一个角平行，对吧？就形成这个一一倍角，对吧？就二倍的阿尔法和一倍的阿尔法啊，那它就会形成一比二的直角三角形，对不对？我们把它称之为叫一二三四五模型了，对吧？所以呢，我这里肯定是知道 tan 的 阿尔法是不是应该是能算出来的，对吧？ 做一个角平分线啊？啊，摊进的 r 法应该是哪个角呢？你看，就是这个角 r， ok， 好， 我们来推导一下啊，摊进的二倍的 r 角三比四，所以叫三 a 四 a， 是 吧？五 a， 所以 这个叫 a， 那 摊进的 r 等于一比三， 对吧？等于一比三啊，好，所以这个角呢，是个一比三的一个比例关系，对不对？呃，这个三四五，只要三角线，是吧？做这个角的角分线会缺一个一比二啊？ ok， 好，那么胎记的阿尔法等于一个一比三，这个题我们就做完了吗？是吧？基本上啊，接下来开始用三角函数去解，用三角函数去求边就可以了。比如说 f g 长度是个一，我就知道 b g 长度是个三， 对吧？我就知道 f g 的 长啊， b f 的 长度呢？是根号十，我既知道 c、 d 的 长度是根号十，我就知道 b、 d 的 长度是三倍根号十，全是三样函数啊，所以我们不是要求 d、 e、 f 的 面积了，就这个三角形的面积，对吧？好，那我首先得到的是啊，我把这些边擦一下啊，就这个长度是个根号十， 我首先得到的就是 df， 长度呢？是，应该是等于根号十的二倍根号十啊，二倍根号十的， ok， 好， 那接下来我就会考虑一个问题，对吧？就是说如果这个三角形里面，我 再知道一条边解三角形，是不是求面积肯定是非常稳的，对不对？好，那如果我再知道一条边啊，再来一个角的三函数啊，如果那一条边我找不着了，我知道两个角的三函数也 ok 了，对不对？好，那这个时候呢？ 哎，你就可以看我这个 a e 长度， d e 长度能不能求出来啊？其实各位 e f 的 长度是能求出来的，为啥呢？你看你在上一位是不是做了个这个家伙，对吧？ 这个长度不就是这个，这个，这个，这个，呃， e f 的 长度，对吧？好，或者说我求出 e g 的 长度是不就 ok， 好， 那这个角是个阿尔法？好，这个 b g 长度是已知的， 对不对？ b g 长度是已知的，所以这个长度有了之后呢，这个 e f 的 长度就有了，所以这条边有了，这条边有了，是吧？ e f 这条边啊，也有了，那我这个题是吧，随便找一个角算乘法就可以了。那这个角不是九十度减 r 吗？ 对不对？这个角是九十度减去 r 法，那这个角不也是九十度减 r 法吗？这个角的三角函数，那肯定是 ok 的， 对吧？减三角形就可以了啊， ok， 好， 但是这道题呢，各位，你要知道，这个角是九十度减去一个 r 法， 对吧？这个角是多少呢？这个角是九十度减去二倍的 r 法，然后 b d 和 b e 相等，那这个角应该是四十五度啊，加上一个 r 法，好，各位有没有发现，这两个角加起来幺三五，说明这个角四十五度， 对吧？四十五度啊，呃，如果你能发现这个条件的话，各位，那这题我做完了，对不对？哎，我知道的是 d m 的 长度，我知道是这两个角，那么我往这里做个垂直，这道题应该是完美搞定，对吧？ 啊？做个垂直，这个叫 h， ok， 好， 那我知道这个小角是叫 r 法了，对不对？开这个 r 法是等于一比三的， 一比三比根号十，那这个长度是二倍，根号十，就说明这个是二，对吧，这个就是六等腰直角，这个也是六，对吧，所以啊， s 就 应该等于二分之一，乘上八，乘上六，等于二十四，好，这题就搞定了啊， 所以整体来看，这道题呢，啊，不难的，不难的啊，我就说在最后一步的减三角形里面，如果这个角是阿尔法，你求出来了 e g 的 长度， 再把这一这这 f 的 长度给去掉，对吧？给去掉啊，那么知道的是，呃，这个 e f 和 d f 是 不是啊？我再随便挡一个角， 没有任何问题啊，都可以轻松的搞定。总之呢，这道题不是一道难题啊，它的考察的主要点在于解方程啊，大家对于解方程能不能熟练的去应用上啊，这是关键好吧。

再来看一下二十三题，二十三题呢，他是放了一个几何的纯正压轴题。其实这道题我们来先来看一下分值，第一问占三分，第二问的圈一两分，第二问的圈二四分，圈三四分。 那我们简单看一下，其实整个题目最重要的内容还是考察了倒角问题，所以大连 的考试题型和考试范围都喜欢偏向于倒角，那么倒角也会在后来的中考里面也是重点考察的一个方向趋势。所以在后续一模到中考的这一段时间里面，大家一定要重视起来在几何压轴题这部分的倒角内容。 我们先来看一下第一问是非常简单的啊，去证明这个等腰三角形的这两个小三角形全等，这个就不重点进行讲解了。我们来看一下第二问，第二问呢，其实是圈二圈三卡住了大部分的同学，那简单看一下圈一圈一其实就是给了我们两个角度的条件，也就是 都跟角 a、 c、 f 相关，对不对？所以我们来看一下这道题。我把角 a、 c、 f 作为角 a， 那么我这些角啊，都可以用角 alpha， 那 我这些角 b、 a、 d 和角 a、 e、 d 是 不都可以用 alpha 表示出来再进行倒角？所以第一问就不进行系统的讲解了啊。我们来看一下第二圈二圈二呢，这里出现了 g 是 b、 f 的 中点好，中点问题，其实是寒假我们在进行中点问题进行复习的时候，它是分为了四种做题方法，第一种是等腰三角，等腰三角形的三线合一， 第三个是背长中线，第四个是中位线，所以一看到中点就要往这四个方向去想， 这四个方向也就是我们在上课的时候疯狂去提问，看到一个知识点，我们要想哪些做题方法，只有做这些做题方法想的特别熟练，那你在做题的时候才有抓手，才有思路，不容易漏情况啊， 不容易漏你的思路这种。那我们来看一下，这是中点，这是 b f 的 中点。首先我们来看 b f， 在 这里， b f 它不是直角三角形的斜边， 对不对？然后你说老师不我们刚刚正出来一个直角吗？但是 b f 这里不构成直角三角形，所以斜中这个事情我们不考虑。我们再来看等腰三角形三线合一的这个小思想， b f 它好像不作为等腰三角形的底边，对不对？好，那这个方向我也不去思考， 那么背长中线呢？背长中线在这里作图的话，可能会比较复杂，所以这个我们先放一放，但是我们先看后面这个中位线，中位线的话也就是两个中点 去连接构造一个平行且等于二分之一第三条边的这么一个啊，线段对不对？那这道题我们先来看啊， 这个 a b c 它首先是一个大的等腰三角形，所以它的底边中点它是非常有特点的，那我们这里取 m， 也就连接下 g m 之后，我们发现啊，这里构造了一个中位线，我们来看，在 b c f 这个三角形里， g m 是 不应该等于二分之一 c f 对 不对？那我现在是要把 a j 转化一下。 好来，我取了这个等腰三角形底边中点之后啊，千万不要停，我连接一下这里，我们是不是就构造了一个直角三角形，对不对？好，因为第一问啊，证明出来这个圈一，证明出来 b a c 是 一个直角等腰直角三角形， 所以我们可以把更多的角用阿尔法表示出来。来，跟着老师的思路，我们一起来标一下， 那么角 f c b 这里是不就是四十五减 alpha 没问题吧？很好啊，那你说老师这个角也是四十五减 alpha， 这可不是啊，因为你这个圈二的时候， f 还不在 a m 这条线上，所以这个 f b c 和 f c b 这两个角是不一样的啊。 然后再来看，我们来把已知的角都标注一下，因为这两条线平行，对不对？中位线嘛，所以这个角它也是四十五减 alpha， 那 上面这个 a m g 它是不就是四十五加 alpha 跟上了吗？很好啊，然后 这个大角是不是都可以表示出来，哎，对，所以这一部分他就等于他的一半九十度减二。阿尔法，哎，我们能够发现这两个是什么绝配角吧？对不对啊？他俩只要一出现的话，是不是就出现在一个等腰三角形里？也就是说我们能够证明 a g m 是 一个等腰三角形， 所以我们看到从圈一开始其实就有一点点倒角的小迹象显现了，那么圈二它是很明显的一个倒角问题，也就是通过中点引出中位线， 再通过中位线的平行以及倒角内容构造出一个绝配角，这样的话就会显现出一个等腰三角形。那么 a j 这条线段我自然而然的是不是就转换到了 am， 也就是让我们的 am 和 ac 进行比较，那是不是就是根二分之一 再进行互化一下就行了，对吧？好，来，我们来再看第三问，第三问它其实是在第二问的基础上添加了一点儿，那我们先把第二问先给它补全啊，把第二问的一些小条件补全，还是中位线， 对不对？只不过这个 f 现在是在 a m 上，是不是我们轻而易举的就可以得到 b f c 其实也是一个等腰三角形， 对不对？那这个时候看啊，刚刚这个角是不是四十五减 alpha， 这是 alpha， 那 么刚刚我们得到的这个不是定角的 fbc 就 定下来了，就是四十五减 alpha， 这也是四十五减 alpha。 哎，我发现更多的等腰三角形解线了，对不对？ 现在我要求的是 a c 的 长度，那通过上一问求 a c 的 话，等腰直角三角形，我是不可以求 am am 好 像是在这个三角形刚刚得到了 a g m 是 等腰三角形吧，对不对啊？很好啊，我们来看，我们先把一些角能用到的角写一下， 这是九十度减二阿尔法，那这个呢？是四十五加阿尔法，这里跟上了啊。来，再看这个角， f g m， 这里是不是一个外角，放大一下，它是不是应该等于 g b m 加上 g m b， 你 发现没有？是不是？九十度减二 r 法，这里是不是出现了一个子母形相似，也就是三角形 a g m 相似于三角形 g m f， 现在出现子母形相似，我们是不是通过我们的式子可以写出来 g m 的 平方， g m 是 作为我们的公共边吧， 对不对？ g m 的 平方其实等于 m f 乘上 aj， aj， 这里是不是就相当于 am？ 好， 来，我们来看一下，那么 m f 是 不是就可以用 aj 表示出来？那我们这里设一个未知数吧，我要求 a c， 那 我就设 b m 为 x， 所以 a m 为 x， 那 mc 为 x， a c 为根二 x， 也就是最后我算出来的 x 乘根二，也就是我的 ac 的 长度，对不对？很好啊，那我这时候 a m a j 都为 x， 题目已知 b f 为二， c f 也为二，那么我这个 g m 就 已知了，就是一。我现在代题一方等于 m f， 不知道放这放着乘上 am， 也就是 x， 所以 我 m f 就 可以用 x 表示出来，也就是 x 分 之一。那我现在的主要问题是不是要求 x 了？那我现在是不是就可以放到 b f m 这个直角三角形 b f m 中解得 x？ 好， 来，我们再来回顾一下这个二十三题。二十三题呢，重点考察内容就是倒角。我们发现其实在后来的话，中考的命题模式里面，它的去模型化是比较呃明显的，我们不是要一定的去背一些什么模型，而是更多的要去分析 这个几何。当出现了这种中点、中位线等腰三角形，我们如何去发掘它的一些做题方法和思路，这才是最主要的，尤其是倒角，在后续的练习中，一定要引起大家的重视啊。

大家好，我们来看一下大连音母的几何压轴题。 ab 等于 ac 的 话，那么等边对等角，我的角 b 和角 c 也会是相等的。 b 对 等于 c e， 那 么他们都加上这个对 e 的 话，就会是 b e 等于 c 对， 所以不难发现，想证明这两次角形全等，我们利用的是边角边， 所以括号一非常简单，我们来看一下括号二，那括号二呢？题目当中给了我们两个角之间的数量关系，那我们把这两个角分别表示出来，一个是阿尔法，另一个是比特，所以斜下已知条件应该是阿尔法等于二比特减四十五度，角 a e， d 应该等于二比特。 角 a e 对 有没有什么特殊的位置呢？它应该是三角形 a c e 的 外角。而我们发现呢，由于我们第一问证的全等，那这个角 b a、 e 应该等于的是角 c a 对， 他们都减去这个对 a e 的 话，那么剩下来的 b a 对 和 c a e 就 会是相等的关系，所以这个角度也会是阿尔法， 那么外角的话，就可以把它写成 r alpha 加上角 a c e 了，所以不难表示出来，角 a c e 应该是二倍，它减 r alpha， 而 r alpha 是 二倍，它减四十五度啊，所以带入进去，应该角 a c， e 就是 四十五度，底角是四十五度，不难得到顶角就会是九十度了。 然后我们再来看一下 q r， 那 q r 呢？说 g 是 b f 的 运用呢？我们有很多种的形式，那这里面我们挑一个最直接最好用的方法。 由于这个三角形 bcf 呢，是给我们画出来的，这个三角形不需要我们再去做额外的事情了，所以我们去找这个 bcf 的 中位线会很快一些，为什么说它很快呢？因为这个 b、 c 的 终点我们很好找，等腰直角三角形，我过 a 去做 b c 垂线，由于三线合一的话，这个 h 就 会是 b c 的 终点呢， 所以这时候我们连接 g h 就 会是这个三角形 b、 c、 f 的 中位线了，那么这两个点角就会是相等的关系，而点角和 b 它还能产生联系啊。我的这个角 b、 c、 f 应该是四十五度 减 b 它，那么自然这个角 b、 h、 g 也会是四十五度减 b 它了。 a、 h b 我 做的垂直嘛，所以它是九十度，所以我的角 a、 h、 g 就会是四十五度加倍它。那我们为什么要去这么找呢？因为题目当中让我们求的是 a g 和 a c 之间的比值，而 a c 呢？还是 a h 的 根号二倍，所以我们尝试着找一找 a g 和 a h 之间有没有什么数量关系， 所以除了这个角 a、 h、 g 我 可以用 b 它表示以外，我的上面的这个角 h a、 g 也可以用 be 表示啊，因为这个是三线合一嘛，所以 b a h 和 c a h 都是四十五度，所以我的角就可以表示成四十五度减 r f， 而 r f 也可以用 be 表示啊，所以我们用 be 表示之后，应该是九十度减二 be 它。 那么在这个三角形 h a、 g 当中，我就可以利用三角形内角盒把这个角 a、 g、 h 表述出来，那表示完之后也是四十五度加倍它，所以它和角 a、 h、 g 是 相等的关系，那么自然底角相等，那么它的两个 ag 和 ah 就 会是相等的关系了。而刚才的 ac 是 ac 的 根号二倍，所以现在 ac 也会是 ag 的 根号二倍，那我们求的 ag 比 ac 的 值就会是二分之根号二了。 我们最后再来看一下圈三，圈三呢，是在圈二的条件下，又多了一个 b f 等于 c f 的 条件。所以此时我们像刚才一样过 a 去做 b c 的 垂线的话，是正好会经过我们的点 f 的， 然后再把我们的 g h 给连接起来，这是我们上一位所做的辅助线。那现在想要求 a c 的 长度，我其实就可以把它转换成求 a g 的 长度了，所以我尝试着去求一下 a g， 那 由于我的这个 b f 等于 c f， 所以 我又多了一个，这些都是我们刚才所表述出来的点角， 那么我们可以再过 g 做一个中位线，那描述方法就会是过 g 做 g k 垂直 a h， 所以 我的 g k 应该是 b h 的 一半。 而由于这个 b a c 是 一个等腰直角三角形啊，所以我的 a h 和 b h 是 相等的，自然它就是二分之一 a h 了。而去二我们刚刚证明过 a g 和 a h 还相等，所以它是二分之一 a g 那 九十度，这条直角边是斜边的一半，所以我们不难发现这角是三十度，那其实是需要证明的啊，那这角是三十度。之后，我们来观察一下这个两个底角，也就是 a h g 和 a g h 就 都会是七十五度了， 那么自然这两个点角就会是十五度，所以我的 f g h 就 会是二倍的点角三十度， 那么自然我的 a g f 就 会是 a g h， 减去 f g h 就 会是四十五度了。 而由于告诉我们 b f 是 二，所以 g 是 终点的话，这两条边都是一，那么在这个 a g f 当中三十度四十五度一，那么它是一个可解三角形，我们过 f 去做 a g 的 垂线， 这样的话我这个 g m f 就是 一个小的等腰直角三角形，我的 g m 等于 f m 就 会是二分之根号二，那所以三十度。而 af 是 另一个直角边，所以它应该是根号三倍的 m f， 所以 应该是二分之根号六，所以整个 ag 的 长度应该是 g m 加上 am， 也就是 二分之根号二加二分之根号六。而去二。我们已经知道了 a c 是 a g 的 根号二倍，所以只需要把它扩大根号二倍就可以，所以最终的答案 a c 应该是一加根号三。啊，那这道题我们就讲解到这。

咱们大连市的一模考试哈，刚刚结束，然后数学卷也是先出炉哈，这个抛物线相对来说比较简单哈，所以放在了二十二题的位置。二十三题呢，很多同学都反映说卡在了括号二的圈二和圈三哈，那咱今天重点就看一看这个圈二和圈三到底是什么情况啊？ 那通过这个咱们平时的讲解，能不能在考场上顺利的把这个科二和科三给拿下来啊？好，咱们来看一下题， 那主题看给了我们 ab 和 ac 是 相等的，别忘了标呼呼呼相等。这个咱们在平时做题过程当中经常提示大家啊，就是等腰三角形的等边对等角啊，这个等角千万不要忽略了啊， 然后还给了个 b、 d 等于的是 c、 e 啊，第一问，你也正全等了，就是大的等式上边套个小的等式，你看这个三角形是等幺，这里边这个也是等幺吗？啊，就这个事。 然后咱们来看空二，空二的题上给了啥呢？给了两个角度的信息，那么这里边你看都是跟 acf 相关，所以我们在倒角的时候，你就直接设 acf 是 alpha 就 可以了啊，设它是 alpha， 那所以角 b、 a、 d 就 应该等于的是二 f 减四十五度，所以这是二 f 减四十五度，那你看两边是一样的，所以它也是二 f 减四十五度， 那给了我们 a、 e、 d 等于二倍的 acf， 所以 a、 e、 d 应该等于二 alpha 里边是三角形，这也是二 alpha， 三角内角和这是一百八十度，再减去四 alpha， 妥了，三个角向下得九十度，那么圈一顺利拿下啊。 所以说这道题啊，括号一就一次，简单的全等直接证就行了，括号二倒个角，轻轻松松拿下，我觉得也没问题啊。咱们来看一下圈 圈怎么说的呢？圈是在这个基础上加了一个新的条件。什么条件？ g 是 b f 的 终点啊，蓝色的单品，蓝色单品终点呢？这个东西啊，咱们老生常谈了哈，从初二下开始，因为初二下一结束，咱们初中三年的四个终点模型都都整完了。 然后咱们在复习过程当中呢，也经常跟大家说中点这个事啊，那你看中点都有几个内容，第一个被长中线， 第二个中位线，第三个直角三角形斜边，中线的斜边棒， 这是直角，如果这是中点的双撇，双撇双撇，第四个等腰三角形底边如果有中点的话，怎么呢？四个字，三心合一，那就这玩意呗。啊？然后他让我们求的是啥？他让我们求的是 aj 比上 ac， 对 吧？你要有一个直观上的感受，一看 aj 等于 ac， 他 肯定不能相等的，他也好像不是整数倍的那种感觉， 那么既然不是整的，被他求比值的话，那就肯定是数，那到底是什么数呢？咱们一直都在强调说几何题，所有的几何题他一定是前面的疑问，对后续的疑问是有影响的， 对吧？所有的出题都不是说扣一或者圈一，随随便便给你的内容，然后让你正好正吧，给你两分得了，就为了给你给分？不是，他一定是对后续的题有引导和指引作用的。那你说这个 b、 a、 c 等于九十度有啥用？ 那不就是告诉你三角形 abc 是 一个等腰直角三角形的，那你想到等腰直角三角形两个事，第一个等腰直角三角形跟边跟直相关的，一比一，比根号二。那你还不知道往根号二上扣吗？ 对吧？一看 a c 和 aj 好 像吗？好像，真是高二倍的感觉。那你猜是不也能猜出来这个答案，对吧？这是第一个，第二个是。那你说等腰三角形，那常规辅助线是啥？不就是做啥三线合一吗？ 是吧？那怎么做三千合一呢？你就正常做垂呗，做完垂以后，你看原本有一个中点，我做完以后又来一个中点，俩中点能干嘛？俩中点一连必出中心， 我就连上，这是我们常规的操作。好，那么咱们来看看哈。那我知道这个想正， a c 比上 aj 等于根号 比一。在图里边我知道 a c 比上这来个 h， h 等于根号二比一。那这句话不就是让我们证 aj 等于 h 吗？ 想证 aj 等于 h， 你 看蓝色的三角形，明显它应该是个等腰三角形，从路遥可见，它也应该是等腰。那怎么办？就倒角呗。那你别忘刚有中位线，中位线的性质是两条线互相平行， 切数量上是二分之一，那么我们要倒角肯定用平行了，所以这个小角是原本这是四十五度，四十五度再减去阿尔法，所以他也是。啥四十五度减阿尔法，整个这做垂了吗？对吧？三线合一九十吗？所以上面角四十五度加上阿尔法，你看这是一个 一百八减四 r 都没擦呢，对吧？里边的三角形说了是一个等腰三角形，一做垂三线合一，所以它是啥？它是九十度再减去二 r， 那 三角形内角你看一百八 减九十度减二， r 减四十五度加 r 剩啥？四十五度再加上 r， ok， 那 么这个三角等不等腰，等腰全都挣出来了 啊，就这么一个思路啊，那终点呢？你看哈，一定要往这个咱们平时引导这个方向上想哈，那有人就想偏了，说背长中线，你说往这面背，往那边背，你背长中线，不行的话，你得赶紧转换思路哈，这考试时候一定要灵活。 好，接着咱们来看一看圈三哈，那么圈三啊，这个每年的这个几个题啊，其实方法是特别多的哈，那有些方法比较优秀，有些方法就比较麻烦哈，咱们今天简单的剪两个哈， 他首先说在圈的条件下，是 b f 等于 c， f 等于二的时候呢，咱们画个图哈，那么 b f 等于 c f 就 意味着里边的三角形 b f， c 也是一个等腰三角形，所以这道题新的图就是啥三个等腰三角套在一起啊， 这个 f 应该落在了刚刚的 a h 上，然后这面是终点吗？在二的条件下吗？随这啥呀？ d， 那 这么连这面应该也是啥也是终点，这啥呀？ e， 因为你看我画的大三角形 abc， 等腰， 中间的这个瘦的这个 a， d 一 等腰，矮胖的这个 b， f， c 也是啥，也是等腰，三个点在套在一起，两边一定是嘎嘎对称的啊，然后给啥了呢？给 b f 等于 c， f 等于二，那么这是一，这是一，这也是一， 那咱看这道题怎么处理？那先讲我觉得是最优秀的一个方法啊，这是个终点， 中间怎么想呢？中间我还是想，哎呀，这个中间怎么用？变成中线应该是不行，只要三角形斜面中线，哎，这把应该是有可以连这一次哈。但这道题暂时还没用到这个啊，下一个方法讲，那我如果用继续中线呢？我直接向 fh 做垂，这样的话可以构造出一个 a 形。相似 啊，我画的这两个三角形相似啊，三角形 f、 g 就 来个 p 啊。 p 是 相似于三角形 f、 b、 h 的 两个三角形，既然相似的话，这是一份，这就几分 两份。因为大三角形是等于正三角形，所以 h 和 b h 都相等，所以 h 有 几分两份。上一问，正的 aj 和 h 相等，你看哈，环环相扣，它也是啥？两份？ ok 了，你看两份， 一份还九十，谁不知道通过三角函数反推，这是三十。这啥？这六十度，那你看上面的图，三十度在这呢，他对应的是啥？对应的是九十度减二，阿尔法等于三十度，所以阿尔法等于三十度呗。谁是阿尔法？ acf 是 阿尔法三十度， 这是四十五度，这还是二。那么你想求它的话，这不就是我们在讲求线段长的推移方法里边的很重要的方法叫啥？解三角形，你看三角形 a、 f、 c 拿出来， 它的特征是三十四十五，还有个二，那么它支两个角和一个边，这个三角形直接可解， 对吧？啊，或者说织两个边，一个角，这个三角也可解，叫解三角形。那么怎么办呢？把这个特殊角放到这样三角当中，所以我做垂三十度，所以这边是斜边。一半一一钩骨，一比刚好，三比二刚好。三。这面一比一比刚好，这也是一。所以答案是啊，根号三加一。 这个方法是我自认为哈是最优秀的一个方法哈，非常好。但是呢，有的时候这个辅助线呢，你会说，老师，这个辅助线我确实想不到啊。那确实，这个考试的时候，因为电光火石之间呢，你可能想不到这个辅助线，那么咱们看看下一个方法，你是否能想到哈，我觉得这个你应该能想到， 好，咱们把它擦一擦啊。 那么这个方法为什么能想到呢？因为这个方法和上一个方法是环环相扣的哈，是扣在一起的哈。各位，你看哈，你会不会这么想，考试的时候 上一问，这个 aj 和 jh 肯定是连了 h， 然后这连上了，那么这是一，这是一，这是没有问题的，对吧？因为这里用到了一个中点的直角三角形，斜面中线的斜面一半， 然后呢，一和一，你看这个三角形，它也是啥呢？它也是一个等腰三角形，并且底角怎么的相等，所以三角形 a， 哎，这这这是这啊， a j h 就 相似于三角形 j h f， 你 看其实都弧线没变， 只不过是把 f 落到了 a h 上，一就是就这么一点小变化图格都没变啊，所以这个只要三两个三角形相似，是特别容易能看到的哈。那么 a j 大 三角幺比上小三角形 j h 就 等于小大三角形底 j h 比上小三点 h f。 我 们设 a j 为 x 的 话， x 比一等于一比一 h f， 那 交叉相乘，我得到 h f 的 啥？ h f 的 x 分 之一，所以这啥 x 分 之一， 那么 a j 上一位已经证了 a j 等于 h h 等于 b h， 所以 b h 等于啥？ x， 那 妥了， r t 三角形 b h f， 这不就是直角三角形，它就三边都有了，一个是 x 分 之一，一个是 x， 一个是二， 这时候就不管那套了，直接勾股就完事了呗。 x 分 之一的平方加上 x 平方等于二的平方，所以 x 方分之一加上 x 方等于四。 那这时候有人就麻了，说，哎呦我的妈呀，麻爪了啊，蒙了，说，老师麻了，这 s 方这玩意我不会处理。不会处理？咋不会处理啊？你不会整体代换吗？这直接就变成了 y 分 之一加上 y 等于四啊。 去分母乘以 y， 所以 得到的是一，加上 y 的 平方等于四， y， 所以 y 的 平方减二，整体的平方等于的是三，所以 y 减二等于正负，根号三， 对吧？那 y 等于啥呢？根号三再加上二，为啥等于根号三加二就正常取吗？是吧？好，那么 y 等于根号三加二，那 y 是 啥？ x 方等于啥？根号三加二。那么我要求的 x 等于啥？就等于根号下根号三加上二，根号里边投根号， 然后你要求的是 a c， a c 是 x 吗？不是，是根号二 x， 所以 你再乘个根号二，对吧？等于的是根号下二倍，根号三再加上四，你不会就扔，这就完事了， 对吧？根号里边套根号，他已经做到最极限了，对吧？那你最后结果分给我扣两分，给我扣三分，我认了，但是大部分分我都能拿出来，对吧？我都能拿下。这个我觉得是大伙啊，在这个考试的过程当中，这个电温火石之间啊，是可以做到的程度啊。那么根号里边套根号，不是说我们处理不了，我们可以处理， 对吧？无非就是把根号里边这个整体变成一个完全平方公式呗。那你看完全平方公式是首平方加尾平方加上二倍的首尾， 对吧？那么也就意味着首平方加尾平方等于几啊？二，二倍的首尾等于二，等于根号三。那我就变成二倍的根号下四分之三呗。这不正好吗？ 那你就知道了，首乘尾等于根号下四分之三，首平方加尾平方等于二，那就是相当于肯定是一个根号乘以一个根号， 然后里边的数相乘得四分之三。相加得啥呀？二，那你说是几啊？那我就可以想啊，那相加得二，我就一个二分之三，一个二分之一行不行？咱们算一下哈，他俩相乘的根号下四分之三， 他俩的平方相等 r ok 了。所以 x 实际上等于的是根号下二分之三整体的。呃，加上 根号下二分之一整体的平方，对吧？那他不是最减的那个二次根式，你得化减是不是？那相当于二分之根号六，再加上二分之根号二，整体的平方再开根号， 这是 x 啊，那 x 就 算出来了呗。 x 等于啥？二分之根号六，加上二分之根号二。那么我们要求的 a c 根号二， x 再算一下等于啥？等于根号三，再加上一啊。 我觉得到这步的话啊，是通过你的思路是可以处理的了的。那后面就得是有一点这个计算能力和做题经验在这了啊。

今天咱们来讲解一下二零二六年大连市数学一模的第二十三题这道几何题。首先框一，让你求的是三角形的全等已知条件已经在图上标好了，是两条红色的线段和两条蓝色的线段相等，已经有一个边相等和一个角相等的 角 b 等于角 c， 它就是通过等腰三角形来证出来的，现在还差一条就是 b， e 等于 c、 d， 那 么已知蓝色的线段相等两条蓝色的线段，再分别加上 d、 e， 是 不是就可以求出第三条边的等了？ 所以最后我们证明全等的方法是 s、 a、 s 边角边证明的。下面我们来看一下第二题，它已知条件是给了你两组角的数量关系。 一般这种情况下，咱们要设一个位置量，方便在图上做表示，那么老师设的是 a、 c、 f 为阿尔法，我们就可以用阿尔法来表示这个 a、 b、 a、 d 和 a、 e、 d， 这个时候我们应该去做辅助线了，那么由括号一，是不是可以得出 a、 d 等于 a、 e， 我们可以去做一个高，因为看到等腰三角形，我们就想到了三线合一，有点 a 往下引了一个垂直交 b、 c 与点 h， 通过这个垂直证明上面这个 d， a、 h 和 e， a、 h 都是九十度减二 r 法。 那么等腰三角形三线合一是不是还适用于外面这个大的 a、 b、 c 这个三角形？我们就可以由此证明出 b、 a、 d， 它是跟 c、 a、 e 相等的，也是阿尔法减四十五度，让你求 b、 a、 c 的 角度，把这个 b、 a、 c， 我 们把它加起来，最后我们发现阿尔法它已经消掉了，得出这个 b， a、 c 等于九十度。 现在我们来讲一下圈二这一问，他给你加了个条件，这个这是终点，那我们再来往下看这道题用什么方法来去求？让你求 a j 和 a、 c 的 比值？用浅蓝色的线在图上已经做了标注了，上一问做的辅助线是不是做了个垂啊？ 等腰三角形，三线合一，那么这个 h 点是不是也是中点？那么两个中点出现了，我们是自然而然就考虑这个中位线的问题对不对？所以这个 j h 是 三角形 b f c 的 中位线，所以 j h 是 平行于 c f 的。 我们上一问是不是还求了个九十度没用啊？九十度放到这个图里我们能得出什么？这个 abc 是 不是等腰直角三角形？ 那么等腰直角三角形，这个 h a、 c 就是 上面这个角，它是不是等于四十五度出现等腰直角三角形了？ a、 c 是 不是 a h c 这个三角形的 斜边是，它的斜边有一个四十五度，那么我们是不是想办法可以找一找 a、 j 和的数量关系，就是这个左边的浅蓝色的线段 和中间的这个 a h 这个高，可以找找他俩的数量关系，通过导角试一试能不能导出来。这上面这个 h a、 c 等于四十五度，下面的这个 a、 c h 也是四十五度，在下面特别小的这个小锐角就是四十五减 r 法， 那么它等于四十五减 r 法。我们刚才是不是求了一个平行出来，是不连带的这个 g h d 也是四十五减 r 法，那么 a h g 它上面的这一个角 a、 h j 是 不是就等于九十度？减去这个四十五减二法，等于四十五加二法度。我们再看左边的这个角， 它是不是等于 j d h 这个角加上这个角三角形的外角，所以它也等于四十五加二法。最后我们发现 a j h 这个三角形，它是一个等腰三角形， a j 等于这个比例就变成了 a a h 比，这个比上这个 a c， 它就是 cos 角 h a c cos 四十五度等于二分之根号二，所以我们 a j 比 a c 的 比值就是二分之根号二。接下来就是最难的圈三了， 那么圈三老师也把已知条件都标上去了，就是 b f 等于 f c 等于二，那么这个这点是不是中点呀？老师把它拆成了两个一标注上了， 咱们再看他让求什么，让你求 a c 的 长度。我们看这个 a c 是 不是我们上一位用到这个特殊的四十五度了， 那么我们这一问，依旧要用到这个四十五度上面，这个 h a c 是 不是等于四十五度？看到特殊角就去想着构建直角三角形，从点 f 做 a c 的 垂直线，交 a c 于点 m， 这就是我们的辅助线。这时候我们再观察，把这个 a c 把它拆成了 am， 加上 am 是 不是跟 m f 是 相等的？它跟 m f 相等的情况下， 我们发现要取的另一个 m c 在 r t 三角形 f m c 中，那么我们这个 f c 是 已知的 fm， 不知道我们的重点是把这个 af 求出来， 只要我们把 af 求出来，是不是后续的这个 ac 都好求了呀？首先我们想求 af， 我 们得观察一下已知条件，我们右侧这个 bf 等于二是不是还没有用上， 那我们就观察一下这个 f h 等于二分之一的 b f b f 等于一，这个已知条件也标上去了， 我们发现框一框二是不是还有一个相等这个条件，这时候我们是不是就找到了这个 a j h 和 j f h。 最后老师对咱们今年一模的最后一道几何题做一个总结。首先去括号一属于是特别基础的内容，这三分属于是大家都应该拿，那么括号二圈一也是一个简单的倒角问题，都是应该拿到，不应该错的。 像圈二他就提升难度了，考的是这个中卫线，像圈三这一问他复杂在哪？通过相似和勾股定律进行一个等式的这一个转换来得出这个线段的长度， 他属于是稍微有一些难度，想要冲刺重点高中的学生应该了解掌握一下。总体来说这道题拿个九分是没有问题的。 接下来还有不到两个月的时间，咱们好好把几何内容复习一下，到中考这个几何问题应该也不会很大。我是数学华南董老师，大家如果想了解更多中考相关的知识，可以关注我私信。

学习一百道压轴题，今天学习的是大连一模几何压轴题，大家好，我们来看一下大连一模的几何压轴题。 ab 等于 ac 的 话，那么等边对等角，我的角 b 和角 c 也会是相等的， b 对 等于 c、 e， 那 么他们都加上这个对 e 的 话，就会是 b， e 等于 c 对， 所以不难发现，想证明这两个三角形全等，我们利用的是边角边， 所以括号一非常简单，我们来看一下括号二，那括号二呢？题目当中给了我们两个角之间的数量关系，那我们把这两个角分别表示出来，一个是阿尔法，另一个是比特，所以写下已知条件，应该是阿尔法等于二比特减四十五度，角 a、 e、 d 应该等于二比特。 角 a、 e 对 有没有什么特殊的位置呢？它应该是三角形 a、 c、 e 的 外角，而我们发现呢，由于我们第一位证的全等，那这个角 b， a、 e 应该等于的是角 c， a 对， 他们都减去这个对 a、 e 的 话，那么剩下来的 b， a 对 和 c， a、 e 就 会是相等的关系，所以这个角度也会是 r 法， 那么外角的话，就可以把它写成 r 法加上角 a、 c、 e 了，所以不难表示出来，角 a、 c、 e 应该是二倍，它减 r 法，而 r 法是二倍，它减四十五度啊，所以带入进去，应该角 a、 c、 e 就是 四十五度，底角是四十五度，不难得到顶角就会是九十度了。 然后我们再来看一下去二，那去二呢？说 g 是 b、 f 的 中点，对于中点的运用呢，我们有很多种的形式，那这里面我们挑一个最直接最好用的方法。 由于这个三角形 bcf 呢，是给我们画出来的，这个三角形不需要我们再去做额外的事情了，所以我们去找这个 bcf 的 中位线会很快一些，为什么说它很快呢？因为这个 b c 的 终点我们很好找，等腰直角三角形，我过 a 去做 b c 垂线，由于三线合一的话，这个 h 就 会是 b c 的 终点呢， 所以这时候我们连接 g h 就 会是这个三角形 b、 c、 f 的 中位线了，那么这两个点角就会是相等的关系，而点角和 b 它还能产生联系啊。我的这个角 b、 c、 f 应该是四十五度 减 b 它，那么自然这个角 b、 h、 g 也会是四十五度减 b 它了。 a h b 我 做的垂直嘛，所以它是九十度，所以我的角 a、 h、 g 就会是四十五度加贝特。那我们为什么要去这么找呢？因为题目当中让我们求的是 ag 和 ac 之间的比值，而 ac 呢，还是 a h 的 根号二倍，所以我们尝试着找一找 ag 和 a h 之间有没有什么数量关系。 所以除了这个角 a、 h、 g 我 可以用贝特表示以外，我的上面的这个角 h a、 g 也可以用 bea 表示啊。因为这个是三线合一嘛，所以 b a h 和 c a h 都是四十五度，所以我的角就可以表示成四十五度减 r f， 而 r f 也可以用 bea 表示啊，所以我们用 bea 表示之后，应该是九十度减二 bea。 那么在这个三角形 h a、 g 当中，我就可以利用三角形内角盒把这个角 a、 g、 h 表述出来，那表示完之后也是四十五度加倍它，所以它和角 a、 h、 g 是 相等的关系，那么自然底角相等，那么它的两个 ag 和 ah 就 会是相等的关系了。而刚才的 ac 是 ac 的 根号二倍，所以现在 ac 也会是 ag 的 根号二倍，那我们求的 ag 比 ac 的 值就会是二分之根号二了。 我们最后再来看一下圈三，圈三呢，是在圈二的条件下，又多了一个 bf 等于 cf 的 条件，所以此时我们像刚才一样过 a 去做 bf 的 垂线的话，是正好会经过我们的点 f 的， 然后再把我们的 g h 给连接起来，这是我们上一位所做的辅助线，那现在想要求 a c 的 长度，我其实就可以把它转换成求 ag 的 长度了，所以我尝试着去求一下 ag， 那 由于我的这个 b f 等于 c f， 所以 我又多了一个，这些都是我们刚才所表述出来的点角， 那么我们可以再过 g 做一个中位线，那描述方法就会是过 g 做 g k 垂直 a h， 所以 我的 g k 应该是 b h 的 一半。 而由于这个 b a c 是 一个等腰直角三角形嘛，所以我的 a h 和 b h 是 相等的，自然它就是二分之一 a h 了。而去二我们刚刚证明过 ag 和 a h 还相等，所以它是二分之一 ag 那 九十度，这条直角边是斜边的一半，所以我们不难发现这角是三十度，那其实是需要证明的啊，那这角是三十度。之后，我们来观察一下这个两个底角，也就是 a h g 和 ag h 就 都会是七十五度了， 那么自然这两个点角就会是十五度，所以我的 fgh 就 会是二倍的点角三十度， 那么自然我的 agf 就 会是 agh， 减去 fgh 就 会是四十五度了。 而由于告诉我们 b f 是 二，所以 g 是 终点的话，这两条边都是一，那么在这个 a g f 当中三十度，四十五度一，那么它是一个可解三角形，我们过 f 去做 a g 的 垂线， 这样的话我这个 g m f 就是 一个小的等腰直角三角形，我的 g m 等于 fm 就 会是二分之根号二，那所以三十度。而 af 是 另一个直角边，所以它应该是根号三倍的 m f， 所以 应该是二分之根号六，所以整个 ag 的 长度应该是 g m 加上 am， 也就是 二分之根号二加二分之根号六而去二。我们已经知道了 a c 是 a g 的 根号二倍，所以只需要把它扩大根号二倍就可以，所以最终的答案 a c 应该是一加根号三。啊。那这道题我们就讲解到这。

今天是大连一模考试的第二天，我们先来浏览一下整个试卷的试题难易程度，以及呃，部分大题后面两个压轴题的分值分布情况。先简单浏览一下试卷，我看了一下啊， 呃，一到十呢，考的还是比较简单的。那第七题，这里出现了方差，他没有在后面的概率题中出现，而是一个简单的选择题的形式出现，所以说对大家来说挺友好的，挺简单。那第十题呢，出现了一个几何动点，这也是大连常考的一种动态分析问题。嗯，是需要根据 图二这个二次函数的图像去分析正方形 a、 b， c， d 这个边长的长度，对吧？好，那根据图像呢，我们就能得到， 呃， a e 是 x， 那 么 ab 是 一，因为 x 等于零的时候，这个面积为零嘛，对不对？那就是一减 x， 根据这些条件再去进行做题即可，还是挺简单的。 再来看一下十五题，十五题考得也相对来说比较简单。第一，他没有涉及到动情况分析问题分情况讨论，而是求一个固定长度的线段的问题，对不对？所以在这里给大家列举一下，他是使规作图和相似进行了相结合，进行了考察。 那么十六题的计算也相对来说比较简单。十七题也还不错，考到了二次函数的增长率问题啊，一元二次方程的增长率。看一下第十九题。第十九题呢，这里可能会出现部分细节扣分问题，也就是第二问 出现的函数表达式。注意，一定是 s 与 t 的 表达式，就不会得分了啊，这个一定要注意。 那二十题呢，考察的第一问和第二问其实都是考察了一个圆周角相等，那他们对应的同乎也是相等的，其实这一个圆周角的考察在鞍山一模也会涉及到，在第一问倒角的时候， 后续呢，我们会把这个图给贴出来。鞍山一模也是考察了圆周角相等，嗯，很多同学就是卡在了圆周角，不知道去没看出来，所以导致那道题二十 一题的这个圆的题就卡住了。然后我们再来看一下二十一题，二十一题是反比例函数的实际应用啊，的一个相结合，那这里呢，也是存在一点扣分的点，也就是第一问 注意一定写的是小 f 与 l 之间的表达式，而不是 x 与 y， 所以 简单的来看这张试卷的一到二十一题的基础，但是细节点部分扣分的点也是挺多的，有很多的坑，比如 s 与 t 的 这个关系式， f 与 l 的 函数表达式，一定要注意 看清题目所求，那我们再来看一下后面的二十二十三题。二十二十三题，尽管是大连的一模考试，给他调换了位置，二十二题考察的这个二次函数的计算，二十三题考察的几何，但是无伤大雅。我们先来看二十二题， 二十二题呢，首先我们打眼一看，其实没有涉及到新定义，也没有分情况讨论问题，只是第一问还是很简单，涉及到计算。第二问呢，那么就是要把 d e 这个解析式表达出来，通过这个题目所给条件， d e 等于二分之一 b， d 啊，那这样去把这个 d e 的 这个解析式求出来，再去判断 a 是 否在这个直线上，一定要注意写清，当 x 等于负三时，哎，代入 y， 哎， y 等于通过计算啊，把你这个 d e 的 这个解析式算出来之后，把负三带进去看看 y 是 否等于零，然后再去说明啊， a 点这个点的纵坐标和算出来的这个纵坐标是不是相等，所以点 a 在 直线 d， e 上。第三题呢，这里占五分的分值， 这个也是比较简单的一个横平竖直的线段嘛，对吧？好，那我们在这简单标一下， m 其实是在这， p 点是在这，这是 q n g m p 和 q n g， 它其实是两条平行于 y 轴的线段，所以就是把它们的横坐标，纵坐标表示出来，嗯， pm 就是 它们的横纵坐标之差， q， n 这条线段其实就是它们的纵坐标之差。 e g 这条小线段呢，我们是通过勾股定律去把它表示出来， 所以对于大部分同学来说，嗯，计算情况较好的，那我们能够得到的是 x 一 与 x 二的这个数量关系是完全没有问题的，可能会在这个十二分里面会扣一到两分，嗯，就也就是关于这个 x 一 的取值范围。

好，大连市初三一模的数学二十三题啊，我们来分享一下这道题的主要思路和逻辑在哪里啊？ 呃，题目中给了一个等腰三角形 a、 b、 c 啊，然后 b、 d 和 c、 e 相等。我们知道 b、 d 和 c、 e 相等呢，它就是左右两边对称的，所以第一问号就可以轻松地搞定啊。第二问号 f 点是三角形内部一个点给了两个角的关系，所以这道题肯定是倒角，肯定是很重要的一点，是吧？ 好，然后这个 b、 e、 d 呢，等于二倍的 a、 c、 f 减四十五度，所以我会设 a、 c、 f 为阿尔法，所以 b、 e、 d 呢，就是四十。呃，二倍的阿尔法，减四十五， 对吧？右边 a、 e、 d 呢，是等于二倍的阿尔法。 ok， 所以 a、 e、 d 这个角是二倍的阿尔法，那这个角也是二倍的阿尔法。而告诉我，这个角，是吧？这个角叫二倍的阿尔法，减去四十五，好，根据外角是吧？这个角叫二倍的阿尔法。减去四十五，好，根据外角是个九十度啊，轻松搞定。 好，那可能这个圈二呢，不见得所有的同学都能做的很顺畅啊。题目中给了一个终点，但不需要你背长中线，为什么？因为 b、 f 的 终点是 j， 对 不对？那已经有了这个终点，这个这个，这个也已经已经已经是终点了，对不对？所以我们没有必要去背长中线啊， 我们需要怎么做呢？那我上课一直在跟孩子们强调，我说等腰直角三角形，它那个斜边中线是无比重要的，对吧？所以如果你把这条斜边中线给做出来的话，那这道题无比简单啊， h 连起来，这和 h 就 会变成两个中点， 是一个中位线的关系，对吧？是一个中位线的关系啊，那我们刚刚第一问，挣了，这个角叫二倍的阿尔法减去，呃，四十五度，对吧？那这个角不四十五吗？所以呢，推出来这个角， 应该是一个九十度减去二倍的 r 法，用四十五再减它，对吧？九十度减二倍的 r 法啊。然后呢，我们知道的是这个角是 r 法，所以这个小角叫四十五度减去 r 法，所以根据中位线，这个角四十五度减去 r 法，我们能推出来这个角， 是吧？好，也就说这个角 a h j 啊，应该是等于九十度再减它，是吧？九度再减它，那就是四十五度加 r。 好，那我们知道九十度减二倍的阿尔法和四十五度加阿尔法叫绝配角，是不是？所以这个角呢？根据内角和也是四十五度啊，加阿尔法，那 a j 和 a h 就 相等了啊，那 a h 和 ac 的 关系就是 a j 和 ac 的 关系啊，等于 a h 比上一个 a c 就 等于一比根号二嘛，对吧？二分之根号二。 ok， 好， 这个圈二搞定啊，圈三，在二的条件下，当 b f 和 c f 相等的时候，当 b f 和 c f 相等的时候，那这个 f 点就一定在我的对称轴上，那这条线我肯定还是要做出来的，对吧？好，我把它连起来 啊，跟第二位的这个弧线是一样的啊， b f 和 c f 长度都是一，那这个 b j 和 j f 都是一，根据斜边中线，这个 j h 长度也是个一，对吧？好，我们说啊，这个 j f h 啊， j f h 是 个等腰三角形，这个底角是不是就这个角， 对吧？然后 agh 也是个这个等腰三角形啊，底角也是这个角啊，底角也是这个角，算是吧。所以这两个等腰三角形呢，很明显形成一个共边反义字相似，共边反义字相似的基本结论基本结论， h g 的 平方等于 h， f 乘上一个 h a， 是 不是？好，所以我就可以设一个 f h 等于 x 啊，那我就能推出来，因为这个 gh 等于一的，是吧？这个 a h 呢，是应该等于 x 分 之一， h 等于 x 分 之一啊，我只需要再解一个三角形就好了啊。在 b f h 这个三角形 b f h 里面是吧？那 x 的 平方加上 b h 和 h 相等， x 分 之一的平方应该是等于啊，等于四是吧？ 好，把 x 平方看成一个整体啊。这个 x 平方呢，你就可以解出来啊。用求根公式， x 平方应该是等于二分之 二分之四，加减二倍，根号三啊。呃，四加减二倍根号三，我这个没有化解啊，但是这个 x 呢，很明显是小的那个是吧？所以你，你这个 x 一定是把这个正的给舍掉，是不是好，舍掉？舍掉正， 那 x 呢？再再开平方就可以了啊。那 x 的 x 我 就先可以先不开平方了啊。为什么？因为 a c 是 不是应该是取倒数了，对不对啊？ a c 应该是等于根号二，乘上一个 a h 啊，乘上一个 x 分 之一，所以把这个取倒数再开平方就可以了啊，就等于根号二，乘上这个家伙的倒数就是四，减去二倍根号三分之二，再开一个根号， 是不是这样？ ok， 好， 分子呢？根号二乘根号二，应该是二分母四减二位，根号三开出来应该是根号三减一。好，再分母右移化变成根号三加一。这个题我们就做完了啊，整体还是一道相对来说难度不大的题目。 ok。

在大连众多的月考试卷当中，八年级的这套试卷来自于原创思维，那么这套试卷当中的倒数第二道题，很多八年级的孩子都没有见过，甚至蒙圈了。那么我们在这道题的第二问当中，我们用到了什么样的方法，什么样的思想呢？这个视频老李告诉你， 首先我们在讲这道题之前，先要掌握这样的一幅图，在初三叫做摄影图， 那么在摄影图当中，你首先要知道的是，这里面有六条线段，只要我们之二就一定能推四， 也就是说给你其中两条线段的长度，就能推出其他四条线段的长度。当然这个之二啊，也可以给你一条线段的长度，给你另外两条线段长度的关系也是可以解决问题的。但是作为一个初二的学生来说，你应该如何掌握之二推四这个能力呢？ 当然也很简单，我们可以在初二把这幅图叫做双垂直图，也就是说如果一个三角形是一个直角三角形，并且往斜边上又做了一个垂直的话，我们就把它叫做双垂直图。在这个图当中，初二的学生你也可以记住它之二推四。 那么我们在初二没有相似，应该如何解决之二推四的这个能力呢？我们可以记住一个方法，就是设元 三勾股的方法。为什么叫做三勾股？因为在这个图当中一共有三个直角三角形，只要你把这三个直角三角形充分的利用上，就一定能满足你的支二推四的能力。 比如说如果老师现在给你这条边的长度他是三，我再给你这条边的长度他是七的话，我们应该如何去求其他所有线段的长度呢？很简单，我们只需要设其中一条线段的长度为 x， 那 么我们在第一个直角三角形当中勾股，我们就可以得到 bc 的 平方，就等于 九加上 x 方。那么同样我们在第二个直角三角形当中勾股，我们一定能得到 ab 的 平方，等于的是四十九加上 x 方。 当我们把这里 bc 的 平方和 ab 的 平方表示完以后，我们已经用到了两个直角三角形，最后一个直角三角形就是这个大的直角三角形，你会发现 bc 的 平方 加上 ab 的 平方，最后也就一定等于这里 ac 的 平方，也就应该等于一百。自然最后的这个勾股就帮我们列出了这样的一个含有 x 的 方程，我们通过解这个方程就能轻松解决问题。任何两条线段给你之后，你设圆三勾股 都能列出方程解决 x 的 问题。首先这道题我们通过第一问就已经确定，点 c 的 坐标是负八到零，所以 o c 的 长度是八 点， b 的 坐标是零度负二倍根号六，那么这条线段也就是二倍的根号六。我们要过点 b 做一个 bc 的 垂直，并且要与 x 轴交于点 a， 那 么请问 这个三角形它的面积又是多少？那首先我们会发现，既然这个是垂直的，并且坐标系这个也是一个直角，那么在这个图当中，很明显这就是一个双垂直图， 并且在这个双垂直图当中，我们已经有了两条线段的长度了，那么剩下其余的线段我们一定都可以求，包括三角形的面积，也就一定可以知道。方法很简单，设圆三勾股， 我设 o， a 的 长度是 x， 那 这样的话，第一个勾股定律，我们就可以把 ab 的 平方表示出来，也就是 x 的 平方加上二倍根号六的平方，也就是二十四，对吧？ 同样，我们第二个勾股定律，我们可以把 bc 的 平方表示出来，八的平方，也就是六十四，加上二倍根号六的平方，二十四，也就刚好等于的是八十八。那么最后一步，有了 bc 方，又有了 ab 方。在这个三角形里面，我们再来一个勾股定律，刚好 ab 的 平方 加上 bc 的 平方，也就等于 ac 的 平方， ac 的 平方就是 x 加八的平方，那么这个算式我们再把它整理一下。 x 方加上二十四加八十八， 等于 x 方加十六， x 加上六十四，哎，等号两边这个 x 方正好能够消掉，说明出题人考虑到我们没有学过一元二次方程， 我们就可以得到十六， x 刚好等于的是四十八，那么 x 也就恰好等于三了。当 我们知道 x 等于三以后，那么你会发现，这个三角形的面积是不是也就可以求了呢？它的面积底就是十一，高刚好是二倍，根号六，那么底乘高除以二，也就等于十一倍的根号六。 有了双垂直图的方法，这道题轻松解决，你学会了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！

这道题是二零二五年春大连甘井子区八街月考的一道题，难度三颗星，主要考察的是勾股定律和三角形的全等。接下来我们来看一下这道题。如图一，在平面直角坐标系中点， b 的 坐标为零， 负二倍根号六， c 点的坐标为负八零啊。第一问，做 o m 垂直 bc， 让我们求 o m 的 长，那我们过 o m 去做一个啊， o m 垂直 bc， 那要求 o m 的 长的话，我们可以利用的是等面积法，因为这里的 c 和 b 的 坐标我们知道可以求得 o c 长是八啊， o b 长是二倍，根号六。根据构造定律可以得到 c， b 的 长是二倍，根号 二十二，那我们就得到二分之一乘 o c 啊。长度是八，乘上 ob， 二倍根号六，就等于二分之一乘 o m 啊。乘上 b， c， b， c 对 应的是二倍，根号二十二， 那这其中未知量只有一个 o m 可以 截得 o m 等于十一分之八倍，根号三十三， 这是第一问。接下来我们看一下下一问，过点 b 做 b， a 垂直 bc 交 x 轴于 a 点，那我们过 b 去做一个 b， a 啊，垂直 bc 交 x 轴于 a 点，这是 a。 然后求三角形 a、 b、 c 的 一个面积，那这里 a 点的坐标，我们可以设 a 点的坐标为小 a 斗零， 那根据题干已知条件， oc 的 长度是八， ob 的 长度是二倍，根号六， bc 的 长度是二倍，根号二十二。这都是我们根据题干条件和第一问求得的一些线段长。那 o a 的 长对应的应该是它的横坐标小 a 啊，而 x 轴和 y 轴是垂直的，这里有一个直角。然后题干已知给的 ab 垂直 bc， 那 在三角形 abc， 这是一个直角三角形 a o b 也是一个直角三角形。我们可以用两次勾股定律，利用这个公共边 a b 去列勾股定律，那就是 a c 方减 b， c 方等于 o， a 方加上 o， b 方， 那 a、 c 方对应的应该是八加 a 的 平方，减去 b， c 方， b， c 应该是二倍根号二十二 的平方等于 o， a 方对应的就是小 a 方，加上 o， b 方就是二倍根号六的平方。去解这个方程，能得到 a 等于三， 那 a 等于三的话， a c 的 长就等于十一。所以说三角形 a， b， c 的 面积应该等于二分之一乘十一乘二倍根号六等于十一倍根号六啊。接下来我们看一下最后一问， 呃，在括号二的条件下，点 p 的 坐标为零 m 啊，满足角 c p o 等于二倍的角 a p o。 也就是说，如果这个角是 r 发的话，这个角是二倍的 r 发 啊，让我们求小 m 的 值。根据上一问的条件， a 点的坐标应该是三零啊， c 点的坐标应该是负八零。 然后我们来看一下如何利用角 c p o 等于二倍的角 a p o 这个条件，我们可以把它往一起去构造。那如果我过 这个 y 轴啊，去做这个 a， 关于 y 轴一个对称点，那我们能得到一个 m 点是负三零，我们连接 pm 啊，那连接 p m 的 话，再过 m 去做 cp 的 一个垂直 m n 垂直 cp 啊，那这里边 a p o 是 r 发角，由于角 c p o 等于二倍的角 a p o， 而三角形 p m o 和三角形 p o， a 是 一个对称的一个全等，那这里的角 m p o， 它应该也是 r 八，那自然角 n p m 也是 r 八角 啊。那现在有一个相等的直角，两个 r 八角 ap 又等于 pm 啊。那我们能得到三角形 p n， m， 它是全等于三角形 p o， a 的 判定条件是 a a s。 那 这两个三角形全等之后，我们可以把长度进行一个转移，那 n m 就 应该等于 o， a 的 长应该是三啊， p n 应该等于 o， p 的 长应该是 m 的 一个绝对值。然后 o， m 的 长是三啊， o， c 的 长是八，对应的 m， c 的 长度应该是五。那这里有个垂直在直角三角形 c， m， n 中啊，有一边是直角边是三，斜边是五，另一个直角边就是四。 那在直角三角形 c， o， p 中，我们就可以列一个勾定理， p c 方等于 p o 方，加上 c o 方啊，而 p c 方又等于四，加上 m 绝对值的一个平方。 p o 方对应的应该就是 m 方， c o 方对应的就应该是 o， c 长的平方就是八的平方。 解得 m 的 绝对值是等于六的，所以 m 等于正负六啊。那这道题到这就完事了，我们下期再见。

昨天啊，咱们二零二六年大连中考数学一模已经结束了，咱们今天呢，简单做一下分析哈，这张试卷呢，主要的特点就是基础为主，分层比较明显，其中啊，基础题约占啊百分之八十啊，中等题的比重呢，是增加了的 题型啊，更注重与实际问题结合的综合思维。但是啊，前二十一题啊，难度不是说特别的大啊，最后两道的几何和函数啊，属于是分层题，本次考试啊，将几何函数压轴的位置啊调整了一下啊， 几何压轴，最后啊，两问啊，会有一些吃力啊。但是题目的难度和中考的难度哈，基本上是吻合的啊， 整体啊，两道压轴题的难度啊，是比去年一模的时候要略难一些的，但是整张试卷一百零八分这样的成绩还是比较正常的啊，要是想取得一百一十五分以上这个成绩呢，是稍微有一些难的啊。如果有的家长是想要这张试卷的， 或者说是想要答案的，还有有问题的家长啊，可以在下方留言，我看到了呢，会一一回答的。那么接下来啊，咱们就就着这张试卷哈，咱们来做一个详细的分析。咱们先来说一下第一个部分，选择题。第一题比较容易啊， 考察内容是正负数意义，考察生活中的正负表示纯属是基础题啊，粗心的话就会丢分。第二题呢，考察的是立体几何图形的三式图，考察的思维空间的想象能力啊，中考必出的简单几何式图题。第三题，科学技术法， 考察大数改写。中考啊，必出的基础计算，熟练就能得满分。第四题，整式运算，考察合并同类项密运算 积的乘方代数基本功啊，这道题比较容易。第五题，图形性质判断几何的入门必考题，比较容易。第六题，平行线加上三角形内角几何基础推理送分题啊，考察步骤啊，严谨性。这道题比较容易啊！第七题，方差比较 统计核心看数据波动，不用算，直接判大小。这道题也是比较容易的啊！第八题，追及问题列方程，考察一元一次方程应用，认真审题啊，找等量关系。这道题也比较容易啊！第九题， 解直角三角形，三角函数实际应用，中考几何计算高频考点啊，这道题需要注意一下啊！第十题，考察的呢是正方形加上二次函数最值几何加上函数综合选择题的一个压轴题啊，数形结合这道题属于是中下等的一个难度。 咱们再来说一下第二个部分，填空题。先来看一下第十一题啊，考察内容是二次根式的性质，代数式取值范围。 这道题属于是基础的细节题啊，比较容易啊！第十二题，考察的内容是概率计算，两步随机选择。中考概率题必考简单模型。第十三题啊，考察内容是坐标轴对称 平面直角坐标系的基础啊，这道题必须拿分。第十四题啊，比较容易啊，考察的内容是新定义运算，考理解加上转化能力，近年啊，中考热门的题型。第十五题啊，难度中上等，考察的内容是矩形垂直平分线相似 几何小从何填空题的一个压轴题啊，考辅助线与相似。咱们再来说一下第三个部分，解答题。第十六题啊，这道题比较容易啊，主要考察的是实数的混合运算，加上分式化简考计算的一个基本功啊。 这道题十分是必须要拿的啊，一定要注意的是计算的习惯，基础概念，千万不要哈眼高手低的，要不然这道题啊，一定会失分的。第十七题呢，主要考察的是增长率问题。不等式应用考察一元二次方程加上不等式。中考应用题必考的模板 考建模能力筛选啊，粗心和不会列方程的考生。这道题属于是中等难度。第十八题呢，就属于是中下等的一个难度，主要考察的是统计图表的分析， 考察频数，中位数，用样本估总体统计呢，全都是送分题啊，看清图表不丢分，不要看错题， 本题呢，几乎哈就是需要全员都是满分的啊。第十六题，难度属于是中等题啊，主要考察的呢是函数的图像工程问题，考察一次函数实际应用考察呢，学生的读图列式。中考高频应用题。 这道题啊，其实就是会了，这整个题型都不太难啊。第二是题呢，这道题呢，主要是考察圆的综合中考几何压轴必考的某块圆中角切线证明 弧长计算步骤分啊，一定要抢，是中等生和优等生的一个分水岭。咱们再来说一下二十一题啊，二十一题呢，反比例函数实际应用，函数建模，还有呢，考的是代入计算，考察知识的一个迁移能力啊，更贴近于生活计算。如果粗心，审题不清，不看单位，格式不规范，步骤啊， 又跳步的话，这个学生很容易丢分。第二十二题啊，他的难度啊，属于是一中难，然后主要考察的呢，是二次函数的综合中考数学的压轴题啊，考察呢是函数几何，代数大综合顶尖的学生啊，一般生啊，直接就是拉开了一个距离啊。 括号二的这个问题啊，转化能力弱，倒角倒边不严谨，模型不熟，计算卡壳的学生啊，这个括号二啊，很容易就丢分了。咱们再来说一下第二十三题啊， 难易程度呢，就是易和中啊。考察内容呢就是等腰三角形，加上全等，加上角度推倒，加上线段比值，几何综合压轴 需要多辅助线啊，构造思想，连续三条垂线的构造。主要呢考察构图的直觉，不是说刷题啊，咱就能刷出来这种破题的能力的啊，主要呢还是考察一下孩子的精准度和逻辑闭环的一个能力啊， 如果说这个孩子树形结合能力差，辅助线直觉弱等等啊，这个方面哈，不太足的这种学生啊，这道题他得分很难得满分。

好，来看一下大连市一模的二十三题，告诉我们这是一个等腰，然后又告诉必得等于一个 c、 e， 那 这两个三角形是不是边角边全等括号一就转完了，括号二呢？它告诉 角 b、 a 的 等于二倍的角 acf 减去一个四十五度，然后又告诉 a、 e、 b 也是一个二倍的角 acf， 那 这样的话，我们就把 acf 设成一个 r 法， 那因为这个角是等于这个角，那所以说这个角 e、 a、 c 也等于一个二倍的阿尔法减四十五，然后这个角是二阿尔法，那么我们用外角二阿尔法减去它减出这个角就是四十五， 因为是个等腰，那这个角也是四十五，那所以说这个就是一个九十呃，圈二，它告诉 g 是 b、 f 的 一个中点，让我们求证 a g 和 a、 c 的 一个比值，那这个题啊，我们可以去 往下去做个垂，那这样的话这个小的它也是一个等腰直角三角形， 那这个 k 点它就是一个中点，然后这个 g 点呢，它也是一个中点，这样的话我们把 g、 k 给它连接上，那说明我们的 g、 k 是 不是三角形 b、 f、 c 的 中微线，对吧？那它是不是就和我们 f、 c 是 平行的？那刚刚是把这个角设成一个 alpha， 那 这个角是不是四十五减 alpha， 平行的话，这个角也是一个四十五减 alpha， 然后我们再用九十减去四十五减 alpha， 哎，这个角能减出是四十五加上一个 alpha， 然后刚才这个角是二阿法减去一个四十五，然后这个角也是一个四十五度，那所以说是不能减出这个角，应该是四十五减去它，也就是说九十减掉二阿法， 然后我们发现这是一组绝配角，剪完之后啊，这个角也是四十五，加上一个 r， 那 所以说就能证出 ak 这个边啊，它是等于 ag 的， 那所以想让我们求 ag 比上 ac， 我 们就可以把 ag 用 ak 换掉， 那 a k 比上 a c a k c 是 一个等腰值，那这样的话就是一比上一个根号二啊，结果就是二分之根号二， 对吧？嗯，好，再来看一下圈三，他说当 b f 等于 c， f 等于二的时候，然后让我们求 a c 的 一个长， 那我们知道 f 是 不是在 bc 的 垂直平分线上，然后 ab 等于 ac， 那 a 也在 bc 的 垂直平分线上，我们连接一下 af， 对 吧？这个就是刚才的那个 k， 好， 这样的话我们发现这是一个中点，根据斜边，中线等于斜边一半，是不是能导出 j k 应该等于 j f， 然后刚才的这个 a k 还等于一个 a g， 对 吧？那他俩就是相当于共底，然后双等腰，是不是这两个三角形就一定相似？ 然后我们看一下边长，他告诉 b f 等于 c， f 等于二，那说明我们这个蓝边是不是应该等于一，对吧？这题啊，我们接下来去导一个比值就行，是不是用一这个边比上 a k， 对吧？ ak， 我 们发现不知道，那接下来老师把 ak 呢？设成一个小 a， 然后就应该等于啊这个 f k， 然后再比上一个 j k 是 一，对不对？那接下来就是 a 乘以 f k 应该等于一解出 f k， 它是等于 a 分 之一， 那也就是说这个边长是 a 分 之一，然后 b k 这个边，它就等于 ak 等于一个 a， 然后这个 b f 这个边还等于一个二，那接下来是不是在 b、 k、 f 中可以列一个勾股定律，那就是 a 的 平方 加上 a 分 之一块的平方，应该等于二的平方，那接下来呀，能把这个 a 方给它解出， 是等于根号三加上一个二。但是这题啊，我们不想要 a 方，想要的是 a c 的 值，那么我们知道 a c 的 平方，它应该等于二 a 方， 您说二倍根号三加上一个四，那接下来怎么去开这个 a c？ 需要把这个二倍根号三和四给它凑成一个完全平方， 那么我们知道这个二倍根号三呢，就是那个二 a b， 然后这个四呢，可以变成一加三，对吧？加上二倍根号三， 那这个一呀，就是一的平方，三呢，就是根号三的平方，然后加上二倍根号三，所以说就变成一加根三括号的平方，所以说就能解出这个 a c 啊，就等于根号三加一，对吧。

嗯，刚才在做就是下一节的就是初二几何模型的一个选择题工作啊，主要围绕着这本正经几何啊。我现在就是一节课大概是一半时间讲专项培优的一个小模型，然后一半时间就讲这个正经几何。这个正经几何啊，它这上面这题啊比 专项培优难一档，就同样一个模型他难一档，呃，专项培优是什么呢？就是，呃，比如说三十度角模型啊，他给你举一些比较简单的例子啊，就见着三十度你能怎么整？ 基本构造，构造一次就差不多，就前面基本前面几道题就构造一次就差不多。这本正经几何上的题啊，他除了第一道题可能铸造能简单点， 往后的题都得构造好几次啊，复杂度是比专项培优要高一个等级的。所以说我在选就是在他上面的选题的时候，呃，一般不能选太多啊，就是四五道题啊。 呃，然后呢？你不能一节课都讲他为什么就是你学生他受不了啊？就这个正经题和我一般就是 张天师上去就先讲正经几何，趁着这帮学生就是脑子就电量比较足的时候，你先给他讲基本，半节课下来脑袋电量基本要么就好干了，要么就剩着百分之二三十了，剩下的时候你领他们做点专业培训，简单的他还能坚持下去。你要上来给他干 就是半节课正经几何，下半节课再干正经几何或者是干压轴，他根本就干不动啊，就能干动的就按照我之前的下半节课干点简单的能干动的都都少啊。 所以说就是一个是想说什么呢？就是你这个正经几何啊？嗯，八上干他费劲啊，八上把他当成当做压轴体干。行啊，再就是什么呢？就是精准投位啊， 就是你不能上来，就是整太难的。你就你光光练压轴，他能站动吗？根本站不动啊。能把这个正形几何现在练好了就就不错了啊。所以说选选择题也是很关键的，你得把握住。就我这些题给他整上去， 他能不能长住啊？这一节课讲完了，他能吸收多少啊？他长不住他都白讲是不是？所以说净准头也很重要啊，加油干吧。

大连一模数学刚考完，整体来说的话不算太难拉分，题目还是集中在最后两道大题，那么今天给大家分享第二十三题，几何压轴题目。这道题目出的非常的好， 其实想明白它一点都不难。第一问证全等比较简单，第二问主要是考察倒角等腰三角形的性质以及相似。我们来看题，三角形 a、 b、 c 当中 a、 b 等于 a、 c、 d 点和 e 点是边， bc 上的点 b、 d 等于 c、 e 让我们证明三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 c、 d 它是全等的。那么这个第一问就非常简单， d、 e 是 公共边，所以我们可以得到 b、 e， 它应该是等于 dc， 又因为 ab 等于 ac， 所以 说这两个底角角 b 等于角 c。 那 么这个时候我们是不是可以得到三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 c、 d 就是 全等的，那么这个判定方法就是 s、 a、 s。 好， 我们来看一下。第二问， f 点是三角形 a、 b、 c 内的一点，它告诉我们角 b、 a、 d 等于二倍的角 acf， 减去四十五度 角 a、 e、 d 等于二倍的角 acf。 那 么这种题目是不是很显然用导角啊？而这个角 acf 是 不是出现了很多次，并且角 acf 它是一个小角，那么这个时候我们可以射角 acf 为角耳发，就是我们通常射较小的角 为角耳发。那么这个时候我们是不是可以把角 b、 a、 d 可以 表示出来，就等于二耳发，减去四十五度 角 a、 e、 d 等于二耳发。那我们标注一下 b、 a、 d， 它应该是二耳发，减去四十五度角 a、 e、 d 为二耳发角 a、 c、 f 为耳发。 由第一问我们可以得到 a、 d， 它应该是等于 a、 e 的， 那么这个时候我们是不是可以得到角 a、 d、 e， 它也是等于二阿尔法。那么在三角形 a、 b、 d 当中，我们用一下外角，那么这个角 a、 b、 d 是 不是显然等于四十五度？ 又因为 a、 b 等于 a、 c， 那 么这个时候我们可以得到角 a、 c、 b， 它也是等于四十五度，所以我们就可以得到角 b、 a、 c， 它应该是等于九十度。 那么这个串一哈应该是比较简单的哈，我们再来看一下串二，它 b、 f 和 a、 d 相交于点， g g 是 b f 的 中点， 让我们求 a、 g 比上 a、 c， 那 么在等腰三角形当中，这个最重要的辅助线，我们可以做等腰的高线，所以我们很容易想到过 a 点向 b、 c 做垂线，那么这个点我们设它为 h 点，它让我们求 a、 g 比上 ac， 又因为 a、 h 和 ac 是 不是有关系啊？应该是一比上根号二，所以我们只要求 a、 g 和 a、 h 之间的关系， 那我们是不是可以得到 a、 g 和 a c 的 关系？因为 g 点和 h 点都是中点，那我们很容易想到连接 g、 h， 那 么 g、 h 就是 三角形 b、 f、 c 的 中微线， 因为角 acf 等于角耳法，那么角 bcf， 它应该是等于四十五度减去角耳法。那么这个时候角 g、 h、 b， 它是不是也是四十五度减去角耳法？那么这个时候我们是不是要去探讨一下 a g 和 a h 它是否相等？ 因为我们要求 a、 g 和 ac 的 关系， a、 h 和 ac 有 关系，所以我们要去找 a、 g 和 a、 h 之间的关系。 又因为 a g 和 a h 它在一个三角形当中，所以我们很容易想到，我们要去证明 a g 和 a h 它是相等的， 那么这个时候我们就要求一下这个三角形的底角，那我们就可以得到 a h， 它应该是等于九十度减去 g h b， 那 是不是九十度减出这个角，那应该是四十五度加上角 r 发，那我们要求 a g h， 那 我们把这个顶角 g a h， 我 们求一下，那么角 g a h， 它应该是等于 四十五度，再减去这个角，那就是四十五度减去 r r 发减去四十五度， 所以说它应该是等于九十度减去二阿尔法，那么这个时候我们就可以得到角 a g h， 它应该是等于一百八十度减去这个角，再减去这个角， 那是不是刚好等于四十五度加上耳法，那么这个时候我们就可以得到 a g， 它应该是等于 a h， 就是 说这两个底角它应该是相等的，都是等于四十五度加上耳法。又因为 a h 比上 ac， 它应该是等于一，比上根号二， 所以我们就可以得到 a g 比上 a h， 它也是等于一比上根号二，就是二分之根号二。好，我们来看一下第三问， 它是在二的条件下，当 b f 等于 c， f 等于二的时候，让我们求 a c 的 长度。 当 b f 等于 c f 的 时候，那我们过 a 点向 b c 做垂线，那么这个 f 点是不是刚好在 a h 上？就是说这个辅助线和第二小问的辅助线应该是一样子的。 我们有第二小问可以知， a g 等于 ah， 那 么三角形 a g h， 它是一个等腰三角形，又因为 g h 等于 g f， 斜边的中线等于斜边的一半，所以说 g f h 它也是一个 等腰三角形，又因为他们有一个公共的底角，那我们是不是很容易想到三角形 g h f 和三角形 g a h， 它应该是相似的， 那么相似之后，那我们通过比例关系，我们就可以得到 g h 的 平方等于 f h， 再乘以 a h， 因为 g h 的 长度是已知的， 那我们是不是可以找出 f h 和 a h 之间的关系啊？那么这个时候我们再找一个啊，等量关系就可以求出 x 的 值。 那么显然在三角形 b h f 当中，我们再用一下勾股定你就可以了嘛，对不对？所以说是这个思路哈，那我们可以设 f h 为 x， 那么有这个相似，我们可以得到 g h 的 平方等于 f h， 再乘以 a h， 这个 g h 是 不是等于一啊？所以说 f h 乘以 a h 等于一，那我们可以设 f h 等于 x， 所以 我们就可以得到 a h， 它应该是等于 x 四分之一。 然后在三角形 b h f 当中，我们用一下勾股定律， b f 它等于二， b h 它等于 x 分 之一， f h 等于 x， 所以 我们就可以得到 x 的 平方，加上 x 平方分之一，它等于四， 那么这个时候我们可以换元，我们可以把 x 平方，我们可以设它为 t， 那 这样是不可以把 t 求出来，所以我们就可以得到 x 平方，它应该是等于 这个地方比较简单哈，那我直接把 x 平方我们求出来，它应该是二分之四，加减二倍的根号三。那么这个时候 是不可以把这个大值舍掉啊，因为 f h 它是比较小的哈，所以我们可以把这个较大的值我们舍掉，这样我们就可以得到 x 平方，它应该是等于二分之四减去二倍的 a h， a h 应该是 x 分 之一，那应该是四减去二倍的根号三分之二，再开根号， 那么四减去二倍的根号三，是不刚好是根号三减一括号的平方啊？所以这个等于二比上根号三减一，根号二乘以根号二就等于二嘛。这个下方是根号三减一的平方，然后开出来是不刚好是根号三减一， 然后我们油理化一下，他应该是等于根号三加上一，那么这个第三问 a c 的 值就是根号三加一，那么这个第三问他用了一下相似， 然后这个地方他用了一下配方法啊，要开根号这个地方有一点技巧啊，大家如果想要大连市一模数学试卷的，可以在评论区打大连一模点关注我们，下期视频见。

就是辽宁这一块啊，几何练得比较猛，难度比较大的还是大连，大连的学生相对于辽宁其他的小城市的呃几何水平 相对来说能高一点啊，这点从我初二线上其他的呃其他城市的学生的作业反馈就能看出来啊。这周呢，就是有两个外地的学生就跟我说说，哎，老师初二的，嗯，说你们讲的太难了，我们跟不上。 嗯，首先我要澄清一点，我们现在初二线下内容讲的并不是并不难，我们绝不是大连很多那种线下初二压轴的那种专注压轴题的伴啊，我们仅仅是练一些几何基础模型，基础模型是初中几何啊以后 为了解压轴题的一个必备的基本能力，它也是能，呃，就是说照顾到呃前面基础的一些选填，呃题型你也需要它，所以说这些都是基础， 如果你们觉得难，那真的是能反映出啊不同城市几何训练水平的这种差异啊。但是辽宁中考一张卷啊一张卷，那么我们即使大连的学生这么练， 我们大连的学生在答辽宁中考几何亚洲题的时候也没有觉得他非常简单，所以说我们练的这个这个题啊，他还是符合这个考向的哈啊， 所以说那既然辽宁一张卷，那么你其他城市如果想考高分的话，我觉得也得按照这个强度练啊。那么，呃另一方面，如果你能按照大连的这个强度练， 那么你在当地的这个呃你们学校你们班级你的水平几何水平相当于相对来说就可能会更高啊。 那么初二下目前就是因为初二上呃，他没有呃跟着大连这边练过，呃就是几何模型，所以说他初二下他有断档他会觉得难，所以说针对初一其他城市的呃学生来说，那么我们七下 呃结束之后八上我们就是大连和外地的都是同步的，那么我们到时候练这个几何模型，大家只要跟好这个节奏， 你也可以像大连的学生一样，并不会觉得他有多难，但是等你回到你所在的城市，你可能就是当地的几何高手啊，加油干吧。

哎呀，刚才和一个初二的家长聊他孩子学几何的困难的时候。嗯，我有点儿法呀，就是停车先讲一讲。 嗯，他孩子情况就什么呢，也是跟着一位名师在学几何题压轴。嗯，困难就在于就是做，做的过程当中非常痛苦。嗯，就是研究半小时也研究不研究不出来，没有进展啊。同样的题做完之后过两天再做，发现还是不会啊。 嗯，就是我，是我所用的方法呢。是就是我，我不认可这种训练方式啊。我有我的一套训练方式啊，就是你像我是这样的，就是我在上课的时候呢，我不把这些题提前留给你做，留给你你也做不上来， 你越做越越费劲，最终会加速你放弃啊，加速孩子放弃我上课带你做一遍，各种提示啊，带你做一遍。你做完之后你会发现我下周布置的作业是原模原样的题不变。 在上周我带你做了一遍的情况下，同样的题你多少？你是不是有点印象？是有点方向性，有点思路，你能不能再做第二遍？ 大部分同学做，即使这样的情况下，他第二遍他也做不上来，但是他比第一遍那种情况好一点的他多少有点方向性，他最起码知道。哎，这个辅助线好像是这么画， 最终可能差一个两个条件没找到，他做不上来。这已经是有进步了啊，第二遍做不上来，咱还有做第三遍啊，就我反对上去把，就不带他做，不告诉他，直接让他做，那只能增加他的痛苦，只能让大部分的孩子就是放弃啊，放弃啊。 所以说我是前期先带着你做。那么这个理论依据是什么呢？就是几何题前期的积累，就靠背题记题， 就你不用特别深的去说，我把它研究出来，你就记，你就背，我带着你背啊，最终你能力形成的时候，实际上你不一定明白，其实这些东西就是你备注了 啊，就是你，你就这个题怎么做？你记住了，在大脑里你给他存储下来了，那么到了一定时候你的感受好像就是你会了，实际上就是你备注了啊， 所以说你目前这种几何肌的训练，不能说把这东西扔给孩子，你就做吧，没有用他扣，都是在浪费时间啊。我就是，我认为就是我的方法是科学的啊，就是第一遍带他做，就相当于我领他去整答案，我领他我就是答案 我，我是答案，我人工复制给他听，要对他分析加一些分析啊，让他帮助他理解，帮助他记忆。第二遍，让他在这种情况的前提下你再去做，然后第二遍还不行的时候，还是也是有时间限制的，做十分钟还是做不出来，立马停，看我的上课的笔记，然后还有第三遍，第四遍，最终你就备注了啊，就是这么做。

哈喽，同学们大家好，接下来我们来看一下二零二六年大连甘井子区七期月考题目，那本题考的呢，依旧是平行线的复杂难题。首先我们来看括号一， 那括号一他给的这两种方式啊，就是我们证明锯齿模型的方式嘛，一个是过快点求平行，一个是延长，我们上课的时候都提过，所以说我们在这里也不浪费时间了，直接过掉。接下来我们来看括号二，那括号二呢，它是给出我们三个角之间的一个向量关系，让我们去证明 a、 c 平行于 e、 f。 那如果啊，你们把这三个角标在这个图里面，你会发现它其实就是我们上课所讲过的反证锯齿嘛，那我们也讲过了啊，所以说在这视频里面，我们也不多赘述了，过掉， 我们直接看括号三，那在括号三里面啊，首先他上来说，在括号二的前提下，那你括号二证明完的这个平行你也是可以用的。 然后还给出了 ab 平行于 c， 对 上下是平行的，又给了两个角平分线，那肯定同学们也会想到用我们之前所讲过的方程思想，但是别着急，他给的这个角 c、 h， 他 等于的是二十五度，所以说啊，这两个角他都是二十五度， 那我们可以设另外那个啊，另外那个角平分线所分成的小角为 x， 所以 说这两个角呢，它就都是 x。 然后它还给出了角 a、 h， f 等于这个角 a、 g， 以及 三个角之间的一个数量关系，让我们去求这个角 p、 f、 c。 那 第一步啊，我们已经设未知数了。第二步开始表示已知角和未知角，首先啊，给这两个角等它肯定是有用的呀，那这个角 a h f， 它恰巧就在这，它，我们会发现啊， 它与我们之前这个平行线构成了一个锯齿模型，所以说这个角 a h f 就 等于二十五度，再加上一个 x， 那 如果它是二十五加 x 的 话，上面这个角 a g， 它也是二十五度加 x， 那 这两个角啊，我们就用完了。接下来我们来看这个三个角之间的一个数量关系。首先啊，是这个角 p g 还有角 c a h， 角 p e g 以及我们的一个问题，角角 p f c， 我 们来看第一个角啊，这个角 p g e p g e 啊，这个角它不是很好表示，正常来说的话啊，我们其实可以把它看成两个小小的和，但是呢，在这个题里面啊，这个角 a g e， 我 们之前上个问所 提到过，是用锯齿模型来进行推导的，所以说我们可以往这个锯齿模型上想，那这个角啊，它能不能求呢？ 它既然在句式模式里面啊，我们来找一下其中的一个角，就是这个角 c a g 正好就是五十度，所以说如果我们能表示另一个角 f e g 的 话，那这个角 a g e， 咱们不就可以表示了吗？ 那这个角怎么来表示呢？首先我们需要借助一个上下平行的这样一个条件，那因为 ab 是 平行于 c 的， 所以说两直线平行，同为角相等，这个角 f h p， 大家可以发现它就是二 x， 所以 说上面这个角 a e f， 它也是二 x， 那 这个小角呢，就等于二 x 减去二十五度加 x， 所以 说它等于的就是 x 减去二十五度， 那它如果是 x 减去二十五的话，这个角 a g e， 咱们不就可以表示了吗？它就等于五十，再加上 x 减去二十五，它等于的是 x 加上二十五度。 所以说这个角 p 之 e 啊， p 之 e 就 等于一百八十度，减去这个角 a 之 e。 所以 说我们可以直接这么写啊，一百八十度减去 x 加上二十五度，然后我们再来看这个角 c h c h， 它正好就是二十五，所以说直接写上。 那这个角 pe g 呢？ pe g 哎，咱们也表示完了，就是 x 减去二十五， 那三个角都表示完了。把他们仨往这个式子里面进行一个代入，一百八十度减去 x 加上二十五，它等于的是二倍的角 c h。 二乘二十五啊，就是五十， 再加上三倍的 x 减去二十五度。我们只需要去解这样一个 e x 方程，把这个 x 解出来就可以了啊。这个 x 它解完之后等于的是四十五度， 那我们要求这个角 p f c， 我 们来看一下啊，这个角 p f c， 哎呀，太好了，它正好就是二 x 嘛，所以说它等于的是二乘上四十五度，等于的是 九十度。那本题的答案呢，就是九十了。那这道题目啊，它主要考察了锯齿模型的一个用法，那本题难度呢？它其实也并不是很大，只要同学们认真审题，用我们的结论就可以了。那下次视频我们再见了，拜拜。

大年初三家长上期视频我们讲了大年三十四中几何压轴的。第一问，没看的可以点我头像进行回看。那么今天我们讲第二问这道题目的第二问，百分之九十的孩子会卡在同一个地方， 认真听，听完你就知道怎么突破了。好，我们来看一下第二问，我们先读题，它是在三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 c、 b 等于九十度，这个角为九十度， a、 c 等于 b、 c 点 d 在 三角形 a、 b、 c 的 内部， b、 d、 c 等于九十度。第二问，它是将线段 c、 d 绕着 c 点逆时针旋转九十度得到 c、 f， 所以 说角 d、 c、 f 应该是九十度，并且 c、 d 等于 c、 f， 它连接 f、 d 并延长交 a、 b 于 g 点，它现在让我们证明 g 点为 ab 的 中点。 那么这道题目他这个辅助线已经给我们画出来了，如果他不给我们画辅助线，那么这道题可能会更难一点。那我们来看一下啊，我们做这个几何题目，我们应该怎么样入？稍为 就是说，我们首先把这个题目的条件我们读完，我们根据这个条件我们看能得到哪些结论。他说将 d、 c 绕着 c 点进行旋转， 那么三角形 d、 c、 f 是 一个等腰 r、 t 三角形，并且三角形 a、 c、 b， 它也是一个等腰 r、 t 三角形。 那么这个地方我们是不是很容易想到手拉手模型呢？那么什么叫手拉手模型呢？就是共顶点的两个等腰三角形，并且这两个等腰三角形的顶角是相等的，那么这个叫手拉手模型 啊，这个手拉手模型特别特别重要哈。那么手拉手模型我们可以得到什么呢？是不可以得出全等啊？ 啊，这是常考的题型啊，那么这个时候我们马上可以得到三角形 a、 c、 f 和三角形 b、 c、 d 肯定是全等的。 三角形 a、 c、 f 全等于三角形 b、 c、 d。 那 为什么全等呢？我们来证一下。首先 a、 c 等于 bc， 有 一条边 角 d、 c、 f 和角 d、 c、 b 是 不是相等的？它们两个加上中间这个角是不都是等于九十度啊？所以我们可以得到角 a、 c、 f 和角 d、 c、 b 相等，又因为 c、 f 等于 c、 d， 所以我们就可以得到这两个三角形全等，这个条件就是 s、 a、 s。 那 么全等之后，我们是不是可以得到 b、 d 等于 a、 f， 并且这个角 a、 f、 c 是 不是等于九十度啊？等于这个角 c、 d、 b。 现在这个题目，它让我们证明这个 g 点为中点，那么显然我们要证明三角形 a、 g、 h 全等于三角形 b、 g、 d， 对 吧？那么这个题目它辅助线已经告诉我们了， 那么一般情况下这个辅助线它是不会告诉我们的，对不对？那我们来想一下，这个辅助线到底为什么这么做，对吧？我们要证明这个 g 点为中点， 是不一般情况下用全懂去证啊，对不对？因为 b、 d 等于 af， 又因为这个角 b、 d、 g， 它是不是等于四十五度啊？ 为什么等于四十五度？哎，因为这个角 f、 d、 c 为四十五度，这个角 c、 d、 b 为九十度，所以我们就可以得到角 b、 d、 g 为四十五度，对吧？角 a、 f、 h 是 不也是四十五度啊？ 因为这个角为九十度，又因为这个角 d、 f、 c 也是四十五度，所以我们可以得到角 a f g 为四十五度， 对吧？你想想哎， a f 等于 b d， 又因为这个角 a f、 g 为四十五度，等于这个角，那你想想，如果我们将 a f 这个边进行旋转， 然后延长 f g， 我 们是不是可以得到 a h， 它也是等于 a f， 从而等于 b d， 对 吧？旋转九十度，这个角为九十度，那么这个角是不也是四十五度啊？那么这个时候我们是不是就可以构造 这两个三角形全等了？所以说这个辅助线就是这么去想到的啊，大家一定要去想想辅助线怎么做，那我们把这个过程我们写一下啊，这个辅助线 就是说将 fa 绕着 a 点旋转九十度，然后延长 f g， 使 a h 和 f g 交于 h 点，那么这个辅助线啊就做出来了啊， 然后我们证明这两个三角形全等。首先 a h 是 不是等于 af？ 为什么呢？因为这个角为九十度啊，这是我们做的辅助线啊，这个角 a f、 h 等于四十五度，我们刚刚已经证完了，所以我们可以读到 a h f 也等于四十五度，所以我们就可以得到 a f 等于 ah， 对 不对？从而等于 b d， 然后角 a h g， 它是不是应该等于 b d， g 等于四十五度，对不对？然后是不是还有一个对顶角 角 a g h 等于角 b g、 d， 所以 我们就可以得到三角形 a g h 全等于三角形 b g d， 那 么这个判定方法就是 a a s， 所以我们就可以得到 a g 等于 b g， 所以 我们就可以得到 g 为中点， 那么这个第二问我们就解决的啊，但是这个题目他这个辅助线已经告诉我们了，可能就比较好想，如果辅助线没有告诉我们，那我们应该怎么办啊？这是我们重点要掌握的啊，一般情况下辅助线他不会告诉我们，那么第二问会呢？你就能冲一百一十分， 第三问才是拉开差距的关键。想冲一百一十五分以上，我们下期视频一定要观看，想要这套模拟卷的可以在评论区打三十四中，我们下期视频见。